Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 3 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 3 e^{- 2 x}

=

2

|

- 2

e^{2 x} - 3 e^{- 2 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 3 e^{- 2 x} - 2$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 3$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $2$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $3 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x + 5$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 2 e^{2 x}

=

3

|

- 3

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{- 6 x} - 3) \cdot (x^{3} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{- 6 x} - 3) (x^{3} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{- 6 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 e^{- 6 x}$	=	$3$	\|: $2$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{3}{2})$	≈ -0.0676

2. Fall:

$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{3}{2})$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} - 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=
$6 x - 4 x + 4$	=
$2 x + 4$	=

$2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 14 x^{2} + 60 x - 72$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 14 x^{2} + 60 x - 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 72$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 14 \cdot 2^{2} + 60 \cdot 2 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 60 x$	$- 72$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 12 x + 36$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 12 x^{2}$	$+ 60 x$
	-( $- 12 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$36 x$	$- 72$
		-( $36 x$	$- 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 60 x - 72$ = $(x^{2} - 12 x + 36) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 12 x + 36) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 14 \cdot 6^{2} + 60 \cdot 6 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 60 x$	$- 72$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 60 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 48 x$ )
		$12 x$	$- 72$
		-( $12 x$	$- 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 60 x - 72$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $2$ ; $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x - 20 | + 1$ = $- 23$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \| + 1$	=	$- 23$
$1 - \frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \|$	=	$- 23$	\| $- 1$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \|$	=	$- 24$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x - 20 \|$	=	$72$

1. Fall: $- 4 x - 20$ ≥ 0:

$- 4 x - 20$	=	$72$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$92$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 23$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 23) - 20$ = 72 ≥ 0

Die Lösung $- 23$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 20$ < 0:

$- (- 4 x - 20)$	=	$72$
$4 x + 20$	=	$72$	\| $- 20$
$4 x$	=	$52$	\|: $4$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 20$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 13 - 20$ = -72 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 23$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -20 ≥ 0:

2. Fall: -4x -20 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 20$ < 0: