Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 7$ und $g(x) =$ $6 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 7

=

6 e^{2 x}

|

- 6 e^{2 x}

e^{4 x} - 6 e^{2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $6 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 42 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |42)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $42 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x - 7$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

42

|

- 42

e^{2 x} - e^{x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 3 x^{2} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{x + 2}{x} + \frac{11 x + 2}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

- \frac{11 x + 2}{3 x} + \frac{x + 2}{x} + \frac{3 x}{3 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$- \frac{11 x + 2}{3 x} + \frac{x + 2}{x} + \frac{3 x}{3 x - 3}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$- \frac{11 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + \frac{x + 2}{x} \cdot 3 x + \frac{3 x}{3 x - 3} \cdot 3 x$	=
$- 11 x - 2 + 3 x + 6 + 3 \frac{3 x \cdot x}{3 x - 3}$	=
$- 11 x - 2 + 3 x + 6 + 3 \frac{3 x^{2}}{3 x - 3}$	=
$3 \frac{3 x^{2}}{3 x - 3} - 11 x + 3 x - 2 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$3 \frac{3 x^{2}}{3 x - 3} - 11 x + 3 x - 2 + 6$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$3 \frac{3 x^{2}}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) - 11 x \cdot (3 x - 3) + 3 x \cdot (3 x - 3) - 2 \cdot (3 x - 3) + 6 \cdot (3 x - 3)$	=
$9 x^{2} - 11 x (3 x - 3) + 3 x (3 x - 3) - 6 x + 6 + 18 x - 18$	=
$9 x^{2} + (- 33 x^{2} + 33 x) + (9 x^{2} - 9 x) - 6 x + 6 + 18 x - 18$	=
$- 15 x^{2} + 36 x - 12$	=

- 15 x^{2} + 36 x - 12

= 0 |:3

$- 5 x^{2} + 12 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 12+8}{- 10}$ = $\frac{- 4}{- 10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 12-8}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,4$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 4 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 4 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} - 13 \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$3 x^{3}$	$- 13 x^{2}$
	-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
		$- 16 x^{2}$	$- 4 x$
		-( $- 16 x^{2}$	$- 16 x$ )
			$12 x$	$+ 12$
			-( $12 x$	$+ 12$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x + 12$ = $(x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 16 \cdot 1 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 16 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 12 x$	$+ 12$
		-( $- 12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 16 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 6 x$	$+ 12$
		-( $- 6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 3 \cdot {(- 6)}^{2} - 16 \cdot (- 6) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 16 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$2 x$	$+ 12$
		-( $2 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 6$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x + 4 | - 1$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \| - 1$	=	$- 9$
$- 1 - \frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \|$	=	$- 9$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$16$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 3) + 4$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$16$
$4 x - 4$	=	$16$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 5 + 4$ = -16 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: