Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 29 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
=
≈ 670,715
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 29 +
≈ 699.71
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
=
=
=
≈ 26,777
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3
zusammen:
B = 18 +
≈ 44.78
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
110,25
|
=
-10,5
|
| u2 |
= |
110,25
|
=
10,5
|
Da u=
-10,5
< 3 ist u=
10,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= cos( 2x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
2
π+0
∫
0
1
2
π
cos(
2x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
1
2
⋅
sin(
2x
+
3
2
π)
]
0
1
2
π
=
2
π
·
(
1
2
⋅
sin(
2⋅(
1
2
π )
+
3
2
π)
-
1
2
⋅
sin(
2⋅( 0 )
+
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
1
2
⋅
sin(
5
2
π)
-
1
2
⋅
sin(
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
1
2
⋅1
-
1
2
⋅( -1 )
)
=
2
π
·
(
1
2
+
1
2
)
=
2
π
·
(
0,5
+0,5
)
=
2
π
·
1
=
2
π
≈ 0,637
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
1
x
-3
ⅆ
x
=
∫
4
u
-
(
x
-3
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
ln(
|
x
-3
|
)
]
4
u
=
-
ln(
|
u
-3
|
)
+
ln(
|
4
-3
|
)
=
-
ln(
|
u
-3
|
)
+
ln(
1
)
=
-
ln(
|
u
-3
|
)
+0
=
-
ln(
|
x
-3
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
ln(
|
x
-3
|
)
→
∞