Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 18 = 7.

Somit gilt: 25 mod 9 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 56 = 3.

Somit gilt: 59 mod 7 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 10 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 70 und erhalten so 73.

Somit gilt: 73 ≡ 59 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(495 + 49) mod 5 ≡ (495 mod 5 + 49 mod 5) mod 5.

495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 495 = 400+95 = 5 ⋅ 80 +95.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40+9 = 5 ⋅ 8 +9.

Somit gilt:

(495 + 49) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 63) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 63 mod 3) mod 3.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 63) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 124 aus, ob zufällig 124 mod m = 169 mod m gilt:

m=2: 124 mod 2 = 0 ≠ 1 = 169 mod 2

m=3: 124 mod 3 = 1 = 1 = 169 mod 3

m=4: 124 mod 4 = 0 ≠ 1 = 169 mod 4

m=5: 124 mod 5 = 4 = 4 = 169 mod 5

m=6: 124 mod 6 = 4 ≠ 1 = 169 mod 6

m=7: 124 mod 7 = 5 ≠ 1 = 169 mod 7

m=8: 124 mod 8 = 4 ≠ 1 = 169 mod 8

m=9: 124 mod 9 = 7 = 7 = 169 mod 9

m=10: 124 mod 10 = 4 ≠ 9 = 169 mod 10

m=11: 124 mod 11 = 3 ≠ 4 = 169 mod 11

m=12: 124 mod 12 = 4 ≠ 1 = 169 mod 12

m=13: 124 mod 13 = 7 ≠ 0 = 169 mod 13

m=14: 124 mod 14 = 12 ≠ 1 = 169 mod 14

m=15: 124 mod 15 = 4 = 4 = 169 mod 15

m=16: 124 mod 16 = 12 ≠ 9 = 169 mod 16

m=17: 124 mod 17 = 5 ≠ 16 = 169 mod 17

m=18: 124 mod 18 = 16 ≠ 7 = 169 mod 18

m=19: 124 mod 19 = 10 ≠ 17 = 169 mod 19

m=20: 124 mod 20 = 4 ≠ 9 = 169 mod 20

m=21: 124 mod 21 = 19 ≠ 1 = 169 mod 21

m=22: 124 mod 22 = 14 ≠ 15 = 169 mod 22

m=23: 124 mod 23 = 9 ≠ 8 = 169 mod 23

m=24: 124 mod 24 = 4 ≠ 1 = 169 mod 24

m=25: 124 mod 25 = 24 ≠ 19 = 169 mod 25

m=26: 124 mod 26 = 20 ≠ 13 = 169 mod 26

m=27: 124 mod 27 = 16 ≠ 7 = 169 mod 27

m=28: 124 mod 28 = 12 ≠ 1 = 169 mod 28

m=29: 124 mod 29 = 8 ≠ 24 = 169 mod 29

m=30: 124 mod 30 = 4 ≠ 19 = 169 mod 30

m=31: 124 mod 31 = 0 ≠ 14 = 169 mod 31

m=32: 124 mod 32 = 28 ≠ 9 = 169 mod 32

m=33: 124 mod 33 = 25 ≠ 4 = 169 mod 33

m=34: 124 mod 34 = 22 ≠ 33 = 169 mod 34

m=35: 124 mod 35 = 19 ≠ 29 = 169 mod 35

m=36: 124 mod 36 = 16 ≠ 25 = 169 mod 36

m=37: 124 mod 37 = 13 ≠ 21 = 169 mod 37

m=38: 124 mod 38 = 10 ≠ 17 = 169 mod 38

m=39: 124 mod 39 = 7 ≠ 13 = 169 mod 39

m=40: 124 mod 40 = 4 ≠ 9 = 169 mod 40

m=41: 124 mod 41 = 1 ≠ 5 = 169 mod 41

m=42: 124 mod 42 = 40 ≠ 1 = 169 mod 42

m=43: 124 mod 43 = 38 ≠ 40 = 169 mod 43

m=44: 124 mod 44 = 36 ≠ 37 = 169 mod 44

m=45: 124 mod 45 = 34 = 34 = 169 mod 45

m=46: 124 mod 46 = 32 ≠ 31 = 169 mod 46

m=47: 124 mod 47 = 30 ≠ 28 = 169 mod 47

m=48: 124 mod 48 = 28 ≠ 25 = 169 mod 48

m=49: 124 mod 49 = 26 ≠ 22 = 169 mod 49

m=50: 124 mod 50 = 24 ≠ 19 = 169 mod 50

m=51: 124 mod 51 = 22 ≠ 16 = 169 mod 51

m=52: 124 mod 52 = 20 ≠ 13 = 169 mod 52

m=53: 124 mod 53 = 18 ≠ 10 = 169 mod 53

m=54: 124 mod 54 = 16 ≠ 7 = 169 mod 54

m=55: 124 mod 55 = 14 ≠ 4 = 169 mod 55

m=56: 124 mod 56 = 12 ≠ 1 = 169 mod 56

m=57: 124 mod 57 = 10 ≠ 55 = 169 mod 57

m=58: 124 mod 58 = 8 ≠ 53 = 169 mod 58

m=59: 124 mod 59 = 6 ≠ 51 = 169 mod 59

m=60: 124 mod 60 = 4 ≠ 49 = 169 mod 60

m=61: 124 mod 61 = 2 ≠ 47 = 169 mod 61

m=62: 124 mod 62 = 0 ≠ 45 = 169 mod 62

m=63: 124 mod 63 = 61 ≠ 43 = 169 mod 63

m=64: 124 mod 64 = 60 ≠ 41 = 169 mod 64

m=65: 124 mod 65 = 59 ≠ 39 = 169 mod 65

m=66: 124 mod 66 = 58 ≠ 37 = 169 mod 66

m=67: 124 mod 67 = 57 ≠ 35 = 169 mod 67

m=68: 124 mod 68 = 56 ≠ 33 = 169 mod 68

m=69: 124 mod 69 = 55 ≠ 31 = 169 mod 69

m=70: 124 mod 70 = 54 ≠ 29 = 169 mod 70

m=71: 124 mod 71 = 53 ≠ 27 = 169 mod 71

m=72: 124 mod 72 = 52 ≠ 25 = 169 mod 72

m=73: 124 mod 73 = 51 ≠ 23 = 169 mod 73

m=74: 124 mod 74 = 50 ≠ 21 = 169 mod 74

m=75: 124 mod 75 = 49 ≠ 19 = 169 mod 75

m=76: 124 mod 76 = 48 ≠ 17 = 169 mod 76

m=77: 124 mod 77 = 47 ≠ 15 = 169 mod 77

m=78: 124 mod 78 = 46 ≠ 13 = 169 mod 78

m=79: 124 mod 79 = 45 ≠ 11 = 169 mod 79

m=80: 124 mod 80 = 44 ≠ 9 = 169 mod 80

m=81: 124 mod 81 = 43 ≠ 7 = 169 mod 81

m=82: 124 mod 82 = 42 ≠ 5 = 169 mod 82

m=83: 124 mod 83 = 41 ≠ 3 = 169 mod 83

m=84: 124 mod 84 = 40 ≠ 1 = 169 mod 84

m=85: 124 mod 85 = 39 ≠ 84 = 169 mod 85

m=86: 124 mod 86 = 38 ≠ 83 = 169 mod 86

m=87: 124 mod 87 = 37 ≠ 82 = 169 mod 87

m=88: 124 mod 88 = 36 ≠ 81 = 169 mod 88

m=89: 124 mod 89 = 35 ≠ 80 = 169 mod 89

m=90: 124 mod 90 = 34 ≠ 79 = 169 mod 90

m=91: 124 mod 91 = 33 ≠ 78 = 169 mod 91

m=92: 124 mod 92 = 32 ≠ 77 = 169 mod 92

m=93: 124 mod 93 = 31 ≠ 76 = 169 mod 93

m=94: 124 mod 94 = 30 ≠ 75 = 169 mod 94

m=95: 124 mod 95 = 29 ≠ 74 = 169 mod 95

m=96: 124 mod 96 = 28 ≠ 73 = 169 mod 96

m=97: 124 mod 97 = 27 ≠ 72 = 169 mod 97

m=98: 124 mod 98 = 26 ≠ 71 = 169 mod 98

m=99: 124 mod 99 = 25 ≠ 70 = 169 mod 99

m=100: 124 mod 100 = 24 ≠ 69 = 169 mod 100

m=101: 124 mod 101 = 23 ≠ 68 = 169 mod 101

m=102: 124 mod 102 = 22 ≠ 67 = 169 mod 102

m=103: 124 mod 103 = 21 ≠ 66 = 169 mod 103

m=104: 124 mod 104 = 20 ≠ 65 = 169 mod 104

m=105: 124 mod 105 = 19 ≠ 64 = 169 mod 105

m=106: 124 mod 106 = 18 ≠ 63 = 169 mod 106

m=107: 124 mod 107 = 17 ≠ 62 = 169 mod 107

m=108: 124 mod 108 = 16 ≠ 61 = 169 mod 108

m=109: 124 mod 109 = 15 ≠ 60 = 169 mod 109

m=110: 124 mod 110 = 14 ≠ 59 = 169 mod 110

m=111: 124 mod 111 = 13 ≠ 58 = 169 mod 111

m=112: 124 mod 112 = 12 ≠ 57 = 169 mod 112

m=113: 124 mod 113 = 11 ≠ 56 = 169 mod 113

m=114: 124 mod 114 = 10 ≠ 55 = 169 mod 114

m=115: 124 mod 115 = 9 ≠ 54 = 169 mod 115

m=116: 124 mod 116 = 8 ≠ 53 = 169 mod 116

m=117: 124 mod 117 = 7 ≠ 52 = 169 mod 117

m=118: 124 mod 118 = 6 ≠ 51 = 169 mod 118

m=119: 124 mod 119 = 5 ≠ 50 = 169 mod 119

m=120: 124 mod 120 = 4 ≠ 49 = 169 mod 120

m=121: 124 mod 121 = 3 ≠ 48 = 169 mod 121

m=122: 124 mod 122 = 2 ≠ 47 = 169 mod 122

m=123: 124 mod 123 = 1 ≠ 46 = 169 mod 123

m=124: 124 mod 124 = 0 ≠ 45 = 169 mod 124

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (169 - 124) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45