Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $3 e^{1 - 2} - 3 e^{0 - 2}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{- 2}$

≈ 0,698

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 28 + $3 e^{- 1} - 3 e^{- 2}$ ≈ 28.7

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{- 2}$

≈ 18,134

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 27 + $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{- 2}$ ≈ 45.13

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (6 x - 5) ⅆ x$ = $48$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (6 x - 5) ⅆ x

= ${[3 x^{2} - 5 x]}_{2}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 5 u - (3 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2)$

= $3 u^{2} - 5 u - (3 \cdot 4 - 10)$

= $3 u^{2} - 5 u - (12 - 10)$

= $3 u^{2} - 5 u - 1 \cdot 2$

= $3 u^{2} - 5 u - 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $48$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} - 5 u - 2

=

48

|

- 48

$3 u^{2} - 5 u - 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 600}}{6}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{625}}{6}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{5+25}{6}$ = $\frac{30}{6}$ = $5$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{5-25}{6}$ = $\frac{- 20}{6}$ = $- \frac{10}{3}$ ≈ -3.33

Da u= $- \frac{10}{3}$ < 2 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 3}

\int_{3}^{4} \frac{6}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

1

\int_{3}^{4} 6 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $1$ ${[- 3 {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= $1$ ${[- \frac{3}{2 x - 3}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2 \cdot 4 - 3} + \frac{3}{2 \cdot 3 - 3}$

= $- \frac{3}{8 - 3} + \frac{3}{6 - 3}$

= $- \frac{3}{5} + \frac{3}{3}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{5}) + 3 \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{3}{5} + 1$

= $- \frac{3}{5} + \frac{5}{5}$

= $\frac{2}{5}$

= 0,4

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(- 3 x + 6)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(- 3 x + 6)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- 3 x + 6)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 3 x + 6)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 {(- 3 x + 6)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 3 + 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{3 {(- 9 + 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{3 {(- 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{27}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{27}$ → $0 + \frac{1}{27}$ = $\frac{1}{27}$ ≈ 0.037

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.037

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale