Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 92, weil ja 23 ⋅ 4 = 92 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 92 = 2.

Somit gilt: 94 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.

Somit gilt: 32 mod 10 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 40 und erhalten so 42.

Somit gilt: 42 ≡ 32 ≡ 2 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(195 + 48) mod 5 ≡ (195 mod 5 + 48 mod 5) mod 5.

195 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 195 = 190+5 = 5 ⋅ 38 +5.

48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40+8 = 5 ⋅ 8 +8.

Somit gilt:

(195 + 48) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 78) mod 4 ≡ (87 mod 4 ⋅ 78 mod 4) mod 4.

87 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 21 ⋅ 4 + 3 ist.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 78) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 52 aus, ob zufällig 52 mod m = 72 mod m gilt:

m=2: 52 mod 2 = 0 = 0 = 72 mod 2

m=3: 52 mod 3 = 1 ≠ 0 = 72 mod 3

m=4: 52 mod 4 = 0 = 0 = 72 mod 4

m=5: 52 mod 5 = 2 = 2 = 72 mod 5

m=6: 52 mod 6 = 4 ≠ 0 = 72 mod 6

m=7: 52 mod 7 = 3 ≠ 2 = 72 mod 7

m=8: 52 mod 8 = 4 ≠ 0 = 72 mod 8

m=9: 52 mod 9 = 7 ≠ 0 = 72 mod 9

m=10: 52 mod 10 = 2 = 2 = 72 mod 10

m=11: 52 mod 11 = 8 ≠ 6 = 72 mod 11

m=12: 52 mod 12 = 4 ≠ 0 = 72 mod 12

m=13: 52 mod 13 = 0 ≠ 7 = 72 mod 13

m=14: 52 mod 14 = 10 ≠ 2 = 72 mod 14

m=15: 52 mod 15 = 7 ≠ 12 = 72 mod 15

m=16: 52 mod 16 = 4 ≠ 8 = 72 mod 16

m=17: 52 mod 17 = 1 ≠ 4 = 72 mod 17

m=18: 52 mod 18 = 16 ≠ 0 = 72 mod 18

m=19: 52 mod 19 = 14 ≠ 15 = 72 mod 19

m=20: 52 mod 20 = 12 = 12 = 72 mod 20

m=21: 52 mod 21 = 10 ≠ 9 = 72 mod 21

m=22: 52 mod 22 = 8 ≠ 6 = 72 mod 22

m=23: 52 mod 23 = 6 ≠ 3 = 72 mod 23

m=24: 52 mod 24 = 4 ≠ 0 = 72 mod 24

m=25: 52 mod 25 = 2 ≠ 22 = 72 mod 25

m=26: 52 mod 26 = 0 ≠ 20 = 72 mod 26

m=27: 52 mod 27 = 25 ≠ 18 = 72 mod 27

m=28: 52 mod 28 = 24 ≠ 16 = 72 mod 28

m=29: 52 mod 29 = 23 ≠ 14 = 72 mod 29

m=30: 52 mod 30 = 22 ≠ 12 = 72 mod 30

m=31: 52 mod 31 = 21 ≠ 10 = 72 mod 31

m=32: 52 mod 32 = 20 ≠ 8 = 72 mod 32

m=33: 52 mod 33 = 19 ≠ 6 = 72 mod 33

m=34: 52 mod 34 = 18 ≠ 4 = 72 mod 34

m=35: 52 mod 35 = 17 ≠ 2 = 72 mod 35

m=36: 52 mod 36 = 16 ≠ 0 = 72 mod 36

m=37: 52 mod 37 = 15 ≠ 35 = 72 mod 37

m=38: 52 mod 38 = 14 ≠ 34 = 72 mod 38

m=39: 52 mod 39 = 13 ≠ 33 = 72 mod 39

m=40: 52 mod 40 = 12 ≠ 32 = 72 mod 40

m=41: 52 mod 41 = 11 ≠ 31 = 72 mod 41

m=42: 52 mod 42 = 10 ≠ 30 = 72 mod 42

m=43: 52 mod 43 = 9 ≠ 29 = 72 mod 43

m=44: 52 mod 44 = 8 ≠ 28 = 72 mod 44

m=45: 52 mod 45 = 7 ≠ 27 = 72 mod 45

m=46: 52 mod 46 = 6 ≠ 26 = 72 mod 46

m=47: 52 mod 47 = 5 ≠ 25 = 72 mod 47

m=48: 52 mod 48 = 4 ≠ 24 = 72 mod 48

m=49: 52 mod 49 = 3 ≠ 23 = 72 mod 49

m=50: 52 mod 50 = 2 ≠ 22 = 72 mod 50

m=51: 52 mod 51 = 1 ≠ 21 = 72 mod 51

m=52: 52 mod 52 = 0 ≠ 20 = 72 mod 52

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (72 - 52) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20