Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 5 e 3x -4 x

= [ 5 3 e 3x -4 ] 0 2

= 5 3 e 32 -4 - 5 3 e 30 -4

= 5 3 e 6 -4 - 5 3 e 0 -4

= 5 3 e 2 - 5 3 e -4


≈ 12,285
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 76 + 5 3 e 2 - 5 3 e -4 ≈ 88.28

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -6 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 22 3 s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 31 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 22 3 und 31 3 :
22 3 31 3 6 3x -6 x
= 22 3 31 3 6 ( 3x -6 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -6 ) 3 2 ] 22 3 31 3

= [ 4 3 ( 3x -6 ) 3 ] 22 3 31 3

= 4 3 ( 3( 31 3 ) -6 ) 3 - 4 3 ( 3( 22 3 ) -6 ) 3

= 4 3 ( 31 -6 ) 3 - 4 3 ( 22 -6 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 22 3 und der Änderung zwischen 22 3 und 31 3 zusammen:
B = 15 + 244 3 = 289 3 ≈ 96.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u 4x x = 154

Lösung einblenden
2 u 4x x

= [ 2 x 2 ] 2 u

= 2 u 2 -2 2 2

= 2 u 2 -24

= 2 u 2 -8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 154 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 -8 = 154 | +8
2 u 2 = 162 |:2
u 2 = 81 | 2
u1 = - 81 = -9
u2 = 81 = 9

Da u= -9 < 2 ist u= 9 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= cos( 2x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π cos( 2x - π) x

= 1 π [ 1 2 sin( 2x - π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( 1 2 sin( 2( 3 2 π ) - π) - 1 2 sin( 2( 1 2 π ) - π) )

= 1 π · ( 1 2 sin(2π) - 1 2 sin(0) )

= 1 π · ( 1 2 0 - 1 2 0 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 2 - 2 ( x -1 ) 3 x
= u 2 -2 ( x -1 ) -3 x

= [ ( x -1 ) -2 ] u 2

= [ 1 ( x -1 ) 2 ] u 2

= 1 ( 2 -1 ) 2 - 1 ( u -1 ) 2

= 1 1 2 - 1 ( u -1 ) 2

= 1 - 1 ( u -1 ) 2

= - 1 ( u -1 ) 2 +1

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = - 1 ( u -1 ) 2 +1 -