Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 35 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 3 e 2x -1 x

= [ 3 2 e 2x -1 ] 2 3

= 3 2 e 23 -1 - 3 2 e 22 -1

= 3 2 e 6 -1 - 3 2 e 4 -1

= 3 2 e 5 - 3 2 e 3


≈ 192,491
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 35 + 3 2 e 5 - 3 2 e 3 ≈ 227.49

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( x -3 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 6 ( x -3 ) 2 x
= 4 7 6 ( x -3 ) -2 x

= [ -6 ( x -3 ) -1 ] 4 7

= [ - 6 x -3 ] 4 7

= - 6 7 -3 + 6 4 -3

= - 6 4 + 6 1

= -6( 1 4 ) +61

= - 3 2 +6

= -1,5 +6

= 4,5


= 4,5
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 10 + 9 2 = 29 2 ≈ 14.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( -4x +1 ) x = -99

Lösung einblenden
2 u ( -4x +1 ) x

= [ -2 x 2 + x ] 2 u

= -2 u 2 + u - ( -2 2 2 +2 )

= -2 u 2 + u - ( -24 +2 )

= -2 u 2 + u - ( -8 +2 )

= -2 u 2 + u -1 · ( -6 )

= -2 u 2 + u +6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -99 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 + u +6 = -99 | +99

-2 u 2 + u +105 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · ( -2 ) · 105 2( -2 )

u1,2 = -1 ± 1 +840 -4

u1,2 = -1 ± 841 -4

u1 = -1 + 841 -4 = -1 +29 -4 = 28 -4 = -7

u2 = -1 - 841 -4 = -1 -29 -4 = -30 -4 = 7,5

Da u= -7 < 2 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 3x -6 zwischen 5 und 31 3 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 31 3 -5 5 31 3 3 3x -6 x
= 3 16 5 31 3 3 ( 3x -6 ) 1 2 x

= 3 16 [ 2 3 ( 3x -6 ) 3 2 ] 5 31 3

= 3 16 [ 2 3 ( 3x -6 ) 3 ] 5 31 3

= 3 16 ( 2 3 ( 3( 31 3 ) -6 ) 3 - 2 3 ( 35 -6 ) 3 )

= 3 16 ( 2 3 ( 31 -6 ) 3 - 2 3 ( 15 -6 ) 3 )

= 3 16 ( 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 9 ) 3 )

= 3 16 ( 2 3 5 3 - 2 3 3 3 )

= 3 16 ( 2 3 125 - 2 3 27 )

= 3 16 ( 250 3 -18 )

= 3 16 ( 250 3 - 54 3 )

= 3 16 · 196 3

= 49 4


= 12,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 18 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 18 - 2 x -2 x
= u 18 -2 ( x -2 ) - 1 2 x

= [ -4 ( x -2 ) 1 2 ] u 18

= [ -4 x -2 ] u 18

= -4 18 -2 +4 u -2

= -4 16 +4 u -2

= -44 +4 u -2

= -16 +4 u -2

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = 4 u -2 -16 0 -16 = -16 ≈ -16

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 16