Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 55 = 2.

Somit gilt: 57 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.

Somit gilt: 62 mod 6 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 12 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 72 und erhalten so 74.

Somit gilt: 74 ≡ 62 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1500 - 25004) mod 5 ≡ (1500 mod 5 - 25004 mod 5) mod 5.

1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 5 ⋅ 300 +0.

25004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25004 = 25000+4 = 5 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(1500 - 25004) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 71) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 71 mod 11) mod 11.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 71) mod 11 ≡ (4 ⋅ 5) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 43 aus, ob zufällig 43 mod m = 63 mod m gilt:

m=2: 43 mod 2 = 1 = 1 = 63 mod 2

m=3: 43 mod 3 = 1 ≠ 0 = 63 mod 3

m=4: 43 mod 4 = 3 = 3 = 63 mod 4

m=5: 43 mod 5 = 3 = 3 = 63 mod 5

m=6: 43 mod 6 = 1 ≠ 3 = 63 mod 6

m=7: 43 mod 7 = 1 ≠ 0 = 63 mod 7

m=8: 43 mod 8 = 3 ≠ 7 = 63 mod 8

m=9: 43 mod 9 = 7 ≠ 0 = 63 mod 9

m=10: 43 mod 10 = 3 = 3 = 63 mod 10

m=11: 43 mod 11 = 10 ≠ 8 = 63 mod 11

m=12: 43 mod 12 = 7 ≠ 3 = 63 mod 12

m=13: 43 mod 13 = 4 ≠ 11 = 63 mod 13

m=14: 43 mod 14 = 1 ≠ 7 = 63 mod 14

m=15: 43 mod 15 = 13 ≠ 3 = 63 mod 15

m=16: 43 mod 16 = 11 ≠ 15 = 63 mod 16

m=17: 43 mod 17 = 9 ≠ 12 = 63 mod 17

m=18: 43 mod 18 = 7 ≠ 9 = 63 mod 18

m=19: 43 mod 19 = 5 ≠ 6 = 63 mod 19

m=20: 43 mod 20 = 3 = 3 = 63 mod 20

m=21: 43 mod 21 = 1 ≠ 0 = 63 mod 21

m=22: 43 mod 22 = 21 ≠ 19 = 63 mod 22

m=23: 43 mod 23 = 20 ≠ 17 = 63 mod 23

m=24: 43 mod 24 = 19 ≠ 15 = 63 mod 24

m=25: 43 mod 25 = 18 ≠ 13 = 63 mod 25

m=26: 43 mod 26 = 17 ≠ 11 = 63 mod 26

m=27: 43 mod 27 = 16 ≠ 9 = 63 mod 27

m=28: 43 mod 28 = 15 ≠ 7 = 63 mod 28

m=29: 43 mod 29 = 14 ≠ 5 = 63 mod 29

m=30: 43 mod 30 = 13 ≠ 3 = 63 mod 30

m=31: 43 mod 31 = 12 ≠ 1 = 63 mod 31

m=32: 43 mod 32 = 11 ≠ 31 = 63 mod 32

m=33: 43 mod 33 = 10 ≠ 30 = 63 mod 33

m=34: 43 mod 34 = 9 ≠ 29 = 63 mod 34

m=35: 43 mod 35 = 8 ≠ 28 = 63 mod 35

m=36: 43 mod 36 = 7 ≠ 27 = 63 mod 36

m=37: 43 mod 37 = 6 ≠ 26 = 63 mod 37

m=38: 43 mod 38 = 5 ≠ 25 = 63 mod 38

m=39: 43 mod 39 = 4 ≠ 24 = 63 mod 39

m=40: 43 mod 40 = 3 ≠ 23 = 63 mod 40

m=41: 43 mod 41 = 2 ≠ 22 = 63 mod 41

m=42: 43 mod 42 = 1 ≠ 21 = 63 mod 42

m=43: 43 mod 43 = 0 ≠ 20 = 63 mod 43

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (63 - 43) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20