Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{2 - 4} - \frac{5}{2} e^{0 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{- 2} - \frac{5}{2} e^{- 4}$

≈ 0,293

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 2 + $\frac{5}{2} e^{- 2} - \frac{5}{2} e^{- 4}$ ≈ 2.29

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{6}{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 6 {(3 x - 7)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| 3 x - 7 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $2 \ln (| 3 \cdot 5 - 7 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 4 - 7 |)$

= $2 \ln (| 15 - 7 |) - 2 \ln (| 12 - 7 |)$

= $2 \ln (8) - 2 \ln (| 12 - 7 |)$

= $2 \ln (8) - 2 \ln (5)$

≈ 0,94

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 7 + $2 \ln (| 8 |) - 2 \ln (| 5 |)$ ≈ 7.94

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 2 x + 2) ⅆ x$ = $- 19,25$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 2 x + 2) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 2 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 2 u - (- 2^{2} + 2 \cdot 2)$

= $- u^{2} + 2 u - (- 4 + 4)$

= $- u^{2} + 2 u + 4 - 4$

= $- u^{2} + 2 u + 0$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 19,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} + 2 u

=

- 19,25

|

+ 19,25

$- u^{2} + 2 u + 19,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 19,25}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 77}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 2+9}{- 2}$ = $\frac{7}{- 2}$ = $- 3,5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 2-9}{- 2}$ = $\frac{- 11}{- 2}$ = $5,5$

Da u= $- 3,5$ < 2 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= ${(3 x - 6)}^{2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} {(3 x - 6)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{9} {(3 x - 6)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 6)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 6)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot {(9 - 6)}^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(0 - 6)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot 3^{3} - \frac{1}{9} \cdot {(- 6)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{9} \cdot (- 216))$

= $\frac{1}{3} (3 + 24)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27$

= $9$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $18$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{18}^{u} - \frac{2}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{18}^{u} - 2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{18}^{u}$

= ${[- 4 \sqrt{x - 2}]}_{18}^{u}$

$=$ $- 4 \sqrt{u - 2} + 4 \sqrt{18 - 2}$

= $- 4 \sqrt{u - 2} + 4 \sqrt{16}$

= $- 4 \sqrt{u - 2} + 4 \cdot 4$

= $- 4 \sqrt{u - 2} + 16$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u - 2} + 16$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale