Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
=
=
=
≈ 2,851
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3
zusammen:
B = 25 +
≈ 27.85
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 3,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5
zusammen:
B = 16 + = ≈ 19.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
33
6
=
5,5
u2 =
5
-
784
6
=
5
-28
6
=
-23
6
=
-
23
6
≈ -3.83
Da u=
-
23
6
< 1 ist u=
5,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -2 ) 3 +6 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
2
+0
∫
0
2
(
3
(
2x
-2
)
3
+6
)
ⅆ
x
=
1
2
[
3
8
(
2x
-2
)
4
+6x
]
0
2
=
1
2
(
3
8
⋅
(
2⋅2
-2
)
4
+6⋅2
- (
3
8
⋅
(
2⋅0
-2
)
4
+6⋅0
))
=
1
2
(
3
8
⋅
(
4
-2
)
4
+12
- (
3
8
⋅
( 0
-2
)
4
+0))
=
1
2
(
3
8
⋅
2
4
+12
- (
3
8
⋅
( -2 )
4
+0))
=
1
2
(
3
8
⋅16
+12
- (
3
8
⋅16
+0))
=
1
2
(
6
+12
- (
6
+0))
=
1
2
(
18
-6
)
=
1
2
·
12
=
6
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -3x +5 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
3
(
-3x
+5
)
2
ⅆ
x
=
∫
2
u
3
(
-3x
+5
)
-2
ⅆ
x
=
[
(
-3x
+5
)
-1
]
2
u
=
[
1
-3x
+5
]
2
u
=
1
-3u
+5
-
1
-3⋅2
+5
=
1
-3u
+5
-
1
-6
+5
=
1
-3u
+5
-
1
( -1 )
=
1
-3u
+5
- ( -1 )
=
1
-3u
+5
+1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
-3u
+5
+1
→
0
+1
=
1
≈ 1
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1