Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 33 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 3 e 2x -4 x

= [ 3 2 e 2x -4 ] 1 2

= 3 2 e 22 -4 - 3 2 e 21 -4

= 3 2 e 4 -4 - 3 2 e 2 -4

= 3 2 e 0 - 3 2 e -2

= 3 2 - 3 2 e -2


≈ 1,297
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 33 + - 3 2 e -2 + 3 2 ≈ 34.3

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 3 e 2x -1 x

= [ 3 2 e 2x -1 ] 1 3

= 3 2 e 23 -1 - 3 2 e 21 -1

= 3 2 e 6 -1 - 3 2 e 2 -1

= 3 2 e 5 - 3 2 e 1

= 3 2 e 5 - 3 2 e


≈ 218,542
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 61 + 3 2 e 5 - 3 2 e ≈ 279.54

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 1,2 e 0,2x -0,6 x = 11

Lösung einblenden
0 u 1,2 e 0,2x -0,6 x

= [ 6 e 0,2x -0,6 ] 0 u

= 6 e 0,2u -0,6 -6 e 0,20 -0,6

= 6 e 0,2u -0,6 -6 e 0 -0,6

= 6 e 0,2u -0,6 -6 e -0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 11 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

6 e 0,2u -0,6 -6 e -0,6 = 11 | +6 e -0,6
6 e 0,2u -0,6 = 6 e -0,6 +11
6 e 0,2u -0,6 = 14,2929 |:6
e 0,2u -0,6 = 2,3822 |ln(⋅)
0,2u -0,6 = ln( 2,3822 )
0,2u -0,6 = 0,868 | +0,6
0,2u = 1,468 |:0,2
u = 7,34

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 sin( 3x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 2 sin( 3x + 3 2 π) x

= 1 π [ - 2 3 cos( 3x + 3 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - 2 3 cos( 3( 3 2 π ) + 3 2 π) + 2 3 cos( 3( 1 2 π ) + 3 2 π) )

= 1 π · ( - 2 3 cos(6π) + 2 3 cos(3π) )

= 1 π · ( - 2 3 1 + 2 3 ( -1 ) )

= 1 π · ( - 2 3 - 2 3 )

= 1 π · ( - 4 3 )

= - 4 3 π


≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 -3x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 1 -3x +5 x
= 2 u - ( -3x +5 ) -1 x

= [ 1 3 ln( | -3x +5 | ) ] 2 u

= 1 3 ln( | -3( u ) +5 | ) - 1 3 ln( | -32 +5 | )

= 1 3 ln( | -3u +5 | ) - 1 3 ln( | -6 +5 | )

= 1 3 ln( | -3u +5 | ) - 1 3 ln( 1 )

= 1 3 ln( | -3u +5 | ) +0

= 1 3 ln( | -3x +5 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 3 ln( | -3x +5 | )