Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 32,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 17 + = ≈ 49.89
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
1
3
ln(
|
3⋅5
-5
|
)
-
1
3
ln(
|
3⋅3
-5
|
)
=
1
3
ln(
|
15
-5
|
)
-
1
3
ln(
|
9
-5
|
)
=
1
3
ln(
10
)
-
1
3
ln(
|
9
-5
|
)
=
1
3
ln(
10
)
-
1
3
ln(
4
)
≈ 0,305
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 12 +
1
3
ln(
|
10
|
)
-
1
3
ln(
|
4
|
)
≈ 12.31
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 0,8 e 0,1x -0,7 ⅆ x = 15
Lösung einblenden
∫
0
u
0,8
e
0,1x
-0,7
ⅆ
x
=
[
8
e
0,1x
-0,7
]
0
u
=
8
e
0,1u
-0,7
-8
e
0,1⋅0
-0,7
=
8
e
0,1u
-0,7
-8
e
0
-0,7
=
8
e
0,1u
-0,7
-8
e
-0,7
|
8
e
0,1u
-0,7
-8
e
-0,7
|
= |
15
|
|
+8
e
-0,7
|
|
8
e
0,1u
-0,7
|
= |
8
e
-0,7
+15
|
|
|
8
e
0,1u
-0,7
|
= |
18,9727
|
|:8
|
|
e
0,1u
-0,7
|
= |
2,3716
|
|ln(⋅) |
|
0,1u
-0,7
|
= |
ln(
2,3716
)
|
|
|
0,1u
-0,7
|
= |
0,8636
|
|
+0,7
|
|
0,1u
|
= |
1,5636
|
|:0,1
|
|
u
|
= |
15,636
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= sin( 3x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
π
sin(
3x
+
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-
1
3
⋅
cos(
3x
+
1
2
π)
]
1
2
π
π
=
2
π
·
(
-
1
3
⋅
cos(
3⋅π
+
1
2
π)
+
1
3
⋅
cos(
3⋅(
1
2
π )
+
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
1
3
⋅
cos(
7
2
π)
+
1
3
⋅
cos(2π)
)
=
2
π
·
(
-
1
3
⋅0
+
1
3
⋅1
)
=
2
π
·
(
0
+
1
3
)
=
2
π
·
(
0
+
1
3
)
=
2
π
·
1
3
=
2
3
π
≈ 0,212
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 e x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
e
x
-3
ⅆ
x
=
[
3
e
x
-3
]
2
u
=
3
e
u
-3
-3
e
2
-3
=
3
e
u
-3
-3
e
-1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
e
u
-3
-3
e
-1
→
∞