Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 20 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 4} - e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $e^{9 - 4} - e^{6 - 4}$

= $e^{5} - e^{2}$

≈ 141,024

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 20 + $e^{5} - e^{2}$ ≈ 161.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{3 - 7} - \frac{2}{3} e^{0 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{- 4} - \frac{2}{3} e^{- 7}$

≈ 0,012

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 31 + $\frac{2}{3} e^{- 4} - \frac{2}{3} e^{- 7}$ ≈ 31.01

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,5 e^{0,3 x - 0,6} ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,5 e^{0,3 x - 0,6} ⅆ x

= ${[5 e^{0,3 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,3 u - 0,6} - 5 e^{0,3 \cdot 0 - 0,6}$

= $5 e^{0,3 u - 0,6} - 5 e^{0 - 0,6}$

= $5 e^{0,3 u - 0,6} - 5 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,3 u - 0,6} - 5 e^{- 0,6}$	=	$18$	\| $+ 5 e^{- 0,6}$
$5 e^{0,3 u - 0,6}$	=	$5 e^{- 0,6} + 18$
$5 e^{0,3 u - 0,6}$	=	$20,7441$	\|: $5$
$e^{0,3 u - 0,6}$	=	$4,1488$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,6$	=	$\ln (4,1488)$

$0,3 u - 0,6$	=	$1,4228$	\| $+ 0,6$
$0,3 u$	=	$2,0228$	\|: $0,3$
$u$	=	$6,7427$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} \frac{3}{x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{2}^{5} 3 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[3 \ln (| x - 1 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (3 \ln (| 5 - 1 |) - 3 \ln (| 2 - 1 |))$

= $\frac{1}{3} (3 \ln (4) - 3 \ln (| 2 - 1 |))$

= $\frac{1}{3} (3 \ln (4) - 3 \ln (1))$

= $\frac{1}{3} (3 \ln (4) + 0)$

= $\ln (4)$

≈ 1,386

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(- 2 x + 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{3}{{(- 2 x + 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 3 {(- 2 x + 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(- 2 x + 1)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{3}{4 {(- 2 x + 1)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{3}{4 {(- 2 u + 1)}^{2}} - \frac{3}{4 {(- 2 \cdot 2 + 1)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 1)}^{2}} - \frac{3}{4 {(- 4 + 1)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 1)}^{2}} - \frac{3}{4 {(- 3)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 1)}^{2}} - \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{9})$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 1)}^{2}} - \frac{1}{12}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{4 {(- 2 u + 1)}^{2}} - \frac{1}{12}$ → $0 - \frac{1}{12}$ = $- \frac{1}{12}$ ≈ -0.083

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.083

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale