Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 4 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $4 e^{4 - 1} - 4 e^{2 - 1}$

= $4 e^{3} - 4 e^{1}$

= $4 e^{3} - 4 e$

≈ 69,469

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 38 + $4 e^{3} - 4 e$ ≈ 107.47

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{7}{2}$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $14$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{7}{2}

und

14

:

\int_{\frac{7}{2}}^{14} 5 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{2}}^{14} 5 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{14}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{2}}^{14}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 8$

= $\frac{625}{3} - \frac{40}{3}$

= $195$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{7}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{7}{2}

und

14

zusammen:

B = 3 + $195$ = $198$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 8 x - 5) ⅆ x$ = $- 442,5$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 8 x - 5) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} - 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} - 5 u - (- 4 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3)$

= $- 4 u^{2} - 5 u - (- 4 \cdot 9 - 15)$

= $- 4 u^{2} - 5 u - (- 36 - 15)$

= $- 4 u^{2} - 5 u - 1 \cdot (- 51)$

= $- 4 u^{2} - 5 u + 51$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 442,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} - 5 u + 51

=

- 442,5

|

+ 442,5

$- 4 u^{2} - 5 u + 493,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 493,5}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 7 896}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{7 921}}{- 8}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{7 921}}{- 8}$ = $\frac{5+89}{- 8}$ = $\frac{94}{- 8}$ = $- 11,75$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{7 921}}{- 8}$ = $\frac{5-89}{- 8}$ = $\frac{- 84}{- 8}$ = $10,5$

Da u= $- 11,75$ < 3 ist u= $10,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 2)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{5}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} 5 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{5}{2 (2 x - 2)}]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2 (2 \cdot 5 - 2)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 3 - 2)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2 (10 - 2)} + \frac{5}{2 (6 - 2)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2 \cdot 8} + \frac{5}{2 \cdot 4})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{4}))$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{16} + \frac{5}{8})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{16} + \frac{10}{16})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{16}$

= $\frac{5}{32}$

≈ 0,156

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} \frac{2}{{(2 x)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} \frac{1}{4 x^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} \frac{1}{4} x^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{8} x^{- 2}]}_{u}^{2}$

= ${[- \frac{1}{8 x^{2}}]}_{u}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{8 \cdot 2^{2}} + \frac{1}{8 u^{2}}$

= $- \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{1}{8 u^{2}}$

= $- \frac{1}{32} + \frac{1}{8 u^{2}}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{32} + \frac{1}{8 u^{2}}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale