Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 66 = 1.

Somit gilt: 67 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 44 = 0.

Somit gilt: 44 mod 11 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 0 mod 11.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Somit gilt: 22 ≡ 44 ≡ 0 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(601 - 1200) mod 6 ≡ (601 mod 6 - 1200 mod 6) mod 6.

601 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 6 ⋅ 100 +1.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(601 - 1200) mod 6 ≡ (1 - 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 87) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 87 mod 7) mod 7.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 87) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 ≠ 1 = 31 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 31 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 3 = 31 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 1 = 31 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 7 = 31 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 = 4 = 31 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 1 = 31 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 10 = 31 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 9 = 31 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 22) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9