Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + 3 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $18 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + 3 e^{5 x}$	=	$18 e^{2 x}$	\| $- 18 e^{2 x}$
$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $18 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 37.442 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |37.442)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{7}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 12 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 12 x - 5$ gilt m = $- 12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{7}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 7 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 7 e^{3 x}

=

- 12

|

+ 12

e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 12 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{- 4 x} - 3) \cdot (x^{3} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{- 4 x} - 3) (x^{3} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{- 4 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 e^{- 4 x}$	=	$3$	\|: $4$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 0.0719

2. Fall:

$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x} + \frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{- 8 x}{4 x - 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

- \frac{8 x}{4 x - 8} + \frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $4 x - 8$ weg!

$- \frac{8 x}{4 x - 8} + \frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $4 x - 8$ )
$- \frac{8 x}{4 x - 8} \cdot (4 x - 8) + \frac{3 x}{2 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2)) + \frac{4}{x} \cdot (4 x - 8)$	=
$- 8 x + 6 x + 4 \frac{4 x - 8}{x}$	=
$4 \frac{4 x - 8}{x} - 8 x + 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$4 \frac{4 x - 8}{x} - 8 x + 6 x$	=	\|⋅( $x$ )
$4 \frac{4 x - 8}{x} \cdot x - 8 x \cdot x + 6 x \cdot x$	=
$16 x - 32 - 8 x \cdot x + 6 x \cdot x$	=
$16 x - 32 - 8 x^{2} + 6 x^{2}$	=
$- 2 x^{2} + 16 x - 32$	=

- 2 x^{2} + 16 x - 32

= 0 |:2

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 6$
		-( $3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x + 4 | + 2$ = $1$

Lösung einblenden

$\| - x + 4 \| + 2$	=	$1$
$2 + \| - x + 4 \|$	=	$1$	\| $- 2$
$\| - x + 4 \|$	=	$- 1$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen