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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} - 16 x^{4}$ und $g(x) =$ $- 64 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} - 16 x^{4}$	=	$- 64 x$	\| $+ 64 x$
$x^{7} - 16 x^{4} + 64 x$	=	0
$x (x^{6} - 16 x^{3} + 64)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 16 x^{3} + 64

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{16}{2}$ = $8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 64 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- 64 \cdot 2$ = -128 Somit gilt: S₂( $2$ |-128)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{13}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 36 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 36 x - 7$ gilt m = $- 36$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{13}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 13 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 13 x^{2}

=

- 36

|

+ 36

x^{4} - 13 x^{2} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 36$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 36 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 6 e^{3 x} + 9 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 6 e^{3 x} + 9 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 9) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

$\frac{1}{2} \ln (3)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{2 x + 2}{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{2 x + 2}{x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{2 x + 2}{x} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{2 x + 2}{x} \cdot (3 x - 2) - 5 \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x + \frac{(2 x + 2) (3 x - 2)}{x} - 15 x + 10$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 2 x - 4}{x} - 15 x + 10$	=
$\frac{6 x^{2} + 2 x - 4}{x} + 4 x - 15 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 2 x - 4}{x} + 4 x - 15 x + 10$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} + 2 x - 4}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 15 x \cdot x + 10 \cdot x$	=
$6 x^{2} + 2 x - 4 + 4 x \cdot x - 15 x \cdot x + 10 x$	=
$6 x^{2} + 2 x - 4 + 4 x^{2} - 15 x^{2} + 10 x$	=
$- 5 x^{2} + 12 x - 4$	=

$- 5 x^{2} + 12 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 12+8}{- 10}$ = $\frac{- 4}{- 10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 12-8}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,4$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 18 x$	$+ 18$
		-( $- 18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 11 \cdot 6^{2} - 9 \cdot 6 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 9 x$
	-( $x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 3 x$	$+ 18$
		-( $- 3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x + 12 | - 7$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x + 12 \| - 7$	=	$8$
$- 7 + \frac{1}{2} \| 3 x + 12 \|$	=	$8$	\| $+ 7$
$\frac{1}{2} \| 3 x + 12 \|$	=	$15$	\|⋅ $2$
$\| 3 x + 12 \|$	=	$30$

1. Fall: $3 x + 12$ ≥ 0:

$3 x + 12$	=	$30$	\| $- 12$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 6 + 12$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 12$ < 0:

$- (3 x + 12)$	=	$30$
$- 3 x - 12$	=	$30$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$42$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 12$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 14) + 12$ = -30 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +12 ≥ 0:

2. Fall: 3x +12 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $3 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 12$ < 0: