Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $\frac{64}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5}$	=	$\frac{64}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x$	=	$\frac{64}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x$	=	$64$
$x^{6}$	=	$64$

$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{64}{(- 2)}$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-32)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{64}{2}$ = 32 Somit gilt: S₂( $2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 2 + x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 3$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 2 + x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $2 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$2 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$(- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 6 x^{2} - 7 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{3} - 6 x^{2} - 7 x$	=	0
$x (x^{2} - 6 x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{18 x}{- 2 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{18 x}{- 2 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{18 x}{- 2 x - 1}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{9 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{12 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 1) + \frac{18 x}{- (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=
$9 x + \frac{12 x (2 x + 1)}{2 x + 2} - 18 x$	=
$9 x + \frac{24 x^{2} + 12 x}{2 x + 2} - 18 x$	=
$\frac{24 x^{2} + 12 x}{2 x + 2} + 9 x - 18 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{24 x^{2} + 12 x}{2 x + 2} + 9 x - 18 x$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{24 x^{2} + 12 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 9 x \cdot (2 x + 2) - 18 x \cdot (2 x + 2)$	=
$24 x^{2} + 12 x + 9 x (2 x + 2) - 18 x (2 x + 2)$	=
$24 x^{2} + 12 x + (18 x^{2} + 18 x) + (- 36 x^{2} - 36 x)$	=
$6 x^{2} - 6 x$	=

$6 x^{2} - 6 x$	=	0
$6 x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 70 x + 144$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 70 x + 144$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $144$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 70 \cdot 2 + 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 70 x$	$+ 144$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 72$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 70 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 72 x$	$+ 144$
		-( $- 72 x$	$+ 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 70 x + 144$ = $(x^{2} - x - 72) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 72) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1+17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1-17}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} - 3 \cdot {(- 8)}^{2} - 70 \cdot (- 8) + 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 70 x$	$+ 144$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$- 70 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 88 x$ )
		$18 x$	$+ 144$
		-( $18 x$	$+ 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 70 x + 144$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 3 \cdot 9^{2} - 70 \cdot 9 + 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 70 x$	$+ 144$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 70 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 54 x$ )
		$- 16 x$	$+ 144$
		-( $- 16 x$	$+ 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 70 x + 144$ = $(x^{2} + 6 x - 16) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 6 x - 16) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 8$ ; $2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x + 8 | + 6$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \| + 6$	=	$- 10$
$6 - \frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \|$	=	$- 10$	\| $- 6$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \|$	=	$- 16$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x + 8 \|$	=	$32$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

$- 4 x + 8$	=	$32$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 6) + 8$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0:

$- (- 4 x + 8)$	=	$32$
$4 x - 8$	=	$32$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 10 + 8$ = -32 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +8 ≥ 0:

2. Fall: -4x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0: