Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 1} - 3 e^{0 - 1}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 1}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 12 + $- 3 e^{- 1} + 3 e$ ≈ 19.05

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 4 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 5}]}_{1}^{4}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 4 - 5} - 2 e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $2 e^{8 - 5} - 2 e^{2 - 5}$

= $2 e^{3} - 2 e^{- 3}$

≈ 40,071

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 37 + $2 e^{3} - 2 e^{- 3}$ ≈ 77.07

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,6 e^{0,7 x - 0,3} ⅆ x$ = $13$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,6 e^{0,7 x - 0,3} ⅆ x

= ${[8 e^{0,7 x - 0,3}]}_{0}^{u}$

$=$ $8 e^{0,7 u - 0,3} - 8 e^{0,7 \cdot 0 - 0,3}$

= $8 e^{0,7 u - 0,3} - 8 e^{0 - 0,3}$

= $8 e^{0,7 u - 0,3} - 8 e^{- 0,3}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $13$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$8 e^{0,7 u - 0,3} - 8 e^{- 0,3}$	=	$13$	\| $+ 8 e^{- 0,3}$
$8 e^{0,7 u - 0,3}$	=	$8 e^{- 0,3} + 13$
$8 e^{0,7 u - 0,3}$	=	$18,9265$	\|: $8$
$e^{0,7 u - 0,3}$	=	$2,3658$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,3$	=	$\ln (2,3658)$

$0,7 u - 0,3$	=	$0,8611$	\| $+ 0,3$
$0,7 u$	=	$1,1611$	\|: $0,7$
$u$	=	$1,6587$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[4 e^{x - 2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (4 e^{2 - 2} - 4 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{2} (4 e^{0} - 4 e^{- 2})$

= $\frac{1}{2} (4 - 4 e^{- 2})$

= $\frac{1}{2} (- 4 e^{- 2} + 4)$

≈ 1,729

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 7)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{2}{{(3 x - 7)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 2 {(3 x - 7)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 7)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 7)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 3 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{3 {(9 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{3 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{12}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 {(3 u - 7)}^{2}} + \frac{1}{12}$ → $0 + \frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ ≈ 0.083

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.083

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale