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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + \frac{9}{x}$ und $g(x) =$ $10 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} + \frac{9}{x}$	=	$10 x$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x + \frac{9}{x} \cdot x$	=	$10 x \cdot x$
$x^{3} \cdot x + 9$	=	$10 x \cdot x$
$x^{4} + 9$	=	$10 x \cdot x$
$x^{4} + 9$	=	$10 x^{2}$

x^{4} + 9

=

10 x^{2}

|

- 10 x^{2}

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $10 \cdot (- 3)$ = -30 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-30)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $10 \cdot (- 1)$ = -10 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-10)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $10 \cdot 1$ = 10 Somit gilt: S₃( $1$ |10)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $10 \cdot 3$ = 30 Somit gilt: S₄( $3$ |30)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3 + 3 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 3$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 3 + 3 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $3 e^{- 2 x} + 1 - 6 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{- 2 x} + 1 - 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$3 e^{- 2 x} + 1 - 1 - 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$3 e^{- 2 x} - 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$3 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 16 x$ = $- x^{5}$

Lösung einblenden

$- 16 x$	=	$- x^{5}$	\| $+ x^{5}$
$x^{5} - 16 x$	=	0
$x (x^{4} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{4} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{3 x}{3 x + 6} + \frac{- 3 x + 1}{x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{x - 1 - 3 x + 1}{x + 1} + \frac{3 x}{3 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{x - 1 - 3 x + 1}{x + 1} + \frac{3 x}{3 x + 6}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{x - 1 - 3 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{3 x}{3 x + 6} \cdot (x + 1)$	=
$x - 1 - 3 x + 1 + \frac{3 x (x + 1)}{3 x + 6}$	=
$x - 1 - 3 x + 1 + \frac{3 x^{2} + 3 x}{3 x + 6}$	=
$\frac{3 x^{2} + 3 x}{3 x + 6} + x - 3 x - 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 3 x}{3 x + 6} + x - 3 x - 1 + 1$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{3 x^{2} + 3 x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + x \cdot (3 x + 6) - 3 x \cdot (3 x + 6) - 1 \cdot (3 x + 6) + 1 \cdot (3 x + 6)$	=
$3 x^{2} + 3 x + x (3 x + 6) - 3 x (3 x + 6) - 3 x - 6 + 3 x + 6$	=
$3 x^{2} + 3 x + (3 x^{2} + 6 x) + (- 9 x^{2} - 18 x) - 3 x - 6 + 3 x + 6$	=
$- 3 x^{2} - 9 x$	=

$- 3 x^{2} - 9 x$	=	0
$- 3 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $10$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$+ 10$
		-( $5 x$	$+ 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x - 6 | + 8$ = $5$

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$\frac{1}{3} \| - 3 x - 6 \| + 8$	=	$5$
$8 + \frac{1}{3} \| - 3 x - 6 \|$	=	$5$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| - 3 x - 6 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x - 6 \|$	=	$- 9$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

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