Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 62 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.
Somit gilt: 62 mod 5 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 40 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 40 - 40 = 0.
Somit gilt: 40 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5
Somit gilt: 70 ≡ 40 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (399 + 156) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(399 + 156) mod 8 ≡ (399 mod 8 + 156 mod 8) mod 8.
399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399
= 400
156 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
Somit gilt:
(399 + 156) mod 8 ≡ (7 + 4) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 92) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 92) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 92 mod 10) mod 10.
33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.
92 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 9 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 92) mod 10 ≡ (3 ⋅ 2) mod 10 ≡ 6 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
