zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 2x -2 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 8 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
∫ 2 4 6 ( 2x -2 ) 2 ⅆ x
= ∫ 2 4 6 ( 2x -2 ) -2 ⅆ x

= [ -3 ( 2x -2 ) -1 ] 2 4

= [ - 3 2x -2 ] 2 4

= - 3 2⋅4 -2 + 3 2⋅2 -2

= - 3 8 -2 + 3 4 -2

= - 3 6 + 3 2

= -3⋅( 1 6 ) +3⋅( 1 2 )

= - 1 2 + 3 2

= -0,5 +1,5

= 1

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 8 + 1 = 9

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 ( 3x -5 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
∫ 2 3 2 ( 3x -5 ) 2 ⅆ x
= ∫ 2 3 2 ( 3x -5 ) -2 ⅆ x

= [ - 2 3 ( 3x -5 ) -1 ] 2 3

= [ - 2 3( 3x -5 ) ] 2 3

= - 2 3( 3⋅3 -5 ) + 2 3( 3⋅2 -5 )

= - 2 3( 9 -5 ) + 2 3( 6 -5 )

= - 2 3⋅ 4 + 2 3

= - 2 3 ⋅( 1 4 ) + 2 3 ⋅1

= - 1 6 + 2 3

= - 1 6 + 4 6

= 1 2


= 0,5
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 3 + 1 2 = 7 2 ≈ 3.5

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass ∫ 3 u 2x ⅆ x = 91

Lösung einblenden
∫ 3 u 2x ⅆ x

= [ x 2 ] 3 u

= u 2 - 3 2

= u 2 - 9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 91 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

u 2 -9 = 91 | +9
u 2 = 100 | ⋅2
u1 = - 100 = -10
u2 = 100 = 10

Da u= -10 < 3 ist u= 10 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 3x -4 ) 2 +3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 -2 ∫ 2 3 ( 5 ( 3x -4 ) 2 +3 ) ⅆ x

= 1 [ 5 9 ( 3x -4 ) 3 +3x ] 2 3

= 5 9 ⋅ ( 3⋅3 -4 ) 3 +3⋅3 - ( 5 9 ⋅ ( 3⋅2 -4 ) 3 +3⋅2 )

= 5 9 ⋅ ( 9 -4 ) 3 +9 - ( 5 9 ⋅ ( 6 -4 ) 3 +6 )

= 5 9 ⋅ 5 3 +9 - ( 5 9 ⋅ 2 3 +6 )

= 5 9 ⋅125 +9 - ( 5 9 ⋅8 +6 )

= 625 9 +9 - ( 40 9 +6 )

= 625 9 + 81 9 - ( 40 9 + 54 9 )

= 706 9 -1 · 94 9

= 706 9 - 94 9

= 68

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= - 3 3x -7 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
A(u)= ∫ 4 u - 3 3x -7 ⅆ x
= ∫ 4 u -3 ( 3x -7 ) -1 ⅆ x

= [ - ln( | 3x -7 | ) ] 4 u

= - ln( | 3( u ) -7 | ) + ln( | 3⋅4 -7 | )

= - ln( | 3u -7 | ) + ln( | 12 -7 | )

= - ln( | 3u -7 | ) + ln( 5 )

Für u → ∞ gilt: A(u) = ln( 5 ) - ln( | 3x -7 | ) → ∞