Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 3 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $18$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 3 e^{3 x}

=

18

|

- 18

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $18$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |18)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $3 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x + 3$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 2 e^{2 x}

=

3

|

- 3

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{- 4 x} - 3) \cdot (x^{3} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{- 4 x} - 3) (x^{3} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{- 4 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 e^{- 4 x}$	=	$3$	\|: $4$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 0.0719

2. Fall:

$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{- 4}{x} + \frac{- 3 x - 2}{x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{- 3 x - 2 + 2 x}{x + 2} - \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 3 x - 2 + 2 x}{x + 2} - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 3 x - 2 + 2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) - \frac{4}{x} \cdot (x + 2)$	=
$- 3 x - 2 + 2 x - 4 \frac{x + 2}{x}$	=
$- 4 \frac{x + 2}{x} - 3 x + 2 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 \frac{x + 2}{x} - 3 x + 2 x - 2$	=	\|⋅( $x$ )
$- 4 \frac{x + 2}{x} \cdot x - 3 x \cdot x + 2 x \cdot x - 2 \cdot x$	=
$- 4 x - 8 - 3 x \cdot x + 2 x \cdot x - 2 x$	=
$- 4 x - 8 - 3 x^{2} + 2 x^{2} - 2 x$	=
$- x^{2} - 6 x - 8$	=

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösung x= $- 2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 18$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$- 18$
		-( $9 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x - 4 | + 9$ = $19$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x - 4 \| + 9$	=	$19$
$9 + \frac{1}{2} \| - 2 x - 4 \|$	=	$19$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| - 2 x - 4 \|$	=	$10$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$20$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$20$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$24$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 12) - 4$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $- 12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$20$
$2 x + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 8 - 4$ = -20 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 12$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: