Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 8 x^{3}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )=0 Somit gilt: S₂( $2$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 8 e^{x}$ = $6 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 8 e^{x}$	=	$6 e^{2 x}$	\| $- 6 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 6 e^{2 x} + 8 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 6 e^{x} + 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 6 e^{x} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{2 x - 4} - 5$ = 0

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D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; $2$ }

\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{2 x - 4} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{2 x - 4} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{2 x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{x + 1}{2 x - 4} \cdot (3 x - 7) - 5 \cdot (3 x - 7)$	=
$2 x + \frac{(x + 1) (3 x - 7)}{2 x - 4} - 15 x + 35$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 x - 4} - 15 x + 35$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 x - 4} + 2 x - 15 x + 35$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 x - 4} + 2 x - 15 x + 35$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + 2 x \cdot (2 x - 4) - 15 x \cdot (2 x - 4) + 35 \cdot (2 x - 4)$	=
$3 x^{2} - 4 x - 7 + 2 x (2 x - 4) - 15 x (2 x - 4) + 70 x - 140$	=
$3 x^{2} - 4 x - 7 + (4 x^{2} - 8 x) + (- 30 x^{2} + 60 x) + 70 x - 140$	=
$- 23 x^{2} + 118 x - 147$	=

$- 23 x^{2} + 118 x - 147$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 118 \pm \sqrt{118^{2} - 4 \cdot (- 23) \cdot (- 147)}}{2 \cdot (- 23)}$

x_1,2 = $\frac{- 118 \pm \sqrt{13 924 - 13 524}}{- 46}$

x_1,2 = $\frac{- 118 \pm \sqrt{400}}{- 46}$

x₁ = $\frac{- 118 + \sqrt{400}}{- 46}$ = $\frac{- 118+20}{- 46}$ = $\frac{- 98}{- 46}$ = $\frac{49}{23}$ ≈ 2.13

x₂ = $\frac{- 118 - \sqrt{400}}{- 46}$ = $\frac{- 118-20}{- 46}$ = $\frac{- 138}{- 46}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{49}{23}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ x$	$- 2$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 2$
		-( $x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x - 4 | - 6$ = $- 4$

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$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \| - 6$	=	$- 4$
$- 6 - \frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \|$	=	$- 4$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \|$	=	$2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

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Gleichungen mit Polynomdivision

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