Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e 3x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 6 e 3x -3 x

= [ 2 e 3x -3 ] 0 2

= 2 e 32 -3 -2 e 30 -3

= 2 e 6 -3 -2 e 0 -3

= 2 e 3 -2 e -3


≈ 40,071
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 16 + 2 e 3 -2 e -3 ≈ 56.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 2x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 5 e 2x -2 x

= [ 5 2 e 2x -2 ] 1 3

= 5 2 e 23 -2 - 5 2 e 21 -2

= 5 2 e 6 -2 - 5 2 e 2 -2

= 5 2 e 4 - 5 2 e 0

= 5 2 e 4 - 5 2


≈ 133,995
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 7 + 5 2 e 4 - 5 2 ≈ 141

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u -2x x = -63,25

Lösung einblenden
3 u -2x x

= [ - x 2 ] 3 u

= - u 2 + 3 2

= - u 2 + 9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -63,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u 2 +9 = -63,25 | -9
- u 2 = -72,25 |: ( -1 )
u 2 = 72,25 | 2
u1 = - 72,25 = -8,5
u2 = 72,25 = 8,5

Da u= -8,5 < 3 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -3 ) 2 +3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 ( 2 ( x -3 ) 2 +3 ) x

= 1 3 [ 2 3 ( x -3 ) 3 +3x ] 0 3

= 1 3 ( 2 3 ( 3 -3 ) 3 +33 - ( 2 3 ( 0 -3 ) 3 +30 ))

= 1 3 ( 2 3 0 3 +9 - ( 2 3 ( -3 ) 3 +0))

= 1 3 ( 2 3 0 +9 - ( 2 3 ( -27 ) +0))

= 1 3 (0 +9 - ( -18 +0))

= 1 3 ( 9 +18 )

= 1 3 · 27

= 9

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 3 2x -4 x
= 4 u -3 ( 2x -4 ) -1 x

= [ - 3 2 ln( | 2x -4 | ) ] 4 u

= - 3 2 ln( | 2( u ) -4 | ) + 3 2 ln( | 24 -4 | )

= - 3 2 ln( | 2u -4 | ) + 3 2 ln( | 8 -4 | )

= - 3 2 ln( | 2u -4 | ) + 3 2 ln( 4 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2 ln( 4 ) - 3 2 ln( | 2x -4 | )