Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 35 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $5 e^{1 - 1} - 5 e^{0 - 1}$

= $5 e^{0} - 5 e^{- 1}$

= $5 - 5 e^{- 1}$

≈ 3,161

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 35 + $- 5 e^{- 1} + 5$ ≈ 38.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 6} - \frac{2}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{3} - \frac{2}{3} e^{- 6}$

≈ 13,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 20 + $\frac{2}{3} e^{3} - \frac{2}{3} e^{- 6}$ ≈ 33.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,1 e^{- 0,3 x + 0,9} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,1 e^{- 0,3 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 7 e^{- 0,3 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 7 e^{- 0,3 u + 0,9} + 7 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 7 e^{- 0,3 u + 0,9} + 7 e^{0 + 0,9}$

= $- 7 e^{- 0,3 u + 0,9} + 7 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 7 e^{- 0,3 u + 0,9} + 7 e^{0,9}$	=	$7$	\| $- 7 e^{0,9}$
$- 7 e^{- 0,3 u + 0,9}$	=	$- 7 e^{0,9} + 7$
$- 7 e^{- 0,3 u + 0,9}$	=	$- 10,2172$	\|: $- 7$
$e^{- 0,3 u + 0,9}$	=	$1,4596$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,9$	=	$\ln (1,4596)$

$- 0,3 u + 0,9$	=	$0,3782$	\| $- 0,9$
$- 0,3 u$	=	$- 0,5218$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$1,7393$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 4 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 4 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (0 - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 4 \cdot \cos (0) + 4 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 4)$

= $- \frac{8}{π}$

≈ -2,546

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{2 x}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} \frac{2}{2 x} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} \frac{1}{x} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} x^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| x |)]}_{u}^{2}$

$=$ $\ln (| 2 |) - \ln (| u |)$

= $\ln (2) - \ln (| u |)$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\ln (| 2 |) - \ln (| x |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale