Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 60 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.
Somit gilt: 60 mod 6 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 24 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.
Somit gilt: 24 mod 6 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 12 ⋅ 6
Somit gilt: 72 ≡ 24 ≡ 0 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2399 - 405) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2399 - 405) mod 8 ≡ (2399 mod 8 - 405 mod 8) mod 8.
2399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399
= 2400
405 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 405
= 400
Somit gilt:
(2399 - 405) mod 8 ≡ (7 - 5) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 20) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 20) mod 4 ≡ (43 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.
20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 20) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
21 mod m = 30 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 30 mod m gilt:
m=2: 21 mod 2 = 1 ≠ 0 = 30 mod 2
m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 30 mod 3
m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 2 = 30 mod 4
m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 0 = 30 mod 5
m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 0 = 30 mod 6
m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 2 = 30 mod 7
m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 6 = 30 mod 8
m=9: 21 mod 9 = 3 = 3 = 30 mod 9
m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 0 = 30 mod 10
m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 8 = 30 mod 11
m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 6 = 30 mod 12
m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 4 = 30 mod 13
m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 2 = 30 mod 14
m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 0 = 30 mod 15
m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 14 = 30 mod 16
m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 13 = 30 mod 17
m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 12 = 30 mod 18
m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 11 = 30 mod 19
m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 10 = 30 mod 20
m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 9 = 30 mod 21
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 21) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
