Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -6 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 21 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 e 3x -6 x

= [ 1 3 e 3x -6 ] 1 4

= 1 3 e 34 -6 - 1 3 e 31 -6

= 1 3 e 12 -6 - 1 3 e 3 -6

= 1 3 e 6 - 1 3 e -3


≈ 134,46
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 21 + 1 3 e 6 - 1 3 e -3 ≈ 155.46

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 10 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 29 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 10 und 29 2 :
10 29 2 2x -4 x
= 10 29 2 ( 2x -4 ) 1 2 x

= [ 1 3 ( 2x -4 ) 3 2 ] 10 29 2

= [ 1 3 ( 2x -4 ) 3 ] 10 29 2

= 1 3 ( 2( 29 2 ) -4 ) 3 - 1 3 ( 210 -4 ) 3

= 1 3 ( 29 -4 ) 3 - 1 3 ( 20 -4 ) 3

= 1 3 ( 25 ) 3 - 1 3 ( 16 ) 3

= 1 3 5 3 - 1 3 4 3

= 1 3 125 - 1 3 64

= 125 3 - 64 3

= 61 3


≈ 20,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 10 und der Änderung zwischen 10 und 29 2 zusammen:
B = 2 + 61 3 = 67 3 ≈ 22.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u -2x x = -56,25

Lösung einblenden
0 u -2x x

= [ - x 2 ] 0 u

= - u 2 + 0 2

= - u 2 + 0

= - u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -56,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u 2 = -56,25 |: ( -1 )
u 2 = 56,25 | 2
u1 = - 56,25 = -7,5
u2 = 56,25 = 7,5

Da u= -7,5 < 0 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 cos( 3x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 0 π 5 cos( 3x - 3 2 π) x

= 1 π [ 5 3 sin( 3x - 3 2 π) ] 0 π

= 1 π · ( 5 3 sin( 3π - 3 2 π) - 5 3 sin( 3( 0 ) - 3 2 π) )

= 1 π · ( 5 3 sin( 3 2 π) - 5 3 sin( - 3 2 π) )

= 1 π · ( 5 3 ( -1 ) - 5 3 1 )

= 1 π · ( - 5 3 - 5 3 )

= 1 π · ( - 10 3 )

= - 10 3 π


≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -4 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 1 ( 2x -4 ) 2 x
= 3 u ( 2x -4 ) -2 x

= [ - 1 2 ( 2x -4 ) -1 ] 3 u

= [ - 1 2( 2x -4 ) ] 3 u

= - 1 2( 2u -4 ) + 1 2( 23 -4 )

= - 1 2( 2u -4 ) + 1 2( 6 -4 )

= - 1 2( 2u -4 ) + 1 2 2

= - 1 2( 2u -4 ) + 1 2 ( 1 2 )

= - 1 2( 2u -4 ) + 1 4

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2( 2u -4 ) + 1 4 0 + 1 4 = 1 4 ≈ 0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25