Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 44 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 5 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 5} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{6 - 5} - \frac{5}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{5}{3} e^{1} - \frac{5}{3} e^{- 2}$

= $\frac{5}{3} e - \frac{5}{3} e^{- 2}$

≈ 4,305

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 44 + $- \frac{5}{3} e^{- 2} + \frac{5}{3} e$ ≈ 48.3

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $3 e^{2 - 1} - 3 e^{0 - 1}$

= $3 e^{1} - 3 e^{- 1}$

= $3 e - 3 e^{- 1}$

≈ 7,051

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 74 + $- 3 e^{- 1} + 3 e$ ≈ 81.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 4 x + 3) ⅆ x$ = $- 27$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 4 x + 3) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 3 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 3 u - (- 2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- 2 u^{2} + 3 u - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 2 u^{2} + 3 u - (0 + 0)$

= $- 2 u^{2} + 3 u + 0$

= $- 2 u^{2} + 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 27$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 3 u

=

- 27

|

+ 27

$- 2 u^{2} + 3 u + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 27}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 3+15}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 3-15}{- 4}$ = $\frac{- 18}{- 4}$ = $4,5$

Da u= $- 3$ < 0 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 5}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{14}{3}$ und Minute $10$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{10 - \frac{14}{3}}

\int_{\frac{14}{3}}^{10} \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\frac{3}{16}

\int_{\frac{14}{3}}^{10} {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{14}{3}}^{10}$

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{\frac{14}{3}}^{10}$

$=$ $\frac{3}{16} (\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{9} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{14 - 5})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 27)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{9} - 6)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{9} - \frac{54}{9})$

= $\frac{3}{16} \cdot \frac{196}{9}$

= $\frac{49}{12}$

≈ 4,083

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{x - 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 2 \ln (| x - 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- 2 \ln (| u - 2 |) + 2 \ln (| 3 - 2 |)$

= $- 2 \ln (| u - 2 |) + 2 \ln (1)$

= $- 2 \ln (| u - 2 |) + 0$

= $- 2 \ln (| x - 2 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \ln (| x - 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

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Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale