Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 36 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 e x -2 x

= [ e x -2 ] 2 4

= e 4 -2 - e 2 -2

= e 2 - e 0

= e 2 -1


≈ 6,389
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 36 + e 2 -1 ≈ 42.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 69 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 5 e 3x -4 x

= [ 5 3 e 3x -4 ] 2 4

= 5 3 e 34 -4 - 5 3 e 32 -4

= 5 3 e 12 -4 - 5 3 e 6 -4

= 5 3 e 8 - 5 3 e 2


≈ 4955,948
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 69 + 5 3 e 8 - 5 3 e 2 ≈ 5024.95

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( 4x -3 ) x = 18

Lösung einblenden
2 u ( 4x -3 ) x

= [ 2 x 2 -3x ] 2 u

= 2 u 2 -3u - ( 2 2 2 -32 )

= 2 u 2 -3u - ( 24 -6 )

= 2 u 2 -3u - ( 8 -6 )

= 2 u 2 -3u -1 · 2

= 2 u 2 -3u -2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 18 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 -3u -2 = 18 | -18

2 u 2 -3u -20 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 2 · ( -20 ) 22

u1,2 = +3 ± 9 +160 4

u1,2 = +3 ± 169 4

u1 = 3 + 169 4 = 3 +13 4 = 16 4 = 4

u2 = 3 - 169 4 = 3 -13 4 = -10 4 = -2,5

Da u= -2,5 < 2 ist u= 4 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 2x -1 zwischen 5 2 und 17 2 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 17 2 - 5 2 5 2 17 2 6 2x -1 x
= 1 6 5 2 17 2 6 ( 2x -1 ) 1 2 x

= 1 6 [ 2 ( 2x -1 ) 3 2 ] 5 2 17 2

= 1 6 [ 2 ( 2x -1 ) 3 ] 5 2 17 2

= 1 6 ( 2 ( 2( 17 2 ) -1 ) 3 -2 ( 2( 5 2 ) -1 ) 3 )

= 1 6 ( 2 ( 17 -1 ) 3 -2 ( 5 -1 ) 3 )

= 1 6 ( 2 ( 16 ) 3 -2 ( 4 ) 3 )

= 1 6 ( 2 4 3 -2 2 3 )

= 1 6 ( 264 -28 )

= 1 6 ( 128 -16 )

= 1 6 · 112

= 56 3


≈ 18,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 3x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 1 3x -3 x
= 3 u - ( 3x -3 ) -1 x

= [ - 1 3 ln( | 3x -3 | ) ] 3 u

= - 1 3 ln( | 3( u ) -3 | ) + 1 3 ln( | 33 -3 | )

= - 1 3 ln( | 3u -3 | ) + 1 3 ln( | 9 -3 | )

= - 1 3 ln( | 3u -3 | ) + 1 3 ln( 6 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 3 ln( 6 ) - 1 3 ln( | 3x -3 | )