Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 69 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 69 - 65 = 4.
Somit gilt: 69 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 91 für die gilt n ≡ 56 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 56 - 55 = 1.
Somit gilt: 56 mod 11 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 88 = 8 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 88 und erhalten so 89.
Somit gilt: 89 ≡ 56 ≡ 1 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5005 + 25000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5005 + 25000) mod 5 ≡ (5005 mod 5 + 25000 mod 5) mod 5.
5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005
= 5000
25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000
= 25000
Somit gilt:
(5005 + 25000) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 58) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 58) mod 6 ≡ (55 mod 6 ⋅ 58 mod 6) mod 6.
55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 9 ⋅ 6 + 1 ist.
58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 58) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
173 mod m = 223 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 173 aus, ob zufällig 173 mod m = 223 mod m gilt:
m=2: 173 mod 2 = 1 = 1 = 223 mod 2
m=3: 173 mod 3 = 2 ≠ 1 = 223 mod 3
m=4: 173 mod 4 = 1 ≠ 3 = 223 mod 4
m=5: 173 mod 5 = 3 = 3 = 223 mod 5
m=6: 173 mod 6 = 5 ≠ 1 = 223 mod 6
m=7: 173 mod 7 = 5 ≠ 6 = 223 mod 7
m=8: 173 mod 8 = 5 ≠ 7 = 223 mod 8
m=9: 173 mod 9 = 2 ≠ 7 = 223 mod 9
m=10: 173 mod 10 = 3 = 3 = 223 mod 10
m=11: 173 mod 11 = 8 ≠ 3 = 223 mod 11
m=12: 173 mod 12 = 5 ≠ 7 = 223 mod 12
m=13: 173 mod 13 = 4 ≠ 2 = 223 mod 13
m=14: 173 mod 14 = 5 ≠ 13 = 223 mod 14
m=15: 173 mod 15 = 8 ≠ 13 = 223 mod 15
m=16: 173 mod 16 = 13 ≠ 15 = 223 mod 16
m=17: 173 mod 17 = 3 ≠ 2 = 223 mod 17
m=18: 173 mod 18 = 11 ≠ 7 = 223 mod 18
m=19: 173 mod 19 = 2 ≠ 14 = 223 mod 19
m=20: 173 mod 20 = 13 ≠ 3 = 223 mod 20
m=21: 173 mod 21 = 5 ≠ 13 = 223 mod 21
m=22: 173 mod 22 = 19 ≠ 3 = 223 mod 22
m=23: 173 mod 23 = 12 ≠ 16 = 223 mod 23
m=24: 173 mod 24 = 5 ≠ 7 = 223 mod 24
m=25: 173 mod 25 = 23 = 23 = 223 mod 25
m=26: 173 mod 26 = 17 ≠ 15 = 223 mod 26
m=27: 173 mod 27 = 11 ≠ 7 = 223 mod 27
m=28: 173 mod 28 = 5 ≠ 27 = 223 mod 28
m=29: 173 mod 29 = 28 ≠ 20 = 223 mod 29
m=30: 173 mod 30 = 23 ≠ 13 = 223 mod 30
m=31: 173 mod 31 = 18 ≠ 6 = 223 mod 31
m=32: 173 mod 32 = 13 ≠ 31 = 223 mod 32
m=33: 173 mod 33 = 8 ≠ 25 = 223 mod 33
m=34: 173 mod 34 = 3 ≠ 19 = 223 mod 34
m=35: 173 mod 35 = 33 ≠ 13 = 223 mod 35
m=36: 173 mod 36 = 29 ≠ 7 = 223 mod 36
m=37: 173 mod 37 = 25 ≠ 1 = 223 mod 37
m=38: 173 mod 38 = 21 ≠ 33 = 223 mod 38
m=39: 173 mod 39 = 17 ≠ 28 = 223 mod 39
m=40: 173 mod 40 = 13 ≠ 23 = 223 mod 40
m=41: 173 mod 41 = 9 ≠ 18 = 223 mod 41
m=42: 173 mod 42 = 5 ≠ 13 = 223 mod 42
m=43: 173 mod 43 = 1 ≠ 8 = 223 mod 43
m=44: 173 mod 44 = 41 ≠ 3 = 223 mod 44
m=45: 173 mod 45 = 38 ≠ 43 = 223 mod 45
m=46: 173 mod 46 = 35 ≠ 39 = 223 mod 46
m=47: 173 mod 47 = 32 ≠ 35 = 223 mod 47
m=48: 173 mod 48 = 29 ≠ 31 = 223 mod 48
m=49: 173 mod 49 = 26 ≠ 27 = 223 mod 49
m=50: 173 mod 50 = 23 = 23 = 223 mod 50
m=51: 173 mod 51 = 20 ≠ 19 = 223 mod 51
m=52: 173 mod 52 = 17 ≠ 15 = 223 mod 52
m=53: 173 mod 53 = 14 ≠ 11 = 223 mod 53
m=54: 173 mod 54 = 11 ≠ 7 = 223 mod 54
m=55: 173 mod 55 = 8 ≠ 3 = 223 mod 55
m=56: 173 mod 56 = 5 ≠ 55 = 223 mod 56
m=57: 173 mod 57 = 2 ≠ 52 = 223 mod 57
m=58: 173 mod 58 = 57 ≠ 49 = 223 mod 58
m=59: 173 mod 59 = 55 ≠ 46 = 223 mod 59
m=60: 173 mod 60 = 53 ≠ 43 = 223 mod 60
m=61: 173 mod 61 = 51 ≠ 40 = 223 mod 61
m=62: 173 mod 62 = 49 ≠ 37 = 223 mod 62
m=63: 173 mod 63 = 47 ≠ 34 = 223 mod 63
m=64: 173 mod 64 = 45 ≠ 31 = 223 mod 64
m=65: 173 mod 65 = 43 ≠ 28 = 223 mod 65
m=66: 173 mod 66 = 41 ≠ 25 = 223 mod 66
m=67: 173 mod 67 = 39 ≠ 22 = 223 mod 67
m=68: 173 mod 68 = 37 ≠ 19 = 223 mod 68
m=69: 173 mod 69 = 35 ≠ 16 = 223 mod 69
m=70: 173 mod 70 = 33 ≠ 13 = 223 mod 70
m=71: 173 mod 71 = 31 ≠ 10 = 223 mod 71
m=72: 173 mod 72 = 29 ≠ 7 = 223 mod 72
m=73: 173 mod 73 = 27 ≠ 4 = 223 mod 73
m=74: 173 mod 74 = 25 ≠ 1 = 223 mod 74
m=75: 173 mod 75 = 23 ≠ 73 = 223 mod 75
m=76: 173 mod 76 = 21 ≠ 71 = 223 mod 76
m=77: 173 mod 77 = 19 ≠ 69 = 223 mod 77
m=78: 173 mod 78 = 17 ≠ 67 = 223 mod 78
m=79: 173 mod 79 = 15 ≠ 65 = 223 mod 79
m=80: 173 mod 80 = 13 ≠ 63 = 223 mod 80
m=81: 173 mod 81 = 11 ≠ 61 = 223 mod 81
m=82: 173 mod 82 = 9 ≠ 59 = 223 mod 82
m=83: 173 mod 83 = 7 ≠ 57 = 223 mod 83
m=84: 173 mod 84 = 5 ≠ 55 = 223 mod 84
m=85: 173 mod 85 = 3 ≠ 53 = 223 mod 85
m=86: 173 mod 86 = 1 ≠ 51 = 223 mod 86
m=87: 173 mod 87 = 86 ≠ 49 = 223 mod 87
m=88: 173 mod 88 = 85 ≠ 47 = 223 mod 88
m=89: 173 mod 89 = 84 ≠ 45 = 223 mod 89
m=90: 173 mod 90 = 83 ≠ 43 = 223 mod 90
m=91: 173 mod 91 = 82 ≠ 41 = 223 mod 91
m=92: 173 mod 92 = 81 ≠ 39 = 223 mod 92
m=93: 173 mod 93 = 80 ≠ 37 = 223 mod 93
m=94: 173 mod 94 = 79 ≠ 35 = 223 mod 94
m=95: 173 mod 95 = 78 ≠ 33 = 223 mod 95
m=96: 173 mod 96 = 77 ≠ 31 = 223 mod 96
m=97: 173 mod 97 = 76 ≠ 29 = 223 mod 97
m=98: 173 mod 98 = 75 ≠ 27 = 223 mod 98
m=99: 173 mod 99 = 74 ≠ 25 = 223 mod 99
m=100: 173 mod 100 = 73 ≠ 23 = 223 mod 100
m=101: 173 mod 101 = 72 ≠ 21 = 223 mod 101
m=102: 173 mod 102 = 71 ≠ 19 = 223 mod 102
m=103: 173 mod 103 = 70 ≠ 17 = 223 mod 103
m=104: 173 mod 104 = 69 ≠ 15 = 223 mod 104
m=105: 173 mod 105 = 68 ≠ 13 = 223 mod 105
m=106: 173 mod 106 = 67 ≠ 11 = 223 mod 106
m=107: 173 mod 107 = 66 ≠ 9 = 223 mod 107
m=108: 173 mod 108 = 65 ≠ 7 = 223 mod 108
m=109: 173 mod 109 = 64 ≠ 5 = 223 mod 109
m=110: 173 mod 110 = 63 ≠ 3 = 223 mod 110
m=111: 173 mod 111 = 62 ≠ 1 = 223 mod 111
m=112: 173 mod 112 = 61 ≠ 111 = 223 mod 112
m=113: 173 mod 113 = 60 ≠ 110 = 223 mod 113
m=114: 173 mod 114 = 59 ≠ 109 = 223 mod 114
m=115: 173 mod 115 = 58 ≠ 108 = 223 mod 115
m=116: 173 mod 116 = 57 ≠ 107 = 223 mod 116
m=117: 173 mod 117 = 56 ≠ 106 = 223 mod 117
m=118: 173 mod 118 = 55 ≠ 105 = 223 mod 118
m=119: 173 mod 119 = 54 ≠ 104 = 223 mod 119
m=120: 173 mod 120 = 53 ≠ 103 = 223 mod 120
m=121: 173 mod 121 = 52 ≠ 102 = 223 mod 121
m=122: 173 mod 122 = 51 ≠ 101 = 223 mod 122
m=123: 173 mod 123 = 50 ≠ 100 = 223 mod 123
m=124: 173 mod 124 = 49 ≠ 99 = 223 mod 124
m=125: 173 mod 125 = 48 ≠ 98 = 223 mod 125
m=126: 173 mod 126 = 47 ≠ 97 = 223 mod 126
m=127: 173 mod 127 = 46 ≠ 96 = 223 mod 127
m=128: 173 mod 128 = 45 ≠ 95 = 223 mod 128
m=129: 173 mod 129 = 44 ≠ 94 = 223 mod 129
m=130: 173 mod 130 = 43 ≠ 93 = 223 mod 130
m=131: 173 mod 131 = 42 ≠ 92 = 223 mod 131
m=132: 173 mod 132 = 41 ≠ 91 = 223 mod 132
m=133: 173 mod 133 = 40 ≠ 90 = 223 mod 133
m=134: 173 mod 134 = 39 ≠ 89 = 223 mod 134
m=135: 173 mod 135 = 38 ≠ 88 = 223 mod 135
m=136: 173 mod 136 = 37 ≠ 87 = 223 mod 136
m=137: 173 mod 137 = 36 ≠ 86 = 223 mod 137
m=138: 173 mod 138 = 35 ≠ 85 = 223 mod 138
m=139: 173 mod 139 = 34 ≠ 84 = 223 mod 139
m=140: 173 mod 140 = 33 ≠ 83 = 223 mod 140
m=141: 173 mod 141 = 32 ≠ 82 = 223 mod 141
m=142: 173 mod 142 = 31 ≠ 81 = 223 mod 142
m=143: 173 mod 143 = 30 ≠ 80 = 223 mod 143
m=144: 173 mod 144 = 29 ≠ 79 = 223 mod 144
m=145: 173 mod 145 = 28 ≠ 78 = 223 mod 145
m=146: 173 mod 146 = 27 ≠ 77 = 223 mod 146
m=147: 173 mod 147 = 26 ≠ 76 = 223 mod 147
m=148: 173 mod 148 = 25 ≠ 75 = 223 mod 148
m=149: 173 mod 149 = 24 ≠ 74 = 223 mod 149
m=150: 173 mod 150 = 23 ≠ 73 = 223 mod 150
m=151: 173 mod 151 = 22 ≠ 72 = 223 mod 151
m=152: 173 mod 152 = 21 ≠ 71 = 223 mod 152
m=153: 173 mod 153 = 20 ≠ 70 = 223 mod 153
m=154: 173 mod 154 = 19 ≠ 69 = 223 mod 154
m=155: 173 mod 155 = 18 ≠ 68 = 223 mod 155
m=156: 173 mod 156 = 17 ≠ 67 = 223 mod 156
m=157: 173 mod 157 = 16 ≠ 66 = 223 mod 157
m=158: 173 mod 158 = 15 ≠ 65 = 223 mod 158
m=159: 173 mod 159 = 14 ≠ 64 = 223 mod 159
m=160: 173 mod 160 = 13 ≠ 63 = 223 mod 160
m=161: 173 mod 161 = 12 ≠ 62 = 223 mod 161
m=162: 173 mod 162 = 11 ≠ 61 = 223 mod 162
m=163: 173 mod 163 = 10 ≠ 60 = 223 mod 163
m=164: 173 mod 164 = 9 ≠ 59 = 223 mod 164
m=165: 173 mod 165 = 8 ≠ 58 = 223 mod 165
m=166: 173 mod 166 = 7 ≠ 57 = 223 mod 166
m=167: 173 mod 167 = 6 ≠ 56 = 223 mod 167
m=168: 173 mod 168 = 5 ≠ 55 = 223 mod 168
m=169: 173 mod 169 = 4 ≠ 54 = 223 mod 169
m=170: 173 mod 170 = 3 ≠ 53 = 223 mod 170
m=171: 173 mod 171 = 2 ≠ 52 = 223 mod 171
m=172: 173 mod 172 = 1 ≠ 51 = 223 mod 172
m=173: 173 mod 173 = 0 ≠ 50 = 223 mod 173
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (223 - 173) = 50 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10; 25; 50
