Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- e^{- x} + 1$ und $g(x) =$ $42 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- e^{- x} + 1

=

42 e^{- 2 x}

|

- 42 e^{- 2 x}

- e^{- x} - 42 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- e^{- x} - 42 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - e^{x} - 42$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $42 e^{- 2 \cdot (\ln (7))}$ = 0.857 Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |0.857)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $- 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$- 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$2 (- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{- 6 x} - 2) \cdot (x^{5} - 4 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{- 6 x} - 2) (x^{5} - 4 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{- 6 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 e^{- 6 x}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{- 6 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	0	\|: $- 6$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$3 x - 4 x - 4$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x - 6 | + 4$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x - 6 \| + 4$	=	$- 8$
$4 - \frac{1}{2} \| 2 x - 6 \|$	=	$- 8$	\| $- 4$
$- \frac{1}{2} \| 2 x - 6 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x - 6 \|$	=	$24$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

$2 x - 6$	=	$24$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$30$	\|: $2$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 15 - 6$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 6$ < 0:

$- (2 x - 6)$	=	$24$
$- 2 x + 6$	=	$24$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 9) - 6$ = -24 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -6 ≥ 0:

2. Fall: 2x -6 < 0:

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 6$ < 0: