Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 72 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 4 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 3} - \frac{4}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{4}{3} e^{6} - \frac{4}{3} e^{- 3}$

≈ 537,839

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 72 + $\frac{4}{3} e^{6} - \frac{4}{3} e^{- 3}$ ≈ 609.84

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{2 - 1} - \frac{3}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{1} - \frac{3}{2} e^{- 1}$

= $\frac{3}{2} e - \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ 3,526

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 38 + $- \frac{3}{2} e^{- 1} + \frac{3}{2} e$ ≈ 41.53

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 8 x - 2) ⅆ x$ = $- 24$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 8 x - 2) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} - 2 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} - 2 u - (- 4 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1)$

= $- 4 u^{2} - 2 u - (- 4 \cdot 1 - 2)$

= $- 4 u^{2} - 2 u - (- 4 - 2)$

= $- 4 u^{2} - 2 u - 1 \cdot (- 6)$

= $- 4 u^{2} - 2 u + 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 24$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} - 2 u + 6

=

- 24

|

+ 24

- 4 u^{2} - 2 u + 30

= 0 |:2

$- 2 u^{2} - u + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 15}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{1+11}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{1-11}{- 4}$ = $\frac{- 10}{- 4}$ = $2,5$

Da u= $- 3$ < 1 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \sqrt{x - 2}$ zwischen $11$ und $18$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{18 - 11}

\int_{11}^{18} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{7}

\int_{11}^{18} 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{7}$ ${[2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{18}$

= $\frac{1}{7}$ ${[2 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{18}$

$=$ $\frac{1}{7} (2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{11 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{7} (2 {(\sqrt{16})}^{3} - 2 {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{1}{7} (2 \cdot 4^{3} - 2 \cdot 3^{3})$

= $\frac{1}{7} (2 \cdot 64 - 2 \cdot 27)$

= $\frac{1}{7} (128 - 54)$

= $\frac{1}{7} \cdot 74$

= $\frac{74}{7}$

≈ 10,571

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{- 2 x + 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 4}]}_{1}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 4} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 4} + \frac{1}{2} e^{- 2 + 4}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 4} + \frac{1}{2} e^{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 4} + \frac{1}{2} e^{2}$ → $0 + \frac{1}{2} e^{2}$ = $\frac{1}{2} e^{2}$ ≈ 3.695

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3.695

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale