Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 8$ und $g(x) =$ $- 7 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 8

=

- 7 e^{- 2 x}

|

+ 7 e^{- 2 x}

e^{2 x} + 7 e^{- 2 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} + 7 e^{- 2 x} - 8$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 7$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 7 e^{- 2 \cdot 0}$ = -7 Somit gilt: S₁(0|-7)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $- 7 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = -1 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $8 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x - 7$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 2 e^{3 x}

=

8

|

- 8

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{x + 1}{3 x + 9} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{x + 1}{3 x + 9} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 9$ weg!

$\frac{x + 1}{3 x + 9} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 9$ )
$\frac{x + 1}{3 x + 9} \cdot (3 x + 9) + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} \cdot (3 x + 9) - 3 \cdot (3 x + 9)$	=
$x + 1 + \frac{(2 x + 2) (3 x + 9)}{2 x + 5} - 9 x - 27$	=
$x + 1 + \frac{6 x^{2} + 24 x + 18}{2 x + 5} - 9 x - 27$	=
$\frac{6 x^{2} + 24 x + 18}{2 x + 5} + x - 9 x + 1 - 27$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 18}{2 x + 5} + x - 9 x + 1 - 27$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 24 x + 18}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5) - 9 x \cdot (2 x + 5) + 1 \cdot (2 x + 5) - 27 \cdot (2 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 24 x + 18 + x (2 x + 5) - 9 x (2 x + 5) + 2 x + 5 - 54 x - 135$	=
$6 x^{2} + 24 x + 18 + (2 x^{2} + 5 x) + (- 18 x^{2} - 45 x) + 2 x + 5 - 54 x - 135$	=
$- 10 x^{2} - 68 x - 112$	=

- 10 x^{2} - 68 x - 112

= 0 |:2

$- 5 x^{2} - 34 x - 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{{(- 34)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 56)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{1 156 - 1 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

x₁ = $\frac{34 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{34+6}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{34 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{34-6}{- 10}$ = $\frac{28}{- 10}$ = $- 2,8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,8$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 5 \cdot 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 5 x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x + 5 | + 1$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x + 5 \| + 1$	=	$- 3$
$1 - \frac{1}{3} \| x + 5 \|$	=	$- 3$	\| $- 1$
$- \frac{1}{3} \| x + 5 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x + 5 \|$	=	$12$

1. Fall: $x + 5$ ≥ 0:

$x + 5$	=	$12$	\| $- 5$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 5$ ≥ 0) genügt:

$7 + 5$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 5$ < 0:

$- (x + 5)$	=	$12$
$- x - 5$	=	$12$	\| $+ 5$
$- x$	=	$17$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 5$ < 0) genügt:

$- 17 + 5$ = -12 < 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: x +5 ≥ 0:

2. Fall: x +5 < 0:

1. Fall: $x + 5$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 5$ < 0: