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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + \frac{64}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- 16 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + \frac{64}{x^{2}}$	=	$- 16 x$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + \frac{64}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 16 x \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 64$	=	$- 16 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 64$	=	$- 16 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 64$	=	$- 16 x^{3}$

x^{6} + 64

=

- 16 x^{3}

|

+ 16 x^{3}

x^{6} + 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 16 \cdot (- 2)$ = 32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $12 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$12 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$12 e^{\frac{1}{3} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 4 x^{3} - 45 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 4 x^{3} - 45 x$	=	0
$x (x^{4} - 4 x^{2} - 45)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 4 x^{2} - 45

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{3 x}{2 x - 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{3 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{7 x + 2}{2 x} \cdot (2 x - 2) - 7 \cdot (2 x - 2)$	=
$3 x + \frac{(7 x + 2) (2 x - 2)}{2 x} - 14 x + 14$	=
$3 x + \frac{14 x^{2} - 10 x - 4}{2 x} - 14 x + 14$	=
$\frac{14 x^{2} - 10 x - 4}{2 x} + 3 x - 14 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{14 x^{2} - 10 x - 4}{2 x} + 3 x - 14 x + 14$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{14 x^{2} - 10 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + 3 x \cdot 2 x - 14 x \cdot 2 x + 14 \cdot 2 x$	=
$14 x^{2} - 10 x - 4 + 6 x \cdot x - 28 x \cdot x + 28 x$	=
$14 x^{2} - 10 x - 4 + 6 x^{2} - 28 x^{2} + 28 x$	=
$- 8 x^{2} + 18 x - 4$	=

- 8 x^{2} + 18 x - 4

= 0 |:2

$- 4 x^{2} + 9 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 9+7}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 9-7}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x - 12 | + 4$ = $19$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x - 12 \| + 4$	=	$19$
$4 + \frac{1}{3} \| 3 x - 12 \|$	=	$19$	\| $- 4$
$\frac{1}{3} \| 3 x - 12 \|$	=	$15$	\|⋅ $3$
$\| 3 x - 12 \|$	=	$45$

1. Fall: $3 x - 12$ ≥ 0:

$3 x - 12$	=	$45$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$57$	\|: $3$
x₁	=	$19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 19 - 12$ = 45 ≥ 0

Die Lösung $19$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 12$ < 0:

$- (3 x - 12)$	=	$45$
$- 3 x + 12$	=	$45$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 12$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 11) - 12$ = -45 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $19$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -12 ≥ 0:

2. Fall: 3x -12 < 0:

1. Fall: $3 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 12$ < 0: