Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 21 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 4 e 3x -7 x

= [ 4 3 e 3x -7 ] 0 2

= 4 3 e 32 -7 - 4 3 e 30 -7

= 4 3 e 6 -7 - 4 3 e 0 -7

= 4 3 e -1 - 4 3 e -7


≈ 0,489
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 21 + 4 3 e -1 - 4 3 e -7 ≈ 21.49

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 ( x -3 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:
4 5 5 ( x -3 ) 2 x
= 4 5 5 ( x -3 ) -2 x

= [ -5 ( x -3 ) -1 ] 4 5

= [ - 5 x -3 ] 4 5

= - 5 5 -3 + 5 4 -3

= - 5 2 + 5 1

= -5( 1 2 ) +51

= - 5 2 +5

= -2,5 +5

= 2,5


= 2,5
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:
B = 2 + 5 2 = 9 2 ≈ 4.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 6,4 e -0,8x +0,7 x = 5

Lösung einblenden
0 u 6,4 e -0,8x +0,7 x

= [ -8 e -0,8x +0,7 ] 0 u

= -8 e -0,8u +0,7 +8 e -0,80 +0,7

= -8 e -0,8u +0,7 +8 e 0 +0,7

= -8 e -0,8u +0,7 +8 e 0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-8 e -0,8u +0,7 +8 e 0,7 = 5 | -8 e 0,7
-8 e -0,8u +0,7 = -8 e 0,7 +5
-8 e -0,8u +0,7 = -11,11 |:-8
e -0,8u +0,7 = 1,3888 |ln(⋅)
-0,8u +0,7 = ln( 1,3888 )
-0,8u +0,7 = 0,3284 | -0,7
-0,8u = -0,3716 |:(-0,8 )
u = 0,4645

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -1 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -2 2 3 5 ( 2x -1 ) 2 x
= 1 2 3 5 ( 2x -1 ) -2 x

= 1 [ - 5 2 ( 2x -1 ) -1 ] 2 3

= 1 [ - 5 2( 2x -1 ) ] 2 3

= - 5 2( 23 -1 ) + 5 2( 22 -1 )

= - 5 2( 6 -1 ) + 5 2( 4 -1 )

= - 5 2 5 + 5 2 3

= - 5 2 ( 1 5 ) + 5 2 ( 1 3 )

= - 1 2 + 5 6

= - 3 6 + 5 6

= 1 3


≈ 0,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 6 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 6 - 2 x -2 x
= u 6 -2 ( x -2 ) - 1 2 x

= [ -4 ( x -2 ) 1 2 ] u 6

= [ -4 x -2 ] u 6

= -4 6 -2 +4 u -2

= -4 4 +4 u -2

= -42 +4 u -2

= -8 +4 u -2

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = 4 u -2 -8 0 -8 = -8 ≈ -8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8