Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 33 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $5 e^{1 - 1} - 5 e^{0 - 1}$

= $5 e^{0} - 5 e^{- 1}$

= $5 - 5 e^{- 1}$

≈ 3,161

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 33 + $- 5 e^{- 1} + 5$ ≈ 36.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $6$ Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $14$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

6

und

14

:

\int_{6}^{14} 3 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{6}^{14} 3 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{14}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{14}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3}$

= ${(\sqrt{28 - 3})}^{3} - {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= ${(\sqrt{25})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3}$

= $5^{3} - 3^{3}$

= $125 - 27$

= $98$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

6

und der Änderung zwischen

6

und

14

zusammen:

B = 14 + $98$ = $112$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} e^{0,2 x - 0,7} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} e^{0,2 x - 0,7} ⅆ x

= ${[5 e^{0,2 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,2 u - 0,7} - 5 e^{0,2 \cdot 0 - 0,7}$

= $5 e^{0,2 u - 0,7} - 5 e^{0 - 0,7}$

= $5 e^{0,2 u - 0,7} - 5 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,2 u - 0,7} - 5 e^{- 0,7}$	=	$5$	\| $+ 5 e^{- 0,7}$
$5 e^{0,2 u - 0,7}$	=	$5 e^{- 0,7} + 5$
$5 e^{0,2 u - 0,7}$	=	$7,4829$	\|: $5$
$e^{0,2 u - 0,7}$	=	$1,4966$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,7$	=	$\ln (1,4966)$

$0,2 u - 0,7$	=	$0,4032$	\| $+ 0,7$
$0,2 u$	=	$1,1032$	\|: $0,2$
$u$	=	$5,516$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{3}{3 x - 4}$ zwischen 2 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} \frac{3}{3 x - 4} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{2}^{5} 3 {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\ln (| 3 x - 4 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\ln (| 3 \cdot 5 - 4 |) - \ln (| 3 \cdot 2 - 4 |))$

= $\frac{1}{3} (\ln (| 15 - 4 |) - \ln (| 6 - 4 |))$

= $\frac{1}{3} (\ln (11) - \ln (| 6 - 4 |))$

= $\frac{1}{3} (\ln (11) - \ln (2))$

≈ 0,568

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{- 2 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 3} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 3} + \frac{1}{2} e^{0 + 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 3} + \frac{1}{2} e^{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 3} + \frac{1}{2} e^{3}$ → $0 + \frac{1}{2} e^{3}$ = $\frac{1}{2} e^{3}$ ≈ 10.043

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 10.043

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale