Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 2x -4 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 6 ( 2x -4 ) 2 x
= 4 7 6 ( 2x -4 ) -2 x

= [ -3 ( 2x -4 ) -1 ] 4 7

= [ - 3 2x -4 ] 4 7

= - 3 27 -4 + 3 24 -4

= - 3 14 -4 + 3 8 -4

= - 3 10 + 3 4

= -3( 1 10 ) +3( 1 4 )

= - 3 10 + 3 4

= - 6 20 + 15 20

= 9 20


= 0,45
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 3 + 9 20 = 69 20 ≈ 3.45

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 5 e 3x -4 x

= [ 5 3 e 3x -4 ] 1 4

= 5 3 e 34 -4 - 5 3 e 31 -4

= 5 3 e 12 -4 - 5 3 e 3 -4

= 5 3 e 8 - 5 3 e -1


≈ 4967,65
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 3 + 5 3 e 8 - 5 3 e -1 ≈ 4970.65

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 4x +1 ) x = 150

Lösung einblenden
3 u ( 4x +1 ) x

= [ 2 x 2 + x ] 3 u

= 2 u 2 + u - ( 2 3 2 +3 )

= 2 u 2 + u - ( 29 +3 )

= 2 u 2 + u - ( 18 +3 )

= 2 u 2 + u -1 · 21

= 2 u 2 + u -21

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 150 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 + u -21 = 150 | -150

2 u 2 + u -171 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 2 · ( -171 ) 22

u1,2 = -1 ± 1 +1368 4

u1,2 = -1 ± 1369 4

u1 = -1 + 1369 4 = -1 +37 4 = 36 4 = 9

u2 = -1 - 1369 4 = -1 -37 4 = -38 4 = -9,5

Da u= -9,5 < 3 ist u= 9 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 cos( x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π 4 cos( x - 1 2 π) x

= 2 3 π [ 4 sin( x - 1 2 π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( 4 sin( 3 2 π - 1 2 π) -4 sin( 0 - 1 2 π) )

= 2 3 π · ( 4 sin(π) -4 sin( - 1 2 π) )

= 2 3 π · ( 40 -4( -1 ) )

= 2 3 π · ( 0 +4 )

= 2 3 π · 4

= 8 3 π


≈ 0,849

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 3x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 20 3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 20 3 u - 3 3x -4 x
= 20 3 u -3 ( 3x -4 ) - 1 2 x

= [ -2 ( 3x -4 ) 1 2 ] 20 3 u

= [ -2 3x -4 ] 20 3 u

= -2 3u -4 +2 3( 20 3 ) -4

= -2 3u -4 +2 20 -4

= -2 3u -4 +2 16

= -2 3u -4 +24

= -2 3u -4 +8

Für u → ∞ gilt: A(u) = -2 3u -4 +8 -