Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 5 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{15 - 3} - \frac{2}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{12} - \frac{2}{3} e^{3}$

≈ 108489,804

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 60 + $\frac{2}{3} e^{12} - \frac{2}{3} e^{3}$ ≈ 108549.8

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{1}{3} e^{- 1} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 0,117

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 3 + $\frac{1}{3} e^{- 1} - \frac{1}{3} e^{- 4}$ ≈ 3.12

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 2 x - 1) ⅆ x$ = $- 33,75$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 2 x - 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} - x]}_{1}^{u}$

$=$ $- u^{2} - u - (- 1^{2} - 1)$

= $- u^{2} - u - (- 1 - 1)$

= $- u^{2} - u + 1 + 1$

= $- u^{2} - u + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 33,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} - u + 2

=

- 33,75

|

+ 33,75

$- u^{2} - u + 35,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 35,75}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 143}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{1+12}{- 2}$ = $\frac{13}{- 2}$ = $- 6,5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{1-12}{- 2}$ = $\frac{- 11}{- 2}$ = $5,5$

Da u= $- 6,5$ < 1 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= $1$ ${[6 e^{x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $6 e^{1 - 3} - 6 e^{0 - 3}$

= $6 e^{- 2} - 6 e^{- 3}$

≈ 0,513

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $2 e^{- 3 x + 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 2 e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 7}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 7} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 7}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 7} + \frac{2}{3} e^{- 6 + 7}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 7} + \frac{2}{3} e^{1}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 7} + \frac{2}{3} e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 7} + \frac{2}{3} e$ → $0 + \frac{2}{3} e$ = $\frac{2}{3} e$ ≈ 1.812

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.812

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale