Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 16, weil ja 4 ⋅ 4 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 18 - 16 = 2.

Somit gilt: 18 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.

Somit gilt: 63 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 7 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 42 und erhalten so 45.

Somit gilt: 45 ≡ 63 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 - 1997) mod 5 ≡ (45 mod 5 - 1997 mod 5) mod 5.

45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40+5 = 5 ⋅ 8 +5.

1997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 5 ⋅ 380 +97.

Somit gilt:

(45 - 1997) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 63) mod 11 ≡ (96 mod 11 ⋅ 63 mod 11) mod 11.

96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.

63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 63) mod 11 ≡ (8 ⋅ 8) mod 11 ≡ 64 mod 11 ≡ 9 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:

m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2

m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3

m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4

m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5

m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6

m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7

m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8

m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9

m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4