Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 16,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 2 + = ≈ 18.44
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,214
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 15 +
≈ 15.21
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
4
|
=
-2
|
| u2 |
= |
4
|
=
2
|
Da u=
-2
< 1 ist u=
2
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -6 ) 2 +3x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
2
+0
∫
0
2
(
3
(
3x
-6
)
2
+3x
)
ⅆ
x
=
1
2
[
1
3
(
3x
-6
)
3
+
3
2
x
2
]
0
2
=
1
2
(
1
3
⋅
(
3⋅2
-6
)
3
+
3
2
⋅
2
2
- (
1
3
⋅
(
3⋅0
-6
)
3
+
3
2
⋅
0
2
))
=
1
2
(
1
3
⋅
(
6
-6
)
3
+
3
2
⋅4
- (
1
3
⋅
( 0
-6
)
3
+
3
2
⋅0
))
=
1
2
(
1
3
⋅
0
3
+6
- (
1
3
⋅
( -6 )
3
+0))
=
1
2
(
1
3
⋅0
+6
- (
1
3
⋅( -216 )
+0))
=
1
2
(0
+6
- (
-72
+0))
=
1
2
(
6
+72
)
=
1
2
·
78
=
39
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -2 e -2x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
-2
e
-2x
+5
ⅆ
x
=
[
e
-2x
+5
]
2
u
=
e
-2u
+5
-
e
-2⋅2
+5
=
e
-2u
+5
-
e
-4
+5
=
e
-2u
+5
-
e
1
=
e
-2u
+5
- e
Für u → ∞ gilt: A(u) =
e
-2u
+5
- e
→
0 - e
=
-e
≈ -2.718
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2.718