Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 42 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $5 e^{2 - 1} - 5 e^{1 - 1}$

= $5 e^{1} - 5 e^{0}$

= $5 e - 5$

≈ 8,591

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 42 + $- 5 + 5 e$ ≈ 50.59

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 2)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{2}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 2 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{1}{2 x - 2}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{2 \cdot 6 - 2} + \frac{1}{2 \cdot 3 - 2}$

= $- \frac{1}{12 - 2} + \frac{1}{6 - 2}$

= $- \frac{1}{10} + \frac{1}{4}$

= $- (\frac{1}{10}) + \frac{1}{4}$

= $\frac{3}{20}$

= 0,15

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 15 + $\frac{3}{20}$ = $\frac{303}{20}$ ≈ 15.15

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} e^{- 0,2 x + 0,9} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} e^{- 0,2 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,2 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,2 u + 0,9} + 5 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 5 e^{- 0,2 u + 0,9} + 5 e^{0 + 0,9}$

= $- 5 e^{- 0,2 u + 0,9} + 5 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,2 u + 0,9} + 5 e^{0,9}$	=	$3$	\| $- 5 e^{0,9}$
$- 5 e^{- 0,2 u + 0,9}$	=	$- 5 e^{0,9} + 3$
$- 5 e^{- 0,2 u + 0,9}$	=	$- 9,298$	\|: $- 5$
$e^{- 0,2 u + 0,9}$	=	$1,8596$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,9$	=	$\ln (1,8596)$

$- 0,2 u + 0,9$	=	$0,6204$	\| $- 0,9$
$- 0,2 u$	=	$- 0,2796$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$1,398$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{3 x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} e^{3 x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{9 - 3} - \frac{1}{3} e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} e^{- 3})$

≈ 44,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(- 2 x + 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{3}{{(- 2 x + 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 3 {(- 2 x + 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(- 2 x + 5)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{3}{4 {(- 2 x + 5)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{3}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{3}{4 {(- 2 \cdot 4 + 5)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{3}{4 {(- 8 + 5)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{3}{4 {(- 3)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{9})$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{12}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{12}$ → $0 - \frac{1}{12}$ = $- \frac{1}{12}$ ≈ -0.083

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.083

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale