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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 54 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 4 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{12 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{5} - \frac{4}{3} e^{- 4}$

≈ 197,86

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 54 + $\frac{4}{3} e^{5} - \frac{4}{3} e^{- 4}$ ≈ 251.86

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 21 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 2 - 3} - 2 e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $2 e^{4 - 3} - 2 e^{2 - 3}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 21 + $- 2 e^{- 1} + 2 e$ ≈ 25.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,9 x + 0,9} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,7 e^{- 0,9 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,9 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,9 u + 0,9} + 3 e^{- 0,9 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 3 e^{- 0,9 u + 0,9} + 3 e^{0 + 0,9}$

= $- 3 e^{- 0,9 u + 0,9} + 3 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,9 u + 0,9} + 3 e^{0,9}$	=	$3$	\| $- 3 e^{0,9}$
$- 3 e^{- 0,9 u + 0,9}$	=	$- 3 e^{0,9} + 3$
$- 3 e^{- 0,9 u + 0,9}$	=	$- 4,3788$	\|: $- 3$
$e^{- 0,9 u + 0,9}$	=	$1,4596$	\|ln(⋅)
$- 0,9 u + 0,9$	=	$\ln (1,4596)$

$- 0,9 u + 0,9$	=	$0,3782$	\| $- 0,9$
$- 0,9 u$	=	$- 0,5218$	\|:( $- 0,9$ )
$u$	=	$0,5798$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (π + \frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (0 + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{- x + 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- x + 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 3 \ln (| - x + 2 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 \ln (| - (u) + 2 |) + 3 \ln (| - 3 + 2 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 2 |) + 3 \ln (| - 3 + 2 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 2 |) + 3 \ln (1)$

= $- 3 \ln (| - u + 2 |) + 0$

= $- 3 \ln (| - x + 2 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 3 \ln (| - x + 2 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale