Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 4 x^{2}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )=0 Somit gilt: S₁( $- 2$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )=0 Somit gilt: S₃( $2$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 2 + 4 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 3$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 2 + 4 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $2 - 12 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 8 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$2 - 12 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 8 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 12 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 8 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$- 12 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 8 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$4 (- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 7 x} + 6) \cdot (x^{3} - 16 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 7 x} + 6) (x^{3} - 16 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 7 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 5 e^{- 7 x}$	=	$- 6$	\|: $- 5$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{6}{5})$	≈ -0.026

2. Fall:

$x^{3} - 16 x$	=	0
$x (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{6}{5})$ ; 0; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{4 x}{2 x + 4} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{8}{3}$ }

\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{4 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (2 x + 4) - 6 \cdot (2 x + 4)$	=
$4 x + \frac{2 x (2 x + 4)}{3 x + 8} - 12 x - 24$	=
$4 x + \frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 8} - 12 x - 24$	=
$\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 8} + 4 x - 12 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 8} + 4 x - 12 x - 24$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + 4 x \cdot (3 x + 8) - 12 x \cdot (3 x + 8) - 24 \cdot (3 x + 8)$	=
$4 x^{2} + 8 x + 4 x (3 x + 8) - 12 x (3 x + 8) - 72 x - 192$	=
$4 x^{2} + 8 x + (12 x^{2} + 32 x) + (- 36 x^{2} - 96 x) - 72 x - 192$	=
$- 20 x^{2} - 128 x - 192$	=

- 20 x^{2} - 128 x - 192

= 0 |:4

$- 5 x^{2} - 32 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32+8}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32-8}{- 10}$ = $\frac{24}{- 10}$ = $- 2,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 30$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $23 x^{2}$	$- 23 x$ )
		$30 x$	$- 30$
		-( $30 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 20 \cdot {(- 6)}^{2} + 7 \cdot (- 6) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 5 x$	$- 30$
		-( $- 5 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x - 9 | - 8$ = $10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x - 9 \| - 8$	=	$10$
$- 8 + \frac{1}{2} \| - 3 x - 9 \|$	=	$10$	\| $+ 8$
$\frac{1}{2} \| - 3 x - 9 \|$	=	$18$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x - 9 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

$- 3 x - 9$	=	$36$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$45$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 15) - 9$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0:

$- (- 3 x - 9)$	=	$36$
$3 x + 9$	=	$36$	\| $- 9$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 9 - 9$ = -36 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -9 ≥ 0:

2. Fall: -3x -9 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0: