Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $5$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{17}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

\frac{17}{2}

:

\int_{5}^{\frac{17}{2}} 5 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{\frac{17}{2}} 5 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{17}{2}}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{5}^{\frac{17}{2}}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{17}{2}) - 1})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - \frac{5}{3} \cdot 27$

= $\frac{320}{3} - 45$

= $\frac{320}{3} - \frac{135}{3}$

= $\frac{185}{3}$

≈ 61,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

\frac{17}{2}

zusammen:

B = 13 + $\frac{185}{3}$ = $\frac{224}{3}$ ≈ 74.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{3}$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{20}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{20}{3}

:

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{20 - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 4^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 64 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{128}{9} - 6$

= $\frac{128}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{74}{9}$

≈ 8,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{20}{3}

zusammen:

B = 12 + $\frac{74}{9}$ = $\frac{182}{9}$ ≈ 20.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 4 x + 3) ⅆ x$ = $- 14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 4 x + 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 3 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 3 u - (- 2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- 2 u^{2} + 3 u - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 2 u^{2} + 3 u - (0 + 0)$

= $- 2 u^{2} + 3 u + 0$

= $- 2 u^{2} + 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 3 u

=

- 14

|

+ 14

$- 2 u^{2} + 3 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 14}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 3+11}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 3-11}{- 4}$ = $\frac{- 14}{- 4}$ = $3,5$

Da u= $- 2$ < 0 ist u= $3,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $17$ und Minute $26$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{26 - 17}

\int_{17}^{26} 5 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{17}^{26} 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{10}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{17}^{26}$

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{17}^{26}$

$=$ $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (\frac{1250}{3} - \frac{640}{3})$

= $\frac{1}{9} \cdot \frac{610}{3}$

= $\frac{610}{27}$

≈ 22,593

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- 2 x + 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{{(- 2 x + 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(- 2 x + 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(- 2 x + 5)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{3}{2 (- 2 x + 5)}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{3}{2 (- 2 \cdot 4 + 5)}$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{3}{2 (- 8 + 5)}$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{3}{2 (- 3)}$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{1}{2}$ → $0 - \frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale