Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 \sqrt{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $19$ Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $28$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 3 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 12 + $122$ = $134$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 2 - 4} - 3 e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $3 e^{4 - 4} - 3 e^{2 - 4}$

= $3 e^{0} - 3 e^{- 2}$

= $3 - 3 e^{- 2}$

≈ 2,594

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 18 + $- 3 e^{- 2} + 3$ ≈ 20.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,7 e^{0,1 x - 0,1} ⅆ x$ = $12$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,7 e^{0,1 x - 0,1} ⅆ x

= ${[7 e^{0,1 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,1 u - 0,1} - 7 e^{0,1 \cdot 0 - 0,1}$

= $7 e^{0,1 u - 0,1} - 7 e^{0 - 0,1}$

= $7 e^{0,1 u - 0,1} - 7 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,1 u - 0,1} - 7 e^{- 0,1}$	=	$12$	\| $+ 7 e^{- 0,1}$
$7 e^{0,1 u - 0,1}$	=	$7 e^{- 0,1} + 12$
$7 e^{0,1 u - 0,1}$	=	$18,3339$	\|: $7$
$e^{0,1 u - 0,1}$	=	$2,6191$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,1$	=	$\ln (2,6191)$

$0,1 u - 0,1$	=	$0,9628$	\| $+ 0,1$
$0,1 u$	=	$1,0628$	\|: $0,1$
$u$	=	$10,628$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(2 x - 3)}^{2} + 3 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (4 {(2 x - 3)}^{2} + 3 x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{3} {(2 x - 3)}^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(2 \cdot 3 - 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(2 \cdot 0 - 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(6 - 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 9 - (\frac{2}{3} \cdot {(0 - 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} + \frac{27}{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{27}{2} - (\frac{2}{3} \cdot (- 27) + 0))$

= $\frac{1}{3} (18 + \frac{27}{2} - (- 18 + 0))$

= $\frac{1}{3} (18 + 13,5 + 18)$

= $\frac{1}{3} (31,5 + 18)$

= $\frac{1}{3} \cdot 49,5$

= $\frac{49.5}{3}$

= 16,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{3 x - 6}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 3 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 6}]}_{2}^{u}$

$=$ $e^{3 u - 6} - e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $e^{3 u - 6} - e^{6 - 6}$

= $e^{3 u - 6} - e^{0}$

= $e^{3 u - 6} - 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{3 u - 6} - 1$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale