Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 98 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 98 - 96 = 2.
Somit gilt: 98 mod 8 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 100 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 100 - 96 = 4.
Somit gilt: 100 mod 6 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 90 und erhalten so 94.
Somit gilt: 94 ≡ 100 ≡ 4 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (148 + 19999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(148 + 19999) mod 5 ≡ (148 mod 5 + 19999 mod 5) mod 5.
148 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148
= 140
19999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999
= 19000
Somit gilt:
(148 + 19999) mod 5 ≡ (3 + 4) mod 5 ≡ 7 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 93) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 93) mod 11 ≡ (94 mod 11 ⋅ 93 mod 11) mod 11.
94 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 8 ⋅ 11 + 6 ist.
93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 93) mod 11 ≡ (6 ⋅ 5) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
36 mod m = 46 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 36 aus, ob zufällig 36 mod m = 46 mod m gilt:
m=2: 36 mod 2 = 0 = 0 = 46 mod 2
m=3: 36 mod 3 = 0 ≠ 1 = 46 mod 3
m=4: 36 mod 4 = 0 ≠ 2 = 46 mod 4
m=5: 36 mod 5 = 1 = 1 = 46 mod 5
m=6: 36 mod 6 = 0 ≠ 4 = 46 mod 6
m=7: 36 mod 7 = 1 ≠ 4 = 46 mod 7
m=8: 36 mod 8 = 4 ≠ 6 = 46 mod 8
m=9: 36 mod 9 = 0 ≠ 1 = 46 mod 9
m=10: 36 mod 10 = 6 = 6 = 46 mod 10
m=11: 36 mod 11 = 3 ≠ 2 = 46 mod 11
m=12: 36 mod 12 = 0 ≠ 10 = 46 mod 12
m=13: 36 mod 13 = 10 ≠ 7 = 46 mod 13
m=14: 36 mod 14 = 8 ≠ 4 = 46 mod 14
m=15: 36 mod 15 = 6 ≠ 1 = 46 mod 15
m=16: 36 mod 16 = 4 ≠ 14 = 46 mod 16
m=17: 36 mod 17 = 2 ≠ 12 = 46 mod 17
m=18: 36 mod 18 = 0 ≠ 10 = 46 mod 18
m=19: 36 mod 19 = 17 ≠ 8 = 46 mod 19
m=20: 36 mod 20 = 16 ≠ 6 = 46 mod 20
m=21: 36 mod 21 = 15 ≠ 4 = 46 mod 21
m=22: 36 mod 22 = 14 ≠ 2 = 46 mod 22
m=23: 36 mod 23 = 13 ≠ 0 = 46 mod 23
m=24: 36 mod 24 = 12 ≠ 22 = 46 mod 24
m=25: 36 mod 25 = 11 ≠ 21 = 46 mod 25
m=26: 36 mod 26 = 10 ≠ 20 = 46 mod 26
m=27: 36 mod 27 = 9 ≠ 19 = 46 mod 27
m=28: 36 mod 28 = 8 ≠ 18 = 46 mod 28
m=29: 36 mod 29 = 7 ≠ 17 = 46 mod 29
m=30: 36 mod 30 = 6 ≠ 16 = 46 mod 30
m=31: 36 mod 31 = 5 ≠ 15 = 46 mod 31
m=32: 36 mod 32 = 4 ≠ 14 = 46 mod 32
m=33: 36 mod 33 = 3 ≠ 13 = 46 mod 33
m=34: 36 mod 34 = 2 ≠ 12 = 46 mod 34
m=35: 36 mod 35 = 1 ≠ 11 = 46 mod 35
m=36: 36 mod 36 = 0 ≠ 10 = 46 mod 36
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (46 - 36) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
