Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 6 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $- 8 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 6 e^{4 x}$	=	$- 8 e^{2 x}$	\| $+ 8 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 6 e^{4 x} + 8 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 8) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $- 8 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (2))}$ = -16 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |-16)

x₂ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 8 e^{2 \cdot (\ln (2))}$ = -32 Somit gilt: S₂( $\ln (2)$ |-32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

2

|

- 2

e^{4 x} - e^{2 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 10 x^{2} + 9$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; 0}

\frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3 + \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3 + \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - 3 \cdot (2 x - 5) + \frac{4}{x} \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x - 2 - 6 x + 15 + 4 \frac{2 x - 5}{x}$	=
$4 \frac{2 x - 5}{x} + 2 x - 6 x - 2 + 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$4 \frac{2 x - 5}{x} + 2 x - 6 x - 2 + 15$	=	\|⋅( $x$ )
$4 \frac{2 x - 5}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x - 2 \cdot x + 15 \cdot x$	=
$8 x - 20 + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x - 2 x + 15 x$	=
$8 x - 20 + 2 x^{2} - 6 x^{2} - 2 x + 15 x$	=
$- 4 x^{2} + 21 x - 20$	=

$- 4 x^{2} + 21 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 320}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 21+11}{- 8}$ = $\frac{- 10}{- 8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 21-11}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,25$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 16 \cdot (- 1) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 16 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 12 x$	$- 12$
		-( $- 12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 12$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 16 \cdot (- 2) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 16 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 6 x$	$- 12$
		-( $- 6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 12$ = $(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 5 x - 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 3 \cdot 6^{2} - 16 \cdot 6 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 16 x$	$- 12$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$2 x$	$- 12$
		-( $2 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 12$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 4 | - 5$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x + 4 \| - 5$	=	$- 8$
$- 5 - \frac{1}{2} \| - x + 4 \|$	=	$- 8$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| - x + 4 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 4 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x + 4$ ≥ 0:

$- x + 4$	=	$6$	\| $- 4$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- (- 2) + 4$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 4$ < 0:

$- (- x + 4)$	=	$6$
$x - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 4$ < 0) genügt:

$- 10 + 4$ = -6 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +4 ≥ 0:

2. Fall: -x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 4$ < 0: