Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 \sqrt{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $5$ Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $17$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

17

:

\int_{5}^{17} 2 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{17} 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{17}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{5}^{17}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 8$

= $\frac{256}{3} - \frac{32}{3}$

= $\frac{224}{3}$

≈ 74,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

17

zusammen:

B = 11 + $\frac{224}{3}$ = $\frac{257}{3}$ ≈ 85.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{11}{2}$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{27}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{11}{2}

und

\frac{27}{2}

:

\int_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}} \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}} {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{\frac{11}{2}}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{11}{2}) - 2})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 27$

= $\frac{125}{3} - 9$

= $\frac{125}{3} - \frac{27}{3}$

= $\frac{98}{3}$

≈ 32,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{11}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{11}{2}

und

\frac{27}{2}

zusammen:

B = 19 + $\frac{98}{3}$ = $\frac{155}{3}$ ≈ 51.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,5 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,5 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,9 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,9 u + 0,7} + 5 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 5 e^{- 0,9 u + 0,7} + 5 e^{0 + 0,7}$

= $- 5 e^{- 0,9 u + 0,7} + 5 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,9 u + 0,7} + 5 e^{0,7}$	=	$4$	\| $- 5 e^{0,7}$
$- 5 e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 5 e^{0,7} + 4$
$- 5 e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 6,0688$	\|: $- 5$
$e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$1,2138$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,7$	=	$\ln (1,2138)$

$- 0,9 u + 0,7$	=	$0,1938$	\| $- 0,7$
$- 0,9 u$	=	$- 0,5062$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,5624$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - \frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (0 - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 \cdot \cos (0) + 3 \cdot \cos (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3)$

= $- \frac{2}{π}$

≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(- 2 x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(- 2 x + 3)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{4 {(- 2 x + 3)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4 {(- 2 \cdot 2 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4 {(- 4 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4 {(- 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4} \cdot 1$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4}$ → $0 - \frac{1}{4}$ = $- \frac{1}{4}$ ≈ -0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale