Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 90 = 7.

Somit gilt: 97 mod 9 ≡ 7.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 35 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 35 = 0.

Somit gilt: 35 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Somit gilt: 70 ≡ 35 ≡ 0 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (245 + 1002) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(245 + 1002) mod 5 ≡ (245 mod 5 + 1002 mod 5) mod 5.

245 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245 = 240+5 = 5 ⋅ 48 +5.

1002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1002 = 1000+2 = 5 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(245 + 1002) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 15) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 15) mod 10 ≡ (85 mod 10 ⋅ 15 mod 10) mod 10.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 15) mod 10 ≡ (5 ⋅ 5) mod 10 ≡ 25 mod 10 ≡ 5 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 28 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 1 = 28 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 = 0 = 28 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 4 = 28 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 = 4 = 28 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 8 = 28 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 20) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8