Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 4)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{1}{{(2 x - 4)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} {(2 x - 4)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(2 x - 4)}^{- 3}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{1}{6 {(2 x - 4)}^{3}}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{6 {(2 \cdot 7 - 4)}^{3}} + \frac{1}{6 {(2 \cdot 4 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{1}{6 {(14 - 4)}^{3}} + \frac{1}{6 {(8 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{1}{6 \cdot 10^{3}} + \frac{1}{6 \cdot 4^{3}}$

= $- \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{1000}) + \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{64})$

= $- \frac{1}{6000} + \frac{1}{384}$

= $- \frac{8}{48000} + \frac{125}{48000}$

= $\frac{39}{16000}$

≈ 0,002

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 2 + $\frac{39}{16000}$ = $\frac{32039}{16000}$ ≈ 2

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $19$ Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $28$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 13 + $122$ = $135$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 10 x - 2) ⅆ x$ = $- 208$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 10 x - 2) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 2 u - (- 5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3)$

= $- 5 u^{2} - 2 u - (- 5 \cdot 9 - 6)$

= $- 5 u^{2} - 2 u - (- 45 - 6)$

= $- 5 u^{2} - 2 u - 1 \cdot (- 51)$

= $- 5 u^{2} - 2 u + 51$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 208$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 2 u + 51

=

- 208

|

+ 208

$- 5 u^{2} - 2 u + 259$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 259}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 5 180}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{5 184}}{- 10}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{5 184}}{- 10}$ = $\frac{2+72}{- 10}$ = $\frac{74}{- 10}$ = $- 7,4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{5 184}}{- 10}$ = $\frac{2-72}{- 10}$ = $\frac{- 70}{- 10}$ = $7$

Da u= $- 7,4$ < 3 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{3 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} \frac{6}{3 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{2}^{5} 6 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[2 \ln (| 3 x - 3 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (2 \ln (| 3 \cdot 5 - 3 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 2 - 3 |))$

= $\frac{1}{3} (2 \ln (| 15 - 3 |) - 2 \ln (| 6 - 3 |))$

= $\frac{1}{3} (2 \ln (12) - 2 \ln (| 6 - 3 |))$

= $\frac{1}{3} (2 \ln (12) - 2 \ln (3))$

≈ 0,924

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- 3 x + 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{2}{{(- 3 x + 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 2 {(- 3 x + 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 4)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 {(- 3 x + 4)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 3 + 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 9 + 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{25})$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{75}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{75}$ → $0 - \frac{1}{75}$ = $- \frac{1}{75}$ ≈ -0.013

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.013

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale