Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $9$ Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{27}{2}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

9

und

\frac{27}{2}

:

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 2 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

9

und der Änderung zwischen

9

und

\frac{27}{2}

zusammen:

B = 18 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{176}{3}$ ≈ 58.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $4$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{28}{3}

:

\int_{4}^{\frac{28}{3}} 3 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{28}{3}} 3 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{250}{3} - 18$

= $\frac{250}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 15 + $\frac{196}{3}$ = $\frac{241}{3}$ ≈ 80.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{0,3 x - 0,1} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{0,3 x - 0,1} ⅆ x

= ${[3 e^{0,3 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,3 u - 0,1} - 3 e^{0,3 \cdot 0 - 0,1}$

= $3 e^{0,3 u - 0,1} - 3 e^{0 - 0,1}$

= $3 e^{0,3 u - 0,1} - 3 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,3 u - 0,1} - 3 e^{- 0,1}$	=	$5$	\| $+ 3 e^{- 0,1}$
$3 e^{0,3 u - 0,1}$	=	$3 e^{- 0,1} + 5$
$3 e^{0,3 u - 0,1}$	=	$7,7145$	\|: $3$
$e^{0,3 u - 0,1}$	=	$2,5715$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,1$	=	$\ln (2,5715)$

$0,3 u - 0,1$	=	$0,9445$	\| $+ 0,1$
$0,3 u$	=	$1,0445$	\|: $0,3$
$u$	=	$3,4817$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(2 x - 4)}^{3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} 4 {(2 x - 4)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{4}]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 5 - 4)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 0 - 4)}^{4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot {(10 - 4)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(0 - 4)}^{4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 6^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 1 296 - \frac{1}{2} \cdot 256)$

= $\frac{1}{5} (648 - 128)$

= $\frac{1}{5} \cdot 520$

= $104$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $1$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{1} - \frac{2}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{1} - \frac{2}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{1} - 2 x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 4 x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{1}$

= ${[- 4 \sqrt{x}]}_{u}^{1}$

$=$ $- 4 \sqrt{1} + 4 \sqrt{u}$

= $- 4 \cdot 1 + 4 \sqrt{u}$

= $- 4 + 4 \sqrt{u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $4 \sqrt{u} - 4$ → $0 - 4$ = $- 4$ ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale