Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 65 = 3.

Somit gilt: 68 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 92 = 23 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 92 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 25 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 + 6001) mod 6 ≡ (118 mod 6 + 6001 mod 6) mod 6.

118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 6 ⋅ 20 -2 = 6 ⋅ 20 - 6 + 4.

6001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001 = 6000+1 = 6 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(118 + 6001) mod 6 ≡ (4 + 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 81) mod 4 ≡ (56 mod 4 ⋅ 81 mod 4) mod 4.

56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 81) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:

m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2

m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3

m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4

m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5

m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6

m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7

m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4