Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 40 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 1} - \frac{3}{2} e^{4 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e^{3}$

≈ 192,491

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 40 + $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e^{3}$ ≈ 232.49

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{x - 3} ⅆ x

= ${[e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{2 - 3} - e^{1 - 3}$

= $e^{- 1} - e^{- 2}$

≈ 0,233

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 19 + $e^{- 1} - e^{- 2}$ ≈ 19.23

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 2 x ⅆ x$ = $- 11,25$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 2 x ⅆ x

= ${[- x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 3^{2}$

= $- u^{2} + 9$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 11,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- u^{2} + 9$	=	$- 11,25$	\| $- 9$
$- u^{2}$	=	$- 20,25$	\|: $(- 1)$
$u^{2}$	=	$20,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{20,25}$	= $- 4,5$
u₂	=	$\sqrt{20,25}$	= $4,5$

Da u= $- 4,5$ < 3 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $9$ und Minute $\frac{27}{2}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{27}{2} - 9}

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\frac{2}{9}

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{9}$ ${[2 {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= $\frac{2}{9}$ ${[2 {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $\frac{2}{9} (2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3})$

= $\frac{2}{9} (2 \cdot 125 - 2 \cdot 64)$

= $\frac{2}{9} (250 - 128)$

= $\frac{2}{9} \cdot 122$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $7$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{7} \frac{2}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{7} 2 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{7}$

= ${[4 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{7}$

$=$ $4 \sqrt{7 - 3} - 4 \sqrt{u - 3}$

= $4 \sqrt{4} - 4 \sqrt{u - 3}$

= $4 \cdot 2 - 4 \sqrt{u - 3}$

= $8 - 4 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u - 3} + 8$ → $0 + 8$ = $8$ ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale