Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 12,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 8 + = ≈ 20.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 15 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
18
2
=
9
u2 =
2
-
256
2
=
2
-16
2
=
-14
2
=
-7
Da u=
-7
< 2 ist u=
9
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3⋅ cos( 2x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π+0
∫
0
π
3⋅
cos(
2x
-
3
2
π)
ⅆ
x
=
1
π
[
3
2
⋅
sin(
2x
-
3
2
π)
]
0
π
=
1
π
·
(
3
2
⋅
sin(
2⋅π
-
3
2
π)
-
3
2
⋅
sin(
2⋅( 0 )
-
3
2
π)
)
=
1
π
·
(
3
2
⋅
sin(
1
2
π)
-
3
2
⋅
sin(
-
3
2
π)
)
=
1
π
·
(
3
2
⋅1
-
3
2
⋅1
)
=
1
π
·
(
3
2
-
3
2
)
=
1
π
·
(
1,5
-1,5
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 11 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
11
2
2x
-6
ⅆ
x
=
∫
u
11
2
(
2x
-6
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
2
(
2x
-6
)
1
2
]
u
11
=
[
2
2x
-6
]
u
11
=
2
2⋅11
-6
-2
2u
-6
=
2
22
-6
-2
2u
-6
=
2
16
-2
2u
-6
=
2⋅4
-2
2u
-6
=
8
-2
2u
-6
Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) =
-2
2u
-6
+8
→
0
+8
=
8
≈ 8
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8