Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 14 e^{- x}$ und $g(x) =$ $5$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 14 e^{- x}

=

5

|

- 5

e^{x} - 14 e^{- x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 14 e^{- x} - 5$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 5 e^{x} - 14$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $5$ Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 2 + 9 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 6$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 2 + 9 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $9 e^{\frac{1}{3} x} + 2 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$9 e^{\frac{1}{3} x} + 2 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$9 e^{\frac{1}{3} x} + 2 - 2 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$9 e^{\frac{1}{3} x} + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$3 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{- 4 x} + 7) \cdot (x + 5)$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{- 4 x} + 7) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{- 4 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 9 e^{- 4 x}$	=	$- 7$	\|: $- 9$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{7}{9}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{7}{9})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{7}{9})$	≈ 0.0628

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{7}{9})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{9 x}{x - 2} + \frac{56 x}{- 4 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{9 x}{x - 2} + \frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{56 x}{- 4 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{56 x}{- 4 x + 4}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{16 x}{2 x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{56 x}{- 4 x + 4} \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{16 x (x - 2)}{2 x - 2} + \frac{56 x (x - 2)}{- 4 x + 4}$	=
$9 x + \frac{16 x^{2} - 32 x}{2 x - 2} + \frac{56 x^{2} - 112 x}{- 4 x + 4}$	=
$\frac{56 x^{2} - 112 x}{- 4 x + 4} + \frac{16 x^{2} - 32 x}{2 x - 2} + 9 x$	=

\frac{16 x^{2} - 32 x}{2 x - 2} + \frac{56 x^{2} - 112 x}{- 4 x + 4} + 9 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 32 x}{2 x - 2} + \frac{56 x^{2} - 112 x}{- 4 x + 4} + 9 x$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{16 x^{2} - 32 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{56 x^{2} - 112 x}{- 4 x + 4} \cdot (2 x - 2) + 9 x \cdot (2 x - 2)$	=
$16 x^{2} - 32 x + \frac{(56 x^{2} - 112 x) (2 x - 2)}{- 4 x + 4} + 9 x (2 x - 2)$	=
$16 x^{2} - 32 x + \frac{112 x^{3} - 336 x^{2} + 224 x}{- 4 x + 4} + (18 x^{2} - 18 x)$	=
$\frac{112 x^{3} - 336 x^{2} + 224 x}{- 4 x + 4} + 16 x^{2} + 18 x^{2} - 32 x - 18 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 4 x + 4$ weg!

$\frac{112 x^{3} - 336 x^{2} + 224 x}{- 4 x + 4} + 16 x^{2} + 18 x^{2} - 32 x - 18 x$	=	\|⋅( $- 4 x + 4$ )
$\frac{112 x^{3} - 336 x^{2} + 224 x}{- 4 x + 4} \cdot (- 4 x + 4) + 16 x^{2} \cdot (- 4 x + 4) + 18 x^{2} \cdot (- 4 x + 4) - 32 x \cdot (- 4 x + 4) - 18 x \cdot (- 4 x + 4)$	=
$112 x^{3} - 336 x^{2} + 224 x + 16 x^{2} (- 4 x + 4) + 18 x^{2} (- 4 x + 4) - 32 x (- 4 x + 4) - 18 x (- 4 x + 4)$	=
$112 x^{3} - 336 x^{2} + 224 x + (- 64 x^{3} + 64 x^{2}) + (- 72 x^{3} + 72 x^{2}) + (128 x^{2} - 128 x) + (72 x^{2} - 72 x)$	=
$- 24 x^{3} + 24 x$	=

$- 24 x^{3} + 24 x$	=	0
$24 x (- x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 14 x^{2} + 51 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 14 x^{2} + 51 x + 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $54$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 14 \cdot {(- 2)}^{2} + 51 \cdot (- 2) + 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 51 x$	$+ 54$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 12 x + 27$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$12 x^{2}$	$+ 51 x$
	-( $12 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$27 x$	$+ 54$
		-( $27 x$	$+ 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 51 x + 54$ = $(x^{2} + 12 x + 27) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 12 x + 27) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12+6}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12-6}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 14 \cdot {(- 3)}^{2} + 51 \cdot (- 3) + 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 51 x$	$+ 54$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 51 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 33 x$ )
		$18 x$	$+ 54$
		-( $18 x$	$+ 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 51 x + 54$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 14 \cdot {(- 9)}^{2} + 51 \cdot (- 9) + 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 51 x$	$+ 54$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 51 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 45 x$ )
		$6 x$	$+ 54$
		-( $6 x$	$+ 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 51 x + 54$ = $(x^{2} + 5 x + 6) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 5 x + 6) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 3$ ; $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x - 3 | - 4$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x - 3 \| - 4$	=	$2$
$- 4 + \frac{1}{3} \| - x - 3 \|$	=	$2$	\| $+ 4$
$\frac{1}{3} \| - x - 3 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| - x - 3 \|$	=	$18$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

$- x - 3$	=	$18$	\| $+ 3$
$- x$	=	$21$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 21$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- (- 21) - 3$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 21$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 3$ < 0:

$- (- x - 3)$	=	$18$
$x + 3$	=	$18$	\| $- 3$
x₂	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ < 0) genügt:

$- 15 - 3$ = -18 < 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 21$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -3 ≥ 0:

2. Fall: -x -3 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 3$ < 0: