Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 62 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 62 - 56 = 6.
Somit gilt: 62 mod 8 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 24 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.
Somit gilt: 24 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 51 = 17 ⋅ 3
Somit gilt: 51 ≡ 24 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27999 + 357) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27999 + 357) mod 7 ≡ (27999 mod 7 + 357 mod 7) mod 7.
27999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27999
= 28000
357 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357
= 350
Somit gilt:
(27999 + 357) mod 7 ≡ (6 + 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 50) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 50) mod 5 ≡ (77 mod 5 ⋅ 50 mod 5) mod 5.
77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 50) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 33 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 33 mod m gilt:
m=2: 24 mod 2 = 0 ≠ 1 = 33 mod 2
m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 33 mod 3
m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 1 = 33 mod 4
m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 3 = 33 mod 5
m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 3 = 33 mod 6
m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 5 = 33 mod 7
m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 1 = 33 mod 8
m=9: 24 mod 9 = 6 = 6 = 33 mod 9
m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 3 = 33 mod 10
m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 0 = 33 mod 11
m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 9 = 33 mod 12
m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 7 = 33 mod 13
m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 5 = 33 mod 14
m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 3 = 33 mod 15
m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 1 = 33 mod 16
m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 16 = 33 mod 17
m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 15 = 33 mod 18
m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 14 = 33 mod 19
m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 13 = 33 mod 20
m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 12 = 33 mod 21
m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 11 = 33 mod 22
m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 10 = 33 mod 23
m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 9 = 33 mod 24
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 24) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
