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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 8$ und $g(x) =$ $- \frac{16}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} - 8$	=	$- \frac{16}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} - 8 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} - 8 x^{2}$	=	$- 16$
$x^{4} - 8 x^{2}$	=	$- 16$

x^{4} - 8 x^{2}

=

- 16

|

+ 16

x^{4} - 8 x^{2} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{16}{{(- 2)}^{2}}$ = -4 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-4)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{16}{2^{2}}$ = -4 Somit gilt: S₂( $2$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $24 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x + 5$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 2 e^{2 x}

=

24

|

- 24

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 6 e^{- 2 x} + 7) \cdot (x^{3} - 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 6 e^{- 2 x} + 7) (x^{3} - 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{- 2 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 6 e^{- 2 x}$	=	$- 7$	\|: $- 6$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{7}{6})$	≈ -0.0771

2. Fall:

$x^{3} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{1}{2} \ln (\frac{7}{6})$ ; 0; $9$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{7 x}{- 2 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{3}{2}$ }

\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{7 x}{- 2 x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{7 x}{- 2 x + 3}$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 2) + \frac{7 x}{- 2 x + 3} \cdot (2 x - 2)$	=
$4 x + \frac{4 x (2 x - 2)}{2 x - 3} + \frac{7 x (2 x - 2)}{- 2 x + 3}$	=
$4 x + \frac{8 x^{2} - 8 x}{2 x - 3} + \frac{14 x^{2} - 14 x}{- 2 x + 3}$	=
$\frac{14 x^{2} - 14 x}{- 2 x + 3} + \frac{8 x^{2} - 8 x}{2 x - 3} + 4 x$	=

\frac{8 x^{2} - 8 x}{2 x - 3} + \frac{14 x^{2} - 14 x}{- 2 x + 3} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 8 x}{2 x - 3} + \frac{14 x^{2} - 14 x}{- 2 x + 3} + 4 x$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{8 x^{2} - 8 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{14 x^{2} - 14 x}{- 2 x + 3} \cdot (2 x - 3) + 4 x \cdot (2 x - 3)$	=
$8 x^{2} - 8 x + \frac{(14 x^{2} - 14 x) (2 x - 3)}{- 2 x + 3} + 4 x (2 x - 3)$	=
$8 x^{2} - 8 x + \frac{28 x^{3} - 70 x^{2} + 42 x}{- 2 x + 3} + (8 x^{2} - 12 x)$	=
$\frac{28 x^{3} - 70 x^{2} + 42 x}{- 2 x + 3} + 8 x^{2} + 8 x^{2} - 8 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 2 x + 3$ weg!

$\frac{28 x^{3} - 70 x^{2} + 42 x}{- 2 x + 3} + 8 x^{2} + 8 x^{2} - 8 x - 12 x$	=	\|⋅( $- 2 x + 3$ )
$\frac{28 x^{3} - 70 x^{2} + 42 x}{- 2 x + 3} \cdot (- 2 x + 3) + 8 x^{2} \cdot (- 2 x + 3) + 8 x^{2} \cdot (- 2 x + 3) - 8 x \cdot (- 2 x + 3) - 12 x \cdot (- 2 x + 3)$	=
$28 x^{3} - 70 x^{2} + 42 x + 8 x^{2} (- 2 x + 3) + 8 x^{2} (- 2 x + 3) - 8 x (- 2 x + 3) - 12 x (- 2 x + 3)$	=
$28 x^{3} - 70 x^{2} + 42 x + (- 16 x^{3} + 24 x^{2}) + (- 16 x^{3} + 24 x^{2}) + (16 x^{2} - 24 x) + (24 x^{2} - 36 x)$	=
$- 4 x^{3} + 18 x^{2} - 18 x$	=

$- 4 x^{3} + 18 x^{2} - 18 x$	=	0
$2 x (- 2 x^{2} + 9 x - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 2 x^{2} + 9 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 4}$

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₂ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 9+3}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₃ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 9-3}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x - 20 | - 7$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \| - 7$	=	$5$
$- 7 + \frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \|$	=	$5$	\| $+ 7$
$\frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x - 20 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 4 x - 20$ ≥ 0:

$- 4 x - 20$	=	$36$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$56$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 14) - 20$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 20$ < 0:

$- (- 4 x - 20)$	=	$36$
$4 x + 20$	=	$36$	\| $- 20$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 20$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 4 - 20$ = -36 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -20 ≥ 0:

2. Fall: -4x -20 < 0:

1. Fall: $- 4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 20$ < 0: