Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.
Somit gilt: 97 mod 8 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 22 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 18 = 4.
Somit gilt: 22 mod 6 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 6 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 36 und erhalten so 40.
Somit gilt: 40 ≡ 22 ≡ 4 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1197 - 159) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1197 - 159) mod 4 ≡ (1197 mod 4 - 159 mod 4) mod 4.
1197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1100
159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159
= 160
Somit gilt:
(1197 - 159) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 62) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 62) mod 10 ≡ (66 mod 10 ⋅ 62 mod 10) mod 10.
66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 62) mod 10 ≡ (6 ⋅ 2) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
