Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 20 = 4.

Somit gilt: 24 mod 10 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 91 = 0.

Somit gilt: 91 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 14 = 2 ⋅ 7

Somit gilt: 14 ≡ 91 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(366 + 907) mod 9 ≡ (366 mod 9 + 907 mod 9) mod 9.

366 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 366 = 360+6 = 9 ⋅ 40 +6.

907 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 907 = 900+7 = 9 ⋅ 100 +7.

Somit gilt:

(366 + 907) mod 9 ≡ (6 + 7) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 89) mod 9 ≡ (42 mod 9 ⋅ 89 mod 9) mod 9.

42 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 36 + 6 = 4 ⋅ 9 + 6 ist.

89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 81 + 8 = 9 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 89) mod 9 ≡ (6 ⋅ 8) mod 9 ≡ 48 mod 9 ≡ 3 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 83 aus, ob zufällig 83 mod m = 110 mod m gilt:

m=2: 83 mod 2 = 1 ≠ 0 = 110 mod 2

m=3: 83 mod 3 = 2 = 2 = 110 mod 3

m=4: 83 mod 4 = 3 ≠ 2 = 110 mod 4

m=5: 83 mod 5 = 3 ≠ 0 = 110 mod 5

m=6: 83 mod 6 = 5 ≠ 2 = 110 mod 6

m=7: 83 mod 7 = 6 ≠ 5 = 110 mod 7

m=8: 83 mod 8 = 3 ≠ 6 = 110 mod 8

m=9: 83 mod 9 = 2 = 2 = 110 mod 9

m=10: 83 mod 10 = 3 ≠ 0 = 110 mod 10

m=11: 83 mod 11 = 6 ≠ 0 = 110 mod 11

m=12: 83 mod 12 = 11 ≠ 2 = 110 mod 12

m=13: 83 mod 13 = 5 ≠ 6 = 110 mod 13

m=14: 83 mod 14 = 13 ≠ 12 = 110 mod 14

m=15: 83 mod 15 = 8 ≠ 5 = 110 mod 15

m=16: 83 mod 16 = 3 ≠ 14 = 110 mod 16

m=17: 83 mod 17 = 15 ≠ 8 = 110 mod 17

m=18: 83 mod 18 = 11 ≠ 2 = 110 mod 18

m=19: 83 mod 19 = 7 ≠ 15 = 110 mod 19

m=20: 83 mod 20 = 3 ≠ 10 = 110 mod 20

m=21: 83 mod 21 = 20 ≠ 5 = 110 mod 21

m=22: 83 mod 22 = 17 ≠ 0 = 110 mod 22

m=23: 83 mod 23 = 14 ≠ 18 = 110 mod 23

m=24: 83 mod 24 = 11 ≠ 14 = 110 mod 24

m=25: 83 mod 25 = 8 ≠ 10 = 110 mod 25

m=26: 83 mod 26 = 5 ≠ 6 = 110 mod 26

m=27: 83 mod 27 = 2 = 2 = 110 mod 27

m=28: 83 mod 28 = 27 ≠ 26 = 110 mod 28

m=29: 83 mod 29 = 25 ≠ 23 = 110 mod 29

m=30: 83 mod 30 = 23 ≠ 20 = 110 mod 30

m=31: 83 mod 31 = 21 ≠ 17 = 110 mod 31

m=32: 83 mod 32 = 19 ≠ 14 = 110 mod 32

m=33: 83 mod 33 = 17 ≠ 11 = 110 mod 33

m=34: 83 mod 34 = 15 ≠ 8 = 110 mod 34

m=35: 83 mod 35 = 13 ≠ 5 = 110 mod 35

m=36: 83 mod 36 = 11 ≠ 2 = 110 mod 36

m=37: 83 mod 37 = 9 ≠ 36 = 110 mod 37

m=38: 83 mod 38 = 7 ≠ 34 = 110 mod 38

m=39: 83 mod 39 = 5 ≠ 32 = 110 mod 39

m=40: 83 mod 40 = 3 ≠ 30 = 110 mod 40

m=41: 83 mod 41 = 1 ≠ 28 = 110 mod 41

m=42: 83 mod 42 = 41 ≠ 26 = 110 mod 42

m=43: 83 mod 43 = 40 ≠ 24 = 110 mod 43

m=44: 83 mod 44 = 39 ≠ 22 = 110 mod 44

m=45: 83 mod 45 = 38 ≠ 20 = 110 mod 45

m=46: 83 mod 46 = 37 ≠ 18 = 110 mod 46

m=47: 83 mod 47 = 36 ≠ 16 = 110 mod 47

m=48: 83 mod 48 = 35 ≠ 14 = 110 mod 48

m=49: 83 mod 49 = 34 ≠ 12 = 110 mod 49

m=50: 83 mod 50 = 33 ≠ 10 = 110 mod 50

m=51: 83 mod 51 = 32 ≠ 8 = 110 mod 51

m=52: 83 mod 52 = 31 ≠ 6 = 110 mod 52

m=53: 83 mod 53 = 30 ≠ 4 = 110 mod 53

m=54: 83 mod 54 = 29 ≠ 2 = 110 mod 54

m=55: 83 mod 55 = 28 ≠ 0 = 110 mod 55

m=56: 83 mod 56 = 27 ≠ 54 = 110 mod 56

m=57: 83 mod 57 = 26 ≠ 53 = 110 mod 57

m=58: 83 mod 58 = 25 ≠ 52 = 110 mod 58

m=59: 83 mod 59 = 24 ≠ 51 = 110 mod 59

m=60: 83 mod 60 = 23 ≠ 50 = 110 mod 60

m=61: 83 mod 61 = 22 ≠ 49 = 110 mod 61

m=62: 83 mod 62 = 21 ≠ 48 = 110 mod 62

m=63: 83 mod 63 = 20 ≠ 47 = 110 mod 63

m=64: 83 mod 64 = 19 ≠ 46 = 110 mod 64

m=65: 83 mod 65 = 18 ≠ 45 = 110 mod 65

m=66: 83 mod 66 = 17 ≠ 44 = 110 mod 66

m=67: 83 mod 67 = 16 ≠ 43 = 110 mod 67

m=68: 83 mod 68 = 15 ≠ 42 = 110 mod 68

m=69: 83 mod 69 = 14 ≠ 41 = 110 mod 69

m=70: 83 mod 70 = 13 ≠ 40 = 110 mod 70

m=71: 83 mod 71 = 12 ≠ 39 = 110 mod 71

m=72: 83 mod 72 = 11 ≠ 38 = 110 mod 72

m=73: 83 mod 73 = 10 ≠ 37 = 110 mod 73

m=74: 83 mod 74 = 9 ≠ 36 = 110 mod 74

m=75: 83 mod 75 = 8 ≠ 35 = 110 mod 75

m=76: 83 mod 76 = 7 ≠ 34 = 110 mod 76

m=77: 83 mod 77 = 6 ≠ 33 = 110 mod 77

m=78: 83 mod 78 = 5 ≠ 32 = 110 mod 78

m=79: 83 mod 79 = 4 ≠ 31 = 110 mod 79

m=80: 83 mod 80 = 3 ≠ 30 = 110 mod 80

m=81: 83 mod 81 = 2 ≠ 29 = 110 mod 81

m=82: 83 mod 82 = 1 ≠ 28 = 110 mod 82

m=83: 83 mod 83 = 0 ≠ 27 = 110 mod 83

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (110 - 83) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27