Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,857
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 8 + = ≈ 8.86
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 15 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
20
-2
=
-10
u2 =
5
-
225
-2
=
5
-15
-2
=
-10
-2
=
5
Da u=
-10
< 1 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 ( 3x -4 ) 2 zwischen 2 und 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
-2
∫
2
3
6
(
3x
-4
)
2
ⅆ
x
=
1
[
2
3
(
3x
-4
)
3
]
2
3
=
2
3
⋅
(
3⋅3
-4
)
3
-
2
3
⋅
(
3⋅2
-4
)
3
=
2
3
⋅
(
9
-4
)
3
-
2
3
⋅
(
6
-4
)
3
=
2
3
⋅
5
3
-
2
3
⋅
2
3
=
2
3
⋅125
-
2
3
⋅8
=
250
3
-
16
3
=
78
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
5
u
-
3
(
-x
+3
)
2
ⅆ
x
=
∫
5
u
-3
(
-x
+3
)
-2
ⅆ
x
=
[
-3
(
-x
+3
)
-1
]
5
u
=
[
-
3
-x
+3
]
5
u
=
-
3
-u
+3
+
3
-5
+3
=
-
3
-u
+3
+
3
( -2 )
=
-
3
-u
+3
+3⋅(
-
1
2
)
=
-
3
-u
+3
-
3
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
-u
+3
-
3
2
→
0
-
3
2
=
-
3
2
≈ -1.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5