Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 8 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 0,5
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 3 + = ≈ 3.5
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
100
|
=
-10
|
| u2 |
= |
100
|
=
10
|
Da u=
-10
< 3 ist u=
10
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 3x -4 ) 2 +3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
-2
∫
2
3
(
5
(
3x
-4
)
2
+3
)
ⅆ
x
=
1
[
5
9
(
3x
-4
)
3
+3x
]
2
3
=
5
9
⋅
(
3⋅3
-4
)
3
+3⋅3
- (
5
9
⋅
(
3⋅2
-4
)
3
+3⋅2
)
=
5
9
⋅
(
9
-4
)
3
+9
- (
5
9
⋅
(
6
-4
)
3
+6
)
=
5
9
⋅
5
3
+9
- (
5
9
⋅
2
3
+6
)
=
5
9
⋅125
+9
- (
5
9
⋅8
+6
)
=
625
9
+9
- (
40
9
+6
)
=
625
9
+
81
9
- (
40
9
+
54
9
)
=
706
9
-1
·
94
9
=
706
9
-
94
9
=
68
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 3x -7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
3
3x
-7
ⅆ
x
=
∫
4
u
-3
(
3x
-7
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
ln(
|
3x
-7
|
)
]
4
u
=
-
ln(
|
3(
u
)
-7
|
)
+
ln(
|
3⋅4
-7
|
)
=
-
ln(
|
3u
-7
|
)
+
ln(
|
12
-7
|
)
=
-
ln(
|
3u
-7
|
)
+
ln(
5
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
ln(
5
)
-
ln(
|
3x
-7
|
)
→
∞