Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{3 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{13}{3}$ s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{29}{3}

:

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} 2 \sqrt{3 x - 4} ⅆ x

=

\int_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}} 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

= ${[\frac{4}{9} {(\sqrt{3 x - 4})}^{3}]}_{\frac{13}{3}}^{\frac{29}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{29}{3}) - 4})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{13}{3}) - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{29 - 4})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{13 - 4})}^{3}$

= $\frac{4}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 5^{3} - \frac{4}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{9} \cdot 125 - \frac{4}{9} \cdot 27$

= $\frac{500}{9} - 12$

= $\frac{500}{9} - \frac{108}{9}$

= $\frac{392}{9}$

≈ 43,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{13}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{13}{3}

und

\frac{29}{3}

zusammen:

B = 6 + $\frac{392}{9}$ = $\frac{446}{9}$ ≈ 49.56

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 57 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[6 e^{x - 1}]}_{1}^{2}$

$=$ $6 e^{2 - 1} - 6 e^{1 - 1}$

= $6 e^{1} - 6 e^{0}$

= $6 e - 6$

≈ 10,31

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 57 + $- 6 + 6 e$ ≈ 67.31

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} - 8 x ⅆ x$ = $- 9$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} - 8 x ⅆ x

= ${[- 4 x^{2}]}_{2}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 4 \cdot 2^{2}$

= $- 4 u^{2} + 4 \cdot 4$

= $- 4 u^{2} + 16$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 u^{2} + 16$	=	$- 9$	\| $- 16$
$- 4 u^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 4)$
$u^{2}$	=	$\frac{25}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{\frac{25}{4}}$	= $- \frac{5}{2}$
u₂	=	$\sqrt{\frac{25}{4}}$	= $\frac{5}{2}$

Da u= $- \frac{5}{2}$ < 2 ist u= $\frac{5}{2}$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{3 x - 7}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 7.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{7 - 4}

\int_{4}^{7} \frac{4}{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{4}^{7} 4 {(3 x - 7)}^{- 1} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{3} \ln (| 3 x - 7 |)]}_{4}^{7}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 7 - 7 |) - \frac{4}{3} \ln (| 3 \cdot 4 - 7 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \ln (| 21 - 7 |) - \frac{4}{3} \ln (| 12 - 7 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \ln (14) - \frac{4}{3} \ln (| 12 - 7 |))$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \ln (14) - \frac{4}{3} \ln (5))$

≈ 0,458

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(- 2 x + 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{3}{{(- 2 x + 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 3 {(- 2 x + 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{4} {(- 2 x + 2)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[\frac{3}{4 {(- 2 x + 2)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $\frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{3}{4 {(- 2 \cdot 2 + 2)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{3}{4 {(- 4 + 2)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{3}{4 {(- 2)}^{2}}$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{4})$

= $\frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{3}{16}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{4 {(- 2 u + 2)}^{2}} - \frac{3}{16}$ → $0 - \frac{3}{16}$ = $- \frac{3}{16}$ ≈ -0.188

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.188

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale