Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 2x -4 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:
4 5 4 ( 2x -4 ) 2 x
= 4 5 4 ( 2x -4 ) -2 x

= [ -2 ( 2x -4 ) -1 ] 4 5

= [ - 2 2x -4 ] 4 5

= - 2 25 -4 + 2 24 -4

= - 2 10 -4 + 2 8 -4

= - 2 6 + 2 4

= -2( 1 6 ) +2( 1 4 )

= - 1 3 + 1 2

= - 2 6 + 3 6

= 1 6


≈ 0,167
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:
B = 6 + 1 6 = 37 6 ≈ 6.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 11 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 27 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 27:
11 27 2 x -2 x
= 11 27 2 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -2 ) 3 2 ] 11 27

= [ 4 3 ( x -2 ) 3 ] 11 27

= 4 3 ( 27 -2 ) 3 - 4 3 ( 11 -2 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 3 3

= 4 3 125 - 4 3 27

= 500 3 -36

= 500 3 - 108 3

= 392 3


≈ 130,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 27 zusammen:
B = 9 + 392 3 = 419 3 ≈ 139.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 3,2 e 0,8x -0,8 x = 5

Lösung einblenden
0 u 3,2 e 0,8x -0,8 x

= [ 4 e 0,8x -0,8 ] 0 u

= 4 e 0,8u -0,8 -4 e 0,80 -0,8

= 4 e 0,8u -0,8 -4 e 0 -0,8

= 4 e 0,8u -0,8 -4 e -0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 e 0,8u -0,8 -4 e -0,8 = 5 | +4 e -0,8
4 e 0,8u -0,8 = 4 e -0,8 +5
4 e 0,8u -0,8 = 6,7973 |:4
e 0,8u -0,8 = 1,6993 |ln(⋅)
0,8u -0,8 = ln( 1,6993 )
0,8u -0,8 = 0,5302 | +0,8
0,8u = 1,3302 |:0,8
u = 1,6628

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 4 ( 2x -2 ) 2 zwischen 2 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 4 ( 2x -2 ) 2 x

= 1 3 [ 2 3 ( 2x -2 ) 3 ] 2 5

= 1 3 ( 2 3 ( 25 -2 ) 3 - 2 3 ( 22 -2 ) 3 )

= 1 3 ( 2 3 ( 10 -2 ) 3 - 2 3 ( 4 -2 ) 3 )

= 1 3 ( 2 3 8 3 - 2 3 2 3 )

= 1 3 ( 2 3 512 - 2 3 8 )

= 1 3 ( 1024 3 - 16 3 )

= 1 3 · 336

= 112

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u e -x +3 x

= [ - e -x +3 ] 1 u

= - e -u +3 + e -1 +3

= - e -u +3 + e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - e -u +3 + e 2 0 + e 2 = e 2 ≈ 7.389

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 7.389