Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 65 = 4.

Somit gilt: 69 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 55 = 1.

Somit gilt: 56 mod 11 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 88 und erhalten so 89.

Somit gilt: 89 ≡ 56 ≡ 1 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5005 + 25000) mod 5 ≡ (5005 mod 5 + 25000 mod 5) mod 5.

5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005 = 5000+5 = 5 ⋅ 1000 +5.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(5005 + 25000) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 58) mod 6 ≡ (55 mod 6 ⋅ 58 mod 6) mod 6.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 9 ⋅ 6 + 1 ist.

58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 58) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 173 aus, ob zufällig 173 mod m = 223 mod m gilt:

m=2: 173 mod 2 = 1 = 1 = 223 mod 2

m=3: 173 mod 3 = 2 ≠ 1 = 223 mod 3

m=4: 173 mod 4 = 1 ≠ 3 = 223 mod 4

m=5: 173 mod 5 = 3 = 3 = 223 mod 5

m=6: 173 mod 6 = 5 ≠ 1 = 223 mod 6

m=7: 173 mod 7 = 5 ≠ 6 = 223 mod 7

m=8: 173 mod 8 = 5 ≠ 7 = 223 mod 8

m=9: 173 mod 9 = 2 ≠ 7 = 223 mod 9

m=10: 173 mod 10 = 3 = 3 = 223 mod 10

m=11: 173 mod 11 = 8 ≠ 3 = 223 mod 11

m=12: 173 mod 12 = 5 ≠ 7 = 223 mod 12

m=13: 173 mod 13 = 4 ≠ 2 = 223 mod 13

m=14: 173 mod 14 = 5 ≠ 13 = 223 mod 14

m=15: 173 mod 15 = 8 ≠ 13 = 223 mod 15

m=16: 173 mod 16 = 13 ≠ 15 = 223 mod 16

m=17: 173 mod 17 = 3 ≠ 2 = 223 mod 17

m=18: 173 mod 18 = 11 ≠ 7 = 223 mod 18

m=19: 173 mod 19 = 2 ≠ 14 = 223 mod 19

m=20: 173 mod 20 = 13 ≠ 3 = 223 mod 20

m=21: 173 mod 21 = 5 ≠ 13 = 223 mod 21

m=22: 173 mod 22 = 19 ≠ 3 = 223 mod 22

m=23: 173 mod 23 = 12 ≠ 16 = 223 mod 23

m=24: 173 mod 24 = 5 ≠ 7 = 223 mod 24

m=25: 173 mod 25 = 23 = 23 = 223 mod 25

m=26: 173 mod 26 = 17 ≠ 15 = 223 mod 26

m=27: 173 mod 27 = 11 ≠ 7 = 223 mod 27

m=28: 173 mod 28 = 5 ≠ 27 = 223 mod 28

m=29: 173 mod 29 = 28 ≠ 20 = 223 mod 29

m=30: 173 mod 30 = 23 ≠ 13 = 223 mod 30

m=31: 173 mod 31 = 18 ≠ 6 = 223 mod 31

m=32: 173 mod 32 = 13 ≠ 31 = 223 mod 32

m=33: 173 mod 33 = 8 ≠ 25 = 223 mod 33

m=34: 173 mod 34 = 3 ≠ 19 = 223 mod 34

m=35: 173 mod 35 = 33 ≠ 13 = 223 mod 35

m=36: 173 mod 36 = 29 ≠ 7 = 223 mod 36

m=37: 173 mod 37 = 25 ≠ 1 = 223 mod 37

m=38: 173 mod 38 = 21 ≠ 33 = 223 mod 38

m=39: 173 mod 39 = 17 ≠ 28 = 223 mod 39

m=40: 173 mod 40 = 13 ≠ 23 = 223 mod 40

m=41: 173 mod 41 = 9 ≠ 18 = 223 mod 41

m=42: 173 mod 42 = 5 ≠ 13 = 223 mod 42

m=43: 173 mod 43 = 1 ≠ 8 = 223 mod 43

m=44: 173 mod 44 = 41 ≠ 3 = 223 mod 44

m=45: 173 mod 45 = 38 ≠ 43 = 223 mod 45

m=46: 173 mod 46 = 35 ≠ 39 = 223 mod 46

m=47: 173 mod 47 = 32 ≠ 35 = 223 mod 47

m=48: 173 mod 48 = 29 ≠ 31 = 223 mod 48

