Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 35 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 35 - 32 = 3.
Somit gilt: 35 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 81 für die gilt n ≡ 48 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 48 - 44 = 4.
Somit gilt: 48 mod 11 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 6 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 66 und erhalten so 70.
Somit gilt: 70 ≡ 48 ≡ 4 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16001 + 2395) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16001 + 2395) mod 8 ≡ (16001 mod 8 + 2395 mod 8) mod 8.
16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
2395 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395
= 2400
Somit gilt:
(16001 + 2395) mod 8 ≡ (1 + 3) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 68) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 68) mod 11 ≡ (62 mod 11 ⋅ 68 mod 11) mod 11.
62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.
68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 68) mod 11 ≡ (7 ⋅ 2) mod 11 ≡ 14 mod 11 ≡ 3 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
