Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 1,605
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 4 + = ≈ 5.6
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,095
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 15 + = ≈ 15.1
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
22
4
=
5,5
u2 =
4
-
324
4
=
4
-18
4
=
-14
4
=
-3,5
Da u=
-3,5
< 3 ist u=
5,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3⋅ sin( 2x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
3⋅
sin(
2x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-
3
2
⋅
cos(
2x
+
3
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
-
3
2
⋅
cos(
2⋅π
+
3
2
π)
+
3
2
⋅
cos(
2⋅(
1
2
π )
+
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
3
2
⋅
cos(
7
2
π)
+
3
2
⋅
cos(
5
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
3
2
⋅0
+
3
2
⋅0
)
=
2
π
·
(
0+0
)
=
2
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
2
x
-2
ⅆ
x
=
∫
3
u
-2
(
x
-2
)
-1
ⅆ
x
=
[
-2
ln(
|
x
-2
|
)
]
3
u
=
-2
ln(
|
u
-2
|
)
+2
ln(
|
3
-2
|
)
=
-2
ln(
|
u
-2
|
)
+2
ln(
1
)
=
-2
ln(
|
u
-2
|
)
+0
=
-2
ln(
|
x
-2
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-2
ln(
|
x
-2
|
)
→
∞