= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{2x-3}\right]}_1^4$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 4-3}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 1-3}$

= $\frac{1}{2}{e}^{8-3}-\frac{1}{2}{e}^{2-3}$

= $\frac{1}{2}{e}^5-\frac{1}{2}{e}^{-1}$

= ${\left[\frac{10}{3}{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{19}^{28}$

= ${\left[\frac{10}{3}{\left(\sqrt{x-3}\right)}^3\right]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{10}{3}{\left(\sqrt{28-3}\right)}^3-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3$

= $\frac{10}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{10}{3}\cdot 5^3-\frac{10}{3}\cdot 4^3$

= $\frac{10}{3}\cdot 125-\frac{10}{3}\cdot 64$

= $\frac{1250}{3}-\frac{640}{3}$

= $\frac{610}{3}$

= ${\left[-4x^2\right]}_1^u$

$=$ $-4u^2+4\cdot 1^2$

= $-4u^2+4\cdot 1$

= $-4u^2+4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-32$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-3$ < 1 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[e^{3x-4}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}\left(e^{3\cdot 3-4}-e^{3\cdot 0-4}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(e^{9-4}-e^{0-4}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(e^5-e^{-4}\right)$

= ${\left[-e^{-x+2}\right]}_2^u$

$=$ $-e^{-u+2}+e^{-2+2}$

= $-e^{-u+2}+e^0$

= $-e^{-u+2}+1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-e^{-u+2}+1$ → $0+1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1