Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.

Somit gilt: 41 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 10 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 30 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 2 ⋅ 10

Somit gilt: 20 ≡ 60 ≡ 0 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1203 + 11999) mod 6 ≡ (1203 mod 6 + 11999 mod 6) mod 6.

1203 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203 = 1200+3 = 6 ⋅ 200 +3.

11999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 6 ⋅ 2000 -1 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 5.

Somit gilt:

(1203 + 11999) mod 6 ≡ (3 + 5) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 20) mod 3 ≡ (100 mod 3 ⋅ 20 mod 3) mod 3.

100 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 33 ⋅ 3 + 1 ist.

20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 20) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6