Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 17 s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 26 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 17 und 26:
17 26 2 x -1 x
= 17 26 2 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= [ 4 3 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 4 3 ( 26 -1 ) 3 - 4 3 ( 17 -1 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 17 und der Änderung zwischen 17 und 26 zusammen:
B = 11 + 244 3 = 277 3 ≈ 92.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 11 s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 18 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 18:
11 18 6 x -2 x
= 11 18 6 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -2 ) 3 2 ] 11 18

= [ 4 ( x -2 ) 3 ] 11 18

= 4 ( 18 -2 ) 3 -4 ( 11 -2 ) 3

= 4 ( 16 ) 3 -4 ( 9 ) 3

= 4 4 3 -4 3 3

= 464 -427

= 256 -108

= 148

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 18 zusammen:
B = 20 + 148 = 168

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( 2x -4 ) x = -1,75

Lösung einblenden
0 u ( 2x -4 ) x

= [ x 2 -4x ] 0 u

= u 2 -4u - ( 0 2 -40 )

= u 2 -4u - ( 0 +0)

= u 2 -4u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -1,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 -4u = -1,75 | +1,75

u 2 -4u +1,75 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 1,75 21

u1,2 = +4 ± 16 -7 2

u1,2 = +4 ± 9 2

u1 = 4 + 9 2 = 4 +3 2 = 7 2 = 3,5

u2 = 4 - 9 2 = 4 -3 2 = 1 2 = 0,5

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 e x -1 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 2 e x -1 x

= 1 2 [ 2 e x -1 ] 0 2

= 1 2 ( 2 e 2 -1 -2 e 0 -1 )

= 1 2 ( 2 e 1 -2 e -1 )

= 1 2 (2e -2 e -1 )

= 1 2 ( -2 e -1 +2e)


≈ 2,35

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -x +1 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 3 ( -x +1 ) 2 x
= 2 u -3 ( -x +1 ) -2 x

= [ -3 ( -x +1 ) -1 ] 2 u

= [ - 3 -x +1 ] 2 u

= - 3 -u +1 + 3 -2 +1

= - 3 -u +1 + 3 ( -1 )

= - 3 -u +1 +3( -1 )

= - 3 -u +1 -3

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 -u +1 -3 0 -3 = -3 ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3