Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 24 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $- 2 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 24 e^{- 2 x} + 1

=

- 2 e^{- x}

|

+ 2 e^{- x}

2 e^{- x} - 24 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$2 e^{- x} - 24 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} + 2 e^{x} - 24$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 2 e^{- (2 \ln (2))}$ = -0.5 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-0.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 6$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + e^{2 x}

=

6

|

- 6

e^{4 x} + e^{2 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 4 e^{3 x}$ = $5 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 4 e^{3 x}$	=	$5 e^{2 x}$	\| $- 5 e^{2 x}$
$e^{4 x} - 4 e^{3 x} - 5 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 4 e^{x} - 5) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 4 e^{x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{x}{2 x + 3} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- 2$ }

\frac{x}{2 x + 3} + \frac{2 x}{2 x + 4} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{2 x}{2 x + 4} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{2 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 3) - 4 \cdot (2 x + 3)$	=
$x + \frac{2 x (2 x + 3)}{2 x + 4} - 8 x - 12$	=
$x + \frac{4 x^{2} + 6 x}{2 x + 4} - 8 x - 12$	=
$\frac{4 x^{2} + 6 x}{2 x + 4} + x - 8 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 6 x}{2 x + 4} + x - 8 x - 12$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{4 x^{2} + 6 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + x \cdot (2 x + 4) - 8 x \cdot (2 x + 4) - 12 \cdot (2 x + 4)$	=
$4 x^{2} + 6 x + x (2 x + 4) - 8 x (2 x + 4) - 24 x - 48$	=
$4 x^{2} + 6 x + (2 x^{2} + 4 x) + (- 16 x^{2} - 32 x) - 24 x - 48$	=
$- 10 x^{2} - 46 x - 48$	=

- 10 x^{2} - 46 x - 48

= 0 |:2

$- 5 x^{2} - 23 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 480}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{49}}{- 10}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{23+7}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{23-7}{- 10}$ = $\frac{16}{- 10}$ = $- 1,6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 3 x$ )
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- x$	$+ 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- x$
	-( $- x^{2}$	$+ x$ )
		$- 2 x$	$+ 2$
		-( $- 2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - x - 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 2 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- x$	$+ 2$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 2$
		-( $- x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x - 4 | - 3$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x - 4 \| - 3$	=	$- 8$
$- 3 - \frac{1}{3} \| x - 4 \|$	=	$- 8$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{3} \| x - 4 \|$	=	$- 5$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x - 4 \|$	=	$15$

1. Fall: $x - 4$ ≥ 0:

$x - 4$	=	$15$	\| $+ 4$
x₁	=	$19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 4$ ≥ 0) genügt:

$19 - 4$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $19$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 4$ < 0:

$- (x - 4)$	=	$15$
$- x + 4$	=	$15$	\| $- 4$
$- x$	=	$11$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 4$ < 0) genügt:

$- 11 - 4$ = -15 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $19$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: x -4 ≥ 0:

2. Fall: x -4 < 0:

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 4$ < 0: