Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(2 x - 3)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{2}{{(2 x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 2 {(2 x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{- 3}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{1}{3 {(2 x - 3)}^{3}}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(2 \cdot 4 - 3)}^{3}} + \frac{1}{3 {(2 \cdot 2 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 {(8 - 3)}^{3}} + \frac{1}{3 {(4 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 5^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{125}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{375} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{375} + \frac{125}{375}$

= $\frac{124}{375}$

≈ 0,331

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 12 + $\frac{124}{375}$ = $\frac{4624}{375}$ ≈ 12.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 30 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 3 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[e^{3 x - 7}]}_{0}^{3}$

$=$ $e^{3 \cdot 3 - 7} - e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $e^{9 - 7} - e^{0 - 7}$

= $e^{2} - e^{- 7}$

≈ 7,388

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 30 + $e^{2} - e^{- 7}$ ≈ 37.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 e^{- 0,5 x + 0,7} ⅆ x$ = $2$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 e^{- 0,5 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,5 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,5 u + 0,7} + 4 e^{- 0,5 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 4 e^{- 0,5 u + 0,7} + 4 e^{0 + 0,7}$

= $- 4 e^{- 0,5 u + 0,7} + 4 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,5 u + 0,7} + 4 e^{0,7}$	=	$2$	\| $- 4 e^{0,7}$
$- 4 e^{- 0,5 u + 0,7}$	=	$- 4 e^{0,7} + 2$
$- 4 e^{- 0,5 u + 0,7}$	=	$- 6,055$	\|: $- 4$
$e^{- 0,5 u + 0,7}$	=	$1,5138$	\|ln(⋅)
$- 0,5 u + 0,7$	=	$\ln (1,5138)$

$- 0,5 u + 0,7$	=	$0,4146$	\| $- 0,7$
$- 0,5 u$	=	$- 0,2854$	\|:( $- 0,5$ )
$u$	=	$0,5708$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(3 x - 7)}^{2} + 6$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} (2 {(3 x - 7)}^{2} + 6) ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{2}{9} {(3 x - 7)}^{3} + 6 x]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 2 - 7)}^{3} + 6 \cdot 2 - (\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot 0 - 7)}^{3} + 6 \cdot 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot {(6 - 7)}^{3} + 12 - (\frac{2}{9} \cdot {(0 - 7)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot {(- 1)}^{3} + 12 - (\frac{2}{9} \cdot {(- 7)}^{3} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{2}{9} \cdot (- 1) + 12 - (\frac{2}{9} \cdot (- 343) + 0))$

= $\frac{1}{2} (- \frac{2}{9} + 12 - (- \frac{686}{9} + 0))$

= $\frac{1}{2} (- \frac{2}{9} + \frac{108}{9} - (- \frac{686}{9} + 0))$

= $\frac{1}{2} (\frac{106}{9} + \frac{686}{9})$

= $\frac{1}{2} \cdot 88$

= $44$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(- x + 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{3}{{(- x + 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 3 {(- x + 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{3}{2} {(- x + 2)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{3}{2 {(- x + 2)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{3}{2 {(- u + 2)}^{2}} - \frac{3}{2 {(- 3 + 2)}^{2}}$

= $\frac{3}{2 {(- u + 2)}^{2}} - \frac{3}{2 {(- 1)}^{2}}$

= $\frac{3}{2 {(- u + 2)}^{2}} - \frac{3}{2} \cdot 1$

= $\frac{3}{2 {(- u + 2)}^{2}} - \frac{3}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{3}{2 {(- u + 2)}^{2}} - \frac{3}{2}$ → $0 - \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale