Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 5} - \frac{4}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{4} - \frac{4}{3} e^{- 2}$

≈ 72,617

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 18 + $\frac{4}{3} e^{4} - \frac{4}{3} e^{- 2}$ ≈ 90.62

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{5}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 5 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{5}{3 (3 x - 3)}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{3 (3 \cdot 3 - 3)} + \frac{5}{3 (3 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{5}{3 (9 - 3)} + \frac{5}{3 (6 - 3)}$

= $- \frac{5}{3 \cdot 6} + \frac{5}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{6}) + \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{5}{18} + \frac{5}{9}$

= $- \frac{5}{18} + \frac{10}{18}$

= $\frac{5}{18}$

≈ 0,278

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 16 + $\frac{5}{18}$ = $\frac{293}{18}$ ≈ 16.28

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 6 x ⅆ x$ = $- 273$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 6 x ⅆ x

= ${[- 3 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 3 \cdot 3^{2}$

= $- 3 u^{2} + 3 \cdot 9$

= $- 3 u^{2} + 27$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 273$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 u^{2} + 27$	=	$- 273$	\| $- 27$
$- 3 u^{2}$	=	$- 300$	\|: $(- 3)$
$u^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
u₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

Da u= $- 10$ < 3 ist u= $10$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 e^{3 x - 7}$ zwischen 2 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} 5 e^{3 x - 7} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{3} e^{3 \cdot 5 - 7} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 7})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{3} e^{15 - 7} - \frac{5}{3} e^{6 - 7})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{3} e^{8} - \frac{5}{3} e^{- 1})$

≈ 1655,883

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $2,5$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2,5} \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2,5} 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{2,5}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{2,5}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 2,5 - 4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \sqrt{5 - 4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \sqrt{1} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \cdot 1 - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 - 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 4} + 2$ → $0 + 2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale