Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $7$ s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{21}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

7

und

\frac{21}{2}

:

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 3 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 3 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3}$

= ${(\sqrt{21 - 5})}^{3} - {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3} - {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4^{3} - 3^{3}$

= $64 - 27$

= $37$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

7

und der Änderung zwischen

7

und

\frac{21}{2}

zusammen:

B = 8 + $37$ = $45$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{4 - 1} - 2 e^{2 - 1}$

= $2 e^{3} - 2 e^{1}$

= $2 e^{3} - 2 e$

≈ 34,735

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 23 + $2 e^{3} - 2 e$ ≈ 57.73

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (8 x + 4) ⅆ x$ = $48$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (8 x + 4) ⅆ x

= ${[4 x^{2} + 4 x]}_{0}^{u}$

$=$ $4 u^{2} + 4 u - (4 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0)$

= $4 u^{2} + 4 u - (4 \cdot 0 + 0)$

= $4 u^{2} + 4 u - (0 + 0)$

= $4 u^{2} + 4 u + 0$

= $4 u^{2} + 4 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $48$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} + 4 u

=

48

|

- 48

4 u^{2} + 4 u - 48

= 0 |:4

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Da u= $- 4$ < 0 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 7}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{16}{3}$ und Minute $\frac{32}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{32}{3} - \frac{16}{3}}

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 3 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{3}{16}

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 3 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16 - 7})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{3} - 18)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{3} - \frac{54}{3})$

= $\frac{3}{16} \cdot \frac{196}{3}$

= $\frac{49}{4}$

= 12,25

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{{(- x + 1)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{3}{{(- x + 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 3 {(- x + 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 3 {(- x + 1)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{3}{- x + 1}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{- u + 1} + \frac{3}{- 3 + 1}$

= $- \frac{3}{- u + 1} + \frac{3}{(- 2)}$

= $- \frac{3}{- u + 1} + 3 \cdot (- \frac{1}{2})$

= $- \frac{3}{- u + 1} - \frac{3}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{- u + 1} - \frac{3}{2}$ → $0 - \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale