Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 20 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 20 e^{2 x}$	=	$- e^{5 x}$	\| $+ e^{5 x}$
$e^{8 x} + e^{5 x} - 20 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 20) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $- e^{5 \cdot (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = -10.079 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |-10.079)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{7}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $18 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $18 x + 4$ gilt m = $18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{7}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 7 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 7 x^{2}

=

18

|

- 18

x^{4} - 7 x^{2} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $18 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{x + 1}{2 x + 4} + \frac{x - 1}{- 3 x - 7}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{7}{3}$ }

\frac{x + 1}{2 x + 4} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{x - 1}{- 3 x - 7}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{x + 1}{2 x + 4} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{x - 1}{- 3 x - 7}$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{x + 1}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (2 x + 4) + \frac{x - 1}{- 3 x - 7} \cdot (2 x + 4)$	=
$x + 1 + \frac{(x + 1) (2 x + 4)}{3 x + 7} + \frac{(x - 1) (2 x + 4)}{- 3 x - 7}$	=
$x + 1 + \frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{3 x + 7} + \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{- 3 x - 7}$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{- 3 x - 7} + \frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{3 x + 7} + x + 1$	=

\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{3 x + 7} + \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{- 3 x - 7} + x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{3 x + 7} + \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{- 3 x - 7} + x + 1$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{- (3 x + 7)} \cdot (3 x + 7) + x \cdot (3 x + 7) + 1 \cdot (3 x + 7)$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 - 2 x^{2} - 2 x + 4 + x (3 x + 7) + 3 x + 7$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 - 2 x^{2} - 2 x + 4 + (3 x^{2} + 7 x) + 3 x + 7$	=
$3 x^{2} + 14 x + 15$	=

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 7 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 4 x$	$- 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 4 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$12 x$	$- 12$
		-( $12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 7 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 4 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 4 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 6 x$	$- 12$
		-( $- 6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 7 \cdot {(- 6)}^{2} + 4 \cdot (- 6) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 4 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 4 x$
	-( $x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 2 x$	$- 12$
		-( $- 2 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + x - 2) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x + 3 | - 4$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x + 3 \| - 4$	=	$- 10$
$- 4 - \frac{1}{2} \| x + 3 \|$	=	$- 10$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{2} \| x + 3 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x + 3 \|$	=	$12$

1. Fall: $x + 3$ ≥ 0:

$x + 3$	=	$12$	\| $- 3$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 3$ ≥ 0) genügt:

$9 + 3$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 3$ < 0:

$- (x + 3)$	=	$12$
$- x - 3$	=	$12$	\| $+ 3$
$- x$	=	$15$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 3$ < 0) genügt:

$- 15 + 3$ = -12 < 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: x +3 ≥ 0:

2. Fall: x +3 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 3$ < 0: