Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 16 3 s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 32 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 16 3 und 32 3 :
16 3 32 3 4 3x -7 x
= 16 3 32 3 4 ( 3x -7 ) 1 2 x

= [ 8 9 ( 3x -7 ) 3 2 ] 16 3 32 3

= [ 8 9 ( 3x -7 ) 3 ] 16 3 32 3

= 8 9 ( 3( 32 3 ) -7 ) 3 - 8 9 ( 3( 16 3 ) -7 ) 3

= 8 9 ( 32 -7 ) 3 - 8 9 ( 16 -7 ) 3

= 8 9 ( 25 ) 3 - 8 9 ( 9 ) 3

= 8 9 5 3 - 8 9 3 3

= 8 9 125 - 8 9 27

= 1000 9 -24

= 1000 9 - 216 9

= 784 9


≈ 87,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 16 3 und der Änderung zwischen 16 3 und 32 3 zusammen:
B = 5 + 784 9 = 829 9 ≈ 92.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 28 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 28 3 :
4 28 3 3x -3 x
= 4 28 3 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 2 9 ( 3x -3 ) 3 2 ] 4 28 3

= [ 2 9 ( 3x -3 ) 3 ] 4 28 3

= 2 9 ( 3( 28 3 ) -3 ) 3 - 2 9 ( 34 -3 ) 3

= 2 9 ( 28 -3 ) 3 - 2 9 ( 12 -3 ) 3

= 2 9 ( 25 ) 3 - 2 9 ( 9 ) 3

= 2 9 5 3 - 2 9 3 3

= 2 9 125 - 2 9 27

= 250 9 -6

= 250 9 - 54 9

= 196 9


≈ 21,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 28 3 zusammen:
B = 12 + 196 9 = 304 9 ≈ 33.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u -4x x = -126,5

Lösung einblenden
3 u -4x x

= [ -2 x 2 ] 3 u

= -2 u 2 +2 3 2

= -2 u 2 +29

= -2 u 2 +18

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -126,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 +18 = -126,5 | -18
-2 u 2 = -144,5 |: ( -2 )
u 2 = 72,25 | 2
u1 = - 72,25 = -8,5
u2 = 72,25 = 8,5

Da u= -8,5 < 3 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -7 ) 3 +6x (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 ( 3 ( 3x -7 ) 3 +6x ) x

= 1 3 [ 1 4 ( 3x -7 ) 4 +3 x 2 ] 2 5

= 1 3 ( 1 4 ( 35 -7 ) 4 +3 5 2 - ( 1 4 ( 32 -7 ) 4 +3 2 2 ))

= 1 3 ( 1 4 ( 15 -7 ) 4 +325 - ( 1 4 ( 6 -7 ) 4 +34 ))

= 1 3 ( 1 4 8 4 +75 - ( 1 4 ( -1 ) 4 +12 ))

= 1 3 ( 1 4 4096 +75 - ( 1 4 1 +12 ))

= 1 3 ( 1024 +75 - ( 1 4 +12 ))

= 1 3 ( 1099 - ( 1 4 + 48 4 ))

= 1 3 ( 1099 -1 · 49 4 )

= 1 3 ( 1099 - 49 4 )

= 1 3 · 4347 4


= 362,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( -3x +4 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 2 ( -3x +4 ) 2 x
= 3 u -2 ( -3x +4 ) -2 x

= [ - 2 3 ( -3x +4 ) -1 ] 3 u

= [ - 2 3( -3x +4 ) ] 3 u

= - 2 3( -3u +4 ) + 2 3( -33 +4 )

= - 2 3( -3u +4 ) + 2 3( -9 +4 )

= - 2 3( -3u +4 ) + 2 3 ( -5 )

= - 2 3( -3u +4 ) + 2 3 ( - 1 5 )

= - 2 3( -3u +4 ) - 2 15

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 2 3( -3u +4 ) - 2 15 0 - 2 15 = - 2 15 ≈ -0.133

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.133