Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{2x}+4e^x$

=

$21$

| $-21$

$e^{2x}+4e^x-21$ = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^x$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $e^x$ = $3$

u₂: $e^x$ = $-7$

L={ $\ln \left(3\right)$}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln \left(3\right)$: f( $\ln \left(3\right)$)= $21$ Somit gilt: S₁( $\ln \left(3\right)$|21)

Für die Steigung der Geraden y = $-2x-1$ gilt m = $-2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $-2x-2+8x·e^{\frac{1}{4}x}$

f'(x)= $8e^{\frac{1}{4}x}-2+2x·e^{\frac{1}{4}x}$

Also muss gelten:

$8e^{\frac{1}{4}x}-2+2x·e^{\frac{1}{4}x}$	=	$-2$	| $+2$
$8e^{\frac{1}{4}x}-2+2+2x·e^{\frac{1}{4}x}$	=	0
$8e^{\frac{1}{4}x}+2x·e^{\frac{1}{4}x}$	=	0
$2\left(x+4\right)e^{\frac{1}{4}x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $-2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $-2x-1$.

$\left(-8e^{-6x}+2\right)\left(x^2-4x\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $-\frac{1}{6}\ln \left(\frac{1}{4}\right)$; $4$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3x$ weg!

$\frac{11x+1}{3x}-4$	=	0	|⋅( $3x$)
$\frac{11x+1}{3x}·3x-4·3x$	=	0
$11x+1-12x$	=	0
$-x+1$	=	0

$-x+1$	=	0	| $-1$
$-x$	=	$-1$	|:($-1$)
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$}

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^3+2x^2+9x+18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$.

$-2$ ist eine Lösung, denn ${\left(-2\right)}^3+2\cdot {\left(-2\right)}^2+9\cdot \left(-2\right)+18$= 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x$+2$) durch.

( $x^3$	$+2x^2$	$+9x$	$+18$)	:	(x$+2$)	=	$x^2+0+9$
-( $x^3$	$+2x^2$)
	0	$+9x$
	-(0	0)
		$9x$	$+18$
		-( $9x$	$+18$)
			0

es gilt also:

$x^3+2x^2+9x+18$ = $\left(x^2+0+9\right)·\left(x+2\right)$

$\left(x^2+0+9\right)·\left(x+2\right)$	=	0
$\left(x^2+9\right)\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$}

$\frac{1}{2}\left|$ -x-2$\right|+7$	=	$6$
$7+\frac{1}{2}\left|$ -x-2$\right|$	=	$6$	| $-7$
$\frac{1}{2}\left|$ -x-2$\right|$	=	$-1$	|⋅$2$
$\left|$ -x-2$\right|$	=	$-2$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}