Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 49 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{1} - \frac{1}{3} e^{- 2}$

= $\frac{1}{3} e - \frac{1}{3} e^{- 2}$

≈ 0,861

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 49 + $- \frac{1}{3} e^{- 2} + \frac{1}{3} e$ ≈ 49.86

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 54 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2}$

≈ 603,643

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 54 + $\frac{3}{2} e^{6} - \frac{3}{2}$ ≈ 657.64

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} 4 x ⅆ x$ = $82,5$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} 4 x ⅆ x

= ${[2 x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 2 \cdot 1^{2}$

= $2 u^{2} - 2 \cdot 1$

= $2 u^{2} - 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $82,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 u^{2} - 2$	=	$82,5$	\| $+ 2$
$2 u^{2}$	=	$84,5$	\|: $2$
$u^{2}$	=	$42,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{42,25}$	= $- 6,5$
u₂	=	$\sqrt{42,25}$	= $6,5$

Da u= $- 6,5$ < 1 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ zwischen 5 und 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 5}

\int_{5}^{6} \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

1

\int_{5}^{6} 3 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $1$ ${[- 3 {(x - 3)}^{- 1}]}_{5}^{6}$

= $1$ ${[- \frac{3}{x - 3}]}_{5}^{6}$

$=$ $- \frac{3}{6 - 3} + \frac{3}{5 - 3}$

= $- \frac{3}{3} + \frac{3}{2}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{3}) + 3 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- 1 + \frac{3}{2}$

= $- 1 + 1,5$

= $0,5$

= 0,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 3 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $3 e^{- u + 2} - 3 e^{- 2 + 2}$

= $3 e^{- u + 2} - 3 e^{0}$

= $3 e^{- u + 2} - 3$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 e^{- u + 2} - 3$ → $0 - 3$ = $- 3$ ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale