Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 40 = 4.

Somit gilt: 44 mod 8 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 8 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 44 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 + 1202) mod 3 ≡ (31 mod 3 + 1202 mod 3) mod 3.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30+1 = 3 ⋅ 10 +1.

1202 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 3 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(31 + 1202) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 90) mod 9 ≡ (44 mod 9 ⋅ 90 mod 9) mod 9.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 10 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 90) mod 9 ≡ (8 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 45 aus, ob zufällig 45 mod m = 57 mod m gilt:

m=2: 45 mod 2 = 1 = 1 = 57 mod 2

m=3: 45 mod 3 = 0 = 0 = 57 mod 3

m=4: 45 mod 4 = 1 = 1 = 57 mod 4

m=5: 45 mod 5 = 0 ≠ 2 = 57 mod 5

m=6: 45 mod 6 = 3 = 3 = 57 mod 6

m=7: 45 mod 7 = 3 ≠ 1 = 57 mod 7

m=8: 45 mod 8 = 5 ≠ 1 = 57 mod 8

m=9: 45 mod 9 = 0 ≠ 3 = 57 mod 9

m=10: 45 mod 10 = 5 ≠ 7 = 57 mod 10

m=11: 45 mod 11 = 1 ≠ 2 = 57 mod 11

m=12: 45 mod 12 = 9 = 9 = 57 mod 12

m=13: 45 mod 13 = 6 ≠ 5 = 57 mod 13

m=14: 45 mod 14 = 3 ≠ 1 = 57 mod 14

m=15: 45 mod 15 = 0 ≠ 12 = 57 mod 15

m=16: 45 mod 16 = 13 ≠ 9 = 57 mod 16

m=17: 45 mod 17 = 11 ≠ 6 = 57 mod 17

m=18: 45 mod 18 = 9 ≠ 3 = 57 mod 18

m=19: 45 mod 19 = 7 ≠ 0 = 57 mod 19

m=20: 45 mod 20 = 5 ≠ 17 = 57 mod 20

m=21: 45 mod 21 = 3 ≠ 15 = 57 mod 21

m=22: 45 mod 22 = 1 ≠ 13 = 57 mod 22

m=23: 45 mod 23 = 22 ≠ 11 = 57 mod 23

m=24: 45 mod 24 = 21 ≠ 9 = 57 mod 24

m=25: 45 mod 25 = 20 ≠ 7 = 57 mod 25

m=26: 45 mod 26 = 19 ≠ 5 = 57 mod 26

m=27: 45 mod 27 = 18 ≠ 3 = 57 mod 27

m=28: 45 mod 28 = 17 ≠ 1 = 57 mod 28

m=29: 45 mod 29 = 16 ≠ 28 = 57 mod 29

m=30: 45 mod 30 = 15 ≠ 27 = 57 mod 30

m=31: 45 mod 31 = 14 ≠ 26 = 57 mod 31

m=32: 45 mod 32 = 13 ≠ 25 = 57 mod 32

m=33: 45 mod 33 = 12 ≠ 24 = 57 mod 33

m=34: 45 mod 34 = 11 ≠ 23 = 57 mod 34

m=35: 45 mod 35 = 10 ≠ 22 = 57 mod 35

m=36: 45 mod 36 = 9 ≠ 21 = 57 mod 36

m=37: 45 mod 37 = 8 ≠ 20 = 57 mod 37

m=38: 45 mod 38 = 7 ≠ 19 = 57 mod 38

m=39: 45 mod 39 = 6 ≠ 18 = 57 mod 39

m=40: 45 mod 40 = 5 ≠ 17 = 57 mod 40

m=41: 45 mod 41 = 4 ≠ 16 = 57 mod 41

m=42: 45 mod 42 = 3 ≠ 15 = 57 mod 42

m=43: 45 mod 43 = 2 ≠ 14 = 57 mod 43

m=44: 45 mod 44 = 1 ≠ 13 = 57 mod 44

m=45: 45 mod 45 = 0 ≠ 12 = 57 mod 45

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (57 - 45) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12