Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 4 + = ≈ 44.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
3
2
ln(
|
2⋅4
-1
|
)
-
3
2
ln(
|
2⋅2
-1
|
)
=
3
2
ln(
|
8
-1
|
)
-
3
2
ln(
|
4
-1
|
)
=
3
2
ln(
7
)
-
3
2
ln(
|
4
-1
|
)
=
3
2
ln(
7
)
-
3
2
ln(
3
)
≈ 1,271
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 10 +
3
2
ln(
|
7
|
)
-
3
2
ln(
|
3
|
)
≈ 11.27
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass ∫ 3 u 8x ⅆ x = 45
Lösung einblenden
∫
3
u
8x
ⅆ
x
=
[
4
x
2
]
3
u
=
4
u
2
-4⋅
3
2
=
4
u
2
-4⋅9
=
4
u
2
-36
|
4
u
2
-36
|
= |
45
|
|
+36
|
|
4
u
2
|
= |
81
|
|:4
|
|
u
2
|
= |
81
4
|
|
⋅2
|
| u1 |
= |
-
81
4
|
=
-
9
2
|
| u2 |
= |
81
4
|
=
9
2
|
Da u=
-
9
2
< 3 ist u=
9
2
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= e 3x -6 zwischen 1 und 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-1
∫
1
4
e
3x
-6
ⅆ
x
=
1
3
[
1
3
e
3x
-6
]
1
4
=
1
3
(
1
3
e
3⋅4
-6
-
1
3
e
3⋅1
-6
)
=
1
3
(
1
3
e
12
-6
-
1
3
e
3
-6
)
=
1
3
(
1
3
e
6
-
1
3
e
-3
)
≈ 44,82
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 10 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
10
-
2
2x
-4
ⅆ
x
=
∫
u
10
-2
(
2x
-4
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
2x
-4
)
1
2
]
u
10
=
[
-2
2x
-4
]
u
10
=
-2
2⋅10
-4
+2
2u
-4
=
-2
20
-4
+2
2u
-4
=
-2
16
+2
2u
-4
=
-2⋅4
+2
2u
-4
=
-8
+2
2u
-4
Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) =
2
2u
-4
-8
→
0
-8
=
-8
≈ -8
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8