Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.

Somit gilt: 62 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 100, weil ja 10 ⋅ 10 = 100 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 100 = 0.

Somit gilt: 100 mod 10 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10

Somit gilt: 60 ≡ 100 ≡ 0 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 - 150) mod 5 ≡ (45 mod 5 - 150 mod 5) mod 5.

45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40+5 = 5 ⋅ 8 +5.

150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 5 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(45 - 150) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 83) mod 9 ≡ (45 mod 9 ⋅ 83 mod 9) mod 9.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 83) mod 9 ≡ (0 ⋅ 2) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 133 aus, ob zufällig 133 mod m = 183 mod m gilt:

m=2: 133 mod 2 = 1 = 1 = 183 mod 2

m=3: 133 mod 3 = 1 ≠ 0 = 183 mod 3

m=4: 133 mod 4 = 1 ≠ 3 = 183 mod 4

m=5: 133 mod 5 = 3 = 3 = 183 mod 5

m=6: 133 mod 6 = 1 ≠ 3 = 183 mod 6

m=7: 133 mod 7 = 0 ≠ 1 = 183 mod 7

m=8: 133 mod 8 = 5 ≠ 7 = 183 mod 8

m=9: 133 mod 9 = 7 ≠ 3 = 183 mod 9

m=10: 133 mod 10 = 3 = 3 = 183 mod 10

m=11: 133 mod 11 = 1 ≠ 7 = 183 mod 11

m=12: 133 mod 12 = 1 ≠ 3 = 183 mod 12

m=13: 133 mod 13 = 3 ≠ 1 = 183 mod 13

m=14: 133 mod 14 = 7 ≠ 1 = 183 mod 14

m=15: 133 mod 15 = 13 ≠ 3 = 183 mod 15

m=16: 133 mod 16 = 5 ≠ 7 = 183 mod 16

m=17: 133 mod 17 = 14 ≠ 13 = 183 mod 17

m=18: 133 mod 18 = 7 ≠ 3 = 183 mod 18

m=19: 133 mod 19 = 0 ≠ 12 = 183 mod 19

m=20: 133 mod 20 = 13 ≠ 3 = 183 mod 20

m=21: 133 mod 21 = 7 ≠ 15 = 183 mod 21

m=22: 133 mod 22 = 1 ≠ 7 = 183 mod 22

m=23: 133 mod 23 = 18 ≠ 22 = 183 mod 23

m=24: 133 mod 24 = 13 ≠ 15 = 183 mod 24

m=25: 133 mod 25 = 8 = 8 = 183 mod 25

m=26: 133 mod 26 = 3 ≠ 1 = 183 mod 26

m=27: 133 mod 27 = 25 ≠ 21 = 183 mod 27

m=28: 133 mod 28 = 21 ≠ 15 = 183 mod 28

m=29: 133 mod 29 = 17 ≠ 9 = 183 mod 29

m=30: 133 mod 30 = 13 ≠ 3 = 183 mod 30

m=31: 133 mod 31 = 9 ≠ 28 = 183 mod 31

m=32: 133 mod 32 = 5 ≠ 23 = 183 mod 32

m=33: 133 mod 33 = 1 ≠ 18 = 183 mod 33

m=34: 133 mod 34 = 31 ≠ 13 = 183 mod 34

m=35: 133 mod 35 = 28 ≠ 8 = 183 mod 35

m=36: 133 mod 36 = 25 ≠ 3 = 183 mod 36

m=37: 133 mod 37 = 22 ≠ 35 = 183 mod 37

m=38: 133 mod 38 = 19 ≠ 31 = 183 mod 38

m=39: 133 mod 39 = 16 ≠ 27 = 183 mod 39

m=40: 133 mod 40 = 13 ≠ 23 = 183 mod 40

m=41: 133 mod 41 = 10 ≠ 19 = 183 mod 41

m=42: 133 mod 42 = 7 ≠ 15 = 183 mod 42

m=43: 133 mod 43 = 4 ≠ 11 = 183 mod 43

m=44: 133 mod 44 = 1 ≠ 7 = 183 mod 44

m=45: 133 mod 45 = 43 ≠ 3 = 183 mod 45

m=46: 133 mod 46 = 41 ≠ 45 = 183 mod 46

m=47: 133 mod 47 = 39 ≠ 42 = 183 mod 47

m=48: 133 mod 48 = 37 ≠ 39 = 183 mod 48

m=49: 133 mod 49 = 35 ≠ 36 = 183 mod 49

m=50: 133 mod 50 = 33 = 33 = 183 mod 50

m=51: 133 mod 51 = 31 ≠ 30 = 183 mod 51

m=52: 133 mod 52 = 29 ≠ 27 = 183 mod 52

m=53: 133 mod 53 = 27 ≠ 24 = 183 mod 53

m=54: 133 mod 54 = 25 ≠ 21 = 183 mod 54

m=55: 133 mod 55 = 23 ≠ 18 = 183 mod 55

m=56: 133 mod 56 = 21 ≠ 15 = 183 mod 56

m=57: 133 mod 57 = 19 ≠ 12 = 183 mod 57

m=58: 133 mod 58 = 17 ≠ 9 = 183 mod 58

m=59: 133 mod 59 = 15 ≠ 6 = 183 mod 59

m=60: 133 mod 60 = 13 ≠ 3 = 183 mod 60

m=61: 133 mod 61 = 11 ≠ 0 = 183 mod 61

m=62: 133 mod 62 = 9 ≠ 59 = 183 mod 62

m=63: 133 mod 63 = 7 ≠ 57 = 183 mod 63

m=64: 133 mod 64 = 5 ≠ 55 = 183 mod 64

m=65: 133 mod 65 = 3 ≠ 53 = 183 mod 65

m=66: 133 mod 66 = 1 ≠ 51 = 183 mod 66

m=67: 133 mod 67 = 66 ≠ 49 = 183 mod 67

m=68: 133 mod 68 = 65 ≠ 47 = 183 mod 68

m=69: 133 mod 69 = 64 ≠ 45 = 183 mod 69

m=70: 133 mod 70 = 63 ≠ 43 = 183 mod 70

m=71: 133 mod 71 = 62 ≠ 41 = 183 mod 71

m=72: 133 mod 72 = 61 ≠ 39 = 183 mod 72

m=73: 133 mod 73 = 60 ≠ 37 = 183 mod 73

m=74: 133 mod 74 = 59 ≠ 35 = 183 mod 74

m=75: 133 mod 75 = 58 ≠ 33 = 183 mod 75

m=76: 133 mod 76 = 57 ≠ 31 = 183 mod 76

m=77: 133 mod 77 = 56 ≠ 29 = 183 mod 77

m=78: 133 mod 78 = 55 ≠ 27 = 183 mod 78

m=79: 133 mod 79 = 54 ≠ 25 = 183 mod 79

m=80: 133 mod 80 = 53 ≠ 23 = 183 mod 80

m=81: 133 mod 81 = 52 ≠ 21 = 183 mod 81

m=82: 133 mod 82 = 51 ≠ 19 = 183 mod 82

m=83: 133 mod 83 = 50 ≠ 17 = 183 mod 83

m=84: 133 mod 84 = 49 ≠ 15 = 183 mod 84

m=85: 133 mod 85 = 48 ≠ 13 = 183 mod 85

m=86: 133 mod 86 = 47 ≠ 11 = 183 mod 86

m=87: 133 mod 87 = 46 ≠ 9 = 183 mod 87

m=88: 133 mod 88 = 45 ≠ 7 = 183 mod 88

m=89: 133 mod 89 = 44 ≠ 5 = 183 mod 89

m=90: 133 mod 90 = 43 ≠ 3 = 183 mod 90

m=91: 133 mod 91 = 42 ≠ 1 = 183 mod 91

m=92: 133 mod 92 = 41 ≠ 91 = 183 mod 92

m=93: 133 mod 93 = 40 ≠ 90 = 183 mod 93

m=94: 133 mod 94 = 39 ≠ 89 = 183 mod 94

m=95: 133 mod 95 = 38 ≠ 88 = 183 mod 95

m=96: 133 mod 96 = 37 ≠ 87 = 183 mod 96

m=97: 133 mod 97 = 36 ≠ 86 = 183 mod 97

m=98: 133 mod 98 = 35 ≠ 85 = 183 mod 98

m=99: 133 mod 99 = 34 ≠ 84 = 183 mod 99

m=100: 133 mod 100 = 33 ≠ 83 = 183 mod 100

m=101: 133 mod 101 = 32 ≠ 82 = 183 mod 101

m=102: 133 mod 102 = 31 ≠ 81 = 183 mod 102

m=103: 133 mod 103 = 30 ≠ 80 = 183 mod 103

m=104: 133 mod 104 = 29 ≠ 79 = 183 mod 104

m=105: 133 mod 105 = 28 ≠ 78 = 183 mod 105

m=106: 133 mod 106 = 27 ≠ 77 = 183 mod 106

m=107: 133 mod 107 = 26 ≠ 76 = 183 mod 107

m=108: 133 mod 108 = 25 ≠ 75 = 183 mod 108

m=109: 133 mod 109 = 24 ≠ 74 = 183 mod 109

m=110: 133 mod 110 = 23 ≠ 73 = 183 mod 110

m=111: 133 mod 111 = 22 ≠ 72 = 183 mod 111

m=112: 133 mod 112 = 21 ≠ 71 = 183 mod 112

m=113: 133 mod 113 = 20 ≠ 70 = 183 mod 113

m=114: 133 mod 114 = 19 ≠ 69 = 183 mod 114

m=115: 133 mod 115 = 18 ≠ 68 = 183 mod 115

m=116: 133 mod 116 = 17 ≠ 67 = 183 mod 116

m=117: 133 mod 117 = 16 ≠ 66 = 183 mod 117

m=118: 133 mod 118 = 15 ≠ 65 = 183 mod 118

m=119: 133 mod 119 = 14 ≠ 64 = 183 mod 119

m=120: 133 mod 120 = 13 ≠ 63 = 183 mod 120

m=121: 133 mod 121 = 12 ≠ 62 = 183 mod 121

m=122: 133 mod 122 = 11 ≠ 61 = 183 mod 122

m=123: 133 mod 123 = 10 ≠ 60 = 183 mod 123

m=124: 133 mod 124 = 9 ≠ 59 = 183 mod 124

m=125: 133 mod 125 = 8 ≠ 58 = 183 mod 125

m=126: 133 mod 126 = 7 ≠ 57 = 183 mod 126

m=127: 133 mod 127 = 6 ≠ 56 = 183 mod 127

m=128: 133 mod 128 = 5 ≠ 55 = 183 mod 128

m=129: 133 mod 129 = 4 ≠ 54 = 183 mod 129

m=130: 133 mod 130 = 3 ≠ 53 = 183 mod 130

m=131: 133 mod 131 = 2 ≠ 52 = 183 mod 131

m=132: 133 mod 132 = 1 ≠ 51 = 183 mod 132

m=133: 133 mod 133 = 0 ≠ 50 = 183 mod 133

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (183 - 133) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50