Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $3 e^{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 3 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 7}]}_{0}^{2}$

$=$ $e^{3 \cdot 2 - 7} - e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $e^{6 - 7} - e^{0 - 7}$

= $e^{- 1} - e^{- 7}$

≈ 0,367

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 4 + $e^{- 1} - e^{- 7}$ ≈ 4.37

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{3}$ s hat er bereits 13 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 6 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 6 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 13 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{283}{3}$ ≈ 94.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 10 x - 1) ⅆ x$ = $- 211,75$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 10 x - 1) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - u - (- 5 \cdot 1^{2} - 1)$

= $- 5 u^{2} - u - (- 5 \cdot 1 - 1)$

= $- 5 u^{2} - u - (- 5 - 1)$

= $- 5 u^{2} - u - 1 \cdot (- 6)$

= $- 5 u^{2} - u + 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 211,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - u + 6

=

- 211,75

|

+ 211,75

$- 5 u^{2} - u + 217,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 217,75}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 4 355}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{4 356}}{- 10}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{4 356}}{- 10}$ = $\frac{1+66}{- 10}$ = $\frac{67}{- 10}$ = $- 6,7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{4 356}}{- 10}$ = $\frac{1-66}{- 10}$ = $\frac{- 65}{- 10}$ = $6,5$

Da u= $- 6,7$ < 1 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \cdot \cos (3 x - π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π) - π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{7}{2} π) - \frac{5}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\frac{5}{3} \cdot (- 1) - \frac{5}{3} \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{5}{3} - \frac{5}{3})$

= $\frac{1}{π} \cdot (- \frac{10}{3})$

= $- \frac{10}{3 π}$

≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{- x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{- x + 1} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- x + 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- 3 \ln (| - x + 1 |)]}_{3}^{u}$

$=$ $- 3 \ln (| - (u) + 1 |) + 3 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 1 |) + 3 \ln (| - 3 + 1 |)$

= $- 3 \ln (| - u + 1 |) + 3 \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $3 \ln (2) - 3 \ln (| - x + 1 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale