Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} + 6 e^{x}$ und $g(x) =$ $7 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} + 6 e^{x}$	=	$7 e^{4 x}$	\| $- 7 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 7 e^{4 x} + 6 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $7 e^{4 \cdot 0}$ = 7 Somit gilt: S₁(0|7)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $7 e^{4 \cdot (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = 76.319 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |76.319)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 1 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 1 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $6 e^{- \frac{1}{2} x} - 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{- \frac{1}{2} x} - 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$6 e^{- \frac{1}{2} x} - 1 + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$6 e^{- \frac{1}{2} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (- x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 7 x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} + 7 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{12 x}{- 6 x + 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $3$ }

\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{12 x}{- 6 x + 18}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{12 x}{- 6 x + 18}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{4 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{3 x}{3 x - 9} \cdot (3 x - 8) + \frac{12 x}{- 6 x + 18} \cdot (3 x - 8)$	=
$4 x + \frac{3 x (3 x - 8)}{3 x - 9} + \frac{12 x (3 x - 8)}{- 6 x + 18}$	=
$4 x + \frac{9 x^{2} - 24 x}{3 x - 9} + \frac{36 x^{2} - 96 x}{- 6 x + 18}$	=
$\frac{36 x^{2} - 96 x}{- 6 x + 18} + \frac{9 x^{2} - 24 x}{3 x - 9} + 4 x$	=

\frac{9 x^{2} - 24 x}{3 x - 9} + \frac{36 x^{2} - 96 x}{- 6 x + 18} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 24 x}{3 x - 9} + \frac{36 x^{2} - 96 x}{- 6 x + 18} + 4 x$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{9 x^{2} - 24 x}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) + \frac{36 x^{2} - 96 x}{- 6 x + 18} \cdot (3 x - 9) + 4 x \cdot (3 x - 9)$	=
$9 x^{2} - 24 x + \frac{(36 x^{2} - 96 x) (3 x - 9)}{- 6 x + 18} + 4 x (3 x - 9)$	=
$9 x^{2} - 24 x + \frac{108 x^{3} - 612 x^{2} + 864 x}{- 6 x + 18} + (12 x^{2} - 36 x)$	=
$\frac{108 x^{3} - 612 x^{2} + 864 x}{- 6 x + 18} + 9 x^{2} + 12 x^{2} - 24 x - 36 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 18$ weg!

$\frac{108 x^{3} - 612 x^{2} + 864 x}{- 6 x + 18} + 9 x^{2} + 12 x^{2} - 24 x - 36 x$	=	\|⋅( $- 6 x + 18$ )
$\frac{108 x^{3} - 612 x^{2} + 864 x}{- 6 x + 18} \cdot (- 6 x + 18) + 9 x^{2} \cdot (- 6 x + 18) + 12 x^{2} \cdot (- 6 x + 18) - 24 x \cdot (- 6 x + 18) - 36 x \cdot (- 6 x + 18)$	=
$108 x^{3} - 612 x^{2} + 864 x + 9 x^{2} (- 6 x + 18) + 12 x^{2} (- 6 x + 18) - 24 x (- 6 x + 18) - 36 x (- 6 x + 18)$	=
$108 x^{3} - 612 x^{2} + 864 x + (- 54 x^{3} + 162 x^{2}) + (- 72 x^{3} + 216 x^{2}) + (144 x^{2} - 432 x) + (216 x^{2} - 648 x)$	=
$- 18 x^{3} + 126 x^{2} - 216 x$	=

$- 18 x^{3} + 126 x^{2} - 216 x$	=	0
$18 x (- x^{2} + 7 x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $15 x^{2}$	$- 15 x$ )
		$18 x$	$- 18$
		-( $18 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 13 \cdot {(- 6)}^{2} + 3 \cdot (- 6) - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 18$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 3 x$	$- 18$
		-( $- 3 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + x - 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x - 2 | + 3$ = $5$

Lösung einblenden

$\| x - 2 \| + 3$	=	$5$
$3 + \| x - 2 \|$	=	$5$	\| $- 3$
$\| x - 2 \|$	=	$2$

1. Fall: $x - 2$ ≥ 0:

$x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 2$ ≥ 0) genügt:

$4 - 2$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 2$ < 0:

$- (x - 2)$	=	$2$
$- x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 2$ < 0) genügt:

$0 - 2$ = -2 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: x -2 ≥ 0:

2. Fall: x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 2$ < 0: