Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -2 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 2 ( 2x -2 ) 2 x
= 2 3 2 ( 2x -2 ) -2 x

= [ - ( 2x -2 ) -1 ] 2 3

= [ - 1 2x -2 ] 2 3

= - 1 23 -2 + 1 22 -2

= - 1 6 -2 + 1 4 -2

= - 1 4 + 1 2

= -( 1 4 ) + 1 2

= 1 4


= 0,25
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 14 + 1 4 = 57 4 ≈ 14.25

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 5 e x -3 x

= [ 5 e x -3 ] 1 2

= 5 e 2 -3 -5 e 1 -3

= 5 e -1 -5 e -2


≈ 1,163
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 4 + 5 e -1 -5 e -2 ≈ 5.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( -6x -1 ) x = -129,25

Lösung einblenden
1 u ( -6x -1 ) x

= [ -3 x 2 - x ] 1 u

= -3 u 2 - u - ( -3 1 2 - 1 )

= -3 u 2 - u - ( -31 -1 )

= -3 u 2 - u - ( -3 -1 )

= -3 u 2 - u -1 · ( -4 )

= -3 u 2 - u +4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -129,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-3 u 2 - u +4 = -129,25 | +129,25

-3 u 2 - u +133,25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · ( -3 ) · 133,25 2( -3 )

u1,2 = +1 ± 1 +1599 -6

u1,2 = +1 ± 1600 -6

u1 = 1 + 1600 -6 = 1 +40 -6 = 41 -6 = - 41 6 ≈ -6.83

u2 = 1 - 1600 -6 = 1 -40 -6 = -39 -6 = 6,5

Da u= - 41 6 < 1 ist u= 6,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( x -3 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 5 ( x -3 ) 2 x

= 1 3 [ 5 3 ( x -3 ) 3 ] 0 3

= 1 3 ( 5 3 ( 3 -3 ) 3 - 5 3 ( 0 -3 ) 3 )

= 1 3 ( 5 3 0 3 - 5 3 ( -3 ) 3 )

= 1 3 ( 5 3 0 - 5 3 ( -27 ) )

= 1 3 (0 +45 )

= 15

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 11 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 11 - 2 x -2 x
= u 11 -2 ( x -2 ) - 1 2 x

= [ -4 ( x -2 ) 1 2 ] u 11

= [ -4 x -2 ] u 11

= -4 11 -2 +4 u -2

= -4 9 +4 u -2

= -43 +4 u -2

= -12 +4 u -2

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = 4 u -2 -12 0 -12 = -12 ≈ -12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12