Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 91 = 3.

Somit gilt: 94 mod 7 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 88 = 4.

Somit gilt: 92 mod 8 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 8 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 92 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(217 + 35007) mod 7 ≡ (217 mod 7 + 35007 mod 7) mod 7.

217 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 217 = 210+7 = 7 ⋅ 30 +7.

35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007 = 35000+7 = 7 ⋅ 5000 +7.

Somit gilt:

(217 + 35007) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 83) mod 3 ≡ (64 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.

64 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 21 ⋅ 3 + 1 ist.

83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 83) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 61 aus, ob zufällig 61 mod m = 79 mod m gilt:

m=2: 61 mod 2 = 1 = 1 = 79 mod 2

m=3: 61 mod 3 = 1 = 1 = 79 mod 3

m=4: 61 mod 4 = 1 ≠ 3 = 79 mod 4

m=5: 61 mod 5 = 1 ≠ 4 = 79 mod 5

m=6: 61 mod 6 = 1 = 1 = 79 mod 6

m=7: 61 mod 7 = 5 ≠ 2 = 79 mod 7

m=8: 61 mod 8 = 5 ≠ 7 = 79 mod 8

m=9: 61 mod 9 = 7 = 7 = 79 mod 9

m=10: 61 mod 10 = 1 ≠ 9 = 79 mod 10

m=11: 61 mod 11 = 6 ≠ 2 = 79 mod 11

m=12: 61 mod 12 = 1 ≠ 7 = 79 mod 12

m=13: 61 mod 13 = 9 ≠ 1 = 79 mod 13

m=14: 61 mod 14 = 5 ≠ 9 = 79 mod 14

m=15: 61 mod 15 = 1 ≠ 4 = 79 mod 15

m=16: 61 mod 16 = 13 ≠ 15 = 79 mod 16

m=17: 61 mod 17 = 10 ≠ 11 = 79 mod 17

m=18: 61 mod 18 = 7 = 7 = 79 mod 18

m=19: 61 mod 19 = 4 ≠ 3 = 79 mod 19

m=20: 61 mod 20 = 1 ≠ 19 = 79 mod 20

m=21: 61 mod 21 = 19 ≠ 16 = 79 mod 21

m=22: 61 mod 22 = 17 ≠ 13 = 79 mod 22

m=23: 61 mod 23 = 15 ≠ 10 = 79 mod 23

m=24: 61 mod 24 = 13 ≠ 7 = 79 mod 24

m=25: 61 mod 25 = 11 ≠ 4 = 79 mod 25

m=26: 61 mod 26 = 9 ≠ 1 = 79 mod 26

m=27: 61 mod 27 = 7 ≠ 25 = 79 mod 27

m=28: 61 mod 28 = 5 ≠ 23 = 79 mod 28

m=29: 61 mod 29 = 3 ≠ 21 = 79 mod 29

m=30: 61 mod 30 = 1 ≠ 19 = 79 mod 30

m=31: 61 mod 31 = 30 ≠ 17 = 79 mod 31

m=32: 61 mod 32 = 29 ≠ 15 = 79 mod 32

m=33: 61 mod 33 = 28 ≠ 13 = 79 mod 33

m=34: 61 mod 34 = 27 ≠ 11 = 79 mod 34

m=35: 61 mod 35 = 26 ≠ 9 = 79 mod 35

m=36: 61 mod 36 = 25 ≠ 7 = 79 mod 36

m=37: 61 mod 37 = 24 ≠ 5 = 79 mod 37

m=38: 61 mod 38 = 23 ≠ 3 = 79 mod 38

m=39: 61 mod 39 = 22 ≠ 1 = 79 mod 39

m=40: 61 mod 40 = 21 ≠ 39 = 79 mod 40

m=41: 61 mod 41 = 20 ≠ 38 = 79 mod 41

m=42: 61 mod 42 = 19 ≠ 37 = 79 mod 42

m=43: 61 mod 43 = 18 ≠ 36 = 79 mod 43

m=44: 61 mod 44 = 17 ≠ 35 = 79 mod 44

m=45: 61 mod 45 = 16 ≠ 34 = 79 mod 45

m=46: 61 mod 46 = 15 ≠ 33 = 79 mod 46

m=47: 61 mod 47 = 14 ≠ 32 = 79 mod 47

m=48: 61 mod 48 = 13 ≠ 31 = 79 mod 48

m=49: 61 mod 49 = 12 ≠ 30 = 79 mod 49

m=50: 61 mod 50 = 11 ≠ 29 = 79 mod 50

m=51: 61 mod 51 = 10 ≠ 28 = 79 mod 51

m=52: 61 mod 52 = 9 ≠ 27 = 79 mod 52

m=53: 61 mod 53 = 8 ≠ 26 = 79 mod 53

m=54: 61 mod 54 = 7 ≠ 25 = 79 mod 54

m=55: 61 mod 55 = 6 ≠ 24 = 79 mod 55

m=56: 61 mod 56 = 5 ≠ 23 = 79 mod 56

m=57: 61 mod 57 = 4 ≠ 22 = 79 mod 57

m=58: 61 mod 58 = 3 ≠ 21 = 79 mod 58

m=59: 61 mod 59 = 2 ≠ 20 = 79 mod 59

m=60: 61 mod 60 = 1 ≠ 19 = 79 mod 60

m=61: 61 mod 61 = 0 ≠ 18 = 79 mod 61

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (79 - 61) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18