Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 6 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 35 = 3.

Somit gilt: 38 mod 7 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 6 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 42 und erhalten so 45.

Somit gilt: 45 ≡ 38 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 + 605) mod 6 ≡ (118 mod 6 + 605 mod 6) mod 6.

118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 6 ⋅ 20 -2 = 6 ⋅ 20 - 6 + 4.

605 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 605 = 600+5 = 6 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(118 + 605) mod 6 ≡ (4 + 5) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 53) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 53 mod 7) mod 7.

26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.

53 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 49 + 4 = 7 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 53) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 150 aus, ob zufällig 150 mod m = 195 mod m gilt:

m=2: 150 mod 2 = 0 ≠ 1 = 195 mod 2

m=3: 150 mod 3 = 0 = 0 = 195 mod 3

m=4: 150 mod 4 = 2 ≠ 3 = 195 mod 4

m=5: 150 mod 5 = 0 = 0 = 195 mod 5

m=6: 150 mod 6 = 0 ≠ 3 = 195 mod 6

m=7: 150 mod 7 = 3 ≠ 6 = 195 mod 7

m=8: 150 mod 8 = 6 ≠ 3 = 195 mod 8

m=9: 150 mod 9 = 6 = 6 = 195 mod 9

m=10: 150 mod 10 = 0 ≠ 5 = 195 mod 10

m=11: 150 mod 11 = 7 ≠ 8 = 195 mod 11

m=12: 150 mod 12 = 6 ≠ 3 = 195 mod 12

m=13: 150 mod 13 = 7 ≠ 0 = 195 mod 13

m=14: 150 mod 14 = 10 ≠ 13 = 195 mod 14

m=15: 150 mod 15 = 0 = 0 = 195 mod 15

m=16: 150 mod 16 = 6 ≠ 3 = 195 mod 16

m=17: 150 mod 17 = 14 ≠ 8 = 195 mod 17

m=18: 150 mod 18 = 6 ≠ 15 = 195 mod 18

m=19: 150 mod 19 = 17 ≠ 5 = 195 mod 19

m=20: 150 mod 20 = 10 ≠ 15 = 195 mod 20

m=21: 150 mod 21 = 3 ≠ 6 = 195 mod 21

m=22: 150 mod 22 = 18 ≠ 19 = 195 mod 22

m=23: 150 mod 23 = 12 ≠ 11 = 195 mod 23

m=24: 150 mod 24 = 6 ≠ 3 = 195 mod 24

m=25: 150 mod 25 = 0 ≠ 20 = 195 mod 25

m=26: 150 mod 26 = 20 ≠ 13 = 195 mod 26

m=27: 150 mod 27 = 15 ≠ 6 = 195 mod 27

m=28: 150 mod 28 = 10 ≠ 27 = 195 mod 28

m=29: 150 mod 29 = 5 ≠ 21 = 195 mod 29

m=30: 150 mod 30 = 0 ≠ 15 = 195 mod 30

m=31: 150 mod 31 = 26 ≠ 9 = 195 mod 31

m=32: 150 mod 32 = 22 ≠ 3 = 195 mod 32

m=33: 150 mod 33 = 18 ≠ 30 = 195 mod 33

m=34: 150 mod 34 = 14 ≠ 25 = 195 mod 34

m=35: 150 mod 35 = 10 ≠ 20 = 195 mod 35

m=36: 150 mod 36 = 6 ≠ 15 = 195 mod 36

m=37: 150 mod 37 = 2 ≠ 10 = 195 mod 37

m=38: 150 mod 38 = 36 ≠ 5 = 195 mod 38

m=39: 150 mod 39 = 33 ≠ 0 = 195 mod 39

m=40: 150 mod 40 = 30 ≠ 35 = 195 mod 40

m=41: 150 mod 41 = 27 ≠ 31 = 195 mod 41

m=42: 150 mod 42 = 24 ≠ 27 = 195 mod 42

m=43: 150 mod 43 = 21 ≠ 23 = 195 mod 43

m=44: 150 mod 44 = 18 ≠ 19 = 195 mod 44

m=45: 150 mod 45 = 15 = 15 = 195 mod 45

m=46: 150 mod 46 = 12 ≠ 11 = 195 mod 46

m=47: 150 mod 47 = 9 ≠ 7 = 195 mod 47

m=48: 150 mod 48 = 6 ≠ 3 = 195 mod 48

m=49: 150 mod 49 = 3 ≠ 48 = 195 mod 49

m=50: 150 mod 50 = 0 ≠ 45 = 195 mod 50

m=51: 150 mod 51 = 48 ≠ 42 = 195 mod 51

m=52: 150 mod 52 = 46 ≠ 39 = 195 mod 52

m=53: 150 mod 53 = 44 ≠ 36 = 195 mod 53

m=54: 150 mod 54 = 42 ≠ 33 = 195 mod 54

m=55: 150 mod 55 = 40 ≠ 30 = 195 mod 55

m=56: 150 mod 56 = 38 ≠ 27 = 195 mod 56

m=57: 150 mod 57 = 36 ≠ 24 = 195 mod 57

m=58: 150 mod 58 = 34 ≠ 21 = 195 mod 58

m=59: 150 mod 59 = 32 ≠ 18 = 195 mod 59

m=60: 150 mod 60 = 30 ≠ 15 = 195 mod 60

m=61: 150 mod 61 = 28 ≠ 12 = 195 mod 61

m=62: 150 mod 62 = 26 ≠ 9 = 195 mod 62

m=63: 150 mod 63 = 24 ≠ 6 = 195 mod 63

m=64: 150 mod 64 = 22 ≠ 3 = 195 mod 64

m=65: 150 mod 65 = 20 ≠ 0 = 195 mod 65

m=66: 150 mod 66 = 18 ≠ 63 = 195 mod 66

m=67: 150 mod 67 = 16 ≠ 61 = 195 mod 67

m=68: 150 mod 68 = 14 ≠ 59 = 195 mod 68

m=69: 150 mod 69 = 12 ≠ 57 = 195 mod 69

m=70: 150 mod 70 = 10 ≠ 55 = 195 mod 70

m=71: 150 mod 71 = 8 ≠ 53 = 195 mod 71

m=72: 150 mod 72 = 6 ≠ 51 = 195 mod 72

m=73: 150 mod 73 = 4 ≠ 49 = 195 mod 73

m=74: 150 mod 74 = 2 ≠ 47 = 195 mod 74

m=75: 150 mod 75 = 0 ≠ 45 = 195 mod 75

m=76: 150 mod 76 = 74 ≠ 43 = 195 mod 76

m=77: 150 mod 77 = 73 ≠ 41 = 195 mod 77

m=78: 150 mod 78 = 72 ≠ 39 = 195 mod 78

m=79: 150 mod 79 = 71 ≠ 37 = 195 mod 79

m=80: 150 mod 80 = 70 ≠ 35 = 195 mod 80

m=81: 150 mod 81 = 69 ≠ 33 = 195 mod 81

m=82: 150 mod 82 = 68 ≠ 31 = 195 mod 82

m=83: 150 mod 83 = 67 ≠ 29 = 195 mod 83

m=84: 150 mod 84 = 66 ≠ 27 = 195 mod 84

m=85: 150 mod 85 = 65 ≠ 25 = 195 mod 85

m=86: 150 mod 86 = 64 ≠ 23 = 195 mod 86

m=87: 150 mod 87 = 63 ≠ 21 = 195 mod 87

m=88: 150 mod 88 = 62 ≠ 19 = 195 mod 88

m=89: 150 mod 89 = 61 ≠ 17 = 195 mod 89

m=90: 150 mod 90 = 60 ≠ 15 = 195 mod 90

m=91: 150 mod 91 = 59 ≠ 13 = 195 mod 91

m=92: 150 mod 92 = 58 ≠ 11 = 195 mod 92

m=93: 150 mod 93 = 57 ≠ 9 = 195 mod 93

m=94: 150 mod 94 = 56 ≠ 7 = 195 mod 94

m=95: 150 mod 95 = 55 ≠ 5 = 195 mod 95

m=96: 150 mod 96 = 54 ≠ 3 = 195 mod 96

m=97: 150 mod 97 = 53 ≠ 1 = 195 mod 97

m=98: 150 mod 98 = 52 ≠ 97 = 195 mod 98

m=99: 150 mod 99 = 51 ≠ 96 = 195 mod 99

m=100: 150 mod 100 = 50 ≠ 95 = 195 mod 100

m=101: 150 mod 101 = 49 ≠ 94 = 195 mod 101

m=102: 150 mod 102 = 48 ≠ 93 = 195 mod 102

m=103: 150 mod 103 = 47 ≠ 92 = 195 mod 103

m=104: 150 mod 104 = 46 ≠ 91 = 195 mod 104

m=105: 150 mod 105 = 45 ≠ 90 = 195 mod 105

m=106: 150 mod 106 = 44 ≠ 89 = 195 mod 106

m=107: 150 mod 107 = 43 ≠ 88 = 195 mod 107

m=108: 150 mod 108 = 42 ≠ 87 = 195 mod 108

m=109: 150 mod 109 = 41 ≠ 86 = 195 mod 109

m=110: 150 mod 110 = 40 ≠ 85 = 195 mod 110

m=111: 150 mod 111 = 39 ≠ 84 = 195 mod 111

m=112: 150 mod 112 = 38 ≠ 83 = 195 mod 112

m=113: 150 mod 113 = 37 ≠ 82 = 195 mod 113

m=114: 150 mod 114 = 36 ≠ 81 = 195 mod 114

m=115: 150 mod 115 = 35 ≠ 80 = 195 mod 115

m=116: 150 mod 116 = 34 ≠ 79 = 195 mod 116

m=117: 150 mod 117 = 33 ≠ 78 = 195 mod 117

m=118: 150 mod 118 = 32 ≠ 77 = 195 mod 118

m=119: 150 mod 119 = 31 ≠ 76 = 195 mod 119

m=120: 150 mod 120 = 30 ≠ 75 = 195 mod 120

m=121: 150 mod 121 = 29 ≠ 74 = 195 mod 121

m=122: 150 mod 122 = 28 ≠ 73 = 195 mod 122

m=123: 150 mod 123 = 27 ≠ 72 = 195 mod 123

m=124: 150 mod 124 = 26 ≠ 71 = 195 mod 124

m=125: 150 mod 125 = 25 ≠ 70 = 195 mod 125

m=126: 150 mod 126 = 24 ≠ 69 = 195 mod 126

m=127: 150 mod 127 = 23 ≠ 68 = 195 mod 127

m=128: 150 mod 128 = 22 ≠ 67 = 195 mod 128

m=129: 150 mod 129 = 21 ≠ 66 = 195 mod 129

m=130: 150 mod 130 = 20 ≠ 65 = 195 mod 130

m=131: 150 mod 131 = 19 ≠ 64 = 195 mod 131

m=132: 150 mod 132 = 18 ≠ 63 = 195 mod 132

m=133: 150 mod 133 = 17 ≠ 62 = 195 mod 133

m=134: 150 mod 134 = 16 ≠ 61 = 195 mod 134

m=135: 150 mod 135 = 15 ≠ 60 = 195 mod 135

m=136: 150 mod 136 = 14 ≠ 59 = 195 mod 136

m=137: 150 mod 137 = 13 ≠ 58 = 195 mod 137

m=138: 150 mod 138 = 12 ≠ 57 = 195 mod 138

m=139: 150 mod 139 = 11 ≠ 56 = 195 mod 139

m=140: 150 mod 140 = 10 ≠ 55 = 195 mod 140

m=141: 150 mod 141 = 9 ≠ 54 = 195 mod 141

m=142: 150 mod 142 = 8 ≠ 53 = 195 mod 142

m=143: 150 mod 143 = 7 ≠ 52 = 195 mod 143

m=144: 150 mod 144 = 6 ≠ 51 = 195 mod 144

m=145: 150 mod 145 = 5 ≠ 50 = 195 mod 145

m=146: 150 mod 146 = 4 ≠ 49 = 195 mod 146

m=147: 150 mod 147 = 3 ≠ 48 = 195 mod 147

m=148: 150 mod 148 = 2 ≠ 47 = 195 mod 148

m=149: 150 mod 149 = 1 ≠ 46 = 195 mod 149

m=150: 150 mod 150 = 0 ≠ 45 = 195 mod 150

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (195 - 150) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45