Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 3$ und $g(x) =$ $\frac{4}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 3 \cdot x$	=	$\frac{4}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 3 x$	=	$4$
$x^{2} - 3 x$	=	$4$

x^{2} - 3 x

=

4

|

- 4

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $\frac{4}{(- 1)}$ = -4 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-4)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $\frac{4}{4}$ = 1 Somit gilt: S₂( $4$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 8 x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{5}$ = $- x^{8}$

Lösung einblenden

$8 x^{5}$	=	$- x^{8}$	\| $+ x^{8}$
$x^{8} + 8 x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 5-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{x}{2 x + 6} - 2$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{x}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) - 2 \cdot (2 x + 6)$	=
$x - 4 x - 12$	=
$- 3 x - 12$	=

$- 3 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- x$
	-( $7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- x$
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 3 x$	$- 6$
		-( $- 3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + x - 3) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 3 | - 3$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \| - x - 3 \| - 3$	=	$- 1$
$- 3 - \| - x - 3 \|$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$- \| - x - 3 \|$	=	$2$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 3 \|$	=	$- 2$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 2$