Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 42 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 5 - 5} - 3 e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $3 e^{10 - 5} - 3 e^{4 - 5}$

= $3 e^{5} - 3 e^{- 1}$

≈ 444,136

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 42 + $3 e^{5} - 3 e^{- 1}$ ≈ 486.14

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{9 - 6} - \frac{5}{3} e^{3 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{3} - \frac{5}{3} e^{- 3}$

≈ 33,393

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 10 + $\frac{5}{3} e^{3} - \frac{5}{3} e^{- 3}$ ≈ 43.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,6 x + 0,7} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,6 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,6 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,6 u + 0,7} + 6 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 6 e^{- 0,6 u + 0,7} + 6 e^{0 + 0,7}$

= $- 6 e^{- 0,6 u + 0,7} + 6 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,6 u + 0,7} + 6 e^{0,7}$	=	$3$	\| $- 6 e^{0,7}$
$- 6 e^{- 0,6 u + 0,7}$	=	$- 6 e^{0,7} + 3$
$- 6 e^{- 0,6 u + 0,7}$	=	$- 9,0825$	\|: $- 6$
$e^{- 0,6 u + 0,7}$	=	$1,5138$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,7$	=	$\ln (1,5138)$

$- 0,6 u + 0,7$	=	$0,4146$	\| $- 0,7$
$- 0,6 u$	=	$- 0,2854$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$0,4757$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x + π)$ zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 3 \cdot \sin (x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (π + π) + 3 \cdot \cos (0 + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (2 π) + 3 \cdot \cos (π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 - 3)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 6)$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} \frac{3}{{(2 x)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} \frac{3}{4 x^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} \frac{3}{4} x^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} x^{- 1}]}_{u}^{3}$

= ${[- \frac{3}{4 x}]}_{u}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4 u}$

= $- \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{3}) + \frac{3}{4 u}$

= $- \frac{1}{4} + \frac{3}{4 u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{4} + \frac{3}{4 u}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale