Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ $4 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4}$	=	$4 x^{2}$	\| $- 4 x^{2}$
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $4 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 16 Somit gilt: S₁( $- 2$ |16)

x₂ = 0: f(0)= $4 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $4 \cdot 2^{2}$ = 16 Somit gilt: S₃( $2$ |16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $42 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x - 4$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - e^{3 x}

=

42

|

- 42

e^{6 x} - e^{3 x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 30 e^{x}$ = $e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 30 e^{x}$	=	$e^{2 x}$	\| $- e^{2 x}$
$e^{3 x} - e^{2 x} - 30 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 30) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{3 x}{x + 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{3 x}{x + 2} + \frac{5 x + 1}{3 x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{5 x + 1}{3 x} - 3$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{5 x + 1}{3 x} \cdot (x + 2) - 3 \cdot (x + 2)$	=
$3 x + \frac{(5 x + 1) (x + 2)}{3 x} - 3 x - 6$	=
$3 x + \frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{3 x} - 3 x - 6$	=
$\frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{3 x} + 3 x - 3 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{3 x} + 3 x - 3 x - 6$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} + 11 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + 3 x \cdot 3 x - 3 x \cdot 3 x - 6 \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} + 11 x + 2 + 9 x \cdot x - 9 x \cdot x - 18 x$	=
$5 x^{2} + 11 x + 2 + 9 x^{2} - 9 x^{2} - 18 x$	=
$5 x^{2} - 7 x + 2$	=

$5 x^{2} - 7 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{10}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{7+3}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{7-3}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,4$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 6 x^{3} - 17 x^{2} - 6 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 6 x^{3} - 17 x^{2} - 6 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 6 \cdot {(- 1)}^{3} - 17 \cdot {(- 1)}^{2} - 6 \cdot (- 1) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$	$- 17 x^{2}$	$- 6 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$5 x^{3}$	$- 17 x^{2}$
	-( $5 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
		$- 22 x^{2}$	$- 6 x$
		-( $- 22 x^{2}$	$- 22 x$ )
			$16 x$	$+ 16$
			-( $16 x$	$+ 16$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 6 x^{3} - 17 x^{2} - 6 x + 16$ = $(x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 22 \cdot 1 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 22 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 16 x$	$+ 16$
		-( $- 16 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16$ = $(x^{2} + 6 x - 16) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 6 x - 16) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 22 \cdot 2 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 22 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$- 8 x$	$+ 16$
		-( $- 8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 7 x - 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 5 \cdot {(- 8)}^{2} - 22 \cdot (- 8) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 22 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$2 x$	$+ 16$
		-( $2 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 8$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x + 8 | - 2$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x + 8 \| - 2$	=	$6$
$- 2 + \frac{1}{2} \| - 2 x + 8 \|$	=	$6$	\| $+ 2$
$\frac{1}{2} \| - 2 x + 8 \|$	=	$8$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$16$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

$- 2 x + 8$	=	$16$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 4) + 8$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0:

$- (- 2 x + 8)$	=	$16$
$2 x - 8$	=	$16$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$24$	\|: $2$
x₂	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 12 + 8$ = -16 < 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +8 ≥ 0:

2. Fall: -2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0: