Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 6 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 7}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 2 - 7} - 2 e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $2 e^{6 - 7} - 2 e^{0 - 7}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{- 7}$

≈ 0,734

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 11 + $2 e^{- 1} - 2 e^{- 7}$ ≈ 11.73

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 69 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 5} - e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $e^{9 - 5} - e^{6 - 5}$

= $e^{4} - e^{1}$

= $e^{4} - e$

≈ 51,88

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 69 + $e^{4} - e$ ≈ 120.88

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,6 e^{0,2 x - 0,7} ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,6 e^{0,2 x - 0,7} ⅆ x

= ${[3 e^{0,2 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,2 u - 0,7} - 3 e^{0,2 \cdot 0 - 0,7}$

= $3 e^{0,2 u - 0,7} - 3 e^{0 - 0,7}$

= $3 e^{0,2 u - 0,7} - 3 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,2 u - 0,7} - 3 e^{- 0,7}$	=	$18$	\| $+ 3 e^{- 0,7}$
$3 e^{0,2 u - 0,7}$	=	$3 e^{- 0,7} + 18$
$3 e^{0,2 u - 0,7}$	=	$19,4898$	\|: $3$
$e^{0,2 u - 0,7}$	=	$6,4966$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,7$	=	$\ln (6,4966)$

$0,2 u - 0,7$	=	$1,8713$	\| $+ 0,7$
$0,2 u$	=	$2,5713$	\|: $0,2$
$u$	=	$12,8565$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 e^{x - 2}$ zwischen 0 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[3 e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (3 e^{3 - 2} - 3 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{3} (3 e^{1} - 3 e^{- 2})$

= $\frac{1}{3} (3 e - 3 e^{- 2})$

= $\frac{1}{3} (- 3 e^{- 2} + 3 e)$

≈ 2,583

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $3,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3,5} \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3,5} 3 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{3,5}$

= ${[3 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{3,5}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 3,5 - 6} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \sqrt{7 - 6} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \sqrt{1} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \cdot 1 - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 - 3 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 3 \sqrt{2 u - 6} + 3$ → $0 + 3$ = $3$ ≈ 3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale