Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 17 s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 26 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 17 und 26:
17 26 4 x -1 x
= 17 26 4 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 8 3 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= [ 8 3 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 8 3 ( 26 -1 ) 3 - 8 3 ( 17 -1 ) 3

= 8 3 ( 25 ) 3 - 8 3 ( 16 ) 3

= 8 3 5 3 - 8 3 4 3

= 8 3 125 - 8 3 64

= 1000 3 - 512 3

= 488 3


≈ 162,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 17 und der Änderung zwischen 17 und 26 zusammen:
B = 8 + 488 3 = 512 3 ≈ 170.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 2x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 5 e 2x -3 x

= [ 5 2 e 2x -3 ] 0 2

= 5 2 e 22 -3 - 5 2 e 20 -3

= 5 2 e 4 -3 - 5 2 e 0 -3

= 5 2 e 1 - 5 2 e -3

= 5 2 e - 5 2 e -3


≈ 6,671
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 14 + - 5 2 e -3 + 5 2 e ≈ 20.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( 8x -5 ) x = -1

Lösung einblenden
0 u ( 8x -5 ) x

= [ 4 x 2 -5x ] 0 u

= 4 u 2 -5u - ( 4 0 2 -50 )

= 4 u 2 -5u - ( 40 +0)

= 4 u 2 -5u - (0+0)

= 4 u 2 -5u +0

= 4 u 2 -5u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -5u = -1 | +1

4 u 2 -5u +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 4 · 1 24

u1,2 = +5 ± 25 -16 8

u1,2 = +5 ± 9 8

u1 = 5 + 9 8 = 5 +3 8 = 8 8 = 1

u2 = 5 - 9 8 = 5 -3 8 = 2 8 = 0,25

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 3x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 10 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 10 -3 3 10 2 3x -5 x
= 1 7 3 10 2 ( 3x -5 ) 1 2 x

= 1 7 [ 4 9 ( 3x -5 ) 3 2 ] 3 10

= 1 7 [ 4 9 ( 3x -5 ) 3 ] 3 10

= 1 7 ( 4 9 ( 310 -5 ) 3 - 4 9 ( 33 -5 ) 3 )

= 1 7 ( 4 9 ( 30 -5 ) 3 - 4 9 ( 9 -5 ) 3 )

= 1 7 ( 4 9 ( 25 ) 3 - 4 9 ( 4 ) 3 )

= 1 7 ( 4 9 5 3 - 4 9 2 3 )

= 1 7 ( 4 9 125 - 4 9 8 )

= 1 7 ( 500 9 - 32 9 )

= 1 7 · 52

= 52 7


≈ 7,429

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 3 ( 3x -3 ) 2 x
= 2 u 3 ( 3x -3 ) -2 x

= [ - ( 3x -3 ) -1 ] 2 u

= [ - 1 3x -3 ] 2 u

= - 1 3u -3 + 1 32 -3

= - 1 3u -3 + 1 6 -3

= - 1 3u -3 + 1 3

= - 1 3u -3 + 1 3

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 3u -3 + 1 3 0 + 1 3 = 1 3 ≈ 0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333