Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 x -3 x
= 19 28 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 2 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 2 3 ( 28 -3 ) 3 - 2 3 ( 19 -3 ) 3

= 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 16 ) 3

= 2 3 5 3 - 2 3 4 3

= 2 3 125 - 2 3 64

= 250 3 - 128 3

= 122 3


≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 15 + 122 3 = 167 3 ≈ 55.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 2 x -3 x
= 19 28 2 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 4 3 ( 28 -3 ) 3 - 4 3 ( 19 -3 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 13 + 244 3 = 283 3 ≈ 94.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,8 e -0,8x +0,9 x = 1

Lösung einblenden
0 u 0,8 e -0,8x +0,9 x

= [ - e -0,8x +0,9 ] 0 u

= - e -0,8u +0,9 + e -0,80 +0,9

= - e -0,8u +0,9 + e 0 +0,9

= - e -0,8u +0,9 + e 0,9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- e -0,8u +0,9 + e 0,9 = 1 | - e 0,9
- e -0,8u +0,9 = - e 0,9 +1
- e -0,8u +0,9 = -1,4596 |:-1
e -0,8u +0,9 = 1,4596 |ln(⋅)
-0,8u +0,9 = ln( 1,4596 )
-0,8u +0,9 = 0,3782 | -0,9
-0,8u = -0,5218 |:(-0,8 )
u = 0,6523

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 sin( 3x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 2 sin( 3x + 3 2 π) x

= 1 π [ - 2 3 cos( 3x + 3 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - 2 3 cos( 3( 3 2 π ) + 3 2 π) + 2 3 cos( 3( 1 2 π ) + 3 2 π) )

= 1 π · ( - 2 3 cos(6π) + 2 3 cos(3π) )

= 1 π · ( - 2 3 1 + 2 3 ( -1 ) )

= 1 π · ( - 2 3 - 2 3 )

= 1 π · ( - 4 3 )

= - 4 3 π


≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 -3x +6 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 2 -3x +6 x
= 3 u -2 ( -3x +6 ) -1 x

= [ 2 3 ln( | -3x +6 | ) ] 3 u

= 2 3 ln( | -3( u ) +6 | ) - 2 3 ln( | -33 +6 | )

= 2 3 ln( | -3u +6 | ) - 2 3 ln( | -9 +6 | )

= 2 3 ln( | -3u +6 | ) - 2 3 ln( 3 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 2 3 ln( 3 ) + 2 3 ln( | -3x +6 | )