Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 e 3x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 4 e 3x -5 x

= [ 4 3 e 3x -5 ] 0 3

= 4 3 e 33 -5 - 4 3 e 30 -5

= 4 3 e 9 -5 - 4 3 e 0 -5

= 4 3 e 4 - 4 3 e -5


≈ 72,789
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 5 + 4 3 e 4 - 4 3 e -5 ≈ 77.79

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e 3x -7 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 2 e 3x -7 x

= [ 2 3 e 3x -7 ] 2 4

= 2 3 e 34 -7 - 2 3 e 32 -7

= 2 3 e 12 -7 - 2 3 e 6 -7

= 2 3 e 5 - 2 3 e -1


≈ 98,697
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 11 + 2 3 e 5 - 2 3 e -1 ≈ 109.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u 2x x = 86,25

Lösung einblenden
2 u 2x x

= [ x 2 ] 2 u

= u 2 - 2 2

= u 2 - 4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 86,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 -4 = 86,25 | +4
u 2 = 90,25 | 2
u1 = - 90,25 = -9,5
u2 = 90,25 = 9,5

Da u= -9,5 < 2 ist u= 9,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 cos( 2x + 1 2 π) zwischen 0 und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π 5 cos( 2x + 1 2 π) x

= 2 3 π [ 5 2 sin( 2x + 1 2 π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( 5 2 sin( 2( 3 2 π ) + 1 2 π) - 5 2 sin( 2( 0 ) + 1 2 π) )

= 2 3 π · ( 5 2 sin( 7 2 π) - 5 2 sin( 1 2 π) )

= 2 3 π · ( 5 2 ( -1 ) - 5 2 1 )

= 2 3 π · ( - 5 2 - 5 2 )

= 2 3 π · ( -2,5 -2,5 )

= 2 3 π · ( -5 )

= - 10 3 π


≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 3 ( -x +3 ) 2 x
= 4 u -3 ( -x +3 ) -2 x

= [ -3 ( -x +3 ) -1 ] 4 u

= [ - 3 -x +3 ] 4 u

= - 3 -u +3 + 3 -4 +3

= - 3 -u +3 + 3 ( -1 )

= - 3 -u +3 +3( -1 )

= - 3 -u +3 -3

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 -u +3 -3 0 -3 = -3 ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3