Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $4 e^{3 - 3} - 4 e^{1 - 3}$

= $4 e^{0} - 4 e^{- 2}$

= $4 - 4 e^{- 2}$

≈ 3,459

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 4 + $- 4 e^{- 2} + 4$ ≈ 7.46

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 6 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 2 - 5} - 3 e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $3 e^{4 - 5} - 3 e^{0 - 5}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{- 5}$

≈ 1,083

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 14 + $3 e^{- 1} - 3 e^{- 5}$ ≈ 15.08

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 10 x - 4) ⅆ x$ = $- 195$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 10 x - 4) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 4 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 4 u - (- 5 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1)$

= $- 5 u^{2} - 4 u - (- 5 \cdot 1 - 4)$

= $- 5 u^{2} - 4 u - (- 5 - 4)$

= $- 5 u^{2} - 4 u - 1 \cdot (- 9)$

= $- 5 u^{2} - 4 u + 9$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 195$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 4 u + 9

=

- 195

|

+ 195

$- 5 u^{2} - 4 u + 204$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 204}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 4 080}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4 096}}{- 10}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4 096}}{- 10}$ = $\frac{4+64}{- 10}$ = $\frac{68}{- 10}$ = $- 6,8$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4 096}}{- 10}$ = $\frac{4-64}{- 10}$ = $\frac{- 60}{- 10}$ = $6$

Da u= $- 6,8$ < 1 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 3}

\int_{3}^{4} \frac{1}{3 x - 3} ⅆ x

=

1

\int_{3}^{4} {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 3 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 12 - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 3 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (9) - \frac{1}{3} \ln (| 9 - 3 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (9) - \frac{1}{3} \ln (6)$

≈ 0,135

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(- 2 x + 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{3}{{(- 2 x + 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 3 {(- 2 x + 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} {(- 2 x + 5)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{3}{2 (- 2 x + 5)}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{3}{2 (- 2 \cdot 4 + 5)}$

= $\frac{3}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{3}{2 (- 8 + 5)}$

= $\frac{3}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{3}{2 (- 3)}$

= $\frac{3}{2 (- 2 u + 5)} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $\frac{3}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2 (- 2 u + 5)} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale