Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8}$ und $g(x) =$ $8 x^{5}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8}$	=	$8 x^{5}$	\| $- 8 x^{5}$
$x^{8} - 8 x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

0 ist 5-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $8 \cdot 0^{5}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $8 \cdot 2^{5}$ = 256 Somit gilt: S₂( $2$ |256)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $30 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x - 2$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + e^{3 x}

=

30

|

- 30

e^{6 x} + e^{3 x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 7 x} - 6) \cdot (x^{2} + 3 x)$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 7 x} - 6) (x^{2} + 3 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 7 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$7 e^{- 7 x}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 0.022

2. Fall:

$x^{2} + 3 x$	=	0
$x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{6}{7})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{8 x}{x - 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

\frac{8 x}{x - 2} + \frac{6 x}{3 x + 2} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{6 x}{3 x + 2} - 7$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{6 x}{3 x + 2} \cdot (x - 2) - 7 \cdot (x - 2)$	=
$8 x + \frac{6 x (x - 2)}{3 x + 2} - 7 x + 14$	=
$8 x + \frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 2} - 7 x + 14$	=
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 2} + 8 x - 7 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 2} + 8 x - 7 x + 14$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + 8 x \cdot (3 x + 2) - 7 x \cdot (3 x + 2) + 14 \cdot (3 x + 2)$	=
$6 x^{2} - 12 x + 8 x (3 x + 2) - 7 x (3 x + 2) + 42 x + 28$	=
$6 x^{2} - 12 x + (24 x^{2} + 16 x) + (- 21 x^{2} - 14 x) + 42 x + 28$	=
$9 x^{2} + 32 x + 28$	=

$9 x^{2} + 32 x + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 28}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 1 008}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{16}}{18}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{16}}{18}$ = $\frac{- 32+4}{18}$ = $\frac{- 28}{18}$ = $- \frac{14}{9}$ ≈ -1.56

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{16}}{18}$ = $\frac{- 32-4}{18}$ = $\frac{- 36}{18}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{14}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 54$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 16 \cdot 1^{2} + 69 \cdot 1 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 69 x$	$- 54$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 15 x + 54$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 15 x^{2}$	$+ 69 x$
	-( $- 15 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$54 x$	$- 54$
		-( $54 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = $(x^{2} - 15 x + 54) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 15 x + 54) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 15 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15+3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15-3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 16 \cdot 6^{2} + 69 \cdot 6 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 69 x$	$- 54$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 69 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 60 x$ )
		$9 x$	$- 54$
		-( $9 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 16 \cdot 9^{2} + 69 \cdot 9 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 69 x$	$- 54$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 69 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 63 x$ )
		$6 x$	$- 54$
		-( $6 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $1$ ; $6$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x + 15 | - 2$ = $- 17$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \| - 2$	=	$- 17$
$- 2 - \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$- 17$	\| $+ 2$
$- \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$- 15$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$30$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$30$	\| $- 15$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 5 + 15$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$30$
$- 3 x - 15$	=	$30$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$45$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 15) + 15$ = -30 < 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: