Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 4)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{1}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 4)}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 \cdot 7 - 4)} + \frac{1}{2 (2 \cdot 4 - 4)}$

= $- \frac{1}{2 (14 - 4)} + \frac{1}{2 (8 - 4)}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 10} + \frac{1}{2 \cdot 4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{10}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{20} + \frac{1}{8}$

= $- \frac{2}{40} + \frac{5}{40}$

= $\frac{3}{40}$

= 0,075

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 7 + $\frac{3}{40}$ = $\frac{283}{40}$ ≈ 7.08

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $4$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{19}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{19}{3}

:

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 4 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 4 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 4^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 64 - \frac{8}{9} \cdot 27$

= $\frac{512}{9} - 24$

= $\frac{512}{9} - \frac{216}{9}$

= $\frac{296}{9}$

≈ 32,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{19}{3}

zusammen:

B = 19 + $\frac{296}{9}$ = $\frac{467}{9}$ ≈ 51.89

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} 2 x ⅆ x$ = $77$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} 2 x ⅆ x

= ${[x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $u^{2} - 2^{2}$

= $u^{2} - 4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $77$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^{2} - 4$	=	$77$	\| $+ 4$
$u^{2}$	=	$81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{81}$	= $- 9$
u₂	=	$\sqrt{81}$	= $9$

Da u= $- 9$ < 2 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 5)}^{2}}$ zwischen 2 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{4}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} 4 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= $1$ ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= $1$ ${[- \frac{4}{3 (3 x - 5)}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3 (3 \cdot 3 - 5)} + \frac{4}{3 (3 \cdot 2 - 5)}$

= $- \frac{4}{3 (9 - 5)} + \frac{4}{3 (6 - 5)}$

= $- \frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{4}{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{4}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{3} + \frac{4}{3}$

= $1$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $4$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} \frac{3}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} 3 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{4}$

= ${[6 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{4}$

$=$ $6 \sqrt{4 - 3} - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 \sqrt{1} - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 \cdot 1 - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 - 6 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 6 \sqrt{u - 3} + 6$ → $0 + 6$ = $6$ ≈ 6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale