Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 5 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 2} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{5}{2} e^{4 - 2} - \frac{5}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{0}$

= $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2}$

≈ 15,973

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 18 + $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2}$ ≈ 33.97

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{8}{3}$ Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{13}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{13}{3}

:

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}} 3 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}} 3 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{8}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{13 - 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{8 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 8$

= $18 - \frac{16}{3}$

= $\frac{54}{3} - \frac{16}{3}$

= $\frac{38}{3}$

≈ 12,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{8}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{13}{3}

zusammen:

B = 12 + $\frac{38}{3}$ = $\frac{74}{3}$ ≈ 24.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 8 x ⅆ x$ = $- 153$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 8 x ⅆ x

= ${[- 4 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 4 \cdot 2^{2}$

= $- 4 u^{2} + 4 \cdot 4$

= $- 4 u^{2} + 16$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 153$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 u^{2} + 16$	=	$- 153$	\| $- 16$
$- 4 u^{2}$	=	$- 169$	\|: $(- 4)$
$u^{2}$	=	$\frac{169}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{\frac{169}{4}}$	= $- \frac{13}{2}$
u₂	=	$\sqrt{\frac{169}{4}}$	= $\frac{13}{2}$

Da u= $- \frac{13}{2}$ < 2 ist u= $\frac{13}{2}$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 5 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{5}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot π + \frac{1}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot 1 - \frac{5}{2} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{2} + \frac{5}{2})$

= $\frac{2}{π} \cdot (2,5 + 2,5)$

= $\frac{2}{π} \cdot 5$

= $\frac{10}{π}$

≈ 3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 2 e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 2 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 6 + 3}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{2}{3} e^{- 3}$ → $0 - \frac{2}{3} e^{- 3}$ = $- \frac{2}{3} e^{- 3}$ ≈ -0.033

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.033

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale