Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 2 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 1$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 2 e^{2 x}

=

- 1

|

+ 1

e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 1$ Somit gilt: S₁(0|-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $5 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $5 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$(x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 30$ = $11 e^{x}$

Lösung einblenden

e^{2 x} + 30

=

11 e^{x}

|

- 11 e^{x}

e^{2 x} - 11 e^{x} + 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{2 x}{2 x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{4}{3}$ }

\frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{3 x}{3 x + 4} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{3 x}{3 x + 4} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{2 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (2 x + 2) - 5 \cdot (2 x + 2)$	=
$2 x + \frac{3 x (2 x + 2)}{3 x + 4} - 10 x - 10$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x + 4} - 10 x - 10$	=
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x + 4} + 2 x - 10 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x + 4} + 2 x - 10 x - 10$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + 2 x \cdot (3 x + 4) - 10 x \cdot (3 x + 4) - 10 \cdot (3 x + 4)$	=
$6 x^{2} + 6 x + 2 x (3 x + 4) - 10 x (3 x + 4) - 30 x - 40$	=
$6 x^{2} + 6 x + (6 x^{2} + 8 x) + (- 30 x^{2} - 40 x) - 30 x - 40$	=
$- 18 x^{2} - 56 x - 40$	=

- 18 x^{2} - 56 x - 40

= 0 |:2

$- 9 x^{2} - 28 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 720}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{64}}{- 18}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{28+8}{- 18}$ = $\frac{36}{- 18}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{28-8}{- 18}$ = $\frac{20}{- 18}$ = $- \frac{10}{9}$ ≈ -1.11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{10}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 6$
		-( $3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x - 16 | + 4$ = $24$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x - 16 \| + 4$	=	$24$
$4 + \frac{1}{3} \| - 4 x - 16 \|$	=	$24$	\| $- 4$
$\frac{1}{3} \| - 4 x - 16 \|$	=	$20$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x - 16 \|$	=	$60$

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

$- 4 x - 16$	=	$60$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$76$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 19) - 16$ = 60 ≥ 0

Die Lösung $- 19$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0:

$- (- 4 x - 16)$	=	$60$
$4 x + 16$	=	$60$	\| $- 16$
$4 x$	=	$44$	\|: $4$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 11 - 16$ = -60 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 19$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -16 ≥ 0:

2. Fall: -4x -16 < 0:

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0: