Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{2}{{(x - 3)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 8 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 8:

\int_{5}^{8} \frac{2}{{(x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{5}^{8} 2 {(x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(x - 3)}^{- 1}]}_{5}^{8}$

= ${[- \frac{2}{x - 3}]}_{5}^{8}$

$=$ $- \frac{2}{8 - 3} + \frac{2}{5 - 3}$

= $- \frac{2}{5} + \frac{2}{2}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{5}) + 2 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{2}{5} + 1$

= $- \frac{2}{5} + \frac{5}{5}$

= $\frac{3}{5}$

= 0,6

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 8 zusammen:

B = 7 + $\frac{3}{5}$ = $\frac{38}{5}$ ≈ 7.6

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $6$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{19}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

6

und

\frac{19}{2}

:

\int_{6}^{\frac{19}{2}} 3 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{6}^{\frac{19}{2}} 3 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{\frac{19}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{\frac{19}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3}$

= ${(\sqrt{19 - 3})}^{3} - {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4^{3} - 3^{3}$

= $64 - 27$

= $37$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

6

und der Änderung zwischen

6

und

\frac{19}{2}

zusammen:

B = 13 + $37$ = $50$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,2 x - 0,6} ⅆ x$ = $10$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,2 x - 0,6} ⅆ x

= ${[6 e^{0,2 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,2 u - 0,6} - 6 e^{0,2 \cdot 0 - 0,6}$

= $6 e^{0,2 u - 0,6} - 6 e^{0 - 0,6}$

= $6 e^{0,2 u - 0,6} - 6 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $10$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,2 u - 0,6} - 6 e^{- 0,6}$	=	$10$	\| $+ 6 e^{- 0,6}$
$6 e^{0,2 u - 0,6}$	=	$6 e^{- 0,6} + 10$
$6 e^{0,2 u - 0,6}$	=	$13,2929$	\|: $6$
$e^{0,2 u - 0,6}$	=	$2,2155$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,6$	=	$\ln (2,2155)$

$0,2 u - 0,6$	=	$0,7955$	\| $+ 0,6$
$0,2 u$	=	$1,3955$	\|: $0,2$
$u$	=	$6,9775$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 {(2 x - 2)}^{2} + 2 x$ zwischen 2 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} (2 {(2 x - 2)}^{2} + 2 x) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{3} + x^{2}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 5 - 2)}^{3} + 5^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 2 - 2)}^{3} + 2^{2}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(10 - 2)}^{3} + 25 - (\frac{1}{3} \cdot {(4 - 2)}^{3} + 4))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 8^{3} + 25 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 4))$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 512 + 25 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 4))$

= $\frac{1}{3} (\frac{512}{3} + 25 - (\frac{8}{3} + 4))$

= $\frac{1}{3} (\frac{512}{3} + \frac{75}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{12}{3}))$

= $\frac{1}{3} (\frac{587}{3} - 1 \cdot \frac{20}{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{587}{3} - \frac{20}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot 189$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- 3 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - 3 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[e^{- 3 x + 5}]}_{1}^{u}$

$=$ $e^{- 3 u + 5} - e^{- 3 \cdot 1 + 5}$

= $e^{- 3 u + 5} - e^{- 3 + 5}$

= $e^{- 3 u + 5} - e^{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{- 3 u + 5} - e^{2}$ → $0 - e^{2}$ = $- e^{2}$ ≈ -7.389

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 7.389

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale