= ${\left[4e^{x-3}\right]}_2^3$

$=$ $4e^{3-3}-4e^{2-3}$

= $4e^0-4e^{-1}$

= $4-4e^{-1}$

= ${\left[e^{3x-6}\right]}_1^2$

$=$ $e^{3\cdot 2-6}-e^{3\cdot 1-6}$

= $e^{6-6}-e^{3-6}$

= $e^0-e^{-3}$

= $1-e^{-3}$

= ${\left[-3x^2\right]}_1^u$

$=$ $-3u^2+3\cdot 1^2$

= $-3u^2+3\cdot 1$

= $-3u^2+3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-189$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-8$ < 1 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{5}{9}{\left(3x-3\right)}^3+3x\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}(\frac{5}{9}\cdot {\left(3\cdot 3-3\right)}^3+3\cdot 3-\left(\frac{5}{9}\cdot {\left(3\cdot 0-3\right)}^3+3\cdot 0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{5}{9}\cdot {\left(9-3\right)}^3+9-\left(\frac{5}{9}\cdot {\left(0-3\right)}^3+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{5}{9}\cdot 6^3+9-\left(\frac{5}{9}\cdot {\left(-3\right)}^3+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{5}{9}\cdot 216+9-\left(\frac{5}{9}\cdot \left(-27\right)+0\right))$

= $\frac{1}{3}(120+9-\left(-15+0\right))$

= $\frac{1}{3}\left(129+15\right)$

= $\frac{1}{3}·144$

= $48$

= ${\left[-3{\left(x-3\right)}^{-1}\right]}_5^u$

= ${\left[-\frac{3}{x-3}\right]}_5^u$

$=$ $-\frac{3}{u-3}+\frac{3}{5-3}$

= $-\frac{3}{u-3}+\frac{3}{2}$

= $-\frac{3}{u-3}+3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $-\frac{3}{u-3}+\frac{3}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{3}{u-3}+\frac{3}{2}$ → $0+\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5