Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 5 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 4 - 5} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{8 - 5} - \frac{5}{2} e^{2 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e^{- 3}$

≈ 50,089

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 18 + $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e^{- 3}$ ≈ 68.09

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 5} - \frac{5}{2} e^{2 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{1} - \frac{5}{2} e^{- 3}$

= $\frac{5}{2} e - \frac{5}{2} e^{- 3}$

≈ 6,671

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 68 + $- \frac{5}{2} e^{- 3} + \frac{5}{2} e$ ≈ 74.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 8 x + 5) ⅆ x$ = $- 136,5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 8 x + 5) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + 5 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 5 u - (- 4 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0)$

= $- 4 u^{2} + 5 u - (- 4 \cdot 0 + 0)$

= $- 4 u^{2} + 5 u - (0 + 0)$

= $- 4 u^{2} + 5 u + 0$

= $- 4 u^{2} + 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 136,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + 5 u

=

- 136,5

|

+ 136,5

$- 4 u^{2} + 5 u + 136,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 136,5}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 2 184}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{2 209}}{- 8}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{2 209}}{- 8}$ = $\frac{- 5+47}{- 8}$ = $\frac{42}{- 8}$ = $- 5,25$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{2 209}}{- 8}$ = $\frac{- 5-47}{- 8}$ = $\frac{- 52}{- 8}$ = $6,5$

Da u= $- 5,25$ < 0 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \cos (2 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 6 \cdot \cos (2 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[3 \cdot \sin (2 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot \sin (2 \cdot π - π) - 3 \cdot \sin (2 \cdot (0) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot \sin (π) - 3 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot 0 - 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 2)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} \frac{3}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} 3 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{u}^{3}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 2)}]}_{u}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 2)} + \frac{3}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{3}{2 (6 - 2)} + \frac{3}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 4} + \frac{3}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{3}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{3}{8} + \frac{3}{2 (2 u - 2)}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{3}{2 (2 u - 2)} - \frac{3}{8}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale