Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{3}$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 64$

= $\frac{250}{9} - \frac{128}{9}$

= $\frac{122}{9}$

≈ 13,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 18 + $\frac{122}{9}$ = $\frac{284}{9}$ ≈ 31.56

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{7}{3}$ Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{28}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{7}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{7}{3}}^{\frac{28}{3}} 4 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{3}}^{\frac{28}{3}} 4 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{7}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 8$

= $\frac{1000}{9} - \frac{64}{9}$

= $104$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{7}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{7}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 19 + $104$ = $123$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3 e^{0,6 x - 0,9} ⅆ x$ = $19$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3 e^{0,6 x - 0,9} ⅆ x

= ${[5 e^{0,6 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,6 u - 0,9} - 5 e^{0,6 \cdot 0 - 0,9}$

= $5 e^{0,6 u - 0,9} - 5 e^{0 - 0,9}$

= $5 e^{0,6 u - 0,9} - 5 e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $19$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,6 u - 0,9} - 5 e^{- 0,9}$	=	$19$	\| $+ 5 e^{- 0,9}$
$5 e^{0,6 u - 0,9}$	=	$5 e^{- 0,9} + 19$
$5 e^{0,6 u - 0,9}$	=	$21,0328$	\|: $5$
$e^{0,6 u - 0,9}$	=	$4,2066$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,9$	=	$\ln (4,2066)$

$0,6 u - 0,9$	=	$1,4367$	\| $+ 0,9$
$0,6 u$	=	$2,3367$	\|: $0,6$
$u$	=	$3,8945$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 3)}^{2}}$ zwischen 2 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} \frac{6}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{2}^{5} 6 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- 2 {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{2}{3 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 \cdot 5 - 3} + \frac{2}{3 \cdot 2 - 3})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{15 - 3} + \frac{2}{6 - 3})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{12} + \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{3} (- 2 \cdot (\frac{1}{12}) + 2 \cdot (\frac{1}{3}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{6} + \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{6} + \frac{4}{6})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{6}$

≈ 0,167

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{- 2 x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{1}{2} e^{- 4 + 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{1}{2} e^{- 3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{1}{2} e^{- 3}$ → $0 + \frac{1}{2} e^{- 3}$ = $\frac{1}{2} e^{- 3}$ ≈ 0.025

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.025

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale