Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 55 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
=
≈ 38,171
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 55 +
≈ 93.17
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 1486,784
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 16 +
≈ 1502.78
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
54
-8
=
-6,75
u2 =
-3
-
3249
-8
=
-3
-57
-8
=
-60
-8
=
7,5
Da u=
-6,75
< 1 ist u=
7,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 17 2 und Minute 13 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
13
-
17
2
∫
17
2
13
2x
-1
ⅆ
x
=
2
9
∫
17
2
13
(
2x
-1
)
1
2
ⅆ
x
=
2
9
[
1
3
(
2x
-1
)
3
2
]
17
2
13
=
2
9
[
1
3
(
2x
-1
)
3
]
17
2
13
=
2
9
(
1
3
(
2⋅13
-1
)
3
-
1
3
(
2⋅(
17
2
)
-1
)
3
)
=
2
9
(
1
3
(
26
-1
)
3
-
1
3
(
17
-1
)
3
)
=
2
9
(
1
3
(
25
)
3
-
1
3
(
16
)
3
)
=
2
9
(
1
3
⋅
5
3
-
1
3
⋅
4
3
)
=
2
9
(
1
3
⋅125
-
1
3
⋅64
)
=
2
9
(
125
3
-
64
3
)
=
2
9
·
61
3
=
122
27
≈ 4,519
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 -x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
3
-x
+2
ⅆ
x
=
∫
4
u
3
(
-x
+2
)
-1
ⅆ
x
=
[
-3
ln(
|
-x
+2
|
)
]
4
u
=
-3
ln(
|
-(
u
)
+2
|
)
+3
ln(
|
-4
+2
|
)
=
-3
ln(
|
-u
+2
|
)
+3
ln(
|
-4
+2
|
)
=
-3
ln(
|
-u
+2
|
)
+3
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
ln(
2
)
-3
ln(
|
-x
+2
|
)
→
∞