Integralanwendungen BF
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 27 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
=
=
=
=
≈ 107,196
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3
zusammen:
B = 27 +
≈ 134.2
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
=
=
=
=
=
=
=
= 0,9
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5
zusammen:
B = 20 + = ≈ 20.9
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
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= |
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= |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= zwischen und .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 4,083
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
=
=
=
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) =
→
=
≈ -0.333
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333