Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 24 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 2 e x -2 x

= [ 2 e x -2 ] 2 4

= 2 e 4 -2 -2 e 2 -2

= 2 e 2 -2 e 0

= 2 e 2 -2


≈ 12,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 24 + 2 e 2 -2 ≈ 36.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= e x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 e x -1 x

= [ e x -1 ] 1 4

= e 4 -1 - e 1 -1

= e 3 - e 0

= e 3 -1


≈ 19,086
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 13 + e 3 -1 ≈ 32.09

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( -4x -4 ) x = -110

Lösung einblenden
2 u ( -4x -4 ) x

= [ -2 x 2 -4x ] 2 u

= -2 u 2 -4u - ( -2 2 2 -42 )

= -2 u 2 -4u - ( -24 -8 )

= -2 u 2 -4u - ( -8 -8 )

= -2 u 2 -4u -1 · ( -16 )

= -2 u 2 -4u +16

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -110 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 -4u +16 = -110 | +110
-2 u 2 -4u +126 = 0 |:2

- u 2 -2u +63 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · ( -1 ) · 63 2( -1 )

u1,2 = +2 ± 4 +252 -2

u1,2 = +2 ± 256 -2

u1 = 2 + 256 -2 = 2 +16 -2 = 18 -2 = -9

u2 = 2 - 256 -2 = 2 -16 -2 = -14 -2 = 7

Da u= -9 < 2 ist u= 7 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 e x -1 zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -1 1 3 6 e x -1 x

= 1 2 [ 6 e x -1 ] 1 3

= 1 2 ( 6 e 3 -1 -6 e 1 -1 )

= 1 2 ( 6 e 2 -6 e 0 )

= 1 2 ( 6 e 2 -6 )


≈ 19,167

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 -3x +4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 2 -3x +4 x
= 3 u -2 ( -3x +4 ) -1 x

= [ 2 3 ln( | -3x +4 | ) ] 3 u

= 2 3 ln( | -3( u ) +4 | ) - 2 3 ln( | -33 +4 | )

= 2 3 ln( | -3u +4 | ) - 2 3 ln( | -9 +4 | )

= 2 3 ln( | -3u +4 | ) - 2 3 ln( 5 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 2 3 ln( 5 ) + 2 3 ln( | -3x +4 | )