Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 7 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $8$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 7 e^{- 2 x}

=

8

|

- 8

e^{2 x} + 7 e^{- 2 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} + 7 e^{- 2 x} - 8$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 7$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $8$ Somit gilt: S₁(0|8)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $8$ Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 6 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 35 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 35 x$ gilt m = $- 35$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 6 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 12 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 12 x

=

- 35

|

+ 35

$x^{2} - 12 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 35$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 35 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(5 e^{3 x} - 2) \cdot (x + 9)$ = 0

Lösung einblenden

(5 e^{3 x} - 2) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{3 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$5 e^{3 x}$	=	$2$	\|: $5$
$e^{3 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{2}{5})$	≈ -0.3054

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $\frac{1}{3} \ln (\frac{2}{5})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x - 1}{3 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{11 x - 1}{3 x} - 4$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{11 x - 1}{3 x} \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$	=
$11 x - 1 - 12 x$	=
$- x - 1$	=

$- x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - 19 \cdot {(- 1)}^{2} - 67 \cdot (- 1) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 67 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- 67 x$
	-( $- 22 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$- 45 x$	$- 45$
		-( $- 45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 19 \cdot 9^{2} - 67 \cdot 9 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 67 x$	$- 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 67 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$5 x$	$- 45$
		-( $5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x + 4 | - 5$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x + 4 \| - 5$	=	$1$
$- 5 + \frac{1}{2} \| - 2 x + 4 \|$	=	$1$	\| $+ 5$
$\frac{1}{2} \| - 2 x + 4 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

$- 2 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 4) + 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0:

$- (- 2 x + 4)$	=	$12$
$2 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 8 + 4$ = -12 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +4 ≥ 0:

2. Fall: -2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0: