Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 5 e x -1 x

= [ 5 e x -1 ] 2 5

= 5 e 5 -1 -5 e 2 -1

= 5 e 4 -5 e 1

= 5 e 4 -5e


≈ 259,399
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 61 + 5 e 4 -5e ≈ 320.4

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 6 e 3x -7 x

= [ 2 e 3x -7 ] 0 3

= 2 e 33 -7 -2 e 30 -7

= 2 e 9 -7 -2 e 0 -7

= 2 e 2 -2 e -7


≈ 14,776
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 23 + 2 e 2 -2 e -7 ≈ 37.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2 e 0,5x -0,5 x = 16

Lösung einblenden
0 u 2 e 0,5x -0,5 x

= [ 4 e 0,5x -0,5 ] 0 u

= 4 e 0,5u -0,5 -4 e 0,50 -0,5

= 4 e 0,5u -0,5 -4 e 0 -0,5

= 4 e 0,5u -0,5 -4 e -0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 16 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 e 0,5u -0,5 -4 e -0,5 = 16 | +4 e -0,5
4 e 0,5u -0,5 = 4 e -0,5 +16
4 e 0,5u -0,5 = 18,4261 |:4
e 0,5u -0,5 = 4,6065 |ln(⋅)
0,5u -0,5 = ln( 4,6065 )
0,5u -0,5 = 1,5275 | +0,5
0,5u = 2,0275 |:0,5
u = 4,055

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ( 2x -4 ) 2 +4 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 +0 0 5 ( ( 2x -4 ) 2 +4 ) x

= 1 5 [ 1 6 ( 2x -4 ) 3 +4x ] 0 5

= 1 5 ( 1 6 ( 25 -4 ) 3 +45 - ( 1 6 ( 20 -4 ) 3 +40 ))

= 1 5 ( 1 6 ( 10 -4 ) 3 +20 - ( 1 6 ( 0 -4 ) 3 +0))

= 1 5 ( 1 6 6 3 +20 - ( 1 6 ( -4 ) 3 +0))

= 1 5 ( 1 6 216 +20 - ( 1 6 ( -64 ) +0))

= 1 5 ( 36 +20 - ( - 32 3 +0))

= 1 5 ( 56 - ( - 32 3 +0))

= 1 5 ( 56 + 32 3 )

= 1 5 ( 168 3 + 32 3 )

= 1 5 ( 56 + 32 3 )

= 1 5 · 200 3


≈ 13,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 -3x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u - 2 -3x +3 x
= 3 u -2 ( -3x +3 ) -1 x

= [ 2 3 ln( | -3x +3 | ) ] 3 u

= 2 3 ln( | -3( u ) +3 | ) - 2 3 ln( | -33 +3 | )

= 2 3 ln( | -3u +3 | ) - 2 3 ln( | -9 +3 | )

= 2 3 ln( | -3u +3 | ) - 2 3 ln( 6 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 2 3 ln( 6 ) + 2 3 ln( | -3x +3 | )