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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 18 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 27 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 18 und 27:
∫ 18 27 2 x -2 ⅆ x
= ∫ 18 27 2 ( x -2 ) 1 2 ⅆ x

= [ 4 3 ( x -2 ) 3 2 ] 18 27

= [ 4 3 ( x -2 ) 3 ] 18 27

= 4 3 ( 27 -2 ) 3 - 4 3 ( 18 -2 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 ⋅ 5 3 - 4 3 ⋅ 4 3

= 4 3 ⋅125 - 4 3 ⋅64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 18 und der Änderung zwischen 18 und 27 zusammen:
B = 11 + 244 3 = 277 3 ≈ 92.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 3x -7 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 16 3 s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 32 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 16 3 und 32 3 :
∫ 16 3 32 3 4 3x -7 ⅆ x
= ∫ 16 3 32 3 4 ( 3x -7 ) 1 2 ⅆ x

= [ 8 9 ( 3x -7 ) 3 2 ] 16 3 32 3

= [ 8 9 ( 3x -7 ) 3 ] 16 3 32 3

= 8 9 ( 3⋅( 32 3 ) -7 ) 3 - 8 9 ( 3⋅( 16 3 ) -7 ) 3

= 8 9 ( 32 -7 ) 3 - 8 9 ( 16 -7 ) 3

= 8 9 ( 25 ) 3 - 8 9 ( 9 ) 3

= 8 9 ⋅ 5 3 - 8 9 ⋅ 3 3

= 8 9 ⋅125 - 8 9 ⋅27

= 1000 9 -24

= 1000 9 - 216 9

= 784 9


≈ 87,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 16 3 und der Änderung zwischen 16 3 und 32 3 zusammen:
B = 4 + 784 9 = 820 9 ≈ 91.11

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass ∫ 1 u 10x ⅆ x = 276,25

Lösung einblenden
∫ 1 u 10x ⅆ x

= [ 5 x 2 ] 1 u

= 5 u 2 -5⋅ 1 2

= 5 u 2 -5⋅1

= 5 u 2 -5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 276,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -5 = 276,25 | +5
5 u 2 = 281,25 |:5
u 2 = 56,25 | ⋅2
u1 = - 56,25 = -7,5
u2 = 56,25 = 7,5

Da u= -7,5 < 1 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 3x -5 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 6 -3 ∫ 3 6 6 ( 3x -5 ) 2 ⅆ x
= 1 3 ∫ 3 6 6 ( 3x -5 ) -2 ⅆ x

= 1 3 [ -2 ( 3x -5 ) -1 ] 3 6

= 1 3 [ - 2 3x -5 ] 3 6

= 1 3 ( - 2 3⋅6 -5 + 2 3⋅3 -5 )

= 1 3 ( - 2 18 -5 + 2 9 -5 )

= 1 3 ( - 2 13 + 2 4 )

= 1 3 ( -2⋅( 1 13 ) +2⋅( 1 4 ) )

= 1 3 ( - 2 13 + 1 2 )

= 1 3 ( - 4 26 + 13 26 )

= 1 3 · 9 26

= 3 26


≈ 0,115

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 5 u 1 -x +3 ⅆ x
= ∫ 5 u ( -x +3 ) -1 ⅆ x

= [ - ln( | -x +3 | ) ] 5 u

= - ln( | -( u ) +3 | ) + ln( | -5 +3 | )

= - ln( | -u +3 | ) + ln( | -5 +3 | )

= - ln( | -u +3 | ) + ln( 2 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( 2 ) - ln( | -x +3 | ) → ∞