Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + 4 e^{x}$ und $g(x) =$ $5 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + 4 e^{x}$	=	$5 e^{3 x}$	\| $- 5 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 5 e^{3 x} + 4 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 4) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $5 e^{3 \cdot 0}$ = 5 Somit gilt: S₁(0|5)

x₂ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $5 e^{3 \cdot (\ln (2))}$ = 40 Somit gilt: S₂( $\ln (2)$ |40)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{7}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $8 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x - 7$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{7}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 7 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} + 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 18 e^{x}$ = $- 3 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 18 e^{x}$	=	$- 3 e^{2 x}$	\| $+ 3 e^{2 x}$
$e^{3 x} + 3 e^{2 x} - 18 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 18) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{20 x}{- 6 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{20 x}{- 6 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{20 x}{- 6 x - 4}$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{6 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{3 x}{3 x + 3} \cdot (3 x + 2) + \frac{20 x}{- 2 (3 x + 2)} \cdot (3 x + 2)$	=
$6 x + \frac{3 x (3 x + 2)}{3 x + 3} - 10 x$	=
$6 x + \frac{9 x^{2} + 6 x}{3 x + 3} - 10 x$	=
$\frac{9 x^{2} + 6 x}{3 x + 3} + 6 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 6 x}{3 x + 3} + 6 x - 10 x$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{9 x^{2} + 6 x}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + 6 x \cdot (3 x + 3) - 10 x \cdot (3 x + 3)$	=
$9 x^{2} + 6 x + 6 x (3 x + 3) - 10 x (3 x + 3)$	=
$9 x^{2} + 6 x + (18 x^{2} + 18 x) + (- 30 x^{2} - 30 x)$	=
$- 3 x^{2} - 6 x$	=

$- 3 x^{2} - 6 x$	=	0
$- 3 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 38 \cdot {(- 2)}^{2} + 109 \cdot (- 2) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$+ 109 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 109 x$
	-( $32 x^{2}$	$+ 64 x$ )
		$45 x$	$+ 90$
		-( $45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 38 \cdot {(- 9)}^{2} + 109 \cdot (- 9) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$+ 109 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 109 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 99 x$ )
		$10 x$	$+ 90$
		-( $10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x + 2 | - 1$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \| - x + 2 \| - 1$	=	$- 7$
$- 1 - \| - x + 2 \|$	=	$- 7$	\| $+ 1$
$- \| - x + 2 \|$	=	$- 6$	\|: $(- 1)$
$\| - x + 2 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

$- x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 4) + 2$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 2$ < 0:

$- (- x + 2)$	=	$6$
$x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ < 0) genügt:

$- 8 + 2$ = -6 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +2 ≥ 0:

2. Fall: -x +2 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 2$ < 0: