Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 84 = 6.

Somit gilt: 90 mod 7 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 37 - 33 = 4.

Somit gilt: 37 mod 11 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 77 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 37 ≡ 4 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39999 - 88) mod 8 ≡ (39999 mod 8 - 88 mod 8) mod 8.

39999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39999 = 39000+999 = 8 ⋅ 4875 +999.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80+8 = 8 ⋅ 10 +8.

Somit gilt:

(39999 - 88) mod 8 ≡ (7 - 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 76) mod 10 ≡ (38 mod 10 ⋅ 76 mod 10) mod 10.

38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.

76 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 7 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 76) mod 10 ≡ (8 ⋅ 6) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 225 aus, ob zufällig 225 mod m = 300 mod m gilt:

m=2: 225 mod 2 = 1 ≠ 0 = 300 mod 2

m=3: 225 mod 3 = 0 = 0 = 300 mod 3

m=4: 225 mod 4 = 1 ≠ 0 = 300 mod 4

m=5: 225 mod 5 = 0 = 0 = 300 mod 5

m=6: 225 mod 6 = 3 ≠ 0 = 300 mod 6

m=7: 225 mod 7 = 1 ≠ 6 = 300 mod 7

m=8: 225 mod 8 = 1 ≠ 4 = 300 mod 8

m=9: 225 mod 9 = 0 ≠ 3 = 300 mod 9

m=10: 225 mod 10 = 5 ≠ 0 = 300 mod 10

m=11: 225 mod 11 = 5 ≠ 3 = 300 mod 11

m=12: 225 mod 12 = 9 ≠ 0 = 300 mod 12

m=13: 225 mod 13 = 4 ≠ 1 = 300 mod 13

m=14: 225 mod 14 = 1 ≠ 6 = 300 mod 14

m=15: 225 mod 15 = 0 = 0 = 300 mod 15

m=16: 225 mod 16 = 1 ≠ 12 = 300 mod 16

m=17: 225 mod 17 = 4 ≠ 11 = 300 mod 17

m=18: 225 mod 18 = 9 ≠ 12 = 300 mod 18

m=19: 225 mod 19 = 16 ≠ 15 = 300 mod 19

m=20: 225 mod 20 = 5 ≠ 0 = 300 mod 20

m=21: 225 mod 21 = 15 ≠ 6 = 300 mod 21

m=22: 225 mod 22 = 5 ≠ 14 = 300 mod 22

m=23: 225 mod 23 = 18 ≠ 1 = 300 mod 23

m=24: 225 mod 24 = 9 ≠ 12 = 300 mod 24

m=25: 225 mod 25 = 0 = 0 = 300 mod 25

m=26: 225 mod 26 = 17 ≠ 14 = 300 mod 26

m=27: 225 mod 27 = 9 ≠ 3 = 300 mod 27

m=28: 225 mod 28 = 1 ≠ 20 = 300 mod 28

m=29: 225 mod 29 = 22 ≠ 10 = 300 mod 29

m=30: 225 mod 30 = 15 ≠ 0 = 300 mod 30

m=31: 225 mod 31 = 8 ≠ 21 = 300 mod 31

m=32: 225 mod 32 = 1 ≠ 12 = 300 mod 32

m=33: 225 mod 33 = 27 ≠ 3 = 300 mod 33

m=34: 225 mod 34 = 21 ≠ 28 = 300 mod 34

m=35: 225 mod 35 = 15 ≠ 20 = 300 mod 35

m=36: 225 mod 36 = 9 ≠ 12 = 300 mod 36

m=37: 225 mod 37 = 3 ≠ 4 = 300 mod 37

m=38: 225 mod 38 = 35 ≠ 34 = 300 mod 38

m=39: 225 mod 39 = 30 ≠ 27 = 300 mod 39

m=40: 225 mod 40 = 25 ≠ 20 = 300 mod 40

m=41: 225 mod 41 = 20 ≠ 13 = 300 mod 41

m=42: 225 mod 42 = 15 ≠ 6 = 300 mod 42

m=43: 225 mod 43 = 10 ≠ 42 = 300 mod 43

m=44: 225 mod 44 = 5 ≠ 36 = 300 mod 44

m=45: 225 mod 45 = 0 ≠ 30 = 300 mod 45

m=46: 225 mod 46 = 41 ≠ 24 = 300 mod 46

m=47: 225 mod 47 = 37 ≠ 18 = 300 mod 47

m=48: 225 mod 48 = 33 ≠ 12 = 300 mod 48

m=49: 225 mod 49 = 29 ≠ 6 = 300 mod 49

m=50: 225 mod 50 = 25 ≠ 0 = 300 mod 50

m=51: 225 mod 51 = 21 ≠ 45 = 300 mod 51

m=52: 225 mod 52 = 17 ≠ 40 = 300 mod 52

m=53: 225 mod 53 = 13 ≠ 35 = 300 mod 53

m=54: 225 mod 54 = 9 ≠ 30 = 300 mod 54

m=55: 225 mod 55 = 5 ≠ 25 = 300 mod 55

m=56: 225 mod 56 = 1 ≠ 20 = 300 mod 56

m=57: 225 mod 57 = 54 ≠ 15 = 300 mod 57

m=58: 225 mod 58 = 51 ≠ 10 = 300 mod 58

m=59: 225 mod 59 = 48 ≠ 5 = 300 mod 59

m=60: 225 mod 60 = 45 ≠ 0 = 300 mod 60

m=61: 225 mod 61 = 42 ≠ 56 = 300 mod 61

m=62: 225 mod 62 = 39 ≠ 52 = 300 mod 62

m=63: 225 mod 63 = 36 ≠ 48 = 300 mod 63

m=64: 225 mod 64 = 33 ≠ 44 = 300 mod 64

m=65: 225 mod 65 = 30 ≠ 40 = 300 mod 65

m=66: 225 mod 66 = 27 ≠ 36 = 300 mod 66

m=67: 225 mod 67 = 24 ≠ 32 = 300 mod 67

m=68: 225 mod 68 = 21 ≠ 28 = 300 mod 68

m=69: 225 mod 69 = 18 ≠ 24 = 300 mod 69

m=70: 225 mod 70 = 15 ≠ 20 = 300 mod 70

m=71: 225 mod 71 = 12 ≠ 16 = 300 mod 71

m=72: 225 mod 72 = 9 ≠ 12 = 300 mod 72

m=73: 225 mod 73 = 6 ≠ 8 = 300 mod 73

m=74: 225 mod 74 = 3 ≠ 4 = 300 mod 74

m=75: 225 mod 75 = 0 = 0 = 300 mod 75

m=76: 225 mod 76 = 73 ≠ 72 = 300 mod 76

m=77: 225 mod 77 = 71 ≠ 69 = 300 mod 77

m=78: 225 mod 78 = 69 ≠ 66 = 300 mod 78

m=79: 225 mod 79 = 67 ≠ 63 = 300 mod 79

m=80: 225 mod 80 = 65 ≠ 60 = 300 mod 80

m=81: 225 mod 81 = 63 ≠ 57 = 300 mod 81

m=82: 225 mod 82 = 61 ≠ 54 = 300 mod 82

m=83: 225 mod 83 = 59 ≠ 51 = 300 mod 83

m=84: 225 mod 84 = 57 ≠ 48 = 300 mod 84

m=85: 225 mod 85 = 55 ≠ 45 = 300 mod 85

m=86: 225 mod 86 = 53 ≠ 42 = 300 mod 86

m=87: 225 mod 87 = 51 ≠ 39 = 300 mod 87

m=88: 225 mod 88 = 49 ≠ 36 = 300 mod 88

m=89: 225 mod 89 = 47 ≠ 33 = 300 mod 89

m=90: 225 mod 90 = 45 ≠ 30 = 300 mod 90

m=91: 225 mod 91 = 43 ≠ 27 = 300 mod 91

m=92: 225 mod 92 = 41 ≠ 24 = 300 mod 92

m=93: 225 mod 93 = 39 ≠ 21 = 300 mod 93

m=94: 225 mod 94 = 37 ≠ 18 = 300 mod 94

m=95: 225 mod 95 = 35 ≠ 15 = 300 mod 95

m=96: 225 mod 96 = 33 ≠ 12 = 300 mod 96

m=97: 225 mod 97 = 31 ≠ 9 = 300 mod 97

m=98: 225 mod 98 = 29 ≠ 6 = 300 mod 98

m=99: 225 mod 99 = 27 ≠ 3 = 300 mod 99

m=100: 225 mod 100 = 25 ≠ 0 = 300 mod 100

m=101: 225 mod 101 = 23 ≠ 98 = 300 mod 101

m=102: 225 mod 102 = 21 ≠ 96 = 300 mod 102

m=103: 225 mod 103 = 19 ≠ 94 = 300 mod 103

m=104: 225 mod 104 = 17 ≠ 92 = 300 mod 104

m=105: 225 mod 105 = 15 ≠ 90 = 300 mod 105

m=106: 225 mod 106 = 13 ≠ 88 = 300 mod 106

m=107: 225 mod 107 = 11 ≠ 86 = 300 mod 107

m=108: 225 mod 108 = 9 ≠ 84 = 300 mod 108

m=109: 225 mod 109 = 7 ≠ 82 = 300 mod 109

m=110: 225 mod 110 = 5 ≠ 80 = 300 mod 110

m=111: 225 mod 111 = 3 ≠ 78 = 300 mod 111

m=112: 225 mod 112 = 1 ≠ 76 = 300 mod 112

m=113: 225 mod 113 = 112 ≠ 74 = 300 mod 113

m=114: 225 mod 114 = 111 ≠ 72 = 300 mod 114

m=115: 225 mod 115 = 110 ≠ 70 = 300 mod 115

m=116: 225 mod 116 = 109 ≠ 68 = 300 mod 116

m=117: 225 mod 117 = 108 ≠ 66 = 300 mod 117

m=118: 225 mod 118 = 107 ≠ 64 = 300 mod 118

m=119: 225 mod 119 = 106 ≠ 62 = 300 mod 119

m=120: 225 mod 120 = 105 ≠ 60 = 300 mod 120

m=121: 225 mod 121 = 104 ≠ 58 = 300 mod 121

m=122: 225 mod 122 = 103 ≠ 56 = 300 mod 122

m=123: 225 mod 123 = 102 ≠ 54 = 300 mod 123

m=124: 225 mod 124 = 101 ≠ 52 = 300 mod 124

m=125: 225 mod 125 = 100 ≠ 50 = 300 mod 125

m=126: 225 mod 126 = 99 ≠ 48 = 300 mod 126

m=127: 225 mod 127 = 98 ≠ 46 = 300 mod 127

m=128: 225 mod 128 = 97 ≠ 44 = 300 mod 128

m=129: 225 mod 129 = 96 ≠ 42 = 300 mod 129

m=130: 225 mod 130 = 95 ≠ 40 = 300 mod 130

m=131: 225 mod 131 = 94 ≠ 38 = 300 mod 131

m=132: 225 mod 132 = 93 ≠ 36 = 300 mod 132

m=133: 225 mod 133 = 92 ≠ 34 = 300 mod 133

m=134: 225 mod 134 = 91 ≠ 32 = 300 mod 134

m=135: 225 mod 135 = 90 ≠ 30 = 300 mod 135

m=136: 225 mod 136 = 89 ≠ 28 = 300 mod 136

m=137: 225 mod 137 = 88 ≠ 26 = 300 mod 137

m=138: 225 mod 138 = 87 ≠ 24 = 300 mod 138

m=139: 225 mod 139 = 86 ≠ 22 = 300 mod 139

m=140: 225 mod 140 = 85 ≠ 20 = 300 mod 140

m=141: 225 mod 141 = 84 ≠ 18 = 300 mod 141

m=142: 225 mod 142 = 83 ≠ 16 = 300 mod 142

m=143: 225 mod 143 = 82 ≠ 14 = 300 mod 143

m=144: 225 mod 144 = 81 ≠ 12 = 300 mod 144

m=145: 225 mod 145 = 80 ≠ 10 = 300 mod 145

m=146: 225 mod 146 = 79 ≠ 8 = 300 mod 146

m=147: 225 mod 147 = 78 ≠ 6 = 300 mod 147

m=148: 225 mod 148 = 77 ≠ 4 = 300 mod 148

m=149: 225 mod 149 = 76 ≠ 2 = 300 mod 149

m=150: 225 mod 150 = 75 ≠ 0 = 300 mod 150

m=151: 225 mod 151 = 74 ≠ 149 = 300 mod 151

m=152: 225 mod 152 = 73 ≠ 148 = 300 mod 152

m=153: 225 mod 153 = 72 ≠ 147 = 300 mod 153

m=154: 225 mod 154 = 71 ≠ 146 = 300 mod 154

m=155: 225 mod 155 = 70 ≠ 145 = 300 mod 155

m=156: 225 mod 156 = 69 ≠ 144 = 300 mod 156

m=157: 225 mod 157 = 68 ≠ 143 = 300 mod 157

m=158: 225 mod 158 = 67 ≠ 142 = 300 mod 158

m=159: 225 mod 159 = 66 ≠ 141 = 300 mod 159

m=160: 225 mod 160 = 65 ≠ 140 = 300 mod 160

m=161: 225 mod 161 = 64 ≠ 139 = 300 mod 161

m=162: 225 mod 162 = 63 ≠ 138 = 300 mod 162

m=163: 225 mod 163 = 62 ≠ 137 = 300 mod 163

m=164: 225 mod 164 = 61 ≠ 136 = 300 mod 164

m=165: 225 mod 165 = 60 ≠ 135 = 300 mod 165

m=166: 225 mod 166 = 59 ≠ 134 = 300 mod 166

m=167: 225 mod 167 = 58 ≠ 133 = 300 mod 167

m=168: 225 mod 168 = 57 ≠ 132 = 300 mod 168

m=169: 225 mod 169 = 56 ≠ 131 = 300 mod 169

m=170: 225 mod 170 = 55 ≠ 130 = 300 mod 170

m=171: 225 mod 171 = 54 ≠ 129 = 300 mod 171

m=172: 225 mod 172 = 53 ≠ 128 = 300 mod 172

m=173: 225 mod 173 = 52 ≠ 127 = 300 mod 173

m=174: 225 mod 174 = 51 ≠ 126 = 300 mod 174

m=175: 225 mod 175 = 50 ≠ 125 = 300 mod 175

m=176: 225 mod 176 = 49 ≠ 124 = 300 mod 176

m=177: 225 mod 177 = 48 ≠ 123 = 300 mod 177

m=178: 225 mod 178 = 47 ≠ 122 = 300 mod 178

m=179: 225 mod 179 = 46 ≠ 121 = 300 mod 179

m=180: 225 mod 180 = 45 ≠ 120 = 300 mod 180

m=181: 225 mod 181 = 44 ≠ 119 = 300 mod 181

m=182: 225 mod 182 = 43 ≠ 118 = 300 mod 182

m=183: 225 mod 183 = 42 ≠ 117 = 300 mod 183

m=184: 225 mod 184 = 41 ≠ 116 = 300 mod 184

m=185: 225 mod 185 = 40 ≠ 115 = 300 mod 185

m=186: 225 mod 186 = 39 ≠ 114 = 300 mod 186

m=187: 225 mod 187 = 38 ≠ 113 = 300 mod 187

m=188: 225 mod 188 = 37 ≠ 112 = 300 mod 188

m=189: 225 mod 189 = 36 ≠ 111 = 300 mod 189

m=190: 225 mod 190 = 35 ≠ 110 = 300 mod 190

m=191: 225 mod 191 = 34 ≠ 109 = 300 mod 191

m=192: 225 mod 192 = 33 ≠ 108 = 300 mod 192

m=193: 225 mod 193 = 32 ≠ 107 = 300 mod 193

m=194: 225 mod 194 = 31 ≠ 106 = 300 mod 194

m=195: 225 mod 195 = 30 ≠ 105 = 300 mod 195

m=196: 225 mod 196 = 29 ≠ 104 = 300 mod 196

m=197: 225 mod 197 = 28 ≠ 103 = 300 mod 197

m=198: 225 mod 198 = 27 ≠ 102 = 300 mod 198

m=199: 225 mod 199 = 26 ≠ 101 = 300 mod 199

m=200: 225 mod 200 = 25 ≠ 100 = 300 mod 200

m=201: 225 mod 201 = 24 ≠ 99 = 300 mod 201

m=202: 225 mod 202 = 23 ≠ 98 = 300 mod 202

m=203: 225 mod 203 = 22 ≠ 97 = 300 mod 203

m=204: 225 mod 204 = 21 ≠ 96 = 300 mod 204

m=205: 225 mod 205 = 20 ≠ 95 = 300 mod 205

m=206: 225 mod 206 = 19 ≠ 94 = 300 mod 206

m=207: 225 mod 207 = 18 ≠ 93 = 300 mod 207

m=208: 225 mod 208 = 17 ≠ 92 = 300 mod 208

m=209: 225 mod 209 = 16 ≠ 91 = 300 mod 209

m=210: 225 mod 210 = 15 ≠ 90 = 300 mod 210

m=211: 225 mod 211 = 14 ≠ 89 = 300 mod 211

m=212: 225 mod 212 = 13 ≠ 88 = 300 mod 212

m=213: 225 mod 213 = 12 ≠ 87 = 300 mod 213

m=214: 225 mod 214 = 11 ≠ 86 = 300 mod 214

m=215: 225 mod 215 = 10 ≠ 85 = 300 mod 215

m=216: 225 mod 216 = 9 ≠ 84 = 300 mod 216

m=217: 225 mod 217 = 8 ≠ 83 = 300 mod 217

m=218: 225 mod 218 = 7 ≠ 82 = 300 mod 218

m=219: 225 mod 219 = 6 ≠ 81 = 300 mod 219

m=220: 225 mod 220 = 5 ≠ 80 = 300 mod 220

m=221: 225 mod 221 = 4 ≠ 79 = 300 mod 221

m=222: 225 mod 222 = 3 ≠ 78 = 300 mod 222

m=223: 225 mod 223 = 2 ≠ 77 = 300 mod 223

m=224: 225 mod 224 = 1 ≠ 76 = 300 mod 224

m=225: 225 mod 225 = 0 ≠ 75 = 300 mod 225

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (300 - 225) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75