Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 36 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 4} - \frac{5}{2} e^{0 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{- 4}$

≈ 18,427

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 36 + $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{- 4}$ ≈ 54.43

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{1}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| x - 2 |)]}_{4}^{6}$

$=$ $\ln (| 6 - 2 |) - \ln (| 4 - 2 |)$

= $\ln (4) - \ln (| 4 - 2 |)$

= $\ln (4) - \ln (2)$

≈ 0,693

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 12 + $\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)$ ≈ 12.69

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 8 x ⅆ x$ = $- 220$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 8 x ⅆ x

= ${[- 4 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 4 \cdot 3^{2}$

= $- 4 u^{2} + 4 \cdot 9$

= $- 4 u^{2} + 36$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 220$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 u^{2} + 36$	=	$- 220$	\| $- 36$
$- 4 u^{2}$	=	$- 256$	\|: $(- 4)$
$u^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
u₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

Da u= $- 8$ < 3 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{x - 1}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 6 e^{x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[6 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (6 e^{2 - 1} - 6 e^{0 - 1})$

= $\frac{1}{2} (6 e^{1} - 6 e^{- 1})$

= $\frac{1}{2} (6 e - 6 e^{- 1})$

= $\frac{1}{2} (- 6 e^{- 1} + 6 e)$

≈ 7,051

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 2)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} \frac{1}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{u}^{2}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 2)}]}_{u}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 \cdot 2 - 2)} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2 (4 - 2)} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{1}{2 (2 u - 2)} - \frac{1}{4}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale