Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(2 x - 4)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{6}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 6 {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 3 {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{3}{2 x - 4}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{3}{2 \cdot 7 - 4} + \frac{3}{2 \cdot 4 - 4}$

= $- \frac{3}{14 - 4} + \frac{3}{8 - 4}$

= $- \frac{3}{10} + \frac{3}{4}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{10}) + 3 \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{10} + \frac{3}{4}$

= $- \frac{6}{20} + \frac{15}{20}$

= $\frac{9}{20}$

= 0,45

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 3 + $\frac{9}{20}$ = $\frac{69}{20}$ ≈ 3.45

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 5 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 4} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 4} - \frac{5}{3} e^{3 - 4}$

= $\frac{5}{3} e^{8} - \frac{5}{3} e^{- 1}$

≈ 4967,65

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 3 + $\frac{5}{3} e^{8} - \frac{5}{3} e^{- 1}$ ≈ 4970.65

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (4 x + 1) ⅆ x$ = $150$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (4 x + 1) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + x]}_{3}^{u}$

$=$ $2 u^{2} + u - (2 \cdot 3^{2} + 3)$

= $2 u^{2} + u - (2 \cdot 9 + 3)$

= $2 u^{2} + u - (18 + 3)$

= $2 u^{2} + u - 1 \cdot 21$

= $2 u^{2} + u - 21$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $150$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} + u - 21

=

150

|

- 150

$2 u^{2} + u - 171$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 171)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 1 368}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 369}}{4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{1 369}}{4}$ = $\frac{- 1+37}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{1 369}}{4}$ = $\frac{- 1-37}{4}$ = $\frac{- 38}{4}$ = $- 9,5$

Da u= $- 9,5$ < 3 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 4 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[4 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin (0 - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (4 \cdot \sin (π) - 4 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (4 \cdot 0 - 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (0 + 4)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 4$

= $\frac{8}{3 π}$

≈ 0,849

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{3 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{20}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{20}{3}}^{u} - \frac{3}{\sqrt{3 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{\frac{20}{3}}^{u} - 3 {(3 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{20}{3}}^{u}$

= ${[- 2 \sqrt{3 x - 4}]}_{\frac{20}{3}}^{u}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 2 \sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 2 \sqrt{20 - 4}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 2 \sqrt{16}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 2 \cdot 4$

= $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 8$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 8$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale