Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 23 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.
Somit gilt: 23 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 36 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 36 - 36 = 0.
Somit gilt: 36 mod 9 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 27 = 3 ⋅ 9
Somit gilt: 27 ≡ 36 ≡ 0 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (365 - 901) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(365 - 901) mod 9 ≡ (365 mod 9 - 901 mod 9) mod 9.
365 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 365
= 360
901 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901
= 900
Somit gilt:
(365 - 901) mod 9 ≡ (5 - 1) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 28) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 28) mod 11 ≡ (25 mod 11 ⋅ 28 mod 11) mod 11.
25 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 22 + 3 = 2 ⋅ 11 + 3 ist.
28 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 22 + 6 = 2 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 28) mod 11 ≡ (3 ⋅ 6) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 25 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 25 mod m gilt:
m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2
m=3: 17 mod 3 = 2 ≠ 1 = 25 mod 3
m=4: 17 mod 4 = 1 = 1 = 25 mod 4
m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 0 = 25 mod 5
m=6: 17 mod 6 = 5 ≠ 1 = 25 mod 6
m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 4 = 25 mod 7
m=8: 17 mod 8 = 1 = 1 = 25 mod 8
m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 7 = 25 mod 9
m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 5 = 25 mod 10
m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 3 = 25 mod 11
m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 1 = 25 mod 12
m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 12 = 25 mod 13
m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 11 = 25 mod 14
m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 10 = 25 mod 15
m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 9 = 25 mod 16
m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 8 = 25 mod 17
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 17) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
