Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 70 = 0.

Somit gilt: 70 mod 10 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 55 = 8.

Somit gilt: 63 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 77 und erhalten so 85.

Somit gilt: 85 ≡ 63 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 + 41) mod 4 ≡ (40 mod 4 + 41 mod 4) mod 4.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40+0 = 4 ⋅ 10 +0.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40+1 = 4 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(40 + 41) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 44) mod 4 ≡ (24 mod 4 ⋅ 44 mod 4) mod 4.

24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 44) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 = 3 = 27 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 8 = 27 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 7 = 27 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 6 = 27 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 21) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6