Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 3)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 6:

\int_{5}^{6} \frac{3}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{6} 3 {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(x - 3)}^{- 2}]}_{5}^{6}$

= ${[- \frac{3}{2 {(x - 3)}^{2}}]}_{5}^{6}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(6 - 3)}^{2}} + \frac{3}{2 {(5 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{6} + \frac{3}{8}$

= $- \frac{4}{24} + \frac{9}{24}$

= $\frac{5}{24}$

≈ 0,208

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 6 zusammen:

B = 10 + $\frac{5}{24}$ = $\frac{245}{24}$ ≈ 10.21

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 28 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 4} - \frac{1}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{- 4}$

≈ 49,465

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 28 + $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{- 4}$ ≈ 77.46

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,7 e^{0,7 x - 0,9} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,7 e^{0,7 x - 0,9} ⅆ x

= ${[e^{0,7 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{0,7 u - 0,9} - e^{0,7 \cdot 0 - 0,9}$

= $e^{0,7 u - 0,9} - e^{0 - 0,9}$

= $e^{0,7 u - 0,9} - e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$e^{0,7 u - 0,9} - e^{- 0,9}$	=	$7$	\| $+ e^{- 0,9}$
$e^{0,7 u - 0,9}$	=	$e^{- 0,9} + 7$
$e^{0,7 u - 0,9}$	=	$7,4066$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,9$	=	$\ln (7,4066)$

$0,7 u - 0,9$	=	$2,0024$	\| $+ 0,9$
$0,7 u$	=	$2,9024$	\|: $0,7$
$u$	=	$4,1463$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $9$ und Minute $\frac{27}{2}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{27}{2} - 9}

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\frac{2}{9}

\int_{9}^{\frac{27}{2}} 6 {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{9}$ ${[2 {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= $\frac{2}{9}$ ${[2 {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $\frac{2}{9} (2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3})$

= $\frac{2}{9} (2 \cdot 125 - 2 \cdot 64)$

= $\frac{2}{9} (250 - 128)$

= $\frac{2}{9} \cdot 122$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{2 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{2}{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 2 {(2 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 2 x - 3 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $- \ln (| 2 (u) - 3 |) + \ln (| 2 \cdot 2 - 3 |)$

= $- \ln (| 2 u - 3 |) + \ln (| 4 - 3 |)$

= $- \ln (| 2 u - 3 |) + \ln (1)$

= $- \ln (| 2 u - 3 |) + 0$

= $- \ln (| 2 x - 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (| 2 x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale