Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 22 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 5 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{9 - 6} - \frac{5}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{3} - \frac{5}{3} e^{0}$

= $\frac{5}{3} e^{3} - \frac{5}{3}$

≈ 31,809

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 22 + $\frac{5}{3} e^{3} - \frac{5}{3}$ ≈ 53.81

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 5 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{15 - 5} - \frac{2}{3} e^{6 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{10} - \frac{2}{3} e^{1}$

= $\frac{2}{3} e^{10} - \frac{2}{3} e$

≈ 14682,498

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 19 + $\frac{2}{3} e^{10} - \frac{2}{3} e$ ≈ 14701.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 8 x ⅆ x$ = $- 288$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 8 x ⅆ x

= ${[- 4 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 4 \cdot 3^{2}$

= $- 4 u^{2} + 4 \cdot 9$

= $- 4 u^{2} + 36$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 288$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 u^{2} + 36$	=	$- 288$	\| $- 36$
$- 4 u^{2}$	=	$- 324$	\|: $(- 4)$
$u^{2}$	=	$81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{81}$	= $- 9$
u₂	=	$\sqrt{81}$	= $9$

Da u= $- 9$ < 3 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{3 x - 6}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 6 e^{3 x - 6} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[2 e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (2 e^{3 \cdot 3 - 6} - 2 e^{3 \cdot 0 - 6})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{9 - 6} - 2 e^{0 - 6})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{3} - 2 e^{- 6})$

≈ 13,389

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{2 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{2}{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 2 {(2 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 2 x - 3 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $- \ln (| 2 (u) - 3 |) + \ln (| 2 \cdot 2 - 3 |)$

= $- \ln (| 2 u - 3 |) + \ln (| 4 - 3 |)$

= $- \ln (| 2 u - 3 |) + \ln (1)$

= $- \ln (| 2 u - 3 |) + 0$

= $- \ln (| 2 x - 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (| 2 x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale