Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 3 e 3x -7 x

= [ e 3x -7 ] 0 1

= e 31 -7 - e 30 -7

= e 3 -7 - e 0 -7

= e -4 - e -7


≈ 0,017
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 64 + e -4 - e -7 ≈ 64.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 18 s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 18 und 27:
18 27 6 x -2 x
= 18 27 6 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -2 ) 3 2 ] 18 27

= [ 4 ( x -2 ) 3 ] 18 27

= 4 ( 27 -2 ) 3 -4 ( 18 -2 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 16 ) 3

= 4 5 3 -4 4 3

= 4125 -464

= 500 -256

= 244

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 18 und der Änderung zwischen 18 und 27 zusammen:
B = 9 + 244 = 253

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,9 e 0,3x -0,1 x = 18

Lösung einblenden
0 u 0,9 e 0,3x -0,1 x

= [ 3 e 0,3x -0,1 ] 0 u

= 3 e 0,3u -0,1 -3 e 0,30 -0,1

= 3 e 0,3u -0,1 -3 e 0 -0,1

= 3 e 0,3u -0,1 -3 e -0,1

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 18 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 e 0,3u -0,1 -3 e -0,1 = 18 | +3 e -0,1
3 e 0,3u -0,1 = 3 e -0,1 +18
3 e 0,3u -0,1 = 20,7145 |:3
e 0,3u -0,1 = 6,9048 |ln(⋅)
0,3u -0,1 = ln( 6,9048 )
0,3u -0,1 = 1,9322 | +0,1
0,3u = 2,0322 |:0,3
u = 6,774

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2 e 3x -6 zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -1 1 3 2 e 3x -6 x

= 1 2 [ 2 3 e 3x -6 ] 1 3

= 1 2 ( 2 3 e 33 -6 - 2 3 e 31 -6 )

= 1 2 ( 2 3 e 9 -6 - 2 3 e 3 -6 )

= 1 2 ( 2 3 e 3 - 2 3 e -3 )


≈ 6,679

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 3x -7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 1 3x -7 x
= 3 u ( 3x -7 ) -1 x

= [ 1 3 ln( | 3x -7 | ) ] 3 u

= 1 3 ln( | 3( u ) -7 | ) - 1 3 ln( | 33 -7 | )

= 1 3 ln( | 3u -7 | ) - 1 3 ln( | 9 -7 | )

= 1 3 ln( | 3u -7 | ) - 1 3 ln( 2 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 3 ln( 2 ) + 1 3 ln( | 3x -7 | )