Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 4)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{2}{{(2 x - 4)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 2 {(2 x - 4)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 4)}^{- 3}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{1}{3 {(2 x - 4)}^{3}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(2 \cdot 5 - 4)}^{3}} + \frac{1}{3 {(2 \cdot 3 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 {(10 - 4)}^{3}} + \frac{1}{3 {(6 - 4)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 6^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 2^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{216}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{8})$

= $- \frac{1}{648} + \frac{1}{24}$

= $- \frac{1}{648} + \frac{27}{648}$

= $\frac{13}{324}$

≈ 0,04

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 8 + $\frac{13}{324}$ = $\frac{2605}{324}$ ≈ 8.04

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 1} - 3 e^{1 - 1}$

= $3 e^{1} - 3 e^{0}$

= $3 e - 3$

≈ 5,155

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 9 + $- 3 + 3 e$ ≈ 14.15

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 10 x - 3) ⅆ x$ = $- 38$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 10 x - 3) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 3 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 3 u - (- 5 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - (- 5 \cdot 9 - 9)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - (- 45 - 9)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - 1 \cdot (- 54)$

= $- 5 u^{2} - 3 u + 54$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 38$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 3 u + 54

=

- 38

|

+ 38

$- 5 u^{2} - 3 u + 92$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 92}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 1 840}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1 849}}{- 10}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1 849}}{- 10}$ = $\frac{3+43}{- 10}$ = $\frac{46}{- 10}$ = $- 4,6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1 849}}{- 10}$ = $\frac{3-43}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

Da u= $- 4,6$ < 3 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 {(3 x - 3)}^{2} + 3$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} (4 {(3 x - 3)}^{2} + 3) ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{9} {(3 x - 3)}^{3} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot {(3 \cdot 3 - 3)}^{3} + 3 \cdot 3 - (\frac{4}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 3)}^{3} + 3 \cdot 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot {(9 - 3)}^{3} + 9 - (\frac{4}{9} \cdot {(0 - 3)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot 6^{3} + 9 - (\frac{4}{9} \cdot {(- 3)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} \cdot 216 + 9 - (\frac{4}{9} \cdot (- 27) + 0))$

= $\frac{1}{3} (96 + 9 - (- 12 + 0))$

= $\frac{1}{3} (105 + 12)$

= $\frac{1}{3} \cdot 117$

= $39$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{2 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(2 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| 2 x - 3 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \ln (| 2 (u) - 3 |) + \ln (| 2 \cdot 3 - 3 |)$

= $- \ln (| 2 u - 3 |) + \ln (| 6 - 3 |)$

= $- \ln (| 2 u - 3 |) + \ln (3)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln (3) - \ln (| 2 x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale