Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 2 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $24 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 2 e^{5 x}$	=	$24 e^{2 x}$	\| $- 24 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 2 e^{5 x} - 24 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $24 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = 79.246 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |79.246)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 2 + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 3$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 2 + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} + 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} + 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 e^{3 x} + 2 - 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 7 e^{3 x}$ = $- 6 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 7 e^{3 x}$	=	$- 6 e^{x}$	\| $+ 6 e^{x}$
$e^{5 x} - 7 e^{3 x} + 6 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 10} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{- 13 x - 4}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{- 13 x - 4}{2 x} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{x}{3 x + 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 13 x - 4}{2 x} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{x}{3 x + 10}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 13 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + \frac{3 x - 4}{x} \cdot 2 x + \frac{x}{3 x + 10} \cdot 2 x$	=
$- 13 x - 4 + 6 x - 8 + 2 \frac{x \cdot x}{3 x + 10}$	=
$- 13 x - 4 + 6 x - 8 + 2 \frac{x^{2}}{3 x + 10}$	=
$2 \frac{x^{2}}{3 x + 10} - 13 x + 6 x - 4 - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$2 \frac{x^{2}}{3 x + 10} - 13 x + 6 x - 4 - 8$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$2 \frac{x^{2}}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) - 13 x \cdot (3 x + 10) + 6 x \cdot (3 x + 10) - 4 \cdot (3 x + 10) - 8 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x^{2} - 13 x (3 x + 10) + 6 x (3 x + 10) - 12 x - 40 - 24 x - 80$	=
$2 x^{2} + (- 39 x^{2} - 130 x) + (18 x^{2} + 60 x) - 12 x - 40 - 24 x - 80$	=
$- 19 x^{2} - 106 x - 120$	=

$- 19 x^{2} - 106 x - 120$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 106 \pm \sqrt{{(- 106)}^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 120)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{+ 106 \pm \sqrt{11 236 - 9 120}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{+ 106 \pm \sqrt{2 116}}{- 38}$

x₁ = $\frac{106 + \sqrt{2 116}}{- 38}$ = $\frac{106+46}{- 38}$ = $\frac{152}{- 38}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{106 - \sqrt{2 116}}{- 38}$ = $\frac{106-46}{- 38}$ = $\frac{60}{- 38}$ = $- \frac{30}{19}$ ≈ -1.58

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{30}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 12 \cdot {(- 1)}^{2} + 35 \cdot (- 1) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 35 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 11 x + 24$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 35 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
		$24 x$	$+ 24$
		-( $24 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 24$ = $(x^{2} + 11 x + 24) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 11 x + 24) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11+5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11-5}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 12 \cdot {(- 3)}^{2} + 35 \cdot (- 3) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 35 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 35 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 27 x$ )
		$8 x$	$+ 24$
		-( $8 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 24$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 9 x + 8) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 12 \cdot {(- 8)}^{2} + 35 \cdot (- 8) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 35 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 35 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$3 x$	$+ 24$
		-( $3 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 24$ = $(x^{2} + 4 x + 3) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 4 x + 3) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 3$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | x + 3 | + 9$ = $5$

Lösung einblenden

$- \| x + 3 \| + 9$	=	$5$
$9 - \| x + 3 \|$	=	$5$	\| $- 9$
$- \| x + 3 \|$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$\| x + 3 \|$	=	$4$

1. Fall: $x + 3$ ≥ 0:

$x + 3$	=	$4$	\| $- 3$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 3$ ≥ 0) genügt:

$1 + 3$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 3$ < 0:

$- (x + 3)$	=	$4$
$- x - 3$	=	$4$	\| $+ 3$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 3$ < 0) genügt:

$- 7 + 3$ = -4 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: x +3 ≥ 0:

2. Fall: x +3 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 3$ < 0: