Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 5 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 6$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 5 e^{2 x}

=

- 6

|

+ 6

e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $- 6$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |-6)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $- 6$ Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |-6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 1 + 3 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $2 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 1 + 3 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $3 e^{x} + 2 + 3 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$3 e^{x} + 2 + 3 x \cdot e^{x}$	=	$2$	\| $- 2$
$3 e^{x} + 2 - 2 + 3 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 e^{x} + 3 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 (x + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{- 6 x} + 7) \cdot (x + 2)$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{- 6 x} + 7) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{- 6 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 9 e^{- 6 x}$	=	$- 7$	\|: $- 9$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{7}{9}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{7}{9})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{7}{9})$	≈ 0.0419

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{7}{9})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 10} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{x}{3 x + 10} - 2$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) - 2 \cdot (3 x + 10)$	=
$x - 6 x - 20$	=
$- 5 x - 20$	=

$- 5 x - 20$	=	0	\| $+ 20$
$- 5 x$	=	$20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $3$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} + 7 \cdot (- 1) + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 3$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$3 x$	$+ 3$
		-( $3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 3$ = $(x^{2} + 4 x + 3) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 4 x + 3) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 5 \cdot {(- 3)}^{2} + 7 \cdot (- 3) + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 3$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$x$	$+ 3$
		-( $x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 3$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x - 8 | + 6$ = $2$

Lösung einblenden

$\| - 4 x - 8 \| + 6$	=	$2$
$6 + \| - 4 x - 8 \|$	=	$2$	\| $- 6$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 3$