Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 40 = 2.

Somit gilt: 42 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 72 = 8.

Somit gilt: 80 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 27 und erhalten so 35.

Somit gilt: 35 ≡ 80 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 18005) mod 6 ≡ (1200 mod 6 - 18005 mod 6) mod 6.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005 = 18000+5 = 6 ⋅ 3000 +5.

Somit gilt:

(1200 - 18005) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 19) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 19 mod 4) mod 4.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 19) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 82 aus, ob zufällig 82 mod m = 107 mod m gilt:

m=2: 82 mod 2 = 0 ≠ 1 = 107 mod 2

m=3: 82 mod 3 = 1 ≠ 2 = 107 mod 3

m=4: 82 mod 4 = 2 ≠ 3 = 107 mod 4

m=5: 82 mod 5 = 2 = 2 = 107 mod 5

m=6: 82 mod 6 = 4 ≠ 5 = 107 mod 6

m=7: 82 mod 7 = 5 ≠ 2 = 107 mod 7

m=8: 82 mod 8 = 2 ≠ 3 = 107 mod 8

m=9: 82 mod 9 = 1 ≠ 8 = 107 mod 9

m=10: 82 mod 10 = 2 ≠ 7 = 107 mod 10

m=11: 82 mod 11 = 5 ≠ 8 = 107 mod 11

m=12: 82 mod 12 = 10 ≠ 11 = 107 mod 12

m=13: 82 mod 13 = 4 ≠ 3 = 107 mod 13

m=14: 82 mod 14 = 12 ≠ 9 = 107 mod 14

m=15: 82 mod 15 = 7 ≠ 2 = 107 mod 15

m=16: 82 mod 16 = 2 ≠ 11 = 107 mod 16

m=17: 82 mod 17 = 14 ≠ 5 = 107 mod 17

m=18: 82 mod 18 = 10 ≠ 17 = 107 mod 18

m=19: 82 mod 19 = 6 ≠ 12 = 107 mod 19

m=20: 82 mod 20 = 2 ≠ 7 = 107 mod 20

m=21: 82 mod 21 = 19 ≠ 2 = 107 mod 21

m=22: 82 mod 22 = 16 ≠ 19 = 107 mod 22

m=23: 82 mod 23 = 13 ≠ 15 = 107 mod 23

m=24: 82 mod 24 = 10 ≠ 11 = 107 mod 24

m=25: 82 mod 25 = 7 = 7 = 107 mod 25

m=26: 82 mod 26 = 4 ≠ 3 = 107 mod 26

m=27: 82 mod 27 = 1 ≠ 26 = 107 mod 27

m=28: 82 mod 28 = 26 ≠ 23 = 107 mod 28

m=29: 82 mod 29 = 24 ≠ 20 = 107 mod 29

m=30: 82 mod 30 = 22 ≠ 17 = 107 mod 30

m=31: 82 mod 31 = 20 ≠ 14 = 107 mod 31

m=32: 82 mod 32 = 18 ≠ 11 = 107 mod 32

m=33: 82 mod 33 = 16 ≠ 8 = 107 mod 33

m=34: 82 mod 34 = 14 ≠ 5 = 107 mod 34

m=35: 82 mod 35 = 12 ≠ 2 = 107 mod 35

m=36: 82 mod 36 = 10 ≠ 35 = 107 mod 36

m=37: 82 mod 37 = 8 ≠ 33 = 107 mod 37

m=38: 82 mod 38 = 6 ≠ 31 = 107 mod 38

m=39: 82 mod 39 = 4 ≠ 29 = 107 mod 39

m=40: 82 mod 40 = 2 ≠ 27 = 107 mod 40

m=41: 82 mod 41 = 0 ≠ 25 = 107 mod 41

m=42: 82 mod 42 = 40 ≠ 23 = 107 mod 42

m=43: 82 mod 43 = 39 ≠ 21 = 107 mod 43

m=44: 82 mod 44 = 38 ≠ 19 = 107 mod 44

m=45: 82 mod 45 = 37 ≠ 17 = 107 mod 45

m=46: 82 mod 46 = 36 ≠ 15 = 107 mod 46

m=47: 82 mod 47 = 35 ≠ 13 = 107 mod 47

m=48: 82 mod 48 = 34 ≠ 11 = 107 mod 48

m=49: 82 mod 49 = 33 ≠ 9 = 107 mod 49

m=50: 82 mod 50 = 32 ≠ 7 = 107 mod 50

m=51: 82 mod 51 = 31 ≠ 5 = 107 mod 51

m=52: 82 mod 52 = 30 ≠ 3 = 107 mod 52

m=53: 82 mod 53 = 29 ≠ 1 = 107 mod 53

m=54: 82 mod 54 = 28 ≠ 53 = 107 mod 54

m=55: 82 mod 55 = 27 ≠ 52 = 107 mod 55

m=56: 82 mod 56 = 26 ≠ 51 = 107 mod 56

m=57: 82 mod 57 = 25 ≠ 50 = 107 mod 57

m=58: 82 mod 58 = 24 ≠ 49 = 107 mod 58

m=59: 82 mod 59 = 23 ≠ 48 = 107 mod 59

m=60: 82 mod 60 = 22 ≠ 47 = 107 mod 60

m=61: 82 mod 61 = 21 ≠ 46 = 107 mod 61

m=62: 82 mod 62 = 20 ≠ 45 = 107 mod 62

m=63: 82 mod 63 = 19 ≠ 44 = 107 mod 63

m=64: 82 mod 64 = 18 ≠ 43 = 107 mod 64

m=65: 82 mod 65 = 17 ≠ 42 = 107 mod 65

m=66: 82 mod 66 = 16 ≠ 41 = 107 mod 66

m=67: 82 mod 67 = 15 ≠ 40 = 107 mod 67

m=68: 82 mod 68 = 14 ≠ 39 = 107 mod 68

m=69: 82 mod 69 = 13 ≠ 38 = 107 mod 69

m=70: 82 mod 70 = 12 ≠ 37 = 107 mod 70

m=71: 82 mod 71 = 11 ≠ 36 = 107 mod 71

m=72: 82 mod 72 = 10 ≠ 35 = 107 mod 72

m=73: 82 mod 73 = 9 ≠ 34 = 107 mod 73

m=74: 82 mod 74 = 8 ≠ 33 = 107 mod 74

m=75: 82 mod 75 = 7 ≠ 32 = 107 mod 75

m=76: 82 mod 76 = 6 ≠ 31 = 107 mod 76

m=77: 82 mod 77 = 5 ≠ 30 = 107 mod 77

m=78: 82 mod 78 = 4 ≠ 29 = 107 mod 78

m=79: 82 mod 79 = 3 ≠ 28 = 107 mod 79

m=80: 82 mod 80 = 2 ≠ 27 = 107 mod 80

m=81: 82 mod 81 = 1 ≠ 26 = 107 mod 81

m=82: 82 mod 82 = 0 ≠ 25 = 107 mod 82

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (107 - 82) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25