Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 1} - \frac{3}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ 222,068

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 3 + $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e^{- 1}$ ≈ 225.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 42 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 3 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 7}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{3 \cdot 2 - 7} - e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $e^{6 - 7} - e^{3 - 7}$

= $e^{- 1} - e^{- 4}$

≈ 0,35

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 42 + $e^{- 1} - e^{- 4}$ ≈ 42.35

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,4 e^{0,4 x - 0,8} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,4 e^{0,4 x - 0,8} ⅆ x

= ${[6 e^{0,4 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,4 u - 0,8} - 6 e^{0,4 \cdot 0 - 0,8}$

= $6 e^{0,4 u - 0,8} - 6 e^{0 - 0,8}$

= $6 e^{0,4 u - 0,8} - 6 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,4 u - 0,8} - 6 e^{- 0,8}$	=	$6$	\| $+ 6 e^{- 0,8}$
$6 e^{0,4 u - 0,8}$	=	$6 e^{- 0,8} + 6$
$6 e^{0,4 u - 0,8}$	=	$8,696$	\|: $6$
$e^{0,4 u - 0,8}$	=	$1,4493$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,8$	=	$\ln (1,4493)$

$0,4 u - 0,8$	=	$0,3711$	\| $+ 0,8$
$0,4 u$	=	$1,1711$	\|: $0,4$
$u$	=	$2,9278$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[3 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot \sin (π - \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (0 - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 - 3)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 6)$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(- 2 x + 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(- 2 x + 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- 2 x + 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(- 2 x + 4)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 2 \cdot 3 + 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 6 + 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} + \frac{1}{8}$ → $0 + \frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$ ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale