Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 e 3x -4 x

= [ 1 3 e 3x -4 ] 0 2

= 1 3 e 32 -4 - 1 3 e 30 -4

= 1 3 e 6 -4 - 1 3 e 0 -4

= 1 3 e 2 - 1 3 e -4


≈ 2,457
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 68 + 1 3 e 2 - 1 3 e -4 ≈ 70.46

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 2x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 5 2x -1 x
= 1 3 5 ( 2x -1 ) -1 x

= [ 5 2 ln( | 2x -1 | ) ] 1 3

= 5 2 ln( | 23 -1 | ) - 5 2 ln( | 21 -1 | )

= 5 2 ln( | 6 -1 | ) - 5 2 ln( | 2 -1 | )

= 5 2 ln( 5 ) - 5 2 ln( | 2 -1 | )

= 5 2 ln( 5 ) - 5 2 ln( 1 )

= 5 2 ln( 5 ) +0

= 5 2 ln( 5 )


≈ 4,024
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 6 + 5 2 ln( 5 ) ≈ 10.02

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4,5 e 0,5x -0,1 x = 16

Lösung einblenden
0 u 4,5 e 0,5x -0,1 x

= [ 9 e 0,5x -0,1 ] 0 u

= 9 e 0,5u -0,1 -9 e 0,50 -0,1

= 9 e 0,5u -0,1 -9 e 0 -0,1

= 9 e 0,5u -0,1 -9 e -0,1

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 16 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

9 e 0,5u -0,1 -9 e -0,1 = 16 | +9 e -0,1
9 e 0,5u -0,1 = 9 e -0,1 +16
9 e 0,5u -0,1 = 24,1435 |:9
e 0,5u -0,1 = 2,6826 |ln(⋅)
0,5u -0,1 = ln( 2,6826 )
0,5u -0,1 = 0,9868 | +0,1
0,5u = 1,0868 |:0,5
u = 2,1736

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 ( 3x -7 ) 2 zwischen 0 und 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 3 ( 3x -7 ) 2 x

= 1 2 [ 1 3 ( 3x -7 ) 3 ] 0 2

= 1 2 ( 1 3 ( 32 -7 ) 3 - 1 3 ( 30 -7 ) 3 )

= 1 2 ( 1 3 ( 6 -7 ) 3 - 1 3 ( 0 -7 ) 3 )

= 1 2 ( 1 3 ( -1 ) 3 - 1 3 ( -7 ) 3 )

= 1 2 ( 1 3 ( -1 ) - 1 3 ( -343 ) )

= 1 2 ( - 1 3 + 343 3 )

= 1 2 · 114

= 57

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -3x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u - e -3x +3 x

= [ 1 3 e -3x +3 ] 1 u

= 1 3 e -3u +3 - 1 3 e -31 +3

= 1 3 e -3u +3 - 1 3 e -3 +3

= 1 3 e -3u +3 - 1 3 e 0

= 1 3 e -3u +3 - 1 3

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 3 e -3u +3 - 1 3 0 - 1 3 = - 1 3 ≈ -0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333