Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 55 = 6.

Somit gilt: 61 mod 11 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.

Somit gilt: 90 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Somit gilt: 80 ≡ 90 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(802 + 794) mod 8 ≡ (802 mod 8 + 794 mod 8) mod 8.

802 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802 = 800+2 = 8 ⋅ 100 +2.

794 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 794 = 800-6 = 8 ⋅ 100 -6 = 8 ⋅ 100 - 8 + 2.

Somit gilt:

(802 + 794) mod 8 ≡ (2 + 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 33) mod 5 ≡ (29 mod 5 ⋅ 33 mod 5) mod 5.

29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.

33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 33) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6