Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 6)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{4}{{(3 x - 6)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 4 {(3 x - 6)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{9} {(3 x - 6)}^{- 3}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{4}{9 {(3 x - 6)}^{3}}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{4}{9 {(3 \cdot 6 - 6)}^{3}} + \frac{4}{9 {(3 \cdot 4 - 6)}^{3}}$

= $- \frac{4}{9 {(18 - 6)}^{3}} + \frac{4}{9 {(12 - 6)}^{3}}$

= $- \frac{4}{9 \cdot 12^{3}} + \frac{4}{9 \cdot 6^{3}}$

= $- \frac{4}{9} \cdot (\frac{1}{1728}) + \frac{4}{9} \cdot (\frac{1}{216})$

= $- \frac{1}{3888} + \frac{1}{486}$

= $- \frac{1}{3888} + \frac{8}{3888}$

= $\frac{7}{3888}$

≈ 0,002

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 9 + $\frac{7}{3888}$ = $\frac{34999}{3888}$ ≈ 9

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 6} - e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $e^{9 - 6} - e^{0 - 6}$

= $e^{3} - e^{- 6}$

≈ 20,083

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 15 + $e^{3} - e^{- 6}$ ≈ 35.08

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 2 x + 5) ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 2 x + 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 5 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 5 u - (- 1^{2} + 5 \cdot 1)$

= $- u^{2} + 5 u - (- 1 + 5)$

= $- u^{2} + 5 u + 1 - 5$

= $- u^{2} + 5 u - 4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} + 5 u - 4

=

2

|

- 2

$- u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{2 x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 4 e^{2 x - 3} ⅆ x

= $1$ ${[2 e^{2 x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 1 - 3} - 2 e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $2 e^{2 - 3} - 2 e^{0 - 3}$

= $2 e^{- 1} - 2 e^{- 3}$

≈ 0,636

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- 3 x + 4}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 3 u + 4} + e^{- 3 \cdot 0 + 4}$

= $- e^{- 3 u + 4} + e^{0 + 4}$

= $- e^{- 3 u + 4} + e^{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{- 3 u + 4} + e^{4}$ → $0 + e^{4}$ = $e^{4}$ ≈ 54.598

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 54.598

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale