Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 32 = 2.

Somit gilt: 34 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 63 = 8.

Somit gilt: 71 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 72 = 8 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 72 und erhalten so 80.

Somit gilt: 80 ≡ 71 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1497 + 153) mod 5 ≡ (1497 mod 5 + 153 mod 5) mod 5.

1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1400+97 = 5 ⋅ 280 +97.

153 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153 = 150+3 = 5 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(1497 + 153) mod 5 ≡ (2 + 3) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 25) mod 3 ≡ (87 mod 3 ⋅ 25 mod 3) mod 3.

87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 87 + 0 = 29 ⋅ 3 + 0 ist.

25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 25) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 34 aus, ob zufällig 34 mod m = 49 mod m gilt:

m=2: 34 mod 2 = 0 ≠ 1 = 49 mod 2

m=3: 34 mod 3 = 1 = 1 = 49 mod 3

m=4: 34 mod 4 = 2 ≠ 1 = 49 mod 4

m=5: 34 mod 5 = 4 = 4 = 49 mod 5

m=6: 34 mod 6 = 4 ≠ 1 = 49 mod 6

m=7: 34 mod 7 = 6 ≠ 0 = 49 mod 7

m=8: 34 mod 8 = 2 ≠ 1 = 49 mod 8

m=9: 34 mod 9 = 7 ≠ 4 = 49 mod 9

m=10: 34 mod 10 = 4 ≠ 9 = 49 mod 10

m=11: 34 mod 11 = 1 ≠ 5 = 49 mod 11

m=12: 34 mod 12 = 10 ≠ 1 = 49 mod 12

m=13: 34 mod 13 = 8 ≠ 10 = 49 mod 13

m=14: 34 mod 14 = 6 ≠ 7 = 49 mod 14

m=15: 34 mod 15 = 4 = 4 = 49 mod 15

m=16: 34 mod 16 = 2 ≠ 1 = 49 mod 16

m=17: 34 mod 17 = 0 ≠ 15 = 49 mod 17

m=18: 34 mod 18 = 16 ≠ 13 = 49 mod 18

m=19: 34 mod 19 = 15 ≠ 11 = 49 mod 19

m=20: 34 mod 20 = 14 ≠ 9 = 49 mod 20

m=21: 34 mod 21 = 13 ≠ 7 = 49 mod 21

m=22: 34 mod 22 = 12 ≠ 5 = 49 mod 22

m=23: 34 mod 23 = 11 ≠ 3 = 49 mod 23

m=24: 34 mod 24 = 10 ≠ 1 = 49 mod 24

m=25: 34 mod 25 = 9 ≠ 24 = 49 mod 25

m=26: 34 mod 26 = 8 ≠ 23 = 49 mod 26

m=27: 34 mod 27 = 7 ≠ 22 = 49 mod 27

m=28: 34 mod 28 = 6 ≠ 21 = 49 mod 28

m=29: 34 mod 29 = 5 ≠ 20 = 49 mod 29

m=30: 34 mod 30 = 4 ≠ 19 = 49 mod 30

m=31: 34 mod 31 = 3 ≠ 18 = 49 mod 31

m=32: 34 mod 32 = 2 ≠ 17 = 49 mod 32

m=33: 34 mod 33 = 1 ≠ 16 = 49 mod 33

m=34: 34 mod 34 = 0 ≠ 15 = 49 mod 34

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (49 - 34) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15