Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 67,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 10 + = ≈ 77.78
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 203,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 11 + = ≈ 214.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
90
-8
=
-11,25
u2 =
3
-
7569
-8
=
3
-87
-8
=
-84
-8
=
10,5
Da u=
-11,25
< 3 ist u=
10,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4⋅ sin( x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
2
π+0
∫
0
1
2
π
4⋅
sin(
x
-
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-4⋅
cos(
x
-
3
2
π)
]
0
1
2
π
=
2
π
·
(
-4⋅
cos(
1
2
π
-
3
2
π)
+4⋅
cos(
0
-
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-4⋅
cos(-π)
+4⋅
cos(
-
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-4⋅( -1 )
+4⋅0
)
=
2
π
·
(
4
+0
)
=
2
π
·
4
=
8
π
≈ 2,546
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -3 e -2x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
-3
e
-2x
+5
ⅆ
x
=
[
3
2
e
-2x
+5
]
2
u
=
3
2
e
-2u
+5
-
3
2
e
-2⋅2
+5
=
3
2
e
-2u
+5
-
3
2
e
-4
+5
=
3
2
e
-2u
+5
-
3
2
e
1
=
3
2
e
-2u
+5
-
3
2
e
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
2
e
-2u
+5
-
3
2
e
→
0
-
3
2
e
=
-
3
2
e
≈ -4.077
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4.077