Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{5}{2}$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{17}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{5}{2}

und

\frac{17}{2}

:

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}} 6 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}} 6 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{17}{2}) - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{17 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{16})}^{3} - 2 {(\sqrt{4})}^{3}$

= $2 \cdot 4^{3} - 2 \cdot 2^{3}$

= $2 \cdot 64 - 2 \cdot 8$

= $128 - 16$

= $112$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{5}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{5}{2}

und

\frac{17}{2}

zusammen:

B = 17 + $112$ = $129$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{1}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| x - 1 |)]}_{3}^{6}$

$=$ $\ln (| 6 - 1 |) - \ln (| 3 - 1 |)$

= $\ln (5) - \ln (| 3 - 1 |)$

= $\ln (5) - \ln (2)$

≈ 0,916

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 2 + $\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)$ ≈ 2.92

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 10 x ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 10 x ⅆ x

= ${[5 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 u^{2} - 5 \cdot 0^{2}$

= $5 u^{2} - 5 \cdot 0$

= $5 u^{2} + 0$

= $5 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 u^{2}$	=	$5$	\|: $5$
$u^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
u₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da u= $- 1$ < 0 ist u= $1$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sin (2 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 2 \ln (| x - 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- 2 \ln (| u - 3 |) + 2 \ln (| 4 - 3 |)$

= $- 2 \ln (| u - 3 |) + 2 \ln (1)$

= $- 2 \ln (| u - 3 |) + 0$

= $- 2 \ln (| x - 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \ln (| x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale