Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 49 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $3 e^{1 - 1} - 3 e^{0 - 1}$

= $3 e^{0} - 3 e^{- 1}$

= $3 - 3 e^{- 1}$

≈ 1,896

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 49 + $- 3 e^{- 1} + 3$ ≈ 50.9

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $1$ Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $5$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

1

und

5

:

\int_{1}^{5} 3 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{5} 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{5}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{1}^{5}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 1 - 1})}^{3}$

= ${(\sqrt{10 - 1})}^{3} - {(\sqrt{2 - 1})}^{3}$

= ${(\sqrt{9})}^{3} - {(\sqrt{1})}^{3}$

= $3^{3} - 1^{3}$

= $27 - 1$

= $26$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

1

und der Änderung zwischen

1

und

5

zusammen:

B = 8 + $26$ = $34$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,4 x - 0,8} ⅆ x$ = $14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,4 x - 0,8} ⅆ x

= ${[2 e^{0,4 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,4 u - 0,8} - 2 e^{0,4 \cdot 0 - 0,8}$

= $2 e^{0,4 u - 0,8} - 2 e^{0 - 0,8}$

= $2 e^{0,4 u - 0,8} - 2 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,4 u - 0,8} - 2 e^{- 0,8}$	=	$14$	\| $+ 2 e^{- 0,8}$
$2 e^{0,4 u - 0,8}$	=	$2 e^{- 0,8} + 14$
$2 e^{0,4 u - 0,8}$	=	$14,8987$	\|: $2$
$e^{0,4 u - 0,8}$	=	$7,4494$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,8$	=	$\ln (7,4494)$

$0,4 u - 0,8$	=	$2,0081$	\| $+ 0,8$
$0,4 u$	=	$2,8081$	\|: $0,4$
$u$	=	$7,0203$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 5 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (0))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot (- 1) - \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3} + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3})$

= $- \frac{10}{3 π}$

≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| x - 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $3 \ln (| u - 2 |) - 3 \ln (| 3 - 2 |)$

= $3 \ln (| u - 2 |) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (| u - 2 |) + 0$

= $3 \ln (| x - 2 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (| x - 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale