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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 3x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4 s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 19 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 19 3 :
∫ 4 19 3 5 3x -3 ⅆ x
= ∫ 4 19 3 5 ( 3x -3 ) 1 2 ⅆ x

= [ 10 9 ( 3x -3 ) 3 2 ] 4 19 3

= [ 10 9 ( 3x -3 ) 3 ] 4 19 3

= 10 9 ( 3⋅( 19 3 ) -3 ) 3 - 10 9 ( 3⋅4 -3 ) 3

= 10 9 ( 19 -3 ) 3 - 10 9 ( 12 -3 ) 3

= 10 9 ( 16 ) 3 - 10 9 ( 9 ) 3

= 10 9 ⋅ 4 3 - 10 9 ⋅ 3 3

= 10 9 ⋅64 - 10 9 ⋅27

= 640 9 -30

= 640 9 - 270 9

= 370 9


≈ 41,111
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 19 3 zusammen:
B = 13 + 370 9 = 487 9 ≈ 54.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
∫ 19 28 3 x -3 ⅆ x
= ∫ 19 28 3 ( x -3 ) 1 2 ⅆ x

= [ 2 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 2 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 2 ( 28 -3 ) 3 -2 ( 19 -3 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2⋅ 5 3 -2⋅ 4 3

= 2⋅125 -2⋅64

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 12 + 122 = 134

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u ( 4x -1 ) ⅆ x = 66

Lösung einblenden
∫ 0 u ( 4x -1 ) ⅆ x

= [ 2 x 2 - x ] 0 u

= 2 u 2 - u - ( 2⋅ 0 2 - 0 )

= 2 u 2 - u - ( 2⋅0 +0)

= 2 u 2 - u - (0+0)

= 2 u 2 - u +0

= 2 u 2 - u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 66 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 - u = 66 | -66

2 u 2 - u -66 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 2 · ( -66 ) 2⋅2

u1,2 = +1 ± 1 +528 4

u1,2 = +1 ± 529 4

u1 = 1 + 529 4 = 1 +23 4 = 24 4 = 6

u2 = 1 - 529 4 = 1 -23 4 = -22 4 = -5,5

Da u= -5,5 < 0 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 2x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 6.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 6 -4 ∫ 4 6 5 2x -5 ⅆ x
= 1 2 ∫ 4 6 5 ( 2x -5 ) -1 ⅆ x

= 1 2 [ 5 2 ln( | 2x -5 | ) ] 4 6

= 1 2 ( 5 2 ln( | 2⋅6 -5 | ) - 5 2 ln( | 2⋅4 -5 | ) )

= 1 2 ( 5 2 ln( | 12 -5 | ) - 5 2 ln( | 8 -5 | ) )

= 1 2 ( 5 2 ln( 7 ) - 5 2 ln( | 8 -5 | ) )

= 1 2 ( 5 2 ln( 7 ) - 5 2 ln( 3 ) )


≈ 1,059

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 ( -3x +4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 3 u 3 ( -3x +4 ) 3 ⅆ x
= ∫ 3 u 3 ( -3x +4 ) -3 ⅆ x

= [ 1 2 ( -3x +4 ) -2 ] 3 u

= [ 1 2 ( -3x +4 ) 2 ] 3 u

= 1 2 ( -3u +4 ) 2 - 1 2 ( -3⋅3 +4 ) 2

= 1 2 ( -3u +4 ) 2 - 1 2 ( -9 +4 ) 2

= 1 2 ( -3u +4 ) 2 - 1 2 ( -5 ) 2

= 1 2 ( -3u +4 ) 2 - 1 2 ⋅( 1 25 )

= 1 2 ( -3u +4 ) 2 - 1 50

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 ( -3u +4 ) 2 - 1 50 → 0 - 1 50 = - 1 50 ≈ -0.02

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.02