Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 4 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 1 - 1} - 2 e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $2 e^{2 - 1} - 2 e^{0 - 1}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 17 + $- 2 e^{- 1} + 2 e$ ≈ 21.7

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 2 - 3} - 2 e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $2 e^{4 - 3} - 2 e^{0 - 3}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 3}$

= $2 e - 2 e^{- 3}$

≈ 5,337

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 75 + $- 2 e^{- 3} + 2 e$ ≈ 80.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (8 x - 4) ⅆ x$ = $112$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (8 x - 4) ⅆ x

= ${[4 x^{2} - 4 x]}_{2}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 4 u - (4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2)$

= $4 u^{2} - 4 u - (4 \cdot 4 - 8)$

= $4 u^{2} - 4 u - (16 - 8)$

= $4 u^{2} - 4 u - 1 \cdot 8$

= $4 u^{2} - 4 u - 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $112$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} - 4 u - 8

=

112

|

- 112

4 u^{2} - 4 u - 120

= 0 |:4

$u^{2} - u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Da u= $- 5$ < 2 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \sqrt{x - 3}$ zwischen $19$ und $28$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{28 - 19}

\int_{19}^{28} 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{19}^{28} 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= $\frac{1}{9}$ ${[2 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{1}{9} (2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (2 \cdot 125 - 2 \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (250 - 128)$

= $\frac{1}{9} \cdot 122$

= $\frac{122}{9}$

≈ 13,556

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $6,5$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{6,5} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{6,5} - 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{6,5}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{6,5}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 6,5 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{13 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{9} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \cdot 3 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 6 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 4} - 6$ → $0 - 6$ = $- 6$ ≈ -6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale