Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 40 = 3.

Somit gilt: 43 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 77 = 7.

Somit gilt: 84 mod 11 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 88 und erhalten so 95.

Somit gilt: 95 ≡ 84 ≡ 7 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2401 - 1201) mod 6 ≡ (2401 mod 6 - 1201 mod 6) mod 6.

2401 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2401 = 2400+1 = 6 ⋅ 400 +1.

1201 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 6 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(2401 - 1201) mod 6 ≡ (1 - 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 20) mod 6 ≡ (79 mod 6 ⋅ 20 mod 6) mod 6.

79 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 13 ⋅ 6 + 1 ist.

20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 20) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 ≠ 0 = 38 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 = 2 = 38 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 ≠ 2 = 38 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 = 2 = 38 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 10 = 38 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 9 = 38 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 29) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9