Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $\frac{1}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5}$	=	$\frac{1}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x$	=	$\frac{1}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x$	=	$1$
$x^{6}$	=	$1$

$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $\frac{1}{(- 1)}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $\frac{1}{1}$ = 1 Somit gilt: S₂( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $- 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 5$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$0$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 6-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 20$ = $- e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} - 20

=

- e^{3 x}

|

+ e^{3 x}

e^{6 x} + e^{3 x} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{x + 3}{x} + \frac{- 4 x}{2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{x + 1 - 4 x}{2 x - 2} + \frac{x + 3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{x + 1 - 4 x}{2 x - 2} + \frac{x + 3}{x}$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{x + 1 - 4 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{x + 3}{x} \cdot (2 x - 2)$	=
$x + 1 - 4 x + \frac{(x + 3) (2 x - 2)}{x}$	=
$x + 1 - 4 x + \frac{2 x^{2} + 4 x - 6}{x}$	=
$\frac{2 x^{2} + 4 x - 6}{x} + x - 4 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 6}{x} + x - 4 x + 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x^{2} + 4 x - 6}{x} \cdot x + x \cdot x - 4 x \cdot x + 1 \cdot x$	=
$2 x^{2} + 4 x - 6 + x \cdot x - 4 x \cdot x + x$	=
$2 x^{2} + 4 x - 6 + x^{2} - 4 x^{2} + x$	=
$- x^{2} + 5 x - 6$	=

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 7$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 7 \cdot 1 - 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 7 x$	$- 7$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 7$
		-( $7 x$	$- 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x - 6 | + 3$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x - 6 \| + 3$	=	$- 1$
$3 - \frac{1}{2} \| 2 x - 6 \|$	=	$- 1$	\| $- 3$
$- \frac{1}{2} \| 2 x - 6 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x - 6 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

$2 x - 6$	=	$8$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 7 - 6$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 6$ < 0:

$- (2 x - 6)$	=	$8$
$- 2 x + 6$	=	$8$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 1) - 6$ = -8 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -6 ≥ 0:

2. Fall: 2x -6 < 0:

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 6$ < 0: