Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 1)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{2}{{(2 x - 1)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 2 {(2 x - 1)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{- 3}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{3 {(2 x - 1)}^{3}}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(2 \cdot 4 - 1)}^{3}} + \frac{1}{3 {(2 \cdot 2 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 {(8 - 1)}^{3}} + \frac{1}{3 {(4 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 7^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 3^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{343}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{27})$

= $- \frac{1}{1029} + \frac{1}{81}$

= $- \frac{27}{27783} + \frac{343}{27783}$

= $\frac{316}{27783}$

≈ 0,011

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 9 + $\frac{316}{27783}$ = $\frac{250.363}{27783}$ ≈ 9.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 58 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 2} - 2 e^{0 - 2}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 2}$

= $2 e - 2 e^{- 2}$

≈ 5,166

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 58 + $- 2 e^{- 2} + 2 e$ ≈ 63.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,4 e^{- 0,2 x + 0,8} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,4 e^{- 0,2 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 7 e^{- 0,2 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 7 e^{- 0,2 u + 0,8} + 7 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 7 e^{- 0,2 u + 0,8} + 7 e^{0 + 0,8}$

= $- 7 e^{- 0,2 u + 0,8} + 7 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 7 e^{- 0,2 u + 0,8} + 7 e^{0,8}$	=	$1$	\| $- 7 e^{0,8}$
$- 7 e^{- 0,2 u + 0,8}$	=	$- 7 e^{0,8} + 1$
$- 7 e^{- 0,2 u + 0,8}$	=	$- 14,5788$	\|: $- 7$
$e^{- 0,2 u + 0,8}$	=	$2,0827$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,8$	=	$\ln (2,0827)$

$- 0,2 u + 0,8$	=	$0,7337$	\| $- 0,8$
$- 0,2 u$	=	$- 0,0663$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$0,3315$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{3 x - 6}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 6 e^{3 x - 6} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[2 e^{3 x - 6}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (2 e^{3 \cdot 2 - 6} - 2 e^{3 \cdot 0 - 6})$

= $\frac{1}{2} (2 e^{6 - 6} - 2 e^{0 - 6})$

= $\frac{1}{2} (2 e^{0} - 2 e^{- 6})$

= $\frac{1}{2} (2 - 2 e^{- 6})$

= $\frac{1}{2} (- 2 e^{- 6} + 2)$

≈ 0,998

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(2 \cdot 3 - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(6 - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{16})$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{32}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{32}$ → $0 - \frac{1}{32}$ = $- \frac{1}{32}$ ≈ -0.031

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.031

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale