Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,022
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 17 + = ≈ 17.02
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 8 + = ≈ 89.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
49
|
=
-7
|
| u2 |
= |
49
|
=
7
|
Da u=
-7
< 3 ist u=
7
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 2x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 21 2 und Minute 15 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
15
-
21
2
∫
21
2
15
4
2x
-5
ⅆ
x
=
2
9
∫
21
2
15
4
(
2x
-5
)
1
2
ⅆ
x
=
2
9
[
4
3
(
2x
-5
)
3
2
]
21
2
15
=
2
9
[
4
3
(
2x
-5
)
3
]
21
2
15
=
2
9
(
4
3
(
2⋅15
-5
)
3
-
4
3
(
2⋅(
21
2
)
-5
)
3
)
=
2
9
(
4
3
(
30
-5
)
3
-
4
3
(
21
-5
)
3
)
=
2
9
(
4
3
(
25
)
3
-
4
3
(
16
)
3
)
=
2
9
(
4
3
⋅
5
3
-
4
3
⋅
4
3
)
=
2
9
(
4
3
⋅125
-
4
3
⋅64
)
=
2
9
(
500
3
-
256
3
)
=
2
9
·
244
3
=
488
27
≈ 18,074
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
2
x
-3
ⅆ
x
=
∫
4
u
2
(
x
-3
)
-1
ⅆ
x
=
[
2
ln(
|
x
-3
|
)
]
4
u
=
2
ln(
|
u
-3
|
)
-2
ln(
|
4
-3
|
)
=
2
ln(
|
u
-3
|
)
-2
ln(
1
)
=
2
ln(
|
u
-3
|
)
+0
=
2
ln(
|
x
-3
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
ln(
|
x
-3
|
)
→
∞