Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + 4 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $4 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + 4 e^{2 x}$	=	$4 e^{5 x}$	\| $- 4 e^{5 x}$
$e^{8 x} - 4 e^{5 x} + 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 4) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

$\frac{1}{3} \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $4 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = 12.699 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |12.699)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{11}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 30 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 30 x - 1$ gilt m = $- 30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{11}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 11 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 11 e^{2 x}

=

- 30

|

+ 30

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 30 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 36$ = $5 x^{2}$

Lösung einblenden

x^{4} - 36

=

5 x^{2}

|

- 5 x^{2}

x^{4} - 5 x^{2} - 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x - 9} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $3$ }

\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{x - 1}{3 x - 9} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{x - 1}{3 x - 9} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{x - 1}{3 x - 9} \cdot (3 x - 10) - 4 \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x - 2 + \frac{(x - 1) (3 x - 10)}{3 x - 9} - 12 x + 40$	=
$2 x - 2 + \frac{3 x^{2} - 13 x + 10}{3 x - 9} - 12 x + 40$	=
$\frac{3 x^{2} - 13 x + 10}{3 x - 9} + 2 x - 12 x - 2 + 40$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 10}{3 x - 9} + 2 x - 12 x - 2 + 40$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{3 x^{2} - 13 x + 10}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) + 2 x \cdot (3 x - 9) - 12 x \cdot (3 x - 9) - 2 \cdot (3 x - 9) + 40 \cdot (3 x - 9)$	=
$3 x^{2} - 13 x + 10 + 2 x (3 x - 9) - 12 x (3 x - 9) - 6 x + 18 + 120 x - 360$	=
$3 x^{2} - 13 x + 10 + (6 x^{2} - 18 x) + (- 36 x^{2} + 108 x) - 6 x + 18 + 120 x - 360$	=
$- 27 x^{2} + 191 x - 332$	=

$- 27 x^{2} + 191 x - 332$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 191 \pm \sqrt{191^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot (- 332)}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{- 191 \pm \sqrt{36 481 - 35 856}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{- 191 \pm \sqrt{625}}{- 54}$

x₁ = $\frac{- 191 + \sqrt{625}}{- 54}$ = $\frac{- 191+25}{- 54}$ = $\frac{- 166}{- 54}$ = $\frac{83}{27}$ ≈ 3.07

x₂ = $\frac{- 191 - \sqrt{625}}{- 54}$ = $\frac{- 191-25}{- 54}$ = $\frac{- 216}{- 54}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{83}{27}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $10$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$+ 10$
		-( $5 x$	$+ 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x + 9 | - 4$ = $- 19$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x + 9 \| - 4$	=	$- 19$
$- 4 - \| - 3 x + 9 \|$	=	$- 19$	\| $+ 4$
$- \| - 3 x + 9 \|$	=	$- 15$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x + 9 \|$	=	$15$

1. Fall: $- 3 x + 9$ ≥ 0:

$- 3 x + 9$	=	$15$	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 2) + 9$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 9$ < 0:

$- (- 3 x + 9)$	=	$15$
$3 x - 9$	=	$15$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 9$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 8 + 9$ = -15 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +9 ≥ 0:

2. Fall: -3x +9 < 0:

1. Fall: $- 3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 9$ < 0: