Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{3}$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{20}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{20}{3}

:

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} 4 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} 4 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{20 - 4})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 4^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 64 - \frac{8}{9} \cdot 27$

= $\frac{512}{9} - 24$

= $\frac{512}{9} - \frac{216}{9}$

= $\frac{296}{9}$

≈ 32,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{20}{3}

zusammen:

B = 17 + $\frac{296}{9}$ = $\frac{449}{9}$ ≈ 49.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{1}{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} {(3 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 5 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 5 - 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 15 - 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (10) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (10) - \frac{1}{3} \ln (4)$

≈ 0,305

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 12 + $\frac{1}{3} \ln (| 10 |) - \frac{1}{3} \ln (| 4 |)$ ≈ 12.31

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,1 x - 0,7} ⅆ x$ = $15$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,1 x - 0,7} ⅆ x

= ${[8 e^{0,1 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,1 u - 0,7} - 8 e^{0,1 \cdot 0 - 0,7}$

= $8 e^{0,1 u - 0,7} - 8 e^{0 - 0,7}$

= $8 e^{0,1 u - 0,7} - 8 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,1 u - 0,7} - 8 e^{- 0,7}$	=	$15$	\| $+ 8 e^{- 0,7}$
$8 e^{0,1 u - 0,7}$	=	$8 e^{- 0,7} + 15$
$8 e^{0,1 u - 0,7}$	=	$18,9727$	\|: $8$
$e^{0,1 u - 0,7}$	=	$2,3716$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,7$	=	$\ln (2,3716)$

$0,1 u - 0,7$	=	$0,8636$	\| $+ 0,7$
$0,1 u$	=	$1,5636$	\|: $0,1$
$u$	=	$15,636$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sin (3 x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \sin (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (2 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + \frac{1}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3 π}$

≈ 0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{2}^{u}$

$=$ $3 e^{u - 3} - 3 e^{2 - 3}$

= $3 e^{u - 3} - 3 e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 e^{u - 3} - 3 e^{- 1}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale