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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + e^{5 x}$ und $g(x) =$ $2 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + e^{5 x}$	=	$2 e^{2 x}$	\| $- 2 e^{2 x}$
$e^{8 x} + e^{5 x} - 2 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 2) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $2 e^{2 \cdot 0}$ = 2 Somit gilt: S₁(0|2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 7$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} + e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $49$

Lösung einblenden

$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

L={ $- 7$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{8 x - 3}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; 0}

\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{x - 3}{x} - \frac{8 x - 3}{3 x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{x - 3}{x} - \frac{8 x - 3}{3 x}$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + \frac{x - 3}{x} \cdot (3 x + 7) - \frac{8 x - 3}{3 x} \cdot (3 x + 7)$	=
$x + 1 + \frac{(x - 3) (3 x + 7)}{x} - \frac{(8 x - 3) (3 x + 7)}{3 x}$	=
$x + 1 + \frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{x} - \frac{24 x^{2} + 47 x - 21}{3 x}$	=
$- \frac{24 x^{2} + 47 x - 21}{3 x} + \frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{x} + x + 1$	=

\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{x} - \frac{24 x^{2} + 47 x - 21}{3 x} + x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{x} - \frac{24 x^{2} + 47 x - 21}{3 x} + x + 1$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{x} \cdot 3 x - \frac{24 x^{2} + 47 x - 21}{3 x} \cdot 3 x + x \cdot 3 x + 1 \cdot 3 x$	=
$9 x^{2} - 6 x - 63 - 24 x^{2} - 47 x + 21 + 3 x \cdot x + 3 x$	=
$9 x^{2} - 6 x - 63 - 24 x^{2} - 47 x + 21 + 3 x^{2} + 3 x$	=
$- 12 x^{2} - 50 x - 42$	=

- 12 x^{2} - 50 x - 42

= 0 |:2

$- 6 x^{2} - 25 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 504}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{121}}{- 12}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{25+11}{- 12}$ = $\frac{36}{- 12}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{121}}{- 12}$ = $\frac{25-11}{- 12}$ = $\frac{14}{- 12}$ = $- \frac{7}{6}$ ≈ -1.17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{7}{6}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 11 \cdot {(- 2)}^{2} + 20 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x - 3 | - 9$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x - 3 \| - 9$	=	$- 3$
$- 9 - \frac{1}{3} \| x - 3 \|$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{3} \| x - 3 \|$	=	$6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x - 3 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

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Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen