Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{1}{{(x - 1)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{1}{{(x - 1)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} {(x - 1)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- 3}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{3}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(5 - 1)}^{3}} + \frac{1}{3 {(3 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 4^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 2^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{8})$

= $- \frac{1}{192} + \frac{1}{24}$

= $- \frac{1}{192} + \frac{8}{192}$

= $\frac{7}{192}$

≈ 0,036

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 7 + $\frac{7}{192}$ = $\frac{1351}{192}$ ≈ 7.04

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{3 \cdot 2 - 5} - e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $e^{6 - 5} - e^{3 - 5}$

= $e^{1} - e^{- 2}$

= $e - e^{- 2}$

≈ 2,583

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 9 + $- e^{- 2} + e$ ≈ 11.58

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,7 x - 0,7} ⅆ x$ = $19$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,7 x - 0,7} ⅆ x

= ${[3 e^{0,7 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,7 u - 0,7} - 3 e^{0,7 \cdot 0 - 0,7}$

= $3 e^{0,7 u - 0,7} - 3 e^{0 - 0,7}$

= $3 e^{0,7 u - 0,7} - 3 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $19$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,7 u - 0,7} - 3 e^{- 0,7}$	=	$19$	\| $+ 3 e^{- 0,7}$
$3 e^{0,7 u - 0,7}$	=	$3 e^{- 0,7} + 19$
$3 e^{0,7 u - 0,7}$	=	$20,4898$	\|: $3$
$e^{0,7 u - 0,7}$	=	$6,8299$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,7$	=	$\ln (6,8299)$

$0,7 u - 0,7$	=	$1,9213$	\| $+ 0,7$
$0,7 u$	=	$2,6213$	\|: $0,7$
$u$	=	$3,7447$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{3 x - 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(3 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 5 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| 3 (u) - 5 |) - \frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 5 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| 3 u - 5 |) - \frac{2}{3} \ln (| 6 - 5 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| 3 u - 5 |) - \frac{2}{3} \ln (1)$

= $\frac{2}{3} \ln (| 3 u - 5 |) + 0$

= $\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 5 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 5 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale