Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 4 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 4 - 4} - 2 e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $2 e^{8 - 4} - 2 e^{4 - 4}$

= $2 e^{4} - 2 e^{0}$

= $2 e^{4} - 2$

≈ 107,196

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 10 + $2 e^{4} - 2$ ≈ 117.2

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{12 - 4} - \frac{2}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{8} - \frac{2}{3} e^{2}$

≈ 1982,379

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 19 + $\frac{2}{3} e^{8} - \frac{2}{3} e^{2}$ ≈ 2001.38

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} 10 x ⅆ x$ = $81,25$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} 10 x ⅆ x

= ${[5 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $5 u^{2} - 5 \cdot 2^{2}$

= $5 u^{2} - 5 \cdot 4$

= $5 u^{2} - 20$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $81,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 u^{2} - 20$	=	$81,25$	\| $+ 20$
$5 u^{2}$	=	$101,25$	\|: $5$
$u^{2}$	=	$20,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{20,25}$	= $- 4,5$
u₂	=	$\sqrt{20,25}$	= $4,5$

Da u= $- 4,5$ < 2 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{x - 1}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[2 e^{x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (2 e^{3 - 1} - 2 e^{0 - 1})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{2} - 2 e^{- 1})$

≈ 4,681

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- 2 x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{1}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 1} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 1}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 1} - \frac{3}{2} e^{- 2 + 1}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 1} - \frac{3}{2} e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 1} - \frac{3}{2} e^{- 1}$ → $0 - \frac{3}{2} e^{- 1}$ = $- \frac{3}{2} e^{- 1}$ ≈ -0.552

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.552

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale