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Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2x -4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 13 2 s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 10 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 13 2 und 10:
∫ 13 2 10 2x -4 ⅆ x
= ∫ 13 2 10 ( 2x -4 ) 1 2 ⅆ x

= [ 1 3 ( 2x -4 ) 3 2 ] 13 2 10

= [ 1 3 ( 2x -4 ) 3 ] 13 2 10

= 1 3 ( 2⋅10 -4 ) 3 - 1 3 ( 2⋅( 13 2 ) -4 ) 3

= 1 3 ( 20 -4 ) 3 - 1 3 ( 13 -4 ) 3

= 1 3 ( 16 ) 3 - 1 3 ( 9 ) 3

= 1 3 ⋅ 4 3 - 1 3 ⋅ 3 3

= 1 3 ⋅64 - 1 3 ⋅27

= 64 3 -9

= 64 3 - 27 3

= 37 3


≈ 12,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 13 2 und der Änderung zwischen 13 2 und 10 zusammen:
B = 19 + 37 3 = 94 3 ≈ 31.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 71 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
∫ 0 3 4 e 3x -7 ⅆ x

= [ 4 3 e 3x -7 ] 0 3

= 4 3 e 3⋅3 -7 - 4 3 e 3⋅0 -7

= 4 3 e 9 -7 - 4 3 e 0 -7

= 4 3 e 2 - 4 3 e -7


≈ 9,851
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 71 + 4 3 e 2 - 4 3 e -7 ≈ 80.85

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass ∫ 3 u 6x ⅆ x = 189,75

Lösung einblenden
∫ 3 u 6x ⅆ x

= [ 3 x 2 ] 3 u

= 3 u 2 -3⋅ 3 2

= 3 u 2 -3⋅9

= 3 u 2 -27

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 189,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 -27 = 189,75 | +27
3 u 2 = 216,75 |:3
u 2 = 72,25 | ⋅2
u1 = - 72,25 = -8,5
u2 = 72,25 = 8,5

Da u= -8,5 < 3 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 ( x -2 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 ∫ 3 5 4 ( x -2 ) 2 ⅆ x
= 1 2 ∫ 3 5 4 ( x -2 ) -2 ⅆ x

= 1 2 [ -4 ( x -2 ) -1 ] 3 5

= 1 2 [ - 4 x -2 ] 3 5

= 1 2 ( - 4 5 -2 + 4 3 -2 )

= 1 2 ( - 4 3 + 4 1 )

= 1 2 ( -4⋅( 1 3 ) +4⋅1 )

= 1 2 ( - 4 3 +4 )

= 1 2 ( - 4 3 + 12 3 )

= 1 2 · 8 3

= 4 3


≈ 1,333

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 1 ( x -1 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=10 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 10 u - 1 ( x -1 ) 3 ⅆ x
= ∫ 10 u - ( x -1 ) - 3 2 ⅆ x

= [ 2 ( x -1 ) - 1 2 ] 10 u

= [ 2 x -1 ] 10 u

= 2 u -1 - 2 10 -1

= 2 u -1 - 2 9

= 2 u -1 - 2 3

= 2 u -1 -2⋅( 1 3 )

= 2 u -1 - 2 3

Für u → ∞ gilt: A(u) = 2 u -1 - 2 3 → 0 - 2 3 = - 2 3 ≈ -0.667

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.667