Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 54 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 3 - 1} - 2 e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $2 e^{6 - 1} - 2 e^{2 - 1}$

= $2 e^{5} - 2 e^{1}$

= $2 e^{5} - 2 e$

≈ 291,39

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 54 + $2 e^{5} - 2 e$ ≈ 345.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 32 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 3} - \frac{2}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{3}$

≈ 255,562

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 32 + $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{3}$ ≈ 287.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 8 x - 1) ⅆ x$ = $- 1,5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 8 x - 1) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} - x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} - u - (- 4 \cdot 0^{2} - 0)$

= $- 4 u^{2} - u - (- 4 \cdot 0 + 0)$

= $- 4 u^{2} - u - (0 + 0)$

= $- 4 u^{2} - u + 0$

= $- 4 u^{2} - u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 1,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} - u

=

- 1,5

|

+ 1,5

$- 4 u^{2} - u + 1,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 1,5}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 8}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{1+5}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{1-5}{- 8}$ = $\frac{- 4}{- 8}$ = $0,5$

Da u= $- 0,75$ < 0 ist u= $0,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(x - 3)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 4}

\int_{4}^{6} \frac{2}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{4}^{6} 2 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- 2 {(x - 3)}^{- 1}]}_{4}^{6}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{2}{x - 3}]}_{4}^{6}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{2}{6 - 3} + \frac{2}{4 - 3})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} + \frac{2}{1})$

= $\frac{1}{2} (- 2 \cdot (\frac{1}{3}) + 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} + 2)$

= $\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} + \frac{6}{3})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{3 x - 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{3}{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 3 {(3 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| 3 x - 5 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\ln (| 3 (u) - 5 |) - \ln (| 3 \cdot 2 - 5 |)$

= $\ln (| 3 u - 5 |) - \ln (| 6 - 5 |)$

= $\ln (| 3 u - 5 |) - \ln (1)$

= $\ln (| 3 u - 5 |) + 0$

= $\ln (| 3 x - 5 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (| 3 x - 5 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale