Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(x - 1)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 5 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 5 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{5}{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{5 - 1} + \frac{5}{2 - 1}$

= $- \frac{5}{4} + \frac{5}{1}$

= $- 5 \cdot (\frac{1}{4}) + 5 \cdot 1$

= $- \frac{5}{4} + 5$

= $- \frac{5}{4} + \frac{20}{4}$

= $\frac{15}{4}$

= 3,75

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 7 + $\frac{15}{4}$ = $\frac{43}{4}$ ≈ 10.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{2 - 2} - 2 e^{0 - 2}$

= $2 e^{0} - 2 e^{- 2}$

= $2 - 2 e^{- 2}$

≈ 1,729

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 75 + $- 2 e^{- 2} + 2$ ≈ 76.73

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (8 x - 3) ⅆ x$ = $165$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (8 x - 3) ⅆ x

= ${[4 x^{2} - 3 x]}_{2}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 3 u - (4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2)$

= $4 u^{2} - 3 u - (4 \cdot 4 - 6)$

= $4 u^{2} - 3 u - (16 - 6)$

= $4 u^{2} - 3 u - 1 \cdot 10$

= $4 u^{2} - 3 u - 10$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $165$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} - 3 u - 10

=

165

|

- 165

$4 u^{2} - 3 u - 175$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 175)}}{2 \cdot 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 2 800}}{8}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{2 809}}{8}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{2 809}}{8}$ = $\frac{3+53}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{2 809}}{8}$ = $\frac{3-53}{8}$ = $\frac{- 50}{8}$ = $- 6,25$

Da u= $- 6,25$ < 2 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- {(x - 1)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{1}{x - 1}]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{1}{5 - 1} + \frac{1}{3 - 1})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} (- (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

= 0,125

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $1,5$ und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{1,5} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{1,5} - {(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{1,5}$

= ${[- \sqrt{2 x - 2}]}_{u}^{1,5}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 1,5 - 2} + \sqrt{2 u - 2}$

= $- \sqrt{3 - 2} + \sqrt{2 u - 2}$

= $- \sqrt{1} + \sqrt{2 u - 2}$

= $- 1 + \sqrt{2 u - 2}$

= $\sqrt{2 u - 2} - 1$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 2} - 1$ → $0 - 1$ = $- 1$ ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale