Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 3 e 2x -5 x

= [ 3 2 e 2x -5 ] 1 2

= 3 2 e 22 -5 - 3 2 e 21 -5

= 3 2 e 4 -5 - 3 2 e 2 -5

= 3 2 e -1 - 3 2 e -3


≈ 0,477
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 25 + 3 2 e -1 - 3 2 e -3 ≈ 25.48

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 17 s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 26 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 17 und 26:
17 26 x -1 x
= 17 26 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= [ 2 3 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 2 3 ( 26 -1 ) 3 - 2 3 ( 17 -1 ) 3

= 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 16 ) 3

= 2 3 5 3 - 2 3 4 3

= 2 3 125 - 2 3 64

= 250 3 - 128 3

= 122 3


≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 17 und der Änderung zwischen 17 und 26 zusammen:
B = 7 + 122 3 = 143 3 ≈ 47.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u -6x x = -180

Lösung einblenden
2 u -6x x

= [ -3 x 2 ] 2 u

= -3 u 2 +3 2 2

= -3 u 2 +34

= -3 u 2 +12

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -180 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-3 u 2 +12 = -180 | -12
-3 u 2 = -192 |: ( -3 )
u 2 = 64 | 2
u1 = - 64 = -8
u2 = 64 = 8

Da u= -8 < 2 ist u= 8 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( x -2 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 5 ( x -2 ) 2 x

= 1 3 [ 5 3 ( x -2 ) 3 ] 0 3

= 1 3 ( 5 3 ( 3 -2 ) 3 - 5 3 ( 0 -2 ) 3 )

= 1 3 ( 5 3 1 3 - 5 3 ( -2 ) 3 )

= 1 3 ( 5 3 1 - 5 3 ( -8 ) )

= 1 3 ( 5 3 + 40 3 )

= 1 3 · 15

= 5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -x +3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 u - 3 ( -x +3 ) 3 x
= 5 u -3 ( -x +3 ) -3 x

= [ - 3 2 ( -x +3 ) -2 ] 5 u

= [ - 3 2 ( -x +3 ) 2 ] 5 u

= - 3 2 ( -u +3 ) 2 + 3 2 ( -5 +3 ) 2

= - 3 2 ( -u +3 ) 2 + 3 2 ( -2 ) 2

= - 3 2 ( -u +3 ) 2 + 3 2 ( 1 4 )

= - 3 2 ( -u +3 ) 2 + 3 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 2 ( -u +3 ) 2 + 3 8 0 + 3 8 = 3 8 ≈ 0.375

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375