Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 28 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 28 e^{2 x}$	=	$- 3 e^{3 x}$	\| $+ 3 e^{3 x}$
$e^{4 x} + 3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 3 e^{3 \cdot (2 \ln (2))}$ = -192 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-192)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 3 + x \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 7$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 3 + x \cdot e^{- x}$

f'(x)= $e^{- x} - 2 - x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$e^{- x} - 2 - x \cdot e^{- x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$e^{- x} - 2 + 2 - x \cdot e^{- x}$	=	0
$e^{- x} - x \cdot e^{- x}$	=	0
$(- x + 1) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 2 e^{4 x} - 24 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 2 e^{4 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{3 x}{x + 1} + \frac{8 x - 1}{- x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{8 x - 1}{- x - 1} + \frac{3 x}{x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{8 x - 1}{- x - 1} + \frac{3 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{3 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{8 x - 1}{- x - 1} \cdot (2 x - 2) + \frac{3 x}{x + 1} \cdot (2 x - 2)$	=
$3 x + \frac{(8 x - 1) (2 x - 2)}{- x - 1} + \frac{3 x (2 x - 2)}{x + 1}$	=
$3 x + \frac{16 x^{2} - 18 x + 2}{- x - 1} + \frac{6 x^{2} - 6 x}{x + 1}$	=
$\frac{6 x^{2} - 6 x}{x + 1} + \frac{16 x^{2} - 18 x + 2}{- x - 1} + 3 x$	=

\frac{16 x^{2} - 18 x + 2}{- x - 1} + \frac{6 x^{2} - 6 x}{x + 1} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- x - 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 18 x + 2}{- x - 1} + \frac{6 x^{2} - 6 x}{x + 1} + 3 x$	=	\|⋅( $- x - 1$ )
$\frac{16 x^{2} - 18 x + 2}{- x - 1} \cdot (- x - 1) + \frac{6 x^{2} - 6 x}{x + 1} \cdot (- (x + 1)) + 3 x \cdot (- x - 1)$	=
$16 x^{2} - 18 x + 2 - 6 x^{2} + 6 x + 3 x (- x - 1)$	=
$16 x^{2} - 18 x + 2 - 6 x^{2} + 6 x + (- 3 x^{2} - 3 x)$	=
$7 x^{2} - 15 x + 2$	=

$7 x^{2} - 15 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{169}}{14}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{169}}{14}$ = $\frac{15+13}{14}$ = $\frac{28}{14}$ = $2$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{169}}{14}$ = $\frac{15-13}{14}$ = $\frac{2}{14}$ = $\frac{1}{7}$ ≈ 0.14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{7}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 33 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$18 x$	$+ 18$
		-( $18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} + 33 \cdot (- 6) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$3 x$	$+ 18$
		-( $3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x - 4 | + 4$ = $12$

Lösung einblenden

$\| 2 x - 4 \| + 4$	=	$12$
$4 + \| 2 x - 4 \|$	=	$12$	\| $- 4$
$\| 2 x - 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

$2 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 6 - 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 4$ < 0:

$- (2 x - 4)$	=	$8$
$- 2 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 2) - 4$ = -8 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -4 ≥ 0:

2. Fall: 2x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 4$ < 0: