Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 4 e 3x -3 x

= [ 4 3 e 3x -3 ] 2 3

= 4 3 e 33 -3 - 4 3 e 32 -3

= 4 3 e 9 -3 - 4 3 e 6 -3

= 4 3 e 6 - 4 3 e 3


≈ 511,124
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 25 + 4 3 e 6 - 4 3 e 3 ≈ 536.12

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 1 ( 2x -3 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
3 6 1 ( 2x -3 ) 2 x
= 3 6 ( 2x -3 ) -2 x

= [ - 1 2 ( 2x -3 ) -1 ] 3 6

= [ - 1 2( 2x -3 ) ] 3 6

= - 1 2( 26 -3 ) + 1 2( 23 -3 )

= - 1 2( 12 -3 ) + 1 2( 6 -3 )

= - 1 2 9 + 1 2 3

= - 1 2 ( 1 9 ) + 1 2 ( 1 3 )

= - 1 18 + 1 6

= - 1 18 + 3 18

= 1 9


≈ 0,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 4 + 1 9 = 37 9 ≈ 4.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 6,3 e -0,7x +0,3 x = 8

Lösung einblenden
0 u 6,3 e -0,7x +0,3 x

= [ -9 e -0,7x +0,3 ] 0 u

= -9 e -0,7u +0,3 +9 e -0,70 +0,3

= -9 e -0,7u +0,3 +9 e 0 +0,3

= -9 e -0,7u +0,3 +9 e 0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 8 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-9 e -0,7u +0,3 +9 e 0,3 = 8 | -9 e 0,3
-9 e -0,7u +0,3 = -9 e 0,3 +8
-9 e -0,7u +0,3 = -4,1487 |:-9
e -0,7u +0,3 = 0,461 |ln(⋅)
-0,7u +0,3 = ln( 0,461 )
-0,7u +0,3 = -0,7744 | -0,3
-0,7u = -1,0744 |:(-0,7 )
u = 1,5349

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 cos( x - 1 2 π) zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 5 cos( x - 1 2 π) x

= 1 π [ 5 sin( x - 1 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( 5 sin( 3 2 π - 1 2 π) -5 sin( 1 2 π - 1 2 π) )

= 1 π · ( 5 sin(π) -5 sin(0) )

= 1 π · ( 50 -50 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 11 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 11 - 2 x -2 x
= u 11 -2 ( x -2 ) - 1 2 x

= [ -4 ( x -2 ) 1 2 ] u 11

= [ -4 x -2 ] u 11

= -4 11 -2 +4 u -2

= -4 9 +4 u -2

= -43 +4 u -2

= -12 +4 u -2

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = 4 u -2 -12 0 -12 = -12 ≈ -12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12