Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 72 = 5.

Somit gilt: 77 mod 9 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6

Somit gilt: 60 ≡ 24 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(802 + 161) mod 4 ≡ (802 mod 4 + 161 mod 4) mod 4.

802 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802 = 800+2 = 4 ⋅ 200 +2.

161 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161 = 160+1 = 4 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(802 + 161) mod 4 ≡ (2 + 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 61) mod 11 ≡ (80 mod 11 ⋅ 61 mod 11) mod 11.

80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.

61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 61) mod 11 ≡ (3 ⋅ 6) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4