Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 6}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{3 \cdot 4 - 6} - e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $e^{12 - 6} - e^{3 - 6}$

= $e^{6} - e^{- 3}$

≈ 403,379

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 16 + $e^{6} - e^{- 3}$ ≈ 419.38

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $5$ Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $13$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

13

:

\int_{5}^{13} 6 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{13} 6 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{13}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{5}^{13}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 3^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 27$

= $250 - 54$

= $196$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

13

zusammen:

B = 17 + $196$ = $213$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (8 x - 3) ⅆ x$ = $3,5$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (8 x - 3) ⅆ x

= ${[4 x^{2} - 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 3 u - (4 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $4 u^{2} - 3 u - (4 \cdot 1 - 3)$

= $4 u^{2} - 3 u - (4 - 3)$

= $4 u^{2} - 3 u - 1 \cdot 1$

= $4 u^{2} - 3 u - 1$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} - 3 u - 1

=

3,5

|

- 3,5

$4 u^{2} - 3 u - 4,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 4,5)}}{2 \cdot 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{8}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{8}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{3+9}{8}$ = $\frac{12}{8}$ = $1,5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{3-9}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

Da u= $- 0,75$ < 1 ist u= $1,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 {(x - 2)}^{3}$ zwischen 1 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} 3 {(x - 2)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{3}{4} {(x - 2)}^{4}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(4 - 2)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(1 - 2)}^{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} (12 - \frac{3}{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{45}{4}$

= $\frac{15}{4}$

= 3,75

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{2 x}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} \frac{2}{2 x} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} \frac{1}{x} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} x^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| x |)]}_{u}^{2}$

$=$ $\ln (| 2 |) - \ln (| u |)$

= $\ln (2) - \ln (| u |)$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\ln (| 2 |) - \ln (| x |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale