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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -3 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 8 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 8:
∫ 5 8 2 ( x -3 ) 4 ⅆ x
= ∫ 5 8 2 ( x -3 ) -4 ⅆ x

= [ - 2 3 ( x -3 ) -3 ] 5 8

= [ - 2 3 ( x -3 ) 3 ] 5 8

= - 2 3 ( 8 -3 ) 3 + 2 3 ( 5 -3 ) 3

= - 2 3⋅ 5 3 + 2 3⋅ 2 3

= - 2 3 ⋅( 1 125 ) + 2 3 ⋅( 1 8 )

= - 2 375 + 1 12

= - 8 1500 + 125 1500

= 39 500


= 0,078
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 8 zusammen:
B = 4 + 39 500 = 2039 500 ≈ 4.08

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 3x -6 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 22 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 22 3 :
∫ 5 22 3 3 3x -6 ⅆ x
= ∫ 5 22 3 3 ( 3x -6 ) 1 2 ⅆ x

= [ 2 3 ( 3x -6 ) 3 2 ] 5 22 3

= [ 2 3 ( 3x -6 ) 3 ] 5 22 3

= 2 3 ( 3⋅( 22 3 ) -6 ) 3 - 2 3 ( 3⋅5 -6 ) 3

= 2 3 ( 22 -6 ) 3 - 2 3 ( 15 -6 ) 3

= 2 3 ( 16 ) 3 - 2 3 ( 9 ) 3

= 2 3 ⋅ 4 3 - 2 3 ⋅ 3 3

= 2 3 ⋅64 - 2 3 ⋅27

= 128 3 -18

= 128 3 - 54 3

= 74 3


≈ 24,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 22 3 zusammen:
B = 6 + 74 3 = 92 3 ≈ 30.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 0,3 e 0,3x -0,1 ⅆ x = 7

Lösung einblenden
∫ 0 u 0,3 e 0,3x -0,1 ⅆ x

= [ e 0,3x -0,1 ] 0 u

= e 0,3u -0,1 - e 0,3⋅0 -0,1

= e 0,3u -0,1 - e 0 -0,1

= e 0,3u -0,1 - e -0,1

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

e 0,3u -0,1 - e -0,1 = 7 | + e -0,1
e 0,3u -0,1 = e -0,1 +7
e 0,3u -0,1 = 7,9048 |ln(⋅)
0,3u -0,1 = ln( 7,9048 )
0,3u -0,1 = 2,0675 | +0,1
0,3u = 2,1675 |:0,3
u = 7,225

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -1 ) 3 +1 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 +0 ∫ 0 4 ( 2 ( x -1 ) 3 +1 ) ⅆ x

= 1 4 [ 1 2 ( x -1 ) 4 + x ] 0 4

= 1 4 ( 1 2 ⋅ ( 4 -1 ) 4 +4 - ( 1 2 ⋅ ( 0 -1 ) 4 +0))

= 1 4 ( 1 2 ⋅ 3 4 +4 - ( 1 2 ⋅ ( -1 ) 4 +0))

= 1 4 ( 1 2 ⋅81 +4 - ( 1 2 ⋅1 +0))

= 1 4 ( 81 2 +4 - ( 1 2 +0))

= 1 4 ( 40,5 +4 - ( 0,5 +0))

= 1 4 ( 44,5 -0,5 )

= 1 4 · 44

= 11

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( -2x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u 1 ( -2x +3 ) 2 ⅆ x
= ∫ 2 u ( -2x +3 ) -2 ⅆ x

= [ 1 2 ( -2x +3 ) -1 ] 2 u

= [ 1 2( -2x +3 ) ] 2 u

= 1 2( -2u +3 ) - 1 2( -2⋅2 +3 )

= 1 2( -2u +3 ) - 1 2( -4 +3 )

= 1 2( -2u +3 ) - 1 2 ( -1 )

= 1 2( -2u +3 ) - 1 2 ⋅( -1 )

= 1 2( -2u +3 ) + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2( -2u +3 ) + 1 2 → 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5