= ${\left[\frac{2}{3}{e}^{3x-3}\right]}_1^3$

$=$ $\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 3-3}-\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 1-3}$

= $\frac{2}{3}{e}^{9-3}-\frac{2}{3}{e}^{3-3}$

= $\frac{2}{3}{e}^6-\frac{2}{3}{e}^0$

= $\frac{2}{3}{e}^6-\frac{2}{3}$

= ${\left[2{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{19}^{28}$

= ${\left[2{\left(\sqrt{x-3}\right)}^3\right]}_{19}^{28}$

$=$ $2{\left(\sqrt{28-3}\right)}^3-2{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3$

= $2{\left(\sqrt{25}\right)}^3-2{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $2\cdot 5^3-2\cdot 4^3$

= $2\cdot 125-2\cdot 64$

= $250-128$

= $122$

= ${\left[-7e^{-\mathrm{0,9}x+\mathrm{0,5}}\right]}_0^u$

$=$ $-7e^{-\mathrm{0,9}u+\mathrm{0,5}}+7e^{-\mathrm{0,9}\cdot 0+\mathrm{0,5}}$

= $-7e^{-\mathrm{0,9}u+\mathrm{0,5}}+7e^{0+\mathrm{0,5}}$

= $-7e^{-\mathrm{0,9}u+\mathrm{0,5}}+7e^{\mathrm{0,5}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{5}{4}{\left(x-1\right)}^4\right]}_2^5$

$=$ $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{4}\cdot {\left(5-1\right)}^4-\frac{5}{4}\cdot {\left(2-1\right)}^4\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{4}\cdot 4^4-\frac{5}{4}\cdot 1^4\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{4}\cdot 256-\frac{5}{4}\cdot 1\right)$

= $\frac{1}{3}\left(320-\frac{5}{4}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{1280}{4}-\frac{5}{4}\right)$

= $\frac{1}{3}·\frac{1275}{4}$

= $\frac{425}{4}$

= ${\left[2{\left(2x-4\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^4$

= ${\left[2\sqrt{2x-4}\right]}_u^4$

$=$ $2\sqrt{2\cdot 4-4}-2\sqrt{2u-4}$

= $2\sqrt{8-4}-2\sqrt{2u-4}$

= $2\sqrt{4}-2\sqrt{2u-4}$

= $2\cdot 2-2\sqrt{2u-4}$

= $4-2\sqrt{2u-4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $-2\sqrt{2u-4}+4$ → $0+4$ = $4$ ≈ 4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4