Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 3} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{4}{3} e^{6 - 3} - \frac{4}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{- 3}$

≈ 26,714

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 7 + $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{- 3}$ ≈ 33.71

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{1}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 (3 x - 3)}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 (3 \cdot 5 - 3)} + \frac{1}{3 (3 \cdot 3 - 3)}$

= $- \frac{1}{3 (15 - 3)} + \frac{1}{3 (9 - 3)}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 12} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{12}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{6})$

= $- \frac{1}{36} + \frac{1}{18}$

= $- \frac{1}{36} + \frac{2}{36}$

= $\frac{1}{36}$

≈ 0,028

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 17 + $\frac{1}{36}$ = $\frac{613}{36}$ ≈ 17.03

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (4 x + 5) ⅆ x$ = $30$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (4 x + 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $2 u^{2} + 5 u - (2 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3)$

= $2 u^{2} + 5 u - (2 \cdot 9 + 15)$

= $2 u^{2} + 5 u - (18 + 15)$

= $2 u^{2} + 5 u - 1 \cdot 33$

= $2 u^{2} + 5 u - 33$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $30$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} + 5 u - 33

=

30

|

- 30

$2 u^{2} + 5 u - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 504}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{529}}{4}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 5+23}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 5-23}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

Da u= $- 7$ < 3 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (3 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} \cos (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (3 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sin (2 π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{{(2 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(2 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(2 x - 5)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{4 {(2 x - 5)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4 {(2 \cdot 3 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4 {(6 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot 1$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4}$ → $0 + \frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale