Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 5$ und $g(x) =$ $6 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 5

=

6 e^{x}

|

- 6 e^{x}

e^{2 x} - 6 e^{x} + 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $6 e^{0}$ = 6 Somit gilt: S₁(0|6)

x₂ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $6 e^{\ln (5)}$ = 30 Somit gilt: S₂( $\ln (5)$ |30)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{13}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 42 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 42 x + 1$ gilt m = $- 42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{13}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 13 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 13 e^{2 x}

=

- 42

|

+ 42

e^{4 x} - 13 e^{2 x} + 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 42 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 8 x^{2} - 9$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 8 x^{2} - 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{4 x}{x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $2$ }

\frac{4 x}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 2} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$4 x + \frac{9 x (x - 1)}{x - 2} - 5 x + 5$	=
$4 x + \frac{9 x^{2} - 9 x}{x - 2} - 5 x + 5$	=
$\frac{9 x^{2} - 9 x}{x - 2} + 4 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 9 x}{x - 2} + 4 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x^{2} - 9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 4 x \cdot (x - 2) - 5 x \cdot (x - 2) + 5 \cdot (x - 2)$	=
$9 x^{2} - 9 x + 4 x (x - 2) - 5 x (x - 2) + 5 x - 10$	=
$9 x^{2} - 9 x + (4 x^{2} - 8 x) + (- 5 x^{2} + 10 x) + 5 x - 10$	=
$8 x^{2} - 2 x - 10$	=

8 x^{2} - 2 x - 10

= 0 |:2

$4 x^{2} - x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{8}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{1+9}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{1-9}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1,25$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 9 x^{2} + 11 x + 21$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} + 11 x + 21$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $21$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 11 \cdot (- 1) + 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 11 x$	$+ 21$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 10 x + 21$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$21 x$	$+ 21$
		-( $21 x$	$+ 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 11 x + 21$ = $(x^{2} - 10 x + 21) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 10 x + 21) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 11 \cdot 3 + 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 11 x$	$+ 21$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 7 x$	$+ 21$
		-( $- 7 x$	$+ 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 11 x + 21$ = $(x^{2} - 6 x - 7) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 6 x - 7) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 9 \cdot 7^{2} + 11 \cdot 7 + 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 11 x$	$+ 21$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$- 3 x$	$+ 21$
		-( $- 3 x$	$+ 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 11 x + 21$ = $(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 2 x - 3) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 1$ ; $3$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x + 3 | + 9$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x + 3 \| + 9$	=	$3$
$9 + \frac{1}{3} \| 3 x + 3 \|$	=	$3$	\| $- 9$
$\frac{1}{3} \| 3 x + 3 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $3$
$\| 3 x + 3 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $7$