= ${\left[e^{2x-5}\right]}_2^3$

$=$ $e^{2\cdot 3-5}-e^{2\cdot 2-5}$

= $e^{6-5}-e^{4-5}$

= $e^1-e^{-1}$

= $e-e^{-1}$

= ${\left[\frac{4}{3}{\left(x-2\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{11}^{27}$

= ${\left[\frac{4}{3}{\left(\sqrt{x-2}\right)}^3\right]}_{11}^{27}$

$=$ $\frac{4}{3}{\left(\sqrt{27-2}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{11-2}\right)}^3$

= $\frac{4}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $\frac{4}{3}\cdot 5^3-\frac{4}{3}\cdot 3^3$

= $\frac{4}{3}\cdot 125-\frac{4}{3}\cdot 27$

= $\frac{500}{3}-36$

= $\frac{500}{3}-\frac{108}{3}$

= $\frac{392}{3}$

= ${\left[-4x^2-x\right]}_1^u$

$=$ $-4u^2-u-\left(-4\cdot 1^2-1\right)$

= $-4u^2-u-\left(-4\cdot 1-1\right)$

= $-4u^2-u-\left(-4-1\right)$

= $-4u^2-u-1·\left(-5\right)$

= $-4u^2-u+5$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{47,5}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$-4u^2-u+\mathrm{52,5}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-4\right)·\mathrm{52,5}}}{2\cdot \left(-4\right)}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+840}}{-8}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{841}}{-8}$

u₁ = $\frac{1+\sqrt{841}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>29</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{30}{-8}$ = $-\mathrm{3,75}$

u₂ = $\frac{1-\sqrt{841}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>29</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-28}{-8}$ = $\mathrm{3,5}$

Da u= $-\mathrm{3,75}$ < 1 ist u= $\mathrm{3,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[-6{\left(x-2\right)}^{-1}\right]}_3^5$

= $\frac{1}{2}$ ${\left[-\frac{6}{x-2}\right]}_3^5$

$=$ $\frac{1}{2}\left(-\frac{6}{5-2}+\frac{6}{3-2}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-\frac{6}{3}+\frac{6}{1}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-6\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+6\cdot 1\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-2+6\right)$

= $\frac{1}{2}·4$

= $2$

= ${\left[-2{\left(2x-4\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{10}$

= ${\left[-2\sqrt{2x-4}\right]}_u^{10}$

$=$ $-2\sqrt{2\cdot 10-4}+2\sqrt{2u-4}$

= $-2\sqrt{20-4}+2\sqrt{2u-4}$

= $-2\sqrt{16}+2\sqrt{2u-4}$

= $-2\cdot 4+2\sqrt{2u-4}$

= $-8+2\sqrt{2u-4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $2\sqrt{2u-4}-8$ → $0-8$ = $-8$ ≈ -8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8