Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen und :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei und der Änderung zwischen und
zusammen:
B = 20 + =
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
=
=
=
3
ln(
|
4
-2
|
)
-3
ln(
|
3
-2
|
)
=
3
ln(
2
)
-3
ln(
|
3
-2
|
)
=
3
ln(
2
)
-3
ln(
1
)
=
3
ln(
2
)
+0
=
3
ln(
2
)
≈ 2,079
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4
zusammen:
B = 10 +
3
ln(
2
)
≈ 12.08
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass ∫ 0 u 3,5 e -0,5x +0,7 ⅆ x = 3
Lösung einblenden
∫
0
u
3,5
e
-0,5x
+0,7
ⅆ
x
=
[
-7
e
-0,5x
+0,7
]
0
u
=
-7
e
-0,5u
+0,7
+7
e
-0,5⋅0
+0,7
=
-7
e
-0,5u
+0,7
+7
e
0
+0,7
=
-7
e
-0,5u
+0,7
+7
e
0,7
|
-7
e
-0,5u
+0,7
+7
e
0,7
|
= |
3
|
|
-7
e
0,7
|
|
-7
e
-0,5u
+0,7
|
= |
-7
e
0,7
+3
|
|
|
-7
e
-0,5u
+0,7
|
= |
-11,0963
|
|:-7
|
|
e
-0,5u
+0,7
|
= |
1,5852
|
|ln(⋅) |
|
-0,5u
+0,7
|
= |
ln(
1,5852
)
|
|
|
-0,5u
+0,7
|
= |
0,4607
|
|
-0,7
|
|
-0,5u
|
= |
-0,2393
|
|:(-0,5
) |
|
u
|
= |
0,4786
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 2x -1 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 5 .
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
1
5
-1
∫
1
5
6
2x
-1
ⅆ
x
=
1
4
∫
1
5
6
(
2x
-1
)
1
2
ⅆ
x
=
1
4
[
2
(
2x
-1
)
3
2
]
1
5
=
1
4
[
2
(
2x
-1
)
3
]
1
5
=
1
4
(
2
(
2⋅5
-1
)
3
-2
(
2⋅1
-1
)
3
)
=
1
4
(
2
(
10
-1
)
3
-2
(
2
-1
)
3
)
=
1
4
(
2
(
9
)
3
-2
(
1
)
3
)
=
1
4
(
2⋅
3
3
-2⋅
1
3
)
=
1
4
(
2⋅27
-2⋅1
)
=
1
4
(
54
-2
)
=
1
4
·
52
=
13
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - e -2x +5 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
0
u
-
e
-2x
+5
ⅆ
x
=
[
1
2
e
-2x
+5
]
0
u
=
1
2
e
-2u
+5
-
1
2
e
-2⋅0
+5
=
1
2
e
-2u
+5
-
1
2
e
0
+5
=
1
2
e
-2u
+5
-
1
2
e
5
Für u → ∞ gilt: A(u) =
1
2
e
-2u
+5
-
1
2
e
5
→
0
-
1
2
e
5
=
-
1
2
e
5
≈ -74.207
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 74.207