Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + e^{x}$ und $g(x) =$ $12 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + e^{x}$	=	$12 e^{- 2 x}$	\| $- 12 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} + e^{x} - 12 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 12) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $12 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 5.769 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |5.769)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 9 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 9 x + 2$ gilt m = $- 9$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 10 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 10 x^{2}

=

- 9

|

+ 9

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 9$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 9 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 4 e^{3 x} - 5 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 4 e^{3 x} - 5 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 4 e^{x} - 5) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 4 e^{x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{2 x}{x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{4}{3}$ }

\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 x + 4} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 x + 4} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{3 x (x - 2)}{3 x + 4} - 4 x + 8$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x + 4} - 4 x + 8$	=
$\frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x + 4} + 2 x - 4 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x + 4} + 2 x - 4 x + 8$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + 2 x \cdot (3 x + 4) - 4 x \cdot (3 x + 4) + 8 \cdot (3 x + 4)$	=
$3 x^{2} - 6 x + 2 x (3 x + 4) - 4 x (3 x + 4) + 24 x + 32$	=
$3 x^{2} - 6 x + (6 x^{2} + 8 x) + (- 12 x^{2} - 16 x) + 24 x + 32$	=
$- 3 x^{2} + 10 x + 32$	=

$- 3 x^{2} + 10 x + 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 32}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 384}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{484}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 10+22}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 10-22}{- 6}$ = $\frac{- 32}{- 6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{16}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 4 x$	$- 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 4$
		-( $- 4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 4 x$	$- 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 2 x$	$- 4$
		-( $- 2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - x - 2) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 4 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | x - 2 | - 4$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \| x - 2 \| - 4$	=	$- 6$
$- 4 - \| x - 2 \|$	=	$- 6$	\| $+ 4$
$- \| x - 2 \|$	=	$- 2$	\|: $(- 1)$
$\| x - 2 \|$	=	$2$

1. Fall: $x - 2$ ≥ 0:

$x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 2$ ≥ 0) genügt:

$4 - 2$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 2$ < 0:

$- (x - 2)$	=	$2$
$- x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 2$ < 0) genügt:

$0 - 2$ = -2 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: x -2 ≥ 0:

2. Fall: x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 2$ < 0: