Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e 3x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 2 e 3x -3 x

= [ 2 3 e 3x -3 ] 1 3

= 2 3 e 33 -3 - 2 3 e 31 -3

= 2 3 e 9 -3 - 2 3 e 3 -3

= 2 3 e 6 - 2 3 e 0

= 2 3 e 6 - 2 3


≈ 268,286
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 15 + 2 3 e 6 - 2 3 ≈ 283.29

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 10 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 29 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 10 und 29 2 :
10 29 2 4 2x -4 x
= 10 29 2 4 ( 2x -4 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 2x -4 ) 3 2 ] 10 29 2

= [ 4 3 ( 2x -4 ) 3 ] 10 29 2

= 4 3 ( 2( 29 2 ) -4 ) 3 - 4 3 ( 210 -4 ) 3

= 4 3 ( 29 -4 ) 3 - 4 3 ( 20 -4 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 10 und der Änderung zwischen 10 und 29 2 zusammen:
B = 17 + 244 3 = 295 3 ≈ 98.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,7 e -0,9x +0,1 x = 2

Lösung einblenden
0 u 2,7 e -0,9x +0,1 x

= [ -3 e -0,9x +0,1 ] 0 u

= -3 e -0,9u +0,1 +3 e -0,90 +0,1

= -3 e -0,9u +0,1 +3 e 0 +0,1

= -3 e -0,9u +0,1 +3 e 0,1

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-3 e -0,9u +0,1 +3 e 0,1 = 2 | -3 e 0,1
-3 e -0,9u +0,1 = -3 e 0,1 +2
-3 e -0,9u +0,1 = -1,3155 |:-3
e -0,9u +0,1 = 0,4385 |ln(⋅)
-0,9u +0,1 = ln( 0,4385 )
-0,9u +0,1 = -0,8244 | -0,1
-0,9u = -0,9244 |:(-0,9 )
u = 1,0271

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 ( 2x -4 ) 2 zwischen 2 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -2 2 3 6 ( 2x -4 ) 2 x

= 1 [ ( 2x -4 ) 3 ] 2 3

= ( 23 -4 ) 3 - ( 22 -4 ) 3

= ( 6 -4 ) 3 - ( 4 -4 ) 3

= 2 3 - 0 3

= 8 - 0

= 8

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 u 2 ( -x +3 ) 2 x
= 5 u 2 ( -x +3 ) -2 x

= [ 2 ( -x +3 ) -1 ] 5 u

= [ 2 -x +3 ] 5 u

= 2 -u +3 - 2 -5 +3

= 2 -u +3 - 2 ( -2 )

= 2 -u +3 -2( - 1 2 )

= 2 -u +3 +1

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 -u +3 +1 0 +1 = 1 ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1