Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 15 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 10, weil ja 1 ⋅ 10 = 10 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 15 - 10 = 5.
Somit gilt: 15 mod 10 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 22 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 18 = 4.
Somit gilt: 22 mod 6 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 11 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 66 und erhalten so 70.
Somit gilt: 70 ≡ 22 ≡ 4 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (203 - 1498) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(203 - 1498) mod 5 ≡ (203 mod 5 - 1498 mod 5) mod 5.
203 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203
= 200
1498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1400
Somit gilt:
(203 - 1498) mod 5 ≡ (3 - 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 75) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 75) mod 6 ≡ (86 mod 6 ⋅ 75 mod 6) mod 6.
86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.
75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 75) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
141 mod m = 186 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 141 aus, ob zufällig 141 mod m = 186 mod m gilt:
m=2: 141 mod 2 = 1 ≠ 0 = 186 mod 2
m=3: 141 mod 3 = 0 = 0 = 186 mod 3
m=4: 141 mod 4 = 1 ≠ 2 = 186 mod 4
m=5: 141 mod 5 = 1 = 1 = 186 mod 5
m=6: 141 mod 6 = 3 ≠ 0 = 186 mod 6
m=7: 141 mod 7 = 1 ≠ 4 = 186 mod 7
m=8: 141 mod 8 = 5 ≠ 2 = 186 mod 8
m=9: 141 mod 9 = 6 = 6 = 186 mod 9
m=10: 141 mod 10 = 1 ≠ 6 = 186 mod 10
m=11: 141 mod 11 = 9 ≠ 10 = 186 mod 11
m=12: 141 mod 12 = 9 ≠ 6 = 186 mod 12
m=13: 141 mod 13 = 11 ≠ 4 = 186 mod 13
m=14: 141 mod 14 = 1 ≠ 4 = 186 mod 14
m=15: 141 mod 15 = 6 = 6 = 186 mod 15
m=16: 141 mod 16 = 13 ≠ 10 = 186 mod 16
m=17: 141 mod 17 = 5 ≠ 16 = 186 mod 17
m=18: 141 mod 18 = 15 ≠ 6 = 186 mod 18
m=19: 141 mod 19 = 8 ≠ 15 = 186 mod 19
m=20: 141 mod 20 = 1 ≠ 6 = 186 mod 20
m=21: 141 mod 21 = 15 ≠ 18 = 186 mod 21
m=22: 141 mod 22 = 9 ≠ 10 = 186 mod 22
m=23: 141 mod 23 = 3 ≠ 2 = 186 mod 23
m=24: 141 mod 24 = 21 ≠ 18 = 186 mod 24
m=25: 141 mod 25 = 16 ≠ 11 = 186 mod 25
m=26: 141 mod 26 = 11 ≠ 4 = 186 mod 26
m=27: 141 mod 27 = 6 ≠ 24 = 186 mod 27
m=28: 141 mod 28 = 1 ≠ 18 = 186 mod 28
m=29: 141 mod 29 = 25 ≠ 12 = 186 mod 29
m=30: 141 mod 30 = 21 ≠ 6 = 186 mod 30
m=31: 141 mod 31 = 17 ≠ 0 = 186 mod 31
m=32: 141 mod 32 = 13 ≠ 26 = 186 mod 32
m=33: 141 mod 33 = 9 ≠ 21 = 186 mod 33
m=34: 141 mod 34 = 5 ≠ 16 = 186 mod 34
m=35: 141 mod 35 = 1 ≠ 11 = 186 mod 35
m=36: 141 mod 36 = 33 ≠ 6 = 186 mod 36
m=37: 141 mod 37 = 30 ≠ 1 = 186 mod 37
m=38: 141 mod 38 = 27 ≠ 34 = 186 mod 38
m=39: 141 mod 39 = 24 ≠ 30 = 186 mod 39
m=40: 141 mod 40 = 21 ≠ 26 = 186 mod 40
m=41: 141 mod 41 = 18 ≠ 22 = 186 mod 41
m=42: 141 mod 42 = 15 ≠ 18 = 186 mod 42
m=43: 141 mod 43 = 12 ≠ 14 = 186 mod 43
m=44: 141 mod 44 = 9 ≠ 10 = 186 mod 44
m=45: 141 mod 45 = 6 = 6 = 186 mod 45
m=46: 141 mod 46 = 3 ≠ 2 = 186 mod 46
m=47: 141 mod 47 = 0 ≠ 45 = 186 mod 47
m=48: 141 mod 48 = 45 ≠ 42 = 186 mod 48
m=49: 141 mod 49 = 43 ≠ 39 = 186 mod 49
m=50: 141 mod 50 = 41 ≠ 36 = 186 mod 50
m=51: 141 mod 51 = 39 ≠ 33 = 186 mod 51
m=52: 141 mod 52 = 37 ≠ 30 = 186 mod 52
m=53: 141 mod 53 = 35 ≠ 27 = 186 mod 53
m=54: 141 mod 54 = 33 ≠ 24 = 186 mod 54
m=55: 141 mod 55 = 31 ≠ 21 = 186 mod 55
m=56: 141 mod 56 = 29 ≠ 18 = 186 mod 56
m=57: 141 mod 57 = 27 ≠ 15 = 186 mod 57
m=58: 141 mod 58 = 25 ≠ 12 = 186 mod 58
m=59: 141 mod 59 = 23 ≠ 9 = 186 mod 59
m=60: 141 mod 60 = 21 ≠ 6 = 186 mod 60
m=61: 141 mod 61 = 19 ≠ 3 = 186 mod 61
m=62: 141 mod 62 = 17 ≠ 0 = 186 mod 62
m=63: 141 mod 63 = 15 ≠ 60 = 186 mod 63
m=64: 141 mod 64 = 13 ≠ 58 = 186 mod 64
m=65: 141 mod 65 = 11 ≠ 56 = 186 mod 65
m=66: 141 mod 66 = 9 ≠ 54 = 186 mod 66
m=67: 141 mod 67 = 7 ≠ 52 = 186 mod 67
m=68: 141 mod 68 = 5 ≠ 50 = 186 mod 68
m=69: 141 mod 69 = 3 ≠ 48 = 186 mod 69
m=70: 141 mod 70 = 1 ≠ 46 = 186 mod 70
m=71: 141 mod 71 = 70 ≠ 44 = 186 mod 71
m=72: 141 mod 72 = 69 ≠ 42 = 186 mod 72
m=73: 141 mod 73 = 68 ≠ 40 = 186 mod 73
m=74: 141 mod 74 = 67 ≠ 38 = 186 mod 74
m=75: 141 mod 75 = 66 ≠ 36 = 186 mod 75
m=76: 141 mod 76 = 65 ≠ 34 = 186 mod 76
m=77: 141 mod 77 = 64 ≠ 32 = 186 mod 77
m=78: 141 mod 78 = 63 ≠ 30 = 186 mod 78
m=79: 141 mod 79 = 62 ≠ 28 = 186 mod 79
m=80: 141 mod 80 = 61 ≠ 26 = 186 mod 80
m=81: 141 mod 81 = 60 ≠ 24 = 186 mod 81
m=82: 141 mod 82 = 59 ≠ 22 = 186 mod 82
m=83: 141 mod 83 = 58 ≠ 20 = 186 mod 83
m=84: 141 mod 84 = 57 ≠ 18 = 186 mod 84
m=85: 141 mod 85 = 56 ≠ 16 = 186 mod 85
m=86: 141 mod 86 = 55 ≠ 14 = 186 mod 86
m=87: 141 mod 87 = 54 ≠ 12 = 186 mod 87
m=88: 141 mod 88 = 53 ≠ 10 = 186 mod 88
m=89: 141 mod 89 = 52 ≠ 8 = 186 mod 89
m=90: 141 mod 90 = 51 ≠ 6 = 186 mod 90
m=91: 141 mod 91 = 50 ≠ 4 = 186 mod 91
m=92: 141 mod 92 = 49 ≠ 2 = 186 mod 92
m=93: 141 mod 93 = 48 ≠ 0 = 186 mod 93
m=94: 141 mod 94 = 47 ≠ 92 = 186 mod 94
m=95: 141 mod 95 = 46 ≠ 91 = 186 mod 95
m=96: 141 mod 96 = 45 ≠ 90 = 186 mod 96
m=97: 141 mod 97 = 44 ≠ 89 = 186 mod 97
m=98: 141 mod 98 = 43 ≠ 88 = 186 mod 98
m=99: 141 mod 99 = 42 ≠ 87 = 186 mod 99
m=100: 141 mod 100 = 41 ≠ 86 = 186 mod 100
m=101: 141 mod 101 = 40 ≠ 85 = 186 mod 101
m=102: 141 mod 102 = 39 ≠ 84 = 186 mod 102
m=103: 141 mod 103 = 38 ≠ 83 = 186 mod 103
m=104: 141 mod 104 = 37 ≠ 82 = 186 mod 104
m=105: 141 mod 105 = 36 ≠ 81 = 186 mod 105
m=106: 141 mod 106 = 35 ≠ 80 = 186 mod 106
m=107: 141 mod 107 = 34 ≠ 79 = 186 mod 107
m=108: 141 mod 108 = 33 ≠ 78 = 186 mod 108
m=109: 141 mod 109 = 32 ≠ 77 = 186 mod 109
m=110: 141 mod 110 = 31 ≠ 76 = 186 mod 110
m=111: 141 mod 111 = 30 ≠ 75 = 186 mod 111
m=112: 141 mod 112 = 29 ≠ 74 = 186 mod 112
m=113: 141 mod 113 = 28 ≠ 73 = 186 mod 113
m=114: 141 mod 114 = 27 ≠ 72 = 186 mod 114
m=115: 141 mod 115 = 26 ≠ 71 = 186 mod 115
m=116: 141 mod 116 = 25 ≠ 70 = 186 mod 116
m=117: 141 mod 117 = 24 ≠ 69 = 186 mod 117
m=118: 141 mod 118 = 23 ≠ 68 = 186 mod 118
m=119: 141 mod 119 = 22 ≠ 67 = 186 mod 119
m=120: 141 mod 120 = 21 ≠ 66 = 186 mod 120
m=121: 141 mod 121 = 20 ≠ 65 = 186 mod 121
m=122: 141 mod 122 = 19 ≠ 64 = 186 mod 122
m=123: 141 mod 123 = 18 ≠ 63 = 186 mod 123
m=124: 141 mod 124 = 17 ≠ 62 = 186 mod 124
m=125: 141 mod 125 = 16 ≠ 61 = 186 mod 125
m=126: 141 mod 126 = 15 ≠ 60 = 186 mod 126
m=127: 141 mod 127 = 14 ≠ 59 = 186 mod 127
m=128: 141 mod 128 = 13 ≠ 58 = 186 mod 128
m=129: 141 mod 129 = 12 ≠ 57 = 186 mod 129
m=130: 141 mod 130 = 11 ≠ 56 = 186 mod 130
m=131: 141 mod 131 = 10 ≠ 55 = 186 mod 131
m=132: 141 mod 132 = 9 ≠ 54 = 186 mod 132
m=133: 141 mod 133 = 8 ≠ 53 = 186 mod 133
m=134: 141 mod 134 = 7 ≠ 52 = 186 mod 134
m=135: 141 mod 135 = 6 ≠ 51 = 186 mod 135
m=136: 141 mod 136 = 5 ≠ 50 = 186 mod 136
m=137: 141 mod 137 = 4 ≠ 49 = 186 mod 137
m=138: 141 mod 138 = 3 ≠ 48 = 186 mod 138
m=139: 141 mod 139 = 2 ≠ 47 = 186 mod 139
m=140: 141 mod 140 = 1 ≠ 46 = 186 mod 140
m=141: 141 mod 141 = 0 ≠ 45 = 186 mod 141
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (186 - 141) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
