Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{1}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{20}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{1}{x}$	=	$\frac{20}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{1}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{20}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + x$	=	$20$

x^{2} + x

=

20

|

- 20

$x^{2} + x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 5$ : f( $- 5$ )= $\frac{20}{{(- 5)}^{2}}$ = 0.8 Somit gilt: S₁( $- 5$ |0.8)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $\frac{20}{4^{2}}$ = 1.25 Somit gilt: S₂( $4$ |1.25)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ parallel zur Geraden y = $3 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x - 4$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 2 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 2 x

=

3

|

- 3

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - e^{3 x} - 42 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - e^{3 x} - 42 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 42) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{3 x}{- x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- 2$ }

\frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{x}{x + 2} + \frac{3 x}{- x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 9$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{x}{x + 2} + \frac{3 x}{- x - 2}$	=	\|⋅( $3 x + 9$ )
$\frac{3 x}{3 x + 9} \cdot (3 x + 9) + \frac{x}{x + 2} \cdot (3 x + 9) + \frac{3 x}{- x - 2} \cdot (3 x + 9)$	=
$3 x + \frac{x (3 x + 9)}{x + 2} + \frac{3 x (3 x + 9)}{- x - 2}$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} + 9 x}{x + 2} + \frac{9 x^{2} + 27 x}{- x - 2}$	=
$\frac{9 x^{2} + 27 x}{- x - 2} + \frac{3 x^{2} + 9 x}{x + 2} + 3 x$	=

\frac{3 x^{2} + 9 x}{x + 2} + \frac{9 x^{2} + 27 x}{- x - 2} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 9 x}{x + 2} + \frac{9 x^{2} + 27 x}{- x - 2} + 3 x$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x^{2} + 9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{9 x^{2} + 27 x}{- (x + 2)} \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2)$	=
$3 x^{2} + 9 x - 9 x^{2} - 27 x + 3 x (x + 2)$	=
$3 x^{2} + 9 x - 9 x^{2} - 27 x + (3 x^{2} + 6 x)$	=
$- 3 x^{2} - 12 x$	=

$- 3 x^{2} - 12 x$	=	0
$- 3 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x + 2 | + 7$ = $4$

Lösung einblenden

$\| - x + 2 \| + 7$	=	$4$
$7 + \| - x + 2 \|$	=	$4$	\| $- 7$
$\| - x + 2 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

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Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen