Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 5 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $14$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 5 e^{2 x}

=

14

|

- 14

e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 14

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $14$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |14)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 10 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 10 x + 7$ gilt m = $- 10$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 7 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 7 x

=

- 10

|

+ 10

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 10$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 10 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- x} - 5) \cdot (x^{5} - 4 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- x} - 5) (x^{5} - 4 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$e^{- x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (5)$	\|: $- 1$
x₁	=	$- \ln (5)$	≈ -1.6094

2. Fall:

$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $- \ln (5)$ ; 0; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{x - 2}{x} + \frac{- 13 x - 2}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

\frac{- 13 x - 2}{2 x} + \frac{x - 2}{x} + \frac{4 x}{2 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 13 x - 2}{2 x} + \frac{x - 2}{x} + \frac{4 x}{2 x + 2}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 13 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{x - 2}{x} \cdot 2 x + \frac{4 x}{2 x + 2} \cdot 2 x$	=
$- 13 x - 2 + 2 x - 4 + 2 \frac{4 x \cdot x}{2 x + 2}$	=
$- 13 x - 2 + 2 x - 4 + 2 \frac{4 x^{2}}{2 x + 2}$	=
$2 \frac{4 x^{2}}{2 x + 2} - 13 x + 2 x - 2 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$2 \frac{4 x^{2}}{2 x + 2} - 13 x + 2 x - 2 - 4$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$2 \frac{4 x^{2}}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) - 13 x \cdot (2 x + 2) + 2 x \cdot (2 x + 2) - 2 \cdot (2 x + 2) - 4 \cdot (2 x + 2)$	=
$8 x^{2} - 13 x (2 x + 2) + 2 x (2 x + 2) - 4 x - 4 - 8 x - 8$	=
$8 x^{2} + (- 26 x^{2} - 26 x) + (4 x^{2} + 4 x) - 4 x - 4 - 8 x - 8$	=
$- 14 x^{2} - 34 x - 12$	=

- 14 x^{2} - 34 x - 12

= 0 |:2

$- 7 x^{2} - 17 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{121}}{- 14}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{121}}{- 14}$ = $\frac{17+11}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{121}}{- 14}$ = $\frac{17-11}{- 14}$ = $\frac{6}{- 14}$ = $- \frac{3}{7}$ ≈ -0.43

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{3}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 33 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$18 x$	$+ 18$
		-( $18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} + 33 \cdot (- 6) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$3 x$	$+ 18$
		-( $3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x + 2 | + 9$ = $14$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x + 2 \| + 9$	=	$14$
$9 + \frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	$14$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	$5$	\|⋅ $2$
$\| - x + 2 \|$	=	$10$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

$- x + 2$	=	$10$	\| $- 2$
$- x$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 8) + 2$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 2$ < 0:

$- (- x + 2)$	=	$10$
$x - 2$	=	$10$	\| $+ 2$
x₂	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ < 0) genügt:

$- 12 + 2$ = -10 < 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +2 ≥ 0:

2. Fall: -x +2 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 2$ < 0: