Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 80 = 6.

Somit gilt: 86 mod 8 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 66 = 1.

Somit gilt: 67 mod 11 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 11 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 67 ≡ 1 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9003 - 1199) mod 3 ≡ (9003 mod 3 - 1199 mod 3) mod 3.

9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 3 ⋅ 3000 +3.

1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 3 ⋅ 400 -1 = 3 ⋅ 400 - 3 + 2.

Somit gilt:

(9003 - 1199) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 88) mod 10 ≡ (85 mod 10 ⋅ 88 mod 10) mod 10.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 88) mod 10 ≡ (5 ⋅ 8) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 38 aus, ob zufällig 38 mod m = 56 mod m gilt:

m=2: 38 mod 2 = 0 = 0 = 56 mod 2

m=3: 38 mod 3 = 2 = 2 = 56 mod 3

m=4: 38 mod 4 = 2 ≠ 0 = 56 mod 4

m=5: 38 mod 5 = 3 ≠ 1 = 56 mod 5

m=6: 38 mod 6 = 2 = 2 = 56 mod 6

m=7: 38 mod 7 = 3 ≠ 0 = 56 mod 7

m=8: 38 mod 8 = 6 ≠ 0 = 56 mod 8

m=9: 38 mod 9 = 2 = 2 = 56 mod 9

m=10: 38 mod 10 = 8 ≠ 6 = 56 mod 10

m=11: 38 mod 11 = 5 ≠ 1 = 56 mod 11

m=12: 38 mod 12 = 2 ≠ 8 = 56 mod 12

m=13: 38 mod 13 = 12 ≠ 4 = 56 mod 13

m=14: 38 mod 14 = 10 ≠ 0 = 56 mod 14

m=15: 38 mod 15 = 8 ≠ 11 = 56 mod 15

m=16: 38 mod 16 = 6 ≠ 8 = 56 mod 16

m=17: 38 mod 17 = 4 ≠ 5 = 56 mod 17

m=18: 38 mod 18 = 2 = 2 = 56 mod 18

m=19: 38 mod 19 = 0 ≠ 18 = 56 mod 19

m=20: 38 mod 20 = 18 ≠ 16 = 56 mod 20

m=21: 38 mod 21 = 17 ≠ 14 = 56 mod 21

m=22: 38 mod 22 = 16 ≠ 12 = 56 mod 22

m=23: 38 mod 23 = 15 ≠ 10 = 56 mod 23

m=24: 38 mod 24 = 14 ≠ 8 = 56 mod 24

m=25: 38 mod 25 = 13 ≠ 6 = 56 mod 25

m=26: 38 mod 26 = 12 ≠ 4 = 56 mod 26

m=27: 38 mod 27 = 11 ≠ 2 = 56 mod 27

m=28: 38 mod 28 = 10 ≠ 0 = 56 mod 28

m=29: 38 mod 29 = 9 ≠ 27 = 56 mod 29

m=30: 38 mod 30 = 8 ≠ 26 = 56 mod 30

m=31: 38 mod 31 = 7 ≠ 25 = 56 mod 31

m=32: 38 mod 32 = 6 ≠ 24 = 56 mod 32

m=33: 38 mod 33 = 5 ≠ 23 = 56 mod 33

m=34: 38 mod 34 = 4 ≠ 22 = 56 mod 34

m=35: 38 mod 35 = 3 ≠ 21 = 56 mod 35

m=36: 38 mod 36 = 2 ≠ 20 = 56 mod 36

m=37: 38 mod 37 = 1 ≠ 19 = 56 mod 37

m=38: 38 mod 38 = 0 ≠ 18 = 56 mod 38

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (56 - 38) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18