Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -4 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
3 5 2 ( 2x -4 ) 4 x
= 3 5 2 ( 2x -4 ) -4 x

= [ - 1 3 ( 2x -4 ) -3 ] 3 5

= [ - 1 3 ( 2x -4 ) 3 ] 3 5

= - 1 3 ( 25 -4 ) 3 + 1 3 ( 23 -4 ) 3

= - 1 3 ( 10 -4 ) 3 + 1 3 ( 6 -4 ) 3

= - 1 3 6 3 + 1 3 2 3

= - 1 3 ( 1 216 ) + 1 3 ( 1 8 )

= - 1 648 + 1 24

= - 1 648 + 27 648

= 13 324


≈ 0,04
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 8 + 13 324 = 2605 324 ≈ 8.04

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 3 e x -1 x

= [ 3 e x -1 ] 1 2

= 3 e 2 -1 -3 e 1 -1

= 3 e 1 -3 e 0

= 3e -3


≈ 5,155
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 9 + -3 +3e ≈ 14.15

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( -10x -3 ) x = -38

Lösung einblenden
3 u ( -10x -3 ) x

= [ -5 x 2 -3x ] 3 u

= -5 u 2 -3u - ( -5 3 2 -33 )

= -5 u 2 -3u - ( -59 -9 )

= -5 u 2 -3u - ( -45 -9 )

= -5 u 2 -3u -1 · ( -54 )

= -5 u 2 -3u +54

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -38 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 -3u +54 = -38 | +38

-5 u 2 -3u +92 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · ( -5 ) · 92 2( -5 )

u1,2 = +3 ± 9 +1840 -10

u1,2 = +3 ± 1849 -10

u1 = 3 + 1849 -10 = 3 +43 -10 = 46 -10 = -4,6

u2 = 3 - 1849 -10 = 3 -43 -10 = -40 -10 = 4

Da u= -4,6 < 3 ist u= 4 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 3x -3 ) 2 +3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 ( 4 ( 3x -3 ) 2 +3 ) x

= 1 3 [ 4 9 ( 3x -3 ) 3 +3x ] 0 3

= 1 3 ( 4 9 ( 33 -3 ) 3 +33 - ( 4 9 ( 30 -3 ) 3 +30 ))

= 1 3 ( 4 9 ( 9 -3 ) 3 +9 - ( 4 9 ( 0 -3 ) 3 +0))

= 1 3 ( 4 9 6 3 +9 - ( 4 9 ( -3 ) 3 +0))

= 1 3 ( 4 9 216 +9 - ( 4 9 ( -27 ) +0))

= 1 3 ( 96 +9 - ( -12 +0))

= 1 3 ( 105 +12 )

= 1 3 · 117

= 39

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 2 2x -3 x
= 3 u -2 ( 2x -3 ) -1 x

= [ - ln( | 2x -3 | ) ] 3 u

= - ln( | 2( u ) -3 | ) + ln( | 23 -3 | )

= - ln( | 2u -3 | ) + ln( | 6 -3 | )

= - ln( | 2u -3 | ) + ln( 3 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( 3 ) - ln( | 2x -3 | )