Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x$ und $g(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + 2 x$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + 2 x \cdot x^{2}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 2 x \cdot x^{2}$	=	$- 1$
$x^{6} + 2 x^{3}$	=	$- 1$

x^{6} + 2 x^{3}

=

- 1

|

+ 1

x^{6} + 2 x^{3} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 5 + 4 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 5 + 4 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $4 e^{3 x} + 2 + 12 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{3 x} + 2 + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$4 e^{3 x} + 2 - 2 + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$4 e^{3 x} + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$4 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{5 x} - 21 e^{2 x}$ = $- e^{8 x}$

Lösung einblenden

$4 e^{5 x} - 21 e^{2 x}$	=	$- e^{8 x}$	\| $+ e^{8 x}$
$e^{8 x} + 4 e^{5 x} - 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{- 11 x - 1}{2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

\frac{x}{3 x + 6} + \frac{- 11 x - 1}{2 x - 2} + \frac{4 x}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{- 11 x - 1}{2 x - 2} + \frac{4 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + \frac{- 11 x - 1}{2 x - 2} \cdot (3 x + 6) + \frac{4 x}{x - 1} \cdot (3 x + 6)$	=
$x + \frac{(- 11 x - 1) (3 x + 6)}{2 x - 2} + \frac{4 x (3 x + 6)}{x - 1}$	=
$x + \frac{- 33 x^{2} - 69 x - 6}{2 x - 2} + \frac{12 x^{2} + 24 x}{x - 1}$	=
$\frac{12 x^{2} + 24 x}{x - 1} + \frac{- 33 x^{2} - 69 x - 6}{2 x - 2} + x$	=

\frac{- 33 x^{2} - 69 x - 6}{2 x - 2} + \frac{12 x^{2} + 24 x}{x - 1} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{- 33 x^{2} - 69 x - 6}{2 x - 2} + \frac{12 x^{2} + 24 x}{x - 1} + x$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{- 33 x^{2} - 69 x - 6}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{12 x^{2} + 24 x}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) + x \cdot (2 x - 2)$	=
$- 33 x^{2} - 69 x - 6 + 24 x^{2} + 48 x + x (2 x - 2)$	=
$- 33 x^{2} - 69 x - 6 + 24 x^{2} + 48 x + (2 x^{2} - 2 x)$	=
$- 7 x^{2} - 23 x - 6$	=

$- 7 x^{2} - 23 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 168}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{361}}{- 14}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{361}}{- 14}$ = $\frac{23+19}{- 14}$ = $\frac{42}{- 14}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{361}}{- 14}$ = $\frac{23-19}{- 14}$ = $\frac{4}{- 14}$ = $- \frac{2}{7}$ ≈ -0.29

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{2}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 3 x^{3} - 29 x^{2} + 3 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 3 x^{3} - 29 x^{2} + 3 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 3 \cdot {(- 1)}^{3} - 29 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 29 x^{2}$	$+ 3 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$- 29 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
		$- 25 x^{2}$	$+ 3 x$
		-( $- 25 x^{2}$	$- 25 x$ )
			$28 x$	$+ 28$
			-( $28 x$	$+ 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 29 x^{2} + 3 x + 28$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 1 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 25 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 3 x - 28$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 28 x$	$+ 28$
		-( $- 28 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28$ = $(x^{2} - 3 x - 28) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 3 x - 28) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 4 \cdot {(- 4)}^{2} - 25 \cdot (- 4) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 25 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$7 x$	$+ 28$
		-( $7 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 8 x + 7) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 4 \cdot 7^{2} - 25 \cdot 7 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 25 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$- 4 x$	$+ 28$
		-( $- 4 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 4$ ; $- 1$ ; $1$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x + 15 | - 5$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x + 15 \| - 5$	=	$- 11$
$- 5 - \| - 3 x + 15 \|$	=	$- 11$	\| $+ 5$
$- \| - 3 x + 15 \|$	=	$- 6$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x + 15 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 3 x + 15$ ≥ 0:

$- 3 x + 15$	=	$6$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot 3 + 15$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 15$ < 0:

$- (- 3 x + 15)$	=	$6$
$3 x - 15$	=	$6$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 15$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 7 + 15$ = -6 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $3$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +15 ≥ 0:

2. Fall: -3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $- 3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 15$ < 0: