Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 6$ und $g(x) =$ $5 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 6

=

5 e^{3 x}

|

- 5 e^{3 x}

e^{6 x} - 5 e^{3 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $5 e^{3 \cdot (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = 30 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |30)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - x^{3}$ parallel zur Geraden y = $4 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x - 5$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 3 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 3 x^{2}

=

4

|

- 4

x^{4} - 3 x^{2} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 6 e^{x}$ = $- 9$

Lösung einblenden

e^{2 x} - 6 e^{x}

=

- 9

|

+ 9

e^{2 x} - 6 e^{x} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ }

$\ln (3)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{- 3 x - 2}{x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{- 3 x - 2}{x + 2} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x}{x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 3 x - 2}{x + 2} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 3 x - 2}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{x + 2}{3 x + 10} \cdot (x + 2) + \frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=
$- 3 x - 2 + \frac{(x + 2) (x + 2)}{3 x + 10} + 2 x$	=
$- 3 x - 2 + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{3 x + 10} + 2 x$	=
$\frac{x^{2} + 4 x + 4}{3 x + 10} - 3 x + 2 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{x^{2} + 4 x + 4}{3 x + 10} - 3 x + 2 x - 2$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{x^{2} + 4 x + 4}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) - 3 x \cdot (3 x + 10) + 2 x \cdot (3 x + 10) - 2 \cdot (3 x + 10)$	=
$x^{2} + 4 x + 4 - 3 x (3 x + 10) + 2 x (3 x + 10) - 6 x - 20$	=
$x^{2} + 4 x + 4 + (- 9 x^{2} - 30 x) + (6 x^{2} + 20 x) - 6 x - 20$	=
$- 2 x^{2} - 12 x - 16$	=

- 2 x^{2} - 12 x - 16

= 0 |:2

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösung x= $- 2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 10 x^{3} + 12 x^{2} + 40 x - 64$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 10 x^{3} + 12 x^{2} + 40 x - 64$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 64$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 10 \cdot {(- 2)}^{3} + 12 \cdot {(- 2)}^{2} + 40 \cdot (- 2) - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 10 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 40 x$	$- 64$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 12 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$
	-( $- 12 x^{3}$	$- 24 x^{2}$ )
		$36 x^{2}$	$+ 40 x$
		-( $36 x^{2}$	$+ 72 x$ )
			$- 32 x$	$- 64$
			-( $- 32 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 10 x^{3} + 12 x^{2} + 40 x - 64$ = $(x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 32$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 12 \cdot 2^{2} + 36 \cdot 2 - 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 36 x$	$- 32$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$16 x$	$- 32$
		-( $16 x$	$- 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 12 \cdot 8^{2} + 36 \cdot 8 - 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 36 x$	$- 32$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$4 x$	$- 32$
		-( $4 x$	$- 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 10 \cdot 2^{3} + 12 \cdot 2^{2} + 40 \cdot 2 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 10 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 40 x$	$- 64$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 8 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$
	-( $- 8 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 40 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
			$32 x$	$- 64$
			-( $32 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 10 x^{3} + 12 x^{2} + 40 x - 64$ = $(x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 8 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$16 x$	$+ 32$
		-( $16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 16 x$	$+ 32$
		-( $- 16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x - 16) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 8 \cdot 8^{2} - 4 \cdot 8 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 32$
		-( $- 4 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 8)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 8)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{4} - 10 \cdot 8^{3} + 12 \cdot 8^{2} + 40 \cdot 8 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 10 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 40 x$	$- 64$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$
-( $x^{4}$	$- 8 x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 40 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
			$8 x$	$- 64$
			-( $8 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 10 x^{3} + 12 x^{2} + 40 x - 64$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8) \cdot (x - 8)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 8$
		-( $- 4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $8$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x + 3 | - 6$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x + 3 \| - 6$	=	$- 12$
$- 6 - \frac{1}{3} \| x + 3 \|$	=	$- 12$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{3} \| x + 3 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x + 3 \|$	=	$18$

1. Fall: $x + 3$ ≥ 0:

$x + 3$	=	$18$	\| $- 3$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 3$ ≥ 0) genügt:

$15 + 3$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 3$ < 0:

$- (x + 3)$	=	$18$
$- x - 3$	=	$18$	\| $+ 3$
$- x$	=	$21$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 21$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 3$ < 0) genügt:

$- 21 + 3$ = -18 < 0

Die Lösung $- 21$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 21$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: x +3 ≥ 0:

2. Fall: x +3 < 0:

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 3$ < 0: