Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x$ und $g(x) =$ $\frac{28}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} + 3 x$	=	$\frac{28}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x + 3 x \cdot x$	=	$\frac{28}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x + 3 x \cdot x$	=	$28$
$x^{4} + 3 x^{2}$	=	$28$

x^{4} + 3 x^{2}

=

28

|

- 28

x^{4} + 3 x^{2} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{28}{(- 2)}$ = -14 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-14)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{28}{2}$ = 14 Somit gilt: S₂( $2$ |14)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $5 + 4 x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $5 + 4 x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $4 e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$4 (2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} - x^{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{8} - x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 5-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 3} + \frac{12 x}{2 x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $3$ }

\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{x - 3} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{x - 3} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{12 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{4 x}{x - 3} \cdot (2 x - 1) - 5 \cdot (2 x - 1)$	=
$12 x + \frac{4 x (2 x - 1)}{x - 3} - 10 x + 5$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} - 4 x}{x - 3} - 10 x + 5$	=
$\frac{8 x^{2} - 4 x}{x - 3} + 12 x - 10 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 4 x}{x - 3} + 12 x - 10 x + 5$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x^{2} - 4 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 12 x \cdot (x - 3) - 10 x \cdot (x - 3) + 5 \cdot (x - 3)$	=
$8 x^{2} - 4 x + 12 x (x - 3) - 10 x (x - 3) + 5 x - 15$	=
$8 x^{2} - 4 x + (12 x^{2} - 36 x) + (- 10 x^{2} + 30 x) + 5 x - 15$	=
$10 x^{2} - 5 x - 15$	=

10 x^{2} - 5 x - 15

= 0 |:5

$2 x^{2} - x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{1+5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{1-5}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 30$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $23 x^{2}$	$- 23 x$ )
		$30 x$	$- 30$
		-( $30 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 20 \cdot {(- 6)}^{2} + 7 \cdot (- 6) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 5 x$	$- 30$
		-( $- 5 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x - 6 | + 9$ = $13$

Lösung einblenden

$\| 2 x - 6 \| + 9$	=	$13$
$9 + \| 2 x - 6 \|$	=	$13$	\| $- 9$
$\| 2 x - 6 \|$	=	$4$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

$2 x - 6$	=	$4$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 5 - 6$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 6$ < 0:

$- (2 x - 6)$	=	$4$
$- 2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot 1 - 6$ = -4 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -6 ≥ 0:

2. Fall: 2x -6 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 6$ < 0: