Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 2x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 7 s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 21 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 7 und 21 2 :
7 21 2 3 2x -5 x
= 7 21 2 3 ( 2x -5 ) 1 2 x

= [ ( 2x -5 ) 3 2 ] 7 21 2

= [ ( 2x -5 ) 3 ] 7 21 2

= ( 2( 21 2 ) -5 ) 3 - ( 27 -5 ) 3

= ( 21 -5 ) 3 - ( 14 -5 ) 3

= ( 16 ) 3 - ( 9 ) 3

= 4 3 - 3 3

= 64 - 27

= 37

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 7 und der Änderung zwischen 7 und 21 2 zusammen:
B = 8 + 37 = 45

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 2 e x -1 x

= [ 2 e x -1 ] 2 4

= 2 e 4 -1 -2 e 2 -1

= 2 e 3 -2 e 1

= 2 e 3 -2e


≈ 34,735
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 23 + 2 e 3 -2e ≈ 57.73

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( 8x +4 ) x = 48

Lösung einblenden
0 u ( 8x +4 ) x

= [ 4 x 2 +4x ] 0 u

= 4 u 2 +4u - ( 4 0 2 +40 )

= 4 u 2 +4u - ( 40 +0)

= 4 u 2 +4u - (0+0)

= 4 u 2 +4u +0

= 4 u 2 +4u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 48 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 +4u = 48 | -48
4 u 2 +4u -48 = 0 |:4

u 2 + u -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

u1,2 = -1 ± 1 +48 2

u1,2 = -1 ± 49 2

u1 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

u2 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

Da u= -4 < 0 ist u= 3 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 3x -7 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 16 3 und Minute 32 3 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 32 3 - 16 3 16 3 32 3 3 3x -7 x
= 3 16 16 3 32 3 3 ( 3x -7 ) 1 2 x

= 3 16 [ 2 3 ( 3x -7 ) 3 2 ] 16 3 32 3

= 3 16 [ 2 3 ( 3x -7 ) 3 ] 16 3 32 3

= 3 16 ( 2 3 ( 3( 32 3 ) -7 ) 3 - 2 3 ( 3( 16 3 ) -7 ) 3 )

= 3 16 ( 2 3 ( 32 -7 ) 3 - 2 3 ( 16 -7 ) 3 )

= 3 16 ( 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 9 ) 3 )

= 3 16 ( 2 3 5 3 - 2 3 3 3 )

= 3 16 ( 2 3 125 - 2 3 27 )

= 3 16 ( 250 3 -18 )

= 3 16 ( 250 3 - 54 3 )

= 3 16 · 196 3

= 49 4


= 12,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -x +1 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 3 ( -x +1 ) 2 x
= 3 u -3 ( -x +1 ) -2 x

= [ -3 ( -x +1 ) -1 ] 3 u

= [ - 3 -x +1 ] 3 u

= - 3 -u +1 + 3 -3 +1

= - 3 -u +1 + 3 ( -2 )

= - 3 -u +1 +3( - 1 2 )

= - 3 -u +1 - 3 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 -u +1 - 3 2 0 - 3 2 = - 3 2 ≈ -1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5