Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 63 = 2.

Somit gilt: 65 mod 9 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.

Somit gilt: 91 mod 10 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 20 für die gilt: n ≡ 1 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 1 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 1 mod 10 sein, also addieren wir noch 1 auf die 10 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 91 ≡ 1 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 + 1498) mod 3 ≡ (120 mod 3 + 1498 mod 3) mod 3.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1500-2 = 3 ⋅ 500 -2 = 3 ⋅ 500 - 3 + 1.

Somit gilt:

(120 + 1498) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 53) mod 9 ≡ (86 mod 9 ⋅ 53 mod 9) mod 9.

86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 81 + 5 = 9 ⋅ 9 + 5 ist.

53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 53) mod 9 ≡ (5 ⋅ 8) mod 9 ≡ 40 mod 9 ≡ 4 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 53 aus, ob zufällig 53 mod m = 71 mod m gilt:

m=2: 53 mod 2 = 1 = 1 = 71 mod 2

m=3: 53 mod 3 = 2 = 2 = 71 mod 3

m=4: 53 mod 4 = 1 ≠ 3 = 71 mod 4

m=5: 53 mod 5 = 3 ≠ 1 = 71 mod 5

m=6: 53 mod 6 = 5 = 5 = 71 mod 6

m=7: 53 mod 7 = 4 ≠ 1 = 71 mod 7

m=8: 53 mod 8 = 5 ≠ 7 = 71 mod 8

m=9: 53 mod 9 = 8 = 8 = 71 mod 9

m=10: 53 mod 10 = 3 ≠ 1 = 71 mod 10

m=11: 53 mod 11 = 9 ≠ 5 = 71 mod 11

m=12: 53 mod 12 = 5 ≠ 11 = 71 mod 12

m=13: 53 mod 13 = 1 ≠ 6 = 71 mod 13

m=14: 53 mod 14 = 11 ≠ 1 = 71 mod 14

m=15: 53 mod 15 = 8 ≠ 11 = 71 mod 15

m=16: 53 mod 16 = 5 ≠ 7 = 71 mod 16

m=17: 53 mod 17 = 2 ≠ 3 = 71 mod 17

m=18: 53 mod 18 = 17 = 17 = 71 mod 18

m=19: 53 mod 19 = 15 ≠ 14 = 71 mod 19

m=20: 53 mod 20 = 13 ≠ 11 = 71 mod 20

m=21: 53 mod 21 = 11 ≠ 8 = 71 mod 21

m=22: 53 mod 22 = 9 ≠ 5 = 71 mod 22

m=23: 53 mod 23 = 7 ≠ 2 = 71 mod 23

m=24: 53 mod 24 = 5 ≠ 23 = 71 mod 24

m=25: 53 mod 25 = 3 ≠ 21 = 71 mod 25

m=26: 53 mod 26 = 1 ≠ 19 = 71 mod 26

m=27: 53 mod 27 = 26 ≠ 17 = 71 mod 27

m=28: 53 mod 28 = 25 ≠ 15 = 71 mod 28

m=29: 53 mod 29 = 24 ≠ 13 = 71 mod 29

m=30: 53 mod 30 = 23 ≠ 11 = 71 mod 30

m=31: 53 mod 31 = 22 ≠ 9 = 71 mod 31

m=32: 53 mod 32 = 21 ≠ 7 = 71 mod 32

m=33: 53 mod 33 = 20 ≠ 5 = 71 mod 33

m=34: 53 mod 34 = 19 ≠ 3 = 71 mod 34

m=35: 53 mod 35 = 18 ≠ 1 = 71 mod 35

m=36: 53 mod 36 = 17 ≠ 35 = 71 mod 36

m=37: 53 mod 37 = 16 ≠ 34 = 71 mod 37

m=38: 53 mod 38 = 15 ≠ 33 = 71 mod 38

m=39: 53 mod 39 = 14 ≠ 32 = 71 mod 39

m=40: 53 mod 40 = 13 ≠ 31 = 71 mod 40

m=41: 53 mod 41 = 12 ≠ 30 = 71 mod 41

m=42: 53 mod 42 = 11 ≠ 29 = 71 mod 42

m=43: 53 mod 43 = 10 ≠ 28 = 71 mod 43

m=44: 53 mod 44 = 9 ≠ 27 = 71 mod 44

m=45: 53 mod 45 = 8 ≠ 26 = 71 mod 45

m=46: 53 mod 46 = 7 ≠ 25 = 71 mod 46

m=47: 53 mod 47 = 6 ≠ 24 = 71 mod 47

m=48: 53 mod 48 = 5 ≠ 23 = 71 mod 48

m=49: 53 mod 49 = 4 ≠ 22 = 71 mod 49

m=50: 53 mod 50 = 3 ≠ 21 = 71 mod 50

m=51: 53 mod 51 = 2 ≠ 20 = 71 mod 51

m=52: 53 mod 52 = 1 ≠ 19 = 71 mod 52

m=53: 53 mod 53 = 0 ≠ 18 = 71 mod 53

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (71 - 53) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18