Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $4$ s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{28}{3}

:

\int_{4}^{\frac{28}{3}} 5 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{28}{3}} 5 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 27$

= $\frac{1250}{9} - 30$

= $\frac{1250}{9} - \frac{270}{9}$

= $\frac{980}{9}$

≈ 108,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 7 + $\frac{980}{9}$ = $\frac{1043}{9}$ ≈ 115.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $7$ Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $10$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

10

:

\int_{7}^{10} 4 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{10} 4 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{10}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{7}^{10}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 64$

= $\frac{1000}{9} - \frac{512}{9}$

= $\frac{488}{9}$

≈ 54,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

10

zusammen:

B = 12 + $\frac{488}{9}$ = $\frac{596}{9}$ ≈ 66.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,3 e^{- 0,3 x + 0,3} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,3 e^{- 0,3 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,3 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,3 u + 0,3} + e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,3}$

= $- e^{- 0,3 u + 0,3} + e^{0 + 0,3}$

= $- e^{- 0,3 u + 0,3} + e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,3 u + 0,3} + e^{0,3}$	=	$1$	\| $- e^{0,3}$
$- e^{- 0,3 u + 0,3}$	=	$- e^{0,3} + 1$
$- e^{- 0,3 u + 0,3}$	=	$- 0,3499$	\|: $- 1$
$e^{- 0,3 u + 0,3}$	=	$0,3499$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,3$	=	$\ln (0,3499)$

$- 0,3 u + 0,3$	=	$- 1,0501$	\| $- 0,3$
$- 0,3 u$	=	$- 1,3501$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$4,5003$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 7}$ zwischen $\frac{16}{3}$ und $\frac{23}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{23}{3} - \frac{16}{3}}

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} 5 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{3}{7}

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} 5 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{7}$ ${[\frac{10}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}}$

= $\frac{3}{7}$ ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}}$

$=$ $\frac{3}{7} (\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{10}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{10}{9} \cdot 4^{3} - \frac{10}{9} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{7} (\frac{10}{9} \cdot 64 - \frac{10}{9} \cdot 27)$

= $\frac{3}{7} (\frac{640}{9} - 30)$

= $\frac{3}{7} (\frac{640}{9} - \frac{270}{9})$

= $\frac{3}{7} \cdot \frac{370}{9}$

= $\frac{370}{21}$

≈ 17,619

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{- x + 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(- x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| - x + 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $2 \ln (| - (u) + 3 |) - 2 \ln (| - 4 + 3 |)$

= $2 \ln (| - u + 3 |) - 2 \ln (| - 4 + 3 |)$

= $2 \ln (| - u + 3 |) - 2 \ln (1)$

= $2 \ln (| - u + 3 |) + 0$

= $2 \ln (| - x + 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \ln (| - x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale