Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 44 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 3} - 2 e^{1 - 3}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{- 2}$

≈ 0,465

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 44 + $2 e^{- 1} - 2 e^{- 2}$ ≈ 44.47

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{6}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 6 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[6 \ln (| x - 2 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $6 \ln (| 5 - 2 |) - 6 \ln (| 4 - 2 |)$

= $6 \ln (3) - 6 \ln (| 4 - 2 |)$

= $6 \ln (3) - 6 \ln (2)$

≈ 2,433

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 5 + $6 \ln (| 3 |) - 6 \ln (| 2 |)$ ≈ 7.43

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (8 x - 1) ⅆ x$ = $162,5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (8 x - 1) ⅆ x

= ${[4 x^{2} - x]}_{0}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - u - (4 \cdot 0^{2} - 0)$

= $4 u^{2} - u - (4 \cdot 0 + 0)$

= $4 u^{2} - u - (0 + 0)$

= $4 u^{2} - u + 0$

= $4 u^{2} - u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $162,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} - u

=

162,5

|

- 162,5

$4 u^{2} - u - 162,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 162,5)}}{2 \cdot 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 2 600}}{8}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{2 601}}{8}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{2 601}}{8}$ = $\frac{1+51}{8}$ = $\frac{52}{8}$ = $6,5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{2 601}}{8}$ = $\frac{1-51}{8}$ = $\frac{- 50}{8}$ = $- 6,25$

Da u= $- 6,25$ < 0 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(2 x - 4)}^{3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 5 {(2 x - 4)}^{3} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{5}{8} {(2 x - 4)}^{4}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{5}{8} \cdot {(2 \cdot 1 - 4)}^{4} - \frac{5}{8} \cdot {(2 \cdot 0 - 4)}^{4}$

= $\frac{5}{8} \cdot {(2 - 4)}^{4} - \frac{5}{8} \cdot {(0 - 4)}^{4}$

= $\frac{5}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - \frac{5}{8} \cdot {(- 4)}^{4}$

= $\frac{5}{8} \cdot 16 - \frac{5}{8} \cdot 256$

= $10 - 160$

= $- 150$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{- 3 x + 6} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(- 3 x + 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| - 3 x + 6 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $\ln (| - 3 (u) + 6 |) - \ln (| - 3 \cdot 4 + 6 |)$

= $\ln (| - 3 u + 6 |) - \ln (| - 12 + 6 |)$

= $\ln (| - 3 u + 6 |) - \ln (6)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (6) + \ln (| - 3 x + 6 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale