Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 4)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} {(3 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 4)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 (3 x - 4)}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 (3 \cdot 5 - 4)} + \frac{1}{3 (3 \cdot 2 - 4)}$

= $- \frac{1}{3 (15 - 4)} + \frac{1}{3 (6 - 4)}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 11} + \frac{1}{3 \cdot 2}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{11}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{33} + \frac{1}{6}$

= $- \frac{2}{66} + \frac{11}{66}$

= $\frac{3}{22}$

≈ 0,136

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 19 + $\frac{3}{22}$ = $\frac{421}{22}$ ≈ 19.14

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{20}{3}$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{20}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}} 5 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}} 5 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{20}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 64$

= $\frac{1250}{9} - \frac{640}{9}$

= $\frac{610}{9}$

≈ 67,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{20}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{20}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 4 + $\frac{610}{9}$ = $\frac{646}{9}$ ≈ 71.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,6 e^{0,4 x - 0,8} ⅆ x$ = $14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,6 e^{0,4 x - 0,8} ⅆ x

= ${[4 e^{0,4 x - 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,4 u - 0,8} - 4 e^{0,4 \cdot 0 - 0,8}$

= $4 e^{0,4 u - 0,8} - 4 e^{0 - 0,8}$

= $4 e^{0,4 u - 0,8} - 4 e^{- 0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,4 u - 0,8} - 4 e^{- 0,8}$	=	$14$	\| $+ 4 e^{- 0,8}$
$4 e^{0,4 u - 0,8}$	=	$4 e^{- 0,8} + 14$
$4 e^{0,4 u - 0,8}$	=	$15,7973$	\|: $4$
$e^{0,4 u - 0,8}$	=	$3,9493$	\|ln(⋅)
$0,4 u - 0,8$	=	$\ln (3,9493)$

$0,4 u - 0,8$	=	$1,3735$	\| $+ 0,8$
$0,4 u$	=	$2,1735$	\|: $0,4$
$u$	=	$5,4338$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[\frac{5}{2} \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{1}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot 1 - \frac{5}{2} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} + \frac{5}{2})$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (2,5 + 2,5)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 5$

= $\frac{10}{3 π}$

≈ 1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{{(2 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(2 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} {(2 x - 5)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{4 {(2 x - 5)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4 {(2 \cdot 3 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4 {(6 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot 1$

= $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{4 {(2 u - 5)}^{2}} + \frac{1}{4}$ → $0 + \frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale