Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + 20 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $9 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + 20 e^{2 x}$	=	$9 e^{5 x}$	\| $- 9 e^{5 x}$
$e^{8 x} - 9 e^{5 x} + 20 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 20) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $9 e^{5 \cdot (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = 90.714 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |90.714)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $9 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = 131.581 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |131.581)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{7}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $8 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x - 5$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{7}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 7 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} + 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 28 e^{2 x}$ = $- 3 e^{3 x}$

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 28 e^{2 x}$	=	$- 3 e^{3 x}$	\| $+ 3 e^{3 x}$
$e^{4 x} + 3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$3 x - 4 x - 4$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 1 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ x$	$- 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ x$
	-( $11 x^{2}$	$- 11 x$ )
		$12 x$	$- 12$
		-( $12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 9 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ x$	$- 12$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ x$
	-( $x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 3 x$	$- 12$
		-( $- 3 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + x - 3) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x - 4 | + 5$ = $29$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x - 4 \| + 5$	=	$29$
$5 + \frac{1}{2} \| - 4 x - 4 \|$	=	$29$	\| $- 5$
$\frac{1}{2} \| - 4 x - 4 \|$	=	$24$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x - 4 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x - 4$ ≥ 0:

$- 4 x - 4$	=	$48$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$52$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 13) - 4$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 4$ < 0:

$- (- 4 x - 4)$	=	$48$
$4 x + 4$	=	$48$	\| $- 4$
$4 x$	=	$44$	\|: $4$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 11 - 4$ = -48 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -4 ≥ 0:

2. Fall: -4x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- 4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 4$ < 0: