Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 79 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 77 = 2.
Somit gilt: 79 mod 11 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 80 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 78, weil ja 13 ⋅ 6 = 78 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 80 - 78 = 2.
Somit gilt: 80 mod 6 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 18 und erhalten so 20.
Somit gilt: 20 ≡ 80 ≡ 2 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (145 + 1403) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(145 + 1403) mod 7 ≡ (145 mod 7 + 1403 mod 7) mod 7.
145 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145
= 140
1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403
= 1400
Somit gilt:
(145 + 1403) mod 7 ≡ (5 + 3) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 67) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 67) mod 4 ≡ (52 mod 4 ⋅ 67 mod 4) mod 4.
52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.
67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 67) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 36 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 36 mod m gilt:
m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2
m=3: 26 mod 3 = 2 ≠ 0 = 36 mod 3
m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 0 = 36 mod 4
m=5: 26 mod 5 = 1 = 1 = 36 mod 5
m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 0 = 36 mod 6
m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 1 = 36 mod 7
m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 4 = 36 mod 8
m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 0 = 36 mod 9
m=10: 26 mod 10 = 6 = 6 = 36 mod 10
m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 3 = 36 mod 11
m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 0 = 36 mod 12
m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 10 = 36 mod 13
m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 8 = 36 mod 14
m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 6 = 36 mod 15
m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 4 = 36 mod 16
m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 2 = 36 mod 17
m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 0 = 36 mod 18
m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 17 = 36 mod 19
m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 16 = 36 mod 20
m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 15 = 36 mod 21
m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 14 = 36 mod 22
m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 13 = 36 mod 23
m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 12 = 36 mod 24
m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 11 = 36 mod 25
m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 10 = 36 mod 26
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 26) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
