Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 75, weil ja 15 ⋅ 5 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 75 = 2.

Somit gilt: 77 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 20 = 4.

Somit gilt: 24 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 90 und erhalten so 94.

Somit gilt: 94 ≡ 24 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23993 + 4000) mod 8 ≡ (23993 mod 8 + 4000 mod 8) mod 8.

23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993 = 23000+993 = 8 ⋅ 2875 +993.

4000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 8 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(23993 + 4000) mod 8 ≡ (1 + 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 92) mod 10 ≡ (41 mod 10 ⋅ 92 mod 10) mod 10.

41 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 4 ⋅ 10 + 1 ist.

92 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 9 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 92) mod 10 ≡ (1 ⋅ 2) mod 10 ≡ 2 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 0 = 30 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 30 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 = 0 = 30 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 6 = 30 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 3 = 30 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 = 0 = 30 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 10 = 30 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 20) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10