Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 7 e^{x}$ und $g(x) =$ $6 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 7 e^{x}$	=	$6 e^{4 x}$	\| $- 6 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 6 e^{4 x} - 7 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 6 e^{3 x} - 7) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 6 e^{3 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $6 e^{4 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 80.343 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |80.343)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{4}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $5 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5 x + 4$ gilt m = $5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{4}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 4 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 4 e^{3 x}

=

5

|

- 5

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $5 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{- 3 x} - 2) \cdot (x^{4} - 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{- 3 x} - 2) (x^{4} - 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{- 3 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$4 e^{- 3 x}$	=	$2$	\|: $4$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 0.231

2. Fall:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{x + 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{x + 1} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{5 x + 1}{x + 1} \cdot (2 x - 3) - 6 \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) (2 x - 3)}{x + 1} - 12 x + 18$	=
$2 x + \frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{x + 1} - 12 x + 18$	=
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{x + 1} + 2 x - 12 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{x + 1} + 2 x - 12 x + 18$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1) + 18 \cdot (x + 1)$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + 2 x (x + 1) - 12 x (x + 1) + 18 x + 18$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 12 x^{2} - 12 x) + 18 x + 18$	=
$- 5 x + 15$	=

$- 5 x + 15$	=	0	\| $- 15$
$- 5 x$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 6$
		-( $3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x - 10 | - 5$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 2 x - 10 \| - 5$	=	$1$
$- 5 + \frac{1}{3} \| 2 x - 10 \|$	=	$1$	\| $+ 5$
$\frac{1}{3} \| 2 x - 10 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| 2 x - 10 \|$	=	$18$

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

$2 x - 10$	=	$18$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$28$	\|: $2$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 14 - 10$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 10$ < 0:

$- (2 x - 10)$	=	$18$
$- 2 x + 10$	=	$18$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 4) - 10$ = -18 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -10 ≥ 0:

2. Fall: 2x -10 < 0:

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 10$ < 0: