Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 62 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.

Somit gilt: 62 mod 10 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 78 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 72 = 6.

Somit gilt: 78 mod 8 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 40 und erhalten so 46.

Somit gilt: 46 ≡ 78 ≡ 6 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (798 - 3992) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(798 - 3992) mod 8 ≡ (798 mod 8 - 3992 mod 8) mod 8.

798 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798 = 800-2 = 8 ⋅ 100 -2 = 8 ⋅ 100 - 8 + 6.

3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992 = 4000-8 = 8 ⋅ 500 -8 = 8 ⋅ 500 - 8 + 0.

Somit gilt:

(798 - 3992) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 66) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 66) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 66 mod 3) mod 3.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 66) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 25 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 25 mod m gilt:

m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2

m=3: 17 mod 3 = 2 ≠ 1 = 25 mod 3

m=4: 17 mod 4 = 1 = 1 = 25 mod 4

m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 0 = 25 mod 5

m=6: 17 mod 6 = 5 ≠ 1 = 25 mod 6

m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 4 = 25 mod 7

m=8: 17 mod 8 = 1 = 1 = 25 mod 8

m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 7 = 25 mod 9

m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 5 = 25 mod 10

m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 3 = 25 mod 11

m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 1 = 25 mod 12

m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 12 = 25 mod 13

m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 11 = 25 mod 14

m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 10 = 25 mod 15

m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 9 = 25 mod 16

m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 8 = 25 mod 17

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 17) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8