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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 3 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $10 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 3 e^{4 x}$	=	$10 e^{2 x}$	\| $- 10 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 3 e^{4 x} - 10 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 10) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $10 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = 50 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |50)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 5 + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 7$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 5 + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $6 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$6 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$6 e^{\frac{1}{3} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + e^{2 x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} + e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{- 10 x}{6 x - 16}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $\frac{5}{2}$ }

\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - \frac{10 x}{6 x - 16}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - \frac{10 x}{6 x - 16}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} \cdot (3 x - 8) - \frac{10 x}{2 (3 x - 8)} \cdot (3 x - 8)$	=
$3 x + \frac{(2 x - 2) (3 x - 8)}{2 x - 5} - 5 x$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{2 x - 5} - 5 x$	=
$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{2 x - 5} + 3 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{2 x - 5} + 3 x - 5 x$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + 3 x \cdot (2 x - 5) - 5 x \cdot (2 x - 5)$	=
$6 x^{2} - 22 x + 16 + 3 x (2 x - 5) - 5 x (2 x - 5)$	=
$6 x^{2} - 22 x + 16 + (6 x^{2} - 15 x) + (- 10 x^{2} + 25 x)$	=
$2 x^{2} - 12 x + 16$	=

2 x^{2} - 12 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 38 \cdot {(- 2)}^{2} + 109 \cdot (- 2) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$+ 109 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 109 x$
	-( $32 x^{2}$	$+ 64 x$ )
		$45 x$	$+ 90$
		-( $45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 38 \cdot {(- 9)}^{2} + 109 \cdot (- 9) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$+ 109 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 109 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 99 x$ )
		$10 x$	$+ 90$
		-( $10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x + 2 | + 8$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x + 2 \| + 8$	=	$6$
$8 + \frac{1}{2} \| - 2 x + 2 \|$	=	$6$	\| $- 8$
$\frac{1}{2} \| - 2 x + 2 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x + 2 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 9$