Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 3 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $18$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 3 e^{3 x}

=

18

|

- 18

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $18$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |18)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $5 + x^{2} \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 5$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $5 + x^{2} \cdot e^{- x}$

f'(x)= $- x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$- x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$(- x^{2} + 2 x) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{- 6 x} + 4) \cdot (x^{3} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{- 6 x} + 4) (x^{3} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{- 6 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- e^{- 6 x}$	=	$- 4$	\|: $- 1$
$e^{- 6 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (4)$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (4)$	≈ -0.231
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (2)$

2. Fall:

$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{3} \ln (2)$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{x - 2} + \frac{30 x}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{x - 2} + \frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{30 x}{- 2 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{30 x}{- 2 x + 4}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (x - 2) + \frac{30 x}{- 2 x + 4} \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{12 x (x - 2)}{3 x - 1} + \frac{30 x (x - 2)}{- 2 x + 4}$	=
$6 x + \frac{12 x^{2} - 24 x}{3 x - 1} + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 2 x + 4}$	=
$\frac{30 x^{2} - 60 x}{- 2 x + 4} + \frac{12 x^{2} - 24 x}{3 x - 1} + 6 x$	=

\frac{12 x^{2} - 24 x}{3 x - 1} + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 2 x + 4} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 24 x}{3 x - 1} + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 2 x + 4} + 6 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{12 x^{2} - 24 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 2 x + 4} \cdot (3 x - 1) + 6 x \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x^{2} - 24 x + \frac{(30 x^{2} - 60 x) (3 x - 1)}{- 2 x + 4} + 6 x (3 x - 1)$	=
$12 x^{2} - 24 x + \frac{90 x^{3} - 210 x^{2} + 60 x}{- 2 x + 4} + (18 x^{2} - 6 x)$	=
$\frac{90 x^{3} - 210 x^{2} + 60 x}{- 2 x + 4} + 12 x^{2} + 18 x^{2} - 24 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 2 x + 4$ weg!

$\frac{90 x^{3} - 210 x^{2} + 60 x}{- 2 x + 4} + 12 x^{2} + 18 x^{2} - 24 x - 6 x$	=	\|⋅( $- 2 x + 4$ )
$\frac{90 x^{3} - 210 x^{2} + 60 x}{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x + 4) + 12 x^{2} \cdot (- 2 x + 4) + 18 x^{2} \cdot (- 2 x + 4) - 24 x \cdot (- 2 x + 4) - 6 x \cdot (- 2 x + 4)$	=
$90 x^{3} - 210 x^{2} + 60 x + 12 x^{2} (- 2 x + 4) + 18 x^{2} (- 2 x + 4) - 24 x (- 2 x + 4) - 6 x (- 2 x + 4)$	=
$90 x^{3} - 210 x^{2} + 60 x + (- 24 x^{3} + 48 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 72 x^{2}) + (48 x^{2} - 96 x) + (12 x^{2} - 24 x)$	=
$30 x^{3} - 30 x^{2} - 60 x$	=

$30 x^{3} - 30 x^{2} - 60 x$	=	0
$30 x (x^{2} - x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 33 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$18 x$	$+ 18$
		-( $18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} + 33 \cdot (- 6) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$3 x$	$+ 18$
		-( $3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x + 3 | + 5$ = $20$

Lösung einblenden

$\| - 3 x + 3 \| + 5$	=	$20$
$5 + \| - 3 x + 3 \|$	=	$20$	\| $- 5$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$15$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$15$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 4) + 3$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$15$
$3 x - 3$	=	$15$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 6 + 3$ = -15 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: