Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 52, weil ja 13 ⋅ 4 = 52 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 52 = 2.

Somit gilt: 54 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 56, weil ja 14 ⋅ 4 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 56 = 2.

Somit gilt: 58 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 40 und erhalten so 42.

Somit gilt: 42 ≡ 58 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 + 403) mod 8 ≡ (76 mod 8 + 403 mod 8) mod 8.

76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 80-4 = 8 ⋅ 10 -4 = 8 ⋅ 10 - 8 + 4.

403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 8 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(76 + 403) mod 8 ≡ (4 + 3) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 44) mod 5 ≡ (77 mod 5 ⋅ 44 mod 5) mod 5.

77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 44) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 25 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 25 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 1 = 25 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 0 = 25 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 = 1 = 25 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 4 = 25 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 1 = 25 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 7 = 25 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 5 = 25 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 3 = 25 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 1 = 25 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 12 = 25 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 11 = 25 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 10 = 25 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 9 = 25 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 8 = 25 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 7 = 25 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 6 = 25 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 19) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6