Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{3}$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{20}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{20}{3}

:

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} 5 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} 5 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{20 - 4})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 4^{3} - \frac{10}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 64 - \frac{10}{9} \cdot 27$

= $\frac{640}{9} - 30$

= $\frac{640}{9} - \frac{270}{9}$

= $\frac{370}{9}$

≈ 41,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{20}{3}

zusammen:

B = 12 + $\frac{370}{9}$ = $\frac{478}{9}$ ≈ 53.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $10$ Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $26$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

26

:

\int_{10}^{26} 4 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{10}^{26} 4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{26}$

= ${[\frac{8}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{10}^{26}$

$=$ $\frac{8}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $\frac{8}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 5^{3} - \frac{8}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{8}{3} \cdot 125 - \frac{8}{3} \cdot 27$

= $\frac{1000}{3} - 72$

= $\frac{1000}{3} - \frac{216}{3}$

= $\frac{784}{3}$

≈ 261,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

26

zusammen:

B = 17 + $\frac{784}{3}$ = $\frac{835}{3}$ ≈ 278.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,5 e^{- 0,5 x + 0,1} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,5 e^{- 0,5 x + 0,1} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,5 x + 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,5 u + 0,1} + e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,1}$

= $- e^{- 0,5 u + 0,1} + e^{0 + 0,1}$

= $- e^{- 0,5 u + 0,1} + e^{0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,5 u + 0,1} + e^{0,1}$	=	$1$	\| $- e^{0,1}$
$- e^{- 0,5 u + 0,1}$	=	$- e^{0,1} + 1$
$- e^{- 0,5 u + 0,1}$	=	$- 0,1052$	\|: $- 1$
$e^{- 0,5 u + 0,1}$	=	$0,1052$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,1$	=	$\ln (0,1052)$

$- 0,5 u + 0,1$	=	$- 2,2519$	\| $- 0,1$
$- 0,5 u$	=	$- 2,3519$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$4,7038$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $e^{3 x - 7}$ zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} e^{3 x - 7} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 7})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} e^{9 - 7} - \frac{1}{3} e^{3 - 7})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} e^{2} - \frac{1}{3} e^{- 4})$

≈ 1,228

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $10$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{10} \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{10} 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{10}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{10}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 10 - 4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \sqrt{20 - 4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \sqrt{16} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \cdot 4 - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $8 - 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 4} + 8$ → $0 + 8$ = $8$ ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale