Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 4)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{1}{{(2 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} {(2 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(2 x - 4)}^{- 2}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{1}{4 {(2 x - 4)}^{2}}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{4 {(2 \cdot 6 - 4)}^{2}} + \frac{1}{4 {(2 \cdot 4 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(12 - 4)}^{2}} + \frac{1}{4 {(8 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 \cdot 8^{2}} + \frac{1}{4 \cdot 4^{2}}$

= $- \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{16})$

= $- \frac{1}{256} + \frac{1}{64}$

= $- \frac{1}{256} + \frac{4}{256}$

= $\frac{3}{256}$

≈ 0,012

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 15 + $\frac{3}{256}$ = $\frac{3843}{256}$ ≈ 15.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{21}{2}$ s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $15$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{21}{2}

und

15

:

\int_{\frac{21}{2}}^{15} \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{21}{2}}^{15} {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 64$

= $\frac{125}{3} - \frac{64}{3}$

= $\frac{61}{3}$

≈ 20,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{21}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{21}{2}

und

15

zusammen:

B = 10 + $\frac{61}{3}$ = $\frac{91}{3}$ ≈ 30.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 8 x - 2) ⅆ x$ = $- 24$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 8 x - 2) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} - 2 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} - 2 u - (- 4 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1)$

= $- 4 u^{2} - 2 u - (- 4 \cdot 1 - 2)$

= $- 4 u^{2} - 2 u - (- 4 - 2)$

= $- 4 u^{2} - 2 u - 1 \cdot (- 6)$

= $- 4 u^{2} - 2 u + 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 24$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} - 2 u + 6

=

- 24

|

+ 24

- 4 u^{2} - 2 u + 30

= 0 |:2

$- 2 u^{2} - u + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 15}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{1+11}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{1-11}{- 4}$ = $\frac{- 10}{- 4}$ = $2,5$

Da u= $- 3$ < 1 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{3 x - 6}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 4}

\int_{4}^{5} \frac{2}{3 x - 6} ⅆ x

=

1

\int_{4}^{5} 2 {(3 x - 6)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 6 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 5 - 6 |) - \frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 6 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| 15 - 6 |) - \frac{2}{3} \ln (| 12 - 6 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (9) - \frac{2}{3} \ln (| 12 - 6 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (9) - \frac{2}{3} \ln (6)$

≈ 0,27

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $6,5$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{6,5} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{6,5} - 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{6,5}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{6,5}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 6,5 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{13 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{9} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \cdot 3 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 6 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 4} - 6$ → $0 - 6$ = $- 6$ ≈ -6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale