Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 63 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 4 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 4 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{12 - 4} - \frac{4}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{8} - \frac{4}{3} e^{2}$

≈ 3964,759

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 63 + $\frac{4}{3} e^{8} - \frac{4}{3} e^{2}$ ≈ 4027.76

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $4$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

4

und

\frac{28}{3}

:

\int_{4}^{\frac{28}{3}} 3 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{\frac{28}{3}} 3 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{4}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{250}{3} - 18$

= $\frac{250}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{196}{3}$

≈ 65,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

4

und der Änderung zwischen

4

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 4 + $\frac{196}{3}$ = $\frac{208}{3}$ ≈ 69.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 2 x + 2) ⅆ x$ = $- 32$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 2 x + 2) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 2 u - (- 3^{2} + 2 \cdot 3)$

= $- u^{2} + 2 u - (- 9 + 6)$

= $- u^{2} + 2 u + 9 - 6$

= $- u^{2} + 2 u + 3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 32$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} + 2 u + 3

=

- 32

|

+ 32

$- u^{2} + 2 u + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 35}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 2+12}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 2-12}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Da u= $- 5$ < 3 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot π - \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- 2 x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 3 e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 1}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{3}{2} e^{- 4 + 1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{3}{2} e^{- 3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 1} + \frac{3}{2} e^{- 3}$ → $0 + \frac{3}{2} e^{- 3}$ = $\frac{3}{2} e^{- 3}$ ≈ 0.075

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.075

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale