Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $5$ s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{31}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

\frac{31}{3}

:

\int_{5}^{\frac{31}{3}} 3 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{5}^{\frac{31}{3}} 3 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{15 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{250}{3} - 18$

= $\frac{250}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 20 + $\frac{196}{3}$ = $\frac{256}{3}$ ≈ 85.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 3 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 4} - \frac{3}{2} e^{4 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2}$

≈ 80,397

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 12 + $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2}$ ≈ 92.4

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3 e^{- 0,6 x + 0,5} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3 e^{- 0,6 x + 0,5} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,6 x + 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,6 u + 0,5} + 5 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,5}$

= $- 5 e^{- 0,6 u + 0,5} + 5 e^{0 + 0,5}$

= $- 5 e^{- 0,6 u + 0,5} + 5 e^{0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,6 u + 0,5} + 5 e^{0,5}$	=	$3$	\| $- 5 e^{0,5}$
$- 5 e^{- 0,6 u + 0,5}$	=	$- 5 e^{0,5} + 3$
$- 5 e^{- 0,6 u + 0,5}$	=	$- 5,2436$	\|: $- 5$
$e^{- 0,6 u + 0,5}$	=	$1,0487$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,5$	=	$\ln (1,0487)$

$- 0,6 u + 0,5$	=	$0,0476$	\| $- 0,5$
$- 0,6 u$	=	$- 0,4524$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$0,754$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $19$ und Minute $28$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{28 - 19}

\int_{19}^{28} 5 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{19}^{28} 5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{10}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (\frac{1250}{3} - \frac{640}{3})$

= $\frac{1}{9} \cdot \frac{610}{3}$

= $\frac{610}{27}$

≈ 22,593

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 6}]}_{1}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 6} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 6}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 6} - \frac{1}{3} e^{- 3 + 6}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 6} - \frac{1}{3} e^{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 6} - \frac{1}{3} e^{3}$ → $0 - \frac{1}{3} e^{3}$ = $- \frac{1}{3} e^{3}$ ≈ -6.695

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6.695

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale