Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 5 e 2x -4 x

= [ 5 2 e 2x -4 ] 1 4

= 5 2 e 24 -4 - 5 2 e 21 -4

= 5 2 e 8 -4 - 5 2 e 2 -4

= 5 2 e 4 - 5 2 e -2


≈ 136,157
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 11 + 5 2 e 4 - 5 2 e -2 ≈ 147.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 3x -6 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:
4 5 6 3x -6 x
= 4 5 6 ( 3x -6 ) -1 x

= [ 2 ln( | 3x -6 | ) ] 4 5

= 2 ln( | 35 -6 | ) -2 ln( | 34 -6 | )

= 2 ln( | 15 -6 | ) -2 ln( | 12 -6 | )

= 2 ln( 9 ) -2 ln( | 12 -6 | )

= 2 ln( 9 ) -2 ln( 6 )


≈ 0,811
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:
B = 4 + 2 ln( | 9 | ) -2 ln( | 6 | ) ≈ 4.81

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( -4x +4 ) x = -110,5

Lösung einblenden
2 u ( -4x +4 ) x

= [ -2 x 2 +4x ] 2 u

= -2 u 2 +4u - ( -2 2 2 +42 )

= -2 u 2 +4u - ( -24 +8 )

= -2 u 2 +4u - ( -8 +8 )

= -2 u 2 +4u -1 · 0

= -2 u 2 +4u +0

= -2 u 2 +4u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -110,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 +4u = -110,5 | +110,5

-2 u 2 +4u +110,5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · ( -2 ) · 110,5 2( -2 )

u1,2 = -4 ± 16 +884 -4

u1,2 = -4 ± 900 -4

u1 = -4 + 900 -4 = -4 +30 -4 = 26 -4 = -6,5

u2 = -4 - 900 -4 = -4 -30 -4 = -34 -4 = 8,5

Da u= -6,5 < 2 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= sin( x - 1 2 π) zwischen 0 und 3 2 π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π sin( x - 1 2 π) x

= 2 3 π [ - cos( x - 1 2 π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( - cos( 3 2 π - 1 2 π) + cos( 0 - 1 2 π) )

= 2 3 π · ( - cos(π) + cos( - 1 2 π) )

= 2 3 π · ( -( -1 ) +0 )

= 2 3 π · ( 1 +0 )

= 2 3 π · 1

= 2 3 π


≈ 0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 22 3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 22 3 u 3 ( 3x -6 ) 3 x
= 22 3 u 3 ( 3x -6 ) - 3 2 x

= [ -2 ( 3x -6 ) - 1 2 ] 22 3 u

= [ - 2 3x -6 ] 22 3 u

= - 2 3u -6 + 2 3( 22 3 ) -6

= - 2 3u -6 + 2 22 -6

= - 2 3u -6 + 2 16

= - 2 3u -6 + 2 4

= - 2 3u -6 +2( 1 4 )

= - 2 3u -6 + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 2 3u -6 + 1 2 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5