Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 13,556
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 18 + = ≈ 31.56
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 130,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 3 + = ≈ 133.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
30,25
|
=
-5,5
|
| u2 |
= |
30,25
|
=
5,5
|
Da u=
-5,5
< 2 ist u=
5,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5⋅ cos( 2x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π+0
∫
0
3
2
π
5⋅
cos(
2x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
3
π
[
5
2
⋅
sin(
2x
+
3
2
π)
]
0
3
2
π
=
2
3
π
·
(
5
2
⋅
sin(
2⋅(
3
2
π )
+
3
2
π)
-
5
2
⋅
sin(
2⋅( 0 )
+
3
2
π)
)
=
2
3
π
·
(
5
2
⋅
sin(
9
2
π)
-
5
2
⋅
sin(
3
2
π)
)
=
2
3
π
·
(
5
2
⋅1
-
5
2
⋅( -1 )
)
=
2
3
π
·
(
5
2
+
5
2
)
=
2
3
π
·
(
2,5
+2,5
)
=
2
3
π
·
5
=
10
3
π
≈ 1,061
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( 2x -2 ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
2
-
3
(
2x
-2
)
2
ⅆ
x
=
∫
u
2
-3
(
2x
-2
)
-2
ⅆ
x
=
[
3
2
(
2x
-2
)
-1
]
u
2
=
[
3
2(
2x
-2
)
]
u
2
=
3
2(
2⋅2
-2
)
-
3
2(
2u
-2
)
=
3
2(
4
-2
)
-
3
2(
2u
-2
)
=
3
2⋅
2
-
3
2(
2u
-2
)
=
3
2
⋅(
1
2
)
-
3
2(
2u
-2
)
=
3
4
-
3
2(
2u
-2
)
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
-
3
2(
2u
-2
)
+
3
4
→
-∞