Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $11$ s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $18$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

11

und

18

:

\int_{11}^{18} 2 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{11}^{18} 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{18}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{18}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{256}{3} - 36$

= $\frac{256}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{148}{3}$

≈ 49,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

11

und der Änderung zwischen

11

und

18

zusammen:

B = 7 + $\frac{148}{3}$ = $\frac{169}{3}$ ≈ 56.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $9$ s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{27}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

9

und

\frac{27}{2}

:

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

9

und der Änderung zwischen

9

und

\frac{27}{2}

zusammen:

B = 6 + $122$ = $128$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 10 x - 3) ⅆ x$ = $- 406$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 10 x - 3) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 3 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 3 u - (- 5 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - (- 5 \cdot 4 - 6)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - (- 20 - 6)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - 1 \cdot (- 26)$

= $- 5 u^{2} - 3 u + 26$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 406$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 3 u + 26

=

- 406

|

+ 406

$- 5 u^{2} - 3 u + 432$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 432}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 8 640}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{8 649}}{- 10}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{8 649}}{- 10}$ = $\frac{3+93}{- 10}$ = $\frac{96}{- 10}$ = $- 9,6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{8 649}}{- 10}$ = $\frac{3-93}{- 10}$ = $\frac{- 90}{- 10}$ = $9$

Da u= $- 9,6$ < 2 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $4 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 4 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{4}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{4}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{4}{3} \cdot \cos (6 π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (3 π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{4}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{4}{3} - \frac{4}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{8}{3})$

= $- \frac{8}{3 π}$

≈ -0,849

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[e^{- x + 3}]}_{1}^{u}$

$=$ $e^{- u + 3} - e^{- 1 + 3}$

= $e^{- u + 3} - e^{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{- u + 3} - e^{2}$ → $0 - e^{2}$ = $- e^{2}$ ≈ -7.389

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 7.389

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale