Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 4 e^{x}$ und $g(x) =$ $12$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 4 e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} + 4 e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $12$ Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{3}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $28 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x + 4$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{3}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 3 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 3 e^{2 x}

=

28

|

- 28

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{2 x} + 6) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{2 x} + 6) (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{2 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 7 e^{2 x}$	=	$- 6$	\|: $- 7$
$e^{2 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{6}{7})$	≈ -0.0771

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{6}{7})$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 2} + \frac{18 x}{- x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{6 x}{x - 2} + \frac{8 x}{x - 1} + \frac{18 x}{- x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{8 x}{x - 1} + \frac{18 x}{- x + 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{8 x}{x - 1} \cdot (x - 2) + \frac{18 x}{- x + 2} \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{8 x (x - 2)}{x - 1} + \frac{18 x (x - 2)}{- x + 2}$	=
$6 x + \frac{8 x^{2} - 16 x}{x - 1} + \frac{18 x^{2} - 36 x}{- x + 2}$	=
$\frac{18 x^{2} - 36 x}{- x + 2} + \frac{8 x^{2} - 16 x}{x - 1} + 6 x$	=

\frac{8 x^{2} - 16 x}{x - 1} + \frac{18 x^{2} - 36 x}{- x + 2} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 16 x}{x - 1} + \frac{18 x^{2} - 36 x}{- x + 2} + 6 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 16 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{18 x^{2} - 36 x}{- x + 2} \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1)$	=
$8 x^{2} - 16 x + \frac{(18 x^{2} - 36 x) (x - 1)}{- x + 2} + 6 x (x - 1)$	=
$8 x^{2} - 16 x + \frac{18 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x}{- x + 2} + (6 x^{2} - 6 x)$	=
$\frac{18 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x}{- x + 2} + 8 x^{2} + 6 x^{2} - 16 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- x + 2$ weg!

$\frac{18 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x}{- x + 2} + 8 x^{2} + 6 x^{2} - 16 x - 6 x$	=	\|⋅( $- x + 2$ )
$\frac{18 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x}{- x + 2} \cdot (- x + 2) + 8 x^{2} \cdot (- x + 2) + 6 x^{2} \cdot (- x + 2) - 16 x \cdot (- x + 2) - 6 x \cdot (- x + 2)$	=
$18 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x + 8 x^{2} (- x + 2) + 6 x^{2} (- x + 2) - 16 x (- x + 2) - 6 x (- x + 2)$	=
$18 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x + (- 8 x^{3} + 16 x^{2}) + (- 6 x^{3} + 12 x^{2}) + (16 x^{2} - 32 x) + (6 x^{2} - 12 x)$	=
$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x$	=

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x$	=	0
$4 x (x^{2} - x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 5 | - 4$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \| - x - 5 \| - 4$	=	$- 2$
$- 4 - \| - x - 5 \|$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$- \| - x - 5 \|$	=	$2$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 5 \|$	=	$- 2$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen