Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} + 8 x$ und $g(x) =$ $9 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} + 8 x$	=	$9 x^{4}$	\| $- 9 x^{4}$
$x^{7} - 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x (x^{6} - 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $9 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $9 \cdot 1^{4}$ = 9 Somit gilt: S₂( $1$ |9)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $9 \cdot 2^{4}$ = 144 Somit gilt: S₃( $2$ |144)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $14 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $14 x + 4$ gilt m = $14$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 5 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 5 x

=

14

|

- 14

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $14$ und sind somit parallel zur Geraden y = $14 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 4 e^{5 x}$ = $12 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 4 e^{5 x}$	=	$12 e^{2 x}$	\| $- 12 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 4 e^{5 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x} + \frac{4 x}{3 x - 6} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 6} - 5 + \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 6} - 5 + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{4 x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) - 5 \cdot (3 x - 6) + \frac{3}{x} \cdot (3 x - 6)$	=
$4 x - 15 x + 30 + 3 \frac{3 x - 6}{x}$	=
$3 \frac{3 x - 6}{x} + 4 x - 15 x + 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 \frac{3 x - 6}{x} + 4 x - 15 x + 30$	=	\|⋅( $x$ )
$3 \frac{3 x - 6}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 15 x \cdot x + 30 \cdot x$	=
$9 x - 18 + 4 x \cdot x - 15 x \cdot x + 30 x$	=
$9 x - 18 + 4 x^{2} - 15 x^{2} + 30 x$	=
$- 11 x^{2} + 39 x - 18$	=

$- 11 x^{2} + 39 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{39^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{1 521 - 792}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{729}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 39 + \sqrt{729}}{- 22}$ = $\frac{- 39+27}{- 22}$ = $\frac{- 12}{- 22}$ = $\frac{6}{11}$ ≈ 0.55

x₂ = $\frac{- 39 - \sqrt{729}}{- 22}$ = $\frac{- 39-27}{- 22}$ = $\frac{- 66}{- 22}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{6}{11}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 16 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 16 x + 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $20$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 16 \cdot 2 + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 16 x$	$+ 20$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 10 x$	$+ 20$
		-( $- 10 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 16 x + 20$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{2} - 16 \cdot (- 5) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 16 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$4 x$	$+ 20$
		-( $4 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 16 x + 20$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 5 | + 8$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 5 \| + 8$	=	$5$
$8 + \frac{1}{3} \| x + 5 \|$	=	$5$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| x + 5 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $3$
$\| x + 5 \|$	=	$- 9$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 5$