Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{3}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{500}{50}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{8}{x^7}\right)+\lg \left(5x^4\right)$

= $\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(8x^{-7}\right)+\lg \left(5x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(8\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(8\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(8\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(8\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(8\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·8·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$