= ${\left[6e^{x-1}\right]}_1^2$

$=$ $6e^{2-1}-6e^{1-1}$

= $6e^1-6e^0$

= $6e-6$

= ${\left[-2{\left(2x-3\right)}^{-1}\right]}_2^4$

= ${\left[-\frac{2}{2x-3}\right]}_2^4$

$=$ $-\frac{2}{2\cdot 4-3}+\frac{2}{2\cdot 2-3}$

= $-\frac{2}{8-3}+\frac{2}{4-3}$

= $-\frac{2}{5}+\frac{2}{1}$

= $-2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+2\cdot 1$

= $-\frac{2}{5}+2$

= $-\frac{2}{5}+\frac{10}{5}$

= $\frac{8}{5}$

= ${\left[5e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,5}}\right]}_0^u$

$=$ $5e^{\mathrm{0,4}u-\mathrm{0,5}}-5e^{\mathrm{0,4}\cdot 0-\mathrm{0,5}}$

= $5e^{\mathrm{0,4}u-\mathrm{0,5}}-5e^{0-\mathrm{0,5}}$

= $5e^{\mathrm{0,4}u-\mathrm{0,5}}-5e^{-\mathrm{0,5}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $11$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{5}{12}{\left(3x-4\right)}^4\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{12}\cdot {\left(3\cdot 3-4\right)}^4-\frac{5}{12}\cdot {\left(3\cdot 0-4\right)}^4\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{12}\cdot {\left(9-4\right)}^4-\frac{5}{12}\cdot {\left(0-4\right)}^4\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{12}\cdot 5^4-\frac{5}{12}\cdot {\left(-4\right)}^4\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{12}\cdot 625-\frac{5}{12}\cdot 256\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{3125}{12}-\frac{320}{3}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{3125}{12}-\frac{1280}{12}\right)$

= $\frac{1}{3}·\frac{615}{4}$

= $\frac{205}{4}$

= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{-2x+5}\right]}_1^u$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{-2u+5}-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 1+5}$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2u+5}-\frac{1}{2}{e}^{-2+5}$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2u+5}-\frac{1}{2}{e}^3$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2}{e}^{-2u+5}-\frac{1}{2}{e}^3$ → $0-\frac{1}{2}{e}^3$ = $-\frac{1}{2}{e}^3$ ≈ -10.043

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 10.043