Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 3x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 72 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 4 e 3x -4 x

= [ 4 3 e 3x -4 ] 2 4

= 4 3 e 34 -4 - 4 3 e 32 -4

= 4 3 e 12 -4 - 4 3 e 6 -4

= 4 3 e 8 - 4 3 e 2


≈ 3964,759
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 72 + 4 3 e 8 - 4 3 e 2 ≈ 4036.76

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e x -1 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 69 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 4 e x -1 x

= [ 4 e x -1 ] 1 3

= 4 e 3 -1 -4 e 1 -1

= 4 e 2 -4 e 0

= 4 e 2 -4


≈ 25,556
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 69 + 4 e 2 -4 ≈ 94.56

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,7 e 0,1x -0,2 x = 7

Lösung einblenden
0 u 0,7 e 0,1x -0,2 x

= [ 7 e 0,1x -0,2 ] 0 u

= 7 e 0,1u -0,2 -7 e 0,10 -0,2

= 7 e 0,1u -0,2 -7 e 0 -0,2

= 7 e 0,1u -0,2 -7 e -0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 7 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

7 e 0,1u -0,2 -7 e -0,2 = 7 | +7 e -0,2
7 e 0,1u -0,2 = 7 e -0,2 +7
7 e 0,1u -0,2 = 12,7311 |:7
e 0,1u -0,2 = 1,8187 |ln(⋅)
0,1u -0,2 = ln( 1,8187 )
0,1u -0,2 = 0,5981 | +0,2
0,1u = 0,7981 |:0,1
u = 7,981

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 3x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 14 3 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 14 3 -3 3 14 3 3 3x -5 x
= 3 5 3 14 3 3 ( 3x -5 ) 1 2 x

= 3 5 [ 2 3 ( 3x -5 ) 3 2 ] 3 14 3

= 3 5 [ 2 3 ( 3x -5 ) 3 ] 3 14 3

= 3 5 ( 2 3 ( 3( 14 3 ) -5 ) 3 - 2 3 ( 33 -5 ) 3 )

= 3 5 ( 2 3 ( 14 -5 ) 3 - 2 3 ( 9 -5 ) 3 )

= 3 5 ( 2 3 ( 9 ) 3 - 2 3 ( 4 ) 3 )

= 3 5 ( 2 3 3 3 - 2 3 2 3 )

= 3 5 ( 2 3 27 - 2 3 8 )

= 3 5 ( 18 - 16 3 )

= 3 5 ( 54 3 - 16 3 )

= 3 5 · 38 3

= 38 5


= 7,6

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= 1 ( -x +3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=5 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= 5 u 1 ( -x +3 ) 2 x
= 5 u ( -x +3 ) -2 x

= [ ( -x +3 ) -1 ] 5 u

= [ 1 -x +3 ] 5 u

= 1 -u +3 - 1 -5 +3

= 1 -u +3 - 1 ( -2 )

= 1 -u +3 - ( - 1 2 )

= 1 -u +3 + 1 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 -u +3 + 1 2 0 + 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5