Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 3 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 3 e^{5 x}$	=	$- 2 e^{2 x}$	\| $+ 2 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 3 e^{5 x} + 2 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 3 e^{3 x} + 2) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 3 e^{3 x} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 2 e^{2 \cdot 0}$ = -2 Somit gilt: S₁(0|-2)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 2 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = -3.175 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-3.175)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 3 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 5 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 5 x - 4$ gilt m = $- 5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 3 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 6 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 6 e^{2 x}

=

- 5

|

+ 5

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 5 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 18 x^{4} + 81 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 18 x^{4} + 81 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 18 x^{2} + 81)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 18 x^{2} + 81

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 18 u + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{18}{2}$ = $9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₅	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 2-fache Lösung! $3$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x + 3} + \frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{- 8 x}{6 x + 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - \frac{8 x}{6 x + 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - \frac{8 x}{6 x + 8}$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} \cdot (3 x + 4) - \frac{8 x}{2 (3 x + 4)} \cdot (3 x + 4)$	=
$3 x + \frac{(2 x + 1) (3 x + 4)}{3 x + 3} - 4 x$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 x + 3} - 4 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 x + 3} + 3 x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 x + 3} + 3 x - 4 x$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + 3 x \cdot (3 x + 3) - 4 x \cdot (3 x + 3)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + 3 x (3 x + 3) - 4 x (3 x + 3)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + (9 x^{2} + 9 x) + (- 12 x^{2} - 12 x)$	=
$3 x^{2} + 8 x + 4$	=

$3 x^{2} + 8 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 8+4}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 8-4}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 7 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 14$
		-( $7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 3 x - 6 | - 3$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \| 3 x - 6 \| - 3$	=	$- 12$
$- 3 - \| 3 x - 6 \|$	=	$- 12$	\| $+ 3$
$- \| 3 x - 6 \|$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$9$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$9$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 5 - 6$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$9$
$- 3 x + 6$	=	$9$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 1) - 6$ = -9 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: