Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $15$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

15

:

\int_{7}^{15} 5 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{15} 5 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{15}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{15}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 27$

= $\frac{625}{3} - 45$

= $\frac{625}{3} - \frac{135}{3}$

= $\frac{490}{3}$

≈ 163,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

15

zusammen:

B = 4 + $\frac{490}{3}$ = $\frac{502}{3}$ ≈ 167.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} e^{x - 3} ⅆ x

= ${[e^{x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{1 - 3} - e^{0 - 3}$

= $e^{- 2} - e^{- 3}$

≈ 0,086

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 18 + $e^{- 2} - e^{- 3}$ ≈ 18.09

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,6 e^{- 0,7 x + 0,8} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,6 e^{- 0,7 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,7 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,7 u + 0,8} + 8 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 8 e^{- 0,7 u + 0,8} + 8 e^{0 + 0,8}$

= $- 8 e^{- 0,7 u + 0,8} + 8 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,7 u + 0,8} + 8 e^{0,8}$	=	$8$	\| $- 8 e^{0,8}$
$- 8 e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$- 8 e^{0,8} + 8$
$- 8 e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$- 9,8043$	\|: $- 8$
$e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$1,2255$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,8$	=	$\ln (1,2255)$

$- 0,7 u + 0,8$	=	$0,2033$	\| $- 0,8$
$- 0,7 u$	=	$- 0,5967$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,8524$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 4}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{13}{3}$ und Minute $\frac{20}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{20}{3} - \frac{13}{3}}

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} 6 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\frac{3}{7}

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} 6 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{7}$ ${[\frac{4}{3} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

= $\frac{3}{7}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

$=$ $\frac{3}{7} (\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{4}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{13 - 4})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 27)$

= $\frac{3}{7} (\frac{256}{3} - 36)$

= $\frac{3}{7} (\frac{256}{3} - \frac{108}{3})$

= $\frac{3}{7} \cdot \frac{148}{3}$

= $\frac{148}{7}$

≈ 21,143

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{- 2 x + 2} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(- 2 x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \ln (| - 2 x + 2 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2} \ln (| - 2 (u) + 2 |) + \frac{1}{2} \ln (| - 2 \cdot 2 + 2 |)$

= $- \frac{1}{2} \ln (| - 2 u + 2 |) + \frac{1}{2} \ln (| - 4 + 2 |)$

= $- \frac{1}{2} \ln (| - 2 u + 2 |) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} \ln (2) - \frac{1}{2} \ln (| - 2 x + 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale