Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 50 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 5 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 4 - 4} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{5}{3} e^{12 - 4} - \frac{5}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{5}{3} e^{8} - \frac{5}{3} e^{2}$

≈ 4955,948

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 50 + $\frac{5}{3} e^{8} - \frac{5}{3} e^{2}$ ≈ 5005.95

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{14}{3}$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $10$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{14}{3}

und

10

:

\int_{\frac{14}{3}}^{10} 5 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{14}{3}}^{10} 5 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{14}{3}}^{10}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{\frac{14}{3}}^{10}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{14 - 5})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 3^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 27$

= $\frac{1250}{9} - 30$

= $\frac{1250}{9} - \frac{270}{9}$

= $\frac{980}{9}$

≈ 108,889

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{14}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{14}{3}

und

10

zusammen:

B = 17 + $\frac{980}{9}$ = $\frac{1133}{9}$ ≈ 125.89

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,5 e^{- 0,5 x + 0,9} ⅆ x$ = $4$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,5 e^{- 0,5 x + 0,9} ⅆ x

= ${[- 9 e^{- 0,5 x + 0,9}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 9 e^{- 0,5 u + 0,9} + 9 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,9}$

= $- 9 e^{- 0,5 u + 0,9} + 9 e^{0 + 0,9}$

= $- 9 e^{- 0,5 u + 0,9} + 9 e^{0,9}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $4$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 9 e^{- 0,5 u + 0,9} + 9 e^{0,9}$	=	$4$	\| $- 9 e^{0,9}$
$- 9 e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$- 9 e^{0,9} + 4$
$- 9 e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$- 18,1364$	\|: $- 9$
$e^{- 0,5 u + 0,9}$	=	$2,0152$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,9$	=	$\ln (2,0152)$

$- 0,5 u + 0,9$	=	$0,7007$	\| $- 0,9$
$- 0,5 u$	=	$- 0,1993$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$0,3986$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $e^{2 x - 4}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{4 + 0}

\int_{0}^{4} e^{2 x - 4} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 4}]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} e^{2 \cdot 4 - 4} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 4})$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} e^{8 - 4} - \frac{1}{2} e^{0 - 4})$

= $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2} e^{- 4})$

≈ 6,822

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $3$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(2 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{3}^{u}$

= ${[- \sqrt{2 x - 2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \sqrt{2 u - 2} + \sqrt{2 \cdot 3 - 2}$

= $- \sqrt{2 u - 2} + \sqrt{6 - 2}$

= $- \sqrt{2 u - 2} + \sqrt{4}$

= $- \sqrt{2 u - 2} + 2$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 2} + 2$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale