Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 8 + = ≈ 48.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 49,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 2 + = ≈ 51.78
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
0 |
|:2 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
28
-4
=
-7
u2 =
1
-
729
-4
=
1
-27
-4
=
-26
-4
=
6,5
Da u=
-7
< 1 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ( x -1 ) 2 +6x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
+0
∫
0
1
(
(
x
-1
)
2
+6x
)
ⅆ
x
=
1
[
1
3
(
x
-1
)
3
+3
x
2
]
0
1
=
1
3
⋅
(
1
-1
)
3
+3⋅
1
2
- (
1
3
⋅
( 0
-1
)
3
+3⋅
0
2
)
=
1
3
⋅
0
3
+3⋅1
- (
1
3
⋅
( -1 )
3
+3⋅0
)
=
1
3
⋅0
+3
- (
1
3
⋅( -1 )
+0)
=
0
+3
- (
-
1
3
+0)
=
3
- (
-
1
3
+0)
=
3
+
1
3
=
9
3
+
1
3
=
10
3
≈ 3,333
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -x +2 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
3
(
-x
+2
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
-3
(
-x
+2
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
3
2
(
-x
+2
)
-2
]
3
u
=
[
-
3
2
(
-x
+2
)
2
]
3
u
=
-
3
2
(
-u
+2
)
2
+
3
2
(
-3
+2
)
2
=
-
3
2
(
-u
+2
)
2
+
3
2
( -1 )
2
=
-
3
2
(
-u
+2
)
2
+
3
2
⋅1
=
-
3
2
(
-u
+2
)
2
+
3
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
2
(
-u
+2
)
2
+
3
2
→
0
+
3
2
=
3
2
≈ 1.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5