Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 3x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 2 e 3x -3 x

= [ 2 3 e 3x -3 ] 0 3

= 2 3 e 33 -3 - 2 3 e 30 -3

= 2 3 e 9 -3 - 2 3 e 0 -3

= 2 3 e 6 - 2 3 e -3


≈ 268,919
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 25 + 2 3 e 6 - 2 3 e -3 ≈ 293.92

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 23 3 s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 32 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 23 3 und 32 3 :
23 3 32 3 5 3x -7 x
= 23 3 32 3 5 ( 3x -7 ) 1 2 x

= [ 10 9 ( 3x -7 ) 3 2 ] 23 3 32 3

= [ 10 9 ( 3x -7 ) 3 ] 23 3 32 3

= 10 9 ( 3( 32 3 ) -7 ) 3 - 10 9 ( 3( 23 3 ) -7 ) 3

= 10 9 ( 32 -7 ) 3 - 10 9 ( 23 -7 ) 3

= 10 9 ( 25 ) 3 - 10 9 ( 16 ) 3

= 10 9 5 3 - 10 9 4 3

= 10 9 125 - 10 9 64

= 1250 9 - 640 9

= 610 9


≈ 67,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 23 3 und der Änderung zwischen 23 3 und 32 3 zusammen:
B = 5 + 610 9 = 655 9 ≈ 72.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,9 e -0,3x +0,9 x = 1

Lösung einblenden
0 u 0,9 e -0,3x +0,9 x

= [ -3 e -0,3x +0,9 ] 0 u

= -3 e -0,3u +0,9 +3 e -0,30 +0,9

= -3 e -0,3u +0,9 +3 e 0 +0,9

= -3 e -0,3u +0,9 +3 e 0,9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-3 e -0,3u +0,9 +3 e 0,9 = 1 | -3 e 0,9
-3 e -0,3u +0,9 = -3 e 0,9 +1
-3 e -0,3u +0,9 = -6,3788 |:-3
e -0,3u +0,9 = 2,1263 |ln(⋅)
-0,3u +0,9 = ln( 2,1263 )
-0,3u +0,9 = 0,7544 | -0,9
-0,3u = -0,1456 |:(-0,3 )
u = 0,4853

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 2 ( x -1 ) 2 x

= 1 2 [ 2 3 ( x -1 ) 3 ] 0 2

= 1 2 ( 2 3 ( 2 -1 ) 3 - 2 3 ( 0 -1 ) 3 )

= 1 2 ( 2 3 1 3 - 2 3 ( -1 ) 3 )

= 1 2 ( 2 3 1 - 2 3 ( -1 ) )

= 1 2 ( 2 3 + 2 3 )

= 1 2 · 4 3

= 2 3


≈ 0,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 2 ( 2x -3 ) 2 x
= 3 u 2 ( 2x -3 ) -2 x

= [ - ( 2x -3 ) -1 ] 3 u

= [ - 1 2x -3 ] 3 u

= - 1 2u -3 + 1 23 -3

= - 1 2u -3 + 1 6 -3

= - 1 2u -3 + 1 3

= - 1 2u -3 + 1 3

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2u -3 + 1 3 0 + 1 3 = 1 3 ≈ 0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333