Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 69, weil ja 23 ⋅ 3 = 69 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 69 = 1.

Somit gilt: 70 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 42 = 1.

Somit gilt: 43 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 9 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 63 und erhalten so 64.

Somit gilt: 64 ≡ 43 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 + 1997) mod 4 ≡ (84 mod 4 + 1997 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80+4 = 4 ⋅ 20 +4.

1997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 4 ⋅ 475 +97.

Somit gilt:

(84 + 1997) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 65) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 65 mod 5) mod 5.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 65) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 39 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 ≠ 0 = 39 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 ≠ 3 = 39 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 = 4 = 39 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 3 = 39 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 7 = 39 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 3 = 39 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 = 9 = 39 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 3 = 39 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 12 = 39 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 11 = 39 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 10 = 39 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 29) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10