Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 81 = 7.

Somit gilt: 88 mod 9 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.

Somit gilt: 97 mod 8 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 56 = 7 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 56 und erhalten so 57.

Somit gilt: 57 ≡ 97 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16001 + 24001) mod 8 ≡ (16001 mod 8 + 24001 mod 8) mod 8.

16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 8 ⋅ 2000 +1.

24001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24001 = 24000+1 = 8 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(16001 + 24001) mod 8 ≡ (1 + 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 73) mod 5 ≡ (23 mod 5 ⋅ 73 mod 5) mod 5.

23 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 4 ⋅ 5 + 3 ist.

73 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 14 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 73) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 42 mod m gilt:

m=2: 32 mod 2 = 0 = 0 = 42 mod 2

m=3: 32 mod 3 = 2 ≠ 0 = 42 mod 3

m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 2 = 42 mod 4

m=5: 32 mod 5 = 2 = 2 = 42 mod 5

m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 0 = 42 mod 6

m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 0 = 42 mod 7

m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 2 = 42 mod 8

m=9: 32 mod 9 = 5 ≠ 6 = 42 mod 9

m=10: 32 mod 10 = 2 = 2 = 42 mod 10

m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 9 = 42 mod 11

m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 6 = 42 mod 12

m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 3 = 42 mod 13

m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 0 = 42 mod 14

m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 12 = 42 mod 15

m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 10 = 42 mod 16

m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 8 = 42 mod 17

m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 6 = 42 mod 18

m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 4 = 42 mod 19

m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 2 = 42 mod 20

m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 0 = 42 mod 21

m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 20 = 42 mod 22

m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 19 = 42 mod 23

m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 18 = 42 mod 24

m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 17 = 42 mod 25

m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 16 = 42 mod 26

m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 15 = 42 mod 27

m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 14 = 42 mod 28

m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 13 = 42 mod 29

m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 12 = 42 mod 30

m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 11 = 42 mod 31

m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 10 = 42 mod 32

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 32) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10