Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 26 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 4 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{8 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{7} - \frac{1}{2} e^{1}$

= $\frac{1}{2} e^{7} - \frac{1}{2} e$

≈ 546,957

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 26 + $\frac{1}{2} e^{7} - \frac{1}{2} e$ ≈ 572.96

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 6} - \frac{2}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{3} - \frac{2}{3} e^{- 6}$

≈ 13,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 20 + $\frac{2}{3} e^{3} - \frac{2}{3} e^{- 6}$ ≈ 33.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (2 x + 5) ⅆ x$ = $69,75$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (2 x + 5) ⅆ x

= ${[x^{2} + 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $u^{2} + 5 u - (3^{2} + 5 \cdot 3)$

= $u^{2} + 5 u - (9 + 15)$

= $u^{2} + 5 u - 9 - 15$

= $u^{2} + 5 u - 24$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $69,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} + 5 u - 24

=

69,75

|

- 69,75

$u^{2} + 5 u - 93,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 93,75)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 375}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{400}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{- 5+20}{2}$ = $\frac{15}{2}$ = $7,5$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{- 5-20}{2}$ = $\frac{- 25}{2}$ = $- 12,5$

Da u= $- 12,5$ < 3 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 2}

\int_{2}^{4} \frac{5}{x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{2}^{4} 5 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[5 \ln (| x - 1 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} (5 \ln (| 4 - 1 |) - 5 \ln (| 2 - 1 |))$

= $\frac{1}{2} (5 \ln (3) - 5 \ln (| 2 - 1 |))$

= $\frac{1}{2} (5 \ln (3) - 5 \ln (1))$

= $\frac{1}{2} (5 \ln (3) + 0)$

= $\frac{5}{2} \ln (3)$

≈ 2,747

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- 2 x + 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{3}{{(- 2 x + 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 3 {(- 2 x + 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} {(- 2 x + 2)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{3}{4 {(- 2 x + 2)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} + \frac{3}{4 {(- 2 \cdot 2 + 2)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} + \frac{3}{4 {(- 4 + 2)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} + \frac{3}{4 {(- 2)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} + \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} + \frac{3}{16}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} + \frac{3}{16}$ → $0 + \frac{3}{16}$ = $\frac{3}{16}$ ≈ 0.188

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.188

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale