Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(x - 2)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{5}{{(x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 5 {(x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{2} {(x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{5}{2 {(x - 2)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{2 {(5 - 2)}^{2}} + \frac{5}{2 {(3 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{5}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{5}{2 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{5}{2} \cdot 1$

= $- \frac{5}{18} + \frac{5}{2}$

= $- \frac{5}{18} + \frac{45}{18}$

= $\frac{20}{9}$

≈ 2,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 19 + $\frac{20}{9}$ = $\frac{191}{9}$ ≈ 21.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 6 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $6 e^{4 - 1} - 6 e^{1 - 1}$

= $6 e^{3} - 6 e^{0}$

= $6 e^{3} - 6$

≈ 114,513

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 9 + $6 e^{3} - 6$ ≈ 123.51

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,3 x - 0,1} ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,3 x - 0,1} ⅆ x

= ${[7 e^{0,3 x - 0,1}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,3 u - 0,1} - 7 e^{0,3 \cdot 0 - 0,1}$

= $7 e^{0,3 u - 0,1} - 7 e^{0 - 0,1}$

= $7 e^{0,3 u - 0,1} - 7 e^{- 0,1}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,3 u - 0,1} - 7 e^{- 0,1}$	=	$18$	\| $+ 7 e^{- 0,1}$
$7 e^{0,3 u - 0,1}$	=	$7 e^{- 0,1} + 18$
$7 e^{0,3 u - 0,1}$	=	$24,3339$	\|: $7$
$e^{0,3 u - 0,1}$	=	$3,4763$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,1$	=	$\ln (3,4763)$

$0,3 u - 0,1$	=	$1,246$	\| $+ 0,1$
$0,3 u$	=	$1,346$	\|: $0,3$
$u$	=	$4,4867$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{19}{3}$ und Minute $\frac{28}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{28}{3} - \frac{19}{3}}

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 5 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 5 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{10}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{10}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 64)$

= $\frac{1}{3} (\frac{1250}{9} - \frac{640}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{610}{9}$

= $\frac{610}{27}$

≈ 22,593

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(- x + 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{2}{{(- x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - 2 {(- x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 {(- x + 3)}^{- 1}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{2}{- x + 3}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{- u + 3} + \frac{2}{- 4 + 3}$

= $- \frac{2}{- u + 3} + \frac{2}{(- 1)}$

= $- \frac{2}{- u + 3} + 2 \cdot (- 1)$

= $- \frac{2}{- u + 3} - 2$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{- u + 3} - 2$ → $0 - 2$ = $- 2$ ≈ -2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale