Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 64 = 4.

Somit gilt: 68 mod 8 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 77 = 3.

Somit gilt: 80 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 77 und erhalten so 80.

Somit gilt: 80 ≡ 80 ≡ 3 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(150 + 15003) mod 3 ≡ (150 mod 3 + 15003 mod 3) mod 3.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(150 + 15003) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 24) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 24 mod 7) mod 7.

58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.

24 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 21 + 3 = 3 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 24) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 116 aus, ob zufällig 116 mod m = 146 mod m gilt:

m=2: 116 mod 2 = 0 = 0 = 146 mod 2

m=3: 116 mod 3 = 2 = 2 = 146 mod 3

m=4: 116 mod 4 = 0 ≠ 2 = 146 mod 4

m=5: 116 mod 5 = 1 = 1 = 146 mod 5

m=6: 116 mod 6 = 2 = 2 = 146 mod 6

m=7: 116 mod 7 = 4 ≠ 6 = 146 mod 7

m=8: 116 mod 8 = 4 ≠ 2 = 146 mod 8

m=9: 116 mod 9 = 8 ≠ 2 = 146 mod 9

m=10: 116 mod 10 = 6 = 6 = 146 mod 10

m=11: 116 mod 11 = 6 ≠ 3 = 146 mod 11

m=12: 116 mod 12 = 8 ≠ 2 = 146 mod 12

m=13: 116 mod 13 = 12 ≠ 3 = 146 mod 13

m=14: 116 mod 14 = 4 ≠ 6 = 146 mod 14

m=15: 116 mod 15 = 11 = 11 = 146 mod 15

m=16: 116 mod 16 = 4 ≠ 2 = 146 mod 16

m=17: 116 mod 17 = 14 ≠ 10 = 146 mod 17

m=18: 116 mod 18 = 8 ≠ 2 = 146 mod 18

m=19: 116 mod 19 = 2 ≠ 13 = 146 mod 19

m=20: 116 mod 20 = 16 ≠ 6 = 146 mod 20

m=21: 116 mod 21 = 11 ≠ 20 = 146 mod 21

m=22: 116 mod 22 = 6 ≠ 14 = 146 mod 22

m=23: 116 mod 23 = 1 ≠ 8 = 146 mod 23

m=24: 116 mod 24 = 20 ≠ 2 = 146 mod 24

m=25: 116 mod 25 = 16 ≠ 21 = 146 mod 25

m=26: 116 mod 26 = 12 ≠ 16 = 146 mod 26

m=27: 116 mod 27 = 8 ≠ 11 = 146 mod 27

m=28: 116 mod 28 = 4 ≠ 6 = 146 mod 28

m=29: 116 mod 29 = 0 ≠ 1 = 146 mod 29

m=30: 116 mod 30 = 26 = 26 = 146 mod 30

m=31: 116 mod 31 = 23 ≠ 22 = 146 mod 31

m=32: 116 mod 32 = 20 ≠ 18 = 146 mod 32

m=33: 116 mod 33 = 17 ≠ 14 = 146 mod 33

m=34: 116 mod 34 = 14 ≠ 10 = 146 mod 34

m=35: 116 mod 35 = 11 ≠ 6 = 146 mod 35

m=36: 116 mod 36 = 8 ≠ 2 = 146 mod 36

m=37: 116 mod 37 = 5 ≠ 35 = 146 mod 37

m=38: 116 mod 38 = 2 ≠ 32 = 146 mod 38

m=39: 116 mod 39 = 38 ≠ 29 = 146 mod 39

m=40: 116 mod 40 = 36 ≠ 26 = 146 mod 40

m=41: 116 mod 41 = 34 ≠ 23 = 146 mod 41

m=42: 116 mod 42 = 32 ≠ 20 = 146 mod 42

m=43: 116 mod 43 = 30 ≠ 17 = 146 mod 43

m=44: 116 mod 44 = 28 ≠ 14 = 146 mod 44

m=45: 116 mod 45 = 26 ≠ 11 = 146 mod 45

m=46: 116 mod 46 = 24 ≠ 8 = 146 mod 46

m=47: 116 mod 47 = 22 ≠ 5 = 146 mod 47

m=48: 116 mod 48 = 20 ≠ 2 = 146 mod 48

m=49: 116 mod 49 = 18 ≠ 48 = 146 mod 49

m=50: 116 mod 50 = 16 ≠ 46 = 146 mod 50

m=51: 116 mod 51 = 14 ≠ 44 = 146 mod 51

m=52: 116 mod 52 = 12 ≠ 42 = 146 mod 52

m=53: 116 mod 53 = 10 ≠ 40 = 146 mod 53

m=54: 116 mod 54 = 8 ≠ 38 = 146 mod 54

m=55: 116 mod 55 = 6 ≠ 36 = 146 mod 55

m=56: 116 mod 56 = 4 ≠ 34 = 146 mod 56

m=57: 116 mod 57 = 2 ≠ 32 = 146 mod 57

m=58: 116 mod 58 = 0 ≠ 30 = 146 mod 58

m=59: 116 mod 59 = 57 ≠ 28 = 146 mod 59

m=60: 116 mod 60 = 56 ≠ 26 = 146 mod 60

m=61: 116 mod 61 = 55 ≠ 24 = 146 mod 61

m=62: 116 mod 62 = 54 ≠ 22 = 146 mod 62

m=63: 116 mod 63 = 53 ≠ 20 = 146 mod 63

m=64: 116 mod 64 = 52 ≠ 18 = 146 mod 64

m=65: 116 mod 65 = 51 ≠ 16 = 146 mod 65

m=66: 116 mod 66 = 50 ≠ 14 = 146 mod 66

m=67: 116 mod 67 = 49 ≠ 12 = 146 mod 67

m=68: 116 mod 68 = 48 ≠ 10 = 146 mod 68

m=69: 116 mod 69 = 47 ≠ 8 = 146 mod 69

m=70: 116 mod 70 = 46 ≠ 6 = 146 mod 70

m=71: 116 mod 71 = 45 ≠ 4 = 146 mod 71

m=72: 116 mod 72 = 44 ≠ 2 = 146 mod 72

m=73: 116 mod 73 = 43 ≠ 0 = 146 mod 73

m=74: 116 mod 74 = 42 ≠ 72 = 146 mod 74

m=75: 116 mod 75 = 41 ≠ 71 = 146 mod 75

m=76: 116 mod 76 = 40 ≠ 70 = 146 mod 76

m=77: 116 mod 77 = 39 ≠ 69 = 146 mod 77

m=78: 116 mod 78 = 38 ≠ 68 = 146 mod 78

m=79: 116 mod 79 = 37 ≠ 67 = 146 mod 79

m=80: 116 mod 80 = 36 ≠ 66 = 146 mod 80

m=81: 116 mod 81 = 35 ≠ 65 = 146 mod 81

m=82: 116 mod 82 = 34 ≠ 64 = 146 mod 82

m=83: 116 mod 83 = 33 ≠ 63 = 146 mod 83

m=84: 116 mod 84 = 32 ≠ 62 = 146 mod 84

m=85: 116 mod 85 = 31 ≠ 61 = 146 mod 85

m=86: 116 mod 86 = 30 ≠ 60 = 146 mod 86

m=87: 116 mod 87 = 29 ≠ 59 = 146 mod 87

m=88: 116 mod 88 = 28 ≠ 58 = 146 mod 88

m=89: 116 mod 89 = 27 ≠ 57 = 146 mod 89

m=90: 116 mod 90 = 26 ≠ 56 = 146 mod 90

m=91: 116 mod 91 = 25 ≠ 55 = 146 mod 91

m=92: 116 mod 92 = 24 ≠ 54 = 146 mod 92

m=93: 116 mod 93 = 23 ≠ 53 = 146 mod 93

m=94: 116 mod 94 = 22 ≠ 52 = 146 mod 94

m=95: 116 mod 95 = 21 ≠ 51 = 146 mod 95

m=96: 116 mod 96 = 20 ≠ 50 = 146 mod 96

m=97: 116 mod 97 = 19 ≠ 49 = 146 mod 97

m=98: 116 mod 98 = 18 ≠ 48 = 146 mod 98

m=99: 116 mod 99 = 17 ≠ 47 = 146 mod 99

m=100: 116 mod 100 = 16 ≠ 46 = 146 mod 100

m=101: 116 mod 101 = 15 ≠ 45 = 146 mod 101

m=102: 116 mod 102 = 14 ≠ 44 = 146 mod 102

m=103: 116 mod 103 = 13 ≠ 43 = 146 mod 103

m=104: 116 mod 104 = 12 ≠ 42 = 146 mod 104

m=105: 116 mod 105 = 11 ≠ 41 = 146 mod 105

m=106: 116 mod 106 = 10 ≠ 40 = 146 mod 106

m=107: 116 mod 107 = 9 ≠ 39 = 146 mod 107

m=108: 116 mod 108 = 8 ≠ 38 = 146 mod 108

m=109: 116 mod 109 = 7 ≠ 37 = 146 mod 109

m=110: 116 mod 110 = 6 ≠ 36 = 146 mod 110

m=111: 116 mod 111 = 5 ≠ 35 = 146 mod 111

m=112: 116 mod 112 = 4 ≠ 34 = 146 mod 112

m=113: 116 mod 113 = 3 ≠ 33 = 146 mod 113

m=114: 116 mod 114 = 2 ≠ 32 = 146 mod 114

m=115: 116 mod 115 = 1 ≠ 31 = 146 mod 115

m=116: 116 mod 116 = 0 ≠ 30 = 146 mod 116

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (146 - 116) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30