Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 3} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 3} - \frac{5}{2} e^{2 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e^{- 1}$

≈ 49,294

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 10 + $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e^{- 1}$ ≈ 59.29

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 5 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $5 e^{2 - 2} - 5 e^{1 - 2}$

= $5 e^{0} - 5 e^{- 1}$

= $5 - 5 e^{- 1}$

≈ 3,161

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 18 + $- 5 e^{- 1} + 5$ ≈ 21.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 6 x + 1) ⅆ x$ = $- 138$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 6 x + 1) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} + x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + u - (- 3 \cdot 1^{2} + 1)$

= $- 3 u^{2} + u - (- 3 \cdot 1 + 1)$

= $- 3 u^{2} + u - (- 3 + 1)$

= $- 3 u^{2} + u - 1 \cdot (- 2)$

= $- 3 u^{2} + u + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 138$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} + u + 2

=

- 138

|

+ 138

$- 3 u^{2} + u + 140$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 140}}{2 \cdot (- 3)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 1 680}}{- 6}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 681}}{- 6}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{1 681}}{- 6}$ = $\frac{- 1+41}{- 6}$ = $\frac{40}{- 6}$ = $- \frac{20}{3}$ ≈ -6.67

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{1 681}}{- 6}$ = $\frac{- 1-41}{- 6}$ = $\frac{- 42}{- 6}$ = $7$

Da u= $- \frac{20}{3}$ < 1 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \sin (2 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 6 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + 3 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (4 π) + 3 \cdot \cos (2 π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 + 3)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $19$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{19} - \frac{1}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{19} - {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{19}$

= ${[- 2 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{19}$

$=$ $- 2 \sqrt{19 - 3} + 2 \sqrt{u - 3}$

= $- 2 \sqrt{16} + 2 \sqrt{u - 3}$

= $- 2 \cdot 4 + 2 \sqrt{u - 3}$

= $- 8 + 2 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{u - 3} - 8$ → $0 - 8$ = $- 8$ ≈ -8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale