Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 3 e 2x -3 x

= [ 3 2 e 2x -3 ] 2 5

= 3 2 e 25 -3 - 3 2 e 22 -3

= 3 2 e 10 -3 - 3 2 e 4 -3

= 3 2 e 7 - 3 2 e 1

= 3 2 e 7 - 3 2 e


≈ 1640,872
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 71 + 3 2 e 7 - 3 2 e ≈ 1711.87

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 2 x -3 x
= 19 28 2 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 4 3 ( 28 -3 ) 3 - 4 3 ( 19 -3 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 20 + 244 3 = 304 3 ≈ 101.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 4x -2 ) x = 60

Lösung einblenden
1 u ( 4x -2 ) x

= [ 2 x 2 -2x ] 1 u

= 2 u 2 -2u - ( 2 1 2 -21 )

= 2 u 2 -2u - ( 21 -2 )

= 2 u 2 -2u - ( 2 -2 )

= 2 u 2 -2u -1 · 0

= 2 u 2 -2u +0

= 2 u 2 -2u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 60 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 -2u = 60 | -60
2 u 2 -2u -60 = 0 |:2

u 2 - u -30 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -30 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +120 2

u1,2 = +1 ± 121 2

u1 = 1 + 121 2 = 1 +11 2 = 12 2 = 6

u2 = 1 - 121 2 = 1 -11 2 = -10 2 = -5

Da u= -5 < 1 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 sin( 3x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 0 π 3 sin( 3x + π) x

= 1 π [ - cos( 3x + π) ] 0 π

= 1 π · ( - cos( 3π + π) + cos( 3( 0 ) + π) )

= 1 π · ( - cos(4π) + cos(π) )

= 1 π · ( -1 -1 )

= -1 -1 π

= -2 π

= - 2 π


≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( x -3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 3 ( x -3 ) 3 x
= 4 u -3 ( x -3 ) -3 x

= [ 3 2 ( x -3 ) -2 ] 4 u

= [ 3 2 ( x -3 ) 2 ] 4 u

= 3 2 ( u -3 ) 2 - 3 2 ( 4 -3 ) 2

= 3 2 ( u -3 ) 2 - 3 2 1 2

= 3 2 ( u -3 ) 2 - 3 2 1

= 3 2 ( u -3 ) 2 - 3 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2 ( u -3 ) 2 - 3 2 0 - 3 2 = - 3 2 ≈ -1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5