Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(x - 2)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 4 {(x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{4}{x - 2}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{4}{6 - 2} + \frac{4}{3 - 2}$

= $- \frac{4}{4} + \frac{4}{1}$

= $- 4 \cdot (\frac{1}{4}) + 4 \cdot 1$

= $- 1 + 4$

= $3$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 6 + $3$ = $9$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{6}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 6 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| 3 x - 3 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $2 \ln (| 3 \cdot 5 - 3 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 2 - 3 |)$

= $2 \ln (| 15 - 3 |) - 2 \ln (| 6 - 3 |)$

= $2 \ln (12) - 2 \ln (| 6 - 3 |)$

= $2 \ln (12) - 2 \ln (3)$

≈ 2,773

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 3 + $2 \ln (| 12 |) - 2 \ln (| 3 |)$ ≈ 5.77

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,5 e^{- 0,5 x + 0,6} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,5 e^{- 0,5 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,5 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,5 u + 0,6} + 5 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,6}$

= $- 5 e^{- 0,5 u + 0,6} + 5 e^{0 + 0,6}$

= $- 5 e^{- 0,5 u + 0,6} + 5 e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,5 u + 0,6} + 5 e^{0,6}$	=	$5$	\| $- 5 e^{0,6}$
$- 5 e^{- 0,5 u + 0,6}$	=	$- 5 e^{0,6} + 5$
$- 5 e^{- 0,5 u + 0,6}$	=	$- 4,1106$	\|: $- 5$
$e^{- 0,5 u + 0,6}$	=	$0,8221$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,6$	=	$\ln (0,8221)$

$- 0,5 u + 0,6$	=	$- 0,1959$	\| $- 0,6$
$- 0,5 u$	=	$- 0,7959$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$1,5918$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(3 x - 6)}^{2} + 2 x$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} ({(3 x - 6)}^{2} + 2 x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{9} {(3 x - 6)}^{3} + x^{2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 4 - 6)}^{3} + 4^{2} - (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 6)}^{3} + 1^{2}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot {(12 - 6)}^{3} + 16 - (\frac{1}{9} \cdot {(3 - 6)}^{3} + 1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot 6^{3} + 16 - (\frac{1}{9} \cdot {(- 3)}^{3} + 1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot 216 + 16 - (\frac{1}{9} \cdot (- 27) + 1))$

= $\frac{1}{3} (24 + 16 - (- 3 + 1))$

= $\frac{1}{3} (40 - 1 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{3} (40 + 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot 42$

= $14$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{1}{{(2 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} {(2 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(2 x - 5)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{4 {(2 x - 5)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4 {(2 \cdot 4 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4 {(8 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4 \cdot 3^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{36}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{36}$ → $0 + \frac{1}{36}$ = $\frac{1}{36}$ ≈ 0.028

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.028

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale