Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} + 7 e^{x}$ und $g(x) =$ $8 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} + 7 e^{x}$	=	$8 e^{4 x}$	\| $- 8 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 8 e^{4 x} + 7 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $8 e^{4 \cdot 0}$ = 8 Somit gilt: S₁(0|8)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $8 e^{4 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 107.124 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |107.124)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 2 + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 3$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 2 + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $16 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$16 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$16 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 + 2 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$16 e^{- \frac{1}{4} x} - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$4 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6}$ = $- 8 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{6}$	=	$- 8 x^{4}$	\| $+ 8 x^{4}$
$x^{6} + 8 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{5 x - 1}{- 2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

\frac{2 x - 3}{x} + \frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{5 x - 1}{- 2 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x - 3}{x} + \frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{5 x - 1}{- 2 x - 2}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x - 3}{x} \cdot x + \frac{x - 1}{2 x + 2} \cdot x + \frac{5 x - 1}{- 2 x - 2} \cdot x$	=
$2 x - 3 + \frac{(x - 1) x}{2 x + 2} + \frac{(5 x - 1) x}{- 2 x - 2}$	=
$2 x - 3 + \frac{x^{2} - x}{2 x + 2} + \frac{5 x^{2} - x}{- 2 x - 2}$	=
$\frac{5 x^{2} - x}{- 2 x - 2} + \frac{x^{2} - x}{2 x + 2} + 2 x - 3$	=

\frac{x^{2} - x}{2 x + 2} + \frac{5 x^{2} - x}{- 2 x - 2} + 2 x - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{x^{2} - x}{2 x + 2} + \frac{5 x^{2} - x}{- 2 x - 2} + 2 x - 3$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{x^{2} - x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{5 x^{2} - x}{- 2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 2 x \cdot (2 x + 2) - 3 \cdot (2 x + 2)$	=
$x^{2} - x - 5 x^{2} + x + 2 x (2 x + 2) - 6 x - 6$	=
$x^{2} - x - 5 x^{2} + x + (4 x^{2} + 4 x) - 6 x - 6$	=
$- 2 x - 6$	=

$- 2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 2 x$	$- 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 7 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 2 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$12 x$	$- 24$
		-( $12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 24$ = $(x^{2} + 7 x + 12) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 7 x + 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 5 \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 2 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 2 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 8 x$	$- 24$
		-( $- 8 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 24$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 5 \cdot {(- 4)}^{2} - 2 \cdot (- 4) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 2 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 2 x$
	-( $x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 6 x$	$- 24$
		-( $- 6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 24$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + x - 6) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x - 12 | + 9$ = $21$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x - 12 \| + 9$	=	$21$
$9 + \frac{1}{2} \| 4 x - 12 \|$	=	$21$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| 4 x - 12 \|$	=	$12$	\|⋅ $2$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

$4 x - 12$	=	$24$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 9 - 12$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 12$ < 0:

$- (4 x - 12)$	=	$24$
$- 4 x + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 3) - 12$ = -24 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

2. Fall: 4x -12 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 12$ < 0: