Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{5 - 2} - 2 e^{2 - 2}$

= $2 e^{3} - 2 e^{0}$

= $2 e^{3} - 2$

≈ 38,171

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 17 + $2 e^{3} - 2$ ≈ 55.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 6)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{4}{{(3 x - 6)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 4 {(3 x - 6)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 6)}^{- 1}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{4}{3 (3 x - 6)}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{4}{3 (3 \cdot 4 - 6)} + \frac{4}{3 (3 \cdot 3 - 6)}$

= $- \frac{4}{3 (12 - 6)} + \frac{4}{3 (9 - 6)}$

= $- \frac{4}{3 \cdot 6} + \frac{4}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{6}) + \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{9} + \frac{4}{9}$

= $\frac{2}{9}$

≈ 0,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 4 + $\frac{2}{9}$ = $\frac{38}{9}$ ≈ 4.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{0,9 x - 0,9} ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{0,9 x - 0,9} ⅆ x

= ${[3 e^{0,9 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $3 e^{0,9 u - 0,9} - 3 e^{0,9 \cdot 0 - 0,9}$

= $3 e^{0,9 u - 0,9} - 3 e^{0 - 0,9}$

= $3 e^{0,9 u - 0,9} - 3 e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 e^{0,9 u - 0,9} - 3 e^{- 0,9}$	=	$18$	\| $+ 3 e^{- 0,9}$
$3 e^{0,9 u - 0,9}$	=	$3 e^{- 0,9} + 18$
$3 e^{0,9 u - 0,9}$	=	$19,2197$	\|: $3$
$e^{0,9 u - 0,9}$	=	$6,4066$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,9$	=	$\ln (6,4066)$

$0,9 u - 0,9$	=	$1,8573$	\| $+ 0,9$
$0,9 u$	=	$2,7573$	\|: $0,9$
$u$	=	$3,0637$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 7}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{23}{3}$ und Minute $\frac{32}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{32}{3} - \frac{23}{3}}

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 2 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 64)$

= $\frac{1}{3} (\frac{500}{9} - \frac{256}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{244}{9}$

= $\frac{244}{27}$

≈ 9,037

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(\sqrt{2 x - 4})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $10$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{10}^{u} - \frac{3}{{(\sqrt{2 x - 4})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{10}^{u} - 3 {(2 x - 4)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[3 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}]}_{10}^{u}$

= ${[\frac{3}{\sqrt{2 x - 4}}]}_{10}^{u}$

$=$ $\frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} - \frac{3}{\sqrt{2 \cdot 10 - 4}}$

= $\frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} - \frac{3}{\sqrt{20 - 4}}$

= $\frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} - \frac{3}{\sqrt{16}}$

= $\frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} - \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} - 3 \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} - \frac{3}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{\sqrt{2 u - 4}} - \frac{3}{4}$ → $0 - \frac{3}{4}$ = $- \frac{3}{4}$ ≈ -0.75

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.75

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale