Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 4 e^{x}$ und $g(x) =$ $21$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 4 e^{x}

=

21

|

- 21

e^{2 x} - 4 e^{x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $21$ Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |21)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{3}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $18 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $18 x + 6$ gilt m = $18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{3}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 3 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 3 e^{2 x}

=

18

|

- 18

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $18 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 30 e^{x}$ = $e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 30 e^{x}$	=	$e^{4 x}$	\| $- e^{4 x}$
$e^{7 x} - e^{4 x} - 30 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 30) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 3} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{- 24 x}{2 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

\frac{4 x}{x - 3} + \frac{5 x - 1}{3 x} - \frac{24 x}{2 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{x - 3} + \frac{5 x - 1}{3 x} - \frac{24 x}{2 x - 6}$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{4 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot (x - 3) - \frac{24 x}{2 (x - 3)} \cdot (x - 3)$	=
$4 x + \frac{(5 x - 1) (x - 3)}{3 x} - 12 x$	=
$4 x + \frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{3 x} - 12 x$	=
$\frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{3 x} + 4 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{3 x} + 4 x - 12 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 4 x \cdot 3 x - 12 x \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} - 16 x + 3 + 12 x \cdot x - 36 x \cdot x$	=
$5 x^{2} - 16 x + 3 + 12 x^{2} - 36 x^{2}$	=
$- 19 x^{2} - 16 x + 3$	=

$- 19 x^{2} - 16 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot 3}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 228}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{484}}{- 38}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{484}}{- 38}$ = $\frac{16+22}{- 38}$ = $\frac{38}{- 38}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{484}}{- 38}$ = $\frac{16-22}{- 38}$ = $\frac{- 6}{- 38}$ = $\frac{3}{19}$ ≈ 0.16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{3}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 9 x^{3} + 14 x^{2} + 36 x - 72$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 9 x^{3} + 14 x^{2} + 36 x - 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 72$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 9 \cdot {(- 2)}^{3} + 14 \cdot {(- 2)}^{2} + 36 \cdot (- 2) - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 36 x$	$- 72$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 36$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 11 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$
	-( $- 11 x^{3}$	$- 22 x^{2}$ )
		$36 x^{2}$	$+ 36 x$
		-( $36 x^{2}$	$+ 72 x$ )
			$- 36 x$	$- 72$
			-( $- 36 x$	$- 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 9 x^{3} + 14 x^{2} + 36 x - 72$ = $(x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 36) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 36) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 11 \cdot 2^{2} + 36 \cdot 2 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 36 x$	$- 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 9 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$18 x$	$- 36$
		-( $18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 36$ = $(x^{2} - 9 x + 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 9 x + 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 11 \cdot 3^{2} + 36 \cdot 3 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 36 x$	$- 36$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$12 x$	$- 36$
		-( $12 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 36$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 11 \cdot 6^{2} + 36 \cdot 6 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 36 x$	$- 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$6 x$	$- 36$
		-( $6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 36$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $3$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x + 15 | + 3$ = $18$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \| + 3$	=	$18$
$3 + \frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \|$	=	$18$	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \|$	=	$15$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x + 15 \|$	=	$30$

1. Fall: $- 3 x + 15$ ≥ 0:

$- 3 x + 15$	=	$30$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 5) + 15$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 15$ < 0:

$- (- 3 x + 15)$	=	$30$
$3 x - 15$	=	$30$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$45$	\|: $3$
x₂	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 15$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 15 + 15$ = -30 < 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +15 ≥ 0:

2. Fall: -3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 15$ < 0: