Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 56, weil ja 14 ⋅ 4 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 56 = 1.

Somit gilt: 57 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 72 = 4.

Somit gilt: 76 mod 9 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 4 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 4 mod 9 sein, also addieren wir noch 4 auf die 9 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 76 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(119 + 4004) mod 4 ≡ (119 mod 4 + 4004 mod 4) mod 4.

119 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 4 ⋅ 30 -1 = 4 ⋅ 30 - 4 + 3.

4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004 = 4000+4 = 4 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(119 + 4004) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 75) mod 8 ≡ (24 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.

24 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 3 ⋅ 8 + 0 ist.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 75) mod 8 ≡ (0 ⋅ 3) mod 8 ≡ 0 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 42 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 ≠ 0 = 42 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 42 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 2 = 42 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 ≠ 2 = 42 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 0 = 42 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 0 = 42 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 2 = 42 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 = 6 = 42 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 2 = 42 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 9 = 42 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 6 = 42 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 3 = 42 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 0 = 42 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 12 = 42 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 10 = 42 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 8 = 42 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 6 = 42 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 4 = 42 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 2 = 42 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 0 = 42 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 20 = 42 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 19 = 42 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 18 = 42 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 17 = 42 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 16 = 42 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 15 = 42 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 14 = 42 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 13 = 42 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 12 = 42 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 11 = 42 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 10 = 42 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 9 = 42 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 33) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9