Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$	=	$2$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$2 \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} + 1$	=	$2 x^{2}$
$x^{4} + 1$	=	$2 x^{2}$

x^{4} + 1

=

2 x^{2}

|

- 2 x^{2}

x^{4} - 2 x^{2} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $2$ Somit gilt: S₁( $- 1$ |2)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $2$ Somit gilt: S₂( $1$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 3 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 3 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $3 e^{\frac{1}{3} x} - 1 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$3 e^{\frac{1}{3} x} - 1 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 e^{\frac{1}{3} x} - 1 + 1 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$3 e^{\frac{1}{3} x} + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$(x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 10 e^{4 x}$ = $- 24 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 10 e^{4 x}$	=	$- 24 e^{x}$	\| $+ 24 e^{x}$
$e^{7 x} - 10 e^{4 x} + 24 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{12 x}{2 x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $2$ }

\frac{12 x}{2 x - 2} + \frac{3 x}{x - 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{2 x - 2} + \frac{3 x}{x - 2} - 4$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{12 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{3 x}{x - 2} \cdot (2 x - 2) - 4 \cdot (2 x - 2)$	=
$12 x + \frac{3 x (2 x - 2)}{x - 2} - 8 x + 8$	=
$12 x + \frac{6 x^{2} - 6 x}{x - 2} - 8 x + 8$	=
$\frac{6 x^{2} - 6 x}{x - 2} + 12 x - 8 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 6 x}{x - 2} + 12 x - 8 x + 8$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 12 x \cdot (x - 2) - 8 x \cdot (x - 2) + 8 \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 6 x + 12 x (x - 2) - 8 x (x - 2) + 8 x - 16$	=
$6 x^{2} - 6 x + (12 x^{2} - 24 x) + (- 8 x^{2} + 16 x) + 8 x - 16$	=
$10 x^{2} - 6 x - 16$	=

10 x^{2} - 6 x - 16

= 0 |:2

$5 x^{2} - 3 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{10}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{3+13}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{3-13}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1,6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 6 x^{2} - 31 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} - 31 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 6 \cdot 1^{2} - 31 \cdot 1 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 31 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 5 x - 36$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 36 x$	$+ 36$
		-( $- 36 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 31 x + 36$ = $(x^{2} - 5 x - 36) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 5 x - 36) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 6 \cdot {(- 4)}^{2} - 31 \cdot (- 4) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 31 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 40 x$ )
		$9 x$	$+ 36$
		-( $9 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 31 x + 36$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 6 \cdot 9^{2} - 31 \cdot 9 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 31 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 27 x$ )
		$- 4 x$	$+ 36$
		-( $- 4 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 31 x + 36$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 4$ ; $1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x - 12 | + 5$ = $11$

Lösung einblenden

$\| - 3 x - 12 \| + 5$	=	$11$
$5 + \| - 3 x - 12 \|$	=	$11$	\| $- 5$
$\| - 3 x - 12 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 3 x - 12$ ≥ 0:

$- 3 x - 12$	=	$6$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 6) - 12$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 12$ < 0:

$- (- 3 x - 12)$	=	$6$
$3 x + 12$	=	$6$	\| $- 12$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 12$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 2) - 12$ = -6 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -12 ≥ 0:

2. Fall: -3x -12 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 3 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 12$ < 0: