Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 1,5
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 15 + = ≈ 16.5
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
=
=
=
≈ 0,95
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3
zusammen:
B = 7 +
≈ 7.95
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
12,25
|
=
-3,5
|
| u2 |
= |
12,25
|
=
3,5
|
Da u=
-3,5
< 1 ist u=
3,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3⋅ sin( 2x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
3⋅
sin(
2x
+
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-
3
2
⋅
cos(
2x
+
1
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
-
3
2
⋅
cos(
2⋅π
+
1
2
π)
+
3
2
⋅
cos(
2⋅(
1
2
π )
+
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
3
2
⋅
cos(
5
2
π)
+
3
2
⋅
cos(
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
3
2
⋅0
+
3
2
⋅0
)
=
2
π
·
(
0+0
)
=
2
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -3 e -2x +4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
1
u
-3
e
-2x
+4
ⅆ
x
=
[
3
2
e
-2x
+4
]
1
u
=
3
2
e
-2u
+4
-
3
2
e
-2⋅1
+4
=
3
2
e
-2u
+4
-
3
2
e
-2
+4
=
3
2
e
-2u
+4
-
3
2
e
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
2
e
-2u
+4
-
3
2
e
2
→
0
-
3
2
e
2
=
-
3
2
e
2
≈ -11.084
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 11.084