Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 4 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{1}{3} e^{12 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 49,465

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 61 + $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{- 4}$ ≈ 110.46

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{2}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 2 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 1 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $2 \ln (| 4 - 1 |) - 2 \ln (| 2 - 1 |)$

= $2 \ln (3) - 2 \ln (| 2 - 1 |)$

= $2 \ln (3) - 2 \ln (1)$

= $2 \ln (3) + 0$

= $2 \ln (3)$

≈ 2,197

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 4 + $2 \ln (3)$ ≈ 6.2

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 6 x ⅆ x$ = $0,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 6 x ⅆ x

= ${[3 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 3 \cdot 0^{2}$

= $3 u^{2} - 3 \cdot 0$

= $3 u^{2} + 0$

= $3 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $0,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 u^{2}$	=	$0,75$	\|: $3$
$u^{2}$	=	$\frac{0.75}{3}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{\frac{0.75}{3}}$	= $- 0,5$
u₂	=	$\sqrt{\frac{0.75}{3}}$	= $0,5$

Da u= $- 0,5$ < 0 ist u= $0,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 e^{2 x - 1}$ zwischen 0 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 6 e^{2 x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[3 e^{2 x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (3 e^{2 \cdot 3 - 1} - 3 e^{2 \cdot 0 - 1})$

= $\frac{1}{3} (3 e^{6 - 1} - 3 e^{0 - 1})$

= $\frac{1}{3} (3 e^{5} - 3 e^{- 1})$

≈ 148,045

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{- 2 x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{3}{- 2 x + 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 3 {(- 2 x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \ln (| - 2 x + 1 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2} \ln (| - 2 (u) + 1 |) - \frac{3}{2} \ln (| - 2 \cdot 2 + 1 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| - 2 u + 1 |) - \frac{3}{2} \ln (| - 4 + 1 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| - 2 u + 1 |) - \frac{3}{2} \ln (3)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} \ln (3) + \frac{3}{2} \ln (| - 2 x + 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale