Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
≈ 403,379
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 16 +
≈ 419.38
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 17 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
12
8
=
1,5
u2 =
3
-
81
8
=
3
-9
8
=
-6
8
=
-0,75
Da u=
-0,75
< 1 ist u=
1,5
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 3 ( x -2 ) 3 zwischen 1 und 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
4
-1
∫
1
4
3
(
x
-2
)
3
ⅆ
x
=
1
3
[
3
4
(
x
-2
)
4
]
1
4
=
1
3
(
3
4
⋅
(
4
-2
)
4
-
3
4
⋅
(
1
-2
)
4
)
=
1
3
(
3
4
⋅
2
4
-
3
4
⋅
( -1 )
4
)
=
1
3
(
3
4
⋅16
-
3
4
⋅1
)
=
1
3
(
12
-
3
4
)
=
1
3
(
48
4
-
3
4
)
=
1
3
·
45
4
=
15
4
= 3,75
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 2x schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
2
2
2x
ⅆ
x
=
∫
u
2
1
x
ⅆ
x
=
∫
u
2
x
-1
ⅆ
x
=
[
ln(
|
x
|
)
]
u
2
=
ln(
|
2
|
)
-
ln(
|
u
|
)
=
ln(
2
)
-
ln(
|
u
|
)
Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) =
ln(
|
2
|
)
-
ln(
|
x
|
)
→
∞