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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} + 64 x$ und $g(x) =$ $16 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} + 64 x$	=	$16 x^{4}$	\| $- 16 x^{4}$
$x^{7} - 16 x^{4} + 64 x$	=	0
$x (x^{6} - 16 x^{3} + 64)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 16 x^{3} + 64

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{16}{2}$ = $8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $16 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $16 \cdot 2^{4}$ = 256 Somit gilt: S₂( $2$ |256)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $30 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x + 2$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

30

|

- 30

$x^{2} + x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 14$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 3}{x} + \frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{- 5 x - 1}{3 x + 7}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; 0}

\frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{- 5 x - 1}{3 x + 7}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{- 5 x - 1}{3 x + 7}$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{3 x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + \frac{2 x - 3}{x} \cdot (3 x + 7) + \frac{- 5 x - 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7)$	=
$3 x + 1 + \frac{(2 x - 3) (3 x + 7)}{x} - 5 x - 1$	=
$3 x + 1 + \frac{6 x^{2} + 5 x - 21}{x} - 5 x - 1$	=
$\frac{6 x^{2} + 5 x - 21}{x} + 3 x - 5 x + 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 21}{x} + 3 x - 5 x + 1 - 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} + 5 x - 21}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 5 x \cdot x + 1 \cdot x - 1 \cdot x$	=
$6 x^{2} + 5 x - 21 + 3 x \cdot x - 5 x \cdot x + x - x$	=
$6 x^{2} + 5 x - 21 + 3 x^{2} - 5 x^{2} + x - x$	=
$4 x^{2} + 5 x - 21$	=

$4 x^{2} + 5 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 5+19}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 5-19}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,75$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x - 3 | + 7$ = $22$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \| + 7$	=	$22$
$7 + \frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \|$	=	$22$	\| $- 7$
$\frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \|$	=	$15$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x - 3 \|$	=	$30$

1. Fall: $- 3 x - 3$ ≥ 0:

$- 3 x - 3$	=	$30$	\| $+ 3$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 11) - 3$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 3$ < 0:

$- (- 3 x - 3)$	=	$30$
$3 x + 3$	=	$30$	\| $- 3$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 9 - 3$ = -30 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -3 ≥ 0:

2. Fall: -3x -3 < 0:

1. Fall: $- 3 x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 3$ < 0: