Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,328
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 6 + = ≈ 6.33
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 43 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
=
=
=
≈ 0,636
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1
zusammen:
B = 43 +
≈ 43.64
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
4
|
=
-2
|
| u2 |
= |
4
|
=
2
|
Da u=
-2
< 1 ist u=
2
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 3x -7 ) 3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
-2
∫
2
3
2
(
3x
-7
)
3
ⅆ
x
=
1
[
1
6
(
3x
-7
)
4
]
2
3
=
1
6
⋅
(
3⋅3
-7
)
4
-
1
6
⋅
(
3⋅2
-7
)
4
=
1
6
⋅
(
9
-7
)
4
-
1
6
⋅
(
6
-7
)
4
=
1
6
⋅
2
4
-
1
6
⋅
( -1 )
4
=
1
6
⋅16
-
1
6
⋅1
=
8
3
-
1
6
=
16
6
-
1
6
=
5
2
= 2,5
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( -3x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
-
3
(
-3x
+3
)
2
ⅆ
x
=
∫
2
u
-3
(
-3x
+3
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
(
-3x
+3
)
-1
]
2
u
=
[
-
1
-3x
+3
]
2
u
=
-
1
-3u
+3
+
1
-3⋅2
+3
=
-
1
-3u
+3
+
1
-6
+3
=
-
1
-3u
+3
+
1
( -3 )
=
-
1
-3u
+3
+ (
-
1
3
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
-3u
+3
-
1
3
→
0
-
1
3
=
-
1
3
≈ -0.333
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333