Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 \sqrt{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $19$ Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $28$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 5 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 64$

= $\frac{1250}{3} - \frac{640}{3}$

= $\frac{610}{3}$

≈ 203,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 6 + $\frac{610}{3}$ = $\frac{628}{3}$ ≈ 209.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{3}{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 3 {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| 3 x - 4 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $\ln (| 3 \cdot 4 - 4 |) - \ln (| 3 \cdot 2 - 4 |)$

= $\ln (| 12 - 4 |) - \ln (| 6 - 4 |)$

= $\ln (8) - \ln (| 6 - 4 |)$

= $\ln (8) - \ln (2)$

≈ 1,386

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 4 + $\ln (| 8 |) - \ln (| 2 |)$ ≈ 5.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (6 x - 3) ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (6 x - 3) ⅆ x

= ${[3 x^{2} - 3 x]}_{3}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 3 u - (3 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3)$

= $3 u^{2} - 3 u - (3 \cdot 9 - 9)$

= $3 u^{2} - 3 u - (27 - 9)$

= $3 u^{2} - 3 u - 1 \cdot 18$

= $3 u^{2} - 3 u - 18$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} - 3 u - 18

=

18

|

- 18

3 u^{2} - 3 u - 36

= 0 |:3

$u^{2} - u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Da u= $- 3$ < 3 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 3)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} \frac{4}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{2}^{5} 4 {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{4}{3 (3 x - 3)}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{4}{3 (3 \cdot 5 - 3)} + \frac{4}{3 (3 \cdot 2 - 3)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{4}{3 (15 - 3)} + \frac{4}{3 (6 - 3)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{4}{3 \cdot 12} + \frac{4}{3 \cdot 3})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{12}) + \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{1}{9} + \frac{4}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{9}$

≈ 0,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $2 e^{- u + 2} - 2 e^{- 2 + 2}$

= $2 e^{- u + 2} - 2 e^{0}$

= $2 e^{- u + 2} - 2$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 e^{- u + 2} - 2$ → $0 - 2$ = $- 2$ ≈ -2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale