Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 54 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 3} - \frac{1}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ 6,679

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 54 + $\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} e^{- 3}$ ≈ 60.68

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $10$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

\frac{29}{2}

:

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 4 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

\frac{29}{2}

zusammen:

B = 3 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{253}{3}$ ≈ 84.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} - 4 x ⅆ x$ = $- 4,5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} - 4 x ⅆ x

= ${[- 2 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 2 \cdot 0^{2}$

= $- 2 u^{2} + 2 \cdot 0$

= $- 2 u^{2} + 0$

= $- 2 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 4,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 u^{2}$	=	$- 4,5$	\|: $(- 2)$
$u^{2}$	=	$2,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{2,25}$	= $- 1,5$
u₂	=	$\sqrt{2,25}$	= $1,5$

Da u= $- 1,5$ < 0 ist u= $1,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 5}$ zwischen $3$ und $10$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{10 - 3}

\int_{3}^{10} 3 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\frac{1}{7}

\int_{3}^{10} 3 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{7}$ ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{10}$

= $\frac{1}{7}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{10}$

$=$ $\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

= $\frac{1}{7} (\frac{250}{3} - \frac{16}{3})$

= $\frac{1}{7} \cdot 78$

= $\frac{78}{7}$

≈ 11,143

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{- 3 x + 6} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(- 3 x + 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 6 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| - 3 (u) + 6 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 3 \cdot 4 + 6 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 6 |) - \frac{2}{3} \ln (| - 12 + 6 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 6 |) - \frac{2}{3} \ln (6)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3} \ln (6) + \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 6 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale