Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $\frac{64}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5}$	=	$\frac{64}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x$	=	$\frac{64}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x$	=	$64$
$x^{6}$	=	$64$

$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{64}{(- 2)}$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-32)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{64}{2}$ = 32 Somit gilt: S₂( $2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 3 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $7 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7 x - 5$ gilt m = $7$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 3 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 6 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 6 e^{2 x}

=

7

|

- 7

e^{4 x} - 6 e^{2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $7$ und sind somit parallel zur Geraden y = $7 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 18 x^{3} + 81 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 18 x^{3} + 81 x$	=	0
$x (x^{4} - 18 x^{2} + 81)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 18 x^{2} + 81

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 18 u + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{18}{2}$ = $9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₅	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung! $3$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{9 x}{- 9 x + 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{9 x}{- 9 x + 9} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x + 9$ weg!

$\frac{9 x}{- 9 x + 9} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $- 9 x + 9$ )
$\frac{9 x}{- 9 x + 9} \cdot (- 9 x + 9) + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} \cdot (- 9 x + 9) + \frac{2}{x} \cdot (- 9 x + 9)$	=
$9 x + \frac{(2 x - 1) (- 9 x + 9)}{3 x - 3} + 2 \frac{- 9 x + 9}{x}$	=
$9 x + \frac{- 18 x^{2} + 27 x - 9}{3 x - 3} + 2 \frac{- 9 x + 9}{x}$	=
$\frac{2 (- 9 x + 9)}{x} + \frac{- 18 x^{2} + 27 x - 9}{3 x - 3} + 9 x$	=

\frac{2 (- 9 x + 9)}{x} + \frac{- 18 x^{2} + 27 x - 9}{3 x - 3} + 9 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 (- 9 x + 9)}{x} + \frac{- 18 x^{2} + 27 x - 9}{3 x - 3} + 9 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 (- 9 x + 9)}{x} \cdot x + \frac{- 18 x^{2} + 27 x - 9}{3 x - 3} \cdot x + 9 x \cdot x$	=
$- 18 x + 18 + \frac{(- 18 x^{2} + 27 x - 9) x}{3 x - 3} + 9 x \cdot x$	=
$- 18 x + 18 + \frac{- 18 x^{3} + 27 x^{2} - 9 x}{3 x - 3} + 9 x^{2}$	=
$\frac{- 18 x^{3} + 27 x^{2} - 9 x}{3 x - 3} + 9 x^{2} - 18 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{- 18 x^{3} + 27 x^{2} - 9 x}{3 x - 3} + 9 x^{2} - 18 x + 18$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{- 18 x^{3} + 27 x^{2} - 9 x}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + 9 x^{2} \cdot (3 x - 3) - 18 x \cdot (3 x - 3) + 18 \cdot (3 x - 3)$	=
$- 18 x^{3} + 27 x^{2} - 9 x + 9 x^{2} (3 x - 3) - 18 x (3 x - 3) + 54 x - 54$	=
$- 18 x^{3} + 27 x^{2} - 9 x + (27 x^{3} - 27 x^{2}) + (- 54 x^{2} + 54 x) + 54 x - 54$	=
$9 x^{3} - 54 x^{2} + 99 x - 54$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $9 x^{3} - 54 x^{2} + 99 x - 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 54$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $9 \cdot 1^{3} - 54 \cdot 1^{2} + 99 \cdot 1 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $9 x^{3}$	$- 54 x^{2}$	$+ 99 x$	$- 54$ )	:	(x $- 1$ )	=	$9 x^{2} - 45 x + 54$
-( $9 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 45 x^{2}$	$+ 99 x$
	-( $- 45 x^{2}$	$+ 45 x$ )
		$54 x$	$- 54$
		-( $54 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$9 x^{3} - 54 x^{2} + 99 x - 54$ = $(9 x^{2} - 45 x + 54) \cdot (x - 1)$

(9 x^{2} - 45 x + 54) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

9 x^{2} - 45 x + 54

= 0 |:9

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $9 \cdot 2^{3} - 54 \cdot 2^{2} + 99 \cdot 2 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $9 x^{3}$	$- 54 x^{2}$	$+ 99 x$	$- 54$ )	:	(x $- 2$ )	=	$9 x^{2} - 36 x + 27$
-( $9 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$- 36 x^{2}$	$+ 99 x$
	-( $- 36 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$27 x$	$- 54$
		-( $27 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$9 x^{3} - 54 x^{2} + 99 x - 54$ = $(9 x^{2} - 36 x + 27) \cdot (x - 2)$

(9 x^{2} - 36 x + 27) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

9 x^{2} - 36 x + 27

= 0 |:9

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $9 \cdot 3^{3} - 54 \cdot 3^{2} + 99 \cdot 3 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $9 x^{3}$	$- 54 x^{2}$	$+ 99 x$	$- 54$ )	:	(x $- 3$ )	=	$9 x^{2} - 27 x + 18$
-( $9 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$- 27 x^{2}$	$+ 99 x$
	-( $- 27 x^{2}$	$+ 81 x$ )
		$18 x$	$- 54$
		-( $18 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$9 x^{3} - 54 x^{2} + 99 x - 54$ = $(9 x^{2} - 27 x + 18) \cdot (x - 3)$

(9 x^{2} - 27 x + 18) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

9 x^{2} - 27 x + 18

= 0 |:9

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 18 x^{3} + 87 x^{2} - 38 x - 144$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 18 x^{3} + 87 x^{2} - 38 x - 144$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 144$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 18 \cdot {(- 1)}^{3} + 87 \cdot {(- 1)}^{2} - 38 \cdot (- 1) - 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 18 x^{3}$	$+ 87 x^{2}$	$- 38 x$	$- 144$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 19 x^{2} + 106 x - 144$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 19 x^{3}$	$+ 87 x^{2}$
	-( $- 19 x^{3}$	$- 19 x^{2}$ )
		$106 x^{2}$	$- 38 x$
		-( $106 x^{2}$	$+ 106 x$ )
			$- 144 x$	$- 144$
			-( $- 144 x$	$- 144$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 18 x^{3} + 87 x^{2} - 38 x - 144$ = $(x^{3} - 19 x^{2} + 106 x - 144) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 19 x^{2} + 106 x - 144) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 19 x^{2} + 106 x - 144$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 144$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 19 \cdot 2^{2} + 106 \cdot 2 - 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$+ 106 x$	$- 144$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 17 x + 72$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 17 x^{2}$	$+ 106 x$
	-( $- 17 x^{2}$	$+ 34 x$ )
		$72 x$	$- 144$
		-( $72 x$	$- 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 19 x^{2} + 106 x - 144$ = $(x^{2} - 17 x + 72) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 17 x + 72) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17+1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17-1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 19 \cdot 8^{2} + 106 \cdot 8 - 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$+ 106 x$	$- 144$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 106 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$+ 88 x$ )
		$18 x$	$- 144$
		-( $18 x$	$- 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 19 x^{2} + 106 x - 144$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 19 \cdot 9^{2} + 106 \cdot 9 - 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$+ 106 x$	$- 144$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 106 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 90 x$ )
		$16 x$	$- 144$
		-( $16 x$	$- 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 19 x^{2} + 106 x - 144$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ ; $8$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x + 10 | + 8$ = $16$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 2 x + 10 \| + 8$	=	$16$
$8 + \frac{1}{3} \| 2 x + 10 \|$	=	$16$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| 2 x + 10 \|$	=	$8$	\|⋅ $3$
$\| 2 x + 10 \|$	=	$24$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

$2 x + 10$	=	$24$	\| $- 10$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 7 + 10$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 10$ < 0:

$- (2 x + 10)$	=	$24$
$- 2 x - 10$	=	$24$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$34$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 17) + 10$ = -24 < 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 3

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +10 ≥ 0:

2. Fall: 2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 10$ < 0: