Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 2)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{4}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 4 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{2}{2 x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{2 \cdot 5 - 2} + \frac{2}{2 \cdot 2 - 2}$

= $- \frac{2}{10 - 2} + \frac{2}{4 - 2}$

= $- \frac{2}{8} + \frac{2}{2}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{8}) + 2 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{4} + 1$

= $- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

= $\frac{3}{4}$

= 0,75

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 3 + $\frac{3}{4}$ = $\frac{15}{4}$ ≈ 3.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 4)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{5}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 5 {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{5}{2 (2 x - 4)}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{2 (2 \cdot 5 - 4)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 3 - 4)}$

= $- \frac{5}{2 (10 - 4)} + \frac{5}{2 (6 - 4)}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 6} + \frac{5}{2 \cdot 2}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{6}) + \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{5}{12} + \frac{5}{4}$

= $- \frac{5}{12} + \frac{15}{12}$

= $\frac{5}{6}$

≈ 0,833

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 8 + $\frac{5}{6}$ = $\frac{53}{6}$ ≈ 8.83

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 10 x + 5) ⅆ x$ = $- 60$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 10 x + 5) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} + 5 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 u - (- 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $- 5 u^{2} + 5 u - (- 5 \cdot 1 + 5)$

= $- 5 u^{2} + 5 u - (- 5 + 5)$

= $- 5 u^{2} + 5 u - 1 \cdot 0$

= $- 5 u^{2} + 5 u + 0$

= $- 5 u^{2} + 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 60$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} + 5 u

=

- 60

|

+ 60

- 5 u^{2} + 5 u + 60

= 0 |:5

$- u^{2} + u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Da u= $- 3$ < 1 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \cos (2 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 6 \cdot \cos (2 x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[3 \cdot \sin (2 x - π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π) - 3 \cdot \sin (2 \cdot (0) - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot 0 - 3 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $11$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{11} - \frac{2}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{11} - 2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{11}$

= ${[- 4 \sqrt{x - 2}]}_{u}^{11}$

$=$ $- 4 \sqrt{11 - 2} + 4 \sqrt{u - 2}$

= $- 4 \sqrt{9} + 4 \sqrt{u - 2}$

= $- 4 \cdot 3 + 4 \sqrt{u - 2}$

= $- 12 + 4 \sqrt{u - 2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $4 \sqrt{u - 2} - 12$ → $0 - 12$ = $- 12$ ≈ -12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale