Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 4 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{12 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{7} - \frac{1}{3} e^{- 2}$

≈ 365,499

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 19 + $\frac{1}{3} e^{7} - \frac{1}{3} e^{- 2}$ ≈ 384.5

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 41 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 6 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 1 - 2} - 3 e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $3 e^{2 - 2} - 3 e^{0 - 2}$

= $3 e^{0} - 3 e^{- 2}$

= $3 - 3 e^{- 2}$

≈ 2,594

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 41 + $- 3 e^{- 2} + 3$ ≈ 43.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,2 e^{0,2 x - 0,1} ⅆ x$ = $5$

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\int_{0}^{u} 0,2 e^{0,2 x - 0,1} ⅆ x

= ${[e^{0,2 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{0,2 u - 0,1} - e^{0,2 \cdot 0 - 0,1}$

= $e^{0,2 u - 0,1} - e^{0 - 0,1}$

= $e^{0,2 u - 0,1} - e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$e^{0,2 u - 0,1} - e^{- 0,1}$	=	$5$	\| $+ e^{- 0,1}$
$e^{0,2 u - 0,1}$	=	$e^{- 0,1} + 5$
$e^{0,2 u - 0,1}$	=	$5,9048$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,1$	=	$\ln (5,9048)$

$0,2 u - 0,1$	=	$1,7758$	\| $+ 0,1$
$0,2 u$	=	$1,8758$	\|: $0,2$
$u$	=	$9,379$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $18$ und Minute $27$ .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{27 - 18}

\int_{18}^{27} 5 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{18}^{27} 5 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{10}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (\frac{1250}{3} - \frac{640}{3})$

= $\frac{1}{9} \cdot \frac{610}{3}$

= $\frac{610}{27}$

≈ 22,593

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $9$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

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A(u)=

\int_{u}^{9} \frac{2}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{9} \frac{2}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{9} 2 x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{9}$

= ${[4 \sqrt{x}]}_{u}^{9}$

$=$ $4 \sqrt{9} - 4 \sqrt{u}$

= $4 \cdot 3 - 4 \sqrt{u}$

= $12 - 4 \sqrt{u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u} + 12$ → $0 + 12$ = $12$ ≈ 12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale