Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 11 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
4
3
ln(
|
3⋅5
-4
|
)
-
4
3
ln(
|
3⋅3
-4
|
)
=
4
3
ln(
|
15
-4
|
)
-
4
3
ln(
|
9
-4
|
)
=
4
3
ln(
11
)
-
4
3
ln(
|
9
-4
|
)
=
4
3
ln(
11
)
-
4
3
ln(
5
)
≈ 1,051
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 5 +
4
3
ln(
|
11
|
)
-
4
3
ln(
|
5
|
)
≈ 6.05
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass ∫ 1 u ( -2x +4 ) ⅆ x = -5,25
Lösung einblenden
∫
1
u
(
-2x
+4
)
ⅆ
x
=
[
-
x
2
+4x
]
1
u
=
-
u
2
+4u
- (
-
1
2
+4⋅1
)
=
-
u
2
+4u
- (
-1
+4
)
=
-
u
2
+4u
+1
-4
=
-
u
2
+4u
-3
|
-
u
2
+4u
-3
|
= |
-5,25
|
|
+5,25
|
-
u
2
+4u
+2,25
= 0
u1,2 =
-4 ±
4
2
-4 ·
(
-1
)
·
2,25
2⋅( -1 )
u1,2 =
-4 ±
16
+9
-2
u1,2 =
-4 ±
25
-2
u1 =
-4
+
25
-2
=
-4
+5
-2
=
1
-2
=
-0,5
u2 =
-4
-
25
-2
=
-4
-5
-2
=
-9
-2
=
4,5
Da u=
-0,5
< 1 ist u=
4,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 3x -6 ) 2 +3x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
+0
∫
0
4
(
6
(
3x
-6
)
2
+3x
)
ⅆ
x
=
1
4
[
2
3
(
3x
-6
)
3
+
3
2
x
2
]
0
4
=
1
4
(
2
3
⋅
(
3⋅4
-6
)
3
+
3
2
⋅
4
2
- (
2
3
⋅
(
3⋅0
-6
)
3
+
3
2
⋅
0
2
))
=
1
4
(
2
3
⋅
(
12
-6
)
3
+
3
2
⋅16
- (
2
3
⋅
( 0
-6
)
3
+
3
2
⋅0
))
=
1
4
(
2
3
⋅
6
3
+24
- (
2
3
⋅
( -6 )
3
+0))
=
1
4
(
2
3
⋅216
+24
- (
2
3
⋅( -216 )
+0))
=
1
4
(
144
+24
- (
-144
+0))
=
1
4
(
168
+144
)
=
1
4
·
312
=
78
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 -3x +6 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
3
-3x
+6
ⅆ
x
=
∫
4
u
3
(
-3x
+6
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
ln(
|
-3x
+6
|
)
]
4
u
=
-
ln(
|
-3(
u
)
+6
|
)
+
ln(
|
-3⋅4
+6
|
)
=
-
ln(
|
-3u
+6
|
)
+
ln(
|
-12
+6
|
)
=
-
ln(
|
-3u
+6
|
)
+
ln(
6
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
ln(
6
)
-
ln(
|
-3x
+6
|
)
→
∞