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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{2}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- \frac{1}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{2}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 2$	=	$- x$

x^{2} - 2

=

- x

|

+ x

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{1}{(- 2)}$ = 0.5 Somit gilt: S₁( $- 2$ |0.5)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{1}{1}$ = -1 Somit gilt: S₂( $1$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $42 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x + 2$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

42

|

- 42

$x^{2} + x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{5 x} - 7 e^{2 x}$ = $- e^{8 x}$

Lösung einblenden

$- 6 e^{5 x} - 7 e^{2 x}$	=	$- e^{8 x}$	\| $+ e^{8 x}$
$e^{8 x} - 6 e^{5 x} - 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 6 e^{3 x} - 7) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 6 e^{3 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{- 20 x}{3 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{8 x - 20 x}{3 x - 1} + \frac{9 x}{2 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x - 20 x}{3 x - 1} + \frac{9 x}{2 x - 1}$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x - 20 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x - 20 x + \frac{9 x (3 x - 1)}{2 x - 1}$	=
$8 x - 20 x + \frac{27 x^{2} - 9 x}{2 x - 1}$	=
$\frac{27 x^{2} - 9 x}{2 x - 1} + 8 x - 20 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{27 x^{2} - 9 x}{2 x - 1} + 8 x - 20 x$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{27 x^{2} - 9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 8 x \cdot (2 x - 1) - 20 x \cdot (2 x - 1)$	=
$27 x^{2} - 9 x + 8 x (2 x - 1) - 20 x (2 x - 1)$	=
$27 x^{2} - 9 x + (16 x^{2} - 8 x) + (- 40 x^{2} + 20 x)$	=
$3 x^{2} + 3 x$	=

$3 x^{2} + 3 x$	=	0
$3 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 9 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 9 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x - 10 | + 9$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 2 x - 10 \| + 9$	=	$5$
$9 + \frac{1}{3} \| 2 x - 10 \|$	=	$5$	\| $- 9$
$\frac{1}{3} \| 2 x - 10 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $3$
$\| 2 x - 10 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen