Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 51 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 48, weil ja 12 ⋅ 4 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 51 - 48 = 3.
Somit gilt: 51 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 79 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 72 = 7.
Somit gilt: 79 mod 9 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 27 und erhalten so 34.
Somit gilt: 34 ≡ 79 ≡ 7 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3997 - 11997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3997 - 11997) mod 4 ≡ (3997 mod 4 - 11997 mod 4) mod 4.
3997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997
= 3000
11997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 11000
Somit gilt:
(3997 - 11997) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 96) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 96) mod 10 ≡ (68 mod 10 ⋅ 96 mod 10) mod 10.
68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.
96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 96) mod 10 ≡ (8 ⋅ 6) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
