Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(x - 3)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 8 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 8:

\int_{5}^{8} \frac{5}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{8} 5 {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(x - 3)}^{- 2}]}_{5}^{8}$

= ${[- \frac{5}{2 {(x - 3)}^{2}}]}_{5}^{8}$

$=$ $- \frac{5}{2 {(8 - 3)}^{2}} + \frac{5}{2 {(5 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 5^{2}} + \frac{5}{2 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{25}) + \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{10} + \frac{5}{8}$

= $- \frac{4}{40} + \frac{25}{40}$

= $\frac{21}{40}$

= 0,525

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 8 zusammen:

B = 2 + $\frac{21}{40}$ = $\frac{101}{40}$ ≈ 2.53

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 41 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{4 - 3} - 2 e^{2 - 3}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 41 + $- 2 e^{- 1} + 2 e$ ≈ 45.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,8 e^{- 0,6 x + 0,1} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,8 e^{- 0,6 x + 0,1} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,6 x + 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,6 u + 0,1} + 8 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,1}$

= $- 8 e^{- 0,6 u + 0,1} + 8 e^{0 + 0,1}$

= $- 8 e^{- 0,6 u + 0,1} + 8 e^{0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,6 u + 0,1} + 8 e^{0,1}$	=	$4$	\| $- 8 e^{0,1}$
$- 8 e^{- 0,6 u + 0,1}$	=	$- 8 e^{0,1} + 4$
$- 8 e^{- 0,6 u + 0,1}$	=	$- 4,8414$	\|: $- 8$
$e^{- 0,6 u + 0,1}$	=	$0,6052$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,1$	=	$\ln (0,6052)$

$- 0,6 u + 0,1$	=	$- 0,5022$	\| $- 0,1$
$- 0,6 u$	=	$- 0,6022$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$1,0037$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (2 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 5 \cdot \cos (2 x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{5}{2} \cdot \sin (2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot π - π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (0))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot 0 - \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $16$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{16} \frac{2}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{16} \frac{2}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{16} 2 x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{16}$

= ${[4 \sqrt{x}]}_{u}^{16}$

$=$ $4 \sqrt{16} - 4 \sqrt{u}$

= $4 \cdot 4 - 4 \sqrt{u}$

= $16 - 4 \sqrt{u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u} + 16$ → $0 + 16$ = $16$ ≈ 16

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 16

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale