Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 68 = 1.

Somit gilt: 69 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 81 = 2.

Somit gilt: 83 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 9 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 83 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18000 + 3000) mod 6 ≡ (18000 mod 6 + 3000 mod 6) mod 6.

18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 6 ⋅ 3000 +0.

3000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 6 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(18000 + 3000) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 100) mod 5 ≡ (15 mod 5 ⋅ 100 mod 5) mod 5.

15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 100) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 ≠ 0 = 38 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 = 2 = 38 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 ≠ 2 = 38 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 = 2 = 38 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 10 = 38 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 9 = 38 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 29) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9