= ${\left[\frac{4}{3}{\left(3x-7\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${\left[\frac{4}{3}{\left(\sqrt{3x-7}\right)}^3\right]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{32}{3}\right)-7}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{16}{3}\right)-7}\right)}^3$

= $\frac{4}{3}{\left(\sqrt{32-7}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{16-7}\right)}^3$

= $\frac{4}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $\frac{4}{3}\cdot 5^3-\frac{4}{3}\cdot 3^3$

= $\frac{4}{3}\cdot 125-\frac{4}{3}\cdot 27$

= $\frac{500}{3}-36$

= $\frac{500}{3}-\frac{108}{3}$

= $\frac{392}{3}$

= ${\left[\frac{4}{3}{e}^{3x-5}\right]}_1^4$

$=$ $\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 4-5}-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 1-5}$

= $\frac{4}{3}{e}^{12-5}-\frac{4}{3}{e}^{3-5}$

= $\frac{4}{3}{e}^7-\frac{4}{3}{e}^{-2}$

= ${\left[4x^2\right]}_0^u$

$=$ $4u^2-4\cdot 0^2$

= $4u^2-4\cdot 0$

= $4u^2+0$

= $4u^2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $81$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-\frac{9}{2}$ < 0 ist u= $\frac{9}{2}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[e^{2x-4}\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{2}\left(e^{2\cdot 2-4}-e^{2\cdot 0-4}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(e^{4-4}-e^{0-4}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(e^0-e^{-4}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(1-e^{-4}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-e^{-4}+1\right)$

= ${\left[e^{3x-5}\right]}_0^u$

$=$ $e^{3u-5}-e^{3\cdot 0-5}$

= $e^{3u-5}-e^{0-5}$

= $e^{3u-5}-e^{-5}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{3u-5}-e^{-5}$ → $\infty$