Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $4$ s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{19}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{19}{3}

:

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 3 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 3 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{128}{3} - 18$

= $\frac{128}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{74}{3}$

≈ 24,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{19}{3}

zusammen:

B = 20 + $\frac{74}{3}$ = $\frac{134}{3}$ ≈ 44.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 5 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $5 e^{3 - 2} - 5 e^{2 - 2}$

= $5 e^{1} - 5 e^{0}$

= $5 e - 5$

≈ 8,591

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 31 + $- 5 + 5 e$ ≈ 39.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,7 x - 0,3} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,7 x - 0,3} ⅆ x

= ${[3 e^{0,7 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,7 u - 0,3} - 3 e^{0,7 \cdot 0 - 0,3}$

= $3 e^{0,7 u - 0,3} - 3 e^{0 - 0,3}$

= $3 e^{0,7 u - 0,3} - 3 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,7 u - 0,3} - 3 e^{- 0,3}$	=	$7$	\| $+ 3 e^{- 0,3}$
$3 e^{0,7 u - 0,3}$	=	$3 e^{- 0,3} + 7$
$3 e^{0,7 u - 0,3}$	=	$9,2225$	\|: $3$
$e^{0,7 u - 0,3}$	=	$3,0742$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,3$	=	$\ln (3,0742)$

$0,7 u - 0,3$	=	$1,123$	\| $+ 0,3$
$0,7 u$	=	$1,423$	\|: $0,7$
$u$	=	$2,0329$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \sin (2 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \cos (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (4 π) + \cos (2 π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 1 + 1)$

= $\frac{- 1 + 1}{π}$

= $\frac{0}{π}$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{3}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 3 {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| - x + 1 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $3 \ln (| - (u) + 1 |) - 3 \ln (| - 2 + 1 |)$

= $3 \ln (| - u + 1 |) - 3 \ln (| - 2 + 1 |)$

= $3 \ln (| - u + 1 |) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (| - u + 1 |) + 0$

= $3 \ln (| - x + 1 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (| - x + 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale