Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 45 = 3.

Somit gilt: 48 mod 9 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 80 = 1.

Somit gilt: 81 mod 8 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 9 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 72 und erhalten so 73.

Somit gilt: 73 ≡ 81 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7004 - 3493) mod 7 ≡ (7004 mod 7 - 3493 mod 7) mod 7.

7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004 = 7000+4 = 7 ⋅ 1000 +4.

3493 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3493 = 3500-7 = 7 ⋅ 500 -7 = 7 ⋅ 500 - 7 + 0.

Somit gilt:

(7004 - 3493) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 68) mod 7 ≡ (40 mod 7 ⋅ 68 mod 7) mod 7.

40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.

68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 68) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:

m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2

m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3

m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4

m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5

m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6

m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7

m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8

m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9

m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10

m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4