Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 45 = 4.

Somit gilt: 49 mod 9 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 42 = 4.

Somit gilt: 46 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 60 und erhalten so 64.

Somit gilt: 64 ≡ 46 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(402 - 396) mod 8 ≡ (402 mod 8 - 396 mod 8) mod 8.

402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402 = 400+2 = 8 ⋅ 50 +2.

396 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 400-4 = 8 ⋅ 50 -4 = 8 ⋅ 50 - 8 + 4.

Somit gilt:

(402 - 396) mod 8 ≡ (2 - 4) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 27) mod 7 ≡ (34 mod 7 ⋅ 27 mod 7) mod 7.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

27 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 21 + 6 = 3 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 27) mod 7 ≡ (6 ⋅ 6) mod 7 ≡ 36 mod 7 ≡ 1 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 ≠ 1 = 37 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 1 = 37 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 = 1 = 37 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 10 = 37 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 9 = 37 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 28) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9