Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 55 = 1.

Somit gilt: 56 mod 5 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 64, weil ja 16 ⋅ 4 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.

Somit gilt: 65 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 52 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 65 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2797 + 344) mod 7 ≡ (2797 mod 7 + 344 mod 7) mod 7.

2797 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2797 = 2800-3 = 7 ⋅ 400 -3 = 7 ⋅ 400 - 7 + 4.

344 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 344 = 350-6 = 7 ⋅ 50 -6 = 7 ⋅ 50 - 7 + 1.

Somit gilt:

(2797 + 344) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 66) mod 10 ≡ (51 mod 10 ⋅ 66 mod 10) mod 10.

51 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 5 ⋅ 10 + 1 ist.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 66) mod 10 ≡ (1 ⋅ 6) mod 10 ≡ 6 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 197 aus, ob zufällig 197 mod m = 272 mod m gilt:

m=2: 197 mod 2 = 1 ≠ 0 = 272 mod 2

m=3: 197 mod 3 = 2 = 2 = 272 mod 3

m=4: 197 mod 4 = 1 ≠ 0 = 272 mod 4

m=5: 197 mod 5 = 2 = 2 = 272 mod 5

m=6: 197 mod 6 = 5 ≠ 2 = 272 mod 6

m=7: 197 mod 7 = 1 ≠ 6 = 272 mod 7

m=8: 197 mod 8 = 5 ≠ 0 = 272 mod 8

m=9: 197 mod 9 = 8 ≠ 2 = 272 mod 9

m=10: 197 mod 10 = 7 ≠ 2 = 272 mod 10

m=11: 197 mod 11 = 10 ≠ 8 = 272 mod 11

m=12: 197 mod 12 = 5 ≠ 8 = 272 mod 12

m=13: 197 mod 13 = 2 ≠ 12 = 272 mod 13

m=14: 197 mod 14 = 1 ≠ 6 = 272 mod 14

m=15: 197 mod 15 = 2 = 2 = 272 mod 15

m=16: 197 mod 16 = 5 ≠ 0 = 272 mod 16

m=17: 197 mod 17 = 10 ≠ 0 = 272 mod 17

m=18: 197 mod 18 = 17 ≠ 2 = 272 mod 18

m=19: 197 mod 19 = 7 ≠ 6 = 272 mod 19

m=20: 197 mod 20 = 17 ≠ 12 = 272 mod 20

m=21: 197 mod 21 = 8 ≠ 20 = 272 mod 21

m=22: 197 mod 22 = 21 ≠ 8 = 272 mod 22

m=23: 197 mod 23 = 13 ≠ 19 = 272 mod 23

m=24: 197 mod 24 = 5 ≠ 8 = 272 mod 24

m=25: 197 mod 25 = 22 = 22 = 272 mod 25

m=26: 197 mod 26 = 15 ≠ 12 = 272 mod 26

m=27: 197 mod 27 = 8 ≠ 2 = 272 mod 27

m=28: 197 mod 28 = 1 ≠ 20 = 272 mod 28

m=29: 197 mod 29 = 23 ≠ 11 = 272 mod 29

m=30: 197 mod 30 = 17 ≠ 2 = 272 mod 30

m=31: 197 mod 31 = 11 ≠ 24 = 272 mod 31

m=32: 197 mod 32 = 5 ≠ 16 = 272 mod 32

m=33: 197 mod 33 = 32 ≠ 8 = 272 mod 33

m=34: 197 mod 34 = 27 ≠ 0 = 272 mod 34

m=35: 197 mod 35 = 22 ≠ 27 = 272 mod 35

m=36: 197 mod 36 = 17 ≠ 20 = 272 mod 36

m=37: 197 mod 37 = 12 ≠ 13 = 272 mod 37

m=38: 197 mod 38 = 7 ≠ 6 = 272 mod 38

m=39: 197 mod 39 = 2 ≠ 38 = 272 mod 39

m=40: 197 mod 40 = 37 ≠ 32 = 272 mod 40

m=41: 197 mod 41 = 33 ≠ 26 = 272 mod 41

m=42: 197 mod 42 = 29 ≠ 20 = 272 mod 42

m=43: 197 mod 43 = 25 ≠ 14 = 272 mod 43

m=44: 197 mod 44 = 21 ≠ 8 = 272 mod 44

m=45: 197 mod 45 = 17 ≠ 2 = 272 mod 45

m=46: 197 mod 46 = 13 ≠ 42 = 272 mod 46

m=47: 197 mod 47 = 9 ≠ 37 = 272 mod 47

m=48: 197 mod 48 = 5 ≠ 32 = 272 mod 48

m=49: 197 mod 49 = 1 ≠ 27 = 272 mod 49

m=50: 197 mod 50 = 47 ≠ 22 = 272 mod 50

m=51: 197 mod 51 = 44 ≠ 17 = 272 mod 51

m=52: 197 mod 52 = 41 ≠ 12 = 272 mod 52

m=53: 197 mod 53 = 38 ≠ 7 = 272 mod 53

m=54: 197 mod 54 = 35 ≠ 2 = 272 mod 54

m=55: 197 mod 55 = 32 ≠ 52 = 272 mod 55

m=56: 197 mod 56 = 29 ≠ 48 = 272 mod 56

m=57: 197 mod 57 = 26 ≠ 44 = 272 mod 57

m=58: 197 mod 58 = 23 ≠ 40 = 272 mod 58

m=59: 197 mod 59 = 20 ≠ 36 = 272 mod 59

m=60: 197 mod 60 = 17 ≠ 32 = 272 mod 60

m=61: 197 mod 61 = 14 ≠ 28 = 272 mod 61

m=62: 197 mod 62 = 11 ≠ 24 = 272 mod 62

m=63: 197 mod 63 = 8 ≠ 20 = 272 mod 63

m=64: 197 mod 64 = 5 ≠ 16 = 272 mod 64

m=65: 197 mod 65 = 2 ≠ 12 = 272 mod 65

m=66: 197 mod 66 = 65 ≠ 8 = 272 mod 66

m=67: 197 mod 67 = 63 ≠ 4 = 272 mod 67

m=68: 197 mod 68 = 61 ≠ 0 = 272 mod 68

m=69: 197 mod 69 = 59 ≠ 65 = 272 mod 69

m=70: 197 mod 70 = 57 ≠ 62 = 272 mod 70

m=71: 197 mod 71 = 55 ≠ 59 = 272 mod 71

m=72: 197 mod 72 = 53 ≠ 56 = 272 mod 72

m=73: 197 mod 73 = 51 ≠ 53 = 272 mod 73

m=74: 197 mod 74 = 49 ≠ 50 = 272 mod 74

m=75: 197 mod 75 = 47 = 47 = 272 mod 75

m=76: 197 mod 76 = 45 ≠ 44 = 272 mod 76

m=77: 197 mod 77 = 43 ≠ 41 = 272 mod 77

m=78: 197 mod 78 = 41 ≠ 38 = 272 mod 78

m=79: 197 mod 79 = 39 ≠ 35 = 272 mod 79

m=80: 197 mod 80 = 37 ≠ 32 = 272 mod 80

m=81: 197 mod 81 = 35 ≠ 29 = 272 mod 81

m=82: 197 mod 82 = 33 ≠ 26 = 272 mod 82

m=83: 197 mod 83 = 31 ≠ 23 = 272 mod 83

m=84: 197 mod 84 = 29 ≠ 20 = 272 mod 84

m=85: 197 mod 85 = 27 ≠ 17 = 272 mod 85

m=86: 197 mod 86 = 25 ≠ 14 = 272 mod 86

m=87: 197 mod 87 = 23 ≠ 11 = 272 mod 87

m=88: 197 mod 88 = 21 ≠ 8 = 272 mod 88

m=89: 197 mod 89 = 19 ≠ 5 = 272 mod 89

m=90: 197 mod 90 = 17 ≠ 2 = 272 mod 90

m=91: 197 mod 91 = 15 ≠ 90 = 272 mod 91

m=92: 197 mod 92 = 13 ≠ 88 = 272 mod 92

m=93: 197 mod 93 = 11 ≠ 86 = 272 mod 93

m=94: 197 mod 94 = 9 ≠ 84 = 272 mod 94

m=95: 197 mod 95 = 7 ≠ 82 = 272 mod 95

m=96: 197 mod 96 = 5 ≠ 80 = 272 mod 96

m=97: 197 mod 97 = 3 ≠ 78 = 272 mod 97

m=98: 197 mod 98 = 1 ≠ 76 = 272 mod 98

m=99: 197 mod 99 = 98 ≠ 74 = 272 mod 99

m=100: 197 mod 100 = 97 ≠ 72 = 272 mod 100

m=101: 197 mod 101 = 96 ≠ 70 = 272 mod 101

m=102: 197 mod 102 = 95 ≠ 68 = 272 mod 102

m=103: 197 mod 103 = 94 ≠ 66 = 272 mod 103

m=104: 197 mod 104 = 93 ≠ 64 = 272 mod 104

m=105: 197 mod 105 = 92 ≠ 62 = 272 mod 105

m=106: 197 mod 106 = 91 ≠ 60 = 272 mod 106

m=107: 197 mod 107 = 90 ≠ 58 = 272 mod 107

m=108: 197 mod 108 = 89 ≠ 56 = 272 mod 108

m=109: 197 mod 109 = 88 ≠ 54 = 272 mod 109

m=110: 197 mod 110 = 87 ≠ 52 = 272 mod 110

m=111: 197 mod 111 = 86 ≠ 50 = 272 mod 111

m=112: 197 mod 112 = 85 ≠ 48 = 272 mod 112

m=113: 197 mod 113 = 84 ≠ 46 = 272 mod 113

m=114: 197 mod 114 = 83 ≠ 44 = 272 mod 114

m=115: 197 mod 115 = 82 ≠ 42 = 272 mod 115

m=116: 197 mod 116 = 81 ≠ 40 = 272 mod 116

m=117: 197 mod 117 = 80 ≠ 38 = 272 mod 117

m=118: 197 mod 118 = 79 ≠ 36 = 272 mod 118

m=119: 197 mod 119 = 78 ≠ 34 = 272 mod 119

m=120: 197 mod 120 = 77 ≠ 32 = 272 mod 120

m=121: 197 mod 121 = 76 ≠ 30 = 272 mod 121

m=122: 197 mod 122 = 75 ≠ 28 = 272 mod 122

m=123: 197 mod 123 = 74 ≠ 26 = 272 mod 123

m=124: 197 mod 124 = 73 ≠ 24 = 272 mod 124

m=125: 197 mod 125 = 72 ≠ 22 = 272 mod 125

m=126: 197 mod 126 = 71 ≠ 20 = 272 mod 126

m=127: 197 mod 127 = 70 ≠ 18 = 272 mod 127

m=128: 197 mod 128 = 69 ≠ 16 = 272 mod 128

m=129: 197 mod 129 = 68 ≠ 14 = 272 mod 129

m=130: 197 mod 130 = 67 ≠ 12 = 272 mod 130

m=131: 197 mod 131 = 66 ≠ 10 = 272 mod 131

m=132: 197 mod 132 = 65 ≠ 8 = 272 mod 132

m=133: 197 mod 133 = 64 ≠ 6 = 272 mod 133

m=134: 197 mod 134 = 63 ≠ 4 = 272 mod 134

m=135: 197 mod 135 = 62 ≠ 2 = 272 mod 135

m=136: 197 mod 136 = 61 ≠ 0 = 272 mod 136

m=137: 197 mod 137 = 60 ≠ 135 = 272 mod 137

m=138: 197 mod 138 = 59 ≠ 134 = 272 mod 138

m=139: 197 mod 139 = 58 ≠ 133 = 272 mod 139

m=140: 197 mod 140 = 57 ≠ 132 = 272 mod 140

m=141: 197 mod 141 = 56 ≠ 131 = 272 mod 141

m=142: 197 mod 142 = 55 ≠ 130 = 272 mod 142

m=143: 197 mod 143 = 54 ≠ 129 = 272 mod 143

m=144: 197 mod 144 = 53 ≠ 128 = 272 mod 144

m=145: 197 mod 145 = 52 ≠ 127 = 272 mod 145

m=146: 197 mod 146 = 51 ≠ 126 = 272 mod 146

m=147: 197 mod 147 = 50 ≠ 125 = 272 mod 147

m=148: 197 mod 148 = 49 ≠ 124 = 272 mod 148

m=149: 197 mod 149 = 48 ≠ 123 = 272 mod 149

m=150: 197 mod 150 = 47 ≠ 122 = 272 mod 150

m=151: 197 mod 151 = 46 ≠ 121 = 272 mod 151

m=152: 197 mod 152 = 45 ≠ 120 = 272 mod 152

m=153: 197 mod 153 = 44 ≠ 119 = 272 mod 153

m=154: 197 mod 154 = 43 ≠ 118 = 272 mod 154

m=155: 197 mod 155 = 42 ≠ 117 = 272 mod 155

m=156: 197 mod 156 = 41 ≠ 116 = 272 mod 156

m=157: 197 mod 157 = 40 ≠ 115 = 272 mod 157

m=158: 197 mod 158 = 39 ≠ 114 = 272 mod 158

m=159: 197 mod 159 = 38 ≠ 113 = 272 mod 159

m=160: 197 mod 160 = 37 ≠ 112 = 272 mod 160

m=161: 197 mod 161 = 36 ≠ 111 = 272 mod 161

m=162: 197 mod 162 = 35 ≠ 110 = 272 mod 162

m=163: 197 mod 163 = 34 ≠ 109 = 272 mod 163

m=164: 197 mod 164 = 33 ≠ 108 = 272 mod 164

m=165: 197 mod 165 = 32 ≠ 107 = 272 mod 165

m=166: 197 mod 166 = 31 ≠ 106 = 272 mod 166

m=167: 197 mod 167 = 30 ≠ 105 = 272 mod 167

m=168: 197 mod 168 = 29 ≠ 104 = 272 mod 168

m=169: 197 mod 169 = 28 ≠ 103 = 272 mod 169

m=170: 197 mod 170 = 27 ≠ 102 = 272 mod 170

m=171: 197 mod 171 = 26 ≠ 101 = 272 mod 171

m=172: 197 mod 172 = 25 ≠ 100 = 272 mod 172

m=173: 197 mod 173 = 24 ≠ 99 = 272 mod 173

m=174: 197 mod 174 = 23 ≠ 98 = 272 mod 174

m=175: 197 mod 175 = 22 ≠ 97 = 272 mod 175

m=176: 197 mod 176 = 21 ≠ 96 = 272 mod 176

m=177: 197 mod 177 = 20 ≠ 95 = 272 mod 177

m=178: 197 mod 178 = 19 ≠ 94 = 272 mod 178

m=179: 197 mod 179 = 18 ≠ 93 = 272 mod 179

m=180: 197 mod 180 = 17 ≠ 92 = 272 mod 180

m=181: 197 mod 181 = 16 ≠ 91 = 272 mod 181

m=182: 197 mod 182 = 15 ≠ 90 = 272 mod 182

m=183: 197 mod 183 = 14 ≠ 89 = 272 mod 183

m=184: 197 mod 184 = 13 ≠ 88 = 272 mod 184

m=185: 197 mod 185 = 12 ≠ 87 = 272 mod 185

m=186: 197 mod 186 = 11 ≠ 86 = 272 mod 186

m=187: 197 mod 187 = 10 ≠ 85 = 272 mod 187

m=188: 197 mod 188 = 9 ≠ 84 = 272 mod 188

m=189: 197 mod 189 = 8 ≠ 83 = 272 mod 189

m=190: 197 mod 190 = 7 ≠ 82 = 272 mod 190

m=191: 197 mod 191 = 6 ≠ 81 = 272 mod 191

m=192: 197 mod 192 = 5 ≠ 80 = 272 mod 192

m=193: 197 mod 193 = 4 ≠ 79 = 272 mod 193

m=194: 197 mod 194 = 3 ≠ 78 = 272 mod 194

m=195: 197 mod 195 = 2 ≠ 77 = 272 mod 195

m=196: 197 mod 196 = 1 ≠ 76 = 272 mod 196

m=197: 197 mod 197 = 0 ≠ 75 = 272 mod 197

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (272 - 197) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75