Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 4 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $4 e^{5 - 3} - 4 e^{2 - 3}$

= $4 e^{2} - 4 e^{- 1}$

≈ 28,085

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 37 + $4 e^{2} - 4 e^{- 1}$ ≈ 65.08

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 1} - e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $e^{6 - 1} - e^{2 - 1}$

= $e^{5} - e^{1}$

= $e^{5} - e$

≈ 145,695

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 11 + $e^{5} - e$ ≈ 156.69

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,5 e^{- 0,1 x + 0,1} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,5 e^{- 0,1 x + 0,1} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,1 x + 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,1 u + 0,1} + 5 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,1}$

= $- 5 e^{- 0,1 u + 0,1} + 5 e^{0 + 0,1}$

= $- 5 e^{- 0,1 u + 0,1} + 5 e^{0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,1 u + 0,1} + 5 e^{0,1}$	=	$1$	\| $- 5 e^{0,1}$
$- 5 e^{- 0,1 u + 0,1}$	=	$- 5 e^{0,1} + 1$
$- 5 e^{- 0,1 u + 0,1}$	=	$- 4,5259$	\|: $- 5$
$e^{- 0,1 u + 0,1}$	=	$0,9052$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,1$	=	$\ln (0,9052)$

$- 0,1 u + 0,1$	=	$- 0,0996$	\| $- 0,1$
$- 0,1 u$	=	$- 0,1996$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$1,996$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (3 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \cos (3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (\frac{9}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 0 + 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{2 x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $8$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{8} \frac{3}{\sqrt{2 x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{8} \frac{\frac{4.2426406871193}{1.4142135623731}}{1,4142135623731 \sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{8} \frac{3}{1.4142135623731} x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{6}{1.4142135623731} x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{8}$

= ${[\frac{6}{1.4142135623731} \sqrt{x}]}_{u}^{8}$

$=$ $\frac{6}{1.4142135623731} \sqrt{8} - \frac{6}{1.4142135623731} \sqrt{u}$

= $\frac{599 999 999 999 999 996 168 176 207 396 864}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{8} - \frac{599 999 999 999 999 996 168 176 207 396 864}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{u}$

= $\frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{8} - \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $\frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \cdot (\sqrt{8}) - \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $- \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{8}$

= $- \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + 12$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + 12$ → $0 + 12$ = $12$ ≈ 12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale