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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 28$ und $g(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 28

=

- 3 e^{3 x}

|

+ 3 e^{3 x}

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $- 3 e^{3 \cdot (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = -12 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |-12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $3 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x - 7$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 2 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 2 e^{x}

=

3

|

- 3

e^{2 x} - 2 e^{x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{5 x + 1}{2 x - 2} - 5 + \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{5 x + 1}{2 x - 2} - 5 + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{5 x + 1}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) - 5 \cdot (2 x - 2) + \frac{3}{x} \cdot (2 x - 2)$	=
$5 x + 1 - 10 x + 10 + 3 \frac{2 x - 2}{x}$	=
$3 \frac{2 x - 2}{x} + 5 x - 10 x + 1 + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 \frac{2 x - 2}{x} + 5 x - 10 x + 1 + 10$	=	\|⋅( $x$ )
$3 \frac{2 x - 2}{x} \cdot x + 5 x \cdot x - 10 x \cdot x + 1 \cdot x + 10 \cdot x$	=
$6 x - 6 + 5 x \cdot x - 10 x \cdot x + x + 10 x$	=
$6 x - 6 + 5 x^{2} - 10 x^{2} + x + 10 x$	=
$- 5 x^{2} + 17 x - 6$	=

$- 5 x^{2} + 17 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{169}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{169}}{- 10}$ = $\frac{- 17+13}{- 10}$ = $\frac{- 4}{- 10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{169}}{- 10}$ = $\frac{- 17-13}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,4$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 3 x$	$- 18$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 6 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 3 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$9 x$	$- 18$
		-( $9 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ = $(x^{2} + 6 x + 9) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 6 x + 9) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 4 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3) - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 3 x$	$- 18$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 3 x$
	-( $x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 6 x$	$- 18$
		-( $- 6 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + x - 6) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x + 10 | + 6$ = $4$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 2 x + 10 \| + 6$	=	$4$
$6 + \frac{1}{3} \| 2 x + 10 \|$	=	$4$	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| 2 x + 10 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $3$
$\| 2 x + 10 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 3$