Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 8, weil ja 1 ⋅ 8 = 8 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 8 = 7.

Somit gilt: 15 mod 8 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 25 = 0.

Somit gilt: 25 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5

Somit gilt: 10 ≡ 25 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1500 + 899) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 899 mod 3) mod 3.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

899 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899 = 900-1 = 3 ⋅ 300 -1 = 3 ⋅ 300 - 3 + 2.

Somit gilt:

(1500 + 899) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 70) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 70 mod 9) mod 9.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 70) mod 9 ≡ (5 ⋅ 7) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 51 aus, ob zufällig 51 mod m = 69 mod m gilt:

m=2: 51 mod 2 = 1 = 1 = 69 mod 2

m=3: 51 mod 3 = 0 = 0 = 69 mod 3

m=4: 51 mod 4 = 3 ≠ 1 = 69 mod 4

m=5: 51 mod 5 = 1 ≠ 4 = 69 mod 5

m=6: 51 mod 6 = 3 = 3 = 69 mod 6

m=7: 51 mod 7 = 2 ≠ 6 = 69 mod 7

m=8: 51 mod 8 = 3 ≠ 5 = 69 mod 8

m=9: 51 mod 9 = 6 = 6 = 69 mod 9

m=10: 51 mod 10 = 1 ≠ 9 = 69 mod 10

m=11: 51 mod 11 = 7 ≠ 3 = 69 mod 11

m=12: 51 mod 12 = 3 ≠ 9 = 69 mod 12

m=13: 51 mod 13 = 12 ≠ 4 = 69 mod 13

m=14: 51 mod 14 = 9 ≠ 13 = 69 mod 14

m=15: 51 mod 15 = 6 ≠ 9 = 69 mod 15

m=16: 51 mod 16 = 3 ≠ 5 = 69 mod 16

m=17: 51 mod 17 = 0 ≠ 1 = 69 mod 17

m=18: 51 mod 18 = 15 = 15 = 69 mod 18

m=19: 51 mod 19 = 13 ≠ 12 = 69 mod 19

m=20: 51 mod 20 = 11 ≠ 9 = 69 mod 20

m=21: 51 mod 21 = 9 ≠ 6 = 69 mod 21

m=22: 51 mod 22 = 7 ≠ 3 = 69 mod 22

m=23: 51 mod 23 = 5 ≠ 0 = 69 mod 23

m=24: 51 mod 24 = 3 ≠ 21 = 69 mod 24

m=25: 51 mod 25 = 1 ≠ 19 = 69 mod 25

m=26: 51 mod 26 = 25 ≠ 17 = 69 mod 26

m=27: 51 mod 27 = 24 ≠ 15 = 69 mod 27

m=28: 51 mod 28 = 23 ≠ 13 = 69 mod 28

m=29: 51 mod 29 = 22 ≠ 11 = 69 mod 29

m=30: 51 mod 30 = 21 ≠ 9 = 69 mod 30

m=31: 51 mod 31 = 20 ≠ 7 = 69 mod 31

m=32: 51 mod 32 = 19 ≠ 5 = 69 mod 32

m=33: 51 mod 33 = 18 ≠ 3 = 69 mod 33

m=34: 51 mod 34 = 17 ≠ 1 = 69 mod 34

m=35: 51 mod 35 = 16 ≠ 34 = 69 mod 35

m=36: 51 mod 36 = 15 ≠ 33 = 69 mod 36

m=37: 51 mod 37 = 14 ≠ 32 = 69 mod 37

m=38: 51 mod 38 = 13 ≠ 31 = 69 mod 38

m=39: 51 mod 39 = 12 ≠ 30 = 69 mod 39

m=40: 51 mod 40 = 11 ≠ 29 = 69 mod 40

m=41: 51 mod 41 = 10 ≠ 28 = 69 mod 41

m=42: 51 mod 42 = 9 ≠ 27 = 69 mod 42

m=43: 51 mod 43 = 8 ≠ 26 = 69 mod 43

m=44: 51 mod 44 = 7 ≠ 25 = 69 mod 44

m=45: 51 mod 45 = 6 ≠ 24 = 69 mod 45

m=46: 51 mod 46 = 5 ≠ 23 = 69 mod 46

m=47: 51 mod 47 = 4 ≠ 22 = 69 mod 47

m=48: 51 mod 48 = 3 ≠ 21 = 69 mod 48

m=49: 51 mod 49 = 2 ≠ 20 = 69 mod 49

m=50: 51 mod 50 = 1 ≠ 19 = 69 mod 50

m=51: 51 mod 51 = 0 ≠ 18 = 69 mod 51

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (69 - 51) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18