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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{5}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{14}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{5}{x}$	=	$\frac{14}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 5 x$	=	$14$

x^{2} - 5 x

=

14

|

- 14

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{14}{{(- 2)}^{2}}$ = 3.5 Somit gilt: S₁( $- 2$ |3.5)

x₂ = $7$ : f( $7$ )= $\frac{14}{7^{2}}$ = 0.286 Somit gilt: S₂( $7$ |0.286)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{2} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 4$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{2} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 2 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 2 x^{3}

=

- 1

|

+ 1

x^{6} + 2 x^{3} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{- 4 x} - 6) \cdot (x^{4} - x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{- 4 x} - 6) (x^{4} - x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{- 4 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 e^{- 4 x}$	=	$6$	\|: $2$
$e^{- 4 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (3)$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (3)$	≈ -0.2747

2. Fall:

$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

L={ $- \frac{1}{4} \ln (3)$ ; 0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{x - 1}{2 x + 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

\frac{x - 1}{2 x + 4} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{x - 1}{2 x + 4} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{x - 1}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} \cdot (2 x + 4) - 4 \cdot (2 x + 4)$	=
$x - 1 + \frac{(3 x + 1) (2 x + 4)}{3 x + 5} - 8 x - 16$	=
$x - 1 + \frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{3 x + 5} - 8 x - 16$	=
$\frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{3 x + 5} + x - 8 x - 1 - 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{3 x + 5} + x - 8 x - 1 - 16$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5) - 8 x \cdot (3 x + 5) - 1 \cdot (3 x + 5) - 16 \cdot (3 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 14 x + 4 + x (3 x + 5) - 8 x (3 x + 5) - 3 x - 5 - 48 x - 80$	=
$6 x^{2} + 14 x + 4 + (3 x^{2} + 5 x) + (- 24 x^{2} - 40 x) - 3 x - 5 - 48 x - 80$	=
$- 15 x^{2} - 72 x - 81$	=

- 15 x^{2} - 72 x - 81

= 0 |:3

$- 5 x^{2} - 24 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 540}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{36}}{- 10}$

x₁ = $\frac{24 + \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{24+6}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{24 - \sqrt{36}}{- 10}$ = $\frac{24-6}{- 10}$ = $\frac{18}{- 10}$ = $- 1,8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,8$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 8 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$16 x$	$+ 16$
		-( $16 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 16$ = $(x^{2} - 8 x + 16) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 8 x + 16) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 7 \cdot 4^{2} + 8 \cdot 4 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 4 x$	$+ 16$
		-( $- 4 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 16$ = $(x^{2} - 3 x - 4) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 3 x - 4) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 1$ ; $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x + 2 | + 3$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x + 2 \| + 3$	=	0
$3 + \frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	0	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $2$
$\| - x + 2 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $4$