Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 33 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $4 e^{3 - 1} - 4 e^{1 - 1}$

= $4 e^{2} - 4 e^{0}$

= $4 e^{2} - 4$

≈ 25,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 33 + $4 e^{2} - 4$ ≈ 58.56

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 6 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $6 e^{3 - 1} - 6 e^{2 - 1}$

= $6 e^{2} - 6 e^{1}$

= $6 e^{2} - 6 e$

≈ 28,025

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 7 + $6 e^{2} - 6 e$ ≈ 35.02

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,4 e^{- 0,4 x + 0,7} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,4 e^{- 0,4 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,4 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,4 u + 0,7} + e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,7}$

= $- e^{- 0,4 u + 0,7} + e^{0 + 0,7}$

= $- e^{- 0,4 u + 0,7} + e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,4 u + 0,7} + e^{0,7}$	=	$1$	\| $- e^{0,7}$
$- e^{- 0,4 u + 0,7}$	=	$- e^{0,7} + 1$
$- e^{- 0,4 u + 0,7}$	=	$- 1,0138$	\|: $- 1$
$e^{- 0,4 u + 0,7}$	=	$1,0138$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,7$	=	$\ln (1,0138)$

$- 0,4 u + 0,7$	=	$0,0137$	\| $- 0,7$
$- 0,4 u$	=	$- 0,6863$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$1,7158$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{4}{2 x - 4}$ zwischen 4 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 4}

\int_{4}^{5} \frac{4}{2 x - 4} ⅆ x

=

1

\int_{4}^{5} 4 {(2 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[2 \ln (| 2 x - 4 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $2 \ln (| 2 \cdot 5 - 4 |) - 2 \ln (| 2 \cdot 4 - 4 |)$

= $2 \ln (| 10 - 4 |) - 2 \ln (| 8 - 4 |)$

= $2 \ln (6) - 2 \ln (| 8 - 4 |)$

= $2 \ln (6) - 2 \ln (4)$

≈ 0,811

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} \frac{3}{{(2 x)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} \frac{3}{4 x^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} \frac{3}{4} x^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} x^{- 1}]}_{u}^{2}$

= ${[- \frac{3}{4 x}]}_{u}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{4 \cdot 2} + \frac{3}{4 u}$

= $- \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{2}) + \frac{3}{4 u}$

= $- \frac{3}{8} + \frac{3}{4 u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{3}{8} + \frac{3}{4 u}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale