Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2}$ und $g(x) =$ $35 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	$35 x$	\| $- 35 x$
$x^{3} - 2 x^{2} - 35 x$	=	0
$x (x^{2} - 2 x - 35)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; 0; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 5$ : f( $- 5$ )= $35 \cdot (- 5)$ = -175 Somit gilt: S₁( $- 5$ |-175)

x₂ = 0: f(0)= $35 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $7$ : f( $7$ )= $35 \cdot 7$ = 245 Somit gilt: S₃( $7$ |245)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $10 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $10 x + 5$ gilt m = $10$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 3 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 3 x

=

10

|

- 10

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $10$ und sind somit parallel zur Geraden y = $10 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{3}$ = $- x^{6}$

Lösung einblenden

$- x^{3}$	=	$- x^{6}$	\| $+ x^{6}$
$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{3 x}{3 x - 9} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $2$ }

\frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{3 x}{2 x - 4} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{3 x}{2 x - 4} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{3 x}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) + \frac{3 x}{2 x - 4} \cdot (3 x - 9) - 7 \cdot (3 x - 9)$	=
$3 x + \frac{3 x (3 x - 9)}{2 x - 4} - 21 x + 63$	=
$3 x + \frac{9 x^{2} - 27 x}{2 x - 4} - 21 x + 63$	=
$\frac{9 x^{2} - 27 x}{2 x - 4} + 3 x - 21 x + 63$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 27 x}{2 x - 4} + 3 x - 21 x + 63$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{9 x^{2} - 27 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + 3 x \cdot (2 x - 4) - 21 x \cdot (2 x - 4) + 63 \cdot (2 x - 4)$	=
$9 x^{2} - 27 x + 3 x (2 x - 4) - 21 x (2 x - 4) + 126 x - 252$	=
$9 x^{2} - 27 x + (6 x^{2} - 12 x) + (- 42 x^{2} + 84 x) + 126 x - 252$	=
$- 27 x^{2} + 171 x - 252$	=

- 27 x^{2} + 171 x - 252

= 0 |:9

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19+5}{- 6}$ = $\frac{- 14}{- 6}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.33

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19-5}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{3}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 23 \cdot (- 2) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 23 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 15 x$	$- 30$
		-( $- 15 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} - 23 \cdot 3 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 23 x$	$- 30$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 33 x$ )
		$10 x$	$- 30$
		-( $10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x + 16 | - 2$ = $- 26$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x + 16 \| - 2$	=	$- 26$
$- 2 - \frac{1}{2} \| 4 x + 16 \|$	=	$- 26$	\| $+ 2$
$- \frac{1}{2} \| 4 x + 16 \|$	=	$- 24$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x + 16 \|$	=	$48$

1. Fall: $4 x + 16$ ≥ 0:

$4 x + 16$	=	$48$	\| $- 16$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 8 + 16$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 16$ < 0:

$- (4 x + 16)$	=	$48$
$- 4 x - 16$	=	$48$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$64$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 16) + 16$ = -48 < 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +16 ≥ 0:

2. Fall: 4x +16 < 0:

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 16$ < 0: