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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 15 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 15 e^{- x}$	=	$- 2 e^{x}$	\| $+ 2 e^{x}$
$e^{3 x} + 2 e^{x} - 15 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $- 2 e^{\frac{1}{2} \ln (3)}$ = -3.464 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |-3.464)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = 0 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 0 gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = 0.

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + e^{3 x} - 30$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} + e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{3 x}{x - 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

\frac{3 x}{x - 2} + \frac{16 x}{x - 3} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{16 x}{x - 3} - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$3 x + \frac{16 x (x - 2)}{x - 3} - 5 x + 10$	=
$3 x + \frac{16 x^{2} - 32 x}{x - 3} - 5 x + 10$	=
$\frac{16 x^{2} - 32 x}{x - 3} + 3 x - 5 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 32 x}{x - 3} + 3 x - 5 x + 10$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x^{2} - 32 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 3 x \cdot (x - 3) - 5 x \cdot (x - 3) + 10 \cdot (x - 3)$	=
$16 x^{2} - 32 x + 3 x (x - 3) - 5 x (x - 3) + 10 x - 30$	=
$16 x^{2} - 32 x + (3 x^{2} - 9 x) + (- 5 x^{2} + 15 x) + 10 x - 30$	=
$14 x^{2} - 16 x - 30$	=

14 x^{2} - 16 x - 30

= 0 |:2

$7 x^{2} - 8 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 420}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{484}}{14}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{484}}{14}$ = $\frac{8+22}{14}$ = $\frac{30}{14}$ = $\frac{15}{7}$ ≈ 2.14

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{484}}{14}$ = $\frac{8-22}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{15}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 18 x$	$+ 18$
		-( $- 18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 11 \cdot 6^{2} - 9 \cdot 6 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 9 x$
	-( $x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 3 x$	$+ 18$
		-( $- 3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x - 20 | + 9$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x - 20 \| + 9$	=	$1$
$9 + \frac{1}{2} \| - 4 x - 20 \|$	=	$1$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| - 4 x - 20 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x - 20 \|$	=	$- 16$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $6$