Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8}$ und $g(x) =$ $x^{5}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8}$	=	$x^{5}$	\| $- x^{5}$
$x^{8} - x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 5-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $0^{5}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $1^{5}$ = 1 Somit gilt: S₂( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 1 + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 4$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 1 + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (- x^{2} + 6 x) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 4 x} - 6) \cdot (x^{5} - 9 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 4 x} - 6) (x^{5} - 9 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 4 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$9 e^{- 4 x}$	=	$6$	\|: $9$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 0.1014

2. Fall:

$x^{5} - 9 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{2}{3})$ ; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{3 x - 3} + \frac{4 x}{3 x - 4} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 4} + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{4 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} \cdot (3 x - 4) - 7 \cdot (3 x - 4)$	=
$4 x + \frac{(5 x - 1) (3 x - 4)}{3 x - 3} - 21 x + 28$	=
$4 x + \frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 x - 3} - 21 x + 28$	=
$\frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 x - 3} + 4 x - 21 x + 28$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 x - 3} + 4 x - 21 x + 28$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + 4 x \cdot (3 x - 3) - 21 x \cdot (3 x - 3) + 28 \cdot (3 x - 3)$	=
$15 x^{2} - 23 x + 4 + 4 x (3 x - 3) - 21 x (3 x - 3) + 84 x - 84$	=
$15 x^{2} - 23 x + 4 + (12 x^{2} - 12 x) + (- 63 x^{2} + 63 x) + 84 x - 84$	=
$- 36 x^{2} + 112 x - 80$	=

- 36 x^{2} + 112 x - 80

= 0 |:4

$- 9 x^{2} + 28 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 720}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{64}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 28+8}{- 18}$ = $\frac{- 20}{- 18}$ = $\frac{10}{9}$ ≈ 1.11

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 28-8}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{10}{9}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + x^{3} - 43 x^{2} - 85 x - 42$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + x^{3} - 43 x^{2} - 85 x - 42$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 42$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} - 43 \cdot {(- 1)}^{2} - 85 \cdot (- 1) - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ x^{3}$	$- 43 x^{2}$	$- 85 x$	$- 42$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 0 - 43 x - 42$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	0	$- 43 x^{2}$
	-(0	0)
		$- 43 x^{2}$	$- 85 x$
		-( $- 43 x^{2}$	$- 43 x$ )
			$- 42 x$	$- 42$
			-( $- 42 x$	$- 42$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + x^{3} - 43 x^{2} - 85 x - 42$ = $(x^{3} + 0 - 43 x - 42) \cdot (x + 1)$

$(x^{3} + 0 - 43 x - 42) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{3} - 43 x - 42) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 43 x - 42$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 42$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 43 \cdot (- 1) - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 43 x$	$- 42$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - x - 42$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 43 x$
	-( $- x^{2}$	$- x$ )
		$- 42 x$	$- 42$
		-( $- 42 x$	$- 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 43 x - 42$ = $(x^{2} - x - 42) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - x - 42) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - 43 \cdot (- 6) - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 43 x$	$- 42$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$- 7 x$	$- 42$
		-( $- 7 x$	$- 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 43 x - 42$ = $(x^{2} - 6 x - 7) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 6 x - 7) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 43 \cdot 7 - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 43 x$	$- 42$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 49 x$ )
		$6 x$	$- 42$
		-( $6 x$	$- 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 43 x - 42$ = $(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 7 x + 6) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{3} - 43 \cdot {(- 6)}^{2} - 85 \cdot (- 6) - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ x^{3}$	$- 43 x^{2}$	$- 85 x$	$- 42$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} - 13 x - 7$
-( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$- 43 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$- 30 x^{2}$ )
		$- 13 x^{2}$	$- 85 x$
		-( $- 13 x^{2}$	$- 78 x$ )
			$- 7 x$	$- 42$
			-( $- 7 x$	$- 42$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + x^{3} - 43 x^{2} - 85 x - 42$ = $(x^{3} - 5 x^{2} - 13 x - 7) \cdot (x + 6)$

(x^{3} - 5 x^{2} - 13 x - 7) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 13 x - 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 13 \cdot (- 1) - 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 13 x$	$- 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 7 x$	$- 7$
		-( $- 7 x$	$- 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 13 x - 7$ = $(x^{2} - 6 x - 7) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 6 x - 7) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 5 \cdot 7^{2} - 13 \cdot 7 - 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 13 x$	$- 7$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$x$	$- 7$
		-( $x$	$- 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 13 x - 7$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{4} + 7^{3} - 43 \cdot 7^{2} - 85 \cdot 7 - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ x^{3}$	$- 43 x^{2}$	$- 85 x$	$- 42$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{3} + 8 x^{2} + 13 x + 6$
-( $x^{4}$	$- 7 x^{3}$ )
	$8 x^{3}$	$- 43 x^{2}$
	-( $8 x^{3}$	$- 56 x^{2}$ )
		$13 x^{2}$	$- 85 x$
		-( $13 x^{2}$	$- 91 x$ )
			$6 x$	$- 42$
			-( $6 x$	$- 42$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + x^{3} - 43 x^{2} - 85 x - 42$ = $(x^{3} + 8 x^{2} + 13 x + 6) \cdot (x - 7)$

(x^{3} + 8 x^{2} + 13 x + 6) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} + 13 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 8 \cdot {(- 1)}^{2} + 13 \cdot (- 1) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$6 x$	$+ 6$
		-( $6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 13 x + 6$ = $(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 7 x + 6) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 8 \cdot {(- 6)}^{2} + 13 \cdot (- 6) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$x$	$+ 6$
		-( $x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 13 x + 6$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 6$ ; $- 1$ ; $7$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x + 3 | - 5$ = $- 23$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \| - 5$	=	$- 23$
$- 5 - \frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 23$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 18$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$36$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 11) + 3$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$36$
$3 x - 3$	=	$36$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$39$	\|: $3$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 13 + 3$ = -36 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: