Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(x - 2)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{6}{{(x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 6 {(x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- 3 {(x - 2)}^{- 2}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{3}{{(7 - 2)}^{2}} + \frac{3}{{(4 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{3}{5^{2}} + \frac{3}{2^{2}}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{25}) + 3 \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{25} + \frac{3}{4}$

= $- \frac{12}{100} + \frac{75}{100}$

= $\frac{63}{100}$

= 0,63

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 14 + $\frac{63}{100}$ = $\frac{1463}{100}$ ≈ 14.63

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 57 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 5}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 5} - \frac{1}{2} e^{4 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{1} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

= $\frac{1}{2} e - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 1,175

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 57 + $- \frac{1}{2} e^{- 1} + \frac{1}{2} e$ ≈ 58.18

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,6 x - 0,1} ⅆ x$ = $10$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,6 x - 0,1} ⅆ x

= ${[2 e^{0,6 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,6 u - 0,1} - 2 e^{0,6 \cdot 0 - 0,1}$

= $2 e^{0,6 u - 0,1} - 2 e^{0 - 0,1}$

= $2 e^{0,6 u - 0,1} - 2 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $10$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,6 u - 0,1} - 2 e^{- 0,1}$	=	$10$	\| $+ 2 e^{- 0,1}$
$2 e^{0,6 u - 0,1}$	=	$2 e^{- 0,1} + 10$
$2 e^{0,6 u - 0,1}$	=	$11,8097$	\|: $2$
$e^{0,6 u - 0,1}$	=	$5,9049$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,1$	=	$\ln (5,9049)$

$0,6 u - 0,1$	=	$1,7758$	\| $+ 0,1$
$0,6 u$	=	$1,8758$	\|: $0,6$
$u$	=	$3,1263$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 5 \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{5}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{7}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (2 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot 0 + \frac{5}{3} \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + \frac{5}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{3 π}$

≈ 1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- 3 x + 7)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{2}{{(- 3 x + 7)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 2 {(- 3 x + 7)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(- 3 x + 7)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{2}{3 (- 3 x + 7)}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3 (- 3 u + 7)} - \frac{2}{3 (- 3 \cdot 3 + 7)}$

= $\frac{2}{3 (- 3 u + 7)} - \frac{2}{3 (- 9 + 7)}$

= $\frac{2}{3 (- 3 u + 7)} - \frac{2}{3 (- 2)}$

= $\frac{2}{3 (- 3 u + 7)} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

= $\frac{2}{3 (- 3 u + 7)} + \frac{1}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3 (- 3 u + 7)} + \frac{1}{3}$ → $0 + \frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale