Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $11$ s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $18$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

11

und

18

:

\int_{11}^{18} 6 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{11}^{18} 6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{18}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{18}$

$=$ $4 {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - 4 {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{16})}^{3} - 4 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4 \cdot 4^{3} - 4 \cdot 3^{3}$

= $4 \cdot 64 - 4 \cdot 27$

= $256 - 108$

= $148$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

11

und der Änderung zwischen

11

und

18

zusammen:

B = 16 + $148$ = $164$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 7}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 5 - 7} - 2 e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $2 e^{15 - 7} - 2 e^{6 - 7}$

= $2 e^{8} - 2 e^{- 1}$

≈ 5961,18

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 2 + $2 e^{8} - 2 e^{- 1}$ ≈ 5963.18

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 2 x + 5) ⅆ x$ = $- 20$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 2 x + 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 5 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 5 u - (- 2^{2} + 5 \cdot 2)$

= $- u^{2} + 5 u - (- 4 + 10)$

= $- u^{2} + 5 u + 4 - 10$

= $- u^{2} + 5 u - 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} + 5 u - 6

=

- 20

|

+ 20

$- u^{2} + 5 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5+9}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5-9}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Da u= $- 2$ < 2 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 e^{3 x - 5}$ zwischen 0 und 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= $1$ ${[e^{3 x - 5}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{3 \cdot 1 - 5} - e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $e^{3 - 5} - e^{0 - 5}$

= $e^{- 2} - e^{- 5}$

≈ 0,129

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $7,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{7,5} - \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{7,5} - 3 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{7,5}$

= ${[- 3 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{7,5}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot 7,5 - 6} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \sqrt{15 - 6} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \sqrt{9} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 9 + 3 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $3 \sqrt{2 u - 6} - 9$ → $0 - 9$ = $- 9$ ≈ -9

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 9

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale