Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 9 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 0,656
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6
zusammen:
B = 9 + = ≈ 9.66
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
=
=
=
≈ 2,35
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4
zusammen:
B = 25 +
≈ 27.35
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
Lösung einblenden
=
=
=
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:() |
|
|
= |
|
|
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.
Lösung einblenden
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
m =
=
=
=
1
3
(
3
2
ln(
|
2⋅5
-3
|
)
-
3
2
ln(
|
2⋅2
-3
|
)
)
=
1
3
(
3
2
ln(
|
10
-3
|
)
-
3
2
ln(
|
4
-3
|
)
)
=
1
3
(
3
2
ln(
7
)
-
3
2
ln(
|
4
-3
|
)
)
=
1
3
(
3
2
ln(
7
)
-
3
2
ln(
1
)
)
=
1
3
(
3
2
ln(
7
)
+0)
=
1
2
ln(
7
)
≈ 0,973
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( 3x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
Lösung einblenden
A(u)=
∫
2
u
1
(
3x
-3
)
2
ⅆ
x
=
∫
2
u
(
3x
-3
)
-2
ⅆ
x
=
[
-
1
3
(
3x
-3
)
-1
]
2
u
=
[
-
1
3(
3x
-3
)
]
2
u
=
-
1
3(
3u
-3
)
+
1
3(
3⋅2
-3
)
=
-
1
3(
3u
-3
)
+
1
3(
6
-3
)
=
-
1
3(
3u
-3
)
+
1
3⋅
3
=
-
1
3(
3u
-3
)
+
1
3
⋅(
1
3
)
=
-
1
3(
3u
-3
)
+
1
9
Für u → ∞ gilt: A(u) =
-
1
3(
3u
-3
)
+
1
9
→
0
+
1
9
=
1
9
≈ 0.111
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.111