Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{3} - \frac{2}{3} e^{- 3}$

≈ 13,357

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 28 + $\frac{2}{3} e^{3} - \frac{2}{3} e^{- 3}$ ≈ 41.36

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $4$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{28}{3}

:

\int_{4}^{\frac{28}{3}} 6 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{28}{3}} 6 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{500}{3} - 36$

= $\frac{500}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{392}{3}$

≈ 130,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 3 + $\frac{392}{3}$ = $\frac{401}{3}$ ≈ 133.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,5 e^{0,1 x - 0,5} ⅆ x$ = $12$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,5 e^{0,1 x - 0,5} ⅆ x

= ${[5 e^{0,1 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,1 u - 0,5} - 5 e^{0,1 \cdot 0 - 0,5}$

= $5 e^{0,1 u - 0,5} - 5 e^{0 - 0,5}$

= $5 e^{0,1 u - 0,5} - 5 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,1 u - 0,5} - 5 e^{- 0,5}$	=	$12$	\| $+ 5 e^{- 0,5}$
$5 e^{0,1 u - 0,5}$	=	$5 e^{- 0,5} + 12$
$5 e^{0,1 u - 0,5}$	=	$15,0327$	\|: $5$
$e^{0,1 u - 0,5}$	=	$3,0065$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,5$	=	$\ln (3,0065)$

$0,1 u - 0,5$	=	$1,1008$	\| $+ 0,5$
$0,1 u$	=	$1,6008$	\|: $0,1$
$u$	=	$16,008$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\sin (3 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \sin (3 \cdot (0) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\sin (2 π) - \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - 1)$

= $- \frac{2}{π}$

≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $10$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{10} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{10} - 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{10}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{10}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 10 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{20 - 4} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \sqrt{16} + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 2 \cdot 4 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $- 8 + 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 4} - 8$ → $0 - 8$ = $- 8$ ≈ -8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale