Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 72 = 8.

Somit gilt: 80 mod 9 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 30 ⋅ 3

Somit gilt: 90 ≡ 24 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 - 2705) mod 9 ≡ (95 mod 9 - 2705 mod 9) mod 9.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 9 ⋅ 10 +5.

2705 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2705 = 2700+5 = 9 ⋅ 300 +5.

Somit gilt:

(95 - 2705) mod 9 ≡ (5 - 5) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 85) mod 10 ≡ (22 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.

22 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 2 ⋅ 10 + 2 ist.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 85) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 42 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 = 0 = 42 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 = 0 = 42 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 = 2 = 42 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 ≠ 2 = 42 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 = 0 = 42 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 0 = 42 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 2 = 42 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 6 = 42 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 2 = 42 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 9 = 42 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 = 6 = 42 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 3 = 42 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 0 = 42 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 12 = 42 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 10 = 42 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 8 = 42 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 6 = 42 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 4 = 42 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 2 = 42 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 0 = 42 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 20 = 42 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 19 = 42 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 18 = 42 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 17 = 42 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 16 = 42 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 15 = 42 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 14 = 42 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 13 = 42 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 12 = 42 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 30) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12