Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 9 x^{2}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )=0 Somit gilt: S₁( $- 3$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )=0 Somit gilt: S₃( $3$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 4$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 (x^{2} + 2 x) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 5 e^{3 x}$ = $- 4 e^{2 x}$

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$e^{4 x} - 5 e^{3 x}$	=	$- 4 e^{2 x}$	\| $+ 4 e^{2 x}$
$e^{4 x} - 5 e^{3 x} + 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 5 e^{x} + 4) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 5 e^{x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 4}{x} + \frac{4 x}{2 x + 4} - 6$ = 0

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D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{x - 4}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{x - 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{4 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{x - 4}{x} \cdot (2 x + 4) - 6 \cdot (2 x + 4)$	=
$4 x + \frac{(x - 4) (2 x + 4)}{x} - 12 x - 24$	=
$4 x + \frac{2 x^{2} - 4 x - 16}{x} - 12 x - 24$	=
$\frac{2 x^{2} - 4 x - 16}{x} + 4 x - 12 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 16}{x} + 4 x - 12 x - 24$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x - 16}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 12 x \cdot x - 24 \cdot x$	=
$2 x^{2} - 4 x - 16 + 4 x \cdot x - 12 x \cdot x - 24 x$	=
$2 x^{2} - 4 x - 16 + 4 x^{2} - 12 x^{2} - 24 x$	=
$- 6 x^{2} - 28 x - 16$	=

- 6 x^{2} - 28 x - 16

= 0 |:2

$- 3 x^{2} - 14 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{- 6}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{14+10}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{14-10}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 16$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$+ 16$
		-( $8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 16$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x - 16 | + 8$ = $32$

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$- \frac{1}{2} \| 4 x - 16 \| + 8$	=	$32$
$8 - \frac{1}{2} \| 4 x - 16 \|$	=	$32$	\| $- 8$
$- \frac{1}{2} \| 4 x - 16 \|$	=	$24$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x - 16 \|$	=	$- 48$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

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