Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 88 = 4.

Somit gilt: 92 mod 11 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 56 = 2.

Somit gilt: 58 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 4 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 32 und erhalten so 34.

Somit gilt: 34 ≡ 58 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(280 - 3500) mod 7 ≡ (280 mod 7 - 3500 mod 7) mod 7.

280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280 = 280+0 = 7 ⋅ 40 +0.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(280 - 3500) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 92) mod 9 ≡ (27 mod 9 ⋅ 92 mod 9) mod 9.

27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.

92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 92) mod 9 ≡ (0 ⋅ 2) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 25 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 25 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 1 = 25 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 0 = 25 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 = 1 = 25 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 4 = 25 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 1 = 25 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 7 = 25 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 5 = 25 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 3 = 25 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 1 = 25 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 12 = 25 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 11 = 25 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 10 = 25 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 9 = 25 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 8 = 25 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 7 = 25 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 6 = 25 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 19) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6