Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -2 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 5 ( 2x -2 ) 4 x
= 2 4 5 ( 2x -2 ) -4 x

= [ - 5 6 ( 2x -2 ) -3 ] 2 4

= [ - 5 6 ( 2x -2 ) 3 ] 2 4

= - 5 6 ( 24 -2 ) 3 + 5 6 ( 22 -2 ) 3

= - 5 6 ( 8 -2 ) 3 + 5 6 ( 4 -2 ) 3

= - 5 6 6 3 + 5 6 2 3

= - 5 6 ( 1 216 ) + 5 6 ( 1 8 )

= - 5 1296 + 5 48

= - 5 1296 + 135 1296

= 65 648


≈ 0,1
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 19 + 65 648 = 12377 648 ≈ 19.1

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -1 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 5 ( 2x -1 ) 2 x
= 2 4 5 ( 2x -1 ) -2 x

= [ - 5 2 ( 2x -1 ) -1 ] 2 4

= [ - 5 2( 2x -1 ) ] 2 4

= - 5 2( 24 -1 ) + 5 2( 22 -1 )

= - 5 2( 8 -1 ) + 5 2( 4 -1 )

= - 5 2 7 + 5 2 3

= - 5 2 ( 1 7 ) + 5 2 ( 1 3 )

= - 5 14 + 5 6

= - 15 42 + 35 42

= 10 21


≈ 0,476
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 14 + 10 21 = 304 21 ≈ 14.48

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 1,8 e 0,6x -0,6 x = 16

Lösung einblenden
0 u 1,8 e 0,6x -0,6 x

= [ 3 e 0,6x -0,6 ] 0 u

= 3 e 0,6u -0,6 -3 e 0,60 -0,6

= 3 e 0,6u -0,6 -3 e 0 -0,6

= 3 e 0,6u -0,6 -3 e -0,6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 16 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 e 0,6u -0,6 -3 e -0,6 = 16 | +3 e -0,6
3 e 0,6u -0,6 = 3 e -0,6 +16
3 e 0,6u -0,6 = 17,6464 |:3
e 0,6u -0,6 = 5,8821 |ln(⋅)
0,6u -0,6 = ln( 5,8821 )
0,6u -0,6 = 1,7719 | +0,6
0,6u = 2,3719 |:0,6
u = 3,9532

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 3x -4 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -2 2 5 1 3x -4 x
= 1 3 2 5 ( 3x -4 ) -1 x

= 1 3 [ 1 3 ln( | 3x -4 | ) ] 2 5

= 1 3 ( 1 3 ln( | 35 -4 | ) - 1 3 ln( | 32 -4 | ) )

= 1 3 ( 1 3 ln( | 15 -4 | ) - 1 3 ln( | 6 -4 | ) )

= 1 3 ( 1 3 ln( 11 ) - 1 3 ln( | 6 -4 | ) )

= 1 3 ( 1 3 ln( 11 ) - 1 3 ln( 2 ) )


≈ 0,189

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( 2x -5 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 21 2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 21 2 u - 2 ( 2x -5 ) 3 x
= 21 2 u -2 ( 2x -5 ) - 3 2 x

= [ 2 ( 2x -5 ) - 1 2 ] 21 2 u

= [ 2 2x -5 ] 21 2 u

= 2 2u -5 - 2 2( 21 2 ) -5

= 2 2u -5 - 2 21 -5

= 2 2u -5 - 2 16

= 2 2u -5 - 2 4

= 2 2u -5 -2( 1 4 )

= 2 2u -5 - 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 2u -5 - 1 2 0 - 1 2 = - 1 2 ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5