Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 5 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{15 - 4} - \frac{2}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{11} - \frac{2}{3} e^{2}$

≈ 39911,168

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 19 + $\frac{2}{3} e^{11} - \frac{2}{3} e^{2}$ ≈ 39930.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 20 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 4 - 2} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{5}{2} e^{8 - 2} - \frac{5}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2} e^{2}$

≈ 990,099

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 20 + $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2} e^{2}$ ≈ 1010.1

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x

= ${[6 e^{0,2 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,2 u - 0,5} - 6 e^{0,2 \cdot 0 - 0,5}$

= $6 e^{0,2 u - 0,5} - 6 e^{0 - 0,5}$

= $6 e^{0,2 u - 0,5} - 6 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,2 u - 0,5} - 6 e^{- 0,5}$	=	$8$	\| $+ 6 e^{- 0,5}$
$6 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$6 e^{- 0,5} + 8$
$6 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$11,6392$	\|: $6$
$e^{0,2 u - 0,5}$	=	$1,9399$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,5$	=	$\ln (1,9399)$

$0,2 u - 0,5$	=	$0,6626$	\| $+ 0,5$
$0,2 u$	=	$1,1626$	\|: $0,2$
$u$	=	$5,813$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[2 e^{x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (2 e^{3 - 3} - 2 e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{0} - 2 e^{- 3})$

= $\frac{1}{3} (2 - 2 e^{- 3})$

= $\frac{1}{3} (- 2 e^{- 3} + 2)$

≈ 0,633

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{2 x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(2 x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} \ln (| 2 (u) - 2 |) + \frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 3 - 2 |)$

= $- \frac{3}{2} \ln (| 2 u - 2 |) + \frac{3}{2} \ln (| 6 - 2 |)$

= $- \frac{3}{2} \ln (| 2 u - 2 |) + \frac{3}{2} \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2} \ln (4) - \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale