Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 2 e x -3 x

= [ 2 e x -3 ] 0 3

= 2 e 3 -3 -2 e 0 -3

= 2 e 0 -2 e -3

= 2 -2 e -3


≈ 1,9
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 20 + -2 e -3 +2 ≈ 21.9

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 7 s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 10 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 7 und 10:
7 10 4 3x -5 x
= 7 10 4 ( 3x -5 ) 1 2 x

= [ 8 9 ( 3x -5 ) 3 2 ] 7 10

= [ 8 9 ( 3x -5 ) 3 ] 7 10

= 8 9 ( 310 -5 ) 3 - 8 9 ( 37 -5 ) 3

= 8 9 ( 30 -5 ) 3 - 8 9 ( 21 -5 ) 3

= 8 9 ( 25 ) 3 - 8 9 ( 16 ) 3

= 8 9 5 3 - 8 9 4 3

= 8 9 125 - 8 9 64

= 1000 9 - 512 9

= 488 9


≈ 54,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 7 und der Änderung zwischen 7 und 10 zusammen:
B = 15 + 488 9 = 623 9 ≈ 69.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 1,8 e -0,3x +0,4 x = 6

Lösung einblenden
0 u 1,8 e -0,3x +0,4 x

= [ -6 e -0,3x +0,4 ] 0 u

= -6 e -0,3u +0,4 +6 e -0,30 +0,4

= -6 e -0,3u +0,4 +6 e 0 +0,4

= -6 e -0,3u +0,4 +6 e 0,4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 6 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-6 e -0,3u +0,4 +6 e 0,4 = 6 | -6 e 0,4
-6 e -0,3u +0,4 = -6 e 0,4 +6
-6 e -0,3u +0,4 = -2,9509 |:-6
e -0,3u +0,4 = 0,4918 |ln(⋅)
-0,3u +0,4 = ln( 0,4918 )
-0,3u +0,4 = -0,7097 | -0,4
-0,3u = -1,1097 |:(-0,3 )
u = 3,699

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 cos( x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 2 cos( x + 1 2 π) x

= 1 π [ 2 sin( x + 1 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( 2 sin( 3 2 π + 1 2 π) -2 sin( 1 2 π + 1 2 π) )

= 1 π · ( 2 sin(2π) -2 sin(π) )

= 1 π · ( 20 -20 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 -x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 1 -x +2 x
= 4 u - ( -x +2 ) -1 x

= [ ln( | -x +2 | ) ] 4 u

= ln( | -( u ) +2 | ) - ln( | -4 +2 | )

= ln( | -u +2 | ) - ln( | -4 +2 | )

= ln( | -u +2 | ) - ln( 2 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - ln( 2 ) + ln( | -x +2 | )