Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,006
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7
zusammen:
B = 11 + = ≈ 11.01
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
ln(
|
6
-2
|
)
-
ln(
|
3
-2
|
)
=
ln(
4
)
-
ln(
|
3
-2
|
)
=
ln(
4
)
-
ln(
1
)
=
ln(
4
)
+0
=
ln(
4
)
≈ 1,386
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 6 +
ln(
4
)
≈ 7.39
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass ∫ 2 u 8x ⅆ x = 240
Lösung einblenden
∫
2
u
8x
ⅆ
x
=
[
4
x
2
]
2
u
=
4
u
2
-4⋅
2
2
=
4
u
2
-4⋅4
=
4
u
2
-16
|
4
u
2
-16
|
= |
240
|
|
+16
|
|
4
u
2
|
= |
256
|
|:4
|
|
u
2
|
= |
64
|
|
⋅2
|
| u1 |
= |
-
64
|
=
-8
|
| u2 |
= |
64
|
=
8
|
Da u=
-8
< 2 ist u=
8
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-2
∫
2
4
3
(
3x
-3
)
2
ⅆ
x
=
1
2
∫
2
4
3
(
3x
-3
)
-2
ⅆ
x
=
1
2
[
-
(
3x
-3
)
-1
]
2
4
=
1
2
[
-
1
3x
-3
]
2
4
=
1
2
(
-
1
3⋅4
-3
+
1
3⋅2
-3
)
=
1
2
(
-
1
12
-3
+
1
6
-3
)
=
1
2
(
-
1
9
+
1
3
)
=
1
2
(
-(
1
9
)
+
1
3
)
=
1
2
·
2
9
≈ 0,111
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 -3x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
2
-3x
+5
ⅆ
x
=
∫
2
u
2
(
-3x
+5
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
2
3
ln(
|
-3x
+5
|
)
]
2
u
=
-
2
3
ln(
|
-3(
u
)
+5
|
)
+
2
3
ln(
|
-3⋅2
+5
|
)
=
-
2
3
ln(
|
-3u
+5
|
)
+
2
3
ln(
|
-6
+5
|
)
=
-
2
3
ln(
|
-3u
+5
|
)
+
2
3
ln(
1
)
=
-
2
3
ln(
|
-3u
+5
|
)
+0
=
-
2
3
ln(
|
-3x
+5
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
2
3
ln(
|
-3x
+5
|
)
→
∞