Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $10$ s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

\frac{29}{2}

:

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 6 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 6 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - 2 {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{16})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 4^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 64$

= $250 - 128$

= $122$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

\frac{29}{2}

zusammen:

B = 9 + $122$ = $131$

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 3 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 5}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 3 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{6 - 5} - \frac{3}{2} e^{2 - 5}$

= $\frac{3}{2} e^{1} - \frac{3}{2} e^{- 3}$

= $\frac{3}{2} e - \frac{3}{2} e^{- 3}$

≈ 4,003

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 5 + $- \frac{3}{2} e^{- 3} + \frac{3}{2} e$ ≈ 9

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,3 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,3 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x

= ${[e^{0,3 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $e^{0,3 u - 0,2} - e^{0,3 \cdot 0 - 0,2}$

= $e^{0,3 u - 0,2} - e^{0 - 0,2}$

= $e^{0,3 u - 0,2} - e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$e^{0,3 u - 0,2} - e^{- 0,2}$	=	$7$	\| $+ e^{- 0,2}$
$e^{0,3 u - 0,2}$	=	$e^{- 0,2} + 7$
$e^{0,3 u - 0,2}$	=	$7,8187$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,2$	=	$\ln (7,8187)$

$0,3 u - 0,2$	=	$2,0565$	\| $+ 0,2$
$0,3 u$	=	$2,2565$	\|: $0,3$
$u$	=	$7,5217$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $4 e^{3 x - 7}$ zwischen 2 und 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 7} - \frac{4}{3} e^{6 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{2} - \frac{4}{3} e^{- 1}$

≈ 9,362

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(3 x - 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{2}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 2 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{2}{3 (3 x - 5)}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{2}{3 (3 \cdot 2 - 5)}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{2}{3 (6 - 5)}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{2}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3 (3 u - 5)} - \frac{2}{3}$ → $0 - \frac{2}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.667

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale