Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 6 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 3 - 6} - 2 e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $2 e^{9 - 6} - 2 e^{0 - 6}$

= $2 e^{3} - 2 e^{- 6}$

≈ 40,166

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 2 + $2 e^{3} - 2 e^{- 6}$ ≈ 42.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 4 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 5 - 3} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{4}{3} e^{15 - 3} - \frac{4}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{4}{3} e^{12} - \frac{4}{3} e^{3}$

≈ 216979,608

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 73 + $\frac{4}{3} e^{12} - \frac{4}{3} e^{3}$ ≈ 217052.61

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (2 x + 4) ⅆ x$ = $9$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (2 x + 4) ⅆ x

= ${[x^{2} + 4 x]}_{2}^{u}$

$=$ $u^{2} + 4 u - (2^{2} + 4 \cdot 2)$

= $u^{2} + 4 u - (4 + 8)$

= $u^{2} + 4 u - 4 - 8$

= $u^{2} + 4 u - 12$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} + 4 u - 12

=

9

|

- 9

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Da u= $- 7$ < 2 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $19$ und Minute $28$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{28 - 19}

\int_{19}^{28} 4 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{19}^{28} 4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{8}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{1}{9} (\frac{8}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{8}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{8}{3} \cdot 5^{3} - \frac{8}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{8}{3} \cdot 125 - \frac{8}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (\frac{1000}{3} - \frac{512}{3})$

= $\frac{1}{9} \cdot \frac{488}{3}$

= $\frac{488}{27}$

≈ 18,074

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- x + 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{{(- x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(- x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 3 {(- x + 3)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{3}{- x + 3}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{- u + 3} + \frac{3}{- 4 + 3}$

= $- \frac{3}{- u + 3} + \frac{3}{(- 1)}$

= $- \frac{3}{- u + 3} + 3 \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{- u + 3} - 3$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{- u + 3} - 3$ → $0 - 3$ = $- 3$ ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale