Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 4,701
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 10 +
≈ 14.7
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
2
ln(
|
3⋅5
-6
|
)
-2
ln(
|
3⋅3
-6
|
)
=
2
ln(
|
15
-6
|
)
-2
ln(
|
9
-6
|
)
=
2
ln(
9
)
-2
ln(
|
9
-6
|
)
=
2
ln(
9
)
-2
ln(
3
)
≈ 2,197
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 7 +
2
ln(
|
9
|
)
-2
ln(
|
3
|
)
≈ 9.2
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass ∫ 3 u 8x ⅆ x = 405
Lösung einblenden
∫
3
u
8x
ⅆ
x
=
[
4
x
2
]
3
u
=
4
u
2
-4⋅
3
2
=
4
u
2
-4⋅9
=
4
u
2
-36
|
4
u
2
-36
|
= |
405
|
|
+36
|
|
4
u
2
|
= |
441
|
|:4
|
|
u
2
|
= |
441
4
|
|
⋅2
|
| u1 |
= |
-
441
4
|
=
-
21
2
|
| u2 |
= |
441
4
|
=
21
2
|
Da u=
-
21
2
< 3 ist u=
21
2
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2⋅ cos( x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
3
2
π
2⋅
cos(
x
-
3
2
π)
ⅆ
x
=
1
π
[
2⋅
sin(
x
-
3
2
π)
]
1
2
π
3
2
π
=
1
π
·
(
2⋅
sin(
3
2
π
-
3
2
π)
-2⋅
sin(
1
2
π
-
3
2
π)
)
=
1
π
·
(
2⋅
sin(0)
-2⋅
sin(-π)
)
=
1
π
·
(
2⋅0
-2⋅0
)
=
1
π
·
(
0+0
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 -3x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
2
-3x
+3
ⅆ
x
=
∫
2
u
2
(
-3x
+3
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
2
3
ln(
|
-3x
+3
|
)
]
2
u
=
-
2
3
ln(
|
-3(
u
)
+3
|
)
+
2
3
ln(
|
-3⋅2
+3
|
)
=
-
2
3
ln(
|
-3u
+3
|
)
+
2
3
ln(
|
-6
+3
|
)
=
-
2
3
ln(
|
-3u
+3
|
)
+
2
3
ln(
3
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
3
ln(
3
)
-
2
3
ln(
|
-3x
+3
|
)
→
∞