Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $4 e^{3 - 1} - 4 e^{1 - 1}$

= $4 e^{2} - 4 e^{0}$

= $4 e^{2} - 4$

≈ 25,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 3 + $4 e^{2} - 4$ ≈ 28.56

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 57 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 4 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 6} - \frac{4}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{0}$

= $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3}$

≈ 25,447

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 57 + $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3}$ ≈ 82.45

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,2 e^{- 0,4 x + 0,5} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,2 e^{- 0,4 x + 0,5} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,4 x + 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,4 u + 0,5} + 8 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,5}$

= $- 8 e^{- 0,4 u + 0,5} + 8 e^{0 + 0,5}$

= $- 8 e^{- 0,4 u + 0,5} + 8 e^{0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,4 u + 0,5} + 8 e^{0,5}$	=	$7$	\| $- 8 e^{0,5}$
$- 8 e^{- 0,4 u + 0,5}$	=	$- 8 e^{0,5} + 7$
$- 8 e^{- 0,4 u + 0,5}$	=	$- 6,1898$	\|: $- 8$
$e^{- 0,4 u + 0,5}$	=	$0,7737$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,5$	=	$\ln (0,7737)$

$- 0,4 u + 0,5$	=	$- 0,2566$	\| $- 0,5$
$- 0,4 u$	=	$- 0,7566$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$1,8915$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 6 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[6 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) - 6 \cdot \sin (0 - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (6 \cdot \sin (π) - 6 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (6 \cdot 0 - 6 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (0 + 6)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 6$

= $\frac{4}{π}$

≈ 1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $18$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{18}^{u} - \frac{2}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{18}^{u} - 2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{18}^{u}$

= ${[- 4 \sqrt{x - 2}]}_{18}^{u}$

$=$ $- 4 \sqrt{u - 2} + 4 \sqrt{18 - 2}$

= $- 4 \sqrt{u - 2} + 4 \sqrt{16}$

= $- 4 \sqrt{u - 2} + 4 \cdot 4$

= $- 4 \sqrt{u - 2} + 16$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u - 2} + 16$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale