Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{10}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{7}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{10}{x^{2}}$	=	$\frac{7}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{7}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 10$	=	$7 x$

x^{2} + 10

=

7 x

|

- 7 x

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{7}{2}$ = 3.5 Somit gilt: S₁( $2$ |3.5)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $\frac{7}{5}$ = 1.4 Somit gilt: S₂( $5$ |1.4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 2 x$

Also muss gelten:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 6 x} + 7) \cdot (x^{2} - 16)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 6 x} + 7) (x^{2} - 16)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 6 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 5 e^{- 6 x}$	=	$- 7$	\|: $- 5$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{7}{5})$	≈ -0.0561

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{7}{5})$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{x}{2 x + 4} + \frac{- 6 x}{6 x + 16}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{8}{3}$ }

\frac{x}{2 x + 4} + \frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{6 x}{6 x + 16}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{2 x}{3 x + 8} - \frac{6 x}{6 x + 16}$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (2 x + 4) - \frac{6 x}{6 x + 16} \cdot (2 x + 4)$	=
$x + \frac{2 x (2 x + 4)}{3 x + 8} - \frac{6 x (2 x + 4)}{6 x + 16}$	=
$x + \frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 8} - \frac{12 x^{2} + 24 x}{6 x + 16}$	=
$- \frac{12 x^{2} + 24 x}{6 x + 16} + \frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 8} + x$	=

\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 8} - \frac{12 x^{2} + 24 x}{6 x + 16} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 8} - \frac{12 x^{2} + 24 x}{6 x + 16} + x$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{4 x^{2} + 8 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) - \frac{12 x^{2} + 24 x}{2 (3 x + 8)} \cdot (3 x + 8) + x \cdot (3 x + 8)$	=
$4 x^{2} + 8 x - 6 x^{2} - 12 x + x (3 x + 8)$	=
$4 x^{2} + 8 x - 6 x^{2} - 12 x + (3 x^{2} + 8 x)$	=
$x^{2} + 4 x$	=

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $10$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$+ 10$
		-( $5 x$	$+ 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x + 6 | - 2$ = $- 8$

Lösung einblenden

$\| - 3 x + 6 \| - 2$	=	$- 8$
$- 2 + \| - 3 x + 6 \|$	=	$- 8$	\| $+ 2$
$\| - 3 x + 6 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen