Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 6 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $4 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 4 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3}$

= $4 \cdot 125 - 4 \cdot 64$

= $500 - 256$

= $244$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 17 + $244$ = $261$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 6 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 3 - 1} - 3 e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $3 e^{6 - 1} - 3 e^{2 - 1}$

= $3 e^{5} - 3 e^{1}$

= $3 e^{5} - 3 e$

≈ 437,085

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 11 + $3 e^{5} - 3 e$ ≈ 448.08

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,6 x - 0,7} ⅆ x$ = $9$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,6 x - 0,7} ⅆ x

= ${[2 e^{0,6 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,6 u - 0,7} - 2 e^{0,6 \cdot 0 - 0,7}$

= $2 e^{0,6 u - 0,7} - 2 e^{0 - 0,7}$

= $2 e^{0,6 u - 0,7} - 2 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,6 u - 0,7} - 2 e^{- 0,7}$	=	$9$	\| $+ 2 e^{- 0,7}$
$2 e^{0,6 u - 0,7}$	=	$2 e^{- 0,7} + 9$
$2 e^{0,6 u - 0,7}$	=	$9,9932$	\|: $2$
$e^{0,6 u - 0,7}$	=	$4,9966$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,7$	=	$\ln (4,9966)$

$0,6 u - 0,7$	=	$1,6088$	\| $+ 0,7$
$0,6 u$	=	$2,3088$	\|: $0,6$
$u$	=	$3,848$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $18$ und Minute $27$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{27 - 18}

\int_{18}^{27} 6 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{18}^{27} 6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[4 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= $\frac{1}{9}$ ${[4 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{1}{9} (4 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 4 {(\sqrt{18 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 \cdot 125 - 4 \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (500 - 256)$

= $\frac{1}{9} \cdot 244$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $7,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{7,5} \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{7,5} {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{7,5}$

= ${[\sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{7,5}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 7,5 - 6} - \sqrt{2 u - 6}$

= $\sqrt{15 - 6} - \sqrt{2 u - 6}$

= $\sqrt{9} - \sqrt{2 u - 6}$

= $3 - \sqrt{2 u - 6}$

= $- \sqrt{2 u - 6} + 3$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 6} + 3$ → $0 + 3$ = $3$ ≈ 3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale