Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 21 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 4 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{12 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ 134,46

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 21 + $\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} e^{- 3}$ ≈ 155.46

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\sqrt{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $10$ Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{29}{2}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

\frac{29}{2}

:

\int_{10}^{\frac{29}{2}} \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{10}^{\frac{29}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 64$

= $\frac{125}{3} - \frac{64}{3}$

= $\frac{61}{3}$

≈ 20,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

\frac{29}{2}

zusammen:

B = 2 + $\frac{61}{3}$ = $\frac{67}{3}$ ≈ 22.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} - 2 x ⅆ x$ = $- 56,25$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} - 2 x ⅆ x

= ${[- x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 0^{2}$

= $- u^{2} + 0$

= $- u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 56,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- u^{2}$	=	$- 56,25$	\|: $(- 1)$
$u^{2}$	=	$56,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{56,25}$	= $- 7,5$
u₂	=	$\sqrt{56,25}$	= $7,5$

Da u= $- 7,5$ < 0 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 5 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot (- 1) - \frac{5}{3} \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} - \frac{5}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{10}{3})$

= $- \frac{10}{3 π}$

≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 4)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 4)}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 u - 4)} + \frac{1}{2 (2 \cdot 3 - 4)}$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 4)} + \frac{1}{2 (6 - 4)}$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 4)} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 4)} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 4)} + \frac{1}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 (2 u - 4)} + \frac{1}{4}$ → $0 + \frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale