Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 4} - \frac{1}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 2,457

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 68 + $\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 4}$ ≈ 70.46

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} \frac{5}{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{3} 5 {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} \ln (| 2 x - 1 |)]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} \ln (| 2 \cdot 3 - 1 |) - \frac{5}{2} \ln (| 2 \cdot 1 - 1 |)$

= $\frac{5}{2} \ln (| 6 - 1 |) - \frac{5}{2} \ln (| 2 - 1 |)$

= $\frac{5}{2} \ln (5) - \frac{5}{2} \ln (| 2 - 1 |)$

= $\frac{5}{2} \ln (5) - \frac{5}{2} \ln (1)$

= $\frac{5}{2} \ln (5) + 0$

= $\frac{5}{2} \ln (5)$

≈ 4,024

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 6 + $\frac{5}{2} \ln (5)$ ≈ 10.02

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,5 e^{0,5 x - 0,1} ⅆ x$ = $16$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,5 e^{0,5 x - 0,1} ⅆ x

= ${[9 e^{0,5 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $9 e^{0,5 u - 0,1} - 9 e^{0,5 \cdot 0 - 0,1}$

= $9 e^{0,5 u - 0,1} - 9 e^{0 - 0,1}$

= $9 e^{0,5 u - 0,1} - 9 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$9 e^{0,5 u - 0,1} - 9 e^{- 0,1}$	=	$16$	\| $+ 9 e^{- 0,1}$
$9 e^{0,5 u - 0,1}$	=	$9 e^{- 0,1} + 16$
$9 e^{0,5 u - 0,1}$	=	$24,1435$	\|: $9$
$e^{0,5 u - 0,1}$	=	$2,6826$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,1$	=	$\ln (2,6826)$

$0,5 u - 0,1$	=	$0,9868$	\| $+ 0,1$
$0,5 u$	=	$1,0868$	\|: $0,5$
$u$	=	$2,1736$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 {(3 x - 7)}^{2}$ zwischen 0 und 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 3 {(3 x - 7)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{3} {(3 x - 7)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 2 - 7)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 0 - 7)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot {(6 - 7)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 - 7)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 7)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{3} \cdot (- 343))$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} + \frac{343}{3})$

= $\frac{1}{2} \cdot 114$

= $57$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{1}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 3}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{1}{3} e^{- 3 + 3}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{1}{3} e^{0}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{1}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{1}{3}$ → $0 - \frac{1}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale