Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 6$ und $g(x) =$ $x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 6

=

x

|

- x

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 2$ Somit gilt: S₁( $- 2$ |-2)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $3$ Somit gilt: S₂( $3$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$ parallel zur Geraden y = $12 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} + e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{- 7 x} + 7) \cdot (x^{2} + 8 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{- 7 x} + 7) (x^{2} + 8 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{- 7 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 9 e^{- 7 x}$	=	$- 7$	\|: $- 9$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{7}{9}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{7}{9})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{7}{9})$	≈ 0.0359

2. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; 0; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{7}{9})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{2}{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{6 x}{3 x - 3} - 5 + \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 3} - 5 + \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{6 x}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) - 5 \cdot (3 x - 3) + \frac{2}{x} \cdot (3 x - 3)$	=
$6 x - 15 x + 15 + 2 \frac{3 x - 3}{x}$	=
$2 \frac{3 x - 3}{x} + 6 x - 15 x + 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 \frac{3 x - 3}{x} + 6 x - 15 x + 15$	=	\|⋅( $x$ )
$2 \frac{3 x - 3}{x} \cdot x + 6 x \cdot x - 15 x \cdot x + 15 \cdot x$	=
$6 x - 6 + 6 x \cdot x - 15 x \cdot x + 15 x$	=
$6 x - 6 + 6 x^{2} - 15 x^{2} + 15 x$	=
$- 9 x^{2} + 21 x - 6$	=

- 9 x^{2} + 21 x - 6

= 0 |:3

$- 3 x^{2} + 7 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7+5}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7-5}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 13 x^{2} + 34 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 13 x^{2} + 34 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 34 \cdot 1 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 34 x$	$- 48$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 14 x + 48$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $14 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$48 x$	$- 48$
		-( $48 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 34 x - 48$ = $(x^{2} + 14 x + 48) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 14 x + 48) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 14 x + 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14+2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14-2}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 13 \cdot {(- 6)}^{2} + 34 \cdot (- 6) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 34 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$- 8 x$	$- 48$
		-( $- 8 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 34 x - 48$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 7 x - 8) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 13 \cdot {(- 8)}^{2} + 34 \cdot (- 8) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 34 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 40 x$ )
		$- 6 x$	$- 48$
		-( $- 6 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 34 x - 48$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 6$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x - 4 | + 3$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x - 4 \| + 3$	=	$6$
$3 + \frac{1}{2} \| - x - 4 \|$	=	$6$	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| - x - 4 \|$	=	$3$	\|⋅ $2$
$\| - x - 4 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

$- x - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- (- 10) - 4$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 4$ < 0:

$- (- x - 4)$	=	$6$
$x + 4$	=	$6$	\| $- 4$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 - 4$ = -6 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -4 ≥ 0:

2. Fall: -x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 4$ < 0: