Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 88 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 88 - 84 = 4.
Somit gilt: 88 mod 7 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 33 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 33 - 32 = 1.
Somit gilt: 33 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 3 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 12 und erhalten so 13.
Somit gilt: 13 ≡ 33 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7007 - 2104) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7007 - 2104) mod 7 ≡ (7007 mod 7 - 2104 mod 7) mod 7.
7007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7007
= 7000
2104 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2104
= 2100
Somit gilt:
(7007 - 2104) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 77) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 77) mod 6 ≡ (70 mod 6 ⋅ 77 mod 6) mod 6.
70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.
77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 77) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
