Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 5)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{4}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 4 {(2 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{2}{2 x - 5}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{2}{2 \cdot 6 - 5} + \frac{2}{2 \cdot 3 - 5}$

= $- \frac{2}{12 - 5} + \frac{2}{6 - 5}$

= $- \frac{2}{7} + \frac{2}{1}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{7}) + 2 \cdot 1$

= $- \frac{2}{7} + 2$

= $- \frac{2}{7} + \frac{14}{7}$

= $\frac{12}{7}$

≈ 1,714

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 6 + $\frac{12}{7}$ = $\frac{54}{7}$ ≈ 7.71

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $11$ s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $27$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

11

und

27

:

\int_{11}^{27} 6 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{11}^{27} 6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{27}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{27}$

$=$ $4 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 4 {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 3^{3}$

= $4 \cdot 125 - 4 \cdot 27$

= $500 - 108$

= $392$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

11

und der Änderung zwischen

11

und

27

zusammen:

B = 9 + $392$ = $401$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,5 e^{0,5 x - 0,9} ⅆ x$ = $13$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,5 e^{0,5 x - 0,9} ⅆ x

= ${[7 e^{0,5 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,5 u - 0,9} - 7 e^{0,5 \cdot 0 - 0,9}$

= $7 e^{0,5 u - 0,9} - 7 e^{0 - 0,9}$

= $7 e^{0,5 u - 0,9} - 7 e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $13$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,5 u - 0,9} - 7 e^{- 0,9}$	=	$13$	\| $+ 7 e^{- 0,9}$
$7 e^{0,5 u - 0,9}$	=	$7 e^{- 0,9} + 13$
$7 e^{0,5 u - 0,9}$	=	$15,846$	\|: $7$
$e^{0,5 u - 0,9}$	=	$2,2637$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,9$	=	$\ln (2,2637)$

$0,5 u - 0,9$	=	$0,817$	\| $+ 0,9$
$0,5 u$	=	$1,717$	\|: $0,5$
$u$	=	$3,434$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (3 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 5 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{5}{3} \cdot \cos (3 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot \cos (3 \cdot π + π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot \cos (4 π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} - \frac{5}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{10}{3})$

= $- \frac{10}{3 π}$

≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{x - 1}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=5 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{5} \frac{3}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{u}^{5} 3 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| x - 1 |)]}_{u}^{5}$

$=$ $3 \ln (| 5 - 1 |) - 3 \ln (| u - 1 |)$

= $3 \ln (4) - 3 \ln (| u - 1 |)$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $3 \ln (| 4 |) - 3 \ln (| x - 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale