Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{3}$ s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{20}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{20}{3}

:

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{20 - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 4^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 64 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{128}{9} - 6$

= $\frac{128}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{74}{9}$

≈ 8,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{20}{3}

zusammen:

B = 7 + $\frac{74}{9}$ = $\frac{137}{9}$ ≈ 15.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $10$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $26$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

26

:

\int_{10}^{26} 3 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{10}^{26} 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{26}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{10}^{26}$

$=$ $2 {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 3^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 27$

= $250 - 54$

= $196$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

26

zusammen:

B = 13 + $196$ = $209$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} e^{0,2 x - 0,3} ⅆ x$ = $20$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} e^{0,2 x - 0,3} ⅆ x

= ${[5 e^{0,2 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,2 u - 0,3} - 5 e^{0,2 \cdot 0 - 0,3}$

= $5 e^{0,2 u - 0,3} - 5 e^{0 - 0,3}$

= $5 e^{0,2 u - 0,3} - 5 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,2 u - 0,3} - 5 e^{- 0,3}$	=	$20$	\| $+ 5 e^{- 0,3}$
$5 e^{0,2 u - 0,3}$	=	$5 e^{- 0,3} + 20$
$5 e^{0,2 u - 0,3}$	=	$23,7041$	\|: $5$
$e^{0,2 u - 0,3}$	=	$4,7408$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,3$	=	$\ln (4,7408)$

$0,2 u - 0,3$	=	$1,5562$	\| $+ 0,3$
$0,2 u$	=	$1,8562$	\|: $0,2$
$u$	=	$9,281$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 6}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{22}{3}$ und Minute $\frac{31}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{31}{3} - \frac{22}{3}}

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 2 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 2 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{22 - 6})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 64)$

= $\frac{1}{3} (\frac{500}{9} - \frac{256}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{244}{9}$

= $\frac{244}{27}$

≈ 9,037

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(x - 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} {(x - 1)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{3}{2 {(x - 1)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}} - \frac{3}{2 {(3 - 1)}^{2}}$

= $\frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}} - \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

= $\frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}} - \frac{3}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}} - \frac{3}{8}$ → $0 - \frac{3}{8}$ = $- \frac{3}{8}$ ≈ -0.375

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale