Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - x^{4}$ und $g(x) =$ $72 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - x^{4}$	=	$72 x^{2}$	\| $- 72 x^{2}$
$x^{6} - x^{4} - 72 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - x^{2} - 72)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - x^{2} - 72

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1+17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1-17}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $72 \cdot {(- 3)}^{2}$ = 648 Somit gilt: S₁( $- 3$ |648)

x₂ = 0: f(0)= $72 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $72 \cdot 3^{2}$ = 648 Somit gilt: S₃( $3$ |648)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $36 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $36 x - 1$ gilt m = $36$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 5 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 5 x^{2}

=

36

|

- 36

x^{4} - 5 x^{2} - 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $36$ und sind somit parallel zur Geraden y = $36 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 35 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} \cdot (2 x - 3) - 6 \cdot (2 x - 3)$	=
$4 x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 3)}{2 x - 2} - 12 x + 18$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{2 x - 2} - 12 x + 18$	=
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{2 x - 2} + 4 x - 12 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{2 x - 2} + 4 x - 12 x + 18$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + 4 x \cdot (2 x - 2) - 12 x \cdot (2 x - 2) + 18 \cdot (2 x - 2)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + 4 x (2 x - 2) - 12 x (2 x - 2) + 36 x - 36$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + (8 x^{2} - 8 x) + (- 24 x^{2} + 24 x) + 36 x - 36$	=
$- 10 x^{2} + 41 x - 33$	=

$- 10 x^{2} + 41 x - 33$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 33)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 - 1 320}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{361}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{361}}{- 20}$ = $\frac{- 41+19}{- 20}$ = $\frac{- 22}{- 20}$ = $1,1$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{361}}{- 20}$ = $\frac{- 41-19}{- 20}$ = $\frac{- 60}{- 20}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,1$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 6$
		-( $3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x - 15 | + 8$ = $14$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x - 15 \| + 8$	=	$14$
$8 + \frac{1}{3} \| 3 x - 15 \|$	=	$14$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| 3 x - 15 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| 3 x - 15 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

$3 x - 15$	=	$18$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$33$	\|: $3$
x₁	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 11 - 15$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 15$ < 0:

$- (3 x - 15)$	=	$18$
$- 3 x + 15$	=	$18$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 1) - 15$ = -18 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -15 ≥ 0:

2. Fall: 3x -15 < 0:

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 15$ < 0: