Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 3x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3 s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 7:
3 7 5 3x -5 x
= 3 7 5 ( 3x -5 ) 1 2 x

= [ 10 9 ( 3x -5 ) 3 2 ] 3 7

= [ 10 9 ( 3x -5 ) 3 ] 3 7

= 10 9 ( 37 -5 ) 3 - 10 9 ( 33 -5 ) 3

= 10 9 ( 21 -5 ) 3 - 10 9 ( 9 -5 ) 3

= 10 9 ( 16 ) 3 - 10 9 ( 4 ) 3

= 10 9 4 3 - 10 9 2 3

= 10 9 64 - 10 9 8

= 640 9 - 80 9

= 560 9


≈ 62,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 7 zusammen:
B = 15 + 560 9 = 695 9 ≈ 77.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 2x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 6 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 19 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 6 und 19 2 :
6 19 2 4 2x -3 x
= 6 19 2 4 ( 2x -3 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 2x -3 ) 3 2 ] 6 19 2

= [ 4 3 ( 2x -3 ) 3 ] 6 19 2

= 4 3 ( 2( 19 2 ) -3 ) 3 - 4 3 ( 26 -3 ) 3

= 4 3 ( 19 -3 ) 3 - 4 3 ( 12 -3 ) 3

= 4 3 ( 16 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 4 3 - 4 3 3 3

= 4 3 64 - 4 3 27

= 256 3 -36

= 256 3 - 108 3

= 148 3


≈ 49,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 6 und der Änderung zwischen 6 und 19 2 zusammen:
B = 19 + 148 3 = 205 3 ≈ 68.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4,8 e -0,6x +0,3 x = 6

Lösung einblenden
0 u 4,8 e -0,6x +0,3 x

= [ -8 e -0,6x +0,3 ] 0 u

= -8 e -0,6u +0,3 +8 e -0,60 +0,3

= -8 e -0,6u +0,3 +8 e 0 +0,3

= -8 e -0,6u +0,3 +8 e 0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 6 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-8 e -0,6u +0,3 +8 e 0,3 = 6 | -8 e 0,3
-8 e -0,6u +0,3 = -8 e 0,3 +6
-8 e -0,6u +0,3 = -4,7989 |:-8
e -0,6u +0,3 = 0,5999 |ln(⋅)
-0,6u +0,3 = ln( 0,5999 )
-0,6u +0,3 = -0,511 | -0,3
-0,6u = -0,811 |:(-0,6 )
u = 1,3517

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 3x -6 ) 2 +6 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -1 1 4 ( 5 ( 3x -6 ) 2 +6 ) x

= 1 3 [ 5 9 ( 3x -6 ) 3 +6x ] 1 4

= 1 3 ( 5 9 ( 34 -6 ) 3 +64 - ( 5 9 ( 31 -6 ) 3 +61 ))

= 1 3 ( 5 9 ( 12 -6 ) 3 +24 - ( 5 9 ( 3 -6 ) 3 +6 ))

= 1 3 ( 5 9 6 3 +24 - ( 5 9 ( -3 ) 3 +6 ))

= 1 3 ( 5 9 216 +24 - ( 5 9 ( -27 ) +6 ))

= 1 3 ( 120 +24 - ( -15 +6 ))

= 1 3 ( 144 -1 · ( -9 ))

= 1 3 ( 144 +9 )

= 1 3 · 153

= 51

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 -3x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 2 -3x +5 x
= 2 u 2 ( -3x +5 ) -1 x

= [ - 2 3 ln( | -3x +5 | ) ] 2 u

= - 2 3 ln( | -3( u ) +5 | ) + 2 3 ln( | -32 +5 | )

= - 2 3 ln( | -3u +5 | ) + 2 3 ln( | -6 +5 | )

= - 2 3 ln( | -3u +5 | ) + 2 3 ln( 1 )

= - 2 3 ln( | -3u +5 | ) +0

= - 2 3 ln( | -3x +5 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 2 3 ln( | -3x +5 | )