Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 4 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 4 - 2} - 2 e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $2 e^{8 - 2} - 2 e^{4 - 2}$

= $2 e^{6} - 2 e^{2}$

≈ 792,079

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 3 + $2 e^{6} - 2 e^{2}$ ≈ 795.08

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 1} - \frac{1}{2} e^{4 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e^{3}$

≈ 64,164

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 46 + $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e^{3}$ ≈ 110.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 6 x - 4) ⅆ x$ = $- 333,75$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 6 x - 4) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} - 4 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} - 4 u - (- 3 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3)$

= $- 3 u^{2} - 4 u - (- 3 \cdot 9 - 12)$

= $- 3 u^{2} - 4 u - (- 27 - 12)$

= $- 3 u^{2} - 4 u - 1 \cdot (- 39)$

= $- 3 u^{2} - 4 u + 39$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 333,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} - 4 u + 39

=

- 333,75

|

+ 333,75

$- 3 u^{2} - 4 u + 372,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 372,75}}{2 \cdot (- 3)}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 4 473}}{- 6}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4 489}}{- 6}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4 489}}{- 6}$ = $\frac{4+67}{- 6}$ = $\frac{71}{- 6}$ = $- \frac{71}{6}$ ≈ -11.83

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4 489}}{- 6}$ = $\frac{4-67}{- 6}$ = $\frac{- 63}{- 6}$ = $10,5$

Da u= $- \frac{71}{6}$ < 3 ist u= $10,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{x - 1}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[2 e^{x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (2 e^{3 - 1} - 2 e^{0 - 1})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{2} - 2 e^{- 1})$

≈ 4,681

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(3 x - 6)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{{(3 x - 6)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(3 x - 6)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{2}{3 (3 x - 6)}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{2}{3 (3 \cdot 4 - 6)}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{2}{3 (12 - 6)}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{2}{3 \cdot 6}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{6})$

= $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{1}{9}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{1}{9}$ → $0 - \frac{1}{9}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.111

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.111

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale