Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 7 x^{2}$ und $g(x) =$ $\frac{8}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} - 7 x^{2}$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x - 7 x^{2} \cdot x$	=	$\frac{8}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x - 7 x^{2} \cdot x$	=	$8$
$x^{6} - 7 x^{3}$	=	$8$

x^{6} - 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $\frac{8}{(- 1)}$ = -8 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{8}{2}$ = 4 Somit gilt: S₂( $2$ |4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $12 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x + 3$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} - e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 2 e^{5 x} - 15 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 2 e^{5 x} - 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 15) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{2 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{2 x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) + \frac{x + 1}{2 x - 2} \cdot (3 x - 6) - 3 \cdot (3 x - 6)$	=
$2 x + \frac{(x + 1) (3 x - 6)}{2 x - 2} - 9 x + 18$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{2 x - 2} - 9 x + 18$	=
$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{2 x - 2} + 2 x - 9 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{2 x - 2} + 2 x - 9 x + 18$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + 2 x \cdot (2 x - 2) - 9 x \cdot (2 x - 2) + 18 \cdot (2 x - 2)$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + 2 x (2 x - 2) - 9 x (2 x - 2) + 36 x - 36$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 18 x^{2} + 18 x) + 36 x - 36$	=
$- 11 x^{2} + 47 x - 42$	=

$- 11 x^{2} + 47 x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{47^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{2 209 - 1 848}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{361}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 47 + \sqrt{361}}{- 22}$ = $\frac{- 47+19}{- 22}$ = $\frac{- 28}{- 22}$ = $\frac{14}{11}$ ≈ 1.27

x₂ = $\frac{- 47 - \sqrt{361}}{- 22}$ = $\frac{- 47-19}{- 22}$ = $\frac{- 66}{- 22}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{14}{11}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 13 x^{2} + 34 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 13 x^{2} + 34 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 34 \cdot 1 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 34 x$	$- 48$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 14 x + 48$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $14 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$48 x$	$- 48$
		-( $48 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 34 x - 48$ = $(x^{2} + 14 x + 48) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 14 x + 48) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 14 x + 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14+2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14-2}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 13 \cdot {(- 6)}^{2} + 34 \cdot (- 6) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 34 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$- 8 x$	$- 48$
		-( $- 8 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 34 x - 48$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 7 x - 8) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 13 \cdot {(- 8)}^{2} + 34 \cdot (- 8) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 34 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 40 x$ )
		$- 6 x$	$- 48$
		-( $- 6 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 34 x - 48$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 6$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 8 | + 4$ = $14$

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 8 \| + 4$	=	$14$
$4 + \| - 2 x + 8 \|$	=	$14$	\| $- 4$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$10$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

$- 2 x + 8$	=	$10$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 1) + 8$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0:

$- (- 2 x + 8)$	=	$10$
$2 x - 8$	=	$10$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 9 + 8$ = -10 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +8 ≥ 0:

2. Fall: -2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0: