Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 47 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 47 - 42 = 5.
Somit gilt: 47 mod 6 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 60 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.
Somit gilt: 60 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5
Somit gilt: 30 ≡ 60 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (364 + 26999) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(364 + 26999) mod 9 ≡ (364 mod 9 + 26999 mod 9) mod 9.
364 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 364
= 360
26999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26999
= 27000
Somit gilt:
(364 + 26999) mod 9 ≡ (4 + 8) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 70) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 70) mod 9 ≡ (66 mod 9 ⋅ 70 mod 9) mod 9.
66 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 7 ⋅ 9 + 3 ist.
70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 70) mod 9 ≡ (3 ⋅ 7) mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 3 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
80 mod m = 110 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 80 aus, ob zufällig 80 mod m = 110 mod m gilt:
m=2: 80 mod 2 = 0 = 0 = 110 mod 2
m=3: 80 mod 3 = 2 = 2 = 110 mod 3
m=4: 80 mod 4 = 0 ≠ 2 = 110 mod 4
m=5: 80 mod 5 = 0 = 0 = 110 mod 5
m=6: 80 mod 6 = 2 = 2 = 110 mod 6
m=7: 80 mod 7 = 3 ≠ 5 = 110 mod 7
m=8: 80 mod 8 = 0 ≠ 6 = 110 mod 8
m=9: 80 mod 9 = 8 ≠ 2 = 110 mod 9
m=10: 80 mod 10 = 0 = 0 = 110 mod 10
m=11: 80 mod 11 = 3 ≠ 0 = 110 mod 11
m=12: 80 mod 12 = 8 ≠ 2 = 110 mod 12
m=13: 80 mod 13 = 2 ≠ 6 = 110 mod 13
m=14: 80 mod 14 = 10 ≠ 12 = 110 mod 14
m=15: 80 mod 15 = 5 = 5 = 110 mod 15
m=16: 80 mod 16 = 0 ≠ 14 = 110 mod 16
m=17: 80 mod 17 = 12 ≠ 8 = 110 mod 17
m=18: 80 mod 18 = 8 ≠ 2 = 110 mod 18
m=19: 80 mod 19 = 4 ≠ 15 = 110 mod 19
m=20: 80 mod 20 = 0 ≠ 10 = 110 mod 20
m=21: 80 mod 21 = 17 ≠ 5 = 110 mod 21
m=22: 80 mod 22 = 14 ≠ 0 = 110 mod 22
m=23: 80 mod 23 = 11 ≠ 18 = 110 mod 23
m=24: 80 mod 24 = 8 ≠ 14 = 110 mod 24
m=25: 80 mod 25 = 5 ≠ 10 = 110 mod 25
m=26: 80 mod 26 = 2 ≠ 6 = 110 mod 26
m=27: 80 mod 27 = 26 ≠ 2 = 110 mod 27
m=28: 80 mod 28 = 24 ≠ 26 = 110 mod 28
m=29: 80 mod 29 = 22 ≠ 23 = 110 mod 29
m=30: 80 mod 30 = 20 = 20 = 110 mod 30
m=31: 80 mod 31 = 18 ≠ 17 = 110 mod 31
m=32: 80 mod 32 = 16 ≠ 14 = 110 mod 32
m=33: 80 mod 33 = 14 ≠ 11 = 110 mod 33
m=34: 80 mod 34 = 12 ≠ 8 = 110 mod 34
m=35: 80 mod 35 = 10 ≠ 5 = 110 mod 35
m=36: 80 mod 36 = 8 ≠ 2 = 110 mod 36
m=37: 80 mod 37 = 6 ≠ 36 = 110 mod 37
m=38: 80 mod 38 = 4 ≠ 34 = 110 mod 38
m=39: 80 mod 39 = 2 ≠ 32 = 110 mod 39
m=40: 80 mod 40 = 0 ≠ 30 = 110 mod 40
m=41: 80 mod 41 = 39 ≠ 28 = 110 mod 41
m=42: 80 mod 42 = 38 ≠ 26 = 110 mod 42
m=43: 80 mod 43 = 37 ≠ 24 = 110 mod 43
m=44: 80 mod 44 = 36 ≠ 22 = 110 mod 44
m=45: 80 mod 45 = 35 ≠ 20 = 110 mod 45
m=46: 80 mod 46 = 34 ≠ 18 = 110 mod 46
m=47: 80 mod 47 = 33 ≠ 16 = 110 mod 47
m=48: 80 mod 48 = 32 ≠ 14 = 110 mod 48
m=49: 80 mod 49 = 31 ≠ 12 = 110 mod 49
m=50: 80 mod 50 = 30 ≠ 10 = 110 mod 50
m=51: 80 mod 51 = 29 ≠ 8 = 110 mod 51
m=52: 80 mod 52 = 28 ≠ 6 = 110 mod 52
m=53: 80 mod 53 = 27 ≠ 4 = 110 mod 53
m=54: 80 mod 54 = 26 ≠ 2 = 110 mod 54
m=55: 80 mod 55 = 25 ≠ 0 = 110 mod 55
m=56: 80 mod 56 = 24 ≠ 54 = 110 mod 56
m=57: 80 mod 57 = 23 ≠ 53 = 110 mod 57
m=58: 80 mod 58 = 22 ≠ 52 = 110 mod 58
m=59: 80 mod 59 = 21 ≠ 51 = 110 mod 59
m=60: 80 mod 60 = 20 ≠ 50 = 110 mod 60
m=61: 80 mod 61 = 19 ≠ 49 = 110 mod 61
m=62: 80 mod 62 = 18 ≠ 48 = 110 mod 62
m=63: 80 mod 63 = 17 ≠ 47 = 110 mod 63
m=64: 80 mod 64 = 16 ≠ 46 = 110 mod 64
m=65: 80 mod 65 = 15 ≠ 45 = 110 mod 65
m=66: 80 mod 66 = 14 ≠ 44 = 110 mod 66
m=67: 80 mod 67 = 13 ≠ 43 = 110 mod 67
m=68: 80 mod 68 = 12 ≠ 42 = 110 mod 68
m=69: 80 mod 69 = 11 ≠ 41 = 110 mod 69
m=70: 80 mod 70 = 10 ≠ 40 = 110 mod 70
m=71: 80 mod 71 = 9 ≠ 39 = 110 mod 71
m=72: 80 mod 72 = 8 ≠ 38 = 110 mod 72
m=73: 80 mod 73 = 7 ≠ 37 = 110 mod 73
m=74: 80 mod 74 = 6 ≠ 36 = 110 mod 74
m=75: 80 mod 75 = 5 ≠ 35 = 110 mod 75
m=76: 80 mod 76 = 4 ≠ 34 = 110 mod 76
m=77: 80 mod 77 = 3 ≠ 33 = 110 mod 77
m=78: 80 mod 78 = 2 ≠ 32 = 110 mod 78
m=79: 80 mod 79 = 1 ≠ 31 = 110 mod 79
m=80: 80 mod 80 = 0 ≠ 30 = 110 mod 80
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (110 - 80) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
