Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 9 x$ und $g(x) =$ $- \frac{8}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + 9 x$	=	$- \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + 9 x \cdot x^{2}$	=	$- \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 9 x \cdot x^{2}$	=	$- 8$
$x^{6} + 9 x^{3}$	=	$- 8$

x^{6} + 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{8}{{(- 2)}^{2}}$ = -2 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-2)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$ = -8 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $12 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x + 1$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 4 x

=

12

|

- 12

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{- 3 x - 1}{x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{x + 1 - 3 x - 1}{x - 1} + \frac{2 x}{3 x - 7}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{x + 1 - 3 x - 1}{x - 1} + \frac{2 x}{3 x - 7}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{x + 1 - 3 x - 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{2 x}{3 x - 7} \cdot (x - 1)$	=
$x + 1 - 3 x - 1 + \frac{2 x (x - 1)}{3 x - 7}$	=
$x + 1 - 3 x - 1 + \frac{2 x^{2} - 2 x}{3 x - 7}$	=
$\frac{2 x^{2} - 2 x}{3 x - 7} + x - 3 x + 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 2 x}{3 x - 7} + x - 3 x + 1 - 1$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{2 x^{2} - 2 x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + x \cdot (3 x - 7) - 3 x \cdot (3 x - 7) + 1 \cdot (3 x - 7) - 1 \cdot (3 x - 7)$	=
$2 x^{2} - 2 x + x (3 x - 7) - 3 x (3 x - 7) + 3 x - 7 - 3 x + 7$	=
$2 x^{2} - 2 x + (3 x^{2} - 7 x) + (- 9 x^{2} + 21 x) + 3 x - 7 - 3 x + 7$	=
$- 4 x^{2} + 12 x$	=

$- 4 x^{2} + 12 x$	=	0
$4 x (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 96$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 96$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $96$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 12 \cdot {(- 2)}^{2} + 20 \cdot (- 2) + 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 96$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 14 x + 48$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 14 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 14 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$48 x$	$+ 96$
		-( $48 x$	$+ 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 96$ = $(x^{2} - 14 x + 48) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 14 x + 48) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14+2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14-2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 12 \cdot 6^{2} + 20 \cdot 6 + 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 96$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$- 16 x$	$+ 96$
		-( $- 16 x$	$+ 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 96$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 6 x - 16) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 12 \cdot 8^{2} + 20 \cdot 8 + 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 96$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$- 12 x$	$+ 96$
		-( $- 12 x$	$+ 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 96$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 2$ ; $6$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x + 6 | - 1$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 3 x + 6 \| - 1$	=	$11$
$- 1 + \frac{1}{3} \| - 3 x + 6 \|$	=	$11$	\| $+ 1$
$\frac{1}{3} \| - 3 x + 6 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x + 6 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

$- 3 x + 6$	=	$36$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 10) + 6$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0:

$- (- 3 x + 6)$	=	$36$
$3 x - 6$	=	$36$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$42$	\|: $3$
x₂	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 14 + 6$ = -36 < 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +6 ≥ 0:

2. Fall: -3x +6 < 0:

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0: