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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 16 3 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 23 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 16 3 und 23 3 :
∫ 16 3 23 3 3 3x -7 ⅆ x
= ∫ 16 3 23 3 3 ( 3x -7 ) 1 2 ⅆ x

= [ 2 3 ( 3x -7 ) 3 2 ] 16 3 23 3

= [ 2 3 ( 3x -7 ) 3 ] 16 3 23 3

= 2 3 ( 3⋅( 23 3 ) -7 ) 3 - 2 3 ( 3⋅( 16 3 ) -7 ) 3

= 2 3 ( 23 -7 ) 3 - 2 3 ( 16 -7 ) 3

= 2 3 ( 16 ) 3 - 2 3 ( 9 ) 3

= 2 3 ⋅ 4 3 - 2 3 ⋅ 3 3

= 2 3 ⋅64 - 2 3 ⋅27

= 128 3 -18

= 128 3 - 54 3

= 74 3


≈ 24,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 16 3 und der Änderung zwischen 16 3 und 23 3 zusammen:
B = 10 + 74 3 = 104 3 ≈ 34.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 56 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
∫ 2 5 2 e 2x -1 ⅆ x

= [ e 2x -1 ] 2 5

= e 2⋅5 -1 - e 2⋅2 -1

= e 10 -1 - e 4 -1

= e 9 - e 3


≈ 8082,998
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 56 + e 9 - e 3 ≈ 8139

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 7,2 e 0,9x -0,6 ⅆ x = 5

Lösung einblenden
∫ 0 u 7,2 e 0,9x -0,6 ⅆ x

= [ 8 e 0,9x -0,6 ] 0 u

= 8 e 0,9u -0,6 -8 e 0,9⋅0 -0,6

= 8 e 0,9u -0,6 -8 e 0 -0,6

= 8 e 0,9u -0,6 -8 e -0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

8 e 0,9u -0,6 -8 e -0,6 = 5 | +8 e -0,6
8 e 0,9u -0,6 = 8 e -0,6 +5
8 e 0,9u -0,6 = 9,3905 |:8
e 0,9u -0,6 = 1,1738 |ln(⋅)
0,9u -0,6 = ln( 1,1738 )
0,9u -0,6 = 0,1602 | +0,6
0,9u = 0,7602 |:0,9
u = 0,8447

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6⋅ cos( 2x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π ∫ 1 2 π 3 2 π 6⋅ cos( 2x - 1 2 π) ⅆ x

= 1 π [ 3⋅ sin( 2x - 1 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( 3⋅ sin( 2⋅( 3 2 π ) - 1 2 π) -3⋅ sin( 2⋅( 1 2 π ) - 1 2 π) )

= 1 π · ( 3⋅ sin( 5 2 π) -3⋅ sin( 1 2 π) )

= 1 π · ( 3⋅1 -3⋅1 )

= 1 π · ( 3 -3 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -x +3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 4 u - 1 ( -x +3 ) 3 ⅆ x
= ∫ 4 u - ( -x +3 ) -3 ⅆ x

= [ - 1 2 ( -x +3 ) -2 ] 4 u

= [ - 1 2 ( -x +3 ) 2 ] 4 u

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2 ( -4 +3 ) 2

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2 ( -1 ) 2

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2 ⋅1

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2 → 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5