= ${\left[\frac{2}{3}{e}^{3x-3}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 3-3}-\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 0-3}$

= $\frac{2}{3}{e}^{9-3}-\frac{2}{3}{e}^{0-3}$

= $\frac{2}{3}{e}^6-\frac{2}{3}{e}^{-3}$

= ${\left[3e^{x-2}\right]}_1^4$

$=$ $3e^{4-2}-3e^{1-2}$

= $3e^2-3e^{-1}$

= ${\left[-5x^2+2x\right]}_0^u$

$=$ $-5u^2+2u-\left(-5\cdot 0^2+2\cdot 0\right)$

= $-5u^2+2u-\left(-5\cdot 0+0\right)$

= $-5u^2+2u-\left(0+0\right)$

= $-5u^2+2u+0$

= $-5u^2+2u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{92,25}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$-5u^2+2u+\mathrm{92,25}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-5\right)·\mathrm{92,25}}}{2\cdot \left(-5\right)}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+1845}}{-10}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{1849}}{-10}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{1849}}{-10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>43</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{41}{-10}$ = $-\mathrm{4,1}$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{1849}}{-10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>43</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-45}{-10}$ = $\mathrm{4,5}$

Da u= $-\mathrm{4,1}$ < 0 ist u= $\mathrm{4,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{\pi }$ ${\left[-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(3x+\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{2}{\pi }·\left(-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \pi +\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(\frac{9}{2}\pi \right)+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(3\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(-\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(0-\frac{1}{3}\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(0-\frac{1}{3}\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(-\frac{1}{3}\right)$

= $-\frac{2}{3\pi }$

= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{-2x+4}\right]}_1^u$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{-2u+4}-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 1+4}$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2u+4}-\frac{1}{2}{e}^{-2+4}$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2u+4}-\frac{1}{2}{e}^2$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2}{e}^{-2u+4}-\frac{1}{2}{e}^2$ → $0-\frac{1}{2}{e}^2$ = $-\frac{1}{2}{e}^2$ ≈ -3.695

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3.695