Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 6 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 4 - 5} - 2 e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $2 e^{12 - 5} - 2 e^{6 - 5}$

= $2 e^{7} - 2 e^{1}$

= $2 e^{7} - 2 e$

≈ 2187,83

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 12 + $2 e^{7} - 2 e$ ≈ 2199.83

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 1} - 2 e^{0 - 1}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 19 + $- 2 e^{- 1} + 2 e$ ≈ 23.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,9 x - 0,3} ⅆ x$ = $20$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,9 x - 0,3} ⅆ x

= ${[4 e^{0,9 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,9 u - 0,3} - 4 e^{0,9 \cdot 0 - 0,3}$

= $4 e^{0,9 u - 0,3} - 4 e^{0 - 0,3}$

= $4 e^{0,9 u - 0,3} - 4 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,9 u - 0,3} - 4 e^{- 0,3}$	=	$20$	\| $+ 4 e^{- 0,3}$
$4 e^{0,9 u - 0,3}$	=	$4 e^{- 0,3} + 20$
$4 e^{0,9 u - 0,3}$	=	$22,9633$	\|: $4$
$e^{0,9 u - 0,3}$	=	$5,7408$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,3$	=	$\ln (5,7408)$

$0,9 u - 0,3$	=	$1,7476$	\| $+ 0,3$
$0,9 u$	=	$2,0476$	\|: $0,9$
$u$	=	$2,2751$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (e^{3 - 2} - e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{3} (e^{1} - e^{- 2})$

= $\frac{1}{3} (e - e^{- 2})$

= $\frac{1}{3} (- e^{- 2} + e)$

≈ 0,861

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $5$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} - {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}_{5}^{u}$

= ${[- \sqrt{2 x - 1}]}_{5}^{u}$

$=$ $- \sqrt{2 u - 1} + \sqrt{2 \cdot 5 - 1}$

= $- \sqrt{2 u - 1} + \sqrt{10 - 1}$

= $- \sqrt{2 u - 1} + \sqrt{9}$

= $- \sqrt{2 u - 1} + 3$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 1} + 3$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale