Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
=
=
=
=
= 1,5
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 10 + = ≈ 11.5
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 11,752
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 13 +
≈ 24.75
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
72,25
|
=
-8,5
|
| u2 |
= |
72,25
|
=
8,5
|
Da u=
-8,5
< 3 ist u=
8,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6⋅ cos( 2x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
6⋅
cos(
2x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
3⋅
sin(
2x
+
3
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
3⋅
sin(
2⋅π
+
3
2
π)
-3⋅
sin(
2⋅(
1
2
π )
+
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
3⋅
sin(
7
2
π)
-3⋅
sin(
5
2
π)
)
=
2
π
·
(
3⋅( -1 )
-3⋅1
)
=
2
π
·
(
-3
-3
)
=
2
π
·
(
-6
)
=
-
12
π
≈ -3,82
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( x ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
2
3
(
x
)
3
ⅆ
x
=
∫
u
2
3
x
3
ⅆ
x
=
∫
u
2
3
x
-3
ⅆ
x
=
[
-
3
2
x
-2
]
u
2
=
[
-
3
2
x
2
]
u
2
=
-
3
2⋅
2
2
+
3
2
u
2
=
-
3
2
⋅(
1
4
)
+
3
2
u
2
=
-
3
8
+
3
2
u
2
Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) =
-
3
8
+
3
2
u
2
→
∞