Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 10 s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 26 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 10 und 26:
10 26 6 x -1 x
= 10 26 6 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -1 ) 3 2 ] 10 26

= [ 4 ( x -1 ) 3 ] 10 26

= 4 ( 26 -1 ) 3 -4 ( 10 -1 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 9 ) 3

= 4 5 3 -4 3 3

= 4125 -427

= 500 -108

= 392

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 10 und der Änderung zwischen 10 und 26 zusammen:
B = 18 + 392 = 410

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 50 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 3 e x -3 x

= [ 3 e x -3 ] 1 3

= 3 e 3 -3 -3 e 1 -3

= 3 e 0 -3 e -2

= 3 -3 e -2


≈ 2,594
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 50 + -3 e -2 +3 ≈ 52.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 10x -5 ) x = 30

Lösung einblenden
1 u ( 10x -5 ) x

= [ 5 x 2 -5x ] 1 u

= 5 u 2 -5u - ( 5 1 2 -51 )

= 5 u 2 -5u - ( 51 -5 )

= 5 u 2 -5u - ( 5 -5 )

= 5 u 2 -5u -1 · 0

= 5 u 2 -5u +0

= 5 u 2 -5u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 30 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -5u = 30 | -30
5 u 2 -5u -30 = 0 |:5

u 2 - u -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +24 2

u1,2 = +1 ± 25 2

u1 = 1 + 25 2 = 1 +5 2 = 6 2 = 3

u2 = 1 - 25 2 = 1 -5 2 = -4 2 = -2

Da u= -2 < 1 ist u= 3 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 17 und Minute 26 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 26 -17 17 26 2 x -1 x
= 1 9 17 26 2 ( x -1 ) 1 2 x

= 1 9 [ 4 3 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= 1 9 [ 4 3 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 1 9 ( 4 3 ( 26 -1 ) 3 - 4 3 ( 17 -1 ) 3 )

= 1 9 ( 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3 )

= 1 9 ( 4 3 5 3 - 4 3 4 3 )

= 1 9 ( 4 3 125 - 4 3 64 )

= 1 9 ( 500 3 - 256 3 )

= 1 9 · 244 3

= 244 27


≈ 9,037

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 10 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 10 2 2x -4 x
= u 10 2 ( 2x -4 ) - 1 2 x

= [ 2 ( 2x -4 ) 1 2 ] u 10

= [ 2 2x -4 ] u 10

= 2 210 -4 -2 2u -4

= 2 20 -4 -2 2u -4

= 2 16 -2 2u -4

= 24 -2 2u -4

= 8 -2 2u -4

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = -2 2u -4 +8 0 +8 = 8 ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8