Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 51 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 6 e x -2 x

= [ 6 e x -2 ] 1 2

= 6 e 2 -2 -6 e 1 -2

= 6 e 0 -6 e -1

= 6 -6 e -1


≈ 3,793
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 51 + -6 e -1 +6 ≈ 54.79

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 26 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 26:
5 26 5 x -1 x
= 5 26 5 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 10 3 ( x -1 ) 3 2 ] 5 26

= [ 10 3 ( x -1 ) 3 ] 5 26

= 10 3 ( 26 -1 ) 3 - 10 3 ( 5 -1 ) 3

= 10 3 ( 25 ) 3 - 10 3 ( 4 ) 3

= 10 3 5 3 - 10 3 2 3

= 10 3 125 - 10 3 8

= 1250 3 - 80 3

= 390

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 26 zusammen:
B = 17 + 390 = 407

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( 8x -4 ) x = 80

Lösung einblenden
0 u ( 8x -4 ) x

= [ 4 x 2 -4x ] 0 u

= 4 u 2 -4u - ( 4 0 2 -40 )

= 4 u 2 -4u - ( 40 +0)

= 4 u 2 -4u - (0+0)

= 4 u 2 -4u +0

= 4 u 2 -4u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 80 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -4u = 80 | -80
4 u 2 -4u -80 = 0 |:4

u 2 - u -20 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -20 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +80 2

u1,2 = +1 ± 81 2

u1 = 1 + 81 2 = 1 +9 2 = 10 2 = 5

u2 = 1 - 81 2 = 1 -9 2 = -8 2 = -4

Da u= -4 < 0 ist u= 5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 sin( 2x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π 6 sin( 2x + π) x

= 2 3 π [ -3 cos( 2x + π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( -3 cos( 2( 3 2 π ) + π) +3 cos( 2( 0 ) + π) )

= 2 3 π · ( -3 cos(4π) +3 cos(π) )

= 2 3 π · ( -31 +3( -1 ) )

= 2 3 π · ( -3 -3 )

= 2 3 π · ( -6 )

= - 4 π


≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 x -1 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 5 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 5 - 1 x -1 x
= u 5 - ( x -1 ) - 1 2 x

= [ -2 ( x -1 ) 1 2 ] u 5

= [ -2 x -1 ] u 5

= -2 5 -1 +2 u -1

= -2 4 +2 u -1

= -22 +2 u -1

= -4 +2 u -1

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = 2 u -1 -4 0 -4 = -4 ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4