Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 3} - \frac{2}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{- 3}$

≈ 268,919

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 5 + $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{- 3}$ ≈ 273.92

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{16}{3}$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 6 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 6 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{500}{3} - 36$

= $\frac{500}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{392}{3}$

≈ 130,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 4 + $\frac{392}{3}$ = $\frac{404}{3}$ ≈ 134.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 6 x ⅆ x$ = $243,75$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 6 x ⅆ x

= ${[3 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 3 \cdot 3^{2}$

= $3 u^{2} - 3 \cdot 9$

= $3 u^{2} - 27$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $243,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 u^{2} - 27$	=	$243,75$	\| $+ 27$
$3 u^{2}$	=	$270,75$	\|: $3$
$u^{2}$	=	$90,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{90,25}$	= $- 9,5$
u₂	=	$\sqrt{90,25}$	= $9,5$

Da u= $- 9,5$ < 3 ist u= $9,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π + π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{- 3 x + 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{- 3 x + 7} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(- 3 x + 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| - 3 x + 7 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $\ln (| - 3 (u) + 7 |) - \ln (| - 3 \cdot 4 + 7 |)$

= $\ln (| - 3 u + 7 |) - \ln (| - 12 + 7 |)$

= $\ln (| - 3 u + 7 |) - \ln (5)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (5) + \ln (| - 3 x + 7 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale