Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 17 2 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 13 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 17 2 und 13:
17 2 13 2x -1 x
= 17 2 13 ( 2x -1 ) 1 2 x

= [ 1 3 ( 2x -1 ) 3 2 ] 17 2 13

= [ 1 3 ( 2x -1 ) 3 ] 17 2 13

= 1 3 ( 213 -1 ) 3 - 1 3 ( 2( 17 2 ) -1 ) 3

= 1 3 ( 26 -1 ) 3 - 1 3 ( 17 -1 ) 3

= 1 3 ( 25 ) 3 - 1 3 ( 16 ) 3

= 1 3 5 3 - 1 3 4 3

= 1 3 125 - 1 3 64

= 125 3 - 64 3

= 61 3


≈ 20,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 17 2 und der Änderung zwischen 17 2 und 13 zusammen:
B = 10 + 61 3 = 91 3 ≈ 30.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 6 e 2x -4 x

= [ 3 e 2x -4 ] 1 3

= 3 e 23 -4 -3 e 21 -4

= 3 e 6 -4 -3 e 2 -4

= 3 e 2 -3 e -2


≈ 21,761
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 15 + 3 e 2 -3 e -2 ≈ 36.76

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 4x -3 ) x = 55

Lösung einblenden
1 u ( 4x -3 ) x

= [ 2 x 2 -3x ] 1 u

= 2 u 2 -3u - ( 2 1 2 -31 )

= 2 u 2 -3u - ( 21 -3 )

= 2 u 2 -3u - ( 2 -3 )

= 2 u 2 -3u -1 · ( -1 )

= 2 u 2 -3u +1

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 55 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 -3u +1 = 55 | -55

2 u 2 -3u -54 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 2 · ( -54 ) 22

u1,2 = +3 ± 9 +432 4

u1,2 = +3 ± 441 4

u1 = 3 + 441 4 = 3 +21 4 = 24 4 = 6

u2 = 3 - 441 4 = 3 -21 4 = -18 4 = -4,5

Da u= -4,5 < 1 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 x -2 zwischen 4 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -4 4 5 3 x -2 x
= 1 4 5 3 ( x -2 ) -1 x

= 1 [ 3 ln( | x -2 | ) ] 4 5

= 3 ln( | 5 -2 | ) -3 ln( | 4 -2 | )

= 3 ln( 3 ) -3 ln( | 4 -2 | )

= 3 ln( 3 ) -3 ln( 2 )


≈ 1,216

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 3x -7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 16 3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 16 3 u 3 3x -7 x
= 16 3 u 3 ( 3x -7 ) - 1 2 x

= [ 2 ( 3x -7 ) 1 2 ] 16 3 u

= [ 2 3x -7 ] 16 3 u

= 2 3u -7 -2 3( 16 3 ) -7

= 2 3u -7 -2 16 -7

= 2 3u -7 -2 9

= 2 3u -7 -23

= 2 3u -7 -6

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3u -7 -6