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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 9 e^{x}$ und $g(x) =$ $6 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 9 e^{x}$	=	$6 e^{2 x}$	\| $- 6 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 6 e^{2 x} + 9 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 6 e^{x} + 9) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 6 e^{x} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

$\ln (3)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $6 e^{2 \cdot (\ln (3))}$ = 54 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |54)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 2 + 3 x \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 1$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 2 + 3 x \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $3 e^{- 3 x} - 1 - 9 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{- 3 x} - 1 - 9 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 e^{- 3 x} - 1 + 1 - 9 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$3 e^{- 3 x} - 9 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$3 (- 3 x + 1) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$- 1$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$\frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 14$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; $- 3$ }

\frac{2 x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x + 2}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} \cdot (3 x + 10) - 6 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x + 2 + \frac{(2 x - 1) (3 x + 10)}{3 x + 9} - 18 x - 60$	=
$2 x + 2 + \frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{3 x + 9} - 18 x - 60$	=
$\frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{3 x + 9} + 2 x - 18 x + 2 - 60$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 9$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{3 x + 9} + 2 x - 18 x + 2 - 60$	=	\|⋅( $3 x + 9$ )
$\frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{3 x + 9} \cdot (3 x + 9) + 2 x \cdot (3 x + 9) - 18 x \cdot (3 x + 9) + 2 \cdot (3 x + 9) - 60 \cdot (3 x + 9)$	=
$6 x^{2} + 17 x - 10 + 2 x (3 x + 9) - 18 x (3 x + 9) + 6 x + 18 - 180 x - 540$	=
$6 x^{2} + 17 x - 10 + (6 x^{2} + 18 x) + (- 54 x^{2} - 162 x) + 6 x + 18 - 180 x - 540$	=
$- 42 x^{2} - 301 x - 532$	=

- 42 x^{2} - 301 x - 532

= 0 |:7

$- 6 x^{2} - 43 x - 76$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{{(- 43)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 76)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 824}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{25}}{- 12}$

x₁ = $\frac{43 + \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{43+5}{- 12}$ = $\frac{48}{- 12}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{43 - \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{43-5}{- 12}$ = $\frac{38}{- 12}$ = $- \frac{19}{6}$ ≈ -3.17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{19}{6}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 4 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 8 x$	$- 16$
		-( $- 8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 4 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 4 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 4 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 16$
		-( $- 4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 4)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 4)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x - 12 | - 3$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 12 \| - 3$	=	$- 9$
$- 3 - \frac{1}{2} \| - 3 x - 12 \|$	=	$- 9$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 12 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x - 12 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 3 x - 12$ ≥ 0:

$- 3 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 8) - 12$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 12$ < 0:

$- (- 3 x - 12)$	=	$12$
$3 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 12$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 0 - 12$ = -12 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -12 ≥ 0:

2. Fall: -3x -12 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- 3 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 12$ < 0: