Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 3)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{4}{{(2 x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 4 {(2 x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 3)}^{- 2}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{{(2 \cdot 4 - 3)}^{2}} + \frac{1}{{(2 \cdot 3 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{{(8 - 3)}^{2}} + \frac{1}{{(6 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{3^{2}}$

= $- (\frac{1}{25}) + \frac{1}{9}$

= $\frac{16}{225}$

≈ 0,071

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 8 + $\frac{16}{225}$ = $\frac{1816}{225}$ ≈ 8.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{3 - 4} - \frac{1}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{- 1} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 0,117

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 4 + $\frac{1}{3} e^{- 1} - \frac{1}{3} e^{- 4}$ ≈ 4.12

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (4 x - 4) ⅆ x$ = $10,5$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (4 x - 4) ⅆ x

= ${[2 x^{2} - 4 x]}_{2}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 4 u - (2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2)$

= $2 u^{2} - 4 u - (2 \cdot 4 - 8)$

= $2 u^{2} - 4 u - (8 - 8)$

= $2 u^{2} - 4 u - 1 \cdot 0$

= $2 u^{2} - 4 u + 0$

= $2 u^{2} - 4 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $10,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} - 4 u

=

10,5

|

- 10,5

$2 u^{2} - 4 u - 10,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10,5)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{4}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{4}$ = $\frac{4+10}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{4}$ = $\frac{4-10}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Da u= $- 1,5$ < 2 ist u= $3,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{2 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{2}{2 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} 2 {(2 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\ln (| 2 x - 3 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (\ln (| 2 \cdot 5 - 3 |) - \ln (| 2 \cdot 3 - 3 |))$

= $\frac{1}{2} (\ln (| 10 - 3 |) - \ln (| 6 - 3 |))$

= $\frac{1}{2} (\ln (7) - \ln (| 6 - 3 |))$

= $\frac{1}{2} (\ln (7) - \ln (3))$

≈ 0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{u - 2} + 3 e^{0 - 2}$

= $- 3 e^{u - 2} + 3 e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 3 e^{u - 2} + 3 e^{- 2}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale