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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 12 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 12 e^{- x}$	=	$- e^{2 x}$	\| $+ e^{2 x}$
$e^{5 x} + e^{2 x} - 12 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 12) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = -2.08 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-2.08)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 4 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 7$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 4 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $12 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$12 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 + 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$12 e^{- \frac{1}{4} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 8 e^{4 x} + 15 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 8 e^{4 x} + 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 15) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{2 x}{2 x - 3} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $\frac{5}{3}$ }

\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} \cdot (2 x - 3) - 6 \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) (2 x - 3)}{3 x - 5} - 12 x + 18$	=
$2 x + \frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} - 12 x + 18$	=
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} + 2 x - 12 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} + 2 x - 12 x + 18$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + 2 x \cdot (3 x - 5) - 12 x \cdot (3 x - 5) + 18 \cdot (3 x - 5)$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + 2 x (3 x - 5) - 12 x (3 x - 5) + 54 x - 90$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + (6 x^{2} - 10 x) + (- 36 x^{2} + 60 x) + 54 x - 90$	=
$- 20 x^{2} + 91 x - 93$	=

$- 20 x^{2} + 91 x - 93$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 91 \pm \sqrt{91^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot (- 93)}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 91 \pm \sqrt{8 281 - 7 440}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 91 \pm \sqrt{841}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 91 + \sqrt{841}}{- 40}$ = $\frac{- 91+29}{- 40}$ = $\frac{- 62}{- 40}$ = $1,55$

x₂ = $\frac{- 91 - \sqrt{841}}{- 40}$ = $\frac{- 91-29}{- 40}$ = $\frac{- 120}{- 40}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,55$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 33 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$18 x$	$+ 18$
		-( $18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} + 33 \cdot (- 6) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$3 x$	$+ 18$
		-( $3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x + 6 | - 3$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 6 \| - 3$	=	$- 1$
$- 3 - \frac{1}{2} \| - 2 x + 6 \|$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 6 \|$	=	$2$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x + 6 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 6$