Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{7}{2}$ s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $6$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{7}{2}

und

6

:

\int_{\frac{7}{2}}^{6} 2 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{2}}^{6} 2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{6}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{2}}^{6}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 8$

= $18 - \frac{16}{3}$

= $\frac{54}{3} - \frac{16}{3}$

= $\frac{38}{3}$

≈ 12,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{7}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{7}{2}

und

6

zusammen:

B = 16 + $\frac{38}{3}$ = $\frac{86}{3}$ ≈ 28.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $5$ s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $26$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

26

:

\int_{5}^{26} 4 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{26} 4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{26}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{5}^{26}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $\frac{8}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 5^{3} - \frac{8}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 125 - \frac{8}{3} \cdot 8$

= $\frac{1000}{3} - \frac{64}{3}$

= $312$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

26

zusammen:

B = 20 + $312$ = $332$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,4 e^{- 0,6 x + 0,4} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,4 e^{- 0,6 x + 0,4} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,6 x + 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,6 u + 0,4} + 9 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,4}$

= $- 9 e^{- 0,6 u + 0,4} + 9 e^{0 + 0,4}$

= $- 9 e^{- 0,6 u + 0,4} + 9 e^{0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,6 u + 0,4} + 9 e^{0,4}$	=	$8$	\| $- 9 e^{0,4}$
$- 9 e^{- 0,6 u + 0,4}$	=	$- 9 e^{0,4} + 8$
$- 9 e^{- 0,6 u + 0,4}$	=	$- 5,4264$	\|: $- 9$
$e^{- 0,6 u + 0,4}$	=	$0,6029$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,4$	=	$\ln (0,6029)$

$- 0,6 u + 0,4$	=	$- 0,506$	\| $- 0,4$
$- 0,6 u$	=	$- 0,906$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$1,51$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[3 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (0 - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot \sin (- π) - 3 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot 0 - 3 \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - 3)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3)$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $9$ und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{9} \frac{1}{\sqrt{2 x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{9} {(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{9}$

= ${[\sqrt{2 x - 2}]}_{u}^{9}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 9 - 2} - \sqrt{2 u - 2}$

= $\sqrt{18 - 2} - \sqrt{2 u - 2}$

= $\sqrt{16} - \sqrt{2 u - 2}$

= $4 - \sqrt{2 u - 2}$

= $- \sqrt{2 u - 2} + 4$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 2} + 4$ → $0 + 4$ = $4$ ≈ 4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale