Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 162,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 9 + = ≈ 171.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,063
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 46 +
≈ 46.06
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
51
6
=
8,5
u2 =
5
-
2116
6
=
5
-46
6
=
-41
6
=
-
41
6
≈ -6.83
Da u=
-
41
6
< 1 ist u=
8,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( x -1 ) 3 +2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
+0
∫
0
3
(
5
(
x
-1
)
3
+2
)
ⅆ
x
=
1
3
[
5
4
(
x
-1
)
4
+2x
]
0
3
=
1
3
(
5
4
⋅
(
3
-1
)
4
+2⋅3
- (
5
4
⋅
( 0
-1
)
4
+2⋅0
))
=
1
3
(
5
4
⋅
2
4
+6
- (
5
4
⋅
( -1 )
4
+0))
=
1
3
(
5
4
⋅16
+6
- (
5
4
⋅1
+0))
=
1
3
(
20
+6
- (
5
4
+0))
=
1
3
(
26
- (
5
4
+0))
=
1
3
(
26
-
5
4
)
=
1
3
(
104
4
-
5
4
)
=
1
3
·
99
4
=
33
4
= 8,25
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 3 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
3
-
2
2x
-2
ⅆ
x
=
∫
u
3
-2
(
2x
-2
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
2x
-2
)
1
2
]
u
3
=
[
-2
2x
-2
]
u
3
=
-2
2⋅3
-2
+2
2u
-2
=
-2
6
-2
+2
2u
-2
=
-2
4
+2
2u
-2
=
-2⋅2
+2
2u
-2
=
-4
+2
2u
-2
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
2
2u
-2
-4
→
0
-4
=
-4
≈ -4
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4