Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 3 x$ und $g(x) =$ $- 2 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 3 x$	=	$- 2 x^{3}$	\| $+ 2 x^{3}$
$x^{5} + 2 x^{3} - 3 x$	=	0
$x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 2 x^{2} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 2 \cdot {(- 1)}^{3}$ = 2 Somit gilt: S₁( $- 1$ |2)

x₂ = 0: f(0)= $- 2 \cdot 0^{3}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $- 2 \cdot 1^{3}$ = -2 Somit gilt: S₃( $1$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $8 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x - 4$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 2 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 2 x^{2}

=

8

|

- 8

x^{4} - 2 x^{2} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 2 x^{4} + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 2 x^{4} + x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 2 x^{2} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 2-fache Lösung! $1$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{x - 4}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{x}{x + 2} + \frac{x - 4}{x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{x - 4}{x} - 4$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{x - 4}{x} \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{(x - 4) (x + 2)}{x} - 4 x - 8$	=
$x + \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x} - 4 x - 8$	=
$\frac{x^{2} - 2 x - 8}{x} + x - 4 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x - 8}{x} + x - 4 x - 8$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x^{2} - 2 x - 8}{x} \cdot x + x \cdot x - 4 x \cdot x - 8 \cdot x$	=
$x^{2} - 2 x - 8 + x \cdot x - 4 x \cdot x - 8 x$	=
$x^{2} - 2 x - 8 + x^{2} - 4 x^{2} - 8 x$	=
$- 2 x^{2} - 10 x - 8$	=

- 2 x^{2} - 10 x - 8

= 0 |:2

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 8 x^{2} + x - 42$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} + x - 42$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 42$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 8 \cdot 2^{2} + 2 - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ x$	$- 42$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 10 x + 21$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ x$
	-( $10 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$21 x$	$- 42$
		-( $21 x$	$- 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + x - 42$ = $(x^{2} + 10 x + 21) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 10 x + 21) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10+4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10-4}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 8 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ x$	$- 42$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$- 14 x$	$- 42$
		-( $- 14 x$	$- 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + x - 42$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 8 \cdot {(- 7)}^{2} - 7 - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ x$	$- 42$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ x$
	-( $x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 6 x$	$- 42$
		-( $- 6 x$	$- 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + x - 42$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + x - 6) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 3$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x - 8 | + 8$ = $24$

Lösung einblenden

$\| 4 x - 8 \| + 8$	=	$24$
$8 + \| 4 x - 8 \|$	=	$24$	\| $- 8$
$\| 4 x - 8 \|$	=	$16$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

$4 x - 8$	=	$16$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 6 - 8$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 8$ < 0:

$- (4 x - 8)$	=	$16$
$- 4 x + 8$	=	$16$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 2) - 8$ = -16 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -8 ≥ 0:

2. Fall: 4x -8 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 8$ < 0: