f(0) = $40$

f(1) = $40$ ⋅ $1.35$

f(2) = $40$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$

f(3) = $40$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$

f(4) = $40$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$ ⋅ $1.35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1.35$ multipliziert. Da $1.35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1.35$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {1.12}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $4000\cdot {1.12}^4$ ≈ 6294,077.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer ist, also f(t) = 24000:

$4000\cdot {1.12}^t$	=	$24000$	|:$4000$
${1.12}^t$	=	$6$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.12}^t\right)$	=	$\lg \left(6\right)$
$t·\lg \left(1.12\right)$	=	$\lg \left(6\right)$	|: $\lg \left(1.12\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(6\right)}{\lg \left(1.12\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,8103}$

Nach ca. 15,81 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 35.74 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 35.74. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ ein:

$28a^5$	=	$\mathrm{35,74}$	|:$28$
$a^5$	=	$\mathrm{1,27643}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\mathrm{1,27643}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{\mathrm{1,27643}}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot {1.05}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $28\cdot {1.05}^{12}$ ≈ 50,284.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 30.9:

$28\cdot {1.05}^t$	=	$\mathrm{30,9}$	|:$28$
${1.05}^t$	=	$\mathrm{1,1036}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.05}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,1036}\right)$
$t·\lg \left(1.05\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,1036}\right)$	|: $\lg \left(1.05\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,1036}\right)}{\lg \left(1.05\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,0204}$

Nach ca. 2,02 Stunden ist also der Bestand = 30.9 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{0.88}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 14.39 kg ist, also f(8) = 14.39. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{0.88}^t$ ein:

c ⋅ 0.88⁸ = 14.39

c ⋅ 0.35963 = 14.39 | : 0.35963

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {0.88}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $40\cdot {0.88}^6$ ≈ 18,576.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$40\cdot {0.88}^t$	=	$20$	|:$40$
${0.88}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.88}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(0.88\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(0.88\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(0.88\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,4223}$

Nach ca. 5,422 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.082}^t$ ablesen: a=1.082.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.082($2$) ≈ 8.8 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 0,83 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,83.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.83($\frac{1}{2}$) ≈ 3.72 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

$a^{23.4}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{23.4}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{23.4}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {1.03}^t$