Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 13 2 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 10 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 13 2 und 10:
13 2 10 5 2x -4 x
= 13 2 10 5 ( 2x -4 ) 1 2 x

= [ 5 3 ( 2x -4 ) 3 2 ] 13 2 10

= [ 5 3 ( 2x -4 ) 3 ] 13 2 10

= 5 3 ( 210 -4 ) 3 - 5 3 ( 2( 13 2 ) -4 ) 3

= 5 3 ( 20 -4 ) 3 - 5 3 ( 13 -4 ) 3

= 5 3 ( 16 ) 3 - 5 3 ( 9 ) 3

= 5 3 4 3 - 5 3 3 3

= 5 3 64 - 5 3 27

= 320 3 -45

= 320 3 - 135 3

= 185 3


≈ 61,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 13 2 und der Änderung zwischen 13 2 und 10 zusammen:
B = 12 + 185 3 = 221 3 ≈ 73.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e 2x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 2 e 2x -3 x

= [ e 2x -3 ] 2 4

= e 24 -3 - e 22 -3

= e 8 -3 - e 4 -3

= e 5 - e 1

= e 5 - e


≈ 145,695
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 9 + e 5 - e ≈ 154.69

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u -8x x = -9

Lösung einblenden
2 u -8x x

= [ -4 x 2 ] 2 u

= -4 u 2 +4 2 2

= -4 u 2 +44

= -4 u 2 +16

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -9 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 +16 = -9 | -16
-4 u 2 = -25 |: ( -4 )
u 2 = 25 4 | 2
u1 = - 25 4 = - 5 2
u2 = 25 4 = 5 2

Da u= - 5 2 < 2 ist u= 5 2 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -1 ) 2 +5 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 +0 0 1 ( 2 ( x -1 ) 2 +5 ) x

= 1 [ 2 3 ( x -1 ) 3 +5x ] 0 1

= 2 3 ( 1 -1 ) 3 +51 - ( 2 3 ( 0 -1 ) 3 +50 )

= 2 3 0 3 +5 - ( 2 3 ( -1 ) 3 +0)

= 2 3 0 +5 - ( 2 3 ( -1 ) +0)

= 0 +5 - ( - 2 3 +0)

= 5 - ( - 2 3 +0)

= 5 + 2 3

= 15 3 + 2 3

= 17 3


≈ 5,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( 2x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 2 ( 2x -3 ) 2 x
= 2 u -2 ( 2x -3 ) -2 x

= [ ( 2x -3 ) -1 ] 2 u

= [ 1 2x -3 ] 2 u

= 1 2u -3 - 1 22 -3

= 1 2u -3 - 1 4 -3

= 1 2u -3 - 1 1

= 1 2u -3 - 1

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2u -3 -1 0 -1 = -1 ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1