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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 2x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 56 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
∫ 1 2 e 2x -5 ⅆ x

= [ 1 2 e 2x -5 ] 1 2

= 1 2 e 2⋅2 -5 - 1 2 e 2⋅1 -5

= 1 2 e 4 -5 - 1 2 e 2 -5

= 1 2 e -1 - 1 2 e -3


≈ 0,159
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 56 + 1 2 e -1 - 1 2 e -3 ≈ 56.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 26 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
∫ 0 1 5 e x -1 ⅆ x

= [ 5 e x -1 ] 0 1

= 5 e 1 -1 -5 e 0 -1

= 5 e 0 -5 e -1

= 5 -5 e -1


≈ 3,161
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 26 + -5 e -1 +5 ≈ 29.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 2,7 e 0,3x -0,3 ⅆ x = 20

Lösung einblenden
∫ 0 u 2,7 e 0,3x -0,3 ⅆ x

= [ 9 e 0,3x -0,3 ] 0 u

= 9 e 0,3u -0,3 -9 e 0,3⋅0 -0,3

= 9 e 0,3u -0,3 -9 e 0 -0,3

= 9 e 0,3u -0,3 -9 e -0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 20 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

9 e 0,3u -0,3 -9 e -0,3 = 20 | +9 e -0,3
9 e 0,3u -0,3 = 9 e -0,3 +20
9 e 0,3u -0,3 = 26,6674 |:9
e 0,3u -0,3 = 2,963 |ln(⋅)
0,3u -0,3 = ln( 2,963 )
0,3u -0,3 = 1,0862 | +0,3
0,3u = 1,3862 |:0,3
u = 4,6207

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 2x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 6 -3 ∫ 3 6 2 2x -5 ⅆ x
= 1 3 ∫ 3 6 2 ( 2x -5 ) -1 ⅆ x

= 1 3 [ ln( | 2x -5 | ) ] 3 6

= 1 3 ( ln( | 2⋅6 -5 | ) - ln( | 2⋅3 -5 | ) )

= 1 3 ( ln( | 12 -5 | ) - ln( | 6 -5 | ) )

= 1 3 ( ln( 7 ) - ln( | 6 -5 | ) )

= 1 3 ( ln( 7 ) - ln( 1 ) )

= 1 3 ( ln( 7 ) +0)

= 1 3 ln( 7 )


≈ 0,649

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 5 u 1 x -3 ⅆ x
= ∫ 5 u ( x -3 ) -1 ⅆ x

= [ ln( | x -3 | ) ] 5 u

= ln( | u -3 | ) - ln( | 5 -3 | )

= ln( | u -3 | ) - ln( 2 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - ln( 2 ) + ln( | x -3 | ) → ∞