Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 1)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 2 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} \frac{4}{{(2 x - 1)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{1}^{2} 4 {(2 x - 1)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(2 x - 1)}^{- 3}]}_{1}^{2}$

= ${[- \frac{2}{3 {(2 x - 1)}^{3}}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{2}{3 {(2 \cdot 2 - 1)}^{3}} + \frac{2}{3 {(2 \cdot 1 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{2}{3 {(4 - 1)}^{3}} + \frac{2}{3 {(2 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{2}{3 \cdot 3^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{27}) + \frac{2}{3} \cdot 1$

= $- \frac{2}{81} + \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{81} + \frac{54}{81}$

= $\frac{52}{81}$

≈ 0,642

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 11 + $\frac{52}{81}$ = $\frac{943}{81}$ ≈ 11.64

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $3 e^{4 - 3} - 3 e^{2 - 3}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 1}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 27 + $- 3 e^{- 1} + 3 e$ ≈ 34.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 10 x - 3) ⅆ x$ = $- 18$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 10 x - 3) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 3 u - (- 5 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - (- 5 \cdot 1 - 3)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - (- 5 - 3)$

= $- 5 u^{2} - 3 u - 1 \cdot (- 8)$

= $- 5 u^{2} - 3 u + 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 3 u + 8

=

- 18

|

+ 18

$- 5 u^{2} - 3 u + 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 26}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 520}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{529}}{- 10}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{529}}{- 10}$ = $\frac{3+23}{- 10}$ = $\frac{26}{- 10}$ = $- 2,6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{529}}{- 10}$ = $\frac{3-23}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Da u= $- 2,6$ < 1 ist u= $2$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 e^{3 x - 5}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 6 e^{3 x - 5} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[2 e^{3 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (2 e^{3 \cdot 2 - 5} - 2 e^{3 \cdot 0 - 5})$

= $\frac{1}{2} (2 e^{6 - 5} - 2 e^{0 - 5})$

= $\frac{1}{2} (2 e^{1} - 2 e^{- 5})$

= $\frac{1}{2} (2 e - 2 e^{- 5})$

= $\frac{1}{2} (- 2 e^{- 5} + 2 e)$

≈ 2,712

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{\sqrt{2 x - 5}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $7$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{7}^{u} \frac{2}{\sqrt{2 x - 5}} ⅆ x

=

\int_{7}^{u} 2 {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}_{7}^{u}$

= ${[2 \sqrt{2 x - 5}]}_{7}^{u}$

$=$ $2 \sqrt{2 u - 5} - 2 \sqrt{2 \cdot 7 - 5}$

= $2 \sqrt{2 u - 5} - 2 \sqrt{14 - 5}$

= $2 \sqrt{2 u - 5} - 2 \sqrt{9}$

= $2 \sqrt{2 u - 5} - 2 \cdot 3$

= $2 \sqrt{2 u - 5} - 6$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \sqrt{2 u - 5} - 6$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale