$$\underset{3}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt des orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $$\underset{6}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(9\; -\; 6)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-9}}{2}$ = -4.5.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{6}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 3 -4.5 = -1.5

= ${\left[-\frac{1}{2}{x}^2-4x\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^2-4\cdot 2-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0^2-4\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 4-8-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0+0\right)$

= $-2-8-\left(0+0\right)$

= $-10+0$

= $-10$

= ${\left[-\frac{4}{3}{x}^3-\frac{1}{3}{e}^{3x}\right]}_{-2}^0$

$=$ $-\frac{4}{3}\cdot 0^3-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 0}-\left(-\frac{4}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot \left(-2\right)}\right)$

= $-\frac{4}{3}\cdot 0-\frac{1}{3}{e}^0-\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(-8\right)-\frac{1}{3}{e}^{-6}\right)$

= $0-\frac{1}{3}-\left(\frac{32}{3}-\frac{1}{3}{e}^{-6}\right)$

= $0-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}{e}^{-6}+\frac{32}{3}\right)$

= $-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}{e}^{-6}+\frac{32}{3}\right)$

= $\frac{1}{3}{e}^{-6}-11$

= ${\left[-\sin \left(-3x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\sin \left(-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\frac{3}{2}\pi \right)+\sin \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-\sin \left(-6\pi \right)+\sin \left(-3\pi \right)$

= $-0+0$

= 0

= ${\left[\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{5}{2}\cdot \cos \left(\pi \right)-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $\frac{5}{2}\cdot \left(-1\right)-\frac{5}{2}\cdot 0$

= $-\frac{5}{2}+0$

= $-\mathrm{2,5}+0$

= $-\mathrm{2,5}$

= ${\left[\frac{4}{9}{\left(3x-6\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

= ${\left[\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3x-6}\right)}^3\right]}_{\frac{22}{3}}^{\frac{31}{3}}$

$=$ $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{31}{3}\right)-6}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{22}{3}\right)-6}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{31-6}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{22-6}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 5^3-\frac{4}{9}\cdot 4^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 125-\frac{4}{9}\cdot 64$

= $\frac{500}{9}-\frac{256}{9}$

= $\frac{244}{9}$