Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 75, weil ja 15 ⋅ 5 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 75 = 4.

Somit gilt: 79 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 42 = 6.

Somit gilt: 48 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 11 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 77 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 48 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(495 + 9996) mod 5 ≡ (495 mod 5 + 9996 mod 5) mod 5.

495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 495 = 400+95 = 5 ⋅ 80 +95.

9996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9996 = 9000+996 = 5 ⋅ 1800 +996.

Somit gilt:

(495 + 9996) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 63) mod 11 ≡ (76 mod 11 ⋅ 63 mod 11) mod 11.

76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.

63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 63) mod 11 ≡ (10 ⋅ 8) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 52 mod m gilt:

m=2: 37 mod 2 = 1 ≠ 0 = 52 mod 2

m=3: 37 mod 3 = 1 = 1 = 52 mod 3

m=4: 37 mod 4 = 1 ≠ 0 = 52 mod 4

m=5: 37 mod 5 = 2 = 2 = 52 mod 5

m=6: 37 mod 6 = 1 ≠ 4 = 52 mod 6

m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 3 = 52 mod 7

m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 4 = 52 mod 8

m=9: 37 mod 9 = 1 ≠ 7 = 52 mod 9

m=10: 37 mod 10 = 7 ≠ 2 = 52 mod 10

m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 8 = 52 mod 11

m=12: 37 mod 12 = 1 ≠ 4 = 52 mod 12

m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 0 = 52 mod 13

m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 10 = 52 mod 14

m=15: 37 mod 15 = 7 = 7 = 52 mod 15

m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 4 = 52 mod 16

m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 1 = 52 mod 17

m=18: 37 mod 18 = 1 ≠ 16 = 52 mod 18

m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 14 = 52 mod 19

m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 12 = 52 mod 20

m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 10 = 52 mod 21

m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 8 = 52 mod 22

m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 6 = 52 mod 23

m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 4 = 52 mod 24

m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 2 = 52 mod 25

m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 0 = 52 mod 26

m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 25 = 52 mod 27

m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 24 = 52 mod 28

m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 23 = 52 mod 29

m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 22 = 52 mod 30

m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 21 = 52 mod 31

m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 20 = 52 mod 32

m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 19 = 52 mod 33

m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 18 = 52 mod 34

m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 17 = 52 mod 35

m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 16 = 52 mod 36

m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 15 = 52 mod 37

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (52 - 37) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15