Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 2x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 5 e 2x -3 x

= [ 5 2 e 2x -3 ] 2 5

= 5 2 e 25 -3 - 5 2 e 22 -3

= 5 2 e 10 -3 - 5 2 e 4 -3

= 5 2 e 7 - 5 2 e 1

= 5 2 e 7 - 5 2 e


≈ 2734,787
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 3 + 5 2 e 7 - 5 2 e ≈ 2737.79

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 48 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 3 e 3x -4 x

= [ e 3x -4 ] 1 4

= e 34 -4 - e 31 -4

= e 12 -4 - e 3 -4

= e 8 - e -1


≈ 2980,59
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 48 + e 8 - e -1 ≈ 3028.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,5 e -0,5x +0,6 x = 1

Lösung einblenden
0 u 0,5 e -0,5x +0,6 x

= [ - e -0,5x +0,6 ] 0 u

= - e -0,5u +0,6 + e -0,50 +0,6

= - e -0,5u +0,6 + e 0 +0,6

= - e -0,5u +0,6 + e 0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- e -0,5u +0,6 + e 0,6 = 1 | - e 0,6
- e -0,5u +0,6 = - e 0,6 +1
- e -0,5u +0,6 = -0,8221 |:-1
e -0,5u +0,6 = 0,8221 |ln(⋅)
-0,5u +0,6 = ln( 0,8221 )
-0,5u +0,6 = -0,1959 | -0,6
-0,5u = -0,7959 |:(-0,5 )
u = 1,5918

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 cos( 2x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 4 cos( 2x - 1 2 π) x

= 1 π [ 2 sin( 2x - 1 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( 2 sin( 2( 3 2 π ) - 1 2 π) -2 sin( 2( 1 2 π ) - 1 2 π) )

= 1 π · ( 2 sin( 5 2 π) -2 sin( 1 2 π) )

= 1 π · ( 21 -21 )

= 1 π · ( 2 -2 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 x -2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 1 x -2 x
= 3 u ( x -2 ) -1 x

= [ ln( | x -2 | ) ] 3 u

= ln( | u -2 | ) - ln( | 3 -2 | )

= ln( | u -2 | ) - ln( 1 )

= ln( | u -2 | ) +0

= ln( | x -2 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( | x -2 | )