= ${\left[-{\left(x-3\right)}^{-2}\right]}_5^7$

= ${\left[-\frac{1}{{\left(x-3\right)}^2}\right]}_5^7$

$=$ $-\frac{1}{{\left(7-3\right)}^2}+\frac{1}{{\left(5-3\right)}^2}$

= $-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{2^2}$

= $-\left(\frac{1}{16}\right)+\frac{1}{4}$

= $\frac{3}{16}$

= ${\left[2\ln \left(\left|$ x-3$\right|\right)\right]}_4^5$

$=$ $2\ln \left(\left|$ 5-3$\right|\right)-2\ln \left(\left|$ 4-3$\right|\right)$

= $2\ln \left(2\right)-2\ln \left(\left|$ 4-3$\right|\right)$

= $2\ln \left(2\right)-2\ln \left(1\right)$

= $2\ln \left(2\right)+0$

= $2\ln \left(2\right)$

= ${\left[5e^{\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,4}}\right]}_0^u$

$=$ $5e^{\mathrm{0,6}u-\mathrm{0,4}}-5e^{\mathrm{0,6}\cdot 0-\mathrm{0,4}}$

= $5e^{\mathrm{0,6}u-\mathrm{0,4}}-5e^{0-\mathrm{0,4}}$

= $5e^{\mathrm{0,6}u-\mathrm{0,4}}-5e^{-\mathrm{0,4}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\frac{5}{9}{\left(3x-3\right)}^3\right]}_2^4$

$=$ $\frac{1}{2}\left(\frac{5}{9}\cdot {\left(3\cdot 4-3\right)}^3-\frac{5}{9}\cdot {\left(3\cdot 2-3\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{5}{9}\cdot {\left(12-3\right)}^3-\frac{5}{9}\cdot {\left(6-3\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{5}{9}\cdot 9^3-\frac{5}{9}\cdot 3^3\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{5}{9}\cdot 729-\frac{5}{9}\cdot 27\right)$

= $\frac{1}{2}\left(405-15\right)$

= $\frac{1}{2}·390$

= $195$

= ${\left[-3{\left(2x-6\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^5$

= ${\left[-3\sqrt{2x-6}\right]}_u^5$

$=$ $-3\sqrt{2\cdot 5-6}+3\sqrt{2u-6}$

= $-3\sqrt{10-6}+3\sqrt{2u-6}$

= $-3\sqrt{4}+3\sqrt{2u-6}$

= $-3\cdot 2+3\sqrt{2u-6}$

= $-6+3\sqrt{2u-6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $3\sqrt{2u-6}-6$ → $0-6$ = $-6$ ≈ -6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6