Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 4)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(3 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(3 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(3 x - 4)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{2 {(3 x - 4)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(3 \cdot 5 - 4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(3 \cdot 3 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(15 - 4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(9 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 11^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{121}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{25})$

= $- \frac{1}{242} + \frac{1}{50}$

= $- \frac{25}{6050} + \frac{121}{6050}$

= $\frac{48}{3025}$

≈ 0,016

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 15 + $\frac{48}{3025}$ = $\frac{45423}{3025}$ ≈ 15.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{22}{3}$ s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{31}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 3 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 3 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 6 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{140}{3}$ ≈ 46.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{0,5 x - 0,1} ⅆ x$ = $15$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{0,5 x - 0,1} ⅆ x

= ${[4 e^{0,5 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,5 u - 0,1} - 4 e^{0,5 \cdot 0 - 0,1}$

= $4 e^{0,5 u - 0,1} - 4 e^{0 - 0,1}$

= $4 e^{0,5 u - 0,1} - 4 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,5 u - 0,1} - 4 e^{- 0,1}$	=	$15$	\| $+ 4 e^{- 0,1}$
$4 e^{0,5 u - 0,1}$	=	$4 e^{- 0,1} + 15$
$4 e^{0,5 u - 0,1}$	=	$18,6193$	\|: $4$
$e^{0,5 u - 0,1}$	=	$4,6548$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,1$	=	$\ln (4,6548)$

$0,5 u - 0,1$	=	$1,5379$	\| $+ 0,1$
$0,5 u$	=	$1,6379$	\|: $0,5$
$u$	=	$3,2758$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (2 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (4 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $2 e^{- 2 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 2 e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 3}]}_{2}^{u}$

$=$ $- e^{- 2 u + 3} + e^{- 2 \cdot 2 + 3}$

= $- e^{- 2 u + 3} + e^{- 4 + 3}$

= $- e^{- 2 u + 3} + e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{- 2 u + 3} + e^{- 1}$ → $0 + e^{- 1}$ = $e^{- 1}$ ≈ 0.368

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.368

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale