Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 19 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 28 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 5 x -3 x
= 19 28 5 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 10 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 10 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 10 3 ( 28 -3 ) 3 - 10 3 ( 19 -3 ) 3

= 10 3 ( 25 ) 3 - 10 3 ( 16 ) 3

= 10 3 5 3 - 10 3 4 3

= 10 3 125 - 10 3 64

= 1250 3 - 640 3

= 610 3


≈ 203,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 6 + 610 3 = 628 3 ≈ 209.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 3x -4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 3 3x -4 x
= 2 4 3 ( 3x -4 ) -1 x

= [ ln( | 3x -4 | ) ] 2 4

= ln( | 34 -4 | ) - ln( | 32 -4 | )

= ln( | 12 -4 | ) - ln( | 6 -4 | )

= ln( 8 ) - ln( | 6 -4 | )

= ln( 8 ) - ln( 2 )


≈ 1,386
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 4 + ln( | 8 | ) - ln( | 2 | ) ≈ 5.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 6x -3 ) x = 18

Lösung einblenden
3 u ( 6x -3 ) x

= [ 3 x 2 -3x ] 3 u

= 3 u 2 -3u - ( 3 3 2 -33 )

= 3 u 2 -3u - ( 39 -9 )

= 3 u 2 -3u - ( 27 -9 )

= 3 u 2 -3u -1 · 18

= 3 u 2 -3u -18

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 18 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 -3u -18 = 18 | -18
3 u 2 -3u -36 = 0 |:3

u 2 - u -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +48 2

u1,2 = +1 ± 49 2

u1 = 1 + 49 2 = 1 +7 2 = 8 2 = 4

u2 = 1 - 49 2 = 1 -7 2 = -6 2 = -3

Da u= -3 < 3 ist u= 4 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 3x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 4 ( 3x -3 ) 2 x
= 1 3 2 5 4 ( 3x -3 ) -2 x

= 1 3 [ - 4 3 ( 3x -3 ) -1 ] 2 5

= 1 3 [ - 4 3( 3x -3 ) ] 2 5

= 1 3 ( - 4 3( 35 -3 ) + 4 3( 32 -3 ) )

= 1 3 ( - 4 3( 15 -3 ) + 4 3( 6 -3 ) )

= 1 3 ( - 4 3 12 + 4 3 3 )

= 1 3 ( - 4 3 ( 1 12 ) + 4 3 ( 1 3 ) )

= 1 3 ( - 1 9 + 4 9 )

= 1 3 · 1 3

= 1 9


≈ 0,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -2 e -x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u -2 e -x +2 x

= [ 2 e -x +2 ] 2 u

= 2 e -u +2 -2 e -2 +2

= 2 e -u +2 -2 e 0

= 2 e -u +2 -2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 e -u +2 -2 0 -2 = -2 ≈ -2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2