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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 15 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{167}{3}$ ≈ 55.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 2 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 13 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{283}{3}$ ≈ 94.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,8 e^{- 0,8 x + 0,9} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,8 e^{- 0,8 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,8 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,8 u + 0,9} + e^{- 0,8 \cdot 0 + 0,9}$

= $- e^{- 0,8 u + 0,9} + e^{0 + 0,9}$

= $- e^{- 0,8 u + 0,9} + e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,8 u + 0,9} + e^{0,9}$	=	$1$	\| $- e^{0,9}$
$- e^{- 0,8 u + 0,9}$	=	$- e^{0,9} + 1$
$- e^{- 0,8 u + 0,9}$	=	$- 1,4596$	\|: $- 1$
$e^{- 0,8 u + 0,9}$	=	$1,4596$	\|ln(⋅)
$- 0,8 u + 0,9$	=	$\ln (1,4596)$

$- 0,8 u + 0,9$	=	$0,3782$	\| $- 0,9$
$- 0,8 u$	=	$- 0,5218$	\|:( $- 0,8$ )
$u$	=	$0,6523$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot \cos (6 π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} - \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{4}{3})$

= $- \frac{4}{3 π}$

≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{- 3 x + 6} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- 3 x + 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 6 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| - 3 (u) + 6 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 3 \cdot 3 + 6 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 6 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 9 + 6 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 6 |) - \frac{2}{3} \ln (3)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3} \ln (3) + \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 6 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale