Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 5 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 2} - \frac{5}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{5}{2} e^{4} - \frac{5}{2} e^{2}$

≈ 118,023

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 9 + $\frac{5}{2} e^{4} - \frac{5}{2} e^{2}$ ≈ 127.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{23}{3}$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 64$

= $\frac{250}{9} - \frac{128}{9}$

= $\frac{122}{9}$

≈ 13,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{23}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 5 + $\frac{122}{9}$ = $\frac{167}{9}$ ≈ 18.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,6 e^{- 0,6 x + 0,3} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,6 e^{- 0,6 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,6 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,6 u + 0,3} + e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,3}$

= $- e^{- 0,6 u + 0,3} + e^{0 + 0,3}$

= $- e^{- 0,6 u + 0,3} + e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,6 u + 0,3} + e^{0,3}$	=	$1$	\| $- e^{0,3}$
$- e^{- 0,6 u + 0,3}$	=	$- e^{0,3} + 1$
$- e^{- 0,6 u + 0,3}$	=	$- 0,3499$	\|: $- 1$
$e^{- 0,6 u + 0,3}$	=	$0,3499$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,3$	=	$\ln (0,3499)$

$- 0,6 u + 0,3$	=	$- 1,0501$	\| $- 0,3$
$- 0,6 u$	=	$- 1,3501$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$2,2502$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{2 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[e^{2 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (e^{2 \cdot 3 - 4} - e^{2 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (e^{6 - 4} - e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (e^{2} - e^{- 4})$

≈ 2,457

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} - \frac{1}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- 2}]}_{u}^{2}$

= ${[\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}}]}_{u}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(u - 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 \cdot 1^{2}} - \frac{1}{2 {(u - 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2 {(u - 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{2} - \frac{1}{2 {(u - 1)}^{2}}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(u - 1)}^{2}} + \frac{1}{2}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale