Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 65 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 2 - 5} - 3 e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $3 e^{4 - 5} - 3 e^{2 - 5}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{- 3}$

≈ 0,954

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 65 + $3 e^{- 1} - 3 e^{- 3}$ ≈ 65.95

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 4 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{2}{2 x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{2 \cdot 5 - 1} + \frac{2}{2 \cdot 2 - 1}$

= $- \frac{2}{10 - 1} + \frac{2}{4 - 1}$

= $- \frac{2}{9} + \frac{2}{3}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{9}) + 2 \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{9} + \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{9} + \frac{6}{9}$

= $\frac{4}{9}$

≈ 0,444

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 14 + $\frac{4}{9}$ = $\frac{130}{9}$ ≈ 14.44

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{0,9 x - 0,2} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{0,9 x - 0,2} ⅆ x

= ${[3 e^{0,9 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,9 u - 0,2} - 3 e^{0,9 \cdot 0 - 0,2}$

= $3 e^{0,9 u - 0,2} - 3 e^{0 - 0,2}$

= $3 e^{0,9 u - 0,2} - 3 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,9 u - 0,2} - 3 e^{- 0,2}$	=	$7$	\| $+ 3 e^{- 0,2}$
$3 e^{0,9 u - 0,2}$	=	$3 e^{- 0,2} + 7$
$3 e^{0,9 u - 0,2}$	=	$9,4562$	\|: $3$
$e^{0,9 u - 0,2}$	=	$3,1521$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,2$	=	$\ln (3,1521)$

$0,9 u - 0,2$	=	$1,1481$	\| $+ 0,2$
$0,9 u$	=	$1,3481$	\|: $0,9$
$u$	=	$1,4979$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 {(2 x - 4)}^{2}$ zwischen 0 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 5 {(2 x - 4)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{5}{6} {(2 x - 4)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot {(2 \cdot 3 - 4)}^{3} - \frac{5}{6} \cdot {(2 \cdot 0 - 4)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot {(6 - 4)}^{3} - \frac{5}{6} \cdot {(0 - 4)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot 2^{3} - \frac{5}{6} \cdot {(- 4)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{5}{6} \cdot 8 - \frac{5}{6} \cdot (- 64))$

= $\frac{1}{3} (\frac{20}{3} + \frac{160}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot 60$

= $20$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- 3 x + 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(- 3 x + 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(- 3 x + 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} {(- 3 x + 4)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{6 {(- 3 x + 4)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{6 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{6 {(- 3 \cdot 2 + 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{6 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{6 {(- 6 + 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{6 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{6 {(- 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{6 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{1}{6 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{24}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{6 {(- 3 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{24}$ → $0 - \frac{1}{24}$ = $- \frac{1}{24}$ ≈ -0.042

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.042

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale