Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 2x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 7 2 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 19 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 7 2 und 19 2 :
7 2 19 2 6 2x -3 x
= 7 2 19 2 6 ( 2x -3 ) 1 2 x

= [ 2 ( 2x -3 ) 3 2 ] 7 2 19 2

= [ 2 ( 2x -3 ) 3 ] 7 2 19 2

= 2 ( 2( 19 2 ) -3 ) 3 -2 ( 2( 7 2 ) -3 ) 3

= 2 ( 19 -3 ) 3 -2 ( 7 -3 ) 3

= 2 ( 16 ) 3 -2 ( 4 ) 3

= 2 4 3 -2 2 3

= 264 -28

= 128 -16

= 112

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 7 2 und der Änderung zwischen 7 2 und 19 2 zusammen:
B = 20 + 112 = 132

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 2x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 5 2x -2 x
= 2 3 5 ( 2x -2 ) -1 x

= [ 5 2 ln( | 2x -2 | ) ] 2 3

= 5 2 ln( | 23 -2 | ) - 5 2 ln( | 22 -2 | )

= 5 2 ln( | 6 -2 | ) - 5 2 ln( | 4 -2 | )

= 5 2 ln( 4 ) - 5 2 ln( | 4 -2 | )

= 5 2 ln( 4 ) - 5 2 ln( 2 )


≈ 1,733
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 10 + 5 2 ln( | 4 | ) - 5 2 ln( | 2 | ) ≈ 11.73

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u -4x x = -12,5

Lösung einblenden
0 u -4x x

= [ -2 x 2 ] 0 u

= -2 u 2 +2 0 2

= -2 u 2 +20

= -2 u 2 +0

= -2 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -12,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 = -12,5 |: ( -2 )
u 2 = 6,25 | 2
u1 = - 6,25 = -2,5
u2 = 6,25 = 2,5

Da u= -2,5 < 0 ist u= 2,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -6 ) 3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 3 ( 3x -6 ) 3 x

= 1 2 [ 1 4 ( 3x -6 ) 4 ] 0 2

= 1 2 ( 1 4 ( 32 -6 ) 4 - 1 4 ( 30 -6 ) 4 )

= 1 2 ( 1 4 ( 6 -6 ) 4 - 1 4 ( 0 -6 ) 4 )

= 1 2 ( 1 4 0 4 - 1 4 ( -6 ) 4 )

= 1 2 ( 1 4 0 - 1 4 1296 )

= 1 2 (0 -324 )

= -162

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 1 ( x -1 ) 3 x
= 2 u - ( x -1 ) -3 x

= [ 1 2 ( x -1 ) -2 ] 2 u

= [ 1 2 ( x -1 ) 2 ] 2 u

= 1 2 ( u -1 ) 2 - 1 2 ( 2 -1 ) 2

= 1 2 ( u -1 ) 2 - 1 2 1 2

= 1 2 ( u -1 ) 2 - 1 2 1

= 1 2 ( u -1 ) 2 - 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 ( u -1 ) 2 - 1 2 0 - 1 2 = - 1 2 ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5