= ${\left[\frac{8}{3}{\left(x-2\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{11}^{27}$

= ${\left[\frac{8}{3}{\left(\sqrt{x-2}\right)}^3\right]}_{11}^{27}$

$=$ $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{27-2}\right)}^3-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{11-2}\right)}^3$

= $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $\frac{8}{3}\cdot 5^3-\frac{8}{3}\cdot 3^3$

= $\frac{8}{3}\cdot 125-\frac{8}{3}\cdot 27$

= $\frac{1000}{3}-72$

= $\frac{1000}{3}-\frac{216}{3}$

= $\frac{784}{3}$

= ${\left[2e^{2x-3}\right]}_0^1$

$=$ $2e^{2\cdot 1-3}-2e^{2\cdot 0-3}$

= $2e^{2-3}-2e^{0-3}$

= $2e^{-1}-2e^{-3}$

= ${\left[5x^2\right]}_3^u$

$=$ $5u^2-5\cdot 3^2$

= $5u^2-5\cdot 9$

= $5u^2-45$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $80$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-5$ < 3 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{5}$ ${\left[\frac{1}{2}{e}^{2x-2}\right]}_0^5$

$=$ $\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 5-2}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 0-2}\right)$

= $\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}{e}^{10-2}-\frac{1}{2}{e}^{0-2}\right)$

= $\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}{e}^8-\frac{1}{2}{e}^{-2}\right)$

= ${\left[\frac{1}{2}{\left(-2x+4\right)}^{-1}\right]}_4^u$

= ${\left[\frac{1}{2\left(-2x+4\right)}\right]}_4^u$

$=$ $\frac{1}{2\left(-2u+4\right)}-\frac{1}{2\left(-2\cdot 4+4\right)}$

= $\frac{1}{2\left(-2u+4\right)}-\frac{1}{2\left(-8+4\right)}$

= $\frac{1}{2\left(-2u+4\right)}-\frac{1}{2\left(-4\right)}$

= $\frac{1}{2\left(-2u+4\right)}-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$

= $\frac{1}{2\left(-2u+4\right)}+\frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2\left(-2u+4\right)}+\frac{1}{8}$ → $0+\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$ ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125