Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + e^{x}$ und $g(x) =$ $6 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + e^{x}$	=	$6 e^{- 2 x}$	\| $- 6 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} + e^{x} - 6 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 6) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $6 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = 3.78 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |3.78)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 4 + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 4 + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $8 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$8 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 + 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$8 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{x + 3} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x + 1}{3 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x + 1}{3 x} - 6$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{8 x + 1}{3 x} \cdot (x + 3) - 6 \cdot (x + 3)$	=
$12 x + \frac{(8 x + 1) (x + 3)}{3 x} - 6 x - 18$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} - 6 x - 18$	=
$\frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} + 12 x - 6 x - 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} + 12 x - 6 x - 18$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 12 x \cdot 3 x - 6 x \cdot 3 x - 18 \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} + 25 x + 3 + 36 x \cdot x - 18 x \cdot x - 54 x$	=
$8 x^{2} + 25 x + 3 + 36 x^{2} - 18 x^{2} - 54 x$	=
$26 x^{2} - 29 x + 3$	=

$26 x^{2} - 29 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 26 \cdot 3}}{2 \cdot 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 - 312}}{52}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{529}}{52}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{529}}{52}$ = $\frac{29+23}{52}$ = $\frac{52}{52}$ = $1$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{529}}{52}$ = $\frac{29-23}{52}$ = $\frac{6}{52}$ = $\frac{3}{26}$ ≈ 0.12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{3}{26}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 6 \cdot {(- 1)}^{3} + 7 \cdot {(- 1)}^{2} + 6 \cdot (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 6 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 7 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$
	-( $- 7 x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
		$14 x^{2}$	$+ 6 x$
		-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
			$- 8 x$	$- 8$
			-( $- 8 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 8$ = $(x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 14 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 14 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 7 \cdot 4^{2} + 14 \cdot 4 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$2 x$	$- 8$
		-( $2 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x + 16 | + 3$ = $19$

Lösung einblenden

$\| - 4 x + 16 \| + 3$	=	$19$
$3 + \| - 4 x + 16 \|$	=	$19$	\| $- 3$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$16$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

$- 4 x + 16$	=	$16$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	0	\|:( $- 4$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (0) + 16$ = 16 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0:

$- (- 4 x + 16)$	=	$16$
$4 x - 16$	=	$16$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 8 + 16$ = -16 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +16 ≥ 0:

2. Fall: -4x +16 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0: