Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - e^{3 x}$ und $g(x) =$ $20 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - e^{3 x}$	=	$20 e^{x}$	\| $- 20 e^{x}$
$e^{5 x} - e^{3 x} - 20 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - e^{2 x} - 20) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - e^{2 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $20 e^{\frac{1}{2} \ln (5)}$ = 44.721 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |44.721)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x + 1$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + e^{3 x}

=

6

|

- 6

e^{6 x} + e^{3 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{7 x} + 3) \cdot (x^{4} + x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{7 x} + 3) (x^{4} + x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{7 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- e^{7 x}$	=	$- 3$	\|: $- 1$
$e^{7 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (3)$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (3)$	≈ 0.1569

2. Fall:

$x^{4} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $\frac{1}{7} \ln (3)$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{9 x}{x + 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 3$ }

\frac{9 x}{x + 2} + \frac{16 x}{x + 3} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{16 x}{x + 3} - 7$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{16 x}{x + 3} \cdot (x + 2) - 7 \cdot (x + 2)$	=
$9 x + \frac{16 x (x + 2)}{x + 3} - 7 x - 14$	=
$9 x + \frac{16 x^{2} + 32 x}{x + 3} - 7 x - 14$	=
$\frac{16 x^{2} + 32 x}{x + 3} + 9 x - 7 x - 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{16 x^{2} + 32 x}{x + 3} + 9 x - 7 x - 14$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{16 x^{2} + 32 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 9 x \cdot (x + 3) - 7 x \cdot (x + 3) - 14 \cdot (x + 3)$	=
$16 x^{2} + 32 x + 9 x (x + 3) - 7 x (x + 3) - 14 x - 42$	=
$16 x^{2} + 32 x + (9 x^{2} + 27 x) + (- 7 x^{2} - 21 x) - 14 x - 42$	=
$18 x^{2} + 24 x - 42$	=

18 x^{2} + 24 x - 42

= 0 |:6

$3 x^{2} + 4 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 4+10}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 4-10}{6}$ = $\frac{- 14}{6}$ = $- \frac{7}{3}$ ≈ -2.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{3}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 8 x^{2} + 21 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} + 21 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 8 \cdot {(- 2)}^{2} + 21 \cdot (- 2) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 21 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 6 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 21 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$9 x$	$+ 18$
		-( $9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 21 x + 18$ = $(x^{2} + 6 x + 9) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 6 x + 9) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 8 \cdot {(- 3)}^{2} + 21 \cdot (- 3) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 21 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 21 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$6 x$	$+ 18$
		-( $6 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 21 x + 18$ = $(x^{2} + 5 x + 6) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 5 x + 6) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x + 10 | - 4$ = $4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 10 \| - 4$	=	$4$
$- 4 - \frac{1}{3} \| - 2 x + 10 \|$	=	$4$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 10 \|$	=	$8$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$- 24$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 3$