Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 18 s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 18 und 27:
18 27 x -2 x
= 18 27 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( x -2 ) 3 2 ] 18 27

= [ 2 3 ( x -2 ) 3 ] 18 27

= 2 3 ( 27 -2 ) 3 - 2 3 ( 18 -2 ) 3

= 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 16 ) 3

= 2 3 5 3 - 2 3 4 3

= 2 3 125 - 2 3 64

= 250 3 - 128 3

= 122 3


≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 18 und der Änderung zwischen 18 und 27 zusammen:
B = 11 + 122 3 = 155 3 ≈ 51.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e 2x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 6 e 2x -5 x

= [ 3 e 2x -5 ] 0 3

= 3 e 23 -5 -3 e 20 -5

= 3 e 6 -5 -3 e 0 -5

= 3 e 1 -3 e -5

= 3e -3 e -5


≈ 8,135
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 12 + -3 e -5 +3e ≈ 20.13

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -4x +2 ) x = -49,5

Lösung einblenden
0 u ( -4x +2 ) x

= [ -2 x 2 +2x ] 0 u

= -2 u 2 +2u - ( -2 0 2 +20 )

= -2 u 2 +2u - ( -20 +0)

= -2 u 2 +2u - (0+0)

= -2 u 2 +2u +0

= -2 u 2 +2u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -49,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 +2u = -49,5 | +49,5

-2 u 2 +2u +49,5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · ( -2 ) · 49,5 2( -2 )

u1,2 = -2 ± 4 +396 -4

u1,2 = -2 ± 400 -4

u1 = -2 + 400 -4 = -2 +20 -4 = 18 -4 = -4,5

u2 = -2 - 400 -4 = -2 -20 -4 = -22 -4 = 5,5

Da u= -4,5 < 0 ist u= 5,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 sin( 3x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 2 sin( 3x - π) x

= 1 π [ - 2 3 cos( 3x - π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - 2 3 cos( 3( 3 2 π ) - π) + 2 3 cos( 3( 1 2 π ) - π) )

= 1 π · ( - 2 3 cos( 7 2 π) + 2 3 cos( 1 2 π) )

= 1 π · ( - 2 3 0 + 2 3 0 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( 3x -3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 1 ( 3x -3 ) 3 x
= 3 u - ( 3x -3 ) -3 x

= [ 1 6 ( 3x -3 ) -2 ] 3 u

= [ 1 6 ( 3x -3 ) 2 ] 3 u

= 1 6 ( 3u -3 ) 2 - 1 6 ( 33 -3 ) 2

= 1 6 ( 3u -3 ) 2 - 1 6 ( 9 -3 ) 2

= 1 6 ( 3u -3 ) 2 - 1 6 6 2

= 1 6 ( 3u -3 ) 2 - 1 6 ( 1 36 )

= 1 6 ( 3u -3 ) 2 - 1 216

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 6 ( 3u -3 ) 2 - 1 216 0 - 1 216 = - 1 216 ≈ -0.005

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.005