Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 61,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 7 + = ≈ 68.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
2
ln(
|
3⋅6
-7
|
)
-2
ln(
|
3⋅3
-7
|
)
=
2
ln(
|
18
-7
|
)
-2
ln(
|
9
-7
|
)
=
2
ln(
11
)
-2
ln(
|
9
-7
|
)
=
2
ln(
11
)
-2
ln(
2
)
≈ 3,409
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 18 +
2
ln(
|
11
|
)
-2
ln(
|
2
|
)
≈ 21.41
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 2,7 e -0,3x +0,1 ⅆ x = 3
Lösung einblenden
∫
0
u
2,7
e
-0,3x
+0,1
ⅆ
x
=
[
-9
e
-0,3x
+0,1
]
0
u
=
-9
e
-0,3u
+0,1
+9
e
-0,3⋅0
+0,1
=
-9
e
-0,3u
+0,1
+9
e
0
+0,1
=
-9
e
-0,3u
+0,1
+9
e
0,1
|
-9
e
-0,3u
+0,1
+9
e
0,1
|
= |
3
|
|
-9
e
0,1
|
|
-9
e
-0,3u
+0,1
|
= |
-9
e
0,1
+3
|
|
|
-9
e
-0,3u
+0,1
|
= |
-6,9465
|
|:-9
|
|
e
-0,3u
+0,1
|
= |
0,7718
|
|ln(⋅) |
|
-0,3u
+0,1
|
= |
ln(
0,7718
)
|
|
|
-0,3u
+0,1
|
= |
-0,259
|
|
-0,1
|
|
-0,3u
|
= |
-0,359
|
|:(-0,3
) |
|
u
|
= |
1,1967
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3⋅ cos( 2x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
3⋅
cos(
2x
-
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
3
2
⋅
sin(
2x
-
1
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
3
2
⋅
sin(
2⋅π
-
1
2
π)
-
3
2
⋅
sin(
2⋅(
1
2
π )
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
3
2
⋅
sin(
3
2
π)
-
3
2
⋅
sin(
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
3
2
⋅( -1 )
-
3
2
⋅1
)
=
2
π
·
(
-
3
2
-
3
2
)
=
2
π
·
(
-1,5
-1,5
)
=
2
π
·
(
-3
)
=
-
6
π
≈ -1,91
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( x -1 ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=5 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
5
-
1
(
x
-1
)
2
ⅆ
x
=
∫
u
5
-
(
x
-1
)
-2
ⅆ
x
=
[
(
x
-1
)
-1
]
u
5
=
[
1
x
-1
]
u
5
=
1
5
-1
-
1
u
-1
=
1
4
-
1
u
-1
=
1
4
-
1
u
-1
=
-
1
u
-1
+
1
4
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
-
1
u
-1
+
1
4
→
-∞