Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

$x^2-5$	=	$-\frac{4}{x^2}$	|⋅( $x^2$)
$x^2·x^2-5·x^2$	=	$-\frac{4}{x^2}·x^2$
$x^2·x^2-5x^2$	=	$-4$
$x^4-5x^2$	=	$-4$

$x^4-5x^2$

=

$-4$

| $+4$

$x^4-5x^2+4$ = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $4$

u₂: $x^2$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-2$; $-1$; $1$; $2$}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $-2$: f( $-2$)= $-\frac{4}{{\left(-2\right)}^2}$ = -1 Somit gilt: S₁( $-2$|-1)

x₂ = $-1$: f( $-1$)= $-\frac{4}{{\left(-1\right)}^2}$ = -4 Somit gilt: S₂( $-1$|-4)

x₃ = $1$: f( $1$)= $-\frac{4}{1^2}$ = -4 Somit gilt: S₃( $1$|-4)

x₄ = $2$: f( $2$)= $-\frac{4}{2^2}$ = -1 Somit gilt: S₄( $2$|-1)

Für die Steigung der Geraden y = $x-2$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x-1+x·e^x$

f'(x)= $e^x+1+x·e^x$

Also muss gelten:

$e^x+1+x·e^x$	=	$1$	| $-1$
$e^x+1-1+x·e^x$	=	0
$e^x+x·e^x$	=	0
$\left(x+1\right)e^x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x-2$.

$e^{7x}+3e^{4x}-18e^x$	=	0
$\left(e^{6x}+3e^{3x}-18\right)e^x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $\frac{1}{3}\ln \left(3\right)$}

D=R\{ $2$}

Wir multiplizieren den Nenner $2x-4$ weg!

$\frac{4x}{2x-4}-4$	=	0	|⋅( $2x-4$)
$\frac{4x}{2x-4}·\left(2x-4\right)-4·\left(2x-4\right)$	=	0
$4x-8x+16$	=	0
$-4x+16$	=	0

$-4x+16$	=	0	| $-16$
$-4x$	=	$-16$	|:($-4$)
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$}

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^3+x^2+4x+4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$.

$-1$ ist eine Lösung, denn ${\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)+4$= 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x$+1$) durch.

( $x^3$	$+x^2$	$+4x$	$+4$)	:	(x$+1$)	=	$x^2+0+4$
-( $x^3$	$+x^2$)
	0	$+4x$
	-(0	0)
		$4x$	$+4$
		-( $4x$	$+4$)
			0

es gilt also:

$x^3+x^2+4x+4$ = $\left(x^2+0+4\right)·\left(x+1\right)$

$\left(x^2+0+4\right)·\left(x+1\right)$	=	0
$\left(x^2+4\right)\left(x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$}

$\left|$ x-2$\right|+6$	=	$3$
$6+\left|$ x-2$\right|$	=	$3$	| $-6$
$\left|$ x-2$\right|$	=	$-3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}