Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 5)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{3}{{(3 x - 5)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 3 {(3 x - 5)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{- 3}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 5)}^{3}}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 \cdot 5 - 5)}^{3}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 2 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 {(15 - 5)}^{3}} + \frac{1}{3 {(6 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 10^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{1000}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{3000} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{3000} + \frac{1000}{3000}$

= $\frac{333}{1000}$

= 0,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 4 + $\frac{333}{1000}$ = $\frac{4333}{1000}$ ≈ 4.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{6}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 6 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{2}{3 x - 3}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot 4 - 3} + \frac{2}{3 \cdot 3 - 3}$

= $- \frac{2}{12 - 3} + \frac{2}{9 - 3}$

= $- \frac{2}{9} + \frac{2}{6}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{9}) + 2 \cdot (\frac{1}{6})$

= $- \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{9} + \frac{3}{9}$

= $\frac{1}{9}$

≈ 0,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 5 + $\frac{1}{9}$ = $\frac{46}{9}$ ≈ 5.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 10 x - 2) ⅆ x$ = $- 354,25$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 10 x - 2) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 2 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 2 u - (- 5 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2)$

= $- 5 u^{2} - 2 u - (- 5 \cdot 4 - 4)$

= $- 5 u^{2} - 2 u - (- 20 - 4)$

= $- 5 u^{2} - 2 u - 1 \cdot (- 24)$

= $- 5 u^{2} - 2 u + 24$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 354,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 2 u + 24

=

- 354,25

|

+ 354,25

$- 5 u^{2} - 2 u + 378,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 378,25}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 7 565}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{7 569}}{- 10}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{7 569}}{- 10}$ = $\frac{2+87}{- 10}$ = $\frac{89}{- 10}$ = $- 8,9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{7 569}}{- 10}$ = $\frac{2-87}{- 10}$ = $\frac{- 85}{- 10}$ = $8,5$

Da u= $- 8,9$ < 2 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 2}$ zwischen $3$ und $\frac{11}{2}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{11}{2} - 3}

\int_{3}^{\frac{11}{2}} 3 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\frac{2}{5}

\int_{3}^{\frac{11}{2}} 3 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{5}$ ${[{(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{\frac{11}{2}}$

= $\frac{2}{5}$ ${[{(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{3}^{\frac{11}{2}}$

$=$ $\frac{2}{5} ({(\sqrt{2 \cdot (\frac{11}{2}) - 2})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 3 - 2})}^{3})$

= $\frac{2}{5} ({(\sqrt{11 - 2})}^{3} - {(\sqrt{6 - 2})}^{3})$

= $\frac{2}{5} ({(\sqrt{9})}^{3} - {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{2}{5} (3^{3} - 2^{3})$

= $\frac{2}{5} (27 - 8)$

= $\frac{2}{5} \cdot 19$

= 7,6

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- x + 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{3}{{(- x + 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 3 {(- x + 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(- x + 1)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{3}{2 {(- x + 1)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} + \frac{3}{2 {(- 2 + 1)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} + \frac{3}{2 {(- 1)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} + \frac{3}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2 {(- u + 1)}^{2}} + \frac{3}{2}$ → $0 + \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale