Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{11}{2}$ Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $9$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{11}{2}

und

9

:

\int_{\frac{11}{2}}^{9} 5 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{\frac{11}{2}}^{9} 5 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{11}{2}}^{9}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{\frac{11}{2}}^{9}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{11}{2}) - 2})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - \frac{5}{3} \cdot 27$

= $\frac{320}{3} - 45$

= $\frac{320}{3} - \frac{135}{3}$

= $\frac{185}{3}$

≈ 61,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{11}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{11}{2}

und

9

zusammen:

B = 17 + $\frac{185}{3}$ = $\frac{236}{3}$ ≈ 78.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 66 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{3 - 6} - \frac{2}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3} - \frac{2}{3} e^{- 6}$

≈ 0,032

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 66 + $\frac{2}{3} e^{- 3} - \frac{2}{3} e^{- 6}$ ≈ 66.03

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4 x ⅆ x$ = $12,5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4 x ⅆ x

= ${[2 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 2 \cdot 0^{2}$

= $2 u^{2} - 2 \cdot 0$

= $2 u^{2} + 0$

= $2 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 u^{2}$	=	$12,5$	\|: $2$
$u^{2}$	=	$6,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{6,25}$	= $- 2,5$
u₂	=	$\sqrt{6,25}$	= $2,5$

Da u= $- 2,5$ < 0 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \cos (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \cos (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (\frac{1}{2} π) + \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 0 + 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{x - 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{3}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 3 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| x - 1 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $3 \ln (| u - 1 |) - 3 \ln (| 2 - 1 |)$

= $3 \ln (| u - 1 |) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (| u - 1 |) + 0$

= $3 \ln (| x - 1 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (| x - 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale