Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{2 - 1} - \frac{1}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{1} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

= $\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 1,175

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 10 + $- \frac{1}{2} e^{- 1} + \frac{1}{2} e$ ≈ 11.18

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{20}{3}$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{20}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}} 3 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}} 3 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{20}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{20}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 15 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{167}{3}$ ≈ 55.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,6 e^{- 0,7 x + 0,7} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,6 e^{- 0,7 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,7 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,7 u + 0,7} + 8 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 8 e^{- 0,7 u + 0,7} + 8 e^{0 + 0,7}$

= $- 8 e^{- 0,7 u + 0,7} + 8 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,7 u + 0,7} + 8 e^{0,7}$	=	$7$	\| $- 8 e^{0,7}$
$- 8 e^{- 0,7 u + 0,7}$	=	$- 8 e^{0,7} + 7$
$- 8 e^{- 0,7 u + 0,7}$	=	$- 9,11$	\|: $- 8$
$e^{- 0,7 u + 0,7}$	=	$1,1388$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,7$	=	$\ln (1,1388)$

$- 0,7 u + 0,7$	=	$0,13$	\| $- 0,7$
$- 0,7 u$	=	$- 0,57$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,8143$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 4)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 3}

\int_{3}^{6} \frac{2}{{(3 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{3}^{6} 2 {(3 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{2}{3 (3 x - 4)}]}_{3}^{6}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 (3 \cdot 6 - 4)} + \frac{2}{3 (3 \cdot 3 - 4)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 (18 - 4)} + \frac{2}{3 (9 - 4)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 \cdot 14} + \frac{2}{3 \cdot 5})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{14}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{5}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{21} + \frac{2}{15})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{105} + \frac{14}{105})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{35}$

= $\frac{1}{35}$

≈ 0,029

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{5} \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{5} 2 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{5}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{5}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 5 - 6} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \sqrt{10 - 6} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \sqrt{4} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $4 - 2 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 6} + 4$ → $0 + 4$ = $4$ ≈ 4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale