Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,033
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 9 + = ≈ 9.03
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
=
≈ 26,051
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 71 +
≈ 97.05
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
19
-2
=
-9,5
u2 =
5
-
196
-2
=
5
-14
-2
=
-9
-2
=
4,5
Da u=
-9,5
< 2 ist u=
4,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 3x -6 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
+0
∫
0
4
5
(
3x
-6
)
2
ⅆ
x
=
1
4
[
5
9
(
3x
-6
)
3
]
0
4
=
1
4
(
5
9
⋅
(
3⋅4
-6
)
3
-
5
9
⋅
(
3⋅0
-6
)
3
)
=
1
4
(
5
9
⋅
(
12
-6
)
3
-
5
9
⋅
( 0
-6
)
3
)
=
1
4
(
5
9
⋅
6
3
-
5
9
⋅
( -6 )
3
)
=
1
4
(
5
9
⋅216
-
5
9
⋅( -216 )
)
=
1
4
(
120
+120
)
=
1
4
·
240
=
60
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 1,5 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
1,5
1
2x
-2
ⅆ
x
=
∫
u
1,5
(
2x
-2
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
(
2x
-2
)
1
2
]
u
1,5
=
[
2x
-2
]
u
1,5
=
2⋅1,5
-2
-
2u
-2
=
3
-2
-
2u
-2
=
1
-
2u
-2
=
1
-
2u
-2
=
-
2u
-2
+1
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
-
2u
-2
+1
→
0
+1
=
1
≈ 1
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1