Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 6:

\int_{5}^{6} \frac{2}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{6} 2 {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- {(x - 3)}^{- 2}]}_{5}^{6}$

= ${[- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]}_{5}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{{(6 - 3)}^{2}} + \frac{1}{{(5 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2^{2}}$

= $- (\frac{1}{9}) + \frac{1}{4}$

= $\frac{5}{36}$

≈ 0,139

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 6 zusammen:

B = 7 + $\frac{5}{36}$ = $\frac{257}{36}$ ≈ 7.14

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 49 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{1} - \frac{1}{3} e^{- 2}$

= $\frac{1}{3} e - \frac{1}{3} e^{- 2}$

≈ 0,861

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 49 + $- \frac{1}{3} e^{- 2} + \frac{1}{3} e$ ≈ 49.86

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 261,25$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 2^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 4$

= $- 5 u^{2} + 20$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 261,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2} + 20$	=	$- 261,25$	\| $- 20$
$- 5 u^{2}$	=	$- 281,25$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$56,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{56,25}$	= $- 7,5$
u₂	=	$\sqrt{56,25}$	= $7,5$

Da u= $- 7,5$ < 2 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{2 x - 5}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 6 e^{2 x - 5} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[3 e^{2 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (3 e^{2 \cdot 2 - 5} - 3 e^{2 \cdot 0 - 5})$

= $\frac{1}{2} (3 e^{4 - 5} - 3 e^{0 - 5})$

= $\frac{1}{2} (3 e^{- 1} - 3 e^{- 5})$

≈ 0,542

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(\sqrt{2 x - 1})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{5}{2}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{5}{2}}^{u} - \frac{3}{{(\sqrt{2 x - 1})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{\frac{5}{2}}^{u} - 3 {(2 x - 1)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[3 {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]}_{\frac{5}{2}}^{u}$

= ${[\frac{3}{\sqrt{2 x - 1}}]}_{\frac{5}{2}}^{u}$

$=$ $\frac{3}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{3}{\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1}}$

= $\frac{3}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{3}{\sqrt{5 - 1}}$

= $\frac{3}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{3}{\sqrt{4}}$

= $\frac{3}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{\sqrt{2 u - 1}} - 3 \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{3}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{3}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{3}{2}$ → $0 - \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale