Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 10 e^{x}$ und $g(x) =$ $3 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 10 e^{x}$	=	$3 e^{4 x}$	\| $- 3 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 3 e^{4 x} - 10 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 10) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $3 e^{4 \cdot (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = 25.65 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |25.65)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - 4 e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 35 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 35 x + 6$ gilt m = $- 35$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - 4 e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 12 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 12 e^{3 x}

=

- 35

|

+ 35

e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 35

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 35$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 35 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{6 x} - 4) \cdot (x^{4} + 9 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(e^{6 x} - 4) (x^{4} + 9 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{6 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$e^{6 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (4)$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (4)$	≈ 0.231
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$

2. Fall:

$x^{4} + 9 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; 0; $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} + \frac{2 x}{3 x + 7} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x + 7} + \frac{x - 3}{x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 7} + \frac{x - 3}{x} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{2 x}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + \frac{x - 3}{x} \cdot (3 x + 7) - 5 \cdot (3 x + 7)$	=
$2 x + \frac{(x - 3) (3 x + 7)}{x} - 15 x - 35$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{x} - 15 x - 35$	=
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{x} + 2 x - 15 x - 35$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{x} + 2 x - 15 x - 35$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 15 x \cdot x - 35 \cdot x$	=
$3 x^{2} - 2 x - 21 + 2 x \cdot x - 15 x \cdot x - 35 x$	=
$3 x^{2} - 2 x - 21 + 2 x^{2} - 15 x^{2} - 35 x$	=
$- 10 x^{2} - 37 x - 21$	=

$- 10 x^{2} - 37 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{{(- 37)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 369 - 840}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{529}}{- 20}$

x₁ = $\frac{37 + \sqrt{529}}{- 20}$ = $\frac{37+23}{- 20}$ = $\frac{60}{- 20}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{37 - \sqrt{529}}{- 20}$ = $\frac{37-23}{- 20}$ = $\frac{14}{- 20}$ = $- 0,7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,7$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 70 x + 144$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 70 x + 144$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $144$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 70 \cdot 2 + 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 70 x$	$+ 144$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 72$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 70 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 72 x$	$+ 144$
		-( $- 72 x$	$+ 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 70 x + 144$ = $(x^{2} - x - 72) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 72) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1+17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1-17}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} - 3 \cdot {(- 8)}^{2} - 70 \cdot (- 8) + 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 70 x$	$+ 144$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$- 70 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 88 x$ )
		$18 x$	$+ 144$
		-( $18 x$	$+ 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 70 x + 144$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 3 \cdot 9^{2} - 70 \cdot 9 + 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 70 x$	$+ 144$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 70 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 54 x$ )
		$- 16 x$	$+ 144$
		-( $- 16 x$	$+ 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 70 x + 144$ = $(x^{2} + 6 x - 16) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 6 x - 16) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 8$ ; $2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x + 15 | - 5$ = $13$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x + 15 \| - 5$	=	$13$
$- 5 - \| - 3 x + 15 \|$	=	$13$	\| $+ 5$
$- \| - 3 x + 15 \|$	=	$18$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x + 15 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $9$