Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 1} - \frac{3}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ 29,576

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 2 + $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 1}$ ≈ 31.58

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 36 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 5} - \frac{2}{3} e^{6 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{4} - \frac{2}{3} e^{1}$

= $\frac{2}{3} e^{4} - \frac{2}{3} e$

≈ 34,587

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 36 + $\frac{2}{3} e^{4} - \frac{2}{3} e$ ≈ 70.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 7,2 e^{0,8 x - 0,2} ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 7,2 e^{0,8 x - 0,2} ⅆ x

= ${[9 e^{0,8 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,8 u - 0,2} - 9 e^{0,8 \cdot 0 - 0,2}$

= $9 e^{0,8 u - 0,2} - 9 e^{0 - 0,2}$

= $9 e^{0,8 u - 0,2} - 9 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,8 u - 0,2} - 9 e^{- 0,2}$	=	$18$	\| $+ 9 e^{- 0,2}$
$9 e^{0,8 u - 0,2}$	=	$9 e^{- 0,2} + 18$
$9 e^{0,8 u - 0,2}$	=	$25,3686$	\|: $9$
$e^{0,8 u - 0,2}$	=	$2,8187$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,2$	=	$\ln (2,8187)$

$0,8 u - 0,2$	=	$1,0363$	\| $+ 0,2$
$0,8 u$	=	$1,2363$	\|: $0,8$
$u$	=	$1,5454$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{4}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} 4 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $1$ ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= $1$ ${[- \frac{4}{3 (3 x - 3)}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3 (3 \cdot 3 - 3)} + \frac{4}{3 (3 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{4}{3 (9 - 3)} + \frac{4}{3 (6 - 3)}$

= $- \frac{4}{3 \cdot 6} + \frac{4}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{6}) + \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{9} + \frac{4}{9}$

= $\frac{2}{9}$

≈ 0,222

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(- x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| - x + 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $3 \ln (| - (u) + 2 |) - 3 \ln (| - 3 + 2 |)$

= $3 \ln (| - u + 2 |) - 3 \ln (| - 3 + 2 |)$

= $3 \ln (| - u + 2 |) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (| - u + 2 |) + 0$

= $3 \ln (| - x + 2 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (| - x + 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale