Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 3} - \frac{2}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{- 3}$

≈ 268,919

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 25 + $\frac{2}{3} e^{6} - \frac{2}{3} e^{- 3}$ ≈ 293.92

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{23}{3}$ s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{32}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 5 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 5 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 64$

= $\frac{1250}{9} - \frac{640}{9}$

= $\frac{610}{9}$

≈ 67,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{23}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 5 + $\frac{610}{9}$ = $\frac{655}{9}$ ≈ 72.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,3 x + 0,9} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,9 e^{- 0,3 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- 0,3 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 3 e^{- 0,3 u + 0,9} + 3 e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 3 e^{- 0,3 u + 0,9} + 3 e^{0 + 0,9}$

= $- 3 e^{- 0,3 u + 0,9} + 3 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 3 e^{- 0,3 u + 0,9} + 3 e^{0,9}$	=	$1$	\| $- 3 e^{0,9}$
$- 3 e^{- 0,3 u + 0,9}$	=	$- 3 e^{0,9} + 1$
$- 3 e^{- 0,3 u + 0,9}$	=	$- 6,3788$	\|: $- 3$
$e^{- 0,3 u + 0,9}$	=	$2,1263$	\|ln(⋅)
$- 0,3 u + 0,9$	=	$\ln (2,1263)$

$- 0,3 u + 0,9$	=	$0,7544$	\| $- 0,9$
$- 0,3 u$	=	$- 0,1456$	\|:( $- 0,3$ )
$u$	=	$0,4853$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 1)}^{2}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 0 und Minute 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 2 {(x - 1)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2 - 1)}^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0 - 1)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 2 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 x - 3}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 u - 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 - 3}$

= $- \frac{1}{2 u - 3} + \frac{1}{6 - 3}$

= $- \frac{1}{2 u - 3} + \frac{1}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 u - 3} + \frac{1}{3}$ → $0 + \frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale