Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 63 = 3.

Somit gilt: 66 mod 7 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 84 = 4.

Somit gilt: 88 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 18 und erhalten so 22.

Somit gilt: 22 ≡ 88 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 - 233) mod 8 ≡ (85 mod 8 - 233 mod 8) mod 8.

85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80+5 = 8 ⋅ 10 +5.

233 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 233 = 240-7 = 8 ⋅ 30 -7 = 8 ⋅ 30 - 8 + 1.

Somit gilt:

(85 - 233) mod 8 ≡ (5 - 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 35) mod 5 ≡ (75 mod 5 ⋅ 35 mod 5) mod 5.

75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.

35 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 7 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 35) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 100 aus, ob zufällig 100 mod m = 130 mod m gilt:

m=2: 100 mod 2 = 0 = 0 = 130 mod 2

m=3: 100 mod 3 = 1 = 1 = 130 mod 3

m=4: 100 mod 4 = 0 ≠ 2 = 130 mod 4

m=5: 100 mod 5 = 0 = 0 = 130 mod 5

m=6: 100 mod 6 = 4 = 4 = 130 mod 6

m=7: 100 mod 7 = 2 ≠ 4 = 130 mod 7

m=8: 100 mod 8 = 4 ≠ 2 = 130 mod 8

m=9: 100 mod 9 = 1 ≠ 4 = 130 mod 9

m=10: 100 mod 10 = 0 = 0 = 130 mod 10

m=11: 100 mod 11 = 1 ≠ 9 = 130 mod 11

m=12: 100 mod 12 = 4 ≠ 10 = 130 mod 12

m=13: 100 mod 13 = 9 ≠ 0 = 130 mod 13

m=14: 100 mod 14 = 2 ≠ 4 = 130 mod 14

m=15: 100 mod 15 = 10 = 10 = 130 mod 15

m=16: 100 mod 16 = 4 ≠ 2 = 130 mod 16

m=17: 100 mod 17 = 15 ≠ 11 = 130 mod 17

m=18: 100 mod 18 = 10 ≠ 4 = 130 mod 18

m=19: 100 mod 19 = 5 ≠ 16 = 130 mod 19

m=20: 100 mod 20 = 0 ≠ 10 = 130 mod 20

m=21: 100 mod 21 = 16 ≠ 4 = 130 mod 21

m=22: 100 mod 22 = 12 ≠ 20 = 130 mod 22

m=23: 100 mod 23 = 8 ≠ 15 = 130 mod 23

m=24: 100 mod 24 = 4 ≠ 10 = 130 mod 24

m=25: 100 mod 25 = 0 ≠ 5 = 130 mod 25

m=26: 100 mod 26 = 22 ≠ 0 = 130 mod 26

m=27: 100 mod 27 = 19 ≠ 22 = 130 mod 27

m=28: 100 mod 28 = 16 ≠ 18 = 130 mod 28

m=29: 100 mod 29 = 13 ≠ 14 = 130 mod 29

m=30: 100 mod 30 = 10 = 10 = 130 mod 30

m=31: 100 mod 31 = 7 ≠ 6 = 130 mod 31

m=32: 100 mod 32 = 4 ≠ 2 = 130 mod 32

m=33: 100 mod 33 = 1 ≠ 31 = 130 mod 33

m=34: 100 mod 34 = 32 ≠ 28 = 130 mod 34

m=35: 100 mod 35 = 30 ≠ 25 = 130 mod 35

m=36: 100 mod 36 = 28 ≠ 22 = 130 mod 36

m=37: 100 mod 37 = 26 ≠ 19 = 130 mod 37

m=38: 100 mod 38 = 24 ≠ 16 = 130 mod 38

m=39: 100 mod 39 = 22 ≠ 13 = 130 mod 39

m=40: 100 mod 40 = 20 ≠ 10 = 130 mod 40

m=41: 100 mod 41 = 18 ≠ 7 = 130 mod 41

m=42: 100 mod 42 = 16 ≠ 4 = 130 mod 42

m=43: 100 mod 43 = 14 ≠ 1 = 130 mod 43

m=44: 100 mod 44 = 12 ≠ 42 = 130 mod 44

m=45: 100 mod 45 = 10 ≠ 40 = 130 mod 45

m=46: 100 mod 46 = 8 ≠ 38 = 130 mod 46

m=47: 100 mod 47 = 6 ≠ 36 = 130 mod 47

m=48: 100 mod 48 = 4 ≠ 34 = 130 mod 48

m=49: 100 mod 49 = 2 ≠ 32 = 130 mod 49

m=50: 100 mod 50 = 0 ≠ 30 = 130 mod 50

m=51: 100 mod 51 = 49 ≠ 28 = 130 mod 51

m=52: 100 mod 52 = 48 ≠ 26 = 130 mod 52

m=53: 100 mod 53 = 47 ≠ 24 = 130 mod 53

m=54: 100 mod 54 = 46 ≠ 22 = 130 mod 54

m=55: 100 mod 55 = 45 ≠ 20 = 130 mod 55

m=56: 100 mod 56 = 44 ≠ 18 = 130 mod 56

m=57: 100 mod 57 = 43 ≠ 16 = 130 mod 57

m=58: 100 mod 58 = 42 ≠ 14 = 130 mod 58

m=59: 100 mod 59 = 41 ≠ 12 = 130 mod 59

m=60: 100 mod 60 = 40 ≠ 10 = 130 mod 60

m=61: 100 mod 61 = 39 ≠ 8 = 130 mod 61

m=62: 100 mod 62 = 38 ≠ 6 = 130 mod 62

m=63: 100 mod 63 = 37 ≠ 4 = 130 mod 63

m=64: 100 mod 64 = 36 ≠ 2 = 130 mod 64

m=65: 100 mod 65 = 35 ≠ 0 = 130 mod 65

m=66: 100 mod 66 = 34 ≠ 64 = 130 mod 66

m=67: 100 mod 67 = 33 ≠ 63 = 130 mod 67

m=68: 100 mod 68 = 32 ≠ 62 = 130 mod 68

m=69: 100 mod 69 = 31 ≠ 61 = 130 mod 69

m=70: 100 mod 70 = 30 ≠ 60 = 130 mod 70

m=71: 100 mod 71 = 29 ≠ 59 = 130 mod 71

m=72: 100 mod 72 = 28 ≠ 58 = 130 mod 72

m=73: 100 mod 73 = 27 ≠ 57 = 130 mod 73

m=74: 100 mod 74 = 26 ≠ 56 = 130 mod 74

m=75: 100 mod 75 = 25 ≠ 55 = 130 mod 75

m=76: 100 mod 76 = 24 ≠ 54 = 130 mod 76

m=77: 100 mod 77 = 23 ≠ 53 = 130 mod 77

m=78: 100 mod 78 = 22 ≠ 52 = 130 mod 78

m=79: 100 mod 79 = 21 ≠ 51 = 130 mod 79

m=80: 100 mod 80 = 20 ≠ 50 = 130 mod 80

m=81: 100 mod 81 = 19 ≠ 49 = 130 mod 81

m=82: 100 mod 82 = 18 ≠ 48 = 130 mod 82

m=83: 100 mod 83 = 17 ≠ 47 = 130 mod 83

m=84: 100 mod 84 = 16 ≠ 46 = 130 mod 84

m=85: 100 mod 85 = 15 ≠ 45 = 130 mod 85

m=86: 100 mod 86 = 14 ≠ 44 = 130 mod 86

m=87: 100 mod 87 = 13 ≠ 43 = 130 mod 87

m=88: 100 mod 88 = 12 ≠ 42 = 130 mod 88

m=89: 100 mod 89 = 11 ≠ 41 = 130 mod 89

m=90: 100 mod 90 = 10 ≠ 40 = 130 mod 90

m=91: 100 mod 91 = 9 ≠ 39 = 130 mod 91

m=92: 100 mod 92 = 8 ≠ 38 = 130 mod 92

m=93: 100 mod 93 = 7 ≠ 37 = 130 mod 93

m=94: 100 mod 94 = 6 ≠ 36 = 130 mod 94

m=95: 100 mod 95 = 5 ≠ 35 = 130 mod 95

m=96: 100 mod 96 = 4 ≠ 34 = 130 mod 96

m=97: 100 mod 97 = 3 ≠ 33 = 130 mod 97

m=98: 100 mod 98 = 2 ≠ 32 = 130 mod 98

m=99: 100 mod 99 = 1 ≠ 31 = 130 mod 99

m=100: 100 mod 100 = 0 ≠ 30 = 130 mod 100

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (130 - 100) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30