Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 9 e^{- x} + 1$ und $g(x) =$ $- 18 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 9 e^{- x} + 1

=

- 18 e^{- 2 x}

|

+ 18 e^{- 2 x}

- 9 e^{- x} + 18 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 9 e^{- x} + 18 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 9 e^{x} + 18$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $- 18 e^{- 2 \cdot (\ln (3))}$ = -2 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |-2)

x₂ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $- 18 e^{- 2 \cdot (\ln (6))}$ = -0.5 Somit gilt: S₂( $\ln (6)$ |-0.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ parallel zur Geraden y = $15 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $15 x$ gilt m = $15$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 2 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 2 x

=

15

|

- 15

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $15$ und sind somit parallel zur Geraden y = $15 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 20$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

x^{4} - 20

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

x^{4} + x^{2} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{14 x}{- 6 x + 16}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $\frac{8}{3}$ }

\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{14 x}{- 6 x + 16}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{14 x}{- 6 x + 16}$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 10) + \frac{14 x}{- 6 x + 16} \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x + \frac{3 x (3 x - 10)}{3 x - 8} + \frac{14 x (3 x - 10)}{- 6 x + 16}$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} + \frac{42 x^{2} - 140 x}{- 6 x + 16}$	=
$\frac{42 x^{2} - 140 x}{- 6 x + 16} + \frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} + 2 x$	=

\frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} + \frac{42 x^{2} - 140 x}{- 6 x + 16} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} + \frac{42 x^{2} - 140 x}{- 6 x + 16} + 2 x$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{42 x^{2} - 140 x}{- 6 x + 16} \cdot (3 x - 8) + 2 x \cdot (3 x - 8)$	=
$9 x^{2} - 30 x + \frac{(42 x^{2} - 140 x) (3 x - 8)}{- 6 x + 16} + 2 x (3 x - 8)$	=
$9 x^{2} - 30 x + \frac{126 x^{3} - 756 x^{2} + 1 120 x}{- 6 x + 16} + (6 x^{2} - 16 x)$	=
$\frac{126 x^{3} - 756 x^{2} + 1 120 x}{- 6 x + 16} + 9 x^{2} + 6 x^{2} - 30 x - 16 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 16$ weg!

$\frac{126 x^{3} - 756 x^{2} + 1 120 x}{- 6 x + 16} + 9 x^{2} + 6 x^{2} - 30 x - 16 x$	=	\|⋅( $- 6 x + 16$ )
$\frac{126 x^{3} - 756 x^{2} + 1 120 x}{- 6 x + 16} \cdot (- 6 x + 16) + 9 x^{2} \cdot (- 6 x + 16) + 6 x^{2} \cdot (- 6 x + 16) - 30 x \cdot (- 6 x + 16) - 16 x \cdot (- 6 x + 16)$	=
$126 x^{3} - 756 x^{2} + 1 120 x + 9 x^{2} (- 6 x + 16) + 6 x^{2} (- 6 x + 16) - 30 x (- 6 x + 16) - 16 x (- 6 x + 16)$	=
$126 x^{3} - 756 x^{2} + 1 120 x + (- 54 x^{3} + 144 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 96 x^{2}) + (180 x^{2} - 480 x) + (96 x^{2} - 256 x)$	=
$36 x^{3} - 240 x^{2} + 384 x$	=

$36 x^{3} - 240 x^{2} + 384 x$	=	0
$12 x (3 x^{2} - 20 x + 32)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$3 x^{2} - 20 x + 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

x_2,3 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 384}}{6}$

x_2,3 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₂ = $\frac{20 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{20+4}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₃ = $\frac{20 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{20-4}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 29 \cdot 1 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 29 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 5 x - 24$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 24 x$	$+ 24$
		-( $- 24 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24$ = $(x^{2} + 5 x - 24) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 5 x - 24) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 4 \cdot 3^{2} - 29 \cdot 3 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 29 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$- 8 x$	$+ 24$
		-( $- 8 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 7 x - 8) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 4 \cdot {(- 8)}^{2} - 29 \cdot (- 8) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 29 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$3 x$	$+ 24$
		-( $3 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 29 x + 24$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 4 x + 3) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x + 8 | + 8$ = $16$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x + 8 \| + 8$	=	$16$
$8 - \frac{1}{3} \| 2 x + 8 \|$	=	$16$	\| $- 8$
$- \frac{1}{3} \| 2 x + 8 \|$	=	$8$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x + 8 \|$	=	$- 24$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 8$