Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $1$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}

=

1

|

- 1

e^{2 x} - 2 e^{- 2 x} - 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 2 e^{- 2 x} - 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - e^{2 x} - 2$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $1$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 2 + 9 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 4$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 2 + 9 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $9 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$9 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$9 e^{\frac{1}{3} x} + 1 - 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$9 e^{\frac{1}{3} x} + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$3 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{- 2 x} + 7) \cdot (x^{4} - 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{- 2 x} + 7) (x^{4} - 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{- 2 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 3 e^{- 2 x}$	=	$- 7$	\|: $- 3$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{7}{3}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{7}{3})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{7}{3})$	≈ -0.4236

2. Fall:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{7}{3})$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{2 x + 1} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{12 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 4 \cdot (2 x + 1)$	=
$12 x - 8 x - 4$	=
$4 x - 4$	=

$4 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 15 x^{2} + 66 x + 80$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 15 x^{2} + 66 x + 80$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $80$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{2} + 66 \cdot (- 2) + 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 66 x$	$+ 80$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 13 x + 40$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$13 x^{2}$	$+ 66 x$
	-( $13 x^{2}$	$+ 26 x$ )
		$40 x$	$+ 80$
		-( $40 x$	$+ 80$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 15 x^{2} + 66 x + 80$ = $(x^{2} + 13 x + 40) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 13 x + 40) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13+3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13-3}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 15 \cdot {(- 5)}^{2} + 66 \cdot (- 5) + 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 66 x$	$+ 80$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 66 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 50 x$ )
		$16 x$	$+ 80$
		-( $16 x$	$+ 80$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 15 x^{2} + 66 x + 80$ = $(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 10 x + 16) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 15 \cdot {(- 8)}^{2} + 66 \cdot (- 8) + 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 66 x$	$+ 80$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 66 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 56 x$ )
		$10 x$	$+ 80$
		-( $10 x$	$+ 80$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 15 x^{2} + 66 x + 80$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 7 x + 10) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 5$ ; $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x - 6 | + 4$ = $13$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 3 x - 6 \| + 4$	=	$13$
$4 + \frac{1}{3} \| - 3 x - 6 \|$	=	$13$	\| $- 4$
$\frac{1}{3} \| - 3 x - 6 \|$	=	$9$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x - 6 \|$	=	$27$

1. Fall: $- 3 x - 6$ ≥ 0:

$- 3 x - 6$	=	$27$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 11) - 6$ = 27 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 6$ < 0:

$- (- 3 x - 6)$	=	$27$
$3 x + 6$	=	$27$	\| $- 6$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 7 - 6$ = -27 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -6 ≥ 0:

2. Fall: -3x -6 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- 3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 6$ < 0: