Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - \frac{4}{x}$ und $g(x) =$ $- 3 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - \frac{4}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 4$	=	$- 3 x \cdot x$
$x^{4} - 4$	=	$- 3 x \cdot x$
$x^{4} - 4$	=	$- 3 x^{2}$

x^{4} - 4

=

- 3 x^{2}

|

+ 3 x^{2}

x^{4} + 3 x^{2} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 3 \cdot (- 1)$ = 3 Somit gilt: S₁( $- 1$ |3)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 3 \cdot 1$ = -3 Somit gilt: S₂( $1$ |-3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $6 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x + 7$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

6

|

- 6

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 4$ = $4 e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} + 4

=

4 e^{3 x}

|

- 4 e^{3 x}

e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

$\frac{1}{3} \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

- 1 + \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 13 \cdot 2 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 13 x$	$- 30$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $14 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$15 x$	$- 30$
		-( $15 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 8 \cdot {(- 3)}^{2} - 13 \cdot (- 3) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 13 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 10 x$	$- 30$
		-( $- 10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 3 x - 9 | + 5$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \| 3 x - 9 \| + 5$	=	$- 4$
$5 - \| 3 x - 9 \|$	=	$- 4$	\| $- 5$
$- \| 3 x - 9 \|$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$\| 3 x - 9 \|$	=	$9$

1. Fall: $3 x - 9$ ≥ 0:

$3 x - 9$	=	$9$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 6 - 9$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 9$ < 0:

$- (3 x - 9)$	=	$9$
$- 3 x + 9$	=	$9$	\| $- 9$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (0) - 9$ = -9 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -9 ≥ 0:

2. Fall: 3x -9 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 9$ < 0: