Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
=
=
=
≈ 109,183
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3
zusammen:
B = 17 +
≈ 126.18
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 17 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
36
|
=
-6
|
| u2 |
= |
36
|
=
6
|
Da u=
-6
< 3 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ( 2x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-2
∫
2
4
(
2x
-3
)
2
ⅆ
x
=
1
2
[
1
6
(
2x
-3
)
3
]
2
4
=
1
2
(
1
6
⋅
(
2⋅4
-3
)
3
-
1
6
⋅
(
2⋅2
-3
)
3
)
=
1
2
(
1
6
⋅
(
8
-3
)
3
-
1
6
⋅
(
4
-3
)
3
)
=
1
2
(
1
6
⋅
5
3
-
1
6
⋅
1
3
)
=
1
2
(
1
6
⋅125
-
1
6
⋅1
)
=
1
2
(
125
6
-
1
6
)
=
1
2
·
62
3
=
31
3
≈ 10,333
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -2 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
(
2x
-2
)
2
ⅆ
x
=
∫
2
u
3
(
2x
-2
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
3
2
(
2x
-2
)
-1
]
2
u
=
[
-
3
2(
2x
-2
)
]
2
u
=
-
3
2(
2u
-2
)
+
3
2(
2⋅2
-2
)
=
-
3
2(
2u
-2
)
+
3
2(
4
-2
)
=
-
3
2(
2u
-2
)
+
3
2⋅
2
=
-
3
2(
2u
-2
)
+
3
2
⋅(
1
2
)
=
-
3
2(
2u
-2
)
+
3
4
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
2(
2u
-2
)
+
3
4
→
0
+
3
4
=
3
4
≈ 0.75
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.75