Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 4 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,167
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 2 + = ≈ 2.17
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
30
4
=
7,5
u2 =
-5
-
1225
4
=
-5
-35
4
=
-40
4
=
-10
Da u=
-10
< 3 ist u=
7,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5⋅ cos( 3x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
5⋅
cos(
3x
-
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
5
3
⋅
sin(
3x
-
1
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
5
3
⋅
sin(
3⋅π
-
1
2
π)
-
5
3
⋅
sin(
3⋅(
1
2
π )
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
5
3
⋅
sin(
5
2
π)
-
5
3
⋅
sin(π)
)
=
2
π
·
(
5
3
⋅1
-
5
3
⋅0
)
=
2
π
·
(
5
3
+0
)
=
2
π
·
(
5
3
+0
)
=
2
π
·
5
3
=
10
3
π
≈ 1,061
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( x ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
4
1
(
x
)
3
ⅆ
x
=
∫
u
4
1
x
3
ⅆ
x
=
∫
u
4
x
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
2
x
-2
]
u
4
=
[
-
1
2
x
2
]
u
4
=
-
1
2⋅
4
2
+
1
2
u
2
=
-
1
2
⋅(
1
16
)
+
1
2
u
2
=
-
1
32
+
1
2
u
2
Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) =
-
1
32
+
1
2
u
2
→
∞