Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{5}{2}$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $13$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{5}{2}

und

13

:

\int_{\frac{5}{2}}^{13} 6 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{5}{2}}^{13} 6 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{5}{2}}^{13}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{5}{2}}^{13}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{4})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 2^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 8$

= $250 - 16$

= $234$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{5}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{5}{2}

und

13

zusammen:

B = 5 + $234$ = $239$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 78 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{5}{3} e^{9 - 7} - \frac{5}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{5}{3} e^{2} - \frac{5}{3} e^{- 4}$

≈ 12,285

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 78 + $\frac{5}{3} e^{2} - \frac{5}{3} e^{- 4}$ ≈ 90.28

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,5 e^{0,5 x - 0,8} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,5 e^{0,5 x - 0,8} ⅆ x

= ${[5 e^{0,5 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,5 u - 0,8} - 5 e^{0,5 \cdot 0 - 0,8}$

= $5 e^{0,5 u - 0,8} - 5 e^{0 - 0,8}$

= $5 e^{0,5 u - 0,8} - 5 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,5 u - 0,8} - 5 e^{- 0,8}$	=	$6$	\| $+ 5 e^{- 0,8}$
$5 e^{0,5 u - 0,8}$	=	$5 e^{- 0,8} + 6$
$5 e^{0,5 u - 0,8}$	=	$8,2466$	\|: $5$
$e^{0,5 u - 0,8}$	=	$1,6493$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,8$	=	$\ln (1,6493)$

$0,5 u - 0,8$	=	$0,5004$	\| $+ 0,8$
$0,5 u$	=	$1,3004$	\|: $0,5$
$u$	=	$2,6008$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(x - 3)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 4 {(x - 3)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \cdot {(3 - 3)}^{3} - \frac{4}{3} \cdot {(0 - 3)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \cdot 0^{3} - \frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot (- 27))$

= $\frac{1}{3} (0 + 36)$

= $12$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{3 x - 3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $4$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{\sqrt{3 x - 3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(3 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{4}^{u}$

= ${[- 2 \sqrt{3 x - 3}]}_{4}^{u}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 u - 3} + 2 \sqrt{3 \cdot 4 - 3}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 3} + 2 \sqrt{12 - 3}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 3} + 2 \sqrt{9}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 3} + 2 \cdot 3$

= $- 2 \sqrt{3 u - 3} + 6$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{3 u - 3} + 6$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale