Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{16}{3}$ s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 3 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 3 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{250}{3} - 18$

= $\frac{250}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 2 + $\frac{196}{3}$ = $\frac{202}{3}$ ≈ 67.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 5} - \frac{1}{3} e^{6 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{4} - \frac{1}{3} e^{1}$

= $\frac{1}{3} e^{4} - \frac{1}{3} e$

≈ 17,293

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 60 + $\frac{1}{3} e^{4} - \frac{1}{3} e$ ≈ 77.29

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,6 e^{- 0,2 x + 0,4} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,6 e^{- 0,2 x + 0,4} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,2 x + 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,2 u + 0,4} + 3 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,4}$

= $- 3 e^{- 0,2 u + 0,4} + 3 e^{0 + 0,4}$

= $- 3 e^{- 0,2 u + 0,4} + 3 e^{0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,2 u + 0,4} + 3 e^{0,4}$	=	$2$	\| $- 3 e^{0,4}$
$- 3 e^{- 0,2 u + 0,4}$	=	$- 3 e^{0,4} + 2$
$- 3 e^{- 0,2 u + 0,4}$	=	$- 2,4755$	\|: $- 3$
$e^{- 0,2 u + 0,4}$	=	$0,8252$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,4$	=	$\ln (0,8252)$

$- 0,2 u + 0,4$	=	$- 0,1921$	\| $- 0,4$
$- 0,2 u$	=	$- 0,5921$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$2,9605$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(2 x - 4)}^{3} + 1$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} (3 {(2 x - 4)}^{3} + 1) ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{3}{8} {(2 x - 4)}^{4} + x]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{3}{8} \cdot {(2 \cdot 4 - 4)}^{4} + 4 - (\frac{3}{8} \cdot {(2 \cdot 0 - 4)}^{4} + 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{3}{8} \cdot {(8 - 4)}^{4} + 4 - (\frac{3}{8} \cdot {(0 - 4)}^{4} + 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{3}{8} \cdot 4^{4} + 4 - (\frac{3}{8} \cdot {(- 4)}^{4} + 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{3}{8} \cdot 256 + 4 - (\frac{3}{8} \cdot 256 + 0))$

= $\frac{1}{4} (96 + 4 - (96 + 0))$

= $\frac{1}{4} (100 - 96)$

= $\frac{1}{4} \cdot 4$

= $1$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(2 x - 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(2 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(2 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} - \frac{1}{2 {(2 \cdot 3 - 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} - \frac{1}{2 {(6 - 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} - \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(2 u - 5)}^{2}} - \frac{1}{2}$ → $0 - \frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale