Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 261,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 8 + = ≈ 269.33
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,636
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 77 +
≈ 77.64
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
25
|
=
-5
|
| u2 |
= |
25
|
=
5
|
Da u=
-5
< 3 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= e 2x -2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
5
+0
∫
0
5
e
2x
-2
ⅆ
x
=
1
5
[
1
2
e
2x
-2
]
0
5
=
1
5
(
1
2
e
2⋅5
-2
-
1
2
e
2⋅0
-2
)
=
1
5
(
1
2
e
10
-2
-
1
2
e
0
-2
)
=
1
5
(
1
2
e
8
-
1
2
e
-2
)
≈ 298,082
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( -2x +4 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
1
(
-2x
+4
)
2
ⅆ
x
=
∫
4
u
(
-2x
+4
)
-2
ⅆ
x
=
[
1
2
(
-2x
+4
)
-1
]
4
u
=
[
1
2(
-2x
+4
)
]
4
u
=
1
2(
-2u
+4
)
-
1
2(
-2⋅4
+4
)
=
1
2(
-2u
+4
)
-
1
2(
-8
+4
)
=
1
2(
-2u
+4
)
-
1
2
( -4 )
=
1
2(
-2u
+4
)
-
1
2
⋅(
-
1
4
)
=
1
2(
-2u
+4
)
+
1
8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
2(
-2u
+4
)
+
1
8
→
0
+
1
8
=
1
8
≈ 0.125
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125