Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 7)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{5}{{(3 x - 7)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 5 {(3 x - 7)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} {(3 x - 7)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{5}{6 {(3 x - 7)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{6 {(3 \cdot 5 - 7)}^{2}} + \frac{5}{6 {(3 \cdot 3 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{5}{6 {(15 - 7)}^{2}} + \frac{5}{6 {(9 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{5}{6 \cdot 8^{2}} + \frac{5}{6 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{5}{384} + \frac{5}{24}$

= $- \frac{5}{384} + \frac{80}{384}$

= $\frac{25}{128}$

≈ 0,195

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 13 + $\frac{25}{128}$ = $\frac{1689}{128}$ ≈ 13.2

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{4}{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 4 {(3 x - 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \ln (| 3 x - 7 |)]}_{4}^{6}$

$=$ $\frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 6 - 7 |) - \frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 7 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (| 18 - 7 |) - \frac{4}{3} \ln (| 12 - 7 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (11) - \frac{4}{3} \ln (| 12 - 7 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (11) - \frac{4}{3} \ln (5)$

≈ 1,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 5 + $\frac{4}{3} \ln (| 11 |) - \frac{4}{3} \ln (| 5 |)$ ≈ 6.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,4 e^{- 0,9 x + 0,6} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,4 e^{- 0,9 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,9 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,9 u + 0,6} + 6 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,6}$

= $- 6 e^{- 0,9 u + 0,6} + 6 e^{0 + 0,6}$

= $- 6 e^{- 0,9 u + 0,6} + 6 e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,9 u + 0,6} + 6 e^{0,6}$	=	$4$	\| $- 6 e^{0,6}$
$- 6 e^{- 0,9 u + 0,6}$	=	$- 6 e^{0,6} + 4$
$- 6 e^{- 0,9 u + 0,6}$	=	$- 6,9327$	\|: $- 6$
$e^{- 0,9 u + 0,6}$	=	$1,1555$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,6$	=	$\ln (1,1555)$

$- 0,9 u + 0,6$	=	$0,1445$	\| $- 0,6$
$- 0,9 u$	=	$- 0,4555$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,5061$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \cos (3 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\sin (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\sin (3 \cdot π - π) - \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\sin (2 π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - 1)$

= $- \frac{2}{π}$

≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $19$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{19}^{u} \frac{1}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{19}^{u} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{19}^{u}$

= ${[2 \sqrt{x - 3}]}_{19}^{u}$

$=$ $2 \sqrt{u - 3} - 2 \sqrt{19 - 3}$

= $2 \sqrt{u - 3} - 2 \sqrt{16}$

= $2 \sqrt{u - 3} - 2 \cdot 4$

= $2 \sqrt{u - 3} - 8$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \sqrt{u - 3} - 8$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale