Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 62 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.
Somit gilt: 62 mod 10 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 78 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 78 - 72 = 6.
Somit gilt: 78 mod 8 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 40 und erhalten so 46.
Somit gilt: 46 ≡ 78 ≡ 6 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (798 - 3992) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(798 - 3992) mod 8 ≡ (798 mod 8 - 3992 mod 8) mod 8.
798 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798
= 800
3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992
= 4000
Somit gilt:
(798 - 3992) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 66) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 66) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 66 mod 3) mod 3.
42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 66) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 25 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 25 mod m gilt:
m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2
m=3: 17 mod 3 = 2 ≠ 1 = 25 mod 3
m=4: 17 mod 4 = 1 = 1 = 25 mod 4
m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 0 = 25 mod 5
m=6: 17 mod 6 = 5 ≠ 1 = 25 mod 6
m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 4 = 25 mod 7
m=8: 17 mod 8 = 1 = 1 = 25 mod 8
m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 7 = 25 mod 9
m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 5 = 25 mod 10
m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 3 = 25 mod 11
m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 1 = 25 mod 12
m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 12 = 25 mod 13
m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 11 = 25 mod 14
m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 10 = 25 mod 15
m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 9 = 25 mod 16
m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 8 = 25 mod 17
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 17) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
