= ${\left[3e^{x-3}\right]}_0^3$

$=$ $3e^{3-3}-3e^{0-3}$

= $3e^0-3e^{-3}$

= $3-3e^{-3}$

= ${\left[-5{\left(x-2\right)}^{-1}\right]}_3^5$

= ${\left[-\frac{5}{x-2}\right]}_3^5$

$=$ $-\frac{5}{5-2}+\frac{5}{3-2}$

= $-\frac{5}{3}+\frac{5}{1}$

= $-5\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+5\cdot 1$

= $-\frac{5}{3}+5$

= $-\frac{5}{3}+\frac{15}{3}$

= $\frac{10}{3}$

= ${\left[3x^2-5x\right]}_1^u$

$=$ $3u^2-5u-\left(3\cdot 1^2-5\cdot 1\right)$

= $3u^2-5u-\left(3\cdot 1-5\right)$

= $3u^2-5u-\left(3-5\right)$

= $3u^2-5u-1·\left(-2\right)$

= $3u^2-5u+2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $\mathrm{65,25}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3u^2-5u-\mathrm{63,25}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·3·\left(-\mathrm{63,25}\right)}}{2\cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25+759}}{6}$

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{784}}{6}$

u₁ = $\frac{5+\sqrt{784}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>28</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{33}{6}$ = $\mathrm{5,5}$

u₂ = $\frac{5-\sqrt{784}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>28</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-23}{6}$ = $-\frac{23}{6}$ ≈ -3.83

Da u= $-\frac{23}{6}$ < 1 ist u= $\mathrm{5,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\frac{3}{8}{\left(2x-2\right)}^4+6x\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{2}(\frac{3}{8}\cdot {\left(2\cdot 2-2\right)}^4+6\cdot 2-\left(\frac{3}{8}\cdot {\left(2\cdot 0-2\right)}^4+6\cdot 0\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{3}{8}\cdot {\left(4-2\right)}^4+12-\left(\frac{3}{8}\cdot {\left(0-2\right)}^4+0\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{3}{8}\cdot 2^4+12-\left(\frac{3}{8}\cdot {\left(-2\right)}^4+0\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{3}{8}\cdot 16+12-\left(\frac{3}{8}\cdot 16+0\right))$

= $\frac{1}{2}(6+12-\left(6+0\right))$

= $\frac{1}{2}\left(18-6\right)$

= $\frac{1}{2}·12$

= $6$

= ${\left[{\left(-3x+5\right)}^{-1}\right]}_2^u$

= ${\left[\frac{1}{-3x+5}\right]}_2^u$

$=$ $\frac{1}{-3u+5}-\frac{1}{-3\cdot 2+5}$

= $\frac{1}{-3u+5}-\frac{1}{-6+5}$

= $\frac{1}{-3u+5}-\frac{1}{\left(-1\right)}$

= $\frac{1}{-3u+5}-\left(-1\right)$

= $\frac{1}{-3u+5}+1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{-3u+5}+1$ → $0+1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1