Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 3)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{1}{{(3 x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} {(3 x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} {(3 x - 3)}^{- 3}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{1}{9 {(3 x - 3)}^{3}}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{9 {(3 \cdot 3 - 3)}^{3}} + \frac{1}{9 {(3 \cdot 2 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{9 {(9 - 3)}^{3}} + \frac{1}{9 {(6 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{9 \cdot 6^{3}} + \frac{1}{9 \cdot 3^{3}}$

= $- \frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{216}) + \frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{27})$

= $- \frac{1}{1944} + \frac{1}{243}$

= $- \frac{1}{1944} + \frac{8}{1944}$

= $\frac{7}{1944}$

≈ 0,004

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 14 + $\frac{7}{1944}$ = $\frac{27223}{1944}$ ≈ 14

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{1}{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} {(3 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 5 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 12 - 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| 6 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (7) - \frac{1}{3} \ln (| 6 - 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (7) - \frac{1}{3} \ln (1)$

= $\frac{1}{3} \ln (7) + 0$

= $\frac{1}{3} \ln (7)$

≈ 0,649

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 12 + $\frac{1}{3} \ln (7)$ ≈ 12.65

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,6 e^{0,4 x - 0,3} ⅆ x$ = $14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,6 e^{0,4 x - 0,3} ⅆ x

= ${[4 e^{0,4 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,4 u - 0,3} - 4 e^{0,4 \cdot 0 - 0,3}$

= $4 e^{0,4 u - 0,3} - 4 e^{0 - 0,3}$

= $4 e^{0,4 u - 0,3} - 4 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,4 u - 0,3} - 4 e^{- 0,3}$	=	$14$	\| $+ 4 e^{- 0,3}$
$4 e^{0,4 u - 0,3}$	=	$4 e^{- 0,3} + 14$
$4 e^{0,4 u - 0,3}$	=	$16,9633$	\|: $4$
$e^{0,4 u - 0,3}$	=	$4,2408$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,3$	=	$\ln (4,2408)$

$0,4 u - 0,3$	=	$1,4448$	\| $+ 0,3$
$0,4 u$	=	$1,7448$	\|: $0,4$
$u$	=	$4,362$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[e^{x - 2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (e^{4 - 2} - e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{4} (e^{2} - e^{- 2})$

≈ 1,813

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $2 e^{- 2 x + 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 2 e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 4}]}_{2}^{u}$

$=$ $- e^{- 2 u + 4} + e^{- 2 \cdot 2 + 4}$

= $- e^{- 2 u + 4} + e^{- 4 + 4}$

= $- e^{- 2 u + 4} + e^{0}$

= $- e^{- 2 u + 4} + 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{- 2 u + 4} + 1$ → $0 + 1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale