Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 5 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 4 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 5 e^{2 x}$	=	$- 4 e^{- x}$	\| $+ 4 e^{- x}$
$e^{5 x} - 5 e^{2 x} + 4 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 4 e^{- 0}$ = -4 Somit gilt: S₁(0|-4)

x₂ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $- 4 e^{- (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = -2.52 Somit gilt: S₂( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |-2.52)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $18 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $18 x + 3$ gilt m = $18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 3 e^{3 x}

=

18

|

- 18

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $18 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{- 5 x} + 7) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{- 5 x} + 7) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{- 5 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 7 e^{- 5 x}$	=	$- 7$	\|: $- 7$
$e^{- 5 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	0	\|: $- 5$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 4} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{9 x}{- 9 x + 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $1$ }

\frac{x}{3 x - 4} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{9 x}{- 9 x + 9}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{x}{3 x - 4} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{9 x}{- 9 x + 9}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} \cdot (3 x - 4) + \frac{9 x}{- 9 x + 9} \cdot (3 x - 4)$	=
$x + \frac{(2 x - 1) (3 x - 4)}{3 x - 3} + \frac{9 x (3 x - 4)}{- 9 x + 9}$	=
$x + \frac{6 x^{2} - 11 x + 4}{3 x - 3} + \frac{27 x^{2} - 36 x}{- 9 x + 9}$	=
$\frac{27 x^{2} - 36 x}{- 9 x + 9} + \frac{6 x^{2} - 11 x + 4}{3 x - 3} + x$	=

\frac{6 x^{2} - 11 x + 4}{3 x - 3} + \frac{27 x^{2} - 36 x}{- 9 x + 9} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 11 x + 4}{3 x - 3} + \frac{27 x^{2} - 36 x}{- 9 x + 9} + x$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 4}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + \frac{27 x^{2} - 36 x}{- 9 x + 9} \cdot (3 x - 3) + x \cdot (3 x - 3)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 4 + \frac{(27 x^{2} - 36 x) (3 x - 3)}{- 9 x + 9} + x (3 x - 3)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 4 + \frac{81 x^{3} - 189 x^{2} + 108 x}{- 9 x + 9} + (3 x^{2} - 3 x)$	=
$\frac{81 x^{3} - 189 x^{2} + 108 x}{- 9 x + 9} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 11 x - 3 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x + 9$ weg!

$\frac{81 x^{3} - 189 x^{2} + 108 x}{- 9 x + 9} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 11 x - 3 x + 4$	=	\|⋅( $- 9 x + 9$ )
$\frac{81 x^{3} - 189 x^{2} + 108 x}{- 9 x + 9} \cdot (- 9 x + 9) + 6 x^{2} \cdot (- 9 x + 9) + 3 x^{2} \cdot (- 9 x + 9) - 11 x \cdot (- 9 x + 9) - 3 x \cdot (- 9 x + 9) + 4 \cdot (- 9 x + 9)$	=
$81 x^{3} - 189 x^{2} + 108 x + 6 x^{2} (- 9 x + 9) + 3 x^{2} (- 9 x + 9) - 11 x (- 9 x + 9) - 3 x (- 9 x + 9) - 36 x + 36$	=
$81 x^{3} - 189 x^{2} + 108 x + (- 54 x^{3} + 54 x^{2}) + (- 27 x^{3} + 27 x^{2}) + (99 x^{2} - 99 x) + (27 x^{2} - 27 x) - 36 x + 36$	=
$18 x^{2} - 54 x + 36$	=

18 x^{2} - 54 x + 36

= 0 |:18

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 17 x^{2} + 63 x - 81$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 17 x^{2} + 63 x - 81$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 81$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 17 \cdot 1^{2} + 63 \cdot 1 - 81$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 63 x$	$- 81$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 18 x + 81$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$18 x^{2}$	$+ 63 x$
	-( $18 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$81 x$	$- 81$
		-( $81 x$	$- 81$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 63 x - 81$ = $(x^{2} + 18 x + 81) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 18 x + 81) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 17 \cdot {(- 9)}^{2} + 63 \cdot (- 9) - 81$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 63 x$	$- 81$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 63 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$- 9 x$	$- 81$
		-( $- 9 x$	$- 81$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 63 x - 81$ = $(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 8 x - 9) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $1$ }

$- 9$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x - 1 | + 9$ = $15$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x - 1 \| + 9$	=	$15$
$9 + \frac{1}{2} \| - x - 1 \|$	=	$15$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| - x - 1 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| - x - 1 \|$	=	$12$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$12$	\| $+ 1$
$- x$	=	$13$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 13) - 1$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$12$
$x + 1$	=	$12$	\| $- 1$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 11 - 1$ = -12 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: