Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 40 = 2.

Somit gilt: 42 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 64 = 5.

Somit gilt: 69 mod 8 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 48 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 69 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11998 - 38) mod 4 ≡ (11998 mod 4 - 38 mod 4) mod 4.

11998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 11000+998 = 4 ⋅ 2750 +998.

38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 40-2 = 4 ⋅ 10 -2 = 4 ⋅ 10 - 4 + 2.

Somit gilt:

(11998 - 38) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 55) mod 4 ≡ (62 mod 4 ⋅ 55 mod 4) mod 4.

62 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 15 ⋅ 4 + 2 ist.

55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 55) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 52 mod m gilt:

m=2: 37 mod 2 = 1 ≠ 0 = 52 mod 2

m=3: 37 mod 3 = 1 = 1 = 52 mod 3

m=4: 37 mod 4 = 1 ≠ 0 = 52 mod 4

m=5: 37 mod 5 = 2 = 2 = 52 mod 5

m=6: 37 mod 6 = 1 ≠ 4 = 52 mod 6

m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 3 = 52 mod 7

m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 4 = 52 mod 8

m=9: 37 mod 9 = 1 ≠ 7 = 52 mod 9

m=10: 37 mod 10 = 7 ≠ 2 = 52 mod 10

m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 8 = 52 mod 11

m=12: 37 mod 12 = 1 ≠ 4 = 52 mod 12

m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 0 = 52 mod 13

m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 10 = 52 mod 14

m=15: 37 mod 15 = 7 = 7 = 52 mod 15

m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 4 = 52 mod 16

m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 1 = 52 mod 17

m=18: 37 mod 18 = 1 ≠ 16 = 52 mod 18

m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 14 = 52 mod 19

m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 12 = 52 mod 20

m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 10 = 52 mod 21

m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 8 = 52 mod 22

m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 6 = 52 mod 23

m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 4 = 52 mod 24

m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 2 = 52 mod 25

m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 0 = 52 mod 26

m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 25 = 52 mod 27

m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 24 = 52 mod 28

m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 23 = 52 mod 29

m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 22 = 52 mod 30

m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 21 = 52 mod 31

m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 20 = 52 mod 32

m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 19 = 52 mod 33

m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 18 = 52 mod 34

m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 17 = 52 mod 35

m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 16 = 52 mod 36

m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 15 = 52 mod 37

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (52 - 37) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15