Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 70 = 9.

Somit gilt: 79 mod 10 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.

Somit gilt: 97 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 9 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 54 und erhalten so 55.

Somit gilt: 55 ≡ 97 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15004 - 999) mod 5 ≡ (15004 mod 5 - 999 mod 5) mod 5.

15004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15004 = 15000+4 = 5 ⋅ 3000 +4.

999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 999 = 900+99 = 5 ⋅ 180 +99.

Somit gilt:

(15004 - 999) mod 5 ≡ (4 - 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 97) mod 10 ≡ (82 mod 10 ⋅ 97 mod 10) mod 10.

82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.

97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 97) mod 10 ≡ (2 ⋅ 7) mod 10 ≡ 14 mod 10 ≡ 4 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 ≠ 1 = 31 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 31 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 3 = 31 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 1 = 31 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 7 = 31 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 = 4 = 31 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 1 = 31 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 10 = 31 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 9 = 31 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 22) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9