Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 4)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{5}{{(2 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 5 {(2 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{4} {(2 x - 4)}^{- 2}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{5}{4 {(2 x - 4)}^{2}}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{4 {(2 \cdot 4 - 4)}^{2}} + \frac{5}{4 {(2 \cdot 3 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{5}{4 {(8 - 4)}^{2}} + \frac{5}{4 {(6 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{5}{4 \cdot 4^{2}} + \frac{5}{4 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{5}{4} \cdot (\frac{1}{16}) + \frac{5}{4} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{5}{64} + \frac{5}{16}$

= $- \frac{5}{64} + \frac{20}{64}$

= $\frac{15}{64}$

≈ 0,234

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 19 + $\frac{15}{64}$ = $\frac{1231}{64}$ ≈ 19.23

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} e^{0}$

= $\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3}$

≈ 134,143

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 73 + $\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3}$ ≈ 207.14

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,9 x + 0,6} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,9 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,9 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,9 u + 0,6} + 4 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,6}$

= $- 4 e^{- 0,9 u + 0,6} + 4 e^{0 + 0,6}$

= $- 4 e^{- 0,9 u + 0,6} + 4 e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,9 u + 0,6} + 4 e^{0,6}$	=	$2$	\| $- 4 e^{0,6}$
$- 4 e^{- 0,9 u + 0,6}$	=	$- 4 e^{0,6} + 2$
$- 4 e^{- 0,9 u + 0,6}$	=	$- 5,2885$	\|: $- 4$
$e^{- 0,9 u + 0,6}$	=	$1,3221$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,6$	=	$\ln (1,3221)$

$- 0,9 u + 0,6$	=	$0,2792$	\| $- 0,6$
$- 0,9 u$	=	$- 0,3208$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,3564$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{2 x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} e^{2 x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 2})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} e^{6 - 2} - \frac{1}{2} e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2} e^{- 2})$

≈ 9,077

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- 3 x + 7)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{{(- 3 x + 7)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(- 3 x + 7)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(- 3 x + 7)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{6 {(- 3 x + 7)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{6 {(- 3 \cdot 3 + 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{6 {(- 9 + 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{6 {(- 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{24}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{24}$ → $0 + \frac{1}{24}$ = $\frac{1}{24}$ ≈ 0.042

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.042

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale