Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 81 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 81 - 80 = 1.
Somit gilt: 81 mod 8 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 45 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 45 - 45 = 0.
Somit gilt: 45 mod 9 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9
Somit gilt: 81 ≡ 45 ≡ 0 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2003 + 95) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2003 + 95) mod 5 ≡ (2003 mod 5 + 95 mod 5) mod 5.
2003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95
= 90
Somit gilt:
(2003 + 95) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 91) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 91) mod 3 ≡ (75 mod 3 ⋅ 91 mod 3) mod 3.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 91) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 30 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 30 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 0 = 30 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 30 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 = 0 = 30 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 0 = 30 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 2 = 30 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 6 = 30 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 3 = 30 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 = 0 = 30 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 8 = 30 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 6 = 30 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 4 = 30 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 2 = 30 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 0 = 30 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 14 = 30 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 13 = 30 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 12 = 30 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 11 = 30 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 10 = 30 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 20) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
