Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\sqrt{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $5$ Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{31}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

\frac{31}{3}

:

\int_{5}^{\frac{31}{3}} \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{5}^{\frac{31}{3}} {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{5}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 5 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{15 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 27$

= $\frac{250}{9} - 6$

= $\frac{250}{9} - \frac{54}{9}$

= $\frac{196}{9}$

≈ 21,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 11 + $\frac{196}{9}$ = $\frac{295}{9}$ ≈ 32.78

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $11$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $18$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

11

und

18

:

\int_{11}^{18} 2 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{11}^{18} 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{18}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{18}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 27$

= $\frac{256}{3} - 36$

= $\frac{256}{3} - \frac{108}{3}$

= $\frac{148}{3}$

≈ 49,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

11

und der Änderung zwischen

11

und

18

zusammen:

B = 13 + $\frac{148}{3}$ = $\frac{187}{3}$ ≈ 62.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,5 e^{- 0,5 x + 0,9} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,5 e^{- 0,5 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,5 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,5 u + 0,9} + 9 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 9 e^{- 0,5 u + 0,9} + 9 e^{0 + 0,9}$

= $- 9 e^{- 0,5 u + 0,9} + 9 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,5 u + 0,9} + 9 e^{0,9}$	=	$2$	\| $- 9 e^{0,9}$
$- 9 e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$- 9 e^{0,9} + 2$
$- 9 e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$- 20,1364$	\|: $- 9$
$e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$2,2374$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,9$	=	$\ln (2,2374)$

$- 0,5 u + 0,9$	=	$0,8053$	\| $- 0,9$
$- 0,5 u$	=	$- 0,0947$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$0,1894$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - \frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot \cos (0) + 3 \cdot \cos (- π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 - 3)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 6)$

= $- \frac{6}{π}$

≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(- 3 x + 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{2}{{(- 3 x + 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 2 {(- 3 x + 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(- 3 x + 5)}^{- 1}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{2}{3 (- 3 x + 5)}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3 (- 3 u + 5)} + \frac{2}{3 (- 3 \cdot 2 + 5)}$

= $- \frac{2}{3 (- 3 u + 5)} + \frac{2}{3 (- 6 + 5)}$

= $- \frac{2}{3 (- 3 u + 5)} + \frac{2}{3 (- 1)}$

= $- \frac{2}{3 (- 3 u + 5)} + \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{2}{3 (- 3 u + 5)} - \frac{2}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3 (- 3 u + 5)} - \frac{2}{3}$ → $0 - \frac{2}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.667

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale