Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 66 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 6 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 3 - 1} - 3 e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $3 e^{6 - 1} - 3 e^{2 - 1}$

= $3 e^{5} - 3 e^{1}$

= $3 e^{5} - 3 e$

≈ 437,085

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 66 + $3 e^{5} - 3 e$ ≈ 503.08

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{5}{2}$ Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $13$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{5}{2}

und

13

:

\int_{\frac{5}{2}}^{13} 5 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{5}{2}}^{13} 5 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{5}{2}}^{13}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{5}{2}}^{13}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 8$

= $\frac{625}{3} - \frac{40}{3}$

= $195$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{5}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{5}{2}

und

13

zusammen:

B = 4 + $195$ = $199$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,4 e^{0,6 x - 0,7} ⅆ x$ = $9$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,4 e^{0,6 x - 0,7} ⅆ x

= ${[9 e^{0,6 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,6 u - 0,7} - 9 e^{0,6 \cdot 0 - 0,7}$

= $9 e^{0,6 u - 0,7} - 9 e^{0 - 0,7}$

= $9 e^{0,6 u - 0,7} - 9 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,6 u - 0,7} - 9 e^{- 0,7}$	=	$9$	\| $+ 9 e^{- 0,7}$
$9 e^{0,6 u - 0,7}$	=	$9 e^{- 0,7} + 9$
$9 e^{0,6 u - 0,7}$	=	$13,4693$	\|: $9$
$e^{0,6 u - 0,7}$	=	$1,4966$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,7$	=	$\ln (1,4966)$

$0,6 u - 0,7$	=	$0,4032$	\| $+ 0,7$
$0,6 u$	=	$1,1032$	\|: $0,6$
$u$	=	$1,8387$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(x - 2)}^{2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 3 {(x - 2)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[{(x - 2)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} ({(3 - 2)}^{3} - {(0 - 2)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (1^{3} - {(- 2)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (1 - (- 8))$

= $\frac{1}{3} (1 + 8)$

= $\frac{1}{3} \cdot 9$

= $3$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{- 3 x + 6} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(- 3 x + 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 6 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| - 3 (u) + 6 |) - \frac{1}{3} \ln (| - 3 \cdot 3 + 6 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 6 |) - \frac{1}{3} \ln (| - 9 + 6 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 6 |) - \frac{1}{3} \ln (3)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3} \ln (3) + \frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 6 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale