Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{3}$ und $g(x) =$ $2 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + x^{3}$	=	$2 x$	\| $- 2 x$
$x^{5} + x^{3} - 2 x$	=	0
$x (x^{4} + x^{2} - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + x^{2} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $2 \cdot (- 1)$ = -2 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-2)

x₂ = 0: f(0)= $2 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $2 \cdot 1$ = 2 Somit gilt: S₃( $1$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$(x^{2} + 6 x) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 6$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 2 e^{5 x} - 24 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 2 e^{5 x} - 24 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{3 x + 3}{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{3 x + 3}{x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{3 x + 3}{x} - 7$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{2 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{3 x + 3}{x} \cdot (2 x - 4) - 7 \cdot (2 x - 4)$	=
$2 x + \frac{(3 x + 3) (2 x - 4)}{x} - 14 x + 28$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 6 x - 12}{x} - 14 x + 28$	=
$\frac{6 x^{2} - 6 x - 12}{x} + 2 x - 14 x + 28$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 6 x - 12}{x} + 2 x - 14 x + 28$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} - 6 x - 12}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 14 x \cdot x + 28 \cdot x$	=
$6 x^{2} - 6 x - 12 + 2 x \cdot x - 14 x \cdot x + 28 x$	=
$6 x^{2} - 6 x - 12 + 2 x^{2} - 14 x^{2} + 28 x$	=
$- 6 x^{2} + 22 x - 12$	=

- 6 x^{2} + 22 x - 12

= 0 |:2

$- 3 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 11+7}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 11-7}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 3 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 3 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 3 \cdot {(- 1)}^{3} - 8 \cdot {(- 1)}^{2} + 12 \cdot (- 1) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 12 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$- 8 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 12 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
			$16 x$	$+ 16$
			-( $16 x$	$+ 16$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x + 16$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$8 x$	$+ 16$
		-( $8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 8 x$	$+ 16$
		-( $- 8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 4 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 16$
		-( $- 4 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 4)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 4)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x - 9 | - 5$ = $4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x - 9 \| - 5$	=	$4$
$- 5 - \frac{1}{3} \| 3 x - 9 \|$	=	$4$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{3} \| 3 x - 9 \|$	=	$9$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x - 9 \|$	=	$- 27$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $4$