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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{7}{x}$ und $g(x) =$ $- \frac{10}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{7}{x}$	=	$- \frac{10}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{7}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 7 x$	=	$- 10$

x^{2} - 7 x

=

- 10

|

+ 10

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{10}{2^{2}}$ = -2.5 Somit gilt: S₁( $2$ |-2.5)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $- \frac{10}{5^{2}}$ = -0.4 Somit gilt: S₂( $5$ |-0.4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 2 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 2 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $8 e^{\frac{1}{4} x} - 1 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{\frac{1}{4} x} - 1 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$8 e^{\frac{1}{4} x} - 1 + 1 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$8 e^{\frac{1}{4} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 6 e^{2 x} + 2) \cdot (x^{2} - 16)$ = 0

Lösung einblenden

(- 6 e^{2 x} + 2) (x^{2} - 16)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{2 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 6 e^{2 x}$	=	$- 2$	\|: $- 6$
$e^{2 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$	≈ -0.5493

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{6 x}{x + 2} + \frac{14 x}{- x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{6 x}{x + 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{14 x}{- x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{14 x}{- x - 2}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{7 x + 2}{2 x} \cdot (x + 2) + \frac{14 x}{- (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$6 x + \frac{(7 x + 2) (x + 2)}{2 x} - 14 x$	=
$6 x + \frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} - 14 x$	=
$\frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} + 6 x - 14 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} + 6 x - 14 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} + 16 x + 4}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 14 x \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} + 16 x + 4 + 12 x \cdot x - 28 x \cdot x$	=
$7 x^{2} + 16 x + 4 + 12 x^{2} - 28 x^{2}$	=
$- 9 x^{2} + 16 x + 4$	=

$- 9 x^{2} + 16 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 4}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 144}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{400}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{400}}{- 18}$ = $\frac{- 16+20}{- 18}$ = $\frac{4}{- 18}$ = $- \frac{2}{9}$ ≈ -0.22

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{400}}{- 18}$ = $\frac{- 16-20}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{9}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 5 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 5 x + 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $5$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 5$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$+ 5$
		-( $5 x$	$+ 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 5 x + 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 3 x + 3 | + 9$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 3 x + 3 \| + 9$	=	$- 6$
$9 - \frac{1}{3} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 6$	\| $- 9$
$- \frac{1}{3} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 15$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$45$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$45$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$42$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 14) + 3$ = 45 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$45$
$3 x - 3$	=	$45$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$48$	\|: $3$
x₂	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 16 + 3$ = -45 < 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $16$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: