Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{1}{{(x - 2)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:

\int_{4}^{7} \frac{1}{{(x - 2)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{7} {(x - 2)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{- 3}]}_{4}^{7}$

= ${[- \frac{1}{3 {(x - 2)}^{3}}]}_{4}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(7 - 2)}^{3}} + \frac{1}{3 {(4 - 2)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 5^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 2^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{125}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{8})$

= $- \frac{1}{375} + \frac{1}{24}$

= $- \frac{8}{3000} + \frac{125}{3000}$

= $\frac{39}{1000}$

= 0,039

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:

B = 6 + $\frac{39}{1000}$ = $\frac{6039}{1000}$ ≈ 6.04

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 63 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 5 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{15 - 7} - \frac{4}{3} e^{6 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{8} - \frac{4}{3} e^{- 1}$

≈ 3974,12

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 63 + $\frac{4}{3} e^{8} - \frac{4}{3} e^{- 1}$ ≈ 4037.12

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} 4 x ⅆ x$ = $42$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} 4 x ⅆ x

= ${[2 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 2 \cdot 2^{2}$

= $2 u^{2} - 2 \cdot 4$

= $2 u^{2} - 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $42$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 u^{2} - 8$	=	$42$	\| $+ 8$
$2 u^{2}$	=	$50$	\|: $2$
$u^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
u₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Da u= $- 5$ < 2 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 3)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 {(x - 3)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{3} {(x - 3)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3 - 3)}^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0 - 3)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot (- 27))$

= $\frac{1}{3} (0 + 18)$

= $6$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 2}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{1}{2} e^{- 4 + 2}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{1}{2} e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 2} + \frac{1}{2} e^{- 2}$ → $0 + \frac{1}{2} e^{- 2}$ = $\frac{1}{2} e^{- 2}$ ≈ 0.068

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.068

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale