Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 1,641
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 16 + = ≈ 17.64
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,833
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 6
zusammen:
B = 16 + = ≈ 16.83
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
35
-6
=
-
35
6
≈ -5.83
u2 =
1
-
1156
-6
=
1
-34
-6
=
-33
-6
=
5,5
Da u=
-
35
6
< 1 ist u=
5,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= e x -1 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
+0
∫
0
4
e
x
-1
ⅆ
x
=
1
4
[
e
x
-1
]
0
4
=
1
4
(
e
4
-1
-
e
0
-1
)
=
1
4
(
e
3
-
e
-1
)
≈ 4,929
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -3x +4 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
0
u
-
e
-3x
+4
ⅆ
x
=
[
1
3
e
-3x
+4
]
0
u
=
1
3
e
-3u
+4
-
1
3
e
-3⋅0
+4
=
1
3
e
-3u
+4
-
1
3
e
0
+4
=
1
3
e
-3u
+4
-
1
3
e
4
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
3
e
-3u
+4
-
1
3
e
4
→
0
-
1
3
e
4
=
-
1
3
e
4
≈ -18.199
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 18.199