Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 60 = 5.

Somit gilt: 65 mod 10 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 49 = 4.

Somit gilt: 53 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 6 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 42 und erhalten so 46.

Somit gilt: 46 ≡ 53 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13993 - 282) mod 7 ≡ (13993 mod 7 - 282 mod 7) mod 7.

13993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13993 = 14000-7 = 7 ⋅ 2000 -7 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 0.

282 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 282 = 280+2 = 7 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(13993 - 282) mod 7 ≡ (0 - 2) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 61) mod 7 ≡ (41 mod 7 ⋅ 61 mod 7) mod 7.

41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.

61 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 8 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 61) mod 7 ≡ (6 ⋅ 5) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 166 aus, ob zufällig 166 mod m = 241 mod m gilt:

m=2: 166 mod 2 = 0 ≠ 1 = 241 mod 2

m=3: 166 mod 3 = 1 = 1 = 241 mod 3

m=4: 166 mod 4 = 2 ≠ 1 = 241 mod 4

m=5: 166 mod 5 = 1 = 1 = 241 mod 5

m=6: 166 mod 6 = 4 ≠ 1 = 241 mod 6

m=7: 166 mod 7 = 5 ≠ 3 = 241 mod 7

m=8: 166 mod 8 = 6 ≠ 1 = 241 mod 8

m=9: 166 mod 9 = 4 ≠ 7 = 241 mod 9

m=10: 166 mod 10 = 6 ≠ 1 = 241 mod 10

m=11: 166 mod 11 = 1 ≠ 10 = 241 mod 11

m=12: 166 mod 12 = 10 ≠ 1 = 241 mod 12

m=13: 166 mod 13 = 10 ≠ 7 = 241 mod 13

m=14: 166 mod 14 = 12 ≠ 3 = 241 mod 14

m=15: 166 mod 15 = 1 = 1 = 241 mod 15

m=16: 166 mod 16 = 6 ≠ 1 = 241 mod 16

m=17: 166 mod 17 = 13 ≠ 3 = 241 mod 17

m=18: 166 mod 18 = 4 ≠ 7 = 241 mod 18

m=19: 166 mod 19 = 14 ≠ 13 = 241 mod 19

m=20: 166 mod 20 = 6 ≠ 1 = 241 mod 20

m=21: 166 mod 21 = 19 ≠ 10 = 241 mod 21

m=22: 166 mod 22 = 12 ≠ 21 = 241 mod 22

m=23: 166 mod 23 = 5 ≠ 11 = 241 mod 23

m=24: 166 mod 24 = 22 ≠ 1 = 241 mod 24

m=25: 166 mod 25 = 16 = 16 = 241 mod 25

m=26: 166 mod 26 = 10 ≠ 7 = 241 mod 26

m=27: 166 mod 27 = 4 ≠ 25 = 241 mod 27

m=28: 166 mod 28 = 26 ≠ 17 = 241 mod 28

m=29: 166 mod 29 = 21 ≠ 9 = 241 mod 29

m=30: 166 mod 30 = 16 ≠ 1 = 241 mod 30

m=31: 166 mod 31 = 11 ≠ 24 = 241 mod 31

m=32: 166 mod 32 = 6 ≠ 17 = 241 mod 32

m=33: 166 mod 33 = 1 ≠ 10 = 241 mod 33

m=34: 166 mod 34 = 30 ≠ 3 = 241 mod 34

m=35: 166 mod 35 = 26 ≠ 31 = 241 mod 35

m=36: 166 mod 36 = 22 ≠ 25 = 241 mod 36

m=37: 166 mod 37 = 18 ≠ 19 = 241 mod 37

m=38: 166 mod 38 = 14 ≠ 13 = 241 mod 38

m=39: 166 mod 39 = 10 ≠ 7 = 241 mod 39

m=40: 166 mod 40 = 6 ≠ 1 = 241 mod 40

m=41: 166 mod 41 = 2 ≠ 36 = 241 mod 41

m=42: 166 mod 42 = 40 ≠ 31 = 241 mod 42

m=43: 166 mod 43 = 37 ≠ 26 = 241 mod 43

m=44: 166 mod 44 = 34 ≠ 21 = 241 mod 44

m=45: 166 mod 45 = 31 ≠ 16 = 241 mod 45

m=46: 166 mod 46 = 28 ≠ 11 = 241 mod 46

m=47: 166 mod 47 = 25 ≠ 6 = 241 mod 47

m=48: 166 mod 48 = 22 ≠ 1 = 241 mod 48

m=49: 166 mod 49 = 19 ≠ 45 = 241 mod 49

m=50: 166 mod 50 = 16 ≠ 41 = 241 mod 50

m=51: 166 mod 51 = 13 ≠ 37 = 241 mod 51

m=52: 166 mod 52 = 10 ≠ 33 = 241 mod 52

m=53: 166 mod 53 = 7 ≠ 29 = 241 mod 53

m=54: 166 mod 54 = 4 ≠ 25 = 241 mod 54

m=55: 166 mod 55 = 1 ≠ 21 = 241 mod 55

m=56: 166 mod 56 = 54 ≠ 17 = 241 mod 56

m=57: 166 mod 57 = 52 ≠ 13 = 241 mod 57

m=58: 166 mod 58 = 50 ≠ 9 = 241 mod 58

m=59: 166 mod 59 = 48 ≠ 5 = 241 mod 59

m=60: 166 mod 60 = 46 ≠ 1 = 241 mod 60

m=61: 166 mod 61 = 44 ≠ 58 = 241 mod 61

m=62: 166 mod 62 = 42 ≠ 55 = 241 mod 62

m=63: 166 mod 63 = 40 ≠ 52 = 241 mod 63

m=64: 166 mod 64 = 38 ≠ 49 = 241 mod 64

m=65: 166 mod 65 = 36 ≠ 46 = 241 mod 65

m=66: 166 mod 66 = 34 ≠ 43 = 241 mod 66

m=67: 166 mod 67 = 32 ≠ 40 = 241 mod 67

m=68: 166 mod 68 = 30 ≠ 37 = 241 mod 68

m=69: 166 mod 69 = 28 ≠ 34 = 241 mod 69

m=70: 166 mod 70 = 26 ≠ 31 = 241 mod 70

m=71: 166 mod 71 = 24 ≠ 28 = 241 mod 71

m=72: 166 mod 72 = 22 ≠ 25 = 241 mod 72

m=73: 166 mod 73 = 20 ≠ 22 = 241 mod 73

m=74: 166 mod 74 = 18 ≠ 19 = 241 mod 74

m=75: 166 mod 75 = 16 = 16 = 241 mod 75

m=76: 166 mod 76 = 14 ≠ 13 = 241 mod 76

m=77: 166 mod 77 = 12 ≠ 10 = 241 mod 77

m=78: 166 mod 78 = 10 ≠ 7 = 241 mod 78

m=79: 166 mod 79 = 8 ≠ 4 = 241 mod 79

m=80: 166 mod 80 = 6 ≠ 1 = 241 mod 80

m=81: 166 mod 81 = 4 ≠ 79 = 241 mod 81

m=82: 166 mod 82 = 2 ≠ 77 = 241 mod 82

m=83: 166 mod 83 = 0 ≠ 75 = 241 mod 83

m=84: 166 mod 84 = 82 ≠ 73 = 241 mod 84

m=85: 166 mod 85 = 81 ≠ 71 = 241 mod 85

m=86: 166 mod 86 = 80 ≠ 69 = 241 mod 86

m=87: 166 mod 87 = 79 ≠ 67 = 241 mod 87

m=88: 166 mod 88 = 78 ≠ 65 = 241 mod 88

m=89: 166 mod 89 = 77 ≠ 63 = 241 mod 89

m=90: 166 mod 90 = 76 ≠ 61 = 241 mod 90

m=91: 166 mod 91 = 75 ≠ 59 = 241 mod 91

m=92: 166 mod 92 = 74 ≠ 57 = 241 mod 92

m=93: 166 mod 93 = 73 ≠ 55 = 241 mod 93

m=94: 166 mod 94 = 72 ≠ 53 = 241 mod 94

m=95: 166 mod 95 = 71 ≠ 51 = 241 mod 95

m=96: 166 mod 96 = 70 ≠ 49 = 241 mod 96

m=97: 166 mod 97 = 69 ≠ 47 = 241 mod 97

m=98: 166 mod 98 = 68 ≠ 45 = 241 mod 98

m=99: 166 mod 99 = 67 ≠ 43 = 241 mod 99

m=100: 166 mod 100 = 66 ≠ 41 = 241 mod 100

m=101: 166 mod 101 = 65 ≠ 39 = 241 mod 101

m=102: 166 mod 102 = 64 ≠ 37 = 241 mod 102

m=103: 166 mod 103 = 63 ≠ 35 = 241 mod 103

m=104: 166 mod 104 = 62 ≠ 33 = 241 mod 104

m=105: 166 mod 105 = 61 ≠ 31 = 241 mod 105

m=106: 166 mod 106 = 60 ≠ 29 = 241 mod 106

m=107: 166 mod 107 = 59 ≠ 27 = 241 mod 107

m=108: 166 mod 108 = 58 ≠ 25 = 241 mod 108

m=109: 166 mod 109 = 57 ≠ 23 = 241 mod 109

m=110: 166 mod 110 = 56 ≠ 21 = 241 mod 110

m=111: 166 mod 111 = 55 ≠ 19 = 241 mod 111

m=112: 166 mod 112 = 54 ≠ 17 = 241 mod 112

m=113: 166 mod 113 = 53 ≠ 15 = 241 mod 113

m=114: 166 mod 114 = 52 ≠ 13 = 241 mod 114

m=115: 166 mod 115 = 51 ≠ 11 = 241 mod 115

m=116: 166 mod 116 = 50 ≠ 9 = 241 mod 116

m=117: 166 mod 117 = 49 ≠ 7 = 241 mod 117

m=118: 166 mod 118 = 48 ≠ 5 = 241 mod 118

m=119: 166 mod 119 = 47 ≠ 3 = 241 mod 119

m=120: 166 mod 120 = 46 ≠ 1 = 241 mod 120

m=121: 166 mod 121 = 45 ≠ 120 = 241 mod 121

m=122: 166 mod 122 = 44 ≠ 119 = 241 mod 122

m=123: 166 mod 123 = 43 ≠ 118 = 241 mod 123

m=124: 166 mod 124 = 42 ≠ 117 = 241 mod 124

m=125: 166 mod 125 = 41 ≠ 116 = 241 mod 125

m=126: 166 mod 126 = 40 ≠ 115 = 241 mod 126

m=127: 166 mod 127 = 39 ≠ 114 = 241 mod 127

m=128: 166 mod 128 = 38 ≠ 113 = 241 mod 128

m=129: 166 mod 129 = 37 ≠ 112 = 241 mod 129

m=130: 166 mod 130 = 36 ≠ 111 = 241 mod 130

m=131: 166 mod 131 = 35 ≠ 110 = 241 mod 131

m=132: 166 mod 132 = 34 ≠ 109 = 241 mod 132

m=133: 166 mod 133 = 33 ≠ 108 = 241 mod 133

m=134: 166 mod 134 = 32 ≠ 107 = 241 mod 134

m=135: 166 mod 135 = 31 ≠ 106 = 241 mod 135

m=136: 166 mod 136 = 30 ≠ 105 = 241 mod 136

m=137: 166 mod 137 = 29 ≠ 104 = 241 mod 137

m=138: 166 mod 138 = 28 ≠ 103 = 241 mod 138

m=139: 166 mod 139 = 27 ≠ 102 = 241 mod 139

m=140: 166 mod 140 = 26 ≠ 101 = 241 mod 140

m=141: 166 mod 141 = 25 ≠ 100 = 241 mod 141

m=142: 166 mod 142 = 24 ≠ 99 = 241 mod 142

m=143: 166 mod 143 = 23 ≠ 98 = 241 mod 143

m=144: 166 mod 144 = 22 ≠ 97 = 241 mod 144

m=145: 166 mod 145 = 21 ≠ 96 = 241 mod 145

m=146: 166 mod 146 = 20 ≠ 95 = 241 mod 146

m=147: 166 mod 147 = 19 ≠ 94 = 241 mod 147

m=148: 166 mod 148 = 18 ≠ 93 = 241 mod 148

m=149: 166 mod 149 = 17 ≠ 92 = 241 mod 149

m=150: 166 mod 150 = 16 ≠ 91 = 241 mod 150

m=151: 166 mod 151 = 15 ≠ 90 = 241 mod 151

m=152: 166 mod 152 = 14 ≠ 89 = 241 mod 152

m=153: 166 mod 153 = 13 ≠ 88 = 241 mod 153

m=154: 166 mod 154 = 12 ≠ 87 = 241 mod 154

m=155: 166 mod 155 = 11 ≠ 86 = 241 mod 155

m=156: 166 mod 156 = 10 ≠ 85 = 241 mod 156

m=157: 166 mod 157 = 9 ≠ 84 = 241 mod 157

m=158: 166 mod 158 = 8 ≠ 83 = 241 mod 158

m=159: 166 mod 159 = 7 ≠ 82 = 241 mod 159

m=160: 166 mod 160 = 6 ≠ 81 = 241 mod 160

m=161: 166 mod 161 = 5 ≠ 80 = 241 mod 161

m=162: 166 mod 162 = 4 ≠ 79 = 241 mod 162

m=163: 166 mod 163 = 3 ≠ 78 = 241 mod 163

m=164: 166 mod 164 = 2 ≠ 77 = 241 mod 164

m=165: 166 mod 165 = 1 ≠ 76 = 241 mod 165

m=166: 166 mod 166 = 0 ≠ 75 = 241 mod 166

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (241 - 166) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75