Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x} + 1$ und $g(x) =$ $4 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 3 e^{- x} + 1

=

4 e^{- 2 x}

|

- 4 e^{- 2 x}

- 3 e^{- x} - 4 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 3 e^{- x} - 4 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 3 e^{x} - 4$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $4 e^{- 2 \cdot (2 \ln (2))}$ = 0.25 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |0.25)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{9}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{9}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - 9 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} - 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} - 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 10 x^{2} + 21 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{3} - 10 x^{2} + 21 x$	=	0
$x (x^{2} - 10 x + 21)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={0; $3$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{16 x}{- 9 x + 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{3}$ }

\frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{16 x}{- 9 x + 15}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{16 x}{- 9 x + 15}$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{x + 1}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} \cdot (2 x - 4) + \frac{16 x}{- 9 x + 15} \cdot (2 x - 4)$	=
$x + 1 + \frac{(3 x - 1) (2 x - 4)}{3 x - 5} + \frac{16 x (2 x - 4)}{- 9 x + 15}$	=
$x + 1 + \frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{3 x - 5} + \frac{32 x^{2} - 64 x}{- 9 x + 15}$	=
$\frac{32 x^{2} - 64 x}{- 9 x + 15} + \frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{3 x - 5} + x + 1$	=

\frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{3 x - 5} + \frac{32 x^{2} - 64 x}{- 9 x + 15} + x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{3 x - 5} + \frac{32 x^{2} - 64 x}{- 9 x + 15} + x + 1$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{6 x^{2} - 14 x + 4}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{32 x^{2} - 64 x}{- 9 x + 15} \cdot (3 x - 5) + x \cdot (3 x - 5) + 1 \cdot (3 x - 5)$	=
$6 x^{2} - 14 x + 4 + \frac{(32 x^{2} - 64 x) (3 x - 5)}{- 9 x + 15} + x (3 x - 5) + 3 x - 5$	=
$6 x^{2} - 14 x + 4 + \frac{96 x^{3} - 352 x^{2} + 320 x}{- 9 x + 15} + (3 x^{2} - 5 x) + 3 x - 5$	=
$\frac{96 x^{3} - 352 x^{2} + 320 x}{- 9 x + 15} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 14 x - 5 x + 3 x + 4 - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x + 15$ weg!

$\frac{96 x^{3} - 352 x^{2} + 320 x}{- 9 x + 15} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 14 x - 5 x + 3 x + 4 - 5$	=	\|⋅( $- 9 x + 15$ )
$\frac{96 x^{3} - 352 x^{2} + 320 x}{- 9 x + 15} \cdot (- 9 x + 15) + 6 x^{2} \cdot (- 9 x + 15) + 3 x^{2} \cdot (- 9 x + 15) - 14 x \cdot (- 9 x + 15) - 5 x \cdot (- 9 x + 15) + 3 x \cdot (- 9 x + 15) + 4 \cdot (- 9 x + 15) - 5 \cdot (- 9 x + 15)$	=
$96 x^{3} - 352 x^{2} + 320 x + 6 x^{2} (- 9 x + 15) + 3 x^{2} (- 9 x + 15) - 14 x (- 9 x + 15) - 5 x (- 9 x + 15) + 3 x (- 9 x + 15) - 36 x + 60 + 45 x - 75$	=
$96 x^{3} - 352 x^{2} + 320 x + (- 54 x^{3} + 90 x^{2}) + (- 27 x^{3} + 45 x^{2}) + (126 x^{2} - 210 x) + (45 x^{2} - 75 x) + (- 27 x^{2} + 45 x) - 36 x + 60 + 45 x - 75$	=
$15 x^{3} - 73 x^{2} + 89 x - 15$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $15 x^{3} - 73 x^{2} + 89 x - 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 15$ .

$3$ ist eine Lösung, denn $15 \cdot 3^{3} - 73 \cdot 3^{2} + 89 \cdot 3 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $15 x^{3}$	$- 73 x^{2}$	$+ 89 x$	$- 15$ )	:	(x $- 3$ )	=	$15 x^{2} - 28 x + 5$
-( $15 x^{3}$	$- 45 x^{2}$ )
	$- 28 x^{2}$	$+ 89 x$
	-( $- 28 x^{2}$	$+ 84 x$ )
		$5 x$	$- 15$
		-( $5 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$15 x^{3} - 73 x^{2} + 89 x - 15$ = $(15 x^{2} - 28 x + 5) \cdot (x - 3)$

(15 x^{2} - 28 x + 5) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$15 x^{2} - 28 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 5}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 300}}{30}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{484}}{30}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{484}}{30}$ = $\frac{28+22}{30}$ = $\frac{50}{30}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{484}}{30}$ = $\frac{28-22}{30}$ = $\frac{6}{30}$ = $0,2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,2$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$+ 9$
		-( $9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x + 4 | + 5$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x + 4 \| + 5$	=	$- 3$
$5 - \frac{1}{3} \| 4 x + 4 \|$	=	$- 3$	\| $- 5$
$- \frac{1}{3} \| 4 x + 4 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x + 4 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

$4 x + 4$	=	$24$	\| $- 4$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 5 + 4$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 4$ < 0:

$- (4 x + 4)$	=	$24$
$- 4 x - 4$	=	$24$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$28$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 7) + 4$ = -24 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +4 ≥ 0:

2. Fall: 4x +4 < 0:

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 4$ < 0: