Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $5$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{22}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

\frac{22}{3}

:

\int_{5}^{\frac{22}{3}} 6 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{5}^{\frac{22}{3}} 6 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{22}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{22}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{22 - 6})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{15 - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{256}{3} - 36$

= $\frac{256}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{148}{3}$

≈ 49,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

\frac{22}{3}

zusammen:

B = 17 + $\frac{148}{3}$ = $\frac{199}{3}$ ≈ 66.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $1$ s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $5$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

1

und

5

:

\int_{1}^{5} \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{5} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{5}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 1 - 1})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 - 1})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{1})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1$

= $9 - \frac{1}{3}$

= $\frac{27}{3} - \frac{1}{3}$

= $\frac{26}{3}$

≈ 8,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

1

und der Änderung zwischen

1

und

5

zusammen:

B = 7 + $\frac{26}{3}$ = $\frac{47}{3}$ ≈ 15.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4 e^{0,5 x - 0,3} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4 e^{0,5 x - 0,3} ⅆ x

= ${[8 e^{0,5 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,5 u - 0,3} - 8 e^{0,5 \cdot 0 - 0,3}$

= $8 e^{0,5 u - 0,3} - 8 e^{0 - 0,3}$

= $8 e^{0,5 u - 0,3} - 8 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,5 u - 0,3} - 8 e^{- 0,3}$	=	$7$	\| $+ 8 e^{- 0,3}$
$8 e^{0,5 u - 0,3}$	=	$8 e^{- 0,3} + 7$
$8 e^{0,5 u - 0,3}$	=	$12,9265$	\|: $8$
$e^{0,5 u - 0,3}$	=	$1,6158$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,3$	=	$\ln (1,6158)$

$0,5 u - 0,3$	=	$0,4798$	\| $+ 0,3$
$0,5 u$	=	$0,7798$	\|: $0,5$
$u$	=	$1,5596$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 4 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- 2 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 2 \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + 2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(3 x - 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(3 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(3 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 4)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 {(3 x - 4)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 {(3 u - 4)}^{2}} - \frac{1}{3 {(3 \cdot 3 - 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 4)}^{2}} - \frac{1}{3 {(9 - 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 4)}^{2}} - \frac{1}{3 \cdot 5^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 4)}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{25})$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 4)}^{2}} - \frac{1}{75}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 {(3 u - 4)}^{2}} - \frac{1}{75}$ → $0 - \frac{1}{75}$ = $- \frac{1}{75}$ ≈ -0.013

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.013

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale