Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{5}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- 4$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} - \frac{5}{x^{2}}$	=	$- 4$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} - \frac{5}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 4 \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} - 5$	=	$- 4 x^{2}$
$x^{4} - 5$	=	$- 4 x^{2}$

x^{4} - 5

=

- 4 x^{2}

|

+ 4 x^{2}

x^{4} + 4 x^{2} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 4$ Somit gilt: S₁( $- 1$ |-4)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 4$ Somit gilt: S₂( $1$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 9 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{3} - 2 x$	=	$- x^{2}$	\| $+ x^{2}$
$x^{3} + x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x^{2} + x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} - 2$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 2 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{4 x (2 x + 1)}{3 x + 1} - 4 x - 2$	=
$3 x + \frac{8 x^{2} + 4 x}{3 x + 1} - 4 x - 2$	=
$\frac{8 x^{2} + 4 x}{3 x + 1} + 3 x - 4 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 4 x}{3 x + 1} + 3 x - 4 x - 2$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} + 4 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 3 x \cdot (3 x + 1) - 4 x \cdot (3 x + 1) - 2 \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} + 4 x + 3 x (3 x + 1) - 4 x (3 x + 1) - 6 x - 2$	=
$8 x^{2} + 4 x + (9 x^{2} + 3 x) + (- 12 x^{2} - 4 x) - 6 x - 2$	=
$5 x^{2} - 3 x - 2$	=

$5 x^{2} - 3 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{10}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{10}$ = $\frac{3+7}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{10}$ = $\frac{3-7}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,4$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 3 x$	$- 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 3$
		-( $3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x + 16 | + 1$ = $- 23$

Lösung einblenden

$- \| - 4 x + 16 \| + 1$	=	$- 23$
$1 - \| - 4 x + 16 \|$	=	$- 23$	\| $- 1$
$- \| - 4 x + 16 \|$	=	$- 24$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

$- 4 x + 16$	=	$24$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 2) + 16$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0:

$- (- 4 x + 16)$	=	$24$
$4 x - 16$	=	$24$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 10 + 16$ = -24 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +16 ≥ 0:

2. Fall: -4x +16 < 0:

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0: