Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $10$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

10

:

\int_{7}^{10} 5 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{10} 5 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{10}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{7}^{10}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 64$

= $\frac{1250}{9} - \frac{640}{9}$

= $\frac{610}{9}$

≈ 67,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

10

zusammen:

B = 10 + $\frac{610}{9}$ = $\frac{700}{9}$ ≈ 77.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 \sqrt{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $18$ Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $27$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

18

und

27

:

\int_{18}^{27} 5 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{18}^{27} 5 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 64$

= $\frac{1250}{3} - \frac{640}{3}$

= $\frac{610}{3}$

≈ 203,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

18

und der Änderung zwischen

18

und

27

zusammen:

B = 11 + $\frac{610}{3}$ = $\frac{643}{3}$ ≈ 214.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 8 x - 3) ⅆ x$ = $- 427,5$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 8 x - 3) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} - 3 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} - 3 u - (- 4 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3)$

= $- 4 u^{2} - 3 u - (- 4 \cdot 9 - 9)$

= $- 4 u^{2} - 3 u - (- 36 - 9)$

= $- 4 u^{2} - 3 u - 1 \cdot (- 45)$

= $- 4 u^{2} - 3 u + 45$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 427,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} - 3 u + 45

=

- 427,5

|

+ 427,5

$- 4 u^{2} - 3 u + 472,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 472,5}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 7 560}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{7 569}}{- 8}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{7 569}}{- 8}$ = $\frac{3+87}{- 8}$ = $\frac{90}{- 8}$ = $- 11,25$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{7 569}}{- 8}$ = $\frac{3-87}{- 8}$ = $\frac{- 84}{- 8}$ = $10,5$

Da u= $- 11,25$ < 3 ist u= $10,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 4 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 4 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π) + 4 \cdot \cos (0 - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 4 \cdot \cos (- π) + 4 \cdot \cos (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 4 \cdot (- 1) + 4 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 4$

= $\frac{8}{π}$

≈ 2,546

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- 2 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 5}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{3}{2} e^{- 4 + 5}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{3}{2} e^{1}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{3}{2} e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{3}{2} e$ → $0 - \frac{3}{2} e$ = $- \frac{3}{2} e$ ≈ -4.077

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4.077

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale