Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 2x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 3 e 2x -2 x

= [ 3 2 e 2x -2 ] 2 4

= 3 2 e 24 -2 - 3 2 e 22 -2

= 3 2 e 8 -2 - 3 2 e 4 -2

= 3 2 e 6 - 3 2 e 2


≈ 594,06
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 64 + 3 2 e 6 - 3 2 e 2 ≈ 658.06

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 2x -4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 10 s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 29 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 10 und 29 2 :
10 29 2 5 2x -4 x
= 10 29 2 5 ( 2x -4 ) 1 2 x

= [ 5 3 ( 2x -4 ) 3 2 ] 10 29 2

= [ 5 3 ( 2x -4 ) 3 ] 10 29 2

= 5 3 ( 2( 29 2 ) -4 ) 3 - 5 3 ( 210 -4 ) 3

= 5 3 ( 29 -4 ) 3 - 5 3 ( 20 -4 ) 3

= 5 3 ( 25 ) 3 - 5 3 ( 16 ) 3

= 5 3 5 3 - 5 3 4 3

= 5 3 125 - 5 3 64

= 625 3 - 320 3

= 305 3


≈ 101,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 10 und der Änderung zwischen 10 und 29 2 zusammen:
B = 12 + 305 3 = 341 3 ≈ 113.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,5 e 0,5x -0,7 x = 14

Lösung einblenden
0 u 2,5 e 0,5x -0,7 x

= [ 5 e 0,5x -0,7 ] 0 u

= 5 e 0,5u -0,7 -5 e 0,50 -0,7

= 5 e 0,5u -0,7 -5 e 0 -0,7

= 5 e 0,5u -0,7 -5 e -0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 14 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 e 0,5u -0,7 -5 e -0,7 = 14 | +5 e -0,7
5 e 0,5u -0,7 = 5 e -0,7 +14
5 e 0,5u -0,7 = 16,4829 |:5
e 0,5u -0,7 = 3,2966 |ln(⋅)
0,5u -0,7 = ln( 3,2966 )
0,5u -0,7 = 1,1929 | +0,7
0,5u = 1,8929 |:0,5
u = 3,7858

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -5 ) 3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 2 ( 2x -5 ) 3 x

= 1 3 [ 1 4 ( 2x -5 ) 4 ] 0 3

= 1 3 ( 1 4 ( 23 -5 ) 4 - 1 4 ( 20 -5 ) 4 )

= 1 3 ( 1 4 ( 6 -5 ) 4 - 1 4 ( 0 -5 ) 4 )

= 1 3 ( 1 4 1 4 - 1 4 ( -5 ) 4 )

= 1 3 ( 1 4 1 - 1 4 625 )

= 1 3 ( 1 4 - 625 4 )

= 1 3 · ( -156 )

= -52

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( x ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 3 3 ( x ) 3 x
= u 3 3 x 3 x
= u 3 3 x -3 x

= [ - 3 2 x -2 ] u 3

= [ - 3 2 x 2 ] u 3

= - 3 2 3 2 + 3 2 u 2

= - 3 2 ( 1 9 ) + 3 2 u 2

= - 1 6 + 3 2 u 2

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = - 1 6 + 3 2 u 2