Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 35 = 6.

Somit gilt: 41 mod 7 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 22 = 8.

Somit gilt: 30 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 88 und erhalten so 96.

Somit gilt: 96 ≡ 30 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17998 - 450) mod 9 ≡ (17998 mod 9 - 450 mod 9) mod 9.

17998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998 = 18000-2 = 9 ⋅ 2000 -2 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 7.

450 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 450 = 450+0 = 9 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(17998 - 450) mod 9 ≡ (7 - 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 56) mod 11 ≡ (83 mod 11 ⋅ 56 mod 11) mod 11.

83 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 7 ⋅ 11 + 6 ist.

56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 56) mod 11 ≡ (6 ⋅ 1) mod 11 ≡ 6 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 47 aus, ob zufällig 47 mod m = 59 mod m gilt:

m=2: 47 mod 2 = 1 = 1 = 59 mod 2

m=3: 47 mod 3 = 2 = 2 = 59 mod 3

m=4: 47 mod 4 = 3 = 3 = 59 mod 4

m=5: 47 mod 5 = 2 ≠ 4 = 59 mod 5

m=6: 47 mod 6 = 5 = 5 = 59 mod 6

m=7: 47 mod 7 = 5 ≠ 3 = 59 mod 7

m=8: 47 mod 8 = 7 ≠ 3 = 59 mod 8

m=9: 47 mod 9 = 2 ≠ 5 = 59 mod 9

m=10: 47 mod 10 = 7 ≠ 9 = 59 mod 10

m=11: 47 mod 11 = 3 ≠ 4 = 59 mod 11

m=12: 47 mod 12 = 11 = 11 = 59 mod 12

m=13: 47 mod 13 = 8 ≠ 7 = 59 mod 13

m=14: 47 mod 14 = 5 ≠ 3 = 59 mod 14

m=15: 47 mod 15 = 2 ≠ 14 = 59 mod 15

m=16: 47 mod 16 = 15 ≠ 11 = 59 mod 16

m=17: 47 mod 17 = 13 ≠ 8 = 59 mod 17

m=18: 47 mod 18 = 11 ≠ 5 = 59 mod 18

m=19: 47 mod 19 = 9 ≠ 2 = 59 mod 19

m=20: 47 mod 20 = 7 ≠ 19 = 59 mod 20

m=21: 47 mod 21 = 5 ≠ 17 = 59 mod 21

m=22: 47 mod 22 = 3 ≠ 15 = 59 mod 22

m=23: 47 mod 23 = 1 ≠ 13 = 59 mod 23

m=24: 47 mod 24 = 23 ≠ 11 = 59 mod 24

m=25: 47 mod 25 = 22 ≠ 9 = 59 mod 25

m=26: 47 mod 26 = 21 ≠ 7 = 59 mod 26

m=27: 47 mod 27 = 20 ≠ 5 = 59 mod 27

m=28: 47 mod 28 = 19 ≠ 3 = 59 mod 28

m=29: 47 mod 29 = 18 ≠ 1 = 59 mod 29

m=30: 47 mod 30 = 17 ≠ 29 = 59 mod 30

m=31: 47 mod 31 = 16 ≠ 28 = 59 mod 31

m=32: 47 mod 32 = 15 ≠ 27 = 59 mod 32

m=33: 47 mod 33 = 14 ≠ 26 = 59 mod 33

m=34: 47 mod 34 = 13 ≠ 25 = 59 mod 34

m=35: 47 mod 35 = 12 ≠ 24 = 59 mod 35

m=36: 47 mod 36 = 11 ≠ 23 = 59 mod 36

m=37: 47 mod 37 = 10 ≠ 22 = 59 mod 37

m=38: 47 mod 38 = 9 ≠ 21 = 59 mod 38

m=39: 47 mod 39 = 8 ≠ 20 = 59 mod 39

m=40: 47 mod 40 = 7 ≠ 19 = 59 mod 40

m=41: 47 mod 41 = 6 ≠ 18 = 59 mod 41

m=42: 47 mod 42 = 5 ≠ 17 = 59 mod 42

m=43: 47 mod 43 = 4 ≠ 16 = 59 mod 43

m=44: 47 mod 44 = 3 ≠ 15 = 59 mod 44

m=45: 47 mod 45 = 2 ≠ 14 = 59 mod 45

m=46: 47 mod 46 = 1 ≠ 13 = 59 mod 46

m=47: 47 mod 47 = 0 ≠ 12 = 59 mod 47

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (59 - 47) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12