Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 72 = 3.

Somit gilt: 75 mod 8 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 64, weil ja 16 ⋅ 4 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 64 = 0.

Somit gilt: 64 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4

Somit gilt: 40 ≡ 64 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(693 + 7000) mod 7 ≡ (693 mod 7 + 7000 mod 7) mod 7.

693 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 693 = 700-7 = 7 ⋅ 100 -7 = 7 ⋅ 100 - 7 + 0.

7000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7000 = 7000+0 = 7 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(693 + 7000) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 33) mod 9 ≡ (93 mod 9 ⋅ 33 mod 9) mod 9.

93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.

33 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 27 + 6 = 3 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 33) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6