Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -4 ) 3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 5 ( 2x -4 ) 3 x
= 3 4 5 ( 2x -4 ) -3 x

= [ - 5 4 ( 2x -4 ) -2 ] 3 4

= [ - 5 4 ( 2x -4 ) 2 ] 3 4

= - 5 4 ( 24 -4 ) 2 + 5 4 ( 23 -4 ) 2

= - 5 4 ( 8 -4 ) 2 + 5 4 ( 6 -4 ) 2

= - 5 4 4 2 + 5 4 2 2

= - 5 4 ( 1 16 ) + 5 4 ( 1 4 )

= - 5 64 + 5 16

= - 5 64 + 20 64

= 15 64


≈ 0,234
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 19 + 15 64 = 1231 64 ≈ 19.23

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 e 3x -3 x

= [ 1 3 e 3x -3 ] 1 3

= 1 3 e 33 -3 - 1 3 e 31 -3

= 1 3 e 9 -3 - 1 3 e 3 -3

= 1 3 e 6 - 1 3 e 0

= 1 3 e 6 - 1 3


≈ 134,143
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 73 + 1 3 e 6 - 1 3 ≈ 207.14

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 3,6 e -0,9x +0,6 x = 2

Lösung einblenden
0 u 3,6 e -0,9x +0,6 x

= [ -4 e -0,9x +0,6 ] 0 u

= -4 e -0,9u +0,6 +4 e -0,90 +0,6

= -4 e -0,9u +0,6 +4 e 0 +0,6

= -4 e -0,9u +0,6 +4 e 0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 e -0,9u +0,6 +4 e 0,6 = 2 | -4 e 0,6
-4 e -0,9u +0,6 = -4 e 0,6 +2
-4 e -0,9u +0,6 = -5,2885 |:-4
e -0,9u +0,6 = 1,3221 |ln(⋅)
-0,9u +0,6 = ln( 1,3221 )
-0,9u +0,6 = 0,2792 | -0,6
-0,9u = -0,3208 |:(-0,9 )
u = 0,3564

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= e 2x -2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 e 2x -2 x

= 1 3 [ 1 2 e 2x -2 ] 0 3

= 1 3 ( 1 2 e 23 -2 - 1 2 e 20 -2 )

= 1 3 ( 1 2 e 6 -2 - 1 2 e 0 -2 )

= 1 3 ( 1 2 e 4 - 1 2 e -2 )


≈ 9,077

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -3x +7 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 1 ( -3x +7 ) 3 x
= 3 u - ( -3x +7 ) -3 x

= [ - 1 6 ( -3x +7 ) -2 ] 3 u

= [ - 1 6 ( -3x +7 ) 2 ] 3 u

= - 1 6 ( -3u +7 ) 2 + 1 6 ( -33 +7 ) 2

= - 1 6 ( -3u +7 ) 2 + 1 6 ( -9 +7 ) 2

= - 1 6 ( -3u +7 ) 2 + 1 6 ( -2 ) 2

= - 1 6 ( -3u +7 ) 2 + 1 6 ( 1 4 )

= - 1 6 ( -3u +7 ) 2 + 1 24

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 6 ( -3u +7 ) 2 + 1 24 0 + 1 24 = 1 24 ≈ 0.042

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.042