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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{7}{x}$ und $g(x) =$ $- \frac{10}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{7}{x}$	=	$- \frac{10}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{7}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 7 x$	=	$- 10$

x^{2} - 7 x

=

- 10

|

+ 10

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{10}{2^{2}}$ = -2.5 Somit gilt: S₁( $2$ |-2.5)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $- \frac{10}{5^{2}}$ = -0.4 Somit gilt: S₂( $5$ |-0.4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 2 + 3 x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 2$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 2 + 3 x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 (x^{2} + 2 x) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x$	=	0
$x (x^{2} - 3 x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; 0; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x} + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} + \frac{- 13 x - 2}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{5 x + 1}{3 x + 3} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{- 13 x - 2}{3 x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{5 x + 1}{3 x + 3} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{- 13 x - 2}{3 x}$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{5 x + 1}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + \frac{x - 2}{2 x} \cdot (3 x + 3) + \frac{- 13 x - 2}{3 x} \cdot (3 x + 3)$	=
$5 x + 1 + \frac{(x - 2) (3 x + 3)}{2 x} + \frac{(- 13 x - 2) (3 x + 3)}{3 x}$	=
$5 x + 1 + \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{2 x} + \frac{- 39 x^{2} - 45 x - 6}{3 x}$	=
$\frac{- 39 x^{2} - 45 x - 6}{3 x} + \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{2 x} + 5 x + 1$	=

\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{2 x} + \frac{- 39 x^{2} - 45 x - 6}{3 x} + 5 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{2 x} + \frac{- 39 x^{2} - 45 x - 6}{3 x} + 5 x + 1$	=	\|⋅( $6 x$ )
$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{2 x} \cdot 6 x + \frac{- 39 x^{2} - 45 x - 6}{3 x} \cdot 6 x + 5 x \cdot 6 x + 1 \cdot 6 x$	=
$9 x^{2} - 9 x - 18 - 78 x^{2} - 90 x - 12 + 30 x \cdot x + 6 x$	=
$9 x^{2} - 9 x - 18 - 78 x^{2} - 90 x - 12 + 30 x^{2} + 6 x$	=
$- 39 x^{2} - 93 x - 30$	=

- 39 x^{2} - 93 x - 30

= 0 |:3

$- 13 x^{2} - 31 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 520}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{441}}{- 26}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{441}}{- 26}$ = $\frac{31+21}{- 26}$ = $\frac{52}{- 26}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{441}}{- 26}$ = $\frac{31-21}{- 26}$ = $\frac{10}{- 26}$ = $- \frac{5}{13}$ ≈ -0.38

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{5}{13}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 29 \cdot (- 1) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$15 x$	$+ 15$
		-( $15 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 17 \cdot {(- 3)}^{2} + 29 \cdot (- 3) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$5 x$	$+ 15$
		-( $5 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x + 4 | + 6$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \| 4 x + 4 \| + 6$	=	$- 6$
$6 - \| 4 x + 4 \|$	=	$- 6$	\| $- 6$
$- \| 4 x + 4 \|$	=	$- 12$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x + 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

$4 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 2 + 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 4$ < 0:

$- (4 x + 4)$	=	$12$
$- 4 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 4) + 4$ = -12 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +4 ≥ 0:

2. Fall: 4x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 4$ < 0: