Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} {(x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{x - 2}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{5 - 2} + \frac{1}{3 - 2}$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{1}$

= $- (\frac{1}{3}) + 1$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 18 + $\frac{2}{3}$ = $\frac{56}{3}$ ≈ 18.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 26 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{6 - 4} - \frac{4}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 4}$

≈ 9,828

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 26 + $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 4}$ ≈ 35.83

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,2 e^{0,4 x - 0,5} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,2 e^{0,4 x - 0,5} ⅆ x

= ${[8 e^{0,4 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,4 u - 0,5} - 8 e^{0,4 \cdot 0 - 0,5}$

= $8 e^{0,4 u - 0,5} - 8 e^{0 - 0,5}$

= $8 e^{0,4 u - 0,5} - 8 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,4 u - 0,5} - 8 e^{- 0,5}$	=	$6$	\| $+ 8 e^{- 0,5}$
$8 e^{0,4 u - 0,5}$	=	$8 e^{- 0,5} + 6$
$8 e^{0,4 u - 0,5}$	=	$10,8522$	\|: $8$
$e^{0,4 u - 0,5}$	=	$1,3565$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,5$	=	$\ln (1,3565)$

$0,4 u - 0,5$	=	$0,3049$	\| $+ 0,5$
$0,4 u$	=	$0,8049$	\|: $0,4$
$u$	=	$2,0123$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 6 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (2 \cdot π - \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{2 x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(2 x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} \ln (| 2 (u) - 2 |) + \frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 3 - 2 |)$

= $- \frac{3}{2} \ln (| 2 u - 2 |) + \frac{3}{2} \ln (| 6 - 2 |)$

= $- \frac{3}{2} \ln (| 2 u - 2 |) + \frac{3}{2} \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2} \ln (4) - \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale