Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 6 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $4 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 4 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3}$

= $4 \cdot 125 - 4 \cdot 64$

= $500 - 256$

= $244$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 17 + $244$ = $261$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 43 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 5 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{9 - 3} - \frac{5}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3} e^{- 3}$

≈ 672,298

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 43 + $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3} e^{- 3}$ ≈ 715.3

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,3 x - 0,1} ⅆ x$ = $14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,3 x - 0,1} ⅆ x

= ${[7 e^{0,3 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,3 u - 0,1} - 7 e^{0,3 \cdot 0 - 0,1}$

= $7 e^{0,3 u - 0,1} - 7 e^{0 - 0,1}$

= $7 e^{0,3 u - 0,1} - 7 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,3 u - 0,1} - 7 e^{- 0,1}$	=	$14$	\| $+ 7 e^{- 0,1}$
$7 e^{0,3 u - 0,1}$	=	$7 e^{- 0,1} + 14$
$7 e^{0,3 u - 0,1}$	=	$20,3339$	\|: $7$
$e^{0,3 u - 0,1}$	=	$2,9048$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,1$	=	$\ln (2,9048)$

$0,3 u - 0,1$	=	$1,0664$	\| $+ 0,1$
$0,3 u$	=	$1,1664$	\|: $0,3$
$u$	=	$3,888$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(3 x - 6)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} 2 {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{3}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 4 - 6)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 6)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{2}{9} \cdot {(12 - 6)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(0 - 6)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{2}{9} \cdot 6^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(- 6)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{2}{9} \cdot 216 - \frac{2}{9} \cdot (- 216))$

= $\frac{1}{4} (48 + 48)$

= $\frac{1}{4} \cdot 96$

= $24$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{13}{2}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{13}{2}}^{u} \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{2}}^{u} 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{13}{2}}^{u}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 4}]}_{\frac{13}{2}}^{u}$

$=$ $2 \sqrt{2 u - 4} - 2 \sqrt{2 \cdot (\frac{13}{2}) - 4}$

= $2 \sqrt{2 u - 4} - 2 \sqrt{13 - 4}$

= $2 \sqrt{2 u - 4} - 2 \sqrt{9}$

= $2 \sqrt{2 u - 4} - 2 \cdot 3$

= $2 \sqrt{2 u - 4} - 6$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 4} - 6$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale