Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 10, weil ja 1 ⋅ 10 = 10 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 10 = 9.

Somit gilt: 19 mod 10 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.

Somit gilt: 68 mod 7 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 5 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 50, z.B. 49 = 7 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 5 mod 7 sein, also addieren wir noch 5 auf die 49 und erhalten so 54.

Somit gilt: 54 ≡ 68 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16000 - 120) mod 4 ≡ (16000 mod 4 - 120 mod 4) mod 4.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(16000 - 120) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 53) mod 11 ≡ (47 mod 11 ⋅ 53 mod 11) mod 11.

47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.

53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 53) mod 11 ≡ (3 ⋅ 9) mod 11 ≡ 27 mod 11 ≡ 5 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 132 aus, ob zufällig 132 mod m = 177 mod m gilt:

m=2: 132 mod 2 = 0 ≠ 1 = 177 mod 2

m=3: 132 mod 3 = 0 = 0 = 177 mod 3

m=4: 132 mod 4 = 0 ≠ 1 = 177 mod 4

m=5: 132 mod 5 = 2 = 2 = 177 mod 5

m=6: 132 mod 6 = 0 ≠ 3 = 177 mod 6

m=7: 132 mod 7 = 6 ≠ 2 = 177 mod 7

m=8: 132 mod 8 = 4 ≠ 1 = 177 mod 8

m=9: 132 mod 9 = 6 = 6 = 177 mod 9

m=10: 132 mod 10 = 2 ≠ 7 = 177 mod 10

m=11: 132 mod 11 = 0 ≠ 1 = 177 mod 11

m=12: 132 mod 12 = 0 ≠ 9 = 177 mod 12

m=13: 132 mod 13 = 2 ≠ 8 = 177 mod 13

m=14: 132 mod 14 = 6 ≠ 9 = 177 mod 14

m=15: 132 mod 15 = 12 = 12 = 177 mod 15

m=16: 132 mod 16 = 4 ≠ 1 = 177 mod 16

m=17: 132 mod 17 = 13 ≠ 7 = 177 mod 17

m=18: 132 mod 18 = 6 ≠ 15 = 177 mod 18

m=19: 132 mod 19 = 18 ≠ 6 = 177 mod 19

m=20: 132 mod 20 = 12 ≠ 17 = 177 mod 20

m=21: 132 mod 21 = 6 ≠ 9 = 177 mod 21

m=22: 132 mod 22 = 0 ≠ 1 = 177 mod 22

m=23: 132 mod 23 = 17 ≠ 16 = 177 mod 23

m=24: 132 mod 24 = 12 ≠ 9 = 177 mod 24

m=25: 132 mod 25 = 7 ≠ 2 = 177 mod 25

m=26: 132 mod 26 = 2 ≠ 21 = 177 mod 26

m=27: 132 mod 27 = 24 ≠ 15 = 177 mod 27

m=28: 132 mod 28 = 20 ≠ 9 = 177 mod 28

m=29: 132 mod 29 = 16 ≠ 3 = 177 mod 29

m=30: 132 mod 30 = 12 ≠ 27 = 177 mod 30

m=31: 132 mod 31 = 8 ≠ 22 = 177 mod 31

m=32: 132 mod 32 = 4 ≠ 17 = 177 mod 32

m=33: 132 mod 33 = 0 ≠ 12 = 177 mod 33

m=34: 132 mod 34 = 30 ≠ 7 = 177 mod 34

m=35: 132 mod 35 = 27 ≠ 2 = 177 mod 35

m=36: 132 mod 36 = 24 ≠ 33 = 177 mod 36

m=37: 132 mod 37 = 21 ≠ 29 = 177 mod 37

m=38: 132 mod 38 = 18 ≠ 25 = 177 mod 38

m=39: 132 mod 39 = 15 ≠ 21 = 177 mod 39

m=40: 132 mod 40 = 12 ≠ 17 = 177 mod 40

m=41: 132 mod 41 = 9 ≠ 13 = 177 mod 41

m=42: 132 mod 42 = 6 ≠ 9 = 177 mod 42

m=43: 132 mod 43 = 3 ≠ 5 = 177 mod 43

m=44: 132 mod 44 = 0 ≠ 1 = 177 mod 44

m=45: 132 mod 45 = 42 = 42 = 177 mod 45

m=46: 132 mod 46 = 40 ≠ 39 = 177 mod 46

m=47: 132 mod 47 = 38 ≠ 36 = 177 mod 47

m=48: 132 mod 48 = 36 ≠ 33 = 177 mod 48

m=49: 132 mod 49 = 34 ≠ 30 = 177 mod 49

m=50: 132 mod 50 = 32 ≠ 27 = 177 mod 50

m=51: 132 mod 51 = 30 ≠ 24 = 177 mod 51

m=52: 132 mod 52 = 28 ≠ 21 = 177 mod 52

m=53: 132 mod 53 = 26 ≠ 18 = 177 mod 53

m=54: 132 mod 54 = 24 ≠ 15 = 177 mod 54

m=55: 132 mod 55 = 22 ≠ 12 = 177 mod 55

m=56: 132 mod 56 = 20 ≠ 9 = 177 mod 56

m=57: 132 mod 57 = 18 ≠ 6 = 177 mod 57

m=58: 132 mod 58 = 16 ≠ 3 = 177 mod 58

m=59: 132 mod 59 = 14 ≠ 0 = 177 mod 59

m=60: 132 mod 60 = 12 ≠ 57 = 177 mod 60

m=61: 132 mod 61 = 10 ≠ 55 = 177 mod 61

m=62: 132 mod 62 = 8 ≠ 53 = 177 mod 62

m=63: 132 mod 63 = 6 ≠ 51 = 177 mod 63

m=64: 132 mod 64 = 4 ≠ 49 = 177 mod 64

m=65: 132 mod 65 = 2 ≠ 47 = 177 mod 65

m=66: 132 mod 66 = 0 ≠ 45 = 177 mod 66

m=67: 132 mod 67 = 65 ≠ 43 = 177 mod 67

m=68: 132 mod 68 = 64 ≠ 41 = 177 mod 68

m=69: 132 mod 69 = 63 ≠ 39 = 177 mod 69

m=70: 132 mod 70 = 62 ≠ 37 = 177 mod 70

m=71: 132 mod 71 = 61 ≠ 35 = 177 mod 71

m=72: 132 mod 72 = 60 ≠ 33 = 177 mod 72

m=73: 132 mod 73 = 59 ≠ 31 = 177 mod 73

m=74: 132 mod 74 = 58 ≠ 29 = 177 mod 74

m=75: 132 mod 75 = 57 ≠ 27 = 177 mod 75

m=76: 132 mod 76 = 56 ≠ 25 = 177 mod 76

m=77: 132 mod 77 = 55 ≠ 23 = 177 mod 77

m=78: 132 mod 78 = 54 ≠ 21 = 177 mod 78

m=79: 132 mod 79 = 53 ≠ 19 = 177 mod 79

m=80: 132 mod 80 = 52 ≠ 17 = 177 mod 80

m=81: 132 mod 81 = 51 ≠ 15 = 177 mod 81

m=82: 132 mod 82 = 50 ≠ 13 = 177 mod 82

m=83: 132 mod 83 = 49 ≠ 11 = 177 mod 83

m=84: 132 mod 84 = 48 ≠ 9 = 177 mod 84

m=85: 132 mod 85 = 47 ≠ 7 = 177 mod 85

m=86: 132 mod 86 = 46 ≠ 5 = 177 mod 86

m=87: 132 mod 87 = 45 ≠ 3 = 177 mod 87

m=88: 132 mod 88 = 44 ≠ 1 = 177 mod 88

m=89: 132 mod 89 = 43 ≠ 88 = 177 mod 89

m=90: 132 mod 90 = 42 ≠ 87 = 177 mod 90

m=91: 132 mod 91 = 41 ≠ 86 = 177 mod 91

m=92: 132 mod 92 = 40 ≠ 85 = 177 mod 92

m=93: 132 mod 93 = 39 ≠ 84 = 177 mod 93

m=94: 132 mod 94 = 38 ≠ 83 = 177 mod 94

m=95: 132 mod 95 = 37 ≠ 82 = 177 mod 95

m=96: 132 mod 96 = 36 ≠ 81 = 177 mod 96

m=97: 132 mod 97 = 35 ≠ 80 = 177 mod 97

m=98: 132 mod 98 = 34 ≠ 79 = 177 mod 98

m=99: 132 mod 99 = 33 ≠ 78 = 177 mod 99

m=100: 132 mod 100 = 32 ≠ 77 = 177 mod 100

m=101: 132 mod 101 = 31 ≠ 76 = 177 mod 101

m=102: 132 mod 102 = 30 ≠ 75 = 177 mod 102

m=103: 132 mod 103 = 29 ≠ 74 = 177 mod 103

m=104: 132 mod 104 = 28 ≠ 73 = 177 mod 104

m=105: 132 mod 105 = 27 ≠ 72 = 177 mod 105

m=106: 132 mod 106 = 26 ≠ 71 = 177 mod 106

m=107: 132 mod 107 = 25 ≠ 70 = 177 mod 107

m=108: 132 mod 108 = 24 ≠ 69 = 177 mod 108

m=109: 132 mod 109 = 23 ≠ 68 = 177 mod 109

m=110: 132 mod 110 = 22 ≠ 67 = 177 mod 110

m=111: 132 mod 111 = 21 ≠ 66 = 177 mod 111

m=112: 132 mod 112 = 20 ≠ 65 = 177 mod 112

m=113: 132 mod 113 = 19 ≠ 64 = 177 mod 113

m=114: 132 mod 114 = 18 ≠ 63 = 177 mod 114

m=115: 132 mod 115 = 17 ≠ 62 = 177 mod 115

m=116: 132 mod 116 = 16 ≠ 61 = 177 mod 116

m=117: 132 mod 117 = 15 ≠ 60 = 177 mod 117

m=118: 132 mod 118 = 14 ≠ 59 = 177 mod 118

m=119: 132 mod 119 = 13 ≠ 58 = 177 mod 119

m=120: 132 mod 120 = 12 ≠ 57 = 177 mod 120

m=121: 132 mod 121 = 11 ≠ 56 = 177 mod 121

m=122: 132 mod 122 = 10 ≠ 55 = 177 mod 122

m=123: 132 mod 123 = 9 ≠ 54 = 177 mod 123

m=124: 132 mod 124 = 8 ≠ 53 = 177 mod 124

m=125: 132 mod 125 = 7 ≠ 52 = 177 mod 125

m=126: 132 mod 126 = 6 ≠ 51 = 177 mod 126

m=127: 132 mod 127 = 5 ≠ 50 = 177 mod 127

m=128: 132 mod 128 = 4 ≠ 49 = 177 mod 128

m=129: 132 mod 129 = 3 ≠ 48 = 177 mod 129

m=130: 132 mod 130 = 2 ≠ 47 = 177 mod 130

m=131: 132 mod 131 = 1 ≠ 46 = 177 mod 131

m=132: 132 mod 132 = 0 ≠ 45 = 177 mod 132

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (177 - 132) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45