Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6}$ und $g(x) =$ $9 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6}$	=	$9 x^{4}$	\| $- 9 x^{4}$
$x^{6} - 9 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $9 \cdot {(- 3)}^{4}$ = 729 Somit gilt: S₁( $- 3$ |729)

x₂ = 0: f(0)= $9 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $9 \cdot 3^{4}$ = 729 Somit gilt: S₃( $3$ |729)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 1 + x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 1 + x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$e^{2 x} - 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$e^{2 x} - 1 + 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$(2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 1$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{2 x}{x - 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

\frac{2 x}{x - 2} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{4 x}{2 x + 2} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{4 x (x - 2)}{2 x + 2} - 5 x + 10$	=
$2 x + \frac{4 x^{2} - 8 x}{2 x + 2} - 5 x + 10$	=
$\frac{4 x^{2} - 8 x}{2 x + 2} + 2 x - 5 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 8 x}{2 x + 2} + 2 x - 5 x + 10$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{4 x^{2} - 8 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 2 x \cdot (2 x + 2) - 5 x \cdot (2 x + 2) + 10 \cdot (2 x + 2)$	=
$4 x^{2} - 8 x + 2 x (2 x + 2) - 5 x (2 x + 2) + 20 x + 20$	=
$4 x^{2} - 8 x + (4 x^{2} + 4 x) + (- 10 x^{2} - 10 x) + 20 x + 20$	=
$- 2 x^{2} + 6 x + 20$	=

- 2 x^{2} + 6 x + 20

= 0 |:2

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 16 x^{2} + 73 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 16 x^{2} + 73 x - 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 16 \cdot 2^{2} + 73 \cdot 2 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 73 x$	$- 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 14 x + 45$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 14 x^{2}$	$+ 73 x$
	-( $- 14 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$45 x$	$- 90$
		-( $45 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 73 x - 90$ = $(x^{2} - 14 x + 45) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 14 x + 45) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 14 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14+4}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14-4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 16 \cdot 5^{2} + 73 \cdot 5 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 73 x$	$- 90$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 73 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$+ 55 x$ )
		$18 x$	$- 90$
		-( $18 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 73 x - 90$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 16 \cdot 9^{2} + 73 \cdot 9 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 73 x$	$- 90$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 73 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 63 x$ )
		$10 x$	$- 90$
		-( $10 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 73 x - 90$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $2$ ; $5$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x - 16 | - 5$ = $7$

Lösung einblenden

$\| 4 x - 16 \| - 5$	=	$7$
$- 5 + \| 4 x - 16 \|$	=	$7$	\| $+ 5$
$\| 4 x - 16 \|$	=	$12$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

$4 x - 16$	=	$12$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 7 - 16$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 16$ < 0:

$- (4 x - 16)$	=	$12$
$- 4 x + 16$	=	$12$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot 1 - 16$ = -12 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -16 ≥ 0:

2. Fall: 4x -16 < 0:

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 16$ < 0: