Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 81 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 81 - 80 = 1.
Somit gilt: 81 mod 10 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 71 für die gilt n ≡ 71 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 71 - 66 = 5.
Somit gilt: 71 mod 11 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 55 = 5 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 55 und erhalten so 60.
Somit gilt: 60 ≡ 71 ≡ 5 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (118 - 17997) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(118 - 17997) mod 6 ≡ (118 mod 6 - 17997 mod 6) mod 6.
118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
17997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17997
= 18000
Somit gilt:
(118 - 17997) mod 6 ≡ (4 - 3) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 83) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 83) mod 5 ≡ (16 mod 5 ⋅ 83 mod 5) mod 5.
16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.
83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 83) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
