Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{3 \cdot 1 - 4} - e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $e^{3 - 4} - e^{0 - 4}$

= $e^{- 1} - e^{- 4}$

≈ 0,35

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 9 + $e^{- 1} - e^{- 4}$ ≈ 9.35

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\sqrt{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{8}{3}$ Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{13}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{13}{3}

:

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}} \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{13}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{8}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{8 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 3^{3} - \frac{2}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 27 - \frac{2}{9} \cdot 8$

= $6 - \frac{16}{9}$

= $\frac{54}{9} - \frac{16}{9}$

= $\frac{38}{9}$

≈ 4,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{8}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{13}{3}

zusammen:

B = 11 + $\frac{38}{9}$ = $\frac{137}{9}$ ≈ 15.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 6 x - 3) ⅆ x$ = $- 26,25$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 6 x - 3) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} - 3 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} - 3 u - (- 3 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $- 3 u^{2} - 3 u - (- 3 \cdot 0 + 0)$

= $- 3 u^{2} - 3 u - (0 + 0)$

= $- 3 u^{2} - 3 u + 0$

= $- 3 u^{2} - 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 26,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} - 3 u

=

- 26,25

|

+ 26,25

$- 3 u^{2} - 3 u + 26,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 26,25}}{2 \cdot (- 3)}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 315}}{- 6}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{324}}{- 6}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{324}}{- 6}$ = $\frac{3+18}{- 6}$ = $\frac{21}{- 6}$ = $- 3,5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{324}}{- 6}$ = $\frac{3-18}{- 6}$ = $\frac{- 15}{- 6}$ = $2,5$

Da u= $- 3,5$ < 0 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 4}

\int_{4}^{6} \frac{1}{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{4}^{6} {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\ln (| x - 3 |)]}_{4}^{6}$

$=$ $\frac{1}{2} (\ln (| 6 - 3 |) - \ln (| 4 - 3 |))$

= $\frac{1}{2} (\ln (3) - \ln (| 4 - 3 |))$

= $\frac{1}{2} (\ln (3) - \ln (1))$

= $\frac{1}{2} (\ln (3) + 0)$

= $\frac{1}{2} \ln (3)$

≈ 0,549

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 3 \ln (| - x + 1 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 \ln (| - (u) + 1 |) + 3 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 1 |) + 3 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 1 |) + 3 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (2) - 3 \ln (| - x + 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale