Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(x - 1)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{5}{{(x - 1)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 5 {(x - 1)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} {(x - 1)}^{- 3}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{5}{3 {(x - 1)}^{3}}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{3 {(4 - 1)}^{3}} + \frac{5}{3 {(2 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{5}{3 \cdot 3^{3}} + \frac{5}{3 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{27}) + \frac{5}{3} \cdot 1$

= $- \frac{5}{81} + \frac{5}{3}$

= $- \frac{5}{81} + \frac{135}{81}$

= $\frac{130}{81}$

≈ 1,605

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 4 + $\frac{130}{81}$ = $\frac{454}{81}$ ≈ 5.6

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 1)}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 \cdot 4 - 1)} + \frac{1}{2 (2 \cdot 2 - 1)}$

= $- \frac{1}{2 (8 - 1)} + \frac{1}{2 (4 - 1)}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 7} + \frac{1}{2 \cdot 3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{14} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{3}{42} + \frac{7}{42}$

= $\frac{2}{21}$

≈ 0,095

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 15 + $\frac{2}{21}$ = $\frac{317}{21}$ ≈ 15.1

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (4 x - 4) ⅆ x$ = $32,5$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (4 x - 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 4 x]}_{3}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 4 u - (2 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3)$

= $2 u^{2} - 4 u - (2 \cdot 9 - 12)$

= $2 u^{2} - 4 u - (18 - 12)$

= $2 u^{2} - 4 u - 1 \cdot 6$

= $2 u^{2} - 4 u - 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $32,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} - 4 u - 6

=

32,5

|

- 32,5

$2 u^{2} - 4 u - 38,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 38,5)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 308}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{324}}{4}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{324}}{4}$ = $\frac{4+18}{4}$ = $\frac{22}{4}$ = $5,5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{324}}{4}$ = $\frac{4-18}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Da u= $- 3,5$ < 3 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{5}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 2 \ln (| x - 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- 2 \ln (| u - 2 |) + 2 \ln (| 3 - 2 |)$

= $- 2 \ln (| u - 2 |) + 2 \ln (1)$

= $- 2 \ln (| u - 2 |) + 0$

= $- 2 \ln (| x - 2 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \ln (| x - 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Mittelwerte

uneigentliche Integrale