Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 3)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{2}{{(3 x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 2 {(3 x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 3)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 3)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 \cdot 5 - 3)}^{2}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 3 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(15 - 3)}^{2}} + \frac{1}{3 {(9 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 12^{2}} + \frac{1}{3 \cdot 6^{2}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{144}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{36})$

= $- \frac{1}{432} + \frac{1}{108}$

= $- \frac{1}{432} + \frac{4}{432}$

= $\frac{1}{144}$

≈ 0,007

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 20 + $\frac{1}{144}$ = $\frac{2881}{144}$ ≈ 20.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{4}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 4 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{2}{2 x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{2 \cdot 4 - 3} + \frac{2}{2 \cdot 2 - 3}$

= $- \frac{2}{8 - 3} + \frac{2}{4 - 3}$

= $- \frac{2}{5} + \frac{2}{1}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{5}) + 2 \cdot 1$

= $- \frac{2}{5} + 2$

= $- \frac{2}{5} + \frac{10}{5}$

= $\frac{8}{5}$

= 1,6

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 8 + $\frac{8}{5}$ = $\frac{48}{5}$ ≈ 9.6

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,6 e^{0,8 x - 0,4} ⅆ x$ = $11$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,6 e^{0,8 x - 0,4} ⅆ x

= ${[2 e^{0,8 x - 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,8 u - 0,4} - 2 e^{0,8 \cdot 0 - 0,4}$

= $2 e^{0,8 u - 0,4} - 2 e^{0 - 0,4}$

= $2 e^{0,8 u - 0,4} - 2 e^{- 0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $11$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,8 u - 0,4} - 2 e^{- 0,4}$	=	$11$	\| $+ 2 e^{- 0,4}$
$2 e^{0,8 u - 0,4}$	=	$2 e^{- 0,4} + 11$
$2 e^{0,8 u - 0,4}$	=	$12,3406$	\|: $2$
$e^{0,8 u - 0,4}$	=	$6,1703$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,4$	=	$\ln (6,1703)$

$0,8 u - 0,4$	=	$1,8197$	\| $+ 0,4$
$0,8 u$	=	$2,2197$	\|: $0,8$
$u$	=	$2,7746$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(3 x - 6)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{9} {(3 x - 6)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 6)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 6)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot {(3 - 6)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(0 - 6)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 6)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot (- 27) - \frac{1}{9} \cdot (- 216)$

= $- 3 + 24$

= $21$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 2 \ln (| x - 2 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- 2 \ln (| u - 2 |) + 2 \ln (| 4 - 2 |)$

= $- 2 \ln (| u - 2 |) + 2 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \ln (2) - 2 \ln (| x - 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale