Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 44 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
≈ 0,465
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 44 +
≈ 44.47
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:
=
=
=
6
ln(
|
5
-2
|
)
-6
ln(
|
4
-2
|
)
=
6
ln(
3
)
-6
ln(
|
4
-2
|
)
=
6
ln(
3
)
-6
ln(
2
)
≈ 2,433
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5
zusammen:
B = 5 +
6
ln(
|
3
|
)
-6
ln(
|
2
|
)
≈ 7.43
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u ( 8x -1 ) ⅆ x = 162,5
Lösung einblenden
∫
0
u
(
8x
-1
)
ⅆ
x
=
[
4
x
2
- x
]
0
u
=
4
u
2
- u
- (
4⋅
0
2
- 0
)
=
4
u
2
- u
- (
4⋅0
+0)
=
4
u
2
- u
- (0+0)
=
4
u
2
- u
+0
=
4
u
2
- u
|
4
u
2
- u
|
= |
162,5
|
|
-162,5
|
4
u
2
- u
-162,5
= 0
u1,2 =
+1 ±
( -1 )
2
-4 ·
4
·
(
-162,5
)
2⋅4
u1,2 =
+1 ±
1
+2600
8
u1,2 =
+1 ±
2601
8
u1 =
1
+
2601
8
=
1
+51
8
=
52
8
=
6,5
u2 =
1
-
2601
8
=
1
-51
8
=
-50
8
=
-6,25
Da u=
-6,25
< 0 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -4 ) 3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
+0
∫
0
1
5
(
2x
-4
)
3
ⅆ
x
=
1
[
5
8
(
2x
-4
)
4
]
0
1
=
5
8
⋅
(
2⋅1
-4
)
4
-
5
8
⋅
(
2⋅0
-4
)
4
=
5
8
⋅
(
2
-4
)
4
-
5
8
⋅
( 0
-4
)
4
=
5
8
⋅
( -2 )
4
-
5
8
⋅
( -4 )
4
=
5
8
⋅16
-
5
8
⋅256
=
10
-160
=
-150
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -3x +6 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
3
-3x
+6
ⅆ
x
=
∫
4
u
-3
(
-3x
+6
)
-1
ⅆ
x
=
[
ln(
|
-3x
+6
|
)
]
4
u
=
ln(
|
-3(
u
)
+6
|
)
-
ln(
|
-3⋅4
+6
|
)
=
ln(
|
-3u
+6
|
)
-
ln(
|
-12
+6
|
)
=
ln(
|
-3u
+6
|
)
-
ln(
6
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
ln(
6
)
+
ln(
|
-3x
+6
|
)
→
∞