Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8}$ und $g(x) =$ $8 x^{5}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8}$	=	$8 x^{5}$	\| $- 8 x^{5}$
$x^{8} - 8 x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

0 ist 5-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $8 \cdot 0^{5}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $8 \cdot 2^{5}$ = 256 Somit gilt: S₂( $2$ |256)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 5 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 5$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 5 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $3 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$3 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$3 e^{\frac{1}{3} x} + 1 - 1 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$3 e^{\frac{1}{3} x} + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$(x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{2 x} + 3) \cdot (x^{2} - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{2 x} + 3) (x^{2} - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{2 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 2 e^{2 x}$	=	$- 3$	\|: $- 2$
$e^{2 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.2027

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{2})$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{x}{2 x - 3} + \frac{- 4 x}{4 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $2$ }

\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x}{3 x - 6} - \frac{4 x}{4 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x}{3 x - 6} - \frac{4 x}{4 x - 6}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x}{3 x - 6} \cdot (2 x - 3) - \frac{4 x}{2 (2 x - 3)} \cdot (2 x - 3)$	=
$x + \frac{x (2 x - 3)}{3 x - 6} - 2 x$	=
$x + \frac{2 x^{2} - 3 x}{3 x - 6} - 2 x$	=
$\frac{2 x^{2} - 3 x}{3 x - 6} + x - 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 3 x}{3 x - 6} + x - 2 x$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{2 x^{2} - 3 x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) + x \cdot (3 x - 6) - 2 x \cdot (3 x - 6)$	=
$2 x^{2} - 3 x + x (3 x - 6) - 2 x (3 x - 6)$	=
$2 x^{2} - 3 x + (3 x^{2} - 6 x) + (- 6 x^{2} + 12 x)$	=
$- x^{2} + 3 x$	=

$- x^{2} + 3 x$	=	0
$x (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 6 x^{3} - 11 x^{2} - 24 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 6 x^{3} - 11 x^{2} - 24 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 6 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 7 x^{2} - 4 x - 28$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$7 x^{3}$	$- 11 x^{2}$
	-( $7 x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$- 24 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
			$- 28 x$	$+ 28$
			-( $- 28 x$	$+ 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 6 x^{3} - 11 x^{2} - 24 x + 28$ = $(x^{3} + 7 x^{2} - 4 x - 28) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 7 x^{2} - 4 x - 28) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 7 x^{2} - 4 x - 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 28$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 7 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 4 x$	$- 28$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 14 x$	$- 28$
		-( $- 14 x$	$- 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 4 x - 28$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 7 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 4 x$	$- 28$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$14 x$	$- 28$
		-( $14 x$	$- 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 4 x - 28$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 7 \cdot {(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 7) - 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 4 x$	$- 28$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 28$
		-( $- 4 x$	$- 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 4 x - 28$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 7)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 7)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 7$ ; $- 2$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x + 2 | - 4$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x + 2 \| - 4$	=	$2$
$- 4 + \frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	$2$	\| $+ 4$
$\frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| - x + 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

$- x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 10) + 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 2$ < 0:

$- (- x + 2)$	=	$12$
$x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
x₂	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ < 0) genügt:

$- 14 + 2$ = -12 < 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +2 ≥ 0:

2. Fall: -x +2 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 2$ < 0: