Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 8$ und $g(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 8

=

- 2 e^{3 x}

|

+ 2 e^{3 x}

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 2 e^{3 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = -4 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 2$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $6 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$6 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$6 e^{- \frac{1}{3} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (- x + 3) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{2 x} - 3) \cdot (x + 3)$ = 0

Lösung einblenden

(6 e^{2 x} - 3) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{2 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$6 e^{2 x}$	=	$3$	\|: $6$
$e^{2 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.3466

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{12 x}{3 x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{12 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{2 x + 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{2 x + 2} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{12 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{12 x}{2 x + 2} \cdot (3 x + 1) - 6 \cdot (3 x + 1)$	=
$12 x + \frac{12 x (3 x + 1)}{2 x + 2} - 18 x - 6$	=
$12 x + \frac{36 x^{2} + 12 x}{2 x + 2} - 18 x - 6$	=
$\frac{36 x^{2} + 12 x}{2 x + 2} + 12 x - 18 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{36 x^{2} + 12 x}{2 x + 2} + 12 x - 18 x - 6$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{36 x^{2} + 12 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 12 x \cdot (2 x + 2) - 18 x \cdot (2 x + 2) - 6 \cdot (2 x + 2)$	=
$36 x^{2} + 12 x + 12 x (2 x + 2) - 18 x (2 x + 2) - 12 x - 12$	=
$36 x^{2} + 12 x + (24 x^{2} + 24 x) + (- 36 x^{2} - 36 x) - 12 x - 12$	=
$24 x^{2} - 12 x - 12$	=

24 x^{2} - 12 x - 12

= 0 |:12

$2 x^{2} - x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1+3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1-3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 18$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$- 18$
		-( $9 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 6 | + 5$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \| 2 x - 6 \| + 5$	=	$- 7$
$5 - \| 2 x - 6 \|$	=	$- 7$	\| $- 5$
$- \| 2 x - 6 \|$	=	$- 12$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 6 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

$2 x - 6$	=	$12$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 9 - 6$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 6$ < 0:

$- (2 x - 6)$	=	$12$
$- 2 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 3) - 6$ = -12 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -6 ≥ 0:

2. Fall: 2x -6 < 0:

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 6$ < 0: