Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{3 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 6 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 3 - 5} - 2 e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $2 e^{9 - 5} - 2 e^{3 - 5}$

= $2 e^{4} - 2 e^{- 2}$

≈ 108,926

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 4 + $2 e^{4} - 2 e^{- 2}$ ≈ 112.93

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 7:

\int_{5}^{7} \frac{4}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{5}^{7} 4 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[4 \ln (| x - 3 |)]}_{5}^{7}$

$=$ $4 \ln (| 7 - 3 |) - 4 \ln (| 5 - 3 |)$

= $4 \ln (4) - 4 \ln (| 5 - 3 |)$

= $4 \ln (4) - 4 \ln (2)$

≈ 2,773

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 7 zusammen:

B = 16 + $4 \ln (| 4 |) - 4 \ln (| 2 |)$ ≈ 18.77

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (8 x - 2) ⅆ x$ = $40$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (8 x - 2) ⅆ x

= ${[4 x^{2} - 2 x]}_{1}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 2 u - (4 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1)$

= $4 u^{2} - 2 u - (4 \cdot 1 - 2)$

= $4 u^{2} - 2 u - (4 - 2)$

= $4 u^{2} - 2 u - 1 \cdot 2$

= $4 u^{2} - 2 u - 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $40$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} - 2 u - 2

=

40

|

- 40

4 u^{2} - 2 u - 42

= 0 |:2

$2 u^{2} - u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{1+13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{1-13}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Da u= $- 3$ < 1 ist u= $3,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 e^{2 x - 5}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 e^{2 x - 5} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[e^{2 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (e^{2 \cdot 3 - 5} - e^{2 \cdot 0 - 5})$

= $\frac{1}{3} (e^{6 - 5} - e^{0 - 5})$

= $\frac{1}{3} (e^{1} - e^{- 5})$

= $\frac{1}{3} (e - e^{- 5})$

= $\frac{1}{3} (- e^{- 5} + e)$

≈ 0,904

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- 2 x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - 3 e^{- 2 x + 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 2}]}_{1}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 2}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{- 2 + 2}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 2} - \frac{3}{2}$ → $0 - \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale