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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -3 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 8 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 8:
∫ 5 8 4 ( x -3 ) 4 ⅆ x
= ∫ 5 8 4 ( x -3 ) -4 ⅆ x

= [ - 4 3 ( x -3 ) -3 ] 5 8

= [ - 4 3 ( x -3 ) 3 ] 5 8

= - 4 3 ( 8 -3 ) 3 + 4 3 ( 5 -3 ) 3

= - 4 3⋅ 5 3 + 4 3⋅ 2 3

= - 4 3 ⋅( 1 125 ) + 4 3 ⋅( 1 8 )

= - 4 375 + 1 6

= - 8 750 + 125 750

= 39 250


= 0,156
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 8 zusammen:
B = 7 + 39 250 = 1789 250 ≈ 7.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e 2x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 51 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
∫ 2 4 5 e 2x -3 ⅆ x

= [ 5 2 e 2x -3 ] 2 4

= 5 2 e 2⋅4 -3 - 5 2 e 2⋅2 -3

= 5 2 e 8 -3 - 5 2 e 4 -3

= 5 2 e 5 - 5 2 e 1

= 5 2 e 5 - 5 2 e


≈ 364,237
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 51 + 5 2 e 5 - 5 2 e ≈ 415.24

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 2,5 e 0,5x -0,2 ⅆ x = 7

Lösung einblenden
∫ 0 u 2,5 e 0,5x -0,2 ⅆ x

= [ 5 e 0,5x -0,2 ] 0 u

= 5 e 0,5u -0,2 -5 e 0,5⋅0 -0,2

= 5 e 0,5u -0,2 -5 e 0 -0,2

= 5 e 0,5u -0,2 -5 e -0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 e 0,5u -0,2 -5 e -0,2 = 7 | +5 e -0,2
5 e 0,5u -0,2 = 5 e -0,2 +7
5 e 0,5u -0,2 = 11,0937 |:5
e 0,5u -0,2 = 2,2187 |ln(⋅)
0,5u -0,2 = ln( 2,2187 )
0,5u -0,2 = 0,7969 | +0,2
0,5u = 0,9969 |:0,5
u = 1,9938

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5⋅ cos( x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π ∫ 1 2 π π 5⋅ cos( x + 1 2 π) ⅆ x

= 2 π [ 5⋅ sin( x + 1 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 5⋅ sin( π + 1 2 π) -5⋅ sin( 1 2 π + 1 2 π) )

= 2 π · ( 5⋅ sin( 3 2 π) -5⋅ sin(π) )

= 2 π · ( 5⋅( -1 ) -5⋅0 )

= 2 π · ( -5 +0 )

= 2 π · ( -5 )

= - 10 π


≈ -3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 1 u e -x +3 ⅆ x

= [ - e -x +3 ] 1 u

= - e -u +3 + e -1 +3

= - e -u +3 + e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - e -u +3 + e 2 → 0 + e 2 = e 2 ≈ 7.389

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 7.389