Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 75, weil ja 15 ⋅ 5 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 75 = 2.

Somit gilt: 77 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.

Somit gilt: 31 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 24 = 4 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 24 und erhalten so 25.

Somit gilt: 25 ≡ 31 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4004 - 400) mod 4 ≡ (4004 mod 4 - 400 mod 4) mod 4.

4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004 = 4000+4 = 4 ⋅ 1000 +4.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(4004 - 400) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 91) mod 10 ≡ (64 mod 10 ⋅ 91 mod 10) mod 10.

64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.

91 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 9 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 91) mod 10 ≡ (4 ⋅ 1) mod 10 ≡ 4 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 ≠ 0 = 36 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 0 = 36 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 = 1 = 36 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 0 = 36 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 = 6 = 36 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 0 = 36 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 12 = 36 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 11 = 36 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 10 = 36 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 26) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10