Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 44 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
=
≈ 4,305
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 44 +
≈ 48.3
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 7,051
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 74 +
≈ 81.05
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
12
-4
=
-3
u2 =
-3
-
225
-4
=
-3
-15
-4
=
-18
-4
=
4,5
Da u=
-3
< 0 ist u=
4,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 14 3 und Minute 10 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
10
-
14
3
∫
14
3
10
3x
-5
ⅆ
x
=
3
16
∫
14
3
10
(
3x
-5
)
1
2
ⅆ
x
=
3
16
[
2
9
(
3x
-5
)
3
2
]
14
3
10
=
3
16
[
2
9
(
3x
-5
)
3
]
14
3
10
=
3
16
(
2
9
(
3⋅10
-5
)
3
-
2
9
(
3⋅(
14
3
)
-5
)
3
)
=
3
16
(
2
9
(
30
-5
)
3
-
2
9
(
14
-5
)
3
)
=
3
16
(
2
9
(
25
)
3
-
2
9
(
9
)
3
)
=
3
16
(
2
9
⋅
5
3
-
2
9
⋅
3
3
)
=
3
16
(
2
9
⋅125
-
2
9
⋅27
)
=
3
16
(
250
9
-6
)
=
3
16
(
250
9
-
54
9
)
=
3
16
·
196
9
=
49
12
≈ 4,083
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
2
x
-2
ⅆ
x
=
∫
3
u
-2
(
x
-2
)
-1
ⅆ
x
=
[
-2
ln(
|
x
-2
|
)
]
3
u
=
-2
ln(
|
u
-2
|
)
+2
ln(
|
3
-2
|
)
=
-2
ln(
|
u
-2
|
)
+2
ln(
1
)
=
-2
ln(
|
u
-2
|
)
+0
=
-2
ln(
|
x
-2
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-2
ln(
|
x
-2
|
)
→
∞