Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{x - 3} ⅆ x

= ${[e^{x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{3 - 3} - e^{1 - 3}$

= $e^{0} - e^{- 2}$

= $1 - e^{- 2}$

≈ 0,865

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 19 + $- e^{- 2} + 1$ ≈ 19.86

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 2)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{4}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 4 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{2}{2 x - 2}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{2 \cdot 4 - 2} + \frac{2}{2 \cdot 3 - 2}$

= $- \frac{2}{8 - 2} + \frac{2}{6 - 2}$

= $- \frac{2}{6} + \frac{2}{4}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{6}) + 2 \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

= $\frac{1}{6}$

≈ 0,167

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 13 + $\frac{1}{6}$ = $\frac{79}{6}$ ≈ 13.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (4 x - 1) ⅆ x$ = $30$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (4 x - 1) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - x]}_{2}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - u - (2 \cdot 2^{2} - 2)$

= $2 u^{2} - u - (2 \cdot 4 - 2)$

= $2 u^{2} - u - (8 - 2)$

= $2 u^{2} - u - 1 \cdot 6$

= $2 u^{2} - u - 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $30$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} - u - 6

=

30

|

- 30

$2 u^{2} - u - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1+17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1-17}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Da u= $- 4$ < 2 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 e^{3 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} 5 e^{3 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 4} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{4} (\frac{5}{3} e^{12 - 4} - \frac{5}{3} e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{4} (\frac{5}{3} e^{8} - \frac{5}{3} e^{- 4})$

≈ 1242,058

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{1}{{(- 2 x + 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} {(- 2 x + 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 5)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 (- 2 x + 5)}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{1}{2 (- 2 \cdot 4 + 5)}$

= $\frac{1}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{1}{2 (- 8 + 5)}$

= $\frac{1}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{1}{2 (- 3)}$

= $\frac{1}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{1}{6}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{1}{6}$ → $0 + \frac{1}{6}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale