Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{6 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{- 1} - \frac{4}{3} e^{- 4}$

≈ 0,466

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 37 + $\frac{4}{3} e^{- 1} - \frac{4}{3} e^{- 4}$ ≈ 37.47

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 52 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 2} - 2 e^{0 - 2}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 2}$

= $2 e - 2 e^{- 2}$

≈ 5,166

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 52 + $- 2 e^{- 2} + 2 e$ ≈ 57.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,3 e^{0,3 x - 0,3} ⅆ x$ = $15$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,3 e^{0,3 x - 0,3} ⅆ x

= ${[e^{0,3 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{0,3 u - 0,3} - e^{0,3 \cdot 0 - 0,3}$

= $e^{0,3 u - 0,3} - e^{0 - 0,3}$

= $e^{0,3 u - 0,3} - e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$e^{0,3 u - 0,3} - e^{- 0,3}$	=	$15$	\| $+ e^{- 0,3}$
$e^{0,3 u - 0,3}$	=	$e^{- 0,3} + 15$
$e^{0,3 u - 0,3}$	=	$15,7408$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,3$	=	$\ln (15,7408)$

$0,3 u - 0,3$	=	$2,7563$	\| $+ 0,3$
$0,3 u$	=	$3,0563$	\|: $0,3$
$u$	=	$10,1877$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 3}$ zwischen $\frac{7}{3}$ und $4$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - \frac{7}{3}}

\int_{\frac{7}{3}}^{4} 4 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\frac{3}{5}

\int_{\frac{7}{3}}^{4} 4 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{5}$ ${[\frac{8}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{3}}^{4}$

= $\frac{3}{5}$ ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{3}}^{4}$

$=$ $\frac{3}{5} (\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{7}{3}) - 3})}^{3})$

= $\frac{3}{5} (\frac{8}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{7 - 3})}^{3})$

= $\frac{3}{5} (\frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{3}{5} (\frac{8}{9} \cdot 3^{3} - \frac{8}{9} \cdot 2^{3})$

= $\frac{3}{5} (\frac{8}{9} \cdot 27 - \frac{8}{9} \cdot 8)$

= $\frac{3}{5} (24 - \frac{64}{9})$

= $\frac{3}{5} (\frac{216}{9} - \frac{64}{9})$

= $\frac{3}{5} \cdot \frac{152}{9}$

= $\frac{152}{15}$

≈ 10,133

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- 2 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{3}{2} e^{- 4 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{3}{2} e^{1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{3}{2} e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{3}{2} e$ → $0 + \frac{3}{2} e$ = $\frac{3}{2} e$ ≈ 4.077

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4.077

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale