Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 5)}^{3}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 6 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} \frac{2}{{(3 x - 5)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{3} 2 {(3 x - 5)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{- 2}]}_{2}^{3}$

= ${[- \frac{1}{3 {(3 x - 5)}^{2}}]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3 {(3 \cdot 3 - 5)}^{2}} + \frac{1}{3 {(3 \cdot 2 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 {(9 - 5)}^{2}} + \frac{1}{3 {(6 - 5)}^{2}}$

= $- \frac{1}{3 \cdot 4^{2}} + \frac{1}{3 \cdot 1^{2}}$

= $- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{16}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{48} + \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{48} + \frac{16}{48}$

= $\frac{5}{16}$

≈ 0,313

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 6 + $\frac{5}{16}$ = $\frac{101}{16}$ ≈ 6.31

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 2 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[2 \ln (| x - 2 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $2 \ln (| 5 - 2 |) - 2 \ln (| 3 - 2 |)$

= $2 \ln (3) - 2 \ln (| 3 - 2 |)$

= $2 \ln (3) - 2 \ln (1)$

= $2 \ln (3) + 0$

= $2 \ln (3)$

≈ 2,197

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 7 + $2 \ln (3)$ ≈ 9.2

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 2 x + 4) ⅆ x$ = $- 16,25$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 2 x + 4) ⅆ x

= ${[- x^{2} + 4 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- u^{2} + 4 u - (- 0^{2} + 4 \cdot 0)$

= $- u^{2} + 4 u - (- 0 + 0)$

= $- u^{2} + 4 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 16,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- u^{2} + 4 u

=

- 16,25

|

+ 16,25

$- u^{2} + 4 u + 16,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 16,25}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 65}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 4+9}{- 2}$ = $\frac{5}{- 2}$ = $- 2,5$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 4-9}{- 2}$ = $\frac{- 13}{- 2}$ = $6,5$

Da u= $- 2,5$ < 0 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (x + π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \cos (x + π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\sin (x + π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\sin (\frac{1}{2} π + π) - \sin (0 + π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\sin (\frac{3}{2} π) - \sin (π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- 1 - 0)$

= $- \frac{2}{π}$

≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{- x + 2}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} - 2 e^{- x + 2} ⅆ x

= ${[2 e^{- x + 2}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{- u + 2} - 2 e^{- 0 + 2}$

= $2 e^{- u + 2} - 2 e^{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $2 e^{- u + 2} - 2 e^{2}$ → $0 - 2 e^{2}$ = $- 2 e^{2}$ ≈ -14.778

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 14.778

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale