Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8}$ und $g(x) =$ $8 x^{5}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8}$	=	$8 x^{5}$	\| $- 8 x^{5}$
$x^{8} - 8 x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

0 ist 5-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $8 \cdot 0^{5}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $8 \cdot 2^{5}$ = 256 Somit gilt: S₂( $2$ |256)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{11}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 30 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 30 x + 6$ gilt m = $- 30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{11}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 11 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 11 e^{3 x}

=

- 30

|

+ 30

e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 30 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{2 x} - 3) \cdot (x^{2} + 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{2 x} - 3) (x^{2} + 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{2 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$9 e^{2 x}$	=	$3$	\|: $9$
$e^{2 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$	≈ -0.5493

2. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$ ; 0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 1} + \frac{12 x}{x + 2} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{12 x}{x + 2} + \frac{8 x}{x + 1} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{12 x}{x + 2} + \frac{8 x}{x + 1} - 8$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{8 x}{x + 1} \cdot (x + 2) - 8 \cdot (x + 2)$	=
$12 x + \frac{8 x (x + 2)}{x + 1} - 8 x - 16$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 1} - 8 x - 16$	=
$\frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 1} + 12 x - 8 x - 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 1} + 12 x - 8 x - 16$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} + 16 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 12 x \cdot (x + 1) - 8 x \cdot (x + 1) - 16 \cdot (x + 1)$	=
$8 x^{2} + 16 x + 12 x (x + 1) - 8 x (x + 1) - 16 x - 16$	=
$8 x^{2} + 16 x + (12 x^{2} + 12 x) + (- 8 x^{2} - 8 x) - 16 x - 16$	=
$12 x^{2} + 4 x - 16$	=

12 x^{2} + 4 x - 16

= 0 |:4

$3 x^{2} + x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 1+7}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 1-7}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$ ≈ -1.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 26 \cdot {(- 1)}^{2} + 53 \cdot (- 1) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$+ 53 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 53 x$
	-( $23 x^{2}$	$+ 23 x$ )
		$30 x$	$+ 30$
		-( $30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 26 \cdot {(- 6)}^{2} + 53 \cdot (- 6) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$+ 53 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 53 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 48 x$ )
		$5 x$	$+ 30$
		-( $5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x - 2 | + 8$ = $10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x - 2 \| + 8$	=	$10$
$8 + \frac{1}{3} \| x - 2 \|$	=	$10$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| x - 2 \|$	=	$2$	\|⋅ $3$
$\| x - 2 \|$	=	$6$

1. Fall: $x - 2$ ≥ 0:

$x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 2$ ≥ 0) genügt:

$8 - 2$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 2$ < 0:

$- (x - 2)$	=	$6$
$- x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 2$ < 0) genügt:

$- 4 - 2$ = -6 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: x -2 ≥ 0:

2. Fall: x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 2$ < 0: