Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 127,781
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 9 +
≈ 136.78
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 57 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 86,836
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 57 +
≈ 143.84
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
44
-8
=
-5,5
u2 =
4
-
1600
-8
=
4
-40
-8
=
-36
-8
=
4,5
Da u=
-5,5
< 3 ist u=
4,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -4 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
-2
∫
2
3
4
3x
-4
ⅆ
x
=
1
∫
2
3
4
(
3x
-4
)
-1
ⅆ
x
=
1
[
4
3
ln(
|
3x
-4
|
)
]
2
3
=
4
3
ln(
|
3⋅3
-4
|
)
-
4
3
ln(
|
3⋅2
-4
|
)
=
4
3
ln(
|
9
-4
|
)
-
4
3
ln(
|
6
-4
|
)
=
4
3
ln(
5
)
-
4
3
ln(
|
6
-4
|
)
=
4
3
ln(
5
)
-
4
3
ln(
2
)
≈ 1,222
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -1 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
1
u
1
(
2x
-1
)
2
ⅆ
x
=
∫
1
u
(
2x
-1
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
1
2
(
2x
-1
)
-1
]
1
u
=
[
-
1
2(
2x
-1
)
]
1
u
=
-
1
2(
2u
-1
)
+
1
2(
2⋅1
-1
)
=
-
1
2(
2u
-1
)
+
1
2(
2
-1
)
=
-
1
2(
2u
-1
)
+
1
2
=
-
1
2(
2u
-1
)
+
1
2
⋅1
=
-
1
2(
2u
-1
)
+
1
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
2(
2u
-1
)
+
1
2
→
0
+
1
2
=
1
2
≈ 0.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5