Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $- x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$- x^{2}$	\| $+ x^{2}$
$x^{5} + x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- {(- 1)}^{2}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

x₂ = 0: f(0)= $- 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{3}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $4 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x - 5$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{3}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 3 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 3 e^{2 x}

=

4

|

- 4

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{- 7 x} + 5) \cdot (x^{5} - 9 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{- 7 x} + 5) (x^{5} - 9 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{- 7 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 2 e^{- 7 x}$	=	$- 5$	\|: $- 2$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{5}{2})$	≈ -0.1309

2. Fall:

$x^{5} - 9 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{5}{2})$ ; 0; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x - 1} + \frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{- 11 x + 1}{2 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $1$ }

\frac{5 x - 1 - 11 x + 1}{2 x - 1} + \frac{6 x}{3 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{5 x - 1 - 11 x + 1}{2 x - 1} + \frac{6 x}{3 x - 3}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{5 x - 1 - 11 x + 1}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{6 x}{3 x - 3} \cdot (2 x - 1)$	=
$5 x - 1 - 11 x + 1 + \frac{6 x (2 x - 1)}{3 x - 3}$	=
$5 x - 1 - 11 x + 1 + \frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 3}$	=
$\frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 3} + 5 x - 11 x - 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 3} + 5 x - 11 x - 1 + 1$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + 5 x \cdot (3 x - 3) - 11 x \cdot (3 x - 3) - 1 \cdot (3 x - 3) + 1 \cdot (3 x - 3)$	=
$12 x^{2} - 6 x + 5 x (3 x - 3) - 11 x (3 x - 3) - 3 x + 3 + 3 x - 3$	=
$12 x^{2} - 6 x + (15 x^{2} - 15 x) + (- 33 x^{2} + 33 x) - 3 x + 3 + 3 x - 3$	=
$- 6 x^{2} + 12 x$	=

$- 6 x^{2} + 12 x$	=	0
$6 x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 10 \cdot (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 10 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 8 x$	$- 8$
		-( $- 8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x - 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 10 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 10 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 4 x$	$- 8$
		-( $- 4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$ = $(x^{2} - 3 x - 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 4^{2} - 10 \cdot 4 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 10 x$	$- 8$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$2 x$	$- 8$
		-( $2 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x + 4 | + 5$ = $1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \| + 5$	=	$1$
$5 - \frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$1$	\| $- 5$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 2) + 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$12$
$4 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 4 + 4$ = -12 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: