Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} \frac{1}{{(2 x - 1)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{1}^{4} {(2 x - 1)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(2 x - 1)}^{- 3}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{1}{6 {(2 x - 1)}^{3}}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{6 {(2 \cdot 4 - 1)}^{3}} + \frac{1}{6 {(2 \cdot 1 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{1}{6 {(8 - 1)}^{3}} + \frac{1}{6 {(2 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{1}{6 \cdot 7^{3}} + \frac{1}{6 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{343}) + \frac{1}{6} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2058} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{1}{2058} + \frac{343}{2058}$

= $\frac{57}{343}$

≈ 0,166

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 2 + $\frac{57}{343}$ = $\frac{743}{343}$ ≈ 2.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 2 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 3} - e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $e^{6 - 3} - e^{2 - 3}$

= $e^{3} - e^{- 1}$

≈ 19,718

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 23 + $e^{3} - e^{- 1}$ ≈ 42.72

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,4 e^{0,4 x - 0,5} ⅆ x$ = $17$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,4 e^{0,4 x - 0,5} ⅆ x

= ${[6 e^{0,4 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,4 u - 0,5} - 6 e^{0,4 \cdot 0 - 0,5}$

= $6 e^{0,4 u - 0,5} - 6 e^{0 - 0,5}$

= $6 e^{0,4 u - 0,5} - 6 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $17$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,4 u - 0,5} - 6 e^{- 0,5}$	=	$17$	\| $+ 6 e^{- 0,5}$
$6 e^{0,4 u - 0,5}$	=	$6 e^{- 0,5} + 17$
$6 e^{0,4 u - 0,5}$	=	$20,6392$	\|: $6$
$e^{0,4 u - 0,5}$	=	$3,4399$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,5$	=	$\ln (3,4399)$

$0,4 u - 0,5$	=	$1,2354$	\| $+ 0,5$
$0,4 u$	=	$1,7354$	\|: $0,4$
$u$	=	$4,3385$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 6 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[6 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) - 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (6 \cdot \sin (π) - 6 \cdot \sin (0))$

= $\frac{1}{π} \cdot (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - {(- 2 x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(- 2 x + 3)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{4 {(- 2 x + 3)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{4 {(- 2 \cdot 2 + 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{4 {(- 4 + 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{4 {(- 1)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot 1$

= $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} + \frac{1}{4}$ → $0 + \frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale