Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 8 x$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 8 x$	=	0
$x (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 2$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 3$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 5 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 5 x

=

6

|

- 6

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 6 x} - 5) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 6 x} - 5) (x^{5} - 16 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 6 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$9 e^{- 6 x}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 0.098

2. Fall:

$x^{5} - 16 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{5}{9})$ ; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{- 18 x}{9 x - 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{3 x}{2 x - 1} - \frac{18 x}{9 x - 9}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{3 x}{2 x - 1} - \frac{18 x}{9 x - 9}$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{3 x}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + \frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (3 x - 3) - \frac{18 x}{9 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=
$3 x + \frac{3 x (3 x - 3)}{2 x - 1} - 6 x$	=
$3 x + \frac{9 x^{2} - 9 x}{2 x - 1} - 6 x$	=
$\frac{9 x^{2} - 9 x}{2 x - 1} + 3 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 9 x}{2 x - 1} + 3 x - 6 x$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x^{2} - 9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 3 x \cdot (2 x - 1) - 6 x \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} - 9 x + 3 x (2 x - 1) - 6 x (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} - 9 x + (6 x^{2} - 3 x) + (- 12 x^{2} + 6 x)$	=
$3 x^{2} - 6 x$	=

$3 x^{2} - 6 x$	=	0
$3 x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 5 x^{3} - 47 x^{2} + 105 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 5 x^{3} - 47 x^{2} + 105 x - 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 54$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 5 \cdot 1^{3} - 47 \cdot 1^{2} + 105 \cdot 1 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$	$- 47 x^{2}$	$+ 105 x$	$- 54$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 51 x + 54$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$- 47 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 51 x^{2}$	$+ 105 x$
		-( $- 51 x^{2}$	$+ 51 x$ )
			$54 x$	$- 54$
			-( $54 x$	$- 54$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 5 x^{3} - 47 x^{2} + 105 x - 54$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 51 x + 54) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 51 x + 54) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 51 x + 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $54$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 51 \cdot 1 + 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 51 x$	$+ 54$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 3 x - 54$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 51 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 54 x$	$+ 54$
		-( $- 54 x$	$+ 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 51 x + 54$ = $(x^{2} - 3 x - 54) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 3 x - 54) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - 4 \cdot {(- 6)}^{2} - 51 \cdot (- 6) + 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 51 x$	$+ 54$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 51 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 60 x$ )
		$9 x$	$+ 54$
		-( $9 x$	$+ 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 51 x + 54$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 4 \cdot 9^{2} - 51 \cdot 9 + 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 51 x$	$+ 54$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 51 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 45 x$ )
		$- 6 x$	$+ 54$
		-( $- 6 x$	$+ 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 51 x + 54$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{4} - 5 \cdot {(- 6)}^{3} - 47 \cdot {(- 6)}^{2} + 105 \cdot (- 6) - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$	$- 47 x^{2}$	$+ 105 x$	$- 54$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$
-( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$ )
	$- 11 x^{3}$	$- 47 x^{2}$
	-( $- 11 x^{3}$	$- 66 x^{2}$ )
		$19 x^{2}$	$+ 105 x$
		-( $19 x^{2}$	$+ 114 x$ )
			$- 9 x$	$- 54$
			-( $- 9 x$	$- 54$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 5 x^{3} - 47 x^{2} + 105 x - 54$ = $(x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9) \cdot (x + 6)$

(x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 19 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 11 \cdot 9^{2} + 19 \cdot 9 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$- 9$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$x$	$- 9$
		-( $x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{4} - 5 \cdot 9^{3} - 47 \cdot 9^{2} + 105 \cdot 9 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$	$- 47 x^{2}$	$+ 105 x$	$- 54$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6$
-( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$- 47 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$- 36 x^{2}$ )
		$- 11 x^{2}$	$+ 105 x$
		-( $- 11 x^{2}$	$+ 99 x$ )
			$6 x$	$- 54$
			-( $6 x$	$- 54$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 5 x^{3} - 47 x^{2} + 105 x - 54$ = $(x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6) \cdot (x - 9)$

(x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 6 x$	$+ 6$
		-( $- 6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 4 \cdot {(- 6)}^{2} - 11 \cdot (- 6) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$x$	$+ 6$
		-( $x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 6$ ; $1$ ; $9$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x + 12 | + 1$ = $25$

Lösung einblenden

$- \| - 4 x + 12 \| + 1$	=	$25$
$1 - \| - 4 x + 12 \|$	=	$25$	\| $- 1$
$- \| - 4 x + 12 \|$	=	$24$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x + 12 \|$	=	$- 24$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $- 6$