Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} + 16 x^{5}$ und $g(x) =$ $- 64 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} + 16 x^{5}$	=	$- 64 x^{2}$	\| $+ 64 x^{2}$
$x^{8} + 16 x^{5} + 64 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} + 16 x^{3} + 64)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} + 16 x^{3} + 64

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

$- 2$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 64 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -256 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-256)

x₂ = 0: f(0)= $- 64 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $20 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x - 7$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

20

|

- 20

e^{4 x} - e^{2 x} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + 2 e^{5 x}$ = $35 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} + 2 e^{5 x}$	=	$35 e^{2 x}$	\| $- 35 e^{2 x}$
$e^{8 x} + 2 e^{5 x} - 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

- 1 - \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 - \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$	=
$- x - 2$	=

$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $48$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 4 \cdot {(- 2)}^{3} - 16 \cdot {(- 2)}^{2} + 16 \cdot (- 2) + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 16 x$	$+ 48$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 24$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 6 x^{3}$	$- 16 x^{2}$
	-( $- 6 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 16 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
			$24 x$	$+ 48$
			-( $24 x$	$+ 48$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + 48$ = $(x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 24) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 24) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 6 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$12 x$	$+ 24$
		-( $12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 24$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 12 x$	$+ 24$
		-( $- 12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 24$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 6 \cdot 6^{2} - 4 \cdot 6 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 24$
		-( $- 4 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 24$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 6)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 6)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 4 \cdot 2^{3} - 16 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 16 x$	$+ 48$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$- 16 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 20 x^{2}$	$+ 16 x$
		-( $- 20 x^{2}$	$+ 40 x$ )
			$- 24 x$	$+ 48$
			-( $- 24 x$	$+ 48$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + 48$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 20 \cdot (- 2) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 20 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 12 x$	$- 24$
		-( $- 12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 2 \cdot 6^{2} - 20 \cdot 6 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 20 x$	$- 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$4 x$	$- 24$
		-( $4 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{4} - 4 \cdot 6^{3} - 16 \cdot 6^{2} + 16 \cdot 6 + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 16 x$	$+ 48$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$
-( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$ )
	$2 x^{3}$	$- 16 x^{2}$
	-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 16 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 24 x$ )
			$- 8 x$	$+ 48$
			-( $- 8 x$	$+ 48$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + 48$ = $(x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8) \cdot (x - 6)$

(x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 4 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 8$
		-( $- 4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 4 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $6$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 4 | + 6$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 4 \| + 6$	=	$7$
$6 + \frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$7$	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$1$	\|⋅ $3$
$\| x + 4 \|$	=	$3$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 1 + 4$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 4$ < 0:

$- (x + 4)$	=	$3$
$- x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ < 0) genügt:

$- 7 + 4$ = -3 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: x +4 ≥ 0:

2. Fall: x +4 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 4$ < 0: