Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 6)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{6}{{(3 x - 6)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 6 {(3 x - 6)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 6)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{2}{3 x - 6}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot 6 - 6} + \frac{2}{3 \cdot 3 - 6}$

= $- \frac{2}{18 - 6} + \frac{2}{9 - 6}$

= $- \frac{2}{12} + \frac{2}{3}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{12}) + 2 \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{6} + \frac{2}{3}$

= $- \frac{1}{6} + \frac{4}{6}$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 18 + $\frac{1}{2}$ = $\frac{37}{2}$ ≈ 18.5

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 \sqrt{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $19$ Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $28$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 5 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 64$

= $\frac{1250}{3} - \frac{640}{3}$

= $\frac{610}{3}$

≈ 203,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 19 + $\frac{610}{3}$ = $\frac{667}{3}$ ≈ 222.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,7 e^{- 0,1 x + 0,8} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,7 e^{- 0,1 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 7 e^{- 0,1 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 7 e^{- 0,1 u + 0,8} + 7 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 7 e^{- 0,1 u + 0,8} + 7 e^{0 + 0,8}$

= $- 7 e^{- 0,1 u + 0,8} + 7 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 7 e^{- 0,1 u + 0,8} + 7 e^{0,8}$	=	$7$	\| $- 7 e^{0,8}$
$- 7 e^{- 0,1 u + 0,8}$	=	$- 7 e^{0,8} + 7$
$- 7 e^{- 0,1 u + 0,8}$	=	$- 8,5788$	\|: $- 7$
$e^{- 0,1 u + 0,8}$	=	$1,2255$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,8$	=	$\ln (1,2255)$

$- 0,1 u + 0,8$	=	$0,2033$	\| $- 0,8$
$- 0,1 u$	=	$- 0,5967$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$5,967$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 5)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 3}

\int_{3}^{6} \frac{5}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{3}^{6} 5 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{5}{3} {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{5}{3 (3 x - 5)}]}_{3}^{6}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{5}{3 (3 \cdot 6 - 5)} + \frac{5}{3 (3 \cdot 3 - 5)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{3 (18 - 5)} + \frac{5}{3 (9 - 5)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{3 \cdot 13} + \frac{5}{3 \cdot 4})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{13}) + \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{4}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{39} + \frac{5}{12})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{20}{156} + \frac{65}{156})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{15}{52}$

= $\frac{5}{52}$

≈ 0,096

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $4$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{4}$

= ${[\sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{4}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 - 4} - \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{8 - 4} - \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{4} - \sqrt{2 u - 4}$

= $2 - \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{2 u - 4} + 2$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 4} + 2$ → $0 + 2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale