Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 7)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(3 x - 7)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(3 x - 7)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(3 x - 7)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(3 \cdot 5 - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 {(3 \cdot 3 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(15 - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 {(9 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 8^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{128} + \frac{1}{8}$

= $- \frac{1}{128} + \frac{16}{128}$

= $\frac{15}{128}$

≈ 0,117

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 7 + $\frac{15}{128}$ = $\frac{911}{128}$ ≈ 7.12

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 2 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 1} - e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $e^{6 - 1} - e^{2 - 1}$

= $e^{5} - e^{1}$

= $e^{5} - e$

≈ 145,695

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 37 + $e^{5} - e$ ≈ 182.69

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} - 4 x ⅆ x$ = $- 72$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} - 4 x ⅆ x

= ${[- 2 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 2 \cdot 0^{2}$

= $- 2 u^{2} + 2 \cdot 0$

= $- 2 u^{2} + 0$

= $- 2 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 72$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 u^{2}$	=	$- 72$	\|: $(- 2)$
$u^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
u₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da u= $- 6$ < 0 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{2 x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 6 e^{2 x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[3 e^{2 x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (3 e^{2 \cdot 2 - 2} - 3 e^{2 \cdot 0 - 2})$

= $\frac{1}{2} (3 e^{4 - 2} - 3 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{2} (3 e^{2} - 3 e^{- 2})$

≈ 10,881

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $2$ und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} - \frac{2}{\sqrt{2 x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - \frac{\frac{2.8284271247462}{1.4142135623731}}{1,4142135623731 \sqrt{x}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - \frac{2}{1.4142135623731} x^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{1.4142135623731} x^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{2}$

= ${[- \frac{4}{1.4142135623731} \sqrt{x}]}_{u}^{2}$

$=$ $- \frac{4}{1.4142135623731} \sqrt{2} + \frac{4}{1.4142135623731} \sqrt{u}$

= $- \frac{400 000 000 000 000 021 464 648 817 573 888}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{2} + \frac{400 000 000 000 000 021 464 648 817 573 888}{141 421 356 237 309 517 544 887 087 529 984} \sqrt{u}$

= $- \frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{2} + \frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $- \frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \cdot (\sqrt{2}) + \frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u}$

= $\frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} - \frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{2}$

= $\frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} - 4$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{4 999 999 999 999 999 817 948 147 482 624}{1 767 766 952 966 369 025 606 083 936 256} \sqrt{u} - 4$ → $0 - 4$ = $- 4$ ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale