Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 10 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $3 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 10 e^{- 2 x} + 1

=

3 e^{- x}

|

- 3 e^{- x}

- 3 e^{- x} - 10 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 3 e^{- x} - 10 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 3 e^{x} - 10$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $3 e^{- (\ln (5))}$ = 0.6 Somit gilt: S₁( $\ln (5)$ |0.6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 3 + 8 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 3 + 8 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 (x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 8 e^{x}$ = $6 e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 8 e^{x}$	=	$6 e^{4 x}$	\| $- 6 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 6 e^{4 x} + 8 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 6 e^{3 x} + 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 6 e^{3 x} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{x}{2 x - 3} + \frac{6 x}{- 4 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{6 x}{- 4 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{6 x}{- 4 x + 6}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (2 x - 3) + \frac{6 x}{- 4 x + 6} \cdot (2 x - 3)$	=
$x + \frac{(x + 1) (2 x - 3)}{3 x - 7} + \frac{6 x (2 x - 3)}{- 4 x + 6}$	=
$x + \frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + \frac{12 x^{2} - 18 x}{- 4 x + 6}$	=
$\frac{12 x^{2} - 18 x}{- 4 x + 6} + \frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + x$	=

\frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + \frac{12 x^{2} - 18 x}{- 4 x + 6} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} + \frac{12 x^{2} - 18 x}{- 4 x + 6} + x$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{12 x^{2} - 18 x}{- 4 x + 6} \cdot (3 x - 7) + x \cdot (3 x - 7)$	=
$2 x^{2} - x - 3 + \frac{(12 x^{2} - 18 x) (3 x - 7)}{- 4 x + 6} + x (3 x - 7)$	=
$2 x^{2} - x - 3 + \frac{36 x^{3} - 138 x^{2} + 126 x}{- 4 x + 6} + (3 x^{2} - 7 x)$	=
$\frac{36 x^{3} - 138 x^{2} + 126 x}{- 4 x + 6} + 2 x^{2} + 3 x^{2} - x - 7 x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 4 x + 6$ weg!

$\frac{36 x^{3} - 138 x^{2} + 126 x}{- 4 x + 6} + 2 x^{2} + 3 x^{2} - x - 7 x - 3$	=	\|⋅( $- 4 x + 6$ )
$\frac{36 x^{3} - 138 x^{2} + 126 x}{- 4 x + 6} \cdot (- 4 x + 6) + 2 x^{2} \cdot (- 4 x + 6) + 3 x^{2} \cdot (- 4 x + 6) - x \cdot (- 4 x + 6) - 7 x \cdot (- 4 x + 6) - 3 \cdot (- 4 x + 6)$	=
$36 x^{3} - 138 x^{2} + 126 x + 2 x^{2} (- 4 x + 6) + 3 x^{2} (- 4 x + 6) - x (- 4 x + 6) - 7 x (- 4 x + 6) + 12 x - 18$	=
$36 x^{3} - 138 x^{2} + 126 x + (- 8 x^{3} + 12 x^{2}) + (- 12 x^{3} + 18 x^{2}) + (4 x^{2} - 6 x) + (28 x^{2} - 42 x) + 12 x - 18$	=
$16 x^{3} - 76 x^{2} + 90 x - 18$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $16 x^{3} - 76 x^{2} + 90 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$3$ ist eine Lösung, denn $16 \cdot 3^{3} - 76 \cdot 3^{2} + 90 \cdot 3 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $16 x^{3}$	$- 76 x^{2}$	$+ 90 x$	$- 18$ )	:	(x $- 3$ )	=	$16 x^{2} - 28 x + 6$
-( $16 x^{3}$	$- 48 x^{2}$ )
	$- 28 x^{2}$	$+ 90 x$
	-( $- 28 x^{2}$	$+ 84 x$ )
		$6 x$	$- 18$
		-( $6 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$16 x^{3} - 76 x^{2} + 90 x - 18$ = $(16 x^{2} - 28 x + 6) \cdot (x - 3)$

(16 x^{2} - 28 x + 6) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

16 x^{2} - 28 x + 6

= 0 |:2

$8 x^{2} - 14 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 3}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{16}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{16}$ = $\frac{14+10}{16}$ = $\frac{24}{16}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{16}$ = $\frac{14-10}{16}$ = $\frac{4}{16}$ = $0,25$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 3 x - 12 | - 6$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 3 x - 12 \| - 6$	=	$- 15$
$- 6 - \frac{1}{3} \| - 3 x - 12 \|$	=	$- 15$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{3} \| - 3 x - 12 \|$	=	$- 9$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 3 x - 12 \|$	=	$27$

1. Fall: $- 3 x - 12$ ≥ 0:

$- 3 x - 12$	=	$27$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$39$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 13) - 12$ = 27 ≥ 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 12$ < 0:

$- (- 3 x - 12)$	=	$27$
$3 x + 12$	=	$27$	\| $- 12$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 12$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 5 - 12$ = -27 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -12 ≥ 0:

2. Fall: -3x -12 < 0:

1. Fall: $- 3 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 12$ < 0: