Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 4 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $12$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} + 4 e^{3 x}

=

12

|

- 12

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $12$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$(x^{2} + 8 x) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 8$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6}$ = $- 4 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{6}$	=	$- 4 x^{4}$	\| $+ 4 x^{4}$
$x^{6} + 4 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x}{3 x + 4} + \frac{- 2 x}{3 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $2$ }

\frac{x}{3 x + 4} + \frac{2 x}{x - 2} - \frac{2 x}{3 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{x}{3 x + 4} + \frac{2 x}{x - 2} - \frac{2 x}{3 x + 4}$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{2 x}{x - 2} \cdot (3 x + 4) - \frac{2 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4)$	=
$x + \frac{2 x (3 x + 4)}{x - 2} - 2 x$	=
$x + \frac{6 x^{2} + 8 x}{x - 2} - 2 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 8 x}{x - 2} + x - 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 8 x}{x - 2} + x - 2 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} + 8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) - 2 x \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} + 8 x + x (x - 2) - 2 x (x - 2)$	=
$6 x^{2} + 8 x + (x^{2} - 2 x) + (- 2 x^{2} + 4 x)$	=
$5 x^{2} + 10 x$	=

$5 x^{2} + 10 x$	=	0
$5 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 2 x$	$- 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 2$
		-( $2 x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x + 4 | + 5$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \| 4 x + 4 \| + 5$	=	$- 15$
$5 - \| 4 x + 4 \|$	=	$- 15$	\| $- 5$
$- \| 4 x + 4 \|$	=	$- 20$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x + 4 \|$	=	$20$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

$4 x + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 4 + 4$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 4$ < 0:

$- (4 x + 4)$	=	$20$
$- 4 x - 4$	=	$20$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 6) + 4$ = -20 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +4 ≥ 0:

2. Fall: 4x +4 < 0:

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 4$ < 0: