Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 56 = 1.

Somit gilt: 57 mod 8 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 55 = 8.

Somit gilt: 63 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 44 und erhalten so 52.

Somit gilt: 52 ≡ 63 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 - 6000) mod 6 ≡ (58 mod 6 - 6000 mod 6) mod 6.

58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 60-2 = 6 ⋅ 10 -2 = 6 ⋅ 10 - 6 + 4.

6000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 6 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(58 - 6000) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 91) mod 4 ≡ (82 mod 4 ⋅ 91 mod 4) mod 4.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 20 ⋅ 4 + 2 ist.

91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 91) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:

m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2

m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3

m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4

m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5

m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6

m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7

m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4