Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 52, weil ja 13 ⋅ 4 = 52 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 52 = 3.

Somit gilt: 55 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 72 = 8.

Somit gilt: 80 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 27 und erhalten so 35.

Somit gilt: 35 ≡ 80 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35000 + 702) mod 7 ≡ (35000 mod 7 + 702 mod 7) mod 7.

35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000 = 35000+0 = 7 ⋅ 5000 +0.

702 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 702 = 700+2 = 7 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(35000 + 702) mod 7 ≡ (0 + 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 33) mod 6 ≡ (78 mod 6 ⋅ 33 mod 6) mod 6.

78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 33) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 201 aus, ob zufällig 201 mod m = 276 mod m gilt:

m=2: 201 mod 2 = 1 ≠ 0 = 276 mod 2

m=3: 201 mod 3 = 0 = 0 = 276 mod 3

m=4: 201 mod 4 = 1 ≠ 0 = 276 mod 4

m=5: 201 mod 5 = 1 = 1 = 276 mod 5

m=6: 201 mod 6 = 3 ≠ 0 = 276 mod 6

m=7: 201 mod 7 = 5 ≠ 3 = 276 mod 7

m=8: 201 mod 8 = 1 ≠ 4 = 276 mod 8

m=9: 201 mod 9 = 3 ≠ 6 = 276 mod 9

m=10: 201 mod 10 = 1 ≠ 6 = 276 mod 10

m=11: 201 mod 11 = 3 ≠ 1 = 276 mod 11

m=12: 201 mod 12 = 9 ≠ 0 = 276 mod 12

m=13: 201 mod 13 = 6 ≠ 3 = 276 mod 13

m=14: 201 mod 14 = 5 ≠ 10 = 276 mod 14

m=15: 201 mod 15 = 6 = 6 = 276 mod 15

m=16: 201 mod 16 = 9 ≠ 4 = 276 mod 16

m=17: 201 mod 17 = 14 ≠ 4 = 276 mod 17

m=18: 201 mod 18 = 3 ≠ 6 = 276 mod 18

m=19: 201 mod 19 = 11 ≠ 10 = 276 mod 19

m=20: 201 mod 20 = 1 ≠ 16 = 276 mod 20

m=21: 201 mod 21 = 12 ≠ 3 = 276 mod 21

m=22: 201 mod 22 = 3 ≠ 12 = 276 mod 22

m=23: 201 mod 23 = 17 ≠ 0 = 276 mod 23

m=24: 201 mod 24 = 9 ≠ 12 = 276 mod 24

m=25: 201 mod 25 = 1 = 1 = 276 mod 25

m=26: 201 mod 26 = 19 ≠ 16 = 276 mod 26

m=27: 201 mod 27 = 12 ≠ 6 = 276 mod 27

m=28: 201 mod 28 = 5 ≠ 24 = 276 mod 28

m=29: 201 mod 29 = 27 ≠ 15 = 276 mod 29

m=30: 201 mod 30 = 21 ≠ 6 = 276 mod 30

m=31: 201 mod 31 = 15 ≠ 28 = 276 mod 31

m=32: 201 mod 32 = 9 ≠ 20 = 276 mod 32

m=33: 201 mod 33 = 3 ≠ 12 = 276 mod 33

m=34: 201 mod 34 = 31 ≠ 4 = 276 mod 34

m=35: 201 mod 35 = 26 ≠ 31 = 276 mod 35

m=36: 201 mod 36 = 21 ≠ 24 = 276 mod 36

m=37: 201 mod 37 = 16 ≠ 17 = 276 mod 37

m=38: 201 mod 38 = 11 ≠ 10 = 276 mod 38

m=39: 201 mod 39 = 6 ≠ 3 = 276 mod 39

m=40: 201 mod 40 = 1 ≠ 36 = 276 mod 40

m=41: 201 mod 41 = 37 ≠ 30 = 276 mod 41

m=42: 201 mod 42 = 33 ≠ 24 = 276 mod 42

m=43: 201 mod 43 = 29 ≠ 18 = 276 mod 43

m=44: 201 mod 44 = 25 ≠ 12 = 276 mod 44

m=45: 201 mod 45 = 21 ≠ 6 = 276 mod 45

m=46: 201 mod 46 = 17 ≠ 0 = 276 mod 46

m=47: 201 mod 47 = 13 ≠ 41 = 276 mod 47

m=48: 201 mod 48 = 9 ≠ 36 = 276 mod 48

m=49: 201 mod 49 = 5 ≠ 31 = 276 mod 49

m=50: 201 mod 50 = 1 ≠ 26 = 276 mod 50

m=51: 201 mod 51 = 48 ≠ 21 = 276 mod 51

m=52: 201 mod 52 = 45 ≠ 16 = 276 mod 52

m=53: 201 mod 53 = 42 ≠ 11 = 276 mod 53

m=54: 201 mod 54 = 39 ≠ 6 = 276 mod 54

m=55: 201 mod 55 = 36 ≠ 1 = 276 mod 55

m=56: 201 mod 56 = 33 ≠ 52 = 276 mod 56

m=57: 201 mod 57 = 30 ≠ 48 = 276 mod 57

m=58: 201 mod 58 = 27 ≠ 44 = 276 mod 58

m=59: 201 mod 59 = 24 ≠ 40 = 276 mod 59

m=60: 201 mod 60 = 21 ≠ 36 = 276 mod 60

m=61: 201 mod 61 = 18 ≠ 32 = 276 mod 61

m=62: 201 mod 62 = 15 ≠ 28 = 276 mod 62

m=63: 201 mod 63 = 12 ≠ 24 = 276 mod 63

m=64: 201 mod 64 = 9 ≠ 20 = 276 mod 64

m=65: 201 mod 65 = 6 ≠ 16 = 276 mod 65

m=66: 201 mod 66 = 3 ≠ 12 = 276 mod 66

m=67: 201 mod 67 = 0 ≠ 8 = 276 mod 67

m=68: 201 mod 68 = 65 ≠ 4 = 276 mod 68

m=69: 201 mod 69 = 63 ≠ 0 = 276 mod 69

m=70: 201 mod 70 = 61 ≠ 66 = 276 mod 70

m=71: 201 mod 71 = 59 ≠ 63 = 276 mod 71

m=72: 201 mod 72 = 57 ≠ 60 = 276 mod 72

m=73: 201 mod 73 = 55 ≠ 57 = 276 mod 73

m=74: 201 mod 74 = 53 ≠ 54 = 276 mod 74

m=75: 201 mod 75 = 51 = 51 = 276 mod 75

m=76: 201 mod 76 = 49 ≠ 48 = 276 mod 76

m=77: 201 mod 77 = 47 ≠ 45 = 276 mod 77

m=78: 201 mod 78 = 45 ≠ 42 = 276 mod 78

m=79: 201 mod 79 = 43 ≠ 39 = 276 mod 79

m=80: 201 mod 80 = 41 ≠ 36 = 276 mod 80

m=81: 201 mod 81 = 39 ≠ 33 = 276 mod 81

m=82: 201 mod 82 = 37 ≠ 30 = 276 mod 82

m=83: 201 mod 83 = 35 ≠ 27 = 276 mod 83

m=84: 201 mod 84 = 33 ≠ 24 = 276 mod 84

m=85: 201 mod 85 = 31 ≠ 21 = 276 mod 85

m=86: 201 mod 86 = 29 ≠ 18 = 276 mod 86

m=87: 201 mod 87 = 27 ≠ 15 = 276 mod 87

m=88: 201 mod 88 = 25 ≠ 12 = 276 mod 88

m=89: 201 mod 89 = 23 ≠ 9 = 276 mod 89

m=90: 201 mod 90 = 21 ≠ 6 = 276 mod 90

m=91: 201 mod 91 = 19 ≠ 3 = 276 mod 91

m=92: 201 mod 92 = 17 ≠ 0 = 276 mod 92

m=93: 201 mod 93 = 15 ≠ 90 = 276 mod 93

m=94: 201 mod 94 = 13 ≠ 88 = 276 mod 94

m=95: 201 mod 95 = 11 ≠ 86 = 276 mod 95

m=96: 201 mod 96 = 9 ≠ 84 = 276 mod 96

m=97: 201 mod 97 = 7 ≠ 82 = 276 mod 97

m=98: 201 mod 98 = 5 ≠ 80 = 276 mod 98

m=99: 201 mod 99 = 3 ≠ 78 = 276 mod 99

m=100: 201 mod 100 = 1 ≠ 76 = 276 mod 100

m=101: 201 mod 101 = 100 ≠ 74 = 276 mod 101

m=102: 201 mod 102 = 99 ≠ 72 = 276 mod 102

m=103: 201 mod 103 = 98 ≠ 70 = 276 mod 103

m=104: 201 mod 104 = 97 ≠ 68 = 276 mod 104

m=105: 201 mod 105 = 96 ≠ 66 = 276 mod 105

m=106: 201 mod 106 = 95 ≠ 64 = 276 mod 106

m=107: 201 mod 107 = 94 ≠ 62 = 276 mod 107

m=108: 201 mod 108 = 93 ≠ 60 = 276 mod 108

m=109: 201 mod 109 = 92 ≠ 58 = 276 mod 109

m=110: 201 mod 110 = 91 ≠ 56 = 276 mod 110

m=111: 201 mod 111 = 90 ≠ 54 = 276 mod 111

m=112: 201 mod 112 = 89 ≠ 52 = 276 mod 112

m=113: 201 mod 113 = 88 ≠ 50 = 276 mod 113

m=114: 201 mod 114 = 87 ≠ 48 = 276 mod 114

m=115: 201 mod 115 = 86 ≠ 46 = 276 mod 115

m=116: 201 mod 116 = 85 ≠ 44 = 276 mod 116

m=117: 201 mod 117 = 84 ≠ 42 = 276 mod 117

m=118: 201 mod 118 = 83 ≠ 40 = 276 mod 118

m=119: 201 mod 119 = 82 ≠ 38 = 276 mod 119

m=120: 201 mod 120 = 81 ≠ 36 = 276 mod 120

m=121: 201 mod 121 = 80 ≠ 34 = 276 mod 121

m=122: 201 mod 122 = 79 ≠ 32 = 276 mod 122

m=123: 201 mod 123 = 78 ≠ 30 = 276 mod 123

m=124: 201 mod 124 = 77 ≠ 28 = 276 mod 124

m=125: 201 mod 125 = 76 ≠ 26 = 276 mod 125

m=126: 201 mod 126 = 75 ≠ 24 = 276 mod 126

m=127: 201 mod 127 = 74 ≠ 22 = 276 mod 127

m=128: 201 mod 128 = 73 ≠ 20 = 276 mod 128

m=129: 201 mod 129 = 72 ≠ 18 = 276 mod 129

m=130: 201 mod 130 = 71 ≠ 16 = 276 mod 130

m=131: 201 mod 131 = 70 ≠ 14 = 276 mod 131

m=132: 201 mod 132 = 69 ≠ 12 = 276 mod 132

m=133: 201 mod 133 = 68 ≠ 10 = 276 mod 133

m=134: 201 mod 134 = 67 ≠ 8 = 276 mod 134

m=135: 201 mod 135 = 66 ≠ 6 = 276 mod 135

m=136: 201 mod 136 = 65 ≠ 4 = 276 mod 136

m=137: 201 mod 137 = 64 ≠ 2 = 276 mod 137

m=138: 201 mod 138 = 63 ≠ 0 = 276 mod 138

m=139: 201 mod 139 = 62 ≠ 137 = 276 mod 139

m=140: 201 mod 140 = 61 ≠ 136 = 276 mod 140

m=141: 201 mod 141 = 60 ≠ 135 = 276 mod 141

m=142: 201 mod 142 = 59 ≠ 134 = 276 mod 142

m=143: 201 mod 143 = 58 ≠ 133 = 276 mod 143

m=144: 201 mod 144 = 57 ≠ 132 = 276 mod 144

m=145: 201 mod 145 = 56 ≠ 131 = 276 mod 145

m=146: 201 mod 146 = 55 ≠ 130 = 276 mod 146

m=147: 201 mod 147 = 54 ≠ 129 = 276 mod 147

m=148: 201 mod 148 = 53 ≠ 128 = 276 mod 148

m=149: 201 mod 149 = 52 ≠ 127 = 276 mod 149

m=150: 201 mod 150 = 51 ≠ 126 = 276 mod 150

m=151: 201 mod 151 = 50 ≠ 125 = 276 mod 151

m=152: 201 mod 152 = 49 ≠ 124 = 276 mod 152

m=153: 201 mod 153 = 48 ≠ 123 = 276 mod 153

m=154: 201 mod 154 = 47 ≠ 122 = 276 mod 154

m=155: 201 mod 155 = 46 ≠ 121 = 276 mod 155

m=156: 201 mod 156 = 45 ≠ 120 = 276 mod 156

m=157: 201 mod 157 = 44 ≠ 119 = 276 mod 157

m=158: 201 mod 158 = 43 ≠ 118 = 276 mod 158

m=159: 201 mod 159 = 42 ≠ 117 = 276 mod 159

m=160: 201 mod 160 = 41 ≠ 116 = 276 mod 160

m=161: 201 mod 161 = 40 ≠ 115 = 276 mod 161

m=162: 201 mod 162 = 39 ≠ 114 = 276 mod 162

m=163: 201 mod 163 = 38 ≠ 113 = 276 mod 163

m=164: 201 mod 164 = 37 ≠ 112 = 276 mod 164

m=165: 201 mod 165 = 36 ≠ 111 = 276 mod 165

m=166: 201 mod 166 = 35 ≠ 110 = 276 mod 166

m=167: 201 mod 167 = 34 ≠ 109 = 276 mod 167

m=168: 201 mod 168 = 33 ≠ 108 = 276 mod 168

m=169: 201 mod 169 = 32 ≠ 107 = 276 mod 169

m=170: 201 mod 170 = 31 ≠ 106 = 276 mod 170

m=171: 201 mod 171 = 30 ≠ 105 = 276 mod 171

m=172: 201 mod 172 = 29 ≠ 104 = 276 mod 172

m=173: 201 mod 173 = 28 ≠ 103 = 276 mod 173

m=174: 201 mod 174 = 27 ≠ 102 = 276 mod 174

m=175: 201 mod 175 = 26 ≠ 101 = 276 mod 175

m=176: 201 mod 176 = 25 ≠ 100 = 276 mod 176

m=177: 201 mod 177 = 24 ≠ 99 = 276 mod 177

m=178: 201 mod 178 = 23 ≠ 98 = 276 mod 178

m=179: 201 mod 179 = 22 ≠ 97 = 276 mod 179

m=180: 201 mod 180 = 21 ≠ 96 = 276 mod 180

m=181: 201 mod 181 = 20 ≠ 95 = 276 mod 181

m=182: 201 mod 182 = 19 ≠ 94 = 276 mod 182

m=183: 201 mod 183 = 18 ≠ 93 = 276 mod 183

m=184: 201 mod 184 = 17 ≠ 92 = 276 mod 184

m=185: 201 mod 185 = 16 ≠ 91 = 276 mod 185

m=186: 201 mod 186 = 15 ≠ 90 = 276 mod 186

m=187: 201 mod 187 = 14 ≠ 89 = 276 mod 187

m=188: 201 mod 188 = 13 ≠ 88 = 276 mod 188

m=189: 201 mod 189 = 12 ≠ 87 = 276 mod 189

m=190: 201 mod 190 = 11 ≠ 86 = 276 mod 190

m=191: 201 mod 191 = 10 ≠ 85 = 276 mod 191

m=192: 201 mod 192 = 9 ≠ 84 = 276 mod 192

m=193: 201 mod 193 = 8 ≠ 83 = 276 mod 193

m=194: 201 mod 194 = 7 ≠ 82 = 276 mod 194

m=195: 201 mod 195 = 6 ≠ 81 = 276 mod 195

m=196: 201 mod 196 = 5 ≠ 80 = 276 mod 196

m=197: 201 mod 197 = 4 ≠ 79 = 276 mod 197

m=198: 201 mod 198 = 3 ≠ 78 = 276 mod 198

m=199: 201 mod 199 = 2 ≠ 77 = 276 mod 199

m=200: 201 mod 200 = 1 ≠ 76 = 276 mod 200

m=201: 201 mod 201 = 0 ≠ 75 = 276 mod 201

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (276 - 201) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75