Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 55 = 3.

Somit gilt: 58 mod 11 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 47 - 45 = 2.

Somit gilt: 47 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 70 und erhalten so 72.

Somit gilt: 72 ≡ 47 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2404 - 5999) mod 6 ≡ (2404 mod 6 - 5999 mod 6) mod 6.

2404 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2404 = 2400+4 = 6 ⋅ 400 +4.

5999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999 = 6000-1 = 6 ⋅ 1000 -1 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 5.

Somit gilt:

(2404 - 5999) mod 6 ≡ (4 - 5) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 31) mod 7 ≡ (98 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.

98 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 98 + 0 = 14 ⋅ 7 + 0 ist.

31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 31) mod 7 ≡ (0 ⋅ 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 35 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 2 = 35 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 ≠ 3 = 35 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 = 0 = 35 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 3 = 35 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 8 = 35 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 = 5 = 35 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 10 = 35 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 25) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10