Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 216979,608
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 23 +
≈ 217002.61
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,417
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 18 + = ≈ 18.42
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
30,25
|
=
-5,5
|
| u2 |
= |
30,25
|
=
5,5
|
Da u=
-5,5
< 1 ist u=
5,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2⋅ sin( 3x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
2⋅
sin(
3x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-
2
3
⋅
cos(
3x
+
3
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
-
2
3
⋅
cos(
3⋅π
+
3
2
π)
+
2
3
⋅
cos(
3⋅(
1
2
π )
+
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
2
3
⋅
cos(
9
2
π)
+
2
3
⋅
cos(3π)
)
=
2
π
·
(
-
2
3
⋅0
+
2
3
⋅( -1 )
)
=
2
π
·
(
0
-
2
3
)
=
2
π
·
(
0
-
2
3
)
=
2
π
·
(
-
2
3
)
=
-
4
3
π
≈ -0,424
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=10 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
10
u
3
(
2x
-4
)
3
ⅆ
x
=
∫
10
u
3
(
2x
-4
)
-
3
2
ⅆ
x
=
[
-3
(
2x
-4
)
-
1
2
]
10
u
=
[
-
3
2x
-4
]
10
u
=
-
3
2u
-4
+
3
2⋅10
-4
=
-
3
2u
-4
+
3
20
-4
=
-
3
2u
-4
+
3
16
=
-
3
2u
-4
+
3
4
=
-
3
2u
-4
+3⋅(
1
4
)
=
-
3
2u
-4
+
3
4
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
2u
-4
+
3
4
→
0
+
3
4
=
3
4
≈ 0.75
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.75