= ${\left[6e^{x-2}\right]}_1^2$

$=$ $6e^{2-2}-6e^{1-2}$

= $6e^0-6e^{-1}$

= $6-6e^{-1}$

= ${\left[\frac{10}{3}{\left(x-1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_5^{26}$

= ${\left[\frac{10}{3}{\left(\sqrt{x-1}\right)}^3\right]}_5^{26}$

$=$ $\frac{10}{3}{\left(\sqrt{26-1}\right)}^3-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{5-1}\right)}^3$

= $\frac{10}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{4}\right)}^3$

= $\frac{10}{3}\cdot 5^3-\frac{10}{3}\cdot 2^3$

= $\frac{10}{3}\cdot 125-\frac{10}{3}\cdot 8$

= $\frac{1250}{3}-\frac{80}{3}$

= $390$

= ${\left[4x^2-4x\right]}_0^u$

$=$ $4u^2-4u-\left(4\cdot 0^2-4\cdot 0\right)$

= $4u^2-4u-\left(4\cdot 0+0\right)$

= $4u^2-4u-\left(0+0\right)$

= $4u^2-4u+0$

= $4u^2-4u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $80$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^2-u-20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-20\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1+\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1-\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

Da u= $-4$ < 0 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{3\pi }$ ${\left[-3\cdot \cos (2x+\pi )\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3\pi }·\left(-3\cdot \cos (2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\pi )+3\cdot \cos (2\cdot \left(0\right)+\pi )\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(-3\cdot \cos \left(4\pi \right)+3\cdot \cos \left(\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(-3\cdot 1+3\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(-3-3\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(-6\right)$

= $-\frac{4}{\pi }$

= ${\left[-2{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^5$

= ${\left[-2\sqrt{x-1}\right]}_u^5$

$=$ $-2\sqrt{5-1}+2\sqrt{u-1}$

= $-2\sqrt{4}+2\sqrt{u-1}$

= $-2\cdot 2+2\sqrt{u-1}$

= $-4+2\sqrt{u-1}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $2\sqrt{u-1}-4$ → $0-4$ = $-4$ ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4