Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 45 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 45 - 42 = 3.
Somit gilt: 45 mod 6 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 91 für die gilt n ≡ 24 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 24 - 22 = 2.
Somit gilt: 24 mod 11 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 88 = 8 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 88 und erhalten so 90.
Somit gilt: 90 ≡ 24 ≡ 2 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (277 - 27004) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(277 - 27004) mod 9 ≡ (277 mod 9 - 27004 mod 9) mod 9.
277 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 277
= 270
27004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27004
= 27000
Somit gilt:
(277 - 27004) mod 9 ≡ (7 - 4) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 97) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 97) mod 3 ≡ (22 mod 3 ⋅ 97 mod 3) mod 3.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 97) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
