= ${\left[2{\left(2x-2\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_9^{\frac{27}{2}}$

= ${\left[2{\left(\sqrt{2x-2}\right)}^3\right]}_9^{\frac{27}{2}}$

$=$ $2{\left(\sqrt{2\cdot \left(\frac{27}{2}\right)-2}\right)}^3-2{\left(\sqrt{2\cdot 9-2}\right)}^3$

= $2{\left(\sqrt{27-2}\right)}^3-2{\left(\sqrt{18-2}\right)}^3$

= $2{\left(\sqrt{25}\right)}^3-2{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $2\cdot 5^3-2\cdot 4^3$

= $2\cdot 125-2\cdot 64$

= $250-128$

= $122$

= ${\left[\frac{5}{3}{e}^{3x-3}\right]}_0^2$

$=$ $\frac{5}{3}{e}^{3\cdot 2-3}-\frac{5}{3}{e}^{3\cdot 0-3}$

= $\frac{5}{3}{e}^{6-3}-\frac{5}{3}{e}^{0-3}$

= $\frac{5}{3}{e}^3-\frac{5}{3}{e}^{-3}$

= ${\left[-2e^{-\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,8}}\right]}_0^u$

$=$ $-2e^{-\mathrm{0,7}u+\mathrm{0,8}}+2e^{-\mathrm{0,7}\cdot 0+\mathrm{0,8}}$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}u+\mathrm{0,8}}+2e^{0+\mathrm{0,8}}$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}u+\mathrm{0,8}}+2e^{\mathrm{0,8}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{3\pi }$ ${\left[2\cdot \sin \left(2x+\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3\pi }·\left(2\cdot \sin \left(2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\pi \right)-2\cdot \sin \left(2\cdot \left(0\right)+\frac{3}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(2\cdot \sin \left(\frac{9}{2}\pi \right)-2\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(2\cdot 1-2\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(2+2\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·4$

= $\frac{8}{3\pi }$

= ${\left[{\left(-2x+1\right)}^{-1}\right]}_1^u$

= ${\left[\frac{1}{-2x+1}\right]}_1^u$

$=$ $\frac{1}{-2u+1}-\frac{1}{-2\cdot 1+1}$

= $\frac{1}{-2u+1}-\frac{1}{-2+1}$

= $\frac{1}{-2u+1}-\frac{1}{\left(-1\right)}$

= $\frac{1}{-2u+1}-\left(-1\right)$

= $\frac{1}{-2u+1}+1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{-2u+1}+1$ → $0+1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1