Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{16}{3}$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 4 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 4 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 27$

= $\frac{1000}{9} - 24$

= $\frac{1000}{9} - \frac{216}{9}$

= $\frac{784}{9}$

≈ 87,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 5 + $\frac{784}{9}$ = $\frac{829}{9}$ ≈ 92.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\sqrt{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $4$ Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{28}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{28}{3}

:

\int_{4}^{\frac{28}{3}} \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{28}{3}} {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{250}{9} - 6$

= $\frac{250}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{196}{9}$

≈ 21,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 12 + $\frac{196}{9}$ = $\frac{304}{9}$ ≈ 33.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 4 x ⅆ x$ = $- 126,5$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 4 x ⅆ x

= ${[- 2 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 2 \cdot 3^{2}$

= $- 2 u^{2} + 2 \cdot 9$

= $- 2 u^{2} + 18$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 126,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 u^{2} + 18$	=	$- 126,5$	\| $- 18$
$- 2 u^{2}$	=	$- 144,5$	\|: $(- 2)$
$u^{2}$	=	$72,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{72,25}$	= $- 8,5$
u₂	=	$\sqrt{72,25}$	= $8,5$

Da u= $- 8,5$ < 3 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(3 x - 7)}^{3} + 6 x$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} (3 {(3 x - 7)}^{3} + 6 x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{4} {(3 x - 7)}^{4} + 3 x^{2}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot {(3 \cdot 5 - 7)}^{4} + 3 \cdot 5^{2} - (\frac{1}{4} \cdot {(3 \cdot 2 - 7)}^{4} + 3 \cdot 2^{2}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot {(15 - 7)}^{4} + 3 \cdot 25 - (\frac{1}{4} \cdot {(6 - 7)}^{4} + 3 \cdot 4))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot 8^{4} + 75 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + 12))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot 4 096 + 75 - (\frac{1}{4} \cdot 1 + 12))$

= $\frac{1}{3} (1 024 + 75 - (\frac{1}{4} + 12))$

= $\frac{1}{3} (1 099 - (\frac{1}{4} + \frac{48}{4}))$

= $\frac{1}{3} (1 099 - 1 \cdot \frac{49}{4})$

= $\frac{1}{3} (1 099 - \frac{49}{4})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{4347}{4}$

= 362,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(- 3 x + 4)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(- 3 x + 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- 3 x + 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(- 3 x + 4)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{2}{3 (- 3 x + 4)}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3 (- 3 u + 4)} + \frac{2}{3 (- 3 \cdot 3 + 4)}$

= $- \frac{2}{3 (- 3 u + 4)} + \frac{2}{3 (- 9 + 4)}$

= $- \frac{2}{3 (- 3 u + 4)} + \frac{2}{3 (- 5)}$

= $- \frac{2}{3 (- 3 u + 4)} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5})$

= $- \frac{2}{3 (- 3 u + 4)} - \frac{2}{15}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3 (- 3 u + 4)} - \frac{2}{15}$ → $0 - \frac{2}{15}$ = $- \frac{2}{15}$ ≈ -0.133

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.133

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale