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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
∫ 0 1 3 e x -2 ⅆ x

= [ 3 e x -2 ] 0 1

= 3 e 1 -2 -3 e 0 -2

= 3 e -1 -3 e -2


≈ 0,698
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 20 + 3 e -1 -3 e -2 ≈ 20.7

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 2x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 46 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
∫ 0 2 4 e 2x -3 ⅆ x

= [ 2 e 2x -3 ] 0 2

= 2 e 2⋅2 -3 -2 e 2⋅0 -3

= 2 e 4 -3 -2 e 0 -3

= 2 e 1 -2 e -3

= 2e -2 e -3


≈ 5,337
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 46 + -2 e -3 +2e ≈ 51.34

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass ∫ 2 u 2x ⅆ x = 32

Lösung einblenden
∫ 2 u 2x ⅆ x

= [ x 2 ] 2 u

= u 2 - 2 2

= u 2 - 4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 32 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 -4 = 32 | +4
u 2 = 36 | ⋅2
u1 = - 36 = -6
u2 = 36 = 6

Da u= -6 < 2 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 4 e x -3 zwischen 1 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -1 ∫ 1 3 4 e x -3 ⅆ x

= 1 2 [ 4 e x -3 ] 1 3

= 1 2 ( 4 e 3 -3 -4 e 1 -3 )

= 1 2 ( 4 e 0 -4 e -2 )

= 1 2 ( 4 -4 e -2 )

= 1 2 ( -4 e -2 +4 )


≈ 1,729

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -x +2 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 3 u - 1 ( -x +2 ) 3 ⅆ x
= ∫ 3 u - ( -x +2 ) -3 ⅆ x

= [ - 1 2 ( -x +2 ) -2 ] 3 u

= [ - 1 2 ( -x +2 ) 2 ] 3 u

= - 1 2 ( -u +2 ) 2 + 1 2 ( -3 +2 ) 2

= - 1 2 ( -u +2 ) 2 + 1 2 ( -1 ) 2

= - 1 2 ( -u +2 ) 2 + 1 2 ⋅1

= - 1 2 ( -u +2 ) 2 + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ( -u +2 ) 2 + 1 2 → 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5