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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $5 e^{5 - 1} - 5 e^{2 - 1}$

= $5 e^{4} - 5 e^{1}$

= $5 e^{4} - 5 e$

≈ 259,399

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 61 + $5 e^{4} - 5 e$ ≈ 320.4

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 6 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 7}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 3 - 7} - 2 e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $2 e^{9 - 7} - 2 e^{0 - 7}$

= $2 e^{2} - 2 e^{- 7}$

≈ 14,776

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 23 + $2 e^{2} - 2 e^{- 7}$ ≈ 37.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{0,5 x - 0,5} ⅆ x$ = $16$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{0,5 x - 0,5} ⅆ x

= ${[4 e^{0,5 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,5 u - 0,5} - 4 e^{0,5 \cdot 0 - 0,5}$

= $4 e^{0,5 u - 0,5} - 4 e^{0 - 0,5}$

= $4 e^{0,5 u - 0,5} - 4 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,5 u - 0,5} - 4 e^{- 0,5}$	=	$16$	\| $+ 4 e^{- 0,5}$
$4 e^{0,5 u - 0,5}$	=	$4 e^{- 0,5} + 16$
$4 e^{0,5 u - 0,5}$	=	$18,4261$	\|: $4$
$e^{0,5 u - 0,5}$	=	$4,6065$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,5$	=	$\ln (4,6065)$

$0,5 u - 0,5$	=	$1,5275$	\| $+ 0,5$
$0,5 u$	=	$2,0275$	\|: $0,5$
$u$	=	$4,055$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(2 x - 4)}^{2} + 4$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} ({(2 x - 4)}^{2} + 4) ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{1}{6} {(2 x - 4)}^{3} + 4 x]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 5 - 4)}^{3} + 4 \cdot 5 - (\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 0 - 4)}^{3} + 4 \cdot 0))$

= $\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot {(10 - 4)}^{3} + 20 - (\frac{1}{6} \cdot {(0 - 4)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 6^{3} + 20 - (\frac{1}{6} \cdot {(- 4)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 216 + 20 - (\frac{1}{6} \cdot (- 64) + 0))$

= $\frac{1}{5} (36 + 20 - (- \frac{32}{3} + 0))$

= $\frac{1}{5} (56 - (- \frac{32}{3} + 0))$

= $\frac{1}{5} (56 + \frac{32}{3})$

= $\frac{1}{5} (\frac{168}{3} + \frac{32}{3})$

= $\frac{1}{5} (56 + \frac{32}{3})$

= $\frac{1}{5} \cdot \frac{200}{3}$

≈ 13,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{- 3 x + 3} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- 3 x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 3 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| - 3 (u) + 3 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 3 \cdot 3 + 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 3 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 9 + 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 3 |) - \frac{2}{3} \ln (6)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3} \ln (6) + \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale