Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 49 = 3.

Somit gilt: 52 mod 7 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 95 = 0.

Somit gilt: 95 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5

Somit gilt: 20 ≡ 95 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9008 - 1805) mod 9 ≡ (9008 mod 9 - 1805 mod 9) mod 9.

9008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9008 = 9000+8 = 9 ⋅ 1000 +8.

1805 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1805 = 1800+5 = 9 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(9008 - 1805) mod 9 ≡ (8 - 5) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 61) mod 10 ≡ (79 mod 10 ⋅ 61 mod 10) mod 10.

79 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 70 + 9 = 7 ⋅ 10 + 9 ist.

61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 61) mod 10 ≡ (9 ⋅ 1) mod 10 ≡ 9 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6