Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 65 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 3} - \frac{2}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{3}$

≈ 255,562

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 65 + $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{3}$ ≈ 320.56

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 65 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 5 - 3} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{10 - 3} - \frac{1}{2} e^{4 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{7} - \frac{1}{2} e^{1}$

= $\frac{1}{2} e^{7} - \frac{1}{2} e$

≈ 546,957

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 65 + $\frac{1}{2} e^{7} - \frac{1}{2} e$ ≈ 611.96

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (6 x - 2) ⅆ x$ = $243,75$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (6 x - 2) ⅆ x

= ${[3 x^{2} - 2 x]}_{2}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 2 u - (3 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2)$

= $3 u^{2} - 2 u - (3 \cdot 4 - 4)$

= $3 u^{2} - 2 u - (12 - 4)$

= $3 u^{2} - 2 u - 1 \cdot 8$

= $3 u^{2} - 2 u - 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $243,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} - 2 u - 8

=

243,75

|

- 243,75

$3 u^{2} - 2 u - 251,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 251,75)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 3 021}}{6}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{3 025}}{6}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{3 025}}{6}$ = $\frac{2+55}{6}$ = $\frac{57}{6}$ = $9,5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{3 025}}{6}$ = $\frac{2-55}{6}$ = $\frac{- 53}{6}$ = $- \frac{53}{6}$ ≈ -8.83

Da u= $- \frac{53}{6}$ < 2 ist u= $9,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 4)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 3}

\int_{3}^{4} \frac{3}{{(3 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

1

\int_{3}^{4} 3 {(3 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= $1$ ${[- {(3 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= $1$ ${[- \frac{1}{3 x - 4}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 4 - 4} + \frac{1}{3 \cdot 3 - 4}$

= $- \frac{1}{12 - 4} + \frac{1}{9 - 4}$

= $- \frac{1}{8} + \frac{1}{5}$

= $- (\frac{1}{8}) + \frac{1}{5}$

= $\frac{3}{40}$

= 0,075

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{3}{2} e^{0 + 2}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{3}{2} e^{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{3}{2} e^{2}$ → $0 + \frac{3}{2} e^{2}$ = $\frac{3}{2} e^{2}$ ≈ 11.084

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 11.084

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale