= ${\left[5e^{x-3}\right]}_1^2$

$=$ $5e^{2-3}-5e^{1-3}$

= $5e^{-1}-5e^{-2}$

= ${\left[\frac{2}{3}{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{19}^{28}$

= ${\left[\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x-3}\right)}^3\right]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{28-3}\right)}^3-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3$

= $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{2}{3}\cdot 5^3-\frac{2}{3}\cdot 4^3$

= $\frac{2}{3}\cdot 125-\frac{2}{3}\cdot 64$

= $\frac{250}{3}-\frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

= ${\left[3x^2\right]}_3^u$

$=$ $3u^2-3\cdot 3^2$

= $3u^2-3\cdot 9$

= $3u^2-27$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $81$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-6$ < 3 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\frac{4}{3}\ln \left(\left|$ 3x-4$\right|\right)\right]}_3^5$

$=$ $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\ln \left(\left|$ 3\cdot 5-4$\right|\right)-\frac{4}{3}\ln \left(\left|$ 3\cdot 3-4$\right|\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\ln \left(\left|$ 15-4$\right|\right)-\frac{4}{3}\ln \left(\left|$ 9-4$\right|\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\ln \left(11\right)-\frac{4}{3}\ln \left(\left|$ 9-4$\right|\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\ln \left(11\right)-\frac{4}{3}\ln \left(5\right)\right)$

= ${\left[\frac{1}{3}{\left(3x-7\right)}^{-2}\right]}_3^u$

= ${\left[\frac{1}{3{\left(3x-7\right)}^2}\right]}_3^u$

$=$ $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{3{\left(3\cdot 3-7\right)}^2}$

= $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{3{\left(9-7\right)}^2}$

= $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{3\cdot 2^2}$

= $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$

= $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{12}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{12}$ → $0-\frac{1}{12}$ = $-\frac{1}{12}$ ≈ -0.083

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.083