Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 4} - e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $e^{9 - 4} - e^{0 - 4}$

= $e^{5} - e^{- 4}$

≈ 148,395

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 12 + $e^{5} - e^{- 4}$ ≈ 160.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 5 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 2} - \frac{5}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{5}{2} e^{4} - \frac{5}{2} e^{2}$

≈ 118,023

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 12 + $\frac{5}{2} e^{4} - \frac{5}{2} e^{2}$ ≈ 130.02

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,7 x - 0,6} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,7 x - 0,6} ⅆ x

= ${[3 e^{0,7 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,7 u - 0,6} - 3 e^{0,7 \cdot 0 - 0,6}$

= $3 e^{0,7 u - 0,6} - 3 e^{0 - 0,6}$

= $3 e^{0,7 u - 0,6} - 3 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,7 u - 0,6} - 3 e^{- 0,6}$	=	$6$	\| $+ 3 e^{- 0,6}$
$3 e^{0,7 u - 0,6}$	=	$3 e^{- 0,6} + 6$
$3 e^{0,7 u - 0,6}$	=	$7,6464$	\|: $3$
$e^{0,7 u - 0,6}$	=	$2,5488$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,6$	=	$\ln (2,5488)$

$0,7 u - 0,6$	=	$0,9356$	\| $+ 0,6$
$0,7 u$	=	$1,5356$	\|: $0,7$
$u$	=	$2,1937$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (3 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 5 \cdot \cos (3 x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot π + π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (4 π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{5}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{5}{3} \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - \frac{5}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3})$

= $- \frac{10}{3 π}$

≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- 2 x + 1)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{1}{{(- 2 x + 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - {(- 2 x + 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 1)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 (- 2 x + 1)}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 (- 2 u + 1)} + \frac{1}{2 (- 2 \cdot 2 + 1)}$

= $- \frac{1}{2 (- 2 u + 1)} + \frac{1}{2 (- 4 + 1)}$

= $- \frac{1}{2 (- 2 u + 1)} + \frac{1}{2 (- 3)}$

= $- \frac{1}{2 (- 2 u + 1)} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{2 (- 2 u + 1)} - \frac{1}{6}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 (- 2 u + 1)} - \frac{1}{6}$ → $0 - \frac{1}{6}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale