Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 2 e^{x}$ und $g(x) =$ $8 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 2 e^{x}$	=	$8 e^{- 2 x}$	\| $- 8 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} - 2 e^{x} - 8 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 8) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $8 e^{- 2 \cdot (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = 3.175 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |3.175)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{5}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $14 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $14 x - 2$ gilt m = $14$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{5}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 5 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 5 e^{2 x}

=

14

|

- 14

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $14$ und sind somit parallel zur Geraden y = $14 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 7 x^{3} - 8$ = 0

Lösung einblenden

x^{6} + 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{x}{2 x + 3} + \frac{9 x}{- 6 x - 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- \frac{5}{3}$ }

\frac{x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{9 x}{- 6 x - 9}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{9 x}{- 6 x - 9}$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} \cdot (2 x + 3) + \frac{9 x}{- 3 (2 x + 3)} \cdot (2 x + 3)$	=
$x + \frac{(3 x + 1) (2 x + 3)}{3 x + 5} - 3 x$	=
$x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} - 3 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} + x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} + x - 3 x$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5) - 3 x \cdot (3 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 3 + x (3 x + 5) - 3 x (3 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 3 + (3 x^{2} + 5 x) + (- 9 x^{2} - 15 x)$	=
$x + 3$	=

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- x$
	-( $7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- x$
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 3 x$	$- 6$
		-( $- 3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + x - 3) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | x + 5 | - 3$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \| x + 5 \| - 3$	=	$- 5$
$- 3 - \| x + 5 \|$	=	$- 5$	\| $+ 3$
$- \| x + 5 \|$	=	$- 2$	\|: $(- 1)$
$\| x + 5 \|$	=	$2$

1. Fall: $x + 5$ ≥ 0:

$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 5$ ≥ 0) genügt:

$- 3 + 5$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 5$ < 0:

$- (x + 5)$	=	$2$
$- x - 5$	=	$2$	\| $+ 5$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 5$ < 0) genügt:

$- 7 + 5$ = -2 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: x +5 ≥ 0:

2. Fall: x +5 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $x + 5$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 5$ < 0: