Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 64 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 64 - 60 = 4.
Somit gilt: 64 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 60 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.
Somit gilt: 60 mod 4 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4
Somit gilt: 40 ≡ 60 ≡ 0 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1197 + 1205) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1197 + 1205) mod 6 ≡ (1197 mod 6 + 1205 mod 6) mod 6.
1197 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1200
1205 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1205
= 1200
Somit gilt:
(1197 + 1205) mod 6 ≡ (3 + 5) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 18) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 18) mod 7 ≡ (99 mod 7 ⋅ 18 mod 7) mod 7.
99 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 98 + 1 = 14 ⋅ 7 + 1 ist.
18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 18) mod 7 ≡ (1 ⋅ 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
285 mod m = 360 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 285 aus, ob zufällig 285 mod m = 360 mod m gilt:
m=2: 285 mod 2 = 1 ≠ 0 = 360 mod 2
m=3: 285 mod 3 = 0 = 0 = 360 mod 3
m=4: 285 mod 4 = 1 ≠ 0 = 360 mod 4
m=5: 285 mod 5 = 0 = 0 = 360 mod 5
m=6: 285 mod 6 = 3 ≠ 0 = 360 mod 6
m=7: 285 mod 7 = 5 ≠ 3 = 360 mod 7
m=8: 285 mod 8 = 5 ≠ 0 = 360 mod 8
m=9: 285 mod 9 = 6 ≠ 0 = 360 mod 9
m=10: 285 mod 10 = 5 ≠ 0 = 360 mod 10
m=11: 285 mod 11 = 10 ≠ 8 = 360 mod 11
m=12: 285 mod 12 = 9 ≠ 0 = 360 mod 12
m=13: 285 mod 13 = 12 ≠ 9 = 360 mod 13
m=14: 285 mod 14 = 5 ≠ 10 = 360 mod 14
m=15: 285 mod 15 = 0 = 0 = 360 mod 15
m=16: 285 mod 16 = 13 ≠ 8 = 360 mod 16
m=17: 285 mod 17 = 13 ≠ 3 = 360 mod 17
m=18: 285 mod 18 = 15 ≠ 0 = 360 mod 18
m=19: 285 mod 19 = 0 ≠ 18 = 360 mod 19
m=20: 285 mod 20 = 5 ≠ 0 = 360 mod 20
m=21: 285 mod 21 = 12 ≠ 3 = 360 mod 21
m=22: 285 mod 22 = 21 ≠ 8 = 360 mod 22
m=23: 285 mod 23 = 9 ≠ 15 = 360 mod 23
m=24: 285 mod 24 = 21 ≠ 0 = 360 mod 24
m=25: 285 mod 25 = 10 = 10 = 360 mod 25
m=26: 285 mod 26 = 25 ≠ 22 = 360 mod 26
m=27: 285 mod 27 = 15 ≠ 9 = 360 mod 27
m=28: 285 mod 28 = 5 ≠ 24 = 360 mod 28
m=29: 285 mod 29 = 24 ≠ 12 = 360 mod 29
m=30: 285 mod 30 = 15 ≠ 0 = 360 mod 30
m=31: 285 mod 31 = 6 ≠ 19 = 360 mod 31
m=32: 285 mod 32 = 29 ≠ 8 = 360 mod 32
m=33: 285 mod 33 = 21 ≠ 30 = 360 mod 33
m=34: 285 mod 34 = 13 ≠ 20 = 360 mod 34
m=35: 285 mod 35 = 5 ≠ 10 = 360 mod 35
m=36: 285 mod 36 = 33 ≠ 0 = 360 mod 36
m=37: 285 mod 37 = 26 ≠ 27 = 360 mod 37
m=38: 285 mod 38 = 19 ≠ 18 = 360 mod 38
m=39: 285 mod 39 = 12 ≠ 9 = 360 mod 39
m=40: 285 mod 40 = 5 ≠ 0 = 360 mod 40
m=41: 285 mod 41 = 39 ≠ 32 = 360 mod 41
m=42: 285 mod 42 = 33 ≠ 24 = 360 mod 42
m=43: 285 mod 43 = 27 ≠ 16 = 360 mod 43
m=44: 285 mod 44 = 21 ≠ 8 = 360 mod 44
m=45: 285 mod 45 = 15 ≠ 0 = 360 mod 45
m=46: 285 mod 46 = 9 ≠ 38 = 360 mod 46
m=47: 285 mod 47 = 3 ≠ 31 = 360 mod 47
m=48: 285 mod 48 = 45 ≠ 24 = 360 mod 48
m=49: 285 mod 49 = 40 ≠ 17 = 360 mod 49
m=50: 285 mod 50 = 35 ≠ 10 = 360 mod 50
m=51: 285 mod 51 = 30 ≠ 3 = 360 mod 51
m=52: 285 mod 52 = 25 ≠ 48 = 360 mod 52
m=53: 285 mod 53 = 20 ≠ 42 = 360 mod 53
m=54: 285 mod 54 = 15 ≠ 36 = 360 mod 54
m=55: 285 mod 55 = 10 ≠ 30 = 360 mod 55
m=56: 285 mod 56 = 5 ≠ 24 = 360 mod 56
m=57: 285 mod 57 = 0 ≠ 18 = 360 mod 57
m=58: 285 mod 58 = 53 ≠ 12 = 360 mod 58
m=59: 285 mod 59 = 49 ≠ 6 = 360 mod 59
m=60: 285 mod 60 = 45 ≠ 0 = 360 mod 60
m=61: 285 mod 61 = 41 ≠ 55 = 360 mod 61
m=62: 285 mod 62 = 37 ≠ 50 = 360 mod 62
m=63: 285 mod 63 = 33 ≠ 45 = 360 mod 63
m=64: 285 mod 64 = 29 ≠ 40 = 360 mod 64
m=65: 285 mod 65 = 25 ≠ 35 = 360 mod 65
m=66: 285 mod 66 = 21 ≠ 30 = 360 mod 66
m=67: 285 mod 67 = 17 ≠ 25 = 360 mod 67
m=68: 285 mod 68 = 13 ≠ 20 = 360 mod 68
m=69: 285 mod 69 = 9 ≠ 15 = 360 mod 69
m=70: 285 mod 70 = 5 ≠ 10 = 360 mod 70
m=71: 285 mod 71 = 1 ≠ 5 = 360 mod 71
m=72: 285 mod 72 = 69 ≠ 0 = 360 mod 72
m=73: 285 mod 73 = 66 ≠ 68 = 360 mod 73
m=74: 285 mod 74 = 63 ≠ 64 = 360 mod 74
m=75: 285 mod 75 = 60 = 60 = 360 mod 75
m=76: 285 mod 76 = 57 ≠ 56 = 360 mod 76
m=77: 285 mod 77 = 54 ≠ 52 = 360 mod 77
m=78: 285 mod 78 = 51 ≠ 48 = 360 mod 78
m=79: 285 mod 79 = 48 ≠ 44 = 360 mod 79
m=80: 285 mod 80 = 45 ≠ 40 = 360 mod 80
m=81: 285 mod 81 = 42 ≠ 36 = 360 mod 81
m=82: 285 mod 82 = 39 ≠ 32 = 360 mod 82
m=83: 285 mod 83 = 36 ≠ 28 = 360 mod 83
m=84: 285 mod 84 = 33 ≠ 24 = 360 mod 84
m=85: 285 mod 85 = 30 ≠ 20 = 360 mod 85
m=86: 285 mod 86 = 27 ≠ 16 = 360 mod 86
m=87: 285 mod 87 = 24 ≠ 12 = 360 mod 87
m=88: 285 mod 88 = 21 ≠ 8 = 360 mod 88
m=89: 285 mod 89 = 18 ≠ 4 = 360 mod 89
m=90: 285 mod 90 = 15 ≠ 0 = 360 mod 90
m=91: 285 mod 91 = 12 ≠ 87 = 360 mod 91
m=92: 285 mod 92 = 9 ≠ 84 = 360 mod 92
m=93: 285 mod 93 = 6 ≠ 81 = 360 mod 93
m=94: 285 mod 94 = 3 ≠ 78 = 360 mod 94
m=95: 285 mod 95 = 0 ≠ 75 = 360 mod 95
m=96: 285 mod 96 = 93 ≠ 72 = 360 mod 96
m=97: 285 mod 97 = 91 ≠ 69 = 360 mod 97
m=98: 285 mod 98 = 89 ≠ 66 = 360 mod 98
m=99: 285 mod 99 = 87 ≠ 63 = 360 mod 99
m=100: 285 mod 100 = 85 ≠ 60 = 360 mod 100
m=101: 285 mod 101 = 83 ≠ 57 = 360 mod 101
m=102: 285 mod 102 = 81 ≠ 54 = 360 mod 102
m=103: 285 mod 103 = 79 ≠ 51 = 360 mod 103
m=104: 285 mod 104 = 77 ≠ 48 = 360 mod 104
m=105: 285 mod 105 = 75 ≠ 45 = 360 mod 105
m=106: 285 mod 106 = 73 ≠ 42 = 360 mod 106
m=107: 285 mod 107 = 71 ≠ 39 = 360 mod 107
m=108: 285 mod 108 = 69 ≠ 36 = 360 mod 108
m=109: 285 mod 109 = 67 ≠ 33 = 360 mod 109
m=110: 285 mod 110 = 65 ≠ 30 = 360 mod 110
m=111: 285 mod 111 = 63 ≠ 27 = 360 mod 111
m=112: 285 mod 112 = 61 ≠ 24 = 360 mod 112
m=113: 285 mod 113 = 59 ≠ 21 = 360 mod 113
m=114: 285 mod 114 = 57 ≠ 18 = 360 mod 114
m=115: 285 mod 115 = 55 ≠ 15 = 360 mod 115
m=116: 285 mod 116 = 53 ≠ 12 = 360 mod 116
m=117: 285 mod 117 = 51 ≠ 9 = 360 mod 117
m=118: 285 mod 118 = 49 ≠ 6 = 360 mod 118
m=119: 285 mod 119 = 47 ≠ 3 = 360 mod 119
m=120: 285 mod 120 = 45 ≠ 0 = 360 mod 120
m=121: 285 mod 121 = 43 ≠ 118 = 360 mod 121
m=122: 285 mod 122 = 41 ≠ 116 = 360 mod 122
m=123: 285 mod 123 = 39 ≠ 114 = 360 mod 123
m=124: 285 mod 124 = 37 ≠ 112 = 360 mod 124
m=125: 285 mod 125 = 35 ≠ 110 = 360 mod 125
m=126: 285 mod 126 = 33 ≠ 108 = 360 mod 126
m=127: 285 mod 127 = 31 ≠ 106 = 360 mod 127
m=128: 285 mod 128 = 29 ≠ 104 = 360 mod 128
m=129: 285 mod 129 = 27 ≠ 102 = 360 mod 129
m=130: 285 mod 130 = 25 ≠ 100 = 360 mod 130
m=131: 285 mod 131 = 23 ≠ 98 = 360 mod 131
m=132: 285 mod 132 = 21 ≠ 96 = 360 mod 132
m=133: 285 mod 133 = 19 ≠ 94 = 360 mod 133
m=134: 285 mod 134 = 17 ≠ 92 = 360 mod 134
m=135: 285 mod 135 = 15 ≠ 90 = 360 mod 135
m=136: 285 mod 136 = 13 ≠ 88 = 360 mod 136
m=137: 285 mod 137 = 11 ≠ 86 = 360 mod 137
m=138: 285 mod 138 = 9 ≠ 84 = 360 mod 138
m=139: 285 mod 139 = 7 ≠ 82 = 360 mod 139
m=140: 285 mod 140 = 5 ≠ 80 = 360 mod 140
m=141: 285 mod 141 = 3 ≠ 78 = 360 mod 141
m=142: 285 mod 142 = 1 ≠ 76 = 360 mod 142
m=143: 285 mod 143 = 142 ≠ 74 = 360 mod 143
m=144: 285 mod 144 = 141 ≠ 72 = 360 mod 144
m=145: 285 mod 145 = 140 ≠ 70 = 360 mod 145
m=146: 285 mod 146 = 139 ≠ 68 = 360 mod 146
m=147: 285 mod 147 = 138 ≠ 66 = 360 mod 147
m=148: 285 mod 148 = 137 ≠ 64 = 360 mod 148
m=149: 285 mod 149 = 136 ≠ 62 = 360 mod 149
m=150: 285 mod 150 = 135 ≠ 60 = 360 mod 150
m=151: 285 mod 151 = 134 ≠ 58 = 360 mod 151
m=152: 285 mod 152 = 133 ≠ 56 = 360 mod 152
m=153: 285 mod 153 = 132 ≠ 54 = 360 mod 153
m=154: 285 mod 154 = 131 ≠ 52 = 360 mod 154
m=155: 285 mod 155 = 130 ≠ 50 = 360 mod 155
m=156: 285 mod 156 = 129 ≠ 48 = 360 mod 156
m=157: 285 mod 157 = 128 ≠ 46 = 360 mod 157
m=158: 285 mod 158 = 127 ≠ 44 = 360 mod 158
m=159: 285 mod 159 = 126 ≠ 42 = 360 mod 159
m=160: 285 mod 160 = 125 ≠ 40 = 360 mod 160
m=161: 285 mod 161 = 124 ≠ 38 = 360 mod 161
m=162: 285 mod 162 = 123 ≠ 36 = 360 mod 162
m=163: 285 mod 163 = 122 ≠ 34 = 360 mod 163
m=164: 285 mod 164 = 121 ≠ 32 = 360 mod 164
m=165: 285 mod 165 = 120 ≠ 30 = 360 mod 165
m=166: 285 mod 166 = 119 ≠ 28 = 360 mod 166
m=167: 285 mod 167 = 118 ≠ 26 = 360 mod 167
m=168: 285 mod 168 = 117 ≠ 24 = 360 mod 168
m=169: 285 mod 169 = 116 ≠ 22 = 360 mod 169
m=170: 285 mod 170 = 115 ≠ 20 = 360 mod 170
m=171: 285 mod 171 = 114 ≠ 18 = 360 mod 171
m=172: 285 mod 172 = 113 ≠ 16 = 360 mod 172
m=173: 285 mod 173 = 112 ≠ 14 = 360 mod 173
m=174: 285 mod 174 = 111 ≠ 12 = 360 mod 174
m=175: 285 mod 175 = 110 ≠ 10 = 360 mod 175
m=176: 285 mod 176 = 109 ≠ 8 = 360 mod 176
m=177: 285 mod 177 = 108 ≠ 6 = 360 mod 177
m=178: 285 mod 178 = 107 ≠ 4 = 360 mod 178
m=179: 285 mod 179 = 106 ≠ 2 = 360 mod 179
m=180: 285 mod 180 = 105 ≠ 0 = 360 mod 180
m=181: 285 mod 181 = 104 ≠ 179 = 360 mod 181
m=182: 285 mod 182 = 103 ≠ 178 = 360 mod 182
m=183: 285 mod 183 = 102 ≠ 177 = 360 mod 183
m=184: 285 mod 184 = 101 ≠ 176 = 360 mod 184
m=185: 285 mod 185 = 100 ≠ 175 = 360 mod 185
m=186: 285 mod 186 = 99 ≠ 174 = 360 mod 186
m=187: 285 mod 187 = 98 ≠ 173 = 360 mod 187
m=188: 285 mod 188 = 97 ≠ 172 = 360 mod 188
m=189: 285 mod 189 = 96 ≠ 171 = 360 mod 189
m=190: 285 mod 190 = 95 ≠ 170 = 360 mod 190
m=191: 285 mod 191 = 94 ≠ 169 = 360 mod 191
m=192: 285 mod 192 = 93 ≠ 168 = 360 mod 192
m=193: 285 mod 193 = 92 ≠ 167 = 360 mod 193
m=194: 285 mod 194 = 91 ≠ 166 = 360 mod 194
m=195: 285 mod 195 = 90 ≠ 165 = 360 mod 195
m=196: 285 mod 196 = 89 ≠ 164 = 360 mod 196
m=197: 285 mod 197 = 88 ≠ 163 = 360 mod 197
m=198: 285 mod 198 = 87 ≠ 162 = 360 mod 198
m=199: 285 mod 199 = 86 ≠ 161 = 360 mod 199
m=200: 285 mod 200 = 85 ≠ 160 = 360 mod 200
m=201: 285 mod 201 = 84 ≠ 159 = 360 mod 201
m=202: 285 mod 202 = 83 ≠ 158 = 360 mod 202
m=203: 285 mod 203 = 82 ≠ 157 = 360 mod 203
m=204: 285 mod 204 = 81 ≠ 156 = 360 mod 204
m=205: 285 mod 205 = 80 ≠ 155 = 360 mod 205
m=206: 285 mod 206 = 79 ≠ 154 = 360 mod 206
m=207: 285 mod 207 = 78 ≠ 153 = 360 mod 207
m=208: 285 mod 208 = 77 ≠ 152 = 360 mod 208
m=209: 285 mod 209 = 76 ≠ 151 = 360 mod 209
m=210: 285 mod 210 = 75 ≠ 150 = 360 mod 210
m=211: 285 mod 211 = 74 ≠ 149 = 360 mod 211
m=212: 285 mod 212 = 73 ≠ 148 = 360 mod 212
m=213: 285 mod 213 = 72 ≠ 147 = 360 mod 213
m=214: 285 mod 214 = 71 ≠ 146 = 360 mod 214
m=215: 285 mod 215 = 70 ≠ 145 = 360 mod 215
m=216: 285 mod 216 = 69 ≠ 144 = 360 mod 216
m=217: 285 mod 217 = 68 ≠ 143 = 360 mod 217
m=218: 285 mod 218 = 67 ≠ 142 = 360 mod 218
m=219: 285 mod 219 = 66 ≠ 141 = 360 mod 219
m=220: 285 mod 220 = 65 ≠ 140 = 360 mod 220
m=221: 285 mod 221 = 64 ≠ 139 = 360 mod 221
m=222: 285 mod 222 = 63 ≠ 138 = 360 mod 222
m=223: 285 mod 223 = 62 ≠ 137 = 360 mod 223
m=224: 285 mod 224 = 61 ≠ 136 = 360 mod 224
m=225: 285 mod 225 = 60 ≠ 135 = 360 mod 225
m=226: 285 mod 226 = 59 ≠ 134 = 360 mod 226
m=227: 285 mod 227 = 58 ≠ 133 = 360 mod 227
m=228: 285 mod 228 = 57 ≠ 132 = 360 mod 228
m=229: 285 mod 229 = 56 ≠ 131 = 360 mod 229
m=230: 285 mod 230 = 55 ≠ 130 = 360 mod 230
m=231: 285 mod 231 = 54 ≠ 129 = 360 mod 231
m=232: 285 mod 232 = 53 ≠ 128 = 360 mod 232
m=233: 285 mod 233 = 52 ≠ 127 = 360 mod 233
m=234: 285 mod 234 = 51 ≠ 126 = 360 mod 234
m=235: 285 mod 235 = 50 ≠ 125 = 360 mod 235
m=236: 285 mod 236 = 49 ≠ 124 = 360 mod 236
m=237: 285 mod 237 = 48 ≠ 123 = 360 mod 237
m=238: 285 mod 238 = 47 ≠ 122 = 360 mod 238
m=239: 285 mod 239 = 46 ≠ 121 = 360 mod 239
m=240: 285 mod 240 = 45 ≠ 120 = 360 mod 240
m=241: 285 mod 241 = 44 ≠ 119 = 360 mod 241
m=242: 285 mod 242 = 43 ≠ 118 = 360 mod 242
m=243: 285 mod 243 = 42 ≠ 117 = 360 mod 243
m=244: 285 mod 244 = 41 ≠ 116 = 360 mod 244
m=245: 285 mod 245 = 40 ≠ 115 = 360 mod 245
m=246: 285 mod 246 = 39 ≠ 114 = 360 mod 246
m=247: 285 mod 247 = 38 ≠ 113 = 360 mod 247
m=248: 285 mod 248 = 37 ≠ 112 = 360 mod 248
m=249: 285 mod 249 = 36 ≠ 111 = 360 mod 249
m=250: 285 mod 250 = 35 ≠ 110 = 360 mod 250
m=251: 285 mod 251 = 34 ≠ 109 = 360 mod 251
m=252: 285 mod 252 = 33 ≠ 108 = 360 mod 252
m=253: 285 mod 253 = 32 ≠ 107 = 360 mod 253
m=254: 285 mod 254 = 31 ≠ 106 = 360 mod 254
m=255: 285 mod 255 = 30 ≠ 105 = 360 mod 255
m=256: 285 mod 256 = 29 ≠ 104 = 360 mod 256
m=257: 285 mod 257 = 28 ≠ 103 = 360 mod 257
m=258: 285 mod 258 = 27 ≠ 102 = 360 mod 258
m=259: 285 mod 259 = 26 ≠ 101 = 360 mod 259
m=260: 285 mod 260 = 25 ≠ 100 = 360 mod 260
m=261: 285 mod 261 = 24 ≠ 99 = 360 mod 261
m=262: 285 mod 262 = 23 ≠ 98 = 360 mod 262
m=263: 285 mod 263 = 22 ≠ 97 = 360 mod 263
m=264: 285 mod 264 = 21 ≠ 96 = 360 mod 264
m=265: 285 mod 265 = 20 ≠ 95 = 360 mod 265
m=266: 285 mod 266 = 19 ≠ 94 = 360 mod 266
m=267: 285 mod 267 = 18 ≠ 93 = 360 mod 267
m=268: 285 mod 268 = 17 ≠ 92 = 360 mod 268
m=269: 285 mod 269 = 16 ≠ 91 = 360 mod 269
m=270: 285 mod 270 = 15 ≠ 90 = 360 mod 270
m=271: 285 mod 271 = 14 ≠ 89 = 360 mod 271
m=272: 285 mod 272 = 13 ≠ 88 = 360 mod 272
m=273: 285 mod 273 = 12 ≠ 87 = 360 mod 273
m=274: 285 mod 274 = 11 ≠ 86 = 360 mod 274
m=275: 285 mod 275 = 10 ≠ 85 = 360 mod 275
m=276: 285 mod 276 = 9 ≠ 84 = 360 mod 276
m=277: 285 mod 277 = 8 ≠ 83 = 360 mod 277
m=278: 285 mod 278 = 7 ≠ 82 = 360 mod 278
m=279: 285 mod 279 = 6 ≠ 81 = 360 mod 279
m=280: 285 mod 280 = 5 ≠ 80 = 360 mod 280
m=281: 285 mod 281 = 4 ≠ 79 = 360 mod 281
m=282: 285 mod 282 = 3 ≠ 78 = 360 mod 282
m=283: 285 mod 283 = 2 ≠ 77 = 360 mod 283
m=284: 285 mod 284 = 1 ≠ 76 = 360 mod 284
m=285: 285 mod 285 = 0 ≠ 75 = 360 mod 285
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (360 - 285) = 75 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15; 25; 75
