Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 6 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 4 - 1} - 3 e^{2 \cdot 2 - 1}$

= $3 e^{8 - 1} - 3 e^{4 - 1}$

= $3 e^{7} - 3 e^{3}$

≈ 3229,643

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 74 + $3 e^{7} - 3 e^{3}$ ≈ 3303.64

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 67 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{5 - 1} - 3 e^{2 - 1}$

= $3 e^{4} - 3 e^{1}$

= $3 e^{4} - 3 e$

≈ 155,64

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 67 + $3 e^{4} - 3 e$ ≈ 222.64

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 6 x + 5) ⅆ x$ = $- 17,25$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 6 x + 5) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} + 5 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 5 u - (- 3 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2)$

= $- 3 u^{2} + 5 u - (- 3 \cdot 4 + 10)$

= $- 3 u^{2} + 5 u - (- 12 + 10)$

= $- 3 u^{2} + 5 u - 1 \cdot (- 2)$

= $- 3 u^{2} + 5 u + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 17,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} + 5 u + 2

=

- 17,25

|

+ 17,25

$- 3 u^{2} + 5 u + 19,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 19,25}}{2 \cdot (- 3)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 231}}{- 6}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{256}}{- 6}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 5+16}{- 6}$ = $\frac{11}{- 6}$ = $- \frac{11}{6}$ ≈ -1.83

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 5-16}{- 6}$ = $\frac{- 21}{- 6}$ = $3,5$

Da u= $- \frac{11}{6}$ < 2 ist u= $3,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 4 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- 2 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- 2 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 2 \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + 2 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 2)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 x - 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 u - 2} + \frac{1}{2 \cdot 2 - 2}$

= $- \frac{1}{2 u - 2} + \frac{1}{4 - 2}$

= $- \frac{1}{2 u - 2} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 u - 2} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale