Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 2} - 3 e^{1 - 2}$

= $3 e^{0} - 3 e^{- 1}$

= $3 - 3 e^{- 1}$

≈ 1,896

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 14 + $- 3 e^{- 1} + 3$ ≈ 15.9

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 4 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 5} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{3 - 5} - \frac{4}{3} e^{0 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{- 2} - \frac{4}{3} e^{- 5}$

≈ 0,171

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 16 + $\frac{4}{3} e^{- 2} - \frac{4}{3} e^{- 5}$ ≈ 16.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,5 e^{0,3 x - 0,8} ⅆ x$ = $19$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,5 e^{0,3 x - 0,8} ⅆ x

= ${[5 e^{0,3 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,3 u - 0,8} - 5 e^{0,3 \cdot 0 - 0,8}$

= $5 e^{0,3 u - 0,8} - 5 e^{0 - 0,8}$

= $5 e^{0,3 u - 0,8} - 5 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $19$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,3 u - 0,8} - 5 e^{- 0,8}$	=	$19$	\| $+ 5 e^{- 0,8}$
$5 e^{0,3 u - 0,8}$	=	$5 e^{- 0,8} + 19$
$5 e^{0,3 u - 0,8}$	=	$21,2466$	\|: $5$
$e^{0,3 u - 0,8}$	=	$4,2493$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,8$	=	$\ln (4,2493)$

$0,3 u - 0,8$	=	$1,4468$	\| $+ 0,8$
$0,3 u$	=	$2,2468$	\|: $0,3$
$u$	=	$7,4893$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{3 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{2}{3 x - 3} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} 2 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 3 |)]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |) - \frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| 9 - 3 |) - \frac{2}{3} \ln (| 6 - 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (6) - \frac{2}{3} \ln (| 6 - 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (6) - \frac{2}{3} \ln (3)$

≈ 0,462

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $2 e^{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{1}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} + \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 3}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} + \frac{2}{3} e^{- 3 + 3}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} + \frac{2}{3} e^{0}$

= $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} + \frac{2}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} + \frac{2}{3}$ → $0 + \frac{2}{3}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.667

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale