Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,107
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 19 + = ≈ 19.11
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 15 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
25
|
=
-5
|
| u2 |
= |
25
|
=
5
|
Da u=
-5
< 3 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -2 ) 3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
2
+0
∫
0
2
5
(
2x
-2
)
3
ⅆ
x
=
1
2
[
5
8
(
2x
-2
)
4
]
0
2
=
1
2
(
5
8
⋅
(
2⋅2
-2
)
4
-
5
8
⋅
(
2⋅0
-2
)
4
)
=
1
2
(
5
8
⋅
(
4
-2
)
4
-
5
8
⋅
( 0
-2
)
4
)
=
1
2
(
5
8
⋅
2
4
-
5
8
⋅
( -2 )
4
)
=
1
2
(
5
8
⋅16
-
5
8
⋅16
)
=
1
2
(
10
-10
)
=
1
2
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=18 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
18
u
3
x
-2
ⅆ
x
=
∫
18
u
3
(
x
-2
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
6
(
x
-2
)
1
2
]
18
u
=
[
6
x
-2
]
18
u
=
6
u
-2
-6
18
-2
=
6
u
-2
-6
16
=
6
u
-2
-6⋅4
=
6
u
-2
-24
Für u → ∞ gilt: A(u) =
6
u
-2
-24
→
∞