Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 5 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{10 - 4} - \frac{5}{2} e^{4 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2} e^{0}$

= $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2}$

≈ 1006,072

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 20 + $\frac{5}{2} e^{6} - \frac{5}{2}$ ≈ 1026.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 6 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 6}]}_{1}^{4}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 4 - 6} - 2 e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $2 e^{12 - 6} - 2 e^{3 - 6}$

= $2 e^{6} - 2 e^{- 3}$

≈ 806,758

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 60 + $2 e^{6} - 2 e^{- 3}$ ≈ 866.76

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 506,25$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 3^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 9$

= $- 5 u^{2} + 45$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 506,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2} + 45$	=	$- 506,25$	\| $- 45$
$- 5 u^{2}$	=	$- 551,25$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$110,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{110,25}$	= $- 10,5$
u₂	=	$\sqrt{110,25}$	= $10,5$

Da u= $- 10,5$ < 3 ist u= $10,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (3 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 5 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (3 x - π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (- π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot 1 - \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{3 π}$

≈ 1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} - \frac{1}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} - {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- 2}]}_{5}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(x - 3)}^{2}}]}_{5}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2 {(5 - 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{8}$ → $0 - \frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{8}$ ≈ -0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale