Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 12 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
≈ 38,171
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 76 +
≈ 114.17
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
28
-4
=
-7
u2 =
-3
-
961
-4
=
-3
-31
-4
=
-34
-4
=
8,5
Da u=
-7
< 2 ist u=
8,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2 2x -1 zwischen 2 und 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
-2
∫
2
3
2
2x
-1
ⅆ
x
=
1
∫
2
3
2
(
2x
-1
)
-1
ⅆ
x
=
1
[
ln(
|
2x
-1
|
)
]
2
3
=
ln(
|
2⋅3
-1
|
)
-
ln(
|
2⋅2
-1
|
)
=
ln(
|
6
-1
|
)
-
ln(
|
4
-1
|
)
=
ln(
5
)
-
ln(
|
4
-1
|
)
=
ln(
5
)
-
ln(
3
)
≈ 0,511
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 -x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
3
-x
+1
ⅆ
x
=
∫
3
u
3
(
-x
+1
)
-1
ⅆ
x
=
[
-3
ln(
|
-x
+1
|
)
]
3
u
=
-3
ln(
|
-(
u
)
+1
|
)
+3
ln(
|
-3
+1
|
)
=
-3
ln(
|
-u
+1
|
)
+3
ln(
|
-3
+1
|
)
=
-3
ln(
|
-u
+1
|
)
+3
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
ln(
2
)
-3
ln(
|
-x
+1
|
)
→
∞