Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.

Somit gilt: 41 mod 5 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 85 = 0.

Somit gilt: 85 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Somit gilt: 70 ≡ 85 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(246 - 72) mod 8 ≡ (246 mod 8 - 72 mod 8) mod 8.

246 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 8 ⋅ 30 +6.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 80-8 = 8 ⋅ 10 -8 = 8 ⋅ 10 - 8 + 0.

Somit gilt:

(246 - 72) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 72) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 72 mod 8) mod 8.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 72) mod 8 ≡ (0 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 119 aus, ob zufällig 119 mod m = 164 mod m gilt:

m=2: 119 mod 2 = 1 ≠ 0 = 164 mod 2

m=3: 119 mod 3 = 2 = 2 = 164 mod 3

m=4: 119 mod 4 = 3 ≠ 0 = 164 mod 4

m=5: 119 mod 5 = 4 = 4 = 164 mod 5

m=6: 119 mod 6 = 5 ≠ 2 = 164 mod 6

m=7: 119 mod 7 = 0 ≠ 3 = 164 mod 7

m=8: 119 mod 8 = 7 ≠ 4 = 164 mod 8

m=9: 119 mod 9 = 2 = 2 = 164 mod 9

m=10: 119 mod 10 = 9 ≠ 4 = 164 mod 10

m=11: 119 mod 11 = 9 ≠ 10 = 164 mod 11

m=12: 119 mod 12 = 11 ≠ 8 = 164 mod 12

m=13: 119 mod 13 = 2 ≠ 8 = 164 mod 13

m=14: 119 mod 14 = 7 ≠ 10 = 164 mod 14

m=15: 119 mod 15 = 14 = 14 = 164 mod 15

m=16: 119 mod 16 = 7 ≠ 4 = 164 mod 16

m=17: 119 mod 17 = 0 ≠ 11 = 164 mod 17

m=18: 119 mod 18 = 11 ≠ 2 = 164 mod 18

m=19: 119 mod 19 = 5 ≠ 12 = 164 mod 19

m=20: 119 mod 20 = 19 ≠ 4 = 164 mod 20

m=21: 119 mod 21 = 14 ≠ 17 = 164 mod 21

m=22: 119 mod 22 = 9 ≠ 10 = 164 mod 22

m=23: 119 mod 23 = 4 ≠ 3 = 164 mod 23

m=24: 119 mod 24 = 23 ≠ 20 = 164 mod 24

m=25: 119 mod 25 = 19 ≠ 14 = 164 mod 25

m=26: 119 mod 26 = 15 ≠ 8 = 164 mod 26

m=27: 119 mod 27 = 11 ≠ 2 = 164 mod 27

m=28: 119 mod 28 = 7 ≠ 24 = 164 mod 28

m=29: 119 mod 29 = 3 ≠ 19 = 164 mod 29

m=30: 119 mod 30 = 29 ≠ 14 = 164 mod 30

m=31: 119 mod 31 = 26 ≠ 9 = 164 mod 31

m=32: 119 mod 32 = 23 ≠ 4 = 164 mod 32

m=33: 119 mod 33 = 20 ≠ 32 = 164 mod 33

m=34: 119 mod 34 = 17 ≠ 28 = 164 mod 34

m=35: 119 mod 35 = 14 ≠ 24 = 164 mod 35

m=36: 119 mod 36 = 11 ≠ 20 = 164 mod 36

m=37: 119 mod 37 = 8 ≠ 16 = 164 mod 37

m=38: 119 mod 38 = 5 ≠ 12 = 164 mod 38

m=39: 119 mod 39 = 2 ≠ 8 = 164 mod 39

m=40: 119 mod 40 = 39 ≠ 4 = 164 mod 40

m=41: 119 mod 41 = 37 ≠ 0 = 164 mod 41

m=42: 119 mod 42 = 35 ≠ 38 = 164 mod 42

m=43: 119 mod 43 = 33 ≠ 35 = 164 mod 43

m=44: 119 mod 44 = 31 ≠ 32 = 164 mod 44

m=45: 119 mod 45 = 29 = 29 = 164 mod 45

m=46: 119 mod 46 = 27 ≠ 26 = 164 mod 46

m=47: 119 mod 47 = 25 ≠ 23 = 164 mod 47

m=48: 119 mod 48 = 23 ≠ 20 = 164 mod 48

m=49: 119 mod 49 = 21 ≠ 17 = 164 mod 49

m=50: 119 mod 50 = 19 ≠ 14 = 164 mod 50

m=51: 119 mod 51 = 17 ≠ 11 = 164 mod 51

m=52: 119 mod 52 = 15 ≠ 8 = 164 mod 52

m=53: 119 mod 53 = 13 ≠ 5 = 164 mod 53

m=54: 119 mod 54 = 11 ≠ 2 = 164 mod 54

m=55: 119 mod 55 = 9 ≠ 54 = 164 mod 55

m=56: 119 mod 56 = 7 ≠ 52 = 164 mod 56

m=57: 119 mod 57 = 5 ≠ 50 = 164 mod 57

m=58: 119 mod 58 = 3 ≠ 48 = 164 mod 58

m=59: 119 mod 59 = 1 ≠ 46 = 164 mod 59

m=60: 119 mod 60 = 59 ≠ 44 = 164 mod 60

m=61: 119 mod 61 = 58 ≠ 42 = 164 mod 61

m=62: 119 mod 62 = 57 ≠ 40 = 164 mod 62

m=63: 119 mod 63 = 56 ≠ 38 = 164 mod 63

m=64: 119 mod 64 = 55 ≠ 36 = 164 mod 64

m=65: 119 mod 65 = 54 ≠ 34 = 164 mod 65

m=66: 119 mod 66 = 53 ≠ 32 = 164 mod 66

m=67: 119 mod 67 = 52 ≠ 30 = 164 mod 67

m=68: 119 mod 68 = 51 ≠ 28 = 164 mod 68

m=69: 119 mod 69 = 50 ≠ 26 = 164 mod 69

m=70: 119 mod 70 = 49 ≠ 24 = 164 mod 70

m=71: 119 mod 71 = 48 ≠ 22 = 164 mod 71

m=72: 119 mod 72 = 47 ≠ 20 = 164 mod 72

m=73: 119 mod 73 = 46 ≠ 18 = 164 mod 73

m=74: 119 mod 74 = 45 ≠ 16 = 164 mod 74

m=75: 119 mod 75 = 44 ≠ 14 = 164 mod 75

m=76: 119 mod 76 = 43 ≠ 12 = 164 mod 76

m=77: 119 mod 77 = 42 ≠ 10 = 164 mod 77

m=78: 119 mod 78 = 41 ≠ 8 = 164 mod 78

m=79: 119 mod 79 = 40 ≠ 6 = 164 mod 79

m=80: 119 mod 80 = 39 ≠ 4 = 164 mod 80

m=81: 119 mod 81 = 38 ≠ 2 = 164 mod 81

m=82: 119 mod 82 = 37 ≠ 0 = 164 mod 82

m=83: 119 mod 83 = 36 ≠ 81 = 164 mod 83

m=84: 119 mod 84 = 35 ≠ 80 = 164 mod 84

m=85: 119 mod 85 = 34 ≠ 79 = 164 mod 85

m=86: 119 mod 86 = 33 ≠ 78 = 164 mod 86

m=87: 119 mod 87 = 32 ≠ 77 = 164 mod 87

m=88: 119 mod 88 = 31 ≠ 76 = 164 mod 88

m=89: 119 mod 89 = 30 ≠ 75 = 164 mod 89

m=90: 119 mod 90 = 29 ≠ 74 = 164 mod 90

m=91: 119 mod 91 = 28 ≠ 73 = 164 mod 91

m=92: 119 mod 92 = 27 ≠ 72 = 164 mod 92

m=93: 119 mod 93 = 26 ≠ 71 = 164 mod 93

m=94: 119 mod 94 = 25 ≠ 70 = 164 mod 94

m=95: 119 mod 95 = 24 ≠ 69 = 164 mod 95

m=96: 119 mod 96 = 23 ≠ 68 = 164 mod 96

m=97: 119 mod 97 = 22 ≠ 67 = 164 mod 97

m=98: 119 mod 98 = 21 ≠ 66 = 164 mod 98

m=99: 119 mod 99 = 20 ≠ 65 = 164 mod 99

m=100: 119 mod 100 = 19 ≠ 64 = 164 mod 100

m=101: 119 mod 101 = 18 ≠ 63 = 164 mod 101

m=102: 119 mod 102 = 17 ≠ 62 = 164 mod 102

m=103: 119 mod 103 = 16 ≠ 61 = 164 mod 103

m=104: 119 mod 104 = 15 ≠ 60 = 164 mod 104

m=105: 119 mod 105 = 14 ≠ 59 = 164 mod 105

m=106: 119 mod 106 = 13 ≠ 58 = 164 mod 106

m=107: 119 mod 107 = 12 ≠ 57 = 164 mod 107

m=108: 119 mod 108 = 11 ≠ 56 = 164 mod 108

m=109: 119 mod 109 = 10 ≠ 55 = 164 mod 109

m=110: 119 mod 110 = 9 ≠ 54 = 164 mod 110

m=111: 119 mod 111 = 8 ≠ 53 = 164 mod 111

m=112: 119 mod 112 = 7 ≠ 52 = 164 mod 112

m=113: 119 mod 113 = 6 ≠ 51 = 164 mod 113

m=114: 119 mod 114 = 5 ≠ 50 = 164 mod 114

m=115: 119 mod 115 = 4 ≠ 49 = 164 mod 115

m=116: 119 mod 116 = 3 ≠ 48 = 164 mod 116

m=117: 119 mod 117 = 2 ≠ 47 = 164 mod 117

m=118: 119 mod 118 = 1 ≠ 46 = 164 mod 118

m=119: 119 mod 119 = 0 ≠ 45 = 164 mod 119

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (164 - 119) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45