Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + 2 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $35 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + 2 e^{2 x}$	=	$35 e^{- x}$	\| $- 35 e^{- x}$
$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 35 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $35 e^{- (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = 20.468 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |20.468)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + 3 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $7 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7 x + 1$ gilt m = $7$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + 3 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 6 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 6 e^{2 x}

=

7

|

- 7

e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $7$ und sind somit parallel zur Geraden y = $7 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 3 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 3 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{12 x}{- 6 x - 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{4}{3}$ }

\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{12 x}{- 6 x - 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{12 x}{- 6 x - 8}$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{4 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{2 x}{3 x + 4} \cdot (2 x + 2) + \frac{12 x}{- 6 x - 8} \cdot (2 x + 2)$	=
$4 x + \frac{2 x (2 x + 2)}{3 x + 4} + \frac{12 x (2 x + 2)}{- 6 x - 8}$	=
$4 x + \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 4} + \frac{24 x^{2} + 24 x}{- 6 x - 8}$	=
$\frac{24 x^{2} + 24 x}{- 6 x - 8} + \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 4} + 4 x$	=

\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 4} + \frac{24 x^{2} + 24 x}{- 6 x - 8} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 4} + \frac{24 x^{2} + 24 x}{- 6 x - 8} + 4 x$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{24 x^{2} + 24 x}{- 2 (3 x + 4)} \cdot (3 x + 4) + 4 x \cdot (3 x + 4)$	=
$4 x^{2} + 4 x - 12 x^{2} - 12 x + 4 x (3 x + 4)$	=
$4 x^{2} + 4 x - 12 x^{2} - 12 x + (12 x^{2} + 16 x)$	=
$4 x^{2} + 8 x$	=

$4 x^{2} + 8 x$	=	0
$4 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 6 \cdot (- 1) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 6 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$16 x$	$+ 16$
		-( $16 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 16$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 6 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$- 8 x$	$+ 16$
		-( $- 8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 16$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 9 \cdot 8^{2} + 6 \cdot 8 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$+ 6 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 2 x$	$+ 16$
		-( $- 2 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 16$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - x - 2) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 1$ ; $2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x + 20 | + 8$ = $24$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x + 20 \| + 8$	=	$24$
$8 + \frac{1}{2} \| - 4 x + 20 \|$	=	$24$	\| $- 8$
$\frac{1}{2} \| - 4 x + 20 \|$	=	$16$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x + 20 \|$	=	$32$

1. Fall: $- 4 x + 20$ ≥ 0:

$- 4 x + 20$	=	$32$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 3) + 20$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 20$ < 0:

$- (- 4 x + 20)$	=	$32$
$4 x - 20$	=	$32$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$52$	\|: $4$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 20$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 13 + 20$ = -32 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +20 ≥ 0:

2. Fall: -4x +20 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 20$ < 0: