= ${\left[\frac{4}{3}{e}^{3x-3}\right]}_1^4$

$=$ $\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 4-3}-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 1-3}$

= $\frac{4}{3}{e}^{12-3}-\frac{4}{3}{e}^{3-3}$

= $\frac{4}{3}{e}^9-\frac{4}{3}{e}^0$

= $\frac{4}{3}{e}^9-\frac{4}{3}$

= ${\left[5e^{x-3}\right]}_1^4$

$=$ $5e^{4-3}-5e^{1-3}$

= $5e^1-5e^{-2}$

= $5e-5e^{-2}$

= ${\left[5x^2+3x\right]}_3^u$

$=$ $5u^2+3u-\left(5\cdot 3^2+3\cdot 3\right)$

= $5u^2+3u-\left(5\cdot 9+9\right)$

= $5u^2+3u-\left(45+9\right)$

= $5u^2+3u-1·54$

= $5u^2+3u-54$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $38$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5u^2+3u-92$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·5·\left(-92\right)}}{2\cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+1840}}{10}$

u_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1849}}{10}$

u₁ = $\frac{-3+\sqrt{1849}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>43</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

u₂ = $\frac{-3-\sqrt{1849}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>43</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-46}{10}$ = $-\mathrm{4,6}$

Da u= $-\mathrm{4,6}$ < 3 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{3}{4}{\left(x-1\right)}^4+3x\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}(\frac{3}{4}\cdot {\left(3-1\right)}^4+3\cdot 3-\left(\frac{3}{4}\cdot {\left(0-1\right)}^4+3\cdot 0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{3}{4}\cdot 2^4+9-\left(\frac{3}{4}\cdot {\left(-1\right)}^4+0\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{3}{4}\cdot 16+9-\left(\frac{3}{4}\cdot 1+0\right))$

= $\frac{1}{3}(12+9-\left(\frac{3}{4}+0\right))$

= $\frac{1}{3}(21-\left(\frac{3}{4}+0\right))$

= $\frac{1}{3}\left(21-\frac{3}{4}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{84}{4}-\frac{3}{4}\right)$

= $\frac{1}{3}·\frac{81}{4}$

= $\frac{27}{4}$

= ${\left[{\left(2x-2\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{\mathrm{5,5}}$

= ${\left[\sqrt{2x-2}\right]}_u^{\mathrm{5,5}}$

$=$ $\sqrt{2\cdot \mathrm{5,5}-2}-\sqrt{2u-2}$

= $\sqrt{11-2}-\sqrt{2u-2}$

= $\sqrt{9}-\sqrt{2u-2}$

= $3-\sqrt{2u-2}$

= $-\sqrt{2u-2}+3$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $-\sqrt{2u-2}+3$ → $0+3$ = $3$ ≈ 3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3