Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 52, weil ja 13 ⋅ 4 = 52 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 52 = 0.

Somit gilt: 52 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 90, weil ja 30 ⋅ 3 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.

Somit gilt: 91 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 39 = 13 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 39 und erhalten so 40.

Somit gilt: 40 ≡ 91 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2804 - 74) mod 7 ≡ (2804 mod 7 - 74 mod 7) mod 7.

2804 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2804 = 2800+4 = 7 ⋅ 400 +4.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70+4 = 7 ⋅ 10 +4.

Somit gilt:

(2804 - 74) mod 7 ≡ (4 - 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 99) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 99 mod 9) mod 9.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 99) mod 9 ≡ (7 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6