Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 9 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 20$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 9 e^{x}

=

- 20

|

+ 20

e^{2 x} - 9 e^{x} + 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 20$ Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-20)

x₂ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $- 20$ Somit gilt: S₂( $\ln (5)$ |-20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 5 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 5 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $4 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$4 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 + 2 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$4 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (- x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{6 x} - 3) \cdot (x^{3} + 5 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{6 x} - 3) (x^{3} + 5 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{6 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 e^{6 x}$	=	$3$	\|: $2$
$e^{6 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.0676

2. Fall:

$x^{3} + 5 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; 0; $\frac{1}{6} \ln (\frac{3}{2})$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 3$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 3 \cdot (2 x + 1)$	=
$5 x + 1 - 6 x - 3$	=
$- x - 2$	=

$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 64 x - 64$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 64 x - 64$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 64$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 4 \cdot 2^{3} - 12 \cdot 2^{2} + 64 \cdot 2 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 64 x$	$- 64$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 16 x^{2}$	$+ 64 x$
		-( $- 16 x^{2}$	$+ 32 x$ )
			$32 x$	$- 64$
			-( $32 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 64 x - 64$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 16 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 16$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 16 x$
	-(0	0)
		$- 16 x$	$+ 32$
		-( $- 16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32$ = $(x^{2} + 0 - 16) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 16) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 16) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 16 \cdot (- 4) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 16 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$8 x$	$+ 32$
		-( $8 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 2 \cdot 4^{2} - 16 \cdot 4 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 16 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 8 x$	$+ 32$
		-( $- 8 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{4} - 4 \cdot {(- 4)}^{3} - 12 \cdot {(- 4)}^{2} + 64 \cdot (- 4) - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 64 x$	$- 64$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$
-( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$ )
	$- 8 x^{3}$	$- 12 x^{2}$
	-( $- 8 x^{3}$	$- 32 x^{2}$ )
		$20 x^{2}$	$+ 64 x$
		-( $20 x^{2}$	$+ 80 x$ )
			$- 16 x$	$- 64$
			-( $- 16 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 64 x - 64$ = $(x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) \cdot (x + 4)$

(x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 8 \cdot 4^{2} + 20 \cdot 4 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$4 x$	$- 16$
		-( $4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{4} - 4 \cdot 4^{3} - 12 \cdot 4^{2} + 64 \cdot 4 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 64 x$	$- 64$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{3} + 0 - 12 x + 16$
-( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$ )
	0	$- 12 x^{2}$
	-(0	0)
		$- 12 x^{2}$	$+ 64 x$
		-( $- 12 x^{2}$	$+ 48 x$ )
			$16 x$	$- 64$
			-( $16 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 64 x - 64$ = $(x^{3} + 0 - 12 x + 16) \cdot (x - 4)$

$(x^{3} + 0 - 12 x + 16) \cdot (x - 4)$	=	0
$(x^{3} - 12 x + 16) (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 12 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 12 \cdot 2 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 12 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 12 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 8 x$	$+ 16$
		-( $- 8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x + 16$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 12 \cdot (- 4) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 12 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 12 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$4 x$	$+ 16$
		-( $4 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x + 16$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 4$ ; $2$ ; $4$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x - 2 | + 1$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x - 2 \| + 1$	=	$7$
$1 + \frac{1}{2} \| - x - 2 \|$	=	$7$	\| $- 1$
$\frac{1}{2} \| - x - 2 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| - x - 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $- x - 2$ ≥ 0:

$- x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$- x$	=	$14$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 14) - 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 2$ < 0:

$- (- x - 2)$	=	$12$
$x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 2$ < 0) genügt:

$- 10 - 2$ = -12 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -2 ≥ 0:

2. Fall: -x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 2$ < 0: