Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + 4 x$ und $g(x) =$ $5 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + 4 x$	=	$5 x^{3}$	\| $- 5 x^{3}$
$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$	=	0
$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 5 x^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $5 \cdot {(- 2)}^{3}$ = -40 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-40)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $5 \cdot {(- 1)}^{3}$ = -5 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-5)

x₃ = 0: f(0)= $5 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₃(0|0)

x₄ = $1$ : f( $1$ )= $5 \cdot 1^{3}$ = 5 Somit gilt: S₄( $1$ |5)

x₅ = $2$ : f( $2$ )= $5 \cdot 2^{3}$ = 40 Somit gilt: S₅( $2$ |40)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 5$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 4 x

=

12

|

- 12

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + x^{2}$ = $20$

Lösung einblenden

x^{4} + x^{2}

=

20

|

- 20

x^{4} + x^{2} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{x}{2 x - 4} + \frac{- 2 x}{2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

\frac{x}{2 x - 4} + \frac{x - 2}{2 x - 6} - \frac{2 x}{2 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{x - 2}{2 x - 6} - \frac{2 x}{2 x - 4}$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{x - 2}{2 x - 6} \cdot (2 x - 4) - \frac{2 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4)$	=
$x + \frac{(x - 2) (2 x - 4)}{2 x - 6} - 2 x$	=
$x + \frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{2 x - 6} - 2 x$	=
$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{2 x - 6} + x - 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 6$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{2 x - 6} + x - 2 x$	=	\|⋅( $2 x - 6$ )
$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{2 x - 6} \cdot (2 x - 6) + x \cdot (2 x - 6) - 2 x \cdot (2 x - 6)$	=
$2 x^{2} - 8 x + 8 + x (2 x - 6) - 2 x (2 x - 6)$	=
$2 x^{2} - 8 x + 8 + (2 x^{2} - 6 x) + (- 4 x^{2} + 12 x)$	=
$- 2 x + 8$	=

$- 2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} + 19 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} + 19 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 3 \cdot {(- 1)}^{3} - 15 \cdot {(- 1)}^{2} + 19 \cdot (- 1) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$+ 19 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$- 15 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
		$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$
		-( $- 11 x^{2}$	$- 11 x$ )
			$30 x$	$+ 30$
			-( $30 x$	$+ 30$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} + 19 x + 30$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 15$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 15 x$	$+ 30$
		-( $- 15 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ = $(x^{2} - 2 x - 15) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 15) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 4 \cdot {(- 3)}^{2} - 11 \cdot (- 3) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$10 x$	$+ 30$
		-( $10 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 4 \cdot 5^{2} - 11 \cdot 5 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 11 x$
	-( $x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 6 x$	$+ 30$
		-( $- 6 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + x - 6) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x - 1 | - 3$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x - 1 \| - 3$	=	$- 8$
$- 3 - \frac{1}{2} \| x - 1 \|$	=	$- 8$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| x - 1 \|$	=	$- 5$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x - 1 \|$	=	$10$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

$x - 1$	=	$10$	\| $+ 1$
x₁	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ ≥ 0) genügt:

$11 - 1$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 1$ < 0:

$- (x - 1)$	=	$10$
$- x + 1$	=	$10$	\| $- 1$
$- x$	=	$9$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ < 0) genügt:

$- 9 - 1$ = -10 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit 5

Betragsgleichungen

1. Fall: x -1 ≥ 0:

2. Fall: x -1 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 1$ < 0: