Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 18 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 18 - 18 = 0.
Somit gilt: 18 mod 6 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 31 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.
Somit gilt: 31 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 10 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 50 und erhalten so 51.
Somit gilt: 51 ≡ 31 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3503 - 13999) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3503 - 13999) mod 7 ≡ (3503 mod 7 - 13999 mod 7) mod 7.
3503 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3503
= 3500
13999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13999
= 14000
Somit gilt:
(3503 - 13999) mod 7 ≡ (3 - 6) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 43) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 43) mod 5 ≡ (66 mod 5 ⋅ 43 mod 5) mod 5.
66 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 65 + 1 = 13 ⋅ 5 + 1 ist.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 43) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
38 mod m = 56 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 38 aus, ob zufällig 38 mod m = 56 mod m gilt:
m=2: 38 mod 2 = 0 = 0 = 56 mod 2
m=3: 38 mod 3 = 2 = 2 = 56 mod 3
m=4: 38 mod 4 = 2 ≠ 0 = 56 mod 4
m=5: 38 mod 5 = 3 ≠ 1 = 56 mod 5
m=6: 38 mod 6 = 2 = 2 = 56 mod 6
m=7: 38 mod 7 = 3 ≠ 0 = 56 mod 7
m=8: 38 mod 8 = 6 ≠ 0 = 56 mod 8
m=9: 38 mod 9 = 2 = 2 = 56 mod 9
m=10: 38 mod 10 = 8 ≠ 6 = 56 mod 10
m=11: 38 mod 11 = 5 ≠ 1 = 56 mod 11
m=12: 38 mod 12 = 2 ≠ 8 = 56 mod 12
m=13: 38 mod 13 = 12 ≠ 4 = 56 mod 13
m=14: 38 mod 14 = 10 ≠ 0 = 56 mod 14
m=15: 38 mod 15 = 8 ≠ 11 = 56 mod 15
m=16: 38 mod 16 = 6 ≠ 8 = 56 mod 16
m=17: 38 mod 17 = 4 ≠ 5 = 56 mod 17
m=18: 38 mod 18 = 2 = 2 = 56 mod 18
m=19: 38 mod 19 = 0 ≠ 18 = 56 mod 19
m=20: 38 mod 20 = 18 ≠ 16 = 56 mod 20
m=21: 38 mod 21 = 17 ≠ 14 = 56 mod 21
m=22: 38 mod 22 = 16 ≠ 12 = 56 mod 22
m=23: 38 mod 23 = 15 ≠ 10 = 56 mod 23
m=24: 38 mod 24 = 14 ≠ 8 = 56 mod 24
m=25: 38 mod 25 = 13 ≠ 6 = 56 mod 25
m=26: 38 mod 26 = 12 ≠ 4 = 56 mod 26
m=27: 38 mod 27 = 11 ≠ 2 = 56 mod 27
m=28: 38 mod 28 = 10 ≠ 0 = 56 mod 28
m=29: 38 mod 29 = 9 ≠ 27 = 56 mod 29
m=30: 38 mod 30 = 8 ≠ 26 = 56 mod 30
m=31: 38 mod 31 = 7 ≠ 25 = 56 mod 31
m=32: 38 mod 32 = 6 ≠ 24 = 56 mod 32
m=33: 38 mod 33 = 5 ≠ 23 = 56 mod 33
m=34: 38 mod 34 = 4 ≠ 22 = 56 mod 34
m=35: 38 mod 35 = 3 ≠ 21 = 56 mod 35
m=36: 38 mod 36 = 2 ≠ 20 = 56 mod 36
m=37: 38 mod 37 = 1 ≠ 19 = 56 mod 37
m=38: 38 mod 38 = 0 ≠ 18 = 56 mod 38
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (56 - 38) = 18 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6; 9; 18
