Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{- 2}$

≈ 18,134

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 61 + $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{- 2}$ ≈ 79.13

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{3}$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 4 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 4 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 64$

= $\frac{1000}{9} - \frac{512}{9}$

= $\frac{488}{9}$

≈ 54,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 3 + $\frac{488}{9}$ = $\frac{515}{9}$ ≈ 57.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,6 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x$ = $12$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,6 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x

= ${[3 e^{0,2 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,2 u - 0,5} - 3 e^{0,2 \cdot 0 - 0,5}$

= $3 e^{0,2 u - 0,5} - 3 e^{0 - 0,5}$

= $3 e^{0,2 u - 0,5} - 3 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,2 u - 0,5} - 3 e^{- 0,5}$	=	$12$	\| $+ 3 e^{- 0,5}$
$3 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$3 e^{- 0,5} + 12$
$3 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$13,8196$	\|: $3$
$e^{0,2 u - 0,5}$	=	$4,6065$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,5$	=	$\ln (4,6065)$

$0,2 u - 0,5$	=	$1,5275$	\| $+ 0,5$
$0,2 u$	=	$2,0275$	\|: $0,2$
$u$	=	$10,1375$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(x - 1)}^{3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} 5 {(x - 1)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{4} {(x - 1)}^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{4} \cdot {(5 - 1)}^{4} - \frac{5}{4} \cdot {(2 - 1)}^{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{4} \cdot 4^{4} - \frac{5}{4} \cdot 1^{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{4} \cdot 256 - \frac{5}{4} \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} (320 - \frac{5}{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1280}{4} - \frac{5}{4})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{1275}{4}$

= $\frac{425}{4}$

= 106,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(- x + 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[2 {(- x + 1)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{2}{- x + 1}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{2}{- u + 1} - \frac{2}{- 2 + 1}$

= $\frac{2}{- u + 1} - \frac{2}{(- 1)}$

= $\frac{2}{- u + 1} - 2 \cdot (- 1)$

= $\frac{2}{- u + 1} + 2$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{- u + 1} + 2$ → $0 + 2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale