Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 1 ( 2x -4 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 1 ( 2x -4 ) 2 x
= 4 7 ( 2x -4 ) -2 x

= [ - 1 2 ( 2x -4 ) -1 ] 4 7

= [ - 1 2( 2x -4 ) ] 4 7

= - 1 2( 27 -4 ) + 1 2( 24 -4 )

= - 1 2( 14 -4 ) + 1 2( 8 -4 )

= - 1 2 10 + 1 2 4

= - 1 2 ( 1 10 ) + 1 2 ( 1 4 )

= - 1 20 + 1 8

= - 2 40 + 5 40

= 3 40


= 0,075
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 7 + 3 40 = 283 40 ≈ 7.08

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4 s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 19 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 19 3 :
4 19 3 4 3x -3 x
= 4 19 3 4 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 8 9 ( 3x -3 ) 3 2 ] 4 19 3

= [ 8 9 ( 3x -3 ) 3 ] 4 19 3

= 8 9 ( 3( 19 3 ) -3 ) 3 - 8 9 ( 34 -3 ) 3

= 8 9 ( 19 -3 ) 3 - 8 9 ( 12 -3 ) 3

= 8 9 ( 16 ) 3 - 8 9 ( 9 ) 3

= 8 9 4 3 - 8 9 3 3

= 8 9 64 - 8 9 27

= 512 9 -24

= 512 9 - 216 9

= 296 9


≈ 32,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 19 3 zusammen:
B = 19 + 296 9 = 467 9 ≈ 51.89

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u 2x x = 77

Lösung einblenden
2 u 2x x

= [ x 2 ] 2 u

= u 2 - 2 2

= u 2 - 4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 77 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 -4 = 77 | +4
u 2 = 81 | 2
u1 = - 81 = -9
u2 = 81 = 9

Da u= -9 < 2 ist u= 9 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 4 ( 3x -5 ) 2 zwischen 2 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -2 2 3 4 ( 3x -5 ) 2 x
= 1 2 3 4 ( 3x -5 ) -2 x

= 1 [ - 4 3 ( 3x -5 ) -1 ] 2 3

= 1 [ - 4 3( 3x -5 ) ] 2 3

= - 4 3( 33 -5 ) + 4 3( 32 -5 )

= - 4 3( 9 -5 ) + 4 3( 6 -5 )

= - 4 3 4 + 4 3

= - 4 3 ( 1 4 ) + 4 3 1

= - 1 3 + 4 3

= 1

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 x -3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 4 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 4 3 x -3 x
= u 4 3 ( x -3 ) - 1 2 x

= [ 6 ( x -3 ) 1 2 ] u 4

= [ 6 x -3 ] u 4

= 6 4 -3 -6 u -3

= 6 1 -6 u -3

= 61 -6 u -3

= 6 -6 u -3

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = -6 u -3 +6 0 +6 = 6 ≈ 6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6