Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 54 = 4.

Somit gilt: 58 mod 9 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 14, weil ja 2 ⋅ 7 = 14 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 14 = 6.

Somit gilt: 20 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 84 = 12 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 84 und erhalten so 90.

Somit gilt: 90 ≡ 20 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(123 - 2999) mod 3 ≡ (123 mod 3 - 2999 mod 3) mod 3.

123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 3 ⋅ 40 +3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(123 - 2999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 86) mod 6 ≡ (30 mod 6 ⋅ 86 mod 6) mod 6.

30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.

86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 86) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 41 mod m gilt:

m=2: 32 mod 2 = 0 ≠ 1 = 41 mod 2

m=3: 32 mod 3 = 2 = 2 = 41 mod 3

m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 1 = 41 mod 4

m=5: 32 mod 5 = 2 ≠ 1 = 41 mod 5

m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 5 = 41 mod 6

m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 6 = 41 mod 7

m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 1 = 41 mod 8

m=9: 32 mod 9 = 5 = 5 = 41 mod 9

m=10: 32 mod 10 = 2 ≠ 1 = 41 mod 10

m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 8 = 41 mod 11

m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 5 = 41 mod 12

m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 2 = 41 mod 13

m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 13 = 41 mod 14

m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 11 = 41 mod 15

m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 9 = 41 mod 16

m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 7 = 41 mod 17

m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 5 = 41 mod 18

m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 3 = 41 mod 19

m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 1 = 41 mod 20

m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 20 = 41 mod 21

m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 19 = 41 mod 22

m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 18 = 41 mod 23

m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 17 = 41 mod 24

m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 16 = 41 mod 25

m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 15 = 41 mod 26

m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 14 = 41 mod 27

m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 13 = 41 mod 28

m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 12 = 41 mod 29

m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 11 = 41 mod 30

m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 10 = 41 mod 31

m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 9 = 41 mod 32

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 32) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9