Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 4 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $21 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 4 e^{4 x}$	=	$21 e^{x}$	\| $- 21 e^{x}$
$e^{7 x} - 4 e^{4 x} - 21 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $21 e^{\frac{1}{3} \ln (7)}$ = 40.172 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |40.172)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $42 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x - 5$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - x$

Also muss gelten:

x^{2} - x

=

42

|

- 42

$x^{2} - x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 42$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{6 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (3 x + 2) - 6 \cdot (3 x + 2)$	=
$6 x + \frac{(5 x + 1) (3 x + 2)}{2 x + 1} - 18 x - 12$	=
$6 x + \frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} - 18 x - 12$	=
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} + 6 x - 18 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} + 6 x - 18 x - 12$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{15 x^{2} + 13 x + 2}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 6 x \cdot (2 x + 1) - 18 x \cdot (2 x + 1) - 12 \cdot (2 x + 1)$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + 6 x (2 x + 1) - 18 x (2 x + 1) - 24 x - 12$	=
$15 x^{2} + 13 x + 2 + (12 x^{2} + 6 x) + (- 36 x^{2} - 18 x) - 24 x - 12$	=
$- 9 x^{2} - 23 x - 10$	=

$- 9 x^{2} - 23 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{169}}{- 18}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{169}}{- 18}$ = $\frac{23+13}{- 18}$ = $\frac{36}{- 18}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{169}}{- 18}$ = $\frac{23-13}{- 18}$ = $\frac{10}{- 18}$ = $- \frac{5}{9}$ ≈ -0.56

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{5}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 48$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 11 x + 24$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$24 x$	$- 48$
		-( $24 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48$ = $(x^{2} + 11 x + 24) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 11 x + 24) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11+5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11-5}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 9 \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 16 x$	$- 48$
		-( $- 16 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48$ = $(x^{2} + 6 x - 16) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 6 x - 16) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 9 \cdot {(- 8)}^{2} + 2 \cdot (- 8) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 6 x$	$- 48$
		-( $- 6 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + x - 6) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 3$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x + 12 | - 9$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x + 12 \| - 9$	=	$9$
$- 9 + \frac{1}{2} \| - 3 x + 12 \|$	=	$9$	\| $+ 9$
$\frac{1}{2} \| - 3 x + 12 \|$	=	$18$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x + 12 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x + 12$ ≥ 0:

$- 3 x + 12$	=	$36$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 8) + 12$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 12$ < 0:

$- (- 3 x + 12)$	=	$36$
$3 x - 12$	=	$36$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$48$	\|: $3$
x₂	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 12$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 16 + 12$ = -36 < 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $16$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +12 ≥ 0:

2. Fall: -3x +12 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- 3 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 12$ < 0: