Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 3x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 19 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 19 3 :
4 19 3 2 3x -3 x
= 4 19 3 2 ( 3x -3 ) 1 2 x

= [ 4 9 ( 3x -3 ) 3 2 ] 4 19 3

= [ 4 9 ( 3x -3 ) 3 ] 4 19 3

= 4 9 ( 3( 19 3 ) -3 ) 3 - 4 9 ( 34 -3 ) 3

= 4 9 ( 19 -3 ) 3 - 4 9 ( 12 -3 ) 3

= 4 9 ( 16 ) 3 - 4 9 ( 9 ) 3

= 4 9 4 3 - 4 9 3 3

= 4 9 64 - 4 9 27

= 256 9 -12

= 256 9 - 108 9

= 148 9


≈ 16,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 19 3 zusammen:
B = 13 + 148 9 = 265 9 ≈ 29.44

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e 2x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 6 e 2x -1 x

= [ 3 e 2x -1 ] 0 3

= 3 e 23 -1 -3 e 20 -1

= 3 e 6 -1 -3 e 0 -1

= 3 e 5 -3 e -1


≈ 444,136
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 76 + 3 e 5 -3 e -1 ≈ 520.14

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u -4x x = -12,5

Lösung einblenden
0 u -4x x

= [ -2 x 2 ] 0 u

= -2 u 2 +2 0 2

= -2 u 2 +20

= -2 u 2 +0

= -2 u 2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -12,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 = -12,5 |: ( -2 )
u 2 = 6,25 | 2
u1 = - 6,25 = -2,5
u2 = 6,25 = 2,5

Da u= -2,5 < 0 ist u= 2,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 5 sin( x + 1 2 π) zwischen 0 und 3 2 π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π 5 sin( x + 1 2 π) x

= 2 3 π [ -5 cos( x + 1 2 π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( -5 cos( 3 2 π + 1 2 π) +5 cos( 0 + 1 2 π) )

= 2 3 π · ( -5 cos(2π) +5 cos( 1 2 π) )

= 2 3 π · ( -51 +50 )

= 2 3 π · ( -5 +0 )

= 2 3 π · ( -5 )

= - 10 3 π


≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 ( -2x +4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 2 ( -2x +4 ) 3 x
= 4 u 2 ( -2x +4 ) -3 x

= [ 1 2 ( -2x +4 ) -2 ] 4 u

= [ 1 2 ( -2x +4 ) 2 ] 4 u

= 1 2 ( -2u +4 ) 2 - 1 2 ( -24 +4 ) 2

= 1 2 ( -2u +4 ) 2 - 1 2 ( -8 +4 ) 2

= 1 2 ( -2u +4 ) 2 - 1 2 ( -4 ) 2

= 1 2 ( -2u +4 ) 2 - 1 2 ( 1 16 )

= 1 2 ( -2u +4 ) 2 - 1 32

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 2 ( -2u +4 ) 2 - 1 32 0 - 1 32 = - 1 32 ≈ -0.031

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.031