Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 56 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 4,914
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 56 +
≈ 60.91
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
6
ln(
|
4
-2
|
)
-6
ln(
|
3
-2
|
)
=
6
ln(
2
)
-6
ln(
|
3
-2
|
)
=
6
ln(
2
)
-6
ln(
1
)
=
6
ln(
2
)
+0
=
6
ln(
2
)
≈ 4,159
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 13 +
6
ln(
2
)
≈ 17.16
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass ∫ 2 u ( -4x +2 ) ⅆ x = -80
Lösung einblenden
∫
2
u
(
-4x
+2
)
ⅆ
x
=
[
-2
x
2
+2x
]
2
u
=
-2
u
2
+2u
- (
-2⋅
2
2
+2⋅2
)
=
-2
u
2
+2u
- (
-2⋅4
+4
)
=
-2
u
2
+2u
- (
-8
+4
)
=
-2
u
2
+2u
-1
·
(
-4
)
=
-2
u
2
+2u
+4
|
-2
u
2
+2u
+4
|
= |
-80
|
|
+80
|
|
-2
u
2
+2u
+84
|
= |
0 |
|:2 |
-
u
2
+ u
+42
= 0
u1,2 =
-1 ±
1
2
-4 ·
(
-1
)
·
42
2⋅( -1 )
u1,2 =
-1 ±
1
+168
-2
u1,2 =
-1 ±
169
-2
u1 =
-1
+
169
-2
=
-1
+13
-2
=
12
-2
=
-6
u2 =
-1
-
169
-2
=
-1
-13
-2
=
-14
-2
=
7
Da u=
-6
< 2 ist u=
7
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 2x -2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-2
∫
2
4
5
2x
-2
ⅆ
x
=
1
2
∫
2
4
5
(
2x
-2
)
-1
ⅆ
x
=
1
2
[
5
2
ln(
|
2x
-2
|
)
]
2
4
=
1
2
(
5
2
ln(
|
2⋅4
-2
|
)
-
5
2
ln(
|
2⋅2
-2
|
)
)
=
1
2
(
5
2
ln(
|
8
-2
|
)
-
5
2
ln(
|
4
-2
|
)
)
=
1
2
(
5
2
ln(
6
)
-
5
2
ln(
|
4
-2
|
)
)
=
1
2
(
5
2
ln(
6
)
-
5
2
ln(
2
)
)
≈ 1,373
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 -2x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
2
-2x
+2
ⅆ
x
=
∫
2
u
2
(
-2x
+2
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
ln(
|
-2x
+2
|
)
]
2
u
=
-
ln(
|
-2(
u
)
+2
|
)
+
ln(
|
-2⋅2
+2
|
)
=
-
ln(
|
-2u
+2
|
)
+
ln(
|
-4
+2
|
)
=
-
ln(
|
-2u
+2
|
)
+
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
ln(
2
)
-
ln(
|
-2x
+2
|
)
→
∞