Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 14, weil ja 2 ⋅ 7 = 14 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 16 - 14 = 2.

Somit gilt: 16 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 81 = 1.

Somit gilt: 82 mod 9 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 9 und erhalten so 10.

Somit gilt: 10 ≡ 82 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1604 - 15999) mod 4 ≡ (1604 mod 4 - 15999 mod 4) mod 4.

1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 4 ⋅ 400 +4.

15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 4 ⋅ 3750 +999.

Somit gilt:

(1604 - 15999) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 68) mod 11 ≡ (22 mod 11 ⋅ 68 mod 11) mod 11.

22 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 22 + 0 = 2 ⋅ 11 + 0 ist.

68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 68) mod 11 ≡ (0 ⋅ 2) mod 11 ≡ 0 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 34 aus, ob zufällig 34 mod m = 44 mod m gilt:

m=2: 34 mod 2 = 0 = 0 = 44 mod 2

m=3: 34 mod 3 = 1 ≠ 2 = 44 mod 3

m=4: 34 mod 4 = 2 ≠ 0 = 44 mod 4

m=5: 34 mod 5 = 4 = 4 = 44 mod 5

m=6: 34 mod 6 = 4 ≠ 2 = 44 mod 6

m=7: 34 mod 7 = 6 ≠ 2 = 44 mod 7

m=8: 34 mod 8 = 2 ≠ 4 = 44 mod 8

m=9: 34 mod 9 = 7 ≠ 8 = 44 mod 9

m=10: 34 mod 10 = 4 = 4 = 44 mod 10

m=11: 34 mod 11 = 1 ≠ 0 = 44 mod 11

m=12: 34 mod 12 = 10 ≠ 8 = 44 mod 12

m=13: 34 mod 13 = 8 ≠ 5 = 44 mod 13

m=14: 34 mod 14 = 6 ≠ 2 = 44 mod 14

m=15: 34 mod 15 = 4 ≠ 14 = 44 mod 15

m=16: 34 mod 16 = 2 ≠ 12 = 44 mod 16

m=17: 34 mod 17 = 0 ≠ 10 = 44 mod 17

m=18: 34 mod 18 = 16 ≠ 8 = 44 mod 18

m=19: 34 mod 19 = 15 ≠ 6 = 44 mod 19

m=20: 34 mod 20 = 14 ≠ 4 = 44 mod 20

m=21: 34 mod 21 = 13 ≠ 2 = 44 mod 21

m=22: 34 mod 22 = 12 ≠ 0 = 44 mod 22

m=23: 34 mod 23 = 11 ≠ 21 = 44 mod 23

m=24: 34 mod 24 = 10 ≠ 20 = 44 mod 24

m=25: 34 mod 25 = 9 ≠ 19 = 44 mod 25

m=26: 34 mod 26 = 8 ≠ 18 = 44 mod 26

m=27: 34 mod 27 = 7 ≠ 17 = 44 mod 27

m=28: 34 mod 28 = 6 ≠ 16 = 44 mod 28

m=29: 34 mod 29 = 5 ≠ 15 = 44 mod 29

m=30: 34 mod 30 = 4 ≠ 14 = 44 mod 30

m=31: 34 mod 31 = 3 ≠ 13 = 44 mod 31

m=32: 34 mod 32 = 2 ≠ 12 = 44 mod 32

m=33: 34 mod 33 = 1 ≠ 11 = 44 mod 33

m=34: 34 mod 34 = 0 ≠ 10 = 44 mod 34

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (44 - 34) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10