Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 2 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $35$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} + 2 e^{3 x}

=

35

|

- 35

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $35$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |35)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $20 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x - 7$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + e^{2 x}

=

20

|

- 20

e^{4 x} + e^{2 x} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 e^{3 x} + 28 e^{x}$ = $- e^{5 x}$

Lösung einblenden

$- 11 e^{3 x} + 28 e^{x}$	=	$- e^{5 x}$	\| $+ e^{5 x}$
$e^{5 x} - 11 e^{3 x} + 28 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 28) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{7 x + 1}{- x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 2$ }

\frac{7 x + 1}{- x + 1} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{2 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- x + 1$ weg!

$\frac{7 x + 1}{- x + 1} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{2 x + 4}$	=	\|⋅( $- x + 1$ )
$\frac{7 x + 1}{- x + 1} \cdot (- x + 1) + \frac{3 x + 1}{x - 1} \cdot (- x + 1) + \frac{2 x}{2 x + 4} \cdot (- x + 1)$	=
$7 x + 1 + \frac{(3 x + 1) (- x + 1)}{x - 1} + \frac{2 x (- x + 1)}{2 x + 4}$	=
$7 x + 1 + \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{2 x + 4}$	=
$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{2 x + 4} + \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + 7 x + 1$	=

\frac{- 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{2 x + 4} + 7 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{2 x + 4} + 7 x + 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 3 x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{2 x + 4} \cdot (x - 1) + 7 x \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)$	=
$- 3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{(- 2 x^{2} + 2 x) (x - 1)}{2 x + 4} + 7 x (x - 1) + x - 1$	=
$- 3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{- 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{2 x + 4} + (7 x^{2} - 7 x) + x - 1$	=
$\frac{- 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{2 x + 4} - 3 x^{2} + 7 x^{2} + 2 x - 7 x + x + 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{2 x + 4} - 3 x^{2} + 7 x^{2} + 2 x - 7 x + x + 1 - 1$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{- 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) - 3 x^{2} \cdot (2 x + 4) + 7 x^{2} \cdot (2 x + 4) + 2 x \cdot (2 x + 4) - 7 x \cdot (2 x + 4) + x \cdot (2 x + 4) + 1 \cdot (2 x + 4) - 1 \cdot (2 x + 4)$	=
$- 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 3 x^{2} (2 x + 4) + 7 x^{2} (2 x + 4) + 2 x (2 x + 4) - 7 x (2 x + 4) + x (2 x + 4) + 2 x + 4 - 2 x - 4$	=
$- 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + (- 6 x^{3} - 12 x^{2}) + (14 x^{3} + 28 x^{2}) + (4 x^{2} + 8 x) + (- 14 x^{2} - 28 x) + (2 x^{2} + 4 x) + 2 x + 4 - 2 x - 4$	=
$6 x^{3} + 12 x^{2} - 18 x$	=

$6 x^{3} + 12 x^{2} - 18 x$	=	0
$6 x (x^{2} + 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 10 x^{2} + 19 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 10 x^{2} + 19 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 10 \cdot {(- 1)}^{2} + 19 \cdot (- 1) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 11 x + 30$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 11 x$ )
		$30 x$	$+ 30$
		-( $30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 19 x + 30$ = $(x^{2} - 11 x + 30) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 11 x + 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 10 \cdot 5^{2} + 19 \cdot 5 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 25 x$ )
		$- 6 x$	$+ 30$
		-( $- 6 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 19 x + 30$ = $(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 5 x - 6) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 10 \cdot 6^{2} + 19 \cdot 6 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$- 5 x$	$+ 30$
		-( $- 5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 19 x + 30$ = $(x^{2} - 4 x - 5) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 4 x - 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1$ ; $5$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x + 10 | - 3$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \| - 3$	=	$- 7$
$- 3 - \frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \|$	=	$- 7$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

$- 2 x + 10$	=	$8$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot 1 + 10$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0:

$- (- 2 x + 10)$	=	$8$
$2 x - 10$	=	$8$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 9 + 10$ = -8 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +10 ≥ 0:

2. Fall: -2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0: