Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{6 - 7} - \frac{4}{3} e^{0 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{- 1} - \frac{4}{3} e^{- 7}$

≈ 0,489

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 12 + $\frac{4}{3} e^{- 1} - \frac{4}{3} e^{- 7}$ ≈ 12.49

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{1}{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{1}{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 4 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 4 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 4 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 12 - 4 |) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 4 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (8) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 4 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (8) - \frac{1}{3} \ln (5)$

≈ 0,157

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 13 + $\frac{1}{3} \ln (| 8 |) - \frac{1}{3} \ln (| 5 |)$ ≈ 13.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 4 x + 5) ⅆ x$ = $- 25$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 4 x + 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 5 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 5 u - (- 2 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0)$

= $- 2 u^{2} + 5 u - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 2 u^{2} + 5 u - (0 + 0)$

= $- 2 u^{2} + 5 u + 0$

= $- 2 u^{2} + 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 5 u

=

- 25

|

+ 25

$- 2 u^{2} + 5 u + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 25}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 5+15}{- 4}$ = $\frac{10}{- 4}$ = $- 2,5$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 5-15}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Da u= $- 2,5$ < 0 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \cos (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (2 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (\frac{5}{2} π) + \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 0 + 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $18$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{18} - \frac{3}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{18} - 3 {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{18}$

= ${[- 6 \sqrt{x - 2}]}_{u}^{18}$

$=$ $- 6 \sqrt{18 - 2} + 6 \sqrt{u - 2}$

= $- 6 \sqrt{16} + 6 \sqrt{u - 2}$

= $- 6 \cdot 4 + 6 \sqrt{u - 2}$

= $- 24 + 6 \sqrt{u - 2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $6 \sqrt{u - 2} - 24$ → $0 - 24$ = $- 24$ ≈ -24

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 24

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale