Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 29 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $3 e^{3 - 2} - 3 e^{0 - 2}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 2}$

= $3 e - 3 e^{- 2}$

≈ 7,749

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 29 + $- 3 e^{- 2} + 3 e$ ≈ 36.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 54 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 1} - \frac{3}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ 222,068

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 54 + $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e^{- 1}$ ≈ 276.07

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,5 e^{- 0,5 x + 0,1} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,5 e^{- 0,5 x + 0,1} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,5 x + 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,5 u + 0,1} + 5 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,1}$

= $- 5 e^{- 0,5 u + 0,1} + 5 e^{0 + 0,1}$

= $- 5 e^{- 0,5 u + 0,1} + 5 e^{0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,5 u + 0,1} + 5 e^{0,1}$	=	$3$	\| $- 5 e^{0,1}$
$- 5 e^{- 0,5 u + 0,1}$	=	$- 5 e^{0,1} + 3$
$- 5 e^{- 0,5 u + 0,1}$	=	$- 2,5259$	\|: $- 5$
$e^{- 0,5 u + 0,1}$	=	$0,5052$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,1$	=	$\ln (0,5052)$

$- 0,5 u + 0,1$	=	$- 0,6828$	\| $- 0,1$
$- 0,5 u$	=	$- 0,7828$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$1,5656$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 4 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 2 \cdot \cos (2 \cdot π + \frac{3}{2} π) + 2 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2 \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{5}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 3 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 1}]}_{2}^{u}$

$=$ $3 e^{- u + 1} - 3 e^{- 2 + 1}$

= $3 e^{- u + 1} - 3 e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 e^{- u + 1} - 3 e^{- 1}$ → $0 - 3 e^{- 1}$ = $- 3 e^{- 1}$ ≈ -1.104

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.104

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale