Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{3}{{(x - 1)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(x - 1)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{3}{2 {(x - 1)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(5 - 1)}^{2}} + \frac{3}{2 {(3 - 1)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 4^{2}} + \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{16}) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{32} + \frac{3}{8}$

= $- \frac{3}{32} + \frac{12}{32}$

= $\frac{9}{32}$

≈ 0,281

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 13 + $\frac{9}{32}$ = $\frac{425}{32}$ ≈ 13.28

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{4 - 1} - \frac{1}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{3} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 9,859

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 61 + $\frac{1}{2} e^{3} - \frac{1}{2} e^{- 1}$ ≈ 70.86

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3 e^{- 0,6 x + 0,4} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3 e^{- 0,6 x + 0,4} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,6 x + 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,6 u + 0,4} + 5 e^{- 0,6 \cdot 0 + 0,4}$

= $- 5 e^{- 0,6 u + 0,4} + 5 e^{0 + 0,4}$

= $- 5 e^{- 0,6 u + 0,4} + 5 e^{0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,6 u + 0,4} + 5 e^{0,4}$	=	$2$	\| $- 5 e^{0,4}$
$- 5 e^{- 0,6 u + 0,4}$	=	$- 5 e^{0,4} + 2$
$- 5 e^{- 0,6 u + 0,4}$	=	$- 5,4591$	\|: $- 5$
$e^{- 0,6 u + 0,4}$	=	$1,0918$	\|ln(⋅)
$- 0,6 u + 0,4$	=	$\ln (1,0918)$

$- 0,6 u + 0,4$	=	$0,0878$	\| $- 0,4$
$- 0,6 u$	=	$- 0,3122$	\|:( $- 0,6$ )
$u$	=	$0,5203$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{2 x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 1}

\int_{1}^{4} \frac{1}{2 x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{1}^{4} {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 1 - 1 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (| 8 - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - 1 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (7) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - 1 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (7) - \frac{1}{2} \ln (1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln (7) + 0)$

= $\frac{1}{6} \ln (7)$

≈ 0,324

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(3 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(3 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} {(3 x - 5)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{6 {(3 x - 5)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6 {(3 \cdot 2 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6 {(6 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6} \cdot 1$

= $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{6 {(3 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{6}$ → $0 + \frac{1}{6}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.167

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale