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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 9 x^{2}$ und $g(x) =$ $- \frac{8}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} - 9 x^{2}$	=	$- \frac{8}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x - 9 x^{2} \cdot x$	=	$- \frac{8}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x - 9 x^{2} \cdot x$	=	$- 8$
$x^{6} - 9 x^{3}$	=	$- 8$

x^{6} - 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} - 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{8}{1}$ = -8 Somit gilt: S₁( $1$ |-8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{8}{2}$ = -4 Somit gilt: S₂( $2$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - x^{3}$ parallel zur Geraden y = $54 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $54 x - 1$ gilt m = $54$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 3 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 3 x^{2}

=

54

|

- 54

x^{4} - 3 x^{2} - 54

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $54$ und sind somit parallel zur Geraden y = $54 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 3 e^{4 x}$ = $28 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 3 e^{4 x}$	=	$28 e^{2 x}$	\| $- 28 e^{2 x}$
$e^{6 x} + 3 e^{4 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{12 x}{3 x - 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 7 \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x + \frac{(7 x - 1) (3 x - 1)}{2 x} - 21 x + 7$	=
$12 x + \frac{21 x^{2} - 10 x + 1}{2 x} - 21 x + 7$	=
$\frac{21 x^{2} - 10 x + 1}{2 x} + 12 x - 21 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} - 10 x + 1}{2 x} + 12 x - 21 x + 7$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} - 10 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 12 x \cdot 2 x - 21 x \cdot 2 x + 7 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} - 10 x + 1 + 24 x \cdot x - 42 x \cdot x + 14 x$	=
$21 x^{2} - 10 x + 1 + 24 x^{2} - 42 x^{2} + 14 x$	=
$3 x^{2} + 4 x + 1$	=

$3 x^{2} + 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 4+2}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 4-2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 8 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 8 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 8 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 8 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 8 x - 8$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x - 1 | - 6$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x - 1 \| - 6$	=	$- 12$
$- 6 - \frac{1}{2} \| - x - 1 \|$	=	$- 12$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{2} \| - x - 1 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x - 1 \|$	=	$12$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$12$	\| $+ 1$
$- x$	=	$13$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 13) - 1$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$12$
$x + 1$	=	$12$	\| $- 1$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 11 - 1$ = -12 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: