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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 15 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 15 e^{- x}$	=	$- 2 e^{2 x}$	\| $+ 2 e^{2 x}$
$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 15 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 2 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = -4.16 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-4.16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 3$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$(x^{2} + 6 x) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 6$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{- 2 x} + 4) \cdot (x^{3} - 7 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{- 2 x} + 4) (x^{3} - 7 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{- 2 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 7 e^{- 2 x}$	=	$- 4$	\|: $- 7$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{4}{7})$	≈ 0.2798

2. Fall:

$x^{3} - 7 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{4}{7})$ ; $7$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 2}{2 x} + \frac{4 x}{3 x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{5 x - 2}{2 x} \cdot (3 x + 2) - 5 \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x + \frac{(5 x - 2) (3 x + 2)}{2 x} - 15 x - 10$	=
$4 x + \frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} - 15 x - 10$	=
$\frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} + 4 x - 15 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} + 4 x - 15 x - 10$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} + 4 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 15 x \cdot 2 x - 10 \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} + 4 x - 4 + 8 x \cdot x - 30 x \cdot x - 20 x$	=
$15 x^{2} + 4 x - 4 + 8 x^{2} - 30 x^{2} - 20 x$	=
$- 7 x^{2} - 16 x - 4$	=

$- 7 x^{2} - 16 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 112}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{144}}{- 14}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{16+12}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{16-12}{- 14}$ = $\frac{4}{- 14}$ = $- \frac{2}{7}$ ≈ -0.29

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} - 16 \cdot 1^{2} - 17 \cdot 1 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$+ 13 x$ )
		$- 30 x$	$+ 30$
		-( $- 30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 16 \cdot 6^{2} - 17 \cdot 6 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 5 x$	$+ 30$
		-( $- 5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x + 9 | - 2$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x + 9 \| - 2$	=	$- 8$
$- 2 - \frac{1}{2} \| 3 x + 9 \|$	=	$- 8$	\| $+ 2$
$- \frac{1}{2} \| 3 x + 9 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$12$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$12$	\| $- 9$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 1 + 9$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$12$
$- 3 x - 9$	=	$12$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$21$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 7) + 9$ = -12 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: