Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 7 x^{2}$ und $g(x) =$ $6 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 7 x^{2}$	=	$6 x^{3}$	\| $- 6 x^{3}$
$x^{4} - 6 x^{3} - 7 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 6 x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $7$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $6 \cdot {(- 1)}^{3}$ = -6 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-6)

x₂ = 0: f(0)= $6 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $7$ : f( $7$ )= $6 \cdot 7^{3}$ = 2058 Somit gilt: S₃( $7$ |2058)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 7 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} + 7 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{3} - 8 x$ = $- x^{5}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{3} - 8 x$	=	$- x^{5}$	\| $+ x^{5}$
$x^{5} - 2 x^{3} - 8 x$	=	0
$x (x^{4} - 2 x^{2} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 2 x^{2} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{14 x}{- 6 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{3}$ }

\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{14 x}{- 6 x + 12}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{14 x}{- 6 x + 12}$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{2 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} \cdot (2 x - 4) + \frac{14 x}{- 6 x + 12} \cdot (2 x - 4)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) (2 x - 4)}{3 x - 5} + \frac{14 x (2 x - 4)}{- 6 x + 12}$	=
$2 x + \frac{10 x^{2} - 18 x - 4}{3 x - 5} + \frac{28 x^{2} - 56 x}{- 6 x + 12}$	=
$\frac{28 x^{2} - 56 x}{- 6 x + 12} + \frac{10 x^{2} - 18 x - 4}{3 x - 5} + 2 x$	=

\frac{10 x^{2} - 18 x - 4}{3 x - 5} + \frac{28 x^{2} - 56 x}{- 6 x + 12} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{10 x^{2} - 18 x - 4}{3 x - 5} + \frac{28 x^{2} - 56 x}{- 6 x + 12} + 2 x$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{10 x^{2} - 18 x - 4}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{28 x^{2} - 56 x}{- 6 x + 12} \cdot (3 x - 5) + 2 x \cdot (3 x - 5)$	=
$10 x^{2} - 18 x - 4 + \frac{(28 x^{2} - 56 x) (3 x - 5)}{- 6 x + 12} + 2 x (3 x - 5)$	=
$10 x^{2} - 18 x - 4 + \frac{84 x^{3} - 308 x^{2} + 280 x}{- 6 x + 12} + (6 x^{2} - 10 x)$	=
$\frac{84 x^{3} - 308 x^{2} + 280 x}{- 6 x + 12} + 10 x^{2} + 6 x^{2} - 18 x - 10 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 12$ weg!

$\frac{84 x^{3} - 308 x^{2} + 280 x}{- 6 x + 12} + 10 x^{2} + 6 x^{2} - 18 x - 10 x - 4$	=	\|⋅( $- 6 x + 12$ )
$\frac{84 x^{3} - 308 x^{2} + 280 x}{- 6 x + 12} \cdot (- 6 x + 12) + 10 x^{2} \cdot (- 6 x + 12) + 6 x^{2} \cdot (- 6 x + 12) - 18 x \cdot (- 6 x + 12) - 10 x \cdot (- 6 x + 12) - 4 \cdot (- 6 x + 12)$	=
$84 x^{3} - 308 x^{2} + 280 x + 10 x^{2} (- 6 x + 12) + 6 x^{2} (- 6 x + 12) - 18 x (- 6 x + 12) - 10 x (- 6 x + 12) + 24 x - 48$	=
$84 x^{3} - 308 x^{2} + 280 x + (- 60 x^{3} + 120 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 72 x^{2}) + (108 x^{2} - 216 x) + (60 x^{2} - 120 x) + 24 x - 48$	=
$- 12 x^{3} + 52 x^{2} - 32 x - 48$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 12 x^{3} + 52 x^{2} - 32 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $- 12 \cdot 2^{3} + 52 \cdot 2^{2} - 32 \cdot 2 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $- 12 x^{3}$	$+ 52 x^{2}$	$- 32 x$	$- 48$ )	:	(x $- 2$ )	=	$- 12 x^{2} + 28 x + 24$
-( $- 12 x^{3}$	$+ 24 x^{2}$ )
	$28 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $28 x^{2}$	$- 56 x$ )
		$24 x$	$- 48$
		-( $24 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$- 12 x^{3} + 52 x^{2} - 32 x - 48$ = $(- 12 x^{2} + 28 x + 24) \cdot (x - 2)$

(- 12 x^{2} + 28 x + 24) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 12 x^{2} + 28 x + 24

= 0 |:4

$- 3 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 6}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{- 7+11}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{- 7-11}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $- 12 \cdot 3^{3} + 52 \cdot 3^{2} - 32 \cdot 3 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $- 12 x^{3}$	$+ 52 x^{2}$	$- 32 x$	$- 48$ )	:	(x $- 3$ )	=	$- 12 x^{2} + 16 x + 16$
-( $- 12 x^{3}$	$+ 36 x^{2}$ )
	$16 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $16 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$16 x$	$- 48$
		-( $16 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$- 12 x^{3} + 52 x^{2} - 32 x - 48$ = $(- 12 x^{2} + 16 x + 16) \cdot (x - 3)$

(- 12 x^{2} + 16 x + 16) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 12 x^{2} + 16 x + 16

= 0 |:4

$- 3 x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 4}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{- 4+8}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{- 4-8}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 5 x^{3} - 16 x^{2} - 68 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 5 x^{3} - 16 x^{2} - 68 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 5 \cdot {(- 1)}^{3} - 16 \cdot {(- 1)}^{2} - 68 \cdot (- 1) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 68 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$- 16 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 20 x^{2}$	$- 68 x$
		-( $- 20 x^{2}$	$- 20 x$ )
			$- 48 x$	$- 48$
			-( $- 48 x$	$- 48$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 5 x^{3} - 16 x^{2} - 68 x - 48$ = $(x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 20 \cdot (- 2) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 20 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 24$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 24 x$	$- 48$
		-( $- 24 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48$ = $(x^{2} + 2 x - 24) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x - 24) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 4 \cdot 4^{2} - 20 \cdot 4 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 20 x$	$- 48$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$12 x$	$- 48$
		-( $12 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 4 \cdot {(- 6)}^{2} - 20 \cdot (- 6) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 20 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 8 x$	$- 48$
		-( $- 8 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 2 x - 8) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $- 1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x + 16 | + 3$ = $11$

Lösung einblenden

$\| - 4 x + 16 \| + 3$	=	$11$
$3 + \| - 4 x + 16 \|$	=	$11$	\| $- 3$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

$- 4 x + 16$	=	$8$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot 2 + 16$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0:

$- (- 4 x + 16)$	=	$8$
$4 x - 16$	=	$8$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 6 + 16$ = -8 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 3

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +16 ≥ 0:

2. Fall: -4x +16 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0: