Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} + 4 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $21 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} + 4 e^{4 x}$	=	$21 e^{x}$	\| $- 21 e^{x}$
$e^{7 x} + 4 e^{4 x} - 21 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $21 e^{\frac{1}{3} \ln (3)}$ = 30.287 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |30.287)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 2 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 5$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 2 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{18 x}{- 6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{4}{3}$ }

\frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{18 x}{- 6 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{18 x}{- 6 x + 6}$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{2 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{4 x}{3 x - 4} \cdot (2 x - 2) + \frac{18 x}{- 6 x + 6} \cdot (2 x - 2)$	=
$2 x + \frac{4 x (2 x - 2)}{3 x - 4} + \frac{18 x (2 x - 2)}{- 6 x + 6}$	=
$2 x + \frac{8 x^{2} - 8 x}{3 x - 4} + \frac{36 x^{2} - 36 x}{- 6 x + 6}$	=
$\frac{36 x^{2} - 36 x}{- 6 x + 6} + \frac{8 x^{2} - 8 x}{3 x - 4} + 2 x$	=

\frac{8 x^{2} - 8 x}{3 x - 4} + \frac{36 x^{2} - 36 x}{- 6 x + 6} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 8 x}{3 x - 4} + \frac{36 x^{2} - 36 x}{- 6 x + 6} + 2 x$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{8 x^{2} - 8 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{36 x^{2} - 36 x}{- 6 x + 6} \cdot (3 x - 4) + 2 x \cdot (3 x - 4)$	=
$8 x^{2} - 8 x + \frac{(36 x^{2} - 36 x) (3 x - 4)}{- 6 x + 6} + 2 x (3 x - 4)$	=
$8 x^{2} - 8 x + \frac{108 x^{3} - 252 x^{2} + 144 x}{- 6 x + 6} + (6 x^{2} - 8 x)$	=
$\frac{108 x^{3} - 252 x^{2} + 144 x}{- 6 x + 6} + 8 x^{2} + 6 x^{2} - 8 x - 8 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 6$ weg!

$\frac{108 x^{3} - 252 x^{2} + 144 x}{- 6 x + 6} + 8 x^{2} + 6 x^{2} - 8 x - 8 x$	=	\|⋅( $- 6 x + 6$ )
$\frac{108 x^{3} - 252 x^{2} + 144 x}{- 6 x + 6} \cdot (- 6 x + 6) + 8 x^{2} \cdot (- 6 x + 6) + 6 x^{2} \cdot (- 6 x + 6) - 8 x \cdot (- 6 x + 6) - 8 x \cdot (- 6 x + 6)$	=
$108 x^{3} - 252 x^{2} + 144 x + 8 x^{2} (- 6 x + 6) + 6 x^{2} (- 6 x + 6) - 8 x (- 6 x + 6) - 8 x (- 6 x + 6)$	=
$108 x^{3} - 252 x^{2} + 144 x + (- 48 x^{3} + 48 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 36 x^{2}) + (48 x^{2} - 48 x) + (48 x^{2} - 48 x)$	=
$24 x^{3} - 72 x^{2} + 48 x$	=

$24 x^{3} - 72 x^{2} + 48 x$	=	0
$24 x (x^{2} - 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 29 \cdot (- 1) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$15 x$	$+ 15$
		-( $15 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 17 \cdot {(- 3)}^{2} + 29 \cdot (- 3) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$5 x$	$+ 15$
		-( $5 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x - 1 | - 5$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x - 1 \| - 5$	=	$1$
$- 5 + \frac{1}{3} \| - x - 1 \|$	=	$1$	\| $+ 5$
$\frac{1}{3} \| - x - 1 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| - x - 1 \|$	=	$18$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$18$	\| $+ 1$
$- x$	=	$19$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 19) - 1$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 19$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$18$
$x + 1$	=	$18$	\| $- 1$
x₂	=	$17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 17 - 1$ = -18 < 0

Die Lösung $17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 19$ ; $17$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: