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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 3x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 21 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
∫ 0 3 3 e 3x -5 ⅆ x

= [ e 3x -5 ] 0 3

= e 3⋅3 -5 - e 3⋅0 -5

= e 9 -5 - e 0 -5

= e 4 - e -5


≈ 54,591
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 21 + e 4 - e -5 ≈ 75.59

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 80 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
∫ 0 1 5 e 3x -7 ⅆ x

= [ 5 3 e 3x -7 ] 0 1

= 5 3 e 3⋅1 -7 - 5 3 e 3⋅0 -7

= 5 3 e 3 -7 - 5 3 e 0 -7

= 5 3 e -4 - 5 3 e -7


≈ 0,029
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 80 + 5 3 e -4 - 5 3 e -7 ≈ 80.03

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 10x ⅆ x = 281,25

Lösung einblenden
∫ 0 u 10x ⅆ x

= [ 5 x 2 ] 0 u

= 5 u 2 -5⋅ 0 2

= 5 u 2 -5⋅0

= 5 u 2 +0

= 5 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 281,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 = 281,25 |:5
u 2 = 56,25 | ⋅2
u1 = - 56,25 = -7,5
u2 = 56,25 = 7,5

Da u= -7,5 < 0 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -2 ∫ 2 3 1 ( 2x -1 ) 2 ⅆ x
= 1 ∫ 2 3 ( 2x -1 ) -2 ⅆ x

= 1 [ - 1 2 ( 2x -1 ) -1 ] 2 3

= 1 [ - 1 2( 2x -1 ) ] 2 3

= - 1 2( 2⋅3 -1 ) + 1 2( 2⋅2 -1 )

= - 1 2( 6 -1 ) + 1 2( 4 -1 )

= - 1 2⋅ 5 + 1 2⋅ 3

= - 1 2 ⋅( 1 5 ) + 1 2 ⋅( 1 3 )

= - 1 10 + 1 6

= - 3 30 + 5 30

= 1 15


≈ 0,067

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x schließt mit der x-Achse, der Geraden x=5 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ u 5 - 2 x ⅆ x
= ∫ u 5 - 2 x ⅆ x
= ∫ u 5 -2 x -1 ⅆ x

= [ -2 ln( | x | ) ] u 5

= -2 ln( | 5 | ) +2 ln( | u | )

= -2 ln( 5 ) +2 ln( | u | )

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = -2 ln( | 5 | ) +2 ln( | x | ) → -∞