Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 4 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 5 - 3} - 2 e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $2 e^{10 - 3} - 2 e^{4 - 3}$

= $2 e^{7} - 2 e^{1}$

= $2 e^{7} - 2 e$

≈ 2187,83

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 5 + $2 e^{7} - 2 e$ ≈ 2192.83

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 6 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 4 - 4} - 3 e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $3 e^{8 - 4} - 3 e^{2 - 4}$

= $3 e^{4} - 3 e^{- 2}$

≈ 163,388

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 8 + $3 e^{4} - 3 e^{- 2}$ ≈ 171.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 7,2 e^{- 0,8 x + 0,3} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 7,2 e^{- 0,8 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,8 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,8 u + 0,3} + 9 e^{- 0,8 \cdot 0 + 0,3}$

= $- 9 e^{- 0,8 u + 0,3} + 9 e^{0 + 0,3}$

= $- 9 e^{- 0,8 u + 0,3} + 9 e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,8 u + 0,3} + 9 e^{0,3}$	=	$8$	\| $- 9 e^{0,3}$
$- 9 e^{- 0,8 u + 0,3}$	=	$- 9 e^{0,3} + 8$
$- 9 e^{- 0,8 u + 0,3}$	=	$- 4,1487$	\|: $- 9$
$e^{- 0,8 u + 0,3}$	=	$0,461$	\|ln(⋅)
$- 0,8 u + 0,3$	=	$\ln (0,461)$

$- 0,8 u + 0,3$	=	$- 0,7744$	\| $- 0,3$
$- 0,8 u$	=	$- 1,0744$	\|:( $- 0,8$ )
$u$	=	$1,343$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{3 x - 6}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 4 e^{3 x - 6} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 6} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 6})$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} e^{6 - 6} - \frac{4}{3} e^{0 - 6})$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} e^{0} - \frac{4}{3} e^{- 6})$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} - \frac{4}{3} e^{- 6})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{4}{3} e^{- 6} + \frac{4}{3})$

≈ 0,665

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{3 x - 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

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A(u)=

\int_{1}^{u} - 3 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[- e^{3 x - 7}]}_{1}^{u}$

$=$ $- e^{3 u - 7} + e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $- e^{3 u - 7} + e^{3 - 7}$

= $- e^{3 u - 7} + e^{- 4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{3 u - 7} + e^{- 4}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale