f(0) = $112$

f(1) = $112$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(2) = $112$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(3) = $112$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(4) = $112$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{26}{25}$ multipliziert. Da $\frac{26}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{26}{25}$-fache (oder auf das $\frac{104}{100}$-fache), also auf $104$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 104% - 100% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {0.86}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $10\cdot {0.86}^{12}$ ≈ 1,637.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.6:

$10\cdot {0.86}^t$	=	$\mathrm{1,6}$	|:$10$
${0.86}^t$	=	$\mathrm{0,16}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.86}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,16}\right)$
$t·\lg \left(0.86\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,16}\right)$	|: $\lg \left(0.86\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,16}\right)}{\lg \left(0.86\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,1506}$

Nach ca. 12,151 Jahre ist also der Bestand = 1.6 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 26.54 kg ist, also f(8) = 26.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot a^t$ ein:

$40a^8$	=	$\mathrm{26,54}$	|:$40$
$a^8$	=	$\mathrm{0,6635}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,6635}}$	≈ $-\mathrm{0,95}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,6635}}$	≈ $\mathrm{0,95}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,95}$ ≈ 0.95 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {0.95}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $40\cdot {0.95}^9$ ≈ 25,21.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$40\cdot {0.95}^t$	=	$30$	|:$40$
${0.95}^t$	=	$\frac{3}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.95}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$
$t·\lg \left(0.95\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$	|: $\lg \left(0.95\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{4}\right)}{\lg \left(0.95\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,6086}$

Nach ca. 5,609 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{22}{100}$⋅B = (1 + $\frac{22}{100}$) ⋅ B = 1,22 ⋅ B. Somit ist das a=1,22.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.22}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Wochen der Bestand 6646 Nutzer ist, also f(4) = 6646. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.22}^t$ ein:

c ⋅ 1.22⁴ = 6646

c ⋅ 2.21533 = 6646 | : 2.21533

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {1.22}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $3000\cdot {1.22}^{10}$ ≈ 21913,894.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer ist, also f(t) = 12000:

$3000\cdot {1.22}^t$	=	$12000$	|:$3000$
${1.22}^t$	=	$4$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.22}^t\right)$	=	$\lg \left(4\right)$
$t·\lg \left(1.22\right)$	=	$\lg \left(4\right)$	|: $\lg \left(1.22\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(4\right)}{\lg \left(1.22\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9715}$

Nach ca. 6,972 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.094}^t$ ablesen: a=1.094.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.094($2$) ≈ 7.72 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.96($\frac{1}{2}$) ≈ 16.98 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4.4}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{4.4}}$	≈ $-\mathrm{1,171}$
a2	=	$2^{\frac{1}{4.4}}$	≈ $\mathrm{1,171}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,171}$ ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {1.17}^t$