Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 32,889
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 11 + = ≈ 43.89
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 15 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 15 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
48
8
=
6
u2 =
5
-
1849
8
=
5
-43
8
=
-38
8
=
-4,75
Da u=
-4,75
< 3 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3⋅ sin( 3x + 3 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
2
π+0
∫
0
3
2
π
3⋅
sin(
3x
+
3
2
π)
ⅆ
x
=
2
3
π
[
-
cos(
3x
+
3
2
π)
]
0
3
2
π
=
2
3
π
·
(
-
cos(
3⋅(
3
2
π )
+
3
2
π)
+
cos(
3⋅( 0 )
+
3
2
π)
)
=
2
3
π
·
(
-
cos(6π)
+
cos(
3
2
π)
)
=
2
3
π
·
(
-1
+0
)
=
-
2
3
π
≈ -0,212
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 x -1 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
5
u
2
x
-1
ⅆ
x
=
∫
5
u
2
(
x
-1
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
4
(
x
-1
)
1
2
]
5
u
=
[
4
x
-1
]
5
u
=
4
u
-1
-4
5
-1
=
4
u
-1
-4
4
=
4
u
-1
-4⋅2
=
4
u
-1
-8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
4
u
-1
-8
→
∞