Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 2x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 5 e 2x -2 x

= [ 5 2 e 2x -2 ] 1 2

= 5 2 e 22 -2 - 5 2 e 21 -2

= 5 2 e 4 -2 - 5 2 e 2 -2

= 5 2 e 2 - 5 2 e 0

= 5 2 e 2 - 5 2


≈ 15,973
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 18 + 5 2 e 2 - 5 2 ≈ 33.97

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 8 3 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 13 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 8 3 und 13 3 :
8 3 13 3 3 3x -4 x
= 8 3 13 3 3 ( 3x -4 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( 3x -4 ) 3 2 ] 8 3 13 3

= [ 2 3 ( 3x -4 ) 3 ] 8 3 13 3

= 2 3 ( 3( 13 3 ) -4 ) 3 - 2 3 ( 3( 8 3 ) -4 ) 3

= 2 3 ( 13 -4 ) 3 - 2 3 ( 8 -4 ) 3

= 2 3 ( 9 ) 3 - 2 3 ( 4 ) 3

= 2 3 3 3 - 2 3 2 3

= 2 3 27 - 2 3 8

= 18 - 16 3

= 54 3 - 16 3

= 38 3


≈ 12,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 8 3 und der Änderung zwischen 8 3 und 13 3 zusammen:
B = 12 + 38 3 = 74 3 ≈ 24.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u -8x x = -153

Lösung einblenden
2 u -8x x

= [ -4 x 2 ] 2 u

= -4 u 2 +4 2 2

= -4 u 2 +44

= -4 u 2 +16

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -153 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 +16 = -153 | -16
-4 u 2 = -169 |: ( -4 )
u 2 = 169 4 | 2
u1 = - 169 4 = - 13 2
u2 = 169 4 = 13 2

Da u= - 13 2 < 2 ist u= 13 2 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 cos( 2x + 1 2 π) zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 5 cos( 2x + 1 2 π) x

= 2 π [ 5 2 sin( 2x + 1 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 5 2 sin( 2π + 1 2 π) - 5 2 sin( 2( 1 2 π ) + 1 2 π) )

= 2 π · ( 5 2 sin( 5 2 π) - 5 2 sin( 3 2 π) )

= 2 π · ( 5 2 1 - 5 2 ( -1 ) )

= 2 π · ( 5 2 + 5 2 )

= 2 π · ( 2,5 +2,5 )

= 2 π · 5

= 10 π


≈ 3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -2 e -3x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u -2 e -3x +3 x

= [ 2 3 e -3x +3 ] 2 u

= 2 3 e -3u +3 - 2 3 e -32 +3

= 2 3 e -3u +3 - 2 3 e -6 +3

= 2 3 e -3u +3 - 2 3 e -3

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3 e -3u +3 - 2 3 e -3 0 - 2 3 e -3 = - 2 3 e -3 ≈ -0.033

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.033