Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 3 e^{x}$ und $g(x) =$ $4 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 3 e^{x}$	=	$4 e^{- 2 x}$	\| $- 4 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} - 3 e^{x} - 4 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 4) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $4 e^{- 2 \cdot (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = 1.587 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |1.587)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 3 + 9 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 5$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 3 + 9 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $9 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$9 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$9 e^{\frac{1}{3} x} + 1 - 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$9 e^{\frac{1}{3} x} + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$3 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + 5 e^{5 x} - 6 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} + 5 e^{5 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{8 x}{x + 3} + \frac{24 x}{- x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{8 x}{x + 3} + \frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{24 x}{- x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x}{x + 3} + \frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{24 x}{- x - 3}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{12 x}{2 x + 1} \cdot (x + 3) + \frac{24 x}{- (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=
$8 x + \frac{12 x (x + 3)}{2 x + 1} - 24 x$	=
$8 x + \frac{12 x^{2} + 36 x}{2 x + 1} - 24 x$	=
$\frac{12 x^{2} + 36 x}{2 x + 1} + 8 x - 24 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 36 x}{2 x + 1} + 8 x - 24 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{12 x^{2} + 36 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 8 x \cdot (2 x + 1) - 24 x \cdot (2 x + 1)$	=
$12 x^{2} + 36 x + 8 x (2 x + 1) - 24 x (2 x + 1)$	=
$12 x^{2} + 36 x + (16 x^{2} + 8 x) + (- 48 x^{2} - 24 x)$	=
$- 20 x^{2} + 20 x$	=

$- 20 x^{2} + 20 x$	=	0
$20 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x - 1 | - 4$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x - 1 \| - 4$	=	$- 6$
$- 4 - \frac{1}{3} \| - x - 1 \|$	=	$- 6$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{3} \| - x - 1 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x - 1 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$6$	\| $+ 1$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 7) - 1$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$6$
$x + 1$	=	$6$	\| $- 1$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 5 - 1$ = -6 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: