Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $4 e^{3 - 2} - 4 e^{0 - 2}$

= $4 e^{1} - 4 e^{- 2}$

= $4 e - 4 e^{- 2}$

≈ 10,332

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 73 + $- 4 e^{- 2} + 4 e$ ≈ 83.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{5}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 5 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[5 \ln (| x - 2 |)]}_{3}^{6}$

$=$ $5 \ln (| 6 - 2 |) - 5 \ln (| 3 - 2 |)$

= $5 \ln (4) - 5 \ln (| 3 - 2 |)$

= $5 \ln (4) - 5 \ln (1)$

= $5 \ln (4) + 0$

= $5 \ln (4)$

≈ 6,931

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 11 + $5 \ln (4)$ ≈ 17.93

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 8 x + 2) ⅆ x$ = $- 130$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 8 x + 2) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + 2 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 2 u - (- 4 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $- 4 u^{2} + 2 u - (- 4 \cdot 1 + 2)$

= $- 4 u^{2} + 2 u - (- 4 + 2)$

= $- 4 u^{2} + 2 u - 1 \cdot (- 2)$

= $- 4 u^{2} + 2 u + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 130$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + 2 u + 2

=

- 130

|

+ 130

- 4 u^{2} + 2 u + 132

= 0 |:2

$- 2 u^{2} + u + 66$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 66}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 528}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{529}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{529}}{- 4}$ = $\frac{- 1+23}{- 4}$ = $\frac{22}{- 4}$ = $- 5,5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{529}}{- 4}$ = $\frac{- 1-23}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Da u= $- 5,5$ < 1 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{3 x - 4}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 2}

\int_{2}^{4} \frac{2}{3 x - 4} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{2}^{4} 2 {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 4 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 4 |) - \frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 4 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (| 12 - 4 |) - \frac{2}{3} \ln (| 6 - 4 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (8) - \frac{2}{3} \ln (| 6 - 4 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (8) - \frac{2}{3} \ln (2))$

≈ 0,462

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} - \frac{2}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} - 2 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 2 \ln (| x - 3 |)]}_{5}^{u}$

$=$ $- 2 \ln (| u - 3 |) + 2 \ln (| 5 - 3 |)$

= $- 2 \ln (| u - 3 |) + 2 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \ln (2) - 2 \ln (| x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale