Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 12,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 5 + = ≈ 17.44
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
= 3,75
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 17 + = ≈ 20.75
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
361
4
|
=
-
19
2
|
| u2 |
= |
361
4
|
=
19
2
|
Da u=
-
19
2
< 3 ist u=
19
2
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6⋅ sin( 2x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
6⋅
sin(
2x
+
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-3⋅
cos(
2x
+
1
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
-3⋅
cos(
2⋅π
+
1
2
π)
+3⋅
cos(
2⋅(
1
2
π )
+
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-3⋅
cos(
5
2
π)
+3⋅
cos(
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-3⋅0
+3⋅0
)
=
2
π
·
(
0+0
)
=
2
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 3x -5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=7 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
7
u
-
3
3x
-5
ⅆ
x
=
∫
7
u
-3
(
3x
-5
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
3x
-5
)
1
2
]
7
u
=
[
-2
3x
-5
]
7
u
=
-2
3u
-5
+2
3⋅7
-5
=
-2
3u
-5
+2
21
-5
=
-2
3u
-5
+2
16
=
-2
3u
-5
+2⋅4
=
-2
3u
-5
+8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-2
3u
-5
+8
→
-∞