Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{7}{3}$ s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{7}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{7}{3}}^{\frac{28}{3}} 3 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{3}}^{\frac{28}{3}} 3 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{7}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 8$

= $\frac{250}{3} - \frac{16}{3}$

= $78$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{7}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{7}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 20 + $78$ = $98$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{3}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 3 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| x - 2 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $3 \ln (| 4 - 2 |) - 3 \ln (| 3 - 2 |)$

= $3 \ln (2) - 3 \ln (| 3 - 2 |)$

= $3 \ln (2) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (2) + 0$

= $3 \ln (2)$

≈ 2,079

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 10 + $3 \ln (2)$ ≈ 12.08

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,5 e^{- 0,5 x + 0,7} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,5 e^{- 0,5 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 7 e^{- 0,5 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 7 e^{- 0,5 u + 0,7} + 7 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 7 e^{- 0,5 u + 0,7} + 7 e^{0 + 0,7}$

= $- 7 e^{- 0,5 u + 0,7} + 7 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 7 e^{- 0,5 u + 0,7} + 7 e^{0,7}$	=	$3$	\| $- 7 e^{0,7}$
$- 7 e^{- 0,5 u + 0,7}$	=	$- 7 e^{0,7} + 3$
$- 7 e^{- 0,5 u + 0,7}$	=	$- 11,0963$	\|: $- 7$
$e^{- 0,5 u + 0,7}$	=	$1,5852$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,7$	=	$\ln (1,5852)$

$- 0,5 u + 0,7$	=	$0,4607$	\| $- 0,7$
$- 0,5 u$	=	$- 0,2393$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$0,4786$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $1$ und Minute $5$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 1}

\int_{1}^{5} 6 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{4}

\int_{1}^{5} 6 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{5}$

= $\frac{1}{4}$ ${[2 {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{4} (2 {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 1 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (2 {(\sqrt{10 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (2 {(\sqrt{9})}^{3} - 2 {(\sqrt{1})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{3} - 2 \cdot 1^{3})$

= $\frac{1}{4} (2 \cdot 27 - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{4} (54 - 2)$

= $\frac{1}{4} \cdot 52$

= $13$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{- 2 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{0}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 5}$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{1}{2} e^{0 + 5}$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{1}{2} e^{5}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{1}{2} e^{5}$ → $0 - \frac{1}{2} e^{5}$ = $- \frac{1}{2} e^{5}$ ≈ -74.207

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 74.207

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale