Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 1$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 4 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4 x + 2$ gilt m = $- 4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 5 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 5 x^{2}

=

- 4

|

+ 4

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{- 17 x - 1}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{7 x - 1 - 17 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x - 1 - 17 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x - 1 - 17 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{8 x}{x - 1} \cdot 2 x$	=
$7 x - 1 - 17 x - 1 + 2 \frac{8 x \cdot x}{x - 1}$	=
$7 x - 1 - 17 x - 1 + 2 \frac{8 x^{2}}{x - 1}$	=
$2 \frac{8 x^{2}}{x - 1} + 7 x - 17 x - 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$2 \frac{8 x^{2}}{x - 1} + 7 x - 17 x - 1 - 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$2 \frac{8 x^{2}}{x - 1} \cdot (x - 1) + 7 x \cdot (x - 1) - 17 x \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)$	=
$16 x^{2} + 7 x (x - 1) - 17 x (x - 1) - x + 1 - x + 1$	=
$16 x^{2} + (7 x^{2} - 7 x) + (- 17 x^{2} + 17 x) - x + 1 - x + 1$	=
$6 x^{2} + 8 x + 2$	=

6 x^{2} + 8 x + 2

= 0 |:2

$3 x^{2} + 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 4+2}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 4-2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 9 x^{3} + 7 x^{2} - 9 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 9 x^{3} + 7 x^{2} - 9 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 9 \cdot {(- 1)}^{3} + 7 \cdot {(- 1)}^{2} - 9 \cdot (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 9 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 9 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 8 x^{2} - x - 8$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$8 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$
	-( $8 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 9 x$
		-( $- x^{2}$	$- x$ )
			$- 8 x$	$- 8$
			-( $- 8 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 9 x^{3} + 7 x^{2} - 9 x - 8$ = $(x^{3} + 8 x^{2} - x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 8 x^{2} - x - 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} - x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 8 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 8 x$	$- 8$
		-( $- 8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - x - 8$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 7 x - 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 8 \cdot 1^{2} - 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$- x$
	-( $9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - x - 8$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 9 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 8 \cdot {(- 8)}^{2} - (- 8) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- x$	$- 8$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 8$
		-( $- x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - x - 8$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 8)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 8)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 9 \cdot 1^{3} + 7 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 9 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 9 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$10 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$
	-( $10 x^{3}$	$- 10 x^{2}$ )
		$17 x^{2}$	$- 9 x$
		-( $17 x^{2}$	$- 17 x$ )
			$8 x$	$- 8$
			-( $8 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 9 x^{3} + 7 x^{2} - 9 x - 8$ = $(x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 10 \cdot {(- 1)}^{2} + 17 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 17 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 9 x + 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 10 \cdot {(- 8)}^{2} + 17 \cdot (- 8) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 17 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$x$	$+ 8$
		-( $x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{4} + 9 \cdot {(- 8)}^{3} + 7 \cdot {(- 8)}^{2} - 9 \cdot (- 8) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 9 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 9 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{3} + x^{2} - x - 1$
-( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$ )
	$x^{3}$	$+ 7 x^{2}$
	-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 9 x$
		-( $- x^{2}$	$- 8 x$ )
			$- x$	$- 8$
			-( $- x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 9 x^{3} + 7 x^{2} - 9 x - 8$ = $(x^{3} + x^{2} - x - 1) \cdot (x + 8)$

(x^{3} + x^{2} - x - 1) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- x$	$- 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 1$
		-( $- x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - x - 1$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - x - 1$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 1$ ; $1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 3 x + 3 | - 7$ = $- 19$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 3 x + 3 \| - 7$	=	$- 19$
$- 7 - \frac{1}{3} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 19$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$36$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 11) + 3$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$36$
$3 x - 3$	=	$36$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$39$	\|: $3$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 13 + 3$ = -36 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit 1

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $1$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: