$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt des orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-8}}{2}$ = -4.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -4 -12 = -16

= ${\left[\frac{4}{3}{x}^3-4x\right]}_0^4$

$=$ $\frac{4}{3}\cdot 4^3-4\cdot 4-\left(\frac{4}{3}\cdot 0^3-4\cdot 0\right)$

= $\frac{4}{3}\cdot 64-16-\left(\frac{4}{3}\cdot 0+0\right)$

= $\frac{256}{3}-16-\left(0+0\right)$

= $\frac{256}{3}-\frac{48}{3}+0$

= $\frac{208}{3}$

= ${\left[\frac{1}{4}{e}^{2x}\right]}_0^4$

$=$ $\frac{1}{4}{e}^{2\cdot 4}-\frac{1}{4}{e}^{2\cdot 0}$

= $\frac{1}{4}{e}^8-\frac{1}{4}{e}^0$

= $\frac{1}{4}{e}^8-\frac{1}{4}$

= ${\left[3\cdot \sin \left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $3\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi \right)-3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi \right)$

= $3\cdot \sin \left(2\pi \right)-3\cdot \sin \left(\pi \right)$

= $3\cdot 0-3\cdot 0$

= $0+0$

= 0

= ${\left[\sin \left(x\right)-2\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\sin \left(\pi \right)-2\cdot \cos \left(\pi \right)-\left(\sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $0-2\cdot \left(-1\right)-\left(1-2\cdot 0\right)$

= $0+2-\left(1+0\right)$

= $2-1$

= $1$

= ${\left[\frac{1}{2}{\left(2x-5\right)}^3-2x^2\right]}_0^1$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(2\cdot 1-5\right)}^3-2\cdot 1^2-\left(\frac{1}{2}\cdot {\left(2\cdot 0-5\right)}^3-2\cdot 0^2\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot {\left(2-5\right)}^3-2\cdot 1-\left(\frac{1}{2}\cdot {\left(0-5\right)}^3-2\cdot 0\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^3-2-\left(\frac{1}{2}\cdot {\left(-5\right)}^3+0\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \left(-27\right)-2-\left(\frac{1}{2}\cdot \left(-125\right)+0\right)$

= $-\frac{27}{2}-2-\left(-\frac{125}{2}+0\right)$

= $-\mathrm{13,5}-2-\left(-\mathrm{62,5}+0\right)$

= $-\mathrm{15,5}+\mathrm{62,5}$

= $47$