Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{3}$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 2 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 2 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 64$

= $\frac{500}{9} - \frac{256}{9}$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 3 + $\frac{244}{9}$ = $\frac{271}{9}$ ≈ 30.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{5}{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 5 {(2 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} \ln (| 2 x - 4 |)]}_{4}^{7}$

$=$ $\frac{5}{2} \ln (| 2 \cdot 7 - 4 |) - \frac{5}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 4 |)$

= $\frac{5}{2} \ln (| 14 - 4 |) - \frac{5}{2} \ln (| 8 - 4 |)$

= $\frac{5}{2} \ln (10) - \frac{5}{2} \ln (| 8 - 4 |)$

= $\frac{5}{2} \ln (10) - \frac{5}{2} \ln (4)$

≈ 2,291

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 10 + $\frac{5}{2} \ln (| 10 |) - \frac{5}{2} \ln (| 4 |)$ ≈ 12.29

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,4 e^{0,3 x - 0,3} ⅆ x$ = $15$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,4 e^{0,3 x - 0,3} ⅆ x

= ${[8 e^{0,3 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,3 u - 0,3} - 8 e^{0,3 \cdot 0 - 0,3}$

= $8 e^{0,3 u - 0,3} - 8 e^{0 - 0,3}$

= $8 e^{0,3 u - 0,3} - 8 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,3 u - 0,3} - 8 e^{- 0,3}$	=	$15$	\| $+ 8 e^{- 0,3}$
$8 e^{0,3 u - 0,3}$	=	$8 e^{- 0,3} + 15$
$8 e^{0,3 u - 0,3}$	=	$20,9265$	\|: $8$
$e^{0,3 u - 0,3}$	=	$2,6158$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,3$	=	$\ln (2,6158)$

$0,3 u - 0,3$	=	$0,9616$	\| $+ 0,3$
$0,3 u$	=	$1,2616$	\|: $0,3$
$u$	=	$4,2053$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(2 x - 5)}^{3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 2 {(2 x - 5)}^{3} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{4} {(2 x - 5)}^{4}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(2 \cdot 1 - 5)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(2 \cdot 0 - 5)}^{4}$

= $\frac{1}{4} \cdot {(2 - 5)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(0 - 5)}^{4}$

= $\frac{1}{4} \cdot {(- 3)}^{4} - \frac{1}{4} \cdot {(- 5)}^{4}$

= $\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 625$

= $\frac{81}{4} - \frac{625}{4}$

= $- 136$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} - \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - 3 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[3 {(x - 1)}^{- 1}]}_{u}^{4}$

= ${[\frac{3}{x - 1}]}_{u}^{4}$

$=$ $\frac{3}{4 - 1} - \frac{3}{u - 1}$

= $\frac{3}{3} - \frac{3}{u - 1}$

= $3 \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{3}{u - 1}$

= $1 - \frac{3}{u - 1}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{3}{u - 1} + 1$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale