Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(2 x - 3)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{6}{{(2 x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 6 {(2 x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 3)}^{- 3}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{1}{{(2 x - 3)}^{3}}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{{(2 \cdot 3 - 3)}^{3}} + \frac{1}{{(2 \cdot 2 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{{(6 - 3)}^{3}} + \frac{1}{{(4 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{1^{3}}$

= $- (\frac{1}{27}) + 1$

= $\frac{26}{27}$

≈ 0,963

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 16 + $\frac{26}{27}$ = $\frac{458}{27}$ ≈ 16.96

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{6}{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 6 {(2 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| 2 x - 3 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $3 \ln (| 2 \cdot 5 - 3 |) - 3 \ln (| 2 \cdot 3 - 3 |)$

= $3 \ln (| 10 - 3 |) - 3 \ln (| 6 - 3 |)$

= $3 \ln (7) - 3 \ln (| 6 - 3 |)$

= $3 \ln (7) - 3 \ln (3)$

≈ 2,542

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 9 + $3 \ln (| 7 |) - 3 \ln (| 3 |)$ ≈ 11.54

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} 6 x ⅆ x$ = $213,75$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} 6 x ⅆ x

= ${[3 x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 3 \cdot 1^{2}$

= $3 u^{2} - 3 \cdot 1$

= $3 u^{2} - 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $213,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 u^{2} - 3$	=	$213,75$	\| $+ 3$
$3 u^{2}$	=	$216,75$	\|: $3$
$u^{2}$	=	$72,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{72,25}$	= $- 8,5$
u₂	=	$\sqrt{72,25}$	= $8,5$

Da u= $- 8,5$ < 1 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \cdot \sin (3 x + π)$ zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 6 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 2 \cdot \cos (3 x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 2 \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π) + 2 \cdot \cos (3 \cdot (0) + π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2 \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + 2 \cdot \cos (π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - 2)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{π}$

≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- 2 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{- 2 x + 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- 2 x + 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| - 2 x + 5 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\ln (| - 2 (u) + 5 |) - \ln (| - 2 \cdot 3 + 5 |)$

= $\ln (| - 2 u + 5 |) - \ln (| - 6 + 5 |)$

= $\ln (| - 2 u + 5 |) - \ln (1)$

= $\ln (| - 2 u + 5 |) + 0$

= $\ln (| - 2 x + 5 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (| - 2 x + 5 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale