Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 3} - 2 e^{0 - 3}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{- 3}$

≈ 0,636

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 75 + $2 e^{- 1} - 2 e^{- 3}$ ≈ 75.64

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 80 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $4 e^{2 - 1} - 4 e^{0 - 1}$

= $4 e^{1} - 4 e^{- 1}$

= $4 e - 4 e^{- 1}$

≈ 9,402

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 80 + $- 4 e^{- 1} + 4 e$ ≈ 89.4

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (8 x + 2) ⅆ x$ = $68$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (8 x + 2) ⅆ x

= ${[4 x^{2} + 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $4 u^{2} + 2 u - (4 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3)$

= $4 u^{2} + 2 u - (4 \cdot 9 + 6)$

= $4 u^{2} + 2 u - (36 + 6)$

= $4 u^{2} + 2 u - 1 \cdot 42$

= $4 u^{2} + 2 u - 42$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $68$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} + 2 u - 42

=

68

|

- 68

4 u^{2} + 2 u - 110

= 0 |:2

$2 u^{2} + u - 55$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 55)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 440}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{441}}{4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 1+21}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 1-21}{4}$ = $\frac{- 22}{4}$ = $- 5,5$

Da u= $- 5,5$ < 3 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\sin (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\sin (2 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\sin (\frac{1}{2} π) - \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (1 - (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (1 + 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot 2$

= $\frac{4}{π}$

≈ 1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $2 e^{- 3 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 5}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} + \frac{2}{3} e^{- 6 + 5}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} + \frac{2}{3} e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} + \frac{2}{3} e^{- 1}$ → $0 + \frac{2}{3} e^{- 1}$ = $\frac{2}{3} e^{- 1}$ ≈ 0.245

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.245

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale