Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
≈ 0,698
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 28 +
≈ 28.7
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 18,134
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 27 +
≈ 45.13
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
30
6
=
5
u2 =
5
-
625
6
=
5
-25
6
=
-20
6
=
-
10
3
≈ -3.33
Da u=
-
10
3
< 2 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 2x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-3
∫
3
4
6
(
2x
-3
)
2
ⅆ
x
=
1
∫
3
4
6
(
2x
-3
)
-2
ⅆ
x
=
1
[
-3
(
2x
-3
)
-1
]
3
4
=
1
[
-
3
2x
-3
]
3
4
=
-
3
2⋅4
-3
+
3
2⋅3
-3
=
-
3
8
-3
+
3
6
-3
=
-
3
5
+
3
3
=
-3⋅(
1
5
)
+3⋅(
1
3
)
=
-
3
5
+1
=
-
3
5
+
5
5
=
2
5
= 0,4
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( -3x +6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
2
(
-3x
+6
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
-2
(
-3x
+6
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
3
(
-3x
+6
)
-2
]
3
u
=
[
-
1
3
(
-3x
+6
)
2
]
3
u
=
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
3
(
-3⋅3
+6
)
2
=
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
3
(
-9
+6
)
2
=
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
3
( -3 )
2
=
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
3
⋅(
1
9
)
=
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
27
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
27
→
0
+
1
27
=
1
27
≈ 0.037
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.037