Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 3$ und $g(x) =$ $4 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} + 3

=

4 e^{2 x}

|

- 4 e^{2 x}

e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $4 e^{2 \cdot 0}$ = 4 Somit gilt: S₁(0|4)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $4 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = 12 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 3$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} + e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{3 x} - 7$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

6 e^{3 x} - 7

=

- e^{6 x}

|

+ e^{6 x}

e^{6 x} + 6 e^{3 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{2 x}{2 x + 4} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{3 x}{2 x + 5} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{3 x}{2 x + 5} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{2 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{3 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 4) - 6 \cdot (2 x + 4)$	=
$2 x + \frac{3 x (2 x + 4)}{2 x + 5} - 12 x - 24$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x + 5} - 12 x - 24$	=
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x + 5} + 2 x - 12 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x + 5} + 2 x - 12 x - 24$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 2 x \cdot (2 x + 5) - 12 x \cdot (2 x + 5) - 24 \cdot (2 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 12 x + 2 x (2 x + 5) - 12 x (2 x + 5) - 48 x - 120$	=
$6 x^{2} + 12 x + (4 x^{2} + 10 x) + (- 24 x^{2} - 60 x) - 48 x - 120$	=
$- 14 x^{2} - 86 x - 120$	=

- 14 x^{2} - 86 x - 120

= 0 |:2

$- 7 x^{2} - 43 x - 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{{(- 43)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 680}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{169}}{- 14}$

x₁ = $\frac{43 + \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{43+13}{- 14}$ = $\frac{56}{- 14}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{43 - \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{43-13}{- 14}$ = $\frac{30}{- 14}$ = $- \frac{15}{7}$ ≈ -2.14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{15}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 3 x^{2} - 18 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 18 x - 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 40$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 18 \cdot (- 2) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 18 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + x - 20$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 18 x$
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 20 x$	$- 40$
		-( $- 20 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 18 x - 40$ = $(x^{2} + x - 20) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + x - 20) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 3 \cdot 4^{2} - 18 \cdot 4 - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 18 x$	$- 40$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 18 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$10 x$	$- 40$
		-( $10 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 18 x - 40$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 7 x + 10) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 18 \cdot (- 5) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 18 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 18 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 8 x$	$- 40$
		-( $- 8 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 18 x - 40$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 2 x - 8) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x - 4 | - 6$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 4 \| - 6$	=	$- 10$
$- 6 - \frac{1}{2} \| - 2 x - 4 \|$	=	$- 10$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 4 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 6) - 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$8$
$2 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 2 - 4$ = -8 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 5$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: