Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 2} - \frac{3}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2} e^{2}$

≈ 594,06

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 64 + $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2} e^{2}$ ≈ 658.06

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $10$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

\frac{29}{2}

:

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 5 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 5 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 64$

= $\frac{625}{3} - \frac{320}{3}$

= $\frac{305}{3}$

≈ 101,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

\frac{29}{2}

zusammen:

B = 12 + $\frac{305}{3}$ = $\frac{341}{3}$ ≈ 113.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,5 e^{0,5 x - 0,7} ⅆ x$ = $14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,5 e^{0,5 x - 0,7} ⅆ x

= ${[5 e^{0,5 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,5 u - 0,7} - 5 e^{0,5 \cdot 0 - 0,7}$

= $5 e^{0,5 u - 0,7} - 5 e^{0 - 0,7}$

= $5 e^{0,5 u - 0,7} - 5 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,5 u - 0,7} - 5 e^{- 0,7}$	=	$14$	\| $+ 5 e^{- 0,7}$
$5 e^{0,5 u - 0,7}$	=	$5 e^{- 0,7} + 14$
$5 e^{0,5 u - 0,7}$	=	$16,4829$	\|: $5$
$e^{0,5 u - 0,7}$	=	$3,2966$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,7$	=	$\ln (3,2966)$

$0,5 u - 0,7$	=	$1,1929$	\| $+ 0,7$
$0,5 u$	=	$1,8929$	\|: $0,5$
$u$	=	$3,7858$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(2 x - 5)}^{3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 {(2 x - 5)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{4} {(2 x - 5)}^{4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot {(2 \cdot 3 - 5)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(2 \cdot 0 - 5)}^{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot {(6 - 5)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(0 - 5)}^{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(- 5)}^{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 625)$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} - \frac{625}{4})$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 156)$

= $- 52$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} \frac{3}{{(x)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} \frac{3}{x^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} 3 x^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} x^{- 2}]}_{u}^{3}$

= ${[- \frac{3}{2 x^{2}}]}_{u}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{3}{2 u^{2}}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{3}{2 u^{2}}$

= $- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 u^{2}}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 u^{2}}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale