Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 6 x^{3}$ und $g(x) =$ $7 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 6 x^{3}$	=	$7 x^{2}$	\| $- 7 x^{2}$
$x^{4} - 6 x^{3} - 7 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 6 x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $7$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $7 \cdot {(- 1)}^{2}$ = 7 Somit gilt: S₁( $- 1$ |7)

x₂ = 0: f(0)= $7 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $7$ : f( $7$ )= $7 \cdot 7^{2}$ = 343 Somit gilt: S₃( $7$ |343)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{8}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 16 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 16 x - 7$ gilt m = $- 16$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{8}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 8 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 8 e^{3 x}

=

- 16

|

+ 16

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

$\frac{2}{3} \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 16$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 16 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} + x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{3 x}{x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- \frac{4}{3}$ }

\frac{3 x}{x - 1} + \frac{3 x}{3 x + 4} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{3 x}{3 x + 4} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$3 x + \frac{3 x (x - 1)}{3 x + 4} - 5 x + 5$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 4} - 5 x + 5$	=
$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 4} + 3 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 4} + 3 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + 3 x \cdot (3 x + 4) - 5 x \cdot (3 x + 4) + 5 \cdot (3 x + 4)$	=
$3 x^{2} - 3 x + 3 x (3 x + 4) - 5 x (3 x + 4) + 15 x + 20$	=
$3 x^{2} - 3 x + (9 x^{2} + 12 x) + (- 15 x^{2} - 20 x) + 15 x + 20$	=
$- 3 x^{2} + 4 x + 20$	=

$- 3 x^{2} + 4 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 20}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 4+16}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 4-16}{- 6}$ = $\frac{- 20}{- 6}$ = $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{10}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 17 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $23 x^{2}$	$- 46 x$ )
		$30 x$	$- 60$
		-( $30 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} - 16 \cdot (- 6) - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 10 x$	$- 60$
		-( $- 10 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x - 6 | - 1$ = $17$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x - 6 \| - 1$	=	$17$
$- 1 + \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$17$	\| $+ 1$
$\frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$18$	\|⋅ $2$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$36$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$42$	\|: $3$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 14 - 6$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$36$
$- 3 x + 6$	=	$36$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 10) - 6$ = -36 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: