Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 10$ und $g(x) =$ $- \frac{9}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} - 10$	=	$- \frac{9}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} - 10 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} - 10 x^{2}$	=	$- 9$
$x^{4} - 10 x^{2}$	=	$- 9$

x^{4} - 10 x^{2}

=

- 9

|

+ 9

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- \frac{9}{{(- 3)}^{2}}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-1)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- \frac{9}{{(- 1)}^{2}}$ = -9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-9)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{9}{1^{2}}$ = -9 Somit gilt: S₃( $1$ |-9)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $- \frac{9}{3^{2}}$ = -1 Somit gilt: S₄( $3$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $5 + 9 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $5 + 9 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 18 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 18 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$3 (x^{2} + 6 x) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 6$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 18 x^{2} + 81$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 18 x^{2} + 81

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 18 u + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{18}{2}$ = $9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung! $3$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{x}{3 x - 8} + \frac{15 x}{- 9 x + 24}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $\frac{5}{2}$ }

\frac{x}{3 x - 8} + \frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{15 x}{- 9 x + 24}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{x}{3 x - 8} + \frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{15 x}{- 9 x + 24}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{3 x}{2 x - 5} \cdot (3 x - 8) + \frac{15 x}{- 9 x + 24} \cdot (3 x - 8)$	=
$x + \frac{3 x (3 x - 8)}{2 x - 5} + \frac{15 x (3 x - 8)}{- 9 x + 24}$	=
$x + \frac{9 x^{2} - 24 x}{2 x - 5} + \frac{45 x^{2} - 120 x}{- 9 x + 24}$	=
$\frac{45 x^{2} - 120 x}{- 9 x + 24} + \frac{9 x^{2} - 24 x}{2 x - 5} + x$	=

\frac{9 x^{2} - 24 x}{2 x - 5} + \frac{45 x^{2} - 120 x}{- 9 x + 24} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 24 x}{2 x - 5} + \frac{45 x^{2} - 120 x}{- 9 x + 24} + x$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{9 x^{2} - 24 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{45 x^{2} - 120 x}{- 9 x + 24} \cdot (2 x - 5) + x \cdot (2 x - 5)$	=
$9 x^{2} - 24 x + \frac{(45 x^{2} - 120 x) (2 x - 5)}{- 9 x + 24} + x (2 x - 5)$	=
$9 x^{2} - 24 x + \frac{90 x^{3} - 465 x^{2} + 600 x}{- 9 x + 24} + (2 x^{2} - 5 x)$	=
$\frac{90 x^{3} - 465 x^{2} + 600 x}{- 9 x + 24} + 9 x^{2} + 2 x^{2} - 24 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x + 24$ weg!

$\frac{90 x^{3} - 465 x^{2} + 600 x}{- 9 x + 24} + 9 x^{2} + 2 x^{2} - 24 x - 5 x$	=	\|⋅( $- 9 x + 24$ )
$\frac{90 x^{3} - 465 x^{2} + 600 x}{- 9 x + 24} \cdot (- 9 x + 24) + 9 x^{2} \cdot (- 9 x + 24) + 2 x^{2} \cdot (- 9 x + 24) - 24 x \cdot (- 9 x + 24) - 5 x \cdot (- 9 x + 24)$	=
$90 x^{3} - 465 x^{2} + 600 x + 9 x^{2} (- 9 x + 24) + 2 x^{2} (- 9 x + 24) - 24 x (- 9 x + 24) - 5 x (- 9 x + 24)$	=
$90 x^{3} - 465 x^{2} + 600 x + (- 81 x^{3} + 216 x^{2}) + (- 18 x^{3} + 48 x^{2}) + (216 x^{2} - 576 x) + (45 x^{2} - 120 x)$	=
$- 9 x^{3} + 60 x^{2} - 96 x$	=

$- 9 x^{3} + 60 x^{2} - 96 x$	=	0
$3 x (- 3 x^{2} + 20 x - 32)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x^{2} + 20 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_2,3 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 384}}{- 6}$

x_2,3 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₂ = $\frac{- 20 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 20+4}{- 6}$ = $\frac{- 16}{- 6}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

x₃ = $\frac{- 20 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 20-4}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 6 x^{3} - 51 x^{2} + 244 x - 252$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 6 x^{3} - 51 x^{2} + 244 x - 252$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 252$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 6 \cdot 2^{3} - 51 \cdot 2^{2} + 244 \cdot 2 - 252$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$- 51 x^{2}$	$+ 244 x$	$- 252$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 59 x + 126$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$- 51 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
		$- 59 x^{2}$	$+ 244 x$
		-( $- 59 x^{2}$	$+ 118 x$ )
			$126 x$	$- 252$
			-( $126 x$	$- 252$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} - 51 x^{2} + 244 x - 252$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 59 x + 126) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 59 x + 126) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 59 x + 126$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $126$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 59 \cdot 2 + 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 59 x$	$+ 126$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 63$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 59 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 63 x$	$+ 126$
		-( $- 63 x$	$+ 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 59 x + 126$ = $(x^{2} - 2 x - 63) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 63) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} - 4 \cdot {(- 7)}^{2} - 59 \cdot (- 7) + 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 59 x$	$+ 126$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$- 59 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 77 x$ )
		$18 x$	$+ 126$
		-( $18 x$	$+ 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 59 x + 126$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 4 \cdot 9^{2} - 59 \cdot 9 + 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 59 x$	$+ 126$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 59 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 45 x$ )
		$- 14 x$	$+ 126$
		-( $- 14 x$	$+ 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 59 x + 126$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{4} - 6 \cdot {(- 7)}^{3} - 51 \cdot {(- 7)}^{2} + 244 \cdot (- 7) - 252$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$- 51 x^{2}$	$+ 244 x$	$- 252$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36$
-( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$ )
	$- 13 x^{3}$	$- 51 x^{2}$
	-( $- 13 x^{3}$	$- 91 x^{2}$ )
		$40 x^{2}$	$+ 244 x$
		-( $40 x^{2}$	$+ 280 x$ )
			$- 36 x$	$- 252$
			-( $- 36 x$	$- 252$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} - 51 x^{2} + 244 x - 252$ = $(x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36) \cdot (x + 7)$

(x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 13 \cdot 2^{2} + 40 \cdot 2 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 40 x$	$- 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 40 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$18 x$	$- 36$
		-( $18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 13 \cdot 9^{2} + 40 \cdot 9 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 40 x$	$- 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 40 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$4 x$	$- 36$
		-( $4 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{4} - 6 \cdot 9^{3} - 51 \cdot 9^{2} + 244 \cdot 9 - 252$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$- 51 x^{2}$	$+ 244 x$	$- 252$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28$
-( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$ )
	$3 x^{3}$	$- 51 x^{2}$
	-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
		$- 24 x^{2}$	$+ 244 x$
		-( $- 24 x^{2}$	$+ 216 x$ )
			$28 x$	$- 252$
			-( $28 x$	$- 252$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} - 51 x^{2} + 244 x - 252$ = $(x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28) \cdot (x - 9)$

(x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 2 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 14 x$	$+ 28$
		-( $- 14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 3 \cdot {(- 7)}^{2} - 24 \cdot (- 7) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$4 x$	$+ 28$
		-( $4 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 7$ ; $2$ ; $9$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 5 | + 4$ = $7$

Lösung einblenden

$- \| - x - 5 \| + 4$	=	$7$
$4 - \| - x - 5 \|$	=	$7$	\| $- 4$
$- \| - x - 5 \|$	=	$3$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 5 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $- 7$