Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
≈ 1,896
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 64 +
≈ 65.9
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 2 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 5 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:() |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= zwischen 3 und 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
2
ln(
|
4
-2
|
)
-2
ln(
|
3
-2
|
)
=
2
ln(
2
)
-2
ln(
|
3
-2
|
)
=
2
ln(
2
)
-2
ln(
1
)
=
2
ln(
2
)
+0
=
2
ln(
2
)
≈ 1,386
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( x -3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
5
u
3
(
x
-3
)
3
ⅆ
x
=
∫
5
u
3
(
x
-3
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
3
2
(
x
-3
)
-2
]
5
u
=
[
-
3
2
(
x
-3
)
2
]
5
u
=
-
3
2
(
u
-3
)
2
+
3
2
(
5
-3
)
2
=
-
3
2
(
u
-3
)
2
+
3
2⋅
2
2
=
-
3
2
(
u
-3
)
2
+
3
2
⋅(
1
4
)
=
-
3
2
(
u
-3
)
2
+
3
8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
2
(
u
-3
)
2
+
3
8
→
0
+
3
8
=
3
8
≈ 0.375
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375