Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{3 x - 7}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{16}{3}$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{23}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{23}{3}

:

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} 3 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}} 3 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{16}{3}}^{\frac{23}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{23 - 7})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16 - 7})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{9})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 27$

= $\frac{128}{3} - 18$

= $\frac{128}{3} - \frac{54}{3}$

= $\frac{74}{3}$

≈ 24,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{16}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{16}{3}

und

\frac{23}{3}

zusammen:

B = 18 + $\frac{74}{3}$ = $\frac{128}{3}$ ≈ 42.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 7)}^{2}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:

\int_{3}^{6} \frac{2}{{(3 x - 7)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{6} 2 {(3 x - 7)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 7)}^{- 1}]}_{3}^{6}$

= ${[- \frac{2}{3 (3 x - 7)}]}_{3}^{6}$

$=$ $- \frac{2}{3 (3 \cdot 6 - 7)} + \frac{2}{3 (3 \cdot 3 - 7)}$

= $- \frac{2}{3 (18 - 7)} + \frac{2}{3 (9 - 7)}$

= $- \frac{2}{3 \cdot 11} + \frac{2}{3 \cdot 2}$

= $- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{11}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2})$

= $- \frac{2}{33} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{33} + \frac{11}{33}$

= $\frac{3}{11}$

≈ 0,273

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:

B = 11 + $\frac{3}{11}$ = $\frac{124}{11}$ ≈ 11.27

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3 e^{0,5 x - 0,4} ⅆ x$ = $19$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3 e^{0,5 x - 0,4} ⅆ x

= ${[6 e^{0,5 x - 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,5 u - 0,4} - 6 e^{0,5 \cdot 0 - 0,4}$

= $6 e^{0,5 u - 0,4} - 6 e^{0 - 0,4}$

= $6 e^{0,5 u - 0,4} - 6 e^{- 0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $19$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,5 u - 0,4} - 6 e^{- 0,4}$	=	$19$	\| $+ 6 e^{- 0,4}$
$6 e^{0,5 u - 0,4}$	=	$6 e^{- 0,4} + 19$
$6 e^{0,5 u - 0,4}$	=	$23,0219$	\|: $6$
$e^{0,5 u - 0,4}$	=	$3,837$	\|ln(⋅)
$0,5 u - 0,4$	=	$\ln (3,837)$

$0,5 u - 0,4$	=	$1,3447$	\| $+ 0,4$
$0,5 u$	=	$1,7447$	\|: $0,5$
$u$	=	$3,4894$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 4 \cdot \sin (x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- 4 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- 4 \cdot \cos (π - \frac{3}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 4 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (- π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - 4)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 4)$

= $- \frac{8}{π}$

≈ -2,546

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $2 e^{- 2 x + 1}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} 2 e^{- 2 x + 1} ⅆ x

= ${[- e^{- 2 x + 1}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 2 u + 1} + e^{- 2 \cdot 0 + 1}$

= $- e^{- 2 u + 1} + e^{0 + 1}$

= $- e^{- 2 u + 1} + e^{1}$

= $- e^{- 2 u + 1} + e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{- 2 u + 1} + e$ → $0 + e$ = $e$ ≈ 2.718

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2.718

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale