Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 88, weil ja 22 ⋅ 4 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 88 = 2.

Somit gilt: 90 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 81 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 25 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 + 3000) mod 3 ≡ (61 mod 3 + 3000 mod 3) mod 3.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60+1 = 3 ⋅ 20 +1.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(61 + 3000) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 99) mod 9 ≡ (15 mod 9 ⋅ 99 mod 9) mod 9.

15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.

99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 99) mod 9 ≡ (6 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 36 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 1 = 36 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 = 0 = 36 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 6 = 36 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 = 0 = 36 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 12 = 36 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 24) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12