Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 3 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $18 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 3 e^{3 x}$	=	$18 e^{2 x}$	\| $- 18 e^{2 x}$
$e^{4 x} + 3 e^{3 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 18) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $18 e^{2 \cdot (\ln (3))}$ = 162 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |162)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $12 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x + 6$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

12

|

- 12

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 12 e^{5 x} + 35 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 12 e^{5 x} + 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 4}{x} + \frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{- 11 x - 4}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{- 11 x - 4}{2 x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{3 x - 4}{x} + \frac{- 11 x - 4}{2 x}$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{x + 2}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + \frac{3 x - 4}{x} \cdot (2 x + 6) + \frac{- 11 x - 4}{2 x} \cdot (2 x + 6)$	=
$x + 2 + \frac{(3 x - 4) (2 x + 6)}{x} + \frac{(- 11 x - 4) (2 x + 6)}{2 x}$	=
$x + 2 + \frac{6 x^{2} + 10 x - 24}{x} + \frac{- 22 x^{2} - 74 x - 24}{2 x}$	=
$\frac{- 22 x^{2} - 74 x - 24}{2 x} + \frac{6 x^{2} + 10 x - 24}{x} + x + 2$	=

\frac{6 x^{2} + 10 x - 24}{x} + \frac{- 22 x^{2} - 74 x - 24}{2 x} + x + 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 10 x - 24}{x} + \frac{- 22 x^{2} - 74 x - 24}{2 x} + x + 2$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{6 x^{2} + 10 x - 24}{x} \cdot 2 x + \frac{- 22 x^{2} - 74 x - 24}{2 x} \cdot 2 x + x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$	=
$12 x^{2} + 20 x - 48 - 22 x^{2} - 74 x - 24 + 2 x \cdot x + 4 x$	=
$12 x^{2} + 20 x - 48 - 22 x^{2} - 74 x - 24 + 2 x^{2} + 4 x$	=
$- 8 x^{2} - 50 x - 72$	=

- 8 x^{2} - 50 x - 72

= 0 |:2

$- 4 x^{2} - 25 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{25+7}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{25-7}{- 8}$ = $\frac{18}{- 8}$ = $- 2,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,25$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 22 x + 56$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 22 x + 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $56$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 22 \cdot 2 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 22 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 28$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 28 x$	$+ 56$
		-( $- 28 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 22 x + 56$ = $(x^{2} - 3 x - 28) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x - 28) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 5 \cdot {(- 4)}^{2} - 22 \cdot (- 4) + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 22 x$	$+ 56$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$14 x$	$+ 56$
		-( $14 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 22 x + 56$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 5 \cdot 7^{2} - 22 \cdot 7 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 22 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$- 8 x$	$+ 56$
		-( $- 8 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 22 x + 56$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 4$ ; $2$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x + 9 | + 8$ = $26$

Lösung einblenden

$\| 3 x + 9 \| + 8$	=	$26$
$8 + \| 3 x + 9 \|$	=	$26$	\| $- 8$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$18$	\| $- 9$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 3 + 9$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$18$
$- 3 x - 9$	=	$18$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$27$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 9) + 9$ = -18 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: