Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
=
≈ 0,998
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 60 +
≈ 61
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 21,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 8 + = ≈ 29.78
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
10
-8
=
-1,25
u2 =
-5
-
225
-8
=
-5
-15
-8
=
-20
-8
=
2,5
Da u=
-1,25
< 1 ist u=
2,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 e x -2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
+0
∫
0
1
5
e
x
-2
ⅆ
x
=
1
[
5
e
x
-2
]
0
1
=
5
e
1
-2
-5
e
0
-2
=
5
e
-1
-5
e
-2
≈ 1,163
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=18 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
18
u
-
3
x
-2
ⅆ
x
=
∫
18
u
-3
(
x
-2
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-6
(
x
-2
)
1
2
]
18
u
=
[
-6
x
-2
]
18
u
=
-6
u
-2
+6
18
-2
=
-6
u
-2
+6
16
=
-6
u
-2
+6⋅4
=
-6
u
-2
+24
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-6
u
-2
+24
→
-∞