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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 21 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 4 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 21 e^{- x}$	=	$- 4 e^{2 x}$	\| $+ 4 e^{2 x}$
$e^{5 x} + 4 e^{2 x} - 21 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 4 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = -8.32 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-8.32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{8}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 16 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 16 x - 3$ gilt m = $- 16$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{8}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 8 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 8 e^{3 x}

=

- 16

|

+ 16

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

$\frac{2}{3} \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 16$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 16 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 6 e^{3 x} + 8 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 6 e^{3 x} + 8 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 6 e^{x} + 8) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 6 e^{x} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 4}{x} + \frac{2 x + 1}{x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x + 4}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x + 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{2 x + 4}{x} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + 1 + \frac{(2 x + 4) (x - 1)}{x} - 6 x + 6$	=
$2 x + 1 + \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x} - 6 x + 6$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x} + 2 x - 6 x + 1 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x} + 2 x - 6 x + 1 + 6$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x + 1 \cdot x + 6 \cdot x$	=
$2 x^{2} + 2 x - 4 + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x + x + 6 x$	=
$2 x^{2} + 2 x - 4 + 2 x^{2} - 6 x^{2} + x + 6 x$	=
$- 2 x^{2} + 9 x - 4$	=

$- 2 x^{2} + 9 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 9+7}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 9-7}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 7$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 7 \cdot 1 - 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 7 x$	$- 7$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 7$
		-( $7 x$	$- 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x + 15 | + 5$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \| + 5$	=	$- 4$
$5 - \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$- 4$	\| $- 5$
$- \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$- 9$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$18$	\| $- 15$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 1 + 15$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$18$
$- 3 x - 15$	=	$18$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 11) + 15$ = -18 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: