Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{1}{{(3 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} {(3 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(3 x - 5)}^{- 2}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{1}{6 {(3 x - 5)}^{2}}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6 {(3 \cdot 3 - 5)}^{2}} + \frac{1}{6 {(3 \cdot 2 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(9 - 5)}^{2}} + \frac{1}{6 {(6 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 \cdot 4^{2}} + \frac{1}{6 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{16}) + \frac{1}{6} \cdot 1$

= $- \frac{1}{96} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{1}{96} + \frac{16}{96}$

= $\frac{5}{32}$

≈ 0,156

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 2 + $\frac{5}{32}$ = $\frac{69}{32}$ ≈ 2.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $1$ Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{5}{2}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

1

und

\frac{5}{2}

:

\int_{1}^{\frac{5}{2}} 2 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{\frac{5}{2}} 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{\frac{5}{2}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{1}^{\frac{5}{2}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 1 - 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 - 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $\frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

1

und der Änderung zwischen

1

und

\frac{5}{2}

zusammen:

B = 2 + $\frac{14}{3}$ = $\frac{20}{3}$ ≈ 6.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (4 x + 2) ⅆ x$ = $73,5$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (4 x + 2) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $2 u^{2} + 2 u - (2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3)$

= $2 u^{2} + 2 u - (2 \cdot 9 + 6)$

= $2 u^{2} + 2 u - (18 + 6)$

= $2 u^{2} + 2 u - 1 \cdot 24$

= $2 u^{2} + 2 u - 24$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $73,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} + 2 u - 24

=

73,5

|

- 73,5

$2 u^{2} + 2 u - 97,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 97,5)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 780}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{784}}{4}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{784}}{4}$ = $\frac{- 2+28}{4}$ = $\frac{26}{4}$ = $6,5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{784}}{4}$ = $\frac{- 2-28}{4}$ = $\frac{- 30}{4}$ = $- 7,5$

Da u= $- 7,5$ < 3 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[5 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (5 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) - 5 \cdot \sin (0 - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (5 \cdot \sin (π) - 5 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (5 \cdot 0 - 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (0 + 5)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 5$

= $\frac{10}{3 π}$

≈ 1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{2 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 u - 3} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{2 u - 3} - \frac{1}{2} e^{4 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{2 u - 3} - \frac{1}{2} e^{1}$

= $\frac{1}{2} e^{2 u - 3} - \frac{1}{2} e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} e^{2 u - 3} - \frac{1}{2} e$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale