Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 7 x^{4}$ und $g(x) =$ $18 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 7 x^{4}$	=	$18 x^{2}$	\| $- 18 x^{2}$
$x^{6} - 7 x^{4} - 18 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 7 x^{2} - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 7 x^{2} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $18 \cdot {(- 3)}^{2}$ = 162 Somit gilt: S₁( $- 3$ |162)

x₂ = 0: f(0)= $18 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $18 \cdot 3^{2}$ = 162 Somit gilt: S₃( $3$ |162)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 5 + 3 x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 6$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 5 + 3 x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $3 e^{2 x} + 2 + 6 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{2 x} + 2 + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$3 e^{2 x} + 2 - 2 + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$3 e^{2 x} + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$3 (2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{- 2 x} + 5) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{- 2 x} + 5) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{- 2 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 2 e^{- 2 x}$	=	$- 5$	\|: $- 2$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{5}{2})$	≈ -0.4581

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{5}{2})$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} + \frac{32 x - 1}{- 6 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{32 x - 1}{- 6 x + 3} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} + \frac{6 x}{x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 3$ weg!

$\frac{32 x - 1}{- 6 x + 3} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} + \frac{6 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $- 6 x + 3$ )
$\frac{32 x - 1}{- 6 x + 3} \cdot (- 6 x + 3) + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} \cdot (- 6 x + 3) + \frac{6 x}{x + 1} \cdot (- 6 x + 3)$	=
$32 x - 1 + \frac{(5 x - 1) (- 6 x + 3)}{2 x - 1} + \frac{6 x (- 6 x + 3)}{x + 1}$	=
$32 x - 1 + \frac{- 30 x^{2} + 21 x - 3}{2 x - 1} + \frac{- 36 x^{2} + 18 x}{x + 1}$	=
$\frac{- 36 x^{2} + 18 x}{x + 1} + \frac{- 30 x^{2} + 21 x - 3}{2 x - 1} + 32 x - 1$	=

\frac{- 30 x^{2} + 21 x - 3}{2 x - 1} + \frac{- 36 x^{2} + 18 x}{x + 1} + 32 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{- 30 x^{2} + 21 x - 3}{2 x - 1} + \frac{- 36 x^{2} + 18 x}{x + 1} + 32 x - 1$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{- 30 x^{2} + 21 x - 3}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{- 36 x^{2} + 18 x}{x + 1} \cdot (2 x - 1) + 32 x \cdot (2 x - 1) - 1 \cdot (2 x - 1)$	=
$- 30 x^{2} + 21 x - 3 + \frac{(- 36 x^{2} + 18 x) (2 x - 1)}{x + 1} + 32 x (2 x - 1) - 2 x + 1$	=
$- 30 x^{2} + 21 x - 3 + \frac{- 72 x^{3} + 72 x^{2} - 18 x}{x + 1} + (64 x^{2} - 32 x) - 2 x + 1$	=
$\frac{- 72 x^{3} + 72 x^{2} - 18 x}{x + 1} - 30 x^{2} + 64 x^{2} + 21 x - 32 x - 2 x - 3 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 72 x^{3} + 72 x^{2} - 18 x}{x + 1} - 30 x^{2} + 64 x^{2} + 21 x - 32 x - 2 x - 3 + 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 72 x^{3} + 72 x^{2} - 18 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 30 x^{2} \cdot (x + 1) + 64 x^{2} \cdot (x + 1) + 21 x \cdot (x + 1) - 32 x \cdot (x + 1) - 2 x \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$	=
$- 72 x^{3} + 72 x^{2} - 18 x - 30 x^{2} (x + 1) + 64 x^{2} (x + 1) + 21 x (x + 1) - 32 x (x + 1) - 2 x (x + 1) - 3 x - 3 + x + 1$	=
$- 72 x^{3} + 72 x^{2} - 18 x + (- 30 x^{3} - 30 x^{2}) + (64 x^{3} + 64 x^{2}) + (21 x^{2} + 21 x) + (- 32 x^{2} - 32 x) + (- 2 x^{2} - 2 x) - 3 x - 3 + x + 1$	=
$- 38 x^{3} + 93 x^{2} - 33 x - 2$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 38 x^{3} + 93 x^{2} - 33 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $- 38 \cdot 2^{3} + 93 \cdot 2^{2} - 33 \cdot 2 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $- 38 x^{3}$	$+ 93 x^{2}$	$- 33 x$	$- 2$ )	:	(x $- 2$ )	=	$- 38 x^{2} + 17 x + 1$
-( $- 38 x^{3}$	$+ 76 x^{2}$ )
	$17 x^{2}$	$- 33 x$
	-( $17 x^{2}$	$- 34 x$ )
		$x$	$- 2$
		-( $x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$- 38 x^{3} + 93 x^{2} - 33 x - 2$ = $(- 38 x^{2} + 17 x + 1) \cdot (x - 2)$

(- 38 x^{2} + 17 x + 1) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 38 x^{2} + 17 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 38) \cdot 1}}{2 \cdot (- 38)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 152}}{- 76}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{441}}{- 76}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{441}}{- 76}$ = $\frac{- 17+21}{- 76}$ = $\frac{4}{- 76}$ = $- \frac{1}{19}$ ≈ -0.05

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{441}}{- 76}$ = $\frac{- 17-21}{- 76}$ = $\frac{- 38}{- 76}$ = $0,5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{19}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x + 1 | - 6$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x + 1 \| - 6$	=	$- 7$
$- 6 - \frac{1}{2} \| x + 1 \|$	=	$- 7$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{2} \| x + 1 \|$	=	$- 1$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x + 1 \|$	=	$2$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

$x + 1$	=	$2$	\| $- 1$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ ≥ 0) genügt:

$1 + 1$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 1$ < 0:

$- (x + 1)$	=	$2$
$- x - 1$	=	$2$	\| $+ 1$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ < 0) genügt:

$- 3 + 1$ = -2 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: x +1 ≥ 0:

2. Fall: x +1 < 0:

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 1$ < 0: