Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 5 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $5 e^{1 - 3} - 5 e^{0 - 3}$

= $5 e^{- 2} - 5 e^{- 3}$

≈ 0,428

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 71 + $5 e^{- 2} - 5 e^{- 3}$ ≈ 71.43

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 4 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 4 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{12 - 4} - \frac{4}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{8} - \frac{4}{3} e^{2}$

≈ 3964,759

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 9 + $\frac{4}{3} e^{8} - \frac{4}{3} e^{2}$ ≈ 3973.76

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,6 x - 0,6} ⅆ x$ = $17$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,6 x - 0,6} ⅆ x

= ${[6 e^{0,6 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,6 u - 0,6} - 6 e^{0,6 \cdot 0 - 0,6}$

= $6 e^{0,6 u - 0,6} - 6 e^{0 - 0,6}$

= $6 e^{0,6 u - 0,6} - 6 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $17$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,6 u - 0,6} - 6 e^{- 0,6}$	=	$17$	\| $+ 6 e^{- 0,6}$
$6 e^{0,6 u - 0,6}$	=	$6 e^{- 0,6} + 17$
$6 e^{0,6 u - 0,6}$	=	$20,2929$	\|: $6$
$e^{0,6 u - 0,6}$	=	$3,3822$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,6$	=	$\ln (3,3822)$

$0,6 u - 0,6$	=	$1,2185$	\| $+ 0,6$
$0,6 u$	=	$1,8185$	\|: $0,6$
$u$	=	$3,0308$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 4)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} \frac{5}{{(3 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{2}^{5} 5 {(3 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{5}{3} {(3 x - 4)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{5}{3 (3 x - 4)}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{5}{3 (3 \cdot 5 - 4)} + \frac{5}{3 (3 \cdot 2 - 4)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{3 (15 - 4)} + \frac{5}{3 (6 - 4)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{3 \cdot 11} + \frac{5}{3 \cdot 2})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{11}) + \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{2}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{33} + \frac{5}{6})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{10}{66} + \frac{55}{66})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{15}{22}$

= $\frac{5}{22}$

≈ 0,227

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[{(x - 1)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 - 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - (\frac{1}{4})$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - \frac{1}{4}$ → $0 - \frac{1}{4}$ = $- \frac{1}{4}$ ≈ -0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale