Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 4 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{12 - 7} - \frac{4}{3} e^{6 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{5} - \frac{4}{3} e^{- 1}$

≈ 197,394

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 23 + $\frac{4}{3} e^{5} - \frac{4}{3} e^{- 1}$ ≈ 220.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 6 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 7}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 3 - 7} - 2 e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $2 e^{9 - 7} - 2 e^{0 - 7}$

= $2 e^{2} - 2 e^{- 7}$

≈ 14,776

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 31 + $2 e^{2} - 2 e^{- 7}$ ≈ 45.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 7,2 e^{- 0,9 x + 0,8} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 7,2 e^{- 0,9 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,9 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,9 u + 0,8} + 8 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 8 e^{- 0,9 u + 0,8} + 8 e^{0 + 0,8}$

= $- 8 e^{- 0,9 u + 0,8} + 8 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,9 u + 0,8} + 8 e^{0,8}$	=	$5$	\| $- 8 e^{0,8}$
$- 8 e^{- 0,9 u + 0,8}$	=	$- 8 e^{0,8} + 5$
$- 8 e^{- 0,9 u + 0,8}$	=	$- 12,8043$	\|: $- 8$
$e^{- 0,9 u + 0,8}$	=	$1,6005$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,8$	=	$\ln (1,6005)$

$- 0,9 u + 0,8$	=	$0,4703$	\| $- 0,8$
$- 0,9 u$	=	$- 0,3297$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,3663$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 6}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $5$ und Minute $\frac{22}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{22}{3} - 5}

\int_{5}^{\frac{22}{3}} 4 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\frac{3}{7}

\int_{5}^{\frac{22}{3}} 4 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{7}$ ${[\frac{8}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{22}{3}}$

= $\frac{3}{7}$ ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{22}{3}}$

$=$ $\frac{3}{7} (\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{8}{9} {(\sqrt{22 - 6})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{15 - 6})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{8}{9} \cdot 4^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{8}{9} \cdot 64 - \frac{8}{9} \cdot 27)$

= $\frac{3}{7} (\frac{512}{9} - 24)$

= $\frac{3}{7} (\frac{512}{9} - \frac{216}{9})$

= $\frac{3}{7} \cdot \frac{296}{9}$

= $\frac{296}{21}$

≈ 14,095

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{2 x - 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} \ln (| 2 (u) - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 2 - 1 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| 4 - 1 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (3)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} \ln (3) + \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale