Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 84 = 2.

Somit gilt: 86 mod 6 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 66 = 0.

Somit gilt: 66 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 51 = 17 ⋅ 3

Somit gilt: 51 ≡ 66 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20000 - 396) mod 4 ≡ (20000 mod 4 - 396 mod 4) mod 4.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

396 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 300+96 = 4 ⋅ 75 +96.

Somit gilt:

(20000 - 396) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 83) mod 6 ≡ (86 mod 6 ⋅ 83 mod 6) mod 6.

86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.

83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 83) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 ≠ 0 = 34 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 34 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 ≠ 2 = 34 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 4 = 34 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 2 = 34 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 = 7 = 34 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 4 = 34 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 10 = 34 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 9 = 34 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 25) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9