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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 9 x^{2}$ und $g(x) =$ $- \frac{8}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} - 9 x^{2}$	=	$- \frac{8}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x - 9 x^{2} \cdot x$	=	$- \frac{8}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x - 9 x^{2} \cdot x$	=	$- 8$
$x^{6} - 9 x^{3}$	=	$- 8$

x^{6} - 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} - 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{8}{1}$ = -8 Somit gilt: S₁( $1$ |-8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{8}{2}$ = -4 Somit gilt: S₂( $2$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 4 + x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 4 + x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $- 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 2 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$- 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 (- x^{2} + x) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{2 x} - 30 e^{x}$ = $- e^{3 x}$

Lösung einblenden

$- e^{2 x} - 30 e^{x}$	=	$- e^{3 x}$	\| $+ e^{3 x}$
$e^{3 x} - e^{2 x} - 30 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 30) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 1} + \frac{4 x}{x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{4 x}{x + 1} + \frac{2 x}{3 x - 1} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{2 x}{3 x - 1} - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{2 x (x + 1)}{3 x - 1} - 3 x - 3$	=
$4 x + \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x - 1} - 3 x - 3$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x - 1} + 4 x - 3 x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x - 1} + 4 x - 3 x - 3$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 4 x \cdot (3 x - 1) - 3 x \cdot (3 x - 1) - 3 \cdot (3 x - 1)$	=
$2 x^{2} + 2 x + 4 x (3 x - 1) - 3 x (3 x - 1) - 9 x + 3$	=
$2 x^{2} + 2 x + (12 x^{2} - 4 x) + (- 9 x^{2} + 3 x) - 9 x + 3$	=
$5 x^{2} - 8 x + 3$	=

$5 x^{2} - 8 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{10}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{8+2}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{8-2}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,6$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 11 \cdot {(- 2)}^{2} + 20 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x - 4 | + 3$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x - 4 \| + 3$	=	$- 9$
$3 - \frac{1}{3} \| 4 x - 4 \|$	=	$- 9$	\| $- 3$
$- \frac{1}{3} \| 4 x - 4 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x - 4 \|$	=	$36$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

$4 x - 4$	=	$36$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 10 - 4$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 4$ < 0:

$- (4 x - 4)$	=	$36$
$- 4 x + 4$	=	$36$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 8) - 4$ = -36 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -4 ≥ 0:

2. Fall: 4x -4 < 0:

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 4$ < 0: