Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 3 e 2x -2 x

= [ 3 2 e 2x -2 ] 1 3

= 3 2 e 23 -2 - 3 2 e 21 -2

= 3 2 e 6 -2 - 3 2 e 2 -2

= 3 2 e 4 - 3 2 e 0

= 3 2 e 4 - 3 2


≈ 80,397
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 75 + 3 2 e 4 - 3 2 ≈ 155.4

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 2x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 6 s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 14 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 6 und 14:
6 14 5 2x -3 x
= 6 14 5 ( 2x -3 ) 1 2 x

= [ 5 3 ( 2x -3 ) 3 2 ] 6 14

= [ 5 3 ( 2x -3 ) 3 ] 6 14

= 5 3 ( 214 -3 ) 3 - 5 3 ( 26 -3 ) 3

= 5 3 ( 28 -3 ) 3 - 5 3 ( 12 -3 ) 3

= 5 3 ( 25 ) 3 - 5 3 ( 9 ) 3

= 5 3 5 3 - 5 3 3 3

= 5 3 125 - 5 3 27

= 625 3 -45

= 625 3 - 135 3

= 490 3


≈ 163,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 6 und der Änderung zwischen 6 und 14 zusammen:
B = 2 + 490 3 = 496 3 ≈ 165.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4x x = 32

Lösung einblenden
0 u 4x x

= [ 2 x 2 ] 0 u

= 2 u 2 -2 0 2

= 2 u 2 -20

= 2 u 2 +0

= 2 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 32 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 = 32 |:2
u 2 = 16 | 2
u1 = - 16 = -4
u2 = 16 = 4

Da u= -4 < 0 ist u= 4 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ( 2x -3 ) 2 +4 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 ( ( 2x -3 ) 2 +4 ) x

= 1 2 [ 1 6 ( 2x -3 ) 3 +4x ] 0 2

= 1 2 ( 1 6 ( 22 -3 ) 3 +42 - ( 1 6 ( 20 -3 ) 3 +40 ))

= 1 2 ( 1 6 ( 4 -3 ) 3 +8 - ( 1 6 ( 0 -3 ) 3 +0))

= 1 2 ( 1 6 1 3 +8 - ( 1 6 ( -3 ) 3 +0))

= 1 2 ( 1 6 1 +8 - ( 1 6 ( -27 ) +0))

= 1 2 ( 1 6 +8 - ( - 9 2 +0))

= 1 2 ( 1 6 + 48 6 - ( -4,5 +0))

= 1 2 ( 49 6 +4,5 )

= 1 2 ( 49 6 + 9 2 )

= 1 2 · 38 3


≈ 6,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -x +1 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 0 u - e -x +1 x

= [ e -x +1 ] 0 u

= e -u +1 - e -0 +1

= e -u +1 - e 1

= e -u +1 - e

Für u → ∞ gilt: A(u) = e -u +1 - e 0 - e = -e ≈ -2.718

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2.718