Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 72 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 4 e x -3 x

= [ 4 e x -3 ] 0 2

= 4 e 2 -3 -4 e 0 -3

= 4 e -1 -4 e -3


≈ 1,272
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 72 + 4 e -1 -4 e -3 ≈ 73.27

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 10 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 10:
5 10 2 x -1 x
= 5 10 2 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -1 ) 3 2 ] 5 10

= [ 4 3 ( x -1 ) 3 ] 5 10

= 4 3 ( 10 -1 ) 3 - 4 3 ( 5 -1 ) 3

= 4 3 ( 9 ) 3 - 4 3 ( 4 ) 3

= 4 3 3 3 - 4 3 2 3

= 4 3 27 - 4 3 8

= 36 - 32 3

= 108 3 - 32 3

= 76 3


≈ 25,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 10 zusammen:
B = 7 + 76 3 = 97 3 ≈ 32.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 2x -2 ) x = 68,25

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3 u ( 2x -2 ) x

= [ x 2 -2x ] 3 u

= u 2 -2u - ( 3 2 -23 )

= u 2 -2u - ( 9 -6 )

= u 2 -2u -9 +6

= u 2 -2u -3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 68,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 -2u -3 = 68,25 | -68,25

u 2 -2u -71,25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -71,25 ) 21

u1,2 = +2 ± 4 +285 2

u1,2 = +2 ± 289 2

u1 = 2 + 289 2 = 2 +17 2 = 19 2 = 9,5

u2 = 2 - 289 2 = 2 -17 2 = -15 2 = -7,5

Da u= -7,5 < 3 ist u= 9,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 17 und Minute 26 .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 26 -17 17 26 4 x -1 x
= 1 9 17 26 4 ( x -1 ) 1 2 x

= 1 9 [ 8 3 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= 1 9 [ 8 3 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 1 9 ( 8 3 ( 26 -1 ) 3 - 8 3 ( 17 -1 ) 3 )

= 1 9 ( 8 3 ( 25 ) 3 - 8 3 ( 16 ) 3 )

= 1 9 ( 8 3 5 3 - 8 3 4 3 )

= 1 9 ( 8 3 125 - 8 3 64 )

= 1 9 ( 1000 3 - 512 3 )

= 1 9 · 488 3

= 488 27


≈ 18,074

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( 2x -2 ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 3 - 3 ( 2x -2 ) 2 x
= u 3 -3 ( 2x -2 ) -2 x

= [ 3 2 ( 2x -2 ) -1 ] u 3

= [ 3 2( 2x -2 ) ] u 3

= 3 2( 23 -2 ) - 3 2( 2u -2 )

= 3 2( 6 -2 ) - 3 2( 2u -2 )

= 3 2 4 - 3 2( 2u -2 )

= 3 2 ( 1 4 ) - 3 2( 2u -2 )

= 3 8 - 3 2( 2u -2 )

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = - 3 2( 2u -2 ) + 3 8 -