Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 63 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 5 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $5 e^{3 - 3} - 5 e^{0 - 3}$

= $5 e^{0} - 5 e^{- 3}$

= $5 - 5 e^{- 3}$

≈ 4,751

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 63 + $- 5 e^{- 3} + 5$ ≈ 67.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{0}^{1}$

$=$ $5 e^{1 - 1} - 5 e^{0 - 1}$

= $5 e^{0} - 5 e^{- 1}$

= $5 - 5 e^{- 1}$

≈ 3,161

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 11 + $- 5 e^{- 1} + 5$ ≈ 14.16

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (8 x + 1) ⅆ x$ = $87,5$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (8 x + 1) ⅆ x

= ${[4 x^{2} + x]}_{3}^{u}$

$=$ $4 u^{2} + u - (4 \cdot 3^{2} + 3)$

= $4 u^{2} + u - (4 \cdot 9 + 3)$

= $4 u^{2} + u - (36 + 3)$

= $4 u^{2} + u - 1 \cdot 39$

= $4 u^{2} + u - 39$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $87,5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} + u - 39

=

87,5

|

- 87,5

$4 u^{2} + u - 126,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 126,5)}}{2 \cdot 4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 2 024}}{8}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{2 025}}{8}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{2 025}}{8}$ = $\frac{- 1+45}{8}$ = $\frac{44}{8}$ = $5,5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{2 025}}{8}$ = $\frac{- 1-45}{8}$ = $\frac{- 46}{8}$ = $- 5,75$

Da u= $- 5,75$ < 3 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{19}{2}$ und Minute $14$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{14 - \frac{19}{2}}

\int_{\frac{19}{2}}^{14} \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\frac{2}{9}

\int_{\frac{19}{2}}^{14} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

= $\frac{2}{9}$ ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{2}}^{14}$

$=$ $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{2}{9} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

= $\frac{2}{9} (\frac{125}{3} - \frac{64}{3})$

= $\frac{2}{9} \cdot \frac{61}{3}$

= $\frac{122}{27}$

≈ 4,519

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{19}{2}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{19}{2}}^{u} \frac{1}{\sqrt{2 x - 3}} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{2}}^{u} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{19}{2}}^{u}$

= ${[\sqrt{2 x - 3}]}_{\frac{19}{2}}^{u}$

$=$ $\sqrt{2 u - 3} - \sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3}$

= $\sqrt{2 u - 3} - \sqrt{19 - 3}$

= $\sqrt{2 u - 3} - \sqrt{16}$

= $\sqrt{2 u - 3} - 4$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 3} - 4$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale