Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{2 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 34 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 4 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 3}]}_{2}^{5}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 5 - 3} - 2 e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $2 e^{10 - 3} - 2 e^{4 - 3}$

= $2 e^{7} - 2 e^{1}$

= $2 e^{7} - 2 e$

≈ 2187,83

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 34 + $2 e^{7} - 2 e$ ≈ 2221.83

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{2 x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 25 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 5 e^{2 x - 2} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 2} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 1 - 2}$

= $\frac{5}{2} e^{4 - 2} - \frac{5}{2} e^{2 - 2}$

= $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2} e^{0}$

= $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2}$

≈ 15,973

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 25 + $\frac{5}{2} e^{2} - \frac{5}{2}$ ≈ 40.97

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 10 x - 1) ⅆ x$ = $- 1,75$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 10 x - 1) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} - x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} - u - (- 5 \cdot 0^{2} - 0)$

= $- 5 u^{2} - u - (- 5 \cdot 0 + 0)$

= $- 5 u^{2} - u - (0 + 0)$

= $- 5 u^{2} - u + 0$

= $- 5 u^{2} - u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 1,75$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} - u

=

- 1,75

|

+ 1,75

$- 5 u^{2} - u + 1,75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 1,75}}{2 \cdot (- 5)}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 35}}{- 10}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{1+6}{- 10}$ = $\frac{7}{- 10}$ = $- 0,7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{1-6}{- 10}$ = $\frac{- 5}{- 10}$ = $0,5$

Da u= $- 0,7$ < 0 ist u= $0,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(3 x - 7)}^{2}}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 4 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{5 - 4}

\int_{4}^{5} \frac{6}{{(3 x - 7)}^{2}} ⅆ x

=

1

\int_{4}^{5} 6 {(3 x - 7)}^{- 2} ⅆ x

= $1$ ${[- 2 {(3 x - 7)}^{- 1}]}_{4}^{5}$

= $1$ ${[- \frac{2}{3 x - 7}]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{2}{3 \cdot 5 - 7} + \frac{2}{3 \cdot 4 - 7}$

= $- \frac{2}{15 - 7} + \frac{2}{12 - 7}$

= $- \frac{2}{8} + \frac{2}{5}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{8}) + 2 \cdot (\frac{1}{5})$

= $- \frac{1}{4} + \frac{2}{5}$

= $- \frac{5}{20} + \frac{8}{20}$

= $\frac{3}{20}$

= 0,15

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $19$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{19} \frac{1}{\sqrt{x - 3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{19} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{19}$

= ${[2 \sqrt{x - 3}]}_{u}^{19}$

$=$ $2 \sqrt{19 - 3} - 2 \sqrt{u - 3}$

= $2 \sqrt{16} - 2 \sqrt{u - 3}$

= $2 \cdot 4 - 2 \sqrt{u - 3}$

= $8 - 2 \sqrt{u - 3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{u - 3} + 8$ → $0 + 8$ = $8$ ≈ 8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale