Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 2)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{2}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 2 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{1}{2 x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2 \cdot 3 - 2} + \frac{1}{2 \cdot 2 - 2}$

= $- \frac{1}{6 - 2} + \frac{1}{4 - 2}$

= $- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

= $- (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{4}$

= 0,25

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 14 + $\frac{1}{4}$ = $\frac{57}{4}$ ≈ 14.25

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 5 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $5 e^{2 - 3} - 5 e^{1 - 3}$

= $5 e^{- 1} - 5 e^{- 2}$

≈ 1,163

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 4 + $5 e^{- 1} - 5 e^{- 2}$ ≈ 5.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 6 x - 1) ⅆ x$ = $- 129,25$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 6 x - 1) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} - x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} - u - (- 3 \cdot 1^{2} - 1)$

= $- 3 u^{2} - u - (- 3 \cdot 1 - 1)$

= $- 3 u^{2} - u - (- 3 - 1)$

= $- 3 u^{2} - u - 1 \cdot (- 4)$

= $- 3 u^{2} - u + 4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 129,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} - u + 4

=

- 129,25

|

+ 129,25

$- 3 u^{2} - u + 133,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 133,25}}{2 \cdot (- 3)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 1 599}}{- 6}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 600}}{- 6}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{1 600}}{- 6}$ = $\frac{1+40}{- 6}$ = $\frac{41}{- 6}$ = $- \frac{41}{6}$ ≈ -6.83

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{1 600}}{- 6}$ = $\frac{1-40}{- 6}$ = $\frac{- 39}{- 6}$ = $6,5$

Da u= $- \frac{41}{6}$ < 1 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(x - 3)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 5 {(x - 3)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{3} {(x - 3)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{3} \cdot {(3 - 3)}^{3} - \frac{5}{3} \cdot {(0 - 3)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{3} \cdot 0^{3} - \frac{5}{3} \cdot {(- 3)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{5}{3} \cdot (- 27))$

= $\frac{1}{3} (0 + 45)$

= $15$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $11$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{11} - \frac{2}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{11} - 2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{11}$

= ${[- 4 \sqrt{x - 2}]}_{u}^{11}$

$=$ $- 4 \sqrt{11 - 2} + 4 \sqrt{u - 2}$

= $- 4 \sqrt{9} + 4 \sqrt{u - 2}$

= $- 4 \cdot 3 + 4 \sqrt{u - 2}$

= $- 12 + 4 \sqrt{u - 2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $4 \sqrt{u - 2} - 12$ → $0 - 12$ = $- 12$ ≈ -12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale