Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 ( 2x -3 ) 3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 4 ( 2x -3 ) 3 x
= 3 4 4 ( 2x -3 ) -3 x

= [ - ( 2x -3 ) -2 ] 3 4

= [ - 1 ( 2x -3 ) 2 ] 3 4

= - 1 ( 24 -3 ) 2 + 1 ( 23 -3 ) 2

= - 1 ( 8 -3 ) 2 + 1 ( 6 -3 ) 2

= - 1 5 2 + 1 3 2

= -( 1 25 ) + 1 9

= 16 225


≈ 0,071
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 8 + 16 225 = 1816 225 ≈ 8.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= e 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 e 3x -4 x

= [ 1 3 e 3x -4 ] 0 1

= 1 3 e 31 -4 - 1 3 e 30 -4

= 1 3 e 3 -4 - 1 3 e 0 -4

= 1 3 e -1 - 1 3 e -4


≈ 0,117
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 4 + 1 3 e -1 - 1 3 e -4 ≈ 4.12

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( 4x -4 ) x = 10,5

Lösung einblenden
2 u ( 4x -4 ) x

= [ 2 x 2 -4x ] 2 u

= 2 u 2 -4u - ( 2 2 2 -42 )

= 2 u 2 -4u - ( 24 -8 )

= 2 u 2 -4u - ( 8 -8 )

= 2 u 2 -4u -1 · 0

= 2 u 2 -4u +0

= 2 u 2 -4u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 10,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 -4u = 10,5 | -10,5

2 u 2 -4u -10,5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 2 · ( -10,5 ) 22

u1,2 = +4 ± 16 +84 4

u1,2 = +4 ± 100 4

u1 = 4 + 100 4 = 4 +10 4 = 14 4 = 3,5

u2 = 4 - 100 4 = 4 -10 4 = -6 4 = -1,5

Da u= -1,5 < 2 ist u= 3,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 2x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 2 2x -3 x
= 1 2 3 5 2 ( 2x -3 ) -1 x

= 1 2 [ ln( | 2x -3 | ) ] 3 5

= 1 2 ( ln( | 25 -3 | ) - ln( | 23 -3 | ) )

= 1 2 ( ln( | 10 -3 | ) - ln( | 6 -3 | ) )

= 1 2 ( ln( 7 ) - ln( | 6 -3 | ) )

= 1 2 ( ln( 7 ) - ln( 3 ) )


≈ 0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -3 e x -2 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 0 u -3 e x -2 x

= [ -3 e x -2 ] 0 u

= -3 e u -2 +3 e 0 -2

= -3 e u -2 +3 e -2

Für u → ∞ gilt: A(u) = -3 e u -2 +3 e -2 -