= ${\left[2e^{2x-5}\right]}_0^3$

$=$ $2e^{2\cdot 3-5}-2e^{2\cdot 0-5}$

= $2e^{6-5}-2e^{0-5}$

= $2e^1-2e^{-5}$

= $2e-2e^{-5}$

= ${\left[4{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{19}^{28}$

= ${\left[4{\left(\sqrt{x-3}\right)}^3\right]}_{19}^{28}$

$=$ $4{\left(\sqrt{28-3}\right)}^3-4{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3$

= $4{\left(\sqrt{25}\right)}^3-4{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $4\cdot 5^3-4\cdot 4^3$

= $4\cdot 125-4\cdot 64$

= $500-256$

= $244$

= ${\left[3x^2-2x\right]}_1^u$

$=$ $3u^2-2u-\left(3\cdot 1^2-2\cdot 1\right)$

= $3u^2-2u-\left(3\cdot 1-2\right)$

= $3u^2-2u-\left(3-2\right)$

= $3u^2-2u-1·1$

= $3u^2-2u-1$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $\mathrm{2,75}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3u^2-2u-\mathrm{3,75}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·3·\left(-\mathrm{3,75}\right)}}{2\cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+45}}{6}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{49}}{6}$

u₁ = $\frac{2+\sqrt{49}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{9}{6}$ = $\mathrm{1,5}$

u₂ = $\frac{2-\sqrt{49}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-5}{6}$ = $-\frac{5}{6}$ ≈ -0.83

Da u= $-\frac{5}{6}$ < 1 ist u= $\mathrm{1,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{4}$ ${\left[\frac{2}{3}{\left(2x-2\right)}^3\right]}_0^4$

$=$ $\frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}\cdot {\left(2\cdot 4-2\right)}^3-\frac{2}{3}\cdot {\left(2\cdot 0-2\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}\cdot {\left(8-2\right)}^3-\frac{2}{3}\cdot {\left(0-2\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}\cdot 6^3-\frac{2}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}\cdot 216-\frac{2}{3}\cdot \left(-8\right)\right)$

= $\frac{1}{4}\left(144+\frac{16}{3}\right)$

= $\frac{1}{4}\left(\frac{432}{3}+\frac{16}{3}\right)$

= $\frac{1}{4}·\frac{448}{3}$

= $\frac{112}{3}$

= ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{-3x+3}\right]}_2^u$

$=$ $-\frac{1}{3}{e}^{-3u+3}+\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 2+3}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-3u+3}+\frac{1}{3}{e}^{-6+3}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-3u+3}+\frac{1}{3}{e}^{-3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{1}{3}{e}^{-3u+3}+\frac{1}{3}{e}^{-3}$ → $0+\frac{1}{3}{e}^{-3}$ = $\frac{1}{3}{e}^{-3}$ ≈ 0.017

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.017