Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3x -6 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 22 3 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 31 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 22 3 und 31 3 :
22 3 31 3 3x -6 x
= 22 3 31 3 ( 3x -6 ) 1 2 x

= [ 2 9 ( 3x -6 ) 3 2 ] 22 3 31 3

= [ 2 9 ( 3x -6 ) 3 ] 22 3 31 3

= 2 9 ( 3( 31 3 ) -6 ) 3 - 2 9 ( 3( 22 3 ) -6 ) 3

= 2 9 ( 31 -6 ) 3 - 2 9 ( 22 -6 ) 3

= 2 9 ( 25 ) 3 - 2 9 ( 16 ) 3

= 2 9 5 3 - 2 9 4 3

= 2 9 125 - 2 9 64

= 250 9 - 128 9

= 122 9


≈ 13,556
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 22 3 und der Änderung zwischen 22 3 und 31 3 zusammen:
B = 3 + 122 9 = 149 9 ≈ 16.56

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -6 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 72 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 4 e 3x -6 x

= [ 4 3 e 3x -6 ] 0 3

= 4 3 e 33 -6 - 4 3 e 30 -6

= 4 3 e 9 -6 - 4 3 e 0 -6

= 4 3 e 3 - 4 3 e -6


≈ 26,777
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 72 + 4 3 e 3 - 4 3 e -6 ≈ 98.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( -2x +5 ) x = -56

Lösung einblenden
3 u ( -2x +5 ) x

= [ - x 2 +5x ] 3 u

= - u 2 +5u - ( - 3 2 +53 )

= - u 2 +5u - ( -9 +15 )

= - u 2 +5u +9 -15

= - u 2 +5u -6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -56 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u 2 +5u -6 = -56 | +56

- u 2 +5u +50 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -5 ± 5 2 -4 · ( -1 ) · 50 2( -1 )

u1,2 = -5 ± 25 +200 -2

u1,2 = -5 ± 225 -2

u1 = -5 + 225 -2 = -5 +15 -2 = 10 -2 = -5

u2 = -5 - 225 -2 = -5 -15 -2 = -20 -2 = 10

Da u= -5 < 3 ist u= 10 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 cos( x - 3 2 π) zwischen 0 und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 0 π 3 cos( x - 3 2 π) x

= 1 π [ 3 sin( x - 3 2 π) ] 0 π

= 1 π · ( 3 sin( π - 3 2 π) -3 sin( 0 - 3 2 π) )

= 1 π · ( 3 sin( - 1 2 π) -3 sin( - 3 2 π) )

= 1 π · ( 3( -1 ) -31 )

= 1 π · ( -3 -3 )

= 1 π · ( -6 )

= - 6 π


≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 1 ( 2x -3 ) 2 x
= 2 u ( 2x -3 ) -2 x

= [ - 1 2 ( 2x -3 ) -1 ] 2 u

= [ - 1 2( 2x -3 ) ] 2 u

= - 1 2( 2u -3 ) + 1 2( 22 -3 )

= - 1 2( 2u -3 ) + 1 2( 4 -3 )

= - 1 2( 2u -3 ) + 1 2

= - 1 2( 2u -3 ) + 1 2 1

= - 1 2( 2u -3 ) + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2( 2u -3 ) + 1 2 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5