Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
=
=
=
≈ 10,332
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3
zusammen:
B = 73 +
≈ 83.33
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
5
ln(
|
6
-2
|
)
-5
ln(
|
3
-2
|
)
=
5
ln(
4
)
-5
ln(
|
3
-2
|
)
=
5
ln(
4
)
-5
ln(
1
)
=
5
ln(
4
)
+0
=
5
ln(
4
)
≈ 6,931
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 11 +
5
ln(
4
)
≈ 17.93
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass ∫ 1 u ( -8x +2 ) ⅆ x = -130
Lösung einblenden
∫
1
u
(
-8x
+2
)
ⅆ
x
=
[
-4
x
2
+2x
]
1
u
=
-4
u
2
+2u
- (
-4⋅
1
2
+2⋅1
)
=
-4
u
2
+2u
- (
-4⋅1
+2
)
=
-4
u
2
+2u
- (
-4
+2
)
=
-4
u
2
+2u
-1
·
(
-2
)
=
-4
u
2
+2u
+2
|
-4
u
2
+2u
+2
|
= |
-130
|
|
+130
|
|
-4
u
2
+2u
+132
|
= |
0 |
|:2 |
-2
u
2
+ u
+66
= 0
u1,2 =
-1 ±
1
2
-4 ·
(
-2
)
·
66
2⋅( -2 )
u1,2 =
-1 ±
1
+528
-4
u1,2 =
-1 ±
529
-4
u1 =
-1
+
529
-4
=
-1
+23
-4
=
22
-4
=
-5,5
u2 =
-1
-
529
-4
=
-1
-23
-4
=
-24
-4
=
6
Da u=
-5,5
< 1 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 3x -4 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-2
∫
2
4
2
3x
-4
ⅆ
x
=
1
2
∫
2
4
2
(
3x
-4
)
-1
ⅆ
x
=
1
2
[
2
3
ln(
|
3x
-4
|
)
]
2
4
=
1
2
(
2
3
ln(
|
3⋅4
-4
|
)
-
2
3
ln(
|
3⋅2
-4
|
)
)
=
1
2
(
2
3
ln(
|
12
-4
|
)
-
2
3
ln(
|
6
-4
|
)
)
=
1
2
(
2
3
ln(
8
)
-
2
3
ln(
|
6
-4
|
)
)
=
1
2
(
2
3
ln(
8
)
-
2
3
ln(
2
)
)
≈ 0,462
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
5
u
-
2
x
-3
ⅆ
x
=
∫
5
u
-2
(
x
-3
)
-1
ⅆ
x
=
[
-2
ln(
|
x
-3
|
)
]
5
u
=
-2
ln(
|
u
-3
|
)
+2
ln(
|
5
-3
|
)
=
-2
ln(
|
u
-3
|
)
+2
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
ln(
2
)
-2
ln(
|
x
-3
|
)
→
∞