Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(x - 3)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{4}{{(x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 4 {(x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(x - 3)}^{- 3}]}_{4}^{5}$

= ${[- \frac{4}{3 {(x - 3)}^{3}}]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{4}{3 {(5 - 3)}^{3}} + \frac{4}{3 {(4 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{4}{3 \cdot 2^{3}} + \frac{4}{3 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{4}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{6} + \frac{4}{3}$

= $- \frac{1}{6} + \frac{8}{6}$

= $\frac{7}{6}$

≈ 1,167

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 15 + $\frac{7}{6}$ = $\frac{97}{6}$ ≈ 16.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{3}{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 3 {(2 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $\frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 5 - 5 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 5 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| 10 - 5 |) - \frac{3}{2} \ln (| 8 - 5 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (5) - \frac{3}{2} \ln (| 8 - 5 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (5) - \frac{3}{2} \ln (3)$

≈ 0,766

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 18 + $\frac{3}{2} \ln (| 5 |) - \frac{3}{2} \ln (| 3 |)$ ≈ 18.77

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,2 x - 0,2} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,2 x - 0,2} ⅆ x

= ${[9 e^{0,2 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,2 u - 0,2} - 9 e^{0,2 \cdot 0 - 0,2}$

= $9 e^{0,2 u - 0,2} - 9 e^{0 - 0,2}$

= $9 e^{0,2 u - 0,2} - 9 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,2 u - 0,2} - 9 e^{- 0,2}$	=	$5$	\| $+ 9 e^{- 0,2}$
$9 e^{0,2 u - 0,2}$	=	$9 e^{- 0,2} + 5$
$9 e^{0,2 u - 0,2}$	=	$12,3686$	\|: $9$
$e^{0,2 u - 0,2}$	=	$1,3743$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,2$	=	$\ln (1,3743)$

$0,2 u - 0,2$	=	$0,3179$	\| $+ 0,2$
$0,2 u$	=	$0,5179$	\|: $0,2$
$u$	=	$2,5895$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{7}{2}$ und Minute $\frac{19}{2}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{19}{2} - \frac{7}{2}}

\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}} \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{6}

\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{6}$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}}$

= $\frac{1}{6}$ ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}}$

$=$ $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{7 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

= $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

= $\frac{1}{6} (\frac{64}{3} - \frac{8}{3})$

= $\frac{1}{6} \cdot \frac{56}{3}$

= $\frac{28}{9}$

≈ 3,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- 3 x + 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(- 3 x + 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(- 3 x + 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 3 x + 5)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{6 {(- 3 x + 5)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{6 {(- 3 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{6 {(- 3 \cdot 2 + 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{6 {(- 3 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{6 {(- 6 + 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{6 {(- 3 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{6 {(- 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{6 {(- 3 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1$

= $\frac{1}{6 {(- 3 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{6}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{6 {(- 3 u + 5)}^{2}} - \frac{1}{6}$ → $0 - \frac{1}{6}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale