Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 34 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
=
≈ 2187,83
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 34 +
≈ 2221.83
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
=
≈ 15,973
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 25 +
≈ 40.97
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
7
-10
=
-0,7
u2 =
1
-
36
-10
=
1
-6
-10
=
-5
-10
=
0,5
Da u=
-0,7
< 0 ist u=
0,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 3x -7 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 5.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
5
-4
∫
4
5
6
(
3x
-7
)
2
ⅆ
x
=
1
∫
4
5
6
(
3x
-7
)
-2
ⅆ
x
=
1
[
-2
(
3x
-7
)
-1
]
4
5
=
1
[
-
2
3x
-7
]
4
5
=
-
2
3⋅5
-7
+
2
3⋅4
-7
=
-
2
15
-7
+
2
12
-7
=
-
2
8
+
2
5
=
-2⋅(
1
8
)
+2⋅(
1
5
)
=
-
1
4
+
2
5
=
-
5
20
+
8
20
=
3
20
= 0,15
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 x -3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 19 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
19
1
x
-3
ⅆ
x
=
∫
u
19
(
x
-3
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
2
(
x
-3
)
1
2
]
u
19
=
[
2
x
-3
]
u
19
=
2
19
-3
-2
u
-3
=
2
16
-2
u
-3
=
2⋅4
-2
u
-3
=
8
-2
u
-3
Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) =
-2
u
-3
+8
→
0
+8
=
8
≈ 8
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8