Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e 3x -7 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 3 e 3x -7 x

= [ e 3x -7 ] 2 3

= e 33 -7 - e 32 -7

= e 9 -7 - e 6 -7

= e 2 - e -1


≈ 7,021
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 17 + e 2 - e -1 ≈ 24.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 26 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 e 3x -4 x

= [ 1 3 e 3x -4 ] 1 2

= 1 3 e 32 -4 - 1 3 e 31 -4

= 1 3 e 6 -4 - 1 3 e 3 -4

= 1 3 e 2 - 1 3 e -1


≈ 2,34
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 26 + 1 3 e 2 - 1 3 e -1 ≈ 28.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,4 e -0,6x +0,7 x = 3

Lösung einblenden
0 u 2,4 e -0,6x +0,7 x

= [ -4 e -0,6x +0,7 ] 0 u

= -4 e -0,6u +0,7 +4 e -0,60 +0,7

= -4 e -0,6u +0,7 +4 e 0 +0,7

= -4 e -0,6u +0,7 +4 e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 3 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 e -0,6u +0,7 +4 e 0,7 = 3 | -4 e 0,7
-4 e -0,6u +0,7 = -4 e 0,7 +3
-4 e -0,6u +0,7 = -5,055 |:-4
e -0,6u +0,7 = 1,2638 |ln(⋅)
-0,6u +0,7 = ln( 1,2638 )
-0,6u +0,7 = 0,2341 | -0,7
-0,6u = -0,4659 |:(-0,6 )
u = 0,7765

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 3x -5 ) 3 +5x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 ( 4 ( 3x -5 ) 3 +5x ) x

= 1 3 [ 1 3 ( 3x -5 ) 4 + 5 2 x 2 ] 0 3

= 1 3 ( 1 3 ( 33 -5 ) 4 + 5 2 3 2 - ( 1 3 ( 30 -5 ) 4 + 5 2 0 2 ))

= 1 3 ( 1 3 ( 9 -5 ) 4 + 5 2 9 - ( 1 3 ( 0 -5 ) 4 + 5 2 0 ))

= 1 3 ( 1 3 4 4 + 45 2 - ( 1 3 ( -5 ) 4 +0))

= 1 3 ( 1 3 256 + 45 2 - ( 1 3 625 +0))

= 1 3 ( 256 3 + 45 2 - ( 625 3 +0))

= 1 3 ( 512 6 + 135 6 - ( 625 3 +0))

= 1 3 ( 647 6 - 625 3 )

= 1 3 ( 647 6 - 1250 6 )

= 1 3 ( 647 6 - 625 3 )

= 1 3 · ( - 201 2 )


= -33,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 2 -x +3 x
= 4 u -2 ( -x +3 ) -1 x

= [ 2 ln( | -x +3 | ) ] 4 u

= 2 ln( | -( u ) +3 | ) -2 ln( | -4 +3 | )

= 2 ln( | -u +3 | ) -2 ln( | -4 +3 | )

= 2 ln( | -u +3 | ) -2 ln( 1 )

= 2 ln( | -u +3 | ) +0

= 2 ln( | -x +3 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 ln( | -x +3 | )