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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
∫ 1 4 6 e x -1 ⅆ x

= [ 6 e x -1 ] 1 4

= 6 e 4 -1 -6 e 1 -1

= 6 e 3 -6 e 0

= 6 e 3 -6


≈ 114,513
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 74 + 6 e 3 -6 ≈ 188.51

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
∫ 3 4 3 x -1 ⅆ x
= ∫ 3 4 3 ( x -1 ) -1 ⅆ x

= [ 3 ln( | x -1 | ) ] 3 4

= 3 ln( | 4 -1 | ) -3 ln( | 3 -1 | )

= 3 ln( 3 ) -3 ln( | 3 -1 | )

= 3 ln( 3 ) -3 ln( 2 )


≈ 1,216
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 13 + 3 ln( | 3 | ) -3 ln( | 2 | ) ≈ 14.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass ∫ 3 u 8x ⅆ x = 13

Lösung einblenden
∫ 3 u 8x ⅆ x

= [ 4 x 2 ] 3 u

= 4 u 2 -4⋅ 3 2

= 4 u 2 -4⋅9

= 4 u 2 -36

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 13 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -36 = 13 | +36
4 u 2 = 49 |:4
u 2 = 49 4 | ⋅2
u1 = - 49 4 = - 7 2
u2 = 49 4 = 7 2

Da u= - 7 2 < 3 ist u= 7 2 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3⋅ cos( x - 3 2 π) zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π ∫ 1 2 π π 3⋅ cos( x - 3 2 π) ⅆ x

= 2 π [ 3⋅ sin( x - 3 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 3⋅ sin( π - 3 2 π) -3⋅ sin( 1 2 π - 3 2 π) )

= 2 π · ( 3⋅ sin( - 1 2 π) -3⋅ sin(-π) )

= 2 π · ( 3⋅( -1 ) -3⋅0 )

= 2 π · ( -3 +0 )

= 2 π · ( -3 )

= - 6 π


≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( x ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ u 3 1 ( x ) 3 ⅆ x
= ∫ u 3 1 x 3 ⅆ x
= ∫ u 3 x -3 ⅆ x

= [ - 1 2 x -2 ] u 3

= [ - 1 2 x 2 ] u 3

= - 1 2⋅ 3 2 + 1 2 u 2

= - 1 2 ⋅( 1 9 ) + 1 2 u 2

= - 1 18 + 1 2 u 2

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = - 1 18 + 1 2 u 2 → ∞