Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{4}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 4 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{4}{3 (3 x - 3)}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3 (3 \cdot 3 - 3)} + \frac{4}{3 (3 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{4}{3 (9 - 3)} + \frac{4}{3 (6 - 3)}$

= $- \frac{4}{3 \cdot 6} + \frac{4}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{6}) + \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{9} + \frac{4}{9}$

= $\frac{2}{9}$

≈ 0,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 8 + $\frac{2}{9}$ = $\frac{74}{9}$ ≈ 8.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $6 e^{2 - 3} - 6 e^{0 - 3}$

= $6 e^{- 1} - 6 e^{- 3}$

≈ 1,909

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 6 + $6 e^{- 1} - 6 e^{- 3}$ ≈ 7.91

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 8 x + 1) ⅆ x$ = $- 135$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 8 x + 1) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + u - (- 4 \cdot 1^{2} + 1)$

= $- 4 u^{2} + u - (- 4 \cdot 1 + 1)$

= $- 4 u^{2} + u - (- 4 + 1)$

= $- 4 u^{2} + u - 1 \cdot (- 3)$

= $- 4 u^{2} + u + 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 135$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + u + 3

=

- 135

|

+ 135

$- 4 u^{2} + u + 138$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 138}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 2 208}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{2 209}}{- 8}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{2 209}}{- 8}$ = $\frac{- 1+47}{- 8}$ = $\frac{46}{- 8}$ = $- 5,75$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{2 209}}{- 8}$ = $\frac{- 1-47}{- 8}$ = $\frac{- 48}{- 8}$ = $6$

Da u= $- 5,75$ < 1 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 2)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 3}

\int_{3}^{6} \frac{3}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{3}^{6} 3 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{3}{2 (2 x - 2)}]}_{3}^{6}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{3}{2 (2 \cdot 6 - 2)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 2)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{3}{2 (12 - 2)} + \frac{3}{2 (6 - 2)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{3}{2 \cdot 10} + \frac{3}{2 \cdot 4})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{10}) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{3}{20} + \frac{3}{8})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{6}{40} + \frac{15}{40})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{40}$

= $\frac{3}{40}$

= 0,075

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $2,5$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2,5} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2,5} - {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{2,5}$

= ${[- \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{2,5}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 2,5 - 4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{5 - 4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{1} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- 1 + \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{2 u - 4} - 1$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 4} - 1$ → $0 - 1$ = $- 1$ ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale