Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{5}{2}$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $5$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{5}{2}

und

5

:

\int_{\frac{5}{2}}^{5} 5 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{5}{2}}^{5} 5 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{5}{2}}^{5}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{5}{2}}^{5}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 3^{3} - \frac{5}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 27 - \frac{5}{3} \cdot 8$

= $45 - \frac{40}{3}$

= $\frac{135}{3} - \frac{40}{3}$

= $\frac{95}{3}$

≈ 31,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{5}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{5}{2}

und

5

zusammen:

B = 12 + $\frac{95}{3}$ = $\frac{131}{3}$ ≈ 43.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{21}{2}$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $15$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{21}{2}

und

15

:

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 6 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 6 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - 2 {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{21}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{21}{2}

und

15

zusammen:

B = 15 + $122$ = $137$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 4 x - 5) ⅆ x$ = $- 69$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 4 x - 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} - 5 u - (- 2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - (- 2 \cdot 9 - 15)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - (- 18 - 15)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - 1 \cdot (- 33)$

= $- 2 u^{2} - 5 u + 33$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 69$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} - 5 u + 33

=

- 69

|

+ 69

$- 2 u^{2} - 5 u + 102$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 102}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 816}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{841}}{- 4}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{841}}{- 4}$ = $\frac{5+29}{- 4}$ = $\frac{34}{- 4}$ = $- 8,5$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{841}}{- 4}$ = $\frac{5-29}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Da u= $- 8,5$ < 3 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{3 x - 6}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} e^{3 x - 6} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 6})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} e^{6 - 6} - \frac{1}{3} e^{0 - 6})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} e^{0} - \frac{1}{3} e^{- 6})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} e^{- 6})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} e^{- 6} + \frac{1}{3})$

≈ 0,166

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $18$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{18} \frac{2}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{18} 2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{18}$

= ${[4 \sqrt{x - 2}]}_{u}^{18}$

$=$ $4 \sqrt{18 - 2} - 4 \sqrt{u - 2}$

= $4 \sqrt{16} - 4 \sqrt{u - 2}$

= $4 \cdot 4 - 4 \sqrt{u - 2}$

= $16 - 4 \sqrt{u - 2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u - 2} + 16$ → $0 + 16$ = $16$ ≈ 16

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 16

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale