Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 18 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 3 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 18 e^{2 x}$	=	$- 3 e^{5 x}$	\| $+ 3 e^{5 x}$
$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 3 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = -18.721 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-18.721)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + x^{2} \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 4$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + x^{2} \cdot e^{- x}$

f'(x)= $- 1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$- 1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$(- x^{2} + 2 x) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{- 6 x} - 7) \cdot (x + 10)$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{- 6 x} - 7) (x + 10)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{- 6 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$8 e^{- 6 x}$	=	$7$	\|: $8$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{7}{8}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{7}{8})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{7}{8})$	≈ 0.0223

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

L={ $- 10$ ; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{7}{8})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 3} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{x}{2 x - 3} - 1$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) - 1 \cdot (2 x - 3)$	=
$x - 2 x + 3$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 9 \cdot 2 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 9$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 9 x$
	-(0	0)
		$- 9 x$	$+ 18$
		-( $- 9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$ = $(x^{2} + 0 - 9) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 9) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 9) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 9 \cdot (- 3) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 15 x$ )
		$6 x$	$+ 18$
		-( $6 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 2 \cdot 3^{2} - 9 \cdot 3 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 9 x$
	-( $x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 6 x$	$+ 18$
		-( $- 6 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + x - 6) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- 3$ ; $2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x - 16 | - 1$ = $- 17$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 16 \| - 1$	=	$- 17$
$- 1 - \frac{1}{3} \| - 4 x - 16 \|$	=	$- 17$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 16 \|$	=	$- 16$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x - 16 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

$- 4 x - 16$	=	$48$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$64$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 16) - 16$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0:

$- (- 4 x - 16)$	=	$48$
$4 x + 16$	=	$48$	\| $- 16$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 8 - 16$ = -48 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -16 ≥ 0:

2. Fall: -4x -16 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0: