Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 103,76
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 4 +
≈ 107.76
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
≈ 1,395
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 46 +
≈ 47.4
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
65
10
=
6,5
u2 =
-5
-
4900
10
=
-5
-70
10
=
-75
10
=
-7,5
Da u=
-7,5
< 3 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 2x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 5 und Minute 13 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
13
-5
∫
5
13
3
2x
-1
ⅆ
x
=
1
8
∫
5
13
3
(
2x
-1
)
1
2
ⅆ
x
=
1
8
[
(
2x
-1
)
3
2
]
5
13
=
1
8
[
(
2x
-1
)
3
]
5
13
=
1
8
(
(
2⋅13
-1
)
3
-
(
2⋅5
-1
)
3
)
=
1
8
(
(
26
-1
)
3
-
(
10
-1
)
3
)
=
1
8
(
(
25
)
3
-
(
9
)
3
)
=
1
8
(
5
3
-
3
3
)
=
1
8
(
125
- 27
)
=
1
8
·
98
= 12,25
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
2
(
x
-1
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
-2
(
x
-1
)
-3
ⅆ
x
=
[
(
x
-1
)
-2
]
3
u
=
[
1
(
x
-1
)
2
]
3
u
=
1
(
u
-1
)
2
-
1
(
3
-1
)
2
=
1
(
u
-1
)
2
-
1
2
2
=
1
(
u
-1
)
2
- (
1
4
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
(
u
-1
)
2
-
1
4
→
0
-
1
4
=
-
1
4
≈ -0.25
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25