Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $6 e^{2 - 3} - 6 e^{1 - 3}$

= $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$

≈ 1,395

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 16 + $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$ ≈ 17.4

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $6 e^{4 - 3} - 6 e^{1 - 3}$

= $6 e^{1} - 6 e^{- 2}$

= $6 e - 6 e^{- 2}$

≈ 15,498

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 23 + $- 6 e^{- 2} + 6 e$ ≈ 38.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 2 x ⅆ x$ = $- 55$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 2 x ⅆ x

= ${[- x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 3^{2}$

= $- u^{2} + 9$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 55$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- u^{2} + 9$	=	$- 55$	\| $- 9$
$- u^{2}$	=	$- 64$	\|: $(- 1)$
$u^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
u₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

Da u= $- 8$ < 3 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (π + \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - 3)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3)$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{5} \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{5} {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{5}$

= ${[\sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{5}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 - 6} - \sqrt{2 u - 6}$

= $\sqrt{10 - 6} - \sqrt{2 u - 6}$

= $\sqrt{4} - \sqrt{2 u - 6}$

= $2 - \sqrt{2 u - 6}$

= $- \sqrt{2 u - 6} + 2$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 6} + 2$ → $0 + 2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale