Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{1}^{3} 3 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{1}^{3}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 1)}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 1)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

= $- \frac{3}{2 (6 - 1)} + \frac{3}{2 (2 - 1)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{5}) + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{10} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{10} + \frac{15}{10}$

= $\frac{6}{5}$

= 1,2

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 3 + $\frac{6}{5}$ = $\frac{21}{5}$ ≈ 4.2

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{22}{3}$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{31}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 6 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 6 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 15 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{289}{3}$ ≈ 96.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (10 x + 5) ⅆ x$ = $393,75$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (10 x + 5) ⅆ x

= ${[5 x^{2} + 5 x]}_{1}^{u}$

$=$ $5 u^{2} + 5 u - (5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $5 u^{2} + 5 u - (5 \cdot 1 + 5)$

= $5 u^{2} + 5 u - (5 + 5)$

= $5 u^{2} + 5 u - 1 \cdot 10$

= $5 u^{2} + 5 u - 10$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $393,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} + 5 u - 10

=

393,75

|

- 393,75

$5 u^{2} + 5 u - 403,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 403,75)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8 075}}{10}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{8 100}}{10}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{8 100}}{10}$ = $\frac{- 5+90}{10}$ = $\frac{85}{10}$ = $8,5$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{8 100}}{10}$ = $\frac{- 5-90}{10}$ = $\frac{- 95}{10}$ = $- 9,5$

Da u= $- 9,5$ < 1 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{3 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 6 e^{3 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[2 e^{3 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (2 e^{3 \cdot 3 - 4} - 2 e^{3 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{9 - 4} - 2 e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{5} - 2 e^{- 4})$

≈ 98,93

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{3 x - 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(3 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 5 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| 3 (u) - 5 |) - \frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 5 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| 3 u - 5 |) - \frac{2}{3} \ln (| 6 - 5 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| 3 u - 5 |) - \frac{2}{3} \ln (1)$

= $\frac{2}{3} \ln (| 3 u - 5 |) + 0$

= $\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 5 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 5 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale