Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 7$ und $g(x) =$ $6 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 7

=

6 e^{2 x}

|

- 6 e^{2 x}

e^{4 x} - 6 e^{2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $6 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 42 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |42)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 5 + x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 5 + x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $e^{3 x} - 1 + 3 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$e^{3 x} - 1 + 3 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$e^{3 x} - 1 + 1 + 3 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$e^{3 x} + 3 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$(3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 21 e^{x}$ = $4 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 21 e^{x}$	=	$4 e^{2 x}$	\| $- 4 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 4 e^{2 x} - 21 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 4 e^{x} - 21) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 4 e^{x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{12 x}{x - 2} + \frac{54 x}{- 3 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{12 x}{x - 2} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{54 x}{- 3 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{54 x}{- 3 x + 6}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 2) + \frac{54 x}{- 3 x + 6} \cdot (x - 2)$	=
$12 x + \frac{4 x (x - 2)}{x - 1} + \frac{54 x (x - 2)}{- 3 x + 6}$	=
$12 x + \frac{4 x^{2} - 8 x}{x - 1} + \frac{54 x^{2} - 108 x}{- 3 x + 6}$	=
$\frac{54 x^{2} - 108 x}{- 3 x + 6} + \frac{4 x^{2} - 8 x}{x - 1} + 12 x$	=

\frac{4 x^{2} - 8 x}{x - 1} + \frac{54 x^{2} - 108 x}{- 3 x + 6} + 12 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 8 x}{x - 1} + \frac{54 x^{2} - 108 x}{- 3 x + 6} + 12 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{54 x^{2} - 108 x}{- 3 x + 6} \cdot (x - 1) + 12 x \cdot (x - 1)$	=
$4 x^{2} - 8 x + \frac{(54 x^{2} - 108 x) (x - 1)}{- 3 x + 6} + 12 x (x - 1)$	=
$4 x^{2} - 8 x + \frac{54 x^{3} - 162 x^{2} + 108 x}{- 3 x + 6} + (12 x^{2} - 12 x)$	=
$\frac{54 x^{3} - 162 x^{2} + 108 x}{- 3 x + 6} + 4 x^{2} + 12 x^{2} - 8 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 6$ weg!

$\frac{54 x^{3} - 162 x^{2} + 108 x}{- 3 x + 6} + 4 x^{2} + 12 x^{2} - 8 x - 12 x$	=	\|⋅( $- 3 x + 6$ )
$\frac{54 x^{3} - 162 x^{2} + 108 x}{- 3 x + 6} \cdot (- 3 x + 6) + 4 x^{2} \cdot (- 3 x + 6) + 12 x^{2} \cdot (- 3 x + 6) - 8 x \cdot (- 3 x + 6) - 12 x \cdot (- 3 x + 6)$	=
$54 x^{3} - 162 x^{2} + 108 x + 4 x^{2} (- 3 x + 6) + 12 x^{2} (- 3 x + 6) - 8 x (- 3 x + 6) - 12 x (- 3 x + 6)$	=
$54 x^{3} - 162 x^{2} + 108 x + (- 12 x^{3} + 24 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 72 x^{2}) + (24 x^{2} - 48 x) + (36 x^{2} - 72 x)$	=
$6 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x$	=

$6 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x$	=	0
$6 x (x^{2} - x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} - 53 x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 53 x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 53 \cdot 2 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 53 x$	$+ 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 45$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 53 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 45 x$	$+ 90$
		-( $- 45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 53 x + 90$ = $(x^{2} + 4 x - 45) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 4 x - 45) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4+14}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4-14}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} + 2 \cdot 5^{2} - 53 \cdot 5 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 53 x$	$+ 90$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 53 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 35 x$ )
		$- 18 x$	$+ 90$
		-( $- 18 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 53 x + 90$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 2 \cdot {(- 9)}^{2} - 53 \cdot (- 9) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 53 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 53 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 63 x$ )
		$10 x$	$+ 90$
		-( $10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 53 x + 90$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x - 20 | - 3$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x - 20 \| - 3$	=	$- 11$
$- 3 - \frac{1}{2} \| 4 x - 20 \|$	=	$- 11$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| 4 x - 20 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x - 20 \|$	=	$16$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

$4 x - 20$	=	$16$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 9 - 20$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 20$ < 0:

$- (4 x - 20)$	=	$16$
$- 4 x + 20$	=	$16$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot 1 - 20$ = -16 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -20 ≥ 0:

2. Fall: 4x -20 < 0:

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 20$ < 0: