Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{16}{3}$ s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{23}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{23}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} 4 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} 4 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 4^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 64 - \frac{8}{9} \cdot 27$

= $\frac{512}{9} - 24$

= $\frac{512}{9} - \frac{216}{9}$

= $\frac{296}{9}$

≈ 32,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{23}{3}

zusammen:

B = 11 + $\frac{296}{9}$ = $\frac{395}{9}$ ≈ 43.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $3$ Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{11}{2}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

\frac{11}{2}

:

\int_{3}^{\frac{11}{2}} 3 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{\frac{11}{2}} 3 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{\frac{11}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{3}^{\frac{11}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{11}{2}) - 2})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 3 - 2})}^{3}$

= ${(\sqrt{11 - 2})}^{3} - {(\sqrt{6 - 2})}^{3}$

= ${(\sqrt{9})}^{3} - {(\sqrt{4})}^{3}$

= $3^{3} - 2^{3}$

= $27 - 8$

= $19$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

\frac{11}{2}

zusammen:

B = 15 + $19$ = $34$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (8 x - 5) ⅆ x$ = $93$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (8 x - 5) ⅆ x

= ${[4 x^{2} - 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 5 u - (4 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3)$

= $4 u^{2} - 5 u - (4 \cdot 9 - 15)$

= $4 u^{2} - 5 u - (36 - 15)$

= $4 u^{2} - 5 u - 1 \cdot 21$

= $4 u^{2} - 5 u - 21$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $93$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} - 5 u - 21

=

93

|

- 93

$4 u^{2} - 5 u - 114$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 114)}}{2 \cdot 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 1 824}}{8}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1 849}}{8}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{5+43}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{5-43}{8}$ = $\frac{- 38}{8}$ = $- 4,75$

Da u= $- 4,75$ < 3 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \cos (3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- \cos (6 π) + \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{2}{3 π}$

≈ -0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{x - 1}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $5$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} \frac{2}{\sqrt{x - 1}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} 2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}_{5}^{u}$

= ${[4 \sqrt{x - 1}]}_{5}^{u}$

$=$ $4 \sqrt{u - 1} - 4 \sqrt{5 - 1}$

= $4 \sqrt{u - 1} - 4 \sqrt{4}$

= $4 \sqrt{u - 1} - 4 \cdot 2$

= $4 \sqrt{u - 1} - 8$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $4 \sqrt{u - 1} - 8$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale