Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $10$^$-7$ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $19$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

$19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$^☐ = $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $361$^{$\frac{1}{2}$} = $19$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{129}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{129}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{361}$ = $\frac{1}{{19}^2}$ = 19^-2 < $\frac{1}{129}$ und auf $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1 > $\frac{1}{129}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $\frac{1}{129}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
19^-2 = $\frac{1}{{19}^2}$ = $\frac{1}{361}$ < $\frac{1}{129}$ < $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(100x^2\right)+\lg \left(2x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)$

= $-\lg \left(100x^2\right)+\lg \left(2x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(100\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(100\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(100\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(100\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$