Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{8}{3}$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}} \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{8}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{8}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{8 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 8$

= $\frac{250}{9} - \frac{16}{9}$

= $26$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{8}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{8}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 12 + $26$ = $38$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{4}{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 4 {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \ln (| 3 x - 4 |)]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 4 |) - \frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 4 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (| 9 - 4 |) - \frac{4}{3} \ln (| 6 - 4 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (5) - \frac{4}{3} \ln (| 6 - 4 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (5) - \frac{4}{3} \ln (2)$

≈ 1,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 16 + $\frac{4}{3} \ln (| 5 |) - \frac{4}{3} \ln (| 2 |)$ ≈ 17.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} - 6 x ⅆ x$ = $- 123,75$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} - 6 x ⅆ x

= ${[- 3 x^{2}]}_{1}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 3 \cdot 1^{2}$

= $- 3 u^{2} + 3 \cdot 1$

= $- 3 u^{2} + 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 123,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 u^{2} + 3$	=	$- 123,75$	\| $- 3$
$- 3 u^{2}$	=	$- 126,75$	\|: $(- 3)$
$u^{2}$	=	$42,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{42,25}$	= $- 6,5$
u₂	=	$\sqrt{42,25}$	= $6,5$

Da u= $- 6,5$ < 1 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{2}{x - 3}$ zwischen 5 und 8.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{8 - 5}

\int_{5}^{8} \frac{2}{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{5}^{8} 2 {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[2 \ln (| x - 3 |)]}_{5}^{8}$

$=$ $\frac{1}{3} (2 \ln (| 8 - 3 |) - 2 \ln (| 5 - 3 |))$

= $\frac{1}{3} (2 \ln (5) - 2 \ln (| 5 - 3 |))$

= $\frac{1}{3} (2 \ln (5) - 2 \ln (2))$

≈ 0,611

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{2 x - 3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{7}{2}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{7}{2}}^{u} - \frac{3}{\sqrt{2 x - 3}} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{2}}^{u} - 3 {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 3 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{u}$

= ${[- 3 \sqrt{2 x - 3}]}_{\frac{7}{2}}^{u}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 u - 3} + 3 \sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3}$

= $- 3 \sqrt{2 u - 3} + 3 \sqrt{7 - 3}$

= $- 3 \sqrt{2 u - 3} + 3 \sqrt{4}$

= $- 3 \sqrt{2 u - 3} + 3 \cdot 2$

= $- 3 \sqrt{2 u - 3} + 6$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 3 \sqrt{2 u - 3} + 6$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale