Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ $x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4}$	=	$x^{2}$	\| $- x^{2}$
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= ${(- 1)}^{2}$ = 1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |1)

x₂ = 0: f(0)= $0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $1^{2}$ = 1 Somit gilt: S₃( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 2 + 4 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 2$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 2 + 4 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $4 e^{x} - 1 + 4 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$4 e^{x} - 1 + 4 x \cdot e^{x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$4 e^{x} - 1 + 1 + 4 x \cdot e^{x}$	=	0
$4 e^{x} + 4 x \cdot e^{x}$	=	0
$4 (x + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 11 e^{x} + 30$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 11 e^{x} + 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{11 x + 1}{3 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{6 x}{x + 1} + \frac{11 x + 1}{3 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{11 x + 1}{3 x} - 7$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{11 x + 1}{3 x} \cdot (x + 1) - 7 \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{(11 x + 1) (x + 1)}{3 x} - 7 x - 7$	=
$6 x + \frac{11 x^{2} + 12 x + 1}{3 x} - 7 x - 7$	=
$\frac{11 x^{2} + 12 x + 1}{3 x} + 6 x - 7 x - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{11 x^{2} + 12 x + 1}{3 x} + 6 x - 7 x - 7$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{11 x^{2} + 12 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 6 x \cdot 3 x - 7 x \cdot 3 x - 7 \cdot 3 x$	=
$11 x^{2} + 12 x + 1 + 18 x \cdot x - 21 x \cdot x - 21 x$	=
$11 x^{2} + 12 x + 1 + 18 x^{2} - 21 x^{2} - 21 x$	=
$8 x^{2} - 9 x + 1$	=

$8 x^{2} - 9 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{16}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{16}$ = $\frac{9+7}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = $1$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{16}$ = $\frac{9-7}{16}$ = $\frac{2}{16}$ = $0,125$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,125$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 15$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 11 \cdot 1^{2} + 1 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ x$	$- 15$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ x$
	-( $14 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$15 x$	$- 15$
		-( $15 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 11 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ x$	$- 15$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 5 x$	$- 15$
		-( $- 5 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x + 1 | + 7$ = $12$

Lösung einblenden

$\| - x + 1 \| + 7$	=	$12$
$7 + \| - x + 1 \|$	=	$12$	\| $- 7$
$\| - x + 1 \|$	=	$5$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

$- x + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 4) + 1$ = 5 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 1$ < 0:

$- (- x + 1)$	=	$5$
$x - 1$	=	$5$	\| $+ 1$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ < 0) genügt:

$- 6 + 1$ = -5 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +1 ≥ 0:

2. Fall: -x +1 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 1$ < 0: