Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 5 - 3} - 3 e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $3 e^{10 - 3} - 3 e^{4 - 3}$

= $3 e^{7} - 3 e^{1}$

= $3 e^{7} - 3 e$

≈ 3281,745

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 18 + $3 e^{7} - 3 e$ ≈ 3299.74

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 2} - e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $e^{6 - 2} - e^{4 - 2}$

= $e^{4} - e^{2}$

≈ 47,209

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 23 + $e^{4} - e^{2}$ ≈ 70.21

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x

= ${[9 e^{0,2 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,2 u - 0,5} - 9 e^{0,2 \cdot 0 - 0,5}$

= $9 e^{0,2 u - 0,5} - 9 e^{0 - 0,5}$

= $9 e^{0,2 u - 0,5} - 9 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,2 u - 0,5} - 9 e^{- 0,5}$	=	$6$	\| $+ 9 e^{- 0,5}$
$9 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$9 e^{- 0,5} + 6$
$9 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$11,4588$	\|: $9$
$e^{0,2 u - 0,5}$	=	$1,2732$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,5$	=	$\ln (1,2732)$

$0,2 u - 0,5$	=	$0,2415$	\| $+ 0,5$
$0,2 u$	=	$0,7415$	\|: $0,2$
$u$	=	$3,7075$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 e^{2 x - 2}$ zwischen 2 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} e^{2 \cdot 5 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 2})$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} e^{10 - 2} - \frac{3}{2} e^{4 - 2})$

= $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} e^{8} - \frac{3}{2} e^{2})$

≈ 1486,784

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{3 x - 5}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{14}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{14}{3}}^{u} \frac{3}{\sqrt{3 x - 5}} ⅆ x

=

\int_{\frac{14}{3}}^{u} 3 {(3 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{14}{3}}^{u}$

= ${[2 \sqrt{3 x - 5}]}_{\frac{14}{3}}^{u}$

$=$ $2 \sqrt{3 u - 5} - 2 \sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5}$

= $2 \sqrt{3 u - 5} - 2 \sqrt{14 - 5}$

= $2 \sqrt{3 u - 5} - 2 \sqrt{9}$

= $2 \sqrt{3 u - 5} - 2 \cdot 3$

= $2 \sqrt{3 u - 5} - 6$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \sqrt{3 u - 5} - 6$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale