Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 11 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $- 30$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 11 e^{3 x}

=

- 30

|

+ 30

e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $- 30$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |-30)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $- 30$ Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |-30)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $4 + 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $4 + 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$(- x^{2} + 6 x) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 10 e^{4 x} + 25 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 10 e^{4 x} + 25 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 25) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 25

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

$\frac{1}{3} \ln (5)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{x - 3} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

\frac{8 x}{x - 3} + \frac{5 x - 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{5 x - 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{5 x - 1}{2 x} \cdot (x - 3) - 5 \cdot (x - 3)$	=
$8 x + \frac{(5 x - 1) (x - 3)}{2 x} - 5 x + 15$	=
$8 x + \frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{2 x} - 5 x + 15$	=
$\frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{2 x} + 8 x - 5 x + 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{2 x} + 8 x - 5 x + 15$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 5 x \cdot 2 x + 15 \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} - 16 x + 3 + 16 x \cdot x - 10 x \cdot x + 30 x$	=
$5 x^{2} - 16 x + 3 + 16 x^{2} - 10 x^{2} + 30 x$	=
$11 x^{2} + 14 x + 3$	=

$11 x^{2} + 14 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 3}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 132}}{22}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{64}}{22}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{64}}{22}$ = $\frac{- 14+8}{22}$ = $\frac{- 6}{22}$ = $- \frac{3}{11}$ ≈ -0.27

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{64}}{22}$ = $\frac{- 14-8}{22}$ = $\frac{- 22}{22}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{3}{11}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 2 | + 3$ = $4$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 2 \| + 3$	=	$4$
$3 + \frac{1}{3} \| x + 2 \|$	=	$4$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| x + 2 \|$	=	$1$	\|⋅ $3$
$\| x + 2 \|$	=	$3$

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ ≥ 0) genügt:

$1 + 2$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 2$ < 0:

$- (x + 2)$	=	$3$
$- x - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ < 0) genügt:

$- 5 + 2$ = -3 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: x +2 ≥ 0:

2. Fall: x +2 < 0:

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 2$ < 0: