f(0) = $196$

f(1) = $196$ ⋅ $0.65$

f(2) = $196$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$

f(3) = $196$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$

f(4) = $196$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0.65$ multipliziert. Da $0.65$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0.65$-fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {1.01}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $8000\cdot {1.01}^6$ ≈ 8492,161.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:

$8000\cdot {1.01}^t$	=	$10000$	|:$8000$
${1.01}^t$	=	$\frac{5}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.01}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$
$t·\lg \left(1.01\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$	|: $\lg \left(1.01\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{4}\right)}{\lg \left(1.01\right)}$

$t$

=

$\mathrm{22,4257}$

Nach ca. 22,426 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 77.46 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 77.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^2$	=	$\mathrm{77,46}$	|:$80$
$a^2$	=	$\mathrm{0,96825}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,96825}}$	≈ $-\mathrm{0,984}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,96825}}$	≈ $\mathrm{0,984}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,984}$ ≈ 0.984 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {0.984}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $80\cdot {0.984}^7$ ≈ 71,459.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80\cdot {0.984}^t$	=	$60$	|:$80$
${0.984}^t$	=	$\frac{3}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.984}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$
$t·\lg \left(0.984\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$	|: $\lg \left(0.984\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{4}\right)}{\lg \left(0.984\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,8359}$

Nach ca. 17,836 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.32}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 129.04 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 129.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.32}^t$ ein:

c ⋅ 1.32⁸ = 129.04

c ⋅ 9.21704 = 129.04 | : 9.21704

c = 14

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $14\cdot {1.32}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $14\cdot {1.32}^6$ ≈ 74,058.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 114 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 114:

$14\cdot {1.32}^t$	=	$114$	|:$14$
${1.32}^t$	=	$\frac{57}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.32}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{7}\right)$
$t·\lg \left(1.32\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{7}\right)$	|: $\lg \left(1.32\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{57}{7}\right)}{\lg \left(1.32\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,5537}$

Nach ca. 7,554 Stunden ist also der Bestand = 114 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{0.924}^t$ ablesen: a=0.924.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.924($\frac{1}{2}$) ≈ 8.77 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.88($\frac{1}{2}$) ≈ 5.42 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 6.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

$a^{6.6}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{6.6}}$	≈ $-\mathrm{0,9}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{6.6}}$	≈ $\mathrm{0,9}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,9}$ ≈ 0.9, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {0.9}^t$