Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 5)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{5}{{(2 x - 5)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 5 {(2 x - 5)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} {(2 x - 5)}^{- 3}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{5}{6 {(2 x - 5)}^{3}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{6 {(2 \cdot 5 - 5)}^{3}} + \frac{5}{6 {(2 \cdot 3 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{5}{6 {(10 - 5)}^{3}} + \frac{5}{6 {(6 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{5}{6 \cdot 5^{3}} + \frac{5}{6 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{125}) + \frac{5}{6} \cdot 1$

= $- \frac{1}{150} + \frac{5}{6}$

= $- \frac{1}{150} + \frac{125}{150}$

= $\frac{62}{75}$

≈ 0,827

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 11 + $\frac{62}{75}$ = $\frac{887}{75}$ ≈ 11.83

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{5}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 5 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[5 \ln (| x - 2 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $5 \ln (| 5 - 2 |) - 5 \ln (| 4 - 2 |)$

= $5 \ln (3) - 5 \ln (| 4 - 2 |)$

= $5 \ln (3) - 5 \ln (2)$

≈ 2,027

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 9 + $5 \ln (| 3 |) - 5 \ln (| 2 |)$ ≈ 11.03

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,1 e^{- 0,3 x + 0,9} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,1 e^{- 0,3 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 7 e^{- 0,3 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 7 e^{- 0,3 u + 0,9} + 7 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 7 e^{- 0,3 u + 0,9} + 7 e^{0 + 0,9}$

= $- 7 e^{- 0,3 u + 0,9} + 7 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 7 e^{- 0,3 u + 0,9} + 7 e^{0,9}$	=	$7$	\| $- 7 e^{0,9}$
$- 7 e^{- 0,3 u + 0,9}$	=	$- 7 e^{0,9} + 7$
$- 7 e^{- 0,3 u + 0,9}$	=	$- 10,2172$	\|: $- 7$
$e^{- 0,3 u + 0,9}$	=	$1,4596$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,9$	=	$\ln (1,4596)$

$- 0,3 u + 0,9$	=	$0,3782$	\| $- 0,9$
$- 0,3 u$	=	$- 0,5218$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$1,7393$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 {(3 x - 3)}^{2}$ zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} 2 {(3 x - 3)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 3)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 3)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot {(9 - 3)}^{3} - \frac{2}{9} \cdot {(3 - 3)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot 6^{3} - \frac{2}{9} \cdot 0^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot 216 - \frac{2}{9} \cdot 0)$

= $\frac{1}{2} (48 + 0)$

= $24$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $2 e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} 2 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 2 u + 2} + e^{- 2 \cdot 0 + 2}$

= $- e^{- 2 u + 2} + e^{0 + 2}$

= $- e^{- 2 u + 2} + e^{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{- 2 u + 2} + e^{2}$ → $0 + e^{2}$ = $e^{2}$ ≈ 7.389

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 7.389

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale