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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 10 x^{3}$ und $g(x) =$ $- 9 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 10 x^{3}$	=	$- 9 x$	\| $+ 9 x$
$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$	=	0
$x (x^{4} - 10 x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- 9 \cdot (- 3)$ = 27 Somit gilt: S₁( $- 3$ |27)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot (- 1)$ = 9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |9)

x₃ = 0: f(0)= $- 9 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₃(0|-0)

x₄ = $1$ : f( $1$ )= $- 9 \cdot 1$ = -9 Somit gilt: S₄( $1$ |-9)

x₅ = $3$ : f( $3$ )= $- 9 \cdot 3$ = -27 Somit gilt: S₅( $3$ |-27)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 2 + 3 x^{2} \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 2 + 3 x^{2} \cdot e^{- x}$

f'(x)= $- 1 - 3 x^{2} \cdot e^{- x} + 6 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$- 1 - 3 x^{2} \cdot e^{- x} + 6 x \cdot e^{- x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - 3 x^{2} \cdot e^{- x} + 6 x \cdot e^{- x}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot e^{- x} + 6 x \cdot e^{- x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 2 x) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 8 x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} + 8 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{x - 1}{2 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{12 x}{x - 2} + \frac{x - 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{x - 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{x - 1}{2 x} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$12 x + \frac{(x - 1) (x - 2)}{2 x} - 5 x + 10$	=
$12 x + \frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 x} - 5 x + 10$	=
$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 x} + 12 x - 5 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 x} + 12 x - 5 x + 10$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 12 x \cdot 2 x - 5 x \cdot 2 x + 10 \cdot 2 x$	=
$x^{2} - 3 x + 2 + 24 x \cdot x - 10 x \cdot x + 20 x$	=
$x^{2} - 3 x + 2 + 24 x^{2} - 10 x^{2} + 20 x$	=
$15 x^{2} + 17 x + 2$	=

$15 x^{2} + 17 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 2}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{169}}{30}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{169}}{30}$ = $\frac{- 17+13}{30}$ = $\frac{- 4}{30}$ = $- \frac{2}{15}$ ≈ -0.13

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{169}}{30}$ = $\frac{- 17-13}{30}$ = $\frac{- 30}{30}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{2}{15}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$- 8 x$	$+ 8$
		-( $- 8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 7 x - 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 6 \cdot {(- 8)}^{2} - 15 \cdot (- 8) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$x$	$+ 8$
		-( $x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x - 1 | - 5$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x - 1 \| - 5$	=	$- 7$
$- 5 - \frac{1}{3} \| x - 1 \|$	=	$- 7$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{3} \| x - 1 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x - 1 \|$	=	$6$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

$x - 1$	=	$6$	\| $+ 1$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ ≥ 0) genügt:

$7 - 1$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 1$ < 0:

$- (x - 1)$	=	$6$
$- x + 1$	=	$6$	\| $- 1$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ < 0) genügt:

$- 5 - 1$ = -6 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: x -1 ≥ 0:

2. Fall: x -1 < 0:

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 1$ < 0: