Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
≈ 50,089
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 18 +
≈ 68.09
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
=
≈ 6,671
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 68 +
≈ 74.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
42
-8
=
-5,25
u2 =
-5
-
2209
-8
=
-5
-47
-8
=
-52
-8
=
6,5
Da u=
-5,25
< 0 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6⋅ cos( 2x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π+0
∫
0
π
6⋅
cos(
2x
- π)
ⅆ
x
=
1
π
[
3⋅
sin(
2x
- π)
]
0
π
=
1
π
·
(
3⋅
sin(
2⋅π
- π)
-3⋅
sin(
2⋅( 0 )
- π)
)
=
1
π
·
(
3⋅
sin(π)
-3⋅
sin(-π)
)
=
1
π
·
(
3⋅0
-3⋅0
)
=
1
π
·
(
0+0
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -2 ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
3
3
(
2x
-2
)
2
ⅆ
x
=
∫
u
3
3
(
2x
-2
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
3
2
(
2x
-2
)
-1
]
u
3
=
[
-
3
2(
2x
-2
)
]
u
3
=
-
3
2(
2⋅3
-2
)
+
3
2(
2u
-2
)
=
-
3
2(
6
-2
)
+
3
2(
2u
-2
)
=
-
3
2⋅
4
+
3
2(
2u
-2
)
=
-
3
2
⋅(
1
4
)
+
3
2(
2u
-2
)
=
-
3
8
+
3
2(
2u
-2
)
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
3
2(
2u
-2
)
-
3
8
→
∞