Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 78 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 3} - 2 e^{1 - 3}$

= $2 e^{0} - 2 e^{- 2}$

= $2 - 2 e^{- 2}$

≈ 1,729

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 78 + $- 2 e^{- 2} + 2$ ≈ 79.73

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{6}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 6 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{2}{3 x - 3}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot 4 - 3} + \frac{2}{3 \cdot 3 - 3}$

= $- \frac{2}{12 - 3} + \frac{2}{9 - 3}$

= $- \frac{2}{9} + \frac{2}{6}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{9}) + 2 \cdot (\frac{1}{6})$

= $- \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{9} + \frac{3}{9}$

= $\frac{1}{9}$

≈ 0,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 14 + $\frac{1}{9}$ = $\frac{127}{9}$ ≈ 14.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{0,3 x - 0,4} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{0,3 x - 0,4} ⅆ x

= ${[3 e^{0,3 x - 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,3 u - 0,4} - 3 e^{0,3 \cdot 0 - 0,4}$

= $3 e^{0,3 u - 0,4} - 3 e^{0 - 0,4}$

= $3 e^{0,3 u - 0,4} - 3 e^{- 0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,3 u - 0,4} - 3 e^{- 0,4}$	=	$6$	\| $+ 3 e^{- 0,4}$
$3 e^{0,3 u - 0,4}$	=	$3 e^{- 0,4} + 6$
$3 e^{0,3 u - 0,4}$	=	$8,011$	\|: $3$
$e^{0,3 u - 0,4}$	=	$2,6703$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,4$	=	$\ln (2,6703)$

$0,3 u - 0,4$	=	$0,9822$	\| $+ 0,4$
$0,3 u$	=	$1,3822$	\|: $0,3$
$u$	=	$4,6073$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[3 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot \sin (π - \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3)$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- 3 x + 7)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{{(- 3 x + 7)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(- 3 x + 7)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(- 3 x + 7)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 (- 3 x + 7)}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 (- 3 u + 7)} + \frac{1}{3 (- 3 \cdot 3 + 7)}$

= $- \frac{1}{3 (- 3 u + 7)} + \frac{1}{3 (- 9 + 7)}$

= $- \frac{1}{3 (- 3 u + 7)} + \frac{1}{3 (- 2)}$

= $- \frac{1}{3 (- 3 u + 7)} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{3 (- 3 u + 7)} - \frac{1}{6}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 (- 3 u + 7)} - \frac{1}{6}$ → $0 - \frac{1}{6}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale