Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 4)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{6}{{(3 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 6 {(3 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{2}{3 x - 4}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot 4 - 4} + \frac{2}{3 \cdot 3 - 4}$

= $- \frac{2}{12 - 4} + \frac{2}{9 - 4}$

= $- \frac{2}{8} + \frac{2}{5}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{8}) + 2 \cdot (\frac{1}{5})$

= $- \frac{1}{4} + \frac{2}{5}$

= $- \frac{5}{20} + \frac{8}{20}$

= $\frac{3}{20}$

= 0,15

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 19 + $\frac{3}{20}$ = $\frac{383}{20}$ ≈ 19.15

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 69 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 4 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{12 - 3} - \frac{1}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{9} - \frac{1}{3} e^{3}$

≈ 2694,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 69 + $\frac{1}{3} e^{9} - \frac{1}{3} e^{3}$ ≈ 2763.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,4 e^{0,6 x - 0,9} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,4 e^{0,6 x - 0,9} ⅆ x

= ${[9 e^{0,6 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,6 u - 0,9} - 9 e^{0,6 \cdot 0 - 0,9}$

= $9 e^{0,6 u - 0,9} - 9 e^{0 - 0,9}$

= $9 e^{0,6 u - 0,9} - 9 e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,6 u - 0,9} - 9 e^{- 0,9}$	=	$5$	\| $+ 9 e^{- 0,9}$
$9 e^{0,6 u - 0,9}$	=	$9 e^{- 0,9} + 5$
$9 e^{0,6 u - 0,9}$	=	$8,6591$	\|: $9$
$e^{0,6 u - 0,9}$	=	$0,9621$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,9$	=	$\ln (0,9621)$

$0,6 u - 0,9$	=	$- 0,0386$	\| $+ 0,9$
$0,6 u$	=	$0,8614$	\|: $0,6$
$u$	=	$1,4357$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{2 x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 2 e^{2 x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[e^{2 x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (e^{2 \cdot 2 - 2} - e^{2 \cdot 0 - 2})$

= $\frac{1}{2} (e^{4 - 2} - e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{2} (e^{2} - e^{- 2})$

≈ 3,627

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} \frac{2}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} 2 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 3)}^{- 1}]}_{5}^{u}$

= ${[- \frac{2}{x - 3}]}_{5}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{u - 3} + \frac{2}{5 - 3}$

= $- \frac{2}{u - 3} + \frac{2}{2}$

= $- \frac{2}{u - 3} + 2 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{2}{u - 3} + 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{u - 3} + 1$ → $0 + 1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale