Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $6$ Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $14$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

6

und

14

:

\int_{6}^{14} 6 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{6}^{14} 6 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{14}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{14}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 3^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 27$

= $250 - 54$

= $196$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

6

und der Änderung zwischen

6

und

14

zusammen:

B = 10 + $196$ = $206$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 5 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 5 - 1} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 1}$

= $\frac{5}{2} e^{10 - 1} - \frac{5}{2} e^{4 - 1}$

= $\frac{5}{2} e^{9} - \frac{5}{2} e^{3}$

≈ 20207,496

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 73 + $\frac{5}{2} e^{9} - \frac{5}{2} e^{3}$ ≈ 20280.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} - 8 x ⅆ x$ = $- 32$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} - 8 x ⅆ x

= ${[- 4 x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 4 \cdot 1^{2}$

= $- 4 u^{2} + 4 \cdot 1$

= $- 4 u^{2} + 4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 32$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 u^{2} + 4$	=	$- 32$	\| $- 4$
$- 4 u^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 4)$
$u^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
u₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Da u= $- 3$ < 1 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 {(3 x - 6)}^{2}$ zwischen 2 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} 6 {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3 \cdot 5 - 6)}^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 6)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(15 - 6)}^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(6 - 6)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 729 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{3} (486 + 0)$

= $162$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $10$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{10} - \frac{3}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{10} - 3 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 3 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{10}$

= ${[- 3 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{10}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot 10 - 4} + 3 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 3 \sqrt{20 - 4} + 3 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 3 \sqrt{16} + 3 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 3 \cdot 4 + 3 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 12 + 3 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $3 \sqrt{2 u - 4} - 12$ → $0 - 12$ = $- 12$ ≈ -12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale