Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 2x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5 2 s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 2 und 5:
5 2 5 3 2x -1 x
= 5 2 5 3 ( 2x -1 ) 1 2 x

= [ ( 2x -1 ) 3 2 ] 5 2 5

= [ ( 2x -1 ) 3 ] 5 2 5

= ( 25 -1 ) 3 - ( 2( 5 2 ) -1 ) 3

= ( 10 -1 ) 3 - ( 5 -1 ) 3

= ( 9 ) 3 - ( 4 ) 3

= 3 3 - 2 3

= 27 - 8

= 19

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 2 und der Änderung zwischen 5 2 und 5 zusammen:
B = 4 + 19 = 23

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 18 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 27 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 18 und 27:
18 27 6 x -2 x
= 18 27 6 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -2 ) 3 2 ] 18 27

= [ 4 ( x -2 ) 3 ] 18 27

= 4 ( 27 -2 ) 3 -4 ( 18 -2 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 16 ) 3

= 4 5 3 -4 4 3

= 4125 -464

= 500 -256

= 244

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 18 und der Änderung zwischen 18 und 27 zusammen:
B = 20 + 244 = 264

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u 4x x = 142,5

Lösung einblenden
1 u 4x x

= [ 2 x 2 ] 1 u

= 2 u 2 -2 1 2

= 2 u 2 -21

= 2 u 2 -2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 142,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 -2 = 142,5 | +2
2 u 2 = 144,5 |:2
u 2 = 72,25 | 2
u1 = - 72,25 = -8,5
u2 = 72,25 = 8,5

Da u= -8,5 < 1 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 3x -5 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 2 ( 3x -5 ) 2 x

= 1 3 [ 2 9 ( 3x -5 ) 3 ] 0 3

= 1 3 ( 2 9 ( 33 -5 ) 3 - 2 9 ( 30 -5 ) 3 )

= 1 3 ( 2 9 ( 9 -5 ) 3 - 2 9 ( 0 -5 ) 3 )

= 1 3 ( 2 9 4 3 - 2 9 ( -5 ) 3 )

= 1 3 ( 2 9 64 - 2 9 ( -125 ) )

= 1 3 ( 128 9 + 250 9 )

= 1 3 · 42

= 14

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( 2x ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 3 - 3 ( 2x ) 2 x
= u 3 - 3 4 x 2 x
= u 3 - 3 4 x -2 x

= [ 3 4 x -1 ] u 3

= [ 3 4 x ] u 3

= 3 4 3 - 3 4 u

= 3 4 ( 1 3 ) - 3 4 u

= 1 4 - 3 4 u

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = 1 4 - 3 4 u -