Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 3,161
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 3 +
≈ 6.16
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
≈ 19,086
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 15 +
≈ 34.09
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
25
-2
=
-12,5
u2 =
5
-
400
-2
=
5
-20
-2
=
-15
-2
=
7,5
Da u=
-12,5
< 0 ist u=
7,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 e 2x -4 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
+0
∫
0
3
6
e
2x
-4
ⅆ
x
=
1
3
[
3
e
2x
-4
]
0
3
=
1
3
(
3
e
2⋅3
-4
-3
e
2⋅0
-4
)
=
1
3
(
3
e
6
-4
-3
e
0
-4
)
=
1
3
(
3
e
2
-3
e
-4
)
≈ 7,371
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( -3x +6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
2
(
-3x
+6
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
-2
(
-3x
+6
)
-3
ⅆ
x
=
[
-
1
3
(
-3x
+6
)
-2
]
3
u
=
[
-
1
3
(
-3x
+6
)
2
]
3
u
=
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
3
(
-3⋅3
+6
)
2
=
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
3
(
-9
+6
)
2
=
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
3
( -3 )
2
=
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
3
⋅(
1
9
)
=
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
27
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
3
(
-3u
+6
)
2
+
1
27
→
0
+
1
27
=
1
27
≈ 0.037
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.037