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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -1 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
∫ 3 4 2 ( x -1 ) 4 ⅆ x
= ∫ 3 4 2 ( x -1 ) -4 ⅆ x

= [ - 2 3 ( x -1 ) -3 ] 3 4

= [ - 2 3 ( x -1 ) 3 ] 3 4

= - 2 3 ( 4 -1 ) 3 + 2 3 ( 3 -1 ) 3

= - 2 3⋅ 3 3 + 2 3⋅ 2 3

= - 2 3 ⋅( 1 27 ) + 2 3 ⋅( 1 8 )

= - 2 81 + 1 12

= - 8 324 + 27 324

= 19 324


≈ 0,059
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 15 + 19 324 = 4879 324 ≈ 15.06

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 3x -6 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
∫ 3 4 6 ( 3x -6 ) 2 ⅆ x
= ∫ 3 4 6 ( 3x -6 ) -2 ⅆ x

= [ -2 ( 3x -6 ) -1 ] 3 4

= [ - 2 3x -6 ] 3 4

= - 2 3⋅4 -6 + 2 3⋅3 -6

= - 2 12 -6 + 2 9 -6

= - 2 6 + 2 3

= -2⋅( 1 6 ) +2⋅( 1 3 )

= - 1 3 + 2 3

= 1 3


≈ 0,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 11 + 1 3 = 34 3 ≈ 11.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 1,4 e 0,2x -0,5 ⅆ x = 14

Lösung einblenden
∫ 0 u 1,4 e 0,2x -0,5 ⅆ x

= [ 7 e 0,2x -0,5 ] 0 u

= 7 e 0,2u -0,5 -7 e 0,2⋅0 -0,5

= 7 e 0,2u -0,5 -7 e 0 -0,5

= 7 e 0,2u -0,5 -7 e -0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 14 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

7 e 0,2u -0,5 -7 e -0,5 = 14 | +7 e -0,5
7 e 0,2u -0,5 = 7 e -0,5 +14
7 e 0,2u -0,5 = 18,2457 |:7
e 0,2u -0,5 = 2,6065 |ln(⋅)
0,2u -0,5 = ln( 2,6065 )
0,2u -0,5 = 0,958 | +0,5
0,2u = 1,458 |:0,2
u = 7,29

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 3x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 ∫ 3 5 5 3x -5 ⅆ x
= 1 2 ∫ 3 5 5 ( 3x -5 ) -1 ⅆ x

= 1 2 [ 5 3 ln( | 3x -5 | ) ] 3 5

= 1 2 ( 5 3 ln( | 3⋅5 -5 | ) - 5 3 ln( | 3⋅3 -5 | ) )

= 1 2 ( 5 3 ln( | 15 -5 | ) - 5 3 ln( | 9 -5 | ) )

= 1 2 ( 5 3 ln( 10 ) - 5 3 ln( | 9 -5 | ) )

= 1 2 ( 5 3 ln( 10 ) - 5 3 ln( 4 ) )


≈ 0,764

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -1 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 10 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ u 10 - 2 x -1 ⅆ x
= ∫ u 10 -2 ( x -1 ) - 1 2 ⅆ x

= [ -4 ( x -1 ) 1 2 ] u 10

= [ -4 x -1 ] u 10

= -4 10 -1 +4 u -1

= -4 9 +4 u -1

= -4⋅3 +4 u -1

= -12 +4 u -1

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = 4 u -1 -12 → 0 -12 = -12 ≈ -12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12