Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 2x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 9 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 27 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 9 und 27 2 :
9 27 2 6 2x -2 x
= 9 27 2 6 ( 2x -2 ) 1 2 x

= [ 2 ( 2x -2 ) 3 2 ] 9 27 2

= [ 2 ( 2x -2 ) 3 ] 9 27 2

= 2 ( 2( 27 2 ) -2 ) 3 -2 ( 29 -2 ) 3

= 2 ( 27 -2 ) 3 -2 ( 18 -2 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 5 3 -2 4 3

= 2125 -264

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 9 und der Änderung zwischen 9 und 27 2 zusammen:
B = 18 + 122 = 140

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 2x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 2 e 2x -4 x

= [ e 2x -4 ] 2 3

= e 23 -4 - e 22 -4

= e 6 -4 - e 4 -4

= e 2 - e 0

= e 2 -1


≈ 6,389
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 68 + e 2 -1 ≈ 74.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,8 e -0,7x +0,7 x = 4

Lösung einblenden
0 u 2,8 e -0,7x +0,7 x

= [ -4 e -0,7x +0,7 ] 0 u

= -4 e -0,7u +0,7 +4 e -0,70 +0,7

= -4 e -0,7u +0,7 +4 e 0 +0,7

= -4 e -0,7u +0,7 +4 e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 4 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 e -0,7u +0,7 +4 e 0,7 = 4 | -4 e 0,7
-4 e -0,7u +0,7 = -4 e 0,7 +4
-4 e -0,7u +0,7 = -4,055 |:-4
e -0,7u +0,7 = 1,0138 |ln(⋅)
-0,7u +0,7 = ln( 1,0138 )
-0,7u +0,7 = 0,0137 | -0,7
-0,7u = -0,6863 |:(-0,7 )
u = 0,9804

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 sin( 2x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π 6 sin( 2x + π) x

= 2 3 π [ -3 cos( 2x + π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( -3 cos( 2( 3 2 π ) + π) +3 cos( 2( 0 ) + π) )

= 2 3 π · ( -3 cos(4π) +3 cos(π) )

= 2 3 π · ( -31 +3( -1 ) )

= 2 3 π · ( -3 -3 )

= 2 3 π · ( -6 )

= - 4 π


≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( 2x -2 ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 2 - 1 ( 2x -2 ) 3 x
= u 2 - ( 2x -2 ) -3 x

= [ 1 4 ( 2x -2 ) -2 ] u 2

= [ 1 4 ( 2x -2 ) 2 ] u 2

= 1 4 ( 22 -2 ) 2 - 1 4 ( 2u -2 ) 2

= 1 4 ( 4 -2 ) 2 - 1 4 ( 2u -2 ) 2

= 1 4 2 2 - 1 4 ( 2u -2 ) 2

= 1 4 ( 1 4 ) - 1 4 ( 2u -2 ) 2

= 1 16 - 1 4 ( 2u -2 ) 2

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = - 1 4 ( 2u -2 ) 2 + 1 16 -