Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(x - 1)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{6}{{(x - 1)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 6 {(x - 1)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 1)}^{- 3}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{{(3 - 1)}^{3}} + \frac{2}{{(2 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{2}{2^{3}} + \frac{2}{1^{3}}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{8}) + 2 \cdot 1$

= $- \frac{1}{4} + 2$

= $- \frac{1}{4} + \frac{8}{4}$

= $\frac{7}{4}$

= 1,75

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 2 + $\frac{7}{4}$ = $\frac{15}{4}$ ≈ 3.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{21}{2}$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $15$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{21}{2}

und

15

:

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 6 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 6 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - 2 {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{21}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{21}{2}

und

15

zusammen:

B = 5 + $122$ = $127$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 2 x ⅆ x$ = $101,25$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 2 x ⅆ x

= ${[x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $u^{2} - 3^{2}$

= $u^{2} - 9$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $101,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^{2} - 9$	=	$101,25$	\| $+ 9$
$u^{2}$	=	$110,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{110,25}$	= $- 10,5$
u₂	=	$\sqrt{110,25}$	= $10,5$

Da u= $- 10,5$ < 3 ist u= $10,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \sin (3 x - π)$ zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 3 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \cos (3 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (3 \cdot π - π) + \cos (3 \cdot (0) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \cos (2 π) + \cos (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 1 - 1)$

= $\frac{- 1 - 1}{π}$

= $\frac{- 2}{π}$

= $- \frac{2}{π}$

≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $2,5$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2,5} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2,5} - {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{2,5}$

= ${[- \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{2,5}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 2,5 - 4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{5 - 4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{1} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- 1 + \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{2 u - 4} - 1$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 4} - 1$ → $0 - 1$ = $- 1$ ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale