Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 40 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 4 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 6} - \frac{4}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{0}$

= $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3}$

≈ 25,447

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 40 + $\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3}$ ≈ 65.45

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $9$ s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{27}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

9

und

\frac{27}{2}

:

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 5 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 5 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 64$

= $\frac{625}{3} - \frac{320}{3}$

= $\frac{305}{3}$

≈ 101,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

9

und der Änderung zwischen

9

und

\frac{27}{2}

zusammen:

B = 9 + $\frac{305}{3}$ = $\frac{332}{3}$ ≈ 110.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,6 e^{0,8 x - 0,1} ⅆ x$ = $16$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,6 e^{0,8 x - 0,1} ⅆ x

= ${[7 e^{0,8 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,8 u - 0,1} - 7 e^{0,8 \cdot 0 - 0,1}$

= $7 e^{0,8 u - 0,1} - 7 e^{0 - 0,1}$

= $7 e^{0,8 u - 0,1} - 7 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,8 u - 0,1} - 7 e^{- 0,1}$	=	$16$	\| $+ 7 e^{- 0,1}$
$7 e^{0,8 u - 0,1}$	=	$7 e^{- 0,1} + 16$
$7 e^{0,8 u - 0,1}$	=	$22,3339$	\|: $7$
$e^{0,8 u - 0,1}$	=	$3,1906$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,1$	=	$\ln (3,1906)$

$0,8 u - 0,1$	=	$1,1602$	\| $+ 0,1$
$0,8 u$	=	$1,2602$	\|: $0,8$
$u$	=	$1,5753$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 3}

\int_{3}^{4} \frac{1}{x - 2} ⅆ x

=

1

\int_{3}^{4} {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\ln (| x - 2 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\ln (| 4 - 2 |) - \ln (| 3 - 2 |)$

= $\ln (2) - \ln (| 3 - 2 |)$

= $\ln (2) - \ln (1)$

= $\ln (2) + 0$

= $\ln (2)$

≈ 0,693

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{2 x - 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(2 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 4 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} \ln (| 2 (u) - 4 |) + \frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 4 |)$

= $- \frac{3}{2} \ln (| 2 u - 4 |) + \frac{3}{2} \ln (| 8 - 4 |)$

= $- \frac{3}{2} \ln (| 2 u - 4 |) + \frac{3}{2} \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2} \ln (4) - \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 4 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

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Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale