= ${\left[-\frac{1}{3}{\left(3x-4\right)}^{-3}\right]}_3^4$

= ${\left[-\frac{1}{3{\left(3x-4\right)}^3}\right]}_3^4$

$=$ $-\frac{1}{3{\left(3\cdot 4-4\right)}^3}+\frac{1}{3{\left(3\cdot 3-4\right)}^3}$

= $-\frac{1}{3{\left(12-4\right)}^3}+\frac{1}{3{\left(9-4\right)}^3}$

= $-\frac{1}{3\cdot 8^3}+\frac{1}{3\cdot 5^3}$

= $-\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)+\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)$

= $-\frac{1}{1536}+\frac{1}{375}$

= $-\frac{125}{192000}+\frac{512}{192000}$

= $\frac{129}{64000}$

= ${\left[\frac{5}{2}{e}^{2x-3}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{5}{2}{e}^{2\cdot 3-3}-\frac{5}{2}{e}^{2\cdot 0-3}$

= $\frac{5}{2}{e}^{6-3}-\frac{5}{2}{e}^{0-3}$

= $\frac{5}{2}{e}^3-\frac{5}{2}{e}^{-3}$

= ${\left[x^2-5x\right]}_1^u$

$=$ $u^2-5u-\left(1^2-5\cdot 1\right)$

= $u^2-5u-\left(1-5\right)$

= $u^2-5u-1+5$

= $u^2-5u+4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $10$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^2-5u-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25+24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

Da u= $-1$ < 1 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{3\pi }$ ${\left[\sin \left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3\pi }·\left(\sin \left(\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi \right)-\sin \left(0+\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(\sin \left(2\pi \right)-\sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(0-1\right)$

= $-\frac{2}{3\pi }$

= ${\left[2{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{10}$

= ${\left[2\sqrt{x-1}\right]}_u^{10}$

$=$ $2\sqrt{10-1}-2\sqrt{u-1}$

= $2\sqrt{9}-2\sqrt{u-1}$

= $2\cdot 3-2\sqrt{u-1}$

= $6-2\sqrt{u-1}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $-2\sqrt{u-1}+6$ → $0+6$ = $6$ ≈ 6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6