Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 18 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 16, weil ja 4 ⋅ 4 = 16 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 18 - 16 = 2.
Somit gilt: 18 mod 4 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 63 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.
Somit gilt: 63 mod 6 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 7 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 42 und erhalten so 45.
Somit gilt: 45 ≡ 63 ≡ 3 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 - 1997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 - 1997) mod 5 ≡ (45 mod 5 - 1997 mod 5) mod 5.
45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45
= 40
1997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997
= 1900
Somit gilt:
(45 - 1997) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 63) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 63) mod 11 ≡ (96 mod 11 ⋅ 63 mod 11) mod 11.
96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.
63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 63) mod 11 ≡ (8 ⋅ 8) mod 11 ≡ 64 mod 11 ≡ 9 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
10 mod m = 14 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:
m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2
m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3
m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4
m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5
m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6
m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7
m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8
m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9
m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
