Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{3}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 3 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 3)}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 5 - 3)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{3}{2 (10 - 3)} + \frac{3}{2 (4 - 3)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 7} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{7}) + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{14} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{14} + \frac{21}{14}$

= $\frac{9}{7}$

≈ 1,286

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 15 + $\frac{9}{7}$ = $\frac{114}{7}$ ≈ 16.29

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $6 e^{3 - 3} - 6 e^{2 - 3}$

= $6 e^{0} - 6 e^{- 1}$

= $6 - 6 e^{- 1}$

≈ 3,793

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 37 + $- 6 e^{- 1} + 6$ ≈ 40.79

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,6 x - 0,3} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,6 x - 0,3} ⅆ x

= ${[2 e^{0,6 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,6 u - 0,3} - 2 e^{0,6 \cdot 0 - 0,3}$

= $2 e^{0,6 u - 0,3} - 2 e^{0 - 0,3}$

= $2 e^{0,6 u - 0,3} - 2 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,6 u - 0,3} - 2 e^{- 0,3}$	=	$7$	\| $+ 2 e^{- 0,3}$
$2 e^{0,6 u - 0,3}$	=	$2 e^{- 0,3} + 7$
$2 e^{0,6 u - 0,3}$	=	$8,4816$	\|: $2$
$e^{0,6 u - 0,3}$	=	$4,2408$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,3$	=	$\ln (4,2408)$

$0,6 u - 0,3$	=	$1,4448$	\| $+ 0,3$
$0,6 u$	=	$1,7448$	\|: $0,6$
$u$	=	$2,908$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 {(2 x - 2)}^{3} + 5$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (6 {(2 x - 2)}^{3} + 5) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{3}{4} {(2 x - 2)}^{4} + 5 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(2 \cdot 3 - 2)}^{4} + 5 \cdot 3 - (\frac{3}{4} \cdot {(2 \cdot 0 - 2)}^{4} + 5 \cdot 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(6 - 2)}^{4} + 15 - (\frac{3}{4} \cdot {(0 - 2)}^{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 4^{4} + 15 - (\frac{3}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 256 + 15 - (\frac{3}{4} \cdot 16 + 0))$

= $\frac{1}{3} (192 + 15 - (12 + 0))$

= $\frac{1}{3} (207 - 12)$

= $\frac{1}{3} \cdot 195$

= $65$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{- 2 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{1}{- 2 x + 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - {(- 2 x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \ln (| - 2 x + 3 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} \ln (| - 2 (u) + 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| - 2 \cdot 2 + 3 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| - 2 u + 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| - 4 + 3 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| - 2 u + 3 |) - \frac{1}{2} \ln (1)$

= $\frac{1}{2} \ln (| - 2 u + 3 |) + 0$

= $\frac{1}{2} \ln (| - 2 x + 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} \ln (| - 2 x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale