Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 5 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $5 e^{1 - 2} - 5 e^{0 - 2}$

= $5 e^{- 1} - 5 e^{- 2}$

≈ 1,163

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 17 + $5 e^{- 1} - 5 e^{- 2}$ ≈ 18.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 5} - \frac{4}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{4} - \frac{4}{3} e^{- 2}$

≈ 72,617

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 10 + $\frac{4}{3} e^{4} - \frac{4}{3} e^{- 2}$ ≈ 82.62

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,6 x + 0,1} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,6 x + 0,1} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,6 x + 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,6 u + 0,1} + 6 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,1}$

= $- 6 e^{- 0,6 u + 0,1} + 6 e^{0 + 0,1}$

= $- 6 e^{- 0,6 u + 0,1} + 6 e^{0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,6 u + 0,1} + 6 e^{0,1}$	=	$1$	\| $- 6 e^{0,1}$
$- 6 e^{- 0,6 u + 0,1}$	=	$- 6 e^{0,1} + 1$
$- 6 e^{- 0,6 u + 0,1}$	=	$- 5,631$	\|: $- 6$
$e^{- 0,6 u + 0,1}$	=	$0,9385$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,1$	=	$\ln (0,9385)$

$- 0,6 u + 0,1$	=	$- 0,0635$	\| $- 0,1$
$- 0,6 u$	=	$- 0,1635$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$0,2725$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 e^{x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 5 e^{x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[5 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (5 e^{2 - 3} - 5 e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{2} (5 e^{- 1} - 5 e^{- 3})$

≈ 0,795

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{- 3 x + 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

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A(u)=

\int_{2}^{u} - e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 4}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 4} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 4}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 4} - \frac{1}{3} e^{- 6 + 4}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 4} - \frac{1}{3} e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 4} - \frac{1}{3} e^{- 2}$ → $0 - \frac{1}{3} e^{- 2}$ = $- \frac{1}{3} e^{- 2}$ ≈ -0.045

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.045

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale