Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 6
zusammen:
B = 17 + = ≈ 17.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
=
≈ 729,277
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 37 +
≈ 766.28
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
20,25
|
=
-4,5
|
| u2 |
= |
20,25
|
=
4,5
|
Da u=
-4,5
< 0 ist u=
4,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 ( 2x -2 ) 3 +2x zwischen 2 und 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-2
∫
2
4
(
5
(
2x
-2
)
3
+2x
)
ⅆ
x
=
1
2
[
5
8
(
2x
-2
)
4
+
x
2
]
2
4
=
1
2
(
5
8
⋅
(
2⋅4
-2
)
4
+
4
2
- (
5
8
⋅
(
2⋅2
-2
)
4
+
2
2
))
=
1
2
(
5
8
⋅
(
8
-2
)
4
+ 16
- (
5
8
⋅
(
4
-2
)
4
+ 4
))
=
1
2
(
5
8
⋅
6
4
+16
- (
5
8
⋅
2
4
+4
))
=
1
2
(
5
8
⋅1296
+16
- (
5
8
⋅16
+4
))
=
1
2
(
810
+16
- (
10
+4
))
=
1
2
(
826
-1
·
14
)
=
1
2
(
826
-14
)
=
1
2
·
812
=
406
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 e -2x +1 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
0
u
2
e
-2x
+1
ⅆ
x
=
[
-
e
-2x
+1
]
0
u
=
-
e
-2u
+1
+
e
-2⋅0
+1
=
-
e
-2u
+1
+
e
0
+1
=
-
e
-2u
+1
+
e
1
=
-
e
-2u
+1
+ e
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
e
-2u
+1
+ e
→
0 + e
=
e
≈ 2.718
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2.718