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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 36 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{4 - 2} - e^{2 - 2}$

= $e^{2} - e^{0}$

= $e^{2} - 1$

≈ 6,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 36 + $e^{2} - 1$ ≈ 42.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 69 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 4} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 4} - \frac{5}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{5}{3} e^{8} - \frac{5}{3} e^{2}$

≈ 4955,948

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 69 + $\frac{5}{3} e^{8} - \frac{5}{3} e^{2}$ ≈ 5024.95

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (4 x - 3) ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (4 x - 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 3 x]}_{2}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 3 u - (2 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2)$

= $2 u^{2} - 3 u - (2 \cdot 4 - 6)$

= $2 u^{2} - 3 u - (8 - 6)$

= $2 u^{2} - 3 u - 1 \cdot 2$

= $2 u^{2} - 3 u - 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} - 3 u - 2

=

18

|

- 18

$2 u^{2} - 3 u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{3+13}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{3-13}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Da u= $- 2,5$ < 2 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 1}$ zwischen $\frac{5}{2}$ und $\frac{17}{2}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{17}{2} - \frac{5}{2}}

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}} 6 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{6}

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}} 6 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{6}$ ${[2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}}$

= $\frac{1}{6}$ ${[2 {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}}$

$=$ $\frac{1}{6} (2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{17}{2}) - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{6} (2 {(\sqrt{17 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{5 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{6} (2 {(\sqrt{16})}^{3} - 2 {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{1}{6} (2 \cdot 4^{3} - 2 \cdot 2^{3})$

= $\frac{1}{6} (2 \cdot 64 - 2 \cdot 8)$

= $\frac{1}{6} (128 - 16)$

= $\frac{1}{6} \cdot 112$

= $\frac{56}{3}$

≈ 18,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{3 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \ln (| 3 x - 3 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3} \ln (| 3 (u) - 3 |) + \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |)$

= $- \frac{1}{3} \ln (| 3 u - 3 |) + \frac{1}{3} \ln (| 9 - 3 |)$

= $- \frac{1}{3} \ln (| 3 u - 3 |) + \frac{1}{3} \ln (6)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} \ln (6) - \frac{1}{3} \ln (| 3 x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale