Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 ( x -1 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 5 ( x -1 ) 2 x
= 2 5 5 ( x -1 ) -2 x

= [ -5 ( x -1 ) -1 ] 2 5

= [ - 5 x -1 ] 2 5

= - 5 5 -1 + 5 2 -1

= - 5 4 + 5 1

= -5( 1 4 ) +51

= - 5 4 +5

= - 5 4 + 20 4

= 15 4


= 3,75
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 7 + 15 4 = 43 4 ≈ 10.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 2 e x -2 x

= [ 2 e x -2 ] 0 2

= 2 e 2 -2 -2 e 0 -2

= 2 e 0 -2 e -2

= 2 -2 e -2


≈ 1,729
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 75 + -2 e -2 +2 ≈ 76.73

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( 8x -3 ) x = 165

Lösung einblenden
2 u ( 8x -3 ) x

= [ 4 x 2 -3x ] 2 u

= 4 u 2 -3u - ( 4 2 2 -32 )

= 4 u 2 -3u - ( 44 -6 )

= 4 u 2 -3u - ( 16 -6 )

= 4 u 2 -3u -1 · 10

= 4 u 2 -3u -10

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 165 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -3u -10 = 165 | -165

4 u 2 -3u -175 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 4 · ( -175 ) 24

u1,2 = +3 ± 9 +2800 8

u1,2 = +3 ± 2809 8

u1 = 3 + 2809 8 = 3 +53 8 = 56 8 = 7

u2 = 3 - 2809 8 = 3 -53 8 = -50 8 = -6,25

Da u= -6,25 < 2 ist u= 7 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 1 ( x -1 ) 2 x
= 1 2 3 5 ( x -1 ) -2 x

= 1 2 [ - ( x -1 ) -1 ] 3 5

= 1 2 [ - 1 x -1 ] 3 5

= 1 2 ( - 1 5 -1 + 1 3 -1 )

= 1 2 ( - 1 4 + 1 2 )

= 1 2 ( -( 1 4 ) + 1 2 )

= 1 2 · 1 4


= 0,125

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 2x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 1,5 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 1,5 - 1 2x -2 x
= u 1,5 - ( 2x -2 ) - 1 2 x

= [ - ( 2x -2 ) 1 2 ] u 1,5

= [ - 2x -2 ] u 1,5

= - 21,5 -2 + 2u -2

= - 3 -2 + 2u -2

= - 1 + 2u -2

= -1 + 2u -2

= 2u -2 -1

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = 2u -2 -1 0 -1 = -1 ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1