Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
≈ 0,636
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 10 +
≈ 10.64
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,466
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 38 +
≈ 38.47
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
4
-4
=
-1
u2 =
-3
-
49
-4
=
-3
-7
-4
=
-10
-4
=
2,5
Da u=
-1
< 2 ist u=
2,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 19 und Minute 28 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
28
-19
∫
19
28
6
x
-3
ⅆ
x
=
1
9
∫
19
28
6
(
x
-3
)
1
2
ⅆ
x
=
1
9
[
4
(
x
-3
)
3
2
]
19
28
=
1
9
[
4
(
x
-3
)
3
]
19
28
=
1
9
(
4
(
28
-3
)
3
-4
(
19
-3
)
3
)
=
1
9
(
4
(
25
)
3
-4
(
16
)
3
)
=
1
9
(
4⋅
5
3
-4⋅
4
3
)
=
1
9
(
4⋅125
-4⋅64
)
=
1
9
(
500
-256
)
=
1
9
·
244
=
244
9
≈ 27,111
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
2
x
-2
ⅆ
x
=
∫
4
u
2
(
x
-2
)
-1
ⅆ
x
=
[
2
ln(
|
x
-2
|
)
]
4
u
=
2
ln(
|
u
-2
|
)
-2
ln(
|
4
-2
|
)
=
2
ln(
|
u
-2
|
)
-2
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-2
ln(
2
)
+2
ln(
|
x
-2
|
)
→
∞