Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 17 s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 26 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 17 und 26:
17 26 4 x -1 x
= 17 26 4 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 8 3 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= [ 8 3 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 8 3 ( 26 -1 ) 3 - 8 3 ( 17 -1 ) 3

= 8 3 ( 25 ) 3 - 8 3 ( 16 ) 3

= 8 3 5 3 - 8 3 4 3

= 8 3 125 - 8 3 64

= 1000 3 - 512 3

= 488 3


≈ 162,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 17 und der Änderung zwischen 17 und 26 zusammen:
B = 18 + 488 3 = 542 3 ≈ 180.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
3 6 3 3x -4 x
= 3 6 3 ( 3x -4 ) -1 x

= [ ln( | 3x -4 | ) ] 3 6

= ln( | 36 -4 | ) - ln( | 33 -4 | )

= ln( | 18 -4 | ) - ln( | 9 -4 | )

= ln( 14 ) - ln( | 9 -4 | )

= ln( 14 ) - ln( 5 )


≈ 1,03
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 5 + ln( | 14 | ) - ln( | 5 | ) ≈ 6.03

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,9 e -0,1x +0,8 x = 2

Lösung einblenden
0 u 0,9 e -0,1x +0,8 x

= [ -9 e -0,1x +0,8 ] 0 u

= -9 e -0,1u +0,8 +9 e -0,10 +0,8

= -9 e -0,1u +0,8 +9 e 0 +0,8

= -9 e -0,1u +0,8 +9 e 0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-9 e -0,1u +0,8 +9 e 0,8 = 2 | -9 e 0,8
-9 e -0,1u +0,8 = -9 e 0,8 +2
-9 e -0,1u +0,8 = -18,0299 |:-9
e -0,1u +0,8 = 2,0033 |ln(⋅)
-0,1u +0,8 = ln( 2,0033 )
-0,1u +0,8 = 0,6948 | -0,8
-0,1u = -0,1052 |:(-0,1 )
u = 1,052

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -4 ) 3 +4 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 +0 0 1 ( 2 ( 2x -4 ) 3 +4 ) x

= 1 [ 1 4 ( 2x -4 ) 4 +4x ] 0 1

= 1 4 ( 21 -4 ) 4 +41 - ( 1 4 ( 20 -4 ) 4 +40 )

= 1 4 ( 2 -4 ) 4 +4 - ( 1 4 ( 0 -4 ) 4 +0)

= 1 4 ( -2 ) 4 +4 - ( 1 4 ( -4 ) 4 +0)

= 1 4 16 +4 - ( 1 4 256 +0)

= 4 +4 - ( 64 +0)

= 8 -64

= -56

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -2 ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 4 1 ( 2x -2 ) 2 x
= u 4 ( 2x -2 ) -2 x

= [ - 1 2 ( 2x -2 ) -1 ] u 4

= [ - 1 2( 2x -2 ) ] u 4

= - 1 2( 24 -2 ) + 1 2( 2u -2 )

= - 1 2( 8 -2 ) + 1 2( 2u -2 )

= - 1 2 6 + 1 2( 2u -2 )

= - 1 2 ( 1 6 ) + 1 2( 2u -2 )

= - 1 12 + 1 2( 2u -2 )

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = 1 2( 2u -2 ) - 1 12