Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( x -3 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 6:
5 6 6 ( x -3 ) 2 x
= 5 6 6 ( x -3 ) -2 x

= [ -6 ( x -3 ) -1 ] 5 6

= [ - 6 x -3 ] 5 6

= - 6 6 -3 + 6 5 -3

= - 6 3 + 6 2

= -6( 1 3 ) +6( 1 2 )

= -2 +3

= 1

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 6 zusammen:
B = 14 + 1 = 15

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 2x -4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 5 2x -4 x
= 4 7 5 ( 2x -4 ) -1 x

= [ 5 2 ln( | 2x -4 | ) ] 4 7

= 5 2 ln( | 27 -4 | ) - 5 2 ln( | 24 -4 | )

= 5 2 ln( | 14 -4 | ) - 5 2 ln( | 8 -4 | )

= 5 2 ln( 10 ) - 5 2 ln( | 8 -4 | )

= 5 2 ln( 10 ) - 5 2 ln( 4 )


≈ 2,291
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 12 + 5 2 ln( | 10 | ) - 5 2 ln( | 4 | ) ≈ 14.29

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u 10x x = 236,25

Lösung einblenden
3 u 10x x

= [ 5 x 2 ] 3 u

= 5 u 2 -5 3 2

= 5 u 2 -59

= 5 u 2 -45

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 236,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -45 = 236,25 | +45
5 u 2 = 281,25 |:5
u 2 = 56,25 | 2
u1 = - 56,25 = -7,5
u2 = 56,25 = 7,5

Da u= -7,5 < 3 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( 3x -5 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 1 ( 3x -5 ) 2 x
= 1 3 2 5 ( 3x -5 ) -2 x

= 1 3 [ - 1 3 ( 3x -5 ) -1 ] 2 5

= 1 3 [ - 1 3( 3x -5 ) ] 2 5

= 1 3 ( - 1 3( 35 -5 ) + 1 3( 32 -5 ) )

= 1 3 ( - 1 3( 15 -5 ) + 1 3( 6 -5 ) )

= 1 3 ( - 1 3 10 + 1 3 )

= 1 3 ( - 1 3 ( 1 10 ) + 1 3 1 )

= 1 3 ( - 1 30 + 1 3 )

= 1 3 ( - 1 30 + 10 30 )

= 1 3 · 3 10

= 1 10


= 0,1

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 x -1 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 17 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 17 1 x -1 x
= u 17 ( x -1 ) - 1 2 x

= [ 2 ( x -1 ) 1 2 ] u 17

= [ 2 x -1 ] u 17

= 2 17 -1 -2 u -1

= 2 16 -2 u -1

= 24 -2 u -1

= 8 -2 u -1

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = -2 u -1 +8 0 +8 = 8 ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8