Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 18, weil ja 6 ⋅ 3 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 18 - 18 = 0.

Somit gilt: 18 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 14 ⋅ 6

Somit gilt: 84 ≡ 24 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16007 - 3997) mod 8 ≡ (16007 mod 8 - 3997 mod 8) mod 8.

16007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16007 = 16000+7 = 8 ⋅ 2000 +7.

3997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997 = 4000-3 = 8 ⋅ 500 -3 = 8 ⋅ 500 - 8 + 5.

Somit gilt:

(16007 - 3997) mod 8 ≡ (7 - 5) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 80) mod 4 ≡ (35 mod 4 ⋅ 80 mod 4) mod 4.

35 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 8 ⋅ 4 + 3 ist.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 20 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 80) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 96 aus, ob zufällig 96 mod m = 126 mod m gilt:

m=2: 96 mod 2 = 0 = 0 = 126 mod 2

m=3: 96 mod 3 = 0 = 0 = 126 mod 3

m=4: 96 mod 4 = 0 ≠ 2 = 126 mod 4

m=5: 96 mod 5 = 1 = 1 = 126 mod 5

m=6: 96 mod 6 = 0 = 0 = 126 mod 6

m=7: 96 mod 7 = 5 ≠ 0 = 126 mod 7

m=8: 96 mod 8 = 0 ≠ 6 = 126 mod 8

m=9: 96 mod 9 = 6 ≠ 0 = 126 mod 9

m=10: 96 mod 10 = 6 = 6 = 126 mod 10

m=11: 96 mod 11 = 8 ≠ 5 = 126 mod 11

m=12: 96 mod 12 = 0 ≠ 6 = 126 mod 12

m=13: 96 mod 13 = 5 ≠ 9 = 126 mod 13

m=14: 96 mod 14 = 12 ≠ 0 = 126 mod 14

m=15: 96 mod 15 = 6 = 6 = 126 mod 15

m=16: 96 mod 16 = 0 ≠ 14 = 126 mod 16

m=17: 96 mod 17 = 11 ≠ 7 = 126 mod 17

m=18: 96 mod 18 = 6 ≠ 0 = 126 mod 18

m=19: 96 mod 19 = 1 ≠ 12 = 126 mod 19

m=20: 96 mod 20 = 16 ≠ 6 = 126 mod 20

m=21: 96 mod 21 = 12 ≠ 0 = 126 mod 21

m=22: 96 mod 22 = 8 ≠ 16 = 126 mod 22

m=23: 96 mod 23 = 4 ≠ 11 = 126 mod 23

m=24: 96 mod 24 = 0 ≠ 6 = 126 mod 24

m=25: 96 mod 25 = 21 ≠ 1 = 126 mod 25

m=26: 96 mod 26 = 18 ≠ 22 = 126 mod 26

m=27: 96 mod 27 = 15 ≠ 18 = 126 mod 27

m=28: 96 mod 28 = 12 ≠ 14 = 126 mod 28

m=29: 96 mod 29 = 9 ≠ 10 = 126 mod 29

m=30: 96 mod 30 = 6 = 6 = 126 mod 30

m=31: 96 mod 31 = 3 ≠ 2 = 126 mod 31

m=32: 96 mod 32 = 0 ≠ 30 = 126 mod 32

m=33: 96 mod 33 = 30 ≠ 27 = 126 mod 33

m=34: 96 mod 34 = 28 ≠ 24 = 126 mod 34

m=35: 96 mod 35 = 26 ≠ 21 = 126 mod 35

m=36: 96 mod 36 = 24 ≠ 18 = 126 mod 36

m=37: 96 mod 37 = 22 ≠ 15 = 126 mod 37

m=38: 96 mod 38 = 20 ≠ 12 = 126 mod 38

