Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 3x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 7 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 10 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 7 und 10:
7 10 3 3x -5 x
= 7 10 3 ( 3x -5 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( 3x -5 ) 3 2 ] 7 10

= [ 2 3 ( 3x -5 ) 3 ] 7 10

= 2 3 ( 310 -5 ) 3 - 2 3 ( 37 -5 ) 3

= 2 3 ( 30 -5 ) 3 - 2 3 ( 21 -5 ) 3

= 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 16 ) 3

= 2 3 5 3 - 2 3 4 3

= 2 3 125 - 2 3 64

= 250 3 - 128 3

= 122 3


≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 7 und der Änderung zwischen 7 und 10 zusammen:
B = 13 + 122 3 = 161 3 ≈ 53.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 13 3 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 29 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 13 3 und 29 3 :
13 3 29 3 4 3x -4 x
= 13 3 29 3 4 ( 3x -4 ) 1 2 x

= [ 8 9 ( 3x -4 ) 3 2 ] 13 3 29 3

= [ 8 9 ( 3x -4 ) 3 ] 13 3 29 3

= 8 9 ( 3( 29 3 ) -4 ) 3 - 8 9 ( 3( 13 3 ) -4 ) 3

= 8 9 ( 29 -4 ) 3 - 8 9 ( 13 -4 ) 3

= 8 9 ( 25 ) 3 - 8 9 ( 9 ) 3

= 8 9 5 3 - 8 9 3 3

= 8 9 125 - 8 9 27

= 1000 9 -24

= 1000 9 - 216 9

= 784 9


≈ 87,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 13 3 und der Änderung zwischen 13 3 und 29 3 zusammen:
B = 20 + 784 9 = 964 9 ≈ 107.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( -2x +3 ) x = -42

Lösung einblenden
2 u ( -2x +3 ) x

= [ - x 2 +3x ] 2 u

= - u 2 +3u - ( - 2 2 +32 )

= - u 2 +3u - ( -4 +6 )

= - u 2 +3u +4 -6

= - u 2 +3u -2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -42 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u 2 +3u -2 = -42 | +42

- u 2 +3u +40 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · ( -1 ) · 40 2( -1 )

u1,2 = -3 ± 9 +160 -2

u1,2 = -3 ± 169 -2

u1 = -3 + 169 -2 = -3 +13 -2 = 10 -2 = -5

u2 = -3 - 169 -2 = -3 -13 -2 = -16 -2 = 8

Da u= -5 < 2 ist u= 8 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 3x -6 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 6 -3 3 6 2 ( 3x -6 ) 2 x
= 1 3 3 6 2 ( 3x -6 ) -2 x

= 1 3 [ - 2 3 ( 3x -6 ) -1 ] 3 6

= 1 3 [ - 2 3( 3x -6 ) ] 3 6

= 1 3 ( - 2 3( 36 -6 ) + 2 3( 33 -6 ) )

= 1 3 ( - 2 3( 18 -6 ) + 2 3( 9 -6 ) )

= 1 3 ( - 2 3 12 + 2 3 3 )

= 1 3 ( - 2 3 ( 1 12 ) + 2 3 ( 1 3 ) )

= 1 3 ( - 1 18 + 2 9 )

= 1 3 ( - 1 18 + 4 18 )

= 1 3 · 1 6

= 1 18


≈ 0,056

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 x schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 16 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 16 - 3 x x
= u 16 - 3 x x
= u 16 -3 x - 1 2 x

= [ -6 x 1 2 ] u 16

= [ -6 x ] u 16

= -6 16 +6 u

= -64 +6 u

= -24 +6 u

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = 6 u -24 0 -24 = -24 ≈ -24

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 24