Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 23 3 s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 32 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 23 3 und 32 3 :
23 3 32 3 5 3x -7 x
= 23 3 32 3 5 ( 3x -7 ) 1 2 x

= [ 10 9 ( 3x -7 ) 3 2 ] 23 3 32 3

= [ 10 9 ( 3x -7 ) 3 ] 23 3 32 3

= 10 9 ( 3( 32 3 ) -7 ) 3 - 10 9 ( 3( 23 3 ) -7 ) 3

= 10 9 ( 32 -7 ) 3 - 10 9 ( 23 -7 ) 3

= 10 9 ( 25 ) 3 - 10 9 ( 16 ) 3

= 10 9 5 3 - 10 9 4 3

= 10 9 125 - 10 9 64

= 1250 9 - 640 9

= 610 9


≈ 67,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 23 3 und der Änderung zwischen 23 3 und 32 3 zusammen:
B = 12 + 610 9 = 718 9 ≈ 79.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -6 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 4 3x -6 x
= 3 4 4 ( 3x -6 ) -1 x

= [ 4 3 ln( | 3x -6 | ) ] 3 4

= 4 3 ln( | 34 -6 | ) - 4 3 ln( | 33 -6 | )

= 4 3 ln( | 12 -6 | ) - 4 3 ln( | 9 -6 | )

= 4 3 ln( 6 ) - 4 3 ln( | 9 -6 | )

= 4 3 ln( 6 ) - 4 3 ln( 3 )


≈ 0,924
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 11 + 4 3 ln( | 6 | ) - 4 3 ln( | 3 | ) ≈ 11.92

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,2 e -0,1x +0,7 x = 2

Lösung einblenden
0 u 0,2 e -0,1x +0,7 x

= [ -2 e -0,1x +0,7 ] 0 u

= -2 e -0,1u +0,7 +2 e -0,10 +0,7

= -2 e -0,1u +0,7 +2 e 0 +0,7

= -2 e -0,1u +0,7 +2 e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 e -0,1u +0,7 +2 e 0,7 = 2 | -2 e 0,7
-2 e -0,1u +0,7 = -2 e 0,7 +2
-2 e -0,1u +0,7 = -2,0275 |:-2
e -0,1u +0,7 = 1,0138 |ln(⋅)
-0,1u +0,7 = ln( 1,0138 )
-0,1u +0,7 = 0,0137 | -0,7
-0,1u = -0,6863 |:(-0,1 )
u = 6,863

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 sin( 3x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 5 sin( 3x - π) x

= 1 π [ - 5 3 cos( 3x - π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - 5 3 cos( 3( 3 2 π ) - π) + 5 3 cos( 3( 1 2 π ) - π) )

= 1 π · ( - 5 3 cos( 7 2 π) + 5 3 cos( 1 2 π) )

= 1 π · ( - 5 3 0 + 5 3 0 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -3x +3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 2 ( -3x +3 ) 3 x
= 2 u 2 ( -3x +3 ) -3 x

= [ 1 3 ( -3x +3 ) -2 ] 2 u

= [ 1 3 ( -3x +3 ) 2 ] 2 u

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( -32 +3 ) 2

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( -6 +3 ) 2

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( -3 ) 2

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 3 ( 1 9 )

= 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 27

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 3 ( -3u +3 ) 2 - 1 27 0 - 1 27 = - 1 27 ≈ -0.037

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.037