Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 4)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{2}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 2 {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{1}{2 x - 4}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{2 \cdot 6 - 4} + \frac{1}{2 \cdot 3 - 4}$

= $- \frac{1}{12 - 4} + \frac{1}{6 - 4}$

= $- \frac{1}{8} + \frac{1}{2}$

= $- (\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}$

= $\frac{3}{8}$

= 0,375

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 19 + $\frac{3}{8}$ = $\frac{155}{8}$ ≈ 19.38

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 3}$

≈ 30,054

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 15 + $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{- 3}$ ≈ 45.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (10 x - 2) ⅆ x$ = $140,25$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (10 x - 2) ⅆ x

= ${[5 x^{2} - 2 x]}_{0}^{u}$

$=$ $5 u^{2} - 2 u - (5 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0)$

= $5 u^{2} - 2 u - (5 \cdot 0 + 0)$

= $5 u^{2} - 2 u - (0 + 0)$

= $5 u^{2} - 2 u + 0$

= $5 u^{2} - 2 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $140,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} - 2 u

=

140,25

|

- 140,25

$5 u^{2} - 2 u - 140,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 140,25)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 2 805}}{10}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{2 809}}{10}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{2+53}{10}$ = $\frac{55}{10}$ = $5,5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{2-53}{10}$ = $\frac{- 51}{10}$ = $- 5,1$

Da u= $- 5,1$ < 0 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (2 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\sin (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\sin (2 \cdot π + π) - \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\sin (3 π) - \sin (2 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{- 2 x + 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(- 2 x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \ln (| - 2 x + 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2} \ln (| - 2 (u) + 2 |) - \frac{3}{2} \ln (| - 2 \cdot 3 + 2 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| - 2 u + 2 |) - \frac{3}{2} \ln (| - 6 + 2 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| - 2 u + 2 |) - \frac{3}{2} \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} \ln (4) + \frac{3}{2} \ln (| - 2 x + 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

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Integralfunktion - Gleichung

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uneigentliche Integrale