Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 62 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.

Somit gilt: 62 mod 10 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 48 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 45 = 3.

Somit gilt: 48 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 20 und erhalten so 23.

Somit gilt: 23 ≡ 48 ≡ 3 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9008 + 3596) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9008 + 3596) mod 9 ≡ (9008 mod 9 + 3596 mod 9) mod 9.

9008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9008 = 9000+8 = 9 ⋅ 1000 +8.

3596 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3596 = 3600-4 = 9 ⋅ 400 -4 = 9 ⋅ 400 - 9 + 5.

Somit gilt:

(9008 + 3596) mod 9 ≡ (8 + 5) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 26) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 26) mod 6 ≡ (53 mod 6 ⋅ 26 mod 6) mod 6.

53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.

26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 26) mod 6 ≡ (5 ⋅ 2) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6