Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{2 \cdot 2 - 4} - e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $e^{4 - 4} - e^{2 - 4}$

= $e^{0} - e^{- 2}$

= $1 - e^{- 2}$

≈ 0,865

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 14 + $- e^{- 2} + 1$ ≈ 14.86

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{6}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 6 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| 3 x - 3 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $2 \ln (| 3 \cdot 5 - 3 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 2 - 3 |)$

= $2 \ln (| 15 - 3 |) - 2 \ln (| 6 - 3 |)$

= $2 \ln (12) - 2 \ln (| 6 - 3 |)$

= $2 \ln (12) - 2 \ln (3)$

≈ 2,773

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 14 + $2 \ln (| 12 |) - 2 \ln (| 3 |)$ ≈ 16.77

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3 e^{0,5 x - 0,8} ⅆ x$ = $10$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3 e^{0,5 x - 0,8} ⅆ x

= ${[6 e^{0,5 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,5 u - 0,8} - 6 e^{0,5 \cdot 0 - 0,8}$

= $6 e^{0,5 u - 0,8} - 6 e^{0 - 0,8}$

= $6 e^{0,5 u - 0,8} - 6 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $10$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,5 u - 0,8} - 6 e^{- 0,8}$	=	$10$	\| $+ 6 e^{- 0,8}$
$6 e^{0,5 u - 0,8}$	=	$6 e^{- 0,8} + 10$
$6 e^{0,5 u - 0,8}$	=	$12,696$	\|: $6$
$e^{0,5 u - 0,8}$	=	$2,116$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,8$	=	$\ln (2,116)$

$0,5 u - 0,8$	=	$0,7495$	\| $+ 0,8$
$0,5 u$	=	$1,5495$	\|: $0,5$
$u$	=	$3,099$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 4}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{13}{3}$ und Minute $\frac{29}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{29}{3} - \frac{13}{3}}

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} 3 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\frac{3}{16}

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} 3 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{13 - 4})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{3} - 18)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{3} - \frac{54}{3})$

= $\frac{3}{16} \cdot \frac{196}{3}$

= $\frac{49}{4}$

= 12,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 6)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{3}{{(3 x - 6)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 3 {(3 x - 6)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(3 x - 6)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(3 x - 6)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{2 {(3 \cdot 4 - 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{2 {(12 - 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 6^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{36})$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{72}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{72}$ → $0 + \frac{1}{72}$ = $\frac{1}{72}$ ≈ 0.014

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.014

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale