Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 2} - 2 e^{0 - 2}$

= $2 e^{0} - 2 e^{- 2}$

= $2 - 2 e^{- 2}$

≈ 1,729

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 2 + $- 2 e^{- 2} + 2$ ≈ 3.73

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{21}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

\frac{21}{2}

:

\int_{7}^{\frac{21}{2}} \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{\frac{21}{2}} {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 27$

= $\frac{64}{3} - 9$

= $\frac{64}{3} - \frac{27}{3}$

= $\frac{37}{3}$

≈ 12,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

\frac{21}{2}

zusammen:

B = 20 + $\frac{37}{3}$ = $\frac{97}{3}$ ≈ 32.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 2 x + 5) ⅆ x$ = $- 12$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 2 x + 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 5 u - (- 3^{2} + 5 \cdot 3)$

= $- u^{2} + 5 u - (- 9 + 15)$

= $- u^{2} + 5 u + 9 - 15$

= $- u^{2} + 5 u - 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 12$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} + 5 u - 6

=

- 12

|

+ 12

$- u^{2} + 5 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5+7}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5-7}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Da u= $- 1$ < 3 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $18$ und Minute $27$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{27 - 18}

\int_{18}^{27} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{18}^{27} 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= $\frac{1}{9}$ ${[2 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{1}{9} (2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (2 \cdot 125 - 2 \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (250 - 128)$

= $\frac{1}{9} \cdot 122$

= $\frac{122}{9}$

≈ 13,556

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} - \frac{1}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} - {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- 2}]}_{5}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(x - 3)}^{2}}]}_{5}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2 {(5 - 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{8}$ → $0 - \frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{8}$ ≈ -0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale