Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 29,576
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 27 +
≈ 56.58
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 43,556
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 9 + = ≈ 52.56
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
64
|
=
-8
|
| u2 |
= |
64
|
=
8
|
Da u=
-8
< 2 ist u=
8
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 ( 2x -5 ) 2 zwischen 3 und 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-3
∫
3
4
3
(
2x
-5
)
2
ⅆ
x
=
1
∫
3
4
3
(
2x
-5
)
-2
ⅆ
x
=
1
[
-
3
2
(
2x
-5
)
-1
]
3
4
=
1
[
-
3
2(
2x
-5
)
]
3
4
=
-
3
2(
2⋅4
-5
)
+
3
2(
2⋅3
-5
)
=
-
3
2(
8
-5
)
+
3
2(
6
-5
)
=
-
3
2⋅
3
+
3
2
=
-
3
2
⋅(
1
3
)
+
3
2
⋅1
=
-
1
2
+
3
2
=
-0,5
+1,5
=
1
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -3x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
-
3
-3x
+5
ⅆ
x
=
∫
2
u
-3
(
-3x
+5
)
-1
ⅆ
x
=
[
ln(
|
-3x
+5
|
)
]
2
u
=
ln(
|
-3(
u
)
+5
|
)
-
ln(
|
-3⋅2
+5
|
)
=
ln(
|
-3u
+5
|
)
-
ln(
|
-6
+5
|
)
=
ln(
|
-3u
+5
|
)
-
ln(
1
)
=
ln(
|
-3u
+5
|
)
+0
=
ln(
|
-3x
+5
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
ln(
|
-3x
+5
|
)
→
∞