Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 72 = 7.

Somit gilt: 79 mod 9 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 92 = 23 ⋅ 4

Somit gilt: 92 ≡ 60 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 + 2502) mod 5 ≡ (45 mod 5 + 2502 mod 5) mod 5.

45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40+5 = 5 ⋅ 8 +5.

2502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2502 = 2500+2 = 5 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(45 + 2502) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 76) mod 5 ≡ (27 mod 5 ⋅ 76 mod 5) mod 5.

27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.

76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 76) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 41 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 ≠ 2 = 41 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 1 = 41 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 = 1 = 41 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 5 = 41 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 6 = 41 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 1 = 41 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 5 = 41 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 = 1 = 41 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 8 = 41 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 5 = 41 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 2 = 41 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 13 = 41 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 11 = 41 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 9 = 41 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 7 = 41 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 5 = 41 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 3 = 41 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 1 = 41 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 20 = 41 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 19 = 41 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 18 = 41 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 17 = 41 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 16 = 41 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 15 = 41 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 14 = 41 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 13 = 41 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 12 = 41 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 11 = 41 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 10 = 41 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 31) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10