Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{8}{x}$ und $g(x) =$ $- \frac{16}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{8}{x}$	=	$- \frac{16}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{8}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 8 x$	=	$- 16$

x^{2} - 8 x

=

- 16

|

+ 16

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $4$ : f( $4$ )= $- \frac{16}{4^{2}}$ = -1 Somit gilt: S₁( $4$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 1 + 8 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 7$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 1 + 8 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $- 2 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$- 2 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (x^{2} + 8 x) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 8$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 6 e^{- 6 x} + 2) \cdot (x - 3)$ = 0

Lösung einblenden

(- 6 e^{- 6 x} + 2) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{- 6 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 6 e^{- 6 x}$	=	$- 2$	\|: $- 6$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 0.1831

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={ $- \frac{1}{6} \ln (\frac{1}{3})$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 2}{2 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x - 2}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x - 2}{2 x} \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$	=
$5 x - 2 - 6 x$	=
$- x - 2$	=

$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 35 \cdot {(- 1)}^{2} + 77 \cdot (- 1) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $32 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$45 x$	$+ 45$
		-( $45 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 35 \cdot {(- 9)}^{2} + 77 \cdot (- 9) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$5 x$	$+ 45$
		-( $5 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x - 6 | - 6$ = $- 18$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \| - 6$	=	$- 18$
$- 6 - \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$- 18$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$24$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$24$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$30$	\|: $3$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 10 - 6$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$24$
$- 3 x + 6$	=	$24$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 6) - 6$ = -24 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: