Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 79 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 76 = 3.
Somit gilt: 79 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 80 für die gilt n ≡ 21 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 21 - 20 = 1.
Somit gilt: 21 mod 10 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 1 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 1 mod 10 sein, also addieren wir noch 1 auf die 70 und erhalten so 71.
Somit gilt: 71 ≡ 21 ≡ 1 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24997 - 20005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24997 - 20005) mod 5 ≡ (24997 mod 5 - 20005 mod 5) mod 5.
24997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24997
= 24000
20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005
= 20000
Somit gilt:
(24997 - 20005) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 47) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 47) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 47 mod 9) mod 9.
34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.
47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 47) mod 9 ≡ (7 ⋅ 2) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 32 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 32 mod m gilt:
m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2
m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 2 = 32 mod 3
m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 32 mod 4
m=5: 22 mod 5 = 2 = 2 = 32 mod 5
m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 2 = 32 mod 6
m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 4 = 32 mod 7
m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 0 = 32 mod 8
m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 5 = 32 mod 9
m=10: 22 mod 10 = 2 = 2 = 32 mod 10
m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 10 = 32 mod 11
m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 8 = 32 mod 12
m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 6 = 32 mod 13
m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 4 = 32 mod 14
m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 2 = 32 mod 15
m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 0 = 32 mod 16
m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 15 = 32 mod 17
m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 14 = 32 mod 18
m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 13 = 32 mod 19
m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 12 = 32 mod 20
m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 11 = 32 mod 21
m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 10 = 32 mod 22
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 22) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
