Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{16}{3}$ Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{23}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{23}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} 2 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} 2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 4^{3} - \frac{4}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 64 - \frac{4}{9} \cdot 27$

= $\frac{256}{9} - 12$

= $\frac{256}{9} - \frac{108}{9}$

= $\frac{148}{9}$

≈ 16,444

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{23}{3}

zusammen:

B = 12 + $\frac{148}{9}$ = $\frac{256}{9}$ ≈ 28.44

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 3} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 3} - \frac{5}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{9} - \frac{5}{3} e^{3}$

≈ 13471,664

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 46 + $\frac{5}{3} e^{9} - \frac{5}{3} e^{3}$ ≈ 13517.66

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 8 x - 3) ⅆ x$ = $- 188,5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 8 x - 3) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} - 3 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} - 3 u - (- 4 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $- 4 u^{2} - 3 u - (- 4 \cdot 0 + 0)$

= $- 4 u^{2} - 3 u - (0 + 0)$

= $- 4 u^{2} - 3 u + 0$

= $- 4 u^{2} - 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 188,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} - 3 u

=

- 188,5

|

+ 188,5

$- 4 u^{2} - 3 u + 188,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 188,5}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 3 016}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{3 025}}{- 8}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{3 025}}{- 8}$ = $\frac{3+55}{- 8}$ = $\frac{58}{- 8}$ = $- 7,25$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{3 025}}{- 8}$ = $\frac{3-55}{- 8}$ = $\frac{- 52}{- 8}$ = $6,5$

Da u= $- 7,25$ < 0 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(2 x - 2)}^{2} + 2 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (4 {(2 x - 2)}^{2} + 2 x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{3} {(2 x - 2)}^{3} + x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(2 \cdot 3 - 2)}^{3} + 3^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(2 \cdot 0 - 2)}^{3} + 0^{2}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(6 - 2)}^{3} + 9 - (\frac{2}{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} + 9 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 64 + 9 - (\frac{2}{3} \cdot (- 8) + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{128}{3} + 9 - (- \frac{16}{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{128}{3} + \frac{27}{3} - (- \frac{16}{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{155}{3} + \frac{16}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot 57$

= $19$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- 3 x + 6)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{1}{{(- 3 x + 6)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - {(- 3 x + 6)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(- 3 x + 6)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{6 {(- 3 x + 6)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{6 {(- 3 \cdot 4 + 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{6 {(- 12 + 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{6 {(- 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{36})$

= $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{216}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{6 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{216}$ → $0 + \frac{1}{216}$ = $\frac{1}{216}$ ≈ 0.005

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.005

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale