Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 77 = 2.

Somit gilt: 79 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 57, weil ja 19 ⋅ 3 = 57 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 57 = 0.

Somit gilt: 57 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 14 ⋅ 3

Somit gilt: 42 ≡ 57 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2396 - 32000) mod 8 ≡ (2396 mod 8 - 32000 mod 8) mod 8.

2396 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2396 = 2400-4 = 8 ⋅ 300 -4 = 8 ⋅ 300 - 8 + 4.

32000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32000 = 32000+0 = 8 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(2396 - 32000) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 56) mod 9 ≡ (72 mod 9 ⋅ 56 mod 9) mod 9.

72 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 8 ⋅ 9 + 0 ist.

56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 56) mod 9 ≡ (0 ⋅ 2) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 ≠ 2 = 38 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 2 = 38 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 = 3 = 38 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 = 8 = 38 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 10 = 38 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 28) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10