Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 67,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 17 + = ≈ 84.78
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 22 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 0,542
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 22 +
≈ 22.54
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
49
|
=
-7
|
| u2 |
= |
49
|
=
7
|
Da u=
-7
< 1 ist u=
7
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-1
∫
1
4
2
(
2x
-1
)
2
ⅆ
x
=
1
3
∫
1
4
2
(
2x
-1
)
-2
ⅆ
x
=
1
3
[
-
(
2x
-1
)
-1
]
1
4
=
1
3
[
-
1
2x
-1
]
1
4
=
1
3
(
-
1
2⋅4
-1
+
1
2⋅1
-1
)
=
1
3
(
-
1
8
-1
+
1
2
-1
)
=
1
3
(
-
1
7
+
1
1
)
=
1
3
(
-(
1
7
)
+ 1
)
=
1
3
·
6
7
≈ 0,286
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -3x +5 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
-
3
(
-3x
+5
)
3
ⅆ
x
=
∫
2
u
-3
(
-3x
+5
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
2
(
-3x
+5
)
-2
]
2
u
=
[
-
1
2
(
-3x
+5
)
2
]
2
u
=
-
1
2
(
-3u
+5
)
2
+
1
2
(
-3⋅2
+5
)
2
=
-
1
2
(
-3u
+5
)
2
+
1
2
(
-6
+5
)
2
=
-
1
2
(
-3u
+5
)
2
+
1
2
( -1 )
2
=
-
1
2
(
-3u
+5
)
2
+
1
2
⋅1
=
-
1
2
(
-3u
+5
)
2
+
1
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
2
(
-3u
+5
)
2
+
1
2
→
0
+
1
2
=
1
2
≈ 0.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5