Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 2} - 2 e^{0 - 2}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 2}$

= $2 e - 2 e^{- 2}$

≈ 5,166

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 25 + $- 2 e^{- 2} + 2 e$ ≈ 30.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{6}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 6 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| 3 x - 3 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $2 \ln (| 3 \cdot 4 - 3 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 2 - 3 |)$

= $2 \ln (| 12 - 3 |) - 2 \ln (| 6 - 3 |)$

= $2 \ln (9) - 2 \ln (| 6 - 3 |)$

= $2 \ln (9) - 2 \ln (3)$

≈ 2,197

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 18 + $2 \ln (| 9 |) - 2 \ln (| 3 |)$ ≈ 20.2

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,6 e^{- 0,2 x + 0,7} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,6 e^{- 0,2 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,2 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,2 u + 0,7} + 8 e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 8 e^{- 0,2 u + 0,7} + 8 e^{0 + 0,7}$

= $- 8 e^{- 0,2 u + 0,7} + 8 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,2 u + 0,7} + 8 e^{0,7}$	=	$7$	\| $- 8 e^{0,7}$
$- 8 e^{- 0,2 u + 0,7}$	=	$- 8 e^{0,7} + 7$
$- 8 e^{- 0,2 u + 0,7}$	=	$- 9,11$	\|: $- 8$
$e^{- 0,2 u + 0,7}$	=	$1,1388$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,7$	=	$\ln (1,1388)$

$- 0,2 u + 0,7$	=	$0,13$	\| $- 0,7$
$- 0,2 u$	=	$- 0,57$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$2,85$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \cos (x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 4 \cdot \cos (x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[4 \cdot \sin (x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (4 \cdot \sin (π - π) - 4 \cdot \sin (0 - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (4 \cdot \sin (0) - 4 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (4 \cdot 0 - 4 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(- 2 x + 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{{(- 2 x + 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(- 2 x + 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(- 2 x + 5)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(- 2 x + 5)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 2 \cdot 4 + 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 8 + 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{18}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(- 2 u + 5)}^{2}} + \frac{1}{18}$ → $0 + \frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ ≈ 0.056

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale