Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 91 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.
Somit gilt: 91 mod 6 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 89 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 81 = 8.
Somit gilt: 89 mod 9 ≡ 8.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 27 und erhalten so 35.
Somit gilt: 35 ≡ 89 ≡ 8 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3594 + 26992) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3594 + 26992) mod 9 ≡ (3594 mod 9 + 26992 mod 9) mod 9.
3594 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3594
= 3600
26992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26992
= 27000
Somit gilt:
(3594 + 26992) mod 9 ≡ (3 + 1) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 75) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 75) mod 5 ≡ (37 mod 5 ⋅ 75 mod 5) mod 5.
37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.
75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 75) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
