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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 8 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $- 16$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 8 e^{3 x}

=

- 16

|

+ 16

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

$\frac{2}{3} \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $- 16$ Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 2$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + x^{2}

=

2

|

- 2

x^{4} + x^{2} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{5 x} - 5) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{5 x} - 5) (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{5 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$9 e^{5 x}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{5 x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{9})$	≈ -0.1176

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{9})$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} + \frac{- 20 x}{2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

\frac{8 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - \frac{20 x}{2 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - \frac{20 x}{2 x - 4}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} \cdot (x - 2) - \frac{20 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2)$	=
$8 x + \frac{(2 x + 1) (x - 2)}{3 x + 3} - 10 x$	=
$8 x + \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x + 3} - 10 x$	=
$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x + 3} + 8 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x + 3} + 8 x - 10 x$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + 8 x \cdot (3 x + 3) - 10 x \cdot (3 x + 3)$	=
$2 x^{2} - 3 x - 2 + 8 x (3 x + 3) - 10 x (3 x + 3)$	=
$2 x^{2} - 3 x - 2 + (24 x^{2} + 24 x) + (- 30 x^{2} - 30 x)$	=
$- 4 x^{2} - 9 x - 2$	=

$- 4 x^{2} - 9 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{9+7}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{9-7}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,25$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 3 x$	$- 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 3$
		-( $3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 10 | + 6$ = $10$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 10 \| + 6$	=	$10$
$6 + \| - 2 x - 10 \|$	=	$10$	\| $- 6$
$\| - 2 x - 10 \|$	=	$4$

1. Fall: $- 2 x - 10$ ≥ 0:

$- 2 x - 10$	=	$4$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 7) - 10$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 10$ < 0:

$- (- 2 x - 10)$	=	$4$
$2 x + 10$	=	$4$	\| $- 10$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 3) - 10$ = -4 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -10 ≥ 0:

2. Fall: -2x -10 < 0:

1. Fall: $- 2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 10$ < 0: