Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 0,489
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 12 +
≈ 12.49
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
1
3
ln(
|
3⋅4
-4
|
)
-
1
3
ln(
|
3⋅3
-4
|
)
=
1
3
ln(
|
12
-4
|
)
-
1
3
ln(
|
9
-4
|
)
=
1
3
ln(
8
)
-
1
3
ln(
|
9
-4
|
)
=
1
3
ln(
8
)
-
1
3
ln(
5
)
≈ 0,157
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 13 +
1
3
ln(
|
8
|
)
-
1
3
ln(
|
5
|
)
≈ 13.16
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u ( -4x +5 ) ⅆ x = -25
Lösung einblenden
∫
0
u
(
-4x
+5
)
ⅆ
x
=
[
-2
x
2
+5x
]
0
u
=
-2
u
2
+5u
- (
-2⋅
0
2
+5⋅0
)
=
-2
u
2
+5u
- (
-2⋅0
+0)
=
-2
u
2
+5u
- (0+0)
=
-2
u
2
+5u
+0
=
-2
u
2
+5u
-2
u
2
+5u
+25
= 0
u1,2 =
-5 ±
5
2
-4 ·
(
-2
)
·
25
2⋅( -2 )
u1,2 =
-5 ±
25
+200
-4
u1,2 =
-5 ±
225
-4
u1 =
-5
+
225
-4
=
-5
+15
-4
=
10
-4
=
-2,5
u2 =
-5
-
225
-4
=
-5
-15
-4
=
-20
-4
=
5
Da u=
-2,5
< 0 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2⋅ sin( 2x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
2⋅
sin(
2x
+
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-
cos(
2x
+
1
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
-
cos(
2⋅π
+
1
2
π)
+
cos(
2⋅(
1
2
π )
+
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
cos(
5
2
π)
+
cos(
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-0
+0
)
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 18 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
18
-
3
x
-2
ⅆ
x
=
∫
u
18
-3
(
x
-2
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-6
(
x
-2
)
1
2
]
u
18
=
[
-6
x
-2
]
u
18
=
-6
18
-2
+6
u
-2
=
-6
16
+6
u
-2
=
-6⋅4
+6
u
-2
=
-24
+6
u
-2
Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) =
6
u
-2
-24
→
0
-24
=
-24
≈ -24
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 24