Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 ( x -3 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 8 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 8:
5 8 2 ( x -3 ) 2 x
= 5 8 2 ( x -3 ) -2 x

= [ -2 ( x -3 ) -1 ] 5 8

= [ - 2 x -3 ] 5 8

= - 2 8 -3 + 2 5 -3

= - 2 5 + 2 2

= -2( 1 5 ) +2( 1 2 )

= - 2 5 +1

= - 2 5 + 5 5

= 3 5


= 0,6
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 8 zusammen:
B = 7 + 3 5 = 38 5 ≈ 7.6

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 2x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 6 s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 19 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 6 und 19 2 :
6 19 2 3 2x -3 x
= 6 19 2 3 ( 2x -3 ) 1 2 x

= [ ( 2x -3 ) 3 2 ] 6 19 2

= [ ( 2x -3 ) 3 ] 6 19 2

= ( 2( 19 2 ) -3 ) 3 - ( 26 -3 ) 3

= ( 19 -3 ) 3 - ( 12 -3 ) 3

= ( 16 ) 3 - ( 9 ) 3

= 4 3 - 3 3

= 64 - 27

= 37

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 6 und der Änderung zwischen 6 und 19 2 zusammen:
B = 13 + 37 = 50

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 1,2 e 0,2x -0,6 x = 10

Lösung einblenden
0 u 1,2 e 0,2x -0,6 x

= [ 6 e 0,2x -0,6 ] 0 u

= 6 e 0,2u -0,6 -6 e 0,20 -0,6

= 6 e 0,2u -0,6 -6 e 0 -0,6

= 6 e 0,2u -0,6 -6 e -0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 10 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

6 e 0,2u -0,6 -6 e -0,6 = 10 | +6 e -0,6
6 e 0,2u -0,6 = 6 e -0,6 +10
6 e 0,2u -0,6 = 13,2929 |:6
e 0,2u -0,6 = 2,2155 |ln(⋅)
0,2u -0,6 = ln( 2,2155 )
0,2u -0,6 = 0,7955 | +0,6
0,2u = 1,3955 |:0,2
u = 6,9775

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2 ( 2x -2 ) 2 +2x zwischen 2 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 ( 2 ( 2x -2 ) 2 +2x ) x

= 1 3 [ 1 3 ( 2x -2 ) 3 + x 2 ] 2 5

= 1 3 ( 1 3 ( 25 -2 ) 3 + 5 2 - ( 1 3 ( 22 -2 ) 3 + 2 2 ))

= 1 3 ( 1 3 ( 10 -2 ) 3 + 25 - ( 1 3 ( 4 -2 ) 3 + 4 ))

= 1 3 ( 1 3 8 3 +25 - ( 1 3 2 3 +4 ))

= 1 3 ( 1 3 512 +25 - ( 1 3 8 +4 ))

= 1 3 ( 512 3 +25 - ( 8 3 +4 ))

= 1 3 ( 512 3 + 75 3 - ( 8 3 + 12 3 ))

= 1 3 ( 587 3 -1 · 20 3 )

= 1 3 ( 587 3 - 20 3 )

= 1 3 · 189

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -3 e -3x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u -3 e -3x +5 x

= [ e -3x +5 ] 1 u

= e -3u +5 - e -31 +5

= e -3u +5 - e -3 +5

= e -3u +5 - e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = e -3u +5 - e 2 0 - e 2 = - e 2 ≈ -7.389

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 7.389