= ${\left[2e^{x-3}\right]}_2^3$

$=$ $2e^{3-3}-2e^{2-3}$

= $2e^0-2e^{-1}$

= $2-2e^{-1}$

= ${\left[-\frac{1}{2}{\left(2x-2\right)}^{-1}\right]}_2^3$

= ${\left[-\frac{1}{2\left(2x-2\right)}\right]}_2^3$

$=$ $-\frac{1}{2\left(2\cdot 3-2\right)}+\frac{1}{2\left(2\cdot 2-2\right)}$

= $-\frac{1}{2\left(6-2\right)}+\frac{1}{2\left(4-2\right)}$

= $-\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{2\cdot 2}$

= $-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{8}+\frac{2}{8}$

= $\frac{1}{8}$

= ${\left[4x^2+4x\right]}_3^u$

$=$ $4u^2+4u-\left(4\cdot 3^2+4\cdot 3\right)$

= $4u^2+4u-\left(4\cdot 9+12\right)$

= $4u^2+4u-\left(36+12\right)$

= $4u^2+4u-1·48$

= $4u^2+4u-48$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $392$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^2+u-110$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-110\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+440}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{441}}{2}$

u₁ = $\frac{-1+\sqrt{441}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

u₂ = $\frac{-1-\sqrt{441}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-22}{2}$ = $-11$

Da u= $-11$ < 3 ist u= $10$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{3}{7}$ ${\left[\frac{4}{9}{\left(3x-5\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{\frac{14}{3}}^7$

= $\frac{3}{7}$ ${\left[\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3x-5}\right)}^3\right]}_{\frac{14}{3}}^7$

$=$ $\frac{3}{7}\left(\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot 7-5}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{14}{3}\right)-5}\right)}^3\right)$

= $\frac{3}{7}\left(\frac{4}{9}{\left(\sqrt{21-5}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{14-5}\right)}^3\right)$

= $\frac{3}{7}\left(\frac{4}{9}{\left(\sqrt{16}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{9}\right)}^3\right)$

= $\frac{3}{7}\left(\frac{4}{9}\cdot 4^3-\frac{4}{9}\cdot 3^3\right)$

= $\frac{3}{7}\left(\frac{4}{9}\cdot 64-\frac{4}{9}\cdot 27\right)$

= $\frac{3}{7}\left(\frac{256}{9}-12\right)$

= $\frac{3}{7}\left(\frac{256}{9}-\frac{108}{9}\right)$

= $\frac{3}{7}·\frac{148}{9}$

= $\frac{148}{21}$

= ${\left[-e^{-3x+7}\right]}_0^u$

$=$ $-e^{-3u+7}+e^{-3\cdot 0+7}$

= $-e^{-3u+7}+e^{0+7}$

= $-e^{-3u+7}+e^7$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-e^{-3u+7}+e^7$ → $0+e^7$ = $e^7$ ≈ 1096.633

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1096.633