Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 8 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 72 = 2.

Somit gilt: 74 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 64 und erhalten so 66.

Somit gilt: 66 ≡ 74 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(446 - 358) mod 9 ≡ (446 mod 9 - 358 mod 9) mod 9.

446 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 446 = 450-4 = 9 ⋅ 50 -4 = 9 ⋅ 50 - 9 + 5.

358 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 358 = 360-2 = 9 ⋅ 40 -2 = 9 ⋅ 40 - 9 + 7.

Somit gilt:

(446 - 358) mod 9 ≡ (5 - 7) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 83) mod 9 ≡ (17 mod 9 ⋅ 83 mod 9) mod 9.

17 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 9 + 8 = 1 ⋅ 9 + 8 ist.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 83) mod 9 ≡ (8 ⋅ 2) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:

m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2

m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3

m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4

m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5

m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6

m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7

m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4