Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 52 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 3} - 3 e^{0 - 3}$

= $3 e^{- 1} - 3 e^{- 3}$

≈ 0,954

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 52 + $3 e^{- 1} - 3 e^{- 3}$ ≈ 52.95

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 55 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 5 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 6} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{6 - 6} - \frac{5}{3} e^{3 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{0} - \frac{5}{3} e^{- 3}$

= $\frac{5}{3} - \frac{5}{3} e^{- 3}$

≈ 1,584

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 55 + $- \frac{5}{3} e^{- 3} + \frac{5}{3}$ ≈ 56.58

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 2 x ⅆ x$ = $40$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 2 x ⅆ x

= ${[x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $u^{2} - 3^{2}$

= $u^{2} - 9$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $40$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^{2} - 9$	=	$40$	\| $+ 9$
$u^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
u₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Da u= $- 7$ < 3 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{3 x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} e^{9 - 3} - \frac{2}{3} e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{- 3})$

≈ 89,64

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(3 x - 7)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{{(3 x - 7)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(3 x - 7)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 7)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 {(3 x - 7)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} - \frac{1}{3 {(3 \cdot 4 - 7)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} - \frac{1}{3 {(12 - 7)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} - \frac{1}{3 \cdot 5^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{25})$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} - \frac{1}{75}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} - \frac{1}{75}$ → $0 - \frac{1}{75}$ = $- \frac{1}{75}$ ≈ -0.013

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.013

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale