Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 33 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 4 e x -1 x

= [ 4 e x -1 ] 1 3

= 4 e 3 -1 -4 e 1 -1

= 4 e 2 -4 e 0

= 4 e 2 -4


≈ 25,556
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 33 + 4 e 2 -4 ≈ 58.56

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 6 e x -1 x

= [ 6 e x -1 ] 2 3

= 6 e 3 -1 -6 e 2 -1

= 6 e 2 -6 e 1

= 6 e 2 -6e


≈ 28,025
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 7 + 6 e 2 -6e ≈ 35.02

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,4 e -0,4x +0,7 x = 1

Lösung einblenden
0 u 0,4 e -0,4x +0,7 x

= [ - e -0,4x +0,7 ] 0 u

= - e -0,4u +0,7 + e -0,40 +0,7

= - e -0,4u +0,7 + e 0 +0,7

= - e -0,4u +0,7 + e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- e -0,4u +0,7 + e 0,7 = 1 | - e 0,7
- e -0,4u +0,7 = - e 0,7 +1
- e -0,4u +0,7 = -1,0138 |:-1
e -0,4u +0,7 = 1,0138 |ln(⋅)
-0,4u +0,7 = ln( 1,0138 )
-0,4u +0,7 = 0,0137 | -0,7
-0,4u = -0,6863 |:(-0,4 )
u = 1,7158

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 4 2x -4 zwischen 4 und 5.

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -4 4 5 4 2x -4 x
= 1 4 5 4 ( 2x -4 ) -1 x

= 1 [ 2 ln( | 2x -4 | ) ] 4 5

= 2 ln( | 25 -4 | ) -2 ln( | 24 -4 | )

= 2 ln( | 10 -4 | ) -2 ln( | 8 -4 | )

= 2 ln( 6 ) -2 ln( | 8 -4 | )

= 2 ln( 6 ) -2 ln( 4 )


≈ 0,811

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 2 3 ( 2x ) 2 x
= u 2 3 4 x 2 x
= u 2 3 4 x -2 x

= [ - 3 4 x -1 ] u 2

= [ - 3 4 x ] u 2

= - 3 4 2 + 3 4 u

= - 3 4 ( 1 2 ) + 3 4 u

= - 3 8 + 3 4 u

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = - 3 8 + 3 4 u