= ${\left[\frac{4}{9}{\left(3x-6\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_5^{\frac{22}{3}}$

= ${\left[\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3x-6}\right)}^3\right]}_5^{\frac{22}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{22}{3}\right)-6}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot 5-6}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{22-6}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{15-6}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{16}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 4^3-\frac{4}{9}\cdot 3^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 64-\frac{4}{9}\cdot 27$

= $\frac{256}{9}-12$

= $\frac{256}{9}-\frac{108}{9}$

= $\frac{148}{9}$

= ${\left[\frac{5}{3}{e}^{3x-5}\right]}_0^1$

$=$ $\frac{5}{3}{e}^{3\cdot 1-5}-\frac{5}{3}{e}^{3\cdot 0-5}$

= $\frac{5}{3}{e}^{3-5}-\frac{5}{3}{e}^{0-5}$

= $\frac{5}{3}{e}^{-2}-\frac{5}{3}{e}^{-5}$

= ${\left[x^2\right]}_1^u$

$=$ $u^2-1^2$

= $u^2-1$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-2$ < 1 ist u= $2$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(3x-6\right)}^3+\frac{3}{2}{x}^2\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{2}(\frac{1}{3}\cdot {\left(3\cdot 2-6\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot 2^2-\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3\cdot 0-6\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot 0^2\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{1}{3}\cdot {\left(6-6\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot 4-\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(0-6\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot 0\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{1}{3}\cdot 0^3+6-\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(-6\right)}^3+0\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{1}{3}\cdot 0+6-\left(\frac{1}{3}\cdot \left(-216\right)+0\right))$

= $\frac{1}{2}(0+6-\left(-72+0\right))$

= $\frac{1}{2}\left(6+72\right)$

= $\frac{1}{2}·78$

= $39$

= ${\left[e^{-2x+5}\right]}_2^u$

$=$ $e^{-2u+5}-e^{-2\cdot 2+5}$

= $e^{-2u+5}-e^{-4+5}$

= $e^{-2u+5}-e^1$

= $e^{-2u+5}-e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{-2u+5}-e$ → $0-e$ = $-e$ ≈ -2.718

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2.718