Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 3)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(3 x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(3 x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 3)}^{- 3}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 3)}^{3}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 \cdot 5 - 3)}^{3}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 3 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 {(15 - 3)}^{3}} + \frac{1}{3 {(9 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 12^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 6^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{1728}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{216})$

= $- \frac{1}{5184} + \frac{1}{648}$

= $- \frac{1}{5184} + \frac{8}{5184}$

= $\frac{7}{5184}$

≈ 0,001

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 16 + $\frac{7}{5184}$ = $\frac{82951}{5184}$ ≈ 16

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 55 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{3 - 2} - e^{2 - 2}$

= $e^{1} - e^{0}$

= $e - 1$

≈ 1,718

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 55 + $- 1 + e$ ≈ 56.72

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 4 x + 4) ⅆ x$ = $- 60,5$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 4 x + 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 4 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 4 u - (- 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $- 2 u^{2} + 4 u - (- 2 \cdot 1 + 4)$

= $- 2 u^{2} + 4 u - (- 2 + 4)$

= $- 2 u^{2} + 4 u - 1 \cdot 2$

= $- 2 u^{2} + 4 u - 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 60,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 4 u - 2

=

- 60,5

|

+ 60,5

$- 2 u^{2} + 4 u + 58,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 58,5}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 468}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{484}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{484}}{- 4}$ = $\frac{- 4+22}{- 4}$ = $\frac{18}{- 4}$ = $- 4,5$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{484}}{- 4}$ = $\frac{- 4-22}{- 4}$ = $\frac{- 26}{- 4}$ = $6,5$

Da u= $- 4,5$ < 1 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{19}{3}$ und Minute $\frac{28}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{28}{3} - \frac{19}{3}}

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 6 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 6 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{3} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{3} (\frac{500}{3} - \frac{256}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{244}{3}$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{3 x - 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(3 x - 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 3 x - 7 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- \ln (| 3 (u) - 7 |) + \ln (| 3 \cdot 4 - 7 |)$

= $- \ln (| 3 u - 7 |) + \ln (| 12 - 7 |)$

= $- \ln (| 3 u - 7 |) + \ln (5)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (5) - \ln (| 3 x - 7 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale