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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 7$ und $g(x) =$ $- 6 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 7

=

- 6 e^{2 x}

|

+ 6 e^{2 x}

e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 6 e^{2 \cdot 0}$ = -6 Somit gilt: S₁(0|-6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 2$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

6

|

- 6

e^{4 x} - e^{2 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(5 e^{5 x} - 2) \cdot (x^{3} - x)$ = 0

Lösung einblenden

(5 e^{5 x} - 2) (x^{3} - x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{5 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$5 e^{5 x}$	=	$2$	\|: $5$
$e^{5 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{2}{5})$	≈ -0.1833

2. Fall:

$x^{3} - x$	=	0
$x (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{5} \ln (\frac{2}{5})$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{4 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} \cdot (2 x + 4) - 6 \cdot (2 x + 4)$	=
$4 x + \frac{(2 x + 2) (2 x + 4)}{2 x + 5} - 12 x - 24$	=
$4 x + \frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{2 x + 5} - 12 x - 24$	=
$\frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{2 x + 5} + 4 x - 12 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{2 x + 5} + 4 x - 12 x - 24$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 4 x \cdot (2 x + 5) - 12 x \cdot (2 x + 5) - 24 \cdot (2 x + 5)$	=
$4 x^{2} + 12 x + 8 + 4 x (2 x + 5) - 12 x (2 x + 5) - 48 x - 120$	=
$4 x^{2} + 12 x + 8 + (8 x^{2} + 20 x) + (- 24 x^{2} - 60 x) - 48 x - 120$	=
$- 12 x^{2} - 76 x - 112$	=

- 12 x^{2} - 76 x - 112

= 0 |:4

$- 3 x^{2} - 19 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{19+5}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{19-5}{- 6}$ = $\frac{14}{- 6}$ = $- \frac{7}{3}$ ≈ -2.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{7}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 10$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 10$
		-( $5 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 10$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 6 | - 3$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \| 2 x - 6 \| - 3$	=	$- 7$
$- 3 - \| 2 x - 6 \|$	=	$- 7$	\| $+ 3$
$- \| 2 x - 6 \|$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 6 \|$	=	$4$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

$2 x - 6$	=	$4$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 5 - 6$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 6$ < 0:

$- (2 x - 6)$	=	$4$
$- 2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot 1 - 6$ = -4 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -6 ≥ 0:

2. Fall: 2x -6 < 0:

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 6$ < 0: