Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $10$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $26$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

26

:

\int_{10}^{26} 6 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{10}^{26} 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{26}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{10}^{26}$

$=$ $4 {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - 4 {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{25})}^{3} - 4 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4 \cdot 5^{3} - 4 \cdot 3^{3}$

= $4 \cdot 125 - 4 \cdot 27$

= $500 - 108$

= $392$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

26

zusammen:

B = 18 + $392$ = $410$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 50 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 e^{3 - 3} - 3 e^{1 - 3}$

= $3 e^{0} - 3 e^{- 2}$

= $3 - 3 e^{- 2}$

≈ 2,594

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 50 + $- 3 e^{- 2} + 3$ ≈ 52.59

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (10 x - 5) ⅆ x$ = $30$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (10 x - 5) ⅆ x

= ${[5 x^{2} - 5 x]}_{1}^{u}$

$=$ $5 u^{2} - 5 u - (5 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1)$

= $5 u^{2} - 5 u - (5 \cdot 1 - 5)$

= $5 u^{2} - 5 u - (5 - 5)$

= $5 u^{2} - 5 u - 1 \cdot 0$

= $5 u^{2} - 5 u + 0$

= $5 u^{2} - 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $30$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} - 5 u

=

30

|

- 30

5 u^{2} - 5 u - 30

= 0 |:5

$u^{2} - u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Da u= $- 2$ < 1 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $17$ und Minute $26$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{26 - 17}

\int_{17}^{26} 2 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{17}^{26} 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{17}^{26}$

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{17}^{26}$

$=$ $\frac{1}{9} (\frac{4}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (\frac{500}{3} - \frac{256}{3})$

= $\frac{1}{9} \cdot \frac{244}{3}$

= $\frac{244}{27}$

≈ 9,037

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $10$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{10} \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{10} 2 {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{10}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{10}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 10 - 4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \sqrt{20 - 4} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \sqrt{16} - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $2 \cdot 4 - 2 \sqrt{2 u - 4}$

= $8 - 2 \sqrt{2 u - 4}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 4} + 8$ → $0 + 8$ = $8$ ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale