Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $9$ s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{27}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

9

und

\frac{27}{2}

:

\int_{9}^{\frac{27}{2}} \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{9}^{\frac{27}{2}} {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 64$

= $\frac{125}{3} - \frac{64}{3}$

= $\frac{61}{3}$

≈ 20,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

9

und der Änderung zwischen

9

und

\frac{27}{2}

zusammen:

B = 2 + $\frac{61}{3}$ = $\frac{67}{3}$ ≈ 22.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 4)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{3}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 3 {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 4)}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 6 - 4)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 4 - 4)}$

= $- \frac{3}{2 (12 - 4)} + \frac{3}{2 (8 - 4)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2 \cdot 4}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{16} + \frac{3}{8}$

= $- \frac{3}{16} + \frac{6}{16}$

= $\frac{3}{16}$

≈ 0,188

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 11 + $\frac{3}{16}$ = $\frac{179}{16}$ ≈ 11.19

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,1 e^{- 0,1 x + 0,9} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,1 e^{- 0,1 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,1 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,1 u + 0,9} + e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,9}$

= $- e^{- 0,1 u + 0,9} + e^{0 + 0,9}$

= $- e^{- 0,1 u + 0,9} + e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,1 u + 0,9} + e^{0,9}$	=	$1$	\| $- e^{0,9}$
$- e^{- 0,1 u + 0,9}$	=	$- e^{0,9} + 1$
$- e^{- 0,1 u + 0,9}$	=	$- 1,4596$	\|: $- 1$
$e^{- 0,1 u + 0,9}$	=	$1,4596$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,9$	=	$\ln (1,4596)$

$- 0,1 u + 0,9$	=	$0,3782$	\| $- 0,9$
$- 0,1 u$	=	$- 0,5218$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$5,218$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (2 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (2 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (0))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 3 e^{- 3 x + 6} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 6}]}_{2}^{u}$

$=$ $- e^{- 3 u + 6} + e^{- 3 \cdot 2 + 6}$

= $- e^{- 3 u + 6} + e^{- 6 + 6}$

= $- e^{- 3 u + 6} + e^{0}$

= $- e^{- 3 u + 6} + 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{- 3 u + 6} + 1$ → $0 + 1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale