Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 9 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 88 = 0.

Somit gilt: 88 mod 11 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 0 mod 11.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 99 = 9 ⋅ 11

Somit gilt: 99 ≡ 88 ≡ 0 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 - 706) mod 7 ≡ (68 mod 7 - 706 mod 7) mod 7.

68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 70-2 = 7 ⋅ 10 -2 = 7 ⋅ 10 - 7 + 5.

706 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 706 = 700+6 = 7 ⋅ 100 +6.

Somit gilt:

(68 - 706) mod 7 ≡ (5 - 6) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 61) mod 4 ≡ (90 mod 4 ⋅ 61 mod 4) mod 4.

90 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 22 ⋅ 4 + 2 ist.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 61) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4