Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 6 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $4 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 4 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3}$

= $4 \cdot 125 - 4 \cdot 64$

= $500 - 256$

= $244$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 13 + $244$ = $257$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 \sqrt{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $19$ Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $28$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 5 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 64$

= $\frac{1250}{3} - \frac{640}{3}$

= $\frac{610}{3}$

≈ 203,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 19 + $\frac{610}{3}$ = $\frac{667}{3}$ ≈ 222.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,1 x + 0,4} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,1 x + 0,4} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- 0,1 x + 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 e^{- 0,1 u + 0,4} + 2 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,4}$

= $- 2 e^{- 0,1 u + 0,4} + 2 e^{0 + 0,4}$

= $- 2 e^{- 0,1 u + 0,4} + 2 e^{0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 e^{- 0,1 u + 0,4} + 2 e^{0,4}$	=	$1$	\| $- 2 e^{0,4}$
$- 2 e^{- 0,1 u + 0,4}$	=	$- 2 e^{0,4} + 1$
$- 2 e^{- 0,1 u + 0,4}$	=	$- 1,9836$	\|: $- 2$
$e^{- 0,1 u + 0,4}$	=	$0,9918$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,4$	=	$\ln (0,9918)$

$- 0,1 u + 0,4$	=	$- 0,0082$	\| $- 0,4$
$- 0,1 u$	=	$- 0,4082$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$4,082$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 e^{x - 2}$ zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} 6 e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[6 e^{x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (6 e^{3 - 2} - 6 e^{1 - 2})$

= $\frac{1}{2} (6 e^{1} - 6 e^{- 1})$

= $\frac{1}{2} (6 e - 6 e^{- 1})$

= $\frac{1}{2} (- 6 e^{- 1} + 6 e)$

≈ 7,051

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{x - 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{2}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 2 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 1 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $2 \ln (| u - 1 |) - 2 \ln (| 3 - 1 |)$

= $2 \ln (| u - 1 |) - 2 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \ln (2) + 2 \ln (| x - 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale