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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 11 s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 18 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 18:
∫ 11 18 6 x -2 ⅆ x
= ∫ 11 18 6 ( x -2 ) 1 2 ⅆ x

= [ 4 ( x -2 ) 3 2 ] 11 18

= [ 4 ( x -2 ) 3 ] 11 18

= 4 ( 18 -2 ) 3 -4 ( 11 -2 ) 3

= 4 ( 16 ) 3 -4 ( 9 ) 3

= 4⋅ 4 3 -4⋅ 3 3

= 4⋅64 -4⋅27

= 256 -108

= 148

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 18 zusammen:
B = 3 + 148 = 151

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 3x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
∫ 0 3 3 e 3x -5 ⅆ x

= [ e 3x -5 ] 0 3

= e 3⋅3 -5 - e 3⋅0 -5

= e 9 -5 - e 0 -5

= e 4 - e -5


≈ 54,591
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 64 + e 4 - e -5 ≈ 118.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 3,2 e 0,8x -0,6 ⅆ x = 19

Lösung einblenden
∫ 0 u 3,2 e 0,8x -0,6 ⅆ x

= [ 4 e 0,8x -0,6 ] 0 u

= 4 e 0,8u -0,6 -4 e 0,8⋅0 -0,6

= 4 e 0,8u -0,6 -4 e 0 -0,6

= 4 e 0,8u -0,6 -4 e -0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 19 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 e 0,8u -0,6 -4 e -0,6 = 19 | +4 e -0,6
4 e 0,8u -0,6 = 4 e -0,6 +19
4 e 0,8u -0,6 = 21,1952 |:4
e 0,8u -0,6 = 5,2988 |ln(⋅)
0,8u -0,6 = ln( 5,2988 )
0,8u -0,6 = 1,6675 | +0,6
0,8u = 2,2675 |:0,8
u = 2,8344

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 x -2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -3 ∫ 3 4 3 x -2 ⅆ x
= 1 ∫ 3 4 3 ( x -2 ) -1 ⅆ x

= 1 [ 3 ln( | x -2 | ) ] 3 4

= 3 ln( | 4 -2 | ) -3 ln( | 3 -2 | )

= 3 ln( 2 ) -3 ln( | 3 -2 | )

= 3 ln( 2 ) -3 ln( 1 )

= 3 ln( 2 ) +0

= 3 ln( 2 )


≈ 2,079

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( -3x +7 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 4 u - 2 ( -3x +7 ) 3 ⅆ x
= ∫ 4 u -2 ( -3x +7 ) -3 ⅆ x

= [ - 1 3 ( -3x +7 ) -2 ] 4 u

= [ - 1 3 ( -3x +7 ) 2 ] 4 u

= - 1 3 ( -3u +7 ) 2 + 1 3 ( -3⋅4 +7 ) 2

= - 1 3 ( -3u +7 ) 2 + 1 3 ( -12 +7 ) 2

= - 1 3 ( -3u +7 ) 2 + 1 3 ( -5 ) 2

= - 1 3 ( -3u +7 ) 2 + 1 3 ⋅( 1 25 )

= - 1 3 ( -3u +7 ) 2 + 1 75

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 3 ( -3u +7 ) 2 + 1 75 → 0 + 1 75 = 1 75 ≈ 0.013

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.013