Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $15$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

15

:

\int_{7}^{15} 3 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{15} 3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{15}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{15}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= ${(\sqrt{30 - 5})}^{3} - {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= ${(\sqrt{25})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3}$

= $5^{3} - 3^{3}$

= $125 - 27$

= $98$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

15

zusammen:

B = 12 + $98$ = $110$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $2 e^{4 - 1} - 2 e^{1 - 1}$

= $2 e^{3} - 2 e^{0}$

= $2 e^{3} - 2$

≈ 38,171

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 76 + $2 e^{3} - 2$ ≈ 114.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 4 x + 3) ⅆ x$ = $- 117$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 4 x + 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 3 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 3 u - (- 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2)$

= $- 2 u^{2} + 3 u - (- 2 \cdot 4 + 6)$

= $- 2 u^{2} + 3 u - (- 8 + 6)$

= $- 2 u^{2} + 3 u - 1 \cdot (- 2)$

= $- 2 u^{2} + 3 u + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 117$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 3 u + 2

=

- 117

|

+ 117

$- 2 u^{2} + 3 u + 119$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 119}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 952}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{961}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{961}}{- 4}$ = $\frac{- 3+31}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{961}}{- 4}$ = $\frac{- 3-31}{- 4}$ = $\frac{- 34}{- 4}$ = $8,5$

Da u= $- 7$ < 2 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{2}{2 x - 1}$ zwischen 2 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{2}{2 x - 1} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} 2 {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\ln (| 2 x - 1 |)]}_{2}^{3}$

$=$ $\ln (| 2 \cdot 3 - 1 |) - \ln (| 2 \cdot 2 - 1 |)$

= $\ln (| 6 - 1 |) - \ln (| 4 - 1 |)$

= $\ln (5) - \ln (| 4 - 1 |)$

= $\ln (5) - \ln (3)$

≈ 0,511

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 3 \ln (| - x + 1 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 \ln (| - (u) + 1 |) + 3 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 1 |) + 3 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 1 |) + 3 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (2) - 3 \ln (| - x + 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale