Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
=
=
≈ 1,59
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2
zusammen:
B = 12 +
≈ 13.59
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
=
=
=
≈ 14,012
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3
zusammen:
B = 13 +
≈ 27.01
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:() |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= zwischen und .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 20,417
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
=
=
=
-3
ln(
|
-(
u
)
+3
|
)
+3
ln(
|
-5
+3
|
)
=
-3
ln(
|
-u
+3
|
)
+3
ln(
|
-5
+3
|
)
=
-3
ln(
|
-u
+3
|
)
+3
ln(
2
)
Für u → ∞ gilt: A(u) =
3
ln(
2
)
-3
ln(
|
-x
+3
|
)
→
∞