= ${\left[\frac{3}{2}{e}^{2x-3}\right]}_1^3$

$=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 3-3}-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 1-3}$

= $\frac{3}{2}{e}^{6-3}-\frac{3}{2}{e}^{2-3}$

= $\frac{3}{2}{e}^3-\frac{3}{2}{e}^{-1}$

= ${\left[\frac{4}{9}{\left(3x-6\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_5^{\frac{31}{3}}$

= ${\left[\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3x-6}\right)}^3\right]}_5^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{31}{3}\right)-6}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot 5-6}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{31-6}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{15-6}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 5^3-\frac{4}{9}\cdot 3^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 125-\frac{4}{9}\cdot 27$

= $\frac{500}{9}-12$

= $\frac{500}{9}-\frac{108}{9}$

= $\frac{392}{9}$

= ${\left[-3x^2\right]}_2^u$

$=$ $-3u^2+3\cdot 2^2$

= $-3u^2+3\cdot 4$

= $-3u^2+12$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-180$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-8$ < 2 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $1$ ${\left[-\frac{3}{2}{\left(2x-5\right)}^{-1}\right]}_3^4$

= $1$ ${\left[-\frac{3}{2\left(2x-5\right)}\right]}_3^4$

$=$ $-\frac{3}{2\left(2\cdot 4-5\right)}+\frac{3}{2\left(2\cdot 3-5\right)}$

= $-\frac{3}{2\left(8-5\right)}+\frac{3}{2\left(6-5\right)}$

= $-\frac{3}{2\cdot 3}+\frac{3}{2}$

= $-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+\frac{3}{2}\cdot 1$

= $-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$

= $-\mathrm{0,5}+\mathrm{1,5}$

= $1$

= ${\left[\ln \left(\left|$ -3x+5$\right|\right)\right]}_2^u$

$=$ $\ln \left(\left|$ -3\left(u\right)+5$\right|\right)-\ln \left(\left|$ -3\cdot 2+5$\right|\right)$

= $\ln \left(\left|$ -3u+5$\right|\right)-\ln \left(\left|$ -6+5$\right|\right)$

= $\ln \left(\left|$ -3u+5$\right|\right)-\ln \left(1\right)$

= $\ln \left(\left|$ -3u+5$\right|\right)+0$

= $\ln \left(\left|$ -3x+5$\right|\right)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\ln \left(\left|$ -3x+5$\right|\right)$ → $\infty$