Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 56 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{6 - 4} - \frac{2}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e^{- 4}$

≈ 4,914

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 56 + $\frac{2}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e^{- 4}$ ≈ 60.91

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{6}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 6 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[6 \ln (| x - 2 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $6 \ln (| 4 - 2 |) - 6 \ln (| 3 - 2 |)$

= $6 \ln (2) - 6 \ln (| 3 - 2 |)$

= $6 \ln (2) - 6 \ln (1)$

= $6 \ln (2) + 0$

= $6 \ln (2)$

≈ 4,159

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 13 + $6 \ln (2)$ ≈ 17.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 4 x + 2) ⅆ x$ = $- 80$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 4 x + 2) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 2 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 2 u - (- 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2)$

= $- 2 u^{2} + 2 u - (- 2 \cdot 4 + 4)$

= $- 2 u^{2} + 2 u - (- 8 + 4)$

= $- 2 u^{2} + 2 u - 1 \cdot (- 4)$

= $- 2 u^{2} + 2 u + 4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 80$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 2 u + 4

=

- 80

|

+ 80

- 2 u^{2} + 2 u + 84

= 0 |:2

$- u^{2} + u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 42}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 1+13}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 1-13}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Da u= $- 6$ < 2 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{2 x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 2}

\int_{2}^{4} \frac{5}{2 x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{2}^{4} 5 {(2 x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{5}{2} \ln (| 2 x - 2 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{5}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 2 |) - \frac{5}{2} \ln (| 2 \cdot 2 - 2 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{2} \ln (| 8 - 2 |) - \frac{5}{2} \ln (| 4 - 2 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{2} \ln (6) - \frac{5}{2} \ln (| 4 - 2 |))$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{2} \ln (6) - \frac{5}{2} \ln (2))$

≈ 1,373

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{- 2 x + 2} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(- 2 x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| - 2 x + 2 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $- \ln (| - 2 (u) + 2 |) + \ln (| - 2 \cdot 2 + 2 |)$

= $- \ln (| - 2 u + 2 |) + \ln (| - 4 + 2 |)$

= $- \ln (| - 2 u + 2 |) + \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (2) - \ln (| - 2 x + 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale