Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 24,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 13 + = ≈ 37.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 203,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 4 + = ≈ 207.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
16
|
=
-4
|
| u2 |
= |
16
|
=
4
|
Da u=
-4
< 0 ist u=
4
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2⋅ sin( 3x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π+0
∫
0
π
2⋅
sin(
3x
+
1
2
π)
ⅆ
x
=
1
π
[
-
2
3
⋅
cos(
3x
+
1
2
π)
]
0
π
=
1
π
·
(
-
2
3
⋅
cos(
3⋅π
+
1
2
π)
+
2
3
⋅
cos(
3⋅( 0 )
+
1
2
π)
)
=
1
π
·
(
-
2
3
⋅
cos(
7
2
π)
+
2
3
⋅
cos(
1
2
π)
)
=
1
π
·
(
-
2
3
⋅0
+
2
3
⋅0
)
=
1
π
·
(
0+0
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( x ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
4
3
(
x
)
2
ⅆ
x
=
∫
u
4
3
x
2
ⅆ
x
=
∫
u
4
3
x
-2
ⅆ
x
=
[
-3
x
-1
]
u
4
=
[
-
3
x
]
u
4
=
-
3
4
+
3
u
=
-3⋅(
1
4
)
+
3
u
=
-
3
4
+
3
u
Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) =
-
3
4
+
3
u
→
∞