Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.

Somit gilt: 91 mod 9 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 68 = 0.

Somit gilt: 68 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 18 ⋅ 4

Somit gilt: 72 ≡ 68 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1999 + 1995) mod 5 ≡ (1999 mod 5 + 1995 mod 5) mod 5.

1999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 5 ⋅ 380 +99.

1995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1995 = 1900+95 = 5 ⋅ 380 +95.

Somit gilt:

(1999 + 1995) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 92) mod 5 ≡ (89 mod 5 ⋅ 92 mod 5) mod 5.

89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.

92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 92) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 103 aus, ob zufällig 103 mod m = 148 mod m gilt:

m=2: 103 mod 2 = 1 ≠ 0 = 148 mod 2

m=3: 103 mod 3 = 1 = 1 = 148 mod 3

m=4: 103 mod 4 = 3 ≠ 0 = 148 mod 4

m=5: 103 mod 5 = 3 = 3 = 148 mod 5

m=6: 103 mod 6 = 1 ≠ 4 = 148 mod 6

m=7: 103 mod 7 = 5 ≠ 1 = 148 mod 7

m=8: 103 mod 8 = 7 ≠ 4 = 148 mod 8

m=9: 103 mod 9 = 4 = 4 = 148 mod 9

m=10: 103 mod 10 = 3 ≠ 8 = 148 mod 10

m=11: 103 mod 11 = 4 ≠ 5 = 148 mod 11

m=12: 103 mod 12 = 7 ≠ 4 = 148 mod 12

m=13: 103 mod 13 = 12 ≠ 5 = 148 mod 13

m=14: 103 mod 14 = 5 ≠ 8 = 148 mod 14

m=15: 103 mod 15 = 13 = 13 = 148 mod 15

m=16: 103 mod 16 = 7 ≠ 4 = 148 mod 16

m=17: 103 mod 17 = 1 ≠ 12 = 148 mod 17

m=18: 103 mod 18 = 13 ≠ 4 = 148 mod 18

m=19: 103 mod 19 = 8 ≠ 15 = 148 mod 19

m=20: 103 mod 20 = 3 ≠ 8 = 148 mod 20

m=21: 103 mod 21 = 19 ≠ 1 = 148 mod 21

m=22: 103 mod 22 = 15 ≠ 16 = 148 mod 22

m=23: 103 mod 23 = 11 ≠ 10 = 148 mod 23

m=24: 103 mod 24 = 7 ≠ 4 = 148 mod 24

m=25: 103 mod 25 = 3 ≠ 23 = 148 mod 25

m=26: 103 mod 26 = 25 ≠ 18 = 148 mod 26

m=27: 103 mod 27 = 22 ≠ 13 = 148 mod 27

m=28: 103 mod 28 = 19 ≠ 8 = 148 mod 28

m=29: 103 mod 29 = 16 ≠ 3 = 148 mod 29

m=30: 103 mod 30 = 13 ≠ 28 = 148 mod 30

m=31: 103 mod 31 = 10 ≠ 24 = 148 mod 31

m=32: 103 mod 32 = 7 ≠ 20 = 148 mod 32

m=33: 103 mod 33 = 4 ≠ 16 = 148 mod 33

m=34: 103 mod 34 = 1 ≠ 12 = 148 mod 34

m=35: 103 mod 35 = 33 ≠ 8 = 148 mod 35

m=36: 103 mod 36 = 31 ≠ 4 = 148 mod 36

m=37: 103 mod 37 = 29 ≠ 0 = 148 mod 37

m=38: 103 mod 38 = 27 ≠ 34 = 148 mod 38

m=39: 103 mod 39 = 25 ≠ 31 = 148 mod 39

m=40: 103 mod 40 = 23 ≠ 28 = 148 mod 40

m=41: 103 mod 41 = 21 ≠ 25 = 148 mod 41

m=42: 103 mod 42 = 19 ≠ 22 = 148 mod 42

m=43: 103 mod 43 = 17 ≠ 19 = 148 mod 43

m=44: 103 mod 44 = 15 ≠ 16 = 148 mod 44

m=45: 103 mod 45 = 13 = 13 = 148 mod 45

m=46: 103 mod 46 = 11 ≠ 10 = 148 mod 46

m=47: 103 mod 47 = 9 ≠ 7 = 148 mod 47

m=48: 103 mod 48 = 7 ≠ 4 = 148 mod 48

m=49: 103 mod 49 = 5 ≠ 1 = 148 mod 49

m=50: 103 mod 50 = 3 ≠ 48 = 148 mod 50

m=51: 103 mod 51 = 1 ≠ 46 = 148 mod 51

m=52: 103 mod 52 = 51 ≠ 44 = 148 mod 52

m=53: 103 mod 53 = 50 ≠ 42 = 148 mod 53

m=54: 103 mod 54 = 49 ≠ 40 = 148 mod 54

m=55: 103 mod 55 = 48 ≠ 38 = 148 mod 55

m=56: 103 mod 56 = 47 ≠ 36 = 148 mod 56

m=57: 103 mod 57 = 46 ≠ 34 = 148 mod 57

m=58: 103 mod 58 = 45 ≠ 32 = 148 mod 58

m=59: 103 mod 59 = 44 ≠ 30 = 148 mod 59

m=60: 103 mod 60 = 43 ≠ 28 = 148 mod 60

m=61: 103 mod 61 = 42 ≠ 26 = 148 mod 61

m=62: 103 mod 62 = 41 ≠ 24 = 148 mod 62

m=63: 103 mod 63 = 40 ≠ 22 = 148 mod 63

m=64: 103 mod 64 = 39 ≠ 20 = 148 mod 64

m=65: 103 mod 65 = 38 ≠ 18 = 148 mod 65

m=66: 103 mod 66 = 37 ≠ 16 = 148 mod 66

m=67: 103 mod 67 = 36 ≠ 14 = 148 mod 67

m=68: 103 mod 68 = 35 ≠ 12 = 148 mod 68

m=69: 103 mod 69 = 34 ≠ 10 = 148 mod 69

m=70: 103 mod 70 = 33 ≠ 8 = 148 mod 70

m=71: 103 mod 71 = 32 ≠ 6 = 148 mod 71

m=72: 103 mod 72 = 31 ≠ 4 = 148 mod 72

m=73: 103 mod 73 = 30 ≠ 2 = 148 mod 73

m=74: 103 mod 74 = 29 ≠ 0 = 148 mod 74

m=75: 103 mod 75 = 28 ≠ 73 = 148 mod 75

m=76: 103 mod 76 = 27 ≠ 72 = 148 mod 76

m=77: 103 mod 77 = 26 ≠ 71 = 148 mod 77

m=78: 103 mod 78 = 25 ≠ 70 = 148 mod 78

m=79: 103 mod 79 = 24 ≠ 69 = 148 mod 79

m=80: 103 mod 80 = 23 ≠ 68 = 148 mod 80

m=81: 103 mod 81 = 22 ≠ 67 = 148 mod 81

m=82: 103 mod 82 = 21 ≠ 66 = 148 mod 82

m=83: 103 mod 83 = 20 ≠ 65 = 148 mod 83

m=84: 103 mod 84 = 19 ≠ 64 = 148 mod 84

m=85: 103 mod 85 = 18 ≠ 63 = 148 mod 85

m=86: 103 mod 86 = 17 ≠ 62 = 148 mod 86

m=87: 103 mod 87 = 16 ≠ 61 = 148 mod 87

m=88: 103 mod 88 = 15 ≠ 60 = 148 mod 88

m=89: 103 mod 89 = 14 ≠ 59 = 148 mod 89

m=90: 103 mod 90 = 13 ≠ 58 = 148 mod 90

m=91: 103 mod 91 = 12 ≠ 57 = 148 mod 91

m=92: 103 mod 92 = 11 ≠ 56 = 148 mod 92

m=93: 103 mod 93 = 10 ≠ 55 = 148 mod 93

m=94: 103 mod 94 = 9 ≠ 54 = 148 mod 94

m=95: 103 mod 95 = 8 ≠ 53 = 148 mod 95

m=96: 103 mod 96 = 7 ≠ 52 = 148 mod 96

m=97: 103 mod 97 = 6 ≠ 51 = 148 mod 97

m=98: 103 mod 98 = 5 ≠ 50 = 148 mod 98

m=99: 103 mod 99 = 4 ≠ 49 = 148 mod 99

m=100: 103 mod 100 = 3 ≠ 48 = 148 mod 100

m=101: 103 mod 101 = 2 ≠ 47 = 148 mod 101

m=102: 103 mod 102 = 1 ≠ 46 = 148 mod 102

m=103: 103 mod 103 = 0 ≠ 45 = 148 mod 103

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (148 - 103) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45