Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $19$ Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $28$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 4 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 5^{3} - \frac{8}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 125 - \frac{8}{3} \cdot 64$

= $\frac{1000}{3} - \frac{512}{3}$

= $\frac{488}{3}$

≈ 162,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 9 + $\frac{488}{3}$ = $\frac{515}{3}$ ≈ 171.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 4 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 6} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{3 - 6} - \frac{4}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{- 3} - \frac{4}{3} e^{- 6}$

≈ 0,063

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 46 + $\frac{4}{3} e^{- 3} - \frac{4}{3} e^{- 6}$ ≈ 46.06

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (6 x - 5) ⅆ x$ = $176,25$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (6 x - 5) ⅆ x

= ${[3 x^{2} - 5 x]}_{1}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 5 u - (3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1)$

= $3 u^{2} - 5 u - (3 \cdot 1 - 5)$

= $3 u^{2} - 5 u - (3 - 5)$

= $3 u^{2} - 5 u - 1 \cdot (- 2)$

= $3 u^{2} - 5 u + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $176,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} - 5 u + 2

=

176,25

|

- 176,25

$3 u^{2} - 5 u - 174,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 174,25)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 2 091}}{6}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{2 116}}{6}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{2 116}}{6}$ = $\frac{5+46}{6}$ = $\frac{51}{6}$ = $8,5$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{2 116}}{6}$ = $\frac{5-46}{6}$ = $\frac{- 41}{6}$ = $- \frac{41}{6}$ ≈ -6.83

Da u= $- \frac{41}{6}$ < 1 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(x - 1)}^{3} + 2$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (5 {(x - 1)}^{3} + 2) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{4} {(x - 1)}^{4} + 2 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{4} \cdot {(3 - 1)}^{4} + 2 \cdot 3 - (\frac{5}{4} \cdot {(0 - 1)}^{4} + 2 \cdot 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{4} \cdot 2^{4} + 6 - (\frac{5}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{4} \cdot 16 + 6 - (\frac{5}{4} \cdot 1 + 0))$

= $\frac{1}{3} (20 + 6 - (\frac{5}{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (26 - (\frac{5}{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (26 - \frac{5}{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{104}{4} - \frac{5}{4})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{99}{4}$

= $\frac{33}{4}$

= 8,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $3$ und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} - 2 {(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{3}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 2}]}_{u}^{3}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 3 - 2} + 2 \sqrt{2 u - 2}$

= $- 2 \sqrt{6 - 2} + 2 \sqrt{2 u - 2}$

= $- 2 \sqrt{4} + 2 \sqrt{2 u - 2}$

= $- 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 u - 2}$

= $- 4 + 2 \sqrt{2 u - 2}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 2} - 4$ → $0 - 4$ = $- 4$ ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale