Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 5 e 2x -4 x

= [ 5 2 e 2x -4 ] 2 5

= 5 2 e 25 -4 - 5 2 e 22 -4

= 5 2 e 10 -4 - 5 2 e 4 -4

= 5 2 e 6 - 5 2 e 0

= 5 2 e 6 - 5 2


≈ 1006,072
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 20 + 5 2 e 6 - 5 2 ≈ 1026.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 3x -6 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 6 e 3x -6 x

= [ 2 e 3x -6 ] 1 4

= 2 e 34 -6 -2 e 31 -6

= 2 e 12 -6 -2 e 3 -6

= 2 e 6 -2 e -3


≈ 806,758
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 60 + 2 e 6 -2 e -3 ≈ 866.76

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u -10x x = -506,25

Lösung einblenden
3 u -10x x

= [ -5 x 2 ] 3 u

= -5 u 2 +5 3 2

= -5 u 2 +59

= -5 u 2 +45

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -506,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 +45 = -506,25 | -45
-5 u 2 = -551,25 |: ( -5 )
u 2 = 110,25 | 2
u1 = - 110,25 = -10,5
u2 = 110,25 = 10,5

Da u= -10,5 < 3 ist u= 10,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 cos( 3x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 2 π+0 0 1 2 π 5 cos( 3x - π) x

= 2 π [ 5 3 sin( 3x - π) ] 0 1 2 π

= 2 π · ( 5 3 sin( 3( 1 2 π ) - π) - 5 3 sin( 3( 0 ) - π) )

= 2 π · ( 5 3 sin( 1 2 π) - 5 3 sin(-π) )

= 2 π · ( 5 3 1 - 5 3 0 )

= 2 π · ( 5 3 +0 )

= 2 π · ( 5 3 +0 )

= 2 π · 5 3

= 10 3 π


≈ 1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( x -3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 u - 1 ( x -3 ) 3 x
= 5 u - ( x -3 ) -3 x

= [ 1 2 ( x -3 ) -2 ] 5 u

= [ 1 2 ( x -3 ) 2 ] 5 u

= 1 2 ( u -3 ) 2 - 1 2 ( 5 -3 ) 2

= 1 2 ( u -3 ) 2 - 1 2 2 2

= 1 2 ( u -3 ) 2 - 1 2 ( 1 4 )

= 1 2 ( u -3 ) 2 - 1 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 ( u -3 ) 2 - 1 8 0 - 1 8 = - 1 8 ≈ -0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125