Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 2 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $2 e^{4 - 3} - 2 e^{2 - 3}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 10 + $- 2 e^{- 1} + 2 e$ ≈ 14.7

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{6}{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 6 {(3 x - 6)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| 3 x - 6 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $2 \ln (| 3 \cdot 5 - 6 |) - 2 \ln (| 3 \cdot 3 - 6 |)$

= $2 \ln (| 15 - 6 |) - 2 \ln (| 9 - 6 |)$

= $2 \ln (9) - 2 \ln (| 9 - 6 |)$

= $2 \ln (9) - 2 \ln (3)$

≈ 2,197

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 7 + $2 \ln (| 9 |) - 2 \ln (| 3 |)$ ≈ 9.2

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 8 x ⅆ x$ = $405$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 8 x ⅆ x

= ${[4 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $4 u^{2} - 4 \cdot 3^{2}$

= $4 u^{2} - 4 \cdot 9$

= $4 u^{2} - 36$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $405$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 u^{2} - 36$	=	$405$	\| $+ 36$
$4 u^{2}$	=	$441$	\|: $4$
$u^{2}$	=	$\frac{441}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{\frac{441}{4}}$	= $- \frac{21}{2}$
u₂	=	$\sqrt{\frac{441}{4}}$	= $\frac{21}{2}$

Da u= $- \frac{21}{2}$ < 3 ist u= $\frac{21}{2}$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[2 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot \sin (\frac{3}{2} π - \frac{3}{2} π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot \sin (0) - 2 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{2}{- 3 x + 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 2 {(- 3 x + 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 3 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 (u) + 3 |) + \frac{2}{3} \ln (| - 3 \cdot 2 + 3 |)$

= $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 3 |) + \frac{2}{3} \ln (| - 6 + 3 |)$

= $- \frac{2}{3} \ln (| - 3 u + 3 |) + \frac{2}{3} \ln (3)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} \ln (3) - \frac{2}{3} \ln (| - 3 x + 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale