Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 1,286
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 15 + = ≈ 16.29
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 3,793
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 37 +
≈ 40.79
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
=
=
=
=
=
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
=
=
=
1
2
ln(
|
-2(
u
)
+3
|
)
-
1
2
ln(
|
-2⋅2
+3
|
)
=
1
2
ln(
|
-2u
+3
|
)
-
1
2
ln(
|
-4
+3
|
)
=
1
2
ln(
|
-2u
+3
|
)
-
1
2
ln(
1
)
=
1
2
ln(
|
-2u
+3
|
)
+0
=
1
2
ln(
|
-2x
+3
|
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
2
ln(
|
-2x
+3
|
)
→
∞