Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 19 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 28 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 2 x -3 x
= 19 28 2 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 4 3 ( 28 -3 ) 3 - 4 3 ( 19 -3 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 14 + 244 3 = 286 3 ≈ 95.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 2 e x -1 x

= [ 2 e x -1 ] 1 4

= 2 e 4 -1 -2 e 1 -1

= 2 e 3 -2 e 0

= 2 e 3 -2


≈ 38,171
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 20 + 2 e 3 -2 ≈ 58.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 5,6 e -0,7x +0,7 x = 8

Lösung einblenden
0 u 5,6 e -0,7x +0,7 x

= [ -8 e -0,7x +0,7 ] 0 u

= -8 e -0,7u +0,7 +8 e -0,70 +0,7

= -8 e -0,7u +0,7 +8 e 0 +0,7

= -8 e -0,7u +0,7 +8 e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 8 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-8 e -0,7u +0,7 +8 e 0,7 = 8 | -8 e 0,7
-8 e -0,7u +0,7 = -8 e 0,7 +8
-8 e -0,7u +0,7 = -8,11 |:-8
e -0,7u +0,7 = 1,0138 |ln(⋅)
-0,7u +0,7 = ln( 1,0138 )
-0,7u +0,7 = 0,0137 | -0,7
-0,7u = -0,6863 |:(-0,7 )
u = 0,9804

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 4 ( 3x -5 ) 2 zwischen 3 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 4 ( 3x -5 ) 2 x
= 1 2 3 5 4 ( 3x -5 ) -2 x

= 1 2 [ - 4 3 ( 3x -5 ) -1 ] 3 5

= 1 2 [ - 4 3( 3x -5 ) ] 3 5

= 1 2 ( - 4 3( 35 -5 ) + 4 3( 33 -5 ) )

= 1 2 ( - 4 3( 15 -5 ) + 4 3( 9 -5 ) )

= 1 2 ( - 4 3 10 + 4 3 4 )

= 1 2 ( - 4 3 ( 1 10 ) + 4 3 ( 1 4 ) )

= 1 2 ( - 2 15 + 1 3 )

= 1 2 ( - 2 15 + 5 15 )

= 1 2 · 1 5

= 1 10


= 0,1

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 2x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 3 2x -3 x
= 2 u -3 ( 2x -3 ) -1 x

= [ - 3 2 ln( | 2x -3 | ) ] 2 u

= - 3 2 ln( | 2( u ) -3 | ) + 3 2 ln( | 22 -3 | )

= - 3 2 ln( | 2u -3 | ) + 3 2 ln( | 4 -3 | )

= - 3 2 ln( | 2u -3 | ) + 3 2 ln( 1 )

= - 3 2 ln( | 2u -3 | ) +0

= - 3 2 ln( | 2x -3 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 2 ln( | 2x -3 | )