Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $\frac{64}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5}$	=	$\frac{64}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x$	=	$\frac{64}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x$	=	$64$
$x^{6}$	=	$64$

$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{64}{(- 2)}$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-32)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{64}{2}$ = 32 Somit gilt: S₂( $2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{13}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 42 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 42 x + 1$ gilt m = $- 42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{13}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 13 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 13 x

=

- 42

|

+ 42

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={ $6$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 42 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 7$ = $- 6 e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} - 7

=

- 6 e^{3 x}

|

+ 6 e^{3 x}

e^{6 x} + 6 e^{3 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x} + \frac{2 x}{2 x - 3} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; 0}

\frac{2 x}{2 x - 3} - 3 + \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} - 3 + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) - 3 \cdot (2 x - 3) + \frac{3}{x} \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x - 6 x + 9 + 3 \frac{2 x - 3}{x}$	=
$3 \frac{2 x - 3}{x} + 2 x - 6 x + 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 \frac{2 x - 3}{x} + 2 x - 6 x + 9$	=	\|⋅( $x$ )
$3 \frac{2 x - 3}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x + 9 \cdot x$	=
$6 x - 9 + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x + 9 x$	=
$6 x - 9 + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 9 x$	=
$- 4 x^{2} + 15 x - 9$	=

$- 4 x^{2} + 15 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 15+9}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 15-9}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $40$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 18 x$	$+ 40$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 20$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 18 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 20 x$	$+ 40$
		-( $- 20 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = $(x^{2} - x - 20) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 20) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 18 \cdot (- 4) + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 18 x$	$+ 40$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 18 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$10 x$	$+ 40$
		-( $10 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 18 \cdot 5 + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 18 x$	$+ 40$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 18 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 8 x$	$+ 40$
		-( $- 8 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- 4$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x + 8 | - 8$ = $- 32$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 8 \| - 8$	=	$- 32$
$- 8 - \frac{1}{3} \| - 4 x + 8 \|$	=	$- 32$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 8 \|$	=	$- 24$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x + 8 \|$	=	$72$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

$- 4 x + 8$	=	$72$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$64$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 16) + 8$ = 72 ≥ 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0:

$- (- 4 x + 8)$	=	$72$
$4 x - 8$	=	$72$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$80$	\|: $4$
x₂	=	$20$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 20 + 8$ = -72 < 0

Die Lösung $20$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $20$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 5

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +8 ≥ 0:

2. Fall: -4x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0: