Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 6 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $6 e^{4 - 2} - 6 e^{2 - 2}$

= $6 e^{2} - 6 e^{0}$

= $6 e^{2} - 6$

≈ 38,334

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 18 + $6 e^{2} - 6$ ≈ 56.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{3}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| 3 x - 3 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\ln (| 3 \cdot 5 - 3 |) - \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |)$

= $\ln (| 15 - 3 |) - \ln (| 9 - 3 |)$

= $\ln (12) - \ln (| 9 - 3 |)$

= $\ln (12) - \ln (6)$

≈ 0,693

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 2 + $\ln (| 12 |) - \ln (| 6 |)$ ≈ 2.69

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,4 x - 0,6} ⅆ x$ = $15$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,4 x - 0,6} ⅆ x

= ${[9 e^{0,4 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,4 u - 0,6} - 9 e^{0,4 \cdot 0 - 0,6}$

= $9 e^{0,4 u - 0,6} - 9 e^{0 - 0,6}$

= $9 e^{0,4 u - 0,6} - 9 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,4 u - 0,6} - 9 e^{- 0,6}$	=	$15$	\| $+ 9 e^{- 0,6}$
$9 e^{0,4 u - 0,6}$	=	$9 e^{- 0,6} + 15$
$9 e^{0,4 u - 0,6}$	=	$19,9393$	\|: $9$
$e^{0,4 u - 0,6}$	=	$2,2155$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,6$	=	$\ln (2,2155)$

$0,4 u - 0,6$	=	$0,7955$	\| $+ 0,6$
$0,4 u$	=	$1,3955$	\|: $0,4$
$u$	=	$3,4888$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{2 x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} e^{2 x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 2}]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} e^{2 \cdot 5 - 2} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 2})$

= $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} e^{10 - 2} - \frac{1}{2} e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} e^{8} - \frac{1}{2} e^{- 2})$

≈ 298,082

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 6 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3}$ → $0 - \frac{2}{3} e^{- 3}$ = $- \frac{2}{3} e^{- 3}$ ≈ -0.033

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.033

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale