Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
=
≈ 1,808
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 14 +
≈ 15.81
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 108,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 9 + = ≈ 117.89
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
26
4
=
6,5
u2 =
5
-
441
4
=
5
-21
4
=
-16
4
=
-4
Da u=
-4
< 3 ist u=
6,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2 e 3x -3 zwischen 1 und 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-1
∫
1
4
2
e
3x
-3
ⅆ
x
=
1
3
[
2
3
e
3x
-3
]
1
4
=
1
3
(
2
3
e
3⋅4
-3
-
2
3
e
3⋅1
-3
)
=
1
3
(
2
3
e
12
-3
-
2
3
e
3
-3
)
=
1
3
(
2
3
e
9
-
2
3
e
0
)
=
1
3
(
2
3
e
9
-
2
3
)
≈ 1800,463
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 e -3x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
2
e
-3x
+5
ⅆ
x
=
[
-
2
3
e
-3x
+5
]
2
u
=
-
2
3
e
-3u
+5
+
2
3
e
-3⋅2
+5
=
-
2
3
e
-3u
+5
+
2
3
e
-6
+5
=
-
2
3
e
-3u
+5
+
2
3
e
-1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
2
3
e
-3u
+5
+
2
3
e
-1
→
0
+
2
3
e
-1
=
2
3
e
-1
≈ 0.245
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.245