Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 12 + = ≈ 52.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 55 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 594,06
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 55 +
≈ 649.06
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:() |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
1
2
(
ln(
|
4
-1
|
)
-
ln(
|
2
-1
|
)
)
=
1
2
(
ln(
3
)
-
ln(
|
2
-1
|
)
)
=
1
2
(
ln(
3
)
-
ln(
1
)
)
=
1
2
(
ln(
3
)
+0)
=
1
2
ln(
3
)
≈ 0,549
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=10 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
10
u
2
2x
-4
ⅆ
x
=
∫
10
u
2
(
2x
-4
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
2
(
2x
-4
)
1
2
]
10
u
=
[
2
2x
-4
]
10
u
=
2
2u
-4
-2
2⋅10
-4
=
2
2u
-4
-2
20
-4
=
2
2u
-4
-2
16
=
2
2u
-4
-2⋅4
=
2
2u
-4
-8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
2u
-4
-8
→
∞