Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 80 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 1,264
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 80 +
≈ 81.26
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 0,125
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 7 + = ≈ 7.13
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
0 |
|:4 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
20
2
=
10
u2 =
-1
-
441
2
=
-1
-21
2
=
-22
2
=
-11
Da u=
-11
< 3 ist u=
10
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2 3x -5 zwischen 14 3 und 7 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
7
-
14
3
∫
14
3
7
2
3x
-5
ⅆ
x
=
3
7
∫
14
3
7
2
(
3x
-5
)
1
2
ⅆ
x
=
3
7
[
4
9
(
3x
-5
)
3
2
]
14
3
7
=
3
7
[
4
9
(
3x
-5
)
3
]
14
3
7
=
3
7
(
4
9
(
3⋅7
-5
)
3
-
4
9
(
3⋅(
14
3
)
-5
)
3
)
=
3
7
(
4
9
(
21
-5
)
3
-
4
9
(
14
-5
)
3
)
=
3
7
(
4
9
(
16
)
3
-
4
9
(
9
)
3
)
=
3
7
(
4
9
⋅
4
3
-
4
9
⋅
3
3
)
=
3
7
(
4
9
⋅64
-
4
9
⋅27
)
=
3
7
(
256
9
-12
)
=
3
7
(
256
9
-
108
9
)
=
3
7
·
148
9
=
148
21
≈ 7,048
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 e -3x +7 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
0
u
3
e
-3x
+7
ⅆ
x
=
[
-
e
-3x
+7
]
0
u
=
-
e
-3u
+7
+
e
-3⋅0
+7
=
-
e
-3u
+7
+
e
0
+7
=
-
e
-3u
+7
+
e
7
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
e
-3u
+7
+
e
7
→
0
+
e
7
=
e
7
≈ 1096.633
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1096.633