Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 32,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 6 + = ≈ 38.89
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 2 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 11 + = ≈ 11.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
38
4
=
9,5
u2 =
-3
-
1681
4
=
-3
-41
4
=
-44
4
=
-11
Da u=
-11
< 2 ist u=
9,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= sin( 2x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 1 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
1
2
π+0
∫
0
1
2
π
sin(
2x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
π
[
-
1
2
⋅
cos(
2x
+
3
2
π)
]
0
1
2
π
=
2
π
·
(
-
1
2
⋅
cos(
2⋅(
1
2
π )
+
3
2
π)
+
1
2
⋅
cos(
2⋅( 0 )
+
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
1
2
⋅
cos(
5
2
π)
+
1
2
⋅
cos(
3
2
π)
)
=
2
π
·
(
-
1
2
⋅0
+
1
2
⋅0
)
=
2
π
·
(
0+0
)
=
2
π
· 0
= 0
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
3
(
-x
+3
)
2
ⅆ
x
=
∫
4
u
3
(
-x
+3
)
-2
ⅆ
x
=
[
3
(
-x
+3
)
-1
]
4
u
=
[
3
-x
+3
]
4
u
=
3
-u
+3
-
3
-4
+3
=
3
-u
+3
-
3
( -1 )
=
3
-u
+3
-3⋅( -1 )
=
3
-u
+3
+3
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
-u
+3
+3
→
0
+3
=
3
≈ 3
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3