Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 5 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $- 4$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 5 e^{- 2 x}

=

- 4

|

+ 4

e^{2 x} - 5 e^{- 2 x} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 5 e^{- 2 x} + 4$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 5$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 4$ Somit gilt: S₁(0|-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $36 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $36 x + 5$ gilt m = $36$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 5 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 5 x^{2}

=

36

|

- 36

x^{4} + 5 x^{2} - 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 9$

x^{2}

=

- 9

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $36$ und sind somit parallel zur Geraden y = $36 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - e^{4 x}$ = $30 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - e^{4 x}$	=	$30 e^{x}$	\| $- 30 e^{x}$
$e^{7 x} - e^{4 x} - 30 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 30) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{3 x + 10} + \frac{- 3 x}{3 x + 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{2 x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - \frac{3 x}{3 x + 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - \frac{3 x}{3 x + 10}$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x + 2}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (3 x + 10) - \frac{3 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x + 2 + \frac{(2 x - 1) (3 x + 10)}{x + 1} - 3 x$	=
$2 x + 2 + \frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{x + 1} - 3 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{x + 1} + 2 x - 3 x + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{x + 1} + 2 x - 3 x + 2$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 17 x - 10}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 3 x \cdot (x + 1) + 2 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 17 x - 10 + 2 x (x + 1) - 3 x (x + 1) + 2 x + 2$	=
$6 x^{2} + 17 x - 10 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} - 3 x) + 2 x + 2$	=
$5 x^{2} + 18 x - 8$	=

$5 x^{2} + 18 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 + 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{484}}{10}$

x₁ = $\frac{- 18 + \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 18+22}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 18 - \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 18-22}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 8 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 18 x$	$+ 18$
		-( $- 18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 7 x - 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 8 \cdot {(- 2)}^{2} - 11 \cdot (- 2) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$9 x$	$+ 18$
		-( $9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 8 \cdot 9^{2} - 11 \cdot 9 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 11 x$
	-( $x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 2 x$	$+ 18$
		-( $- 2 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + x - 2) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x - 6 | - 5$ = $- 20$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 6 \| - 5$	=	$- 20$
$- 5 - \frac{1}{2} \| - 3 x - 6 \|$	=	$- 20$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 6 \|$	=	$- 15$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x - 6 \|$	=	$30$

1. Fall: $- 3 x - 6$ ≥ 0:

$- 3 x - 6$	=	$30$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$36$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 12) - 6$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $- 12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 6$ < 0:

$- (- 3 x - 6)$	=	$30$
$3 x + 6$	=	$30$	\| $- 6$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 8 - 6$ = -30 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 12$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -6 ≥ 0:

2. Fall: -3x -6 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 6$ < 0: