Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{8}{3}$ Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{29}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}} 4 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}} 4 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{8}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{8 - 4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 8$

= $\frac{1000}{9} - \frac{64}{9}$

= $104$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{8}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 18 + $104$ = $122$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 48 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 4 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 5 - 1} - 2 e^{2 \cdot 2 - 1}$

= $2 e^{10 - 1} - 2 e^{4 - 1}$

= $2 e^{9} - 2 e^{3}$

≈ 16165,997

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 48 + $2 e^{9} - 2 e^{3}$ ≈ 16214

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (6 x + 4) ⅆ x$ = $185$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (6 x + 4) ⅆ x

= ${[3 x^{2} + 4 x]}_{3}^{u}$

$=$ $3 u^{2} + 4 u - (3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3)$

= $3 u^{2} + 4 u - (3 \cdot 9 + 12)$

= $3 u^{2} + 4 u - (27 + 12)$

= $3 u^{2} + 4 u - 1 \cdot 39$

= $3 u^{2} + 4 u - 39$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $185$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} + 4 u - 39

=

185

|

- 185

$3 u^{2} + 4 u - 224$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 224)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 2 688}}{6}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{2 704}}{6}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{2 704}}{6}$ = $\frac{- 4+52}{6}$ = $\frac{48}{6}$ = $8$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{2 704}}{6}$ = $\frac{- 4-52}{6}$ = $\frac{- 56}{6}$ = $- \frac{28}{3}$ ≈ -9.33

Da u= $- \frac{28}{3}$ < 3 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(2 x - 1)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 {(2 x - 1)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 3 - 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 0 - 1)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(6 - 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 - 1)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{125}{3} + \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot 42$

= $14$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{- 3 x + 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{- 3 x + 6} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(- 3 x + 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 6 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 (u) + 6 |) + \frac{2}{3} \ln (| - 3 \cdot 4 + 6 |)$

= $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 6 |) + \frac{2}{3} \ln (| - 12 + 6 |)$

= $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 6 |) + \frac{2}{3} \ln (6)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} \ln (6) - \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 6 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale