Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 3 e x -2 x

= [ 3 e x -2 ] 1 2

= 3 e 2 -2 -3 e 1 -2

= 3 e 0 -3 e -1

= 3 -3 e -1


≈ 1,896
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 14 + -3 e -1 +3 ≈ 15.9

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 e 3x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 4 e 3x -5 x

= [ 4 3 e 3x -5 ] 0 1

= 4 3 e 31 -5 - 4 3 e 30 -5

= 4 3 e 3 -5 - 4 3 e 0 -5

= 4 3 e -2 - 4 3 e -5


≈ 0,171
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 16 + 4 3 e -2 - 4 3 e -5 ≈ 16.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 1,5 e 0,3x -0,8 x = 19

Lösung einblenden
0 u 1,5 e 0,3x -0,8 x

= [ 5 e 0,3x -0,8 ] 0 u

= 5 e 0,3u -0,8 -5 e 0,30 -0,8

= 5 e 0,3u -0,8 -5 e 0 -0,8

= 5 e 0,3u -0,8 -5 e -0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 19 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 e 0,3u -0,8 -5 e -0,8 = 19 | +5 e -0,8
5 e 0,3u -0,8 = 5 e -0,8 +19
5 e 0,3u -0,8 = 21,2466 |:5
e 0,3u -0,8 = 4,2493 |ln(⋅)
0,3u -0,8 = ln( 4,2493 )
0,3u -0,8 = 1,4468 | +0,8
0,3u = 2,2468 |:0,3
u = 7,4893

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 3x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -2 2 3 2 3x -3 x
= 1 2 3 2 ( 3x -3 ) -1 x

= 1 [ 2 3 ln( | 3x -3 | ) ] 2 3

= 2 3 ln( | 33 -3 | ) - 2 3 ln( | 32 -3 | )

= 2 3 ln( | 9 -3 | ) - 2 3 ln( | 6 -3 | )

= 2 3 ln( 6 ) - 2 3 ln( | 6 -3 | )

= 2 3 ln( 6 ) - 2 3 ln( 3 )


≈ 0,462

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 e -3x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 1 u 2 e -3x +3 x

= [ - 2 3 e -3x +3 ] 1 u

= - 2 3 e -3u +3 + 2 3 e -31 +3

= - 2 3 e -3u +3 + 2 3 e -3 +3

= - 2 3 e -3u +3 + 2 3 e 0

= - 2 3 e -3u +3 + 2 3

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 2 3 e -3u +3 + 2 3 0 + 2 3 = 2 3 ≈ 0.667

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667