Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{3 - 7} - \frac{4}{3} e^{0 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{- 4} - \frac{4}{3} e^{- 7}$

≈ 0,023

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 11 + $\frac{4}{3} e^{- 4} - \frac{4}{3} e^{- 7}$ ≈ 11.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 54 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{2 \cdot 2 - 5} - e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $e^{4 - 5} - e^{2 - 5}$

= $e^{- 1} - e^{- 3}$

≈ 0,318

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 54 + $e^{- 1} - e^{- 3}$ ≈ 54.32

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (6 x - 3) ⅆ x$ = $2,25$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (6 x - 3) ⅆ x

= ${[3 x^{2} - 3 x]}_{0}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 3 u - (3 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $3 u^{2} - 3 u - (3 \cdot 0 + 0)$

= $3 u^{2} - 3 u - (0 + 0)$

= $3 u^{2} - 3 u + 0$

= $3 u^{2} - 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} - 3 u

=

2,25

|

- 2,25

$3 u^{2} - 3 u - 2,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2,25)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 27}}{6}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{36}}{6}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{36}}{6}$ = $\frac{3+6}{6}$ = $\frac{9}{6}$ = $1,5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{36}}{6}$ = $\frac{3-6}{6}$ = $\frac{- 3}{6}$ = $- 0,5$

Da u= $- 0,5$ < 0 ist u= $1,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(x - 3)}^{3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} 5 {(x - 3)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{5}{4} {(x - 3)}^{4}]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (\frac{5}{4} \cdot {(5 - 3)}^{4} - \frac{5}{4} \cdot {(0 - 3)}^{4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{5}{4} \cdot 2^{4} - \frac{5}{4} \cdot {(- 3)}^{4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{5}{4} \cdot 16 - \frac{5}{4} \cdot 81)$

= $\frac{1}{5} (20 - \frac{405}{4})$

= $\frac{1}{5} (\frac{80}{4} - \frac{405}{4})$

= $\frac{1}{5} \cdot (- \frac{325}{4})$

= $- \frac{65}{4}$

= -16,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(2 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(2 x - 5)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 x - 5}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 u - 5} - \frac{1}{2 \cdot 4 - 5}$

= $\frac{1}{2 u - 5} - \frac{1}{8 - 5}$

= $\frac{1}{2 u - 5} - \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{2 u - 5} - (\frac{1}{3})$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 u - 5} - \frac{1}{3}$ → $0 - \frac{1}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale