Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 ( 3x -4 ) 4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 5 ( 3x -4 ) 4 x
= 3 4 5 ( 3x -4 ) -4 x

= [ - 5 9 ( 3x -4 ) -3 ] 3 4

= [ - 5 9 ( 3x -4 ) 3 ] 3 4

= - 5 9 ( 34 -4 ) 3 + 5 9 ( 33 -4 ) 3

= - 5 9 ( 12 -4 ) 3 + 5 9 ( 9 -4 ) 3

= - 5 9 8 3 + 5 9 5 3

= - 5 9 ( 1 512 ) + 5 9 ( 1 125 )

= - 5 4608 + 1 225

= - 125 115200 + 512 115200

= 43 12800


≈ 0,003
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 6 + 43 12800 = 76843 12800 ≈ 6

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( x -2 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
3 6 6 ( x -2 ) 2 x
= 3 6 6 ( x -2 ) -2 x

= [ -6 ( x -2 ) -1 ] 3 6

= [ - 6 x -2 ] 3 6

= - 6 6 -2 + 6 3 -2

= - 6 4 + 6 1

= -6( 1 4 ) +61

= - 3 2 +6

= -1,5 +6

= 4,5


= 4,5
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 12 + 9 2 = 33 2 ≈ 16.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u 6x x = 213,75

Lösung einblenden
1 u 6x x

= [ 3 x 2 ] 1 u

= 3 u 2 -3 1 2

= 3 u 2 -31

= 3 u 2 -3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 213,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 -3 = 213,75 | +3
3 u 2 = 216,75 |:3
u 2 = 72,25 | 2
u1 = - 72,25 = -8,5
u2 = 72,25 = 8,5

Da u= -8,5 < 1 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( x -3 ) 3 +3x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 +0 0 1 ( 6 ( x -3 ) 3 +3x ) x

= 1 [ 3 2 ( x -3 ) 4 + 3 2 x 2 ] 0 1

= 3 2 ( 1 -3 ) 4 + 3 2 1 2 - ( 3 2 ( 0 -3 ) 4 + 3 2 0 2 )

= 3 2 ( -2 ) 4 + 3 2 1 - ( 3 2 ( -3 ) 4 + 3 2 0 )

= 3 2 16 + 3 2 - ( 3 2 81 +0)

= 24 + 3 2 - ( 243 2 +0)

= 24 +1,5 - ( 121,5 +0)

= 25,5 -121,5

= -96

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 11 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 11 - 3 x -2 x
= u 11 -3 ( x -2 ) - 1 2 x

= [ -6 ( x -2 ) 1 2 ] u 11

= [ -6 x -2 ] u 11

= -6 11 -2 +6 u -2

= -6 9 +6 u -2

= -63 +6 u -2

= -18 +6 u -2

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = 6 u -2 -18 0 -18 = -18 ≈ -18

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 18