Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{{(2 x - 2)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:

\int_{2}^{4} \frac{4}{{(2 x - 2)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} 4 {(2 x - 2)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} {(2 x - 2)}^{- 3}]}_{2}^{4}$

= ${[- \frac{2}{3 {(2 x - 2)}^{3}}]}_{2}^{4}$

$=$ $- \frac{2}{3 {(2 \cdot 4 - 2)}^{3}} + \frac{2}{3 {(2 \cdot 2 - 2)}^{3}}$

= $- \frac{2}{3 {(8 - 2)}^{3}} + \frac{2}{3 {(4 - 2)}^{3}}$

= $- \frac{2}{3 \cdot 6^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 2^{3}}$

= $- \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{216}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{8})$

= $- \frac{1}{324} + \frac{1}{12}$

= $- \frac{1}{324} + \frac{27}{324}$

= $\frac{13}{162}$

≈ 0,08

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:

B = 9 + $\frac{13}{162}$ = $\frac{1471}{162}$ ≈ 9.08

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 6}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{22}{3}$ Minuten sind 19 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{31}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

:

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 6 \sqrt{3 x - 6} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}} 6 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 6})}^{3}]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{31}{3}) - 6})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{31 - 6})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{22 - 6})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{22}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{22}{3}

und

\frac{31}{3}

zusammen:

B = 19 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{301}{3}$ ≈ 100.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (6 x - 2) ⅆ x$ = $168$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (6 x - 2) ⅆ x

= ${[3 x^{2} - 2 x]}_{2}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 2 u - (3 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2)$

= $3 u^{2} - 2 u - (3 \cdot 4 - 4)$

= $3 u^{2} - 2 u - (12 - 4)$

= $3 u^{2} - 2 u - 1 \cdot 8$

= $3 u^{2} - 2 u - 8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $168$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} - 2 u - 8

=

168

|

- 168

$3 u^{2} - 2 u - 176$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 176)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 2 112}}{6}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{2 116}}{6}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{2 116}}{6}$ = $\frac{2+46}{6}$ = $\frac{48}{6}$ = $8$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{2 116}}{6}$ = $\frac{2-46}{6}$ = $\frac{- 44}{6}$ = $- \frac{22}{3}$ ≈ -7.33

Da u= $- \frac{22}{3}$ < 2 ist u= $8$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{9}{2} π) + \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (0 + 0)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{3 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{22}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{22}{3}}^{u} - \frac{3}{\sqrt{3 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{\frac{22}{3}}^{u} - 3 {(3 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 2 {(3 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{22}{3}}^{u}$

= ${[- 2 \sqrt{3 x - 6}]}_{\frac{22}{3}}^{u}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 u - 6} + 2 \sqrt{3 \cdot (\frac{22}{3}) - 6}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 6} + 2 \sqrt{22 - 6}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 6} + 2 \sqrt{16}$

= $- 2 \sqrt{3 u - 6} + 2 \cdot 4$

= $- 2 \sqrt{3 u - 6} + 8$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- 2 \sqrt{3 u - 6} + 8$ → $- \infty$

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale