Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{63}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} - \frac{63}{x^{2}}$	=	$2$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} - \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$2 \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} - 63$	=	$2 x^{2}$
$x^{4} - 63$	=	$2 x^{2}$

x^{4} - 63

=

2 x^{2}

|

- 2 x^{2}

x^{4} - 2 x^{2} - 63

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $2$ Somit gilt: S₁( $- 3$ |2)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $2$ Somit gilt: S₂( $3$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 3 x - 6$ gilt m = $- 3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 4 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 4 e^{2 x}

=

- 3

|

+ 3

e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 3 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 10 e^{x}$ = $- 3 e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 10 e^{x}$	=	$- 3 e^{4 x}$	\| $+ 3 e^{4 x}$
$e^{7 x} + 3 e^{4 x} - 10 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 8} + \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 11 x + 1}{3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{x}{3 x + 8} + \frac{- 11 x + 1}{3 x + 3} + \frac{3 x}{x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{x}{3 x + 8} + \frac{- 11 x + 1}{3 x + 3} + \frac{3 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{- 11 x + 1}{3 x + 3} \cdot (3 x + 8) + \frac{3 x}{x + 1} \cdot (3 x + 8)$	=
$x + \frac{(- 11 x + 1) (3 x + 8)}{3 x + 3} + \frac{3 x (3 x + 8)}{x + 1}$	=
$x + \frac{- 33 x^{2} - 85 x + 8}{3 x + 3} + \frac{9 x^{2} + 24 x}{x + 1}$	=
$\frac{9 x^{2} + 24 x}{x + 1} + \frac{- 33 x^{2} - 85 x + 8}{3 x + 3} + x$	=

\frac{- 33 x^{2} - 85 x + 8}{3 x + 3} + \frac{9 x^{2} + 24 x}{x + 1} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{- 33 x^{2} - 85 x + 8}{3 x + 3} + \frac{9 x^{2} + 24 x}{x + 1} + x$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{- 33 x^{2} - 85 x + 8}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + \frac{9 x^{2} + 24 x}{x + 1} \cdot (3 (x + 1)) + x \cdot (3 x + 3)$	=
$- 33 x^{2} - 85 x + 8 + 27 x^{2} + 72 x + x (3 x + 3)$	=
$- 33 x^{2} - 85 x + 8 + 27 x^{2} + 72 x + (3 x^{2} + 3 x)$	=
$- 3 x^{2} - 10 x + 8$	=

$- 3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 8}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{10+14}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{10-14}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{2}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x - 2 | + 7$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 2 \| + 7$	=	$- 5$
$7 - \frac{1}{2} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 5$	\| $- 7$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$24$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$26$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 13) - 2$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$24$
$2 x + 2$	=	$24$	\| $- 2$
$2 x$	=	$22$	\|: $2$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 11 - 2$ = -24 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: