Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -2 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 6 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:
4 6 4 ( x -2 ) 2 x
= 4 6 4 ( x -2 ) -2 x

= [ -4 ( x -2 ) -1 ] 4 6

= [ - 4 x -2 ] 4 6

= - 4 6 -2 + 4 4 -2

= - 4 4 + 4 2

= -4( 1 4 ) +4( 1 2 )

= -1 +2

= 1

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:
B = 18 + 1 = 19

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 5 2x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 13 2 Minuten sind 5 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 10 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 13 2 und 10:
13 2 10 5 2x -4 x
= 13 2 10 5 ( 2x -4 ) 1 2 x

= [ 5 3 ( 2x -4 ) 3 2 ] 13 2 10

= [ 5 3 ( 2x -4 ) 3 ] 13 2 10

= 5 3 ( 210 -4 ) 3 - 5 3 ( 2( 13 2 ) -4 ) 3

= 5 3 ( 20 -4 ) 3 - 5 3 ( 13 -4 ) 3

= 5 3 ( 16 ) 3 - 5 3 ( 9 ) 3

= 5 3 4 3 - 5 3 3 3

= 5 3 64 - 5 3 27

= 320 3 -45

= 320 3 - 135 3

= 185 3


≈ 61,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 13 2 und der Änderung zwischen 13 2 und 10 zusammen:
B = 5 + 185 3 = 200 3 ≈ 66.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -8x +1 ) x = -217,5

Lösung einblenden
0 u ( -8x +1 ) x

= [ -4 x 2 + x ] 0 u

= -4 u 2 + u - ( -4 0 2 +0)

= -4 u 2 + u - ( -40 +0)

= -4 u 2 + u - (0+0)

= -4 u 2 + u +0

= -4 u 2 + u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -217,5 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-4 u 2 + u = -217,5 | +217,5

-4 u 2 + u +217,5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · ( -4 ) · 217,5 2( -4 )

u1,2 = -1 ± 1 +3480 -8

u1,2 = -1 ± 3481 -8

u1 = -1 + 3481 -8 = -1 +59 -8 = 58 -8 = -7,25

u2 = -1 - 3481 -8 = -1 -59 -8 = -60 -8 = 7,5

Da u= -7,25 < 0 ist u= 7,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2 sin( 3x - 1 2 π) zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 2 sin( 3x - 1 2 π) x

= 2 π [ - 2 3 cos( 3x - 1 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( - 2 3 cos( 3π - 1 2 π) + 2 3 cos( 3( 1 2 π ) - 1 2 π) )

= 2 π · ( - 2 3 cos( 5 2 π) + 2 3 cos(π) )

= 2 π · ( - 2 3 0 + 2 3 ( -1 ) )

= 2 π · ( 0 - 2 3 )

= 2 π · ( 0 - 2 3 )

= 2 π · ( - 2 3 )

= - 4 3 π


≈ -0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 2x -4 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 3 u 1 ( 2x -4 ) 3 x
= 3 u ( 2x -4 ) -3 x

= [ - 1 4 ( 2x -4 ) -2 ] 3 u

= [ - 1 4 ( 2x -4 ) 2 ] 3 u

= - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 4 ( 23 -4 ) 2

= - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 4 ( 6 -4 ) 2

= - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 4 2 2

= - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 4 ( 1 4 )

= - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 16

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 4 ( 2u -4 ) 2 + 1 16 0 + 1 16 = 1 16 ≈ 0.063

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.063