Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -1 ) 3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 5 ( 2x -1 ) 3 x
= 2 4 5 ( 2x -1 ) -3 x

= [ - 5 4 ( 2x -1 ) -2 ] 2 4

= [ - 5 4 ( 2x -1 ) 2 ] 2 4

= - 5 4 ( 24 -1 ) 2 + 5 4 ( 22 -1 ) 2

= - 5 4 ( 8 -1 ) 2 + 5 4 ( 4 -1 ) 2

= - 5 4 7 2 + 5 4 3 2

= - 5 4 ( 1 49 ) + 5 4 ( 1 9 )

= - 5 196 + 5 36

= - 45 1764 + 245 1764

= 50 441


≈ 0,113
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 4 + 50 441 = 1814 441 ≈ 4.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 3 e 3x -7 x

= [ e 3x -7 ] 0 1

= e 31 -7 - e 30 -7

= e 3 -7 - e 0 -7

= e -4 - e -7


≈ 0,017
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 77 + e -4 - e -7 ≈ 77.02

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u -6x x = -48

Lösung einblenden
0 u -6x x

= [ -3 x 2 ] 0 u

= -3 u 2 +3 0 2

= -3 u 2 +30

= -3 u 2 +0

= -3 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -48 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-3 u 2 = -48 |: ( -3 )
u 2 = 16 | 2
u1 = - 16 = -4
u2 = 16 = 4

Da u= -4 < 0 ist u= 4 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 5 und Minute 26 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 26 -5 5 26 3 x -1 x
= 1 21 5 26 3 ( x -1 ) 1 2 x

= 1 21 [ 2 ( x -1 ) 3 2 ] 5 26

= 1 21 [ 2 ( x -1 ) 3 ] 5 26

= 1 21 ( 2 ( 26 -1 ) 3 -2 ( 5 -1 ) 3 )

= 1 21 ( 2 ( 25 ) 3 -2 ( 4 ) 3 )

= 1 21 ( 2 5 3 -2 2 3 )

= 1 21 ( 2125 -28 )

= 1 21 ( 250 -16 )

= 1 21 · 234

= 78 7


≈ 11,143

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 11 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 11 2 2x -6 x
= u 11 2 ( 2x -6 ) - 1 2 x

= [ 2 ( 2x -6 ) 1 2 ] u 11

= [ 2 2x -6 ] u 11

= 2 211 -6 -2 2u -6

= 2 22 -6 -2 2u -6

= 2 16 -2 2u -6

= 24 -2 2u -6

= 8 -2 2u -6

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = -2 2u -6 +8 0 +8 = 8 ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8