Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x$ und $g(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + 2 x$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + 2 x \cdot x^{2}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 2 x \cdot x^{2}$	=	$- 1$
$x^{6} + 2 x^{3}$	=	$- 1$

x^{6} + 2 x^{3}

=

- 1

|

+ 1

x^{6} + 2 x^{3} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$(- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 3 x^{4}$ = $4 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{6} - 3 x^{4}$	=	$4 x^{2}$	\| $- 4 x^{2}$
$x^{6} - 3 x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 3 x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 3 x^{2} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{6 x}{x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{6 x}{x - 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{6 x (x - 2)}{2 x - 1} - 4 x + 8$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} - 4 x + 8$	=
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} + 6 x - 4 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} + 6 x - 4 x + 8$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 6 x \cdot (2 x - 1) - 4 x \cdot (2 x - 1) + 8 \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x^{2} - 12 x + 6 x (2 x - 1) - 4 x (2 x - 1) + 16 x - 8$	=
$6 x^{2} - 12 x + (12 x^{2} - 6 x) + (- 8 x^{2} + 4 x) + 16 x - 8$	=
$10 x^{2} + 2 x - 8$	=

10 x^{2} + 2 x - 8

= 0 |:2

$5 x^{2} + x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{10}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 1+9}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 1-9}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,8$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x + 8 | - 8$ = $- 32$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \| - 8$	=	$- 32$
$- 8 - \frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \|$	=	$- 32$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \|$	=	$- 24$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x + 8 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

$- 4 x + 8$	=	$48$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$40$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 10) + 8$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0:

$- (- 4 x + 8)$	=	$48$
$4 x - 8$	=	$48$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$56$	\|: $4$
x₂	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 14 + 8$ = -48 < 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +8 ≥ 0:

2. Fall: -4x +8 < 0:

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0: