Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{2}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 2 {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- {(x - 3)}^{- 2}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{{(6 - 3)}^{2}} + \frac{1}{{(4 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{1^{2}}$

= $- (\frac{1}{9}) + 1$

= $\frac{8}{9}$

≈ 0,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 20 + $\frac{8}{9}$ = $\frac{188}{9}$ ≈ 20.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 4)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{1}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 4)}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 \cdot 6 - 4)} + \frac{1}{2 (2 \cdot 4 - 4)}$

= $- \frac{1}{2 (12 - 4)} + \frac{1}{2 (8 - 4)}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 \cdot 4}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{16} + \frac{1}{8}$

= $- \frac{1}{16} + \frac{2}{16}$

= $\frac{1}{16}$

≈ 0,063

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 19 + $\frac{1}{16}$ = $\frac{305}{16}$ ≈ 19.06

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 8 x + 1) ⅆ x$ = $- 19,5$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 8 x + 1) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + u - (- 4 \cdot 1^{2} + 1)$

= $- 4 u^{2} + u - (- 4 \cdot 1 + 1)$

= $- 4 u^{2} + u - (- 4 + 1)$

= $- 4 u^{2} + u - 1 \cdot (- 3)$

= $- 4 u^{2} + u + 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 19,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + u + 3

=

- 19,5

|

+ 19,5

$- 4 u^{2} + u + 22,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 22,5}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{- 8}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 1+19}{- 8}$ = $\frac{18}{- 8}$ = $- 2,25$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 1-19}{- 8}$ = $\frac{- 20}{- 8}$ = $2,5$

Da u= $- 2,25$ < 1 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \sin (2 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 2 \cdot \sin (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \cos (2 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (2 \cdot π + π) + \cos (2 \cdot (0) + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (3 π) + \cos (π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- (- 1) - 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (1 - 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{3 x - 4}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} 3 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 4}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{3 u - 4} - e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $e^{3 u - 4} - e^{0 - 4}$

= $e^{3 u - 4} - e^{- 4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{3 u - 4} - e^{- 4}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale