Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{3 - 3} - \frac{2}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{0} - \frac{2}{3} e^{- 3}$

= $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} e^{- 3}$

≈ 0,633

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 2 + $- \frac{2}{3} e^{- 3} + \frac{2}{3}$ ≈ 2.63

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{1}^{3} 4 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{1}^{3}$

= ${[- \frac{2}{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{2 \cdot 3 - 1} + \frac{2}{2 \cdot 1 - 1}$

= $- \frac{2}{6 - 1} + \frac{2}{2 - 1}$

= $- \frac{2}{5} + \frac{2}{1}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{5}) + 2 \cdot 1$

= $- \frac{2}{5} + 2$

= $- \frac{2}{5} + \frac{10}{5}$

= $\frac{8}{5}$

= 1,6

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 16 + $\frac{8}{5}$ = $\frac{88}{5}$ ≈ 17.6

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 4 x ⅆ x$ = $- 24$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 4 x ⅆ x

= ${[- 2 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 2 \cdot 2^{2}$

= $- 2 u^{2} + 2 \cdot 4$

= $- 2 u^{2} + 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 24$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 u^{2} + 8$	=	$- 24$	\| $- 8$
$- 2 u^{2}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$u^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
u₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Da u= $- 4$ < 2 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 7}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{23}{3}$ und Minute $\frac{32}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{32}{3} - \frac{23}{3}}

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 4 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 4 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{8}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{8}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 64)$

= $\frac{1}{3} (\frac{1000}{9} - \frac{512}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{488}{9}$

= $\frac{488}{27}$

≈ 18,074

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 7)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{{(3 x - 7)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(3 x - 7)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 7)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{2}{3 (3 x - 7)}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3 (3 u - 7)} + \frac{2}{3 (3 \cdot 4 - 7)}$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 7)} + \frac{2}{3 (12 - 7)}$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 7)} + \frac{2}{3 \cdot 5}$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 7)} + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{5})$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 7)} + \frac{2}{15}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3 (3 u - 7)} + \frac{2}{15}$ → $0 + \frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$ ≈ 0.133

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.133

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale