Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 32 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{2 - 1} - e^{1 - 1}$

= $e^{1} - e^{0}$

= $e - 1$

≈ 1,718

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 32 + $- 1 + e$ ≈ 33.72

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 66 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $3 e^{1 - 2} - 3 e^{0 - 2}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{- 2}$

≈ 0,698

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 66 + $3 e^{- 1} - 3 e^{- 2}$ ≈ 66.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,6 x - 0,5} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,6 x - 0,5} ⅆ x

= ${[2 e^{0,6 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,6 u - 0,5} - 2 e^{0,6 \cdot 0 - 0,5}$

= $2 e^{0,6 u - 0,5} - 2 e^{0 - 0,5}$

= $2 e^{0,6 u - 0,5} - 2 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,6 u - 0,5} - 2 e^{- 0,5}$	=	$5$	\| $+ 2 e^{- 0,5}$
$2 e^{0,6 u - 0,5}$	=	$2 e^{- 0,5} + 5$
$2 e^{0,6 u - 0,5}$	=	$6,2131$	\|: $2$
$e^{0,6 u - 0,5}$	=	$3,1066$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,5$	=	$\ln (3,1066)$

$0,6 u - 0,5$	=	$1,1335$	\| $+ 0,5$
$0,6 u$	=	$1,6335$	\|: $0,6$
$u$	=	$2,7225$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{3 x - 6}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 7.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{7 - 4}

\int_{4}^{7} \frac{3}{3 x - 6} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{4}^{7} 3 {(3 x - 6)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\ln (| 3 x - 6 |)]}_{4}^{7}$

$=$ $\frac{1}{3} (\ln (| 3 \cdot 7 - 6 |) - \ln (| 3 \cdot 4 - 6 |))$

= $\frac{1}{3} (\ln (| 21 - 6 |) - \ln (| 12 - 6 |))$

= $\frac{1}{3} (\ln (15) - \ln (| 12 - 6 |))$

= $\frac{1}{3} (\ln (15) - \ln (6))$

≈ 0,305

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- 2 x + 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{{(- 2 x + 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(- 2 x + 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 2)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(- 2 x + 2)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 2 \cdot 2 + 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 4 + 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{1}{8}$ → $0 - \frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{8}$ ≈ -0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale