Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 77 = 3.

Somit gilt: 80 mod 7 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 44, weil ja 11 ⋅ 4 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 44 = 1.

Somit gilt: 45 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.

Somit gilt: 61 ≡ 45 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6002 - 15000) mod 3 ≡ (6002 mod 3 - 15000 mod 3) mod 3.

6002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002 = 6000+2 = 3 ⋅ 2000 +2.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(6002 - 15000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 83) mod 8 ≡ (43 mod 8 ⋅ 83 mod 8) mod 8.

43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 83) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 40 aus, ob zufällig 40 mod m = 60 mod m gilt:

m=2: 40 mod 2 = 0 = 0 = 60 mod 2

m=3: 40 mod 3 = 1 ≠ 0 = 60 mod 3

m=4: 40 mod 4 = 0 = 0 = 60 mod 4

m=5: 40 mod 5 = 0 = 0 = 60 mod 5

m=6: 40 mod 6 = 4 ≠ 0 = 60 mod 6

m=7: 40 mod 7 = 5 ≠ 4 = 60 mod 7

m=8: 40 mod 8 = 0 ≠ 4 = 60 mod 8

m=9: 40 mod 9 = 4 ≠ 6 = 60 mod 9

m=10: 40 mod 10 = 0 = 0 = 60 mod 10

m=11: 40 mod 11 = 7 ≠ 5 = 60 mod 11

m=12: 40 mod 12 = 4 ≠ 0 = 60 mod 12

m=13: 40 mod 13 = 1 ≠ 8 = 60 mod 13

m=14: 40 mod 14 = 12 ≠ 4 = 60 mod 14

m=15: 40 mod 15 = 10 ≠ 0 = 60 mod 15

m=16: 40 mod 16 = 8 ≠ 12 = 60 mod 16

m=17: 40 mod 17 = 6 ≠ 9 = 60 mod 17

m=18: 40 mod 18 = 4 ≠ 6 = 60 mod 18

m=19: 40 mod 19 = 2 ≠ 3 = 60 mod 19

m=20: 40 mod 20 = 0 = 0 = 60 mod 20

m=21: 40 mod 21 = 19 ≠ 18 = 60 mod 21

m=22: 40 mod 22 = 18 ≠ 16 = 60 mod 22

m=23: 40 mod 23 = 17 ≠ 14 = 60 mod 23

m=24: 40 mod 24 = 16 ≠ 12 = 60 mod 24

m=25: 40 mod 25 = 15 ≠ 10 = 60 mod 25

m=26: 40 mod 26 = 14 ≠ 8 = 60 mod 26

m=27: 40 mod 27 = 13 ≠ 6 = 60 mod 27

m=28: 40 mod 28 = 12 ≠ 4 = 60 mod 28

m=29: 40 mod 29 = 11 ≠ 2 = 60 mod 29

m=30: 40 mod 30 = 10 ≠ 0 = 60 mod 30

m=31: 40 mod 31 = 9 ≠ 29 = 60 mod 31

m=32: 40 mod 32 = 8 ≠ 28 = 60 mod 32

m=33: 40 mod 33 = 7 ≠ 27 = 60 mod 33

m=34: 40 mod 34 = 6 ≠ 26 = 60 mod 34

m=35: 40 mod 35 = 5 ≠ 25 = 60 mod 35

m=36: 40 mod 36 = 4 ≠ 24 = 60 mod 36

m=37: 40 mod 37 = 3 ≠ 23 = 60 mod 37

m=38: 40 mod 38 = 2 ≠ 22 = 60 mod 38

m=39: 40 mod 39 = 1 ≠ 21 = 60 mod 39

m=40: 40 mod 40 = 0 ≠ 20 = 60 mod 40

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (60 - 40) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20