Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $4$ Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{19}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{19}{3}

:

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 2 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 2 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 4^{3} - \frac{4}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 64 - \frac{4}{9} \cdot 27$

= $\frac{256}{9} - 12$

= $\frac{256}{9} - \frac{108}{9}$

= $\frac{148}{9}$

≈ 16,444

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{19}{3}

zusammen:

B = 13 + $\frac{148}{9}$ = $\frac{265}{9}$ ≈ 29.44

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 6 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 3 - 1} - 3 e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $3 e^{6 - 1} - 3 e^{0 - 1}$

= $3 e^{5} - 3 e^{- 1}$

≈ 444,136

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 76 + $3 e^{5} - 3 e^{- 1}$ ≈ 520.14

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} - 4 x ⅆ x$ = $- 12,5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} - 4 x ⅆ x

= ${[- 2 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 2 \cdot 0^{2}$

= $- 2 u^{2} + 2 \cdot 0$

= $- 2 u^{2} + 0$

= $- 2 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 12,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 u^{2}$	=	$- 12,5$	\|: $(- 2)$
$u^{2}$	=	$6,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{6,25}$	= $- 2,5$
u₂	=	$\sqrt{6,25}$	= $2,5$

Da u= $- 2,5$ < 0 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- 5 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π + \frac{1}{2} π) + 5 \cdot \cos (0 + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 5 \cdot \cos (2 π) + 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 5 \cdot 1 + 5 \cdot 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 5)$

= $- \frac{10}{3 π}$

≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- 2 x + 4)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{{(- 2 x + 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(- 2 x + 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 2 x + 4)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(- 2 x + 4)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 2 \cdot 4 + 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 8 + 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{16})$

= $\frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{32}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(- 2 u + 4)}^{2}} - \frac{1}{32}$ → $0 - \frac{1}{32}$ = $- \frac{1}{32}$ ≈ -0.031

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.031

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale