Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 3 e 2x -5 x

= [ 3 2 e 2x -5 ] 1 4

= 3 2 e 24 -5 - 3 2 e 21 -5

= 3 2 e 8 -5 - 3 2 e 2 -5

= 3 2 e 3 - 3 2 e -3


≈ 30,054
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 77 + 3 2 e 3 - 3 2 e -3 ≈ 107.05

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -4 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:
4 6 2 ( 2x -4 ) 2 x
= 4 6 2 ( 2x -4 ) -2 x

= [ - ( 2x -4 ) -1 ] 4 6

= [ - 1 2x -4 ] 4 6

= - 1 26 -4 + 1 24 -4

= - 1 12 -4 + 1 8 -4

= - 1 8 + 1 4

= -( 1 8 ) + 1 4

= 1 8


= 0,125
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:
B = 5 + 1 8 = 41 8 ≈ 5.13

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( -8x +1 ) x = -62,5

Lösung einblenden
2 u ( -8x +1 ) x

= [ -4 x 2 + x ] 2 u

= -4 u 2 + u - ( -4 2 2 +2 )

= -4 u 2 + u - ( -44 +2 )

= -4 u 2 + u - ( -16 +2 )

= -4 u 2 + u -1 · ( -14 )

= -4 u 2 + u +14

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -62,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 + u +14 = -62,5 | +62,5

-4 u 2 + u +76,5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · ( -4 ) · 76,5 2( -4 )

u1,2 = -1 ± 1 +1224 -8

u1,2 = -1 ± 1225 -8

u1 = -1 + 1225 -8 = -1 +35 -8 = 34 -8 = -4,25

u2 = -1 - 1225 -8 = -1 -35 -8 = -36 -8 = 4,5

Da u= -4,25 < 2 ist u= 4,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -4 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 +0 0 1 3 ( 2x -4 ) 2 x

= 1 [ 1 2 ( 2x -4 ) 3 ] 0 1

= 1 2 ( 21 -4 ) 3 - 1 2 ( 20 -4 ) 3

= 1 2 ( 2 -4 ) 3 - 1 2 ( 0 -4 ) 3

= 1 2 ( -2 ) 3 - 1 2 ( -4 ) 3

= 1 2 ( -8 ) - 1 2 ( -64 )

= -4 +32

= 28

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 e 3x -7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 3 e 3x -7 x

= [ e 3x -7 ] 2 u

= e 3u -7 - e 32 -7

= e 3u -7 - e 6 -7

= e 3u -7 - e -1

Für u → ∞ gilt: A(u) = e 3u -7 - e -1