Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5 s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 26 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 26:
5 26 6 x -1 x
= 5 26 6 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -1 ) 3 2 ] 5 26

= [ 4 ( x -1 ) 3 ] 5 26

= 4 ( 26 -1 ) 3 -4 ( 5 -1 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 4 ) 3

= 4 5 3 -4 2 3

= 4125 -48

= 500 -32

= 468

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 26 zusammen:
B = 18 + 468 = 486

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 7 s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 10 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 7 und 10:
7 10 6 3x -5 x
= 7 10 6 ( 3x -5 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 2 ] 7 10

= [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 ] 7 10

= 4 3 ( 310 -5 ) 3 - 4 3 ( 37 -5 ) 3

= 4 3 ( 30 -5 ) 3 - 4 3 ( 21 -5 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 7 und der Änderung zwischen 7 und 10 zusammen:
B = 20 + 244 3 = 304 3 ≈ 101.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u -6x x = -18,75

Lösung einblenden
0 u -6x x

= [ -3 x 2 ] 0 u

= -3 u 2 +3 0 2

= -3 u 2 +30

= -3 u 2 +0

= -3 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -18,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-3 u 2 = -18,75 |: ( -3 )
u 2 = 6,25 | 2
u1 = - 6,25 = -2,5
u2 = 6,25 = 2,5

Da u= -2,5 < 0 ist u= 2,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 ( 2x -4 ) 2 zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -1 1 3 5 ( 2x -4 ) 2 x

= 1 2 [ 5 6 ( 2x -4 ) 3 ] 1 3

= 1 2 ( 5 6 ( 23 -4 ) 3 - 5 6 ( 21 -4 ) 3 )

= 1 2 ( 5 6 ( 6 -4 ) 3 - 5 6 ( 2 -4 ) 3 )

= 1 2 ( 5 6 2 3 - 5 6 ( -2 ) 3 )

= 1 2 ( 5 6 8 - 5 6 ( -8 ) )

= 1 2 ( 20 3 + 20 3 )

= 1 2 · 40 3

= 20 3


≈ 6,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -2 e -3x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u -2 e -3x +5 x

= [ 2 3 e -3x +5 ] 1 u

= 2 3 e -3u +5 - 2 3 e -31 +5

= 2 3 e -3u +5 - 2 3 e -3 +5

= 2 3 e -3u +5 - 2 3 e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3 e -3u +5 - 2 3 e 2 0 - 2 3 e 2 = - 2 3 e 2 ≈ -4.926

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4.926