Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 3 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $4 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 3 e^{2 x}$	=	$4 e^{x}$	\| $- 4 e^{x}$
$e^{3 x} - 3 e^{2 x} - 4 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} - 4) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $4 e^{2 \ln (2)}$ = 16 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 2 + x^{2} \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 7$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 2 + x^{2} \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $- 2 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$- 2 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$2 (x^{2} + x) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{3} - 5 x^{2}$ = $- x^{4}$

Lösung einblenden

$4 x^{3} - 5 x^{2}$	=	$- x^{4}$	\| $+ x^{4}$
$x^{4} + 4 x^{3} - 5 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 4 x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x + 4} + \frac{- 3}{x} + \frac{3 x - 3}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

- \frac{3 x - 3}{2 x} + \frac{x + 1}{2 x + 4} - \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{3 x - 3}{2 x} + \frac{x + 1}{2 x + 4} - \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{3 x - 3}{2 x} \cdot 2 x + \frac{x + 1}{2 x + 4} \cdot 2 x - \frac{3}{x} \cdot 2 x$	=
$- 3 x + 3 + 2 \frac{(x + 1) x}{2 x + 4} - 6$	=
$- 3 x + 3 + 2 \frac{x^{2} + x}{2 x + 4} - 6$	=
$2 \frac{x^{2} + x}{2 x + 4} - 3 x + 3 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$2 \frac{x^{2} + x}{2 x + 4} - 3 x + 3 - 6$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$2 \frac{x^{2} + x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) - 3 x \cdot (2 x + 4) + 3 \cdot (2 x + 4) - 6 \cdot (2 x + 4)$	=
$2 x^{2} + 2 x - 3 x (2 x + 4) + 6 x + 12 - 12 x - 24$	=
$2 x^{2} + 2 x + (- 6 x^{2} - 12 x) + 6 x + 12 - 12 x - 24$	=
$- 4 x^{2} - 16 x - 12$	=

- 4 x^{2} - 16 x - 12

= 0 |:4

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 14 x^{3} + 60 x^{2} + 104 x + 64$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 14 x^{3} + 60 x^{2} + 104 x + 64$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $64$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 14 \cdot {(- 2)}^{3} + 60 \cdot {(- 2)}^{2} + 104 \cdot (- 2) + 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 14 x^{3}$	$+ 60 x^{2}$	$+ 104 x$	$+ 64$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$12 x^{3}$	$+ 60 x^{2}$
	-( $12 x^{3}$	$+ 24 x^{2}$ )
		$36 x^{2}$	$+ 104 x$
		-( $36 x^{2}$	$+ 72 x$ )
			$32 x$	$+ 64$
			-( $32 x$	$+ 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 14 x^{3} + 60 x^{2} + 104 x + 64$ = $(x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 12 \cdot {(- 2)}^{2} + 36 \cdot (- 2) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 36 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$16 x$	$+ 32$
		-( $16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$ = $(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 10 x + 16) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 12 \cdot {(- 8)}^{2} + 36 \cdot (- 8) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 36 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$4 x$	$+ 32$
		-( $4 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{4} + 14 \cdot {(- 8)}^{3} + 60 \cdot {(- 8)}^{2} + 104 \cdot (- 8) + 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 14 x^{3}$	$+ 60 x^{2}$	$+ 104 x$	$+ 64$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$
-( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$ )
	$6 x^{3}$	$+ 60 x^{2}$
	-( $6 x^{3}$	$+ 48 x^{2}$ )
		$12 x^{2}$	$+ 104 x$
		-( $12 x^{2}$	$+ 96 x$ )
			$8 x$	$+ 64$
			-( $8 x$	$+ 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 14 x^{3} + 60 x^{2} + 104 x + 64$ = $(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) \cdot (x + 8)$

(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} + 12 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 12 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 12 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

$- 2$ ist 3-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x + 8 | - 3$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x + 8 \| - 3$	=	$- 15$
$- 3 - \frac{1}{3} \| 2 x + 8 \|$	=	$- 15$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{3} \| 2 x + 8 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x + 8 \|$	=	$36$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

$2 x + 8$	=	$36$	\| $- 8$
$2 x$	=	$28$	\|: $2$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 14 + 8$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 8$ < 0:

$- (2 x + 8)$	=	$36$
$- 2 x - 8$	=	$36$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$44$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 22$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 22) + 8$ = -36 < 0

Die Lösung $- 22$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 22$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +8 ≥ 0:

2. Fall: 2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 8$ < 0: