= ${\left[\frac{4}{3}{e}^{3x-5}\right]}_1^2$

$=$ $\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 2-5}-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 1-5}$

= $\frac{4}{3}{e}^{6-5}-\frac{4}{3}{e}^{3-5}$

= $\frac{4}{3}{e}^1-\frac{4}{3}{e}^{-2}$

= $\frac{4}{3}e-\frac{4}{3}{e}^{-2}$

= ${\left[\frac{10}{3}{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{19}^{28}$

= ${\left[\frac{10}{3}{\left(\sqrt{x-3}\right)}^3\right]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{10}{3}{\left(\sqrt{28-3}\right)}^3-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3$

= $\frac{10}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{10}{3}\cdot 5^3-\frac{10}{3}\cdot 4^3$

= $\frac{10}{3}\cdot 125-\frac{10}{3}\cdot 64$

= $\frac{1250}{3}-\frac{640}{3}$

= $\frac{610}{3}$

= ${\left[4x^2-4x\right]}_0^u$

$=$ $4u^2-4u-\left(4\cdot 0^2-4\cdot 0\right)$

= $4u^2-4u-\left(4\cdot 0+0\right)$

= $4u^2-4u-\left(0+0\right)$

= $4u^2-4u+0$

= $4u^2-4u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^2-u-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

Da u= $-1$ < 0 ist u= $2$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[e^{x-1}\right]}_1^4$

$=$ $\frac{1}{3}\left(e^{4-1}-e^{1-1}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(e^3-e^0\right)$

= $\frac{1}{3}\left(e^3-1\right)$

= ${\left[2{\left(3x-3\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_{\frac{19}{3}}^u$

= ${\left[2\sqrt{3x-3}\right]}_{\frac{19}{3}}^u$

$=$ $2\sqrt{3u-3}-2\sqrt{3\cdot \left(\frac{19}{3}\right)-3}$

= $2\sqrt{3u-3}-2\sqrt{19-3}$

= $2\sqrt{3u-3}-2\sqrt{16}$

= $2\sqrt{3u-3}-2\cdot 4$

= $2\sqrt{3u-3}-8$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2\sqrt{3u-3}-8$ → $\infty$