Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 30 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 30 - 28 = 2.
Somit gilt: 30 mod 7 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 93 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 93 - 93 = 0.
Somit gilt: 93 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3
Somit gilt: 81 ≡ 93 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (350 + 21005) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(350 + 21005) mod 7 ≡ (350 mod 7 + 21005 mod 7) mod 7.
350 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 350
= 350
21005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21005
= 21000
Somit gilt:
(350 + 21005) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 64) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 64) mod 6 ≡ (21 mod 6 ⋅ 64 mod 6) mod 6.
21 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 3 ⋅ 6 + 3 ist.
64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 64) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
236 mod m = 311 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 236 aus, ob zufällig 236 mod m = 311 mod m gilt:
m=2: 236 mod 2 = 0 ≠ 1 = 311 mod 2
m=3: 236 mod 3 = 2 = 2 = 311 mod 3
m=4: 236 mod 4 = 0 ≠ 3 = 311 mod 4
m=5: 236 mod 5 = 1 = 1 = 311 mod 5
m=6: 236 mod 6 = 2 ≠ 5 = 311 mod 6
m=7: 236 mod 7 = 5 ≠ 3 = 311 mod 7
m=8: 236 mod 8 = 4 ≠ 7 = 311 mod 8
m=9: 236 mod 9 = 2 ≠ 5 = 311 mod 9
m=10: 236 mod 10 = 6 ≠ 1 = 311 mod 10
m=11: 236 mod 11 = 5 ≠ 3 = 311 mod 11
m=12: 236 mod 12 = 8 ≠ 11 = 311 mod 12
m=13: 236 mod 13 = 2 ≠ 12 = 311 mod 13
m=14: 236 mod 14 = 12 ≠ 3 = 311 mod 14
m=15: 236 mod 15 = 11 = 11 = 311 mod 15
m=16: 236 mod 16 = 12 ≠ 7 = 311 mod 16
m=17: 236 mod 17 = 15 ≠ 5 = 311 mod 17
m=18: 236 mod 18 = 2 ≠ 5 = 311 mod 18
m=19: 236 mod 19 = 8 ≠ 7 = 311 mod 19
m=20: 236 mod 20 = 16 ≠ 11 = 311 mod 20
m=21: 236 mod 21 = 5 ≠ 17 = 311 mod 21
m=22: 236 mod 22 = 16 ≠ 3 = 311 mod 22
m=23: 236 mod 23 = 6 ≠ 12 = 311 mod 23
m=24: 236 mod 24 = 20 ≠ 23 = 311 mod 24
m=25: 236 mod 25 = 11 = 11 = 311 mod 25
m=26: 236 mod 26 = 2 ≠ 25 = 311 mod 26
m=27: 236 mod 27 = 20 ≠ 14 = 311 mod 27
m=28: 236 mod 28 = 12 ≠ 3 = 311 mod 28
m=29: 236 mod 29 = 4 ≠ 21 = 311 mod 29
m=30: 236 mod 30 = 26 ≠ 11 = 311 mod 30
m=31: 236 mod 31 = 19 ≠ 1 = 311 mod 31
m=32: 236 mod 32 = 12 ≠ 23 = 311 mod 32
m=33: 236 mod 33 = 5 ≠ 14 = 311 mod 33
m=34: 236 mod 34 = 32 ≠ 5 = 311 mod 34
m=35: 236 mod 35 = 26 ≠ 31 = 311 mod 35
m=36: 236 mod 36 = 20 ≠ 23 = 311 mod 36
m=37: 236 mod 37 = 14 ≠ 15 = 311 mod 37
m=38: 236 mod 38 = 8 ≠ 7 = 311 mod 38
m=39: 236 mod 39 = 2 ≠ 38 = 311 mod 39
m=40: 236 mod 40 = 36 ≠ 31 = 311 mod 40
m=41: 236 mod 41 = 31 ≠ 24 = 311 mod 41
m=42: 236 mod 42 = 26 ≠ 17 = 311 mod 42
m=43: 236 mod 43 = 21 ≠ 10 = 311 mod 43
m=44: 236 mod 44 = 16 ≠ 3 = 311 mod 44
m=45: 236 mod 45 = 11 ≠ 41 = 311 mod 45
m=46: 236 mod 46 = 6 ≠ 35 = 311 mod 46
m=47: 236 mod 47 = 1 ≠ 29 = 311 mod 47
m=48: 236 mod 48 = 44 ≠ 23 = 311 mod 48
m=49: 236 mod 49 = 40 ≠ 17 = 311 mod 49
m=50: 236 mod 50 = 36 ≠ 11 = 311 mod 50
m=51: 236 mod 51 = 32 ≠ 5 = 311 mod 51
m=52: 236 mod 52 = 28 ≠ 51 = 311 mod 52
m=53: 236 mod 53 = 24 ≠ 46 = 311 mod 53
m=54: 236 mod 54 = 20 ≠ 41 = 311 mod 54
m=55: 236 mod 55 = 16 ≠ 36 = 311 mod 55
m=56: 236 mod 56 = 12 ≠ 31 = 311 mod 56
m=57: 236 mod 57 = 8 ≠ 26 = 311 mod 57
m=58: 236 mod 58 = 4 ≠ 21 = 311 mod 58
m=59: 236 mod 59 = 0 ≠ 16 = 311 mod 59
m=60: 236 mod 60 = 56 ≠ 11 = 311 mod 60
m=61: 236 mod 61 = 53 ≠ 6 = 311 mod 61
m=62: 236 mod 62 = 50 ≠ 1 = 311 mod 62
m=63: 236 mod 63 = 47 ≠ 59 = 311 mod 63
m=64: 236 mod 64 = 44 ≠ 55 = 311 mod 64
m=65: 236 mod 65 = 41 ≠ 51 = 311 mod 65
m=66: 236 mod 66 = 38 ≠ 47 = 311 mod 66
m=67: 236 mod 67 = 35 ≠ 43 = 311 mod 67
m=68: 236 mod 68 = 32 ≠ 39 = 311 mod 68
m=69: 236 mod 69 = 29 ≠ 35 = 311 mod 69
m=70: 236 mod 70 = 26 ≠ 31 = 311 mod 70
m=71: 236 mod 71 = 23 ≠ 27 = 311 mod 71
m=72: 236 mod 72 = 20 ≠ 23 = 311 mod 72
m=73: 236 mod 73 = 17 ≠ 19 = 311 mod 73
m=74: 236 mod 74 = 14 ≠ 15 = 311 mod 74
m=75: 236 mod 75 = 11 = 11 = 311 mod 75
m=76: 236 mod 76 = 8 ≠ 7 = 311 mod 76
m=77: 236 mod 77 = 5 ≠ 3 = 311 mod 77
m=78: 236 mod 78 = 2 ≠ 77 = 311 mod 78
m=79: 236 mod 79 = 78 ≠ 74 = 311 mod 79
m=80: 236 mod 80 = 76 ≠ 71 = 311 mod 80
m=81: 236 mod 81 = 74 ≠ 68 = 311 mod 81
m=82: 236 mod 82 = 72 ≠ 65 = 311 mod 82
m=83: 236 mod 83 = 70 ≠ 62 = 311 mod 83
m=84: 236 mod 84 = 68 ≠ 59 = 311 mod 84
m=85: 236 mod 85 = 66 ≠ 56 = 311 mod 85
m=86: 236 mod 86 = 64 ≠ 53 = 311 mod 86
m=87: 236 mod 87 = 62 ≠ 50 = 311 mod 87
m=88: 236 mod 88 = 60 ≠ 47 = 311 mod 88
m=89: 236 mod 89 = 58 ≠ 44 = 311 mod 89
m=90: 236 mod 90 = 56 ≠ 41 = 311 mod 90
m=91: 236 mod 91 = 54 ≠ 38 = 311 mod 91
m=92: 236 mod 92 = 52 ≠ 35 = 311 mod 92
m=93: 236 mod 93 = 50 ≠ 32 = 311 mod 93
m=94: 236 mod 94 = 48 ≠ 29 = 311 mod 94
m=95: 236 mod 95 = 46 ≠ 26 = 311 mod 95
m=96: 236 mod 96 = 44 ≠ 23 = 311 mod 96
m=97: 236 mod 97 = 42 ≠ 20 = 311 mod 97
m=98: 236 mod 98 = 40 ≠ 17 = 311 mod 98
m=99: 236 mod 99 = 38 ≠ 14 = 311 mod 99
m=100: 236 mod 100 = 36 ≠ 11 = 311 mod 100
m=101: 236 mod 101 = 34 ≠ 8 = 311 mod 101
m=102: 236 mod 102 = 32 ≠ 5 = 311 mod 102
m=103: 236 mod 103 = 30 ≠ 2 = 311 mod 103
m=104: 236 mod 104 = 28 ≠ 103 = 311 mod 104
m=105: 236 mod 105 = 26 ≠ 101 = 311 mod 105
m=106: 236 mod 106 = 24 ≠ 99 = 311 mod 106
m=107: 236 mod 107 = 22 ≠ 97 = 311 mod 107
m=108: 236 mod 108 = 20 ≠ 95 = 311 mod 108
m=109: 236 mod 109 = 18 ≠ 93 = 311 mod 109
m=110: 236 mod 110 = 16 ≠ 91 = 311 mod 110
m=111: 236 mod 111 = 14 ≠ 89 = 311 mod 111
m=112: 236 mod 112 = 12 ≠ 87 = 311 mod 112
m=113: 236 mod 113 = 10 ≠ 85 = 311 mod 113
m=114: 236 mod 114 = 8 ≠ 83 = 311 mod 114
m=115: 236 mod 115 = 6 ≠ 81 = 311 mod 115
m=116: 236 mod 116 = 4 ≠ 79 = 311 mod 116
m=117: 236 mod 117 = 2 ≠ 77 = 311 mod 117
m=118: 236 mod 118 = 0 ≠ 75 = 311 mod 118
m=119: 236 mod 119 = 117 ≠ 73 = 311 mod 119
m=120: 236 mod 120 = 116 ≠ 71 = 311 mod 120
m=121: 236 mod 121 = 115 ≠ 69 = 311 mod 121
m=122: 236 mod 122 = 114 ≠ 67 = 311 mod 122
m=123: 236 mod 123 = 113 ≠ 65 = 311 mod 123
m=124: 236 mod 124 = 112 ≠ 63 = 311 mod 124
m=125: 236 mod 125 = 111 ≠ 61 = 311 mod 125
m=126: 236 mod 126 = 110 ≠ 59 = 311 mod 126
m=127: 236 mod 127 = 109 ≠ 57 = 311 mod 127
m=128: 236 mod 128 = 108 ≠ 55 = 311 mod 128
m=129: 236 mod 129 = 107 ≠ 53 = 311 mod 129
m=130: 236 mod 130 = 106 ≠ 51 = 311 mod 130
m=131: 236 mod 131 = 105 ≠ 49 = 311 mod 131
m=132: 236 mod 132 = 104 ≠ 47 = 311 mod 132
m=133: 236 mod 133 = 103 ≠ 45 = 311 mod 133
m=134: 236 mod 134 = 102 ≠ 43 = 311 mod 134
m=135: 236 mod 135 = 101 ≠ 41 = 311 mod 135
m=136: 236 mod 136 = 100 ≠ 39 = 311 mod 136
m=137: 236 mod 137 = 99 ≠ 37 = 311 mod 137
m=138: 236 mod 138 = 98 ≠ 35 = 311 mod 138
m=139: 236 mod 139 = 97 ≠ 33 = 311 mod 139
m=140: 236 mod 140 = 96 ≠ 31 = 311 mod 140
m=141: 236 mod 141 = 95 ≠ 29 = 311 mod 141
m=142: 236 mod 142 = 94 ≠ 27 = 311 mod 142
m=143: 236 mod 143 = 93 ≠ 25 = 311 mod 143
m=144: 236 mod 144 = 92 ≠ 23 = 311 mod 144
m=145: 236 mod 145 = 91 ≠ 21 = 311 mod 145
m=146: 236 mod 146 = 90 ≠ 19 = 311 mod 146
m=147: 236 mod 147 = 89 ≠ 17 = 311 mod 147
m=148: 236 mod 148 = 88 ≠ 15 = 311 mod 148
m=149: 236 mod 149 = 87 ≠ 13 = 311 mod 149
m=150: 236 mod 150 = 86 ≠ 11 = 311 mod 150
m=151: 236 mod 151 = 85 ≠ 9 = 311 mod 151
m=152: 236 mod 152 = 84 ≠ 7 = 311 mod 152
m=153: 236 mod 153 = 83 ≠ 5 = 311 mod 153
m=154: 236 mod 154 = 82 ≠ 3 = 311 mod 154
m=155: 236 mod 155 = 81 ≠ 1 = 311 mod 155
m=156: 236 mod 156 = 80 ≠ 155 = 311 mod 156
m=157: 236 mod 157 = 79 ≠ 154 = 311 mod 157
m=158: 236 mod 158 = 78 ≠ 153 = 311 mod 158
m=159: 236 mod 159 = 77 ≠ 152 = 311 mod 159
m=160: 236 mod 160 = 76 ≠ 151 = 311 mod 160
m=161: 236 mod 161 = 75 ≠ 150 = 311 mod 161
m=162: 236 mod 162 = 74 ≠ 149 = 311 mod 162
m=163: 236 mod 163 = 73 ≠ 148 = 311 mod 163
m=164: 236 mod 164 = 72 ≠ 147 = 311 mod 164
m=165: 236 mod 165 = 71 ≠ 146 = 311 mod 165
m=166: 236 mod 166 = 70 ≠ 145 = 311 mod 166
m=167: 236 mod 167 = 69 ≠ 144 = 311 mod 167
m=168: 236 mod 168 = 68 ≠ 143 = 311 mod 168
m=169: 236 mod 169 = 67 ≠ 142 = 311 mod 169
m=170: 236 mod 170 = 66 ≠ 141 = 311 mod 170
m=171: 236 mod 171 = 65 ≠ 140 = 311 mod 171
m=172: 236 mod 172 = 64 ≠ 139 = 311 mod 172
m=173: 236 mod 173 = 63 ≠ 138 = 311 mod 173
m=174: 236 mod 174 = 62 ≠ 137 = 311 mod 174
m=175: 236 mod 175 = 61 ≠ 136 = 311 mod 175
m=176: 236 mod 176 = 60 ≠ 135 = 311 mod 176
m=177: 236 mod 177 = 59 ≠ 134 = 311 mod 177
m=178: 236 mod 178 = 58 ≠ 133 = 311 mod 178
m=179: 236 mod 179 = 57 ≠ 132 = 311 mod 179
m=180: 236 mod 180 = 56 ≠ 131 = 311 mod 180
m=181: 236 mod 181 = 55 ≠ 130 = 311 mod 181
m=182: 236 mod 182 = 54 ≠ 129 = 311 mod 182
m=183: 236 mod 183 = 53 ≠ 128 = 311 mod 183
m=184: 236 mod 184 = 52 ≠ 127 = 311 mod 184
m=185: 236 mod 185 = 51 ≠ 126 = 311 mod 185
m=186: 236 mod 186 = 50 ≠ 125 = 311 mod 186
m=187: 236 mod 187 = 49 ≠ 124 = 311 mod 187
m=188: 236 mod 188 = 48 ≠ 123 = 311 mod 188
m=189: 236 mod 189 = 47 ≠ 122 = 311 mod 189
m=190: 236 mod 190 = 46 ≠ 121 = 311 mod 190
m=191: 236 mod 191 = 45 ≠ 120 = 311 mod 191
m=192: 236 mod 192 = 44 ≠ 119 = 311 mod 192
m=193: 236 mod 193 = 43 ≠ 118 = 311 mod 193
m=194: 236 mod 194 = 42 ≠ 117 = 311 mod 194
m=195: 236 mod 195 = 41 ≠ 116 = 311 mod 195
m=196: 236 mod 196 = 40 ≠ 115 = 311 mod 196
m=197: 236 mod 197 = 39 ≠ 114 = 311 mod 197
m=198: 236 mod 198 = 38 ≠ 113 = 311 mod 198
m=199: 236 mod 199 = 37 ≠ 112 = 311 mod 199
m=200: 236 mod 200 = 36 ≠ 111 = 311 mod 200
m=201: 236 mod 201 = 35 ≠ 110 = 311 mod 201
m=202: 236 mod 202 = 34 ≠ 109 = 311 mod 202
m=203: 236 mod 203 = 33 ≠ 108 = 311 mod 203
m=204: 236 mod 204 = 32 ≠ 107 = 311 mod 204
m=205: 236 mod 205 = 31 ≠ 106 = 311 mod 205
m=206: 236 mod 206 = 30 ≠ 105 = 311 mod 206
m=207: 236 mod 207 = 29 ≠ 104 = 311 mod 207
m=208: 236 mod 208 = 28 ≠ 103 = 311 mod 208
m=209: 236 mod 209 = 27 ≠ 102 = 311 mod 209
m=210: 236 mod 210 = 26 ≠ 101 = 311 mod 210
m=211: 236 mod 211 = 25 ≠ 100 = 311 mod 211
m=212: 236 mod 212 = 24 ≠ 99 = 311 mod 212
m=213: 236 mod 213 = 23 ≠ 98 = 311 mod 213
m=214: 236 mod 214 = 22 ≠ 97 = 311 mod 214
m=215: 236 mod 215 = 21 ≠ 96 = 311 mod 215
m=216: 236 mod 216 = 20 ≠ 95 = 311 mod 216
m=217: 236 mod 217 = 19 ≠ 94 = 311 mod 217
m=218: 236 mod 218 = 18 ≠ 93 = 311 mod 218
m=219: 236 mod 219 = 17 ≠ 92 = 311 mod 219
m=220: 236 mod 220 = 16 ≠ 91 = 311 mod 220
m=221: 236 mod 221 = 15 ≠ 90 = 311 mod 221
m=222: 236 mod 222 = 14 ≠ 89 = 311 mod 222
m=223: 236 mod 223 = 13 ≠ 88 = 311 mod 223
m=224: 236 mod 224 = 12 ≠ 87 = 311 mod 224
m=225: 236 mod 225 = 11 ≠ 86 = 311 mod 225
m=226: 236 mod 226 = 10 ≠ 85 = 311 mod 226
m=227: 236 mod 227 = 9 ≠ 84 = 311 mod 227
m=228: 236 mod 228 = 8 ≠ 83 = 311 mod 228
m=229: 236 mod 229 = 7 ≠ 82 = 311 mod 229
m=230: 236 mod 230 = 6 ≠ 81 = 311 mod 230
m=231: 236 mod 231 = 5 ≠ 80 = 311 mod 231
m=232: 236 mod 232 = 4 ≠ 79 = 311 mod 232
m=233: 236 mod 233 = 3 ≠ 78 = 311 mod 233
m=234: 236 mod 234 = 2 ≠ 77 = 311 mod 234
m=235: 236 mod 235 = 1 ≠ 76 = 311 mod 235
m=236: 236 mod 236 = 0 ≠ 75 = 311 mod 236
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (311 - 236) = 75 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15; 25; 75
