Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{1} - \frac{3}{2} e^{- 3}$

= $\frac{3}{2} e - \frac{3}{2} e^{- 3}$

≈ 4,003

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 68 + $- \frac{3}{2} e^{- 3} + \frac{3}{2} e$ ≈ 72

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 4} - \frac{1}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 2,457

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 14 + $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 4}$ ≈ 16.46

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x$ = $13$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x

= ${[3 e^{0,3 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,3 u - 0,2} - 3 e^{0,3 \cdot 0 - 0,2}$

= $3 e^{0,3 u - 0,2} - 3 e^{0 - 0,2}$

= $3 e^{0,3 u - 0,2} - 3 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $13$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,3 u - 0,2} - 3 e^{- 0,2}$	=	$13$	\| $+ 3 e^{- 0,2}$
$3 e^{0,3 u - 0,2}$	=	$3 e^{- 0,2} + 13$
$3 e^{0,3 u - 0,2}$	=	$15,4562$	\|: $3$
$e^{0,3 u - 0,2}$	=	$5,1521$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,2$	=	$\ln (5,1521)$

$0,3 u - 0,2$	=	$1,6394$	\| $+ 0,2$
$0,3 u$	=	$1,8394$	\|: $0,3$
$u$	=	$6,1313$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\sin (x - π)$ zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} \sin (x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \cos (x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (π - π) + \cos (0 - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (0) + \cos (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 1 - 1)$

= $\frac{- 1 - 1}{π}$

= $\frac{- 2}{π}$

= $- \frac{2}{π}$

≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 2}$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{1}{2} e^{- 4 + 2}$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{1}{2} e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{1}{2} e^{- 2}$ → $0 - \frac{1}{2} e^{- 2}$ = $- \frac{1}{2} e^{- 2}$ ≈ -0.068

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.068

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale