Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 2 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 6} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{6 - 6} - \frac{2}{3} e^{0 - 6}$

= $\frac{2}{3} e^{0} - \frac{2}{3} e^{- 6}$

= $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} e^{- 6}$

≈ 0,665

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 77 + $- \frac{2}{3} e^{- 6} + \frac{2}{3}$ ≈ 77.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(x - 1)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{6}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 6 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{6}{x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{6}{3 - 1} + \frac{6}{2 - 1}$

= $- \frac{6}{2} + \frac{6}{1}$

= $- 6 \cdot (\frac{1}{2}) + 6 \cdot 1$

= $- 3 + 6$

= $3$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 17 + $3$ = $20$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,5 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,5 e^{- 0,9 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- 0,9 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 e^{- 0,9 u + 0,7} + 5 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 5 e^{- 0,9 u + 0,7} + 5 e^{0 + 0,7}$

= $- 5 e^{- 0,9 u + 0,7} + 5 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 e^{- 0,9 u + 0,7} + 5 e^{0,7}$	=	$2$	\| $- 5 e^{0,7}$
$- 5 e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 5 e^{0,7} + 2$
$- 5 e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$- 8,0688$	\|: $- 5$
$e^{- 0,9 u + 0,7}$	=	$1,6138$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,7$	=	$\ln (1,6138)$

$- 0,9 u + 0,7$	=	$0,4786$	\| $- 0,7$
$- 0,9 u$	=	$- 0,2214$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,246$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{1}{2 x - 2}$ zwischen 3 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 3}

\int_{3}^{4} \frac{1}{2 x - 2} ⅆ x

=

1

\int_{3}^{4} {(2 x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 2 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 4 - 2 |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 3 - 2 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (| 8 - 2 |) - \frac{1}{2} \ln (| 6 - 2 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (6) - \frac{1}{2} \ln (| 6 - 2 |)$

= $\frac{1}{2} \ln (6) - \frac{1}{2} \ln (4)$

≈ 0,203

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{2 x - 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 u - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{2 u - 1} - \frac{1}{2} e^{4 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{2 u - 1} - \frac{1}{2} e^{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} e^{2 u - 1} - \frac{1}{2} e^{3}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale