Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x$ und $g(x) =$ $- 2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 3 x

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- 2$ Somit gilt: S₁( $1$ |-2)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- 2$ Somit gilt: S₂( $2$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 4 + 4 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 4 + 4 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $4 e^{3 x} - 1 + 12 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{3 x} - 1 + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$4 e^{3 x} - 1 + 1 + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$4 e^{3 x} + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$4 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{7} + 8 x$ = $9 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{7} + 8 x$	=	$9 x^{4}$	\| $- 9 x^{4}$
$x^{7} - 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x (x^{6} - 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{x + 3} + \frac{56 x}{- 2 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{12 x}{x + 3} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{56 x}{- 2 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{56 x}{- 2 x - 6}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{11 x + 1}{3 x} \cdot (x + 3) + \frac{56 x}{- 2 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=
$12 x + \frac{(11 x + 1) (x + 3)}{3 x} - 28 x$	=
$12 x + \frac{11 x^{2} + 34 x + 3}{3 x} - 28 x$	=
$\frac{11 x^{2} + 34 x + 3}{3 x} + 12 x - 28 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{11 x^{2} + 34 x + 3}{3 x} + 12 x - 28 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{11 x^{2} + 34 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 12 x \cdot 3 x - 28 x \cdot 3 x$	=
$11 x^{2} + 34 x + 3 + 36 x \cdot x - 84 x \cdot x$	=
$11 x^{2} + 34 x + 3 + 36 x^{2} - 84 x^{2}$	=
$- 37 x^{2} + 34 x + 3$	=

$- 37 x^{2} + 34 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{34^{2} - 4 \cdot (- 37) \cdot 3}}{2 \cdot (- 37)}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{1 156 + 444}}{- 74}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{1 600}}{- 74}$

x₁ = $\frac{- 34 + \sqrt{1 600}}{- 74}$ = $\frac{- 34+40}{- 74}$ = $\frac{6}{- 74}$ = $- \frac{3}{37}$ ≈ -0.08

x₂ = $\frac{- 34 - \sqrt{1 600}}{- 74}$ = $\frac{- 34-40}{- 74}$ = $\frac{- 74}{- 74}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{3}{37}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} - 23 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} - 23 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} - 15 \cdot {(- 1)}^{2} - 23 \cdot (- 1) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$- 23 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$- 15 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
		$- 13 x^{2}$	$- 23 x$
		-( $- 13 x^{2}$	$- 13 x$ )
			$- 10 x$	$- 10$
			-( $- 10 x$	$- 10$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} - 23 x - 10$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 13 \cdot (- 1) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 13 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 10 x$	$- 10$
		-( $- 10 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 3 x - 10) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 13 \cdot (- 2) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 13 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 5 x$	$- 10$
		-( $- 5 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10$ = $(x^{2} - 4 x - 5) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 4 x - 5) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 2 \cdot 5^{2} - 13 \cdot 5 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 13 x$	$- 10$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 15 x$ )
		$2 x$	$- 10$
		-( $2 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3} - 15 \cdot {(- 2)}^{2} - 23 \cdot (- 2) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$- 23 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 15 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
		$- 9 x^{2}$	$- 23 x$
		-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
			$- 5 x$	$- 10$
			-( $- 5 x$	$- 10$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} - 23 x - 10$ = $(x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 9 \cdot (- 1) - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 9 x$	$- 5$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 5 x$	$- 5$
		-( $- 5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$ = $(x^{2} - 4 x - 5) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x - 5) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 9 x$	$- 5$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$x$	$- 5$
		-( $x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{4} - 5^{3} - 15 \cdot 5^{2} - 23 \cdot 5 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$- 23 x$	$- 10$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$
-( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$- 15 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$- 20 x^{2}$ )
		$5 x^{2}$	$- 23 x$
		-( $5 x^{2}$	$- 25 x$ )
			$2 x$	$- 10$
			-( $2 x$	$- 10$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} - 23 x - 10$ = $(x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2) \cdot (x - 5)$

(x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 4 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $5$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x + 15 | + 2$ = $- 13$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x + 15 \| + 2$	=	$- 13$
$2 - \frac{1}{3} \| 3 x + 15 \|$	=	$- 13$	\| $- 2$
$- \frac{1}{3} \| 3 x + 15 \|$	=	$- 15$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$45$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$45$	\| $- 15$
$3 x$	=	$30$	\|: $3$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 10 + 15$ = 45 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$45$
$- 3 x - 15$	=	$45$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$60$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 20$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 20) + 15$ = -45 < 0

Die Lösung $- 20$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 20$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: