Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 9 x$ und $g(x) =$ $8 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 9 x$	=	$8 x^{3}$	\| $- 8 x^{3}$
$x^{5} - 8 x^{3} - 9 x$	=	0
$x (x^{4} - 8 x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 8 x^{2} - 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $8 \cdot {(- 3)}^{3}$ = -216 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-216)

x₂ = 0: f(0)= $8 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $8 \cdot 3^{3}$ = 216 Somit gilt: S₃( $3$ |216)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 2 + x^{2} \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 2 + x^{2} \cdot e^{- x}$

f'(x)= $- 1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$- 1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$(- x^{2} + 2 x) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{2 x} - 4) \cdot (x^{3} - 16 x)$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{2 x} - 4) (x^{3} - 16 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{2 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$8 e^{2 x}$	=	$4$	\|: $8$
$e^{2 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.3466

2. Fall:

$x^{3} - 16 x$	=	0
$x (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ ; 0; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x - 4} + \frac{3 x + 3}{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

\frac{3 x + 3}{x} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x + 3}{x} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - 8$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x + 3}{x} \cdot x + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} \cdot x - 8 \cdot x$	=
$3 x + 3 + \frac{(3 x - 1) x}{2 x - 4} - 8 x$	=
$3 x + 3 + \frac{3 x^{2} - x}{2 x - 4} - 8 x$	=
$\frac{3 x^{2} - x}{2 x - 4} + 3 x - 8 x + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} - x}{2 x - 4} + 3 x - 8 x + 3$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{3 x^{2} - x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + 3 x \cdot (2 x - 4) - 8 x \cdot (2 x - 4) + 3 \cdot (2 x - 4)$	=
$3 x^{2} - x + 3 x (2 x - 4) - 8 x (2 x - 4) + 6 x - 12$	=
$3 x^{2} - x + (6 x^{2} - 12 x) + (- 16 x^{2} + 32 x) + 6 x - 12$	=
$- 7 x^{2} + 25 x - 12$	=

$- 7 x^{2} + 25 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 336}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{289}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{289}}{- 14}$ = $\frac{- 25+17}{- 14}$ = $\frac{- 8}{- 14}$ = $\frac{4}{7}$ ≈ 0.57

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{289}}{- 14}$ = $\frac{- 25-17}{- 14}$ = $\frac{- 42}{- 14}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{7}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} + 7 \cdot 2^{2} - 10 \cdot 2 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 10 x$	$- 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$12 x$	$- 24$
		-( $12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x - 24$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 7 \cdot {(- 4)}^{2} - 10 \cdot (- 4) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 10 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 6 x$	$- 24$
		-( $- 6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x - 24$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} - x - 6) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x + 4 | - 9$ = $- 17$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x + 4 \| - 9$	=	$- 17$
$- 9 - \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 17$	\| $+ 9$
$- \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

$- 2 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 2) + 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0:

$- (- 2 x + 4)$	=	$8$
$2 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 6 + 4$ = -8 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +4 ≥ 0:

2. Fall: -2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0: