Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -3 ) 3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:
4 6 2 ( x -3 ) 3 x
= 4 6 2 ( x -3 ) -3 x

= [ - ( x -3 ) -2 ] 4 6

= [ - 1 ( x -3 ) 2 ] 4 6

= - 1 ( 6 -3 ) 2 + 1 ( 4 -3 ) 2

= - 1 3 2 + 1 1 2

= -( 1 9 ) + 1

= 8 9


≈ 0,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:
B = 20 + 8 9 = 188 9 ≈ 20.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -4 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:
4 6 1 ( 2x -4 ) 2 x
= 4 6 ( 2x -4 ) -2 x

= [ - 1 2 ( 2x -4 ) -1 ] 4 6

= [ - 1 2( 2x -4 ) ] 4 6

= - 1 2( 26 -4 ) + 1 2( 24 -4 )

= - 1 2( 12 -4 ) + 1 2( 8 -4 )

= - 1 2 8 + 1 2 4

= - 1 2 ( 1 8 ) + 1 2 ( 1 4 )

= - 1 16 + 1 8

= - 1 16 + 2 16

= 1 16


≈ 0,063
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:
B = 19 + 1 16 = 305 16 ≈ 19.06

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( -8x +1 ) x = -19,5

Lösung einblenden
1 u ( -8x +1 ) x

= [ -4 x 2 + x ] 1 u

= -4 u 2 + u - ( -4 1 2 +1 )

= -4 u 2 + u - ( -41 +1 )

= -4 u 2 + u - ( -4 +1 )

= -4 u 2 + u -1 · ( -3 )

= -4 u 2 + u +3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -19,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 + u +3 = -19,5 | +19,5

-4 u 2 + u +22,5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · ( -4 ) · 22,5 2( -4 )

u1,2 = -1 ± 1 +360 -8

u1,2 = -1 ± 361 -8

u1 = -1 + 361 -8 = -1 +19 -8 = 18 -8 = -2,25

u2 = -1 - 361 -8 = -1 -19 -8 = -20 -8 = 2,5

Da u= -2,25 < 1 ist u= 2,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 sin( 2x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 0 π 2 sin( 2x + π) x

= 1 π [ - cos( 2x + π) ] 0 π

= 1 π · ( - cos( 2π + π) + cos( 2( 0 ) + π) )

= 1 π · ( - cos(3π) + cos(π) )

= 1 π · ( -( -1 ) -1 )

= 1 π · ( 1 -1 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 e 3x -4 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 0 u 3 e 3x -4 x

= [ e 3x -4 ] 0 u

= e 3u -4 - e 30 -4

= e 3u -4 - e 0 -4

= e 3u -4 - e -4

Für u → ∞ gilt: A(u) = e 3u -4 - e -4