Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 21$ und $g(x) =$ $4 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 21

=

4 e^{x}

|

- 4 e^{x}

e^{2 x} - 4 e^{x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $4 e^{\ln (7)}$ = 28 Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |28)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$ parallel zur Geraden y = $42 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x + 6$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + e^{x}

=

42

|

- 42

e^{2 x} + e^{x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(5 e^{7 x} - 7) \cdot (x^{3} - 16 x)$ = 0

Lösung einblenden

(5 e^{7 x} - 7) (x^{3} - 16 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{7 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$5 e^{7 x}$	=	$7$	\|: $5$
$e^{7 x}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 0.0481

2. Fall:

$x^{3} - 16 x$	=	0
$x (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $\frac{1}{7} \ln (\frac{7}{5})$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x - 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 1} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{7 x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 5 \cdot (3 x - 1)$	=
$2 x + \frac{(7 x + 1) (3 x - 1)}{2 x} - 15 x + 5$	=
$2 x + \frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} - 15 x + 5$	=
$\frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} + 2 x - 15 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} + 2 x - 15 x + 5$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} - 4 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 15 x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} - 4 x - 1 + 4 x \cdot x - 30 x \cdot x + 10 x$	=
$21 x^{2} - 4 x - 1 + 4 x^{2} - 30 x^{2} + 10 x$	=
$- 5 x^{2} + 6 x - 1$	=

$- 5 x^{2} + 6 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{- 6+4}{- 10}$ = $\frac{- 2}{- 10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{- 6-4}{- 10}$ = $\frac{- 10}{- 10}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,2$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 17 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $23 x^{2}$	$- 46 x$ )
		$30 x$	$- 60$
		-( $30 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} - 16 \cdot (- 6) - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 10 x$	$- 60$
		-( $- 10 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x - 6 | - 8$ = $4$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x - 6 \| - 8$	=	$4$
$- 8 + \frac{1}{2} \| 2 x - 6 \|$	=	$4$	\| $+ 8$
$\frac{1}{2} \| 2 x - 6 \|$	=	$12$	\|⋅ $2$
$\| 2 x - 6 \|$	=	$24$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

$2 x - 6$	=	$24$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$30$	\|: $2$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 15 - 6$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 6$ < 0:

$- (2 x - 6)$	=	$24$
$- 2 x + 6$	=	$24$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 9) - 6$ = -24 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -6 ≥ 0:

2. Fall: 2x -6 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 6$ < 0: