Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 8 x$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 8 x$	=	0
$x (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $2$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 4 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 64 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 64 x - 5$ gilt m = $- 64$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 4 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 16 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 16 x^{3}

=

- 64

|

+ 64

x^{6} + 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 64$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 64 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{x} + 4) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{x} + 4) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- e^{x}$	=	$- 4$	\|: $- 1$
$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2 \ln (2)$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $2$ }

\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x - 2}{x - 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x - 2}{x - 2} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{2 x - 2}{x - 2} \cdot (3 x - 10) - 6 \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x - 2 + \frac{(2 x - 2) (3 x - 10)}{x - 2} - 18 x + 60$	=
$2 x - 2 + \frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{x - 2} - 18 x + 60$	=
$\frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{x - 2} + 2 x - 18 x - 2 + 60$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{x - 2} + 2 x - 18 x - 2 + 60$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) - 18 x \cdot (x - 2) - 2 \cdot (x - 2) + 60 \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 26 x + 20 + 2 x (x - 2) - 18 x (x - 2) - 2 x + 4 + 60 x - 120$	=
$6 x^{2} - 26 x + 20 + (2 x^{2} - 4 x) + (- 18 x^{2} + 36 x) - 2 x + 4 + 60 x - 120$	=
$- 10 x^{2} + 64 x - 96$	=

- 10 x^{2} + 64 x - 96

= 0 |:2

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32+8}{- 10}$ = $\frac{- 24}{- 10}$ = $2,4$

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32-8}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,4$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 11 x^{2} + 31 x + 21$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 11 x^{2} + 31 x + 21$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $21$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 11 \cdot {(- 1)}^{2} + 31 \cdot (- 1) + 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 31 x$	$+ 21$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 10 x + 21$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$21 x$	$+ 21$
		-( $21 x$	$+ 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 31 x + 21$ = $(x^{2} + 10 x + 21) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 10 x + 21) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10+4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10-4}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 11 \cdot {(- 3)}^{2} + 31 \cdot (- 3) + 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 31 x$	$+ 21$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$7 x$	$+ 21$
		-( $7 x$	$+ 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 31 x + 21$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 11 \cdot {(- 7)}^{2} + 31 \cdot (- 7) + 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 31 x$	$+ 21$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$3 x$	$+ 21$
		-( $3 x$	$+ 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 31 x + 21$ = $(x^{2} + 4 x + 3) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 4 x + 3) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 3$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 4 | + 4$ = $12$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 4 \| + 4$	=	$12$
$4 + \| - 2 x - 4 \|$	=	$12$	\| $- 4$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 6) - 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$8$
$2 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 2 - 4$ = -8 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: