Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{6 - 5} - \frac{2}{3} e^{0 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{1} - \frac{2}{3} e^{- 5}$

= $\frac{2}{3} e - \frac{2}{3} e^{- 5}$

≈ 1,808

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 14 + $- \frac{2}{3} e^{- 5} + \frac{2}{3} e$ ≈ 15.81

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{16}{3}$ s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 5 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 5 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 27$

= $\frac{1250}{9} - 30$

= $\frac{1250}{9} - \frac{270}{9}$

= $\frac{980}{9}$

≈ 108,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 9 + $\frac{980}{9}$ = $\frac{1061}{9}$ ≈ 117.89

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (4 x - 5) ⅆ x$ = $49$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (4 x - 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 5 u - (2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3)$

= $2 u^{2} - 5 u - (2 \cdot 9 - 15)$

= $2 u^{2} - 5 u - (18 - 15)$

= $2 u^{2} - 5 u - 1 \cdot 3$

= $2 u^{2} - 5 u - 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $49$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} - 5 u - 3

=

49

|

- 49

$2 u^{2} - 5 u - 52$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 52)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 416}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{441}}{4}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{5+21}{4}$ = $\frac{26}{4}$ = $6,5$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{5-21}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Da u= $- 4$ < 3 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 e^{3 x - 3}$ zwischen 1 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} e^{12 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 - 3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3} e^{0})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3})$

≈ 1800,463

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $2 e^{- 3 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 5}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} + \frac{2}{3} e^{- 6 + 5}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} + \frac{2}{3} e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} + \frac{2}{3} e^{- 1}$ → $0 + \frac{2}{3} e^{- 1}$ = $\frac{2}{3} e^{- 1}$ ≈ 0.245

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.245

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale