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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 12 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 12 e^{2 x}$	=	$- e^{3 x}$	\| $+ e^{3 x}$
$e^{4 x} + e^{3 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + e^{x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $- e^{3 \cdot (\ln (3))}$ = -27 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |-27)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 4 + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 3$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 4 + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $2 - 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$2 - 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$- 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$2 (- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 13 e^{4 x}$ = $- 42 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 13 e^{4 x}$	=	$- 42 e^{2 x}$	\| $+ 42 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 13 e^{4 x} + 42 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 13 e^{2 x} + 42) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 13 e^{2 x} + 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 3} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{3 x + 3} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{3 x + 3} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{6 x}{3 x + 3} \cdot (2 x + 1) - 6 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{6 x (2 x + 1)}{3 x + 3} - 12 x - 6$	=
$3 x + \frac{12 x^{2} + 6 x}{3 x + 3} - 12 x - 6$	=
$\frac{12 x^{2} + 6 x}{3 x + 3} + 3 x - 12 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 6 x}{3 x + 3} + 3 x - 12 x - 6$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{12 x^{2} + 6 x}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + 3 x \cdot (3 x + 3) - 12 x \cdot (3 x + 3) - 6 \cdot (3 x + 3)$	=
$12 x^{2} + 6 x + 3 x (3 x + 3) - 12 x (3 x + 3) - 18 x - 18$	=
$12 x^{2} + 6 x + (9 x^{2} + 9 x) + (- 36 x^{2} - 36 x) - 18 x - 18$	=
$- 15 x^{2} - 39 x - 18$	=

- 15 x^{2} - 39 x - 18

= 0 |:3

$- 5 x^{2} - 13 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{- 10}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{13+7}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{13-7}{- 10}$ = $\frac{6}{- 10}$ = $- 0,6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 9 \cdot (- 2) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$+ 18$
		-( $9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 2 | + 1$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \| 2 x - 2 \| + 1$	=	$- 3$
$1 - \| 2 x - 2 \|$	=	$- 3$	\| $- 1$
$- \| 2 x - 2 \|$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$4$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

$2 x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 3 - 2$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 2$ < 0:

$- (2 x - 2)$	=	$4$
$- 2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 1) - 2$ = -4 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -2 ≥ 0:

2. Fall: 2x -2 < 0:

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 2$ < 0: