Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{2 x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $9$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{27}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

9

und

\frac{27}{2}

:

\int_{9}^{\frac{27}{2}} \sqrt{2 x - 2} ⅆ x

=

\int_{9}^{\frac{27}{2}} {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

= ${[\frac{1}{3} {(\sqrt{2 x - 2})}^{3}]}_{9}^{\frac{27}{2}}$

$=$ $\frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{27}{2}) - 2})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{2 \cdot 9 - 2})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{27 - 2})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3}$

= $\frac{1}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{1}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 64$

= $\frac{125}{3} - \frac{64}{3}$

= $\frac{61}{3}$

≈ 20,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

9

und der Änderung zwischen

9

und

\frac{27}{2}

zusammen:

B = 5 + $\frac{61}{3}$ = $\frac{76}{3}$ ≈ 25.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{16}{3}$ s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 5 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} 5 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 27$

= $\frac{1250}{9} - 30$

= $\frac{1250}{9} - \frac{270}{9}$

= $\frac{980}{9}$

≈ 108,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 14 + $\frac{980}{9}$ = $\frac{1106}{9}$ ≈ 122.89

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (2 x - 2) ⅆ x$ = $2,25$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (2 x - 2) ⅆ x

= ${[x^{2} - 2 x]}_{1}^{u}$

$=$ $u^{2} - 2 u - (1^{2} - 2 \cdot 1)$

= $u^{2} - 2 u - (1 - 2)$

= $u^{2} - 2 u - 1 + 2$

= $u^{2} - 2 u + 1$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} - 2 u + 1

=

2,25

|

- 2,25

$u^{2} - 2 u - 1,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1,25)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 5}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{2+3}{2}$ = $\frac{5}{2}$ = $2,5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{2-3}{2}$ = $\frac{- 1}{2}$ = $- 0,5$

Da u= $- 0,5$ < 1 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{3 x - 5}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} e^{3 x - 5} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{1}{3} e^{3 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} e^{3 \cdot 2 - 5} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0 - 5})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} e^{6 - 5} - \frac{1}{3} e^{0 - 5})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} e^{1} - \frac{1}{3} e^{- 5})$

= $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} e - \frac{1}{3} e^{- 5})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} e^{- 5} + \frac{1}{3} e)$

≈ 0,452

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{2 x - 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{1}^{u} e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 4}]}_{1}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 u - 4} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{1}{2} e^{2 u - 4} - \frac{1}{2} e^{2 - 4}$

= $\frac{1}{2} e^{2 u - 4} - \frac{1}{2} e^{- 2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2} e^{2 u - 4} - \frac{1}{2} e^{- 2}$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale