Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 78 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 5 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 6}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 6} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 6} - \frac{5}{3} e^{3 - 6}$

= $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3} e^{- 3}$

≈ 672,298

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 78 + $\frac{5}{3} e^{6} - \frac{5}{3} e^{- 3}$ ≈ 750.3

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 6 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 2 - 4} - 2 e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $2 e^{6 - 4} - 2 e^{0 - 4}$

= $2 e^{2} - 2 e^{- 4}$

≈ 14,741

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 16 + $2 e^{2} - 2 e^{- 4}$ ≈ 30.74

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (2 x - 2) ⅆ x$ = $29,25$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (2 x - 2) ⅆ x

= ${[x^{2} - 2 x]}_{0}^{u}$

$=$ $u^{2} - 2 u - (0^{2} - 2 \cdot 0)$

= $u^{2} - 2 u - (0 + 0)$

= $u^{2} - 2 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $29,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} - 2 u

=

29,25

|

- 29,25

$u^{2} - 2 u - 29,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 29,25)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 117}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{2+11}{2}$ = $\frac{13}{2}$ = $6,5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{2-11}{2}$ = $\frac{- 9}{2}$ = $- 4,5$

Da u= $- 4,5$ < 0 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(x - 1)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} {(x - 1)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(3 - 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 - 1)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{3} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot 3$

= $1$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{x - 1}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $2$ und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} \frac{2}{\sqrt{x - 1}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} 2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{2}$

= ${[4 \sqrt{x - 1}]}_{u}^{2}$

$=$ $4 \sqrt{2 - 1} - 4 \sqrt{u - 1}$

= $4 \sqrt{1} - 4 \sqrt{u - 1}$

= $4 \cdot 1 - 4 \sqrt{u - 1}$

= $4 - 4 \sqrt{u - 1}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u - 1} + 4$ → $0 + 4$ = $4$ ≈ 4

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale