Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 30 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 6}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{3 \cdot 2 - 6} - e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $e^{6 - 6} - e^{0 - 6}$

= $e^{0} - e^{- 6}$

= $1 - e^{- 6}$

≈ 0,998

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 30 + $- e^{- 6} + 1$ ≈ 31

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 3 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 2} - \frac{3}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2}$

≈ 80,397

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 71 + $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2}$ ≈ 151.4

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,7 e^{- 0,1 x + 0,2} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,7 e^{- 0,1 x + 0,2} ⅆ x

= ${[- 7 e^{- 0,1 x + 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 7 e^{- 0,1 u + 0,2} + 7 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,2}$

= $- 7 e^{- 0,1 u + 0,2} + 7 e^{0 + 0,2}$

= $- 7 e^{- 0,1 u + 0,2} + 7 e^{0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 7 e^{- 0,1 u + 0,2} + 7 e^{0,2}$	=	$4$	\| $- 7 e^{0,2}$
$- 7 e^{- 0,1 u + 0,2}$	=	$- 7 e^{0,2} + 4$
$- 7 e^{- 0,1 u + 0,2}$	=	$- 4,5498$	\|: $- 7$
$e^{- 0,1 u + 0,2}$	=	$0,65$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,2$	=	$\ln (0,65)$

$- 0,1 u + 0,2$	=	$- 0,4308$	\| $- 0,2$
$- 0,1 u$	=	$- 0,6308$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$6,308$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 {(x - 2)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} 3 {(x - 2)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[{(x - 2)}^{3}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} ({(4 - 2)}^{3} - {(0 - 2)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (2^{3} - {(- 2)}^{3})$

= $\frac{1}{4} (8 - (- 8))$

= $\frac{1}{4} (8 + 8)$

= $\frac{1}{4} \cdot 16$

= $4$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $e^{- 2 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 5}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{1}{2} e^{- 4 + 5}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{1}{2} e^{1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{1}{2} e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{1}{2} e$ → $0 + \frac{1}{2} e$ = $\frac{1}{2} e$ ≈ 1.359

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.359

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale