Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $5$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $17$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

17

:

\int_{5}^{17} 4 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{17} 4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{17}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{5}^{17}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $\frac{8}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 4^{3} - \frac{8}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 64 - \frac{8}{3} \cdot 8$

= $\frac{512}{3} - \frac{64}{3}$

= $\frac{448}{3}$

≈ 149,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

17

zusammen:

B = 17 + $\frac{448}{3}$ = $\frac{499}{3}$ ≈ 166.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{21}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

\frac{21}{2}

:

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 5 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 5 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 4^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 64 - \frac{5}{3} \cdot 27$

= $\frac{320}{3} - 45$

= $\frac{320}{3} - \frac{135}{3}$

= $\frac{185}{3}$

≈ 61,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

\frac{21}{2}

zusammen:

B = 20 + $\frac{185}{3}$ = $\frac{245}{3}$ ≈ 81.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,4 e^{0,1 x - 0,1} ⅆ x$ = $9$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,4 e^{0,1 x - 0,1} ⅆ x

= ${[4 e^{0,1 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,1 u - 0,1} - 4 e^{0,1 \cdot 0 - 0,1}$

= $4 e^{0,1 u - 0,1} - 4 e^{0 - 0,1}$

= $4 e^{0,1 u - 0,1} - 4 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,1 u - 0,1} - 4 e^{- 0,1}$	=	$9$	\| $+ 4 e^{- 0,1}$
$4 e^{0,1 u - 0,1}$	=	$4 e^{- 0,1} + 9$
$4 e^{0,1 u - 0,1}$	=	$12,6193$	\|: $4$
$e^{0,1 u - 0,1}$	=	$3,1548$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,1$	=	$\ln (3,1548)$

$0,1 u - 0,1$	=	$1,1489$	\| $+ 0,1$
$0,1 u$	=	$1,2489$	\|: $0,1$
$u$	=	$12,489$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \sin (x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 6 \cdot \sin (x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 6 \cdot \cos (x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 6 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + π) + 6 \cdot \cos (0 + π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 6 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 6 \cdot \cos (π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 6 \cdot 0 + 6 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - 6)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 6)$

= $- \frac{12}{π}$

≈ -3,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} - \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - 2 {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{u}^{2}$

= ${[\frac{1}{2 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{u}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 \cdot 2 - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(4 - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}) - \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{8} - \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} + \frac{1}{8}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale