Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 5)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{5}{{(3 x - 5)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 5 {(3 x - 5)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{9} {(3 x - 5)}^{- 3}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{5}{9 {(3 x - 5)}^{3}}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{9 {(3 \cdot 3 - 5)}^{3}} + \frac{5}{9 {(3 \cdot 2 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{5}{9 {(9 - 5)}^{3}} + \frac{5}{9 {(6 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{5}{9 \cdot 4^{3}} + \frac{5}{9 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{5}{9} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{5}{9} \cdot 1$

= $- \frac{5}{576} + \frac{5}{9}$

= $- \frac{5}{576} + \frac{320}{576}$

= $\frac{35}{64}$

≈ 0,547

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 14 + $\frac{35}{64}$ = $\frac{931}{64}$ ≈ 14.55

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $1$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $13$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

1

und

13

:

\int_{1}^{13} 3 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{13} 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{13}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{1}^{13}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 1 - 1})}^{3}$

= ${(\sqrt{26 - 1})}^{3} - {(\sqrt{2 - 1})}^{3}$

= ${(\sqrt{25})}^{3} - {(\sqrt{1})}^{3}$

= $5^{3} - 1^{3}$

= $125 - 1$

= $124$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

1

und der Änderung zwischen

1

und

13

zusammen:

B = 13 + $124$ = $137$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{- 0,4 x + 0,3} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{- 0,4 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,4 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,4 u + 0,3} + 5 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,3}$

= $- 5 e^{- 0,4 u + 0,3} + 5 e^{0 + 0,3}$

= $- 5 e^{- 0,4 u + 0,3} + 5 e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,4 u + 0,3} + 5 e^{0,3}$	=	$4$	\| $- 5 e^{0,3}$
$- 5 e^{- 0,4 u + 0,3}$	=	$- 5 e^{0,3} + 4$
$- 5 e^{- 0,4 u + 0,3}$	=	$- 2,7493$	\|: $- 5$
$e^{- 0,4 u + 0,3}$	=	$0,5499$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,3$	=	$\ln (0,5499)$

$- 0,4 u + 0,3$	=	$- 0,598$	\| $- 0,3$
$- 0,4 u$	=	$- 0,898$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$2,245$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[2 e^{x - 2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (2 e^{4 - 2} - 2 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{4} (2 e^{2} - 2 e^{- 2})$

≈ 3,627

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(2 x - 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{3}{4 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{3}{4 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{3}{4 {(2 \cdot 3 - 2)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{3}{4 {(6 - 2)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{3}{4 \cdot 4^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{16})$

= $\frac{3}{4 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{3}{64}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{4 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{3}{64}$ → $0 - \frac{3}{64}$ = $- \frac{3}{64}$ ≈ -0.047

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.047

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale