Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $2$^$-7$ = $\frac{1}{128}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $840832559$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $840832559$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^8$ = 10⁸ < $840832559$ und auf ${10}^9$ = 10⁹ > $840832559$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $840832559$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = ${10}^8$ < $840832559$ < ${10}^9$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < < 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(40\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{40}{4}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{200}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^8}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)$

= $-\lg \left(200x^{-3}\right)+\lg \left(4x^{-8}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(200\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(200\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(200\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(200\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+0$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$