Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $11$ s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $18$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

11

und

18

:

\int_{11}^{18} 5 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{11}^{18} 5 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{18}$

= ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{18}$

$=$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $\frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 4^{3} - \frac{10}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 64 - \frac{10}{3} \cdot 27$

= $\frac{640}{3} - 90$

= $\frac{640}{3} - \frac{270}{3}$

= $\frac{370}{3}$

≈ 123,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

11

und der Änderung zwischen

11

und

18

zusammen:

B = 6 + $\frac{370}{3}$ = $\frac{388}{3}$ ≈ 129.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 79 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 6} - \frac{1}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{0} - \frac{1}{3} e^{- 6}$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{3} e^{- 6}$

≈ 0,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 79 + $- \frac{1}{3} e^{- 6} + \frac{1}{3}$ ≈ 79.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,6 x + 0,4} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{- 0,6 x + 0,4} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,6 x + 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,6 u + 0,4} + 6 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,4}$

= $- 6 e^{- 0,6 u + 0,4} + 6 e^{0 + 0,4}$

= $- 6 e^{- 0,6 u + 0,4} + 6 e^{0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,6 u + 0,4} + 6 e^{0,4}$	=	$5$	\| $- 6 e^{0,4}$
$- 6 e^{- 0,6 u + 0,4}$	=	$- 6 e^{0,4} + 5$
$- 6 e^{- 0,6 u + 0,4}$	=	$- 3,9509$	\|: $- 6$
$e^{- 0,6 u + 0,4}$	=	$0,6585$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,4$	=	$\ln (0,6585)$

$- 0,6 u + 0,4$	=	$- 0,4178$	\| $- 0,4$
$- 0,6 u$	=	$- 0,8178$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$1,363$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \sin (3 x + π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \cos (3 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) + \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (\frac{11}{2} π) + \cos (\frac{5}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 0 + 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{1}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| - x + 1 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\ln (| - (u) + 1 |) - \ln (| - 2 + 1 |)$

= $\ln (| - u + 1 |) - \ln (| - 2 + 1 |)$

= $\ln (| - u + 1 |) - \ln (1)$

= $\ln (| - u + 1 |) + 0$

= $\ln (| - x + 1 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (| - x + 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale