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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 4 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $21 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 4 e^{2 x}$	=	$21 e^{- x}$	\| $- 21 e^{- x}$
$e^{5 x} - 4 e^{2 x} - 21 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $21 e^{- (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 10.978 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |10.978)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 2 + 3 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 4$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 2 + 3 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $3 e^{- 2 x} - 1 - 6 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{- 2 x} - 1 - 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 e^{- 2 x} - 1 + 1 - 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$3 e^{- 2 x} - 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$3 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 9 x^{3} + 8$ = 0

Lösung einblenden

x^{6} - 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{- 3 x + 1}$ = 0

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D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $1$ }

\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{12 x}{- 3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{12 x}{- 3 x + 1}$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{4 x}{2 x - 2} \cdot (3 x - 1) + \frac{12 x}{- 3 x + 1} \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{4 x (3 x - 1)}{2 x - 2} + \frac{12 x (3 x - 1)}{- 3 x + 1}$	=
$8 x + \frac{12 x^{2} - 4 x}{2 x - 2} + \frac{36 x^{2} - 12 x}{- 3 x + 1}$	=
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{- 3 x + 1} + \frac{12 x^{2} - 4 x}{2 x - 2} + 8 x$	=

\frac{12 x^{2} - 4 x}{2 x - 2} + \frac{36 x^{2} - 12 x}{- 3 x + 1} + 8 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 4 x}{2 x - 2} + \frac{36 x^{2} - 12 x}{- 3 x + 1} + 8 x$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{12 x^{2} - 4 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{36 x^{2} - 12 x}{- 3 x + 1} \cdot (2 x - 2) + 8 x \cdot (2 x - 2)$	=
$12 x^{2} - 4 x + \frac{(36 x^{2} - 12 x) (2 x - 2)}{- 3 x + 1} + 8 x (2 x - 2)$	=
$12 x^{2} - 4 x + \frac{72 x^{3} - 96 x^{2} + 24 x}{- 3 x + 1} + (16 x^{2} - 16 x)$	=
$\frac{72 x^{3} - 96 x^{2} + 24 x}{- 3 x + 1} + 12 x^{2} + 16 x^{2} - 4 x - 16 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 1$ weg!

$\frac{72 x^{3} - 96 x^{2} + 24 x}{- 3 x + 1} + 12 x^{2} + 16 x^{2} - 4 x - 16 x$	=	\|⋅( $- 3 x + 1$ )
$\frac{72 x^{3} - 96 x^{2} + 24 x}{- 3 x + 1} \cdot (- 3 x + 1) + 12 x^{2} \cdot (- 3 x + 1) + 16 x^{2} \cdot (- 3 x + 1) - 4 x \cdot (- 3 x + 1) - 16 x \cdot (- 3 x + 1)$	=
$72 x^{3} - 96 x^{2} + 24 x + 12 x^{2} (- 3 x + 1) + 16 x^{2} (- 3 x + 1) - 4 x (- 3 x + 1) - 16 x (- 3 x + 1)$	=
$72 x^{3} - 96 x^{2} + 24 x + (- 36 x^{3} + 12 x^{2}) + (- 48 x^{3} + 16 x^{2}) + (12 x^{2} - 4 x) + (48 x^{2} - 16 x)$	=
$- 12 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x$	=

$- 12 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x$	=	0
$- 4 x (3 x^{2} + 2 x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 2+4}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 2-4}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $10$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$+ 10$
		-( $5 x$	$+ 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 1 | + 7$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 1 \| + 7$	=	$1$
$7 + \frac{1}{3} \| x + 1 \|$	=	$1$	\| $- 7$
$\frac{1}{3} \| x + 1 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $3$
$\| x + 1 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen