Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 11 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 41 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 0,542
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 41 +
≈ 41.54
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
0 |
|:3 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
14
-2
=
-7
u2 =
-1
-
225
-2
=
-1
-15
-2
=
-16
-2
=
8
Da u=
-7
< 2 ist u=
8
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 10 und Minute 26 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
26
-10
∫
10
26
2
x
-1
ⅆ
x
=
1
16
∫
10
26
2
(
x
-1
)
1
2
ⅆ
x
=
1
16
[
4
3
(
x
-1
)
3
2
]
10
26
=
1
16
[
4
3
(
x
-1
)
3
]
10
26
=
1
16
(
4
3
(
26
-1
)
3
-
4
3
(
10
-1
)
3
)
=
1
16
(
4
3
(
25
)
3
-
4
3
(
9
)
3
)
=
1
16
(
4
3
⋅
5
3
-
4
3
⋅
3
3
)
=
1
16
(
4
3
⋅125
-
4
3
⋅27
)
=
1
16
(
500
3
-36
)
=
1
16
(
500
3
-
108
3
)
=
1
16
·
392
3
=
49
6
≈ 8,167
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 5 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
5
-
2
2x
-6
ⅆ
x
=
∫
u
5
-2
(
2x
-6
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
2x
-6
)
1
2
]
u
5
=
[
-2
2x
-6
]
u
5
=
-2
2⋅5
-6
+2
2u
-6
=
-2
10
-6
+2
2u
-6
=
-2
4
+2
2u
-6
=
-2⋅2
+2
2u
-6
=
-4
+2
2u
-6
Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) =
2
2u
-6
-4
→
0
-4
=
-4
≈ -4
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4