Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 41 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{3 - 3} - \frac{1}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{0} - \frac{1}{3} e^{- 3}$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ 0,317

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 41 + $- \frac{1}{3} e^{- 3} + \frac{1}{3}$ ≈ 41.32

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{21}{2}$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $15$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{21}{2}

und

15

:

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 2 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{21}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{21}{2}

und

15

zusammen:

B = 3 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{131}{3}$ ≈ 43.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 6 x + 3) ⅆ x$ = $- 252$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 6 x + 3) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} + 3 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 3 u - (- 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3)$

= $- 3 u^{2} + 3 u - (- 3 \cdot 9 + 9)$

= $- 3 u^{2} + 3 u - (- 27 + 9)$

= $- 3 u^{2} + 3 u - 1 \cdot (- 18)$

= $- 3 u^{2} + 3 u + 18$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 252$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} + 3 u + 18

=

- 252

|

+ 252

- 3 u^{2} + 3 u + 270

= 0 |:3

$- u^{2} + u + 90$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 90}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{361}}{- 2}$ = $\frac{- 1+19}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{361}}{- 2}$ = $\frac{- 1-19}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Da u= $- 9$ < 3 ist u= $10$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{9}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{5}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{{(2 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(2 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(2 \cdot 4 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(8 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{18}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{18}$ → $0 + \frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ ≈ 0.056

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale