Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x^{2}$ und $g(x) =$ $8 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 2 x^{2}$	=	$8 x$	\| $- 8 x$
$x^{3} + 2 x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x^{2} + 2 x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; 0; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 4$ : f( $- 4$ )= $8 \cdot (- 4)$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 4$ |-32)

x₂ = 0: f(0)= $8 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $8 \cdot 2$ = 16 Somit gilt: S₃( $2$ |16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $8 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x + 4$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 2 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 2 x^{2}

=

8

|

- 8

x^{4} - 2 x^{2} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 5 e^{2 x} - 6 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 5 e^{2 x} - 6 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 5 e^{x} - 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 5 e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{6 x}{x + 2} + \frac{12 x}{- 6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

\frac{6 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{12 x}{- 6 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{12 x}{- 6 x + 6}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} \cdot (x + 2) + \frac{12 x}{- 6 x + 6} \cdot (x + 2)$	=
$6 x + \frac{(2 x - 1) (x + 2)}{3 x - 3} + \frac{12 x (x + 2)}{- 6 x + 6}$	=
$6 x + \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 x - 3} + \frac{12 x^{2} + 24 x}{- 6 x + 6}$	=
$\frac{12 x^{2} + 24 x}{- 6 x + 6} + \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 x - 3} + 6 x$	=

\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 x - 3} + \frac{12 x^{2} + 24 x}{- 6 x + 6} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 x - 3} + \frac{12 x^{2} + 24 x}{- 6 x + 6} + 6 x$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + \frac{12 x^{2} + 24 x}{- 6 x + 6} \cdot (3 x - 3) + 6 x \cdot (3 x - 3)$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{(12 x^{2} + 24 x) (3 x - 3)}{- 6 x + 6} + 6 x (3 x - 3)$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{36 x^{3} + 36 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 6} + (18 x^{2} - 18 x)$	=
$\frac{36 x^{3} + 36 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 6} + 2 x^{2} + 18 x^{2} + 3 x - 18 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 6$ weg!

$\frac{36 x^{3} + 36 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 6} + 2 x^{2} + 18 x^{2} + 3 x - 18 x - 2$	=	\|⋅( $- 6 x + 6$ )
$\frac{36 x^{3} + 36 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 6} \cdot (- 6 x + 6) + 2 x^{2} \cdot (- 6 x + 6) + 18 x^{2} \cdot (- 6 x + 6) + 3 x \cdot (- 6 x + 6) - 18 x \cdot (- 6 x + 6) - 2 \cdot (- 6 x + 6)$	=
$36 x^{3} + 36 x^{2} - 72 x + 2 x^{2} (- 6 x + 6) + 18 x^{2} (- 6 x + 6) + 3 x (- 6 x + 6) - 18 x (- 6 x + 6) + 12 x - 12$	=
$36 x^{3} + 36 x^{2} - 72 x + (- 12 x^{3} + 12 x^{2}) + (- 108 x^{3} + 108 x^{2}) + (- 18 x^{2} + 18 x) + (108 x^{2} - 108 x) + 12 x - 12$	=
$- 84 x^{3} + 246 x^{2} - 150 x - 12$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 84 x^{3} + 246 x^{2} - 150 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $- 84 \cdot 1^{3} + 246 \cdot 1^{2} - 150 \cdot 1 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $- 84 x^{3}$	$+ 246 x^{2}$	$- 150 x$	$- 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$- 84 x^{2} + 162 x + 12$
-( $- 84 x^{3}$	$+ 84 x^{2}$ )
	$162 x^{2}$	$- 150 x$
	-( $162 x^{2}$	$- 162 x$ )
		$12 x$	$- 12$
		-( $12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$- 84 x^{3} + 246 x^{2} - 150 x - 12$ = $(- 84 x^{2} + 162 x + 12) \cdot (x - 1)$

(- 84 x^{2} + 162 x + 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 84 x^{2} + 162 x + 12

= 0 |:6

$- 14 x^{2} + 27 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot (- 14) \cdot 2}}{2 \cdot (- 14)}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 + 112}}{- 28}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{841}}{- 28}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{841}}{- 28}$ = $\frac{- 27+29}{- 28}$ = $\frac{2}{- 28}$ = $- \frac{1}{14}$ ≈ -0.07

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{841}}{- 28}$ = $\frac{- 27-29}{- 28}$ = $\frac{- 56}{- 28}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $- 84 \cdot 2^{3} + 246 \cdot 2^{2} - 150 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $- 84 x^{3}$	$+ 246 x^{2}$	$- 150 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$- 84 x^{2} + 78 x + 6$
-( $- 84 x^{3}$	$+ 168 x^{2}$ )
	$78 x^{2}$	$- 150 x$
	-( $78 x^{2}$	$- 156 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$- 84 x^{3} + 246 x^{2} - 150 x - 12$ = $(- 84 x^{2} + 78 x + 6) \cdot (x - 2)$

(- 84 x^{2} + 78 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 84 x^{2} + 78 x + 6

= 0 |:6

$- 14 x^{2} + 13 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 14) \cdot 1}}{2 \cdot (- 14)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{- 28}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{225}}{- 28}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{225}}{- 28}$ = $\frac{- 13+15}{- 28}$ = $\frac{2}{- 28}$ = $- \frac{1}{14}$ ≈ -0.07

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{225}}{- 28}$ = $\frac{- 13-15}{- 28}$ = $\frac{- 28}{- 28}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{14}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 29 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $32 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$45 x$	$- 45$
		-( $45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 29 \cdot {(- 9)}^{2} + 13 \cdot (- 9) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 5 x$	$- 45$
		-( $- 5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 3 | - 6$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \| - x - 3 \| - 6$	=	$- 8$
$- 6 - \| - x - 3 \|$	=	$- 8$	\| $+ 6$
$- \| - x - 3 \|$	=	$- 2$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 3 \|$	=	$2$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

$- x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- (- 5) - 3$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 3$ < 0:

$- (- x - 3)$	=	$2$
$x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ < 0) genügt:

$- (- 1) - 3$ = -2 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 2

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -3 ≥ 0:

2. Fall: -x -3 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 3$ < 0: