Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 13 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 36$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 13 x^{2}

=

- 36

|

+ 36

x^{4} - 13 x^{2} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- 36$ Somit gilt: S₁( $- 3$ |-36)

x₂ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 36$ Somit gilt: S₂( $- 2$ |-36)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- 36$ Somit gilt: S₃( $2$ |-36)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $- 36$ Somit gilt: S₄( $3$ |-36)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 9 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 9 x - 4$ gilt m = $- 9$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 6 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 6 x

=

- 9

|

+ 9

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 9$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 9 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{- 7 x} + 7) \cdot (x^{2} + 2 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{- 7 x} + 7) (x^{2} + 2 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{- 7 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 7 e^{- 7 x}$	=	$- 7$	\|: $- 7$
$e^{- 7 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	0	\|: $- 7$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{3 x - 10} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $\frac{8}{3}$ }

\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{2 x}{3 x - 8} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{2 x}{3 x - 8} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 10) - 6 \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x + \frac{2 x (3 x - 10)}{3 x - 8} - 18 x + 60$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 20 x}{3 x - 8} - 18 x + 60$	=
$\frac{6 x^{2} - 20 x}{3 x - 8} + 2 x - 18 x + 60$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 20 x}{3 x - 8} + 2 x - 18 x + 60$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{6 x^{2} - 20 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + 2 x \cdot (3 x - 8) - 18 x \cdot (3 x - 8) + 60 \cdot (3 x - 8)$	=
$6 x^{2} - 20 x + 2 x (3 x - 8) - 18 x (3 x - 8) + 180 x - 480$	=
$6 x^{2} - 20 x + (6 x^{2} - 16 x) + (- 54 x^{2} + 144 x) + 180 x - 480$	=
$- 42 x^{2} + 288 x - 480$	=

- 42 x^{2} + 288 x - 480

= 0 |:6

$- 7 x^{2} + 48 x - 80$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{48^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 80)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{2 304 - 2 240}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{64}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 48 + \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 48+8}{- 14}$ = $\frac{- 40}{- 14}$ = $\frac{20}{7}$ ≈ 2.86

x₂ = $\frac{- 48 - \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 48-8}{- 14}$ = $\frac{- 56}{- 14}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{20}{7}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 2 x$	$- 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 2$
		-( $2 x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x + 15 | - 4$ = $5$

Lösung einblenden

$\| 3 x + 15 \| - 4$	=	$5$
$- 4 + \| 3 x + 15 \|$	=	$5$	\| $+ 4$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$9$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot (- 2) + 15$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$9$
$- 3 x - 15$	=	$9$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 8) + 15$ = -9 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: