Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 6 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $7$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} + 6 e^{2 x}

=

7

|

- 7

e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $7$ Somit gilt: S₁(0|7)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 5 + 2 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 1$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 5 + 2 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $2 e^{x} - 1 + 2 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$2 e^{x} - 1 + 2 x \cdot e^{x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$2 e^{x} - 1 + 1 + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$2 e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$2 (x + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} + 8 x^{2}$ = $- 9 x^{5}$

Lösung einblenden

$x^{8} + 8 x^{2}$	=	$- 9 x^{5}$	\| $+ 9 x^{5}$
$x^{8} + 9 x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} + 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} + 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{x} + \frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{- 6 x + 2}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{4}{3}$ }

\frac{x + 2 - 6 x + 2}{x} + \frac{3 x}{3 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x + 2 - 6 x + 2}{x} + \frac{3 x}{3 x - 4}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x + 2 - 6 x + 2}{x} \cdot x + \frac{3 x}{3 x - 4} \cdot x$	=
$x + 2 - 6 x + 2 + \frac{3 x \cdot x}{3 x - 4}$	=
$x + 2 - 6 x + 2 + \frac{3 x^{2}}{3 x - 4}$	=
$\frac{3 x^{2}}{3 x - 4} + x - 6 x + 2 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x^{2}}{3 x - 4} + x - 6 x + 2 + 2$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x^{2}}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + x \cdot (3 x - 4) - 6 x \cdot (3 x - 4) + 2 \cdot (3 x - 4) + 2 \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x^{2} + x (3 x - 4) - 6 x (3 x - 4) + 6 x - 8 + 6 x - 8$	=
$3 x^{2} + (3 x^{2} - 4 x) + (- 18 x^{2} + 24 x) + 6 x - 8 + 6 x - 8$	=
$- 12 x^{2} + 32 x - 16$	=

- 12 x^{2} + 32 x - 16

= 0 |:4

$- 3 x^{2} + 8 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 8+4}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 8-4}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 6 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 6 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 6 \cdot (- 1) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$+ 6$
		-( $6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 6 x + 6$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x + 3 | + 7$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \| + 7$	=	$1$
$7 + \frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \|$	=	$1$	\| $- 7$
$\frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen