= ${\left[\frac{3}{2}{e}^{2x-2}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 3-2}-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 0-2}$

= $\frac{3}{2}{e}^{6-2}-\frac{3}{2}{e}^{0-2}$

= $\frac{3}{2}{e}^4-\frac{3}{2}{e}^{-2}$

= ${\left[\frac{5}{3}\ln \left(\left|$ 3x-3$\right|\right)\right]}_2^3$

$=$ $\frac{5}{3}\ln \left(\left|$ 3\cdot 3-3$\right|\right)-\frac{5}{3}\ln \left(\left|$ 3\cdot 2-3$\right|\right)$

= $\frac{5}{3}\ln \left(\left|$ 9-3$\right|\right)-\frac{5}{3}\ln \left(\left|$ 6-3$\right|\right)$

= $\frac{5}{3}\ln \left(6\right)-\frac{5}{3}\ln \left(\left|$ 6-3$\right|\right)$

= $\frac{5}{3}\ln \left(6\right)-\frac{5}{3}\ln \left(3\right)$

= ${\left[5x^2\right]}_3^u$

$=$ $5u^2-5\cdot 3^2$

= $5u^2-5\cdot 9$

= $5u^2-45$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $\mathrm{56,25}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-\mathrm{4,5}$ < 3 ist u= $\mathrm{4,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{9}$ ${\left[{\left(2x-2\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_9^{\frac{27}{2}}$

= $\frac{2}{9}$ ${\left[{\left(\sqrt{2x-2}\right)}^3\right]}_9^{\frac{27}{2}}$

$=$ $\frac{2}{9}\left({\left(\sqrt{2\cdot \left(\frac{27}{2}\right)-2}\right)}^3-{\left(\sqrt{2\cdot 9-2}\right)}^3\right)$

= $\frac{2}{9}\left({\left(\sqrt{27-2}\right)}^3-{\left(\sqrt{18-2}\right)}^3\right)$

= $\frac{2}{9}\left({\left(\sqrt{25}\right)}^3-{\left(\sqrt{16}\right)}^3\right)$

= $\frac{2}{9}\left(5^3-4^3\right)$

= $\frac{2}{9}\left(125-64\right)$

= $\frac{2}{9}·61$

= ${\left[-2{\left(2x-6\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{\mathrm{7,5}}$

= ${\left[-2\sqrt{2x-6}\right]}_u^{\mathrm{7,5}}$

$=$ $-2\sqrt{2\cdot \mathrm{7,5}-6}+2\sqrt{2u-6}$

= $-2\sqrt{15-6}+2\sqrt{2u-6}$

= $-2\sqrt{9}+2\sqrt{2u-6}$

= $-2\cdot 3+2\sqrt{2u-6}$

= $-6+2\sqrt{2u-6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $2\sqrt{2u-6}-6$ → $0-6$ = $-6$ ≈ -6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6