Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 5 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 96, weil ja 24 ⋅ 4 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.

Somit gilt: 97 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 52 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 97 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(903 - 893) mod 9 ≡ (903 mod 9 - 893 mod 9) mod 9.

903 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903 = 900+3 = 9 ⋅ 100 +3.

893 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 893 = 900-7 = 9 ⋅ 100 -7 = 9 ⋅ 100 - 9 + 2.

Somit gilt:

(903 - 893) mod 9 ≡ (3 - 2) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 25) mod 6 ≡ (93 mod 6 ⋅ 25 mod 6) mod 6.

93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.

25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 25) mod 6 ≡ (3 ⋅ 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 ≠ 2 = 38 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 2 = 38 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 = 3 = 38 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 = 8 = 38 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 10 = 38 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 28) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10