Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 5} - \frac{1}{2} e^{0 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{1} - \frac{1}{2} e^{- 5}$

= $\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e^{- 5}$

≈ 1,356

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 13 + $- \frac{1}{2} e^{- 5} + \frac{1}{2} e$ ≈ 14.36

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 4)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{2}{{(3 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 2 {(3 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 4)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{2}{3 (3 x - 4)}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3 (3 \cdot 3 - 4)} + \frac{2}{3 (3 \cdot 2 - 4)}$

= $- \frac{2}{3 (9 - 4)} + \frac{2}{3 (6 - 4)}$

= $- \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{3 \cdot 2}$

= $- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{5}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{2}{15} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{15} + \frac{5}{15}$

= $\frac{1}{5}$

= 0,2

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 7 + $\frac{1}{5}$ = $\frac{36}{5}$ ≈ 7.2

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,4 e^{- 0,9 x + 0,8} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,4 e^{- 0,9 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,9 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,9 u + 0,8} + 6 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 6 e^{- 0,9 u + 0,8} + 6 e^{0 + 0,8}$

= $- 6 e^{- 0,9 u + 0,8} + 6 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,9 u + 0,8} + 6 e^{0,8}$	=	$2$	\| $- 6 e^{0,8}$
$- 6 e^{- 0,9 u + 0,8}$	=	$- 6 e^{0,8} + 2$
$- 6 e^{- 0,9 u + 0,8}$	=	$- 11,3532$	\|: $- 6$
$e^{- 0,9 u + 0,8}$	=	$1,8922$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,8$	=	$\ln (1,8922)$

$- 0,9 u + 0,8$	=	$0,6377$	\| $- 0,8$
$- 0,9 u$	=	$- 0,1623$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,1803$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[4 e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (4 e^{2 - 2} - 4 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{2} (4 e^{0} - 4 e^{- 2})$

= $\frac{1}{2} (4 - 4 e^{- 2})$

= $\frac{1}{2} (- 4 e^{- 2} + 4)$

≈ 1,729

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 3}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{- u + 3} - 3 e^{- 0 + 3}$

= $3 e^{- u + 3} - 3 e^{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 e^{- u + 3} - 3 e^{3}$ → $0 - 3 e^{3}$ = $- 3 e^{3}$ ≈ -60.257

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 60.257

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale