Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6}$ und $g(x) =$ $81 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6}$	=	$81 x^{2}$	\| $- 81 x^{2}$
$x^{6} - 81 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 81)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{4} - 81$	=	0	\| $+ 81$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $81 \cdot {(- 3)}^{2}$ = 729 Somit gilt: S₁( $- 3$ |729)

x₂ = 0: f(0)= $81 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $81 \cdot 3^{2}$ = 729 Somit gilt: S₃( $3$ |729)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 4$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$(x^{2} + 8 x) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 8$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 24 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 24 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 24) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 3$ }

\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{x}{2 x + 6} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{x}{2 x + 6} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{x}{2 x + 6} \cdot (3 x + 8) - 4 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x + \frac{x (3 x + 8)}{2 x + 6} - 12 x - 32$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} + 8 x}{2 x + 6} - 12 x - 32$	=
$\frac{3 x^{2} + 8 x}{2 x + 6} + 2 x - 12 x - 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 8 x}{2 x + 6} + 2 x - 12 x - 32$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{3 x^{2} + 8 x}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + 2 x \cdot (2 x + 6) - 12 x \cdot (2 x + 6) - 32 \cdot (2 x + 6)$	=
$3 x^{2} + 8 x + 2 x (2 x + 6) - 12 x (2 x + 6) - 64 x - 192$	=
$3 x^{2} + 8 x + (4 x^{2} + 12 x) + (- 24 x^{2} - 72 x) - 64 x - 192$	=
$- 17 x^{2} - 116 x - 192$	=

$- 17 x^{2} - 116 x - 192$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 116 \pm \sqrt{{(- 116)}^{2} - 4 \cdot (- 17) \cdot (- 192)}}{2 \cdot (- 17)}$

x_1,2 = $\frac{+ 116 \pm \sqrt{13 456 - 13 056}}{- 34}$

x_1,2 = $\frac{+ 116 \pm \sqrt{400}}{- 34}$

x₁ = $\frac{116 + \sqrt{400}}{- 34}$ = $\frac{116+20}{- 34}$ = $\frac{136}{- 34}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{116 - \sqrt{400}}{- 34}$ = $\frac{116-20}{- 34}$ = $\frac{96}{- 34}$ = $- \frac{48}{17}$ ≈ -2.82

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{48}{17}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 4 x$	$- 8$
		-( $- 4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 5 \cdot {(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 2 x$	$- 8$
		-( $- 2 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + x - 2) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 3 x + 15 | - 5$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \| 3 x + 15 \| - 5$	=	$- 2$
$- 5 - \| 3 x + 15 \|$	=	$- 2$	\| $+ 5$
$- \| 3 x + 15 \|$	=	$3$	\|: $(- 1)$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 4$