Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $3 e^{x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 75 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} 3 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{x - 3}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 e^{3 - 3} - 3 e^{1 - 3}$

= $3 e^{0} - 3 e^{- 2}$

= $3 - 3 e^{- 2}$

≈ 2,594

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 75 + $- 3 e^{- 2} + 3$ ≈ 77.59

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{2 x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{5}{2}$ s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $13$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{5}{2}

und

13

:

\int_{\frac{5}{2}}^{13} 5 \sqrt{2 x - 1} ⅆ x

=

\int_{\frac{5}{2}}^{13} 5 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{5}{2}}^{13}$

= ${[\frac{5}{3} {(\sqrt{2 x - 1})}^{3}]}_{\frac{5}{2}}^{13}$

$=$ $\frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot 13 - 1})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{5}{2}) - 1})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $\frac{5}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{5}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 5^{3} - \frac{5}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot 8$

= $\frac{625}{3} - \frac{40}{3}$

= $195$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{5}{2}

und der Änderung zwischen

\frac{5}{2}

und

13

zusammen:

B = 12 + $195$ = $207$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 20$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 0^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 0$

= $- 5 u^{2} + 0$

= $- 5 u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2}$	=	$- 20$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
u₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Da u= $- 2$ < 0 ist u= $2$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)$ zwischen $\frac{1}{2} π$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[- 5 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (- 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - \frac{1}{2} π) + 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 5 \cdot \cos (π) + 5 \cdot \cos (0))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 5 \cdot (- 1) + 5 \cdot 1)$

= $\frac{1}{π} \cdot (5 + 5)$

= $\frac{1}{π} \cdot 10$

= $\frac{10}{π}$

≈ 3,183

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- 3 x + 4}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} 3 e^{- 3 x + 4} ⅆ x

= ${[- e^{- 3 x + 4}]}_{0}^{u}$

$=$ $- e^{- 3 u + 4} + e^{- 3 \cdot 0 + 4}$

= $- e^{- 3 u + 4} + e^{0 + 4}$

= $- e^{- 3 u + 4} + e^{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- e^{- 3 u + 4} + e^{4}$ → $0 + e^{4}$ = $e^{4}$ ≈ 54.598

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 54.598

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale