Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 26 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 6 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 2 - 4} - 2 e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $2 e^{6 - 4} - 2 e^{0 - 4}$

= $2 e^{2} - 2 e^{- 4}$

≈ 14,741

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 26 + $2 e^{2} - 2 e^{- 4}$ ≈ 40.74

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 54 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $4 e^{5 - 2} - 4 e^{2 - 2}$

= $4 e^{3} - 4 e^{0}$

= $4 e^{3} - 4$

≈ 76,342

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 54 + $4 e^{3} - 4$ ≈ 130.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,3 x + 0,8} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,3 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,3 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,3 u + 0,8} + 9 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 9 e^{- 0,3 u + 0,8} + 9 e^{0 + 0,8}$

= $- 9 e^{- 0,3 u + 0,8} + 9 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,3 u + 0,8} + 9 e^{0,8}$	=	$3$	\| $- 9 e^{0,8}$
$- 9 e^{- 0,3 u + 0,8}$	=	$- 9 e^{0,8} + 3$
$- 9 e^{- 0,3 u + 0,8}$	=	$- 17,0299$	\|: $- 9$
$e^{- 0,3 u + 0,8}$	=	$1,8922$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,8$	=	$\ln (1,8922)$

$- 0,3 u + 0,8$	=	$0,6377$	\| $- 0,8$
$- 0,3 u$	=	$- 0,1623$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$0,541$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- 2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (0 - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 2 \cdot \cos (π) + 2 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 2$

= $\frac{4}{3 π}$

≈ 0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $10$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{10} \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{10} {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{10}$

= ${[\sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{10}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 10 - 4} - \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{20 - 4} - \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{16} - \sqrt{2 u - 4}$

= $4 - \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{2 u - 4} + 4$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 4} + 4$ → $0 + 4$ = $4$ ≈ 4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale