Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 22 = 9.

Somit gilt: 31 mod 11 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 77 = 2.

Somit gilt: 79 mod 7 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 12 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 2 mod 7 sein, also addieren wir noch 2 auf die 84 und erhalten so 86.

Somit gilt: 86 ≡ 79 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(900 - 26994) mod 9 ≡ (900 mod 9 - 26994 mod 9) mod 9.

900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 9 ⋅ 100 +0.

26994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26994 = 27000-6 = 9 ⋅ 3000 -6 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 3.

Somit gilt:

(900 - 26994) mod 9 ≡ (0 - 3) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 70) mod 7 ≡ (27 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.

27 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 21 + 6 = 3 ⋅ 7 + 6 ist.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 70) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 36 aus, ob zufällig 36 mod m = 54 mod m gilt:

m=2: 36 mod 2 = 0 = 0 = 54 mod 2

m=3: 36 mod 3 = 0 = 0 = 54 mod 3

m=4: 36 mod 4 = 0 ≠ 2 = 54 mod 4

m=5: 36 mod 5 = 1 ≠ 4 = 54 mod 5

m=6: 36 mod 6 = 0 = 0 = 54 mod 6

m=7: 36 mod 7 = 1 ≠ 5 = 54 mod 7

m=8: 36 mod 8 = 4 ≠ 6 = 54 mod 8

m=9: 36 mod 9 = 0 = 0 = 54 mod 9

m=10: 36 mod 10 = 6 ≠ 4 = 54 mod 10

m=11: 36 mod 11 = 3 ≠ 10 = 54 mod 11

m=12: 36 mod 12 = 0 ≠ 6 = 54 mod 12

m=13: 36 mod 13 = 10 ≠ 2 = 54 mod 13

m=14: 36 mod 14 = 8 ≠ 12 = 54 mod 14

m=15: 36 mod 15 = 6 ≠ 9 = 54 mod 15

m=16: 36 mod 16 = 4 ≠ 6 = 54 mod 16

m=17: 36 mod 17 = 2 ≠ 3 = 54 mod 17

m=18: 36 mod 18 = 0 = 0 = 54 mod 18

m=19: 36 mod 19 = 17 ≠ 16 = 54 mod 19

m=20: 36 mod 20 = 16 ≠ 14 = 54 mod 20

m=21: 36 mod 21 = 15 ≠ 12 = 54 mod 21

m=22: 36 mod 22 = 14 ≠ 10 = 54 mod 22

m=23: 36 mod 23 = 13 ≠ 8 = 54 mod 23

m=24: 36 mod 24 = 12 ≠ 6 = 54 mod 24

m=25: 36 mod 25 = 11 ≠ 4 = 54 mod 25

m=26: 36 mod 26 = 10 ≠ 2 = 54 mod 26

m=27: 36 mod 27 = 9 ≠ 0 = 54 mod 27

m=28: 36 mod 28 = 8 ≠ 26 = 54 mod 28

m=29: 36 mod 29 = 7 ≠ 25 = 54 mod 29

m=30: 36 mod 30 = 6 ≠ 24 = 54 mod 30

m=31: 36 mod 31 = 5 ≠ 23 = 54 mod 31

m=32: 36 mod 32 = 4 ≠ 22 = 54 mod 32

m=33: 36 mod 33 = 3 ≠ 21 = 54 mod 33

m=34: 36 mod 34 = 2 ≠ 20 = 54 mod 34

m=35: 36 mod 35 = 1 ≠ 19 = 54 mod 35

m=36: 36 mod 36 = 0 ≠ 18 = 54 mod 36

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (54 - 36) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18