Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 5)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{3}{{(3 x - 5)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 3 {(3 x - 5)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{- 3}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 5)}^{3}}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 \cdot 5 - 5)}^{3}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 2 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 {(15 - 5)}^{3}} + \frac{1}{3 {(6 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 10^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{1000}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{3000} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{3000} + \frac{1000}{3000}$

= $\frac{333}{1000}$

= 0,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 12 + $\frac{333}{1000}$ = $\frac{12333}{1000}$ ≈ 12.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 5 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{15 - 4} - \frac{1}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{11} - \frac{1}{3} e^{2}$

≈ 19955,584

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 10 + $\frac{1}{3} e^{11} - \frac{1}{3} e^{2}$ ≈ 19965.58

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,9 e^{- 0,7 x + 0,2} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,9 e^{- 0,7 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 7 e^{- 0,7 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 7 e^{- 0,7 u + 0,2} + 7 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 7 e^{- 0,7 u + 0,2} + 7 e^{0 + 0,2}$

= $- 7 e^{- 0,7 u + 0,2} + 7 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 7 e^{- 0,7 u + 0,2} + 7 e^{0,2}$	=	$3$	\| $- 7 e^{0,2}$
$- 7 e^{- 0,7 u + 0,2}$	=	$- 7 e^{0,2} + 3$
$- 7 e^{- 0,7 u + 0,2}$	=	$- 5,5498$	\|: $- 7$
$e^{- 0,7 u + 0,2}$	=	$0,7928$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,2$	=	$\ln (0,7928)$

$- 0,7 u + 0,2$	=	$- 0,2322$	\| $- 0,2$
$- 0,7 u$	=	$- 0,4322$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,6174$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{2 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[e^{2 x - 4}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (e^{2 \cdot 4 - 4} - e^{2 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{4} (e^{8 - 4} - e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{4} (e^{4} - e^{- 4})$

≈ 13,645

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{3 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} 3 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 3}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{3 u - 3} - e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $e^{3 u - 3} - e^{0 - 3}$

= $e^{3 u - 3} - e^{- 3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{3 u - 3} - e^{- 3}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale