Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} e^{x - 3} ⅆ x

= ${[e^{x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{4 - 3} - e^{1 - 3}$

= $e^{1} - e^{- 2}$

= $e - e^{- 2}$

≈ 2,583

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 71 + $- e^{- 2} + e$ ≈ 73.58

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $4 e^{2 - 2} - 4 e^{0 - 2}$

= $4 e^{0} - 4 e^{- 2}$

= $4 - 4 e^{- 2}$

≈ 3,459

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 20 + $- 4 e^{- 2} + 4$ ≈ 23.46

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,6 e^{0,1 x - 0,2} ⅆ x$ = $15$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,6 e^{0,1 x - 0,2} ⅆ x

= ${[6 e^{0,1 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,1 u - 0,2} - 6 e^{0,1 \cdot 0 - 0,2}$

= $6 e^{0,1 u - 0,2} - 6 e^{0 - 0,2}$

= $6 e^{0,1 u - 0,2} - 6 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,1 u - 0,2} - 6 e^{- 0,2}$	=	$15$	\| $+ 6 e^{- 0,2}$
$6 e^{0,1 u - 0,2}$	=	$6 e^{- 0,2} + 15$
$6 e^{0,1 u - 0,2}$	=	$19,9124$	\|: $6$
$e^{0,1 u - 0,2}$	=	$3,3187$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,2$	=	$\ln (3,3187)$

$0,1 u - 0,2$	=	$1,1996$	\| $+ 0,2$
$0,1 u$	=	$1,3996$	\|: $0,1$
$u$	=	$13,996$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot π + \frac{3}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{9}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3 π}$

≈ 0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(3 x - 6)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{{(3 x - 6)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(3 x - 6)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{2}{3 (3 x - 6)}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{2}{3 (3 \cdot 4 - 6)}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{2}{3 (12 - 6)}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{2}{3 \cdot 6}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{6})$

= $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{1}{9}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3 (3 u - 6)} - \frac{1}{9}$ → $0 - \frac{1}{9}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.111

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.111

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale