Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 35 = 3.

Somit gilt: 38 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 85 = 3.

Somit gilt: 88 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 90 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 88 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4492 - 4507) mod 9 ≡ (4492 mod 9 - 4507 mod 9) mod 9.

4492 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4492 = 4500-8 = 9 ⋅ 500 -8 = 9 ⋅ 500 - 9 + 1.

4507 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4507 = 4500+7 = 9 ⋅ 500 +7.

Somit gilt:

(4492 - 4507) mod 9 ≡ (1 - 7) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 65) mod 7 ≡ (94 mod 7 ⋅ 65 mod 7) mod 7.

94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 9 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 65) mod 7 ≡ (3 ⋅ 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 114 aus, ob zufällig 114 mod m = 159 mod m gilt:

m=2: 114 mod 2 = 0 ≠ 1 = 159 mod 2

m=3: 114 mod 3 = 0 = 0 = 159 mod 3

m=4: 114 mod 4 = 2 ≠ 3 = 159 mod 4

m=5: 114 mod 5 = 4 = 4 = 159 mod 5

m=6: 114 mod 6 = 0 ≠ 3 = 159 mod 6

m=7: 114 mod 7 = 2 ≠ 5 = 159 mod 7

m=8: 114 mod 8 = 2 ≠ 7 = 159 mod 8

m=9: 114 mod 9 = 6 = 6 = 159 mod 9

m=10: 114 mod 10 = 4 ≠ 9 = 159 mod 10

m=11: 114 mod 11 = 4 ≠ 5 = 159 mod 11

m=12: 114 mod 12 = 6 ≠ 3 = 159 mod 12

m=13: 114 mod 13 = 10 ≠ 3 = 159 mod 13

m=14: 114 mod 14 = 2 ≠ 5 = 159 mod 14

m=15: 114 mod 15 = 9 = 9 = 159 mod 15

m=16: 114 mod 16 = 2 ≠ 15 = 159 mod 16

m=17: 114 mod 17 = 12 ≠ 6 = 159 mod 17

m=18: 114 mod 18 = 6 ≠ 15 = 159 mod 18

m=19: 114 mod 19 = 0 ≠ 7 = 159 mod 19

m=20: 114 mod 20 = 14 ≠ 19 = 159 mod 20

m=21: 114 mod 21 = 9 ≠ 12 = 159 mod 21

m=22: 114 mod 22 = 4 ≠ 5 = 159 mod 22

m=23: 114 mod 23 = 22 ≠ 21 = 159 mod 23

m=24: 114 mod 24 = 18 ≠ 15 = 159 mod 24

m=25: 114 mod 25 = 14 ≠ 9 = 159 mod 25

m=26: 114 mod 26 = 10 ≠ 3 = 159 mod 26

m=27: 114 mod 27 = 6 ≠ 24 = 159 mod 27

m=28: 114 mod 28 = 2 ≠ 19 = 159 mod 28

m=29: 114 mod 29 = 27 ≠ 14 = 159 mod 29

m=30: 114 mod 30 = 24 ≠ 9 = 159 mod 30

m=31: 114 mod 31 = 21 ≠ 4 = 159 mod 31

m=32: 114 mod 32 = 18 ≠ 31 = 159 mod 32

m=33: 114 mod 33 = 15 ≠ 27 = 159 mod 33

m=34: 114 mod 34 = 12 ≠ 23 = 159 mod 34

m=35: 114 mod 35 = 9 ≠ 19 = 159 mod 35

m=36: 114 mod 36 = 6 ≠ 15 = 159 mod 36

m=37: 114 mod 37 = 3 ≠ 11 = 159 mod 37

m=38: 114 mod 38 = 0 ≠ 7 = 159 mod 38

m=39: 114 mod 39 = 36 ≠ 3 = 159 mod 39

m=40: 114 mod 40 = 34 ≠ 39 = 159 mod 40

m=41: 114 mod 41 = 32 ≠ 36 = 159 mod 41

m=42: 114 mod 42 = 30 ≠ 33 = 159 mod 42

m=43: 114 mod 43 = 28 ≠ 30 = 159 mod 43

m=44: 114 mod 44 = 26 ≠ 27 = 159 mod 44

m=45: 114 mod 45 = 24 = 24 = 159 mod 45

m=46: 114 mod 46 = 22 ≠ 21 = 159 mod 46

m=47: 114 mod 47 = 20 ≠ 18 = 159 mod 47

m=48: 114 mod 48 = 18 ≠ 15 = 159 mod 48

m=49: 114 mod 49 = 16 ≠ 12 = 159 mod 49

m=50: 114 mod 50 = 14 ≠ 9 = 159 mod 50

m=51: 114 mod 51 = 12 ≠ 6 = 159 mod 51

m=52: 114 mod 52 = 10 ≠ 3 = 159 mod 52

m=53: 114 mod 53 = 8 ≠ 0 = 159 mod 53

m=54: 114 mod 54 = 6 ≠ 51 = 159 mod 54

m=55: 114 mod 55 = 4 ≠ 49 = 159 mod 55

m=56: 114 mod 56 = 2 ≠ 47 = 159 mod 56

m=57: 114 mod 57 = 0 ≠ 45 = 159 mod 57

m=58: 114 mod 58 = 56 ≠ 43 = 159 mod 58

m=59: 114 mod 59 = 55 ≠ 41 = 159 mod 59

m=60: 114 mod 60 = 54 ≠ 39 = 159 mod 60

m=61: 114 mod 61 = 53 ≠ 37 = 159 mod 61

m=62: 114 mod 62 = 52 ≠ 35 = 159 mod 62

m=63: 114 mod 63 = 51 ≠ 33 = 159 mod 63

m=64: 114 mod 64 = 50 ≠ 31 = 159 mod 64

m=65: 114 mod 65 = 49 ≠ 29 = 159 mod 65

m=66: 114 mod 66 = 48 ≠ 27 = 159 mod 66

m=67: 114 mod 67 = 47 ≠ 25 = 159 mod 67

m=68: 114 mod 68 = 46 ≠ 23 = 159 mod 68

m=69: 114 mod 69 = 45 ≠ 21 = 159 mod 69

m=70: 114 mod 70 = 44 ≠ 19 = 159 mod 70

m=71: 114 mod 71 = 43 ≠ 17 = 159 mod 71

m=72: 114 mod 72 = 42 ≠ 15 = 159 mod 72

m=73: 114 mod 73 = 41 ≠ 13 = 159 mod 73

m=74: 114 mod 74 = 40 ≠ 11 = 159 mod 74

m=75: 114 mod 75 = 39 ≠ 9 = 159 mod 75

m=76: 114 mod 76 = 38 ≠ 7 = 159 mod 76

m=77: 114 mod 77 = 37 ≠ 5 = 159 mod 77

m=78: 114 mod 78 = 36 ≠ 3 = 159 mod 78

m=79: 114 mod 79 = 35 ≠ 1 = 159 mod 79

m=80: 114 mod 80 = 34 ≠ 79 = 159 mod 80

m=81: 114 mod 81 = 33 ≠ 78 = 159 mod 81

m=82: 114 mod 82 = 32 ≠ 77 = 159 mod 82

m=83: 114 mod 83 = 31 ≠ 76 = 159 mod 83

m=84: 114 mod 84 = 30 ≠ 75 = 159 mod 84

m=85: 114 mod 85 = 29 ≠ 74 = 159 mod 85

m=86: 114 mod 86 = 28 ≠ 73 = 159 mod 86

m=87: 114 mod 87 = 27 ≠ 72 = 159 mod 87

m=88: 114 mod 88 = 26 ≠ 71 = 159 mod 88

m=89: 114 mod 89 = 25 ≠ 70 = 159 mod 89

m=90: 114 mod 90 = 24 ≠ 69 = 159 mod 90

m=91: 114 mod 91 = 23 ≠ 68 = 159 mod 91

m=92: 114 mod 92 = 22 ≠ 67 = 159 mod 92

m=93: 114 mod 93 = 21 ≠ 66 = 159 mod 93

m=94: 114 mod 94 = 20 ≠ 65 = 159 mod 94

m=95: 114 mod 95 = 19 ≠ 64 = 159 mod 95

m=96: 114 mod 96 = 18 ≠ 63 = 159 mod 96

m=97: 114 mod 97 = 17 ≠ 62 = 159 mod 97

m=98: 114 mod 98 = 16 ≠ 61 = 159 mod 98

m=99: 114 mod 99 = 15 ≠ 60 = 159 mod 99

m=100: 114 mod 100 = 14 ≠ 59 = 159 mod 100

m=101: 114 mod 101 = 13 ≠ 58 = 159 mod 101

m=102: 114 mod 102 = 12 ≠ 57 = 159 mod 102

m=103: 114 mod 103 = 11 ≠ 56 = 159 mod 103

m=104: 114 mod 104 = 10 ≠ 55 = 159 mod 104

m=105: 114 mod 105 = 9 ≠ 54 = 159 mod 105

m=106: 114 mod 106 = 8 ≠ 53 = 159 mod 106

m=107: 114 mod 107 = 7 ≠ 52 = 159 mod 107

m=108: 114 mod 108 = 6 ≠ 51 = 159 mod 108

m=109: 114 mod 109 = 5 ≠ 50 = 159 mod 109

m=110: 114 mod 110 = 4 ≠ 49 = 159 mod 110

m=111: 114 mod 111 = 3 ≠ 48 = 159 mod 111

m=112: 114 mod 112 = 2 ≠ 47 = 159 mod 112

m=113: 114 mod 113 = 1 ≠ 46 = 159 mod 113

m=114: 114 mod 114 = 0 ≠ 45 = 159 mod 114

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (159 - 114) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45