Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $3$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{11}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

\frac{11}{2}

:

\int_{3}^{\frac{11}{2}} 3 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{\frac{11}{2}} 3 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{\frac{11}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{3}^{\frac{11}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{11}{2}) - 2})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 3 - 2})}^{3}$

= ${(\sqrt{11 - 2})}^{3} - {(\sqrt{6 - 2})}^{3}$

= ${(\sqrt{9})}^{3} - {(\sqrt{4})}^{3}$

= $3^{3} - 2^{3}$

= $27 - 8$

= $19$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

\frac{11}{2}

zusammen:

B = 3 + $19$ = $22$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 56 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{2 \cdot 5 - 3} - e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $e^{10 - 3} - e^{4 - 3}$

= $e^{7} - e^{1}$

= $e^{7} - e$

≈ 1093,915

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 56 + $e^{7} - e$ ≈ 1149.91

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 4 x ⅆ x$ = $94,5$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 4 x ⅆ x

= ${[2 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 2 \cdot 3^{2}$

= $2 u^{2} - 2 \cdot 9$

= $2 u^{2} - 18$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $94,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 u^{2} - 18$	=	$94,5$	\| $+ 18$
$2 u^{2}$	=	$112,5$	\|: $2$
$u^{2}$	=	$56,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{56,25}$	= $- 7,5$
u₂	=	$\sqrt{56,25}$	= $7,5$

Da u= $- 7,5$ < 3 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} \frac{5}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{1}^{3} 5 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{1}^{3}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{5}{2 (2 x - 1)}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2 (2 \cdot 3 - 1)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 1 - 1)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2 (6 - 1)} + \frac{5}{2 (2 - 1)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2 \cdot 5} + \frac{5}{2})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{5}) + \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{5}{2})$

= $\frac{1}{2} (- 0,5 + 2,5)$

= $\frac{1}{2} \cdot 2$

= $1$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- 2 x + 4)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{{(- 2 x + 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(- 2 x + 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(- 2 x + 4)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{3}{2 (- 2 x + 4)}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} + \frac{3}{2 (- 2 \cdot 4 + 4)}$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} + \frac{3}{2 (- 8 + 4)}$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} + \frac{3}{2 (- 4)}$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} - \frac{3}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2 (- 2 u + 4)} - \frac{3}{8}$ → $0 - \frac{3}{8}$ = $- \frac{3}{8}$ ≈ -0.375

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale