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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} + 28 e^{x}$ und $g(x) =$ $11 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} + 28 e^{x}$	=	$11 e^{4 x}$	\| $- 11 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 11 e^{4 x} + 28 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 28) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $11 e^{4 \cdot (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = 69.846 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |69.846)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $11 e^{4 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 147.296 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |147.296)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 2$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} - e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{6 x} - 2) \cdot (x + 6)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{6 x} - 2) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{6 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$9 e^{6 x}$	=	$2$	\|: $9$
$e^{6 x}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{9})$	≈ -0.2507

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{9})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{12 x}{- 4 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{12 x}{- 4 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{12 x}{- 4 x - 4}$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{4 x}{2 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{12 x}{- 4 x - 4} \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x + \frac{4 x (3 x + 2)}{2 x + 2} + \frac{12 x (3 x + 2)}{- 4 x - 4}$	=
$4 x + \frac{12 x^{2} + 8 x}{2 x + 2} + \frac{36 x^{2} + 24 x}{- 4 x - 4}$	=
$\frac{36 x^{2} + 24 x}{- 4 x - 4} + \frac{12 x^{2} + 8 x}{2 x + 2} + 4 x$	=

\frac{12 x^{2} + 8 x}{2 x + 2} + \frac{36 x^{2} + 24 x}{- 4 x - 4} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 8 x}{2 x + 2} + \frac{36 x^{2} + 24 x}{- 4 x - 4} + 4 x$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{12 x^{2} + 8 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{36 x^{2} + 24 x}{- 4 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 4 x \cdot (2 x + 2)$	=
$12 x^{2} + 8 x - 18 x^{2} - 12 x + 4 x (2 x + 2)$	=
$12 x^{2} + 8 x - 18 x^{2} - 12 x + (8 x^{2} + 8 x)$	=
$2 x^{2} + 4 x$	=

$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x - 8 | + 6$ = $14$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x - 8 \| + 6$	=	$14$
$6 + \frac{1}{3} \| 4 x - 8 \|$	=	$14$	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| 4 x - 8 \|$	=	$8$	\|⋅ $3$
$\| 4 x - 8 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

$4 x - 8$	=	$24$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 8 - 8$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 8$ < 0:

$- (4 x - 8)$	=	$24$
$- 4 x + 8$	=	$24$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 4) - 8$ = -24 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -8 ≥ 0:

2. Fall: 4x -8 < 0:

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 8$ < 0: