Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen
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Schnittpunkte berechnen
Beispiel:
Gegegben sind die Funktionen f und g mit und
Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
L={
Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:
x1 =
x2 =
: f(
)=
Steigung gleichsetzen
Beispiel:
Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit parallel zur Geraden y = sind.
Für die Steigung der Geraden y =
gilt m =
Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.
f(x)=
f'(x)=
Also muss gelten:
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={
;
An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung
vermischte Gleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | | | ||
| x2 | = | = | |
| x3 | = | = |
u2: =
| = | | | ||
| x4 | = | = | |
| x5 | = | = |
L={
;
;
Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ ; }
| = |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = = ≈ -0.67
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ ; }
Gleichungen mit Polynomdivision
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von
=
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen)
des Absolutglieds
.
ist eine Lösung, denn = 0.
Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x) durch.
| ( | ) | : | (x) | = | |||
| -( | ) | ||||||
| -( |
|||||||
| -( | ) | ||||||
es gilt also:
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = | | |
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
2. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
L={ }
Betragsgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |||
| = | | | ||
| = | |⋅ | ||
| = |
1. Fall: ≥ 0:
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| x1 | = |
2. Fall: < 0:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| x2 | = |
Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( < 0) genügt:
= -32 < 0
Die Lösung genügt also der obigen Bedingung.
L={ ; }
Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( ≥ 0) genügt:
= 32 ≥ 0
Die Lösung genügt also der obigen Bedingung.