Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - x$ und $g(x) =$ $\frac{72}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - x$	=	$\frac{72}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - x \cdot x$	=	$\frac{72}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x - x \cdot x$	=	$72$
$x^{4} - x^{2}$	=	$72$

x^{4} - x^{2}

=

72

|

- 72

x^{4} - x^{2} - 72

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1+17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1-17}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $\frac{72}{(- 3)}$ = -24 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-24)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $\frac{72}{3}$ = 24 Somit gilt: S₂( $3$ |24)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 5 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 5 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $12 e^{- \frac{1}{3} x} - 1 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{- \frac{1}{3} x} - 1 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$12 e^{- \frac{1}{3} x} - 1 + 1 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$12 e^{- \frac{1}{3} x} - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (- x + 3) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 28$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{x - 3} + \frac{- 10 x}{3 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $3$ }

\frac{8 x - 10 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x - 10 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{x - 3}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x - 10 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{4 x}{x - 3} \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x - 10 x + \frac{4 x (3 x + 1)}{x - 3}$	=
$8 x - 10 x + \frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 3}$	=
$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 3} + 8 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 3} + 8 x - 10 x$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{12 x^{2} + 4 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 8 x \cdot (x - 3) - 10 x \cdot (x - 3)$	=
$12 x^{2} + 4 x + 8 x (x - 3) - 10 x (x - 3)$	=
$12 x^{2} + 4 x + (8 x^{2} - 24 x) + (- 10 x^{2} + 30 x)$	=
$10 x^{2} + 10 x$	=

$10 x^{2} + 10 x$	=	0
$10 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 4 \cdot {(- 1)}^{2} - 29 \cdot (- 1) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 29 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 5 x - 24$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 24 x$	$- 24$
		-( $- 24 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24$ = $(x^{2} - 5 x - 24) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 5 x - 24) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5+11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5-11}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 4 \cdot {(- 3)}^{2} - 29 \cdot (- 3) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 29 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$- 8 x$	$- 24$
		-( $- 8 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 4 \cdot 8^{2} - 29 \cdot 8 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 29 x$	$- 24$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$3 x$	$- 24$
		-( $3 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24$ = $(x^{2} + 4 x + 3) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 4 x + 3) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 3 x + 15 | - 7$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \| 3 x + 15 \| - 7$	=	$- 10$
$- 7 - \| 3 x + 15 \|$	=	$- 10$	\| $+ 7$
$- \| 3 x + 15 \|$	=	$- 3$	\|: $(- 1)$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$3$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$3$	\| $- 15$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot (- 4) + 15$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$3$
$- 3 x - 15$	=	$3$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 6) + 15$ = -3 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: