Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{22}{3}$ Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{31}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 3 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 3 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 5 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{137}{3}$ ≈ 45.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 7)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{3}{{(3 x - 7)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 3 {(3 x - 7)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 7)}^{- 1}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{1}{3 x - 7}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 6 - 7} + \frac{1}{3 \cdot 4 - 7}$

= $- \frac{1}{18 - 7} + \frac{1}{12 - 7}$

= $- \frac{1}{11} + \frac{1}{5}$

= $- (\frac{1}{11}) + \frac{1}{5}$

= $\frac{6}{55}$

≈ 0,109

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 7 + $\frac{6}{55}$ = $\frac{391}{55}$ ≈ 7.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 8 x + 5) ⅆ x$ = $- 217$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 8 x + 5) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + 5 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 5 u - (- 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $- 4 u^{2} + 5 u - (- 4 \cdot 1 + 5)$

= $- 4 u^{2} + 5 u - (- 4 + 5)$

= $- 4 u^{2} + 5 u - 1 \cdot 1$

= $- 4 u^{2} + 5 u - 1$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 217$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + 5 u - 1

=

- 217

|

+ 217

$- 4 u^{2} + 5 u + 216$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 216}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 3 456}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{3 481}}{- 8}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{3 481}}{- 8}$ = $\frac{- 5+59}{- 8}$ = $\frac{54}{- 8}$ = $- 6,75$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{3 481}}{- 8}$ = $\frac{- 5-59}{- 8}$ = $\frac{- 64}{- 8}$ = $8$

Da u= $- 6,75$ < 1 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 2}

\int_{2}^{4} \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{2}^{4} 4 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- 2 {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{2}{2 x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{2}{2 \cdot 4 - 1} + \frac{2}{2 \cdot 2 - 1})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{2}{8 - 1} + \frac{2}{4 - 1})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{2}{7} + \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{2} (- 2 \cdot (\frac{1}{7}) + 2 \cdot (\frac{1}{3}))$

= $\frac{1}{2} (- \frac{2}{7} + \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{6}{21} + \frac{14}{21})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{21}$

= $\frac{4}{21}$

≈ 0,19

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $11$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{11} - \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{11} - 3 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{11}$

= ${[- 3 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{11}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot 11 - 6} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \sqrt{22 - 6} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \sqrt{16} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \cdot 4 + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 12 + 3 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $3 \sqrt{2 u - 6} - 12$ → $0 - 12$ = $- 12$ ≈ -12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale