Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{19}{2}$ Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $14$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{2}

und

14

:

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 6 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 6 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{2}

und

14

zusammen:

B = 17 + $122$ = $139$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $17$ s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $26$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

17

und

26

:

\int_{17}^{26} 5 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{17}^{26} 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{17}^{26}$

= ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{17}^{26}$

$=$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3}$

= $\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 64$

= $\frac{1250}{3} - \frac{640}{3}$

= $\frac{610}{3}$

≈ 203,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

17

und der Änderung zwischen

17

und

26

zusammen:

B = 9 + $\frac{610}{3}$ = $\frac{637}{3}$ ≈ 212.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,4 e^{- 0,1 x + 0,2} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,4 e^{- 0,1 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,1 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,1 u + 0,2} + 4 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 4 e^{- 0,1 u + 0,2} + 4 e^{0 + 0,2}$

= $- 4 e^{- 0,1 u + 0,2} + 4 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,1 u + 0,2} + 4 e^{0,2}$	=	$1$	\| $- 4 e^{0,2}$
$- 4 e^{- 0,1 u + 0,2}$	=	$- 4 e^{0,2} + 1$
$- 4 e^{- 0,1 u + 0,2}$	=	$- 3,8856$	\|: $- 4$
$e^{- 0,1 u + 0,2}$	=	$0,9714$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,2$	=	$\ln (0,9714)$

$- 0,1 u + 0,2$	=	$- 0,029$	\| $- 0,2$
$- 0,1 u$	=	$- 0,229$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$2,29$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 {(3 x - 7)}^{3}$ zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} 5 {(3 x - 7)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{5}{12} {(3 x - 7)}^{4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{5}{12} \cdot {(3 \cdot 3 - 7)}^{4} - \frac{5}{12} \cdot {(3 \cdot 1 - 7)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{12} \cdot {(9 - 7)}^{4} - \frac{5}{12} \cdot {(3 - 7)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{12} \cdot 2^{4} - \frac{5}{12} \cdot {(- 4)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{12} \cdot 16 - \frac{5}{12} \cdot 256)$

= $\frac{1}{2} (\frac{20}{3} - \frac{320}{3})$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 100)$

= $- 50$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{2 x - 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{3}{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 3 {(2 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 4 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2} \ln (| 2 (u) - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 4 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| 2 u - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| 8 - 4 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| 2 u - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} \ln (4) + \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 4 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale