Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 30 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 6 e 3x -7 x

= [ 2 e 3x -7 ] 2 5

= 2 e 35 -7 -2 e 32 -7

= 2 e 15 -7 -2 e 6 -7

= 2 e 8 -2 e -1


≈ 5961,18
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 30 + 2 e 8 -2 e -1 ≈ 5991.18

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 x -3 x
= 19 28 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 2 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 2 3 ( 28 -3 ) 3 - 2 3 ( 19 -3 ) 3

= 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 16 ) 3

= 2 3 5 3 - 2 3 4 3

= 2 3 125 - 2 3 64

= 250 3 - 128 3

= 122 3


≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 19 + 122 3 = 179 3 ≈ 59.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 10x -2 ) x = 76

Lösung einblenden
3 u ( 10x -2 ) x

= [ 5 x 2 -2x ] 3 u

= 5 u 2 -2u - ( 5 3 2 -23 )

= 5 u 2 -2u - ( 59 -6 )

= 5 u 2 -2u - ( 45 -6 )

= 5 u 2 -2u -1 · 39

= 5 u 2 -2u -39

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 76 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -2u -39 = 76 | -76

5 u 2 -2u -115 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 5 · ( -115 ) 25

u1,2 = +2 ± 4 +2300 10

u1,2 = +2 ± 2304 10

u1 = 2 + 2304 10 = 2 +48 10 = 50 10 = 5

u2 = 2 - 2304 10 = 2 -48 10 = -46 10 = -4,6

Da u= -4,6 < 3 ist u= 5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 2 ( x -1 ) 2 x
= 1 3 2 5 2 ( x -1 ) -2 x

= 1 3 [ -2 ( x -1 ) -1 ] 2 5

= 1 3 [ - 2 x -1 ] 2 5

= 1 3 ( - 2 5 -1 + 2 2 -1 )

= 1 3 ( - 2 4 + 2 1 )

= 1 3 ( -2( 1 4 ) +21 )

= 1 3 ( - 1 2 +2 )

= 1 3 ( -0,5 +2 )

= 1 3 · 1,5

= 1.5 3

= 1 2


= 0,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 1 ( 2x -4 ) 3 x
= 4 u ( 2x -4 ) -3 x

= [ - 1 4 ( 2x -4 ) -2 ] 4 u

= [ - 1 4 ( 2x -4 ) 2 ] 4 u

= - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 4 ( 24 -4 ) 2

= - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 4 ( 8 -4 ) 2

= - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 4 4 2

= - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 4 ( 1 16 )

= - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 64

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 64 0 + 1 64 = 1 64 ≈ 0.016

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.016