Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 1 ( x -1 ) 4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
3 5 1 ( x -1 ) 4 x
= 3 5 ( x -1 ) -4 x

= [ - 1 3 ( x -1 ) -3 ] 3 5

= [ - 1 3 ( x -1 ) 3 ] 3 5

= - 1 3 ( 5 -1 ) 3 + 1 3 ( 3 -1 ) 3

= - 1 3 4 3 + 1 3 2 3

= - 1 3 ( 1 64 ) + 1 3 ( 1 8 )

= - 1 192 + 1 24

= - 1 192 + 8 192

= 7 192


≈ 0,036
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 7 + 7 192 = 1351 192 ≈ 7.04

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e 3x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 3 e 3x -5 x

= [ e 3x -5 ] 1 2

= e 32 -5 - e 31 -5

= e 6 -5 - e 3 -5

= e 1 - e -2

= e - e -2


≈ 2,583
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 9 + - e -2 + e ≈ 11.58

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,1 e 0,7x -0,7 x = 19

Lösung einblenden
0 u 2,1 e 0,7x -0,7 x

= [ 3 e 0,7x -0,7 ] 0 u

= 3 e 0,7u -0,7 -3 e 0,70 -0,7

= 3 e 0,7u -0,7 -3 e 0 -0,7

= 3 e 0,7u -0,7 -3 e -0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 19 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 e 0,7u -0,7 -3 e -0,7 = 19 | +3 e -0,7
3 e 0,7u -0,7 = 3 e -0,7 +19
3 e 0,7u -0,7 = 20,4898 |:3
e 0,7u -0,7 = 6,8299 |ln(⋅)
0,7u -0,7 = ln( 6,8299 )
0,7u -0,7 = 1,9213 | +0,7
0,7u = 2,6213 |:0,7
u = 3,7447

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= sin( 2x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 2 π+0 0 1 2 π sin( 2x + 3 2 π) x

= 2 π [ - 1 2 cos( 2x + 3 2 π) ] 0 1 2 π

= 2 π · ( - 1 2 cos( 2( 1 2 π ) + 3 2 π) + 1 2 cos( 2( 0 ) + 3 2 π) )

= 2 π · ( - 1 2 cos( 5 2 π) + 1 2 cos( 3 2 π) )

= 2 π · ( - 1 2 0 + 1 2 0 )

= 2 π · ( 0+0 )

= 2 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 3x -5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 2 3x -5 x
= 2 u 2 ( 3x -5 ) -1 x

= [ 2 3 ln( | 3x -5 | ) ] 2 u

= 2 3 ln( | 3( u ) -5 | ) - 2 3 ln( | 32 -5 | )

= 2 3 ln( | 3u -5 | ) - 2 3 ln( | 6 -5 | )

= 2 3 ln( | 3u -5 | ) - 2 3 ln( 1 )

= 2 3 ln( | 3u -5 | ) +0

= 2 3 ln( | 3x -5 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3 ln( | 3x -5 | )