Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{6 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 1}$

≈ 9,362

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 61 + $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 1}$ ≈ 70.36

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 53 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 1} - 2 e^{2 - 1}$

= $2 e^{2} - 2 e^{1}$

= $2 e^{2} - 2 e$

≈ 9,342

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 53 + $2 e^{2} - 2 e$ ≈ 62.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 8 x - 5) ⅆ x$ = $- 318$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 8 x - 5) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} - 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} - 5 u - (- 4 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3)$

= $- 4 u^{2} - 5 u - (- 4 \cdot 9 - 15)$

= $- 4 u^{2} - 5 u - (- 36 - 15)$

= $- 4 u^{2} - 5 u - 1 \cdot (- 51)$

= $- 4 u^{2} - 5 u + 51$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 318$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} - 5 u + 51

=

- 318

|

+ 318

$- 4 u^{2} - 5 u + 369$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 369}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 5 904}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{5 929}}{- 8}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{5 929}}{- 8}$ = $\frac{5+77}{- 8}$ = $\frac{82}{- 8}$ = $- 10,25$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{5 929}}{- 8}$ = $\frac{5-77}{- 8}$ = $\frac{- 72}{- 8}$ = $9$

Da u= $- 10,25$ < 3 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(3 x - 5)}^{2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 2 {(3 x - 5)}^{2} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 5)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 5)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(3 - 5)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(0 - 5)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(- 5)}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot (- 8) - \frac{2}{9} \cdot (- 125)$

= $- \frac{16}{9} + \frac{250}{9}$

= $26$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- 3 x + 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{{(- 3 x + 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(- 3 x + 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 4)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 {(- 3 x + 4)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 2 + 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 6 + 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{12}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{12}$ → $0 - \frac{1}{12}$ = $- \frac{1}{12}$ ≈ -0.083

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.083

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale