Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 69 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 69 - 60 = 9.
Somit gilt: 69 mod 10 ≡ 9.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 96 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 96 - 96 = 0.
Somit gilt: 96 mod 8 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8
Somit gilt: 80 ≡ 96 ≡ 0 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (165 + 802) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(165 + 802) mod 8 ≡ (165 mod 8 + 802 mod 8) mod 8.
165 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 165
= 160
802 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802
= 800
Somit gilt:
(165 + 802) mod 8 ≡ (5 + 2) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 94) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 94) mod 5 ≡ (61 mod 5 ⋅ 94 mod 5) mod 5.
61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.
94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 94) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
