Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 45 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 4 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $4 e^{2 - 3} - 4 e^{0 - 3}$

= $4 e^{- 1} - 4 e^{- 3}$

≈ 1,272

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 45 + $4 e^{- 1} - 4 e^{- 3}$ ≈ 46.27

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{2}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 2 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 2 |)]}_{4}^{6}$

$=$ $2 \ln (| 6 - 2 |) - 2 \ln (| 4 - 2 |)$

= $2 \ln (4) - 2 \ln (| 4 - 2 |)$

= $2 \ln (4) - 2 \ln (2)$

≈ 1,386

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 13 + $2 \ln (| 4 |) - 2 \ln (| 2 |)$ ≈ 14.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,8 e^{- 0,7 x + 0,5} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,8 e^{- 0,7 x + 0,5} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,7 x + 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,7 u + 0,5} + 4 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,5}$

= $- 4 e^{- 0,7 u + 0,5} + 4 e^{0 + 0,5}$

= $- 4 e^{- 0,7 u + 0,5} + 4 e^{0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,7 u + 0,5} + 4 e^{0,5}$	=	$1$	\| $- 4 e^{0,5}$
$- 4 e^{- 0,7 u + 0,5}$	=	$- 4 e^{0,5} + 1$
$- 4 e^{- 0,7 u + 0,5}$	=	$- 5,5949$	\|: $- 4$
$e^{- 0,7 u + 0,5}$	=	$1,3987$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,5$	=	$\ln (1,3987)$

$- 0,7 u + 0,5$	=	$0,3355$	\| $- 0,5$
$- 0,7 u$	=	$- 0,1645$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,235$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 5)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 7.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{7 - 4}

\int_{4}^{7} \frac{5}{{(2 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{4}^{7} 5 {(2 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{5}{2} {(2 x - 5)}^{- 1}]}_{4}^{7}$

= $\frac{1}{3}$ ${[- \frac{5}{2 (2 x - 5)}]}_{4}^{7}$

$=$ $\frac{1}{3} (- \frac{5}{2 (2 \cdot 7 - 5)} + \frac{5}{2 (2 \cdot 4 - 5)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{2 (14 - 5)} + \frac{5}{2 (8 - 5)})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{2 \cdot 9} + \frac{5}{2 \cdot 3})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{3}))$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{18} + \frac{5}{6})$

= $\frac{1}{3} (- \frac{5}{18} + \frac{15}{18})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{9}$

= $\frac{5}{27}$

≈ 0,185

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| - x + 1 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $2 \ln (| - (u) + 1 |) - 2 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $2 \ln (| - u + 1 |) - 2 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $2 \ln (| - u + 1 |) - 2 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \ln (2) + 2 \ln (| - x + 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale