Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 47 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 2973,569
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 47 +
≈ 3020.57
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 8,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 18 + = ≈ 26.22
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
28
8
=
3,5
u2 =
-1
-
841
8
=
-1
-29
8
=
-30
8
=
-3,75
Da u=
-3,75
< 0 ist u=
3,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2⋅ cos( 2x + 1 2 π) zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
2⋅
cos(
2x
+
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
sin(
2x
+
1
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
sin(
2⋅π
+
1
2
π)
-
sin(
2⋅(
1
2
π )
+
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
sin(
5
2
π)
-
sin(
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
1
- ( -1 )
)
=
2
π
·
(
1
+1
)
=
2
π
·
2
=
4
π
≈ 1,273
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 x -1 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 10 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
10
-
1
x
-1
ⅆ
x
=
∫
u
10
-
(
x
-1
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
x
-1
)
1
2
]
u
10
=
[
-2
x
-1
]
u
10
=
-2
10
-1
+2
u
-1
=
-2
9
+2
u
-1
=
-2⋅3
+2
u
-1
=
-6
+2
u
-1
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
2
u
-1
-6
→
0
-6
=
-6
≈ -6
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6