Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 11 = 6.

Somit gilt: 17 mod 11 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 56 = 0.

Somit gilt: 56 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 14 = 2 ⋅ 7

Somit gilt: 14 ≡ 56 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15002 + 5001) mod 5 ≡ (15002 mod 5 + 5001 mod 5) mod 5.

15002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002 = 15000+2 = 5 ⋅ 3000 +2.

5001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5001 = 5000+1 = 5 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(15002 + 5001) mod 5 ≡ (2 + 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 17) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 17 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 17) mod 10 ≡ (4 ⋅ 7) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 2 = 32 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 32 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 2 = 32 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 = 0 = 32 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 5 = 32 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 2 = 32 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 10 = 32 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 9 = 32 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 8 = 32 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 24) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8