Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 56 = 2.

Somit gilt: 58 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 88 = 7.

Somit gilt: 95 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 80 und erhalten so 87.

Somit gilt: 87 ≡ 95 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 - 301) mod 3 ≡ (92 mod 3 - 301 mod 3) mod 3.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90+2 = 3 ⋅ 30 +2.

301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 3 ⋅ 100 +1.

Somit gilt:

(92 - 301) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 32) mod 3 ≡ (36 mod 3 ⋅ 32 mod 3) mod 3.

36 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 12 ⋅ 3 + 0 ist.

32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 10 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 32) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 ≠ 0 = 32 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 32 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 0 = 32 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 2 = 32 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 0 = 32 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 = 5 = 32 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 2 = 32 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 10 = 32 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 9 = 32 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 23) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9