Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 28 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 3$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 28 e^{- x}

=

- 3

|

+ 3

e^{x} - 28 e^{- x} + 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 28 e^{- x} + 3$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + 3 e^{x} - 28$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 3$ Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 1 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 1 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 8 x) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $8$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 5 x} - 3) \cdot (x^{3} + 5 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 5 x} - 3) (x^{3} + 5 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 5 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$7 e^{- 5 x}$	=	$3$	\|: $7$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{3}{7})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{3}{7})$	≈ 0.1695

2. Fall:

$x^{3} + 5 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; 0; $- \frac{1}{5} \ln (\frac{3}{7})$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{- 24 x}{3 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $1$ }

\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{2 x}{x - 1} - \frac{24 x}{3 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{2 x}{x - 1} - \frac{24 x}{3 x - 3}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{2 x}{x - 1} \cdot (2 x - 1) - \frac{24 x}{3 x - 3} \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x + \frac{2 x (2 x - 1)}{x - 1} - \frac{24 x (2 x - 1)}{3 x - 3}$	=
$9 x + \frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{48 x^{2} - 24 x}{3 x - 3}$	=
$- \frac{48 x^{2} - 24 x}{3 x - 3} + \frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} + 9 x$	=

\frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{48 x^{2} - 24 x}{3 x - 3} + 9 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{48 x^{2} - 24 x}{3 x - 3} + 9 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - \frac{48 x^{2} - 24 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) + 9 x \cdot (x - 1)$	=
$4 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} + 8 x + 9 x (x - 1)$	=
$4 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} + 8 x + (9 x^{2} - 9 x)$	=
$- 3 x^{2} - 3 x$	=

$- 3 x^{2} - 3 x$	=	0
$- 3 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 12 x^{2} + 45 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 12 x^{2} + 45 x + 50$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $50$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 12 \cdot {(- 2)}^{2} + 45 \cdot (- 2) + 50$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 45 x$	$+ 50$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 10 x + 25$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 45 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$25 x$	$+ 50$
		-( $25 x$	$+ 50$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 45 x + 50$ = $(x^{2} + 10 x + 25) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 10 x + 25) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 12 \cdot {(- 5)}^{2} + 45 \cdot (- 5) + 50$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 45 x$	$+ 50$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 45 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 35 x$ )
		$10 x$	$+ 50$
		-( $10 x$	$+ 50$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 45 x + 50$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 7 x + 10) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x + 4 | - 7$ = $13$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \| - 7$	=	$13$
$- 7 + \frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$13$	\| $+ 7$
$\frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$20$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$60$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$60$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$56$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 14) + 4$ = 60 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$60$
$4 x - 4$	=	$60$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$64$	\|: $4$
x₂	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 16 + 4$ = -60 < 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $16$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: