Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 3)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{1}{{(3 x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} {(3 x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} {(3 x - 3)}^{- 3}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{9 {(3 x - 3)}^{3}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{9 {(3 \cdot 5 - 3)}^{3}} + \frac{1}{9 {(3 \cdot 3 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{9 {(15 - 3)}^{3}} + \frac{1}{9 {(9 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{9 \cdot 12^{3}} + \frac{1}{9 \cdot 6^{3}}$

= $- \frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{1728}) + \frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{216})$

= $- \frac{1}{15552} + \frac{1}{1944}$

= $- \frac{1}{15552} + \frac{8}{15552}$

= $\frac{7}{15552}$

≈ 0

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 7 + $\frac{7}{15552}$ = $\frac{108.871}{15552}$ ≈ 7

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 40 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 5 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{10 - 4} - \frac{5}{2} e^{4 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2} e^{0}$

= $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2}$

≈ 1006,072

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 40 + $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2}$ ≈ 1046.07

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 6,3 e^{0,9 x - 0,7} ⅆ x$ = $9$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 6,3 e^{0,9 x - 0,7} ⅆ x

= ${[7 e^{0,9 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,9 u - 0,7} - 7 e^{0,9 \cdot 0 - 0,7}$

= $7 e^{0,9 u - 0,7} - 7 e^{0 - 0,7}$

= $7 e^{0,9 u - 0,7} - 7 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,9 u - 0,7} - 7 e^{- 0,7}$	=	$9$	\| $+ 7 e^{- 0,7}$
$7 e^{0,9 u - 0,7}$	=	$7 e^{- 0,7} + 9$
$7 e^{0,9 u - 0,7}$	=	$12,4761$	\|: $7$
$e^{0,9 u - 0,7}$	=	$1,7823$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,7$	=	$\ln (1,7823)$

$0,9 u - 0,7$	=	$0,5779$	\| $+ 0,7$
$0,9 u$	=	$1,2779$	\|: $0,9$
$u$	=	$1,4199$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 2}$ zwischen $18$ und $27$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{27 - 18}

\int_{18}^{27} 6 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{18}^{27} 6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[4 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= $\frac{1}{9}$ ${[4 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{1}{9} (4 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 4 {(\sqrt{18 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 \cdot 125 - 4 \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (500 - 256)$

= $\frac{1}{9} \cdot 244$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- 3 x + 4)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{{(- 3 x + 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(- 3 x + 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 4)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 (- 3 x + 4)}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 (- 3 u + 4)} - \frac{1}{3 (- 3 \cdot 3 + 4)}$

= $\frac{1}{3 (- 3 u + 4)} - \frac{1}{3 (- 9 + 4)}$

= $\frac{1}{3 (- 3 u + 4)} - \frac{1}{3 (- 5)}$

= $\frac{1}{3 (- 3 u + 4)} - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{5})$

= $\frac{1}{3 (- 3 u + 4)} + \frac{1}{15}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 (- 3 u + 4)} + \frac{1}{15}$ → $0 + \frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ ≈ 0.067

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.067

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale