Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 4}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 72 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} 4 e^{3 x - 4} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 4}]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 4 - 4} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 2 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{12 - 4} - \frac{4}{3} e^{6 - 4}$

= $\frac{4}{3} e^{8} - \frac{4}{3} e^{2}$

≈ 3964,759

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 72 + $\frac{4}{3} e^{8} - \frac{4}{3} e^{2}$ ≈ 4036.76

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 69 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 4 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $4 e^{3 - 1} - 4 e^{1 - 1}$

= $4 e^{2} - 4 e^{0}$

= $4 e^{2} - 4$

≈ 25,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 69 + $4 e^{2} - 4$ ≈ 94.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,7 e^{0,1 x - 0,2} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,7 e^{0,1 x - 0,2} ⅆ x

= ${[7 e^{0,1 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $7 e^{0,1 u - 0,2} - 7 e^{0,1 \cdot 0 - 0,2}$

= $7 e^{0,1 u - 0,2} - 7 e^{0 - 0,2}$

= $7 e^{0,1 u - 0,2} - 7 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$7 e^{0,1 u - 0,2} - 7 e^{- 0,2}$	=	$7$	\| $+ 7 e^{- 0,2}$
$7 e^{0,1 u - 0,2}$	=	$7 e^{- 0,2} + 7$
$7 e^{0,1 u - 0,2}$	=	$12,7311$	\|: $7$
$e^{0,1 u - 0,2}$	=	$1,8187$	\|ln(⋅)
$0,1 u - 0,2$	=	$\ln (1,8187)$

$0,1 u - 0,2$	=	$0,5981$	\| $+ 0,2$
$0,1 u$	=	$0,7981$	\|: $0,1$
$u$	=	$7,981$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 5}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $3$ und Minute $\frac{14}{3}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{14}{3} - 3}

\int_{3}^{\frac{14}{3}} 3 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\frac{3}{5}

\int_{3}^{\frac{14}{3}} 3 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{3}{5}$ ${[\frac{2}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{\frac{14}{3}}$

= $\frac{3}{5}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{\frac{14}{3}}$

$=$ $\frac{3}{5} (\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3})$

= $\frac{3}{5} (\frac{2}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9 - 5})}^{3})$

= $\frac{3}{5} (\frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{3}{5} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

= $\frac{3}{5} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

= $\frac{3}{5} (18 - \frac{16}{3})$

= $\frac{3}{5} (\frac{54}{3} - \frac{16}{3})$

= $\frac{3}{5} \cdot \frac{38}{3}$

= $\frac{38}{5}$

= 7,6

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(- x + 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{5}^{u} \frac{1}{{(- x + 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{5}^{u} {(- x + 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[{(- x + 3)}^{- 1}]}_{5}^{u}$

= ${[\frac{1}{- x + 3}]}_{5}^{u}$

$=$ $\frac{1}{- u + 3} - \frac{1}{- 5 + 3}$

= $\frac{1}{- u + 3} - \frac{1}{(- 2)}$

= $\frac{1}{- u + 3} - (- \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{- u + 3} + \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{- u + 3} + \frac{1}{2}$ → $0 + \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale