Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 24 e^{x}$ und $g(x) =$ $2 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 24 e^{x}$	=	$2 e^{2 x}$	\| $- 2 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 2 e^{x} - 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $2 e^{2 \cdot (\ln (6))}$ = 72 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |72)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $1 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$1 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + e^{2 x}$ = $12$

Lösung einblenden

e^{4 x} + e^{2 x}

=

12

|

- 12

e^{4 x} + e^{2 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{12 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 8$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (x - 2) - 8 \cdot (x - 2)$	=
$12 x + \frac{(7 x - 1) (x - 2)}{2 x} - 8 x + 16$	=
$12 x + \frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} - 8 x + 16$	=
$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} + 12 x - 8 x + 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} + 12 x - 8 x + 16$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 12 x \cdot 2 x - 8 x \cdot 2 x + 16 \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} - 15 x + 2 + 24 x \cdot x - 16 x \cdot x + 32 x$	=
$7 x^{2} - 15 x + 2 + 24 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x$	=
$15 x^{2} + 17 x + 2$	=

$15 x^{2} + 17 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 2}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{169}}{30}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{169}}{30}$ = $\frac{- 17+13}{30}$ = $\frac{- 4}{30}$ = $- \frac{2}{15}$ ≈ -0.13

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{169}}{30}$ = $\frac{- 17-13}{30}$ = $\frac{- 30}{30}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{2}{15}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} - 25 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 25 x^{2}$	$- 23 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $- 22 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$- 45 x$	$+ 45$
		-( $- 45 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 25 \cdot 9^{2} - 23 \cdot 9 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 25 x^{2}$	$- 23 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 5 x$	$+ 45$
		-( $- 5 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x + 2 | - 2$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x + 2 \| - 2$	=	$- 10$
$- 2 - \| - 2 x + 2 \|$	=	$- 10$	\| $+ 2$
$- \| - 2 x + 2 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x + 2 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

$- 2 x + 2$	=	$8$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 3) + 2$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0:

$- (- 2 x + 2)$	=	$8$
$2 x - 2$	=	$8$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 5 + 2$ = -8 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +2 ≥ 0:

2. Fall: -2x +2 < 0:

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0: