Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 2)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{3}{{(x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 3 {(x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{3}{2 {(x - 2)}^{2}}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(6 - 2)}^{2}} + \frac{3}{2 {(3 - 2)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 4^{2}} + \frac{3}{2 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{16}) + \frac{3}{2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{32} + \frac{3}{2}$

= $- \frac{3}{32} + \frac{48}{32}$

= $\frac{45}{32}$

≈ 1,406

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 14 + $\frac{45}{32}$ = $\frac{493}{32}$ ≈ 15.41

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 2 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{4 - 4} - \frac{3}{2} e^{0 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{0} - \frac{3}{2} e^{- 4}$

= $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} e^{- 4}$

≈ 1,473

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 13 + $- \frac{3}{2} e^{- 4} + \frac{3}{2}$ ≈ 14.47

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x$ = $20$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,8 e^{0,2 x - 0,5} ⅆ x

= ${[4 e^{0,2 x - 0,5}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{0,2 \cdot 0 - 0,5}$

= $4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{0 - 0,5}$

= $4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{- 0,5}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,2 u - 0,5} - 4 e^{- 0,5}$	=	$20$	\| $+ 4 e^{- 0,5}$
$4 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$4 e^{- 0,5} + 20$
$4 e^{0,2 u - 0,5}$	=	$22,4261$	\|: $4$
$e^{0,2 u - 0,5}$	=	$5,6065$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,5$	=	$\ln (5,6065)$

$0,2 u - 0,5$	=	$1,7239$	\| $+ 0,5$
$0,2 u$	=	$2,2239$	\|: $0,2$
$u$	=	$11,1195$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 {(3 x - 4)}^{2} + 3 x$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} (5 {(3 x - 4)}^{2} + 3 x) ⅆ x

= $1$ ${[\frac{5}{9} {(3 x - 4)}^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 1 - 4)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{5}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 4)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{5}{9} \cdot {(3 - 4)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 1 - (\frac{5}{9} \cdot {(0 - 4)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{5}{9} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} - (\frac{5}{9} \cdot {(- 4)}^{3} + 0)$

= $\frac{5}{9} \cdot (- 1) + \frac{3}{2} - (\frac{5}{9} \cdot (- 64) + 0)$

= $- \frac{5}{9} + \frac{3}{2} - (- \frac{320}{9} + 0)$

= $- \frac{10}{18} + \frac{27}{18} - (- \frac{320}{9} + 0)$

= $\frac{17}{18} + \frac{320}{9}$

= $\frac{17}{18} + \frac{640}{18}$

= $\frac{17}{18} + \frac{320}{9}$

= $\frac{73}{2}$

= 36,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(- x + 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{{(- x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(- x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[{(- x + 3)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{1}{{(- x + 3)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{{(- u + 3)}^{2}} - \frac{1}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(- u + 3)}^{2}} - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(- u + 3)}^{2}} - 1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{{(- u + 3)}^{2}} - 1$ → $0 - 1$ = $- 1$ ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale