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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 5 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 6 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 5 e^{2 x}$	=	$- 6 e^{- x}$	\| $+ 6 e^{- x}$
$e^{5 x} - 5 e^{2 x} + 6 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 6 e^{- (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = -4.762 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-4.762)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 6 e^{- (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = -4.16 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-4.16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $36 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $36 x + 7$ gilt m = $36$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 5 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 5 x^{2}

=

36

|

- 36

x^{4} - 5 x^{2} - 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $36$ und sind somit parallel zur Geraden y = $36 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x - 2} + \frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{- 28 x}{3 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $1$ }

\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{2 x - 2} - \frac{28 x}{3 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{2 x - 2} - \frac{28 x}{3 x - 1}$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{16 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{12 x}{2 x - 2} \cdot (3 x - 1) - \frac{28 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$	=
$16 x + \frac{12 x (3 x - 1)}{2 x - 2} - 28 x$	=
$16 x + \frac{36 x^{2} - 12 x}{2 x - 2} - 28 x$	=
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{2 x - 2} + 16 x - 28 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{36 x^{2} - 12 x}{2 x - 2} + 16 x - 28 x$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + 16 x \cdot (2 x - 2) - 28 x \cdot (2 x - 2)$	=
$36 x^{2} - 12 x + 16 x (2 x - 2) - 28 x (2 x - 2)$	=
$36 x^{2} - 12 x + (32 x^{2} - 32 x) + (- 56 x^{2} + 56 x)$	=
$12 x^{2} + 12 x$	=

$12 x^{2} + 12 x$	=	0
$12 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 13 \cdot {(- 1)}^{2} + 23 \cdot (- 1) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
		$12 x$	$+ 12$
		-( $12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 13 \cdot {(- 4)}^{2} + 23 \cdot (- 4) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$3 x$	$+ 12$
		-( $3 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x - 12 | + 9$ = $17$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x - 12 \| + 9$	=	$17$
$9 + \frac{1}{3} \| 4 x - 12 \|$	=	$17$	\| $- 9$
$\frac{1}{3} \| 4 x - 12 \|$	=	$8$	\|⋅ $3$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

$4 x - 12$	=	$24$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 9 - 12$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 12$ < 0:

$- (4 x - 12)$	=	$24$
$- 4 x + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 3) - 12$ = -24 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

2. Fall: 4x -12 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 12$ < 0: