Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 6 e^{x}$ und $g(x) =$ $- e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 6 e^{x}$	=	$- e^{2 x}$	\| $+ e^{2 x}$
$e^{3 x} + e^{2 x} - 6 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + e^{x} - 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- e^{2 \cdot (\ln (2))}$ = -4 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 5$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- x^{2} + x) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{6 x} + 4) \cdot (x^{2} - 16)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{6 x} + 4) (x^{2} - 16)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{6 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 3 e^{6 x}$	=	$- 4$	\|: $- 3$
$e^{6 x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 0.0479

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{6} \ln (\frac{4}{3})$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 3}{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

\frac{2 x - 3}{x} + \frac{x - 1}{x + 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x - 3}{x} + \frac{x - 1}{x + 1} - 5$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x - 3}{x} \cdot x + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot x - 5 \cdot x$	=
$2 x - 3 + \frac{(x - 1) x}{x + 1} - 5 x$	=
$2 x - 3 + \frac{x^{2} - x}{x + 1} - 5 x$	=
$\frac{x^{2} - x}{x + 1} + 2 x - 5 x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{x^{2} - x}{x + 1} + 2 x - 5 x - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{x^{2} - x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$x^{2} - x + 2 x (x + 1) - 5 x (x + 1) - 3 x - 3$	=
$x^{2} - x + (2 x^{2} + 2 x) + (- 5 x^{2} - 5 x) - 3 x - 3$	=
$- 2 x^{2} - 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7+5}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7-5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 1 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ x$	$- 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ x$
	-( $11 x^{2}$	$- 11 x$ )
		$12 x$	$- 12$
		-( $12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 9 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ x$	$- 12$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ x$
	-( $x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 3 x$	$- 12$
		-( $- 3 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + x - 3) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 4 | + 4$ = $1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x + 4 \| + 4$	=	$1$
$4 - \frac{1}{2} \| - x + 4 \|$	=	$1$	\| $- 4$
$- \frac{1}{2} \| - x + 4 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 4 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x + 4$ ≥ 0:

$- x + 4$	=	$6$	\| $- 4$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- (- 2) + 4$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 4$ < 0:

$- (- x + 4)$	=	$6$
$x - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 4$ < 0) genügt:

$- 10 + 4$ = -6 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +4 ≥ 0:

2. Fall: -x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 4$ < 0: