Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 38 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{x - 1} ⅆ x

= ${[e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{3 - 1} - e^{1 - 1}$

= $e^{2} - e^{0}$

= $e^{2} - 1$

≈ 6,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 38 + $e^{2} - 1$ ≈ 44.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 4 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{12 - 6} - \frac{2}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{0}$

= $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3}$

≈ 268,286

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 6 + $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3}$ ≈ 274.29

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,8 e^{- 0,1 x + 0,6} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,8 e^{- 0,1 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,1 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,1 u + 0,6} + 8 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,6}$

= $- 8 e^{- 0,1 u + 0,6} + 8 e^{0 + 0,6}$

= $- 8 e^{- 0,1 u + 0,6} + 8 e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,1 u + 0,6} + 8 e^{0,6}$	=	$6$	\| $- 8 e^{0,6}$
$- 8 e^{- 0,1 u + 0,6}$	=	$- 8 e^{0,6} + 6$
$- 8 e^{- 0,1 u + 0,6}$	=	$- 8,577$	\|: $- 8$
$e^{- 0,1 u + 0,6}$	=	$1,0721$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,6$	=	$\ln (1,0721)$

$- 0,1 u + 0,6$	=	$0,0696$	\| $- 0,6$
$- 0,1 u$	=	$- 0,5304$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$5,304$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(2 x - 4)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} {(2 x - 4)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{1}{6} {(2 x - 4)}^{3}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 4 - 4)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 0 - 4)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot {(8 - 4)}^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(0 - 4)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 4^{3} - \frac{1}{6} \cdot {(- 4)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot (- 64))$

= $\frac{1}{4} (\frac{32}{3} + \frac{32}{3})$

= $\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3}$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 (3 x - 5)}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{3 (3 \cdot 2 - 5)}$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{3 (6 - 5)}$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{3}$ → $0 + \frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale