Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 5 + = ≈ 45.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,109
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6
zusammen:
B = 7 + = ≈ 7.11
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
54
-8
=
-6,75
u2 =
-5
-
3481
-8
=
-5
-59
-8
=
-64
-8
=
8
Da u=
-6,75
< 1 ist u=
8
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 2x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-2
∫
2
4
4
(
2x
-1
)
2
ⅆ
x
=
1
2
∫
2
4
4
(
2x
-1
)
-2
ⅆ
x
=
1
2
[
-2
(
2x
-1
)
-1
]
2
4
=
1
2
[
-
2
2x
-1
]
2
4
=
1
2
(
-
2
2⋅4
-1
+
2
2⋅2
-1
)
=
1
2
(
-
2
8
-1
+
2
4
-1
)
=
1
2
(
-
2
7
+
2
3
)
=
1
2
(
-2⋅(
1
7
)
+2⋅(
1
3
)
)
=
1
2
(
-
2
7
+
2
3
)
=
1
2
(
-
6
21
+
14
21
)
=
1
2
·
8
21
=
4
21
≈ 0,19
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 11 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
11
-
3
2x
-6
ⅆ
x
=
∫
u
11
-3
(
2x
-6
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-3
(
2x
-6
)
1
2
]
u
11
=
[
-3
2x
-6
]
u
11
=
-3
2⋅11
-6
+3
2u
-6
=
-3
22
-6
+3
2u
-6
=
-3
16
+3
2u
-6
=
-3⋅4
+3
2u
-6
=
-12
+3
2u
-6
Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) =
3
2u
-6
-12
→
0
-12
=
-12
≈ -12
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12