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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + 49 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $14 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + 49 e^{2 x}$	=	$14 e^{5 x}$	\| $- 14 e^{5 x}$
$e^{8 x} - 14 e^{5 x} + 49 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 14 e^{3 x} + 49) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 14 e^{3 x} + 49

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 14 u + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{14}{2}$ = $7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

$\frac{1}{3} \ln (7)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $14 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 358.612 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |358.612)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 5 + 4 x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 5 + 4 x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $4 e^{2 x} + 2 + 8 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{2 x} + 2 + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$4 e^{2 x} + 2 - 2 + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$4 e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$4 (2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(5 e^{7 x} - 6) \cdot (x^{5} - 4 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(5 e^{7 x} - 6) (x^{5} - 4 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{7 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$5 e^{7 x}$	=	$6$	\|: $5$
$e^{7 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{6}{5})$	≈ 0.026

2. Fall:

$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $\frac{1}{7} \ln (\frac{6}{5})$ ; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (3 x + 1) - 7 \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x + \frac{(7 x - 1) (3 x + 1)}{2 x} - 21 x - 7$	=
$6 x + \frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} - 21 x - 7$	=
$\frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} + 6 x - 21 x - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} + 6 x - 21 x - 7$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} + 4 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 21 x \cdot 2 x - 7 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} + 4 x - 1 + 12 x \cdot x - 42 x \cdot x - 14 x$	=
$21 x^{2} + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 42 x^{2} - 14 x$	=
$- 9 x^{2} - 10 x - 1$	=

$- 9 x^{2} - 10 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{- 18}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{10+8}{- 18}$ = $\frac{18}{- 18}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{10-8}{- 18}$ = $\frac{2}{- 18}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 5 x$
	-( $- x^{2}$	$+ x$ )
		$- 6 x$	$+ 6$
		-( $- 6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - x - 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 5 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 3 x$	$+ 6$
		-( $- 3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x - 16 | + 1$ = $25$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x - 16 \| + 1$	=	$25$
$1 + \frac{1}{2} \| 4 x - 16 \|$	=	$25$	\| $- 1$
$\frac{1}{2} \| 4 x - 16 \|$	=	$24$	\|⋅ $2$
$\| 4 x - 16 \|$	=	$48$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

$4 x - 16$	=	$48$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$64$	\|: $4$
x₁	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 16 - 16$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 16$ < 0:

$- (4 x - 16)$	=	$48$
$- 4 x + 16$	=	$48$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 8) - 16$ = -48 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $16$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -16 ≥ 0:

2. Fall: 4x -16 < 0:

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 16$ < 0: