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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 6$ und $g(x) =$ $7 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} + 6

=

7 e^{2 x}

|

- 7 e^{2 x}

e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $7 e^{2 \cdot 0}$ = 7 Somit gilt: S₁(0|7)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $7 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 42 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |42)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $42 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x + 5$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

42

|

- 42

e^{2 x} - e^{x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 4 x} - 6) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 4 x} - 6) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 4 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$7 e^{- 4 x}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 0.0385

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{6}{7})$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x + 2}{3 x + 9} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{2 x + 2}{3 x + 9} + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 9$ weg!

$\frac{2 x + 2}{3 x + 9} + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 9$ )
$\frac{2 x + 2}{3 x + 9} \cdot (3 x + 9) + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} \cdot (3 x + 9) - 5 \cdot (3 x + 9)$	=
$2 x + 2 + \frac{(2 x + 2) (3 x + 9)}{3 x + 10} - 15 x - 45$	=
$2 x + 2 + \frac{6 x^{2} + 24 x + 18}{3 x + 10} - 15 x - 45$	=
$\frac{6 x^{2} + 24 x + 18}{3 x + 10} + 2 x - 15 x + 2 - 45$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 18}{3 x + 10} + 2 x - 15 x + 2 - 45$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{6 x^{2} + 24 x + 18}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + 2 x \cdot (3 x + 10) - 15 x \cdot (3 x + 10) + 2 \cdot (3 x + 10) - 45 \cdot (3 x + 10)$	=
$6 x^{2} + 24 x + 18 + 2 x (3 x + 10) - 15 x (3 x + 10) + 6 x + 20 - 135 x - 450$	=
$6 x^{2} + 24 x + 18 + (6 x^{2} + 20 x) + (- 45 x^{2} - 150 x) + 6 x + 20 - 135 x - 450$	=
$- 33 x^{2} - 235 x - 412$	=

$- 33 x^{2} - 235 x - 412$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 235 \pm \sqrt{{(- 235)}^{2} - 4 \cdot (- 33) \cdot (- 412)}}{2 \cdot (- 33)}$

x_1,2 = $\frac{+ 235 \pm \sqrt{55 225 - 54 384}}{- 66}$

x_1,2 = $\frac{+ 235 \pm \sqrt{841}}{- 66}$

x₁ = $\frac{235 + \sqrt{841}}{- 66}$ = $\frac{235+29}{- 66}$ = $\frac{264}{- 66}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{235 - \sqrt{841}}{- 66}$ = $\frac{235-29}{- 66}$ = $\frac{206}{- 66}$ = $- \frac{103}{33}$ ≈ -3.12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{103}{33}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 15 x$	$+ 30$
		-( $- 15 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 30$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} - 10 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 10 x$	$+ 30$
		-( $- 10 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 30$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} - x - 10) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x + 4 | + 9$ = $19$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x + 4 \| + 9$	=	$19$
$9 - \frac{1}{3} \| 2 x + 4 \|$	=	$19$	\| $- 9$
$- \frac{1}{3} \| 2 x + 4 \|$	=	$10$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$- 30$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$