Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 1188,119
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 16 +
≈ 1204.12
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 162734,706
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 75 +
≈ 162809.71
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
34
-8
=
-4,25
u2 =
-1
-
1225
-8
=
-1
-35
-8
=
-36
-8
=
4,5
Da u=
-4,25
< 3 ist u=
4,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
-2
∫
2
3
4
(
x
-1
)
2
ⅆ
x
=
1
∫
2
3
4
(
x
-1
)
-2
ⅆ
x
=
1
[
-4
(
x
-1
)
-1
]
2
3
=
1
[
-
4
x
-1
]
2
3
=
-
4
3
-1
+
4
2
-1
=
-
4
2
+
4
1
=
-4⋅(
1
2
)
+4⋅1
=
-2
+4
=
2
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( 3x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
3
(
3x
-3
)
2
ⅆ
x
=
∫
3
u
-3
(
3x
-3
)
-2
ⅆ
x
=
[
(
3x
-3
)
-1
]
3
u
=
[
1
3x
-3
]
3
u
=
1
3u
-3
-
1
3⋅3
-3
=
1
3u
-3
-
1
9
-3
=
1
3u
-3
-
1
6
=
1
3u
-3
- (
1
6
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
3u
-3
-
1
6
→
0
-
1
6
=
-
1
6
≈ -0.167
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167