Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 12,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 19 + = ≈ 31.33
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
=
=
=
≈ 9,851
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3
zusammen:
B = 71 +
≈ 80.85
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
72,25
|
=
-8,5
|
| u2 |
= |
72,25
|
=
8,5
|
Da u=
-8,5
< 3 ist u=
8,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -2 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
5
-3
∫
3
5
4
(
x
-2
)
2
ⅆ
x
=
1
2
∫
3
5
4
(
x
-2
)
-2
ⅆ
x
=
1
2
[
-4
(
x
-2
)
-1
]
3
5
=
1
2
[
-
4
x
-2
]
3
5
=
1
2
(
-
4
5
-2
+
4
3
-2
)
=
1
2
(
-
4
3
+
4
1
)
=
1
2
(
-4⋅(
1
3
)
+4⋅1
)
=
1
2
(
-
4
3
+4
)
=
1
2
(
-
4
3
+
12
3
)
=
1
2
·
8
3
=
4
3
≈ 1,333
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=10 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
10
u
-
1
(
x
-1
)
3
ⅆ
x
=
∫
10
u
-
(
x
-1
)
-
3
2
ⅆ
x
=
[
2
(
x
-1
)
-
1
2
]
10
u
=
[
2
x
-1
]
10
u
=
2
u
-1
-
2
10
-1
=
2
u
-1
-
2
9
=
2
u
-1
-
2
3
=
2
u
-1
-2⋅(
1
3
)
=
2
u
-1
-
2
3
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
u
-1
-
2
3
→
0
-
2
3
=
-
2
3
≈ -0.667
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667