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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 2x -4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 13 2 s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 10 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 13 2 und 10:
∫ 13 2 10 2 2x -4 ⅆ x
= ∫ 13 2 10 2 ( 2x -4 ) 1 2 ⅆ x

= [ 2 3 ( 2x -4 ) 3 2 ] 13 2 10

= [ 2 3 ( 2x -4 ) 3 ] 13 2 10

= 2 3 ( 2⋅10 -4 ) 3 - 2 3 ( 2⋅( 13 2 ) -4 ) 3

= 2 3 ( 20 -4 ) 3 - 2 3 ( 13 -4 ) 3

= 2 3 ( 16 ) 3 - 2 3 ( 9 ) 3

= 2 3 ⋅ 4 3 - 2 3 ⋅ 3 3

= 2 3 ⋅64 - 2 3 ⋅27

= 128 3 -18

= 128 3 - 54 3

= 74 3


≈ 24,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 13 2 und der Änderung zwischen 13 2 und 10 zusammen:
B = 13 + 74 3 = 113 3 ≈ 37.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
∫ 19 28 5 x -3 ⅆ x
= ∫ 19 28 5 ( x -3 ) 1 2 ⅆ x

= [ 10 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 10 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 10 3 ( 28 -3 ) 3 - 10 3 ( 19 -3 ) 3

= 10 3 ( 25 ) 3 - 10 3 ( 16 ) 3

= 10 3 ⋅ 5 3 - 10 3 ⋅ 4 3

= 10 3 ⋅125 - 10 3 ⋅64

= 1250 3 - 640 3

= 610 3


≈ 203,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 4 + 610 3 = 622 3 ≈ 207.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 6x ⅆ x = 48

Lösung einblenden
∫ 0 u 6x ⅆ x

= [ 3 x 2 ] 0 u

= 3 u 2 -3⋅ 0 2

= 3 u 2 -3⋅0

= 3 u 2 +0

= 3 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 48 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 = 48 |:3
u 2 = 16 | ⋅2
u1 = - 16 = -4
u2 = 16 = 4

Da u= -4 < 0 ist u= 4 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2⋅ sin( 3x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 ∫ 0 π 2⋅ sin( 3x + 1 2 π) ⅆ x

= 1 π [ - 2 3 ⋅ cos( 3x + 1 2 π) ] 0 π

= 1 π · ( - 2 3 ⋅ cos( 3⋅π + 1 2 π) + 2 3 ⋅ cos( 3⋅( 0 ) + 1 2 π) )

= 1 π · ( - 2 3 ⋅ cos( 7 2 π) + 2 3 ⋅ cos( 1 2 π) )

= 1 π · ( - 2 3 ⋅0 + 2 3 ⋅0 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( x ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ u 4 3 ( x ) 2 ⅆ x
= ∫ u 4 3 x 2 ⅆ x
= ∫ u 4 3 x -2 ⅆ x

= [ -3 x -1 ] u 4

= [ - 3 x ] u 4

= - 3 4 + 3 u

= -3⋅( 1 4 ) + 3 u

= - 3 4 + 3 u

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = - 3 4 + 3 u → ∞