Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 84 = 3.

Somit gilt: 87 mod 7 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 33, weil ja 11 ⋅ 3 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 33 = 2.

Somit gilt: 35 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 39 = 13 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 39 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 35 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35996 + 36000) mod 9 ≡ (35996 mod 9 + 36000 mod 9) mod 9.

35996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35996 = 36000-4 = 9 ⋅ 4000 -4 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 5.

36000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36000 = 36000+0 = 9 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(35996 + 36000) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 52) mod 11 ≡ (39 mod 11 ⋅ 52 mod 11) mod 11.

39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.

52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 52) mod 11 ≡ (6 ⋅ 8) mod 11 ≡ 48 mod 11 ≡ 4 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 68 aus, ob zufällig 68 mod m = 98 mod m gilt:

m=2: 68 mod 2 = 0 = 0 = 98 mod 2

m=3: 68 mod 3 = 2 = 2 = 98 mod 3

m=4: 68 mod 4 = 0 ≠ 2 = 98 mod 4

m=5: 68 mod 5 = 3 = 3 = 98 mod 5

m=6: 68 mod 6 = 2 = 2 = 98 mod 6

m=7: 68 mod 7 = 5 ≠ 0 = 98 mod 7

m=8: 68 mod 8 = 4 ≠ 2 = 98 mod 8

m=9: 68 mod 9 = 5 ≠ 8 = 98 mod 9

m=10: 68 mod 10 = 8 = 8 = 98 mod 10

m=11: 68 mod 11 = 2 ≠ 10 = 98 mod 11

m=12: 68 mod 12 = 8 ≠ 2 = 98 mod 12

m=13: 68 mod 13 = 3 ≠ 7 = 98 mod 13

m=14: 68 mod 14 = 12 ≠ 0 = 98 mod 14

m=15: 68 mod 15 = 8 = 8 = 98 mod 15

m=16: 68 mod 16 = 4 ≠ 2 = 98 mod 16

m=17: 68 mod 17 = 0 ≠ 13 = 98 mod 17

m=18: 68 mod 18 = 14 ≠ 8 = 98 mod 18

m=19: 68 mod 19 = 11 ≠ 3 = 98 mod 19

m=20: 68 mod 20 = 8 ≠ 18 = 98 mod 20

m=21: 68 mod 21 = 5 ≠ 14 = 98 mod 21

m=22: 68 mod 22 = 2 ≠ 10 = 98 mod 22

m=23: 68 mod 23 = 22 ≠ 6 = 98 mod 23

m=24: 68 mod 24 = 20 ≠ 2 = 98 mod 24

m=25: 68 mod 25 = 18 ≠ 23 = 98 mod 25

m=26: 68 mod 26 = 16 ≠ 20 = 98 mod 26

m=27: 68 mod 27 = 14 ≠ 17 = 98 mod 27

m=28: 68 mod 28 = 12 ≠ 14 = 98 mod 28

m=29: 68 mod 29 = 10 ≠ 11 = 98 mod 29

m=30: 68 mod 30 = 8 = 8 = 98 mod 30

m=31: 68 mod 31 = 6 ≠ 5 = 98 mod 31

m=32: 68 mod 32 = 4 ≠ 2 = 98 mod 32

m=33: 68 mod 33 = 2 ≠ 32 = 98 mod 33

m=34: 68 mod 34 = 0 ≠ 30 = 98 mod 34

m=35: 68 mod 35 = 33 ≠ 28 = 98 mod 35

m=36: 68 mod 36 = 32 ≠ 26 = 98 mod 36

m=37: 68 mod 37 = 31 ≠ 24 = 98 mod 37

m=38: 68 mod 38 = 30 ≠ 22 = 98 mod 38

m=39: 68 mod 39 = 29 ≠ 20 = 98 mod 39

m=40: 68 mod 40 = 28 ≠ 18 = 98 mod 40

m=41: 68 mod 41 = 27 ≠ 16 = 98 mod 41

m=42: 68 mod 42 = 26 ≠ 14 = 98 mod 42

m=43: 68 mod 43 = 25 ≠ 12 = 98 mod 43

m=44: 68 mod 44 = 24 ≠ 10 = 98 mod 44

m=45: 68 mod 45 = 23 ≠ 8 = 98 mod 45

m=46: 68 mod 46 = 22 ≠ 6 = 98 mod 46

m=47: 68 mod 47 = 21 ≠ 4 = 98 mod 47

m=48: 68 mod 48 = 20 ≠ 2 = 98 mod 48

m=49: 68 mod 49 = 19 ≠ 0 = 98 mod 49

m=50: 68 mod 50 = 18 ≠ 48 = 98 mod 50

m=51: 68 mod 51 = 17 ≠ 47 = 98 mod 51

m=52: 68 mod 52 = 16 ≠ 46 = 98 mod 52

m=53: 68 mod 53 = 15 ≠ 45 = 98 mod 53

m=54: 68 mod 54 = 14 ≠ 44 = 98 mod 54

m=55: 68 mod 55 = 13 ≠ 43 = 98 mod 55

m=56: 68 mod 56 = 12 ≠ 42 = 98 mod 56

m=57: 68 mod 57 = 11 ≠ 41 = 98 mod 57

m=58: 68 mod 58 = 10 ≠ 40 = 98 mod 58

m=59: 68 mod 59 = 9 ≠ 39 = 98 mod 59

m=60: 68 mod 60 = 8 ≠ 38 = 98 mod 60

m=61: 68 mod 61 = 7 ≠ 37 = 98 mod 61

m=62: 68 mod 62 = 6 ≠ 36 = 98 mod 62

m=63: 68 mod 63 = 5 ≠ 35 = 98 mod 63

m=64: 68 mod 64 = 4 ≠ 34 = 98 mod 64

m=65: 68 mod 65 = 3 ≠ 33 = 98 mod 65

m=66: 68 mod 66 = 2 ≠ 32 = 98 mod 66

m=67: 68 mod 67 = 1 ≠ 31 = 98 mod 67

m=68: 68 mod 68 = 0 ≠ 30 = 98 mod 68

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (98 - 68) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30