Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 22 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{6 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{- 1} - \frac{4}{3} e^{- 4}$

≈ 0,466

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 22 + $\frac{4}{3} e^{- 1} - \frac{4}{3} e^{- 4}$ ≈ 22.47

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 3}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 2 - 3} - 2 e^{2 \cdot 1 - 3}$

= $2 e^{4 - 3} - 2 e^{2 - 3}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 1}$

= $2 e - 2 e^{- 1}$

≈ 4,701

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 6 + $- 2 e^{- 1} + 2 e$ ≈ 10.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,1 x + 0,7} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,1 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- 0,1 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 e^{- 0,1 u + 0,7} + 2 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 2 e^{- 0,1 u + 0,7} + 2 e^{0 + 0,7}$

= $- 2 e^{- 0,1 u + 0,7} + 2 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 e^{- 0,1 u + 0,7} + 2 e^{0,7}$	=	$2$	\| $- 2 e^{0,7}$
$- 2 e^{- 0,1 u + 0,7}$	=	$- 2 e^{0,7} + 2$
$- 2 e^{- 0,1 u + 0,7}$	=	$- 2,0275$	\|: $- 2$
$e^{- 0,1 u + 0,7}$	=	$1,0138$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,7$	=	$\ln (1,0138)$

$- 0,1 u + 0,7$	=	$0,0137$	\| $- 0,7$
$- 0,1 u$	=	$- 0,6863$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$6,863$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \cdot \cos (3 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 2 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\frac{2}{3} \cdot \sin (3 x - π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot π - π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \sin (2 π) - \frac{2}{3} \cdot \sin (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(- 2 x + 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{3}{{(- 2 x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 3 {(- 2 x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} {(- 2 x + 3)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{3}{2 (- 2 x + 3)}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2 (- 2 u + 3)} - \frac{3}{2 (- 2 \cdot 2 + 3)}$

= $\frac{3}{2 (- 2 u + 3)} - \frac{3}{2 (- 4 + 3)}$

= $\frac{3}{2 (- 2 u + 3)} - \frac{3}{2 (- 1)}$

= $\frac{3}{2 (- 2 u + 3)} - \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $\frac{3}{2 (- 2 u + 3)} + \frac{3}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2 (- 2 u + 3)} + \frac{3}{2}$ → $0 + \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale