Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,003
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 15 + = ≈ 15
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 62 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 34,735
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 62 +
≈ 96.73
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
4
|
=
-2
|
| u2 |
= |
4
|
=
2
|
Da u=
-2
< 1 ist u=
2
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 6 ( 3x -3 ) 2 + x zwischen 2 und 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-2
∫
2
4
(
6
(
3x
-3
)
2
+ x
)
ⅆ
x
=
1
2
[
2
3
(
3x
-3
)
3
+
1
2
x
2
]
2
4
=
1
2
(
2
3
⋅
(
3⋅4
-3
)
3
+
1
2
⋅
4
2
- (
2
3
⋅
(
3⋅2
-3
)
3
+
1
2
⋅
2
2
))
=
1
2
(
2
3
⋅
(
12
-3
)
3
+
1
2
⋅16
- (
2
3
⋅
(
6
-3
)
3
+
1
2
⋅4
))
=
1
2
(
2
3
⋅
9
3
+8
- (
2
3
⋅
3
3
+2
))
=
1
2
(
2
3
⋅729
+8
- (
2
3
⋅27
+2
))
=
1
2
(
486
+8
- (
18
+2
))
=
1
2
(
494
-1
·
20
)
=
1
2
(
494
-20
)
=
1
2
·
474
=
237
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
5
u
2
(
-x
+3
)
2
ⅆ
x
=
∫
5
u
2
(
-x
+3
)
-2
ⅆ
x
=
[
2
(
-x
+3
)
-1
]
5
u
=
[
2
-x
+3
]
5
u
=
2
-u
+3
-
2
-5
+3
=
2
-u
+3
-
2
( -2 )
=
2
-u
+3
-2⋅(
-
1
2
)
=
2
-u
+3
+1
Für u → ∞ gilt: A(u) =
2
-u
+3
+1
→
0
+1
=
1
≈ 1
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1