Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 e 3x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 4 e 3x -5 x

= [ 4 3 e 3x -5 ] 2 4

= 4 3 e 34 -5 - 4 3 e 32 -5

= 4 3 e 12 -5 - 4 3 e 6 -5

= 4 3 e 7 - 4 3 e 1

= 4 3 e 7 - 4 3 e


≈ 1458,553
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 9 + 4 3 e 7 - 4 3 e ≈ 1467.55

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 2x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
3 5 6 2x -2 x
= 3 5 6 ( 2x -2 ) -1 x

= [ 3 ln( | 2x -2 | ) ] 3 5

= 3 ln( | 25 -2 | ) -3 ln( | 23 -2 | )

= 3 ln( | 10 -2 | ) -3 ln( | 6 -2 | )

= 3 ln( 8 ) -3 ln( | 6 -2 | )

= 3 ln( 8 ) -3 ln( 4 )


≈ 2,079
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 16 + 3 ln( | 8 | ) -3 ln( | 4 | ) ≈ 18.08

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -10x -2 ) x = -162,25

Lösung einblenden
0 u ( -10x -2 ) x

= [ -5 x 2 -2x ] 0 u

= -5 u 2 -2u - ( -5 0 2 -20 )

= -5 u 2 -2u - ( -50 +0)

= -5 u 2 -2u - (0+0)

= -5 u 2 -2u +0

= -5 u 2 -2u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -162,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 -2u = -162,25 | +162,25

-5 u 2 -2u +162,25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · ( -5 ) · 162,25 2( -5 )

u1,2 = +2 ± 4 +3245 -10

u1,2 = +2 ± 3249 -10

u1 = 2 + 3249 -10 = 2 +57 -10 = 59 -10 = -5,9

u2 = 2 - 3249 -10 = 2 -57 -10 = -55 -10 = 5,5

Da u= -5,9 < 0 ist u= 5,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 3x -4 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 1 3x -4 x
= 1 2 3 5 ( 3x -4 ) -1 x

= 1 2 [ 1 3 ln( | 3x -4 | ) ] 3 5

= 1 2 ( 1 3 ln( | 35 -4 | ) - 1 3 ln( | 33 -4 | ) )

= 1 2 ( 1 3 ln( | 15 -4 | ) - 1 3 ln( | 9 -4 | ) )

= 1 2 ( 1 3 ln( 11 ) - 1 3 ln( | 9 -4 | ) )

= 1 2 ( 1 3 ln( 11 ) - 1 3 ln( 5 ) )


≈ 0,131

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 -2x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u 2 -2x +3 x
= 2 u 2 ( -2x +3 ) -1 x

= [ - ln( | -2x +3 | ) ] 2 u

= - ln( | -2( u ) +3 | ) + ln( | -22 +3 | )

= - ln( | -2u +3 | ) + ln( | -4 +3 | )

= - ln( | -2u +3 | ) + ln( 1 )

= - ln( | -2u +3 | ) +0

= - ln( | -2x +3 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - ln( | -2x +3 | )