Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $10$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

10

:

\int_{7}^{10} 5 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{10} 5 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{10}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{7}^{10}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 64$

= $\frac{1250}{9} - \frac{640}{9}$

= $\frac{610}{9}$

≈ 67,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

10

zusammen:

B = 13 + $\frac{610}{9}$ = $\frac{727}{9}$ ≈ 80.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 5 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 3 - 5} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{9 - 5} - \frac{5}{3} e^{0 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{4} - \frac{5}{3} e^{- 5}$

≈ 90,986

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 27 + $\frac{5}{3} e^{4} - \frac{5}{3} e^{- 5}$ ≈ 117.99

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,9 e^{0,7 x - 0,2} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,9 e^{0,7 x - 0,2} ⅆ x

= ${[7 e^{0,7 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,7 u - 0,2} - 7 e^{0,7 \cdot 0 - 0,2}$

= $7 e^{0,7 u - 0,2} - 7 e^{0 - 0,2}$

= $7 e^{0,7 u - 0,2} - 7 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,7 u - 0,2} - 7 e^{- 0,2}$	=	$6$	\| $+ 7 e^{- 0,2}$
$7 e^{0,7 u - 0,2}$	=	$7 e^{- 0,2} + 6$
$7 e^{0,7 u - 0,2}$	=	$11,7311$	\|: $7$
$e^{0,7 u - 0,2}$	=	$1,6759$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,2$	=	$\ln (1,6759)$

$0,7 u - 0,2$	=	$0,5164$	\| $+ 0,2$
$0,7 u$	=	$0,7164$	\|: $0,7$
$u$	=	$1,0234$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 {(x - 1)}^{2} + 3 x$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} (6 {(x - 1)}^{2} + 3 x) ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[2 {(x - 1)}^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (2 \cdot {(3 - 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (2 \cdot {(1 - 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2}))$

= $\frac{1}{2} (2 \cdot 2^{3} + \frac{3}{2} \cdot 9 - (2 \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1))$

= $\frac{1}{2} (2 \cdot 8 + \frac{27}{2} - (2 \cdot 0 + \frac{3}{2}))$

= $\frac{1}{2} (16 + \frac{27}{2} - (0 + \frac{3}{2}))$

= $\frac{1}{2} (16 + 13,5 - (0 + 1,5))$

= $\frac{1}{2} (29,5 - 1,5)$

= $\frac{1}{2} \cdot 28$

= $14$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{1}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| x - 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- \ln (| u - 3 |) + \ln (| 4 - 3 |)$

= $- \ln (| u - 3 |) + \ln (1)$

= $- \ln (| u - 3 |) + 0$

= $- \ln (| x - 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (| x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale