Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 24 = 5.

Somit gilt: 29 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 60 und erhalten so 65.

Somit gilt: 65 ≡ 29 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35002 - 208) mod 7 ≡ (35002 mod 7 - 208 mod 7) mod 7.

35002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35002 = 35000+2 = 7 ⋅ 5000 +2.

208 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 208 = 210-2 = 7 ⋅ 30 -2 = 7 ⋅ 30 - 7 + 5.

Somit gilt:

(35002 - 208) mod 7 ≡ (2 - 5) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 36) mod 5 ≡ (67 mod 5 ⋅ 36 mod 5) mod 5.

67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.

36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 36) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 34 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 ≠ 1 = 34 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 = 2 = 34 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 4 = 34 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 = 2 = 34 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 7 = 34 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 4 = 34 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 10 = 34 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 9 = 34 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 8 = 34 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 26) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8