Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 28$ und $g(x) =$ $3 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 28

=

3 e^{x}

|

- 3 e^{x}

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $3 e^{\ln (7)}$ = 21 Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |21)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 7 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 7 x - 5$ gilt m = $- 7$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 8 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 8 x

=

- 7

|

+ 7

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 7$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 7 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(5 e^{7 x} - 6) \cdot (x^{3} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(5 e^{7 x} - 6) (x^{3} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{7 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$5 e^{7 x}$	=	$6$	\|: $5$
$e^{7 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{6}{5})$	≈ 0.026

2. Fall:

$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $\frac{1}{7} \ln (\frac{6}{5})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 4}{x} + \frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{13 x - 4}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{8}{3}$ }

- \frac{13 x - 4}{2 x} + \frac{2 x - 4}{x} + \frac{4 x}{3 x + 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{13 x - 4}{2 x} + \frac{2 x - 4}{x} + \frac{4 x}{3 x + 8}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{13 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + \frac{2 x - 4}{x} \cdot 2 x + \frac{4 x}{3 x + 8} \cdot 2 x$	=
$- 13 x + 4 + 4 x - 8 + 2 \frac{4 x \cdot x}{3 x + 8}$	=
$- 13 x + 4 + 4 x - 8 + 2 \frac{4 x^{2}}{3 x + 8}$	=
$2 \frac{4 x^{2}}{3 x + 8} - 13 x + 4 x + 4 - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$2 \frac{4 x^{2}}{3 x + 8} - 13 x + 4 x + 4 - 8$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$2 \frac{4 x^{2}}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) - 13 x \cdot (3 x + 8) + 4 x \cdot (3 x + 8) + 4 \cdot (3 x + 8) - 8 \cdot (3 x + 8)$	=
$8 x^{2} - 13 x (3 x + 8) + 4 x (3 x + 8) + 12 x + 32 - 24 x - 64$	=
$8 x^{2} + (- 39 x^{2} - 104 x) + (12 x^{2} + 32 x) + 12 x + 32 - 24 x - 64$	=
$- 19 x^{2} - 84 x - 32$	=

$- 19 x^{2} - 84 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 84 \pm \sqrt{{(- 84)}^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{+ 84 \pm \sqrt{7 056 - 2 432}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{+ 84 \pm \sqrt{4 624}}{- 38}$

x₁ = $\frac{84 + \sqrt{4 624}}{- 38}$ = $\frac{84+68}{- 38}$ = $\frac{152}{- 38}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{84 - \sqrt{4 624}}{- 38}$ = $\frac{84-68}{- 38}$ = $\frac{16}{- 38}$ = $- \frac{8}{19}$ ≈ -0.42

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{8}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 15 x^{3} + 63 x^{2} - 85 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 15 x^{3} + 63 x^{2} - 85 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 15 \cdot 1^{3} + 63 \cdot 1^{2} - 85 \cdot 1 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 15 x^{3}$	$+ 63 x^{2}$	$- 85 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 14 x^{3}$	$+ 63 x^{2}$
	-( $- 14 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$ )
		$49 x^{2}$	$- 85 x$
		-( $49 x^{2}$	$- 49 x$ )
			$- 36 x$	$+ 36$
			-( $- 36 x$	$+ 36$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 15 x^{3} + 63 x^{2} - 85 x + 36$ = $(x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 14 \cdot 1^{2} + 49 \cdot 1 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 49 x$	$- 36$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 13 x + 36$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$+ 49 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$+ 13 x$ )
		$36 x$	$- 36$
		-( $36 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36$ = $(x^{2} - 13 x + 36) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 13 x + 36) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 14 \cdot 4^{2} + 49 \cdot 4 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 49 x$	$- 36$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 49 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 40 x$ )
		$9 x$	$- 36$
		-( $9 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 14 \cdot 9^{2} + 49 \cdot 9 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 49 x$	$- 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 49 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 45 x$ )
		$4 x$	$- 36$
		-( $4 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{4} - 15 \cdot 4^{3} + 63 \cdot 4^{2} - 85 \cdot 4 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 15 x^{3}$	$+ 63 x^{2}$	$- 85 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$
-( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$ )
	$- 11 x^{3}$	$+ 63 x^{2}$
	-( $- 11 x^{3}$	$+ 44 x^{2}$ )
		$19 x^{2}$	$- 85 x$
		-( $19 x^{2}$	$- 76 x$ )
			$- 9 x$	$+ 36$
			-( $- 9 x$	$+ 36$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 15 x^{3} + 63 x^{2} - 85 x + 36$ = $(x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9) \cdot (x - 4)$

(x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 19 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 11 \cdot 9^{2} + 19 \cdot 9 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$- 9$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$x$	$- 9$
		-( $x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{4} - 15 \cdot 9^{3} + 63 \cdot 9^{2} - 85 \cdot 9 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 15 x^{3}$	$+ 63 x^{2}$	$- 85 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$
-( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$ )
	$- 6 x^{3}$	$+ 63 x^{2}$
	-( $- 6 x^{3}$	$+ 54 x^{2}$ )
		$9 x^{2}$	$- 85 x$
		-( $9 x^{2}$	$- 81 x$ )
			$- 4 x$	$+ 36$
			-( $- 4 x$	$+ 36$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 15 x^{3} + 63 x^{2} - 85 x + 36$ = $(x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4) \cdot (x - 9)$

(x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 9 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 6 \cdot 4^{2} + 9 \cdot 4 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 4$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 9 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$x$	$- 4$
		-( $x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $1$ ; $4$ ; $9$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x + 20 | - 2$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \| 4 x + 20 \| - 2$	=	$- 14$
$- 2 - \| 4 x + 20 \|$	=	$- 14$	\| $+ 2$
$- \| 4 x + 20 \|$	=	$- 12$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x + 20 \|$	=	$12$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

$4 x + 20$	=	$12$	\| $- 20$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot (- 2) + 20$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 20$ < 0:

$- (4 x + 20)$	=	$12$
$- 4 x - 20$	=	$12$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 8) + 20$ = -12 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +20 ≥ 0:

2. Fall: 4x +20 < 0:

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 20$ < 0: