Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{49}{x^{2}}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{49}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{49}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 49$	=

$x^{2} - 49$	=	0	\| $+ 49$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 7$ : f( $- 7$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 7$ |0)

x₂ = $7$ : f( $7$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $7$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $28 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x - 1$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 3 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 3 x

=

28

|

- 28

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 6 e^{3 x}$ = $- 5$

Lösung einblenden

e^{6 x} - 6 e^{3 x}

=

- 5

|

+ 5

e^{6 x} - 6 e^{3 x} + 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 6} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{x - 1}{2 x + 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{x - 1}{2 x + 2} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{4 x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + \frac{x - 1}{2 x + 2} \cdot (3 x + 6) - 5 \cdot (3 x + 6)$	=
$4 x + \frac{(x - 1) (3 x + 6)}{2 x + 2} - 15 x - 30$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} + 3 x - 6}{2 x + 2} - 15 x - 30$	=
$\frac{3 x^{2} + 3 x - 6}{2 x + 2} + 4 x - 15 x - 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 6}{2 x + 2} + 4 x - 15 x - 30$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{3 x^{2} + 3 x - 6}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 4 x \cdot (2 x + 2) - 15 x \cdot (2 x + 2) - 30 \cdot (2 x + 2)$	=
$3 x^{2} + 3 x - 6 + 4 x (2 x + 2) - 15 x (2 x + 2) - 60 x - 60$	=
$3 x^{2} + 3 x - 6 + (8 x^{2} + 8 x) + (- 30 x^{2} - 30 x) - 60 x - 60$	=
$- 19 x^{2} - 79 x - 66$	=

$- 19 x^{2} - 79 x - 66$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{{(- 79)}^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 66)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{6 241 - 5 016}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{1 225}}{- 38}$

x₁ = $\frac{79 + \sqrt{1 225}}{- 38}$ = $\frac{79+35}{- 38}$ = $\frac{114}{- 38}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{79 - \sqrt{1 225}}{- 38}$ = $\frac{79-35}{- 38}$ = $\frac{44}{- 38}$ = $- \frac{22}{19}$ ≈ -1.16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{22}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 4 | + 8$ = $18$

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 4 \| + 8$	=	$18$
$8 + \| - 2 x + 4 \|$	=	$18$	\| $- 8$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$10$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

$- 2 x + 4$	=	$10$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 3) + 4$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0:

$- (- 2 x + 4)$	=	$10$
$2 x - 4$	=	$10$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 7 + 4$ = -10 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +4 ≥ 0:

2. Fall: -2x +4 < 0:

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0: