Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{2}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 2 {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- {(x - 1)}^{- 2}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{{(5 - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(2 - 1)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{1^{2}}$

= $- (\frac{1}{16}) + 1$

= $\frac{15}{16}$

≈ 0,938

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 9 + $\frac{15}{16}$ = $\frac{159}{16}$ ≈ 9.94

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 5} - e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $e^{9 - 5} - e^{0 - 5}$

= $e^{4} - e^{- 5}$

≈ 54,591

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 28 + $e^{4} - e^{- 5}$ ≈ 82.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} e^{0,2 x - 0,2} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} e^{0,2 x - 0,2} ⅆ x

= ${[5 e^{0,2 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,2 u - 0,2} - 5 e^{0,2 \cdot 0 - 0,2}$

= $5 e^{0,2 u - 0,2} - 5 e^{0 - 0,2}$

= $5 e^{0,2 u - 0,2} - 5 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,2 u - 0,2} - 5 e^{- 0,2}$	=	$6$	\| $+ 5 e^{- 0,2}$
$5 e^{0,2 u - 0,2}$	=	$5 e^{- 0,2} + 6$
$5 e^{0,2 u - 0,2}$	=	$10,0937$	\|: $5$
$e^{0,2 u - 0,2}$	=	$2,0187$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,2$	=	$\ln (2,0187)$

$0,2 u - 0,2$	=	$0,7025$	\| $+ 0,2$
$0,2 u$	=	$0,9025$	\|: $0,2$
$u$	=	$4,5125$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 {(2 x - 4)}^{2} + 5$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} (6 {(2 x - 4)}^{2} + 5) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[{(2 x - 4)}^{3} + 5 x]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} ({(2 \cdot 5 - 4)}^{3} + 5 \cdot 5 - ({(2 \cdot 2 - 4)}^{3} + 5 \cdot 2))$

= $\frac{1}{3} ({(10 - 4)}^{3} + 25 - ({(4 - 4)}^{3} + 10))$

= $\frac{1}{3} (6^{3} + 25 - (0^{3} + 10))$

= $\frac{1}{3} (216 + 25 - (0 + 10))$

= $\frac{1}{3} (216 + 25 - 10)$

= $\frac{1}{3} \cdot 231$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{2 x - 3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{7}{2}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{7}{2}}^{u} \frac{3}{\sqrt{2 x - 3}} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{2}}^{u} 3 {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[3 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{u}$

= ${[3 \sqrt{2 x - 3}]}_{\frac{7}{2}}^{u}$

$=$ $3 \sqrt{2 u - 3} - 3 \sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3}$

= $3 \sqrt{2 u - 3} - 3 \sqrt{7 - 3}$

= $3 \sqrt{2 u - 3} - 3 \sqrt{4}$

= $3 \sqrt{2 u - 3} - 3 \cdot 2$

= $3 \sqrt{2 u - 3} - 6$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \sqrt{2 u - 3} - 6$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale