Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + x^{3}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )=0 Somit gilt: S₁( $- 1$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₂(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 9 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 18 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 18 x + 4$ gilt m = $- 18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 9 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 9 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 9 e^{x}

=

- 18

|

+ 18

e^{2 x} - 9 e^{x} + 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 18 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{7} + x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{7} + x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{3 x - 1}{x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{5}{3}$ }

\frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x - 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$3 x - 1 + \frac{(3 x - 1) (x - 1)}{3 x - 5} - 6 x + 6$	=
$3 x - 1 + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x - 5} - 6 x + 6$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x - 5} + 3 x - 6 x - 1 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x - 5} + 3 x - 6 x - 1 + 6$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + 3 x \cdot (3 x - 5) - 6 x \cdot (3 x - 5) - 1 \cdot (3 x - 5) + 6 \cdot (3 x - 5)$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 3 x (3 x - 5) - 6 x (3 x - 5) - 3 x + 5 + 18 x - 30$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + (9 x^{2} - 15 x) + (- 18 x^{2} + 30 x) - 3 x + 5 + 18 x - 30$	=
$- 6 x^{2} + 26 x - 24$	=

- 6 x^{2} + 26 x - 24

= 0 |:2

$- 3 x^{2} + 13 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 13+5}{- 6}$ = $\frac{- 8}{- 6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 13-5}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 23 \cdot (- 2) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 23 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 15 x$	$- 30$
		-( $- 15 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} - 23 \cdot 3 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 23 x$	$- 30$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 33 x$ )
		$10 x$	$- 30$
		-( $10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x + 4 | + 1$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 2 x + 4 \| + 1$	=	$11$
$1 + \frac{1}{3} \| 2 x + 4 \|$	=	$11$	\| $- 1$
$\frac{1}{3} \| 2 x + 4 \|$	=	$10$	\|⋅ $3$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$30$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

$2 x + 4$	=	$30$	\| $- 4$
$2 x$	=	$26$	\|: $2$
x₁	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 13 + 4$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 4$ < 0:

$- (2 x + 4)$	=	$30$
$- 2 x - 4$	=	$30$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$34$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 17) + 4$ = -30 < 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +4 ≥ 0:

2. Fall: 2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 4$ < 0: