Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{8}{3}$ Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{20}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{20}{3}

:

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{20}{3}} 6 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{20}{3}} 6 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{20}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{20}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{8}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{8 - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 8$

= $\frac{256}{3} - \frac{32}{3}$

= $\frac{224}{3}$

≈ 74,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{8}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{20}{3}

zusammen:

B = 2 + $\frac{224}{3}$ = $\frac{230}{3}$ ≈ 76.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{2}$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{2}

und

\frac{29}{2}

:

\int_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}} 3 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}} 3 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot (\frac{13}{2}) - 4})}^{3}$

= ${(\sqrt{29 - 4})}^{3} - {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= ${(\sqrt{25})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3}$

= $5^{3} - 3^{3}$

= $125 - 27$

= $98$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{2}

und

\frac{29}{2}

zusammen:

B = 5 + $98$ = $103$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4 e^{- 0,8 x + 0,8} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4 e^{- 0,8 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,8 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,8 u + 0,8} + 5 e^{- 0,8 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 5 e^{- 0,8 u + 0,8} + 5 e^{0 + 0,8}$

= $- 5 e^{- 0,8 u + 0,8} + 5 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,8 u + 0,8} + 5 e^{0,8}$	=	$5$	\| $- 5 e^{0,8}$
$- 5 e^{- 0,8 u + 0,8}$	=	$- 5 e^{0,8} + 5$
$- 5 e^{- 0,8 u + 0,8}$	=	$- 6,1277$	\|: $- 5$
$e^{- 0,8 u + 0,8}$	=	$1,2255$	\|ln(⋅)
$- 0,8 u + 0,8$	=	$\ln (1,2255)$

$- 0,8 u + 0,8$	=	$0,2033$	\| $- 0,8$
$- 0,8 u$	=	$- 0,5967$	\|:( $- 0,8$ )
$u$	=	$0,7459$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 5 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{5}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot 1 - \frac{5}{2} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} + \frac{5}{2})$

= $\frac{2}{π} \cdot (2,5 + 2,5)$

= $\frac{2}{π} \cdot 5$

= $\frac{10}{π}$

≈ 3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $2 e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- e^{- 2 u + 2} + e^{- 2 \cdot 2 + 2}$

= $- e^{- 2 u + 2} + e^{- 4 + 2}$

= $- e^{- 2 u + 2} + e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{- 2 u + 2} + e^{- 2}$ → $0 + e^{- 2}$ = $e^{- 2}$ ≈ 0.135

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.135

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale