Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 12$ und $g(x) =$ $- 4 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 12

=

- 4 e^{x}

|

+ 4 e^{x}

e^{2 x} + 4 e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 4 e^{\ln (2)}$ = -8 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $24 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x - 5$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 2 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + 2 e^{x}

=

24

|

- 24

e^{2 x} + 2 e^{x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 6 e^{- 2 x} + 2) \cdot (x^{3} - 16 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 6 e^{- 2 x} + 2) (x^{3} - 16 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{- 2 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 6 e^{- 2 x}$	=	$- 2$	\|: $- 6$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 0.5493

2. Fall:

$x^{3} - 16 x$	=	0
$x (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{5 x}{- 3 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{5 x}{- 3 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{5 x}{- 3 x - 6}$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{2 x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + \frac{4 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 6) + \frac{5 x}{- 3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=
$2 x + \frac{4 x (3 x + 6)}{3 x + 5} - 5 x$	=
$2 x + \frac{12 x^{2} + 24 x}{3 x + 5} - 5 x$	=
$\frac{12 x^{2} + 24 x}{3 x + 5} + 2 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 24 x}{3 x + 5} + 2 x - 5 x$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{12 x^{2} + 24 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + 2 x \cdot (3 x + 5) - 5 x \cdot (3 x + 5)$	=
$12 x^{2} + 24 x + 2 x (3 x + 5) - 5 x (3 x + 5)$	=
$12 x^{2} + 24 x + (6 x^{2} + 10 x) + (- 15 x^{2} - 25 x)$	=
$3 x^{2} + 9 x$	=

$3 x^{2} + 9 x$	=	0
$3 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} + 7 \cdot 2^{2} - 10 \cdot 2 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 10 x$	$- 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$12 x$	$- 24$
		-( $12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x - 24$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 7 \cdot {(- 4)}^{2} - 10 \cdot (- 4) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 10 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 6 x$	$- 24$
		-( $- 6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x - 24$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} - x - 6) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x + 15 | + 8$ = $5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \| + 8$	=	$5$
$8 - \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$5$	\| $- 8$
$- \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$6$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$6$	\| $- 15$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot (- 3) + 15$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$6$
$- 3 x - 15$	=	$6$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$21$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 7) + 15$ = -6 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: