Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{2 \cdot 5 - 4} - e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $e^{10 - 4} - e^{4 - 4}$

= $e^{6} - e^{0}$

= $e^{6} - 1$

≈ 402,429

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 13 + $e^{6} - 1$ ≈ 415.43

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 3} - \frac{1}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ 6,679

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 28 + $\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} e^{- 3}$ ≈ 34.68

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,4 x + 0,3} ⅆ x$ = $3$

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\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,4 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,4 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,4 u + 0,3} + 9 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,3}$

= $- 9 e^{- 0,4 u + 0,3} + 9 e^{0 + 0,3}$

= $- 9 e^{- 0,4 u + 0,3} + 9 e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,4 u + 0,3} + 9 e^{0,3}$	=	$3$	\| $- 9 e^{0,3}$
$- 9 e^{- 0,4 u + 0,3}$	=	$- 9 e^{0,3} + 3$
$- 9 e^{- 0,4 u + 0,3}$	=	$- 9,1487$	\|: $- 9$
$e^{- 0,4 u + 0,3}$	=	$1,0165$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,3$	=	$\ln (1,0165)$

$- 0,4 u + 0,3$	=	$0,0164$	\| $- 0,3$
$- 0,4 u$	=	$- 0,2836$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$0,709$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $11$ und Minute $27$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{27 - 11}

\int_{11}^{27} \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{16}

\int_{11}^{27} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{27}$

= $\frac{1}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{27}$

$=$ $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

= $\frac{1}{16} (\frac{250}{3} - 18)$

= $\frac{1}{16} (\frac{250}{3} - \frac{54}{3})$

= $\frac{1}{16} \cdot \frac{196}{3}$

= $\frac{49}{12}$

≈ 4,083

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(2 x - 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} - \frac{1}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} - {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{u}^{3}$

= ${[\frac{1}{4 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{u}^{3}$

$=$ $\frac{1}{4 {(2 \cdot 3 - 2)}^{2}} - \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(6 - 2)}^{2}} - \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 \cdot 4^{2}} - \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{16}) - \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{64} - \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}} + \frac{1}{64}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale