Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $15$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

15

:

\int_{7}^{15} \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{15} {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{15}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{15}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 27$

= $\frac{125}{3} - 9$

= $\frac{125}{3} - \frac{27}{3}$

= $\frac{98}{3}$

≈ 32,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

15

zusammen:

B = 17 + $\frac{98}{3}$ = $\frac{149}{3}$ ≈ 49.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 2)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{3}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 3 {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 2)}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 6 - 2)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 2)}$

= $- \frac{3}{2 (12 - 2)} + \frac{3}{2 (6 - 2)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 10} + \frac{3}{2 \cdot 4}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{10}) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{3}{20} + \frac{3}{8}$

= $- \frac{6}{40} + \frac{15}{40}$

= $\frac{9}{40}$

= 0,225

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 5 + $\frac{9}{40}$ = $\frac{209}{40}$ ≈ 5.23

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (10 x + 3) ⅆ x$ = $30,75$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (10 x + 3) ⅆ x

= ${[5 x^{2} + 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $5 u^{2} + 3 u - (5 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $5 u^{2} + 3 u - (5 \cdot 1 + 3)$

= $5 u^{2} + 3 u - (5 + 3)$

= $5 u^{2} + 3 u - 1 \cdot 8$

= $5 u^{2} + 3 u - 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $30,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} + 3 u - 8

=

30,75

|

- 30,75

$5 u^{2} + 3 u - 38,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 38,75)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 775}}{10}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{784}}{10}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{- 3+28}{10}$ = $\frac{25}{10}$ = $2,5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{- 3-28}{10}$ = $\frac{- 31}{10}$ = $- 3,1$

Da u= $- 3,1$ < 1 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- \cos (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - \frac{3}{2} π) + \cos (3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- \cos (3 π) + \cos (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- (- 1) + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 1$

= $\frac{2}{3 π}$

≈ 0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- 3 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 2 e^{- 3 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{- 3 x + 5}]}_{0}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} - \frac{2}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 5}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} - \frac{2}{3} e^{0 + 5}$

= $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} - \frac{2}{3} e^{5}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} e^{- 3 u + 5} - \frac{2}{3} e^{5}$ → $0 - \frac{2}{3} e^{5}$ = $- \frac{2}{3} e^{5}$ ≈ -98.942

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 98.942

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale