Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( x -2 ) 3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
3 6 3 ( x -2 ) 3 x
= 3 6 3 ( x -2 ) -3 x

= [ - 3 2 ( x -2 ) -2 ] 3 6

= [ - 3 2 ( x -2 ) 2 ] 3 6

= - 3 2 ( 6 -2 ) 2 + 3 2 ( 3 -2 ) 2

= - 3 2 4 2 + 3 2 1 2

= - 3 2 ( 1 16 ) + 3 2 1

= - 3 32 + 3 2

= - 3 32 + 48 32

= 45 32


≈ 1,406
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 14 + 45 32 = 493 32 ≈ 15.41

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 3 e 2x -4 x

= [ 3 2 e 2x -4 ] 0 2

= 3 2 e 22 -4 - 3 2 e 20 -4

= 3 2 e 4 -4 - 3 2 e 0 -4

= 3 2 e 0 - 3 2 e -4

= 3 2 - 3 2 e -4


≈ 1,473
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 13 + - 3 2 e -4 + 3 2 ≈ 14.47

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,8 e 0,2x -0,5 x = 20

Lösung einblenden
0 u 0,8 e 0,2x -0,5 x

= [ 4 e 0,2x -0,5 ] 0 u

= 4 e 0,2u -0,5 -4 e 0,20 -0,5

= 4 e 0,2u -0,5 -4 e 0 -0,5

= 4 e 0,2u -0,5 -4 e -0,5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 20 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 e 0,2u -0,5 -4 e -0,5 = 20 | +4 e -0,5
4 e 0,2u -0,5 = 4 e -0,5 +20
4 e 0,2u -0,5 = 22,4261 |:4
e 0,2u -0,5 = 5,6065 |ln(⋅)
0,2u -0,5 = ln( 5,6065 )
0,2u -0,5 = 1,7239 | +0,5
0,2u = 2,2239 |:0,2
u = 11,1195

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 3x -4 ) 2 +3x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 1 +0 0 1 ( 5 ( 3x -4 ) 2 +3x ) x

= 1 [ 5 9 ( 3x -4 ) 3 + 3 2 x 2 ] 0 1

= 5 9 ( 31 -4 ) 3 + 3 2 1 2 - ( 5 9 ( 30 -4 ) 3 + 3 2 0 2 )

= 5 9 ( 3 -4 ) 3 + 3 2 1 - ( 5 9 ( 0 -4 ) 3 + 3 2 0 )

= 5 9 ( -1 ) 3 + 3 2 - ( 5 9 ( -4 ) 3 +0)

= 5 9 ( -1 ) + 3 2 - ( 5 9 ( -64 ) +0)

= - 5 9 + 3 2 - ( - 320 9 +0)

= - 10 18 + 27 18 - ( - 320 9 +0)

= 17 18 + 320 9

= 17 18 + 640 18

= 17 18 + 320 9

= 73 2


= 36,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -x +3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 2 ( -x +3 ) 3 x
= 4 u 2 ( -x +3 ) -3 x

= [ ( -x +3 ) -2 ] 4 u

= [ 1 ( -x +3 ) 2 ] 4 u

= 1 ( -u +3 ) 2 - 1 ( -4 +3 ) 2

= 1 ( -u +3 ) 2 - 1 ( -1 ) 2

= 1 ( -u +3 ) 2 - 1

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 ( -u +3 ) 2 -1 0 -1 = -1 ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1