Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{8}{3}$ Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{29}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}} 2 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}} 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{8}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{8 - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 8$

= $\frac{500}{9} - \frac{32}{9}$

= $52$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{8}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 12 + $52$ = $64$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 x - 5}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 5 - 5} + \frac{1}{3 \cdot 3 - 5}$

= $- \frac{1}{15 - 5} + \frac{1}{9 - 5}$

= $- \frac{1}{10} + \frac{1}{4}$

= $- (\frac{1}{10}) + \frac{1}{4}$

= $\frac{3}{20}$

= 0,15

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 19 + $\frac{3}{20}$ = $\frac{383}{20}$ ≈ 19.15

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (10 x + 3) ⅆ x$ = $38,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (10 x + 3) ⅆ x

= ${[5 x^{2} + 3 x]}_{0}^{u}$

$=$ $5 u^{2} + 3 u - (5 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $5 u^{2} + 3 u - (5 \cdot 0 + 0)$

= $5 u^{2} + 3 u - (0 + 0)$

= $5 u^{2} + 3 u + 0$

= $5 u^{2} + 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $38,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} + 3 u

=

38,75

|

- 38,75

$5 u^{2} + 3 u - 38,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 38,75)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 775}}{10}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{784}}{10}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{- 3+28}{10}$ = $\frac{25}{10}$ = $2,5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{- 3-28}{10}$ = $\frac{- 31}{10}$ = $- 3,1$

Da u= $- 3,1$ < 0 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (π + \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (0 + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 (2 x - 3)}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 (2 u - 3)} - \frac{1}{2 (2 \cdot 2 - 3)}$

= $\frac{1}{2 (2 u - 3)} - \frac{1}{2 (4 - 3)}$

= $\frac{1}{2 (2 u - 3)} - \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2 (2 u - 3)} - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2 (2 u - 3)} - \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 (2 u - 3)} - \frac{1}{2}$ → $0 - \frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale