Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 7 x^{3}$ und $g(x) =$ $18 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 7 x^{3}$	=	$18 x$	\| $- 18 x$
$x^{5} - 7 x^{3} - 18 x$	=	0
$x (x^{4} - 7 x^{2} - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 7 x^{2} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $18 \cdot (- 3)$ = -54 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-54)

x₂ = 0: f(0)= $18 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $18 \cdot 3$ = 54 Somit gilt: S₃( $3$ |54)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{7}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 12 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 12 x - 3$ gilt m = $- 12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{7}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 7 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 7 e^{3 x}

=

- 12

|

+ 12

e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 12 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6}$ = $1$

Lösung einblenden

$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3}{x} + \frac{x - 1}{x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{x - 1}{x + 1} - 3 - \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{x - 1}{x + 1} - 3 - \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1) - \frac{3}{x} \cdot (x + 1)$	=
$x - 1 - 3 x - 3 - 3 \frac{x + 1}{x}$	=
$- 3 \frac{x + 1}{x} + x - 3 x - 1 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 3 \frac{x + 1}{x} + x - 3 x - 1 - 3$	=	\|⋅( $x$ )
$- 3 \frac{x + 1}{x} \cdot x + x \cdot x - 3 x \cdot x - 1 \cdot x - 3 \cdot x$	=
$- 3 x - 3 + x \cdot x - 3 x \cdot x - x - 3 x$	=
$- 3 x - 3 + x^{2} - 3 x^{2} - x - 3 x$	=
$- 2 x^{2} - 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7+5}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7-5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 9 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 9 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x - 3 | + 6$ = $15$

Lösung einblenden

$\| 3 x - 3 \| + 6$	=	$15$
$6 + \| 3 x - 3 \|$	=	$15$	\| $- 6$
$\| 3 x - 3 \|$	=	$9$

1. Fall: $3 x - 3$ ≥ 0:

$3 x - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 3$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 4 - 3$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 3$ < 0:

$- (3 x - 3)$	=	$9$
$- 3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 3$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 2) - 3$ = -9 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -3 ≥ 0:

2. Fall: 3x -3 < 0:

1. Fall: $3 x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 3$ < 0: