Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 11 = 4.

Somit gilt: 15 mod 11 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 40 = 5.

Somit gilt: 45 mod 10 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 60 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 5 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 50 und erhalten so 55.

Somit gilt: 55 ≡ 45 ≡ 5 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1803 - 23996) mod 6 ≡ (1803 mod 6 - 23996 mod 6) mod 6.

1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803 = 1800+3 = 6 ⋅ 300 +3.

23996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996 = 24000-4 = 6 ⋅ 4000 -4 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(1803 - 23996) mod 6 ≡ (3 - 2) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 51) mod 10 ≡ (47 mod 10 ⋅ 51 mod 10) mod 10.

47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.

51 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 5 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 51) mod 10 ≡ (7 ⋅ 1) mod 10 ≡ 7 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6