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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 5 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 6 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 5 e^{2 x}$	=	$- 6 e^{- x}$	\| $+ 6 e^{- x}$
$e^{5 x} - 5 e^{2 x} + 6 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 6 e^{- (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = -4.762 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-4.762)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 6 e^{- (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = -4.16 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-4.16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 4 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 4 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $4 e^{\frac{1}{4} x} + 2 + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{\frac{1}{4} x} + 2 + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$4 e^{\frac{1}{4} x} + 2 - 2 + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$4 e^{\frac{1}{4} x} + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$(x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 14 e^{2 x}$ = $- 49$

Lösung einblenden

e^{4 x} - 14 e^{2 x}

=

- 49

|

+ 49

e^{4 x} - 14 e^{2 x} + 49

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 14 u + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{14}{2}$ = $7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

$\frac{1}{2} \ln (7)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x + 2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{x + 2} - 1$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{x + 2} \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$	=
$3 x - x - 2$	=
$2 x - 2$	=

$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{2} + 34 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 34 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$12 x$	$+ 24$
		-( $12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 15 \cdot {(- 4)}^{2} + 34 \cdot (- 4) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 34 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$6 x$	$+ 24$
		-( $6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $- 1,5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 1 | - 2$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \| - x - 1 \| - 2$	=	$- 8$
$- 2 - \| - x - 1 \|$	=	$- 8$	\| $+ 2$
$- \| - x - 1 \|$	=	$- 6$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 1 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$6$	\| $+ 1$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 7) - 1$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$6$
$x + 1$	=	$6$	\| $- 1$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 5 - 1$ = -6 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: