Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $4 e^{2 - 2} - 4 e^{0 - 2}$

= $4 e^{0} - 4 e^{- 2}$

= $4 - 4 e^{- 2}$

≈ 3,459

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 16 + $- 4 e^{- 2} + 4$ ≈ 19.46

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{3 \cdot 5 - 5} - e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $e^{15 - 5} - e^{6 - 5}$

= $e^{10} - e^{1}$

= $e^{10} - e$

≈ 22023,748

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 5 + $e^{10} - e$ ≈ 22028.75

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 2 x - 1) ⅆ x$ = $- 18$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 2 x - 1) ⅆ x

= ${[- x^{2} - x]}_{3}^{u}$

$=$ $- u^{2} - u - (- 3^{2} - 3)$

= $- u^{2} - u - (- 9 - 3)$

= $- u^{2} - u + 9 + 3$

= $- u^{2} - u + 12$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} - u + 12

=

- 18

|

+ 18

$- u^{2} - u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 30}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{1+11}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{1-11}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Da u= $- 6$ < 3 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{x - 1}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 6 e^{x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[6 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (6 e^{2 - 1} - 6 e^{0 - 1})$

= $\frac{1}{2} (6 e^{1} - 6 e^{- 1})$

= $\frac{1}{2} (6 e - 6 e^{- 1})$

= $\frac{1}{2} (- 6 e^{- 1} + 6 e)$

≈ 7,051

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $7,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{7,5} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{7,5} - 2 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{7,5}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{7,5}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 7,5 - 6} + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 \sqrt{15 - 6} + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 \sqrt{9} + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 \cdot 3 + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 6 + 2 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 6} - 6$ → $0 - 6$ = $- 6$ ≈ -6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale