Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
≈ 6,389
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 6 +
≈ 12.39
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 65,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 19 + = ≈ 84.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
36
|
=
-6
|
| u2 |
= |
36
|
=
6
|
Da u=
-6
< 0 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4⋅ cos( 2x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
3
2
π
4⋅
cos(
2x
+
1
2
π)
ⅆ
x
=
1
π
[
2⋅
sin(
2x
+
1
2
π)
]
1
2
π
3
2
π
=
1
π
·
(
2⋅
sin(
2⋅(
3
2
π )
+
1
2
π)
-2⋅
sin(
2⋅(
1
2
π )
+
1
2
π)
)
=
1
π
·
(
2⋅
sin(
7
2
π)
-2⋅
sin(
3
2
π)
)
=
1
π
·
(
2⋅( -1 )
-2⋅( -1 )
)
=
1
π
·
(
-2
+2
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
3
-x
+3
ⅆ
x
=
∫
4
u
-3
(
-x
+3
)
-1
ⅆ
x
=
[
3
ln(
|
-x
+3
|
)
]
4
u
=
3
ln(
|
-(
u
)
+3
|
)
-3
ln(
|
-4
+3
|
)
=
3
ln(
|
-u
+3
|
)
-3
ln(
|
-4
+3
|
)
=
3
ln(
|
-u
+3
|
)
-3
ln(
1
)
=
3
ln(
|
-u
+3
|
)
+0
=
3
ln(
|
-x
+3
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
ln(
|
-x
+3
|
)
→
∞