Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 18 - 18 = 0.

Somit gilt: 18 mod 6 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.

Somit gilt: 54 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6

Somit gilt: 90 ≡ 54 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1995 + 20005) mod 5 ≡ (1995 mod 5 + 20005 mod 5) mod 5.

1995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1995 = 1900+95 = 5 ⋅ 380 +95.

20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005 = 20000+5 = 5 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(1995 + 20005) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 47) mod 7 ≡ (64 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 47) mod 7 ≡ (1 ⋅ 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6