Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 21 = 4.

Somit gilt: 25 mod 7 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 72 = 2.

Somit gilt: 74 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 64 und erhalten so 66.

Somit gilt: 66 ≡ 74 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(138 + 7003) mod 7 ≡ (138 mod 7 + 7003 mod 7) mod 7.

138 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 138 = 140-2 = 7 ⋅ 20 -2 = 7 ⋅ 20 - 7 + 5.

7003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7003 = 7000+3 = 7 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(138 + 7003) mod 7 ≡ (5 + 3) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 42) mod 8 ≡ (80 mod 8 ⋅ 42 mod 8) mod 8.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.

42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 42) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 ≠ 1 = 37 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 ≠ 1 = 37 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 = 2 = 37 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 = 7 = 37 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 10 = 37 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 27) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10