Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 6 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 3 - 3} - 3 e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $3 e^{6 - 3} - 3 e^{4 - 3}$

= $3 e^{3} - 3 e^{1}$

= $3 e^{3} - 3 e$

≈ 52,102

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 3 + $3 e^{3} - 3 e$ ≈ 55.1

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 2} - \frac{3}{2} e^{0 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{3}{2} e^{- 2}$

≈ 10,881

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 10 + $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{3}{2} e^{- 2}$ ≈ 20.88

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,5 e^{0,5 x - 0,7} ⅆ x$ = $16$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,5 e^{0,5 x - 0,7} ⅆ x

= ${[9 e^{0,5 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,5 u - 0,7} - 9 e^{0,5 \cdot 0 - 0,7}$

= $9 e^{0,5 u - 0,7} - 9 e^{0 - 0,7}$

= $9 e^{0,5 u - 0,7} - 9 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,5 u - 0,7} - 9 e^{- 0,7}$	=	$16$	\| $+ 9 e^{- 0,7}$
$9 e^{0,5 u - 0,7}$	=	$9 e^{- 0,7} + 16$
$9 e^{0,5 u - 0,7}$	=	$20,4693$	\|: $9$
$e^{0,5 u - 0,7}$	=	$2,2744$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,7$	=	$\ln (2,2744)$

$0,5 u - 0,7$	=	$0,8217$	\| $+ 0,7$
$0,5 u$	=	$1,5217$	\|: $0,5$
$u$	=	$3,0434$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[4 e^{x - 2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (4 e^{4 - 2} - 4 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{4} (4 e^{2} - 4 e^{- 2})$

≈ 7,254

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - {(- 2 x + 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(- 2 x + 5)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{4 {(- 2 x + 5)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{4 {(- 2 \cdot 4 + 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{4 {(- 8 + 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{4 {(- 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{36}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{36}$ → $0 + \frac{1}{36}$ = $\frac{1}{36}$ ≈ 0.028

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.028

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale