Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{12}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{4}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{12}{x^{2}}$	=	$\frac{4}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{4}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 12$	=	$4 x$

x^{2} - 12

=

4 x

|

- 4 x

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{4}{(- 2)}$ = -2 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-2)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $\frac{4}{6}$ = 0.667 Somit gilt: S₂( $6$ |0.667)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $3 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$3 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$3 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + 2 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$3 e^{\frac{1}{3} x} + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$(x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{3}$ = $- x^{6}$

Lösung einblenden

$- x^{3}$	=	$- x^{6}$	\| $+ x^{6}$
$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{- 12 x}{6 x - 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $2$ }

\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - \frac{12 x}{6 x - 12}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - \frac{12 x}{6 x - 12}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} \cdot (x + 1) - \frac{12 x}{6 x - 12} \cdot (x + 1)$	=
$3 x - 1 + \frac{(3 x - 1) (x + 1)}{2 x - 4} - \frac{12 x (x + 1)}{6 x - 12}$	=
$3 x - 1 + \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x - 4} - \frac{12 x^{2} + 12 x}{6 x - 12}$	=
$- \frac{12 x^{2} + 12 x}{6 x - 12} + \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x - 4} + 3 x - 1$	=

\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x - 4} - \frac{12 x^{2} + 12 x}{6 x - 12} + 3 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x - 4} - \frac{12 x^{2} + 12 x}{6 x - 12} + 3 x - 1$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) - \frac{12 x^{2} + 12 x}{6 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + 3 x \cdot (2 x - 4) - 1 \cdot (2 x - 4)$	=
$3 x^{2} + 2 x - 1 - 4 x^{2} - 4 x + 3 x (2 x - 4) - 2 x + 4$	=
$3 x^{2} + 2 x - 1 - 4 x^{2} - 4 x + (6 x^{2} - 12 x) - 2 x + 4$	=
$5 x^{2} - 16 x + 3$	=

$5 x^{2} - 16 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{196}}{10}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{16+14}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{16-14}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,2$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 26 \cdot {(- 1)}^{2} + 53 \cdot (- 1) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$+ 53 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 53 x$
	-( $23 x^{2}$	$+ 23 x$ )
		$30 x$	$+ 30$
		-( $30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 26 \cdot {(- 6)}^{2} + 53 \cdot (- 6) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$+ 53 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 53 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 48 x$ )
		$5 x$	$+ 30$
		-( $5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x - 8 | - 7$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x - 8 \| - 7$	=	$9$
$- 7 + \frac{1}{2} \| - 4 x - 8 \|$	=	$9$	\| $+ 7$
$\frac{1}{2} \| - 4 x - 8 \|$	=	$16$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$32$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

$- 4 x - 8$	=	$32$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$40$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 10) - 8$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0:

$- (- 4 x - 8)$	=	$32$
$4 x + 8$	=	$32$	\| $- 8$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 6 - 8$ = -32 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -8 ≥ 0:

2. Fall: -4x -8 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0: