Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{3 - 7} - \frac{4}{3} e^{0 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{- 4} - \frac{4}{3} e^{- 7}$

≈ 0,023

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 13 + $\frac{4}{3} e^{- 4} - \frac{4}{3} e^{- 7}$ ≈ 13.02

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 62 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 3 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 6}]}_{0}^{1}$

$=$ $e^{3 \cdot 1 - 6} - e^{3 \cdot 0 - 6}$

= $e^{3 - 6} - e^{0 - 6}$

= $e^{- 3} - e^{- 6}$

≈ 0,047

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 62 + $e^{- 3} - e^{- 6}$ ≈ 62.05

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 2 x ⅆ x$ = $11,25$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 2 x ⅆ x

= ${[x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $u^{2} - 3^{2}$

= $u^{2} - 9$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $11,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^{2} - 9$	=	$11,25$	\| $+ 9$
$u^{2}$	=	$20,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{20,25}$	= $- 4,5$
u₂	=	$\sqrt{20,25}$	= $4,5$

Da u= $- 4,5$ < 3 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 e^{3 x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} 5 e^{3 x - 3} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 3} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 0 - 3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{5}{3} e^{12 - 3} - \frac{5}{3} e^{0 - 3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{5}{3} e^{9} - \frac{5}{3} e^{- 3})$

≈ 3376,264

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{3 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $5$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} \frac{1}{\sqrt{3 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} {(3 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{5}^{u}$

= ${[\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 6}]}_{5}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3} \sqrt{3 u - 6} - \frac{2}{3} \sqrt{3 \cdot 5 - 6}$

= $\frac{2}{3} \sqrt{3 u - 6} - \frac{2}{3} \sqrt{15 - 6}$

= $\frac{2}{3} \sqrt{3 u - 6} - \frac{2}{3} \sqrt{9}$

= $\frac{2}{3} \sqrt{3 u - 6} - \frac{2}{3} \cdot 3$

= $\frac{2}{3} \sqrt{3 u - 6} - 2$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} \sqrt{3 u - 6} - 2$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale