Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 e 2x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 4 e 2x -5 x

= [ 2 e 2x -5 ] 0 1

= 2 e 21 -5 -2 e 20 -5

= 2 e 2 -5 -2 e 0 -5

= 2 e -3 -2 e -5


≈ 0,086
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 4 + 2 e -3 -2 e -5 ≈ 4.09

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 2x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 9 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 27 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 9 und 27 2 :
9 27 2 3 2x -2 x
= 9 27 2 3 ( 2x -2 ) 1 2 x

= [ ( 2x -2 ) 3 2 ] 9 27 2

= [ ( 2x -2 ) 3 ] 9 27 2

= ( 2( 27 2 ) -2 ) 3 - ( 29 -2 ) 3

= ( 27 -2 ) 3 - ( 18 -2 ) 3

= ( 25 ) 3 - ( 16 ) 3

= 5 3 - 4 3

= 125 - 64

= 61

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 9 und der Änderung zwischen 9 und 27 2 zusammen:
B = 4 + 61 = 65

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 8x x = 196

Lösung einblenden
0 u 8x x

= [ 4 x 2 ] 0 u

= 4 u 2 -4 0 2

= 4 u 2 -40

= 4 u 2 +0

= 4 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 196 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 = 196 |:4
u 2 = 49 | 2
u1 = - 49 = -7
u2 = 49 = 7

Da u= -7 < 0 ist u= 7 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 ( 3x -4 ) 3 + x zwischen 1 und 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 -1 1 2 ( 5 ( 3x -4 ) 3 + x ) x

= 1 [ 5 12 ( 3x -4 ) 4 + 1 2 x 2 ] 1 2

= 5 12 ( 32 -4 ) 4 + 1 2 2 2 - ( 5 12 ( 31 -4 ) 4 + 1 2 1 2 )

= 5 12 ( 6 -4 ) 4 + 1 2 4 - ( 5 12 ( 3 -4 ) 4 + 1 2 1 )

= 5 12 2 4 +2 - ( 5 12 ( -1 ) 4 + 1 2 )

= 5 12 16 +2 - ( 5 12 1 + 1 2 )

= 20 3 +2 - ( 5 12 + 1 2 )

= 20 3 + 6 3 - ( 5 12 + 6 12 )

= 26 3 -1 · 11 12

= 26 3 - 11 12

= 31 4


= 7,75

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -2 e 2x -3 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 0 u -2 e 2x -3 x

= [ - e 2x -3 ] 0 u

= - e 2u -3 + e 20 -3

= - e 2u -3 + e 0 -3

= - e 2u -3 + e -3

Für u → ∞ gilt: A(u) = - e 2u -3 + e -3 -