Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 66 = 6.

Somit gilt: 72 mod 11 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 30 = 0.

Somit gilt: 30 mod 10 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 30 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 2 ⋅ 10

Somit gilt: 20 ≡ 30 ≡ 0 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(161 + 167) mod 8 ≡ (161 mod 8 + 167 mod 8) mod 8.

161 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161 = 160+1 = 8 ⋅ 20 +1.

167 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 167 = 160+7 = 8 ⋅ 20 +7.

Somit gilt:

(161 + 167) mod 8 ≡ (1 + 7) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 79) mod 9 ≡ (20 mod 9 ⋅ 79 mod 9) mod 9.

20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 79) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 ≠ 1 = 35 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 35 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 3 = 35 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 0 = 35 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 3 = 35 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 = 8 = 35 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 5 = 35 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 10 = 35 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 9 = 35 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 26) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9