Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{9 - 4} - \frac{1}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{2}$

≈ 47,008

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 7 + $\frac{1}{3} e^{5} - \frac{1}{3} e^{2}$ ≈ 54.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 3} - 3 e^{2 - 3}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 1}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 16 + $- 3 e^{- 1} + 3 e$ ≈ 23.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (2 x - 1) ⅆ x$ = $24,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (2 x - 1) ⅆ x

= ${[x^{2} - x]}_{0}^{u}$

$=$ $u^{2} - u - (0^{2} - 0)$

= $u^{2} - u - (0 + 0)$

= $u^{2} - u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $24,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} - u

=

24,75

|

- 24,75

$u^{2} - u - 24,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24,75)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 99}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{1+10}{2}$ = $\frac{11}{2}$ = $5,5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{1-10}{2}$ = $\frac{- 9}{2}$ = $- 4,5$

Da u= $- 4,5$ < 0 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{2 x - 4}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 4}

\int_{4}^{5} \frac{6}{2 x - 4} ⅆ x

=

1

\int_{4}^{5} 6 {(2 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[3 \ln (| 2 x - 4 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $3 \ln (| 2 \cdot 5 - 4 |) - 3 \ln (| 2 \cdot 4 - 4 |)$

= $3 \ln (| 10 - 4 |) - 3 \ln (| 8 - 4 |)$

= $3 \ln (6) - 3 \ln (| 8 - 4 |)$

= $3 \ln (6) - 3 \ln (4)$

≈ 1,216

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{x - 1}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[- 2 e^{x - 1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 e^{u - 1} + 2 e^{0 - 1}$

= $- 2 e^{u - 1} + 2 e^{- 1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 e^{u - 1} + 2 e^{- 1}$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale