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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 65 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
∫ 2 4 2 e x -2 ⅆ x

= [ 2 e x -2 ] 2 4

= 2 e 4 -2 -2 e 2 -2

= 2 e 2 -2 e 0

= 2 e 2 -2


≈ 12,778
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 65 + 2 e 2 -2 ≈ 77.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 24 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
∫ 2 5 3 e x -3 ⅆ x

= [ 3 e x -3 ] 2 5

= 3 e 5 -3 -3 e 2 -3

= 3 e 2 -3 e -1


≈ 21,064
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 24 + 3 e 2 -3 e -1 ≈ 45.06

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 0,8 e 0,1x -0,2 ⅆ x = 7

Lösung einblenden
∫ 0 u 0,8 e 0,1x -0,2 ⅆ x

= [ 8 e 0,1x -0,2 ] 0 u

= 8 e 0,1u -0,2 -8 e 0,1⋅0 -0,2

= 8 e 0,1u -0,2 -8 e 0 -0,2

= 8 e 0,1u -0,2 -8 e -0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

8 e 0,1u -0,2 -8 e -0,2 = 7 | +8 e -0,2
8 e 0,1u -0,2 = 8 e -0,2 +7
8 e 0,1u -0,2 = 13,5498 |:8
e 0,1u -0,2 = 1,6937 |ln(⋅)
0,1u -0,2 = ln( 1,6937 )
0,1u -0,2 = 0,5269 | +0,2
0,1u = 0,7269 |:0,1
u = 7,269

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( x -2 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -3 ∫ 3 4 5 ( x -2 ) 2 ⅆ x
= 1 ∫ 3 4 5 ( x -2 ) -2 ⅆ x

= 1 [ -5 ( x -2 ) -1 ] 3 4

= 1 [ - 5 x -2 ] 3 4

= - 5 4 -2 + 5 3 -2

= - 5 2 + 5 1

= -5⋅( 1 2 ) +5⋅1

= - 5 2 +5

= -2,5 +5

= 2,5


= 2,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -x +3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 5 u - 1 ( -x +3 ) 3 ⅆ x
= ∫ 5 u - ( -x +3 ) -3 ⅆ x

= [ - 1 2 ( -x +3 ) -2 ] 5 u

= [ - 1 2 ( -x +3 ) 2 ] 5 u

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2 ( -5 +3 ) 2

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2 ( -2 ) 2

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 2 ⋅( 1 4 )

= - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ( -u +3 ) 2 + 1 8 → 0 + 1 8 = 1 8 ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125