Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 11 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 5 e^{x - 3} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $5 e^{3 - 3} - 5 e^{0 - 3}$

= $5 e^{0} - 5 e^{- 3}$

= $5 - 5 e^{- 3}$

≈ 4,751

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 11 + $- 5 e^{- 3} + 5$ ≈ 15.75

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $5$ s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $10$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

5

und

10

:

\int_{5}^{10} 2 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{5}^{10} 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{10}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{5}^{10}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 3^{3} - \frac{4}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 27 - \frac{4}{3} \cdot 8$

= $36 - \frac{32}{3}$

= $\frac{108}{3} - \frac{32}{3}$

= $\frac{76}{3}$

≈ 25,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

5

und der Änderung zwischen

5

und

10

zusammen:

B = 19 + $\frac{76}{3}$ = $\frac{133}{3}$ ≈ 44.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,4 e^{0,2 x - 0,2} ⅆ x$ = $7$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 0,4 e^{0,2 x - 0,2} ⅆ x

= ${[2 e^{0,2 x - 0,2}]}_{0}^{u}$

$=$ $2 e^{0,2 u - 0,2} - 2 e^{0,2 \cdot 0 - 0,2}$

= $2 e^{0,2 u - 0,2} - 2 e^{0 - 0,2}$

= $2 e^{0,2 u - 0,2} - 2 e^{- 0,2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $7$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2 e^{0,2 u - 0,2} - 2 e^{- 0,2}$	=	$7$	\| $+ 2 e^{- 0,2}$
$2 e^{0,2 u - 0,2}$	=	$2 e^{- 0,2} + 7$
$2 e^{0,2 u - 0,2}$	=	$8,6375$	\|: $2$
$e^{0,2 u - 0,2}$	=	$4,3188$	\|ln(⋅)
$0,2 u - 0,2$	=	$\ln (4,3188)$

$0,2 u - 0,2$	=	$1,463$	\| $+ 0,2$
$0,2 u$	=	$1,663$	\|: $0,2$
$u$	=	$8,315$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $19$ und Minute $28$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{28 - 19}

\int_{19}^{28} \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\frac{1}{9}

\int_{19}^{28} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= $\frac{1}{9}$ ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{1}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3})$

= $\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64)$

= $\frac{1}{9} (\frac{250}{3} - \frac{128}{3})$

= $\frac{1}{9} \cdot \frac{122}{3}$

= $\frac{122}{27}$

≈ 4,519

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(3 x - 4)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{2}{{(3 x - 4)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} 2 {(3 x - 4)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(3 x - 4)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{2}{3 (3 x - 4)}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{2}{3 (3 u - 4)} + \frac{2}{3 (3 \cdot 3 - 4)}$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 4)} + \frac{2}{3 (9 - 4)}$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 4)} + \frac{2}{3 \cdot 5}$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 4)} + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{5})$

= $- \frac{2}{3 (3 u - 4)} + \frac{2}{15}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{2}{3 (3 u - 4)} + \frac{2}{15}$ → $0 + \frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$ ≈ 0.133

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.133

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale