Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $3$ s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{14}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

\frac{14}{3}

:

\int_{3}^{\frac{14}{3}} 3 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{\frac{14}{3}} 3 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{\frac{14}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{\frac{14}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 8$

= $18 - \frac{16}{3}$

= $\frac{54}{3} - \frac{16}{3}$

= $\frac{38}{3}$

≈ 12,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

\frac{14}{3}

zusammen:

B = 8 + $\frac{38}{3}$ = $\frac{62}{3}$ ≈ 20.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 6 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $4 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 4 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3}$

= $4 \cdot 125 - 4 \cdot 64$

= $500 - 256$

= $244$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 15 + $244$ = $259$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (2 x - 2) ⅆ x$ = $63$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (2 x - 2) ⅆ x

= ${[x^{2} - 2 x]}_{2}^{u}$

$=$ $u^{2} - 2 u - (2^{2} - 2 \cdot 2)$

= $u^{2} - 2 u - (4 - 4)$

= $u^{2} - 2 u - 4 + 4$

= $u^{2} - 2 u + 0$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $63$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} - 2 u

=

63

|

- 63

$u^{2} - 2 u - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Da u= $- 7$ < 2 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{3}{2} - \frac{3}{2})$

= $\frac{1}{π} \cdot (1,5 - 1,5)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $11$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{11} \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{11} 2 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{11}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{11}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 11 - 6} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \sqrt{22 - 6} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \sqrt{16} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \cdot 4 - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $8 - 2 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 6} + 8$ → $0 + 8$ = $8$ ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale