Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{5}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 5 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{5}{2 (2 x - 3)}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{2 (2 \cdot 3 - 3)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{5}{2 (6 - 3)} + \frac{5}{2 (4 - 3)}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 3} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{3}) + \frac{5}{2} \cdot 1$

= $- \frac{5}{6} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{6} + \frac{15}{6}$

= $\frac{5}{3}$

≈ 1,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 3 + $\frac{5}{3}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $18$ s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $27$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

18

und

27

:

\int_{18}^{27} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{18}^{27} 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

18

und der Änderung zwischen

18

und

27

zusammen:

B = 11 + $122$ = $133$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 2 x - 5) ⅆ x$ = $- 93,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 2 x - 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 5 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- u^{2} - 5 u - (- 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $- u^{2} - 5 u - (- 0 + 0)$

= $- u^{2} - 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 93,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} - 5 u

=

- 93,75

|

+ 93,75

$- u^{2} - 5 u + 93,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 93,75}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 375}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{400}}{- 2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{400}}{- 2}$ = $\frac{5+20}{- 2}$ = $\frac{25}{- 2}$ = $- 12,5$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{400}}{- 2}$ = $\frac{5-20}{- 2}$ = $\frac{- 15}{- 2}$ = $7,5$

Da u= $- 12,5$ < 0 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 6}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $5$ und Minute $\frac{22}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{22}{3} - 5}

\int_{5}^{\frac{22}{3}} 2 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\frac{3}{7}

\int_{5}^{\frac{22}{3}} 2 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{7}$ ${[\frac{4}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{22}{3}}$

= $\frac{3}{7}$ ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{22}{3}}$

$=$ $\frac{3}{7} (\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{4}{9} {(\sqrt{22 - 6})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{15 - 6})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{4}{9} \cdot 4^{3} - \frac{4}{9} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{4}{9} \cdot 64 - \frac{4}{9} \cdot 27)$

= $\frac{3}{7} (\frac{256}{9} - 12)$

= $\frac{3}{7} (\frac{256}{9} - \frac{108}{9})$

= $\frac{3}{7} \cdot \frac{148}{9}$

= $\frac{148}{21}$

≈ 7,048

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(u - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(3 - 1)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(u - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(u - 1)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{2 {(u - 1)}^{2}} + \frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(u - 1)}^{2}} + \frac{1}{8}$ → $0 + \frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$ ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale