Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 ( 2x -4 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
3 6 2 ( 2x -4 ) 2 x
= 3 6 2 ( 2x -4 ) -2 x

= [ - ( 2x -4 ) -1 ] 3 6

= [ - 1 2x -4 ] 3 6

= - 1 26 -4 + 1 23 -4

= - 1 12 -4 + 1 6 -4

= - 1 8 + 1 2

= -( 1 8 ) + 1 2

= 3 8


= 0,375
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 19 + 3 8 = 155 8 ≈ 19.38

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e 2x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 3 e 2x -5 x

= [ 3 2 e 2x -5 ] 1 4

= 3 2 e 24 -5 - 3 2 e 21 -5

= 3 2 e 8 -5 - 3 2 e 2 -5

= 3 2 e 3 - 3 2 e -3


≈ 30,054
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 15 + 3 2 e 3 - 3 2 e -3 ≈ 45.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( 10x -2 ) x = 140,25

Lösung einblenden
0 u ( 10x -2 ) x

= [ 5 x 2 -2x ] 0 u

= 5 u 2 -2u - ( 5 0 2 -20 )

= 5 u 2 -2u - ( 50 +0)

= 5 u 2 -2u - (0+0)

= 5 u 2 -2u +0

= 5 u 2 -2u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 140,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -2u = 140,25 | -140,25

5 u 2 -2u -140,25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 5 · ( -140,25 ) 25

u1,2 = +2 ± 4 +2805 10

u1,2 = +2 ± 2809 10

u1 = 2 + 2809 10 = 2 +53 10 = 55 10 = 5,5

u2 = 2 - 2809 10 = 2 -53 10 = -51 10 = -5,1

Da u= -5,1 < 0 ist u= 5,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 cos( 2x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 2 cos( 2x + π) x

= 2 π [ sin( 2x + π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( sin( 2π + π) - sin( 2( 1 2 π ) + π) )

= 2 π · ( sin(3π) - sin(2π) )

= 2 π · ( 0 - 0 )

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -2x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 3 -2x +2 x
= 3 u -3 ( -2x +2 ) -1 x

= [ 3 2 ln( | -2x +2 | ) ] 3 u

= 3 2 ln( | -2( u ) +2 | ) - 3 2 ln( | -23 +2 | )

= 3 2 ln( | -2u +2 | ) - 3 2 ln( | -6 +2 | )

= 3 2 ln( | -2u +2 | ) - 3 2 ln( 4 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 2 ln( 4 ) + 3 2 ln( | -2x +2 | )