Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 72 = 3.

Somit gilt: 75 mod 6 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 64 = 3.

Somit gilt: 67 mod 8 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 20, z.B. 24 = 3 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 24 und erhalten so 27.

Somit gilt: 27 ≡ 67 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 + 63) mod 3 ≡ (1200 mod 3 + 63 mod 3) mod 3.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(1200 + 63) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 81) mod 10 ≡ (38 mod 10 ⋅ 81 mod 10) mod 10.

38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.

81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 81) mod 10 ≡ (8 ⋅ 1) mod 10 ≡ 8 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 44 mod m gilt:

m=2: 32 mod 2 = 0 = 0 = 44 mod 2

m=3: 32 mod 3 = 2 = 2 = 44 mod 3

m=4: 32 mod 4 = 0 = 0 = 44 mod 4

m=5: 32 mod 5 = 2 ≠ 4 = 44 mod 5

m=6: 32 mod 6 = 2 = 2 = 44 mod 6

m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 2 = 44 mod 7

m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 4 = 44 mod 8

m=9: 32 mod 9 = 5 ≠ 8 = 44 mod 9

m=10: 32 mod 10 = 2 ≠ 4 = 44 mod 10

m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 0 = 44 mod 11

m=12: 32 mod 12 = 8 = 8 = 44 mod 12

m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 5 = 44 mod 13

m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 2 = 44 mod 14

m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 14 = 44 mod 15

m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 12 = 44 mod 16

m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 10 = 44 mod 17

m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 8 = 44 mod 18

m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 6 = 44 mod 19

m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 4 = 44 mod 20

m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 2 = 44 mod 21

m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 0 = 44 mod 22

m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 21 = 44 mod 23

m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 20 = 44 mod 24

m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 19 = 44 mod 25

m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 18 = 44 mod 26

m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 17 = 44 mod 27

m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 16 = 44 mod 28

m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 15 = 44 mod 29

m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 14 = 44 mod 30

m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 13 = 44 mod 31

m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 12 = 44 mod 32

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (44 - 32) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12