Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= e x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 e x -2 x

= [ e x -2 ] 1 4

= e 4 -2 - e 1 -2

= e 2 - e -1


≈ 7,021
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 17 + e 2 - e -1 ≈ 24.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 58 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 3 e 3x -7 x

= [ e 3x -7 ] 2 3

= e 33 -7 - e 32 -7

= e 9 -7 - e 6 -7

= e 2 - e -1


≈ 7,021
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 58 + e 2 - e -1 ≈ 65.02

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( -4x -3 ) x = -121

Lösung einblenden
2 u ( -4x -3 ) x

= [ -2 x 2 -3x ] 2 u

= -2 u 2 -3u - ( -2 2 2 -32 )

= -2 u 2 -3u - ( -24 -6 )

= -2 u 2 -3u - ( -8 -6 )

= -2 u 2 -3u -1 · ( -14 )

= -2 u 2 -3u +14

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -121 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 -3u +14 = -121 | +121

-2 u 2 -3u +135 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · ( -2 ) · 135 2( -2 )

u1,2 = +3 ± 9 +1080 -4

u1,2 = +3 ± 1089 -4

u1 = 3 + 1089 -4 = 3 +33 -4 = 36 -4 = -9

u2 = 3 - 1089 -4 = 3 -33 -4 = -30 -4 = 7,5

Da u= -9 < 2 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 17 und Minute 26 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 26 -17 17 26 5 x -1 x
= 1 9 17 26 5 ( x -1 ) 1 2 x

= 1 9 [ 10 3 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= 1 9 [ 10 3 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 1 9 ( 10 3 ( 26 -1 ) 3 - 10 3 ( 17 -1 ) 3 )

= 1 9 ( 10 3 ( 25 ) 3 - 10 3 ( 16 ) 3 )

= 1 9 ( 10 3 5 3 - 10 3 4 3 )

= 1 9 ( 10 3 125 - 10 3 64 )

= 1 9 ( 1250 3 - 640 3 )

= 1 9 · 610 3

= 610 27


≈ 22,593

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -x +2 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u - 1 ( -x +2 ) 3 x
= 4 u - ( -x +2 ) -3 x

= [ - 1 2 ( -x +2 ) -2 ] 4 u

= [ - 1 2 ( -x +2 ) 2 ] 4 u

= - 1 2 ( -u +2 ) 2 + 1 2 ( -4 +2 ) 2

= - 1 2 ( -u +2 ) 2 + 1 2 ( -2 ) 2

= - 1 2 ( -u +2 ) 2 + 1 2 ( 1 4 )

= - 1 2 ( -u +2 ) 2 + 1 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ( -u +2 ) 2 + 1 8 0 + 1 8 = 1 8 ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125