Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 16 = 4.

Somit gilt: 20 mod 8 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 18 = 2.

Somit gilt: 20 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 63 und erhalten so 65.

Somit gilt: 65 ≡ 20 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3198 - 4000) mod 8 ≡ (3198 mod 8 - 4000 mod 8) mod 8.

3198 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3198 = 3200-2 = 8 ⋅ 400 -2 = 8 ⋅ 400 - 8 + 6.

4000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 8 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(3198 - 4000) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 29) mod 6 ≡ (63 mod 6 ⋅ 29 mod 6) mod 6.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.

29 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 4 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 29) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 ≠ 0 = 27 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 = 3 = 27 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 = 3 = 27 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 8 = 27 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 19) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8