Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 26 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 e 2x -1 x

= [ 1 2 e 2x -1 ] 1 4

= 1 2 e 24 -1 - 1 2 e 21 -1

= 1 2 e 8 -1 - 1 2 e 2 -1

= 1 2 e 7 - 1 2 e 1

= 1 2 e 7 - 1 2 e


≈ 546,957
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 26 + 1 2 e 7 - 1 2 e ≈ 572.96

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e 3x -6 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 2 e 3x -6 x

= [ 2 3 e 3x -6 ] 0 3

= 2 3 e 33 -6 - 2 3 e 30 -6

= 2 3 e 9 -6 - 2 3 e 0 -6

= 2 3 e 3 - 2 3 e -6


≈ 13,389
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 20 + 2 3 e 3 - 2 3 e -6 ≈ 33.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 2x +5 ) x = 69,75

Lösung einblenden
3 u ( 2x +5 ) x

= [ x 2 +5x ] 3 u

= u 2 +5u - ( 3 2 +53 )

= u 2 +5u - ( 9 +15 )

= u 2 +5u -9 -15

= u 2 +5u -24

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 69,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 +5u -24 = 69,75 | -69,75

u 2 +5u -93,75 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · ( -93,75 ) 21

u1,2 = -5 ± 25 +375 2

u1,2 = -5 ± 400 2

u1 = -5 + 400 2 = -5 +20 2 = 15 2 = 7,5

u2 = -5 - 400 2 = -5 -20 2 = -25 2 = -12,5

Da u= -12,5 < 3 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -2 2 4 5 x -1 x
= 1 2 2 4 5 ( x -1 ) -1 x

= 1 2 [ 5 ln( | x -1 | ) ] 2 4

= 1 2 (5 ln( | 4 -1 | ) -5 ln( | 2 -1 | ) )

= 1 2 (5 ln( 3 ) -5 ln( | 2 -1 | ) )

= 1 2 (5 ln( 3 ) -5 ln( 1 ) )

= 1 2 (5 ln( 3 ) +0)

= 5 2 ln( 3 )


≈ 2,747

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -2x +2 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 3 ( -2x +2 ) 3 x
= 2 u -3 ( -2x +2 ) -3 x

= [ - 3 4 ( -2x +2 ) -2 ] 2 u

= [ - 3 4 ( -2x +2 ) 2 ] 2 u

= - 3 4 ( -2u +2 ) 2 + 3 4 ( -22 +2 ) 2

= - 3 4 ( -2u +2 ) 2 + 3 4 ( -4 +2 ) 2

= - 3 4 ( -2u +2 ) 2 + 3 4 ( -2 ) 2

= - 3 4 ( -2u +2 ) 2 + 3 4 ( 1 4 )

= - 3 4 ( -2u +2 ) 2 + 3 16

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 4 ( -2u +2 ) 2 + 3 16 0 + 3 16 = 3 16 ≈ 0.188

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.188