Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 6 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 1 - 3} - 3 e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $3 e^{2 - 3} - 3 e^{0 - 3}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{- 3}$

≈ 0,954

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 75 + $3 e^{- 1} - 3 e^{- 3}$ ≈ 75.95

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 41 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $4 e^{5 - 2} - 4 e^{2 - 2}$

= $4 e^{3} - 4 e^{0}$

= $4 e^{3} - 4$

≈ 76,342

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 41 + $4 e^{3} - 4$ ≈ 117.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (10 x - 4) ⅆ x$ = $250,25$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (10 x - 4) ⅆ x

= ${[5 x^{2} - 4 x]}_{1}^{u}$

$=$ $5 u^{2} - 4 u - (5 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1)$

= $5 u^{2} - 4 u - (5 \cdot 1 - 4)$

= $5 u^{2} - 4 u - (5 - 4)$

= $5 u^{2} - 4 u - 1 \cdot 1$

= $5 u^{2} - 4 u - 1$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $250,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} - 4 u - 1

=

250,25

|

- 250,25

$5 u^{2} - 4 u - 251,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 251,25)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 5 025}}{10}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{5 041}}{10}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{5 041}}{10}$ = $\frac{4+71}{10}$ = $\frac{75}{10}$ = $7,5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{5 041}}{10}$ = $\frac{4-71}{10}$ = $\frac{- 67}{10}$ = $- 6,7$

Da u= $- 6,7$ < 1 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{9}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{5}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{2 x - 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(2 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 2 x - 4 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- \ln (| 2 (u) - 4 |) + \ln (| 2 \cdot 4 - 4 |)$

= $- \ln (| 2 u - 4 |) + \ln (| 8 - 4 |)$

= $- \ln (| 2 u - 4 |) + \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (4) - \ln (| 2 x - 4 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale