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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{2 \cdot 2 - 5} - e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $e^{4 - 5} - e^{0 - 5}$

= $e^{- 1} - e^{- 5}$

≈ 0,361

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 10 + $e^{- 1} - e^{- 5}$ ≈ 10.36

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $e^{5 - 1} - e^{2 - 1}$

= $e^{4} - e^{1}$

= $e^{4} - e$

≈ 51,88

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 13 + $e^{4} - e$ ≈ 64.88

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (10 x + 3) ⅆ x$ = $114$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (10 x + 3) ⅆ x

= ${[5 x^{2} + 3 x]}_{2}^{u}$

$=$ $5 u^{2} + 3 u - (5 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2)$

= $5 u^{2} + 3 u - (5 \cdot 4 + 6)$

= $5 u^{2} + 3 u - (20 + 6)$

= $5 u^{2} + 3 u - 1 \cdot 26$

= $5 u^{2} + 3 u - 26$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $114$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} + 3 u - 26

=

114

|

- 114

$5 u^{2} + 3 u - 140$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 140)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 2 800}}{10}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{2 809}}{10}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{- 3+53}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{- 3-53}{10}$ = $\frac{- 56}{10}$ = $- 5,6$

Da u= $- 5,6$ < 2 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 {(2 x - 3)}^{3}$ zwischen 1 und 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 - 1}

\int_{1}^{2} 3 {(2 x - 3)}^{3} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{3}{8} {(2 x - 3)}^{4}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{3}{8} \cdot {(2 \cdot 2 - 3)}^{4} - \frac{3}{8} \cdot {(2 \cdot 1 - 3)}^{4}$

= $\frac{3}{8} \cdot {(4 - 3)}^{4} - \frac{3}{8} \cdot {(2 - 3)}^{4}$

= $\frac{3}{8} \cdot 1^{4} - \frac{3}{8} \cdot {(- 1)}^{4}$

= $\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1$

= $\frac{3}{8} - \frac{3}{8}$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{- x + 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(- x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| - x + 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $3 \ln (| - (u) + 3 |) - 3 \ln (| - 4 + 3 |)$

= $3 \ln (| - u + 3 |) - 3 \ln (| - 4 + 3 |)$

= $3 \ln (| - u + 3 |) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (| - u + 3 |) + 0$

= $3 \ln (| - x + 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (| - x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale