Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 2x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 21 2 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 15 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 21 2 und 15:
21 2 15 2 2x -5 x
= 21 2 15 2 ( 2x -5 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( 2x -5 ) 3 2 ] 21 2 15

= [ 2 3 ( 2x -5 ) 3 ] 21 2 15

= 2 3 ( 215 -5 ) 3 - 2 3 ( 2( 21 2 ) -5 ) 3

= 2 3 ( 30 -5 ) 3 - 2 3 ( 21 -5 ) 3

= 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 16 ) 3

= 2 3 5 3 - 2 3 4 3

= 2 3 125 - 2 3 64

= 250 3 - 128 3

= 122 3


≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 21 2 und der Änderung zwischen 21 2 und 15 zusammen:
B = 10 + 122 3 = 152 3 ≈ 50.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2x -4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 13 2 s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 10 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 13 2 und 10:
13 2 10 2x -4 x
= 13 2 10 ( 2x -4 ) 1 2 x

= [ 1 3 ( 2x -4 ) 3 2 ] 13 2 10

= [ 1 3 ( 2x -4 ) 3 ] 13 2 10

= 1 3 ( 210 -4 ) 3 - 1 3 ( 2( 13 2 ) -4 ) 3

= 1 3 ( 20 -4 ) 3 - 1 3 ( 13 -4 ) 3

= 1 3 ( 16 ) 3 - 1 3 ( 9 ) 3

= 1 3 4 3 - 1 3 3 3

= 1 3 64 - 1 3 27

= 64 3 -9

= 64 3 - 27 3

= 37 3


≈ 12,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 13 2 und der Änderung zwischen 13 2 und 10 zusammen:
B = 3 + 37 3 = 46 3 ≈ 15.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4,2 e -0,7x +0,8 x = 5

Lösung einblenden
0 u 4,2 e -0,7x +0,8 x

= [ -6 e -0,7x +0,8 ] 0 u

= -6 e -0,7u +0,8 +6 e -0,70 +0,8

= -6 e -0,7u +0,8 +6 e 0 +0,8

= -6 e -0,7u +0,8 +6 e 0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-6 e -0,7u +0,8 +6 e 0,8 = 5 | -6 e 0,8
-6 e -0,7u +0,8 = -6 e 0,8 +5
-6 e -0,7u +0,8 = -8,3532 |:-6
e -0,7u +0,8 = 1,3922 |ln(⋅)
-0,7u +0,8 = ln( 1,3922 )
-0,7u +0,8 = 0,3309 | -0,8
-0,7u = -0,4691 |:(-0,7 )
u = 0,6701

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 cos( 3x + 1 2 π) zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 6 cos( 3x + 1 2 π) x

= 2 π [ 2 sin( 3x + 1 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 2 sin( 3π + 1 2 π) -2 sin( 3( 1 2 π ) + 1 2 π) )

= 2 π · ( 2 sin( 7 2 π) -2 sin(2π) )

= 2 π · ( 2( -1 ) -20 )

= 2 π · ( -2 +0 )

= 2 π · ( -2 )

= - 4 π


≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 1 2x -4 x
= 4 u ( 2x -4 ) -1 x

= [ 1 2 ln( | 2x -4 | ) ] 4 u

= 1 2 ln( | 2( u ) -4 | ) - 1 2 ln( | 24 -4 | )

= 1 2 ln( | 2u -4 | ) - 1 2 ln( | 8 -4 | )

= 1 2 ln( | 2u -4 | ) - 1 2 ln( 4 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ln( 4 ) + 1 2 ln( | 2x -4 | )