Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 60 = 4.

Somit gilt: 64 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4

Somit gilt: 40 ≡ 60 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 + 1205) mod 6 ≡ (1197 mod 6 + 1205 mod 6) mod 6.

1197 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 6 ⋅ 200 -3 = 6 ⋅ 200 - 6 + 3.

1205 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1205 = 1200+5 = 6 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(1197 + 1205) mod 6 ≡ (3 + 5) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 18) mod 7 ≡ (99 mod 7 ⋅ 18 mod 7) mod 7.

99 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 98 + 1 = 14 ⋅ 7 + 1 ist.

18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 18) mod 7 ≡ (1 ⋅ 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 285 aus, ob zufällig 285 mod m = 360 mod m gilt:

m=2: 285 mod 2 = 1 ≠ 0 = 360 mod 2

m=3: 285 mod 3 = 0 = 0 = 360 mod 3

m=4: 285 mod 4 = 1 ≠ 0 = 360 mod 4

m=5: 285 mod 5 = 0 = 0 = 360 mod 5

m=6: 285 mod 6 = 3 ≠ 0 = 360 mod 6

m=7: 285 mod 7 = 5 ≠ 3 = 360 mod 7

m=8: 285 mod 8 = 5 ≠ 0 = 360 mod 8

m=9: 285 mod 9 = 6 ≠ 0 = 360 mod 9

m=10: 285 mod 10 = 5 ≠ 0 = 360 mod 10

m=11: 285 mod 11 = 10 ≠ 8 = 360 mod 11

m=12: 285 mod 12 = 9 ≠ 0 = 360 mod 12

m=13: 285 mod 13 = 12 ≠ 9 = 360 mod 13

m=14: 285 mod 14 = 5 ≠ 10 = 360 mod 14

m=15: 285 mod 15 = 0 = 0 = 360 mod 15

m=16: 285 mod 16 = 13 ≠ 8 = 360 mod 16

m=17: 285 mod 17 = 13 ≠ 3 = 360 mod 17

m=18: 285 mod 18 = 15 ≠ 0 = 360 mod 18

m=19: 285 mod 19 = 0 ≠ 18 = 360 mod 19

m=20: 285 mod 20 = 5 ≠ 0 = 360 mod 20

m=21: 285 mod 21 = 12 ≠ 3 = 360 mod 21

m=22: 285 mod 22 = 21 ≠ 8 = 360 mod 22

m=23: 285 mod 23 = 9 ≠ 15 = 360 mod 23

m=24: 285 mod 24 = 21 ≠ 0 = 360 mod 24

m=25: 285 mod 25 = 10 = 10 = 360 mod 25

m=26: 285 mod 26 = 25 ≠ 22 = 360 mod 26

m=27: 285 mod 27 = 15 ≠ 9 = 360 mod 27

m=28: 285 mod 28 = 5 ≠ 24 = 360 mod 28

m=29: 285 mod 29 = 24 ≠ 12 = 360 mod 29

m=30: 285 mod 30 = 15 ≠ 0 = 360 mod 30

m=31: 285 mod 31 = 6 ≠ 19 = 360 mod 31

m=32: 285 mod 32 = 29 ≠ 8 = 360 mod 32

m=33: 285 mod 33 = 21 ≠ 30 = 360 mod 33

m=34: 285 mod 34 = 13 ≠ 20 = 360 mod 34

m=35: 285 mod 35 = 5 ≠ 10 = 360 mod 35

m=36: 285 mod 36 = 33 ≠ 0 = 360 mod 36

m=37: 285 mod 37 = 26 ≠ 27 = 360 mod 37

m=38: 285 mod 38 = 19 ≠ 18 = 360 mod 38

m=39: 285 mod 39 = 12 ≠ 9 = 360 mod 39

m=40: 285 mod 40 = 5 ≠ 0 = 360 mod 40

m=41: 285 mod 41 = 39 ≠ 32 = 360 mod 41

m=42: 285 mod 42 = 33 ≠ 24 = 360 mod 42

m=43: 285 mod 43 = 27 ≠ 16 = 360 mod 43

m=44: 285 mod 44 = 21 ≠ 8 = 360 mod 44

m=45: 285 mod 45 = 15 ≠ 0 = 360 mod 45

m=46: 285 mod 46 = 9 ≠ 38 = 360 mod 46

m=47: 285 mod 47 = 3 ≠ 31 = 360 mod 47

m=48: 285 mod 48 = 45 ≠ 24 = 360 mod 48

m=49: 285 mod 49 = 40 ≠ 17 = 360 mod 49

m=50: 285 mod 50 = 35 ≠ 10 = 360 mod 50

m=51: 285 mod 51 = 30 ≠ 3 = 360 mod 51

m=52: 285 mod 52 = 25 ≠ 48 = 360 mod 52

m=53: 285 mod 53 = 20 ≠ 42 = 360 mod 53

m=54: 285 mod 54 = 15 ≠ 36 = 360 mod 54

m=55: 285 mod 55 = 10 ≠ 30 = 360 mod 55

m=56: 285 mod 56 = 5 ≠ 24 = 360 mod 56

m=57: 285 mod 57 = 0 ≠ 18 = 360 mod 57

m=58: 285 mod 58 = 53 ≠ 12 = 360 mod 58

m=59: 285 mod 59 = 49 ≠ 6 = 360 mod 59

m=60: 285 mod 60 = 45 ≠ 0 = 360 mod 60

m=61: 285 mod 61 = 41 ≠ 55 = 360 mod 61

m=62: 285 mod 62 = 37 ≠ 50 = 360 mod 62

m=63: 285 mod 63 = 33 ≠ 45 = 360 mod 63

m=64: 285 mod 64 = 29 ≠ 40 = 360 mod 64

m=65: 285 mod 65 = 25 ≠ 35 = 360 mod 65

m=66: 285 mod 66 = 21 ≠ 30 = 360 mod 66

m=67: 285 mod 67 = 17 ≠ 25 = 360 mod 67

m=68: 285 mod 68 = 13 ≠ 20 = 360 mod 68

m=69: 285 mod 69 = 9 ≠ 15 = 360 mod 69

m=70: 285 mod 70 = 5 ≠ 10 = 360 mod 70

m=71: 285 mod 71 = 1 ≠ 5 = 360 mod 71

m=72: 285 mod 72 = 69 ≠ 0 = 360 mod 72

m=73: 285 mod 73 = 66 ≠ 68 = 360 mod 73

m=74: 285 mod 74 = 63 ≠ 64 = 360 mod 74

m=75: 285 mod 75 = 60 = 60 = 360 mod 75

m=76: 285 mod 76 = 57 ≠ 56 = 360 mod 76

m=77: 285 mod 77 = 54 ≠ 52 = 360 mod 77

m=78: 285 mod 78 = 51 ≠ 48 = 360 mod 78

m=79: 285 mod 79 = 48 ≠ 44 = 360 mod 79

m=80: 285 mod 80 = 45 ≠ 40 = 360 mod 80

m=81: 285 mod 81 = 42 ≠ 36 = 360 mod 81

m=82: 285 mod 82 = 39 ≠ 32 = 360 mod 82

m=83: 285 mod 83 = 36 ≠ 28 = 360 mod 83

m=84: 285 mod 84 = 33 ≠ 24 = 360 mod 84

m=85: 285 mod 85 = 30 ≠ 20 = 360 mod 85

m=86: 285 mod 86 = 27 ≠ 16 = 360 mod 86

m=87: 285 mod 87 = 24 ≠ 12 = 360 mod 87

m=88: 285 mod 88 = 21 ≠ 8 = 360 mod 88

m=89: 285 mod 89 = 18 ≠ 4 = 360 mod 89

m=90: 285 mod 90 = 15 ≠ 0 = 360 mod 90

m=91: 285 mod 91 = 12 ≠ 87 = 360 mod 91

m=92: 285 mod 92 = 9 ≠ 84 = 360 mod 92

m=93: 285 mod 93 = 6 ≠ 81 = 360 mod 93

m=94: 285 mod 94 = 3 ≠ 78 = 360 mod 94

m=95: 285 mod 95 = 0 ≠ 75 = 360 mod 95

m=96: 285 mod 96 = 93 ≠ 72 = 360 mod 96

m=97: 285 mod 97 = 91 ≠ 69 = 360 mod 97

m=98: 285 mod 98 = 89 ≠ 66 = 360 mod 98

m=99: 285 mod 99 = 87 ≠ 63 = 360 mod 99

m=100: 285 mod 100 = 85 ≠ 60 = 360 mod 100

m=101: 285 mod 101 = 83 ≠ 57 = 360 mod 101

m=102: 285 mod 102 = 81 ≠ 54 = 360 mod 102

m=103: 285 mod 103 = 79 ≠ 51 = 360 mod 103

m=104: 285 mod 104 = 77 ≠ 48 = 360 mod 104

m=105: 285 mod 105 = 75 ≠ 45 = 360 mod 105

m=106: 285 mod 106 = 73 ≠ 42 = 360 mod 106

m=107: 285 mod 107 = 71 ≠ 39 = 360 mod 107

m=108: 285 mod 108 = 69 ≠ 36 = 360 mod 108

m=109: 285 mod 109 = 67 ≠ 33 = 360 mod 109

m=110: 285 mod 110 = 65 ≠ 30 = 360 mod 110

m=111: 285 mod 111 = 63 ≠ 27 = 360 mod 111

m=112: 285 mod 112 = 61 ≠ 24 = 360 mod 112

m=113: 285 mod 113 = 59 ≠ 21 = 360 mod 113

m=114: 285 mod 114 = 57 ≠ 18 = 360 mod 114

m=115: 285 mod 115 = 55 ≠ 15 = 360 mod 115

m=116: 285 mod 116 = 53 ≠ 12 = 360 mod 116

m=117: 285 mod 117 = 51 ≠ 9 = 360 mod 117

m=118: 285 mod 118 = 49 ≠ 6 = 360 mod 118

m=119: 285 mod 119 = 47 ≠ 3 = 360 mod 119

m=120: 285 mod 120 = 45 ≠ 0 = 360 mod 120

m=121: 285 mod 121 = 43 ≠ 118 = 360 mod 121

m=122: 285 mod 122 = 41 ≠ 116 = 360 mod 122

m=123: 285 mod 123 = 39 ≠ 114 = 360 mod 123

m=124: 285 mod 124 = 37 ≠ 112 = 360 mod 124

m=125: 285 mod 125 = 35 ≠ 110 = 360 mod 125

m=126: 285 mod 126 = 33 ≠ 108 = 360 mod 126

m=127: 285 mod 127 = 31 ≠ 106 = 360 mod 127

m=128: 285 mod 128 = 29 ≠ 104 = 360 mod 128

m=129: 285 mod 129 = 27 ≠ 102 = 360 mod 129

m=130: 285 mod 130 = 25 ≠ 100 = 360 mod 130

m=131: 285 mod 131 = 23 ≠ 98 = 360 mod 131

m=132: 285 mod 132 = 21 ≠ 96 = 360 mod 132

m=133: 285 mod 133 = 19 ≠ 94 = 360 mod 133

m=134: 285 mod 134 = 17 ≠ 92 = 360 mod 134

m=135: 285 mod 135 = 15 ≠ 90 = 360 mod 135

m=136: 285 mod 136 = 13 ≠ 88 = 360 mod 136

m=137: 285 mod 137 = 11 ≠ 86 = 360 mod 137

m=138: 285 mod 138 = 9 ≠ 84 = 360 mod 138

m=139: 285 mod 139 = 7 ≠ 82 = 360 mod 139

m=140: 285 mod 140 = 5 ≠ 80 = 360 mod 140

m=141: 285 mod 141 = 3 ≠ 78 = 360 mod 141

m=142: 285 mod 142 = 1 ≠ 76 = 360 mod 142

m=143: 285 mod 143 = 142 ≠ 74 = 360 mod 143

m=144: 285 mod 144 = 141 ≠ 72 = 360 mod 144

m=145: 285 mod 145 = 140 ≠ 70 = 360 mod 145

m=146: 285 mod 146 = 139 ≠ 68 = 360 mod 146

m=147: 285 mod 147 = 138 ≠ 66 = 360 mod 147

m=148: 285 mod 148 = 137 ≠ 64 = 360 mod 148

m=149: 285 mod 149 = 136 ≠ 62 = 360 mod 149

m=150: 285 mod 150 = 135 ≠ 60 = 360 mod 150

m=151: 285 mod 151 = 134 ≠ 58 = 360 mod 151

m=152: 285 mod 152 = 133 ≠ 56 = 360 mod 152

m=153: 285 mod 153 = 132 ≠ 54 = 360 mod 153

m=154: 285 mod 154 = 131 ≠ 52 = 360 mod 154

m=155: 285 mod 155 = 130 ≠ 50 = 360 mod 155

m=156: 285 mod 156 = 129 ≠ 48 = 360 mod 156

m=157: 285 mod 157 = 128 ≠ 46 = 360 mod 157

m=158: 285 mod 158 = 127 ≠ 44 = 360 mod 158

m=159: 285 mod 159 = 126 ≠ 42 = 360 mod 159

m=160: 285 mod 160 = 125 ≠ 40 = 360 mod 160

m=161: 285 mod 161 = 124 ≠ 38 = 360 mod 161

m=162: 285 mod 162 = 123 ≠ 36 = 360 mod 162

m=163: 285 mod 163 = 122 ≠ 34 = 360 mod 163

m=164: 285 mod 164 = 121 ≠ 32 = 360 mod 164

m=165: 285 mod 165 = 120 ≠ 30 = 360 mod 165

m=166: 285 mod 166 = 119 ≠ 28 = 360 mod 166

m=167: 285 mod 167 = 118 ≠ 26 = 360 mod 167

m=168: 285 mod 168 = 117 ≠ 24 = 360 mod 168

m=169: 285 mod 169 = 116 ≠ 22 = 360 mod 169

m=170: 285 mod 170 = 115 ≠ 20 = 360 mod 170

m=171: 285 mod 171 = 114 ≠ 18 = 360 mod 171

m=172: 285 mod 172 = 113 ≠ 16 = 360 mod 172

m=173: 285 mod 173 = 112 ≠ 14 = 360 mod 173

m=174: 285 mod 174 = 111 ≠ 12 = 360 mod 174

m=175: 285 mod 175 = 110 ≠ 10 = 360 mod 175

m=176: 285 mod 176 = 109 ≠ 8 = 360 mod 176

m=177: 285 mod 177 = 108 ≠ 6 = 360 mod 177

m=178: 285 mod 178 = 107 ≠ 4 = 360 mod 178

m=179: 285 mod 179 = 106 ≠ 2 = 360 mod 179

m=180: 285 mod 180 = 105 ≠ 0 = 360 mod 180

m=181: 285 mod 181 = 104 ≠ 179 = 360 mod 181

m=182: 285 mod 182 = 103 ≠ 178 = 360 mod 182

m=183: 285 mod 183 = 102 ≠ 177 = 360 mod 183

m=184: 285 mod 184 = 101 ≠ 176 = 360 mod 184

m=185: 285 mod 185 = 100 ≠ 175 = 360 mod 185

m=186: 285 mod 186 = 99 ≠ 174 = 360 mod 186

m=187: 285 mod 187 = 98 ≠ 173 = 360 mod 187

m=188: 285 mod 188 = 97 ≠ 172 = 360 mod 188

m=189: 285 mod 189 = 96 ≠ 171 = 360 mod 189

m=190: 285 mod 190 = 95 ≠ 170 = 360 mod 190

m=191: 285 mod 191 = 94 ≠ 169 = 360 mod 191

m=192: 285 mod 192 = 93 ≠ 168 = 360 mod 192

m=193: 285 mod 193 = 92 ≠ 167 = 360 mod 193

m=194: 285 mod 194 = 91 ≠ 166 = 360 mod 194

m=195: 285 mod 195 = 90 ≠ 165 = 360 mod 195

m=196: 285 mod 196 = 89 ≠ 164 = 360 mod 196

m=197: 285 mod 197 = 88 ≠ 163 = 360 mod 197

m=198: 285 mod 198 = 87 ≠ 162 = 360 mod 198

m=199: 285 mod 199 = 86 ≠ 161 = 360 mod 199

m=200: 285 mod 200 = 85 ≠ 160 = 360 mod 200

m=201: 285 mod 201 = 84 ≠ 159 = 360 mod 201

m=202: 285 mod 202 = 83 ≠ 158 = 360 mod 202

m=203: 285 mod 203 = 82 ≠ 157 = 360 mod 203

m=204: 285 mod 204 = 81 ≠ 156 = 360 mod 204

m=205: 285 mod 205 = 80 ≠ 155 = 360 mod 205

m=206: 285 mod 206 = 79 ≠ 154 = 360 mod 206

m=207: 285 mod 207 = 78 ≠ 153 = 360 mod 207

m=208: 285 mod 208 = 77 ≠ 152 = 360 mod 208

m=209: 285 mod 209 = 76 ≠ 151 = 360 mod 209

m=210: 285 mod 210 = 75 ≠ 150 = 360 mod 210

m=211: 285 mod 211 = 74 ≠ 149 = 360 mod 211

m=212: 285 mod 212 = 73 ≠ 148 = 360 mod 212

m=213: 285 mod 213 = 72 ≠ 147 = 360 mod 213

m=214: 285 mod 214 = 71 ≠ 146 = 360 mod 214

m=215: 285 mod 215 = 70 ≠ 145 = 360 mod 215

m=216: 285 mod 216 = 69 ≠ 144 = 360 mod 216

m=217: 285 mod 217 = 68 ≠ 143 = 360 mod 217

m=218: 285 mod 218 = 67 ≠ 142 = 360 mod 218

m=219: 285 mod 219 = 66 ≠ 141 = 360 mod 219

m=220: 285 mod 220 = 65 ≠ 140 = 360 mod 220

m=221: 285 mod 221 = 64 ≠ 139 = 360 mod 221

m=222: 285 mod 222 = 63 ≠ 138 = 360 mod 222

m=223: 285 mod 223 = 62 ≠ 137 = 360 mod 223

m=224: 285 mod 224 = 61 ≠ 136 = 360 mod 224

m=225: 285 mod 225 = 60 ≠ 135 = 360 mod 225

m=226: 285 mod 226 = 59 ≠ 134 = 360 mod 226

m=227: 285 mod 227 = 58 ≠ 133 = 360 mod 227

m=228: 285 mod 228 = 57 ≠ 132 = 360 mod 228

m=229: 285 mod 229 = 56 ≠ 131 = 360 mod 229

m=230: 285 mod 230 = 55 ≠ 130 = 360 mod 230

m=231: 285 mod 231 = 54 ≠ 129 = 360 mod 231

m=232: 285 mod 232 = 53 ≠ 128 = 360 mod 232

m=233: 285 mod 233 = 52 ≠ 127 = 360 mod 233

m=234: 285 mod 234 = 51 ≠ 126 = 360 mod 234

m=235: 285 mod 235 = 50 ≠ 125 = 360 mod 235

m=236: 285 mod 236 = 49 ≠ 124 = 360 mod 236

m=237: 285 mod 237 = 48 ≠ 123 = 360 mod 237

m=238: 285 mod 238 = 47 ≠ 122 = 360 mod 238

m=239: 285 mod 239 = 46 ≠ 121 = 360 mod 239

m=240: 285 mod 240 = 45 ≠ 120 = 360 mod 240

m=241: 285 mod 241 = 44 ≠ 119 = 360 mod 241

m=242: 285 mod 242 = 43 ≠ 118 = 360 mod 242

m=243: 285 mod 243 = 42 ≠ 117 = 360 mod 243

m=244: 285 mod 244 = 41 ≠ 116 = 360 mod 244

m=245: 285 mod 245 = 40 ≠ 115 = 360 mod 245

m=246: 285 mod 246 = 39 ≠ 114 = 360 mod 246

m=247: 285 mod 247 = 38 ≠ 113 = 360 mod 247

m=248: 285 mod 248 = 37 ≠ 112 = 360 mod 248

m=249: 285 mod 249 = 36 ≠ 111 = 360 mod 249

m=250: 285 mod 250 = 35 ≠ 110 = 360 mod 250

m=251: 285 mod 251 = 34 ≠ 109 = 360 mod 251

m=252: 285 mod 252 = 33 ≠ 108 = 360 mod 252

m=253: 285 mod 253 = 32 ≠ 107 = 360 mod 253

m=254: 285 mod 254 = 31 ≠ 106 = 360 mod 254

m=255: 285 mod 255 = 30 ≠ 105 = 360 mod 255

m=256: 285 mod 256 = 29 ≠ 104 = 360 mod 256

m=257: 285 mod 257 = 28 ≠ 103 = 360 mod 257

m=258: 285 mod 258 = 27 ≠ 102 = 360 mod 258

m=259: 285 mod 259 = 26 ≠ 101 = 360 mod 259

m=260: 285 mod 260 = 25 ≠ 100 = 360 mod 260

m=261: 285 mod 261 = 24 ≠ 99 = 360 mod 261

m=262: 285 mod 262 = 23 ≠ 98 = 360 mod 262

m=263: 285 mod 263 = 22 ≠ 97 = 360 mod 263

m=264: 285 mod 264 = 21 ≠ 96 = 360 mod 264

m=265: 285 mod 265 = 20 ≠ 95 = 360 mod 265

m=266: 285 mod 266 = 19 ≠ 94 = 360 mod 266

m=267: 285 mod 267 = 18 ≠ 93 = 360 mod 267

m=268: 285 mod 268 = 17 ≠ 92 = 360 mod 268

m=269: 285 mod 269 = 16 ≠ 91 = 360 mod 269

m=270: 285 mod 270 = 15 ≠ 90 = 360 mod 270

m=271: 285 mod 271 = 14 ≠ 89 = 360 mod 271

m=272: 285 mod 272 = 13 ≠ 88 = 360 mod 272

m=273: 285 mod 273 = 12 ≠ 87 = 360 mod 273

m=274: 285 mod 274 = 11 ≠ 86 = 360 mod 274

m=275: 285 mod 275 = 10 ≠ 85 = 360 mod 275

m=276: 285 mod 276 = 9 ≠ 84 = 360 mod 276

m=277: 285 mod 277 = 8 ≠ 83 = 360 mod 277

m=278: 285 mod 278 = 7 ≠ 82 = 360 mod 278

m=279: 285 mod 279 = 6 ≠ 81 = 360 mod 279

m=280: 285 mod 280 = 5 ≠ 80 = 360 mod 280

m=281: 285 mod 281 = 4 ≠ 79 = 360 mod 281

m=282: 285 mod 282 = 3 ≠ 78 = 360 mod 282

m=283: 285 mod 283 = 2 ≠ 77 = 360 mod 283

m=284: 285 mod 284 = 1 ≠ 76 = 360 mod 284

m=285: 285 mod 285 = 0 ≠ 75 = 360 mod 285

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (360 - 285) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75