Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 54 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 4 e 2x -1 x

= [ 2 e 2x -1 ] 1 3

= 2 e 23 -1 -2 e 21 -1

= 2 e 6 -1 -2 e 2 -1

= 2 e 5 -2 e 1

= 2 e 5 -2e


≈ 291,39
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 54 + 2 e 5 -2e ≈ 345.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 3x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 32 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 2 e 3x -3 x

= [ 2 3 e 3x -3 ] 2 3

= 2 3 e 33 -3 - 2 3 e 32 -3

= 2 3 e 9 -3 - 2 3 e 6 -3

= 2 3 e 6 - 2 3 e 3


≈ 255,562
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 32 + 2 3 e 6 - 2 3 e 3 ≈ 287.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -8x -1 ) x = -1,5

Lösung einblenden
0 u ( -8x -1 ) x

= [ -4 x 2 - x ] 0 u

= -4 u 2 - u - ( -4 0 2 - 0 )

= -4 u 2 - u - ( -40 +0)

= -4 u 2 - u - (0+0)

= -4 u 2 - u +0

= -4 u 2 - u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -1,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 - u = -1,5 | +1,5

-4 u 2 - u +1,5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · ( -4 ) · 1,5 2( -4 )

u1,2 = +1 ± 1 +24 -8

u1,2 = +1 ± 25 -8

u1 = 1 + 25 -8 = 1 +5 -8 = 6 -8 = -0,75

u2 = 1 - 25 -8 = 1 -5 -8 = -4 -8 = 0,5

Da u= -0,75 < 0 ist u= 0,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 6 -4 4 6 2 ( x -3 ) 2 x
= 1 2 4 6 2 ( x -3 ) -2 x

= 1 2 [ -2 ( x -3 ) -1 ] 4 6

= 1 2 [ - 2 x -3 ] 4 6

= 1 2 ( - 2 6 -3 + 2 4 -3 )

= 1 2 ( - 2 3 + 2 1 )

= 1 2 ( -2( 1 3 ) +21 )

= 1 2 ( - 2 3 +2 )

= 1 2 ( - 2 3 + 6 3 )

= 1 2 · 4 3

= 2 3


≈ 0,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 3x -5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 3 3x -5 x
= 2 u 3 ( 3x -5 ) -1 x

= [ ln( | 3x -5 | ) ] 2 u

= ln( | 3( u ) -5 | ) - ln( | 32 -5 | )

= ln( | 3u -5 | ) - ln( | 6 -5 | )

= ln( | 3u -5 | ) - ln( 1 )

= ln( | 3u -5 | ) +0

= ln( | 3x -5 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( | 3x -5 | )