= ${\left[-\frac{5}{9}{\left(3x-4\right)}^{-3}\right]}_3^4$

= ${\left[-\frac{5}{9{\left(3x-4\right)}^3}\right]}_3^4$

$=$ $-\frac{5}{9{\left(3\cdot 4-4\right)}^3}+\frac{5}{9{\left(3\cdot 3-4\right)}^3}$

= $-\frac{5}{9{\left(12-4\right)}^3}+\frac{5}{9{\left(9-4\right)}^3}$

= $-\frac{5}{9\cdot 8^3}+\frac{5}{9\cdot 5^3}$

= $-\frac{5}{9}\cdot \left(\frac{1}{512}\right)+\frac{5}{9}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)$

= $-\frac{5}{4608}+\frac{1}{225}$

= $-\frac{125}{115200}+\frac{512}{115200}$

= $\frac{43}{12800}$

= ${\left[-6{\left(x-2\right)}^{-1}\right]}_3^6$

= ${\left[-\frac{6}{x-2}\right]}_3^6$

$=$ $-\frac{6}{6-2}+\frac{6}{3-2}$

= $-\frac{6}{4}+\frac{6}{1}$

= $-6\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+6\cdot 1$

= $-\frac{3}{2}+6$

= $-\mathrm{1,5}+6$

= $\mathrm{4,5}$

= ${\left[3x^2\right]}_1^u$

$=$ $3u^2-3\cdot 1^2$

= $3u^2-3\cdot 1$

= $3u^2-3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $\mathrm{213,75}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-\mathrm{8,5}$ < 1 ist u= $\mathrm{8,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $1$ ${\left[\frac{3}{2}{\left(x-3\right)}^4+\frac{3}{2}{x}^2\right]}_0^1$

$=$ $\frac{3}{2}\cdot {\left(1-3\right)}^4+\frac{3}{2}\cdot 1^2-\left(\frac{3}{2}\cdot {\left(0-3\right)}^4+\frac{3}{2}\cdot 0^2\right)$

= $\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^4+\frac{3}{2}\cdot 1-\left(\frac{3}{2}\cdot {\left(-3\right)}^4+\frac{3}{2}\cdot 0\right)$

= $\frac{3}{2}\cdot 16+\frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}\cdot 81+0\right)$

= $24+\frac{3}{2}-\left(\frac{243}{2}+0\right)$

= $24+\mathrm{1,5}-\left(\mathrm{121,5}+0\right)$

= $\mathrm{25,5}-\mathrm{121,5}$

= $-96$

= ${\left[-6{\left(x-2\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{11}$

= ${\left[-6\sqrt{x-2}\right]}_u^{11}$

$=$ $-6\sqrt{11-2}+6\sqrt{u-2}$

= $-6\sqrt{9}+6\sqrt{u-2}$

= $-6\cdot 3+6\sqrt{u-2}$

= $-18+6\sqrt{u-2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $6\sqrt{u-2}-18$ → $0-18$ = $-18$ ≈ -18

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 18