= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{2x-4}\right]}_2^3$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 3-4}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 2-4}$

= $\frac{1}{2}{e}^{6-4}-\frac{1}{2}{e}^{4-4}$

= $\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{2}{e}^0$

= $\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{2}$

= ${\left[-2{\left(x-3\right)}^{-1}\right]}_4^5$

= ${\left[-\frac{2}{x-3}\right]}_4^5$

$=$ $-\frac{2}{5-3}+\frac{2}{4-3}$

= $-\frac{2}{2}+\frac{2}{1}$

= $-2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+2\cdot 1$

= $-1+2$

= $1$

= ${\left[8e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,5}}\right]}_0^u$

$=$ $8e^{\mathrm{0,2}u-\mathrm{0,5}}-8e^{\mathrm{0,2}\cdot 0-\mathrm{0,5}}$

= $8e^{\mathrm{0,2}u-\mathrm{0,5}}-8e^{0-\mathrm{0,5}}$

= $8e^{\mathrm{0,2}u-\mathrm{0,5}}-8e^{-\mathrm{0,5}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $13$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(3x-3\right)}^4\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(3\cdot 2-3\right)}^4-\frac{1}{6}\cdot {\left(3\cdot 0-3\right)}^4\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6-3\right)}^4-\frac{1}{6}\cdot {\left(0-3\right)}^4\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\cdot 3^4-\frac{1}{6}\cdot {\left(-3\right)}^4\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\cdot 81-\frac{1}{6}\cdot 81\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{27}{2}-\frac{27}{2}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\mathrm{13,5}-\mathrm{13,5}\right)$

= $\frac{1}{2}·0$

= 0

= ${\left[-3e^{-x+1}\right]}_2^u$

$=$ $-3e^{-u+1}+3e^{-2+1}$

= $-3e^{-u+1}+3e^{-1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-3e^{-u+1}+3e^{-1}$ → $0+3e^{-1}$ = $3e^{-1}$ ≈ 1.104

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.104