Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 4)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{2}{{(3 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 2 {(3 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 4)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{2}{3 (3 x - 4)}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3 (3 \cdot 3 - 4)} + \frac{2}{3 (3 \cdot 2 - 4)}$

= $- \frac{2}{3 (9 - 4)} + \frac{2}{3 (6 - 4)}$

= $- \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{3 \cdot 2}$

= $- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{5}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{2}{15} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{15} + \frac{5}{15}$

= $\frac{1}{5}$

= 0,2

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 14 + $\frac{1}{5}$ = $\frac{71}{5}$ ≈ 14.2

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 5 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 5} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{4 - 5} - \frac{5}{2} e^{0 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{- 1} - \frac{5}{2} e^{- 5}$

≈ 0,903

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 18 + $\frac{5}{2} e^{- 1} - \frac{5}{2} e^{- 5}$ ≈ 18.9

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 8 x ⅆ x$ = $- 288$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 8 x ⅆ x

= ${[- 4 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 4 \cdot 3^{2}$

= $- 4 u^{2} + 4 \cdot 9$

= $- 4 u^{2} + 36$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 288$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 u^{2} + 36$	=	$- 288$	\| $- 36$
$- 4 u^{2}$	=	$- 324$	\|: $(- 4)$
$u^{2}$	=	$81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{81}$	= $- 9$
u₂	=	$\sqrt{81}$	= $9$

Da u= $- 9$ < 3 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \cos (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (3 \cdot π - \frac{3}{2} π) + \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (\frac{3}{2} π) + \cos (0))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 0 + 1)$

= $\frac{2}{π}$

≈ 0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 2)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} \frac{1}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{u}^{3}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 2)}]}_{u}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 \cdot 3 - 2)} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2 (6 - 2)} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{1}{2 (2 u - 2)} - \frac{1}{8}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale