Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 79 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 4 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 4 - 5} - 2 e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $2 e^{8 - 5} - 2 e^{4 - 5}$

= $2 e^{3} - 2 e^{- 1}$

≈ 39,435

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 79 + $2 e^{3} - 2 e^{- 1}$ ≈ 118.44

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 70 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 5 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 5} - \frac{5}{2} e^{4 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{1} - \frac{5}{2} e^{- 1}$

= $\frac{5}{2} e - \frac{5}{2} e^{- 1}$

≈ 5,876

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 70 + $- \frac{5}{2} e^{- 1} + \frac{5}{2} e$ ≈ 75.88

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,6 e^{0,8 x - 0,5} ⅆ x$ = $14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,6 e^{0,8 x - 0,5} ⅆ x

= ${[7 e^{0,8 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,8 u - 0,5} - 7 e^{0,8 \cdot 0 - 0,5}$

= $7 e^{0,8 u - 0,5} - 7 e^{0 - 0,5}$

= $7 e^{0,8 u - 0,5} - 7 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,8 u - 0,5} - 7 e^{- 0,5}$	=	$14$	\| $+ 7 e^{- 0,5}$
$7 e^{0,8 u - 0,5}$	=	$7 e^{- 0,5} + 14$
$7 e^{0,8 u - 0,5}$	=	$18,2457$	\|: $7$
$e^{0,8 u - 0,5}$	=	$2,6065$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,5$	=	$\ln (2,6065)$

$0,8 u - 0,5$	=	$0,958$	\| $+ 0,5$
$0,8 u$	=	$1,458$	\|: $0,8$
$u$	=	$1,8225$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 7)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 4}

\int_{4}^{6} \frac{5}{{(3 x - 7)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{4}^{6} 5 {(3 x - 7)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{5}{3} {(3 x - 7)}^{- 1}]}_{4}^{6}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{5}{3 (3 x - 7)}]}_{4}^{6}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{5}{3 (3 \cdot 6 - 7)} + \frac{5}{3 (3 \cdot 4 - 7)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{3 (18 - 7)} + \frac{5}{3 (12 - 7)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{3 \cdot 11} + \frac{5}{3 \cdot 5})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{11}) + \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{5}))$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{33} + \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{33} + \frac{11}{33})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{11}$

= $\frac{1}{11}$

≈ 0,091

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $10$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{10} \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{10} 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{10}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{10}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 10 - 4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \sqrt{20 - 4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \sqrt{16} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \cdot 4 - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $8 - 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 4} + 8$ → $0 + 8$ = $8$ ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale