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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
∫ 2 5 e x -1 ⅆ x

= [ e x -1 ] 2 5

= e 5 -1 - e 2 -1

= e 4 - e 1

= e 4 - e


≈ 51,88
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 73 + e 4 - e ≈ 124.88

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:
∫ 4 6 1 x -2 ⅆ x
= ∫ 4 6 ( x -2 ) -1 ⅆ x

= [ ln( | x -2 | ) ] 4 6

= ln( | 6 -2 | ) - ln( | 4 -2 | )

= ln( 4 ) - ln( | 4 -2 | )

= ln( 4 ) - ln( 2 )


≈ 0,693
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:
B = 3 + ln( | 4 | ) - ln( | 2 | ) ≈ 3.69

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 1,6 e 0,4x -0,1 ⅆ x = 11

Lösung einblenden
∫ 0 u 1,6 e 0,4x -0,1 ⅆ x

= [ 4 e 0,4x -0,1 ] 0 u

= 4 e 0,4u -0,1 -4 e 0,4⋅0 -0,1

= 4 e 0,4u -0,1 -4 e 0 -0,1

= 4 e 0,4u -0,1 -4 e -0,1

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 11 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 e 0,4u -0,1 -4 e -0,1 = 11 | +4 e -0,1
4 e 0,4u -0,1 = 4 e -0,1 +11
4 e 0,4u -0,1 = 14,6193 |:4
e 0,4u -0,1 = 3,6548 |ln(⋅)
0,4u -0,1 = ln( 3,6548 )
0,4u -0,1 = 1,296 | +0,1
0,4u = 1,396 |:0,4
u = 3,49

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= e 3x -5 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 +0 ∫ 0 1 e 3x -5 ⅆ x

= 1 [ 1 3 e 3x -5 ] 0 1

= 1 3 e 3⋅1 -5 - 1 3 e 3⋅0 -5

= 1 3 e 3 -5 - 1 3 e 0 -5

= 1 3 e -2 - 1 3 e -5


≈ 0,043

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u - e -x +2 ⅆ x

= [ e -x +2 ] 2 u

= e -u +2 - e -2 +2

= e -u +2 - e 0

= e -u +2 -1

Für u → ∞ gilt: A(u) = e -u +2 -1 → 0 -1 = -1 ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1