Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.

Somit gilt: 62 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 42 = 3.

Somit gilt: 45 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 30 und erhalten so 33.

Somit gilt: 33 ≡ 45 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4002 + 394) mod 8 ≡ (4002 mod 8 + 394 mod 8) mod 8.

4002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002 = 4000+2 = 8 ⋅ 500 +2.

394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 394 = 400-6 = 8 ⋅ 50 -6 = 8 ⋅ 50 - 8 + 2.

Somit gilt:

(4002 + 394) mod 8 ≡ (2 + 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 53) mod 8 ≡ (31 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.

31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 53) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 41 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 ≠ 2 = 41 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 1 = 41 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 = 1 = 41 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 5 = 41 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 6 = 41 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 1 = 41 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 5 = 41 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 = 1 = 41 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 8 = 41 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 5 = 41 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 2 = 41 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 13 = 41 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 11 = 41 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 9 = 41 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 7 = 41 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 5 = 41 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 3 = 41 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 1 = 41 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 20 = 41 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 19 = 41 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 18 = 41 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 17 = 41 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 16 = 41 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 15 = 41 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 14 = 41 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 13 = 41 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 12 = 41 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 11 = 41 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 10 = 41 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 31) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10