Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 2x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 5 e 2x -2 x

= [ 5 2 e 2x -2 ] 2 3

= 5 2 e 23 -2 - 5 2 e 22 -2

= 5 2 e 6 -2 - 5 2 e 4 -2

= 5 2 e 4 - 5 2 e 2


≈ 118,023
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 9 + 5 2 e 4 - 5 2 e 2 ≈ 127.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 23 3 s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 32 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 23 3 und 32 3 :
23 3 32 3 3x -7 x
= 23 3 32 3 ( 3x -7 ) 1 2 x

= [ 2 9 ( 3x -7 ) 3 2 ] 23 3 32 3

= [ 2 9 ( 3x -7 ) 3 ] 23 3 32 3

= 2 9 ( 3( 32 3 ) -7 ) 3 - 2 9 ( 3( 23 3 ) -7 ) 3

= 2 9 ( 32 -7 ) 3 - 2 9 ( 23 -7 ) 3

= 2 9 ( 25 ) 3 - 2 9 ( 16 ) 3

= 2 9 5 3 - 2 9 4 3

= 2 9 125 - 2 9 64

= 250 9 - 128 9

= 122 9


≈ 13,556
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 23 3 und der Änderung zwischen 23 3 und 32 3 zusammen:
B = 5 + 122 9 = 167 9 ≈ 18.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,6 e -0,6x +0,3 x = 1

Lösung einblenden
0 u 0,6 e -0,6x +0,3 x

= [ - e -0,6x +0,3 ] 0 u

= - e -0,6u +0,3 + e -0,60 +0,3

= - e -0,6u +0,3 + e 0 +0,3

= - e -0,6u +0,3 + e 0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- e -0,6u +0,3 + e 0,3 = 1 | - e 0,3
- e -0,6u +0,3 = - e 0,3 +1
- e -0,6u +0,3 = -0,3499 |:-1
e -0,6u +0,3 = 0,3499 |ln(⋅)
-0,6u +0,3 = ln( 0,3499 )
-0,6u +0,3 = -1,0501 | -0,3
-0,6u = -1,3501 |:(-0,6 )
u = 2,2502

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 e 2x -4 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 2 e 2x -4 x

= 1 3 [ e 2x -4 ] 0 3

= 1 3 ( e 23 -4 - e 20 -4 )

= 1 3 ( e 6 -4 - e 0 -4 )

= 1 3 ( e 2 - e -4 )


≈ 2,457

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 2 - 1 ( x -1 ) 3 x
= u 2 - ( x -1 ) -3 x

= [ 1 2 ( x -1 ) -2 ] u 2

= [ 1 2 ( x -1 ) 2 ] u 2

= 1 2 ( 2 -1 ) 2 - 1 2 ( u -1 ) 2

= 1 2 1 2 - 1 2 ( u -1 ) 2

= 1 2 1 - 1 2 ( u -1 ) 2

= 1 2 - 1 2 ( u -1 ) 2

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = - 1 2 ( u -1 ) 2 + 1 2 -