Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 2x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 9 s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 2 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 9 und 27 2 :
9 27 2 6 2x -2 x
= 9 27 2 6 ( 2x -2 ) 1 2 x

= [ 2 ( 2x -2 ) 3 2 ] 9 27 2

= [ 2 ( 2x -2 ) 3 ] 9 27 2

= 2 ( 2( 27 2 ) -2 ) 3 -2 ( 29 -2 ) 3

= 2 ( 27 -2 ) 3 -2 ( 18 -2 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 5 3 -2 4 3

= 2125 -264

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 9 und der Änderung zwischen 9 und 27 2 zusammen:
B = 18 + 122 = 140

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 2x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 2 s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 14 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 2 und 14:
19 2 14 4 2x -3 x
= 19 2 14 4 ( 2x -3 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 2x -3 ) 3 2 ] 19 2 14

= [ 4 3 ( 2x -3 ) 3 ] 19 2 14

= 4 3 ( 214 -3 ) 3 - 4 3 ( 2( 19 2 ) -3 ) 3

= 4 3 ( 28 -3 ) 3 - 4 3 ( 19 -3 ) 3

= 4 3 ( 25 ) 3 - 4 3 ( 16 ) 3

= 4 3 5 3 - 4 3 4 3

= 4 3 125 - 4 3 64

= 500 3 - 256 3

= 244 3


≈ 81,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 2 und der Änderung zwischen 19 2 und 14 zusammen:
B = 11 + 244 3 = 277 3 ≈ 92.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,6 e -0,2x +0,3 x = 1

Lösung einblenden
0 u 0,6 e -0,2x +0,3 x

= [ -3 e -0,2x +0,3 ] 0 u

= -3 e -0,2u +0,3 +3 e -0,20 +0,3

= -3 e -0,2u +0,3 +3 e 0 +0,3

= -3 e -0,2u +0,3 +3 e 0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-3 e -0,2u +0,3 +3 e 0,3 = 1 | -3 e 0,3
-3 e -0,2u +0,3 = -3 e 0,3 +1
-3 e -0,2u +0,3 = -3,0496 |:-3
e -0,2u +0,3 = 1,0165 |ln(⋅)
-0,2u +0,3 = ln( 1,0165 )
-0,2u +0,3 = 0,0164 | -0,3
-0,2u = -0,2836 |:(-0,2 )
u = 1,418

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( x -1 ) 3 +4x beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 ( 3 ( x -1 ) 3 +4x ) x

= 1 3 [ 3 4 ( x -1 ) 4 +2 x 2 ] 0 3

= 1 3 ( 3 4 ( 3 -1 ) 4 +2 3 2 - ( 3 4 ( 0 -1 ) 4 +2 0 2 ))

= 1 3 ( 3 4 2 4 +29 - ( 3 4 ( -1 ) 4 +20 ))

= 1 3 ( 3 4 16 +18 - ( 3 4 1 +0))

= 1 3 ( 12 +18 - ( 3 4 +0))

= 1 3 ( 30 - ( 3 4 +0))

= 1 3 ( 30 - 3 4 )

= 1 3 ( 120 4 - 3 4 )

= 1 3 · 117 4

= 39 4


= 9,75

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= -2 e -3x +3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 1 u -2 e -3x +3 x

= [ 2 3 e -3x +3 ] 1 u

= 2 3 e -3u +3 - 2 3 e -31 +3

= 2 3 e -3u +3 - 2 3 e -3 +3

= 2 3 e -3u +3 - 2 3 e 0

= 2 3 e -3u +3 - 2 3

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 3 e -3u +3 - 2 3 0 - 2 3 = - 2 3 ≈ -0.667

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667