Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 66 = 2.

Somit gilt: 68 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 69, weil ja 23 ⋅ 3 = 69 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 69 = 2.

Somit gilt: 71 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 71 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2699 - 90) mod 9 ≡ (2699 mod 9 - 90 mod 9) mod 9.

2699 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2699 = 2700-1 = 9 ⋅ 300 -1 = 9 ⋅ 300 - 9 + 8.

90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 9 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(2699 - 90) mod 9 ≡ (8 - 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 97) mod 5 ≡ (75 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.

75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 97) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 43 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 43 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 43 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 = 3 = 43 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 3 = 43 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 = 1 = 43 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 1 = 43 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 3 = 43 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 7 = 43 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 3 = 43 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 10 = 43 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 = 7 = 43 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 4 = 43 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 1 = 43 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 13 = 43 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 11 = 43 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 9 = 43 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 7 = 43 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 5 = 43 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 3 = 43 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 1 = 43 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 21 = 43 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 20 = 43 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 19 = 43 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 18 = 43 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 17 = 43 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 16 = 43 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 15 = 43 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 14 = 43 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 13 = 43 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 12 = 43 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 31) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12