= ${\left[4e^{x-1}\right]}_1^4$

$=$ $4e^{4-1}-4e^{1-1}$

= $4e^3-4e^0$

= $4e^3-4$

= ${\left[e^{3x-7}\right]}_1^4$

$=$ $e^{3\cdot 4-7}-e^{3\cdot 1-7}$

= $e^{12-7}-e^{3-7}$

= $e^5-e^{-4}$

= ${\left[-2x^2+x\right]}_2^u$

$=$ $-2u^2+u-\left(-2\cdot 2^2+2\right)$

= $-2u^2+u-\left(-2\cdot 4+2\right)$

= $-2u^2+u-\left(-8+2\right)$

= $-2u^2+u-1·\left(-6\right)$

= $-2u^2+u+6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-130$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$-2u^2+u+136$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·\left(-2\right)·136}}{2\cdot \left(-2\right)}$

u_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+1088}}{-4}$

u_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1089}}{-4}$

u₁ = $\frac{-1+\sqrt{1089}}{-4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>33</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{32}{-4}$ = $-8$

u₂ = $\frac{-1-\sqrt{1089}}{-4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>33</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-34}{-4}$ = $\mathrm{8,5}$

Da u= $-8$ < 2 ist u= $\mathrm{8,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{9}$ ${\left[\frac{2}{3}{\left(x-2\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{18}^{27}$

= $\frac{1}{9}$ ${\left[\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x-2}\right)}^3\right]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}{\left(\sqrt{27-2}\right)}^3-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{18-2}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}\cdot 5^3-\frac{2}{3}\cdot 4^3\right)$

= $\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}\cdot 125-\frac{2}{3}\cdot 64\right)$

= $\frac{1}{9}\left(\frac{250}{3}-\frac{128}{3}\right)$

= $\frac{1}{9}·\frac{122}{3}$

= $\frac{122}{27}$

= ${\left[{\left(-3x+6\right)}^{-1}\right]}_3^u$

= ${\left[\frac{1}{-3x+6}\right]}_3^u$

$=$ $\frac{1}{-3u+6}-\frac{1}{-3\cdot 3+6}$

= $\frac{1}{-3u+6}-\frac{1}{-9+6}$

= $\frac{1}{-3u+6}-\frac{1}{\left(-3\right)}$

= $\frac{1}{-3u+6}-\left(-\frac{1}{3}\right)$

= $\frac{1}{-3u+6}+\frac{1}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{-3u+6}+\frac{1}{3}$ → $0+\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333