= ${\left[\frac{2}{3}{e}^{3x-7}\right]}_0^1$

$=$ $\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 1-7}-\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 0-7}$

= $\frac{2}{3}{e}^{3-7}-\frac{2}{3}{e}^{0-7}$

= $\frac{2}{3}{e}^{-4}-\frac{2}{3}{e}^{-7}$

= ${\left[2e^{2x-2}\right]}_1^4$

$=$ $2e^{2\cdot 4-2}-2e^{2\cdot 1-2}$

= $2e^{8-2}-2e^{2-2}$

= $2e^6-2e^0$

= $2e^6-2$

= ${\left[-e^{-\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,9}}\right]}_0^u$

$=$ $-e^{-\mathrm{0,7}u+\mathrm{0,9}}+e^{-\mathrm{0,7}\cdot 0+\mathrm{0,9}}$

= $-e^{-\mathrm{0,7}u+\mathrm{0,9}}+e^{0+\mathrm{0,9}}$

= $-e^{-\mathrm{0,7}u+\mathrm{0,9}}+e^{\mathrm{0,9}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[2e^{3x-3}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}\left(2e^{3\cdot 3-3}-2e^{3\cdot 0-3}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(2e^{9-3}-2e^{0-3}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(2e^6-2e^{-3}\right)$

= ${\left[{\left(-x+3\right)}^{-1}\right]}_5^u$

= ${\left[\frac{1}{-x+3}\right]}_5^u$

$=$ $\frac{1}{-u+3}-\frac{1}{-5+3}$

= $\frac{1}{-u+3}-\frac{1}{\left(-2\right)}$

= $\frac{1}{-u+3}-\left(-\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{1}{-u+3}+\frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{-u+3}+\frac{1}{2}$ → $0+\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5