Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 27, weil ja 9 ⋅ 3 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 27 = 2.

Somit gilt: 29 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 54 = 6.

Somit gilt: 60 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 9 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 60 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(447 - 44993) mod 9 ≡ (447 mod 9 - 44993 mod 9) mod 9.

447 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 447 = 450-3 = 9 ⋅ 50 -3 = 9 ⋅ 50 - 9 + 6.

44993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44993 = 45000-7 = 9 ⋅ 5000 -7 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 2.

Somit gilt:

(447 - 44993) mod 9 ≡ (6 - 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 59) mod 8 ≡ (63 mod 8 ⋅ 59 mod 8) mod 8.

63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.

59 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 7 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 59) mod 8 ≡ (7 ⋅ 3) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 ≠ 0 = 38 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 = 2 = 38 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 ≠ 2 = 38 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 = 2 = 38 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 10 = 38 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 9 = 38 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 29) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9