Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 30 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 98,697
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 30 +
≈ 128.7
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
=
=
≈ 0,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 71 +
≈ 71.33
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
0 |
|:2 |
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
12
4
=
3
u2 =
-1
-
169
4
=
-1
-13
4
=
-14
4
=
-3,5
Da u=
-3,5
< 1 ist u=
3
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5⋅ cos( 3x - 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
2
π+0
∫
0
1
2
π
5⋅
cos(
3x
-
1
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
5
3
⋅
sin(
3x
-
1
2
π)
]
0
1
2
π
=
2
π
·
(
5
3
⋅
sin(
3⋅(
1
2
π )
-
1
2
π)
-
5
3
⋅
sin(
3⋅( 0 )
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
5
3
⋅
sin(π)
-
5
3
⋅
sin(
-
1
2
π)
)
=
2
π
·
(
5
3
⋅0
-
5
3
⋅( -1 )
)
=
2
π
·
(
0
+
5
3
)
=
2
π
·
(
0
+
5
3
)
=
2
π
·
5
3
=
10
3
π
≈ 1,061
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
3
2x
-4
ⅆ
x
=
∫
4
u
3
(
2x
-4
)
-1
ⅆ
x
=
[
3
2
ln(
|
2x
-4
|
)
]
4
u
=
3
2
ln(
|
2(
u
)
-4
|
)
-
3
2
ln(
|
2⋅4
-4
|
)
=
3
2
ln(
|
2u
-4
|
)
-
3
2
ln(
|
8
-4
|
)
=
3
2
ln(
|
2u
-4
|
)
-
3
2
ln(
4
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
3
2
ln(
4
)
+
3
2
ln(
|
2x
-4
|
)
→
∞