Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 2x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 42 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 6 e 2x -5 x

= [ 3 e 2x -5 ] 2 5

= 3 e 25 -5 -3 e 22 -5

= 3 e 10 -5 -3 e 4 -5

= 3 e 5 -3 e -1


≈ 444,136
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 42 + 3 e 5 -3 e -1 ≈ 486.14

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 3x -6 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 5 e 3x -6 x

= [ 5 3 e 3x -6 ] 1 3

= 5 3 e 33 -6 - 5 3 e 31 -6

= 5 3 e 9 -6 - 5 3 e 3 -6

= 5 3 e 3 - 5 3 e -3


≈ 33,393
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 10 + 5 3 e 3 - 5 3 e -3 ≈ 43.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 3,6 e -0,6x +0,7 x = 3

Lösung einblenden
0 u 3,6 e -0,6x +0,7 x

= [ -6 e -0,6x +0,7 ] 0 u

= -6 e -0,6u +0,7 +6 e -0,60 +0,7

= -6 e -0,6u +0,7 +6 e 0 +0,7

= -6 e -0,6u +0,7 +6 e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 3 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-6 e -0,6u +0,7 +6 e 0,7 = 3 | -6 e 0,7
-6 e -0,6u +0,7 = -6 e 0,7 +3
-6 e -0,6u +0,7 = -9,0825 |:-6
e -0,6u +0,7 = 1,5138 |ln(⋅)
-0,6u +0,7 = ln( 1,5138 )
-0,6u +0,7 = 0,4146 | -0,7
-0,6u = -0,2854 |:(-0,6 )
u = 0,4757

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 sin( x + π) zwischen 0 und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 0 π 3 sin( x + π) x

= 1 π [ -3 cos( x + π) ] 0 π

= 1 π · ( -3 cos( π + π) +3 cos( 0 + π) )

= 1 π · ( -3 cos(2π) +3 cos(π) )

= 1 π · ( -31 +3( -1 ) )

= 1 π · ( -3 -3 )

= 1 π · ( -6 )

= - 6 π


≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 3 3 ( 2x ) 2 x
= u 3 3 4 x 2 x
= u 3 3 4 x -2 x

= [ - 3 4 x -1 ] u 3

= [ - 3 4 x ] u 3

= - 3 4 3 + 3 4 u

= - 3 4 ( 1 3 ) + 3 4 u

= - 1 4 + 3 4 u

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = - 1 4 + 3 4 u