Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 2 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $24$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} + 2 e^{3 x}

=

24

|

- 24

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $24$ Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |24)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 8 x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- 4 x} - 7) \cdot (x^{4} - 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- 4 x} - 7) (x^{4} - 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- 4 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$e^{- 4 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (7)$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (7)$	≈ -0.4865

2. Fall:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{4} \ln (7)$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{8 x}{x - 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

\frac{8 x}{x - 2} + \frac{6 x}{3 x + 2} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{6 x}{3 x + 2} - 7$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{6 x}{3 x + 2} \cdot (x - 2) - 7 \cdot (x - 2)$	=
$8 x + \frac{6 x (x - 2)}{3 x + 2} - 7 x + 14$	=
$8 x + \frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 2} - 7 x + 14$	=
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 2} + 8 x - 7 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 2} + 8 x - 7 x + 14$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + 8 x \cdot (3 x + 2) - 7 x \cdot (3 x + 2) + 14 \cdot (3 x + 2)$	=
$6 x^{2} - 12 x + 8 x (3 x + 2) - 7 x (3 x + 2) + 42 x + 28$	=
$6 x^{2} - 12 x + (24 x^{2} + 16 x) + (- 21 x^{2} - 14 x) + 42 x + 28$	=
$9 x^{2} + 32 x + 28$	=

$9 x^{2} + 32 x + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 28}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 1 008}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{16}}{18}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{16}}{18}$ = $\frac{- 32+4}{18}$ = $\frac{- 28}{18}$ = $- \frac{14}{9}$ ≈ -1.56

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{16}}{18}$ = $\frac{- 32-4}{18}$ = $\frac{- 36}{18}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{14}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 10 \cdot {(- 1)}^{2} + 7 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 11 x$ )
		$18 x$	$+ 18$
		-( $18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 18$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 10 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$- 9 x$	$+ 18$
		-( $- 9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 18$ = $(x^{2} - 8 x - 9) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 8 x - 9) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 10 \cdot 9^{2} + 7 \cdot 9 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 2 x$	$+ 18$
		-( $- 2 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 18$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - x - 2) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 1$ ; $2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x + 4 | - 2$ = $22$

Lösung einblenden

$\| - 4 x + 4 \| - 2$	=	$22$
$- 2 + \| - 4 x + 4 \|$	=	$22$	\| $+ 2$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$24$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 5) + 4$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$24$
$4 x - 4$	=	$24$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 7 + 4$ = -24 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: