Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 19 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 16, weil ja 4 ⋅ 4 = 16 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 19 - 16 = 3.
Somit gilt: 19 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 71 für die gilt n ≡ 75 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 75 - 66 = 9.
Somit gilt: 75 mod 11 ≡ 9.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 55 = 5 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 55 und erhalten so 64.
Somit gilt: 64 ≡ 75 ≡ 9 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2504 - 14999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2504 - 14999) mod 5 ≡ (2504 mod 5 - 14999 mod 5) mod 5.
2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504
= 2500
14999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999
= 14000
Somit gilt:
(2504 - 14999) mod 5 ≡ (4 - 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 47) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 47) mod 3 ≡ (29 mod 3 ⋅ 47 mod 3) mod 3.
29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 9 ⋅ 3 + 2 ist.
47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 47) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
43 mod m = 55 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 43 aus, ob zufällig 43 mod m = 55 mod m gilt:
m=2: 43 mod 2 = 1 = 1 = 55 mod 2
m=3: 43 mod 3 = 1 = 1 = 55 mod 3
m=4: 43 mod 4 = 3 = 3 = 55 mod 4
m=5: 43 mod 5 = 3 ≠ 0 = 55 mod 5
m=6: 43 mod 6 = 1 = 1 = 55 mod 6
m=7: 43 mod 7 = 1 ≠ 6 = 55 mod 7
m=8: 43 mod 8 = 3 ≠ 7 = 55 mod 8
m=9: 43 mod 9 = 7 ≠ 1 = 55 mod 9
m=10: 43 mod 10 = 3 ≠ 5 = 55 mod 10
m=11: 43 mod 11 = 10 ≠ 0 = 55 mod 11
m=12: 43 mod 12 = 7 = 7 = 55 mod 12
m=13: 43 mod 13 = 4 ≠ 3 = 55 mod 13
m=14: 43 mod 14 = 1 ≠ 13 = 55 mod 14
m=15: 43 mod 15 = 13 ≠ 10 = 55 mod 15
m=16: 43 mod 16 = 11 ≠ 7 = 55 mod 16
m=17: 43 mod 17 = 9 ≠ 4 = 55 mod 17
m=18: 43 mod 18 = 7 ≠ 1 = 55 mod 18
m=19: 43 mod 19 = 5 ≠ 17 = 55 mod 19
m=20: 43 mod 20 = 3 ≠ 15 = 55 mod 20
m=21: 43 mod 21 = 1 ≠ 13 = 55 mod 21
m=22: 43 mod 22 = 21 ≠ 11 = 55 mod 22
m=23: 43 mod 23 = 20 ≠ 9 = 55 mod 23
m=24: 43 mod 24 = 19 ≠ 7 = 55 mod 24
m=25: 43 mod 25 = 18 ≠ 5 = 55 mod 25
m=26: 43 mod 26 = 17 ≠ 3 = 55 mod 26
m=27: 43 mod 27 = 16 ≠ 1 = 55 mod 27
m=28: 43 mod 28 = 15 ≠ 27 = 55 mod 28
m=29: 43 mod 29 = 14 ≠ 26 = 55 mod 29
m=30: 43 mod 30 = 13 ≠ 25 = 55 mod 30
m=31: 43 mod 31 = 12 ≠ 24 = 55 mod 31
m=32: 43 mod 32 = 11 ≠ 23 = 55 mod 32
m=33: 43 mod 33 = 10 ≠ 22 = 55 mod 33
m=34: 43 mod 34 = 9 ≠ 21 = 55 mod 34
m=35: 43 mod 35 = 8 ≠ 20 = 55 mod 35
m=36: 43 mod 36 = 7 ≠ 19 = 55 mod 36
m=37: 43 mod 37 = 6 ≠ 18 = 55 mod 37
m=38: 43 mod 38 = 5 ≠ 17 = 55 mod 38
m=39: 43 mod 39 = 4 ≠ 16 = 55 mod 39
m=40: 43 mod 40 = 3 ≠ 15 = 55 mod 40
m=41: 43 mod 41 = 2 ≠ 14 = 55 mod 41
m=42: 43 mod 42 = 1 ≠ 13 = 55 mod 42
m=43: 43 mod 43 = 0 ≠ 12 = 55 mod 43
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (55 - 43) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
