Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 18 s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 18 und 27:
18 27 6 x -2 x
= 18 27 6 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -2 ) 3 2 ] 18 27

= [ 4 ( x -2 ) 3 ] 18 27

= 4 ( 27 -2 ) 3 -4 ( 18 -2 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 16 ) 3

= 4 5 3 -4 4 3

= 4125 -464

= 500 -256

= 244

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 18 und der Änderung zwischen 18 und 27 zusammen:
B = 19 + 244 = 263

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 2x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 6 2x -1 x
= 1 3 6 ( 2x -1 ) -1 x

= [ 3 ln( | 2x -1 | ) ] 1 3

= 3 ln( | 23 -1 | ) -3 ln( | 21 -1 | )

= 3 ln( | 6 -1 | ) -3 ln( | 2 -1 | )

= 3 ln( 5 ) -3 ln( | 2 -1 | )

= 3 ln( 5 ) -3 ln( 1 )

= 3 ln( 5 ) +0

= 3 ln( 5 )


≈ 4,828
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 11 + 3 ln( 5 ) ≈ 15.83

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4 e -0,5x +0,8 x = 8

Lösung einblenden
0 u 4 e -0,5x +0,8 x

= [ -8 e -0,5x +0,8 ] 0 u

= -8 e -0,5u +0,8 +8 e -0,50 +0,8

= -8 e -0,5u +0,8 +8 e 0 +0,8

= -8 e -0,5u +0,8 +8 e 0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 8 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-8 e -0,5u +0,8 +8 e 0,8 = 8 | -8 e 0,8
-8 e -0,5u +0,8 = -8 e 0,8 +8
-8 e -0,5u +0,8 = -9,8043 |:-8
e -0,5u +0,8 = 1,2255 |ln(⋅)
-0,5u +0,8 = ln( 1,2255 )
-0,5u +0,8 = 0,2033 | -0,8
-0,5u = -0,5967 |:(-0,5 )
u = 1,1934

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 2x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 7 und Minute 15 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 15 -7 7 15 6 2x -5 x
= 1 8 7 15 6 ( 2x -5 ) 1 2 x

= 1 8 [ 2 ( 2x -5 ) 3 2 ] 7 15

= 1 8 [ 2 ( 2x -5 ) 3 ] 7 15

= 1 8 ( 2 ( 215 -5 ) 3 -2 ( 27 -5 ) 3 )

= 1 8 ( 2 ( 30 -5 ) 3 -2 ( 14 -5 ) 3 )

= 1 8 ( 2 ( 25 ) 3 -2 ( 9 ) 3 )

= 1 8 ( 2 5 3 -2 3 3 )

= 1 8 ( 2125 -227 )

= 1 8 ( 250 -54 )

= 1 8 · 196

= 49 2


= 24,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -x +3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 u - 1 ( -x +3 ) 3 x
= 5 u - ( -x +3 ) -3 x

= [ - 1 2 ( -x +3 ) -2 ] 5 u

= [ - 1 2 ( -x +3 ) 2 ] 5 u

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2 ( -5 +3 ) 2

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2 ( -2 ) 2

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2 ( 1 4 )

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 8 0 + 1 8 = 1 8 ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125