Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $9$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{27}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

9

und

\frac{27}{2}

:

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 2 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

9

und der Änderung zwischen

9

und

\frac{27}{2}

zusammen:

B = 4 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{134}{3}$ ≈ 44.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{3}{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 3 {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 1 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 2 - 1 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| 8 - 1 |) - \frac{3}{2} \ln (| 4 - 1 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (7) - \frac{3}{2} \ln (| 4 - 1 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (7) - \frac{3}{2} \ln (3)$

≈ 1,271

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 10 + $\frac{3}{2} \ln (| 7 |) - \frac{3}{2} \ln (| 3 |)$ ≈ 11.27

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 8 x ⅆ x$ = $45$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 8 x ⅆ x

= ${[4 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 4 \cdot 3^{2}$

= $4 u^{2} - 4 \cdot 9$

= $4 u^{2} - 36$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $45$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 u^{2} - 36$	=	$45$	\| $+ 36$
$4 u^{2}$	=	$81$	\|: $4$
$u^{2}$	=	$\frac{81}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{\frac{81}{4}}$	= $- \frac{9}{2}$
u₂	=	$\sqrt{\frac{81}{4}}$	= $\frac{9}{2}$

Da u= $- \frac{9}{2}$ < 3 ist u= $\frac{9}{2}$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $e^{3 x - 6}$ zwischen 1 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} e^{3 x - 6} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{3 \cdot 4 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 6})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{12 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 - 6})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} e^{- 3})$

≈ 44,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $10$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{10} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{10} - 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{10}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{10}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 10 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{20 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{16} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \cdot 4 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 8 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 4} - 8$ → $0 - 8$ = $- 8$ ≈ -8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale