Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $5 e^{4 - 1} - 5 e^{2 - 1}$

= $5 e^{3} - 5 e^{1}$

= $5 e^{3} - 5 e$

≈ 86,836

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 15 + $5 e^{3} - 5 e$ ≈ 101.84

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 66 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 2} - e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $e^{6 - 2} - e^{0 - 2}$

= $e^{4} - e^{- 2}$

≈ 54,463

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 66 + $e^{4} - e^{- 2}$ ≈ 120.46

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 8,1 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 8,1 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,9 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,9 u + 0,7} + 9 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 9 e^{- 0,9 u + 0,7} + 9 e^{0 + 0,7}$

= $- 9 e^{- 0,9 u + 0,7} + 9 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,9 u + 0,7} + 9 e^{0,7}$	=	$6$	\| $- 9 e^{0,7}$
$- 9 e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 9 e^{0,7} + 6$
$- 9 e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 12,1238$	\|: $- 9$
$e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$1,3471$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,7$	=	$\ln (1,3471)$

$- 0,9 u + 0,7$	=	$0,298$	\| $- 0,7$
$- 0,9 u$	=	$- 0,402$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,4467$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(x - 3)}^{3} + 4$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (5 {(x - 3)}^{3} + 4) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{4} {(x - 3)}^{4} + 4 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{4} \cdot {(3 - 3)}^{4} + 4 \cdot 3 - (\frac{5}{4} \cdot {(0 - 3)}^{4} + 4 \cdot 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{4} \cdot 0^{4} + 12 - (\frac{5}{4} \cdot {(- 3)}^{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{4} \cdot 0 + 12 - (\frac{5}{4} \cdot 81 + 0))$

= $\frac{1}{3} (0 + 12 - (\frac{405}{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (12 - (\frac{405}{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (12 - \frac{405}{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{48}{4} - \frac{405}{4})$

= $\frac{1}{3} \cdot (- \frac{357}{4})$

= $- \frac{119}{4}$

= -29,75

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $17$ und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{17} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}} ⅆ x

=

\int_{u}^{17} - {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{17}$

= ${[- 2 \sqrt{x - 1}]}_{u}^{17}$

$=$ $- 2 \sqrt{17 - 1} + 2 \sqrt{u - 1}$

= $- 2 \sqrt{16} + 2 \sqrt{u - 1}$

= $- 2 \cdot 4 + 2 \sqrt{u - 1}$

= $- 8 + 2 \sqrt{u - 1}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{u - 1} - 8$ → $0 - 8$ = $- 8$ ≈ -8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale