Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{20}{3}$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{20}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}} 6 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}} 6 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{20}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{20}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 19 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{301}{3}$ ≈ 100.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{4} - \frac{1}{3} e^{- 2}$

≈ 18,154

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 60 + $\frac{1}{3} e^{4} - \frac{1}{3} e^{- 2}$ ≈ 78.15

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,6 e^{0,3 x - 0,8} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,6 e^{0,3 x - 0,8} ⅆ x

= ${[2 e^{0,3 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,3 u - 0,8} - 2 e^{0,3 \cdot 0 - 0,8}$

= $2 e^{0,3 u - 0,8} - 2 e^{0 - 0,8}$

= $2 e^{0,3 u - 0,8} - 2 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,3 u - 0,8} - 2 e^{- 0,8}$	=	$6$	\| $+ 2 e^{- 0,8}$
$2 e^{0,3 u - 0,8}$	=	$2 e^{- 0,8} + 6$
$2 e^{0,3 u - 0,8}$	=	$6,8987$	\|: $2$
$e^{0,3 u - 0,8}$	=	$3,4494$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,8$	=	$\ln (3,4494)$

$0,3 u - 0,8$	=	$1,2382$	\| $+ 0,8$
$0,3 u$	=	$2,0382$	\|: $0,3$
$u$	=	$6,794$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{3 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 4 e^{3 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} e^{9 - 4} - \frac{4}{3} e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} e^{5} - \frac{4}{3} e^{- 4})$

≈ 65,953

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{2 x - 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{2 u - 5} + \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{2 u - 5} + \frac{3}{2} e^{4 - 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{2 u - 5} + \frac{3}{2} e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} e^{2 u - 5} + \frac{3}{2} e^{- 1}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale