= ${\left[e^{2x-2}\right]}_0^1$

$=$ $e^{2\cdot 1-2}-e^{2\cdot 0-2}$

= $e^{2-2}-e^{0-2}$

= $e^0-e^{-2}$

= $1-e^{-2}$

= ${\left[\frac{3}{2}{e}^{2x-1}\right]}_0^2$

$=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 2-1}-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 0-1}$

= $\frac{3}{2}{e}^{4-1}-\frac{3}{2}{e}^{0-1}$

= $\frac{3}{2}{e}^3-\frac{3}{2}{e}^{-1}$

= ${\left[5e^{\mathrm{0,5}x-\mathrm{0,9}}\right]}_0^u$

$=$ $5e^{\mathrm{0,5}u-\mathrm{0,9}}-5e^{\mathrm{0,5}\cdot 0-\mathrm{0,9}}$

= $5e^{\mathrm{0,5}u-\mathrm{0,9}}-5e^{0-\mathrm{0,9}}$

= $5e^{\mathrm{0,5}u-\mathrm{0,9}}-5e^{-\mathrm{0,9}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{3}{16}$ ${\left[\frac{2}{9}{\left(3x-5\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{\frac{14}{3}}^{10}$

= $\frac{3}{16}$ ${\left[\frac{2}{9}{\left(\sqrt{3x-5}\right)}^3\right]}_{\frac{14}{3}}^{10}$

$=$ $\frac{3}{16}\left(\frac{2}{9}{\left(\sqrt{3\cdot 10-5}\right)}^3-\frac{2}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{14}{3}\right)-5}\right)}^3\right)$

= $\frac{3}{16}\left(\frac{2}{9}{\left(\sqrt{30-5}\right)}^3-\frac{2}{9}{\left(\sqrt{14-5}\right)}^3\right)$

= $\frac{3}{16}\left(\frac{2}{9}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{2}{9}{\left(\sqrt{9}\right)}^3\right)$

= $\frac{3}{16}\left(\frac{2}{9}\cdot 5^3-\frac{2}{9}\cdot 3^3\right)$

= $\frac{3}{16}\left(\frac{2}{9}\cdot 125-\frac{2}{9}\cdot 27\right)$

= $\frac{3}{16}\left(\frac{250}{9}-6\right)$

= $\frac{3}{16}\left(\frac{250}{9}-\frac{54}{9}\right)$

= $\frac{3}{16}·\frac{196}{9}$

= $\frac{49}{12}$

= ${\left[-3e^{-x+2}\right]}_1^u$

$=$ $-3e^{-u+2}+3e^{-1+2}$

= $-3e^{-u+2}+3e^1$

= $-3e^{-u+2}+3e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-3e^{-u+2}+3e$ → $0+3e$ = $3e$ ≈ 8.155

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8.155