Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 4 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $4 e^{3 - 1} - 4 e^{0 - 1}$

= $4 e^{2} - 4 e^{- 1}$

≈ 28,085

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 9 + $4 e^{2} - 4 e^{- 1}$ ≈ 37.08

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 6 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 3 - 2} - 3 e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $3 e^{6 - 2} - 3 e^{2 - 2}$

= $3 e^{4} - 3 e^{0}$

= $3 e^{4} - 3$

≈ 160,794

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 68 + $3 e^{4} - 3$ ≈ 228.79

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 4 x - 5) ⅆ x$ = $- 161$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 4 x - 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 5 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} - 5 u - (- 2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - (- 2 \cdot 1 - 5)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - (- 2 - 5)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - 1 \cdot (- 7)$

= $- 2 u^{2} - 5 u + 7$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 161$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} - 5 u + 7

=

- 161

|

+ 161

$- 2 u^{2} - 5 u + 168$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 168}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 1 344}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1 369}}{- 4}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1 369}}{- 4}$ = $\frac{5+37}{- 4}$ = $\frac{42}{- 4}$ = $- 10,5$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1 369}}{- 4}$ = $\frac{5-37}{- 4}$ = $\frac{- 32}{- 4}$ = $8$

Da u= $- 10,5$ < 1 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(3 x - 7)}^{2} + 6$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} (3 {(3 x - 7)}^{2} + 6) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{3} {(3 x - 7)}^{3} + 6 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 1 - 7)}^{3} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 0 - 7)}^{3} + 6 \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(3 - 7)}^{3} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(0 - 7)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 7)}^{3} + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 64) + 6 - (\frac{1}{3} \cdot (- 343) + 0)$

= $- \frac{64}{3} + 6 - (- \frac{343}{3} + 0)$

= $- \frac{64}{3} + \frac{18}{3} - (- \frac{343}{3} + 0)$

= $- \frac{46}{3} + \frac{343}{3}$

= $99$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{2 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(2 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 3 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} \ln (| 2 (u) - 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 2 - 3 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| 4 - 3 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 3 |) - \frac{1}{2} \ln (1)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 3 |) + 0$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale