Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 4)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{3}{{(3 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 3 {(3 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(3 x - 4)}^{- 2}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{1}{2 {(3 x - 4)}^{2}}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(3 \cdot 5 - 4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(3 \cdot 2 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(15 - 4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(6 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 11^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{121}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{242} + \frac{1}{8}$

= $- \frac{4}{968} + \frac{121}{968}$

= $\frac{117}{968}$

≈ 0,121

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 7 + $\frac{117}{968}$ = $\frac{6893}{968}$ ≈ 7.12

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 6)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{1}{{(3 x - 6)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} {(3 x - 6)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 6)}^{- 1}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{1}{3 (3 x - 6)}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{3 (3 \cdot 6 - 6)} + \frac{1}{3 (3 \cdot 4 - 6)}$

= $- \frac{1}{3 (18 - 6)} + \frac{1}{3 (12 - 6)}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 12} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{12}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{6})$

= $- \frac{1}{36} + \frac{1}{18}$

= $- \frac{1}{36} + \frac{2}{36}$

= $\frac{1}{36}$

≈ 0,028

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 10 + $\frac{1}{36}$ = $\frac{361}{36}$ ≈ 10.03

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 6 x ⅆ x$ = $- 180$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 6 x ⅆ x

= ${[- 3 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 3 \cdot 2^{2}$

= $- 3 u^{2} + 3 \cdot 4$

= $- 3 u^{2} + 12$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 180$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 u^{2} + 12$	=	$- 180$	\| $- 12$
$- 3 u^{2}$	=	$- 192$	\|: $(- 3)$
$u^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
u₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

Da u= $- 8$ < 2 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\cos (2 x + π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} \cos (2 x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin (4 π) - \frac{1}{2} \cdot \sin (2 π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} e^{x - 3} ⅆ x

= ${[e^{x - 3}]}_{1}^{u}$

$=$ $e^{u - 3} - e^{1 - 3}$

= $e^{u - 3} - e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{u - 3} - e^{- 2}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale