Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 7 x^{2}$ und $g(x) =$ $8$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 7 x^{2}

=

8

|

- 8

x^{4} + 7 x^{2} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $8$ Somit gilt: S₁( $- 1$ |8)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $8$ Somit gilt: S₂( $1$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{5}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $14 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $14 x + 7$ gilt m = $14$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{5}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 5 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 5 e^{3 x}

=

14

|

- 14

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 14

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $14$ und sind somit parallel zur Geraden y = $14 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 e^{3 x} + 21$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

- 10 e^{3 x} + 21

=

- e^{6 x}

|

+ e^{6 x}

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x - 9} + \frac{x}{2 x - 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

\frac{x}{2 x - 4} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 4$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} \cdot (2 x - 4) - 4 \cdot (2 x - 4)$	=
$x + \frac{(2 x + 1) (2 x - 4)}{3 x - 9} - 8 x + 16$	=
$x + \frac{4 x^{2} - 6 x - 4}{3 x - 9} - 8 x + 16$	=
$\frac{4 x^{2} - 6 x - 4}{3 x - 9} + x - 8 x + 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 6 x - 4}{3 x - 9} + x - 8 x + 16$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{4 x^{2} - 6 x - 4}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) + x \cdot (3 x - 9) - 8 x \cdot (3 x - 9) + 16 \cdot (3 x - 9)$	=
$4 x^{2} - 6 x - 4 + x (3 x - 9) - 8 x (3 x - 9) + 48 x - 144$	=
$4 x^{2} - 6 x - 4 + (3 x^{2} - 9 x) + (- 24 x^{2} + 72 x) + 48 x - 144$	=
$- 17 x^{2} + 105 x - 148$	=

$- 17 x^{2} + 105 x - 148$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 105 \pm \sqrt{105^{2} - 4 \cdot (- 17) \cdot (- 148)}}{2 \cdot (- 17)}$

x_1,2 = $\frac{- 105 \pm \sqrt{11 025 - 10 064}}{- 34}$

x_1,2 = $\frac{- 105 \pm \sqrt{961}}{- 34}$

x₁ = $\frac{- 105 + \sqrt{961}}{- 34}$ = $\frac{- 105+31}{- 34}$ = $\frac{- 74}{- 34}$ = $\frac{37}{17}$ ≈ 2.18

x₂ = $\frac{- 105 - \sqrt{961}}{- 34}$ = $\frac{- 105-31}{- 34}$ = $\frac{- 136}{- 34}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{37}{17}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 6 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | x - 1 | - 6$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \| x - 1 \| - 6$	=	$- 11$
$- 6 - \| x - 1 \|$	=	$- 11$	\| $+ 6$
$- \| x - 1 \|$	=	$- 5$	\|: $(- 1)$
$\| x - 1 \|$	=	$5$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

$x - 1$	=	$5$	\| $+ 1$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ ≥ 0) genügt:

$6 - 1$ = 5 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 1$ < 0:

$- (x - 1)$	=	$5$
$- x + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ < 0) genügt:

$- 4 - 1$ = -5 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: x -1 ≥ 0:

2. Fall: x -1 < 0:

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 1$ < 0: