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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
∫ 2 4 2 e 3x -4 ⅆ x

= [ 2 3 e 3x -4 ] 2 4

= 2 3 e 3⋅4 -4 - 2 3 e 3⋅2 -4

= 2 3 e 12 -4 - 2 3 e 6 -4

= 2 3 e 8 - 2 3 e 2


≈ 1982,379
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 10 + 2 3 e 8 - 2 3 e 2 ≈ 1992.38

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 17 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 17:
∫ 5 17 4 x -1 ⅆ x
= ∫ 5 17 4 ( x -1 ) 1 2 ⅆ x

= [ 8 3 ( x -1 ) 3 2 ] 5 17

= [ 8 3 ( x -1 ) 3 ] 5 17

= 8 3 ( 17 -1 ) 3 - 8 3 ( 5 -1 ) 3

= 8 3 ( 16 ) 3 - 8 3 ( 4 ) 3

= 8 3 ⋅ 4 3 - 8 3 ⋅ 2 3

= 8 3 ⋅64 - 8 3 ⋅8

= 512 3 - 64 3

= 448 3


≈ 149,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 17 zusammen:
B = 10 + 448 3 = 478 3 ≈ 159.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass ∫ 3 u 6x ⅆ x = 273

Lösung einblenden
∫ 3 u 6x ⅆ x

= [ 3 x 2 ] 3 u

= 3 u 2 -3⋅ 3 2

= 3 u 2 -3⋅9

= 3 u 2 -27

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 273 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 -27 = 273 | +27
3 u 2 = 300 |:3
u 2 = 100 | ⋅2
u1 = - 100 = -10
u2 = 100 = 10

Da u= -10 < 3 ist u= 10 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 3x -4 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 ∫ 0 2 4 ( 3x -4 ) 2 ⅆ x

= 1 2 [ 4 9 ( 3x -4 ) 3 ] 0 2

= 1 2 ( 4 9 ⋅ ( 3⋅2 -4 ) 3 - 4 9 ⋅ ( 3⋅0 -4 ) 3 )

= 1 2 ( 4 9 ⋅ ( 6 -4 ) 3 - 4 9 ⋅ ( 0 -4 ) 3 )

= 1 2 ( 4 9 ⋅ 2 3 - 4 9 ⋅ ( -4 ) 3 )

= 1 2 ( 4 9 ⋅8 - 4 9 ⋅( -64 ) )

= 1 2 ( 32 9 + 256 9 )

= 1 2 · 32

= 16

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -x +1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u - 1 ( -x +1 ) 3 ⅆ x
= ∫ 2 u - ( -x +1 ) -3 ⅆ x

= [ - 1 2 ( -x +1 ) -2 ] 2 u

= [ - 1 2 ( -x +1 ) 2 ] 2 u

= - 1 2 ( -u +1 ) 2 + 1 2 ( -2 +1 ) 2

= - 1 2 ( -u +1 ) 2 + 1 2 ( -1 ) 2

= - 1 2 ( -u +1 ) 2 + 1 2 ⋅1

= - 1 2 ( -u +1 ) 2 + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ( -u +1 ) 2 + 1 2 → 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5