Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 3 e 2x -5 x

= [ 3 2 e 2x -5 ] 0 3

= 3 2 e 23 -5 - 3 2 e 20 -5

= 3 2 e 6 -5 - 3 2 e 0 -5

= 3 2 e 1 - 3 2 e -5

= 3 2 e - 3 2 e -5


≈ 4,067
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 37 + - 3 2 e -5 + 3 2 e ≈ 41.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 4 e 2x -1 x

= [ 2 e 2x -1 ] 0 2

= 2 e 22 -1 -2 e 20 -1

= 2 e 4 -1 -2 e 0 -1

= 2 e 3 -2 e -1


≈ 39,435
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 60 + 2 e 3 -2 e -1 ≈ 99.44

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,2 e -0,2x +0,3 x = 1

Lösung einblenden
0 u 0,2 e -0,2x +0,3 x

= [ - e -0,2x +0,3 ] 0 u

= - e -0,2u +0,3 + e -0,20 +0,3

= - e -0,2u +0,3 + e 0 +0,3

= - e -0,2u +0,3 + e 0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- e -0,2u +0,3 + e 0,3 = 1 | - e 0,3
- e -0,2u +0,3 = - e 0,3 +1
- e -0,2u +0,3 = -0,3499 |:-1
e -0,2u +0,3 = 0,3499 |ln(⋅)
-0,2u +0,3 = ln( 0,3499 )
-0,2u +0,3 = -1,0501 | -0,3
-0,2u = -1,3501 |:(-0,2 )
u = 6,7505

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 e 3x -7 zwischen 0 und 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 +0 0 1 6 e 3x -7 x

= 1 [ 2 e 3x -7 ] 0 1

= 2 e 31 -7 -2 e 30 -7

= 2 e 3 -7 -2 e 0 -7

= 2 e -4 -2 e -7


≈ 0,035

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( 2x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u - 3 ( 2x -1 ) 3 x
= 1 u -3 ( 2x -1 ) -3 x

= [ 3 4 ( 2x -1 ) -2 ] 1 u

= [ 3 4 ( 2x -1 ) 2 ] 1 u

= 3 4 ( 2u -1 ) 2 - 3 4 ( 21 -1 ) 2

= 3 4 ( 2u -1 ) 2 - 3 4 ( 2 -1 ) 2

= 3 4 ( 2u -1 ) 2 - 3 4 1 2

= 3 4 ( 2u -1 ) 2 - 3 4 1

= 3 4 ( 2u -1 ) 2 - 3 4

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 4 ( 2u -1 ) 2 - 3 4 0 - 3 4 = - 3 4 ≈ -0.75

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.75