$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt des orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{\mathrm{(2\; -\; 0)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 2)\; \cdot \; <mn>3</mn>}}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -3 +4.5 +9 = 10.5

= ${\left[-x^2+3x\right]}_{-1}^2$

$=$ $-2^2+3\cdot 2-\left(-{\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)\right)$

= $-4+6-\left(-1-3\right)$

= $-4+6+1+3$

= $6$

= ${\left[-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)+7\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(\pi \right)+7\cdot \cos \left(\pi \right)-\left(-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+7\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{3}{2}\cdot 0+7\cdot \left(-1\right)-\left(-\frac{3}{2}\cdot 1+7\cdot 0\right)$

= $0-7-\left(-\frac{3}{2}+0\right)$

= $-7-\left(-\mathrm{1,5}+0\right)$

= $-7+\mathrm{1,5}$

= $-\mathrm{5,5}$

= ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{2x-2}\right]}_2^3$

$=$ $-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 3-2}+\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 2-2}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{6-2}+\frac{3}{2}{e}^{4-2}$

= $-\frac{3}{2}{e}^4+\frac{3}{2}{e}^2$

= ${\left[\frac{5}{9}{x}^{-3}+4\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\pi }^{2\pi }$

= ${\left[\frac{5}{9x^3}+4\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\pi }^{2\pi }$

$=$ $\frac{5}{9{\left(2\pi \right)}^3}+4\cdot \cos \left(2\pi \right)-\left(\frac{5}{9{\pi }^3}+4\cdot \cos \left(\pi \right)\right)$

= $\frac{5}{9{\left(2\pi \right)}^3}+4\cdot 1-\left(\frac{5}{9{\pi }^3}+4\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\frac{5}{9{\left(2\pi \right)}^3}+4-\left(\frac{5}{9{\pi }^3}-4\right)$

= $4+\frac{5}{72{\pi }^3}-\left(-4+\frac{5}{9{\pi }^3}\right)$

= $4+\frac{5}{72{\pi }^3}+4-\frac{5}{9{\pi }^3}$

= $4+4+\frac{5}{72{\pi }^3}-\frac{5}{9{\pi }^3}$

= $8-\frac{35}{72{\pi }^3}$

= ${\left[\sin \left(-3x+\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $\sin \left(-3\cdot \pi +\frac{3}{2}\pi \right)-\sin \left(-3\cdot \left(0\right)+\frac{3}{2}\pi \right)$

= $\sin \left(-\frac{3}{2}\pi \right)-\sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)$

= $1-\left(-1\right)$

= $1+1$

= $2$