Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 50 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 5 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 4} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{5}{3} e^{3 - 4} - \frac{5}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{5}{3} e^{- 1} - \frac{5}{3} e^{- 4}$

≈ 0,583

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 50 + $\frac{5}{3} e^{- 1} - \frac{5}{3} e^{- 4}$ ≈ 50.58

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 2)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{5}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 5 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{5}{2 (2 x - 2)}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{2 (2 \cdot 5 - 2)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 2 - 2)}$

= $- \frac{5}{2 (10 - 2)} + \frac{5}{2 (4 - 2)}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 8} + \frac{5}{2 \cdot 2}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{5}{16} + \frac{5}{4}$

= $- \frac{5}{16} + \frac{20}{16}$

= $\frac{15}{16}$

≈ 0,938

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 10 + $\frac{15}{16}$ = $\frac{175}{16}$ ≈ 10.94

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,6 e^{0,1 x - 0,1} ⅆ x$ = $16$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,6 e^{0,1 x - 0,1} ⅆ x

= ${[6 e^{0,1 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,1 u - 0,1} - 6 e^{0,1 \cdot 0 - 0,1}$

= $6 e^{0,1 u - 0,1} - 6 e^{0 - 0,1}$

= $6 e^{0,1 u - 0,1} - 6 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,1 u - 0,1} - 6 e^{- 0,1}$	=	$16$	\| $+ 6 e^{- 0,1}$
$6 e^{0,1 u - 0,1}$	=	$6 e^{- 0,1} + 16$
$6 e^{0,1 u - 0,1}$	=	$21,429$	\|: $6$
$e^{0,1 u - 0,1}$	=	$3,5715$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,1$	=	$\ln (3,5715)$

$0,1 u - 0,1$	=	$1,273$	\| $+ 0,1$
$0,1 u$	=	$1,373$	\|: $0,1$
$u$	=	$13,73$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 e^{2 x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 3 e^{2 x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 3} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{2} e^{4 - 3} - \frac{3}{2} e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{2} e^{1} - \frac{3}{2} e^{- 3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{2} e - \frac{3}{2} e^{- 3})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{3}{2} e^{- 3} + \frac{3}{2} e)$

≈ 2,001

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- 3 x + 6)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{{(- 3 x + 6)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(- 3 x + 6)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 3 x + 6)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(- 3 x + 6)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 3 \cdot 3 + 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 9 + 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{18}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(- 3 u + 6)}^{2}} + \frac{1}{18}$ → $0 + \frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ ≈ 0.056

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale