Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 5 e x -2 x

= [ 5 e x -2 ] 1 4

= 5 e 4 -2 -5 e 1 -2

= 5 e 2 -5 e -1


≈ 35,106
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 13 + 5 e 2 -5 e -1 ≈ 48.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5 s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 17 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 17:
5 17 4 x -1 x
= 5 17 4 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 8 3 ( x -1 ) 3 2 ] 5 17

= [ 8 3 ( x -1 ) 3 ] 5 17

= 8 3 ( 17 -1 ) 3 - 8 3 ( 5 -1 ) 3

= 8 3 ( 16 ) 3 - 8 3 ( 4 ) 3

= 8 3 4 3 - 8 3 2 3

= 8 3 64 - 8 3 8

= 512 3 - 64 3

= 448 3


≈ 149,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 17 zusammen:
B = 16 + 448 3 = 496 3 ≈ 165.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,7 e -0,3x +0,5 x = 9

Lösung einblenden
0 u 2,7 e -0,3x +0,5 x

= [ -9 e -0,3x +0,5 ] 0 u

= -9 e -0,3u +0,5 +9 e -0,30 +0,5

= -9 e -0,3u +0,5 +9 e 0 +0,5

= -9 e -0,3u +0,5 +9 e 0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 9 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-9 e -0,3u +0,5 +9 e 0,5 = 9 | -9 e 0,5
-9 e -0,3u +0,5 = -9 e 0,5 +9
-9 e -0,3u +0,5 = -5,8385 |:-9
e -0,3u +0,5 = 0,6487 |ln(⋅)
-0,3u +0,5 = ln( 0,6487 )
-0,3u +0,5 = -0,4328 | -0,5
-0,3u = -0,9328 |:(-0,3 )
u = 3,1093

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= sin( 3x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π sin( 3x - 3 2 π) x

= 1 π [ - 1 3 cos( 3x - 3 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - 1 3 cos( 3( 3 2 π ) - 3 2 π) + 1 3 cos( 3( 1 2 π ) - 3 2 π) )

= 1 π · ( - 1 3 cos(3π) + 1 3 cos(0) )

= 1 π · ( - 1 3 ( -1 ) + 1 3 1 )

= 1 π · ( 1 3 + 1 3 )

= 1 π · 2 3

= 2 3 π


≈ 0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 3x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 7 3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 7 3 u 1 3x -3 x
= 7 3 u ( 3x -3 ) - 1 2 x

= [ 2 3 ( 3x -3 ) 1 2 ] 7 3 u

= [ 2 3 3x -3 ] 7 3 u

= 2 3 3u -3 - 2 3 3( 7 3 ) -3

= 2 3 3u -3 - 2 3 7 -3

= 2 3 3u -3 - 2 3 4

= 2 3 3u -3 - 2 3 2

= 2 3 3u -3 - 4 3

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3 3u -3 - 4 3