Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 11 = 8.

Somit gilt: 19 mod 11 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 20 = 6.

Somit gilt: 26 mod 10 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 6 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 6 mod 10 sein, also addieren wir noch 6 auf die 30 und erhalten so 36.

Somit gilt: 36 ≡ 26 ≡ 6 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4006 + 313) mod 8 ≡ (4006 mod 8 + 313 mod 8) mod 8.

4006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4006 = 4000+6 = 8 ⋅ 500 +6.

313 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 313 = 320-7 = 8 ⋅ 40 -7 = 8 ⋅ 40 - 8 + 1.

Somit gilt:

(4006 + 313) mod 8 ≡ (6 + 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 53) mod 4 ≡ (51 mod 4 ⋅ 53 mod 4) mod 4.

51 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 12 ⋅ 4 + 3 ist.

53 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 52 + 1 = 13 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 53) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 48 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 ≠ 0 = 48 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 48 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 0 = 48 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 = 3 = 48 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 0 = 48 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 6 = 48 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 0 = 48 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 3 = 48 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 8 = 48 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 4 = 48 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 0 = 48 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 9 = 48 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 6 = 48 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 = 3 = 48 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 0 = 48 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 14 = 48 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 12 = 48 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 10 = 48 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 8 = 48 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 6 = 48 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 4 = 48 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 2 = 48 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 0 = 48 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 23 = 48 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 22 = 48 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 21 = 48 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 20 = 48 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 19 = 48 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 18 = 48 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 17 = 48 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 16 = 48 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 15 = 48 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 33) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15