Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $3 e^{5 - 3} - 3 e^{2 - 3}$

= $3 e^{2} - 3 e^{- 1}$

≈ 21,064

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 27 + $3 e^{2} - 3 e^{- 1}$ ≈ 48.06

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{5}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 5 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{5}{2 (2 x - 3)}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{2 (2 \cdot 3 - 3)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{5}{2 (6 - 3)} + \frac{5}{2 (4 - 3)}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 3} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{3}) + \frac{5}{2} \cdot 1$

= $- \frac{5}{6} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{6} + \frac{15}{6}$

= $\frac{5}{3}$

≈ 1,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 11 + $\frac{5}{3}$ = $\frac{38}{3}$ ≈ 12.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (8 x - 2) ⅆ x$ = $242$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (8 x - 2) ⅆ x

= ${[4 x^{2} - 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 2 u - (4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3)$

= $4 u^{2} - 2 u - (4 \cdot 9 - 6)$

= $4 u^{2} - 2 u - (36 - 6)$

= $4 u^{2} - 2 u - 1 \cdot 30$

= $4 u^{2} - 2 u - 30$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $242$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} - 2 u - 30

=

242

|

- 242

4 u^{2} - 2 u - 272

= 0 |:2

$2 u^{2} - u - 136$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 136)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 1 088}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 089}}{4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{1 089}}{4}$ = $\frac{1+33}{4}$ = $\frac{34}{4}$ = $8,5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{1 089}}{4}$ = $\frac{1-33}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Da u= $- 8$ < 3 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{4}{x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} 4 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[4 \ln (| x - 1 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (4 \ln (| 5 - 1 |) - 4 \ln (| 3 - 1 |))$

= $\frac{1}{2} (4 \ln (4) - 4 \ln (| 3 - 1 |))$

= $\frac{1}{2} (4 \ln (4) - 4 \ln (2))$

≈ 1,386

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $10$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{10} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{10} - {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{10}$

= ${[- \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{10}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 10 - 4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{20 - 4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{16} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- 4 + \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{2 u - 4} - 4$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 4} - 4$ → $0 - 4$ = $- 4$ ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale