Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{1 - 2} - 2 e^{0 - 2}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{- 2}$

≈ 0,465

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 77 + $2 e^{- 1} - 2 e^{- 2}$ ≈ 77.47

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 56 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{4 - 1} - e^{2 - 1}$

= $e^{3} - e^{1}$

= $e^{3} - e$

≈ 17,367

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 56 + $e^{3} - e$ ≈ 73.37

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} 4 x ⅆ x$ = $82,5$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} 4 x ⅆ x

= ${[2 x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 2 \cdot 1^{2}$

= $2 u^{2} - 2 \cdot 1$

= $2 u^{2} - 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $82,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 u^{2} - 2$	=	$82,5$	\| $+ 2$
$2 u^{2}$	=	$84,5$	\|: $2$
$u^{2}$	=	$42,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{42,25}$	= $- 6,5$
u₂	=	$\sqrt{42,25}$	= $6,5$

Da u= $- 6,5$ < 1 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(3 x - 4)}^{3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 2 {(3 x - 4)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{6} {(3 x - 4)}^{4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{4} - \frac{1}{6} \cdot {(3 \cdot 0 - 4)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot {(6 - 4)}^{4} - \frac{1}{6} \cdot {(0 - 4)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 2^{4} - \frac{1}{6} \cdot {(- 4)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 16 - \frac{1}{6} \cdot 256)$

= $\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{128}{3})$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 40)$

= $- 20$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{{(2 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(2 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} {(2 x - 4)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{3}{4 {(2 x - 4)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{4 {(2 \cdot 3 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{4 {(6 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{4 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{16}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{16}$ → $0 + \frac{3}{16}$ = $\frac{3}{16}$ ≈ 0.188

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.188

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale