Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 12 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 12 e^{2 x}$	=	$- e^{4 x}$	\| $+ e^{4 x}$
$e^{6 x} + e^{4 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $- e^{4 \cdot (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = -9 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |-9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 1 + 4 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 4$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 1 + 4 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $4 e^{x} + 2 + 4 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$4 e^{x} + 2 + 4 x \cdot e^{x}$	=	$2$	\| $- 2$
$4 e^{x} + 2 - 2 + 4 x \cdot e^{x}$	=	0
$4 e^{x} + 4 x \cdot e^{x}$	=	0
$4 (x + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{- 7 x} - 3) \cdot (x^{4} - 9 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(6 e^{- 7 x} - 3) (x^{4} - 9 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{- 7 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$6 e^{- 7 x}$	=	$3$	\|: $6$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 0.099

2. Fall:

$x^{4} - 9 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={0; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{1}{2})$ ; $9$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $\frac{2}{3}$ }

\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{4 x}{3 x - 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{4 x}{3 x - 2} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{2 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 4) - 4 \cdot (3 x - 4)$	=
$2 x + \frac{4 x (3 x - 4)}{3 x - 2} - 12 x + 16$	=
$2 x + \frac{12 x^{2} - 16 x}{3 x - 2} - 12 x + 16$	=
$\frac{12 x^{2} - 16 x}{3 x - 2} + 2 x - 12 x + 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 16 x}{3 x - 2} + 2 x - 12 x + 16$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{12 x^{2} - 16 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + 2 x \cdot (3 x - 2) - 12 x \cdot (3 x - 2) + 16 \cdot (3 x - 2)$	=
$12 x^{2} - 16 x + 2 x (3 x - 2) - 12 x (3 x - 2) + 48 x - 32$	=
$12 x^{2} - 16 x + (6 x^{2} - 4 x) + (- 36 x^{2} + 24 x) + 48 x - 32$	=
$- 18 x^{2} + 52 x - 32$	=

- 18 x^{2} + 52 x - 32

= 0 |:2

$- 9 x^{2} + 26 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{676 - 576}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{100}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{- 26+10}{- 18}$ = $\frac{- 16}{- 18}$ = $\frac{8}{9}$ ≈ 0.89

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{- 26-10}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{9}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 12 x^{3} + 25 x^{2} + 66 x - 80$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 12 x^{3} + 25 x^{2} + 66 x - 80$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 80$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 12 \cdot 1^{3} + 25 \cdot 1^{2} + 66 \cdot 1 - 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 12 x^{3}$	$+ 25 x^{2}$	$+ 66 x$	$- 80$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 11 x^{3}$	$+ 25 x^{2}$
	-( $- 11 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$ )
		$14 x^{2}$	$+ 66 x$
		-( $14 x^{2}$	$- 14 x$ )
			$80 x$	$- 80$
			-( $80 x$	$- 80$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 12 x^{3} + 25 x^{2} + 66 x - 80$ = $(x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $80$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 11 \cdot {(- 2)}^{2} + 14 \cdot (- 2) + 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 14 x$	$+ 80$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 13 x + 40$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$- 26 x$ )
		$40 x$	$+ 80$
		-( $40 x$	$+ 80$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80$ = $(x^{2} - 13 x + 40) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 13 x + 40) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 13 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13+3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13-3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 11 \cdot 5^{2} + 14 \cdot 5 + 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 14 x$	$+ 80$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$- 16 x$	$+ 80$
		-( $- 16 x$	$+ 80$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 6 x - 16) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 11 \cdot 8^{2} + 14 \cdot 8 + 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 14 x$	$+ 80$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$- 10 x$	$+ 80$
		-( $- 10 x$	$+ 80$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 3 x - 10) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $5$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x + 12 | + 2$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x + 12 \| + 2$	=	$11$
$2 + \frac{1}{3} \| 3 x + 12 \|$	=	$11$	\| $- 2$
$\frac{1}{3} \| 3 x + 12 \|$	=	$9$	\|⋅ $3$
$\| 3 x + 12 \|$	=	$27$

1. Fall: $3 x + 12$ ≥ 0:

$3 x + 12$	=	$27$	\| $- 12$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 5 + 12$ = 27 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 12$ < 0:

$- (3 x + 12)$	=	$27$
$- 3 x - 12$	=	$27$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$39$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 12$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 13) + 12$ = -27 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +12 ≥ 0:

2. Fall: 3x +12 < 0:

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $3 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 12$ < 0: