Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 4 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $5$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} + 4 e^{2 x}

=

5

|

- 5

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $5$ Somit gilt: S₁(0|5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 1 + 3 x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 1 + 3 x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $3 e^{2 x} - 1 + 6 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{2 x} - 1 + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 e^{2 x} - 1 + 1 + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$3 e^{2 x} + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$3 (2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 12 e^{2 x} + 35 e^{x}$ = $- e^{3 x}$

Lösung einblenden

$- 12 e^{2 x} + 35 e^{x}$	=	$- e^{3 x}$	\| $+ e^{3 x}$
$e^{3 x} - 12 e^{2 x} + 35 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 12 e^{x} + 35) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 12 e^{x} + 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{4 x}{3 x - 4} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{6 x}{3 x - 3} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{6 x}{3 x - 3} - 8$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{4 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{6 x}{3 x - 3} \cdot (3 x - 4) - 8 \cdot (3 x - 4)$	=
$4 x + \frac{6 x (3 x - 4)}{3 x - 3} - 24 x + 32$	=
$4 x + \frac{18 x^{2} - 24 x}{3 x - 3} - 24 x + 32$	=
$\frac{18 x^{2} - 24 x}{3 x - 3} + 4 x - 24 x + 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{18 x^{2} - 24 x}{3 x - 3} + 4 x - 24 x + 32$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{18 x^{2} - 24 x}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + 4 x \cdot (3 x - 3) - 24 x \cdot (3 x - 3) + 32 \cdot (3 x - 3)$	=
$18 x^{2} - 24 x + 4 x (3 x - 3) - 24 x (3 x - 3) + 96 x - 96$	=
$18 x^{2} - 24 x + (12 x^{2} - 12 x) + (- 72 x^{2} + 72 x) + 96 x - 96$	=
$- 42 x^{2} + 132 x - 96$	=

- 42 x^{2} + 132 x - 96

= 0 |:6

$- 7 x^{2} + 22 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 448}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{36}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{36}}{- 14}$ = $\frac{- 22+6}{- 14}$ = $\frac{- 16}{- 14}$ = $\frac{8}{7}$ ≈ 1.14

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{36}}{- 14}$ = $\frac{- 22-6}{- 14}$ = $\frac{- 28}{- 14}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{7}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 29 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $32 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$45 x$	$- 45$
		-( $45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 29 \cdot {(- 9)}^{2} + 13 \cdot (- 9) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 5 x$	$- 45$
		-( $- 5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x + 10 | + 4$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x + 10 \| + 4$	=	$- 4$
$4 - \frac{1}{3} \| 2 x + 10 \|$	=	$- 4$	\| $- 4$
$- \frac{1}{3} \| 2 x + 10 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x + 10 \|$	=	$24$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

$2 x + 10$	=	$24$	\| $- 10$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 7 + 10$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 10$ < 0:

$- (2 x + 10)$	=	$24$
$- 2 x - 10$	=	$24$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$34$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 17) + 10$ = -24 < 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +10 ≥ 0:

2. Fall: 2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 10$ < 0: