= ${\left[\frac{4}{9}{\left(3x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_4^{\frac{19}{3}}$

= ${\left[\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3x-3}\right)}^3\right]}_4^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{19}{3}\right)-3}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot 4-3}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{12-3}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{16}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 4^3-\frac{4}{9}\cdot 3^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 64-\frac{4}{9}\cdot 27$

= $\frac{256}{9}-12$

= $\frac{256}{9}-\frac{108}{9}$

= $\frac{148}{9}$

= ${\left[e^{2x-1}\right]}_1^4$

$=$ $e^{2\cdot 4-1}-e^{2\cdot 1-1}$

= $e^{8-1}-e^{2-1}$

= $e^7-e^1$

= $e^7-e$

= ${\left[-4x^2\right]}_2^u$

$=$ $-4u^2+4\cdot 2^2$

= $-4u^2+4\cdot 4$

= $-4u^2+16$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-308$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-9$ < 2 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[2e^{2x-5}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}\left(2e^{2\cdot 3-5}-2e^{2\cdot 0-5}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(2e^{6-5}-2e^{0-5}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(2e^1-2e^{-5}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(2e-2e^{-5}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(-2e^{-5}+2e\right)$

= ${\left[\frac{3}{2}{\left(x-1\right)}^{-2}\right]}_3^u$

= ${\left[\frac{3}{2{\left(x-1\right)}^2}\right]}_3^u$

$=$ $\frac{3}{2{\left(u-1\right)}^2}-\frac{3}{2{\left(3-1\right)}^2}$

= $\frac{3}{2{\left(u-1\right)}^2}-\frac{3}{2\cdot 2^2}$

= $\frac{3}{2{\left(u-1\right)}^2}-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$

= $\frac{3}{2{\left(u-1\right)}^2}-\frac{3}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2{\left(u-1\right)}^2}-\frac{3}{8}$ → $0-\frac{3}{8}$ = $-\frac{3}{8}$ ≈ -0.375

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375