zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 16 3 s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 32 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 16 3 und 32 3 :
∫ 16 3 32 3 5 3x -7 ⅆ x
= ∫ 16 3 32 3 5 ( 3x -7 ) 1 2 ⅆ x

= [ 10 9 ( 3x -7 ) 3 2 ] 16 3 32 3

= [ 10 9 ( 3x -7 ) 3 ] 16 3 32 3

= 10 9 ( 3⋅( 32 3 ) -7 ) 3 - 10 9 ( 3⋅( 16 3 ) -7 ) 3

= 10 9 ( 32 -7 ) 3 - 10 9 ( 16 -7 ) 3

= 10 9 ( 25 ) 3 - 10 9 ( 9 ) 3

= 10 9 ⋅ 5 3 - 10 9 ⋅ 3 3

= 10 9 ⋅125 - 10 9 ⋅27

= 1250 9 -30

= 1250 9 - 270 9

= 980 9


≈ 108,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 16 3 und der Änderung zwischen 16 3 und 32 3 zusammen:
B = 3 + 980 9 = 1007 9 ≈ 111.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 1 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
∫ 3 6 1 2x -4 ⅆ x
= ∫ 3 6 ( 2x -4 ) -1 ⅆ x

= [ 1 2 ln( | 2x -4 | ) ] 3 6

= 1 2 ln( | 2⋅6 -4 | ) - 1 2 ln( | 2⋅3 -4 | )

= 1 2 ln( | 12 -4 | ) - 1 2 ln( | 6 -4 | )

= 1 2 ln( 8 ) - 1 2 ln( | 6 -4 | )

= 1 2 ln( 8 ) - 1 2 ln( 2 )


≈ 0,693
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 8 + 1 2 ln( | 8 | ) - 1 2 ln( | 2 | ) ≈ 8.69

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 0,9 e 0,1x -0,6 ⅆ x = 7

Lösung einblenden
∫ 0 u 0,9 e 0,1x -0,6 ⅆ x

= [ 9 e 0,1x -0,6 ] 0 u

= 9 e 0,1u -0,6 -9 e 0,1⋅0 -0,6

= 9 e 0,1u -0,6 -9 e 0 -0,6

= 9 e 0,1u -0,6 -9 e -0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

9 e 0,1u -0,6 -9 e -0,6 = 7 | +9 e -0,6
9 e 0,1u -0,6 = 9 e -0,6 +7
9 e 0,1u -0,6 = 11,9393 |:9
e 0,1u -0,6 = 1,3266 |ln(⋅)
0,1u -0,6 = ln( 1,3266 )
0,1u -0,6 = 0,2826 | +0,6
0,1u = 0,8826 |:0,1
u = 8,826

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2⋅ cos( 2x + π) zwischen 0 und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 ∫ 0 3 2 π 2⋅ cos( 2x + π) ⅆ x

= 2 3 π [ sin( 2x + π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( sin( 2⋅( 3 2 π ) + π) - sin( 2⋅( 0 ) + π) )

= 2 3 π · ( sin(4π) - sin(π) )

= 2 3 π · ( 0 - 0 )

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( x -1 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 3 u 1 ( x -1 ) 2 ⅆ x
= ∫ 3 u ( x -1 ) -2 ⅆ x

= [ - ( x -1 ) -1 ] 3 u

= [ - 1 x -1 ] 3 u

= - 1 u -1 + 1 3 -1

= - 1 u -1 + 1 2

= - 1 u -1 + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 u -1 + 1 2 → 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5