Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 ( 3x -6 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
3 6 4 ( 3x -6 ) 2 x
= 3 6 4 ( 3x -6 ) -2 x

= [ - 4 3 ( 3x -6 ) -1 ] 3 6

= [ - 4 3( 3x -6 ) ] 3 6

= - 4 3( 36 -6 ) + 4 3( 33 -6 )

= - 4 3( 18 -6 ) + 4 3( 9 -6 )

= - 4 3 12 + 4 3 3

= - 4 3 ( 1 12 ) + 4 3 ( 1 3 )

= - 1 9 + 4 9

= 1 3


≈ 0,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 14 + 1 3 = 43 3 ≈ 14.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -5 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 3 ( 3x -5 ) 2 x
= 3 4 3 ( 3x -5 ) -2 x

= [ - ( 3x -5 ) -1 ] 3 4

= [ - 1 3x -5 ] 3 4

= - 1 34 -5 + 1 33 -5

= - 1 12 -5 + 1 9 -5

= - 1 7 + 1 4

= -( 1 7 ) + 1 4

= 3 28


≈ 0,107
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 11 + 3 28 = 311 28 ≈ 11.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u -10x x = -96,25

Lösung einblenden
1 u -10x x

= [ -5 x 2 ] 1 u

= -5 u 2 +5 1 2

= -5 u 2 +51

= -5 u 2 +5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -96,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 +5 = -96,25 | -5
-5 u 2 = -101,25 |: ( -5 )
u 2 = 20,25 | 2
u1 = - 20,25 = -4,5
u2 = 20,25 = 4,5

Da u= -4,5 < 1 ist u= 4,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 2x -4 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 10 und Minute 29 2 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 29 2 -10 10 29 2 4 2x -4 x
= 2 9 10 29 2 4 ( 2x -4 ) 1 2 x

= 2 9 [ 4 3 ( 2x -4 ) 3 2 ] 10 29 2

= 2 9 [ 4 3 ( 2x -4 ) 3 ] 10 29 2

= 2 9 ( 4 3 ( 2( 29 2 ) -4 ) 3 - 4 3 ( 210 -4 ) 3 )

= 2 9 ( 4 3 ( 29 -4 ) 3 - 4 3 ( 20 -4 ) 3 )

= 2 9 ( 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3 )

= 2 9 ( 4 3 5 3 - 4 3 4 3 )

= 2 9 ( 4 3 125 - 4 3 64 )

= 2 9 ( 500 3 - 256 3 )

= 2 9 · 244 3

= 488 27


≈ 18,074

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -3x +3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 1 ( -3x +3 ) 3 x
= 3 u - ( -3x +3 ) -3 x

= [ - 1 6 ( -3x +3 ) -2 ] 3 u

= [ - 1 6 ( -3x +3 ) 2 ] 3 u

= - 1 6 ( -3u +3 ) 2 + 1 6 ( -33 +3 ) 2

= - 1 6 ( -3u +3 ) 2 + 1 6 ( -9 +3 ) 2

= - 1 6 ( -3u +3 ) 2 + 1 6 ( -6 ) 2

= - 1 6 ( -3u +3 ) 2 + 1 6 ( 1 36 )

= - 1 6 ( -3u +3 ) 2 + 1 216

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 6 ( -3u +3 ) 2 + 1 216 0 + 1 216 = 1 216 ≈ 0.005

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.005