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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 6 s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 14 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 6 und 14:
∫ 6 14 2x -3 ⅆ x
= ∫ 6 14 ( 2x -3 ) 1 2 ⅆ x

= [ 1 3 ( 2x -3 ) 3 2 ] 6 14

= [ 1 3 ( 2x -3 ) 3 ] 6 14

= 1 3 ( 2⋅14 -3 ) 3 - 1 3 ( 2⋅6 -3 ) 3

= 1 3 ( 28 -3 ) 3 - 1 3 ( 12 -3 ) 3

= 1 3 ( 25 ) 3 - 1 3 ( 9 ) 3

= 1 3 ⋅ 5 3 - 1 3 ⋅ 3 3

= 1 3 ⋅125 - 1 3 ⋅27

= 125 3 -9

= 125 3 - 27 3

= 98 3


≈ 32,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 6 und der Änderung zwischen 6 und 14 zusammen:
B = 13 + 98 3 = 137 3 ≈ 45.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -3 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
∫ 3 5 5 ( 2x -3 ) 2 ⅆ x
= ∫ 3 5 5 ( 2x -3 ) -2 ⅆ x

= [ - 5 2 ( 2x -3 ) -1 ] 3 5

= [ - 5 2( 2x -3 ) ] 3 5

= - 5 2( 2⋅5 -3 ) + 5 2( 2⋅3 -3 )

= - 5 2( 10 -3 ) + 5 2( 6 -3 )

= - 5 2⋅ 7 + 5 2⋅ 3

= - 5 2 ⋅( 1 7 ) + 5 2 ⋅( 1 3 )

= - 5 14 + 5 6

= - 15 42 + 35 42

= 10 21


≈ 0,476
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 17 + 10 21 = 367 21 ≈ 17.48

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 2,4 e 0,4x -0,9 ⅆ x = 11

Lösung einblenden
∫ 0 u 2,4 e 0,4x -0,9 ⅆ x

= [ 6 e 0,4x -0,9 ] 0 u

= 6 e 0,4u -0,9 -6 e 0,4⋅0 -0,9

= 6 e 0,4u -0,9 -6 e 0 -0,9

= 6 e 0,4u -0,9 -6 e -0,9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 11 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

6 e 0,4u -0,9 -6 e -0,9 = 11 | +6 e -0,9
6 e 0,4u -0,9 = 6 e -0,9 +11
6 e 0,4u -0,9 = 13,4394 |:6
e 0,4u -0,9 = 2,2399 |ln(⋅)
0,4u -0,9 = ln( 2,2399 )
0,4u -0,9 = 0,8064 | +0,9
0,4u = 1,7064 |:0,4
u = 4,266

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 ( x -1 ) 2 +3 zwischen 2 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -2 ∫ 2 4 ( 5 ( x -1 ) 2 +3 ) ⅆ x

= 1 2 [ 5 3 ( x -1 ) 3 +3x ] 2 4

= 1 2 ( 5 3 ⋅ ( 4 -1 ) 3 +3⋅4 - ( 5 3 ⋅ ( 2 -1 ) 3 +3⋅2 ))

= 1 2 ( 5 3 ⋅ 3 3 +12 - ( 5 3 ⋅ 1 3 +6 ))

= 1 2 ( 5 3 ⋅27 +12 - ( 5 3 ⋅1 +6 ))

= 1 2 ( 45 +12 - ( 5 3 +6 ))

= 1 2 ( 57 - ( 5 3 + 18 3 ))

= 1 2 ( 57 -1 · 23 3 )

= 1 2 ( 57 - 23 3 )

= 1 2 ( 171 3 - 23 3 )

= 1 2 ( 57 - 23 3 )

= 1 2 · 148 3


≈ 24,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -3x +3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u 2 ( -3x +3 ) 3 ⅆ x
= ∫ 2 u 2 ( -3x +3 ) -3 ⅆ x

= [ 1 3 ( -3x +3 ) -2 ] 2 u

= [ 1 3 ( -3x +3 ) 2 ] 2 u

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( -3⋅2 +3 ) 2

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( -6 +3 ) 2

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( -3 ) 2

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ⋅( 1 9 )

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 27

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 27 → 0 - 1 27 = - 1 27 ≈ -0.037

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.037