Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 32 = 0.
Somit gilt: 32 mod 8 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 48 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 48 - 45 = 3.
Somit gilt: 48 mod 9 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 2 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 3 mod 9 sein, also addieren wir noch 3 auf die 18 und erhalten so 21.
Somit gilt: 21 ≡ 48 ≡ 3 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (297 + 12000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(297 + 12000) mod 3 ≡ (297 mod 3 + 12000 mod 3) mod 3.
297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297
= 300
12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(297 + 12000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 73) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 73) mod 4 ≡ (94 mod 4 ⋅ 73 mod 4) mod 4.
94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.
73 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 18 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 73) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
35 mod m = 44 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 44 mod m gilt:
m=2: 35 mod 2 = 1 ≠ 0 = 44 mod 2
m=3: 35 mod 3 = 2 = 2 = 44 mod 3
m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 0 = 44 mod 4
m=5: 35 mod 5 = 0 ≠ 4 = 44 mod 5
m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 2 = 44 mod 6
m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 2 = 44 mod 7
m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 4 = 44 mod 8
m=9: 35 mod 9 = 8 = 8 = 44 mod 9
m=10: 35 mod 10 = 5 ≠ 4 = 44 mod 10
m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 0 = 44 mod 11
m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 8 = 44 mod 12
m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 5 = 44 mod 13
m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 2 = 44 mod 14
m=15: 35 mod 15 = 5 ≠ 14 = 44 mod 15
m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 12 = 44 mod 16
m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 10 = 44 mod 17
m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 8 = 44 mod 18
m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 6 = 44 mod 19
m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 4 = 44 mod 20
m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 2 = 44 mod 21
m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 0 = 44 mod 22
m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 21 = 44 mod 23
m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 20 = 44 mod 24
m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 19 = 44 mod 25
m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 18 = 44 mod 26
m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 17 = 44 mod 27
m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 16 = 44 mod 28
m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 15 = 44 mod 29
m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 14 = 44 mod 30
m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 13 = 44 mod 31
m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 12 = 44 mod 32
m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 11 = 44 mod 33
m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 10 = 44 mod 34
m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 9 = 44 mod 35
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (44 - 35) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9