Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
≈ 20,036
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 28 +
≈ 48.04
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
=
≈ 72,847
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 17 +
≈ 89.85
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
9
2
=
4,5
u2 =
1
-
64
2
=
1
-8
2
=
-7
2
=
-3,5
Da u=
-3,5
< 3 ist u=
4,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 2x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 5 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
5
-1
∫
1
5
4
2x
-1
ⅆ
x
=
1
4
∫
1
5
4
(
2x
-1
)
1
2
ⅆ
x
=
1
4
[
4
3
(
2x
-1
)
3
2
]
1
5
=
1
4
[
4
3
(
2x
-1
)
3
]
1
5
=
1
4
(
4
3
(
2⋅5
-1
)
3
-
4
3
(
2⋅1
-1
)
3
)
=
1
4
(
4
3
(
10
-1
)
3
-
4
3
(
2
-1
)
3
)
=
1
4
(
4
3
(
9
)
3
-
4
3
(
1
)
3
)
=
1
4
(
4
3
⋅
3
3
-
4
3
⋅
1
3
)
=
1
4
(
4
3
⋅27
-
4
3
⋅1
)
=
1
4
(
36
-
4
3
)
=
1
4
(
108
3
-
4
3
)
=
1
4
·
104
3
=
26
3
≈ 8,667
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -5 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
(
3x
-5
)
2
ⅆ
x
=
∫
2
u
3
(
3x
-5
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
(
3x
-5
)
-1
]
2
u
=
[
-
1
3x
-5
]
2
u
=
-
1
3u
-5
+
1
3⋅2
-5
=
-
1
3u
-5
+
1
6
-5
=
-
1
3u
-5
+
1
1
=
-
1
3u
-5
+ 1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
3u
-5
+1
→
0
+1
=
1
≈ 1
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1