Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 2 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $15 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 2 e^{3 x}$	=	$15 e^{x}$	\| $- 15 e^{x}$
$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $15 e^{\frac{1}{2} \ln (5)}$ = 33.541 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |33.541)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $20 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x + 3$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + x^{2}

=

20

|

- 20

x^{4} + x^{2} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- 5 x} - 5) \cdot (x^{3} + 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- 5 x} - 5) (x^{3} + 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- 5 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$e^{- 5 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (5)$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (5)$	≈ -0.3219

2. Fall:

$x^{3} + 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{1}{5} \ln (5)$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4}{x} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

- 1 - \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 4 | - 3$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x + 4 \| - 3$	=	$- 7$
$- 3 - \frac{1}{2} \| - x + 4 \|$	=	$- 7$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| - x + 4 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $- x + 4$ ≥ 0:

$- x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- (- 4) + 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 4$ < 0:

$- (- x + 4)$	=	$8$
$x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
x₂	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 4$ < 0) genügt:

$- 12 + 4$ = -8 < 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +4 ≥ 0:

2. Fall: -x +4 < 0:

1. Fall: $- x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 4$ < 0: