Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 56 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
≈ 0,159
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 56 +
≈ 56.16
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 26 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 3,161
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 26 +
≈ 29.16
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
1
3
(
ln(
|
2⋅6
-5
|
)
-
ln(
|
2⋅3
-5
|
)
)
=
1
3
(
ln(
|
12
-5
|
)
-
ln(
|
6
-5
|
)
)
=
1
3
(
ln(
7
)
-
ln(
|
6
-5
|
)
)
=
1
3
(
ln(
7
)
-
ln(
1
)
)
=
1
3
(
ln(
7
)
+0)
=
1
3
ln(
7
)
≈ 0,649
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
5
u
1
x
-3
ⅆ
x
=
∫
5
u
(
x
-3
)
-1
ⅆ
x
=
[
ln(
|
x
-3
|
)
]
5
u
=
ln(
|
u
-3
|
)
-
ln(
|
5
-3
|
)
=
ln(
|
u
-3
|
)
-
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
ln(
2
)
+
ln(
|
x
-3
|
)
→
∞