Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 81 = 8.

Somit gilt: 89 mod 9 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 99, weil ja 33 ⋅ 3 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 99 = 0.

Somit gilt: 99 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3

Somit gilt: 81 ≡ 99 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1502 + 600) mod 3 ≡ (1502 mod 3 + 600 mod 3) mod 3.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 3 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(1502 + 600) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 42) mod 11 ≡ (33 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.

33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.

42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 42) mod 11 ≡ (0 ⋅ 9) mod 11 ≡ 0 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 ≠ 0 = 40 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 0 = 40 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 0 = 40 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 4 = 40 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 = 4 = 40 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 0 = 40 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 4 = 40 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 12 = 40 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 11 = 40 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 10 = 40 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 9 = 40 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 31) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9