Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 2 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 6 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{262}{3}$ ≈ 87.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 6)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{4}{{(3 x - 6)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 4 {(3 x - 6)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 6)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{4}{3 (3 x - 6)}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{4}{3 (3 \cdot 5 - 6)} + \frac{4}{3 (3 \cdot 3 - 6)}$

= $- \frac{4}{3 (15 - 6)} + \frac{4}{3 (9 - 6)}$

= $- \frac{4}{3 \cdot 9} + \frac{4}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{4}{27} + \frac{4}{9}$

= $- \frac{4}{27} + \frac{12}{27}$

= $\frac{8}{27}$

≈ 0,296

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 2 + $\frac{8}{27}$ = $\frac{62}{27}$ ≈ 2.3

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,2 x + 0,7} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{- 0,2 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,2 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,2 u + 0,7} + 9 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 9 e^{- 0,2 u + 0,7} + 9 e^{0 + 0,7}$

= $- 9 e^{- 0,2 u + 0,7} + 9 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,2 u + 0,7} + 9 e^{0,7}$	=	$8$	\| $- 9 e^{0,7}$
$- 9 e^{- 0,2 u + 0,7}$	=	$- 9 e^{0,7} + 8$
$- 9 e^{- 0,2 u + 0,7}$	=	$- 10,1238$	\|: $- 9$
$e^{- 0,2 u + 0,7}$	=	$1,1249$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,7$	=	$\ln (1,1249)$

$- 0,2 u + 0,7$	=	$0,1177$	\| $- 0,7$
$- 0,2 u$	=	$- 0,5823$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$2,9115$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 6 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot \sin (2 \cdot π + \frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - 3 \cdot \sin (\frac{5}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (3 \cdot (- 1) - 3 \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 - 3)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 6)$

= $- \frac{12}{π}$

≈ -3,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(- x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| - x + 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \ln (| - (u) + 2 |) + \ln (| - 3 + 2 |)$

= $- \ln (| - u + 2 |) + \ln (| - 3 + 2 |)$

= $- \ln (| - u + 2 |) + \ln (1)$

= $- \ln (| - u + 2 |) + 0$

= $- \ln (| - x + 2 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (| - x + 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

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Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale