Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 6 e 3x -4 x

= [ 2 e 3x -4 ] 2 5

= 2 e 35 -4 -2 e 32 -4

= 2 e 15 -4 -2 e 6 -4

= 2 e 11 -2 e 2


≈ 119733,505
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 25 + 2 e 11 -2 e 2 ≈ 119758.51

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 6 e 3x -4 x

= [ 2 e 3x -4 ] 0 3

= 2 e 33 -4 -2 e 30 -4

= 2 e 9 -4 -2 e 0 -4

= 2 e 5 -2 e -4


≈ 296,79
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 28 + 2 e 5 -2 e -4 ≈ 324.79

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 5,4 e -0,6x +0,9 x = 2

Lösung einblenden
0 u 5,4 e -0,6x +0,9 x

= [ -9 e -0,6x +0,9 ] 0 u

= -9 e -0,6u +0,9 +9 e -0,60 +0,9

= -9 e -0,6u +0,9 +9 e 0 +0,9

= -9 e -0,6u +0,9 +9 e 0,9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-9 e -0,6u +0,9 +9 e 0,9 = 2 | -9 e 0,9
-9 e -0,6u +0,9 = -9 e 0,9 +2
-9 e -0,6u +0,9 = -20,1364 |:-9
e -0,6u +0,9 = 2,2374 |ln(⋅)
-0,6u +0,9 = ln( 2,2374 )
-0,6u +0,9 = 0,8053 | -0,9
-0,6u = -0,0947 |:(-0,6 )
u = 0,1578

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 x -3 zwischen 5 und 7.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 7 -5 5 7 3 x -3 x
= 1 2 5 7 3 ( x -3 ) -1 x

= 1 2 [ 3 ln( | x -3 | ) ] 5 7

= 1 2 (3 ln( | 7 -3 | ) -3 ln( | 5 -3 | ) )

= 1 2 (3 ln( 4 ) -3 ln( | 5 -3 | ) )

= 1 2 (3 ln( 4 ) -3 ln( 2 ) )


≈ 1,04

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -2x +4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 1 ( -2x +4 ) 3 x
= 3 u - ( -2x +4 ) -3 x

= [ - 1 4 ( -2x +4 ) -2 ] 3 u

= [ - 1 4 ( -2x +4 ) 2 ] 3 u

= - 1 4 ( -2u +4 ) 2 + 1 4 ( -23 +4 ) 2

= - 1 4 ( -2u +4 ) 2 + 1 4 ( -6 +4 ) 2

= - 1 4 ( -2u +4 ) 2 + 1 4 ( -2 ) 2

= - 1 4 ( -2u +4 ) 2 + 1 4 ( 1 4 )

= - 1 4 ( -2u +4 ) 2 + 1 16

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 4 ( -2u +4 ) 2 + 1 16 0 + 1 16 = 1 16 ≈ 0.063

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.063