Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} {(x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(x - 2)}^{- 1}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{1}{x - 2}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{7 - 2} + \frac{1}{4 - 2}$

= $- \frac{1}{5} + \frac{1}{2}$

= $- (\frac{1}{5}) + \frac{1}{2}$

= $\frac{3}{10}$

= 0,3

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 19 + $\frac{3}{10}$ = $\frac{193}{10}$ ≈ 19.3

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 4 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $4 e^{4 - 3} - 4 e^{1 - 3}$

= $4 e^{1} - 4 e^{- 2}$

= $4 e - 4 e^{- 2}$

≈ 10,332

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 14 + $- 4 e^{- 2} + 4 e$ ≈ 24.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 10 x + 3) ⅆ x$ = $- 386,75$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 10 x + 3) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} + 3 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 3 u - (- 5 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3)$

= $- 5 u^{2} + 3 u - (- 5 \cdot 9 + 9)$

= $- 5 u^{2} + 3 u - (- 45 + 9)$

= $- 5 u^{2} + 3 u - 1 \cdot (- 36)$

= $- 5 u^{2} + 3 u + 36$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 386,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} + 3 u + 36

=

- 386,75

|

+ 386,75

$- 5 u^{2} + 3 u + 422,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 422,75}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8 455}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{8 464}}{- 10}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{8 464}}{- 10}$ = $\frac{- 3+92}{- 10}$ = $\frac{89}{- 10}$ = $- 8,9$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{8 464}}{- 10}$ = $\frac{- 3-92}{- 10}$ = $\frac{- 95}{- 10}$ = $9,5$

Da u= $- 8,9$ < 3 ist u= $9,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 5}$ zwischen $7$ und $10$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{10 - 7}

\int_{7}^{10} \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{7}^{10} {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{10}$

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{7}^{10}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 64)$

= $\frac{1}{3} (\frac{250}{9} - \frac{128}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{122}{9}$

= $\frac{122}{27}$

≈ 4,519

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{2 x - 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{2}{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 2 {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 2 x - 1 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $- \ln (| 2 (u) - 1 |) + \ln (| 2 \cdot 2 - 1 |)$

= $- \ln (| 2 u - 1 |) + \ln (| 4 - 1 |)$

= $- \ln (| 2 u - 1 |) + \ln (3)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (3) - \ln (| 2 x - 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

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Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale