Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 2,344
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 16 + = ≈ 18.34
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 2,35
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 12 +
≈ 14.35
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
0 |
|:5 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
10
-2
=
-5
u2 =
1
-
81
-2
=
1
-9
-2
=
-8
-2
=
4
Da u=
-5
< 1 ist u=
4
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 e 2x -4 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
+0
∫
0
3
3
e
2x
-4
ⅆ
x
=
1
3
[
3
2
e
2x
-4
]
0
3
=
1
3
(
3
2
e
2⋅3
-4
-
3
2
e
2⋅0
-4
)
=
1
3
(
3
2
e
6
-4
-
3
2
e
0
-4
)
=
1
3
(
3
2
e
2
-
3
2
e
-4
)
≈ 3,685
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -1 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
(
2x
-1
)
2
ⅆ
x
=
∫
2
u
3
(
2x
-1
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
3
2
(
2x
-1
)
-1
]
2
u
=
[
-
3
2(
2x
-1
)
]
2
u
=
-
3
2(
2u
-1
)
+
3
2(
2⋅2
-1
)
=
-
3
2(
2u
-1
)
+
3
2(
4
-1
)
=
-
3
2(
2u
-1
)
+
3
2⋅
3
=
-
3
2(
2u
-1
)
+
3
2
⋅(
1
3
)
=
-
3
2(
2u
-1
)
+
1
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
2(
2u
-1
)
+
1
2
→
0
+
1
2
=
1
2
≈ 0.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5