Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 21 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 21 - 20 = 1.
Somit gilt: 21 mod 5 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 57 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 57, weil ja 19 ⋅ 3 = 57 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 57 - 57 = 0.
Somit gilt: 57 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 24 ⋅ 3
Somit gilt: 72 ≡ 57 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14998 - 14998) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14998 - 14998) mod 3 ≡ (14998 mod 3 - 14998 mod 3) mod 3.
14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998
= 15000
14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998
= 15000
Somit gilt:
(14998 - 14998) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 30) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 30) mod 9 ≡ (38 mod 9 ⋅ 30 mod 9) mod 9.
38 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 4 ⋅ 9 + 2 ist.
30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 30) mod 9 ≡ (2 ⋅ 3) mod 9 ≡ 6 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
21 mod m = 27 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 27 mod m gilt:
m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2
m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3
m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 27 mod 4
m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 2 = 27 mod 5
m=6: 21 mod 6 = 3 = 3 = 27 mod 6
m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 6 = 27 mod 7
m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 3 = 27 mod 8
m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 0 = 27 mod 9
m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 7 = 27 mod 10
m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 5 = 27 mod 11
m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 3 = 27 mod 12
m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 1 = 27 mod 13
m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 13 = 27 mod 14
m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 12 = 27 mod 15
m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 11 = 27 mod 16
m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 10 = 27 mod 17
m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 9 = 27 mod 18
m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 8 = 27 mod 19
m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 7 = 27 mod 20
m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 6 = 27 mod 21
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 21) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
