Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(x - 2)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{5}{{(x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 5 {(x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(x - 2)}^{- 2}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{5}{2 {(x - 2)}^{2}}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{5}{2 {(6 - 2)}^{2}} + \frac{5}{2 {(4 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 4^{2}} + \frac{5}{2 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{16}) + \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{5}{32} + \frac{5}{8}$

= $- \frac{5}{32} + \frac{20}{32}$

= $\frac{15}{32}$

≈ 0,469

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 11 + $\frac{15}{32}$ = $\frac{367}{32}$ ≈ 11.47

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $4$ s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{19}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{19}{3}

:

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 2 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 2 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 4^{3} - \frac{4}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 64 - \frac{4}{9} \cdot 27$

= $\frac{256}{9} - 12$

= $\frac{256}{9} - \frac{108}{9}$

= $\frac{148}{9}$

≈ 16,444

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{19}{3}

zusammen:

B = 9 + $\frac{148}{9}$ = $\frac{229}{9}$ ≈ 25.44

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (6 x - 5) ⅆ x$ = $110$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (6 x - 5) ⅆ x

= ${[3 x^{2} - 5 x]}_{2}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 5 u - (3 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2)$

= $3 u^{2} - 5 u - (3 \cdot 4 - 10)$

= $3 u^{2} - 5 u - (12 - 10)$

= $3 u^{2} - 5 u - 1 \cdot 2$

= $3 u^{2} - 5 u - 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $110$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} - 5 u - 2

=

110

|

- 110

$3 u^{2} - 5 u - 112$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 112)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 1 344}}{6}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1 369}}{6}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1 369}}{6}$ = $\frac{5+37}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1 369}}{6}$ = $\frac{5-37}{6}$ = $\frac{- 32}{6}$ = $- \frac{16}{3}$ ≈ -5.33

Da u= $- \frac{16}{3}$ < 2 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 \cdot \cos (2 x + π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\sin (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\sin (2 \cdot π + π) - \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\sin (3 π) - \sin (2 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(\sqrt{2 x - 1})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $5$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} - \frac{2}{{(\sqrt{2 x - 1})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} - 2 {(2 x - 1)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]}_{5}^{u}$

= ${[\frac{2}{\sqrt{2 x - 1}}]}_{5}^{u}$

$=$ $\frac{2}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{2}{\sqrt{2 \cdot 5 - 1}}$

= $\frac{2}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{2}{\sqrt{10 - 1}}$

= $\frac{2}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{2}{\sqrt{9}}$

= $\frac{2}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{\sqrt{2 u - 1}} - 2 \cdot (\frac{1}{3})$

= $\frac{2}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{2}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{\sqrt{2 u - 1}} - \frac{2}{3}$ → $0 - \frac{2}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.667

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale