Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 e 3x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 4 e 3x -3 x

= [ 4 3 e 3x -3 ] 1 3

= 4 3 e 33 -3 - 4 3 e 31 -3

= 4 3 e 9 -3 - 4 3 e 3 -3

= 4 3 e 6 - 4 3 e 0

= 4 3 e 6 - 4 3


≈ 536,572
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 5 + 4 3 e 6 - 4 3 ≈ 541.57

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 3x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 30 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 2 e 3x -5 x

= [ 2 3 e 3x -5 ] 1 2

= 2 3 e 32 -5 - 2 3 e 31 -5

= 2 3 e 6 -5 - 2 3 e 3 -5

= 2 3 e 1 - 2 3 e -2

= 2 3 e - 2 3 e -2


≈ 1,722
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 30 + - 2 3 e -2 + 2 3 e ≈ 31.72

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 3,6 e 0,9x -0,2 x = 12

Lösung einblenden
0 u 3,6 e 0,9x -0,2 x

= [ 4 e 0,9x -0,2 ] 0 u

= 4 e 0,9u -0,2 -4 e 0,90 -0,2

= 4 e 0,9u -0,2 -4 e 0 -0,2

= 4 e 0,9u -0,2 -4 e -0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 12 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 e 0,9u -0,2 -4 e -0,2 = 12 | +4 e -0,2
4 e 0,9u -0,2 = 4 e -0,2 +12
4 e 0,9u -0,2 = 15,2749 |:4
e 0,9u -0,2 = 3,8187 |ln(⋅)
0,9u -0,2 = ln( 3,8187 )
0,9u -0,2 = 1,3399 | +0,2
0,9u = 1,5399 |:0,9
u = 1,711

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 3x -7 zwischen 23 3 und 32 3 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 32 3 - 23 3 23 3 32 3 6 3x -7 x
= 1 3 23 3 32 3 6 ( 3x -7 ) 1 2 x

= 1 3 [ 4 3 ( 3x -7 ) 3 2 ] 23 3 32 3

= 1 3 [ 4 3 ( 3x -7 ) 3 ] 23 3 32 3

= 1 3 ( 4 3 ( 3( 32 3 ) -7 ) 3 - 4 3 ( 3( 23 3 ) -7 ) 3 )

= 1 3 ( 4 3 ( 32 -7 ) 3 - 4 3 ( 23 -7 ) 3 )

= 1 3 ( 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3 )

= 1 3 ( 4 3 5 3 - 4 3 4 3 )

= 1 3 ( 4 3 125 - 4 3 64 )

= 1 3 ( 500 3 - 256 3 )

= 1 3 · 244 3

= 244 9


≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 3x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 2 3x -3 x
= 3 u -2 ( 3x -3 ) -1 x

= [ - 2 3 ln( | 3x -3 | ) ] 3 u

= - 2 3 ln( | 3( u ) -3 | ) + 2 3 ln( | 33 -3 | )

= - 2 3 ln( | 3u -3 | ) + 2 3 ln( | 9 -3 | )

= - 2 3 ln( | 3u -3 | ) + 2 3 ln( 6 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3 ln( 6 ) - 2 3 ln( | 3x -3 | )