Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{7}{3}$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $4$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{7}{3}

und

4

:

\int_{\frac{7}{3}}^{4} \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{7}{3}}^{4} {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{3}}^{4}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{3}}^{4}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot 4 - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{7}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{12 - 3})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{7 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 3^{3} - \frac{2}{9} \cdot 2^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 27 - \frac{2}{9} \cdot 8$

= $6 - \frac{16}{9}$

= $\frac{54}{9} - \frac{16}{9}$

= $\frac{38}{9}$

≈ 4,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{7}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{7}{3}

und

4

zusammen:

B = 4 + $\frac{38}{9}$ = $\frac{74}{9}$ ≈ 8.22

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{22}{3}$ s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{31}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{2}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{2}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 5^{3} - \frac{2}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{9} \cdot 125 - \frac{2}{9} \cdot 64$

= $\frac{250}{9} - \frac{128}{9}$

= $\frac{122}{9}$

≈ 13,556

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 4 + $\frac{122}{9}$ = $\frac{158}{9}$ ≈ 17.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (- 10 x + 2) ⅆ x$ = $- 76$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (- 10 x + 2) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} + 2 x]}_{3}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 2 u - (- 5 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3)$

= $- 5 u^{2} + 2 u - (- 5 \cdot 9 + 6)$

= $- 5 u^{2} + 2 u - (- 45 + 6)$

= $- 5 u^{2} + 2 u - 1 \cdot (- 39)$

= $- 5 u^{2} + 2 u + 39$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 76$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} + 2 u + 39

=

- 76

|

+ 76

$- 5 u^{2} + 2 u + 115$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 115}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 2 300}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2 304}}{- 10}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{2 304}}{- 10}$ = $\frac{- 2+48}{- 10}$ = $\frac{46}{- 10}$ = $- 4,6$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{2 304}}{- 10}$ = $\frac{- 2-48}{- 10}$ = $\frac{- 50}{- 10}$ = $5$

Da u= $- 4,6$ < 3 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)$ zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[\sin (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (\sin (3 \cdot π - \frac{3}{2} π) - \sin (3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (\sin (\frac{3}{2} π) - \sin (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 1 - 1)$

= $\frac{- 1 - 1}{π}$

= $\frac{- 2}{π}$

= $- \frac{2}{π}$

≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(3 x - 3)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} - \frac{1}{{(3 x - 3)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} - {(3 x - 3)}^{- 2} ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} {(3 x - 3)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[\frac{1}{3 (3 x - 3)}]}_{3}^{u}$

$=$ $\frac{1}{3 (3 u - 3)} - \frac{1}{3 (3 \cdot 3 - 3)}$

= $\frac{1}{3 (3 u - 3)} - \frac{1}{3 (9 - 3)}$

= $\frac{1}{3 (3 u - 3)} - \frac{1}{3 \cdot 6}$

= $\frac{1}{3 (3 u - 3)} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{6})$

= $\frac{1}{3 (3 u - 3)} - \frac{1}{18}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3 (3 u - 3)} - \frac{1}{18}$ → $0 - \frac{1}{18}$ = $- \frac{1}{18}$ ≈ -0.056

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale