Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 4 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 1 - 1} - 2 e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $2 e^{2 - 1} - 2 e^{0 - 1}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 9 + $- 2 e^{- 1} + 2 e$ ≈ 13.7

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{2 - 1} - \frac{3}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{1} - \frac{3}{2} e^{- 1}$

= $\frac{3}{2} e - \frac{3}{2} e^{- 1}$

≈ 3,526

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 4 + $- \frac{3}{2} e^{- 1} + \frac{3}{2} e$ ≈ 7.53

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,4 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x$ = $17$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,4 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x

= ${[8 e^{0,3 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,3 u - 0,2} - 8 e^{0,3 \cdot 0 - 0,2}$

= $8 e^{0,3 u - 0,2} - 8 e^{0 - 0,2}$

= $8 e^{0,3 u - 0,2} - 8 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $17$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,3 u - 0,2} - 8 e^{- 0,2}$	=	$17$	\| $+ 8 e^{- 0,2}$
$8 e^{0,3 u - 0,2}$	=	$8 e^{- 0,2} + 17$
$8 e^{0,3 u - 0,2}$	=	$23,5498$	\|: $8$
$e^{0,3 u - 0,2}$	=	$2,9437$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,2$	=	$\ln (2,9437)$

$0,3 u - 0,2$	=	$1,0797$	\| $+ 0,2$
$0,3 u$	=	$1,2797$	\|: $0,3$
$u$	=	$4,2657$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{6}{x - 1} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} 6 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[6 \ln (| x - 1 |)]}_{2}^{3}$

$=$ $6 \ln (| 3 - 1 |) - 6 \ln (| 2 - 1 |)$

= $6 \ln (2) - 6 \ln (| 2 - 1 |)$

= $6 \ln (2) - 6 \ln (1)$

= $6 \ln (2) + 0$

= $6 \ln (2)$

≈ 4,159

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $6$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{6} \frac{2}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{6} 2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{6}$

= ${[4 \sqrt{x - 2}]}_{u}^{6}$

$=$ $4 \sqrt{6 - 2} - 4 \sqrt{u - 2}$

= $4 \sqrt{4} - 4 \sqrt{u - 2}$

= $4 \cdot 2 - 4 \sqrt{u - 2}$

= $8 - 4 \sqrt{u - 2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u - 2} + 8$ → $0 + 8$ = $8$ ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale