Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
=
≈ 1,729
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 6 +
≈ 7.73
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
=
=
=
=
=
=
=
=
= 1,8
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7
zusammen:
B = 19 + = ≈ 20.8
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
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= |
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|: |
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|ln(⋅) |
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= |
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|: |
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= |
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Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= zwischen und .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
=
=
=
=
≈ -0,212
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
=
=
=
=
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) =
→
=
≈ -0.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5