Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 88, weil ja 22 ⋅ 4 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 88 = 0.

Somit gilt: 88 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 18 = 4.

Somit gilt: 22 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 8 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 48 und erhalten so 52.

Somit gilt: 52 ≡ 22 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 - 195) mod 5 ≡ (98 mod 5 - 195 mod 5) mod 5.

98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90+8 = 5 ⋅ 18 +8.

195 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 195 = 190+5 = 5 ⋅ 38 +5.

Somit gilt:

(98 - 195) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 16) mod 9 ≡ (80 mod 9 ⋅ 16 mod 9) mod 9.

80 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 72 + 8 = 8 ⋅ 9 + 8 ist.

16 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 9 + 7 = 1 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 16) mod 9 ≡ (8 ⋅ 7) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 26 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 26 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 26 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 1 = 26 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 = 2 = 26 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 5 = 26 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 2 = 26 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 8 = 26 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 6 = 26 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 4 = 26 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 2 = 26 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 0 = 26 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 12 = 26 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 11 = 26 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 10 = 26 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 9 = 26 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 8 = 26 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 7 = 26 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 6 = 26 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 20) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6