Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.

Somit gilt: 65 mod 8 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 21 = 4.

Somit gilt: 25 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 11 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 77 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 25 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1395 + 282) mod 7 ≡ (1395 mod 7 + 282 mod 7) mod 7.

1395 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1395 = 1400-5 = 7 ⋅ 200 -5 = 7 ⋅ 200 - 7 + 2.

282 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 282 = 280+2 = 7 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(1395 + 282) mod 7 ≡ (2 + 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 86) mod 10 ≡ (79 mod 10 ⋅ 86 mod 10) mod 10.

79 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 70 + 9 = 7 ⋅ 10 + 9 ist.

86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 86) mod 10 ≡ (9 ⋅ 6) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 ≠ 1 = 37 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 = 5 = 37 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 10 = 37 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 9 = 37 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 8 = 37 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 29) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8