Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 20 x^{2}$ und $g(x) =$ $- x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 20 x^{2}$	=	$- x^{4}$	\| $+ x^{4}$
$x^{6} + x^{4} - 20 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} + x^{2} - 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + x^{2} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- {(- 2)}^{4}$ = -16 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-16)

x₂ = 0: f(0)= $- 0^{4}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- 2^{4}$ = -16 Somit gilt: S₃( $2$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $9 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $9 x + 6$ gilt m = $9$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $9$ und sind somit parallel zur Geraden y = $9 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{2 x} - 15$ = $- e^{4 x}$

Lösung einblenden

2 e^{2 x} - 15

=

- e^{4 x}

|

+ e^{4 x}

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{3 x - 3}{x} + \frac{- 11 x - 1}{4 x + 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

\frac{3 x - 3}{x} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{- 11 x - 1}{4 x + 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 3}{x} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{- 11 x - 1}{4 x + 8}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 3}{x} \cdot x + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} \cdot x + \frac{- 11 x - 1}{4 x + 8} \cdot x$	=
$3 x - 3 + \frac{(3 x + 1) x}{2 x + 4} + \frac{(- 11 x - 1) x}{4 x + 8}$	=
$3 x - 3 + \frac{3 x^{2} + x}{2 x + 4} + \frac{- 11 x^{2} - x}{4 x + 8}$	=
$\frac{- 11 x^{2} - x}{4 x + 8} + \frac{3 x^{2} + x}{2 x + 4} + 3 x - 3$	=

\frac{3 x^{2} + x}{2 x + 4} + \frac{- 11 x^{2} - x}{4 x + 8} + 3 x - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} + x}{2 x + 4} + \frac{- 11 x^{2} - x}{4 x + 8} + 3 x - 3$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{3 x^{2} + x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{- 11 x^{2} - x}{4 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 3 x \cdot (2 x + 4) - 3 \cdot (2 x + 4)$	=
$3 x^{2} + x - \frac{11}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + 3 x (2 x + 4) - 6 x - 12$	=
$3 x^{2} + x - \frac{11}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + (6 x^{2} + 12 x) - 6 x - 12$	=
$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{13}{2} x - 12$	=

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{13}{2} x - 12$	=	0	\|⋅ 2
$2 (\frac{7}{2} x^{2} + \frac{13}{2} x - 12)$	=	0

$7 x^{2} + 13 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 672}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{841}}{14}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{841}}{14}$ = $\frac{- 13+29}{14}$ = $\frac{16}{14}$ = $\frac{8}{7}$ ≈ 1.14

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{841}}{14}$ = $\frac{- 13-29}{14}$ = $\frac{- 42}{14}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{8}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 17 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $23 x^{2}$	$- 46 x$ )
		$30 x$	$- 60$
		-( $30 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} - 16 \cdot (- 6) - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 10 x$	$- 60$
		-( $- 10 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x - 4 | - 9$ = $- 17$

Lösung einblenden

$- \| - 4 x - 4 \| - 9$	=	$- 17$
$- 9 - \| - 4 x - 4 \|$	=	$- 17$	\| $+ 9$
$- \| - 4 x - 4 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x - 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 4 x - 4$ ≥ 0:

$- 4 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 3) - 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 4$ < 0:

$- (- 4 x - 4)$	=	$8$
$4 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 1 - 4$ = -8 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -4 ≥ 0:

2. Fall: -4x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 4$ < 0: