Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 16 = 3.

Somit gilt: 19 mod 8 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 50 = 5.

Somit gilt: 55 mod 10 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 60 und erhalten so 65.

Somit gilt: 65 ≡ 55 ≡ 5 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(800 + 31997) mod 8 ≡ (800 mod 8 + 31997 mod 8) mod 8.

800 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 8 ⋅ 100 +0.

31997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31997 = 31000+997 = 8 ⋅ 3875 +997.

Somit gilt:

(800 + 31997) mod 8 ≡ (0 + 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 74) mod 10 ≡ (60 mod 10 ⋅ 74 mod 10) mod 10.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

74 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 7 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 74) mod 10 ≡ (0 ⋅ 4) mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 77 aus, ob zufällig 77 mod m = 97 mod m gilt:

m=2: 77 mod 2 = 1 = 1 = 97 mod 2

m=3: 77 mod 3 = 2 ≠ 1 = 97 mod 3

m=4: 77 mod 4 = 1 = 1 = 97 mod 4

m=5: 77 mod 5 = 2 = 2 = 97 mod 5

m=6: 77 mod 6 = 5 ≠ 1 = 97 mod 6

m=7: 77 mod 7 = 0 ≠ 6 = 97 mod 7

m=8: 77 mod 8 = 5 ≠ 1 = 97 mod 8

m=9: 77 mod 9 = 5 ≠ 7 = 97 mod 9

m=10: 77 mod 10 = 7 = 7 = 97 mod 10

m=11: 77 mod 11 = 0 ≠ 9 = 97 mod 11

m=12: 77 mod 12 = 5 ≠ 1 = 97 mod 12

m=13: 77 mod 13 = 12 ≠ 6 = 97 mod 13

m=14: 77 mod 14 = 7 ≠ 13 = 97 mod 14

m=15: 77 mod 15 = 2 ≠ 7 = 97 mod 15

m=16: 77 mod 16 = 13 ≠ 1 = 97 mod 16

m=17: 77 mod 17 = 9 ≠ 12 = 97 mod 17

m=18: 77 mod 18 = 5 ≠ 7 = 97 mod 18

m=19: 77 mod 19 = 1 ≠ 2 = 97 mod 19

m=20: 77 mod 20 = 17 = 17 = 97 mod 20

m=21: 77 mod 21 = 14 ≠ 13 = 97 mod 21

m=22: 77 mod 22 = 11 ≠ 9 = 97 mod 22

m=23: 77 mod 23 = 8 ≠ 5 = 97 mod 23

m=24: 77 mod 24 = 5 ≠ 1 = 97 mod 24

m=25: 77 mod 25 = 2 ≠ 22 = 97 mod 25

m=26: 77 mod 26 = 25 ≠ 19 = 97 mod 26

m=27: 77 mod 27 = 23 ≠ 16 = 97 mod 27

m=28: 77 mod 28 = 21 ≠ 13 = 97 mod 28

m=29: 77 mod 29 = 19 ≠ 10 = 97 mod 29

m=30: 77 mod 30 = 17 ≠ 7 = 97 mod 30

m=31: 77 mod 31 = 15 ≠ 4 = 97 mod 31

m=32: 77 mod 32 = 13 ≠ 1 = 97 mod 32

m=33: 77 mod 33 = 11 ≠ 31 = 97 mod 33

m=34: 77 mod 34 = 9 ≠ 29 = 97 mod 34

m=35: 77 mod 35 = 7 ≠ 27 = 97 mod 35

m=36: 77 mod 36 = 5 ≠ 25 = 97 mod 36

m=37: 77 mod 37 = 3 ≠ 23 = 97 mod 37

m=38: 77 mod 38 = 1 ≠ 21 = 97 mod 38

m=39: 77 mod 39 = 38 ≠ 19 = 97 mod 39

m=40: 77 mod 40 = 37 ≠ 17 = 97 mod 40

m=41: 77 mod 41 = 36 ≠ 15 = 97 mod 41

m=42: 77 mod 42 = 35 ≠ 13 = 97 mod 42

m=43: 77 mod 43 = 34 ≠ 11 = 97 mod 43

m=44: 77 mod 44 = 33 ≠ 9 = 97 mod 44

m=45: 77 mod 45 = 32 ≠ 7 = 97 mod 45

m=46: 77 mod 46 = 31 ≠ 5 = 97 mod 46

m=47: 77 mod 47 = 30 ≠ 3 = 97 mod 47

m=48: 77 mod 48 = 29 ≠ 1 = 97 mod 48

m=49: 77 mod 49 = 28 ≠ 48 = 97 mod 49

m=50: 77 mod 50 = 27 ≠ 47 = 97 mod 50

m=51: 77 mod 51 = 26 ≠ 46 = 97 mod 51

m=52: 77 mod 52 = 25 ≠ 45 = 97 mod 52

m=53: 77 mod 53 = 24 ≠ 44 = 97 mod 53

m=54: 77 mod 54 = 23 ≠ 43 = 97 mod 54

m=55: 77 mod 55 = 22 ≠ 42 = 97 mod 55

m=56: 77 mod 56 = 21 ≠ 41 = 97 mod 56

m=57: 77 mod 57 = 20 ≠ 40 = 97 mod 57

m=58: 77 mod 58 = 19 ≠ 39 = 97 mod 58

m=59: 77 mod 59 = 18 ≠ 38 = 97 mod 59

m=60: 77 mod 60 = 17 ≠ 37 = 97 mod 60

m=61: 77 mod 61 = 16 ≠ 36 = 97 mod 61

m=62: 77 mod 62 = 15 ≠ 35 = 97 mod 62

m=63: 77 mod 63 = 14 ≠ 34 = 97 mod 63

m=64: 77 mod 64 = 13 ≠ 33 = 97 mod 64

m=65: 77 mod 65 = 12 ≠ 32 = 97 mod 65

m=66: 77 mod 66 = 11 ≠ 31 = 97 mod 66

m=67: 77 mod 67 = 10 ≠ 30 = 97 mod 67

m=68: 77 mod 68 = 9 ≠ 29 = 97 mod 68

m=69: 77 mod 69 = 8 ≠ 28 = 97 mod 69

m=70: 77 mod 70 = 7 ≠ 27 = 97 mod 70

m=71: 77 mod 71 = 6 ≠ 26 = 97 mod 71

m=72: 77 mod 72 = 5 ≠ 25 = 97 mod 72

m=73: 77 mod 73 = 4 ≠ 24 = 97 mod 73

m=74: 77 mod 74 = 3 ≠ 23 = 97 mod 74

m=75: 77 mod 75 = 2 ≠ 22 = 97 mod 75

m=76: 77 mod 76 = 1 ≠ 21 = 97 mod 76

m=77: 77 mod 77 = 0 ≠ 20 = 97 mod 77

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (97 - 77) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20