Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 13 x^{4}$ und $g(x) =$ $- 36 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 13 x^{4}$	=	$- 36 x^{2}$	\| $+ 36 x^{2}$
$x^{6} - 13 x^{4} + 36 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 13 x^{2} + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 13 x^{2} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₅	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; 0; $2$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- 36 \cdot {(- 3)}^{2}$ = -324 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-324)

x₂ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 36 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -144 Somit gilt: S₂( $- 2$ |-144)

x₃ = 0: f(0)= $- 36 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₃(0|-0)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $- 36 \cdot 2^{2}$ = -144 Somit gilt: S₄( $2$ |-144)

x₅ = $3$ : f( $3$ )= $- 36 \cdot 3^{2}$ = -324 Somit gilt: S₅( $3$ |-324)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 3 x + 1$ gilt m = $- 3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 4 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 4 e^{3 x}

=

- 3

|

+ 3

e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 3 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{4 x} - 24 e^{2 x}$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

$2 e^{4 x} - 24 e^{2 x}$	=	$- e^{6 x}$	\| $+ e^{6 x}$
$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 24 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 24) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{x + 1} + \frac{42 x}{- 9 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{x + 1} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{42 x}{- 9 x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{42 x}{- 9 x + 3}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (x + 1) + \frac{42 x}{- 9 x + 3} \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{8 x (x + 1)}{3 x - 1} + \frac{42 x (x + 1)}{- 9 x + 3}$	=
$6 x + \frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} + \frac{42 x^{2} + 42 x}{- 9 x + 3}$	=
$\frac{42 x^{2} + 42 x}{- 9 x + 3} + \frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} + 6 x$	=

\frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} + \frac{42 x^{2} + 42 x}{- 9 x + 3} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} + \frac{42 x^{2} + 42 x}{- 9 x + 3} + 6 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{42 x^{2} + 42 x}{- 9 x + 3} \cdot (3 x - 1) + 6 x \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} + 8 x + \frac{(42 x^{2} + 42 x) (3 x - 1)}{- 9 x + 3} + 6 x (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} + 8 x + \frac{126 x^{3} + 84 x^{2} - 42 x}{- 9 x + 3} + (18 x^{2} - 6 x)$	=
$\frac{126 x^{3} + 84 x^{2} - 42 x}{- 9 x + 3} + 8 x^{2} + 18 x^{2} + 8 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x + 3$ weg!

$\frac{126 x^{3} + 84 x^{2} - 42 x}{- 9 x + 3} + 8 x^{2} + 18 x^{2} + 8 x - 6 x$	=	\|⋅( $- 9 x + 3$ )
$\frac{126 x^{3} + 84 x^{2} - 42 x}{- 9 x + 3} \cdot (- 9 x + 3) + 8 x^{2} \cdot (- 9 x + 3) + 18 x^{2} \cdot (- 9 x + 3) + 8 x \cdot (- 9 x + 3) - 6 x \cdot (- 9 x + 3)$	=
$126 x^{3} + 84 x^{2} - 42 x + 8 x^{2} (- 9 x + 3) + 18 x^{2} (- 9 x + 3) + 8 x (- 9 x + 3) - 6 x (- 9 x + 3)$	=
$126 x^{3} + 84 x^{2} - 42 x + (- 72 x^{3} + 24 x^{2}) + (- 162 x^{3} + 54 x^{2}) + (- 72 x^{2} + 24 x) + (54 x^{2} - 18 x)$	=
$- 108 x^{3} + 144 x^{2} - 36 x$	=

$- 108 x^{3} + 144 x^{2} - 36 x$	=	0
$36 x (- 3 x^{2} + 4 x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x^{2} + 4 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 6}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 6}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 4+2}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 4-2}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 9 x^{3} + 16 x^{2} - 36 x - 80$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 9 x^{3} + 16 x^{2} - 36 x - 80$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 80$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 9 \cdot {(- 2)}^{3} + 16 \cdot {(- 2)}^{2} - 36 \cdot (- 2) - 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 9 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$	$- 36 x$	$- 80$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$7 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$
	-( $7 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$ )
		$2 x^{2}$	$- 36 x$
		-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
			$- 40 x$	$- 80$
			-( $- 40 x$	$- 80$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 9 x^{3} + 16 x^{2} - 36 x - 80$ = $(x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 40$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 7 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 40$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 9 x + 20$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$20 x$	$- 40$
		-( $20 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = $(x^{2} + 9 x + 20) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 9 x + 20) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 7 \cdot {(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 10 x$	$- 40$
		-( $- 10 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 7 \cdot {(- 5)}^{2} + 2 \cdot (- 5) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 8 x$	$- 40$
		-( $- 8 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 5$ ; $- 4$ ; $- 2$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x + 1 | - 8$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x + 1 \| - 8$	=	$- 7$
$- 8 - \frac{1}{3} \| - x + 1 \|$	=	$- 7$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{3} \| - x + 1 \|$	=	$1$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x + 1 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $- 5$