Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( x -1 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 3 ( x -1 ) 2 x
= 2 4 3 ( x -1 ) -2 x

= [ -3 ( x -1 ) -1 ] 2 4

= [ - 3 x -1 ] 2 4

= - 3 4 -1 + 3 2 -1

= - 3 3 + 3 1

= -3( 1 3 ) +31

= -1 +3

= 2

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 3 + 2 = 5

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 2x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 51 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 2 e 2x -5 x

= [ e 2x -5 ] 0 1

= e 21 -5 - e 20 -5

= e 2 -5 - e 0 -5

= e -3 - e -5


≈ 0,043
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 51 + e -3 - e -5 ≈ 51.04

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,1 e 0,7x -0,4 x = 15

Lösung einblenden
0 u 2,1 e 0,7x -0,4 x

= [ 3 e 0,7x -0,4 ] 0 u

= 3 e 0,7u -0,4 -3 e 0,70 -0,4

= 3 e 0,7u -0,4 -3 e 0 -0,4

= 3 e 0,7u -0,4 -3 e -0,4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 15 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 e 0,7u -0,4 -3 e -0,4 = 15 | +3 e -0,4
3 e 0,7u -0,4 = 3 e -0,4 +15
3 e 0,7u -0,4 = 17,011 |:3
e 0,7u -0,4 = 5,6703 |ln(⋅)
0,7u -0,4 = ln( 5,6703 )
0,7u -0,4 = 1,7352 | +0,4
0,7u = 2,1352 |:0,7
u = 3,0503

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 cos( 3x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 2 cos( 3x + 1 2 π) x

= 2 π [ 2 3 sin( 3x + 1 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 2 3 sin( 3π + 1 2 π) - 2 3 sin( 3( 1 2 π ) + 1 2 π) )

= 2 π · ( 2 3 sin( 7 2 π) - 2 3 sin(2π) )

= 2 π · ( 2 3 ( -1 ) - 2 3 0 )

= 2 π · ( - 2 3 +0 )

= 2 π · ( - 2 3 +0 )

= 2 π · ( - 2 3 )

= - 4 3 π


≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e x -1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u - e x -1 x

= [ - e x -1 ] 1 u

= - e u -1 + e 1 -1

= - e u -1 + e 0

= - e u -1 +1

Für u → ∞ gilt: A(u) = - e u -1 +1 -