Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 20 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 141,024
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 20 +
≈ 161.02
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,012
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 31 +
≈ 31.01
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
1
3
(3
ln(
|
5
-1
|
)
-3
ln(
|
2
-1
|
)
)
=
1
3
(3
ln(
4
)
-3
ln(
|
2
-1
|
)
)
=
1
3
(3
ln(
4
)
-3
ln(
1
)
)
=
1
3
(3
ln(
4
)
+0)
=
ln(
4
)
≈ 1,386
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -2x +1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
(
-2x
+1
)
3
ⅆ
x
=
∫
2
u
3
(
-2x
+1
)
-3
ⅆ
x
=
[
3
4
(
-2x
+1
)
-2
]
2
u
=
[
3
4
(
-2x
+1
)
2
]
2
u
=
3
4
(
-2u
+1
)
2
-
3
4
(
-2⋅2
+1
)
2
=
3
4
(
-2u
+1
)
2
-
3
4
(
-4
+1
)
2
=
3
4
(
-2u
+1
)
2
-
3
4
( -3 )
2
=
3
4
(
-2u
+1
)
2
-
3
4
⋅(
1
9
)
=
3
4
(
-2u
+1
)
2
-
1
12
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
4
(
-2u
+1
)
2
-
1
12
→
0
-
1
12
=
-
1
12
≈ -0.083
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.083