Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 5 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $5 e^{3 - 3} - 5 e^{2 - 3}$

= $5 e^{0} - 5 e^{- 1}$

= $5 - 5 e^{- 1}$

≈ 3,161

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 3 + $- 5 e^{- 1} + 5$ ≈ 6.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{5 - 2} - e^{2 - 2}$

= $e^{3} - e^{0}$

= $e^{3} - 1$

≈ 19,086

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 15 + $e^{3} - 1$ ≈ 34.09

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 2 x - 5) ⅆ x$ = $- 93,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 2 x - 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 5 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- u^{2} - 5 u - (- 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $- u^{2} - 5 u - (- 0 + 0)$

= $- u^{2} - 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 93,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} - 5 u

=

- 93,75

|

+ 93,75

$- u^{2} - 5 u + 93,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 93,75}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 375}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{400}}{- 2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{400}}{- 2}$ = $\frac{5+20}{- 2}$ = $\frac{25}{- 2}$ = $- 12,5$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{400}}{- 2}$ = $\frac{5-20}{- 2}$ = $\frac{- 15}{- 2}$ = $7,5$

Da u= $- 12,5$ < 0 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{2 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 6 e^{2 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[3 e^{2 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (3 e^{2 \cdot 3 - 4} - 3 e^{2 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (3 e^{6 - 4} - 3 e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (3 e^{2} - 3 e^{- 4})$

≈ 7,371

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(- 3 x + 6)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(- 3 x + 6)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- 3 x + 6)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 3 x + 6)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 {(- 3 x + 6)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 3 + 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{3 {(- 9 + 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{3 {(- 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{27}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{27}$ → $0 + \frac{1}{27}$ = $\frac{1}{27}$ ≈ 0.037

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.037

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale