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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 59 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
∫ 2 3 3 e x -3 ⅆ x

= [ 3 e x -3 ] 2 3

= 3 e 3 -3 -3 e 2 -3

= 3 e 0 -3 e -1

= 3 -3 e -1


≈ 1,896
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 59 + -3 e -1 +3 ≈ 60.9

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
∫ 19 28 2 x -3 ⅆ x
= ∫ 19 28 2 ( x -3 ) 1 2 ⅆ x

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 4 3 ( 28 -3 ) 3 - 4 3 ( 19 -3 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 ⋅ 5 3 - 4 3 ⋅ 4 3

= 4 3 ⋅125 - 4 3 ⋅64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 6 + 244 3 = 262 3 ≈ 87.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 2 e -0,4x +0,4 ⅆ x = 1

Lösung einblenden
∫ 0 u 2 e -0,4x +0,4 ⅆ x

= [ -5 e -0,4x +0,4 ] 0 u

= -5 e -0,4u +0,4 +5 e -0,4⋅0 +0,4

= -5 e -0,4u +0,4 +5 e 0 +0,4

= -5 e -0,4u +0,4 +5 e 0,4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 e -0,4u +0,4 +5 e 0,4 = 1 | -5 e 0,4
-5 e -0,4u +0,4 = -5 e 0,4 +1
-5 e -0,4u +0,4 = -6,4591 |:-5
e -0,4u +0,4 = 1,2918 |ln(⋅)
-0,4u +0,4 = ln( 1,2918 )
-0,4u +0,4 = 0,256 | -0,4
-0,4u = -0,144 |:(-0,4 )
u = 0,36

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 3x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 ∫ 3 5 3 3x -5 ⅆ x
= 1 2 ∫ 3 5 3 ( 3x -5 ) -1 ⅆ x

= 1 2 [ ln( | 3x -5 | ) ] 3 5

= 1 2 ( ln( | 3⋅5 -5 | ) - ln( | 3⋅3 -5 | ) )

= 1 2 ( ln( | 15 -5 | ) - ln( | 9 -5 | ) )

= 1 2 ( ln( 10 ) - ln( | 9 -5 | ) )

= 1 2 ( ln( 10 ) - ln( 4 ) )


≈ 0,458

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -x +1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u 3 ( -x +1 ) 3 ⅆ x
= ∫ 2 u 3 ( -x +1 ) -3 ⅆ x

= [ 3 2 ( -x +1 ) -2 ] 2 u

= [ 3 2 ( -x +1 ) 2 ] 2 u

= 3 2 ( -u +1 ) 2 - 3 2 ( -2 +1 ) 2

= 3 2 ( -u +1 ) 2 - 3 2 ( -1 ) 2

= 3 2 ( -u +1 ) 2 - 3 2 ⋅1

= 3 2 ( -u +1 ) 2 - 3 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2 ( -u +1 ) 2 - 3 2 → 0 - 3 2 = - 3 2 ≈ -1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5