Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 37 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 37 - 32 = 5.
Somit gilt: 37 mod 8 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 65 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.
Somit gilt: 65 mod 8 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 4 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 32 und erhalten so 33.
Somit gilt: 33 ≡ 65 ≡ 1 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 - 1199) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 - 1199) mod 3 ≡ (1500 mod 3 - 1199 mod 3) mod 3.
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
Somit gilt:
(1500 - 1199) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 59) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 59) mod 7 ≡ (43 mod 7 ⋅ 59 mod 7) mod 7.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 59) mod 7 ≡ (1 ⋅ 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
