Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 41,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 5 + = ≈ 46.33
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 40 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 1,718
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 40 +
≈ 41.72
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
45
-6
=
-7,5
u2 =
3
-
1764
-6
=
3
-42
-6
=
-39
-6
=
6,5
Da u=
-7,5
< 1 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 3x -7 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 16 3 und Minute 32 3 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
32
3
-
16
3
∫
16
3
32
3
2
3x
-7
ⅆ
x
=
3
16
∫
16
3
32
3
2
(
3x
-7
)
1
2
ⅆ
x
=
3
16
[
4
9
(
3x
-7
)
3
2
]
16
3
32
3
=
3
16
[
4
9
(
3x
-7
)
3
]
16
3
32
3
=
3
16
(
4
9
(
3⋅(
32
3
)
-7
)
3
-
4
9
(
3⋅(
16
3
)
-7
)
3
)
=
3
16
(
4
9
(
32
-7
)
3
-
4
9
(
16
-7
)
3
)
=
3
16
(
4
9
(
25
)
3
-
4
9
(
9
)
3
)
=
3
16
(
4
9
⋅
5
3
-
4
9
⋅
3
3
)
=
3
16
(
4
9
⋅125
-
4
9
⋅27
)
=
3
16
(
500
9
-12
)
=
3
16
(
500
9
-
108
9
)
=
3
16
·
392
9
=
49
6
≈ 8,167
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 3 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
3
1
x
-2
ⅆ
x
=
∫
u
3
(
x
-2
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
2
(
x
-2
)
1
2
]
u
3
=
[
2
x
-2
]
u
3
=
2
3
-2
-2
u
-2
=
2
1
-2
u
-2
=
2⋅1
-2
u
-2
=
2
-2
u
-2
Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) =
-2
u
-2
+2
→
0
+2
=
2
≈ 2
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2