Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(2 x - 3)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{5}{{(2 x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 5 {(2 x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} {(2 x - 3)}^{- 3}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{5}{6 {(2 x - 3)}^{3}}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{5}{6 {(2 \cdot 6 - 3)}^{3}} + \frac{5}{6 {(2 \cdot 3 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{5}{6 {(12 - 3)}^{3}} + \frac{5}{6 {(6 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{5}{6 \cdot 9^{3}} + \frac{5}{6 \cdot 3^{3}}$

= $- \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{729}) + \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{27})$

= $- \frac{5}{4374} + \frac{5}{162}$

= $- \frac{5}{4374} + \frac{135}{4374}$

= $\frac{65}{2187}$

≈ 0,03

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 11 + $\frac{65}{2187}$ = $\frac{24122}{2187}$ ≈ 11.03

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 7}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 5 - 7} - 2 e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $2 e^{15 - 7} - 2 e^{6 - 7}$

= $2 e^{8} - 2 e^{- 1}$

≈ 5961,18

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 4 + $2 e^{8} - 2 e^{- 1}$ ≈ 5965.18

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,2 e^{- 0,7 x + 0,2} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,2 e^{- 0,7 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 6 e^{- 0,7 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 6 e^{- 0,7 u + 0,2} + 6 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 6 e^{- 0,7 u + 0,2} + 6 e^{0 + 0,2}$

= $- 6 e^{- 0,7 u + 0,2} + 6 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 6 e^{- 0,7 u + 0,2} + 6 e^{0,2}$	=	$1$	\| $- 6 e^{0,2}$
$- 6 e^{- 0,7 u + 0,2}$	=	$- 6 e^{0,2} + 1$
$- 6 e^{- 0,7 u + 0,2}$	=	$- 6,3284$	\|: $- 6$
$e^{- 0,7 u + 0,2}$	=	$1,0547$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,2$	=	$\ln (1,0547)$

$- 0,7 u + 0,2$	=	$0,0533$	\| $- 0,2$
$- 0,7 u$	=	$- 0,1467$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,2096$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (3 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sin (2 π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - \frac{1}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{3 π}$

≈ -0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $6,5$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{6,5} \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{6,5} {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{6,5}$

= ${[\sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{6,5}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 6,5 - 4} - \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{13 - 4} - \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{9} - \sqrt{2 u - 4}$

= $3 - \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{2 u - 4} + 3$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 4} + 3$ → $0 + 3$ = $3$ ≈ 3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale