Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $10$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

10

:

\int_{7}^{10} 4 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{10} 4 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{10}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{7}^{10}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 64$

= $\frac{1000}{9} - \frac{512}{9}$

= $\frac{488}{9}$

≈ 54,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

10

zusammen:

B = 3 + $\frac{488}{9}$ = $\frac{515}{9}$ ≈ 57.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 65 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 5 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{15 - 6} - \frac{1}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{9} - \frac{1}{3} e^{0}$

= $\frac{1}{3} e^{9} - \frac{1}{3}$

≈ 2700,695

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 65 + $\frac{1}{3} e^{9} - \frac{1}{3}$ ≈ 2765.69

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} e^{- 0,2 x + 0,9} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} e^{- 0,2 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,2 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,2 u + 0,9} + 5 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 5 e^{- 0,2 u + 0,9} + 5 e^{0 + 0,9}$

= $- 5 e^{- 0,2 u + 0,9} + 5 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,2 u + 0,9} + 5 e^{0,9}$	=	$4$	\| $- 5 e^{0,9}$
$- 5 e^{- 0,2 u + 0,9}$	=	$- 5 e^{0,9} + 4$
$- 5 e^{- 0,2 u + 0,9}$	=	$- 8,298$	\|: $- 5$
$e^{- 0,2 u + 0,9}$	=	$1,6596$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,9$	=	$\ln (1,6596)$

$- 0,2 u + 0,9$	=	$0,5066$	\| $- 0,9$
$- 0,2 u$	=	$- 0,3934$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$1,967$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (2 π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - \frac{2}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{2}{3})$

= $- \frac{4}{3 π}$

≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- x + 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{1}{{(- x + 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} {(- x + 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- x + 2)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(- x + 2)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(- u + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 4 + 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- u + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- u + 2)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{2 {(- u + 2)}^{2}} - \frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(- u + 2)}^{2}} - \frac{1}{8}$ → $0 - \frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{8}$ ≈ -0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale