Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
=
≈ 4,701
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 17 +
≈ 21.7
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
=
≈ 5,337
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 75 +
≈ 80.34
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
0 |
|:4 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
12
2
=
6
u2 =
1
-
121
2
=
1
-11
2
=
-10
2
=
-5
Da u=
-5
< 2 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 x -3 zwischen 19 und 28 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
28
-19
∫
19
28
3
x
-3
ⅆ
x
=
1
9
∫
19
28
3
(
x
-3
)
1
2
ⅆ
x
=
1
9
[
2
(
x
-3
)
3
2
]
19
28
=
1
9
[
2
(
x
-3
)
3
]
19
28
=
1
9
(
2
(
28
-3
)
3
-2
(
19
-3
)
3
)
=
1
9
(
2
(
25
)
3
-2
(
16
)
3
)
=
1
9
(
2⋅
5
3
-2⋅
4
3
)
=
1
9
(
2⋅125
-2⋅64
)
=
1
9
(
250
-128
)
=
1
9
·
122
=
122
9
≈ 13,556
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 6,5 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
6,5
-
2
2x
-4
ⅆ
x
=
∫
u
6,5
-2
(
2x
-4
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
2x
-4
)
1
2
]
u
6,5
=
[
-2
2x
-4
]
u
6,5
=
-2
2⋅6,5
-4
+2
2u
-4
=
-2
13
-4
+2
2u
-4
=
-2
9
+2
2u
-4
=
-2⋅3
+2
2u
-4
=
-6
+2
2u
-4
Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) =
2
2u
-4
-6
→
0
-6
=
-6
≈ -6
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6