Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{2 - 1} - e^{1 - 1}$

= $e^{1} - e^{0}$

= $e - 1$

≈ 1,718

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 5 + $- 1 + e$ ≈ 6.72

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 34 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 e^{3 - 2} - 3 e^{1 - 2}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 1}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 34 + $- 3 e^{- 1} + 3 e$ ≈ 41.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,6 e^{- 0,8 x + 0,8} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,6 e^{- 0,8 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 7 e^{- 0,8 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 7 e^{- 0,8 u + 0,8} + 7 e^{- 0,8 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 7 e^{- 0,8 u + 0,8} + 7 e^{0 + 0,8}$

= $- 7 e^{- 0,8 u + 0,8} + 7 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 7 e^{- 0,8 u + 0,8} + 7 e^{0,8}$	=	$7$	\| $- 7 e^{0,8}$
$- 7 e^{- 0,8 u + 0,8}$	=	$- 7 e^{0,8} + 7$
$- 7 e^{- 0,8 u + 0,8}$	=	$- 8,5788$	\|: $- 7$
$e^{- 0,8 u + 0,8}$	=	$1,2255$	\|ln(⋅)
$- 0,8 u + 0,8$	=	$\ln (1,2255)$

$- 0,8 u + 0,8$	=	$0,2033$	\| $- 0,8$
$- 0,8 u$	=	$- 0,5967$	\|:( $- 0,8$ )
$u$	=	$0,7459$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(3 x - 5)}^{2} + 4 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} (4 {(3 x - 5)}^{2} + 4 x) ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{4}{9} {(3 x - 5)}^{3} + 2 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{4}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 5)}^{3} + 2 \cdot 2^{2} - (\frac{4}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 5)}^{3} + 2 \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{9} \cdot {(6 - 5)}^{3} + 2 \cdot 4 - (\frac{4}{9} \cdot {(0 - 5)}^{3} + 2 \cdot 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{9} \cdot 1^{3} + 8 - (\frac{4}{9} \cdot {(- 5)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{9} \cdot 1 + 8 - (\frac{4}{9} \cdot (- 125) + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{9} + 8 - (- \frac{500}{9} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{4}{9} + \frac{72}{9} - (- \frac{500}{9} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{76}{9} + \frac{500}{9})$

= $\frac{1}{2} \cdot 64$

= $32$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{1}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| x - 2 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- \ln (| u - 2 |) + \ln (| 4 - 2 |)$

= $- \ln (| u - 2 |) + \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (2) - \ln (| x - 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale