Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 3x -4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 13 3 s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 29 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 13 3 und 29 3 :
13 3 29 3 5 3x -4 x
= 13 3 29 3 5 ( 3x -4 ) 1 2 x

= [ 10 9 ( 3x -4 ) 3 2 ] 13 3 29 3

= [ 10 9 ( 3x -4 ) 3 ] 13 3 29 3

= 10 9 ( 3( 29 3 ) -4 ) 3 - 10 9 ( 3( 13 3 ) -4 ) 3

= 10 9 ( 29 -4 ) 3 - 10 9 ( 13 -4 ) 3

= 10 9 ( 25 ) 3 - 10 9 ( 9 ) 3

= 10 9 5 3 - 10 9 3 3

= 10 9 125 - 10 9 27

= 1250 9 -30

= 1250 9 - 270 9

= 980 9


≈ 108,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 13 3 und der Änderung zwischen 13 3 und 29 3 zusammen:
B = 9 + 980 9 = 1061 9 ≈ 117.89

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 2 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 2 e x -3 x

= [ 2 e x -3 ] 2 3

= 2 e 3 -3 -2 e 2 -3

= 2 e 0 -2 e -1

= 2 -2 e -1


≈ 1,264
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 75 + -2 e -1 +2 ≈ 76.26

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u 8x x = 345

Lösung einblenden
2 u 8x x

= [ 4 x 2 ] 2 u

= 4 u 2 -4 2 2

= 4 u 2 -44

= 4 u 2 -16

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 345 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -16 = 345 | +16
4 u 2 = 361 |:4
u 2 = 361 4 | 2
u1 = - 361 4 = - 19 2
u2 = 361 4 = 19 2

Da u= - 19 2 < 2 ist u= 19 2 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 2x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 19 2 und Minute 14 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 14 - 19 2 19 2 14 2 2x -3 x
= 2 9 19 2 14 2 ( 2x -3 ) 1 2 x

= 2 9 [ 2 3 ( 2x -3 ) 3 2 ] 19 2 14

= 2 9 [ 2 3 ( 2x -3 ) 3 ] 19 2 14

= 2 9 ( 2 3 ( 214 -3 ) 3 - 2 3 ( 2( 19 2 ) -3 ) 3 )

= 2 9 ( 2 3 ( 28 -3 ) 3 - 2 3 ( 19 -3 ) 3 )

= 2 9 ( 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 16 ) 3 )

= 2 9 ( 2 3 5 3 - 2 3 4 3 )

= 2 9 ( 2 3 125 - 2 3 64 )

= 2 9 ( 250 3 - 128 3 )

= 2 9 · 122 3

= 244 27


≈ 9,037

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 -3x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u - 3 -3x +3 x
= 2 u -3 ( -3x +3 ) -1 x

= [ ln( | -3x +3 | ) ] 2 u

= ln( | -3( u ) +3 | ) - ln( | -32 +3 | )

= ln( | -3u +3 | ) - ln( | -6 +3 | )

= ln( | -3u +3 | ) - ln( 3 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - ln( 3 ) + ln( | -3x +3 | )