= ${\left[\frac{5}{2}{e}^{2x-3}\right]}_0^2$

$=$ $\frac{5}{2}{e}^{2\cdot 2-3}-\frac{5}{2}{e}^{2\cdot 0-3}$

= $\frac{5}{2}{e}^{4-3}-\frac{5}{2}{e}^{0-3}$

= $\frac{5}{2}{e}^1-\frac{5}{2}{e}^{-3}$

= $\frac{5}{2}e-\frac{5}{2}{e}^{-3}$

= ${\left[4{\left(x-2\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{18}^{27}$

= ${\left[4{\left(\sqrt{x-2}\right)}^3\right]}_{18}^{27}$

$=$ $4{\left(\sqrt{27-2}\right)}^3-4{\left(\sqrt{18-2}\right)}^3$

= $4{\left(\sqrt{25}\right)}^3-4{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $4\cdot 5^3-4\cdot 4^3$

= $4\cdot 125-4\cdot 64$

= $500-256$

= $244$

= ${\left[5x^2+3x\right]}_1^u$

$=$ $5u^2+3u-\left(5\cdot 1^2+3\cdot 1\right)$

= $5u^2+3u-\left(5\cdot 1+3\right)$

= $5u^2+3u-\left(5+3\right)$

= $5u^2+3u-1·8$

= $5u^2+3u-8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $\mathrm{30,75}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5u^2+3u-\mathrm{38,75}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·5·\left(-\mathrm{38,75}\right)}}{2\cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+775}}{10}$

u_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{784}}{10}$

u₁ = $\frac{-3+\sqrt{784}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>28</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{25}{10}$ = $\mathrm{2,5}$

u₂ = $\frac{-3-\sqrt{784}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>28</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-31}{10}$ = $-\mathrm{3,1}$

Da u= $-\mathrm{3,1}$ < 1 ist u= $\mathrm{2,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{\pi }$ ${\left[-\cos \left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{\pi }·\left(-\cos \left(\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi \right)+\cos \left(\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(-\cos \left(2\pi \right)+\cos \left(\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(-1-1\right)$

= $\frac{-1-1}{\pi }$

= $\frac{-2}{\pi }$

= $-\frac{2}{\pi }$

= ${\left[{\left(2x-2\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{\mathrm{1,5}}$

= ${\left[\sqrt{2x-2}\right]}_u^{\mathrm{1,5}}$

$=$ $\sqrt{2\cdot \mathrm{1,5}-2}-\sqrt{2u-2}$

= $\sqrt{3-2}-\sqrt{2u-2}$

= $\sqrt{1}-\sqrt{2u-2}$

= $1-\sqrt{2u-2}$

= $-\sqrt{2u-2}+1$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $-\sqrt{2u-2}+1$ → $0+1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1