Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -1 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 4 ( x -1 ) 2 x
= 2 5 4 ( x -1 ) -2 x

= [ -4 ( x -1 ) -1 ] 2 5

= [ - 4 x -1 ] 2 5

= - 4 5 -1 + 4 2 -1

= - 4 4 + 4 1

= -4( 1 4 ) +41

= -1 +4

= 3

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 6 + 3 = 9

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 3x -6 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 22 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 22 3 :
5 22 3 3 3x -6 x
= 5 22 3 3 ( 3x -6 ) 1 2 x

= [ 2 3 ( 3x -6 ) 3 2 ] 5 22 3

= [ 2 3 ( 3x -6 ) 3 ] 5 22 3

= 2 3 ( 3( 22 3 ) -6 ) 3 - 2 3 ( 35 -6 ) 3

= 2 3 ( 22 -6 ) 3 - 2 3 ( 15 -6 ) 3

= 2 3 ( 16 ) 3 - 2 3 ( 9 ) 3

= 2 3 4 3 - 2 3 3 3

= 2 3 64 - 2 3 27

= 128 3 -18

= 128 3 - 54 3

= 74 3


≈ 24,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 22 3 zusammen:
B = 10 + 74 3 = 104 3 ≈ 34.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 8,1 e 0,9x -0,8 x = 5

Lösung einblenden
0 u 8,1 e 0,9x -0,8 x

= [ 9 e 0,9x -0,8 ] 0 u

= 9 e 0,9u -0,8 -9 e 0,90 -0,8

= 9 e 0,9u -0,8 -9 e 0 -0,8

= 9 e 0,9u -0,8 -9 e -0,8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

9 e 0,9u -0,8 -9 e -0,8 = 5 | +9 e -0,8
9 e 0,9u -0,8 = 9 e -0,8 +5
9 e 0,9u -0,8 = 9,044 |:9
e 0,9u -0,8 = 1,0049 |ln(⋅)
0,9u -0,8 = ln( 1,0049 )
0,9u -0,8 = 0,0049 | +0,8
0,9u = 0,8049 |:0,9
u = 0,8943

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 2x -3 zwischen 6 und 14 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 14 -6 6 14 5 2x -3 x
= 1 8 6 14 5 ( 2x -3 ) 1 2 x

= 1 8 [ 5 3 ( 2x -3 ) 3 2 ] 6 14

= 1 8 [ 5 3 ( 2x -3 ) 3 ] 6 14

= 1 8 ( 5 3 ( 214 -3 ) 3 - 5 3 ( 26 -3 ) 3 )

= 1 8 ( 5 3 ( 28 -3 ) 3 - 5 3 ( 12 -3 ) 3 )

= 1 8 ( 5 3 ( 25 ) 3 - 5 3 ( 9 ) 3 )

= 1 8 ( 5 3 5 3 - 5 3 3 3 )

= 1 8 ( 5 3 125 - 5 3 27 )

= 1 8 ( 625 3 -45 )

= 1 8 ( 625 3 - 135 3 )

= 1 8 · 490 3

= 245 12


≈ 20,417

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -3 e -2x +2 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 0 u -3 e -2x +2 x

= [ 3 2 e -2x +2 ] 0 u

= 3 2 e -2u +2 - 3 2 e -20 +2

= 3 2 e -2u +2 - 3 2 e 0 +2

= 3 2 e -2u +2 - 3 2 e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2 e -2u +2 - 3 2 e 2 0 - 3 2 e 2 = - 3 2 e 2 ≈ -11.084

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 11.084