Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{15}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{8}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{15}{x^{2}}$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{8}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 15$	=	$8 x$

x^{2} + 15

=

8 x

|

- 8 x

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $3$ : f( $3$ )= $\frac{8}{3}$ = 2.667 Somit gilt: S₁( $3$ |2.667)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $\frac{8}{5}$ = 1.6 Somit gilt: S₂( $5$ |1.6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 4 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 64 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 64 x - 3$ gilt m = $- 64$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 4 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 16 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 16 x^{3}

=

- 64

|

+ 64

x^{6} + 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 64$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 64 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 3 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 3 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $2$ }

\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{9 x}{x - 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{9 x}{x - 2} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{9 x}{x - 2} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x + \frac{9 x (3 x - 1)}{x - 2} - 12 x + 4$	=
$4 x + \frac{27 x^{2} - 9 x}{x - 2} - 12 x + 4$	=
$\frac{27 x^{2} - 9 x}{x - 2} + 4 x - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{27 x^{2} - 9 x}{x - 2} + 4 x - 12 x + 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{27 x^{2} - 9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 4 x \cdot (x - 2) - 12 x \cdot (x - 2) + 4 \cdot (x - 2)$	=
$27 x^{2} - 9 x + 4 x (x - 2) - 12 x (x - 2) + 4 x - 8$	=
$27 x^{2} - 9 x + (4 x^{2} - 8 x) + (- 12 x^{2} + 24 x) + 4 x - 8$	=
$19 x^{2} + 11 x - 8$	=

$19 x^{2} + 11 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 19 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 19}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 608}}{38}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{729}}{38}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{729}}{38}$ = $\frac{- 11+27}{38}$ = $\frac{16}{38}$ = $\frac{8}{19}$ ≈ 0.42

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{729}}{38}$ = $\frac{- 11-27}{38}$ = $\frac{- 38}{38}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{8}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 6 x^{3} - 7 x^{2} + 36 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 6 x^{3} - 7 x^{2} + 36 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 6 \cdot {(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} + 36 \cdot (- 1) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 36 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 7 x^{2} + 0 + 36$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 7 x^{3}$	$- 7 x^{2}$
	-( $- 7 x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
		0	$+ 36 x$
		-(0	0)
			$36 x$	$+ 36$
			-( $36 x$	$+ 36$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} - 7 x^{2} + 36 x + 36$ = $(x^{3} - 7 x^{2} + 0 + 36) \cdot (x + 1)$

$(x^{3} - 7 x^{2} + 0 + 36) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{3} - 7 x^{2} + 36) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 7 \cdot {(- 2)}^{2} + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$		$+ 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 9 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	0
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$18 x$	$+ 36$
		-( $18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 36$ = $(x^{2} - 9 x + 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 9 x + 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 7 \cdot 3^{2} + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$		$+ 36$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	0
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 12 x$	$+ 36$
		-( $- 12 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 36$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 7 \cdot 6^{2} + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$		$+ 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - x - 6$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	0
	-( $- x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 6 x$	$+ 36$
		-( $- 6 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 36$ = $(x^{2} - x - 6) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - x - 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $3$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x - 5 | - 4$ = $2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x - 5 \| - 4$	=	$2$
$- 4 - \frac{1}{2} \| x - 5 \|$	=	$2$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{2} \| x - 5 \|$	=	$6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x - 5 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $6$