Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 12 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
4
3
ln(
|
3⋅3
-4
|
)
-
4
3
ln(
|
3⋅2
-4
|
)
=
4
3
ln(
|
9
-4
|
)
-
4
3
ln(
|
6
-4
|
)
=
4
3
ln(
5
)
-
4
3
ln(
|
6
-4
|
)
=
4
3
ln(
5
)
-
4
3
ln(
2
)
≈ 1,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 16 +
4
3
ln(
|
5
|
)
-
4
3
ln(
|
2
|
)
≈ 17.22
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass ∫ 1 u -6x ⅆ x = -123,75
Lösung einblenden
∫
1
u
-6x
ⅆ
x
=
[
-3
x
2
]
1
u
=
-3
u
2
+3⋅
1
2
=
-3
u
2
+3⋅1
=
-3
u
2
+3
|
-3
u
2
+3
|
= |
-123,75
|
|
-3
|
|
-3
u
2
|
= |
-126,75
|
|:
(
-3
)
|
|
u
2
|
= |
42,25
|
|
⋅2
|
| u1 |
= |
-
42,25
|
=
-6,5
|
| u2 |
= |
42,25
|
=
6,5
|
Da u=
-6,5
< 1 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2 x -3 zwischen 5 und 8.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
8
-5
∫
5
8
2
x
-3
ⅆ
x
=
1
3
∫
5
8
2
(
x
-3
)
-1
ⅆ
x
=
1
3
[
2
ln(
|
x
-3
|
)
]
5
8
=
1
3
(2
ln(
|
8
-3
|
)
-2
ln(
|
5
-3
|
)
)
=
1
3
(2
ln(
5
)
-2
ln(
|
5
-3
|
)
)
=
1
3
(2
ln(
5
)
-2
ln(
2
)
)
≈ 0,611
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 2x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 7 2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
7
2
u
-
3
2x
-3
ⅆ
x
=
∫
7
2
u
-3
(
2x
-3
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-3
(
2x
-3
)
1
2
]
7
2
u
=
[
-3
2x
-3
]
7
2
u
=
-3
2u
-3
+3
2⋅(
7
2
)
-3
=
-3
2u
-3
+3
7
-3
=
-3
2u
-3
+3
4
=
-3
2u
-3
+3⋅2
=
-3
2u
-3
+6
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-3
2u
-3
+6
→
-∞