Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 77 = 2.

Somit gilt: 79 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 60 = 5.

Somit gilt: 65 mod 10 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 40 und erhalten so 45.

Somit gilt: 45 ≡ 65 ≡ 5 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8996 - 45005) mod 9 ≡ (8996 mod 9 - 45005 mod 9) mod 9.

8996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8996 = 9000-4 = 9 ⋅ 1000 -4 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 5.

45005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45005 = 45000+5 = 9 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(8996 - 45005) mod 9 ≡ (5 - 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 54) mod 3 ≡ (39 mod 3 ⋅ 54 mod 3) mod 3.

39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.

54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 54) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4