zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
∫ 2 3 2 e x -3 ⅆ x

= [ 2 e x -3 ] 2 3

= 2 e 3 -3 -2 e 2 -3

= 2 e 0 -2 e -1

= 2 -2 e -1


≈ 1,264
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 5 + -2 e -1 +2 ≈ 6.26

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( x -3 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 7:
∫ 5 7 1 ( x -3 ) 2 ⅆ x
= ∫ 5 7 ( x -3 ) -2 ⅆ x

= [ - ( x -3 ) -1 ] 5 7

= [ - 1 x -3 ] 5 7

= - 1 7 -3 + 1 5 -3

= - 1 4 + 1 2

= -( 1 4 ) + 1 2

= 1 4


= 0,25
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 7 zusammen:
B = 18 + 1 4 = 73 4 ≈ 18.25

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 3,2 e 0,8x -0,6 ⅆ x = 5

Lösung einblenden
∫ 0 u 3,2 e 0,8x -0,6 ⅆ x

= [ 4 e 0,8x -0,6 ] 0 u

= 4 e 0,8u -0,6 -4 e 0,8⋅0 -0,6

= 4 e 0,8u -0,6 -4 e 0 -0,6

= 4 e 0,8u -0,6 -4 e -0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 e 0,8u -0,6 -4 e -0,6 = 5 | +4 e -0,6
4 e 0,8u -0,6 = 4 e -0,6 +5
4 e 0,8u -0,6 = 7,1952 |:4
e 0,8u -0,6 = 1,7988 |ln(⋅)
0,8u -0,6 = ln( 1,7988 )
0,8u -0,6 = 0,5871 | +0,6
0,8u = 1,1871 |:0,8
u = 1,4839

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 2x -2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -2 ∫ 2 4 4 2x -2 ⅆ x
= 1 2 ∫ 2 4 4 ( 2x -2 ) -1 ⅆ x

= 1 2 [ 2 ln( | 2x -2 | ) ] 2 4

= 1 2 (2 ln( | 2⋅4 -2 | ) -2 ln( | 2⋅2 -2 | ) )

= 1 2 (2 ln( | 8 -2 | ) -2 ln( | 4 -2 | ) )

= 1 2 (2 ln( 6 ) -2 ln( | 4 -2 | ) )

= 1 2 (2 ln( 6 ) -2 ln( 2 ) )


≈ 1,099

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -3 e -2x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u -3 e -2x +1 ⅆ x

= [ 3 2 e -2x +1 ] 2 u

= 3 2 e -2u +1 - 3 2 e -2⋅2 +1

= 3 2 e -2u +1 - 3 2 e -4 +1

= 3 2 e -2u +1 - 3 2 e -3

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2 e -2u +1 - 3 2 e -3 → 0 - 3 2 e -3 = - 3 2 e -3 ≈ -0.075

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.075