Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 22 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 16 = 6.
Somit gilt: 22 mod 8 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 39 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 39 - 36 = 3.
Somit gilt: 39 mod 9 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 3 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 3 mod 9 sein, also addieren wir noch 3 auf die 9 und erhalten so 12.
Somit gilt: 12 ≡ 39 ≡ 3 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29999 - 12004) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29999 - 12004) mod 6 ≡ (29999 mod 6 - 12004 mod 6) mod 6.
29999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29999
= 30000
12004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004
= 12000
Somit gilt:
(29999 - 12004) mod 6 ≡ (5 - 4) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 70) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 70) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 70 mod 9) mod 9.
34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.
70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 70) mod 9 ≡ (7 ⋅ 7) mod 9 ≡ 49 mod 9 ≡ 4 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
158 mod m = 203 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 158 aus, ob zufällig 158 mod m = 203 mod m gilt:
m=2: 158 mod 2 = 0 ≠ 1 = 203 mod 2
m=3: 158 mod 3 = 2 = 2 = 203 mod 3
m=4: 158 mod 4 = 2 ≠ 3 = 203 mod 4
m=5: 158 mod 5 = 3 = 3 = 203 mod 5
m=6: 158 mod 6 = 2 ≠ 5 = 203 mod 6
m=7: 158 mod 7 = 4 ≠ 0 = 203 mod 7
m=8: 158 mod 8 = 6 ≠ 3 = 203 mod 8
m=9: 158 mod 9 = 5 = 5 = 203 mod 9
m=10: 158 mod 10 = 8 ≠ 3 = 203 mod 10
m=11: 158 mod 11 = 4 ≠ 5 = 203 mod 11
m=12: 158 mod 12 = 2 ≠ 11 = 203 mod 12
m=13: 158 mod 13 = 2 ≠ 8 = 203 mod 13
m=14: 158 mod 14 = 4 ≠ 7 = 203 mod 14
m=15: 158 mod 15 = 8 = 8 = 203 mod 15
m=16: 158 mod 16 = 14 ≠ 11 = 203 mod 16
m=17: 158 mod 17 = 5 ≠ 16 = 203 mod 17
m=18: 158 mod 18 = 14 ≠ 5 = 203 mod 18
m=19: 158 mod 19 = 6 ≠ 13 = 203 mod 19
m=20: 158 mod 20 = 18 ≠ 3 = 203 mod 20
m=21: 158 mod 21 = 11 ≠ 14 = 203 mod 21
m=22: 158 mod 22 = 4 ≠ 5 = 203 mod 22
m=23: 158 mod 23 = 20 ≠ 19 = 203 mod 23
m=24: 158 mod 24 = 14 ≠ 11 = 203 mod 24
m=25: 158 mod 25 = 8 ≠ 3 = 203 mod 25
m=26: 158 mod 26 = 2 ≠ 21 = 203 mod 26
m=27: 158 mod 27 = 23 ≠ 14 = 203 mod 27
m=28: 158 mod 28 = 18 ≠ 7 = 203 mod 28
m=29: 158 mod 29 = 13 ≠ 0 = 203 mod 29
m=30: 158 mod 30 = 8 ≠ 23 = 203 mod 30
m=31: 158 mod 31 = 3 ≠ 17 = 203 mod 31
m=32: 158 mod 32 = 30 ≠ 11 = 203 mod 32
m=33: 158 mod 33 = 26 ≠ 5 = 203 mod 33
m=34: 158 mod 34 = 22 ≠ 33 = 203 mod 34
m=35: 158 mod 35 = 18 ≠ 28 = 203 mod 35
m=36: 158 mod 36 = 14 ≠ 23 = 203 mod 36
m=37: 158 mod 37 = 10 ≠ 18 = 203 mod 37
m=38: 158 mod 38 = 6 ≠ 13 = 203 mod 38
m=39: 158 mod 39 = 2 ≠ 8 = 203 mod 39
m=40: 158 mod 40 = 38 ≠ 3 = 203 mod 40
m=41: 158 mod 41 = 35 ≠ 39 = 203 mod 41
m=42: 158 mod 42 = 32 ≠ 35 = 203 mod 42
m=43: 158 mod 43 = 29 ≠ 31 = 203 mod 43
m=44: 158 mod 44 = 26 ≠ 27 = 203 mod 44
m=45: 158 mod 45 = 23 = 23 = 203 mod 45
m=46: 158 mod 46 = 20 ≠ 19 = 203 mod 46
m=47: 158 mod 47 = 17 ≠ 15 = 203 mod 47
m=48: 158 mod 48 = 14 ≠ 11 = 203 mod 48
m=49: 158 mod 49 = 11 ≠ 7 = 203 mod 49
m=50: 158 mod 50 = 8 ≠ 3 = 203 mod 50
m=51: 158 mod 51 = 5 ≠ 50 = 203 mod 51
m=52: 158 mod 52 = 2 ≠ 47 = 203 mod 52
m=53: 158 mod 53 = 52 ≠ 44 = 203 mod 53
m=54: 158 mod 54 = 50 ≠ 41 = 203 mod 54
m=55: 158 mod 55 = 48 ≠ 38 = 203 mod 55
m=56: 158 mod 56 = 46 ≠ 35 = 203 mod 56
m=57: 158 mod 57 = 44 ≠ 32 = 203 mod 57
m=58: 158 mod 58 = 42 ≠ 29 = 203 mod 58
m=59: 158 mod 59 = 40 ≠ 26 = 203 mod 59
m=60: 158 mod 60 = 38 ≠ 23 = 203 mod 60
m=61: 158 mod 61 = 36 ≠ 20 = 203 mod 61
m=62: 158 mod 62 = 34 ≠ 17 = 203 mod 62
m=63: 158 mod 63 = 32 ≠ 14 = 203 mod 63
m=64: 158 mod 64 = 30 ≠ 11 = 203 mod 64
m=65: 158 mod 65 = 28 ≠ 8 = 203 mod 65
m=66: 158 mod 66 = 26 ≠ 5 = 203 mod 66
m=67: 158 mod 67 = 24 ≠ 2 = 203 mod 67
m=68: 158 mod 68 = 22 ≠ 67 = 203 mod 68
m=69: 158 mod 69 = 20 ≠ 65 = 203 mod 69
m=70: 158 mod 70 = 18 ≠ 63 = 203 mod 70
m=71: 158 mod 71 = 16 ≠ 61 = 203 mod 71
m=72: 158 mod 72 = 14 ≠ 59 = 203 mod 72
m=73: 158 mod 73 = 12 ≠ 57 = 203 mod 73
m=74: 158 mod 74 = 10 ≠ 55 = 203 mod 74
m=75: 158 mod 75 = 8 ≠ 53 = 203 mod 75
m=76: 158 mod 76 = 6 ≠ 51 = 203 mod 76
m=77: 158 mod 77 = 4 ≠ 49 = 203 mod 77
m=78: 158 mod 78 = 2 ≠ 47 = 203 mod 78
m=79: 158 mod 79 = 0 ≠ 45 = 203 mod 79
m=80: 158 mod 80 = 78 ≠ 43 = 203 mod 80
m=81: 158 mod 81 = 77 ≠ 41 = 203 mod 81
m=82: 158 mod 82 = 76 ≠ 39 = 203 mod 82
m=83: 158 mod 83 = 75 ≠ 37 = 203 mod 83
m=84: 158 mod 84 = 74 ≠ 35 = 203 mod 84
m=85: 158 mod 85 = 73 ≠ 33 = 203 mod 85
m=86: 158 mod 86 = 72 ≠ 31 = 203 mod 86
m=87: 158 mod 87 = 71 ≠ 29 = 203 mod 87
m=88: 158 mod 88 = 70 ≠ 27 = 203 mod 88
m=89: 158 mod 89 = 69 ≠ 25 = 203 mod 89
m=90: 158 mod 90 = 68 ≠ 23 = 203 mod 90
m=91: 158 mod 91 = 67 ≠ 21 = 203 mod 91
m=92: 158 mod 92 = 66 ≠ 19 = 203 mod 92
m=93: 158 mod 93 = 65 ≠ 17 = 203 mod 93
m=94: 158 mod 94 = 64 ≠ 15 = 203 mod 94
m=95: 158 mod 95 = 63 ≠ 13 = 203 mod 95
m=96: 158 mod 96 = 62 ≠ 11 = 203 mod 96
m=97: 158 mod 97 = 61 ≠ 9 = 203 mod 97
m=98: 158 mod 98 = 60 ≠ 7 = 203 mod 98
m=99: 158 mod 99 = 59 ≠ 5 = 203 mod 99
m=100: 158 mod 100 = 58 ≠ 3 = 203 mod 100
m=101: 158 mod 101 = 57 ≠ 1 = 203 mod 101
m=102: 158 mod 102 = 56 ≠ 101 = 203 mod 102
m=103: 158 mod 103 = 55 ≠ 100 = 203 mod 103
m=104: 158 mod 104 = 54 ≠ 99 = 203 mod 104
m=105: 158 mod 105 = 53 ≠ 98 = 203 mod 105
m=106: 158 mod 106 = 52 ≠ 97 = 203 mod 106
m=107: 158 mod 107 = 51 ≠ 96 = 203 mod 107
m=108: 158 mod 108 = 50 ≠ 95 = 203 mod 108
m=109: 158 mod 109 = 49 ≠ 94 = 203 mod 109
m=110: 158 mod 110 = 48 ≠ 93 = 203 mod 110
m=111: 158 mod 111 = 47 ≠ 92 = 203 mod 111
m=112: 158 mod 112 = 46 ≠ 91 = 203 mod 112
m=113: 158 mod 113 = 45 ≠ 90 = 203 mod 113
m=114: 158 mod 114 = 44 ≠ 89 = 203 mod 114
m=115: 158 mod 115 = 43 ≠ 88 = 203 mod 115
m=116: 158 mod 116 = 42 ≠ 87 = 203 mod 116
m=117: 158 mod 117 = 41 ≠ 86 = 203 mod 117
m=118: 158 mod 118 = 40 ≠ 85 = 203 mod 118
m=119: 158 mod 119 = 39 ≠ 84 = 203 mod 119
m=120: 158 mod 120 = 38 ≠ 83 = 203 mod 120
m=121: 158 mod 121 = 37 ≠ 82 = 203 mod 121
m=122: 158 mod 122 = 36 ≠ 81 = 203 mod 122
m=123: 158 mod 123 = 35 ≠ 80 = 203 mod 123
m=124: 158 mod 124 = 34 ≠ 79 = 203 mod 124
m=125: 158 mod 125 = 33 ≠ 78 = 203 mod 125
m=126: 158 mod 126 = 32 ≠ 77 = 203 mod 126
m=127: 158 mod 127 = 31 ≠ 76 = 203 mod 127
m=128: 158 mod 128 = 30 ≠ 75 = 203 mod 128
m=129: 158 mod 129 = 29 ≠ 74 = 203 mod 129
m=130: 158 mod 130 = 28 ≠ 73 = 203 mod 130
m=131: 158 mod 131 = 27 ≠ 72 = 203 mod 131
m=132: 158 mod 132 = 26 ≠ 71 = 203 mod 132
m=133: 158 mod 133 = 25 ≠ 70 = 203 mod 133
m=134: 158 mod 134 = 24 ≠ 69 = 203 mod 134
m=135: 158 mod 135 = 23 ≠ 68 = 203 mod 135
m=136: 158 mod 136 = 22 ≠ 67 = 203 mod 136
m=137: 158 mod 137 = 21 ≠ 66 = 203 mod 137
m=138: 158 mod 138 = 20 ≠ 65 = 203 mod 138
m=139: 158 mod 139 = 19 ≠ 64 = 203 mod 139
m=140: 158 mod 140 = 18 ≠ 63 = 203 mod 140
m=141: 158 mod 141 = 17 ≠ 62 = 203 mod 141
m=142: 158 mod 142 = 16 ≠ 61 = 203 mod 142
m=143: 158 mod 143 = 15 ≠ 60 = 203 mod 143
m=144: 158 mod 144 = 14 ≠ 59 = 203 mod 144
m=145: 158 mod 145 = 13 ≠ 58 = 203 mod 145
m=146: 158 mod 146 = 12 ≠ 57 = 203 mod 146
m=147: 158 mod 147 = 11 ≠ 56 = 203 mod 147
m=148: 158 mod 148 = 10 ≠ 55 = 203 mod 148
m=149: 158 mod 149 = 9 ≠ 54 = 203 mod 149
m=150: 158 mod 150 = 8 ≠ 53 = 203 mod 150
m=151: 158 mod 151 = 7 ≠ 52 = 203 mod 151
m=152: 158 mod 152 = 6 ≠ 51 = 203 mod 152
m=153: 158 mod 153 = 5 ≠ 50 = 203 mod 153
m=154: 158 mod 154 = 4 ≠ 49 = 203 mod 154
m=155: 158 mod 155 = 3 ≠ 48 = 203 mod 155
m=156: 158 mod 156 = 2 ≠ 47 = 203 mod 156
m=157: 158 mod 157 = 1 ≠ 46 = 203 mod 157
m=158: 158 mod 158 = 0 ≠ 45 = 203 mod 158
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (203 - 158) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
