Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 2 {(2 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{1}{2 x - 5}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{2 \cdot 6 - 5} + \frac{1}{2 \cdot 3 - 5}$

= $- \frac{1}{12 - 5} + \frac{1}{6 - 5}$

= $- \frac{1}{7} + \frac{1}{1}$

= $- (\frac{1}{7}) + 1$

= $\frac{6}{7}$

≈ 0,857

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 4 + $\frac{6}{7}$ = $\frac{34}{7}$ ≈ 4.86

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2}$

≈ 603,643

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 38 + $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2}$ ≈ 641.64

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (2 x - 2) ⅆ x$ = $32$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (2 x - 2) ⅆ x

= ${[x^{2} - 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $u^{2} - 2 u - (3^{2} - 2 \cdot 3)$

= $u^{2} - 2 u - (9 - 6)$

= $u^{2} - 2 u - 9 + 6$

= $u^{2} - 2 u - 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $32$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} - 2 u - 3

=

32

|

- 32

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Da u= $- 5$ < 3 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 {(x - 2)}^{3} + 6 x$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} (6 {(x - 2)}^{3} + 6 x) ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{3}{2} {(x - 2)}^{4} + 3 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{2} \cdot {(2 - 2)}^{4} + 3 \cdot 2^{2} - (\frac{3}{2} \cdot {(0 - 2)}^{4} + 3 \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{2} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 4 - (\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 3 \cdot 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{2} \cdot 0 + 12 - (\frac{3}{2} \cdot 16 + 0))$

= $\frac{1}{2} (0 + 12 - (24 + 0))$

= $\frac{1}{2} (12 - 24)$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 12)$

= $- 6$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{- 2 x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{1}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 1}$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} - \frac{1}{2} e^{- 2 + 1}$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} - \frac{1}{2} e^{- 1}$ → $0 - \frac{1}{2} e^{- 1}$ = $- \frac{1}{2} e^{- 1}$ ≈ -0.184

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.184

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale