Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{3 - 1} - e^{1 - 1}$

= $e^{2} - e^{0}$

= $e^{2} - 1$

≈ 6,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 15 + $e^{2} - 1$ ≈ 21.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $4 e^{2 - 2} - 4 e^{1 - 2}$

= $4 e^{0} - 4 e^{- 1}$

= $4 - 4 e^{- 1}$

≈ 2,528

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 6 + $- 4 e^{- 1} + 4$ ≈ 8.53

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,6 e^{0,2 x - 0,2} ⅆ x$ = $11$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,6 e^{0,2 x - 0,2} ⅆ x

= ${[8 e^{0,2 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,2 u - 0,2} - 8 e^{0,2 \cdot 0 - 0,2}$

= $8 e^{0,2 u - 0,2} - 8 e^{0 - 0,2}$

= $8 e^{0,2 u - 0,2} - 8 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $11$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,2 u - 0,2} - 8 e^{- 0,2}$	=	$11$	\| $+ 8 e^{- 0,2}$
$8 e^{0,2 u - 0,2}$	=	$8 e^{- 0,2} + 11$
$8 e^{0,2 u - 0,2}$	=	$17,5498$	\|: $8$
$e^{0,2 u - 0,2}$	=	$2,1937$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,2$	=	$\ln (2,1937)$

$0,2 u - 0,2$	=	$0,7856$	\| $+ 0,2$
$0,2 u$	=	$0,9856$	\|: $0,2$
$u$	=	$4,928$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} 3 {(x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- 3 {(x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{3}{x - 2}]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{3}{5 - 2} + \frac{3}{3 - 2})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{3}{3} + \frac{3}{1})$

= $\frac{1}{2} (- 3 \cdot (\frac{1}{3}) + 3 \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} (- 1 + 3)$

= $\frac{1}{2} \cdot 2$

= $1$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $7$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{7} \frac{3}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{7} 3 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{7}$

= ${[6 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{7}$

$=$ $6 \sqrt{7 - 3} - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 \sqrt{4} - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 \cdot 2 - 6 \sqrt{u - 3}$

= $12 - 6 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 6 \sqrt{u - 3} + 12$ → $0 + 12$ = $12$ ≈ 12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale