Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 ( x -3 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:
4 5 3 ( x -3 ) 2 x
= 4 5 3 ( x -3 ) -2 x

= [ -3 ( x -3 ) -1 ] 4 5

= [ - 3 x -3 ] 4 5

= - 3 5 -3 + 3 4 -3

= - 3 2 + 3 1

= -3( 1 2 ) +31

= - 3 2 +3

= -1,5 +3

= 1,5


= 1,5
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:
B = 12 + 3 2 = 27 2 ≈ 13.5

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 2x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 6 e 2x -3 x

= [ 3 e 2x -3 ] 0 2

= 3 e 22 -3 -3 e 20 -3

= 3 e 4 -3 -3 e 0 -3

= 3 e 1 -3 e -3

= 3e -3 e -3


≈ 8,005
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 68 + -3 e -3 +3e ≈ 76.01

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 4x -3 ) x = 18

Lösung einblenden
3 u ( 4x -3 ) x

= [ 2 x 2 -3x ] 3 u

= 2 u 2 -3u - ( 2 3 2 -33 )

= 2 u 2 -3u - ( 29 -9 )

= 2 u 2 -3u - ( 18 -9 )

= 2 u 2 -3u -1 · 9

= 2 u 2 -3u -9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 18 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 -3u -9 = 18 | -18

2 u 2 -3u -27 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 2 · ( -27 ) 22

u1,2 = +3 ± 9 +216 4

u1,2 = +3 ± 225 4

u1 = 3 + 225 4 = 3 +15 4 = 18 4 = 4,5

u2 = 3 - 225 4 = 3 -15 4 = -12 4 = -3

Da u= -3 < 3 ist u= 4,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 4 3x -7 zwischen 3 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 4 3x -7 x
= 1 2 3 5 4 ( 3x -7 ) -1 x

= 1 2 [ 4 3 ln( | 3x -7 | ) ] 3 5

= 1 2 ( 4 3 ln( | 35 -7 | ) - 4 3 ln( | 33 -7 | ) )

= 1 2 ( 4 3 ln( | 15 -7 | ) - 4 3 ln( | 9 -7 | ) )

= 1 2 ( 4 3 ln( 8 ) - 4 3 ln( | 9 -7 | ) )

= 1 2 ( 4 3 ln( 8 ) - 4 3 ln( 2 ) )


≈ 0,924

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 e -x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u 3 e -x +2 x

= [ -3 e -x +2 ] 1 u

= -3 e -u +2 +3 e -1 +2

= -3 e -u +2 +3 e 1

= -3 e -u +2 +3e

Für u → ∞ gilt: A(u) = -3 e -u +2 +3e 0+3e = 3e ≈ 8.155

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8.155