Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 2 - 3} - 3 e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $3 e^{4 - 3} - 3 e^{2 - 3}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 1}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 17 + $- 3 e^{- 1} + 3 e$ ≈ 24.05

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 53 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 1} - 2 e^{0 - 1}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 53 + $- 2 e^{- 1} + 2 e$ ≈ 57.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 6,3 e^{0,9 x - 0,6} ⅆ x$ = $10$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 6,3 e^{0,9 x - 0,6} ⅆ x

= ${[7 e^{0,9 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,9 u - 0,6} - 7 e^{0,9 \cdot 0 - 0,6}$

= $7 e^{0,9 u - 0,6} - 7 e^{0 - 0,6}$

= $7 e^{0,9 u - 0,6} - 7 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $10$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,9 u - 0,6} - 7 e^{- 0,6}$	=	$10$	\| $+ 7 e^{- 0,6}$
$7 e^{0,9 u - 0,6}$	=	$7 e^{- 0,6} + 10$
$7 e^{0,9 u - 0,6}$	=	$13,8417$	\|: $7$
$e^{0,9 u - 0,6}$	=	$1,9774$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,6$	=	$\ln (1,9774)$

$0,9 u - 0,6$	=	$0,6818$	\| $+ 0,6$
$0,9 u$	=	$1,2818$	\|: $0,9$
$u$	=	$1,4242$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(2 x - 4)}^{2} + 6$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 - 1}

\int_{1}^{2} (4 {(2 x - 4)}^{2} + 6) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{2}{3} {(2 x - 4)}^{3} + 6 x]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(2 \cdot 2 - 4)}^{3} + 6 \cdot 2 - (\frac{2}{3} \cdot {(2 \cdot 1 - 4)}^{3} + 6 \cdot 1)$

= $\frac{2}{3} \cdot {(4 - 4)}^{3} + 12 - (\frac{2}{3} \cdot {(2 - 4)}^{3} + 6)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 12 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 6)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + 12 - (\frac{2}{3} \cdot (- 8) + 6)$

= $0 + 12 - (- \frac{16}{3} + 6)$

= $12 - (- \frac{16}{3} + \frac{18}{3})$

= $12 - 1 \cdot \frac{2}{3}$

= $12 - \frac{2}{3}$

= $\frac{34}{3}$

≈ 11,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} \frac{2}{{(2 x)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} \frac{1}{2 x^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} \frac{1}{2} x^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{- 1}]}_{u}^{3}$

= ${[- \frac{1}{2 x}]}_{u}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 u}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2 u}$

= $- \frac{1}{6} + \frac{1}{2 u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{6} + \frac{1}{2 u}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale