Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= e x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 e x -1 x

= [ e x -1 ] 1 2

= e 2 -1 - e 1 -1

= e 1 - e 0

= e -1


≈ 1,718
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 5 + -1 + e ≈ 6.72

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 34 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 3 e x -2 x

= [ 3 e x -2 ] 1 3

= 3 e 3 -2 -3 e 1 -2

= 3 e 1 -3 e -1

= 3e -3 e -1


≈ 7,051
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 34 + -3 e -1 +3e ≈ 41.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 5,6 e -0,8x +0,8 x = 7

Lösung einblenden
0 u 5,6 e -0,8x +0,8 x

= [ -7 e -0,8x +0,8 ] 0 u

= -7 e -0,8u +0,8 +7 e -0,80 +0,8

= -7 e -0,8u +0,8 +7 e 0 +0,8

= -7 e -0,8u +0,8 +7 e 0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-7 e -0,8u +0,8 +7 e 0,8 = 7 | -7 e 0,8
-7 e -0,8u +0,8 = -7 e 0,8 +7
-7 e -0,8u +0,8 = -8,5788 |:-7
e -0,8u +0,8 = 1,2255 |ln(⋅)
-0,8u +0,8 = ln( 1,2255 )
-0,8u +0,8 = 0,2033 | -0,8
-0,8u = -0,5967 |:(-0,8 )
u = 0,7459

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 3x -5 ) 2 +4x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 ( 4 ( 3x -5 ) 2 +4x ) x

= 1 2 [ 4 9 ( 3x -5 ) 3 +2 x 2 ] 0 2

= 1 2 ( 4 9 ( 32 -5 ) 3 +2 2 2 - ( 4 9 ( 30 -5 ) 3 +2 0 2 ))

= 1 2 ( 4 9 ( 6 -5 ) 3 +24 - ( 4 9 ( 0 -5 ) 3 +20 ))

= 1 2 ( 4 9 1 3 +8 - ( 4 9 ( -5 ) 3 +0))

= 1 2 ( 4 9 1 +8 - ( 4 9 ( -125 ) +0))

= 1 2 ( 4 9 +8 - ( - 500 9 +0))

= 1 2 ( 4 9 + 72 9 - ( - 500 9 +0))

= 1 2 ( 76 9 + 500 9 )

= 1 2 · 64

= 32

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 1 x -2 x
= 4 u - ( x -2 ) -1 x

= [ - ln( | x -2 | ) ] 4 u

= - ln( | u -2 | ) + ln( | 4 -2 | )

= - ln( | u -2 | ) + ln( 2 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( 2 ) - ln( | x -2 | )