Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 3} - \frac{1}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} e^{3}$

≈ 127,781

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 9 + $\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} e^{3}$ ≈ 136.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 57 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $5 e^{4 - 1} - 5 e^{2 - 1}$

= $5 e^{3} - 5 e^{1}$

= $5 e^{3} - 5 e$

≈ 86,836

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 57 + $5 e^{3} - 5 e$ ≈ 143.84

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 8 x - 4) ⅆ x$ = $- 51$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 8 x - 4) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} - 4 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} - 4 u - (- 4 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3)$

= $- 4 u^{2} - 4 u - (- 4 \cdot 9 - 12)$

= $- 4 u^{2} - 4 u - (- 36 - 12)$

= $- 4 u^{2} - 4 u - 1 \cdot (- 48)$

= $- 4 u^{2} - 4 u + 48$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 51$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} - 4 u + 48

=

- 51

|

+ 51

$- 4 u^{2} - 4 u + 99$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 99}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 1 584}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{1 600}}{- 8}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{1 600}}{- 8}$ = $\frac{4+40}{- 8}$ = $\frac{44}{- 8}$ = $- 5,5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{1 600}}{- 8}$ = $\frac{4-40}{- 8}$ = $\frac{- 36}{- 8}$ = $4,5$

Da u= $- 5,5$ < 3 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{3 x - 4}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{4}{3 x - 4} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} 4 {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{4}{3} \ln (| 3 x - 4 |)]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 4 |) - \frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 4 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (| 9 - 4 |) - \frac{4}{3} \ln (| 6 - 4 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (5) - \frac{4}{3} \ln (| 6 - 4 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (5) - \frac{4}{3} \ln (2)$

≈ 1,222

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{1}^{u} {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{1}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 1)}]}_{1}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 u - 1)} + \frac{1}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 1)} + \frac{1}{2 (2 - 1)}$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 1)} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 1)} + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 1)} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 (2 u - 1)} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale