Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 7 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $4 e^{2 - 1} - 4 e^{1 - 1}$

= $4 e^{1} - 4 e^{0}$

= $4 e - 4$

≈ 6,873

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 7 + $- 4 + 4 e$ ≈ 13.87

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 52 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{1 - 2} - e^{0 - 2}$

= $e^{- 1} - e^{- 2}$

≈ 0,233

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 52 + $e^{- 1} - e^{- 2}$ ≈ 52.23

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,4 e^{- 0,4 x + 0,9} ⅆ x$ = $6$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,4 e^{- 0,4 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,4 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,4 u + 0,9} + 6 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 6 e^{- 0,4 u + 0,9} + 6 e^{0 + 0,9}$

= $- 6 e^{- 0,4 u + 0,9} + 6 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,4 u + 0,9} + 6 e^{0,9}$	=	$6$	\| $- 6 e^{0,9}$
$- 6 e^{- 0,4 u + 0,9}$	=	$- 6 e^{0,9} + 6$
$- 6 e^{- 0,4 u + 0,9}$	=	$- 8,7576$	\|: $- 6$
$e^{- 0,4 u + 0,9}$	=	$1,4596$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,9$	=	$\ln (1,4596)$

$- 0,4 u + 0,9$	=	$0,3782$	\| $- 0,9$
$- 0,4 u$	=	$- 0,5218$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$1,3045$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{3 x - 6}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 4 e^{3 x - 6} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 6}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 6} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 6})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} e^{9 - 6} - \frac{4}{3} e^{0 - 6})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} e^{3} - \frac{4}{3} e^{- 6})$

≈ 8,926

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $7$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{7} \frac{2}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{7} 2 {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{7}$

= ${[4 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{7}$

$=$ $4 \sqrt{7 - 3} - 4 \sqrt{u - 3}$

= $4 \sqrt{4} - 4 \sqrt{u - 3}$

= $4 \cdot 2 - 4 \sqrt{u - 3}$

= $8 - 4 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 4 \sqrt{u - 3} + 8$ → $0 + 8$ = $8$ ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale