Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{2 - 1} - e^{1 - 1}$

= $e^{1} - e^{0}$

= $e - 1$

≈ 1,718

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 6 + $- 1 + e$ ≈ 7.72

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $9$ s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{27}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

9

und

\frac{27}{2}

:

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

9

und der Änderung zwischen

9

und

\frac{27}{2}

zusammen:

B = 2 + $122$ = $124$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 6,4 e^{- 0,8 x + 0,8} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 6,4 e^{- 0,8 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,8 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,8 u + 0,8} + 8 e^{- 0,8 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 8 e^{- 0,8 u + 0,8} + 8 e^{0 + 0,8}$

= $- 8 e^{- 0,8 u + 0,8} + 8 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,8 u + 0,8} + 8 e^{0,8}$	=	$5$	\| $- 8 e^{0,8}$
$- 8 e^{- 0,8 u + 0,8}$	=	$- 8 e^{0,8} + 5$
$- 8 e^{- 0,8 u + 0,8}$	=	$- 12,8043$	\|: $- 8$
$e^{- 0,8 u + 0,8}$	=	$1,6005$	\|ln(⋅)
$- 0,8 u + 0,8$	=	$\ln (1,6005)$

$- 0,8 u + 0,8$	=	$0,4703$	\| $- 0,8$
$- 0,8 u$	=	$- 0,3297$	\|:( $- 0,8$ )
$u$	=	$0,4121$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 6 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 6 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 6 \cdot \cos (π - \frac{1}{2} π) + 6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 6 \cdot \cos (0))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 6 \cdot 0 + 6 \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 6)$

= $\frac{2}{π} \cdot 6$

= $\frac{12}{π}$

≈ 3,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- 3 x + 7)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{{(- 3 x + 7)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(- 3 x + 7)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 3 x + 7)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(- 3 x + 7)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 3 \cdot 4 + 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 12 + 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{25})$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{50}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 7)}^{2}} + \frac{1}{50}$ → $0 + \frac{1}{50}$ = $\frac{1}{50}$ ≈ 0.02

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.02

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale