Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{14}{3}$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $7$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{14}{3}

und

7

:

\int_{\frac{14}{3}}^{7} 4 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{14}{3}}^{7} 4 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{14}{3}}^{7}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{\frac{14}{3}}^{7}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 4^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 64 - \frac{8}{9} \cdot 27$

= $\frac{512}{9} - 24$

= $\frac{512}{9} - \frac{216}{9}$

= $\frac{296}{9}$

≈ 32,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{14}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{14}{3}

und

7

zusammen:

B = 17 + $\frac{296}{9}$ = $\frac{449}{9}$ ≈ 49.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 3} - e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $e^{9 - 3} - e^{6 - 3}$

= $e^{6} - e^{3}$

≈ 383,343

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 28 + $e^{6} - e^{3}$ ≈ 411.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (6 x + 5) ⅆ x$ = $137,25$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (6 x + 5) ⅆ x

= ${[3 x^{2} + 5 x]}_{2}^{u}$

$=$ $3 u^{2} + 5 u - (3 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2)$

= $3 u^{2} + 5 u - (3 \cdot 4 + 10)$

= $3 u^{2} + 5 u - (12 + 10)$

= $3 u^{2} + 5 u - 1 \cdot 22$

= $3 u^{2} + 5 u - 22$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $137,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} + 5 u - 22

=

137,25

|

- 137,25

$3 u^{2} + 5 u - 159,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 159,25)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 1 911}}{6}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1 936}}{6}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1 936}}{6}$ = $\frac{- 5+44}{6}$ = $\frac{39}{6}$ = $6,5$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1 936}}{6}$ = $\frac{- 5-44}{6}$ = $\frac{- 49}{6}$ = $- \frac{49}{6}$ ≈ -8.17

Da u= $- \frac{49}{6}$ < 2 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{19}{3}$ und Minute $\frac{28}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{28}{3} - \frac{19}{3}}

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 4 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 4 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{8}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{8}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 64)$

= $\frac{1}{3} (\frac{1000}{9} - \frac{512}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{488}{9}$

= $\frac{488}{27}$

≈ 18,074

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(3 x - 6)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(3 x - 6)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(3 x - 6)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 6)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 {(3 x - 6)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{3 {(3 \cdot 3 - 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{3 {(9 - 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{3 \cdot 3^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{9})$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{27}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{27}$ → $0 - \frac{1}{27}$ = $- \frac{1}{27}$ ≈ -0.037

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.037

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale