Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6}$ und $g(x) =$ $- 6 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6}$	=	$- 6 x^{4}$	\| $+ 6 x^{4}$
$x^{6} + 6 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 6 \cdot 0^{4}$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 13 x^{2} + 36$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 13 x^{2} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x + 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$3 x + 1 - 4 x - 4$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} - 36 x - 72$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 36 x - 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 72$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 36 \cdot (- 2) - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 36 x$	$- 72$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 36$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$- 36 x$
	-(0	0)
		$- 36 x$	$- 72$
		-( $- 36 x$	$- 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 36 x - 72$ = $(x^{2} + 0 - 36) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 - 36) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} - 36) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 36$	=	0	\| $+ 36$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 2 \cdot {(- 6)}^{2} - 36 \cdot (- 6) - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 36 x$	$- 72$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$- 12 x$	$- 72$
		-( $- 12 x$	$- 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 36 x - 72$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} + 2 \cdot 6^{2} - 36 \cdot 6 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 36 x$	$- 72$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$12 x$	$- 72$
		-( $12 x$	$- 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 36 x - 72$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 10 | + 7$ = $5$

Lösung einblenden

$- \| 2 x - 10 \| + 7$	=	$5$
$7 - \| 2 x - 10 \|$	=	$5$	\| $- 7$
$- \| 2 x - 10 \|$	=	$- 2$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 10 \|$	=	$2$

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

$2 x - 10$	=	$2$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 6 - 10$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 10$ < 0:

$- (2 x - 10)$	=	$2$
$- 2 x + 10$	=	$2$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot 4 - 10$ = -2 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $4$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -10 ≥ 0:

2. Fall: 2x -10 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 10$ < 0: