Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 67 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 3 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 5} - e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $e^{9 - 5} - e^{3 - 5}$

= $e^{4} - e^{- 2}$

≈ 54,463

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 67 + $e^{4} - e^{- 2}$ ≈ 121.46

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $3$ s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{11}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

\frac{11}{2}

:

\int_{3}^{\frac{11}{2}} 2 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{\frac{11}{2}} 2 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{\frac{11}{2}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{3}^{\frac{11}{2}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{11}{2}) - 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 3 - 2})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{6 - 2})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 8$

= $18 - \frac{16}{3}$

= $\frac{54}{3} - \frac{16}{3}$

= $\frac{38}{3}$

≈ 12,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

\frac{11}{2}

zusammen:

B = 11 + $\frac{38}{3}$ = $\frac{71}{3}$ ≈ 23.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 2 x - 2) ⅆ x$ = $- 74,25$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 2 x - 2) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- u^{2} - 2 u - (- 3^{2} - 2 \cdot 3)$

= $- u^{2} - 2 u - (- 9 - 6)$

= $- u^{2} - 2 u + 9 + 6$

= $- u^{2} - 2 u + 15$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 74,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} - 2 u + 15

=

- 74,25

|

+ 74,25

$- u^{2} - 2 u + 89,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 89,25}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 357}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{361}}{- 2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{361}}{- 2}$ = $\frac{2+19}{- 2}$ = $\frac{21}{- 2}$ = $- 10,5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{361}}{- 2}$ = $\frac{2-19}{- 2}$ = $\frac{- 17}{- 2}$ = $8,5$

Da u= $- 10,5$ < 3 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[2 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (2 \cdot \sin (π - \frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{π}$

≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{3 x - 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(3 x - 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \ln (| 3 x - 7 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3} \ln (| 3 (u) - 7 |) + \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 7 |)$

= $- \frac{1}{3} \ln (| 3 u - 7 |) + \frac{1}{3} \ln (| 9 - 7 |)$

= $- \frac{1}{3} \ln (| 3 u - 7 |) + \frac{1}{3} \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} \ln (2) - \frac{1}{3} \ln (| 3 x - 7 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale