Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( 2x -1 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 1s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 4 ( 2x -1 ) 2 x
= 1 2 4 ( 2x -1 ) -2 x

= [ -2 ( 2x -1 ) -1 ] 1 2

= [ - 2 2x -1 ] 1 2

= - 2 22 -1 + 2 21 -1

= - 2 4 -1 + 2 2 -1

= - 2 3 + 2 1

= -2( 1 3 ) +21

= - 2 3 +2

= - 2 3 + 6 3

= 4 3


≈ 1,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 2 + 4 3 = 10 3 ≈ 3.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 2x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 7 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 15 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 7 und 15:
7 15 4 2x -5 x
= 7 15 4 ( 2x -5 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 2x -5 ) 3 2 ] 7 15

= [ 4 3 ( 2x -5 ) 3 ] 7 15

= 4 3 ( 215 -5 ) 3 - 4 3 ( 27 -5 ) 3

= 4 3 ( 30 -5 ) 3 - 4 3 ( 14 -5 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 3 3

= 4 3 125 - 4 3 27

= 500 3 -36

= 500 3 - 108 3

= 392 3


≈ 130,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 7 und der Änderung zwischen 7 und 15 zusammen:
B = 18 + 392 3 = 446 3 ≈ 148.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u 4x x = 136,5

Lösung einblenden
2 u 4x x

= [ 2 x 2 ] 2 u

= 2 u 2 -2 2 2

= 2 u 2 -24

= 2 u 2 -8

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 136,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

2 u 2 -8 = 136,5 | +8
2 u 2 = 144,5 |:2
u 2 = 72,25 | 2
u1 = - 72,25 = -8,5
u2 = 72,25 = 8,5

Da u= -8,5 < 2 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 cos( 3x - 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 4 cos( 3x - 3 2 π) x

= 2 π [ 4 3 sin( 3x - 3 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 4 3 sin( 3π - 3 2 π) - 4 3 sin( 3( 1 2 π ) - 3 2 π) )

= 2 π · ( 4 3 sin( 3 2 π) - 4 3 sin(0) )

= 2 π · ( 4 3 ( -1 ) - 4 3 0 )

= 2 π · ( - 4 3 +0 )

= 2 π · ( - 4 3 +0 )

= 2 π · ( - 4 3 )

= - 8 3 π


≈ -0,849

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 3 3x -6 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 3 3x -6 x
= 4 u 3 ( 3x -6 ) -1 x

= [ ln( | 3x -6 | ) ] 4 u

= ln( | 3( u ) -6 | ) - ln( | 34 -6 | )

= ln( | 3u -6 | ) - ln( | 12 -6 | )

= ln( | 3u -6 | ) - ln( 6 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = - ln( 6 ) + ln( | 3x -6 | )