Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{4}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 4 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{4}{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{4}{5 - 1} + \frac{4}{2 - 1}$

= $- \frac{4}{4} + \frac{4}{1}$

= $- 4 \cdot (\frac{1}{4}) + 4 \cdot 1$

= $- 1 + 4$

= $3$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 6 + $3$ = $9$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $5$ s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{22}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

\frac{22}{3}

:

\int_{5}^{\frac{22}{3}} 3 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{5}^{\frac{22}{3}} 3 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{22}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{22}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{22 - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{15 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{128}{3} - 18$

= $\frac{128}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{74}{3}$

≈ 24,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

\frac{22}{3}

zusammen:

B = 10 + $\frac{74}{3}$ = $\frac{104}{3}$ ≈ 34.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 8,1 e^{0,9 x - 0,8} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 8,1 e^{0,9 x - 0,8} ⅆ x

= ${[9 e^{0,9 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,9 u - 0,8} - 9 e^{0,9 \cdot 0 - 0,8}$

= $9 e^{0,9 u - 0,8} - 9 e^{0 - 0,8}$

= $9 e^{0,9 u - 0,8} - 9 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,9 u - 0,8} - 9 e^{- 0,8}$	=	$5$	\| $+ 9 e^{- 0,8}$
$9 e^{0,9 u - 0,8}$	=	$9 e^{- 0,8} + 5$
$9 e^{0,9 u - 0,8}$	=	$9,044$	\|: $9$
$e^{0,9 u - 0,8}$	=	$1,0049$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,8$	=	$\ln (1,0049)$

$0,9 u - 0,8$	=	$0,0049$	\| $+ 0,8$
$0,9 u$	=	$0,8049$	\|: $0,9$
$u$	=	$0,8943$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 3}$ zwischen $6$ und $14$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{14 - 6}

\int_{6}^{14} 5 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{8}

\int_{6}^{14} 5 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{8}$ ${[\frac{5}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{14}$

= $\frac{1}{8}$ ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{14}$

$=$ $\frac{1}{8} (\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{8} (\frac{5}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{8} (\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{1}{8} (\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{1}{8} (\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 27)$

= $\frac{1}{8} (\frac{625}{3} - 45)$

= $\frac{1}{8} (\frac{625}{3} - \frac{135}{3})$

= $\frac{1}{8} \cdot \frac{490}{3}$

= $\frac{245}{12}$

≈ 20,417

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{0}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 2}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{0 + 2}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{2}$ → $0 - \frac{3}{2} e^{2}$ = $- \frac{3}{2} e^{2}$ ≈ -11.084

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 11.084

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale