Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 7:

\int_{5}^{7} \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{5}^{7} 6 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 3)}^{- 1}]}_{5}^{7}$

= ${[- \frac{6}{x - 3}]}_{5}^{7}$

$=$ $- \frac{6}{7 - 3} + \frac{6}{5 - 3}$

= $- \frac{6}{4} + \frac{6}{2}$

= $- 6 \cdot (\frac{1}{4}) + 6 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{3}{2} + 3$

= $- 1,5 + 3$

= $1,5$

= 1,5

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 7 zusammen:

B = 10 + $\frac{3}{2}$ = $\frac{23}{2}$ ≈ 11.5

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 2 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 5 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{259}{3}$ ≈ 86.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 2 x + 4) ⅆ x$ = $- 8$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 2 x + 4) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 4 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 4 u - (- 1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $- u^{2} + 4 u - (- 1 + 4)$

= $- u^{2} + 4 u + 1 - 4$

= $- u^{2} + 4 u - 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} + 4 u - 3

=

- 8

|

+ 8

$- u^{2} + 4 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Da u= $- 1$ < 1 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{2 x - 1}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} e^{2 x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 1})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{4 - 1} - \frac{1}{2} e^{0 - 1})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{3} - \frac{1}{2} e^{- 1})$

≈ 4,929

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{2 x - 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(2 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 5 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} \ln (| 2 (u) - 5 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 3 - 5 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 5 |) - \frac{1}{2} \ln (| 6 - 5 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 5 |) - \frac{1}{2} \ln (1)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 5 |) + 0$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 5 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 5 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale