Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 11 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 18 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 18:
11 18 4 x -2 x
= 11 18 4 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 8 3 ( x -2 ) 3 2 ] 11 18

= [ 8 3 ( x -2 ) 3 ] 11 18

= 8 3 ( 18 -2 ) 3 - 8 3 ( 11 -2 ) 3

= 8 3 ( 16 ) 3 - 8 3 ( 9 ) 3

= 8 3 4 3 - 8 3 3 3

= 8 3 64 - 8 3 27

= 512 3 -72

= 512 3 - 216 3

= 296 3


≈ 98,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 18 zusammen:
B = 10 + 296 3 = 326 3 ≈ 108.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 3x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 42 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 6 e 3x -3 x

= [ 2 e 3x -3 ] 0 1

= 2 e 31 -3 -2 e 30 -3

= 2 e 3 -3 -2 e 0 -3

= 2 e 0 -2 e -3

= 2 -2 e -3


≈ 1,9
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 42 + -2 e -3 +2 ≈ 43.9

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -10x +5 ) x = -123,75

Lösung einblenden
0 u ( -10x +5 ) x

= [ -5 x 2 +5x ] 0 u

= -5 u 2 +5u - ( -5 0 2 +50 )

= -5 u 2 +5u - ( -50 +0)

= -5 u 2 +5u - (0+0)

= -5 u 2 +5u +0

= -5 u 2 +5u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -123,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 +5u = -123,75 | +123,75

-5 u 2 +5u +123,75 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -5 ± 5 2 -4 · ( -5 ) · 123,75 2( -5 )

u1,2 = -5 ± 25 +2475 -10

u1,2 = -5 ± 2500 -10

u1 = -5 + 2500 -10 = -5 +50 -10 = 45 -10 = -4,5

u2 = -5 - 2500 -10 = -5 -50 -10 = -55 -10 = 5,5

Da u= -4,5 < 0 ist u= 5,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 x -2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -3 3 4 3 x -2 x
= 1 3 4 3 ( x -2 ) -1 x

= 1 [ 3 ln( | x -2 | ) ] 3 4

= 3 ln( | 4 -2 | ) -3 ln( | 3 -2 | )

= 3 ln( 2 ) -3 ln( | 3 -2 | )

= 3 ln( 2 ) -3 ln( 1 )

= 3 ln( 2 ) +0

= 3 ln( 2 )


≈ 2,079

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 7 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 7 - 2 x -3 x
= u 7 -2 ( x -3 ) - 1 2 x

= [ -4 ( x -3 ) 1 2 ] u 7

= [ -4 x -3 ] u 7

= -4 7 -3 +4 u -3

= -4 4 +4 u -3

= -42 +4 u -3

= -8 +4 u -3

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = 4 u -3 -8 0 -8 = -8 ≈ -8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8