Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(2 x - 1)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} \frac{6}{{(2 x - 1)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{1}^{4} 6 {(2 x - 1)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 1)}^{- 3}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{{(2 \cdot 4 - 1)}^{3}} + \frac{1}{{(2 \cdot 1 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{1}{{(8 - 1)}^{3}} + \frac{1}{{(2 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{1}{7^{3}} + \frac{1}{1^{3}}$

= $- (\frac{1}{343}) + 1$

= $\frac{342}{343}$

≈ 0,997

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 14 + $\frac{342}{343}$ = $\frac{5144}{343}$ ≈ 15

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{2 - 1} - e^{1 - 1}$

= $e^{1} - e^{0}$

= $e - 1$

≈ 1,718

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 38 + $- 1 + e$ ≈ 39.72

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (4 x + 3) ⅆ x$ = $175$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (4 x + 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 3 x]}_{2}^{u}$

$=$ $2 u^{2} + 3 u - (2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2)$

= $2 u^{2} + 3 u - (2 \cdot 4 + 6)$

= $2 u^{2} + 3 u - (8 + 6)$

= $2 u^{2} + 3 u - 1 \cdot 14$

= $2 u^{2} + 3 u - 14$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $175$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} + 3 u - 14

=

175

|

- 175

$2 u^{2} + 3 u - 189$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 189)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 1 512}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1 521}}{4}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1 521}}{4}$ = $\frac{- 3+39}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1 521}}{4}$ = $\frac{- 3-39}{4}$ = $\frac{- 42}{4}$ = $- 10,5$

Da u= $- 10,5$ < 2 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(x - 3)}^{2} + 2 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (3 {(x - 3)}^{2} + 2 x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[{(x - 3)}^{3} + x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} ({(3 - 3)}^{3} + 3^{2} - ({(0 - 3)}^{3} + 0^{2}))$

= $\frac{1}{3} (0^{3} + 9 - ({(- 3)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (0 + 9 - ((- 27) + 0))$

= $\frac{1}{3} (9 + 27)$

= $\frac{1}{3} \cdot 36$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{1}^{u}$

$=$ $2 e^{- u + 2} - 2 e^{- 1 + 2}$

= $2 e^{- u + 2} - 2 e^{1}$

= $2 e^{- u + 2} - 2 e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 e^{- u + 2} - 2 e$ → $0 - 2 e$ = $- 2 e$ ≈ -5.437

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 5.437

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale