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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + 4 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $12 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + 4 e^{3 x}$	=	$12 e^{x}$	\| $- 12 e^{x}$
$e^{5 x} + 4 e^{3 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $12 e^{\frac{1}{2} \ln (2)}$ = 16.971 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |16.971)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 6 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 35 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 35 x + 4$ gilt m = $- 35$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 6 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 12 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 12 e^{2 x}

=

- 35

|

+ 35

e^{4 x} - 12 e^{2 x} + 35

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 35$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 35 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{x} - 5$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

- 4 e^{x} - 5

=

- e^{2 x}

|

+ e^{2 x}

e^{2 x} - 4 e^{x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x}{2 x + 2} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $2$ }

\frac{x}{2 x + 2} + \frac{2 x}{x - 2} - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{2 x}{x - 2} - 2$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{2 x}{x - 2} \cdot (2 x + 2) - 2 \cdot (2 x + 2)$	=
$x + \frac{2 x (2 x + 2)}{x - 2} - 4 x - 4$	=
$x + \frac{4 x^{2} + 4 x}{x - 2} - 4 x - 4$	=
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{x - 2} + x - 4 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 4 x}{x - 2} + x - 4 x - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) - 4 x \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$4 x^{2} + 4 x + x (x - 2) - 4 x (x - 2) - 4 x + 8$	=
$4 x^{2} + 4 x + (x^{2} - 2 x) + (- 4 x^{2} + 8 x) - 4 x + 8$	=
$x^{2} + 6 x + 8$	=

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 6 x$	$+ 12$
		-( $- 6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} - x - 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1,5$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x + 8 | + 8$ = $- 12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x + 8 \| + 8$	=	$- 12$
$8 + \frac{1}{3} \| 4 x + 8 \|$	=	$- 12$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| 4 x + 8 \|$	=	$- 20$	\|⋅ $3$
$\| 4 x + 8 \|$	=	$- 60$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen