Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 84 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.
Somit gilt: 84 mod 7 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 60 für die gilt n ≡ 61 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.
Somit gilt: 61 mod 10 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 60 für die gilt: n ≡ 1 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 5 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 1 mod 10 sein, also addieren wir noch 1 auf die 50 und erhalten so 51.
Somit gilt: 51 ≡ 61 ≡ 1 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2804 - 3505) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2804 - 3505) mod 7 ≡ (2804 mod 7 - 3505 mod 7) mod 7.
2804 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2804
= 2800
3505 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3505
= 3500
Somit gilt:
(2804 - 3505) mod 7 ≡ (4 - 5) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 65) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 65) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 65 mod 3) mod 3.
46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.
65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 65) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
