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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 69 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 5 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{15 - 6} - \frac{2}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3} e^{0}$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3}$

≈ 5401,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 69 + $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3}$ ≈ 5470.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 5 - 3} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{10 - 3} - \frac{1}{2} e^{4 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{7} - \frac{1}{2} e^{1}$

= $\frac{1}{2} e^{7} - \frac{1}{2} e$

≈ 546,957

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 37 + $\frac{1}{2} e^{7} - \frac{1}{2} e$ ≈ 583.96

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,4 e^{- 0,4 x + 0,2} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,4 e^{- 0,4 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,4 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,4 u + 0,2} + 6 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 6 e^{- 0,4 u + 0,2} + 6 e^{0 + 0,2}$

= $- 6 e^{- 0,4 u + 0,2} + 6 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,4 u + 0,2} + 6 e^{0,2}$	=	$2$	\| $- 6 e^{0,2}$
$- 6 e^{- 0,4 u + 0,2}$	=	$- 6 e^{0,2} + 2$
$- 6 e^{- 0,4 u + 0,2}$	=	$- 5,3284$	\|: $- 6$
$e^{- 0,4 u + 0,2}$	=	$0,8881$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,2$	=	$\ln (0,8881)$

$- 0,4 u + 0,2$	=	$- 0,1187$	\| $- 0,2$
$- 0,4 u$	=	$- 0,3187$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$0,7968$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(2 x - 5)}^{2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} 3 {(2 x - 5)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{2} {(2 x - 5)}^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 3 - 5)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot 1 - 5)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot {(6 - 5)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(2 - 5)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot (- 27))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{27}{2})$

= $\frac{1}{2} (0,5 + 13,5)$

= $\frac{1}{2} \cdot 14$

= $7$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- 3 x + 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - 3 e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 7}]}_{1}^{u}$

$=$ $e^{- 3 u + 7} - e^{- 3 \cdot 1 + 7}$

= $e^{- 3 u + 7} - e^{- 3 + 7}$

= $e^{- 3 u + 7} - e^{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{- 3 u + 7} - e^{4}$ → $0 - e^{4}$ = $- e^{4}$ ≈ -54.598

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 54.598

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale