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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 2 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 2 e^{- 2 x}$	=	$e^{x}$	\| $- e^{x}$
$e^{4 x} - e^{x} - 2 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 2) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $e^{\frac{1}{3} \ln (2)}$ = 1.26 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |1.26)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 1 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 1 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $8 e^{\frac{1}{4} x} - 1 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{\frac{1}{4} x} - 1 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$8 e^{\frac{1}{4} x} - 1 + 1 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$8 e^{\frac{1}{4} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{7 x} - 2) \cdot (x + 5)$ = 0

Lösung einblenden

(6 e^{7 x} - 2) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{7 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$6 e^{7 x}$	=	$2$	\|: $6$
$e^{7 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{1}{3})$	≈ -0.1569

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $\frac{1}{7} \ln (\frac{1}{3})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x + 3} + \frac{- 2}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{5 x + 1}{3 x + 3} - 4 - \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{5 x + 1}{3 x + 3} - 4 - \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{5 x + 1}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) - 4 \cdot (3 x + 3) - \frac{2}{x} \cdot (3 x + 3)$	=
$5 x + 1 - 12 x - 12 - 2 \frac{3 x + 3}{x}$	=
$- 2 \frac{3 x + 3}{x} + 5 x - 12 x + 1 - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 \frac{3 x + 3}{x} + 5 x - 12 x + 1 - 12$	=	\|⋅( $x$ )
$- 2 \frac{3 x + 3}{x} \cdot x + 5 x \cdot x - 12 x \cdot x + 1 \cdot x - 12 \cdot x$	=
$- 6 x - 6 + 5 x \cdot x - 12 x \cdot x + x - 12 x$	=
$- 6 x - 6 + 5 x^{2} - 12 x^{2} + x - 12 x$	=
$- 7 x^{2} - 17 x - 6$	=

$- 7 x^{2} - 17 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{121}}{- 14}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{121}}{- 14}$ = $\frac{17+11}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{121}}{- 14}$ = $\frac{17-11}{- 14}$ = $\frac{6}{- 14}$ = $- \frac{3}{7}$ ≈ -0.43

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{3}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 16 x^{2} + 77 x - 98$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 16 x^{2} + 77 x - 98$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 98$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 16 \cdot 2^{2} + 77 \cdot 2 - 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 77 x$	$- 98$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 14 x + 49$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 14 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $- 14 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$49 x$	$- 98$
		-( $49 x$	$- 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 77 x - 98$ = $(x^{2} - 14 x + 49) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 14 x + 49) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{2}$ = $7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 16 \cdot 7^{2} + 77 \cdot 7 - 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 77 x$	$- 98$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 63 x$ )
		$14 x$	$- 98$
		-( $14 x$	$- 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 77 x - 98$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $2$ ; $7$ }

$7$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x + 2 | - 2$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x + 2 \| - 2$	=	$3$
$- 2 + \frac{1}{2} \| x + 2 \|$	=	$3$	\| $+ 2$
$\frac{1}{2} \| x + 2 \|$	=	$5$	\|⋅ $2$
$\| x + 2 \|$	=	$10$

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

$x + 2$	=	$10$	\| $- 2$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ ≥ 0) genügt:

$8 + 2$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 2$ < 0:

$- (x + 2)$	=	$10$
$- x - 2$	=	$10$	\| $+ 2$
$- x$	=	$12$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ < 0) genügt:

$- 12 + 2$ = -10 < 0

Die Lösung $- 12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 12$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: x +2 ≥ 0:

2. Fall: x +2 < 0:

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 2$ < 0: