Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 11 = 6.

Somit gilt: 17 mod 11 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 54 = 3.

Somit gilt: 57 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 18 und erhalten so 21.

Somit gilt: 21 ≡ 57 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15998 - 798) mod 8 ≡ (15998 mod 8 - 798 mod 8) mod 8.

15998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 8 ⋅ 1875 +998.

798 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798 = 800-2 = 8 ⋅ 100 -2 = 8 ⋅ 100 - 8 + 6.

Somit gilt:

(15998 - 798) mod 8 ≡ (6 - 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 22) mod 9 ≡ (86 mod 9 ⋅ 22 mod 9) mod 9.

86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 81 + 5 = 9 ⋅ 9 + 5 ist.

22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 22) mod 9 ≡ (5 ⋅ 4) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 62 aus, ob zufällig 62 mod m = 80 mod m gilt:

m=2: 62 mod 2 = 0 = 0 = 80 mod 2

m=3: 62 mod 3 = 2 = 2 = 80 mod 3

m=4: 62 mod 4 = 2 ≠ 0 = 80 mod 4

m=5: 62 mod 5 = 2 ≠ 0 = 80 mod 5

m=6: 62 mod 6 = 2 = 2 = 80 mod 6

m=7: 62 mod 7 = 6 ≠ 3 = 80 mod 7

m=8: 62 mod 8 = 6 ≠ 0 = 80 mod 8

m=9: 62 mod 9 = 8 = 8 = 80 mod 9

m=10: 62 mod 10 = 2 ≠ 0 = 80 mod 10

m=11: 62 mod 11 = 7 ≠ 3 = 80 mod 11

m=12: 62 mod 12 = 2 ≠ 8 = 80 mod 12

m=13: 62 mod 13 = 10 ≠ 2 = 80 mod 13

m=14: 62 mod 14 = 6 ≠ 10 = 80 mod 14

m=15: 62 mod 15 = 2 ≠ 5 = 80 mod 15

m=16: 62 mod 16 = 14 ≠ 0 = 80 mod 16

m=17: 62 mod 17 = 11 ≠ 12 = 80 mod 17

m=18: 62 mod 18 = 8 = 8 = 80 mod 18

m=19: 62 mod 19 = 5 ≠ 4 = 80 mod 19

m=20: 62 mod 20 = 2 ≠ 0 = 80 mod 20

m=21: 62 mod 21 = 20 ≠ 17 = 80 mod 21

m=22: 62 mod 22 = 18 ≠ 14 = 80 mod 22

m=23: 62 mod 23 = 16 ≠ 11 = 80 mod 23

m=24: 62 mod 24 = 14 ≠ 8 = 80 mod 24

m=25: 62 mod 25 = 12 ≠ 5 = 80 mod 25

m=26: 62 mod 26 = 10 ≠ 2 = 80 mod 26

m=27: 62 mod 27 = 8 ≠ 26 = 80 mod 27

m=28: 62 mod 28 = 6 ≠ 24 = 80 mod 28

m=29: 62 mod 29 = 4 ≠ 22 = 80 mod 29

m=30: 62 mod 30 = 2 ≠ 20 = 80 mod 30

m=31: 62 mod 31 = 0 ≠ 18 = 80 mod 31

m=32: 62 mod 32 = 30 ≠ 16 = 80 mod 32

m=33: 62 mod 33 = 29 ≠ 14 = 80 mod 33

m=34: 62 mod 34 = 28 ≠ 12 = 80 mod 34

m=35: 62 mod 35 = 27 ≠ 10 = 80 mod 35

m=36: 62 mod 36 = 26 ≠ 8 = 80 mod 36

m=37: 62 mod 37 = 25 ≠ 6 = 80 mod 37

m=38: 62 mod 38 = 24 ≠ 4 = 80 mod 38

m=39: 62 mod 39 = 23 ≠ 2 = 80 mod 39

m=40: 62 mod 40 = 22 ≠ 0 = 80 mod 40

m=41: 62 mod 41 = 21 ≠ 39 = 80 mod 41

m=42: 62 mod 42 = 20 ≠ 38 = 80 mod 42

m=43: 62 mod 43 = 19 ≠ 37 = 80 mod 43

m=44: 62 mod 44 = 18 ≠ 36 = 80 mod 44

m=45: 62 mod 45 = 17 ≠ 35 = 80 mod 45

m=46: 62 mod 46 = 16 ≠ 34 = 80 mod 46

m=47: 62 mod 47 = 15 ≠ 33 = 80 mod 47

m=48: 62 mod 48 = 14 ≠ 32 = 80 mod 48

m=49: 62 mod 49 = 13 ≠ 31 = 80 mod 49

m=50: 62 mod 50 = 12 ≠ 30 = 80 mod 50

m=51: 62 mod 51 = 11 ≠ 29 = 80 mod 51

m=52: 62 mod 52 = 10 ≠ 28 = 80 mod 52

m=53: 62 mod 53 = 9 ≠ 27 = 80 mod 53

m=54: 62 mod 54 = 8 ≠ 26 = 80 mod 54

m=55: 62 mod 55 = 7 ≠ 25 = 80 mod 55

m=56: 62 mod 56 = 6 ≠ 24 = 80 mod 56

m=57: 62 mod 57 = 5 ≠ 23 = 80 mod 57

m=58: 62 mod 58 = 4 ≠ 22 = 80 mod 58

m=59: 62 mod 59 = 3 ≠ 21 = 80 mod 59

m=60: 62 mod 60 = 2 ≠ 20 = 80 mod 60

m=61: 62 mod 61 = 1 ≠ 19 = 80 mod 61

m=62: 62 mod 62 = 0 ≠ 18 = 80 mod 62

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (80 - 62) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18