Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -4 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 1 ( 2x -4 ) 4 x
= 4 7 ( 2x -4 ) -4 x

= [ - 1 6 ( 2x -4 ) -3 ] 4 7

= [ - 1 6 ( 2x -4 ) 3 ] 4 7

= - 1 6 ( 27 -4 ) 3 + 1 6 ( 24 -4 ) 3

= - 1 6 ( 14 -4 ) 3 + 1 6 ( 8 -4 ) 3

= - 1 6 10 3 + 1 6 4 3

= - 1 6 ( 1 1000 ) + 1 6 ( 1 64 )

= - 1 6000 + 1 384

= - 8 48000 + 125 48000

= 39 16000


≈ 0,002
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 2 + 39 16000 = 32039 16000 ≈ 2

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 19 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 28 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 3 x -3 x
= 19 28 3 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 2 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 2 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 2 ( 28 -3 ) 3 -2 ( 19 -3 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 5 3 -2 4 3

= 2125 -264

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 13 + 122 = 135

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( -10x -2 ) x = -208

Lösung einblenden
3 u ( -10x -2 ) x

= [ -5 x 2 -2x ] 3 u

= -5 u 2 -2u - ( -5 3 2 -23 )

= -5 u 2 -2u - ( -59 -6 )

= -5 u 2 -2u - ( -45 -6 )

= -5 u 2 -2u -1 · ( -51 )

= -5 u 2 -2u +51

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -208 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 -2u +51 = -208 | +208

-5 u 2 -2u +259 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · ( -5 ) · 259 2( -5 )

u1,2 = +2 ± 4 +5180 -10

u1,2 = +2 ± 5184 -10

u1 = 2 + 5184 -10 = 2 +72 -10 = 74 -10 = -7,4

u2 = 2 - 5184 -10 = 2 -72 -10 = -70 -10 = 7

Da u= -7,4 < 3 ist u= 7 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 6 3x -3 x
= 1 3 2 5 6 ( 3x -3 ) -1 x

= 1 3 [ 2 ln( | 3x -3 | ) ] 2 5

= 1 3 (2 ln( | 35 -3 | ) -2 ln( | 32 -3 | ) )

= 1 3 (2 ln( | 15 -3 | ) -2 ln( | 6 -3 | ) )

= 1 3 (2 ln( 12 ) -2 ln( | 6 -3 | ) )

= 1 3 (2 ln( 12 ) -2 ln( 3 ) )


≈ 0,924

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -3x +4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 2 ( -3x +4 ) 3 x
= 3 u 2 ( -3x +4 ) -3 x

= [ 1 3 ( -3x +4 ) -2 ] 3 u

= [ 1 3 ( -3x +4 ) 2 ] 3 u

= 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 3 ( -33 +4 ) 2

= 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 3 ( -9 +4 ) 2

= 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 3 ( -5 ) 2

= 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 3 ( 1 25 )

= 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 75

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 75 0 - 1 75 = - 1 75 ≈ -0.013

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.013