Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 24 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{1}{3} e^{- 1} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 0,117

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 24 + $\frac{1}{3} e^{- 1} - \frac{1}{3} e^{- 4}$ ≈ 24.12

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 8 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{146}{3}$ ≈ 48.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (10 x - 1) ⅆ x$ = $57,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (10 x - 1) ⅆ x

= ${[5 x^{2} - x]}_{0}^{u}$

$=$ $5 u^{2} - u - (5 \cdot 0^{2} - 0)$

= $5 u^{2} - u - (5 \cdot 0 + 0)$

= $5 u^{2} - u - (0 + 0)$

= $5 u^{2} - u + 0$

= $5 u^{2} - u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $57,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} - u

=

57,75

|

- 57,75

$5 u^{2} - u - 57,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 57,75)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 1 155}}{10}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 156}}{10}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{1 156}}{10}$ = $\frac{1+34}{10}$ = $\frac{35}{10}$ = $3,5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{1 156}}{10}$ = $\frac{1-34}{10}$ = $\frac{- 33}{10}$ = $- 3,3$

Da u= $- 3,3$ < 0 ist u= $3,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $19$ und Minute $28$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{28 - 19}

\int_{19}^{28} 6 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{19}^{28} 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[4 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= $\frac{1}{9}$ ${[4 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{1}{9} (4 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 4 {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 \cdot 125 - 4 \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (500 - 256)$

= $\frac{1}{9} \cdot 244$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $9$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{9}^{u} \frac{2}{\sqrt{2 x - 2}} ⅆ x

=

\int_{9}^{u} 2 {(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{9}^{u}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 2}]}_{9}^{u}$

$=$ $2 \sqrt{2 u - 2} - 2 \sqrt{2 \cdot 9 - 2}$

= $2 \sqrt{2 u - 2} - 2 \sqrt{18 - 2}$

= $2 \sqrt{2 u - 2} - 2 \sqrt{16}$

= $2 \sqrt{2 u - 2} - 2 \cdot 4$

= $2 \sqrt{2 u - 2} - 8$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 2} - 8$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale