Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 26,714
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 7 +
≈ 33.71
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,028
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 17 + = ≈ 17.03
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
18
4
=
4,5
u2 =
-5
-
529
4
=
-5
-23
4
=
-28
4
=
-7
Da u=
-7
< 3 ist u=
4,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= cos( 3x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π+0
∫
0
π
cos(
3x
- π)
ⅆ
x
=
1
π
[
1
3
⋅
sin(
3x
- π)
]
0
π
=
1
π
·
(
1
3
⋅
sin(
3⋅π
- π)
-
1
3
⋅
sin(
3⋅( 0 )
- π)
)
=
1
π
·
(
1
3
⋅
sin(2π)
-
1
3
⋅
sin(-π)
)
=
1
π
·
(
1
3
⋅0
-
1
3
⋅0
)
=
1
π
·
(
0+0
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -5 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
1
(
2x
-5
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
(
2x
-5
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
4
(
2x
-5
)
-2
]
3
u
=
[
-
1
4
(
2x
-5
)
2
]
3
u
=
-
1
4
(
2u
-5
)
2
+
1
4
(
2⋅3
-5
)
2
=
-
1
4
(
2u
-5
)
2
+
1
4
(
6
-5
)
2
=
-
1
4
(
2u
-5
)
2
+
1
4⋅
1
2
=
-
1
4
(
2u
-5
)
2
+
1
4
⋅1
=
-
1
4
(
2u
-5
)
2
+
1
4
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
4
(
2u
-5
)
2
+
1
4
→
0
+
1
4
=
1
4
≈ 0.25
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25