Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 98 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 98 - 88 = 10.
Somit gilt: 98 mod 11 ≡ 10.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 23 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 21, weil ja 7 ⋅ 3 = 21 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 21 = 2.
Somit gilt: 23 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 3 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 9 und erhalten so 11.
Somit gilt: 11 ≡ 23 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 - 92) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 - 92) mod 3 ≡ (63 mod 3 - 92 mod 3) mod 3.
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 60
92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92
= 90
Somit gilt:
(63 - 92) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 94) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 94) mod 3 ≡ (78 mod 3 ⋅ 94 mod 3) mod 3.
78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.
94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 94) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
37 mod m = 55 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 55 mod m gilt:
m=2: 37 mod 2 = 1 = 1 = 55 mod 2
m=3: 37 mod 3 = 1 = 1 = 55 mod 3
m=4: 37 mod 4 = 1 ≠ 3 = 55 mod 4
m=5: 37 mod 5 = 2 ≠ 0 = 55 mod 5
m=6: 37 mod 6 = 1 = 1 = 55 mod 6
m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 6 = 55 mod 7
m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 7 = 55 mod 8
m=9: 37 mod 9 = 1 = 1 = 55 mod 9
m=10: 37 mod 10 = 7 ≠ 5 = 55 mod 10
m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 0 = 55 mod 11
m=12: 37 mod 12 = 1 ≠ 7 = 55 mod 12
m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 3 = 55 mod 13
m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 13 = 55 mod 14
m=15: 37 mod 15 = 7 ≠ 10 = 55 mod 15
m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 7 = 55 mod 16
m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 4 = 55 mod 17
m=18: 37 mod 18 = 1 = 1 = 55 mod 18
m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 17 = 55 mod 19
m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 15 = 55 mod 20
m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 13 = 55 mod 21
m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 11 = 55 mod 22
m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 9 = 55 mod 23
m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 7 = 55 mod 24
m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 5 = 55 mod 25
m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 3 = 55 mod 26
m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 1 = 55 mod 27
m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 27 = 55 mod 28
m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 26 = 55 mod 29
m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 25 = 55 mod 30
m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 24 = 55 mod 31
m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 23 = 55 mod 32
m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 22 = 55 mod 33
m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 21 = 55 mod 34
m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 20 = 55 mod 35
m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 19 = 55 mod 36
m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 18 = 55 mod 37
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (55 - 37) = 18 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6; 9; 18
