Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
=
=
=
=
=
=
= 0,3
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7
zusammen:
B = 19 + = ≈ 19.3
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
≈ 10,332
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 14 +
≈ 24.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
89
-10
=
-8,9
u2 =
-3
-
8464
-10
=
-3
-92
-10
=
-95
-10
=
9,5
Da u=
-8,9
< 3 ist u=
9,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3x -5 zwischen 7 und 10 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
10
-7
∫
7
10
3x
-5
ⅆ
x
=
1
3
∫
7
10
(
3x
-5
)
1
2
ⅆ
x
=
1
3
[
2
9
(
3x
-5
)
3
2
]
7
10
=
1
3
[
2
9
(
3x
-5
)
3
]
7
10
=
1
3
(
2
9
(
3⋅10
-5
)
3
-
2
9
(
3⋅7
-5
)
3
)
=
1
3
(
2
9
(
30
-5
)
3
-
2
9
(
21
-5
)
3
)
=
1
3
(
2
9
(
25
)
3
-
2
9
(
16
)
3
)
=
1
3
(
2
9
⋅
5
3
-
2
9
⋅
4
3
)
=
1
3
(
2
9
⋅125
-
2
9
⋅64
)
=
1
3
(
250
9
-
128
9
)
=
1
3
·
122
9
=
122
27
≈ 4,519
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
-
2
2x
-1
ⅆ
x
=
∫
2
u
-2
(
2x
-1
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
ln(
|
2x
-1
|
)
]
2
u
=
-
ln(
|
2(
u
)
-1
|
)
+
ln(
|
2⋅2
-1
|
)
=
-
ln(
|
2u
-1
|
)
+
ln(
|
4
-1
|
)
=
-
ln(
|
2u
-1
|
)
+
ln(
3
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
ln(
3
)
-
ln(
|
2x
-1
|
)
→
∞