Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{23}{3}$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 2 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 64$

= $\frac{500}{9} - \frac{256}{9}$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{23}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 12 + $\frac{244}{9}$ = $\frac{352}{9}$ ≈ 39.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 50 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 2 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[e^{2 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $e^{2 \cdot 3 - 3} - e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $e^{6 - 3} - e^{4 - 3}$

= $e^{3} - e^{1}$

= $e^{3} - e$

≈ 17,367

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 50 + $e^{3} - e$ ≈ 67.37

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (6 x + 1) ⅆ x$ = $38$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (6 x + 1) ⅆ x

= ${[3 x^{2} + x]}_{2}^{u}$

$=$ $3 u^{2} + u - (3 \cdot 2^{2} + 2)$

= $3 u^{2} + u - (3 \cdot 4 + 2)$

= $3 u^{2} + u - (12 + 2)$

= $3 u^{2} + u - 1 \cdot 14$

= $3 u^{2} + u - 14$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $38$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} + u - 14

=

38

|

- 38

$3 u^{2} + u - 52$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 52)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 624}}{6}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{625}}{6}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{- 1+25}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{- 1-25}{6}$ = $\frac{- 26}{6}$ = $- \frac{13}{3}$ ≈ -4.33

Da u= $- \frac{13}{3}$ < 2 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= ${(2 x - 2)}^{2} + 1$ zwischen 2 und 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 - 2}

\int_{2}^{4} ({(2 x - 2)}^{2} + 1) ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{6} {(2 x - 2)}^{3} + x]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 4 - 2)}^{3} + 4 - (\frac{1}{6} \cdot {(2 \cdot 2 - 2)}^{3} + 2))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot {(8 - 2)}^{3} + 4 - (\frac{1}{6} \cdot {(4 - 2)}^{3} + 2))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 6^{3} + 4 - (\frac{1}{6} \cdot 2^{3} + 2))$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 216 + 4 - (\frac{1}{6} \cdot 8 + 2))$

= $\frac{1}{2} (36 + 4 - (\frac{4}{3} + 2))$

= $\frac{1}{2} (40 - (\frac{4}{3} + \frac{6}{3}))$

= $\frac{1}{2} (40 - 1 \cdot \frac{10}{3})$

= $\frac{1}{2} (40 - \frac{10}{3})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{110}{3}$

≈ 18,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{2 x - 2}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} - \frac{1}{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - {(2 x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 2 |)]}_{u}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \ln (| 2 \cdot 2 - 2 |) + \frac{1}{2} \ln (| 2 (u) - 2 |)$

= $- \frac{1}{2} \ln (| 4 - 2 |) + \frac{1}{2} \ln (| 2 u - 2 |)$

= $- \frac{1}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} \ln (| 2 u - 2 |)$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} \ln (| 2 |) + \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 2 |)$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale