Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} - 9 x^{4}$ und $g(x) =$ $- 8 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} - 9 x^{4}$	=	$- 8 x$	\| $+ 8 x$
$x^{7} - 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x (x^{6} - 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 8 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 8 \cdot 1$ = -8 Somit gilt: S₂( $1$ |-8)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- 8 \cdot 2$ = -16 Somit gilt: S₃( $2$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 5 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 4$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 5 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $8 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$8 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$8 e^{\frac{1}{4} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 6 e^{- 2 x} + 3) \cdot (x^{4} + 6 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 6 e^{- 2 x} + 3) (x^{4} + 6 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{- 2 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 6 e^{- 2 x}$	=	$- 3$	\|: $- 6$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 0.3466

2. Fall:

$x^{4} + 6 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{3 x + 4}{x} + \frac{- 12 x}{2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{3 x}{x - 1} + \frac{3 x + 4}{x} - \frac{12 x}{2 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{3 x + 4}{x} - \frac{12 x}{2 x - 2}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x + 4}{x} \cdot (x - 1) - \frac{12 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1)$	=
$3 x + \frac{(3 x + 4) (x - 1)}{x} - 6 x$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} + x - 4}{x} - 6 x$	=
$\frac{3 x^{2} + x - 4}{x} + 3 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + x - 4}{x} + 3 x - 6 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} + x - 4}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 6 x \cdot x$	=
$3 x^{2} + x - 4 + 3 x \cdot x - 6 x \cdot x$	=
$3 x^{2} + x - 4 + 3 x^{2} - 6 x^{2}$	=
$x - 4$	=

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 13 \cdot (- 1) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$6 x$	$+ 6$
		-( $6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 13 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x + 12 | - 3$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \| - 3$	=	$- 15$
$- 3 - \frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \|$	=	$- 15$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x + 12 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x + 12$ ≥ 0:

$- 4 x + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 3) + 12$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 12$ < 0:

$- (- 4 x + 12)$	=	$24$
$4 x - 12$	=	$24$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 9 + 12$ = -24 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +12 ≥ 0:

2. Fall: -4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $- 4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 12$ < 0: