Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 44, weil ja 11 ⋅ 4 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 44 = 2.

Somit gilt: 46 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 88 = 8.

Somit gilt: 96 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 55 = 5 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 55 und erhalten so 63.

Somit gilt: 63 ≡ 96 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(693 - 210) mod 7 ≡ (693 mod 7 - 210 mod 7) mod 7.

693 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 693 = 700-7 = 7 ⋅ 100 -7 = 7 ⋅ 100 - 7 + 0.

210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210 = 210+0 = 7 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(693 - 210) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 74) mod 6 ≡ (15 mod 6 ⋅ 74 mod 6) mod 6.

15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.

74 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 12 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 74) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 45 mod m gilt:

m=2: 35 mod 2 = 1 = 1 = 45 mod 2

m=3: 35 mod 3 = 2 ≠ 0 = 45 mod 3

m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 1 = 45 mod 4

m=5: 35 mod 5 = 0 = 0 = 45 mod 5

m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 3 = 45 mod 6

m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 3 = 45 mod 7

m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 5 = 45 mod 8

m=9: 35 mod 9 = 8 ≠ 0 = 45 mod 9

m=10: 35 mod 10 = 5 = 5 = 45 mod 10

m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 1 = 45 mod 11

m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 9 = 45 mod 12

m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 6 = 45 mod 13

m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 3 = 45 mod 14

m=15: 35 mod 15 = 5 ≠ 0 = 45 mod 15

m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 13 = 45 mod 16

m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 11 = 45 mod 17

m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 9 = 45 mod 18

m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 7 = 45 mod 19

m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 5 = 45 mod 20

m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 3 = 45 mod 21

m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 1 = 45 mod 22

m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 22 = 45 mod 23

m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 21 = 45 mod 24

m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 20 = 45 mod 25

m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 19 = 45 mod 26

m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 18 = 45 mod 27

m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 17 = 45 mod 28

m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 16 = 45 mod 29

m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 15 = 45 mod 30

m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 14 = 45 mod 31

m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 13 = 45 mod 32

m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 12 = 45 mod 33

m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 11 = 45 mod 34

m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 10 = 45 mod 35

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 35) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10