Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 7 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 6 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 7 e^{2 x}$	=	$- 6 e^{- x}$	\| $+ 6 e^{- x}$
$e^{5 x} - 7 e^{2 x} + 6 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 6) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 6 e^{- 0}$ = -6 Somit gilt: S₁(0|-6)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $- 6 e^{- (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = -3.302 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |-3.302)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ parallel zur Geraden y = $35 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $35 x + 5$ gilt m = $35$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 2 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 2 x

=

35

|

- 35

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $35$ und sind somit parallel zur Geraden y = $35 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 21$ = $- 4 e^{x}$

Lösung einblenden

e^{2 x} - 21

=

- 4 e^{x}

|

+ 4 e^{x}

e^{2 x} + 4 e^{x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 3} + \frac{6 x}{x - 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{x - 2} + \frac{6 x}{3 x + 3} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{6 x}{3 x + 3} - 7$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{6 x}{3 x + 3} \cdot (x - 2) - 7 \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{6 x (x - 2)}{3 x + 3} - 7 x + 14$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 3} - 7 x + 14$	=
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 3} + 6 x - 7 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 3} + 6 x - 7 x + 14$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + 6 x \cdot (3 x + 3) - 7 x \cdot (3 x + 3) + 14 \cdot (3 x + 3)$	=
$6 x^{2} - 12 x + 6 x (3 x + 3) - 7 x (3 x + 3) + 42 x + 42$	=
$6 x^{2} - 12 x + (18 x^{2} + 18 x) + (- 21 x^{2} - 21 x) + 42 x + 42$	=
$3 x^{2} + 27 x + 42$	=

3 x^{2} + 27 x + 42

= 0 |:3

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{3} - 24 x^{2} + 4 x + 80$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - x^{3} - 24 x^{2} + 4 x + 80$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $80$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3} - 24 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 24 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 80$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 24 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
		$- 18 x^{2}$	$+ 4 x$
		-( $- 18 x^{2}$	$- 36 x$ )
			$40 x$	$+ 80$
			-( $40 x$	$+ 80$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 24 x^{2} + 4 x + 80$ = $(x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $40$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 18 x$	$+ 40$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 20$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 18 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 20 x$	$+ 40$
		-( $- 20 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = $(x^{2} - x - 20) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 20) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 18 \cdot (- 4) + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 18 x$	$+ 40$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 18 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$10 x$	$+ 40$
		-( $10 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 18 \cdot 5 + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 18 x$	$+ 40$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 18 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 8 x$	$+ 40$
		-( $- 8 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 3 x + 9 | + 6$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \| 3 x + 9 \| + 6$	=	$- 9$
$6 - \| 3 x + 9 \|$	=	$- 9$	\| $- 6$
$- \| 3 x + 9 \|$	=	$- 15$	\|: $(- 1)$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$15$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$15$	\| $- 9$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 2 + 9$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$15$
$- 3 x - 9$	=	$15$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 8) + 9$ = -15 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 5

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: