Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.

Somit gilt: 54 mod 9 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 84 = 5.

Somit gilt: 89 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 11 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 66 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 89 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17994 - 17996) mod 6 ≡ (17994 mod 6 - 17996 mod 6) mod 6.

17994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17994 = 18000-6 = 6 ⋅ 3000 -6 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 0.

17996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17996 = 18000-4 = 6 ⋅ 3000 -4 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(17994 - 17996) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 22) mod 6 ≡ (33 mod 6 ⋅ 22 mod 6) mod 6.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

22 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 3 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 22) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 = 3 = 27 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 8 = 27 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 7 = 27 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 6 = 27 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 21) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6