Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 55 = 1.

Somit gilt: 56 mod 11 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 37 - 33 = 4.

Somit gilt: 37 mod 11 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 22 und erhalten so 26.

Somit gilt: 26 ≡ 37 ≡ 4 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1997 - 400) mod 4 ≡ (1997 mod 4 - 400 mod 4) mod 4.

1997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 4 ⋅ 475 +97.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(1997 - 400) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 83) mod 10 ≡ (21 mod 10 ⋅ 83 mod 10) mod 10.

21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.

83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 83) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4