Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x$ und $g(x) =$ $- 3$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 4 x

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- 3$ Somit gilt: S₁( $1$ |-3)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $- 3$ Somit gilt: S₂( $3$ |-3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $3 + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $3 + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $6 e^{\frac{1}{3} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{\frac{1}{3} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + 4 e^{5 x}$ = $21 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} + 4 e^{5 x}$	=	$21 e^{2 x}$	\| $- 21 e^{2 x}$
$e^{8 x} + 4 e^{5 x} - 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x - 2} + \frac{2 x}{2 x - 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{2 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} \cdot (2 x - 4) - 5 \cdot (2 x - 4)$	=
$2 x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 4)}{2 x - 2} - 10 x + 20$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{2 x - 2} - 10 x + 20$	=
$\frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{2 x - 2} + 2 x - 10 x + 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{2 x - 2} + 2 x - 10 x + 20$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + 2 x \cdot (2 x - 2) - 10 x \cdot (2 x - 2) + 20 \cdot (2 x - 2)$	=
$6 x^{2} - 14 x + 4 + 2 x (2 x - 2) - 10 x (2 x - 2) + 40 x - 40$	=
$6 x^{2} - 14 x + 4 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 20 x^{2} + 20 x) + 40 x - 40$	=
$- 10 x^{2} + 42 x - 36$	=

- 10 x^{2} + 42 x - 36

= 0 |:2

$- 5 x^{2} + 21 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 360}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{81}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{- 21+9}{- 10}$ = $\frac{- 12}{- 10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{- 21-9}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,2$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 15$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 11 \cdot 1^{2} + 1 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ x$	$- 15$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ x$
	-( $14 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$15 x$	$- 15$
		-( $15 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 11 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ x$	$- 15$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 5 x$	$- 15$
		-( $- 5 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x - 20 | + 2$ = $22$

Lösung einblenden

$\| 4 x - 20 \| + 2$	=	$22$
$2 + \| 4 x - 20 \|$	=	$22$	\| $- 2$
$\| 4 x - 20 \|$	=	$20$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

$4 x - 20$	=	$20$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 10 - 20$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 20$ < 0:

$- (4 x - 20)$	=	$20$
$- 4 x + 20$	=	$20$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	0	\|:( $- 4$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (0) - 20$ = -20 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -20 ≥ 0:

2. Fall: 4x -20 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 20$ < 0: