Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 5)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{4}{{(3 x - 5)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 4 {(3 x - 5)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{9} {(3 x - 5)}^{- 3}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{4}{9 {(3 x - 5)}^{3}}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{4}{9 {(3 \cdot 4 - 5)}^{3}} + \frac{4}{9 {(3 \cdot 2 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{4}{9 {(12 - 5)}^{3}} + \frac{4}{9 {(6 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{4}{9 \cdot 7^{3}} + \frac{4}{9 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{4}{9} \cdot (\frac{1}{343}) + \frac{4}{9} \cdot 1$

= $- \frac{4}{3087} + \frac{4}{9}$

= $- \frac{4}{3087} + \frac{1372}{3087}$

= $\frac{152}{343}$

≈ 0,443

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 17 + $\frac{152}{343}$ = $\frac{5983}{343}$ ≈ 17.44

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 3 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 3 {(x - 3)}^{- 1}]}_{4}^{5}$

= ${[- \frac{3}{x - 3}]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{5 - 3} + \frac{3}{4 - 3}$

= $- \frac{3}{2} + \frac{3}{1}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{2}) + 3 \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} + 3$

= $- 1,5 + 3$

= $1,5$

= 1,5

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 3 + $\frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,3 x + 0,6} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,3 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,3 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,3 u + 0,6} + 9 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,6}$

= $- 9 e^{- 0,3 u + 0,6} + 9 e^{0 + 0,6}$

= $- 9 e^{- 0,3 u + 0,6} + 9 e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,3 u + 0,6} + 9 e^{0,6}$	=	$2$	\| $- 9 e^{0,6}$
$- 9 e^{- 0,3 u + 0,6}$	=	$- 9 e^{0,6} + 2$
$- 9 e^{- 0,3 u + 0,6}$	=	$- 14,3991$	\|: $- 9$
$e^{- 0,3 u + 0,6}$	=	$1,5999$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,6$	=	$\ln (1,5999)$

$- 0,3 u + 0,6$	=	$0,4699$	\| $- 0,6$
$- 0,3 u$	=	$- 0,1301$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$0,4337$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\sin (3 x - \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot π - \frac{1}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[e^{- 2 x + 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $e^{- 2 u + 2} - e^{- 2 \cdot 2 + 2}$

= $e^{- 2 u + 2} - e^{- 4 + 2}$

= $e^{- 2 u + 2} - e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{- 2 u + 2} - e^{- 2}$ → $0 - e^{- 2}$ = $- e^{- 2}$ ≈ -0.135

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.135

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale