Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 44 = 2.

Somit gilt: 46 mod 11 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 18 = 2.

Somit gilt: 20 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 81 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 20 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3497 + 217) mod 7 ≡ (3497 mod 7 + 217 mod 7) mod 7.

3497 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3497 = 3500-3 = 7 ⋅ 500 -3 = 7 ⋅ 500 - 7 + 4.

217 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 217 = 210+7 = 7 ⋅ 30 +7.

Somit gilt:

(3497 + 217) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 55) mod 4 ≡ (38 mod 4 ⋅ 55 mod 4) mod 4.

38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 9 ⋅ 4 + 2 ist.

55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 55) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 34 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 1 = 34 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 2 = 34 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 = 4 = 34 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 2 = 34 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 7 = 34 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 = 4 = 34 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 10 = 34 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 24) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10