Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 30 e^{x}$ und $g(x) =$ $- e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 30 e^{x}$	=	$- e^{4 x}$	\| $+ e^{4 x}$
$e^{7 x} + e^{4 x} - 30 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 30) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $- e^{4 \cdot (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = -8.55 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |-8.55)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $1 + 4 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $1 + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $4 e^{- 2 x} - 8 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- 2 x} - 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{- 4 x} - 5) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{- 4 x} - 5) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{- 4 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$4 e^{- 4 x}$	=	$5$	\|: $4$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{5}{4})$	≈ -0.0558

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{5}{4})$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ ; $- 3$ }

\frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{2 x + 6} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{2 x + 6} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{2 x - 1}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{x + 2}{2 x + 6} \cdot (2 x + 5) - 4 \cdot (2 x + 5)$	=
$2 x - 1 + \frac{(x + 2) (2 x + 5)}{2 x + 6} - 8 x - 20$	=
$2 x - 1 + \frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 x + 6} - 8 x - 20$	=
$\frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 x + 6} + 2 x - 8 x - 1 - 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 x + 6} + 2 x - 8 x - 1 - 20$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + 2 x \cdot (2 x + 6) - 8 x \cdot (2 x + 6) - 1 \cdot (2 x + 6) - 20 \cdot (2 x + 6)$	=
$2 x^{2} + 9 x + 10 + 2 x (2 x + 6) - 8 x (2 x + 6) - 2 x - 6 - 40 x - 120$	=
$2 x^{2} + 9 x + 10 + (4 x^{2} + 12 x) + (- 16 x^{2} - 48 x) - 2 x - 6 - 40 x - 120$	=
$- 10 x^{2} - 69 x - 116$	=

$- 10 x^{2} - 69 x - 116$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 69 \pm \sqrt{{(- 69)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 116)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 69 \pm \sqrt{4 761 - 4 640}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 69 \pm \sqrt{121}}{- 20}$

x₁ = $\frac{69 + \sqrt{121}}{- 20}$ = $\frac{69+11}{- 20}$ = $\frac{80}{- 20}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{69 - \sqrt{121}}{- 20}$ = $\frac{69-11}{- 20}$ = $\frac{58}{- 20}$ = $- 2,9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,9$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 2 x$	$- 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 2$
		-( $2 x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x - 2 | + 3$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \| + 3$	=	$- 3$
$3 - \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 3$	\| $- 3$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$18$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$18$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 10) - 2$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$18$
$2 x + 2$	=	$18$	\| $- 2$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 8 - 2$ = -18 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: