= ${\left[2e^{3x-4}\right]}_1^3$

$=$ $2e^{3\cdot 3-4}-2e^{3\cdot 1-4}$

= $2e^{9-4}-2e^{3-4}$

= $2e^5-2e^{-1}$

= ${\left[\frac{4}{3}{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{19}^{28}$

= ${\left[\frac{4}{3}{\left(\sqrt{x-3}\right)}^3\right]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{4}{3}{\left(\sqrt{28-3}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3$

= $\frac{4}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{4}{3}\cdot 5^3-\frac{4}{3}\cdot 4^3$

= $\frac{4}{3}\cdot 125-\frac{4}{3}\cdot 64$

= $\frac{500}{3}-\frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

= ${\left[5e^{\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,8}}\right]}_0^u$

$=$ $5e^{\mathrm{0,6}u-\mathrm{0,8}}-5e^{\mathrm{0,6}\cdot 0-\mathrm{0,8}}$

= $5e^{\mathrm{0,6}u-\mathrm{0,8}}-5e^{0-\mathrm{0,8}}$

= $5e^{\mathrm{0,6}u-\mathrm{0,8}}-5e^{-\mathrm{0,8}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $19$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{\pi }$ ${\left[-\cos (3x+\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{2}{\pi }·\left(-\cos (3\cdot \pi +\pi )+\cos (3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\pi )\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(-\cos \left(4\pi \right)+\cos \left(\frac{5}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{2}{\pi }$

= ${\left[{\left(3x-5\right)}^{-1}\right]}_2^u$

= ${\left[\frac{1}{3x-5}\right]}_2^u$

$=$ $\frac{1}{3u-5}-\frac{1}{3\cdot 2-5}$

= $\frac{1}{3u-5}-\frac{1}{6-5}$

= $\frac{1}{3u-5}-\frac{1}{1}$

= $\frac{1}{3u-5}-1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3u-5}-1$ → $0-1$ = $-1$ ≈ -1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1