Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( x -3 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 7:
5 7 5 ( x -3 ) 2 x
= 5 7 5 ( x -3 ) -2 x

= [ -5 ( x -3 ) -1 ] 5 7

= [ - 5 x -3 ] 5 7

= - 5 7 -3 + 5 5 -3

= - 5 4 + 5 2

= -5( 1 4 ) +5( 1 2 )

= - 5 4 + 5 2

= - 5 4 + 10 4

= 5 4


= 1,25
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 7 zusammen:
B = 20 + 5 4 = 85 4 ≈ 21.25

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 2 e 3x -7 x

= [ 2 3 e 3x -7 ] 2 3

= 2 3 e 33 -7 - 2 3 e 32 -7

= 2 3 e 9 -7 - 2 3 e 6 -7

= 2 3 e 2 - 2 3 e -1


≈ 4,681
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 76 + 2 3 e 2 - 2 3 e -1 ≈ 80.68

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u e -0,2x +0,7 x = 4

Lösung einblenden
0 u e -0,2x +0,7 x

= [ -5 e -0,2x +0,7 ] 0 u

= -5 e -0,2u +0,7 +5 e -0,20 +0,7

= -5 e -0,2u +0,7 +5 e 0 +0,7

= -5 e -0,2u +0,7 +5 e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 4 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 e -0,2u +0,7 +5 e 0,7 = 4 | -5 e 0,7
-5 e -0,2u +0,7 = -5 e 0,7 +4
-5 e -0,2u +0,7 = -6,0688 |:-5
e -0,2u +0,7 = 1,2138 |ln(⋅)
-0,2u +0,7 = ln( 1,2138 )
-0,2u +0,7 = 0,1938 | -0,7
-0,2u = -0,5062 |:(-0,2 )
u = 2,531

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 3x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 6 -3 3 6 4 ( 3x -3 ) 2 x
= 1 3 3 6 4 ( 3x -3 ) -2 x

= 1 3 [ - 4 3 ( 3x -3 ) -1 ] 3 6

= 1 3 [ - 4 3( 3x -3 ) ] 3 6

= 1 3 ( - 4 3( 36 -3 ) + 4 3( 33 -3 ) )

= 1 3 ( - 4 3( 18 -3 ) + 4 3( 9 -3 ) )

= 1 3 ( - 4 3 15 + 4 3 6 )

= 1 3 ( - 4 3 ( 1 15 ) + 4 3 ( 1 6 ) )

= 1 3 ( - 4 45 + 2 9 )

= 1 3 ( - 4 45 + 10 45 )

= 1 3 · 2 15

= 2 45


≈ 0,044

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -2 e -3x +3 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 0 u -2 e -3x +3 x

= [ 2 3 e -3x +3 ] 0 u

= 2 3 e -3u +3 - 2 3 e -30 +3

= 2 3 e -3u +3 - 2 3 e 0 +3

= 2 3 e -3u +3 - 2 3 e 3

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3 e -3u +3 - 2 3 e 3 0 - 2 3 e 3 = - 2 3 e 3 ≈ -13.39

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 13.39