Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( x -1 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 6 ( x -1 ) 4 x
= 2 3 6 ( x -1 ) -4 x

= [ -2 ( x -1 ) -3 ] 2 3

= [ - 2 ( x -1 ) 3 ] 2 3

= - 2 ( 3 -1 ) 3 + 2 ( 2 -1 ) 3

= - 2 2 3 + 2 1 3

= -2( 1 8 ) +21

= - 1 4 +2

= - 1 4 + 8 4

= 7 4


= 1,75
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 2 + 7 4 = 15 4 ≈ 3.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 2x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 21 2 s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 15 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 21 2 und 15:
21 2 15 6 2x -5 x
= 21 2 15 6 ( 2x -5 ) 1 2 x

= [ 2 ( 2x -5 ) 3 2 ] 21 2 15

= [ 2 ( 2x -5 ) 3 ] 21 2 15

= 2 ( 215 -5 ) 3 -2 ( 2( 21 2 ) -5 ) 3

= 2 ( 30 -5 ) 3 -2 ( 21 -5 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 5 3 -2 4 3

= 2125 -264

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 21 2 und der Änderung zwischen 21 2 und 15 zusammen:
B = 5 + 122 = 127

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u 2x x = 101,25

Lösung einblenden
3 u 2x x

= [ x 2 ] 3 u

= u 2 - 3 2

= u 2 - 9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 101,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 -9 = 101,25 | +9
u 2 = 110,25 | 2
u1 = - 110,25 = -10,5
u2 = 110,25 = 10,5

Da u= -10,5 < 3 ist u= 10,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 sin( 3x - π) zwischen 0 und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 0 π 3 sin( 3x - π) x

= 1 π [ - cos( 3x - π) ] 0 π

= 1 π · ( - cos( 3π - π) + cos( 3( 0 ) - π) )

= 1 π · ( - cos(2π) + cos(-π) )

= 1 π · ( -1 -1 )

= -1 -1 π

= -2 π

= - 2 π


≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 2,5 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 2,5 - 1 2x -4 x
= u 2,5 - ( 2x -4 ) - 1 2 x

= [ - ( 2x -4 ) 1 2 ] u 2,5

= [ - 2x -4 ] u 2,5

= - 22,5 -4 + 2u -4

= - 5 -4 + 2u -4

= - 1 + 2u -4

= -1 + 2u -4

= 2u -4 -1

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = 2u -4 -1 0 -1 = -1 ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1