Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 89 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 84 = 5.
Somit gilt: 89 mod 7 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 50 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 50 - 45 = 5.
Somit gilt: 50 mod 9 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 27 und erhalten so 32.
Somit gilt: 32 ≡ 50 ≡ 5 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (302 - 2401) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(302 - 2401) mod 6 ≡ (302 mod 6 - 2401 mod 6) mod 6.
302 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
2401 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2401
= 2400
Somit gilt:
(302 - 2401) mod 6 ≡ (2 - 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 96) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 96) mod 7 ≡ (29 mod 7 ⋅ 96 mod 7) mod 7.
29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.
96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 96) mod 7 ≡ (1 ⋅ 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
35 mod m = 47 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 47 mod m gilt:
m=2: 35 mod 2 = 1 = 1 = 47 mod 2
m=3: 35 mod 3 = 2 = 2 = 47 mod 3
m=4: 35 mod 4 = 3 = 3 = 47 mod 4
m=5: 35 mod 5 = 0 ≠ 2 = 47 mod 5
m=6: 35 mod 6 = 5 = 5 = 47 mod 6
m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 5 = 47 mod 7
m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 7 = 47 mod 8
m=9: 35 mod 9 = 8 ≠ 2 = 47 mod 9
m=10: 35 mod 10 = 5 ≠ 7 = 47 mod 10
m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 3 = 47 mod 11
m=12: 35 mod 12 = 11 = 11 = 47 mod 12
m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 8 = 47 mod 13
m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 5 = 47 mod 14
m=15: 35 mod 15 = 5 ≠ 2 = 47 mod 15
m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 15 = 47 mod 16
m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 13 = 47 mod 17
m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 11 = 47 mod 18
m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 9 = 47 mod 19
m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 7 = 47 mod 20
m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 5 = 47 mod 21
m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 3 = 47 mod 22
m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 1 = 47 mod 23
m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 23 = 47 mod 24
m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 22 = 47 mod 25
m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 21 = 47 mod 26
m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 20 = 47 mod 27
m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 19 = 47 mod 28
m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 18 = 47 mod 29
m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 17 = 47 mod 30
m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 16 = 47 mod 31
m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 15 = 47 mod 32
m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 14 = 47 mod 33
m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 13 = 47 mod 34
m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 12 = 47 mod 35
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (47 - 35) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
