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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
∫ 0 1 3 e x -1 ⅆ x

= [ 3 e x -1 ] 0 1

= 3 e 1 -1 -3 e 0 -1

= 3 e 0 -3 e -1

= 3 -3 e -1


≈ 1,896
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 74 + -3 e -1 +3 ≈ 75.9

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
∫ 19 28 2 x -3 ⅆ x
= ∫ 19 28 2 ( x -3 ) 1 2 ⅆ x

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 4 3 ( 28 -3 ) 3 - 4 3 ( 19 -3 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 ⋅ 5 3 - 4 3 ⋅ 4 3

= 4 3 ⋅125 - 4 3 ⋅64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 16 + 244 3 = 292 3 ≈ 97.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass ∫ 1 u 8x ⅆ x = 252

Lösung einblenden
∫ 1 u 8x ⅆ x

= [ 4 x 2 ] 1 u

= 4 u 2 -4⋅ 1 2

= 4 u 2 -4⋅1

= 4 u 2 -4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 252 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -4 = 252 | +4
4 u 2 = 256 |:4
u 2 = 64 | ⋅2
u1 = - 64 = -8
u2 = 64 = 8

Da u= -8 < 1 ist u= 8 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 10 und Minute 17 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 17 -10 ∫ 10 17 2 x -1 ⅆ x
= 1 7 ∫ 10 17 2 ( x -1 ) 1 2 ⅆ x

= 1 7 [ 4 3 ( x -1 ) 3 2 ] 10 17

= 1 7 [ 4 3 ( x -1 ) 3 ] 10 17

= 1 7 ( 4 3 ( 17 -1 ) 3 - 4 3 ( 10 -1 ) 3 )

= 1 7 ( 4 3 ( 16 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3 )

= 1 7 ( 4 3 ⋅ 4 3 - 4 3 ⋅ 3 3 )

= 1 7 ( 4 3 ⋅64 - 4 3 ⋅27 )

= 1 7 ( 256 3 -36 )

= 1 7 ( 256 3 - 108 3 )

= 1 7 · 148 3

= 148 21


≈ 7,048

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -3x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u e -3x +3 ⅆ x

= [ - 1 3 e -3x +3 ] 2 u

= - 1 3 e -3u +3 + 1 3 e -3⋅2 +3

= - 1 3 e -3u +3 + 1 3 e -6 +3

= - 1 3 e -3u +3 + 1 3 e -3

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 3 e -3u +3 + 1 3 e -3 → 0 + 1 3 e -3 = 1 3 e -3 ≈ 0.017

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.017