Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 83 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 81, weil ja 27 ⋅ 3 = 81 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 83 - 81 = 2.
Somit gilt: 83 mod 3 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 96 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 96 - 96 = 0.
Somit gilt: 96 mod 8 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8
Somit gilt: 80 ≡ 96 ≡ 0 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (152 - 15002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(152 - 15002) mod 3 ≡ (152 mod 3 - 15002 mod 3) mod 3.
152 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 150
15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
Somit gilt:
(152 - 15002) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 27) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 27) mod 10 ≡ (44 mod 10 ⋅ 27 mod 10) mod 10.
44 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 4 ⋅ 10 + 4 ist.
27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 27) mod 10 ≡ (4 ⋅ 7) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 32 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 32 mod m gilt:
m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2
m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 2 = 32 mod 3
m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 32 mod 4
m=5: 22 mod 5 = 2 = 2 = 32 mod 5
m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 2 = 32 mod 6
m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 4 = 32 mod 7
m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 0 = 32 mod 8
m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 5 = 32 mod 9
m=10: 22 mod 10 = 2 = 2 = 32 mod 10
m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 10 = 32 mod 11
m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 8 = 32 mod 12
m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 6 = 32 mod 13
m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 4 = 32 mod 14
m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 2 = 32 mod 15
m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 0 = 32 mod 16
m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 15 = 32 mod 17
m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 14 = 32 mod 18
m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 13 = 32 mod 19
m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 12 = 32 mod 20
m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 11 = 32 mod 21
m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 10 = 32 mod 22
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 22) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
