Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 8 + = ≈ 8.22
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
≈ 1,909
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 6 +
≈ 7.91
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
46
-8
=
-5,75
u2 =
-1
-
2209
-8
=
-1
-47
-8
=
-48
-8
=
6
Da u=
-5,75
< 1 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -2 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
6
-3
∫
3
6
3
(
2x
-2
)
2
ⅆ
x
=
1
3
∫
3
6
3
(
2x
-2
)
-2
ⅆ
x
=
1
3
[
-
3
2
(
2x
-2
)
-1
]
3
6
=
1
3
[
-
3
2(
2x
-2
)
]
3
6
=
1
3
(
-
3
2(
2⋅6
-2
)
+
3
2(
2⋅3
-2
)
)
=
1
3
(
-
3
2(
12
-2
)
+
3
2(
6
-2
)
)
=
1
3
(
-
3
2⋅
10
+
3
2⋅
4
)
=
1
3
(
-
3
2
⋅(
1
10
)
+
3
2
⋅(
1
4
)
)
=
1
3
(
-
3
20
+
3
8
)
=
1
3
(
-
6
40
+
15
40
)
=
1
3
·
9
40
=
3
40
= 0,075
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 2,5 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
2,5
-
1
2x
-4
ⅆ
x
=
∫
u
2,5
-
(
2x
-4
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-
(
2x
-4
)
1
2
]
u
2,5
=
[
-
2x
-4
]
u
2,5
=
-
2⋅2,5
-4
+
2u
-4
=
-
5
-4
+
2u
-4
=
-
1
+
2u
-4
=
-1
+
2u
-4
=
2u
-4
-1
Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) =
2u
-4
-1
→
0
-1
=
-1
≈ -1
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1