= ${\left[e^{3x-6}\right]}_0^2$

$=$ $e^{3\cdot 2-6}-e^{3\cdot 0-6}$

= $e^{6-6}-e^{0-6}$

= $e^0-e^{-6}$

= $1-e^{-6}$

= ${\left[\frac{2}{9}{\left(3x-5\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{\frac{14}{3}}^{10}$

= ${\left[\frac{2}{9}{\left(\sqrt{3x-5}\right)}^3\right]}_{\frac{14}{3}}^{10}$

$=$ $\frac{2}{9}{\left(\sqrt{3\cdot 10-5}\right)}^3-\frac{2}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{14}{3}\right)-5}\right)}^3$

= $\frac{2}{9}{\left(\sqrt{30-5}\right)}^3-\frac{2}{9}{\left(\sqrt{14-5}\right)}^3$

= $\frac{2}{9}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{2}{9}{\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $\frac{2}{9}\cdot 5^3-\frac{2}{9}\cdot 3^3$

= $\frac{2}{9}\cdot 125-\frac{2}{9}\cdot 27$

= $\frac{250}{9}-6$

= $\frac{250}{9}-\frac{54}{9}$

= $\frac{196}{9}$

= ${\left[-4x^2+5x\right]}_1^u$

$=$ $-4u^2+5u-\left(-4\cdot 1^2+5\cdot 1\right)$

= $-4u^2+5u-\left(-4\cdot 1+5\right)$

= $-4u^2+5u-\left(-4+5\right)$

= $-4u^2+5u-1·1$

= $-4u^2+5u-1$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{13,5}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$-4u^2+5u+\mathrm{12,5}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·\left(-4\right)·\mathrm{12,5}}}{2\cdot \left(-4\right)}$

u_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25+200}}{-8}$

u_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{225}}{-8}$

u₁ = $\frac{-5+\sqrt{225}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-8}$ = $-\mathrm{1,25}$

u₂ = $\frac{-5-\sqrt{225}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-20}{-8}$ = $\mathrm{2,5}$

Da u= $-\mathrm{1,25}$ < 1 ist u= $\mathrm{2,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $1$ ${\left[5e^{x-2}\right]}_0^1$

$=$ $5e^{1-2}-5e^{0-2}$

= $5e^{-1}-5e^{-2}$

= ${\left[-6{\left(x-2\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_{18}^u$

= ${\left[-6\sqrt{x-2}\right]}_{18}^u$

$=$ $-6\sqrt{u-2}+6\sqrt{18-2}$

= $-6\sqrt{u-2}+6\sqrt{16}$

= $-6\sqrt{u-2}+6\cdot 4$

= $-6\sqrt{u-2}+24$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-6\sqrt{u-2}+24$ → $-\infty$