Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e 2x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 2 e 2x -5 x

= [ e 2x -5 ] 0 2

= e 22 -5 - e 20 -5

= e 4 -5 - e 0 -5

= e -1 - e -5


≈ 0,361
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 18 + e -1 - e -5 ≈ 18.36

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 ( x -1 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 1 ( x -1 ) 2 x
= 2 4 ( x -1 ) -2 x

= [ - ( x -1 ) -1 ] 2 4

= [ - 1 x -1 ] 2 4

= - 1 4 -1 + 1 2 -1

= - 1 3 + 1 1

= -( 1 3 ) + 1

= 2 3


≈ 0,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 9 + 2 3 = 29 3 ≈ 9.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u -4x x = -94,5

Lösung einblenden
3 u -4x x

= [ -2 x 2 ] 3 u

= -2 u 2 +2 3 2

= -2 u 2 +29

= -2 u 2 +18

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -94,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 +18 = -94,5 | -18
-2 u 2 = -112,5 |: ( -2 )
u 2 = 56,25 | 2
u1 = - 56,25 = -7,5
u2 = 56,25 = 7,5

Da u= -7,5 < 3 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 sin( 2x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 5 sin( 2x + π) x

= 2 π [ - 5 2 cos( 2x + π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( - 5 2 cos( 2π + π) + 5 2 cos( 2( 1 2 π ) + π) )

= 2 π · ( - 5 2 cos(3π) + 5 2 cos(2π) )

= 2 π · ( - 5 2 ( -1 ) + 5 2 1 )

= 2 π · ( 5 2 + 5 2 )

= 2 π · ( 2,5 +2,5 )

= 2 π · 5

= 10 π


≈ 3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 3x -5 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 1 ( 3x -5 ) 3 x
= 3 u ( 3x -5 ) -3 x

= [ - 1 6 ( 3x -5 ) -2 ] 3 u

= [ - 1 6 ( 3x -5 ) 2 ] 3 u

= - 1 6 ( 3u -5 ) 2 + 1 6 ( 33 -5 ) 2

= - 1 6 ( 3u -5 ) 2 + 1 6 ( 9 -5 ) 2

= - 1 6 ( 3u -5 ) 2 + 1 6 4 2

= - 1 6 ( 3u -5 ) 2 + 1 6 ( 1 16 )

= - 1 6 ( 3u -5 ) 2 + 1 96

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 6 ( 3u -5 ) 2 + 1 96 0 + 1 96 = 1 96 ≈ 0.01

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.01