Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 95 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 90 = 5.

Somit gilt: 95 mod 9 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 73 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 72, weil ja 18 ⋅ 4 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 92 = 23 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 92 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 73 ≡ 1 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1395 - 28004) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1395 - 28004) mod 7 ≡ (1395 mod 7 - 28004 mod 7) mod 7.

1395 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1395 = 1400-5 = 7 ⋅ 200 -5 = 7 ⋅ 200 - 7 + 2.

28004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28004 = 28000+4 = 7 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(1395 - 28004) mod 7 ≡ (2 - 4) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 24) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 24) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 24 mod 3) mod 3.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 24) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 23 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:

m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2

m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3

m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4

m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5

m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6

m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7

m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8

m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9

m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10

m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11

m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12

m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13

m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14

m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15

m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16

m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6