Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 3} - 2 e^{0 - 3}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{- 3}$

≈ 0,636

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 10 + $2 e^{- 1} - 2 e^{- 3}$ ≈ 10.64

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 4 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{3 - 4} - \frac{4}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{- 1} - \frac{4}{3} e^{- 4}$

≈ 0,466

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 38 + $\frac{4}{3} e^{- 1} - \frac{4}{3} e^{- 4}$ ≈ 38.47

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 4 x + 3) ⅆ x$ = $- 3$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 4 x + 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 3 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 3 u - (- 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2)$

= $- 2 u^{2} + 3 u - (- 2 \cdot 4 + 6)$

= $- 2 u^{2} + 3 u - (- 8 + 6)$

= $- 2 u^{2} + 3 u - 1 \cdot (- 2)$

= $- 2 u^{2} + 3 u + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 3 u + 2

=

- 3

|

+ 3

$- 2 u^{2} + 3 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 5}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 3+7}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 3-7}{- 4}$ = $\frac{- 10}{- 4}$ = $2,5$

Da u= $- 1$ < 2 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $19$ und Minute $28$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{28 - 19}

\int_{19}^{28} 6 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{19}^{28} 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[4 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= $\frac{1}{9}$ ${[4 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{1}{9} (4 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 4 {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 \cdot 125 - 4 \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (500 - 256)$

= $\frac{1}{9} \cdot 244$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 2 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $2 \ln (| u - 2 |) - 2 \ln (| 4 - 2 |)$

= $2 \ln (| u - 2 |) - 2 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \ln (2) + 2 \ln (| x - 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale