Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 80 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,351
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 80 +
≈ 80.35
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
=
≈ 1640,872
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 20 +
≈ 1660.87
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
10
-4
=
-2,5
u2 =
-5
-
225
-4
=
-5
-15
-4
=
-20
-4
=
5
Da u=
-2,5
< 3 ist u=
5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -4 ) 3 +2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
5
+0
∫
0
5
(
3
(
2x
-4
)
3
+2
)
ⅆ
x
=
1
5
[
3
8
(
2x
-4
)
4
+2x
]
0
5
=
1
5
(
3
8
⋅
(
2⋅5
-4
)
4
+2⋅5
- (
3
8
⋅
(
2⋅0
-4
)
4
+2⋅0
))
=
1
5
(
3
8
⋅
(
10
-4
)
4
+10
- (
3
8
⋅
( 0
-4
)
4
+0))
=
1
5
(
3
8
⋅
6
4
+10
- (
3
8
⋅
( -4 )
4
+0))
=
1
5
(
3
8
⋅1296
+10
- (
3
8
⋅256
+0))
=
1
5
(
486
+10
- (
96
+0))
=
1
5
(
496
-96
)
=
1
5
·
400
=
80
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( -x +2 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
1
(
-x
+2
)
2
ⅆ
x
=
∫
3
u
(
-x
+2
)
-2
ⅆ
x
=
[
(
-x
+2
)
-1
]
3
u
=
[
1
-x
+2
]
3
u
=
1
-u
+2
-
1
-3
+2
=
1
-u
+2
-
1
( -1 )
=
1
-u
+2
- ( -1 )
=
1
-u
+2
+1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
-u
+2
+1
→
0
+1
=
1
≈ 1
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1