Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2}$ und $g(x) =$ $18 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 3 x^{2}$	=	$18 x$	\| $- 18 x$
$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x$	=	0
$x (x^{2} - 3 x - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $18 \cdot (- 3)$ = -54 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-54)

x₂ = 0: f(0)= $18 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $6$ : f( $6$ )= $18 \cdot 6$ = 108 Somit gilt: S₃( $6$ |108)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 2 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 7$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 2 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $4 e^{- \frac{1}{2} x} + 2 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- \frac{1}{2} x} + 2 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$4 e^{- \frac{1}{2} x} + 2 - 2 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$4 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (- x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{2 x} - 3) \cdot (x - 5)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{2 x} - 3) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{2 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$9 e^{2 x}$	=	$3$	\|: $9$
$e^{2 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$	≈ -0.5493

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{3 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{16 x}{3 x + 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{16 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) - 4 \cdot (3 x + 1)$	=
$16 x - 12 x - 4$	=
$4 x - 4$	=

$4 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 6 x^{2} - 25 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 25 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 1 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 25 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$- 18 x$	$+ 18$
		-( $- 18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 25 x + 18$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 25 \cdot 2 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 25 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$- 9 x$	$+ 18$
		-( $- 9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 25 x + 18$ = $(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 8 x - 9) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 6 \cdot {(- 9)}^{2} - 25 \cdot (- 9) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 25 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 27 x$ )
		$2 x$	$+ 18$
		-( $2 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 25 x + 18$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x + 12 | + 9$ = $21$

Lösung einblenden

$\| 4 x + 12 \| + 9$	=	$21$
$9 + \| 4 x + 12 \|$	=	$21$	\| $- 9$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$12$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 0 + 12$ = 12 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$12$
$- 4 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 6) + 12$ = -12 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: