Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $11$ s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $27$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

11

und

27

:

\int_{11}^{27} 5 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{11}^{27} 5 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{27}$

= ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{27}$

$=$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 27$

= $\frac{1250}{3} - 90$

= $\frac{1250}{3} - \frac{270}{3}$

= $\frac{980}{3}$

≈ 326,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

11

und der Änderung zwischen

11

und

27

zusammen:

B = 16 + $\frac{980}{3}$ = $\frac{1028}{3}$ ≈ 342.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 1} - 3 e^{0 - 1}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 1}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 14 + $- 3 e^{- 1} + 3 e$ ≈ 21.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 4 x - 3) ⅆ x$ = $- 14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 4 x - 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 3 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} - 3 u - (- 2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0)$

= $- 2 u^{2} - 3 u - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 2 u^{2} - 3 u - (0 + 0)$

= $- 2 u^{2} - 3 u + 0$

= $- 2 u^{2} - 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} - 3 u

=

- 14

|

+ 14

$- 2 u^{2} - 3 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 14}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{3+11}{- 4}$ = $\frac{14}{- 4}$ = $- 3,5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{3-11}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Da u= $- 3,5$ < 0 ist u= $2$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{3 x - 4}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{6}{3 x - 4} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} 6 {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[2 \ln (| 3 x - 4 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (2 \ln (| 3 \cdot 5 - 4 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 3 - 4 |))$

= $\frac{1}{2} (2 \ln (| 15 - 4 |) - 2 \ln (| 9 - 4 |))$

= $\frac{1}{2} (2 \ln (11) - 2 \ln (| 9 - 4 |))$

= $\frac{1}{2} (2 \ln (11) - 2 \ln (5))$

≈ 0,788

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 4)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 4)}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 u - 4)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 4)}$

= $- \frac{3}{2 (2 u - 4)} + \frac{3}{2 (6 - 4)}$

= $- \frac{3}{2 (2 u - 4)} + \frac{3}{2 \cdot 2}$

= $- \frac{3}{2 (2 u - 4)} + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{3}{2 (2 u - 4)} + \frac{3}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2 (2 u - 4)} + \frac{3}{4}$ → $0 + \frac{3}{4}$ = $\frac{3}{4}$ ≈ 0.75

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.75

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale