Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 ( 2x -4 ) 3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 4 ( 2x -4 ) 3 x
= 4 7 4 ( 2x -4 ) -3 x

= [ - ( 2x -4 ) -2 ] 4 7

= [ - 1 ( 2x -4 ) 2 ] 4 7

= - 1 ( 27 -4 ) 2 + 1 ( 24 -4 ) 2

= - 1 ( 14 -4 ) 2 + 1 ( 8 -4 ) 2

= - 1 10 2 + 1 4 2

= -( 1 100 ) + 1 16

= 21 400


≈ 0,053
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 3 + 21 400 = 1221 400 ≈ 3.05

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 2x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
3 5 2 2x -5 x
= 3 5 2 ( 2x -5 ) -1 x

= [ ln( | 2x -5 | ) ] 3 5

= ln( | 25 -5 | ) - ln( | 23 -5 | )

= ln( | 10 -5 | ) - ln( | 6 -5 | )

= ln( 5 ) - ln( | 6 -5 | )

= ln( 5 ) - ln( 1 )

= ln( 5 ) +0

= ln( 5 )


≈ 1,609
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 13 + ln( 5 ) ≈ 14.61

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u -6x x = -114,75

Lösung einblenden
2 u -6x x

= [ -3 x 2 ] 2 u

= -3 u 2 +3 2 2

= -3 u 2 +34

= -3 u 2 +12

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -114,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-3 u 2 +12 = -114,75 | -12
-3 u 2 = -126,75 |: ( -3 )
u 2 = 42,25 | 2
u1 = - 42,25 = -6,5
u2 = 42,25 = 6,5

Da u= -6,5 < 2 ist u= 6,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= sin( 3x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π sin( 3x + π) x

= 1 π [ - 1 3 cos( 3x + π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - 1 3 cos( 3( 3 2 π ) + π) + 1 3 cos( 3( 1 2 π ) + π) )

= 1 π · ( - 1 3 cos( 11 2 π) + 1 3 cos( 5 2 π) )

= 1 π · ( - 1 3 0 + 1 3 0 )

= 1 π · ( 0+0 )

= 1 π · 0

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -2x +4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u e -2x +4 x

= [ - 1 2 e -2x +4 ] 1 u

= - 1 2 e -2u +4 + 1 2 e -21 +4

= - 1 2 e -2u +4 + 1 2 e -2 +4

= - 1 2 e -2u +4 + 1 2 e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 e -2u +4 + 1 2 e 2 0 + 1 2 e 2 = 1 2 e 2 ≈ 3.695

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3.695