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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 10 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $3$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 10 e^{- 2 x}

=

3

|

- 3

e^{2 x} - 10 e^{- 2 x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 10 e^{- 2 x} - 3$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 10$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $3$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 2 + 4 x^{2} \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 2 + 4 x^{2} \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $2 + 8 x^{2} \cdot e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$2 + 8 x^{2} \cdot e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + 8 x^{2} \cdot e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$8 x^{2} \cdot e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$8 (x^{2} + x) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{x} + 7) \cdot (x + 7)$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{x} + 7) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- e^{x}$	=	$- 7$	\|: $- 1$
$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{4 x - 1}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

- \frac{4 x - 1}{x} + \frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{16 x}{2 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$- \frac{4 x - 1}{x} + \frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{16 x}{2 x - 2}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$- \frac{4 x - 1}{x} \cdot 3 x + \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{16 x}{2 x - 2} \cdot 3 x$	=
$- 12 x + 3 + 2 x - 1 + 3 \frac{16 x \cdot x}{2 x - 2}$	=
$- 12 x + 3 + 2 x - 1 + 3 \frac{16 x^{2}}{2 x - 2}$	=
$3 \frac{16 x^{2}}{2 x - 2} - 12 x + 2 x + 3 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$3 \frac{16 x^{2}}{2 x - 2} - 12 x + 2 x + 3 - 1$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$3 \frac{16 x^{2}}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) - 12 x \cdot (2 x - 2) + 2 x \cdot (2 x - 2) + 3 \cdot (2 x - 2) - 1 \cdot (2 x - 2)$	=
$48 x^{2} - 12 x (2 x - 2) + 2 x (2 x - 2) + 6 x - 6 - 2 x + 2$	=
$48 x^{2} + (- 24 x^{2} + 24 x) + (4 x^{2} - 4 x) + 6 x - 6 - 2 x + 2$	=
$28 x^{2} + 24 x - 4$	=

28 x^{2} + 24 x - 4

= 0 |:4

$7 x^{2} + 6 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{14}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{14}$ = $\frac{- 6+8}{14}$ = $\frac{2}{14}$ = $\frac{1}{7}$ ≈ 0.14

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{14}$ = $\frac{- 6-8}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 32 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 32 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 7 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 5 \cdot 9^{2} - 32 \cdot 9 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 32 x$	$- 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$4 x$	$- 36$
		-( $4 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

L={ $- 2$ ; $9$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x - 3 | - 1$ = $3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x - 3 \| - 1$	=	$3$
$- 1 - \frac{1}{2} \| - x - 3 \|$	=	$3$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{2} \| - x - 3 \|$	=	$4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x - 3 \|$	=	$- 8$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

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Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $9$