Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 28 e^{x}$ und $g(x) =$ $11 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 28 e^{x}$	=	$11 e^{2 x}$	\| $- 11 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 11 e^{2 x} + 28 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 11 e^{x} + 28) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 11 e^{x} + 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $11 e^{2 \cdot (2 \ln (2))}$ = 176 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |176)

x₂ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $11 e^{2 \cdot (\ln (7))}$ = 539 Somit gilt: S₂( $\ln (7)$ |539)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $12 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x + 7$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} - e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 5 x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={0; $1$ ; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} + \frac{- 14 x}{x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

\frac{8 x}{x - 2} + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} - \frac{14 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} - \frac{14 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} \cdot (x - 2) - \frac{14 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=
$8 x + \frac{(5 x + 1) (x - 2)}{3 x + 3} - 14 x$	=
$8 x + \frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{3 x + 3} - 14 x$	=
$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{3 x + 3} + 8 x - 14 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{3 x + 3} + 8 x - 14 x$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + 8 x \cdot (3 x + 3) - 14 x \cdot (3 x + 3)$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 + 8 x (3 x + 3) - 14 x (3 x + 3)$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 + (24 x^{2} + 24 x) + (- 42 x^{2} - 42 x)$	=
$- 13 x^{2} - 27 x - 2$	=

$- 13 x^{2} - 27 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 104}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{625}}{- 26}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{625}}{- 26}$ = $\frac{27+25}{- 26}$ = $\frac{52}{- 26}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{625}}{- 26}$ = $\frac{27-25}{- 26}$ = $\frac{2}{- 26}$ = $- \frac{1}{13}$ ≈ -0.08

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{13}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 13 x^{3} + 48 x^{2} + 68 x + 32$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 13 x^{3} + 48 x^{2} + 68 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 13 \cdot {(- 1)}^{3} + 48 \cdot {(- 1)}^{2} + 68 \cdot (- 1) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 13 x^{3}$	$+ 48 x^{2}$	$+ 68 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$12 x^{3}$	$+ 48 x^{2}$
	-( $12 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
		$36 x^{2}$	$+ 68 x$
		-( $36 x^{2}$	$+ 36 x$ )
			$32 x$	$+ 32$
			-( $32 x$	$+ 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 13 x^{3} + 48 x^{2} + 68 x + 32$ = $(x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 12 \cdot {(- 2)}^{2} + 36 \cdot (- 2) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 36 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$16 x$	$+ 32$
		-( $16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$ = $(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 10 x + 16) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 12 \cdot {(- 8)}^{2} + 36 \cdot (- 8) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 36 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$4 x$	$+ 32$
		-( $4 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 13 \cdot {(- 2)}^{3} + 48 \cdot {(- 2)}^{2} + 68 \cdot (- 2) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 13 x^{3}$	$+ 48 x^{2}$	$+ 68 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 11 x^{2} + 26 x + 16$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$11 x^{3}$	$+ 48 x^{2}$
	-( $11 x^{3}$	$+ 22 x^{2}$ )
		$26 x^{2}$	$+ 68 x$
		-( $26 x^{2}$	$+ 52 x$ )
			$16 x$	$+ 32$
			-( $16 x$	$+ 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 13 x^{3} + 48 x^{2} + 68 x + 32$ = $(x^{3} + 11 x^{2} + 26 x + 16) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 11 x^{2} + 26 x + 16) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 11 x^{2} + 26 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 11 \cdot {(- 1)}^{2} + 26 \cdot (- 1) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 26 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 26 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$16 x$	$+ 16$
		-( $16 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 26 x + 16$ = $(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 10 x + 16) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 11 \cdot {(- 2)}^{2} + 26 \cdot (- 2) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 26 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 26 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$8 x$	$+ 16$
		-( $8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 26 x + 16$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 9 x + 8) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 11 \cdot {(- 8)}^{2} + 26 \cdot (- 8) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 26 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 26 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$2 x$	$+ 16$
		-( $2 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 26 x + 16$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{4} + 13 \cdot {(- 8)}^{3} + 48 \cdot {(- 8)}^{2} + 68 \cdot (- 8) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 13 x^{3}$	$+ 48 x^{2}$	$+ 68 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$
-( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$ )
	$5 x^{3}$	$+ 48 x^{2}$
	-( $5 x^{3}$	$+ 40 x^{2}$ )
		$8 x^{2}$	$+ 68 x$
		-( $8 x^{2}$	$+ 64 x$ )
			$4 x$	$+ 32$
			-( $4 x$	$+ 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 13 x^{3} + 48 x^{2} + 68 x + 32$ = $(x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4) \cdot (x + 8)$

(x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$2 x$	$+ 4$
		-( $2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 2$ ; $- 1$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x + 10 | + 1$ = $11$

Lösung einblenden

$\| 2 x + 10 \| + 1$	=	$11$
$1 + \| 2 x + 10 \|$	=	$11$	\| $- 1$
$\| 2 x + 10 \|$	=	$10$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

$2 x + 10$	=	$10$	\| $- 10$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 0 + 10$ = 10 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 10$ < 0:

$- (2 x + 10)$	=	$10$
$- 2 x - 10$	=	$10$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 10) + 10$ = -10 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +10 ≥ 0:

2. Fall: 2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 10$ < 0: