Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e 2x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 3 e 2x -1 x

= [ 3 2 e 2x -1 ] 0 3

= 3 2 e 23 -1 - 3 2 e 20 -1

= 3 2 e 6 -1 - 3 2 e 0 -1

= 3 2 e 5 - 3 2 e -1


≈ 222,068
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 3 + 3 2 e 5 - 3 2 e -1 ≈ 225.07

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 3 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 42 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 3 e 3x -7 x

= [ e 3x -7 ] 1 2

= e 32 -7 - e 31 -7

= e 6 -7 - e 3 -7

= e -1 - e -4


≈ 0,35
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 42 + e -1 - e -4 ≈ 42.35

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,4 e 0,4x -0,8 x = 6

Lösung einblenden
0 u 2,4 e 0,4x -0,8 x

= [ 6 e 0,4x -0,8 ] 0 u

= 6 e 0,4u -0,8 -6 e 0,40 -0,8

= 6 e 0,4u -0,8 -6 e 0 -0,8

= 6 e 0,4u -0,8 -6 e -0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 6 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

6 e 0,4u -0,8 -6 e -0,8 = 6 | +6 e -0,8
6 e 0,4u -0,8 = 6 e -0,8 +6
6 e 0,4u -0,8 = 8,696 |:6
e 0,4u -0,8 = 1,4493 |ln(⋅)
0,4u -0,8 = ln( 1,4493 )
0,4u -0,8 = 0,3711 | +0,8
0,4u = 1,1711 |:0,4
u = 2,9278

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 cos( x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π+0 0 π 3 cos( x - 3 2 π) x

= 1 π [ 3 sin( x - 3 2 π) ] 0 π

= 1 π · ( 3 sin( π - 3 2 π) -3 sin( 0 - 3 2 π) )

= 1 π · ( 3 sin( - 1 2 π) -3 sin( - 3 2 π) )

= 1 π · ( 3( -1 ) -31 )

= 1 π · ( -3 -3 )

= 1 π · ( -6 )

= - 6 π


≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 2 ( -2x +4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 3 u - 2 ( -2x +4 ) 3 x
= 3 u -2 ( -2x +4 ) -3 x

= [ - 1 2 ( -2x +4 ) -2 ] 3 u

= [ - 1 2 ( -2x +4 ) 2 ] 3 u

= - 1 2 ( -2u +4 ) 2 + 1 2 ( -23 +4 ) 2

= - 1 2 ( -2u +4 ) 2 + 1 2 ( -6 +4 ) 2

= - 1 2 ( -2u +4 ) 2 + 1 2 ( -2 ) 2

= - 1 2 ( -2u +4 ) 2 + 1 2 ( 1 4 )

= - 1 2 ( -2u +4 ) 2 + 1 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ( -2u +4 ) 2 + 1 8 0 + 1 8 = 1 8 ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125