Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
≈ 42,127
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 77 +
≈ 119.13
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 24,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 4 + = ≈ 28.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
6,25
|
=
-2,5
|
| u2 |
= |
6,25
|
=
2,5
|
Da u=
-2,5
< 0 ist u=
2,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
-2
∫
2
3
4
3x
-3
ⅆ
x
=
1
∫
2
3
4
(
3x
-3
)
-1
ⅆ
x
=
1
[
4
3
ln(
|
3x
-3
|
)
]
2
3
=
4
3
ln(
|
3⋅3
-3
|
)
-
4
3
ln(
|
3⋅2
-3
|
)
=
4
3
ln(
|
9
-3
|
)
-
4
3
ln(
|
6
-3
|
)
=
4
3
ln(
6
)
-
4
3
ln(
|
6
-3
|
)
=
4
3
ln(
6
)
-
4
3
ln(
3
)
≈ 0,924
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( 3x -6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
2
(
3x
-6
)
3
ⅆ
x
=
∫
4
u
2
(
3x
-6
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
3
(
3x
-6
)
-2
]
4
u
=
[
-
1
3
(
3x
-6
)
2
]
4
u
=
-
1
3
(
3u
-6
)
2
+
1
3
(
3⋅4
-6
)
2
=
-
1
3
(
3u
-6
)
2
+
1
3
(
12
-6
)
2
=
-
1
3
(
3u
-6
)
2
+
1
3⋅
6
2
=
-
1
3
(
3u
-6
)
2
+
1
3
⋅(
1
36
)
=
-
1
3
(
3u
-6
)
2
+
1
108
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
3
(
3u
-6
)
2
+
1
108
→
0
+
1
108
=
1
108
≈ 0.009
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.009