Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 2 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $35 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 2 e^{5 x}$	=	$35 e^{2 x}$	\| $- 35 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 2 e^{5 x} - 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $35 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 128.076 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |128.076)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $- 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 8 x) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $8$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{4 x} + 2) \cdot (x^{3} - 9 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{4 x} + 2) (x^{3} - 9 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{4 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 4 e^{4 x}$	=	$- 2$	\|: $- 4$
$e^{4 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.1733

2. Fall:

$x^{3} - 9 x$	=	0
$x (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{2})$ ; 0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{2 x + 6} + \frac{9 x}{- 6 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 3$ }

\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{2 x + 6} + \frac{9 x}{- 6 x - 18}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{2 x + 6} + \frac{9 x}{- 6 x - 18}$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{3 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{2 x + 2}{2 x + 6} \cdot (2 x + 4) + \frac{9 x}{- 6 x - 18} \cdot (2 x + 4)$	=
$3 x + \frac{(2 x + 2) (2 x + 4)}{2 x + 6} + \frac{9 x (2 x + 4)}{- 6 x - 18}$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{2 x + 6} + \frac{18 x^{2} + 36 x}{- 6 x - 18}$	=
$\frac{18 x^{2} + 36 x}{- 6 x - 18} + \frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{2 x + 6} + 3 x$	=

\frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{2 x + 6} + \frac{18 x^{2} + 36 x}{- 6 x - 18} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{2 x + 6} + \frac{18 x^{2} + 36 x}{- 6 x - 18} + 3 x$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + \frac{18 x^{2} + 36 x}{- 6 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + 3 x \cdot (2 x + 6)$	=
$4 x^{2} + 12 x + 8 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x (2 x + 6)$	=
$4 x^{2} + 12 x + 8 - 6 x^{2} - 12 x + (6 x^{2} + 18 x)$	=
$4 x^{2} + 18 x + 8$	=

4 x^{2} + 18 x + 8

= 0 |:2

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9+7}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9-7}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 19 x^{3} + 118 x^{2} + 276 x + 216$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 19 x^{3} + 118 x^{2} + 276 x + 216$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $216$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 19 \cdot {(- 2)}^{3} + 118 \cdot {(- 2)}^{2} + 276 \cdot (- 2) + 216$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 19 x^{3}$	$+ 118 x^{2}$	$+ 276 x$	$+ 216$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 17 x^{2} + 84 x + 108$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$17 x^{3}$	$+ 118 x^{2}$
	-( $17 x^{3}$	$+ 34 x^{2}$ )
		$84 x^{2}$	$+ 276 x$
		-( $84 x^{2}$	$+ 168 x$ )
			$108 x$	$+ 216$
			-( $108 x$	$+ 216$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 19 x^{3} + 118 x^{2} + 276 x + 216$ = $(x^{3} + 17 x^{2} + 84 x + 108) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 17 x^{2} + 84 x + 108) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 17 x^{2} + 84 x + 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $108$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 17 \cdot {(- 2)}^{2} + 84 \cdot (- 2) + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 84 x$	$+ 108$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 15 x + 54$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 84 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$54 x$	$+ 108$
		-( $54 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 84 x + 108$ = $(x^{2} + 15 x + 54) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 15 x + 54) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15+3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15-3}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} + 84 \cdot (- 6) + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 84 x$	$+ 108$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 84 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 66 x$ )
		$18 x$	$+ 108$
		-( $18 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 84 x + 108$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 17 \cdot {(- 9)}^{2} + 84 \cdot (- 9) + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 84 x$	$+ 108$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 84 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$12 x$	$+ 108$
		-( $12 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 84 x + 108$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{4} + 19 \cdot {(- 6)}^{3} + 118 \cdot {(- 6)}^{2} + 276 \cdot (- 6) + 216$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 19 x^{3}$	$+ 118 x^{2}$	$+ 276 x$	$+ 216$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{3} + 13 x^{2} + 40 x + 36$
-( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$ )
	$13 x^{3}$	$+ 118 x^{2}$
	-( $13 x^{3}$	$+ 78 x^{2}$ )
		$40 x^{2}$	$+ 276 x$
		-( $40 x^{2}$	$+ 240 x$ )
			$36 x$	$+ 216$
			-( $36 x$	$+ 216$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 19 x^{3} + 118 x^{2} + 276 x + 216$ = $(x^{3} + 13 x^{2} + 40 x + 36) \cdot (x + 6)$

(x^{3} + 13 x^{2} + 40 x + 36) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 13 x^{2} + 40 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 13 \cdot {(- 2)}^{2} + 40 \cdot (- 2) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 40 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 40 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$18 x$	$+ 36$
		-( $18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 40 x + 36$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 13 \cdot {(- 9)}^{2} + 40 \cdot (- 9) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 40 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 40 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$4 x$	$+ 36$
		-( $4 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 40 x + 36$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{4} + 19 \cdot {(- 9)}^{3} + 118 \cdot {(- 9)}^{2} + 276 \cdot (- 9) + 216$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 19 x^{3}$	$+ 118 x^{2}$	$+ 276 x$	$+ 216$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24$
-( $x^{4}$	$+ 9 x^{3}$ )
	$10 x^{3}$	$+ 118 x^{2}$
	-( $10 x^{3}$	$+ 90 x^{2}$ )
		$28 x^{2}$	$+ 276 x$
		-( $28 x^{2}$	$+ 252 x$ )
			$24 x$	$+ 216$
			-( $24 x$	$+ 216$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 19 x^{3} + 118 x^{2} + 276 x + 216$ = $(x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24) \cdot (x + 9)$

(x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 10 \cdot {(- 2)}^{2} + 28 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 28 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 28 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$12 x$	$+ 24$
		-( $12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 10 \cdot {(- 6)}^{2} + 28 \cdot (- 6) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 28 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 28 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$4 x$	$+ 24$
		-( $4 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 6$ ; $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 3 | - 6$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x + 3 \| - 6$	=	$- 4$
$- 6 - \frac{1}{2} \| - x + 3 \|$	=	$- 4$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{2} \| - x + 3 \|$	=	$2$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 3 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $- 6$