Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 e x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 6 e x -3 x

= [ 6 e x -3 ] 1 2

= 6 e 2 -3 -6 e 1 -3

= 6 e -1 -6 e -2


≈ 1,395
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 16 + 6 e -1 -6 e -2 ≈ 17.4

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 6 e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 23 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
1 4 6 e x -3 x

= [ 6 e x -3 ] 1 4

= 6 e 4 -3 -6 e 1 -3

= 6 e 1 -6 e -2

= 6e -6 e -2


≈ 15,498
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:
B = 23 + -6 e -2 +6e ≈ 38.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u -2x x = -55

Lösung einblenden
3 u -2x x

= [ - x 2 ] 3 u

= - u 2 + 3 2

= - u 2 + 9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -55 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u 2 +9 = -55 | -9
- u 2 = -64 |: ( -1 )
u 2 = 64 | 2
u1 = - 64 = -8
u2 = 64 = 8

Da u= -8 < 3 ist u= 8 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 sin( x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 3 sin( x + 1 2 π) x

= 2 π [ -3 cos( x + 1 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( -3 cos( π + 1 2 π) +3 cos( 1 2 π + 1 2 π) )

= 2 π · ( -3 cos( 3 2 π) +3 cos(π) )

= 2 π · ( -30 +3( -1 ) )

= 2 π · ( 0 -3 )

= 2 π · ( -3 )

= - 6 π


≈ -1,91

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 2x -6 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 5 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= u 5 1 2x -6 x
= u 5 ( 2x -6 ) - 1 2 x

= [ ( 2x -6 ) 1 2 ] u 5

= [ 2x -6 ] u 5

= 25 -6 - 2u -6

= 10 -6 - 2u -6

= 4 - 2u -6

= 2 - 2u -6

= - 2u -6 +2

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = - 2u -6 +2 0 +2 = 2 ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2