Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 18 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
4
3
ln(
|
3⋅4
-5
|
)
-
4
3
ln(
|
3⋅3
-5
|
)
=
4
3
ln(
|
12
-5
|
)
-
4
3
ln(
|
9
-5
|
)
=
4
3
ln(
7
)
-
4
3
ln(
|
9
-5
|
)
=
4
3
ln(
7
)
-
4
3
ln(
4
)
≈ 0,746
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 13 +
4
3
ln(
|
7
|
)
-
4
3
ln(
|
4
|
)
≈ 13.75
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass ∫ 3 u ( 10x -2 ) ⅆ x = 33
Lösung einblenden
∫
3
u
(
10x
-2
)
ⅆ
x
=
[
5
x
2
-2x
]
3
u
=
5
u
2
-2u
- (
5⋅
3
2
-2⋅3
)
=
5
u
2
-2u
- (
5⋅9
-6
)
=
5
u
2
-2u
- (
45
-6
)
=
5
u
2
-2u
-1
·
39
=
5
u
2
-2u
-39
5
u
2
-2u
-72
= 0
u1,2 =
+2 ±
( -2 )
2
-4 ·
5
·
(
-72
)
2⋅5
u1,2 =
+2 ±
4
+1440
10
u1,2 =
+2 ±
1444
10
u1 =
2
+
1444
10
=
2
+38
10
=
40
10
=
4
u2 =
2
-
1444
10
=
2
-38
10
=
-36
10
=
-3,6
Da u=
-3,6
< 3 ist u=
4
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 4 e 2x -3 zwischen 0 und 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
+0
∫
0
3
4
e
2x
-3
ⅆ
x
=
1
3
[
2
e
2x
-3
]
0
3
=
1
3
(
2
e
2⋅3
-3
-2
e
2⋅0
-3
)
=
1
3
(
2
e
6
-3
-2
e
0
-3
)
=
1
3
(
2
e
3
-2
e
-3
)
≈ 13,357
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( 3x -6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
2
(
3x
-6
)
3
ⅆ
x
=
∫
4
u
-2
(
3x
-6
)
-3
ⅆ
x
=
[
1
3
(
3x
-6
)
-2
]
4
u
=
[
1
3
(
3x
-6
)
2
]
4
u
=
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
3
(
3⋅4
-6
)
2
=
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
3
(
12
-6
)
2
=
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
3⋅
6
2
=
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
3
⋅(
1
36
)
=
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
108
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
3
(
3u
-6
)
2
-
1
108
→
0
-
1
108
=
-
1
108
≈ -0.009
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.009