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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 4 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $21 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 4 e^{2 x}$	=	$21 e^{x}$	\| $- 21 e^{x}$
$e^{3 x} + 4 e^{2 x} - 21 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 4 e^{x} - 21) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 4 e^{x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $21 e^{\ln (3)}$ = 63 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |63)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 2 + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 2 + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} - 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} - 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$2 e^{3 x} - 1 + 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{5 x} - 5) \cdot (x^{2} - 7 x)$ = 0

Lösung einblenden

(e^{5 x} - 5) (x^{2} - 7 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{5 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$e^{5 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (5)$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (5)$	≈ 0.3219

2. Fall:

$x^{2} - 7 x$	=	0
$x (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={0; $\frac{1}{5} \ln (5)$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{- 9 x}{9 x + 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{3}{2}$ }

\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{x}{2 x + 3} - \frac{9 x}{9 x + 18}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{x}{2 x + 3} - \frac{9 x}{9 x + 18}$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{2 x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + \frac{x}{2 x + 3} \cdot (3 x + 6) - \frac{9 x}{9 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=
$2 x + \frac{x (3 x + 6)}{2 x + 3} - 3 x$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} + 6 x}{2 x + 3} - 3 x$	=
$\frac{3 x^{2} + 6 x}{2 x + 3} + 2 x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 6 x}{2 x + 3} + 2 x - 3 x$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x^{2} + 6 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + 2 x \cdot (2 x + 3) - 3 x \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x^{2} + 6 x + 2 x (2 x + 3) - 3 x (2 x + 3)$	=
$3 x^{2} + 6 x + (4 x^{2} + 6 x) + (- 6 x^{2} - 9 x)$	=
$x^{2} + 3 x$	=

$x^{2} + 3 x$	=	0
$x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 5 \cdot 1^{2} - 28 \cdot 1 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 4 x - 32$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 32 x$	$+ 32$
		-( $- 32 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32$ = $(x^{2} - 4 x - 32) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 4 x - 32) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 5 \cdot {(- 4)}^{2} - 28 \cdot (- 4) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$8 x$	$+ 32$
		-( $8 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32$ = $(x^{2} - 9 x + 8) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 9 x + 8) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 5 \cdot 8^{2} - 28 \cdot 8 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$- 4 x$	$+ 32$
		-( $- 4 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 4$ ; $1$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x - 20 | - 3$ = $- 19$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x - 20 \| - 3$	=	$- 19$
$- 3 - \frac{1}{2} \| 4 x - 20 \|$	=	$- 19$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| 4 x - 20 \|$	=	$- 16$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x - 20 \|$	=	$32$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

$4 x - 20$	=	$32$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$52$	\|: $4$
x₁	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 13 - 20$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 20$ < 0:

$- (4 x - 20)$	=	$32$
$- 4 x + 20$	=	$32$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 3) - 20$ = -32 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -20 ≥ 0:

2. Fall: 4x -20 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 20$ < 0: