Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 87 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 87 - 85 = 2.
Somit gilt: 87 mod 5 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 77 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 77 - 72 = 5.
Somit gilt: 77 mod 9 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 45 = 5 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 45 und erhalten so 50.
Somit gilt: 50 ≡ 77 ≡ 5 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3208 - 3192) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3208 - 3192) mod 8 ≡ (3208 mod 8 - 3192 mod 8) mod 8.
3208 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3208
= 3200
3192 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3192
= 3200
Somit gilt:
(3208 - 3192) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 72) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 72) mod 11 ≡ (21 mod 11 ⋅ 72 mod 11) mod 11.
21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.
72 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 66 + 6 = 6 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 72) mod 11 ≡ (10 ⋅ 6) mod 11 ≡ 60 mod 11 ≡ 5 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
57 mod m = 75 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 57 aus, ob zufällig 57 mod m = 75 mod m gilt:
m=2: 57 mod 2 = 1 = 1 = 75 mod 2
m=3: 57 mod 3 = 0 = 0 = 75 mod 3
m=4: 57 mod 4 = 1 ≠ 3 = 75 mod 4
m=5: 57 mod 5 = 2 ≠ 0 = 75 mod 5
m=6: 57 mod 6 = 3 = 3 = 75 mod 6
m=7: 57 mod 7 = 1 ≠ 5 = 75 mod 7
m=8: 57 mod 8 = 1 ≠ 3 = 75 mod 8
m=9: 57 mod 9 = 3 = 3 = 75 mod 9
m=10: 57 mod 10 = 7 ≠ 5 = 75 mod 10
m=11: 57 mod 11 = 2 ≠ 9 = 75 mod 11
m=12: 57 mod 12 = 9 ≠ 3 = 75 mod 12
m=13: 57 mod 13 = 5 ≠ 10 = 75 mod 13
m=14: 57 mod 14 = 1 ≠ 5 = 75 mod 14
m=15: 57 mod 15 = 12 ≠ 0 = 75 mod 15
m=16: 57 mod 16 = 9 ≠ 11 = 75 mod 16
m=17: 57 mod 17 = 6 ≠ 7 = 75 mod 17
m=18: 57 mod 18 = 3 = 3 = 75 mod 18
m=19: 57 mod 19 = 0 ≠ 18 = 75 mod 19
m=20: 57 mod 20 = 17 ≠ 15 = 75 mod 20
m=21: 57 mod 21 = 15 ≠ 12 = 75 mod 21
m=22: 57 mod 22 = 13 ≠ 9 = 75 mod 22
m=23: 57 mod 23 = 11 ≠ 6 = 75 mod 23
m=24: 57 mod 24 = 9 ≠ 3 = 75 mod 24
m=25: 57 mod 25 = 7 ≠ 0 = 75 mod 25
m=26: 57 mod 26 = 5 ≠ 23 = 75 mod 26
m=27: 57 mod 27 = 3 ≠ 21 = 75 mod 27
m=28: 57 mod 28 = 1 ≠ 19 = 75 mod 28
m=29: 57 mod 29 = 28 ≠ 17 = 75 mod 29
m=30: 57 mod 30 = 27 ≠ 15 = 75 mod 30
m=31: 57 mod 31 = 26 ≠ 13 = 75 mod 31
m=32: 57 mod 32 = 25 ≠ 11 = 75 mod 32
m=33: 57 mod 33 = 24 ≠ 9 = 75 mod 33
m=34: 57 mod 34 = 23 ≠ 7 = 75 mod 34
m=35: 57 mod 35 = 22 ≠ 5 = 75 mod 35
m=36: 57 mod 36 = 21 ≠ 3 = 75 mod 36
m=37: 57 mod 37 = 20 ≠ 1 = 75 mod 37
m=38: 57 mod 38 = 19 ≠ 37 = 75 mod 38
m=39: 57 mod 39 = 18 ≠ 36 = 75 mod 39
m=40: 57 mod 40 = 17 ≠ 35 = 75 mod 40
m=41: 57 mod 41 = 16 ≠ 34 = 75 mod 41
m=42: 57 mod 42 = 15 ≠ 33 = 75 mod 42
m=43: 57 mod 43 = 14 ≠ 32 = 75 mod 43
m=44: 57 mod 44 = 13 ≠ 31 = 75 mod 44
m=45: 57 mod 45 = 12 ≠ 30 = 75 mod 45
m=46: 57 mod 46 = 11 ≠ 29 = 75 mod 46
m=47: 57 mod 47 = 10 ≠ 28 = 75 mod 47
m=48: 57 mod 48 = 9 ≠ 27 = 75 mod 48
m=49: 57 mod 49 = 8 ≠ 26 = 75 mod 49
m=50: 57 mod 50 = 7 ≠ 25 = 75 mod 50
m=51: 57 mod 51 = 6 ≠ 24 = 75 mod 51
m=52: 57 mod 52 = 5 ≠ 23 = 75 mod 52
m=53: 57 mod 53 = 4 ≠ 22 = 75 mod 53
m=54: 57 mod 54 = 3 ≠ 21 = 75 mod 54
m=55: 57 mod 55 = 2 ≠ 20 = 75 mod 55
m=56: 57 mod 56 = 1 ≠ 19 = 75 mod 56
m=57: 57 mod 57 = 0 ≠ 18 = 75 mod 57
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (75 - 57) = 18 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6; 9; 18
