Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
=
≈ 0,865
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 14 +
≈ 14.86
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
2
ln(
|
3⋅5
-3
|
)
-2
ln(
|
3⋅2
-3
|
)
=
2
ln(
|
15
-3
|
)
-2
ln(
|
6
-3
|
)
=
2
ln(
12
)
-2
ln(
|
6
-3
|
)
=
2
ln(
12
)
-2
ln(
3
)
≈ 2,773
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 14 +
2
ln(
|
12
|
)
-2
ln(
|
3
|
)
≈ 16.77
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 3 e 0,5x -0,8 ⅆ x = 10
Lösung einblenden
∫
0
u
3
e
0,5x
-0,8
ⅆ
x
=
[
6
e
0,5x
-0,8
]
0
u
=
6
e
0,5u
-0,8
-6
e
0,5⋅0
-0,8
=
6
e
0,5u
-0,8
-6
e
0
-0,8
=
6
e
0,5u
-0,8
-6
e
-0,8
|
6
e
0,5u
-0,8
-6
e
-0,8
|
= |
10
|
|
+6
e
-0,8
|
|
6
e
0,5u
-0,8
|
= |
6
e
-0,8
+10
|
|
|
6
e
0,5u
-0,8
|
= |
12,696
|
|:6
|
|
e
0,5u
-0,8
|
= |
2,116
|
|ln(⋅) |
|
0,5u
-0,8
|
= |
ln(
2,116
)
|
|
|
0,5u
-0,8
|
= |
0,7495
|
|
+0,8
|
|
0,5u
|
= |
1,5495
|
|:0,5
|
|
u
|
= |
3,099
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 3x -4 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 13 3 und Minute 29 3 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
29
3
-
13
3
∫
13
3
29
3
3
3x
-4
ⅆ
x
=
3
16
∫
13
3
29
3
3
(
3x
-4
)
1
2
ⅆ
x
=
3
16
[
2
3
(
3x
-4
)
3
2
]
13
3
29
3
=
3
16
[
2
3
(
3x
-4
)
3
]
13
3
29
3
=
3
16
(
2
3
(
3⋅(
29
3
)
-4
)
3
-
2
3
(
3⋅(
13
3
)
-4
)
3
)
=
3
16
(
2
3
(
29
-4
)
3
-
2
3
(
13
-4
)
3
)
=
3
16
(
2
3
(
25
)
3
-
2
3
(
9
)
3
)
=
3
16
(
2
3
⋅
5
3
-
2
3
⋅
3
3
)
=
3
16
(
2
3
⋅125
-
2
3
⋅27
)
=
3
16
(
250
3
-18
)
=
3
16
(
250
3
-
54
3
)
=
3
16
·
196
3
=
49
4
= 12,25
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
3
(
3x
-6
)
3
ⅆ
x
=
∫
4
u
3
(
3x
-6
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
2
(
3x
-6
)
-2
]
4
u
=
[
-
1
2
(
3x
-6
)
2
]
4
u
=
-
1
2
(
3u
-6
)
2
+
1
2
(
3⋅4
-6
)
2
=
-
1
2
(
3u
-6
)
2
+
1
2
(
12
-6
)
2
=
-
1
2
(
3u
-6
)
2
+
1
2⋅
6
2
=
-
1
2
(
3u
-6
)
2
+
1
2
⋅(
1
36
)
=
-
1
2
(
3u
-6
)
2
+
1
72
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
2
(
3u
-6
)
2
+
1
72
→
0
+
1
72
=
1
72
≈ 0.014
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.014