Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 81 = 8.

Somit gilt: 89 mod 9 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 56 = 0.

Somit gilt: 56 mod 8 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 4 ⋅ 8

Somit gilt: 32 ≡ 56 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 + 27005) mod 9 ≡ (82 mod 9 + 27005 mod 9) mod 9.

82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 90-8 = 9 ⋅ 10 -8 = 9 ⋅ 10 - 9 + 1.

27005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27005 = 27000+5 = 9 ⋅ 3000 +5.

Somit gilt:

(82 + 27005) mod 9 ≡ (1 + 5) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 72) mod 5 ≡ (31 mod 5 ⋅ 72 mod 5) mod 5.

31 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 6 ⋅ 5 + 1 ist.

72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 72) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 42 aus, ob zufällig 42 mod m = 54 mod m gilt:

m=2: 42 mod 2 = 0 = 0 = 54 mod 2

m=3: 42 mod 3 = 0 = 0 = 54 mod 3

m=4: 42 mod 4 = 2 = 2 = 54 mod 4

m=5: 42 mod 5 = 2 ≠ 4 = 54 mod 5

m=6: 42 mod 6 = 0 = 0 = 54 mod 6

m=7: 42 mod 7 = 0 ≠ 5 = 54 mod 7

m=8: 42 mod 8 = 2 ≠ 6 = 54 mod 8

m=9: 42 mod 9 = 6 ≠ 0 = 54 mod 9

m=10: 42 mod 10 = 2 ≠ 4 = 54 mod 10

m=11: 42 mod 11 = 9 ≠ 10 = 54 mod 11

m=12: 42 mod 12 = 6 = 6 = 54 mod 12

m=13: 42 mod 13 = 3 ≠ 2 = 54 mod 13

m=14: 42 mod 14 = 0 ≠ 12 = 54 mod 14

m=15: 42 mod 15 = 12 ≠ 9 = 54 mod 15

m=16: 42 mod 16 = 10 ≠ 6 = 54 mod 16

m=17: 42 mod 17 = 8 ≠ 3 = 54 mod 17

m=18: 42 mod 18 = 6 ≠ 0 = 54 mod 18

m=19: 42 mod 19 = 4 ≠ 16 = 54 mod 19

m=20: 42 mod 20 = 2 ≠ 14 = 54 mod 20

m=21: 42 mod 21 = 0 ≠ 12 = 54 mod 21

m=22: 42 mod 22 = 20 ≠ 10 = 54 mod 22

m=23: 42 mod 23 = 19 ≠ 8 = 54 mod 23

m=24: 42 mod 24 = 18 ≠ 6 = 54 mod 24

m=25: 42 mod 25 = 17 ≠ 4 = 54 mod 25

m=26: 42 mod 26 = 16 ≠ 2 = 54 mod 26

m=27: 42 mod 27 = 15 ≠ 0 = 54 mod 27

m=28: 42 mod 28 = 14 ≠ 26 = 54 mod 28

m=29: 42 mod 29 = 13 ≠ 25 = 54 mod 29

m=30: 42 mod 30 = 12 ≠ 24 = 54 mod 30

m=31: 42 mod 31 = 11 ≠ 23 = 54 mod 31

m=32: 42 mod 32 = 10 ≠ 22 = 54 mod 32

m=33: 42 mod 33 = 9 ≠ 21 = 54 mod 33

m=34: 42 mod 34 = 8 ≠ 20 = 54 mod 34

m=35: 42 mod 35 = 7 ≠ 19 = 54 mod 35

m=36: 42 mod 36 = 6 ≠ 18 = 54 mod 36

m=37: 42 mod 37 = 5 ≠ 17 = 54 mod 37

m=38: 42 mod 38 = 4 ≠ 16 = 54 mod 38

m=39: 42 mod 39 = 3 ≠ 15 = 54 mod 39

m=40: 42 mod 40 = 2 ≠ 14 = 54 mod 40

m=41: 42 mod 41 = 1 ≠ 13 = 54 mod 41

m=42: 42 mod 42 = 0 ≠ 12 = 54 mod 42

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (54 - 42) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12