Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{3}$ s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} 5 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} 5 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 27$

= $\frac{1250}{9} - 30$

= $\frac{1250}{9} - \frac{270}{9}$

= $\frac{980}{9}$

≈ 108,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 9 + $\frac{980}{9}$ = $\frac{1061}{9}$ ≈ 117.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 3} - 2 e^{2 - 3}$

= $2 e^{0} - 2 e^{- 1}$

= $2 - 2 e^{- 1}$

≈ 1,264

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 75 + $- 2 e^{- 1} + 2$ ≈ 76.26

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} 8 x ⅆ x$ = $345$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} 8 x ⅆ x

= ${[4 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 4 \cdot 2^{2}$

= $4 u^{2} - 4 \cdot 4$

= $4 u^{2} - 16$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $345$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 u^{2} - 16$	=	$345$	\| $+ 16$
$4 u^{2}$	=	$361$	\|: $4$
$u^{2}$	=	$\frac{361}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{\frac{361}{4}}$	= $- \frac{19}{2}$
u₂	=	$\sqrt{\frac{361}{4}}$	= $\frac{19}{2}$

Da u= $- \frac{19}{2}$ < 2 ist u= $\frac{19}{2}$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{19}{2}$ und Minute $14$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{14 - \frac{19}{2}}

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 2 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\frac{2}{9}

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{2}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

$=$ $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64)$

= $\frac{2}{9} (\frac{250}{3} - \frac{128}{3})$

= $\frac{2}{9} \cdot \frac{122}{3}$

= $\frac{244}{27}$

≈ 9,037

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{3}{- 3 x + 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 3 {(- 3 x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| - 3 x + 3 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\ln (| - 3 (u) + 3 |) - \ln (| - 3 \cdot 2 + 3 |)$

= $\ln (| - 3 u + 3 |) - \ln (| - 6 + 3 |)$

= $\ln (| - 3 u + 3 |) - \ln (3)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (3) + \ln (| - 3 x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale