Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{22}{3}$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{31}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 3 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 3 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 12 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{158}{3}$ ≈ 52.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 55 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 2} - \frac{3}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2} e^{2}$

≈ 594,06

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 55 + $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2} e^{2}$ ≈ 649.06

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,3 x + 0,6} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,3 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,3 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,3 u + 0,6} + 3 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,6}$

= $- 3 e^{- 0,3 u + 0,6} + 3 e^{0 + 0,6}$

= $- 3 e^{- 0,3 u + 0,6} + 3 e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,3 u + 0,6} + 3 e^{0,6}$	=	$2$	\| $- 3 e^{0,6}$
$- 3 e^{- 0,3 u + 0,6}$	=	$- 3 e^{0,6} + 2$
$- 3 e^{- 0,3 u + 0,6}$	=	$- 3,4664$	\|: $- 3$
$e^{- 0,3 u + 0,6}$	=	$1,1555$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,6$	=	$\ln (1,1555)$

$- 0,3 u + 0,6$	=	$0,1445$	\| $- 0,6$
$- 0,3 u$	=	$- 0,4555$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$1,5183$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 2}

\int_{2}^{4} \frac{1}{x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{2}^{4} {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\ln (| x - 1 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} (\ln (| 4 - 1 |) - \ln (| 2 - 1 |))$

= $\frac{1}{2} (\ln (3) - \ln (| 2 - 1 |))$

= $\frac{1}{2} (\ln (3) - \ln (1))$

= $\frac{1}{2} (\ln (3) + 0)$

= $\frac{1}{2} \ln (3)$

≈ 0,549

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $10$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{10}^{u} \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{10}^{u} 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{10}^{u}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 4}]}_{10}^{u}$

$=$ $2 \sqrt{2 u - 4} - 2 \sqrt{2 \cdot 10 - 4}$

= $2 \sqrt{2 u - 4} - 2 \sqrt{20 - 4}$

= $2 \sqrt{2 u - 4} - 2 \sqrt{16}$

= $2 \sqrt{2 u - 4} - 2 \cdot 4$

= $2 \sqrt{2 u - 4} - 8$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 4} - 8$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale