Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,014
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 3 + = ≈ 3.01
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 56 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 4,701
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 56 +
≈ 60.7
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
36
|
=
-6
|
| u2 |
= |
36
|
=
6
|
Da u=
-6
< 0 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 19 und Minute 28 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
28
-19
∫
19
28
6
x
-3
ⅆ
x
=
1
9
∫
19
28
6
(
x
-3
)
1
2
ⅆ
x
=
1
9
[
4
(
x
-3
)
3
2
]
19
28
=
1
9
[
4
(
x
-3
)
3
]
19
28
=
1
9
(
4
(
28
-3
)
3
-4
(
19
-3
)
3
)
=
1
9
(
4
(
25
)
3
-4
(
16
)
3
)
=
1
9
(
4⋅
5
3
-4⋅
4
3
)
=
1
9
(
4⋅125
-4⋅64
)
=
1
9
(
500
-256
)
=
1
9
·
244
=
244
9
≈ 27,111
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
2
2x
-4
ⅆ
x
=
∫
4
u
-2
(
2x
-4
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
ln(
|
2x
-4
|
)
]
4
u
=
-
ln(
|
2(
u
)
-4
|
)
+
ln(
|
2⋅4
-4
|
)
=
-
ln(
|
2u
-4
|
)
+
ln(
|
8
-4
|
)
=
-
ln(
|
2u
-4
|
)
+
ln(
4
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
ln(
4
)
-
ln(
|
2x
-4
|
)
→
∞