Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{6}{{(2 x - 4)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{6}{{(2 x - 4)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 6 {(2 x - 4)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 4)}^{- 3}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{1}{{(2 x - 4)}^{3}}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{{(2 \cdot 7 - 4)}^{3}} + \frac{1}{{(2 \cdot 4 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{1}{{(14 - 4)}^{3}} + \frac{1}{{(8 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{1}{10^{3}} + \frac{1}{4^{3}}$

= $- (\frac{1}{1000}) + \frac{1}{64}$

= $\frac{117}{8000}$

≈ 0,015

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 18 + $\frac{117}{8000}$ = $\frac{144.117}{8000}$ ≈ 18.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $3 e^{3 - 2} - 3 e^{2 - 2}$

= $3 e^{1} - 3 e^{0}$

= $3 e - 3$

≈ 5,155

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 74 + $- 3 + 3 e$ ≈ 79.15

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 6 x ⅆ x$ = $- 141,75$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 6 x ⅆ x

= ${[- 3 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 3 \cdot 3^{2}$

= $- 3 u^{2} + 3 \cdot 9$

= $- 3 u^{2} + 27$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 141,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 u^{2} + 27$	=	$- 141,75$	\| $- 27$
$- 3 u^{2}$	=	$- 168,75$	\|: $(- 3)$
$u^{2}$	=	$56,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{56,25}$	= $- 7,5$
u₂	=	$\sqrt{56,25}$	= $7,5$

Da u= $- 7,5$ < 3 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[2 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (2 e^{2 - 3} - 2 e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{2} (2 e^{- 1} - 2 e^{- 3})$

≈ 0,318

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $3$ und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} \frac{1}{\sqrt{2 x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} {(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{3}$

= ${[\sqrt{2 x - 2}]}_{u}^{3}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 - 2} - \sqrt{2 u - 2}$

= $\sqrt{6 - 2} - \sqrt{2 u - 2}$

= $\sqrt{4} - \sqrt{2 u - 2}$

= $2 - \sqrt{2 u - 2}$

= $- \sqrt{2 u - 2} + 2$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 2} + 2$ → $0 + 2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale