Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 44 = 5.

Somit gilt: 49 mod 11 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 40 = 3.

Somit gilt: 43 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 80 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 43 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(394 + 31997) mod 8 ≡ (394 mod 8 + 31997 mod 8) mod 8.

394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 394 = 400-6 = 8 ⋅ 50 -6 = 8 ⋅ 50 - 8 + 2.

31997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31997 = 31000+997 = 8 ⋅ 3875 +997.

Somit gilt:

(394 + 31997) mod 8 ≡ (2 + 5) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 36) mod 3 ≡ (25 mod 3 ⋅ 36 mod 3) mod 3.

25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.

36 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 12 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 36) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 56 aus, ob zufällig 56 mod m = 83 mod m gilt:

m=2: 56 mod 2 = 0 ≠ 1 = 83 mod 2

m=3: 56 mod 3 = 2 = 2 = 83 mod 3

m=4: 56 mod 4 = 0 ≠ 3 = 83 mod 4

m=5: 56 mod 5 = 1 ≠ 3 = 83 mod 5

m=6: 56 mod 6 = 2 ≠ 5 = 83 mod 6

m=7: 56 mod 7 = 0 ≠ 6 = 83 mod 7

m=8: 56 mod 8 = 0 ≠ 3 = 83 mod 8

m=9: 56 mod 9 = 2 = 2 = 83 mod 9

m=10: 56 mod 10 = 6 ≠ 3 = 83 mod 10

m=11: 56 mod 11 = 1 ≠ 6 = 83 mod 11

m=12: 56 mod 12 = 8 ≠ 11 = 83 mod 12

m=13: 56 mod 13 = 4 ≠ 5 = 83 mod 13

m=14: 56 mod 14 = 0 ≠ 13 = 83 mod 14

m=15: 56 mod 15 = 11 ≠ 8 = 83 mod 15

m=16: 56 mod 16 = 8 ≠ 3 = 83 mod 16

m=17: 56 mod 17 = 5 ≠ 15 = 83 mod 17

m=18: 56 mod 18 = 2 ≠ 11 = 83 mod 18

m=19: 56 mod 19 = 18 ≠ 7 = 83 mod 19

m=20: 56 mod 20 = 16 ≠ 3 = 83 mod 20

m=21: 56 mod 21 = 14 ≠ 20 = 83 mod 21

m=22: 56 mod 22 = 12 ≠ 17 = 83 mod 22

m=23: 56 mod 23 = 10 ≠ 14 = 83 mod 23

m=24: 56 mod 24 = 8 ≠ 11 = 83 mod 24

m=25: 56 mod 25 = 6 ≠ 8 = 83 mod 25

m=26: 56 mod 26 = 4 ≠ 5 = 83 mod 26

m=27: 56 mod 27 = 2 = 2 = 83 mod 27

m=28: 56 mod 28 = 0 ≠ 27 = 83 mod 28

m=29: 56 mod 29 = 27 ≠ 25 = 83 mod 29

m=30: 56 mod 30 = 26 ≠ 23 = 83 mod 30

m=31: 56 mod 31 = 25 ≠ 21 = 83 mod 31

m=32: 56 mod 32 = 24 ≠ 19 = 83 mod 32

m=33: 56 mod 33 = 23 ≠ 17 = 83 mod 33

m=34: 56 mod 34 = 22 ≠ 15 = 83 mod 34

m=35: 56 mod 35 = 21 ≠ 13 = 83 mod 35

m=36: 56 mod 36 = 20 ≠ 11 = 83 mod 36

m=37: 56 mod 37 = 19 ≠ 9 = 83 mod 37

m=38: 56 mod 38 = 18 ≠ 7 = 83 mod 38

m=39: 56 mod 39 = 17 ≠ 5 = 83 mod 39

m=40: 56 mod 40 = 16 ≠ 3 = 83 mod 40

m=41: 56 mod 41 = 15 ≠ 1 = 83 mod 41

m=42: 56 mod 42 = 14 ≠ 41 = 83 mod 42

m=43: 56 mod 43 = 13 ≠ 40 = 83 mod 43

m=44: 56 mod 44 = 12 ≠ 39 = 83 mod 44

m=45: 56 mod 45 = 11 ≠ 38 = 83 mod 45

m=46: 56 mod 46 = 10 ≠ 37 = 83 mod 46

m=47: 56 mod 47 = 9 ≠ 36 = 83 mod 47

m=48: 56 mod 48 = 8 ≠ 35 = 83 mod 48

m=49: 56 mod 49 = 7 ≠ 34 = 83 mod 49

m=50: 56 mod 50 = 6 ≠ 33 = 83 mod 50

m=51: 56 mod 51 = 5 ≠ 32 = 83 mod 51

m=52: 56 mod 52 = 4 ≠ 31 = 83 mod 52

m=53: 56 mod 53 = 3 ≠ 30 = 83 mod 53

m=54: 56 mod 54 = 2 ≠ 29 = 83 mod 54

m=55: 56 mod 55 = 1 ≠ 28 = 83 mod 55

m=56: 56 mod 56 = 0 ≠ 27 = 83 mod 56

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (83 - 56) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27