Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 51 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 2} - 2 e^{0 - 2}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 2}$

= $2 e - 2 e^{- 2}$

≈ 5,166

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 51 + $- 2 e^{- 2} + 2 e$ ≈ 56.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $3$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $7$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

7

:

\int_{3}^{7} \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{7} {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{7}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{7}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 4^{3} - \frac{2}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 64 - \frac{2}{9} \cdot 8$

= $\frac{128}{9} - \frac{16}{9}$

= $\frac{112}{9}$

≈ 12,444

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

7

zusammen:

B = 19 + $\frac{112}{9}$ = $\frac{283}{9}$ ≈ 31.44

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,9 x - 0,1} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,9 x - 0,1} ⅆ x

= ${[4 e^{0,9 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,9 u - 0,1} - 4 e^{0,9 \cdot 0 - 0,1}$

= $4 e^{0,9 u - 0,1} - 4 e^{0 - 0,1}$

= $4 e^{0,9 u - 0,1} - 4 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,9 u - 0,1} - 4 e^{- 0,1}$	=	$7$	\| $+ 4 e^{- 0,1}$
$4 e^{0,9 u - 0,1}$	=	$4 e^{- 0,1} + 7$
$4 e^{0,9 u - 0,1}$	=	$10,6193$	\|: $4$
$e^{0,9 u - 0,1}$	=	$2,6548$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,1$	=	$\ln (2,6548)$

$0,9 u - 0,1$	=	$0,9764$	\| $+ 0,1$
$0,9 u$	=	$1,0764$	\|: $0,9$
$u$	=	$1,196$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot (- 1) + \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{2}{3} + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{4}{9 π}$

≈ 0,141

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $11$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{11} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{11} - {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{11}$

= ${[- \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{11}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 11 - 6} + \sqrt{2 u - 6}$

= $- \sqrt{22 - 6} + \sqrt{2 u - 6}$

= $- \sqrt{16} + \sqrt{2 u - 6}$

= $- 4 + \sqrt{2 u - 6}$

= $\sqrt{2 u - 6} - 4$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 6} - 4$ → $0 - 4$ = $- 4$ ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale