Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,35
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 11 +
≈ 11.35
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 55 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
≈ 9,828
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 55 +
≈ 64.83
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
25
|
=
-5
|
| u2 |
= |
25
|
=
5
|
Da u=
-5
< 2 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= cos( 3x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
2
π+0
∫
0
1
2
π
cos(
3x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
1
3
⋅
sin(
3x
+
3
2
π)
]
0
1
2
π
=
2
π
·
(
1
3
⋅
sin(
3⋅(
1
2
π )
+
3
2
π)
-
1
3
⋅
sin(
3⋅( 0 )
+
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
1
3
⋅
sin(3π)
-
1
3
⋅
sin(
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
1
3
⋅0
-
1
3
⋅( -1 )
)
=
2
π
·
(
0
+
1
3
)
=
2
π
·
(
0
+
1
3
)
=
2
π
·
1
3
=
2
3
π
≈ 0,212
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( -2x +4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
2
(
-2x
+4
)
3
ⅆ
x
=
∫
4
u
-2
(
-2x
+4
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
2
(
-2x
+4
)
-2
]
4
u
=
[
-
1
2
(
-2x
+4
)
2
]
4
u
=
-
1
2
(
-2u
+4
)
2
+
1
2
(
-2⋅4
+4
)
2
=
-
1
2
(
-2u
+4
)
2
+
1
2
(
-8
+4
)
2
=
-
1
2
(
-2u
+4
)
2
+
1
2
( -4 )
2
=
-
1
2
(
-2u
+4
)
2
+
1
2
⋅(
1
16
)
=
-
1
2
(
-2u
+4
)
2
+
1
32
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
2
(
-2u
+4
)
2
+
1
32
→
0
+
1
32
=
1
32
≈ 0.031
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.031