Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 21$ und $g(x) =$ $10 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} + 21

=

10 e^{2 x}

|

- 10 e^{2 x}

e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $10 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = 30 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |30)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $10 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 70 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |70)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{7}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 12 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 12 x - 5$ gilt m = $- 12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{7}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 7 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 7 e^{3 x}

=

- 12

|

+ 12

e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 12 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 15 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{6 x}{x - 1} + \frac{24 x}{- 2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{6 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{24 x}{- 2 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{24 x}{- 2 x + 2}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot (x - 1) + \frac{24 x}{- 2 x + 2} \cdot (x - 1)$	=
$6 x + \frac{(8 x - 1) (x - 1)}{3 x} + \frac{24 x (x - 1)}{- 2 x + 2}$	=
$6 x + \frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} + \frac{24 x^{2} - 24 x}{- 2 x + 2}$	=
$\frac{24 x^{2} - 24 x}{- 2 x + 2} + \frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} + 6 x$	=

\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} + \frac{24 x^{2} - 24 x}{- 2 x + 2} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} + \frac{24 x^{2} - 24 x}{- 2 x + 2} + 6 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} - 9 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{24 x^{2} - 24 x}{- 2 x + 2} \cdot 3 x + 6 x \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} - 9 x + 1 + 3 \frac{(24 x^{2} - 24 x) x}{- 2 x + 2} + 18 x \cdot x$	=
$8 x^{2} - 9 x + 1 + 3 \frac{24 x^{3} - 24 x^{2}}{- 2 x + 2} + 18 x^{2}$	=
$3 \frac{24 x^{3} - 24 x^{2}}{- 2 x + 2} + 8 x^{2} + 18 x^{2} - 9 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 2 x + 2$ weg!

$3 \frac{24 x^{3} - 24 x^{2}}{- 2 x + 2} + 8 x^{2} + 18 x^{2} - 9 x + 1$	=	\|⋅( $- 2 x + 2$ )
$3 \frac{24 x^{3} - 24 x^{2}}{- 2 x + 2} \cdot (- 2 x + 2) + 8 x^{2} \cdot (- 2 x + 2) + 18 x^{2} \cdot (- 2 x + 2) - 9 x \cdot (- 2 x + 2) + 1 \cdot (- 2 x + 2)$	=
$72 x^{3} - 72 x^{2} + 8 x^{2} (- 2 x + 2) + 18 x^{2} (- 2 x + 2) - 9 x (- 2 x + 2) - 2 x + 2$	=
$72 x^{3} - 72 x^{2} + (- 16 x^{3} + 16 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 36 x^{2}) + (18 x^{2} - 18 x) - 2 x + 2$	=
$20 x^{3} - 2 x^{2} - 20 x + 2$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $20 x^{3} - 2 x^{2} - 20 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $20 \cdot {(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 20 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $20 x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 20 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$20 x^{2} - 22 x + 2$
-( $20 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $- 22 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$20 x^{3} - 2 x^{2} - 20 x + 2$ = $(20 x^{2} - 22 x + 2) \cdot (x + 1)$

(20 x^{2} - 22 x + 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

20 x^{2} - 22 x + 2

= 0 |:2

$10 x^{2} - 11 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 1}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{20}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{20}$ = $\frac{11+9}{20}$ = $\frac{20}{20}$ = $1$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{20}$ = $\frac{11-9}{20}$ = $\frac{2}{20}$ = $0,1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $20 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 20 \cdot 1 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $20 x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 20 x$	$+ 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$20 x^{2} + 18 x - 2$
-( $20 x^{3}$	$- 20 x^{2}$ )
	$18 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $18 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 2 x$	$+ 2$
		-( $- 2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$20 x^{3} - 2 x^{2} - 20 x + 2$ = $(20 x^{2} + 18 x - 2) \cdot (x - 1)$

(20 x^{2} + 18 x - 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

20 x^{2} + 18 x - 2

= 0 |:2

$10 x^{2} + 9 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{20}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{20}$ = $\frac{- 9+11}{20}$ = $\frac{2}{20}$ = $0,1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{20}$ = $\frac{- 9-11}{20}$ = $\frac{- 20}{20}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 6 x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} - 9 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 14$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 14 x$	$+ 14$
		-( $- 14 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 9 x + 14$ = $(x^{2} - 5 x - 14) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 5 x - 14) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 6 \cdot {(- 2)}^{2} - 9 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$7 x$	$+ 14$
		-( $7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 9 x + 14$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 8 x + 7) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 6 \cdot 7^{2} - 9 \cdot 7 + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 14$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 9 x$
	-( $x^{2}$	$- 7 x$ )
		$- 2 x$	$+ 14$
		-( $- 2 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 9 x + 14$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + x - 2) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x - 9 | - 9$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x - 9 \| - 9$	=	$3$
$- 9 + \frac{1}{3} \| 3 x - 9 \|$	=	$3$	\| $+ 9$
$\frac{1}{3} \| 3 x - 9 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| 3 x - 9 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x - 9$ ≥ 0:

$3 x - 9$	=	$36$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$45$	\|: $3$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 15 - 9$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 9$ < 0:

$- (3 x - 9)$	=	$36$
$- 3 x + 9$	=	$36$	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$27$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 9) - 9$ = -36 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 1

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -9 ≥ 0:

2. Fall: 3x -9 < 0:

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 9$ < 0: