Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $10$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

\frac{29}{2}

:

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 2 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

\frac{29}{2}

zusammen:

B = 18 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{176}{3}$ ≈ 58.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 33 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 6} - \frac{4}{3} e^{3 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{- 3}$

≈ 26,714

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 33 + $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{- 3}$ ≈ 59.71

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,4 x + 0,5} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,4 x + 0,5} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,4 x + 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,4 u + 0,5} + 9 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,5}$

= $- 9 e^{- 0,4 u + 0,5} + 9 e^{0 + 0,5}$

= $- 9 e^{- 0,4 u + 0,5} + 9 e^{0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,4 u + 0,5} + 9 e^{0,5}$	=	$8$	\| $- 9 e^{0,5}$
$- 9 e^{- 0,4 u + 0,5}$	=	$- 9 e^{0,5} + 8$
$- 9 e^{- 0,4 u + 0,5}$	=	$- 6,8385$	\|: $- 9$
$e^{- 0,4 u + 0,5}$	=	$0,7598$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,5$	=	$\ln (0,7598)$

$- 0,4 u + 0,5$	=	$- 0,2747$	\| $- 0,5$
$- 0,4 u$	=	$- 0,7747$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$1,9368$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\sin (\frac{3}{2} π - \frac{3}{2} π) - \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\sin (0) - \sin (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 - 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} \frac{3}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} 3 {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(x - 1)}^{- 2}]}_{u}^{4}$

= ${[- \frac{3}{2 {(x - 1)}^{2}}]}_{u}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(4 - 1)}^{2}} + \frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}} - \frac{1}{6}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale