Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 16 = 3.

Somit gilt: 19 mod 8 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 70 = 0.

Somit gilt: 70 mod 10 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Somit gilt: 30 ≡ 70 ≡ 0 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3500 - 707) mod 7 ≡ (3500 mod 7 - 707 mod 7) mod 7.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

707 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 707 = 700+7 = 7 ⋅ 100 +7.

Somit gilt:

(3500 - 707) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 24) mod 9 ≡ (87 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 24) mod 9 ≡ (6 ⋅ 6) mod 9 ≡ 36 mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 111 aus, ob zufällig 111 mod m = 156 mod m gilt:

m=2: 111 mod 2 = 1 ≠ 0 = 156 mod 2

m=3: 111 mod 3 = 0 = 0 = 156 mod 3

m=4: 111 mod 4 = 3 ≠ 0 = 156 mod 4

m=5: 111 mod 5 = 1 = 1 = 156 mod 5

m=6: 111 mod 6 = 3 ≠ 0 = 156 mod 6

m=7: 111 mod 7 = 6 ≠ 2 = 156 mod 7

m=8: 111 mod 8 = 7 ≠ 4 = 156 mod 8

m=9: 111 mod 9 = 3 = 3 = 156 mod 9

m=10: 111 mod 10 = 1 ≠ 6 = 156 mod 10

m=11: 111 mod 11 = 1 ≠ 2 = 156 mod 11

m=12: 111 mod 12 = 3 ≠ 0 = 156 mod 12

m=13: 111 mod 13 = 7 ≠ 0 = 156 mod 13

m=14: 111 mod 14 = 13 ≠ 2 = 156 mod 14

m=15: 111 mod 15 = 6 = 6 = 156 mod 15

m=16: 111 mod 16 = 15 ≠ 12 = 156 mod 16

m=17: 111 mod 17 = 9 ≠ 3 = 156 mod 17

m=18: 111 mod 18 = 3 ≠ 12 = 156 mod 18

m=19: 111 mod 19 = 16 ≠ 4 = 156 mod 19

m=20: 111 mod 20 = 11 ≠ 16 = 156 mod 20

m=21: 111 mod 21 = 6 ≠ 9 = 156 mod 21

m=22: 111 mod 22 = 1 ≠ 2 = 156 mod 22

m=23: 111 mod 23 = 19 ≠ 18 = 156 mod 23

m=24: 111 mod 24 = 15 ≠ 12 = 156 mod 24

m=25: 111 mod 25 = 11 ≠ 6 = 156 mod 25

m=26: 111 mod 26 = 7 ≠ 0 = 156 mod 26

m=27: 111 mod 27 = 3 ≠ 21 = 156 mod 27

m=28: 111 mod 28 = 27 ≠ 16 = 156 mod 28

m=29: 111 mod 29 = 24 ≠ 11 = 156 mod 29

m=30: 111 mod 30 = 21 ≠ 6 = 156 mod 30

m=31: 111 mod 31 = 18 ≠ 1 = 156 mod 31

m=32: 111 mod 32 = 15 ≠ 28 = 156 mod 32

m=33: 111 mod 33 = 12 ≠ 24 = 156 mod 33

m=34: 111 mod 34 = 9 ≠ 20 = 156 mod 34

m=35: 111 mod 35 = 6 ≠ 16 = 156 mod 35

m=36: 111 mod 36 = 3 ≠ 12 = 156 mod 36

m=37: 111 mod 37 = 0 ≠ 8 = 156 mod 37

m=38: 111 mod 38 = 35 ≠ 4 = 156 mod 38

m=39: 111 mod 39 = 33 ≠ 0 = 156 mod 39

m=40: 111 mod 40 = 31 ≠ 36 = 156 mod 40

m=41: 111 mod 41 = 29 ≠ 33 = 156 mod 41

m=42: 111 mod 42 = 27 ≠ 30 = 156 mod 42

m=43: 111 mod 43 = 25 ≠ 27 = 156 mod 43

m=44: 111 mod 44 = 23 ≠ 24 = 156 mod 44

m=45: 111 mod 45 = 21 = 21 = 156 mod 45

m=46: 111 mod 46 = 19 ≠ 18 = 156 mod 46

m=47: 111 mod 47 = 17 ≠ 15 = 156 mod 47

m=48: 111 mod 48 = 15 ≠ 12 = 156 mod 48

m=49: 111 mod 49 = 13 ≠ 9 = 156 mod 49

m=50: 111 mod 50 = 11 ≠ 6 = 156 mod 50

m=51: 111 mod 51 = 9 ≠ 3 = 156 mod 51

m=52: 111 mod 52 = 7 ≠ 0 = 156 mod 52

m=53: 111 mod 53 = 5 ≠ 50 = 156 mod 53

m=54: 111 mod 54 = 3 ≠ 48 = 156 mod 54

m=55: 111 mod 55 = 1 ≠ 46 = 156 mod 55

m=56: 111 mod 56 = 55 ≠ 44 = 156 mod 56

m=57: 111 mod 57 = 54 ≠ 42 = 156 mod 57

m=58: 111 mod 58 = 53 ≠ 40 = 156 mod 58

m=59: 111 mod 59 = 52 ≠ 38 = 156 mod 59

m=60: 111 mod 60 = 51 ≠ 36 = 156 mod 60

m=61: 111 mod 61 = 50 ≠ 34 = 156 mod 61

m=62: 111 mod 62 = 49 ≠ 32 = 156 mod 62

m=63: 111 mod 63 = 48 ≠ 30 = 156 mod 63

m=64: 111 mod 64 = 47 ≠ 28 = 156 mod 64

m=65: 111 mod 65 = 46 ≠ 26 = 156 mod 65

m=66: 111 mod 66 = 45 ≠ 24 = 156 mod 66

m=67: 111 mod 67 = 44 ≠ 22 = 156 mod 67

m=68: 111 mod 68 = 43 ≠ 20 = 156 mod 68

m=69: 111 mod 69 = 42 ≠ 18 = 156 mod 69

m=70: 111 mod 70 = 41 ≠ 16 = 156 mod 70

m=71: 111 mod 71 = 40 ≠ 14 = 156 mod 71

m=72: 111 mod 72 = 39 ≠ 12 = 156 mod 72

m=73: 111 mod 73 = 38 ≠ 10 = 156 mod 73

m=74: 111 mod 74 = 37 ≠ 8 = 156 mod 74

m=75: 111 mod 75 = 36 ≠ 6 = 156 mod 75

m=76: 111 mod 76 = 35 ≠ 4 = 156 mod 76

m=77: 111 mod 77 = 34 ≠ 2 = 156 mod 77

m=78: 111 mod 78 = 33 ≠ 0 = 156 mod 78

m=79: 111 mod 79 = 32 ≠ 77 = 156 mod 79

m=80: 111 mod 80 = 31 ≠ 76 = 156 mod 80

m=81: 111 mod 81 = 30 ≠ 75 = 156 mod 81

m=82: 111 mod 82 = 29 ≠ 74 = 156 mod 82

m=83: 111 mod 83 = 28 ≠ 73 = 156 mod 83

m=84: 111 mod 84 = 27 ≠ 72 = 156 mod 84

m=85: 111 mod 85 = 26 ≠ 71 = 156 mod 85

m=86: 111 mod 86 = 25 ≠ 70 = 156 mod 86

m=87: 111 mod 87 = 24 ≠ 69 = 156 mod 87

m=88: 111 mod 88 = 23 ≠ 68 = 156 mod 88

m=89: 111 mod 89 = 22 ≠ 67 = 156 mod 89

m=90: 111 mod 90 = 21 ≠ 66 = 156 mod 90

m=91: 111 mod 91 = 20 ≠ 65 = 156 mod 91

m=92: 111 mod 92 = 19 ≠ 64 = 156 mod 92

m=93: 111 mod 93 = 18 ≠ 63 = 156 mod 93

m=94: 111 mod 94 = 17 ≠ 62 = 156 mod 94

m=95: 111 mod 95 = 16 ≠ 61 = 156 mod 95

m=96: 111 mod 96 = 15 ≠ 60 = 156 mod 96

m=97: 111 mod 97 = 14 ≠ 59 = 156 mod 97

m=98: 111 mod 98 = 13 ≠ 58 = 156 mod 98

m=99: 111 mod 99 = 12 ≠ 57 = 156 mod 99

m=100: 111 mod 100 = 11 ≠ 56 = 156 mod 100

m=101: 111 mod 101 = 10 ≠ 55 = 156 mod 101

m=102: 111 mod 102 = 9 ≠ 54 = 156 mod 102

m=103: 111 mod 103 = 8 ≠ 53 = 156 mod 103

m=104: 111 mod 104 = 7 ≠ 52 = 156 mod 104

m=105: 111 mod 105 = 6 ≠ 51 = 156 mod 105

m=106: 111 mod 106 = 5 ≠ 50 = 156 mod 106

m=107: 111 mod 107 = 4 ≠ 49 = 156 mod 107

m=108: 111 mod 108 = 3 ≠ 48 = 156 mod 108

m=109: 111 mod 109 = 2 ≠ 47 = 156 mod 109

m=110: 111 mod 110 = 1 ≠ 46 = 156 mod 110

m=111: 111 mod 111 = 0 ≠ 45 = 156 mod 111

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (156 - 111) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45