Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 6)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{3}{{(3 x - 6)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 3 {(3 x - 6)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 6)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{1}{3 x - 6}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 4 - 6} + \frac{1}{3 \cdot 3 - 6}$

= $- \frac{1}{12 - 6} + \frac{1}{9 - 6}$

= $- \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$

= $- (\frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{6}$

≈ 0,167

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 17 + $\frac{1}{6}$ = $\frac{103}{6}$ ≈ 17.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $9$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{27}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

9

und

\frac{27}{2}

:

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

9

und der Änderung zwischen

9

und

\frac{27}{2}

zusammen:

B = 5 + $122$ = $127$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,2 e^{- 0,7 x + 0,8} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,2 e^{- 0,7 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,7 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,7 u + 0,8} + 6 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 6 e^{- 0,7 u + 0,8} + 6 e^{0 + 0,8}$

= $- 6 e^{- 0,7 u + 0,8} + 6 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,7 u + 0,8} + 6 e^{0,8}$	=	$2$	\| $- 6 e^{0,8}$
$- 6 e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$- 6 e^{0,8} + 2$
$- 6 e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$- 11,3532$	\|: $- 6$
$e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$1,8922$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,8$	=	$\ln (1,8922)$

$- 0,7 u + 0,8$	=	$0,6377$	\| $- 0,8$
$- 0,7 u$	=	$- 0,1623$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,2319$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\sin (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\sin (2 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\sin (\frac{1}{2} π) - \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (1 - (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (1 + 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot 2$

= $\frac{4}{π}$

≈ 1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{{(2 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(2 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} {(2 x - 4)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{3}{4 {(2 x - 4)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{4 {(2 \cdot 3 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{4 {(6 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{4 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{16}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{4 {(2 u - 4)}^{2}} + \frac{3}{16}$ → $0 + \frac{3}{16}$ = $\frac{3}{16}$ ≈ 0.188

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.188

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale