Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 2$ und $g(x) =$ $- e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 2

=

- e^{3 x}

|

+ e^{3 x}

e^{6 x} + e^{3 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- e^{3 \cdot 0}$ = -1 Somit gilt: S₁(0|-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 3 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 3 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$(x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} - 7 x^{5}$ = $8 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{8} - 7 x^{5}$	=	$8 x^{2}$	\| $- 8 x^{2}$
$x^{8} - 7 x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} - 7 x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} - 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{8 x}{x + 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{8 x}{x + 1} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{8 x}{x + 1} \cdot (3 x - 1) - 7 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x + \frac{8 x (3 x - 1)}{x + 1} - 21 x + 7$	=
$6 x + \frac{24 x^{2} - 8 x}{x + 1} - 21 x + 7$	=
$\frac{24 x^{2} - 8 x}{x + 1} + 6 x - 21 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{24 x^{2} - 8 x}{x + 1} + 6 x - 21 x + 7$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{24 x^{2} - 8 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 6 x \cdot (x + 1) - 21 x \cdot (x + 1) + 7 \cdot (x + 1)$	=
$24 x^{2} - 8 x + 6 x (x + 1) - 21 x (x + 1) + 7 x + 7$	=
$24 x^{2} - 8 x + (6 x^{2} + 6 x) + (- 21 x^{2} - 21 x) + 7 x + 7$	=
$9 x^{2} - 16 x + 7$	=

$9 x^{2} - 16 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 7}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{18}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{18}$ = $\frac{16+2}{18}$ = $\frac{18}{18}$ = $1$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{18}$ = $\frac{16-2}{18}$ = $\frac{14}{18}$ = $\frac{7}{9}$ ≈ 0.78

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{9}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 14 x^{2} + 55 x + 42$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 14 x^{2} + 55 x + 42$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $42$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 14 \cdot {(- 1)}^{2} + 55 \cdot (- 1) + 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 55 x$	$+ 42$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 13 x + 42$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$13 x^{2}$	$+ 55 x$
	-( $13 x^{2}$	$+ 13 x$ )
		$42 x$	$+ 42$
		-( $42 x$	$+ 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 55 x + 42$ = $(x^{2} + 13 x + 42) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 13 x + 42) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13+1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13-1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 14 \cdot {(- 6)}^{2} + 55 \cdot (- 6) + 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 55 x$	$+ 42$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 55 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 48 x$ )
		$7 x$	$+ 42$
		-( $7 x$	$+ 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 55 x + 42$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 14 \cdot {(- 7)}^{2} + 55 \cdot (- 7) + 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 55 x$	$+ 42$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 55 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 49 x$ )
		$6 x$	$+ 42$
		-( $6 x$	$+ 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 55 x + 42$ = $(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 7 x + 6) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 6$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x - 15 | + 6$ = $15$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x - 15 \| + 6$	=	$15$
$6 + \frac{1}{2} \| 3 x - 15 \|$	=	$15$	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| 3 x - 15 \|$	=	$9$	\|⋅ $2$
$\| 3 x - 15 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

$3 x - 15$	=	$18$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$33$	\|: $3$
x₁	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 11 - 15$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 15$ < 0:

$- (3 x - 15)$	=	$18$
$- 3 x + 15$	=	$18$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 1) - 15$ = -18 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -15 ≥ 0:

2. Fall: 3x -15 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 15$ < 0: