Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 4)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{5}{{(3 x - 4)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 5 {(3 x - 4)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} {(3 x - 4)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{5}{6 {(3 x - 4)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{6 {(3 \cdot 5 - 4)}^{2}} + \frac{5}{6 {(3 \cdot 3 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{5}{6 {(15 - 4)}^{2}} + \frac{5}{6 {(9 - 4)}^{2}}$

= $- \frac{5}{6 \cdot 11^{2}} + \frac{5}{6 \cdot 5^{2}}$

= $- \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{121}) + \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{25})$

= $- \frac{5}{726} + \frac{1}{30}$

= $- \frac{25}{3630} + \frac{121}{3630}$

= $\frac{16}{605}$

≈ 0,026

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 4 + $\frac{16}{605}$ = $\frac{2436}{605}$ ≈ 4.03

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 5}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 53 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{3 x - 5} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 5}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 2 - 5} - 2 e^{3 \cdot 1 - 5}$

= $2 e^{6 - 5} - 2 e^{3 - 5}$

= $2 e^{1} - 2 e^{- 2}$

= $2 e - 2 e^{- 2}$

≈ 5,166

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 53 + $- 2 e^{- 2} + 2 e$ ≈ 58.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 10 x - 4) ⅆ x$ = $- 68$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 10 x - 4) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - 4 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - 4 u - (- 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2)$

= $- 5 u^{2} - 4 u - (- 5 \cdot 4 - 8)$

= $- 5 u^{2} - 4 u - (- 20 - 8)$

= $- 5 u^{2} - 4 u - 1 \cdot (- 28)$

= $- 5 u^{2} - 4 u + 28$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 68$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - 4 u + 28

=

- 68

|

+ 68

$- 5 u^{2} - 4 u + 96$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 96}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 1 920}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{1 936}}{- 10}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{1 936}}{- 10}$ = $\frac{4+44}{- 10}$ = $\frac{48}{- 10}$ = $- 4,8$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{1 936}}{- 10}$ = $\frac{4-44}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

Da u= $- 4,8$ < 2 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(2 x - 2)}^{2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 2 {(2 x - 2)}^{2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{3} {(2 x - 2)}^{3}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 3 - 2)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(2 \cdot 0 - 2)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot {(6 - 2)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(0 - 2)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot (- 8))$

= $\frac{1}{3} (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

= $\frac{1}{3} \cdot 24$

= $8$

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{2 x}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=2 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{2} - \frac{1}{2 x} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - \frac{1}{2 x} ⅆ x

=

\int_{u}^{2} - \frac{1}{2} x^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} \ln (| x |)]}_{u}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \ln (| 2 |) + \frac{1}{2} \ln (| u |)$

= $- \frac{1}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} \ln (| u |)$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} \ln (| 2 |) + \frac{1}{2} \ln (| x |)$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale