Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 80 = 2.

Somit gilt: 82 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 77 = 3.

Somit gilt: 80 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 44 und erhalten so 47.

Somit gilt: 47 ≡ 80 ≡ 3 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 + 25002) mod 5 ≡ (95 mod 5 + 25002 mod 5) mod 5.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 5 ⋅ 18 +5.

25002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25002 = 25000+2 = 5 ⋅ 5000 +2.

Somit gilt:

(95 + 25002) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 33) mod 11 ≡ (56 mod 11 ⋅ 33 mod 11) mod 11.

56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.

33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 33) mod 11 ≡ (1 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 36 aus, ob zufällig 36 mod m = 48 mod m gilt:

m=2: 36 mod 2 = 0 = 0 = 48 mod 2

m=3: 36 mod 3 = 0 = 0 = 48 mod 3

m=4: 36 mod 4 = 0 = 0 = 48 mod 4

m=5: 36 mod 5 = 1 ≠ 3 = 48 mod 5

m=6: 36 mod 6 = 0 = 0 = 48 mod 6

m=7: 36 mod 7 = 1 ≠ 6 = 48 mod 7

m=8: 36 mod 8 = 4 ≠ 0 = 48 mod 8

m=9: 36 mod 9 = 0 ≠ 3 = 48 mod 9

m=10: 36 mod 10 = 6 ≠ 8 = 48 mod 10

m=11: 36 mod 11 = 3 ≠ 4 = 48 mod 11

m=12: 36 mod 12 = 0 = 0 = 48 mod 12

m=13: 36 mod 13 = 10 ≠ 9 = 48 mod 13

m=14: 36 mod 14 = 8 ≠ 6 = 48 mod 14

m=15: 36 mod 15 = 6 ≠ 3 = 48 mod 15

m=16: 36 mod 16 = 4 ≠ 0 = 48 mod 16

m=17: 36 mod 17 = 2 ≠ 14 = 48 mod 17

m=18: 36 mod 18 = 0 ≠ 12 = 48 mod 18

m=19: 36 mod 19 = 17 ≠ 10 = 48 mod 19

m=20: 36 mod 20 = 16 ≠ 8 = 48 mod 20

m=21: 36 mod 21 = 15 ≠ 6 = 48 mod 21

m=22: 36 mod 22 = 14 ≠ 4 = 48 mod 22

m=23: 36 mod 23 = 13 ≠ 2 = 48 mod 23

m=24: 36 mod 24 = 12 ≠ 0 = 48 mod 24

m=25: 36 mod 25 = 11 ≠ 23 = 48 mod 25

m=26: 36 mod 26 = 10 ≠ 22 = 48 mod 26

m=27: 36 mod 27 = 9 ≠ 21 = 48 mod 27

m=28: 36 mod 28 = 8 ≠ 20 = 48 mod 28

m=29: 36 mod 29 = 7 ≠ 19 = 48 mod 29

m=30: 36 mod 30 = 6 ≠ 18 = 48 mod 30

m=31: 36 mod 31 = 5 ≠ 17 = 48 mod 31

m=32: 36 mod 32 = 4 ≠ 16 = 48 mod 32

m=33: 36 mod 33 = 3 ≠ 15 = 48 mod 33

m=34: 36 mod 34 = 2 ≠ 14 = 48 mod 34

m=35: 36 mod 35 = 1 ≠ 13 = 48 mod 35

m=36: 36 mod 36 = 0 ≠ 12 = 48 mod 36

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 36) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12