Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 35 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 35 - 33 = 2.
Somit gilt: 35 mod 11 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 44 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 44 - 42 = 2.
Somit gilt: 44 mod 7 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 12 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 2 mod 7 sein, also addieren wir noch 2 auf die 84 und erhalten so 86.
Somit gilt: 86 ≡ 44 ≡ 2 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 + 606) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 + 606) mod 6 ≡ (1199 mod 6 + 606 mod 6) mod 6.
1199 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
606 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 606
= 600
Somit gilt:
(1199 + 606) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 23) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 23) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 23 mod 8) mod 8.
33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.
23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 23) mod 8 ≡ (1 ⋅ 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
21 mod m = 30 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 30 mod m gilt:
m=2: 21 mod 2 = 1 ≠ 0 = 30 mod 2
m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 30 mod 3
m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 2 = 30 mod 4
m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 0 = 30 mod 5
m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 0 = 30 mod 6
m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 2 = 30 mod 7
m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 6 = 30 mod 8
m=9: 21 mod 9 = 3 = 3 = 30 mod 9
m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 0 = 30 mod 10
m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 8 = 30 mod 11
m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 6 = 30 mod 12
m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 4 = 30 mod 13
m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 2 = 30 mod 14
m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 0 = 30 mod 15
m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 14 = 30 mod 16
m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 13 = 30 mod 17
m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 12 = 30 mod 18
m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 11 = 30 mod 19
m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 10 = 30 mod 20
m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 9 = 30 mod 21
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 21) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
