Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{23}{3}$ Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{32}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 2 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 64$

= $\frac{500}{9} - \frac{256}{9}$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{23}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 18 + $\frac{244}{9}$ = $\frac{406}{9}$ ≈ 45.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 44 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{1} - \frac{1}{3} e^{- 2}$

= $\frac{1}{3} e - \frac{1}{3} e^{- 2}$

≈ 0,861

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 44 + $- \frac{1}{3} e^{- 2} + \frac{1}{3} e$ ≈ 44.86

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (4 x - 5) ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (4 x - 5) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 5 x]}_{1}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 5 u - (2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1)$

= $2 u^{2} - 5 u - (2 \cdot 1 - 5)$

= $2 u^{2} - 5 u - (2 - 5)$

= $2 u^{2} - 5 u - 1 \cdot (- 3)$

= $2 u^{2} - 5 u + 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} - 5 u + 3

=

6

|

- 6

$2 u^{2} - 5 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{4}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{5+7}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{5-7}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Da u= $- 0,5$ < 1 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(3 x - 3)}^{2} + 2 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} (2 {(3 x - 3)}^{2} + 2 x) ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{3} + x^{2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 4 - 3)}^{3} + 4^{2} - (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{3} + 0^{2}))$

= $\frac{1}{4} (\frac{2}{9} \cdot {(12 - 3)}^{3} + 16 - (\frac{2}{9} \cdot {(0 - 3)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{2}{9} \cdot 9^{3} + 16 - (\frac{2}{9} \cdot {(- 3)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{2}{9} \cdot 729 + 16 - (\frac{2}{9} \cdot (- 27) + 0))$

= $\frac{1}{4} (162 + 16 - (- 6 + 0))$

= $\frac{1}{4} (178 + 6)$

= $\frac{1}{4} \cdot 184$

= $46$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{x}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} - \frac{3}{x} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - \frac{3}{x} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - 3 x^{- 1} ⅆ x

= ${[- 3 \ln (| x |)]}_{u}^{4}$

$=$ $- 3 \ln (| 4 |) + 3 \ln (| u |)$

= $- 3 \ln (4) + 3 \ln (| u |)$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- 3 \ln (| 4 |) + 3 \ln (| x |)$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale