Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 3 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 3 {(x - 3)}^{- 1}]}_{4}^{5}$

= ${[- \frac{3}{x - 3}]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{5 - 3} + \frac{3}{4 - 3}$

= $- \frac{3}{2} + \frac{3}{1}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{2}) + 3 \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} + 3$

= $- 1,5 + 3$

= $1,5$

= 1,5

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 12 + $\frac{3}{2}$ = $\frac{27}{2}$ ≈ 13.5

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 6 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 2 - 3} - 3 e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $3 e^{4 - 3} - 3 e^{0 - 3}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 3}$

= $3 e - 3 e^{- 3}$

≈ 8,005

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 68 + $- 3 e^{- 3} + 3 e$ ≈ 76.01

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (4 x - 3) ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (4 x - 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 3 x]}_{3}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 3 u - (2 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3)$

= $2 u^{2} - 3 u - (2 \cdot 9 - 9)$

= $2 u^{2} - 3 u - (18 - 9)$

= $2 u^{2} - 3 u - 1 \cdot 9$

= $2 u^{2} - 3 u - 9$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} - 3 u - 9

=

18

|

- 18

$2 u^{2} - 3 u - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{3+15}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{3-15}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Da u= $- 3$ < 3 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{4}{3 x - 7}$ zwischen 3 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{4}{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} 4 {(3 x - 7)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{4}{3} \ln (| 3 x - 7 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 5 - 7 |) - \frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 7 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} \ln (| 15 - 7 |) - \frac{4}{3} \ln (| 9 - 7 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} \ln (8) - \frac{4}{3} \ln (| 9 - 7 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{3} \ln (8) - \frac{4}{3} \ln (2))$

≈ 0,924

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 2}]}_{1}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- u + 2} + 3 e^{- 1 + 2}$

= $- 3 e^{- u + 2} + 3 e^{1}$

= $- 3 e^{- u + 2} + 3 e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 3 e^{- u + 2} + 3 e$ → $0 + 3 e$ = $3 e$ ≈ 8.155

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8.155

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale