Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 2x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 9 s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 9 und 27 2 :
9 27 2 6 2x -2 x
= 9 27 2 6 ( 2x -2 ) 1 2 x

= [ 2 ( 2x -2 ) 3 2 ] 9 27 2

= [ 2 ( 2x -2 ) 3 ] 9 27 2

= 2 ( 2( 27 2 ) -2 ) 3 -2 ( 29 -2 ) 3

= 2 ( 27 -2 ) 3 -2 ( 18 -2 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 5 3 -2 4 3

= 2125 -264

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 9 und der Änderung zwischen 9 und 27 2 zusammen:
B = 20 + 122 = 142

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 3x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 5 e 3x -3 x

= [ 5 3 e 3x -3 ] 0 2

= 5 3 e 32 -3 - 5 3 e 30 -3

= 5 3 e 6 -3 - 5 3 e 0 -3

= 5 3 e 3 - 5 3 e -3


≈ 33,393
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 19 + 5 3 e 3 - 5 3 e -3 ≈ 52.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 1,4 e -0,7x +0,8 x = 1

Lösung einblenden
0 u 1,4 e -0,7x +0,8 x

= [ -2 e -0,7x +0,8 ] 0 u

= -2 e -0,7u +0,8 +2 e -0,70 +0,8

= -2 e -0,7u +0,8 +2 e 0 +0,8

= -2 e -0,7u +0,8 +2 e 0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 e -0,7u +0,8 +2 e 0,8 = 1 | -2 e 0,8
-2 e -0,7u +0,8 = -2 e 0,8 +1
-2 e -0,7u +0,8 = -3,4511 |:-2
e -0,7u +0,8 = 1,7256 |ln(⋅)
-0,7u +0,8 = ln( 1,7256 )
-0,7u +0,8 = 0,5456 | -0,8
-0,7u = -0,2544 |:(-0,7 )
u = 0,3634

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 4 cos( 2x + 3 2 π) zwischen 0 und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π 4 cos( 2x + 3 2 π) x

= 2 3 π [ 2 sin( 2x + 3 2 π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( 2 sin( 2( 3 2 π ) + 3 2 π) -2 sin( 2( 0 ) + 3 2 π) )

= 2 3 π · ( 2 sin( 9 2 π) -2 sin( 3 2 π) )

= 2 3 π · ( 21 -2( -1 ) )

= 2 3 π · ( 2 +2 )

= 2 3 π · 4

= 8 3 π


≈ 0,849

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -2x +1 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u 2 ( -2x +1 ) 2 x
= 1 u 2 ( -2x +1 ) -2 x

= [ ( -2x +1 ) -1 ] 1 u

= [ 1 -2x +1 ] 1 u

= 1 -2u +1 - 1 -21 +1

= 1 -2u +1 - 1 -2 +1

= 1 -2u +1 - 1 ( -1 )

= 1 -2u +1 - ( -1 )

= 1 -2u +1 +1

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 -2u +1 +1 0 +1 = 1 ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1