Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 8920,707
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 6 +
≈ 8926.71
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 19 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
0 |
|:4 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
14
-2
=
-7
u2 =
1
-
169
-2
=
1
-13
-2
=
-12
-2
=
6
Da u=
-7
< 1 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -7 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 16 3 und Minute 32 3 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
32
3
-
16
3
∫
16
3
32
3
4
3x
-7
ⅆ
x
=
3
16
∫
16
3
32
3
4
(
3x
-7
)
1
2
ⅆ
x
=
3
16
[
8
9
(
3x
-7
)
3
2
]
16
3
32
3
=
3
16
[
8
9
(
3x
-7
)
3
]
16
3
32
3
=
3
16
(
8
9
(
3⋅(
32
3
)
-7
)
3
-
8
9
(
3⋅(
16
3
)
-7
)
3
)
=
3
16
(
8
9
(
32
-7
)
3
-
8
9
(
16
-7
)
3
)
=
3
16
(
8
9
(
25
)
3
-
8
9
(
9
)
3
)
=
3
16
(
8
9
⋅
5
3
-
8
9
⋅
3
3
)
=
3
16
(
8
9
⋅125
-
8
9
⋅27
)
=
3
16
(
1000
9
-24
)
=
3
16
(
1000
9
-
216
9
)
=
3
16
·
784
9
=
49
3
≈ 16,333
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( -x +1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
2
(
-x
+1
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
-2
(
-x
+1
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
(
-x
+1
)
-2
]
3
u
=
[
-
1
(
-x
+1
)
2
]
3
u
=
-
1
(
-u
+1
)
2
+
1
(
-3
+1
)
2
=
-
1
(
-u
+1
)
2
+
1
( -2 )
2
=
-
1
(
-u
+1
)
2
+
1
4
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
(
-u
+1
)
2
+
1
4
→
0
+
1
4
=
1
4
≈ 0.25
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25