Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $10$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

10

:

\int_{7}^{10} \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{10} {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{10}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{7}^{10}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 64$

= $\frac{250}{9} - \frac{128}{9}$

= $\frac{122}{9}$

≈ 13,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

10

zusammen:

B = 18 + $\frac{122}{9}$ = $\frac{284}{9}$ ≈ 31.56

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $6$ s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $14$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

6

und

14

:

\int_{6}^{14} 4 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{6}^{14} 4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{14}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{14}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{500}{3} - 36$

= $\frac{500}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{392}{3}$

≈ 130,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

6

und der Änderung zwischen

6

und

14

zusammen:

B = 3 + $\frac{392}{3}$ = $\frac{401}{3}$ ≈ 133.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} 6 x ⅆ x$ = $78,75$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} 6 x ⅆ x

= ${[3 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 3 \cdot 2^{2}$

= $3 u^{2} - 3 \cdot 4$

= $3 u^{2} - 12$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $78,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 u^{2} - 12$	=	$78,75$	\| $+ 12$
$3 u^{2}$	=	$90,75$	\|: $3$
$u^{2}$	=	$30,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{30,25}$	= $- 5,5$
u₂	=	$\sqrt{30,25}$	= $5,5$

Da u= $- 5,5$ < 2 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[\frac{5}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{9}{2} π) - \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} \cdot 1 - \frac{5}{2} \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (\frac{5}{2} + \frac{5}{2})$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (2,5 + 2,5)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 5$

= $\frac{10}{3 π}$

≈ 1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(2 x - 2)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} - \frac{3}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - 3 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{u}^{2}$

= ${[\frac{3}{2 (2 x - 2)}]}_{u}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2 (2 \cdot 2 - 2)} - \frac{3}{2 (2 u - 2)}$

= $\frac{3}{2 (4 - 2)} - \frac{3}{2 (2 u - 2)}$

= $\frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2 (2 u - 2)}$

= $\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2}) - \frac{3}{2 (2 u - 2)}$

= $\frac{3}{4} - \frac{3}{2 (2 u - 2)}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{3}{2 (2 u - 2)} + \frac{3}{4}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale