Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 2 {(2 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 3)}^{- 1}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{2 x - 3}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2 \cdot 4 - 3} + \frac{1}{2 \cdot 2 - 3}$

= $- \frac{1}{8 - 3} + \frac{1}{4 - 3}$

= $- \frac{1}{5} + \frac{1}{1}$

= $- (\frac{1}{5}) + 1$

= $\frac{4}{5}$

= 0,8

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 20 + $\frac{4}{5}$ = $\frac{104}{5}$ ≈ 20.8

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 54 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 5 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 2}]}_{2}^{5}$

$=$ $5 e^{5 - 2} - 5 e^{2 - 2}$

= $5 e^{3} - 5 e^{0}$

= $5 e^{3} - 5$

≈ 95,428

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 54 + $5 e^{3} - 5$ ≈ 149.43

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 1,5 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x$ = $14$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 1,5 e^{0,3 x - 0,2} ⅆ x

= ${[5 e^{0,3 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,3 u - 0,2} - 5 e^{0,3 \cdot 0 - 0,2}$

= $5 e^{0,3 u - 0,2} - 5 e^{0 - 0,2}$

= $5 e^{0,3 u - 0,2} - 5 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $14$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,3 u - 0,2} - 5 e^{- 0,2}$	=	$14$	\| $+ 5 e^{- 0,2}$
$5 e^{0,3 u - 0,2}$	=	$5 e^{- 0,2} + 14$
$5 e^{0,3 u - 0,2}$	=	$18,0937$	\|: $5$
$e^{0,3 u - 0,2}$	=	$3,6187$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,2$	=	$\ln (3,6187)$

$0,3 u - 0,2$	=	$1,2861$	\| $+ 0,2$
$0,3 u$	=	$1,4861$	\|: $0,3$
$u$	=	$4,9537$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 6 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 2 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 2 \cdot \cos (3 \cdot π - \frac{1}{2} π) + 2 \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2 \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + 2 \cdot \cos (π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - 2)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{π}$

≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $3,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3,5} \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3,5} 3 {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{3,5}$

= ${[3 \sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{3,5}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 3,5 - 6} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \sqrt{7 - 6} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \sqrt{1} - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 \cdot 1 - 3 \sqrt{2 u - 6}$

= $3 - 3 \sqrt{2 u - 6}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 3 \sqrt{2 u - 6} + 3$ → $0 + 3$ = $3$ ≈ 3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale