Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 4 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{8 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{4} - \frac{5}{2} e^{- 2}$

≈ 136,157

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 11 + $\frac{5}{2} e^{4} - \frac{5}{2} e^{- 2}$ ≈ 147.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{6}{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{6}{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 6 {(3 x - 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| 3 x - 6 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $2 \ln (| 3 \cdot 5 - 6 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 4 - 6 |)$

= $2 \ln (| 15 - 6 |) - 2 \ln (| 12 - 6 |)$

= $2 \ln (9) - 2 \ln (| 12 - 6 |)$

= $2 \ln (9) - 2 \ln (6)$

≈ 0,811

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 4 + $2 \ln (| 9 |) - 2 \ln (| 6 |)$ ≈ 4.81

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 4 x + 4) ⅆ x$ = $- 110,5$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 4 x + 4) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 4 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 4 u - (- 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2)$

= $- 2 u^{2} + 4 u - (- 2 \cdot 4 + 8)$

= $- 2 u^{2} + 4 u - (- 8 + 8)$

= $- 2 u^{2} + 4 u - 1 \cdot 0$

= $- 2 u^{2} + 4 u + 0$

= $- 2 u^{2} + 4 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 110,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 4 u

=

- 110,5

|

+ 110,5

$- 2 u^{2} + 4 u + 110,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 110,5}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 884}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{900}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{900}}{- 4}$ = $\frac{- 4+30}{- 4}$ = $\frac{26}{- 4}$ = $- 6,5$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{900}}{- 4}$ = $\frac{- 4-30}{- 4}$ = $\frac{- 34}{- 4}$ = $8,5$

Da u= $- 6,5$ < 2 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\sin (x - \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- \cos (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) + \cos (0 - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- \cos (π) + \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- (- 1) + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 1$

= $\frac{2}{3 π}$

≈ 0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(\sqrt{3 x - 6})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{22}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{22}{3}}^{u} \frac{3}{{(\sqrt{3 x - 6})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{u} 3 {(3 x - 6)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{u}$

= ${[- \frac{2}{\sqrt{3 x - 6}}]}_{\frac{22}{3}}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{\sqrt{3 u - 6}} + \frac{2}{\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6}}$

= $- \frac{2}{\sqrt{3 u - 6}} + \frac{2}{\sqrt{22 - 6}}$

= $- \frac{2}{\sqrt{3 u - 6}} + \frac{2}{\sqrt{16}}$

= $- \frac{2}{\sqrt{3 u - 6}} + \frac{2}{4}$

= $- \frac{2}{\sqrt{3 u - 6}} + 2 \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{2}{\sqrt{3 u - 6}} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{\sqrt{3 u - 6}} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale