Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 2$ und $g(x) =$ $3 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 2

=

3 e^{- x}

|

- 3 e^{- x}

e^{x} - 3 e^{- x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 3 e^{- x} - 2$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 2 e^{x} - 3$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $3 e^{- (\ln (3))}$ = 1 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 4 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 3$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 4 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $12 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$12 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$12 e^{- \frac{1}{4} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{2} + 1$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 2 x^{2} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung! $1$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 3} + \frac{12 x}{3 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $- 3$ }

\frac{12 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{x + 3} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{x + 3} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{12 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{4 x}{x + 3} \cdot (3 x + 1) - 4 \cdot (3 x + 1)$	=
$12 x + \frac{4 x (3 x + 1)}{x + 3} - 12 x - 4$	=
$12 x + \frac{12 x^{2} + 4 x}{x + 3} - 12 x - 4$	=
$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x + 3} + 12 x - 12 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x + 3} + 12 x - 12 x - 4$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 12 x \cdot (x + 3) - 12 x \cdot (x + 3) - 4 \cdot (x + 3)$	=
$12 x^{2} + 4 x + 12 x (x + 3) - 12 x (x + 3) - 4 x - 12$	=
$12 x^{2} + 4 x + (12 x^{2} + 36 x) + (- 12 x^{2} - 36 x) - 4 x - 12$	=
$12 x^{2} - 12$	=

$12 x^{2} - 12$	=	0	\| $+ 12$
$12 x^{2}$	=	$12$	\|: $12$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 13 x^{2} + 52 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 13 x^{2} + 52 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 13 \cdot {(- 2)}^{2} + 52 \cdot (- 2) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 52 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 11 x + 30$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 52 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$30 x$	$+ 60$
		-( $30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 52 x + 60$ = $(x^{2} + 11 x + 30) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 11 x + 30) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11+1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11-1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 13 \cdot {(- 5)}^{2} + 52 \cdot (- 5) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 52 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 52 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 40 x$ )
		$12 x$	$+ 60$
		-( $12 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 52 x + 60$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 13 \cdot {(- 6)}^{2} + 52 \cdot (- 6) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 52 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 52 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$10 x$	$+ 60$
		-( $10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 52 x + 60$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 7 x + 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 5$ ; $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x + 4 | - 6$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x + 4 \| - 6$	=	$2$
$- 6 + \frac{1}{2} \| 4 x + 4 \|$	=	$2$	\| $+ 6$
$\frac{1}{2} \| 4 x + 4 \|$	=	$8$	\|⋅ $2$
$\| 4 x + 4 \|$	=	$16$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

$4 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 3 + 4$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 4$ < 0:

$- (4 x + 4)$	=	$16$
$- 4 x - 4$	=	$16$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 5) + 4$ = -16 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +4 ≥ 0:

2. Fall: 4x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 4$ < 0: