Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 95 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 95 - 90 = 5.
Somit gilt: 95 mod 9 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 73 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 72, weil ja 18 ⋅ 4 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.
Somit gilt: 73 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 92 = 23 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 92 und erhalten so 93.
Somit gilt: 93 ≡ 73 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1395 - 28004) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1395 - 28004) mod 7 ≡ (1395 mod 7 - 28004 mod 7) mod 7.
1395 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1395
= 1400
28004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28004
= 28000
Somit gilt:
(1395 - 28004) mod 7 ≡ (2 - 4) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 24) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 24) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 24 mod 3) mod 3.
51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.
24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 24) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 23 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:
m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2
m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3
m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4
m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5
m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6
m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7
m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8
m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9
m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10
m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11
m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12
m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13
m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14
m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15
m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16
m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
