Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 ( 2x -5 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 5 ( 2x -5 ) 2 x
= 3 4 5 ( 2x -5 ) -2 x

= [ - 5 2 ( 2x -5 ) -1 ] 3 4

= [ - 5 2( 2x -5 ) ] 3 4

= - 5 2( 24 -5 ) + 5 2( 23 -5 )

= - 5 2( 8 -5 ) + 5 2( 6 -5 )

= - 5 2 3 + 5 2

= - 5 2 ( 1 3 ) + 5 2 1

= - 5 6 + 5 2

= - 5 6 + 15 6

= 5 3


≈ 1,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 11 + 5 3 = 38 3 ≈ 12.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 23 3 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 32 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 23 3 und 32 3 :
23 3 32 3 6 3x -7 x
= 23 3 32 3 6 ( 3x -7 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -7 ) 3 2 ] 23 3 32 3

= [ 4 3 ( 3x -7 ) 3 ] 23 3 32 3

= 4 3 ( 3( 32 3 ) -7 ) 3 - 4 3 ( 3( 23 3 ) -7 ) 3

= 4 3 ( 32 -7 ) 3 - 4 3 ( 23 -7 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 23 3 und der Änderung zwischen 23 3 und 32 3 zusammen:
B = 10 + 244 3 = 274 3 ≈ 91.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u -6x x = -45

Lösung einblenden
1 u -6x x

= [ -3 x 2 ] 1 u

= -3 u 2 +3 1 2

= -3 u 2 +31

= -3 u 2 +3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -45 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-3 u 2 +3 = -45 | -3
-3 u 2 = -48 |: ( -3 )
u 2 = 16 | 2
u1 = - 16 = -4
u2 = 16 = 4

Da u= -4 < 1 ist u= 4 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 cos( 3x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 2 cos( 3x - π) x

= 2 π [ 2 3 sin( 3x - π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 2 3 sin( 3π - π) - 2 3 sin( 3( 1 2 π ) - π) )

= 2 π · ( 2 3 sin(2π) - 2 3 sin( 1 2 π) )

= 2 π · ( 2 3 0 - 2 3 1 )

= 2 π · ( 0 - 2 3 )

= 2 π · ( 0 - 2 3 )

= 2 π · ( - 2 3 )

= - 4 3 π


≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( -2x +3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 1 ( -2x +3 ) 3 x
= 2 u ( -2x +3 ) -3 x

= [ 1 4 ( -2x +3 ) -2 ] 2 u

= [ 1 4 ( -2x +3 ) 2 ] 2 u

= 1 4 ( -2u +3 ) 2 - 1 4 ( -22 +3 ) 2

= 1 4 ( -2u +3 ) 2 - 1 4 ( -4 +3 ) 2

= 1 4 ( -2u +3 ) 2 - 1 4 ( -1 ) 2

= 1 4 ( -2u +3 ) 2 - 1 4 1

= 1 4 ( -2u +3 ) 2 - 1 4

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 4 ( -2u +3 ) 2 - 1 4 0 - 1 4 = - 1 4 ≈ -0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25