Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 79 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 75, weil ja 15 ⋅ 5 = 75 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 75 = 4.
Somit gilt: 79 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 30 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 30 - 28 = 2.
Somit gilt: 30 mod 7 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 14 = 2 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 2 mod 7 sein, also addieren wir noch 2 auf die 14 und erhalten so 16.
Somit gilt: 16 ≡ 30 ≡ 2 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20997 - 2798) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20997 - 2798) mod 7 ≡ (20997 mod 7 - 2798 mod 7) mod 7.
20997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20997
= 21000
2798 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2798
= 2800
Somit gilt:
(20997 - 2798) mod 7 ≡ (4 - 5) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 88) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 88) mod 11 ≡ (38 mod 11 ⋅ 88 mod 11) mod 11.
38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.
88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 88) mod 11 ≡ (5 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 23 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:
m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2
m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3
m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4
m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5
m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6
m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7
m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8
m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9
m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10
m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11
m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12
m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13
m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14
m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15
m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16
m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
