Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 16,444
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 8 + = ≈ 24.44
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 34 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:
=
=
=
=
≈ 1093,915
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4
zusammen:
B = 34 +
≈ 1127.91
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
| u1 |
= |
-
81
|
=
-9
|
| u2 |
= |
81
|
=
9
|
Da u=
-9
< 2 ist u=
9
die einzige Lösung.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 e 2x -5 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
3
+0
∫
0
3
4
e
2x
-5
ⅆ
x
=
1
3
[
2
e
2x
-5
]
0
3
=
1
3
(
2
e
2⋅3
-5
-2
e
2⋅0
-5
)
=
1
3
(
2
e
6
-5
-2
e
0
-5
)
=
1
3
(
2
e
1
-2
e
-5
)
=
1
3
(2e
-2
e
-5
)
=
1
3
(
-2
e
-5
+2e)
≈ 1,808
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 ( x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
3
u
-
3
(
x
-1
)
3
ⅆ
x
=
∫
3
u
-3
(
x
-1
)
-3
ⅆ
x
=
[
3
2
(
x
-1
)
-2
]
3
u
=
[
3
2
(
x
-1
)
2
]
3
u
=
3
2
(
u
-1
)
2
-
3
2
(
3
-1
)
2
=
3
2
(
u
-1
)
2
-
3
2⋅
2
2
=
3
2
(
u
-1
)
2
-
3
2
⋅(
1
4
)
=
3
2
(
u
-1
)
2
-
3
8
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
2
(
u
-1
)
2
-
3
8
→
0
-
3
8
=
-
3
8
≈ -0.375
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375