Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 3x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 19 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 19 3 :
4 19 3 2 3x -3 x
= 4 19 3 2 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 4 9 ( 3x -3 ) 3 2 ] 4 19 3

= [ 4 9 ( 3x -3 ) 3 ] 4 19 3

= 4 9 ( 3( 19 3 ) -3 ) 3 - 4 9 ( 34 -3 ) 3

= 4 9 ( 19 -3 ) 3 - 4 9 ( 12 -3 ) 3

= 4 9 ( 16 ) 3 - 4 9 ( 9 ) 3

= 4 9 4 3 - 4 9 3 3

= 4 9 64 - 4 9 27

= 256 9 -12

= 256 9 - 108 9

= 148 9


≈ 16,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 19 3 zusammen:
B = 8 + 148 9 = 220 9 ≈ 24.44

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 6 e 2x -1 x

= [ 3 e 2x -1 ] 0 2

= 3 e 22 -1 -3 e 20 -1

= 3 e 4 -1 -3 e 0 -1

= 3 e 3 -3 e -1


≈ 59,153
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 28 + 3 e 3 -3 e -1 ≈ 87.15

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 6x x = 168,75

Lösung einblenden
0 u 6x x

= [ 3 x 2 ] 0 u

= 3 u 2 -3 0 2

= 3 u 2 -30

= 3 u 2 +0

= 3 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 168,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 = 168,75 |:3
u 2 = 56,25 | 2
u1 = - 56,25 = -7,5
u2 = 56,25 = 7,5

Da u= -7,5 < 0 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 cos( x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 4 cos( x - 1 2 π) x

= 1 π [ 4 sin( x - 1 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( 4 sin( 3 2 π - 1 2 π) -4 sin( 1 2 π - 1 2 π) )

= 1 π · ( 4 sin(π) -4 sin(0) )

= 1 π · ( 40 -40 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( x -2 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 3 ( x -2 ) 2 x
= 3 u -3 ( x -2 ) -2 x

= [ 3 ( x -2 ) -1 ] 3 u

= [ 3 x -2 ] 3 u

= 3 u -2 - 3 3 -2

= 3 u -2 - 3 1

= 3 u -2 -31

= 3 u -2 -3

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 u -2 -3 0 -3 = -3 ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3