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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 7}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{3 \cdot 1 - 7} - e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $e^{3 - 7} - e^{0 - 7}$

= $e^{- 4} - e^{- 7}$

≈ 0,017

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 64 + $e^{- 4} - e^{- 7}$ ≈ 64.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $18$ s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $27$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

18

und

27

:

\int_{18}^{27} 6 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{18}^{27} 6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $4 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 4 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3}$

= $4 \cdot 125 - 4 \cdot 64$

= $500 - 256$

= $244$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

18

und der Änderung zwischen

18

und

27

zusammen:

B = 9 + $244$ = $253$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{0,3 x - 0,1} ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{0,3 x - 0,1} ⅆ x

= ${[3 e^{0,3 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,3 u - 0,1} - 3 e^{0,3 \cdot 0 - 0,1}$

= $3 e^{0,3 u - 0,1} - 3 e^{0 - 0,1}$

= $3 e^{0,3 u - 0,1} - 3 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,3 u - 0,1} - 3 e^{- 0,1}$	=	$18$	\| $+ 3 e^{- 0,1}$
$3 e^{0,3 u - 0,1}$	=	$3 e^{- 0,1} + 18$
$3 e^{0,3 u - 0,1}$	=	$20,7145$	\|: $3$
$e^{0,3 u - 0,1}$	=	$6,9048$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,1$	=	$\ln (6,9048)$

$0,3 u - 0,1$	=	$1,9322$	\| $+ 0,1$
$0,3 u$	=	$2,0322$	\|: $0,3$
$u$	=	$6,774$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 e^{3 x - 6}$ zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 6})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} e^{9 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 - 6})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} e^{3} - \frac{2}{3} e^{- 3})$

≈ 6,679

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(3 x - 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 7 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 (u) - 7 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 7 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 3 u - 7 |) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 7 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 3 u - 7 |) - \frac{1}{3} \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3} \ln (2) + \frac{1}{3} \ln (| 3 x - 7 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale