Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 24 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{4 - 2} - 2 e^{2 - 2}$

= $2 e^{2} - 2 e^{0}$

= $2 e^{2} - 2$

≈ 12,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 24 + $2 e^{2} - 2$ ≈ 36.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{4 - 1} - e^{1 - 1}$

= $e^{3} - e^{0}$

= $e^{3} - 1$

≈ 19,086

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 13 + $e^{3} - 1$ ≈ 32.09

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 4 x - 4) ⅆ x$ = $- 110$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 4 x - 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 4 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} - 4 u - (- 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2)$

= $- 2 u^{2} - 4 u - (- 2 \cdot 4 - 8)$

= $- 2 u^{2} - 4 u - (- 8 - 8)$

= $- 2 u^{2} - 4 u - 1 \cdot (- 16)$

= $- 2 u^{2} - 4 u + 16$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 110$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} - 4 u + 16

=

- 110

|

+ 110

- 2 u^{2} - 4 u + 126

= 0 |:2

$- u^{2} - 2 u + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 63}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{- 2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{- 2}$ = $\frac{2+16}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{- 2}$ = $\frac{2-16}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Da u= $- 9$ < 2 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 e^{x - 1}$ zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} 6 e^{x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[6 e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (6 e^{3 - 1} - 6 e^{1 - 1})$

= $\frac{1}{2} (6 e^{2} - 6 e^{0})$

= $\frac{1}{2} (6 e^{2} - 6)$

≈ 19,167

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- 3 x + 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{- 3 x + 4} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- 3 x + 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 4 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| - 3 (u) + 4 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 3 \cdot 3 + 4 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 4 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 9 + 4 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 4 |) - \frac{2}{3} \ln (5)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3} \ln (5) + \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 4 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale