Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 43 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 43 - 42 = 1.
Somit gilt: 43 mod 6 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 30 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 30 - 24 = 6.
Somit gilt: 30 mod 8 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 48 und erhalten so 54.
Somit gilt: 54 ≡ 30 ≡ 6 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1396 - 204) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1396 - 204) mod 7 ≡ (1396 mod 7 - 204 mod 7) mod 7.
1396 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1396
= 1400
204 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 210
Somit gilt:
(1396 - 204) mod 7 ≡ (3 - 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 22) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 22) mod 9 ≡ (51 mod 9 ⋅ 22 mod 9) mod 9.
51 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 45 + 6 = 5 ⋅ 9 + 6 ist.
22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 22) mod 9 ≡ (6 ⋅ 4) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
