Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 7:

\int_{5}^{7} \frac{5}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{5}^{7} 5 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 5 {(x - 3)}^{- 1}]}_{5}^{7}$

= ${[- \frac{5}{x - 3}]}_{5}^{7}$

$=$ $- \frac{5}{7 - 3} + \frac{5}{5 - 3}$

= $- \frac{5}{4} + \frac{5}{2}$

= $- 5 \cdot (\frac{1}{4}) + 5 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{5}{4} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{4} + \frac{10}{4}$

= $\frac{5}{4}$

= 1,25

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 7 zusammen:

B = 20 + $\frac{5}{4}$ = $\frac{85}{4}$ ≈ 21.25

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 7} - \frac{2}{3} e^{6 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e^{- 1}$

≈ 4,681

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 76 + $\frac{2}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e^{- 1}$ ≈ 80.68

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} e^{- 0,2 x + 0,7} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} e^{- 0,2 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,2 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,2 u + 0,7} + 5 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 5 e^{- 0,2 u + 0,7} + 5 e^{0 + 0,7}$

= $- 5 e^{- 0,2 u + 0,7} + 5 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,2 u + 0,7} + 5 e^{0,7}$	=	$4$	\| $- 5 e^{0,7}$
$- 5 e^{- 0,2 u + 0,7}$	=	$- 5 e^{0,7} + 4$
$- 5 e^{- 0,2 u + 0,7}$	=	$- 6,0688$	\|: $- 5$
$e^{- 0,2 u + 0,7}$	=	$1,2138$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,7$	=	$\ln (1,2138)$

$- 0,2 u + 0,7$	=	$0,1938$	\| $- 0,7$
$- 0,2 u$	=	$- 0,5062$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$2,531$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 3}

\int_{3}^{6} \frac{4}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{3}^{6} 4 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{4}{3 (3 x - 3)}]}_{3}^{6}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{4}{3 (3 \cdot 6 - 3)} + \frac{4}{3 (3 \cdot 3 - 3)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{4}{3 (18 - 3)} + \frac{4}{3 (9 - 3)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{4}{3 \cdot 15} + \frac{4}{3 \cdot 6})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{15}) + \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{6}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{4}{45} + \frac{2}{9})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{4}{45} + \frac{10}{45})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{15}$

= $\frac{2}{45}$

≈ 0,044

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{0}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{0 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{3}$ → $0 - \frac{2}{3} e^{3}$ = $- \frac{2}{3} e^{3}$ ≈ -13.39

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 13.39

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale