Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{3 \cdot 5 - 3} - e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $e^{15 - 3} - e^{6 - 3}$

= $e^{12} - e^{3}$

≈ 162734,706

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 60 + $e^{12} - e^{3}$ ≈ 162794.71

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 7)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{5}{{(3 x - 7)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 5 {(3 x - 7)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} {(3 x - 7)}^{- 1}]}_{4}^{5}$

= ${[- \frac{5}{3 (3 x - 7)}]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{3 (3 \cdot 5 - 7)} + \frac{5}{3 (3 \cdot 4 - 7)}$

= $- \frac{5}{3 (15 - 7)} + \frac{5}{3 (12 - 7)}$

= $- \frac{5}{3 \cdot 8} + \frac{5}{3 \cdot 5}$

= $- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{5})$

= $- \frac{5}{24} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{5}{24} + \frac{8}{24}$

= $\frac{1}{8}$

= 0,125

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 6 + $\frac{1}{8}$ = $\frac{49}{8}$ ≈ 6.13

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,6 x - 0,3} ⅆ x$ = $20$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,6 x - 0,3} ⅆ x

= ${[3 e^{0,6 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,6 u - 0,3} - 3 e^{0,6 \cdot 0 - 0,3}$

= $3 e^{0,6 u - 0,3} - 3 e^{0 - 0,3}$

= $3 e^{0,6 u - 0,3} - 3 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,6 u - 0,3} - 3 e^{- 0,3}$	=	$20$	\| $+ 3 e^{- 0,3}$
$3 e^{0,6 u - 0,3}$	=	$3 e^{- 0,3} + 20$
$3 e^{0,6 u - 0,3}$	=	$22,2225$	\|: $3$
$e^{0,6 u - 0,3}$	=	$7,4075$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,3$	=	$\ln (7,4075)$

$0,6 u - 0,3$	=	$2,0025$	\| $+ 0,3$
$0,6 u$	=	$2,3025$	\|: $0,6$
$u$	=	$3,8375$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{5}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} 5 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{5}{2 (2 x - 3)}]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2 (2 \cdot 5 - 3)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 3 - 3)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2 (10 - 3)} + \frac{5}{2 (6 - 3)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2 \cdot 7} + \frac{5}{2 \cdot 3})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{7}) + \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{3}))$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{14} + \frac{5}{6})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{15}{42} + \frac{35}{42})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{21}$

= $\frac{5}{21}$

≈ 0,238

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $11$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{11}^{u} \frac{1}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{11}^{u} {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{11}^{u}$

= ${[2 \sqrt{x - 2}]}_{11}^{u}$

$=$ $2 \sqrt{u - 2} - 2 \sqrt{11 - 2}$

= $2 \sqrt{u - 2} - 2 \sqrt{9}$

= $2 \sqrt{u - 2} - 2 \cdot 3$

= $2 \sqrt{u - 2} - 6$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \sqrt{u - 2} - 6$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale