Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.

Somit gilt: 23 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 33 = 8.

Somit gilt: 41 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 44 und erhalten so 52.

Somit gilt: 52 ≡ 41 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(181 + 2697) mod 9 ≡ (181 mod 9 + 2697 mod 9) mod 9.

181 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 9 ⋅ 20 +1.

2697 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2697 = 2700-3 = 9 ⋅ 300 -3 = 9 ⋅ 300 - 9 + 6.

Somit gilt:

(181 + 2697) mod 9 ≡ (1 + 6) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 21) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 21 mod 7) mod 7.

58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.

21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 21) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 0 = 33 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 33 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 3 = 33 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 = 1 = 33 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 6 = 33 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 3 = 33 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 10 = 33 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 9 = 33 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 8 = 33 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 25) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8