Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $4 e^{2 - 3} - 4 e^{1 - 3}$

= $4 e^{- 1} - 4 e^{- 2}$

≈ 0,93

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 75 + $4 e^{- 1} - 4 e^{- 2}$ ≈ 75.93

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $5 e^{3 - 1} - 5 e^{0 - 1}$

= $5 e^{2} - 5 e^{- 1}$

≈ 35,106

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 16 + $5 e^{2} - 5 e^{- 1}$ ≈ 51.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 4 x + 5) ⅆ x$ = $- 45$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 4 x + 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 5 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 5 u - (- 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $- 2 u^{2} + 5 u - (- 2 \cdot 1 + 5)$

= $- 2 u^{2} + 5 u - (- 2 + 5)$

= $- 2 u^{2} + 5 u - 1 \cdot 3$

= $- 2 u^{2} + 5 u - 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 45$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 5 u - 3

=

- 45

|

+ 45

$- 2 u^{2} + 5 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 42}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{361}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{361}}{- 4}$ = $\frac{- 5+19}{- 4}$ = $\frac{14}{- 4}$ = $- 3,5$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{361}}{- 4}$ = $\frac{- 5-19}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Da u= $- 3,5$ < 1 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(3 x - 6)}^{2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 - 1}

\int_{1}^{2} 3 {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{3} {(3 x - 6)}^{3}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 6)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 1 - 6)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(6 - 6)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3 - 6)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot (- 27)$

= $0 + 9$

= $9$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $19$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{19} \frac{3}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{19} 3 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{19}$

= ${[6 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{19}$

$=$ $6 \sqrt{19 - 3} - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 \sqrt{16} - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 \cdot 4 - 6 \sqrt{u - 3}$

= $24 - 6 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 6 \sqrt{u - 3} + 24$ → $0 + 24$ = $24$ ≈ 24

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 24

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale