Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 9$ und $g(x) =$ $- 20 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 9

=

- 20 e^{- x}

|

+ 20 e^{- x}

e^{x} + 20 e^{- x} - 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} + 20 e^{- x} - 9$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 9 e^{x} + 20$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 20 e^{- (2 \ln (2))}$ = -5 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-5)

x₂ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $- 20 e^{- (\ln (5))}$ = -4 Somit gilt: S₂( $\ln (5)$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 + x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 5$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 + x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $e^{3 x} + 3 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$e^{3 x} + 3 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$(3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 9 x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} + 9 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{20 x}{- 9 x + 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{20 x}{- 9 x + 15}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{20 x}{- 9 x + 15}$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{4 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{x + 1}{x - 1} \cdot (3 x - 5) + \frac{20 x}{- 9 x + 15} \cdot (3 x - 5)$	=
$4 x + \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{x - 1} + \frac{20 x (3 x - 5)}{- 9 x + 15}$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x - 1} + \frac{60 x^{2} - 100 x}{- 9 x + 15}$	=
$\frac{60 x^{2} - 100 x}{- 9 x + 15} + \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x - 1} + 4 x$	=

\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x - 1} + \frac{60 x^{2} - 100 x}{- 9 x + 15} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x - 1} + \frac{60 x^{2} - 100 x}{- 9 x + 15} + 4 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{60 x^{2} - 100 x}{- 9 x + 15} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1)$	=
$3 x^{2} - 2 x - 5 + \frac{(60 x^{2} - 100 x) (x - 1)}{- 9 x + 15} + 4 x (x - 1)$	=
$3 x^{2} - 2 x - 5 + \frac{60 x^{3} - 160 x^{2} + 100 x}{- 9 x + 15} + (4 x^{2} - 4 x)$	=
$\frac{60 x^{3} - 160 x^{2} + 100 x}{- 9 x + 15} + 3 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x - 4 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x + 15$ weg!

$\frac{60 x^{3} - 160 x^{2} + 100 x}{- 9 x + 15} + 3 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x - 4 x - 5$	=	\|⋅( $- 9 x + 15$ )
$\frac{60 x^{3} - 160 x^{2} + 100 x}{- 9 x + 15} \cdot (- 9 x + 15) + 3 x^{2} \cdot (- 9 x + 15) + 4 x^{2} \cdot (- 9 x + 15) - 2 x \cdot (- 9 x + 15) - 4 x \cdot (- 9 x + 15) - 5 \cdot (- 9 x + 15)$	=
$60 x^{3} - 160 x^{2} + 100 x + 3 x^{2} (- 9 x + 15) + 4 x^{2} (- 9 x + 15) - 2 x (- 9 x + 15) - 4 x (- 9 x + 15) + 45 x - 75$	=
$60 x^{3} - 160 x^{2} + 100 x + (- 27 x^{3} + 45 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 60 x^{2}) + (18 x^{2} - 30 x) + (36 x^{2} - 60 x) + 45 x - 75$	=
$- 3 x^{3} - x^{2} + 55 x - 75$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 3 x^{3} - x^{2} + 55 x - 75$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 75$ .

$3$ ist eine Lösung, denn $- 3 \cdot 3^{3} - 3^{2} + 55 \cdot 3 - 75$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $- 3 x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 55 x$	$- 75$ )	:	(x $- 3$ )	=	$- 3 x^{2} - 10 x + 25$
-( $- 3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 55 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$25 x$	$- 75$
		-( $25 x$	$- 75$ )
			0

es gilt also:

$- 3 x^{3} - x^{2} + 55 x - 75$ = $(- 3 x^{2} - 10 x + 25) \cdot (x - 3)$

(- 3 x^{2} - 10 x + 25) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 25}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 300}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{400}}{- 6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{10+20}{- 6}$ = $\frac{30}{- 6}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{10-20}{- 6}$ = $\frac{- 10}{- 6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn $- 3 \cdot {(- 5)}^{3} - {(- 5)}^{2} + 55 \cdot (- 5) - 75$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $- 3 x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 55 x$	$- 75$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$- 3 x^{2} + 14 x - 15$
-( $- 3 x^{3}$	$- 15 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 55 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 70 x$ )
		$- 15 x$	$- 75$
		-( $- 15 x$	$- 75$ )
			0

es gilt also:

$- 3 x^{3} - x^{2} + 55 x - 75$ = $(- 3 x^{2} + 14 x - 15) \cdot (x + 5)$

(- 3 x^{2} + 14 x - 15) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 14 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 14+4}{- 6}$ = $\frac{- 10}{- 6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 14-4}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - 10 \cdot {(- 1)}^{2} - 43 \cdot (- 1) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 43 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$- 13 x$ )
		$- 30 x$	$- 30$
		-( $- 30 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 10 \cdot 6^{2} - 43 \cdot 6 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 43 x$	$- 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$5 x$	$- 30$
		-( $5 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x - 6 | - 1$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \| - 1$	=	$- 4$
$- 1 - \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$- 4$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$6$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 4 - 6$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$6$
$- 3 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (0) - 6$ = -6 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit -5

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: