Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 63 = 6.

Somit gilt: 69 mod 9 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 63 = 2.

Somit gilt: 65 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 81 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 65 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3598 - 87) mod 9 ≡ (3598 mod 9 - 87 mod 9) mod 9.

3598 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3598 = 3600-2 = 9 ⋅ 400 -2 = 9 ⋅ 400 - 9 + 7.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 90-3 = 9 ⋅ 10 -3 = 9 ⋅ 10 - 9 + 6.

Somit gilt:

(3598 - 87) mod 9 ≡ (7 - 6) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 57) mod 10 ≡ (21 mod 10 ⋅ 57 mod 10) mod 10.

21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.

57 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 50 + 7 = 5 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 57) mod 10 ≡ (1 ⋅ 7) mod 10 ≡ 7 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 104 aus, ob zufällig 104 mod m = 131 mod m gilt:

m=2: 104 mod 2 = 0 ≠ 1 = 131 mod 2

m=3: 104 mod 3 = 2 = 2 = 131 mod 3

m=4: 104 mod 4 = 0 ≠ 3 = 131 mod 4

m=5: 104 mod 5 = 4 ≠ 1 = 131 mod 5

m=6: 104 mod 6 = 2 ≠ 5 = 131 mod 6

m=7: 104 mod 7 = 6 ≠ 5 = 131 mod 7

m=8: 104 mod 8 = 0 ≠ 3 = 131 mod 8

m=9: 104 mod 9 = 5 = 5 = 131 mod 9

m=10: 104 mod 10 = 4 ≠ 1 = 131 mod 10

m=11: 104 mod 11 = 5 ≠ 10 = 131 mod 11

m=12: 104 mod 12 = 8 ≠ 11 = 131 mod 12

m=13: 104 mod 13 = 0 ≠ 1 = 131 mod 13

m=14: 104 mod 14 = 6 ≠ 5 = 131 mod 14

m=15: 104 mod 15 = 14 ≠ 11 = 131 mod 15

m=16: 104 mod 16 = 8 ≠ 3 = 131 mod 16

m=17: 104 mod 17 = 2 ≠ 12 = 131 mod 17

m=18: 104 mod 18 = 14 ≠ 5 = 131 mod 18

m=19: 104 mod 19 = 9 ≠ 17 = 131 mod 19

m=20: 104 mod 20 = 4 ≠ 11 = 131 mod 20

m=21: 104 mod 21 = 20 ≠ 5 = 131 mod 21

m=22: 104 mod 22 = 16 ≠ 21 = 131 mod 22

m=23: 104 mod 23 = 12 ≠ 16 = 131 mod 23

m=24: 104 mod 24 = 8 ≠ 11 = 131 mod 24

m=25: 104 mod 25 = 4 ≠ 6 = 131 mod 25

m=26: 104 mod 26 = 0 ≠ 1 = 131 mod 26

m=27: 104 mod 27 = 23 = 23 = 131 mod 27

m=28: 104 mod 28 = 20 ≠ 19 = 131 mod 28

m=29: 104 mod 29 = 17 ≠ 15 = 131 mod 29

m=30: 104 mod 30 = 14 ≠ 11 = 131 mod 30

m=31: 104 mod 31 = 11 ≠ 7 = 131 mod 31

m=32: 104 mod 32 = 8 ≠ 3 = 131 mod 32

m=33: 104 mod 33 = 5 ≠ 32 = 131 mod 33

m=34: 104 mod 34 = 2 ≠ 29 = 131 mod 34

m=35: 104 mod 35 = 34 ≠ 26 = 131 mod 35

m=36: 104 mod 36 = 32 ≠ 23 = 131 mod 36

m=37: 104 mod 37 = 30 ≠ 20 = 131 mod 37

m=38: 104 mod 38 = 28 ≠ 17 = 131 mod 38

m=39: 104 mod 39 = 26 ≠ 14 = 131 mod 39

m=40: 104 mod 40 = 24 ≠ 11 = 131 mod 40

m=41: 104 mod 41 = 22 ≠ 8 = 131 mod 41

m=42: 104 mod 42 = 20 ≠ 5 = 131 mod 42

m=43: 104 mod 43 = 18 ≠ 2 = 131 mod 43

m=44: 104 mod 44 = 16 ≠ 43 = 131 mod 44

m=45: 104 mod 45 = 14 ≠ 41 = 131 mod 45

m=46: 104 mod 46 = 12 ≠ 39 = 131 mod 46

m=47: 104 mod 47 = 10 ≠ 37 = 131 mod 47

m=48: 104 mod 48 = 8 ≠ 35 = 131 mod 48

m=49: 104 mod 49 = 6 ≠ 33 = 131 mod 49

m=50: 104 mod 50 = 4 ≠ 31 = 131 mod 50

m=51: 104 mod 51 = 2 ≠ 29 = 131 mod 51

m=52: 104 mod 52 = 0 ≠ 27 = 131 mod 52

m=53: 104 mod 53 = 51 ≠ 25 = 131 mod 53

m=54: 104 mod 54 = 50 ≠ 23 = 131 mod 54

m=55: 104 mod 55 = 49 ≠ 21 = 131 mod 55

m=56: 104 mod 56 = 48 ≠ 19 = 131 mod 56

m=57: 104 mod 57 = 47 ≠ 17 = 131 mod 57

m=58: 104 mod 58 = 46 ≠ 15 = 131 mod 58

m=59: 104 mod 59 = 45 ≠ 13 = 131 mod 59

m=60: 104 mod 60 = 44 ≠ 11 = 131 mod 60

m=61: 104 mod 61 = 43 ≠ 9 = 131 mod 61

m=62: 104 mod 62 = 42 ≠ 7 = 131 mod 62

m=63: 104 mod 63 = 41 ≠ 5 = 131 mod 63

m=64: 104 mod 64 = 40 ≠ 3 = 131 mod 64

m=65: 104 mod 65 = 39 ≠ 1 = 131 mod 65

m=66: 104 mod 66 = 38 ≠ 65 = 131 mod 66

m=67: 104 mod 67 = 37 ≠ 64 = 131 mod 67

m=68: 104 mod 68 = 36 ≠ 63 = 131 mod 68

m=69: 104 mod 69 = 35 ≠ 62 = 131 mod 69

m=70: 104 mod 70 = 34 ≠ 61 = 131 mod 70

m=71: 104 mod 71 = 33 ≠ 60 = 131 mod 71

m=72: 104 mod 72 = 32 ≠ 59 = 131 mod 72

m=73: 104 mod 73 = 31 ≠ 58 = 131 mod 73

m=74: 104 mod 74 = 30 ≠ 57 = 131 mod 74

m=75: 104 mod 75 = 29 ≠ 56 = 131 mod 75

m=76: 104 mod 76 = 28 ≠ 55 = 131 mod 76

m=77: 104 mod 77 = 27 ≠ 54 = 131 mod 77

m=78: 104 mod 78 = 26 ≠ 53 = 131 mod 78

m=79: 104 mod 79 = 25 ≠ 52 = 131 mod 79

m=80: 104 mod 80 = 24 ≠ 51 = 131 mod 80

m=81: 104 mod 81 = 23 ≠ 50 = 131 mod 81

m=82: 104 mod 82 = 22 ≠ 49 = 131 mod 82

m=83: 104 mod 83 = 21 ≠ 48 = 131 mod 83

m=84: 104 mod 84 = 20 ≠ 47 = 131 mod 84

m=85: 104 mod 85 = 19 ≠ 46 = 131 mod 85

m=86: 104 mod 86 = 18 ≠ 45 = 131 mod 86

m=87: 104 mod 87 = 17 ≠ 44 = 131 mod 87

m=88: 104 mod 88 = 16 ≠ 43 = 131 mod 88

m=89: 104 mod 89 = 15 ≠ 42 = 131 mod 89

m=90: 104 mod 90 = 14 ≠ 41 = 131 mod 90

m=91: 104 mod 91 = 13 ≠ 40 = 131 mod 91

m=92: 104 mod 92 = 12 ≠ 39 = 131 mod 92

m=93: 104 mod 93 = 11 ≠ 38 = 131 mod 93

m=94: 104 mod 94 = 10 ≠ 37 = 131 mod 94

m=95: 104 mod 95 = 9 ≠ 36 = 131 mod 95

m=96: 104 mod 96 = 8 ≠ 35 = 131 mod 96

m=97: 104 mod 97 = 7 ≠ 34 = 131 mod 97

m=98: 104 mod 98 = 6 ≠ 33 = 131 mod 98

m=99: 104 mod 99 = 5 ≠ 32 = 131 mod 99

m=100: 104 mod 100 = 4 ≠ 31 = 131 mod 100

m=101: 104 mod 101 = 3 ≠ 30 = 131 mod 101

m=102: 104 mod 102 = 2 ≠ 29 = 131 mod 102

m=103: 104 mod 103 = 1 ≠ 28 = 131 mod 103

m=104: 104 mod 104 = 0 ≠ 27 = 131 mod 104

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (131 - 104) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27