Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 2x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 17 2 s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 13 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 17 2 und 13:
17 2 13 5 2x -1 x
= 17 2 13 5 ( 2x -1 ) 1 2 x

= [ 5 3 ( 2x -1 ) 3 2 ] 17 2 13

= [ 5 3 ( 2x -1 ) 3 ] 17 2 13

= 5 3 ( 213 -1 ) 3 - 5 3 ( 2( 17 2 ) -1 ) 3

= 5 3 ( 26 -1 ) 3 - 5 3 ( 17 -1 ) 3

= 5 3 ( 25 ) 3 - 5 3 ( 16 ) 3

= 5 3 5 3 - 5 3 4 3

= 5 3 125 - 5 3 64

= 625 3 - 320 3

= 305 3


≈ 101,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 17 2 und der Änderung zwischen 17 2 und 13 zusammen:
B = 14 + 305 3 = 347 3 ≈ 115.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 58 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 e 3x -4 x

= [ 1 3 e 3x -4 ] 2 3

= 1 3 e 33 -4 - 1 3 e 32 -4

= 1 3 e 9 -4 - 1 3 e 6 -4

= 1 3 e 5 - 1 3 e 2


≈ 47,008
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 58 + 1 3 e 5 - 1 3 e 2 ≈ 105.01

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 1,8 e 0,3x -0,3 x = 6

Lösung einblenden
0 u 1,8 e 0,3x -0,3 x

= [ 6 e 0,3x -0,3 ] 0 u

= 6 e 0,3u -0,3 -6 e 0,30 -0,3

= 6 e 0,3u -0,3 -6 e 0 -0,3

= 6 e 0,3u -0,3 -6 e -0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 6 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

6 e 0,3u -0,3 -6 e -0,3 = 6 | +6 e -0,3
6 e 0,3u -0,3 = 6 e -0,3 +6
6 e 0,3u -0,3 = 10,4449 |:6
e 0,3u -0,3 = 1,7408 |ln(⋅)
0,3u -0,3 = ln( 1,7408 )
0,3u -0,3 = 0,5543 | +0,3
0,3u = 0,8543 |:0,3
u = 2,8477

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -4 4 5 4 ( x -3 ) 2 x
= 1 4 5 4 ( x -3 ) -2 x

= 1 [ -4 ( x -3 ) -1 ] 4 5

= 1 [ - 4 x -3 ] 4 5

= - 4 5 -3 + 4 4 -3

= - 4 2 + 4 1

= -4( 1 2 ) +41

= -2 +4

= 2

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 2,5 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 2,5 - 2 2x -4 x
= u 2,5 -2 ( 2x -4 ) - 1 2 x

= [ -2 ( 2x -4 ) 1 2 ] u 2,5

= [ -2 2x -4 ] u 2,5

= -2 22,5 -4 +2 2u -4

= -2 5 -4 +2 2u -4

= -2 1 +2 2u -4

= -21 +2 2u -4

= -2 +2 2u -4

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = 2 2u -4 -2 0 -2 = -2 ≈ -2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2