Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 3x -6 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 5 e 3x -6 x

= [ 5 3 e 3x -6 ] 2 4

= 5 3 e 34 -6 - 5 3 e 32 -6

= 5 3 e 12 -6 - 5 3 e 6 -6

= 5 3 e 6 - 5 3 e 0

= 5 3 e 6 - 5 3


≈ 670,715
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 11 + 5 3 e 6 - 5 3 ≈ 681.71

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 13 3 s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 20 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 13 3 und 20 3 :
13 3 20 3 4 3x -4 x
= 13 3 20 3 4 ( 3x -4 ) 1 2 x

= [ 8 9 ( 3x -4 ) 3 2 ] 13 3 20 3

= [ 8 9 ( 3x -4 ) 3 ] 13 3 20 3

= 8 9 ( 3( 20 3 ) -4 ) 3 - 8 9 ( 3( 13 3 ) -4 ) 3

= 8 9 ( 20 -4 ) 3 - 8 9 ( 13 -4 ) 3

= 8 9 ( 16 ) 3 - 8 9 ( 9 ) 3

= 8 9 4 3 - 8 9 3 3

= 8 9 64 - 8 9 27

= 512 9 -24

= 512 9 - 216 9

= 296 9


≈ 32,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 13 3 und der Änderung zwischen 13 3 und 20 3 zusammen:
B = 2 + 296 9 = 314 9 ≈ 34.89

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,8 e 0,2x -0,5 x = 11

Lösung einblenden
0 u 0,8 e 0,2x -0,5 x

= [ 4 e 0,2x -0,5 ] 0 u

= 4 e 0,2u -0,5 -4 e 0,20 -0,5

= 4 e 0,2u -0,5 -4 e 0 -0,5

= 4 e 0,2u -0,5 -4 e -0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 11 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 e 0,2u -0,5 -4 e -0,5 = 11 | +4 e -0,5
4 e 0,2u -0,5 = 4 e -0,5 +11
4 e 0,2u -0,5 = 13,4261 |:4
e 0,2u -0,5 = 3,3565 |ln(⋅)
0,2u -0,5 = ln( 3,3565 )
0,2u -0,5 = 1,2109 | +0,5
0,2u = 1,7109 |:0,2
u = 8,5545

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= e 3x -4 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 e 3x -4 x

= 1 3 [ 1 3 e 3x -4 ] 0 3

= 1 3 ( 1 3 e 33 -4 - 1 3 e 30 -4 )

= 1 3 ( 1 3 e 9 -4 - 1 3 e 0 -4 )

= 1 3 ( 1 3 e 5 - 1 3 e -4 )


≈ 16,488

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 1 2x -2 x
= 3 u ( 2x -2 ) - 1 2 x

= [ ( 2x -2 ) 1 2 ] 3 u

= [ 2x -2 ] 3 u

= 2u -2 - 23 -2

= 2u -2 - 6 -2

= 2u -2 - 4

= 2u -2 - 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2u -2 -2