Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 10 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $7$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 10 e^{- 2 x}

=

7

|

- 7

e^{2 x} + 10 e^{- 2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} + 10 e^{- 2 x} - 7$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 10$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $7$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |7)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $7$ Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |7)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{10}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 25 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 25 x + 3$ gilt m = $- 25$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{10}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 10 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 10 e^{3 x}

=

- 25

|

+ 25

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 25

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

$\frac{1}{3} \ln (5)$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 25$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 25 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 2 x} - 6) \cdot (x^{2} - 8 x)$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 2 x} - 6) (x^{2} - 8 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 2 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$7 e^{- 2 x}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 0.0771

2. Fall:

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{6}{7})$ ; $8$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{3 x - 9} + \frac{2 x}{3 x - 10} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $3$ }

\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{2 x - 2}{3 x - 9} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{2 x - 2}{3 x - 9} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{2 x - 2}{3 x - 9} \cdot (3 x - 10) - 6 \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 2) (3 x - 10)}{3 x - 9} - 18 x + 60$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{3 x - 9} - 18 x + 60$	=
$\frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{3 x - 9} + 2 x - 18 x + 60$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{3 x - 9} + 2 x - 18 x + 60$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) + 2 x \cdot (3 x - 9) - 18 x \cdot (3 x - 9) + 60 \cdot (3 x - 9)$	=
$6 x^{2} - 26 x + 20 + 2 x (3 x - 9) - 18 x (3 x - 9) + 180 x - 540$	=
$6 x^{2} - 26 x + 20 + (6 x^{2} - 18 x) + (- 54 x^{2} + 162 x) + 180 x - 540$	=
$- 42 x^{2} + 298 x - 520$	=

- 42 x^{2} + 298 x - 520

= 0 |:2

$- 21 x^{2} + 149 x - 260$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 149 \pm \sqrt{149^{2} - 4 \cdot (- 21) \cdot (- 260)}}{2 \cdot (- 21)}$

x_1,2 = $\frac{- 149 \pm \sqrt{22 201 - 21 840}}{- 42}$

x_1,2 = $\frac{- 149 \pm \sqrt{361}}{- 42}$

x₁ = $\frac{- 149 + \sqrt{361}}{- 42}$ = $\frac{- 149+19}{- 42}$ = $\frac{- 130}{- 42}$ = $\frac{65}{21}$ ≈ 3.1

x₂ = $\frac{- 149 - \sqrt{361}}{- 42}$ = $\frac{- 149-19}{- 42}$ = $\frac{- 168}{- 42}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{65}{21}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 14 \cdot 1 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 10 x + 24$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$24 x$	$- 24$
		-( $24 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = $(x^{2} + 10 x + 24) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 10 x + 24) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10+2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10-2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 9 \cdot {(- 4)}^{2} + 14 \cdot (- 4) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$- 6 x$	$- 24$
		-( $- 6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 9 \cdot {(- 6)}^{2} + 14 \cdot (- 6) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 4 x$	$- 24$
		-( $- 4 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 4$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x - 2 | - 7$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x - 2 \| - 7$	=	$- 15$
$- 7 - \frac{1}{2} \| 2 x - 2 \|$	=	$- 15$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{2} \| 2 x - 2 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$16$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

$2 x - 2$	=	$16$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 9 - 2$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 2$ < 0:

$- (2 x - 2)$	=	$16$
$- 2 x + 2$	=	$16$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 7) - 2$ = -16 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -2 ≥ 0:

2. Fall: 2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 2$ < 0: