Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{17}{2}$ s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $13$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{17}{2}

und

13

:

\int_{\frac{17}{2}}^{13} 5 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{17}{2}}^{13} 5 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{17}{2}}^{13}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{17}{2}}^{13}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{17}{2}) - 1})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 64$

= $\frac{625}{3} - \frac{320}{3}$

= $\frac{305}{3}$

≈ 101,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{17}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{17}{2}

und

13

zusammen:

B = 14 + $\frac{305}{3}$ = $\frac{347}{3}$ ≈ 115.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 58 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 4} - \frac{1}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{2}$

≈ 47,008

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 58 + $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{2}$ ≈ 105.01

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,3 x - 0,3} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,3 x - 0,3} ⅆ x

= ${[6 e^{0,3 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,3 u - 0,3} - 6 e^{0,3 \cdot 0 - 0,3}$

= $6 e^{0,3 u - 0,3} - 6 e^{0 - 0,3}$

= $6 e^{0,3 u - 0,3} - 6 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,3 u - 0,3} - 6 e^{- 0,3}$	=	$6$	\| $+ 6 e^{- 0,3}$
$6 e^{0,3 u - 0,3}$	=	$6 e^{- 0,3} + 6$
$6 e^{0,3 u - 0,3}$	=	$10,4449$	\|: $6$
$e^{0,3 u - 0,3}$	=	$1,7408$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,3$	=	$\ln (1,7408)$

$0,3 u - 0,3$	=	$0,5543$	\| $+ 0,3$
$0,3 u$	=	$0,8543$	\|: $0,3$
$u$	=	$2,8477$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 4}

\int_{4}^{5} \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

1

\int_{4}^{5} 4 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $1$ ${[- 4 {(x - 3)}^{- 1}]}_{4}^{5}$

= $1$ ${[- \frac{4}{x - 3}]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{4}{5 - 3} + \frac{4}{4 - 3}$

= $- \frac{4}{2} + \frac{4}{1}$

= $- 4 \cdot (\frac{1}{2}) + 4 \cdot 1$

= $- 2 + 4$

= $2$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $2,5$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2,5} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2,5} - 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{2,5}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{2,5}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 2,5 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{5 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{1} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 4} - 2$ → $0 - 2$ = $- 2$ ≈ -2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale