Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $18$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $27$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

18

und

27

:

\int_{18}^{27} 3 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{18}^{27} 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{18}^{27}$

= ${[2 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{18}^{27}$

$=$ $2 {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - 2 {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

18

und der Änderung zwischen

18

und

27

zusammen:

B = 18 + $122$ = $140$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:

\int_{3}^{4} \frac{4}{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{4} 4 {(3 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \ln (| 3 x - 5 |)]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 5 |) - \frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 5 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (| 12 - 5 |) - \frac{4}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (7) - \frac{4}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (7) - \frac{4}{3} \ln (4)$

≈ 0,746

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:

B = 13 + $\frac{4}{3} \ln (| 7 |) - \frac{4}{3} \ln (| 4 |)$ ≈ 13.75

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (10 x - 2) ⅆ x$ = $33$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (10 x - 2) ⅆ x

= ${[5 x^{2} - 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $5 u^{2} - 2 u - (5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3)$

= $5 u^{2} - 2 u - (5 \cdot 9 - 6)$

= $5 u^{2} - 2 u - (45 - 6)$

= $5 u^{2} - 2 u - 1 \cdot 39$

= $5 u^{2} - 2 u - 39$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $33$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} - 2 u - 39

=

33

|

- 33

$5 u^{2} - 2 u - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 1 440}}{10}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{1 444}}{10}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{1 444}}{10}$ = $\frac{2+38}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{1 444}}{10}$ = $\frac{2-38}{10}$ = $\frac{- 36}{10}$ = $- 3,6$

Da u= $- 3,6$ < 3 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $4 e^{2 x - 3}$ zwischen 0 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 4 e^{2 x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[2 e^{2 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (2 e^{2 \cdot 3 - 3} - 2 e^{2 \cdot 0 - 3})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{6 - 3} - 2 e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{3} (2 e^{3} - 2 e^{- 3})$

≈ 13,357

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(3 x - 6)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{{(3 x - 6)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(3 x - 6)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 6)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 {(3 x - 6)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{3 {(3 \cdot 4 - 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{3 {(12 - 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{3 \cdot 6^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{36})$

= $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{108}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} - \frac{1}{108}$ → $0 - \frac{1}{108}$ = $- \frac{1}{108}$ ≈ -0.009

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.009

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale