Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 70 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
≈ 268,919
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 70 +
≈ 338.92
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 2,457
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 27 +
≈ 29.46
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
80
8
=
10
u2 =
-1
-
6561
8
=
-1
-81
8
=
-82
8
=
-10,25
Da u=
-10,25
< 3 ist u=
10
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= e 2x -1 zwischen 1 und 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
-1
∫
1
3
e
2x
-1
ⅆ
x
=
1
2
[
1
2
e
2x
-1
]
1
3
=
1
2
(
1
2
e
2⋅3
-1
-
1
2
e
2⋅1
-1
)
=
1
2
(
1
2
e
6
-1
-
1
2
e
2
-1
)
=
1
2
(
1
2
e
5
-
1
2
e
1
)
=
1
2
(
1
2
e
5
-
1
2
e)
≈ 36,424
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
2
(
x
-1
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
-2
(
x
-1
)
-3
ⅆ
x
=
[
(
x
-1
)
-2
]
3
u
=
[
1
(
x
-1
)
2
]
3
u
=
1
(
u
-1
)
2
-
1
(
3
-1
)
2
=
1
(
u
-1
)
2
-
1
2
2
=
1
(
u
-1
)
2
- (
1
4
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
(
u
-1
)
2
-
1
4
→
0
-
1
4
=
-
1
4
≈ -0.25
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25