Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 54 = 2.

Somit gilt: 56 mod 9 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 84 = 4.

Somit gilt: 88 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 90 und erhalten so 94.

Somit gilt: 94 ≡ 88 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4505 + 4500) mod 9 ≡ (4505 mod 9 + 4500 mod 9) mod 9.

4505 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4505 = 4500+5 = 9 ⋅ 500 +5.

4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500 = 4500+0 = 9 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(4505 + 4500) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 70) mod 5 ≡ (77 mod 5 ⋅ 70 mod 5) mod 5.

77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.

70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 70) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6