Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 5 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $5 e^{3 - 2} - 5 e^{1 - 2}$

= $5 e^{1} - 5 e^{- 1}$

= $5 e - 5 e^{- 1}$

≈ 11,752

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 64 + $- 5 e^{- 1} + 5 e$ ≈ 75.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{14}{3}$ s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $7$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{14}{3}

und

7

:

\int_{\frac{14}{3}}^{7} 3 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{14}{3}}^{7} 3 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{14}{3}}^{7}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{\frac{14}{3}}^{7}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{128}{3} - 18$

= $\frac{128}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{74}{3}$

≈ 24,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{14}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{14}{3}

und

7

zusammen:

B = 14 + $\frac{74}{3}$ = $\frac{116}{3}$ ≈ 38.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,9 x + 0,9} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,9 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,9 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,9 u + 0,9} + 3 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 3 e^{- 0,9 u + 0,9} + 3 e^{0 + 0,9}$

= $- 3 e^{- 0,9 u + 0,9} + 3 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,9 u + 0,9} + 3 e^{0,9}$	=	$2$	\| $- 3 e^{0,9}$
$- 3 e^{- 0,9 u + 0,9}$	=	$- 3 e^{0,9} + 2$
$- 3 e^{- 0,9 u + 0,9}$	=	$- 5,3788$	\|: $- 3$
$e^{- 0,9 u + 0,9}$	=	$1,7929$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,9$	=	$\ln (1,7929)$

$- 0,9 u + 0,9$	=	$0,5838$	\| $- 0,9$
$- 0,9 u$	=	$- 0,3162$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,3513$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 6 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(- x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\ln (| - x + 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $\ln (| - (u) + 2 |) - \ln (| - 3 + 2 |)$

= $\ln (| - u + 2 |) - \ln (| - 3 + 2 |)$

= $\ln (| - u + 2 |) - \ln (1)$

= $\ln (| - u + 2 |) + 0$

= $\ln (| - x + 2 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (| - x + 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale