Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 2 {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{2 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(2 \cdot 5 - 2)}^{2}} + \frac{1}{2 {(2 \cdot 3 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(10 - 2)}^{2}} + \frac{1}{2 {(6 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 8^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{16})$

= $- \frac{1}{128} + \frac{1}{32}$

= $- \frac{1}{128} + \frac{4}{128}$

= $\frac{3}{128}$

≈ 0,023

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 19 + $\frac{3}{128}$ = $\frac{2435}{128}$ ≈ 19.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 2} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{4 - 2} - \frac{1}{2} e^{0 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2}$

≈ 3,627

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 19 + $\frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2}$ ≈ 22.63

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (8 x + 2) ⅆ x$ = $150$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (8 x + 2) ⅆ x

= ${[4 x^{2} + 2 x]}_{1}^{u}$

$=$ $4 u^{2} + 2 u - (4 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $4 u^{2} + 2 u - (4 \cdot 1 + 2)$

= $4 u^{2} + 2 u - (4 + 2)$

= $4 u^{2} + 2 u - 1 \cdot 6$

= $4 u^{2} + 2 u - 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $150$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} + 2 u - 6

=

150

|

- 150

4 u^{2} + 2 u - 156

= 0 |:2

$2 u^{2} + u - 78$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 78)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 624}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{625}}{4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 1+25}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 1-25}{4}$ = $\frac{- 26}{4}$ = $- 6,5$

Da u= $- 6,5$ < 1 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(3 x - 7)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 {(3 x - 7)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 7)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 7)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 7)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} \cdot {(9 - 7)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(0 - 7)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} \cdot 2^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(- 7)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} \cdot 8 - \frac{2}{9} \cdot (- 343))$

= $\frac{1}{3} (\frac{16}{9} + \frac{686}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot 78$

= $26$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(- x + 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(- x + 1)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{- x + 1}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{- u + 1} - \frac{1}{- 3 + 1}$

= $\frac{1}{- u + 1} - \frac{1}{(- 2)}$

= $\frac{1}{- u + 1} - (- \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{- u + 1} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{- u + 1} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale