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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 10 s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 17 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 10 und 17:
∫ 10 17 3 x -1 ⅆ x
= ∫ 10 17 3 ( x -1 ) 1 2 ⅆ x

= [ 2 ( x -1 ) 3 2 ] 10 17

= [ 2 ( x -1 ) 3 ] 10 17

= 2 ( 17 -1 ) 3 -2 ( 10 -1 ) 3

= 2 ( 16 ) 3 -2 ( 9 ) 3

= 2⋅ 4 3 -2⋅ 3 3

= 2⋅64 -2⋅27

= 128 -54

= 74

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 10 und der Änderung zwischen 10 und 17 zusammen:
B = 16 + 74 = 90

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -3 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
∫ 2 3 2 ( 2x -3 ) 2 ⅆ x
= ∫ 2 3 2 ( 2x -3 ) -2 ⅆ x

= [ - ( 2x -3 ) -1 ] 2 3

= [ - 1 2x -3 ] 2 3

= - 1 2⋅3 -3 + 1 2⋅2 -3

= - 1 6 -3 + 1 4 -3

= - 1 3 + 1 1

= -( 1 3 ) + 1

= 2 3


≈ 0,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 3 + 2 3 = 11 3 ≈ 3.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 0,6 e -0,3x +0,5 ⅆ x = 2

Lösung einblenden
∫ 0 u 0,6 e -0,3x +0,5 ⅆ x

= [ -2 e -0,3x +0,5 ] 0 u

= -2 e -0,3u +0,5 +2 e -0,3⋅0 +0,5

= -2 e -0,3u +0,5 +2 e 0 +0,5

= -2 e -0,3u +0,5 +2 e 0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 e -0,3u +0,5 +2 e 0,5 = 2 | -2 e 0,5
-2 e -0,3u +0,5 = -2 e 0,5 +2
-2 e -0,3u +0,5 = -1,2974 |:-2
e -0,3u +0,5 = 0,6487 |ln(⋅)
-0,3u +0,5 = ln( 0,6487 )
-0,3u +0,5 = -0,4328 | -0,5
-0,3u = -0,9328 |:(-0,3 )
u = 3,1093

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 3x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 ∫ 2 5 1 3x -5 ⅆ x
= 1 3 ∫ 2 5 ( 3x -5 ) -1 ⅆ x

= 1 3 [ 1 3 ln( | 3x -5 | ) ] 2 5

= 1 3 ( 1 3 ln( | 3⋅5 -5 | ) - 1 3 ln( | 3⋅2 -5 | ) )

= 1 3 ( 1 3 ln( | 15 -5 | ) - 1 3 ln( | 6 -5 | ) )

= 1 3 ( 1 3 ln( 10 ) - 1 3 ln( | 6 -5 | ) )

= 1 3 ( 1 3 ln( 10 ) - 1 3 ln( 1 ) )

= 1 3 ( 1 3 ln( 10 ) +0)

= 1 9 ln( 10 )


≈ 0,256

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -2 e -2x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u -2 e -2x +5 ⅆ x

= [ e -2x +5 ] 2 u

= e -2u +5 - e -2⋅2 +5

= e -2u +5 - e -4 +5

= e -2u +5 - e 1

= e -2u +5 - e

Für u → ∞ gilt: A(u) = e -2u +5 - e → 0 - e = -e ≈ -2.718

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2.718