Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $3$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $7$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

7

:

\int_{3}^{7} 5 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{7} 5 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{7}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{7}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{9 - 5})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 4^{3} - \frac{10}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 64 - \frac{10}{9} \cdot 8$

= $\frac{640}{9} - \frac{80}{9}$

= $\frac{560}{9}$

≈ 62,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

7

zusammen:

B = 15 + $\frac{560}{9}$ = $\frac{695}{9}$ ≈ 77.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $6$ Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{19}{2}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

6

und

\frac{19}{2}

:

\int_{6}^{\frac{19}{2}} 4 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{6}^{\frac{19}{2}} 4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{\frac{19}{2}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{\frac{19}{2}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{256}{3} - 36$

= $\frac{256}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{148}{3}$

≈ 49,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

6

und der Änderung zwischen

6

und

\frac{19}{2}

zusammen:

B = 19 + $\frac{148}{3}$ = $\frac{205}{3}$ ≈ 68.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,8 e^{- 0,6 x + 0,3} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,8 e^{- 0,6 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,6 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,6 u + 0,3} + 8 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,3}$

= $- 8 e^{- 0,6 u + 0,3} + 8 e^{0 + 0,3}$

= $- 8 e^{- 0,6 u + 0,3} + 8 e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,6 u + 0,3} + 8 e^{0,3}$	=	$6$	\| $- 8 e^{0,3}$
$- 8 e^{- 0,6 u + 0,3}$	=	$- 8 e^{0,3} + 6$
$- 8 e^{- 0,6 u + 0,3}$	=	$- 4,7989$	\|: $- 8$
$e^{- 0,6 u + 0,3}$	=	$0,5999$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,3$	=	$\ln (0,5999)$

$- 0,6 u + 0,3$	=	$- 0,511$	\| $- 0,3$
$- 0,6 u$	=	$- 0,811$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$1,3517$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(3 x - 6)}^{2} + 6$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} (5 {(3 x - 6)}^{2} + 6) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{9} {(3 x - 6)}^{3} + 6 x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 4 - 6)}^{3} + 6 \cdot 4 - (\frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 6)}^{3} + 6 \cdot 1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot {(12 - 6)}^{3} + 24 - (\frac{5}{9} \cdot {(3 - 6)}^{3} + 6))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot 6^{3} + 24 - (\frac{5}{9} \cdot {(- 3)}^{3} + 6))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot 216 + 24 - (\frac{5}{9} \cdot (- 27) + 6))$

= $\frac{1}{3} (120 + 24 - (- 15 + 6))$

= $\frac{1}{3} (144 - 1 \cdot (- 9))$

= $\frac{1}{3} (144 + 9)$

= $\frac{1}{3} \cdot 153$

= $51$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{- 3 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{- 3 x + 5} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(- 3 x + 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 5 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 (u) + 5 |) + \frac{2}{3} \ln (| - 3 \cdot 2 + 5 |)$

= $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 5 |) + \frac{2}{3} \ln (| - 6 + 5 |)$

= $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 5 |) + \frac{2}{3} \ln (1)$

= $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 5 |) + 0$

= $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 5 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 5 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale