Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 66, weil ja 11 ⋅ 6 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 66 = 2.

Somit gilt: 68 mod 6 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 77 = 3.

Somit gilt: 80 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 55 = 5 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 55 und erhalten so 58.

Somit gilt: 58 ≡ 80 ≡ 3 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2705 + 892) mod 9 ≡ (2705 mod 9 + 892 mod 9) mod 9.

2705 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2705 = 2700+5 = 9 ⋅ 300 +5.

892 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 892 = 900-8 = 9 ⋅ 100 -8 = 9 ⋅ 100 - 9 + 1.

Somit gilt:

(2705 + 892) mod 9 ≡ (5 + 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 95) mod 9 ≡ (55 mod 9 ⋅ 95 mod 9) mod 9.

55 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 6 ⋅ 9 + 1 ist.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 95) mod 9 ≡ (1 ⋅ 5) mod 9 ≡ 5 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 ≠ 0 = 28 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 0 = 28 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 4 = 28 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 4 = 28 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 = 1 = 28 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 9 = 28 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 19) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9