Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 12 e^{- x}$ und $g(x) =$ $1$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 12 e^{- x}

=

1

|

- 1

e^{x} - 12 e^{- x} - 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 12 e^{- x} - 1$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - e^{x} - 12$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $1$ Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 5 + x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 6$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 5 + x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $e^{- 2 x} - 1 - 2 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$e^{- 2 x} - 1 - 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$e^{- 2 x} - 1 + 1 - 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$e^{- 2 x} - 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$(- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 12$ = $8 e^{2 x}$

Lösung einblenden

e^{4 x} + 12

=

8 e^{2 x}

|

- 8 e^{2 x}

e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{x + 2}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{x + 2}{x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{x + 2}{x} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{3 x}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + \frac{x + 2}{x} \cdot (3 x - 3) - 4 \cdot (3 x - 3)$	=
$3 x + \frac{(x + 2) (3 x - 3)}{x} - 12 x + 12$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} + 3 x - 6}{x} - 12 x + 12$	=
$\frac{3 x^{2} + 3 x - 6}{x} + 3 x - 12 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 6}{x} + 3 x - 12 x + 12$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} + 3 x - 6}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 12 x \cdot x + 12 \cdot x$	=
$3 x^{2} + 3 x - 6 + 3 x \cdot x - 12 x \cdot x + 12 x$	=
$3 x^{2} + 3 x - 6 + 3 x^{2} - 12 x^{2} + 12 x$	=
$- 6 x^{2} + 15 x - 6$	=

- 6 x^{2} + 15 x - 6

= 0 |:3

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5+3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5-3}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - 10 \cdot {(- 1)}^{2} - 43 \cdot (- 1) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 43 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$- 13 x$ )
		$- 30 x$	$- 30$
		-( $- 30 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 10 \cdot 6^{2} - 43 \cdot 6 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 43 x$	$- 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$5 x$	$- 30$
		-( $5 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x + 10 | - 5$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 10 \| - 5$	=	$- 9$
$- 5 - \frac{1}{3} \| - 2 x + 10 \|$	=	$- 9$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 10 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

$- 2 x + 10$	=	$12$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 1) + 10$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0:

$- (- 2 x + 10)$	=	$12$
$2 x - 10$	=	$12$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$22$	\|: $2$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 11 + 10$ = -12 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +10 ≥ 0:

2. Fall: -2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0: