Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 8 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 8:

\int_{5}^{8} \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{5}^{8} 4 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 3)}^{- 1}]}_{5}^{8}$

= ${[- \frac{4}{x - 3}]}_{5}^{8}$

$=$ $- \frac{4}{8 - 3} + \frac{4}{5 - 3}$

= $- \frac{4}{5} + \frac{4}{2}$

= $- 4 \cdot (\frac{1}{5}) + 4 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{4}{5} + 2$

= $- \frac{4}{5} + \frac{10}{5}$

= $\frac{6}{5}$

= 1,2

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 8 zusammen:

B = 20 + $\frac{6}{5}$ = $\frac{106}{5}$ ≈ 21.2

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{3}$ s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 64$

= $\frac{250}{9} - \frac{128}{9}$

= $\frac{122}{9}$

≈ 13,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 11 + $\frac{122}{9}$ = $\frac{221}{9}$ ≈ 24.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,6 e^{- 0,4 x + 0,5} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,6 e^{- 0,4 x + 0,5} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,4 x + 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,4 u + 0,5} + 4 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,5}$

= $- 4 e^{- 0,4 u + 0,5} + 4 e^{0 + 0,5}$

= $- 4 e^{- 0,4 u + 0,5} + 4 e^{0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,4 u + 0,5} + 4 e^{0,5}$	=	$3$	\| $- 4 e^{0,5}$
$- 4 e^{- 0,4 u + 0,5}$	=	$- 4 e^{0,5} + 3$
$- 4 e^{- 0,4 u + 0,5}$	=	$- 3,5949$	\|: $- 4$
$e^{- 0,4 u + 0,5}$	=	$0,8987$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,5$	=	$\ln (0,8987)$

$- 0,4 u + 0,5$	=	$- 0,1068$	\| $- 0,5$
$- 0,4 u$	=	$- 0,6068$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$1,517$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(x - 1)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 5 {(x - 1)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{5}{3} {(x - 1)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{5}{3} \cdot {(2 - 1)}^{3} - \frac{5}{3} \cdot {(0 - 1)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{3} \cdot 1^{3} - \frac{5}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{3} \cdot 1 - \frac{5}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} (\frac{5}{3} + \frac{5}{3})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3}$

= $\frac{5}{3}$

≈ 1,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $7,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{7,5} \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{7,5} 2 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{7,5}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{7,5}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 7,5 - 6} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \sqrt{15 - 6} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \sqrt{9} - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $2 \cdot 3 - 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $6 - 2 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 6} + 6$ → $0 + 6$ = $6$ ≈ 6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale