Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 3x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 40 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 6 e 3x -5 x

= [ 2 e 3x -5 ] 0 2

= 2 e 32 -5 -2 e 30 -5

= 2 e 6 -5 -2 e 0 -5

= 2 e 1 -2 e -5

= 2e -2 e -5


≈ 5,423
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 40 + -2 e -5 +2e ≈ 45.42

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 3x -6 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 22 3 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 31 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 22 3 und 31 3 :
22 3 31 3 3 3x -6 x
= 22 3 31 3 3 ( 3x -6 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( 3x -6 ) 3 2 ] 22 3 31 3

= [ 2 3 ( 3x -6 ) 3 ] 22 3 31 3

= 2 3 ( 3( 31 3 ) -6 ) 3 - 2 3 ( 3( 22 3 ) -6 ) 3

= 2 3 ( 31 -6 ) 3 - 2 3 ( 22 -6 ) 3

= 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 16 ) 3

= 2 3 5 3 - 2 3 4 3

= 2 3 125 - 2 3 64

= 250 3 - 128 3

= 122 3


≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 22 3 und der Änderung zwischen 22 3 und 31 3 zusammen:
B = 5 + 122 3 = 137 3 ≈ 45.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4,2 e -0,7x +0,2 x = 5

Lösung einblenden
0 u 4,2 e -0,7x +0,2 x

= [ -6 e -0,7x +0,2 ] 0 u

= -6 e -0,7u +0,2 +6 e -0,70 +0,2

= -6 e -0,7u +0,2 +6 e 0 +0,2

= -6 e -0,7u +0,2 +6 e 0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-6 e -0,7u +0,2 +6 e 0,2 = 5 | -6 e 0,2
-6 e -0,7u +0,2 = -6 e 0,2 +5
-6 e -0,7u +0,2 = -2,3284 |:-6
e -0,7u +0,2 = 0,3881 |ln(⋅)
-0,7u +0,2 = ln( 0,3881 )
-0,7u +0,2 = -0,9465 | -0,2
-0,7u = -1,1465 |:(-0,7 )
u = 1,6379

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 cos( x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 4 cos( x + 3 2 π) x

= 1 π [ 4 sin( x + 3 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( 4 sin( 3 2 π + 3 2 π) -4 sin( 1 2 π + 3 2 π) )

= 1 π · ( 4 sin(3π) -4 sin(2π) )

= 1 π · ( 40 -40 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( x ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=5 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= u 5 - 2 ( x ) 3 x
= u 5 - 2 x 3 x
= u 5 -2 x -3 x

= [ x -2 ] u 5

= [ 1 x 2 ] u 5

= 1 5 2 - 1 u 2

= 1 25 - 1 u 2

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = 1 25 - 1 u 2 -