Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 32,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 17 + = ≈ 49.89
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 383,343
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 28 +
≈ 411.34
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
39
6
=
6,5
u2 =
-5
-
1936
6
=
-5
-44
6
=
-49
6
=
-
49
6
≈ -8.17
Da u=
-
49
6
< 2 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 19 3 und Minute 28 3 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
28
3
-
19
3
∫
19
3
28
3
4
3x
-3
ⅆ
x
=
1
3
∫
19
3
28
3
4
(
3x
-3
)
1
2
ⅆ
x
=
1
3
[
8
9
(
3x
-3
)
3
2
]
19
3
28
3
=
1
3
[
8
9
(
3x
-3
)
3
]
19
3
28
3
=
1
3
(
8
9
(
3⋅(
28
3
)
-3
)
3
-
8
9
(
3⋅(
19
3
)
-3
)
3
)
=
1
3
(
8
9
(
28
-3
)
3
-
8
9
(
19
-3
)
3
)
=
1
3
(
8
9
(
25
)
3
-
8
9
(
16
)
3
)
=
1
3
(
8
9
⋅
5
3
-
8
9
⋅
4
3
)
=
1
3
(
8
9
⋅125
-
8
9
⋅64
)
=
1
3
(
1000
9
-
512
9
)
=
1
3
·
488
9
=
488
27
≈ 18,074
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( 3x -6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
2
(
3x
-6
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
-2
(
3x
-6
)
-3
ⅆ
x
=
[
1
3
(
3x
-6
)
-2
]
3
u
=
[
1
3
(
3x
-6
)
2
]
3
u
=
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
3
(
3⋅3
-6
)
2
=
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
3
(
9
-6
)
2
=
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
3⋅
3
2
=
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
3
⋅(
1
9
)
=
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
27
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
27
→
0
-
1
27
=
-
1
27
≈ -0.037
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.037