Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 24$ und $g(x) =$ $10 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} + 24

=

10 e^{2 x}

|

- 10 e^{2 x}

e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

L={ $\ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $10 e^{2 \cdot (\ln (2))}$ = 40 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |40)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $10 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 60 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |60)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x - 6$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 6 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 6 x

=

- 8

|

+ 8

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 9 e^{4 x} + 20 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 9 e^{4 x} + 20 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 20) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{17 x - 2}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

- \frac{17 x - 2}{3 x} + \frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$- \frac{17 x - 2}{3 x} + \frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$- \frac{17 x - 2}{3 x} \cdot 6 x + \frac{7 x - 2}{2 x} \cdot 6 x + \frac{3 x}{x - 1} \cdot 6 x$	=
$- 34 x + 4 + 21 x - 6 + 6 \frac{3 x \cdot x}{x - 1}$	=
$- 34 x + 4 + 21 x - 6 + 6 \frac{3 x^{2}}{x - 1}$	=
$6 \frac{3 x^{2}}{x - 1} - 34 x + 21 x + 4 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$6 \frac{3 x^{2}}{x - 1} - 34 x + 21 x + 4 - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$6 \frac{3 x^{2}}{x - 1} \cdot (x - 1) - 34 x \cdot (x - 1) + 21 x \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$18 x^{2} - 34 x (x - 1) + 21 x (x - 1) + 4 x - 4 - 6 x + 6$	=
$18 x^{2} + (- 34 x^{2} + 34 x) + (21 x^{2} - 21 x) + 4 x - 4 - 6 x + 6$	=
$5 x^{2} + 11 x + 2$	=

$5 x^{2} + 11 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{10}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 11+9}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 11-9}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 36 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 5 \cdot 6^{2} - 36 \cdot 6 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$6 x$	$- 36$
		-( $6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x - 4 | + 6$ = $10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x - 4 \| + 6$	=	$10$
$6 + \frac{1}{2} \| 4 x - 4 \|$	=	$10$	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| 4 x - 4 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| 4 x - 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

$4 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 3 - 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 4$ < 0:

$- (4 x - 4)$	=	$8$
$- 4 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 1) - 4$ = -8 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -4 ≥ 0:

2. Fall: 4x -4 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 4$ < 0: