Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{6 - 6} - \frac{2}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{0} - \frac{2}{3} e^{- 6}$

= $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} e^{- 6}$

≈ 0,665

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 5 + $- \frac{2}{3} e^{- 6} + \frac{2}{3}$ ≈ 5.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{19}{3}$ Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{28}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 3 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 3 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 10 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{152}{3}$ ≈ 50.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 25$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 2^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 4$

= $- 5 u^{2} + 20$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2} + 20$	=	$- 25$	\| $- 20$
$- 5 u^{2}$	=	$- 45$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
u₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Da u= $- 3$ < 2 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(3 x - 4)}^{3} + 3 x$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} ({(3 x - 4)}^{3} + 3 x) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{12} {(3 x - 4)}^{4} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 3 - 4)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 2 - 4)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 2^{2})$

= $\frac{1}{12} \cdot {(9 - 4)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 9 - (\frac{1}{12} \cdot {(6 - 4)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot 4)$

= $\frac{1}{12} \cdot 5^{4} + \frac{27}{2} - (\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + 6)$

= $\frac{1}{12} \cdot 625 + \frac{27}{2} - (\frac{1}{12} \cdot 16 + 6)$

= $\frac{625}{12} + \frac{27}{2} - (\frac{4}{3} + 6)$

= $\frac{625}{12} + \frac{162}{12} - (\frac{4}{3} + \frac{18}{3})$

= $\frac{787}{12} - 1 \cdot \frac{22}{3}$

= $\frac{787}{12} - \frac{22}{3}$

= $\frac{233}{4}$

= 58,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{3 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{8}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{8}{3}}^{u} \frac{2}{\sqrt{3 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{\frac{8}{3}}^{u} 2 {(3 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{8}{3}}^{u}$

= ${[\frac{4}{3} \sqrt{3 x - 4}]}_{\frac{8}{3}}^{u}$

$=$ $\frac{4}{3} \sqrt{3 u - 4} - \frac{4}{3} \sqrt{3 \cdot (\frac{8}{3}) - 4}$

= $\frac{4}{3} \sqrt{3 u - 4} - \frac{4}{3} \sqrt{8 - 4}$

= $\frac{4}{3} \sqrt{3 u - 4} - \frac{4}{3} \sqrt{4}$

= $\frac{4}{3} \sqrt{3 u - 4} - \frac{4}{3} \cdot 2$

= $\frac{4}{3} \sqrt{3 u - 4} - \frac{8}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{4}{3} \sqrt{3 u - 4} - \frac{8}{3}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale