Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 100 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 100 - 96 = 4.
Somit gilt: 100 mod 6 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 69 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 69 - 63 = 6.
Somit gilt: 69 mod 7 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 4 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 28 und erhalten so 34.
Somit gilt: 34 ≡ 69 ≡ 6 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3999 - 1196) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3999 - 1196) mod 4 ≡ (3999 mod 4 - 1196 mod 4) mod 4.
3999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999
= 3000
1196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1100
Somit gilt:
(3999 - 1196) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 99) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 99) mod 5 ≡ (70 mod 5 ⋅ 99 mod 5) mod 5.
70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 99) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 40 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 40 mod m gilt:
m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2
m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3
m=4: 28 mod 4 = 0 = 0 = 40 mod 4
m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 0 = 40 mod 5
m=6: 28 mod 6 = 4 = 4 = 40 mod 6
m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 5 = 40 mod 7
m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 0 = 40 mod 8
m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 4 = 40 mod 9
m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 0 = 40 mod 10
m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 7 = 40 mod 11
m=12: 28 mod 12 = 4 = 4 = 40 mod 12
m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 1 = 40 mod 13
m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 12 = 40 mod 14
m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 10 = 40 mod 15
m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 8 = 40 mod 16
m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 6 = 40 mod 17
m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 4 = 40 mod 18
m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 2 = 40 mod 19
m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 0 = 40 mod 20
m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 19 = 40 mod 21
m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 18 = 40 mod 22
m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 17 = 40 mod 23
m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 16 = 40 mod 24
m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 15 = 40 mod 25
m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 14 = 40 mod 26
m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 13 = 40 mod 27
m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 12 = 40 mod 28
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 28) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
