Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 8$ und $g(x) =$ $2 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 8

=

2 x^{2}

|

- 2 x^{2}

x^{4} - 2 x^{2} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $2 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 8 Somit gilt: S₁( $- 2$ |8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $2 \cdot 2^{2}$ = 8 Somit gilt: S₂( $2$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 6$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

2

|

- 2

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{10 x}{- x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{8 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{10 x}{- x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{10 x}{- x - 2}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{8 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 2) + \frac{10 x}{- (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$8 x + \frac{(2 x - 1) (x + 2)}{x + 1} - 10 x$	=
$8 x + \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} - 10 x$	=
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} + 8 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} + 8 x - 10 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} \cdot (x + 1) + 8 x \cdot (x + 1) - 10 x \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + 8 x (x + 1) - 10 x (x + 1)$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + (8 x^{2} + 8 x) + (- 10 x^{2} - 10 x)$	=
$x - 2$	=

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 18 x^{2} + 89 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 18 x^{2} + 89 x + 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $72$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 18 \cdot {(- 1)}^{2} + 89 \cdot (- 1) + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 18 x^{2}$	$+ 89 x$	$+ 72$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 17 x + 72$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$17 x^{2}$	$+ 89 x$
	-( $17 x^{2}$	$+ 17 x$ )
		$72 x$	$+ 72$
		-( $72 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 18 x^{2} + 89 x + 72$ = $(x^{2} + 17 x + 72) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 17 x + 72) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 17 x + 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17+1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17-1}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 18 \cdot {(- 8)}^{2} + 89 \cdot (- 8) + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 18 x^{2}$	$+ 89 x$	$+ 72$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 89 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 80 x$ )
		$9 x$	$+ 72$
		-( $9 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 18 x^{2} + 89 x + 72$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 10 x + 9) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 18 \cdot {(- 9)}^{2} + 89 \cdot (- 9) + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 18 x^{2}$	$+ 89 x$	$+ 72$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 89 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 81 x$ )
		$8 x$	$+ 72$
		-( $8 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 18 x^{2} + 89 x + 72$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 9 x + 8) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 8$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x + 12 | - 7$ = $- 31$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x + 12 \| - 7$	=	$- 31$
$- 7 - \frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$- 31$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$- 24$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$48$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$48$	\| $- 12$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 9 + 12$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$48$
$- 4 x - 12$	=	$48$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$60$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 15) + 12$ = -48 < 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: