Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 28 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $3 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 28 e^{2 x}$	=	$3 e^{3 x}$	\| $- 3 e^{3 x}$
$e^{4 x} - 3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $3 e^{3 \cdot (\ln (7))}$ = 1029 Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |1029)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 4 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 64 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 64 x + 7$ gilt m = $- 64$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 4 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 16 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 16 x^{3}

=

- 64

|

+ 64

x^{6} + 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 64$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 64 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 7 e^{3 x} + 6 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 7 e^{3 x} + 6 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{3 x}{3 x + 8} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{x + 2}{3 x + 10} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{x + 2}{3 x + 10} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{3 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{x + 2}{3 x + 10} \cdot (3 x + 8) - 4 \cdot (3 x + 8)$	=
$3 x + \frac{(x + 2) (3 x + 8)}{3 x + 10} - 12 x - 32$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} + 14 x + 16}{3 x + 10} - 12 x - 32$	=
$\frac{3 x^{2} + 14 x + 16}{3 x + 10} + 3 x - 12 x - 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 14 x + 16}{3 x + 10} + 3 x - 12 x - 32$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{3 x^{2} + 14 x + 16}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + 3 x \cdot (3 x + 10) - 12 x \cdot (3 x + 10) - 32 \cdot (3 x + 10)$	=
$3 x^{2} + 14 x + 16 + 3 x (3 x + 10) - 12 x (3 x + 10) - 96 x - 320$	=
$3 x^{2} + 14 x + 16 + (9 x^{2} + 30 x) + (- 36 x^{2} - 120 x) - 96 x - 320$	=
$- 24 x^{2} - 172 x - 304$	=

- 24 x^{2} - 172 x - 304

= 0 |:4

$- 6 x^{2} - 43 x - 76$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{{(- 43)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 76)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 824}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{25}}{- 12}$

x₁ = $\frac{43 + \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{43+5}{- 12}$ = $\frac{48}{- 12}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{43 - \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{43-5}{- 12}$ = $\frac{38}{- 12}$ = $- \frac{19}{6}$ ≈ -3.17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{19}{6}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 15 x^{3} + 39 x^{2} + 127 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 15 x^{3} + 39 x^{2} + 127 x + 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $72$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 15 \cdot {(- 1)}^{3} + 39 \cdot {(- 1)}^{2} + 127 \cdot (- 1) + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 15 x^{3}$	$+ 39 x^{2}$	$+ 127 x$	$+ 72$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 16 x^{2} + 55 x + 72$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 16 x^{3}$	$+ 39 x^{2}$
	-( $- 16 x^{3}$	$- 16 x^{2}$ )
		$55 x^{2}$	$+ 127 x$
		-( $55 x^{2}$	$+ 55 x$ )
			$72 x$	$+ 72$
			-( $72 x$	$+ 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 15 x^{3} + 39 x^{2} + 127 x + 72$ = $(x^{3} - 16 x^{2} + 55 x + 72) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 16 x^{2} + 55 x + 72) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 16 x^{2} + 55 x + 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $72$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 16 \cdot {(- 1)}^{2} + 55 \cdot (- 1) + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 55 x$	$+ 72$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 17 x + 72$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 17 x^{2}$	$+ 55 x$
	-( $- 17 x^{2}$	$- 17 x$ )
		$72 x$	$+ 72$
		-( $72 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 55 x + 72$ = $(x^{2} - 17 x + 72) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 17 x + 72) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17+1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17-1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 16 \cdot 8^{2} + 55 \cdot 8 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 55 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 55 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 64 x$ )
		$- 9 x$	$+ 72$
		-( $- 9 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 55 x + 72$ = $(x^{2} - 8 x - 9) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 8 x - 9) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 16 \cdot 9^{2} + 55 \cdot 9 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 55 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 55 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 63 x$ )
		$- 8 x$	$+ 72$
		-( $- 8 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 55 x + 72$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{4} - 15 \cdot 8^{3} + 39 \cdot 8^{2} + 127 \cdot 8 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 15 x^{3}$	$+ 39 x^{2}$	$+ 127 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{3} - 7 x^{2} - 17 x - 9$
-( $x^{4}$	$- 8 x^{3}$ )
	$- 7 x^{3}$	$+ 39 x^{2}$
	-( $- 7 x^{3}$	$+ 56 x^{2}$ )
		$- 17 x^{2}$	$+ 127 x$
		-( $- 17 x^{2}$	$+ 136 x$ )
			$- 9 x$	$+ 72$
			-( $- 9 x$	$+ 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 15 x^{3} + 39 x^{2} + 127 x + 72$ = $(x^{3} - 7 x^{2} - 17 x - 9) \cdot (x - 8)$

(x^{3} - 7 x^{2} - 17 x - 9) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} - 17 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} - 17 \cdot (- 1) - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 17 x$	$- 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 9 x$	$- 9$
		-( $- 9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 17 x - 9$ = $(x^{2} - 8 x - 9) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 8 x - 9) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 7 \cdot 9^{2} - 17 \cdot 9 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 17 x$	$- 9$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$x$	$- 9$
		-( $x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 17 x - 9$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{4} - 15 \cdot 9^{3} + 39 \cdot 9^{2} + 127 \cdot 9 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 15 x^{3}$	$+ 39 x^{2}$	$+ 127 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8$
-( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$ )
	$- 6 x^{3}$	$+ 39 x^{2}$
	-( $- 6 x^{3}$	$+ 54 x^{2}$ )
		$- 15 x^{2}$	$+ 127 x$
		-( $- 15 x^{2}$	$+ 135 x$ )
			$- 8 x$	$+ 72$
			-( $- 8 x$	$+ 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 15 x^{3} + 39 x^{2} + 127 x + 72$ = $(x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8) \cdot (x - 9)$

(x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 6 \cdot {(- 1)}^{2} - 15 \cdot (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 15 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$- 8 x$	$- 8$
		-( $- 8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 6 \cdot 8^{2} - 15 \cdot 8 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 15 x$	$- 8$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$x$	$- 8$
		-( $x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 1$ ; $8$ ; $9$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 2 | - 4$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x + 2 \| - 4$	=	$- 2$
$- 4 - \frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	$2$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 2 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $8$