= ${\left[2e^{x-3}\right]}_2^5$

$=$ $2e^{5-3}-2e^{2-3}$

= $2e^2-2e^{-1}$

= ${\left[\frac{3}{2}{e}^{2x-3}\right]}_2^4$

$=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 4-3}-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 2-3}$

= $\frac{3}{2}{e}^{8-3}-\frac{3}{2}{e}^{4-3}$

= $\frac{3}{2}{e}^5-\frac{3}{2}{e}^1$

= $\frac{3}{2}{e}^5-\frac{3}{2}e$

= ${\left[-x^2+5x\right]}_3^u$

$=$ $-u^2+5u-\left(-3^2+5\cdot 3\right)$

= $-u^2+5u-\left(-9+15\right)$

= $-u^2+5u+9-15$

= $-u^2+5u-6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{0,75}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$-u^2+5u-\mathrm{5,25}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·\left(-1\right)·\left(-\mathrm{5,25}\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25-21}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{4}}{-2}$

u₁ = $\frac{-5+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-3}{-2}$ = $\mathrm{1,5}$

u₂ = $\frac{-5-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-7}{-2}$ = $\mathrm{3,5}$

Da u= $\mathrm{1,5}$ < 3 ist u= $\mathrm{3,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\frac{1}{2}{\left(2x-2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot {\left(2\cdot 2-2\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(2\cdot 0-2\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot {\left(4-2\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(0-2\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot 2^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot 8-\frac{1}{2}\cdot \left(-8\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\left(4+4\right)$

= $\frac{1}{2}·8$

= $4$

= ${\left[\frac{1}{3}{e}^{-3x+3}\right]}_2^u$

$=$ $\frac{1}{3}{e}^{-3u+3}-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 2+3}$

= $\frac{1}{3}{e}^{-3u+3}-\frac{1}{3}{e}^{-6+3}$

= $\frac{1}{3}{e}^{-3u+3}-\frac{1}{3}{e}^{-3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3}{e}^{-3u+3}-\frac{1}{3}{e}^{-3}$ → $0-\frac{1}{3}{e}^{-3}$ = $-\frac{1}{3}{e}^{-3}$ ≈ -0.017

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.017