Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 1$ und $g(x) =$ $6 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 1

=

6 e^{- 2 x}

|

- 6 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 6 e^{- 2 x} - 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 6 e^{- 2 x} - 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - e^{2 x} - 6$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $6 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = 2 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 1$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 3 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 64$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{2 x}{x + 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{2 x}{x + 2} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{2 x}{x + 2} \cdot (3 x + 8) - 6 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x + \frac{2 x (3 x + 8)}{x + 2} - 18 x - 48$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 16 x}{x + 2} - 18 x - 48$	=
$\frac{6 x^{2} + 16 x}{x + 2} + 2 x - 18 x - 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 16 x}{x + 2} + 2 x - 18 x - 48$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x^{2} + 16 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 2 x \cdot (x + 2) - 18 x \cdot (x + 2) - 48 \cdot (x + 2)$	=
$6 x^{2} + 16 x + 2 x (x + 2) - 18 x (x + 2) - 48 x - 96$	=
$6 x^{2} + 16 x + (2 x^{2} + 4 x) + (- 18 x^{2} - 36 x) - 48 x - 96$	=
$- 10 x^{2} - 64 x - 96$	=

- 10 x^{2} - 64 x - 96

= 0 |:2

$- 5 x^{2} - 32 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32+8}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32-8}{- 10}$ = $\frac{24}{- 10}$ = $- 2,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 29 \cdot (- 1) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$15 x$	$+ 15$
		-( $15 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 17 \cdot {(- 3)}^{2} + 29 \cdot (- 3) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$5 x$	$+ 15$
		-( $5 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x - 12 | - 5$ = $- 17$

Lösung einblenden

$\| 4 x - 12 \| - 5$	=	$- 17$
$- 5 + \| 4 x - 12 \|$	=	$- 17$	\| $+ 5$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 3$