= ${\left[\frac{4}{9}{\left(3x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_4^{\frac{19}{3}}$

= ${\left[\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3x-3}\right)}^3\right]}_4^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{19}{3}\right)-3}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot 4-3}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{12-3}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{16}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 4^3-\frac{4}{9}\cdot 3^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 64-\frac{4}{9}\cdot 27$

= $\frac{256}{9}-12$

= $\frac{256}{9}-\frac{108}{9}$

= $\frac{148}{9}$

= ${\left[3e^{2x-1}\right]}_0^2$

$=$ $3e^{2\cdot 2-1}-3e^{2\cdot 0-1}$

= $3e^{4-1}-3e^{0-1}$

= $3e^3-3e^{-1}$

= ${\left[3x^2\right]}_0^u$

$=$ $3u^2-3\cdot 0^2$

= $3u^2-3\cdot 0$

= $3u^2+0$

= $3u^2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $\mathrm{168,75}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-\mathrm{7,5}$ < 0 ist u= $\mathrm{7,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{\pi }$ ${\left[4\cdot \sin \left(x-\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{\pi }·\left(4\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi -\frac{1}{2}\pi \right)-4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(4\cdot \sin \left(\pi \right)-4\cdot \sin \left(0\right)\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(4\cdot 0-4\cdot 0\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(0+0\right)$

= $\frac{1}{\pi }·0$

= 0

= ${\left[3{\left(x-2\right)}^{-1}\right]}_3^u$

= ${\left[\frac{3}{x-2}\right]}_3^u$

$=$ $\frac{3}{u-2}-\frac{3}{3-2}$

= $\frac{3}{u-2}-\frac{3}{1}$

= $\frac{3}{u-2}-3\cdot 1$

= $\frac{3}{u-2}-3$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{u-2}-3$ → $0-3$ = $-3$ ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3