= ${\left[2{\left(2x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

= ${\left[2{\left(\sqrt{2x-3}\right)}^3\right]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

$=$ $2{\left(\sqrt{2\cdot 14-3}\right)}^3-2{\left(\sqrt{2\cdot \left(\frac{19}{2}\right)-3}\right)}^3$

= $2{\left(\sqrt{28-3}\right)}^3-2{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3$

= $2{\left(\sqrt{25}\right)}^3-2{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $2\cdot 5^3-2\cdot 4^3$

= $2\cdot 125-2\cdot 64$

= $250-128$

= $122$

= ${\left[\frac{5}{3}{e}^{3x-4}\right]}_2^5$

$=$ $\frac{5}{3}{e}^{3\cdot 5-4}-\frac{5}{3}{e}^{3\cdot 2-4}$

= $\frac{5}{3}{e}^{15-4}-\frac{5}{3}{e}^{6-4}$

= $\frac{5}{3}{e}^{11}-\frac{5}{3}{e}^2$

= ${\left[-9e^{-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,5}}\right]}_0^u$

$=$ $-9e^{-\mathrm{0,6}u+\mathrm{0,5}}+9e^{-\mathrm{0,6}\cdot 0+\mathrm{0,5}}$

= $-9e^{-\mathrm{0,6}u+\mathrm{0,5}}+9e^{0+\mathrm{0,5}}$

= $-9e^{-\mathrm{0,6}u+\mathrm{0,5}}+9e^{\mathrm{0,5}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{\pi }$ ${\left[\frac{2}{3}\cdot \sin \left(3x-\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{\pi }·\left(\frac{2}{3}\cdot \sin \left(3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{2}{3}\cdot \sin \left(3\cdot \left(0\right)-\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(\frac{2}{3}\cdot \sin \left(\pi \right)-\frac{2}{3}\cdot \sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(\frac{2}{3}\cdot 0-\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(0+\frac{2}{3}\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(0+\frac{2}{3}\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3\pi }$

= ${\left[-e^{-2x+4}\right]}_0^u$

$=$ $-e^{-2u+4}+e^{-2\cdot 0+4}$

= $-e^{-2u+4}+e^{0+4}$

= $-e^{-2u+4}+e^4$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-e^{-2u+4}+e^4$ → $0+e^4$ = $e^4$ ≈ 54.598

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 54.598