Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 21,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 13 + = ≈ 34.11
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 15 + = ≈ 55.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
36
|
=
-6
|
| u2 |
= |
36
|
=
6
|
Da u=
-6
< 3 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 3x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
5
-2
∫
2
5
6
(
3x
-3
)
2
ⅆ
x
=
1
3
∫
2
5
6
(
3x
-3
)
-2
ⅆ
x
=
1
3
[
-2
(
3x
-3
)
-1
]
2
5
=
1
3
[
-
2
3x
-3
]
2
5
=
1
3
(
-
2
3⋅5
-3
+
2
3⋅2
-3
)
=
1
3
(
-
2
15
-3
+
2
6
-3
)
=
1
3
(
-
2
12
+
2
3
)
=
1
3
(
-2⋅(
1
12
)
+2⋅(
1
3
)
)
=
1
3
(
-
1
6
+
2
3
)
=
1
3
(
-
1
6
+
4
6
)
=
1
3
·
1
2
=
1
6
≈ 0,167
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( x ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
3
3
(
x
)
3
ⅆ
x
=
∫
u
3
3
x
3
ⅆ
x
=
∫
u
3
3
x
-3
ⅆ
x
=
[
-
3
2
x
-2
]
u
3
=
[
-
3
2
x
2
]
u
3
=
-
3
2⋅
3
2
+
3
2
u
2
=
-
3
2
⋅(
1
9
)
+
3
2
u
2
=
-
1
6
+
3
2
u
2
Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) =
-
1
6
+
3
2
u
2
→
∞