Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 162,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 14 + = ≈ 176.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
=
≈ 1006,072
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 10 +
≈ 1016.07
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
0 |
|:4 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
8
-2
=
-4
u2 =
-1
-
81
-2
=
-1
-9
-2
=
-10
-2
=
5
Da u=
-4
< 3 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 3x -7 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-1
∫
1
4
5
(
3x
-7
)
2
ⅆ
x
=
1
3
[
5
9
(
3x
-7
)
3
]
1
4
=
1
3
(
5
9
⋅
(
3⋅4
-7
)
3
-
5
9
⋅
(
3⋅1
-7
)
3
)
=
1
3
(
5
9
⋅
(
12
-7
)
3
-
5
9
⋅
(
3
-7
)
3
)
=
1
3
(
5
9
⋅
5
3
-
5
9
⋅
( -4 )
3
)
=
1
3
(
5
9
⋅125
-
5
9
⋅( -64 )
)
=
1
3
(
625
9
+
320
9
)
=
1
3
·
105
=
35
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 e 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
2
e
2x
-4
ⅆ
x
=
[
e
2x
-4
]
2
u
=
e
2u
-4
-
e
2⋅2
-4
=
e
2u
-4
-
e
4
-4
=
e
2u
-4
-
e
0
=
e
2u
-4
-1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
e
2u
-4
-1
→
∞