Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\sqrt{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{22}{3}$ Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{31}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 64$

= $\frac{250}{9} - \frac{128}{9}$

= $\frac{122}{9}$

≈ 13,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 3 + $\frac{122}{9}$ = $\frac{149}{9}$ ≈ 16.56

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 72 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 4 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 6} - \frac{4}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{- 6}$

≈ 26,777

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 72 + $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{- 6}$ ≈ 98.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 2 x + 5) ⅆ x$ = $- 56$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 2 x + 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 5 u - (- 3^{2} + 5 \cdot 3)$

= $- u^{2} + 5 u - (- 9 + 15)$

= $- u^{2} + 5 u + 9 - 15$

= $- u^{2} + 5 u - 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 56$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} + 5 u - 6

=

- 56

|

+ 56

$- u^{2} + 5 u + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 50}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{225}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 5+15}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 5-15}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Da u= $- 5$ < 3 ist u= $10$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$ zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[3 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot \sin (π - \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (0 - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 - 3)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 6)$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 3)}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 u - 3)} + \frac{1}{2 (2 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 3)} + \frac{1}{2 (4 - 3)}$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 3)} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 3)} + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2 (2 u - 3)} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 (2 u - 3)} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale