Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 4 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 4 - 5} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{12 - 5} - \frac{4}{3} e^{6 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{7} - \frac{4}{3} e^{1}$

= $\frac{4}{3} e^{7} - \frac{4}{3} e$

≈ 1458,553

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 9 + $\frac{4}{3} e^{7} - \frac{4}{3} e$ ≈ 1467.55

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{6}{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 6 {(2 x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| 2 x - 2 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $3 \ln (| 2 \cdot 5 - 2 |) - 3 \ln (| 2 \cdot 3 - 2 |)$

= $3 \ln (| 10 - 2 |) - 3 \ln (| 6 - 2 |)$

= $3 \ln (8) - 3 \ln (| 6 - 2 |)$

= $3 \ln (8) - 3 \ln (4)$

≈ 2,079

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 16 + $3 \ln (| 8 |) - 3 \ln (| 4 |)$ ≈ 18.08

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 10 x - 2) ⅆ x$ = $- 162,25$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 10 x - 2) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 2 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 2 u - (- 5 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

= $- 5 u^{2} - 2 u - (- 5 \cdot 0 + 0)$

= $- 5 u^{2} - 2 u - (0 + 0)$

= $- 5 u^{2} - 2 u + 0$

= $- 5 u^{2} - 2 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 162,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 2 u

=

- 162,25

|

+ 162,25

$- 5 u^{2} - 2 u + 162,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 162,25}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 3 245}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{3 249}}{- 10}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{3 249}}{- 10}$ = $\frac{2+57}{- 10}$ = $\frac{59}{- 10}$ = $- 5,9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{3 249}}{- 10}$ = $\frac{2-57}{- 10}$ = $\frac{- 55}{- 10}$ = $5,5$

Da u= $- 5,9$ < 0 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 4}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{1}{3 x - 4} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 4 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 5 - 4 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 4 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \ln (| 15 - 4 |) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 4 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \ln (11) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 4 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \ln (11) - \frac{1}{3} \ln (5))$

≈ 0,131

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{- 2 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{- 2 x + 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(- 2 x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| - 2 x + 3 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $- \ln (| - 2 (u) + 3 |) + \ln (| - 2 \cdot 2 + 3 |)$

= $- \ln (| - 2 u + 3 |) + \ln (| - 4 + 3 |)$

= $- \ln (| - 2 u + 3 |) + \ln (1)$

= $- \ln (| - 2 u + 3 |) + 0$

= $- \ln (| - 2 x + 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (| - 2 x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale