Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,469
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6
zusammen:
B = 11 + = ≈ 11.47
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 16,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 9 + = ≈ 25.44
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
42
6
=
7
u2 =
5
-
1369
6
=
5
-37
6
=
-32
6
=
-
16
3
≈ -5.33
Da u=
-
16
3
< 2 ist u=
7
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2⋅ cos( 2x + π) zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
2⋅
cos(
2x
+ π)
ⅆ
x
=
2
π
[
sin(
2x
+ π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
sin(
2⋅π
+ π)
-
sin(
2⋅(
1
2
π )
+ π)
)
=
2
π
·
(
sin(3π)
-
sin(2π)
)
=
2
π
·
(
0
- 0
)
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( 2x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
5
u
-
2
(
2x
-1
)
3
ⅆ
x
=
∫
5
u
-2
(
2x
-1
)
-
3
2
ⅆ
x
=
[
2
(
2x
-1
)
-
1
2
]
5
u
=
[
2
2x
-1
]
5
u
=
2
2u
-1
-
2
2⋅5
-1
=
2
2u
-1
-
2
10
-1
=
2
2u
-1
-
2
9
=
2
2u
-1
-
2
3
=
2
2u
-1
-2⋅(
1
3
)
=
2
2u
-1
-
2
3
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
2u
-1
-
2
3
→
0
-
2
3
=
-
2
3
≈ -0.667
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667