Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 21 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 4 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 21 e^{2 x}$	=	$- 4 e^{5 x}$	\| $+ 4 e^{5 x}$
$e^{8 x} + 4 e^{5 x} - 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 4 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = -24.961 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-24.961)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 2 + 4 x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 3$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 2 + 4 x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $1 + 4 x^{2} \cdot e^{x} + 8 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$1 + 4 x^{2} \cdot e^{x} + 8 x \cdot e^{x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 + 4 x^{2} \cdot e^{x} + 8 x \cdot e^{x}$	=	0
$4 x^{2} \cdot e^{x} + 8 x \cdot e^{x}$	=	0
$4 (x^{2} + 2 x) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{9 x}{x - 2} + \frac{24 x}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{9 x}{x - 2} + \frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{24 x}{- 2 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{24 x}{- 2 x + 4}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot (x - 2) + \frac{24 x}{- 2 x + 4} \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{(2 x - 1) (x - 2)}{3 x} + \frac{24 x (x - 2)}{- 2 x + 4}$	=
$9 x + \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{3 x} + \frac{24 x^{2} - 48 x}{- 2 x + 4}$	=
$\frac{24 x^{2} - 48 x}{- 2 x + 4} + \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{3 x} + 9 x$	=

\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{3 x} + \frac{24 x^{2} - 48 x}{- 2 x + 4} + 9 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{3 x} + \frac{24 x^{2} - 48 x}{- 2 x + 4} + 9 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + \frac{24 x^{2} - 48 x}{- 2 x + 4} \cdot 3 x + 9 x \cdot 3 x$	=
$2 x^{2} - 5 x + 2 + 3 \frac{(24 x^{2} - 48 x) x}{- 2 x + 4} + 27 x \cdot x$	=
$2 x^{2} - 5 x + 2 + 3 \frac{24 x^{3} - 48 x^{2}}{- 2 x + 4} + 27 x^{2}$	=
$3 \frac{24 x^{3} - 48 x^{2}}{- 2 x + 4} + 2 x^{2} + 27 x^{2} - 5 x + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 2 x + 4$ weg!

$3 \frac{24 x^{3} - 48 x^{2}}{- 2 x + 4} + 2 x^{2} + 27 x^{2} - 5 x + 2$	=	\|⋅( $- 2 x + 4$ )
$3 \frac{24 x^{3} - 48 x^{2}}{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x + 4) + 2 x^{2} \cdot (- 2 x + 4) + 27 x^{2} \cdot (- 2 x + 4) - 5 x \cdot (- 2 x + 4) + 2 \cdot (- 2 x + 4)$	=
$72 x^{3} - 144 x^{2} + 2 x^{2} (- 2 x + 4) + 27 x^{2} (- 2 x + 4) - 5 x (- 2 x + 4) - 4 x + 8$	=
$72 x^{3} - 144 x^{2} + (- 4 x^{3} + 8 x^{2}) + (- 54 x^{3} + 108 x^{2}) + (10 x^{2} - 20 x) - 4 x + 8$	=
$14 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 8$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $14 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $14 \cdot {(- 1)}^{3} - 18 \cdot {(- 1)}^{2} - 24 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $14 x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$14 x^{2} - 32 x + 8$
-( $14 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$ )
	$- 32 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $- 32 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$14 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 8$ = $(14 x^{2} - 32 x + 8) \cdot (x + 1)$

(14 x^{2} - 32 x + 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

14 x^{2} - 32 x + 8

= 0 |:2

$7 x^{2} - 16 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 4}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 112}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{144}}{14}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{144}}{14}$ = $\frac{16+12}{14}$ = $\frac{28}{14}$ = $2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{144}}{14}$ = $\frac{16-12}{14}$ = $\frac{4}{14}$ = $\frac{2}{7}$ ≈ 0.29

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $14 \cdot 2^{3} - 18 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 2 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $14 x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$14 x^{2} + 10 x - 4$
-( $14 x^{3}$	$- 28 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$- 4 x$	$+ 8$
		-( $- 4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$14 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 8$ = $(14 x^{2} + 10 x - 4) \cdot (x - 2)$

(14 x^{2} + 10 x - 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

14 x^{2} + 10 x - 4

= 0 |:2

$7 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{14}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{14}$ = $\frac{- 5+9}{14}$ = $\frac{4}{14}$ = $\frac{2}{7}$ ≈ 0.29

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{14}$ = $\frac{- 5-9}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{2}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x - 8 | - 3$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x - 8 \| - 3$	=	$- 1$
$- 3 - \frac{1}{3} \| 2 x - 8 \|$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{3} \| 2 x - 8 \|$	=	$2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 2

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $2$