Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 12 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 36 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 12 x^{2}$	=	$- 36 x$	\| $+ 36 x$
$x^{3} - 12 x^{2} + 36 x$	=	0
$x (x^{2} - 12 x + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={0; $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 36 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $- 36 \cdot 6$ = -216 Somit gilt: S₂( $6$ |-216)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 11 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 30 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 30 x + 4$ gilt m = $- 30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 11 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 11 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 11 e^{x}

=

- 30

|

+ 30

e^{2 x} - 11 e^{x} + 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 30 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 3 e^{3 x} - 10 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 3 e^{3 x} - 10 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 10) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{8 x}{3 x + 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $1$ }

\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{8 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{5 x + 1}{x - 1} \cdot (3 x + 2) - 7 \cdot (3 x + 2)$	=
$8 x + \frac{(5 x + 1) (3 x + 2)}{x - 1} - 21 x - 14$	=
$8 x + \frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{x - 1} - 21 x - 14$	=
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{x - 1} + 8 x - 21 x - 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{x - 1} + 8 x - 21 x - 14$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{x - 1} \cdot (x - 1) + 8 x \cdot (x - 1) - 21 x \cdot (x - 1) - 14 \cdot (x - 1)$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + 8 x (x - 1) - 21 x (x - 1) - 14 x + 14$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + (8 x^{2} - 8 x) + (- 21 x^{2} + 21 x) - 14 x + 14$	=
$2 x^{2} + 12 x + 16$	=

2 x^{2} + 12 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 29 \cdot {(- 2)}^{2} + 76 \cdot (- 2) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 76 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 76 x$
	-( $23 x^{2}$	$+ 46 x$ )
		$30 x$	$+ 60$
		-( $30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 29 \cdot {(- 6)}^{2} + 76 \cdot (- 6) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 76 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 76 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 66 x$ )
		$10 x$	$+ 60$
		-( $10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x - 12 | + 6$ = $- 18$

Lösung einblenden

$- \| - 4 x - 12 \| + 6$	=	$- 18$
$6 - \| - 4 x - 12 \|$	=	$- 18$	\| $- 6$
$- \| - 4 x - 12 \|$	=	$- 24$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x - 12 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

$- 4 x - 12$	=	$24$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 9) - 12$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0:

$- (- 4 x - 12)$	=	$24$
$4 x + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 3 - 12$ = -24 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -12 ≥ 0:

2. Fall: -4x -12 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0: