Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 5} - \frac{3}{2} e^{0 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{1} - \frac{3}{2} e^{- 5}$

= $\frac{3}{2} e - \frac{3}{2} e^{- 5}$

≈ 4,067

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 37 + $- \frac{3}{2} e^{- 5} + \frac{3}{2} e$ ≈ 41.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 2 - 1} - 2 e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $2 e^{4 - 1} - 2 e^{0 - 1}$

= $2 e^{3} - 2 e^{- 1}$

≈ 39,435

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 60 + $2 e^{3} - 2 e^{- 1}$ ≈ 99.44

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,2 x + 0,3} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,2 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,2 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,2 u + 0,3} + e^{- 0,2 \cdot 0 + 0,3}$

= $- e^{- 0,2 u + 0,3} + e^{0 + 0,3}$

= $- e^{- 0,2 u + 0,3} + e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,2 u + 0,3} + e^{0,3}$	=	$1$	\| $- e^{0,3}$
$- e^{- 0,2 u + 0,3}$	=	$- e^{0,3} + 1$
$- e^{- 0,2 u + 0,3}$	=	$- 0,3499$	\|: $- 1$
$e^{- 0,2 u + 0,3}$	=	$0,3499$	\|ln(⋅)
$- 0,2 u + 0,3$	=	$\ln (0,3499)$

$- 0,2 u + 0,3$	=	$- 1,0501$	\| $- 0,3$
$- 0,2 u$	=	$- 1,3501$	\|:( $- 0,2$ )
$u$	=	$6,7505$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 e^{3 x - 7}$ zwischen 0 und 1.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 6 e^{3 x - 7} ⅆ x

= $1$ ${[2 e^{3 x - 7}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 1 - 7} - 2 e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $2 e^{3 - 7} - 2 e^{0 - 7}$

= $2 e^{- 4} - 2 e^{- 7}$

≈ 0,035

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(2 x - 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - \frac{3}{{(2 x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{1}^{u} - 3 {(2 x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(2 x - 1)}^{- 2}]}_{1}^{u}$

= ${[\frac{3}{4 {(2 x - 1)}^{2}}]}_{1}^{u}$

$=$ $\frac{3}{4 {(2 u - 1)}^{2}} - \frac{3}{4 {(2 \cdot 1 - 1)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(2 u - 1)}^{2}} - \frac{3}{4 {(2 - 1)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(2 u - 1)}^{2}} - \frac{3}{4 \cdot 1^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(2 u - 1)}^{2}} - \frac{3}{4} \cdot 1$

= $\frac{3}{4 {(2 u - 1)}^{2}} - \frac{3}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{4 {(2 u - 1)}^{2}} - \frac{3}{4}$ → $0 - \frac{3}{4}$ = $- \frac{3}{4}$ ≈ -0.75

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.75

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale