Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 4$ und $g(x) =$ $12 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 4

=

12 e^{- x}

|

- 12 e^{- x}

e^{x} - 12 e^{- x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 12 e^{- x} - 4$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 4 e^{x} - 12$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $12 e^{- (\ln (6))}$ = 2 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 6$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $8 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$8 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 + 2 - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$8 e^{- \frac{1}{2} x} - 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$4 (- x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 13 x^{4} + 36 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 13 x^{4} + 36 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 13 x^{2} + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 13 x^{2} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₅	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; 0; $2$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{2 x}{x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x}{2 x - 6} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x}{2 x - 6} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{x}{2 x - 6} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{x (x - 2)}{2 x - 6} - 6 x + 12$	=
$2 x + \frac{x^{2} - 2 x}{2 x - 6} - 6 x + 12$	=
$\frac{x^{2} - 2 x}{2 x - 6} + 2 x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 6$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x}{2 x - 6} + 2 x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $2 x - 6$ )
$\frac{x^{2} - 2 x}{2 x - 6} \cdot (2 x - 6) + 2 x \cdot (2 x - 6) - 6 x \cdot (2 x - 6) + 12 \cdot (2 x - 6)$	=
$x^{2} - 2 x + 2 x (2 x - 6) - 6 x (2 x - 6) + 24 x - 72$	=
$x^{2} - 2 x + (4 x^{2} - 12 x) + (- 12 x^{2} + 36 x) + 24 x - 72$	=
$- 7 x^{2} + 46 x - 72$	=

$- 7 x^{2} + 46 x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{46^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 72)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 116 - 2 016}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{100}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 46 + \sqrt{100}}{- 14}$ = $\frac{- 46+10}{- 14}$ = $\frac{- 36}{- 14}$ = $\frac{18}{7}$ ≈ 2.57

x₂ = $\frac{- 46 - \sqrt{100}}{- 14}$ = $\frac{- 46-10}{- 14}$ = $\frac{- 56}{- 14}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{18}{7}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 4 x^{2} - 41 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 41 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 41 \cdot 1 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 41 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 5 x - 36$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 41 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 36 x$	$+ 36$
		-( $- 36 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 41 x + 36$ = $(x^{2} + 5 x - 36) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 5 x - 36) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 4 \cdot 4^{2} - 41 \cdot 4 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 41 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 41 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$- 9 x$	$+ 36$
		-( $- 9 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 41 x + 36$ = $(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 8 x - 9) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 4 \cdot {(- 9)}^{2} - 41 \cdot (- 9) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 41 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 41 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 45 x$ )
		$4 x$	$+ 36$
		-( $4 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 41 x + 36$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x + 3 | - 7$ = $- 16$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x + 3 \| - 7$	=	$- 16$
$- 7 - \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 16$	\| $+ 7$
$- \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$9$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 2) + 3$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$9$
$3 x - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 4 + 3$ = -9 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: