Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 15 = 2.

Somit gilt: 17 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 24 = 2.

Somit gilt: 26 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 10 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 26 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 + 43) mod 4 ≡ (118 mod 4 + 43 mod 4) mod 4.

118 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 4 ⋅ 30 -2 = 4 ⋅ 30 - 4 + 2.

43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40+3 = 4 ⋅ 10 +3.

Somit gilt:

(118 + 43) mod 4 ≡ (2 + 3) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 72) mod 4 ≡ (94 mod 4 ⋅ 72 mod 4) mod 4.

94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.

72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 72) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 131 aus, ob zufällig 131 mod m = 176 mod m gilt:

m=2: 131 mod 2 = 1 ≠ 0 = 176 mod 2

m=3: 131 mod 3 = 2 = 2 = 176 mod 3

m=4: 131 mod 4 = 3 ≠ 0 = 176 mod 4

m=5: 131 mod 5 = 1 = 1 = 176 mod 5

m=6: 131 mod 6 = 5 ≠ 2 = 176 mod 6

m=7: 131 mod 7 = 5 ≠ 1 = 176 mod 7

m=8: 131 mod 8 = 3 ≠ 0 = 176 mod 8

m=9: 131 mod 9 = 5 = 5 = 176 mod 9

m=10: 131 mod 10 = 1 ≠ 6 = 176 mod 10

m=11: 131 mod 11 = 10 ≠ 0 = 176 mod 11

m=12: 131 mod 12 = 11 ≠ 8 = 176 mod 12

m=13: 131 mod 13 = 1 ≠ 7 = 176 mod 13

m=14: 131 mod 14 = 5 ≠ 8 = 176 mod 14

m=15: 131 mod 15 = 11 = 11 = 176 mod 15

m=16: 131 mod 16 = 3 ≠ 0 = 176 mod 16

m=17: 131 mod 17 = 12 ≠ 6 = 176 mod 17

m=18: 131 mod 18 = 5 ≠ 14 = 176 mod 18

m=19: 131 mod 19 = 17 ≠ 5 = 176 mod 19

m=20: 131 mod 20 = 11 ≠ 16 = 176 mod 20

m=21: 131 mod 21 = 5 ≠ 8 = 176 mod 21

m=22: 131 mod 22 = 21 ≠ 0 = 176 mod 22

m=23: 131 mod 23 = 16 ≠ 15 = 176 mod 23

m=24: 131 mod 24 = 11 ≠ 8 = 176 mod 24

m=25: 131 mod 25 = 6 ≠ 1 = 176 mod 25

m=26: 131 mod 26 = 1 ≠ 20 = 176 mod 26

m=27: 131 mod 27 = 23 ≠ 14 = 176 mod 27

m=28: 131 mod 28 = 19 ≠ 8 = 176 mod 28

m=29: 131 mod 29 = 15 ≠ 2 = 176 mod 29

m=30: 131 mod 30 = 11 ≠ 26 = 176 mod 30

m=31: 131 mod 31 = 7 ≠ 21 = 176 mod 31

m=32: 131 mod 32 = 3 ≠ 16 = 176 mod 32

m=33: 131 mod 33 = 32 ≠ 11 = 176 mod 33

m=34: 131 mod 34 = 29 ≠ 6 = 176 mod 34

m=35: 131 mod 35 = 26 ≠ 1 = 176 mod 35

m=36: 131 mod 36 = 23 ≠ 32 = 176 mod 36

m=37: 131 mod 37 = 20 ≠ 28 = 176 mod 37

m=38: 131 mod 38 = 17 ≠ 24 = 176 mod 38

m=39: 131 mod 39 = 14 ≠ 20 = 176 mod 39

m=40: 131 mod 40 = 11 ≠ 16 = 176 mod 40

m=41: 131 mod 41 = 8 ≠ 12 = 176 mod 41

m=42: 131 mod 42 = 5 ≠ 8 = 176 mod 42

m=43: 131 mod 43 = 2 ≠ 4 = 176 mod 43

m=44: 131 mod 44 = 43 ≠ 0 = 176 mod 44

m=45: 131 mod 45 = 41 = 41 = 176 mod 45

m=46: 131 mod 46 = 39 ≠ 38 = 176 mod 46

m=47: 131 mod 47 = 37 ≠ 35 = 176 mod 47

m=48: 131 mod 48 = 35 ≠ 32 = 176 mod 48

m=49: 131 mod 49 = 33 ≠ 29 = 176 mod 49

m=50: 131 mod 50 = 31 ≠ 26 = 176 mod 50

m=51: 131 mod 51 = 29 ≠ 23 = 176 mod 51

m=52: 131 mod 52 = 27 ≠ 20 = 176 mod 52

m=53: 131 mod 53 = 25 ≠ 17 = 176 mod 53

m=54: 131 mod 54 = 23 ≠ 14 = 176 mod 54

m=55: 131 mod 55 = 21 ≠ 11 = 176 mod 55

m=56: 131 mod 56 = 19 ≠ 8 = 176 mod 56

m=57: 131 mod 57 = 17 ≠ 5 = 176 mod 57

m=58: 131 mod 58 = 15 ≠ 2 = 176 mod 58

m=59: 131 mod 59 = 13 ≠ 58 = 176 mod 59

m=60: 131 mod 60 = 11 ≠ 56 = 176 mod 60

m=61: 131 mod 61 = 9 ≠ 54 = 176 mod 61

m=62: 131 mod 62 = 7 ≠ 52 = 176 mod 62

m=63: 131 mod 63 = 5 ≠ 50 = 176 mod 63

m=64: 131 mod 64 = 3 ≠ 48 = 176 mod 64

m=65: 131 mod 65 = 1 ≠ 46 = 176 mod 65

m=66: 131 mod 66 = 65 ≠ 44 = 176 mod 66

m=67: 131 mod 67 = 64 ≠ 42 = 176 mod 67

m=68: 131 mod 68 = 63 ≠ 40 = 176 mod 68

m=69: 131 mod 69 = 62 ≠ 38 = 176 mod 69

m=70: 131 mod 70 = 61 ≠ 36 = 176 mod 70

m=71: 131 mod 71 = 60 ≠ 34 = 176 mod 71

m=72: 131 mod 72 = 59 ≠ 32 = 176 mod 72

m=73: 131 mod 73 = 58 ≠ 30 = 176 mod 73

m=74: 131 mod 74 = 57 ≠ 28 = 176 mod 74

m=75: 131 mod 75 = 56 ≠ 26 = 176 mod 75

m=76: 131 mod 76 = 55 ≠ 24 = 176 mod 76

m=77: 131 mod 77 = 54 ≠ 22 = 176 mod 77

m=78: 131 mod 78 = 53 ≠ 20 = 176 mod 78

m=79: 131 mod 79 = 52 ≠ 18 = 176 mod 79

m=80: 131 mod 80 = 51 ≠ 16 = 176 mod 80

m=81: 131 mod 81 = 50 ≠ 14 = 176 mod 81

m=82: 131 mod 82 = 49 ≠ 12 = 176 mod 82

m=83: 131 mod 83 = 48 ≠ 10 = 176 mod 83

m=84: 131 mod 84 = 47 ≠ 8 = 176 mod 84

m=85: 131 mod 85 = 46 ≠ 6 = 176 mod 85

m=86: 131 mod 86 = 45 ≠ 4 = 176 mod 86

m=87: 131 mod 87 = 44 ≠ 2 = 176 mod 87

m=88: 131 mod 88 = 43 ≠ 0 = 176 mod 88

m=89: 131 mod 89 = 42 ≠ 87 = 176 mod 89

m=90: 131 mod 90 = 41 ≠ 86 = 176 mod 90

m=91: 131 mod 91 = 40 ≠ 85 = 176 mod 91

m=92: 131 mod 92 = 39 ≠ 84 = 176 mod 92

m=93: 131 mod 93 = 38 ≠ 83 = 176 mod 93

m=94: 131 mod 94 = 37 ≠ 82 = 176 mod 94

m=95: 131 mod 95 = 36 ≠ 81 = 176 mod 95

m=96: 131 mod 96 = 35 ≠ 80 = 176 mod 96

m=97: 131 mod 97 = 34 ≠ 79 = 176 mod 97

m=98: 131 mod 98 = 33 ≠ 78 = 176 mod 98

m=99: 131 mod 99 = 32 ≠ 77 = 176 mod 99

m=100: 131 mod 100 = 31 ≠ 76 = 176 mod 100

m=101: 131 mod 101 = 30 ≠ 75 = 176 mod 101

m=102: 131 mod 102 = 29 ≠ 74 = 176 mod 102

m=103: 131 mod 103 = 28 ≠ 73 = 176 mod 103

m=104: 131 mod 104 = 27 ≠ 72 = 176 mod 104

m=105: 131 mod 105 = 26 ≠ 71 = 176 mod 105

m=106: 131 mod 106 = 25 ≠ 70 = 176 mod 106

m=107: 131 mod 107 = 24 ≠ 69 = 176 mod 107

m=108: 131 mod 108 = 23 ≠ 68 = 176 mod 108

m=109: 131 mod 109 = 22 ≠ 67 = 176 mod 109

m=110: 131 mod 110 = 21 ≠ 66 = 176 mod 110

m=111: 131 mod 111 = 20 ≠ 65 = 176 mod 111

m=112: 131 mod 112 = 19 ≠ 64 = 176 mod 112

m=113: 131 mod 113 = 18 ≠ 63 = 176 mod 113

m=114: 131 mod 114 = 17 ≠ 62 = 176 mod 114

m=115: 131 mod 115 = 16 ≠ 61 = 176 mod 115

m=116: 131 mod 116 = 15 ≠ 60 = 176 mod 116

m=117: 131 mod 117 = 14 ≠ 59 = 176 mod 117

m=118: 131 mod 118 = 13 ≠ 58 = 176 mod 118

m=119: 131 mod 119 = 12 ≠ 57 = 176 mod 119

m=120: 131 mod 120 = 11 ≠ 56 = 176 mod 120

m=121: 131 mod 121 = 10 ≠ 55 = 176 mod 121

m=122: 131 mod 122 = 9 ≠ 54 = 176 mod 122

m=123: 131 mod 123 = 8 ≠ 53 = 176 mod 123

m=124: 131 mod 124 = 7 ≠ 52 = 176 mod 124

m=125: 131 mod 125 = 6 ≠ 51 = 176 mod 125

m=126: 131 mod 126 = 5 ≠ 50 = 176 mod 126

m=127: 131 mod 127 = 4 ≠ 49 = 176 mod 127

m=128: 131 mod 128 = 3 ≠ 48 = 176 mod 128

m=129: 131 mod 129 = 2 ≠ 47 = 176 mod 129

m=130: 131 mod 130 = 1 ≠ 46 = 176 mod 130

m=131: 131 mod 131 = 0 ≠ 45 = 176 mod 131

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (176 - 131) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45