Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 57 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 56, weil ja 14 ⋅ 4 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 57 - 56 = 1.
Somit gilt: 57 mod 4 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 72 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 72, weil ja 18 ⋅ 4 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.
Somit gilt: 72 mod 4 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4
Somit gilt: 60 ≡ 72 ≡ 0 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18000 + 896) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18000 + 896) mod 9 ≡ (18000 mod 9 + 896 mod 9) mod 9.
18000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
896 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 896
= 900
Somit gilt:
(18000 + 896) mod 9 ≡ (0 + 5) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 64) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 64) mod 8 ≡ (50 mod 8 ⋅ 64 mod 8) mod 8.
50 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 6 ⋅ 8 + 2 ist.
64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 64) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
