Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 3,459
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 4 +
≈ 7.46
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 1,083
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 14 +
≈ 15.08
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
68
-10
=
-6,8
u2 =
4
-
4096
-10
=
4
-64
-10
=
-60
-10
=
6
Da u=
-6,8
< 1 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 3x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-3
∫
3
4
1
3x
-3
ⅆ
x
=
1
∫
3
4
(
3x
-3
)
-1
ⅆ
x
=
1
[
1
3
ln(
|
3x
-3
|
)
]
3
4
=
1
3
ln(
|
3⋅4
-3
|
)
-
1
3
ln(
|
3⋅3
-3
|
)
=
1
3
ln(
|
12
-3
|
)
-
1
3
ln(
|
9
-3
|
)
=
1
3
ln(
9
)
-
1
3
ln(
|
9
-3
|
)
=
1
3
ln(
9
)
-
1
3
ln(
6
)
≈ 0,135
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -2x +5 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
3
(
-2x
+5
)
2
ⅆ
x
=
∫
4
u
3
(
-2x
+5
)
-2
ⅆ
x
=
[
3
2
(
-2x
+5
)
-1
]
4
u
=
[
3
2(
-2x
+5
)
]
4
u
=
3
2(
-2u
+5
)
-
3
2(
-2⋅4
+5
)
=
3
2(
-2u
+5
)
-
3
2(
-8
+5
)
=
3
2(
-2u
+5
)
-
3
2
( -3 )
=
3
2(
-2u
+5
)
-
3
2
⋅(
-
1
3
)
=
3
2(
-2u
+5
)
+
1
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
2(
-2u
+5
)
+
1
2
→
0
+
1
2
=
1
2
≈ 0.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5