Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 81 = 7.

Somit gilt: 88 mod 9 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 92 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(280 - 14003) mod 7 ≡ (280 mod 7 - 14003 mod 7) mod 7.

280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280 = 280+0 = 7 ⋅ 40 +0.

14003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14003 = 14000+3 = 7 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(280 - 14003) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 34) mod 9 ≡ (58 mod 9 ⋅ 34 mod 9) mod 9.

58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 34) mod 9 ≡ (4 ⋅ 7) mod 9 ≡ 28 mod 9 ≡ 1 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 271 aus, ob zufällig 271 mod m = 346 mod m gilt:

m=2: 271 mod 2 = 1 ≠ 0 = 346 mod 2

m=3: 271 mod 3 = 1 = 1 = 346 mod 3

m=4: 271 mod 4 = 3 ≠ 2 = 346 mod 4

m=5: 271 mod 5 = 1 = 1 = 346 mod 5

m=6: 271 mod 6 = 1 ≠ 4 = 346 mod 6

m=7: 271 mod 7 = 5 ≠ 3 = 346 mod 7

m=8: 271 mod 8 = 7 ≠ 2 = 346 mod 8

m=9: 271 mod 9 = 1 ≠ 4 = 346 mod 9

m=10: 271 mod 10 = 1 ≠ 6 = 346 mod 10

m=11: 271 mod 11 = 7 ≠ 5 = 346 mod 11

m=12: 271 mod 12 = 7 ≠ 10 = 346 mod 12

m=13: 271 mod 13 = 11 ≠ 8 = 346 mod 13

m=14: 271 mod 14 = 5 ≠ 10 = 346 mod 14

m=15: 271 mod 15 = 1 = 1 = 346 mod 15

m=16: 271 mod 16 = 15 ≠ 10 = 346 mod 16

m=17: 271 mod 17 = 16 ≠ 6 = 346 mod 17

m=18: 271 mod 18 = 1 ≠ 4 = 346 mod 18

m=19: 271 mod 19 = 5 ≠ 4 = 346 mod 19

m=20: 271 mod 20 = 11 ≠ 6 = 346 mod 20

m=21: 271 mod 21 = 19 ≠ 10 = 346 mod 21

m=22: 271 mod 22 = 7 ≠ 16 = 346 mod 22

m=23: 271 mod 23 = 18 ≠ 1 = 346 mod 23

m=24: 271 mod 24 = 7 ≠ 10 = 346 mod 24

m=25: 271 mod 25 = 21 = 21 = 346 mod 25

m=26: 271 mod 26 = 11 ≠ 8 = 346 mod 26

m=27: 271 mod 27 = 1 ≠ 22 = 346 mod 27

m=28: 271 mod 28 = 19 ≠ 10 = 346 mod 28

m=29: 271 mod 29 = 10 ≠ 27 = 346 mod 29

m=30: 271 mod 30 = 1 ≠ 16 = 346 mod 30

m=31: 271 mod 31 = 23 ≠ 5 = 346 mod 31

m=32: 271 mod 32 = 15 ≠ 26 = 346 mod 32

m=33: 271 mod 33 = 7 ≠ 16 = 346 mod 33

m=34: 271 mod 34 = 33 ≠ 6 = 346 mod 34

m=35: 271 mod 35 = 26 ≠ 31 = 346 mod 35

m=36: 271 mod 36 = 19 ≠ 22 = 346 mod 36

m=37: 271 mod 37 = 12 ≠ 13 = 346 mod 37

m=38: 271 mod 38 = 5 ≠ 4 = 346 mod 38

m=39: 271 mod 39 = 37 ≠ 34 = 346 mod 39

m=40: 271 mod 40 = 31 ≠ 26 = 346 mod 40

m=41: 271 mod 41 = 25 ≠ 18 = 346 mod 41

m=42: 271 mod 42 = 19 ≠ 10 = 346 mod 42

m=43: 271 mod 43 = 13 ≠ 2 = 346 mod 43

m=44: 271 mod 44 = 7 ≠ 38 = 346 mod 44

m=45: 271 mod 45 = 1 ≠ 31 = 346 mod 45

m=46: 271 mod 46 = 41 ≠ 24 = 346 mod 46

m=47: 271 mod 47 = 36 ≠ 17 = 346 mod 47

m=48: 271 mod 48 = 31 ≠ 10 = 346 mod 48

m=49: 271 mod 49 = 26 ≠ 3 = 346 mod 49

m=50: 271 mod 50 = 21 ≠ 46 = 346 mod 50

m=51: 271 mod 51 = 16 ≠ 40 = 346 mod 51

m=52: 271 mod 52 = 11 ≠ 34 = 346 mod 52

m=53: 271 mod 53 = 6 ≠ 28 = 346 mod 53

m=54: 271 mod 54 = 1 ≠ 22 = 346 mod 54

m=55: 271 mod 55 = 51 ≠ 16 = 346 mod 55

m=56: 271 mod 56 = 47 ≠ 10 = 346 mod 56

m=57: 271 mod 57 = 43 ≠ 4 = 346 mod 57

m=58: 271 mod 58 = 39 ≠ 56 = 346 mod 58

m=59: 271 mod 59 = 35 ≠ 51 = 346 mod 59

m=60: 271 mod 60 = 31 ≠ 46 = 346 mod 60

m=61: 271 mod 61 = 27 ≠ 41 = 346 mod 61

m=62: 271 mod 62 = 23 ≠ 36 = 346 mod 62

m=63: 271 mod 63 = 19 ≠ 31 = 346 mod 63

m=64: 271 mod 64 = 15 ≠ 26 = 346 mod 64

m=65: 271 mod 65 = 11 ≠ 21 = 346 mod 65

m=66: 271 mod 66 = 7 ≠ 16 = 346 mod 66

m=67: 271 mod 67 = 3 ≠ 11 = 346 mod 67

m=68: 271 mod 68 = 67 ≠ 6 = 346 mod 68

m=69: 271 mod 69 = 64 ≠ 1 = 346 mod 69

m=70: 271 mod 70 = 61 ≠ 66 = 346 mod 70

m=71: 271 mod 71 = 58 ≠ 62 = 346 mod 71

m=72: 271 mod 72 = 55 ≠ 58 = 346 mod 72

m=73: 271 mod 73 = 52 ≠ 54 = 346 mod 73

m=74: 271 mod 74 = 49 ≠ 50 = 346 mod 74

m=75: 271 mod 75 = 46 = 46 = 346 mod 75

m=76: 271 mod 76 = 43 ≠ 42 = 346 mod 76

m=77: 271 mod 77 = 40 ≠ 38 = 346 mod 77

m=78: 271 mod 78 = 37 ≠ 34 = 346 mod 78

m=79: 271 mod 79 = 34 ≠ 30 = 346 mod 79

m=80: 271 mod 80 = 31 ≠ 26 = 346 mod 80

m=81: 271 mod 81 = 28 ≠ 22 = 346 mod 81

m=82: 271 mod 82 = 25 ≠ 18 = 346 mod 82

m=83: 271 mod 83 = 22 ≠ 14 = 346 mod 83

m=84: 271 mod 84 = 19 ≠ 10 = 346 mod 84

m=85: 271 mod 85 = 16 ≠ 6 = 346 mod 85

m=86: 271 mod 86 = 13 ≠ 2 = 346 mod 86

m=87: 271 mod 87 = 10 ≠ 85 = 346 mod 87

m=88: 271 mod 88 = 7 ≠ 82 = 346 mod 88

m=89: 271 mod 89 = 4 ≠ 79 = 346 mod 89

m=90: 271 mod 90 = 1 ≠ 76 = 346 mod 90

m=91: 271 mod 91 = 89 ≠ 73 = 346 mod 91

m=92: 271 mod 92 = 87 ≠ 70 = 346 mod 92

m=93: 271 mod 93 = 85 ≠ 67 = 346 mod 93

m=94: 271 mod 94 = 83 ≠ 64 = 346 mod 94

m=95: 271 mod 95 = 81 ≠ 61 = 346 mod 95

m=96: 271 mod 96 = 79 ≠ 58 = 346 mod 96

m=97: 271 mod 97 = 77 ≠ 55 = 346 mod 97

m=98: 271 mod 98 = 75 ≠ 52 = 346 mod 98

m=99: 271 mod 99 = 73 ≠ 49 = 346 mod 99

m=100: 271 mod 100 = 71 ≠ 46 = 346 mod 100

m=101: 271 mod 101 = 69 ≠ 43 = 346 mod 101

m=102: 271 mod 102 = 67 ≠ 40 = 346 mod 102

m=103: 271 mod 103 = 65 ≠ 37 = 346 mod 103

m=104: 271 mod 104 = 63 ≠ 34 = 346 mod 104

m=105: 271 mod 105 = 61 ≠ 31 = 346 mod 105

m=106: 271 mod 106 = 59 ≠ 28 = 346 mod 106

m=107: 271 mod 107 = 57 ≠ 25 = 346 mod 107

m=108: 271 mod 108 = 55 ≠ 22 = 346 mod 108

m=109: 271 mod 109 = 53 ≠ 19 = 346 mod 109

m=110: 271 mod 110 = 51 ≠ 16 = 346 mod 110

m=111: 271 mod 111 = 49 ≠ 13 = 346 mod 111

m=112: 271 mod 112 = 47 ≠ 10 = 346 mod 112

m=113: 271 mod 113 = 45 ≠ 7 = 346 mod 113

m=114: 271 mod 114 = 43 ≠ 4 = 346 mod 114

m=115: 271 mod 115 = 41 ≠ 1 = 346 mod 115

m=116: 271 mod 116 = 39 ≠ 114 = 346 mod 116

m=117: 271 mod 117 = 37 ≠ 112 = 346 mod 117

m=118: 271 mod 118 = 35 ≠ 110 = 346 mod 118

m=119: 271 mod 119 = 33 ≠ 108 = 346 mod 119

m=120: 271 mod 120 = 31 ≠ 106 = 346 mod 120

m=121: 271 mod 121 = 29 ≠ 104 = 346 mod 121

m=122: 271 mod 122 = 27 ≠ 102 = 346 mod 122

m=123: 271 mod 123 = 25 ≠ 100 = 346 mod 123

m=124: 271 mod 124 = 23 ≠ 98 = 346 mod 124

m=125: 271 mod 125 = 21 ≠ 96 = 346 mod 125

m=126: 271 mod 126 = 19 ≠ 94 = 346 mod 126

m=127: 271 mod 127 = 17 ≠ 92 = 346 mod 127

m=128: 271 mod 128 = 15 ≠ 90 = 346 mod 128

m=129: 271 mod 129 = 13 ≠ 88 = 346 mod 129

m=130: 271 mod 130 = 11 ≠ 86 = 346 mod 130

m=131: 271 mod 131 = 9 ≠ 84 = 346 mod 131

m=132: 271 mod 132 = 7 ≠ 82 = 346 mod 132

m=133: 271 mod 133 = 5 ≠ 80 = 346 mod 133

m=134: 271 mod 134 = 3 ≠ 78 = 346 mod 134

m=135: 271 mod 135 = 1 ≠ 76 = 346 mod 135

m=136: 271 mod 136 = 135 ≠ 74 = 346 mod 136

m=137: 271 mod 137 = 134 ≠ 72 = 346 mod 137

m=138: 271 mod 138 = 133 ≠ 70 = 346 mod 138

m=139: 271 mod 139 = 132 ≠ 68 = 346 mod 139

m=140: 271 mod 140 = 131 ≠ 66 = 346 mod 140

m=141: 271 mod 141 = 130 ≠ 64 = 346 mod 141

m=142: 271 mod 142 = 129 ≠ 62 = 346 mod 142

m=143: 271 mod 143 = 128 ≠ 60 = 346 mod 143

m=144: 271 mod 144 = 127 ≠ 58 = 346 mod 144

m=145: 271 mod 145 = 126 ≠ 56 = 346 mod 145

m=146: 271 mod 146 = 125 ≠ 54 = 346 mod 146

m=147: 271 mod 147 = 124 ≠ 52 = 346 mod 147

m=148: 271 mod 148 = 123 ≠ 50 = 346 mod 148

m=149: 271 mod 149 = 122 ≠ 48 = 346 mod 149

m=150: 271 mod 150 = 121 ≠ 46 = 346 mod 150

m=151: 271 mod 151 = 120 ≠ 44 = 346 mod 151

m=152: 271 mod 152 = 119 ≠ 42 = 346 mod 152

m=153: 271 mod 153 = 118 ≠ 40 = 346 mod 153

m=154: 271 mod 154 = 117 ≠ 38 = 346 mod 154

m=155: 271 mod 155 = 116 ≠ 36 = 346 mod 155

m=156: 271 mod 156 = 115 ≠ 34 = 346 mod 156

m=157: 271 mod 157 = 114 ≠ 32 = 346 mod 157

m=158: 271 mod 158 = 113 ≠ 30 = 346 mod 158

m=159: 271 mod 159 = 112 ≠ 28 = 346 mod 159

m=160: 271 mod 160 = 111 ≠ 26 = 346 mod 160

m=161: 271 mod 161 = 110 ≠ 24 = 346 mod 161

m=162: 271 mod 162 = 109 ≠ 22 = 346 mod 162

m=163: 271 mod 163 = 108 ≠ 20 = 346 mod 163

m=164: 271 mod 164 = 107 ≠ 18 = 346 mod 164

m=165: 271 mod 165 = 106 ≠ 16 = 346 mod 165

m=166: 271 mod 166 = 105 ≠ 14 = 346 mod 166

m=167: 271 mod 167 = 104 ≠ 12 = 346 mod 167

m=168: 271 mod 168 = 103 ≠ 10 = 346 mod 168

m=169: 271 mod 169 = 102 ≠ 8 = 346 mod 169

m=170: 271 mod 170 = 101 ≠ 6 = 346 mod 170

m=171: 271 mod 171 = 100 ≠ 4 = 346 mod 171

m=172: 271 mod 172 = 99 ≠ 2 = 346 mod 172

m=173: 271 mod 173 = 98 ≠ 0 = 346 mod 173

m=174: 271 mod 174 = 97 ≠ 172 = 346 mod 174

m=175: 271 mod 175 = 96 ≠ 171 = 346 mod 175

m=176: 271 mod 176 = 95 ≠ 170 = 346 mod 176

m=177: 271 mod 177 = 94 ≠ 169 = 346 mod 177

m=178: 271 mod 178 = 93 ≠ 168 = 346 mod 178

m=179: 271 mod 179 = 92 ≠ 167 = 346 mod 179

m=180: 271 mod 180 = 91 ≠ 166 = 346 mod 180

m=181: 271 mod 181 = 90 ≠ 165 = 346 mod 181

m=182: 271 mod 182 = 89 ≠ 164 = 346 mod 182

m=183: 271 mod 183 = 88 ≠ 163 = 346 mod 183

m=184: 271 mod 184 = 87 ≠ 162 = 346 mod 184

m=185: 271 mod 185 = 86 ≠ 161 = 346 mod 185

m=186: 271 mod 186 = 85 ≠ 160 = 346 mod 186

m=187: 271 mod 187 = 84 ≠ 159 = 346 mod 187

m=188: 271 mod 188 = 83 ≠ 158 = 346 mod 188

m=189: 271 mod 189 = 82 ≠ 157 = 346 mod 189

m=190: 271 mod 190 = 81 ≠ 156 = 346 mod 190

m=191: 271 mod 191 = 80 ≠ 155 = 346 mod 191

m=192: 271 mod 192 = 79 ≠ 154 = 346 mod 192

m=193: 271 mod 193 = 78 ≠ 153 = 346 mod 193

m=194: 271 mod 194 = 77 ≠ 152 = 346 mod 194

m=195: 271 mod 195 = 76 ≠ 151 = 346 mod 195

m=196: 271 mod 196 = 75 ≠ 150 = 346 mod 196

m=197: 271 mod 197 = 74 ≠ 149 = 346 mod 197

m=198: 271 mod 198 = 73 ≠ 148 = 346 mod 198

m=199: 271 mod 199 = 72 ≠ 147 = 346 mod 199

m=200: 271 mod 200 = 71 ≠ 146 = 346 mod 200

m=201: 271 mod 201 = 70 ≠ 145 = 346 mod 201

m=202: 271 mod 202 = 69 ≠ 144 = 346 mod 202

m=203: 271 mod 203 = 68 ≠ 143 = 346 mod 203

m=204: 271 mod 204 = 67 ≠ 142 = 346 mod 204

m=205: 271 mod 205 = 66 ≠ 141 = 346 mod 205

m=206: 271 mod 206 = 65 ≠ 140 = 346 mod 206

m=207: 271 mod 207 = 64 ≠ 139 = 346 mod 207

m=208: 271 mod 208 = 63 ≠ 138 = 346 mod 208

m=209: 271 mod 209 = 62 ≠ 137 = 346 mod 209

m=210: 271 mod 210 = 61 ≠ 136 = 346 mod 210

m=211: 271 mod 211 = 60 ≠ 135 = 346 mod 211

m=212: 271 mod 212 = 59 ≠ 134 = 346 mod 212

m=213: 271 mod 213 = 58 ≠ 133 = 346 mod 213

m=214: 271 mod 214 = 57 ≠ 132 = 346 mod 214

m=215: 271 mod 215 = 56 ≠ 131 = 346 mod 215

m=216: 271 mod 216 = 55 ≠ 130 = 346 mod 216

m=217: 271 mod 217 = 54 ≠ 129 = 346 mod 217

m=218: 271 mod 218 = 53 ≠ 128 = 346 mod 218

m=219: 271 mod 219 = 52 ≠ 127 = 346 mod 219

m=220: 271 mod 220 = 51 ≠ 126 = 346 mod 220

m=221: 271 mod 221 = 50 ≠ 125 = 346 mod 221

m=222: 271 mod 222 = 49 ≠ 124 = 346 mod 222

m=223: 271 mod 223 = 48 ≠ 123 = 346 mod 223

m=224: 271 mod 224 = 47 ≠ 122 = 346 mod 224

m=225: 271 mod 225 = 46 ≠ 121 = 346 mod 225

m=226: 271 mod 226 = 45 ≠ 120 = 346 mod 226

m=227: 271 mod 227 = 44 ≠ 119 = 346 mod 227

m=228: 271 mod 228 = 43 ≠ 118 = 346 mod 228

m=229: 271 mod 229 = 42 ≠ 117 = 346 mod 229

m=230: 271 mod 230 = 41 ≠ 116 = 346 mod 230

m=231: 271 mod 231 = 40 ≠ 115 = 346 mod 231

m=232: 271 mod 232 = 39 ≠ 114 = 346 mod 232

m=233: 271 mod 233 = 38 ≠ 113 = 346 mod 233

m=234: 271 mod 234 = 37 ≠ 112 = 346 mod 234

m=235: 271 mod 235 = 36 ≠ 111 = 346 mod 235

m=236: 271 mod 236 = 35 ≠ 110 = 346 mod 236

m=237: 271 mod 237 = 34 ≠ 109 = 346 mod 237

m=238: 271 mod 238 = 33 ≠ 108 = 346 mod 238

m=239: 271 mod 239 = 32 ≠ 107 = 346 mod 239

m=240: 271 mod 240 = 31 ≠ 106 = 346 mod 240

m=241: 271 mod 241 = 30 ≠ 105 = 346 mod 241

m=242: 271 mod 242 = 29 ≠ 104 = 346 mod 242

m=243: 271 mod 243 = 28 ≠ 103 = 346 mod 243

m=244: 271 mod 244 = 27 ≠ 102 = 346 mod 244

m=245: 271 mod 245 = 26 ≠ 101 = 346 mod 245

m=246: 271 mod 246 = 25 ≠ 100 = 346 mod 246

m=247: 271 mod 247 = 24 ≠ 99 = 346 mod 247

m=248: 271 mod 248 = 23 ≠ 98 = 346 mod 248

m=249: 271 mod 249 = 22 ≠ 97 = 346 mod 249

m=250: 271 mod 250 = 21 ≠ 96 = 346 mod 250

m=251: 271 mod 251 = 20 ≠ 95 = 346 mod 251

m=252: 271 mod 252 = 19 ≠ 94 = 346 mod 252

m=253: 271 mod 253 = 18 ≠ 93 = 346 mod 253

m=254: 271 mod 254 = 17 ≠ 92 = 346 mod 254

m=255: 271 mod 255 = 16 ≠ 91 = 346 mod 255

m=256: 271 mod 256 = 15 ≠ 90 = 346 mod 256

m=257: 271 mod 257 = 14 ≠ 89 = 346 mod 257

m=258: 271 mod 258 = 13 ≠ 88 = 346 mod 258

m=259: 271 mod 259 = 12 ≠ 87 = 346 mod 259

m=260: 271 mod 260 = 11 ≠ 86 = 346 mod 260

m=261: 271 mod 261 = 10 ≠ 85 = 346 mod 261

m=262: 271 mod 262 = 9 ≠ 84 = 346 mod 262

m=263: 271 mod 263 = 8 ≠ 83 = 346 mod 263

m=264: 271 mod 264 = 7 ≠ 82 = 346 mod 264

m=265: 271 mod 265 = 6 ≠ 81 = 346 mod 265

m=266: 271 mod 266 = 5 ≠ 80 = 346 mod 266

m=267: 271 mod 267 = 4 ≠ 79 = 346 mod 267

m=268: 271 mod 268 = 3 ≠ 78 = 346 mod 268

m=269: 271 mod 269 = 2 ≠ 77 = 346 mod 269

m=270: 271 mod 270 = 1 ≠ 76 = 346 mod 270

m=271: 271 mod 271 = 0 ≠ 75 = 346 mod 271

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (346 - 271) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75