Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 4 - 2} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{8 - 2} - \frac{1}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{6} - \frac{1}{2} e^{2}$

≈ 198,02

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 8 + $\frac{1}{2} e^{6} - \frac{1}{2} e^{2}$ ≈ 206.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 48 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 5} - e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $e^{8 - 5} - e^{4 - 5}$

= $e^{3} - e^{- 1}$

≈ 19,718

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 48 + $e^{3} - e^{- 1}$ ≈ 67.72

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,6 e^{0,8 x - 0,9} ⅆ x$ = $17$

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\int_{0}^{u} 1,6 e^{0,8 x - 0,9} ⅆ x

= ${[2 e^{0,8 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,8 u - 0,9} - 2 e^{0,8 \cdot 0 - 0,9}$

= $2 e^{0,8 u - 0,9} - 2 e^{0 - 0,9}$

= $2 e^{0,8 u - 0,9} - 2 e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $17$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,8 u - 0,9} - 2 e^{- 0,9}$	=	$17$	\| $+ 2 e^{- 0,9}$
$2 e^{0,8 u - 0,9}$	=	$2 e^{- 0,9} + 17$
$2 e^{0,8 u - 0,9}$	=	$17,8131$	\|: $2$
$e^{0,8 u - 0,9}$	=	$8,9066$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,9$	=	$\ln (8,9066)$

$0,8 u - 0,9$	=	$2,1868$	\| $+ 0,9$
$0,8 u$	=	$3,0868$	\|: $0,8$
$u$	=	$3,8585$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (2 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \sin (2 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{5}{2} \cdot \cos (2 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot \cos (2 π) + \frac{5}{2} \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{2} + \frac{5}{2})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 2,5 + 2,5)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- 2 x + 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{{(- 2 x + 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(- 2 x + 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 5)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(- 2 x + 5)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 2 \cdot 4 + 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 8 + 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9})$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{18}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{18}$ → $0 - \frac{1}{18}$ = $- \frac{1}{18}$ ≈ -0.056

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale