Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 e x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 4 e x -1 x

= [ 4 e x -1 ] 1 2

= 4 e 2 -1 -4 e 1 -1

= 4 e 1 -4 e 0

= 4e -4


≈ 6,873
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 7 + -4 +4e ≈ 13.87

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 52 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 e x -2 x

= [ e x -2 ] 0 1

= e 1 -2 - e 0 -2

= e -1 - e -2


≈ 0,233
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 52 + e -1 - e -2 ≈ 52.23

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,4 e -0,4x +0,9 x = 6

Lösung einblenden
0 u 2,4 e -0,4x +0,9 x

= [ -6 e -0,4x +0,9 ] 0 u

= -6 e -0,4u +0,9 +6 e -0,40 +0,9

= -6 e -0,4u +0,9 +6 e 0 +0,9

= -6 e -0,4u +0,9 +6 e 0,9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 6 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-6 e -0,4u +0,9 +6 e 0,9 = 6 | -6 e 0,9
-6 e -0,4u +0,9 = -6 e 0,9 +6
-6 e -0,4u +0,9 = -8,7576 |:-6
e -0,4u +0,9 = 1,4596 |ln(⋅)
-0,4u +0,9 = ln( 1,4596 )
-0,4u +0,9 = 0,3782 | -0,9
-0,4u = -0,5218 |:(-0,4 )
u = 1,3045

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 e 3x -6 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 4 e 3x -6 x

= 1 3 [ 4 3 e 3x -6 ] 0 3

= 1 3 ( 4 3 e 33 -6 - 4 3 e 30 -6 )

= 1 3 ( 4 3 e 9 -6 - 4 3 e 0 -6 )

= 1 3 ( 4 3 e 3 - 4 3 e -6 )


≈ 8,926

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 x -3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 7 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= u 7 2 x -3 x
= u 7 2 ( x -3 ) - 1 2 x

= [ 4 ( x -3 ) 1 2 ] u 7

= [ 4 x -3 ] u 7

= 4 7 -3 -4 u -3

= 4 4 -4 u -3

= 42 -4 u -3

= 8 -4 u -3

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = -4 u -3 +8 0 +8 = 8 ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8