Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 45 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 3 - 5} - 2 e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $2 e^{6 - 5} - 2 e^{2 - 5}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 3}$

= $2 e - 2 e^{- 3}$

≈ 5,337

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 45 + $- 2 e^{- 3} + 2 e$ ≈ 50.34

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 6 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 6}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 3 - 6} - 2 e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $2 e^{9 - 6} - 2 e^{3 - 6}$

= $2 e^{3} - 2 e^{- 3}$

≈ 40,071

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 14 + $2 e^{3} - 2 e^{- 3}$ ≈ 54.07

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,6 e^{- 0,4 x + 0,9} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,6 e^{- 0,4 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,4 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,4 u + 0,9} + 4 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 4 e^{- 0,4 u + 0,9} + 4 e^{0 + 0,9}$

= $- 4 e^{- 0,4 u + 0,9} + 4 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,4 u + 0,9} + 4 e^{0,9}$	=	$2$	\| $- 4 e^{0,9}$
$- 4 e^{- 0,4 u + 0,9}$	=	$- 4 e^{0,9} + 2$
$- 4 e^{- 0,4 u + 0,9}$	=	$- 7,8384$	\|: $- 4$
$e^{- 0,4 u + 0,9}$	=	$1,9596$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,9$	=	$\ln (1,9596)$

$- 0,4 u + 0,9$	=	$0,6727$	\| $- 0,9$
$- 0,4 u$	=	$- 0,2273$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$0,5683$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{3 x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} 4 e^{3 x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (\frac{4}{3} e^{3 \cdot 5 - 3} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 3})$

= $\frac{1}{5} (\frac{4}{3} e^{15 - 3} - \frac{4}{3} e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{5} (\frac{4}{3} e^{12} - \frac{4}{3} e^{- 3})$

≈ 43401,264

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} 3 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 6}]}_{1}^{u}$

$=$ $- e^{- 3 u + 6} + e^{- 3 \cdot 1 + 6}$

= $- e^{- 3 u + 6} + e^{- 3 + 6}$

= $- e^{- 3 u + 6} + e^{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{- 3 u + 6} + e^{3}$ → $0 + e^{3}$ = $e^{3}$ ≈ 20.086

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 20.086

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale