Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 9 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 40 = 5.

Somit gilt: 45 mod 8 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 11 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 88 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 45 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(351 - 18001) mod 9 ≡ (351 mod 9 - 18001 mod 9) mod 9.

351 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351 = 360-9 = 9 ⋅ 40 -9 = 9 ⋅ 40 - 9 + 0.

18001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18001 = 18000+1 = 9 ⋅ 2000 +1.

Somit gilt:

(351 - 18001) mod 9 ≡ (0 - 1) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 83) mod 3 ≡ (15 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.

15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.

83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 83) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 140 aus, ob zufällig 140 mod m = 185 mod m gilt:

m=2: 140 mod 2 = 0 ≠ 1 = 185 mod 2

m=3: 140 mod 3 = 2 = 2 = 185 mod 3

m=4: 140 mod 4 = 0 ≠ 1 = 185 mod 4

m=5: 140 mod 5 = 0 = 0 = 185 mod 5

m=6: 140 mod 6 = 2 ≠ 5 = 185 mod 6

m=7: 140 mod 7 = 0 ≠ 3 = 185 mod 7

m=8: 140 mod 8 = 4 ≠ 1 = 185 mod 8

m=9: 140 mod 9 = 5 = 5 = 185 mod 9

m=10: 140 mod 10 = 0 ≠ 5 = 185 mod 10

m=11: 140 mod 11 = 8 ≠ 9 = 185 mod 11

m=12: 140 mod 12 = 8 ≠ 5 = 185 mod 12

m=13: 140 mod 13 = 10 ≠ 3 = 185 mod 13

m=14: 140 mod 14 = 0 ≠ 3 = 185 mod 14

m=15: 140 mod 15 = 5 = 5 = 185 mod 15

m=16: 140 mod 16 = 12 ≠ 9 = 185 mod 16

m=17: 140 mod 17 = 4 ≠ 15 = 185 mod 17

m=18: 140 mod 18 = 14 ≠ 5 = 185 mod 18

m=19: 140 mod 19 = 7 ≠ 14 = 185 mod 19

m=20: 140 mod 20 = 0 ≠ 5 = 185 mod 20

m=21: 140 mod 21 = 14 ≠ 17 = 185 mod 21

m=22: 140 mod 22 = 8 ≠ 9 = 185 mod 22

m=23: 140 mod 23 = 2 ≠ 1 = 185 mod 23

m=24: 140 mod 24 = 20 ≠ 17 = 185 mod 24

m=25: 140 mod 25 = 15 ≠ 10 = 185 mod 25

m=26: 140 mod 26 = 10 ≠ 3 = 185 mod 26

m=27: 140 mod 27 = 5 ≠ 23 = 185 mod 27

m=28: 140 mod 28 = 0 ≠ 17 = 185 mod 28

m=29: 140 mod 29 = 24 ≠ 11 = 185 mod 29

m=30: 140 mod 30 = 20 ≠ 5 = 185 mod 30

m=31: 140 mod 31 = 16 ≠ 30 = 185 mod 31

m=32: 140 mod 32 = 12 ≠ 25 = 185 mod 32

m=33: 140 mod 33 = 8 ≠ 20 = 185 mod 33

m=34: 140 mod 34 = 4 ≠ 15 = 185 mod 34

m=35: 140 mod 35 = 0 ≠ 10 = 185 mod 35

m=36: 140 mod 36 = 32 ≠ 5 = 185 mod 36

m=37: 140 mod 37 = 29 ≠ 0 = 185 mod 37

m=38: 140 mod 38 = 26 ≠ 33 = 185 mod 38

m=39: 140 mod 39 = 23 ≠ 29 = 185 mod 39

m=40: 140 mod 40 = 20 ≠ 25 = 185 mod 40

m=41: 140 mod 41 = 17 ≠ 21 = 185 mod 41

m=42: 140 mod 42 = 14 ≠ 17 = 185 mod 42

m=43: 140 mod 43 = 11 ≠ 13 = 185 mod 43

m=44: 140 mod 44 = 8 ≠ 9 = 185 mod 44

m=45: 140 mod 45 = 5 = 5 = 185 mod 45

m=46: 140 mod 46 = 2 ≠ 1 = 185 mod 46

m=47: 140 mod 47 = 46 ≠ 44 = 185 mod 47

m=48: 140 mod 48 = 44 ≠ 41 = 185 mod 48

m=49: 140 mod 49 = 42 ≠ 38 = 185 mod 49

m=50: 140 mod 50 = 40 ≠ 35 = 185 mod 50

m=51: 140 mod 51 = 38 ≠ 32 = 185 mod 51

m=52: 140 mod 52 = 36 ≠ 29 = 185 mod 52

m=53: 140 mod 53 = 34 ≠ 26 = 185 mod 53

m=54: 140 mod 54 = 32 ≠ 23 = 185 mod 54

m=55: 140 mod 55 = 30 ≠ 20 = 185 mod 55

m=56: 140 mod 56 = 28 ≠ 17 = 185 mod 56

m=57: 140 mod 57 = 26 ≠ 14 = 185 mod 57

m=58: 140 mod 58 = 24 ≠ 11 = 185 mod 58

m=59: 140 mod 59 = 22 ≠ 8 = 185 mod 59

m=60: 140 mod 60 = 20 ≠ 5 = 185 mod 60

m=61: 140 mod 61 = 18 ≠ 2 = 185 mod 61

m=62: 140 mod 62 = 16 ≠ 61 = 185 mod 62

m=63: 140 mod 63 = 14 ≠ 59 = 185 mod 63

m=64: 140 mod 64 = 12 ≠ 57 = 185 mod 64

m=65: 140 mod 65 = 10 ≠ 55 = 185 mod 65

m=66: 140 mod 66 = 8 ≠ 53 = 185 mod 66

m=67: 140 mod 67 = 6 ≠ 51 = 185 mod 67

m=68: 140 mod 68 = 4 ≠ 49 = 185 mod 68

m=69: 140 mod 69 = 2 ≠ 47 = 185 mod 69

m=70: 140 mod 70 = 0 ≠ 45 = 185 mod 70

m=71: 140 mod 71 = 69 ≠ 43 = 185 mod 71

m=72: 140 mod 72 = 68 ≠ 41 = 185 mod 72

m=73: 140 mod 73 = 67 ≠ 39 = 185 mod 73

m=74: 140 mod 74 = 66 ≠ 37 = 185 mod 74

m=75: 140 mod 75 = 65 ≠ 35 = 185 mod 75

m=76: 140 mod 76 = 64 ≠ 33 = 185 mod 76

m=77: 140 mod 77 = 63 ≠ 31 = 185 mod 77

m=78: 140 mod 78 = 62 ≠ 29 = 185 mod 78

m=79: 140 mod 79 = 61 ≠ 27 = 185 mod 79

m=80: 140 mod 80 = 60 ≠ 25 = 185 mod 80

m=81: 140 mod 81 = 59 ≠ 23 = 185 mod 81

m=82: 140 mod 82 = 58 ≠ 21 = 185 mod 82

m=83: 140 mod 83 = 57 ≠ 19 = 185 mod 83

m=84: 140 mod 84 = 56 ≠ 17 = 185 mod 84

m=85: 140 mod 85 = 55 ≠ 15 = 185 mod 85

m=86: 140 mod 86 = 54 ≠ 13 = 185 mod 86

m=87: 140 mod 87 = 53 ≠ 11 = 185 mod 87

m=88: 140 mod 88 = 52 ≠ 9 = 185 mod 88

m=89: 140 mod 89 = 51 ≠ 7 = 185 mod 89

m=90: 140 mod 90 = 50 ≠ 5 = 185 mod 90

m=91: 140 mod 91 = 49 ≠ 3 = 185 mod 91

m=92: 140 mod 92 = 48 ≠ 1 = 185 mod 92

m=93: 140 mod 93 = 47 ≠ 92 = 185 mod 93

m=94: 140 mod 94 = 46 ≠ 91 = 185 mod 94

m=95: 140 mod 95 = 45 ≠ 90 = 185 mod 95

m=96: 140 mod 96 = 44 ≠ 89 = 185 mod 96

m=97: 140 mod 97 = 43 ≠ 88 = 185 mod 97

m=98: 140 mod 98 = 42 ≠ 87 = 185 mod 98

m=99: 140 mod 99 = 41 ≠ 86 = 185 mod 99

m=100: 140 mod 100 = 40 ≠ 85 = 185 mod 100

m=101: 140 mod 101 = 39 ≠ 84 = 185 mod 101

m=102: 140 mod 102 = 38 ≠ 83 = 185 mod 102

m=103: 140 mod 103 = 37 ≠ 82 = 185 mod 103

m=104: 140 mod 104 = 36 ≠ 81 = 185 mod 104

m=105: 140 mod 105 = 35 ≠ 80 = 185 mod 105

m=106: 140 mod 106 = 34 ≠ 79 = 185 mod 106

m=107: 140 mod 107 = 33 ≠ 78 = 185 mod 107

m=108: 140 mod 108 = 32 ≠ 77 = 185 mod 108

m=109: 140 mod 109 = 31 ≠ 76 = 185 mod 109

m=110: 140 mod 110 = 30 ≠ 75 = 185 mod 110

m=111: 140 mod 111 = 29 ≠ 74 = 185 mod 111

m=112: 140 mod 112 = 28 ≠ 73 = 185 mod 112

m=113: 140 mod 113 = 27 ≠ 72 = 185 mod 113

m=114: 140 mod 114 = 26 ≠ 71 = 185 mod 114

m=115: 140 mod 115 = 25 ≠ 70 = 185 mod 115

m=116: 140 mod 116 = 24 ≠ 69 = 185 mod 116

m=117: 140 mod 117 = 23 ≠ 68 = 185 mod 117

m=118: 140 mod 118 = 22 ≠ 67 = 185 mod 118

m=119: 140 mod 119 = 21 ≠ 66 = 185 mod 119

m=120: 140 mod 120 = 20 ≠ 65 = 185 mod 120

m=121: 140 mod 121 = 19 ≠ 64 = 185 mod 121

m=122: 140 mod 122 = 18 ≠ 63 = 185 mod 122

m=123: 140 mod 123 = 17 ≠ 62 = 185 mod 123

m=124: 140 mod 124 = 16 ≠ 61 = 185 mod 124

m=125: 140 mod 125 = 15 ≠ 60 = 185 mod 125

m=126: 140 mod 126 = 14 ≠ 59 = 185 mod 126

m=127: 140 mod 127 = 13 ≠ 58 = 185 mod 127

m=128: 140 mod 128 = 12 ≠ 57 = 185 mod 128

m=129: 140 mod 129 = 11 ≠ 56 = 185 mod 129

m=130: 140 mod 130 = 10 ≠ 55 = 185 mod 130

m=131: 140 mod 131 = 9 ≠ 54 = 185 mod 131

m=132: 140 mod 132 = 8 ≠ 53 = 185 mod 132

m=133: 140 mod 133 = 7 ≠ 52 = 185 mod 133

m=134: 140 mod 134 = 6 ≠ 51 = 185 mod 134

m=135: 140 mod 135 = 5 ≠ 50 = 185 mod 135

m=136: 140 mod 136 = 4 ≠ 49 = 185 mod 136

m=137: 140 mod 137 = 3 ≠ 48 = 185 mod 137

m=138: 140 mod 138 = 2 ≠ 47 = 185 mod 138

m=139: 140 mod 139 = 1 ≠ 46 = 185 mod 139

m=140: 140 mod 140 = 0 ≠ 45 = 185 mod 140

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (185 - 140) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45