Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 4)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{3}{{(3 x - 4)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 3 {(3 x - 4)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 4)}^{- 3}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 4)}^{3}}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 \cdot 4 - 4)}^{3}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 3 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 {(12 - 4)}^{3}} + \frac{1}{3 {(9 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 8^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 5^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{512}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{125})$

= $- \frac{1}{1536} + \frac{1}{375}$

= $- \frac{125}{192 000} + \frac{512}{192 000}$

= $\frac{129}{64000}$

≈ 0,002

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 13 + $\frac{129}{64000}$ = $\frac{832.129}{64000}$ ≈ 13

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $3$ Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $10$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

10

:

\int_{3}^{10} 6 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{10} 6 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{10}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{10}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9 - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 8$

= $\frac{500}{3} - \frac{32}{3}$

= $156$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

10

zusammen:

B = 9 + $156$ = $165$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,2 e^{0,7 x - 0,2} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,2 e^{0,7 x - 0,2} ⅆ x

= ${[6 e^{0,7 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,7 u - 0,2} - 6 e^{0,7 \cdot 0 - 0,2}$

= $6 e^{0,7 u - 0,2} - 6 e^{0 - 0,2}$

= $6 e^{0,7 u - 0,2} - 6 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,7 u - 0,2} - 6 e^{- 0,2}$	=	$7$	\| $+ 6 e^{- 0,2}$
$6 e^{0,7 u - 0,2}$	=	$6 e^{- 0,2} + 7$
$6 e^{0,7 u - 0,2}$	=	$11,9124$	\|: $6$
$e^{0,7 u - 0,2}$	=	$1,9854$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,2$	=	$\ln (1,9854)$

$0,7 u - 0,2$	=	$0,6858$	\| $+ 0,2$
$0,7 u$	=	$0,8858$	\|: $0,7$
$u$	=	$1,2654$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= ${(3 x - 3)}^{2}$ zwischen 0 und 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} {(3 x - 3)}^{2} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{9} {(3 x - 3)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot {(3 - 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(0 - 3)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot 0^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 3)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot (- 27)$

= $0 + 3$

= $3$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{13}{2}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{13}{2}}^{u} \frac{3}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{2}}^{u} 3 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[3 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{13}{2}}^{u}$

= ${[3 \sqrt{2 x - 4}]}_{\frac{13}{2}}^{u}$

$=$ $3 \sqrt{2 u - 4} - 3 \sqrt{2 \cdot (\frac{13}{2}) - 4}$

= $3 \sqrt{2 u - 4} - 3 \sqrt{13 - 4}$

= $3 \sqrt{2 u - 4} - 3 \sqrt{9}$

= $3 \sqrt{2 u - 4} - 3 \cdot 3$

= $3 \sqrt{2 u - 4} - 9$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \sqrt{2 u - 4} - 9$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale