= ${\left[4e^{x-3}\right]}_1^2$

$=$ $4e^{2-3}-4e^{1-3}$

= $4e^{-1}-4e^{-2}$

= ${\left[2e^{2x-2}\right]}_1^2$

$=$ $2e^{2\cdot 2-2}-2e^{2\cdot 1-2}$

= $2e^{4-2}-2e^{2-2}$

= $2e^2-2e^0$

= $2e^2-2$

= ${\left[-8e^{-\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,9}}\right]}_0^u$

$=$ $-8e^{-\mathrm{0,8}u+\mathrm{0,9}}+8e^{-\mathrm{0,8}\cdot 0+\mathrm{0,9}}$

= $-8e^{-\mathrm{0,8}u+\mathrm{0,9}}+8e^{0+\mathrm{0,9}}$

= $-8e^{-\mathrm{0,8}u+\mathrm{0,9}}+8e^{\mathrm{0,9}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{10}{9}{\left(3x-7\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{10}{9}{\left(\sqrt{3x-7}\right)}^3\right]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{1}{3}\left(\frac{10}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{32}{3}\right)-7}\right)}^3-\frac{10}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{23}{3}\right)-7}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{10}{9}{\left(\sqrt{32-7}\right)}^3-\frac{10}{9}{\left(\sqrt{23-7}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{10}{9}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{10}{9}{\left(\sqrt{16}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{10}{9}\cdot 5^3-\frac{10}{9}\cdot 4^3\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{10}{9}\cdot 125-\frac{10}{9}\cdot 64\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{1250}{9}-\frac{640}{9}\right)$

= $\frac{1}{3}·\frac{610}{9}$

= $\frac{610}{27}$

= ${\left[\frac{3}{2}{\left(-x+2\right)}^{-2}\right]}_3^u$

= ${\left[\frac{3}{2{\left(-x+2\right)}^2}\right]}_3^u$

$=$ $\frac{3}{2{\left(-u+2\right)}^2}-\frac{3}{2{\left(-3+2\right)}^2}$

= $\frac{3}{2{\left(-u+2\right)}^2}-\frac{3}{2{\left(-1\right)}^2}$

= $\frac{3}{2{\left(-u+2\right)}^2}-\frac{3}{2}\cdot 1$

= $\frac{3}{2{\left(-u+2\right)}^2}-\frac{3}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2{\left(-u+2\right)}^2}-\frac{3}{2}$ → $0-\frac{3}{2}$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5