Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
=
≈ 0,665
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 5 +
≈ 5.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 10 + = ≈ 50.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
9
|
=
-3
|
| u2 |
= |
9
|
=
3
|
Da u=
-3
< 2 ist u=
3
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ( 3x -4 ) 3 +3x (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
-2
∫
2
3
(
(
3x
-4
)
3
+3x
)
ⅆ
x
=
1
[
1
12
(
3x
-4
)
4
+
3
2
x
2
]
2
3
=
1
12
⋅
(
3⋅3
-4
)
4
+
3
2
⋅
3
2
- (
1
12
⋅
(
3⋅2
-4
)
4
+
3
2
⋅
2
2
)
=
1
12
⋅
(
9
-4
)
4
+
3
2
⋅9
- (
1
12
⋅
(
6
-4
)
4
+
3
2
⋅4
)
=
1
12
⋅
5
4
+
27
2
- (
1
12
⋅
2
4
+6
)
=
1
12
⋅625
+
27
2
- (
1
12
⋅16
+6
)
=
625
12
+
27
2
- (
4
3
+6
)
=
625
12
+
162
12
- (
4
3
+
18
3
)
=
787
12
-1
·
22
3
=
787
12
-
22
3
=
233
4
= 58,25
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 3x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 8 3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
8
3
u
2
3x
-4
ⅆ
x
=
∫
8
3
u
2
(
3x
-4
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
4
3
(
3x
-4
)
1
2
]
8
3
u
=
[
4
3
3x
-4
]
8
3
u
=
4
3
3u
-4
-
4
3
3⋅(
8
3
)
-4
=
4
3
3u
-4
-
4
3
8
-4
=
4
3
3u
-4
-
4
3
4
=
4
3
3u
-4
-
4
3
⋅2
=
4
3
3u
-4
-
8
3
Für u → ∞ gilt: A(u) =
4
3
3u
-4
-
8
3
→
∞