Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 12 e^{- x}$ und $g(x) =$ $4 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 12 e^{- x}$	=	$4 e^{2 x}$	\| $- 4 e^{2 x}$
$e^{5 x} - 4 e^{2 x} - 12 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $4 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = 13.208 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |13.208)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 4 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $21 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $21 x - 5$ gilt m = $21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 4 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 4 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 4 e^{x}

=

21

|

- 21

e^{2 x} - 4 e^{x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $21 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + e^{3 x}$ = $42$

Lösung einblenden

e^{6 x} + e^{3 x}

=

42

|

- 42

e^{6 x} + e^{3 x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{12 x}{- 6 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{12 x}{- 6 x + 12}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{12 x}{- 6 x + 12}$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{4 x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) + \frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 6) + \frac{12 x}{- 6 x + 12} \cdot (3 x - 6)$	=
$4 x + \frac{(x + 1) (3 x - 6)}{3 x - 7} + \frac{12 x (3 x - 6)}{- 6 x + 12}$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} + \frac{36 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 12}$	=
$\frac{36 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 12} + \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} + 4 x$	=

\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} + \frac{36 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 12} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} + \frac{36 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 12} + 4 x$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{36 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 12} \cdot (3 x - 7) + 4 x \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + \frac{(36 x^{2} - 72 x) (3 x - 7)}{- 6 x + 12} + 4 x (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + \frac{108 x^{3} - 468 x^{2} + 504 x}{- 6 x + 12} + (12 x^{2} - 28 x)$	=
$\frac{108 x^{3} - 468 x^{2} + 504 x}{- 6 x + 12} + 3 x^{2} + 12 x^{2} - 3 x - 28 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 12$ weg!

$\frac{108 x^{3} - 468 x^{2} + 504 x}{- 6 x + 12} + 3 x^{2} + 12 x^{2} - 3 x - 28 x - 6$	=	\|⋅( $- 6 x + 12$ )
$\frac{108 x^{3} - 468 x^{2} + 504 x}{- 6 x + 12} \cdot (- 6 x + 12) + 3 x^{2} \cdot (- 6 x + 12) + 12 x^{2} \cdot (- 6 x + 12) - 3 x \cdot (- 6 x + 12) - 28 x \cdot (- 6 x + 12) - 6 \cdot (- 6 x + 12)$	=
$108 x^{3} - 468 x^{2} + 504 x + 3 x^{2} (- 6 x + 12) + 12 x^{2} (- 6 x + 12) - 3 x (- 6 x + 12) - 28 x (- 6 x + 12) + 36 x - 72$	=
$108 x^{3} - 468 x^{2} + 504 x + (- 18 x^{3} + 36 x^{2}) + (- 72 x^{3} + 144 x^{2}) + (18 x^{2} - 36 x) + (168 x^{2} - 336 x) + 36 x - 72$	=
$18 x^{3} - 102 x^{2} + 168 x - 72$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $18 x^{3} - 102 x^{2} + 168 x - 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 72$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $18 \cdot 2^{3} - 102 \cdot 2^{2} + 168 \cdot 2 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $18 x^{3}$	$- 102 x^{2}$	$+ 168 x$	$- 72$ )	:	(x $- 2$ )	=	$18 x^{2} - 66 x + 36$
-( $18 x^{3}$	$- 36 x^{2}$ )
	$- 66 x^{2}$	$+ 168 x$
	-( $- 66 x^{2}$	$+ 132 x$ )
		$36 x$	$- 72$
		-( $36 x$	$- 72$ )
			0

es gilt also:

$18 x^{3} - 102 x^{2} + 168 x - 72$ = $(18 x^{2} - 66 x + 36) \cdot (x - 2)$

(18 x^{2} - 66 x + 36) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

18 x^{2} - 66 x + 36

= 0 |:6

$3 x^{2} - 11 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{11+7}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{11-7}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $18 \cdot 3^{3} - 102 \cdot 3^{2} + 168 \cdot 3 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $18 x^{3}$	$- 102 x^{2}$	$+ 168 x$	$- 72$ )	:	(x $- 3$ )	=	$18 x^{2} - 48 x + 24$
-( $18 x^{3}$	$- 54 x^{2}$ )
	$- 48 x^{2}$	$+ 168 x$
	-( $- 48 x^{2}$	$+ 144 x$ )
		$24 x$	$- 72$
		-( $24 x$	$- 72$ )
			0

es gilt also:

$18 x^{3} - 102 x^{2} + 168 x - 72$ = $(18 x^{2} - 48 x + 24) \cdot (x - 3)$

(18 x^{2} - 48 x + 24) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

18 x^{2} - 48 x + 24

= 0 |:6

$3 x^{2} - 8 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8+4}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8-4}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 6 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 6 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 6 \cdot (- 1) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$+ 6$
		-( $6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 6 x + 6$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x + 6 | - 2$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x + 6 \| - 2$	=	$- 5$
$- 2 - \frac{1}{3} \| 3 x + 6 \|$	=	$- 5$	\| $+ 2$
$- \frac{1}{3} \| 3 x + 6 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x + 6 \|$	=	$9$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

$3 x + 6$	=	$9$	\| $- 6$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 1 + 6$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 6$ < 0:

$- (3 x + 6)$	=	$9$
$- 3 x - 6$	=	$9$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 5) + 6$ = -9 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 3

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +6 ≥ 0:

2. Fall: 3x +6 < 0:

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 6$ < 0: