Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 3 e x -3 x

= [ 3 e x -3 ] 2 5

= 3 e 5 -3 -3 e 2 -3

= 3 e 2 -3 e -1


≈ 21,064
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 27 + 3 e 2 -3 e -1 ≈ 48.06

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 ( 2x -3 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 5 ( 2x -3 ) 2 x
= 2 3 5 ( 2x -3 ) -2 x

= [ - 5 2 ( 2x -3 ) -1 ] 2 3

= [ - 5 2( 2x -3 ) ] 2 3

= - 5 2( 23 -3 ) + 5 2( 22 -3 )

= - 5 2( 6 -3 ) + 5 2( 4 -3 )

= - 5 2 3 + 5 2

= - 5 2 ( 1 3 ) + 5 2 1

= - 5 6 + 5 2

= - 5 6 + 15 6

= 5 3


≈ 1,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 11 + 5 3 = 38 3 ≈ 12.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 8x -2 ) x = 242

Lösung einblenden
3 u ( 8x -2 ) x

= [ 4 x 2 -2x ] 3 u

= 4 u 2 -2u - ( 4 3 2 -23 )

= 4 u 2 -2u - ( 49 -6 )

= 4 u 2 -2u - ( 36 -6 )

= 4 u 2 -2u -1 · 30

= 4 u 2 -2u -30

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 242 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -2u -30 = 242 | -242
4 u 2 -2u -272 = 0 |:2

2 u 2 - u -136 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 2 · ( -136 ) 22

u1,2 = +1 ± 1 +1088 4

u1,2 = +1 ± 1089 4

u1 = 1 + 1089 4 = 1 +33 4 = 34 4 = 8,5

u2 = 1 - 1089 4 = 1 -33 4 = -32 4 = -8

Da u= -8 < 3 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 4 x -1 x
= 1 2 3 5 4 ( x -1 ) -1 x

= 1 2 [ 4 ln( | x -1 | ) ] 3 5

= 1 2 (4 ln( | 5 -1 | ) -4 ln( | 3 -1 | ) )

= 1 2 (4 ln( 4 ) -4 ln( | 3 -1 | ) )

= 1 2 (4 ln( 4 ) -4 ln( 2 ) )


≈ 1,386

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 10 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 10 - 1 2x -4 x
= u 10 - ( 2x -4 ) - 1 2 x

= [ - ( 2x -4 ) 1 2 ] u 10

= [ - 2x -4 ] u 10

= - 210 -4 + 2u -4

= - 20 -4 + 2u -4

= - 16 + 2u -4

= -4 + 2u -4

= 2u -4 -4

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = 2u -4 -4 0 -4 = -4 ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4