Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 2 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,642
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 11 + = ≈ 11.64
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 7,051
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 27 +
≈ 34.05
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
26
-10
=
-2,6
u2 =
3
-
529
-10
=
3
-23
-10
=
-20
-10
=
2
Da u=
-2,6
< 1 ist u=
2
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 e 3x -5 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
2
+0
∫
0
2
6
e
3x
-5
ⅆ
x
=
1
2
[
2
e
3x
-5
]
0
2
=
1
2
(
2
e
3⋅2
-5
-2
e
3⋅0
-5
)
=
1
2
(
2
e
6
-5
-2
e
0
-5
)
=
1
2
(
2
e
1
-2
e
-5
)
=
1
2
(2e
-2
e
-5
)
=
1
2
(
-2
e
-5
+2e)
≈ 2,712
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 2x -5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=7 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
7
u
2
2x
-5
ⅆ
x
=
∫
7
u
2
(
2x
-5
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
2
(
2x
-5
)
1
2
]
7
u
=
[
2
2x
-5
]
7
u
=
2
2u
-5
-2
2⋅7
-5
=
2
2u
-5
-2
14
-5
=
2
2u
-5
-2
9
=
2
2u
-5
-2⋅3
=
2
2u
-5
-6
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
2u
-5
-6
→
∞