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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 6 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $7 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 6 e^{2 x}$	=	$7 e^{x}$	\| $- 7 e^{x}$
$e^{3 x} - 6 e^{2 x} - 7 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 6 e^{x} - 7) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 6 e^{x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $7 e^{\ln (7)}$ = 49 Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |49)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 3 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 3 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $- 1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$- 1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$(x^{2} + 8 x) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 8$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 e^{4 x} + 15 e^{x}$ = $- e^{7 x}$

Lösung einblenden

$- 8 e^{4 x} + 15 e^{x}$	=	$- e^{7 x}$	\| $+ e^{7 x}$
$e^{7 x} - 8 e^{4 x} + 15 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{x + 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{x - 1}{x + 1} - 2$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x + 1)$	=
$x - 1 - 2 x - 2$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 3 x$	$- 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 3$
		-( $3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x + 6 | - 7$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x + 6 \| - 7$	=	$- 3$
$- 7 - \| - 2 x + 6 \|$	=	$- 3$	\| $+ 7$
$- \| - 2 x + 6 \|$	=	$4$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x + 6 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

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vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen