Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,163
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 13 + = ≈ 13.16
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 65,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 10 + = ≈ 75.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
81
|
=
-9
|
| u2 |
= |
81
|
=
9
|
Da u=
-9
< 3 ist u=
9
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2⋅ sin( 3x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
2
π+0
∫
0
1
2
π
2⋅
sin(
3x
+
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-
2
3
⋅
cos(
3x
+
1
2
π)
]
0
1
2
π
=
2
π
·
(
-
2
3
⋅
cos(
3⋅(
1
2
π )
+
1
2
π)
+
2
3
⋅
cos(
3⋅( 0 )
+
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
2
3
⋅
cos(2π)
+
2
3
⋅
cos(
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
2
3
⋅1
+
2
3
⋅0
)
=
2
π
·
(
-
2
3
+0
)
=
2
π
·
(
-
2
3
+0
)
=
2
π
·
(
-
2
3
)
=
-
4
3
π
≈ -0,424
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 e x -1 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
0
u
2
e
x
-1
ⅆ
x
=
[
2
e
x
-1
]
0
u
=
2
e
u
-1
-2
e
0
-1
=
2
e
u
-1
-2
e
-1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
e
u
-1
-2
e
-1
→
∞