Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 10 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 24 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 10 x^{2}$	=	$- 24 x$	\| $+ 24 x$
$x^{3} - 10 x^{2} + 24 x$	=	0
$x (x^{2} - 10 x + 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₂ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={0; $4$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 24 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $- 24 \cdot 4$ = -96 Somit gilt: S₂( $4$ |-96)

x₃ = $6$ : f( $6$ )= $- 24 \cdot 6$ = -144 Somit gilt: S₃( $6$ |-144)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $6 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 5 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 5 x

=

6

|

- 6

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{5 x} + 3) \cdot (x^{2} - 4)$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{5 x} + 3) (x^{2} - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{5 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 7 e^{5 x}$	=	$- 3$	\|: $- 7$
$e^{5 x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{3}{7})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{3}{7})$	≈ -0.1695

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{5} \ln (\frac{3}{7})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 2}{2 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x + 2}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x + 2}{2 x} \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$	=
$5 x + 2 - 6 x$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 17 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $23 x^{2}$	$- 46 x$ )
		$30 x$	$- 60$
		-( $30 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} - 16 \cdot (- 6) - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 10 x$	$- 60$
		-( $- 10 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x + 12 | + 1$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x + 12 \| + 1$	=	$- 7$
$1 - \frac{1}{3} \| 4 x + 12 \|$	=	$- 7$	\| $- 1$
$- \frac{1}{3} \| 4 x + 12 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 3 + 12$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$24$
$- 4 x - 12$	=	$24$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 9) + 12$ = -24 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: