f(0) = $74$

f(1) = $74$ ⋅ $1.35$

f(2) = $74$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$

f(3) = $74$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$

f(4) = $74$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1.35$ multipliziert. Da $1.35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1.35$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {0.92}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $10\cdot {0.92}^7$ ≈ 5,578.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.1 kg ist, also f(t) = 5.1:

$10\cdot {0.92}^t$	=	$\mathrm{5,1}$	|:$10$
${0.92}^t$	=	$\mathrm{0,51}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.92}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,51}\right)$
$t·\lg \left(0.92\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,51}\right)$	|: $\lg \left(0.92\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,51}\right)}{\lg \left(0.92\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,0755}$

Nach ca. 8,076 Tage ist also der Bestand = 5.1 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 64.65 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 64.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^2$	=	$\mathrm{64,65}$	|:$70$
$a^2$	=	$\mathrm{0,92357}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,92357}}$	≈ $-\mathrm{0,961}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,92357}}$	≈ $\mathrm{0,961}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,961}$ ≈ 0.961 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {0.961}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $70\cdot {0.961}^5$ ≈ 57,374.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$70\cdot {0.961}^t$	=	$60$	|:$70$
${0.961}^t$	=	$\frac{6}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.961}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{7}\right)$
$t·\lg \left(0.961\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{7}\right)$	|: $\lg \left(0.961\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{6}{7}\right)}{\lg \left(0.961\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,875}$

Nach ca. 3,875 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.17}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 9.61 Millionen Bakterien ist, also f(10) = 9.61. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.17}^t$ ein:

c ⋅ 1.17¹⁰ = 9.61

c ⋅ 4.80683 = 9.61 | : 4.80683

c = 2

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2\cdot {1.17}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $2\cdot {1.17}^5$ ≈ 4,385.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 8.2 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 8.2:

$2\cdot {1.17}^t$	=	$\mathrm{8,2}$	|:$2$
${1.17}^t$	=	$\mathrm{4,1}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.17}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{4,1}\right)$
$t·\lg \left(1.17\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{4,1}\right)$	|: $\lg \left(1.17\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{4,1}\right)}{\lg \left(1.17\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,987}$

Nach ca. 8,987 Stunden ist also der Bestand = 8.2 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.106}^t$ ablesen: a=1.106.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.106($2$) ≈ 6.88 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 0,98 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,98.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.98($\frac{1}{2}$) ≈ 34.31 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 50 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 4.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4.3}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{4.3}}$	≈ $-\mathrm{0,851}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{4.3}}$	≈ $\mathrm{0,851}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,851}$ ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {0.85}^t$