Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 14 + = ≈ 95.33
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 39 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 2,457
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 39 +
≈ 41.46
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
56,25
|
=
-7,5
|
| u2 |
= |
56,25
|
=
7,5
|
Da u=
-7,5
< 3 ist u=
7,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3⋅ cos( x - π) zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
3⋅
cos(
x
- π)
ⅆ
x
=
2
π
[
3⋅
sin(
x
- π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
3⋅
sin(
π
- π)
-3⋅
sin(
1
2
π
- π)
)
=
2
π
·
(
3⋅
sin(0)
-3⋅
sin(
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
3⋅0
-3⋅( -1 )
)
=
2
π
·
(
0
+3
)
=
2
π
·
3
=
6
π
≈ 1,91
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( 3x -6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
3
(
3x
-6
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
-3
(
3x
-6
)
-3
ⅆ
x
=
[
1
2
(
3x
-6
)
-2
]
3
u
=
[
1
2
(
3x
-6
)
2
]
3
u
=
1
2
(
3u
-6
)
2
-
1
2
(
3⋅3
-6
)
2
=
1
2
(
3u
-6
)
2
-
1
2
(
9
-6
)
2
=
1
2
(
3u
-6
)
2
-
1
2⋅
3
2
=
1
2
(
3u
-6
)
2
-
1
2
⋅(
1
9
)
=
1
2
(
3u
-6
)
2
-
1
18
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
2
(
3u
-6
)
2
-
1
18
→
0
-
1
18
=
-
1
18
≈ -0.056
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056