Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 3x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4 s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 19 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 19 3 :
4 19 3 3 3x -3 x
= 4 19 3 3 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( 3x -3 ) 3 2 ] 4 19 3

= [ 2 3 ( 3x -3 ) 3 ] 4 19 3

= 2 3 ( 3( 19 3 ) -3 ) 3 - 2 3 ( 34 -3 ) 3

= 2 3 ( 19 -3 ) 3 - 2 3 ( 12 -3 ) 3

= 2 3 ( 16 ) 3 - 2 3 ( 9 ) 3

= 2 3 4 3 - 2 3 3 3

= 2 3 64 - 2 3 27

= 128 3 -18

= 128 3 - 54 3

= 74 3


≈ 24,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 19 3 zusammen:
B = 20 + 74 3 = 134 3 ≈ 44.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 5 e x -2 x

= [ 5 e x -2 ] 2 3

= 5 e 3 -2 -5 e 2 -2

= 5 e 1 -5 e 0

= 5e -5


≈ 8,591
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 31 + -5 +5e ≈ 39.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,1 e 0,7x -0,3 x = 7

Lösung einblenden
0 u 2,1 e 0,7x -0,3 x

= [ 3 e 0,7x -0,3 ] 0 u

= 3 e 0,7u -0,3 -3 e 0,70 -0,3

= 3 e 0,7u -0,3 -3 e 0 -0,3

= 3 e 0,7u -0,3 -3 e -0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 e 0,7u -0,3 -3 e -0,3 = 7 | +3 e -0,3
3 e 0,7u -0,3 = 3 e -0,3 +7
3 e 0,7u -0,3 = 9,2225 |:3
e 0,7u -0,3 = 3,0742 |ln(⋅)
0,7u -0,3 = ln( 3,0742 )
0,7u -0,3 = 1,123 | +0,3
0,7u = 1,423 |:0,7
u = 2,0329

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 sin( 2x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 2 sin( 2x + π) x

= 1 π [ - cos( 2x + π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - cos( 2( 3 2 π ) + π) + cos( 2( 1 2 π ) + π) )

= 1 π · ( - cos(4π) + cos(2π) )

= 1 π · ( -1 +1 )

= -1 +1 π

= 0 π

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 3 -x +1 x
= 2 u -3 ( -x +1 ) -1 x

= [ 3 ln( | -x +1 | ) ] 2 u

= 3 ln( | -( u ) +1 | ) -3 ln( | -2 +1 | )

= 3 ln( | -u +1 | ) -3 ln( | -2 +1 | )

= 3 ln( | -u +1 | ) -3 ln( 1 )

= 3 ln( | -u +1 | ) +0

= 3 ln( | -x +1 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 ln( | -x +1 | )