Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 39 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 4 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 4 - 5} - 2 e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $2 e^{8 - 5} - 2 e^{2 - 5}$

= $2 e^{3} - 2 e^{- 3}$

≈ 40,071

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 39 + $2 e^{3} - 2 e^{- 3}$ ≈ 79.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2}$

≈ 603,643

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 8 + $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2}$ ≈ 611.64

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,9 x + 0,1} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,9 x + 0,1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- 0,9 x + 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 e^{- 0,9 u + 0,1} + 2 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,1}$

= $- 2 e^{- 0,9 u + 0,1} + 2 e^{0 + 0,1}$

= $- 2 e^{- 0,9 u + 0,1} + 2 e^{0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 e^{- 0,9 u + 0,1} + 2 e^{0,1}$	=	$2$	\| $- 2 e^{0,1}$
$- 2 e^{- 0,9 u + 0,1}$	=	$- 2 e^{0,1} + 2$
$- 2 e^{- 0,9 u + 0,1}$	=	$- 0,2103$	\|: $- 2$
$e^{- 0,9 u + 0,1}$	=	$0,1052$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,1$	=	$\ln (0,1052)$

$- 0,9 u + 0,1$	=	$- 2,2519$	\| $- 0,1$
$- 0,9 u$	=	$- 2,3519$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$2,6132$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{2 x - 5}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} e^{2 x - 5} ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} e^{2 \cdot 5 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 5})$

= $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} e^{10 - 5} - \frac{1}{2} e^{0 - 5})$

= $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e^{- 5})$

≈ 14,841

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{2 x - 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - 3 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{2 x - 4}]}_{1}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{2 u - 4} + \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $- \frac{3}{2} e^{2 u - 4} + \frac{3}{2} e^{2 - 4}$

= $- \frac{3}{2} e^{2 u - 4} + \frac{3}{2} e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} e^{2 u - 4} + \frac{3}{2} e^{- 2}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale