Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 72 = 4.

Somit gilt: 76 mod 9 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 32 = 1.

Somit gilt: 33 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 52 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 33 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15000 + 15003) mod 3 ≡ (15000 mod 3 + 15003 mod 3) mod 3.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(15000 + 15003) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 35) mod 3 ≡ (47 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.

47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.

35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 35) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 44 aus, ob zufällig 44 mod m = 59 mod m gilt:

m=2: 44 mod 2 = 0 ≠ 1 = 59 mod 2

m=3: 44 mod 3 = 2 = 2 = 59 mod 3

m=4: 44 mod 4 = 0 ≠ 3 = 59 mod 4

m=5: 44 mod 5 = 4 = 4 = 59 mod 5

m=6: 44 mod 6 = 2 ≠ 5 = 59 mod 6

m=7: 44 mod 7 = 2 ≠ 3 = 59 mod 7

m=8: 44 mod 8 = 4 ≠ 3 = 59 mod 8

m=9: 44 mod 9 = 8 ≠ 5 = 59 mod 9

m=10: 44 mod 10 = 4 ≠ 9 = 59 mod 10

m=11: 44 mod 11 = 0 ≠ 4 = 59 mod 11

m=12: 44 mod 12 = 8 ≠ 11 = 59 mod 12

m=13: 44 mod 13 = 5 ≠ 7 = 59 mod 13

m=14: 44 mod 14 = 2 ≠ 3 = 59 mod 14

m=15: 44 mod 15 = 14 = 14 = 59 mod 15

m=16: 44 mod 16 = 12 ≠ 11 = 59 mod 16

m=17: 44 mod 17 = 10 ≠ 8 = 59 mod 17

m=18: 44 mod 18 = 8 ≠ 5 = 59 mod 18

m=19: 44 mod 19 = 6 ≠ 2 = 59 mod 19

m=20: 44 mod 20 = 4 ≠ 19 = 59 mod 20

m=21: 44 mod 21 = 2 ≠ 17 = 59 mod 21

m=22: 44 mod 22 = 0 ≠ 15 = 59 mod 22

m=23: 44 mod 23 = 21 ≠ 13 = 59 mod 23

m=24: 44 mod 24 = 20 ≠ 11 = 59 mod 24

m=25: 44 mod 25 = 19 ≠ 9 = 59 mod 25

m=26: 44 mod 26 = 18 ≠ 7 = 59 mod 26

m=27: 44 mod 27 = 17 ≠ 5 = 59 mod 27

m=28: 44 mod 28 = 16 ≠ 3 = 59 mod 28

m=29: 44 mod 29 = 15 ≠ 1 = 59 mod 29

m=30: 44 mod 30 = 14 ≠ 29 = 59 mod 30

m=31: 44 mod 31 = 13 ≠ 28 = 59 mod 31

m=32: 44 mod 32 = 12 ≠ 27 = 59 mod 32

m=33: 44 mod 33 = 11 ≠ 26 = 59 mod 33

m=34: 44 mod 34 = 10 ≠ 25 = 59 mod 34

m=35: 44 mod 35 = 9 ≠ 24 = 59 mod 35

m=36: 44 mod 36 = 8 ≠ 23 = 59 mod 36

m=37: 44 mod 37 = 7 ≠ 22 = 59 mod 37

m=38: 44 mod 38 = 6 ≠ 21 = 59 mod 38

m=39: 44 mod 39 = 5 ≠ 20 = 59 mod 39

m=40: 44 mod 40 = 4 ≠ 19 = 59 mod 40

m=41: 44 mod 41 = 3 ≠ 18 = 59 mod 41

m=42: 44 mod 42 = 2 ≠ 17 = 59 mod 42

m=43: 44 mod 43 = 1 ≠ 16 = 59 mod 43

m=44: 44 mod 44 = 0 ≠ 15 = 59 mod 44

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (59 - 44) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15