Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 3 - 2} - 2 e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $2 e^{6 - 2} - 2 e^{2 - 2}$

= $2 e^{4} - 2 e^{0}$

= $2 e^{4} - 2$

≈ 107,196

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 6 + $2 e^{4} - 2$ ≈ 113.2

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 2 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 16 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{292}{3}$ ≈ 97.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 4 x - 5) ⅆ x$ = $- 117$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 4 x - 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} - 5 u - (- 2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - (- 2 \cdot 9 - 15)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - (- 18 - 15)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - 1 \cdot (- 33)$

= $- 2 u^{2} - 5 u + 33$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 117$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} - 5 u + 33

=

- 117

|

+ 117

$- 2 u^{2} - 5 u + 150$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 150}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 1 200}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1 225}}{- 4}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1 225}}{- 4}$ = $\frac{5+35}{- 4}$ = $\frac{40}{- 4}$ = $- 10$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1 225}}{- 4}$ = $\frac{5-35}{- 4}$ = $\frac{- 30}{- 4}$ = $7,5$

Da u= $- 10$ < 3 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (2 x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

= $\frac{2}{π} \cdot (0,5 + 0,5)$

= $\frac{2}{π} \cdot 1$

= $\frac{2}{π}$

≈ 0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- x + 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{{(- x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(- x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 3 {(- x + 3)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{3}{- x + 3}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{- u + 3} + \frac{3}{- 4 + 3}$

= $- \frac{3}{- u + 3} + \frac{3}{(- 1)}$

= $- \frac{3}{- u + 3} + 3 \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{- u + 3} - 3$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{- u + 3} - 3$ → $0 - 3$ = $- 3$ ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale