Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 2,143
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 5 + = ≈ 7.14
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5
zusammen:
B = 13 + = ≈ 13.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
72,25
|
=
-8,5
|
| u2 |
= |
72,25
|
=
8,5
|
Da u=
-8,5
< 3 ist u=
8,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2⋅ sin( 2x - 1 2 π) zwischen 0 und 1 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
2
π+0
∫
0
1
2
π
2⋅
sin(
2x
-
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-
cos(
2x
-
1
2
π)
]
0
1
2
π
=
2
π
·
(
-
cos(
2⋅(
1
2
π )
-
1
2
π)
+
cos(
2⋅( 0 )
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
cos(
1
2
π)
+
cos(
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-0
+0
)
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( 3x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
3
(
3x
-3
)
2
ⅆ
x
=
∫
3
u
-3
(
3x
-3
)
-2
ⅆ
x
=
[
(
3x
-3
)
-1
]
3
u
=
[
1
3x
-3
]
3
u
=
1
3u
-3
-
1
3⋅3
-3
=
1
3u
-3
-
1
9
-3
=
1
3u
-3
-
1
6
=
1
3u
-3
- (
1
6
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
3u
-3
-
1
6
→
0
-
1
6
=
-
1
6
≈ -0.167
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167