Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 15 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 15 - 11 = 4.
Somit gilt: 15 mod 11 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 46 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 45, weil ja 15 ⋅ 3 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.
Somit gilt: 46 mod 3 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 81 und erhalten so 82.
Somit gilt: 82 ≡ 46 ≡ 1 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 - 398) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 - 398) mod 4 ≡ (83 mod 4 - 398 mod 4) mod 4.
83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83
= 80
398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398
= 300
Somit gilt:
(83 - 398) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 89) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 89) mod 7 ≡ (31 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 89) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
21 mod m = 27 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 27 mod m gilt:
m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2
m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3
m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 27 mod 4
m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 2 = 27 mod 5
m=6: 21 mod 6 = 3 = 3 = 27 mod 6
m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 6 = 27 mod 7
m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 3 = 27 mod 8
m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 0 = 27 mod 9
m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 7 = 27 mod 10
m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 5 = 27 mod 11
m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 3 = 27 mod 12
m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 1 = 27 mod 13
m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 13 = 27 mod 14
m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 12 = 27 mod 15
m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 11 = 27 mod 16
m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 10 = 27 mod 17
m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 9 = 27 mod 18
m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 8 = 27 mod 19
m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 7 = 27 mod 20
m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 6 = 27 mod 21
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 21) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
