Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 12 x$ und $g(x) =$ $- x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 12 x$	=	$- x^{2}$	\| $+ x^{2}$
$x^{3} + x^{2} - 12 x$	=	0
$x (x^{2} + x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; 0; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 4$ : f( $- 4$ )= $- {(- 4)}^{2}$ = -16 Somit gilt: S₁( $- 4$ |-16)

x₂ = 0: f(0)= $- 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $- 3^{2}$ = -9 Somit gilt: S₃( $3$ |-9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $30 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x - 4$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - e^{3 x}

=

30

|

- 30

e^{6 x} - e^{3 x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 3 e^{2 x}$ = $4$

Lösung einblenden

e^{4 x} - 3 e^{2 x}

=

4

|

- 4

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x - 1} + \frac{6 x}{x + 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{6 x}{x + 1} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - 7$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} \cdot (x + 1) - 7 \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} - 7 x - 7$	=
$6 x + \frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x - 1} - 7 x - 7$	=
$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x - 1} + 6 x - 7 x - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x - 1} + 6 x - 7 x - 7$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 6 x \cdot (2 x - 1) - 7 x \cdot (2 x - 1) - 7 \cdot (2 x - 1)$	=
$5 x^{2} + 4 x - 1 + 6 x (2 x - 1) - 7 x (2 x - 1) - 14 x + 7$	=
$5 x^{2} + 4 x - 1 + (12 x^{2} - 6 x) + (- 14 x^{2} + 7 x) - 14 x + 7$	=
$3 x^{2} - 9 x + 6$	=

3 x^{2} - 9 x + 6

= 0 |:3

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 4 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 6 | + 8$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \| + 8$	=	$- 4$
$8 - \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$- 4$	\| $- 8$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 6 \|$	=	$24$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

$2 x + 6$	=	$24$	\| $- 6$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 9 + 6$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 6$ < 0:

$- (2 x + 6)$	=	$24$
$- 2 x - 6$	=	$24$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$30$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 15) + 6$ = -24 < 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +6 ≥ 0:

2. Fall: 2x +6 < 0:

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 6$ < 0: