Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{7}{2}$ Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{19}{2}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{7}{2}

und

\frac{19}{2}

:

\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}} 6 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}} 6 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{2}}^{\frac{19}{2}}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{19}{2}) - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{19 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{16})}^{3} - 2 {(\sqrt{4})}^{3}$

= $2 \cdot 4^{3} - 2 \cdot 2^{3}$

= $2 \cdot 64 - 2 \cdot 8$

= $128 - 16$

= $112$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{7}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{7}{2}

und

\frac{19}{2}

zusammen:

B = 18 + $112$ = $130$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{21}{2}$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $15$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{21}{2}

und

15

:

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 4 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\int_{\frac{21}{2}}^{15} 4 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 15 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{30 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{21}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{21}{2}

und

15

zusammen:

B = 19 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{301}{3}$ ≈ 100.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 8 x + 3) ⅆ x$ = $- 126$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 8 x + 3) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + 3 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 3 u - (- 4 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- 4 u^{2} + 3 u - (- 4 \cdot 0 + 0)$

= $- 4 u^{2} + 3 u - (0 + 0)$

= $- 4 u^{2} + 3 u + 0$

= $- 4 u^{2} + 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 126$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + 3 u

=

- 126

|

+ 126

$- 4 u^{2} + 3 u + 126$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 126}}{2 \cdot (- 4)}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 2 016}}{- 8}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{2 025}}{- 8}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{2 025}}{- 8}$ = $\frac{- 3+45}{- 8}$ = $\frac{42}{- 8}$ = $- 5,25$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{2 025}}{- 8}$ = $\frac{- 3-45}{- 8}$ = $\frac{- 48}{- 8}$ = $6$

Da u= $- 5,25$ < 0 ist u= $6$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 {(2 x - 4)}^{3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 6 {(2 x - 4)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{3}{4} {(2 x - 4)}^{4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2 \cdot 2 - 4)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2 \cdot 0 - 4)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(4 - 4)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(0 - 4)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 0^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 4)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{3}{4} \cdot 256)$

= $\frac{1}{2} (0 - 192)$

= $- 96$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - 2 {(2 x - 2)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 2}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(2 x - 2)}^{2}}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(2 \cdot 3 - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(6 - 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{16})$

= $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{32}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(2 u - 2)}^{2}} - \frac{1}{32}$ → $0 - \frac{1}{32}$ = $- \frac{1}{32}$ ≈ -0.031

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.031

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale