Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 25 = 2.

Somit gilt: 27 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.

Somit gilt: 68 mod 9 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 45 = 5 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 45 und erhalten so 50.

Somit gilt: 50 ≡ 68 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(254 - 1498) mod 5 ≡ (254 mod 5 - 1498 mod 5) mod 5.

254 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 254 = 250+4 = 5 ⋅ 50 +4.

1498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1400+98 = 5 ⋅ 280 +98.

Somit gilt:

(254 - 1498) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 45) mod 8 ≡ (39 mod 8 ⋅ 45 mod 8) mod 8.

39 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 32 + 7 = 4 ⋅ 8 + 7 ist.

45 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 5 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 45) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 34 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 1 = 34 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 2 = 34 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 = 4 = 34 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 2 = 34 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 7 = 34 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 = 4 = 34 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 10 = 34 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 24) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10