Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 ( 2x -3 ) 4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 6 ( 2x -3 ) 4 x
= 2 3 6 ( 2x -3 ) -4 x

= [ - ( 2x -3 ) -3 ] 2 3

= [ - 1 ( 2x -3 ) 3 ] 2 3

= - 1 ( 23 -3 ) 3 + 1 ( 22 -3 ) 3

= - 1 ( 6 -3 ) 3 + 1 ( 4 -3 ) 3

= - 1 3 3 + 1 1 3

= -( 1 27 ) + 1

= 26 27


≈ 0,963
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 15 + 26 27 = 431 27 ≈ 15.96

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 e 3x -5 x

= [ 1 3 e 3x -5 ] 1 2

= 1 3 e 32 -5 - 1 3 e 31 -5

= 1 3 e 6 -5 - 1 3 e 3 -5

= 1 3 e 1 - 1 3 e -2

= 1 3 e - 1 3 e -2


≈ 0,861
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 31 + - 1 3 e -2 + 1 3 e ≈ 31.86

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 6x x = 108

Lösung einblenden
0 u 6x x

= [ 3 x 2 ] 0 u

= 3 u 2 -3 0 2

= 3 u 2 -30

= 3 u 2 +0

= 3 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 108 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 = 108 |:3
u 2 = 36 | 2
u1 = - 36 = -6
u2 = 36 = 6

Da u= -6 < 0 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -1 ) 3 +4x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 ( 4 ( x -1 ) 3 +4x ) x

= 1 2 [ ( x -1 ) 4 +2 x 2 ] 0 2

= 1 2 ( ( 2 -1 ) 4 +2 2 2 - ( ( 0 -1 ) 4 +2 0 2 ))

= 1 2 ( 1 4 +24 - ( ( -1 ) 4 +20 ))

= 1 2 ( 1 +8 - ( 1 +0))

= 1 2 ( 1 +8 -1 )

= 1 2 · 8

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -3 e -2x +2 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 0 u -3 e -2x +2 x

= [ 3 2 e -2x +2 ] 0 u

= 3 2 e -2u +2 - 3 2 e -20 +2

= 3 2 e -2u +2 - 3 2 e 0 +2

= 3 2 e -2u +2 - 3 2 e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2 e -2u +2 - 3 2 e 2 0 - 3 2 e 2 = - 3 2 e 2 ≈ -11.084

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 11.084