Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 70 = 1.

Somit gilt: 71 mod 10 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 50 = 7.

Somit gilt: 57 mod 10 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 7 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 7 mod 10 sein, also addieren wir noch 7 auf die 30 und erhalten so 37.

Somit gilt: 37 ≡ 57 ≡ 7 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2402 - 17998) mod 6 ≡ (2402 mod 6 - 17998 mod 6) mod 6.

2402 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402 = 2400+2 = 6 ⋅ 400 +2.

17998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998 = 18000-2 = 6 ⋅ 3000 -2 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(2402 - 17998) mod 6 ≡ (2 - 4) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 100) mod 11 ≡ (15 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.

15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 100) mod 11 ≡ (4 ⋅ 1) mod 11 ≡ 4 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 ≠ 0 = 32 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 32 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 0 = 32 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 2 = 32 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 0 = 32 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 = 5 = 32 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 2 = 32 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 10 = 32 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 9 = 32 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 23) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9