Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\sqrt{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $6$ Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{19}{2}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

6

und

\frac{19}{2}

:

\int_{6}^{\frac{19}{2}} \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{6}^{\frac{19}{2}} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{\frac{19}{2}}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{\frac{19}{2}}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 27$

= $\frac{64}{3} - 9$

= $\frac{64}{3} - \frac{27}{3}$

= $\frac{37}{3}$

≈ 12,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

6

und der Änderung zwischen

6

und

\frac{19}{2}

zusammen:

B = 3 + $\frac{37}{3}$ = $\frac{46}{3}$ ≈ 15.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{2 \cdot 5 - 4} - e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $e^{10 - 4} - e^{4 - 4}$

= $e^{6} - e^{0}$

= $e^{6} - 1$

≈ 402,429

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 38 + $e^{6} - 1$ ≈ 440.43

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,4 e^{- 0,7 x + 0,7} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,4 e^{- 0,7 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- 0,7 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 e^{- 0,7 u + 0,7} + 2 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 2 e^{- 0,7 u + 0,7} + 2 e^{0 + 0,7}$

= $- 2 e^{- 0,7 u + 0,7} + 2 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 e^{- 0,7 u + 0,7} + 2 e^{0,7}$	=	$2$	\| $- 2 e^{0,7}$
$- 2 e^{- 0,7 u + 0,7}$	=	$- 2 e^{0,7} + 2$
$- 2 e^{- 0,7 u + 0,7}$	=	$- 2,0275$	\|: $- 2$
$e^{- 0,7 u + 0,7}$	=	$1,0138$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,7$	=	$\ln (1,0138)$

$- 0,7 u + 0,7$	=	$0,0137$	\| $- 0,7$
$- 0,7 u$	=	$- 0,6863$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,9804$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(x - 3)}^{3} + 6$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} (3 {(x - 3)}^{3} + 6) ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{3}{4} {(x - 3)}^{4} + 6 x]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2 - 3)}^{4} + 6 \cdot 2 - (\frac{3}{4} \cdot {(0 - 3)}^{4} + 6 \cdot 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + 12 - (\frac{3}{4} \cdot {(- 3)}^{4} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 1 + 12 - (\frac{3}{4} \cdot 81 + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} + 12 - (\frac{243}{4} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} + \frac{48}{4} - (\frac{243}{4} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{51}{4} - \frac{243}{4})$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 48)$

= $- 24$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(2 x - 4)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{3}{2 (2 x - 4)}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2 (2 u - 4)} - \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 4)}$

= $\frac{3}{2 (2 u - 4)} - \frac{3}{2 (6 - 4)}$

= $\frac{3}{2 (2 u - 4)} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

= $\frac{3}{2 (2 u - 4)} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{3}{2 (2 u - 4)} - \frac{3}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2 (2 u - 4)} - \frac{3}{4}$ → $0 - \frac{3}{4}$ = $- \frac{3}{4}$ ≈ -0.75

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.75

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale