Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{0}^{3}$

$=$ $3 e^{3 - 1} - 3 e^{0 - 1}$

= $3 e^{2} - 3 e^{- 1}$

≈ 21,064

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 18 + $3 e^{2} - 3 e^{- 1}$ ≈ 39.06

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{14}{3}$ s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $7$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{14}{3}

und

7

:

\int_{\frac{14}{3}}^{7} 3 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{14}{3}}^{7} 3 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{14}{3}}^{7}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{\frac{14}{3}}^{7}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{128}{3} - 18$

= $\frac{128}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{74}{3}$

≈ 24,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{14}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{14}{3}

und

7

zusammen:

B = 7 + $\frac{74}{3}$ = $\frac{95}{3}$ ≈ 31.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4 e^{0,5 x - 0,3} ⅆ x$ = $11$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4 e^{0,5 x - 0,3} ⅆ x

= ${[8 e^{0,5 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,5 u - 0,3} - 8 e^{0,5 \cdot 0 - 0,3}$

= $8 e^{0,5 u - 0,3} - 8 e^{0 - 0,3}$

= $8 e^{0,5 u - 0,3} - 8 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $11$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,5 u - 0,3} - 8 e^{- 0,3}$	=	$11$	\| $+ 8 e^{- 0,3}$
$8 e^{0,5 u - 0,3}$	=	$8 e^{- 0,3} + 11$
$8 e^{0,5 u - 0,3}$	=	$16,9265$	\|: $8$
$e^{0,5 u - 0,3}$	=	$2,1158$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,3$	=	$\ln (2,1158)$

$0,5 u - 0,3$	=	$0,7494$	\| $+ 0,3$
$0,5 u$	=	$1,0494$	\|: $0,5$
$u$	=	$2,0988$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 5}$ zwischen $\frac{21}{2}$ und $15$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{15 - \frac{21}{2}}

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 2 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\frac{2}{9}

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{2}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64)$

= $\frac{2}{9} (\frac{250}{3} - \frac{128}{3})$

= $\frac{2}{9} \cdot \frac{122}{3}$

= $\frac{244}{27}$

≈ 9,037

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{- 2 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} - 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{1}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 1 + 5}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{3}{2} e^{- 2 + 5}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{3}{2} e^{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} - \frac{3}{2} e^{3}$ → $0 - \frac{3}{2} e^{3}$ = $- \frac{3}{2} e^{3}$ ≈ -30.128

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 30.128

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale