Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $e^{2 x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 78 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} e^{2 x - 1} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} e^{2 x - 1}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 - 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{4 - 1} - \frac{1}{2} e^{0 - 1}$

= $\frac{1}{2} e^{3} - \frac{1}{2} e^{- 1}$

≈ 9,859

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 78 + $\frac{1}{2} e^{3} - \frac{1}{2} e^{- 1}$ ≈ 87.86

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{5}{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 5 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{5}{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 5 {(3 x - 5)}^{- 1} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} \ln (| 3 x - 5 |)]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{5}{3} \ln (| 3 \cdot 5 - 5 |) - \frac{5}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 5 |)$

= $\frac{5}{3} \ln (| 15 - 5 |) - \frac{5}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{5}{3} \ln (10) - \frac{5}{3} \ln (| 9 - 5 |)$

= $\frac{5}{3} \ln (10) - \frac{5}{3} \ln (4)$

≈ 1,527

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 5 + $\frac{5}{3} \ln (| 10 |) - \frac{5}{3} \ln (| 4 |)$ ≈ 6.53

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 8 x + 2) ⅆ x$ = $- 154$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 8 x + 2) ⅆ x

= ${[- 4 x^{2} + 2 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 4 u^{2} + 2 u - (- 4 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$

= $- 4 u^{2} + 2 u - (- 4 \cdot 1 + 2)$

= $- 4 u^{2} + 2 u - (- 4 + 2)$

= $- 4 u^{2} + 2 u - 1 \cdot (- 2)$

= $- 4 u^{2} + 2 u + 2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 154$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 4 u^{2} + 2 u + 2

=

- 154

|

+ 154

- 4 u^{2} + 2 u + 156

= 0 |:2

$- 2 u^{2} + u + 78$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 78}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 624}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{625}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{625}}{- 4}$ = $\frac{- 1+25}{- 4}$ = $\frac{24}{- 4}$ = $- 6$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{625}}{- 4}$ = $\frac{- 1-25}{- 4}$ = $\frac{- 26}{- 4}$ = $6,5$

Da u= $- 6$ < 1 ist u= $6,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{x - 3}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 1 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{1 + 0}

\int_{0}^{1} 4 e^{x - 3} ⅆ x

= $1$ ${[4 e^{x - 3}]}_{0}^{1}$

$=$ $4 e^{1 - 3} - 4 e^{0 - 3}$

= $4 e^{- 2} - 4 e^{- 3}$

≈ 0,342

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $4$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{4} \frac{1}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{4} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{4}$

= ${[2 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{4}$

$=$ $2 \sqrt{4 - 3} - 2 \sqrt{u - 3}$

= $2 \sqrt{1} - 2 \sqrt{u - 3}$

= $2 \cdot 1 - 2 \sqrt{u - 3}$

= $2 - 2 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{u - 3} + 2$ → $0 + 2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale