Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 3 - 2} - 2 e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $2 e^{6 - 2} - 2 e^{2 - 2}$

= $2 e^{4} - 2 e^{0}$

= $2 e^{4} - 2$

≈ 107,196

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 27 + $2 e^{4} - 2$ ≈ 134.2

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 3 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 x - 5}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 \cdot 5 - 5} + \frac{1}{3 \cdot 2 - 5}$

= $- \frac{1}{15 - 5} + \frac{1}{6 - 5}$

= $- \frac{1}{10} + \frac{1}{1}$

= $- (\frac{1}{10}) + 1$

= $\frac{9}{10}$

= 0,9

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 20 + $\frac{9}{10}$ = $\frac{209}{10}$ ≈ 20.9

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,5 e^{0,5 x - 0,6} ⅆ x$ = $5$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,5 e^{0,5 x - 0,6} ⅆ x

= ${[e^{0,5 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{0,5 u - 0,6} - e^{0,5 \cdot 0 - 0,6}$

= $e^{0,5 u - 0,6} - e^{0 - 0,6}$

= $e^{0,5 u - 0,6} - e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$e^{0,5 u - 0,6} - e^{- 0,6}$	=	$5$	\| $+ e^{- 0,6}$
$e^{0,5 u - 0,6}$	=	$e^{- 0,6} + 5$
$e^{0,5 u - 0,6}$	=	$5,5488$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,6$	=	$\ln (5,5488)$

$0,5 u - 0,6$	=	$1,7136$	\| $+ 0,6$
$0,5 u$	=	$2,3136$	\|: $0,5$
$u$	=	$4,6272$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\sqrt{x - 2}$ zwischen $11$ und $27$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{27 - 11}

\int_{11}^{27} \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\frac{1}{16}

\int_{11}^{27} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{27}$

= $\frac{1}{16}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{27}$

$=$ $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3})$

= $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{1}{16} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

= $\frac{1}{16} (\frac{250}{3} - 18)$

= $\frac{1}{16} (\frac{250}{3} - \frac{54}{3})$

= $\frac{1}{16} \cdot \frac{196}{3}$

= $\frac{49}{12}$

≈ 4,083

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(2 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 x - 3}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 u - 3} - \frac{1}{2 \cdot 3 - 3}$

= $\frac{1}{2 u - 3} - \frac{1}{6 - 3}$

= $\frac{1}{2 u - 3} - \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{2 u - 3} - (\frac{1}{3})$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 u - 3} - \frac{1}{3}$ → $0 - \frac{1}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale