Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{2 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 3 e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} e^{2 x - 4}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{3}{2} e^{2 \cdot 4 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 \cdot 1 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{8 - 4} - \frac{3}{2} e^{2 - 4}$

= $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{- 2}$

≈ 81,694

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 17 + $\frac{3}{2} e^{4} - \frac{3}{2} e^{- 2}$ ≈ 98.69

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{2 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 52 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} e^{2 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 4 - 4} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{1}{2} e^{8 - 4} - \frac{1}{2} e^{4 - 4}$

= $\frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2} e^{0}$

= $\frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2}$

≈ 26,799

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 52 + $\frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2}$ ≈ 78.8

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (2 x + 5) ⅆ x$ = $12$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (2 x + 5) ⅆ x

= ${[x^{2} + 5 x]}_{3}^{u}$

$=$ $u^{2} + 5 u - (3^{2} + 5 \cdot 3)$

= $u^{2} + 5 u - (9 + 15)$

= $u^{2} + 5 u - 9 - 15$

= $u^{2} + 5 u - 24$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u^{2} + 5 u - 24

=

12

|

- 12

$u^{2} + 5 u - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Da u= $- 9$ < 3 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \cdot \cos (x - π)$ zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 6 \cdot \cos (x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[6 \cdot \sin (x - π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π - π) - 6 \cdot \sin (0 - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (6 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π) - 6 \cdot \sin (- π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (6 \cdot (- 1) - 6 \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 6 + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 6)$

= $- \frac{12}{π}$

≈ -3,82

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $2,5$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2,5} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}} ⅆ x

=

\int_{u}^{2,5} - {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{2,5}$

= ${[- \sqrt{2 x - 4}]}_{u}^{2,5}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 2,5 - 4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{5 - 4} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- \sqrt{1} + \sqrt{2 u - 4}$

= $- 1 + \sqrt{2 u - 4}$

= $\sqrt{2 u - 4} - 1$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $\sqrt{2 u - 4} - 1$ → $0 - 1$ = $- 1$ ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale