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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 11 s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 27:
∫ 11 27 4 x -2 ⅆ x
= ∫ 11 27 4 ( x -2 ) 1 2 ⅆ x

= [ 8 3 ( x -2 ) 3 2 ] 11 27

= [ 8 3 ( x -2 ) 3 ] 11 27

= 8 3 ( 27 -2 ) 3 - 8 3 ( 11 -2 ) 3

= 8 3 ( 25 ) 3 - 8 3 ( 9 ) 3

= 8 3 ⋅ 5 3 - 8 3 ⋅ 3 3

= 8 3 ⋅125 - 8 3 ⋅27

= 1000 3 -72

= 1000 3 - 216 3

= 784 3


≈ 261,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 27 zusammen:
B = 13 + 784 3 = 823 3 ≈ 274.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
∫ 0 3 2 e x -2 ⅆ x

= [ 2 e x -2 ] 0 3

= 2 e 3 -2 -2 e 0 -2

= 2 e 1 -2 e -2

= 2e -2 e -2


≈ 5,166
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 64 + -2 e -2 +2e ≈ 69.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass ∫ 1 u 10x ⅆ x = 56,25

Lösung einblenden
∫ 1 u 10x ⅆ x

= [ 5 x 2 ] 1 u

= 5 u 2 -5⋅ 1 2

= 5 u 2 -5⋅1

= 5 u 2 -5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 56,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -5 = 56,25 | +5
5 u 2 = 61,25 |:5
u 2 = 12,25 | ⋅2
u1 = - 12,25 = -3,5
u2 = 12,25 = 3,5

Da u= -3,5 < 1 ist u= 3,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 2x -4 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 +0 ∫ 0 5 4 ( 2x -4 ) 2 ⅆ x

= 1 5 [ 2 3 ( 2x -4 ) 3 ] 0 5

= 1 5 ( 2 3 ⋅ ( 2⋅5 -4 ) 3 - 2 3 ⋅ ( 2⋅0 -4 ) 3 )

= 1 5 ( 2 3 ⋅ ( 10 -4 ) 3 - 2 3 ⋅ ( 0 -4 ) 3 )

= 1 5 ( 2 3 ⋅ 6 3 - 2 3 ⋅ ( -4 ) 3 )

= 1 5 ( 2 3 ⋅216 - 2 3 ⋅( -64 ) )

= 1 5 ( 144 + 128 3 )

= 1 5 ( 432 3 + 128 3 )

= 1 5 · 560 3

= 112 3


≈ 37,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 3 u - 3 -x +1 ⅆ x
= ∫ 3 u -3 ( -x +1 ) -1 ⅆ x

= [ 3 ln( | -x +1 | ) ] 3 u

= 3 ln( | -( u ) +1 | ) -3 ln( | -3 +1 | )

= 3 ln( | -u +1 | ) -3 ln( | -3 +1 | )

= 3 ln( | -u +1 | ) -3 ln( 2 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = -3 ln( 2 ) +3 ln( | -x +1 | ) → ∞