Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 12 x^{2}$ und $g(x) =$ $- x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 12 x^{2}$	=	$- x^{3}$	\| $+ x^{3}$
$x^{4} + x^{3} - 12 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 4$ : f( $- 4$ )= $- {(- 4)}^{3}$ = 64 Somit gilt: S₁( $- 4$ |64)

x₂ = 0: f(0)= $- 0^{3}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $- 3^{3}$ = -27 Somit gilt: S₃( $3$ |-27)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $1 + 2 x \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $1 + 2 x \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $2 e^{- 3 x} - 6 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- 3 x} - 6 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$2 (- 3 x + 1) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$- 1$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$\frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{2 x} + 2) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{2 x} + 2) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{2 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- e^{2 x}$	=	$- 2$	\|: $- 1$
$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x} + \frac{2 x}{3 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x - 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{5 x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) (3 x - 1)}{2 x} - 12 x + 4$	=
$2 x + \frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} - 12 x + 4$	=
$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} + 2 x - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} + 2 x - 12 x + 4$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 12 x \cdot 2 x + 4 \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} - 2 x - 1 + 4 x \cdot x - 24 x \cdot x + 8 x$	=
$15 x^{2} - 2 x - 1 + 4 x^{2} - 24 x^{2} + 8 x$	=
$- 5 x^{2} + 6 x - 1$	=

$- 5 x^{2} + 6 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{- 6+4}{- 10}$ = $\frac{- 2}{- 10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{- 6-4}{- 10}$ = $\frac{- 10}{- 10}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,2$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} - 19 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$+ 26 x$ )
		$- 30 x$	$+ 60$
		-( $- 30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 19 \cdot 6^{2} - 4 \cdot 6 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 10 x$	$+ 60$
		-( $- 10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} - x - 10) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x + 8 | - 6$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \| 2 x + 8 \| - 6$	=	$- 8$
$- 6 - \| 2 x + 8 \|$	=	$- 8$	\| $+ 6$
$- \| 2 x + 8 \|$	=	$- 2$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x + 8 \|$	=	$2$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

$2 x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot (- 3) + 8$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 8$ < 0:

$- (2 x + 8)$	=	$2$
$- 2 x - 8$	=	$2$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 5) + 8$ = -2 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +8 ≥ 0:

2. Fall: 2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 8$ < 0: