Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 42 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 1$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 42 e^{- x}

=

- 1

|

+ 1

e^{x} - 42 e^{- x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 42 e^{- x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + e^{x} - 42$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $- 1$ Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 4 + x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 6$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 4 + x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $e^{- 2 x} - 2 - 2 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$e^{- 2 x} - 2 - 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$e^{- 2 x} - 2 + 2 - 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$e^{- 2 x} - 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$(- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{3} - 18 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} + 3 x^{3} - 18 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 3 x - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{6 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x - 1}{2 x} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$6 x + \frac{(3 x - 1) (x - 1)}{2 x} - 5 x + 5$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} - 5 x + 5$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + 6 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + 6 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 5 x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 12 x \cdot x - 10 x \cdot x + 10 x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 12 x^{2} - 10 x^{2} + 10 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1$	=

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6+4}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6-4}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 8 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$14 x$	$+ 14$
		-( $14 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 7 x$	$+ 14$
		-( $- 7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ = $(x^{2} - 6 x - 7) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x - 7) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 8 \cdot 7^{2} + 5 \cdot 7 + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 14$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 2 x$	$+ 14$
		-( $- 2 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - x - 2) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 1$ ; $2$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x + 2 | - 1$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x + 2 \| - 1$	=	$- 7$
$- 1 - \| - 2 x + 2 \|$	=	$- 7$	\| $+ 1$
$- \| - 2 x + 2 \|$	=	$- 6$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x + 2 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

$- 2 x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 2) + 2$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0:

$- (- 2 x + 2)$	=	$6$
$2 x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 4 + 2$ = -6 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +2 ≥ 0:

2. Fall: -2x +2 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0: