Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 42, weil ja 14 ⋅ 3 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 42 = 0.

Somit gilt: 42 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.

Somit gilt: 54 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 2 ⋅ 6

Somit gilt: 12 ≡ 54 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3494 + 72) mod 7 ≡ (3494 mod 7 + 72 mod 7) mod 7.

3494 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3494 = 3500-6 = 7 ⋅ 500 -6 = 7 ⋅ 500 - 7 + 1.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70+2 = 7 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(3494 + 72) mod 7 ≡ (1 + 2) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 84) mod 10 ≡ (99 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.

99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 84) mod 10 ≡ (9 ⋅ 4) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 41 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 = 2 = 41 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 = 1 = 41 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 1 = 41 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 = 5 = 41 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 6 = 41 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 1 = 41 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 5 = 41 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 1 = 41 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 8 = 41 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 = 5 = 41 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 2 = 41 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 13 = 41 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 11 = 41 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 9 = 41 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 7 = 41 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 5 = 41 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 3 = 41 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 1 = 41 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 20 = 41 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 19 = 41 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 18 = 41 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 17 = 41 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 16 = 41 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 15 = 41 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 14 = 41 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 13 = 41 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 12 = 41 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 29) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12