Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 47 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 2} - \frac{3}{2} e^{0 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{3}{2} e^{- 2}$

≈ 10,881

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 47 + $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{3}{2} e^{- 2}$ ≈ 57.88

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $3$ Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $9$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

9

:

\int_{3}^{9} 6 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{9} 6 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{9}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{3}^{9}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 3 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{6 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{16})}^{3} - 2 {(\sqrt{4})}^{3}$

= $2 \cdot 4^{3} - 2 \cdot 2^{3}$

= $2 \cdot 64 - 2 \cdot 8$

= $128 - 16$

= $112$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

9

zusammen:

B = 7 + $112$ = $119$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,3 x + 0,2} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,3 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,3 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,3 u + 0,2} + 9 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 9 e^{- 0,3 u + 0,2} + 9 e^{0 + 0,2}$

= $- 9 e^{- 0,3 u + 0,2} + 9 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,3 u + 0,2} + 9 e^{0,2}$	=	$3$	\| $- 9 e^{0,2}$
$- 9 e^{- 0,3 u + 0,2}$	=	$- 9 e^{0,2} + 3$
$- 9 e^{- 0,3 u + 0,2}$	=	$- 7,9926$	\|: $- 9$
$e^{- 0,3 u + 0,2}$	=	$0,8881$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,2$	=	$\ln (0,8881)$

$- 0,3 u + 0,2$	=	$- 0,1187$	\| $- 0,2$
$- 0,3 u$	=	$- 0,3187$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$1,0623$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{2 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 6 e^{2 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[3 e^{2 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (3 e^{2 \cdot 3 - 4} - 3 e^{2 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (3 e^{6 - 4} - 3 e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (3 e^{2} - 3 e^{- 4})$

≈ 7,371

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{x - 1}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $17$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{17}^{u} - \frac{3}{\sqrt{x - 1}} ⅆ x

=

\int_{17}^{u} - 3 {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}_{17}^{u}$

= ${[- 6 \sqrt{x - 1}]}_{17}^{u}$

$=$ $- 6 \sqrt{u - 1} + 6 \sqrt{17 - 1}$

= $- 6 \sqrt{u - 1} + 6 \sqrt{16}$

= $- 6 \sqrt{u - 1} + 6 \cdot 4$

= $- 6 \sqrt{u - 1} + 24$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 6 \sqrt{u - 1} + 24$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale