Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 65 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 255,562
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 65 +
≈ 320.56
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 65 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
=
≈ 546,957
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 65 +
≈ 611.96
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
57
6
=
9,5
u2 =
2
-
3025
6
=
2
-55
6
=
-53
6
=
-
53
6
≈ -8.83
Da u=
-
53
6
< 2 ist u=
9,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -4 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-3
∫
3
4
3
(
3x
-4
)
2
ⅆ
x
=
1
∫
3
4
3
(
3x
-4
)
-2
ⅆ
x
=
1
[
-
(
3x
-4
)
-1
]
3
4
=
1
[
-
1
3x
-4
]
3
4
=
-
1
3⋅4
-4
+
1
3⋅3
-4
=
-
1
12
-4
+
1
9
-4
=
-
1
8
+
1
5
=
-(
1
8
)
+
1
5
=
3
40
= 0,075
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 e -2x +2 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
0
u
3
e
-2x
+2
ⅆ
x
=
[
-
3
2
e
-2x
+2
]
0
u
=
-
3
2
e
-2u
+2
+
3
2
e
-2⋅0
+2
=
-
3
2
e
-2u
+2
+
3
2
e
0
+2
=
-
3
2
e
-2u
+2
+
3
2
e
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
2
e
-2u
+2
+
3
2
e
2
→
0
+
3
2
e
2
=
3
2
e
2
≈ 11.084
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 11.084