Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 30 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 7}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 5 - 7} - 2 e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $2 e^{15 - 7} - 2 e^{6 - 7}$

= $2 e^{8} - 2 e^{- 1}$

≈ 5961,18

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 30 + $2 e^{8} - 2 e^{- 1}$ ≈ 5991.18

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 19 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{179}{3}$ ≈ 59.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (10 x - 2) ⅆ x$ = $76$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (10 x - 2) ⅆ x

= ${[5 x^{2} - 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $5 u^{2} - 2 u - (5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3)$

= $5 u^{2} - 2 u - (5 \cdot 9 - 6)$

= $5 u^{2} - 2 u - (45 - 6)$

= $5 u^{2} - 2 u - 1 \cdot 39$

= $5 u^{2} - 2 u - 39$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $76$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} - 2 u - 39

=

76

|

- 76

$5 u^{2} - 2 u - 115$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 115)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 2 300}}{10}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{2 304}}{10}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{2 304}}{10}$ = $\frac{2+48}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{2 304}}{10}$ = $\frac{2-48}{10}$ = $\frac{- 46}{10}$ = $- 4,6$

Da u= $- 4,6$ < 3 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{2}^{5} 2 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- 2 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{2}{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{2}{5 - 1} + \frac{2}{2 - 1})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{4} + \frac{2}{1})$

= $\frac{1}{3} (- 2 \cdot (\frac{1}{4}) + 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} + 2)$

= $\frac{1}{3} (- 0,5 + 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot 1,5$

= $\frac{1.5}{3}$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{1}{{(2 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} {(2 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(2 x - 4)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{4 {(2 x - 4)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{1}{4 {(2 \cdot 4 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{1}{4 {(8 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{1}{4 \cdot 4^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{16})$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{1}{64}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{1}{64}$ → $0 + \frac{1}{64}$ = $\frac{1}{64}$ ≈ 0.016

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.016

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale