Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{6}{{(x - 3)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{6}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} 6 {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- 3 {(x - 3)}^{- 2}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{3}{{(7 - 3)}^{2}} + \frac{3}{{(4 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4^{2}} + \frac{3}{1^{2}}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{16}) + 3 \cdot 1$

= $- \frac{3}{16} + 3$

= $- \frac{3}{16} + \frac{48}{16}$

= $\frac{45}{16}$

≈ 2,813

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 11 + $\frac{45}{16}$ = $\frac{221}{16}$ ≈ 13.81

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 45 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 6 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 2 - 3} - 2 e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $2 e^{6 - 3} - 2 e^{0 - 3}$

= $2 e^{3} - 2 e^{- 3}$

≈ 40,071

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 45 + $2 e^{3} - 2 e^{- 3}$ ≈ 85.07

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} e^{0,5 x - 0,8} ⅆ x$ = $20$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} e^{0,5 x - 0,8} ⅆ x

= ${[2 e^{0,5 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,5 u - 0,8} - 2 e^{0,5 \cdot 0 - 0,8}$

= $2 e^{0,5 u - 0,8} - 2 e^{0 - 0,8}$

= $2 e^{0,5 u - 0,8} - 2 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,5 u - 0,8} - 2 e^{- 0,8}$	=	$20$	\| $+ 2 e^{- 0,8}$
$2 e^{0,5 u - 0,8}$	=	$2 e^{- 0,8} + 20$
$2 e^{0,5 u - 0,8}$	=	$20,8987$	\|: $2$
$e^{0,5 u - 0,8}$	=	$10,4494$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,8$	=	$\ln (10,4494)$

$0,5 u - 0,8$	=	$2,3465$	\| $+ 0,8$
$0,5 u$	=	$3,1465$	\|: $0,5$
$u$	=	$6,293$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(3 x - 3)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} {(3 x - 3)}^{2} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{9} {(3 x - 3)}^{3}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot {(3 - 3)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(0 - 3)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot 0^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 3)}^{3}$

= $\frac{1}{9} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot (- 27)$

= $0 + 3$

= $3$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 2 {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(2 \cdot 2 - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(4 - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{8}$ → $0 - \frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{8}$ ≈ -0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale