Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 40 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
=
≈ 25,447
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 40 +
≈ 65.45
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 101,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 9 + = ≈ 110.67
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 4.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
ln(
|
4
-2
|
)
-
ln(
|
3
-2
|
)
=
ln(
2
)
-
ln(
|
3
-2
|
)
=
ln(
2
)
-
ln(
1
)
=
ln(
2
)
+0
=
ln(
2
)
≈ 0,693
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 2x -4 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
4
u
-
3
2x
-4
ⅆ
x
=
∫
4
u
-3
(
2x
-4
)
-1
ⅆ
x
=
[
-
3
2
ln(
|
2x
-4
|
)
]
4
u
=
-
3
2
ln(
|
2(
u
)
-4
|
)
+
3
2
ln(
|
2⋅4
-4
|
)
=
-
3
2
ln(
|
2u
-4
|
)
+
3
2
ln(
|
8
-4
|
)
=
-
3
2
ln(
|
2u
-4
|
)
+
3
2
ln(
4
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
2
ln(
4
)
-
3
2
ln(
|
2x
-4
|
)
→
∞