Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 0,865
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 19 +
≈ 19.86
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,167
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 13 + = ≈ 13.17
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
18
4
=
4,5
u2 =
1
-
289
4
=
1
-17
4
=
-16
4
=
-4
Da u=
-4
< 2 ist u=
4,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 e 3x -4 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
+0
∫
0
4
5
e
3x
-4
ⅆ
x
=
1
4
[
5
3
e
3x
-4
]
0
4
=
1
4
(
5
3
e
3⋅4
-4
-
5
3
e
3⋅0
-4
)
=
1
4
(
5
3
e
12
-4
-
5
3
e
0
-4
)
=
1
4
(
5
3
e
8
-
5
3
e
-4
)
≈ 1242,058
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( -2x +5 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
1
(
-2x
+5
)
2
ⅆ
x
=
∫
4
u
(
-2x
+5
)
-2
ⅆ
x
=
[
1
2
(
-2x
+5
)
-1
]
4
u
=
[
1
2(
-2x
+5
)
]
4
u
=
1
2(
-2u
+5
)
-
1
2(
-2⋅4
+5
)
=
1
2(
-2u
+5
)
-
1
2(
-8
+5
)
=
1
2(
-2u
+5
)
-
1
2
( -3 )
=
1
2(
-2u
+5
)
-
1
2
⋅(
-
1
3
)
=
1
2(
-2u
+5
)
+
1
6
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
2(
-2u
+5
)
+
1
6
→
0
+
1
6
=
1
6
≈ 0.167
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167