Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 43,556
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 6 + = ≈ 49.56
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 57 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
≈ 10,31
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 57 +
≈ 67.31
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
25
4
|
=
-
5
2
|
| u2 |
= |
25
4
|
=
5
2
|
Da u=
-
5
2
< 2 ist u=
5
2
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -7 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 7.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
7
-4
∫
4
7
4
3x
-7
ⅆ
x
=
1
3
∫
4
7
4
(
3x
-7
)
-1
ⅆ
x
=
1
3
[
4
3
ln(
|
3x
-7
|
)
]
4
7
=
1
3
(
4
3
ln(
|
3⋅7
-7
|
)
-
4
3
ln(
|
3⋅4
-7
|
)
)
=
1
3
(
4
3
ln(
|
21
-7
|
)
-
4
3
ln(
|
12
-7
|
)
)
=
1
3
(
4
3
ln(
14
)
-
4
3
ln(
|
12
-7
|
)
)
=
1
3
(
4
3
ln(
14
)
-
4
3
ln(
5
)
)
≈ 0,458
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -2x +2 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
(
-2x
+2
)
3
ⅆ
x
=
∫
2
u
3
(
-2x
+2
)
-3
ⅆ
x
=
[
3
4
(
-2x
+2
)
-2
]
2
u
=
[
3
4
(
-2x
+2
)
2
]
2
u
=
3
4
(
-2u
+2
)
2
-
3
4
(
-2⋅2
+2
)
2
=
3
4
(
-2u
+2
)
2
-
3
4
(
-4
+2
)
2
=
3
4
(
-2u
+2
)
2
-
3
4
( -2 )
2
=
3
4
(
-2u
+2
)
2
-
3
4
⋅(
1
4
)
=
3
4
(
-2u
+2
)
2
-
3
16
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
4
(
-2u
+2
)
2
-
3
16
→
0
-
3
16
=
-
3
16
≈ -0.188
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.188