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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 33 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 3 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 4}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{0} - \frac{3}{2} e^{- 2}$

= $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} e^{- 2}$

≈ 1,297

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 33 + $- \frac{3}{2} e^{- 2} + \frac{3}{2}$ ≈ 34.3

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 61 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 3 e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 1} - \frac{3}{2} e^{2 - 1}$

= $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e^{1}$

= $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e$

≈ 218,542

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 61 + $\frac{3}{2} e^{5} - \frac{3}{2} e$ ≈ 279.54

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,2 x - 0,6} ⅆ x$ = $11$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,2 e^{0,2 x - 0,6} ⅆ x

= ${[6 e^{0,2 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,2 u - 0,6} - 6 e^{0,2 \cdot 0 - 0,6}$

= $6 e^{0,2 u - 0,6} - 6 e^{0 - 0,6}$

= $6 e^{0,2 u - 0,6} - 6 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $11$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,2 u - 0,6} - 6 e^{- 0,6}$	=	$11$	\| $+ 6 e^{- 0,6}$
$6 e^{0,2 u - 0,6}$	=	$6 e^{- 0,6} + 11$
$6 e^{0,2 u - 0,6}$	=	$14,2929$	\|: $6$
$e^{0,2 u - 0,6}$	=	$2,3822$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,6$	=	$\ln (2,3822)$

$0,2 u - 0,6$	=	$0,868$	\| $+ 0,6$
$0,2 u$	=	$1,468$	\|: $0,2$
$u$	=	$7,34$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot \cos (6 π) + \frac{2}{3} \cdot \cos (3 π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{2}{3} - \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{4}{3})$

= $- \frac{4}{3 π}$

≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{- 3 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{1}{- 3 x + 5} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - {(- 3 x + 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 5 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| - 3 (u) + 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| - 3 \cdot 2 + 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 5 |) - \frac{1}{3} \ln (| - 6 + 5 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 5 |) - \frac{1}{3} \ln (1)$

= $\frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 5 |) + 0$

= $\frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 5 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 5 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale