Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 5 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 5 - 5} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{10 - 5} - \frac{5}{2} e^{4 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{5} - \frac{5}{2} e^{- 1}$

≈ 370,113

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 3 + $\frac{5}{2} e^{5} - \frac{5}{2} e^{- 1}$ ≈ 373.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $5 e^{4 - 1} - 5 e^{1 - 1}$

= $5 e^{3} - 5 e^{0}$

= $5 e^{3} - 5$

≈ 95,428

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 76 + $5 e^{3} - 5$ ≈ 171.43

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,5 e^{0,7 x - 0,5} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,5 e^{0,7 x - 0,5} ⅆ x

= ${[5 e^{0,7 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,7 u - 0,5} - 5 e^{0,7 \cdot 0 - 0,5}$

= $5 e^{0,7 u - 0,5} - 5 e^{0 - 0,5}$

= $5 e^{0,7 u - 0,5} - 5 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,7 u - 0,5} - 5 e^{- 0,5}$	=	$7$	\| $+ 5 e^{- 0,5}$
$5 e^{0,7 u - 0,5}$	=	$5 e^{- 0,5} + 7$
$5 e^{0,7 u - 0,5}$	=	$10,0327$	\|: $5$
$e^{0,7 u - 0,5}$	=	$2,0065$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,5$	=	$\ln (2,0065)$

$0,7 u - 0,5$	=	$0,6964$	\| $+ 0,5$
$0,7 u$	=	$1,1964$	\|: $0,7$
$u$	=	$1,7091$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(x - 3)}^{2} + 3 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} (4 {(x - 3)}^{2} + 3 x) ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (\frac{4}{3} \cdot {(5 - 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 5^{2} - (\frac{4}{3} \cdot {(0 - 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{5} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} + \frac{3}{2} \cdot 25 - (\frac{4}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0))$

= $\frac{1}{5} (\frac{4}{3} \cdot 8 + \frac{75}{2} - (\frac{4}{3} \cdot (- 27) + 0))$

= $\frac{1}{5} (\frac{32}{3} + \frac{75}{2} - (- 36 + 0))$

= $\frac{1}{5} (\frac{64}{6} + \frac{225}{6} + 36)$

= $\frac{1}{5} (\frac{289}{6} + 36)$

= $\frac{1}{5} (\frac{289}{6} + \frac{216}{6})$

= $\frac{1}{5} \cdot \frac{505}{6}$

= $\frac{101}{6}$

≈ 16,833

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(3 x - 6)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{1}{{(3 x - 6)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - {(3 x - 6)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(3 x - 6)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{1}{6 {(3 x - 6)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{6 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{6 {(3 \cdot 4 - 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{6 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{6 {(12 - 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{6 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{6 \cdot 6^{2}}$

= $\frac{1}{6 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{36})$

= $\frac{1}{6 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{216}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{6 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{216}$ → $0 - \frac{1}{216}$ = $- \frac{1}{216}$ ≈ -0.005

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.005

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale