Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 18 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $3 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 18 e^{- 2 x} + 1

=

3 e^{- x}

|

- 3 e^{- x}

- 3 e^{- x} - 18 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 3 e^{- x} - 18 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 3 e^{x} - 18$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $3 e^{- (\ln (6))}$ = 0.5 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |0.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 12 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 12 x - 6$ gilt m = $- 12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 8 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 8 x

=

- 12

|

+ 12

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 12 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{x} - 7) \cdot (x^{4} - 16 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{x} - 7) (x^{4} - 16 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$3 e^{x}$	=	$7$	\|: $3$
$e^{x}$	=	$\frac{7}{3}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{7}{3})$	≈ 0.8473

2. Fall:

$x^{4} - 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $\ln (\frac{7}{3})$ ; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{3 x - 4}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{3 x - 4}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{3 x - 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{3 x - 4}{x} \cdot (3 x + 8) - 6 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x + \frac{(3 x - 4) (3 x + 8)}{x} - 18 x - 48$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} + 12 x - 32}{x} - 18 x - 48$	=
$\frac{9 x^{2} + 12 x - 32}{x} + 2 x - 18 x - 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 12 x - 32}{x} + 2 x - 18 x - 48$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} + 12 x - 32}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 18 x \cdot x - 48 \cdot x$	=
$9 x^{2} + 12 x - 32 + 2 x \cdot x - 18 x \cdot x - 48 x$	=
$9 x^{2} + 12 x - 32 + 2 x^{2} - 18 x^{2} - 48 x$	=
$- 7 x^{2} - 36 x - 32$	=

$- 7 x^{2} - 36 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 296 - 896}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{400}}{- 14}$

x₁ = $\frac{36 + \sqrt{400}}{- 14}$ = $\frac{36+20}{- 14}$ = $\frac{56}{- 14}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{36 - \sqrt{400}}{- 14}$ = $\frac{36-20}{- 14}$ = $\frac{16}{- 14}$ = $- \frac{8}{7}$ ≈ -1.14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{8}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 29 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $32 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$45 x$	$- 45$
		-( $45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 29 \cdot {(- 9)}^{2} + 13 \cdot (- 9) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 5 x$	$- 45$
		-( $- 5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x + 6 | - 3$ = 0

Lösung einblenden

$\| - 3 x + 6 \| - 3$	=	0
$- 3 + \| - 3 x + 6 \|$	=	0	\| $+ 3$
$\| - 3 x + 6 \|$	=	$3$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

$- 3 x + 6$	=	$3$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot 1 + 6$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0:

$- (- 3 x + 6)$	=	$3$
$3 x - 6$	=	$3$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 3 + 6$ = -3 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +6 ≥ 0:

2. Fall: -3x +6 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0: