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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 11 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 28 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 11 x^{2}$	=	$- 28 x$	\| $+ 28 x$
$x^{3} - 11 x^{2} + 28 x$	=	0
$x (x^{2} - 11 x + 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 11 x + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={0; $4$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 28 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $- 28 \cdot 4$ = -112 Somit gilt: S₂( $4$ |-112)

x₃ = $7$ : f( $7$ )= $- 28 \cdot 7$ = -196 Somit gilt: S₃( $7$ |-196)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - 4 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 64 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 64 x + 7$ gilt m = $- 64$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - 4 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - 16 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} - 16 x^{3}

=

- 64

|

+ 64

x^{6} - 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{16}{2}$ = $8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 64$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 64 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 13 e^{2 x}$ = $- 42$

Lösung einblenden

e^{4 x} - 13 e^{2 x}

=

- 42

|

+ 42

e^{4 x} - 13 e^{2 x} + 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{5 x}{- 4 x - 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 3$ }

\frac{3 x}{x + 1} + \frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{5 x}{- 4 x - 12}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{5 x}{- 4 x - 12}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x + 2}{2 x + 6} \cdot (x + 1) + \frac{5 x}{- 4 x - 12} \cdot (x + 1)$	=
$3 x + \frac{(x + 2) (x + 1)}{2 x + 6} + \frac{5 x (x + 1)}{- 4 x - 12}$	=
$3 x + \frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x + 6} + \frac{5 x^{2} + 5 x}{- 4 x - 12}$	=
$\frac{5 x^{2} + 5 x}{- 4 x - 12} + \frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x + 6} + 3 x$	=

\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x + 6} + \frac{5 x^{2} + 5 x}{- 4 x - 12} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x + 6} + \frac{5 x^{2} + 5 x}{- 4 x - 12} + 3 x$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + \frac{5 x^{2} + 5 x}{- 4 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + 3 x \cdot (2 x + 6)$	=
$x^{2} + 3 x + 2 - \frac{5}{2} x^{2} - \frac{5}{2} x + 3 x (2 x + 6)$	=
$x^{2} + 3 x + 2 - \frac{5}{2} x^{2} - \frac{5}{2} x + (6 x^{2} + 18 x)$	=
$\frac{9}{2} x^{2} + \frac{37}{2} x + 2$	=

$\frac{9}{2} x^{2} + \frac{37}{2} x + 2$	=	0	\|⋅ 2
$2 (\frac{9}{2} x^{2} + \frac{37}{2} x + 2)$	=	0

$9 x^{2} + 37 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 144}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 225}}{18}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{1 225}}{18}$ = $\frac{- 37+35}{18}$ = $\frac{- 2}{18}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{1 225}}{18}$ = $\frac{- 37-35}{18}$ = $\frac{- 72}{18}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 4 x$	$- 8$
		-( $- 4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 5 \cdot {(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 2 x$	$- 8$
		-( $- 2 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + x - 2) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x - 3 | + 3$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x - 3 \| + 3$	=	$1$
$3 + \frac{1}{3} \| x - 3 \|$	=	$1$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| x - 3 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $3$
$\| x - 3 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 4$