Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 6 e x -3 x

= [ 6 e x -3 ] 1 3

= 6 e 3 -3 -6 e 1 -3

= 6 e 0 -6 e -2

= 6 -6 e -2


≈ 5,188
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 16 + -6 e -2 +6 ≈ 21.19

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 3 s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 3 und 28 3 :
19 3 28 3 6 3x -3 x
= 19 3 28 3 6 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -3 ) 3 2 ] 19 3 28 3

= [ 4 3 ( 3x -3 ) 3 ] 19 3 28 3

= 4 3 ( 3( 28 3 ) -3 ) 3 - 4 3 ( 3( 19 3 ) -3 ) 3

= 4 3 ( 28 -3 ) 3 - 4 3 ( 19 -3 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 3 und der Änderung zwischen 19 3 und 28 3 zusammen:
B = 5 + 244 3 = 259 3 ≈ 86.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 10x -3 ) x = 108

Lösung einblenden
1 u ( 10x -3 ) x

= [ 5 x 2 -3x ] 1 u

= 5 u 2 -3u - ( 5 1 2 -31 )

= 5 u 2 -3u - ( 51 -3 )

= 5 u 2 -3u - ( 5 -3 )

= 5 u 2 -3u -1 · 2

= 5 u 2 -3u -2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 108 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -3u -2 = 108 | -108

5 u 2 -3u -110 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 5 · ( -110 ) 25

u1,2 = +3 ± 9 +2200 10

u1,2 = +3 ± 2209 10

u1 = 3 + 2209 10 = 3 +47 10 = 50 10 = 5

u2 = 3 - 2209 10 = 3 -47 10 = -44 10 = -4,4

Da u= -4,4 < 1 ist u= 5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 1 ( x -1 ) 2 zwischen 3 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 1 ( x -1 ) 2 x
= 1 2 3 5 ( x -1 ) -2 x

= 1 2 [ - ( x -1 ) -1 ] 3 5

= 1 2 [ - 1 x -1 ] 3 5

= 1 2 ( - 1 5 -1 + 1 3 -1 )

= 1 2 ( - 1 4 + 1 2 )

= 1 2 ( -( 1 4 ) + 1 2 )

= 1 2 · 1 4


= 0,125

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 -x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 2 -x +1 x
= 3 u -2 ( -x +1 ) -1 x

= [ 2 ln( | -x +1 | ) ] 3 u

= 2 ln( | -( u ) +1 | ) -2 ln( | -3 +1 | )

= 2 ln( | -u +1 | ) -2 ln( | -3 +1 | )

= 2 ln( | -u +1 | ) -2 ln( 2 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = -2 ln( 2 ) +2 ln( | -x +1 | )