Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 3} - 2 e^{1 - 3}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{- 2}$

≈ 0,465

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 61 + $2 e^{- 1} - 2 e^{- 2}$ ≈ 61.47

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(x - 3)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 8 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 8:

\int_{5}^{8} \frac{2}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{5}^{8} 2 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 3)}^{- 1}]}_{5}^{8}$

= ${[- \frac{2}{x - 3}]}_{5}^{8}$

$=$ $- \frac{2}{8 - 3} + \frac{2}{5 - 3}$

= $- \frac{2}{5} + \frac{2}{2}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{5}) + 2 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{2}{5} + 1$

= $- \frac{2}{5} + \frac{5}{5}$

= $\frac{3}{5}$

= 0,6

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 8 zusammen:

B = 16 + $\frac{3}{5}$ = $\frac{83}{5}$ ≈ 16.6

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{0,4 x - 0,5} ⅆ x$ = $20$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{0,4 x - 0,5} ⅆ x

= ${[5 e^{0,4 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,4 u - 0,5} - 5 e^{0,4 \cdot 0 - 0,5}$

= $5 e^{0,4 u - 0,5} - 5 e^{0 - 0,5}$

= $5 e^{0,4 u - 0,5} - 5 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,4 u - 0,5} - 5 e^{- 0,5}$	=	$20$	\| $+ 5 e^{- 0,5}$
$5 e^{0,4 u - 0,5}$	=	$5 e^{- 0,5} + 20$
$5 e^{0,4 u - 0,5}$	=	$23,0327$	\|: $5$
$e^{0,4 u - 0,5}$	=	$4,6065$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,5$	=	$\ln (4,6065)$

$0,4 u - 0,5$	=	$1,5275$	\| $+ 0,5$
$0,4 u$	=	$2,0275$	\|: $0,4$
$u$	=	$5,0688$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 e^{2 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{2} e^{6 - 4} - \frac{5}{2} e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{- 4})$

≈ 6,142

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $4$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{4}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{4}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 4 - 4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \sqrt{8 - 4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \sqrt{4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $4 - 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 4} + 4$ → $0 + 4$ = $4$ ≈ 4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale