Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 3 - 3} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{6 - 3} - \frac{1}{2} e^{2 - 3}$

= $\frac{1}{2} e^{3} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 9,859

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 11 + $\frac{1}{2} e^{3} - \frac{1}{2} e^{- 1}$ ≈ 20.86

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{5}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 5 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{5}{2 (2 x - 3)}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{5}{2 (2 \cdot 3 - 3)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 2 - 3)}$

= $- \frac{5}{2 (6 - 3)} + \frac{5}{2 (4 - 3)}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 3} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{3}) + \frac{5}{2} \cdot 1$

= $- \frac{5}{6} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{6} + \frac{15}{6}$

= $\frac{5}{3}$

≈ 1,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 7 + $\frac{5}{3}$ = $\frac{26}{3}$ ≈ 8.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 4 x + 2) ⅆ x$ = $- 93,5$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 4 x + 2) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 2 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 2 u - (- 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2)$

= $- 2 u^{2} + 2 u - (- 2 \cdot 4 + 4)$

= $- 2 u^{2} + 2 u - (- 8 + 4)$

= $- 2 u^{2} + 2 u - 1 \cdot (- 4)$

= $- 2 u^{2} + 2 u + 4$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 93,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 2 u + 4

=

- 93,5

|

+ 93,5

$- 2 u^{2} + 2 u + 97,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 97,5}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 780}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{784}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{784}}{- 4}$ = $\frac{- 2+28}{- 4}$ = $\frac{26}{- 4}$ = $- 6,5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{784}}{- 4}$ = $\frac{- 2-28}{- 4}$ = $\frac{- 30}{- 4}$ = $7,5$

Da u= $- 6,5$ < 2 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $11$ und Minute $18$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{18 - 11}

\int_{11}^{18} 2 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{7}

\int_{11}^{18} 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{7}$ ${[\frac{4}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{18}$

= $\frac{1}{7}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{18}$

$=$ $\frac{1}{7} (\frac{4}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{1}{7} (\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 27)$

= $\frac{1}{7} (\frac{256}{3} - 36)$

= $\frac{1}{7} (\frac{256}{3} - \frac{108}{3})$

= $\frac{1}{7} \cdot \frac{148}{3}$

= $\frac{148}{21}$

≈ 7,048

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(2 x - 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} - \frac{1}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{u}^{2}$

= ${[\frac{1}{4 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{u}^{2}$

$=$ $\frac{1}{4 {(2 \cdot 2 - 2)}^{2}} - \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(4 - 2)}^{2}} - \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{4}) - \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{16} - \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{4 {(2 u - 2)}^{2}} + \frac{1}{16}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale