Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 9 s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 9 und 27 2 :
9 27 2 2x -2 x
= 9 27 2 ( 2x -2 ) 1 2 x

= [ 1 3 ( 2x -2 ) 3 2 ] 9 27 2

= [ 1 3 ( 2x -2 ) 3 ] 9 27 2

= 1 3 ( 2( 27 2 ) -2 ) 3 - 1 3 ( 29 -2 ) 3

= 1 3 ( 27 -2 ) 3 - 1 3 ( 18 -2 ) 3

= 1 3 ( 25 ) 3 - 1 3 ( 16 ) 3

= 1 3 5 3 - 1 3 4 3

= 1 3 125 - 1 3 64

= 125 3 - 64 3

= 61 3


≈ 20,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 9 und der Änderung zwischen 9 und 27 2 zusammen:
B = 5 + 61 3 = 76 3 ≈ 25.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 16 3 s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 32 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 16 3 und 32 3 :
16 3 32 3 5 3x -7 x
= 16 3 32 3 5 ( 3x -7 ) 1 2 x

= [ 10 9 ( 3x -7 ) 3 2 ] 16 3 32 3

= [ 10 9 ( 3x -7 ) 3 ] 16 3 32 3

= 10 9 ( 3( 32 3 ) -7 ) 3 - 10 9 ( 3( 16 3 ) -7 ) 3

= 10 9 ( 32 -7 ) 3 - 10 9 ( 16 -7 ) 3

= 10 9 ( 25 ) 3 - 10 9 ( 9 ) 3

= 10 9 5 3 - 10 9 3 3

= 10 9 125 - 10 9 27

= 1250 9 -30

= 1250 9 - 270 9

= 980 9


≈ 108,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 16 3 und der Änderung zwischen 16 3 und 32 3 zusammen:
B = 14 + 980 9 = 1106 9 ≈ 122.89

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 2x -2 ) x = 2,25

Lösung einblenden
1 u ( 2x -2 ) x

= [ x 2 -2x ] 1 u

= u 2 -2u - ( 1 2 -21 )

= u 2 -2u - ( 1 -2 )

= u 2 -2u -1 +2

= u 2 -2u +1

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 -2u +1 = 2,25 | -2,25

u 2 -2u -1,25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -1,25 ) 21

u1,2 = +2 ± 4 +5 2

u1,2 = +2 ± 9 2

u1 = 2 + 9 2 = 2 +3 2 = 5 2 = 2,5

u2 = 2 - 9 2 = 2 -3 2 = -1 2 = -0,5

Da u= -0,5 < 1 ist u= 2,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= e 3x -5 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 e 3x -5 x

= 1 2 [ 1 3 e 3x -5 ] 0 2

= 1 2 ( 1 3 e 32 -5 - 1 3 e 30 -5 )

= 1 2 ( 1 3 e 6 -5 - 1 3 e 0 -5 )

= 1 2 ( 1 3 e 1 - 1 3 e -5 )

= 1 2 ( 1 3 e - 1 3 e -5 )

= 1 2 ( - 1 3 e -5 + 1 3 e)


≈ 0,452

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u e 2x -4 x

= [ 1 2 e 2x -4 ] 1 u

= 1 2 e 2u -4 - 1 2 e 21 -4

= 1 2 e 2u -4 - 1 2 e 2 -4

= 1 2 e 2u -4 - 1 2 e -2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 e 2u -4 - 1 2 e -2