Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 8 3 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 29 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 8 3 und 29 3 :
8 3 29 3 4 3x -4 x
= 8 3 29 3 4 ( 3x -4 ) 1 2 x

= [ 8 9 ( 3x -4 ) 3 2 ] 8 3 29 3

= [ 8 9 ( 3x -4 ) 3 ] 8 3 29 3

= 8 9 ( 3( 29 3 ) -4 ) 3 - 8 9 ( 3( 8 3 ) -4 ) 3

= 8 9 ( 29 -4 ) 3 - 8 9 ( 8 -4 ) 3

= 8 9 ( 25 ) 3 - 8 9 ( 4 ) 3

= 8 9 5 3 - 8 9 2 3

= 8 9 125 - 8 9 8

= 1000 9 - 64 9

= 104

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 8 3 und der Änderung zwischen 8 3 und 29 3 zusammen:
B = 18 + 104 = 122

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 48 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 4 e 2x -1 x

= [ 2 e 2x -1 ] 2 5

= 2 e 25 -1 -2 e 22 -1

= 2 e 10 -1 -2 e 4 -1

= 2 e 9 -2 e 3


≈ 16165,997
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 48 + 2 e 9 -2 e 3 ≈ 16214

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 6x +4 ) x = 185

Lösung einblenden
3 u ( 6x +4 ) x

= [ 3 x 2 +4x ] 3 u

= 3 u 2 +4u - ( 3 3 2 +43 )

= 3 u 2 +4u - ( 39 +12 )

= 3 u 2 +4u - ( 27 +12 )

= 3 u 2 +4u -1 · 39

= 3 u 2 +4u -39

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 185 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 +4u -39 = 185 | -185

3 u 2 +4u -224 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 3 · ( -224 ) 23

u1,2 = -4 ± 16 +2688 6

u1,2 = -4 ± 2704 6

u1 = -4 + 2704 6 = -4 +52 6 = 48 6 = 8

u2 = -4 - 2704 6 = -4 -52 6 = -56 6 = - 28 3 ≈ -9.33

Da u= - 28 3 < 3 ist u= 8 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -1 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 2 ( 2x -1 ) 2 x

= 1 3 [ 1 3 ( 2x -1 ) 3 ] 0 3

= 1 3 ( 1 3 ( 23 -1 ) 3 - 1 3 ( 20 -1 ) 3 )

= 1 3 ( 1 3 ( 6 -1 ) 3 - 1 3 ( 0 -1 ) 3 )

= 1 3 ( 1 3 5 3 - 1 3 ( -1 ) 3 )

= 1 3 ( 1 3 125 - 1 3 ( -1 ) )

= 1 3 ( 125 3 + 1 3 )

= 1 3 · 42

= 14

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 -3x +6 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 2 -3x +6 x
= 4 u 2 ( -3x +6 ) -1 x

= [ - 2 3 ln( | -3x +6 | ) ] 4 u

= - 2 3 ln( | -3( u ) +6 | ) + 2 3 ln( | -34 +6 | )

= - 2 3 ln( | -3u +6 | ) + 2 3 ln( | -12 +6 | )

= - 2 3 ln( | -3u +6 | ) + 2 3 ln( 6 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3 ln( 6 ) - 2 3 ln( | -3x +6 | )