Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 11 s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 27:
11 27 5 x -2 x
= 11 27 5 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 10 3 ( x -2 ) 3 2 ] 11 27

= [ 10 3 ( x -2 ) 3 ] 11 27

= 10 3 ( 27 -2 ) 3 - 10 3 ( 11 -2 ) 3

= 10 3 ( 25 ) 3 - 10 3 ( 9 ) 3

= 10 3 5 3 - 10 3 3 3

= 10 3 125 - 10 3 27

= 1250 3 -90

= 1250 3 - 270 3

= 980 3


≈ 326,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 27 zusammen:
B = 16 + 980 3 = 1028 3 ≈ 342.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 3 e x -1 x

= [ 3 e x -1 ] 0 2

= 3 e 2 -1 -3 e 0 -1

= 3 e 1 -3 e -1

= 3e -3 e -1


≈ 7,051
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 14 + -3 e -1 +3e ≈ 21.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -4x -3 ) x = -14

Lösung einblenden
0 u ( -4x -3 ) x

= [ -2 x 2 -3x ] 0 u

= -2 u 2 -3u - ( -2 0 2 -30 )

= -2 u 2 -3u - ( -20 +0)

= -2 u 2 -3u - (0+0)

= -2 u 2 -3u +0

= -2 u 2 -3u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -14 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 -3u = -14 | +14

-2 u 2 -3u +14 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · ( -2 ) · 14 2( -2 )

u1,2 = +3 ± 9 +112 -4

u1,2 = +3 ± 121 -4

u1 = 3 + 121 -4 = 3 +11 -4 = 14 -4 = -3,5

u2 = 3 - 121 -4 = 3 -11 -4 = -8 -4 = 2

Da u= -3,5 < 0 ist u= 2 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -4 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 6 3x -4 x
= 1 2 3 5 6 ( 3x -4 ) -1 x

= 1 2 [ 2 ln( | 3x -4 | ) ] 3 5

= 1 2 (2 ln( | 35 -4 | ) -2 ln( | 33 -4 | ) )

= 1 2 (2 ln( | 15 -4 | ) -2 ln( | 9 -4 | ) )

= 1 2 (2 ln( 11 ) -2 ln( | 9 -4 | ) )

= 1 2 (2 ln( 11 ) -2 ln( 5 ) )


≈ 0,788

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -4 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 3 ( 2x -4 ) 2 x
= 3 u 3 ( 2x -4 ) -2 x

= [ - 3 2 ( 2x -4 ) -1 ] 3 u

= [ - 3 2( 2x -4 ) ] 3 u

= - 3 2( 2u -4 ) + 3 2( 23 -4 )

= - 3 2( 2u -4 ) + 3 2( 6 -4 )

= - 3 2( 2u -4 ) + 3 2 2

= - 3 2( 2u -4 ) + 3 2 ( 1 2 )

= - 3 2( 2u -4 ) + 3 4

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 3 2( 2u -4 ) + 3 4 0 + 3 4 = 3 4 ≈ 0.75

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.75