Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 78 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 9,859
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 78 +
≈ 87.86
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
5
3
ln(
|
3⋅5
-5
|
)
-
5
3
ln(
|
3⋅3
-5
|
)
=
5
3
ln(
|
15
-5
|
)
-
5
3
ln(
|
9
-5
|
)
=
5
3
ln(
10
)
-
5
3
ln(
|
9
-5
|
)
=
5
3
ln(
10
)
-
5
3
ln(
4
)
≈ 1,527
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 5 +
5
3
ln(
|
10
|
)
-
5
3
ln(
|
4
|
)
≈ 6.53
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass ∫ 1 u ( -8x +2 ) ⅆ x = -154
Lösung einblenden
∫
1
u
(
-8x
+2
)
ⅆ
x
=
[
-4
x
2
+2x
]
1
u
=
-4
u
2
+2u
- (
-4⋅
1
2
+2⋅1
)
=
-4
u
2
+2u
- (
-4⋅1
+2
)
=
-4
u
2
+2u
- (
-4
+2
)
=
-4
u
2
+2u
-1
·
(
-2
)
=
-4
u
2
+2u
+2
|
-4
u
2
+2u
+2
|
= |
-154
|
|
+154
|
|
-4
u
2
+2u
+156
|
= |
0 |
|:2 |
-2
u
2
+ u
+78
= 0
u1,2 =
-1 ±
1
2
-4 ·
(
-2
)
·
78
2⋅( -2 )
u1,2 =
-1 ±
1
+624
-4
u1,2 =
-1 ±
625
-4
u1 =
-1
+
625
-4
=
-1
+25
-4
=
24
-4
=
-6
u2 =
-1
-
625
-4
=
-1
-25
-4
=
-26
-4
=
6,5
Da u=
-6
< 1 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 e x -3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
+0
∫
0
1
4
e
x
-3
ⅆ
x
=
1
[
4
e
x
-3
]
0
1
=
4
e
1
-3
-4
e
0
-3
=
4
e
-2
-4
e
-3
≈ 0,342
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 x -3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 4 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
4
1
x
-3
ⅆ
x
=
∫
u
4
(
x
-3
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
2
(
x
-3
)
1
2
]
u
4
=
[
2
x
-3
]
u
4
=
2
4
-3
-2
u
-3
=
2
1
-2
u
-3
=
2⋅1
-2
u
-3
=
2
-2
u
-3
Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) =
-2
u
-3
+2
→
0
+2
=
2
≈ 2
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2