Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{2}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )=0 Somit gilt: S₁( $- 1$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )=0 Somit gilt: S₃( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 2 + x^{2} \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 2 + x^{2} \cdot e^{- x}$

f'(x)= $- 1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$- 1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$(- x^{2} + 2 x) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

\frac{x}{2 x - 2} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{5 x - 1}{x + 1} \cdot (2 x - 2) - 4 \cdot (2 x - 2)$	=
$x + \frac{(5 x - 1) (2 x - 2)}{x + 1} - 8 x + 8$	=
$x + \frac{10 x^{2} - 12 x + 2}{x + 1} - 8 x + 8$	=
$\frac{10 x^{2} - 12 x + 2}{x + 1} + x - 8 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{10 x^{2} - 12 x + 2}{x + 1} + x - 8 x + 8$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{10 x^{2} - 12 x + 2}{x + 1} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) - 8 x \cdot (x + 1) + 8 \cdot (x + 1)$	=
$10 x^{2} - 12 x + 2 + x (x + 1) - 8 x (x + 1) + 8 x + 8$	=
$10 x^{2} - 12 x + 2 + (x^{2} + x) + (- 8 x^{2} - 8 x) + 8 x + 8$	=
$3 x^{2} - 11 x + 10$	=

$3 x^{2} - 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{11+1}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{11-1}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{3}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x + 2 | - 8$ = $- 3$

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$\| - x + 2 \| - 8$	=	$- 3$
$- 8 + \| - x + 2 \|$	=	$- 3$	\| $+ 8$
$\| - x + 2 \|$	=	$5$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

$- x + 2$	=	$5$	\| $- 2$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 3) + 2$ = 5 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 2$ < 0:

$- (- x + 2)$	=	$5$
$x - 2$	=	$5$	\| $+ 2$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ < 0) genügt:

$- 7 + 2$ = -5 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +2 ≥ 0:

2. Fall: -x +2 < 0:

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 2$ < 0: