Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 78 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 5 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 5} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 5} - \frac{5}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{7} - \frac{5}{3} e^{- 2}$

≈ 1827,496

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 78 + $\frac{5}{3} e^{7} - \frac{5}{3} e^{- 2}$ ≈ 1905.5

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{1}^{2} 3 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{1}^{2}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 1)}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 2 - 1)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

= $- \frac{3}{2 (4 - 1)} + \frac{3}{2 (2 - 1)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{3}) + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

= $- 0,5 + 1,5$

= $1$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 8 + $1$ = $9$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,6 x - 0,3} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,6 x - 0,3} ⅆ x

= ${[2 e^{0,6 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,6 u - 0,3} - 2 e^{0,6 \cdot 0 - 0,3}$

= $2 e^{0,6 u - 0,3} - 2 e^{0 - 0,3}$

= $2 e^{0,6 u - 0,3} - 2 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,6 u - 0,3} - 2 e^{- 0,3}$	=	$5$	\| $+ 2 e^{- 0,3}$
$2 e^{0,6 u - 0,3}$	=	$2 e^{- 0,3} + 5$
$2 e^{0,6 u - 0,3}$	=	$6,4816$	\|: $2$
$e^{0,6 u - 0,3}$	=	$3,2408$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,3$	=	$\ln (3,2408)$

$0,6 u - 0,3$	=	$1,1758$	\| $+ 0,3$
$0,6 u$	=	$1,4758$	\|: $0,6$
$u$	=	$2,4597$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 {(3 x - 7)}^{2}$ zwischen 0 und 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 2 {(3 x - 7)}^{2} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 7)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 7)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 7)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(3 - 7)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(0 - 7)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 4)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(- 7)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot (- 64) - \frac{2}{9} \cdot (- 343)$

= $- \frac{128}{9} + \frac{686}{9}$

= $62$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $11$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{11} - \frac{1}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{11} - {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{11}$

= ${[- 2 \sqrt{x - 2}]}_{u}^{11}$

$=$ $- 2 \sqrt{11 - 2} + 2 \sqrt{u - 2}$

= $- 2 \sqrt{9} + 2 \sqrt{u - 2}$

= $- 2 \cdot 3 + 2 \sqrt{u - 2}$

= $- 6 + 2 \sqrt{u - 2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{u - 2} - 6$ → $0 - 6$ = $- 6$ ≈ -6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale