Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 64 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 64 - 60 = 4.
Somit gilt: 64 mod 6 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 80 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 80 - 80 = 0.
Somit gilt: 80 mod 8 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 64 = 8 ⋅ 8
Somit gilt: 64 ≡ 80 ≡ 0 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12003 + 58) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12003 + 58) mod 3 ≡ (12003 mod 3 + 58 mod 3) mod 3.
12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003
= 12000
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58
= 60
Somit gilt:
(12003 + 58) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 38) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 38) mod 8 ≡ (97 mod 8 ⋅ 38 mod 8) mod 8.
97 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 12 ⋅ 8 + 1 ist.
38 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 32 + 6 = 4 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 38) mod 8 ≡ (1 ⋅ 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 24 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 24 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 ≠ 0 = 24 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 = 0 = 24 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 4 = 24 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 ≠ 0 = 24 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 3 = 24 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 = 0 = 24 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 6 = 24 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 4 = 24 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 2 = 24 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 0 = 24 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 11 = 24 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 10 = 24 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 9 = 24 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 8 = 24 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 16) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
