Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $19$^$2$ = $361$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $12$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

$12$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $12$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf $12$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$^☐ = $12$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $144$^{$\frac{1}{2}$} = $12$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $18$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $18$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $18$ und auf $3^3$ = 3³ > $18$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $18$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $18$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,0001}}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-4-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-4$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $-2\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-17\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1250}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x}\right)$

= $-\lg \left(1250x^{-2}\right)+\lg \left(50x^{-7}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(1250\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1250\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1250\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$