Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 33 = 2.

Somit gilt: 35 mod 11 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 42 = 2.

Somit gilt: 44 mod 7 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 12 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 2 mod 7 sein, also addieren wir noch 2 auf die 84 und erhalten so 86.

Somit gilt: 86 ≡ 44 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1199 + 606) mod 6 ≡ (1199 mod 6 + 606 mod 6) mod 6.

1199 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 6 ⋅ 200 -1 = 6 ⋅ 200 - 6 + 5.

606 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 606 = 600+6 = 6 ⋅ 100 +6.

Somit gilt:

(1199 + 606) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 23) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 23 mod 8) mod 8.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 23) mod 8 ≡ (1 ⋅ 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 ≠ 0 = 30 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 30 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 2 = 30 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 0 = 30 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 6 = 30 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 = 3 = 30 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 0 = 30 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 10 = 30 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 9 = 30 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 21) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9