f(0) = $103$

f(1) = $103$ ⋅ $1.05$

f(2) = $103$ ⋅ $1.05$ ⋅ $1.05$

f(3) = $103$ ⋅ $1.05$ ⋅ $1.05$ ⋅ $1.05$

f(4) = $103$ ⋅ $1.05$ ⋅ $1.05$ ⋅ $1.05$ ⋅ $1.05$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1.05$ multipliziert. Da $1.05$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1.05$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {0.9}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $90\cdot {0.9}^8$ ≈ 38,742.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$90\cdot {0.9}^t$	=	$40$	|:$90$
${0.9}^t$	=	$\frac{4}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.9}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{9}\right)$
$t·\lg \left(0.9\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{9}\right)$	|: $\lg \left(0.9\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{9}\right)}{\lg \left(0.9\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,6967}$

Nach ca. 7,697 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 1.76 Millionen Insekten ist, also f(11) = 1.76. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ ein:

$12a^{11}$	=	$\mathrm{1,76}$	|:$12$
$a^{11}$	=	$\frac{1.76}{12}$	|
$a$	=	$\sqrt[11]{\frac{1.76}{12}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\frac{1.76}{12}}$ ≈ 0.84 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {0.84}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $12\cdot {0.84}^{12}$ ≈ 1,481.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$12\cdot {0.84}^t$	=	$2$	|:$12$
${0.84}^t$	=	$\frac{1}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.84}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$
$t·\lg \left(0.84\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$	|: $\lg \left(0.84\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{6}\right)}{\lg \left(0.84\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,2766}$

Nach ca. 10,277 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{0.93}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 14 Jahre der Bestand 3.98 Millionen Insekten ist, also f(14) = 3.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{0.93}^t$ ein:

c ⋅ 0.93¹⁴ = 3.98

c ⋅ 0.36204 = 3.98 | : 0.36204

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {0.93}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $11\cdot {0.93}^{12}$ ≈ 4,605.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.6:

$11\cdot {0.93}^t$	=	$\mathrm{4,6}$	|:$11$
${0.93}^t$	=	$\mathrm{0,4182}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.93}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4182}\right)$
$t·\lg \left(0.93\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4182}\right)$	|: $\lg \left(0.93\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,4182}\right)}{\lg \left(0.93\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,0131}$

Nach ca. 12,013 Jahre ist also der Bestand = 4.6 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{0.955}^t$ ablesen: a=0.955.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.955($\frac{1}{2}$) ≈ 15.05 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23($2$) ≈ 3.35 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 21 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 14.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

$a^{14.2}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{14.2}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$2^{\frac{1}{14.2}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $21\cdot {1.05}^t$