Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{16}{3}$ s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 3 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 3 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{250}{3} - 18$

= $\frac{250}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 11 + $\frac{196}{3}$ = $\frac{229}{3}$ ≈ 76.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $3$ s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{14}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

\frac{14}{3}

:

\int_{3}^{\frac{14}{3}} 5 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{\frac{14}{3}} 5 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{\frac{14}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{\frac{14}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{14 - 5})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{9 - 5})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 3^{3} - \frac{10}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 27 - \frac{10}{9} \cdot 8$

= $30 - \frac{80}{9}$

= $\frac{270}{9} - \frac{80}{9}$

= $\frac{190}{9}$

≈ 21,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

\frac{14}{3}

zusammen:

B = 16 + $\frac{190}{9}$ = $\frac{334}{9}$ ≈ 37.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,5 e^{0,9 x - 0,6} ⅆ x$ = $16$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,5 e^{0,9 x - 0,6} ⅆ x

= ${[5 e^{0,9 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,9 u - 0,6} - 5 e^{0,9 \cdot 0 - 0,6}$

= $5 e^{0,9 u - 0,6} - 5 e^{0 - 0,6}$

= $5 e^{0,9 u - 0,6} - 5 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,9 u - 0,6} - 5 e^{- 0,6}$	=	$16$	\| $+ 5 e^{- 0,6}$
$5 e^{0,9 u - 0,6}$	=	$5 e^{- 0,6} + 16$
$5 e^{0,9 u - 0,6}$	=	$18,7441$	\|: $5$
$e^{0,9 u - 0,6}$	=	$3,7488$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,6$	=	$\ln (3,7488)$

$0,9 u - 0,6$	=	$1,3214$	\| $+ 0,6$
$0,9 u$	=	$1,9214$	\|: $0,9$
$u$	=	$2,1349$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sin (3 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} \sin (3 x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \cos (4 π) + \frac{1}{3} \cdot \cos (π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3})$

= $- \frac{2}{3 π}$

≈ -0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{x - 1}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $5$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} - \frac{2}{\sqrt{x - 1}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} - 2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}_{5}^{u}$

= ${[- 4 \sqrt{x - 1}]}_{5}^{u}$

$=$ $- 4 \sqrt{u - 1} + 4 \sqrt{5 - 1}$

= $- 4 \sqrt{u - 1} + 4 \sqrt{4}$

= $- 4 \sqrt{u - 1} + 4 \cdot 2$

= $- 4 \sqrt{u - 1} + 8$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u - 1} + 8$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale