Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 5)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(2 x - 5)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(2 x - 5)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{- 3}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{2 {(2 x - 5)}^{3}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(2 \cdot 5 - 5)}^{3}} + \frac{1}{2 {(2 \cdot 3 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{1}{2 {(10 - 5)}^{3}} + \frac{1}{2 {(6 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 5^{3}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{125}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{250} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{250} + \frac{125}{250}$

= $\frac{62}{125}$

= 0,496

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 2 + $\frac{62}{125}$ = $\frac{312}{125}$ ≈ 2.5

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 80 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{3 - 5} - \frac{2}{3} e^{0 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{- 2} - \frac{2}{3} e^{- 5}$

≈ 0,086

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 80 + $\frac{2}{3} e^{- 2} - \frac{2}{3} e^{- 5}$ ≈ 80.09

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 4 x ⅆ x$ = $- 64$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 4 x ⅆ x

= ${[- 2 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 2 \cdot 2^{2}$

= $- 2 u^{2} + 2 \cdot 4$

= $- 2 u^{2} + 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 64$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 u^{2} + 8$	=	$- 64$	\| $- 8$
$- 2 u^{2}$	=	$- 72$	\|: $(- 2)$
$u^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
u₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da u= $- 6$ < 2 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 {(x - 1)}^{3}$ zwischen 2 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 2}

\int_{2}^{4} 5 {(x - 1)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{5}{4} {(x - 1)}^{4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{5}{4} \cdot {(4 - 1)}^{4} - \frac{5}{4} \cdot {(2 - 1)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{4} \cdot 3^{4} - \frac{5}{4} \cdot 1^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{4} \cdot 81 - \frac{5}{4} \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} (\frac{405}{4} - \frac{5}{4})$

= $\frac{1}{2} \cdot 100$

= $50$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $4$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{4}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{4}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 4 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{8 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 4 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 4} - 4$ → $0 - 4$ = $- 4$ ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale