Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 6 e x -2 x

= [ 6 e x -2 ] 1 2

= 6 e 2 -2 -6 e 1 -2

= 6 e 0 -6 e -1

= 6 -6 e -1


≈ 3,793
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 6 + -6 e -1 +6 ≈ 9.79

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 3x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
3 5 2 3x -3 x
= 3 5 2 ( 3x -3 ) -1 x

= [ 2 3 ln( | 3x -3 | ) ] 3 5

= 2 3 ln( | 35 -3 | ) - 2 3 ln( | 33 -3 | )

= 2 3 ln( | 15 -3 | ) - 2 3 ln( | 9 -3 | )

= 2 3 ln( 12 ) - 2 3 ln( | 9 -3 | )

= 2 3 ln( 12 ) - 2 3 ln( 6 )


≈ 0,462
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 11 + 2 3 ln( | 12 | ) - 2 3 ln( | 6 | ) ≈ 11.46

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -8x +2 ) x = -56

Lösung einblenden
0 u ( -8x +2 ) x

= [ -4 x 2 +2x ] 0 u

= -4 u 2 +2u - ( -4 0 2 +20 )

= -4 u 2 +2u - ( -40 +0)

= -4 u 2 +2u - (0+0)

= -4 u 2 +2u +0

= -4 u 2 +2u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -56 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 +2u = -56 | +56
-4 u 2 +2u +56 = 0 |:2

-2 u 2 + u +28 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · ( -2 ) · 28 2( -2 )

u1,2 = -1 ± 1 +224 -4

u1,2 = -1 ± 225 -4

u1 = -1 + 225 -4 = -1 +15 -4 = 14 -4 = -3,5

u2 = -1 - 225 -4 = -1 -15 -4 = -16 -4 = 4

Da u= -3,5 < 0 ist u= 4 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( x -1 ) 2 +2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 +0 0 4 ( 3 ( x -1 ) 2 +2 ) x

= 1 4 [ ( x -1 ) 3 +2x ] 0 4

= 1 4 ( ( 4 -1 ) 3 +24 - ( ( 0 -1 ) 3 +20 ))

= 1 4 ( 3 3 +8 - ( ( -1 ) 3 +0))

= 1 4 ( 27 +8 - ( ( -1 ) +0))

= 1 4 ( 27 +8 +1 )

= 1 4 · 36

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( x -3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 u - 2 ( x -3 ) 3 x
= 5 u -2 ( x -3 ) -3 x

= [ ( x -3 ) -2 ] 5 u

= [ 1 ( x -3 ) 2 ] 5 u

= 1 ( u -3 ) 2 - 1 ( 5 -3 ) 2

= 1 ( u -3 ) 2 - 1 2 2

= 1 ( u -3 ) 2 - ( 1 4 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 ( u -3 ) 2 - 1 4 0 - 1 4 = - 1 4 ≈ -0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25