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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{9 - 3} - \frac{5}{3} e^{3 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3} e^{0}$

= $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3}$

≈ 670,715

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 17 + $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3}$ ≈ 687.71

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $10$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

\frac{29}{2}

:

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 3 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 3 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3}$

= ${(\sqrt{29 - 4})}^{3} - {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= ${(\sqrt{25})}^{3} - {(\sqrt{16})}^{3}$

= $5^{3} - 4^{3}$

= $125 - 64$

= $61$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

\frac{29}{2}

zusammen:

B = 15 + $61$ = $76$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,6 e^{0,7 x - 0,9} ⅆ x$ = $13$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,6 e^{0,7 x - 0,9} ⅆ x

= ${[8 e^{0,7 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,7 u - 0,9} - 8 e^{0,7 \cdot 0 - 0,9}$

= $8 e^{0,7 u - 0,9} - 8 e^{0 - 0,9}$

= $8 e^{0,7 u - 0,9} - 8 e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $13$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,7 u - 0,9} - 8 e^{- 0,9}$	=	$13$	\| $+ 8 e^{- 0,9}$
$8 e^{0,7 u - 0,9}$	=	$8 e^{- 0,9} + 13$
$8 e^{0,7 u - 0,9}$	=	$16,2526$	\|: $8$
$e^{0,7 u - 0,9}$	=	$2,0316$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,9$	=	$\ln (2,0316)$

$0,7 u - 0,9$	=	$0,7088$	\| $+ 0,9$
$0,7 u$	=	$1,6088$	\|: $0,7$
$u$	=	$2,2983$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ zwischen 4 und 7.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{7 - 4}

\int_{4}^{7} \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{4}^{7} 6 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- 6 {(x - 3)}^{- 1}]}_{4}^{7}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{6}{x - 3}]}_{4}^{7}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{6}{7 - 3} + \frac{6}{4 - 3})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{6}{4} + \frac{6}{1})$

= $\frac{1}{3} (- 6 \cdot (\frac{1}{4}) + 6 \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} (- \frac{3}{2} + 6)$

= $\frac{1}{3} (- 1,5 + 6)$

= $\frac{1}{3} \cdot 4,5$

= $\frac{4.5}{3}$

= $\frac{3}{2}$

= 1,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} - \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - 2 {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{u}^{2}$

= ${[\frac{1}{2 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{u}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 \cdot 2 - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(4 - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}) - \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{8} - \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} + \frac{1}{8}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale