Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 63 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 5 e x -3 x

= [ 5 e x -3 ] 0 3

= 5 e 3 -3 -5 e 0 -3

= 5 e 0 -5 e -3

= 5 -5 e -3


≈ 4,751
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 63 + -5 e -3 +5 ≈ 67.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 5 e x -1 x

= [ 5 e x -1 ] 0 1

= 5 e 1 -1 -5 e 0 -1

= 5 e 0 -5 e -1

= 5 -5 e -1


≈ 3,161
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 11 + -5 e -1 +5 ≈ 14.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 8x +1 ) x = 87,5

Lösung einblenden
3 u ( 8x +1 ) x

= [ 4 x 2 + x ] 3 u

= 4 u 2 + u - ( 4 3 2 +3 )

= 4 u 2 + u - ( 49 +3 )

= 4 u 2 + u - ( 36 +3 )

= 4 u 2 + u -1 · 39

= 4 u 2 + u -39

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 87,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 + u -39 = 87,5 | -87,5

4 u 2 + u -126,5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 4 · ( -126,5 ) 24

u1,2 = -1 ± 1 +2024 8

u1,2 = -1 ± 2025 8

u1 = -1 + 2025 8 = -1 +45 8 = 44 8 = 5,5

u2 = -1 - 2025 8 = -1 -45 8 = -46 8 = -5,75

Da u= -5,75 < 3 ist u= 5,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 19 2 und Minute 14 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 14 - 19 2 19 2 14 2x -3 x
= 2 9 19 2 14 ( 2x -3 ) 1 2 x

= 2 9 [ 1 3 ( 2x -3 ) 3 2 ] 19 2 14

= 2 9 [ 1 3 ( 2x -3 ) 3 ] 19 2 14

= 2 9 ( 1 3 ( 214 -3 ) 3 - 1 3 ( 2( 19 2 ) -3 ) 3 )

= 2 9 ( 1 3 ( 28 -3 ) 3 - 1 3 ( 19 -3 ) 3 )

= 2 9 ( 1 3 ( 25 ) 3 - 1 3 ( 16 ) 3 )

= 2 9 ( 1 3 5 3 - 1 3 4 3 )

= 2 9 ( 1 3 125 - 1 3 64 )

= 2 9 ( 125 3 - 64 3 )

= 2 9 · 61 3

= 122 27


≈ 4,519

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 19 2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 19 2 u 1 2x -3 x
= 19 2 u ( 2x -3 ) - 1 2 x

= [ ( 2x -3 ) 1 2 ] 19 2 u

= [ 2x -3 ] 19 2 u

= 2u -3 - 2( 19 2 ) -3

= 2u -3 - 19 -3

= 2u -3 - 16

= 2u -3 - 4

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2u -3 -4