Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{7}{3}$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $4$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{7}{3}

und

4

:

\int_{\frac{7}{3}}^{4} 5 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{3}}^{4} 5 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{3}}^{4}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{3}}^{4}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{7}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 3^{3} - \frac{10}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 27 - \frac{10}{9} \cdot 8$

= $30 - \frac{80}{9}$

= $\frac{270}{9} - \frac{80}{9}$

= $\frac{190}{9}$

≈ 21,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{7}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{7}{3}

und

4

zusammen:

B = 13 + $\frac{190}{9}$ = $\frac{307}{9}$ ≈ 34.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $17$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $26$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

17

und

26

:

\int_{17}^{26} \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{17}^{26} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{17}^{26}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{17}^{26}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

17

und der Änderung zwischen

17

und

26

zusammen:

B = 15 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{167}{3}$ ≈ 55.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 6 x ⅆ x$ = $81$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 6 x ⅆ x

= ${[3 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 3 \cdot 3^{2}$

= $3 u^{2} - 3 \cdot 9$

= $3 u^{2} - 27$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $81$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 u^{2} - 27$	=	$81$	\| $+ 27$
$3 u^{2}$	=	$108$	\|: $3$
$u^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
u₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da u= $- 6$ < 3 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} \frac{6}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{2}^{5} 6 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- 2 {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{2}{3 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 \cdot 5 - 3} + \frac{2}{3 \cdot 2 - 3})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{15 - 3} + \frac{2}{6 - 3})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{12} + \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{3} (- 2 \cdot (\frac{1}{12}) + 2 \cdot (\frac{1}{3}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{6} + \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{6} + \frac{4}{6})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{6}$

≈ 0,167

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} \frac{3}{{(x)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} \frac{3}{x^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} 3 x^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{- 2}]}_{u}^{3}$

= ${[- \frac{3}{2 x^{2}}]}_{u}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{3}{2 u^{2}}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{3}{2 u^{2}}$

= $- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 u^{2}}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 u^{2}}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale