Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 8 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 8:
=
=
=
=
=
=
=
=
= 0,525
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 8
zusammen:
B = 2 + = ≈ 2.53
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 41 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 4,701
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 41 +
≈ 45.7
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
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= |
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= |
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|: |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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|:() |
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= |
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Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen und .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
=
=
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse, der Geraden x= und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
=
=
=
=
=
=
Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) =
→
=
≈ 16
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 16