Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 22 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 20 = 2.
Somit gilt: 22 mod 10 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 45 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 45 - 45 = 0.
Somit gilt: 45 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5
Somit gilt: 20 ≡ 45 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (13994 + 3493) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(13994 + 3493) mod 7 ≡ (13994 mod 7 + 3493 mod 7) mod 7.
13994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13994
= 14000
3493 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3493
= 3500
Somit gilt:
(13994 + 3493) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 90) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 90) mod 11 ≡ (63 mod 11 ⋅ 90 mod 11) mod 11.
63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.
90 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 8 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 90) mod 11 ≡ (8 ⋅ 2) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 29 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 29 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 ≠ 1 = 29 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 1 = 29 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 4 = 29 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 5 = 29 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 1 = 29 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 5 = 29 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 = 2 = 29 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 9 = 29 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 7 = 29 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 5 = 29 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 3 = 29 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 1 = 29 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 14 = 29 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 13 = 29 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 12 = 29 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 11 = 29 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 10 = 29 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 9 = 29 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 20) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
