Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + x$ und $g(x) =$ $2 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + x$	=	$2 x^{3}$	\| $- 2 x^{3}$
$x^{5} - 2 x^{3} + x$	=	0
$x (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 2 x^{2} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung! $1$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $2 \cdot {(- 1)}^{3}$ = -2 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-2)

x₂ = 0: f(0)= $2 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $2 \cdot 1^{3}$ = 2 Somit gilt: S₃( $1$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $5 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5 x + 2$ gilt m = $5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 4 x

=

5

|

- 5

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $5 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{3 x} + 18$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

- 9 e^{3 x} + 18

=

- e^{6 x}

|

+ e^{6 x}

e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{2 x - 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x - 1} - 3$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) - 3 \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x - 6 x + 3$	=
$3 x + 3$	=

$3 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} - 25 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 25 x^{2}$	$- 23 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $- 22 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$- 45 x$	$+ 45$
		-( $- 45 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 25 \cdot 9^{2} - 23 \cdot 9 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 25 x^{2}$	$- 23 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 5 x$	$+ 45$
		-( $- 5 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x - 3 | + 4$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x - 3 \| + 4$	=	$- 2$
$4 - \| - 3 x - 3 \|$	=	$- 2$	\| $- 4$
$- \| - 3 x - 3 \|$	=	$- 6$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x - 3 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 3 x - 3$ ≥ 0:

$- 3 x - 3$	=	$6$	\| $+ 3$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 3) - 3$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 3$ < 0:

$- (- 3 x - 3)$	=	$6$
$3 x + 3$	=	$6$	\| $- 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 1 - 3$ = -6 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -3 ≥ 0:

2. Fall: -3x -3 < 0:

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 3 x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 3$ < 0: