Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 2)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{5}{{(2 x - 2)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 5 {(2 x - 2)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} {(2 x - 2)}^{- 3}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{5}{6 {(2 x - 2)}^{3}}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{6 {(2 \cdot 4 - 2)}^{3}} + \frac{5}{6 {(2 \cdot 2 - 2)}^{3}}$

= $- \frac{5}{6 {(8 - 2)}^{3}} + \frac{5}{6 {(4 - 2)}^{3}}$

= $- \frac{5}{6 \cdot 6^{3}} + \frac{5}{6 \cdot 2^{3}}$

= $- \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{216}) + \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{8})$

= $- \frac{5}{1296} + \frac{5}{48}$

= $- \frac{5}{1296} + \frac{135}{1296}$

= $\frac{65}{648}$

≈ 0,1

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 19 + $\frac{65}{648}$ = $\frac{12377}{648}$ ≈ 19.1

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{5}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 5 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{5}{2 (2 x - 1)}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{2 (2 \cdot 4 - 1)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 2 - 1)}$

= $- \frac{5}{2 (8 - 1)} + \frac{5}{2 (4 - 1)}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 7} + \frac{5}{2 \cdot 3}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{7}) + \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{5}{14} + \frac{5}{6}$

= $- \frac{15}{42} + \frac{35}{42}$

= $\frac{10}{21}$

≈ 0,476

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 14 + $\frac{10}{21}$ = $\frac{304}{21}$ ≈ 14.48

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,6 x - 0,6} ⅆ x$ = $16$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,6 x - 0,6} ⅆ x

= ${[3 e^{0,6 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,6 u - 0,6} - 3 e^{0,6 \cdot 0 - 0,6}$

= $3 e^{0,6 u - 0,6} - 3 e^{0 - 0,6}$

= $3 e^{0,6 u - 0,6} - 3 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,6 u - 0,6} - 3 e^{- 0,6}$	=	$16$	\| $+ 3 e^{- 0,6}$
$3 e^{0,6 u - 0,6}$	=	$3 e^{- 0,6} + 16$
$3 e^{0,6 u - 0,6}$	=	$17,6464$	\|: $3$
$e^{0,6 u - 0,6}$	=	$5,8821$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,6$	=	$\ln (5,8821)$

$0,6 u - 0,6$	=	$1,7719$	\| $+ 0,6$
$0,6 u$	=	$2,3719$	\|: $0,6$
$u$	=	$3,9532$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 4}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} \frac{1}{3 x - 4} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{2}^{5} {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 4 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 5 - 4 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 4 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \ln (| 15 - 4 |) - \frac{1}{3} \ln (| 6 - 4 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \ln (11) - \frac{1}{3} \ln (| 6 - 4 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \ln (11) - \frac{1}{3} \ln (2))$

≈ 0,189

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(\sqrt{2 x - 5})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{21}{2}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{21}{2}}^{u} - \frac{2}{{(\sqrt{2 x - 5})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{\frac{21}{2}}^{u} - 2 {(2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{u}$

= ${[\frac{2}{\sqrt{2 x - 5}}]}_{\frac{21}{2}}^{u}$

$=$ $\frac{2}{\sqrt{2 u - 5}} - \frac{2}{\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5}}$

= $\frac{2}{\sqrt{2 u - 5}} - \frac{2}{\sqrt{21 - 5}}$

= $\frac{2}{\sqrt{2 u - 5}} - \frac{2}{\sqrt{16}}$

= $\frac{2}{\sqrt{2 u - 5}} - \frac{2}{4}$

= $\frac{2}{\sqrt{2 u - 5}} - 2 \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{2}{\sqrt{2 u - 5}} - \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{\sqrt{2 u - 5}} - \frac{1}{2}$ → $0 - \frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale