Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 1)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{3}{{(x - 1)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 3 {(x - 1)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- {(x - 1)}^{- 3}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{{(6 - 1)}^{3}} + \frac{1}{{(3 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{2^{3}}$

= $- (\frac{1}{125}) + \frac{1}{8}$

= $\frac{117}{1000}$

= 0,117

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 9 + $\frac{117}{1000}$ = $\frac{9117}{1000}$ ≈ 9.12

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{6}{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 6 {(2 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| 2 x - 3 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $3 \ln (| 2 \cdot 4 - 3 |) - 3 \ln (| 2 \cdot 2 - 3 |)$

= $3 \ln (| 8 - 3 |) - 3 \ln (| 4 - 3 |)$

= $3 \ln (5) - 3 \ln (| 4 - 3 |)$

= $3 \ln (5) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (5) + 0$

= $3 \ln (5)$

≈ 4,828

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 7 + $3 \ln (5)$ ≈ 11.83

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,1 e^{- 0,1 x + 0,8} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,1 e^{- 0,1 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,1 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,1 u + 0,8} + e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,8}$

= $- e^{- 0,1 u + 0,8} + e^{0 + 0,8}$

= $- e^{- 0,1 u + 0,8} + e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,1 u + 0,8} + e^{0,8}$	=	$1$	\| $- e^{0,8}$
$- e^{- 0,1 u + 0,8}$	=	$- e^{0,8} + 1$
$- e^{- 0,1 u + 0,8}$	=	$- 1,2255$	\|: $- 1$
$e^{- 0,1 u + 0,8}$	=	$1,2255$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,8$	=	$\ln (1,2255)$

$- 0,1 u + 0,8$	=	$0,2033$	\| $- 0,8$
$- 0,1 u$	=	$- 0,5967$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$5,967$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(x - 1)}^{2} + 6 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} (4 {(x - 1)}^{2} + 6 x) ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{4}{3} {(x - 1)}^{3} + 3 x^{2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(4 - 1)}^{3} + 3 \cdot 4^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(0 - 1)}^{3} + 3 \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot 3^{3} + 3 \cdot 16 - (\frac{4}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 3 \cdot 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot 27 + 48 - (\frac{4}{3} \cdot (- 1) + 0))$

= $\frac{1}{4} (36 + 48 - (- \frac{4}{3} + 0))$

= $\frac{1}{4} (84 - (- \frac{4}{3} + 0))$

= $\frac{1}{4} (84 + \frac{4}{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{252}{3} + \frac{4}{3})$

= $\frac{1}{4} \cdot \frac{256}{3}$

= $\frac{64}{3}$

≈ 21,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{x - 1}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{u - 1} - e^{0 - 1}$

= $e^{u - 1} - e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{u - 1} - e^{- 1}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale