Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
≈ 7,051
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 14 +
≈ 21.05
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
ln(
|
5
-1
|
)
-
ln(
|
3
-1
|
)
=
ln(
4
)
-
ln(
|
3
-1
|
)
=
ln(
4
)
-
ln(
2
)
≈ 0,693
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 4 +
ln(
|
4
|
)
-
ln(
|
2
|
)
≈ 4.69
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass ∫ 1 u ( -10x -3 ) ⅆ x = -7,75
Lösung einblenden
∫
1
u
(
-10x
-3
)
ⅆ
x
=
[
-5
x
2
-3x
]
1
u
=
-5
u
2
-3u
- (
-5⋅
1
2
-3⋅1
)
=
-5
u
2
-3u
- (
-5⋅1
-3
)
=
-5
u
2
-3u
- (
-5
-3
)
=
-5
u
2
-3u
-1
·
(
-8
)
=
-5
u
2
-3u
+8
|
-5
u
2
-3u
+8
|
= |
-7,75
|
|
+7,75
|
-5
u
2
-3u
+15,75
= 0
u1,2 =
+3 ±
( -3 )
2
-4 ·
(
-5
)
·
15,75
2⋅( -5 )
u1,2 =
+3 ±
9
+315
-10
u1,2 =
+3 ±
324
-10
u1 =
3
+
324
-10
=
3
+18
-10
=
21
-10
=
-2,1
u2 =
3
-
324
-10
=
3
-18
-10
=
-15
-10
=
1,5
Da u=
-2,1
< 1 ist u=
1,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 3x -7 ) 2 + x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
+0
∫
0
3
(
5
(
3x
-7
)
2
+ x
)
ⅆ
x
=
1
3
[
5
9
(
3x
-7
)
3
+
1
2
x
2
]
0
3
=
1
3
(
5
9
⋅
(
3⋅3
-7
)
3
+
1
2
⋅
3
2
- (
5
9
⋅
(
3⋅0
-7
)
3
+
1
2
⋅
0
2
))
=
1
3
(
5
9
⋅
(
9
-7
)
3
+
1
2
⋅9
- (
5
9
⋅
( 0
-7
)
3
+
1
2
⋅0
))
=
1
3
(
5
9
⋅
2
3
+
9
2
- (
5
9
⋅
( -7 )
3
+0))
=
1
3
(
5
9
⋅8
+
9
2
- (
5
9
⋅( -343 )
+0))
=
1
3
(
40
9
+
9
2
- (
-
1715
9
+0))
=
1
3
(
80
18
+
81
18
- (
-
1715
9
+0))
=
1
3
(
161
18
+
1715
9
)
=
1
3
(
161
18
+
3430
18
)
=
1
3
(
161
18
+
1715
9
)
=
1
3
·
399
2
= 66,5
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -2x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
-
e
-2x
+2
ⅆ
x
=
[
1
2
e
-2x
+2
]
2
u
=
1
2
e
-2u
+2
-
1
2
e
-2⋅2
+2
=
1
2
e
-2u
+2
-
1
2
e
-4
+2
=
1
2
e
-2u
+2
-
1
2
e
-2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
2
e
-2u
+2
-
1
2
e
-2
→
0
-
1
2
e
-2
=
-
1
2
e
-2
≈ -0.068
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.068