Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 6 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $6 e^{3 - 2} - 6 e^{1 - 2}$

= $6 e^{1} - 6 e^{- 1}$

= $6 e - 6 e^{- 1}$

≈ 14,102

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 68 + $- 6 e^{- 1} + 6 e$ ≈ 82.1

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 6 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $4 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 4 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3}$

= $4 \cdot 125 - 4 \cdot 64$

= $500 - 256$

= $244$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 10 + $244$ = $254$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 8 x ⅆ x$ = $- 28$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 8 x ⅆ x

= ${[- 4 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 4 \cdot 3^{2}$

= $- 4 u^{2} + 4 \cdot 9$

= $- 4 u^{2} + 36$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 28$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 u^{2} + 36$	=	$- 28$	\| $- 36$
$- 4 u^{2}$	=	$- 64$	\|: $(- 4)$
$u^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
u₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Da u= $- 4$ < 3 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{3 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{2}{3 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} 2 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 3 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 5 - 3 |) - \frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (| 15 - 3 |) - \frac{2}{3} \ln (| 9 - 3 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (12) - \frac{2}{3} \ln (| 9 - 3 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (12) - \frac{2}{3} \ln (6))$

≈ 0,231

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{{(3 x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(3 x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(3 x - 3)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(3 x - 3)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{2 {(3 \cdot 3 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{2 {(9 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 6^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{36})$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{72}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{72}$ → $0 + \frac{1}{72}$ = $\frac{1}{72}$ ≈ 0.014

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.014

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale