Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 e 3x -7 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 4 e 3x -7 x

= [ 4 3 e 3x -7 ] 1 4

= 4 3 e 34 -7 - 4 3 e 31 -7

= 4 3 e 12 -7 - 4 3 e 3 -7

= 4 3 e 5 - 4 3 e -4


≈ 197,86
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 4 + 4 3 e 5 - 4 3 e -4 ≈ 201.86

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 18 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 27 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 18 und 27:
18 27 4 x -2 x
= 18 27 4 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 8 3 ( x -2 ) 3 2 ] 18 27

= [ 8 3 ( x -2 ) 3 ] 18 27

= 8 3 ( 27 -2 ) 3 - 8 3 ( 18 -2 ) 3

= 8 3 ( 25 ) 3 - 8 3 ( 16 ) 3

= 8 3 5 3 - 8 3 4 3

= 8 3 125 - 8 3 64

= 1000 3 - 512 3

= 488 3


≈ 162,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 18 und der Änderung zwischen 18 und 27 zusammen:
B = 4 + 488 3 = 500 3 ≈ 166.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4,5 e 0,5x -0,7 x = 20

Lösung einblenden
0 u 4,5 e 0,5x -0,7 x

= [ 9 e 0,5x -0,7 ] 0 u

= 9 e 0,5u -0,7 -9 e 0,50 -0,7

= 9 e 0,5u -0,7 -9 e 0 -0,7

= 9 e 0,5u -0,7 -9 e -0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 20 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

9 e 0,5u -0,7 -9 e -0,7 = 20 | +9 e -0,7
9 e 0,5u -0,7 = 9 e -0,7 +20
9 e 0,5u -0,7 = 24,4693 |:9
e 0,5u -0,7 = 2,7188 |ln(⋅)
0,5u -0,7 = ln( 2,7188 )
0,5u -0,7 = 1,0002 | +0,7
0,5u = 1,7002 |:0,5
u = 3,4004

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 sin( x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 3 sin( x - π) x

= 2 π [ -3 cos( x - π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( -3 cos( π - π) +3 cos( 1 2 π - π) )

= 2 π · ( -3 cos(0) +3 cos( - 1 2 π) )

= 2 π · ( -31 +30 )

= 2 π · ( -3 +0 )

= 2 π · ( -3 )

= - 6 π


≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( -2x +2 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 1 ( -2x +2 ) 3 x
= 2 u ( -2x +2 ) -3 x

= [ 1 4 ( -2x +2 ) -2 ] 2 u

= [ 1 4 ( -2x +2 ) 2 ] 2 u

= 1 4 ( -2u +2 ) 2 - 1 4 ( -22 +2 ) 2

= 1 4 ( -2u +2 ) 2 - 1 4 ( -4 +2 ) 2

= 1 4 ( -2u +2 ) 2 - 1 4 ( -2 ) 2

= 1 4 ( -2u +2 ) 2 - 1 4 ( 1 4 )

= 1 4 ( -2u +2 ) 2 - 1 16

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 4 ( -2u +2 ) 2 - 1 16 0 - 1 16 = - 1 16 ≈ -0.063

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.063