Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 1} - \frac{5}{2} e^{2 - 1}$

= $\frac{5}{2} e^{5} - \frac{5}{2} e^{1}$

= $\frac{5}{2} e^{5} - \frac{5}{2} e$

≈ 364,237

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 38 + $\frac{5}{2} e^{5} - \frac{5}{2} e$ ≈ 402.24

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 67 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{2 \cdot 2 - 5} - e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $e^{4 - 5} - e^{0 - 5}$

= $e^{- 1} - e^{- 5}$

≈ 0,361

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 67 + $e^{- 1} - e^{- 5}$ ≈ 67.36

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,3 x + 0,2} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,3 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,3 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,3 u + 0,2} + 3 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 3 e^{- 0,3 u + 0,2} + 3 e^{0 + 0,2}$

= $- 3 e^{- 0,3 u + 0,2} + 3 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,3 u + 0,2} + 3 e^{0,2}$	=	$2$	\| $- 3 e^{0,2}$
$- 3 e^{- 0,3 u + 0,2}$	=	$- 3 e^{0,2} + 2$
$- 3 e^{- 0,3 u + 0,2}$	=	$- 1,6642$	\|: $- 3$
$e^{- 0,3 u + 0,2}$	=	$0,5547$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,2$	=	$\ln (0,5547)$

$- 0,3 u + 0,2$	=	$- 0,5893$	\| $- 0,2$
$- 0,3 u$	=	$- 0,7893$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$2,631$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \sqrt{x - 1}$ zwischen $5$ und $17$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{17 - 5}

\int_{5}^{17} 3 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{12}

\int_{5}^{17} 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{12}$ ${[2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{17}$

= $\frac{1}{12}$ ${[2 {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{5}^{17}$

$=$ $\frac{1}{12} (2 {(\sqrt{17 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{5 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{12} (2 {(\sqrt{16})}^{3} - 2 {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{1}{12} (2 \cdot 4^{3} - 2 \cdot 2^{3})$

= $\frac{1}{12} (2 \cdot 64 - 2 \cdot 8)$

= $\frac{1}{12} (128 - 16)$

= $\frac{1}{12} \cdot 112$

= $\frac{28}{3}$

≈ 9,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $19$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{19} - \frac{3}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{19} - 3 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{19}$

= ${[- 6 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{19}$

$=$ $- 6 \sqrt{19 - 3} + 6 \sqrt{u - 3}$

= $- 6 \sqrt{16} + 6 \sqrt{u - 3}$

= $- 6 \cdot 4 + 6 \sqrt{u - 3}$

= $- 24 + 6 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $6 \sqrt{u - 3} - 24$ → $0 - 24$ = $- 24$ ≈ -24

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 24

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale