Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $17$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $26$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

17

und

26

:

\int_{17}^{26} 4 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{17}^{26} 4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{17}^{26}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{17}^{26}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3}$

= $\frac{8}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 5^{3} - \frac{8}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 125 - \frac{8}{3} \cdot 64$

= $\frac{1000}{3} - \frac{512}{3}$

= $\frac{488}{3}$

≈ 162,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

17

und der Änderung zwischen

17

und

26

zusammen:

B = 18 + $\frac{488}{3}$ = $\frac{542}{3}$ ≈ 180.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{3}{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 3 {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| 3 x - 4 |)]}_{3}^{6}$

$=$ $\ln (| 3 \cdot 6 - 4 |) - \ln (| 3 \cdot 3 - 4 |)$

= $\ln (| 18 - 4 |) - \ln (| 9 - 4 |)$

= $\ln (14) - \ln (| 9 - 4 |)$

= $\ln (14) - \ln (5)$

≈ 1,03

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 5 + $\ln (| 14 |) - \ln (| 5 |)$ ≈ 6.03

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,1 x + 0,8} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,1 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,1 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,1 u + 0,8} + 9 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 9 e^{- 0,1 u + 0,8} + 9 e^{0 + 0,8}$

= $- 9 e^{- 0,1 u + 0,8} + 9 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,1 u + 0,8} + 9 e^{0,8}$	=	$2$	\| $- 9 e^{0,8}$
$- 9 e^{- 0,1 u + 0,8}$	=	$- 9 e^{0,8} + 2$
$- 9 e^{- 0,1 u + 0,8}$	=	$- 18,0299$	\|: $- 9$
$e^{- 0,1 u + 0,8}$	=	$2,0033$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,8$	=	$\ln (2,0033)$

$- 0,1 u + 0,8$	=	$0,6948$	\| $- 0,8$
$- 0,1 u$	=	$- 0,1052$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$1,052$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(2 x - 4)}^{3} + 4$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} (2 {(2 x - 4)}^{3} + 4) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{4} {(2 x - 4)}^{4} + 4 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(2 \cdot 1 - 4)}^{4} + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{4} \cdot {(2 \cdot 0 - 4)}^{4} + 4 \cdot 0)$

= $\frac{1}{4} \cdot {(2 - 4)}^{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {(0 - 4)}^{4} + 0)$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 4)}^{4} + 0)$

= $\frac{1}{4} \cdot 16 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot 256 + 0)$

= $4 + 4 - (64 + 0)$

= $8 - 64$

= $- 56$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 2)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} \frac{1}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{u}^{4}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 2)}]}_{u}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 \cdot 4 - 2)} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2 (8 - 2)} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 6} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{6}) + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{12} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{1}{2 (2 u - 2)} - \frac{1}{12}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale