Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 2x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 29 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 4 e 2x -5 x

= [ 2 e 2x -5 ] 0 3

= 2 e 23 -5 -2 e 20 -5

= 2 e 6 -5 -2 e 0 -5

= 2 e 1 -2 e -5

= 2e -2 e -5


≈ 5,423
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 29 + -2 e -5 +2e ≈ 34.42

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 19 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 28 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 6 x -3 x
= 19 28 6 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 4 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 4 ( 28 -3 ) 3 -4 ( 19 -3 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 16 ) 3

= 4 5 3 -4 4 3

= 4125 -464

= 500 -256

= 244

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 11 + 244 = 255

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 6x -2 ) x = 2,75

Lösung einblenden
1 u ( 6x -2 ) x

= [ 3 x 2 -2x ] 1 u

= 3 u 2 -2u - ( 3 1 2 -21 )

= 3 u 2 -2u - ( 31 -2 )

= 3 u 2 -2u - ( 3 -2 )

= 3 u 2 -2u -1 · 1

= 3 u 2 -2u -1

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 -2u -1 = 2,75 | -2,75

3 u 2 -2u -3,75 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 3 · ( -3,75 ) 23

u1,2 = +2 ± 4 +45 6

u1,2 = +2 ± 49 6

u1 = 2 + 49 6 = 2 +7 6 = 9 6 = 1,5

u2 = 2 - 49 6 = 2 -7 6 = -5 6 = - 5 6 ≈ -0.83

Da u= - 5 6 < 1 ist u= 1,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 2x -2 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 +0 0 4 4 ( 2x -2 ) 2 x

= 1 4 [ 2 3 ( 2x -2 ) 3 ] 0 4

= 1 4 ( 2 3 ( 24 -2 ) 3 - 2 3 ( 20 -2 ) 3 )

= 1 4 ( 2 3 ( 8 -2 ) 3 - 2 3 ( 0 -2 ) 3 )

= 1 4 ( 2 3 6 3 - 2 3 ( -2 ) 3 )

= 1 4 ( 2 3 216 - 2 3 ( -8 ) )

= 1 4 ( 144 + 16 3 )

= 1 4 ( 432 3 + 16 3 )

= 1 4 · 448 3

= 112 3


≈ 37,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= e -3x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 2 u e -3x +3 x

= [ - 1 3 e -3x +3 ] 2 u

= - 1 3 e -3u +3 + 1 3 e -32 +3

= - 1 3 e -3u +3 + 1 3 e -6 +3

= - 1 3 e -3u +3 + 1 3 e -3

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 3 e -3u +3 + 1 3 e -3 0 + 1 3 e -3 = 1 3 e -3 ≈ 0.017

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.017