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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -5 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
∫ 2 3 3 ( 3x -5 ) 4 ⅆ x
= ∫ 2 3 3 ( 3x -5 ) -4 ⅆ x

= [ - 1 3 ( 3x -5 ) -3 ] 2 3

= [ - 1 3 ( 3x -5 ) 3 ] 2 3

= - 1 3 ( 3⋅3 -5 ) 3 + 1 3 ( 3⋅2 -5 ) 3

= - 1 3 ( 9 -5 ) 3 + 1 3 ( 6 -5 ) 3

= - 1 3⋅ 4 3 + 1 3⋅ 1 3

= - 1 3 ⋅( 1 64 ) + 1 3 ⋅1

= - 1 192 + 1 3

= - 1 192 + 64 192

= 21 64


≈ 0,328
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 16 + 21 64 = 1045 64 ≈ 16.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 14 3 s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 14 3 und 7:
∫ 14 3 7 6 3x -5 ⅆ x
= ∫ 14 3 7 6 ( 3x -5 ) 1 2 ⅆ x

= [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 2 ] 14 3 7

= [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 ] 14 3 7

= 4 3 ( 3⋅7 -5 ) 3 - 4 3 ( 3⋅( 14 3 ) -5 ) 3

= 4 3 ( 21 -5 ) 3 - 4 3 ( 14 -5 ) 3

= 4 3 ( 16 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 ⋅ 4 3 - 4 3 ⋅ 3 3

= 4 3 ⋅64 - 4 3 ⋅27

= 256 3 -36

= 256 3 - 108 3

= 148 3


≈ 49,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 14 3 und der Änderung zwischen 14 3 und 7 zusammen:
B = 11 + 148 3 = 181 3 ≈ 60.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u ( 4x +1 ) ⅆ x = 3

Lösung einblenden
∫ 0 u ( 4x +1 ) ⅆ x

= [ 2 x 2 + x ] 0 u

= 2 u 2 + u - ( 2⋅ 0 2 +0)

= 2 u 2 + u - ( 2⋅0 +0)

= 2 u 2 + u - (0+0)

= 2 u 2 + u +0

= 2 u 2 + u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 3 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 + u = 3 | -3

2 u 2 + u -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 2 · ( -3 ) 2⋅2

u1,2 = -1 ± 1 +24 4

u1,2 = -1 ± 25 4

u1 = -1 + 25 4 = -1 +5 4 = 4 4 = 1

u2 = -1 - 25 4 = -1 -5 4 = -6 4 = -1,5

Da u= -1,5 < 0 ist u= 1 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= e 3x -3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 +0 ∫ 0 5 e 3x -3 ⅆ x

= 1 5 [ 1 3 e 3x -3 ] 0 5

= 1 5 ( 1 3 e 3⋅5 -3 - 1 3 e 3⋅0 -3 )

= 1 5 ( 1 3 e 15 -3 - 1 3 e 0 -3 )

= 1 5 ( 1 3 e 12 - 1 3 e -3 )


≈ 10850,316

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( x -2 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 3 u 1 ( x -2 ) 2 ⅆ x
= ∫ 3 u ( x -2 ) -2 ⅆ x

= [ - ( x -2 ) -1 ] 3 u

= [ - 1 x -2 ] 3 u

= - 1 u -2 + 1 3 -2

= - 1 u -2 + 1 1

= - 1 u -2 + 1

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 u -2 +1 → 0 +1 = 1 ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1