Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2}$

≈ 80,397

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 75 + $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2}$ ≈ 155.4

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $6$ s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $14$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

6

und

14

:

\int_{6}^{14} 5 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{6}^{14} 5 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{14}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{14}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 27$

= $\frac{625}{3} - 45$

= $\frac{625}{3} - \frac{135}{3}$

= $\frac{490}{3}$

≈ 163,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

6

und der Änderung zwischen

6

und

14

zusammen:

B = 2 + $\frac{490}{3}$ = $\frac{496}{3}$ ≈ 165.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4 x ⅆ x$ = $32$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4 x ⅆ x

= ${[2 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 2 \cdot 0^{2}$

= $2 u^{2} - 2 \cdot 0$

= $2 u^{2} + 0$

= $2 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $32$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 u^{2}$	=	$32$	\|: $2$
$u^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
u₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Da u= $- 4$ < 0 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(2 x - 3)}^{2} + 4$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} ({(2 x - 3)}^{2} + 4) ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{6} {(2 x - 3)}^{3} + 4 x]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 2 - 3)}^{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 0 - 3)}^{3} + 4 \cdot 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot {(4 - 3)}^{3} + 8 - (\frac{1}{6} \cdot {(0 - 3)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 1^{3} + 8 - (\frac{1}{6} \cdot {(- 3)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 1 + 8 - (\frac{1}{6} \cdot (- 27) + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} + 8 - (- \frac{9}{2} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} + \frac{48}{6} - (- 4,5 + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{49}{6} + 4,5)$

= $\frac{1}{2} (\frac{49}{6} + \frac{9}{2})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{38}{3}$

≈ 6,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[e^{- x + 1}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{- u + 1} - e^{- 0 + 1}$

= $e^{- u + 1} - e^{1}$

= $e^{- u + 1} - e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{- u + 1} - e$ → $0 - e$ = $- e$ ≈ -2.718

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2.718

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale