Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 28$ und $g(x) =$ $3 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 28

=

3 e^{x}

|

- 3 e^{x}

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $3 e^{\ln (7)}$ = 21 Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |21)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 2 + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 4$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 2 + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $6 e^{\frac{1}{3} x} + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{\frac{1}{3} x} + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$6 e^{\frac{1}{3} x} + 2 - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$6 e^{\frac{1}{3} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 5 e^{4 x}$ = $- 4 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 5 e^{4 x}$	=	$- 4 e^{x}$	\| $+ 4 e^{x}$
$e^{7 x} - 5 e^{4 x} + 4 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{12 x}{x + 3} + \frac{- 20 x}{x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- 1$ }

\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x}{2 x + 2} - \frac{20 x}{x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x}{2 x + 2} - \frac{20 x}{x + 3}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{8 x}{2 x + 2} \cdot (x + 3) - \frac{20 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=
$12 x + \frac{8 x (x + 3)}{2 x + 2} - 20 x$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} + 24 x}{2 x + 2} - 20 x$	=
$\frac{8 x^{2} + 24 x}{2 x + 2} + 12 x - 20 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 24 x}{2 x + 2} + 12 x - 20 x$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{8 x^{2} + 24 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 12 x \cdot (2 x + 2) - 20 x \cdot (2 x + 2)$	=
$8 x^{2} + 24 x + 12 x (2 x + 2) - 20 x (2 x + 2)$	=
$8 x^{2} + 24 x + (24 x^{2} + 24 x) + (- 40 x^{2} - 40 x)$	=
$- 8 x^{2} + 8 x$	=

$- 8 x^{2} + 8 x$	=	0
$8 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 5 x^{3} - 18 x^{2} + 20 x + 56$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 5 x^{3} - 18 x^{2} + 20 x + 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $56$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 5 \cdot {(- 2)}^{3} - 18 \cdot {(- 2)}^{2} + 20 \cdot (- 2) + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 56$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 7 x^{3}$	$- 18 x^{2}$
	-( $- 7 x^{3}$	$- 14 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 20 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
			$28 x$	$+ 56$
			-( $28 x$	$+ 56$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 5 x^{3} - 18 x^{2} + 20 x + 56$ = $(x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 7 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$14 x$	$+ 28$
		-( $14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 14 x$	$+ 28$
		-( $- 14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} - 5 x - 14) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 5 x - 14) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 7 \cdot 7^{2} - 4 \cdot 7 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 28$
		-( $- 4 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 7)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 7)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 5 \cdot 2^{3} - 18 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} - 24 x - 28$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
		$- 24 x^{2}$	$+ 20 x$
		-( $- 24 x^{2}$	$+ 48 x$ )
			$- 28 x$	$+ 56$
			-( $- 28 x$	$+ 56$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 5 x^{3} - 18 x^{2} + 20 x + 56$ = $(x^{3} - 3 x^{2} - 24 x - 28) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 3 x^{2} - 24 x - 28) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 24 x - 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 28$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 24 \cdot (- 2) - 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 24 x$	$- 28$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 14 x$	$- 28$
		-( $- 14 x$	$- 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 24 x - 28$ = $(x^{2} - 5 x - 14) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 5 x - 14) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 24 \cdot 7 - 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 24 x$	$- 28$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$4 x$	$- 28$
		-( $4 x$	$- 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 24 x - 28$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{4} - 5 \cdot 7^{3} - 18 \cdot 7^{2} + 20 \cdot 7 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$
-( $x^{4}$	$- 7 x^{3}$ )
	$2 x^{3}$	$- 18 x^{2}$
	-( $2 x^{3}$	$- 14 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 20 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 28 x$ )
			$- 8 x$	$+ 56$
			-( $- 8 x$	$+ 56$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 5 x^{3} - 18 x^{2} + 20 x + 56$ = $(x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8) \cdot (x - 7)$

(x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 4 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 8$
		-( $- 4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 4 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $7$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x + 20 | - 2$ = $14$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x + 20 \| - 2$	=	$14$
$- 2 + \frac{1}{2} \| 4 x + 20 \|$	=	$14$	\| $+ 2$
$\frac{1}{2} \| 4 x + 20 \|$	=	$16$	\|⋅ $2$
$\| 4 x + 20 \|$	=	$32$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

$4 x + 20$	=	$32$	\| $- 20$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 3 + 20$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 20$ < 0:

$- (4 x + 20)$	=	$32$
$- 4 x - 20$	=	$32$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$52$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 13) + 20$ = -32 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +20 ≥ 0:

2. Fall: 4x +20 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 20$ < 0: