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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -1 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
∫ 3 4 4 ( x -1 ) 2 ⅆ x
= ∫ 3 4 4 ( x -1 ) -2 ⅆ x

= [ -4 ( x -1 ) -1 ] 3 4

= [ - 4 x -1 ] 3 4

= - 4 4 -1 + 4 3 -1

= - 4 3 + 4 2

= -4⋅( 1 3 ) +4⋅( 1 2 )

= - 4 3 +2

= - 4 3 + 6 3

= 2 3


≈ 0,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 13 + 2 3 = 41 3 ≈ 13.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 6:
∫ 5 6 3 x -3 ⅆ x
= ∫ 5 6 3 ( x -3 ) -1 ⅆ x

= [ 3 ln( | x -3 | ) ] 5 6

= 3 ln( | 6 -3 | ) -3 ln( | 5 -3 | )

= 3 ln( 3 ) -3 ln( | 5 -3 | )

= 3 ln( 3 ) -3 ln( 2 )


≈ 1,216
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 6 zusammen:
B = 16 + 3 ln( | 3 | ) -3 ln( | 2 | ) ≈ 17.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 1,5 e 0,3x -0,7 ⅆ x = 10

Lösung einblenden
∫ 0 u 1,5 e 0,3x -0,7 ⅆ x

= [ 5 e 0,3x -0,7 ] 0 u

= 5 e 0,3u -0,7 -5 e 0,3⋅0 -0,7

= 5 e 0,3u -0,7 -5 e 0 -0,7

= 5 e 0,3u -0,7 -5 e -0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 10 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 e 0,3u -0,7 -5 e -0,7 = 10 | +5 e -0,7
5 e 0,3u -0,7 = 5 e -0,7 +10
5 e 0,3u -0,7 = 12,4829 |:5
e 0,3u -0,7 = 2,4966 |ln(⋅)
0,3u -0,7 = ln( 2,4966 )
0,3u -0,7 = 0,9149 | +0,7
0,3u = 1,6149 |:0,3
u = 5,383

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5⋅ cos( x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π ∫ 1 2 π π 5⋅ cos( x + π) ⅆ x

= 2 π [ 5⋅ sin( x + π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 5⋅ sin( π + π) -5⋅ sin( 1 2 π + π) )

= 2 π · ( 5⋅ sin(2π) -5⋅ sin( 3 2 π) )

= 2 π · ( 5⋅0 -5⋅( -1 ) )

= 2 π · ( 0 +5 )

= 2 π · 5

= 10 π


≈ 3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 4 u 1 x -3 ⅆ x
= ∫ 4 u ( x -3 ) -1 ⅆ x

= [ ln( | x -3 | ) ] 4 u

= ln( | u -3 | ) - ln( | 4 -3 | )

= ln( | u -3 | ) - ln( 1 )

= ln( | u -3 | ) +0

= ln( | x -3 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( | x -3 | ) → ∞