Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 48 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 48 - 40 = 8.
Somit gilt: 48 mod 10 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 91 für die gilt n ≡ 20 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 20 - 11 = 9.
Somit gilt: 20 mod 11 ≡ 9.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 77 und erhalten so 86.
Somit gilt: 86 ≡ 20 ≡ 9 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1001 - 249) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1001 - 249) mod 5 ≡ (1001 mod 5 - 249 mod 5) mod 5.
1001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1001
= 1000
249 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 249
= 240
Somit gilt:
(1001 - 249) mod 5 ≡ (1 - 4) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 33) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 33) mod 3 ≡ (23 mod 3 ⋅ 33 mod 3) mod 3.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 33) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
