Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 2x -1 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 6 ( 2x -1 ) 4 x
= 1 4 6 ( 2x -1 ) -4 x

= [ - ( 2x -1 ) -3 ] 1 4

= [ - 1 ( 2x -1 ) 3 ] 1 4

= - 1 ( 24 -1 ) 3 + 1 ( 21 -1 ) 3

= - 1 ( 8 -1 ) 3 + 1 ( 2 -1 ) 3

= - 1 7 3 + 1 1 3

= -( 1 343 ) + 1

= 342 343


≈ 0,997
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 14 + 342 343 = 5144 343 ≈ 15

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 e x -1 x

= [ e x -1 ] 1 2

= e 2 -1 - e 1 -1

= e 1 - e 0

= e -1


≈ 1,718
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 38 + -1 + e ≈ 39.72

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( 4x +3 ) x = 175

Lösung einblenden
2 u ( 4x +3 ) x

= [ 2 x 2 +3x ] 2 u

= 2 u 2 +3u - ( 2 2 2 +32 )

= 2 u 2 +3u - ( 24 +6 )

= 2 u 2 +3u - ( 8 +6 )

= 2 u 2 +3u -1 · 14

= 2 u 2 +3u -14

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 175 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 +3u -14 = 175 | -175

2 u 2 +3u -189 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 2 · ( -189 ) 22

u1,2 = -3 ± 9 +1512 4

u1,2 = -3 ± 1521 4

u1 = -3 + 1521 4 = -3 +39 4 = 36 4 = 9

u2 = -3 - 1521 4 = -3 -39 4 = -42 4 = -10,5

Da u= -10,5 < 2 ist u= 9 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( x -3 ) 2 +2x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 ( 3 ( x -3 ) 2 +2x ) x

= 1 3 [ ( x -3 ) 3 + x 2 ] 0 3

= 1 3 ( ( 3 -3 ) 3 + 3 2 - ( ( 0 -3 ) 3 + 0 2 ))

= 1 3 ( 0 3 + 9 - ( ( -3 ) 3 + 0 ))

= 1 3 ( 0 +9 - ( ( -27 ) +0))

= 1 3 ( 9 +27 )

= 1 3 · 36

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -2 e -x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u -2 e -x +2 x

= [ 2 e -x +2 ] 1 u

= 2 e -u +2 -2 e -1 +2

= 2 e -u +2 -2 e 1

= 2 e -u +2 -2e

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 e -u +2 -2e 0-2e = -2e ≈ -5.437

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 5.437