Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 0,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 4 + = ≈ 4.33
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 5 + = ≈ 5.11
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
89
-10
=
-8,9
u2 =
2
-
7569
-10
=
2
-87
-10
=
-85
-10
=
8,5
Da u=
-8,9
< 2 ist u=
8,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 2x -2 zwischen 3 und 11 2 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
11
2
-3
∫
3
11
2
3
2x
-2
ⅆ
x
=
2
5
∫
3
11
2
3
(
2x
-2
)
1
2
ⅆ
x
=
2
5
[
(
2x
-2
)
3
2
]
3
11
2
=
2
5
[
(
2x
-2
)
3
]
3
11
2
=
2
5
(
(
2⋅(
11
2
)
-2
)
3
-
(
2⋅3
-2
)
3
)
=
2
5
(
(
11
-2
)
3
-
(
6
-2
)
3
)
=
2
5
(
(
9
)
3
-
(
4
)
3
)
=
2
5
(
3
3
-
2
3
)
=
2
5
(
27
- 8
)
=
2
5
·
19
= 7,6
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -x +1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
-
3
(
-x
+1
)
3
ⅆ
x
=
∫
2
u
-3
(
-x
+1
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
3
2
(
-x
+1
)
-2
]
2
u
=
[
-
3
2
(
-x
+1
)
2
]
2
u
=
-
3
2
(
-u
+1
)
2
+
3
2
(
-2
+1
)
2
=
-
3
2
(
-u
+1
)
2
+
3
2
( -1 )
2
=
-
3
2
(
-u
+1
)
2
+
3
2
⋅1
=
-
3
2
(
-u
+1
)
2
+
3
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
2
(
-u
+1
)
2
+
3
2
→
0
+
3
2
=
3
2
≈ 1.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5