f(0) = $180$

f(1) = $180$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(2) = $180$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(3) = $180$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(4) = $180$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{26}{25}$ multipliziert. Da $\frac{26}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{26}{25}$-fache (oder auf das $\frac{104}{100}$-fache), also auf $104$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 104% - 100% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {1.06}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $3000\cdot {1.06}^6$ ≈ 4255,557.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$3000\cdot {1.06}^t$	=	$9000$	|:$3000$
${1.06}^t$	=	$3$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.06}^t\right)$	=	$\lg \left(3\right)$
$t·\lg \left(1.06\right)$	=	$\lg \left(3\right)$	|: $\lg \left(1.06\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(3\right)}{\lg \left(1.06\right)}$

$t$

=

$\mathrm{18,8542}$

Nach ca. 18,854 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Wochen der Bestand 3621.28 Nutzer ist, also f(4) = 3621.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^4$	=	$3\mathrm{621,28}$	|:$2000$
$a^4$	=	$\mathrm{1,81064}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{1,81064}}$	= $-\mathrm{1,1600001025052}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{1,81064}}$	= $\mathrm{1,1600001025052}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,1600001025052}$ ≈ 1.16 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {1.16}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $2000\cdot {1.16}^5$ ≈ 4200,683.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:

$2000\cdot {1.16}^t$	=	$8000$	|:$2000$
${1.16}^t$	=	$4$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.16}^t\right)$	=	$\lg \left(4\right)$
$t·\lg \left(1.16\right)$	=	$\lg \left(4\right)$	|: $\lg \left(1.16\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(4\right)}{\lg \left(1.16\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,3403}$

Nach ca. 9,34 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.05}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 10720.77 € ist, also f(6) = 10720.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.05}^t$ ein:

c ⋅ 1.05⁶ = 10720.77

c ⋅ 1.3401 = 10720.77 | : 1.3401

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {1.05}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $8000\cdot {1.05}^{12}$ ≈ 14366,851.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 12000 € ist, also f(t) = 12000:

$8000\cdot {1.05}^t$	=	$12000$	|:$8000$
${1.05}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.05}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(1.05\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(1.05\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(1.05\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,3104}$

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 12000 €.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{0.852}^t$ ablesen: a=0.852.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.852($\frac{1}{2}$) ≈ 4.33 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 1,18 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,18.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.18($2$) ≈ 4.19 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3.2}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{3.2}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{3.2}}$ ≈ 1.24, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {1.24}^t$