Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 54 = 1.

Somit gilt: 55 mod 9 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 50 - 44 = 6.

Somit gilt: 50 mod 11 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 6 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 6 mod 11 sein, also addieren wir noch 6 auf die 88 und erhalten so 94.

Somit gilt: 94 ≡ 50 ≡ 6 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23996 + 4005) mod 8 ≡ (23996 mod 8 + 4005 mod 8) mod 8.

23996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996 = 23000+996 = 8 ⋅ 2875 +996.

4005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4005 = 4000+5 = 8 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(23996 + 4005) mod 8 ≡ (4 + 5) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 96) mod 11 ≡ (76 mod 11 ⋅ 96 mod 11) mod 11.

76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.

96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 96) mod 11 ≡ (10 ⋅ 8) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 ≠ 0 = 33 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 33 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 = 3 = 33 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 1 = 33 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 6 = 33 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 = 3 = 33 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 10 = 33 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 23) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10