Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 97 - 90 = 7.
Somit gilt: 97 mod 9 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 35 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 35 - 35 = 0.
Somit gilt: 35 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5
Somit gilt: 70 ≡ 35 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (245 + 1002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(245 + 1002) mod 5 ≡ (245 mod 5 + 1002 mod 5) mod 5.
245 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245
= 240
1002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1002
= 1000
Somit gilt:
(245 + 1002) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 15) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 15) mod 10 ≡ (85 mod 10 ⋅ 15 mod 10) mod 10.
85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.
15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 15) mod 10 ≡ (5 ⋅ 5) mod 10 ≡ 25 mod 10 ≡ 5 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 28 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 28 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 1 = 28 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 = 0 = 28 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 3 = 28 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 4 = 28 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 0 = 28 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 = 4 = 28 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 1 = 28 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 8 = 28 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 6 = 28 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 4 = 28 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 2 = 28 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 0 = 28 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 13 = 28 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 12 = 28 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 11 = 28 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 10 = 28 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 9 = 28 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 8 = 28 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 20) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
