Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 10 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $- 3 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 10 e^{- 2 x} + 1

=

- 3 e^{- x}

|

+ 3 e^{- x}

3 e^{- x} - 10 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$3 e^{- x} - 10 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} + 3 e^{x} - 10$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 3 e^{- (\ln (2))}$ = -1.5 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-1.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $3 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 2 e^{2 x}

=

3

|

- 3

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 21$ = $- 4 e^{x}$

Lösung einblenden

e^{2 x} - 21

=

- 4 e^{x}

|

+ 4 e^{x}

e^{2 x} + 4 e^{x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{6 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 1}{2 x} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=
$6 x + \frac{(x - 1) (x - 1)}{2 x} - 4 x + 4$	=
$6 x + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} - 4 x + 4$	=
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} + 6 x - 4 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} + 6 x - 4 x + 4$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 4 x \cdot 2 x + 4 \cdot 2 x$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + 12 x \cdot x - 8 x \cdot x + 8 x$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + 12 x^{2} - 8 x^{2} + 8 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1$	=

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6+4}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6-4}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{3} - 51 x^{2} + 49 x + 98$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - x^{3} - 51 x^{2} + 49 x + 98$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $98$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} - 51 \cdot {(- 1)}^{2} + 49 \cdot (- 1) + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 51 x^{2}$	$+ 49 x$	$+ 98$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$- 51 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
		$- 49 x^{2}$	$+ 49 x$
		-( $- 49 x^{2}$	$- 49 x$ )
			$98 x$	$+ 98$
			-( $98 x$	$+ 98$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 51 x^{2} + 49 x + 98$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $98$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 49 \cdot 2 + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 49 x$	$+ 98$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 49$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 49 x$
	-(0	0)
		$- 49 x$	$+ 98$
		-( $- 49 x$	$+ 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98$ = $(x^{2} + 0 - 49) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 49) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 49) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 49$	=	0	\| $+ 49$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} - 2 \cdot {(- 7)}^{2} - 49 \cdot (- 7) + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 49 x$	$+ 98$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 49 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 63 x$ )
		$14 x$	$+ 98$
		-( $14 x$	$+ 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 2 \cdot 7^{2} - 49 \cdot 7 + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 49 x$	$+ 98$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 49 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 35 x$ )
		$- 14 x$	$+ 98$
		-( $- 14 x$	$+ 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 7$ ; $- 1$ ; $2$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x + 16 | + 1$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \| + 1$	=	$- 3$
$1 - \frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \|$	=	$- 3$	\| $- 1$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

$- 4 x + 16$	=	$12$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot 1 + 16$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0:

$- (- 4 x + 16)$	=	$12$
$4 x - 16$	=	$12$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 7 + 16$ = -12 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +16 ≥ 0:

2. Fall: -4x +16 < 0:

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0: