Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 16 3 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 32 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 16 3 und 32 3 :
16 3 32 3 6 3x -7 x
= 16 3 32 3 6 ( 3x -7 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -7 ) 3 2 ] 16 3 32 3

= [ 4 3 ( 3x -7 ) 3 ] 16 3 32 3

= 4 3 ( 3( 32 3 ) -7 ) 3 - 4 3 ( 3( 16 3 ) -7 ) 3

= 4 3 ( 32 -7 ) 3 - 4 3 ( 16 -7 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 3 3

= 4 3 125 - 4 3 27

= 500 3 -36

= 500 3 - 108 3

= 392 3


≈ 130,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 16 3 und der Änderung zwischen 16 3 und 32 3 zusammen:
B = 10 + 392 3 = 422 3 ≈ 140.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 57 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 4 e 3x -5 x

= [ 4 3 e 3x -5 ] 1 4

= 4 3 e 34 -5 - 4 3 e 31 -5

= 4 3 e 12 -5 - 4 3 e 3 -5

= 4 3 e 7 - 4 3 e -2


≈ 1461,997
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 57 + 4 3 e 7 - 4 3 e -2 ≈ 1519

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 8x x = 81

Lösung einblenden
0 u 8x x

= [ 4 x 2 ] 0 u

= 4 u 2 -4 0 2

= 4 u 2 -40

= 4 u 2 +0

= 4 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 81 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 = 81 |:4
u 2 = 81 4 | 2
u1 = - 81 4 = - 9 2
u2 = 81 4 = 9 2

Da u= - 9 2 < 0 ist u= 9 2 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 e 2x -4 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 2 e 2x -4 x

= 1 2 [ e 2x -4 ] 0 2

= 1 2 ( e 22 -4 - e 20 -4 )

= 1 2 ( e 4 -4 - e 0 -4 )

= 1 2 ( e 0 - e -4 )

= 1 2 ( 1 - e -4 )

= 1 2 ( - e -4 +1 )


≈ 0,491

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 e 3x -5 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 0 u 3 e 3x -5 x

= [ e 3x -5 ] 0 u

= e 3u -5 - e 30 -5

= e 3u -5 - e 0 -5

= e 3u -5 - e -5

Für u → ∞ gilt: A(u) = e 3u -5 - e -5