$$\underset{0}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt des orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>3</mn>}}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $$\underset{6}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(8\; -\; 6)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-2}}{2}$ = -1.

I₄ = $$\underset{8}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₄ = (10 - 8) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{6}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{8}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 9 +4.5 -1 -2 = 10.5

= ${\left[-\frac{5}{2}{x}^2-3x\right]}_0^3$

$=$ $-\frac{5}{2}\cdot 3^2-3\cdot 3-\left(-\frac{5}{2}\cdot 0^2-3\cdot 0\right)$

= $-\frac{5}{2}\cdot 9-9-\left(-\frac{5}{2}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{45}{2}-9-\left(0+0\right)$

= $-\mathrm{22,5}-9+0$

= $-\mathrm{31,5}$

= ${\left[5\cdot \sin \left(x\right)-2\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $5\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $5\cdot \left(-1\right)-2\cdot 0-\left(5\cdot 1-2\cdot 0\right)$

= $-5+0-\left(5+0\right)$

= $-5-5$

= $-10$

= ${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x+4}\right]}_2^5$

$=$ $-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 5+4}+\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 2+4}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{-10+4}+\frac{1}{2}{e}^{-4+4}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{-6}+\frac{1}{2}{e}^0$

= $-\frac{1}{2}{e}^{-6}+\frac{1}{2}$

= ${\left[-\frac{1}{3}{e}^{-3x}+\cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}+\cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}+\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)}+0-\left(-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)}+0\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-\frac{9}{2}\pi }+\frac{1}{3}{e}^{-\frac{3}{2}\pi }$

= ${\left[-\frac{1}{2}\cdot \sin (2x+\pi )\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot \sin (2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\pi )+\frac{1}{2}\cdot \sin (2\cdot \left(0\right)+\pi )$

= $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(4\pi \right)+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(\pi \right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0$

= $0+0$

= 0