Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 6:

\int_{5}^{6} \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{5}^{6} 4 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 3)}^{- 1}]}_{5}^{6}$

= ${[- \frac{4}{x - 3}]}_{5}^{6}$

$=$ $- \frac{4}{6 - 3} + \frac{4}{5 - 3}$

= $- \frac{4}{3} + \frac{4}{2}$

= $- 4 \cdot (\frac{1}{3}) + 4 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{4}{3} + 2$

= $- \frac{4}{3} + \frac{6}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 6 zusammen:

B = 6 + $\frac{2}{3}$ = $\frac{20}{3}$ ≈ 6.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{6}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 6 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[6 \ln (| x - 1 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $6 \ln (| 5 - 1 |) - 6 \ln (| 3 - 1 |)$

= $6 \ln (4) - 6 \ln (| 3 - 1 |)$

= $6 \ln (4) - 6 \ln (2)$

≈ 4,159

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 9 + $6 \ln (| 4 |) - 6 \ln (| 2 |)$ ≈ 13.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,5 e^{- 0,5 x + 0,9} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,5 e^{- 0,5 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,5 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,5 u + 0,9} + 5 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 5 e^{- 0,5 u + 0,9} + 5 e^{0 + 0,9}$

= $- 5 e^{- 0,5 u + 0,9} + 5 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,5 u + 0,9} + 5 e^{0,9}$	=	$2$	\| $- 5 e^{0,9}$
$- 5 e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$- 5 e^{0,9} + 2$
$- 5 e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$- 10,298$	\|: $- 5$
$e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$2,0596$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,9$	=	$\ln (2,0596)$

$- 0,5 u + 0,9$	=	$0,7225$	\| $- 0,9$
$- 0,5 u$	=	$- 0,1775$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$0,355$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 e^{3 x - 5}$ zwischen 1 und 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 - 1}

\int_{1}^{2} 6 e^{3 x - 5} ⅆ x

= $1$ ${[2 e^{3 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 2 - 5} - 2 e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $2 e^{6 - 5} - 2 e^{3 - 5}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 2}$

= $2 e - 2 e^{- 2}$

≈ 5,166

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- 3 x + 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{- 3 x + 7} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- 3 x + 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 7 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| - 3 (u) + 7 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 3 \cdot 3 + 7 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 7 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 9 + 7 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 7 |) - \frac{2}{3} \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3} \ln (2) + \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 7 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale