Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 ( x -1 ) 3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 2 ( x -1 ) 3 x
= 2 5 2 ( x -1 ) -3 x

= [ - ( x -1 ) -2 ] 2 5

= [ - 1 ( x -1 ) 2 ] 2 5

= - 1 ( 5 -1 ) 2 + 1 ( 2 -1 ) 2

= - 1 4 2 + 1 1 2

= -( 1 16 ) + 1

= 15 16


≈ 0,938
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 9 + 15 16 = 159 16 ≈ 9.94

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 3x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 3 e 3x -5 x

= [ e 3x -5 ] 0 3

= e 33 -5 - e 30 -5

= e 9 -5 - e 0 -5

= e 4 - e -5


≈ 54,591
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 28 + e 4 - e -5 ≈ 82.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u e 0,2x -0,2 x = 6

Lösung einblenden
0 u e 0,2x -0,2 x

= [ 5 e 0,2x -0,2 ] 0 u

= 5 e 0,2u -0,2 -5 e 0,20 -0,2

= 5 e 0,2u -0,2 -5 e 0 -0,2

= 5 e 0,2u -0,2 -5 e -0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 6 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 e 0,2u -0,2 -5 e -0,2 = 6 | +5 e -0,2
5 e 0,2u -0,2 = 5 e -0,2 +6
5 e 0,2u -0,2 = 10,0937 |:5
e 0,2u -0,2 = 2,0187 |ln(⋅)
0,2u -0,2 = ln( 2,0187 )
0,2u -0,2 = 0,7025 | +0,2
0,2u = 0,9025 |:0,2
u = 4,5125

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 2x -4 ) 2 +5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 ( 6 ( 2x -4 ) 2 +5 ) x

= 1 3 [ ( 2x -4 ) 3 +5x ] 2 5

= 1 3 ( ( 25 -4 ) 3 +55 - ( ( 22 -4 ) 3 +52 ))

= 1 3 ( ( 10 -4 ) 3 +25 - ( ( 4 -4 ) 3 +10 ))

= 1 3 ( 6 3 +25 - ( 0 3 +10 ))

= 1 3 ( 216 +25 - ( 0 +10 ))

= 1 3 ( 216 +25 -10 )

= 1 3 · 231

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 2x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 7 2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 7 2 u 3 2x -3 x
= 7 2 u 3 ( 2x -3 ) - 1 2 x

= [ 3 ( 2x -3 ) 1 2 ] 7 2 u

= [ 3 2x -3 ] 7 2 u

= 3 2u -3 -3 2( 7 2 ) -3

= 3 2u -3 -3 7 -3

= 3 2u -3 -3 4

= 3 2u -3 -32

= 3 2u -3 -6

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2u -3 -6