Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 36$ und $g(x) =$ $13 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 36

=

13 x^{2}

|

- 13 x^{2}

x^{4} - 13 x^{2} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $13 \cdot {(- 3)}^{2}$ = 117 Somit gilt: S₁( $- 3$ |117)

x₂ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $13 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 52 Somit gilt: S₂( $- 2$ |52)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $13 \cdot 2^{2}$ = 52 Somit gilt: S₃( $2$ |52)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $13 \cdot 3^{2}$ = 117 Somit gilt: S₄( $3$ |117)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 4 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4 x - 3$ gilt m = $- 4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 5 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 5 x^{2}

=

- 4

|

+ 4

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6}$	=	$0$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 6-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{4 x}{2 x - 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (2 x - 2) - 5 \cdot (2 x - 2)$	=
$4 x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 2)}{x + 1} - 10 x + 10$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{x + 1} - 10 x + 10$	=
$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{x + 1} + 4 x - 10 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{x + 1} + 4 x - 10 x + 10$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{x + 1} \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1) - 10 x \cdot (x + 1) + 10 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} - 8 x + 2 + 4 x (x + 1) - 10 x (x + 1) + 10 x + 10$	=
$6 x^{2} - 8 x + 2 + (4 x^{2} + 4 x) + (- 10 x^{2} - 10 x) + 10 x + 10$	=
$- 4 x + 12$	=

$- 4 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 10 x^{3} + 17 x^{2} + 52 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 10 x^{3} + 17 x^{2} + 52 x - 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 60$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 10 \cdot 1^{3} + 17 \cdot 1^{2} + 52 \cdot 1 - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 10 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 52 x$	$- 60$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 60$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 9 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$
	-( $- 9 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
		$8 x^{2}$	$+ 52 x$
		-( $8 x^{2}$	$- 8 x$ )
			$60 x$	$- 60$
			-( $60 x$	$- 60$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 10 x^{3} + 17 x^{2} + 52 x - 60$ = $(x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 60) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 60) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 11 x + 30$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$30 x$	$+ 60$
		-( $30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 60$ = $(x^{2} - 11 x + 30) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 11 x + 30) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 9 \cdot 5^{2} + 8 \cdot 5 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$- 12 x$	$+ 60$
		-( $- 12 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 60$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 9 \cdot 6^{2} + 8 \cdot 6 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 10 x$	$+ 60$
		-( $- 10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 60$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 3 x - 10) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $5$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x - 6 | - 3$ = $12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 3 x - 6 \| - 3$	=	$12$
$- 3 + \frac{1}{3} \| - 3 x - 6 \|$	=	$12$	\| $+ 3$
$\frac{1}{3} \| - 3 x - 6 \|$	=	$15$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x - 6 \|$	=	$45$

1. Fall: $- 3 x - 6$ ≥ 0:

$- 3 x - 6$	=	$45$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$51$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 17) - 6$ = 45 ≥ 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 6$ < 0:

$- (- 3 x - 6)$	=	$45$
$3 x + 6$	=	$45$	\| $- 6$
$3 x$	=	$39$	\|: $3$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 13 - 6$ = -45 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -6 ≥ 0:

2. Fall: -3x -6 < 0:

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 6$ < 0: