Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 3 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $28$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 3 e^{3 x}

=

28

|

- 28

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $28$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |28)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 2 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{7 x} + 5) \cdot (x^{3} - 3 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{7 x} + 5) (x^{3} - 3 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{7 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 3 e^{7 x}$	=	$- 5$	\|: $- 3$
$e^{7 x}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 0.073

2. Fall:

$x^{3} - 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={0; $\frac{1}{7} \ln (\frac{5}{3})$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{7 x}{- 3 x + 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $2$ }

\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{7 x}{- 3 x + 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{7 x}{- 3 x + 8}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{4 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x - 2}{x - 2} \cdot (3 x - 8) + \frac{7 x}{- 3 x + 8} \cdot (3 x - 8)$	=
$4 x + \frac{(2 x - 2) (3 x - 8)}{x - 2} + \frac{7 x (3 x - 8)}{- 3 x + 8}$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{x - 2} + \frac{21 x^{2} - 56 x}{- 3 x + 8}$	=
$\frac{21 x^{2} - 56 x}{- 3 x + 8} + \frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{x - 2} + 4 x$	=

\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{x - 2} + \frac{21 x^{2} - 56 x}{- 3 x + 8} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{x - 2} + \frac{21 x^{2} - 56 x}{- 3 x + 8} + 4 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{21 x^{2} - 56 x}{- 3 x + 8} \cdot (x - 2) + 4 x \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 22 x + 16 + \frac{(21 x^{2} - 56 x) (x - 2)}{- 3 x + 8} + 4 x (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 22 x + 16 + \frac{21 x^{3} - 98 x^{2} + 112 x}{- 3 x + 8} + (4 x^{2} - 8 x)$	=
$\frac{21 x^{3} - 98 x^{2} + 112 x}{- 3 x + 8} + 6 x^{2} + 4 x^{2} - 22 x - 8 x + 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 8$ weg!

$\frac{21 x^{3} - 98 x^{2} + 112 x}{- 3 x + 8} + 6 x^{2} + 4 x^{2} - 22 x - 8 x + 16$	=	\|⋅( $- 3 x + 8$ )
$\frac{21 x^{3} - 98 x^{2} + 112 x}{- 3 x + 8} \cdot (- 3 x + 8) + 6 x^{2} \cdot (- 3 x + 8) + 4 x^{2} \cdot (- 3 x + 8) - 22 x \cdot (- 3 x + 8) - 8 x \cdot (- 3 x + 8) + 16 \cdot (- 3 x + 8)$	=
$21 x^{3} - 98 x^{2} + 112 x + 6 x^{2} (- 3 x + 8) + 4 x^{2} (- 3 x + 8) - 22 x (- 3 x + 8) - 8 x (- 3 x + 8) - 48 x + 128$	=
$21 x^{3} - 98 x^{2} + 112 x + (- 18 x^{3} + 48 x^{2}) + (- 12 x^{3} + 32 x^{2}) + (66 x^{2} - 176 x) + (24 x^{2} - 64 x) - 48 x + 128$	=
$- 9 x^{3} + 72 x^{2} - 176 x + 128$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 9 x^{3} + 72 x^{2} - 176 x + 128$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $128$ .

$4$ ist eine Lösung, denn $- 9 \cdot 4^{3} + 72 \cdot 4^{2} - 176 \cdot 4 + 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $- 9 x^{3}$	$+ 72 x^{2}$	$- 176 x$	$+ 128$ )	:	(x $- 4$ )	=	$- 9 x^{2} + 36 x - 32$
-( $- 9 x^{3}$	$+ 36 x^{2}$ )
	$36 x^{2}$	$- 176 x$
	-( $36 x^{2}$	$- 144 x$ )
		$- 32 x$	$+ 128$
		-( $- 32 x$	$+ 128$ )
			0

es gilt also:

$- 9 x^{3} + 72 x^{2} - 176 x + 128$ = $(- 9 x^{2} + 36 x - 32) \cdot (x - 4)$

(- 9 x^{2} + 36 x - 32) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 x^{2} + 36 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 152}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{144}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 36 + \sqrt{144}}{- 18}$ = $\frac{- 36+12}{- 18}$ = $\frac{- 24}{- 18}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{- 36 - \sqrt{144}}{- 18}$ = $\frac{- 36-12}{- 18}$ = $\frac{- 48}{- 18}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 19 \cdot (- 1) - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 19 x$	$- 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 15 x$	$- 15$
		-( $- 15 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} - 3^{2} - 19 \cdot 3 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 19 x$	$- 15$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$5 x$	$- 15$
		-( $5 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x - 4 | + 6$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x - 4 \| + 6$	=	$- 6$
$6 - \frac{1}{3} \| 2 x - 4 \|$	=	$- 6$	\| $- 6$
$- \frac{1}{3} \| 2 x - 4 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x - 4 \|$	=	$36$

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

$2 x - 4$	=	$36$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$40$	\|: $2$
x₁	=	$20$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 20 - 4$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $20$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 4$ < 0:

$- (2 x - 4)$	=	$36$
$- 2 x + 4$	=	$36$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$32$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 16) - 4$ = -36 < 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $20$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -4 ≥ 0:

2. Fall: 2x -4 < 0:

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 4$ < 0: