Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 70 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $3 e^{3 - 3} - 3 e^{0 - 3}$

= $3 e^{0} - 3 e^{- 3}$

= $3 - 3 e^{- 3}$

≈ 2,851

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 70 + $- 3 e^{- 3} + 3$ ≈ 72.85

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 32 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 6 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 3 - 3} - 2 e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $2 e^{9 - 3} - 2 e^{6 - 3}$

= $2 e^{6} - 2 e^{3}$

≈ 766,687

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 32 + $2 e^{6} - 2 e^{3}$ ≈ 798.69

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (2 x + 4) ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (2 x + 4) ⅆ x

= ${[x^{2} + 4 x]}_{0}^{u}$

$=$ $u^{2} + 4 u - (0^{2} + 4 \cdot 0)$

= $u^{2} + 4 u - (0 + 0)$

= $u^{2} + 4 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} + 4 u

=

5

|

- 5

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Da u= $- 5$ < 0 ist u= $1$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(2 x - 1)}^{2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} 2 {(2 x - 1)}^{2} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 3 - 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 2 - 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot {(6 - 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(4 - 1)}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 27$

= $\frac{125}{3} - 9$

= $\frac{125}{3} - \frac{27}{3}$

= $\frac{98}{3}$

≈ 32,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{2}{3 (3 x - 3)}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3 (3 u - 3)} + \frac{2}{3 (3 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 3)} + \frac{2}{3 (6 - 3)}$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 3)} + \frac{2}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 3)} + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 3)} + \frac{2}{9}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3 (3 u - 3)} + \frac{2}{9}$ → $0 + \frac{2}{9}$ = $\frac{2}{9}$ ≈ 0.222

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.222

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale