Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 197,394
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 23 +
≈ 220.39
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 31 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
=
=
=
≈ 14,776
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3
zusammen:
B = 31 +
≈ 45.78
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:() |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute und Minute .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 14,095
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
=
=
=
1
2
ln(
|
2(
u
)
-1
|
)
-
1
2
ln(
|
2⋅2
-1
|
)
=
1
2
ln(
|
2u
-1
|
)
-
1
2
ln(
|
4
-1
|
)
=
1
2
ln(
|
2u
-1
|
)
-
1
2
ln(
3
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
2
ln(
3
)
+
1
2
ln(
|
2x
-1
|
)
→
∞