Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,08
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 9 + = ≈ 9.08
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 19 + = ≈ 100.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
48
6
=
8
u2 =
2
-
2116
6
=
2
-46
6
=
-44
6
=
-
22
3
≈ -7.33
Da u=
-
22
3
< 2 ist u=
8
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3⋅ sin( 2x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π+0
∫
0
3
2
π
3⋅
sin(
2x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
3
π
[
-
3
2
⋅
cos(
2x
+
3
2
π)
]
0
3
2
π
=
2
3
π
·
(
-
3
2
⋅
cos(
2⋅(
3
2
π )
+
3
2
π)
+
3
2
⋅
cos(
2⋅( 0 )
+
3
2
π)
)
=
2
3
π
·
(
-
3
2
⋅
cos(
9
2
π)
+
3
2
⋅
cos(
3
2
π)
)
=
2
3
π
·
(
-
3
2
⋅0
+
3
2
⋅0
)
=
2
3
π
·
(
0+0
)
=
2
3
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 3x -6 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 22 3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
22
3
u
-
3
3x
-6
ⅆ
x
=
∫
22
3
u
-3
(
3x
-6
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
3x
-6
)
1
2
]
22
3
u
=
[
-2
3x
-6
]
22
3
u
=
-2
3u
-6
+2
3⋅(
22
3
)
-6
=
-2
3u
-6
+2
22
-6
=
-2
3u
-6
+2
16
=
-2
3u
-6
+2⋅4
=
-2
3u
-6
+8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-2
3u
-6
+8
→
-∞