Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 42 = 4.

Somit gilt: 46 mod 6 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 33 = 7.

Somit gilt: 40 mod 11 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 55 = 5 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 55 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 40 ≡ 7 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39992 - 802) mod 8 ≡ (39992 mod 8 - 802 mod 8) mod 8.

39992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39992 = 39000+992 = 8 ⋅ 4875 +992.

802 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802 = 800+2 = 8 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(39992 - 802) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 67) mod 7 ≡ (29 mod 7 ⋅ 67 mod 7) mod 7.

29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 67) mod 7 ≡ (1 ⋅ 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 ≠ 1 = 40 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 0 = 40 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 = 0 = 40 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 4 = 40 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 4 = 40 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 = 0 = 40 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 4 = 40 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 12 = 40 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 11 = 40 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 10 = 40 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 30) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10