Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 5 x^{3}$ und $g(x) =$ $- 4 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 5 x^{3}$	=	$- 4 x$	\| $+ 4 x$
$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$	=	0
$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 5 x^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 4 \cdot (- 2)$ = 8 Somit gilt: S₁( $- 2$ |8)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 4 \cdot (- 1)$ = 4 Somit gilt: S₂( $- 1$ |4)

x₃ = 0: f(0)= $- 4 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₃(0|-0)

x₄ = $1$ : f( $1$ )= $- 4 \cdot 1$ = -4 Somit gilt: S₄( $1$ |-4)

x₅ = $2$ : f( $2$ )= $- 4 \cdot 2$ = -8 Somit gilt: S₅( $2$ |-8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 4 + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 4$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 4 + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $16 e^{- \frac{1}{4} x} + 1 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$16 e^{- \frac{1}{4} x} + 1 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$16 e^{- \frac{1}{4} x} + 1 - 1 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$16 e^{- \frac{1}{4} x} - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$4 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 2 e^{2 x}$ = $3 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 2 e^{2 x}$	=	$3 e^{x}$	\| $- 3 e^{x}$
$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 3 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{- 36 x}{6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} - \frac{36 x}{6 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} - \frac{36 x}{6 x - 6}$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (2 x - 2) - \frac{36 x}{6 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=
$4 x + \frac{8 x (2 x - 2)}{3 x - 1} - 12 x$	=
$4 x + \frac{16 x^{2} - 16 x}{3 x - 1} - 12 x$	=
$\frac{16 x^{2} - 16 x}{3 x - 1} + 4 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 16 x}{3 x - 1} + 4 x - 12 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{16 x^{2} - 16 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 4 x \cdot (3 x - 1) - 12 x \cdot (3 x - 1)$	=
$16 x^{2} - 16 x + 4 x (3 x - 1) - 12 x (3 x - 1)$	=
$16 x^{2} - 16 x + (12 x^{2} - 4 x) + (- 36 x^{2} + 12 x)$	=
$- 8 x^{2} - 8 x$	=

$- 8 x^{2} - 8 x$	=	0
$- 8 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x + 8 | - 7$ = $13$

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$\frac{1}{3} \| 4 x + 8 \| - 7$	=	$13$
$- 7 + \frac{1}{3} \| 4 x + 8 \|$	=	$13$	\| $+ 7$
$\frac{1}{3} \| 4 x + 8 \|$	=	$20$	\|⋅ $3$
$\| 4 x + 8 \|$	=	$60$

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

$4 x + 8$	=	$60$	\| $- 8$
$4 x$	=	$52$	\|: $4$
x₁	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 13 + 8$ = 60 ≥ 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 8$ < 0:

$- (4 x + 8)$	=	$60$
$- 4 x - 8$	=	$60$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$68$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 17) + 8$ = -60 < 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +8 ≥ 0:

2. Fall: 4x +8 < 0:

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 8$ < 0: