Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 8 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 30 = 4.

Somit gilt: 34 mod 10 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 20 für die gilt: n ≡ 4 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 1 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 4 mod 10 sein, also addieren wir noch 4 auf die 10 und erhalten so 14.

Somit gilt: 14 ≡ 34 ≡ 4 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15005 - 20004) mod 5 ≡ (15005 mod 5 - 20004 mod 5) mod 5.

15005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15005 = 15000+5 = 5 ⋅ 3000 +5.

20004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004 = 20000+4 = 5 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(15005 - 20004) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 78) mod 4 ≡ (25 mod 4 ⋅ 78 mod 4) mod 4.

25 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 6 ⋅ 4 + 1 ist.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 78) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 35 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 2 = 35 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 ≠ 3 = 35 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 = 0 = 35 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 3 = 35 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 8 = 35 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 = 5 = 35 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 10 = 35 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 25) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10