Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 63 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
≈ 0,513
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 63 +
≈ 63.51
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 20 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
49
|
=
-7
|
| u2 |
= |
49
|
=
7
|
Da u=
-7
< 0 ist u=
7
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -2 ) 2 +4x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
+0
∫
0
1
(
2
(
x
-2
)
2
+4x
)
ⅆ
x
=
1
[
2
3
(
x
-2
)
3
+2
x
2
]
0
1
=
2
3
⋅
(
1
-2
)
3
+2⋅
1
2
- (
2
3
⋅
( 0
-2
)
3
+2⋅
0
2
)
=
2
3
⋅
( -1 )
3
+2⋅1
- (
2
3
⋅
( -2 )
3
+2⋅0
)
=
2
3
⋅( -1 )
+2
- (
2
3
⋅( -8 )
+0)
=
-
2
3
+2
- (
-
16
3
+0)
=
-
2
3
+
6
3
- (
-
16
3
+0)
=
4
3
+
16
3
=
20
3
≈ 6,667
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
5
u
-
3
-x
+3
ⅆ
x
=
∫
5
u
-3
(
-x
+3
)
-1
ⅆ
x
=
[
3
ln(
|
-x
+3
|
)
]
5
u
=
3
ln(
|
-(
u
)
+3
|
)
-3
ln(
|
-5
+3
|
)
=
3
ln(
|
-u
+3
|
)
-3
ln(
|
-5
+3
|
)
=
3
ln(
|
-u
+3
|
)
-3
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-3
ln(
2
)
+3
ln(
|
-x
+3
|
)
→
∞