Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
=
=
=
≈ 0,088
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 17 + = ≈ 17.09
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 52 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 0,722
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 52 +
≈ 52.72
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
289
4
|
=
-
17
2
|
| u2 |
= |
289
4
|
=
17
2
|
Da u=
-
17
2
< 3 ist u=
17
2
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= cos( 3x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
3
2
π
cos(
3x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
1
π
[
1
3
⋅
sin(
3x
+
3
2
π)
]
1
2
π
3
2
π
=
1
π
·
(
1
3
⋅
sin(
3⋅(
3
2
π )
+
3
2
π)
-
1
3
⋅
sin(
3⋅(
1
2
π )
+
3
2
π)
)
=
1
π
·
(
1
3
⋅
sin(6π)
-
1
3
⋅
sin(3π)
)
=
1
π
·
(
1
3
⋅0
-
1
3
⋅0
)
=
1
π
·
(
0+0
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 x -1 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 10 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
10
-
1
x
-1
ⅆ
x
=
∫
u
10
-
(
x
-1
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
x
-1
)
1
2
]
u
10
=
[
-2
x
-1
]
u
10
=
-2
10
-1
+2
u
-1
=
-2
9
+2
u
-1
=
-2⋅3
+2
u
-1
=
-6
+2
u
-1
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
2
u
-1
-6
→
0
-6
=
-6
≈ -6
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6