Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{16}{3}$ s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{250}{9} - 6$

= $\frac{250}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{196}{9}$

≈ 21,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 11 + $\frac{196}{9}$ = $\frac{295}{9}$ ≈ 32.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 67 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{3 - 3} - \frac{1}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{0} - \frac{1}{3} e^{- 3}$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ 0,317

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 67 + $- \frac{1}{3} e^{- 3} + \frac{1}{3}$ ≈ 67.32

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,8 e^{- 0,2 x + 0,8} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,8 e^{- 0,2 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,2 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,2 u + 0,8} + 4 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 4 e^{- 0,2 u + 0,8} + 4 e^{0 + 0,8}$

= $- 4 e^{- 0,2 u + 0,8} + 4 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,2 u + 0,8} + 4 e^{0,8}$	=	$2$	\| $- 4 e^{0,8}$
$- 4 e^{- 0,2 u + 0,8}$	=	$- 4 e^{0,8} + 2$
$- 4 e^{- 0,2 u + 0,8}$	=	$- 6,9022$	\|: $- 4$
$e^{- 0,2 u + 0,8}$	=	$1,7256$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,8$	=	$\ln (1,7256)$

$- 0,2 u + 0,8$	=	$0,5456$	\| $- 0,8$
$- 0,2 u$	=	$- 0,2544$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$1,272$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (2 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} \cos (2 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot π - π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{3 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{20}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{20}{3}}^{u} \frac{3}{\sqrt{3 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{\frac{20}{3}}^{u} 3 {(3 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{20}{3}}^{u}$

= ${[2 \sqrt{3 x - 4}]}_{\frac{20}{3}}^{u}$

$=$ $2 \sqrt{3 u - 4} - 2 \sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4}$

= $2 \sqrt{3 u - 4} - 2 \sqrt{20 - 4}$

= $2 \sqrt{3 u - 4} - 2 \sqrt{16}$

= $2 \sqrt{3 u - 4} - 2 \cdot 4$

= $2 \sqrt{3 u - 4} - 8$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \sqrt{3 u - 4} - 8$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale