Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 2 - 2} - 3 e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $3 e^{4 - 2} - 3 e^{2 - 2}$

= $3 e^{2} - 3 e^{0}$

= $3 e^{2} - 3$

≈ 19,167

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 12 + $3 e^{2} - 3$ ≈ 31.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{6}{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 6 {(3 x - 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| 3 x - 7 |)]}_{4}^{6}$

$=$ $2 \ln (| 3 \cdot 6 - 7 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 4 - 7 |)$

= $2 \ln (| 18 - 7 |) - 2 \ln (| 12 - 7 |)$

= $2 \ln (11) - 2 \ln (| 12 - 7 |)$

= $2 \ln (11) - 2 \ln (5)$

≈ 1,577

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 12 + $2 \ln (| 11 |) - 2 \ln (| 5 |)$ ≈ 13.58

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,1 x + 0,5} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,1 x + 0,5} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- 0,1 x + 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 e^{- 0,1 u + 0,5} + 2 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,5}$

= $- 2 e^{- 0,1 u + 0,5} + 2 e^{0 + 0,5}$

= $- 2 e^{- 0,1 u + 0,5} + 2 e^{0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 e^{- 0,1 u + 0,5} + 2 e^{0,5}$	=	$1$	\| $- 2 e^{0,5}$
$- 2 e^{- 0,1 u + 0,5}$	=	$- 2 e^{0,5} + 1$
$- 2 e^{- 0,1 u + 0,5}$	=	$- 2,2974$	\|: $- 2$
$e^{- 0,1 u + 0,5}$	=	$1,1487$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,5$	=	$\ln (1,1487)$

$- 0,1 u + 0,5$	=	$0,1386$	\| $- 0,5$
$- 0,1 u$	=	$- 0,3614$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$3,614$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{2}{2 x - 1}$ zwischen 2 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{2}{2 x - 1} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} 2 {(2 x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\ln (| 2 x - 1 |)]}_{2}^{3}$

$=$ $\ln (| 2 \cdot 3 - 1 |) - \ln (| 2 \cdot 2 - 1 |)$

= $\ln (| 6 - 1 |) - \ln (| 4 - 1 |)$

= $\ln (5) - \ln (| 4 - 1 |)$

= $\ln (5) - \ln (3)$

≈ 0,511

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{{(x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(x - 2)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(3 - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2 {(u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2}$ → $0 - \frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale