Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 3229,643
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 74 +
≈ 3303.64
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 67 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 155,64
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 67 +
≈ 222.64
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
11
-6
=
-
11
6
≈ -1.83
u2 =
-5
-
256
-6
=
-5
-16
-6
=
-21
-6
=
3,5
Da u=
-
11
6
< 2 ist u=
3,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4⋅ sin( 2x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π+0
∫
0
3
2
π
4⋅
sin(
2x
-
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
3
π
[
-2⋅
cos(
2x
-
1
2
π)
]
0
3
2
π
=
2
3
π
·
(
-2⋅
cos(
2⋅(
3
2
π )
-
1
2
π)
+2⋅
cos(
2⋅( 0 )
-
1
2
π)
)
=
2
3
π
·
(
-2⋅
cos(
5
2
π)
+2⋅
cos(
-
1
2
π)
)
=
2
3
π
·
(
-2⋅0
+2⋅0
)
=
2
3
π
·
(
0+0
)
=
2
3
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -2 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
2
(
2x
-2
)
2
ⅆ
x
=
∫
2
u
2
(
2x
-2
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
(
2x
-2
)
-1
]
2
u
=
[
-
1
2x
-2
]
2
u
=
-
1
2u
-2
+
1
2⋅2
-2
=
-
1
2u
-2
+
1
4
-2
=
-
1
2u
-2
+
1
2
=
-
1
2u
-2
+
1
2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
2u
-2
+
1
2
→
0
+
1
2
=
1
2
≈ 0.5
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5