Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 39 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $6 e^{1 - 3} - 6 e^{0 - 3}$

= $6 e^{- 2} - 6 e^{- 3}$

≈ 0,513

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 39 + $6 e^{- 2} - 6 e^{- 3}$ ≈ 39.51

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{3}{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 3 {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |)]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 5 - 1 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 2 - 1 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (| 10 - 1 |) - \frac{3}{2} \ln (| 4 - 1 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (9) - \frac{3}{2} \ln (| 4 - 1 |)$

= $\frac{3}{2} \ln (9) - \frac{3}{2} \ln (3)$

≈ 1,648

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 8 + $\frac{3}{2} \ln (| 9 |) - \frac{3}{2} \ln (| 3 |)$ ≈ 9.65

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,8 e^{0,8 x - 0,7} ⅆ x$ = $13$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,8 e^{0,8 x - 0,7} ⅆ x

= ${[6 e^{0,8 x - 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,8 u - 0,7} - 6 e^{0,8 \cdot 0 - 0,7}$

= $6 e^{0,8 u - 0,7} - 6 e^{0 - 0,7}$

= $6 e^{0,8 u - 0,7} - 6 e^{- 0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $13$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,8 u - 0,7} - 6 e^{- 0,7}$	=	$13$	\| $+ 6 e^{- 0,7}$
$6 e^{0,8 u - 0,7}$	=	$6 e^{- 0,7} + 13$
$6 e^{0,8 u - 0,7}$	=	$15,9795$	\|: $6$
$e^{0,8 u - 0,7}$	=	$2,6633$	\|ln(⋅)
$0,8 u - 0,7$	=	$\ln (2,6633)$

$0,8 u - 0,7$	=	$0,9796$	\| $+ 0,7$
$0,8 u$	=	$1,6796$	\|: $0,8$
$u$	=	$2,0995$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 {(2 x - 3)}^{2}$ zwischen 1 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} 2 {(2 x - 3)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 4 - 3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 1 - 3)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(8 - 3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(2 - 3)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{125}{3} + \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot 42$

= $14$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(x)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=4 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} \frac{1}{{(x)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} \frac{1}{x^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} x^{- 2} ⅆ x

= ${[- x^{- 1}]}_{u}^{4}$

= ${[- \frac{1}{x}]}_{u}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{4} + \frac{1}{u}$

= $- (\frac{1}{4}) + \frac{1}{u}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{4} + \frac{1}{u}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale