Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 10, weil ja 1 ⋅ 10 = 10 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 10 = 5.

Somit gilt: 15 mod 10 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 18 = 4.

Somit gilt: 22 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 11 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 66 und erhalten so 70.

Somit gilt: 70 ≡ 22 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(203 - 1498) mod 5 ≡ (203 mod 5 - 1498 mod 5) mod 5.

203 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203 = 200+3 = 5 ⋅ 40 +3.

1498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1400+98 = 5 ⋅ 280 +98.

Somit gilt:

(203 - 1498) mod 5 ≡ (3 - 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 75) mod 6 ≡ (86 mod 6 ⋅ 75 mod 6) mod 6.

86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.

75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 75) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 141 aus, ob zufällig 141 mod m = 186 mod m gilt:

m=2: 141 mod 2 = 1 ≠ 0 = 186 mod 2

m=3: 141 mod 3 = 0 = 0 = 186 mod 3

m=4: 141 mod 4 = 1 ≠ 2 = 186 mod 4

m=5: 141 mod 5 = 1 = 1 = 186 mod 5

m=6: 141 mod 6 = 3 ≠ 0 = 186 mod 6

m=7: 141 mod 7 = 1 ≠ 4 = 186 mod 7

m=8: 141 mod 8 = 5 ≠ 2 = 186 mod 8

m=9: 141 mod 9 = 6 = 6 = 186 mod 9

m=10: 141 mod 10 = 1 ≠ 6 = 186 mod 10

m=11: 141 mod 11 = 9 ≠ 10 = 186 mod 11

m=12: 141 mod 12 = 9 ≠ 6 = 186 mod 12

m=13: 141 mod 13 = 11 ≠ 4 = 186 mod 13

m=14: 141 mod 14 = 1 ≠ 4 = 186 mod 14

m=15: 141 mod 15 = 6 = 6 = 186 mod 15

m=16: 141 mod 16 = 13 ≠ 10 = 186 mod 16

m=17: 141 mod 17 = 5 ≠ 16 = 186 mod 17

m=18: 141 mod 18 = 15 ≠ 6 = 186 mod 18

m=19: 141 mod 19 = 8 ≠ 15 = 186 mod 19

m=20: 141 mod 20 = 1 ≠ 6 = 186 mod 20

m=21: 141 mod 21 = 15 ≠ 18 = 186 mod 21

m=22: 141 mod 22 = 9 ≠ 10 = 186 mod 22

m=23: 141 mod 23 = 3 ≠ 2 = 186 mod 23

m=24: 141 mod 24 = 21 ≠ 18 = 186 mod 24

m=25: 141 mod 25 = 16 ≠ 11 = 186 mod 25

m=26: 141 mod 26 = 11 ≠ 4 = 186 mod 26

m=27: 141 mod 27 = 6 ≠ 24 = 186 mod 27

m=28: 141 mod 28 = 1 ≠ 18 = 186 mod 28

m=29: 141 mod 29 = 25 ≠ 12 = 186 mod 29

m=30: 141 mod 30 = 21 ≠ 6 = 186 mod 30

m=31: 141 mod 31 = 17 ≠ 0 = 186 mod 31

m=32: 141 mod 32 = 13 ≠ 26 = 186 mod 32

m=33: 141 mod 33 = 9 ≠ 21 = 186 mod 33

m=34: 141 mod 34 = 5 ≠ 16 = 186 mod 34

m=35: 141 mod 35 = 1 ≠ 11 = 186 mod 35

m=36: 141 mod 36 = 33 ≠ 6 = 186 mod 36

m=37: 141 mod 37 = 30 ≠ 1 = 186 mod 37

m=38: 141 mod 38 = 27 ≠ 34 = 186 mod 38

m=39: 141 mod 39 = 24 ≠ 30 = 186 mod 39

m=40: 141 mod 40 = 21 ≠ 26 = 186 mod 40

m=41: 141 mod 41 = 18 ≠ 22 = 186 mod 41

m=42: 141 mod 42 = 15 ≠ 18 = 186 mod 42

m=43: 141 mod 43 = 12 ≠ 14 = 186 mod 43

m=44: 141 mod 44 = 9 ≠ 10 = 186 mod 44

m=45: 141 mod 45 = 6 = 6 = 186 mod 45

m=46: 141 mod 46 = 3 ≠ 2 = 186 mod 46

m=47: 141 mod 47 = 0 ≠ 45 = 186 mod 47

m=48: 141 mod 48 = 45 ≠ 42 = 186 mod 48

m=49: 141 mod 49 = 43 ≠ 39 = 186 mod 49

m=50: 141 mod 50 = 41 ≠ 36 = 186 mod 50

m=51: 141 mod 51 = 39 ≠ 33 = 186 mod 51

m=52: 141 mod 52 = 37 ≠ 30 = 186 mod 52

m=53: 141 mod 53 = 35 ≠ 27 = 186 mod 53

m=54: 141 mod 54 = 33 ≠ 24 = 186 mod 54

m=55: 141 mod 55 = 31 ≠ 21 = 186 mod 55

m=56: 141 mod 56 = 29 ≠ 18 = 186 mod 56

m=57: 141 mod 57 = 27 ≠ 15 = 186 mod 57

m=58: 141 mod 58 = 25 ≠ 12 = 186 mod 58

m=59: 141 mod 59 = 23 ≠ 9 = 186 mod 59

m=60: 141 mod 60 = 21 ≠ 6 = 186 mod 60

m=61: 141 mod 61 = 19 ≠ 3 = 186 mod 61

m=62: 141 mod 62 = 17 ≠ 0 = 186 mod 62

m=63: 141 mod 63 = 15 ≠ 60 = 186 mod 63

m=64: 141 mod 64 = 13 ≠ 58 = 186 mod 64

m=65: 141 mod 65 = 11 ≠ 56 = 186 mod 65

m=66: 141 mod 66 = 9 ≠ 54 = 186 mod 66

m=67: 141 mod 67 = 7 ≠ 52 = 186 mod 67

m=68: 141 mod 68 = 5 ≠ 50 = 186 mod 68

m=69: 141 mod 69 = 3 ≠ 48 = 186 mod 69

m=70: 141 mod 70 = 1 ≠ 46 = 186 mod 70

m=71: 141 mod 71 = 70 ≠ 44 = 186 mod 71

m=72: 141 mod 72 = 69 ≠ 42 = 186 mod 72

m=73: 141 mod 73 = 68 ≠ 40 = 186 mod 73

m=74: 141 mod 74 = 67 ≠ 38 = 186 mod 74

m=75: 141 mod 75 = 66 ≠ 36 = 186 mod 75

m=76: 141 mod 76 = 65 ≠ 34 = 186 mod 76

m=77: 141 mod 77 = 64 ≠ 32 = 186 mod 77

m=78: 141 mod 78 = 63 ≠ 30 = 186 mod 78

m=79: 141 mod 79 = 62 ≠ 28 = 186 mod 79

m=80: 141 mod 80 = 61 ≠ 26 = 186 mod 80

m=81: 141 mod 81 = 60 ≠ 24 = 186 mod 81

m=82: 141 mod 82 = 59 ≠ 22 = 186 mod 82

m=83: 141 mod 83 = 58 ≠ 20 = 186 mod 83

m=84: 141 mod 84 = 57 ≠ 18 = 186 mod 84

m=85: 141 mod 85 = 56 ≠ 16 = 186 mod 85

m=86: 141 mod 86 = 55 ≠ 14 = 186 mod 86

m=87: 141 mod 87 = 54 ≠ 12 = 186 mod 87

m=88: 141 mod 88 = 53 ≠ 10 = 186 mod 88

m=89: 141 mod 89 = 52 ≠ 8 = 186 mod 89

m=90: 141 mod 90 = 51 ≠ 6 = 186 mod 90

m=91: 141 mod 91 = 50 ≠ 4 = 186 mod 91

m=92: 141 mod 92 = 49 ≠ 2 = 186 mod 92

m=93: 141 mod 93 = 48 ≠ 0 = 186 mod 93

m=94: 141 mod 94 = 47 ≠ 92 = 186 mod 94

m=95: 141 mod 95 = 46 ≠ 91 = 186 mod 95

m=96: 141 mod 96 = 45 ≠ 90 = 186 mod 96

m=97: 141 mod 97 = 44 ≠ 89 = 186 mod 97

m=98: 141 mod 98 = 43 ≠ 88 = 186 mod 98

m=99: 141 mod 99 = 42 ≠ 87 = 186 mod 99

m=100: 141 mod 100 = 41 ≠ 86 = 186 mod 100

m=101: 141 mod 101 = 40 ≠ 85 = 186 mod 101

m=102: 141 mod 102 = 39 ≠ 84 = 186 mod 102

m=103: 141 mod 103 = 38 ≠ 83 = 186 mod 103

m=104: 141 mod 104 = 37 ≠ 82 = 186 mod 104

m=105: 141 mod 105 = 36 ≠ 81 = 186 mod 105

m=106: 141 mod 106 = 35 ≠ 80 = 186 mod 106

m=107: 141 mod 107 = 34 ≠ 79 = 186 mod 107

m=108: 141 mod 108 = 33 ≠ 78 = 186 mod 108

m=109: 141 mod 109 = 32 ≠ 77 = 186 mod 109

m=110: 141 mod 110 = 31 ≠ 76 = 186 mod 110

m=111: 141 mod 111 = 30 ≠ 75 = 186 mod 111

m=112: 141 mod 112 = 29 ≠ 74 = 186 mod 112

m=113: 141 mod 113 = 28 ≠ 73 = 186 mod 113

m=114: 141 mod 114 = 27 ≠ 72 = 186 mod 114

m=115: 141 mod 115 = 26 ≠ 71 = 186 mod 115

m=116: 141 mod 116 = 25 ≠ 70 = 186 mod 116

m=117: 141 mod 117 = 24 ≠ 69 = 186 mod 117

m=118: 141 mod 118 = 23 ≠ 68 = 186 mod 118

m=119: 141 mod 119 = 22 ≠ 67 = 186 mod 119

m=120: 141 mod 120 = 21 ≠ 66 = 186 mod 120

m=121: 141 mod 121 = 20 ≠ 65 = 186 mod 121

m=122: 141 mod 122 = 19 ≠ 64 = 186 mod 122

m=123: 141 mod 123 = 18 ≠ 63 = 186 mod 123

m=124: 141 mod 124 = 17 ≠ 62 = 186 mod 124

m=125: 141 mod 125 = 16 ≠ 61 = 186 mod 125

m=126: 141 mod 126 = 15 ≠ 60 = 186 mod 126

m=127: 141 mod 127 = 14 ≠ 59 = 186 mod 127

m=128: 141 mod 128 = 13 ≠ 58 = 186 mod 128

m=129: 141 mod 129 = 12 ≠ 57 = 186 mod 129

m=130: 141 mod 130 = 11 ≠ 56 = 186 mod 130

m=131: 141 mod 131 = 10 ≠ 55 = 186 mod 131

m=132: 141 mod 132 = 9 ≠ 54 = 186 mod 132

m=133: 141 mod 133 = 8 ≠ 53 = 186 mod 133

m=134: 141 mod 134 = 7 ≠ 52 = 186 mod 134

m=135: 141 mod 135 = 6 ≠ 51 = 186 mod 135

m=136: 141 mod 136 = 5 ≠ 50 = 186 mod 136

m=137: 141 mod 137 = 4 ≠ 49 = 186 mod 137

m=138: 141 mod 138 = 3 ≠ 48 = 186 mod 138

m=139: 141 mod 139 = 2 ≠ 47 = 186 mod 139

m=140: 141 mod 140 = 1 ≠ 46 = 186 mod 140

m=141: 141 mod 141 = 0 ≠ 45 = 186 mod 141

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (186 - 141) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45