Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 92 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 92 - 88 = 4.
Somit gilt: 92 mod 11 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 90 für die gilt n ≡ 94 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 94 - 90 = 4.
Somit gilt: 94 mod 10 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 90 für die gilt: n ≡ 4 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 8 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 4 mod 10 sein, also addieren wir noch 4 auf die 80 und erhalten so 84.
Somit gilt: 84 ≡ 94 ≡ 4 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1198 - 1601) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1198 - 1601) mod 4 ≡ (1198 mod 4 - 1601 mod 4) mod 4.
1198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1100
1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601
= 1600
Somit gilt:
(1198 - 1601) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 35) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 35) mod 3 ≡ (28 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.
35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 35) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
34 mod m = 46 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 34 aus, ob zufällig 34 mod m = 46 mod m gilt:
m=2: 34 mod 2 = 0 = 0 = 46 mod 2
m=3: 34 mod 3 = 1 = 1 = 46 mod 3
m=4: 34 mod 4 = 2 = 2 = 46 mod 4
m=5: 34 mod 5 = 4 ≠ 1 = 46 mod 5
m=6: 34 mod 6 = 4 = 4 = 46 mod 6
m=7: 34 mod 7 = 6 ≠ 4 = 46 mod 7
m=8: 34 mod 8 = 2 ≠ 6 = 46 mod 8
m=9: 34 mod 9 = 7 ≠ 1 = 46 mod 9
m=10: 34 mod 10 = 4 ≠ 6 = 46 mod 10
m=11: 34 mod 11 = 1 ≠ 2 = 46 mod 11
m=12: 34 mod 12 = 10 = 10 = 46 mod 12
m=13: 34 mod 13 = 8 ≠ 7 = 46 mod 13
m=14: 34 mod 14 = 6 ≠ 4 = 46 mod 14
m=15: 34 mod 15 = 4 ≠ 1 = 46 mod 15
m=16: 34 mod 16 = 2 ≠ 14 = 46 mod 16
m=17: 34 mod 17 = 0 ≠ 12 = 46 mod 17
m=18: 34 mod 18 = 16 ≠ 10 = 46 mod 18
m=19: 34 mod 19 = 15 ≠ 8 = 46 mod 19
m=20: 34 mod 20 = 14 ≠ 6 = 46 mod 20
m=21: 34 mod 21 = 13 ≠ 4 = 46 mod 21
m=22: 34 mod 22 = 12 ≠ 2 = 46 mod 22
m=23: 34 mod 23 = 11 ≠ 0 = 46 mod 23
m=24: 34 mod 24 = 10 ≠ 22 = 46 mod 24
m=25: 34 mod 25 = 9 ≠ 21 = 46 mod 25
m=26: 34 mod 26 = 8 ≠ 20 = 46 mod 26
m=27: 34 mod 27 = 7 ≠ 19 = 46 mod 27
m=28: 34 mod 28 = 6 ≠ 18 = 46 mod 28
m=29: 34 mod 29 = 5 ≠ 17 = 46 mod 29
m=30: 34 mod 30 = 4 ≠ 16 = 46 mod 30
m=31: 34 mod 31 = 3 ≠ 15 = 46 mod 31
m=32: 34 mod 32 = 2 ≠ 14 = 46 mod 32
m=33: 34 mod 33 = 1 ≠ 13 = 46 mod 33
m=34: 34 mod 34 = 0 ≠ 12 = 46 mod 34
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (46 - 34) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12