Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
=
≈ 0,633
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 2 +
≈ 2.63
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 1,6
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 16 + = ≈ 17.6
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
16
|
=
-4
|
| u2 |
= |
16
|
=
4
|
Da u=
-4
< 2 ist u=
4
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -7 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 23 3 und Minute 32 3 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
32
3
-
23
3
∫
23
3
32
3
4
3x
-7
ⅆ
x
=
1
3
∫
23
3
32
3
4
(
3x
-7
)
1
2
ⅆ
x
=
1
3
[
8
9
(
3x
-7
)
3
2
]
23
3
32
3
=
1
3
[
8
9
(
3x
-7
)
3
]
23
3
32
3
=
1
3
(
8
9
(
3⋅(
32
3
)
-7
)
3
-
8
9
(
3⋅(
23
3
)
-7
)
3
)
=
1
3
(
8
9
(
32
-7
)
3
-
8
9
(
23
-7
)
3
)
=
1
3
(
8
9
(
25
)
3
-
8
9
(
16
)
3
)
=
1
3
(
8
9
⋅
5
3
-
8
9
⋅
4
3
)
=
1
3
(
8
9
⋅125
-
8
9
⋅64
)
=
1
3
(
1000
9
-
512
9
)
=
1
3
·
488
9
=
488
27
≈ 18,074
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( 3x -7 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
2
(
3x
-7
)
2
ⅆ
x
=
∫
4
u
2
(
3x
-7
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
2
3
(
3x
-7
)
-1
]
4
u
=
[
-
2
3(
3x
-7
)
]
4
u
=
-
2
3(
3u
-7
)
+
2
3(
3⋅4
-7
)
=
-
2
3(
3u
-7
)
+
2
3(
12
-7
)
=
-
2
3(
3u
-7
)
+
2
3⋅
5
=
-
2
3(
3u
-7
)
+
2
3
⋅(
1
5
)
=
-
2
3(
3u
-7
)
+
2
15
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
2
3(
3u
-7
)
+
2
15
→
0
+
2
15
=
2
15
≈ 0.133
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.133