Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 1)}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 \cdot 4 - 1)} + \frac{1}{2 (2 \cdot 2 - 1)}$

= $- \frac{1}{2 (8 - 1)} + \frac{1}{2 (4 - 1)}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 7} + \frac{1}{2 \cdot 3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{1}{14} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{3}{42} + \frac{7}{42}$

= $\frac{2}{21}$

≈ 0,095

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 8 + $\frac{2}{21}$ = $\frac{170}{21}$ ≈ 8.1

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{x - 3} ⅆ x

= ${[e^{x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{3 - 3} - e^{2 - 3}$

= $e^{0} - e^{- 1}$

= $1 - e^{- 1}$

≈ 0,632

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 2 + $- e^{- 1} + 1$ ≈ 2.63

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (10 x + 2) ⅆ x$ = $111,25$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (10 x + 2) ⅆ x

= ${[5 x^{2} + 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $5 u^{2} + 2 u - (5 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3)$

= $5 u^{2} + 2 u - (5 \cdot 9 + 6)$

= $5 u^{2} + 2 u - (45 + 6)$

= $5 u^{2} + 2 u - 1 \cdot 51$

= $5 u^{2} + 2 u - 51$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $111,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} + 2 u - 51

=

111,25

|

- 111,25

$5 u^{2} + 2 u - 162,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 162,25)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 3 245}}{10}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{3 249}}{10}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{3 249}}{10}$ = $\frac{- 2+57}{10}$ = $\frac{55}{10}$ = $5,5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{3 249}}{10}$ = $\frac{- 2-57}{10}$ = $\frac{- 59}{10}$ = $- 5,9$

Da u= $- 5,9$ < 3 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $4 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 4 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{4}{3} \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{4}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \frac{4}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{4}{3} \cdot \sin (2 π) - \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - \frac{4}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{4}{3})$

= $- \frac{8}{3 π}$

≈ -0,849

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(\sqrt{x - 1})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $17$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{17}^{u} - \frac{2}{{(\sqrt{x - 1})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{17}^{u} - 2 {(x - 1)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]}_{17}^{u}$

= ${[\frac{4}{\sqrt{x - 1}}]}_{17}^{u}$

$=$ $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - \frac{4}{\sqrt{17 - 1}}$

= $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - \frac{4}{\sqrt{16}}$

= $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - \frac{4}{4}$

= $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - 4 \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{4}{\sqrt{u - 1}} - 1$ → $0 - 1$ = $- 1$ ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale