Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 4 e 3x -4 x

= [ 4 3 e 3x -4 ] 1 2

= 4 3 e 32 -4 - 4 3 e 31 -4

= 4 3 e 6 -4 - 4 3 e 3 -4

= 4 3 e 2 - 4 3 e -1


≈ 9,362
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 61 + 4 3 e 2 - 4 3 e -1 ≈ 70.36

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 53 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 2 e x -1 x

= [ 2 e x -1 ] 2 3

= 2 e 3 -1 -2 e 2 -1

= 2 e 2 -2 e 1

= 2 e 2 -2e


≈ 9,342
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 53 + 2 e 2 -2e ≈ 62.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( -8x -5 ) x = -318

Lösung einblenden
3 u ( -8x -5 ) x

= [ -4 x 2 -5x ] 3 u

= -4 u 2 -5u - ( -4 3 2 -53 )

= -4 u 2 -5u - ( -49 -15 )

= -4 u 2 -5u - ( -36 -15 )

= -4 u 2 -5u -1 · ( -51 )

= -4 u 2 -5u +51

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -318 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 -5u +51 = -318 | +318

-4 u 2 -5u +369 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · ( -4 ) · 369 2( -4 )

u1,2 = +5 ± 25 +5904 -8

u1,2 = +5 ± 5929 -8

u1 = 5 + 5929 -8 = 5 +77 -8 = 82 -8 = -10,25

u2 = 5 - 5929 -8 = 5 -77 -8 = -72 -8 = 9

Da u= -10,25 < 3 ist u= 9 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 3x -5 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 +0 0 1 2 ( 3x -5 ) 2 x

= 1 [ 2 9 ( 3x -5 ) 3 ] 0 1

= 2 9 ( 31 -5 ) 3 - 2 9 ( 30 -5 ) 3

= 2 9 ( 3 -5 ) 3 - 2 9 ( 0 -5 ) 3

= 2 9 ( -2 ) 3 - 2 9 ( -5 ) 3

= 2 9 ( -8 ) - 2 9 ( -125 )

= - 16 9 + 250 9

= 26

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -3x +4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 2 ( -3x +4 ) 3 x
= 2 u 2 ( -3x +4 ) -3 x

= [ 1 3 ( -3x +4 ) -2 ] 2 u

= [ 1 3 ( -3x +4 ) 2 ] 2 u

= 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 3 ( -32 +4 ) 2

= 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 3 ( -6 +4 ) 2

= 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 3 ( -2 ) 2

= 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 3 ( 1 4 )

= 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 12

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 3 ( -3u +4 ) 2 - 1 12 0 - 1 12 = - 1 12 ≈ -0.083

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.083