Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 81 = 0.

Somit gilt: 81 mod 9 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 11 = 10.

Somit gilt: 21 mod 11 ≡ 10.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 10 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 33 = 3 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 10 mod 11 sein, also addieren wir noch 10 auf die 33 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 21 ≡ 10 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 - 90) mod 3 ≡ (88 mod 3 - 90 mod 3) mod 3.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 90-2 = 3 ⋅ 30 -2 = 3 ⋅ 30 - 3 + 1.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(88 - 90) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 39) mod 4 ≡ (98 mod 4 ⋅ 39 mod 4) mod 4.

98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 9 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 39) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 ≠ 2 = 38 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 2 = 38 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 = 3 = 38 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 = 8 = 38 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 10 = 38 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 28) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10