Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 37 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 37 - 36 = 1.
Somit gilt: 37 mod 6 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 32 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 32 = 0.
Somit gilt: 32 mod 4 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4
Somit gilt: 40 ≡ 32 ≡ 0 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29994 - 2998) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29994 - 2998) mod 6 ≡ (29994 mod 6 - 2998 mod 6) mod 6.
29994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29994
= 30000
2998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998
= 3000
Somit gilt:
(29994 - 2998) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 31) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 31) mod 9 ≡ (75 mod 9 ⋅ 31 mod 9) mod 9.
75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.
31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 31) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
