Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $11$ Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $27$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

11

und

27

:

\int_{11}^{27} 6 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{11}^{27} 6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{27}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{27}$

$=$ $4 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 4 {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 3^{3}$

= $4 \cdot 125 - 4 \cdot 27$

= $500 - 108$

= $392$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

11

und der Änderung zwischen

11

und

27

zusammen:

B = 11 + $392$ = $403$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 34 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 5 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{15 - 6} - \frac{2}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3} e^{0}$

= $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3}$

≈ 5401,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 34 + $\frac{2}{3} e^{9} - \frac{2}{3}$ ≈ 5435.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{- 0,4 x + 0,2} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{- 0,4 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,4 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,4 u + 0,2} + 5 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 5 e^{- 0,4 u + 0,2} + 5 e^{0 + 0,2}$

= $- 5 e^{- 0,4 u + 0,2} + 5 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,4 u + 0,2} + 5 e^{0,2}$	=	$2$	\| $- 5 e^{0,2}$
$- 5 e^{- 0,4 u + 0,2}$	=	$- 5 e^{0,2} + 2$
$- 5 e^{- 0,4 u + 0,2}$	=	$- 4,107$	\|: $- 5$
$e^{- 0,4 u + 0,2}$	=	$0,8214$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,2$	=	$\ln (0,8214)$

$- 0,4 u + 0,2$	=	$- 0,1967$	\| $- 0,2$
$- 0,4 u$	=	$- 0,3967$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$0,9918$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(x - 3)}^{2} + 5$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} ({(x - 3)}^{2} + 5) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} {(x - 3)}^{3} + 5 x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(4 - 3)}^{3} + 5 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(1 - 3)}^{3} + 5 \cdot 1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 20 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 5))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1 + 20 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) + 5))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + 20 - (- \frac{8}{3} + 5))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{60}{3} - (- \frac{8}{3} + \frac{15}{3}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{61}{3} - 1 \cdot \frac{7}{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{61}{3} - \frac{7}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot 18$

= $6$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(- x + 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{1}{{(- x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - {(- x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(- x + 3)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{- x + 3}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{- u + 3} + \frac{1}{- 4 + 3}$

= $- \frac{1}{- u + 3} + \frac{1}{(- 1)}$

= $- \frac{1}{- u + 3} + (- 1)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{- u + 3} - 1$ → $0 - 1$ = $- 1$ ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale