Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 70 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{12 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{- 3}$

≈ 268,919

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 70 + $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{- 3}$ ≈ 338.92

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 2,457

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 27 + $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 4}$ ≈ 29.46

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (8 x + 1) ⅆ x$ = $371$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (8 x + 1) ⅆ x

= ${[4 x^{2} + x]}_{3}^{u}$

$=$ $4 u^{2} + u - (4 \cdot 3^{2} + 3)$

= $4 u^{2} + u - (4 \cdot 9 + 3)$

= $4 u^{2} + u - (36 + 3)$

= $4 u^{2} + u - 1 \cdot 39$

= $4 u^{2} + u - 39$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $371$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} + u - 39

=

371

|

- 371

$4 u^{2} + u - 410$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 410)}}{2 \cdot 4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 6 560}}{8}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{6 561}}{8}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{6 561}}{8}$ = $\frac{- 1+81}{8}$ = $\frac{80}{8}$ = $10$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{6 561}}{8}$ = $\frac{- 1-81}{8}$ = $\frac{- 82}{8}$ = $- 10,25$

Da u= $- 10,25$ < 3 ist u= $10$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $e^{2 x - 1}$ zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} e^{2 x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 1})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{6 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 - 1})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e^{1})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e)$

≈ 36,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[{(x - 1)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 - 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - (\frac{1}{4})$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - \frac{1}{4}$ → $0 - \frac{1}{4}$ = $- \frac{1}{4}$ ≈ -0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale