Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 3 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{1}{3 x - 3}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 6 - 3} + \frac{1}{3 \cdot 3 - 3}$

= $- \frac{1}{18 - 3} + \frac{1}{9 - 3}$

= $- \frac{1}{15} + \frac{1}{6}$

= $- (\frac{1}{15}) + \frac{1}{6}$

= $\frac{1}{10}$

= 0,1

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 8 + $\frac{1}{10}$ = $\frac{81}{10}$ ≈ 8.1

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{1}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| x - 2 |)]}_{3}^{6}$

$=$ $\ln (| 6 - 2 |) - \ln (| 3 - 2 |)$

= $\ln (4) - \ln (| 3 - 2 |)$

= $\ln (4) - \ln (1)$

= $\ln (4) + 0$

= $\ln (4)$

≈ 1,386

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 10 + $\ln (4)$ ≈ 11.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (4 x - 1) ⅆ x$ = $15$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (4 x - 1) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - x]}_{0}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - u - (2 \cdot 0^{2} - 0)$

= $2 u^{2} - u - (2 \cdot 0 + 0)$

= $2 u^{2} - u - (0 + 0)$

= $2 u^{2} - u + 0$

= $2 u^{2} - u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} - u

=

15

|

- 15

$2 u^{2} - u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{1+11}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{1-11}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Da u= $- 2,5$ < 0 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \sin (2 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 6 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (2 \cdot π + π) + 3 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (3 π) + 3 \cdot \cos (2 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot (- 1) + 3 \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 + 3)$

= $\frac{2}{π} \cdot 6$

= $\frac{12}{π}$

≈ 3,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $12$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{12} \frac{3}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{12} 3 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{12}$

= ${[6 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{12}$

$=$ $6 \sqrt{12 - 3} - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 \sqrt{9} - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 \cdot 3 - 6 \sqrt{u - 3}$

= $18 - 6 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 6 \sqrt{u - 3} + 18$ → $0 + 18$ = $18$ ≈ 18

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 18

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale