Aufgabenbeispiele von Funktionsterm bestimmen

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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit f(x)= a x (a>0) verläuft durch den Punkt P(2|1.96). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(2|1.96) in den Funktionsterm f(x)= a x ein und erhalten so die Gleichung:

1.96 = a2 | 2

1.4 = a

( - 1.4 = a nicht zulässig)

Das gesuchte a ist somit 1.4 (Der gesuchte Funktionsterm f(x)= 1.4 x )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1|20 ) und B(-2| 4 25 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= c · a x (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|20 ) und B(-2| 4 25 ) in den Funktionsterm f(x)= c · a x ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 20 = c · a
II: 4 25 = c · a -2

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: 20 1 a = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: 4 25 = 20 a · 1 a 2

also

II: 4 25 = 20 a 3

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 3 weg!

20 a 3 = 4 25 |⋅( x 3 )
20 a 3 · a 3 = 4 25 · a 3
20 = 4 25 a 3
20 = 4 25 a 3 | -20 - 4 25 a 3
- 4 25 a 3 = -20 |⋅ ( - 25 4 )
a 3 = 125 | 3
a = 125 3 = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: 20 1 a = c

mit a=5 eingesetzt erhalten wir so: 4 = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: f(x)= 4 5 x

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also git f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 a 1 = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 3 x