= ${\left[2e^{2x-1}\right]}_0^1$

$=$ $2e^{2\cdot 1-1}-2e^{2\cdot 0-1}$

= $2e^{2-1}-2e^{0-1}$

= $2e^1-2e^{-1}$

= $2e-2e^{-1}$

= ${\left[e^{x-2}\right]}_0^3$

$=$ $e^{3-2}-e^{0-2}$

= $e^1-e^{-2}$

= $e-e^{-2}$

= ${\left[3e^{\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,1}}\right]}_0^u$

$=$ $3e^{\mathrm{0,9}u-\mathrm{0,1}}-3e^{\mathrm{0,9}\cdot 0-\mathrm{0,1}}$

= $3e^{\mathrm{0,9}u-\mathrm{0,1}}-3e^{0-\mathrm{0,1}}$

= $3e^{\mathrm{0,9}u-\mathrm{0,1}}-3e^{-\mathrm{0,1}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{5}{9}{\left(3x-7\right)}^3+4x\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}(\frac{5}{9}\cdot {\left(3\cdot 3-7\right)}^3+4\cdot 3-\left(\frac{5}{9}\cdot {\left(3\cdot 0-7\right)}^3+4\cdot 0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{5}{9}\cdot {\left(9-7\right)}^3+12-\left(\frac{5}{9}\cdot {\left(0-7\right)}^3+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{5}{9}\cdot 2^3+12-\left(\frac{5}{9}\cdot {\left(-7\right)}^3+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{5}{9}\cdot 8+12-\left(\frac{5}{9}\cdot \left(-343\right)+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{40}{9}+12-\left(-\frac{1715}{9}+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{40}{9}+\frac{108}{9}-\left(-\frac{1715}{9}+0\right))$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{148}{9}+\frac{1715}{9}\right)$

= $\frac{1}{3}·207$

= $69$

= ${\left[2{\left(x-3\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{19}$

= ${\left[2\sqrt{x-3}\right]}_u^{19}$

$=$ $2\sqrt{19-3}-2\sqrt{u-3}$

= $2\sqrt{16}-2\sqrt{u-3}$

= $2\cdot 4-2\sqrt{u-3}$

= $8-2\sqrt{u-3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $-2\sqrt{u-3}+8$ → $0+8$ = $8$ ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8