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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 5 x$ und $g(x) =$ $- \frac{4}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - 5 x$	=	$- \frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - 5 x \cdot x$	=	$- \frac{4}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 5 x \cdot x$	=	$- 4$
$x^{4} - 5 x^{2}$	=	$- 4$

x^{4} - 5 x^{2}

=

- 4

|

+ 4

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{4}{(- 2)}$ = 2 Somit gilt: S₁( $- 2$ |2)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- \frac{4}{(- 1)}$ = 4 Somit gilt: S₂( $- 1$ |4)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{4}{1}$ = -4 Somit gilt: S₃( $1$ |-4)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{4}{2}$ = -2 Somit gilt: S₄( $2$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 1$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $1 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$1 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$(- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{x} - 7) \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{x} - 7) (x^{3} + 3 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$2 e^{x}$	=	$7$	\|: $2$
$e^{x}$	=	$\frac{7}{2}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{7}{2})$	≈ 1.2528

2. Fall:

$x^{3} + 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $\ln (\frac{7}{2})$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x} + \frac{3 x}{x - 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{3 x}{x - 1} - 3 - \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1} - 3 - \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1) - \frac{2}{x} \cdot (x - 1)$	=
$3 x - 3 x + 3 - 2 \frac{x - 1}{x}$	=
$- 2 \frac{x - 1}{x} + 3 x - 3 x + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 \frac{x - 1}{x} + 3 x - 3 x + 3$	=	\|⋅( $x$ )
$- 2 \frac{x - 1}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 3 x \cdot x + 3 \cdot x$	=
$- 2 x + 2 + 3 x \cdot x - 3 x \cdot x + 3 x$	=
$- 2 x + 2 + 3 x^{2} - 3 x^{2} + 3 x$	=
$x + 2$	=

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 6 x$	$+ 12$
		-( $- 6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} - x - 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1,5$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x - 3 | + 6$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x - 3 \| + 6$	=	$3$
$6 + \frac{1}{2} \| - x - 3 \|$	=	$3$	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| - x - 3 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $2$
$\| - x - 3 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

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Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen