Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $5$^$-2$ = $\frac{1}{25}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $223$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $223$ ist.

Dabei kommt man auf $2^7$ = 2⁷ < $223$ und auf $2^8$ = 2⁸ > $223$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $223$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^7$ < $223$ < $2^8$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $4$

$\lg \left(400\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400·25)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+2\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)+2\lg \left(x^3\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)$
= $\frac{11}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{1}{100x^4}\right)$

= $\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}·50·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$