Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{6}{{(x - 1)}^{2}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{6}{{(x - 1)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 6 {(x - 1)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 1)}^{- 1}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{6}{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{6}{5 - 1} + \frac{6}{2 - 1}$

= $- \frac{6}{4} + \frac{6}{1}$

= $- 6 \cdot (\frac{1}{4}) + 6 \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} + 6$

= $- 1,5 + 6$

= $4,5$

= 4,5

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 5 + $\frac{9}{2}$ = $\frac{19}{2}$ ≈ 9.5

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{3 x - 4}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 2 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 4}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 3 - 4} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{9 - 4} - \frac{2}{3} e^{0 - 4}$

= $\frac{2}{3} e^{5} - \frac{2}{3} e^{- 4}$

≈ 98,93

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 6 + $\frac{2}{3} e^{5} - \frac{2}{3} e^{- 4}$ ≈ 104.93

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,8 e^{- 0,4 x + 0,4} ⅆ x$ = $3$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,8 e^{- 0,4 x + 0,4} ⅆ x

= ${[- 7 e^{- 0,4 x + 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 7 e^{- 0,4 u + 0,4} + 7 e^{- 0,4 \cdot 0 + 0,4}$

= $- 7 e^{- 0,4 u + 0,4} + 7 e^{0 + 0,4}$

= $- 7 e^{- 0,4 u + 0,4} + 7 e^{0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $3$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 7 e^{- 0,4 u + 0,4} + 7 e^{0,4}$	=	$3$	\| $- 7 e^{0,4}$
$- 7 e^{- 0,4 u + 0,4}$	=	$- 7 e^{0,4} + 3$
$- 7 e^{- 0,4 u + 0,4}$	=	$- 7,4428$	\|: $- 7$
$e^{- 0,4 u + 0,4}$	=	$1,0633$	\|ln(⋅)
$- 0,4 u + 0,4$	=	$\ln (1,0633)$

$- 0,4 u + 0,4$	=	$0,0614$	\| $- 0,4$
$- 0,4 u$	=	$- 0,3386$	\|:( $- 0,4$ )
$u$	=	$0,8465$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 7}$ zwischen $\frac{23}{3}$ und $\frac{32}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{32}{3} - \frac{23}{3}}

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 6 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 6 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{23 - 7})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{3} (\frac{500}{3} - \frac{256}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{244}{3}$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- e^{- 3 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - e^{- 3 x + 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} e^{- 3 x + 3}]}_{0}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{1}{3} e^{- 3 \cdot 0 + 3}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{1}{3} e^{0 + 3}$

= $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{1}{3} e^{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3} e^{- 3 u + 3} - \frac{1}{3} e^{3}$ → $0 - \frac{1}{3} e^{3}$ = $- \frac{1}{3} e^{3}$ ≈ -6.695

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6.695

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale