Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 100 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 99, weil ja 9 ⋅ 11 = 99 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 100 - 99 = 1.
Somit gilt: 100 mod 11 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 90 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.
Somit gilt: 90 mod 9 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9
Somit gilt: 81 ≡ 90 ≡ 0 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (155 + 148) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(155 + 148) mod 5 ≡ (155 mod 5 + 148 mod 5) mod 5.
155 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 155
= 150
148 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148
= 140
Somit gilt:
(155 + 148) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 28) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 28) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 28 mod 6) mod 6.
54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.
28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 28) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
