Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -6 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 64 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 e 3x -6 x

= [ 1 3 e 3x -6 ] 0 3

= 1 3 e 33 -6 - 1 3 e 30 -6

= 1 3 e 9 -6 - 1 3 e 0 -6

= 1 3 e 3 - 1 3 e -6


≈ 6,694
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 64 + 1 3 e 3 - 1 3 e -6 ≈ 70.69

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( x -3 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 3 ( x -3 ) 2 x
= 4 7 3 ( x -3 ) -2 x

= [ -3 ( x -3 ) -1 ] 4 7

= [ - 3 x -3 ] 4 7

= - 3 7 -3 + 3 4 -3

= - 3 4 + 3 1

= -3( 1 4 ) +31

= - 3 4 +3

= - 3 4 + 12 4

= 9 4


= 2,25
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 15 + 9 4 = 69 4 ≈ 17.25

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u ( 8x -4 ) x = 336

Lösung einblenden
3 u ( 8x -4 ) x

= [ 4 x 2 -4x ] 3 u

= 4 u 2 -4u - ( 4 3 2 -43 )

= 4 u 2 -4u - ( 49 -12 )

= 4 u 2 -4u - ( 36 -12 )

= 4 u 2 -4u -1 · 24

= 4 u 2 -4u -24

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 336 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -4u -24 = 336 | -336
4 u 2 -4u -360 = 0 |:4

u 2 - u -90 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -90 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +360 2

u1,2 = +1 ± 361 2

u1 = 1 + 361 2 = 1 +19 2 = 20 2 = 10

u2 = 1 - 361 2 = 1 -19 2 = -18 2 = -9

Da u= -9 < 3 ist u= 10 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 e 3x -7 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 +0 0 5 3 e 3x -7 x

= 1 5 [ e 3x -7 ] 0 5

= 1 5 ( e 35 -7 - e 30 -7 )

= 1 5 ( e 15 -7 - e 0 -7 )

= 1 5 ( e 8 - e -7 )


≈ 596,191

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( x -3 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 u 1 ( x -3 ) 3 x
= 5 u ( x -3 ) -3 x

= [ - 1 2 ( x -3 ) -2 ] 5 u

= [ - 1 2 ( x -3 ) 2 ] 5 u

= - 1 2 ( u -3 ) 2 + 1 2 ( 5 -3 ) 2

= - 1 2 ( u -3 ) 2 + 1 2 2 2

= - 1 2 ( u -3 ) 2 + 1 2 ( 1 4 )

= - 1 2 ( u -3 ) 2 + 1 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 2 ( u -3 ) 2 + 1 8 0 + 1 8 = 1 8 ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125