Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $4$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{19}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{19}{3}

:

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 4 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 4 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 4^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 64 - \frac{8}{9} \cdot 27$

= $\frac{512}{9} - 24$

= $\frac{512}{9} - \frac{216}{9}$

= $\frac{296}{9}$

≈ 32,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{19}{3}

zusammen:

B = 15 + $\frac{296}{9}$ = $\frac{431}{9}$ ≈ 47.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{3}$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 4 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 4 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 64$

= $\frac{1000}{9} - \frac{512}{9}$

= $\frac{488}{9}$

≈ 54,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 12 + $\frac{488}{9}$ = $\frac{596}{9}$ ≈ 66.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x

= ${[9 e^{0,3 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,3 u - 0,2} - 9 e^{0,3 \cdot 0 - 0,2}$

= $9 e^{0,3 u - 0,2} - 9 e^{0 - 0,2}$

= $9 e^{0,3 u - 0,2} - 9 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,3 u - 0,2} - 9 e^{- 0,2}$	=	$18$	\| $+ 9 e^{- 0,2}$
$9 e^{0,3 u - 0,2}$	=	$9 e^{- 0,2} + 18$
$9 e^{0,3 u - 0,2}$	=	$25,3686$	\|: $9$
$e^{0,3 u - 0,2}$	=	$2,8187$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,2$	=	$\ln (2,8187)$

$0,3 u - 0,2$	=	$1,0363$	\| $+ 0,2$
$0,3 u$	=	$1,2363$	\|: $0,3$
$u$	=	$4,121$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (π - \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (0))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 3)$

= $\frac{2}{π} \cdot 3$

= $\frac{6}{π}$

≈ 1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $19$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{19} - \frac{3}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{19} - 3 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{19}$

= ${[- 6 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{19}$

$=$ $- 6 \sqrt{19 - 3} + 6 \sqrt{u - 3}$

= $- 6 \sqrt{16} + 6 \sqrt{u - 3}$

= $- 6 \cdot 4 + 6 \sqrt{u - 3}$

= $- 24 + 6 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $6 \sqrt{u - 3} - 24$ → $0 - 24$ = $- 24$ ≈ -24

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 24

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale