Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 67,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 2 + = ≈ 69.78
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 55 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
=
=
=
≈ 11,056
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3
zusammen:
B = 55 +
≈ 66.06
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
30,25
|
=
-5,5
|
| u2 |
= |
30,25
|
=
5,5
|
Da u=
-5,5
< 2 ist u=
5,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2⋅ sin( x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
2⋅
sin(
x
+
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-2⋅
cos(
x
+
1
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
-2⋅
cos(
π
+
1
2
π)
+2⋅
cos(
1
2
π
+
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-2⋅
cos(
3
2
π)
+2⋅
cos(π)
)
=
2
π
·
(
-2⋅0
+2⋅( -1 )
)
=
2
π
·
(
0
-2
)
=
2
π
·
(
-2
)
=
-
4
π
≈ -1,273
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 x -1 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 10 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
10
-
1
x
-1
ⅆ
x
=
∫
u
10
-
(
x
-1
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
x
-1
)
1
2
]
u
10
=
[
-2
x
-1
]
u
10
=
-2
10
-1
+2
u
-1
=
-2
9
+2
u
-1
=
-2⋅3
+2
u
-1
=
-6
+2
u
-1
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
2
u
-1
-6
→
0
-6
=
-6
≈ -6
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6