Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $1$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $13$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

1

und

13

:

\int_{1}^{13} \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{1}^{13} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{13}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{1}^{13}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 1 - 1})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 - 1})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{1})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 1$

= $\frac{125}{3} - \frac{1}{3}$

= $\frac{124}{3}$

≈ 41,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

1

und der Änderung zwischen

1

und

13

zusammen:

B = 5 + $\frac{124}{3}$ = $\frac{139}{3}$ ≈ 46.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 40 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{3 - 2} - e^{2 - 2}$

= $e^{1} - e^{0}$

= $e - 1$

≈ 1,718

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 40 + $- 1 + e$ ≈ 41.72

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 6 x - 3) ⅆ x$ = $- 140,25$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 6 x - 3) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} - 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} - 3 u - (- 3 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $- 3 u^{2} - 3 u - (- 3 \cdot 1 - 3)$

= $- 3 u^{2} - 3 u - (- 3 - 3)$

= $- 3 u^{2} - 3 u - 1 \cdot (- 6)$

= $- 3 u^{2} - 3 u + 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 140,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} - 3 u + 6

=

- 140,25

|

+ 140,25

$- 3 u^{2} - 3 u + 146,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 146,25}}{2 \cdot (- 3)}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 1 755}}{- 6}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1 764}}{- 6}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1 764}}{- 6}$ = $\frac{3+42}{- 6}$ = $\frac{45}{- 6}$ = $- 7,5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1 764}}{- 6}$ = $\frac{3-42}{- 6}$ = $\frac{- 39}{- 6}$ = $6,5$

Da u= $- 7,5$ < 1 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 7}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{16}{3}$ und Minute $\frac{32}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{32}{3} - \frac{16}{3}}

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 2 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{3}{16}

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{4}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{3}{16} (\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{4}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 27)$

= $\frac{3}{16} (\frac{500}{9} - 12)$

= $\frac{3}{16} (\frac{500}{9} - \frac{108}{9})$

= $\frac{3}{16} \cdot \frac{392}{9}$

= $\frac{49}{6}$

≈ 8,167

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $3$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} \frac{1}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{3}$

= ${[2 \sqrt{x - 2}]}_{u}^{3}$

$=$ $2 \sqrt{3 - 2} - 2 \sqrt{u - 2}$

= $2 \sqrt{1} - 2 \sqrt{u - 2}$

= $2 \cdot 1 - 2 \sqrt{u - 2}$

= $2 - 2 \sqrt{u - 2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{u - 2} + 2$ → $0 + 2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale