Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 96 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 96 - 96 = 0.
Somit gilt: 96 mod 6 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 90 für die gilt n ≡ 42 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 42 - 40 = 2.
Somit gilt: 42 mod 10 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 90 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 8 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.
Somit gilt: 82 ≡ 42 ≡ 2 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2709 - 455) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2709 - 455) mod 9 ≡ (2709 mod 9 - 455 mod 9) mod 9.
2709 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2709
= 2700
455 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 455
= 450
Somit gilt:
(2709 - 455) mod 9 ≡ (0 - 5) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 61) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 61) mod 11 ≡ (37 mod 11 ⋅ 61 mod 11) mod 11.
37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.
61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 61) mod 11 ≡ (4 ⋅ 6) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
