Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 5 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 5 - 3} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{15 - 3} - \frac{5}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{12} - \frac{5}{3} e^{3}$

≈ 271224,51

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 9 + $\frac{5}{3} e^{12} - \frac{5}{3} e^{3}$ ≈ 271233.51

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 36 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $5 e^{3 - 1} - 5 e^{1 - 1}$

= $5 e^{2} - 5 e^{0}$

= $5 e^{2} - 5$

≈ 31,945

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 36 + $5 e^{2} - 5$ ≈ 67.95

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 6 x + 1) ⅆ x$ = $- 2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 6 x + 1) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} + x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + u - (- 3 \cdot 0^{2} + 0)$

= $- 3 u^{2} + u - (- 3 \cdot 0 + 0)$

= $- 3 u^{2} + u - (0 + 0)$

= $- 3 u^{2} + u + 0$

= $- 3 u^{2} + u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} + u

=

- 2

|

+ 2

$- 3 u^{2} + u + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 2}}{2 \cdot (- 3)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 6}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 1+5}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 1-5}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

Da u= $- \frac{2}{3}$ < 0 ist u= $1$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \sin (2 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 6 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (2 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (2 \cdot π + π) + 3 \cdot \cos (2 \cdot (0) + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (3 π) + 3 \cdot \cos (π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot (- 1) + 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (3 - 3)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(\sqrt{x - 1})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $5$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} - \frac{2}{{(\sqrt{x - 1})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} - 2 {(x - 1)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]}_{5}^{u}$

= ${[\frac{4}{\sqrt{x - 1}}]}_{5}^{u}$

$=$ $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - \frac{4}{\sqrt{5 - 1}}$

= $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - \frac{4}{\sqrt{4}}$

= $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - \frac{4}{2}$

= $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - 4 \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - 2$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - 2$ → $0 - 2$ = $- 2$ ≈ -2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale