Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e 3x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 2 e 3x -3 x

= [ 2 3 e 3x -3 ] 0 3

= 2 3 e 33 -3 - 2 3 e 30 -3

= 2 3 e 9 -3 - 2 3 e 0 -3

= 2 3 e 6 - 2 3 e -3


≈ 268,919
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 10 + 2 3 e 6 - 2 3 e -3 ≈ 278.92

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 3 e x -2 x

= [ 3 e x -2 ] 1 4

= 3 e 4 -2 -3 e 1 -2

= 3 e 2 -3 e -1


≈ 21,064
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 76 + 3 e 2 -3 e -1 ≈ 97.06

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -10x +2 ) x = -92,25

Lösung einblenden
0 u ( -10x +2 ) x

= [ -5 x 2 +2x ] 0 u

= -5 u 2 +2u - ( -5 0 2 +20 )

= -5 u 2 +2u - ( -50 +0)

= -5 u 2 +2u - (0+0)

= -5 u 2 +2u +0

= -5 u 2 +2u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -92,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 +2u = -92,25 | +92,25

-5 u 2 +2u +92,25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · ( -5 ) · 92,25 2( -5 )

u1,2 = -2 ± 4 +1845 -10

u1,2 = -2 ± 1849 -10

u1 = -2 + 1849 -10 = -2 +43 -10 = 41 -10 = -4,1

u2 = -2 - 1849 -10 = -2 -43 -10 = -45 -10 = 4,5

Da u= -4,1 < 0 ist u= 4,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= sin( 3x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π sin( 3x + 3 2 π) x

= 2 π [ - 1 3 cos( 3x + 3 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( - 1 3 cos( 3π + 3 2 π) + 1 3 cos( 3( 1 2 π ) + 3 2 π) )

= 2 π · ( - 1 3 cos( 9 2 π) + 1 3 cos(3π) )

= 2 π · ( - 1 3 0 + 1 3 ( -1 ) )

= 2 π · ( 0 - 1 3 )

= 2 π · ( 0 - 1 3 )

= 2 π · ( - 1 3 )

= - 2 3 π


≈ -0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -2x +4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u - e -2x +4 x

= [ 1 2 e -2x +4 ] 1 u

= 1 2 e -2u +4 - 1 2 e -21 +4

= 1 2 e -2u +4 - 1 2 e -2 +4

= 1 2 e -2u +4 - 1 2 e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 e -2u +4 - 1 2 e 2 0 - 1 2 e 2 = - 1 2 e 2 ≈ -3.695

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3.695