Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 13 x$ und $g(x) =$ $- \frac{36}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - 13 x$	=	$- \frac{36}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - 13 x \cdot x$	=	$- \frac{36}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 13 x \cdot x$	=	$- 36$
$x^{4} - 13 x^{2}$	=	$- 36$

x^{4} - 13 x^{2}

=

- 36

|

+ 36

x^{4} - 13 x^{2} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- \frac{36}{(- 3)}$ = 12 Somit gilt: S₁( $- 3$ |12)

x₂ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{36}{(- 2)}$ = 18 Somit gilt: S₂( $- 2$ |18)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{36}{2}$ = -18 Somit gilt: S₃( $2$ |-18)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $- \frac{36}{3}$ = -12 Somit gilt: S₄( $3$ |-12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{13}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 42 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 42 x + 3$ gilt m = $- 42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{13}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 13 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 13 x

=

- 42

|

+ 42

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={ $6$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 42 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 10 e^{4 x} + 21 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 10 e^{4 x} + 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 21) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{5 x - 1}{2 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{5 x - 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{5 x - 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{5 x - 1}{2 x} \cdot (3 x + 1) - 5 \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x + \frac{(5 x - 1) (3 x + 1)}{2 x} - 15 x - 5$	=
$4 x + \frac{15 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} - 15 x - 5$	=
$\frac{15 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} + 4 x - 15 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} + 4 x - 15 x - 5$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 15 x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} + 2 x - 1 + 8 x \cdot x - 30 x \cdot x - 10 x$	=
$15 x^{2} + 2 x - 1 + 8 x^{2} - 30 x^{2} - 10 x$	=
$- 7 x^{2} - 8 x - 1$	=

$- 7 x^{2} - 8 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{- 14}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{- 14}$ = $\frac{8+6}{- 14}$ = $\frac{14}{- 14}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{- 14}$ = $\frac{8-6}{- 14}$ = $\frac{2}{- 14}$ = $- \frac{1}{7}$ ≈ -0.14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 11 x^{3} + 27 x^{2} + 25 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 11 x^{3} + 27 x^{2} + 25 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 11 \cdot {(- 1)}^{3} + 27 \cdot {(- 1)}^{2} + 25 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 11 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$	$+ 25 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$10 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$
	-( $10 x^{3}$	$+ 10 x^{2}$ )
		$17 x^{2}$	$+ 25 x$
		-( $17 x^{2}$	$+ 17 x$ )
			$8 x$	$+ 8$
			-( $8 x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 11 x^{3} + 27 x^{2} + 25 x + 8$ = $(x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 10 \cdot {(- 1)}^{2} + 17 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 17 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 9 x + 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 10 \cdot {(- 8)}^{2} + 17 \cdot (- 8) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 17 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$x$	$+ 8$
		-( $x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{4} + 11 \cdot {(- 8)}^{3} + 27 \cdot {(- 8)}^{2} + 25 \cdot (- 8) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 11 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$	$+ 25 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$
-( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$ )
	$3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$
	-( $3 x^{3}$	$+ 24 x^{2}$ )
		$3 x^{2}$	$+ 25 x$
		-( $3 x^{2}$	$+ 24 x$ )
			$x$	$+ 8$
			-( $x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 11 x^{3} + 27 x^{2} + 25 x + 8$ = $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot (x + 8)$

(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$+ 3 x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 1$ }

$- 1$ ist 3-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x - 8 | - 6$ = $18$

Lösung einblenden

$\| - 4 x - 8 \| - 6$	=	$18$
$- 6 + \| - 4 x - 8 \|$	=	$18$	\| $+ 6$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

$- 4 x - 8$	=	$24$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 8) - 8$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0:

$- (- 4 x - 8)$	=	$24$
$4 x + 8$	=	$24$	\| $- 8$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 4 - 8$ = -24 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -8 ≥ 0:

2. Fall: -4x -8 < 0:

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0: