= ${\left[\frac{1}{3}{e}^{3x-6}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 3-6}-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 0-6}$

= $\frac{1}{3}{e}^{9-6}-\frac{1}{3}{e}^{0-6}$

= $\frac{1}{3}{e}^3-\frac{1}{3}{e}^{-6}$

= ${\left[-3{\left(x-3\right)}^{-1}\right]}_4^7$

= ${\left[-\frac{3}{x-3}\right]}_4^7$

$=$ $-\frac{3}{7-3}+\frac{3}{4-3}$

= $-\frac{3}{4}+\frac{3}{1}$

= $-3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+3\cdot 1$

= $-\frac{3}{4}+3$

= $-\frac{3}{4}+\frac{12}{4}$

= $\frac{9}{4}$

= ${\left[4x^2-4x\right]}_3^u$

$=$ $4u^2-4u-\left(4\cdot 3^2-4\cdot 3\right)$

= $4u^2-4u-\left(4\cdot 9-12\right)$

= $4u^2-4u-\left(36-12\right)$

= $4u^2-4u-1·24$

= $4u^2-4u-24$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $336$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^2-u-90$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-90\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+360}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{361}}{2}$

u₁ = $\frac{1+\sqrt{361}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

u₂ = $\frac{1-\sqrt{361}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{2}$ = $-9$

Da u= $-9$ < 3 ist u= $10$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{5}$ ${\left[e^{3x-7}\right]}_0^5$

$=$ $\frac{1}{5}\left(e^{3\cdot 5-7}-e^{3\cdot 0-7}\right)$

= $\frac{1}{5}\left(e^{15-7}-e^{0-7}\right)$

= $\frac{1}{5}\left(e^8-e^{-7}\right)$

= ${\left[-\frac{1}{2}{\left(x-3\right)}^{-2}\right]}_5^u$

= ${\left[-\frac{1}{2{\left(x-3\right)}^2}\right]}_5^u$

$=$ $-\frac{1}{2{\left(u-3\right)}^2}+\frac{1}{2{\left(5-3\right)}^2}$

= $-\frac{1}{2{\left(u-3\right)}^2}+\frac{1}{2\cdot 2^2}$

= $-\frac{1}{2{\left(u-3\right)}^2}+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$

= $-\frac{1}{2{\left(u-3\right)}^2}+\frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{1}{2{\left(u-3\right)}^2}+\frac{1}{8}$ → $0+\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$ ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125