Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 42 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 3} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 3} - \frac{1}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ 6,679

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 42 + $\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} e^{- 3}$ ≈ 48.68

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 5 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $5 e^{2 - 2} - 5 e^{1 - 2}$

= $5 e^{0} - 5 e^{- 1}$

= $5 - 5 e^{- 1}$

≈ 3,161

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 7 + $- 5 e^{- 1} + 5$ ≈ 10.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 2 x ⅆ x$ = $- 5$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 2 x ⅆ x

= ${[- x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 2^{2}$

= $- u^{2} + 4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- u^{2} + 4$	=	$- 5$	\| $- 4$
$- u^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$u^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
u₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Da u= $- 3$ < 2 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{3 x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 6 e^{3 x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[2 e^{3 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (2 e^{3 \cdot 3 - 3} - 2 e^{3 \cdot 0 - 3})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{9 - 3} - 2 e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{6} - 2 e^{- 3})$

≈ 268,919

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $7$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{7} \frac{3}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{7} 3 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{7}$

= ${[6 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{7}$

$=$ $6 \sqrt{7 - 3} - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 \sqrt{4} - 6 \sqrt{u - 3}$

= $6 \cdot 2 - 6 \sqrt{u - 3}$

= $12 - 6 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 6 \sqrt{u - 3} + 12$ → $0 + 12$ = $12$ ≈ 12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale