Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 20 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 20 e^{- x}$	=	$- e^{x}$	\| $+ e^{x}$
$e^{3 x} + e^{x} - 20 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 20) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- e^{\ln (2)}$ = -2 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ parallel zur Geraden y = $24 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x - 4$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 2 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 2 x

=

24

|

- 24

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 2 x} + 6) \cdot (x^{2} - 16)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 2 x} + 6) (x^{2} - 16)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 2 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 5 e^{- 2 x}$	=	$- 6$	\|: $- 5$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{6}{5})$	≈ -0.0912

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{6}{5})$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{x + 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x + 2}{x + 2} - 3$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x + 2}{x + 2} \cdot (x + 2) - 3 \cdot (x + 2)$	=
$2 x + 2 - 3 x - 6$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 48 x + 108$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 48 x + 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $108$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 48 \cdot 2 + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 48 x$	$+ 108$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 54$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 48 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 54 x$	$+ 108$
		-( $- 54 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 48 x + 108$ = $(x^{2} - 3 x - 54) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x - 54) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - 5 \cdot {(- 6)}^{2} - 48 \cdot (- 6) + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 48 x$	$+ 108$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$- 48 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 66 x$ )
		$18 x$	$+ 108$
		-( $18 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 48 x + 108$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 5 \cdot 9^{2} - 48 \cdot 9 + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 48 x$	$+ 108$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 48 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$- 12 x$	$+ 108$
		-( $- 12 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 48 x + 108$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 6$ ; $2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 2 x + 6 | + 1$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 2 x + 6 \| + 1$	=	$3$
$1 + \frac{1}{3} \| - 2 x + 6 \|$	=	$3$	\| $- 1$
$\frac{1}{3} \| - 2 x + 6 \|$	=	$2$	\|⋅ $3$
$\| - 2 x + 6 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 2 x + 6$ ≥ 0:

$- 2 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (0) + 6$ = 6 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 6$ < 0:

$- (- 2 x + 6)$	=	$6$
$2 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 6$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 6 + 6$ = -6 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +6 ≥ 0:

2. Fall: -2x +6 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 2 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 6$ < 0: