Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 77 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 6 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $6 e^{5 - 3} - 6 e^{2 - 3}$

= $6 e^{2} - 6 e^{- 1}$

≈ 42,127

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 77 + $6 e^{2} - 6 e^{- 1}$ ≈ 119.13

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{2}$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $10$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{2}

und

10

:

\int_{\frac{13}{2}}^{10} 2 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{2}}^{10} 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{2}}^{10}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{2}}^{10}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{13}{2}) - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{20 - 4})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{128}{3} - 18$

= $\frac{128}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{74}{3}$

≈ 24,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{2}

und

10

zusammen:

B = 4 + $\frac{74}{3}$ = $\frac{86}{3}$ ≈ 28.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 x ⅆ x$ = $6,25$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 x ⅆ x

= ${[x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $u^{2} - 0^{2}$

= $u^{2} - 0$

= $u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^{2}$	=	$6,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{6,25}$	= $- 2,5$
u₂	=	$\sqrt{6,25}$	= $2,5$

Da u= $- 2,5$ < 0 ist u= $2,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{3 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{4}{3 x - 3} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} 4 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{4}{3} \ln (| 3 x - 3 |)]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |) - \frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 3 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (| 9 - 3 |) - \frac{4}{3} \ln (| 6 - 3 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (6) - \frac{4}{3} \ln (| 6 - 3 |)$

= $\frac{4}{3} \ln (6) - \frac{4}{3} \ln (3)$

≈ 0,924

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 6)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} \frac{2}{{(3 x - 6)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} 2 {(3 x - 6)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 6)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 6)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 4 - 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{3 {(12 - 6)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{3 \cdot 6^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{36})$

= $- \frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{108}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 {(3 u - 6)}^{2}} + \frac{1}{108}$ → $0 + \frac{1}{108}$ = $\frac{1}{108}$ ≈ 0.009

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.009

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale