Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e 3x -7 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 2 e 3x -7 x

= [ 2 3 e 3x -7 ] 0 1

= 2 3 e 31 -7 - 2 3 e 30 -7

= 2 3 e 3 -7 - 2 3 e 0 -7

= 2 3 e -4 - 2 3 e -7


≈ 0,012
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 7 + 2 3 e -4 - 2 3 e -7 ≈ 7.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 2x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 4 e 2x -2 x

= [ 2 e 2x -2 ] 1 4

= 2 e 24 -2 -2 e 21 -2

= 2 e 8 -2 -2 e 2 -2

= 2 e 6 -2 e 0

= 2 e 6 -2


≈ 804,858
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 25 + 2 e 6 -2 ≈ 829.86

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,7 e -0,7x +0,9 x = 1

Lösung einblenden
0 u 0,7 e -0,7x +0,9 x

= [ - e -0,7x +0,9 ] 0 u

= - e -0,7u +0,9 + e -0,70 +0,9

= - e -0,7u +0,9 + e 0 +0,9

= - e -0,7u +0,9 + e 0,9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- e -0,7u +0,9 + e 0,9 = 1 | - e 0,9
- e -0,7u +0,9 = - e 0,9 +1
- e -0,7u +0,9 = -1,4596 |:-1
e -0,7u +0,9 = 1,4596 |ln(⋅)
-0,7u +0,9 = ln( 1,4596 )
-0,7u +0,9 = 0,3782 | -0,9
-0,7u = -0,5218 |:(-0,7 )
u = 0,7454

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 e 3x -3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 6 e 3x -3 x

= 1 3 [ 2 e 3x -3 ] 0 3

= 1 3 ( 2 e 33 -3 -2 e 30 -3 )

= 1 3 ( 2 e 9 -3 -2 e 0 -3 )

= 1 3 ( 2 e 6 -2 e -3 )


≈ 268,919

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 u 1 ( -x +3 ) 2 x
= 5 u ( -x +3 ) -2 x

= [ ( -x +3 ) -1 ] 5 u

= [ 1 -x +3 ] 5 u

= 1 -u +3 - 1 -5 +3

= 1 -u +3 - 1 ( -2 )

= 1 -u +3 - ( - 1 2 )

= 1 -u +3 + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 -u +3 + 1 2 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5