Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 49 = 0.

Somit gilt: 49 mod 7 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.

Somit gilt: 91 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 40 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 91 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1202 - 117) mod 3 ≡ (1202 mod 3 - 117 mod 3) mod 3.

1202 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 3 ⋅ 400 +2.

117 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117 = 120-3 = 3 ⋅ 40 -3 = 3 ⋅ 40 - 3 + 0.

Somit gilt:

(1202 - 117) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 95) mod 11 ≡ (92 mod 11 ⋅ 95 mod 11) mod 11.

92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.

95 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 8 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 95) mod 11 ≡ (4 ⋅ 7) mod 11 ≡ 28 mod 11 ≡ 6 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 40 aus, ob zufällig 40 mod m = 60 mod m gilt:

m=2: 40 mod 2 = 0 = 0 = 60 mod 2

m=3: 40 mod 3 = 1 ≠ 0 = 60 mod 3

m=4: 40 mod 4 = 0 = 0 = 60 mod 4

m=5: 40 mod 5 = 0 = 0 = 60 mod 5

m=6: 40 mod 6 = 4 ≠ 0 = 60 mod 6

m=7: 40 mod 7 = 5 ≠ 4 = 60 mod 7

m=8: 40 mod 8 = 0 ≠ 4 = 60 mod 8

m=9: 40 mod 9 = 4 ≠ 6 = 60 mod 9

m=10: 40 mod 10 = 0 = 0 = 60 mod 10

m=11: 40 mod 11 = 7 ≠ 5 = 60 mod 11

m=12: 40 mod 12 = 4 ≠ 0 = 60 mod 12

m=13: 40 mod 13 = 1 ≠ 8 = 60 mod 13

m=14: 40 mod 14 = 12 ≠ 4 = 60 mod 14

m=15: 40 mod 15 = 10 ≠ 0 = 60 mod 15

m=16: 40 mod 16 = 8 ≠ 12 = 60 mod 16

m=17: 40 mod 17 = 6 ≠ 9 = 60 mod 17

m=18: 40 mod 18 = 4 ≠ 6 = 60 mod 18

m=19: 40 mod 19 = 2 ≠ 3 = 60 mod 19

m=20: 40 mod 20 = 0 = 0 = 60 mod 20

m=21: 40 mod 21 = 19 ≠ 18 = 60 mod 21

m=22: 40 mod 22 = 18 ≠ 16 = 60 mod 22

m=23: 40 mod 23 = 17 ≠ 14 = 60 mod 23

m=24: 40 mod 24 = 16 ≠ 12 = 60 mod 24

m=25: 40 mod 25 = 15 ≠ 10 = 60 mod 25

m=26: 40 mod 26 = 14 ≠ 8 = 60 mod 26

m=27: 40 mod 27 = 13 ≠ 6 = 60 mod 27

m=28: 40 mod 28 = 12 ≠ 4 = 60 mod 28

m=29: 40 mod 29 = 11 ≠ 2 = 60 mod 29

m=30: 40 mod 30 = 10 ≠ 0 = 60 mod 30

m=31: 40 mod 31 = 9 ≠ 29 = 60 mod 31

m=32: 40 mod 32 = 8 ≠ 28 = 60 mod 32

m=33: 40 mod 33 = 7 ≠ 27 = 60 mod 33

m=34: 40 mod 34 = 6 ≠ 26 = 60 mod 34

m=35: 40 mod 35 = 5 ≠ 25 = 60 mod 35

m=36: 40 mod 36 = 4 ≠ 24 = 60 mod 36

m=37: 40 mod 37 = 3 ≠ 23 = 60 mod 37

m=38: 40 mod 38 = 2 ≠ 22 = 60 mod 38

m=39: 40 mod 39 = 1 ≠ 21 = 60 mod 39

m=40: 40 mod 40 = 0 ≠ 20 = 60 mod 40

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (60 - 40) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20