Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $6 e^{4 - 3} - 6 e^{1 - 3}$

= $6 e^{1} - 6 e^{- 2}$

= $6 e - 6 e^{- 2}$

≈ 15,498

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 4 + $- 6 e^{- 2} + 6 e$ ≈ 19.5

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 42 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 6 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $6 e^{4 - 2} - 6 e^{1 - 2}$

= $6 e^{2} - 6 e^{- 1}$

≈ 42,127

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 42 + $6 e^{2} - 6 e^{- 1}$ ≈ 84.13

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,4 e^{0,2 x - 0,6} ⅆ x$ = $16$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,4 e^{0,2 x - 0,6} ⅆ x

= ${[2 e^{0,2 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,2 u - 0,6} - 2 e^{0,2 \cdot 0 - 0,6}$

= $2 e^{0,2 u - 0,6} - 2 e^{0 - 0,6}$

= $2 e^{0,2 u - 0,6} - 2 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $16$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,2 u - 0,6} - 2 e^{- 0,6}$	=	$16$	\| $+ 2 e^{- 0,6}$
$2 e^{0,2 u - 0,6}$	=	$2 e^{- 0,6} + 16$
$2 e^{0,2 u - 0,6}$	=	$17,0976$	\|: $2$
$e^{0,2 u - 0,6}$	=	$8,5488$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,6$	=	$\ln (8,5488)$

$0,2 u - 0,6$	=	$2,1458$	\| $+ 0,6$
$0,2 u$	=	$2,7458$	\|: $0,2$
$u$	=	$13,729$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{2 x - 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} \frac{1}{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{u} {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)]}_{1}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} \ln (| 2 (u) - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 1 - 1 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - 1 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (1)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 u - 1 |) + 0$

= $\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale