Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 4 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 1 - 2} - 2 e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $2 e^{2 - 2} - 2 e^{0 - 2}$

= $2 e^{0} - 2 e^{- 2}$

= $2 - 2 e^{- 2}$

≈ 1,729

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 6 + $- 2 e^{- 2} + 2$ ≈ 7.73

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(x - 2)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{6}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 6 {(x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 2)}^{- 1}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{6}{x - 2}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{6}{7 - 2} + \frac{6}{4 - 2}$

= $- \frac{6}{5} + \frac{6}{2}$

= $- 6 \cdot (\frac{1}{5}) + 6 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{6}{5} + 3$

= $- \frac{6}{5} + \frac{15}{5}$

= $\frac{9}{5}$

= 1,8

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 19 + $\frac{9}{5}$ = $\frac{104}{5}$ ≈ 20.8

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 6,4 e^{0,8 x - 0,7} ⅆ x$ = $14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 6,4 e^{0,8 x - 0,7} ⅆ x

= ${[8 e^{0,8 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,8 u - 0,7} - 8 e^{0,8 \cdot 0 - 0,7}$

= $8 e^{0,8 u - 0,7} - 8 e^{0 - 0,7}$

= $8 e^{0,8 u - 0,7} - 8 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,8 u - 0,7} - 8 e^{- 0,7}$	=	$14$	\| $+ 8 e^{- 0,7}$
$8 e^{0,8 u - 0,7}$	=	$8 e^{- 0,7} + 14$
$8 e^{0,8 u - 0,7}$	=	$17,9727$	\|: $8$
$e^{0,8 u - 0,7}$	=	$2,2466$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,7$	=	$\ln (2,2466)$

$0,8 u - 0,7$	=	$0,8094$	\| $+ 0,7$
$0,8 u$	=	$1,5094$	\|: $0,8$
$u$	=	$1,8868$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (2 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{3} + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{3 π}$

≈ -0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(- 2 x + 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 5)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 (- 2 x + 5)}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{1}{2 (- 2 \cdot 3 + 5)}$

= $- \frac{1}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{1}{2 (- 6 + 5)}$

= $- \frac{1}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{1}{2 (- 1)}$

= $- \frac{1}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{1}{2}$ → $0 - \frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale