Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(x - 3)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{4}{{(x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 4 {(x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(x - 3)}^{- 3}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{4}{3 {(x - 3)}^{3}}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{4}{3 {(7 - 3)}^{3}} + \frac{4}{3 {(4 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{4}{3 \cdot 4^{3}} + \frac{4}{3 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{4}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{48} + \frac{4}{3}$

= $- \frac{1}{48} + \frac{64}{48}$

= $\frac{21}{16}$

≈ 1,313

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 14 + $\frac{21}{16}$ = $\frac{245}{16}$ ≈ 15.31

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{4}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 4 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[4 \ln (| x - 1 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $4 \ln (| 5 - 1 |) - 4 \ln (| 2 - 1 |)$

= $4 \ln (4) - 4 \ln (| 2 - 1 |)$

= $4 \ln (4) - 4 \ln (1)$

= $4 \ln (4) + 0$

= $4 \ln (4)$

≈ 5,545

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 13 + $4 \ln (4)$ ≈ 18.55

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,5 e^{0,7 x - 0,2} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,5 e^{0,7 x - 0,2} ⅆ x

= ${[5 e^{0,7 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,7 u - 0,2} - 5 e^{0,7 \cdot 0 - 0,2}$

= $5 e^{0,7 u - 0,2} - 5 e^{0 - 0,2}$

= $5 e^{0,7 u - 0,2} - 5 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,7 u - 0,2} - 5 e^{- 0,2}$	=	$5$	\| $+ 5 e^{- 0,2}$
$5 e^{0,7 u - 0,2}$	=	$5 e^{- 0,2} + 5$
$5 e^{0,7 u - 0,2}$	=	$9,0937$	\|: $5$
$e^{0,7 u - 0,2}$	=	$1,8187$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,2$	=	$\ln (1,8187)$

$0,7 u - 0,2$	=	$0,5981$	\| $+ 0,2$
$0,7 u$	=	$0,7981$	\|: $0,7$
$u$	=	$1,1401$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(3 x - 7)}^{3} + 3 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} (5 {(3 x - 7)}^{3} + 3 x) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{5}{12} {(3 x - 7)}^{4} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{5}{12} \cdot {(3 \cdot 1 - 7)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{5}{12} \cdot {(3 \cdot 0 - 7)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{5}{12} \cdot {(3 - 7)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 1 - (\frac{5}{12} \cdot {(0 - 7)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{5}{12} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{3}{2} - (\frac{5}{12} \cdot {(- 7)}^{4} + 0)$

= $\frac{5}{12} \cdot 256 + \frac{3}{2} - (\frac{5}{12} \cdot 2 401 + 0)$

= $\frac{320}{3} + \frac{3}{2} - (\frac{12005}{12} + 0)$

= $\frac{640}{6} + \frac{9}{6} - (\frac{12005}{12} + 0)$

= $\frac{649}{6} - \frac{12005}{12}$

= $\frac{1298}{12} - \frac{12005}{12}$

= $\frac{649}{6} - \frac{12005}{12}$

= $- \frac{3569}{4}$

= -892,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 3 \ln (| - x + 1 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 \ln (| - (u) + 1 |) + 3 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 1 |) + 3 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 1 |) + 3 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (2) - 3 \ln (| - x + 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale