Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 69,469
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 38 +
≈ 107.47
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 3 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
94
-8
=
-11,75
u2 =
5
-
7921
-8
=
5
-89
-8
=
-84
-8
=
10,5
Da u=
-11,75
< 3 ist u=
10,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -2 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
5
-3
∫
3
5
5
(
2x
-2
)
2
ⅆ
x
=
1
2
∫
3
5
5
(
2x
-2
)
-2
ⅆ
x
=
1
2
[
-
5
2
(
2x
-2
)
-1
]
3
5
=
1
2
[
-
5
2(
2x
-2
)
]
3
5
=
1
2
(
-
5
2(
2⋅5
-2
)
+
5
2(
2⋅3
-2
)
)
=
1
2
(
-
5
2(
10
-2
)
+
5
2(
6
-2
)
)
=
1
2
(
-
5
2⋅
8
+
5
2⋅
4
)
=
1
2
(
-
5
2
⋅(
1
8
)
+
5
2
⋅(
1
4
)
)
=
1
2
(
-
5
16
+
5
8
)
=
1
2
(
-
5
16
+
10
16
)
=
1
2
·
5
16
=
5
32
≈ 0,156
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
2
2
(
2x
)
3
ⅆ
x
=
∫
u
2
1
4
x
3
ⅆ
x
=
∫
u
2
1
4
x
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
8
x
-2
]
u
2
=
[
-
1
8
x
2
]
u
2
=
-
1
8⋅
2
2
+
1
8
u
2
=
-
1
8
⋅(
1
4
)
+
1
8
u
2
=
-
1
32
+
1
8
u
2
Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) =
-
1
32
+
1
8
u
2
→
∞