Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 4$ und $g(x) =$ $5 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 4

=

5 x^{2}

|

- 5 x^{2}

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $5 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 20 Somit gilt: S₁( $- 2$ |20)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $5 \cdot {(- 1)}^{2}$ = 5 Somit gilt: S₂( $- 1$ |5)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $5 \cdot 1^{2}$ = 5 Somit gilt: S₃( $1$ |5)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $5 \cdot 2^{2}$ = 20 Somit gilt: S₄( $2$ |20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{5}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 6 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6 x$ gilt m = $- 6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{5}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 5 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 5 e^{3 x}

=

- 6

|

+ 6

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 9 x^{2}$ = $8 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{6} - 9 x^{2}$	=	$8 x^{4}$	\| $- 8 x^{4}$
$x^{6} - 8 x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 8 x^{2} - 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{x - 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{x + 1}{x - 1} - 2$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1)$	=
$x + 1 - 2 x + 2$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 5 \cdot 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 5 x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x + 4 | - 7$ = $- 23$

Lösung einblenden

$- \| - 4 x + 4 \| - 7$	=	$- 23$
$- 7 - \| - 4 x + 4 \|$	=	$- 23$	\| $+ 7$
$- \| - 4 x + 4 \|$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$16$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 3) + 4$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$16$
$4 x - 4$	=	$16$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 5 + 4$ = -16 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: