Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 5 x^{3}$ und $g(x) =$ $- 4 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 5 x^{3}$	=	$- 4 x$	\| $+ 4 x$
$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$	=	0
$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 5 x^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 4 \cdot (- 2)$ = 8 Somit gilt: S₁( $- 2$ |8)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 4 \cdot (- 1)$ = 4 Somit gilt: S₂( $- 1$ |4)

x₃ = 0: f(0)= $- 4 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₃(0|-0)

x₄ = $1$ : f( $1$ )= $- 4 \cdot 1$ = -4 Somit gilt: S₄( $1$ |-4)

x₅ = $2$ : f( $2$ )= $- 4 \cdot 2$ = -8 Somit gilt: S₅( $2$ |-8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 5$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

6

|

- 6

e^{4 x} - e^{2 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- 6 x} - 7) \cdot (x - 5)$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- 6 x} - 7) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- 6 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$e^{- 6 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (7)$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (7)$	≈ -0.3243

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={ $- \frac{1}{6} \ln (7)$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x + 2} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{72 x}{- 3 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{12 x}{x + 2} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{72 x}{- 3 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{12 x}{x + 2} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{72 x}{- 3 x - 6}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{11 x + 1}{3 x} \cdot (x + 2) + \frac{72 x}{- 3 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$12 x + \frac{(11 x + 1) (x + 2)}{3 x} - 24 x$	=
$12 x + \frac{11 x^{2} + 23 x + 2}{3 x} - 24 x$	=
$\frac{11 x^{2} + 23 x + 2}{3 x} + 12 x - 24 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{11 x^{2} + 23 x + 2}{3 x} + 12 x - 24 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{11 x^{2} + 23 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + 12 x \cdot 3 x - 24 x \cdot 3 x$	=
$11 x^{2} + 23 x + 2 + 36 x \cdot x - 72 x \cdot x$	=
$11 x^{2} + 23 x + 2 + 36 x^{2} - 72 x^{2}$	=
$- 25 x^{2} + 23 x + 2$	=

$- 25 x^{2} + 23 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 25) \cdot 2}}{2 \cdot (- 25)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 200}}{- 50}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{729}}{- 50}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{729}}{- 50}$ = $\frac{- 23+27}{- 50}$ = $\frac{4}{- 50}$ = $- 0,08$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{729}}{- 50}$ = $\frac{- 23-27}{- 50}$ = $\frac{- 50}{- 50}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,08$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x - 8 | - 9$ = $- 19$

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$- \frac{1}{2} \| 2 x - 8 \| - 9$	=	$- 19$
$- 9 - \frac{1}{2} \| 2 x - 8 \|$	=	$- 19$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{2} \| 2 x - 8 \|$	=	$- 10$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$20$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

$2 x - 8$	=	$20$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$28$	\|: $2$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 14 - 8$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 8$ < 0:

$- (2 x - 8)$	=	$20$
$- 2 x + 8$	=	$20$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 6) - 8$ = -20 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -8 ≥ 0:

2. Fall: 2x -8 < 0:

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 8$ < 0: