Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 21 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 21 - 20 = 1.
Somit gilt: 21 mod 5 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 44 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 44 - 42 = 2.
Somit gilt: 44 mod 6 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 18 und erhalten so 20.
Somit gilt: 20 ≡ 44 ≡ 2 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7999 + 3207) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7999 + 3207) mod 8 ≡ (7999 mod 8 + 3207 mod 8) mod 8.
7999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999
= 7000
3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207
= 3200
Somit gilt:
(7999 + 3207) mod 8 ≡ (7 + 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 40) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 40) mod 3 ≡ (64 mod 3 ⋅ 40 mod 3) mod 3.
64 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 21 ⋅ 3 + 1 ist.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 40) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 25 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 25 mod m gilt:
m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2
m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 25 mod 3
m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 1 = 25 mod 4
m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 0 = 25 mod 5
m=6: 19 mod 6 = 1 = 1 = 25 mod 6
m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 4 = 25 mod 7
m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 1 = 25 mod 8
m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 7 = 25 mod 9
m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 5 = 25 mod 10
m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 3 = 25 mod 11
m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 1 = 25 mod 12
m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 12 = 25 mod 13
m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 11 = 25 mod 14
m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 10 = 25 mod 15
m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 9 = 25 mod 16
m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 8 = 25 mod 17
m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 7 = 25 mod 18
m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 6 = 25 mod 19
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 19) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
