Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 4 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 5 - 3} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{4}{3} e^{15 - 3} - \frac{4}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{4}{3} e^{12} - \frac{4}{3} e^{3}$

≈ 216979,608

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 23 + $\frac{4}{3} e^{12} - \frac{4}{3} e^{3}$ ≈ 217002.61

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 6)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{5}{{(3 x - 6)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 5 {(3 x - 6)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} {(3 x - 6)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{5}{3 (3 x - 6)}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{5}{3 (3 \cdot 6 - 6)} + \frac{5}{3 (3 \cdot 3 - 6)}$

= $- \frac{5}{3 (18 - 6)} + \frac{5}{3 (9 - 6)}$

= $- \frac{5}{3 \cdot 12} + \frac{5}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{12}) + \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{5}{36} + \frac{5}{9}$

= $- \frac{5}{36} + \frac{20}{36}$

= $\frac{5}{12}$

≈ 0,417

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 18 + $\frac{5}{12}$ = $\frac{221}{12}$ ≈ 18.42

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 146,25$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 1^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 1$

= $- 5 u^{2} + 5$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 146,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2} + 5$	=	$- 146,25$	\| $- 5$
$- 5 u^{2}$	=	$- 151,25$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$30,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{30,25}$	= $- 5,5$
u₂	=	$\sqrt{30,25}$	= $5,5$

Da u= $- 5,5$ < 1 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{9}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - \frac{2}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{2}{3})$

= $- \frac{4}{3 π}$

≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(\sqrt{2 x - 4})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $10$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{10}^{u} \frac{3}{{(\sqrt{2 x - 4})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{10}^{u} 3 {(2 x - 4)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[- 3 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}]}_{10}^{u}$

= ${[- \frac{3}{\sqrt{2 x - 4}}]}_{10}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{3}{\sqrt{2 \cdot 10 - 4}}$

= $- \frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{3}{\sqrt{20 - 4}}$

= $- \frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{3}{\sqrt{16}}$

= $- \frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} + 3 \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{3}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{3}{4}$ → $0 + \frac{3}{4}$ = $\frac{3}{4}$ ≈ 0.75

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.75

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale