Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 5 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{10 - 5} - \frac{1}{2} e^{4 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 74,023

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 15 + $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e^{- 1}$ ≈ 89.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{23}{3}$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 4 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 4 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 64$

= $\frac{1000}{9} - \frac{512}{9}$

= $\frac{488}{9}$

≈ 54,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{23}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 13 + $\frac{488}{9}$ = $\frac{605}{9}$ ≈ 67.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{0,4 x - 0,1} ⅆ x$ = $12$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{0,4 x - 0,1} ⅆ x

= ${[5 e^{0,4 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,4 u - 0,1} - 5 e^{0,4 \cdot 0 - 0,1}$

= $5 e^{0,4 u - 0,1} - 5 e^{0 - 0,1}$

= $5 e^{0,4 u - 0,1} - 5 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,4 u - 0,1} - 5 e^{- 0,1}$	=	$12$	\| $+ 5 e^{- 0,1}$
$5 e^{0,4 u - 0,1}$	=	$5 e^{- 0,1} + 12$
$5 e^{0,4 u - 0,1}$	=	$16,5242$	\|: $5$
$e^{0,4 u - 0,1}$	=	$3,3048$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,1$	=	$\ln (3,3048)$

$0,4 u - 0,1$	=	$1,1954$	\| $+ 0,1$
$0,4 u$	=	$1,2954$	\|: $0,4$
$u$	=	$3,2385$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \cos (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (2 \cdot π - \frac{1}{2} π) + \cos (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (\frac{3}{2} π) + \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 0 + 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 5}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{21}{2}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{21}{2}}^{u} \frac{1}{\sqrt{2 x - 5}} ⅆ x

=

\int_{\frac{21}{2}}^{u} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{u}$

= ${[\sqrt{2 x - 5}]}_{\frac{21}{2}}^{u}$

$=$ $\sqrt{2 u - 5} - \sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5}$

= $\sqrt{2 u - 5} - \sqrt{21 - 5}$

= $\sqrt{2 u - 5} - \sqrt{16}$

= $\sqrt{2 u - 5} - 4$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 5} - 4$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale