Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 75 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 75 - 70 = 5.
Somit gilt: 75 mod 7 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 47 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 47 - 40 = 7.
Somit gilt: 47 mod 8 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 20, z.B. 16 = 2 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 16 und erhalten so 23.
Somit gilt: 23 ≡ 47 ≡ 7 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 - 25003) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 - 25003) mod 5 ≡ (52 mod 5 - 25003 mod 5) mod 5.
52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52
= 50
25003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25003
= 25000
Somit gilt:
(52 - 25003) mod 5 ≡ (2 - 3) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 69) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 69) mod 3 ≡ (17 mod 3 ⋅ 69 mod 3) mod 3.
17 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 5 ⋅ 3 + 2 ist.
69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 69) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
