Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{7} - \frac{3}{2} e^{1}$

= $\frac{3}{2} e^{7} - \frac{3}{2} e$

≈ 1640,872

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 31 + $\frac{3}{2} e^{7} - \frac{3}{2} e$ ≈ 1671.87

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 5} - e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $e^{8 - 5} - e^{2 - 5}$

= $e^{3} - e^{- 3}$

≈ 20,036

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 19 + $e^{3} - e^{- 3}$ ≈ 39.04

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,3 e^{- 0,1 x + 0,1} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,3 e^{- 0,1 x + 0,1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,1 x + 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,1 u + 0,1} + 3 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,1}$

= $- 3 e^{- 0,1 u + 0,1} + 3 e^{0 + 0,1}$

= $- 3 e^{- 0,1 u + 0,1} + 3 e^{0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,1 u + 0,1} + 3 e^{0,1}$	=	$2$	\| $- 3 e^{0,1}$
$- 3 e^{- 0,1 u + 0,1}$	=	$- 3 e^{0,1} + 2$
$- 3 e^{- 0,1 u + 0,1}$	=	$- 1,3155$	\|: $- 3$
$e^{- 0,1 u + 0,1}$	=	$0,4385$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,1$	=	$\ln (0,4385)$

$- 0,1 u + 0,1$	=	$- 0,8244$	\| $- 0,1$
$- 0,1 u$	=	$- 0,9244$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$9,244$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 6 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[6 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) - 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (6 \cdot \sin (π) - 6 \cdot \sin (0))$

= $\frac{1}{π} \cdot (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $0,5$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{0,5} \frac{1}{\sqrt{2 x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{0,5} \frac{\frac{1.4142135623731}{1.4142135623731}}{1,4142135623731 \sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{0,5} \frac{1}{1.4142135623731} x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{1.4142135623731} x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{0,5}$

= ${[\frac{2}{1.4142135623731} \sqrt{x}]}_{u}^{0,5}$

$=$ $\frac{2}{1.4142135623731} \sqrt{0,5} - \frac{2}{1.4142135623731} \sqrt{u}$

= $\frac{200 000 000 000 000 010 732 324 408 786 944}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{0,5} - \frac{200 000 000 000 000 010 732 324 408 786 944}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{u}$

= $\frac{2 499 999 999 999 999 908 974 073 741 312}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{0,5} - \frac{2 499 999 999 999 999 908 974 073 741 312}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $\frac{2 499 999 999 999 999 908 974 073 741 312}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \cdot (\sqrt{0,5}) - \frac{2 499 999 999 999 999 908 974 073 741 312}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $- \frac{2 499 999 999 999 999 908 974 073 741 312}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + \frac{2 499 999 999 999 999 908 974 073 741 312}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{0,5}$

= $- \frac{2 499 999 999 999 999 908 974 073 741 312}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + 1$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{2 499 999 999 999 999 908 974 073 741 312}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + 1$ → $0 + 1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale