Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e 3x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 60 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 2 e 3x -3 x

= [ 2 3 e 3x -3 ] 2 5

= 2 3 e 35 -3 - 2 3 e 32 -3

= 2 3 e 15 -3 - 2 3 e 6 -3

= 2 3 e 12 - 2 3 e 3


≈ 108489,804
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 60 + 2 3 e 12 - 2 3 e 3 ≈ 108549.8

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= e 3x -7 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 e 3x -7 x

= [ 1 3 e 3x -7 ] 1 2

= 1 3 e 32 -7 - 1 3 e 31 -7

= 1 3 e 6 -7 - 1 3 e 3 -7

= 1 3 e -1 - 1 3 e -4


≈ 0,117
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 3 + 1 3 e -1 - 1 3 e -4 ≈ 3.12

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( -2x -1 ) x = -33,75

Lösung einblenden
1 u ( -2x -1 ) x

= [ - x 2 - x ] 1 u

= - u 2 - u - ( - 1 2 - 1 )

= - u 2 - u - ( -1 -1 )

= - u 2 - u +1 +1

= - u 2 - u +2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -33,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u 2 - u +2 = -33,75 | +33,75

- u 2 - u +35,75 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · ( -1 ) · 35,75 2( -1 )

u1,2 = +1 ± 1 +143 -2

u1,2 = +1 ± 144 -2

u1 = 1 + 144 -2 = 1 +12 -2 = 13 -2 = -6,5

u2 = 1 - 144 -2 = 1 -12 -2 = -11 -2 = 5,5

Da u= -6,5 < 1 ist u= 5,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 e x -3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 +0 0 1 6 e x -3 x

= 1 [ 6 e x -3 ] 0 1

= 6 e 1 -3 -6 e 0 -3

= 6 e -2 -6 e -3


≈ 0,513

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 e -3x +7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 2 e -3x +7 x

= [ - 2 3 e -3x +7 ] 2 u

= - 2 3 e -3u +7 + 2 3 e -32 +7

= - 2 3 e -3u +7 + 2 3 e -6 +7

= - 2 3 e -3u +7 + 2 3 e 1

= - 2 3 e -3u +7 + 2 3 e

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 2 3 e -3u +7 + 2 3 e 0 + 2 3 e = 2 3 e ≈ 1.812

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.812