Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 27,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 9 + = ≈ 36.11
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 42 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
=
≈ 3,615
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 42 +
≈ 45.62
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
0.5
2
|
=
-0,5
|
| u2 |
= |
0.5
2
|
=
0,5
|
Da u=
-0,5
< 0 ist u=
0,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 e 2x -3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
+0
∫
0
3
2
e
2x
-3
ⅆ
x
=
1
3
[
e
2x
-3
]
0
3
=
1
3
(
e
2⋅3
-3
-
e
2⋅0
-3
)
=
1
3
(
e
6
-3
-
e
0
-3
)
=
1
3
(
e
3
-
e
-3
)
≈ 6,679
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
-
e
-x
+1
ⅆ
x
=
[
e
-x
+1
]
2
u
=
e
-u
+1
-
e
-2
+1
=
e
-u
+1
-
e
-1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
e
-u
+1
-
e
-1
→
0
-
e
-1
=
-
e
-1
≈ -0.368
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.368