Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{21}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

\frac{21}{2}

:

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 5 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 5 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - \frac{5}{3} \cdot 27$

= $\frac{320}{3} - 45$

= $\frac{320}{3} - \frac{135}{3}$

= $\frac{185}{3}$

≈ 61,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

\frac{21}{2}

zusammen:

B = 7 + $\frac{185}{3}$ = $\frac{206}{3}$ ≈ 68.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{1}{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 4 |)]}_{3}^{6}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 6 - 4 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 4 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 18 - 4 |) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 4 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (14) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 4 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (14) - \frac{1}{3} \ln (5)$

≈ 0,343

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 17 + $\frac{1}{3} \ln (| 14 |) - \frac{1}{3} \ln (| 5 |)$ ≈ 17.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,6 x + 0,9} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,6 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,6 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,6 u + 0,9} + 6 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 6 e^{- 0,6 u + 0,9} + 6 e^{0 + 0,9}$

= $- 6 e^{- 0,6 u + 0,9} + 6 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,6 u + 0,9} + 6 e^{0,9}$	=	$5$	\| $- 6 e^{0,9}$
$- 6 e^{- 0,6 u + 0,9}$	=	$- 6 e^{0,9} + 5$
$- 6 e^{- 0,6 u + 0,9}$	=	$- 9,7576$	\|: $- 6$
$e^{- 0,6 u + 0,9}$	=	$1,6263$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,9$	=	$\ln (1,6263)$

$- 0,6 u + 0,9$	=	$0,4863$	\| $- 0,9$
$- 0,6 u$	=	$- 0,4137$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$0,6895$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot \cos (6 π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} - \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{4}{3})$

= $- \frac{4}{3 π}$

≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(\sqrt{2 x - 4})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $10$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{10}^{u} \frac{2}{{(\sqrt{2 x - 4})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{10}^{u} 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}]}_{10}^{u}$

= ${[- \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}]}_{10}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{2}{\sqrt{2 \cdot 10 - 4}}$

= $- \frac{2}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{2}{\sqrt{20 - 4}}$

= $- \frac{2}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{2}{\sqrt{16}}$

= $- \frac{2}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{2}{4}$

= $- \frac{2}{\sqrt{2 u - 4}} + 2 \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{2}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{\sqrt{2 u - 4}} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale