Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 50 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 4 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $4 e^{3 - 3} - 4 e^{0 - 3}$

= $4 e^{0} - 4 e^{- 3}$

= $4 - 4 e^{- 3}$

≈ 3,801

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 50 + $- 4 e^{- 3} + 4$ ≈ 53.8

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{5}{x - 1} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 5 {(x - 1)}^{- 1} ⅆ x

= ${[5 \ln (| x - 1 |)]}_{2}^{4}$

$=$ $5 \ln (| 4 - 1 |) - 5 \ln (| 2 - 1 |)$

= $5 \ln (3) - 5 \ln (| 2 - 1 |)$

= $5 \ln (3) - 5 \ln (1)$

= $5 \ln (3) + 0$

= $5 \ln (3)$

≈ 5,493

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 6 + $5 \ln (3)$ ≈ 11.49

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (10 x - 2) ⅆ x$ = $159,25$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (10 x - 2) ⅆ x

= ${[5 x^{2} - 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $5 u^{2} - 2 u - (5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3)$

= $5 u^{2} - 2 u - (5 \cdot 9 - 6)$

= $5 u^{2} - 2 u - (45 - 6)$

= $5 u^{2} - 2 u - 1 \cdot 39$

= $5 u^{2} - 2 u - 39$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $159,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u^{2} - 2 u - 39

=

159,25

|

- 159,25

$5 u^{2} - 2 u - 198,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 198,25)}}{2 \cdot 5}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 3 965}}{10}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{3 969}}{10}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{3 969}}{10}$ = $\frac{2+63}{10}$ = $\frac{65}{10}$ = $6,5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{3 969}}{10}$ = $\frac{2-63}{10}$ = $\frac{- 61}{10}$ = $- 6,1$

Da u= $- 6,1$ < 3 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{2 x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 4 e^{2 x - 2} ⅆ x

= $1$ ${[2 e^{2 x - 2}]}_{0}^{1}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 1 - 2} - 2 e^{2 \cdot 0 - 2}$

= $2 e^{2 - 2} - 2 e^{0 - 2}$

= $2 e^{0} - 2 e^{- 2}$

= $2 - 2 e^{- 2}$

≈ 1,729

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{1}{x - 3} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - {(x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \ln (| x - 3 |)]}_{4}^{u}$

$=$ $- \ln (| u - 3 |) + \ln (| 4 - 3 |)$

= $- \ln (| u - 3 |) + \ln (1)$

= $- \ln (| u - 3 |) + 0$

= $- \ln (| x - 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \ln (| x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale