Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 6}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 6} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 6} - \frac{5}{3} e^{6 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3} e^{0}$

= $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3}$

≈ 670,715

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 11 + $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3}$ ≈ 681.71

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{3}$ s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{20}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{20}{3}

:

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} 4 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}} 4 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{20}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{20}{3}) - 4})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{20 - 4})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 4^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 64 - \frac{8}{9} \cdot 27$

= $\frac{512}{9} - 24$

= $\frac{512}{9} - \frac{216}{9}$

= $\frac{296}{9}$

≈ 32,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{20}{3}

zusammen:

B = 2 + $\frac{296}{9}$ = $\frac{314}{9}$ ≈ 34.89

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x$ = $11$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x

= ${[4 e^{0,2 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{0,2 \cdot 0 - 0,5}$

= $4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{0 - 0,5}$

= $4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $11$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{- 0,5}$	=	$11$	\| $+ 4 e^{- 0,5}$
$4 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$4 e^{- 0,5} + 11$
$4 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$13,4261$	\|: $4$
$e^{0,2 u - 0,5}$	=	$3,3565$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,5$	=	$\ln (3,3565)$

$0,2 u - 0,5$	=	$1,2109$	\| $+ 0,5$
$0,2 u$	=	$1,7109$	\|: $0,2$
$u$	=	$8,5545$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{3 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} e^{3 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{9 - 4} - \frac{1}{3} e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{- 4})$

≈ 16,488

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $3$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{\sqrt{2 x - 2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{3}^{u}$

= ${[\sqrt{2 x - 2}]}_{3}^{u}$

$=$ $\sqrt{2 u - 2} - \sqrt{2 \cdot 3 - 2}$

= $\sqrt{2 u - 2} - \sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{2 u - 2} - \sqrt{4}$

= $\sqrt{2 u - 2} - 2$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 2} - 2$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale