Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $6 e^{2 - 3} - 6 e^{1 - 3}$

= $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$

≈ 1,395

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 14 + $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$ ≈ 15.4

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{20}{3}$ s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{20}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}} \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 64$

= $\frac{250}{9} - \frac{128}{9}$

= $\frac{122}{9}$

≈ 13,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{20}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{20}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 8 + $\frac{122}{9}$ = $\frac{194}{9}$ ≈ 21.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 6,4 e^{0,8 x - 0,9} ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 6,4 e^{0,8 x - 0,9} ⅆ x

= ${[8 e^{0,8 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,8 u - 0,9} - 8 e^{0,8 \cdot 0 - 0,9}$

= $8 e^{0,8 u - 0,9} - 8 e^{0 - 0,9}$

= $8 e^{0,8 u - 0,9} - 8 e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,8 u - 0,9} - 8 e^{- 0,9}$	=	$18$	\| $+ 8 e^{- 0,9}$
$8 e^{0,8 u - 0,9}$	=	$8 e^{- 0,9} + 18$
$8 e^{0,8 u - 0,9}$	=	$21,2526$	\|: $8$
$e^{0,8 u - 0,9}$	=	$2,6566$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,9$	=	$\ln (2,6566)$

$0,8 u - 0,9$	=	$0,977$	\| $+ 0,9$
$0,8 u$	=	$1,877$	\|: $0,8$
$u$	=	$2,3463$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $4 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 4 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{4}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{4}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{4}{3} \cdot \cos (π) + \frac{4}{3} \cdot \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{4}{3} \cdot (- 1) + \frac{4}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{4}{3} + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{8}{3 π}$

≈ 0,849

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $9$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{9} - \frac{3}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{9} - \frac{3}{\sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{9} - 3 x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 6 x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{9}$

= ${[- 6 \sqrt{x}]}_{u}^{9}$

$=$ $- 6 \sqrt{9} + 6 \sqrt{u}$

= $- 6 \cdot 3 + 6 \sqrt{u}$

= $- 18 + 6 \sqrt{u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $6 \sqrt{u} - 18$ → $0 - 18$ = $- 18$ ≈ -18

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 18

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale