Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 18 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 18 - 18 = 0.
Somit gilt: 18 mod 6 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 24 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 24 - 21 = 3.
Somit gilt: 24 mod 7 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 7 = 1 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 7 und erhalten so 10.
Somit gilt: 10 ≡ 24 ≡ 3 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (205 - 15001) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(205 - 15001) mod 5 ≡ (205 mod 5 - 15001 mod 5) mod 5.
205 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205
= 200
15001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001
= 15000
Somit gilt:
(205 - 15001) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 50) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 50) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.
30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.
50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 50) mod 9 ≡ (3 ⋅ 5) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
88 mod m = 113 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 88 aus, ob zufällig 88 mod m = 113 mod m gilt:
m=2: 88 mod 2 = 0 ≠ 1 = 113 mod 2
m=3: 88 mod 3 = 1 ≠ 2 = 113 mod 3
m=4: 88 mod 4 = 0 ≠ 1 = 113 mod 4
m=5: 88 mod 5 = 3 = 3 = 113 mod 5
m=6: 88 mod 6 = 4 ≠ 5 = 113 mod 6
m=7: 88 mod 7 = 4 ≠ 1 = 113 mod 7
m=8: 88 mod 8 = 0 ≠ 1 = 113 mod 8
m=9: 88 mod 9 = 7 ≠ 5 = 113 mod 9
m=10: 88 mod 10 = 8 ≠ 3 = 113 mod 10
m=11: 88 mod 11 = 0 ≠ 3 = 113 mod 11
m=12: 88 mod 12 = 4 ≠ 5 = 113 mod 12
m=13: 88 mod 13 = 10 ≠ 9 = 113 mod 13
m=14: 88 mod 14 = 4 ≠ 1 = 113 mod 14
m=15: 88 mod 15 = 13 ≠ 8 = 113 mod 15
m=16: 88 mod 16 = 8 ≠ 1 = 113 mod 16
m=17: 88 mod 17 = 3 ≠ 11 = 113 mod 17
m=18: 88 mod 18 = 16 ≠ 5 = 113 mod 18
m=19: 88 mod 19 = 12 ≠ 18 = 113 mod 19
m=20: 88 mod 20 = 8 ≠ 13 = 113 mod 20
m=21: 88 mod 21 = 4 ≠ 8 = 113 mod 21
m=22: 88 mod 22 = 0 ≠ 3 = 113 mod 22
m=23: 88 mod 23 = 19 ≠ 21 = 113 mod 23
m=24: 88 mod 24 = 16 ≠ 17 = 113 mod 24
m=25: 88 mod 25 = 13 = 13 = 113 mod 25
m=26: 88 mod 26 = 10 ≠ 9 = 113 mod 26
m=27: 88 mod 27 = 7 ≠ 5 = 113 mod 27
m=28: 88 mod 28 = 4 ≠ 1 = 113 mod 28
m=29: 88 mod 29 = 1 ≠ 26 = 113 mod 29
m=30: 88 mod 30 = 28 ≠ 23 = 113 mod 30
m=31: 88 mod 31 = 26 ≠ 20 = 113 mod 31
m=32: 88 mod 32 = 24 ≠ 17 = 113 mod 32
m=33: 88 mod 33 = 22 ≠ 14 = 113 mod 33
m=34: 88 mod 34 = 20 ≠ 11 = 113 mod 34
m=35: 88 mod 35 = 18 ≠ 8 = 113 mod 35
m=36: 88 mod 36 = 16 ≠ 5 = 113 mod 36
m=37: 88 mod 37 = 14 ≠ 2 = 113 mod 37
m=38: 88 mod 38 = 12 ≠ 37 = 113 mod 38
m=39: 88 mod 39 = 10 ≠ 35 = 113 mod 39
m=40: 88 mod 40 = 8 ≠ 33 = 113 mod 40
m=41: 88 mod 41 = 6 ≠ 31 = 113 mod 41
m=42: 88 mod 42 = 4 ≠ 29 = 113 mod 42
m=43: 88 mod 43 = 2 ≠ 27 = 113 mod 43
m=44: 88 mod 44 = 0 ≠ 25 = 113 mod 44
m=45: 88 mod 45 = 43 ≠ 23 = 113 mod 45
m=46: 88 mod 46 = 42 ≠ 21 = 113 mod 46
m=47: 88 mod 47 = 41 ≠ 19 = 113 mod 47
m=48: 88 mod 48 = 40 ≠ 17 = 113 mod 48
m=49: 88 mod 49 = 39 ≠ 15 = 113 mod 49
m=50: 88 mod 50 = 38 ≠ 13 = 113 mod 50
m=51: 88 mod 51 = 37 ≠ 11 = 113 mod 51
m=52: 88 mod 52 = 36 ≠ 9 = 113 mod 52
m=53: 88 mod 53 = 35 ≠ 7 = 113 mod 53
m=54: 88 mod 54 = 34 ≠ 5 = 113 mod 54
m=55: 88 mod 55 = 33 ≠ 3 = 113 mod 55
m=56: 88 mod 56 = 32 ≠ 1 = 113 mod 56
m=57: 88 mod 57 = 31 ≠ 56 = 113 mod 57
m=58: 88 mod 58 = 30 ≠ 55 = 113 mod 58
m=59: 88 mod 59 = 29 ≠ 54 = 113 mod 59
m=60: 88 mod 60 = 28 ≠ 53 = 113 mod 60
m=61: 88 mod 61 = 27 ≠ 52 = 113 mod 61
m=62: 88 mod 62 = 26 ≠ 51 = 113 mod 62
m=63: 88 mod 63 = 25 ≠ 50 = 113 mod 63
m=64: 88 mod 64 = 24 ≠ 49 = 113 mod 64
m=65: 88 mod 65 = 23 ≠ 48 = 113 mod 65
m=66: 88 mod 66 = 22 ≠ 47 = 113 mod 66
m=67: 88 mod 67 = 21 ≠ 46 = 113 mod 67
m=68: 88 mod 68 = 20 ≠ 45 = 113 mod 68
m=69: 88 mod 69 = 19 ≠ 44 = 113 mod 69
m=70: 88 mod 70 = 18 ≠ 43 = 113 mod 70
m=71: 88 mod 71 = 17 ≠ 42 = 113 mod 71
m=72: 88 mod 72 = 16 ≠ 41 = 113 mod 72
m=73: 88 mod 73 = 15 ≠ 40 = 113 mod 73
m=74: 88 mod 74 = 14 ≠ 39 = 113 mod 74
m=75: 88 mod 75 = 13 ≠ 38 = 113 mod 75
m=76: 88 mod 76 = 12 ≠ 37 = 113 mod 76
m=77: 88 mod 77 = 11 ≠ 36 = 113 mod 77
m=78: 88 mod 78 = 10 ≠ 35 = 113 mod 78
m=79: 88 mod 79 = 9 ≠ 34 = 113 mod 79
m=80: 88 mod 80 = 8 ≠ 33 = 113 mod 80
m=81: 88 mod 81 = 7 ≠ 32 = 113 mod 81
m=82: 88 mod 82 = 6 ≠ 31 = 113 mod 82
m=83: 88 mod 83 = 5 ≠ 30 = 113 mod 83
m=84: 88 mod 84 = 4 ≠ 29 = 113 mod 84
m=85: 88 mod 85 = 3 ≠ 28 = 113 mod 85
m=86: 88 mod 86 = 2 ≠ 27 = 113 mod 86
m=87: 88 mod 87 = 1 ≠ 26 = 113 mod 87
m=88: 88 mod 88 = 0 ≠ 25 = 113 mod 88
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (113 - 88) = 25 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
5; 25
