Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 4)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{5}{{(3 x - 4)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 5 {(3 x - 4)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{9} {(3 x - 4)}^{- 3}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{5}{9 {(3 x - 4)}^{3}}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{9 {(3 \cdot 3 - 4)}^{3}} + \frac{5}{9 {(3 \cdot 2 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{5}{9 {(9 - 4)}^{3}} + \frac{5}{9 {(6 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{5}{9 \cdot 5^{3}} + \frac{5}{9 \cdot 2^{3}}$

= $- \frac{5}{9} \cdot (\frac{1}{125}) + \frac{5}{9} \cdot (\frac{1}{8})$

= $- \frac{1}{225} + \frac{5}{72}$

= $- \frac{8}{1800} + \frac{125}{1800}$

= $\frac{13}{200}$

= 0,065

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 5 + $\frac{13}{200}$ = $\frac{1013}{200}$ ≈ 5.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 53 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $6 e^{2 - 3} - 6 e^{1 - 3}$

= $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$

≈ 1,395

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 53 + $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$ ≈ 54.4

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,4 e^{0,8 x - 0,2} ⅆ x$ = $14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,4 e^{0,8 x - 0,2} ⅆ x

= ${[3 e^{0,8 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,8 u - 0,2} - 3 e^{0,8 \cdot 0 - 0,2}$

= $3 e^{0,8 u - 0,2} - 3 e^{0 - 0,2}$

= $3 e^{0,8 u - 0,2} - 3 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,8 u - 0,2} - 3 e^{- 0,2}$	=	$14$	\| $+ 3 e^{- 0,2}$
$3 e^{0,8 u - 0,2}$	=	$3 e^{- 0,2} + 14$
$3 e^{0,8 u - 0,2}$	=	$16,4562$	\|: $3$
$e^{0,8 u - 0,2}$	=	$5,4854$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,2$	=	$\ln (5,4854)$

$0,8 u - 0,2$	=	$1,7021$	\| $+ 0,2$
$0,8 u$	=	$1,9021$	\|: $0,8$
$u$	=	$2,3776$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[5 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{3}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (5 \cdot \sin (0) - 5 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (5 \cdot 0 - 5 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} \frac{2}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} 2 {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- {(x - 1)}^{- 2}]}_{u}^{2}$

= ${[- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]}_{u}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{{(2 - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(u - 1)}^{2}}$

= $- \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{{(u - 1)}^{2}}$

= $- 1 + \frac{1}{{(u - 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - 1$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - 1$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale