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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 3 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 3 e^{- x}$	=	$- 2 e^{2 x}$	\| $+ 2 e^{2 x}$
$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 3 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 2 e^{2 \cdot 0}$ = -2 Somit gilt: S₁(0|-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 3 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 9 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 9 x + 5$ gilt m = $- 9$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 3 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 6 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 6 e^{2 x}

=

- 9

|

+ 9

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

$\frac{1}{2} \ln (3)$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 9$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 9 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{x} + 20$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

- 9 e^{x} + 20

=

- e^{2 x}

|

+ e^{2 x}

e^{2 x} - 9 e^{x} + 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{3 x}{x + 2} + \frac{36 x}{- 3 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{3 x}{x + 2} + \frac{6 x}{x + 1} + \frac{36 x}{- 3 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{6 x}{x + 1} + \frac{36 x}{- 3 x - 6}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 2) + \frac{36 x}{- 3 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$3 x + \frac{6 x (x + 2)}{x + 1} - 12 x$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} + 12 x}{x + 1} - 12 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{x + 1} + 3 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 12 x}{x + 1} + 3 x - 12 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 12 x + 3 x (x + 1) - 12 x (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 12 x + (3 x^{2} + 3 x) + (- 12 x^{2} - 12 x)$	=
$- 3 x^{2} + 3 x$	=

$- 3 x^{2} + 3 x$	=	0
$3 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$+ 9$
		-( $9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x + 12 | + 6$ = $26$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x + 12 \| + 6$	=	$26$
$6 + \frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$26$	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$20$	\|⋅ $2$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$40$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$40$	\| $- 12$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 7 + 12$ = 40 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$40$
$- 4 x - 12$	=	$40$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$52$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 13) + 12$ = -40 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: