Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 8 x$ und $g(x) =$ $- 7 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 8 x$	=	$- 7 x^{3}$	\| $+ 7 x^{3}$
$x^{5} + 7 x^{3} - 8 x$	=	0
$x (x^{4} + 7 x^{2} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 7 x^{2} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 7 \cdot {(- 1)}^{3}$ = 7 Somit gilt: S₁( $- 1$ |7)

x₂ = 0: f(0)= $- 7 \cdot 0^{3}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $- 7 \cdot 1^{3}$ = -7 Somit gilt: S₃( $1$ |-7)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 7$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

2

|

- 2

e^{2 x} - e^{x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 18 x^{3} + 81 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 18 x^{3} + 81 x$	=	0
$x (x^{4} - 18 x^{2} + 81)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 18 x^{2} + 81

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 18 u + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{18}{2}$ = $9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₅	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung! $3$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{x - 1}{2 x - 5} + \frac{3 x}{- 4 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $\frac{5}{2}$ }

\frac{x}{2 x - 6} + \frac{x - 1}{2 x - 5} + \frac{3 x}{- 4 x + 12}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 6$ weg!

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{x - 1}{2 x - 5} + \frac{3 x}{- 4 x + 12}$	=	\|⋅( $2 x - 6$ )
$\frac{x}{2 x - 6} \cdot (2 x - 6) + \frac{x - 1}{2 x - 5} \cdot (2 x - 6) + \frac{3 x}{- 4 x + 12} \cdot (2 x - 6)$	=
$x + \frac{(x - 1) (2 x - 6)}{2 x - 5} + \frac{3 x (2 x - 6)}{- 4 x + 12}$	=
$x + \frac{2 x^{2} - 8 x + 6}{2 x - 5} + \frac{6 x^{2} - 18 x}{- 4 x + 12}$	=
$\frac{6 x^{2} - 18 x}{- 4 x + 12} + \frac{2 x^{2} - 8 x + 6}{2 x - 5} + x$	=

\frac{2 x^{2} - 8 x + 6}{2 x - 5} + \frac{6 x^{2} - 18 x}{- 4 x + 12} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 6}{2 x - 5} + \frac{6 x^{2} - 18 x}{- 4 x + 12} + x$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x^{2} - 8 x + 6}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{6 x^{2} - 18 x}{- 4 x + 12} \cdot (2 x - 5) + x \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x^{2} - 8 x + 6 + \frac{(6 x^{2} - 18 x) (2 x - 5)}{- 4 x + 12} + x (2 x - 5)$	=
$2 x^{2} - 8 x + 6 + \frac{12 x^{3} - 66 x^{2} + 90 x}{- 4 x + 12} + (2 x^{2} - 5 x)$	=
$\frac{12 x^{3} - 66 x^{2} + 90 x}{- 4 x + 12} + 2 x^{2} + 2 x^{2} - 8 x - 5 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 4 x + 12$ weg!

$\frac{12 x^{3} - 66 x^{2} + 90 x}{- 4 x + 12} + 2 x^{2} + 2 x^{2} - 8 x - 5 x + 6$	=	\|⋅( $- 4 x + 12$ )
$\frac{12 x^{3} - 66 x^{2} + 90 x}{- 4 x + 12} \cdot (- 4 x + 12) + 2 x^{2} \cdot (- 4 x + 12) + 2 x^{2} \cdot (- 4 x + 12) - 8 x \cdot (- 4 x + 12) - 5 x \cdot (- 4 x + 12) + 6 \cdot (- 4 x + 12)$	=
$12 x^{3} - 66 x^{2} + 90 x + 2 x^{2} (- 4 x + 12) + 2 x^{2} (- 4 x + 12) - 8 x (- 4 x + 12) - 5 x (- 4 x + 12) - 24 x + 72$	=
$12 x^{3} - 66 x^{2} + 90 x + (- 8 x^{3} + 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} + 24 x^{2}) + (32 x^{2} - 96 x) + (20 x^{2} - 60 x) - 24 x + 72$	=
$- 4 x^{3} + 34 x^{2} - 90 x + 72$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 4 x^{3} + 34 x^{2} - 90 x + 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $72$ .

$3$ ist eine Lösung, denn $- 4 \cdot 3^{3} + 34 \cdot 3^{2} - 90 \cdot 3 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $- 4 x^{3}$	$+ 34 x^{2}$	$- 90 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 3$ )	=	$- 4 x^{2} + 22 x - 24$
-( $- 4 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$22 x^{2}$	$- 90 x$
	-( $22 x^{2}$	$- 66 x$ )
		$- 24 x$	$+ 72$
		-( $- 24 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$- 4 x^{3} + 34 x^{2} - 90 x + 72$ = $(- 4 x^{2} + 22 x - 24) \cdot (x - 3)$

(- 4 x^{2} + 22 x - 24) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 4 x^{2} + 22 x - 24

= 0 |:2

$- 2 x^{2} + 11 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11+5}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11-5}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $- 4 \cdot 4^{3} + 34 \cdot 4^{2} - 90 \cdot 4 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $- 4 x^{3}$	$+ 34 x^{2}$	$- 90 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 4$ )	=	$- 4 x^{2} + 18 x - 18$
-( $- 4 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$ )
	$18 x^{2}$	$- 90 x$
	-( $18 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$- 18 x$	$+ 72$
		-( $- 18 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$- 4 x^{3} + 34 x^{2} - 90 x + 72$ = $(- 4 x^{2} + 18 x - 18) \cdot (x - 4)$

(- 4 x^{2} + 18 x - 18) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 4 x^{2} + 18 x - 18

= 0 |:2

$- 2 x^{2} + 9 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 9+3}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 9-3}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 17 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 17 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 5 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 10$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 7 x^{2}$	$+ 17 x$
		-( $- 7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
			$10 x$	$- 10$
			-( $10 x$	$- 10$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 17 x - 10$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $10$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 10$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 10 x$	$+ 10$
		-( $- 10 x$	$+ 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 3 x - 10) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 7 \cdot (- 2) + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$5 x$	$+ 10$
		-( $5 x$	$+ 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ = $(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 6 x + 5) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 4 \cdot 5^{2} - 7 \cdot 5 + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 10$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 7 x$
	-( $x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 2 x$	$+ 10$
		-( $- 2 x$	$+ 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + x - 2) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 5 \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 17 \cdot (- 2) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 7 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $- 7 x^{3}$	$- 14 x^{2}$ )
		$11 x^{2}$	$+ 17 x$
		-( $11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
			$- 5 x$	$- 10$
			-( $- 5 x$	$- 10$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 17 x - 10$ = $(x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5$ = $(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 6 x + 5) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 7 \cdot 5^{2} + 11 \cdot 5 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 5$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$x$	$- 5$
		-( $x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{4} - 5 \cdot 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} + 17 \cdot 5 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 10$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{3} + 0 - 3 x + 2$
-( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$ )
	0	$- 3 x^{2}$
	-(0	0)
		$- 3 x^{2}$	$+ 17 x$
		-( $- 3 x^{2}$	$+ 15 x$ )
			$2 x$	$- 10$
			-( $2 x$	$- 10$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 17 x - 10$ = $(x^{3} + 0 - 3 x + 2) \cdot (x - 5)$

$(x^{3} + 0 - 3 x + 2) \cdot (x - 5)$	=	0
$(x^{3} - 3 x + 2) (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$+ 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 3 x$
	-( $x^{2}$	$- x$ )
		$- 2 x$	$+ 2$
		-( $- 2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x + 2$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + x - 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 3 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x + 2$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $5$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x + 2 | + 1$ = $7$

Lösung einblenden

$\| - x + 2 \| + 1$	=	$7$
$1 + \| - x + 2 \|$	=	$7$	\| $- 1$
$\| - x + 2 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

$- x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 4) + 2$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 2$ < 0:

$- (- x + 2)$	=	$6$
$x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ < 0) genügt:

$- 8 + 2$ = -6 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 4

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +2 ≥ 0:

2. Fall: -x +2 < 0:

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 2$ < 0: