Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 6 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 3 - 3} - 2 e^{3 \cdot 2 - 3}$

= $2 e^{9 - 3} - 2 e^{6 - 3}$

= $2 e^{6} - 2 e^{3}$

≈ 766,687

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 25 + $2 e^{6} - 2 e^{3}$ ≈ 791.69

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 6 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 3 - 3} - 3 e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $3 e^{6 - 3} - 3 e^{2 - 3}$

= $3 e^{3} - 3 e^{- 1}$

≈ 59,153

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 46 + $3 e^{3} - 3 e^{- 1}$ ≈ 105.15

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 45$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 0^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 0$

= $- 5 u^{2} + 0$

= $- 5 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 45$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2}$	=	$- 45$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
u₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Da u= $- 3$ < 0 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \cos (x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 6 \cdot \cos (x + π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[6 \cdot \sin (x + π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π + π) - 6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π + π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (6 \cdot \sin (\frac{5}{2} π) - 6 \cdot \sin (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (6 \cdot 1 - 6 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (6 + 6)$

= $\frac{1}{π} \cdot 12$

= $\frac{12}{π}$

≈ 3,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 2 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 1}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{- u + 1} - 2 e^{- 0 + 1}$

= $2 e^{- u + 1} - 2 e^{1}$

= $2 e^{- u + 1} - 2 e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 e^{- u + 1} - 2 e$ → $0 - 2 e$ = $- 2 e$ ≈ -5.437

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 5.437

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale