Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{7}{3}$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{19}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{7}{3}

und

\frac{19}{3}

:

\int_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}} \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}} {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{7}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 4^{3} - \frac{2}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 64 - \frac{2}{9} \cdot 8$

= $\frac{128}{9} - \frac{16}{9}$

= $\frac{112}{9}$

≈ 12,444

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{7}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{7}{3}

und

\frac{19}{3}

zusammen:

B = 18 + $\frac{112}{9}$ = $\frac{274}{9}$ ≈ 30.44

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{22}{3}$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{31}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 2 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 2 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 64$

= $\frac{500}{9} - \frac{256}{9}$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 3 + $\frac{244}{9}$ = $\frac{271}{9}$ ≈ 30.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 10 x - 1) ⅆ x$ = $- 99,75$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 10 x - 1) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - u - (- 5 \cdot 1^{2} - 1)$

= $- 5 u^{2} - u - (- 5 \cdot 1 - 1)$

= $- 5 u^{2} - u - (- 5 - 1)$

= $- 5 u^{2} - u - 1 \cdot (- 6)$

= $- 5 u^{2} - u + 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 99,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - u + 6

=

- 99,75

|

+ 99,75

$- 5 u^{2} - u + 105,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 105,75}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 2 115}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{2 116}}{- 10}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{2 116}}{- 10}$ = $\frac{1+46}{- 10}$ = $\frac{47}{- 10}$ = $- 4,7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{2 116}}{- 10}$ = $\frac{1-46}{- 10}$ = $\frac{- 45}{- 10}$ = $4,5$

Da u= $- 4,7$ < 1 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \cdot \cos (2 x - π)$ zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 6 \cdot \cos (2 x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[3 \cdot \sin (2 x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (3 \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - 3 \cdot \sin (2 \cdot (0) - π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (3 \cdot \sin (2 π) - 3 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (3 \cdot 0 - 3 \cdot 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(- x + 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[2 {(- x + 1)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{2}{- x + 1}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{2}{- u + 1} - \frac{2}{- 2 + 1}$

= $\frac{2}{- u + 1} - \frac{2}{(- 1)}$

= $\frac{2}{- u + 1} - 2 \cdot (- 1)$

= $\frac{2}{- u + 1} + 2$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{- u + 1} + 2$ → $0 + 2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale