Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 59,153
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 15 +
≈ 74.15
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
ln(
|
5
-1
|
)
-
ln(
|
2
-1
|
)
=
ln(
4
)
-
ln(
|
2
-1
|
)
=
ln(
4
)
-
ln(
1
)
=
ln(
4
)
+0
=
ln(
4
)
≈ 1,386
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 5 +
ln(
4
)
≈ 6.39
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass ∫ 1 u ( 10x +3 ) ⅆ x = 132
Lösung einblenden
∫
1
u
(
10x
+3
)
ⅆ
x
=
[
5
x
2
+3x
]
1
u
=
5
u
2
+3u
- (
5⋅
1
2
+3⋅1
)
=
5
u
2
+3u
- (
5⋅1
+3
)
=
5
u
2
+3u
- (
5
+3
)
=
5
u
2
+3u
-1
·
8
=
5
u
2
+3u
-8
|
5
u
2
+3u
-8
|
= |
132
|
|
-132
|
5
u
2
+3u
-140
= 0
u1,2 =
-3 ±
3
2
-4 ·
5
·
(
-140
)
2⋅5
u1,2 =
-3 ±
9
+2800
10
u1,2 =
-3 ±
2809
10
u1 =
-3
+
2809
10
=
-3
+53
10
=
50
10
=
5
u2 =
-3
-
2809
10
=
-3
-53
10
=
-56
10
=
-5,6
Da u=
-5,6
< 1 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 ( 2x -5 ) 2 +4x zwischen 1 und 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-1
∫
1
4
(
5
(
2x
-5
)
2
+4x
)
ⅆ
x
=
1
3
[
5
6
(
2x
-5
)
3
+2
x
2
]
1
4
=
1
3
(
5
6
⋅
(
2⋅4
-5
)
3
+2⋅
4
2
- (
5
6
⋅
(
2⋅1
-5
)
3
+2⋅
1
2
))
=
1
3
(
5
6
⋅
(
8
-5
)
3
+2⋅16
- (
5
6
⋅
(
2
-5
)
3
+2⋅1
))
=
1
3
(
5
6
⋅
3
3
+32
- (
5
6
⋅
( -3 )
3
+2
))
=
1
3
(
5
6
⋅27
+32
- (
5
6
⋅( -27 )
+2
))
=
1
3
(
45
2
+32
- (
-
45
2
+2
))
=
1
3
(
22,5
+32
- (
-22,5
+2
))
=
1
3
(
54,5
-1
·
(
-20,5
))
=
1
3
(
54,5
+20,5
)
=
1
3
·
75
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 5 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
5
-
2
2x
-6
ⅆ
x
=
∫
u
5
-2
(
2x
-6
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-2
(
2x
-6
)
1
2
]
u
5
=
[
-2
2x
-6
]
u
5
=
-2
2⋅5
-6
+2
2u
-6
=
-2
10
-6
+2
2u
-6
=
-2
4
+2
2u
-6
=
-2⋅2
+2
2u
-6
=
-4
+2
2u
-6
Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) =
2
2u
-6
-4
→
0
-4
=
-4
≈ -4
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4