Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 72 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 4 e 3x -3 x

= [ 4 3 e 3x -3 ] 0 3

= 4 3 e 33 -3 - 4 3 e 30 -3

= 4 3 e 9 -3 - 4 3 e 0 -3

= 4 3 e 6 - 4 3 e -3


≈ 537,839
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 72 + 4 3 e 6 - 4 3 e -3 ≈ 609.84

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 3 e 2x -1 x

= [ 3 2 e 2x -1 ] 0 1

= 3 2 e 21 -1 - 3 2 e 20 -1

= 3 2 e 2 -1 - 3 2 e 0 -1

= 3 2 e 1 - 3 2 e -1

= 3 2 e - 3 2 e -1


≈ 3,526
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 38 + - 3 2 e -1 + 3 2 e ≈ 41.53

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( -8x -2 ) x = -24

Lösung einblenden
1 u ( -8x -2 ) x

= [ -4 x 2 -2x ] 1 u

= -4 u 2 -2u - ( -4 1 2 -21 )

= -4 u 2 -2u - ( -41 -2 )

= -4 u 2 -2u - ( -4 -2 )

= -4 u 2 -2u -1 · ( -6 )

= -4 u 2 -2u +6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -24 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 -2u +6 = -24 | +24
-4 u 2 -2u +30 = 0 |:2

-2 u 2 - u +15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · ( -2 ) · 15 2( -2 )

u1,2 = +1 ± 1 +120 -4

u1,2 = +1 ± 121 -4

u1 = 1 + 121 -4 = 1 +11 -4 = 12 -4 = -3

u2 = 1 - 121 -4 = 1 -11 -4 = -10 -4 = 2,5

Da u= -3 < 1 ist u= 2,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 x -2 zwischen 11 und 18 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 18 -11 11 18 3 x -2 x
= 1 7 11 18 3 ( x -2 ) 1 2 x

= 1 7 [ 2 ( x -2 ) 3 2 ] 11 18

= 1 7 [ 2 ( x -2 ) 3 ] 11 18

= 1 7 ( 2 ( 18 -2 ) 3 -2 ( 11 -2 ) 3 )

= 1 7 ( 2 ( 16 ) 3 -2 ( 9 ) 3 )

= 1 7 ( 2 4 3 -2 3 3 )

= 1 7 ( 264 -227 )

= 1 7 ( 128 -54 )

= 1 7 · 74

= 74 7


≈ 10,571

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -2x +4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u e -2x +4 x

= [ - 1 2 e -2x +4 ] 1 u

= - 1 2 e -2u +4 + 1 2 e -21 +4

= - 1 2 e -2u +4 + 1 2 e -2 +4

= - 1 2 e -2u +4 + 1 2 e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 e -2u +4 + 1 2 e 2 0 + 1 2 e 2 = 1 2 e 2 ≈ 3.695

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3.695