Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $6 e^{3 - 3} - 6 e^{1 - 3}$

= $6 e^{0} - 6 e^{- 2}$

= $6 - 6 e^{- 2}$

≈ 5,188

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 16 + $- 6 e^{- 2} + 6$ ≈ 21.19

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{3}$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 6 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 6 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 5 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{259}{3}$ ≈ 86.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (10 x - 3) ⅆ x$ = $108$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (10 x - 3) ⅆ x

= ${[5 x^{2} - 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $5 u^{2} - 3 u - (5 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $5 u^{2} - 3 u - (5 \cdot 1 - 3)$

= $5 u^{2} - 3 u - (5 - 3)$

= $5 u^{2} - 3 u - 1 \cdot 2$

= $5 u^{2} - 3 u - 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $108$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} - 3 u - 2

=

108

|

- 108

$5 u^{2} - 3 u - 110$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 110)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 2 200}}{10}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{2 209}}{10}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{3+47}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{3-47}{10}$ = $\frac{- 44}{10}$ = $- 4,4$

Da u= $- 4,4$ < 1 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ zwischen 3 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- {(x - 1)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{1}{x - 1}]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{1}{5 - 1} + \frac{1}{3 - 1})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} (- (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

= 0,125

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| - x + 1 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $2 \ln (| - (u) + 1 |) - 2 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $2 \ln (| - u + 1 |) - 2 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $2 \ln (| - u + 1 |) - 2 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \ln (2) + 2 \ln (| - x + 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale