Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -2 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
3 6 4 ( x -2 ) 2 x
= 3 6 4 ( x -2 ) -2 x

= [ -4 ( x -2 ) -1 ] 3 6

= [ - 4 x -2 ] 3 6

= - 4 6 -2 + 4 3 -2

= - 4 4 + 4 1

= -4( 1 4 ) +41

= -1 +4

= 3

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 6 + 3 = 9

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 6 3x -3 x
= 2 5 6 ( 3x -3 ) -1 x

= [ 2 ln( | 3x -3 | ) ] 2 5

= 2 ln( | 35 -3 | ) -2 ln( | 32 -3 | )

= 2 ln( | 15 -3 | ) -2 ln( | 6 -3 | )

= 2 ln( 12 ) -2 ln( | 6 -3 | )

= 2 ln( 12 ) -2 ln( 3 )


≈ 2,773
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 3 + 2 ln( | 12 | ) -2 ln( | 3 | ) ≈ 5.77

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,5 e -0,5x +0,6 x = 5

Lösung einblenden
0 u 2,5 e -0,5x +0,6 x

= [ -5 e -0,5x +0,6 ] 0 u

= -5 e -0,5u +0,6 +5 e -0,50 +0,6

= -5 e -0,5u +0,6 +5 e 0 +0,6

= -5 e -0,5u +0,6 +5 e 0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 e -0,5u +0,6 +5 e 0,6 = 5 | -5 e 0,6
-5 e -0,5u +0,6 = -5 e 0,6 +5
-5 e -0,5u +0,6 = -4,1106 |:-5
e -0,5u +0,6 = 0,8221 |ln(⋅)
-0,5u +0,6 = ln( 0,8221 )
-0,5u +0,6 = -0,1959 | -0,6
-0,5u = -0,7959 |:(-0,5 )
u = 1,5918

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ( 3x -6 ) 2 +2x (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -1 1 4 ( ( 3x -6 ) 2 +2x ) x

= 1 3 [ 1 9 ( 3x -6 ) 3 + x 2 ] 1 4

= 1 3 ( 1 9 ( 34 -6 ) 3 + 4 2 - ( 1 9 ( 31 -6 ) 3 + 1 2 ))

= 1 3 ( 1 9 ( 12 -6 ) 3 + 16 - ( 1 9 ( 3 -6 ) 3 + 1 ))

= 1 3 ( 1 9 6 3 +16 - ( 1 9 ( -3 ) 3 +1 ))

= 1 3 ( 1 9 216 +16 - ( 1 9 ( -27 ) +1 ))

= 1 3 ( 24 +16 - ( -3 +1 ))

= 1 3 ( 40 -1 · ( -2 ))

= 1 3 ( 40 +2 )

= 1 3 · 42

= 14

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -5 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 1 ( 2x -5 ) 3 x
= 4 u ( 2x -5 ) -3 x

= [ - 1 4 ( 2x -5 ) -2 ] 4 u

= [ - 1 4 ( 2x -5 ) 2 ] 4 u

= - 1 4 ( 2u -5 ) 2 + 1 4 ( 24 -5 ) 2

= - 1 4 ( 2u -5 ) 2 + 1 4 ( 8 -5 ) 2

= - 1 4 ( 2u -5 ) 2 + 1 4 3 2

= - 1 4 ( 2u -5 ) 2 + 1 4 ( 1 9 )

= - 1 4 ( 2u -5 ) 2 + 1 36

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 4 ( 2u -5 ) 2 + 1 36 0 + 1 36 = 1 36 ≈ 0.028

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.028