Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 20$ und $g(x) =$ $e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 20

=

e^{2 x}

|

- e^{2 x}

e^{4 x} - e^{2 x} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = 5 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 3 e^{3 x}

=

- 2

|

+ 2

e^{6 x} - 3 e^{3 x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{- 5 x - 2}{4 x + 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{- 5 x - 2}{4 x + 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{- 5 x - 2}{4 x + 10}$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{x + 2}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} \cdot (2 x + 6) + \frac{- 5 x - 2}{4 x + 10} \cdot (2 x + 6)$	=
$x + 2 + \frac{(2 x + 2) (2 x + 6)}{2 x + 5} + \frac{(- 5 x - 2) (2 x + 6)}{4 x + 10}$	=
$x + 2 + \frac{4 x^{2} + 16 x + 12}{2 x + 5} + \frac{- 10 x^{2} - 34 x - 12}{4 x + 10}$	=
$\frac{- 10 x^{2} - 34 x - 12}{4 x + 10} + \frac{4 x^{2} + 16 x + 12}{2 x + 5} + x + 2$	=

\frac{4 x^{2} + 16 x + 12}{2 x + 5} + \frac{- 10 x^{2} - 34 x - 12}{4 x + 10} + x + 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 16 x + 12}{2 x + 5} + \frac{- 10 x^{2} - 34 x - 12}{4 x + 10} + x + 2$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{4 x^{2} + 16 x + 12}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{- 10 x^{2} - 34 x - 12}{2 (2 x + 5)} \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5) + 2 \cdot (2 x + 5)$	=
$4 x^{2} + 16 x + 12 - 5 x^{2} - 17 x - 6 + x (2 x + 5) + 4 x + 10$	=
$4 x^{2} + 16 x + 12 - 5 x^{2} - 17 x - 6 + (2 x^{2} + 5 x) + 4 x + 10$	=
$x^{2} + 8 x + 16$	=

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 16 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 16 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 16 \cdot (- 1) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 16 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 16$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- 16 x$
	-(0	0)
		$- 16 x$	$- 16$
		-( $- 16 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 16 x - 16$ = $(x^{2} + 0 - 16) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 16) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 16) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{2} - 16 \cdot (- 4) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 16 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 4 x$	$- 16$
		-( $- 4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 16 x - 16$ = $(x^{2} - 3 x - 4) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 3 x - 4) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 4^{2} - 16 \cdot 4 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 16 x$	$- 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$4 x$	$- 16$
		-( $4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 16 x - 16$ = $(x^{2} + 5 x + 4) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 5 x + 4) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x - 10 | - 5$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x - 10 \| - 5$	=	$1$
$- 5 + \frac{1}{2} \| - 2 x - 10 \|$	=	$1$	\| $+ 5$
$\frac{1}{2} \| - 2 x - 10 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x - 10 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x - 10$ ≥ 0:

$- 2 x - 10$	=	$12$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$22$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 11) - 10$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 10$ < 0:

$- (- 2 x - 10)$	=	$12$
$2 x + 10$	=	$12$	\| $- 10$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 1 - 10$ = -12 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -10 ≥ 0:

2. Fall: -2x -10 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $- 2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 10$ < 0: