Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 6 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 4 - 5} - 3 e^{2 \cdot 2 - 5}$

= $3 e^{8 - 5} - 3 e^{4 - 5}$

= $3 e^{3} - 3 e^{- 1}$

≈ 59,153

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 15 + $3 e^{3} - 3 e^{- 1}$ ≈ 74.15

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{1}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| x - 1 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $\ln (| 5 - 1 |) - \ln (| 2 - 1 |)$

= $\ln (4) - \ln (| 2 - 1 |)$

= $\ln (4) - \ln (1)$

= $\ln (4) + 0$

= $\ln (4)$

≈ 1,386

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 5 + $\ln (4)$ ≈ 6.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (10 x + 3) ⅆ x$ = $132$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (10 x + 3) ⅆ x

= ${[5 x^{2} + 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $5 u^{2} + 3 u - (5 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $5 u^{2} + 3 u - (5 \cdot 1 + 3)$

= $5 u^{2} + 3 u - (5 + 3)$

= $5 u^{2} + 3 u - 1 \cdot 8$

= $5 u^{2} + 3 u - 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $132$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} + 3 u - 8

=

132

|

- 132

$5 u^{2} + 3 u - 140$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 140)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 2 800}}{10}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{2 809}}{10}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{- 3+53}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{- 3-53}{10}$ = $\frac{- 56}{10}$ = $- 5,6$

Da u= $- 5,6$ < 1 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 {(2 x - 5)}^{2} + 4 x$ zwischen 1 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} (5 {(2 x - 5)}^{2} + 4 x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{6} {(2 x - 5)}^{3} + 2 x^{2}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot {(2 \cdot 4 - 5)}^{3} + 2 \cdot 4^{2} - (\frac{5}{6} \cdot {(2 \cdot 1 - 5)}^{3} + 2 \cdot 1^{2}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot {(8 - 5)}^{3} + 2 \cdot 16 - (\frac{5}{6} \cdot {(2 - 5)}^{3} + 2 \cdot 1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot 3^{3} + 32 - (\frac{5}{6} \cdot {(- 3)}^{3} + 2))$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot 27 + 32 - (\frac{5}{6} \cdot (- 27) + 2))$

= $\frac{1}{3} (\frac{45}{2} + 32 - (- \frac{45}{2} + 2))$

= $\frac{1}{3} (22,5 + 32 - (- 22,5 + 2))$

= $\frac{1}{3} (54,5 - 1 \cdot (- 20,5))$

= $\frac{1}{3} (54,5 + 20,5)$

= $\frac{1}{3} \cdot 75$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{5} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{5} - 2 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{5}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{5}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 5 - 6} + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 \sqrt{10 - 6} + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 \sqrt{4} + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 u - 6}$

= $- 4 + 2 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 6} - 4$ → $0 - 4$ = $- 4$ ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale