Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 88 = 10.

Somit gilt: 98 mod 11 ≡ 10.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 37 - 35 = 2.

Somit gilt: 37 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 37 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11999 + 177) mod 6 ≡ (11999 mod 6 + 177 mod 6) mod 6.

11999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 6 ⋅ 2000 -1 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 5.

177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 6 ⋅ 30 -3 = 6 ⋅ 30 - 6 + 3.

Somit gilt:

(11999 + 177) mod 6 ≡ (5 + 3) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 86) mod 11 ≡ (68 mod 11 ⋅ 86 mod 11) mod 11.

68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.

86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 86) mod 11 ≡ (2 ⋅ 9) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 50 mod m gilt:

m=2: 35 mod 2 = 1 ≠ 0 = 50 mod 2

m=3: 35 mod 3 = 2 = 2 = 50 mod 3

m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 2 = 50 mod 4

m=5: 35 mod 5 = 0 = 0 = 50 mod 5

m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 2 = 50 mod 6

m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 1 = 50 mod 7

m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 2 = 50 mod 8

m=9: 35 mod 9 = 8 ≠ 5 = 50 mod 9

m=10: 35 mod 10 = 5 ≠ 0 = 50 mod 10

m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 6 = 50 mod 11

m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 2 = 50 mod 12

m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 11 = 50 mod 13

m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 8 = 50 mod 14

m=15: 35 mod 15 = 5 = 5 = 50 mod 15

m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 2 = 50 mod 16

m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 16 = 50 mod 17

m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 14 = 50 mod 18

m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 12 = 50 mod 19

m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 10 = 50 mod 20

m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 8 = 50 mod 21

m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 6 = 50 mod 22

m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 4 = 50 mod 23

m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 2 = 50 mod 24

m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 0 = 50 mod 25

m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 24 = 50 mod 26

m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 23 = 50 mod 27

m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 22 = 50 mod 28

m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 21 = 50 mod 29

m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 20 = 50 mod 30

m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 19 = 50 mod 31

m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 18 = 50 mod 32

m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 17 = 50 mod 33

m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 16 = 50 mod 34

m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 15 = 50 mod 35

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (50 - 35) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15