= ${\left[\frac{4}{3}{e}^{3x-7}\right]}_0^2$

$=$ $\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 2-7}-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 0-7}$

= $\frac{4}{3}{e}^{6-7}-\frac{4}{3}{e}^{0-7}$

= $\frac{4}{3}{e}^{-1}-\frac{4}{3}{e}^{-7}$

= ${\left[-5{\left(x-3\right)}^{-1}\right]}_4^5$

= ${\left[-\frac{5}{x-3}\right]}_4^5$

$=$ $-\frac{5}{5-3}+\frac{5}{4-3}$

= $-\frac{5}{2}+\frac{5}{1}$

= $-5\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+5\cdot 1$

= $-\frac{5}{2}+5$

= $-\mathrm{2,5}+5$

= $\mathrm{2,5}$

= ${\left[-8e^{-\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,7}}\right]}_0^u$

$=$ $-8e^{-\mathrm{0,8}u+\mathrm{0,7}}+8e^{-\mathrm{0,8}\cdot 0+\mathrm{0,7}}$

= $-8e^{-\mathrm{0,8}u+\mathrm{0,7}}+8e^{0+\mathrm{0,7}}$

= $-8e^{-\mathrm{0,8}u+\mathrm{0,7}}+8e^{\mathrm{0,7}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $1$ ${\left[-\frac{5}{2}{\left(2x-1\right)}^{-1}\right]}_2^3$

= $1$ ${\left[-\frac{5}{2\left(2x-1\right)}\right]}_2^3$

$=$ $-\frac{5}{2\left(2\cdot 3-1\right)}+\frac{5}{2\left(2\cdot 2-1\right)}$

= $-\frac{5}{2\left(6-1\right)}+\frac{5}{2\left(4-1\right)}$

= $-\frac{5}{2\cdot 5}+\frac{5}{2\cdot 3}$

= $-\frac{5}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{5}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)$

= $-\frac{1}{2}+\frac{5}{6}$

= $-\frac{3}{6}+\frac{5}{6}$

= $\frac{1}{3}$

= ${\left[-4{\left(x-2\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^6$

= ${\left[-4\sqrt{x-2}\right]}_u^6$

$=$ $-4\sqrt{6-2}+4\sqrt{u-2}$

= $-4\sqrt{4}+4\sqrt{u-2}$

= $-4\cdot 2+4\sqrt{u-2}$

= $-8+4\sqrt{u-2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $4\sqrt{u-2}-8$ → $0-8$ = $-8$ ≈ -8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8