Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 2x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 19 2 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 14 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 2 und 14:
19 2 14 6 2x -3 x
= 19 2 14 6 ( 2x -3 ) 1 2 x

= [ 2 ( 2x -3 ) 3 2 ] 19 2 14

= [ 2 ( 2x -3 ) 3 ] 19 2 14

= 2 ( 214 -3 ) 3 -2 ( 2( 19 2 ) -3 ) 3

= 2 ( 28 -3 ) 3 -2 ( 19 -3 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 5 3 -2 4 3

= 2125 -264

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 2 und der Änderung zwischen 19 2 und 14 zusammen:
B = 17 + 122 = 139

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 17 s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 26 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 17 und 26:
17 26 5 x -1 x
= 17 26 5 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 10 3 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= [ 10 3 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 10 3 ( 26 -1 ) 3 - 10 3 ( 17 -1 ) 3

= 10 3 ( 25 ) 3 - 10 3 ( 16 ) 3

= 10 3 5 3 - 10 3 4 3

= 10 3 125 - 10 3 64

= 1250 3 - 640 3

= 610 3


≈ 203,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 17 und der Änderung zwischen 17 und 26 zusammen:
B = 9 + 610 3 = 637 3 ≈ 212.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,4 e -0,1x +0,2 x = 1

Lösung einblenden
0 u 0,4 e -0,1x +0,2 x

= [ -4 e -0,1x +0,2 ] 0 u

= -4 e -0,1u +0,2 +4 e -0,10 +0,2

= -4 e -0,1u +0,2 +4 e 0 +0,2

= -4 e -0,1u +0,2 +4 e 0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 e -0,1u +0,2 +4 e 0,2 = 1 | -4 e 0,2
-4 e -0,1u +0,2 = -4 e 0,2 +1
-4 e -0,1u +0,2 = -3,8856 |:-4
e -0,1u +0,2 = 0,9714 |ln(⋅)
-0,1u +0,2 = ln( 0,9714 )
-0,1u +0,2 = -0,029 | -0,2
-0,1u = -0,229 |:(-0,1 )
u = 2,29

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 ( 3x -7 ) 3 zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -1 1 3 5 ( 3x -7 ) 3 x

= 1 2 [ 5 12 ( 3x -7 ) 4 ] 1 3

= 1 2 ( 5 12 ( 33 -7 ) 4 - 5 12 ( 31 -7 ) 4 )

= 1 2 ( 5 12 ( 9 -7 ) 4 - 5 12 ( 3 -7 ) 4 )

= 1 2 ( 5 12 2 4 - 5 12 ( -4 ) 4 )

= 1 2 ( 5 12 16 - 5 12 256 )

= 1 2 ( 20 3 - 320 3 )

= 1 2 · ( -100 )

= -50

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 3 2x -4 x
= 4 u 3 ( 2x -4 ) -1 x

= [ 3 2 ln( | 2x -4 | ) ] 4 u

= 3 2 ln( | 2( u ) -4 | ) - 3 2 ln( | 24 -4 | )

= 3 2 ln( | 2u -4 | ) - 3 2 ln( | 8 -4 | )

= 3 2 ln( | 2u -4 | ) - 3 2 ln( 4 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 2 ln( 4 ) + 3 2 ln( | 2x -4 | )