Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 2 e x -2 x

= [ 2 e x -2 ] 0 2

= 2 e 2 -2 -2 e 0 -2

= 2 e 0 -2 e -2

= 2 -2 e -2


≈ 1,729
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 2 + -2 e -2 +2 ≈ 3.73

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 7 s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 21 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 7 und 21 2 :
7 21 2 2x -5 x
= 7 21 2 ( 2x -5 ) 1 2 x

= [ 1 3 ( 2x -5 ) 3 2 ] 7 21 2

= [ 1 3 ( 2x -5 ) 3 ] 7 21 2

= 1 3 ( 2( 21 2 ) -5 ) 3 - 1 3 ( 27 -5 ) 3

= 1 3 ( 21 -5 ) 3 - 1 3 ( 14 -5 ) 3

= 1 3 ( 16 ) 3 - 1 3 ( 9 ) 3

= 1 3 4 3 - 1 3 3 3

= 1 3 64 - 1 3 27

= 64 3 -9

= 64 3 - 27 3

= 37 3


≈ 12,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 7 und der Änderung zwischen 7 und 21 2 zusammen:
B = 20 + 37 3 = 97 3 ≈ 32.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( -2x +5 ) x = -12

Lösung einblenden
3 u ( -2x +5 ) x

= [ - x 2 +5x ] 3 u

= - u 2 +5u - ( - 3 2 +53 )

= - u 2 +5u - ( -9 +15 )

= - u 2 +5u +9 -15

= - u 2 +5u -6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -12 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u 2 +5u -6 = -12 | +12

- u 2 +5u +6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -5 ± 5 2 -4 · ( -1 ) · 6 2( -1 )

u1,2 = -5 ± 25 +24 -2

u1,2 = -5 ± 49 -2

u1 = -5 + 49 -2 = -5 +7 -2 = 2 -2 = -1

u2 = -5 - 49 -2 = -5 -7 -2 = -12 -2 = 6

Da u= -1 < 3 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 x -2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 18 und Minute 27 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 27 -18 18 27 3 x -2 x
= 1 9 18 27 3 ( x -2 ) 1 2 x

= 1 9 [ 2 ( x -2 ) 3 2 ] 18 27

= 1 9 [ 2 ( x -2 ) 3 ] 18 27

= 1 9 ( 2 ( 27 -2 ) 3 -2 ( 18 -2 ) 3 )

= 1 9 ( 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3 )

= 1 9 ( 2 5 3 -2 4 3 )

= 1 9 ( 2125 -264 )

= 1 9 ( 250 -128 )

= 1 9 · 122

= 122 9


≈ 13,556

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( x -3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 u - 1 ( x -3 ) 3 x
= 5 u - ( x -3 ) -3 x

= [ 1 2 ( x -3 ) -2 ] 5 u

= [ 1 2 ( x -3 ) 2 ] 5 u

= 1 2 ( u -3 ) 2 - 1 2 ( 5 -3 ) 2

= 1 2 ( u -3 ) 2 - 1 2 2 2

= 1 2 ( u -3 ) 2 - 1 2 ( 1 4 )

= 1 2 ( u -3 ) 2 - 1 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 ( u -3 ) 2 - 1 8 0 - 1 8 = - 1 8 ≈ -0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125