Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 78 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 2} - 3 e^{2 - 2}$

= $3 e^{2} - 3 e^{0}$

= $3 e^{2} - 3$

≈ 19,167

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 78 + $3 e^{2} - 3$ ≈ 97.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 2 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 4 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{256}{3}$ ≈ 85.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,3 x - 0,8} ⅆ x$ = $13$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,3 x - 0,8} ⅆ x

= ${[4 e^{0,3 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,3 u - 0,8} - 4 e^{0,3 \cdot 0 - 0,8}$

= $4 e^{0,3 u - 0,8} - 4 e^{0 - 0,8}$

= $4 e^{0,3 u - 0,8} - 4 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $13$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,3 u - 0,8} - 4 e^{- 0,8}$	=	$13$	\| $+ 4 e^{- 0,8}$
$4 e^{0,3 u - 0,8}$	=	$4 e^{- 0,8} + 13$
$4 e^{0,3 u - 0,8}$	=	$14,7973$	\|: $4$
$e^{0,3 u - 0,8}$	=	$3,6993$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,8$	=	$\ln (3,6993)$

$0,3 u - 0,8$	=	$1,3081$	\| $+ 0,8$
$0,3 u$	=	$2,1081$	\|: $0,3$
$u$	=	$7,027$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 1)}^{2} + 4$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} (2 {(x - 1)}^{2} + 4) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + 4 x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot {(1 - 1)}^{3} + 4 \cdot 1 - (\frac{2}{3} \cdot {(0 - 1)}^{3} + 4 \cdot 0)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 4 - (\frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 0)$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + 4 - (\frac{2}{3} \cdot (- 1) + 0)$

= $0 + 4 - (- \frac{2}{3} + 0)$

= $4 - (- \frac{2}{3} + 0)$

= $4 + \frac{2}{3}$

= $\frac{12}{3} + \frac{2}{3}$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{2 x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $0,5$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{0,5} \frac{3}{\sqrt{2 x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{0,5} \frac{\frac{4.2426406871193}{1.4142135623731}}{1,4142135623731 \sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{0,5} \frac{3}{1.4142135623731} x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{6}{1.4142135623731} x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{0,5}$

= ${[\frac{6}{1.4142135623731} \sqrt{x}]}_{u}^{0,5}$

$=$ $\frac{6}{1.4142135623731} \sqrt{0,5} - \frac{6}{1.4142135623731} \sqrt{u}$

= $\frac{599 999 999 999 999 996 168 176 207 396 864}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{0,5} - \frac{599 999 999 999 999 996 168 176 207 396 864}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{u}$

= $\frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{0,5} - \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $\frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \cdot (\sqrt{0,5}) - \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $- \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{0,5}$

= $- \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + 3$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{7 499 999 999 999 999 726 922 221 223 936}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} + 3$ → $0 + 3$ = $3$ ≈ 3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale