Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( 3x -5 ) 3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 1 ( 3x -5 ) 3 x
= 2 3 ( 3x -5 ) -3 x

= [ - 1 6 ( 3x -5 ) -2 ] 2 3

= [ - 1 6 ( 3x -5 ) 2 ] 2 3

= - 1 6 ( 33 -5 ) 2 + 1 6 ( 32 -5 ) 2

= - 1 6 ( 9 -5 ) 2 + 1 6 ( 6 -5 ) 2

= - 1 6 4 2 + 1 6 1 2

= - 1 6 ( 1 16 ) + 1 6 1

= - 1 96 + 1 6

= - 1 96 + 16 96

= 5 32


≈ 0,156
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 2 + 5 32 = 69 32 ≈ 2.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 2x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 5 2 :
1 5 2 2 2x -1 x
= 1 5 2 2 ( 2x -1 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( 2x -1 ) 3 2 ] 1 5 2

= [ 2 3 ( 2x -1 ) 3 ] 1 5 2

= 2 3 ( 2( 5 2 ) -1 ) 3 - 2 3 ( 21 -1 ) 3

= 2 3 ( 5 -1 ) 3 - 2 3 ( 2 -1 ) 3

= 2 3 ( 4 ) 3 - 2 3 ( 1 ) 3

= 2 3 2 3 - 2 3 1 3

= 2 3 8 - 2 3 1

= 16 3 - 2 3

= 14 3


≈ 4,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 5 2 zusammen:
B = 2 + 14 3 = 20 3 ≈ 6.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 4x +2 ) x = 73,5

Lösung einblenden
3 u ( 4x +2 ) x

= [ 2 x 2 +2x ] 3 u

= 2 u 2 +2u - ( 2 3 2 +23 )

= 2 u 2 +2u - ( 29 +6 )

= 2 u 2 +2u - ( 18 +6 )

= 2 u 2 +2u -1 · 24

= 2 u 2 +2u -24

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 73,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 +2u -24 = 73,5 | -73,5

2 u 2 +2u -97,5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 2 · ( -97,5 ) 22

u1,2 = -2 ± 4 +780 4

u1,2 = -2 ± 784 4

u1 = -2 + 784 4 = -2 +28 4 = 26 4 = 6,5

u2 = -2 - 784 4 = -2 -28 4 = -30 4 = -7,5

Da u= -7,5 < 3 ist u= 6,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 cos( x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π 5 cos( x - 1 2 π) x

= 2 3 π [ 5 sin( x - 1 2 π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( 5 sin( 3 2 π - 1 2 π) -5 sin( 0 - 1 2 π) )

= 2 3 π · ( 5 sin(π) -5 sin( - 1 2 π) )

= 2 3 π · ( 50 -5( -1 ) )

= 2 3 π · ( 0 +5 )

= 2 3 π · 5

= 10 3 π


≈ 1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e 2x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u e 2x -3 x

= [ 1 2 e 2x -3 ] 2 u

= 1 2 e 2u -3 - 1 2 e 22 -3

= 1 2 e 2u -3 - 1 2 e 4 -3

= 1 2 e 2u -3 - 1 2 e 1

= 1 2 e 2u -3 - 1 2 e

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 e 2u -3 - 1 2 e