Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 8 3 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 29 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 8 3 und 29 3 :
8 3 29 3 2 3x -4 x
= 8 3 29 3 2 ( 3x -4 ) 1 2 x

= [ 4 9 ( 3x -4 ) 3 2 ] 8 3 29 3

= [ 4 9 ( 3x -4 ) 3 ] 8 3 29 3

= 4 9 ( 3( 29 3 ) -4 ) 3 - 4 9 ( 3( 8 3 ) -4 ) 3

= 4 9 ( 29 -4 ) 3 - 4 9 ( 8 -4 ) 3

= 4 9 ( 25 ) 3 - 4 9 ( 4 ) 3

= 4 9 5 3 - 4 9 2 3

= 4 9 125 - 4 9 8

= 500 9 - 32 9

= 52

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 8 3 und der Änderung zwischen 8 3 und 29 3 zusammen:
B = 12 + 52 = 64

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -5 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
3 5 3 ( 3x -5 ) 2 x
= 3 5 3 ( 3x -5 ) -2 x

= [ - ( 3x -5 ) -1 ] 3 5

= [ - 1 3x -5 ] 3 5

= - 1 35 -5 + 1 33 -5

= - 1 15 -5 + 1 9 -5

= - 1 10 + 1 4

= -( 1 10 ) + 1 4

= 3 20


= 0,15
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 19 + 3 20 = 383 20 ≈ 19.15

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( 10x +3 ) x = 38,75

Lösung einblenden
0 u ( 10x +3 ) x

= [ 5 x 2 +3x ] 0 u

= 5 u 2 +3u - ( 5 0 2 +30 )

= 5 u 2 +3u - ( 50 +0)

= 5 u 2 +3u - (0+0)

= 5 u 2 +3u +0

= 5 u 2 +3u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 38,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 +3u = 38,75 | -38,75

5 u 2 +3u -38,75 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 5 · ( -38,75 ) 25

u1,2 = -3 ± 9 +775 10

u1,2 = -3 ± 784 10

u1 = -3 + 784 10 = -3 +28 10 = 25 10 = 2,5

u2 = -3 - 784 10 = -3 -28 10 = -31 10 = -3,1

Da u= -3,1 < 0 ist u= 2,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 sin( x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 0 π 3 sin( x + 1 2 π) x

= 1 π [ -3 cos( x + 1 2 π) ] 0 π

= 1 π · ( -3 cos( π + 1 2 π) +3 cos( 0 + 1 2 π) )

= 1 π · ( -3 cos( 3 2 π) +3 cos( 1 2 π) )

= 1 π · ( -30 +30 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( 2x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 1 ( 2x -3 ) 2 x
= 2 u - ( 2x -3 ) -2 x

= [ 1 2 ( 2x -3 ) -1 ] 2 u

= [ 1 2( 2x -3 ) ] 2 u

= 1 2( 2u -3 ) - 1 2( 22 -3 )

= 1 2( 2u -3 ) - 1 2( 4 -3 )

= 1 2( 2u -3 ) - 1 2

= 1 2( 2u -3 ) - 1 2 1

= 1 2( 2u -3 ) - 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2( 2u -3 ) - 1 2 0 - 1 2 = - 1 2 ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5