Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 35 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $2 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 35 e^{2 x}$	=	$2 e^{5 x}$	\| $- 2 e^{5 x}$
$e^{8 x} - 2 e^{5 x} - 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $2 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 51.23 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |51.23)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $e^{3 x} - 2 + 3 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$e^{3 x} - 2 + 3 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$e^{3 x} - 2 + 2 + 3 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$e^{3 x} + 3 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$(3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 2 x} - 3) \cdot (x^{3} + 7 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 2 x} - 3) (x^{3} + 7 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 2 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$9 e^{- 2 x}$	=	$3$	\|: $9$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 0.5493

2. Fall:

$x^{3} + 7 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; 0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{- 5 x - 1}{3 x - 7}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; $1$ }

\frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{- 5 x - 1}{3 x - 7}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{- 5 x - 1}{3 x - 7}$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{3 x - 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} \cdot (3 x - 7) + \frac{- 5 x - 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x - 1 + \frac{(5 x + 1) (3 x - 7)}{2 x - 2} - 5 x - 1$	=
$3 x - 1 + \frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{2 x - 2} - 5 x - 1$	=
$\frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{2 x - 2} + 3 x - 5 x - 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{2 x - 2} + 3 x - 5 x - 1 - 1$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{15 x^{2} - 32 x - 7}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + 3 x \cdot (2 x - 2) - 5 x \cdot (2 x - 2) - 1 \cdot (2 x - 2) - 1 \cdot (2 x - 2)$	=
$15 x^{2} - 32 x - 7 + 3 x (2 x - 2) - 5 x (2 x - 2) - 2 x + 2 - 2 x + 2$	=
$15 x^{2} - 32 x - 7 + (6 x^{2} - 6 x) + (- 10 x^{2} + 10 x) - 2 x + 2 - 2 x + 2$	=
$11 x^{2} - 32 x - 3$	=

$11 x^{2} - 32 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot 11 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 024 + 132}}{22}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 156}}{22}$

x₁ = $\frac{32 + \sqrt{1 156}}{22}$ = $\frac{32+34}{22}$ = $\frac{66}{22}$ = $3$

x₂ = $\frac{32 - \sqrt{1 156}}{22}$ = $\frac{32-34}{22}$ = $\frac{- 2}{22}$ = $- \frac{1}{11}$ ≈ -0.09

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{11}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 9 x^{3} + 4 x^{2} + 36 x - 32$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 9 x^{3} + 4 x^{2} + 36 x - 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 32$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 9 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 36 \cdot 1 - 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 36 x$	$- 32$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 8 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$
	-( $- 8 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 36 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
			$32 x$	$- 32$
			-( $32 x$	$- 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 9 x^{3} + 4 x^{2} + 36 x - 32$ = $(x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 8 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$16 x$	$+ 32$
		-( $16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 16 x$	$+ 32$
		-( $- 16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x - 16) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 8 \cdot 8^{2} - 4 \cdot 8 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 32$
		-( $- 4 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 8)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 8)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x - 6 | - 4$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x - 6 \| - 4$	=	$- 1$
$- 4 + \frac{1}{2} \| - 3 x - 6 \|$	=	$- 1$	\| $+ 4$
$\frac{1}{2} \| - 3 x - 6 \|$	=	$3$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x - 6 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 3 x - 6$ ≥ 0:

$- 3 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 4) - 6$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 6$ < 0:

$- (- 3 x - 6)$	=	$6$
$3 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 0 - 6$ = -6 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -6 ≥ 0:

2. Fall: -3x -6 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 6$ < 0: