Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 32 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
=
=
=
≈ 1,718
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2
zusammen:
B = 32 +
≈ 33.72
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 66 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
≈ 0,698
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 66 +
≈ 66.7
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 7.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
1
3
(
ln(
|
3⋅7
-6
|
)
-
ln(
|
3⋅4
-6
|
)
)
=
1
3
(
ln(
|
21
-6
|
)
-
ln(
|
12
-6
|
)
)
=
1
3
(
ln(
15
)
-
ln(
|
12
-6
|
)
)
=
1
3
(
ln(
15
)
-
ln(
6
)
)
≈ 0,305
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -2x +2 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
2
(
-2x
+2
)
3
ⅆ
x
=
∫
2
u
2
(
-2x
+2
)
-3
ⅆ
x
=
[
1
2
(
-2x
+2
)
-2
]
2
u
=
[
1
2
(
-2x
+2
)
2
]
2
u
=
1
2
(
-2u
+2
)
2
-
1
2
(
-2⋅2
+2
)
2
=
1
2
(
-2u
+2
)
2
-
1
2
(
-4
+2
)
2
=
1
2
(
-2u
+2
)
2
-
1
2
( -2 )
2
=
1
2
(
-2u
+2
)
2
-
1
2
⋅(
1
4
)
=
1
2
(
-2u
+2
)
2
-
1
8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
2
(
-2u
+2
)
2
-
1
8
→
0
-
1
8
=
-
1
8
≈ -0.125
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125