Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 4 e x -1 x

= [ 4 e x -1 ] 1 2

= 4 e 2 -1 -4 e 1 -1

= 4 e 1 -4 e 0

= 4e -4


≈ 6,873
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 31 + -4 +4e ≈ 37.87

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 5 e x -3 x

= [ 5 e x -3 ] 0 2

= 5 e 2 -3 -5 e 0 -3

= 5 e -1 -5 e -3


≈ 1,59
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 74 + 5 e -1 -5 e -3 ≈ 75.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4,8 e -0,8x +0,3 x = 1

Lösung einblenden
0 u 4,8 e -0,8x +0,3 x

= [ -6 e -0,8x +0,3 ] 0 u

= -6 e -0,8u +0,3 +6 e -0,80 +0,3

= -6 e -0,8u +0,3 +6 e 0 +0,3

= -6 e -0,8u +0,3 +6 e 0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-6 e -0,8u +0,3 +6 e 0,3 = 1 | -6 e 0,3
-6 e -0,8u +0,3 = -6 e 0,3 +1
-6 e -0,8u +0,3 = -7,0992 |:-6
e -0,8u +0,3 = 1,1832 |ln(⋅)
-0,8u +0,3 = ln( 1,1832 )
-0,8u +0,3 = 0,1682 | -0,3
-0,8u = -0,1318 |:(-0,8 )
u = 0,1648

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ( x -2 ) 3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 +0 0 5 ( x -2 ) 3 x

= 1 5 [ 1 4 ( x -2 ) 4 ] 0 5

= 1 5 ( 1 4 ( 5 -2 ) 4 - 1 4 ( 0 -2 ) 4 )

= 1 5 ( 1 4 3 4 - 1 4 ( -2 ) 4 )

= 1 5 ( 1 4 81 - 1 4 16 )

= 1 5 ( 81 4 -4 )

= 1 5 ( 81 4 - 16 4 )

= 1 5 · 65 4

= 13 4


= 3,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( x -1 ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 4 - 2 ( x -1 ) 2 x
= u 4 -2 ( x -1 ) -2 x

= [ 2 ( x -1 ) -1 ] u 4

= [ 2 x -1 ] u 4

= 2 4 -1 - 2 u -1

= 2 3 - 2 u -1

= 2( 1 3 ) - 2 u -1

= 2 3 - 2 u -1

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = - 2 u -1 + 2 3 -