Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} {(x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{x - 2}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{5 - 2} + \frac{1}{3 - 2}$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{1}$

= $- (\frac{1}{3}) + 1$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 15 + $\frac{2}{3}$ = $\frac{47}{3}$ ≈ 15.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 26 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 5} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{6 - 5} - \frac{4}{3} e^{0 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{1} - \frac{4}{3} e^{- 5}$

= $\frac{4}{3} e - \frac{4}{3} e^{- 5}$

≈ 3,615

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 26 + $- \frac{4}{3} e^{- 5} + \frac{4}{3} e$ ≈ 29.62

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 7,2 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 7,2 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,9 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,9 u + 0,7} + 8 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 8 e^{- 0,9 u + 0,7} + 8 e^{0 + 0,7}$

= $- 8 e^{- 0,9 u + 0,7} + 8 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,9 u + 0,7} + 8 e^{0,7}$	=	$3$	\| $- 8 e^{0,7}$
$- 8 e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 8 e^{0,7} + 3$
$- 8 e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 13,11$	\|: $- 8$
$e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$1,6388$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,7$	=	$\ln (1,6388)$

$- 0,9 u + 0,7$	=	$0,494$	\| $- 0,7$
$- 0,9 u$	=	$- 0,206$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,2289$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{2 x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 + 0}

\int_{0}^{5} 6 e^{2 x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[3 e^{2 x - 2}]}_{0}^{5}$

$=$ $\frac{1}{5} (3 e^{2 \cdot 5 - 2} - 3 e^{2 \cdot 0 - 2})$

= $\frac{1}{5} (3 e^{10 - 2} - 3 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{5} (3 e^{8} - 3 e^{- 2})$

≈ 1788,494

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- 3 x + 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 4}]}_{2}^{u}$

$=$ $e^{- 3 u + 4} - e^{- 3 \cdot 2 + 4}$

= $e^{- 3 u + 4} - e^{- 6 + 4}$

= $e^{- 3 u + 4} - e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{- 3 u + 4} - e^{- 2}$ → $0 - e^{- 2}$ = $- e^{- 2}$ ≈ -0.135

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.135

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale