Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 44 = 1.

Somit gilt: 45 mod 11 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 81 = 5.

Somit gilt: 86 mod 9 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 4 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 36 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 86 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(236 - 1200) mod 6 ≡ (236 mod 6 - 1200 mod 6) mod 6.

236 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236 = 240-4 = 6 ⋅ 40 -4 = 6 ⋅ 40 - 6 + 2.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(236 - 1200) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 90) mod 6 ≡ (63 mod 6 ⋅ 90 mod 6) mod 6.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 90) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 41 aus, ob zufällig 41 mod m = 56 mod m gilt:

m=2: 41 mod 2 = 1 ≠ 0 = 56 mod 2

m=3: 41 mod 3 = 2 = 2 = 56 mod 3

m=4: 41 mod 4 = 1 ≠ 0 = 56 mod 4

m=5: 41 mod 5 = 1 = 1 = 56 mod 5

m=6: 41 mod 6 = 5 ≠ 2 = 56 mod 6

m=7: 41 mod 7 = 6 ≠ 0 = 56 mod 7

m=8: 41 mod 8 = 1 ≠ 0 = 56 mod 8

m=9: 41 mod 9 = 5 ≠ 2 = 56 mod 9

m=10: 41 mod 10 = 1 ≠ 6 = 56 mod 10

m=11: 41 mod 11 = 8 ≠ 1 = 56 mod 11

m=12: 41 mod 12 = 5 ≠ 8 = 56 mod 12

m=13: 41 mod 13 = 2 ≠ 4 = 56 mod 13

m=14: 41 mod 14 = 13 ≠ 0 = 56 mod 14

m=15: 41 mod 15 = 11 = 11 = 56 mod 15

m=16: 41 mod 16 = 9 ≠ 8 = 56 mod 16

m=17: 41 mod 17 = 7 ≠ 5 = 56 mod 17

m=18: 41 mod 18 = 5 ≠ 2 = 56 mod 18

m=19: 41 mod 19 = 3 ≠ 18 = 56 mod 19

m=20: 41 mod 20 = 1 ≠ 16 = 56 mod 20

m=21: 41 mod 21 = 20 ≠ 14 = 56 mod 21

m=22: 41 mod 22 = 19 ≠ 12 = 56 mod 22

m=23: 41 mod 23 = 18 ≠ 10 = 56 mod 23

m=24: 41 mod 24 = 17 ≠ 8 = 56 mod 24

m=25: 41 mod 25 = 16 ≠ 6 = 56 mod 25

m=26: 41 mod 26 = 15 ≠ 4 = 56 mod 26

m=27: 41 mod 27 = 14 ≠ 2 = 56 mod 27

m=28: 41 mod 28 = 13 ≠ 0 = 56 mod 28

m=29: 41 mod 29 = 12 ≠ 27 = 56 mod 29

m=30: 41 mod 30 = 11 ≠ 26 = 56 mod 30

m=31: 41 mod 31 = 10 ≠ 25 = 56 mod 31

m=32: 41 mod 32 = 9 ≠ 24 = 56 mod 32

m=33: 41 mod 33 = 8 ≠ 23 = 56 mod 33

m=34: 41 mod 34 = 7 ≠ 22 = 56 mod 34

m=35: 41 mod 35 = 6 ≠ 21 = 56 mod 35

m=36: 41 mod 36 = 5 ≠ 20 = 56 mod 36

m=37: 41 mod 37 = 4 ≠ 19 = 56 mod 37

m=38: 41 mod 38 = 3 ≠ 18 = 56 mod 38

m=39: 41 mod 39 = 2 ≠ 17 = 56 mod 39

m=40: 41 mod 40 = 1 ≠ 16 = 56 mod 40

m=41: 41 mod 41 = 0 ≠ 15 = 56 mod 41

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (56 - 41) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15