Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 4 e 3x -3 x

= [ 4 3 e 3x -3 ] 1 4

= 4 3 e 34 -3 - 4 3 e 31 -3

= 4 3 e 12 -3 - 4 3 e 3 -3

= 4 3 e 9 - 4 3 e 0

= 4 3 e 9 - 4 3


≈ 10802,779
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 74 + 4 3 e 9 - 4 3 ≈ 10876.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 35 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 5 e x -3 x

= [ 5 e x -3 ] 1 4

= 5 e 4 -3 -5 e 1 -3

= 5 e 1 -5 e -2

= 5e -5 e -2


≈ 12,915
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 35 + -5 e -2 +5e ≈ 47.91

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 10x +3 ) x = 38

Lösung einblenden
3 u ( 10x +3 ) x

= [ 5 x 2 +3x ] 3 u

= 5 u 2 +3u - ( 5 3 2 +33 )

= 5 u 2 +3u - ( 59 +9 )

= 5 u 2 +3u - ( 45 +9 )

= 5 u 2 +3u -1 · 54

= 5 u 2 +3u -54

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 38 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 +3u -54 = 38 | -38

5 u 2 +3u -92 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 5 · ( -92 ) 25

u1,2 = -3 ± 9 +1840 10

u1,2 = -3 ± 1849 10

u1 = -3 + 1849 10 = -3 +43 10 = 40 10 = 4

u2 = -3 - 1849 10 = -3 -43 10 = -46 10 = -4,6

Da u= -4,6 < 3 ist u= 4 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( x -1 ) 3 +3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 ( 3 ( x -1 ) 3 +3 ) x

= 1 3 [ 3 4 ( x -1 ) 4 +3x ] 0 3

= 1 3 ( 3 4 ( 3 -1 ) 4 +33 - ( 3 4 ( 0 -1 ) 4 +30 ))

= 1 3 ( 3 4 2 4 +9 - ( 3 4 ( -1 ) 4 +0))

= 1 3 ( 3 4 16 +9 - ( 3 4 1 +0))

= 1 3 ( 12 +9 - ( 3 4 +0))

= 1 3 ( 21 - ( 3 4 +0))

= 1 3 ( 21 - 3 4 )

= 1 3 ( 84 4 - 3 4 )

= 1 3 · 81 4

= 27 4


= 6,75

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 5,5 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 5,5 1 2x -2 x
= u 5,5 ( 2x -2 ) - 1 2 x

= [ ( 2x -2 ) 1 2 ] u 5,5

= [ 2x -2 ] u 5,5

= 25,5 -2 - 2u -2

= 11 -2 - 2u -2

= 9 - 2u -2

= 3 - 2u -2

= - 2u -2 +3

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = - 2u -2 +3 0 +3 = 3 ≈ 3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3