Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 2)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{3}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 3 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 2)}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 6 - 2)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 2)}$

= $- \frac{3}{2 (12 - 2)} + \frac{3}{2 (6 - 2)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 10} + \frac{3}{2 \cdot 4}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{10}) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{20} + \frac{3}{8}$

= $- \frac{6}{40} + \frac{15}{40}$

= $\frac{9}{40}$

= 0,225

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 9 + $\frac{9}{40}$ = $\frac{369}{40}$ ≈ 9.23

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{6 - 4} - \frac{2}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e^{- 4}$

≈ 4,914

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 46 + $\frac{2}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e^{- 4}$ ≈ 50.91

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,6 e^{- 0,2 x + 0,2} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,6 e^{- 0,2 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,2 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,2 u + 0,2} + 3 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 3 e^{- 0,2 u + 0,2} + 3 e^{0 + 0,2}$

= $- 3 e^{- 0,2 u + 0,2} + 3 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,2 u + 0,2} + 3 e^{0,2}$	=	$2$	\| $- 3 e^{0,2}$
$- 3 e^{- 0,2 u + 0,2}$	=	$- 3 e^{0,2} + 2$
$- 3 e^{- 0,2 u + 0,2}$	=	$- 1,6642$	\|: $- 3$
$e^{- 0,2 u + 0,2}$	=	$0,5547$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,2$	=	$\ln (0,5547)$

$- 0,2 u + 0,2$	=	$- 0,5893$	\| $- 0,2$
$- 0,2 u$	=	$- 0,7893$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$3,9465$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(3 x - 3)}^{2} + 2$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} ({(3 x - 3)}^{2} + 2) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{9} {(3 x - 3)}^{3} + 2 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 3)}^{3} + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{3} + 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{9} \cdot {(3 - 3)}^{3} + 2 - (\frac{1}{9} \cdot {(0 - 3)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{9} \cdot 0^{3} + 2 - (\frac{1}{9} \cdot {(- 3)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{9} \cdot 0 + 2 - (\frac{1}{9} \cdot (- 27) + 0)$

= $0 + 2 - (- 3 + 0)$

= $2 + 3$

= $5$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- 2 x + 4)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{{(- 2 x + 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(- 2 x + 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(- 2 x + 4)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{3}{2 (- 2 x + 4)}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} + \frac{3}{2 (- 2 \cdot 3 + 4)}$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} + \frac{3}{2 (- 6 + 4)}$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} + \frac{3}{2 (- 2)}$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} - \frac{3}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} - \frac{3}{4}$ → $0 - \frac{3}{4}$ = $- \frac{3}{4}$ ≈ -0.75

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.75

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale