Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 66 = 6.

Somit gilt: 72 mod 11 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 47 - 42 = 5.

Somit gilt: 47 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 60 und erhalten so 65.

Somit gilt: 65 ≡ 47 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17998 - 89) mod 9 ≡ (17998 mod 9 - 89 mod 9) mod 9.

17998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998 = 18000-2 = 9 ⋅ 2000 -2 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 7.

89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 90-1 = 9 ⋅ 10 -1 = 9 ⋅ 10 - 9 + 8.

Somit gilt:

(17998 - 89) mod 9 ≡ (7 - 8) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 73) mod 7 ≡ (47 mod 7 ⋅ 73 mod 7) mod 7.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 73) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 39 aus, ob zufällig 39 mod m = 51 mod m gilt:

m=2: 39 mod 2 = 1 = 1 = 51 mod 2

m=3: 39 mod 3 = 0 = 0 = 51 mod 3

m=4: 39 mod 4 = 3 = 3 = 51 mod 4

m=5: 39 mod 5 = 4 ≠ 1 = 51 mod 5

m=6: 39 mod 6 = 3 = 3 = 51 mod 6

m=7: 39 mod 7 = 4 ≠ 2 = 51 mod 7

m=8: 39 mod 8 = 7 ≠ 3 = 51 mod 8

m=9: 39 mod 9 = 3 ≠ 6 = 51 mod 9

m=10: 39 mod 10 = 9 ≠ 1 = 51 mod 10

m=11: 39 mod 11 = 6 ≠ 7 = 51 mod 11

m=12: 39 mod 12 = 3 = 3 = 51 mod 12

m=13: 39 mod 13 = 0 ≠ 12 = 51 mod 13

m=14: 39 mod 14 = 11 ≠ 9 = 51 mod 14

m=15: 39 mod 15 = 9 ≠ 6 = 51 mod 15

m=16: 39 mod 16 = 7 ≠ 3 = 51 mod 16

m=17: 39 mod 17 = 5 ≠ 0 = 51 mod 17

m=18: 39 mod 18 = 3 ≠ 15 = 51 mod 18

m=19: 39 mod 19 = 1 ≠ 13 = 51 mod 19

m=20: 39 mod 20 = 19 ≠ 11 = 51 mod 20

m=21: 39 mod 21 = 18 ≠ 9 = 51 mod 21

m=22: 39 mod 22 = 17 ≠ 7 = 51 mod 22

m=23: 39 mod 23 = 16 ≠ 5 = 51 mod 23

m=24: 39 mod 24 = 15 ≠ 3 = 51 mod 24

m=25: 39 mod 25 = 14 ≠ 1 = 51 mod 25

m=26: 39 mod 26 = 13 ≠ 25 = 51 mod 26

m=27: 39 mod 27 = 12 ≠ 24 = 51 mod 27

m=28: 39 mod 28 = 11 ≠ 23 = 51 mod 28

m=29: 39 mod 29 = 10 ≠ 22 = 51 mod 29

m=30: 39 mod 30 = 9 ≠ 21 = 51 mod 30

m=31: 39 mod 31 = 8 ≠ 20 = 51 mod 31

m=32: 39 mod 32 = 7 ≠ 19 = 51 mod 32

m=33: 39 mod 33 = 6 ≠ 18 = 51 mod 33

m=34: 39 mod 34 = 5 ≠ 17 = 51 mod 34

m=35: 39 mod 35 = 4 ≠ 16 = 51 mod 35

m=36: 39 mod 36 = 3 ≠ 15 = 51 mod 36

m=37: 39 mod 37 = 2 ≠ 14 = 51 mod 37

m=38: 39 mod 38 = 1 ≠ 13 = 51 mod 38

m=39: 39 mod 39 = 0 ≠ 12 = 51 mod 39

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (51 - 39) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12