Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 6 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $5 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 6 e^{- 2 x} + 1

=

5 e^{- x}

|

- 5 e^{- x}

- 5 e^{- x} - 6 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 5 e^{- x} - 6 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 5 e^{x} - 6$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $5 e^{- (\ln (6))}$ = 0.833 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |0.833)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 3 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 3 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{9 x}{2 x - 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $3$ }

\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{16 x}{x - 3} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{16 x}{x - 3} - 7$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{16 x}{x - 3} \cdot (2 x - 1) - 7 \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x + \frac{16 x (2 x - 1)}{x - 3} - 14 x + 7$	=
$9 x + \frac{32 x^{2} - 16 x}{x - 3} - 14 x + 7$	=
$\frac{32 x^{2} - 16 x}{x - 3} + 9 x - 14 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{32 x^{2} - 16 x}{x - 3} + 9 x - 14 x + 7$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{32 x^{2} - 16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 9 x \cdot (x - 3) - 14 x \cdot (x - 3) + 7 \cdot (x - 3)$	=
$32 x^{2} - 16 x + 9 x (x - 3) - 14 x (x - 3) + 7 x - 21$	=
$32 x^{2} - 16 x + (9 x^{2} - 27 x) + (- 14 x^{2} + 42 x) + 7 x - 21$	=
$27 x^{2} + 6 x - 21$	=

27 x^{2} + 6 x - 21

= 0 |:3

$9 x^{2} + 2 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{256}}{18}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{256}}{18}$ = $\frac{- 2+16}{18}$ = $\frac{14}{18}$ = $\frac{7}{9}$ ≈ 0.78

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{256}}{18}$ = $\frac{- 2-16}{18}$ = $\frac{- 18}{18}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{7}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 3 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 12 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 12 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
			$8 x$	$- 8$
			-( $8 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x - 8$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 8$
		-( $- 4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 3 \cdot {(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 12 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 12 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$- 2 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$- 10 x^{2}$ )
		$8 x^{2}$	$+ 12 x$
		-( $8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
			$- 4 x$	$- 8$
			-( $- 4 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x - 8$ = $(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 12 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 2 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 12 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
			$4 x$	$- 8$
			-( $4 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x - 8$ = $(x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} - 4 \cdot 1 + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 4 x$	$+ 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 4$
		-( $- 4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 4 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$2 x$	$+ 4$
		-( $2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2^{2} - 4 \cdot 2 + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 4 x$	$+ 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 4 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 2 x$	$+ 4$
		-( $- 2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + x - 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x - 4 | - 9$ = $- 25$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x - 4 \| - 9$	=	$- 25$
$- 9 - \frac{1}{2} \| 4 x - 4 \|$	=	$- 25$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{2} \| 4 x - 4 \|$	=	$- 16$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x - 4 \|$	=	$32$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

$4 x - 4$	=	$32$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 9 - 4$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 4$ < 0:

$- (4 x - 4)$	=	$32$
$- 4 x + 4$	=	$32$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$28$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 7) - 4$ = -32 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -4 ≥ 0:

2. Fall: 4x -4 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 4$ < 0: