Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 1,313
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 11 + = ≈ 12.31
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 33 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 255,562
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 33 +
≈ 288.56
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
7
6
=
7
6
≈ 1.17
u2 =
5
-
4
6
=
5
-2
6
=
3
6
=
0,5
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3⋅ sin( 3x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
2
π+0
∫
0
1
2
π
3⋅
sin(
3x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-
cos(
3x
+
3
2
π)
]
0
1
2
π
=
2
π
·
(
-
cos(
3⋅(
1
2
π )
+
3
2
π)
+
cos(
3⋅( 0 )
+
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
cos(3π)
+
cos(
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-( -1 )
+0
)
=
2
π
·
(
1
+0
)
=
2
π
·
1
=
2
π
≈ 0,637
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -3 e x -2 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
0
u
-3
e
x
-2
ⅆ
x
=
[
-3
e
x
-2
]
0
u
=
-3
e
u
-2
+3
e
0
-2
=
-3
e
u
-2
+3
e
-2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-3
e
u
-2
+3
e
-2
→
-∞