Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{6}{{(2 x - 3)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{6}{{(2 x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 6 {(2 x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 3)}^{- 3}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{1}{{(2 x - 3)}^{3}}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{{(2 \cdot 3 - 3)}^{3}} + \frac{1}{{(2 \cdot 2 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{{(6 - 3)}^{3}} + \frac{1}{{(4 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{1^{3}}$

= $- (\frac{1}{27}) + 1$

= $\frac{26}{27}$

≈ 0,963

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 15 + $\frac{26}{27}$ = $\frac{431}{27}$ ≈ 15.96

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{6 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{1}{3} e^{1} - \frac{1}{3} e^{- 2}$

= $\frac{1}{3} e - \frac{1}{3} e^{- 2}$

≈ 0,861

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 31 + $- \frac{1}{3} e^{- 2} + \frac{1}{3} e$ ≈ 31.86

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 6 x ⅆ x$ = $108$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 6 x ⅆ x

= ${[3 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 3 \cdot 0^{2}$

= $3 u^{2} - 3 \cdot 0$

= $3 u^{2} + 0$

= $3 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $108$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 u^{2}$	=	$108$	\|: $3$
$u^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
u₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da u= $- 6$ < 0 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(x - 1)}^{3} + 4 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} (4 {(x - 1)}^{3} + 4 x) ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[{(x - 1)}^{4} + 2 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} ({(2 - 1)}^{4} + 2 \cdot 2^{2} - ({(0 - 1)}^{4} + 2 \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{2} (1^{4} + 2 \cdot 4 - ({(- 1)}^{4} + 2 \cdot 0))$

= $\frac{1}{2} (1 + 8 - (1 + 0))$

= $\frac{1}{2} (1 + 8 - 1)$

= $\frac{1}{2} \cdot 8$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{0}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 2}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{0 + 2}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{2}$ → $0 - \frac{3}{2} e^{2}$ = $- \frac{3}{2} e^{2}$ ≈ -11.084

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 11.084

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale