Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e 2x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 6 e 2x -3 x

= [ 3 e 2x -3 ] 2 3

= 3 e 23 -3 -3 e 22 -3

= 3 e 6 -3 -3 e 4 -3

= 3 e 3 -3 e 1

= 3 e 3 -3e


≈ 52,102
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 14 + 3 e 3 -3e ≈ 66.1

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 e x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 4 e x -2 x

= [ 4 e x -2 ] 2 3

= 4 e 3 -2 -4 e 2 -2

= 4 e 1 -4 e 0

= 4e -4


≈ 6,873
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 8 + -4 +4e ≈ 14.87

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u 10x x = 25

Lösung einblenden
2 u 10x x

= [ 5 x 2 ] 2 u

= 5 u 2 -5 2 2

= 5 u 2 -54

= 5 u 2 -20

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -20 = 25 | +20
5 u 2 = 45 |:5
u 2 = 9 | 2
u1 = - 9 = -3
u2 = 9 = 3

Da u= -3 < 2 ist u= 3 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -2 ) 2 +5x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 ( 4 ( x -2 ) 2 +5x ) x

= 1 3 [ 4 3 ( x -2 ) 3 + 5 2 x 2 ] 0 3

= 1 3 ( 4 3 ( 3 -2 ) 3 + 5 2 3 2 - ( 4 3 ( 0 -2 ) 3 + 5 2 0 2 ))

= 1 3 ( 4 3 1 3 + 5 2 9 - ( 4 3 ( -2 ) 3 + 5 2 0 ))

= 1 3 ( 4 3 1 + 45 2 - ( 4 3 ( -8 ) +0))

= 1 3 ( 4 3 + 45 2 - ( - 32 3 +0))

= 1 3 ( 8 6 + 135 6 - ( - 32 3 +0))

= 1 3 ( 143 6 + 32 3 )

= 1 3 ( 143 6 + 64 6 )

= 1 3 · 69 2

= 23 2


= 11,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( -3x +5 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 2 ( -3x +5 ) 3 x
= 3 u -2 ( -3x +5 ) -3 x

= [ - 1 3 ( -3x +5 ) -2 ] 3 u

= [ - 1 3 ( -3x +5 ) 2 ] 3 u

= - 1 3 ( -3u +5 ) 2 + 1 3 ( -33 +5 ) 2

= - 1 3 ( -3u +5 ) 2 + 1 3 ( -9 +5 ) 2

= - 1 3 ( -3u +5 ) 2 + 1 3 ( -4 ) 2

= - 1 3 ( -3u +5 ) 2 + 1 3 ( 1 16 )

= - 1 3 ( -3u +5 ) 2 + 1 48

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 3 ( -3u +5 ) 2 + 1 48 0 + 1 48 = 1 48 ≈ 0.021

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.021