Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 2x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 39 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 2 e 2x -5 x

= [ e 2x -5 ] 2 3

= e 23 -5 - e 22 -5

= e 6 -5 - e 4 -5

= e 1 - e -1

= e - e -1


≈ 2,35
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 39 + - e -1 + e ≈ 41.35

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 11 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 27 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 27:
11 27 2 x -2 x
= 11 27 2 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -2 ) 3 2 ] 11 27

= [ 4 3 ( x -2 ) 3 ] 11 27

= 4 3 ( 27 -2 ) 3 - 4 3 ( 11 -2 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 3 3

= 4 3 125 - 4 3 27

= 500 3 -36

= 500 3 - 108 3

= 392 3


≈ 130,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 27 zusammen:
B = 3 + 392 3 = 401 3 ≈ 133.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( -8x -1 ) x = -47,5

Lösung einblenden
1 u ( -8x -1 ) x

= [ -4 x 2 - x ] 1 u

= -4 u 2 - u - ( -4 1 2 - 1 )

= -4 u 2 - u - ( -41 -1 )

= -4 u 2 - u - ( -4 -1 )

= -4 u 2 - u -1 · ( -5 )

= -4 u 2 - u +5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -47,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 - u +5 = -47,5 | +47,5

-4 u 2 - u +52,5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · ( -4 ) · 52,5 2( -4 )

u1,2 = +1 ± 1 +840 -8

u1,2 = +1 ± 841 -8

u1 = 1 + 841 -8 = 1 +29 -8 = 30 -8 = -3,75

u2 = 1 - 841 -8 = 1 -29 -8 = -28 -8 = 3,5

Da u= -3,75 < 1 ist u= 3,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( x -2 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 6 ( x -2 ) 2 x
= 1 2 3 5 6 ( x -2 ) -2 x

= 1 2 [ -6 ( x -2 ) -1 ] 3 5

= 1 2 [ - 6 x -2 ] 3 5

= 1 2 ( - 6 5 -2 + 6 3 -2 )

= 1 2 ( - 6 3 + 6 1 )

= 1 2 ( -6( 1 3 ) +61 )

= 1 2 ( -2 +6 )

= 1 2 · 4

= 2

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 10 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 10 - 2 2x -4 x
= u 10 -2 ( 2x -4 ) - 1 2 x

= [ -2 ( 2x -4 ) 1 2 ] u 10

= [ -2 2x -4 ] u 10

= -2 210 -4 +2 2u -4

= -2 20 -4 +2 2u -4

= -2 16 +2 2u -4

= -24 +2 2u -4

= -8 +2 2u -4

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = 2 2u -4 -8 0 -8 = -8 ≈ -8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8