Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 6 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 3 - 5} - 3 e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $3 e^{6 - 5} - 3 e^{4 - 5}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 1}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 14 + $- 3 e^{- 1} + 3 e$ ≈ 21.05

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| x - 1 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\ln (| 5 - 1 |) - \ln (| 3 - 1 |)$

= $\ln (4) - \ln (| 3 - 1 |)$

= $\ln (4) - \ln (2)$

≈ 0,693

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 4 + $\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)$ ≈ 4.69

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 10 x - 3) ⅆ x$ = $- 7,75$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 10 x - 3) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 3 u - (- 5 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - (- 5 \cdot 1 - 3)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - (- 5 - 3)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - 1 \cdot (- 8)$

= $- 5 u^{2} - 3 u + 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 7,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 3 u + 8

=

- 7,75

|

+ 7,75

$- 5 u^{2} - 3 u + 15,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 15,75}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 315}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{324}}{- 10}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{324}}{- 10}$ = $\frac{3+18}{- 10}$ = $\frac{21}{- 10}$ = $- 2,1$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{324}}{- 10}$ = $\frac{3-18}{- 10}$ = $\frac{- 15}{- 10}$ = $1,5$

Da u= $- 2,1$ < 1 ist u= $1,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(3 x - 7)}^{2} + x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (5 {(3 x - 7)}^{2} + x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{9} {(3 x - 7)}^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 7)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 7)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot {(9 - 7)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 9 - (\frac{5}{9} \cdot {(0 - 7)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot 2^{3} + \frac{9}{2} - (\frac{5}{9} \cdot {(- 7)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{9} \cdot 8 + \frac{9}{2} - (\frac{5}{9} \cdot (- 343) + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{40}{9} + \frac{9}{2} - (- \frac{1715}{9} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{80}{18} + \frac{81}{18} - (- \frac{1715}{9} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{161}{18} + \frac{1715}{9})$

= $\frac{1}{3} (\frac{161}{18} + \frac{3430}{18})$

= $\frac{1}{3} (\frac{161}{18} + \frac{1715}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{399}{2}$

= 66,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 2}$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{1}{2} e^{- 4 + 2}$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{1}{2} e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{1}{2} e^{- 2}$ → $0 - \frac{1}{2} e^{- 2}$ = $- \frac{1}{2} e^{- 2}$ ≈ -0.068

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.068

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale