Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 3}$

≈ 30,054

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 77 + $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 3}$ ≈ 107.05

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 4)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{2}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 2 {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{1}{2 x - 4}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{2 \cdot 6 - 4} + \frac{1}{2 \cdot 4 - 4}$

= $- \frac{1}{12 - 4} + \frac{1}{8 - 4}$

= $- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

= $- (\frac{1}{8}) + \frac{1}{4}$

= $\frac{1}{8}$

= 0,125

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 5 + $\frac{1}{8}$ = $\frac{41}{8}$ ≈ 5.13

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 8 x + 1) ⅆ x$ = $- 62,5$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 8 x + 1) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + u - (- 4 \cdot 2^{2} + 2)$

= $- 4 u^{2} + u - (- 4 \cdot 4 + 2)$

= $- 4 u^{2} + u - (- 16 + 2)$

= $- 4 u^{2} + u - 1 \cdot (- 14)$

= $- 4 u^{2} + u + 14$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 62,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + u + 14

=

- 62,5

|

+ 62,5

$- 4 u^{2} + u + 76,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 76,5}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 1 224}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 225}}{- 8}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{1 225}}{- 8}$ = $\frac{- 1+35}{- 8}$ = $\frac{34}{- 8}$ = $- 4,25$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{1 225}}{- 8}$ = $\frac{- 1-35}{- 8}$ = $\frac{- 36}{- 8}$ = $4,5$

Da u= $- 4,25$ < 2 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(2 x - 4)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 3 {(2 x - 4)}^{2} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 1 - 4)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 0 - 4)}^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(2 - 4)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(0 - 4)}^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{3}$

= $\frac{1}{2} \cdot (- 8) - \frac{1}{2} \cdot (- 64)$

= $- 4 + 32$

= $28$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{3 x - 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 3 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 7}]}_{2}^{u}$

$=$ $e^{3 u - 7} - e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $e^{3 u - 7} - e^{6 - 7}$

= $e^{3 u - 7} - e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{3 u - 7} - e^{- 1}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale