Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{18}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- \frac{3}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{18}{x^{2}}$	=	$- \frac{3}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{3}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 18$	=	$- 3 x$

x^{2} - 18

=

- 3 x

|

+ 3 x

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 6$ : f( $- 6$ )= $- \frac{3}{(- 6)}$ = 0.5 Somit gilt: S₁( $- 6$ |0.5)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $- \frac{3}{3}$ = -1 Somit gilt: S₂( $3$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 4 + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 6$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 4 + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} + 7 x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} + 7 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{2 x}{x + 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{2 x}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{2 x}{x + 1} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x + \frac{2 x (3 x - 1)}{x + 1} - 12 x + 4$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} - 12 x + 4$	=
$\frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} + 6 x - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} + 6 x - 12 x + 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 6 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1) + 4 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} - 2 x + 6 x (x + 1) - 12 x (x + 1) + 4 x + 4$	=
$6 x^{2} - 2 x + (6 x^{2} + 6 x) + (- 12 x^{2} - 12 x) + 4 x + 4$	=
$- 4 x + 4$	=

$- 4 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 4 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 4 x$
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 6 x$	$- 12$
		-( $- 6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + x - 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 4 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12$ = $(x^{2} + 5 x + 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 5 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 3 \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 4 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 12$
		-( $- 4 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 3)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 3)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x - 12 | + 8$ = $20$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 3 x - 12 \| + 8$	=	$20$
$8 + \frac{1}{3} \| - 3 x - 12 \|$	=	$20$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| - 3 x - 12 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x - 12 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x - 12$ ≥ 0:

$- 3 x - 12$	=	$36$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$48$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 16) - 12$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 12$ < 0:

$- (- 3 x - 12)$	=	$36$
$3 x + 12$	=	$36$	\| $- 12$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 12$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 8 - 12$ = -36 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -12 ≥ 0:

2. Fall: -3x -12 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $- 3 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 12$ < 0: