Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 8 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 84, weil ja 21 ⋅ 4 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 84 = 3.

Somit gilt: 87 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 12 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 48 und erhalten so 51.

Somit gilt: 51 ≡ 87 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(266 + 456) mod 9 ≡ (266 mod 9 + 456 mod 9) mod 9.

266 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 266 = 270-4 = 9 ⋅ 30 -4 = 9 ⋅ 30 - 9 + 5.

456 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 456 = 450+6 = 9 ⋅ 50 +6.

Somit gilt:

(266 + 456) mod 9 ≡ (5 + 6) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 71) mod 10 ≡ (56 mod 10 ⋅ 71 mod 10) mod 10.

56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.

71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 71) mod 10 ≡ (6 ⋅ 1) mod 10 ≡ 6 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 42 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 ≠ 0 = 42 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 42 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 2 = 42 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 ≠ 2 = 42 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 0 = 42 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 0 = 42 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 2 = 42 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 = 6 = 42 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 2 = 42 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 9 = 42 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 6 = 42 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 3 = 42 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 0 = 42 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 12 = 42 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 10 = 42 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 8 = 42 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 6 = 42 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 4 = 42 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 2 = 42 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 0 = 42 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 20 = 42 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 19 = 42 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 18 = 42 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 17 = 42 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 16 = 42 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 15 = 42 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 14 = 42 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 13 = 42 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 12 = 42 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 11 = 42 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 10 = 42 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 9 = 42 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 33) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9