m=49: 173 mod 49 = 26 ≠ 27 = 223 mod 49

m=50: 173 mod 50 = 23 = 23 = 223 mod 50

m=51: 173 mod 51 = 20 ≠ 19 = 223 mod 51

m=52: 173 mod 52 = 17 ≠ 15 = 223 mod 52

m=53: 173 mod 53 = 14 ≠ 11 = 223 mod 53

m=54: 173 mod 54 = 11 ≠ 7 = 223 mod 54

m=55: 173 mod 55 = 8 ≠ 3 = 223 mod 55

m=56: 173 mod 56 = 5 ≠ 55 = 223 mod 56

m=57: 173 mod 57 = 2 ≠ 52 = 223 mod 57

m=58: 173 mod 58 = 57 ≠ 49 = 223 mod 58

m=59: 173 mod 59 = 55 ≠ 46 = 223 mod 59

m=60: 173 mod 60 = 53 ≠ 43 = 223 mod 60

m=61: 173 mod 61 = 51 ≠ 40 = 223 mod 61

m=62: 173 mod 62 = 49 ≠ 37 = 223 mod 62

m=63: 173 mod 63 = 47 ≠ 34 = 223 mod 63

m=64: 173 mod 64 = 45 ≠ 31 = 223 mod 64

m=65: 173 mod 65 = 43 ≠ 28 = 223 mod 65

m=66: 173 mod 66 = 41 ≠ 25 = 223 mod 66

m=67: 173 mod 67 = 39 ≠ 22 = 223 mod 67

m=68: 173 mod 68 = 37 ≠ 19 = 223 mod 68

m=69: 173 mod 69 = 35 ≠ 16 = 223 mod 69

m=70: 173 mod 70 = 33 ≠ 13 = 223 mod 70

m=71: 173 mod 71 = 31 ≠ 10 = 223 mod 71

m=72: 173 mod 72 = 29 ≠ 7 = 223 mod 72

m=73: 173 mod 73 = 27 ≠ 4 = 223 mod 73

m=74: 173 mod 74 = 25 ≠ 1 = 223 mod 74

m=75: 173 mod 75 = 23 ≠ 73 = 223 mod 75

m=76: 173 mod 76 = 21 ≠ 71 = 223 mod 76

m=77: 173 mod 77 = 19 ≠ 69 = 223 mod 77

m=78: 173 mod 78 = 17 ≠ 67 = 223 mod 78

m=79: 173 mod 79 = 15 ≠ 65 = 223 mod 79

m=80: 173 mod 80 = 13 ≠ 63 = 223 mod 80

m=81: 173 mod 81 = 11 ≠ 61 = 223 mod 81

m=82: 173 mod 82 = 9 ≠ 59 = 223 mod 82

m=83: 173 mod 83 = 7 ≠ 57 = 223 mod 83

m=84: 173 mod 84 = 5 ≠ 55 = 223 mod 84

m=85: 173 mod 85 = 3 ≠ 53 = 223 mod 85

m=86: 173 mod 86 = 1 ≠ 51 = 223 mod 86

m=87: 173 mod 87 = 86 ≠ 49 = 223 mod 87

m=88: 173 mod 88 = 85 ≠ 47 = 223 mod 88

m=89: 173 mod 89 = 84 ≠ 45 = 223 mod 89

m=90: 173 mod 90 = 83 ≠ 43 = 223 mod 90

m=91: 173 mod 91 = 82 ≠ 41 = 223 mod 91

m=92: 173 mod 92 = 81 ≠ 39 = 223 mod 92

m=93: 173 mod 93 = 80 ≠ 37 = 223 mod 93

m=94: 173 mod 94 = 79 ≠ 35 = 223 mod 94

m=95: 173 mod 95 = 78 ≠ 33 = 223 mod 95

m=96: 173 mod 96 = 77 ≠ 31 = 223 mod 96

m=97: 173 mod 97 = 76 ≠ 29 = 223 mod 97

m=98: 173 mod 98 = 75 ≠ 27 = 223 mod 98

m=99: 173 mod 99 = 74 ≠ 25 = 223 mod 99

m=100: 173 mod 100 = 73 ≠ 23 = 223 mod 100

m=101: 173 mod 101 = 72 ≠ 21 = 223 mod 101

m=102: 173 mod 102 = 71 ≠ 19 = 223 mod 102

m=103: 173 mod 103 = 70 ≠ 17 = 223 mod 103

m=104: 173 mod 104 = 69 ≠ 15 = 223 mod 104

m=105: 173 mod 105 = 68 ≠ 13 = 223 mod 105

m=106: 173 mod 106 = 67 ≠ 11 = 223 mod 106

m=107: 173 mod 107 = 66 ≠ 9 = 223 mod 107

m=108: 173 mod 108 = 65 ≠ 7 = 223 mod 108

m=109: 173 mod 109 = 64 ≠ 5 = 223 mod 109

m=110: 173 mod 110 = 63 ≠ 3 = 223 mod 110

m=111: 173 mod 111 = 62 ≠ 1 = 223 mod 111

m=112: 173 mod 112 = 61 ≠ 111 = 223 mod 112

m=113: 173 mod 113 = 60 ≠ 110 = 223 mod 113

m=114: 173 mod 114 = 59 ≠ 109 = 223 mod 114

m=115: 173 mod 115 = 58 ≠ 108 = 223 mod 115

m=116: 173 mod 116 = 57 ≠ 107 = 223 mod 116

m=117: 173 mod 117 = 56 ≠ 106 = 223 mod 117

m=118: 173 mod 118 = 55 ≠ 105 = 223 mod 118

m=119: 173 mod 119 = 54 ≠ 104 = 223 mod 119

m=120: 173 mod 120 = 53 ≠ 103 = 223 mod 120

m=121: 173 mod 121 = 52 ≠ 102 = 223 mod 121

m=122: 173 mod 122 = 51 ≠ 101 = 223 mod 122

m=123: 173 mod 123 = 50 ≠ 100 = 223 mod 123

m=124: 173 mod 124 = 49 ≠ 99 = 223 mod 124

m=125: 173 mod 125 = 48 ≠ 98 = 223 mod 125

m=126: 173 mod 126 = 47 ≠ 97 = 223 mod 126

m=127: 173 mod 127 = 46 ≠ 96 = 223 mod 127

m=128: 173 mod 128 = 45 ≠ 95 = 223 mod 128

m=129: 173 mod 129 = 44 ≠ 94 = 223 mod 129

m=130: 173 mod 130 = 43 ≠ 93 = 223 mod 130

m=131: 173 mod 131 = 42 ≠ 92 = 223 mod 131

m=132: 173 mod 132 = 41 ≠ 91 = 223 mod 132

m=133: 173 mod 133 = 40 ≠ 90 = 223 mod 133

m=134: 173 mod 134 = 39 ≠ 89 = 223 mod 134

m=135: 173 mod 135 = 38 ≠ 88 = 223 mod 135

m=136: 173 mod 136 = 37 ≠ 87 = 223 mod 136

m=137: 173 mod 137 = 36 ≠ 86 = 223 mod 137

m=138: 173 mod 138 = 35 ≠ 85 = 223 mod 138

m=139: 173 mod 139 = 34 ≠ 84 = 223 mod 139

m=140: 173 mod 140 = 33 ≠ 83 = 223 mod 140

m=141: 173 mod 141 = 32 ≠ 82 = 223 mod 141

m=142: 173 mod 142 = 31 ≠ 81 = 223 mod 142

m=143: 173 mod 143 = 30 ≠ 80 = 223 mod 143

m=144: 173 mod 144 = 29 ≠ 79 = 223 mod 144

m=145: 173 mod 145 = 28 ≠ 78 = 223 mod 145

m=146: 173 mod 146 = 27 ≠ 77 = 223 mod 146

m=147: 173 mod 147 = 26 ≠ 76 = 223 mod 147

m=148: 173 mod 148 = 25 ≠ 75 = 223 mod 148

m=149: 173 mod 149 = 24 ≠ 74 = 223 mod 149

m=150: 173 mod 150 = 23 ≠ 73 = 223 mod 150

m=151: 173 mod 151 = 22 ≠ 72 = 223 mod 151

m=152: 173 mod 152 = 21 ≠ 71 = 223 mod 152

m=153: 173 mod 153 = 20 ≠ 70 = 223 mod 153

m=154: 173 mod 154 = 19 ≠ 69 = 223 mod 154

m=155: 173 mod 155 = 18 ≠ 68 = 223 mod 155

m=156: 173 mod 156 = 17 ≠ 67 = 223 mod 156

m=157: 173 mod 157 = 16 ≠ 66 = 223 mod 157

m=158: 173 mod 158 = 15 ≠ 65 = 223 mod 158

m=159: 173 mod 159 = 14 ≠ 64 = 223 mod 159

m=160: 173 mod 160 = 13 ≠ 63 = 223 mod 160

m=161: 173 mod 161 = 12 ≠ 62 = 223 mod 161

m=162: 173 mod 162 = 11 ≠ 61 = 223 mod 162

m=163: 173 mod 163 = 10 ≠ 60 = 223 mod 163

m=164: 173 mod 164 = 9 ≠ 59 = 223 mod 164

m=165: 173 mod 165 = 8 ≠ 58 = 223 mod 165

m=166: 173 mod 166 = 7 ≠ 57 = 223 mod 166

m=167: 173 mod 167 = 6 ≠ 56 = 223 mod 167

m=168: 173 mod 168 = 5 ≠ 55 = 223 mod 168

m=169: 173 mod 169 = 4 ≠ 54 = 223 mod 169

m=170: 173 mod 170 = 3 ≠ 53 = 223 mod 170

m=171: 173 mod 171 = 2 ≠ 52 = 223 mod 171

m=172: 173 mod 172 = 1 ≠ 51 = 223 mod 172

m=173: 173 mod 173 = 0 ≠ 50 = 223 mod 173

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (223 - 173) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50