Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{13}{2}$ Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{29}{2}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{2}

und

\frac{29}{2}

:

\int_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}} 4 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}} 4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{13}{2}) - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{500}{3} - 36$

= $\frac{500}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{392}{3}$

≈ 130,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{2}

und

\frac{29}{2}

zusammen:

B = 19 + $\frac{392}{3}$ = $\frac{449}{3}$ ≈ 149.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{2}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 2 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 1 |)]}_{2}^{3}$

$=$ $2 \ln (| 3 - 1 |) - 2 \ln (| 2 - 1 |)$

= $2 \ln (2) - 2 \ln (| 2 - 1 |)$

= $2 \ln (2) - 2 \ln (1)$

= $2 \ln (2) + 0$

= $2 \ln (2)$

≈ 1,386

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 13 + $2 \ln (2)$ ≈ 14.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 2 x + 5) ⅆ x$ = $- 6$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 2 x + 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 5 u - (- 3^{2} + 5 \cdot 3)$

= $- u^{2} + 5 u - (- 9 + 15)$

= $- u^{2} + 5 u + 9 - 15$

= $- u^{2} + 5 u - 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- u^{2} + 5 u - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
$- u^{2} + 5 u - 6 + 6$	=	0
$- u^{2} + 5 u$	=	0
$u (- u + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

u₁

=

0

2. Fall:

$- u + 5$	=	0	\| $- 5$
$- u$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
u₂	=	$5$

Da u=0 < 3 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(2 x - 2)}^{2} + 3$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (5 {(2 x - 2)}^{2} + 3) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{6} {(2 x - 2)}^{3} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot {(2 \cdot 3 - 2)}^{3} + 3 \cdot 3 - (\frac{5}{6} \cdot {(2 \cdot 0 - 2)}^{3} + 3 \cdot 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot {(6 - 2)}^{3} + 9 - (\frac{5}{6} \cdot {(0 - 2)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot 4^{3} + 9 - (\frac{5}{6} \cdot {(- 2)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot 64 + 9 - (\frac{5}{6} \cdot (- 8) + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{160}{3} + 9 - (- \frac{20}{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{160}{3} + \frac{27}{3} - (- \frac{20}{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{187}{3} + \frac{20}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot 69$

= $23$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $e^{u - 2} - e^{2 - 2}$

= $e^{u - 2} - e^{0}$

= $e^{u - 2} - 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{u - 2} - 1$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale