Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 3 x^{2}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₁(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 3$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $- 2 - 6 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 6 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 6 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 6 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$- 6 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$6 (- x^{2} + x) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2}$ = $- x^{4}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2}$	=	$- x^{4}$	\| $+ x^{4}$
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{4 x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 1} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 1} - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x + 1}{x - 1} \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{(x + 1) (x + 1)}{x - 1} - 5 x - 5$	=
$4 x + \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} - 5 x - 5$	=
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + 4 x - 5 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} + 4 x - 5 x - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 5 x \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$x^{2} + 2 x + 1 + 4 x (x - 1) - 5 x (x - 1) - 5 x + 5$	=
$x^{2} + 2 x + 1 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 5 x^{2} + 5 x) - 5 x + 5$	=
$- 2 x + 6$	=

$- 2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 26 \cdot 1 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 26 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x - 24$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 26 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 24 x$	$+ 24$
		-( $- 24 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ = $(x^{2} + 2 x - 24) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x - 24) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 4^{2} - 26 \cdot 4 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 26 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 26 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$- 6 x$	$+ 24$
		-( $- 6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{2} - 26 \cdot (- 6) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 26 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 26 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$4 x$	$+ 24$
		-( $4 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x - 8 | + 9$ = $7$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x - 8 \| + 9$	=	$7$
$9 - \| - 2 x - 8 \|$	=	$7$	\| $- 9$
$- \| - 2 x - 8 \|$	=	$- 2$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x - 8 \|$	=	$2$

1. Fall: $- 2 x - 8$ ≥ 0:

$- 2 x - 8$	=	$2$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 5) - 8$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 8$ < 0:

$- (- 2 x - 8)$	=	$2$
$2 x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 3) - 8$ = -2 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -8 ≥ 0:

2. Fall: -2x -8 < 0:

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 8$ < 0: