Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 69 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{4} - \frac{2}{3} e^{- 2}$

≈ 36,309

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 69 + $\frac{2}{3} e^{4} - \frac{2}{3} e^{- 2}$ ≈ 105.31

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{6}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 6 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[6 \ln (| x - 2 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $6 \ln (| 4 - 2 |) - 6 \ln (| 3 - 2 |)$

= $6 \ln (2) - 6 \ln (| 3 - 2 |)$

= $6 \ln (2) - 6 \ln (1)$

= $6 \ln (2) + 0$

= $6 \ln (2)$

≈ 4,159

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 8 + $6 \ln (2)$ ≈ 12.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{- 0,5 x + 0,2} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{- 0,5 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,5 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,5 u + 0,2} + 4 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 4 e^{- 0,5 u + 0,2} + 4 e^{0 + 0,2}$

= $- 4 e^{- 0,5 u + 0,2} + 4 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,5 u + 0,2} + 4 e^{0,2}$	=	$4$	\| $- 4 e^{0,2}$
$- 4 e^{- 0,5 u + 0,2}$	=	$- 4 e^{0,2} + 4$
$- 4 e^{- 0,5 u + 0,2}$	=	$- 0,8856$	\|: $- 4$
$e^{- 0,5 u + 0,2}$	=	$0,2214$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,2$	=	$\ln (0,2214)$

$- 0,5 u + 0,2$	=	$- 1,5078$	\| $- 0,2$
$- 0,5 u$	=	$- 1,7078$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$3,4156$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{1}^{3} {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{1}^{3}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{1}{2 (2 x - 1)}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 (2 \cdot 3 - 1)} + \frac{1}{2 (2 \cdot 1 - 1)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 (6 - 1)} + \frac{1}{2 (2 - 1)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5}) + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{10} + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{10} + \frac{5}{10})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}$

= $\frac{1}{5}$

= 0,2

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(2 x)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} - \frac{1}{{(2 x)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} - \frac{1}{8 x^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} - \frac{1}{8} x^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{16} x^{- 2}]}_{u}^{3}$

= ${[\frac{1}{16 x^{2}}]}_{u}^{3}$

$=$ $\frac{1}{16 \cdot 3^{2}} - \frac{1}{16 u^{2}}$

= $\frac{1}{16} \cdot (\frac{1}{9}) - \frac{1}{16 u^{2}}$

= $\frac{1}{144} - \frac{1}{16 u^{2}}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{1}{144} - \frac{1}{16 u^{2}}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale