Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 42 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 5}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 5} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 5} - \frac{5}{3} e^{6 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{7} - \frac{5}{3} e^{1}$

= $\frac{5}{3} e^{7} - \frac{5}{3} e$

≈ 1823,191

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 42 + $\frac{5}{3} e^{7} - \frac{5}{3} e$ ≈ 1865.19

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 4 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{8 - 4} - \frac{5}{2} e^{4 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{4} - \frac{5}{2} e^{0}$

= $\frac{5}{2} e^{4} - \frac{5}{2}$

≈ 133,995

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 4 + $\frac{5}{2} e^{4} - \frac{5}{2}$ ≈ 138

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 8 x ⅆ x$ = $- 128$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 8 x ⅆ x

= ${[- 4 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 4 \cdot 2^{2}$

= $- 4 u^{2} + 4 \cdot 4$

= $- 4 u^{2} + 16$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 128$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 u^{2} + 16$	=	$- 128$	\| $- 16$
$- 4 u^{2}$	=	$- 144$	\|: $(- 4)$
$u^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
u₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da u= $- 6$ < 2 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(3 x - 7)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 4 {(3 x - 7)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{9} {(3 x - 7)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 7)}^{3} - \frac{4}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 7)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot {(9 - 7)}^{3} - \frac{4}{9} \cdot {(0 - 7)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot 2^{3} - \frac{4}{9} \cdot {(- 7)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot 8 - \frac{4}{9} \cdot (- 343))$

= $\frac{1}{3} (\frac{32}{9} + \frac{1372}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot 156$

= $52$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{3 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{3 x - 3}]}_{1}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{3 u - 3} + \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $- \frac{1}{3} e^{3 u - 3} + \frac{1}{3} e^{3 - 3}$

= $- \frac{1}{3} e^{3 u - 3} + \frac{1}{3} e^{0}$

= $- \frac{1}{3} e^{3 u - 3} + \frac{1}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3} e^{3 u - 3} + \frac{1}{3}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale