Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} + x$ und $g(x) =$ $- 2 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} + x$	=	$- 2 x^{4}$	\| $+ 2 x^{4}$
$x^{7} + 2 x^{4} + x$	=	0
$x (x^{6} + 2 x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} + 2 x^{3} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 2 \cdot {(- 1)}^{4}$ = -2 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-2)

x₂ = 0: f(0)= $- 2 \cdot 0^{4}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $42 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x - 7$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

42

|

- 42

e^{4 x} - e^{2 x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 2 x} - 2) \cdot (x^{5} - 4 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 2 x} - 2) (x^{5} - 4 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 2 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$9 e^{- 2 x}$	=	$2$	\|: $9$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{2}{9})$	≈ 0.752

2. Fall:

$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{2}{9})$ ; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; 0}

\frac{x - 1}{2 x - 5} - 2 + \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{x - 1}{2 x - 5} - 2 + \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{x - 1}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - 2 \cdot (2 x - 5) + \frac{4}{x} \cdot (2 x - 5)$	=
$x - 1 - 4 x + 10 + 4 \frac{2 x - 5}{x}$	=
$4 \frac{2 x - 5}{x} + x - 4 x - 1 + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$4 \frac{2 x - 5}{x} + x - 4 x - 1 + 10$	=	\|⋅( $x$ )
$4 \frac{2 x - 5}{x} \cdot x + x \cdot x - 4 x \cdot x - 1 \cdot x + 10 \cdot x$	=
$8 x - 20 + x \cdot x - 4 x \cdot x - x + 10 x$	=
$8 x - 20 + x^{2} - 4 x^{2} - x + 10 x$	=
$- 3 x^{2} + 17 x - 20$	=

$- 3 x^{2} + 17 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 17+7}{- 6}$ = $\frac{- 10}{- 6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 17-7}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{3}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 6 x$	$+ 12$
		-( $- 6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} - x - 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1,5$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x - 4 | + 8$ = $2$

Lösung einblenden

$\| - x - 4 \| + 8$	=	$2$
$8 + \| - x - 4 \|$	=	$2$	\| $- 8$
$\| - x - 4 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen