Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 2x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 6 e 2x -3 x

= [ 3 e 2x -3 ] 0 1

= 3 e 21 -3 -3 e 20 -3

= 3 e 2 -3 -3 e 0 -3

= 3 e -1 -3 e -3


≈ 0,954
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 75 + 3 e -1 -3 e -3 ≈ 75.95

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 41 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 4 e x -2 x

= [ 4 e x -2 ] 2 5

= 4 e 5 -2 -4 e 2 -2

= 4 e 3 -4 e 0

= 4 e 3 -4


≈ 76,342
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 41 + 4 e 3 -4 ≈ 117.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 10x -4 ) x = 250,25

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1 u ( 10x -4 ) x

= [ 5 x 2 -4x ] 1 u

= 5 u 2 -4u - ( 5 1 2 -41 )

= 5 u 2 -4u - ( 51 -4 )

= 5 u 2 -4u - ( 5 -4 )

= 5 u 2 -4u -1 · 1

= 5 u 2 -4u -1

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 250,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -4u -1 = 250,25 | -250,25

5 u 2 -4u -251,25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 5 · ( -251,25 ) 25

u1,2 = +4 ± 16 +5025 10

u1,2 = +4 ± 5041 10

u1 = 4 + 5041 10 = 4 +71 10 = 75 10 = 7,5

u2 = 4 - 5041 10 = 4 -71 10 = -67 10 = -6,7

Da u= -6,7 < 1 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 sin( 2x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 3 sin( 2x + 3 2 π) x

= 1 π [ - 3 2 cos( 2x + 3 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - 3 2 cos( 2( 3 2 π ) + 3 2 π) + 3 2 cos( 2( 1 2 π ) + 3 2 π) )

= 1 π · ( - 3 2 cos( 9 2 π) + 3 2 cos( 5 2 π) )

= 1 π · ( - 3 2 0 + 3 2 0 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 4 u - 2 2x -4 x
= 4 u -2 ( 2x -4 ) -1 x

= [ - ln( | 2x -4 | ) ] 4 u

= - ln( | 2( u ) -4 | ) + ln( | 24 -4 | )

= - ln( | 2u -4 | ) + ln( | 8 -4 | )

= - ln( | 2u -4 | ) + ln( 4 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( 4 ) - ln( | 2x -4 | )