Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $- x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$- x^{2}$	\| $+ x^{2}$
$x^{5} + x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- {(- 1)}^{2}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

x₂ = 0: f(0)= $- 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 16 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 16 x - 2$ gilt m = $- 16$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 8 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 8 x^{2}

=

- 16

|

+ 16

x^{4} - 8 x^{2} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 16$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 16 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{7 x} + 7) \cdot (x^{5} - x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{7 x} + 7) (x^{5} - x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{7 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 2 e^{7 x}$	=	$- 7$	\|: $- 2$
$e^{7 x}$	=	$\frac{7}{2}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{7}{2})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{7}{2})$	≈ 0.179

2. Fall:

$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $\frac{1}{7} \ln (\frac{7}{2})$ ; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{3 x}{3 x + 6} + \frac{18 x}{- 9 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

\frac{3 x}{3 x + 6} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{18 x}{- 9 x - 18}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 6} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{18 x}{- 9 x - 18}$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{3 x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + \frac{4 x}{x - 1} \cdot (3 x + 6) + \frac{18 x}{- 9 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=
$3 x + \frac{4 x (3 x + 6)}{x - 1} - 6 x$	=
$3 x + \frac{12 x^{2} + 24 x}{x - 1} - 6 x$	=
$\frac{12 x^{2} + 24 x}{x - 1} + 3 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 24 x}{x - 1} + 3 x - 6 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{12 x^{2} + 24 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1)$	=
$12 x^{2} + 24 x + 3 x (x - 1) - 6 x (x - 1)$	=
$12 x^{2} + 24 x + (3 x^{2} - 3 x) + (- 6 x^{2} + 6 x)$	=
$9 x^{2} + 27 x$	=

$9 x^{2} + 27 x$	=	0
$9 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 13 x^{2} + 39 x - 27$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 13 x^{2} + 39 x - 27$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 27$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 13 \cdot 1^{2} + 39 \cdot 1 - 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 39 x$	$- 27$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 12 x + 27$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 12 x^{2}$	$+ 39 x$
	-( $- 12 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$27 x$	$- 27$
		-( $27 x$	$- 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 39 x - 27$ = $(x^{2} - 12 x + 27) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 12 x + 27) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 13 \cdot 3^{2} + 39 \cdot 3 - 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 39 x$	$- 27$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 39 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$9 x$	$- 27$
		-( $9 x$	$- 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 39 x - 27$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 13 \cdot 9^{2} + 39 \cdot 9 - 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 39 x$	$- 27$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 39 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$3 x$	$- 27$
		-( $3 x$	$- 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 39 x - 27$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 4 x + 3) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $1$ ; $3$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x + 4 | + 3$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x + 4 \| + 3$	=	$7$
$3 + \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$7$	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

$2 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 2 + 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 4$ < 0:

$- (2 x + 4)$	=	$8$
$- 2 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 6) + 4$ = -8 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +4 ≥ 0:

2. Fall: 2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 4$ < 0: