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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + \frac{64}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- 16 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + \frac{64}{x^{2}}$	=	$- 16 x$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + \frac{64}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 16 x \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 64$	=	$- 16 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 64$	=	$- 16 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 64$	=	$- 16 x^{3}$

x^{6} + 64

=

- 16 x^{3}

|

+ 16 x^{3}

x^{6} + 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 16 \cdot (- 2)$ = 32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 1$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 3 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$(- x^{2} + 8 x) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $8$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 18 x^{2} + 81$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 18 x^{2} + 81

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 18 u + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{18}{2}$ = $9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung! $3$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{x} + \frac{6 x}{3 x + 3} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{6 x}{3 x + 3} + \frac{x - 2}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 3} + \frac{x - 2}{x} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{6 x}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + \frac{x - 2}{x} \cdot (3 x + 3) - 6 \cdot (3 x + 3)$	=
$6 x + \frac{(x - 2) (3 x + 3)}{x} - 18 x - 18$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{x} - 18 x - 18$	=
$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{x} + 6 x - 18 x - 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{x} + 6 x - 18 x - 18$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{x} \cdot x + 6 x \cdot x - 18 x \cdot x - 18 \cdot x$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + 6 x \cdot x - 18 x \cdot x - 18 x$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + 6 x^{2} - 18 x^{2} - 18 x$	=
$- 9 x^{2} - 21 x - 6$	=

- 9 x^{2} - 21 x - 6

= 0 |:3

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7+5}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7-5}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x + 2 | + 2$ = $- 2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x + 2 \| + 2$	=	$- 2$
$2 + \frac{1}{3} \| - x + 2 \|$	=	$- 2$	\| $- 2$
$\frac{1}{3} \| - x + 2 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $3$
$\| - x + 2 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen