Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 79 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 75, weil ja 15 ⋅ 5 = 75 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 75 = 4.
Somit gilt: 79 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 48 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 48 - 42 = 6.
Somit gilt: 48 mod 7 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 11 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 77 und erhalten so 83.
Somit gilt: 83 ≡ 48 ≡ 6 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (495 + 9996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(495 + 9996) mod 5 ≡ (495 mod 5 + 9996 mod 5) mod 5.
495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 495
= 400
9996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9996
= 9000
Somit gilt:
(495 + 9996) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 63) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 63) mod 11 ≡ (76 mod 11 ⋅ 63 mod 11) mod 11.
76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.
63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 63) mod 11 ≡ (10 ⋅ 8) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
37 mod m = 52 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 52 mod m gilt:
m=2: 37 mod 2 = 1 ≠ 0 = 52 mod 2
m=3: 37 mod 3 = 1 = 1 = 52 mod 3
m=4: 37 mod 4 = 1 ≠ 0 = 52 mod 4
m=5: 37 mod 5 = 2 = 2 = 52 mod 5
m=6: 37 mod 6 = 1 ≠ 4 = 52 mod 6
m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 3 = 52 mod 7
m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 4 = 52 mod 8
m=9: 37 mod 9 = 1 ≠ 7 = 52 mod 9
m=10: 37 mod 10 = 7 ≠ 2 = 52 mod 10
m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 8 = 52 mod 11
m=12: 37 mod 12 = 1 ≠ 4 = 52 mod 12
m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 0 = 52 mod 13
m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 10 = 52 mod 14
m=15: 37 mod 15 = 7 = 7 = 52 mod 15
m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 4 = 52 mod 16
m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 1 = 52 mod 17
m=18: 37 mod 18 = 1 ≠ 16 = 52 mod 18
m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 14 = 52 mod 19
m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 12 = 52 mod 20
m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 10 = 52 mod 21
m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 8 = 52 mod 22
m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 6 = 52 mod 23
m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 4 = 52 mod 24
m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 2 = 52 mod 25
m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 0 = 52 mod 26
m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 25 = 52 mod 27
m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 24 = 52 mod 28
m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 23 = 52 mod 29
m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 22 = 52 mod 30
m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 21 = 52 mod 31
m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 20 = 52 mod 32
m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 19 = 52 mod 33
m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 18 = 52 mod 34
m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 17 = 52 mod 35
m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 16 = 52 mod 36
m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 15 = 52 mod 37
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (52 - 37) = 15 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15
