Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{2}$ s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $14$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{2}

und

14

:

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 4 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{2}

und

14

zusammen:

B = 16 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{292}{3}$ ≈ 97.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{23}{3}$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 5 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 5 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 64$

= $\frac{1250}{9} - \frac{640}{9}$

= $\frac{610}{9}$

≈ 67,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{23}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 18 + $\frac{610}{9}$ = $\frac{772}{9}$ ≈ 85.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{- 0,5 x + 0,1} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{- 0,5 x + 0,1} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,5 x + 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,5 u + 0,1} + 4 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,1}$

= $- 4 e^{- 0,5 u + 0,1} + 4 e^{0 + 0,1}$

= $- 4 e^{- 0,5 u + 0,1} + 4 e^{0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,5 u + 0,1} + 4 e^{0,1}$	=	$4$	\| $- 4 e^{0,1}$
$- 4 e^{- 0,5 u + 0,1}$	=	$- 4 e^{0,1} + 4$
$- 4 e^{- 0,5 u + 0,1}$	=	$- 0,4207$	\|: $- 4$
$e^{- 0,5 u + 0,1}$	=	$0,1052$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,1$	=	$\ln (0,1052)$

$- 0,5 u + 0,1$	=	$- 2,2519$	\| $- 0,1$
$- 0,5 u$	=	$- 2,3519$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$4,7038$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $4 {(3 x - 3)}^{3} + 6 x$ zwischen 2 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} (4 {(3 x - 3)}^{3} + 6 x) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{3} {(3 x - 3)}^{4} + 3 x^{2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 3 - 3)}^{4} + 3 \cdot 3^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 3)}^{4} + 3 \cdot 2^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot {(9 - 3)}^{4} + 3 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot {(6 - 3)}^{4} + 3 \cdot 4)$

= $\frac{1}{3} \cdot 6^{4} + 27 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{4} + 12)$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 296 + 27 - (\frac{1}{3} \cdot 81 + 12)$

= $432 + 27 - (27 + 12)$

= $459 - 1 \cdot 39$

= $459 - 39$

= $420$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $11$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{11} \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{11} 2 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{11}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{11}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 11 - 6} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \sqrt{22 - 6} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \sqrt{16} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \cdot 4 - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $8 - 2 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 6} + 8$ → $0 + 8$ = $8$ ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale