Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 2)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{3}{{(2 x - 2)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 3 {(2 x - 2)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 3}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{2 {(2 x - 2)}^{3}}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(2 \cdot 4 - 2)}^{3}} + \frac{1}{2 {(2 \cdot 2 - 2)}^{3}}$

= $- \frac{1}{2 {(8 - 2)}^{3}} + \frac{1}{2 {(4 - 2)}^{3}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 6^{3}} + \frac{1}{2 \cdot 2^{3}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{216}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{8})$

= $- \frac{1}{432} + \frac{1}{16}$

= $- \frac{1}{432} + \frac{27}{432}$

= $\frac{13}{216}$

≈ 0,06

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 19 + $\frac{13}{216}$ = $\frac{4117}{216}$ ≈ 19.06

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 3} - 3 e^{1 - 3}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{- 2}$

≈ 0,698

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 64 + $3 e^{- 1} - 3 e^{- 2}$ ≈ 64.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 10 x - 5) ⅆ x$ = $- 243,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 10 x - 5) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 5 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 5 u - (- 5 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $- 5 u^{2} - 5 u - (- 5 \cdot 0 + 0)$

= $- 5 u^{2} - 5 u - (0 + 0)$

= $- 5 u^{2} - 5 u + 0$

= $- 5 u^{2} - 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 243,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 5 u

=

- 243,75

|

+ 243,75

$- 5 u^{2} - 5 u + 243,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 243,75}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 4 875}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{4 900}}{- 10}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{4 900}}{- 10}$ = $\frac{5+70}{- 10}$ = $\frac{75}{- 10}$ = $- 7,5$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{4 900}}{- 10}$ = $\frac{5-70}{- 10}$ = $\frac{- 65}{- 10}$ = $6,5$

Da u= $- 7,5$ < 0 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 e^{3 x - 4}$ zwischen 2 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 2}

\int_{2}^{4} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} e^{12 - 4} - \frac{2}{3} e^{6 - 4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} e^{8} - \frac{2}{3} e^{2})$

≈ 991,19

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{3 x - 7}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{23}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{23}{3}}^{u} - \frac{3}{\sqrt{3 x - 7}} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{u} - 3 {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{u}$

= ${[- 2 \sqrt{3 x - 7}]}_{\frac{23}{3}}^{u}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 2 \sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 2 \sqrt{23 - 7}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 2 \sqrt{16}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 2 \cdot 4$

= $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 8$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{3 u - 7} + 8$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale