Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $19$ Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $28$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 4 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 5^{3} - \frac{8}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 125 - \frac{8}{3} \cdot 64$

= $\frac{1000}{3} - \frac{512}{3}$

= $\frac{488}{3}$

≈ 162,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 6 + $\frac{488}{3}$ = $\frac{506}{3}$ ≈ 168.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 5)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{6}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 6 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{2}{3 x - 5}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot 4 - 5} + \frac{2}{3 \cdot 3 - 5}$

= $- \frac{2}{12 - 5} + \frac{2}{9 - 5}$

= $- \frac{2}{7} + \frac{2}{4}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{7}) + 2 \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{2}{7} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{4}{14} + \frac{7}{14}$

= $\frac{3}{14}$

≈ 0,214

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 5 + $\frac{3}{14}$ = $\frac{73}{14}$ ≈ 5.21

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,5 e^{0,1 x - 0,5} ⅆ x$ = $15$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,5 e^{0,1 x - 0,5} ⅆ x

= ${[5 e^{0,1 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,1 u - 0,5} - 5 e^{0,1 \cdot 0 - 0,5}$

= $5 e^{0,1 u - 0,5} - 5 e^{0 - 0,5}$

= $5 e^{0,1 u - 0,5} - 5 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,1 u - 0,5} - 5 e^{- 0,5}$	=	$15$	\| $+ 5 e^{- 0,5}$
$5 e^{0,1 u - 0,5}$	=	$5 e^{- 0,5} + 15$
$5 e^{0,1 u - 0,5}$	=	$18,0327$	\|: $5$
$e^{0,1 u - 0,5}$	=	$3,6065$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,5$	=	$\ln (3,6065)$

$0,1 u - 0,5$	=	$1,2827$	\| $+ 0,5$
$0,1 u$	=	$1,7827$	\|: $0,1$
$u$	=	$17,827$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{1}{2 x - 1}$ zwischen 1 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} \frac{1}{2 x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{1}^{4} {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 1 - 1 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (| 8 - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - 1 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (7) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - 1 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (7) - \frac{1}{2} \ln (1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (7) + 0)$

= $\frac{1}{6} \ln (7)$

≈ 0,324

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 7)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{{(3 x - 7)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(3 x - 7)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 7)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 7)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 4 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{3 {(12 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{3 \cdot 5^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{25})$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{75}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{75}$ → $0 + \frac{1}{75}$ = $\frac{1}{75}$ ≈ 0.013

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.013

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale