Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 4)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{2}{{(3 x - 4)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 2 {(3 x - 4)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{- 3}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{2}{9 {(3 x - 4)}^{3}}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{9 {(3 \cdot 4 - 4)}^{3}} + \frac{2}{9 {(3 \cdot 3 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{2}{9 {(12 - 4)}^{3}} + \frac{2}{9 {(9 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{2}{9 \cdot 8^{3}} + \frac{2}{9 \cdot 5^{3}}$

= $- \frac{2}{9} \cdot (\frac{1}{512}) + \frac{2}{9} \cdot (\frac{1}{125})$

= $- \frac{1}{2304} + \frac{2}{1125}$

= $- \frac{125}{288 000} + \frac{512}{288 000}$

= $\frac{43}{32000}$

≈ 0,001

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 14 + $\frac{43}{32000}$ = $\frac{448.043}{32000}$ ≈ 14

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $5$ s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{31}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

\frac{31}{3}

:

\int_{5}^{\frac{31}{3}} 6 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{5}^{\frac{31}{3}} 6 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{15 - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{500}{3} - 36$

= $\frac{500}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{392}{3}$

≈ 130,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 8 + $\frac{392}{3}$ = $\frac{416}{3}$ ≈ 138.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,3 x - 0,4} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,3 x - 0,4} ⅆ x

= ${[4 e^{0,3 x - 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,3 u - 0,4} - 4 e^{0,3 \cdot 0 - 0,4}$

= $4 e^{0,3 u - 0,4} - 4 e^{0 - 0,4}$

= $4 e^{0,3 u - 0,4} - 4 e^{- 0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,3 u - 0,4} - 4 e^{- 0,4}$	=	$7$	\| $+ 4 e^{- 0,4}$
$4 e^{0,3 u - 0,4}$	=	$4 e^{- 0,4} + 7$
$4 e^{0,3 u - 0,4}$	=	$9,6813$	\|: $4$
$e^{0,3 u - 0,4}$	=	$2,4203$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,4$	=	$\ln (2,4203)$

$0,3 u - 0,4$	=	$0,8839$	\| $+ 0,4$
$0,3 u$	=	$1,2839$	\|: $0,3$
$u$	=	$4,2797$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (2 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) + π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{3}{2} - \frac{3}{2})$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 1,5 - 1,5)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3)$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{3}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 3 {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(x - 3)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{3}{2 {(x - 3)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(u - 3)}^{2}} + \frac{3}{2 {(4 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 {(u - 3)}^{2}} + \frac{3}{2 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{3}{2 {(u - 3)}^{2}} + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{2 {(u - 3)}^{2}} + \frac{3}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2 {(u - 3)}^{2}} + \frac{3}{2}$ → $0 + \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale