Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 49,294
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 10 +
≈ 59.29
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
≈ 3,161
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 18 +
≈ 21.16
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
40
-6
=
-
20
3
≈ -6.67
u2 =
-1
-
1681
-6
=
-1
-41
-6
=
-42
-6
=
7
Da u=
-
20
3
< 1 ist u=
7
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6⋅ sin( 2x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
3
2
π
6⋅
sin(
2x
+ π)
ⅆ
x
=
1
π
[
-3⋅
cos(
2x
+ π)
]
1
2
π
3
2
π
=
1
π
·
(
-3⋅
cos(
2⋅(
3
2
π )
+ π)
+3⋅
cos(
2⋅(
1
2
π )
+ π)
)
=
1
π
·
(
-3⋅
cos(4π)
+3⋅
cos(2π)
)
=
1
π
·
(
-3⋅1
+3⋅1
)
=
1
π
·
(
-3
+3
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 x -3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 19 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
19
-
1
x
-3
ⅆ
x
=
∫
u
19
-
(
x
-3
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
x
-3
)
1
2
]
u
19
=
[
-2
x
-3
]
u
19
=
-2
19
-3
+2
u
-3
=
-2
16
+2
u
-3
=
-2⋅4
+2
u
-3
=
-8
+2
u
-3
Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) =
2
u
-3
-8
→
0
-8
=
-8
≈ -8
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8