Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 98 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 98 - 88 = 10.
Somit gilt: 98 mod 11 ≡ 10.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 53 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 52, weil ja 13 ⋅ 4 = 52 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 53 - 52 = 1.
Somit gilt: 53 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.
Somit gilt: 61 ≡ 53 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (212 + 695) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(212 + 695) mod 7 ≡ (212 mod 7 + 695 mod 7) mod 7.
212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212
= 210
695 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 695
= 700
Somit gilt:
(212 + 695) mod 7 ≡ (2 + 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 72) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 72) mod 10 ≡ (23 mod 10 ⋅ 72 mod 10) mod 10.
23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.
72 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 7 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 72) mod 10 ≡ (3 ⋅ 2) mod 10 ≡ 6 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
