$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt des orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 2)\; \cdot \; <mn>3</mn>}}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(7\; -\; 5)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-2}}{2}$ = -1.

Somit gilt:

$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 4.5 -1 = 3.5

= ${\left[x^3-5x\right]}_{-1}^2$

$=$ $2^3-5\cdot 2-\left({\left(-1\right)}^3-5\cdot \left(-1\right)\right)$

= $8-10-\left(\left(-1\right)+5\right)$

= $8-10+1-5$

= $-6$

= ${\left[3\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $3\cdot \cos \left(\pi \right)-3\cdot \cos \left(0\right)$

= $3\cdot \left(-1\right)-3\cdot 1$

= $-3-3$

= $-6$

= ${\left[\frac{1}{3}{e}^{3x-7}\right]}_1^3$

$=$ $\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 3-7}-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 1-7}$

= $\frac{1}{3}{e}^{9-7}-\frac{1}{3}{e}^{3-7}$

= $\frac{1}{3}{e}^2-\frac{1}{3}{e}^{-4}$

= ${\left[-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(0\right)+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(0\right)\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{2}\cdot 0-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 1\right)$

= $\frac{1}{2}+0-\left(0+\frac{1}{2}\right)$

= $\mathrm{0,5}+0-\left(0+\mathrm{0,5}\right)$

= $\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}$

= 0

= ${\left[3\cdot \sin \left(x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $3\cdot \sin \left(\pi -\frac{3}{2}\pi \right)-3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{3}{2}\pi \right)$

= $3\cdot \sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)-3\cdot \sin (-\pi )$

= $3\cdot \left(-1\right)-3\cdot 0$

= $-3+0$

= $-3$