Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $6$ Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{19}{2}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

6

und

\frac{19}{2}

:

\int_{6}^{\frac{19}{2}} 3 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{6}^{\frac{19}{2}} 3 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{\frac{19}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{\frac{19}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3}$

= ${(\sqrt{19 - 3})}^{3} - {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4^{3} - 3^{3}$

= $64 - 27$

= $37$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

6

und der Änderung zwischen

6

und

\frac{19}{2}

zusammen:

B = 11 + $37$ = $48$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{4}{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 4 {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \ln (| 3 x - 4 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 5 - 4 |) - \frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 4 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (| 15 - 4 |) - \frac{4}{3} \ln (| 9 - 4 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (11) - \frac{4}{3} \ln (| 9 - 4 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (11) - \frac{4}{3} \ln (5)$

≈ 1,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 5 + $\frac{4}{3} \ln (| 11 |) - \frac{4}{3} \ln (| 5 |)$ ≈ 6.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 2 x + 4) ⅆ x$ = $- 5,25$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 2 x + 4) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 4 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 4 u - (- 1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $- u^{2} + 4 u - (- 1 + 4)$

= $- u^{2} + 4 u + 1 - 4$

= $- u^{2} + 4 u - 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 5,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} + 4 u - 3

=

- 5,25

|

+ 5,25

$- u^{2} + 4 u + 2,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2,25}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 9}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 4+5}{- 2}$ = $\frac{1}{- 2}$ = $- 0,5$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 4-5}{- 2}$ = $\frac{- 9}{- 2}$ = $4,5$

Da u= $- 0,5$ < 1 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 {(3 x - 6)}^{2} + 3 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} (6 {(3 x - 6)}^{2} + 3 x) ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3 \cdot 4 - 6)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(3 \cdot 0 - 6)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(12 - 6)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot {(0 - 6)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 6^{3} + 24 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 6)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 216 + 24 - (\frac{2}{3} \cdot (- 216) + 0))$

= $\frac{1}{4} (144 + 24 - (- 144 + 0))$

= $\frac{1}{4} (168 + 144)$

= $\frac{1}{4} \cdot 312$

= $78$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{3}{- 3 x + 6} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 3 {(- 3 x + 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| - 3 x + 6 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- \ln (| - 3 (u) + 6 |) + \ln (| - 3 \cdot 4 + 6 |)$

= $- \ln (| - 3 u + 6 |) + \ln (| - 12 + 6 |)$

= $- \ln (| - 3 u + 6 |) + \ln (6)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (6) - \ln (| - 3 x + 6 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale