Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 5 + = ≈ 5.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 14 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 2,143
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 14 + = ≈ 16.14
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
1
2
=
0,5
u2 =
-3
-
16
2
=
-3
-4
2
=
-7
2
=
-3,5
Da u=
-3,5
< 0 ist u=
0,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 2x -4 ) 2 +1 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
+0
∫
0
3
(
6
(
2x
-4
)
2
+1
)
ⅆ
x
=
1
3
[
(
2x
-4
)
3
+ x
]
0
3
=
1
3
(
(
2⋅3
-4
)
3
+3
- (
(
2⋅0
-4
)
3
+0))
=
1
3
(
(
6
-4
)
3
+3
- (
( 0
-4
)
3
+0))
=
1
3
(
2
3
+3
- (
( -4 )
3
+0))
=
1
3
(
8
+3
- (
( -64 )
+0))
=
1
3
(
8
+3
+64
)
=
1
3
·
75
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -x +1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
3
(
-x
+1
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
3
(
-x
+1
)
-3
ⅆ
x
=
[
3
2
(
-x
+1
)
-2
]
3
u
=
[
3
2
(
-x
+1
)
2
]
3
u
=
3
2
(
-u
+1
)
2
-
3
2
(
-3
+1
)
2
=
3
2
(
-u
+1
)
2
-
3
2
( -2 )
2
=
3
2
(
-u
+1
)
2
-
3
2
⋅(
1
4
)
=
3
2
(
-u
+1
)
2
-
3
8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
2
(
-u
+1
)
2
-
3
8
→
0
-
3
8
=
-
3
8
≈ -0.375
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375