Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 80 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{2 \cdot 2 - 4} - e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $e^{4 - 4} - e^{0 - 4}$

= $e^{0} - e^{- 4}$

= $1 - e^{- 4}$

≈ 0,982

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 80 + $- e^{- 4} + 1$ ≈ 80.98

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 33 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 4} - e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $e^{8 - 4} - e^{2 - 4}$

= $e^{4} - e^{- 2}$

≈ 54,463

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 33 + $e^{4} - e^{- 2}$ ≈ 87.46

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 6 x + 5) ⅆ x$ = $- 92,25$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 6 x + 5) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} + 5 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 5 u - (- 3 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2)$

= $- 3 u^{2} + 5 u - (- 3 \cdot 4 + 10)$

= $- 3 u^{2} + 5 u - (- 12 + 10)$

= $- 3 u^{2} + 5 u - 1 \cdot (- 2)$

= $- 3 u^{2} + 5 u + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 92,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} + 5 u + 2

=

- 92,25

|

+ 92,25

$- 3 u^{2} + 5 u + 94,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 94,25}}{2 \cdot (- 3)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 1 131}}{- 6}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1 156}}{- 6}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1 156}}{- 6}$ = $\frac{- 5+34}{- 6}$ = $\frac{29}{- 6}$ = $- \frac{29}{6}$ ≈ -4.83

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1 156}}{- 6}$ = $\frac{- 5-34}{- 6}$ = $\frac{- 39}{- 6}$ = $6,5$

Da u= $- \frac{29}{6}$ < 2 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{5}{3 x - 5}$ zwischen 3 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 3}

\int_{3}^{4} \frac{5}{3 x - 5} ⅆ x

=

1

\int_{3}^{4} 5 {(3 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{5}{3} \ln (| 3 x - 5 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 5 |) - \frac{5}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 5 |)$

= $\frac{5}{3} \ln (| 12 - 5 |) - \frac{5}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{5}{3} \ln (7) - \frac{5}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{5}{3} \ln (7) - \frac{5}{3} \ln (4)$

≈ 0,933

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(- 3 x + 6)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{{(- 3 x + 6)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- 3 x + 6)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(- 3 x + 6)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{- 3 x + 6}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{- 3 u + 6} - \frac{1}{- 3 \cdot 3 + 6}$

= $\frac{1}{- 3 u + 6} - \frac{1}{- 9 + 6}$

= $\frac{1}{- 3 u + 6} - \frac{1}{(- 3)}$

= $\frac{1}{- 3 u + 6} - (- \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{- 3 u + 6} + \frac{1}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{- 3 u + 6} + \frac{1}{3}$ → $0 + \frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale