Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} + 2$ und $g(x) =$ $15 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} + 2

=

15 e^{- x}

|

- 15 e^{- x}

e^{x} - 15 e^{- x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 15 e^{- x} + 2$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $15 e^{- (\ln (3))}$ = 5 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $30 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x - 1$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + e^{2 x}

=

30

|

- 30

e^{4 x} + e^{2 x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 6$ = $e^{2 x}$

Lösung einblenden

e^{4 x} - 6

=

e^{2 x}

|

- e^{2 x}

e^{4 x} - e^{2 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{4 x}{3 x + 8} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{4 x}{2 x + 4} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{4 x}{2 x + 4} - 8$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{4 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{4 x}{2 x + 4} \cdot (3 x + 8) - 8 \cdot (3 x + 8)$	=
$4 x + \frac{4 x (3 x + 8)}{2 x + 4} - 24 x - 64$	=
$4 x + \frac{12 x^{2} + 32 x}{2 x + 4} - 24 x - 64$	=
$\frac{12 x^{2} + 32 x}{2 x + 4} + 4 x - 24 x - 64$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 32 x}{2 x + 4} + 4 x - 24 x - 64$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{12 x^{2} + 32 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + 4 x \cdot (2 x + 4) - 24 x \cdot (2 x + 4) - 64 \cdot (2 x + 4)$	=
$12 x^{2} + 32 x + 4 x (2 x + 4) - 24 x (2 x + 4) - 128 x - 256$	=
$12 x^{2} + 32 x + (8 x^{2} + 16 x) + (- 48 x^{2} - 96 x) - 128 x - 256$	=
$- 28 x^{2} - 176 x - 256$	=

- 28 x^{2} - 176 x - 256

= 0 |:4

$- 7 x^{2} - 44 x - 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 64)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{1 936 - 1 792}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{144}}{- 14}$

x₁ = $\frac{44 + \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{44+12}{- 14}$ = $\frac{56}{- 14}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{44 - \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{44-12}{- 14}$ = $\frac{32}{- 14}$ = $- \frac{16}{7}$ ≈ -2.29

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{16}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 11 x^{3} + 38 x^{2} - 52 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 11 x^{3} + 38 x^{2} - 52 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 11 \cdot 1^{3} + 38 \cdot 1^{2} - 52 \cdot 1 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 11 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$- 52 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 10 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$
	-( $- 10 x^{3}$	$+ 10 x^{2}$ )
		$28 x^{2}$	$- 52 x$
		-( $28 x^{2}$	$- 28 x$ )
			$- 24 x$	$+ 24$
			-( $- 24 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 11 x^{3} + 38 x^{2} - 52 x + 24$ = $(x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 10 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 28 x$	$- 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 28 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$12 x$	$- 24$
		-( $12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 10 \cdot 6^{2} + 28 \cdot 6 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 28 x$	$- 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 28 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$4 x$	$- 24$
		-( $4 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 11 \cdot 2^{3} + 38 \cdot 2^{2} - 52 \cdot 2 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 11 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$- 52 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 9 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$
	-( $- 9 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
		$20 x^{2}$	$- 52 x$
		-( $20 x^{2}$	$- 40 x$ )
			$- 12 x$	$+ 24$
			-( $- 12 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 11 x^{3} + 38 x^{2} - 52 x + 24$ = $(x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$12 x$	$- 12$
		-( $12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 9 \cdot 6^{2} + 20 \cdot 6 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$2 x$	$- 12$
		-( $2 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{4} - 11 \cdot 6^{3} + 38 \cdot 6^{2} - 52 \cdot 6 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 11 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$- 52 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$
-( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$+ 30 x^{2}$ )
		$8 x^{2}$	$- 52 x$
		-( $8 x^{2}$	$- 48 x$ )
			$- 4 x$	$+ 24$
			-( $- 4 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 11 x^{3} + 38 x^{2} - 52 x + 24$ = $(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) \cdot (x - 6)$

(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $1$ ; $2$ ; $6$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x - 15 | + 8$ = $23$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x - 15 \| + 8$	=	$23$
$8 + \frac{1}{2} \| 3 x - 15 \|$	=	$23$	\| $- 8$
$\frac{1}{2} \| 3 x - 15 \|$	=	$15$	\|⋅ $2$
$\| 3 x - 15 \|$	=	$30$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

$3 x - 15$	=	$30$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$45$	\|: $3$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 15 - 15$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 15$ < 0:

$- (3 x - 15)$	=	$30$
$- 3 x + 15$	=	$30$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 5) - 15$ = -30 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -15 ≥ 0:

2. Fall: 3x -15 < 0:

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 15$ < 0: