Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 2x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 6 e 2x -3 x

= [ 3 e 2x -3 ] 2 3

= 3 e 23 -3 -3 e 22 -3

= 3 e 6 -3 -3 e 4 -3

= 3 e 3 -3 e 1

= 3 e 3 -3e


≈ 52,102
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 28 + 3 e 3 -3e ≈ 80.1

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( x -1 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
3 6 6 ( x -1 ) 2 x
= 3 6 6 ( x -1 ) -2 x

= [ -6 ( x -1 ) -1 ] 3 6

= [ - 6 x -1 ] 3 6

= - 6 6 -1 + 6 3 -1

= - 6 5 + 6 2

= -6( 1 5 ) +6( 1 2 )

= - 6 5 +3

= - 6 5 + 15 5

= 9 5


= 1,8
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 16 + 9 5 = 89 5 ≈ 17.8

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,5 e -0,5x +0,5 x = 5

Lösung einblenden
0 u 2,5 e -0,5x +0,5 x

= [ -5 e -0,5x +0,5 ] 0 u

= -5 e -0,5u +0,5 +5 e -0,50 +0,5

= -5 e -0,5u +0,5 +5 e 0 +0,5

= -5 e -0,5u +0,5 +5 e 0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 e -0,5u +0,5 +5 e 0,5 = 5 | -5 e 0,5
-5 e -0,5u +0,5 = -5 e 0,5 +5
-5 e -0,5u +0,5 = -3,2436 |:-5
e -0,5u +0,5 = 0,6487 |ln(⋅)
-0,5u +0,5 = ln( 0,6487 )
-0,5u +0,5 = -0,4328 | -0,5
-0,5u = -0,9328 |:(-0,5 )
u = 1,8656

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 sin( 2x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π 4 sin( 2x - 1 2 π) x

= 2 3 π [ -2 cos( 2x - 1 2 π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( -2 cos( 2( 3 2 π ) - 1 2 π) +2 cos( 2( 0 ) - 1 2 π) )

= 2 3 π · ( -2 cos( 5 2 π) +2 cos( - 1 2 π) )

= 2 3 π · ( -20 +20 )

= 2 3 π · ( 0+0 )

= 2 3 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 12 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 12 - 2 x -3 x
= u 12 -2 ( x -3 ) - 1 2 x

= [ -4 ( x -3 ) 1 2 ] u 12

= [ -4 x -3 ] u 12

= -4 12 -3 +4 u -3

= -4 9 +4 u -3

= -43 +4 u -3

= -12 +4 u -3

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = 4 u -3 -12 0 -12 = -12 ≈ -12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12