Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 54,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 2 + = ≈ 56.22
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
=
=
=
=
= 2,5
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 5 + = ≈ 7.5
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= zwischen 4 und 7.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
1
3
(2
ln(
|
7
-2
|
)
-2
ln(
|
4
-2
|
)
)
=
1
3
(2
ln(
5
)
-2
ln(
|
4
-2
|
)
)
=
1
3
(2
ln(
5
)
-2
ln(
2
)
)
≈ 0,611
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 3,5 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
3,5
1
2x
-6
ⅆ
x
=
∫
u
3,5
(
2x
-6
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
(
2x
-6
)
1
2
]
u
3,5
=
[
2x
-6
]
u
3,5
=
2⋅3,5
-6
-
2u
-6
=
7
-6
-
2u
-6
=
1
-
2u
-6
=
1
-
2u
-6
=
-
2u
-6
+1
Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) =
-
2u
-6
+1
→
0
+1
=
1
≈ 1
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1