= ${\left[-\frac{5}{9}{\left(3x-6\right)}^{-3}\right]}_4^7$

= ${\left[-\frac{5}{9{\left(3x-6\right)}^3}\right]}_4^7$

$=$ $-\frac{5}{9{\left(3\cdot 7-6\right)}^3}+\frac{5}{9{\left(3\cdot 4-6\right)}^3}$

= $-\frac{5}{9{\left(21-6\right)}^3}+\frac{5}{9{\left(12-6\right)}^3}$

= $-\frac{5}{9\cdot {15}^3}+\frac{5}{9\cdot 6^3}$

= $-\frac{5}{9}\cdot \left(\frac{1}{3375}\right)+\frac{5}{9}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)$

= $-\frac{1}{6075}+\frac{5}{1944}$

= $-\frac{8}{48600}+\frac{125}{48600}$

= $\frac{13}{5400}$

= ${\left[4e^{x-3}\right]}_2^5$

$=$ $4e^{5-3}-4e^{2-3}$

= $4e^2-4e^{-1}$

= ${\left[-2x^2\right]}_3^u$

$=$ $-2u^2+2\cdot 3^2$

= $-2u^2+2\cdot 9$

= $-2u^2+18$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-54$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-6$ < 3 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{5}{4}{\left(x-1\right)}^4\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{4}\cdot {\left(3-1\right)}^4-\frac{5}{4}\cdot {\left(0-1\right)}^4\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{4}\cdot 2^4-\frac{5}{4}\cdot {\left(-1\right)}^4\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{4}\cdot 16-\frac{5}{4}\cdot 1\right)$

= $\frac{1}{3}\left(20-\frac{5}{4}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{80}{4}-\frac{5}{4}\right)$

= $\frac{1}{3}·\frac{75}{4}$

= $\frac{25}{4}$

= ${\left[-{\left(2x-4\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{\mathrm{6,5}}$

= ${\left[-\sqrt{2x-4}\right]}_u^{\mathrm{6,5}}$

$=$ $-\sqrt{2\cdot \mathrm{6,5}-4}+\sqrt{2u-4}$

= $-\sqrt{13-4}+\sqrt{2u-4}$

= $-\sqrt{9}+\sqrt{2u-4}$

= $-3+\sqrt{2u-4}$

= $\sqrt{2u-4}-3$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $\sqrt{2u-4}-3$ → $0-3$ = $-3$ ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3