Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 11 s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 18 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 18:
11 18 5 x -2 x
= 11 18 5 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 10 3 ( x -2 ) 3 2 ] 11 18

= [ 10 3 ( x -2 ) 3 ] 11 18

= 10 3 ( 18 -2 ) 3 - 10 3 ( 11 -2 ) 3

= 10 3 ( 16 ) 3 - 10 3 ( 9 ) 3

= 10 3 4 3 - 10 3 3 3

= 10 3 64 - 10 3 27

= 640 3 -90

= 640 3 - 270 3

= 370 3


≈ 123,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 18 zusammen:
B = 6 + 370 3 = 388 3 ≈ 129.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -6 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 79 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 e 3x -6 x

= [ 1 3 e 3x -6 ] 0 2

= 1 3 e 32 -6 - 1 3 e 30 -6

= 1 3 e 6 -6 - 1 3 e 0 -6

= 1 3 e 0 - 1 3 e -6

= 1 3 - 1 3 e -6


≈ 0,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 79 + - 1 3 e -6 + 1 3 ≈ 79.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 3,6 e -0,6x +0,4 x = 5

Lösung einblenden
0 u 3,6 e -0,6x +0,4 x

= [ -6 e -0,6x +0,4 ] 0 u

= -6 e -0,6u +0,4 +6 e -0,60 +0,4

= -6 e -0,6u +0,4 +6 e 0 +0,4

= -6 e -0,6u +0,4 +6 e 0,4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-6 e -0,6u +0,4 +6 e 0,4 = 5 | -6 e 0,4
-6 e -0,6u +0,4 = -6 e 0,4 +5
-6 e -0,6u +0,4 = -3,9509 |:-6
e -0,6u +0,4 = 0,6585 |ln(⋅)
-0,6u +0,4 = ln( 0,6585 )
-0,6u +0,4 = -0,4178 | -0,4
-0,6u = -0,8178 |:(-0,6 )
u = 1,363

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 sin( 3x + π) zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 3 sin( 3x + π) x

= 1 π [ - cos( 3x + π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - cos( 3( 3 2 π ) + π) + cos( 3( 1 2 π ) + π) )

= 1 π · ( - cos( 11 2 π) + cos( 5 2 π) )

= 1 π · ( -0 +0 )

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 -x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 1 -x +1 x
= 2 u - ( -x +1 ) -1 x

= [ ln( | -x +1 | ) ] 2 u

= ln( | -( u ) +1 | ) - ln( | -2 +1 | )

= ln( | -u +1 | ) - ln( | -2 +1 | )

= ln( | -u +1 | ) - ln( 1 )

= ln( | -u +1 | ) +0

= ln( | -x +1 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( | -x +1 | )