Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 5 - 4} - 2 e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $2 e^{15 - 4} - 2 e^{6 - 4}$

= $2 e^{11} - 2 e^{2}$

≈ 119733,505

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 25 + $2 e^{11} - 2 e^{2}$ ≈ 119758.51

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 6 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 3 - 4} - 2 e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $2 e^{9 - 4} - 2 e^{0 - 4}$

= $2 e^{5} - 2 e^{- 4}$

≈ 296,79

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 28 + $2 e^{5} - 2 e^{- 4}$ ≈ 324.79

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,4 e^{- 0,6 x + 0,9} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,4 e^{- 0,6 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,6 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,6 u + 0,9} + 9 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 9 e^{- 0,6 u + 0,9} + 9 e^{0 + 0,9}$

= $- 9 e^{- 0,6 u + 0,9} + 9 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,6 u + 0,9} + 9 e^{0,9}$	=	$2$	\| $- 9 e^{0,9}$
$- 9 e^{- 0,6 u + 0,9}$	=	$- 9 e^{0,9} + 2$
$- 9 e^{- 0,6 u + 0,9}$	=	$- 20,1364$	\|: $- 9$
$e^{- 0,6 u + 0,9}$	=	$2,2374$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,9$	=	$\ln (2,2374)$

$- 0,6 u + 0,9$	=	$0,8053$	\| $- 0,9$
$- 0,6 u$	=	$- 0,0947$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$0,1578$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{3}{x - 3}$ zwischen 5 und 7.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{7 - 5}

\int_{5}^{7} \frac{3}{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{5}^{7} 3 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[3 \ln (| x - 3 |)]}_{5}^{7}$

$=$ $\frac{1}{2} (3 \ln (| 7 - 3 |) - 3 \ln (| 5 - 3 |))$

= $\frac{1}{2} (3 \ln (4) - 3 \ln (| 5 - 3 |))$

= $\frac{1}{2} (3 \ln (4) - 3 \ln (2))$

≈ 1,04

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- 2 x + 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{{(- 2 x + 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(- 2 x + 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(- 2 x + 4)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{4 {(- 2 x + 4)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{4 {(- 2 \cdot 3 + 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{4 {(- 6 + 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{4 {(- 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{16}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{16}$ → $0 + \frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ ≈ 0.063

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.063

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale