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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 22 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{1 - 1} - e^{0 - 1}$

= $e^{0} - e^{- 1}$

= $1 - e^{- 1}$

≈ 0,632

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 22 + $- e^{- 1} + 1$ ≈ 22.63

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 5} - \frac{3}{2} e^{0 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{- 1} - \frac{3}{2} e^{- 5}$

≈ 0,542

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 68 + $\frac{3}{2} e^{- 1} - \frac{3}{2} e^{- 5}$ ≈ 68.54

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,3 x + 0,5} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,3 x + 0,5} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,3 x + 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,3 u + 0,5} + 6 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,5}$

= $- 6 e^{- 0,3 u + 0,5} + 6 e^{0 + 0,5}$

= $- 6 e^{- 0,3 u + 0,5} + 6 e^{0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,3 u + 0,5} + 6 e^{0,5}$	=	$4$	\| $- 6 e^{0,5}$
$- 6 e^{- 0,3 u + 0,5}$	=	$- 6 e^{0,5} + 4$
$- 6 e^{- 0,3 u + 0,5}$	=	$- 5,8923$	\|: $- 6$
$e^{- 0,3 u + 0,5}$	=	$0,9821$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,5$	=	$\ln (0,9821)$

$- 0,3 u + 0,5$	=	$- 0,0181$	\| $- 0,5$
$- 0,3 u$	=	$- 0,5181$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$1,727$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $11$ und Minute $27$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{27 - 11}

\int_{11}^{27} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{16}

\int_{11}^{27} 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{16}$ ${[2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{27}$

= $\frac{1}{16}$ ${[2 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{27}$

$=$ $\frac{1}{16} (2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{11 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{16} (2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{1}{16} (2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 3^{3})$

= $\frac{1}{16} (2 \cdot 125 - 2 \cdot 27)$

= $\frac{1}{16} (250 - 54)$

= $\frac{1}{16} \cdot 196$

= $\frac{49}{4}$

= 12,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{3}{2} e^{0 + 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{3}{2} e^{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{3}{2} e^{2}$ → $0 + \frac{3}{2} e^{2}$ = $\frac{3}{2} e^{2}$ ≈ 11.084

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 11.084

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale