Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 9,859
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 11 +
≈ 20.86
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 1,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 7 + = ≈ 8.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
26
-4
=
-6,5
u2 =
-2
-
784
-4
=
-2
-28
-4
=
-30
-4
=
7,5
Da u=
-6,5
< 2 ist u=
7,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 11 und Minute 18 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
18
-11
∫
11
18
2
x
-2
ⅆ
x
=
1
7
∫
11
18
2
(
x
-2
)
1
2
ⅆ
x
=
1
7
[
4
3
(
x
-2
)
3
2
]
11
18
=
1
7
[
4
3
(
x
-2
)
3
]
11
18
=
1
7
(
4
3
(
18
-2
)
3
-
4
3
(
11
-2
)
3
)
=
1
7
(
4
3
(
16
)
3
-
4
3
(
9
)
3
)
=
1
7
(
4
3
⋅
4
3
-
4
3
⋅
3
3
)
=
1
7
(
4
3
⋅64
-
4
3
⋅27
)
=
1
7
(
256
3
-36
)
=
1
7
(
256
3
-
108
3
)
=
1
7
·
148
3
=
148
21
≈ 7,048
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( 2x -2 ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
2
-
1
(
2x
-2
)
3
ⅆ
x
=
∫
u
2
-
(
2x
-2
)
-3
ⅆ
x
=
[
1
4
(
2x
-2
)
-2
]
u
2
=
[
1
4
(
2x
-2
)
2
]
u
2
=
1
4
(
2⋅2
-2
)
2
-
1
4
(
2u
-2
)
2
=
1
4
(
4
-2
)
2
-
1
4
(
2u
-2
)
2
=
1
4⋅
2
2
-
1
4
(
2u
-2
)
2
=
1
4
⋅(
1
4
)
-
1
4
(
2u
-2
)
2
=
1
16
-
1
4
(
2u
-2
)
2
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
-
1
4
(
2u
-2
)
2
+
1
16
→
-∞