Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 18 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 19 + = ≈ 100.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
42
-8
=
-5,25
u2 =
-3
-
2025
-8
=
-3
-45
-8
=
-48
-8
=
6
Da u=
-5,25
< 0 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 2x -4 ) 3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
2
+0
∫
0
2
6
(
2x
-4
)
3
ⅆ
x
=
1
2
[
3
4
(
2x
-4
)
4
]
0
2
=
1
2
(
3
4
⋅
(
2⋅2
-4
)
4
-
3
4
⋅
(
2⋅0
-4
)
4
)
=
1
2
(
3
4
⋅
(
4
-4
)
4
-
3
4
⋅
( 0
-4
)
4
)
=
1
2
(
3
4
⋅
0
4
-
3
4
⋅
( -4 )
4
)
=
1
2
(
3
4
⋅0
-
3
4
⋅256
)
=
1
2
(0
-192
)
=
-96
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( 2x -2 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
2
(
2x
-2
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
-2
(
2x
-2
)
-3
ⅆ
x
=
[
1
2
(
2x
-2
)
-2
]
3
u
=
[
1
2
(
2x
-2
)
2
]
3
u
=
1
2
(
2u
-2
)
2
-
1
2
(
2⋅3
-2
)
2
=
1
2
(
2u
-2
)
2
-
1
2
(
6
-2
)
2
=
1
2
(
2u
-2
)
2
-
1
2⋅
4
2
=
1
2
(
2u
-2
)
2
-
1
2
⋅(
1
16
)
=
1
2
(
2u
-2
)
2
-
1
32
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
2
(
2u
-2
)
2
-
1
32
→
0
-
1
32
=
-
1
32
≈ -0.031
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.031