Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 5 x$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 5 x$	=	$- 4 x^{3}$	\| $+ 4 x^{3}$
$x^{5} + 4 x^{3} - 5 x$	=	0
$x (x^{4} + 4 x^{2} - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 4 x^{2} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 4 \cdot {(- 1)}^{3}$ = 4 Somit gilt: S₁( $- 1$ |4)

x₂ = 0: f(0)= $- 4 \cdot 0^{3}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $- 4 \cdot 1^{3}$ = -4 Somit gilt: S₃( $1$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 3 + 4 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 3 + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $4 e^{- 2 x} - 8 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- 2 x} - 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 12 e^{x}$ = $4 e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 12 e^{x}$	=	$4 e^{4 x}$	\| $- 4 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 4 e^{4 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{x - 1} + \frac{- 22 x - 1}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{- 22 x - 1}{3 x} + \frac{5 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$\frac{- 22 x - 1}{3 x} + \frac{5 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$\frac{- 22 x - 1}{3 x} \cdot 6 x + \frac{5 x - 1}{2 x} \cdot 6 x + \frac{8 x}{x - 1} \cdot 6 x$	=
$- 44 x - 2 + 15 x - 3 + 6 \frac{8 x \cdot x}{x - 1}$	=
$- 44 x - 2 + 15 x - 3 + 6 \frac{8 x^{2}}{x - 1}$	=
$6 \frac{8 x^{2}}{x - 1} - 44 x + 15 x - 2 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$6 \frac{8 x^{2}}{x - 1} - 44 x + 15 x - 2 - 3$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$6 \frac{8 x^{2}}{x - 1} \cdot (x - 1) - 44 x \cdot (x - 1) + 15 x \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1)$	=
$48 x^{2} - 44 x (x - 1) + 15 x (x - 1) - 2 x + 2 - 3 x + 3$	=
$48 x^{2} + (- 44 x^{2} + 44 x) + (15 x^{2} - 15 x) - 2 x + 2 - 3 x + 3$	=
$19 x^{2} + 24 x + 5$	=

$19 x^{2} + 24 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 19 \cdot 5}}{2 \cdot 19}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 380}}{38}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{196}}{38}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{196}}{38}$ = $\frac{- 24+14}{38}$ = $\frac{- 10}{38}$ = $- \frac{5}{19}$ ≈ -0.26

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{196}}{38}$ = $\frac{- 24-14}{38}$ = $\frac{- 38}{38}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{5}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 7 x^{2} + 4 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} + 4 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 4 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$12 x$	$+ 12$
		-( $12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 4 x + 12$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 4 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 6 x$	$+ 12$
		-( $- 6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 4 x + 12$ = $(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 5 x - 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 7 \cdot 6^{2} + 4 \cdot 6 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$+ 4 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 2 x$	$+ 12$
		-( $- 2 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 4 x + 12$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - x - 2) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x + 20 | + 8$ = $20$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x + 20 \| + 8$	=	$20$
$8 + \frac{1}{3} \| 4 x + 20 \|$	=	$20$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| 4 x + 20 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| 4 x + 20 \|$	=	$36$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

$4 x + 20$	=	$36$	\| $- 20$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 4 + 20$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 20$ < 0:

$- (4 x + 20)$	=	$36$
$- 4 x - 20$	=	$36$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$56$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 14) + 20$ = -36 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +20 ≥ 0:

2. Fall: 4x +20 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 20$ < 0: