Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{6 - 4} - \frac{4}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 4}$

≈ 9,828

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 73 + $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 4}$ ≈ 82.83

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 45 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 4 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 4 - 5} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{12 - 5} - \frac{4}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{7} - \frac{4}{3} e^{- 2}$

≈ 1461,997

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 45 + $\frac{4}{3} e^{7} - \frac{4}{3} e^{- 2}$ ≈ 1507

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,3 x + 0,4} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,3 x + 0,4} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,3 x + 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,3 u + 0,4} + 6 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,4}$

= $- 6 e^{- 0,3 u + 0,4} + 6 e^{0 + 0,4}$

= $- 6 e^{- 0,3 u + 0,4} + 6 e^{0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,3 u + 0,4} + 6 e^{0,4}$	=	$1$	\| $- 6 e^{0,4}$
$- 6 e^{- 0,3 u + 0,4}$	=	$- 6 e^{0,4} + 1$
$- 6 e^{- 0,3 u + 0,4}$	=	$- 7,9509$	\|: $- 6$
$e^{- 0,3 u + 0,4}$	=	$1,3252$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,4$	=	$\ln (1,3252)$

$- 0,3 u + 0,4$	=	$0,2816$	\| $- 0,4$
$- 0,3 u$	=	$- 0,1184$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$0,3947$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 {(2 x - 5)}^{3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} 6 {(2 x - 5)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{3}{4} {(2 x - 5)}^{4}]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (\frac{3}{4} \cdot {(2 \cdot 5 - 5)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2 \cdot 0 - 5)}^{4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{3}{4} \cdot {(10 - 5)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(0 - 5)}^{4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{3}{4} \cdot 5^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 5)}^{4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{3}{4} \cdot 625 - \frac{3}{4} \cdot 625)$

= $\frac{1}{5} (\frac{1875}{4} - \frac{1875}{4})$

= $\frac{1}{5} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{x}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} \frac{1}{x} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} \frac{1}{x} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} x^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| x |)]}_{u}^{4}$

$=$ $\ln (| 4 |) - \ln (| u |)$

= $\ln (4) - \ln (| u |)$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\ln (| 4 |) - \ln (| x |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale