Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,121
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 7 + = ≈ 7.12
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,028
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6
zusammen:
B = 10 + = ≈ 10.03
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
64
|
=
-8
|
| u2 |
= |
64
|
=
8
|
Da u=
-8
< 2 ist u=
8
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= cos( 2x + π) zwischen 1 2 π und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
3
2
π
cos(
2x
+ π)
ⅆ
x
=
1
π
[
1
2
⋅
sin(
2x
+ π)
]
1
2
π
3
2
π
=
1
π
·
(
1
2
⋅
sin(
2⋅(
3
2
π )
+ π)
-
1
2
⋅
sin(
2⋅(
1
2
π )
+ π)
)
=
1
π
·
(
1
2
⋅
sin(4π)
-
1
2
⋅
sin(2π)
)
=
1
π
·
(
1
2
⋅0
-
1
2
⋅0
)
=
1
π
·
(
0+0
)
=
1
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
1
u
e
x
-3
ⅆ
x
=
[
e
x
-3
]
1
u
=
e
u
-3
-
e
1
-3
=
e
u
-3
-
e
-2
Für u → ∞ gilt: A(u) =
e
u
-3
-
e
-2
→
∞