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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -1 ) 3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
∫ 3 6 4 ( x -1 ) 3 ⅆ x
= ∫ 3 6 4 ( x -1 ) -3 ⅆ x

= [ -2 ( x -1 ) -2 ] 3 6

= [ - 2 ( x -1 ) 2 ] 3 6

= - 2 ( 6 -1 ) 2 + 2 ( 3 -1 ) 2

= - 2 5 2 + 2 2 2

= -2⋅( 1 25 ) +2⋅( 1 4 )

= - 2 25 + 1 2

= - 4 50 + 25 50

= 21 50


= 0,42
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 11 + 21 50 = 571 50 ≈ 11.42

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
∫ 3 6 2 x -2 ⅆ x
= ∫ 3 6 2 ( x -2 ) -1 ⅆ x

= [ 2 ln( | x -2 | ) ] 3 6

= 2 ln( | 6 -2 | ) -2 ln( | 3 -2 | )

= 2 ln( 4 ) -2 ln( | 3 -2 | )

= 2 ln( 4 ) -2 ln( 1 )

= 2 ln( 4 ) +0

= 2 ln( 4 )


≈ 2,773
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 5 + 2 ln( 4 ) ≈ 7.77

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u ( 8x -4 ) ⅆ x = 63

Lösung einblenden
∫ 0 u ( 8x -4 ) ⅆ x

= [ 4 x 2 -4x ] 0 u

= 4 u 2 -4u - ( 4⋅ 0 2 -4⋅0 )

= 4 u 2 -4u - ( 4⋅0 +0)

= 4 u 2 -4u - (0+0)

= 4 u 2 -4u +0

= 4 u 2 -4u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 63 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -4u = 63 | -63

4 u 2 -4u -63 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 4 · ( -63 ) 2⋅4

u1,2 = +4 ± 16 +1008 8

u1,2 = +4 ± 1024 8

u1 = 4 + 1024 8 = 4 +32 8 = 36 8 = 4,5

u2 = 4 - 1024 8 = 4 -32 8 = -28 8 = -3,5

Da u= -3,5 < 0 ist u= 4,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 2x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -3 ∫ 3 4 4 ( 2x -3 ) 2 ⅆ x
= 1 ∫ 3 4 4 ( 2x -3 ) -2 ⅆ x

= 1 [ -2 ( 2x -3 ) -1 ] 3 4

= 1 [ - 2 2x -3 ] 3 4

= - 2 2⋅4 -3 + 2 2⋅3 -3

= - 2 8 -3 + 2 6 -3

= - 2 5 + 2 3

= -2⋅( 1 5 ) +2⋅( 1 3 )

= - 2 5 + 2 3

= - 6 15 + 10 15

= 4 15


≈ 0,267

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 3 u - 1 ( x -1 ) 3 ⅆ x
= ∫ 3 u - ( x -1 ) -3 ⅆ x

= [ 1 2 ( x -1 ) -2 ] 3 u

= [ 1 2 ( x -1 ) 2 ] 3 u

= 1 2 ( u -1 ) 2 - 1 2 ( 3 -1 ) 2

= 1 2 ( u -1 ) 2 - 1 2⋅ 2 2

= 1 2 ( u -1 ) 2 - 1 2 ⋅( 1 4 )

= 1 2 ( u -1 ) 2 - 1 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 ( u -1 ) 2 - 1 8 → 0 - 1 8 = - 1 8 ≈ -0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125