= ${\left[e^{3x-3}\right]}_2^5$

$=$ $e^{3\cdot 5-3}-e^{3\cdot 2-3}$

= $e^{15-3}-e^{6-3}$

= $e^{12}-e^3$

= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{2x-2}\right]}_1^2$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 2-2}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 1-2}$

= $\frac{1}{2}{e}^{4-2}-\frac{1}{2}{e}^{2-2}$

= $\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{2}{e}^0$

= $\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{2}$

= ${\left[2x^2\right]}_0^u$

$=$ $2u^2-2\cdot 0^2$

= $2u^2-2\cdot 0$

= $2u^2+0$

= $2u^2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-2$ < 0 ist u= $2$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[{\left(2x-3\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}\left({\left(2\cdot 3-3\right)}^3-{\left(2\cdot 0-3\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{3}\left({\left(6-3\right)}^3-{\left(0-3\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{3}\left(3^3-{\left(-3\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{3}\left(27-\left(-27\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\left(27+27\right)$

= $\frac{1}{3}·54$

= $18$

= ${\left[-2{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^5$

= ${\left[-2\sqrt{x-1}\right]}_u^5$

$=$ $-2\sqrt{5-1}+2\sqrt{u-1}$

= $-2\sqrt{4}+2\sqrt{u-1}$

= $-2\cdot 2+2\sqrt{u-1}$

= $-4+2\sqrt{u-1}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $2\sqrt{u-1}-4$ → $0-4$ = $-4$ ≈ -4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4