Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 95 = 2.

Somit gilt: 97 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 18 = 3.

Somit gilt: 21 mod 9 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 3 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 3 mod 9 sein, also addieren wir noch 3 auf die 9 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 21 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(500 + 20000) mod 5 ≡ (500 mod 5 + 20000 mod 5) mod 5.

500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500 = 500+0 = 5 ⋅ 100 +0.

20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 5 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(500 + 20000) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 60) mod 11 ≡ (49 mod 11 ⋅ 60 mod 11) mod 11.

49 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 44 + 5 = 4 ⋅ 11 + 5 ist.

60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 60) mod 11 ≡ (5 ⋅ 5) mod 11 ≡ 25 mod 11 ≡ 3 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 44 aus, ob zufällig 44 mod m = 62 mod m gilt:

m=2: 44 mod 2 = 0 = 0 = 62 mod 2

m=3: 44 mod 3 = 2 = 2 = 62 mod 3

m=4: 44 mod 4 = 0 ≠ 2 = 62 mod 4

m=5: 44 mod 5 = 4 ≠ 2 = 62 mod 5

m=6: 44 mod 6 = 2 = 2 = 62 mod 6

m=7: 44 mod 7 = 2 ≠ 6 = 62 mod 7

m=8: 44 mod 8 = 4 ≠ 6 = 62 mod 8

m=9: 44 mod 9 = 8 = 8 = 62 mod 9

m=10: 44 mod 10 = 4 ≠ 2 = 62 mod 10

m=11: 44 mod 11 = 0 ≠ 7 = 62 mod 11

m=12: 44 mod 12 = 8 ≠ 2 = 62 mod 12

m=13: 44 mod 13 = 5 ≠ 10 = 62 mod 13

m=14: 44 mod 14 = 2 ≠ 6 = 62 mod 14

m=15: 44 mod 15 = 14 ≠ 2 = 62 mod 15

m=16: 44 mod 16 = 12 ≠ 14 = 62 mod 16

m=17: 44 mod 17 = 10 ≠ 11 = 62 mod 17

m=18: 44 mod 18 = 8 = 8 = 62 mod 18

m=19: 44 mod 19 = 6 ≠ 5 = 62 mod 19

m=20: 44 mod 20 = 4 ≠ 2 = 62 mod 20

m=21: 44 mod 21 = 2 ≠ 20 = 62 mod 21

m=22: 44 mod 22 = 0 ≠ 18 = 62 mod 22

m=23: 44 mod 23 = 21 ≠ 16 = 62 mod 23

m=24: 44 mod 24 = 20 ≠ 14 = 62 mod 24

m=25: 44 mod 25 = 19 ≠ 12 = 62 mod 25

m=26: 44 mod 26 = 18 ≠ 10 = 62 mod 26

m=27: 44 mod 27 = 17 ≠ 8 = 62 mod 27

m=28: 44 mod 28 = 16 ≠ 6 = 62 mod 28

m=29: 44 mod 29 = 15 ≠ 4 = 62 mod 29

m=30: 44 mod 30 = 14 ≠ 2 = 62 mod 30

m=31: 44 mod 31 = 13 ≠ 0 = 62 mod 31

m=32: 44 mod 32 = 12 ≠ 30 = 62 mod 32

m=33: 44 mod 33 = 11 ≠ 29 = 62 mod 33

m=34: 44 mod 34 = 10 ≠ 28 = 62 mod 34

m=35: 44 mod 35 = 9 ≠ 27 = 62 mod 35

m=36: 44 mod 36 = 8 ≠ 26 = 62 mod 36

m=37: 44 mod 37 = 7 ≠ 25 = 62 mod 37

m=38: 44 mod 38 = 6 ≠ 24 = 62 mod 38

m=39: 44 mod 39 = 5 ≠ 23 = 62 mod 39

m=40: 44 mod 40 = 4 ≠ 22 = 62 mod 40

m=41: 44 mod 41 = 3 ≠ 21 = 62 mod 41

m=42: 44 mod 42 = 2 ≠ 20 = 62 mod 42

m=43: 44 mod 43 = 1 ≠ 19 = 62 mod 43

m=44: 44 mod 44 = 0 ≠ 18 = 62 mod 44

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (62 - 44) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18