Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 11 s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 18 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 18:
11 18 2 x -2 x
= 11 18 2 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( x -2 ) 3 2 ] 11 18

= [ 4 3 ( x -2 ) 3 ] 11 18

= 4 3 ( 18 -2 ) 3 - 4 3 ( 11 -2 ) 3

= 4 3 ( 16 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 4 3 - 4 3 3 3

= 4 3 64 - 4 3 27

= 256 3 -36

= 256 3 - 108 3

= 148 3


≈ 49,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 18 zusammen:
B = 7 + 148 3 = 169 3 ≈ 56.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 2x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 9 s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 9 und 27 2 :
9 27 2 6 2x -2 x
= 9 27 2 6 ( 2x -2 ) 1 2 x

= [ 2 ( 2x -2 ) 3 2 ] 9 27 2

= [ 2 ( 2x -2 ) 3 ] 9 27 2

= 2 ( 2( 27 2 ) -2 ) 3 -2 ( 29 -2 ) 3

= 2 ( 27 -2 ) 3 -2 ( 18 -2 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 5 3 -2 4 3

= 2125 -264

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 9 und der Änderung zwischen 9 und 27 2 zusammen:
B = 6 + 122 = 128

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( -10x -3 ) x = -406

Lösung einblenden
2 u ( -10x -3 ) x

= [ -5 x 2 -3x ] 2 u

= -5 u 2 -3u - ( -5 2 2 -32 )

= -5 u 2 -3u - ( -54 -6 )

= -5 u 2 -3u - ( -20 -6 )

= -5 u 2 -3u -1 · ( -26 )

= -5 u 2 -3u +26

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -406 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 -3u +26 = -406 | +406

-5 u 2 -3u +432 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · ( -5 ) · 432 2( -5 )

u1,2 = +3 ± 9 +8640 -10

u1,2 = +3 ± 8649 -10

u1 = 3 + 8649 -10 = 3 +93 -10 = 96 -10 = -9,6

u2 = 3 - 8649 -10 = 3 -93 -10 = -90 -10 = 9

Da u= -9,6 < 2 ist u= 9 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 4 sin( 3x + 3 2 π) zwischen 1 2 π und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π - 1 2 π 1 2 π 3 2 π 4 sin( 3x + 3 2 π) x

= 1 π [ - 4 3 cos( 3x + 3 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 π · ( - 4 3 cos( 3( 3 2 π ) + 3 2 π) + 4 3 cos( 3( 1 2 π ) + 3 2 π) )

= 1 π · ( - 4 3 cos(6π) + 4 3 cos(3π) )

= 1 π · ( - 4 3 1 + 4 3 ( -1 ) )

= 1 π · ( - 4 3 - 4 3 )

= 1 π · ( - 8 3 )

= - 8 3 π


≈ -0,849

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u - e -x +3 x

= [ e -x +3 ] 1 u

= e -u +3 - e -1 +3

= e -u +3 - e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = e -u +3 - e 2 0 - e 2 = - e 2 ≈ -7.389

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 7.389