Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{14}{3}$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $7$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{14}{3}

und

7

:

\int_{\frac{14}{3}}^{7} 3 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{14}{3}}^{7} 3 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{14}{3}}^{7}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{\frac{14}{3}}^{7}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{128}{3} - 18$

= $\frac{128}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{74}{3}$

≈ 24,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{14}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{14}{3}

und

7

zusammen:

B = 4 + $\frac{74}{3}$ = $\frac{86}{3}$ ≈ 28.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 49 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $4 e^{2 - 3} - 4 e^{0 - 3}$

= $4 e^{- 1} - 4 e^{- 3}$

≈ 1,272

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 49 + $4 e^{- 1} - 4 e^{- 3}$ ≈ 50.27

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,4 x - 0,6} ⅆ x$ = $10$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,4 x - 0,6} ⅆ x

= ${[9 e^{0,4 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,4 u - 0,6} - 9 e^{0,4 \cdot 0 - 0,6}$

= $9 e^{0,4 u - 0,6} - 9 e^{0 - 0,6}$

= $9 e^{0,4 u - 0,6} - 9 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $10$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,4 u - 0,6} - 9 e^{- 0,6}$	=	$10$	\| $+ 9 e^{- 0,6}$
$9 e^{0,4 u - 0,6}$	=	$9 e^{- 0,6} + 10$
$9 e^{0,4 u - 0,6}$	=	$14,9393$	\|: $9$
$e^{0,4 u - 0,6}$	=	$1,6599$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,6$	=	$\ln (1,6599)$

$0,4 u - 0,6$	=	$0,5068$	\| $+ 0,6$
$0,4 u$	=	$1,1068$	\|: $0,4$
$u$	=	$2,767$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 5}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{21}{2}$ und Minute $15$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{15 - \frac{21}{2}}

\int_{\frac{21}{2}}^{15} \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\frac{2}{9}

\int_{\frac{21}{2}}^{15} {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

= $\frac{2}{9} (\frac{125}{3} - \frac{64}{3})$

= $\frac{2}{9} \cdot \frac{61}{3}$

= $\frac{122}{27}$

≈ 4,519

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(\sqrt{3 x - 6})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{22}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{22}{3}}^{u} \frac{1}{{(\sqrt{3 x - 6})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{u} {(3 x - 6)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{u}$

= ${[- \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3 x - 6}}]}_{\frac{22}{3}}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3 u - 6}} + \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6}}$

= $- \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3 u - 6}} + \frac{2}{3 \cdot \sqrt{22 - 6}}$

= $- \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3 u - 6}} + \frac{2}{3 \cdot \sqrt{16}}$

= $- \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3 u - 6}} + \frac{2}{3 \cdot 4}$

= $- \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3 u - 6}} + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3 u - 6}} + \frac{1}{6}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3 u - 6}} + \frac{1}{6}$ → $0 + \frac{1}{6}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale