Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 35 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $- 2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 35 e^{- 2 x}

=

- 2

|

+ 2

e^{2 x} - 35 e^{- 2 x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 35 e^{- 2 x} + 2$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 35$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $- 2$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $20 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x + 4$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + x^{2}

=

20

|

- 20

x^{4} + x^{2} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - e^{5 x} - 20 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - e^{5 x} - 20 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 20) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{x + 3} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{4 x}{x + 3} + \frac{4 x}{3 x + 1} - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{x + 3} + \frac{4 x}{3 x + 1} - 2$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{4 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (x + 3) - 2 \cdot (x + 3)$	=
$4 x + \frac{4 x (x + 3)}{3 x + 1} - 2 x - 6$	=
$4 x + \frac{4 x^{2} + 12 x}{3 x + 1} - 2 x - 6$	=
$\frac{4 x^{2} + 12 x}{3 x + 1} + 4 x - 2 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 12 x}{3 x + 1} + 4 x - 2 x - 6$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} + 12 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 4 x \cdot (3 x + 1) - 2 x \cdot (3 x + 1) - 6 \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} + 12 x + 4 x (3 x + 1) - 2 x (3 x + 1) - 18 x - 6$	=
$4 x^{2} + 12 x + (12 x^{2} + 4 x) + (- 6 x^{2} - 2 x) - 18 x - 6$	=
$10 x^{2} - 4 x - 6$	=

10 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$5 x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{10}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{10}$ = $\frac{2+8}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{10}$ = $\frac{2-8}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,6$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- x$
	-( $7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- x$
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 3 x$	$- 6$
		-( $- 3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + x - 3) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x + 15 | - 3$ = $- 21$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \| - 3$	=	$- 21$
$- 3 - \frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \|$	=	$- 21$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \|$	=	$- 18$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x + 15 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x + 15$ ≥ 0:

$- 3 x + 15$	=	$36$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$21$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 7) + 15$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 15$ < 0:

$- (- 3 x + 15)$	=	$36$
$3 x - 15$	=	$36$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$51$	\|: $3$
x₂	=	$17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 15$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 17 + 15$ = -36 < 0

Die Lösung $17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $17$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +15 ≥ 0:

2. Fall: -3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $- 3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 15$ < 0: