Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 18 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 18 - 15 = 3.
Somit gilt: 18 mod 5 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 62 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 62 - 56 = 6.
Somit gilt: 62 mod 7 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 7 = 1 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 7 und erhalten so 13.
Somit gilt: 13 ≡ 62 ≡ 6 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35004 + 71) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35004 + 71) mod 7 ≡ (35004 mod 7 + 71 mod 7) mod 7.
35004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35004
= 35000
71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71
= 70
Somit gilt:
(35004 + 71) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 36) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 36) mod 11 ≡ (92 mod 11 ⋅ 36 mod 11) mod 11.
92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.
36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 36) mod 11 ≡ (4 ⋅ 3) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
10 mod m = 14 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:
m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2
m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3
m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4
m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5
m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6
m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7
m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8
m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9
m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
