Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{2}$ und $g(x) =$ $63$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 2 x^{2}

=

63

|

- 63

x^{4} - 2 x^{2} - 63

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $63$ Somit gilt: S₁( $- 3$ |63)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $63$ Somit gilt: S₂( $3$ |63)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 7 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 49 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 49 x - 2$ gilt m = $- 49$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 7 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 14 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 14 e^{2 x}

=

- 49

|

+ 49

e^{4 x} - 14 e^{2 x} + 49

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 14 u + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{14}{2}$ = $7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

$\frac{1}{2} \ln (7)$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 49$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 49 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 4 e^{2 x}$ = $5 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 4 e^{2 x}$	=	$5 e^{x}$	\| $- 5 e^{x}$
$e^{3 x} - 4 e^{2 x} - 5 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 4 e^{x} - 5) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 4 e^{x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 3$ }

\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{12 x}{x + 3} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{12 x}{x + 3} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{4 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{12 x}{x + 3} \cdot (2 x + 2) - 4 \cdot (2 x + 2)$	=
$4 x + \frac{12 x (2 x + 2)}{x + 3} - 8 x - 8$	=
$4 x + \frac{24 x^{2} + 24 x}{x + 3} - 8 x - 8$	=
$\frac{24 x^{2} + 24 x}{x + 3} + 4 x - 8 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{24 x^{2} + 24 x}{x + 3} + 4 x - 8 x - 8$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{24 x^{2} + 24 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 4 x \cdot (x + 3) - 8 x \cdot (x + 3) - 8 \cdot (x + 3)$	=
$24 x^{2} + 24 x + 4 x (x + 3) - 8 x (x + 3) - 8 x - 24$	=
$24 x^{2} + 24 x + (4 x^{2} + 12 x) + (- 8 x^{2} - 24 x) - 8 x - 24$	=
$20 x^{2} + 4 x - 24$	=

20 x^{2} + 4 x - 24

= 0 |:4

$5 x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{10}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{- 1+11}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{- 1-11}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,2$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 4 | - 2$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \| 2 x - 4 \| - 2$	=	$- 14$
$- 2 - \| 2 x - 4 \|$	=	$- 14$	\| $+ 2$
$- \| 2 x - 4 \|$	=	$- 12$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

$2 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 8 - 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 4$ < 0:

$- (2 x - 4)$	=	$12$
$- 2 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 4) - 4$ = -12 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -4 ≥ 0:

2. Fall: 2x -4 < 0:

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 4$ < 0: