Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 17 + = ≈ 57.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 67,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 20 + = ≈ 87.78
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
9
|
=
-3
|
| u2 |
= |
9
|
=
3
|
Da u=
-3
< 0 ist u=
3
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -3 ) 3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
5
-2
∫
2
5
2
(
x
-3
)
3
ⅆ
x
=
1
3
[
1
2
(
x
-3
)
4
]
2
5
=
1
3
(
1
2
⋅
(
5
-3
)
4
-
1
2
⋅
(
2
-3
)
4
)
=
1
3
(
1
2
⋅
2
4
-
1
2
⋅
( -1 )
4
)
=
1
3
(
1
2
⋅16
-
1
2
⋅1
)
=
1
3
(
8
-
1
2
)
=
1
3
(
8
-0,5
)
=
1
3
·
7,5
=
7.5
3
=
5
2
= 2,5
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 e -2x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
e
-2x
+5
ⅆ
x
=
[
-
3
2
e
-2x
+5
]
2
u
=
-
3
2
e
-2u
+5
+
3
2
e
-2⋅2
+5
=
-
3
2
e
-2u
+5
+
3
2
e
-4
+5
=
-
3
2
e
-2u
+5
+
3
2
e
1
=
-
3
2
e
-2u
+5
+
3
2
e
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
2
e
-2u
+5
+
3
2
e
→
0
+
3
2
e
=
3
2
e
≈ 4.077
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4.077