Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\sqrt{x - 1}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $17$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $26$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

17

und

26

:

\int_{17}^{26} \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\int_{17}^{26} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{17}^{26}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{17}^{26}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{26 - 1})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{17 - 1})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

17

und der Änderung zwischen

17

und

26

zusammen:

B = 17 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{173}{3}$ ≈ 57.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \sqrt{3 x - 6}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{22}{3}$ s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{31}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 5 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 5 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{10}{9} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{10}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 5^{3} - \frac{10}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{9} \cdot 125 - \frac{10}{9} \cdot 64$

= $\frac{1250}{9} - \frac{640}{9}$

= $\frac{610}{9}$

≈ 67,778

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 20 + $\frac{610}{9}$ = $\frac{790}{9}$ ≈ 87.78

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2 x ⅆ x$ = $9$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2 x ⅆ x

= ${[x^{2}]}_{0}^{u}$

$=$ $u^{2} - 0^{2}$

= $u^{2} - 0$

= $u^{2}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
u₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Da u= $- 3$ < 0 ist u= $3$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 3)}^{3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 2}

\int_{2}^{5} 2 {(x - 3)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[\frac{1}{2} {(x - 3)}^{4}]}_{2}^{5}$

$=$ $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(2 - 3)}^{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 2^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4})$

= $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{3} (8 - \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{3} (8 - 0,5)$

= $\frac{1}{3} \cdot 7,5$

= $\frac{7.5}{3}$

= $\frac{5}{2}$

= 2,5

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $3 e^{- 2 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} 3 e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{3}{2} e^{- 4 + 5}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{3}{2} e^{1}$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{3}{2} e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{3}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{3}{2} e$ → $0 + \frac{3}{2} e$ = $\frac{3}{2} e$ ≈ 4.077

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 4.077

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale