Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 3 e^{x}$ und $g(x) =$ $28 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 3 e^{x}$	=	$28 e^{- x}$	\| $- 28 e^{- x}$
$e^{3 x} - 3 e^{x} - 28 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $28 e^{- (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 10.583 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |10.583)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{7}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $8 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x - 2$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{7}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 7 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} + 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{5 x} + 2) \cdot (x - 2)$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{5 x} + 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{5 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 4 e^{5 x}$	=	$- 2$	\|: $- 4$
$e^{5 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.1386

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{2})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3}{x} + \frac{4 x}{x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{4 x}{x - 1} - 4 - \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} - 4 - \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1) - \frac{3}{x} \cdot (x - 1)$	=
$4 x - 4 x + 4 - 3 \frac{x - 1}{x}$	=
$- 3 \frac{x - 1}{x} + 4 x - 4 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 3 \frac{x - 1}{x} + 4 x - 4 x + 4$	=	\|⋅( $x$ )
$- 3 \frac{x - 1}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 4 x \cdot x + 4 \cdot x$	=
$- 3 x + 3 + 4 x \cdot x - 4 x \cdot x + 4 x$	=
$- 3 x + 3 + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x$	=
$x + 3$	=

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{3} - 42 x^{2} + 100 x - 72$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 3 x^{3} - 42 x^{2} + 100 x - 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 72$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} + 3 \cdot 2^{3} - 42 \cdot 2^{2} + 100 \cdot 2 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 42 x^{2}$	$+ 100 x$	$- 72$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$5 x^{3}$	$- 42 x^{2}$
	-( $5 x^{3}$	$- 10 x^{2}$ )
		$- 32 x^{2}$	$+ 100 x$
		-( $- 32 x^{2}$	$+ 64 x$ )
			$36 x$	$- 72$
			-( $36 x$	$- 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 42 x^{2} + 100 x - 72$ = $(x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36) \cdot (x - 2)$

(x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 32 \cdot 2 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 32 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$- 18 x$	$+ 36$
		-( $- 18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 5 \cdot {(- 9)}^{2} - 32 \cdot (- 9) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 32 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$4 x$	$+ 36$
		-( $4 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{4} + 3 \cdot {(- 9)}^{3} - 42 \cdot {(- 9)}^{2} + 100 \cdot (- 9) - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 42 x^{2}$	$+ 100 x$	$- 72$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$
-( $x^{4}$	$+ 9 x^{3}$ )
	$- 6 x^{3}$	$- 42 x^{2}$
	-( $- 6 x^{3}$	$- 54 x^{2}$ )
		$12 x^{2}$	$+ 100 x$
		-( $12 x^{2}$	$+ 108 x$ )
			$- 8 x$	$- 72$
			-( $- 8 x$	$- 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 42 x^{2} + 100 x - 72$ = $(x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) \cdot (x + 9)$

(x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 12 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 12 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ }

$2$ ist 3-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 1 | + 2$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \| - x - 1 \| + 2$	=	$- 4$
$2 - \| - x - 1 \|$	=	$- 4$	\| $- 2$
$- \| - x - 1 \|$	=	$- 6$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 1 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$6$	\| $+ 1$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 7) - 1$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$6$
$x + 1$	=	$6$	\| $- 1$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 5 - 1$ = -6 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: