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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( x -3 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
∫ 4 7 3 ( x -3 ) 4 ⅆ x
= ∫ 4 7 3 ( x -3 ) -4 ⅆ x

= [ - ( x -3 ) -3 ] 4 7

= [ - 1 ( x -3 ) 3 ] 4 7

= - 1 ( 7 -3 ) 3 + 1 ( 4 -3 ) 3

= - 1 4 3 + 1 1 3

= -( 1 64 ) + 1

= 63 64


≈ 0,984
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 20 + 63 64 = 1343 64 ≈ 20.98

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
∫ 1 4 5 e 2x -1 ⅆ x

= [ 5 2 e 2x -1 ] 1 4

= 5 2 e 2⋅4 -1 - 5 2 e 2⋅1 -1

= 5 2 e 8 -1 - 5 2 e 2 -1

= 5 2 e 7 - 5 2 e 1

= 5 2 e 7 - 5 2 e


≈ 2734,787
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 46 + 5 2 e 7 - 5 2 e ≈ 2780.79

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass ∫ 1 u 10x ⅆ x = 276,25

Lösung einblenden
∫ 1 u 10x ⅆ x

= [ 5 x 2 ] 1 u

= 5 u 2 -5⋅ 1 2

= 5 u 2 -5⋅1

= 5 u 2 -5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 276,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -5 = 276,25 | +5
5 u 2 = 281,25 |:5
u 2 = 56,25 | ⋅2
u1 = - 56,25 = -7,5
u2 = 56,25 = 7,5

Da u= -7,5 < 1 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -3 ∫ 3 4 4 x -2 ⅆ x
= 1 ∫ 3 4 4 ( x -2 ) -1 ⅆ x

= 1 [ 4 ln( | x -2 | ) ] 3 4

= 4 ln( | 4 -2 | ) -4 ln( | 3 -2 | )

= 4 ln( 2 ) -4 ln( | 3 -2 | )

= 4 ln( 2 ) -4 ln( 1 )

= 4 ln( 2 ) +0

= 4 ln( 2 )


≈ 2,773

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 4 u - 1 ( x -3 ) 2 ⅆ x
= ∫ 4 u - ( x -3 ) -2 ⅆ x

= [ ( x -3 ) -1 ] 4 u

= [ 1 x -3 ] 4 u

= 1 u -3 - 1 4 -3

= 1 u -3 - 1 1

= 1 u -3 - 1

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 u -3 -1 → 0 -1 = -1 ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1