Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 e 3x -7 x

= [ 1 3 e 3x -7 ] 1 4

= 1 3 e 34 -7 - 1 3 e 31 -7

= 1 3 e 12 -7 - 1 3 e 3 -7

= 1 3 e 5 - 1 3 e -4


≈ 49,465
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 61 + 1 3 e 5 - 1 3 e -4 ≈ 110.46

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 2 x -1 x
= 2 4 2 ( x -1 ) -1 x

= [ 2 ln( | x -1 | ) ] 2 4

= 2 ln( | 4 -1 | ) -2 ln( | 2 -1 | )

= 2 ln( 3 ) -2 ln( | 2 -1 | )

= 2 ln( 3 ) -2 ln( 1 )

= 2 ln( 3 ) +0

= 2 ln( 3 )


≈ 2,197
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 4 + 2 ln( 3 ) ≈ 6.2

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 6x x = 0,75

Lösung einblenden
0 u 6x x

= [ 3 x 2 ] 0 u

= 3 u 2 -3 0 2

= 3 u 2 -30

= 3 u 2 +0

= 3 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 0,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 = 0,75 |:3
u 2 = 0.75 3 | 2
u1 = - 0.75 3 = -0,5
u2 = 0.75 3 = 0,5

Da u= -0,5 < 0 ist u= 0,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 e 2x -1 zwischen 0 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 6 e 2x -1 x

= 1 3 [ 3 e 2x -1 ] 0 3

= 1 3 ( 3 e 23 -1 -3 e 20 -1 )

= 1 3 ( 3 e 6 -1 -3 e 0 -1 )

= 1 3 ( 3 e 5 -3 e -1 )


≈ 148,045

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -2x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 3 -2x +1 x
= 2 u -3 ( -2x +1 ) -1 x

= [ 3 2 ln( | -2x +1 | ) ] 2 u

= 3 2 ln( | -2( u ) +1 | ) - 3 2 ln( | -22 +1 | )

= 3 2 ln( | -2u +1 | ) - 3 2 ln( | -4 +1 | )

= 3 2 ln( | -2u +1 | ) - 3 2 ln( 3 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 2 ln( 3 ) + 3 2 ln( | -2x +1 | )