m=39: 96 mod 39 = 18 ≠ 9 = 126 mod 39

m=40: 96 mod 40 = 16 ≠ 6 = 126 mod 40

m=41: 96 mod 41 = 14 ≠ 3 = 126 mod 41

m=42: 96 mod 42 = 12 ≠ 0 = 126 mod 42

m=43: 96 mod 43 = 10 ≠ 40 = 126 mod 43

m=44: 96 mod 44 = 8 ≠ 38 = 126 mod 44

m=45: 96 mod 45 = 6 ≠ 36 = 126 mod 45

m=46: 96 mod 46 = 4 ≠ 34 = 126 mod 46

m=47: 96 mod 47 = 2 ≠ 32 = 126 mod 47

m=48: 96 mod 48 = 0 ≠ 30 = 126 mod 48

m=49: 96 mod 49 = 47 ≠ 28 = 126 mod 49

m=50: 96 mod 50 = 46 ≠ 26 = 126 mod 50

m=51: 96 mod 51 = 45 ≠ 24 = 126 mod 51

m=52: 96 mod 52 = 44 ≠ 22 = 126 mod 52

m=53: 96 mod 53 = 43 ≠ 20 = 126 mod 53

m=54: 96 mod 54 = 42 ≠ 18 = 126 mod 54

m=55: 96 mod 55 = 41 ≠ 16 = 126 mod 55

m=56: 96 mod 56 = 40 ≠ 14 = 126 mod 56

m=57: 96 mod 57 = 39 ≠ 12 = 126 mod 57

m=58: 96 mod 58 = 38 ≠ 10 = 126 mod 58

m=59: 96 mod 59 = 37 ≠ 8 = 126 mod 59

m=60: 96 mod 60 = 36 ≠ 6 = 126 mod 60

m=61: 96 mod 61 = 35 ≠ 4 = 126 mod 61

m=62: 96 mod 62 = 34 ≠ 2 = 126 mod 62

m=63: 96 mod 63 = 33 ≠ 0 = 126 mod 63

m=64: 96 mod 64 = 32 ≠ 62 = 126 mod 64

m=65: 96 mod 65 = 31 ≠ 61 = 126 mod 65

m=66: 96 mod 66 = 30 ≠ 60 = 126 mod 66

m=67: 96 mod 67 = 29 ≠ 59 = 126 mod 67

m=68: 96 mod 68 = 28 ≠ 58 = 126 mod 68

m=69: 96 mod 69 = 27 ≠ 57 = 126 mod 69

m=70: 96 mod 70 = 26 ≠ 56 = 126 mod 70

m=71: 96 mod 71 = 25 ≠ 55 = 126 mod 71

m=72: 96 mod 72 = 24 ≠ 54 = 126 mod 72

m=73: 96 mod 73 = 23 ≠ 53 = 126 mod 73

m=74: 96 mod 74 = 22 ≠ 52 = 126 mod 74

m=75: 96 mod 75 = 21 ≠ 51 = 126 mod 75

m=76: 96 mod 76 = 20 ≠ 50 = 126 mod 76

m=77: 96 mod 77 = 19 ≠ 49 = 126 mod 77

m=78: 96 mod 78 = 18 ≠ 48 = 126 mod 78

m=79: 96 mod 79 = 17 ≠ 47 = 126 mod 79

m=80: 96 mod 80 = 16 ≠ 46 = 126 mod 80

m=81: 96 mod 81 = 15 ≠ 45 = 126 mod 81

m=82: 96 mod 82 = 14 ≠ 44 = 126 mod 82

m=83: 96 mod 83 = 13 ≠ 43 = 126 mod 83

m=84: 96 mod 84 = 12 ≠ 42 = 126 mod 84

m=85: 96 mod 85 = 11 ≠ 41 = 126 mod 85

m=86: 96 mod 86 = 10 ≠ 40 = 126 mod 86

m=87: 96 mod 87 = 9 ≠ 39 = 126 mod 87

m=88: 96 mod 88 = 8 ≠ 38 = 126 mod 88

m=89: 96 mod 89 = 7 ≠ 37 = 126 mod 89

m=90: 96 mod 90 = 6 ≠ 36 = 126 mod 90

m=91: 96 mod 91 = 5 ≠ 35 = 126 mod 91

m=92: 96 mod 92 = 4 ≠ 34 = 126 mod 92

m=93: 96 mod 93 = 3 ≠ 33 = 126 mod 93

m=94: 96 mod 94 = 2 ≠ 32 = 126 mod 94

m=95: 96 mod 95 = 1 ≠ 31 = 126 mod 95

m=96: 96 mod 96 = 0 ≠ 30 = 126 mod 96

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (126 - 96) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30