Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
=
=
≈ 28,085
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3
zusammen:
B = 9 +
≈ 37.08
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
=
≈ 160,794
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 68 +
≈ 228.79
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
42
-4
=
-10,5
u2 =
5
-
1369
-4
=
5
-37
-4
=
-32
-4
=
8
Da u=
-10,5
< 1 ist u=
8
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -7 ) 2 +6 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 1.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
+0
∫
0
1
(
3
(
3x
-7
)
2
+6
)
ⅆ
x
=
1
[
1
3
(
3x
-7
)
3
+6x
]
0
1
=
1
3
⋅
(
3⋅1
-7
)
3
+6⋅1
- (
1
3
⋅
(
3⋅0
-7
)
3
+6⋅0
)
=
1
3
⋅
(
3
-7
)
3
+6
- (
1
3
⋅
( 0
-7
)
3
+0)
=
1
3
⋅
( -4 )
3
+6
- (
1
3
⋅
( -7 )
3
+0)
=
1
3
⋅( -64 )
+6
- (
1
3
⋅( -343 )
+0)
=
-
64
3
+6
- (
-
343
3
+0)
=
-
64
3
+
18
3
- (
-
343
3
+0)
=
-
46
3
+
343
3
=
99
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
1
2x
-3
ⅆ
x
=
∫
2
u
(
2x
-3
)
-1
ⅆ
x
=
[
1
2
ln(
|
2x
-3
|
)
]
2
u
=
1
2
ln(
|
2(
u
)
-3
|
)
-
1
2
ln(
|
2⋅2
-3
|
)
=
1
2
ln(
|
2u
-3
|
)
-
1
2
ln(
|
4
-3
|
)
=
1
2
ln(
|
2u
-3
|
)
-
1
2
ln(
1
)
=
1
2
ln(
|
2u
-3
|
)
+0
=
1
2
ln(
|
2x
-3
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
2
ln(
|
2x
-3
|
)
→
∞