Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 61,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 13 + = ≈ 74.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 8,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 12 + = ≈ 20.22
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
8
-4
=
-2
u2 =
-3
-
121
-4
=
-3
-11
-4
=
-14
-4
=
3,5
Da u=
-2
< 0 ist u=
3,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 17 und Minute 26 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
26
-17
∫
17
26
5
x
-1
ⅆ
x
=
1
9
∫
17
26
5
(
x
-1
)
1
2
ⅆ
x
=
1
9
[
10
3
(
x
-1
)
3
2
]
17
26
=
1
9
[
10
3
(
x
-1
)
3
]
17
26
=
1
9
(
10
3
(
26
-1
)
3
-
10
3
(
17
-1
)
3
)
=
1
9
(
10
3
(
25
)
3
-
10
3
(
16
)
3
)
=
1
9
(
10
3
⋅
5
3
-
10
3
⋅
4
3
)
=
1
9
(
10
3
⋅125
-
10
3
⋅64
)
=
1
9
(
1250
3
-
640
3
)
=
1
9
·
610
3
=
610
27
≈ 22,593
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -2x +5 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
3
(
-2x
+5
)
2
ⅆ
x
=
∫
4
u
-3
(
-2x
+5
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
3
2
(
-2x
+5
)
-1
]
4
u
=
[
-
3
2(
-2x
+5
)
]
4
u
=
-
3
2(
-2u
+5
)
+
3
2(
-2⋅4
+5
)
=
-
3
2(
-2u
+5
)
+
3
2(
-8
+5
)
=
-
3
2(
-2u
+5
)
+
3
2
( -3 )
=
-
3
2(
-2u
+5
)
+
3
2
⋅(
-
1
3
)
=
-
3
2(
-2u
+5
)
-
1
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
2(
-2u
+5
)
-
1
2
→
0
-
1
2
=
-
1
2
≈ -0.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5