Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $5$ Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $13$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

13

:

\int_{5}^{13} 6 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{13} 6 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{13}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{5}^{13}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 5 - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{10 - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 3^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 27$

= $250 - 54$

= $196$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

13

zusammen:

B = 2 + $196$ = $198$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(2 x - 4)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 3 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{3}{{(2 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 3 {(2 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(2 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{3}{2 (2 x - 4)}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{3}{2 (2 \cdot 5 - 4)} + \frac{3}{2 (2 \cdot 3 - 4)}$

= $- \frac{3}{2 (10 - 4)} + \frac{3}{2 (6 - 4)}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 6} + \frac{3}{2 \cdot 2}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{6}) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$

= $\frac{1}{2}$

= 0,5

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 3 + $\frac{1}{2}$ = $\frac{7}{2}$ ≈ 3.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4 e^{- 0,5 x + 0,6} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4 e^{- 0,5 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,5 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,5 u + 0,6} + 8 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,6}$

= $- 8 e^{- 0,5 u + 0,6} + 8 e^{0 + 0,6}$

= $- 8 e^{- 0,5 u + 0,6} + 8 e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,5 u + 0,6} + 8 e^{0,6}$	=	$8$	\| $- 8 e^{0,6}$
$- 8 e^{- 0,5 u + 0,6}$	=	$- 8 e^{0,6} + 8$
$- 8 e^{- 0,5 u + 0,6}$	=	$- 6,577$	\|: $- 8$
$e^{- 0,5 u + 0,6}$	=	$0,8221$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,6$	=	$\ln (0,8221)$

$- 0,5 u + 0,6$	=	$- 0,1959$	\| $- 0,6$
$- 0,5 u$	=	$- 0,7959$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$1,5918$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 5}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $7$ und Minute $10$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{10 - 7}

\int_{7}^{10} \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\frac{1}{3}

\int_{7}^{10} {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{10}$

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{7}^{10}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 10 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 64)$

= $\frac{1}{3} (\frac{250}{9} - \frac{128}{9})$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{122}{9}$

= $\frac{122}{27}$

≈ 4,519

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- 3 x + 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(- 3 x + 3)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(- 3 x + 3)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 3 \cdot 3 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 9 + 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{2 {(- 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{36})$

= $\frac{1}{2 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{72}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(- 3 u + 3)}^{2}} - \frac{1}{72}$ → $0 - \frac{1}{72}$ = $- \frac{1}{72}$ ≈ -0.014

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.014

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale