Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 63 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 4 e 3x -4 x

= [ 4 3 e 3x -4 ] 2 4

= 4 3 e 34 -4 - 4 3 e 32 -4

= 4 3 e 12 -4 - 4 3 e 6 -4

= 4 3 e 8 - 4 3 e 2


≈ 3964,759
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 63 + 4 3 e 8 - 4 3 e 2 ≈ 4027.76

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 3x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4 s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 28 3 :
4 28 3 3 3x -3 x
= 4 28 3 3 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( 3x -3 ) 3 2 ] 4 28 3

= [ 2 3 ( 3x -3 ) 3 ] 4 28 3

= 2 3 ( 3( 28 3 ) -3 ) 3 - 2 3 ( 34 -3 ) 3

= 2 3 ( 28 -3 ) 3 - 2 3 ( 12 -3 ) 3

= 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 9 ) 3

= 2 3 5 3 - 2 3 3 3

= 2 3 125 - 2 3 27

= 250 3 -18

= 250 3 - 54 3

= 196 3


≈ 65,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 28 3 zusammen:
B = 4 + 196 3 = 208 3 ≈ 69.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( -2x +2 ) x = -32

Lösung einblenden
3 u ( -2x +2 ) x

= [ - x 2 +2x ] 3 u

= - u 2 +2u - ( - 3 2 +23 )

= - u 2 +2u - ( -9 +6 )

= - u 2 +2u +9 -6

= - u 2 +2u +3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -32 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u 2 +2u +3 = -32 | +32

- u 2 +2u +35 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · ( -1 ) · 35 2( -1 )

u1,2 = -2 ± 4 +140 -2

u1,2 = -2 ± 144 -2

u1 = -2 + 144 -2 = -2 +12 -2 = 10 -2 = -5

u2 = -2 - 144 -2 = -2 -12 -2 = -14 -2 = 7

Da u= -5 < 3 ist u= 7 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 sin( 2x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 0 π 3 sin( 2x - 3 2 π) x

= 1 π [ - 3 2 cos( 2x - 3 2 π) ] 0 π

= 1 π · ( - 3 2 cos( 2π - 3 2 π) + 3 2 cos( 2( 0 ) - 3 2 π) )

= 1 π · ( - 3 2 cos( 1 2 π) + 3 2 cos( - 3 2 π) )

= 1 π · ( - 3 2 0 + 3 2 0 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 e -2x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 3 e -2x +1 x

= [ - 3 2 e -2x +1 ] 2 u

= - 3 2 e -2u +1 + 3 2 e -22 +1

= - 3 2 e -2u +1 + 3 2 e -4 +1

= - 3 2 e -2u +1 + 3 2 e -3

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 2 e -2u +1 + 3 2 e -3 0 + 3 2 e -3 = 3 2 e -3 ≈ 0.075

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.075