Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{4}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 4 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{4}{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{4}{4 - 1} + \frac{4}{2 - 1}$

= $- \frac{4}{3} + \frac{4}{1}$

= $- 4 \cdot (\frac{1}{3}) + 4 \cdot 1$

= $- \frac{4}{3} + 4$

= $- \frac{4}{3} + \frac{12}{3}$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 12 + $\frac{8}{3}$ = $\frac{44}{3}$ ≈ 14.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 5)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{6}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 6 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{2}{3 x - 5}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot 6 - 5} + \frac{2}{3 \cdot 3 - 5}$

= $- \frac{2}{18 - 5} + \frac{2}{9 - 5}$

= $- \frac{2}{13} + \frac{2}{4}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{13}) + 2 \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{2}{13} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{4}{26} + \frac{13}{26}$

= $\frac{9}{26}$

≈ 0,346

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 16 + $\frac{9}{26}$ = $\frac{425}{26}$ ≈ 16.35

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,4 e^{0,6 x - 0,6} ⅆ x$ = $17$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,4 e^{0,6 x - 0,6} ⅆ x

= ${[9 e^{0,6 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,6 u - 0,6} - 9 e^{0,6 \cdot 0 - 0,6}$

= $9 e^{0,6 u - 0,6} - 9 e^{0 - 0,6}$

= $9 e^{0,6 u - 0,6} - 9 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $17$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,6 u - 0,6} - 9 e^{- 0,6}$	=	$17$	\| $+ 9 e^{- 0,6}$
$9 e^{0,6 u - 0,6}$	=	$9 e^{- 0,6} + 17$
$9 e^{0,6 u - 0,6}$	=	$21,9393$	\|: $9$
$e^{0,6 u - 0,6}$	=	$2,4377$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,6$	=	$\ln (2,4377)$

$0,6 u - 0,6$	=	$0,8911$	\| $+ 0,6$
$0,6 u$	=	$1,4911$	\|: $0,6$
$u$	=	$2,4852$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{3 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 4 e^{3 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} e^{6 - 4} - \frac{4}{3} e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 4})$

≈ 4,914

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $3,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3,5} \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3,5} 2 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{3,5}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{3,5}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 3,5 - 6} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \sqrt{7 - 6} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \sqrt{1} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \cdot 1 - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 - 2 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 6} + 2$ → $0 + 2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale