Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 5 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $14 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 5 e^{2 x}$	=	$14 e^{x}$	\| $- 14 e^{x}$
$e^{3 x} + 5 e^{2 x} - 14 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 5 e^{x} - 14) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 5 e^{x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $14 e^{\ln (2)}$ = 28 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |28)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 10 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 21 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 21 x + 5$ gilt m = $- 21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 10 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 10 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 10 e^{x}

=

- 21

|

+ 21

e^{2 x} - 10 e^{x} + 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 21 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3}$ = $3 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{4} - 2 x^{3}$	=	$3 x^{2}$	\| $- 3 x^{2}$
$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{x + 1}{2 x - 4} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - 3$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{x + 1}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{x + 1}{2 x - 2} \cdot (2 x - 4) - 3 \cdot (2 x - 4)$	=
$x + 1 + \frac{(x + 1) (2 x - 4)}{2 x - 2} - 6 x + 12$	=
$x + 1 + \frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{2 x - 2} - 6 x + 12$	=
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{2 x - 2} + x - 6 x + 1 + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{2 x - 2} + x - 6 x + 1 + 12$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + x \cdot (2 x - 2) - 6 x \cdot (2 x - 2) + 1 \cdot (2 x - 2) + 12 \cdot (2 x - 2)$	=
$2 x^{2} - 2 x - 4 + x (2 x - 2) - 6 x (2 x - 2) + 2 x - 2 + 24 x - 24$	=
$2 x^{2} - 2 x - 4 + (2 x^{2} - 2 x) + (- 12 x^{2} + 12 x) + 2 x - 2 + 24 x - 24$	=
$- 8 x^{2} + 34 x - 30$	=

- 8 x^{2} + 34 x - 30

= 0 |:2

$- 4 x^{2} + 17 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 17+7}{- 8}$ = $\frac{- 10}{- 8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 17-7}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,25$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 128$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 64 \cdot (- 2) - 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 64 x$	$- 128$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 64$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$- 64 x$
	-(0	0)
		$- 64 x$	$- 128$
		-( $- 64 x$	$- 128$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128$ = $(x^{2} + 0 - 64) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 - 64) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} - 64) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 2 \cdot {(- 8)}^{2} - 64 \cdot (- 8) - 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 64 x$	$- 128$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 64 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$- 16 x$	$- 128$
		-( $- 16 x$	$- 128$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 6 x - 16) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} + 2 \cdot 8^{2} - 64 \cdot 8 - 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 64 x$	$- 128$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- 64 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 80 x$ )
		$16 x$	$- 128$
		-( $16 x$	$- 128$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128$ = $(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 10 x + 16) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 8$ ; $- 2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x - 8 | + 4$ = $12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \| + 4$	=	$12$
$4 + \frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \|$	=	$12$	\| $- 4$
$\frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \|$	=	$8$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

$- 4 x - 8$	=	$24$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 8) - 8$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0:

$- (- 4 x - 8)$	=	$24$
$4 x + 8$	=	$24$	\| $- 8$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 4 - 8$ = -24 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -8 ≥ 0:

2. Fall: -4x -8 < 0:

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0: