Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $7$ Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $10$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

10

:

\int_{7}^{10} 3 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{10} 3 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{10}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{7}^{10}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

10

zusammen:

B = 13 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{161}{3}$ ≈ 53.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{13}{3}$ Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{29}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} 4 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} 4 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 27$

= $\frac{1000}{9} - 24$

= $\frac{1000}{9} - \frac{216}{9}$

= $\frac{784}{9}$

≈ 87,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 20 + $\frac{784}{9}$ = $\frac{964}{9}$ ≈ 107.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 2 x + 3) ⅆ x$ = $- 42$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 2 x + 3) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 3 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 3 u - (- 2^{2} + 3 \cdot 2)$

= $- u^{2} + 3 u - (- 4 + 6)$

= $- u^{2} + 3 u + 4 - 6$

= $- u^{2} + 3 u - 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 42$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} + 3 u - 2

=

- 42

|

+ 42

$- u^{2} + 3 u + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 40}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 3+13}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 3-13}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Da u= $- 5$ < 2 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 6)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 3}

\int_{3}^{6} \frac{2}{{(3 x - 6)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{3}^{6} 2 {(3 x - 6)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{2}{3 (3 x - 6)}]}_{3}^{6}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 (3 \cdot 6 - 6)} + \frac{2}{3 (3 \cdot 3 - 6)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 (18 - 6)} + \frac{2}{3 (9 - 6)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 \cdot 12} + \frac{2}{3 \cdot 3})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{12}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{18} + \frac{2}{9})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{18} + \frac{4}{18})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

= $\frac{1}{18}$

≈ 0,056

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $16$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{16} - \frac{3}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{16} - \frac{3}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{16} - 3 x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 6 x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{16}$

= ${[- 6 \sqrt{x}]}_{u}^{16}$

$=$ $- 6 \sqrt{16} + 6 \sqrt{u}$

= $- 6 \cdot 4 + 6 \sqrt{u}$

= $- 24 + 6 \sqrt{u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $6 \sqrt{u} - 24$ → $0 - 24$ = $- 24$ ≈ -24

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 24

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale