Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{21}{2}$ s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $15$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{21}{2}

und

15

:

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 4 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 4 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{21}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{21}{2}

und

15

zusammen:

B = 14 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{286}{3}$ ≈ 95.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 39 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 4} - \frac{1}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 2,457

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 39 + $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 4}$ ≈ 41.46

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 4 x ⅆ x$ = $94,5$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 4 x ⅆ x

= ${[2 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 2 \cdot 3^{2}$

= $2 u^{2} - 2 \cdot 9$

= $2 u^{2} - 18$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $94,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 u^{2} - 18$	=	$94,5$	\| $+ 18$
$2 u^{2}$	=	$112,5$	\|: $2$
$u^{2}$	=	$56,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{56,25}$	= $- 7,5$
u₂	=	$\sqrt{56,25}$	= $7,5$

Da u= $- 7,5$ < 3 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \cos (x - π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[3 \cdot \sin (x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot \sin (π - π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot \sin (0) - 3 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 3)$

= $\frac{2}{π} \cdot 3$

= $\frac{6}{π}$

≈ 1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(3 x - 6)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{{(3 x - 6)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(3 x - 6)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(3 x - 6)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(3 x - 6)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{2 {(3 \cdot 3 - 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{2 {(9 - 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9})$

= $\frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{18}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{18}$ → $0 - \frac{1}{18}$ = $- \frac{1}{18}$ ≈ -0.056

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale