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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - \frac{7}{x}$ und $g(x) =$ $- 6 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - \frac{7}{x}$	=	$- 6 x$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - \frac{7}{x} \cdot x$	=	$- 6 x \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 7$	=	$- 6 x \cdot x$
$x^{4} - 7$	=	$- 6 x \cdot x$
$x^{4} - 7$	=	$- 6 x^{2}$

x^{4} - 7

=

- 6 x^{2}

|

+ 6 x^{2}

x^{4} + 6 x^{2} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 6 \cdot (- 1)$ = 6 Somit gilt: S₁( $- 1$ |6)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 6 \cdot 1$ = -6 Somit gilt: S₂( $1$ |-6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 4 x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 3$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 4 x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $4 e^{2 x} - 2 + 8 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{2 x} - 2 + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$4 e^{2 x} - 2 + 2 + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$4 e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$4 (2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 28 e^{x}$ = $11 e^{3 x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 28 e^{x}$	=	$11 e^{3 x}$	\| $- 11 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 11 e^{3 x} + 28 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 28) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{5}{3}$ }

\frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{5 x + 1}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} \cdot (2 x - 2) - 6 \cdot (2 x - 2)$	=
$5 x + 1 + \frac{(3 x - 1) (2 x - 2)}{3 x - 5} - 12 x + 12$	=
$5 x + 1 + \frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 5} - 12 x + 12$	=
$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 5} + 5 x - 12 x + 1 + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 5} + 5 x - 12 x + 1 + 12$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + 5 x \cdot (3 x - 5) - 12 x \cdot (3 x - 5) + 1 \cdot (3 x - 5) + 12 \cdot (3 x - 5)$	=
$6 x^{2} - 8 x + 2 + 5 x (3 x - 5) - 12 x (3 x - 5) + 3 x - 5 + 36 x - 60$	=
$6 x^{2} - 8 x + 2 + (15 x^{2} - 25 x) + (- 36 x^{2} + 60 x) + 3 x - 5 + 36 x - 60$	=
$- 15 x^{2} + 66 x - 63$	=

- 15 x^{2} + 66 x - 63

= 0 |:3

$- 5 x^{2} + 22 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 420}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 22+8}{- 10}$ = $\frac{- 14}{- 10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 22-8}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,4$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 4 | - 7$ = $1$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 4 \| - 7$	=	$1$
$- 7 + \| - 2 x - 4 \|$	=	$1$	\| $+ 7$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 6) - 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$8$
$2 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 2 - 4$ = -8 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: