Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e 2x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 6 e 2x -3 x

= [ 3 e 2x -3 ] 1 2

= 3 e 22 -3 -3 e 21 -3

= 3 e 4 -3 -3 e 2 -3

= 3 e 1 -3 e -1

= 3e -3 e -1


≈ 7,051
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 17 + -3 e -1 +3e ≈ 24.05

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 53 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 2 e x -1 x

= [ 2 e x -1 ] 0 2

= 2 e 2 -1 -2 e 0 -1

= 2 e 1 -2 e -1

= 2e -2 e -1


≈ 4,701
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 53 + -2 e -1 +2e ≈ 57.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 6,3 e 0,9x -0,6 x = 10

Lösung einblenden
0 u 6,3 e 0,9x -0,6 x

= [ 7 e 0,9x -0,6 ] 0 u

= 7 e 0,9u -0,6 -7 e 0,90 -0,6

= 7 e 0,9u -0,6 -7 e 0 -0,6

= 7 e 0,9u -0,6 -7 e -0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 10 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

7 e 0,9u -0,6 -7 e -0,6 = 10 | +7 e -0,6
7 e 0,9u -0,6 = 7 e -0,6 +10
7 e 0,9u -0,6 = 13,8417 |:7
e 0,9u -0,6 = 1,9774 |ln(⋅)
0,9u -0,6 = ln( 1,9774 )
0,9u -0,6 = 0,6818 | +0,6
0,9u = 1,2818 |:0,9
u = 1,4242

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 2x -4 ) 2 +6 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 -1 1 2 ( 4 ( 2x -4 ) 2 +6 ) x

= 1 [ 2 3 ( 2x -4 ) 3 +6x ] 1 2

= 2 3 ( 22 -4 ) 3 +62 - ( 2 3 ( 21 -4 ) 3 +61 )

= 2 3 ( 4 -4 ) 3 +12 - ( 2 3 ( 2 -4 ) 3 +6 )

= 2 3 0 3 +12 - ( 2 3 ( -2 ) 3 +6 )

= 2 3 0 +12 - ( 2 3 ( -8 ) +6 )

= 0 +12 - ( - 16 3 +6 )

= 12 - ( - 16 3 + 18 3 )

= 12 -1 · 2 3

= 12 - 2 3

= 34 3


≈ 11,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 3 2 ( 2x ) 2 x
= u 3 1 2 x 2 x
= u 3 1 2 x -2 x

= [ - 1 2 x -1 ] u 3

= [ - 1 2 x ] u 3

= - 1 2 3 + 1 2 u

= - 1 2 ( 1 3 ) + 1 2 u

= - 1 6 + 1 2 u

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = - 1 6 + 1 2 u