Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 5 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $5 e^{2 - 3} - 5 e^{0 - 3}$

= $5 e^{- 1} - 5 e^{- 3}$

≈ 1,59

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 12 + $5 e^{- 1} - 5 e^{- 3}$ ≈ 13.59

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $3 e^{3 - 1} - 3 e^{2 - 1}$

= $3 e^{2} - 3 e^{1}$

= $3 e^{2} - 3 e$

≈ 14,012

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 13 + $3 e^{2} - 3 e$ ≈ 27.01

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,5 e^{- 0,9 x + 0,3} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,5 e^{- 0,9 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,9 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,9 u + 0,3} + 5 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,3}$

= $- 5 e^{- 0,9 u + 0,3} + 5 e^{0 + 0,3}$

= $- 5 e^{- 0,9 u + 0,3} + 5 e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,9 u + 0,3} + 5 e^{0,3}$	=	$2$	\| $- 5 e^{0,3}$
$- 5 e^{- 0,9 u + 0,3}$	=	$- 5 e^{0,3} + 2$
$- 5 e^{- 0,9 u + 0,3}$	=	$- 4,7493$	\|: $- 5$
$e^{- 0,9 u + 0,3}$	=	$0,9499$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,3$	=	$\ln (0,9499)$

$- 0,9 u + 0,3$	=	$- 0,0514$	\| $- 0,3$
$- 0,9 u$	=	$- 0,3514$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,3904$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 3}$ zwischen $6$ und $14$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{14 - 6}

\int_{6}^{14} 5 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{8}

\int_{6}^{14} 5 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{8}$ ${[\frac{5}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{14}$

= $\frac{1}{8}$ ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{14}$

$=$ $\frac{1}{8} (\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{8} (\frac{5}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{8} (\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{1}{8} (\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{1}{8} (\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 27)$

= $\frac{1}{8} (\frac{625}{3} - 45)$

= $\frac{1}{8} (\frac{625}{3} - \frac{135}{3})$

= $\frac{1}{8} \cdot \frac{490}{3}$

= $\frac{245}{12}$

≈ 20,417

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} \frac{3}{- x + 3} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} 3 {(- x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 3 \ln (| - x + 3 |)]}_{5}^{u}$

$=$ $- 3 \ln (| - (u) + 3 |) + 3 \ln (| - 5 + 3 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 3 |) + 3 \ln (| - 5 + 3 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 3 |) + 3 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (2) - 3 \ln (| - x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale