Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 67 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 54,463
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 67 +
≈ 121.46
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 12,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 11 + = ≈ 23.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
21
-2
=
-10,5
u2 =
2
-
361
-2
=
2
-19
-2
=
-17
-2
=
8,5
Da u=
-10,5
< 3 ist u=
8,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2⋅ cos( x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
2⋅
cos(
x
-
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
2⋅
sin(
x
-
3
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
2⋅
sin(
π
-
3
2
π)
-2⋅
sin(
1
2
π
-
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
2⋅
sin(
-
1
2
π)
-2⋅
sin(-π)
)
=
2
π
·
(
2⋅( -1 )
-2⋅0
)
=
2
π
·
(
-2
+0
)
=
2
π
·
(
-2
)
=
-
4
π
≈ -1,273
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 3x -7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
1
3x
-7
ⅆ
x
=
∫
3
u
-
(
3x
-7
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
1
3
ln(
|
3x
-7
|
)
]
3
u
=
-
1
3
ln(
|
3(
u
)
-7
|
)
+
1
3
ln(
|
3⋅3
-7
|
)
=
-
1
3
ln(
|
3u
-7
|
)
+
1
3
ln(
|
9
-7
|
)
=
-
1
3
ln(
|
3u
-7
|
)
+
1
3
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
3
ln(
2
)
-
1
3
ln(
|
3x
-7
|
)
→
∞