f(0) = $74$

f(1) = $74$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(2) = $74$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(3) = $74$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(4) = $74$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{21}{20}$ multipliziert. Da $\frac{21}{20}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{21}{20}$-fache (oder auf das $\frac{105}{100}$-fache), also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=22 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot {1.14}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $22\cdot {1.14}^{12}$ ≈ 105,994.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 52 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 52:

$22\cdot {1.14}^t$	=	$52$	|:$22$
${1.14}^t$	=	$\frac{26}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.14}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{26}{11}\right)$
$t·\lg \left(1.14\right)$	=	$\lg \left(\frac{26}{11}\right)$	|: $\lg \left(1.14\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{26}{11}\right)}{\lg \left(1.14\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,565}$

Nach ca. 6,565 Stunden ist also der Bestand = 52 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=19 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 67.87 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 67.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot a^t$ ein:

$19a^5$	=	$\mathrm{67,87}$	|:$19$
$a^5$	=	$\mathrm{3,57211}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\mathrm{3,57211}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{\mathrm{3,57211}}$ ≈ 1.29 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot {1.29}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $19\cdot {1.29}^6$ ≈ 87,557.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 919 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 919:

$19\cdot {1.29}^t$	=	$919$	|:$19$
${1.29}^t$	=	$\frac{919}{19}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.29}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{919}{19}\right)$
$t·\lg \left(1.29\right)$	=	$\lg \left(\frac{919}{19}\right)$	|: $\lg \left(1.29\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{919}{19}\right)}{\lg \left(1.29\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,2325}$

Nach ca. 15,233 Stunden ist also der Bestand = 919 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.32}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 137.54 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 137.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.32}^t$ ein:

c ⋅ 1.32⁶ = 137.54

c ⋅ 5.28985 = 137.54 | : 5.28985

c = 26

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot {1.32}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $26\cdot {1.32}^{12}$ ≈ 727,546.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2026 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2026:

$26\cdot {1.32}^t$	=	$2026$	|:$26$
${1.32}^t$	=	$\frac{1013}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.32}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1013}{13}\right)$
$t·\lg \left(1.32\right)$	=	$\lg \left(\frac{1013}{13}\right)$	|: $\lg \left(1.32\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1013}{13}\right)}{\lg \left(1.32\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,6888}$

Nach ca. 15,689 Stunden ist also der Bestand = 2026 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{0.91}^t$ ablesen: a=0.91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.91($\frac{1}{2}$) ≈ 7.35 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$) ⋅ B = 1,19 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,19.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.19($2$) ≈ 3.98 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5.4 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

$a^{5.4}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{5.4}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{5.4}}$ ≈ 0.88, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {0.88}^t$