Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 100 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 100, weil ja 20 ⋅ 5 = 100 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 100 - 100 = 0.
Somit gilt: 100 mod 5 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 80 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 78, weil ja 13 ⋅ 6 = 78 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 80 - 78 = 2.
Somit gilt: 80 mod 6 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 18 und erhalten so 20.
Somit gilt: 20 ≡ 80 ≡ 2 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1406 - 34993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1406 - 34993) mod 7 ≡ (1406 mod 7 - 34993 mod 7) mod 7.
1406 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1406
= 1400
34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993
= 35000
Somit gilt:
(1406 - 34993) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 94) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 94) mod 10 ≡ (29 mod 10 ⋅ 94 mod 10) mod 10.
29 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 20 + 9 = 2 ⋅ 10 + 9 ist.
94 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 9 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 94) mod 10 ≡ (9 ⋅ 4) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
