Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$x^{2}$	\| $- x^{2}$
$x^{5} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $1^{2}$ = 1 Somit gilt: S₂( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 4 + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 4 + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $8 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$8 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 + 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$8 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 2 e^{4 x}$ = $35 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 2 e^{4 x}$	=	$35 e^{2 x}$	\| $- 35 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 2 e^{4 x} - 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{14 x + 1}{- 3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

\frac{14 x + 1}{- 3 x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{2 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 3$ weg!

$\frac{14 x + 1}{- 3 x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{2 x + 2}$	=	\|⋅( $- 3 x + 3$ )
$\frac{14 x + 1}{- 3 x + 3} \cdot (- 3 x + 3) + \frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (- 3 x + 3) + \frac{2 x}{2 x + 2} \cdot (- 3 x + 3)$	=
$14 x + 1 + \frac{(2 x + 1) (- 3 x + 3)}{x - 1} + \frac{2 x (- 3 x + 3)}{2 x + 2}$	=
$14 x + 1 + \frac{- 6 x^{2} + 3 x + 3}{x - 1} + \frac{- 6 x^{2} + 6 x}{2 x + 2}$	=
$\frac{- 6 x^{2} + 6 x}{2 x + 2} + \frac{- 6 x^{2} + 3 x + 3}{x - 1} + 14 x + 1$	=

\frac{- 6 x^{2} + 3 x + 3}{x - 1} + \frac{- 6 x^{2} + 6 x}{2 x + 2} + 14 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 6 x^{2} + 3 x + 3}{x - 1} + \frac{- 6 x^{2} + 6 x}{2 x + 2} + 14 x + 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 6 x^{2} + 3 x + 3}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{- 6 x^{2} + 6 x}{2 x + 2} \cdot (x - 1) + 14 x \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)$	=
$- 6 x^{2} + 3 x + 3 + \frac{(- 6 x^{2} + 6 x) (x - 1)}{2 x + 2} + 14 x (x - 1) + x - 1$	=
$- 6 x^{2} + 3 x + 3 + \frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x}{2 x + 2} + (14 x^{2} - 14 x) + x - 1$	=
$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x}{2 x + 2} - 6 x^{2} + 14 x^{2} + 3 x - 14 x + x + 3 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x}{2 x + 2} - 6 x^{2} + 14 x^{2} + 3 x - 14 x + x + 3 - 1$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) - 6 x^{2} \cdot (2 x + 2) + 14 x^{2} \cdot (2 x + 2) + 3 x \cdot (2 x + 2) - 14 x \cdot (2 x + 2) + x \cdot (2 x + 2) + 3 \cdot (2 x + 2) - 1 \cdot (2 x + 2)$	=
$- 6 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} (2 x + 2) + 14 x^{2} (2 x + 2) + 3 x (2 x + 2) - 14 x (2 x + 2) + x (2 x + 2) + 6 x + 6 - 2 x - 2$	=
$- 6 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x + (- 12 x^{3} - 12 x^{2}) + (28 x^{3} + 28 x^{2}) + (6 x^{2} + 6 x) + (- 28 x^{2} - 28 x) + (2 x^{2} + 2 x) + 6 x + 6 - 2 x - 2$	=
$10 x^{3} + 8 x^{2} - 22 x + 4$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $10 x^{3} + 8 x^{2} - 22 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $10 \cdot 1^{3} + 8 \cdot 1^{2} - 22 \cdot 1 + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $10 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 22 x$	$+ 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$10 x^{2} + 18 x - 4$
-( $10 x^{3}$	$- 10 x^{2}$ )
	$18 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $18 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 4 x$	$+ 4$
		-( $- 4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$10 x^{3} + 8 x^{2} - 22 x + 4$ = $(10 x^{2} + 18 x - 4) \cdot (x - 1)$

(10 x^{2} + 18 x - 4) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

10 x^{2} + 18 x - 4

= 0 |:2

$5 x^{2} + 9 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{10}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{- 9+11}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{- 9-11}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn $10 \cdot {(- 2)}^{3} + 8 \cdot {(- 2)}^{2} - 22 \cdot (- 2) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $10 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 22 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$10 x^{2} - 12 x + 2$
-( $10 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$ )
	$- 12 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $- 12 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$2 x$	$+ 4$
		-( $2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$10 x^{3} + 8 x^{2} - 22 x + 4$ = $(10 x^{2} - 12 x + 2) \cdot (x + 2)$

(10 x^{2} - 12 x + 2) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

10 x^{2} - 12 x + 2

= 0 |:2

$5 x^{2} - 6 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{6+4}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{6-4}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{3} - 63 x^{2} - 67 x + 126$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 3 x^{3} - 63 x^{2} - 67 x + 126$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $126$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 3 \cdot 1^{3} - 63 \cdot 1^{2} - 67 \cdot 1 + 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 63 x^{2}$	$- 67 x$	$+ 126$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} - 59 x - 126$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$- 63 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
		$- 59 x^{2}$	$- 67 x$
		-( $- 59 x^{2}$	$+ 59 x$ )
			$- 126 x$	$+ 126$
			-( $- 126 x$	$+ 126$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 63 x^{2} - 67 x + 126$ = $(x^{3} + 4 x^{2} - 59 x - 126) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 4 x^{2} - 59 x - 126) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 59 x - 126$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 126$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 59 \cdot (- 2) - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 59 x$	$- 126$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 63$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 59 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 63 x$	$- 126$
		-( $- 63 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 59 x - 126$ = $(x^{2} + 2 x - 63) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x - 63) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2+16}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2-16}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} + 4 \cdot 7^{2} - 59 \cdot 7 - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 59 x$	$- 126$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 59 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 77 x$ )
		$18 x$	$- 126$
		-( $18 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 59 x - 126$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 4 \cdot {(- 9)}^{2} - 59 \cdot (- 9) - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 59 x$	$- 126$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 59 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 45 x$ )
		$- 14 x$	$- 126$
		-( $- 14 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 59 x - 126$ = $(x^{2} - 5 x - 14) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 5 x - 14) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $1$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x + 8 | - 4$ = $- 20$

Lösung einblenden

$- \| 4 x + 8 \| - 4$	=	$- 20$
$- 4 - \| 4 x + 8 \|$	=	$- 20$	\| $+ 4$
$- \| 4 x + 8 \|$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x + 8 \|$	=	$16$

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

$4 x + 8$	=	$16$	\| $- 8$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 2 + 8$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 8$ < 0:

$- (4 x + 8)$	=	$16$
$- 4 x - 8$	=	$16$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 6) + 8$ = -16 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit -2

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +8 ≥ 0:

2. Fall: 4x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 8$ < 0: