Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 3x -6 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 5 ( 3x -6 ) 4 x
= 4 7 5 ( 3x -6 ) -4 x

= [ - 5 9 ( 3x -6 ) -3 ] 4 7

= [ - 5 9 ( 3x -6 ) 3 ] 4 7

= - 5 9 ( 37 -6 ) 3 + 5 9 ( 34 -6 ) 3

= - 5 9 ( 21 -6 ) 3 + 5 9 ( 12 -6 ) 3

= - 5 9 15 3 + 5 9 6 3

= - 5 9 ( 1 3375 ) + 5 9 ( 1 216 )

= - 1 6075 + 5 1944

= - 8 48600 + 125 48600

= 13 5400


≈ 0,002
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 9 + 13 5400 = 48613 5400 ≈ 9

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 59 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 4 e x -3 x

= [ 4 e x -3 ] 2 5

= 4 e 5 -3 -4 e 2 -3

= 4 e 2 -4 e -1


≈ 28,085
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 59 + 4 e 2 -4 e -1 ≈ 87.08

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u -4x x = -54

Lösung einblenden
3 u -4x x

= [ -2 x 2 ] 3 u

= -2 u 2 +2 3 2

= -2 u 2 +29

= -2 u 2 +18

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -54 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 +18 = -54 | -18
-2 u 2 = -72 |: ( -2 )
u 2 = 36 | 2
u1 = - 36 = -6
u2 = 36 = 6

Da u= -6 < 3 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( x -1 ) 3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 5 ( x -1 ) 3 x

= 1 3 [ 5 4 ( x -1 ) 4 ] 0 3

= 1 3 ( 5 4 ( 3 -1 ) 4 - 5 4 ( 0 -1 ) 4 )

= 1 3 ( 5 4 2 4 - 5 4 ( -1 ) 4 )

= 1 3 ( 5 4 16 - 5 4 1 )

= 1 3 ( 20 - 5 4 )

= 1 3 ( 80 4 - 5 4 )

= 1 3 · 75 4

= 25 4


= 6,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 6,5 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 6,5 - 1 2x -4 x
= u 6,5 - ( 2x -4 ) - 1 2 x

= [ - ( 2x -4 ) 1 2 ] u 6,5

= [ - 2x -4 ] u 6,5

= - 26,5 -4 + 2u -4

= - 13 -4 + 2u -4

= - 9 + 2u -4

= -3 + 2u -4

= 2u -4 -3

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = 2u -4 -3 0 -3 = -3 ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3