Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 ( 3x -4 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 2 ( 3x -4 ) 2 x
= 2 3 2 ( 3x -4 ) -2 x

= [ - 2 3 ( 3x -4 ) -1 ] 2 3

= [ - 2 3( 3x -4 ) ] 2 3

= - 2 3( 33 -4 ) + 2 3( 32 -4 )

= - 2 3( 9 -4 ) + 2 3( 6 -4 )

= - 2 3 5 + 2 3 2

= - 2 3 ( 1 5 ) + 2 3 ( 1 2 )

= - 2 15 + 1 3

= - 2 15 + 5 15

= 1 5


= 0,2
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 14 + 1 5 = 71 5 ≈ 14.2

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 e 2x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 5 e 2x -5 x

= [ 5 2 e 2x -5 ] 0 2

= 5 2 e 22 -5 - 5 2 e 20 -5

= 5 2 e 4 -5 - 5 2 e 0 -5

= 5 2 e -1 - 5 2 e -5


≈ 0,903
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 18 + 5 2 e -1 - 5 2 e -5 ≈ 18.9

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u -8x x = -288

Lösung einblenden
3 u -8x x

= [ -4 x 2 ] 3 u

= -4 u 2 +4 3 2

= -4 u 2 +49

= -4 u 2 +36

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -288 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 +36 = -288 | -36
-4 u 2 = -324 |: ( -4 )
u 2 = 81 | 2
u1 = - 81 = -9
u2 = 81 = 9

Da u= -9 < 3 ist u= 9 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 sin( 3x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 3 sin( 3x - 3 2 π) x

= 2 π [ - cos( 3x - 3 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( - cos( 3π - 3 2 π) + cos( 3( 1 2 π ) - 3 2 π) )

= 2 π · ( - cos( 3 2 π) + cos(0) )

= 2 π · ( -0 +1 )

= 2 π


≈ 0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -2 ) 2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 3 1 ( 2x -2 ) 2 x
= u 3 ( 2x -2 ) -2 x

= [ - 1 2 ( 2x -2 ) -1 ] u 3

= [ - 1 2( 2x -2 ) ] u 3

= - 1 2( 23 -2 ) + 1 2( 2u -2 )

= - 1 2( 6 -2 ) + 1 2( 2u -2 )

= - 1 2 4 + 1 2( 2u -2 )

= - 1 2 ( 1 4 ) + 1 2( 2u -2 )

= - 1 8 + 1 2( 2u -2 )

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = 1 2( 2u -2 ) - 1 8