Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 39 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{5 - 1} - 2 e^{2 - 1}$

= $2 e^{4} - 2 e^{1}$

= $2 e^{4} - 2 e$

≈ 103,76

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 39 + $2 e^{4} - 2 e$ ≈ 142.76

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\sqrt{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $4$ Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{28}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{28}{3}

:

\int_{4}^{\frac{28}{3}} \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{28}{3}} {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{250}{9} - 6$

= $\frac{250}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{196}{9}$

≈ 21,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 3 + $\frac{196}{9}$ = $\frac{223}{9}$ ≈ 24.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} - 4 x ⅆ x$ = $- 16$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} - 4 x ⅆ x

= ${[- 2 x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 2 \cdot 1^{2}$

= $- 2 u^{2} + 2 \cdot 1$

= $- 2 u^{2} + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 u^{2} + 2$	=	$- 16$	\| $- 2$
$- 2 u^{2}$	=	$- 18$	\|: $(- 2)$
$u^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
u₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Da u= $- 3$ < 1 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(x - 1)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 2}

\int_{2}^{4} \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{2}^{4} 5 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- 5 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{5}{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{5}{4 - 1} + \frac{5}{2 - 1})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} + \frac{5}{1})$

= $\frac{1}{2} (- 5 \cdot (\frac{1}{3}) + 5 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} + 5)$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} + \frac{15}{3})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3}$

= $\frac{5}{3}$

≈ 1,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 3 e^{u - 2} + 3 e^{2 - 2}$

= $- 3 e^{u - 2} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{u - 2} + 3$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 3 e^{u - 2} + 3$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale