Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 44 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 44 - 36 = 8.
Somit gilt: 44 mod 9 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 60 für die gilt n ≡ 25 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 25 - 20 = 5.
Somit gilt: 25 mod 10 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 60 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 5 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 50 und erhalten so 55.
Somit gilt: 55 ≡ 25 ≡ 5 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11999 - 1499) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11999 - 1499) mod 3 ≡ (11999 mod 3 - 1499 mod 3) mod 3.
11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 12000
1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499
= 1500
Somit gilt:
(11999 - 1499) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 32) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 32) mod 10 ≡ (53 mod 10 ⋅ 32 mod 10) mod 10.
53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.
32 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 3 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 32) mod 10 ≡ (3 ⋅ 2) mod 10 ≡ 6 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 38 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 38 mod m gilt:
m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2
m=3: 28 mod 3 = 1 ≠ 2 = 38 mod 3
m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 2 = 38 mod 4
m=5: 28 mod 5 = 3 = 3 = 38 mod 5
m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 2 = 38 mod 6
m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 3 = 38 mod 7
m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 6 = 38 mod 8
m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 2 = 38 mod 9
m=10: 28 mod 10 = 8 = 8 = 38 mod 10
m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 5 = 38 mod 11
m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 2 = 38 mod 12
m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 12 = 38 mod 13
m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 10 = 38 mod 14
m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 8 = 38 mod 15
m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 6 = 38 mod 16
m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 4 = 38 mod 17
m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 2 = 38 mod 18
m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 0 = 38 mod 19
m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 18 = 38 mod 20
m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 17 = 38 mod 21
m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 16 = 38 mod 22
m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 15 = 38 mod 23
m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 14 = 38 mod 24
m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 13 = 38 mod 25
m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 12 = 38 mod 26
m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 11 = 38 mod 27
m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 10 = 38 mod 28
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 28) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
