Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $14 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $9 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

14 e^{- 2 x} + 1

=

9 e^{- x}

|

- 9 e^{- x}

- 9 e^{- x} + 14 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 9 e^{- x} + 14 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 9 e^{x} + 14$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $9 e^{- (\ln (2))}$ = 4.5 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |4.5)

x₂ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $9 e^{- (\ln (7))}$ = 1.286 Somit gilt: S₂( $\ln (7)$ |1.286)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $28 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x + 2$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 3 e^{3 x}

=

28

|

- 28

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 7$ = $8 x$

Lösung einblenden

x^{2} + 7

=

8 x

|

- 8 x

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{- 16 x}{3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

\frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - \frac{16 x}{3 x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - \frac{16 x}{3 x + 3}$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{x + 1}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (2 x - 4) - \frac{16 x}{3 x + 3} \cdot (2 x - 4)$	=
$x + 1 + \frac{(3 x - 1) (2 x - 4)}{x + 1} - \frac{16 x (2 x - 4)}{3 x + 3}$	=
$x + 1 + \frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{x + 1} - \frac{32 x^{2} - 64 x}{3 x + 3}$	=
$- \frac{32 x^{2} - 64 x}{3 x + 3} + \frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{x + 1} + x + 1$	=

\frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{x + 1} - \frac{32 x^{2} - 64 x}{3 x + 3} + x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{x + 1} - \frac{32 x^{2} - 64 x}{3 x + 3} + x + 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{x + 1} \cdot (x + 1) - \frac{32 x^{2} - 64 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} - 14 x + 4 - \frac{32}{3} x^{2} + \frac{64}{3} x + x (x + 1) + x + 1$	=
$6 x^{2} - 14 x + 4 - \frac{32}{3} x^{2} + \frac{64}{3} x + (x^{2} + x) + x + 1$	=
$- \frac{11}{3} x^{2} + \frac{28}{3} x + 5$	=

$- \frac{11}{3} x^{2} + \frac{28}{3} x + 5$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{11}{3} x^{2} + \frac{28}{3} x + 5)$	=	0

$- 11 x^{2} + 28 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot 15}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 + 660}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{1 444}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{1 444}}{- 22}$ = $\frac{- 28+38}{- 22}$ = $\frac{10}{- 22}$ = $- \frac{5}{11}$ ≈ -0.45

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{1 444}}{- 22}$ = $\frac{- 28-38}{- 22}$ = $\frac{- 66}{- 22}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{11}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 8 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$14 x$	$+ 14$
		-( $14 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 7 x$	$+ 14$
		-( $- 7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ = $(x^{2} - 6 x - 7) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x - 7) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 8 \cdot 7^{2} + 5 \cdot 7 + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 14$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 2 x$	$+ 14$
		-( $- 2 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - x - 2) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 1$ ; $2$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x + 9 | - 9$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x + 9 \| - 9$	=	$- 15$
$- 9 - \frac{1}{2} \| 3 x + 9 \|$	=	$- 15$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{2} \| 3 x + 9 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$12$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$12$	\| $- 9$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 1 + 9$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$12$
$- 3 x - 9$	=	$12$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$21$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 7) + 9$ = -12 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: