Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 2x -3 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 6 ( 2x -3 ) 4 x
= 2 3 6 ( 2x -3 ) -4 x

= [ - ( 2x -3 ) -3 ] 2 3

= [ - 1 ( 2x -3 ) 3 ] 2 3

= - 1 ( 23 -3 ) 3 + 1 ( 22 -3 ) 3

= - 1 ( 6 -3 ) 3 + 1 ( 4 -3 ) 3

= - 1 3 3 + 1 1 3

= -( 1 27 ) + 1

= 26 27


≈ 0,963
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 16 + 26 27 = 458 27 ≈ 16.96

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 2x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
3 5 6 2x -3 x
= 3 5 6 ( 2x -3 ) -1 x

= [ 3 ln( | 2x -3 | ) ] 3 5

= 3 ln( | 25 -3 | ) -3 ln( | 23 -3 | )

= 3 ln( | 10 -3 | ) -3 ln( | 6 -3 | )

= 3 ln( 7 ) -3 ln( | 6 -3 | )

= 3 ln( 7 ) -3 ln( 3 )


≈ 2,542
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 9 + 3 ln( | 7 | ) -3 ln( | 3 | ) ≈ 11.54

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u 6x x = 213,75

Lösung einblenden
1 u 6x x

= [ 3 x 2 ] 1 u

= 3 u 2 -3 1 2

= 3 u 2 -31

= 3 u 2 -3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 213,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 -3 = 213,75 | +3
3 u 2 = 216,75 |:3
u 2 = 72,25 | 2
u1 = - 72,25 = -8,5
u2 = 72,25 = 8,5

Da u= -8,5 < 1 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 sin( 3x + π) zwischen 0 und 1 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 2 π+0 0 1 2 π 6 sin( 3x + π) x

= 2 π [ -2 cos( 3x + π) ] 0 1 2 π

= 2 π · ( -2 cos( 3( 1 2 π ) + π) +2 cos( 3( 0 ) + π) )

= 2 π · ( -2 cos( 5 2 π) +2 cos(π) )

= 2 π · ( -20 +2( -1 ) )

= 2 π · ( 0 -2 )

= 2 π · ( -2 )

= - 4 π


≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 -2x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 2 -2x +5 x
= 3 u -2 ( -2x +5 ) -1 x

= [ ln( | -2x +5 | ) ] 3 u

= ln( | -2( u ) +5 | ) - ln( | -23 +5 | )

= ln( | -2u +5 | ) - ln( | -6 +5 | )

= ln( | -2u +5 | ) - ln( 1 )

= ln( | -2u +5 | ) +0

= ln( | -2x +5 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( | -2x +5 | )