Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
=
=
=
≈ 40,166
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3
zusammen:
B = 2 +
≈ 42.17
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 216979,608
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 73 +
≈ 217052.61
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
6
2
=
3
u2 =
-4
-
100
2
=
-4
-10
2
=
-14
2
=
-7
Da u=
-7
< 2 ist u=
3
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 19 und Minute 28 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
28
-19
∫
19
28
4
x
-3
ⅆ
x
=
1
9
∫
19
28
4
(
x
-3
)
1
2
ⅆ
x
=
1
9
[
8
3
(
x
-3
)
3
2
]
19
28
=
1
9
[
8
3
(
x
-3
)
3
]
19
28
=
1
9
(
8
3
(
28
-3
)
3
-
8
3
(
19
-3
)
3
)
=
1
9
(
8
3
(
25
)
3
-
8
3
(
16
)
3
)
=
1
9
(
8
3
⋅
5
3
-
8
3
⋅
4
3
)
=
1
9
(
8
3
⋅125
-
8
3
⋅64
)
=
1
9
(
1000
3
-
512
3
)
=
1
9
·
488
3
=
488
27
≈ 18,074
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
3
(
-x
+3
)
2
ⅆ
x
=
∫
4
u
-3
(
-x
+3
)
-2
ⅆ
x
=
[
-3
(
-x
+3
)
-1
]
4
u
=
[
-
3
-x
+3
]
4
u
=
-
3
-u
+3
+
3
-4
+3
=
-
3
-u
+3
+
3
( -1 )
=
-
3
-u
+3
+3⋅( -1 )
=
-
3
-u
+3
-3
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
-u
+3
-3
→
0
-3
=
-3
≈ -3
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3