Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $3 e^{3 - 2} - 3 e^{0 - 2}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 2}$

= $3 e - 3 e^{- 2}$

≈ 7,749

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 12 + $- 3 e^{- 2} + 3 e$ ≈ 19.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 2} - \frac{3}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{2}$

≈ 70,814

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 19 + $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{2}$ ≈ 89.81

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{0,5 x - 0,2} ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{0,5 x - 0,2} ⅆ x

= ${[4 e^{0,5 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,5 u - 0,2} - 4 e^{0,5 \cdot 0 - 0,2}$

= $4 e^{0,5 u - 0,2} - 4 e^{0 - 0,2}$

= $4 e^{0,5 u - 0,2} - 4 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,5 u - 0,2} - 4 e^{- 0,2}$	=	$18$	\| $+ 4 e^{- 0,2}$
$4 e^{0,5 u - 0,2}$	=	$4 e^{- 0,2} + 18$
$4 e^{0,5 u - 0,2}$	=	$21,2749$	\|: $4$
$e^{0,5 u - 0,2}$	=	$5,3187$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,2$	=	$\ln (5,3187)$

$0,5 u - 0,2$	=	$1,6712$	\| $+ 0,2$
$0,5 u$	=	$1,8712$	\|: $0,5$
$u$	=	$3,7424$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(2 x - 3)}^{2} + x$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} (2 {(2 x - 3)}^{2} + x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 5 - 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 5^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 2 - 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(10 - 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 25 - (\frac{1}{3} \cdot {(4 - 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot 4))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 7^{3} + \frac{25}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 343 + \frac{25}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2))$

= $\frac{1}{3} (\frac{343}{3} + \frac{25}{2} - (\frac{1}{3} + 2))$

= $\frac{1}{3} (\frac{686}{6} + \frac{75}{6} - (\frac{1}{3} + \frac{6}{3}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{761}{6} - 1 \cdot \frac{7}{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{761}{6} - \frac{7}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{249}{2}$

= 41,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(x)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} - \frac{2}{{(x)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} - \frac{2}{x^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} - 2 x^{- 3} ⅆ x

= ${[x^{- 2}]}_{u}^{3}$

= ${[\frac{1}{x^{2}}]}_{u}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{u^{2}}$

= $\frac{1}{9} - \frac{1}{u^{2}}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{1}{9} - \frac{1}{u^{2}}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale