Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(x - 2)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{2}{{(x - 2)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 2 {(x - 2)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(x - 2)}^{- 3}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{2}{3 {(x - 2)}^{3}}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{2}{3 {(6 - 2)}^{3}} + \frac{2}{3 {(3 - 2)}^{3}}$

= $- \frac{2}{3 \cdot 4^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{2}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{96} + \frac{2}{3}$

= $- \frac{1}{96} + \frac{64}{96}$

= $\frac{21}{32}$

≈ 0,656

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 9 + $\frac{21}{32}$ = $\frac{309}{32}$ ≈ 9.66

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} e^{x - 3} ⅆ x

= ${[e^{x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{4 - 3} - e^{2 - 3}$

= $e^{1} - e^{- 1}$

= $e - e^{- 1}$

≈ 2,35

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 25 + $- e^{- 1} + e$ ≈ 27.35

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,6 e^{- 0,4 x + 0,8} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,6 e^{- 0,4 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,4 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,4 u + 0,8} + 4 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 4 e^{- 0,4 u + 0,8} + 4 e^{0 + 0,8}$

= $- 4 e^{- 0,4 u + 0,8} + 4 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,4 u + 0,8} + 4 e^{0,8}$	=	$2$	\| $- 4 e^{0,8}$
$- 4 e^{- 0,4 u + 0,8}$	=	$- 4 e^{0,8} + 2$
$- 4 e^{- 0,4 u + 0,8}$	=	$- 6,9022$	\|: $- 4$
$e^{- 0,4 u + 0,8}$	=	$1,7256$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,8$	=	$\ln (1,7256)$

$- 0,4 u + 0,8$	=	$0,5456$	\| $- 0,8$
$- 0,4 u$	=	$- 0,2544$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$0,636$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{2 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} \frac{3}{2 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{2}^{5} 3 {(2 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 3 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 5 - 3 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 2 - 3 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} \ln (| 10 - 3 |) - \frac{3}{2} \ln (| 4 - 3 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} \ln (7) - \frac{3}{2} \ln (| 4 - 3 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} \ln (7) - \frac{3}{2} \ln (1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} \ln (7) + 0)$

= $\frac{1}{2} \ln (7)$

≈ 0,973

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 (3 x - 3)}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 (3 u - 3)} + \frac{1}{3 (3 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 3)} + \frac{1}{3 (6 - 3)}$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 3)} + \frac{1}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 3)} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 3)} + \frac{1}{9}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 (3 u - 3)} + \frac{1}{9}$ → $0 + \frac{1}{9}$ = $\frac{1}{9}$ ≈ 0.111

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.111

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale