Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x$ und $g(x) =$ $\frac{3}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} + 2 x$	=	$\frac{3}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x + 2 x \cdot x$	=	$\frac{3}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x + 2 x \cdot x$	=	$3$
$x^{4} + 2 x^{2}$	=	$3$

x^{4} + 2 x^{2}

=

3

|

- 3

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $\frac{3}{(- 1)}$ = -3 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-3)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $\frac{3}{1}$ = 3 Somit gilt: S₂( $1$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$0$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 6-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 2 e^{4 x} - 35 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 2 e^{4 x} - 35 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 35) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{3}{x} + \frac{- 13 x + 3}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{- 13 x + 3}{3 x} + \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{- 13 x + 3}{3 x} + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{4 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{- 13 x + 3}{3 x} \cdot (3 x - 5) + \frac{3}{x} \cdot (3 x - 5)$	=
$4 x + \frac{(- 13 x + 3) (3 x - 5)}{3 x} + 3 \frac{3 x - 5}{x}$	=
$4 x + \frac{- 39 x^{2} + 74 x - 15}{3 x} + 3 \frac{3 x - 5}{x}$	=
$\frac{3 (3 x - 5)}{x} + \frac{- 39 x^{2} + 74 x - 15}{3 x} + 4 x$	=

\frac{3 (3 x - 5)}{x} + \frac{- 39 x^{2} + 74 x - 15}{3 x} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{3 (3 x - 5)}{x} + \frac{- 39 x^{2} + 74 x - 15}{3 x} + 4 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{3 (3 x - 5)}{x} \cdot 3 x + \frac{- 39 x^{2} + 74 x - 15}{3 x} \cdot 3 x + 4 x \cdot 3 x$	=
$27 x - 45 - 39 x^{2} + 74 x - 15 + 12 x \cdot x$	=
$27 x - 45 - 39 x^{2} + 74 x - 15 + 12 x^{2}$	=
$- 27 x^{2} + 101 x - 60$	=

$- 27 x^{2} + 101 x - 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 101 \pm \sqrt{101^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{- 101 \pm \sqrt{10 201 - 6 480}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{- 101 \pm \sqrt{3 721}}{- 54}$

x₁ = $\frac{- 101 + \sqrt{3 721}}{- 54}$ = $\frac{- 101+61}{- 54}$ = $\frac{- 40}{- 54}$ = $\frac{20}{27}$ ≈ 0.74

x₂ = $\frac{- 101 - \sqrt{3 721}}{- 54}$ = $\frac{- 101-61}{- 54}$ = $\frac{- 162}{- 54}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{20}{27}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 13 \cdot 2 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 13 x$	$- 30$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $14 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$15 x$	$- 30$
		-( $15 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 8 \cdot {(- 3)}^{2} - 13 \cdot (- 3) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 13 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 10 x$	$- 30$
		-( $- 10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x + 16 | + 2$ = $- 22$

Lösung einblenden

$- \| - 4 x + 16 \| + 2$	=	$- 22$
$2 - \| - 4 x + 16 \|$	=	$- 22$	\| $- 2$
$- \| - 4 x + 16 \|$	=	$- 24$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

$- 4 x + 16$	=	$24$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 2) + 16$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0:

$- (- 4 x + 16)$	=	$24$
$4 x - 16$	=	$24$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 10 + 16$ = -24 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +16 ≥ 0:

2. Fall: -4x +16 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0: