Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 5 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 7}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 7} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $\frac{5}{3} e^{6 - 7} - \frac{5}{3} e^{0 - 7}$

= $\frac{5}{3} e^{- 1} - \frac{5}{3} e^{- 7}$

≈ 0,612

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 10 + $\frac{5}{3} e^{- 1} - \frac{5}{3} e^{- 7}$ ≈ 10.61

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 6 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $6 e^{4 - 2} - 6 e^{2 - 2}$

= $6 e^{2} - 6 e^{0}$

= $6 e^{2} - 6$

≈ 38,334

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 14 + $6 e^{2} - 6$ ≈ 52.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,6 e^{- 0,7 x + 0,8} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,6 e^{- 0,7 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,7 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,7 u + 0,8} + 8 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 8 e^{- 0,7 u + 0,8} + 8 e^{0 + 0,8}$

= $- 8 e^{- 0,7 u + 0,8} + 8 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,7 u + 0,8} + 8 e^{0,8}$	=	$8$	\| $- 8 e^{0,8}$
$- 8 e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$- 8 e^{0,8} + 8$
$- 8 e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$- 9,8043$	\|: $- 8$
$e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$1,2255$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,8$	=	$\ln (1,2255)$

$- 0,7 u + 0,8$	=	$0,2033$	\| $- 0,8$
$- 0,7 u$	=	$- 0,5967$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,8524$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\sin (3 x + π)$ zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} \sin (3 x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \cos (4 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3})$

= $- \frac{2}{3 π}$

≈ -0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{- 3 x + 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{- 3 x + 7} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(- 3 x + 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 7 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3} \ln (| - 3 (u) + 7 |) + \frac{1}{3} \ln (| - 3 \cdot 3 + 7 |)$

= $- \frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 7 |) + \frac{1}{3} \ln (| - 9 + 7 |)$

= $- \frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 7 |) + \frac{1}{3} \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} \ln (2) - \frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 7 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale