Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 74,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 15 + = ≈ 89.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 7:
=
=
=
ln(
|
7
-3
|
)
-
ln(
|
5
-3
|
)
=
ln(
4
)
-
ln(
|
5
-3
|
)
=
ln(
4
)
-
ln(
2
)
≈ 0,693
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 7
zusammen:
B = 18 +
ln(
|
4
|
)
-
ln(
|
2
|
)
≈ 18.69
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 2x ⅆ x = 2,25
Lösung einblenden
∫
0
u
2x
ⅆ
x
=
[
x
2
]
0
u
=
u
2
-
0
2
=
u
2
- 0
=
u
2
|
u
2
|
= |
2,25
|
|
⋅2
|
| u1 |
= |
-
2,25
|
=
-1,5
|
| u2 |
= |
2,25
|
=
1,5
|
Da u=
-1,5
< 0 ist u=
1,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
-2
∫
2
3
1
(
x
-1
)
2
ⅆ
x
=
1
∫
2
3
(
x
-1
)
-2
ⅆ
x
=
1
[
-
(
x
-1
)
-1
]
2
3
=
1
[
-
1
x
-1
]
2
3
=
-
1
3
-1
+
1
2
-1
=
-
1
2
+
1
1
=
-(
1
2
)
+ 1
=
1
2
= 0,5
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -3x +7 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
3
(
-3x
+7
)
2
ⅆ
x
=
∫
4
u
-3
(
-3x
+7
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
(
-3x
+7
)
-1
]
4
u
=
[
-
1
-3x
+7
]
4
u
=
-
1
-3u
+7
+
1
-3⋅4
+7
=
-
1
-3u
+7
+
1
-12
+7
=
-
1
-3u
+7
+
1
( -5 )
=
-
1
-3u
+7
+ (
-
1
5
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
-3u
+7
-
1
5
→
0
-
1
5
=
-
1
5
≈ -0.2
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.2