Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 40 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
=
≈ 6,671
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 40 +
≈ 46.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 15 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
25
10
=
2,5
u2 =
-3
-
784
10
=
-3
-28
10
=
-31
10
=
-3,1
Da u=
-3,1
< 1 ist u=
2,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= sin( x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
3
2
π
sin(
x
+
1
2
π)
ⅆ
x
=
1
π
[
-
cos(
x
+
1
2
π)
]
1
2
π
3
2
π
=
1
π
·
(
-
cos(
3
2
π
+
1
2
π)
+
cos(
1
2
π
+
1
2
π)
)
=
1
π
·
(
-
cos(2π)
+
cos(π)
)
=
1
π
·
(
-1
-1
)
=
-1
-1
π
=
-2
π
=
-
2
π
≈ -0,637
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 1,5 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
1,5
1
2x
-2
ⅆ
x
=
∫
u
1,5
(
2x
-2
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
(
2x
-2
)
1
2
]
u
1,5
=
[
2x
-2
]
u
1,5
=
2⋅1,5
-2
-
2u
-2
=
3
-2
-
2u
-2
=
1
-
2u
-2
=
1
-
2u
-2
=
-
2u
-2
+1
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
-
2u
-2
+1
→
0
+1
=
1
≈ 1
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1