Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 23 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.
Somit gilt: 23 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 61 für die gilt n ≡ 41 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 41 - 33 = 8.
Somit gilt: 41 mod 11 ≡ 8.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 44 = 4 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 44 und erhalten so 52.
Somit gilt: 52 ≡ 41 ≡ 8 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (181 + 2697) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(181 + 2697) mod 9 ≡ (181 mod 9 + 2697 mod 9) mod 9.
181 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181
= 180
2697 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2697
= 2700
Somit gilt:
(181 + 2697) mod 9 ≡ (1 + 6) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 21) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 21) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 21 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 21) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 33 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 33 mod m gilt:
m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2
m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 0 = 33 mod 3
m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 33 mod 4
m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 3 = 33 mod 5
m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 3 = 33 mod 6
m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 5 = 33 mod 7
m=8: 25 mod 8 = 1 = 1 = 33 mod 8
m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 6 = 33 mod 9
m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 3 = 33 mod 10
m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 0 = 33 mod 11
m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 9 = 33 mod 12
m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 7 = 33 mod 13
m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 5 = 33 mod 14
m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 3 = 33 mod 15
m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 1 = 33 mod 16
m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 16 = 33 mod 17
m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 15 = 33 mod 18
m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 14 = 33 mod 19
m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 13 = 33 mod 20
m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 12 = 33 mod 21
m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 11 = 33 mod 22
m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 10 = 33 mod 23
m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 9 = 33 mod 24
m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 8 = 33 mod 25
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 25) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
