Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7}$ und $g(x) =$ $64 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7}$	=	$64 x$	\| $- 64 x$
$x^{7} - 64 x$	=	0
$x (x^{6} - 64)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{6} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $64 \cdot (- 2)$ = -128 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-128)

x₂ = 0: f(0)= $64 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $64 \cdot 2$ = 128 Somit gilt: S₃( $2$ |128)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $3 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x + 2$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 2 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 2 x^{2}

=

3

|

- 3

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 18$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{- 24 x}{3 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{8 x - 24 x}{3 x + 1} + \frac{8 x}{3 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x - 24 x}{3 x + 1} + \frac{8 x}{3 x - 1}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x - 24 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x - 24 x + \frac{8 x (3 x + 1)}{3 x - 1}$	=
$8 x - 24 x + \frac{24 x^{2} + 8 x}{3 x - 1}$	=
$\frac{24 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} + 8 x - 24 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{24 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} + 8 x - 24 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{24 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 8 x \cdot (3 x - 1) - 24 x \cdot (3 x - 1)$	=
$24 x^{2} + 8 x + 8 x (3 x - 1) - 24 x (3 x - 1)$	=
$24 x^{2} + 8 x + (24 x^{2} - 8 x) + (- 72 x^{2} + 24 x)$	=
$- 24 x^{2} + 24 x$	=

$- 24 x^{2} + 24 x$	=	0
$24 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 126$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 14 \cdot 2^{2} + 31 \cdot 2 - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 126$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 16 x + 63$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$16 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $16 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$63 x$	$- 126$
		-( $63 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = $(x^{2} + 16 x + 63) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 16 x + 63) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16+2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16-2}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 14 \cdot {(- 7)}^{2} + 31 \cdot (- 7) - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 126$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 49 x$ )
		$- 18 x$	$- 126$
		-( $- 18 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 14 \cdot {(- 9)}^{2} + 31 \cdot (- 9) - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 126$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 45 x$ )
		$- 14 x$	$- 126$
		-( $- 14 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 7$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x + 2 | - 5$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 2 \| - 5$	=	$- 9$
$- 5 - \frac{1}{2} \| - 2 x + 2 \|$	=	$- 9$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 2 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x + 2 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

$- 2 x + 2$	=	$8$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 3) + 2$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0:

$- (- 2 x + 2)$	=	$8$
$2 x - 2$	=	$8$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 5 + 2$ = -8 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +2 ≥ 0:

2. Fall: -2x +2 < 0:

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0: