Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{22}{3}$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{31}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 5 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 5 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 64$

= $\frac{1250}{9} - \frac{640}{9}$

= $\frac{610}{9}$

≈ 67,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 17 + $\frac{610}{9}$ = $\frac{763}{9}$ ≈ 84.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 22 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 5} - \frac{3}{2} e^{0 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{- 1} - \frac{3}{2} e^{- 5}$

≈ 0,542

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 22 + $\frac{3}{2} e^{- 1} - \frac{3}{2} e^{- 5}$ ≈ 22.54

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} - 2 x ⅆ x$ = $- 48$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} - 2 x ⅆ x

= ${[- x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 1^{2}$

= $- u^{2} + 1$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 48$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- u^{2} + 1$	=	$- 48$	\| $- 1$
$- u^{2}$	=	$- 49$	\|: $(- 1)$
$u^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
u₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Da u= $- 7$ < 1 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} \frac{2}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{1}^{4} 2 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{1}^{4}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{1}{2 x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{1}{2 \cdot 4 - 1} + \frac{1}{2 \cdot 1 - 1})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{8 - 1} + \frac{1}{2 - 1})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{7} + \frac{1}{1})$

= $\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7}) + 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7}$

≈ 0,286

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- 3 x + 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{3}{{(- 3 x + 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 3 {(- 3 x + 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 3 x + 5)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(- 3 x + 5)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 3 \cdot 2 + 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 6 + 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale