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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 1 ( 3x -7 ) 3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
∫ 4 7 1 ( 3x -7 ) 3 ⅆ x
= ∫ 4 7 ( 3x -7 ) -3 ⅆ x

= [ - 1 6 ( 3x -7 ) -2 ] 4 7

= [ - 1 6 ( 3x -7 ) 2 ] 4 7

= - 1 6 ( 3⋅7 -7 ) 2 + 1 6 ( 3⋅4 -7 ) 2

= - 1 6 ( 21 -7 ) 2 + 1 6 ( 12 -7 ) 2

= - 1 6⋅ 14 2 + 1 6⋅ 5 2

= - 1 6 ⋅( 1 196 ) + 1 6 ⋅( 1 25 )

= - 1 1176 + 1 150

= - 25 29400 + 196 29400

= 57 9800


≈ 0,006
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 11 + 57 9800 = 107.857 9800 ≈ 11.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 1 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
∫ 3 6 1 x -2 ⅆ x
= ∫ 3 6 ( x -2 ) -1 ⅆ x

= [ ln( | x -2 | ) ] 3 6

= ln( | 6 -2 | ) - ln( | 3 -2 | )

= ln( 4 ) - ln( | 3 -2 | )

= ln( 4 ) - ln( 1 )

= ln( 4 ) +0

= ln( 4 )


≈ 1,386
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 6 + ln( 4 ) ≈ 7.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass ∫ 2 u 8x ⅆ x = 240

Lösung einblenden
∫ 2 u 8x ⅆ x

= [ 4 x 2 ] 2 u

= 4 u 2 -4⋅ 2 2

= 4 u 2 -4⋅4

= 4 u 2 -16

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 240 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -16 = 240 | +16
4 u 2 = 256 |:4
u 2 = 64 | ⋅2
u1 = - 64 = -8
u2 = 64 = 8

Da u= -8 < 2 ist u= 8 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 4.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 -2 ∫ 2 4 3 ( 3x -3 ) 2 ⅆ x
= 1 2 ∫ 2 4 3 ( 3x -3 ) -2 ⅆ x

= 1 2 [ - ( 3x -3 ) -1 ] 2 4

= 1 2 [ - 1 3x -3 ] 2 4

= 1 2 ( - 1 3⋅4 -3 + 1 3⋅2 -3 )

= 1 2 ( - 1 12 -3 + 1 6 -3 )

= 1 2 ( - 1 9 + 1 3 )

= 1 2 ( -( 1 9 ) + 1 3 )

= 1 2 · 2 9


≈ 0,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 -3x +5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u 2 -3x +5 ⅆ x
= ∫ 2 u 2 ( -3x +5 ) -1 ⅆ x

= [ - 2 3 ln( | -3x +5 | ) ] 2 u

= - 2 3 ln( | -3( u ) +5 | ) + 2 3 ln( | -3⋅2 +5 | )

= - 2 3 ln( | -3u +5 | ) + 2 3 ln( | -6 +5 | )

= - 2 3 ln( | -3u +5 | ) + 2 3 ln( 1 )

= - 2 3 ln( | -3u +5 | ) +0

= - 2 3 ln( | -3x +5 | )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 2 3 ln( | -3x +5 | ) → ∞