Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $4$ s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{19}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{19}{3}

:

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 4 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{19}{3}} 4 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 4^{3} - \frac{8}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 64 - \frac{8}{9} \cdot 27$

= $\frac{512}{9} - 24$

= $\frac{512}{9} - \frac{216}{9}$

= $\frac{296}{9}$

≈ 32,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{19}{3}

zusammen:

B = 6 + $\frac{296}{9}$ = $\frac{350}{9}$ ≈ 38.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 2 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} \frac{2}{{(2 x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{1}^{2} 2 {(2 x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 1)}^{- 1}]}_{1}^{2}$

= ${[- \frac{1}{2 x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2 \cdot 2 - 1} + \frac{1}{2 \cdot 1 - 1}$

= $- \frac{1}{4 - 1} + \frac{1}{2 - 1}$

= $- \frac{1}{3} + \frac{1}{1}$

= $- (\frac{1}{3}) + 1$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 11 + $\frac{2}{3}$ = $\frac{35}{3}$ ≈ 11.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (4 x + 3) ⅆ x$ = $195$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (4 x + 3) ⅆ x

= ${[2 x^{2} + 3 x]}_{2}^{u}$

$=$ $2 u^{2} + 3 u - (2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2)$

= $2 u^{2} + 3 u - (2 \cdot 4 + 6)$

= $2 u^{2} + 3 u - (8 + 6)$

= $2 u^{2} + 3 u - 1 \cdot 14$

= $2 u^{2} + 3 u - 14$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $195$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u^{2} + 3 u - 14

=

195

|

- 195

$2 u^{2} + 3 u - 209$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 209)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 1 672}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1 681}}{4}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1 681}}{4}$ = $\frac{- 3+41}{4}$ = $\frac{38}{4}$ = $9,5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1 681}}{4}$ = $\frac{- 3-41}{4}$ = $\frac{- 44}{4}$ = $- 11$

Da u= $- 11$ < 2 ist u= $9,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(- x + 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{3}{{(- x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 3 {(- x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[3 {(- x + 3)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{3}{- x + 3}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{3}{- u + 3} - \frac{3}{- 4 + 3}$

= $\frac{3}{- u + 3} - \frac{3}{(- 1)}$

= $\frac{3}{- u + 3} - 3 \cdot (- 1)$

= $\frac{3}{- u + 3} + 3$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{- u + 3} + 3$ → $0 + 3$ = $3$ ≈ 3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale