Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 36 x^{2}$ und $g(x) =$ $13 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + 36 x^{2}$	=	$13 x^{4}$	\| $- 13 x^{4}$
$x^{6} - 13 x^{4} + 36 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 13 x^{2} + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 13 x^{2} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₅	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; 0; $2$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $13 \cdot {(- 3)}^{4}$ = 1053 Somit gilt: S₁( $- 3$ |1053)

x₂ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $13 \cdot {(- 2)}^{4}$ = 208 Somit gilt: S₂( $- 2$ |208)

x₃ = 0: f(0)= $13 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₃(0|0)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $13 \cdot 2^{4}$ = 208 Somit gilt: S₄( $2$ |208)

x₅ = $3$ : f( $3$ )= $13 \cdot 3^{4}$ = 1053 Somit gilt: S₅( $3$ |1053)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $5 + 2 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $5 + 2 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $2 e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$2 e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$2 (x + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{2} - 8$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 2 x^{2} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 x}{2 x - 5} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $2$ }

\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{2 x}{x - 2} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{2 x}{x - 2} - 8$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{3 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{2 x}{x - 2} \cdot (2 x - 5) - 8 \cdot (2 x - 5)$	=
$3 x + \frac{2 x (2 x - 5)}{x - 2} - 16 x + 40$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} - 10 x}{x - 2} - 16 x + 40$	=
$\frac{4 x^{2} - 10 x}{x - 2} + 3 x - 16 x + 40$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 10 x}{x - 2} + 3 x - 16 x + 40$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x^{2} - 10 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) - 16 x \cdot (x - 2) + 40 \cdot (x - 2)$	=
$4 x^{2} - 10 x + 3 x (x - 2) - 16 x (x - 2) + 40 x - 80$	=
$4 x^{2} - 10 x + (3 x^{2} - 6 x) + (- 16 x^{2} + 32 x) + 40 x - 80$	=
$- 9 x^{2} + 56 x - 80$	=

$- 9 x^{2} + 56 x - 80$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{56^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 80)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{3 136 - 2 880}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{256}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 56 + \sqrt{256}}{- 18}$ = $\frac{- 56+16}{- 18}$ = $\frac{- 40}{- 18}$ = $\frac{20}{9}$ ≈ 2.22

x₂ = $\frac{- 56 - \sqrt{256}}{- 18}$ = $\frac{- 56-16}{- 18}$ = $\frac{- 72}{- 18}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{20}{9}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 13 x^{2} + 39 x + 27$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 13 x^{2} + 39 x + 27$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $27$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 13 \cdot {(- 1)}^{2} + 39 \cdot (- 1) + 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 39 x$	$+ 27$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 12 x + 27$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$12 x^{2}$	$+ 39 x$
	-( $12 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$27 x$	$+ 27$
		-( $27 x$	$+ 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 39 x + 27$ = $(x^{2} + 12 x + 27) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 12 x + 27) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12+6}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12-6}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 13 \cdot {(- 3)}^{2} + 39 \cdot (- 3) + 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 39 x$	$+ 27$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 39 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$9 x$	$+ 27$
		-( $9 x$	$+ 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 39 x + 27$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 10 x + 9) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 13 \cdot {(- 9)}^{2} + 39 \cdot (- 9) + 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 39 x$	$+ 27$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 39 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$3 x$	$+ 27$
		-( $3 x$	$+ 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 39 x + 27$ = $(x^{2} + 4 x + 3) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 4 x + 3) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 3$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x - 4 | + 1$ = $4$

Lösung einblenden

$\| x - 4 \| + 1$	=	$4$
$1 + \| x - 4 \|$	=	$4$	\| $- 1$
$\| x - 4 \|$	=	$3$

1. Fall: $x - 4$ ≥ 0:

$x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 4$ ≥ 0) genügt:

$7 - 4$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 4$ < 0:

$- (x - 4)$	=	$3$
$- x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 4$ < 0) genügt:

$1 - 4$ = -3 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: x -4 ≥ 0:

2. Fall: x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 4$ < 0: