= ${\left[e^{3x-6}\right]}_1^2$

$=$ $e^{3\cdot 2-6}-e^{3\cdot 1-6}$

= $e^{6-6}-e^{3-6}$

= $e^0-e^{-3}$

= $1-e^{-3}$

= ${\left[4e^{x-2}\right]}_2^5$

$=$ $4e^{5-2}-4e^{2-2}$

= $4e^3-4e^0$

= $4e^3-4$

= ${\left[9e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,5}}\right]}_0^u$

$=$ $9e^{\mathrm{0,2}u-\mathrm{0,5}}-9e^{\mathrm{0,2}\cdot 0-\mathrm{0,5}}$

= $9e^{\mathrm{0,2}u-\mathrm{0,5}}-9e^{0-\mathrm{0,5}}$

= $9e^{\mathrm{0,2}u-\mathrm{0,5}}-9e^{-\mathrm{0,5}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\ln \left(\left|$ 3x-6$\right|\right)\right]}_4^6$

$=$ $\frac{1}{2}(\ln \left(\left|$ 3\cdot 6-6$\right|\right)-\ln \left(\left|$ 3\cdot 4-6$\right|\right))$

= $\frac{1}{2}(\ln \left(\left|$ 18-6$\right|\right)-\ln \left(\left|$ 12-6$\right|\right))$

= $\frac{1}{2}(\ln \left(12\right)-\ln \left(\left|$ 12-6$\right|\right))$

= $\frac{1}{2}(\ln \left(12\right)-\ln \left(6\right))$

= ${\left[-2{\left(2x-5\right)}^{-\frac{1}{2}}\right]}_7^u$

= ${\left[-\frac{2}{\sqrt{2x-5}}\right]}_7^u$

$=$ $-\frac{2}{\sqrt{2u-5}}+\frac{2}{\sqrt{2\cdot 7-5}}$

= $-\frac{2}{\sqrt{2u-5}}+\frac{2}{\sqrt{14-5}}$

= $-\frac{2}{\sqrt{2u-5}}+\frac{2}{\sqrt{9}}$

= $-\frac{2}{\sqrt{2u-5}}+\frac{2}{3}$

= $-\frac{2}{\sqrt{2u-5}}+2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)$

= $-\frac{2}{\sqrt{2u-5}}+\frac{2}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{2}{\sqrt{2u-5}}+\frac{2}{3}$ → $0+\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.667

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667