Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 50 = 3.

Somit gilt: 53 mod 10 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 30 = 3.

Somit gilt: 33 mod 10 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 100 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 9 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 90 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 33 ≡ 3 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 + 6006) mod 6 ≡ (63 mod 6 + 6006 mod 6) mod 6.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 6 ⋅ 10 +3.

6006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6006 = 6000+6 = 6 ⋅ 1000 +6.

Somit gilt:

(63 + 6006) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 40) mod 10 ≡ (93 mod 10 ⋅ 40 mod 10) mod 10.

93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.

40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 40) mod 10 ≡ (3 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 186 aus, ob zufällig 186 mod m = 261 mod m gilt:

m=2: 186 mod 2 = 0 ≠ 1 = 261 mod 2

m=3: 186 mod 3 = 0 = 0 = 261 mod 3

m=4: 186 mod 4 = 2 ≠ 1 = 261 mod 4

m=5: 186 mod 5 = 1 = 1 = 261 mod 5

m=6: 186 mod 6 = 0 ≠ 3 = 261 mod 6

m=7: 186 mod 7 = 4 ≠ 2 = 261 mod 7

m=8: 186 mod 8 = 2 ≠ 5 = 261 mod 8

m=9: 186 mod 9 = 6 ≠ 0 = 261 mod 9

m=10: 186 mod 10 = 6 ≠ 1 = 261 mod 10

m=11: 186 mod 11 = 10 ≠ 8 = 261 mod 11

m=12: 186 mod 12 = 6 ≠ 9 = 261 mod 12

m=13: 186 mod 13 = 4 ≠ 1 = 261 mod 13

m=14: 186 mod 14 = 4 ≠ 9 = 261 mod 14

m=15: 186 mod 15 = 6 = 6 = 261 mod 15

m=16: 186 mod 16 = 10 ≠ 5 = 261 mod 16

m=17: 186 mod 17 = 16 ≠ 6 = 261 mod 17

m=18: 186 mod 18 = 6 ≠ 9 = 261 mod 18

m=19: 186 mod 19 = 15 ≠ 14 = 261 mod 19

m=20: 186 mod 20 = 6 ≠ 1 = 261 mod 20

m=21: 186 mod 21 = 18 ≠ 9 = 261 mod 21

m=22: 186 mod 22 = 10 ≠ 19 = 261 mod 22

m=23: 186 mod 23 = 2 ≠ 8 = 261 mod 23

m=24: 186 mod 24 = 18 ≠ 21 = 261 mod 24

m=25: 186 mod 25 = 11 = 11 = 261 mod 25

m=26: 186 mod 26 = 4 ≠ 1 = 261 mod 26

m=27: 186 mod 27 = 24 ≠ 18 = 261 mod 27

m=28: 186 mod 28 = 18 ≠ 9 = 261 mod 28

m=29: 186 mod 29 = 12 ≠ 0 = 261 mod 29

m=30: 186 mod 30 = 6 ≠ 21 = 261 mod 30

m=31: 186 mod 31 = 0 ≠ 13 = 261 mod 31

m=32: 186 mod 32 = 26 ≠ 5 = 261 mod 32

m=33: 186 mod 33 = 21 ≠ 30 = 261 mod 33

m=34: 186 mod 34 = 16 ≠ 23 = 261 mod 34

m=35: 186 mod 35 = 11 ≠ 16 = 261 mod 35

m=36: 186 mod 36 = 6 ≠ 9 = 261 mod 36

m=37: 186 mod 37 = 1 ≠ 2 = 261 mod 37

m=38: 186 mod 38 = 34 ≠ 33 = 261 mod 38

m=39: 186 mod 39 = 30 ≠ 27 = 261 mod 39

m=40: 186 mod 40 = 26 ≠ 21 = 261 mod 40

m=41: 186 mod 41 = 22 ≠ 15 = 261 mod 41

m=42: 186 mod 42 = 18 ≠ 9 = 261 mod 42

m=43: 186 mod 43 = 14 ≠ 3 = 261 mod 43

m=44: 186 mod 44 = 10 ≠ 41 = 261 mod 44

m=45: 186 mod 45 = 6 ≠ 36 = 261 mod 45

m=46: 186 mod 46 = 2 ≠ 31 = 261 mod 46

m=47: 186 mod 47 = 45 ≠ 26 = 261 mod 47

m=48: 186 mod 48 = 42 ≠ 21 = 261 mod 48

m=49: 186 mod 49 = 39 ≠ 16 = 261 mod 49

m=50: 186 mod 50 = 36 ≠ 11 = 261 mod 50

m=51: 186 mod 51 = 33 ≠ 6 = 261 mod 51

m=52: 186 mod 52 = 30 ≠ 1 = 261 mod 52

m=53: 186 mod 53 = 27 ≠ 49 = 261 mod 53

m=54: 186 mod 54 = 24 ≠ 45 = 261 mod 54

m=55: 186 mod 55 = 21 ≠ 41 = 261 mod 55

m=56: 186 mod 56 = 18 ≠ 37 = 261 mod 56

m=57: 186 mod 57 = 15 ≠ 33 = 261 mod 57

m=58: 186 mod 58 = 12 ≠ 29 = 261 mod 58

m=59: 186 mod 59 = 9 ≠ 25 = 261 mod 59

m=60: 186 mod 60 = 6 ≠ 21 = 261 mod 60

m=61: 186 mod 61 = 3 ≠ 17 = 261 mod 61

m=62: 186 mod 62 = 0 ≠ 13 = 261 mod 62

m=63: 186 mod 63 = 60 ≠ 9 = 261 mod 63

m=64: 186 mod 64 = 58 ≠ 5 = 261 mod 64

m=65: 186 mod 65 = 56 ≠ 1 = 261 mod 65

m=66: 186 mod 66 = 54 ≠ 63 = 261 mod 66

m=67: 186 mod 67 = 52 ≠ 60 = 261 mod 67

m=68: 186 mod 68 = 50 ≠ 57 = 261 mod 68

m=69: 186 mod 69 = 48 ≠ 54 = 261 mod 69

m=70: 186 mod 70 = 46 ≠ 51 = 261 mod 70

m=71: 186 mod 71 = 44 ≠ 48 = 261 mod 71

m=72: 186 mod 72 = 42 ≠ 45 = 261 mod 72

m=73: 186 mod 73 = 40 ≠ 42 = 261 mod 73

m=74: 186 mod 74 = 38 ≠ 39 = 261 mod 74

m=75: 186 mod 75 = 36 = 36 = 261 mod 75

m=76: 186 mod 76 = 34 ≠ 33 = 261 mod 76

m=77: 186 mod 77 = 32 ≠ 30 = 261 mod 77

m=78: 186 mod 78 = 30 ≠ 27 = 261 mod 78

m=79: 186 mod 79 = 28 ≠ 24 = 261 mod 79

m=80: 186 mod 80 = 26 ≠ 21 = 261 mod 80

m=81: 186 mod 81 = 24 ≠ 18 = 261 mod 81

m=82: 186 mod 82 = 22 ≠ 15 = 261 mod 82

m=83: 186 mod 83 = 20 ≠ 12 = 261 mod 83

m=84: 186 mod 84 = 18 ≠ 9 = 261 mod 84

m=85: 186 mod 85 = 16 ≠ 6 = 261 mod 85

m=86: 186 mod 86 = 14 ≠ 3 = 261 mod 86

m=87: 186 mod 87 = 12 ≠ 0 = 261 mod 87

m=88: 186 mod 88 = 10 ≠ 85 = 261 mod 88

m=89: 186 mod 89 = 8 ≠ 83 = 261 mod 89

m=90: 186 mod 90 = 6 ≠ 81 = 261 mod 90

m=91: 186 mod 91 = 4 ≠ 79 = 261 mod 91

m=92: 186 mod 92 = 2 ≠ 77 = 261 mod 92

m=93: 186 mod 93 = 0 ≠ 75 = 261 mod 93

m=94: 186 mod 94 = 92 ≠ 73 = 261 mod 94

m=95: 186 mod 95 = 91 ≠ 71 = 261 mod 95

m=96: 186 mod 96 = 90 ≠ 69 = 261 mod 96

m=97: 186 mod 97 = 89 ≠ 67 = 261 mod 97

m=98: 186 mod 98 = 88 ≠ 65 = 261 mod 98

m=99: 186 mod 99 = 87 ≠ 63 = 261 mod 99

m=100: 186 mod 100 = 86 ≠ 61 = 261 mod 100

m=101: 186 mod 101 = 85 ≠ 59 = 261 mod 101

m=102: 186 mod 102 = 84 ≠ 57 = 261 mod 102

m=103: 186 mod 103 = 83 ≠ 55 = 261 mod 103

m=104: 186 mod 104 = 82 ≠ 53 = 261 mod 104

m=105: 186 mod 105 = 81 ≠ 51 = 261 mod 105

m=106: 186 mod 106 = 80 ≠ 49 = 261 mod 106

m=107: 186 mod 107 = 79 ≠ 47 = 261 mod 107

m=108: 186 mod 108 = 78 ≠ 45 = 261 mod 108

m=109: 186 mod 109 = 77 ≠ 43 = 261 mod 109

m=110: 186 mod 110 = 76 ≠ 41 = 261 mod 110

m=111: 186 mod 111 = 75 ≠ 39 = 261 mod 111

m=112: 186 mod 112 = 74 ≠ 37 = 261 mod 112

m=113: 186 mod 113 = 73 ≠ 35 = 261 mod 113

m=114: 186 mod 114 = 72 ≠ 33 = 261 mod 114

m=115: 186 mod 115 = 71 ≠ 31 = 261 mod 115

m=116: 186 mod 116 = 70 ≠ 29 = 261 mod 116

m=117: 186 mod 117 = 69 ≠ 27 = 261 mod 117

m=118: 186 mod 118 = 68 ≠ 25 = 261 mod 118

m=119: 186 mod 119 = 67 ≠ 23 = 261 mod 119

m=120: 186 mod 120 = 66 ≠ 21 = 261 mod 120

m=121: 186 mod 121 = 65 ≠ 19 = 261 mod 121

m=122: 186 mod 122 = 64 ≠ 17 = 261 mod 122

m=123: 186 mod 123 = 63 ≠ 15 = 261 mod 123

m=124: 186 mod 124 = 62 ≠ 13 = 261 mod 124

m=125: 186 mod 125 = 61 ≠ 11 = 261 mod 125

m=126: 186 mod 126 = 60 ≠ 9 = 261 mod 126

m=127: 186 mod 127 = 59 ≠ 7 = 261 mod 127

m=128: 186 mod 128 = 58 ≠ 5 = 261 mod 128

m=129: 186 mod 129 = 57 ≠ 3 = 261 mod 129

m=130: 186 mod 130 = 56 ≠ 1 = 261 mod 130

m=131: 186 mod 131 = 55 ≠ 130 = 261 mod 131

m=132: 186 mod 132 = 54 ≠ 129 = 261 mod 132

m=133: 186 mod 133 = 53 ≠ 128 = 261 mod 133

m=134: 186 mod 134 = 52 ≠ 127 = 261 mod 134

m=135: 186 mod 135 = 51 ≠ 126 = 261 mod 135

m=136: 186 mod 136 = 50 ≠ 125 = 261 mod 136

m=137: 186 mod 137 = 49 ≠ 124 = 261 mod 137

m=138: 186 mod 138 = 48 ≠ 123 = 261 mod 138

m=139: 186 mod 139 = 47 ≠ 122 = 261 mod 139

m=140: 186 mod 140 = 46 ≠ 121 = 261 mod 140

m=141: 186 mod 141 = 45 ≠ 120 = 261 mod 141

m=142: 186 mod 142 = 44 ≠ 119 = 261 mod 142

m=143: 186 mod 143 = 43 ≠ 118 = 261 mod 143

m=144: 186 mod 144 = 42 ≠ 117 = 261 mod 144

m=145: 186 mod 145 = 41 ≠ 116 = 261 mod 145

m=146: 186 mod 146 = 40 ≠ 115 = 261 mod 146

m=147: 186 mod 147 = 39 ≠ 114 = 261 mod 147

m=148: 186 mod 148 = 38 ≠ 113 = 261 mod 148

m=149: 186 mod 149 = 37 ≠ 112 = 261 mod 149

m=150: 186 mod 150 = 36 ≠ 111 = 261 mod 150

m=151: 186 mod 151 = 35 ≠ 110 = 261 mod 151

m=152: 186 mod 152 = 34 ≠ 109 = 261 mod 152

m=153: 186 mod 153 = 33 ≠ 108 = 261 mod 153

m=154: 186 mod 154 = 32 ≠ 107 = 261 mod 154

m=155: 186 mod 155 = 31 ≠ 106 = 261 mod 155

m=156: 186 mod 156 = 30 ≠ 105 = 261 mod 156

m=157: 186 mod 157 = 29 ≠ 104 = 261 mod 157

m=158: 186 mod 158 = 28 ≠ 103 = 261 mod 158

m=159: 186 mod 159 = 27 ≠ 102 = 261 mod 159

m=160: 186 mod 160 = 26 ≠ 101 = 261 mod 160

m=161: 186 mod 161 = 25 ≠ 100 = 261 mod 161

m=162: 186 mod 162 = 24 ≠ 99 = 261 mod 162

m=163: 186 mod 163 = 23 ≠ 98 = 261 mod 163

m=164: 186 mod 164 = 22 ≠ 97 = 261 mod 164

m=165: 186 mod 165 = 21 ≠ 96 = 261 mod 165

m=166: 186 mod 166 = 20 ≠ 95 = 261 mod 166

m=167: 186 mod 167 = 19 ≠ 94 = 261 mod 167

m=168: 186 mod 168 = 18 ≠ 93 = 261 mod 168

m=169: 186 mod 169 = 17 ≠ 92 = 261 mod 169

m=170: 186 mod 170 = 16 ≠ 91 = 261 mod 170

m=171: 186 mod 171 = 15 ≠ 90 = 261 mod 171

m=172: 186 mod 172 = 14 ≠ 89 = 261 mod 172

m=173: 186 mod 173 = 13 ≠ 88 = 261 mod 173

m=174: 186 mod 174 = 12 ≠ 87 = 261 mod 174

m=175: 186 mod 175 = 11 ≠ 86 = 261 mod 175

m=176: 186 mod 176 = 10 ≠ 85 = 261 mod 176

m=177: 186 mod 177 = 9 ≠ 84 = 261 mod 177

m=178: 186 mod 178 = 8 ≠ 83 = 261 mod 178

m=179: 186 mod 179 = 7 ≠ 82 = 261 mod 179

m=180: 186 mod 180 = 6 ≠ 81 = 261 mod 180

m=181: 186 mod 181 = 5 ≠ 80 = 261 mod 181

m=182: 186 mod 182 = 4 ≠ 79 = 261 mod 182

m=183: 186 mod 183 = 3 ≠ 78 = 261 mod 183

m=184: 186 mod 184 = 2 ≠ 77 = 261 mod 184

m=185: 186 mod 185 = 1 ≠ 76 = 261 mod 185

m=186: 186 mod 186 = 0 ≠ 75 = 261 mod 186

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (261 - 186) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75