Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $11$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $27$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

11

und

27

:

\int_{11}^{27} 2 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{11}^{27} 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{27}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{27}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{500}{3} - 36$

= $\frac{500}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{392}{3}$

≈ 130,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

11

und der Änderung zwischen

11

und

27

zusammen:

B = 5 + $\frac{392}{3}$ = $\frac{407}{3}$ ≈ 135.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{3}$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{250}{9} - 6$

= $\frac{250}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{196}{9}$

≈ 21,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 19 + $\frac{196}{9}$ = $\frac{367}{9}$ ≈ 40.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 225$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 2^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 4$

= $- 5 u^{2} + 20$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 225$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2} + 20$	=	$- 225$	\| $- 20$
$- 5 u^{2}$	=	$- 245$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
u₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Da u= $- 7$ < 2 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{2 x - 1}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 4 e^{2 x - 1} ⅆ x

= $1$ ${[2 e^{2 x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 1 - 1} - 2 e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $2 e^{2 - 1} - 2 e^{0 - 1}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 2 {(- 3 x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- 3 x + 3)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{2}{3 (- 3 x + 3)}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3 (- 3 u + 3)} - \frac{2}{3 (- 3 \cdot 3 + 3)}$

= $\frac{2}{3 (- 3 u + 3)} - \frac{2}{3 (- 9 + 3)}$

= $\frac{2}{3 (- 3 u + 3)} - \frac{2}{3 (- 6)}$

= $\frac{2}{3 (- 3 u + 3)} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{6})$

= $\frac{2}{3 (- 3 u + 3)} + \frac{1}{9}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3 (- 3 u + 3)} + \frac{1}{9}$ → $0 + \frac{1}{9}$ = $\frac{1}{9}$ ≈ 0.111

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.111

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale