Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{17}{2}$ s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $13$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{17}{2}

und

13

:

\int_{\frac{17}{2}}^{13} \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{17}{2}}^{13} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{17}{2}}^{13}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{17}{2}}^{13}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{17}{2}) - 1})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 64$

= $\frac{125}{3} - \frac{64}{3}$

= $\frac{61}{3}$

≈ 20,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{17}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{17}{2}

und

13

zusammen:

B = 10 + $\frac{61}{3}$ = $\frac{91}{3}$ ≈ 30.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 6 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 4}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 3 - 4} - 3 e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $3 e^{6 - 4} - 3 e^{2 - 4}$

= $3 e^{2} - 3 e^{- 2}$

≈ 21,761

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 15 + $3 e^{2} - 3 e^{- 2}$ ≈ 36.76

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (4 x - 3) ⅆ x$ = $55$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (4 x - 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 3 u - (2 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $2 u^{2} - 3 u - (2 \cdot 1 - 3)$

= $2 u^{2} - 3 u - (2 - 3)$

= $2 u^{2} - 3 u - 1 \cdot (- 1)$

= $2 u^{2} - 3 u + 1$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $55$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} - 3 u + 1

=

55

|

- 55

$2 u^{2} - 3 u - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 432}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{441}}{4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{3+21}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{3-21}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Da u= $- 4,5$ < 1 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{3}{x - 2}$ zwischen 4 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 4}

\int_{4}^{5} \frac{3}{x - 2} ⅆ x

=

1

\int_{4}^{5} 3 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[3 \ln (| x - 2 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $3 \ln (| 5 - 2 |) - 3 \ln (| 4 - 2 |)$

= $3 \ln (3) - 3 \ln (| 4 - 2 |)$

= $3 \ln (3) - 3 \ln (2)$

≈ 1,216

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{3 x - 7}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{16}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{16}{3}}^{u} \frac{3}{\sqrt{3 x - 7}} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{u} 3 {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{u}$

= ${[2 \sqrt{3 x - 7}]}_{\frac{16}{3}}^{u}$

$=$ $2 \sqrt{3 u - 7} - 2 \sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7}$

= $2 \sqrt{3 u - 7} - 2 \sqrt{16 - 7}$

= $2 \sqrt{3 u - 7} - 2 \sqrt{9}$

= $2 \sqrt{3 u - 7} - 2 \cdot 3$

= $2 \sqrt{3 u - 7} - 6$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \sqrt{3 u - 7} - 6$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale