Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 4 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
≈ 136,157
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 15 +
≈ 151.16
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
0 |
|:4 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
14
-2
=
-7
u2 =
-1
-
225
-2
=
-1
-15
-2
=
-16
-2
=
8
Da u=
-7
< 2 ist u=
8
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= sin( 2x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π+0
∫
0
π
sin(
2x
- π)
ⅆ
x
=
1
π
[
-
1
2
⋅
cos(
2x
- π)
]
0
π
=
1
π
·
(
-
1
2
⋅
cos(
2⋅π
- π)
+
1
2
⋅
cos(
2⋅( 0 )
- π)
)
=
1
π
·
(
-
1
2
⋅
cos(π)
+
1
2
⋅
cos(-π)
)
=
1
π
·
(
-
1
2
⋅( -1 )
+
1
2
⋅( -1 )
)
=
1
π
·
(
1
2
-
1
2
)
=
1
π
·
(
0,5
-0,5
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 e 3x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
1
u
3
e
3x
-3
ⅆ
x
=
[
e
3x
-3
]
1
u
=
e
3u
-3
-
e
3⋅1
-3
=
e
3u
-3
-
e
3
-3
=
e
3u
-3
-
e
0
=
e
3u
-3
-1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
e
3u
-3
-1
→
∞