Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= e 2x -5 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 e 2x -5 x

= [ 1 2 e 2x -5 ] 1 2

= 1 2 e 22 -5 - 1 2 e 21 -5

= 1 2 e 4 -5 - 1 2 e 2 -5

= 1 2 e -1 - 1 2 e -3


≈ 0,159
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 18 + 1 2 e -1 - 1 2 e -3 ≈ 18.16

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 67 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 e x -3 x

= [ e x -3 ] 0 3

= e 3 -3 - e 0 -3

= e 0 - e -3

= 1 - e -3


≈ 0,95
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 67 + - e -3 +1 ≈ 67.95

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u -10x x = -356,25

Lösung einblenden
1 u -10x x

= [ -5 x 2 ] 1 u

= -5 u 2 +5 1 2

= -5 u 2 +51

= -5 u 2 +5

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -356,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 +5 = -356,25 | -5
-5 u 2 = -361,25 |: ( -5 )
u 2 = 72,25 | 2
u1 = - 72,25 = -8,5
u2 = 72,25 = 8,5

Da u= -8,5 < 1 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 3x -7 ) 2 +6 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -1 1 3 ( 2 ( 3x -7 ) 2 +6 ) x

= 1 2 [ 2 9 ( 3x -7 ) 3 +6x ] 1 3

= 1 2 ( 2 9 ( 33 -7 ) 3 +63 - ( 2 9 ( 31 -7 ) 3 +61 ))

= 1 2 ( 2 9 ( 9 -7 ) 3 +18 - ( 2 9 ( 3 -7 ) 3 +6 ))

= 1 2 ( 2 9 2 3 +18 - ( 2 9 ( -4 ) 3 +6 ))

= 1 2 ( 2 9 8 +18 - ( 2 9 ( -64 ) +6 ))

= 1 2 ( 16 9 +18 - ( - 128 9 +6 ))

= 1 2 ( 16 9 + 162 9 - ( - 128 9 + 54 9 ))

= 1 2 ( 178 9 -1 · ( - 74 9 ))

= 1 2 ( 178 9 + 74 9 )

= 1 2 · 28

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 3x -7 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 4 u 1 ( 3x -7 ) 2 x
= 4 u ( 3x -7 ) -2 x

= [ - 1 3 ( 3x -7 ) -1 ] 4 u

= [ - 1 3( 3x -7 ) ] 4 u

= - 1 3( 3u -7 ) + 1 3( 34 -7 )

= - 1 3( 3u -7 ) + 1 3( 12 -7 )

= - 1 3( 3u -7 ) + 1 3 5

= - 1 3( 3u -7 ) + 1 3 ( 1 5 )

= - 1 3( 3u -7 ) + 1 15

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 3( 3u -7 ) + 1 15 0 + 1 15 = 1 15 ≈ 0.067

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.067