Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{- 2}$

≈ 18,134

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 64 + $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{- 2}$ ≈ 82.13

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 2 - 4} - 2 e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $2 e^{4 - 4} - 2 e^{2 - 4}$

= $2 e^{0} - 2 e^{- 2}$

= $2 - 2 e^{- 2}$

≈ 1,729

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 8 + $- 2 e^{- 2} + 2$ ≈ 9.73

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,6 e^{0,7 x - 0,3} ⅆ x$ = $16$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,6 e^{0,7 x - 0,3} ⅆ x

= ${[8 e^{0,7 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,7 u - 0,3} - 8 e^{0,7 \cdot 0 - 0,3}$

= $8 e^{0,7 u - 0,3} - 8 e^{0 - 0,3}$

= $8 e^{0,7 u - 0,3} - 8 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,7 u - 0,3} - 8 e^{- 0,3}$	=	$16$	\| $+ 8 e^{- 0,3}$
$8 e^{0,7 u - 0,3}$	=	$8 e^{- 0,3} + 16$
$8 e^{0,7 u - 0,3}$	=	$21,9265$	\|: $8$
$e^{0,7 u - 0,3}$	=	$2,7408$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,3$	=	$\ln (2,7408)$

$0,7 u - 0,3$	=	$1,0082$	\| $+ 0,3$
$0,7 u$	=	$1,3082$	\|: $0,7$
$u$	=	$1,8689$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 3}$ zwischen $\frac{7}{3}$ und $\frac{19}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{19}{3} - \frac{7}{3}}

\int_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}} 5 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{4}

\int_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}} 5 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{10}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}}$

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{7}{3}) - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{10}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{7 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{10}{9} \cdot 4^{3} - \frac{10}{9} \cdot 2^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{10}{9} \cdot 64 - \frac{10}{9} \cdot 8)$

= $\frac{1}{4} (\frac{640}{9} - \frac{80}{9})$

= $\frac{1}{4} \cdot \frac{560}{9}$

= $\frac{140}{9}$

≈ 15,556

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 3 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 x - 3}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 u - 3} + \frac{1}{3 \cdot 2 - 3}$

= $- \frac{1}{3 u - 3} + \frac{1}{6 - 3}$

= $- \frac{1}{3 u - 3} + \frac{1}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 u - 3} + \frac{1}{3}$ → $0 + \frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale