Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 24 = 4.

Somit gilt: 28 mod 6 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 20 = 4.

Somit gilt: 24 mod 10 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 4 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 4 mod 10 sein, also addieren wir noch 4 auf die 60 und erhalten so 64.

Somit gilt: 64 ≡ 24 ≡ 4 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 - 33) mod 3 ≡ (30 mod 3 - 33 mod 3) mod 3.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30+3 = 3 ⋅ 10 +3.

Somit gilt:

(30 - 33) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 36) mod 5 ≡ (77 mod 5 ⋅ 36 mod 5) mod 5.

77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.

36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 36) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 160 aus, ob zufällig 160 mod m = 210 mod m gilt:

m=2: 160 mod 2 = 0 = 0 = 210 mod 2

m=3: 160 mod 3 = 1 ≠ 0 = 210 mod 3

m=4: 160 mod 4 = 0 ≠ 2 = 210 mod 4

m=5: 160 mod 5 = 0 = 0 = 210 mod 5

m=6: 160 mod 6 = 4 ≠ 0 = 210 mod 6

m=7: 160 mod 7 = 6 ≠ 0 = 210 mod 7

m=8: 160 mod 8 = 0 ≠ 2 = 210 mod 8

m=9: 160 mod 9 = 7 ≠ 3 = 210 mod 9

m=10: 160 mod 10 = 0 = 0 = 210 mod 10

m=11: 160 mod 11 = 6 ≠ 1 = 210 mod 11

m=12: 160 mod 12 = 4 ≠ 6 = 210 mod 12

m=13: 160 mod 13 = 4 ≠ 2 = 210 mod 13

m=14: 160 mod 14 = 6 ≠ 0 = 210 mod 14

m=15: 160 mod 15 = 10 ≠ 0 = 210 mod 15

m=16: 160 mod 16 = 0 ≠ 2 = 210 mod 16

m=17: 160 mod 17 = 7 ≠ 6 = 210 mod 17

m=18: 160 mod 18 = 16 ≠ 12 = 210 mod 18

m=19: 160 mod 19 = 8 ≠ 1 = 210 mod 19

m=20: 160 mod 20 = 0 ≠ 10 = 210 mod 20

m=21: 160 mod 21 = 13 ≠ 0 = 210 mod 21

m=22: 160 mod 22 = 6 ≠ 12 = 210 mod 22

m=23: 160 mod 23 = 22 ≠ 3 = 210 mod 23

m=24: 160 mod 24 = 16 ≠ 18 = 210 mod 24

m=25: 160 mod 25 = 10 = 10 = 210 mod 25

m=26: 160 mod 26 = 4 ≠ 2 = 210 mod 26

m=27: 160 mod 27 = 25 ≠ 21 = 210 mod 27

m=28: 160 mod 28 = 20 ≠ 14 = 210 mod 28

m=29: 160 mod 29 = 15 ≠ 7 = 210 mod 29

m=30: 160 mod 30 = 10 ≠ 0 = 210 mod 30

m=31: 160 mod 31 = 5 ≠ 24 = 210 mod 31

m=32: 160 mod 32 = 0 ≠ 18 = 210 mod 32

m=33: 160 mod 33 = 28 ≠ 12 = 210 mod 33

m=34: 160 mod 34 = 24 ≠ 6 = 210 mod 34

m=35: 160 mod 35 = 20 ≠ 0 = 210 mod 35

m=36: 160 mod 36 = 16 ≠ 30 = 210 mod 36

m=37: 160 mod 37 = 12 ≠ 25 = 210 mod 37

m=38: 160 mod 38 = 8 ≠ 20 = 210 mod 38

m=39: 160 mod 39 = 4 ≠ 15 = 210 mod 39

m=40: 160 mod 40 = 0 ≠ 10 = 210 mod 40

m=41: 160 mod 41 = 37 ≠ 5 = 210 mod 41

m=42: 160 mod 42 = 34 ≠ 0 = 210 mod 42

m=43: 160 mod 43 = 31 ≠ 38 = 210 mod 43

m=44: 160 mod 44 = 28 ≠ 34 = 210 mod 44

m=45: 160 mod 45 = 25 ≠ 30 = 210 mod 45

m=46: 160 mod 46 = 22 ≠ 26 = 210 mod 46

m=47: 160 mod 47 = 19 ≠ 22 = 210 mod 47

m=48: 160 mod 48 = 16 ≠ 18 = 210 mod 48

m=49: 160 mod 49 = 13 ≠ 14 = 210 mod 49

m=50: 160 mod 50 = 10 = 10 = 210 mod 50

m=51: 160 mod 51 = 7 ≠ 6 = 210 mod 51

m=52: 160 mod 52 = 4 ≠ 2 = 210 mod 52

m=53: 160 mod 53 = 1 ≠ 51 = 210 mod 53

m=54: 160 mod 54 = 52 ≠ 48 = 210 mod 54

m=55: 160 mod 55 = 50 ≠ 45 = 210 mod 55

m=56: 160 mod 56 = 48 ≠ 42 = 210 mod 56

m=57: 160 mod 57 = 46 ≠ 39 = 210 mod 57

m=58: 160 mod 58 = 44 ≠ 36 = 210 mod 58

m=59: 160 mod 59 = 42 ≠ 33 = 210 mod 59

m=60: 160 mod 60 = 40 ≠ 30 = 210 mod 60

m=61: 160 mod 61 = 38 ≠ 27 = 210 mod 61

m=62: 160 mod 62 = 36 ≠ 24 = 210 mod 62

m=63: 160 mod 63 = 34 ≠ 21 = 210 mod 63

m=64: 160 mod 64 = 32 ≠ 18 = 210 mod 64

m=65: 160 mod 65 = 30 ≠ 15 = 210 mod 65

m=66: 160 mod 66 = 28 ≠ 12 = 210 mod 66

m=67: 160 mod 67 = 26 ≠ 9 = 210 mod 67

m=68: 160 mod 68 = 24 ≠ 6 = 210 mod 68

m=69: 160 mod 69 = 22 ≠ 3 = 210 mod 69

m=70: 160 mod 70 = 20 ≠ 0 = 210 mod 70

m=71: 160 mod 71 = 18 ≠ 68 = 210 mod 71

m=72: 160 mod 72 = 16 ≠ 66 = 210 mod 72

m=73: 160 mod 73 = 14 ≠ 64 = 210 mod 73

m=74: 160 mod 74 = 12 ≠ 62 = 210 mod 74

m=75: 160 mod 75 = 10 ≠ 60 = 210 mod 75

m=76: 160 mod 76 = 8 ≠ 58 = 210 mod 76

m=77: 160 mod 77 = 6 ≠ 56 = 210 mod 77

m=78: 160 mod 78 = 4 ≠ 54 = 210 mod 78

m=79: 160 mod 79 = 2 ≠ 52 = 210 mod 79

m=80: 160 mod 80 = 0 ≠ 50 = 210 mod 80

m=81: 160 mod 81 = 79 ≠ 48 = 210 mod 81

m=82: 160 mod 82 = 78 ≠ 46 = 210 mod 82

m=83: 160 mod 83 = 77 ≠ 44 = 210 mod 83

m=84: 160 mod 84 = 76 ≠ 42 = 210 mod 84

m=85: 160 mod 85 = 75 ≠ 40 = 210 mod 85

m=86: 160 mod 86 = 74 ≠ 38 = 210 mod 86

m=87: 160 mod 87 = 73 ≠ 36 = 210 mod 87

m=88: 160 mod 88 = 72 ≠ 34 = 210 mod 88

m=89: 160 mod 89 = 71 ≠ 32 = 210 mod 89

m=90: 160 mod 90 = 70 ≠ 30 = 210 mod 90

m=91: 160 mod 91 = 69 ≠ 28 = 210 mod 91

m=92: 160 mod 92 = 68 ≠ 26 = 210 mod 92

m=93: 160 mod 93 = 67 ≠ 24 = 210 mod 93

m=94: 160 mod 94 = 66 ≠ 22 = 210 mod 94

m=95: 160 mod 95 = 65 ≠ 20 = 210 mod 95

m=96: 160 mod 96 = 64 ≠ 18 = 210 mod 96

m=97: 160 mod 97 = 63 ≠ 16 = 210 mod 97

m=98: 160 mod 98 = 62 ≠ 14 = 210 mod 98

m=99: 160 mod 99 = 61 ≠ 12 = 210 mod 99

m=100: 160 mod 100 = 60 ≠ 10 = 210 mod 100

m=101: 160 mod 101 = 59 ≠ 8 = 210 mod 101

m=102: 160 mod 102 = 58 ≠ 6 = 210 mod 102

m=103: 160 mod 103 = 57 ≠ 4 = 210 mod 103

m=104: 160 mod 104 = 56 ≠ 2 = 210 mod 104

m=105: 160 mod 105 = 55 ≠ 0 = 210 mod 105

m=106: 160 mod 106 = 54 ≠ 104 = 210 mod 106

m=107: 160 mod 107 = 53 ≠ 103 = 210 mod 107

m=108: 160 mod 108 = 52 ≠ 102 = 210 mod 108

m=109: 160 mod 109 = 51 ≠ 101 = 210 mod 109

m=110: 160 mod 110 = 50 ≠ 100 = 210 mod 110

m=111: 160 mod 111 = 49 ≠ 99 = 210 mod 111

m=112: 160 mod 112 = 48 ≠ 98 = 210 mod 112

m=113: 160 mod 113 = 47 ≠ 97 = 210 mod 113

m=114: 160 mod 114 = 46 ≠ 96 = 210 mod 114

m=115: 160 mod 115 = 45 ≠ 95 = 210 mod 115

m=116: 160 mod 116 = 44 ≠ 94 = 210 mod 116

m=117: 160 mod 117 = 43 ≠ 93 = 210 mod 117

m=118: 160 mod 118 = 42 ≠ 92 = 210 mod 118

m=119: 160 mod 119 = 41 ≠ 91 = 210 mod 119

m=120: 160 mod 120 = 40 ≠ 90 = 210 mod 120

m=121: 160 mod 121 = 39 ≠ 89 = 210 mod 121

m=122: 160 mod 122 = 38 ≠ 88 = 210 mod 122

m=123: 160 mod 123 = 37 ≠ 87 = 210 mod 123

m=124: 160 mod 124 = 36 ≠ 86 = 210 mod 124

m=125: 160 mod 125 = 35 ≠ 85 = 210 mod 125

m=126: 160 mod 126 = 34 ≠ 84 = 210 mod 126

m=127: 160 mod 127 = 33 ≠ 83 = 210 mod 127

m=128: 160 mod 128 = 32 ≠ 82 = 210 mod 128

m=129: 160 mod 129 = 31 ≠ 81 = 210 mod 129

m=130: 160 mod 130 = 30 ≠ 80 = 210 mod 130

m=131: 160 mod 131 = 29 ≠ 79 = 210 mod 131

m=132: 160 mod 132 = 28 ≠ 78 = 210 mod 132

m=133: 160 mod 133 = 27 ≠ 77 = 210 mod 133

m=134: 160 mod 134 = 26 ≠ 76 = 210 mod 134

m=135: 160 mod 135 = 25 ≠ 75 = 210 mod 135

m=136: 160 mod 136 = 24 ≠ 74 = 210 mod 136

m=137: 160 mod 137 = 23 ≠ 73 = 210 mod 137

m=138: 160 mod 138 = 22 ≠ 72 = 210 mod 138

m=139: 160 mod 139 = 21 ≠ 71 = 210 mod 139

m=140: 160 mod 140 = 20 ≠ 70 = 210 mod 140

m=141: 160 mod 141 = 19 ≠ 69 = 210 mod 141

m=142: 160 mod 142 = 18 ≠ 68 = 210 mod 142

m=143: 160 mod 143 = 17 ≠ 67 = 210 mod 143

m=144: 160 mod 144 = 16 ≠ 66 = 210 mod 144

m=145: 160 mod 145 = 15 ≠ 65 = 210 mod 145

m=146: 160 mod 146 = 14 ≠ 64 = 210 mod 146

m=147: 160 mod 147 = 13 ≠ 63 = 210 mod 147

m=148: 160 mod 148 = 12 ≠ 62 = 210 mod 148

m=149: 160 mod 149 = 11 ≠ 61 = 210 mod 149

m=150: 160 mod 150 = 10 ≠ 60 = 210 mod 150

m=151: 160 mod 151 = 9 ≠ 59 = 210 mod 151

m=152: 160 mod 152 = 8 ≠ 58 = 210 mod 152

m=153: 160 mod 153 = 7 ≠ 57 = 210 mod 153

m=154: 160 mod 154 = 6 ≠ 56 = 210 mod 154

m=155: 160 mod 155 = 5 ≠ 55 = 210 mod 155

m=156: 160 mod 156 = 4 ≠ 54 = 210 mod 156

m=157: 160 mod 157 = 3 ≠ 53 = 210 mod 157

m=158: 160 mod 158 = 2 ≠ 52 = 210 mod 158

m=159: 160 mod 159 = 1 ≠ 51 = 210 mod 159

m=160: 160 mod 160 = 0 ≠ 50 = 210 mod 160

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (210 - 160) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50