Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 2} - 3 e^{1 - 2}$

= $3 e^{0} - 3 e^{- 1}$

= $3 - 3 e^{- 1}$

≈ 1,896

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 11 + $- 3 e^{- 1} + 3$ ≈ 12.9

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 69 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 5 - 2} - 3 e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $3 e^{10 - 2} - 3 e^{4 - 2}$

= $3 e^{8} - 3 e^{2}$

≈ 8920,707

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 69 + $3 e^{8} - 3 e^{2}$ ≈ 8989.71

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 6,4 e^{0,8 x - 0,9} ⅆ x$ = $10$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 6,4 e^{0,8 x - 0,9} ⅆ x

= ${[8 e^{0,8 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,8 u - 0,9} - 8 e^{0,8 \cdot 0 - 0,9}$

= $8 e^{0,8 u - 0,9} - 8 e^{0 - 0,9}$

= $8 e^{0,8 u - 0,9} - 8 e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $10$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,8 u - 0,9} - 8 e^{- 0,9}$	=	$10$	\| $+ 8 e^{- 0,9}$
$8 e^{0,8 u - 0,9}$	=	$8 e^{- 0,9} + 10$
$8 e^{0,8 u - 0,9}$	=	$13,2526$	\|: $8$
$e^{0,8 u - 0,9}$	=	$1,6566$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,9$	=	$\ln (1,6566)$

$0,8 u - 0,9$	=	$0,5048$	\| $+ 0,9$
$0,8 u$	=	$1,4048$	\|: $0,8$
$u$	=	$1,756$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \cdot \sin (2 x + π)$ zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 6 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- 3 \cdot \cos (2 x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + 3 \cdot \cos (2 \cdot (0) + π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 \cdot \cos (4 π) + 3 \cdot \cos (π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 - 3)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 6)$

= $- \frac{4}{π}$

≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $7,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{7,5} \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{7,5} 3 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{7,5}$

= ${[3 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{7,5}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 7,5 - 6} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \sqrt{15 - 6} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \sqrt{9} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \cdot 3 - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $9 - 3 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 3 \sqrt{2 u - 6} + 9$ → $0 + 9$ = $9$ ≈ 9

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 9

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale