Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 69 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 69 - 60 = 9.
Somit gilt: 69 mod 10 ≡ 9.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 66 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 66 - 64 = 2.
Somit gilt: 66 mod 8 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 40 und erhalten so 42.
Somit gilt: 42 ≡ 66 ≡ 2 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20002 + 4996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20002 + 4996) mod 5 ≡ (20002 mod 5 + 4996 mod 5) mod 5.
20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002
= 20000
4996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4996
= 4000
Somit gilt:
(20002 + 4996) mod 5 ≡ (2 + 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 64) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 64) mod 9 ≡ (40 mod 9 ⋅ 64 mod 9) mod 9.
40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.
64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 64) mod 9 ≡ (4 ⋅ 1) mod 9 ≡ 4 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
