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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 9 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 18 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 9 e^{x}$	=	$- 18 e^{- x}$	\| $+ 18 e^{- x}$
$e^{3 x} - 9 e^{x} + 18 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 18) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $- 18 e^{- (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = -10.392 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |-10.392)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $- 18 e^{- (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = -7.348 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |-7.348)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 5 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 6$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 5 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{3 x + 10} - 3$ = 0

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D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{x + 2}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} \cdot (3 x + 10) - 3 \cdot (3 x + 10)$	=
$x + 2 + \frac{(2 x + 2) (3 x + 10)}{2 x + 5} - 9 x - 30$	=
$x + 2 + \frac{6 x^{2} + 26 x + 20}{2 x + 5} - 9 x - 30$	=
$\frac{6 x^{2} + 26 x + 20}{2 x + 5} + x - 9 x + 2 - 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 26 x + 20}{2 x + 5} + x - 9 x + 2 - 30$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 26 x + 20}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5) - 9 x \cdot (2 x + 5) + 2 \cdot (2 x + 5) - 30 \cdot (2 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 26 x + 20 + x (2 x + 5) - 9 x (2 x + 5) + 4 x + 10 - 60 x - 150$	=
$6 x^{2} + 26 x + 20 + (2 x^{2} + 5 x) + (- 18 x^{2} - 45 x) + 4 x + 10 - 60 x - 150$	=
$- 10 x^{2} - 70 x - 120$	=

- 10 x^{2} - 70 x - 120

= 0 |:10

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x + 3 | + 5$ = $2$

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$\frac{1}{2} \| - x + 3 \| + 5$	=	$2$
$5 + \frac{1}{2} \| - x + 3 \|$	=	$2$	\| $- 5$
$\frac{1}{2} \| - x + 3 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $2$
$\| - x + 3 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen