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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 17 s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 26 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 17 und 26:
∫ 17 26 6 x -1 ⅆ x
= ∫ 17 26 6 ( x -1 ) 1 2 ⅆ x

= [ 4 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= [ 4 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 4 ( 26 -1 ) 3 -4 ( 17 -1 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 16 ) 3

= 4⋅ 5 3 -4⋅ 4 3

= 4⋅125 -4⋅64

= 500 -256

= 244

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 17 und der Änderung zwischen 17 und 26 zusammen:
B = 3 + 244 = 247

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 ( 2x -2 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:
∫ 3 5 5 ( 2x -2 ) 2 ⅆ x
= ∫ 3 5 5 ( 2x -2 ) -2 ⅆ x

= [ - 5 2 ( 2x -2 ) -1 ] 3 5

= [ - 5 2( 2x -2 ) ] 3 5

= - 5 2( 2⋅5 -2 ) + 5 2( 2⋅3 -2 )

= - 5 2( 10 -2 ) + 5 2( 6 -2 )

= - 5 2⋅ 8 + 5 2⋅ 4

= - 5 2 ⋅( 1 8 ) + 5 2 ⋅( 1 4 )

= - 5 16 + 5 8

= - 5 16 + 10 16

= 5 16


≈ 0,313
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:
B = 3 + 5 16 = 53 16 ≈ 3.31

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 0,7 e 0,7x -0,7 ⅆ x = 15

Lösung einblenden
∫ 0 u 0,7 e 0,7x -0,7 ⅆ x

= [ e 0,7x -0,7 ] 0 u

= e 0,7u -0,7 - e 0,7⋅0 -0,7

= e 0,7u -0,7 - e 0 -0,7

= e 0,7u -0,7 - e -0,7

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 15 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

e 0,7u -0,7 - e -0,7 = 15 | + e -0,7
e 0,7u -0,7 = e -0,7 +15
e 0,7u -0,7 = 15,4966 |ln(⋅)
0,7u -0,7 = ln( 15,4966 )
0,7u -0,7 = 2,7406 | +0,7
0,7u = 3,4406 |:0,7
u = 4,9151

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( x -3 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -4 ∫ 4 5 3 ( x -3 ) 2 ⅆ x
= 1 ∫ 4 5 3 ( x -3 ) -2 ⅆ x

= 1 [ -3 ( x -3 ) -1 ] 4 5

= 1 [ - 3 x -3 ] 4 5

= - 3 5 -3 + 3 4 -3

= - 3 2 + 3 1

= -3⋅( 1 2 ) +3⋅1

= - 3 2 +3

= -1,5 +3

= 1,5


= 1,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -2x +1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 1 u - e -2x +1 ⅆ x

= [ 1 2 e -2x +1 ] 1 u

= 1 2 e -2u +1 - 1 2 e -2⋅1 +1

= 1 2 e -2u +1 - 1 2 e -2 +1

= 1 2 e -2u +1 - 1 2 e -1

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 e -2u +1 - 1 2 e -1 → 0 - 1 2 e -1 = - 1 2 e -1 ≈ -0.184

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.184