Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 4 e 3x -5 x

= [ 4 3 e 3x -5 ] 1 2

= 4 3 e 32 -5 - 4 3 e 31 -5

= 4 3 e 6 -5 - 4 3 e 3 -5

= 4 3 e 1 - 4 3 e -2

= 4 3 e - 4 3 e -2


≈ 3,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 64 + - 4 3 e -2 + 4 3 e ≈ 67.44

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 5 x -3 x
= 19 28 5 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 10 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 10 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 10 3 ( 28 -3 ) 3 - 10 3 ( 19 -3 ) 3

= 10 3 ( 25 ) 3 - 10 3 ( 16 ) 3

= 10 3 5 3 - 10 3 4 3

= 10 3 125 - 10 3 64

= 1250 3 - 640 3

= 610 3


≈ 203,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 10 + 610 3 = 640 3 ≈ 213.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( 8x -4 ) x = 8

Lösung einblenden
0 u ( 8x -4 ) x

= [ 4 x 2 -4x ] 0 u

= 4 u 2 -4u - ( 4 0 2 -40 )

= 4 u 2 -4u - ( 40 +0)

= 4 u 2 -4u - (0+0)

= 4 u 2 -4u +0

= 4 u 2 -4u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 8 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -4u = 8 | -8
4 u 2 -4u -8 = 0 |:4

u 2 - u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +8 2

u1,2 = +1 ± 9 2

u1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

u2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

Da u= -1 < 0 ist u= 2 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= e x -1 zwischen 1 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -1 1 4 e x -1 x

= 1 3 [ e x -1 ] 1 4

= 1 3 ( e 4 -1 - e 1 -1 )

= 1 3 ( e 3 - e 0 )

= 1 3 ( e 3 -1 )


≈ 6,362

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 3x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 19 3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 19 3 u 3 3x -3 x
= 19 3 u 3 ( 3x -3 ) - 1 2 x

= [ 2 ( 3x -3 ) 1 2 ] 19 3 u

= [ 2 3x -3 ] 19 3 u

= 2 3u -3 -2 3( 19 3 ) -3

= 2 3u -3 -2 19 -3

= 2 3u -3 -2 16

= 2 3u -3 -24

= 2 3u -3 -8

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3u -3 -8