Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e 2x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 43 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 5 e 2x -4 x

= [ 5 2 e 2x -4 ] 0 1

= 5 2 e 21 -4 - 5 2 e 20 -4

= 5 2 e 2 -4 - 5 2 e 0 -4

= 5 2 e -2 - 5 2 e -4


≈ 0,293
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 43 + 5 2 e -2 - 5 2 e -4 ≈ 43.29

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 3x -6 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 22 3 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 31 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 22 3 und 31 3 :
22 3 31 3 5 3x -6 x
= 22 3 31 3 5 ( 3x -6 ) 1 2 x

= [ 10 9 ( 3x -6 ) 3 2 ] 22 3 31 3

= [ 10 9 ( 3x -6 ) 3 ] 22 3 31 3

= 10 9 ( 3( 31 3 ) -6 ) 3 - 10 9 ( 3( 22 3 ) -6 ) 3

= 10 9 ( 31 -6 ) 3 - 10 9 ( 22 -6 ) 3

= 10 9 ( 25 ) 3 - 10 9 ( 16 ) 3

= 10 9 5 3 - 10 9 4 3

= 10 9 125 - 10 9 64

= 1250 9 - 640 9

= 610 9


≈ 67,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 22 3 und der Änderung zwischen 22 3 und 31 3 zusammen:
B = 13 + 610 9 = 727 9 ≈ 80.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -4x -5 ) x = -25

Lösung einblenden
0 u ( -4x -5 ) x

= [ -2 x 2 -5x ] 0 u

= -2 u 2 -5u - ( -2 0 2 -50 )

= -2 u 2 -5u - ( -20 +0)

= -2 u 2 -5u - (0+0)

= -2 u 2 -5u +0

= -2 u 2 -5u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 -5u = -25 | +25

-2 u 2 -5u +25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · ( -2 ) · 25 2( -2 )

u1,2 = +5 ± 25 +200 -4

u1,2 = +5 ± 225 -4

u1 = 5 + 225 -4 = 5 +15 -4 = 20 -4 = -5

u2 = 5 - 225 -4 = 5 -15 -4 = -10 -4 = 2,5

Da u= -5 < 0 ist u= 2,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 sin( x + 3 2 π) zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 3 sin( x + 3 2 π) x

= 2 π [ -3 cos( x + 3 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( -3 cos( π + 3 2 π) +3 cos( 1 2 π + 3 2 π) )

= 2 π · ( -3 cos( 5 2 π) +3 cos(2π) )

= 2 π · ( -30 +31 )

= 2 π · ( 0 +3 )

= 2 π · 3

= 6 π


≈ 1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -3x +3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 2 ( -3x +3 ) 3 x
= 3 u 2 ( -3x +3 ) -3 x

= [ 1 3 ( -3x +3 ) -2 ] 3 u

= [ 1 3 ( -3x +3 ) 2 ] 3 u

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( -33 +3 ) 2

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( -9 +3 ) 2

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( -6 ) 2

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( 1 36 )

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 108

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 108 0 - 1 108 = - 1 108 ≈ -0.009

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.009