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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 10$ und $g(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 10

=

- 3 e^{3 x}

|

+ 3 e^{3 x}

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 3 e^{3 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = -6 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 1 + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 5$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 1 + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $16 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$16 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$16 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 2 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$16 e^{- \frac{1}{4} x} - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$4 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 2 e^{x}$ = $3 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 2 e^{x}$	=	$3 e^{2 x}$	\| $- 3 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 3 e^{2 x} + 2 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} + 2) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 2}{x} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=
$3 x + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x} - 4 x + 4$	=
$3 x + \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x} - 4 x + 4$	=
$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x} + 3 x - 4 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x} + 3 x - 4 x + 4$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 4 x \cdot x + 4 \cdot x$	=
$x^{2} - 3 x + 2 + 3 x \cdot x - 4 x \cdot x + 4 x$	=
$x^{2} - 3 x + 2 + 3 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x$	=
$x + 2$	=

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x - 3 | + 9$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x - 3 \| + 9$	=	$3$
$9 + \frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	$3$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $2$
$\| x - 3 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen