Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 5 - 4} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{1}{2} e^{10 - 4} - \frac{1}{2} e^{4 - 4}$

= $\frac{1}{2} e^{6} - \frac{1}{2} e^{0}$

= $\frac{1}{2} e^{6} - \frac{1}{2}$

≈ 201,214

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 60 + $\frac{1}{2} e^{6} - \frac{1}{2}$ ≈ 261.21

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 5 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 3}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 4 - 3} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{8 - 3} - \frac{5}{2} e^{2 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{5} - \frac{5}{2} e^{- 1}$

≈ 370,113

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 60 + $\frac{5}{2} e^{5} - \frac{5}{2} e^{- 1}$ ≈ 430.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 6,3 e^{- 0,7 x + 0,4} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 6,3 e^{- 0,7 x + 0,4} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,7 x + 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,7 u + 0,4} + 9 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,4}$

= $- 9 e^{- 0,7 u + 0,4} + 9 e^{0 + 0,4}$

= $- 9 e^{- 0,7 u + 0,4} + 9 e^{0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,7 u + 0,4} + 9 e^{0,4}$	=	$3$	\| $- 9 e^{0,4}$
$- 9 e^{- 0,7 u + 0,4}$	=	$- 9 e^{0,4} + 3$
$- 9 e^{- 0,7 u + 0,4}$	=	$- 10,4264$	\|: $- 9$
$e^{- 0,7 u + 0,4}$	=	$1,1585$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,4$	=	$\ln (1,1585)$

$- 0,7 u + 0,4$	=	$0,1471$	\| $- 0,4$
$- 0,7 u$	=	$- 0,2529$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,3613$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 {(3 x - 4)}^{2} + 4 x$ zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 1}

\int_{1}^{3} (3 {(3 x - 4)}^{2} + 4 x) ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{3} {(3 x - 4)}^{3} + 2 x^{2}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 3 - 4)}^{3} + 2 \cdot 3^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(3 \cdot 1 - 4)}^{3} + 2 \cdot 1^{2}))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot {(9 - 4)}^{3} + 2 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot {(3 - 4)}^{3} + 2 \cdot 1))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} + 18 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 2))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 125 + 18 - (\frac{1}{3} \cdot (- 1) + 2))$

= $\frac{1}{2} (\frac{125}{3} + 18 - (- \frac{1}{3} + 2))$

= $\frac{1}{2} (\frac{125}{3} + \frac{54}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{6}{3}))$

= $\frac{1}{2} (\frac{179}{3} - 1 \cdot \frac{5}{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{179}{3} - \frac{5}{3})$

= $\frac{1}{2} \cdot 58$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{- 3 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{- 3 x + 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- 3 x + 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| - 3 x + 5 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \ln (| - 3 (u) + 5 |) + \ln (| - 3 \cdot 3 + 5 |)$

= $- \ln (| - 3 u + 5 |) + \ln (| - 9 + 5 |)$

= $- \ln (| - 3 u + 5 |) + \ln (4)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (4) - \ln (| - 3 x + 5 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

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Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale