Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 4 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 5} - \frac{4}{3} e^{0 - 5}$

= $\frac{4}{3} e^{4} - \frac{4}{3} e^{- 5}$

≈ 72,789

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 5 + $\frac{4}{3} e^{4} - \frac{4}{3} e^{- 5}$ ≈ 77.79

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{12 - 7} - \frac{2}{3} e^{6 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{5} - \frac{2}{3} e^{- 1}$

≈ 98,697

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 11 + $\frac{2}{3} e^{5} - \frac{2}{3} e^{- 1}$ ≈ 109.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} 2 x ⅆ x$ = $86,25$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} 2 x ⅆ x

= ${[x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $u^{2} - 2^{2}$

= $u^{2} - 4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $86,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^{2} - 4$	=	$86,25$	\| $+ 4$
$u^{2}$	=	$90,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{90,25}$	= $- 9,5$
u₂	=	$\sqrt{90,25}$	= $9,5$

Da u= $- 9,5$ < 2 ist u= $9,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[\frac{5}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot (- 1) - \frac{5}{2} \cdot 1)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- \frac{5}{2} - \frac{5}{2})$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 2,5 - 2,5)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 5)$

= $- \frac{10}{3 π}$

≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- x + 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{{(- x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(- x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 3 {(- x + 3)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{3}{- x + 3}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{- u + 3} + \frac{3}{- 4 + 3}$

= $- \frac{3}{- u + 3} + \frac{3}{(- 1)}$

= $- \frac{3}{- u + 3} + 3 \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{- u + 3} - 3$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{- u + 3} - 3$ → $0 - 3$ = $- 3$ ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale