Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{6}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 6 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 3 {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{3}{2 x - 3}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{3}{2 \cdot 6 - 3} + \frac{3}{2 \cdot 3 - 3}$

= $- \frac{3}{12 - 3} + \frac{3}{6 - 3}$

= $- \frac{3}{9} + \frac{3}{3}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{9}) + 3 \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{3} + 1$

= $- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 5 + $\frac{2}{3}$ = $\frac{17}{3}$ ≈ 5.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 5)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{5}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 5 {(2 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{5}{2 (2 x - 5)}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{5}{2 (2 \cdot 6 - 5)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 3 - 5)}$

= $- \frac{5}{2 (12 - 5)} + \frac{5}{2 (6 - 5)}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 7} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{7}) + \frac{5}{2} \cdot 1$

= $- \frac{5}{14} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{14} + \frac{35}{14}$

= $\frac{15}{7}$

≈ 2,143

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 14 + $\frac{15}{7}$ = $\frac{113}{7}$ ≈ 16.14

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (2 x + 3) ⅆ x$ = $1,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (2 x + 3) ⅆ x

= ${[x^{2} + 3 x]}_{0}^{u}$

$=$ $u^{2} + 3 u - (0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $u^{2} + 3 u - (0 + 0)$

= $u^{2} + 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} + 3 u

=

1,75

|

- 1,75

$u^{2} + 3 u - 1,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1,75)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 7}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 3+4}{2}$ = $\frac{1}{2}$ = $0,5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 3-4}{2}$ = $\frac{- 7}{2}$ = $- 3,5$

Da u= $- 3,5$ < 0 ist u= $0,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 {(2 x - 4)}^{2} + 1$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (6 {(2 x - 4)}^{2} + 1) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[{(2 x - 4)}^{3} + x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} ({(2 \cdot 3 - 4)}^{3} + 3 - ({(2 \cdot 0 - 4)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} ({(6 - 4)}^{3} + 3 - ({(0 - 4)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (2^{3} + 3 - ({(- 4)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (8 + 3 - ((- 64) + 0))$

= $\frac{1}{3} (8 + 3 + 64)$

= $\frac{1}{3} \cdot 75$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(- x + 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{{(- x + 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- x + 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} {(- x + 1)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{3}{2 {(- x + 1)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} - \frac{3}{2 {(- 3 + 1)}^{2}}$

= $\frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} - \frac{3}{2 {(- 2)}^{2}}$

= $\frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} - \frac{3}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} - \frac{3}{8}$ → $0 - \frac{3}{8}$ = $- \frac{3}{8}$ ≈ -0.375

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale