Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 2 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $24 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 2 e^{2 x}$	=	$24 e^{x}$	\| $- 24 e^{x}$
$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 2 e^{x} - 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $24 e^{\ln (6)}$ = 144 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |144)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 4 + x \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 4 + x \cdot e^{- x}$

f'(x)= $e^{- x} + 2 - x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$e^{- x} + 2 - x \cdot e^{- x}$	=	$2$	\| $- 2$
$e^{- x} + 2 - 2 - x \cdot e^{- x}$	=	0
$e^{- x} - x \cdot e^{- x}$	=	0
$(- x + 1) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{2 x} - 2) \cdot (x^{5} - x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{2 x} - 2) (x^{5} - x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{2 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$9 e^{2 x}$	=	$2$	\|: $9$
$e^{2 x}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{2}{9})$	≈ -0.752

2. Fall:

$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{2}{9})$ ; 0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x - 3} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{2 x - 1}{3 x - 3} - 1$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{2 x - 1}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) - 1 \cdot (3 x - 3)$	=
$2 x - 1 - 3 x + 3$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 3 x^{3} - 22 x^{2} + 12 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 3 x^{3} - 22 x^{2} + 12 x + 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $72$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 3 \cdot {(- 2)}^{3} - 22 \cdot {(- 2)}^{2} + 12 \cdot (- 2) + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 22 x^{2}$	$+ 12 x$	$+ 72$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$- 22 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$- 10 x^{2}$ )
		$- 12 x^{2}$	$+ 12 x$
		-( $- 12 x^{2}$	$- 24 x$ )
			$36 x$	$+ 72$
			-( $36 x$	$+ 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 22 x^{2} + 12 x + 72$ = $(x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 12 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 12 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 18 x$	$+ 36$
		-( $- 18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36$ = $(x^{2} - 3 x - 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x - 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 5 \cdot {(- 3)}^{2} - 12 \cdot (- 3) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 12 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 12 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$12 x$	$+ 36$
		-( $12 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 5 \cdot 6^{2} - 12 \cdot 6 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 12 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 12 x$
	-( $x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 6 x$	$+ 36$
		-( $- 6 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + x - 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x + 8 | + 4$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \| + 4$	=	$8$
$4 + \frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \|$	=	$8$	\| $- 4$
$\frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x + 8 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

$- 4 x + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	0	\|:( $- 4$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (0) + 8$ = 8 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0:

$- (- 4 x + 8)$	=	$8$
$4 x - 8$	=	$8$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 4 + 8$ = -8 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +8 ≥ 0:

2. Fall: -4x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0: