Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 48, weil ja 12 ⋅ 4 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 50 - 48 = 2.

Somit gilt: 50 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.

Somit gilt: 41 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 3 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 12 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 41 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2994 + 5998) mod 6 ≡ (2994 mod 6 + 5998 mod 6) mod 6.

2994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2994 = 3000-6 = 6 ⋅ 500 -6 = 6 ⋅ 500 - 6 + 0.

5998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 6 ⋅ 1000 -2 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(2994 + 5998) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 17) mod 10 ≡ (69 mod 10 ⋅ 17 mod 10) mod 10.

69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.

17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 17) mod 10 ≡ (9 ⋅ 7) mod 10 ≡ 63 mod 10 ≡ 3 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 44 mod m gilt:

m=2: 35 mod 2 = 1 ≠ 0 = 44 mod 2

m=3: 35 mod 3 = 2 = 2 = 44 mod 3

m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 0 = 44 mod 4

m=5: 35 mod 5 = 0 ≠ 4 = 44 mod 5

m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 2 = 44 mod 6

m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 2 = 44 mod 7

m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 4 = 44 mod 8

m=9: 35 mod 9 = 8 = 8 = 44 mod 9

m=10: 35 mod 10 = 5 ≠ 4 = 44 mod 10

m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 0 = 44 mod 11

m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 8 = 44 mod 12

m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 5 = 44 mod 13

m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 2 = 44 mod 14

m=15: 35 mod 15 = 5 ≠ 14 = 44 mod 15

m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 12 = 44 mod 16

m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 10 = 44 mod 17

m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 8 = 44 mod 18

m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 6 = 44 mod 19

m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 4 = 44 mod 20

m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 2 = 44 mod 21

m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 0 = 44 mod 22

m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 21 = 44 mod 23

m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 20 = 44 mod 24

m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 19 = 44 mod 25

m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 18 = 44 mod 26

m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 17 = 44 mod 27

m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 16 = 44 mod 28

m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 15 = 44 mod 29

m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 14 = 44 mod 30

m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 13 = 44 mod 31

m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 12 = 44 mod 32

m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 11 = 44 mod 33

m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 10 = 44 mod 34

m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 9 = 44 mod 35

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (44 - 35) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9