= ${\left[2e^{2x-3}\right]}_1^4$

$=$ $2e^{2\cdot 4-3}-2e^{2\cdot 1-3}$

= $2e^{8-3}-2e^{2-3}$

= $2e^5-2e^{-1}$

= ${\left[\frac{8}{3}{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{19}^{28}$

= ${\left[\frac{8}{3}{\left(\sqrt{x-3}\right)}^3\right]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{28-3}\right)}^3-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3$

= $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{8}{3}\cdot 5^3-\frac{8}{3}\cdot 4^3$

= $\frac{8}{3}\cdot 125-\frac{8}{3}\cdot 64$

= $\frac{1000}{3}-\frac{512}{3}$

= $\frac{488}{3}$

= ${\left[e^{\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,7}}\right]}_0^u$

$=$ $e^{\mathrm{0,6}u-\mathrm{0,7}}-e^{\mathrm{0,6}\cdot 0-\mathrm{0,7}}$

= $e^{\mathrm{0,6}u-\mathrm{0,7}}-e^{0-\mathrm{0,7}}$

= $e^{\mathrm{0,6}u-\mathrm{0,7}}-e^{-\mathrm{0,7}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{4}$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x-2\right)}^3\right]}_0^4$

$=$ $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(4-2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0-2\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot \left(-8\right)\right)$

= $\frac{1}{4}\left(\frac{8}{3}+\frac{8}{3}\right)$

= $\frac{1}{4}·\frac{16}{3}$

= $\frac{4}{3}$

= ${\left[-\frac{1}{2}{\left(-x+3\right)}^{-2}\right]}_5^u$

= ${\left[-\frac{1}{2{\left(-x+3\right)}^2}\right]}_5^u$

$=$ $-\frac{1}{2{\left(-u+3\right)}^2}+\frac{1}{2{\left(-5+3\right)}^2}$

= $-\frac{1}{2{\left(-u+3\right)}^2}+\frac{1}{2{\left(-2\right)}^2}$

= $-\frac{1}{2{\left(-u+3\right)}^2}+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$

= $-\frac{1}{2{\left(-u+3\right)}^2}+\frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{1}{2{\left(-u+3\right)}^2}+\frac{1}{8}$ → $0+\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$ ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125