Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 \sqrt{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $19$ Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $28$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 2 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 14 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{286}{3}$ ≈ 95.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $2 e^{x - 1}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 2 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[2 e^{x - 1}]}_{1}^{4}$

$=$ $2 e^{4 - 1} - 2 e^{1 - 1}$

= $2 e^{3} - 2 e^{0}$

= $2 e^{3} - 2$

≈ 38,171

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 20 + $2 e^{3} - 2$ ≈ 58.17

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 5,6 e^{- 0,7 x + 0,7} ⅆ x$ = $8$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 5,6 e^{- 0,7 x + 0,7} ⅆ x

= ${[- 8 e^{- 0,7 x + 0,7}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 8 e^{- 0,7 u + 0,7} + 8 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,7}$

= $- 8 e^{- 0,7 u + 0,7} + 8 e^{0 + 0,7}$

= $- 8 e^{- 0,7 u + 0,7} + 8 e^{0,7}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $8$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 8 e^{- 0,7 u + 0,7} + 8 e^{0,7}$	=	$8$	\| $- 8 e^{0,7}$
$- 8 e^{- 0,7 u + 0,7}$	=	$- 8 e^{0,7} + 8$
$- 8 e^{- 0,7 u + 0,7}$	=	$- 8,11$	\|: $- 8$
$e^{- 0,7 u + 0,7}$	=	$1,0138$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,7$	=	$\ln (1,0138)$

$- 0,7 u + 0,7$	=	$0,0137$	\| $- 0,7$
$- 0,7 u$	=	$- 0,6863$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,9804$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $\frac{4}{{(3 x - 5)}^{2}}$ zwischen 3 und 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 3}

\int_{3}^{5} \frac{4}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\frac{1}{2}

\int_{3}^{5} 4 {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{5}$

= $\frac{1}{2}$ ${[- \frac{4}{3 (3 x - 5)}]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{4}{3 (3 \cdot 5 - 5)} + \frac{4}{3 (3 \cdot 3 - 5)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{4}{3 (15 - 5)} + \frac{4}{3 (9 - 5)})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{4}{3 \cdot 10} + \frac{4}{3 \cdot 4})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{10}) + \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{4}))$

= $\frac{1}{2} (- \frac{2}{15} + \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{2} (- \frac{2}{15} + \frac{5}{15})$

= $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$

= $\frac{1}{10}$

= 0,1

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{2 x - 3}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} - \frac{3}{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} - 3 {(2 x - 3)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 3 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} \ln (| 2 (u) - 3 |) + \frac{3}{2} \ln (| 2 \cdot 2 - 3 |)$

= $- \frac{3}{2} \ln (| 2 u - 3 |) + \frac{3}{2} \ln (| 4 - 3 |)$

= $- \frac{3}{2} \ln (| 2 u - 3 |) + \frac{3}{2} \ln (1)$

= $- \frac{3}{2} \ln (| 2 u - 3 |) + 0$

= $- \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 3 |)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} \ln (| 2 x - 3 |)$ → $\infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale