Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 3)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{2}{{(3 x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 2 {(3 x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 3)}^{- 2}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 3)}^{2}}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 \cdot 4 - 3)}^{2}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 2 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(12 - 3)}^{2}} + \frac{1}{3 {(6 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 9^{2}} + \frac{1}{3 \cdot 3^{2}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{81}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{243} + \frac{1}{27}$

= $- \frac{1}{243} + \frac{9}{243}$

= $\frac{8}{243}$

≈ 0,033

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 9 + $\frac{8}{243}$ = $\frac{2195}{243}$ ≈ 9.03

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e^{1}$

= $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e$

≈ 26,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 71 + $\frac{3}{2} e^{3} - \frac{3}{2} e$ ≈ 97.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 2 x - 5) ⅆ x$ = $- 28,75$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 2 x - 5) ⅆ x

= ${[- x^{2} - 5 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- u^{2} - 5 u - (- 2^{2} - 5 \cdot 2)$

= $- u^{2} - 5 u - (- 4 - 10)$

= $- u^{2} - 5 u + 4 + 10$

= $- u^{2} - 5 u + 14$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 28,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} - 5 u + 14

=

- 28,75

|

+ 28,75

$- u^{2} - 5 u + 42,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 42,75}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 171}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{196}}{- 2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{5+14}{- 2}$ = $\frac{19}{- 2}$ = $- 9,5$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{5-14}{- 2}$ = $\frac{- 9}{- 2}$ = $4,5$

Da u= $- 9,5$ < 2 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(3 x - 6)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} 5 {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{5}{9} {(3 x - 6)}^{3}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 4 - 6)}^{3} - \frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 6)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{5}{9} \cdot {(12 - 6)}^{3} - \frac{5}{9} \cdot {(0 - 6)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{5}{9} \cdot 6^{3} - \frac{5}{9} \cdot {(- 6)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{5}{9} \cdot 216 - \frac{5}{9} \cdot (- 216))$

= $\frac{1}{4} (120 + 120)$

= $\frac{1}{4} \cdot 240$

= $60$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $1,5$ und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{1,5} \frac{1}{\sqrt{2 x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{1,5} {(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{1,5}$

= ${[\sqrt{2 x - 2}]}_{u}^{1,5}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1,5 - 2} - \sqrt{2 u - 2}$

= $\sqrt{3 - 2} - \sqrt{2 u - 2}$

= $\sqrt{1} - \sqrt{2 u - 2}$

= $1 - \sqrt{2 u - 2}$

= $- \sqrt{2 u - 2} + 1$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 2} + 1$ → $0 + 1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale