Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 11 + = ≈ 92.33
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 87,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 4 + = ≈ 91.11
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
56,25
|
=
-7,5
|
| u2 |
= |
56,25
|
=
7,5
|
Da u=
-7,5
< 1 ist u=
7,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 3x -5 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 6.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
6
-3
∫
3
6
6
(
3x
-5
)
2
ⅆ
x
=
1
3
∫
3
6
6
(
3x
-5
)
-2
ⅆ
x
=
1
3
[
-2
(
3x
-5
)
-1
]
3
6
=
1
3
[
-
2
3x
-5
]
3
6
=
1
3
(
-
2
3⋅6
-5
+
2
3⋅3
-5
)
=
1
3
(
-
2
18
-5
+
2
9
-5
)
=
1
3
(
-
2
13
+
2
4
)
=
1
3
(
-2⋅(
1
13
)
+2⋅(
1
4
)
)
=
1
3
(
-
2
13
+
1
2
)
=
1
3
(
-
4
26
+
13
26
)
=
1
3
·
9
26
=
3
26
≈ 0,115
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
5
u
1
-x
+3
ⅆ
x
=
∫
5
u
(
-x
+3
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
ln(
|
-x
+3
|
)
]
5
u
=
-
ln(
|
-(
u
)
+3
|
)
+
ln(
|
-5
+3
|
)
=
-
ln(
|
-u
+3
|
)
+
ln(
|
-5
+3
|
)
=
-
ln(
|
-u
+3
|
)
+
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
ln(
2
)
-
ln(
|
-x
+3
|
)
→
∞