Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + \frac{8}{x}$ und $g(x) =$ $- 9 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} + \frac{8}{x}$	=	$- 9 x^{2}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{5} \cdot x + 8$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x^{3}$

x^{6} + 8

=

- 9 x^{3}

|

+ 9 x^{3}

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 9 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -36 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-36)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot {(- 1)}^{2}$ = -9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $3 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x + 2$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 2 e^{3 x}

=

3

|

- 3

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 e^{4 x} - 28 e^{2 x}$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

$3 e^{4 x} - 28 e^{2 x}$	=	$- e^{6 x}$	\| $+ e^{6 x}$
$e^{6 x} + 3 e^{4 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x + 4} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{5 x - 1}{- x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 2$ }

\frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x + 4} + \frac{5 x - 1}{- x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x + 4} + \frac{5 x - 1}{- x + 1}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 1}{2 x + 4} \cdot (x - 1) + \frac{5 x - 1}{- x + 1} \cdot (x - 1)$	=
$3 x + 1 + \frac{(x - 1) (x - 1)}{2 x + 4} + \frac{(5 x - 1) (x - 1)}{- x + 1}$	=
$3 x + 1 + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 4} + \frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{- x + 1}$	=
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{- x + 1} + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 4} + 3 x + 1$	=

\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 4} + \frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{- x + 1} + 3 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 4} + \frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{- x + 1} + 3 x + 1$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{- x + 1} \cdot (2 x + 4) + 3 x \cdot (2 x + 4) + 1 \cdot (2 x + 4)$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + \frac{(5 x^{2} - 6 x + 1) (2 x + 4)}{- x + 1} + 3 x (2 x + 4) + 2 x + 4$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + \frac{10 x^{3} + 8 x^{2} - 22 x + 4}{- x + 1} + (6 x^{2} + 12 x) + 2 x + 4$	=
$\frac{10 x^{3} + 8 x^{2} - 22 x + 4}{- x + 1} + x^{2} + 6 x^{2} - 2 x + 12 x + 2 x + 1 + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- x + 1$ weg!

$\frac{10 x^{3} + 8 x^{2} - 22 x + 4}{- x + 1} + x^{2} + 6 x^{2} - 2 x + 12 x + 2 x + 1 + 4$	=	\|⋅( $- x + 1$ )
$\frac{10 x^{3} + 8 x^{2} - 22 x + 4}{- x + 1} \cdot (- x + 1) + x^{2} \cdot (- x + 1) + 6 x^{2} \cdot (- x + 1) - 2 x \cdot (- x + 1) + 12 x \cdot (- x + 1) + 2 x \cdot (- x + 1) + 1 \cdot (- x + 1) + 4 \cdot (- x + 1)$	=
$10 x^{3} + 8 x^{2} - 22 x + 4 + x^{2} (- x + 1) + 6 x^{2} (- x + 1) - 2 x (- x + 1) + 12 x (- x + 1) + 2 x (- x + 1) - x + 1 - 4 x + 4$	=
$10 x^{3} + 8 x^{2} - 22 x + 4 + (- x^{3} + x^{2}) + (- 6 x^{3} + 6 x^{2}) + (2 x^{2} - 2 x) + (- 12 x^{2} + 12 x) + (- 2 x^{2} + 2 x) - x + 1 - 4 x + 4$	=
$3 x^{3} + 3 x^{2} - 15 x + 9$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 3 x^{2} - 15 x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 6 x - 9$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 9 x$	$+ 9$
		-( $- 9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 3 x^{2} - 15 x + 9$ = $(3 x^{2} + 6 x - 9) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 6 x - 9) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 x^{2} + 6 x - 9

= 0 |:3

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 3 \cdot {(- 3)}^{2} - 15 \cdot (- 3) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} - 6 x + 3$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$3 x$	$+ 9$
		-( $3 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 3 x^{2} - 15 x + 9$ = $(3 x^{2} - 6 x + 3) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} - 6 x + 3) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 x^{2} - 6 x + 3

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 16 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 16 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 12$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 7 \cdot 3^{2} + 16 \cdot 3 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 16 x$	$- 12$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 16 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$4 x$	$- 12$
		-( $4 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 12$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={ $2$ ; $3$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x + 4 | + 5$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x + 4 \| + 5$	=	$1$
$5 + \frac{1}{3} \| 4 x + 4 \|$	=	$1$	\| $- 5$
$\frac{1}{3} \| 4 x + 4 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $3$
$\| 4 x + 4 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit -3

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $3$