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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
∫ 1 4 4 e x -1 ⅆ x

= [ 4 e x -1 ] 1 4

= 4 e 4 -1 -4 e 1 -1

= 4 e 3 -4 e 0

= 4 e 3 -4


≈ 76,342
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 76 + 4 e 3 -4 ≈ 152.34

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 2x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:
∫ 4 5 4 2x -5 ⅆ x
= ∫ 4 5 4 ( 2x -5 ) -1 ⅆ x

= [ 2 ln( | 2x -5 | ) ] 4 5

= 2 ln( | 2⋅5 -5 | ) -2 ln( | 2⋅4 -5 | )

= 2 ln( | 10 -5 | ) -2 ln( | 8 -5 | )

= 2 ln( 5 ) -2 ln( | 8 -5 | )

= 2 ln( 5 ) -2 ln( 3 )


≈ 1,022
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:
B = 15 + 2 ln( | 5 | ) -2 ln( | 3 | ) ≈ 16.02

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 1,4 e 0,7x -0,7 ⅆ x = 7

Lösung einblenden
∫ 0 u 1,4 e 0,7x -0,7 ⅆ x

= [ 2 e 0,7x -0,7 ] 0 u

= 2 e 0,7u -0,7 -2 e 0,7⋅0 -0,7

= 2 e 0,7u -0,7 -2 e 0 -0,7

= 2 e 0,7u -0,7 -2 e -0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 e 0,7u -0,7 -2 e -0,7 = 7 | +2 e -0,7
2 e 0,7u -0,7 = 2 e -0,7 +7
2 e 0,7u -0,7 = 7,9932 |:2
e 0,7u -0,7 = 3,9966 |ln(⋅)
0,7u -0,7 = ln( 3,9966 )
0,7u -0,7 = 1,3854 | +0,7
0,7u = 2,0854 |:0,7
u = 2,9791

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 5 und Minute 7.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 7 -5 ∫ 5 7 4 x -3 ⅆ x
= 1 2 ∫ 5 7 4 ( x -3 ) -1 ⅆ x

= 1 2 [ 4 ln( | x -3 | ) ] 5 7

= 1 2 (4 ln( | 7 -3 | ) -4 ln( | 5 -3 | ) )

= 1 2 (4 ln( 4 ) -4 ln( | 5 -3 | ) )

= 1 2 (4 ln( 4 ) -4 ln( 2 ) )


≈ 1,386

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e x -1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 2 u - e x -1 ⅆ x

= [ - e x -1 ] 2 u

= - e u -1 + e 2 -1

= - e u -1 + e 1

= - e u -1 + e

Für u → ∞ gilt: A(u) = - e u -1 + e → -∞