Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 14 + = ≈ 14.33
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 3,459
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 61 +
≈ 64.46
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
28
4
=
7
u2 =
-1
-
841
4
=
-1
-29
4
=
-30
4
=
-7,5
Da u=
-7,5
< 2 ist u=
7
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4⋅ sin( 2x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π+0
∫
0
3
2
π
4⋅
sin(
2x
-
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
3
π
[
-2⋅
cos(
2x
-
3
2
π)
]
0
3
2
π
=
2
3
π
·
(
-2⋅
cos(
2⋅(
3
2
π )
-
3
2
π)
+2⋅
cos(
2⋅( 0 )
-
3
2
π)
)
=
2
3
π
·
(
-2⋅
cos(
3
2
π)
+2⋅
cos(
-
3
2
π)
)
=
2
3
π
·
(
-2⋅0
+2⋅0
)
=
2
3
π
·
(
0+0
)
=
2
3
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -3x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
e
-3x
+3
ⅆ
x
=
[
-
1
3
e
-3x
+3
]
2
u
=
-
1
3
e
-3u
+3
+
1
3
e
-3⋅2
+3
=
-
1
3
e
-3u
+3
+
1
3
e
-6
+3
=
-
1
3
e
-3u
+3
+
1
3
e
-3
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
3
e
-3u
+3
+
1
3
e
-3
→
0
+
1
3
e
-3
=
1
3
e
-3
≈ 0.017
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.017