Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{5 - 1} - 2 e^{2 - 1}$

= $2 e^{4} - 2 e^{1}$

= $2 e^{4} - 2 e$

≈ 103,76

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 4 + $2 e^{4} - 2 e$ ≈ 107.76

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 6 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $6 e^{1 - 2} - 6 e^{0 - 2}$

= $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$

≈ 1,395

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 46 + $6 e^{- 1} - 6 e^{- 2}$ ≈ 47.4

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (10 x + 5) ⅆ x$ = $183,75$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (10 x + 5) ⅆ x

= ${[5 x^{2} + 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $5 u^{2} + 5 u - (5 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3)$

= $5 u^{2} + 5 u - (5 \cdot 9 + 15)$

= $5 u^{2} + 5 u - (45 + 15)$

= $5 u^{2} + 5 u - 1 \cdot 60$

= $5 u^{2} + 5 u - 60$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $183,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} + 5 u - 60

=

183,75

|

- 183,75

$5 u^{2} + 5 u - 243,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 243,75)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 4 875}}{10}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{4 900}}{10}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{4 900}}{10}$ = $\frac{- 5+70}{10}$ = $\frac{65}{10}$ = $6,5$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{4 900}}{10}$ = $\frac{- 5-70}{10}$ = $\frac{- 75}{10}$ = $- 7,5$

Da u= $- 7,5$ < 3 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $5$ und Minute $13$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{13 - 5}

\int_{5}^{13} 3 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{8}

\int_{5}^{13} 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{8}$ ${[{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{13}$

= $\frac{1}{8}$ ${[{(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{5}^{13}$

$=$ $\frac{1}{8} ({(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{8} ({(\sqrt{26 - 1})}^{3} - {(\sqrt{10 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{8} ({(\sqrt{25})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{1}{8} (5^{3} - 3^{3})$

= $\frac{1}{8} (125 - 27)$

= $\frac{1}{8} \cdot 98$

= 12,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[{(x - 1)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 - 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - (\frac{1}{4})$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{{(u - 1)}^{2}} - \frac{1}{4}$ → $0 - \frac{1}{4}$ = $- \frac{1}{4}$ ≈ -0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale