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Aufgabenbeispiele von Termbestimmung

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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 3$ ) und B(-2| $96$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 3$ ) und B(-2| $96$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 3$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $96$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $96$ = $- 3 \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{3})$

$- 32$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 3 x^{5}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{16}$ ) und B( $\frac{3}{2}$ | $\frac{81}{16}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{16}$ ) und B( $\frac{3}{2}$ | $\frac{81}{16}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{16}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
II: $\frac{81}{16}$ = $a \cdot {(\frac{3}{2})}^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beide Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{\frac{1}{16}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = a
II: $\frac{\frac{81}{16}}{{(\frac{3}{2})}^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{\frac{1}{16}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$ = $\frac{\frac{81}{16}}{{(\frac{3}{2})}^{n}}$ | ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$

$\frac{1}{16}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = $\frac{81}{16}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ | ⋅ 16

$1$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = $81$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass ${(\frac{3}{2})}^{n}$ = ${(3 \cdot (\frac{1}{2}))}^{n}$ = $3^{n}$ ⋅ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ist.

$3^{n} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ = $81 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ | : ${(\frac{1}{2})}^{n}$

$3^{n}$ = $81$ | : $1$

$3^{n}$ = $81$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

n= $4$ eingesetzt in I:

I: $\frac{1}{16}$ = $a \cdot {(\frac{1}{2})}^{4}$

I: $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16} a$ | ⋅ $16$

also a= $1$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $x^{4}$