Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 80 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 4} - e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $e^{6 - 4} - e^{4 - 4}$

= $e^{2} - e^{0}$

= $e^{2} - 1$

≈ 6,389

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 80 + $e^{2} - 1$ ≈ 86.39

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 7)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{4}{{(3 x - 7)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 4 {(3 x - 7)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 7)}^{- 1}]}_{4}^{5}$

= ${[- \frac{4}{3 (3 x - 7)}]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{4}{3 (3 \cdot 5 - 7)} + \frac{4}{3 (3 \cdot 4 - 7)}$

= $- \frac{4}{3 (15 - 7)} + \frac{4}{3 (12 - 7)}$

= $- \frac{4}{3 \cdot 8} + \frac{4}{3 \cdot 5}$

= $- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{5})$

= $- \frac{1}{6} + \frac{4}{15}$

= $- \frac{5}{30} + \frac{8}{30}$

= $\frac{1}{10}$

= 0,1

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 7 + $\frac{1}{10}$ = $\frac{71}{10}$ ≈ 7.1

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,9 x - 0,6} ⅆ x$ = $13$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,8 e^{0,9 x - 0,6} ⅆ x

= ${[2 e^{0,9 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,9 u - 0,6} - 2 e^{0,9 \cdot 0 - 0,6}$

= $2 e^{0,9 u - 0,6} - 2 e^{0 - 0,6}$

= $2 e^{0,9 u - 0,6} - 2 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $13$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,9 u - 0,6} - 2 e^{- 0,6}$	=	$13$	\| $+ 2 e^{- 0,6}$
$2 e^{0,9 u - 0,6}$	=	$2 e^{- 0,6} + 13$
$2 e^{0,9 u - 0,6}$	=	$14,0976$	\|: $2$
$e^{0,9 u - 0,6}$	=	$7,0488$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,6$	=	$\ln (7,0488)$

$0,9 u - 0,6$	=	$1,9529$	\| $+ 0,6$
$0,9 u$	=	$2,5529$	\|: $0,9$
$u$	=	$2,8366$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ zwischen 2 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} 3 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= $1$ ${[- 3 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{3}$

= $1$ ${[- \frac{3}{x - 1}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{3 - 1} + \frac{3}{2 - 1}$

= $- \frac{3}{2} + \frac{3}{1}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{2}) + 3 \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} + 3$

= $- 1,5 + 3$

= $1,5$

= 1,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{\sqrt{2 x - 3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{7}{2}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{7}{2}}^{u} - \frac{2}{\sqrt{2 x - 3}} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{2}}^{u} - 2 {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{u}$

= ${[- 2 \sqrt{2 x - 3}]}_{\frac{7}{2}}^{u}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 u - 3} + 2 \sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3}$

= $- 2 \sqrt{2 u - 3} + 2 \sqrt{7 - 3}$

= $- 2 \sqrt{2 u - 3} + 2 \sqrt{4}$

= $- 2 \sqrt{2 u - 3} + 2 \cdot 2$

= $- 2 \sqrt{2 u - 3} + 4$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{2 u - 3} + 4$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale