Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{7}{3}$ s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{19}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{7}{3}

und

\frac{19}{3}

:

\int_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}} 4 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}} 4 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{3}}^{\frac{19}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{7}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 4^{3} - \frac{8}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 64 - \frac{8}{9} \cdot 8$

= $\frac{512}{9} - \frac{64}{9}$

= $\frac{448}{9}$

≈ 49,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{7}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{7}{3}

und

\frac{19}{3}

zusammen:

B = 8 + $\frac{448}{9}$ = $\frac{520}{9}$ ≈ 57.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 50 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 2}]}_{1}^{4}$

$=$ $e^{2 \cdot 4 - 2} - e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $e^{8 - 2} - e^{2 - 2}$

= $e^{6} - e^{0}$

= $e^{6} - 1$

≈ 402,429

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 50 + $e^{6} - 1$ ≈ 452.43

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 8 x ⅆ x$ = $405$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 8 x ⅆ x

= ${[4 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 4 \cdot 3^{2}$

= $4 u^{2} - 4 \cdot 9$

= $4 u^{2} - 36$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $405$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 u^{2} - 36$	=	$405$	\| $+ 36$
$4 u^{2}$	=	$441$	\|: $4$
$u^{2}$	=	$\frac{441}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{\frac{441}{4}}$	= $- \frac{21}{2}$
u₂	=	$\sqrt{\frac{441}{4}}$	= $\frac{21}{2}$

Da u= $- \frac{21}{2}$ < 3 ist u= $\frac{21}{2}$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \sin (x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- 5 \cdot \cos (x + π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π + π) + 5 \cdot \cos (0 + π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 5 \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + 5 \cdot \cos (π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 5 \cdot 0 + 5 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (0 - 5)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 5)$

= $- \frac{10}{3 π}$

≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} - \frac{2}{- x + 3} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} - 2 {(- x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| - x + 3 |)]}_{5}^{u}$

$=$ $2 \ln (| - (u) + 3 |) - 2 \ln (| - 5 + 3 |)$

= $2 \ln (| - u + 3 |) - 2 \ln (| - 5 + 3 |)$

= $2 \ln (| - u + 3 |) - 2 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \ln (2) + 2 \ln (| - x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale