Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 1)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} \frac{2}{{(2 x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{1}^{4} 2 {(2 x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- 2}]}_{1}^{4}$

= ${[- \frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{2}}]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(2 \cdot 4 - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(2 \cdot 1 - 1)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(8 - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(2 - 1)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{49}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}$

= $\frac{24}{49}$

≈ 0,49

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 15 + $\frac{24}{49}$ = $\frac{759}{49}$ ≈ 15.49

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 7:

\int_{5}^{7} \frac{4}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{5}^{7} 4 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[4 \ln (| x - 3 |)]}_{5}^{7}$

$=$ $4 \ln (| 7 - 3 |) - 4 \ln (| 5 - 3 |)$

= $4 \ln (4) - 4 \ln (| 5 - 3 |)$

= $4 \ln (4) - 4 \ln (2)$

≈ 2,773

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 7 zusammen:

B = 14 + $4 \ln (| 4 |) - 4 \ln (| 2 |)$ ≈ 16.77

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,5 e^{0,1 x - 0,9} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,5 e^{0,1 x - 0,9} ⅆ x

= ${[5 e^{0,1 x - 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,1 u - 0,9} - 5 e^{0,1 \cdot 0 - 0,9}$

= $5 e^{0,1 u - 0,9} - 5 e^{0 - 0,9}$

= $5 e^{0,1 u - 0,9} - 5 e^{- 0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,1 u - 0,9} - 5 e^{- 0,9}$	=	$6$	\| $+ 5 e^{- 0,9}$
$5 e^{0,1 u - 0,9}$	=	$5 e^{- 0,9} + 6$
$5 e^{0,1 u - 0,9}$	=	$8,0328$	\|: $5$
$e^{0,1 u - 0,9}$	=	$1,6066$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,9$	=	$\ln (1,6066)$

$0,1 u - 0,9$	=	$0,4741$	\| $+ 0,9$
$0,1 u$	=	$1,3741$	\|: $0,1$
$u$	=	$13,741$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \cos (3 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 6 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[2 \cdot \sin (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - 2 \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 2 - 2)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{π}$

≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 1}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{- u + 1} - 2 e^{- 0 + 1}$

= $2 e^{- u + 1} - 2 e^{1}$

= $2 e^{- u + 1} - 2 e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 e^{- u + 1} - 2 e$ → $0 - 2 e$ = $- 2 e$ ≈ -5.437

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 5.437

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale