Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 30 = 0.

Somit gilt: 30 mod 10 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 37 - 36 = 1.

Somit gilt: 37 mod 9 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 54 und erhalten so 55.

Somit gilt: 55 ≡ 37 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(298 + 9001) mod 3 ≡ (298 mod 3 + 9001 mod 3) mod 3.

298 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 3 ⋅ 100 -2 = 3 ⋅ 100 - 3 + 1.

9001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001 = 9000+1 = 3 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(298 + 9001) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 91) mod 11 ≡ (76 mod 11 ⋅ 91 mod 11) mod 11.

76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.

91 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 8 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 91) mod 11 ≡ (10 ⋅ 3) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6