Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 10 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 17 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 10 und 17:
10 17 x -1 x
= 10 17 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( x -1 ) 3 2 ] 10 17

= [ 2 3 ( x -1 ) 3 ] 10 17

= 2 3 ( 17 -1 ) 3 - 2 3 ( 10 -1 ) 3

= 2 3 ( 16 ) 3 - 2 3 ( 9 ) 3

= 2 3 4 3 - 2 3 3 3

= 2 3 64 - 2 3 27

= 128 3 -18

= 128 3 - 54 3

= 74 3


≈ 24,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 10 und der Änderung zwischen 10 und 17 zusammen:
B = 11 + 74 3 = 107 3 ≈ 35.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= e 2x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 e 2x -1 x

= [ 1 2 e 2x -1 ] 0 3

= 1 2 e 23 -1 - 1 2 e 20 -1

= 1 2 e 6 -1 - 1 2 e 0 -1

= 1 2 e 5 - 1 2 e -1


≈ 74,023
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 16 + 1 2 e 5 - 1 2 e -1 ≈ 90.02

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 2x -4 ) x = 29,25

Lösung einblenden
1 u ( 2x -4 ) x

= [ x 2 -4x ] 1 u

= u 2 -4u - ( 1 2 -41 )

= u 2 -4u - ( 1 -4 )

= u 2 -4u -1 +4

= u 2 -4u +3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 29,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 -4u +3 = 29,25 | -29,25

u 2 -4u -26,25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -26,25 ) 21

u1,2 = +4 ± 16 +105 2

u1,2 = +4 ± 121 2

u1 = 4 + 121 2 = 4 +11 2 = 15 2 = 7,5

u2 = 4 - 121 2 = 4 -11 2 = -7 2 = -3,5

Da u= -3,5 < 1 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 e 2x -1 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 3 e 2x -1 x

= 1 2 [ 3 2 e 2x -1 ] 0 2

= 1 2 ( 3 2 e 22 -1 - 3 2 e 20 -1 )

= 1 2 ( 3 2 e 4 -1 - 3 2 e 0 -1 )

= 1 2 ( 3 2 e 3 - 3 2 e -1 )


≈ 14,788

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u e -x +1 x

= [ - e -x +1 ] 2 u

= - e -u +1 + e -2 +1

= - e -u +1 + e -1

Für u → ∞ gilt: A(u) = - e -u +1 + e -1 0 + e -1 = e -1 ≈ 0.368

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.368