Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 4 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{12 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{5} - \frac{4}{3} e^{- 4}$

≈ 197,86

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 4 + $\frac{4}{3} e^{5} - \frac{4}{3} e^{- 4}$ ≈ 201.86

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $18$ Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $27$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

18

und

27

:

\int_{18}^{27} 4 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{18}^{27} 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $\frac{8}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 5^{3} - \frac{8}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 125 - \frac{8}{3} \cdot 64$

= $\frac{1000}{3} - \frac{512}{3}$

= $\frac{488}{3}$

≈ 162,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

18

und der Änderung zwischen

18

und

27

zusammen:

B = 4 + $\frac{488}{3}$ = $\frac{500}{3}$ ≈ 166.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,5 e^{0,5 x - 0,7} ⅆ x$ = $20$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,5 e^{0,5 x - 0,7} ⅆ x

= ${[9 e^{0,5 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,5 u - 0,7} - 9 e^{0,5 \cdot 0 - 0,7}$

= $9 e^{0,5 u - 0,7} - 9 e^{0 - 0,7}$

= $9 e^{0,5 u - 0,7} - 9 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,5 u - 0,7} - 9 e^{- 0,7}$	=	$20$	\| $+ 9 e^{- 0,7}$
$9 e^{0,5 u - 0,7}$	=	$9 e^{- 0,7} + 20$
$9 e^{0,5 u - 0,7}$	=	$24,4693$	\|: $9$
$e^{0,5 u - 0,7}$	=	$2,7188$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,7$	=	$\ln (2,7188)$

$0,5 u - 0,7$	=	$1,0002$	\| $+ 0,7$
$0,5 u$	=	$1,7002$	\|: $0,5$
$u$	=	$3,4004$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (π - π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (0) + 3 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3)$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- 2 x + 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(- 2 x + 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(- 2 x + 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(- 2 x + 2)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{4 {(- 2 x + 2)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{4 {(- 2 \cdot 2 + 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{4 {(- 4 + 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{4 {(- 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{16}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{16}$ → $0 - \frac{1}{16}$ = $- \frac{1}{16}$ ≈ -0.063

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.063

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale