Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 41,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 13 + = ≈ 54.11
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 12 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
24
4
=
6
u2 =
1
-
529
4
=
1
-23
4
=
-22
4
=
-5,5
Da u=
-5,5
< 0 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 2x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 6.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
6
-4
∫
4
6
5
2x
-5
ⅆ
x
=
1
2
∫
4
6
5
(
2x
-5
)
-1
ⅆ
x
=
1
2
[
5
2
ln(
|
2x
-5
|
)
]
4
6
=
1
2
(
5
2
ln(
|
2⋅6
-5
|
)
-
5
2
ln(
|
2⋅4
-5
|
)
)
=
1
2
(
5
2
ln(
|
12
-5
|
)
-
5
2
ln(
|
8
-5
|
)
)
=
1
2
(
5
2
ln(
7
)
-
5
2
ln(
|
8
-5
|
)
)
=
1
2
(
5
2
ln(
7
)
-
5
2
ln(
3
)
)
≈ 1,059
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -3x +4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
3
(
-3x
+4
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
3
(
-3x
+4
)
-3
ⅆ
x
=
[
1
2
(
-3x
+4
)
-2
]
3
u
=
[
1
2
(
-3x
+4
)
2
]
3
u
=
1
2
(
-3u
+4
)
2
-
1
2
(
-3⋅3
+4
)
2
=
1
2
(
-3u
+4
)
2
-
1
2
(
-9
+4
)
2
=
1
2
(
-3u
+4
)
2
-
1
2
( -5 )
2
=
1
2
(
-3u
+4
)
2
-
1
2
⋅(
1
25
)
=
1
2
(
-3u
+4
)
2
-
1
50
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
2
(
-3u
+4
)
2
-
1
50
→
0
-
1
50
=
-
1
50
≈ -0.02
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.02