Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 4)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{5}{{(3 x - 4)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 5 {(3 x - 4)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{9} {(3 x - 4)}^{- 3}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{5}{9 {(3 x - 4)}^{3}}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{5}{9 {(3 \cdot 6 - 4)}^{3}} + \frac{5}{9 {(3 \cdot 3 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{5}{9 {(18 - 4)}^{3}} + \frac{5}{9 {(9 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{5}{9 \cdot 14^{3}} + \frac{5}{9 \cdot 5^{3}}$

= $- \frac{5}{9} \cdot (\frac{1}{2744}) + \frac{5}{9} \cdot (\frac{1}{125})$

= $- \frac{5}{24696} + \frac{1}{225}$

= $- \frac{125}{617 400} + \frac{2744}{617 400}$

= $\frac{291}{68600}$

≈ 0,004

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 11 + $\frac{291}{68600}$ = $\frac{754.891}{68600}$ ≈ 11

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{3 - 2} - e^{2 - 2}$

= $e^{1} - e^{0}$

= $e - 1$

≈ 1,718

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 3 + $- 1 + e$ ≈ 4.72

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,5 e^{- 0,3 x + 0,6} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,5 e^{- 0,3 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,3 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,3 u + 0,6} + 5 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,6}$

= $- 5 e^{- 0,3 u + 0,6} + 5 e^{0 + 0,6}$

= $- 5 e^{- 0,3 u + 0,6} + 5 e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,3 u + 0,6} + 5 e^{0,6}$	=	$3$	\| $- 5 e^{0,6}$
$- 5 e^{- 0,3 u + 0,6}$	=	$- 5 e^{0,6} + 3$
$- 5 e^{- 0,3 u + 0,6}$	=	$- 6,1106$	\|: $- 5$
$e^{- 0,3 u + 0,6}$	=	$1,2221$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,6$	=	$\ln (1,2221)$

$- 0,3 u + 0,6$	=	$0,2006$	\| $- 0,6$
$- 0,3 u$	=	$- 0,3994$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$1,3313$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3 π}$

≈ 0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{- 2 x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{1}{2} e^{- 4 + 1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{1}{2} e^{- 3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{1}{2} e^{- 3}$ → $0 + \frac{1}{2} e^{- 3}$ = $\frac{1}{2} e^{- 3}$ ≈ 0.025

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.025

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale