Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 5)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{3}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 3 {(2 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 5)}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 4 - 5)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 5)}$

= $- \frac{3}{2 (8 - 5)} + \frac{3}{2 (6 - 5)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{3}) + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

= $- 0,5 + 1,5$

= $1$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 11 + $1$ = $12$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 6 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 3 - 5} - 3 e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $3 e^{6 - 5} - 3 e^{2 - 5}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 3}$

= $3 e - 3 e^{- 3}$

≈ 8,005

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 37 + $- 3 e^{- 3} + 3 e$ ≈ 45.01

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (2 x + 4) ⅆ x$ = $91$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (2 x + 4) ⅆ x

= ${[x^{2} + 4 x]}_{1}^{u}$

$=$ $u^{2} + 4 u - (1^{2} + 4 \cdot 1)$

= $u^{2} + 4 u - (1 + 4)$

= $u^{2} + 4 u - 1 - 4$

= $u^{2} + 4 u - 5$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $91$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} + 4 u - 5

=

91

|

- 91

$u^{2} + 4 u - 96$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 96)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{400}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{- 4+20}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{400}}{2}$ = $\frac{- 4-20}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Da u= $- 12$ < 1 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{2 x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} 6 e^{2 x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[3 e^{2 x - 2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (3 e^{2 \cdot 4 - 2} - 3 e^{2 \cdot 0 - 2})$

= $\frac{1}{4} (3 e^{8 - 2} - 3 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{4} (3 e^{6} - 3 e^{- 2})$

≈ 302,47

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{{(x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{3}{2 {(x - 2)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(u - 2)}^{2}} + \frac{3}{2 {(3 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 {(u - 2)}^{2}} + \frac{3}{2 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{3}{2 {(u - 2)}^{2}} + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{2 {(u - 2)}^{2}} + \frac{3}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2 {(u - 2)}^{2}} + \frac{3}{2}$ → $0 + \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale