Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 1188,119
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 5 +
≈ 1193.12
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
=
≈ 1,808
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 16 +
≈ 17.81
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
81
|
=
-9
|
| u2 |
= |
81
|
=
9
|
Da u=
-9
< 2 ist u=
9
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( x -2 ) 2 + x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
+0
∫
0
4
(
3
(
x
-2
)
2
+ x
)
ⅆ
x
=
1
4
[
(
x
-2
)
3
+
1
2
x
2
]
0
4
=
1
4
(
(
4
-2
)
3
+
1
2
⋅
4
2
- (
( 0
-2
)
3
+
1
2
⋅
0
2
))
=
1
4
(
2
3
+
1
2
⋅16
- (
( -2 )
3
+
1
2
⋅0
))
=
1
4
(
8
+8
- (
( -8 )
+0))
=
1
4
(
8
+8
+8
)
=
1
4
·
24
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 3x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
3x
-3
ⅆ
x
=
∫
2
u
3
(
3x
-3
)
-1
ⅆ
x
=
[
ln(
|
3x
-3
|
)
]
2
u
=
ln(
|
3(
u
)
-3
|
)
-
ln(
|
3⋅2
-3
|
)
=
ln(
|
3u
-3
|
)
-
ln(
|
6
-3
|
)
=
ln(
|
3u
-3
|
)
-
ln(
3
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
ln(
3
)
+
ln(
|
3x
-3
|
)
→
∞