Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{- 1}$

≈ 49,348

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 77 + $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{- 1}$ ≈ 126.35

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 49 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 5 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $5 e^{4 - 3} - 5 e^{1 - 3}$

= $5 e^{1} - 5 e^{- 2}$

= $5 e - 5 e^{- 2}$

≈ 12,915

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 49 + $- 5 e^{- 2} + 5 e$ ≈ 61.91

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,7 e^{0,7 x - 0,3} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,7 e^{0,7 x - 0,3} ⅆ x

= ${[e^{0,7 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{0,7 u - 0,3} - e^{0,7 \cdot 0 - 0,3}$

= $e^{0,7 u - 0,3} - e^{0 - 0,3}$

= $e^{0,7 u - 0,3} - e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$e^{0,7 u - 0,3} - e^{- 0,3}$	=	$8$	\| $+ e^{- 0,3}$
$e^{0,7 u - 0,3}$	=	$e^{- 0,3} + 8$
$e^{0,7 u - 0,3}$	=	$8,7408$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,3$	=	$\ln (8,7408)$

$0,7 u - 0,3$	=	$2,168$	\| $+ 0,3$
$0,7 u$	=	$2,468$	\|: $0,7$
$u$	=	$3,5257$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 5}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{14}{3}$ und Minute $10$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{10 - \frac{14}{3}}

\int_{\frac{14}{3}}^{10} 3 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\frac{3}{16}

\int_{\frac{14}{3}}^{10} 3 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{14}{3}}^{10}$

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{\frac{14}{3}}^{10}$

$=$ $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{3} - 18)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{3} - \frac{54}{3})$

= $\frac{3}{16} \cdot \frac{196}{3}$

= $\frac{49}{4}$

= 12,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 3 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 (u) - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 3 u - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 3 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 3 u - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (6)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3} \ln (6) + \frac{1}{3} \ln (| 3 x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale