Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= e 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 e 2x -4 x

= [ 1 2 e 2x -4 ] 1 3

= 1 2 e 23 -4 - 1 2 e 21 -4

= 1 2 e 6 -4 - 1 2 e 2 -4

= 1 2 e 2 - 1 2 e -2


≈ 3,627
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 14 + 1 2 e 2 - 1 2 e -2 ≈ 17.63

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5 s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 17 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 17:
5 17 5 x -1 x
= 5 17 5 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 10 3 ( x -1 ) 3 2 ] 5 17

= [ 10 3 ( x -1 ) 3 ] 5 17

= 10 3 ( 17 -1 ) 3 - 10 3 ( 5 -1 ) 3

= 10 3 ( 16 ) 3 - 10 3 ( 4 ) 3

= 10 3 4 3 - 10 3 2 3

= 10 3 64 - 10 3 8

= 640 3 - 80 3

= 560 3


≈ 186,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 17 zusammen:
B = 12 + 560 3 = 596 3 ≈ 198.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u -10x x = -101,25

Lösung einblenden
0 u -10x x

= [ -5 x 2 ] 0 u

= -5 u 2 +5 0 2

= -5 u 2 +50

= -5 u 2 +0

= -5 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -101,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 = -101,25 |: ( -5 )
u 2 = 20,25 | 2
u1 = - 20,25 = -4,5
u2 = 20,25 = 4,5

Da u= -4,5 < 0 ist u= 4,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 sin( 3x + π) zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 5 sin( 3x + π) x

= 1 π [ - 5 3 cos( 3x + π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - 5 3 cos( 3( 3 2 π ) + π) + 5 3 cos( 3( 1 2 π ) + π) )

= 1 π · ( - 5 3 cos( 11 2 π) + 5 3 cos( 5 2 π) )

= 1 π · ( - 5 3 0 + 5 3 0 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -x +2 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 0 u e -x +2 x

= [ - e -x +2 ] 0 u

= - e -u +2 + e -0 +2

= - e -u +2 + e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - e -u +2 + e 2 0 + e 2 = e 2 ≈ 7.389

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 7.389