Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 3x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4 s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 28 3 :
4 28 3 5 3x -3 x
= 4 28 3 5 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 10 9 ( 3x -3 ) 3 2 ] 4 28 3

= [ 10 9 ( 3x -3 ) 3 ] 4 28 3

= 10 9 ( 3( 28 3 ) -3 ) 3 - 10 9 ( 34 -3 ) 3

= 10 9 ( 28 -3 ) 3 - 10 9 ( 12 -3 ) 3

= 10 9 ( 25 ) 3 - 10 9 ( 9 ) 3

= 10 9 5 3 - 10 9 3 3

= 10 9 125 - 10 9 27

= 1250 9 -30

= 1250 9 - 270 9

= 980 9


≈ 108,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 28 3 zusammen:
B = 7 + 980 9 = 1043 9 ≈ 115.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 3x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 7 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 10 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 7 und 10:
7 10 4 3x -5 x
= 7 10 4 ( 3x -5 ) 1 2 x

= [ 8 9 ( 3x -5 ) 3 2 ] 7 10

= [ 8 9 ( 3x -5 ) 3 ] 7 10

= 8 9 ( 310 -5 ) 3 - 8 9 ( 37 -5 ) 3

= 8 9 ( 30 -5 ) 3 - 8 9 ( 21 -5 ) 3

= 8 9 ( 25 ) 3 - 8 9 ( 16 ) 3

= 8 9 5 3 - 8 9 4 3

= 8 9 125 - 8 9 64

= 1000 9 - 512 9

= 488 9


≈ 54,222
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 7 und der Änderung zwischen 7 und 10 zusammen:
B = 12 + 488 9 = 596 9 ≈ 66.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,3 e -0,3x +0,3 x = 1

Lösung einblenden
0 u 0,3 e -0,3x +0,3 x

= [ - e -0,3x +0,3 ] 0 u

= - e -0,3u +0,3 + e -0,30 +0,3

= - e -0,3u +0,3 + e 0 +0,3

= - e -0,3u +0,3 + e 0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- e -0,3u +0,3 + e 0,3 = 1 | - e 0,3
- e -0,3u +0,3 = - e 0,3 +1
- e -0,3u +0,3 = -0,3499 |:-1
e -0,3u +0,3 = 0,3499 |ln(⋅)
-0,3u +0,3 = ln( 0,3499 )
-0,3u +0,3 = -1,0501 | -0,3
-0,3u = -1,3501 |:(-0,3 )
u = 4,5003

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 3x -7 zwischen 16 3 und 23 3 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 23 3 - 16 3 16 3 23 3 5 3x -7 x
= 3 7 16 3 23 3 5 ( 3x -7 ) 1 2 x

= 3 7 [ 10 9 ( 3x -7 ) 3 2 ] 16 3 23 3

= 3 7 [ 10 9 ( 3x -7 ) 3 ] 16 3 23 3

= 3 7 ( 10 9 ( 3( 23 3 ) -7 ) 3 - 10 9 ( 3( 16 3 ) -7 ) 3 )

= 3 7 ( 10 9 ( 23 -7 ) 3 - 10 9 ( 16 -7 ) 3 )

= 3 7 ( 10 9 ( 16 ) 3 - 10 9 ( 9 ) 3 )

= 3 7 ( 10 9 4 3 - 10 9 3 3 )

= 3 7 ( 10 9 64 - 10 9 27 )

= 3 7 ( 640 9 -30 )

= 3 7 ( 640 9 - 270 9 )

= 3 7 · 370 9

= 370 21


≈ 17,619

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 2 -x +3 x
= 4 u -2 ( -x +3 ) -1 x

= [ 2 ln( | -x +3 | ) ] 4 u

= 2 ln( | -( u ) +3 | ) -2 ln( | -4 +3 | )

= 2 ln( | -u +3 | ) -2 ln( | -4 +3 | )

= 2 ln( | -u +3 | ) -2 ln( 1 )

= 2 ln( | -u +3 | ) +0

= 2 ln( | -x +3 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 ln( | -x +3 | )