Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(x - 2)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{5}{{(x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 5 {(x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{5}{2 {(x - 2)}^{2}}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{5}{2 {(6 - 2)}^{2}} + \frac{5}{2 {(3 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 4^{2}} + \frac{5}{2 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{16}) + \frac{5}{2} \cdot 1$

= $- \frac{5}{32} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{32} + \frac{80}{32}$

= $\frac{75}{32}$

≈ 2,344

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 16 + $\frac{75}{32}$ = $\frac{587}{32}$ ≈ 18.34

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{3 - 2} - e^{1 - 2}$

= $e^{1} - e^{- 1}$

= $e - e^{- 1}$

≈ 2,35

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 12 + $- e^{- 1} + e$ ≈ 14.35

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 10 x - 5) ⅆ x$ = $- 90$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 10 x - 5) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 5 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 5 u - (- 5 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1)$

= $- 5 u^{2} - 5 u - (- 5 \cdot 1 - 5)$

= $- 5 u^{2} - 5 u - (- 5 - 5)$

= $- 5 u^{2} - 5 u - 1 \cdot (- 10)$

= $- 5 u^{2} - 5 u + 10$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 90$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 5 u + 10

=

- 90

|

+ 90

- 5 u^{2} - 5 u + 100

= 0 |:5

$- u^{2} - u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Da u= $- 5$ < 1 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 e^{2 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 3 e^{2 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} e^{6 - 4} - \frac{3}{2} e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} e^{2} - \frac{3}{2} e^{- 4})$

≈ 3,685

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 3 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 1)}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 u - 1)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 2 - 1)}$

= $- \frac{3}{2 (2 u - 1)} + \frac{3}{2 (4 - 1)}$

= $- \frac{3}{2 (2 u - 1)} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

= $- \frac{3}{2 (2 u - 1)} + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{3}{2 (2 u - 1)} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2 (2 u - 1)} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale