Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
=
≈ 107,196
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 6 +
≈ 113.2
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 16 + = ≈ 97.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
40
-4
=
-10
u2 =
5
-
1225
-4
=
5
-35
-4
=
-30
-4
=
7,5
Da u=
-10
< 3 ist u=
7,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= cos( 2x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
2
π+0
∫
0
1
2
π
cos(
2x
-
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
1
2
⋅
sin(
2x
-
1
2
π)
]
0
1
2
π
=
2
π
·
(
1
2
⋅
sin(
2⋅(
1
2
π )
-
1
2
π)
-
1
2
⋅
sin(
2⋅( 0 )
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
1
2
⋅
sin(
1
2
π)
-
1
2
⋅
sin(
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
1
2
⋅1
-
1
2
⋅( -1 )
)
=
2
π
·
(
1
2
+
1
2
)
=
2
π
·
(
0,5
+0,5
)
=
2
π
·
1
=
2
π
≈ 0,637
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
3
(
-x
+3
)
2
ⅆ
x
=
∫
4
u
-3
(
-x
+3
)
-2
ⅆ
x
=
[
-3
(
-x
+3
)
-1
]
4
u
=
[
-
3
-x
+3
]
4
u
=
-
3
-u
+3
+
3
-4
+3
=
-
3
-u
+3
+
3
( -1 )
=
-
3
-u
+3
+3⋅( -1 )
=
-
3
-u
+3
-3
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
-u
+3
-3
→
0
-3
=
-3
≈ -3
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3