Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 96, weil ja 32 ⋅ 3 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.

Somit gilt: 97 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 90 = 9.

Somit gilt: 99 mod 10 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 9 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 9 mod 10 sein, also addieren wir noch 9 auf die 30 und erhalten so 39.

Somit gilt: 39 ≡ 99 ≡ 9 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3999 + 1201) mod 4 ≡ (3999 mod 4 + 1201 mod 4) mod 4.

3999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999 = 3000+999 = 4 ⋅ 750 +999.

1201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 4 ⋅ 300 +1.

Somit gilt:

(3999 + 1201) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 41) mod 9 ≡ (71 mod 9 ⋅ 41 mod 9) mod 9.

71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 41) mod 9 ≡ (8 ⋅ 5) mod 9 ≡ 40 mod 9 ≡ 4 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 44 aus, ob zufällig 44 mod m = 59 mod m gilt:

m=2: 44 mod 2 = 0 ≠ 1 = 59 mod 2

m=3: 44 mod 3 = 2 = 2 = 59 mod 3

m=4: 44 mod 4 = 0 ≠ 3 = 59 mod 4

m=5: 44 mod 5 = 4 = 4 = 59 mod 5

m=6: 44 mod 6 = 2 ≠ 5 = 59 mod 6

m=7: 44 mod 7 = 2 ≠ 3 = 59 mod 7

m=8: 44 mod 8 = 4 ≠ 3 = 59 mod 8

m=9: 44 mod 9 = 8 ≠ 5 = 59 mod 9

m=10: 44 mod 10 = 4 ≠ 9 = 59 mod 10

m=11: 44 mod 11 = 0 ≠ 4 = 59 mod 11

m=12: 44 mod 12 = 8 ≠ 11 = 59 mod 12

m=13: 44 mod 13 = 5 ≠ 7 = 59 mod 13

m=14: 44 mod 14 = 2 ≠ 3 = 59 mod 14

m=15: 44 mod 15 = 14 = 14 = 59 mod 15

m=16: 44 mod 16 = 12 ≠ 11 = 59 mod 16

m=17: 44 mod 17 = 10 ≠ 8 = 59 mod 17

m=18: 44 mod 18 = 8 ≠ 5 = 59 mod 18

m=19: 44 mod 19 = 6 ≠ 2 = 59 mod 19

m=20: 44 mod 20 = 4 ≠ 19 = 59 mod 20

m=21: 44 mod 21 = 2 ≠ 17 = 59 mod 21

m=22: 44 mod 22 = 0 ≠ 15 = 59 mod 22

m=23: 44 mod 23 = 21 ≠ 13 = 59 mod 23

m=24: 44 mod 24 = 20 ≠ 11 = 59 mod 24

m=25: 44 mod 25 = 19 ≠ 9 = 59 mod 25

m=26: 44 mod 26 = 18 ≠ 7 = 59 mod 26

m=27: 44 mod 27 = 17 ≠ 5 = 59 mod 27

m=28: 44 mod 28 = 16 ≠ 3 = 59 mod 28

m=29: 44 mod 29 = 15 ≠ 1 = 59 mod 29

m=30: 44 mod 30 = 14 ≠ 29 = 59 mod 30

m=31: 44 mod 31 = 13 ≠ 28 = 59 mod 31

m=32: 44 mod 32 = 12 ≠ 27 = 59 mod 32

m=33: 44 mod 33 = 11 ≠ 26 = 59 mod 33

m=34: 44 mod 34 = 10 ≠ 25 = 59 mod 34

m=35: 44 mod 35 = 9 ≠ 24 = 59 mod 35

m=36: 44 mod 36 = 8 ≠ 23 = 59 mod 36

m=37: 44 mod 37 = 7 ≠ 22 = 59 mod 37

m=38: 44 mod 38 = 6 ≠ 21 = 59 mod 38

m=39: 44 mod 39 = 5 ≠ 20 = 59 mod 39

m=40: 44 mod 40 = 4 ≠ 19 = 59 mod 40

m=41: 44 mod 41 = 3 ≠ 18 = 59 mod 41

m=42: 44 mod 42 = 2 ≠ 17 = 59 mod 42

m=43: 44 mod 43 = 1 ≠ 16 = 59 mod 43

m=44: 44 mod 44 = 0 ≠ 15 = 59 mod 44

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (59 - 44) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15