Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3$ und $g(x) =$ $- 2 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 3

=

- 2 x

|

+ 2 x

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- 2 \cdot (- 3)$ = 6 Somit gilt: S₁( $- 3$ |6)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 2 \cdot 1$ = -2 Somit gilt: S₂( $1$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 8 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 7 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 7 x + 7$ gilt m = $- 7$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 8 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 8 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 8 e^{x}

=

- 7

|

+ 7

e^{2 x} - 8 e^{x} + 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 7$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 7 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{3 x + 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (3 x + 1) - 7 \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x + \frac{(7 x - 1) (3 x + 1)}{2 x} - 21 x - 7$	=
$6 x + \frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} - 21 x - 7$	=
$\frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} + 6 x - 21 x - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} + 6 x - 21 x - 7$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 21 x \cdot 2 x - 7 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} + 4 x - 1 + 12 x \cdot x - 42 x \cdot x - 14 x$	=
$21 x^{2} + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 42 x^{2} - 14 x$	=
$- 9 x^{2} - 10 x - 1$	=

$- 9 x^{2} - 10 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{- 18}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{10+8}{- 18}$ = $\frac{18}{- 18}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{10-8}{- 18}$ = $\frac{2}{- 18}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x - 1 | - 5$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x - 1 \| - 5$	=	$- 11$
$- 5 - \frac{1}{2} \| - x - 1 \|$	=	$- 11$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| - x - 1 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x - 1 \|$	=	$12$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$12$	\| $+ 1$
$- x$	=	$13$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 13) - 1$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$12$
$x + 1$	=	$12$	\| $- 1$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 11 - 1$ = -12 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: