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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 e x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
∫ 1 2 4 e x -2 ⅆ x

= [ 4 e x -2 ] 1 2

= 4 e 2 -2 -4 e 1 -2

= 4 e 0 -4 e -1

= 4 -4 e -1


≈ 2,528
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 12 + -4 e -1 +4 ≈ 14.53

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 2x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 49 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
∫ 1 3 6 e 2x -3 ⅆ x

= [ 3 e 2x -3 ] 1 3

= 3 e 2⋅3 -3 -3 e 2⋅1 -3

= 3 e 6 -3 -3 e 2 -3

= 3 e 3 -3 e -1


≈ 59,153
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 49 + 3 e 3 -3 e -1 ≈ 108.15

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass ∫ 3 u 8x ⅆ x = 364

Lösung einblenden
∫ 3 u 8x ⅆ x

= [ 4 x 2 ] 3 u

= 4 u 2 -4⋅ 3 2

= 4 u 2 -4⋅9

= 4 u 2 -36

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 364 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -36 = 364 | +36
4 u 2 = 400 |:4
u 2 = 100 | ⋅2
u1 = - 100 = -10
u2 = 100 = 10

Da u= -10 < 3 ist u= 10 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2⋅ cos( 2x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π ∫ 1 2 π π 2⋅ cos( 2x - 1 2 π) ⅆ x

= 2 π [ sin( 2x - 1 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( sin( 2⋅π - 1 2 π) - sin( 2⋅( 1 2 π ) - 1 2 π) )

= 2 π · ( sin( 3 2 π) - sin( 1 2 π) )

= 2 π · ( -1 - 1 )

= 2 -1 -1 π

= 2 -2 π

= - 4 π


≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( -2x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u 1 ( -2x +3 ) 2 ⅆ x
= ∫ 2 u ( -2x +3 ) -2 ⅆ x

= [ 1 2 ( -2x +3 ) -1 ] 2 u

= [ 1 2( -2x +3 ) ] 2 u

= 1 2( -2u +3 ) - 1 2( -2⋅2 +3 )

= 1 2( -2u +3 ) - 1 2( -4 +3 )

= 1 2( -2u +3 ) - 1 2 ( -1 )

= 1 2( -2u +3 ) - 1 2 ⋅( -1 )

= 1 2( -2u +3 ) + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2( -2u +3 ) + 1 2 → 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5