Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 6 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 4 - 2} - 3 e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $3 e^{8 - 2} - 3 e^{4 - 2}$

= $3 e^{6} - 3 e^{2}$

≈ 1188,119

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 16 + $3 e^{6} - 3 e^{2}$ ≈ 1204.12

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{3 \cdot 5 - 3} - e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $e^{15 - 3} - e^{6 - 3}$

= $e^{12} - e^{3}$

≈ 162734,706

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 75 + $e^{12} - e^{3}$ ≈ 162809.71

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 8 x + 1) ⅆ x$ = $- 43,5$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 8 x + 1) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + u - (- 4 \cdot 3^{2} + 3)$

= $- 4 u^{2} + u - (- 4 \cdot 9 + 3)$

= $- 4 u^{2} + u - (- 36 + 3)$

= $- 4 u^{2} + u - 1 \cdot (- 33)$

= $- 4 u^{2} + u + 33$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 43,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + u + 33

=

- 43,5

|

+ 43,5

$- 4 u^{2} + u + 76,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 76,5}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 1 224}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 225}}{- 8}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{1 225}}{- 8}$ = $\frac{- 1+35}{- 8}$ = $\frac{34}{- 8}$ = $- 4,25$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{1 225}}{- 8}$ = $\frac{- 1-35}{- 8}$ = $\frac{- 36}{- 8}$ = $4,5$

Da u= $- 4,25$ < 3 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{4}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} 4 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= $1$ ${[- 4 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= $1$ ${[- \frac{4}{x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3 - 1} + \frac{4}{2 - 1}$

= $- \frac{4}{2} + \frac{4}{1}$

= $- 4 \cdot (\frac{1}{2}) + 4 \cdot 1$

= $- 2 + 4$

= $2$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(3 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 x - 3}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 u - 3} - \frac{1}{3 \cdot 3 - 3}$

= $\frac{1}{3 u - 3} - \frac{1}{9 - 3}$

= $\frac{1}{3 u - 3} - \frac{1}{6}$

= $\frac{1}{3 u - 3} - (\frac{1}{6})$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 u - 3} - \frac{1}{6}$ → $0 - \frac{1}{6}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale