Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 5} - e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $e^{8 - 5} - e^{2 - 5}$

= $e^{3} - e^{- 3}$

≈ 20,036

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 28 + $e^{3} - e^{- 3}$ ≈ 48.04

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e^{1}$

= $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e$

≈ 72,847

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 17 + $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e$ ≈ 89.85

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (2 x - 1) ⅆ x$ = $9,75$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (2 x - 1) ⅆ x

= ${[x^{2} - x]}_{3}^{u}$

$=$ $u^{2} - u - (3^{2} - 3)$

= $u^{2} - u - (9 - 3)$

= $u^{2} - u - 9 + 3$

= $u^{2} - u - 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} - u - 6

=

9,75

|

- 9,75

$u^{2} - u - 15,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15,75)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 63}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{1+8}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = $4,5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{1-8}{2}$ = $\frac{- 7}{2}$ = $- 3,5$

Da u= $- 3,5$ < 3 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $1$ und Minute $5$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 1}

\int_{1}^{5} 4 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{4}

\int_{1}^{5} 4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{4}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{5}$

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 1 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{4}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{1})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot 3^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot 27 - \frac{4}{3} \cdot 1)$

= $\frac{1}{4} (36 - \frac{4}{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{108}{3} - \frac{4}{3})$

= $\frac{1}{4} \cdot \frac{104}{3}$

= $\frac{26}{3}$

≈ 8,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 3 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 x - 5}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 u - 5} + \frac{1}{3 \cdot 2 - 5}$

= $- \frac{1}{3 u - 5} + \frac{1}{6 - 5}$

= $- \frac{1}{3 u - 5} + \frac{1}{1}$

= $- \frac{1}{3 u - 5} + 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 u - 5} + 1$ → $0 + 1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale