Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{1 - 2} - 2 e^{0 - 2}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{- 2}$

≈ 0,465

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 4 + $2 e^{- 1} - 2 e^{- 2}$ ≈ 4.47

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $10$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

10

:

\int_{7}^{10} 6 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{10} 6 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{10}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{7}^{10}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

10

zusammen:

B = 8 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{268}{3}$ ≈ 89.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,1 e^{- 0,7 x + 0,9} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,1 e^{- 0,7 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,7 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,7 u + 0,9} + 3 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 3 e^{- 0,7 u + 0,9} + 3 e^{0 + 0,9}$

= $- 3 e^{- 0,7 u + 0,9} + 3 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,7 u + 0,9} + 3 e^{0,9}$	=	$3$	\| $- 3 e^{0,9}$
$- 3 e^{- 0,7 u + 0,9}$	=	$- 3 e^{0,9} + 3$
$- 3 e^{- 0,7 u + 0,9}$	=	$- 4,3788$	\|: $- 3$
$e^{- 0,7 u + 0,9}$	=	$1,4596$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,9$	=	$\ln (1,4596)$

$- 0,7 u + 0,9$	=	$0,3782$	\| $- 0,9$
$- 0,7 u$	=	$- 0,5218$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,7454$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 {(3 x - 5)}^{2}$ zwischen 0 und 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 6 {(3 x - 5)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 5)}^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3 \cdot 0 - 5)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(6 - 5)}^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0 - 5)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(- 5)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot (- 125))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} + \frac{250}{3})$

= $\frac{1}{2} \cdot 84$

= $42$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{3 x - 5}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 u - 5} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{3 u - 5} - \frac{1}{3} e^{0 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{3 u - 5} - \frac{1}{3} e^{- 5}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} e^{3 u - 5} - \frac{1}{3} e^{- 5}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale