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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $2 e^{4 - 3} - 2 e^{1 - 3}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 2}$

= $2 e - 2 e^{- 2}$

≈ 5,166

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 37 + $- 2 e^{- 2} + 2 e$ ≈ 42.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 51 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $2 e^{4 - 2} - 2 e^{1 - 2}$

= $2 e^{2} - 2 e^{- 1}$

≈ 14,042

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 51 + $2 e^{2} - 2 e^{- 1}$ ≈ 65.04

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x

= ${[4 e^{0,3 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,3 u - 0,2} - 4 e^{0,3 \cdot 0 - 0,2}$

= $4 e^{0,3 u - 0,2} - 4 e^{0 - 0,2}$

= $4 e^{0,3 u - 0,2} - 4 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,3 u - 0,2} - 4 e^{- 0,2}$	=	$8$	\| $+ 4 e^{- 0,2}$
$4 e^{0,3 u - 0,2}$	=	$4 e^{- 0,2} + 8$
$4 e^{0,3 u - 0,2}$	=	$11,2749$	\|: $4$
$e^{0,3 u - 0,2}$	=	$2,8187$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,2$	=	$\ln (2,8187)$

$0,3 u - 0,2$	=	$1,0363$	\| $+ 0,2$
$0,3 u$	=	$1,2363$	\|: $0,3$
$u$	=	$4,121$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(2 x - 3)}^{3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 2 {(2 x - 3)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{4} {(2 x - 3)}^{4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot {(2 \cdot 2 - 3)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(2 \cdot 0 - 3)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot {(4 - 3)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(0 - 3)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(- 3)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 81)$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} - \frac{81}{4})$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 20)$

= $- 10$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(- 2 x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 3)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 (- 2 x + 3)}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 (- 2 u + 3)} - \frac{1}{2 (- 2 \cdot 2 + 3)}$

= $\frac{1}{2 (- 2 u + 3)} - \frac{1}{2 (- 4 + 3)}$

= $\frac{1}{2 (- 2 u + 3)} - \frac{1}{2 (- 1)}$

= $\frac{1}{2 (- 2 u + 3)} - \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2 (- 2 u + 3)} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 (- 2 u + 3)} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale