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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 52 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 6 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 4 - 4} - 3 e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $3 e^{8 - 4} - 3 e^{2 - 4}$

= $3 e^{4} - 3 e^{- 2}$

≈ 163,388

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 52 + $3 e^{4} - 3 e^{- 2}$ ≈ 215.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 62 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 1} - 3 e^{1 - 1}$

= $3 e^{3} - 3 e^{0}$

= $3 e^{3} - 3$

≈ 57,257

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 62 + $3 e^{3} - 3$ ≈ 119.26

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{0,3 x - 0,6} ⅆ x$ = $19$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{0,3 x - 0,6} ⅆ x

= ${[3 e^{0,3 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,3 u - 0,6} - 3 e^{0,3 \cdot 0 - 0,6}$

= $3 e^{0,3 u - 0,6} - 3 e^{0 - 0,6}$

= $3 e^{0,3 u - 0,6} - 3 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $19$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,3 u - 0,6} - 3 e^{- 0,6}$	=	$19$	\| $+ 3 e^{- 0,6}$
$3 e^{0,3 u - 0,6}$	=	$3 e^{- 0,6} + 19$
$3 e^{0,3 u - 0,6}$	=	$20,6464$	\|: $3$
$e^{0,3 u - 0,6}$	=	$6,8821$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,6$	=	$\ln (6,8821)$

$0,3 u - 0,6$	=	$1,9289$	\| $+ 0,6$
$0,3 u$	=	$2,5289$	\|: $0,3$
$u$	=	$8,4297$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 {(x - 1)}^{2}$ zwischen 0 und 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 6 {(x - 1)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[2 {(x - 1)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (2 \cdot {(2 - 1)}^{3} - 2 \cdot {(0 - 1)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (2 \cdot 1^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (2 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} (2 + 2)$

= $\frac{1}{2} \cdot 4$

= $2$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{5} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{5} - {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{5}$

= ${[- \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{5}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 5 - 6} + \sqrt{2 u - 6}$

= $- \sqrt{10 - 6} + \sqrt{2 u - 6}$

= $- \sqrt{4} + \sqrt{2 u - 6}$

= $- 2 + \sqrt{2 u - 6}$

= $\sqrt{2 u - 6} - 2$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 6} - 2$ → $0 - 2$ = $- 2$ ≈ -2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale