Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -2 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 3 ( 2x -2 ) 4 x
= 2 4 3 ( 2x -2 ) -4 x

= [ - 1 2 ( 2x -2 ) -3 ] 2 4

= [ - 1 2 ( 2x -2 ) 3 ] 2 4

= - 1 2 ( 24 -2 ) 3 + 1 2 ( 22 -2 ) 3

= - 1 2 ( 8 -2 ) 3 + 1 2 ( 4 -2 ) 3

= - 1 2 6 3 + 1 2 2 3

= - 1 2 ( 1 216 ) + 1 2 ( 1 8 )

= - 1 432 + 1 16

= - 1 432 + 27 432

= 13 216


≈ 0,06
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 19 + 13 216 = 4117 216 ≈ 19.06

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 3 e x -3 x

= [ 3 e x -3 ] 1 2

= 3 e 2 -3 -3 e 1 -3

= 3 e -1 -3 e -2


≈ 0,698
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 64 + 3 e -1 -3 e -2 ≈ 64.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -10x -5 ) x = -243,75

Lösung einblenden
0 u ( -10x -5 ) x

= [ -5 x 2 -5x ] 0 u

= -5 u 2 -5u - ( -5 0 2 -50 )

= -5 u 2 -5u - ( -50 +0)

= -5 u 2 -5u - (0+0)

= -5 u 2 -5u +0

= -5 u 2 -5u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -243,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 -5u = -243,75 | +243,75

-5 u 2 -5u +243,75 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · ( -5 ) · 243,75 2( -5 )

u1,2 = +5 ± 25 +4875 -10

u1,2 = +5 ± 4900 -10

u1 = 5 + 4900 -10 = 5 +70 -10 = 75 -10 = -7,5

u2 = 5 - 4900 -10 = 5 -70 -10 = -65 -10 = 6,5

Da u= -7,5 < 0 ist u= 6,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2 e 3x -4 zwischen 2 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -2 2 4 2 e 3x -4 x

= 1 2 [ 2 3 e 3x -4 ] 2 4

= 1 2 ( 2 3 e 34 -4 - 2 3 e 32 -4 )

= 1 2 ( 2 3 e 12 -4 - 2 3 e 6 -4 )

= 1 2 ( 2 3 e 8 - 2 3 e 2 )


≈ 991,19

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 3x -7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 23 3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 23 3 u - 3 3x -7 x
= 23 3 u -3 ( 3x -7 ) - 1 2 x

= [ -2 ( 3x -7 ) 1 2 ] 23 3 u

= [ -2 3x -7 ] 23 3 u

= -2 3u -7 +2 3( 23 3 ) -7

= -2 3u -7 +2 23 -7

= -2 3u -7 +2 16

= -2 3u -7 +24

= -2 3u -7 +8

Für u → ∞ gilt: A(u) = -2 3u -7 +8 -