Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + e^{3 x}$ und $g(x) =$ $20 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + e^{3 x}$	=	$20 e^{x}$	\| $- 20 e^{x}$
$e^{5 x} + e^{3 x} - 20 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 20) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $20 e^{\ln (2)}$ = 40 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |40)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 4 + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 4 + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $- 1 - 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$- 1 - 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$- 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$2 (- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - e^{5 x} - 30 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - e^{5 x} - 30 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 30) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{9 x}{x - 2} + \frac{6 x}{x - 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{6 x}{x - 1} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{6 x (x - 2)}{x - 1} - 6 x + 12$	=
$9 x + \frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} - 6 x + 12$	=
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} + 9 x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} + 9 x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 9 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1) + 12 \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} - 12 x + 9 x (x - 1) - 6 x (x - 1) + 12 x - 12$	=
$6 x^{2} - 12 x + (9 x^{2} - 9 x) + (- 6 x^{2} + 6 x) + 12 x - 12$	=
$9 x^{2} - 3 x - 12$	=

9 x^{2} - 3 x - 12

= 0 |:3

$3 x^{2} - x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1+7}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1-7}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{4}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 35 \cdot {(- 1)}^{2} + 77 \cdot (- 1) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $32 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$45 x$	$+ 45$
		-( $45 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 35 \cdot {(- 9)}^{2} + 77 \cdot (- 9) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$5 x$	$+ 45$
		-( $5 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 1 | - 5$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \| - x - 1 \| - 5$	=	$- 10$
$- 5 - \| - x - 1 \|$	=	$- 10$	\| $+ 5$
$- \| - x - 1 \|$	=	$- 5$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 1 \|$	=	$5$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$5$	\| $+ 1$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 6) - 1$ = 5 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$5$
$x + 1$	=	$5$	\| $- 1$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 4 - 1$ = -5 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: