Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 4 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 5^{3} - \frac{8}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 125 - \frac{8}{3} \cdot 64$

= $\frac{1000}{3} - \frac{512}{3}$

= $\frac{488}{3}$

≈ 162,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 14 + $\frac{488}{3}$ = $\frac{530}{3}$ ≈ 176.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 5 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{10 - 4} - \frac{5}{2} e^{4 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2} e^{0}$

= $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2}$

≈ 1006,072

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 10 + $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2}$ ≈ 1016.07

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 8 x + 4) ⅆ x$ = $- 56$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 8 x + 4) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + 4 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 4 u - (- 4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3)$

= $- 4 u^{2} + 4 u - (- 4 \cdot 9 + 12)$

= $- 4 u^{2} + 4 u - (- 36 + 12)$

= $- 4 u^{2} + 4 u - 1 \cdot (- 24)$

= $- 4 u^{2} + 4 u + 24$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 56$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + 4 u + 24

=

- 56

|

+ 56

- 4 u^{2} + 4 u + 80

= 0 |:4

$- u^{2} + u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Da u= $- 4$ < 3 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(3 x - 7)}^{2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} 5 {(3 x - 7)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{9} {(3 x - 7)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 4 - 7)}^{3} - \frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 7)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot {(12 - 7)}^{3} - \frac{5}{9} \cdot {(3 - 7)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot 5^{3} - \frac{5}{9} \cdot {(- 4)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot 125 - \frac{5}{9} \cdot (- 64))$

= $\frac{1}{3} (\frac{625}{9} + \frac{320}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot 105$

= $35$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $2 e^{2 x - 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{2}^{u}$

$=$ $e^{2 u - 4} - e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $e^{2 u - 4} - e^{4 - 4}$

= $e^{2 u - 4} - e^{0}$

= $e^{2 u - 4} - 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{2 u - 4} - 1$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale