Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 65 = 2.

Somit gilt: 67 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 96, weil ja 32 ⋅ 3 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 96 = 2.

Somit gilt: 98 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 26 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 78 und erhalten so 80.

Somit gilt: 80 ≡ 98 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11998 - 150) mod 3 ≡ (11998 mod 3 - 150 mod 3) mod 3.

11998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 12000-2 = 3 ⋅ 4000 -2 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 1.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(11998 - 150) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 83) mod 9 ≡ (59 mod 9 ⋅ 83 mod 9) mod 9.

59 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 6 ⋅ 9 + 5 ist.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 83) mod 9 ≡ (5 ⋅ 2) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 65 aus, ob zufällig 65 mod m = 95 mod m gilt:

m=2: 65 mod 2 = 1 = 1 = 95 mod 2

m=3: 65 mod 3 = 2 = 2 = 95 mod 3

m=4: 65 mod 4 = 1 ≠ 3 = 95 mod 4

m=5: 65 mod 5 = 0 = 0 = 95 mod 5

m=6: 65 mod 6 = 5 = 5 = 95 mod 6

m=7: 65 mod 7 = 2 ≠ 4 = 95 mod 7

m=8: 65 mod 8 = 1 ≠ 7 = 95 mod 8

m=9: 65 mod 9 = 2 ≠ 5 = 95 mod 9

m=10: 65 mod 10 = 5 = 5 = 95 mod 10

m=11: 65 mod 11 = 10 ≠ 7 = 95 mod 11

m=12: 65 mod 12 = 5 ≠ 11 = 95 mod 12

m=13: 65 mod 13 = 0 ≠ 4 = 95 mod 13

m=14: 65 mod 14 = 9 ≠ 11 = 95 mod 14

m=15: 65 mod 15 = 5 = 5 = 95 mod 15

m=16: 65 mod 16 = 1 ≠ 15 = 95 mod 16

m=17: 65 mod 17 = 14 ≠ 10 = 95 mod 17

m=18: 65 mod 18 = 11 ≠ 5 = 95 mod 18

m=19: 65 mod 19 = 8 ≠ 0 = 95 mod 19

m=20: 65 mod 20 = 5 ≠ 15 = 95 mod 20

m=21: 65 mod 21 = 2 ≠ 11 = 95 mod 21

m=22: 65 mod 22 = 21 ≠ 7 = 95 mod 22

m=23: 65 mod 23 = 19 ≠ 3 = 95 mod 23

m=24: 65 mod 24 = 17 ≠ 23 = 95 mod 24

m=25: 65 mod 25 = 15 ≠ 20 = 95 mod 25

m=26: 65 mod 26 = 13 ≠ 17 = 95 mod 26

m=27: 65 mod 27 = 11 ≠ 14 = 95 mod 27

m=28: 65 mod 28 = 9 ≠ 11 = 95 mod 28

m=29: 65 mod 29 = 7 ≠ 8 = 95 mod 29

m=30: 65 mod 30 = 5 = 5 = 95 mod 30

m=31: 65 mod 31 = 3 ≠ 2 = 95 mod 31

m=32: 65 mod 32 = 1 ≠ 31 = 95 mod 32

m=33: 65 mod 33 = 32 ≠ 29 = 95 mod 33

m=34: 65 mod 34 = 31 ≠ 27 = 95 mod 34

m=35: 65 mod 35 = 30 ≠ 25 = 95 mod 35

m=36: 65 mod 36 = 29 ≠ 23 = 95 mod 36

m=37: 65 mod 37 = 28 ≠ 21 = 95 mod 37

m=38: 65 mod 38 = 27 ≠ 19 = 95 mod 38

m=39: 65 mod 39 = 26 ≠ 17 = 95 mod 39

m=40: 65 mod 40 = 25 ≠ 15 = 95 mod 40

m=41: 65 mod 41 = 24 ≠ 13 = 95 mod 41

m=42: 65 mod 42 = 23 ≠ 11 = 95 mod 42

m=43: 65 mod 43 = 22 ≠ 9 = 95 mod 43

m=44: 65 mod 44 = 21 ≠ 7 = 95 mod 44

m=45: 65 mod 45 = 20 ≠ 5 = 95 mod 45

m=46: 65 mod 46 = 19 ≠ 3 = 95 mod 46

m=47: 65 mod 47 = 18 ≠ 1 = 95 mod 47

m=48: 65 mod 48 = 17 ≠ 47 = 95 mod 48

m=49: 65 mod 49 = 16 ≠ 46 = 95 mod 49

m=50: 65 mod 50 = 15 ≠ 45 = 95 mod 50

m=51: 65 mod 51 = 14 ≠ 44 = 95 mod 51

m=52: 65 mod 52 = 13 ≠ 43 = 95 mod 52

m=53: 65 mod 53 = 12 ≠ 42 = 95 mod 53

m=54: 65 mod 54 = 11 ≠ 41 = 95 mod 54

m=55: 65 mod 55 = 10 ≠ 40 = 95 mod 55

m=56: 65 mod 56 = 9 ≠ 39 = 95 mod 56

m=57: 65 mod 57 = 8 ≠ 38 = 95 mod 57

m=58: 65 mod 58 = 7 ≠ 37 = 95 mod 58

m=59: 65 mod 59 = 6 ≠ 36 = 95 mod 59

m=60: 65 mod 60 = 5 ≠ 35 = 95 mod 60

m=61: 65 mod 61 = 4 ≠ 34 = 95 mod 61

m=62: 65 mod 62 = 3 ≠ 33 = 95 mod 62

m=63: 65 mod 63 = 2 ≠ 32 = 95 mod 63

m=64: 65 mod 64 = 1 ≠ 31 = 95 mod 64

m=65: 65 mod 65 = 0 ≠ 30 = 95 mod 65

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (95 - 65) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30