Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{2}$ s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{2}

und

\frac{29}{2}

:

\int_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}} 5 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}} 5 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{2}}^{\frac{29}{2}}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{13}{2}) - 4})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 27$

= $\frac{625}{3} - 45$

= $\frac{625}{3} - \frac{135}{3}$

= $\frac{490}{3}$

≈ 163,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{2}

und

\frac{29}{2}

zusammen:

B = 7 + $\frac{490}{3}$ = $\frac{511}{3}$ ≈ 170.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 26 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 6} - \frac{1}{3} e^{3 - 6}$

= $\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} e^{- 3}$

≈ 6,679

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 26 + $\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} e^{- 3}$ ≈ 32.68

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,3 e^{- 0,1 x + 0,3} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,3 e^{- 0,1 x + 0,3} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,1 x + 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,1 u + 0,3} + 3 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,3}$

= $- 3 e^{- 0,1 u + 0,3} + 3 e^{0 + 0,3}$

= $- 3 e^{- 0,1 u + 0,3} + 3 e^{0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,1 u + 0,3} + 3 e^{0,3}$	=	$1$	\| $- 3 e^{0,3}$
$- 3 e^{- 0,1 u + 0,3}$	=	$- 3 e^{0,3} + 1$
$- 3 e^{- 0,1 u + 0,3}$	=	$- 3,0496$	\|: $- 3$
$e^{- 0,1 u + 0,3}$	=	$1,0165$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,3$	=	$\ln (1,0165)$

$- 0,1 u + 0,3$	=	$0,0164$	\| $- 0,3$
$- 0,1 u$	=	$- 0,2836$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$2,836$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(2 x - 4)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{6 - 4}

\int_{4}^{6} \frac{6}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{4}^{6} 6 {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- 3 {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{4}^{6}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{3}{2 x - 4}]}_{4}^{6}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{3}{2 \cdot 6 - 4} + \frac{3}{2 \cdot 4 - 4})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{3}{12 - 4} + \frac{3}{8 - 4})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{3}{8} + \frac{3}{4})$

= $\frac{1}{2} (- 3 \cdot (\frac{1}{8}) + 3 \cdot (\frac{1}{4}))$

= $\frac{1}{2} (- \frac{3}{8} + \frac{3}{4})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{3}{8} + \frac{6}{8})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

= $\frac{3}{16}$

≈ 0,188

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $2,5$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2,5} \frac{3}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2,5} 3 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[3 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{2,5}$

= ${[3 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{2,5}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 2,5 - 4} - 3 \sqrt{2 u - 4}$

= $3 \sqrt{5 - 4} - 3 \sqrt{2 u - 4}$

= $3 \sqrt{1} - 3 \sqrt{2 u - 4}$

= $3 \cdot 1 - 3 \sqrt{2 u - 4}$

= $3 - 3 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- 3 \sqrt{2 u - 4} + 3$ → $0 + 3$ = $3$ ≈ 3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale