Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 27,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 12 + = ≈ 39.11
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 50 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
≈ 17,367
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 50 +
≈ 67.37
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
24
6
=
4
u2 =
-1
-
625
6
=
-1
-25
6
=
-26
6
=
-
13
3
≈ -4.33
Da u=
-
13
3
< 2 ist u=
4
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= ( 2x -2 ) 2 +1 zwischen 2 und 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-2
∫
2
4
(
(
2x
-2
)
2
+1
)
ⅆ
x
=
1
2
[
1
6
(
2x
-2
)
3
+ x
]
2
4
=
1
2
(
1
6
⋅
(
2⋅4
-2
)
3
+4
- (
1
6
⋅
(
2⋅2
-2
)
3
+2
))
=
1
2
(
1
6
⋅
(
8
-2
)
3
+4
- (
1
6
⋅
(
4
-2
)
3
+2
))
=
1
2
(
1
6
⋅
6
3
+4
- (
1
6
⋅
2
3
+2
))
=
1
2
(
1
6
⋅216
+4
- (
1
6
⋅8
+2
))
=
1
2
(
36
+4
- (
4
3
+2
))
=
1
2
(
40
- (
4
3
+
6
3
))
=
1
2
(
40
-1
·
10
3
)
=
1
2
(
40
-
10
3
)
=
1
2
·
110
3
≈ 18,333
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 2x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
2
-
1
2x
-2
ⅆ
x
=
∫
u
2
-
(
2x
-2
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
1
2
ln(
|
2x
-2
|
)
]
u
2
=
-
1
2
ln(
|
2⋅2
-2
|
)
+
1
2
ln(
|
2(
u
)
-2
|
)
=
-
1
2
ln(
|
4
-2
|
)
+
1
2
ln(
|
2u
-2
|
)
=
-
1
2
ln(
2
)
+
1
2
ln(
|
2u
-2
|
)
Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
-
1
2
ln(
|
2
|
)
+
1
2
ln(
|
2x
-2
|
)
→
-∞