Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $17$ s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $26$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

17

und

26

:

\int_{17}^{26} 4 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{17}^{26} 4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{17}^{26}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{17}^{26}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3}$

= $\frac{8}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 5^{3} - \frac{8}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 125 - \frac{8}{3} \cdot 64$

= $\frac{1000}{3} - \frac{512}{3}$

= $\frac{488}{3}$

≈ 162,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

17

und der Änderung zwischen

17

und

26

zusammen:

B = 8 + $\frac{488}{3}$ = $\frac{512}{3}$ ≈ 170.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 5 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 3} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{4 - 3} - \frac{5}{2} e^{0 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{1} - \frac{5}{2} e^{- 3}$

= $\frac{5}{2} e - \frac{5}{2} e^{- 3}$

≈ 6,671

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 14 + $- \frac{5}{2} e^{- 3} + \frac{5}{2} e$ ≈ 20.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (8 x - 5) ⅆ x$ = $- 1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (8 x - 5) ⅆ x

= ${[4 x^{2} - 5 x]}_{0}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 5 u - (4 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $4 u^{2} - 5 u - (4 \cdot 0 + 0)$

= $4 u^{2} - 5 u - (0 + 0)$

= $4 u^{2} - 5 u + 0$

= $4 u^{2} - 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} - 5 u

=

- 1

|

+ 1

$4 u^{2} - 5 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{8}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{5+3}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{5-3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 5}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $3$ und Minute $10$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{10 - 3}

\int_{3}^{10} 2 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\frac{1}{7}

\int_{3}^{10} 2 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{7}$ ${[\frac{4}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{10}$

= $\frac{1}{7}$ ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{10}$

$=$ $\frac{1}{7} (\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{4}{9} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{9 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 2^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 8)$

= $\frac{1}{7} (\frac{500}{9} - \frac{32}{9})$

= $\frac{1}{7} \cdot 52$

= $\frac{52}{7}$

≈ 7,429

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 3 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 x - 3}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 u - 3} + \frac{1}{3 \cdot 2 - 3}$

= $- \frac{1}{3 u - 3} + \frac{1}{6 - 3}$

= $- \frac{1}{3 u - 3} + \frac{1}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 u - 3} + \frac{1}{3}$ → $0 + \frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale