Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 61,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 17 + = ≈ 78.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 66 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,032
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 66 +
≈ 66.03
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
6,25
|
=
-2,5
|
| u2 |
= |
6,25
|
=
2,5
|
Da u=
-2,5
< 0 ist u=
2,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2⋅ sin( 2x - 1 2 π) zwischen 0 und 1 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
2
π+0
∫
0
1
2
π
2⋅
sin(
2x
-
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-
cos(
2x
-
1
2
π)
]
0
1
2
π
=
2
π
·
(
-
cos(
2⋅(
1
2
π )
-
1
2
π)
+
cos(
2⋅( 0 )
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
cos(
1
2
π)
+
cos(
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-0
+0
)
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 x -1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
x
-1
ⅆ
x
=
∫
2
u
3
(
x
-1
)
-1
ⅆ
x
=
[
3
ln(
|
x
-1
|
)
]
2
u
=
3
ln(
|
u
-1
|
)
-3
ln(
|
2
-1
|
)
=
3
ln(
|
u
-1
|
)
-3
ln(
1
)
=
3
ln(
|
u
-1
|
)
+0
=
3
ln(
|
x
-1
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
ln(
|
x
-1
|
)
→
∞