Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 6)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{4}{{(3 x - 6)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 4 {(3 x - 6)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 6)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{4}{3 (3 x - 6)}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{4}{3 (3 \cdot 6 - 6)} + \frac{4}{3 (3 \cdot 3 - 6)}$

= $- \frac{4}{3 (18 - 6)} + \frac{4}{3 (9 - 6)}$

= $- \frac{4}{3 \cdot 12} + \frac{4}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{12}) + \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{9} + \frac{4}{9}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 14 + $\frac{1}{3}$ = $\frac{43}{3}$ ≈ 14.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 3 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{1}{3 x - 5}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 4 - 5} + \frac{1}{3 \cdot 3 - 5}$

= $- \frac{1}{12 - 5} + \frac{1}{9 - 5}$

= $- \frac{1}{7} + \frac{1}{4}$

= $- (\frac{1}{7}) + \frac{1}{4}$

= $\frac{3}{28}$

≈ 0,107

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 11 + $\frac{3}{28}$ = $\frac{311}{28}$ ≈ 11.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 96,25$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 1^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 1$

= $- 5 u^{2} + 5$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 96,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2} + 5$	=	$- 96,25$	\| $- 5$
$- 5 u^{2}$	=	$- 101,25$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$20,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{20,25}$	= $- 4,5$
u₂	=	$\sqrt{20,25}$	= $4,5$

Da u= $- 4,5$ < 1 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 4}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $10$ und Minute $\frac{29}{2}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{29}{2} - 10}

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 4 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\frac{2}{9}

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{4}{3} {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ $\frac{2}{9} (\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{4}{3} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64)$

= $\frac{2}{9} (\frac{500}{3} - \frac{256}{3})$

= $\frac{2}{9} \cdot \frac{244}{3}$

= $\frac{488}{27}$

≈ 18,074

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- 3 x + 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{{(- 3 x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(- 3 x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(- 3 x + 3)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{6 {(- 3 x + 3)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{6 {(- 3 \cdot 3 + 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{6 {(- 9 + 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{6 {(- 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{36})$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{216}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{216}$ → $0 + \frac{1}{216}$ = $\frac{1}{216}$ ≈ 0.005

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.005

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale