Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 55 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 2 - 3} - 2 e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $2 e^{6 - 3} - 2 e^{3 - 3}$

= $2 e^{3} - 2 e^{0}$

= $2 e^{3} - 2$

≈ 38,171

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 55 + $2 e^{3} - 2$ ≈ 93.17

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{2 x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 5 - 2} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{10 - 2} - \frac{1}{2} e^{4 - 2}$

= $\frac{1}{2} e^{8} - \frac{1}{2} e^{2}$

≈ 1486,784

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 16 + $\frac{1}{2} e^{8} - \frac{1}{2} e^{2}$ ≈ 1502.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 8 x + 3) ⅆ x$ = $- 201,5$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 8 x + 3) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 3 u - (- 4 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $- 4 u^{2} + 3 u - (- 4 \cdot 1 + 3)$

= $- 4 u^{2} + 3 u - (- 4 + 3)$

= $- 4 u^{2} + 3 u - 1 \cdot (- 1)$

= $- 4 u^{2} + 3 u + 1$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 201,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + 3 u + 1

=

- 201,5

|

+ 201,5

$- 4 u^{2} + 3 u + 202,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 202,5}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 240}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3 249}}{- 8}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{3 249}}{- 8}$ = $\frac{- 3+57}{- 8}$ = $\frac{54}{- 8}$ = $- 6,75$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{3 249}}{- 8}$ = $\frac{- 3-57}{- 8}$ = $\frac{- 60}{- 8}$ = $7,5$

Da u= $- 6,75$ < 1 ist u= $7,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 1}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{17}{2}$ und Minute $13$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{13 - \frac{17}{2}}

\int_{\frac{17}{2}}^{13} \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\frac{2}{9}

\int_{\frac{17}{2}}^{13} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{17}{2}}^{13}$

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{17}{2}}^{13}$

$=$ $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{17}{2}) - 1})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

= $\frac{2}{9} (\frac{125}{3} - \frac{64}{3})$

= $\frac{2}{9} \cdot \frac{61}{3}$

= $\frac{122}{27}$

≈ 4,519

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{3}{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 3 {(- x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 3 \ln (| - x + 2 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- 3 \ln (| - (u) + 2 |) + 3 \ln (| - 4 + 2 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 2 |) + 3 \ln (| - 4 + 2 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 2 |) + 3 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (2) - 3 \ln (| - x + 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale