Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 5)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{2}{{(3 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 2 {(3 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{- 2}]}_{3}^{4}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 5)}^{2}}]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 \cdot 4 - 5)}^{2}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 3 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(12 - 5)}^{2}} + \frac{1}{3 {(9 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 7^{2}} + \frac{1}{3 \cdot 4^{2}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{49}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{16})$

= $- \frac{1}{147} + \frac{1}{48}$

= $- \frac{16}{2352} + \frac{49}{2352}$

= $\frac{11}{784}$

≈ 0,014

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 3 + $\frac{11}{784}$ = $\frac{2363}{784}$ ≈ 3.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 56 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 2 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{3 - 2} - 2 e^{1 - 2}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 56 + $- 2 e^{- 1} + 2 e$ ≈ 60.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 8 x ⅆ x$ = $144$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 8 x ⅆ x

= ${[4 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 4 \cdot 0^{2}$

= $4 u^{2} - 4 \cdot 0$

= $4 u^{2} + 0$

= $4 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $144$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 u^{2}$	=	$144$	\|: $4$
$u^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
u₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da u= $- 6$ < 0 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $19$ und Minute $28$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{28 - 19}

\int_{19}^{28} 6 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{19}^{28} 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[4 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= $\frac{1}{9}$ ${[4 {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{1}{9} (4 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 4 {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (4 \cdot 125 - 4 \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (500 - 256)$

= $\frac{1}{9} \cdot 244$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{2 x - 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(2 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 2 x - 4 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- \ln (| 2 (u) - 4 |) + \ln (| 2 \cdot 4 - 4 |)$

= $- \ln (| 2 u - 4 |) + \ln (| 8 - 4 |)$

= $- \ln (| 2 u - 4 |) + \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (4) - \ln (| 2 x - 4 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale