Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( x -3 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 7:
5 7 6 ( x -3 ) 2 x
= 5 7 6 ( x -3 ) -2 x

= [ -6 ( x -3 ) -1 ] 5 7

= [ - 6 x -3 ] 5 7

= - 6 7 -3 + 6 5 -3

= - 6 4 + 6 2

= -6( 1 4 ) +6( 1 2 )

= - 3 2 +3

= -1,5 +3

= 1,5


= 1,5
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 7 zusammen:
B = 10 + 3 2 = 23 2 ≈ 11.5

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 2 x -3 x
= 19 28 2 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 4 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 4 3 ( 28 -3 ) 3 - 4 3 ( 19 -3 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 5 + 244 3 = 259 3 ≈ 86.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( -2x +4 ) x = -8

Lösung einblenden
1 u ( -2x +4 ) x

= [ - x 2 +4x ] 1 u

= - u 2 +4u - ( - 1 2 +41 )

= - u 2 +4u - ( -1 +4 )

= - u 2 +4u +1 -4

= - u 2 +4u -3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -8 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u 2 +4u -3 = -8 | +8

- u 2 +4u +5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · ( -1 ) · 5 2( -1 )

u1,2 = -4 ± 16 +20 -2

u1,2 = -4 ± 36 -2

u1 = -4 + 36 -2 = -4 +6 -2 = 2 -2 = -1

u2 = -4 - 36 -2 = -4 -6 -2 = -10 -2 = 5

Da u= -1 < 1 ist u= 5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= e 2x -1 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 e 2x -1 x

= 1 2 [ 1 2 e 2x -1 ] 0 2

= 1 2 ( 1 2 e 22 -1 - 1 2 e 20 -1 )

= 1 2 ( 1 2 e 4 -1 - 1 2 e 0 -1 )

= 1 2 ( 1 2 e 3 - 1 2 e -1 )


≈ 4,929

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 1 2x -5 x
= 3 u ( 2x -5 ) -1 x

= [ 1 2 ln( | 2x -5 | ) ] 3 u

= 1 2 ln( | 2( u ) -5 | ) - 1 2 ln( | 23 -5 | )

= 1 2 ln( | 2u -5 | ) - 1 2 ln( | 6 -5 | )

= 1 2 ln( | 2u -5 | ) - 1 2 ln( 1 )

= 1 2 ln( | 2u -5 | ) +0

= 1 2 ln( | 2x -5 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 ln( | 2x -5 | )