Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 5)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 2 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:

\int_{4}^{6} \frac{2}{{(2 x - 5)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{4}^{6} 2 {(2 x - 5)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- 3}]}_{4}^{6}$

= ${[- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{3}}]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(2 \cdot 6 - 5)}^{3}} + \frac{1}{3 {(2 \cdot 4 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 {(12 - 5)}^{3}} + \frac{1}{3 {(8 - 5)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 7^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 3^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{343}) + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{27})$

= $- \frac{1}{1029} + \frac{1}{81}$

= $- \frac{27}{27783} + \frac{343}{27783}$

= $\frac{316}{27783}$

≈ 0,011

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:

B = 2 + $\frac{316}{27783}$ = $\frac{55882}{27783}$ ≈ 2.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{5}{2}$ s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{17}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{5}{2}

und

\frac{17}{2}

:

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}} 6 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}} 6 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{5}{2}}^{\frac{17}{2}}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{17}{2}) - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{17 - 1})}^{3} - 2 {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{16})}^{3} - 2 {(\sqrt{4})}^{3}$

= $2 \cdot 4^{3} - 2 \cdot 2^{3}$

= $2 \cdot 64 - 2 \cdot 8$

= $128 - 16$

= $112$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{5}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{5}{2}

und

\frac{17}{2}

zusammen:

B = 7 + $112$ = $119$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,3 x - 0,6} ⅆ x$ = $18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,1 e^{0,3 x - 0,6} ⅆ x

= ${[7 e^{0,3 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,3 u - 0,6} - 7 e^{0,3 \cdot 0 - 0,6}$

= $7 e^{0,3 u - 0,6} - 7 e^{0 - 0,6}$

= $7 e^{0,3 u - 0,6} - 7 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,3 u - 0,6} - 7 e^{- 0,6}$	=	$18$	\| $+ 7 e^{- 0,6}$
$7 e^{0,3 u - 0,6}$	=	$7 e^{- 0,6} + 18$
$7 e^{0,3 u - 0,6}$	=	$21,8417$	\|: $7$
$e^{0,3 u - 0,6}$	=	$3,1202$	\|ln(⋅)
$0,3 u - 0,6$	=	$\ln (3,1202)$

$0,3 u - 0,6$	=	$1,1379$	\| $+ 0,6$
$0,3 u$	=	$1,7379$	\|: $0,3$
$u$	=	$5,793$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 7}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{16}{3}$ und Minute $\frac{32}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{32}{3} - \frac{16}{3}}

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\frac{3}{16}

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}} {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= $\frac{3}{16}$ ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{3}{16} (\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16 - 7})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 3^{3})$

= $\frac{3}{16} (\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 27)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{9} - 6)$

= $\frac{3}{16} (\frac{250}{9} - \frac{54}{9})$

= $\frac{3}{16} \cdot \frac{196}{9}$

= $\frac{49}{12}$

≈ 4,083

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{\sqrt{3 x - 5}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $3$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{\sqrt{3 x - 5}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(3 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}_{3}^{u}$

= ${[2 \sqrt{3 x - 5}]}_{3}^{u}$

$=$ $2 \sqrt{3 u - 5} - 2 \sqrt{3 \cdot 3 - 5}$

= $2 \sqrt{3 u - 5} - 2 \sqrt{9 - 5}$

= $2 \sqrt{3 u - 5} - 2 \sqrt{4}$

= $2 \sqrt{3 u - 5} - 2 \cdot 2$

= $2 \sqrt{3 u - 5} - 4$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 \sqrt{3 u - 5} - 4$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale