Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -4 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 3 ( 3x -4 ) 4 x
= 3 4 3 ( 3x -4 ) -4 x

= [ - 1 3 ( 3x -4 ) -3 ] 3 4

= [ - 1 3 ( 3x -4 ) 3 ] 3 4

= - 1 3 ( 34 -4 ) 3 + 1 3 ( 33 -4 ) 3

= - 1 3 ( 12 -4 ) 3 + 1 3 ( 9 -4 ) 3

= - 1 3 8 3 + 1 3 5 3

= - 1 3 ( 1 512 ) + 1 3 ( 1 125 )

= - 1 1536 + 1 375

= - 125 192000 + 512 192000

= 129 64000


≈ 0,002
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 13 + 129 64000 = 832.129 64000 ≈ 13

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 3x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 10 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 10:
3 10 6 3x -5 x
= 3 10 6 ( 3x -5 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 2 ] 3 10

= [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 ] 3 10

= 4 3 ( 310 -5 ) 3 - 4 3 ( 33 -5 ) 3

= 4 3 ( 30 -5 ) 3 - 4 3 ( 9 -5 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 4 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 2 3

= 4 3 125 - 4 3 8

= 500 3 - 32 3

= 156

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 10 zusammen:
B = 9 + 156 = 165

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4,2 e 0,7x -0,2 x = 7

Lösung einblenden
0 u 4,2 e 0,7x -0,2 x

= [ 6 e 0,7x -0,2 ] 0 u

= 6 e 0,7u -0,2 -6 e 0,70 -0,2

= 6 e 0,7u -0,2 -6 e 0 -0,2

= 6 e 0,7u -0,2 -6 e -0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

6 e 0,7u -0,2 -6 e -0,2 = 7 | +6 e -0,2
6 e 0,7u -0,2 = 6 e -0,2 +7
6 e 0,7u -0,2 = 11,9124 |:6
e 0,7u -0,2 = 1,9854 |ln(⋅)
0,7u -0,2 = ln( 1,9854 )
0,7u -0,2 = 0,6858 | +0,2
0,7u = 0,8858 |:0,7
u = 1,2654

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= ( 3x -3 ) 2 zwischen 0 und 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 +0 0 1 ( 3x -3 ) 2 x

= 1 [ 1 9 ( 3x -3 ) 3 ] 0 1

= 1 9 ( 31 -3 ) 3 - 1 9 ( 30 -3 ) 3

= 1 9 ( 3 -3 ) 3 - 1 9 ( 0 -3 ) 3

= 1 9 0 3 - 1 9 ( -3 ) 3

= 1 9 0 - 1 9 ( -27 )

= 0 +3

= 3

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 13 2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 13 2 u 3 2x -4 x
= 13 2 u 3 ( 2x -4 ) - 1 2 x

= [ 3 ( 2x -4 ) 1 2 ] 13 2 u

= [ 3 2x -4 ] 13 2 u

= 3 2u -4 -3 2( 13 2 ) -4

= 3 2u -4 -3 13 -4

= 3 2u -4 -3 9

= 3 2u -4 -33

= 3 2u -4 -9

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2u -4 -9