Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 3x -6 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 2 e 3x -6 x

= [ 2 3 e 3x -6 ] 0 2

= 2 3 e 32 -6 - 2 3 e 30 -6

= 2 3 e 6 -6 - 2 3 e 0 -6

= 2 3 e 0 - 2 3 e -6

= 2 3 - 2 3 e -6


≈ 0,665
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 77 + - 2 3 e -6 + 2 3 ≈ 77.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( x -1 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 6 ( x -1 ) 2 x
= 2 3 6 ( x -1 ) -2 x

= [ -6 ( x -1 ) -1 ] 2 3

= [ - 6 x -1 ] 2 3

= - 6 3 -1 + 6 2 -1

= - 6 2 + 6 1

= -6( 1 2 ) +61

= -3 +6

= 3

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 17 + 3 = 20

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4,5 e -0,9x +0,7 x = 2

Lösung einblenden
0 u 4,5 e -0,9x +0,7 x

= [ -5 e -0,9x +0,7 ] 0 u

= -5 e -0,9u +0,7 +5 e -0,90 +0,7

= -5 e -0,9u +0,7 +5 e 0 +0,7

= -5 e -0,9u +0,7 +5 e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 e -0,9u +0,7 +5 e 0,7 = 2 | -5 e 0,7
-5 e -0,9u +0,7 = -5 e 0,7 +2
-5 e -0,9u +0,7 = -8,0688 |:-5
e -0,9u +0,7 = 1,6138 |ln(⋅)
-0,9u +0,7 = ln( 1,6138 )
-0,9u +0,7 = 0,4786 | -0,7
-0,9u = -0,2214 |:(-0,9 )
u = 0,246

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 1 2x -2 zwischen 3 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -3 3 4 1 2x -2 x
= 1 3 4 ( 2x -2 ) -1 x

= 1 [ 1 2 ln( | 2x -2 | ) ] 3 4

= 1 2 ln( | 24 -2 | ) - 1 2 ln( | 23 -2 | )

= 1 2 ln( | 8 -2 | ) - 1 2 ln( | 6 -2 | )

= 1 2 ln( 6 ) - 1 2 ln( | 6 -2 | )

= 1 2 ln( 6 ) - 1 2 ln( 4 )


≈ 0,203

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e 2x -1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u e 2x -1 x

= [ 1 2 e 2x -1 ] 2 u

= 1 2 e 2u -1 - 1 2 e 22 -1

= 1 2 e 2u -1 - 1 2 e 4 -1

= 1 2 e 2u -1 - 1 2 e 3

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 e 2u -1 - 1 2 e 3