Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 4} - \frac{3}{2} e^{4 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{3}{2}$

≈ 9,584

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 27 + $\frac{3}{2} e^{2} - \frac{3}{2}$ ≈ 36.58

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 24 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 5 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 3} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 3} - \frac{5}{3} e^{3 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{9} - \frac{5}{3} e^{0}$

= $\frac{5}{3} e^{9} - \frac{5}{3}$

≈ 13503,473

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 24 + $\frac{5}{3} e^{9} - \frac{5}{3}$ ≈ 13527.47

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4 e^{- 0,5 x + 0,9} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4 e^{- 0,5 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,5 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,5 u + 0,9} + 8 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 8 e^{- 0,5 u + 0,9} + 8 e^{0 + 0,9}$

= $- 8 e^{- 0,5 u + 0,9} + 8 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,5 u + 0,9} + 8 e^{0,9}$	=	$3$	\| $- 8 e^{0,9}$
$- 8 e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$- 8 e^{0,9} + 3$
$- 8 e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$- 16,6768$	\|: $- 8$
$e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$2,0846$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,9$	=	$\ln (2,0846)$

$- 0,5 u + 0,9$	=	$0,7346$	\| $- 0,9$
$- 0,5 u$	=	$- 0,1654$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$0,3308$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 5 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 5 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π) + 5 \cdot \cos (0 - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 5 \cdot \cos (0) + 5 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 5 \cdot 1 + 5 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 5)$

= $- \frac{10}{π}$

≈ -3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 3}]}_{2}^{u}$

$=$ $2 e^{- u + 3} - 2 e^{- 2 + 3}$

= $2 e^{- u + 3} - 2 e^{1}$

= $2 e^{- u + 3} - 2 e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 e^{- u + 3} - 2 e$ → $0 - 2 e$ = $- 2 e$ ≈ -5.437

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 5.437

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale