Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 65 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 4 - 3} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{8 - 3} - \frac{5}{2} e^{4 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{5} - \frac{5}{2} e^{1}$

= $\frac{5}{2} e^{5} - \frac{5}{2} e$

≈ 364,237

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 65 + $\frac{5}{2} e^{5} - \frac{5}{2} e$ ≈ 429.24

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 43 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $6 e^{2 - 3} - 6 e^{1 - 3}$

= $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$

≈ 1,395

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 43 + $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$ ≈ 44.4

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,7 e^{- 0,1 x + 0,4} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,7 e^{- 0,1 x + 0,4} ⅆ x

= ${[- 7 e^{- 0,1 x + 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 7 e^{- 0,1 u + 0,4} + 7 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,4}$

= $- 7 e^{- 0,1 u + 0,4} + 7 e^{0 + 0,4}$

= $- 7 e^{- 0,1 u + 0,4} + 7 e^{0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 7 e^{- 0,1 u + 0,4} + 7 e^{0,4}$	=	$7$	\| $- 7 e^{0,4}$
$- 7 e^{- 0,1 u + 0,4}$	=	$- 7 e^{0,4} + 7$
$- 7 e^{- 0,1 u + 0,4}$	=	$- 3,4428$	\|: $- 7$
$e^{- 0,1 u + 0,4}$	=	$0,4918$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,4$	=	$\ln (0,4918)$

$- 0,1 u + 0,4$	=	$- 0,7097$	\| $- 0,4$
$- 0,1 u$	=	$- 1,1097$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$11,097$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 5 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{5}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot \cos (2 \cdot π + \frac{3}{2} π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $3,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3,5} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3,5} - 2 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{3,5}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{3,5}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 3,5 - 6} + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 \sqrt{7 - 6} + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 \sqrt{1} + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 + 2 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 6} - 2$ → $0 - 2$ = $- 2$ ≈ -2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale