Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{12 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3} e^{0}$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3}$

≈ 5401,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 17 + $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3}$ ≈ 5418.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 4}$

≈ 9,828

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 8 + $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 4}$ ≈ 17.83

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,9 x + 0,2} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,9 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,9 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,9 u + 0,2} + 3 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 3 e^{- 0,9 u + 0,2} + 3 e^{0 + 0,2}$

= $- 3 e^{- 0,9 u + 0,2} + 3 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,9 u + 0,2} + 3 e^{0,2}$	=	$3$	\| $- 3 e^{0,2}$
$- 3 e^{- 0,9 u + 0,2}$	=	$- 3 e^{0,2} + 3$
$- 3 e^{- 0,9 u + 0,2}$	=	$- 0,6642$	\|: $- 3$
$e^{- 0,9 u + 0,2}$	=	$0,2214$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,2$	=	$\ln (0,2214)$

$- 0,9 u + 0,2$	=	$- 1,5078$	\| $- 0,2$
$- 0,9 u$	=	$- 1,7078$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$1,8976$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(2 x - 1)}^{3} + 4$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} (5 {(2 x - 1)}^{3} + 4) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{5}{8} {(2 x - 1)}^{4} + 4 x]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{5}{8} \cdot {(2 \cdot 3 - 1)}^{4} + 4 \cdot 3 - (\frac{5}{8} \cdot {(2 \cdot 2 - 1)}^{4} + 4 \cdot 2)$

= $\frac{5}{8} \cdot {(6 - 1)}^{4} + 12 - (\frac{5}{8} \cdot {(4 - 1)}^{4} + 8)$

= $\frac{5}{8} \cdot 5^{4} + 12 - (\frac{5}{8} \cdot 3^{4} + 8)$

= $\frac{5}{8} \cdot 625 + 12 - (\frac{5}{8} \cdot 81 + 8)$

= $\frac{3125}{8} + 12 - (\frac{405}{8} + 8)$

= $\frac{3125}{8} + \frac{96}{8} - (\frac{405}{8} + \frac{64}{8})$

= $\frac{3221}{8} - 1 \cdot \frac{469}{8}$

= $\frac{3221}{8} - \frac{469}{8}$

= $344$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} \frac{2}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} 2 {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- {(x - 3)}^{- 2}]}_{5}^{u}$

= ${[- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]}_{5}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{{(u - 3)}^{2}} + \frac{1}{{(5 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{{(u - 3)}^{2}} + \frac{1}{2^{2}}$

= $- \frac{1}{{(u - 3)}^{2}} + \frac{1}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{{(u - 3)}^{2}} + \frac{1}{4}$ → $0 + \frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale