Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 7)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{6}{{(3 x - 7)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 6 {(3 x - 7)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 7)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{{(3 x - 7)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{{(3 \cdot 5 - 7)}^{2}} + \frac{1}{{(3 \cdot 3 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{{(15 - 7)}^{2}} + \frac{1}{{(9 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{8^{2}} + \frac{1}{2^{2}}$

= $- (\frac{1}{64}) + \frac{1}{4}$

= $\frac{15}{64}$

≈ 0,234

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 15 + $\frac{15}{64}$ = $\frac{975}{64}$ ≈ 15.23

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 41 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 3} - e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $e^{9 - 3} - e^{0 - 3}$

= $e^{6} - e^{- 3}$

≈ 403,379

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 41 + $e^{6} - e^{- 3}$ ≈ 444.38

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} - 4 x ⅆ x$ = $- 142,5$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} - 4 x ⅆ x

= ${[- 2 x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 2 \cdot 1^{2}$

= $- 2 u^{2} + 2 \cdot 1$

= $- 2 u^{2} + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 142,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 u^{2} + 2$	=	$- 142,5$	\| $- 2$
$- 2 u^{2}$	=	$- 144,5$	\|: $(- 2)$
$u^{2}$	=	$72,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{72,25}$	= $- 8,5$
u₂	=	$\sqrt{72,25}$	= $8,5$

Da u= $- 8,5$ < 1 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(3 x - 3)}^{3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} {(3 x - 3)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{1}{12} {(3 x - 3)}^{4}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 4 - 3)}^{4} - \frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{4})$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{12} \cdot {(12 - 3)}^{4} - \frac{1}{12} \cdot {(0 - 3)}^{4})$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{12} \cdot 9^{4} - \frac{1}{12} \cdot {(- 3)}^{4})$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{12} \cdot 6 561 - \frac{1}{12} \cdot 81)$

= $\frac{1}{4} (\frac{2187}{4} - \frac{27}{4})$

= $\frac{1}{4} \cdot 540$

= $135$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{2 x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $8$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{8} \frac{3}{\sqrt{2 x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{8} \frac{\frac{4.2426406871193}{1.4142135623731}}{1,4142135623731 \sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{8} \frac{3}{1.4142135623731} x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{6}{1.4142135623731} x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{8}$

= ${[\frac{6}{1.4142135623731} \sqrt{x}]}_{u}^{8}$

$=$ $\frac{6}{1.4142135623731} \sqrt{8} - \frac{6}{1.4142135623731} \sqrt{u}$

= $\frac{599 999 999 999 999 996 168 176 207 396 864}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{8} - \frac{599 999 999 999 999 996 168 176 207 396 864}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{u}$

= $\frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{8} - \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $\frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \cdot (\sqrt{8}) - \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $- \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{8}$

= $- \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + 12$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + 12$ → $0 + 12$ = $12$ ≈ 12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale