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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 5 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 4 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 5 e^{2 x}$	=	$- 4 e^{3 x}$	\| $+ 4 e^{3 x}$
$e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 5 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 4 e^{x} - 5) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 4 e^{x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 4 e^{3 \cdot 0}$ = -4 Somit gilt: S₁(0|-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $28 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x - 6$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 3 e^{3 x}

=

28

|

- 28

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 3 x} + 5) \cdot (x^{2} + 5 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 3 x} + 5) (x^{2} + 5 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 3 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 8 e^{- 3 x}$	=	$- 5$	\|: $- 8$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{5}{8}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{5}{8})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{8})$	≈ 0.1567

2. Fall:

$x^{2} + 5 x$	=	0
$x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; 0; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{8})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{9 x - 1}{- 2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

\frac{2 x - 3}{x} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{9 x - 1}{- 2 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x - 3}{x} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{9 x - 1}{- 2 x - 2}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x - 3}{x} \cdot x + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} \cdot x + \frac{9 x - 1}{- 2 x - 2} \cdot x$	=
$2 x - 3 + \frac{(5 x - 1) x}{2 x + 2} + \frac{(9 x - 1) x}{- 2 x - 2}$	=
$2 x - 3 + \frac{5 x^{2} - x}{2 x + 2} + \frac{9 x^{2} - x}{- 2 x - 2}$	=
$\frac{9 x^{2} - x}{- 2 x - 2} + \frac{5 x^{2} - x}{2 x + 2} + 2 x - 3$	=

\frac{5 x^{2} - x}{2 x + 2} + \frac{9 x^{2} - x}{- 2 x - 2} + 2 x - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{5 x^{2} - x}{2 x + 2} + \frac{9 x^{2} - x}{- 2 x - 2} + 2 x - 3$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{5 x^{2} - x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{9 x^{2} - x}{- 2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 2 x \cdot (2 x + 2) - 3 \cdot (2 x + 2)$	=
$5 x^{2} - x - 9 x^{2} + x + 2 x (2 x + 2) - 6 x - 6$	=
$5 x^{2} - x - 9 x^{2} + x + (4 x^{2} + 4 x) - 6 x - 6$	=
$- 2 x - 6$	=

$- 2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 5 \cdot 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 5 x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x + 16 | - 3$ = $5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x + 16 \| - 3$	=	$5$
$- 3 - \frac{1}{3} \| 4 x + 16 \|$	=	$5$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{3} \| 4 x + 16 \|$	=	$8$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x + 16 \|$	=	$- 24$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen