Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{8}{3}$ Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{13}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{13}{3}

:

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}} 4 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}} 4 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{8}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{8 - 4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 3^{3} - \frac{8}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 27 - \frac{8}{9} \cdot 8$

= $24 - \frac{64}{9}$

= $\frac{216}{9} - \frac{64}{9}$

= $\frac{152}{9}$

≈ 16,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{8}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{13}{3}

zusammen:

B = 9 + $\frac{152}{9}$ = $\frac{233}{9}$ ≈ 25.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $e^{2 - 2} - e^{1 - 2}$

= $e^{0} - e^{- 1}$

= $1 - e^{- 1}$

≈ 0,632

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 75 + $- e^{- 1} + 1$ ≈ 75.63

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,9 e^{0,7 x - 0,1} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,9 e^{0,7 x - 0,1} ⅆ x

= ${[7 e^{0,7 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,7 u - 0,1} - 7 e^{0,7 \cdot 0 - 0,1}$

= $7 e^{0,7 u - 0,1} - 7 e^{0 - 0,1}$

= $7 e^{0,7 u - 0,1} - 7 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,7 u - 0,1} - 7 e^{- 0,1}$	=	$8$	\| $+ 7 e^{- 0,1}$
$7 e^{0,7 u - 0,1}$	=	$7 e^{- 0,1} + 8$
$7 e^{0,7 u - 0,1}$	=	$14,3339$	\|: $7$
$e^{0,7 u - 0,1}$	=	$2,0477$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,1$	=	$\ln (2,0477)$

$0,7 u - 0,1$	=	$0,7167$	\| $+ 0,1$
$0,7 u$	=	$0,8167$	\|: $0,7$
$u$	=	$1,1667$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{5}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot \cos (4 π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} - \frac{5}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{10}{3})$

= $- \frac{10}{3 π}$

≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $19$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{19}^{u} - \frac{3}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{19}^{u} - 3 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{19}^{u}$

= ${[- 6 \sqrt{x - 3}]}_{19}^{u}$

$=$ $- 6 \sqrt{u - 3} + 6 \sqrt{19 - 3}$

= $- 6 \sqrt{u - 3} + 6 \sqrt{16}$

= $- 6 \sqrt{u - 3} + 6 \cdot 4$

= $- 6 \sqrt{u - 3} + 24$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 6 \sqrt{u - 3} + 24$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale