Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 0,367
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 4 +
≈ 4.37
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 13 + = ≈ 94.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
67
-10
=
-6,7
u2 =
1
-
4356
-10
=
1
-66
-10
=
-65
-10
=
6,5
Da u=
-6,7
< 1 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5⋅ cos( 3x - π) zwischen 1 2 π und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
3
2
π
5⋅
cos(
3x
- π)
ⅆ
x
=
1
π
[
5
3
⋅
sin(
3x
- π)
]
1
2
π
3
2
π
=
1
π
·
(
5
3
⋅
sin(
3⋅(
3
2
π )
- π)
-
5
3
⋅
sin(
3⋅(
1
2
π )
- π)
)
=
1
π
·
(
5
3
⋅
sin(
7
2
π)
-
5
3
⋅
sin(
1
2
π)
)
=
1
π
·
(
5
3
⋅( -1 )
-
5
3
⋅1
)
=
1
π
·
(
-
5
3
-
5
3
)
=
1
π
·
(
-
10
3
)
=
-
10
3
π
≈ -1,061
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 -x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
3
-x
+1
ⅆ
x
=
∫
3
u
3
(
-x
+1
)
-1
ⅆ
x
=
[
-3
ln(
|
-x
+1
|
)
]
3
u
=
-3
ln(
|
-(
u
)
+1
|
)
+3
ln(
|
-3
+1
|
)
=
-3
ln(
|
-u
+1
|
)
+3
ln(
|
-3
+1
|
)
=
-3
ln(
|
-u
+1
|
)
+3
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
ln(
2
)
-3
ln(
|
-x
+1
|
)
→
∞