Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 2 x -3 x
= 19 28 2 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 4 3 ( 28 -3 ) 3 - 4 3 ( 19 -3 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 6 + 244 3 = 262 3 ≈ 87.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 ( 3x -6 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
3 5 4 ( 3x -6 ) 2 x
= 3 5 4 ( 3x -6 ) -2 x

= [ - 4 3 ( 3x -6 ) -1 ] 3 5

= [ - 4 3( 3x -6 ) ] 3 5

= - 4 3( 35 -6 ) + 4 3( 33 -6 )

= - 4 3( 15 -6 ) + 4 3( 9 -6 )

= - 4 3 9 + 4 3 3

= - 4 3 ( 1 9 ) + 4 3 ( 1 3 )

= - 4 27 + 4 9

= - 4 27 + 12 27

= 8 27


≈ 0,296
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 2 + 8 27 = 62 27 ≈ 2.3

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 1,8 e -0,2x +0,7 x = 8

Lösung einblenden
0 u 1,8 e -0,2x +0,7 x

= [ -9 e -0,2x +0,7 ] 0 u

= -9 e -0,2u +0,7 +9 e -0,20 +0,7

= -9 e -0,2u +0,7 +9 e 0 +0,7

= -9 e -0,2u +0,7 +9 e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 8 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-9 e -0,2u +0,7 +9 e 0,7 = 8 | -9 e 0,7
-9 e -0,2u +0,7 = -9 e 0,7 +8
-9 e -0,2u +0,7 = -10,1238 |:-9
e -0,2u +0,7 = 1,1249 |ln(⋅)
-0,2u +0,7 = ln( 1,1249 )
-0,2u +0,7 = 0,1177 | -0,7
-0,2u = -0,5823 |:(-0,2 )
u = 2,9115

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 cos( 2x + 3 2 π) zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 6 cos( 2x + 3 2 π) x

= 2 π [ 3 sin( 2x + 3 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 3 sin( 2π + 3 2 π) -3 sin( 2( 1 2 π ) + 3 2 π) )

= 2 π · ( 3 sin( 7 2 π) -3 sin( 5 2 π) )

= 2 π · ( 3( -1 ) -31 )

= 2 π · ( -3 -3 )

= 2 π · ( -6 )

= - 12 π


≈ -3,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 -x +2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 1 -x +2 x
= 3 u ( -x +2 ) -1 x

= [ - ln( | -x +2 | ) ] 3 u

= - ln( | -( u ) +2 | ) + ln( | -3 +2 | )

= - ln( | -u +2 | ) + ln( | -3 +2 | )

= - ln( | -u +2 | ) + ln( 1 )

= - ln( | -u +2 | ) +0

= - ln( | -x +2 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - ln( | -x +2 | )