Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 11 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 27:
11 27 6 x -2 x
= 11 27 6 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -2 ) 3 2 ] 11 27

= [ 4 ( x -2 ) 3 ] 11 27

= 4 ( 27 -2 ) 3 -4 ( 11 -2 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 9 ) 3

= 4 5 3 -4 3 3

= 4125 -427

= 500 -108

= 392

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 27 zusammen:
B = 10 + 392 = 402

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 17 s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 26 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 17 und 26:
17 26 2 x -1 x
= 17 26 2 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= [ 4 3 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 4 3 ( 26 -1 ) 3 - 4 3 ( 17 -1 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 17 und der Änderung zwischen 17 und 26 zusammen:
B = 15 + 244 3 = 289 3 ≈ 96.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u 10x x = 160

Lösung einblenden
2 u 10x x

= [ 5 x 2 ] 2 u

= 5 u 2 -5 2 2

= 5 u 2 -54

= 5 u 2 -20

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 160 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -20 = 160 | +20
5 u 2 = 180 |:5
u 2 = 36 | 2
u1 = - 36 = -6
u2 = 36 = 6

Da u= -6 < 2 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -1 1 4 2 ( 2x -1 ) 2 x
= 1 3 1 4 2 ( 2x -1 ) -2 x

= 1 3 [ - ( 2x -1 ) -1 ] 1 4

= 1 3 [ - 1 2x -1 ] 1 4

= 1 3 ( - 1 24 -1 + 1 21 -1 )

= 1 3 ( - 1 8 -1 + 1 2 -1 )

= 1 3 ( - 1 7 + 1 1 )

= 1 3 ( -( 1 7 ) + 1 )

= 1 3 · 6 7


≈ 0,286

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u e -x +2 x

= [ - e -x +2 ] 1 u

= - e -u +2 + e -1 +2

= - e -u +2 + e 1

= - e -u +2 + e

Für u → ∞ gilt: A(u) = - e -u +2 + e 0 + e = e ≈ 2.718

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2.718