Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 81 = 2.

Somit gilt: 83 mod 9 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 80 = 4.

Somit gilt: 84 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 10 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 50 und erhalten so 54.

Somit gilt: 54 ≡ 84 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 + 304) mod 6 ≡ (60 mod 6 + 304 mod 6) mod 6.

60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 6 ⋅ 10 +0.

304 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 304 = 300+4 = 6 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(60 + 304) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 49) mod 8 ≡ (71 mod 8 ⋅ 49 mod 8) mod 8.

71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.

49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 49) mod 8 ≡ (7 ⋅ 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 1 = 28 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 = 0 = 28 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 4 = 28 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 = 4 = 28 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 8 = 28 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 20) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8