Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.

Somit gilt: 90 mod 5 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 36, weil ja 9 ⋅ 4 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 36 = 0.

Somit gilt: 36 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4

Somit gilt: 52 ≡ 36 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(320 - 1605) mod 8 ≡ (320 mod 8 - 1605 mod 8) mod 8.

320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320 = 320+0 = 8 ⋅ 40 +0.

1605 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1605 = 1600+5 = 8 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(320 - 1605) mod 8 ≡ (0 - 5) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 19) mod 3 ≡ (68 mod 3 ⋅ 19 mod 3) mod 3.

68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.

19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 19) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4