Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 7 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 6 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 7 e^{2 x}$	=	$- 6 e^{x}$	\| $+ 6 e^{x}$
$e^{3 x} - 7 e^{2 x} + 6 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 7 e^{x} + 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 7 e^{x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 6 e^{0}$ = -6 Somit gilt: S₁(0|-6)

x₂ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $- 6 e^{\ln (6)}$ = -36 Somit gilt: S₂( $\ln (6)$ |-36)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 5 + 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 5 + 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 e^{- \frac{1}{2} x} - x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- \frac{1}{2} x} - x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$(- x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 2 e^{4 x}$ = $35 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 2 e^{4 x}$	=	$35 e^{2 x}$	\| $- 35 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 2 e^{4 x} - 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{8 x}{x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

\frac{8 x}{x + 2} + \frac{x}{2 x - 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{x}{2 x - 2} - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{8 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{x}{2 x - 2} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$8 x + \frac{x (x + 2)}{2 x - 2} - 5 x - 10$	=
$8 x + \frac{x^{2} + 2 x}{2 x - 2} - 5 x - 10$	=
$\frac{x^{2} + 2 x}{2 x - 2} + 8 x - 5 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{x^{2} + 2 x}{2 x - 2} + 8 x - 5 x - 10$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{x^{2} + 2 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + 8 x \cdot (2 x - 2) - 5 x \cdot (2 x - 2) - 10 \cdot (2 x - 2)$	=
$x^{2} + 2 x + 8 x (2 x - 2) - 5 x (2 x - 2) - 20 x + 20$	=
$x^{2} + 2 x + (16 x^{2} - 16 x) + (- 10 x^{2} + 10 x) - 20 x + 20$	=
$7 x^{2} - 24 x + 20$	=

$7 x^{2} - 24 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 560}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{16}}{14}$

x₁ = $\frac{24 + \sqrt{16}}{14}$ = $\frac{24+4}{14}$ = $\frac{28}{14}$ = $2$

x₂ = $\frac{24 - \sqrt{16}}{14}$ = $\frac{24-4}{14}$ = $\frac{20}{14}$ = $\frac{10}{7}$ ≈ 1.43

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{10}{7}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 10$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 10$
		-( $5 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 10$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x - 16 | - 6$ = $- 26$

Lösung einblenden

$- \| 4 x - 16 \| - 6$	=	$- 26$
$- 6 - \| 4 x - 16 \|$	=	$- 26$	\| $+ 6$
$- \| 4 x - 16 \|$	=	$- 20$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x - 16 \|$	=	$20$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

$4 x - 16$	=	$20$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 9 - 16$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 16$ < 0:

$- (4 x - 16)$	=	$20$
$- 4 x + 16$	=	$20$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 1) - 16$ = -20 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -16 ≥ 0:

2. Fall: 4x -16 < 0:

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 16$ < 0: