Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 77 = 0.

Somit gilt: 77 mod 11 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 66 = 4.

Somit gilt: 70 mod 11 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 88 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 70 ≡ 4 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 + 60) mod 3 ≡ (90 mod 3 + 60 mod 3) mod 3.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(90 + 60) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 76) mod 11 ≡ (49 mod 11 ⋅ 76 mod 11) mod 11.

49 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 44 + 5 = 4 ⋅ 11 + 5 ist.

76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 76) mod 11 ≡ (5 ⋅ 10) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 54 aus, ob zufällig 54 mod m = 74 mod m gilt:

m=2: 54 mod 2 = 0 = 0 = 74 mod 2

m=3: 54 mod 3 = 0 ≠ 2 = 74 mod 3

m=4: 54 mod 4 = 2 = 2 = 74 mod 4

m=5: 54 mod 5 = 4 = 4 = 74 mod 5

m=6: 54 mod 6 = 0 ≠ 2 = 74 mod 6

m=7: 54 mod 7 = 5 ≠ 4 = 74 mod 7

m=8: 54 mod 8 = 6 ≠ 2 = 74 mod 8

m=9: 54 mod 9 = 0 ≠ 2 = 74 mod 9

m=10: 54 mod 10 = 4 = 4 = 74 mod 10

m=11: 54 mod 11 = 10 ≠ 8 = 74 mod 11

m=12: 54 mod 12 = 6 ≠ 2 = 74 mod 12

m=13: 54 mod 13 = 2 ≠ 9 = 74 mod 13

m=14: 54 mod 14 = 12 ≠ 4 = 74 mod 14

m=15: 54 mod 15 = 9 ≠ 14 = 74 mod 15

m=16: 54 mod 16 = 6 ≠ 10 = 74 mod 16

m=17: 54 mod 17 = 3 ≠ 6 = 74 mod 17

m=18: 54 mod 18 = 0 ≠ 2 = 74 mod 18

m=19: 54 mod 19 = 16 ≠ 17 = 74 mod 19

m=20: 54 mod 20 = 14 = 14 = 74 mod 20

m=21: 54 mod 21 = 12 ≠ 11 = 74 mod 21

m=22: 54 mod 22 = 10 ≠ 8 = 74 mod 22

m=23: 54 mod 23 = 8 ≠ 5 = 74 mod 23

m=24: 54 mod 24 = 6 ≠ 2 = 74 mod 24

m=25: 54 mod 25 = 4 ≠ 24 = 74 mod 25

m=26: 54 mod 26 = 2 ≠ 22 = 74 mod 26

m=27: 54 mod 27 = 0 ≠ 20 = 74 mod 27

m=28: 54 mod 28 = 26 ≠ 18 = 74 mod 28

m=29: 54 mod 29 = 25 ≠ 16 = 74 mod 29

m=30: 54 mod 30 = 24 ≠ 14 = 74 mod 30

m=31: 54 mod 31 = 23 ≠ 12 = 74 mod 31

m=32: 54 mod 32 = 22 ≠ 10 = 74 mod 32

m=33: 54 mod 33 = 21 ≠ 8 = 74 mod 33

m=34: 54 mod 34 = 20 ≠ 6 = 74 mod 34

m=35: 54 mod 35 = 19 ≠ 4 = 74 mod 35

m=36: 54 mod 36 = 18 ≠ 2 = 74 mod 36

m=37: 54 mod 37 = 17 ≠ 0 = 74 mod 37

m=38: 54 mod 38 = 16 ≠ 36 = 74 mod 38

m=39: 54 mod 39 = 15 ≠ 35 = 74 mod 39

m=40: 54 mod 40 = 14 ≠ 34 = 74 mod 40

m=41: 54 mod 41 = 13 ≠ 33 = 74 mod 41

m=42: 54 mod 42 = 12 ≠ 32 = 74 mod 42

m=43: 54 mod 43 = 11 ≠ 31 = 74 mod 43

m=44: 54 mod 44 = 10 ≠ 30 = 74 mod 44

m=45: 54 mod 45 = 9 ≠ 29 = 74 mod 45

m=46: 54 mod 46 = 8 ≠ 28 = 74 mod 46

m=47: 54 mod 47 = 7 ≠ 27 = 74 mod 47

m=48: 54 mod 48 = 6 ≠ 26 = 74 mod 48

m=49: 54 mod 49 = 5 ≠ 25 = 74 mod 49

m=50: 54 mod 50 = 4 ≠ 24 = 74 mod 50

m=51: 54 mod 51 = 3 ≠ 23 = 74 mod 51

m=52: 54 mod 52 = 2 ≠ 22 = 74 mod 52

m=53: 54 mod 53 = 1 ≠ 21 = 74 mod 53

m=54: 54 mod 54 = 0 ≠ 20 = 74 mod 54

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (74 - 54) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20