Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 15 x^{2}$ und $g(x) =$ $2 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 15 x^{2}$	=	$2 x^{3}$	\| $- 2 x^{3}$
$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 2 x - 15)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $5$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $2 \cdot {(- 3)}^{3}$ = -54 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-54)

x₂ = 0: f(0)= $2 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $5$ : f( $5$ )= $2 \cdot 5^{3}$ = 250 Somit gilt: S₃( $5$ |250)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $18 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $18 x + 5$ gilt m = $18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 3 e^{3 x}

=

18

|

- 18

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $18 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{x} + 3) \cdot (x^{2} - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{x} + 3) (x^{2} - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 4 e^{x}$	=	$- 3$	\|: $- 4$
$e^{x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.2877

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $\ln (\frac{3}{4})$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{3 x + 10} + \frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{- 6 x}{6 x + 20}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} - \frac{6 x}{6 x + 20}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} - \frac{6 x}{6 x + 20}$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{3 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} \cdot (2 x + 4) - \frac{6 x}{6 x + 20} \cdot (2 x + 4)$	=
$3 x + \frac{(2 x + 2) (2 x + 4)}{3 x + 10} - \frac{6 x (2 x + 4)}{6 x + 20}$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{3 x + 10} - \frac{12 x^{2} + 24 x}{6 x + 20}$	=
$- \frac{12 x^{2} + 24 x}{6 x + 20} + \frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{3 x + 10} + 3 x$	=

\frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{3 x + 10} - \frac{12 x^{2} + 24 x}{6 x + 20} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{3 x + 10} - \frac{12 x^{2} + 24 x}{6 x + 20} + 3 x$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{4 x^{2} + 12 x + 8}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) - \frac{12 x^{2} + 24 x}{2 (3 x + 10)} \cdot (3 x + 10) + 3 x \cdot (3 x + 10)$	=
$4 x^{2} + 12 x + 8 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x (3 x + 10)$	=
$4 x^{2} + 12 x + 8 - 6 x^{2} - 12 x + (9 x^{2} + 30 x)$	=
$7 x^{2} + 30 x + 8$	=

$7 x^{2} + 30 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 8}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 224}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{676}}{14}$

x₁ = $\frac{- 30 + \sqrt{676}}{14}$ = $\frac{- 30+26}{14}$ = $\frac{- 4}{14}$ = $- \frac{2}{7}$ ≈ -0.29

x₂ = $\frac{- 30 - \sqrt{676}}{14}$ = $\frac{- 30-26}{14}$ = $\frac{- 56}{14}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{2}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 31 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 31 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 31 \cdot 1 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 31 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + x - 30$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 31 x$
	-( $x^{2}$	$- x$ )
		$- 30 x$	$+ 30$
		-( $- 30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 31 x + 30$ = $(x^{2} + x - 30) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + x - 30) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 31 \cdot 5 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 31 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 25 x$ )
		$- 6 x$	$+ 30$
		-( $- 6 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 31 x + 30$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - 31 \cdot (- 6) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 31 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$5 x$	$+ 30$
		-( $5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 31 x + 30$ = $(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 6 x + 5) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $1$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x + 12 | + 4$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x + 12 \| + 4$	=	$- 11$
$4 - \| - 3 x + 12 \|$	=	$- 11$	\| $- 4$
$- \| - 3 x + 12 \|$	=	$- 15$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x + 12 \|$	=	$15$

1. Fall: $- 3 x + 12$ ≥ 0:

$- 3 x + 12$	=	$15$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 1) + 12$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 12$ < 0:

$- (- 3 x + 12)$	=	$15$
$3 x - 12$	=	$15$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 12$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 9 + 12$ = -15 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +12 ≥ 0:

2. Fall: -3x +12 < 0:

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 3 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 12$ < 0: