Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 55 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 55 - 48 = 7.
Somit gilt: 55 mod 8 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 31 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.
Somit gilt: 31 mod 6 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 7 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 42 und erhalten so 43.
Somit gilt: 43 ≡ 31 ≡ 1 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12002 + 162) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12002 + 162) mod 4 ≡ (12002 mod 4 + 162 mod 4) mod 4.
12002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
162 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 162
= 160
Somit gilt:
(12002 + 162) mod 4 ≡ (2 + 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 64) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 64) mod 10 ≡ (77 mod 10 ⋅ 64 mod 10) mod 10.
77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.
64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 64) mod 10 ≡ (7 ⋅ 4) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
9 mod m = 13 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:
m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2
m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3
m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4
m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5
m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6
m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7
m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8
m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
