Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 11 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 27 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 27:
11 27 6 x -2 x
= 11 27 6 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -2 ) 3 2 ] 11 27

= [ 4 ( x -2 ) 3 ] 11 27

= 4 ( 27 -2 ) 3 -4 ( 11 -2 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 9 ) 3

= 4 5 3 -4 3 3

= 4125 -427

= 500 -108

= 392

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 27 zusammen:
B = 11 + 392 = 403

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 3x -6 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 34 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 2 e 3x -6 x

= [ 2 3 e 3x -6 ] 2 5

= 2 3 e 35 -6 - 2 3 e 32 -6

= 2 3 e 15 -6 - 2 3 e 6 -6

= 2 3 e 9 - 2 3 e 0

= 2 3 e 9 - 2 3


≈ 5401,389
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 34 + 2 3 e 9 - 2 3 ≈ 5435.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2 e -0,4x +0,2 x = 2

Lösung einblenden
0 u 2 e -0,4x +0,2 x

= [ -5 e -0,4x +0,2 ] 0 u

= -5 e -0,4u +0,2 +5 e -0,40 +0,2

= -5 e -0,4u +0,2 +5 e 0 +0,2

= -5 e -0,4u +0,2 +5 e 0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 e -0,4u +0,2 +5 e 0,2 = 2 | -5 e 0,2
-5 e -0,4u +0,2 = -5 e 0,2 +2
-5 e -0,4u +0,2 = -4,107 |:-5
e -0,4u +0,2 = 0,8214 |ln(⋅)
-0,4u +0,2 = ln( 0,8214 )
-0,4u +0,2 = -0,1967 | -0,2
-0,4u = -0,3967 |:(-0,4 )
u = 0,9918

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ( x -3 ) 2 +5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -1 1 4 ( ( x -3 ) 2 +5 ) x

= 1 3 [ 1 3 ( x -3 ) 3 +5x ] 1 4

= 1 3 ( 1 3 ( 4 -3 ) 3 +54 - ( 1 3 ( 1 -3 ) 3 +51 ))

= 1 3 ( 1 3 1 3 +20 - ( 1 3 ( -2 ) 3 +5 ))

= 1 3 ( 1 3 1 +20 - ( 1 3 ( -8 ) +5 ))

= 1 3 ( 1 3 +20 - ( - 8 3 +5 ))

= 1 3 ( 1 3 + 60 3 - ( - 8 3 + 15 3 ))

= 1 3 ( 61 3 -1 · 7 3 )

= 1 3 ( 61 3 - 7 3 )

= 1 3 · 18

= 6

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 1 ( -x +3 ) 2 x
= 4 u - ( -x +3 ) -2 x

= [ - ( -x +3 ) -1 ] 4 u

= [ - 1 -x +3 ] 4 u

= - 1 -u +3 + 1 -4 +3

= - 1 -u +3 + 1 ( -1 )

= - 1 -u +3 + ( -1 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 -u +3 -1 0 -1 = -1 ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1