Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 5 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 3} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 3} - \frac{5}{2} e^{0 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e^{- 3}$

≈ 50,089

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 12 + $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e^{- 3}$ ≈ 62.09

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 1} - \frac{3}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ 29,576

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 10 + $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 1}$ ≈ 39.58

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,2 x + 0,2} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,2 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,2 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,2 u + 0,2} + 9 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 9 e^{- 0,2 u + 0,2} + 9 e^{0 + 0,2}$

= $- 9 e^{- 0,2 u + 0,2} + 9 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,2 u + 0,2} + 9 e^{0,2}$	=	$3$	\| $- 9 e^{0,2}$
$- 9 e^{- 0,2 u + 0,2}$	=	$- 9 e^{0,2} + 3$
$- 9 e^{- 0,2 u + 0,2}$	=	$- 7,9926$	\|: $- 9$
$e^{- 0,2 u + 0,2}$	=	$0,8881$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,2$	=	$\ln (0,8881)$

$- 0,2 u + 0,2$	=	$- 0,1187$	\| $- 0,2$
$- 0,2 u$	=	$- 0,3187$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$1,5935$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 6 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- 6 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- 6 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - \frac{3}{2} π) + 6 \cdot \cos (0 - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 6 \cdot \cos (0) + 6 \cdot \cos (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 6 \cdot 1 + 6 \cdot 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 6 + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 6)$

= $- \frac{4}{π}$

≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- 2 x + 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} 3 e^{- 2 x + 4} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 4}]}_{1}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 4} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 4}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 4} + \frac{3}{2} e^{- 2 + 4}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 4} + \frac{3}{2} e^{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 4} + \frac{3}{2} e^{2}$ → $0 + \frac{3}{2} e^{2}$ = $\frac{3}{2} e^{2}$ ≈ 11.084

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 11.084

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale