Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 96 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 96 - 95 = 1.
Somit gilt: 96 mod 5 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 93 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 93 - 93 = 0.
Somit gilt: 93 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 24 ⋅ 3
Somit gilt: 72 ≡ 93 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11998 - 1196) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11998 - 1196) mod 6 ≡ (11998 mod 6 - 1196 mod 6) mod 6.
11998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 12000
1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1200
Somit gilt:
(11998 - 1196) mod 6 ≡ (4 - 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 68) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 68) mod 4 ≡ (76 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.
68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 68) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 24 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:
m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2
m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3
m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4
m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5
m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6
m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7
m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8
m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9
m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10
m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11
m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12
m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13
m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14
m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15
m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16
m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17
m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
