Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 0,4
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 19 + = ≈ 19.4
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 0,612
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 31 +
≈ 31.61
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
4
-2
=
-2
u2 =
-3
-
49
-2
=
-3
-7
-2
=
-10
-2
=
5
Da u=
-2
< 0 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -2 ) 3 +5x (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 2.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
2
-1
∫
1
2
(
2
(
x
-2
)
3
+5x
)
ⅆ
x
=
1
[
1
2
(
x
-2
)
4
+
5
2
x
2
]
1
2
=
1
2
⋅
(
2
-2
)
4
+
5
2
⋅
2
2
- (
1
2
⋅
(
1
-2
)
4
+
5
2
⋅
1
2
)
=
1
2
⋅
0
4
+
5
2
⋅4
- (
1
2
⋅
( -1 )
4
+
5
2
⋅1
)
=
1
2
⋅0
+10
- (
1
2
⋅1
+
5
2
)
=
0
+10
- (
1
2
+
5
2
)
=
10
- (
0,5
+2,5
)
=
10
-1
·
3
=
10
-3
=
7
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( -3x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
-
2
(
-3x
+3
)
2
ⅆ
x
=
∫
2
u
-2
(
-3x
+3
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
2
3
(
-3x
+3
)
-1
]
2
u
=
[
-
2
3(
-3x
+3
)
]
2
u
=
-
2
3(
-3u
+3
)
+
2
3(
-3⋅2
+3
)
=
-
2
3(
-3u
+3
)
+
2
3(
-6
+3
)
=
-
2
3(
-3u
+3
)
+
2
3
( -3 )
=
-
2
3(
-3u
+3
)
+
2
3
⋅(
-
1
3
)
=
-
2
3(
-3u
+3
)
-
2
9
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
2
3(
-3u
+3
)
-
2
9
→
0
-
2
9
=
-
2
9
≈ -0.222
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.222