Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{3 \cdot 2 - 5} - e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $e^{6 - 5} - e^{0 - 5}$

= $e^{1} - e^{- 5}$

= $e - e^{- 5}$

≈ 2,712

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 13 + $- e^{- 5} + e$ ≈ 15.71

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 4 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 3 - 3} - 2 e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $2 e^{6 - 3} - 2 e^{4 - 3}$

= $2 e^{3} - 2 e^{1}$

= $2 e^{3} - 2 e$

≈ 34,735

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 73 + $2 e^{3} - 2 e$ ≈ 107.73

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4 e^{- 0,8 x + 0,7} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4 e^{- 0,8 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,8 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,8 u + 0,7} + 5 e^{- 0,8 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 5 e^{- 0,8 u + 0,7} + 5 e^{0 + 0,7}$

= $- 5 e^{- 0,8 u + 0,7} + 5 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,8 u + 0,7} + 5 e^{0,7}$	=	$1$	\| $- 5 e^{0,7}$
$- 5 e^{- 0,8 u + 0,7}$	=	$- 5 e^{0,7} + 1$
$- 5 e^{- 0,8 u + 0,7}$	=	$- 9,0688$	\|: $- 5$
$e^{- 0,8 u + 0,7}$	=	$1,8138$	\|ln(⋅)
$- 0,8 u + 0,7$	=	$\ln (1,8138)$

$- 0,8 u + 0,7$	=	$0,5954$	\| $- 0,7$
$- 0,8 u$	=	$- 0,1046$	\|:( $- 0,8$ )
$u$	=	$0,1308$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{2 x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} 4 e^{2 x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[2 e^{2 x - 3}]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (2 e^{2 \cdot 5 - 3} - 2 e^{2 \cdot 0 - 3})$

= $\frac{1}{5} (2 e^{10 - 3} - 2 e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{5} (2 e^{7} - 2 e^{- 3})$

≈ 438,633

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $7,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{7,5} \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{7,5} 3 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{7,5}$

= ${[3 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{7,5}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 7,5 - 6} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \sqrt{15 - 6} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \sqrt{9} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \cdot 3 - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $9 - 3 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 3 \sqrt{2 u - 6} + 9$ → $0 + 9$ = $9$ ≈ 9

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 9

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale