Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 1,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 3 + = ≈ 4.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 11 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
25
-2
=
-12,5
u2 =
5
-
400
-2
=
5
-20
-2
=
-15
-2
=
7,5
Da u=
-12,5
< 0 ist u=
7,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 3x -6 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 5 und Minute 22 3 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
22
3
-5
∫
5
22
3
2
3x
-6
ⅆ
x
=
3
7
∫
5
22
3
2
(
3x
-6
)
1
2
ⅆ
x
=
3
7
[
4
9
(
3x
-6
)
3
2
]
5
22
3
=
3
7
[
4
9
(
3x
-6
)
3
]
5
22
3
=
3
7
(
4
9
(
3⋅(
22
3
)
-6
)
3
-
4
9
(
3⋅5
-6
)
3
)
=
3
7
(
4
9
(
22
-6
)
3
-
4
9
(
15
-6
)
3
)
=
3
7
(
4
9
(
16
)
3
-
4
9
(
9
)
3
)
=
3
7
(
4
9
⋅
4
3
-
4
9
⋅
3
3
)
=
3
7
(
4
9
⋅64
-
4
9
⋅27
)
=
3
7
(
256
9
-12
)
=
3
7
(
256
9
-
108
9
)
=
3
7
·
148
9
=
148
21
≈ 7,048
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
1
(
x
-1
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
(
x
-1
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
2
(
x
-1
)
-2
]
3
u
=
[
-
1
2
(
x
-1
)
2
]
3
u
=
-
1
2
(
u
-1
)
2
+
1
2
(
3
-1
)
2
=
-
1
2
(
u
-1
)
2
+
1
2⋅
2
2
=
-
1
2
(
u
-1
)
2
+
1
2
⋅(
1
4
)
=
-
1
2
(
u
-1
)
2
+
1
8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
2
(
u
-1
)
2
+
1
8
→
0
+
1
8
=
1
8
≈ 0.125
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125