Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{11}{2}$ s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $9$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{11}{2}

und

9

:

\int_{\frac{11}{2}}^{9} 5 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{\frac{11}{2}}^{9} 5 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{11}{2}}^{9}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{\frac{11}{2}}^{9}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{11}{2}) - 2})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - \frac{5}{3} \cdot 27$

= $\frac{320}{3} - 45$

= $\frac{320}{3} - \frac{135}{3}$

= $\frac{185}{3}$

≈ 61,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{11}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{11}{2}

und

9

zusammen:

B = 7 + $\frac{185}{3}$ = $\frac{206}{3}$ ≈ 68.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{6}{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 6 {(3 x - 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| 3 x - 7 |)]}_{3}^{6}$

$=$ $2 \ln (| 3 \cdot 6 - 7 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 3 - 7 |)$

= $2 \ln (| 18 - 7 |) - 2 \ln (| 9 - 7 |)$

= $2 \ln (11) - 2 \ln (| 9 - 7 |)$

= $2 \ln (11) - 2 \ln (2)$

≈ 3,409

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 18 + $2 \ln (| 11 |) - 2 \ln (| 2 |)$ ≈ 21.41

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,3 x + 0,1} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,3 x + 0,1} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,3 x + 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,3 u + 0,1} + 9 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,1}$

= $- 9 e^{- 0,3 u + 0,1} + 9 e^{0 + 0,1}$

= $- 9 e^{- 0,3 u + 0,1} + 9 e^{0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,3 u + 0,1} + 9 e^{0,1}$	=	$3$	\| $- 9 e^{0,1}$
$- 9 e^{- 0,3 u + 0,1}$	=	$- 9 e^{0,1} + 3$
$- 9 e^{- 0,3 u + 0,1}$	=	$- 6,9465$	\|: $- 9$
$e^{- 0,3 u + 0,1}$	=	$0,7718$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,1$	=	$\ln (0,7718)$

$- 0,3 u + 0,1$	=	$- 0,259$	\| $- 0,1$
$- 0,3 u$	=	$- 0,359$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$1,1967$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{3}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot π - \frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{3}{2} \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{3}{2} - \frac{3}{2})$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 1,5 - 1,5)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3)$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=5 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{5} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{5} - {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(x - 1)}^{- 1}]}_{u}^{5}$

= ${[\frac{1}{x - 1}]}_{u}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5 - 1} - \frac{1}{u - 1}$

= $\frac{1}{4} - \frac{1}{u - 1}$

= $- \frac{1}{u - 1} + \frac{1}{4}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{u - 1} + \frac{1}{4}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale