Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 7 3 s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 7 3 und 4:
7 3 4 3x -3 x
= 7 3 4 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 2 9 ( 3x -3 ) 3 2 ] 7 3 4

= [ 2 9 ( 3x -3 ) 3 ] 7 3 4

= 2 9 ( 34 -3 ) 3 - 2 9 ( 3( 7 3 ) -3 ) 3

= 2 9 ( 12 -3 ) 3 - 2 9 ( 7 -3 ) 3

= 2 9 ( 9 ) 3 - 2 9 ( 4 ) 3

= 2 9 3 3 - 2 9 2 3

= 2 9 27 - 2 9 8

= 6 - 16 9

= 54 9 - 16 9

= 38 9


≈ 4,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 7 3 und der Änderung zwischen 7 3 und 4 zusammen:
B = 4 + 38 9 = 74 9 ≈ 8.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3x -6 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 22 3 s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 31 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 22 3 und 31 3 :
22 3 31 3 3x -6 x
= 22 3 31 3 ( 3x -6 ) 1 2 x

= [ 2 9 ( 3x -6 ) 3 2 ] 22 3 31 3

= [ 2 9 ( 3x -6 ) 3 ] 22 3 31 3

= 2 9 ( 3( 31 3 ) -6 ) 3 - 2 9 ( 3( 22 3 ) -6 ) 3

= 2 9 ( 31 -6 ) 3 - 2 9 ( 22 -6 ) 3

= 2 9 ( 25 ) 3 - 2 9 ( 16 ) 3

= 2 9 5 3 - 2 9 4 3

= 2 9 125 - 2 9 64

= 250 9 - 128 9

= 122 9


≈ 13,556
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 22 3 und der Änderung zwischen 22 3 und 31 3 zusammen:
B = 4 + 122 9 = 158 9 ≈ 17.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( -10x +2 ) x = -76

Lösung einblenden
3 u ( -10x +2 ) x

= [ -5 x 2 +2x ] 3 u

= -5 u 2 +2u - ( -5 3 2 +23 )

= -5 u 2 +2u - ( -59 +6 )

= -5 u 2 +2u - ( -45 +6 )

= -5 u 2 +2u -1 · ( -39 )

= -5 u 2 +2u +39

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -76 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 +2u +39 = -76 | +76

-5 u 2 +2u +115 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · ( -5 ) · 115 2( -5 )

u1,2 = -2 ± 4 +2300 -10

u1,2 = -2 ± 2304 -10

u1 = -2 + 2304 -10 = -2 +48 -10 = 46 -10 = -4,6

u2 = -2 - 2304 -10 = -2 -48 -10 = -50 -10 = 5

Da u= -4,6 < 3 ist u= 5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 cos( 3x - 3 2 π) zwischen 0 und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 0 π 3 cos( 3x - 3 2 π) x

= 1 π [ sin( 3x - 3 2 π) ] 0 π

= 1 π · ( sin( 3π - 3 2 π) - sin( 3( 0 ) - 3 2 π) )

= 1 π · ( sin( 3 2 π) - sin( - 3 2 π) )

= 1 π · ( -1 - 1 )

= -1 -1 π

= -2 π

= - 2 π


≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( 3x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 1 ( 3x -3 ) 2 x
= 3 u - ( 3x -3 ) -2 x

= [ 1 3 ( 3x -3 ) -1 ] 3 u

= [ 1 3( 3x -3 ) ] 3 u

= 1 3( 3u -3 ) - 1 3( 33 -3 )

= 1 3( 3u -3 ) - 1 3( 9 -3 )

= 1 3( 3u -3 ) - 1 3 6

= 1 3( 3u -3 ) - 1 3 ( 1 6 )

= 1 3( 3u -3 ) - 1 18

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 3( 3u -3 ) - 1 18 0 - 1 18 = - 1 18 ≈ -0.056

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056