Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.

Somit gilt: 63 mod 10 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 60 = 8.

Somit gilt: 68 mod 10 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 8 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 8 mod 10 sein, also addieren wir noch 8 auf die 30 und erhalten so 38.

Somit gilt: 38 ≡ 68 ≡ 8 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 + 89) mod 3 ≡ (1200 mod 3 + 89 mod 3) mod 3.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 90-1 = 3 ⋅ 30 -1 = 3 ⋅ 30 - 3 + 2.

Somit gilt:

(1200 + 89) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 57) mod 9 ≡ (44 mod 9 ⋅ 57 mod 9) mod 9.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

57 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 6 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 57) mod 9 ≡ (8 ⋅ 3) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 35 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 2 = 35 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 ≠ 3 = 35 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 = 0 = 35 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 3 = 35 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 8 = 35 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 = 5 = 35 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 10 = 35 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 25) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10