Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.

Somit gilt: 62 mod 6 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 20 = 2.

Somit gilt: 22 mod 10 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 22 ≡ 2 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27996 + 354) mod 7 ≡ (27996 mod 7 + 354 mod 7) mod 7.

27996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27996 = 28000-4 = 7 ⋅ 4000 -4 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 3.

354 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 354 = 350+4 = 7 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(27996 + 354) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 27) mod 6 ≡ (59 mod 6 ⋅ 27 mod 6) mod 6.

59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 9 ⋅ 6 + 5 ist.

27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 27) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 108 aus, ob zufällig 108 mod m = 153 mod m gilt:

m=2: 108 mod 2 = 0 ≠ 1 = 153 mod 2

m=3: 108 mod 3 = 0 = 0 = 153 mod 3

m=4: 108 mod 4 = 0 ≠ 1 = 153 mod 4

m=5: 108 mod 5 = 3 = 3 = 153 mod 5

m=6: 108 mod 6 = 0 ≠ 3 = 153 mod 6

m=7: 108 mod 7 = 3 ≠ 6 = 153 mod 7

m=8: 108 mod 8 = 4 ≠ 1 = 153 mod 8

m=9: 108 mod 9 = 0 = 0 = 153 mod 9

m=10: 108 mod 10 = 8 ≠ 3 = 153 mod 10

m=11: 108 mod 11 = 9 ≠ 10 = 153 mod 11

m=12: 108 mod 12 = 0 ≠ 9 = 153 mod 12

m=13: 108 mod 13 = 4 ≠ 10 = 153 mod 13

m=14: 108 mod 14 = 10 ≠ 13 = 153 mod 14

m=15: 108 mod 15 = 3 = 3 = 153 mod 15

m=16: 108 mod 16 = 12 ≠ 9 = 153 mod 16

m=17: 108 mod 17 = 6 ≠ 0 = 153 mod 17

m=18: 108 mod 18 = 0 ≠ 9 = 153 mod 18

m=19: 108 mod 19 = 13 ≠ 1 = 153 mod 19

m=20: 108 mod 20 = 8 ≠ 13 = 153 mod 20

m=21: 108 mod 21 = 3 ≠ 6 = 153 mod 21

m=22: 108 mod 22 = 20 ≠ 21 = 153 mod 22

m=23: 108 mod 23 = 16 ≠ 15 = 153 mod 23

m=24: 108 mod 24 = 12 ≠ 9 = 153 mod 24

m=25: 108 mod 25 = 8 ≠ 3 = 153 mod 25

m=26: 108 mod 26 = 4 ≠ 23 = 153 mod 26

m=27: 108 mod 27 = 0 ≠ 18 = 153 mod 27

m=28: 108 mod 28 = 24 ≠ 13 = 153 mod 28

m=29: 108 mod 29 = 21 ≠ 8 = 153 mod 29

m=30: 108 mod 30 = 18 ≠ 3 = 153 mod 30

m=31: 108 mod 31 = 15 ≠ 29 = 153 mod 31

m=32: 108 mod 32 = 12 ≠ 25 = 153 mod 32

m=33: 108 mod 33 = 9 ≠ 21 = 153 mod 33

m=34: 108 mod 34 = 6 ≠ 17 = 153 mod 34

m=35: 108 mod 35 = 3 ≠ 13 = 153 mod 35

m=36: 108 mod 36 = 0 ≠ 9 = 153 mod 36

m=37: 108 mod 37 = 34 ≠ 5 = 153 mod 37

m=38: 108 mod 38 = 32 ≠ 1 = 153 mod 38

m=39: 108 mod 39 = 30 ≠ 36 = 153 mod 39

m=40: 108 mod 40 = 28 ≠ 33 = 153 mod 40

m=41: 108 mod 41 = 26 ≠ 30 = 153 mod 41

m=42: 108 mod 42 = 24 ≠ 27 = 153 mod 42

m=43: 108 mod 43 = 22 ≠ 24 = 153 mod 43

m=44: 108 mod 44 = 20 ≠ 21 = 153 mod 44

m=45: 108 mod 45 = 18 = 18 = 153 mod 45

m=46: 108 mod 46 = 16 ≠ 15 = 153 mod 46

m=47: 108 mod 47 = 14 ≠ 12 = 153 mod 47

m=48: 108 mod 48 = 12 ≠ 9 = 153 mod 48

m=49: 108 mod 49 = 10 ≠ 6 = 153 mod 49

m=50: 108 mod 50 = 8 ≠ 3 = 153 mod 50

m=51: 108 mod 51 = 6 ≠ 0 = 153 mod 51

m=52: 108 mod 52 = 4 ≠ 49 = 153 mod 52

m=53: 108 mod 53 = 2 ≠ 47 = 153 mod 53

m=54: 108 mod 54 = 0 ≠ 45 = 153 mod 54

m=55: 108 mod 55 = 53 ≠ 43 = 153 mod 55

m=56: 108 mod 56 = 52 ≠ 41 = 153 mod 56

m=57: 108 mod 57 = 51 ≠ 39 = 153 mod 57

m=58: 108 mod 58 = 50 ≠ 37 = 153 mod 58

m=59: 108 mod 59 = 49 ≠ 35 = 153 mod 59

m=60: 108 mod 60 = 48 ≠ 33 = 153 mod 60

m=61: 108 mod 61 = 47 ≠ 31 = 153 mod 61

m=62: 108 mod 62 = 46 ≠ 29 = 153 mod 62

m=63: 108 mod 63 = 45 ≠ 27 = 153 mod 63

m=64: 108 mod 64 = 44 ≠ 25 = 153 mod 64

m=65: 108 mod 65 = 43 ≠ 23 = 153 mod 65

m=66: 108 mod 66 = 42 ≠ 21 = 153 mod 66

m=67: 108 mod 67 = 41 ≠ 19 = 153 mod 67

m=68: 108 mod 68 = 40 ≠ 17 = 153 mod 68

m=69: 108 mod 69 = 39 ≠ 15 = 153 mod 69

m=70: 108 mod 70 = 38 ≠ 13 = 153 mod 70

m=71: 108 mod 71 = 37 ≠ 11 = 153 mod 71

m=72: 108 mod 72 = 36 ≠ 9 = 153 mod 72

m=73: 108 mod 73 = 35 ≠ 7 = 153 mod 73

m=74: 108 mod 74 = 34 ≠ 5 = 153 mod 74

m=75: 108 mod 75 = 33 ≠ 3 = 153 mod 75

m=76: 108 mod 76 = 32 ≠ 1 = 153 mod 76

m=77: 108 mod 77 = 31 ≠ 76 = 153 mod 77

m=78: 108 mod 78 = 30 ≠ 75 = 153 mod 78

m=79: 108 mod 79 = 29 ≠ 74 = 153 mod 79

m=80: 108 mod 80 = 28 ≠ 73 = 153 mod 80

m=81: 108 mod 81 = 27 ≠ 72 = 153 mod 81

m=82: 108 mod 82 = 26 ≠ 71 = 153 mod 82

m=83: 108 mod 83 = 25 ≠ 70 = 153 mod 83

m=84: 108 mod 84 = 24 ≠ 69 = 153 mod 84

m=85: 108 mod 85 = 23 ≠ 68 = 153 mod 85

m=86: 108 mod 86 = 22 ≠ 67 = 153 mod 86

m=87: 108 mod 87 = 21 ≠ 66 = 153 mod 87

m=88: 108 mod 88 = 20 ≠ 65 = 153 mod 88

m=89: 108 mod 89 = 19 ≠ 64 = 153 mod 89

m=90: 108 mod 90 = 18 ≠ 63 = 153 mod 90

m=91: 108 mod 91 = 17 ≠ 62 = 153 mod 91

m=92: 108 mod 92 = 16 ≠ 61 = 153 mod 92

m=93: 108 mod 93 = 15 ≠ 60 = 153 mod 93

m=94: 108 mod 94 = 14 ≠ 59 = 153 mod 94

m=95: 108 mod 95 = 13 ≠ 58 = 153 mod 95

m=96: 108 mod 96 = 12 ≠ 57 = 153 mod 96

m=97: 108 mod 97 = 11 ≠ 56 = 153 mod 97

m=98: 108 mod 98 = 10 ≠ 55 = 153 mod 98

m=99: 108 mod 99 = 9 ≠ 54 = 153 mod 99

m=100: 108 mod 100 = 8 ≠ 53 = 153 mod 100

m=101: 108 mod 101 = 7 ≠ 52 = 153 mod 101

m=102: 108 mod 102 = 6 ≠ 51 = 153 mod 102

m=103: 108 mod 103 = 5 ≠ 50 = 153 mod 103

m=104: 108 mod 104 = 4 ≠ 49 = 153 mod 104

m=105: 108 mod 105 = 3 ≠ 48 = 153 mod 105

m=106: 108 mod 106 = 2 ≠ 47 = 153 mod 106

m=107: 108 mod 107 = 1 ≠ 46 = 153 mod 107

m=108: 108 mod 108 = 0 ≠ 45 = 153 mod 108

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (153 - 108) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45