Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 29 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 6} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 6} - \frac{5}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3} e^{0}$

= $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3}$

≈ 670,715

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 29 + $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3}$ ≈ 699.71

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 4 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 6} - \frac{4}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{- 6}$

≈ 26,777

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 18 + $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{- 6}$ ≈ 44.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 6 x ⅆ x$ = $- 303,75$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 6 x ⅆ x

= ${[- 3 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 3 \cdot 3^{2}$

= $- 3 u^{2} + 3 \cdot 9$

= $- 3 u^{2} + 27$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 303,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 u^{2} + 27$	=	$- 303,75$	\| $- 27$
$- 3 u^{2}$	=	$- 330,75$	\|: $(- 3)$
$u^{2}$	=	$110,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{110,25}$	= $- 10,5$
u₂	=	$\sqrt{110,25}$	= $10,5$

Da u= $- 10,5$ < 3 ist u= $10,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

= $\frac{2}{π} \cdot (0,5 + 0,5)$

= $\frac{2}{π} \cdot 1$

= $\frac{2}{π}$

≈ 0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{1}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| x - 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- \ln (| u - 3 |) + \ln (| 4 - 3 |)$

= $- \ln (| u - 3 |) + \ln (1)$

= $- \ln (| u - 3 |) + 0$

= $- \ln (| x - 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (| x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale