Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $6 e^{5 - 1} - 6 e^{2 - 1}$

= $6 e^{4} - 6 e^{1}$

= $6 e^{4} - 6 e$

≈ 311,279

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 9 + $6 e^{4} - 6 e$ ≈ 320.28

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $5$ Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{31}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

\frac{31}{3}

:

\int_{5}^{\frac{31}{3}} 2 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{5}^{\frac{31}{3}} 2 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{15 - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 27$

= $\frac{500}{9} - 12$

= $\frac{500}{9} - \frac{108}{9}$

= $\frac{392}{9}$

≈ 43,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 10 + $\frac{392}{9}$ = $\frac{482}{9}$ ≈ 53.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x$ = $19$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x

= ${[4 e^{0,2 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{0,2 \cdot 0 - 0,5}$

= $4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{0 - 0,5}$

= $4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $19$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{- 0,5}$	=	$19$	\| $+ 4 e^{- 0,5}$
$4 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$4 e^{- 0,5} + 19$
$4 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$21,4261$	\|: $4$
$e^{0,2 u - 0,5}$	=	$5,3565$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,5$	=	$\ln (5,3565)$

$0,2 u - 0,5$	=	$1,6783$	\| $+ 0,5$
$0,2 u$	=	$2,1783$	\|: $0,2$
$u$	=	$10,8915$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 e^{x - 1}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[5 e^{x - 1}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (5 e^{4 - 1} - 5 e^{0 - 1})$

= $\frac{1}{4} (5 e^{3} - 5 e^{- 1})$

≈ 24,647

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- e^{- x + 1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- u + 1} + e^{- 0 + 1}$

= $- e^{- u + 1} + e^{1}$

= $- e^{- u + 1} + e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{- u + 1} + e$ → $0 + e$ = $e$ ≈ 2.718

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2.718

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale