Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 36, weil ja 9 ⋅ 4 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 36 = 3.

Somit gilt: 39 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 16 = 4.

Somit gilt: 20 mod 8 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 56 = 7 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 56 und erhalten so 60.

Somit gilt: 60 ≡ 20 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17999 - 44993) mod 9 ≡ (17999 mod 9 - 44993 mod 9) mod 9.

17999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17999 = 18000-1 = 9 ⋅ 2000 -1 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 8.

44993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44993 = 45000-7 = 9 ⋅ 5000 -7 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 2.

Somit gilt:

(17999 - 44993) mod 9 ≡ (8 - 2) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 29) mod 5 ≡ (27 mod 5 ⋅ 29 mod 5) mod 5.

27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.

29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 29) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 86 aus, ob zufällig 86 mod m = 113 mod m gilt:

m=2: 86 mod 2 = 0 ≠ 1 = 113 mod 2

m=3: 86 mod 3 = 2 = 2 = 113 mod 3

m=4: 86 mod 4 = 2 ≠ 1 = 113 mod 4

m=5: 86 mod 5 = 1 ≠ 3 = 113 mod 5

m=6: 86 mod 6 = 2 ≠ 5 = 113 mod 6

m=7: 86 mod 7 = 2 ≠ 1 = 113 mod 7

m=8: 86 mod 8 = 6 ≠ 1 = 113 mod 8

m=9: 86 mod 9 = 5 = 5 = 113 mod 9

m=10: 86 mod 10 = 6 ≠ 3 = 113 mod 10

m=11: 86 mod 11 = 9 ≠ 3 = 113 mod 11

m=12: 86 mod 12 = 2 ≠ 5 = 113 mod 12

m=13: 86 mod 13 = 8 ≠ 9 = 113 mod 13

m=14: 86 mod 14 = 2 ≠ 1 = 113 mod 14

m=15: 86 mod 15 = 11 ≠ 8 = 113 mod 15

m=16: 86 mod 16 = 6 ≠ 1 = 113 mod 16

m=17: 86 mod 17 = 1 ≠ 11 = 113 mod 17

m=18: 86 mod 18 = 14 ≠ 5 = 113 mod 18

m=19: 86 mod 19 = 10 ≠ 18 = 113 mod 19

m=20: 86 mod 20 = 6 ≠ 13 = 113 mod 20

m=21: 86 mod 21 = 2 ≠ 8 = 113 mod 21

m=22: 86 mod 22 = 20 ≠ 3 = 113 mod 22

m=23: 86 mod 23 = 17 ≠ 21 = 113 mod 23

m=24: 86 mod 24 = 14 ≠ 17 = 113 mod 24

m=25: 86 mod 25 = 11 ≠ 13 = 113 mod 25

m=26: 86 mod 26 = 8 ≠ 9 = 113 mod 26

m=27: 86 mod 27 = 5 = 5 = 113 mod 27

m=28: 86 mod 28 = 2 ≠ 1 = 113 mod 28

m=29: 86 mod 29 = 28 ≠ 26 = 113 mod 29

m=30: 86 mod 30 = 26 ≠ 23 = 113 mod 30

m=31: 86 mod 31 = 24 ≠ 20 = 113 mod 31

m=32: 86 mod 32 = 22 ≠ 17 = 113 mod 32

m=33: 86 mod 33 = 20 ≠ 14 = 113 mod 33

m=34: 86 mod 34 = 18 ≠ 11 = 113 mod 34

m=35: 86 mod 35 = 16 ≠ 8 = 113 mod 35

m=36: 86 mod 36 = 14 ≠ 5 = 113 mod 36

m=37: 86 mod 37 = 12 ≠ 2 = 113 mod 37

m=38: 86 mod 38 = 10 ≠ 37 = 113 mod 38

m=39: 86 mod 39 = 8 ≠ 35 = 113 mod 39

m=40: 86 mod 40 = 6 ≠ 33 = 113 mod 40

m=41: 86 mod 41 = 4 ≠ 31 = 113 mod 41

m=42: 86 mod 42 = 2 ≠ 29 = 113 mod 42

m=43: 86 mod 43 = 0 ≠ 27 = 113 mod 43

m=44: 86 mod 44 = 42 ≠ 25 = 113 mod 44

m=45: 86 mod 45 = 41 ≠ 23 = 113 mod 45

m=46: 86 mod 46 = 40 ≠ 21 = 113 mod 46

m=47: 86 mod 47 = 39 ≠ 19 = 113 mod 47

m=48: 86 mod 48 = 38 ≠ 17 = 113 mod 48

m=49: 86 mod 49 = 37 ≠ 15 = 113 mod 49

m=50: 86 mod 50 = 36 ≠ 13 = 113 mod 50

m=51: 86 mod 51 = 35 ≠ 11 = 113 mod 51

m=52: 86 mod 52 = 34 ≠ 9 = 113 mod 52

m=53: 86 mod 53 = 33 ≠ 7 = 113 mod 53

m=54: 86 mod 54 = 32 ≠ 5 = 113 mod 54

m=55: 86 mod 55 = 31 ≠ 3 = 113 mod 55

m=56: 86 mod 56 = 30 ≠ 1 = 113 mod 56

m=57: 86 mod 57 = 29 ≠ 56 = 113 mod 57

m=58: 86 mod 58 = 28 ≠ 55 = 113 mod 58

m=59: 86 mod 59 = 27 ≠ 54 = 113 mod 59

m=60: 86 mod 60 = 26 ≠ 53 = 113 mod 60

m=61: 86 mod 61 = 25 ≠ 52 = 113 mod 61

m=62: 86 mod 62 = 24 ≠ 51 = 113 mod 62

m=63: 86 mod 63 = 23 ≠ 50 = 113 mod 63

m=64: 86 mod 64 = 22 ≠ 49 = 113 mod 64

m=65: 86 mod 65 = 21 ≠ 48 = 113 mod 65

m=66: 86 mod 66 = 20 ≠ 47 = 113 mod 66

m=67: 86 mod 67 = 19 ≠ 46 = 113 mod 67

m=68: 86 mod 68 = 18 ≠ 45 = 113 mod 68

m=69: 86 mod 69 = 17 ≠ 44 = 113 mod 69

m=70: 86 mod 70 = 16 ≠ 43 = 113 mod 70

m=71: 86 mod 71 = 15 ≠ 42 = 113 mod 71

m=72: 86 mod 72 = 14 ≠ 41 = 113 mod 72

m=73: 86 mod 73 = 13 ≠ 40 = 113 mod 73

m=74: 86 mod 74 = 12 ≠ 39 = 113 mod 74

m=75: 86 mod 75 = 11 ≠ 38 = 113 mod 75

m=76: 86 mod 76 = 10 ≠ 37 = 113 mod 76

m=77: 86 mod 77 = 9 ≠ 36 = 113 mod 77

m=78: 86 mod 78 = 8 ≠ 35 = 113 mod 78

m=79: 86 mod 79 = 7 ≠ 34 = 113 mod 79

m=80: 86 mod 80 = 6 ≠ 33 = 113 mod 80

m=81: 86 mod 81 = 5 ≠ 32 = 113 mod 81

m=82: 86 mod 82 = 4 ≠ 31 = 113 mod 82

m=83: 86 mod 83 = 3 ≠ 30 = 113 mod 83

m=84: 86 mod 84 = 2 ≠ 29 = 113 mod 84

m=85: 86 mod 85 = 1 ≠ 28 = 113 mod 85

m=86: 86 mod 86 = 0 ≠ 27 = 113 mod 86

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (113 - 86) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27