Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 54 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 e 3x -3 x

= [ 1 3 e 3x -3 ] 0 2

= 1 3 e 32 -3 - 1 3 e 30 -3

= 1 3 e 6 -3 - 1 3 e 0 -3

= 1 3 e 3 - 1 3 e -3


≈ 6,679
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 54 + 1 3 e 3 - 1 3 e -3 ≈ 60.68

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 2x -4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 10 s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 29 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 10 und 29 2 :
10 29 2 4 2x -4 x
= 10 29 2 4 ( 2x -4 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 2x -4 ) 3 2 ] 10 29 2

= [ 4 3 ( 2x -4 ) 3 ] 10 29 2

= 4 3 ( 2( 29 2 ) -4 ) 3 - 4 3 ( 210 -4 ) 3

= 4 3 ( 29 -4 ) 3 - 4 3 ( 20 -4 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 10 und der Änderung zwischen 10 und 29 2 zusammen:
B = 3 + 244 3 = 253 3 ≈ 84.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u -4x x = -4,5

Lösung einblenden
0 u -4x x

= [ -2 x 2 ] 0 u

= -2 u 2 +2 0 2

= -2 u 2 +20

= -2 u 2 +0

= -2 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -4,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 = -4,5 |: ( -2 )
u 2 = 2,25 | 2
u1 = - 2,25 = -1,5
u2 = 2,25 = 1,5

Da u= -1,5 < 0 ist u= 1,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 3x -5 zwischen 3 und 10 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 10 -3 3 10 3 3x -5 x
= 1 7 3 10 3 ( 3x -5 ) 1 2 x

= 1 7 [ 2 3 ( 3x -5 ) 3 2 ] 3 10

= 1 7 [ 2 3 ( 3x -5 ) 3 ] 3 10

= 1 7 ( 2 3 ( 310 -5 ) 3 - 2 3 ( 33 -5 ) 3 )

= 1 7 ( 2 3 ( 30 -5 ) 3 - 2 3 ( 9 -5 ) 3 )

= 1 7 ( 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 4 ) 3 )

= 1 7 ( 2 3 5 3 - 2 3 2 3 )

= 1 7 ( 2 3 125 - 2 3 8 )

= 1 7 ( 250 3 - 16 3 )

= 1 7 · 78

= 78 7


≈ 11,143

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 -3x +6 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 2 -3x +6 x
= 4 u -2 ( -3x +6 ) -1 x

= [ 2 3 ln( | -3x +6 | ) ] 4 u

= 2 3 ln( | -3( u ) +6 | ) - 2 3 ln( | -34 +6 | )

= 2 3 ln( | -3u +6 | ) - 2 3 ln( | -12 +6 | )

= 2 3 ln( | -3u +6 | ) - 2 3 ln( 6 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 2 3 ln( 6 ) + 2 3 ln( | -3x +6 | )