Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 6$ und $g(x) =$ $- \frac{5}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 6$	=	$- \frac{5}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 6 \cdot x$	=	$- \frac{5}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 6 x$	=	$- 5$
$x^{2} - 6 x$	=	$- 5$

x^{2} - 6 x

=

- 5

|

+ 5

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{5}{1}$ = -5 Somit gilt: S₁( $1$ |-5)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $- \frac{5}{5}$ = -1 Somit gilt: S₂( $5$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 5 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 21 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 21 x - 2$ gilt m = $- 21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 5 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 10 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 10 e^{2 x}

=

- 21

|

+ 21

e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 21 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{4 x} - 3) \cdot (x^{3} - x)$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{4 x} - 3) (x^{3} - x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{4 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 e^{4 x}$	=	$3$	\|: $2$
$e^{4 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.1014

2. Fall:

$x^{3} - x$	=	0
$x (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{2})$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{- 16 x}{3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{3 x - 7} - \frac{16 x}{3 x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{3 x - 7} - \frac{16 x}{3 x + 3}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (x + 1) - \frac{16 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$3 x - 1 + \frac{(x + 1) (x + 1)}{3 x - 7} - \frac{16}{3} x$	=
$3 x - 1 + \frac{x^{2} + 2 x + 1}{3 x - 7} - \frac{16}{3} x$	=
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{3 x - 7} + 3 x - \frac{16}{3} x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{3 x - 7} + 3 x - \frac{16}{3} x - 1$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7) - \frac{16}{3} x \cdot (3 x - 7) - 1 \cdot (3 x - 7)$	=
$x^{2} + 2 x + 1 + 3 x (3 x - 7) - \frac{16}{3} x (3 x - 7) - 3 x + 7$	=
$x^{2} + 2 x + 1 + (9 x^{2} - 21 x) + (- 16 x^{2} + \frac{112}{3} x) - 3 x + 7$	=
$- 6 x^{2} + \frac{46}{3} x + 8$	=

$- 6 x^{2} + \frac{46}{3} x + 8$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- 6 x^{2} + \frac{46}{3} x + 8)$	=	0

- 18 x^{2} + 46 x + 24

= 0 |:2

$- 9 x^{2} + 23 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 12}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 432}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{961}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{961}}{- 18}$ = $\frac{- 23+31}{- 18}$ = $\frac{8}{- 18}$ = $- \frac{4}{9}$ ≈ -0.44

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{961}}{- 18}$ = $\frac{- 23-31}{- 18}$ = $\frac{- 54}{- 18}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{9}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 10 \cdot (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 10 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 8 x$	$- 8$
		-( $- 8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x - 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 10 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 10 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 4 x$	$- 8$
		-( $- 4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$ = $(x^{2} - 3 x - 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 4^{2} - 10 \cdot 4 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 10 x$	$- 8$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$2 x$	$- 8$
		-( $2 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x - 16 | + 6$ = $18$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x - 16 \| + 6$	=	$18$
$6 + \frac{1}{2} \| 4 x - 16 \|$	=	$18$	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| 4 x - 16 \|$	=	$12$	\|⋅ $2$
$\| 4 x - 16 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

$4 x - 16$	=	$24$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 10 - 16$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 16$ < 0:

$- (4 x - 16)$	=	$24$
$- 4 x + 16$	=	$24$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 2) - 16$ = -24 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -16 ≥ 0:

2. Fall: 4x -16 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 16$ < 0: