Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 5 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $5 e^{3 - 3} - 5 e^{2 - 3}$

= $5 e^{0} - 5 e^{- 1}$

= $5 - 5 e^{- 1}$

≈ 3,161

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 13 + $- 5 e^{- 1} + 5$ ≈ 16.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 70 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 1} - 2 e^{0 - 1}$

= $2 e^{2} - 2 e^{- 1}$

≈ 14,042

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 70 + $2 e^{2} - 2 e^{- 1}$ ≈ 84.04

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,8 e^{0,4 x - 0,9} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,8 e^{0,4 x - 0,9} ⅆ x

= ${[7 e^{0,4 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,4 u - 0,9} - 7 e^{0,4 \cdot 0 - 0,9}$

= $7 e^{0,4 u - 0,9} - 7 e^{0 - 0,9}$

= $7 e^{0,4 u - 0,9} - 7 e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,4 u - 0,9} - 7 e^{- 0,9}$	=	$8$	\| $+ 7 e^{- 0,9}$
$7 e^{0,4 u - 0,9}$	=	$7 e^{- 0,9} + 8$
$7 e^{0,4 u - 0,9}$	=	$10,846$	\|: $7$
$e^{0,4 u - 0,9}$	=	$1,5494$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,9$	=	$\ln (1,5494)$

$0,4 u - 0,9$	=	$0,4379$	\| $+ 0,9$
$0,4 u$	=	$1,3379$	\|: $0,4$
$u$	=	$3,3448$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (4 π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{5}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (0 + \frac{5}{3})$

= $\frac{2}{3 π} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{9 π}$

≈ 0,354

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(x)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} - \frac{3}{{(x)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - \frac{3}{x^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - 3 x^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} x^{- 2}]}_{u}^{4}$

= ${[\frac{3}{2 x^{2}}]}_{u}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2 \cdot 4^{2}} - \frac{3}{2 u^{2}}$

= $\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{16}) - \frac{3}{2 u^{2}}$

= $\frac{3}{32} - \frac{3}{2 u^{2}}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{3}{32} - \frac{3}{2 u^{2}}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale