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Aufgabenbeispiele von Termbestimmung

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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 2$ ) und B(2| $- 32$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 2$ ) und B(2| $- 32$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 2$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 32$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 2$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 32$ = $- 2 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{2})$

$16$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 2 x^{4}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $2$ | $1$ ) und B( $6$ | $9$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $2$ | $1$ ) und B( $6$ | $9$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $1$ = $a \cdot 2^{n}$
II: $9$ = $a \cdot 6^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{1}{2^{n}}$ = a
II: $\frac{9}{6^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{1}{2^{n}}$ = $\frac{9}{6^{n}}$ | ⋅ $2^{n}$ ⋅ $6^{n}$

$1$ ⋅ $6^{n}$ = $9$ ⋅ $2^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass $6^{n}$ = ${(3 \cdot 2)}^{n}$ = $3^{n}$ ⋅ $2^{n}$ ist.

$3^{n} \cdot 2^{n}$ = $9 \cdot 2^{n}$ | : $2^{n}$

$3^{n}$ = $9$ | : $1$

$3^{n}$ = $9$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

n= $2$ eingesetzt in I:

I: $1$ = $a \cdot 2^{2}$

I: $1$ = $4 a$ | ⋅ $\frac{1}{4}$

also a= $\frac{1}{4}$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2}$