Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 4} - e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $e^{6 - 4} - e^{4 - 4}$

= $e^{2} - e^{0}$

= $e^{2} - 1$

≈ 6,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 6 + $e^{2} - 1$ ≈ 12.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $5$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{31}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

\frac{31}{3}

:

\int_{5}^{\frac{31}{3}} 3 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{5}^{\frac{31}{3}} 3 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{15 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{250}{3} - 18$

= $\frac{250}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 19 + $\frac{196}{3}$ = $\frac{253}{3}$ ≈ 84.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4 x ⅆ x$ = $72$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4 x ⅆ x

= ${[2 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 u^{2} - 2 \cdot 0^{2}$

= $2 u^{2} - 2 \cdot 0$

= $2 u^{2} + 0$

= $2 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $72$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 u^{2}$	=	$72$	\|: $2$
$u^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
u₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da u= $- 6$ < 0 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 4 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[2 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot \sin (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot (- 1) - 2 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 2 + 2)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{3}{- x + 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 3 {(- x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[3 \ln (| - x + 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $3 \ln (| - (u) + 3 |) - 3 \ln (| - 4 + 3 |)$

= $3 \ln (| - u + 3 |) - 3 \ln (| - 4 + 3 |)$

= $3 \ln (| - u + 3 |) - 3 \ln (1)$

= $3 \ln (| - u + 3 |) + 0$

= $3 \ln (| - x + 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (| - x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale