Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,001
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 16 + = ≈ 16
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 55 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 1,718
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 55 +
≈ 56.72
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
18
-4
=
-4,5
u2 =
-4
-
484
-4
=
-4
-22
-4
=
-26
-4
=
6,5
Da u=
-4,5
< 1 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 19 3 und Minute 28 3 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
28
3
-
19
3
∫
19
3
28
3
6
3x
-3
ⅆ
x
=
1
3
∫
19
3
28
3
6
(
3x
-3
)
1
2
ⅆ
x
=
1
3
[
4
3
(
3x
-3
)
3
2
]
19
3
28
3
=
1
3
[
4
3
(
3x
-3
)
3
]
19
3
28
3
=
1
3
(
4
3
(
3⋅(
28
3
)
-3
)
3
-
4
3
(
3⋅(
19
3
)
-3
)
3
)
=
1
3
(
4
3
(
28
-3
)
3
-
4
3
(
19
-3
)
3
)
=
1
3
(
4
3
(
25
)
3
-
4
3
(
16
)
3
)
=
1
3
(
4
3
⋅
5
3
-
4
3
⋅
4
3
)
=
1
3
(
4
3
⋅125
-
4
3
⋅64
)
=
1
3
(
500
3
-
256
3
)
=
1
3
·
244
3
=
244
9
≈ 27,111
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 3x -7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
3
3x
-7
ⅆ
x
=
∫
4
u
-3
(
3x
-7
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
ln(
|
3x
-7
|
)
]
4
u
=
-
ln(
|
3(
u
)
-7
|
)
+
ln(
|
3⋅4
-7
|
)
=
-
ln(
|
3u
-7
|
)
+
ln(
|
12
-7
|
)
=
-
ln(
|
3u
-7
|
)
+
ln(
5
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
ln(
5
)
-
ln(
|
3x
-7
|
)
→
∞