Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 3x -4 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 2 ( 3x -4 ) 4 x
= 3 4 2 ( 3x -4 ) -4 x

= [ - 2 9 ( 3x -4 ) -3 ] 3 4

= [ - 2 9 ( 3x -4 ) 3 ] 3 4

= - 2 9 ( 34 -4 ) 3 + 2 9 ( 33 -4 ) 3

= - 2 9 ( 12 -4 ) 3 + 2 9 ( 9 -4 ) 3

= - 2 9 8 3 + 2 9 5 3

= - 2 9 ( 1 512 ) + 2 9 ( 1 125 )

= - 1 2304 + 2 1125

= - 125 288000 + 512 288000

= 43 32000


≈ 0,001
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 14 + 43 32000 = 448.043 32000 ≈ 14

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -6 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5 s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 31 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 31 3 :
5 31 3 6 3x -6 x
= 5 31 3 6 ( 3x -6 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -6 ) 3 2 ] 5 31 3

= [ 4 3 ( 3x -6 ) 3 ] 5 31 3

= 4 3 ( 3( 31 3 ) -6 ) 3 - 4 3 ( 35 -6 ) 3

= 4 3 ( 31 -6 ) 3 - 4 3 ( 15 -6 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 3 3

= 4 3 125 - 4 3 27

= 500 3 -36

= 500 3 - 108 3

= 392 3


≈ 130,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 31 3 zusammen:
B = 8 + 392 3 = 416 3 ≈ 138.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 1,2 e 0,3x -0,4 x = 7

Lösung einblenden
0 u 1,2 e 0,3x -0,4 x

= [ 4 e 0,3x -0,4 ] 0 u

= 4 e 0,3u -0,4 -4 e 0,30 -0,4

= 4 e 0,3u -0,4 -4 e 0 -0,4

= 4 e 0,3u -0,4 -4 e -0,4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 e 0,3u -0,4 -4 e -0,4 = 7 | +4 e -0,4
4 e 0,3u -0,4 = 4 e -0,4 +7
4 e 0,3u -0,4 = 9,6813 |:4
e 0,3u -0,4 = 2,4203 |ln(⋅)
0,3u -0,4 = ln( 2,4203 )
0,3u -0,4 = 0,8839 | +0,4
0,3u = 1,2839 |:0,3
u = 4,2797

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 sin( 2x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 2 π+0 0 1 2 π 3 sin( 2x + π) x

= 2 π [ - 3 2 cos( 2x + π) ] 0 1 2 π

= 2 π · ( - 3 2 cos( 2( 1 2 π ) + π) + 3 2 cos( 2( 0 ) + π) )

= 2 π · ( - 3 2 cos(2π) + 3 2 cos(π) )

= 2 π · ( - 3 2 1 + 3 2 ( -1 ) )

= 2 π · ( - 3 2 - 3 2 )

= 2 π · ( -1,5 -1,5 )

= 2 π · ( -3 )

= - 6 π


≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( x -3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 3 ( x -3 ) 3 x
= 4 u 3 ( x -3 ) -3 x

= [ - 3 2 ( x -3 ) -2 ] 4 u

= [ - 3 2 ( x -3 ) 2 ] 4 u

= - 3 2 ( u -3 ) 2 + 3 2 ( 4 -3 ) 2

= - 3 2 ( u -3 ) 2 + 3 2 1 2

= - 3 2 ( u -3 ) 2 + 3 2 1

= - 3 2 ( u -3 ) 2 + 3 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 2 ( u -3 ) 2 + 3 2 0 + 3 2 = 3 2 ≈ 1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5