Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,35
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 9 +
≈ 9.35
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 4,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 11 + = ≈ 15.22
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
21
-6
=
-3,5
u2 =
3
-
324
-6
=
3
-18
-6
=
-15
-6
=
2,5
Da u=
-3,5
< 0 ist u=
2,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 6.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
6
-4
∫
4
6
1
x
-3
ⅆ
x
=
1
2
∫
4
6
(
x
-3
)
-1
ⅆ
x
=
1
2
[
ln(
|
x
-3
|
)
]
4
6
=
1
2
(
ln(
|
6
-3
|
)
-
ln(
|
4
-3
|
)
)
=
1
2
(
ln(
3
)
-
ln(
|
4
-3
|
)
)
=
1
2
(
ln(
3
)
-
ln(
1
)
)
=
1
2
(
ln(
3
)
+0)
=
1
2
ln(
3
)
≈ 0,549
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 -x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
3
-x
+1
ⅆ
x
=
∫
3
u
3
(
-x
+1
)
-1
ⅆ
x
=
[
-3
ln(
|
-x
+1
|
)
]
3
u
=
-3
ln(
|
-(
u
)
+1
|
)
+3
ln(
|
-3
+1
|
)
=
-3
ln(
|
-u
+1
|
)
+3
ln(
|
-3
+1
|
)
=
-3
ln(
|
-u
+1
|
)
+3
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
ln(
2
)
-3
ln(
|
-x
+1
|
)
→
∞