Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 4 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{8 - 5} - \frac{1}{2} e^{2 - 5}$

= $\frac{1}{2} e^{3} - \frac{1}{2} e^{- 3}$

≈ 10,018

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 6 + $\frac{1}{2} e^{3} - \frac{1}{2} e^{- 3}$ ≈ 16.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{3 - 2} - e^{1 - 2}$

= $e^{1} - e^{- 1}$

= $e - e^{- 1}$

≈ 2,35

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 76 + $- e^{- 1} + e$ ≈ 78.35

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 8 x + 4) ⅆ x$ = $- 200$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 8 x + 4) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + 4 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 4 u - (- 4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3)$

= $- 4 u^{2} + 4 u - (- 4 \cdot 9 + 12)$

= $- 4 u^{2} + 4 u - (- 36 + 12)$

= $- 4 u^{2} + 4 u - 1 \cdot (- 24)$

= $- 4 u^{2} + 4 u + 24$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 200$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + 4 u + 24

=

- 200

|

+ 200

- 4 u^{2} + 4 u + 224

= 0 |:4

$- u^{2} + u + 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 56}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 1+15}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 1-15}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Da u= $- 7$ < 3 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 6 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[6 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (6 \cdot \sin (π - \frac{3}{2} π) - 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (6 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 6 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (6 \cdot (- 1) - 6 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 6 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 6)$

= $- \frac{12}{π}$

≈ -3,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $3,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3,5} - \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3,5} - 3 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{3,5}$

= ${[- 3 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{3,5}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot 3,5 - 6} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \sqrt{7 - 6} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \sqrt{1} + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 \cdot 1 + 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 3 + 3 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $3 \sqrt{2 u - 6} - 3$ → $0 - 3$ = $- 3$ ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale