Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $6 e^{2 - 2} - 6 e^{1 - 2}$

= $6 e^{0} - 6 e^{- 1}$

= $6 - 6 e^{- 1}$

≈ 3,793

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 6 + $- 6 e^{- 1} + 6$ ≈ 9.79

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{2}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 2 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} \ln (| 3 x - 3 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 5 - 3 |) - \frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (| 15 - 3 |) - \frac{2}{3} \ln (| 9 - 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (12) - \frac{2}{3} \ln (| 9 - 3 |)$

= $\frac{2}{3} \ln (12) - \frac{2}{3} \ln (6)$

≈ 0,462

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 11 + $\frac{2}{3} \ln (| 12 |) - \frac{2}{3} \ln (| 6 |)$ ≈ 11.46

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 8 x + 2) ⅆ x$ = $- 56$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 8 x + 2) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + 2 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 2 u - (- 4 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0)$

= $- 4 u^{2} + 2 u - (- 4 \cdot 0 + 0)$

= $- 4 u^{2} + 2 u - (0 + 0)$

= $- 4 u^{2} + 2 u + 0$

= $- 4 u^{2} + 2 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 56$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + 2 u

=

- 56

|

+ 56

- 4 u^{2} + 2 u + 56

= 0 |:2

$- 2 u^{2} + u + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 28}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 1+15}{- 4}$ = $\frac{14}{- 4}$ = $- 3,5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 1-15}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Da u= $- 3,5$ < 0 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(x - 1)}^{2} + 2$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} (3 {(x - 1)}^{2} + 2) ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[{(x - 1)}^{3} + 2 x]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} ({(4 - 1)}^{3} + 2 \cdot 4 - ({(0 - 1)}^{3} + 2 \cdot 0))$

= $\frac{1}{4} (3^{3} + 8 - ({(- 1)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{4} (27 + 8 - ((- 1) + 0))$

= $\frac{1}{4} (27 + 8 + 1)$

= $\frac{1}{4} \cdot 36$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} - \frac{2}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} - 2 {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[{(x - 3)}^{- 2}]}_{5}^{u}$

= ${[\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]}_{5}^{u}$

$=$ $\frac{1}{{(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{{(5 - 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{{(u - 3)}^{2}} - (\frac{1}{4})$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{{(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{4}$ → $0 - \frac{1}{4}$ = $- \frac{1}{4}$ ≈ -0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale