Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $42 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $13 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

42 e^{- 2 x} + 1

=

13 e^{- x}

|

- 13 e^{- x}

- 13 e^{- x} + 42 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 13 e^{- x} + 42 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 13 e^{x} + 42$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

L={ $\ln (6)$ ; $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $13 e^{- (\ln (6))}$ = 2.167 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |2.167)

x₂ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $13 e^{- (\ln (7))}$ = 1.857 Somit gilt: S₂( $\ln (7)$ |1.857)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 2 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 4$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 2 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $1 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$1 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (- x^{2} + 6 x) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 14 e^{x} + 49$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

- 14 e^{x} + 49

=

- e^{2 x}

|

+ e^{2 x}

e^{2 x} - 14 e^{x} + 49

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 14 u + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{14}{2}$ = $7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

L={ $\ln (7)$ }

$\ln (7)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{9 x}{x + 2} + \frac{48 x}{- 9 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{9 x}{x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{48 x}{- 9 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{48 x}{- 9 x - 3}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (x + 2) + \frac{48 x}{- 9 x - 3} \cdot (x + 2)$	=
$9 x + \frac{4 x (x + 2)}{3 x + 1} + \frac{48 x (x + 2)}{- 9 x - 3}$	=
$9 x + \frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 1} + \frac{48 x^{2} + 96 x}{- 9 x - 3}$	=
$\frac{48 x^{2} + 96 x}{- 9 x - 3} + \frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 1} + 9 x$	=

\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 1} + \frac{48 x^{2} + 96 x}{- 9 x - 3} + 9 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 1} + \frac{48 x^{2} + 96 x}{- 9 x - 3} + 9 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{48 x^{2} + 96 x}{- 3 (3 x + 1)} \cdot (3 x + 1) + 9 x \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} + 8 x - 16 x^{2} - 32 x + 9 x (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} + 8 x - 16 x^{2} - 32 x + (27 x^{2} + 9 x)$	=
$15 x^{2} - 15 x$	=

$15 x^{2} - 15 x$	=	0
$15 x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 6$
		-( $3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x + 20 | - 7$ = $- 23$

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$- \frac{1}{3} \| 4 x + 20 \| - 7$	=	$- 23$
$- 7 - \frac{1}{3} \| 4 x + 20 \|$	=	$- 23$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| 4 x + 20 \|$	=	$- 16$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x + 20 \|$	=	$48$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

$4 x + 20$	=	$48$	\| $- 20$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 7 + 20$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 20$ < 0:

$- (4 x + 20)$	=	$48$
$- 4 x - 20$	=	$48$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$68$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 17) + 20$ = -48 < 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +20 ≥ 0:

2. Fall: 4x +20 < 0:

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 20$ < 0: