Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -4 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 3 ( 3x -4 ) 4 x
= 3 4 3 ( 3x -4 ) -4 x

= [ - 1 3 ( 3x -4 ) -3 ] 3 4

= [ - 1 3 ( 3x -4 ) 3 ] 3 4

= - 1 3 ( 34 -4 ) 3 + 1 3 ( 33 -4 ) 3

= - 1 3 ( 12 -4 ) 3 + 1 3 ( 9 -4 ) 3

= - 1 3 8 3 + 1 3 5 3

= - 1 3 ( 1 512 ) + 1 3 ( 1 125 )

= - 1 1536 + 1 375

= - 125 192000 + 512 192000

= 129 64000


≈ 0,002
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 15 + 129 64000 = 960.129 64000 ≈ 15

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 5 e 2x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 5 e 2x -3 x

= [ 5 2 e 2x -3 ] 0 3

= 5 2 e 23 -3 - 5 2 e 20 -3

= 5 2 e 6 -3 - 5 2 e 0 -3

= 5 2 e 3 - 5 2 e -3


≈ 50,089
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 23 + 5 2 e 3 - 5 2 e -3 ≈ 73.09

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( 2x -5 ) x = 10

Lösung einblenden
1 u ( 2x -5 ) x

= [ x 2 -5x ] 1 u

= u 2 -5u - ( 1 2 -51 )

= u 2 -5u - ( 1 -5 )

= u 2 -5u -1 +5

= u 2 -5u +4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 10 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 -5u +4 = 10 | -10

u 2 -5u -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

u1,2 = +5 ± 25 +24 2

u1,2 = +5 ± 49 2

u1 = 5 + 49 2 = 5 +7 2 = 12 2 = 6

u2 = 5 - 49 2 = 5 -7 2 = -2 2 = -1

Da u= -1 < 1 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= cos( x + 1 2 π) zwischen 0 und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π cos( x + 1 2 π) x

= 2 3 π [ sin( x + 1 2 π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( sin( 3 2 π + 1 2 π) - sin( 0 + 1 2 π) )

= 2 3 π · ( sin(2π) - sin( 1 2 π) )

= 2 3 π · ( 0 - 1 )

= - 2 3 π


≈ -0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 x -1 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 10 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= u 10 1 x -1 x
= u 10 ( x -1 ) - 1 2 x

= [ 2 ( x -1 ) 1 2 ] u 10

= [ 2 x -1 ] u 10

= 2 10 -1 -2 u -1

= 2 9 -2 u -1

= 23 -2 u -1

= 6 -2 u -1

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = -2 u -1 +6 0 +6 = 6 ≈ 6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6