Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 7}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 7} - e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $e^{9 - 7} - e^{6 - 7}$

= $e^{2} - e^{- 1}$

≈ 7,021

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 17 + $e^{2} - e^{- 1}$ ≈ 24.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 26 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 1}$

≈ 2,34

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 26 + $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 1}$ ≈ 28.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,4 e^{- 0,6 x + 0,7} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,4 e^{- 0,6 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,6 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,6 u + 0,7} + 4 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 4 e^{- 0,6 u + 0,7} + 4 e^{0 + 0,7}$

= $- 4 e^{- 0,6 u + 0,7} + 4 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,6 u + 0,7} + 4 e^{0,7}$	=	$3$	\| $- 4 e^{0,7}$
$- 4 e^{- 0,6 u + 0,7}$	=	$- 4 e^{0,7} + 3$
$- 4 e^{- 0,6 u + 0,7}$	=	$- 5,055$	\|: $- 4$
$e^{- 0,6 u + 0,7}$	=	$1,2638$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,7$	=	$\ln (1,2638)$

$- 0,6 u + 0,7$	=	$0,2341$	\| $- 0,7$
$- 0,6 u$	=	$- 0,4659$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$0,7765$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(3 x - 5)}^{3} + 5 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (4 {(3 x - 5)}^{3} + 5 x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{4} + \frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 3 - 5)}^{4} + \frac{5}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 0 - 5)}^{4} + \frac{5}{2} \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(9 - 5)}^{4} + \frac{5}{2} \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot {(0 - 5)}^{4} + \frac{5}{2} \cdot 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 4^{4} + \frac{45}{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 5)}^{4} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 256 + \frac{45}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 625 + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{256}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{625}{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{512}{6} + \frac{135}{6} - (\frac{625}{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{647}{6} - \frac{625}{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{647}{6} - \frac{1250}{6})$

= $\frac{1}{3} (\frac{647}{6} - \frac{625}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot (- \frac{201}{2})$

= -33,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{- x + 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(- x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| - x + 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $2 \ln (| - (u) + 3 |) - 2 \ln (| - 4 + 3 |)$

= $2 \ln (| - u + 3 |) - 2 \ln (| - 4 + 3 |)$

= $2 \ln (| - u + 3 |) - 2 \ln (1)$

= $2 \ln (| - u + 3 |) + 0$

= $2 \ln (| - x + 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \ln (| - x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale