Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{5}{{(2 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 5 {(2 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{4} {(2 x - 5)}^{- 2}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{5}{4 {(2 x - 5)}^{2}}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{4 {(2 \cdot 4 - 5)}^{2}} + \frac{5}{4 {(2 \cdot 3 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{5}{4 {(8 - 5)}^{2}} + \frac{5}{4 {(6 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{5}{4 \cdot 3^{2}} + \frac{5}{4 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{5}{4} \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{5}{4} \cdot 1$

= $- \frac{5}{36} + \frac{5}{4}$

= $- \frac{5}{36} + \frac{45}{36}$

= $\frac{10}{9}$

≈ 1,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 17 + $\frac{10}{9}$ = $\frac{163}{9}$ ≈ 18.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 6 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 4 - 5} - 2 e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $2 e^{12 - 5} - 2 e^{6 - 5}$

= $2 e^{7} - 2 e^{1}$

= $2 e^{7} - 2 e$

≈ 2187,83

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 9 + $2 e^{7} - 2 e$ ≈ 2196.83

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (6 x + 5) ⅆ x$ = $12,25$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (6 x + 5) ⅆ x

= ${[3 x^{2} + 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $3 u^{2} + 5 u - (3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3)$

= $3 u^{2} + 5 u - (3 \cdot 9 + 15)$

= $3 u^{2} + 5 u - (27 + 15)$

= $3 u^{2} + 5 u - 1 \cdot 42$

= $3 u^{2} + 5 u - 42$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} + 5 u - 42

=

12,25

|

- 12,25

$3 u^{2} + 5 u - 54,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 54,25)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 651}}{6}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{676}}{6}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{- 5+26}{6}$ = $\frac{21}{6}$ = $3,5$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{- 5-26}{6}$ = $\frac{- 31}{6}$ = $- \frac{31}{6}$ ≈ -5.17

Da u= $- \frac{31}{6}$ < 3 ist u= $3,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (2 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 5 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{5}{2} \cdot \cos (2 x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) + π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot \cos (2 π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{5}{2} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{2} - \frac{5}{2})$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2,5 - 2,5)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 5)$

= $- \frac{10}{π}$

≈ -3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $2$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} - \frac{2}{\sqrt{2 x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - \frac{\frac{2.8284271247462}{1.4142135623731}}{1,4142135623731 \sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - \frac{2}{1.4142135623731} x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{1.4142135623731} x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{2}$

= ${[- \frac{4}{1.4142135623731} \sqrt{x}]}_{u}^{2}$

$=$ $- \frac{4}{1.4142135623731} \sqrt{2} + \frac{4}{1.4142135623731} \sqrt{u}$

= $- \frac{400 000 000 000 000 021 464 648 817 573 888}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{2} + \frac{400 000 000 000 000 021 464 648 817 573 888}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{u}$

= $- \frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{2} + \frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $- \frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \cdot (\sqrt{2}) + \frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $\frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} - \frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{2}$

= $\frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} - 4$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} - 4$ → $0 - 4$ = $- 4$ ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale