Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,281
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 13 + = ≈ 13.28
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
≈ 9,859
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 61 +
≈ 70.86
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:() |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
1
3
(
1
2
ln(
|
2⋅4
-1
|
)
-
1
2
ln(
|
2⋅1
-1
|
)
)
=
1
3
(
1
2
ln(
|
8
-1
|
)
-
1
2
ln(
|
2
-1
|
)
)
=
1
3
(
1
2
ln(
7
)
-
1
2
ln(
|
2
-1
|
)
)
=
1
3
(
1
2
ln(
7
)
-
1
2
ln(
1
)
)
=
1
3
(
1
2
ln(
7
)
+0)
=
1
6
ln(
7
)
≈ 0,324
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 3x -5 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
1
(
3x
-5
)
3
ⅆ
x
=
∫
2
u
(
3x
-5
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
6
(
3x
-5
)
-2
]
2
u
=
[
-
1
6
(
3x
-5
)
2
]
2
u
=
-
1
6
(
3u
-5
)
2
+
1
6
(
3⋅2
-5
)
2
=
-
1
6
(
3u
-5
)
2
+
1
6
(
6
-5
)
2
=
-
1
6
(
3u
-5
)
2
+
1
6⋅
1
2
=
-
1
6
(
3u
-5
)
2
+
1
6
⋅1
=
-
1
6
(
3u
-5
)
2
+
1
6
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
6
(
3u
-5
)
2
+
1
6
→
0
+
1
6
=
1
6
≈ 0.167
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167