Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{21}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

\frac{21}{2}

:

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 5 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 5 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - \frac{5}{3} \cdot 27$

= $\frac{320}{3} - 45$

= $\frac{320}{3} - \frac{135}{3}$

= $\frac{185}{3}$

≈ 61,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

\frac{21}{2}

zusammen:

B = 20 + $\frac{185}{3}$ = $\frac{245}{3}$ ≈ 81.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 72 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 6} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 6} - \frac{5}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3} e^{0}$

= $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3}$

≈ 670,715

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 72 + $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3}$ ≈ 742.71

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3 e^{- 0,6 x + 0,9} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3 e^{- 0,6 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,6 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,6 u + 0,9} + 5 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 5 e^{- 0,6 u + 0,9} + 5 e^{0 + 0,9}$

= $- 5 e^{- 0,6 u + 0,9} + 5 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,6 u + 0,9} + 5 e^{0,9}$	=	$3$	\| $- 5 e^{0,9}$
$- 5 e^{- 0,6 u + 0,9}$	=	$- 5 e^{0,9} + 3$
$- 5 e^{- 0,6 u + 0,9}$	=	$- 9,298$	\|: $- 5$
$e^{- 0,6 u + 0,9}$	=	$1,8596$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,9$	=	$\ln (1,8596)$

$- 0,6 u + 0,9$	=	$0,6204$	\| $- 0,9$
$- 0,6 u$	=	$- 0,2796$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$0,466$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sin (x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π) + \cos (0 - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (0) + \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{2}{π}$

≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{1}{- 3 x + 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - {(- 3 x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 3 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| - 3 (u) + 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| - 3 \cdot 2 + 3 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| - 6 + 3 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 3 |) - \frac{1}{3} \ln (3)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3} \ln (3) + \frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

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Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale