Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 6)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{6}{{(3 x - 6)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 6 {(3 x - 6)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{- 3}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{2}{3 {(3 x - 6)}^{3}}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3 {(3 \cdot 4 - 6)}^{3}} + \frac{2}{3 {(3 \cdot 3 - 6)}^{3}}$

= $- \frac{2}{3 {(12 - 6)}^{3}} + \frac{2}{3 {(9 - 6)}^{3}}$

= $- \frac{2}{3 \cdot 6^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 3^{3}}$

= $- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{216}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{27})$

= $- \frac{1}{324} + \frac{2}{81}$

= $- \frac{1}{324} + \frac{8}{324}$

= $\frac{7}{324}$

≈ 0,022

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 17 + $\frac{7}{324}$ = $\frac{5515}{324}$ ≈ 17.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 2 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 8 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{268}{3}$ ≈ 89.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 6 x ⅆ x$ = $- 120$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 6 x ⅆ x

= ${[- 3 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 3 \cdot 3^{2}$

= $- 3 u^{2} + 3 \cdot 9$

= $- 3 u^{2} + 27$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 120$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 u^{2} + 27$	=	$- 120$	\| $- 27$
$- 3 u^{2}$	=	$- 147$	\|: $(- 3)$
$u^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
u₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Da u= $- 7$ < 3 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 5}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{21}{2}$ und Minute $15$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{15 - \frac{21}{2}}

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 4 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\frac{2}{9}

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 4 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $\frac{2}{9} (\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{4}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64)$

= $\frac{2}{9} (\frac{500}{3} - \frac{256}{3})$

= $\frac{2}{9} \cdot \frac{244}{3}$

= $\frac{488}{27}$

≈ 18,074

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $2 \ln (| u - 3 |) - 2 \ln (| 4 - 3 |)$

= $2 \ln (| u - 3 |) - 2 \ln (1)$

= $2 \ln (| u - 3 |) + 0$

= $2 \ln (| x - 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \ln (| x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale