Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 63 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 63, weil ja 21 ⋅ 3 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 63 = 0.

Somit gilt: 63 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 38 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 35 = 3.

Somit gilt: 38 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 60 und erhalten so 63.

Somit gilt: 63 ≡ 38 ≡ 3 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16000 - 41) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16000 - 41) mod 4 ≡ (16000 mod 4 - 41 mod 4) mod 4.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40+1 = 4 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(16000 - 41) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 70) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 70) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 70) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6