Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{23}{3}$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 5 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 5 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 64$

= $\frac{1250}{9} - \frac{640}{9}$

= $\frac{610}{9}$

≈ 67,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{23}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 12 + $\frac{610}{9}$ = $\frac{718}{9}$ ≈ 79.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{4}{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 4 {(3 x - 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \ln (| 3 x - 6 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 6 |) - \frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 6 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (| 12 - 6 |) - \frac{4}{3} \ln (| 9 - 6 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (6) - \frac{4}{3} \ln (| 9 - 6 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (6) - \frac{4}{3} \ln (3)$

≈ 0,924

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 11 + $\frac{4}{3} \ln (| 6 |) - \frac{4}{3} \ln (| 3 |)$ ≈ 11.92

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,1 x + 0,7} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,1 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- 0,1 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 e^{- 0,1 u + 0,7} + 2 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 2 e^{- 0,1 u + 0,7} + 2 e^{0 + 0,7}$

= $- 2 e^{- 0,1 u + 0,7} + 2 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 e^{- 0,1 u + 0,7} + 2 e^{0,7}$	=	$2$	\| $- 2 e^{0,7}$
$- 2 e^{- 0,1 u + 0,7}$	=	$- 2 e^{0,7} + 2$
$- 2 e^{- 0,1 u + 0,7}$	=	$- 2,0275$	\|: $- 2$
$e^{- 0,1 u + 0,7}$	=	$1,0138$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,7$	=	$\ln (1,0138)$

$- 0,1 u + 0,7$	=	$0,0137$	\| $- 0,7$
$- 0,1 u$	=	$- 0,6863$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$6,863$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (3 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{5}{3} \cdot \cos (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot 0 + \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(- 3 x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 3)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 {(- 3 x + 3)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 2 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 6 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{9})$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{27}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{27}$ → $0 - \frac{1}{27}$ = $- \frac{1}{27}$ ≈ -0.037

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.037

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale