Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 5)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{5}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 5 {(2 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{5}{2 (2 x - 5)}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{5}{2 (2 \cdot 4 - 5)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 3 - 5)}$

= $- \frac{5}{2 (8 - 5)} + \frac{5}{2 (6 - 5)}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 3} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{3}) + \frac{5}{2} \cdot 1$

= $- \frac{5}{6} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{6} + \frac{15}{6}$

= $\frac{5}{3}$

≈ 1,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 11 + $\frac{5}{3}$ = $\frac{38}{3}$ ≈ 12.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{23}{3}$ s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 6 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 6 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{23 - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{23}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 10 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{274}{3}$ ≈ 91.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} - 6 x ⅆ x$ = $- 45$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} - 6 x ⅆ x

= ${[- 3 x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 3 \cdot 1^{2}$

= $- 3 u^{2} + 3 \cdot 1$

= $- 3 u^{2} + 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 45$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 u^{2} + 3$	=	$- 45$	\| $- 3$
$- 3 u^{2}$	=	$- 48$	\|: $(- 3)$
$u^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
u₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Da u= $- 4$ < 1 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (3 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (2 π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - \frac{2}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{2}{3})$

= $- \frac{4}{3 π}$

≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(- 2 x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} {(- 2 x + 3)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{1}{4 {(- 2 x + 3)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4 {(- 2 \cdot 2 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4 {(- 4 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4 {(- 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4} \cdot 1$

= $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{4 {(- 2 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{4}$ → $0 - \frac{1}{4}$ = $- \frac{1}{4}$ ≈ -0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale