Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 60 = 6.

Somit gilt: 66 mod 10 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 27 = 8.

Somit gilt: 35 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 63 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 35 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(177 - 36004) mod 9 ≡ (177 mod 9 - 36004 mod 9) mod 9.

177 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 9 ⋅ 20 -3 = 9 ⋅ 20 - 9 + 6.

36004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36004 = 36000+4 = 9 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(177 - 36004) mod 9 ≡ (6 - 4) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 52) mod 3 ≡ (73 mod 3 ⋅ 52 mod 3) mod 3.

73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.

52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 52) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 142 aus, ob zufällig 142 mod m = 187 mod m gilt:

m=2: 142 mod 2 = 0 ≠ 1 = 187 mod 2

m=3: 142 mod 3 = 1 = 1 = 187 mod 3

m=4: 142 mod 4 = 2 ≠ 3 = 187 mod 4

m=5: 142 mod 5 = 2 = 2 = 187 mod 5

m=6: 142 mod 6 = 4 ≠ 1 = 187 mod 6

m=7: 142 mod 7 = 2 ≠ 5 = 187 mod 7

m=8: 142 mod 8 = 6 ≠ 3 = 187 mod 8

m=9: 142 mod 9 = 7 = 7 = 187 mod 9

m=10: 142 mod 10 = 2 ≠ 7 = 187 mod 10

m=11: 142 mod 11 = 10 ≠ 0 = 187 mod 11

m=12: 142 mod 12 = 10 ≠ 7 = 187 mod 12

m=13: 142 mod 13 = 12 ≠ 5 = 187 mod 13

m=14: 142 mod 14 = 2 ≠ 5 = 187 mod 14

m=15: 142 mod 15 = 7 = 7 = 187 mod 15

m=16: 142 mod 16 = 14 ≠ 11 = 187 mod 16

m=17: 142 mod 17 = 6 ≠ 0 = 187 mod 17

m=18: 142 mod 18 = 16 ≠ 7 = 187 mod 18

m=19: 142 mod 19 = 9 ≠ 16 = 187 mod 19

m=20: 142 mod 20 = 2 ≠ 7 = 187 mod 20

m=21: 142 mod 21 = 16 ≠ 19 = 187 mod 21

m=22: 142 mod 22 = 10 ≠ 11 = 187 mod 22

m=23: 142 mod 23 = 4 ≠ 3 = 187 mod 23

m=24: 142 mod 24 = 22 ≠ 19 = 187 mod 24

m=25: 142 mod 25 = 17 ≠ 12 = 187 mod 25

m=26: 142 mod 26 = 12 ≠ 5 = 187 mod 26

m=27: 142 mod 27 = 7 ≠ 25 = 187 mod 27

m=28: 142 mod 28 = 2 ≠ 19 = 187 mod 28

m=29: 142 mod 29 = 26 ≠ 13 = 187 mod 29

m=30: 142 mod 30 = 22 ≠ 7 = 187 mod 30

m=31: 142 mod 31 = 18 ≠ 1 = 187 mod 31

m=32: 142 mod 32 = 14 ≠ 27 = 187 mod 32

m=33: 142 mod 33 = 10 ≠ 22 = 187 mod 33

m=34: 142 mod 34 = 6 ≠ 17 = 187 mod 34

m=35: 142 mod 35 = 2 ≠ 12 = 187 mod 35

m=36: 142 mod 36 = 34 ≠ 7 = 187 mod 36

m=37: 142 mod 37 = 31 ≠ 2 = 187 mod 37

m=38: 142 mod 38 = 28 ≠ 35 = 187 mod 38

m=39: 142 mod 39 = 25 ≠ 31 = 187 mod 39

m=40: 142 mod 40 = 22 ≠ 27 = 187 mod 40

m=41: 142 mod 41 = 19 ≠ 23 = 187 mod 41

m=42: 142 mod 42 = 16 ≠ 19 = 187 mod 42

m=43: 142 mod 43 = 13 ≠ 15 = 187 mod 43

m=44: 142 mod 44 = 10 ≠ 11 = 187 mod 44

m=45: 142 mod 45 = 7 = 7 = 187 mod 45

m=46: 142 mod 46 = 4 ≠ 3 = 187 mod 46

m=47: 142 mod 47 = 1 ≠ 46 = 187 mod 47

m=48: 142 mod 48 = 46 ≠ 43 = 187 mod 48

m=49: 142 mod 49 = 44 ≠ 40 = 187 mod 49

m=50: 142 mod 50 = 42 ≠ 37 = 187 mod 50

m=51: 142 mod 51 = 40 ≠ 34 = 187 mod 51

m=52: 142 mod 52 = 38 ≠ 31 = 187 mod 52

m=53: 142 mod 53 = 36 ≠ 28 = 187 mod 53

m=54: 142 mod 54 = 34 ≠ 25 = 187 mod 54

m=55: 142 mod 55 = 32 ≠ 22 = 187 mod 55

m=56: 142 mod 56 = 30 ≠ 19 = 187 mod 56

m=57: 142 mod 57 = 28 ≠ 16 = 187 mod 57

m=58: 142 mod 58 = 26 ≠ 13 = 187 mod 58

m=59: 142 mod 59 = 24 ≠ 10 = 187 mod 59

m=60: 142 mod 60 = 22 ≠ 7 = 187 mod 60

m=61: 142 mod 61 = 20 ≠ 4 = 187 mod 61

m=62: 142 mod 62 = 18 ≠ 1 = 187 mod 62

m=63: 142 mod 63 = 16 ≠ 61 = 187 mod 63

m=64: 142 mod 64 = 14 ≠ 59 = 187 mod 64

m=65: 142 mod 65 = 12 ≠ 57 = 187 mod 65

m=66: 142 mod 66 = 10 ≠ 55 = 187 mod 66

m=67: 142 mod 67 = 8 ≠ 53 = 187 mod 67

m=68: 142 mod 68 = 6 ≠ 51 = 187 mod 68

m=69: 142 mod 69 = 4 ≠ 49 = 187 mod 69

m=70: 142 mod 70 = 2 ≠ 47 = 187 mod 70

m=71: 142 mod 71 = 0 ≠ 45 = 187 mod 71

m=72: 142 mod 72 = 70 ≠ 43 = 187 mod 72

m=73: 142 mod 73 = 69 ≠ 41 = 187 mod 73

m=74: 142 mod 74 = 68 ≠ 39 = 187 mod 74

m=75: 142 mod 75 = 67 ≠ 37 = 187 mod 75

m=76: 142 mod 76 = 66 ≠ 35 = 187 mod 76

m=77: 142 mod 77 = 65 ≠ 33 = 187 mod 77

m=78: 142 mod 78 = 64 ≠ 31 = 187 mod 78

m=79: 142 mod 79 = 63 ≠ 29 = 187 mod 79

m=80: 142 mod 80 = 62 ≠ 27 = 187 mod 80

m=81: 142 mod 81 = 61 ≠ 25 = 187 mod 81

m=82: 142 mod 82 = 60 ≠ 23 = 187 mod 82

m=83: 142 mod 83 = 59 ≠ 21 = 187 mod 83

m=84: 142 mod 84 = 58 ≠ 19 = 187 mod 84

m=85: 142 mod 85 = 57 ≠ 17 = 187 mod 85

m=86: 142 mod 86 = 56 ≠ 15 = 187 mod 86

m=87: 142 mod 87 = 55 ≠ 13 = 187 mod 87

m=88: 142 mod 88 = 54 ≠ 11 = 187 mod 88

m=89: 142 mod 89 = 53 ≠ 9 = 187 mod 89

m=90: 142 mod 90 = 52 ≠ 7 = 187 mod 90

m=91: 142 mod 91 = 51 ≠ 5 = 187 mod 91

m=92: 142 mod 92 = 50 ≠ 3 = 187 mod 92

m=93: 142 mod 93 = 49 ≠ 1 = 187 mod 93

m=94: 142 mod 94 = 48 ≠ 93 = 187 mod 94

m=95: 142 mod 95 = 47 ≠ 92 = 187 mod 95

m=96: 142 mod 96 = 46 ≠ 91 = 187 mod 96

m=97: 142 mod 97 = 45 ≠ 90 = 187 mod 97

m=98: 142 mod 98 = 44 ≠ 89 = 187 mod 98

m=99: 142 mod 99 = 43 ≠ 88 = 187 mod 99

m=100: 142 mod 100 = 42 ≠ 87 = 187 mod 100

m=101: 142 mod 101 = 41 ≠ 86 = 187 mod 101

m=102: 142 mod 102 = 40 ≠ 85 = 187 mod 102

m=103: 142 mod 103 = 39 ≠ 84 = 187 mod 103

m=104: 142 mod 104 = 38 ≠ 83 = 187 mod 104

m=105: 142 mod 105 = 37 ≠ 82 = 187 mod 105

m=106: 142 mod 106 = 36 ≠ 81 = 187 mod 106

m=107: 142 mod 107 = 35 ≠ 80 = 187 mod 107

m=108: 142 mod 108 = 34 ≠ 79 = 187 mod 108

m=109: 142 mod 109 = 33 ≠ 78 = 187 mod 109

m=110: 142 mod 110 = 32 ≠ 77 = 187 mod 110

m=111: 142 mod 111 = 31 ≠ 76 = 187 mod 111

m=112: 142 mod 112 = 30 ≠ 75 = 187 mod 112

m=113: 142 mod 113 = 29 ≠ 74 = 187 mod 113

m=114: 142 mod 114 = 28 ≠ 73 = 187 mod 114

m=115: 142 mod 115 = 27 ≠ 72 = 187 mod 115

m=116: 142 mod 116 = 26 ≠ 71 = 187 mod 116

m=117: 142 mod 117 = 25 ≠ 70 = 187 mod 117

m=118: 142 mod 118 = 24 ≠ 69 = 187 mod 118

m=119: 142 mod 119 = 23 ≠ 68 = 187 mod 119

m=120: 142 mod 120 = 22 ≠ 67 = 187 mod 120

m=121: 142 mod 121 = 21 ≠ 66 = 187 mod 121

m=122: 142 mod 122 = 20 ≠ 65 = 187 mod 122

m=123: 142 mod 123 = 19 ≠ 64 = 187 mod 123

m=124: 142 mod 124 = 18 ≠ 63 = 187 mod 124

m=125: 142 mod 125 = 17 ≠ 62 = 187 mod 125

m=126: 142 mod 126 = 16 ≠ 61 = 187 mod 126

m=127: 142 mod 127 = 15 ≠ 60 = 187 mod 127

m=128: 142 mod 128 = 14 ≠ 59 = 187 mod 128

m=129: 142 mod 129 = 13 ≠ 58 = 187 mod 129

m=130: 142 mod 130 = 12 ≠ 57 = 187 mod 130

m=131: 142 mod 131 = 11 ≠ 56 = 187 mod 131

m=132: 142 mod 132 = 10 ≠ 55 = 187 mod 132

m=133: 142 mod 133 = 9 ≠ 54 = 187 mod 133

m=134: 142 mod 134 = 8 ≠ 53 = 187 mod 134

m=135: 142 mod 135 = 7 ≠ 52 = 187 mod 135

m=136: 142 mod 136 = 6 ≠ 51 = 187 mod 136

m=137: 142 mod 137 = 5 ≠ 50 = 187 mod 137

m=138: 142 mod 138 = 4 ≠ 49 = 187 mod 138

m=139: 142 mod 139 = 3 ≠ 48 = 187 mod 139

m=140: 142 mod 140 = 2 ≠ 47 = 187 mod 140

m=141: 142 mod 141 = 1 ≠ 46 = 187 mod 141

m=142: 142 mod 142 = 0 ≠ 45 = 187 mod 142

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (187 - 142) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45