Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 4$ und $g(x) =$ $5 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 4

=

5 x^{2}

|

- 5 x^{2}

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $5 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 20 Somit gilt: S₁( $- 2$ |20)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $5 \cdot {(- 1)}^{2}$ = 5 Somit gilt: S₂( $- 1$ |5)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $5 \cdot 1^{2}$ = 5 Somit gilt: S₃( $1$ |5)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $5 \cdot 2^{2}$ = 20 Somit gilt: S₄( $2$ |20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $15 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $15 x + 5$ gilt m = $15$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 2 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 2 e^{x}

=

15

|

- 15

e^{2 x} - 2 e^{x} - 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $15$ und sind somit parallel zur Geraden y = $15 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{2 x} - 20 e^{x}$ = $- e^{3 x}$

Lösung einblenden

$- e^{2 x} - 20 e^{x}$	=	$- e^{3 x}$	\| $+ e^{3 x}$
$e^{3 x} - e^{2 x} - 20 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 20) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{x}{2 x + 3} + \frac{- 5 x}{2 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{x}{2 x + 3} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} - \frac{5 x}{2 x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} - \frac{5 x}{2 x + 3}$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} \cdot (2 x + 3) - \frac{5 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3)$	=
$x + \frac{(5 x - 1) (2 x + 3)}{2 x + 2} - 5 x$	=
$x + \frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{2 x + 2} - 5 x$	=
$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{2 x + 2} + x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{2 x + 2} + x - 5 x$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + x \cdot (2 x + 2) - 5 x \cdot (2 x + 2)$	=
$10 x^{2} + 13 x - 3 + x (2 x + 2) - 5 x (2 x + 2)$	=
$10 x^{2} + 13 x - 3 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 10 x^{2} - 10 x)$	=
$2 x^{2} + 5 x - 3$	=

$2 x^{2} + 5 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 5+7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 5-7}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 10 x^{3} + 35 x^{2} + 50 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 10 x^{3} + 35 x^{2} + 50 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 10 \cdot {(- 1)}^{3} + 35 \cdot {(- 1)}^{2} + 50 \cdot (- 1) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 10 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 50 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 9 x^{2} + 26 x + 24$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$9 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$
	-( $9 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
		$26 x^{2}$	$+ 50 x$
		-( $26 x^{2}$	$+ 26 x$ )
			$24 x$	$+ 24$
			-( $24 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 10 x^{3} + 35 x^{2} + 50 x + 24$ = $(x^{3} + 9 x^{2} + 26 x + 24) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 9 x^{2} + 26 x + 24) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 26 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 26 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 26 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 7 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 26 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$12 x$	$+ 24$
		-( $12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 26 x + 24$ = $(x^{2} + 7 x + 12) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 7 x + 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 9 \cdot {(- 3)}^{2} + 26 \cdot (- 3) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 26 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 26 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$8 x$	$+ 24$
		-( $8 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 26 x + 24$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 9 \cdot {(- 4)}^{2} + 26 \cdot (- 4) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 26 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 26 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$6 x$	$+ 24$
		-( $6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 26 x + 24$ = $(x^{2} + 5 x + 6) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 5 x + 6) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 4$ ; $- 3$ ; $- 2$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x - 1 | - 4$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x - 1 \| - 4$	=	$- 7$
$- 4 - \frac{1}{2} \| x - 1 \|$	=	$- 7$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{2} \| x - 1 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x - 1 \|$	=	$6$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

$x - 1$	=	$6$	\| $+ 1$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ ≥ 0) genügt:

$7 - 1$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 1$ < 0:

$- (x - 1)$	=	$6$
$- x + 1$	=	$6$	\| $- 1$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ < 0) genügt:

$- 5 - 1$ = -6 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: x -1 ≥ 0:

2. Fall: x -1 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 1$ < 0: