Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 51 = 0.

Somit gilt: 51 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.

Somit gilt: 63 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 63 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14000 + 34998) mod 7 ≡ (14000 mod 7 + 34998 mod 7) mod 7.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

34998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34998 = 35000-2 = 7 ⋅ 5000 -2 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(14000 + 34998) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 51) mod 9 ≡ (23 mod 9 ⋅ 51 mod 9) mod 9.

23 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 2 ⋅ 9 + 5 ist.

51 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 45 + 6 = 5 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 51) mod 9 ≡ (5 ⋅ 6) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 51 aus, ob zufällig 51 mod m = 69 mod m gilt:

m=2: 51 mod 2 = 1 = 1 = 69 mod 2

m=3: 51 mod 3 = 0 = 0 = 69 mod 3

m=4: 51 mod 4 = 3 ≠ 1 = 69 mod 4

m=5: 51 mod 5 = 1 ≠ 4 = 69 mod 5

m=6: 51 mod 6 = 3 = 3 = 69 mod 6

m=7: 51 mod 7 = 2 ≠ 6 = 69 mod 7

m=8: 51 mod 8 = 3 ≠ 5 = 69 mod 8

m=9: 51 mod 9 = 6 = 6 = 69 mod 9

m=10: 51 mod 10 = 1 ≠ 9 = 69 mod 10

m=11: 51 mod 11 = 7 ≠ 3 = 69 mod 11

m=12: 51 mod 12 = 3 ≠ 9 = 69 mod 12

m=13: 51 mod 13 = 12 ≠ 4 = 69 mod 13

m=14: 51 mod 14 = 9 ≠ 13 = 69 mod 14

m=15: 51 mod 15 = 6 ≠ 9 = 69 mod 15

m=16: 51 mod 16 = 3 ≠ 5 = 69 mod 16

m=17: 51 mod 17 = 0 ≠ 1 = 69 mod 17

m=18: 51 mod 18 = 15 = 15 = 69 mod 18

m=19: 51 mod 19 = 13 ≠ 12 = 69 mod 19

m=20: 51 mod 20 = 11 ≠ 9 = 69 mod 20

m=21: 51 mod 21 = 9 ≠ 6 = 69 mod 21

m=22: 51 mod 22 = 7 ≠ 3 = 69 mod 22

m=23: 51 mod 23 = 5 ≠ 0 = 69 mod 23

m=24: 51 mod 24 = 3 ≠ 21 = 69 mod 24

m=25: 51 mod 25 = 1 ≠ 19 = 69 mod 25

m=26: 51 mod 26 = 25 ≠ 17 = 69 mod 26

m=27: 51 mod 27 = 24 ≠ 15 = 69 mod 27

m=28: 51 mod 28 = 23 ≠ 13 = 69 mod 28

m=29: 51 mod 29 = 22 ≠ 11 = 69 mod 29

m=30: 51 mod 30 = 21 ≠ 9 = 69 mod 30

m=31: 51 mod 31 = 20 ≠ 7 = 69 mod 31

m=32: 51 mod 32 = 19 ≠ 5 = 69 mod 32

m=33: 51 mod 33 = 18 ≠ 3 = 69 mod 33

m=34: 51 mod 34 = 17 ≠ 1 = 69 mod 34

m=35: 51 mod 35 = 16 ≠ 34 = 69 mod 35

m=36: 51 mod 36 = 15 ≠ 33 = 69 mod 36

m=37: 51 mod 37 = 14 ≠ 32 = 69 mod 37

m=38: 51 mod 38 = 13 ≠ 31 = 69 mod 38

m=39: 51 mod 39 = 12 ≠ 30 = 69 mod 39

m=40: 51 mod 40 = 11 ≠ 29 = 69 mod 40

m=41: 51 mod 41 = 10 ≠ 28 = 69 mod 41

m=42: 51 mod 42 = 9 ≠ 27 = 69 mod 42

m=43: 51 mod 43 = 8 ≠ 26 = 69 mod 43

m=44: 51 mod 44 = 7 ≠ 25 = 69 mod 44

m=45: 51 mod 45 = 6 ≠ 24 = 69 mod 45

m=46: 51 mod 46 = 5 ≠ 23 = 69 mod 46

m=47: 51 mod 47 = 4 ≠ 22 = 69 mod 47

m=48: 51 mod 48 = 3 ≠ 21 = 69 mod 48

m=49: 51 mod 49 = 2 ≠ 20 = 69 mod 49

m=50: 51 mod 50 = 1 ≠ 19 = 69 mod 50

m=51: 51 mod 51 = 0 ≠ 18 = 69 mod 51

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (69 - 51) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18