Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $10$ s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $17$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

17

:

\int_{10}^{17} 6 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{10}^{17} 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{17}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{10}^{17}$

$=$ $4 {(\sqrt{17 - 1})}^{3} - 4 {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{16})}^{3} - 4 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4 \cdot 4^{3} - 4 \cdot 3^{3}$

= $4 \cdot 64 - 4 \cdot 27$

= $256 - 108$

= $148$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

17

zusammen:

B = 9 + $148$ = $157$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 43 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 3} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 3} - \frac{3}{2} e^{0 - 3}$

= $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 3}$

≈ 30,054

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 43 + $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 3}$ ≈ 73.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{0,5 x - 0,5} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{0,5 x - 0,5} ⅆ x

= ${[4 e^{0,5 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,5 u - 0,5} - 4 e^{0,5 \cdot 0 - 0,5}$

= $4 e^{0,5 u - 0,5} - 4 e^{0 - 0,5}$

= $4 e^{0,5 u - 0,5} - 4 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,5 u - 0,5} - 4 e^{- 0,5}$	=	$8$	\| $+ 4 e^{- 0,5}$
$4 e^{0,5 u - 0,5}$	=	$4 e^{- 0,5} + 8$
$4 e^{0,5 u - 0,5}$	=	$10,4261$	\|: $4$
$e^{0,5 u - 0,5}$	=	$2,6065$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,5$	=	$\ln (2,6065)$

$0,5 u - 0,5$	=	$0,958$	\| $+ 0,5$
$0,5 u$	=	$1,458$	\|: $0,5$
$u$	=	$2,916$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{3 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} 4 e^{3 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (\frac{4}{3} e^{3 \cdot 5 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{4}{3} e^{15 - 4} - \frac{4}{3} e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{4}{3} e^{11} - \frac{4}{3} e^{- 4})$

≈ 15966,433

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{- 3 x + 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{1}{- 3 x + 7} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - {(- 3 x + 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 7 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| - 3 (u) + 7 |) - \frac{1}{3} \ln (| - 3 \cdot 4 + 7 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 7 |) - \frac{1}{3} \ln (| - 12 + 7 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 7 |) - \frac{1}{3} \ln (5)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3} \ln (5) + \frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 7 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale