Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 0,361
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 10 +
≈ 10.36
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 51,88
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 13 +
≈ 64.88
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
50
10
=
5
u2 =
-3
-
2809
10
=
-3
-53
10
=
-56
10
=
-5,6
Da u=
-5,6
< 2 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 ( 2x -3 ) 3 zwischen 1 und 2.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
2
-1
∫
1
2
3
(
2x
-3
)
3
ⅆ
x
=
1
[
3
8
(
2x
-3
)
4
]
1
2
=
3
8
⋅
(
2⋅2
-3
)
4
-
3
8
⋅
(
2⋅1
-3
)
4
=
3
8
⋅
(
4
-3
)
4
-
3
8
⋅
(
2
-3
)
4
=
3
8
⋅
1
4
-
3
8
⋅
( -1 )
4
=
3
8
⋅1
-
3
8
⋅1
=
3
8
-
3
8
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
3
-x
+3
ⅆ
x
=
∫
4
u
-3
(
-x
+3
)
-1
ⅆ
x
=
[
3
ln(
|
-x
+3
|
)
]
4
u
=
3
ln(
|
-(
u
)
+3
|
)
-3
ln(
|
-4
+3
|
)
=
3
ln(
|
-u
+3
|
)
-3
ln(
|
-4
+3
|
)
=
3
ln(
|
-u
+3
|
)
-3
ln(
1
)
=
3
ln(
|
-u
+3
|
)
+0
=
3
ln(
|
-x
+3
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
ln(
|
-x
+3
|
)
→
∞