Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + \frac{8}{x}$ und $g(x) =$ $- 9 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} + \frac{8}{x}$	=	$- 9 x^{2}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{5} \cdot x + 8$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x^{3}$

x^{6} + 8

=

- 9 x^{3}

|

+ 9 x^{3}

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 9 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -36 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-36)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot {(- 1)}^{2}$ = -9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 3 + x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 6$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 3 + x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $- 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 2 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$- 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 (- x^{2} + x) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{3 x - 3} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{5 x - 1}{3 x - 3} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{5 x - 1}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) - 3 \cdot (3 x - 3)$	=
$5 x - 1 - 9 x + 9$	=
$- 4 x + 8$	=

$- 4 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 16 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 16 x + 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $20$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 16 \cdot 2 + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 16 x$	$+ 20$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 10 x$	$+ 20$
		-( $- 10 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 16 x + 20$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{2} - 16 \cdot (- 5) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 16 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$4 x$	$+ 20$
		-( $4 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 16 x + 20$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x + 16 | + 2$ = $14$

Lösung einblenden

$\| - 4 x + 16 \| + 2$	=	$14$
$2 + \| - 4 x + 16 \|$	=	$14$	\| $- 2$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

$- 4 x + 16$	=	$12$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot 1 + 16$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0:

$- (- 4 x + 16)$	=	$12$
$4 x - 16$	=	$12$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 7 + 16$ = -12 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +16 ≥ 0:

2. Fall: -4x +16 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0: