Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 5 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $5 e^{2 - 3} - 5 e^{0 - 3}$

= $5 e^{- 1} - 5 e^{- 3}$

≈ 1,59

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 12 + $5 e^{- 1} - 5 e^{- 3}$ ≈ 13.59

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 5)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{4}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 4 {(2 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{2}{2 x - 5}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{2 \cdot 4 - 5} + \frac{2}{2 \cdot 3 - 5}$

= $- \frac{2}{8 - 5} + \frac{2}{6 - 5}$

= $- \frac{2}{3} + \frac{2}{1}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{3}) + 2 \cdot 1$

= $- \frac{2}{3} + 2$

= $- \frac{2}{3} + \frac{6}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 6 + $\frac{4}{3}$ = $\frac{22}{3}$ ≈ 7.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,4 e^{0,7 x - 0,2} ⅆ x$ = $12$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,4 e^{0,7 x - 0,2} ⅆ x

= ${[2 e^{0,7 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,7 u - 0,2} - 2 e^{0,7 \cdot 0 - 0,2}$

= $2 e^{0,7 u - 0,2} - 2 e^{0 - 0,2}$

= $2 e^{0,7 u - 0,2} - 2 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,7 u - 0,2} - 2 e^{- 0,2}$	=	$12$	\| $+ 2 e^{- 0,2}$
$2 e^{0,7 u - 0,2}$	=	$2 e^{- 0,2} + 12$
$2 e^{0,7 u - 0,2}$	=	$13,6375$	\|: $2$
$e^{0,7 u - 0,2}$	=	$6,8188$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,2$	=	$\ln (6,8188)$

$0,7 u - 0,2$	=	$1,9197$	\| $+ 0,2$
$0,7 u$	=	$2,1197$	\|: $0,7$
$u$	=	$3,0281$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\sin (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) - \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\sin (6 π) - \sin (3 π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 - 0)$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{3 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{13}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{13}{3}}^{u} - \frac{3}{\sqrt{3 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{u} - 3 {(3 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{u}$

= ${[- 2 \sqrt{3 x - 4}]}_{\frac{13}{3}}^{u}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 2 \sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 2 \sqrt{13 - 4}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 2 \sqrt{9}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 2 \cdot 3$

= $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 6$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{3 u - 4} + 6$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale