Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 0,496
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 2 + = ≈ 2.5
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 80 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,086
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 80 +
≈ 80.09
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
36
|
=
-6
|
| u2 |
= |
36
|
=
6
|
Da u=
-6
< 2 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 ( x -1 ) 3 zwischen 2 und 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-2
∫
2
4
5
(
x
-1
)
3
ⅆ
x
=
1
2
[
5
4
(
x
-1
)
4
]
2
4
=
1
2
(
5
4
⋅
(
4
-1
)
4
-
5
4
⋅
(
2
-1
)
4
)
=
1
2
(
5
4
⋅
3
4
-
5
4
⋅
1
4
)
=
1
2
(
5
4
⋅81
-
5
4
⋅1
)
=
1
2
(
405
4
-
5
4
)
=
1
2
·
100
=
50
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 4 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
4
-
2
2x
-4
ⅆ
x
=
∫
u
4
-2
(
2x
-4
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
2x
-4
)
1
2
]
u
4
=
[
-2
2x
-4
]
u
4
=
-2
2⋅4
-4
+2
2u
-4
=
-2
8
-4
+2
2u
-4
=
-2
4
+2
2u
-4
=
-2⋅2
+2
2u
-4
=
-4
+2
2u
-4
Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) =
2
2u
-4
-4
→
0
-4
=
-4
≈ -4
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4