Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 16,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 12 + = ≈ 28.44
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 13471,664
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 46 +
≈ 13517.66
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
58
-8
=
-7,25
u2 =
3
-
3025
-8
=
3
-55
-8
=
-52
-8
=
6,5
Da u=
-7,25
< 0 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 2x -2 ) 2 +2x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
+0
∫
0
3
(
4
(
2x
-2
)
2
+2x
)
ⅆ
x
=
1
3
[
2
3
(
2x
-2
)
3
+
x
2
]
0
3
=
1
3
(
2
3
⋅
(
2⋅3
-2
)
3
+
3
2
- (
2
3
⋅
(
2⋅0
-2
)
3
+
0
2
))
=
1
3
(
2
3
⋅
(
6
-2
)
3
+ 9
- (
2
3
⋅
( 0
-2
)
3
+ 0
))
=
1
3
(
2
3
⋅
4
3
+9
- (
2
3
⋅
( -2 )
3
+0))
=
1
3
(
2
3
⋅64
+9
- (
2
3
⋅( -8 )
+0))
=
1
3
(
128
3
+9
- (
-
16
3
+0))
=
1
3
(
128
3
+
27
3
- (
-
16
3
+0))
=
1
3
(
155
3
+
16
3
)
=
1
3
·
57
=
19
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -3x +6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
1
(
-3x
+6
)
3
ⅆ
x
=
∫
4
u
-
(
-3x
+6
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
6
(
-3x
+6
)
-2
]
4
u
=
[
-
1
6
(
-3x
+6
)
2
]
4
u
=
-
1
6
(
-3u
+6
)
2
+
1
6
(
-3⋅4
+6
)
2
=
-
1
6
(
-3u
+6
)
2
+
1
6
(
-12
+6
)
2
=
-
1
6
(
-3u
+6
)
2
+
1
6
( -6 )
2
=
-
1
6
(
-3u
+6
)
2
+
1
6
⋅(
1
36
)
=
-
1
6
(
-3u
+6
)
2
+
1
216
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
6
(
-3u
+6
)
2
+
1
216
→
0
+
1
216
=
1
216
≈ 0.005
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.005