Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 78 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 2 - 2} - 2 e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $2 e^{4 - 2} - 2 e^{2 - 2}$

= $2 e^{2} - 2 e^{0}$

= $2 e^{2} - 2$

≈ 12,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 78 + $2 e^{2} - 2$ ≈ 90.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 5} - e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $e^{8 - 5} - e^{2 - 5}$

= $e^{3} - e^{- 3}$

≈ 20,036

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 19 + $e^{3} - e^{- 3}$ ≈ 39.04

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,5 e^{0,9 x - 0,1} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,5 e^{0,9 x - 0,1} ⅆ x

= ${[5 e^{0,9 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,9 u - 0,1} - 5 e^{0,9 \cdot 0 - 0,1}$

= $5 e^{0,9 u - 0,1} - 5 e^{0 - 0,1}$

= $5 e^{0,9 u - 0,1} - 5 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,9 u - 0,1} - 5 e^{- 0,1}$	=	$8$	\| $+ 5 e^{- 0,1}$
$5 e^{0,9 u - 0,1}$	=	$5 e^{- 0,1} + 8$
$5 e^{0,9 u - 0,1}$	=	$12,5242$	\|: $5$
$e^{0,9 u - 0,1}$	=	$2,5048$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,1$	=	$\ln (2,5048)$

$0,9 u - 0,1$	=	$0,9182$	\| $+ 0,1$
$0,9 u$	=	$1,0182$	\|: $0,9$
$u$	=	$1,1313$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 2)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 3}

\int_{3}^{6} \frac{4}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{3}^{6} 4 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- 2 {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{2}{2 x - 2}]}_{3}^{6}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{2}{2 \cdot 6 - 2} + \frac{2}{2 \cdot 3 - 2})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{12 - 2} + \frac{2}{6 - 2})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{10} + \frac{2}{4})$

= $\frac{1}{3} (- 2 \cdot (\frac{1}{10}) + 2 \cdot (\frac{1}{4}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{2}{10} + \frac{5}{10})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10}$

= $\frac{1}{10}$

= 0,1

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $4$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{4}$

= ${[- \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{4}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 4 - 4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{8 - 4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 + \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{2 u - 4} - 2$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 4} - 2$ → $0 - 2$ = $- 2$ ≈ -2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale