Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 35 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 1} - \frac{3}{2} e^{4 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e^{3}$

≈ 192,491

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 35 + $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e^{3}$ ≈ 227.49

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 6 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 3)}^{- 1}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{6}{x - 3}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{6}{7 - 3} + \frac{6}{4 - 3}$

= $- \frac{6}{4} + \frac{6}{1}$

= $- 6 \cdot (\frac{1}{4}) + 6 \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} + 6$

= $- 1,5 + 6$

= $4,5$

= 4,5

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 10 + $\frac{9}{2}$ = $\frac{29}{2}$ ≈ 14.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 4 x + 1) ⅆ x$ = $- 99$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 4 x + 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + u - (- 2 \cdot 2^{2} + 2)$

= $- 2 u^{2} + u - (- 2 \cdot 4 + 2)$

= $- 2 u^{2} + u - (- 8 + 2)$

= $- 2 u^{2} + u - 1 \cdot (- 6)$

= $- 2 u^{2} + u + 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 99$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + u + 6

=

- 99

|

+ 99

$- 2 u^{2} + u + 105$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 105}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 840}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{841}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{841}}{- 4}$ = $\frac{- 1+29}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{841}}{- 4}$ = $\frac{- 1-29}{- 4}$ = $\frac{- 30}{- 4}$ = $7,5$

Da u= $- 7$ < 2 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 6}$ zwischen $5$ und $\frac{31}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{31}{3} - 5}

\int_{5}^{\frac{31}{3}} 3 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\frac{3}{16}

\int_{5}^{\frac{31}{3}} 3 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{15 - 6})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{3} - 18)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{3} - \frac{54}{3})$

= $\frac{3}{16} \cdot \frac{196}{3}$

= $\frac{49}{4}$

= 12,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $18$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{18} - \frac{2}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{18} - 2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{18}$

= ${[- 4 \sqrt{x - 2}]}_{u}^{18}$

$=$ $- 4 \sqrt{18 - 2} + 4 \sqrt{u - 2}$

= $- 4 \sqrt{16} + 4 \sqrt{u - 2}$

= $- 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{u - 2}$

= $- 16 + 4 \sqrt{u - 2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $4 \sqrt{u - 2} - 16$ → $0 - 16$ = $- 16$ ≈ -16

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 16

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale