Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 34 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 33, weil ja 11 ⋅ 3 = 33 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 34 - 33 = 1.
Somit gilt: 34 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 79 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 72 = 7.
Somit gilt: 79 mod 8 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 56 = 7 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 56 und erhalten so 63.
Somit gilt: 63 ≡ 79 ≡ 7 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (252 + 996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(252 + 996) mod 5 ≡ (252 mod 5 + 996 mod 5) mod 5.
252 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 252
= 250
996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996
= 900
Somit gilt:
(252 + 996) mod 5 ≡ (2 + 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 72) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 72) mod 3 ≡ (93 mod 3 ⋅ 72 mod 3) mod 3.
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.
72 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 24 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 72) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
44 mod m = 56 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 44 aus, ob zufällig 44 mod m = 56 mod m gilt:
m=2: 44 mod 2 = 0 = 0 = 56 mod 2
m=3: 44 mod 3 = 2 = 2 = 56 mod 3
m=4: 44 mod 4 = 0 = 0 = 56 mod 4
m=5: 44 mod 5 = 4 ≠ 1 = 56 mod 5
m=6: 44 mod 6 = 2 = 2 = 56 mod 6
m=7: 44 mod 7 = 2 ≠ 0 = 56 mod 7
m=8: 44 mod 8 = 4 ≠ 0 = 56 mod 8
m=9: 44 mod 9 = 8 ≠ 2 = 56 mod 9
m=10: 44 mod 10 = 4 ≠ 6 = 56 mod 10
m=11: 44 mod 11 = 0 ≠ 1 = 56 mod 11
m=12: 44 mod 12 = 8 = 8 = 56 mod 12
m=13: 44 mod 13 = 5 ≠ 4 = 56 mod 13
m=14: 44 mod 14 = 2 ≠ 0 = 56 mod 14
m=15: 44 mod 15 = 14 ≠ 11 = 56 mod 15
m=16: 44 mod 16 = 12 ≠ 8 = 56 mod 16
m=17: 44 mod 17 = 10 ≠ 5 = 56 mod 17
m=18: 44 mod 18 = 8 ≠ 2 = 56 mod 18
m=19: 44 mod 19 = 6 ≠ 18 = 56 mod 19
m=20: 44 mod 20 = 4 ≠ 16 = 56 mod 20
m=21: 44 mod 21 = 2 ≠ 14 = 56 mod 21
m=22: 44 mod 22 = 0 ≠ 12 = 56 mod 22
m=23: 44 mod 23 = 21 ≠ 10 = 56 mod 23
m=24: 44 mod 24 = 20 ≠ 8 = 56 mod 24
m=25: 44 mod 25 = 19 ≠ 6 = 56 mod 25
m=26: 44 mod 26 = 18 ≠ 4 = 56 mod 26
m=27: 44 mod 27 = 17 ≠ 2 = 56 mod 27
m=28: 44 mod 28 = 16 ≠ 0 = 56 mod 28
m=29: 44 mod 29 = 15 ≠ 27 = 56 mod 29
m=30: 44 mod 30 = 14 ≠ 26 = 56 mod 30
m=31: 44 mod 31 = 13 ≠ 25 = 56 mod 31
m=32: 44 mod 32 = 12 ≠ 24 = 56 mod 32
m=33: 44 mod 33 = 11 ≠ 23 = 56 mod 33
m=34: 44 mod 34 = 10 ≠ 22 = 56 mod 34
m=35: 44 mod 35 = 9 ≠ 21 = 56 mod 35
m=36: 44 mod 36 = 8 ≠ 20 = 56 mod 36
m=37: 44 mod 37 = 7 ≠ 19 = 56 mod 37
m=38: 44 mod 38 = 6 ≠ 18 = 56 mod 38
m=39: 44 mod 39 = 5 ≠ 17 = 56 mod 39
m=40: 44 mod 40 = 4 ≠ 16 = 56 mod 40
m=41: 44 mod 41 = 3 ≠ 15 = 56 mod 41
m=42: 44 mod 42 = 2 ≠ 14 = 56 mod 42
m=43: 44 mod 43 = 1 ≠ 13 = 56 mod 43
m=44: 44 mod 44 = 0 ≠ 12 = 56 mod 44
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (56 - 44) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
