Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 24 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
≈ 0,117
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 24 +
≈ 24.12
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 8 + = ≈ 48.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
35
10
=
3,5
u2 =
1
-
1156
10
=
1
-34
10
=
-33
10
=
-3,3
Da u=
-3,3
< 0 ist u=
3,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 19 und Minute 28 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
28
-19
∫
19
28
6
x
-3
ⅆ
x
=
1
9
∫
19
28
6
(
x
-3
)
1
2
ⅆ
x
=
1
9
[
4
(
x
-3
)
3
2
]
19
28
=
1
9
[
4
(
x
-3
)
3
]
19
28
=
1
9
(
4
(
28
-3
)
3
-4
(
19
-3
)
3
)
=
1
9
(
4
(
25
)
3
-4
(
16
)
3
)
=
1
9
(
4⋅
5
3
-4⋅
4
3
)
=
1
9
(
4⋅125
-4⋅64
)
=
1
9
(
500
-256
)
=
1
9
·
244
=
244
9
≈ 27,111
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 2x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=9 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
9
u
2
2x
-2
ⅆ
x
=
∫
9
u
2
(
2x
-2
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
2
(
2x
-2
)
1
2
]
9
u
=
[
2
2x
-2
]
9
u
=
2
2u
-2
-2
2⋅9
-2
=
2
2u
-2
-2
18
-2
=
2
2u
-2
-2
16
=
2
2u
-2
-2⋅4
=
2
2u
-2
-8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
2u
-2
-8
→
∞