Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
≈ 76,342
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 27 +
≈ 103.34
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 32 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
≈ 148,395
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 32 +
≈ 180.39
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
32
-4
=
-8
u2 =
-1
-
1089
-4
=
-1
-33
-4
=
-34
-4
=
8,5
Da u=
-8
< 2 ist u=
8,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= x -2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 18 und Minute 27 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
27
-18
∫
18
27
x
-2
ⅆ
x
=
1
9
∫
18
27
(
x
-2
)
1
2
ⅆ
x
=
1
9
[
2
3
(
x
-2
)
3
2
]
18
27
=
1
9
[
2
3
(
x
-2
)
3
]
18
27
=
1
9
(
2
3
(
27
-2
)
3
-
2
3
(
18
-2
)
3
)
=
1
9
(
2
3
(
25
)
3
-
2
3
(
16
)
3
)
=
1
9
(
2
3
⋅
5
3
-
2
3
⋅
4
3
)
=
1
9
(
2
3
⋅125
-
2
3
⋅64
)
=
1
9
(
250
3
-
128
3
)
=
1
9
·
122
3
=
122
27
≈ 4,519
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -3x +6 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
3
(
-3x
+6
)
2
ⅆ
x
=
∫
3
u
3
(
-3x
+6
)
-2
ⅆ
x
=
[
(
-3x
+6
)
-1
]
3
u
=
[
1
-3x
+6
]
3
u
=
1
-3u
+6
-
1
-3⋅3
+6
=
1
-3u
+6
-
1
-9
+6
=
1
-3u
+6
-
1
( -3 )
=
1
-3u
+6
- (
-
1
3
)
=
1
-3u
+6
+
1
3
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
-3u
+6
+
1
3
→
0
+
1
3
=
1
3
≈ 0.333
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333