Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 30 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{12 - 7} - \frac{2}{3} e^{6 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{5} - \frac{2}{3} e^{- 1}$

≈ 98,697

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 30 + $\frac{2}{3} e^{5} - \frac{2}{3} e^{- 1}$ ≈ 128.7

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 6} - \frac{1}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{0} - \frac{1}{3} e^{- 6}$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{3} e^{- 6}$

≈ 0,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 71 + $- \frac{1}{3} e^{- 6} + \frac{1}{3}$ ≈ 71.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (8 x + 2) ⅆ x$ = $36$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (8 x + 2) ⅆ x

= ${[4 x^{2} + 2 x]}_{1}^{u}$

$=$ $4 u^{2} + 2 u - (4 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $4 u^{2} + 2 u - (4 \cdot 1 + 2)$

= $4 u^{2} + 2 u - (4 + 2)$

= $4 u^{2} + 2 u - 1 \cdot 6$

= $4 u^{2} + 2 u - 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $36$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} + 2 u - 6

=

36

|

- 36

4 u^{2} + 2 u - 42

= 0 |:2

$2 u^{2} + u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 1+13}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 1-13}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Da u= $- 3,5$ < 1 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 5 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{5}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + \frac{5}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{3 π}$

≈ 1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{2 x - 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{3}{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 3 {(2 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 4 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2} \ln (| 2 (u) - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 4 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| 2 u - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| 8 - 4 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| 2 u - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} \ln (4) + \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 4 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale