Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{5}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 5 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{5}{2 (2 x - 3)}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{2 (2 \cdot 5 - 3)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{5}{2 (10 - 3)} + \frac{5}{2 (4 - 3)}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 7} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{7}) + \frac{5}{2} \cdot 1$

= $- \frac{5}{14} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{14} + \frac{35}{14}$

= $\frac{15}{7}$

≈ 2,143

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 5 + $\frac{15}{7}$ = $\frac{50}{7}$ ≈ 7.14

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 2 {(x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 2)}^{- 1}]}_{4}^{5}$

= ${[- \frac{2}{x - 2}]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{5 - 2} + \frac{2}{4 - 2}$

= $- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{3}) + 2 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{2}{3} + 1$

= $- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 13 + $\frac{1}{3}$ = $\frac{40}{3}$ ≈ 13.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 2 x ⅆ x$ = $63,25$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 2 x ⅆ x

= ${[x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $u^{2} - 3^{2}$

= $u^{2} - 9$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $63,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^{2} - 9$	=	$63,25$	\| $+ 9$
$u^{2}$	=	$72,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{72,25}$	= $- 8,5$
u₂	=	$\sqrt{72,25}$	= $8,5$

Da u= $- 8,5$ < 3 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \cos (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \cos (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (\frac{1}{2} π) + \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 0 + 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(3 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 x - 3}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 u - 3} - \frac{1}{3 \cdot 3 - 3}$

= $\frac{1}{3 u - 3} - \frac{1}{9 - 3}$

= $\frac{1}{3 u - 3} - \frac{1}{6}$

= $\frac{1}{3 u - 3} - (\frac{1}{6})$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 u - 3} - \frac{1}{6}$ → $0 - \frac{1}{6}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale