Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + \frac{8}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- 9 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + \frac{8}{x^{2}}$	=	$- 9 x$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 9 x \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 8$	=	$- 9 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x^{3}$

x^{6} + 8

=

- 9 x^{3}

|

+ 9 x^{3}

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 9 \cdot (- 2)$ = 18 Somit gilt: S₁( $- 2$ |18)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot (- 1)$ = 9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $12 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x + 1$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 4 x

=

12

|

- 12

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 2 e^{4 x} + e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 2 e^{4 x} + e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{3 x}{x + 1} + \frac{12 x}{- 2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

\frac{3 x}{x + 1} + \frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{12 x}{- 2 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{12 x}{- 2 x - 2}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{3 x}{3 x - 3} \cdot (x + 1) + \frac{12 x}{- 2 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$3 x + \frac{3 x (x + 1)}{3 x - 3} - 6 x$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} + 3 x}{3 x - 3} - 6 x$	=
$\frac{3 x^{2} + 3 x}{3 x - 3} + 3 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 3 x}{3 x - 3} + 3 x - 6 x$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{3 x^{2} + 3 x}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + 3 x \cdot (3 x - 3) - 6 x \cdot (3 x - 3)$	=
$3 x^{2} + 3 x + 3 x (3 x - 3) - 6 x (3 x - 3)$	=
$3 x^{2} + 3 x + (9 x^{2} - 9 x) + (- 18 x^{2} + 18 x)$	=
$- 6 x^{2} + 12 x$	=

$- 6 x^{2} + 12 x$	=	0
$6 x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} - 11 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 11 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 11 \cdot (- 1) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 11 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + x - 12$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 11 x$
	-( $x^{2}$	$+ x$ )
		$- 12 x$	$- 12$
		-( $- 12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 11 x - 12$ = $(x^{2} + x - 12) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + x - 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 2 \cdot 3^{2} - 11 \cdot 3 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 11 x$	$- 12$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 15 x$ )
		$4 x$	$- 12$
		-( $4 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 11 x - 12$ = $(x^{2} + 5 x + 4) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 5 x + 4) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 11 \cdot (- 4) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 11 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 3 x$	$- 12$
		-( $- 3 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 11 x - 12$ = $(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 2 x - 3) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x + 4 | + 2$ = $12$

Lösung einblenden

$\| 2 x + 4 \| + 2$	=	$12$
$2 + \| 2 x + 4 \|$	=	$12$	\| $- 2$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$10$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

$2 x + 4$	=	$10$	\| $- 4$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 3 + 4$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 4$ < 0:

$- (2 x + 4)$	=	$10$
$- 2 x - 4$	=	$10$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 7) + 4$ = -10 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +4 ≥ 0:

2. Fall: 2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 4$ < 0: