Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $18$ s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $27$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

18

und

27

:

\int_{18}^{27} \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{18}^{27} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

18

und der Änderung zwischen

18

und

27

zusammen:

B = 16 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{170}{3}$ ≈ 56.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $3$ Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $9$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

9

:

\int_{3}^{9} 5 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{9} 5 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{9}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{3}^{9}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 3 - 2})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{6 - 2})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - \frac{5}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - \frac{5}{3} \cdot 8$

= $\frac{320}{3} - \frac{40}{3}$

= $\frac{280}{3}$

≈ 93,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

9

zusammen:

B = 2 + $\frac{280}{3}$ = $\frac{286}{3}$ ≈ 95.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,6 x + 0,7} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,6 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,6 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,6 u + 0,7} + 6 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 6 e^{- 0,6 u + 0,7} + 6 e^{0 + 0,7}$

= $- 6 e^{- 0,6 u + 0,7} + 6 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,6 u + 0,7} + 6 e^{0,7}$	=	$1$	\| $- 6 e^{0,7}$
$- 6 e^{- 0,6 u + 0,7}$	=	$- 6 e^{0,7} + 1$
$- 6 e^{- 0,6 u + 0,7}$	=	$- 11,0825$	\|: $- 6$
$e^{- 0,6 u + 0,7}$	=	$1,8471$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,7$	=	$\ln (1,8471)$

$- 0,6 u + 0,7$	=	$0,6136$	\| $- 0,7$
$- 0,6 u$	=	$- 0,0864$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$0,144$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 5 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[5 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (5 \cdot \sin (π - \frac{3}{2} π) - 5 \cdot \sin (0 - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (5 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (5 \cdot (- 1) - 5 \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 5 - 5)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 10)$

= $- \frac{10}{π}$

≈ -3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $19$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{19} \frac{2}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{19} 2 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{19}$

= ${[4 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{19}$

$=$ $4 \sqrt{19 - 3} - 4 \sqrt{u - 3}$

= $4 \sqrt{16} - 4 \sqrt{u - 3}$

= $4 \cdot 4 - 4 \sqrt{u - 3}$

= $16 - 4 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u - 3} + 16$ → $0 + 16$ = $16$ ≈ 16

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 16

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale