Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 5 e 2x -4 x

= [ 5 2 e 2x -4 ] 0 1

= 5 2 e 21 -4 - 5 2 e 20 -4

= 5 2 e 2 -4 - 5 2 e 0 -4

= 5 2 e -2 - 5 2 e -4


≈ 0,293
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 2 + 5 2 e -2 - 5 2 e -4 ≈ 2.29

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:
4 5 6 3x -7 x
= 4 5 6 ( 3x -7 ) -1 x

= [ 2 ln( | 3x -7 | ) ] 4 5

= 2 ln( | 35 -7 | ) -2 ln( | 34 -7 | )

= 2 ln( | 15 -7 | ) -2 ln( | 12 -7 | )

= 2 ln( 8 ) -2 ln( | 12 -7 | )

= 2 ln( 8 ) -2 ln( 5 )


≈ 0,94
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:
B = 7 + 2 ln( | 8 | ) -2 ln( | 5 | ) ≈ 7.94

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( -2x +2 ) x = -19,25

Lösung einblenden
2 u ( -2x +2 ) x

= [ - x 2 +2x ] 2 u

= - u 2 +2u - ( - 2 2 +22 )

= - u 2 +2u - ( -4 +4 )

= - u 2 +2u +4 -4

= - u 2 +2u +0

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -19,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u 2 +2u = -19,25 | +19,25

- u 2 +2u +19,25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · ( -1 ) · 19,25 2( -1 )

u1,2 = -2 ± 4 +77 -2

u1,2 = -2 ± 81 -2

u1 = -2 + 81 -2 = -2 +9 -2 = 7 -2 = -3,5

u2 = -2 - 81 -2 = -2 -9 -2 = -11 -2 = 5,5

Da u= -3,5 < 2 ist u= 5,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ( 3x -6 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 ( 3x -6 ) 2 x

= 1 3 [ 1 9 ( 3x -6 ) 3 ] 0 3

= 1 3 ( 1 9 ( 33 -6 ) 3 - 1 9 ( 30 -6 ) 3 )

= 1 3 ( 1 9 ( 9 -6 ) 3 - 1 9 ( 0 -6 ) 3 )

= 1 3 ( 1 9 3 3 - 1 9 ( -6 ) 3 )

= 1 3 ( 1 9 27 - 1 9 ( -216 ) )

= 1 3 ( 3 +24 )

= 1 3 · 27

= 9

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=18 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 18 u - 2 x -2 x
= 18 u -2 ( x -2 ) - 1 2 x

= [ -4 ( x -2 ) 1 2 ] 18 u

= [ -4 x -2 ] 18 u

= -4 u -2 +4 18 -2

= -4 u -2 +4 16

= -4 u -2 +44

= -4 u -2 +16

Für u → ∞ gilt: A(u) = -4 u -2 +16 -