Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 2x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 5 e 2x -5 x

= [ 5 2 e 2x -5 ] 2 5

= 5 2 e 25 -5 - 5 2 e 22 -5

= 5 2 e 10 -5 - 5 2 e 4 -5

= 5 2 e 5 - 5 2 e -1


≈ 370,113
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 3 + 5 2 e 5 - 5 2 e -1 ≈ 373.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 5 e x -1 x

= [ 5 e x -1 ] 1 4

= 5 e 4 -1 -5 e 1 -1

= 5 e 3 -5 e 0

= 5 e 3 -5


≈ 95,428
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 76 + 5 e 3 -5 ≈ 171.43

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 3,5 e 0,7x -0,5 x = 7

Lösung einblenden
0 u 3,5 e 0,7x -0,5 x

= [ 5 e 0,7x -0,5 ] 0 u

= 5 e 0,7u -0,5 -5 e 0,70 -0,5

= 5 e 0,7u -0,5 -5 e 0 -0,5

= 5 e 0,7u -0,5 -5 e -0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 e 0,7u -0,5 -5 e -0,5 = 7 | +5 e -0,5
5 e 0,7u -0,5 = 5 e -0,5 +7
5 e 0,7u -0,5 = 10,0327 |:5
e 0,7u -0,5 = 2,0065 |ln(⋅)
0,7u -0,5 = ln( 2,0065 )
0,7u -0,5 = 0,6964 | +0,5
0,7u = 1,1964 |:0,7
u = 1,7091

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -3 ) 2 +3x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 +0 0 5 ( 4 ( x -3 ) 2 +3x ) x

= 1 5 [ 4 3 ( x -3 ) 3 + 3 2 x 2 ] 0 5

= 1 5 ( 4 3 ( 5 -3 ) 3 + 3 2 5 2 - ( 4 3 ( 0 -3 ) 3 + 3 2 0 2 ))

= 1 5 ( 4 3 2 3 + 3 2 25 - ( 4 3 ( -3 ) 3 + 3 2 0 ))

= 1 5 ( 4 3 8 + 75 2 - ( 4 3 ( -27 ) +0))

= 1 5 ( 32 3 + 75 2 - ( -36 +0))

= 1 5 ( 64 6 + 225 6 +36 )

= 1 5 ( 289 6 +36 )

= 1 5 ( 289 6 + 216 6 )

= 1 5 · 505 6

= 101 6


≈ 16,833

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( 3x -6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 1 ( 3x -6 ) 3 x
= 4 u - ( 3x -6 ) -3 x

= [ 1 6 ( 3x -6 ) -2 ] 4 u

= [ 1 6 ( 3x -6 ) 2 ] 4 u

= 1 6 ( 3u -6 ) 2 - 1 6 ( 34 -6 ) 2

= 1 6 ( 3u -6 ) 2 - 1 6 ( 12 -6 ) 2

= 1 6 ( 3u -6 ) 2 - 1 6 6 2

= 1 6 ( 3u -6 ) 2 - 1 6 ( 1 36 )

= 1 6 ( 3u -6 ) 2 - 1 216

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 6 ( 3u -6 ) 2 - 1 216 0 - 1 216 = - 1 216 ≈ -0.005

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.005