Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 1 ( x -2 ) 4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 1 ( x -2 ) 4 x
= 4 7 ( x -2 ) -4 x

= [ - 1 3 ( x -2 ) -3 ] 4 7

= [ - 1 3 ( x -2 ) 3 ] 4 7

= - 1 3 ( 7 -2 ) 3 + 1 3 ( 4 -2 ) 3

= - 1 3 5 3 + 1 3 2 3

= - 1 3 ( 1 125 ) + 1 3 ( 1 8 )

= - 1 375 + 1 24

= - 8 3000 + 125 3000

= 39 1000


= 0,039
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 6 + 39 1000 = 6039 1000 ≈ 6.04

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 63 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 4 e 3x -7 x

= [ 4 3 e 3x -7 ] 2 5

= 4 3 e 35 -7 - 4 3 e 32 -7

= 4 3 e 15 -7 - 4 3 e 6 -7

= 4 3 e 8 - 4 3 e -1


≈ 3974,12
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 63 + 4 3 e 8 - 4 3 e -1 ≈ 4037.12

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u 4x x = 42

Lösung einblenden
2 u 4x x

= [ 2 x 2 ] 2 u

= 2 u 2 -2 2 2

= 2 u 2 -24

= 2 u 2 -8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 42 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 -8 = 42 | +8
2 u 2 = 50 |:2
u 2 = 25 | 2
u1 = - 25 = -5
u2 = 25 = 5

Da u= -5 < 2 ist u= 5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -3 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 2 ( x -3 ) 2 x

= 1 3 [ 2 3 ( x -3 ) 3 ] 0 3

= 1 3 ( 2 3 ( 3 -3 ) 3 - 2 3 ( 0 -3 ) 3 )

= 1 3 ( 2 3 0 3 - 2 3 ( -3 ) 3 )

= 1 3 ( 2 3 0 - 2 3 ( -27 ) )

= 1 3 (0 +18 )

= 6

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -2x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u e -2x +2 x

= [ - 1 2 e -2x +2 ] 2 u

= - 1 2 e -2u +2 + 1 2 e -22 +2

= - 1 2 e -2u +2 + 1 2 e -4 +2

= - 1 2 e -2u +2 + 1 2 e -2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 e -2u +2 + 1 2 e -2 0 + 1 2 e -2 = 1 2 e -2 ≈ 0.068

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.068