Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 4 + $122$ = $126$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{5}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 5 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{5}{3 (3 x - 3)}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{5}{3 (3 \cdot 6 - 3)} + \frac{5}{3 (3 \cdot 3 - 3)}$

= $- \frac{5}{3 (18 - 3)} + \frac{5}{3 (9 - 3)}$

= $- \frac{5}{3 \cdot 15} + \frac{5}{3 \cdot 6}$

= $- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{15}) + \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{6})$

= $- \frac{1}{9} + \frac{5}{18}$

= $- \frac{2}{18} + \frac{5}{18}$

= $\frac{1}{6}$

≈ 0,167

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 2 + $\frac{1}{6}$ = $\frac{13}{6}$ ≈ 2.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (4 x + 5) ⅆ x$ = $117$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (4 x + 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $2 u^{2} + 5 u - (2 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3)$

= $2 u^{2} + 5 u - (2 \cdot 9 + 15)$

= $2 u^{2} + 5 u - (18 + 15)$

= $2 u^{2} + 5 u - 1 \cdot 33$

= $2 u^{2} + 5 u - 33$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $117$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} + 5 u - 33

=

117

|

- 117

$2 u^{2} + 5 u - 150$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 150)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 1 200}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1 225}}{4}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1 225}}{4}$ = $\frac{- 5+35}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = $7,5$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1 225}}{4}$ = $\frac{- 5-35}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Da u= $- 10$ < 3 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 5 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot 1 - \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{3 π}$

≈ 1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(x)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} \frac{1}{{(x)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} \frac{1}{x^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} x^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{- 2}]}_{u}^{4}$

= ${[- \frac{1}{2 x^{2}}]}_{u}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2 \cdot 4^{2}} + \frac{1}{2 u^{2}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{16}) + \frac{1}{2 u^{2}}$

= $- \frac{1}{32} + \frac{1}{2 u^{2}}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{32} + \frac{1}{2 u^{2}}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale