Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $17$ s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $26$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

17

und

26

:

\int_{17}^{26} 3 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{17}^{26} 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{17}^{26}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{17}^{26}$

$=$ $2 {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{17 - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

17

und der Änderung zwischen

17

und

26

zusammen:

B = 11 + $122$ = $133$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 6 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 4 - 3} - 3 e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $3 e^{8 - 3} - 3 e^{2 - 3}$

= $3 e^{5} - 3 e^{- 1}$

≈ 444,136

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 17 + $3 e^{5} - 3 e^{- 1}$ ≈ 461.14

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,4 e^{0,1 x - 0,7} ⅆ x$ = $16$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,4 e^{0,1 x - 0,7} ⅆ x

= ${[4 e^{0,1 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,1 u - 0,7} - 4 e^{0,1 \cdot 0 - 0,7}$

= $4 e^{0,1 u - 0,7} - 4 e^{0 - 0,7}$

= $4 e^{0,1 u - 0,7} - 4 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,1 u - 0,7} - 4 e^{- 0,7}$	=	$16$	\| $+ 4 e^{- 0,7}$
$4 e^{0,1 u - 0,7}$	=	$4 e^{- 0,7} + 16$
$4 e^{0,1 u - 0,7}$	=	$17,9863$	\|: $4$
$e^{0,1 u - 0,7}$	=	$4,4966$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,7$	=	$\ln (4,4966)$

$0,1 u - 0,7$	=	$1,5033$	\| $+ 0,7$
$0,1 u$	=	$2,2033$	\|: $0,1$
$u$	=	$22,033$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 5 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[5 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (5 \cdot \sin (π + \frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (0 + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (5 \cdot (- 1) - 5 \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 5 - 5)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 10)$

= $- \frac{10}{π}$

≈ -3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $3,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3,5} \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3,5} {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{3,5}$

= ${[\sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{3,5}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3,5 - 6} - \sqrt{2 u - 6}$

= $\sqrt{7 - 6} - \sqrt{2 u - 6}$

= $\sqrt{1} - \sqrt{2 u - 6}$

= $1 - \sqrt{2 u - 6}$

= $- \sqrt{2 u - 6} + 1$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 6} + 1$ → $0 + 1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale