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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + \frac{8}{x}$ und $g(x) =$ $- 9 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} + \frac{8}{x}$	=	$- 9 x^{2}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{5} \cdot x + 8$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x^{3}$

x^{6} + 8

=

- 9 x^{3}

|

+ 9 x^{3}

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 9 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -36 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-36)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot {(- 1)}^{2}$ = -9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $20 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x + 1$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - x$

Also muss gelten:

x^{2} - x

=

20

|

- 20

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{4 x} + 6) \cdot (x - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{4 x} + 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{4 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- e^{4 x}$	=	$- 6$	\|: $- 1$
$e^{4 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (6)$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (6)$	≈ 0.4479

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={ $\frac{1}{4} \ln (6)$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{3 x + 2}{2 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{3 x + 2}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{3 x + 2}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{3 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{3 x + 2}{2 x} \cdot (2 x - 2) - 5 \cdot (2 x - 2)$	=
$3 x + \frac{(3 x + 2) (2 x - 2)}{2 x} - 10 x + 10$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 2 x - 4}{2 x} - 10 x + 10$	=
$\frac{6 x^{2} - 2 x - 4}{2 x} + 3 x - 10 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 4}{2 x} + 3 x - 10 x + 10$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{6 x^{2} - 2 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + 3 x \cdot 2 x - 10 x \cdot 2 x + 10 \cdot 2 x$	=
$6 x^{2} - 2 x - 4 + 6 x \cdot x - 20 x \cdot x + 20 x$	=
$6 x^{2} - 2 x - 4 + 6 x^{2} - 20 x^{2} + 20 x$	=
$- 8 x^{2} + 18 x - 4$	=

- 8 x^{2} + 18 x - 4

= 0 |:2

$- 4 x^{2} + 9 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 9+7}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 9-7}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} - 16 \cdot 1^{2} - 17 \cdot 1 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$+ 13 x$ )
		$- 30 x$	$+ 30$
		-( $- 30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 16 \cdot 6^{2} - 17 \cdot 6 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 5 x$	$+ 30$
		-( $- 5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x - 8 | + 5$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x - 8 \| + 5$	=	$3$
$5 + \frac{1}{2} \| 2 x - 8 \|$	=	$3$	\| $- 5$
$\frac{1}{2} \| 2 x - 8 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $2$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

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Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $6$