Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 16,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 13 + = ≈ 29.44
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
≈ 1,718
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 9 +
≈ 10.72
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
289
4
|
=
-
17
2
|
| u2 |
= |
289
4
|
=
17
2
|
Da u=
-
17
2
< 2 ist u=
17
2
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= sin( x - 1 2 π) zwischen 1 2 π und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π
-
1
2
π
∫
1
2
π
3
2
π
sin(
x
-
1
2
π)
ⅆ
x
=
1
π
[
-
cos(
x
-
1
2
π)
]
1
2
π
3
2
π
=
1
π
·
(
-
cos(
3
2
π
-
1
2
π)
+
cos(
1
2
π
-
1
2
π)
)
=
1
π
·
(
-
cos(π)
+
cos(0)
)
=
1
π
·
(
-( -1 )
+1
)
=
1
π
·
(
1
+1
)
=
1
π
·
2
=
2
π
≈ 0,637
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( x -3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
2
(
x
-3
)
3
ⅆ
x
=
∫
4
u
-2
(
x
-3
)
-3
ⅆ
x
=
[
(
x
-3
)
-2
]
4
u
=
[
1
(
x
-3
)
2
]
4
u
=
1
(
u
-3
)
2
-
1
(
4
-3
)
2
=
1
(
u
-3
)
2
-
1
1
2
=
1
(
u
-3
)
2
- 1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
(
u
-3
)
2
-1
→
0
-1
=
-1
≈ -1
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1