Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{3 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 3 - 3} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 3}$

= $\frac{4}{3} e^{9 - 3} - \frac{4}{3} e^{3 - 3}$

= $\frac{4}{3} e^{6} - \frac{4}{3} e^{0}$

= $\frac{4}{3} e^{6} - \frac{4}{3}$

≈ 536,572

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 5 + $\frac{4}{3} e^{6} - \frac{4}{3}$ ≈ 541.57

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 30 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 2 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 2 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{6 - 5} - \frac{2}{3} e^{3 - 5}$

= $\frac{2}{3} e^{1} - \frac{2}{3} e^{- 2}$

= $\frac{2}{3} e - \frac{2}{3} e^{- 2}$

≈ 1,722

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 30 + $- \frac{2}{3} e^{- 2} + \frac{2}{3} e$ ≈ 31.72

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,9 x - 0,2} ⅆ x$ = $12$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3,6 e^{0,9 x - 0,2} ⅆ x

= ${[4 e^{0,9 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $4 e^{0,9 u - 0,2} - 4 e^{0,9 \cdot 0 - 0,2}$

= $4 e^{0,9 u - 0,2} - 4 e^{0 - 0,2}$

= $4 e^{0,9 u - 0,2} - 4 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4 e^{0,9 u - 0,2} - 4 e^{- 0,2}$	=	$12$	\| $+ 4 e^{- 0,2}$
$4 e^{0,9 u - 0,2}$	=	$4 e^{- 0,2} + 12$
$4 e^{0,9 u - 0,2}$	=	$15,2749$	\|: $4$
$e^{0,9 u - 0,2}$	=	$3,8187$	\|ln(⋅)
$0,9 u - 0,2$	=	$\ln (3,8187)$

$0,9 u - 0,2$	=	$1,3399$	\| $+ 0,2$
$0,9 u$	=	$1,5399$	\|: $0,9$
$u$	=	$1,711$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 7}$ zwischen $\frac{23}{3}$ und $\frac{32}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{32}{3} - \frac{23}{3}}

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 6 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 6 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{23 - 7})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{3} (\frac{500}{3} - \frac{256}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{244}{3}$

= $\frac{244}{9}$

≈ 27,111

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{3 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(3 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} \ln (| 3 x - 3 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3} \ln (| 3 (u) - 3 |) + \frac{2}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 3 |)$

= $- \frac{2}{3} \ln (| 3 u - 3 |) + \frac{2}{3} \ln (| 9 - 3 |)$

= $- \frac{2}{3} \ln (| 3 u - 3 |) + \frac{2}{3} \ln (6)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{3} \ln (6) - \frac{2}{3} \ln (| 3 x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale