Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 2x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3 s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 11 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 11 2 :
3 11 2 3 2x -2 x
= 3 11 2 3 ( 2x -2 ) 1 2 x

= [ ( 2x -2 ) 3 2 ] 3 11 2

= [ ( 2x -2 ) 3 ] 3 11 2

= ( 2( 11 2 ) -2 ) 3 - ( 23 -2 ) 3

= ( 11 -2 ) 3 - ( 6 -2 ) 3

= ( 9 ) 3 - ( 4 ) 3

= 3 3 - 2 3

= 27 - 8

= 19

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 11 2 zusammen:
B = 3 + 19 = 22

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 2x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 56 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 2 e 2x -3 x

= [ e 2x -3 ] 2 5

= e 25 -3 - e 22 -3

= e 10 -3 - e 4 -3

= e 7 - e 1

= e 7 - e


≈ 1093,915
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 56 + e 7 - e ≈ 1149.91

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u 4x x = 94,5

Lösung einblenden
3 u 4x x

= [ 2 x 2 ] 3 u

= 2 u 2 -2 3 2

= 2 u 2 -29

= 2 u 2 -18

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 94,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 -18 = 94,5 | +18
2 u 2 = 112,5 |:2
u 2 = 56,25 | 2
u1 = - 56,25 = -7,5
u2 = 56,25 = 7,5

Da u= -7,5 < 3 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -1 1 3 5 ( 2x -1 ) 2 x
= 1 2 1 3 5 ( 2x -1 ) -2 x

= 1 2 [ - 5 2 ( 2x -1 ) -1 ] 1 3

= 1 2 [ - 5 2( 2x -1 ) ] 1 3

= 1 2 ( - 5 2( 23 -1 ) + 5 2( 21 -1 ) )

= 1 2 ( - 5 2( 6 -1 ) + 5 2( 2 -1 ) )

= 1 2 ( - 5 2 5 + 5 2 )

= 1 2 ( - 5 2 ( 1 5 ) + 5 2 1 )

= 1 2 ( - 1 2 + 5 2 )

= 1 2 ( -0,5 +2,5 )

= 1 2 · 2

= 1

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -2x +4 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 3 ( -2x +4 ) 2 x
= 4 u -3 ( -2x +4 ) -2 x

= [ - 3 2 ( -2x +4 ) -1 ] 4 u

= [ - 3 2( -2x +4 ) ] 4 u

= - 3 2( -2u +4 ) + 3 2( -24 +4 )

= - 3 2( -2u +4 ) + 3 2( -8 +4 )

= - 3 2( -2u +4 ) + 3 2 ( -4 )

= - 3 2( -2u +4 ) + 3 2 ( - 1 4 )

= - 3 2( -2u +4 ) - 3 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 2( -2u +4 ) - 3 8 0 - 3 8 = - 3 8 ≈ -0.375

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375