Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $9$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{27}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

9

und

\frac{27}{2}

:

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

9

und der Änderung zwischen

9

und

\frac{27}{2}

zusammen:

B = 18 + $122$ = $140$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{2}$ s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $14$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{2}

und

14

:

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 4 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{2}

und

14

zusammen:

B = 11 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{277}{3}$ ≈ 92.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,6 e^{- 0,2 x + 0,3} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,6 e^{- 0,2 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,2 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,2 u + 0,3} + 3 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,3}$

= $- 3 e^{- 0,2 u + 0,3} + 3 e^{0 + 0,3}$

= $- 3 e^{- 0,2 u + 0,3} + 3 e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,2 u + 0,3} + 3 e^{0,3}$	=	$1$	\| $- 3 e^{0,3}$
$- 3 e^{- 0,2 u + 0,3}$	=	$- 3 e^{0,3} + 1$
$- 3 e^{- 0,2 u + 0,3}$	=	$- 3,0496$	\|: $- 3$
$e^{- 0,2 u + 0,3}$	=	$1,0165$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,3$	=	$\ln (1,0165)$

$- 0,2 u + 0,3$	=	$0,0164$	\| $- 0,3$
$- 0,2 u$	=	$- 0,2836$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$1,418$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(x - 1)}^{3} + 4 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (3 {(x - 1)}^{3} + 4 x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{3}{4} {(x - 1)}^{4} + 2 x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3 - 1)}^{4} + 2 \cdot 3^{2} - (\frac{3}{4} \cdot {(0 - 1)}^{4} + 2 \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} + 2 \cdot 9 - (\frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + 2 \cdot 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 16 + 18 - (\frac{3}{4} \cdot 1 + 0))$

= $\frac{1}{3} (12 + 18 - (\frac{3}{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (30 - (\frac{3}{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (30 - \frac{3}{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{120}{4} - \frac{3}{4})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{117}{4}$

= $\frac{39}{4}$

= 9,75

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{1}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{0}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3}$ → $0 - \frac{2}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.667

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale