Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 56 = 5.

Somit gilt: 61 mod 8 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 84, weil ja 21 ⋅ 4 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 84 = 3.

Somit gilt: 87 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 68 = 17 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 68 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 87 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20996 + 2101) mod 7 ≡ (20996 mod 7 + 2101 mod 7) mod 7.

20996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20996 = 21000-4 = 7 ⋅ 3000 -4 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 3.

2101 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2101 = 2100+1 = 7 ⋅ 300 +1.

Somit gilt:

(20996 + 2101) mod 7 ≡ (3 + 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 56) mod 9 ≡ (32 mod 9 ⋅ 56 mod 9) mod 9.

32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.

56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 56) mod 9 ≡ (5 ⋅ 2) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 61 aus, ob zufällig 61 mod m = 81 mod m gilt:

m=2: 61 mod 2 = 1 = 1 = 81 mod 2

m=3: 61 mod 3 = 1 ≠ 0 = 81 mod 3

m=4: 61 mod 4 = 1 = 1 = 81 mod 4

m=5: 61 mod 5 = 1 = 1 = 81 mod 5

m=6: 61 mod 6 = 1 ≠ 3 = 81 mod 6

m=7: 61 mod 7 = 5 ≠ 4 = 81 mod 7

m=8: 61 mod 8 = 5 ≠ 1 = 81 mod 8

m=9: 61 mod 9 = 7 ≠ 0 = 81 mod 9

m=10: 61 mod 10 = 1 = 1 = 81 mod 10

m=11: 61 mod 11 = 6 ≠ 4 = 81 mod 11

m=12: 61 mod 12 = 1 ≠ 9 = 81 mod 12

m=13: 61 mod 13 = 9 ≠ 3 = 81 mod 13

m=14: 61 mod 14 = 5 ≠ 11 = 81 mod 14

m=15: 61 mod 15 = 1 ≠ 6 = 81 mod 15

m=16: 61 mod 16 = 13 ≠ 1 = 81 mod 16

m=17: 61 mod 17 = 10 ≠ 13 = 81 mod 17

m=18: 61 mod 18 = 7 ≠ 9 = 81 mod 18

m=19: 61 mod 19 = 4 ≠ 5 = 81 mod 19

m=20: 61 mod 20 = 1 = 1 = 81 mod 20

m=21: 61 mod 21 = 19 ≠ 18 = 81 mod 21

m=22: 61 mod 22 = 17 ≠ 15 = 81 mod 22

m=23: 61 mod 23 = 15 ≠ 12 = 81 mod 23

m=24: 61 mod 24 = 13 ≠ 9 = 81 mod 24

m=25: 61 mod 25 = 11 ≠ 6 = 81 mod 25

m=26: 61 mod 26 = 9 ≠ 3 = 81 mod 26

m=27: 61 mod 27 = 7 ≠ 0 = 81 mod 27

m=28: 61 mod 28 = 5 ≠ 25 = 81 mod 28

m=29: 61 mod 29 = 3 ≠ 23 = 81 mod 29

m=30: 61 mod 30 = 1 ≠ 21 = 81 mod 30

m=31: 61 mod 31 = 30 ≠ 19 = 81 mod 31

m=32: 61 mod 32 = 29 ≠ 17 = 81 mod 32

m=33: 61 mod 33 = 28 ≠ 15 = 81 mod 33

m=34: 61 mod 34 = 27 ≠ 13 = 81 mod 34

m=35: 61 mod 35 = 26 ≠ 11 = 81 mod 35

m=36: 61 mod 36 = 25 ≠ 9 = 81 mod 36

m=37: 61 mod 37 = 24 ≠ 7 = 81 mod 37

m=38: 61 mod 38 = 23 ≠ 5 = 81 mod 38

m=39: 61 mod 39 = 22 ≠ 3 = 81 mod 39

m=40: 61 mod 40 = 21 ≠ 1 = 81 mod 40

m=41: 61 mod 41 = 20 ≠ 40 = 81 mod 41

m=42: 61 mod 42 = 19 ≠ 39 = 81 mod 42

m=43: 61 mod 43 = 18 ≠ 38 = 81 mod 43

m=44: 61 mod 44 = 17 ≠ 37 = 81 mod 44

m=45: 61 mod 45 = 16 ≠ 36 = 81 mod 45

m=46: 61 mod 46 = 15 ≠ 35 = 81 mod 46

m=47: 61 mod 47 = 14 ≠ 34 = 81 mod 47

m=48: 61 mod 48 = 13 ≠ 33 = 81 mod 48

m=49: 61 mod 49 = 12 ≠ 32 = 81 mod 49

m=50: 61 mod 50 = 11 ≠ 31 = 81 mod 50

m=51: 61 mod 51 = 10 ≠ 30 = 81 mod 51

m=52: 61 mod 52 = 9 ≠ 29 = 81 mod 52

m=53: 61 mod 53 = 8 ≠ 28 = 81 mod 53

m=54: 61 mod 54 = 7 ≠ 27 = 81 mod 54

m=55: 61 mod 55 = 6 ≠ 26 = 81 mod 55

m=56: 61 mod 56 = 5 ≠ 25 = 81 mod 56

m=57: 61 mod 57 = 4 ≠ 24 = 81 mod 57

m=58: 61 mod 58 = 3 ≠ 23 = 81 mod 58

m=59: 61 mod 59 = 2 ≠ 22 = 81 mod 59

m=60: 61 mod 60 = 1 ≠ 21 = 81 mod 60

m=61: 61 mod 61 = 0 ≠ 20 = 81 mod 61

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (81 - 61) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20