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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 30 e^{x}$ und $g(x) =$ $- e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 30 e^{x}$	=	$- e^{3 x}$	\| $+ e^{3 x}$
$e^{5 x} + e^{3 x} - 30 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 30) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $- e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = -11.18 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |-11.18)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 9 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 9 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{2 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} \cdot (3 x + 4) - 3 \cdot (3 x + 4)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 1) (3 x + 4)}{3 x + 3} - 9 x - 12$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 x + 3} - 9 x - 12$	=
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 x + 3} + 2 x - 9 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 x + 3} + 2 x - 9 x - 12$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + 2 x \cdot (3 x + 3) - 9 x \cdot (3 x + 3) - 12 \cdot (3 x + 3)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + 2 x (3 x + 3) - 9 x (3 x + 3) - 36 x - 36$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + (6 x^{2} + 6 x) + (- 27 x^{2} - 27 x) - 36 x - 36$	=
$- 15 x^{2} - 46 x - 32$	=

$- 15 x^{2} - 46 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 46 \pm \sqrt{{(- 46)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 46 \pm \sqrt{2 116 - 1 920}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 46 \pm \sqrt{196}}{- 30}$

x₁ = $\frac{46 + \sqrt{196}}{- 30}$ = $\frac{46+14}{- 30}$ = $\frac{60}{- 30}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{46 - \sqrt{196}}{- 30}$ = $\frac{46-14}{- 30}$ = $\frac{32}{- 30}$ = $- \frac{16}{15}$ ≈ -1.07

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{16}{15}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 5 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 5 x + 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $5$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 5$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$+ 5$
		-( $5 x$	$+ 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 5 x + 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x + 4 | - 7$ = $- 3$

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$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 4 \| - 7$	=	$- 3$
$- 7 - \frac{1}{2} \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 3$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 4 \|$	=	$4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$- 8$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

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vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen