Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -3 ) 3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 6:
5 6 2 ( x -3 ) 3 x
= 5 6 2 ( x -3 ) -3 x

= [ - ( x -3 ) -2 ] 5 6

= [ - 1 ( x -3 ) 2 ] 5 6

= - 1 ( 6 -3 ) 2 + 1 ( 5 -3 ) 2

= - 1 3 2 + 1 2 2

= -( 1 9 ) + 1 4

= 5 36


≈ 0,139
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 6 zusammen:
B = 7 + 5 36 = 257 36 ≈ 7.14

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 49 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 e 3x -5 x

= [ 1 3 e 3x -5 ] 1 2

= 1 3 e 32 -5 - 1 3 e 31 -5

= 1 3 e 6 -5 - 1 3 e 3 -5

= 1 3 e 1 - 1 3 e -2

= 1 3 e - 1 3 e -2


≈ 0,861
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 49 + - 1 3 e -2 + 1 3 e ≈ 49.86

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u -10x x = -261,25

Lösung einblenden
2 u -10x x

= [ -5 x 2 ] 2 u

= -5 u 2 +5 2 2

= -5 u 2 +54

= -5 u 2 +20

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -261,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 +20 = -261,25 | -20
-5 u 2 = -281,25 |: ( -5 )
u 2 = 56,25 | 2
u1 = - 56,25 = -7,5
u2 = 56,25 = 7,5

Da u= -7,5 < 2 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 e 2x -5 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 2 +0 0 2 6 e 2x -5 x

= 1 2 [ 3 e 2x -5 ] 0 2

= 1 2 ( 3 e 22 -5 -3 e 20 -5 )

= 1 2 ( 3 e 4 -5 -3 e 0 -5 )

= 1 2 ( 3 e -1 -3 e -5 )


≈ 0,542

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( 2x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 5 2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 2 u - 3 ( 2x -1 ) 3 x
= 5 2 u -3 ( 2x -1 ) - 3 2 x

= [ 3 ( 2x -1 ) - 1 2 ] 5 2 u

= [ 3 2x -1 ] 5 2 u

= 3 2u -1 - 3 2( 5 2 ) -1

= 3 2u -1 - 3 5 -1

= 3 2u -1 - 3 4

= 3 2u -1 - 3 2

= 3 2u -1 -3( 1 2 )

= 3 2u -1 - 3 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2u -1 - 3 2 0 - 3 2 = - 3 2 ≈ -1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5