Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e 3x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 2 e 3x -3 x

= [ 2 3 e 3x -3 ] 0 3

= 2 3 e 33 -3 - 2 3 e 30 -3

= 2 3 e 9 -3 - 2 3 e 0 -3

= 2 3 e 6 - 2 3 e -3


≈ 268,919
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 5 + 2 3 e 6 - 2 3 e -3 ≈ 273.92

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 16 3 s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 32 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 16 3 und 32 3 :
16 3 32 3 6 3x -7 x
= 16 3 32 3 6 ( 3x -7 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -7 ) 3 2 ] 16 3 32 3

= [ 4 3 ( 3x -7 ) 3 ] 16 3 32 3

= 4 3 ( 3( 32 3 ) -7 ) 3 - 4 3 ( 3( 16 3 ) -7 ) 3

= 4 3 ( 32 -7 ) 3 - 4 3 ( 16 -7 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 3 3

= 4 3 125 - 4 3 27

= 500 3 -36

= 500 3 - 108 3

= 392 3


≈ 130,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 16 3 und der Änderung zwischen 16 3 und 32 3 zusammen:
B = 4 + 392 3 = 404 3 ≈ 134.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u 6x x = 243,75

Lösung einblenden
3 u 6x x

= [ 3 x 2 ] 3 u

= 3 u 2 -3 3 2

= 3 u 2 -39

= 3 u 2 -27

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 243,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 -27 = 243,75 | +27
3 u 2 = 270,75 |:3
u 2 = 90,25 | 2
u1 = - 90,25 = -9,5
u2 = 90,25 = 9,5

Da u= -9,5 < 3 ist u= 9,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 sin( x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 3 sin( x + π) x

= 1 π [ -3 cos( x + π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( -3 cos( 3 2 π + π) +3 cos( 1 2 π + π) )

= 1 π · ( -3 cos( 5 2 π) +3 cos( 3 2 π) )

= 1 π · ( -30 +30 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -3x +7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 3 -3x +7 x
= 4 u -3 ( -3x +7 ) -1 x

= [ ln( | -3x +7 | ) ] 4 u

= ln( | -3( u ) +7 | ) - ln( | -34 +7 | )

= ln( | -3u +7 | ) - ln( | -12 +7 | )

= ln( | -3u +7 | ) - ln( 5 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - ln( 5 ) + ln( | -3x +7 | )