Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 3)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{3}{{(3 x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 3 {(3 x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(3 x - 3)}^{- 2}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{1}{2 {(3 x - 3)}^{2}}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(3 \cdot 3 - 3)}^{2}} + \frac{1}{2 {(3 \cdot 2 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(9 - 3)}^{2}} + \frac{1}{2 {(6 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{36}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{72} + \frac{1}{18}$

= $- \frac{1}{72} + \frac{4}{72}$

= $\frac{1}{24}$

≈ 0,042

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 8 + $\frac{1}{24}$ = $\frac{193}{24}$ ≈ 8.04

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{17}{2}$ Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $13$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{17}{2}

und

13

:

\int_{\frac{17}{2}}^{13} 2 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{17}{2}}^{13} 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{17}{2}}^{13}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{17}{2}}^{13}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{17}{2}) - 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{17}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{17}{2}

und

13

zusammen:

B = 14 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{164}{3}$ ≈ 54.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,7 e^{- 0,7 x + 0,4} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,7 e^{- 0,7 x + 0,4} ⅆ x

= ${[- e^{- 0,7 x + 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 0,7 u + 0,4} + e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,4}$

= $- e^{- 0,7 u + 0,4} + e^{0 + 0,4}$

= $- e^{- 0,7 u + 0,4} + e^{0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- e^{- 0,7 u + 0,4} + e^{0,4}$	=	$1$	\| $- e^{0,4}$
$- e^{- 0,7 u + 0,4}$	=	$- e^{0,4} + 1$
$- e^{- 0,7 u + 0,4}$	=	$- 0,4918$	\|: $- 1$
$e^{- 0,7 u + 0,4}$	=	$0,4918$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,4$	=	$\ln (0,4918)$

$- 0,7 u + 0,4$	=	$- 0,7097$	\| $- 0,4$
$- 0,7 u$	=	$- 1,1097$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$1,5853$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (3 x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 2 \cdot \cos (3 x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x + π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot π + π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (4 π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{- 3 x + 7}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} e^{- 3 x + 7} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} e^{- 3 x + 7}]}_{1}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 u + 7} + \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 1 + 7}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 3 u + 7} + \frac{1}{3} e^{- 3 + 7}$

= $- \frac{1}{3} e^{- 3 u + 7} + \frac{1}{3} e^{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3} e^{- 3 u + 7} + \frac{1}{3} e^{4}$ → $0 + \frac{1}{3} e^{4}$ = $\frac{1}{3} e^{4}$ ≈ 18.199

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 18.199

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale