Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{16}{3}$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 3 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 3 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{250}{3} - 18$

= $\frac{250}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 19 + $\frac{196}{3}$ = $\frac{253}{3}$ ≈ 84.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{4}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 4 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{4}{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{4}{4 - 1} + \frac{4}{2 - 1}$

= $- \frac{4}{3} + \frac{4}{1}$

= $- 4 \cdot (\frac{1}{3}) + 4 \cdot 1$

= $- \frac{4}{3} + 4$

= $- \frac{4}{3} + \frac{12}{3}$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 7 + $\frac{8}{3}$ = $\frac{29}{3}$ ≈ 9.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 4 x - 1) ⅆ x$ = $- 36$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 4 x - 1) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} - u - (- 2 \cdot 0^{2} - 0)$

= $- 2 u^{2} - u - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 2 u^{2} - u - (0 + 0)$

= $- 2 u^{2} - u + 0$

= $- 2 u^{2} - u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 36$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} - u

=

- 36

|

+ 36

$- 2 u^{2} - u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 36}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{1+17}{- 4}$ = $\frac{18}{- 4}$ = $- 4,5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{1-17}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Da u= $- 4,5$ < 0 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{19}{2}$ und Minute $14$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{14 - \frac{19}{2}}

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 2 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\frac{2}{9}

\int_{\frac{19}{2}}^{14} 2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{2}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

$=$ $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64)$

= $\frac{2}{9} (\frac{250}{3} - \frac{128}{3})$

= $\frac{2}{9} \cdot \frac{122}{3}$

= $\frac{244}{27}$

≈ 9,037

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[3 e^{- x + 3}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{- u + 3} - 3 e^{- 0 + 3}$

= $3 e^{- u + 3} - 3 e^{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 e^{- u + 3} - 3 e^{3}$ → $0 - 3 e^{3}$ = $- 3 e^{3}$ ≈ -60.257

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 60.257

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale