Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 39 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 2 e x -1 x

= [ 2 e x -1 ] 2 5

= 2 e 5 -1 -2 e 2 -1

= 2 e 4 -2 e 1

= 2 e 4 -2e


≈ 103,76
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 39 + 2 e 4 -2e ≈ 142.76

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 28 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 28 3 :
4 28 3 3x -3 x
= 4 28 3 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 2 9 ( 3x -3 ) 3 2 ] 4 28 3

= [ 2 9 ( 3x -3 ) 3 ] 4 28 3

= 2 9 ( 3( 28 3 ) -3 ) 3 - 2 9 ( 34 -3 ) 3

= 2 9 ( 28 -3 ) 3 - 2 9 ( 12 -3 ) 3

= 2 9 ( 25 ) 3 - 2 9 ( 9 ) 3

= 2 9 5 3 - 2 9 3 3

= 2 9 125 - 2 9 27

= 250 9 -6

= 250 9 - 54 9

= 196 9


≈ 21,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 28 3 zusammen:
B = 3 + 196 9 = 223 9 ≈ 24.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u -4x x = -16

Lösung einblenden
1 u -4x x

= [ -2 x 2 ] 1 u

= -2 u 2 +2 1 2

= -2 u 2 +21

= -2 u 2 +2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -16 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 +2 = -16 | -2
-2 u 2 = -18 |: ( -2 )
u 2 = 9 | 2
u1 = - 9 = -3
u2 = 9 = 3

Da u= -3 < 1 ist u= 3 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -2 2 4 5 ( x -1 ) 2 x
= 1 2 2 4 5 ( x -1 ) -2 x

= 1 2 [ -5 ( x -1 ) -1 ] 2 4

= 1 2 [ - 5 x -1 ] 2 4

= 1 2 ( - 5 4 -1 + 5 2 -1 )

= 1 2 ( - 5 3 + 5 1 )

= 1 2 ( -5( 1 3 ) +51 )

= 1 2 ( - 5 3 +5 )

= 1 2 ( - 5 3 + 15 3 )

= 1 2 · 10 3

= 5 3


≈ 1,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -3 e x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u -3 e x -2 x

= [ -3 e x -2 ] 2 u

= -3 e u -2 +3 e 2 -2

= -3 e u -2 +3 e 0

= -3 e u -2 +3

Für u → ∞ gilt: A(u) = -3 e u -2 +3 -