Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,195
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 13 + = ≈ 13.2
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:
=
=
=
4
3
ln(
|
3⋅6
-7
|
)
-
4
3
ln(
|
3⋅4
-7
|
)
=
4
3
ln(
|
18
-7
|
)
-
4
3
ln(
|
12
-7
|
)
=
4
3
ln(
11
)
-
4
3
ln(
|
12
-7
|
)
=
4
3
ln(
11
)
-
4
3
ln(
5
)
≈ 1,051
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6
zusammen:
B = 5 +
4
3
ln(
|
11
|
)
-
4
3
ln(
|
5
|
)
≈ 6.05
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 5,4 e -0,9x +0,6 ⅆ x = 4
Lösung einblenden
∫
0
u
5,4
e
-0,9x
+0,6
ⅆ
x
=
[
-6
e
-0,9x
+0,6
]
0
u
=
-6
e
-0,9u
+0,6
+6
e
-0,9⋅0
+0,6
=
-6
e
-0,9u
+0,6
+6
e
0
+0,6
=
-6
e
-0,9u
+0,6
+6
e
0,6
|
-6
e
-0,9u
+0,6
+6
e
0,6
|
= |
4
|
|
-6
e
0,6
|
|
-6
e
-0,9u
+0,6
|
= |
-6
e
0,6
+4
|
|
|
-6
e
-0,9u
+0,6
|
= |
-6,9327
|
|:-6
|
|
e
-0,9u
+0,6
|
= |
1,1555
|
|ln(⋅) |
|
-0,9u
+0,6
|
= |
ln(
1,1555
)
|
|
|
-0,9u
+0,6
|
= |
0,1445
|
|
-0,6
|
|
-0,9u
|
= |
-0,4555
|
|:(-0,9
) |
|
u
|
= |
0,5061
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3⋅ cos( 3x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
3⋅
cos(
3x
- π)
ⅆ
x
=
2
π
[
sin(
3x
- π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
sin(
3⋅π
- π)
-
sin(
3⋅(
1
2
π )
- π)
)
=
2
π
·
(
sin(2π)
-
sin(
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
0
- 1
)
=
-
2
π
≈ -0,637
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=19 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
19
u
1
x
-3
ⅆ
x
=
∫
19
u
(
x
-3
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
2
(
x
-3
)
1
2
]
19
u
=
[
2
x
-3
]
19
u
=
2
u
-3
-2
19
-3
=
2
u
-3
-2
16
=
2
u
-3
-2⋅4
=
2
u
-3
-8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
u
-3
-8
→
∞