Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 4 e^{x}$ und $g(x) =$ $12 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 4 e^{x}$	=	$12 e^{- 2 x}$	\| $- 12 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} + 4 e^{x} - 12 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 12) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $12 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = 7.56 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |7.56)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - 3 e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 20 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 20 x - 4$ gilt m = $- 20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - 3 e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 9 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 9 e^{3 x}

=

- 20

|

+ 20

e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 20 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + e^{5 x} - 6 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} + e^{5 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 6) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 3} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 3$ }

\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{x + 3} - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{x + 3} - 2$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{4 x}{x + 3} \cdot (2 x + 1) - 2 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{4 x (2 x + 1)}{x + 3} - 4 x - 2$	=
$3 x + \frac{8 x^{2} + 4 x}{x + 3} - 4 x - 2$	=
$\frac{8 x^{2} + 4 x}{x + 3} + 3 x - 4 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 4 x}{x + 3} + 3 x - 4 x - 2$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x^{2} + 4 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 3 x \cdot (x + 3) - 4 x \cdot (x + 3) - 2 \cdot (x + 3)$	=
$8 x^{2} + 4 x + 3 x (x + 3) - 4 x (x + 3) - 2 x - 6$	=
$8 x^{2} + 4 x + (3 x^{2} + 9 x) + (- 4 x^{2} - 12 x) - 2 x - 6$	=
$7 x^{2} - x - 6$	=

$7 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{14}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{14}$ = $\frac{1+13}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{14}$ = $\frac{1-13}{14}$ = $\frac{- 12}{14}$ = $- \frac{6}{7}$ ≈ -0.86

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{6}{7}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 15 \cdot (- 1) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 15 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 15 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$7 x$	$+ 7$
		-( $7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 9 \cdot {(- 7)}^{2} + 15 \cdot (- 7) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 15 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 15 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$x$	$+ 7$
		-( $x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x + 4 | + 7$ = $27$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \| + 7$	=	$27$
$7 + \frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$27$	\| $- 7$
$\frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$20$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$60$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$60$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$56$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 14) + 4$ = 60 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$60$
$4 x - 4$	=	$60$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$64$	\|: $4$
x₂	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 16 + 4$ = -60 < 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $16$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: