Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 8 3 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 13 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 8 3 und 13 3 :
8 3 13 3 6 3x -4 x
= 8 3 13 3 6 ( 3x -4 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -4 ) 3 2 ] 8 3 13 3

= [ 4 3 ( 3x -4 ) 3 ] 8 3 13 3

= 4 3 ( 3( 13 3 ) -4 ) 3 - 4 3 ( 3( 8 3 ) -4 ) 3

= 4 3 ( 13 -4 ) 3 - 4 3 ( 8 -4 ) 3

= 4 3 ( 9 ) 3 - 4 3 ( 4 ) 3

= 4 3 3 3 - 4 3 2 3

= 4 3 27 - 4 3 8

= 36 - 32 3

= 108 3 - 32 3

= 76 3


≈ 25,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 8 3 und der Änderung zwischen 8 3 und 13 3 zusammen:
B = 2 + 76 3 = 82 3 ≈ 27.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 8 3 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 13 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 8 3 und 13 3 :
8 3 13 3 2 3x -4 x
= 8 3 13 3 2 ( 3x -4 ) 1 2 x

= [ 4 9 ( 3x -4 ) 3 2 ] 8 3 13 3

= [ 4 9 ( 3x -4 ) 3 ] 8 3 13 3

= 4 9 ( 3( 13 3 ) -4 ) 3 - 4 9 ( 3( 8 3 ) -4 ) 3

= 4 9 ( 13 -4 ) 3 - 4 9 ( 8 -4 ) 3

= 4 9 ( 9 ) 3 - 4 9 ( 4 ) 3

= 4 9 3 3 - 4 9 2 3

= 4 9 27 - 4 9 8

= 12 - 32 9

= 108 9 - 32 9

= 76 9


≈ 8,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 8 3 und der Änderung zwischen 8 3 und 13 3 zusammen:
B = 13 + 76 9 = 193 9 ≈ 21.44

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 3 e -0,5x +0,5 x = 2

Lösung einblenden
0 u 3 e -0,5x +0,5 x

= [ -6 e -0,5x +0,5 ] 0 u

= -6 e -0,5u +0,5 +6 e -0,50 +0,5

= -6 e -0,5u +0,5 +6 e 0 +0,5

= -6 e -0,5u +0,5 +6 e 0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-6 e -0,5u +0,5 +6 e 0,5 = 2 | -6 e 0,5
-6 e -0,5u +0,5 = -6 e 0,5 +2
-6 e -0,5u +0,5 = -7,8923 |:-6
e -0,5u +0,5 = 1,3154 |ln(⋅)
-0,5u +0,5 = ln( 1,3154 )
-0,5u +0,5 = 0,2741 | -0,5
-0,5u = -0,2259 |:(-0,5 )
u = 0,4518

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 cos( x + π) zwischen 1 2 π und 3 2 π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 6 cos( x + π) x

= 1 π [ 6 sin( x + π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( 6 sin( 3 2 π + π) -6 sin( 1 2 π + π) )

= 1 π · ( 6 sin( 5 2 π) -6 sin( 3 2 π) )

= 1 π · ( 61 -6( -1 ) )

= 1 π · ( 6 +6 )

= 1 π · 12

= 12 π


≈ 3,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 11 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 11 3 2x -6 x
= u 11 3 ( 2x -6 ) - 1 2 x

= [ 3 ( 2x -6 ) 1 2 ] u 11

= [ 3 2x -6 ] u 11

= 3 211 -6 -3 2u -6

= 3 22 -6 -3 2u -6

= 3 16 -3 2u -6

= 34 -3 2u -6

= 12 -3 2u -6

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = -3 2u -6 +12 0 +12 = 12 ≈ 12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12