Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 97 - 95 = 2.
Somit gilt: 97 mod 5 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 71 für die gilt n ≡ 79 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 77 = 2.
Somit gilt: 79 mod 11 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 66 = 6 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 66 und erhalten so 68.
Somit gilt: 68 ≡ 79 ≡ 2 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2797 - 35003) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2797 - 35003) mod 7 ≡ (2797 mod 7 - 35003 mod 7) mod 7.
2797 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2797
= 2800
35003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35003
= 35000
Somit gilt:
(2797 - 35003) mod 7 ≡ (4 - 3) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 100) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 100) mod 4 ≡ (20 mod 4 ⋅ 100 mod 4) mod 4.
20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.
100 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 25 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 100) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
