Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 29 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 2} - 2 e^{2 - 2}$

= $2 e^{1} - 2 e^{0}$

= $2 e - 2$

≈ 3,437

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 29 + $- 2 + 2 e$ ≈ 32.44

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 3 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{3 x - 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 4 - 5} + \frac{1}{3 \cdot 2 - 5}$

= $- \frac{1}{12 - 5} + \frac{1}{6 - 5}$

= $- \frac{1}{7} + \frac{1}{1}$

= $- (\frac{1}{7}) + 1$

= $\frac{6}{7}$

≈ 0,857

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 17 + $\frac{6}{7}$ = $\frac{125}{7}$ ≈ 17.86

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 8 x ⅆ x$ = $144$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 8 x ⅆ x

= ${[4 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 4 \cdot 0^{2}$

= $4 u^{2} - 4 \cdot 0$

= $4 u^{2} + 0$

= $4 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $144$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 u^{2}$	=	$144$	\|: $4$
$u^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
u₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da u= $- 6$ < 0 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \cos (3 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 6 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[2 \cdot \sin (3 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot \sin (3 \cdot π - π) - 2 \cdot \sin (3 \cdot (0) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot \sin (2 π) - 2 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(3 x - 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{2}{3 (3 x - 5)}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{2}{3 (3 \cdot 3 - 5)}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{2}{3 (9 - 5)}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{2}{3 \cdot 4}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{1}{6}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{1}{6}$ → $0 - \frac{1}{6}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale