= ${\left[\frac{1}{3}{e}^{3x-4}\right]}_0^1$

$=$ $\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 1-4}-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 0-4}$

= $\frac{1}{3}{e}^{3-4}-\frac{1}{3}{e}^{0-4}$

= $\frac{1}{3}{e}^{-1}-\frac{1}{3}{e}^{-4}$

= ${\left[\ln \left(\left|$ 3x-4$\right|\right)\right]}_3^4$

$=$ $\ln \left(\left|$ 3\cdot 4-4$\right|\right)-\ln \left(\left|$ 3\cdot 3-4$\right|\right)$

= $\ln \left(\left|$ 12-4$\right|\right)-\ln \left(\left|$ 9-4$\right|\right)$

= $\ln \left(8\right)-\ln \left(\left|$ 9-4$\right|\right)$

= $\ln \left(8\right)-\ln \left(5\right)$

= ${\left[-5x^2\right]}_1^u$

$=$ $-5u^2+5\cdot 1^2$

= $-5u^2+5\cdot 1$

= $-5u^2+5$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{206,25}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-\mathrm{6,5}$ < 1 ist u= $\mathrm{6,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{2}{9}{\left(3x-4\right)}^3+2x\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}(\frac{2}{9}\cdot {\left(3\cdot 3-4\right)}^3+2\cdot 3-\left(\frac{2}{9}\cdot {\left(3\cdot 0-4\right)}^3+2\cdot 0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{2}{9}\cdot {\left(9-4\right)}^3+6-\left(\frac{2}{9}\cdot {\left(0-4\right)}^3+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{2}{9}\cdot 5^3+6-\left(\frac{2}{9}\cdot {\left(-4\right)}^3+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{2}{9}\cdot 125+6-\left(\frac{2}{9}\cdot \left(-64\right)+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{250}{9}+6-\left(-\frac{128}{9}+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{250}{9}+\frac{54}{9}-\left(-\frac{128}{9}+0\right))$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{304}{9}+\frac{128}{9}\right)$

= $\frac{1}{3}·48$

= $16$

= ${\left[6{\left(x-3\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{12}$

= ${\left[6\sqrt{x-3}\right]}_u^{12}$

$=$ $6\sqrt{12-3}-6\sqrt{u-3}$

= $6\sqrt{9}-6\sqrt{u-3}$

= $6\cdot 3-6\sqrt{u-3}$

= $18-6\sqrt{u-3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $-6\sqrt{u-3}+18$ → $0+18$ = $18$ ≈ 18

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 18