Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ $\frac{1}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4}$	=	$\frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2}$	=	$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2}$	=	$1$
$x^{6}$	=	$1$

$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$ = 1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |1)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $\frac{1}{1^{2}}$ = 1 Somit gilt: S₂( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 1 + x \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 2$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 1 + x \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $e^{- 3 x} + 2 - 3 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$e^{- 3 x} + 2 - 3 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$e^{- 3 x} + 2 - 2 - 3 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$e^{- 3 x} - 3 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$(- 3 x + 1) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$- 1$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$\frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{7}$ = $x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{7}$	=	$x^{4}$	\| $- x^{4}$
$x^{7} - x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{9 x}{2 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{3 x - 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{3 x - 1} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (2 x - 1) - 6 \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x + \frac{12 x (2 x - 1)}{3 x - 1} - 12 x + 6$	=
$9 x + \frac{24 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} - 12 x + 6$	=
$\frac{24 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} + 9 x - 12 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{24 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} + 9 x - 12 x + 6$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{24 x^{2} - 12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 9 x \cdot (3 x - 1) - 12 x \cdot (3 x - 1) + 6 \cdot (3 x - 1)$	=
$24 x^{2} - 12 x + 9 x (3 x - 1) - 12 x (3 x - 1) + 18 x - 6$	=
$24 x^{2} - 12 x + (27 x^{2} - 9 x) + (- 36 x^{2} + 12 x) + 18 x - 6$	=
$15 x^{2} + 9 x - 6$	=

15 x^{2} + 9 x - 6

= 0 |:3

$5 x^{2} + 3 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{10}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{10}$ = $\frac{- 3+7}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{10}$ = $\frac{- 3-7}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 5 x^{3} - 25 x^{2} - 5 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 5 x^{3} - 25 x^{2} - 5 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 5 \cdot {(- 1)}^{3} - 25 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$	$- 25 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$- 25 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 29 x^{2}$	$- 5 x$
		-( $- 29 x^{2}$	$- 29 x$ )
			$24 x$	$+ 24$
			-( $24 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 5 x^{3} - 25 x^{2} - 5 x + 24$ = $(x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 29 \cdot 1 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 29 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 5 x - 24$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 24 x$	$+ 24$
		-( $- 24 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24$ = $(x^{2} + 5 x - 24) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 5 x - 24) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 4 \cdot 3^{2} - 29 \cdot 3 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 29 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$- 8 x$	$+ 24$
		-( $- 8 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 7 x - 8) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 4 \cdot {(- 8)}^{2} - 29 \cdot (- 8) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 29 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$3 x$	$+ 24$
		-( $3 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 4 x + 3) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 8$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x - 1 | + 9$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x - 1 \| + 9$	=	$3$
$9 + \frac{1}{2} \| x - 1 \|$	=	$3$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| x - 1 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $2$
$\| x - 1 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 8$