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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( x -3 ) 3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 8 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 8:
∫ 5 8 6 ( x -3 ) 3 ⅆ x
= ∫ 5 8 6 ( x -3 ) -3 ⅆ x

= [ -3 ( x -3 ) -2 ] 5 8

= [ - 3 ( x -3 ) 2 ] 5 8

= - 3 ( 8 -3 ) 2 + 3 ( 5 -3 ) 2

= - 3 5 2 + 3 2 2

= -3⋅( 1 25 ) +3⋅( 1 4 )

= - 3 25 + 3 4

= - 12 100 + 75 100

= 63 100


= 0,63
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 8 zusammen:
B = 3 + 63 100 = 363 100 ≈ 3.63

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( x -1 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
∫ 3 4 1 ( x -1 ) 2 ⅆ x
= ∫ 3 4 ( x -1 ) -2 ⅆ x

= [ - ( x -1 ) -1 ] 3 4

= [ - 1 x -1 ] 3 4

= - 1 4 -1 + 1 3 -1

= - 1 3 + 1 2

= -( 1 3 ) + 1 2

= 1 6


≈ 0,167
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 3 + 1 6 = 19 6 ≈ 3.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 2 e 0,4x -0,6 ⅆ x = 16

Lösung einblenden
∫ 0 u 2 e 0,4x -0,6 ⅆ x

= [ 5 e 0,4x -0,6 ] 0 u

= 5 e 0,4u -0,6 -5 e 0,4⋅0 -0,6

= 5 e 0,4u -0,6 -5 e 0 -0,6

= 5 e 0,4u -0,6 -5 e -0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 16 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 e 0,4u -0,6 -5 e -0,6 = 16 | +5 e -0,6
5 e 0,4u -0,6 = 5 e -0,6 +16
5 e 0,4u -0,6 = 18,7441 |:5
e 0,4u -0,6 = 3,7488 |ln(⋅)
0,4u -0,6 = ln( 3,7488 )
0,4u -0,6 = 1,3214 | +0,6
0,4u = 1,9214 |:0,4
u = 4,8035

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 2x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -2 ∫ 2 3 6 2x -3 ⅆ x
= 1 ∫ 2 3 6 ( 2x -3 ) -1 ⅆ x

= 1 [ 3 ln( | 2x -3 | ) ] 2 3

= 3 ln( | 2⋅3 -3 | ) -3 ln( | 2⋅2 -3 | )

= 3 ln( | 6 -3 | ) -3 ln( | 4 -3 | )

= 3 ln( 3 ) -3 ln( | 4 -3 | )

= 3 ln( 3 ) -3 ln( 1 )

= 3 ln( 3 ) +0

= 3 ln( 3 )


≈ 3,296

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 11 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ u 11 1 2x -6 ⅆ x
= ∫ u 11 ( 2x -6 ) - 1 2 ⅆ x

= [ ( 2x -6 ) 1 2 ] u 11

= [ 2x -6 ] u 11

= 2⋅11 -6 - 2u -6

= 22 -6 - 2u -6

= 16 - 2u -6

= 4 - 2u -6

= - 2u -6 +4

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = - 2u -6 +4 → 0 +4 = 4 ≈ 4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4