Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 43 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 4 - 5} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{8 - 5} - \frac{5}{2} e^{4 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e^{- 1}$

≈ 49,294

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 43 + $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e^{- 1}$ ≈ 92.29

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 5 - 2} - 3 e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $3 e^{10 - 2} - 3 e^{4 - 2}$

= $3 e^{8} - 3 e^{2}$

≈ 8920,707

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 37 + $3 e^{8} - 3 e^{2}$ ≈ 8957.71

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,3 x + 0,3} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,3 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,3 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,3 u + 0,3} + 6 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,3}$

= $- 6 e^{- 0,3 u + 0,3} + 6 e^{0 + 0,3}$

= $- 6 e^{- 0,3 u + 0,3} + 6 e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,3 u + 0,3} + 6 e^{0,3}$	=	$4$	\| $- 6 e^{0,3}$
$- 6 e^{- 0,3 u + 0,3}$	=	$- 6 e^{0,3} + 4$
$- 6 e^{- 0,3 u + 0,3}$	=	$- 4,0992$	\|: $- 6$
$e^{- 0,3 u + 0,3}$	=	$0,6832$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,3$	=	$\ln (0,6832)$

$- 0,3 u + 0,3$	=	$- 0,381$	\| $- 0,3$
$- 0,3 u$	=	$- 0,681$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$2,27$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 5 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{5}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot \cos (2 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $2 \ln (| u - 3 |) - 2 \ln (| 4 - 3 |)$

= $2 \ln (| u - 3 |) - 2 \ln (1)$

= $2 \ln (| u - 3 |) + 0$

= $2 \ln (| x - 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \ln (| x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale