Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 63 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $5 e^{2 - 1} - 5 e^{1 - 1}$

= $5 e^{1} - 5 e^{0}$

= $5 e - 5$

≈ 8,591

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 63 + $- 5 + 5 e$ ≈ 71.59

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{3}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 3 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| 3 x - 3 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $\ln (| 3 \cdot 4 - 3 |) - \ln (| 3 \cdot 2 - 3 |)$

= $\ln (| 12 - 3 |) - \ln (| 6 - 3 |)$

= $\ln (9) - \ln (| 6 - 3 |)$

= $\ln (9) - \ln (3)$

≈ 1,099

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 19 + $\ln (| 9 |) - \ln (| 3 |)$ ≈ 20.1

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,9 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,9 u + 0,7} + e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,7}$

= $- e^{- 0,9 u + 0,7} + e^{0 + 0,7}$

= $- e^{- 0,9 u + 0,7} + e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,9 u + 0,7} + e^{0,7}$	=	$1$	\| $- e^{0,7}$
$- e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- e^{0,7} + 1$
$- e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 1,0138$	\|: $- 1$
$e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$1,0138$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,7$	=	$\ln (1,0138)$

$- 0,9 u + 0,7$	=	$0,0137$	\| $- 0,7$
$- 0,9 u$	=	$- 0,6863$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,7626$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 3}

\int_{3}^{4} \frac{6}{x - 2} ⅆ x

=

1

\int_{3}^{4} 6 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[6 \ln (| x - 2 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $6 \ln (| 4 - 2 |) - 6 \ln (| 3 - 2 |)$

= $6 \ln (2) - 6 \ln (| 3 - 2 |)$

= $6 \ln (2) - 6 \ln (1)$

= $6 \ln (2) + 0$

= $6 \ln (2)$

≈ 4,159

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} \frac{3}{{(2 x)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} \frac{3}{4 x^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} \frac{3}{4} x^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} x^{- 1}]}_{u}^{2}$

= ${[- \frac{3}{4 x}]}_{u}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{4 \cdot 2} + \frac{3}{4 u}$

= $- \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{2}) + \frac{3}{4 u}$

= $- \frac{3}{8} + \frac{3}{4 u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{3}{8} + \frac{3}{4 u}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale