Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - e^{2 x}$ und $g(x) =$ $2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

2

|

- 2

e^{4 x} - e^{2 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $2$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $42 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x + 1$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

42

|

- 42

e^{2 x} - e^{x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{2 x} + 3) \cdot (x^{3} + 8 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{2 x} + 3) (x^{3} + 8 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{2 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 8 e^{2 x}$	=	$- 3$	\|: $- 8$
$e^{2 x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{8})$	≈ -0.4904

2. Fall:

$x^{3} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{8})$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x + 3} + \frac{6 x}{x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{(2 x + 1) (x - 2)}{3 x + 3} - 4 x + 8$	=
$6 x + \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x + 3} - 4 x + 8$	=
$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x + 3} + 6 x - 4 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x + 3} + 6 x - 4 x + 8$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + 6 x \cdot (3 x + 3) - 4 x \cdot (3 x + 3) + 8 \cdot (3 x + 3)$	=
$2 x^{2} - 3 x - 2 + 6 x (3 x + 3) - 4 x (3 x + 3) + 24 x + 24$	=
$2 x^{2} - 3 x - 2 + (18 x^{2} + 18 x) + (- 12 x^{2} - 12 x) + 24 x + 24$	=
$8 x^{2} + 27 x + 22$	=

$8 x^{2} + 27 x + 22$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 22}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 704}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{25}}{16}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{25}}{16}$ = $\frac{- 27+5}{16}$ = $\frac{- 22}{16}$ = $- 1,375$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{25}}{16}$ = $\frac{- 27-5}{16}$ = $\frac{- 32}{16}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,375$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 8 x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} + 9 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 8 \cdot {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 9 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 9 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$18 x$	$+ 18$
		-( $18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 9 x + 18$ = $(x^{2} - 9 x + 18) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 9 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 8 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 9 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$- 6 x$	$+ 18$
		-( $- 6 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 9 x + 18$ = $(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 5 x - 6) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 8 \cdot 6^{2} + 9 \cdot 6 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 9 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 3 x$	$+ 18$
		-( $- 3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 9 x + 18$ = $(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 2 x - 3) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1$ ; $3$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 10 | - 4$ = $2$

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 10 \| - 4$	=	$2$
$- 4 + \| - 2 x + 10 \|$	=	$2$	\| $+ 4$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

$- 2 x + 10$	=	$6$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot 2 + 10$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0:

$- (- 2 x + 10)$	=	$6$
$2 x - 10$	=	$6$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 8 + 10$ = -6 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $2$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +10 ≥ 0:

2. Fall: -2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0: