Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 3 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 3 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{3}{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{3}{4 - 1} + \frac{3}{2 - 1}$

= $- \frac{3}{3} + \frac{3}{1}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{3}) + 3 \cdot 1$

= $- 1 + 3$

= $2$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 3 + $2$ = $5$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 51 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{2 \cdot 1 - 5} - e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $e^{2 - 5} - e^{0 - 5}$

= $e^{- 3} - e^{- 5}$

≈ 0,043

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 51 + $e^{- 3} - e^{- 5}$ ≈ 51.04

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,7 x - 0,4} ⅆ x$ = $15$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,7 x - 0,4} ⅆ x

= ${[3 e^{0,7 x - 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,7 u - 0,4} - 3 e^{0,7 \cdot 0 - 0,4}$

= $3 e^{0,7 u - 0,4} - 3 e^{0 - 0,4}$

= $3 e^{0,7 u - 0,4} - 3 e^{- 0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,7 u - 0,4} - 3 e^{- 0,4}$	=	$15$	\| $+ 3 e^{- 0,4}$
$3 e^{0,7 u - 0,4}$	=	$3 e^{- 0,4} + 15$
$3 e^{0,7 u - 0,4}$	=	$17,011$	\|: $3$
$e^{0,7 u - 0,4}$	=	$5,6703$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,4$	=	$\ln (5,6703)$

$0,7 u - 0,4$	=	$1,7352$	\| $+ 0,4$
$0,7 u$	=	$2,1352$	\|: $0,7$
$u$	=	$3,0503$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot π + \frac{1}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (2 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot (- 1) - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{2}{3} + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{2}{3})$

= $- \frac{4}{3 π}$

≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{x - 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- e^{x - 1}]}_{1}^{u}$

$=$ $- e^{u - 1} + e^{1 - 1}$

= $- e^{u - 1} + e^{0}$

= $- e^{u - 1} + 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{u - 1} + 1$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale