Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{9 - 5} - \frac{5}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{4} - \frac{5}{3} e^{- 2}$

≈ 90,771

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 11 + $\frac{5}{3} e^{4} - \frac{5}{3} e^{- 2}$ ≈ 101.77

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 4} - e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $e^{6 - 4} - e^{4 - 4}$

= $e^{2} - e^{0}$

= $e^{2} - 1$

≈ 6,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 71 + $e^{2} - 1$ ≈ 77.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,3 e^{- 0,3 x + 0,7} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,3 e^{- 0,3 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,3 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,3 u + 0,7} + e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,7}$

= $- e^{- 0,3 u + 0,7} + e^{0 + 0,7}$

= $- e^{- 0,3 u + 0,7} + e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,3 u + 0,7} + e^{0,7}$	=	$1$	\| $- e^{0,7}$
$- e^{- 0,3 u + 0,7}$	=	$- e^{0,7} + 1$
$- e^{- 0,3 u + 0,7}$	=	$- 1,0138$	\|: $- 1$
$e^{- 0,3 u + 0,7}$	=	$1,0138$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,7$	=	$\ln (1,0138)$

$- 0,3 u + 0,7$	=	$0,0137$	\| $- 0,7$
$- 0,3 u$	=	$- 0,6863$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$2,2877$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 {(2 x - 5)}^{2}$ zwischen 0 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 {(2 x - 5)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 3 - 5)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 0 - 5)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(6 - 5)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 - 5)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 5)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot (- 125))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{125}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot 42$

= $14$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $9$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{9} \frac{2}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{9} \frac{2}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{9} 2 x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{9}$

= ${[4 \sqrt{x}]}_{u}^{9}$

$=$ $4 \sqrt{9} - 4 \sqrt{u}$

= $4 \cdot 3 - 4 \sqrt{u}$

= $12 - 4 \sqrt{u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u} + 12$ → $0 + 12$ = $12$ ≈ 12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale