Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} - 8 x^{4}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} - 8 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $2$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 6$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + e^{3 x}

=

2

|

- 2

e^{6 x} + e^{3 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{4 x} + 5 e^{2 x}$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

$- 6 e^{4 x} + 5 e^{2 x}$	=	$- e^{6 x}$	\| $+ e^{6 x}$
$e^{6 x} - 6 e^{4 x} + 5 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 5) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{4 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 1) - 6 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{4 x (2 x + 1)}{2 x + 2} - 12 x - 6$	=
$3 x + \frac{8 x^{2} + 4 x}{2 x + 2} - 12 x - 6$	=
$\frac{8 x^{2} + 4 x}{2 x + 2} + 3 x - 12 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 4 x}{2 x + 2} + 3 x - 12 x - 6$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{8 x^{2} + 4 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 3 x \cdot (2 x + 2) - 12 x \cdot (2 x + 2) - 6 \cdot (2 x + 2)$	=
$8 x^{2} + 4 x + 3 x (2 x + 2) - 12 x (2 x + 2) - 12 x - 12$	=
$8 x^{2} + 4 x + (6 x^{2} + 6 x) + (- 24 x^{2} - 24 x) - 12 x - 12$	=
$- 10 x^{2} - 26 x - 12$	=

- 10 x^{2} - 26 x - 12

= 0 |:2

$- 5 x^{2} - 13 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{- 10}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{13+7}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{13-7}{- 10}$ = $\frac{6}{- 10}$ = $- 0,6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 19 \cdot (- 1) - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 19 x$	$- 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 15 x$	$- 15$
		-( $- 15 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} - 3^{2} - 19 \cdot 3 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 19 x$	$- 15$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$5 x$	$- 15$
		-( $5 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x + 16 | + 9$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \| + 9$	=	$1$
$9 + \frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \|$	=	$1$	\| $- 9$
$\frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$- 24$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$