Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 43 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 5 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 4}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 4} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{2 - 4} - \frac{5}{2} e^{0 - 4}$

= $\frac{5}{2} e^{- 2} - \frac{5}{2} e^{- 4}$

≈ 0,293

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 43 + $\frac{5}{2} e^{- 2} - \frac{5}{2} e^{- 4}$ ≈ 43.29

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{22}{3}$ Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{31}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 5 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 5 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 64$

= $\frac{1250}{9} - \frac{640}{9}$

= $\frac{610}{9}$

≈ 67,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 13 + $\frac{610}{9}$ = $\frac{727}{9}$ ≈ 80.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 4 x - 5) ⅆ x$ = $- 25$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 4 x - 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} - 5 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} - 5 u - (- 2 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 2 u^{2} - 5 u - (0 + 0)$

= $- 2 u^{2} - 5 u + 0$

= $- 2 u^{2} - 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} - 5 u

=

- 25

|

+ 25

$- 2 u^{2} - 5 u + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 25}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{5+15}{- 4}$ = $\frac{20}{- 4}$ = $- 5$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{5-15}{- 4}$ = $\frac{- 10}{- 4}$ = $2,5$

Da u= $- 5$ < 0 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (π + \frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + 3 \cdot \cos (2 π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 + 3)$

= $\frac{2}{π} \cdot 3$

= $\frac{6}{π}$

≈ 1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{2}{{(- 3 x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 2 {(- 3 x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(- 3 x + 3)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 {(- 3 x + 3)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 3 \cdot 3 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 9 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{3 {(- 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{36})$

= $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{108}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{108}$ → $0 - \frac{1}{108}$ = $- \frac{1}{108}$ ≈ -0.009

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.009

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale