Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 72 = 4.

Somit gilt: 76 mod 9 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 81 = 6.

Somit gilt: 87 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 10 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 90 und erhalten so 96.

Somit gilt: 96 ≡ 87 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(694 + 21007) mod 7 ≡ (694 mod 7 + 21007 mod 7) mod 7.

694 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 694 = 700-6 = 7 ⋅ 100 -6 = 7 ⋅ 100 - 7 + 1.

21007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21007 = 21000+7 = 7 ⋅ 3000 +7.

Somit gilt:

(694 + 21007) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 62) mod 10 ≡ (17 mod 10 ⋅ 62 mod 10) mod 10.

17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.

62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 62) mod 10 ≡ (7 ⋅ 2) mod 10 ≡ 14 mod 10 ≡ 4 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 51 aus, ob zufällig 51 mod m = 69 mod m gilt:

m=2: 51 mod 2 = 1 = 1 = 69 mod 2

m=3: 51 mod 3 = 0 = 0 = 69 mod 3

m=4: 51 mod 4 = 3 ≠ 1 = 69 mod 4

m=5: 51 mod 5 = 1 ≠ 4 = 69 mod 5

m=6: 51 mod 6 = 3 = 3 = 69 mod 6

m=7: 51 mod 7 = 2 ≠ 6 = 69 mod 7

m=8: 51 mod 8 = 3 ≠ 5 = 69 mod 8

m=9: 51 mod 9 = 6 = 6 = 69 mod 9

m=10: 51 mod 10 = 1 ≠ 9 = 69 mod 10

m=11: 51 mod 11 = 7 ≠ 3 = 69 mod 11

m=12: 51 mod 12 = 3 ≠ 9 = 69 mod 12

m=13: 51 mod 13 = 12 ≠ 4 = 69 mod 13

m=14: 51 mod 14 = 9 ≠ 13 = 69 mod 14

m=15: 51 mod 15 = 6 ≠ 9 = 69 mod 15

m=16: 51 mod 16 = 3 ≠ 5 = 69 mod 16

m=17: 51 mod 17 = 0 ≠ 1 = 69 mod 17

m=18: 51 mod 18 = 15 = 15 = 69 mod 18

m=19: 51 mod 19 = 13 ≠ 12 = 69 mod 19

m=20: 51 mod 20 = 11 ≠ 9 = 69 mod 20

m=21: 51 mod 21 = 9 ≠ 6 = 69 mod 21

m=22: 51 mod 22 = 7 ≠ 3 = 69 mod 22

m=23: 51 mod 23 = 5 ≠ 0 = 69 mod 23

m=24: 51 mod 24 = 3 ≠ 21 = 69 mod 24

m=25: 51 mod 25 = 1 ≠ 19 = 69 mod 25

m=26: 51 mod 26 = 25 ≠ 17 = 69 mod 26

m=27: 51 mod 27 = 24 ≠ 15 = 69 mod 27

m=28: 51 mod 28 = 23 ≠ 13 = 69 mod 28

m=29: 51 mod 29 = 22 ≠ 11 = 69 mod 29

m=30: 51 mod 30 = 21 ≠ 9 = 69 mod 30

m=31: 51 mod 31 = 20 ≠ 7 = 69 mod 31

m=32: 51 mod 32 = 19 ≠ 5 = 69 mod 32

m=33: 51 mod 33 = 18 ≠ 3 = 69 mod 33

m=34: 51 mod 34 = 17 ≠ 1 = 69 mod 34

m=35: 51 mod 35 = 16 ≠ 34 = 69 mod 35

m=36: 51 mod 36 = 15 ≠ 33 = 69 mod 36

m=37: 51 mod 37 = 14 ≠ 32 = 69 mod 37

m=38: 51 mod 38 = 13 ≠ 31 = 69 mod 38

m=39: 51 mod 39 = 12 ≠ 30 = 69 mod 39

m=40: 51 mod 40 = 11 ≠ 29 = 69 mod 40

m=41: 51 mod 41 = 10 ≠ 28 = 69 mod 41

m=42: 51 mod 42 = 9 ≠ 27 = 69 mod 42

m=43: 51 mod 43 = 8 ≠ 26 = 69 mod 43

m=44: 51 mod 44 = 7 ≠ 25 = 69 mod 44

m=45: 51 mod 45 = 6 ≠ 24 = 69 mod 45

m=46: 51 mod 46 = 5 ≠ 23 = 69 mod 46

m=47: 51 mod 47 = 4 ≠ 22 = 69 mod 47

m=48: 51 mod 48 = 3 ≠ 21 = 69 mod 48

m=49: 51 mod 49 = 2 ≠ 20 = 69 mod 49

m=50: 51 mod 50 = 1 ≠ 19 = 69 mod 50

m=51: 51 mod 51 = 0 ≠ 18 = 69 mod 51

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (69 - 51) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18