= ${\left[3e^{2x-3}\right]}_2^3$

$=$ $3e^{2\cdot 3-3}-3e^{2\cdot 2-3}$

= $3e^{6-3}-3e^{4-3}$

= $3e^3-3e^1$

= $3e^3-3e$

= ${\left[-6{\left(x-1\right)}^{-1}\right]}_3^6$

= ${\left[-\frac{6}{x-1}\right]}_3^6$

$=$ $-\frac{6}{6-1}+\frac{6}{3-1}$

= $-\frac{6}{5}+\frac{6}{2}$

= $-6\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+6\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $-\frac{6}{5}+3$

= $-\frac{6}{5}+\frac{15}{5}$

= $\frac{9}{5}$

= ${\left[-5e^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5}}\right]}_0^u$

$=$ $-5e^{-\mathrm{0,5}u+\mathrm{0,5}}+5e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0+\mathrm{0,5}}$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}u+\mathrm{0,5}}+5e^{0+\mathrm{0,5}}$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}u+\mathrm{0,5}}+5e^{\mathrm{0,5}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{3\pi }$ ${\left[-2\cdot \cos \left(2x-\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3\pi }·\left(-2\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\pi \right)+2\cdot \cos \left(2\cdot \left(0\right)-\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(-2\cdot \cos \left(\frac{5}{2}\pi \right)+2\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(-2\cdot 0+2\cdot 0\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(0+0\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·0$

= 0

= ${\left[-4{\left(x-3\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{12}$

= ${\left[-4\sqrt{x-3}\right]}_u^{12}$

$=$ $-4\sqrt{12-3}+4\sqrt{u-3}$

= $-4\sqrt{9}+4\sqrt{u-3}$

= $-4\cdot 3+4\sqrt{u-3}$

= $-12+4\sqrt{u-3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $4\sqrt{u-3}-12$ → $0-12$ = $-12$ ≈ -12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12