Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 2)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{1}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{4 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{4 {(2 \cdot 5 - 2)}^{2}} + \frac{1}{4 {(2 \cdot 3 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(10 - 2)}^{2}} + \frac{1}{4 {(6 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 \cdot 8^{2}} + \frac{1}{4 \cdot 4^{2}}$

= $- \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{16})$

= $- \frac{1}{256} + \frac{1}{64}$

= $- \frac{1}{256} + \frac{4}{256}$

= $\frac{3}{256}$

≈ 0,012

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 14 + $\frac{3}{256}$ = $\frac{3587}{256}$ ≈ 14.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e^{1}$

= $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e$

≈ 72,847

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 16 + $\frac{1}{2} e^{5} - \frac{1}{2} e$ ≈ 88.85

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,4 e^{0,2 x - 0,4} ⅆ x$ = $9$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,4 e^{0,2 x - 0,4} ⅆ x

= ${[7 e^{0,2 x - 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,2 u - 0,4} - 7 e^{0,2 \cdot 0 - 0,4}$

= $7 e^{0,2 u - 0,4} - 7 e^{0 - 0,4}$

= $7 e^{0,2 u - 0,4} - 7 e^{- 0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,2 u - 0,4} - 7 e^{- 0,4}$	=	$9$	\| $+ 7 e^{- 0,4}$
$7 e^{0,2 u - 0,4}$	=	$7 e^{- 0,4} + 9$
$7 e^{0,2 u - 0,4}$	=	$13,6922$	\|: $7$
$e^{0,2 u - 0,4}$	=	$1,956$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,4$	=	$\ln (1,956)$

$0,2 u - 0,4$	=	$0,6709$	\| $+ 0,4$
$0,2 u$	=	$1,0709$	\|: $0,2$
$u$	=	$5,3545$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 {(x - 1)}^{2}$ zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} 3 {(x - 1)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[{(x - 1)}^{3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} ({(3 - 1)}^{3} - {(1 - 1)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (2^{3} - 0^{3})$

= $\frac{1}{2} (8 - 0)$

= $4$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{x - 1}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} - \frac{2}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} - 2 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 2 \ln (| x - 1 |)]}_{u}^{4}$

$=$ $- 2 \ln (| 4 - 1 |) + 2 \ln (| u - 1 |)$

= $- 2 \ln (3) + 2 \ln (| u - 1 |)$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \ln (| 3 |) + 2 \ln (| x - 1 |)$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale