Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 4 x^{2}$ und $g(x) =$ $3 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	$3 x^{3}$	\| $- 3 x^{3}$
$x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 3 x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $3 \cdot {(- 1)}^{3}$ = -3 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-3)

x₂ = 0: f(0)= $3 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $4$ : f( $4$ )= $3 \cdot 4^{3}$ = 192 Somit gilt: S₃( $4$ |192)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $5 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5 x - 3$ gilt m = $5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 4 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 4 e^{3 x}

=

5

|

- 5

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $5 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{4 x} - 6) \cdot (x + 3)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{4 x} - 6) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{4 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$9 e^{4 x}$	=	$6$	\|: $9$
$e^{4 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{2}{3})$	≈ -0.1014

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{4} \ln (\frac{2}{3})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{9 x}{- 3 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{9 x}{- 3 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{9 x}{- 3 x - 3}$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{3 x}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + \frac{7 x - 2}{2 x} \cdot (3 x + 3) + \frac{9 x}{- 3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=
$3 x + \frac{(7 x - 2) (3 x + 3)}{2 x} - 9 x$	=
$3 x + \frac{21 x^{2} + 15 x - 6}{2 x} - 9 x$	=
$\frac{21 x^{2} + 15 x - 6}{2 x} + 3 x - 9 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} + 15 x - 6}{2 x} + 3 x - 9 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} + 15 x - 6}{2 x} \cdot 2 x + 3 x \cdot 2 x - 9 x \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} + 15 x - 6 + 6 x \cdot x - 18 x \cdot x$	=
$21 x^{2} + 15 x - 6 + 6 x^{2} - 18 x^{2}$	=
$9 x^{2} + 15 x - 6$	=

9 x^{2} + 15 x - 6

= 0 |:3

$3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 5+7}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 5-7}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 10$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 10$
		-( $5 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 10$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 4 | + 6$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 4 \| + 6$	=	$8$
$6 + \frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$8$	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$2$	\|⋅ $3$
$\| x + 4 \|$	=	$6$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

$x + 4$	=	$6$	\| $- 4$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ ≥ 0) genügt:

$2 + 4$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 4$ < 0:

$- (x + 4)$	=	$6$
$- x - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ < 0) genügt:

$- 10 + 4$ = -6 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: x +4 ≥ 0:

2. Fall: x +4 < 0:

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 4$ < 0: