Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - e^{2 x}$ und $g(x) =$ $42 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - e^{2 x}$	=	$42 e^{- x}$	\| $- 42 e^{- x}$
$e^{5 x} - e^{2 x} - 42 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 42) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $42 e^{- (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 21.956 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |21.956)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 + 4 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 + 4 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $- 12 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 8 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$- 12 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 8 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$4 (- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 5 e^{2 x} - 6 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 5 e^{2 x} - 6 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 5 e^{x} - 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 5 e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{x - 1}{3 x - 9} + \frac{5 x}{- 3 x + 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $3$ }

\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{x - 1}{3 x - 9} + \frac{5 x}{- 3 x + 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{x - 1}{3 x - 9} + \frac{5 x}{- 3 x + 8}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{4 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{x - 1}{3 x - 9} \cdot (3 x - 8) + \frac{5 x}{- 3 x + 8} \cdot (3 x - 8)$	=
$4 x + \frac{(x - 1) (3 x - 8)}{3 x - 9} + \frac{5 x (3 x - 8)}{- 3 x + 8}$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{3 x - 9} + \frac{15 x^{2} - 40 x}{- 3 x + 8}$	=
$\frac{15 x^{2} - 40 x}{- 3 x + 8} + \frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{3 x - 9} + 4 x$	=

\frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{3 x - 9} + \frac{15 x^{2} - 40 x}{- 3 x + 8} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{3 x - 9} + \frac{15 x^{2} - 40 x}{- 3 x + 8} + 4 x$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) + \frac{15 x^{2} - 40 x}{- 3 x + 8} \cdot (3 x - 9) + 4 x \cdot (3 x - 9)$	=
$3 x^{2} - 11 x + 8 + \frac{(15 x^{2} - 40 x) (3 x - 9)}{- 3 x + 8} + 4 x (3 x - 9)$	=
$3 x^{2} - 11 x + 8 + \frac{45 x^{3} - 255 x^{2} + 360 x}{- 3 x + 8} + (12 x^{2} - 36 x)$	=
$\frac{45 x^{3} - 255 x^{2} + 360 x}{- 3 x + 8} + 3 x^{2} + 12 x^{2} - 11 x - 36 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 8$ weg!

$\frac{45 x^{3} - 255 x^{2} + 360 x}{- 3 x + 8} + 3 x^{2} + 12 x^{2} - 11 x - 36 x + 8$	=	\|⋅( $- 3 x + 8$ )
$\frac{45 x^{3} - 255 x^{2} + 360 x}{- 3 x + 8} \cdot (- 3 x + 8) + 3 x^{2} \cdot (- 3 x + 8) + 12 x^{2} \cdot (- 3 x + 8) - 11 x \cdot (- 3 x + 8) - 36 x \cdot (- 3 x + 8) + 8 \cdot (- 3 x + 8)$	=
$45 x^{3} - 255 x^{2} + 360 x + 3 x^{2} (- 3 x + 8) + 12 x^{2} (- 3 x + 8) - 11 x (- 3 x + 8) - 36 x (- 3 x + 8) - 24 x + 64$	=
$45 x^{3} - 255 x^{2} + 360 x + (- 9 x^{3} + 24 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 96 x^{2}) + (33 x^{2} - 88 x) + (108 x^{2} - 288 x) - 24 x + 64$	=
$6 x^{2} - 40 x + 64$	=

6 x^{2} - 40 x + 64

= 0 |:2

$3 x^{2} - 20 x + 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 384}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{20+4}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{20-4}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 15 \cdot (- 1) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 15 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 15 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$7 x$	$+ 7$
		-( $7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 9 \cdot {(- 7)}^{2} + 15 \cdot (- 7) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 15 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 15 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$x$	$+ 7$
		-( $x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 2 | - 6$ = 0

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 2 \| - 6$	=	0
$- 6 + \| - 2 x + 2 \|$	=	0	\| $+ 6$
$\| - 2 x + 2 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

$- 2 x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 2) + 2$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0:

$- (- 2 x + 2)$	=	$6$
$2 x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 4 + 2$ = -6 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +2 ≥ 0:

2. Fall: -2x +2 < 0:

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0: