Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 ( 2x -2 ) 3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
3 5 2 ( 2x -2 ) 3 x
= 3 5 2 ( 2x -2 ) -3 x

= [ - 1 2 ( 2x -2 ) -2 ] 3 5

= [ - 1 2 ( 2x -2 ) 2 ] 3 5

= - 1 2 ( 25 -2 ) 2 + 1 2 ( 23 -2 ) 2

= - 1 2 ( 10 -2 ) 2 + 1 2 ( 6 -2 ) 2

= - 1 2 8 2 + 1 2 4 2

= - 1 2 ( 1 64 ) + 1 2 ( 1 16 )

= - 1 128 + 1 32

= - 1 128 + 4 128

= 3 128


≈ 0,023
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 19 + 3 128 = 2435 128 ≈ 19.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= e 2x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 e 2x -2 x

= [ 1 2 e 2x -2 ] 0 2

= 1 2 e 22 -2 - 1 2 e 20 -2

= 1 2 e 4 -2 - 1 2 e 0 -2

= 1 2 e 2 - 1 2 e -2


≈ 3,627
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 19 + 1 2 e 2 - 1 2 e -2 ≈ 22.63

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 8x +2 ) x = 150

Lösung einblenden
1 u ( 8x +2 ) x

= [ 4 x 2 +2x ] 1 u

= 4 u 2 +2u - ( 4 1 2 +21 )

= 4 u 2 +2u - ( 41 +2 )

= 4 u 2 +2u - ( 4 +2 )

= 4 u 2 +2u -1 · 6

= 4 u 2 +2u -6

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 150 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 +2u -6 = 150 | -150
4 u 2 +2u -156 = 0 |:2

2 u 2 + u -78 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 2 · ( -78 ) 22

u1,2 = -1 ± 1 +624 4

u1,2 = -1 ± 625 4

u1 = -1 + 625 4 = -1 +25 4 = 24 4 = 6

u2 = -1 - 625 4 = -1 -25 4 = -26 4 = -6,5

Da u= -6,5 < 1 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 3x -7 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 2 ( 3x -7 ) 2 x

= 1 3 [ 2 9 ( 3x -7 ) 3 ] 0 3

= 1 3 ( 2 9 ( 33 -7 ) 3 - 2 9 ( 30 -7 ) 3 )

= 1 3 ( 2 9 ( 9 -7 ) 3 - 2 9 ( 0 -7 ) 3 )

= 1 3 ( 2 9 2 3 - 2 9 ( -7 ) 3 )

= 1 3 ( 2 9 8 - 2 9 ( -343 ) )

= 1 3 ( 16 9 + 686 9 )

= 1 3 · 78

= 26

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( -x +1 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 1 ( -x +1 ) 2 x
= 3 u ( -x +1 ) -2 x

= [ ( -x +1 ) -1 ] 3 u

= [ 1 -x +1 ] 3 u

= 1 -u +1 - 1 -3 +1

= 1 -u +1 - 1 ( -2 )

= 1 -u +1 - ( - 1 2 )

= 1 -u +1 + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 -u +1 + 1 2 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5