Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{{(x - 2)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{4}{{(x - 2)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 4 {(x - 2)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(x - 2)}^{- 3}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{4}{3 {(x - 2)}^{3}}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{4}{3 {(6 - 2)}^{3}} + \frac{4}{3 {(3 - 2)}^{3}}$

= $- \frac{4}{3 \cdot 4^{3}} + \frac{4}{3 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{4}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{48} + \frac{4}{3}$

= $- \frac{1}{48} + \frac{64}{48}$

= $\frac{21}{16}$

≈ 1,313

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 11 + $\frac{21}{16}$ = $\frac{197}{16}$ ≈ 12.31

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 33 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 3} - \frac{2}{3} e^{6 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{3}$

≈ 255,562

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 33 + $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{3}$ ≈ 288.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (6 x - 5) ⅆ x$ = $- 1,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (6 x - 5) ⅆ x

= ${[3 x^{2} - 5 x]}_{0}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 5 u - (3 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $3 u^{2} - 5 u - (3 \cdot 0 + 0)$

= $3 u^{2} - 5 u - (0 + 0)$

= $3 u^{2} - 5 u + 0$

= $3 u^{2} - 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 1,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} - 5 u

=

- 1,75

|

+ 1,75

$3 u^{2} - 5 u + 1,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1,75}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 21}}{6}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{4}}{6}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{5+2}{6}$ = $\frac{7}{6}$ = $\frac{7}{6}$ ≈ 1.17

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{5-2}{6}$ = $\frac{3}{6}$ = $0,5$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \cos (3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \cos (3 π) + \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- (- 1) + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 1$

= $\frac{2}{π}$

≈ 0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 3 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[- 3 e^{x - 2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{u - 2} + 3 e^{0 - 2}$

= $- 3 e^{u - 2} + 3 e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 3 e^{u - 2} + 3 e^{- 2}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale