Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 5 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 5 - 3} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{10 - 3} - \frac{5}{2} e^{4 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{7} - \frac{5}{2} e^{1}$

= $\frac{5}{2} e^{7} - \frac{5}{2} e$

≈ 2734,787

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 3 + $\frac{5}{2} e^{7} - \frac{5}{2} e$ ≈ 2737.79

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 48 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{3 \cdot 4 - 4} - e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $e^{12 - 4} - e^{3 - 4}$

= $e^{8} - e^{- 1}$

≈ 2980,59

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 48 + $e^{8} - e^{- 1}$ ≈ 3028.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,5 e^{- 0,5 x + 0,6} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,5 e^{- 0,5 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,5 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,5 u + 0,6} + e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,6}$

= $- e^{- 0,5 u + 0,6} + e^{0 + 0,6}$

= $- e^{- 0,5 u + 0,6} + e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,5 u + 0,6} + e^{0,6}$	=	$1$	\| $- e^{0,6}$
$- e^{- 0,5 u + 0,6}$	=	$- e^{0,6} + 1$
$- e^{- 0,5 u + 0,6}$	=	$- 0,8221$	\|: $- 1$
$e^{- 0,5 u + 0,6}$	=	$0,8221$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,6$	=	$\ln (0,8221)$

$- 0,5 u + 0,6$	=	$- 0,1959$	\| $- 0,6$
$- 0,5 u$	=	$- 0,7959$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$1,5918$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 4 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[2 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot 1 - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 - 2)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| x - 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\ln (| u - 2 |) - \ln (| 3 - 2 |)$

= $\ln (| u - 2 |) - \ln (1)$

= $\ln (| u - 2 |) + 0$

= $\ln (| x - 2 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (| x - 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

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Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale