Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,026
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 4 + = ≈ 4.03
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 53 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
=
≈ 5,166
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 53 +
≈ 58.17
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
48
-10
=
-4,8
u2 =
4
-
1936
-10
=
4
-44
-10
=
-40
-10
=
4
Da u=
-4,8
< 2 ist u=
4
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -2 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
+0
∫
0
3
2
(
2x
-2
)
2
ⅆ
x
=
1
3
[
1
3
(
2x
-2
)
3
]
0
3
=
1
3
(
1
3
⋅
(
2⋅3
-2
)
3
-
1
3
⋅
(
2⋅0
-2
)
3
)
=
1
3
(
1
3
⋅
(
6
-2
)
3
-
1
3
⋅
( 0
-2
)
3
)
=
1
3
(
1
3
⋅
4
3
-
1
3
⋅
( -2 )
3
)
=
1
3
(
1
3
⋅64
-
1
3
⋅( -8 )
)
=
1
3
(
64
3
+
8
3
)
=
1
3
·
24
=
8
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 2x schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
2
-
1
2x
ⅆ
x
=
∫
u
2
-
1
2
x
ⅆ
x
=
∫
u
2
-
1
2
x
-1
ⅆ
x
=
[
-
1
2
ln(
|
x
|
)
]
u
2
=
-
1
2
ln(
|
2
|
)
+
1
2
ln(
|
u
|
)
=
-
1
2
ln(
2
)
+
1
2
ln(
|
u
|
)
Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) =
-
1
2
ln(
|
2
|
)
+
1
2
ln(
|
x
|
)
→
-∞