Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 12 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $- 36$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 12 e^{3 x}

=

- 36

|

+ 36

e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

$\frac{1}{3} \ln (6)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $- 36$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |-36)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $10 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $10 x + 1$ gilt m = $10$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 3 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 3 x

=

10

|

- 10

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $10$ und sind somit parallel zur Geraden y = $10 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{5 x} + 2 e^{2 x}$ = $- e^{8 x}$

Lösung einblenden

$- 3 e^{5 x} + 2 e^{2 x}$	=	$- e^{8 x}$	\| $+ e^{8 x}$
$e^{8 x} - 3 e^{5 x} + 2 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 3 e^{3 x} + 2) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 3 e^{3 x} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 3} + \frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{- 13 x - 1}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $3$ }

\frac{2 x - 1 - 13 x - 1}{3 x} + \frac{12 x}{x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 x - 1 - 13 x - 1}{3 x} + \frac{12 x}{x - 3}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 x - 1 - 13 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{12 x}{x - 3} \cdot 3 x$	=
$2 x - 1 - 13 x - 1 + 3 \frac{12 x \cdot x}{x - 3}$	=
$2 x - 1 - 13 x - 1 + 3 \frac{12 x^{2}}{x - 3}$	=
$3 \frac{12 x^{2}}{x - 3} + 2 x - 13 x - 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$3 \frac{12 x^{2}}{x - 3} + 2 x - 13 x - 1 - 1$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$3 \frac{12 x^{2}}{x - 3} \cdot (x - 3) + 2 x \cdot (x - 3) - 13 x \cdot (x - 3) - 1 \cdot (x - 3) - 1 \cdot (x - 3)$	=
$36 x^{2} + 2 x (x - 3) - 13 x (x - 3) - x + 3 - x + 3$	=
$36 x^{2} + (2 x^{2} - 6 x) + (- 13 x^{2} + 39 x) - x + 3 - x + 3$	=
$25 x^{2} + 31 x + 6$	=

$25 x^{2} + 31 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 6}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 - 600}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{361}}{50}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{361}}{50}$ = $\frac{- 31+19}{50}$ = $\frac{- 12}{50}$ = $- 0,24$

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{361}}{50}$ = $\frac{- 31-19}{50}$ = $\frac{- 50}{50}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,24$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 7 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$14 x$	$+ 28$
		-( $14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 14 x$	$+ 28$
		-( $- 14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} - 5 x - 14) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 5 x - 14) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 7 \cdot 7^{2} - 4 \cdot 7 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 28$
		-( $- 4 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 7)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 7)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x + 4 | + 3$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \| + 3$	=	$7$
$3 + \frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$7$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$4$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 2) + 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$12$
$4 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 4 + 4$ = -12 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: