Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 88 = 7.

Somit gilt: 95 mod 8 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 36 = 7.

Somit gilt: 43 mod 9 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 27 und erhalten so 34.

Somit gilt: 34 ≡ 43 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 + 18000) mod 6 ≡ (118 mod 6 + 18000 mod 6) mod 6.

118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 6 ⋅ 20 -2 = 6 ⋅ 20 - 6 + 4.

18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 6 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(118 + 18000) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 78) mod 6 ≡ (20 mod 6 ⋅ 78 mod 6) mod 6.

20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.

78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 78) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 29 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 ≠ 2 = 29 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 = 1 = 29 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 5 = 29 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 = 5 = 29 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 2 = 29 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 9 = 29 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 8 = 29 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 21) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8