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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2}$ und $g(x) =$ $- 2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 1$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + e^{x}

=

6

|

- 6

e^{2 x} + e^{x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 18 x^{2} + 81$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 18 x^{2} + 81

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 18 u + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{18}{2}$ = $9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung! $3$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{12 x}{- 9 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{12 x}{- 9 x + 12}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{12 x}{- 9 x + 12}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (3 x - 4) + \frac{12 x}{- 9 x + 12} \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x + \frac{(2 x - 1) (3 x - 4)}{x + 1} + \frac{12 x (3 x - 4)}{- 9 x + 12}$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 11 x + 4}{x + 1} + \frac{36 x^{2} - 48 x}{- 9 x + 12}$	=
$\frac{36 x^{2} - 48 x}{- 9 x + 12} + \frac{6 x^{2} - 11 x + 4}{x + 1} + 3 x$	=

\frac{6 x^{2} - 11 x + 4}{x + 1} + \frac{36 x^{2} - 48 x}{- 9 x + 12} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 11 x + 4}{x + 1} + \frac{36 x^{2} - 48 x}{- 9 x + 12} + 3 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 4}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{36 x^{2} - 48 x}{- 9 x + 12} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 4 + \frac{(36 x^{2} - 48 x) (x + 1)}{- 9 x + 12} + 3 x (x + 1)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 4 + \frac{36 x^{3} - 12 x^{2} - 48 x}{- 9 x + 12} + (3 x^{2} + 3 x)$	=
$\frac{36 x^{3} - 12 x^{2} - 48 x}{- 9 x + 12} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 11 x + 3 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x + 12$ weg!

$\frac{36 x^{3} - 12 x^{2} - 48 x}{- 9 x + 12} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 11 x + 3 x + 4$	=	\|⋅( $- 9 x + 12$ )
$\frac{36 x^{3} - 12 x^{2} - 48 x}{- 9 x + 12} \cdot (- 9 x + 12) + 6 x^{2} \cdot (- 9 x + 12) + 3 x^{2} \cdot (- 9 x + 12) - 11 x \cdot (- 9 x + 12) + 3 x \cdot (- 9 x + 12) + 4 \cdot (- 9 x + 12)$	=
$36 x^{3} - 12 x^{2} - 48 x + 6 x^{2} (- 9 x + 12) + 3 x^{2} (- 9 x + 12) - 11 x (- 9 x + 12) + 3 x (- 9 x + 12) - 36 x + 48$	=
$36 x^{3} - 12 x^{2} - 48 x + (- 54 x^{3} + 72 x^{2}) + (- 27 x^{3} + 36 x^{2}) + (99 x^{2} - 132 x) + (- 27 x^{2} + 36 x) - 36 x + 48$	=
$- 45 x^{3} + 168 x^{2} - 180 x + 48$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 45 x^{3} + 168 x^{2} - 180 x + 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $48$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $- 45 \cdot 2^{3} + 168 \cdot 2^{2} - 180 \cdot 2 + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $- 45 x^{3}$	$+ 168 x^{2}$	$- 180 x$	$+ 48$ )	:	(x $- 2$ )	=	$- 45 x^{2} + 78 x - 24$
-( $- 45 x^{3}$	$+ 90 x^{2}$ )
	$78 x^{2}$	$- 180 x$
	-( $78 x^{2}$	$- 156 x$ )
		$- 24 x$	$+ 48$
		-( $- 24 x$	$+ 48$ )
			0

es gilt also:

$- 45 x^{3} + 168 x^{2} - 180 x + 48$ = $(- 45 x^{2} + 78 x - 24) \cdot (x - 2)$

(- 45 x^{2} + 78 x - 24) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 45 x^{2} + 78 x - 24

= 0 |:3

$- 15 x^{2} + 26 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{676 - 480}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{196}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{196}}{- 30}$ = $\frac{- 26+14}{- 30}$ = $\frac{- 12}{- 30}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{196}}{- 30}$ = $\frac{- 26-14}{- 30}$ = $\frac{- 40}{- 30}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,4$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 9 \cdot (- 2) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$+ 18$
		-( $9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x + 8 | - 5$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 8 \| - 5$	=	$- 3$
$- 5 - \frac{1}{2} \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 3$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 8 \|$	=	$2$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen