Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 12,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 18 + = ≈ 30.44
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 27,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 3 + = ≈ 30.11
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
47
-10
=
-4,7
u2 =
1
-
2116
-10
=
1
-46
-10
=
-45
-10
=
4,5
Da u=
-4,7
< 1 ist u=
4,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6⋅ cos( 2x - π) zwischen 0 und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π+0
∫
0
3
2
π
6⋅
cos(
2x
- π)
ⅆ
x
=
2
3
π
[
3⋅
sin(
2x
- π)
]
0
3
2
π
=
2
3
π
·
(
3⋅
sin(
2⋅(
3
2
π )
- π)
-3⋅
sin(
2⋅( 0 )
- π)
)
=
2
3
π
·
(
3⋅
sin(2π)
-3⋅
sin(-π)
)
=
2
3
π
·
(
3⋅0
-3⋅0
)
=
2
3
π
·
(
0+0
)
=
2
3
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -x +1 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
2
(
-x
+1
)
2
ⅆ
x
=
∫
2
u
2
(
-x
+1
)
-2
ⅆ
x
=
[
2
(
-x
+1
)
-1
]
2
u
=
[
2
-x
+1
]
2
u
=
2
-u
+1
-
2
-2
+1
=
2
-u
+1
-
2
( -1 )
=
2
-u
+1
-2⋅( -1 )
=
2
-u
+1
+2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
-u
+1
+2
→
0
+2
=
2
≈ 2
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2