Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x$ und $g(x) =$ $\frac{4}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x$	=	$\frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x$	=	$\frac{4}{x} \cdot x$
$x \cdot x$	=	$4$
$x^{2}$	=	$4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{4}{(- 2)}$ = -2 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-2)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{4}{2}$ = 2 Somit gilt: S₂( $2$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 18 x$ = $7 x^{3}$

Lösung einblenden

$x^{5} - 18 x$	=	$7 x^{3}$	\| $- 7 x^{3}$
$x^{5} - 7 x^{3} - 18 x$	=	0
$x (x^{4} - 7 x^{2} - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 7 x^{2} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{- 40 x}{2 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{12 x}{x + 3} + \frac{5 x + 1}{3 x} - \frac{40 x}{2 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{5 x + 1}{3 x} - \frac{40 x}{2 x + 6}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{5 x + 1}{3 x} \cdot (x + 3) - \frac{40 x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=
$12 x + \frac{(5 x + 1) (x + 3)}{3 x} - 20 x$	=
$12 x + \frac{5 x^{2} + 16 x + 3}{3 x} - 20 x$	=
$\frac{5 x^{2} + 16 x + 3}{3 x} + 12 x - 20 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 16 x + 3}{3 x} + 12 x - 20 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} + 16 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 12 x \cdot 3 x - 20 x \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} + 16 x + 3 + 36 x \cdot x - 60 x \cdot x$	=
$5 x^{2} + 16 x + 3 + 36 x^{2} - 60 x^{2}$	=
$- 19 x^{2} + 16 x + 3$	=

$- 19 x^{2} + 16 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot 3}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 228}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{484}}{- 38}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{484}}{- 38}$ = $\frac{- 16+22}{- 38}$ = $\frac{6}{- 38}$ = $- \frac{3}{19}$ ≈ -0.16

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{484}}{- 38}$ = $\frac{- 16-22}{- 38}$ = $\frac{- 38}{- 38}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{3}{19}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 12 x^{2} + 29 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 12 x^{2} + 29 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 12 \cdot {(- 1)}^{2} + 29 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
		$18 x$	$+ 18$
		-( $18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 29 x + 18$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 12 \cdot {(- 2)}^{2} + 29 \cdot (- 2) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$9 x$	$+ 18$
		-( $9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 29 x + 18$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 10 x + 9) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 12 \cdot {(- 9)}^{2} + 29 \cdot (- 9) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 27 x$ )
		$2 x$	$+ 18$
		-( $2 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 29 x + 18$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x + 4 | - 2$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x + 4 \| - 2$	=	$- 8$
$- 2 - \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 8$	\| $+ 2$
$- \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 6$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

$- 2 x + 4$	=	$6$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 1) + 4$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0:

$- (- 2 x + 4)$	=	$6$
$2 x - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 5 + 4$ = -6 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +4 ≥ 0:

2. Fall: -2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0: