Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{21}{2}$ s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $15$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{21}{2}

und

15

:

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 2 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{21}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{21}{2}

und

15

zusammen:

B = 10 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{152}{3}$ ≈ 50.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{2}$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $10$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{2}

und

10

:

\int_{\frac{13}{2}}^{10} \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{2}}^{10} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{2}}^{10}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{2}}^{10}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{13}{2}) - 4})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 27$

= $\frac{64}{3} - 9$

= $\frac{64}{3} - \frac{27}{3}$

= $\frac{37}{3}$

≈ 12,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{2}

und

10

zusammen:

B = 3 + $\frac{37}{3}$ = $\frac{46}{3}$ ≈ 15.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,2 e^{- 0,7 x + 0,8} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,2 e^{- 0,7 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,7 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,7 u + 0,8} + 6 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 6 e^{- 0,7 u + 0,8} + 6 e^{0 + 0,8}$

= $- 6 e^{- 0,7 u + 0,8} + 6 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,7 u + 0,8} + 6 e^{0,8}$	=	$5$	\| $- 6 e^{0,8}$
$- 6 e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$- 6 e^{0,8} + 5$
$- 6 e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$- 8,3532$	\|: $- 6$
$e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$1,3922$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,8$	=	$\ln (1,3922)$

$- 0,7 u + 0,8$	=	$0,3309$	\| $- 0,8$
$- 0,7 u$	=	$- 0,4691$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,6701$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 6 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[2 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (2 \cdot \sin (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (2 \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - 2 \cdot \sin (2 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{π}$

≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{2 x - 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{1}{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} {(2 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 4 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} \ln (| 2 (u) - 4 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 4 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 4 |) - \frac{1}{2} \ln (| 8 - 4 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 4 |) - \frac{1}{2} \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} \ln (4) + \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 4 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale