Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 59 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 1,896
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 59 +
≈ 60.9
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 6 + = ≈ 87.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:() |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
1
2
(
ln(
|
3⋅5
-5
|
)
-
ln(
|
3⋅3
-5
|
)
)
=
1
2
(
ln(
|
15
-5
|
)
-
ln(
|
9
-5
|
)
)
=
1
2
(
ln(
10
)
-
ln(
|
9
-5
|
)
)
=
1
2
(
ln(
10
)
-
ln(
4
)
)
≈ 0,458
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -x +1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
(
-x
+1
)
3
ⅆ
x
=
∫
2
u
3
(
-x
+1
)
-3
ⅆ
x
=
[
3
2
(
-x
+1
)
-2
]
2
u
=
[
3
2
(
-x
+1
)
2
]
2
u
=
3
2
(
-u
+1
)
2
-
3
2
(
-2
+1
)
2
=
3
2
(
-u
+1
)
2
-
3
2
( -1 )
2
=
3
2
(
-u
+1
)
2
-
3
2
⋅1
=
3
2
(
-u
+1
)
2
-
3
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
2
(
-u
+1
)
2
-
3
2
→
0
-
3
2
=
-
3
2
≈ -1.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5