Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 20 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{4 - 2} - e^{1 - 2}$

= $e^{2} - e^{- 1}$

≈ 7,021

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 20 + $e^{2} - e^{- 1}$ ≈ 27.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 44 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 2} - \frac{3}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{2}$

≈ 70,814

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 44 + $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{2}$ ≈ 114.81

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (2 x - 1) ⅆ x$ = $28$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (2 x - 1) ⅆ x

= ${[x^{2} - x]}_{2}^{u}$

$=$ $u^{2} - u - (2^{2} - 2)$

= $u^{2} - u - (4 - 2)$

= $u^{2} - u - 4 + 2$

= $u^{2} - u - 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $28$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} - u - 2

=

28

|

- 28

$u^{2} - u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Da u= $- 5$ < 2 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 {(3 x - 7)}^{2} + 5$ zwischen 2 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} (5 {(3 x - 7)}^{2} + 5) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{5}{9} {(3 x - 7)}^{3} + 5 x]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 7)}^{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 7)}^{3} + 5 \cdot 2)$

= $\frac{5}{9} \cdot {(9 - 7)}^{3} + 15 - (\frac{5}{9} \cdot {(6 - 7)}^{3} + 10)$

= $\frac{5}{9} \cdot 2^{3} + 15 - (\frac{5}{9} \cdot {(- 1)}^{3} + 10)$

= $\frac{5}{9} \cdot 8 + 15 - (\frac{5}{9} \cdot (- 1) + 10)$

= $\frac{40}{9} + 15 - (- \frac{5}{9} + 10)$

= $\frac{40}{9} + \frac{135}{9} - (- \frac{5}{9} + \frac{90}{9})$

= $\frac{175}{9} - 1 \cdot \frac{85}{9}$

= $\frac{175}{9} - \frac{85}{9}$

= $10$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $4$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} \frac{1}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{4}$

= ${[2 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{4}$

$=$ $2 \sqrt{4 - 3} - 2 \sqrt{u - 3}$

= $2 \sqrt{1} - 2 \sqrt{u - 3}$

= $2 \cdot 1 - 2 \sqrt{u - 3}$

= $2 - 2 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{u - 3} + 2$ → $0 + 2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale