Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 19 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 28 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 4 x -3 x
= 19 28 4 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 8 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 8 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 8 3 ( 28 -3 ) 3 - 8 3 ( 19 -3 ) 3

= 8 3 ( 25 ) 3 - 8 3 ( 16 ) 3

= 8 3 5 3 - 8 3 4 3

= 8 3 125 - 8 3 64

= 1000 3 - 512 3

= 488 3


≈ 162,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 6 + 488 3 = 506 3 ≈ 168.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 3x -5 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 6 ( 3x -5 ) 2 x
= 3 4 6 ( 3x -5 ) -2 x

= [ -2 ( 3x -5 ) -1 ] 3 4

= [ - 2 3x -5 ] 3 4

= - 2 34 -5 + 2 33 -5

= - 2 12 -5 + 2 9 -5

= - 2 7 + 2 4

= -2( 1 7 ) +2( 1 4 )

= - 2 7 + 1 2

= - 4 14 + 7 14

= 3 14


≈ 0,214
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 5 + 3 14 = 73 14 ≈ 5.21

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,5 e 0,1x -0,5 x = 15

Lösung einblenden
0 u 0,5 e 0,1x -0,5 x

= [ 5 e 0,1x -0,5 ] 0 u

= 5 e 0,1u -0,5 -5 e 0,10 -0,5

= 5 e 0,1u -0,5 -5 e 0 -0,5

= 5 e 0,1u -0,5 -5 e -0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 15 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 e 0,1u -0,5 -5 e -0,5 = 15 | +5 e -0,5
5 e 0,1u -0,5 = 5 e -0,5 +15
5 e 0,1u -0,5 = 18,0327 |:5
e 0,1u -0,5 = 3,6065 |ln(⋅)
0,1u -0,5 = ln( 3,6065 )
0,1u -0,5 = 1,2827 | +0,5
0,1u = 1,7827 |:0,1
u = 17,827

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 1 2x -1 zwischen 1 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -1 1 4 1 2x -1 x
= 1 3 1 4 ( 2x -1 ) -1 x

= 1 3 [ 1 2 ln( | 2x -1 | ) ] 1 4

= 1 3 ( 1 2 ln( | 24 -1 | ) - 1 2 ln( | 21 -1 | ) )

= 1 3 ( 1 2 ln( | 8 -1 | ) - 1 2 ln( | 2 -1 | ) )

= 1 3 ( 1 2 ln( 7 ) - 1 2 ln( | 2 -1 | ) )

= 1 3 ( 1 2 ln( 7 ) - 1 2 ln( 1 ) )

= 1 3 ( 1 2 ln( 7 ) +0)

= 1 6 ln( 7 )


≈ 0,324

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( 3x -7 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 2 ( 3x -7 ) 3 x
= 4 u 2 ( 3x -7 ) -3 x

= [ - 1 3 ( 3x -7 ) -2 ] 4 u

= [ - 1 3 ( 3x -7 ) 2 ] 4 u

= - 1 3 ( 3u -7 ) 2 + 1 3 ( 34 -7 ) 2

= - 1 3 ( 3u -7 ) 2 + 1 3 ( 12 -7 ) 2

= - 1 3 ( 3u -7 ) 2 + 1 3 5 2

= - 1 3 ( 3u -7 ) 2 + 1 3 ( 1 25 )

= - 1 3 ( 3u -7 ) 2 + 1 75

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 3 ( 3u -7 ) 2 + 1 75 0 + 1 75 = 1 75 ≈ 0.013

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.013