Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 31,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 12 + = ≈ 43.67
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 15 + =
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
= 0
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
34
-4
=
-8,5
u2 =
5
-
841
-4
=
5
-29
-4
=
-24
-4
=
6
Da u=
-8,5
< 3 ist u=
6
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= e 3x -6 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
2
+0
∫
0
2
e
3x
-6
ⅆ
x
=
1
2
[
1
3
e
3x
-6
]
0
2
=
1
2
(
1
3
e
3⋅2
-6
-
1
3
e
3⋅0
-6
)
=
1
2
(
1
3
e
6
-6
-
1
3
e
0
-6
)
=
1
2
(
1
3
e
0
-
1
3
e
-6
)
=
1
2
(
1
3
-
1
3
e
-6
)
=
1
2
(
-
1
3
e
-6
+
1
3
)
≈ 0,166
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2 x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 18 und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
u
18
2
x
-2
ⅆ
x
=
∫
u
18
2
(
x
-2
)
-
1
2
ⅆ
x
=
[
4
(
x
-2
)
1
2
]
u
18
=
[
4
x
-2
]
u
18
=
4
18
-2
-4
u
-2
=
4
16
-4
u
-2
=
4⋅4
-4
u
-2
=
16
-4
u
-2
Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) =
-4
u
-2
+16
→
0
+16
=
16
≈ 16
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 16