= ${\left[\frac{4}{9}{\left(3x-4\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${\left[\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3x-4}\right)}^3\right]}_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{29}{3}\right)-4}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{20}{3}\right)-4}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{29-4}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{20-4}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 5^3-\frac{4}{9}\cdot 4^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 125-\frac{4}{9}\cdot 64$

= $\frac{500}{9}-\frac{256}{9}$

= $\frac{244}{9}$

= ${\left[\frac{4}{3}{e}^{3x-5}\right]}_0^2$

$=$ $\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 2-5}-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 0-5}$

= $\frac{4}{3}{e}^{6-5}-\frac{4}{3}{e}^{0-5}$

= $\frac{4}{3}{e}^1-\frac{4}{3}{e}^{-5}$

= $\frac{4}{3}e-\frac{4}{3}{e}^{-5}$

= ${\left[-2x^2\right]}_0^u$

$=$ $-2u^2+2\cdot 0^2$

= $-2u^2+2\cdot 0$

= $-2u^2+0$

= $-2u^2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{0,5}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-\mathrm{0,5}$ < 0 ist u= $\mathrm{0,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[e^{2x-3}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}\left(e^{2\cdot 3-3}-e^{2\cdot 0-3}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(e^{6-3}-e^{0-3}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(e^3-e^{-3}\right)$

= ${\left[e^{-x+1}\right]}_2^u$

$=$ $e^{-u+1}-e^{-2+1}$

= $e^{-u+1}-e^{-1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{-u+1}-e^{-1}$ → $0-e^{-1}$ = $-e^{-1}$ ≈ -0.368

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.368