Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 44 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{12 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3} e^{0}$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3}$

≈ 5401,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 44 + $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3}$ ≈ 5445.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 6}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 5 - 6} - 2 e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $2 e^{15 - 6} - 2 e^{6 - 6}$

= $2 e^{9} - 2 e^{0}$

= $2 e^{9} - 2$

≈ 16204,168

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 19 + $2 e^{9} - 2$ ≈ 16223.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,8 e^{- 0,1 x + 0,9} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,8 e^{- 0,1 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,1 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,1 u + 0,9} + 8 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 8 e^{- 0,1 u + 0,9} + 8 e^{0 + 0,9}$

= $- 8 e^{- 0,1 u + 0,9} + 8 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,1 u + 0,9} + 8 e^{0,9}$	=	$7$	\| $- 8 e^{0,9}$
$- 8 e^{- 0,1 u + 0,9}$	=	$- 8 e^{0,9} + 7$
$- 8 e^{- 0,1 u + 0,9}$	=	$- 12,6768$	\|: $- 8$
$e^{- 0,1 u + 0,9}$	=	$1,5846$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,9$	=	$\ln (1,5846)$

$- 0,1 u + 0,9$	=	$0,4603$	\| $- 0,9$
$- 0,1 u$	=	$- 0,4397$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$4,397$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 e^{3 x - 5}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[e^{3 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (e^{3 \cdot 2 - 5} - e^{3 \cdot 0 - 5})$

= $\frac{1}{2} (e^{6 - 5} - e^{0 - 5})$

= $\frac{1}{2} (e^{1} - e^{- 5})$

= $\frac{1}{2} (e - e^{- 5})$

= $\frac{1}{2} (- e^{- 5} + e)$

≈ 1,356

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(x)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} - \frac{1}{{(x)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - \frac{1}{x^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - x^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{- 2}]}_{u}^{2}$

= ${[\frac{1}{2 x^{2}}]}_{u}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2 u^{2}}$

= $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}) - \frac{1}{2 u^{2}}$

= $\frac{1}{8} - \frac{1}{2 u^{2}}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{1}{8} - \frac{1}{2 u^{2}}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale