Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -1 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 3 ( 2x -1 ) 2 x
= 1 3 3 ( 2x -1 ) -2 x

= [ - 3 2 ( 2x -1 ) -1 ] 1 3

= [ - 3 2( 2x -1 ) ] 1 3

= - 3 2( 23 -1 ) + 3 2( 21 -1 )

= - 3 2( 6 -1 ) + 3 2( 2 -1 )

= - 3 2 5 + 3 2

= - 3 2 ( 1 5 ) + 3 2 1

= - 3 10 + 3 2

= - 3 10 + 15 10

= 6 5


= 1,2
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 3 + 6 5 = 21 5 ≈ 4.2

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -6 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 22 3 s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 31 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 22 3 und 31 3 :
22 3 31 3 6 3x -6 x
= 22 3 31 3 6 ( 3x -6 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -6 ) 3 2 ] 22 3 31 3

= [ 4 3 ( 3x -6 ) 3 ] 22 3 31 3

= 4 3 ( 3( 31 3 ) -6 ) 3 - 4 3 ( 3( 22 3 ) -6 ) 3

= 4 3 ( 31 -6 ) 3 - 4 3 ( 22 -6 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 22 3 und der Änderung zwischen 22 3 und 31 3 zusammen:
B = 15 + 244 3 = 289 3 ≈ 96.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 10x +5 ) x = 393,75

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1 u ( 10x +5 ) x

= [ 5 x 2 +5x ] 1 u

= 5 u 2 +5u - ( 5 1 2 +51 )

= 5 u 2 +5u - ( 51 +5 )

= 5 u 2 +5u - ( 5 +5 )

= 5 u 2 +5u -1 · 10

= 5 u 2 +5u -10

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 393,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 +5u -10 = 393,75 | -393,75

5 u 2 +5u -403,75 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 5 · ( -403,75 ) 25

u1,2 = -5 ± 25 +8075 10

u1,2 = -5 ± 8100 10

u1 = -5 + 8100 10 = -5 +90 10 = 85 10 = 8,5

u2 = -5 - 8100 10 = -5 -90 10 = -95 10 = -9,5

Da u= -9,5 < 1 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 e 3x -4 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 6 e 3x -4 x

= 1 3 [ 2 e 3x -4 ] 0 3

= 1 3 ( 2 e 33 -4 -2 e 30 -4 )

= 1 3 ( 2 e 9 -4 -2 e 0 -4 )

= 1 3 ( 2 e 5 -2 e -4 )


≈ 98,93

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 3x -5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 2 3x -5 x
= 2 u 2 ( 3x -5 ) -1 x

= [ 2 3 ln( | 3x -5 | ) ] 2 u

= 2 3 ln( | 3( u ) -5 | ) - 2 3 ln( | 32 -5 | )

= 2 3 ln( | 3u -5 | ) - 2 3 ln( | 6 -5 | )

= 2 3 ln( | 3u -5 | ) - 2 3 ln( 1 )

= 2 3 ln( | 3u -5 | ) +0

= 2 3 ln( | 3x -5 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3 ln( | 3x -5 | )