Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} - x^{5}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} - x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 5-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 1 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 6$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 1 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $4 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$4 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$4 e^{- \frac{1}{4} x} - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$(- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{2 x} + 4) \cdot (x^{3} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{2 x} + 4) (x^{3} - x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{2 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 5 e^{2 x}$	=	$- 4$	\|: $- 5$
$e^{2 x}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{4}{5})$	≈ -0.1116

2. Fall:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{4}{5})$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{- 6 x + 2}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

\frac{- 6 x + 2}{x} + \frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{2 x}{x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 6 x + 2}{x} + \frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{2 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 6 x + 2}{x} \cdot 2 x + \frac{7 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{2 x}{x + 2} \cdot 2 x$	=
$- 12 x + 4 + 7 x + 2 + 2 \frac{2 x \cdot x}{x + 2}$	=
$- 12 x + 4 + 7 x + 2 + 2 \frac{2 x^{2}}{x + 2}$	=
$2 \frac{2 x^{2}}{x + 2} - 12 x + 7 x + 4 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$2 \frac{2 x^{2}}{x + 2} - 12 x + 7 x + 4 + 2$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$2 \frac{2 x^{2}}{x + 2} \cdot (x + 2) - 12 x \cdot (x + 2) + 7 x \cdot (x + 2) + 4 \cdot (x + 2) + 2 \cdot (x + 2)$	=
$4 x^{2} - 12 x (x + 2) + 7 x (x + 2) + 4 x + 8 + 2 x + 4$	=
$4 x^{2} + (- 12 x^{2} - 24 x) + (7 x^{2} + 14 x) + 4 x + 8 + 2 x + 4$	=
$- x^{2} - 4 x + 12$	=

$- x^{2} - 4 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{4+8}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{4-8}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 6 | - 7$ = $- 3$

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$- \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \| - 7$	=	$- 3$
$- 7 - \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$- 3$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 6 \|$	=	$- 8$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen