Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1$ und $g(x) =$ $\frac{25}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{25}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{25}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$25$

$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 5$ : f( $- 5$ )= $\frac{25}{{(- 5)}^{2}}$ = 1 Somit gilt: S₁( $- 5$ |1)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $\frac{25}{5^{2}}$ = 1 Somit gilt: S₂( $5$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{13}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 36 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 36 x - 7$ gilt m = $- 36$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{13}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 13 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 13 x^{2}

=

- 36

|

+ 36

x^{4} - 13 x^{2} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 36$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 36 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 42 x$ = $- x^{3}$

Lösung einblenden

$x^{2} - 42 x$	=	$- x^{3}$	\| $+ x^{3}$
$x^{3} + x^{2} - 42 x$	=	0
$x (x^{2} + x - 42)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; 0; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 4}{x} + \frac{x}{2 x + 6} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{x}{2 x + 6} + \frac{x - 4}{x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{x - 4}{x} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{x}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + \frac{x - 4}{x} \cdot (2 x + 6) - 4 \cdot (2 x + 6)$	=
$x + \frac{(x - 4) (2 x + 6)}{x} - 8 x - 24$	=
$x + \frac{2 x^{2} - 2 x - 24}{x} - 8 x - 24$	=
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 24}{x} + x - 8 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 24}{x} + x - 8 x - 24$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 24}{x} \cdot x + x \cdot x - 8 x \cdot x - 24 \cdot x$	=
$2 x^{2} - 2 x - 24 + x \cdot x - 8 x \cdot x - 24 x$	=
$2 x^{2} - 2 x - 24 + x^{2} - 8 x^{2} - 24 x$	=
$- 5 x^{2} - 26 x - 24$	=

$- 5 x^{2} - 26 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 480}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{196}}{- 10}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{196}}{- 10}$ = $\frac{26+14}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{196}}{- 10}$ = $\frac{26-14}{- 10}$ = $\frac{12}{- 10}$ = $- 1,2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - x^{2} - 22 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - x^{2} - 22 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 22 \cdot (- 2) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 22 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 12 x$	$- 24$
		-( $- 12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - x^{2} - 22 x - 24$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 4^{2} - 22 \cdot 4 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 22 x$	$- 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$6 x$	$- 24$
		-( $6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - x^{2} - 22 x - 24$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x + 20 | + 7$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \| 4 x + 20 \| + 7$	=	$- 9$
$7 - \| 4 x + 20 \|$	=	$- 9$	\| $- 7$
$- \| 4 x + 20 \|$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x + 20 \|$	=	$16$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

$4 x + 20$	=	$16$	\| $- 20$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot (- 1) + 20$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 20$ < 0:

$- (4 x + 20)$	=	$16$
$- 4 x - 20$	=	$16$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 9) + 20$ = -16 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +20 ≥ 0:

2. Fall: 4x +20 < 0:

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 20$ < 0: