Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 74 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 74 - 66 = 8.
Somit gilt: 74 mod 11 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 100 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 100, weil ja 20 ⋅ 5 = 100 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 100 - 100 = 0.
Somit gilt: 100 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5
Somit gilt: 60 ≡ 100 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2997 + 15000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2997 + 15000) mod 3 ≡ (2997 mod 3 + 15000 mod 3) mod 3.
2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
Somit gilt:
(2997 + 15000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 93) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 93) mod 7 ≡ (47 mod 7 ⋅ 93 mod 7) mod 7.
47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.
93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 93) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
70 mod m = 88 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 70 aus, ob zufällig 70 mod m = 88 mod m gilt:
m=2: 70 mod 2 = 0 = 0 = 88 mod 2
m=3: 70 mod 3 = 1 = 1 = 88 mod 3
m=4: 70 mod 4 = 2 ≠ 0 = 88 mod 4
m=5: 70 mod 5 = 0 ≠ 3 = 88 mod 5
m=6: 70 mod 6 = 4 = 4 = 88 mod 6
m=7: 70 mod 7 = 0 ≠ 4 = 88 mod 7
m=8: 70 mod 8 = 6 ≠ 0 = 88 mod 8
m=9: 70 mod 9 = 7 = 7 = 88 mod 9
m=10: 70 mod 10 = 0 ≠ 8 = 88 mod 10
m=11: 70 mod 11 = 4 ≠ 0 = 88 mod 11
m=12: 70 mod 12 = 10 ≠ 4 = 88 mod 12
m=13: 70 mod 13 = 5 ≠ 10 = 88 mod 13
m=14: 70 mod 14 = 0 ≠ 4 = 88 mod 14
m=15: 70 mod 15 = 10 ≠ 13 = 88 mod 15
m=16: 70 mod 16 = 6 ≠ 8 = 88 mod 16
m=17: 70 mod 17 = 2 ≠ 3 = 88 mod 17
m=18: 70 mod 18 = 16 = 16 = 88 mod 18
m=19: 70 mod 19 = 13 ≠ 12 = 88 mod 19
m=20: 70 mod 20 = 10 ≠ 8 = 88 mod 20
m=21: 70 mod 21 = 7 ≠ 4 = 88 mod 21
m=22: 70 mod 22 = 4 ≠ 0 = 88 mod 22
m=23: 70 mod 23 = 1 ≠ 19 = 88 mod 23
m=24: 70 mod 24 = 22 ≠ 16 = 88 mod 24
m=25: 70 mod 25 = 20 ≠ 13 = 88 mod 25
m=26: 70 mod 26 = 18 ≠ 10 = 88 mod 26
m=27: 70 mod 27 = 16 ≠ 7 = 88 mod 27
m=28: 70 mod 28 = 14 ≠ 4 = 88 mod 28
m=29: 70 mod 29 = 12 ≠ 1 = 88 mod 29
m=30: 70 mod 30 = 10 ≠ 28 = 88 mod 30
m=31: 70 mod 31 = 8 ≠ 26 = 88 mod 31
m=32: 70 mod 32 = 6 ≠ 24 = 88 mod 32
m=33: 70 mod 33 = 4 ≠ 22 = 88 mod 33
m=34: 70 mod 34 = 2 ≠ 20 = 88 mod 34
m=35: 70 mod 35 = 0 ≠ 18 = 88 mod 35
m=36: 70 mod 36 = 34 ≠ 16 = 88 mod 36
m=37: 70 mod 37 = 33 ≠ 14 = 88 mod 37
m=38: 70 mod 38 = 32 ≠ 12 = 88 mod 38
m=39: 70 mod 39 = 31 ≠ 10 = 88 mod 39
m=40: 70 mod 40 = 30 ≠ 8 = 88 mod 40
m=41: 70 mod 41 = 29 ≠ 6 = 88 mod 41
m=42: 70 mod 42 = 28 ≠ 4 = 88 mod 42
m=43: 70 mod 43 = 27 ≠ 2 = 88 mod 43
m=44: 70 mod 44 = 26 ≠ 0 = 88 mod 44
m=45: 70 mod 45 = 25 ≠ 43 = 88 mod 45
m=46: 70 mod 46 = 24 ≠ 42 = 88 mod 46
m=47: 70 mod 47 = 23 ≠ 41 = 88 mod 47
m=48: 70 mod 48 = 22 ≠ 40 = 88 mod 48
m=49: 70 mod 49 = 21 ≠ 39 = 88 mod 49
m=50: 70 mod 50 = 20 ≠ 38 = 88 mod 50
m=51: 70 mod 51 = 19 ≠ 37 = 88 mod 51
m=52: 70 mod 52 = 18 ≠ 36 = 88 mod 52
m=53: 70 mod 53 = 17 ≠ 35 = 88 mod 53
m=54: 70 mod 54 = 16 ≠ 34 = 88 mod 54
m=55: 70 mod 55 = 15 ≠ 33 = 88 mod 55
m=56: 70 mod 56 = 14 ≠ 32 = 88 mod 56
m=57: 70 mod 57 = 13 ≠ 31 = 88 mod 57
m=58: 70 mod 58 = 12 ≠ 30 = 88 mod 58
m=59: 70 mod 59 = 11 ≠ 29 = 88 mod 59
m=60: 70 mod 60 = 10 ≠ 28 = 88 mod 60
m=61: 70 mod 61 = 9 ≠ 27 = 88 mod 61
m=62: 70 mod 62 = 8 ≠ 26 = 88 mod 62
m=63: 70 mod 63 = 7 ≠ 25 = 88 mod 63
m=64: 70 mod 64 = 6 ≠ 24 = 88 mod 64
m=65: 70 mod 65 = 5 ≠ 23 = 88 mod 65
m=66: 70 mod 66 = 4 ≠ 22 = 88 mod 66
m=67: 70 mod 67 = 3 ≠ 21 = 88 mod 67
m=68: 70 mod 68 = 2 ≠ 20 = 88 mod 68
m=69: 70 mod 69 = 1 ≠ 19 = 88 mod 69
m=70: 70 mod 70 = 0 ≠ 18 = 88 mod 70
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (88 - 70) = 18 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6; 9; 18
