Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 4)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{2}{{(3 x - 4)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 2 {(3 x - 4)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{- 3}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{2}{9 {(3 x - 4)}^{3}}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{9 {(3 \cdot 4 - 4)}^{3}} + \frac{2}{9 {(3 \cdot 3 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{2}{9 {(12 - 4)}^{3}} + \frac{2}{9 {(9 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{2}{9 \cdot 8^{3}} + \frac{2}{9 \cdot 5^{3}}$

= $- \frac{2}{9} \cdot (\frac{1}{512}) + \frac{2}{9} \cdot (\frac{1}{125})$

= $- \frac{1}{2304} + \frac{2}{1125}$

= $- \frac{125}{288 000} + \frac{512}{288 000}$

= $\frac{43}{32000}$

≈ 0,001

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 13 + $\frac{43}{32000}$ = $\frac{416.043}{32000}$ ≈ 13

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 32 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{1}$

= $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e$

≈ 26,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 32 + $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e$ ≈ 58.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{0,9 x - 0,7} ⅆ x$ = $17$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{0,9 x - 0,7} ⅆ x

= ${[3 e^{0,9 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,9 u - 0,7} - 3 e^{0,9 \cdot 0 - 0,7}$

= $3 e^{0,9 u - 0,7} - 3 e^{0 - 0,7}$

= $3 e^{0,9 u - 0,7} - 3 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $17$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,9 u - 0,7} - 3 e^{- 0,7}$	=	$17$	\| $+ 3 e^{- 0,7}$
$3 e^{0,9 u - 0,7}$	=	$3 e^{- 0,7} + 17$
$3 e^{0,9 u - 0,7}$	=	$18,4898$	\|: $3$
$e^{0,9 u - 0,7}$	=	$6,1633$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,7$	=	$\ln (6,1633)$

$0,9 u - 0,7$	=	$1,8186$	\| $+ 0,7$
$0,9 u$	=	$2,5186$	\|: $0,9$
$u$	=	$2,7984$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $18$ und Minute $27$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{27 - 18}

\int_{18}^{27} 2 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{18}^{27} 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{4}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{1}{9} (\frac{4}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (\frac{500}{3} - \frac{256}{3})$

= $\frac{1}{9} \cdot \frac{244}{3}$

= $\frac{244}{27}$

≈ 9,037

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{- 3 x + 6} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- 3 x + 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| - 3 x + 6 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \ln (| - 3 (u) + 6 |) + \ln (| - 3 \cdot 3 + 6 |)$

= $- \ln (| - 3 u + 6 |) + \ln (| - 9 + 6 |)$

= $- \ln (| - 3 u + 6 |) + \ln (3)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (3) - \ln (| - 3 x + 6 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale