Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 6 e x -3 x

= [ 6 e x -3 ] 0 3

= 6 e 3 -3 -6 e 0 -3

= 6 e 0 -6 e -3

= 6 -6 e -3


≈ 5,701
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 12 + -6 e -3 +6 ≈ 17.7

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 3x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 14 3 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 14 3 und 7:
14 3 7 6 3x -5 x
= 14 3 7 6 ( 3x -5 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 2 ] 14 3 7

= [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 ] 14 3 7

= 4 3 ( 37 -5 ) 3 - 4 3 ( 3( 14 3 ) -5 ) 3

= 4 3 ( 21 -5 ) 3 - 4 3 ( 14 -5 ) 3

= 4 3 ( 16 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 4 3 - 4 3 3 3

= 4 3 64 - 4 3 27

= 256 3 -36

= 256 3 - 108 3

= 148 3


≈ 49,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 14 3 und der Änderung zwischen 14 3 und 7 zusammen:
B = 20 + 148 3 = 208 3 ≈ 69.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2 e 0,4x -0,5 x = 7

Lösung einblenden
0 u 2 e 0,4x -0,5 x

= [ 5 e 0,4x -0,5 ] 0 u

= 5 e 0,4u -0,5 -5 e 0,40 -0,5

= 5 e 0,4u -0,5 -5 e 0 -0,5

= 5 e 0,4u -0,5 -5 e -0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 e 0,4u -0,5 -5 e -0,5 = 7 | +5 e -0,5
5 e 0,4u -0,5 = 5 e -0,5 +7
5 e 0,4u -0,5 = 10,0327 |:5
e 0,4u -0,5 = 2,0065 |ln(⋅)
0,4u -0,5 = ln( 2,0065 )
0,4u -0,5 = 0,6964 | +0,5
0,4u = 1,1964 |:0,4
u = 2,991

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 2x -2 ) 2 +3x (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 ( 6 ( 2x -2 ) 2 +3x ) x

= 1 3 [ ( 2x -2 ) 3 + 3 2 x 2 ] 2 5

= 1 3 ( ( 25 -2 ) 3 + 3 2 5 2 - ( ( 22 -2 ) 3 + 3 2 2 2 ))

= 1 3 ( ( 10 -2 ) 3 + 3 2 25 - ( ( 4 -2 ) 3 + 3 2 4 ))

= 1 3 ( 8 3 + 75 2 - ( 2 3 +6 ))

= 1 3 ( 512 + 75 2 - ( 8 +6 ))

= 1 3 ( 512 + 75 2 -8 -6 )

= 1 3 · 1071 2


= 178,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 x schließt mit der x-Achse, der Geraden x=5 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 5 - 3 x x
= u 5 - 3 x x
= u 5 -3 x -1 x

= [ -3 ln( | x | ) ] u 5

= -3 ln( | 5 | ) +3 ln( | u | )

= -3 ln( 5 ) +3 ln( | u | )

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = -3 ln( | 5 | ) +3 ln( | x | ) -