Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 2 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{1}^{2} 4 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{1}^{2}$

= ${[- \frac{2}{2 x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{2 \cdot 2 - 1} + \frac{2}{2 \cdot 1 - 1}$

= $- \frac{2}{4 - 1} + \frac{2}{2 - 1}$

= $- \frac{2}{3} + \frac{2}{1}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{3}) + 2 \cdot 1$

= $- \frac{2}{3} + 2$

= $- \frac{2}{3} + \frac{6}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 2 + $\frac{4}{3}$ = $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $7$ Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $15$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

15

:

\int_{7}^{15} 4 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{15} 4 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{15}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{15}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{500}{3} - 36$

= $\frac{500}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{392}{3}$

≈ 130,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

15

zusammen:

B = 18 + $\frac{392}{3}$ = $\frac{446}{3}$ ≈ 148.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} 4 x ⅆ x$ = $136,5$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} 4 x ⅆ x

= ${[2 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 2 \cdot 2^{2}$

= $2 u^{2} - 2 \cdot 4$

= $2 u^{2} - 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $136,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 u^{2} - 8$	=	$136,5$	\| $+ 8$
$2 u^{2}$	=	$144,5$	\|: $2$
$u^{2}$	=	$72,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{72,25}$	= $- 8,5$
u₂	=	$\sqrt{72,25}$	= $8,5$

Da u= $- 8,5$ < 2 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 4 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{4}{3} \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{4}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \sin (0))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{4}{3} \cdot (- 1) - \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{4}{3} + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{4}{3})$

= $- \frac{8}{3 π}$

≈ -0,849

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{3 x - 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{3}{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 3 {(3 x - 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| 3 x - 6 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $\ln (| 3 (u) - 6 |) - \ln (| 3 \cdot 4 - 6 |)$

= $\ln (| 3 u - 6 |) - \ln (| 12 - 6 |)$

= $\ln (| 3 u - 6 |) - \ln (6)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (6) + \ln (| 3 x - 6 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale