Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 21 2 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 15 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 21 2 und 15:
21 2 15 2x -5 x
= 21 2 15 ( 2x -5 ) 1 2 x

= [ 1 3 ( 2x -5 ) 3 2 ] 21 2 15

= [ 1 3 ( 2x -5 ) 3 ] 21 2 15

= 1 3 ( 215 -5 ) 3 - 1 3 ( 2( 21 2 ) -5 ) 3

= 1 3 ( 30 -5 ) 3 - 1 3 ( 21 -5 ) 3

= 1 3 ( 25 ) 3 - 1 3 ( 16 ) 3

= 1 3 5 3 - 1 3 4 3

= 1 3 125 - 1 3 64

= 125 3 - 64 3

= 61 3


≈ 20,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 21 2 und der Änderung zwischen 21 2 und 15 zusammen:
B = 11 + 61 3 = 94 3 ≈ 31.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 2x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 2 e 2x -5 x

= [ e 2x -5 ] 1 2

= e 22 -5 - e 21 -5

= e 4 -5 - e 2 -5

= e -1 - e -3


≈ 0,318
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 27 + e -1 - e -3 ≈ 27.32

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4,8 e -0,8x +0,3 x = 2

Lösung einblenden
0 u 4,8 e -0,8x +0,3 x

= [ -6 e -0,8x +0,3 ] 0 u

= -6 e -0,8u +0,3 +6 e -0,80 +0,3

= -6 e -0,8u +0,3 +6 e 0 +0,3

= -6 e -0,8u +0,3 +6 e 0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-6 e -0,8u +0,3 +6 e 0,3 = 2 | -6 e 0,3
-6 e -0,8u +0,3 = -6 e 0,3 +2
-6 e -0,8u +0,3 = -6,0992 |:-6
e -0,8u +0,3 = 1,0165 |ln(⋅)
-0,8u +0,3 = ln( 1,0165 )
-0,8u +0,3 = 0,0164 | -0,3
-0,8u = -0,2836 |:(-0,8 )
u = 0,3545

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= e 2x -1 zwischen 2 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 e 2x -1 x

= 1 3 [ 1 2 e 2x -1 ] 2 5

= 1 3 ( 1 2 e 25 -1 - 1 2 e 22 -1 )

= 1 3 ( 1 2 e 10 -1 - 1 2 e 4 -1 )

= 1 3 ( 1 2 e 9 - 1 2 e 3 )


≈ 1347,166

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -3x +7 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 3 ( -3x +7 ) 3 x
= 4 u 3 ( -3x +7 ) -3 x

= [ 1 2 ( -3x +7 ) -2 ] 4 u

= [ 1 2 ( -3x +7 ) 2 ] 4 u

= 1 2 ( -3u +7 ) 2 - 1 2 ( -34 +7 ) 2

= 1 2 ( -3u +7 ) 2 - 1 2 ( -12 +7 ) 2

= 1 2 ( -3u +7 ) 2 - 1 2 ( -5 ) 2

= 1 2 ( -3u +7 ) 2 - 1 2 ( 1 25 )

= 1 2 ( -3u +7 ) 2 - 1 50

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 ( -3u +7 ) 2 - 1 50 0 - 1 50 = - 1 50 ≈ -0.02

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.02