Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 35 = 3.

Somit gilt: 38 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 54 = 3.

Somit gilt: 57 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 13 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 78 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 57 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7999 + 200) mod 4 ≡ (7999 mod 4 + 200 mod 4) mod 4.

7999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999 = 7000+999 = 4 ⋅ 1750 +999.

200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 4 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(7999 + 200) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 42) mod 5 ≡ (76 mod 5 ⋅ 42 mod 5) mod 5.

76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.

42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 42) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:

m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2

m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3

m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4

m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5

m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6

m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7

m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8

m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9

m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10

m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4