Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$	=	$2$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$2 \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} + 1$	=	$2 x^{2}$
$x^{4} + 1$	=	$2 x^{2}$

x^{4} + 1

=

2 x^{2}

|

- 2 x^{2}

x^{4} - 2 x^{2} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $2$ Somit gilt: S₁( $- 1$ |2)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $2$ Somit gilt: S₂( $1$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 4 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 3$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + 4 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 4 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + 4 e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} + 4 e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 10 x^{2} + 9$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{- 11 x - 2}{3 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{- 11 x - 2}{3 x + 6} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{2 x}{x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{- 11 x - 2}{3 x + 6} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{2 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{- 11 x - 2}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} \cdot (3 x + 6) + \frac{2 x}{x + 2} \cdot (3 (x + 2))$	=
$- 11 x - 2 + \frac{(2 x - 1) (3 x + 6)}{2 x + 5} + 6 x$	=
$- 11 x - 2 + \frac{6 x^{2} + 9 x - 6}{2 x + 5} + 6 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 9 x - 6}{2 x + 5} - 11 x + 6 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 9 x - 6}{2 x + 5} - 11 x + 6 x - 2$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 9 x - 6}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - 11 x \cdot (2 x + 5) + 6 x \cdot (2 x + 5) - 2 \cdot (2 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 9 x - 6 - 11 x (2 x + 5) + 6 x (2 x + 5) - 4 x - 10$	=
$6 x^{2} + 9 x - 6 + (- 22 x^{2} - 55 x) + (12 x^{2} + 30 x) - 4 x - 10$	=
$- 4 x^{2} - 20 x - 16$	=

- 4 x^{2} - 20 x - 16

= 0 |:4

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 8 x^{3} + 9 x^{2} - 38 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 8 x^{3} + 9 x^{2} - 38 x - 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 40$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 8 \cdot {(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} - 38 \cdot (- 1) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$- 38 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$7 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$
	-( $7 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
		$2 x^{2}$	$- 38 x$
		-( $2 x^{2}$	$+ 2 x$ )
			$- 40 x$	$- 40$
			-( $- 40 x$	$- 40$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} + 9 x^{2} - 38 x - 40$ = $(x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 40$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 7 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 40$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 9 x + 20$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$20 x$	$- 40$
		-( $20 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = $(x^{2} + 9 x + 20) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 9 x + 20) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 7 \cdot {(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 10 x$	$- 40$
		-( $- 10 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 7 \cdot {(- 5)}^{2} + 2 \cdot (- 5) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 8 x$	$- 40$
		-( $- 8 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 5$ ; $- 4$ ; $- 1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x - 10 | - 5$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x - 10 \| - 5$	=	$7$
$- 5 + \frac{1}{2} \| - 2 x - 10 \|$	=	$7$	\| $+ 5$
$\frac{1}{2} \| - 2 x - 10 \|$	=	$12$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x - 10 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 2 x - 10$ ≥ 0:

$- 2 x - 10$	=	$24$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$34$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 17) - 10$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 10$ < 0:

$- (- 2 x - 10)$	=	$24$
$2 x + 10$	=	$24$	\| $- 10$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 7 - 10$ = -24 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -10 ≥ 0:

2. Fall: -2x -10 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $- 5$

1. Fall: $- 2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 10$ < 0: