Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
≈ 10,018
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 6 +
≈ 16.02
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 2,35
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 76 +
≈ 78.35
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
0 |
|:4 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
14
-2
=
-7
u2 =
-1
-
225
-2
=
-1
-15
-2
=
-16
-2
=
8
Da u=
-7
< 3 ist u=
8
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6⋅ cos( x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
6⋅
cos(
x
-
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
6⋅
sin(
x
-
3
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
6⋅
sin(
π
-
3
2
π)
-6⋅
sin(
1
2
π
-
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
6⋅
sin(
-
1
2
π)
-6⋅
sin(-π)
)
=
2
π
·
(
6⋅( -1 )
-6⋅0
)
=
2
π
·
(
-6
+0
)
=
2
π
·
(
-6
)
=
-
12
π
≈ -3,82
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 3,5 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
3,5
-
3
2x
-6
ⅆ
x
=
∫
u
3,5
-3
(
2x
-6
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-3
(
2x
-6
)
1
2
]
u
3,5
=
[
-3
2x
-6
]
u
3,5
=
-3
2⋅3,5
-6
+3
2u
-6
=
-3
7
-6
+3
2u
-6
=
-3
1
+3
2u
-6
=
-3⋅1
+3
2u
-6
=
-3
+3
2u
-6
Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) =
3
2u
-6
-3
→
0
-3
=
-3
≈ -3
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3