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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 3x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 45 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
∫ 2 3 2 e 3x -3 ⅆ x

= [ 2 3 e 3x -3 ] 2 3

= 2 3 e 3⋅3 -3 - 2 3 e 3⋅2 -3

= 2 3 e 9 -3 - 2 3 e 6 -3

= 2 3 e 6 - 2 3 e 3


≈ 255,562
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 45 + 2 3 e 6 - 2 3 e 3 ≈ 300.56

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 3x -6 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:
∫ 4 5 5 3x -6 ⅆ x
= ∫ 4 5 5 ( 3x -6 ) -1 ⅆ x

= [ 5 3 ln( | 3x -6 | ) ] 4 5

= 5 3 ln( | 3⋅5 -6 | ) - 5 3 ln( | 3⋅4 -6 | )

= 5 3 ln( | 15 -6 | ) - 5 3 ln( | 12 -6 | )

= 5 3 ln( 9 ) - 5 3 ln( | 12 -6 | )

= 5 3 ln( 9 ) - 5 3 ln( 6 )


≈ 0,676
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:
B = 7 + 5 3 ln( | 9 | ) - 5 3 ln( | 6 | ) ≈ 7.68

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 1,2 e 0,4x -0,8 ⅆ x = 9

Lösung einblenden
∫ 0 u 1,2 e 0,4x -0,8 ⅆ x

= [ 3 e 0,4x -0,8 ] 0 u

= 3 e 0,4u -0,8 -3 e 0,4⋅0 -0,8

= 3 e 0,4u -0,8 -3 e 0 -0,8

= 3 e 0,4u -0,8 -3 e -0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 9 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 e 0,4u -0,8 -3 e -0,8 = 9 | +3 e -0,8
3 e 0,4u -0,8 = 3 e -0,8 +9
3 e 0,4u -0,8 = 10,348 |:3
e 0,4u -0,8 = 3,4493 |ln(⋅)
0,4u -0,8 = ln( 3,4493 )
0,4u -0,8 = 1,2382 | +0,8
0,4u = 2,0382 |:0,4
u = 5,0955

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 e 3x -4 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 ∫ 0 2 2 e 3x -4 ⅆ x

= 1 2 [ 2 3 e 3x -4 ] 0 2

= 1 2 ( 2 3 e 3⋅2 -4 - 2 3 e 3⋅0 -4 )

= 1 2 ( 2 3 e 6 -4 - 2 3 e 0 -4 )

= 1 2 ( 2 3 e 2 - 2 3 e -4 )


≈ 2,457

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 -3x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 3 u 3 -3x +5 ⅆ x
= ∫ 3 u 3 ( -3x +5 ) -1 ⅆ x

= [ - ln( | -3x +5 | ) ] 3 u

= - ln( | -3( u ) +5 | ) + ln( | -3⋅3 +5 | )

= - ln( | -3u +5 | ) + ln( | -9 +5 | )

= - ln( | -3u +5 | ) + ln( 4 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( 4 ) - ln( | -3x +5 | ) → ∞