Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 10 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 73 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 20207,496
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 73 +
≈ 20280.5
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
9
|
=
-3
|
| u2 |
= |
9
|
=
3
|
Da u=
-3
< 1 ist u=
3
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 ( 3x -6 ) 2 zwischen 2 und 5.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
5
-2
∫
2
5
6
(
3x
-6
)
2
ⅆ
x
=
1
3
[
2
3
(
3x
-6
)
3
]
2
5
=
1
3
(
2
3
⋅
(
3⋅5
-6
)
3
-
2
3
⋅
(
3⋅2
-6
)
3
)
=
1
3
(
2
3
⋅
(
15
-6
)
3
-
2
3
⋅
(
6
-6
)
3
)
=
1
3
(
2
3
⋅
9
3
-
2
3
⋅
0
3
)
=
1
3
(
2
3
⋅729
-
2
3
⋅0
)
=
1
3
(
486
+0)
=
162
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 2x -4 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 10 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
10
-
3
2x
-4
ⅆ
x
=
∫
u
10
-3
(
2x
-4
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
-3
(
2x
-4
)
1
2
]
u
10
=
[
-3
2x
-4
]
u
10
=
-3
2⋅10
-4
+3
2u
-4
=
-3
20
-4
+3
2u
-4
=
-3
16
+3
2u
-4
=
-3⋅4
+3
2u
-4
=
-12
+3
2u
-4
Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) =
3
2u
-4
-12
→
0
-12
=
-12
≈ -12
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12