= ${\left[-4{\left(x-3\right)}^{-1}\right]}_5^6$

= ${\left[-\frac{4}{x-3}\right]}_5^6$

$=$ $-\frac{4}{6-3}+\frac{4}{5-3}$

= $-\frac{4}{3}+\frac{4}{2}$

= $-4\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $-\frac{4}{3}+2$

= $-\frac{4}{3}+\frac{6}{3}$

= $\frac{2}{3}$

= ${\left[\frac{2}{3}{e}^{3x-5}\right]}_2^4$

$=$ $\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 4-5}-\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 2-5}$

= $\frac{2}{3}{e}^{12-5}-\frac{2}{3}{e}^{6-5}$

= $\frac{2}{3}{e}^7-\frac{2}{3}{e}^1$

= $\frac{2}{3}{e}^7-\frac{2}{3}e$

= ${\left[-2x^2\right]}_0^u$

$=$ $-2u^2+2\cdot 0^2$

= $-2u^2+2\cdot 0$

= $-2u^2+0$

= $-2u^2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{40,5}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-\mathrm{4,5}$ < 0 ist u= $\mathrm{4,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\frac{5}{8}{\left(2x-2\right)}^4+x^2\right]}_2^4$

$=$ $\frac{1}{2}(\frac{5}{8}\cdot {\left(2\cdot 4-2\right)}^4+4^2-\left(\frac{5}{8}\cdot {\left(2\cdot 2-2\right)}^4+2^2\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{5}{8}\cdot {\left(8-2\right)}^4+16-\left(\frac{5}{8}\cdot {\left(4-2\right)}^4+4\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{5}{8}\cdot 6^4+16-\left(\frac{5}{8}\cdot 2^4+4\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{5}{8}\cdot 1296+16-\left(\frac{5}{8}\cdot 16+4\right))$

= $\frac{1}{2}(810+16-\left(10+4\right))$

= $\frac{1}{2}(826-1·14)$

= $\frac{1}{2}\left(826-14\right)$

= $\frac{1}{2}·812$

= $406$

= ${\left[-e^{-2x+1}\right]}_0^u$

$=$ $-e^{-2u+1}+e^{-2\cdot 0+1}$

= $-e^{-2u+1}+e^{0+1}$

= $-e^{-2u+1}+e^1$

= $-e^{-2u+1}+e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-e^{-2u+1}+e$ → $0+e$ = $e$ ≈ 2.718

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2.718