f(0) = $30$

f(1) = $30$ ⋅ $1.3$

f(2) = $30$ ⋅ $1.3$ ⋅ $1.3$

f(3) = $30$ ⋅ $1.3$ ⋅ $1.3$ ⋅ $1.3$

f(4) = $30$ ⋅ $1.3$ ⋅ $1.3$ ⋅ $1.3$ ⋅ $1.3$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1.3$ multipliziert. Da $1.3$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1.3$-fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {0.93}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $13\cdot {0.93}^{13}$ ≈ 5,061.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 8.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 8.4:

$13\cdot {0.93}^t$	=	$\mathrm{8,4}$	|:$13$
${0.93}^t$	=	$\mathrm{0,6462}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.93}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,6462}\right)$
$t·\lg \left(0.93\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,6462}\right)$	|: $\lg \left(0.93\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,6462}\right)}{\lg \left(0.93\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,0168}$

Nach ca. 6,017 Jahre ist also der Bestand = 8.4 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 16.99 kg ist, also f(4) = 16.99. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot a^t$ ein:

$20a^4$	=	$\mathrm{16,99}$	|:$20$
$a^4$	=	$\mathrm{0,8495}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,8495}}$	≈ $-\mathrm{0,96}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,8495}}$	≈ $\mathrm{0,96}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,96}$ ≈ 0.96 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {0.96}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $20\cdot {0.96}^{12}$ ≈ 12,254.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 16.3 kg ist, also f(t) = 16.3:

$20\cdot {0.96}^t$	=	$\mathrm{16,3}$	|:$20$
${0.96}^t$	=	$\mathrm{0,815}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.96}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,815}\right)$
$t·\lg \left(0.96\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,815}\right)$	|: $\lg \left(0.96\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,815}\right)}{\lg \left(0.96\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0112}$

Nach ca. 5,011 Tage ist also der Bestand = 16.3 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.06}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 8954.24 € ist, also f(10) = 8954.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.06}^t$ ein:

c ⋅ 1.06¹⁰ = 8954.24

c ⋅ 1.79085 = 8954.24 | : 1.79085

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {1.06}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $5000\cdot {1.06}^{13}$ ≈ 10664,641.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7500 € ist, also f(t) = 7500:

$5000\cdot {1.06}^t$	=	$7500$	|:$5000$
${1.06}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.06}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(1.06\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(1.06\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(1.06\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9585}$

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 7500 €.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{0.915}^t$ ablesen: a=0.915.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.915($\frac{1}{2}$) ≈ 7.8 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.17($2$) ≈ 4.41 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 23 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4.4}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{4.4}}$	≈ $-\mathrm{1,171}$
a2	=	$2^{\frac{1}{4.4}}$	≈ $\mathrm{1,171}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,171}$ ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot {1.17}^t$