Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $18$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $27$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

18

und

27

:

\int_{18}^{27} 6 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{18}^{27} 6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $4 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 4 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3}$

= $4 \cdot 125 - 4 \cdot 64$

= $500 - 256$

= $244$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

18

und der Änderung zwischen

18

und

27

zusammen:

B = 19 + $244$ = $263$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{6}{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} \frac{6}{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{3} 6 {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| 2 x - 1 |)]}_{1}^{3}$

$=$ $3 \ln (| 2 \cdot 3 - 1 |) - 3 \ln (| 2 \cdot 1 - 1 |)$

= $3 \ln (| 6 - 1 |) - 3 \ln (| 2 - 1 |)$

= $3 \ln (5) - 3 \ln (| 2 - 1 |)$

= $3 \ln (5) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (5) + 0$

= $3 \ln (5)$

≈ 4,828

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 11 + $3 \ln (5)$ ≈ 15.83

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4 e^{- 0,5 x + 0,8} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4 e^{- 0,5 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,5 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,5 u + 0,8} + 8 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 8 e^{- 0,5 u + 0,8} + 8 e^{0 + 0,8}$

= $- 8 e^{- 0,5 u + 0,8} + 8 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,5 u + 0,8} + 8 e^{0,8}$	=	$8$	\| $- 8 e^{0,8}$
$- 8 e^{- 0,5 u + 0,8}$	=	$- 8 e^{0,8} + 8$
$- 8 e^{- 0,5 u + 0,8}$	=	$- 9,8043$	\|: $- 8$
$e^{- 0,5 u + 0,8}$	=	$1,2255$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,8$	=	$\ln (1,2255)$

$- 0,5 u + 0,8$	=	$0,2033$	\| $- 0,8$
$- 0,5 u$	=	$- 0,5967$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$1,1934$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 5}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $7$ und Minute $15$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{15 - 7}

\int_{7}^{15} 6 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\frac{1}{8}

\int_{7}^{15} 6 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{8}$ ${[2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{15}$

= $\frac{1}{8}$ ${[2 {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{15}$

$=$ $\frac{1}{8} (2 {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{8} (2 {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - 2 {(\sqrt{14 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{8} (2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{1}{8} (2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 3^{3})$

= $\frac{1}{8} (2 \cdot 125 - 2 \cdot 27)$

= $\frac{1}{8} (250 - 54)$

= $\frac{1}{8} \cdot 196$

= $\frac{49}{2}$

= 24,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- x + 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} - \frac{1}{{(- x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} - {(- x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- x + 3)}^{- 2}]}_{5}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(- x + 3)}^{2}}]}_{5}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(- u + 3)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 5 + 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- u + 3)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- u + 3)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{2 {(- u + 3)}^{2}} + \frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(- u + 3)}^{2}} + \frac{1}{8}$ → $0 + \frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$ ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale