Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3}$ und $g(x) =$ $9 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3}$	=	$9 x$	\| $- 9 x$
$x^{3} - 9 x$	=	0
$x (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $9 \cdot (- 3)$ = -27 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-27)

x₂ = 0: f(0)= $9 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $9 \cdot 3$ = 27 Somit gilt: S₃( $3$ |27)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 2 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 7$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 2 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $4 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$4 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 + 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$4 e^{- \frac{1}{4} x} - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$(- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{3} - 8$ = $- x^{6}$

Lösung einblenden

- 7 x^{3} - 8

=

- x^{6}

|

+ x^{6}

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{8 x}{- 4 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{8 x}{- 4 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{8 x}{- 4 x + 6}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (2 x - 3) + \frac{8 x}{- 4 x + 6} \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{(x + 1) (2 x - 3)}{3 x - 7} + \frac{8 x (2 x - 3)}{- 4 x + 6}$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + \frac{16 x^{2} - 24 x}{- 4 x + 6}$	=
$\frac{16 x^{2} - 24 x}{- 4 x + 6} + \frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + 2 x$	=

\frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + \frac{16 x^{2} - 24 x}{- 4 x + 6} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + \frac{16 x^{2} - 24 x}{- 4 x + 6} + 2 x$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{16 x^{2} - 24 x}{- 4 x + 6} \cdot (3 x - 7) + 2 x \cdot (3 x - 7)$	=
$2 x^{2} - x - 3 + \frac{(16 x^{2} - 24 x) (3 x - 7)}{- 4 x + 6} + 2 x (3 x - 7)$	=
$2 x^{2} - x - 3 + \frac{48 x^{3} - 184 x^{2} + 168 x}{- 4 x + 6} + (6 x^{2} - 14 x)$	=
$\frac{48 x^{3} - 184 x^{2} + 168 x}{- 4 x + 6} + 2 x^{2} + 6 x^{2} - x - 14 x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 4 x + 6$ weg!

$\frac{48 x^{3} - 184 x^{2} + 168 x}{- 4 x + 6} + 2 x^{2} + 6 x^{2} - x - 14 x - 3$	=	\|⋅( $- 4 x + 6$ )
$\frac{48 x^{3} - 184 x^{2} + 168 x}{- 4 x + 6} \cdot (- 4 x + 6) + 2 x^{2} \cdot (- 4 x + 6) + 6 x^{2} \cdot (- 4 x + 6) - x \cdot (- 4 x + 6) - 14 x \cdot (- 4 x + 6) - 3 \cdot (- 4 x + 6)$	=
$48 x^{3} - 184 x^{2} + 168 x + 2 x^{2} (- 4 x + 6) + 6 x^{2} (- 4 x + 6) - x (- 4 x + 6) - 14 x (- 4 x + 6) + 12 x - 18$	=
$48 x^{3} - 184 x^{2} + 168 x + (- 8 x^{3} + 12 x^{2}) + (- 24 x^{3} + 36 x^{2}) + (4 x^{2} - 6 x) + (56 x^{2} - 84 x) + 12 x - 18$	=
$16 x^{3} - 76 x^{2} + 90 x - 18$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $16 x^{3} - 76 x^{2} + 90 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$3$ ist eine Lösung, denn $16 \cdot 3^{3} - 76 \cdot 3^{2} + 90 \cdot 3 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $16 x^{3}$	$- 76 x^{2}$	$+ 90 x$	$- 18$ )	:	(x $- 3$ )	=	$16 x^{2} - 28 x + 6$
-( $16 x^{3}$	$- 48 x^{2}$ )
	$- 28 x^{2}$	$+ 90 x$
	-( $- 28 x^{2}$	$+ 84 x$ )
		$6 x$	$- 18$
		-( $6 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$16 x^{3} - 76 x^{2} + 90 x - 18$ = $(16 x^{2} - 28 x + 6) \cdot (x - 3)$

(16 x^{2} - 28 x + 6) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

16 x^{2} - 28 x + 6

= 0 |:2

$8 x^{2} - 14 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 3}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{16}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{16}$ = $\frac{14+10}{16}$ = $\frac{24}{16}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{16}$ = $\frac{14-10}{16}$ = $\frac{4}{16}$ = $0,25$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 29 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $32 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$45 x$	$- 45$
		-( $45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 29 \cdot {(- 9)}^{2} + 13 \cdot (- 9) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 5 x$	$- 45$
		-( $- 5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x + 1 | + 3$ = 0

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x + 1 \| + 3$	=	0
$3 - \frac{1}{2} \| x + 1 \|$	=	0	\| $- 3$
$- \frac{1}{2} \| x + 1 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x + 1 \|$	=	$6$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

$x + 1$	=	$6$	\| $- 1$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ ≥ 0) genügt:

$5 + 1$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 1$ < 0:

$- (x + 1)$	=	$6$
$- x - 1$	=	$6$	\| $+ 1$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ < 0) genügt:

$- 7 + 1$ = -6 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: x +1 ≥ 0:

2. Fall: x +1 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 1$ < 0: