Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} + 9 x^{5}$ und $g(x) =$ $- 8 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} + 9 x^{5}$	=	$- 8 x^{2}$	\| $+ 8 x^{2}$
$x^{8} + 9 x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} + 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} + 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 8 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-32)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 8 \cdot {(- 1)}^{2}$ = -8 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-8)

x₃ = 0: f(0)= $- 8 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₃(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $18 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $18 x + 7$ gilt m = $18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 3 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 3 x

=

18

|

- 18

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $18 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{8 x}{- 3 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{8 x}{- 3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{8 x}{- 3 x + 1}$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{3 x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) + \frac{8 x}{- 3 x + 1} \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x + \frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{2 x} + \frac{8 x (3 x - 1)}{- 3 x + 1}$	=
$4 x + \frac{9 x^{2} - 1}{2 x} + \frac{24 x^{2} - 8 x}{- 3 x + 1}$	=
$\frac{24 x^{2} - 8 x}{- 3 x + 1} + \frac{9 x^{2} - 1}{2 x} + 4 x$	=

\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} + \frac{24 x^{2} - 8 x}{- 3 x + 1} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} + \frac{24 x^{2} - 8 x}{- 3 x + 1} + 4 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{24 x^{2} - 8 x}{- 3 x + 1} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x$	=
$9 x^{2} - 1 + 2 \frac{(24 x^{2} - 8 x) x}{- 3 x + 1} + 8 x \cdot x$	=
$9 x^{2} - 1 + 2 \frac{24 x^{3} - 8 x^{2}}{- 3 x + 1} + 8 x^{2}$	=
$2 \frac{24 x^{3} - 8 x^{2}}{- 3 x + 1} + 9 x^{2} + 8 x^{2} - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 1$ weg!

$2 \frac{24 x^{3} - 8 x^{2}}{- 3 x + 1} + 9 x^{2} + 8 x^{2} - 1$	=	\|⋅( $- 3 x + 1$ )
$2 \frac{24 x^{3} - 8 x^{2}}{- 3 x + 1} \cdot (- 3 x + 1) + 9 x^{2} \cdot (- 3 x + 1) + 8 x^{2} \cdot (- 3 x + 1) - 1 \cdot (- 3 x + 1)$	=
$48 x^{3} - 16 x^{2} + 9 x^{2} (- 3 x + 1) + 8 x^{2} (- 3 x + 1) + 3 x - 1$	=
$48 x^{3} - 16 x^{2} + (- 27 x^{3} + 9 x^{2}) + (- 24 x^{3} + 8 x^{2}) + 3 x - 1$	=
$- 3 x^{3} + x^{2} + 3 x - 1$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 3 x^{3} + x^{2} + 3 x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $- 3 \cdot {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $- 3 x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 3 x$	$- 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$- 3 x^{2} + 4 x - 1$
-( $- 3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- x$	$- 1$
		-( $- x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$- 3 x^{3} + x^{2} + 3 x - 1$ = $(- 3 x^{2} + 4 x - 1) \cdot (x + 1)$

(- 3 x^{2} + 4 x - 1) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 4 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 4+2}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 4-2}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $- 3 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $- 3 x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 3 x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$- 3 x^{2} - 2 x + 1$
-( $- 3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$- 3 x^{3} + x^{2} + 3 x - 1$ = $(- 3 x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 1)$

(- 3 x^{2} - 2 x + 1) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 1}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{2+4}{- 6}$ = $\frac{6}{- 6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{2-4}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 68 x^{2} + 256$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 68 x^{2} + 256

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 68 u + 256$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 68 \pm \sqrt{{(- 68)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 68 \pm \sqrt{4 624 - 1 024}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 68 \pm \sqrt{3 600}}{2}$

u₁ = $\frac{68 + \sqrt{3 600}}{2}$ = $\frac{68+60}{2}$ = $\frac{128}{2}$ = $64$

u₂ = $\frac{68 - \sqrt{3 600}}{2}$ = $\frac{68-60}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $64$

$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 8$ ; $- 2$ ; $2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x + 16 | + 7$ = $- 13$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x + 16 \| + 7$	=	$- 13$
$7 - \frac{1}{2} \| 4 x + 16 \|$	=	$- 13$	\| $- 7$
$- \frac{1}{2} \| 4 x + 16 \|$	=	$- 20$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x + 16 \|$	=	$40$

1. Fall: $4 x + 16$ ≥ 0:

$4 x + 16$	=	$40$	\| $- 16$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 6 + 16$ = 40 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 16$ < 0:

$- (4 x + 16)$	=	$40$
$- 4 x - 16$	=	$40$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$56$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 14) + 16$ = -40 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 1

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +16 ≥ 0:

2. Fall: 4x +16 < 0:

Polynomdivision mit $1$

1. Fall: $4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 16$ < 0: