Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{7}{2}$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $14$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{7}{2}

und

14

:

\int_{\frac{7}{2}}^{14} 6 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{2}}^{14} 6 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{14}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{2}}^{14}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{4})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 2^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 8$

= $250 - 16$

= $234$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{7}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{7}{2}

und

14

zusammen:

B = 19 + $234$ = $253$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{23}{3}$ s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 6 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 6 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{23 - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{23}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 10 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{274}{3}$ ≈ 91.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,3 e^{0,3 x - 0,3} ⅆ x$ = $13$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,3 e^{0,3 x - 0,3} ⅆ x

= ${[e^{0,3 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{0,3 u - 0,3} - e^{0,3 \cdot 0 - 0,3}$

= $e^{0,3 u - 0,3} - e^{0 - 0,3}$

= $e^{0,3 u - 0,3} - e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $13$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$e^{0,3 u - 0,3} - e^{- 0,3}$	=	$13$	\| $+ e^{- 0,3}$
$e^{0,3 u - 0,3}$	=	$e^{- 0,3} + 13$
$e^{0,3 u - 0,3}$	=	$13,7408$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,3$	=	$\ln (13,7408)$

$0,3 u - 0,3$	=	$2,6204$	\| $+ 0,3$
$0,3 u$	=	$2,9204$	\|: $0,3$
$u$	=	$9,7347$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(3 x - 3)}^{3} + 3 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} ({(3 x - 3)}^{3} + 3 x) ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{1}{12} {(3 x - 3)}^{4} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 4 - 3)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{12} \cdot {(12 - 3)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 16 - (\frac{1}{12} \cdot {(0 - 3)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{12} \cdot 9^{4} + 24 - (\frac{1}{12} \cdot {(- 3)}^{4} + 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{12} \cdot 6 561 + 24 - (\frac{1}{12} \cdot 81 + 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{2187}{4} + 24 - (\frac{27}{4} + 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{2187}{4} + \frac{96}{4} - (\frac{27}{4} + 0))$

= $\frac{1}{4} (\frac{2283}{4} - \frac{27}{4})$

= $\frac{1}{4} \cdot 564$

= $141$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(3 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(3 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(3 x - 5)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{6 {(3 x - 5)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6 {(3 \cdot 2 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6 {(6 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6} \cdot 1$

= $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6}$ → $0 + \frac{1}{6}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale