Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 7 3 s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 19 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 7 3 und 19 3 :
7 3 19 3 4 3x -3 x
= 7 3 19 3 4 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 8 9 ( 3x -3 ) 3 2 ] 7 3 19 3

= [ 8 9 ( 3x -3 ) 3 ] 7 3 19 3

= 8 9 ( 3( 19 3 ) -3 ) 3 - 8 9 ( 3( 7 3 ) -3 ) 3

= 8 9 ( 19 -3 ) 3 - 8 9 ( 7 -3 ) 3

= 8 9 ( 16 ) 3 - 8 9 ( 4 ) 3

= 8 9 4 3 - 8 9 2 3

= 8 9 64 - 8 9 8

= 512 9 - 64 9

= 448 9


≈ 49,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 7 3 und der Änderung zwischen 7 3 und 19 3 zusammen:
B = 8 + 448 9 = 520 9 ≈ 57.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 2x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 50 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 2 e 2x -2 x

= [ e 2x -2 ] 1 4

= e 24 -2 - e 21 -2

= e 8 -2 - e 2 -2

= e 6 - e 0

= e 6 -1


≈ 402,429
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 50 + e 6 -1 ≈ 452.43

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u 8x x = 405

Lösung einblenden
3 u 8x x

= [ 4 x 2 ] 3 u

= 4 u 2 -4 3 2

= 4 u 2 -49

= 4 u 2 -36

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 405 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -36 = 405 | +36
4 u 2 = 441 |:4
u 2 = 441 4 | 2
u1 = - 441 4 = - 21 2
u2 = 441 4 = 21 2

Da u= - 21 2 < 3 ist u= 21 2 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 sin( x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π 5 sin( x + π) x

= 2 3 π [ -5 cos( x + π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( -5 cos( 3 2 π + π) +5 cos( 0 + π) )

= 2 3 π · ( -5 cos( 5 2 π) +5 cos(π) )

= 2 3 π · ( -50 +5( -1 ) )

= 2 3 π · ( 0 -5 )

= 2 3 π · ( -5 )

= - 10 3 π


≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 u - 2 -x +3 x
= 5 u -2 ( -x +3 ) -1 x

= [ 2 ln( | -x +3 | ) ] 5 u

= 2 ln( | -( u ) +3 | ) -2 ln( | -5 +3 | )

= 2 ln( | -u +3 | ) -2 ln( | -5 +3 | )

= 2 ln( | -u +3 | ) -2 ln( 2 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = -2 ln( 2 ) +2 ln( | -x +3 | )