Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 56, weil ja 14 ⋅ 4 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 56 = 0.

Somit gilt: 56 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 33 = 0.

Somit gilt: 33 mod 11 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 0 mod 11.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Somit gilt: 22 ≡ 33 ≡ 0 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1501 - 25000) mod 5 ≡ (1501 mod 5 - 25000 mod 5) mod 5.

1501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501 = 1500+1 = 5 ⋅ 300 +1.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(1501 - 25000) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 48) mod 10 ≡ (60 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 48) mod 10 ≡ (0 ⋅ 8) mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 39 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 = 0 = 39 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 = 3 = 39 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 4 = 39 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 = 3 = 39 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 7 = 39 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 3 = 39 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 9 = 39 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 = 3 = 39 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 12 = 39 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 27) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12