Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $18$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $27$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

18

und

27

:

\int_{18}^{27} 2 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{18}^{27} 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

18

und der Änderung zwischen

18

und

27

zusammen:

B = 5 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{259}{3}$ ≈ 86.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 2 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{2}{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{4 - 1} + \frac{2}{2 - 1}$

= $- \frac{2}{3} + \frac{2}{1}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{3}) + 2 \cdot 1$

= $- \frac{2}{3} + 2$

= $- \frac{2}{3} + \frac{6}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 6 + $\frac{4}{3}$ = $\frac{22}{3}$ ≈ 7.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{- 0,4 x + 0,1} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{- 0,4 x + 0,1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,4 x + 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,4 u + 0,1} + 3 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,1}$

= $- 3 e^{- 0,4 u + 0,1} + 3 e^{0 + 0,1}$

= $- 3 e^{- 0,4 u + 0,1} + 3 e^{0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,4 u + 0,1} + 3 e^{0,1}$	=	$3$	\| $- 3 e^{0,1}$
$- 3 e^{- 0,4 u + 0,1}$	=	$- 3 e^{0,1} + 3$
$- 3 e^{- 0,4 u + 0,1}$	=	$- 0,3155$	\|: $- 3$
$e^{- 0,4 u + 0,1}$	=	$0,1052$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,1$	=	$\ln (0,1052)$

$- 0,4 u + 0,1$	=	$- 2,2519$	\| $- 0,1$
$- 0,4 u$	=	$- 2,3519$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$5,8798$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- \cos (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \cos (2 \cdot (0) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- \cos (\frac{3}{2} π) + \cos (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 0 + 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{- x + 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(- x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 2 \ln (| - x + 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- 2 \ln (| - (u) + 3 |) + 2 \ln (| - 4 + 3 |)$

= $- 2 \ln (| - u + 3 |) + 2 \ln (| - 4 + 3 |)$

= $- 2 \ln (| - u + 3 |) + 2 \ln (1)$

= $- 2 \ln (| - u + 3 |) + 0$

= $- 2 \ln (| - x + 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \ln (| - x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale