Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e x -2 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 68 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 6 e x -2 x

= [ 6 e x -2 ] 1 3

= 6 e 3 -2 -6 e 1 -2

= 6 e 1 -6 e -1

= 6e -6 e -1


≈ 14,102
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 68 + -6 e -1 +6e ≈ 82.1

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 6 x -3 x
= 19 28 6 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 4 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 4 ( 28 -3 ) 3 -4 ( 19 -3 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 16 ) 3

= 4 5 3 -4 4 3

= 4125 -464

= 500 -256

= 244

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 10 + 244 = 254

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u -8x x = -28

Lösung einblenden
3 u -8x x

= [ -4 x 2 ] 3 u

= -4 u 2 +4 3 2

= -4 u 2 +49

= -4 u 2 +36

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -28 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 +36 = -28 | -36
-4 u 2 = -64 |: ( -4 )
u 2 = 16 | 2
u1 = - 16 = -4
u2 = 16 = 4

Da u= -4 < 3 ist u= 4 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 3x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 2 3x -3 x
= 1 2 3 5 2 ( 3x -3 ) -1 x

= 1 2 [ 2 3 ln( | 3x -3 | ) ] 3 5

= 1 2 ( 2 3 ln( | 35 -3 | ) - 2 3 ln( | 33 -3 | ) )

= 1 2 ( 2 3 ln( | 15 -3 | ) - 2 3 ln( | 9 -3 | ) )

= 1 2 ( 2 3 ln( 12 ) - 2 3 ln( | 9 -3 | ) )

= 1 2 ( 2 3 ln( 12 ) - 2 3 ln( 6 ) )


≈ 0,231

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 3 ( 3x -3 ) 3 x
= 3 u 3 ( 3x -3 ) -3 x

= [ - 1 2 ( 3x -3 ) -2 ] 3 u

= [ - 1 2 ( 3x -3 ) 2 ] 3 u

= - 1 2 ( 3u -3 ) 2 + 1 2 ( 33 -3 ) 2

= - 1 2 ( 3u -3 ) 2 + 1 2 ( 9 -3 ) 2

= - 1 2 ( 3u -3 ) 2 + 1 2 6 2

= - 1 2 ( 3u -3 ) 2 + 1 2 ( 1 36 )

= - 1 2 ( 3u -3 ) 2 + 1 72

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ( 3u -3 ) 2 + 1 72 0 + 1 72 = 1 72 ≈ 0.014

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.014