Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 5 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $5 e^{3 - 2} - 5 e^{2 - 2}$

= $5 e^{1} - 5 e^{0}$

= $5 e - 5$

≈ 8,591

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 64 + $- 5 + 5 e$ ≈ 72.59

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{5}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 5 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} \ln (| 3 x - 3 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 3 |) - \frac{5}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |)$

= $\frac{5}{3} \ln (| 12 - 3 |) - \frac{5}{3} \ln (| 9 - 3 |)$

= $\frac{5}{3} \ln (9) - \frac{5}{3} \ln (| 9 - 3 |)$

= $\frac{5}{3} \ln (9) - \frac{5}{3} \ln (6)$

≈ 0,676

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 2 + $\frac{5}{3} \ln (| 9 |) - \frac{5}{3} \ln (| 6 |)$ ≈ 2.68

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 6 x ⅆ x$ = $126,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 6 x ⅆ x

= ${[3 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 3 \cdot 0^{2}$

= $3 u^{2} - 3 \cdot 0$

= $3 u^{2} + 0$

= $3 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $126,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 u^{2}$	=	$126,75$	\|: $3$
$u^{2}$	=	$42,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{42,25}$	= $- 6,5$
u₂	=	$\sqrt{42,25}$	= $6,5$

Da u= $- 6,5$ < 0 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[2 \cdot \sin (x - π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - π) - 2 \cdot \sin (0 - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{π}$

≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $11$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{11} - \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{11} - 3 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{11}$

= ${[- 3 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{11}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot 11 - 6} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \sqrt{22 - 6} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \sqrt{16} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \cdot 4 + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 12 + 3 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $3 \sqrt{2 u - 6} - 12$ → $0 - 12$ = $- 12$ ≈ -12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale