Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 6$ und $g(x) =$ $- x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 6

=

- x

|

+ x

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- (- 3)$ = 3 Somit gilt: S₁( $- 3$ |3)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- 2$ = -2 Somit gilt: S₂( $2$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{2} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 2$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{2} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 2 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 2 x^{3}

=

- 1

|

+ 1

x^{6} + 2 x^{3} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{3 x} + 7) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{3 x} + 7) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{3 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 8 e^{3 x}$	=	$- 7$	\|: $- 8$
$e^{3 x}$	=	$\frac{7}{8}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{7}{8})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{7}{8})$	≈ -0.0445

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{3} \ln (\frac{7}{8})$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{8 x + 2}{- 4 x - 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{8 x + 2}{- 4 x - 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{8 x + 2}{- 4 x - 10}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} \cdot (x + 1) + \frac{8 x + 2}{- 4 x - 10} \cdot (x + 1)$	=
$2 x - 1 + \frac{(2 x + 2) (x + 1)}{2 x + 5} + \frac{(8 x + 2) (x + 1)}{- 4 x - 10}$	=
$2 x - 1 + \frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{2 x + 5} + \frac{8 x^{2} + 10 x + 2}{- 4 x - 10}$	=
$\frac{8 x^{2} + 10 x + 2}{- 4 x - 10} + \frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{2 x + 5} + 2 x - 1$	=

\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{2 x + 5} + \frac{8 x^{2} + 10 x + 2}{- 4 x - 10} + 2 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{2 x + 5} + \frac{8 x^{2} + 10 x + 2}{- 4 x - 10} + 2 x - 1$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{8 x^{2} + 10 x + 2}{- 2 (2 x + 5)} \cdot (2 x + 5) + 2 x \cdot (2 x + 5) - 1 \cdot (2 x + 5)$	=
$2 x^{2} + 4 x + 2 - 4 x^{2} - 5 x - 1 + 2 x (2 x + 5) - 2 x - 5$	=
$2 x^{2} + 4 x + 2 - 4 x^{2} - 5 x - 1 + (4 x^{2} + 10 x) - 2 x - 5$	=
$2 x^{2} + 7 x - 4$	=

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7+9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7-9}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 56$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $56$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 56$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 11 x + 28$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 6 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$28 x$	$+ 56$
		-( $28 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 56$ = $(x^{2} - 11 x + 28) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 11 x + 28) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 9 \cdot 4^{2} + 6 \cdot 4 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 6 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$- 14 x$	$+ 56$
		-( $- 14 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 56$ = $(x^{2} - 5 x - 14) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 5 x - 14) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 9 \cdot 7^{2} + 6 \cdot 7 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 6 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$- 8 x$	$+ 56$
		-( $- 8 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 56$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 2 x - 8) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 2$ ; $4$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x + 10 | - 4$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x + 10 \| - 4$	=	$8$
$- 4 + \frac{1}{2} \| 2 x + 10 \|$	=	$8$	\| $+ 4$
$\frac{1}{2} \| 2 x + 10 \|$	=	$12$	\|⋅ $2$
$\| 2 x + 10 \|$	=	$24$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

$2 x + 10$	=	$24$	\| $- 10$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 7 + 10$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 10$ < 0:

$- (2 x + 10)$	=	$24$
$- 2 x - 10$	=	$24$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$34$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 17) + 10$ = -24 < 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +10 ≥ 0:

2. Fall: 2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 10$ < 0: