Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{3 \cdot 1 - 4} - e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $e^{3 - 4} - e^{0 - 4}$

= $e^{- 1} - e^{- 4}$

≈ 0,35

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 11 + $e^{- 1} - e^{- 4}$ ≈ 11.35

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 55 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 4}$

≈ 9,828

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 55 + $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 4}$ ≈ 64.83

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 105$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 2^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 4$

= $- 5 u^{2} + 20$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 105$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2} + 20$	=	$- 105$	\| $- 20$
$- 5 u^{2}$	=	$- 125$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
u₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Da u= $- 5$ < 2 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (3 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \cos (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sin (3 π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + \frac{1}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3 π}$

≈ 0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(- 2 x + 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{{(- 2 x + 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(- 2 x + 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(- 2 x + 4)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 2 \cdot 4 + 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 8 + 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{16})$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{32}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{32}$ → $0 + \frac{1}{32}$ = $\frac{1}{32}$ ≈ 0.031

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.031

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale