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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 4 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $21 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 4 e^{4 x}$	=	$21 e^{2 x}$	\| $- 21 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 4 e^{4 x} - 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $21 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 147 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |147)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{11}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 30 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 30 x - 6$ gilt m = $- 30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{11}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 11 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 11 e^{2 x}

=

- 30

|

+ 30

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 30 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 4 x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 4 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{4 x}{3 x - 4} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 8$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{4 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{7 x + 2}{2 x} \cdot (3 x - 4) - 8 \cdot (3 x - 4)$	=
$4 x + \frac{(7 x + 2) (3 x - 4)}{2 x} - 24 x + 32$	=
$4 x + \frac{21 x^{2} - 22 x - 8}{2 x} - 24 x + 32$	=
$\frac{21 x^{2} - 22 x - 8}{2 x} + 4 x - 24 x + 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} - 22 x - 8}{2 x} + 4 x - 24 x + 32$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} - 22 x - 8}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 24 x \cdot 2 x + 32 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} - 22 x - 8 + 8 x \cdot x - 48 x \cdot x + 64 x$	=
$21 x^{2} - 22 x - 8 + 8 x^{2} - 48 x^{2} + 64 x$	=
$- 19 x^{2} + 42 x - 8$	=

$- 19 x^{2} + 42 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{42^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{1 764 - 608}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{1 156}}{- 38}$

x₁ = $\frac{- 42 + \sqrt{1 156}}{- 38}$ = $\frac{- 42+34}{- 38}$ = $\frac{- 8}{- 38}$ = $\frac{4}{19}$ ≈ 0.21

x₂ = $\frac{- 42 - \sqrt{1 156}}{- 38}$ = $\frac{- 42-34}{- 38}$ = $\frac{- 76}{- 38}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{19}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$12 x$	$- 12$
		-( $12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 9 \cdot 6^{2} + 20 \cdot 6 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$2 x$	$- 12$
		-( $2 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $1$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 4 | - 9$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \| - 9$	=	$- 5$
$- 9 - \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$- 5$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$- 8$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $6$