Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 5 - 2} - 3 e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $3 e^{10 - 2} - 3 e^{4 - 2}$

= $3 e^{8} - 3 e^{2}$

≈ 8920,707

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 6 + $3 e^{8} - 3 e^{2}$ ≈ 8926.71

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $10$ Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $26$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

26

:

\int_{10}^{26} 3 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{10}^{26} 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{26}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{10}^{26}$

$=$ $2 {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 3^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 27$

= $250 - 54$

= $196$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

26

zusammen:

B = 19 + $196$ = $215$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 8 x - 4) ⅆ x$ = $- 160$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 8 x - 4) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} - 4 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} - 4 u - (- 4 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1)$

= $- 4 u^{2} - 4 u - (- 4 \cdot 1 - 4)$

= $- 4 u^{2} - 4 u - (- 4 - 4)$

= $- 4 u^{2} - 4 u - 1 \cdot (- 8)$

= $- 4 u^{2} - 4 u + 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 160$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} - 4 u + 8

=

- 160

|

+ 160

- 4 u^{2} - 4 u + 168

= 0 |:4

$- u^{2} - u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 42}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{1+13}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{1-13}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Da u= $- 7$ < 1 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 7}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{16}{3}$ und Minute $\frac{32}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{32}{3} - \frac{16}{3}}

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 4 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{3}{16}

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 4 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{8}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{3}{16} (\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{8}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 27)$

= $\frac{3}{16} (\frac{1000}{9} - 24)$

= $\frac{3}{16} (\frac{1000}{9} - \frac{216}{9})$

= $\frac{3}{16} \cdot \frac{784}{9}$

= $\frac{49}{3}$

≈ 16,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(- x + 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(- x + 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- x + 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- {(- x + 1)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{{(- u + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(- 3 + 1)}^{2}}$

= $- \frac{1}{{(- u + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{{(- u + 1)}^{2}} + \frac{1}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{{(- u + 1)}^{2}} + \frac{1}{4}$ → $0 + \frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale