Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 54 = 3.

Somit gilt: 57 mod 6 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 55 = 3.

Somit gilt: 58 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 80 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 58 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(693 - 2100) mod 7 ≡ (693 mod 7 - 2100 mod 7) mod 7.

693 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 693 = 700-7 = 7 ⋅ 100 -7 = 7 ⋅ 100 - 7 + 0.

2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100 = 2100+0 = 7 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(693 - 2100) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 25) mod 11 ≡ (29 mod 11 ⋅ 25 mod 11) mod 11.

29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.

25 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 22 + 3 = 2 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 25) mod 11 ≡ (7 ⋅ 3) mod 11 ≡ 21 mod 11 ≡ 10 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 42 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 ≠ 0 = 42 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 42 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 2 = 42 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 ≠ 2 = 42 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 0 = 42 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 0 = 42 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 2 = 42 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 = 6 = 42 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 2 = 42 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 9 = 42 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 6 = 42 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 3 = 42 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 0 = 42 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 12 = 42 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 10 = 42 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 8 = 42 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 6 = 42 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 4 = 42 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 2 = 42 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 0 = 42 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 20 = 42 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 19 = 42 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 18 = 42 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 17 = 42 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 16 = 42 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 15 = 42 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 14 = 42 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 13 = 42 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 12 = 42 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 11 = 42 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 10 = 42 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 9 = 42 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 33) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9