Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 60 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.
Somit gilt: 60 mod 5 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 45 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 45 - 42 = 3.
Somit gilt: 45 mod 7 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 91 = 13 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 91 und erhalten so 94.
Somit gilt: 94 ≡ 45 ≡ 3 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (212 - 139) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(212 - 139) mod 7 ≡ (212 mod 7 - 139 mod 7) mod 7.
212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212
= 210
139 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 139
= 140
Somit gilt:
(212 - 139) mod 7 ≡ (2 - 6) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 95) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 95) mod 5 ≡ (42 mod 5 ⋅ 95 mod 5) mod 5.
42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 95) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 31 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 31 mod m gilt:
m=2: 22 mod 2 = 0 ≠ 1 = 31 mod 2
m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 31 mod 3
m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 3 = 31 mod 4
m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 1 = 31 mod 5
m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 1 = 31 mod 6
m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 3 = 31 mod 7
m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 7 = 31 mod 8
m=9: 22 mod 9 = 4 = 4 = 31 mod 9
m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 1 = 31 mod 10
m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 9 = 31 mod 11
m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 7 = 31 mod 12
m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 5 = 31 mod 13
m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 3 = 31 mod 14
m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 1 = 31 mod 15
m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 15 = 31 mod 16
m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 14 = 31 mod 17
m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 13 = 31 mod 18
m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 12 = 31 mod 19
m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 11 = 31 mod 20
m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 10 = 31 mod 21
m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 9 = 31 mod 22
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 22) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
