Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 41 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
=
≈ 0,317
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 41 +
≈ 41.32
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 40,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 3 + = ≈ 43.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
0 |
|:3 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
18
-2
=
-9
u2 =
-1
-
361
-2
=
-1
-19
-2
=
-20
-2
=
10
Da u=
-9
< 3 ist u=
10
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3⋅ sin( 2x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
3
2
π
3⋅
sin(
2x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
1
π
[
-
3
2
⋅
cos(
2x
+
3
2
π)
]
1
2
π
3
2
π
=
1
π
·
(
-
3
2
⋅
cos(
2⋅(
3
2
π )
+
3
2
π)
+
3
2
⋅
cos(
2⋅(
1
2
π )
+
3
2
π)
)
=
1
π
·
(
-
3
2
⋅
cos(
9
2
π)
+
3
2
⋅
cos(
5
2
π)
)
=
1
π
·
(
-
3
2
⋅0
+
3
2
⋅0
)
=
1
π
·
(
0+0
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -5 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
2
(
2x
-5
)
3
ⅆ
x
=
∫
4
u
2
(
2x
-5
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
2
(
2x
-5
)
-2
]
4
u
=
[
-
1
2
(
2x
-5
)
2
]
4
u
=
-
1
2
(
2u
-5
)
2
+
1
2
(
2⋅4
-5
)
2
=
-
1
2
(
2u
-5
)
2
+
1
2
(
8
-5
)
2
=
-
1
2
(
2u
-5
)
2
+
1
2⋅
3
2
=
-
1
2
(
2u
-5
)
2
+
1
2
⋅(
1
9
)
=
-
1
2
(
2u
-5
)
2
+
1
18
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
2
(
2u
-5
)
2
+
1
18
→
0
+
1
18
=
1
18
≈ 0.056
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056