Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 42$ und $g(x) =$ $13 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 42

=

13 e^{x}

|

- 13 e^{x}

e^{2 x} - 13 e^{x} + 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

L={ $\ln (6)$ ; $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $13 e^{\ln (6)}$ = 78 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |78)

x₂ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $13 e^{\ln (7)}$ = 91 Somit gilt: S₂( $\ln (7)$ |91)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{2} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 2$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{2} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - 2 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} - 2 x^{3}

=

- 1

|

+ 1

x^{6} - 2 x^{3} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{x} + \frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{- 21 x}{6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{2 x + 2}{x} - \frac{21 x}{6 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{2 x + 2}{x} - \frac{21 x}{6 x - 6}$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{2 x + 2}{x} \cdot (2 x - 2) - \frac{21 x}{6 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=
$4 x + \frac{(2 x + 2) (2 x - 2)}{x} - 7 x$	=
$4 x + \frac{4 x^{2} - 4}{x} - 7 x$	=
$\frac{4 x^{2} - 4}{x} + 4 x - 7 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 4}{x} + 4 x - 7 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 x^{2} - 4}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 7 x \cdot x$	=
$4 x^{2} - 4 + 4 x \cdot x - 7 x \cdot x$	=
$4 x^{2} - 4 + 4 x^{2} - 7 x^{2}$	=
$x^{2} - 4$	=

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} - 6 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$- 6 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 4 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
			$8 x$	$+ 8$
			-( $8 x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 8$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 8$
		-( $- 4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3} - 6 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
		0	$+ 4 x$
		-(0	0)
			$4 x$	$+ 8$
			-( $4 x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 8$ = $(x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 2)$

$(x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{3} - 3 x^{2} + 4) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$		$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	0
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$		$+ 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	0
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 2 x$	$+ 4$
		-( $- 2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$x^{3}$	$- 6 x^{2}$
	-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 4 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
			$- 4 x$	$+ 8$
			-( $- 4 x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 8$ = $(x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) \cdot (x - 2)$

(x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 4 x$	$- 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 4$
		-( $- 4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 4 x$	$- 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 2 x$	$- 4$
		-( $- 2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - x - 2) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 4 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 3 x + 6 | - 9$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 3 x + 6 \| - 9$	=	$- 6$
$- 9 - \frac{1}{3} \| - 3 x + 6 \|$	=	$- 6$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{3} \| - 3 x + 6 \|$	=	$3$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 3 x + 6 \|$	=	$- 9$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $2$