Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 8$ und $g(x) =$ $2 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 8

=

2 x^{2}

|

- 2 x^{2}

x^{4} - 2 x^{2} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $2 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 8 Somit gilt: S₁( $- 2$ |8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $2 \cdot 2^{2}$ = 8 Somit gilt: S₂( $2$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{3}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $4 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{3}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 3 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 3 e^{2 x}

=

4

|

- 4

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 4 e^{4 x}$ = $21 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 4 e^{4 x}$	=	$21 e^{2 x}$	\| $- 21 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 4 e^{4 x} - 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{2 x + 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 7$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{12 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (2 x + 1) - 7 \cdot (2 x + 1)$	=
$12 x + \frac{6 x (2 x + 1)}{3 x - 1} - 14 x - 7$	=
$12 x + \frac{12 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} - 14 x - 7$	=
$\frac{12 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} + 12 x - 14 x - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} + 12 x - 14 x - 7$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{12 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 12 x \cdot (3 x - 1) - 14 x \cdot (3 x - 1) - 7 \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x^{2} + 6 x + 12 x (3 x - 1) - 14 x (3 x - 1) - 21 x + 7$	=
$12 x^{2} + 6 x + (36 x^{2} - 12 x) + (- 42 x^{2} + 14 x) - 21 x + 7$	=
$6 x^{2} - 13 x + 7$	=

$6 x^{2} - 13 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 7}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{12}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{12}$ = $\frac{13+1}{12}$ = $\frac{14}{12}$ = $\frac{7}{6}$ ≈ 1.17

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{12}$ = $\frac{13-1}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{7}{6}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 4 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 2 | - 2$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 2 \| - 2$	=	$1$
$- 2 + \frac{1}{3} \| x + 2 \|$	=	$1$	\| $+ 2$
$\frac{1}{3} \| x + 2 \|$	=	$3$	\|⋅ $3$
$\| x + 2 \|$	=	$9$

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

$x + 2$	=	$9$	\| $- 2$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ ≥ 0) genügt:

$7 + 2$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 2$ < 0:

$- (x + 2)$	=	$9$
$- x - 2$	=	$9$	\| $+ 2$
$- x$	=	$11$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ < 0) genügt:

$- 11 + 2$ = -9 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: x +2 ≥ 0:

2. Fall: x +2 < 0:

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 2$ < 0: