Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 3 e x -2 x

= [ 3 e x -2 ] 0 3

= 3 e 3 -2 -3 e 0 -2

= 3 e 1 -3 e -2

= 3e -3 e -2


≈ 7,749
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 12 + -3 e -2 +3e ≈ 19.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e 2x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 3 e 2x -2 x

= [ 3 2 e 2x -2 ] 2 3

= 3 2 e 23 -2 - 3 2 e 22 -2

= 3 2 e 6 -2 - 3 2 e 4 -2

= 3 2 e 4 - 3 2 e 2


≈ 70,814
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 19 + 3 2 e 4 - 3 2 e 2 ≈ 89.81

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2 e 0,5x -0,2 x = 18

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0 u 2 e 0,5x -0,2 x

= [ 4 e 0,5x -0,2 ] 0 u

= 4 e 0,5u -0,2 -4 e 0,50 -0,2

= 4 e 0,5u -0,2 -4 e 0 -0,2

= 4 e 0,5u -0,2 -4 e -0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 18 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 e 0,5u -0,2 -4 e -0,2 = 18 | +4 e -0,2
4 e 0,5u -0,2 = 4 e -0,2 +18
4 e 0,5u -0,2 = 21,2749 |:4
e 0,5u -0,2 = 5,3187 |ln(⋅)
0,5u -0,2 = ln( 5,3187 )
0,5u -0,2 = 1,6712 | +0,2
0,5u = 1,8712 |:0,5
u = 3,7424

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -3 ) 2 + x (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 ( 2 ( 2x -3 ) 2 + x ) x

= 1 3 [ 1 3 ( 2x -3 ) 3 + 1 2 x 2 ] 2 5

= 1 3 ( 1 3 ( 25 -3 ) 3 + 1 2 5 2 - ( 1 3 ( 22 -3 ) 3 + 1 2 2 2 ))

= 1 3 ( 1 3 ( 10 -3 ) 3 + 1 2 25 - ( 1 3 ( 4 -3 ) 3 + 1 2 4 ))

= 1 3 ( 1 3 7 3 + 25 2 - ( 1 3 1 3 +2 ))

= 1 3 ( 1 3 343 + 25 2 - ( 1 3 1 +2 ))

= 1 3 ( 343 3 + 25 2 - ( 1 3 +2 ))

= 1 3 ( 686 6 + 75 6 - ( 1 3 + 6 3 ))

= 1 3 ( 761 6 -1 · 7 3 )

= 1 3 ( 761 6 - 7 3 )

= 1 3 · 249 2


= 41,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( x ) 3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= u 3 - 2 ( x ) 3 x
= u 3 - 2 x 3 x
= u 3 -2 x -3 x

= [ x -2 ] u 3

= [ 1 x 2 ] u 3

= 1 3 2 - 1 u 2

= 1 9 - 1 u 2

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = 1 9 - 1 u 2 -