Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 4 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $5$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 4 e^{3 x}

=

5

|

- 5

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $5$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $36 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $36 x + 1$ gilt m = $36$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 5 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 5 x^{2}

=

36

|

- 36

x^{4} - 5 x^{2} - 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $36$ und sind somit parallel zur Geraden y = $36 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{- 5 x} - 2) \cdot (x^{3} - 3 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{- 5 x} - 2) (x^{3} - 3 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{- 5 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$3 e^{- 5 x}$	=	$2$	\|: $3$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 0.0811

2. Fall:

$x^{3} - 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={0; $- \frac{1}{5} \ln (\frac{2}{3})$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{16 x}{x - 3} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{16 x}{x - 3} + \frac{4 x}{3 x + 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{4 x}{3 x + 1} - 6$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (x - 3) - 6 \cdot (x - 3)$	=
$16 x + \frac{4 x (x - 3)}{3 x + 1} - 6 x + 18$	=
$16 x + \frac{4 x^{2} - 12 x}{3 x + 1} - 6 x + 18$	=
$\frac{4 x^{2} - 12 x}{3 x + 1} + 16 x - 6 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 12 x}{3 x + 1} + 16 x - 6 x + 18$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 12 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 16 x \cdot (3 x + 1) - 6 x \cdot (3 x + 1) + 18 \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} - 12 x + 16 x (3 x + 1) - 6 x (3 x + 1) + 54 x + 18$	=
$4 x^{2} - 12 x + (48 x^{2} + 16 x) + (- 18 x^{2} - 6 x) + 54 x + 18$	=
$34 x^{2} + 52 x + 18$	=

34 x^{2} + 52 x + 18

= 0 |:2

$17 x^{2} + 26 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 9}}{2 \cdot 17}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{676 - 612}}{34}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{64}}{34}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{64}}{34}$ = $\frac{- 26+8}{34}$ = $\frac{- 18}{34}$ = $- \frac{9}{17}$ ≈ -0.53

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{64}}{34}$ = $\frac{- 26-8}{34}$ = $\frac{- 34}{34}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{9}{17}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{3} - 34 x^{2} + 4 x + 120$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - x^{3} - 34 x^{2} + 4 x + 120$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $120$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3} - 34 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 120$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 34 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 120$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 34 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
		$- 28 x^{2}$	$+ 4 x$
		-( $- 28 x^{2}$	$- 56 x$ )
			$60 x$	$+ 120$
			-( $60 x$	$+ 120$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 34 x^{2} + 4 x + 120$ = $(x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 28 \cdot 2 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 30$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 28 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 30 x$	$+ 60$
		-( $- 30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60$ = $(x^{2} - x - 30) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} - 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 28 \cdot (- 5) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 40 x$ )
		$12 x$	$+ 60$
		-( $12 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 3 \cdot 6^{2} - 28 \cdot 6 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 10 x$	$+ 60$
		-( $- 10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 5$ ; $- 2$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x - 2 | + 6$ = $12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x - 2 \| + 6$	=	$12$
$6 + \frac{1}{2} \| 2 x - 2 \|$	=	$12$	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| 2 x - 2 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

$2 x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 7 - 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 2$ < 0:

$- (2 x - 2)$	=	$12$
$- 2 x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 5) - 2$ = -12 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -2 ≥ 0:

2. Fall: 2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 2$ < 0: