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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 2x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
∫ 0 3 6 e 2x -3 ⅆ x

= [ 3 e 2x -3 ] 0 3

= 3 e 2⋅3 -3 -3 e 2⋅0 -3

= 3 e 6 -3 -3 e 0 -3

= 3 e 3 -3 e -3


≈ 60,107
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 46 + 3 e 3 -3 e -3 ≈ 106.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
∫ 1 3 3 e x -1 ⅆ x

= [ 3 e x -1 ] 1 3

= 3 e 3 -1 -3 e 1 -1

= 3 e 2 -3 e 0

= 3 e 2 -3


≈ 19,167
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 74 + 3 e 2 -3 ≈ 93.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 0,8 e 0,8x -0,9 ⅆ x = 11

Lösung einblenden
∫ 0 u 0,8 e 0,8x -0,9 ⅆ x

= [ e 0,8x -0,9 ] 0 u

= e 0,8u -0,9 - e 0,8⋅0 -0,9

= e 0,8u -0,9 - e 0 -0,9

= e 0,8u -0,9 - e -0,9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 11 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

e 0,8u -0,9 - e -0,9 = 11 | + e -0,9
e 0,8u -0,9 = e -0,9 +11
e 0,8u -0,9 = 11,4066 |ln(⋅)
0,8u -0,9 = ln( 11,4066 )
0,8u -0,9 = 2,4342 | +0,9
0,8u = 3,3342 |:0,8
u = 4,1678

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 2x -2 ) 3 +5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 ∫ 2 5 ( 4 ( 2x -2 ) 3 +5 ) ⅆ x

= 1 3 [ 1 2 ( 2x -2 ) 4 +5x ] 2 5

= 1 3 ( 1 2 ⋅ ( 2⋅5 -2 ) 4 +5⋅5 - ( 1 2 ⋅ ( 2⋅2 -2 ) 4 +5⋅2 ))

= 1 3 ( 1 2 ⋅ ( 10 -2 ) 4 +25 - ( 1 2 ⋅ ( 4 -2 ) 4 +10 ))

= 1 3 ( 1 2 ⋅ 8 4 +25 - ( 1 2 ⋅ 2 4 +10 ))

= 1 3 ( 1 2 ⋅4096 +25 - ( 1 2 ⋅16 +10 ))

= 1 3 ( 2048 +25 - ( 8 +10 ))

= 1 3 ( 2073 -1 · 18 )

= 1 3 ( 2073 -18 )

= 1 3 · 2055

= 685

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -2x +4 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 0 u - e -2x +4 ⅆ x

= [ 1 2 e -2x +4 ] 0 u

= 1 2 e -2u +4 - 1 2 e -2⋅0 +4

= 1 2 e -2u +4 - 1 2 e 0 +4

= 1 2 e -2u +4 - 1 2 e 4

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 e -2u +4 - 1 2 e 4 → 0 - 1 2 e 4 = - 1 2 e 4 ≈ -27.299

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 27.299