Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 130,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 5 + = ≈ 135.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 21,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 19 + = ≈ 40.78
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
49
|
=
-7
|
| u2 |
= |
49
|
=
7
|
Da u=
-7
< 2 ist u=
7
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 e 2x -1 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
+0
∫
0
1
4
e
2x
-1
ⅆ
x
=
1
[
2
e
2x
-1
]
0
1
=
2
e
2⋅1
-1
-2
e
2⋅0
-1
=
2
e
2
-1
-2
e
0
-1
=
2
e
1
-2
e
-1
=
2e
-2
e
-1
≈ 4,701
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -3x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
2
(
-3x
+3
)
2
ⅆ
x
=
∫
3
u
2
(
-3x
+3
)
-2
ⅆ
x
=
[
2
3
(
-3x
+3
)
-1
]
3
u
=
[
2
3(
-3x
+3
)
]
3
u
=
2
3(
-3u
+3
)
-
2
3(
-3⋅3
+3
)
=
2
3(
-3u
+3
)
-
2
3(
-9
+3
)
=
2
3(
-3u
+3
)
-
2
3
( -6 )
=
2
3(
-3u
+3
)
-
2
3
⋅(
-
1
6
)
=
2
3(
-3u
+3
)
+
1
9
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
3(
-3u
+3
)
+
1
9
→
0
+
1
9
=
1
9
≈ 0.111
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.111