Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + 2 e^{x}$ und $g(x) =$ $3 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + 2 e^{x}$	=	$3 e^{3 x}$	\| $- 3 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 3 e^{3 x} + 2 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} + 2) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $3 e^{3 \cdot 0}$ = 3 Somit gilt: S₁(0|3)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $3 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (2))}$ = 8.485 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |8.485)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 6 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6 x - 6$ gilt m = $- 6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 7 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 7 e^{x}

=

- 6

|

+ 6

e^{2 x} - 7 e^{x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 12 x^{2} + 36 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{3} - 12 x^{2} + 36 x$	=	0
$x (x^{2} - 12 x + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={0; $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{x} + \frac{3 x}{2 x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{3 x}{2 x + 2} + \frac{x - 2}{x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 2} + \frac{x - 2}{x} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{3 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{x - 2}{x} \cdot (2 x + 2) - 5 \cdot (2 x + 2)$	=
$3 x + \frac{(x - 2) (2 x + 2)}{x} - 10 x - 10$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{x} - 10 x - 10$	=
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{x} + 3 x - 10 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{x} + 3 x - 10 x - 10$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 10 x \cdot x - 10 \cdot x$	=
$2 x^{2} - 2 x - 4 + 3 x \cdot x - 10 x \cdot x - 10 x$	=
$2 x^{2} - 2 x - 4 + 3 x^{2} - 10 x^{2} - 10 x$	=
$- 5 x^{2} - 12 x - 4$	=

$- 5 x^{2} - 12 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{12+8}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{12-8}{- 10}$ = $\frac{4}{- 10}$ = $- 0,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 4 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 3 x + 9 | - 6$ = $- 3$

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$- \frac{1}{3} \| - 3 x + 9 \| - 6$	=	$- 3$
$- 6 - \frac{1}{3} \| - 3 x + 9 \|$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{3} \| - 3 x + 9 \|$	=	$3$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 3 x + 9 \|$	=	$- 9$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen