Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 6 x -3 x
= 19 28 6 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 4 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 4 ( 28 -3 ) 3 -4 ( 19 -3 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 16 ) 3

= 4 5 3 -4 4 3

= 4125 -464

= 500 -256

= 244

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 17 + 244 = 261

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e 2x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 6 e 2x -1 x

= [ 3 e 2x -1 ] 1 3

= 3 e 23 -1 -3 e 21 -1

= 3 e 6 -1 -3 e 2 -1

= 3 e 5 -3 e 1

= 3 e 5 -3e


≈ 437,085
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 11 + 3 e 5 -3e ≈ 448.08

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 1,2 e 0,6x -0,7 x = 9

Lösung einblenden
0 u 1,2 e 0,6x -0,7 x

= [ 2 e 0,6x -0,7 ] 0 u

= 2 e 0,6u -0,7 -2 e 0,60 -0,7

= 2 e 0,6u -0,7 -2 e 0 -0,7

= 2 e 0,6u -0,7 -2 e -0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 9 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 e 0,6u -0,7 -2 e -0,7 = 9 | +2 e -0,7
2 e 0,6u -0,7 = 2 e -0,7 +9
2 e 0,6u -0,7 = 9,9932 |:2
e 0,6u -0,7 = 4,9966 |ln(⋅)
0,6u -0,7 = ln( 4,9966 )
0,6u -0,7 = 1,6088 | +0,7
0,6u = 2,3088 |:0,6
u = 3,848

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 18 und Minute 27 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 27 -18 18 27 6 x -2 x
= 1 9 18 27 6 ( x -2 ) 1 2 x

= 1 9 [ 4 ( x -2 ) 3 2 ] 18 27

= 1 9 [ 4 ( x -2 ) 3 ] 18 27

= 1 9 ( 4 ( 27 -2 ) 3 -4 ( 18 -2 ) 3 )

= 1 9 ( 4 ( 25 ) 3 -4 ( 16 ) 3 )

= 1 9 ( 4 5 3 -4 4 3 )

= 1 9 ( 4125 -464 )

= 1 9 ( 500 -256 )

= 1 9 · 244

= 244 9


≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 7,5 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 7,5 1 2x -6 x
= u 7,5 ( 2x -6 ) - 1 2 x

= [ ( 2x -6 ) 1 2 ] u 7,5

= [ 2x -6 ] u 7,5

= 27,5 -6 - 2u -6

= 15 -6 - 2u -6

= 9 - 2u -6

= 3 - 2u -6

= - 2u -6 +3

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = - 2u -6 +3 0 +3 = 3 ≈ 3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3