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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + \frac{64}{x}$ und $g(x) =$ $16 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} + \frac{64}{x}$	=	$16 x^{2}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x + \frac{64}{x} \cdot x$	=	$16 x^{2} \cdot x$
$x^{5} \cdot x + 64$	=	$16 x^{2} \cdot x$
$x^{6} + 64$	=	$16 x^{2} \cdot x$
$x^{6} + 64$	=	$16 x^{3}$

x^{6} + 64

=

16 x^{3}

|

- 16 x^{3}

x^{6} - 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{16}{2}$ = $8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $16 \cdot 2^{2}$ = 64 Somit gilt: S₁( $2$ |64)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{- x}$

f'(x)= $- 3 x^{2} \cdot e^{- x} + 6 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$- 3 x^{2} \cdot e^{- x} + 6 x \cdot e^{- x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 2 x) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 4}{x} + \frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{- 6 x + 4}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

\frac{2 x + 4 - 6 x + 4}{x} + \frac{2 x}{2 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x + 4 - 6 x + 4}{x} + \frac{2 x}{2 x - 4}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x + 4 - 6 x + 4}{x} \cdot x + \frac{2 x}{2 x - 4} \cdot x$	=
$2 x + 4 - 6 x + 4 + \frac{2 x \cdot x}{2 x - 4}$	=
$2 x + 4 - 6 x + 4 + \frac{2 x^{2}}{2 x - 4}$	=
$\frac{2 x^{2}}{2 x - 4} + 2 x - 6 x + 4 + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{2 x^{2}}{2 x - 4} + 2 x - 6 x + 4 + 4$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{2 x^{2}}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + 2 x \cdot (2 x - 4) - 6 x \cdot (2 x - 4) + 4 \cdot (2 x - 4) + 4 \cdot (2 x - 4)$	=
$2 x^{2} + 2 x (2 x - 4) - 6 x (2 x - 4) + 8 x - 16 + 8 x - 16$	=
$2 x^{2} + (4 x^{2} - 8 x) + (- 12 x^{2} + 24 x) + 8 x - 16 + 8 x - 16$	=
$- 6 x^{2} + 32 x - 32$	=

- 6 x^{2} + 32 x - 32

= 0 |:2

$- 3 x^{2} + 16 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{- 16+8}{- 6}$ = $\frac{- 8}{- 6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{- 16-8}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 4 | + 1$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \| - x - 4 \| + 1$	=	$- 2$
$1 - \| - x - 4 \|$	=	$- 2$	\| $- 1$
$- \| - x - 4 \|$	=	$- 3$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 4 \|$	=	$3$

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

$- x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- (- 7) - 4$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 4$ < 0:

$- (- x - 4)$	=	$3$
$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ < 0) genügt:

$- (- 1) - 4$ = -3 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -4 ≥ 0:

2. Fall: -x -4 < 0:

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 4$ < 0: