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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ $x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4}$	=	$x^{2}$	\| $- x^{2}$
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= ${(- 1)}^{2}$ = 1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |1)

x₂ = 0: f(0)= $0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $1^{2}$ = 1 Somit gilt: S₃( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{9}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x + 5$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{9}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - 9 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} - 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} - 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 10$ = $- 3 e^{x}$

Lösung einblenden

e^{2 x} - 10

=

- 3 e^{x}

|

+ 3 e^{x}

e^{2 x} + 3 e^{x} - 10

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{3 x - 1}{2 x - 4} + \frac{x + 1}{3 x - 7} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{3 x - 1}{2 x - 4} + \frac{x + 1}{3 x - 7} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{3 x - 1}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (2 x - 4) - 6 \cdot (2 x - 4)$	=
$3 x - 1 + \frac{(x + 1) (2 x - 4)}{3 x - 7} - 12 x + 24$	=
$3 x - 1 + \frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{3 x - 7} - 12 x + 24$	=
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{3 x - 7} + 3 x - 12 x - 1 + 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{3 x - 7} + 3 x - 12 x - 1 + 24$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7) - 12 x \cdot (3 x - 7) - 1 \cdot (3 x - 7) + 24 \cdot (3 x - 7)$	=
$2 x^{2} - 2 x - 4 + 3 x (3 x - 7) - 12 x (3 x - 7) - 3 x + 7 + 72 x - 168$	=
$2 x^{2} - 2 x - 4 + (9 x^{2} - 21 x) + (- 36 x^{2} + 84 x) - 3 x + 7 + 72 x - 168$	=
$- 25 x^{2} + 130 x - 165$	=

- 25 x^{2} + 130 x - 165

= 0 |:5

$- 5 x^{2} + 26 x - 33$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 33)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{676 - 660}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{16}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{- 26+4}{- 10}$ = $\frac{- 22}{- 10}$ = $2,2$

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{- 26-4}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,2$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 13 \cdot (- 1) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$6 x$	$+ 6$
		-( $6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 13 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 4 | + 8$ = $2$

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 4 \| + 8$	=	$2$
$8 + \| - 2 x + 4 \|$	=	$2$	\| $- 8$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 2$