Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $- 5 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$- 5 x^{3}$	\| $+ 5 x^{3}$
$x^{5} + 5 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 3-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 5 \cdot 0^{3}$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{7}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $8 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x + 1$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{7}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - 7 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} - 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{x} + 5) \cdot (x^{4} - 10 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{x} + 5) (x^{4} - 10 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 2 e^{x}$	=	$- 5$	\|: $- 2$
$e^{x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{5}{2})$	≈ 0.9163

2. Fall:

$x^{4} - 10 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₃	=	$10$

L={0; $\ln (\frac{5}{2})$ ; $10$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{16 x}{x + 3} + \frac{- 48 x}{4 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{16 x}{x + 3} + \frac{12 x}{2 x + 1} - \frac{48 x}{4 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{12 x}{2 x + 1} - \frac{48 x}{4 x + 2}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{16 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{12 x}{2 x + 1} \cdot (x + 3) - \frac{48 x}{4 x + 2} \cdot (x + 3)$	=
$16 x + \frac{12 x (x + 3)}{2 x + 1} - \frac{48 x (x + 3)}{4 x + 2}$	=
$16 x + \frac{12 x^{2} + 36 x}{2 x + 1} - \frac{48 x^{2} + 144 x}{4 x + 2}$	=
$- \frac{48 x^{2} + 144 x}{4 x + 2} + \frac{12 x^{2} + 36 x}{2 x + 1} + 16 x$	=

\frac{12 x^{2} + 36 x}{2 x + 1} - \frac{48 x^{2} + 144 x}{4 x + 2} + 16 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 36 x}{2 x + 1} - \frac{48 x^{2} + 144 x}{4 x + 2} + 16 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{12 x^{2} + 36 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - \frac{48 x^{2} + 144 x}{2 (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1) + 16 x \cdot (2 x + 1)$	=
$12 x^{2} + 36 x - 24 x^{2} - 72 x + 16 x (2 x + 1)$	=
$12 x^{2} + 36 x - 24 x^{2} - 72 x + (32 x^{2} + 16 x)$	=
$20 x^{2} - 20 x$	=

$20 x^{2} - 20 x$	=	0
$20 x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 15$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 15 x$	$+ 30$
		-( $- 15 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ = $(x^{2} - 2 x - 15) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 15) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 4 \cdot {(- 3)}^{2} - 11 \cdot (- 3) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$10 x$	$+ 30$
		-( $10 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 4 \cdot 5^{2} - 11 \cdot 5 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 11 x$
	-( $x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 6 x$	$+ 30$
		-( $- 6 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + x - 6) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- 3$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x + 4 | + 9$ = $13$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x + 4 \| + 9$	=	$13$
$9 + \frac{1}{2} \| - 2 x + 4 \|$	=	$13$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| - 2 x + 4 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

$- 2 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 2) + 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0:

$- (- 2 x + 4)$	=	$8$
$2 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 6 + 4$ = -8 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit 5

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +4 ≥ 0:

2. Fall: -2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0: