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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{12}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{1}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{12}{x^{2}}$	=	$\frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 12$	=	$x$

x^{2} - 12

=

x

|

- x

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $\frac{1}{(- 3)}$ = -0.333 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-0.333)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $\frac{1}{4}$ = 0.25 Somit gilt: S₂( $4$ |0.25)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 4 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $12 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x + 2$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + 4 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 4 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + 4 e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} + 4 e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{x} - 4) \cdot (x^{2} + 6 x)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{x} - 4) (x^{2} + 6 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 e^{x}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{4}{3})$	≈ 0.2877

2. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $\ln (\frac{4}{3})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{x}{2 x + 6} + \frac{- 3 x - 2}{2 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{- 3 x - 2}{2 x + 6} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{x}{2 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{- 3 x - 2}{2 x + 6} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{x}{2 x + 6}$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{- 3 x - 2}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} \cdot (2 x + 6) + \frac{x}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6)$	=
$- 3 x - 2 + \frac{(2 x - 1) (2 x + 6)}{2 x + 5} + x$	=
$- 3 x - 2 + \frac{4 x^{2} + 10 x - 6}{2 x + 5} + x$	=
$\frac{4 x^{2} + 10 x - 6}{2 x + 5} - 3 x + x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 10 x - 6}{2 x + 5} - 3 x + x - 2$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{4 x^{2} + 10 x - 6}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - 3 x \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5) - 2 \cdot (2 x + 5)$	=
$4 x^{2} + 10 x - 6 - 3 x (2 x + 5) + x (2 x + 5) - 4 x - 10$	=
$4 x^{2} + 10 x - 6 + (- 6 x^{2} - 15 x) + (2 x^{2} + 5 x) - 4 x - 10$	=
$- 4 x - 16$	=

$- 4 x - 16$	=	0	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 17 \cdot (- 1) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 17 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 12 x$	$- 12$
		-( $- 12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4^{2} - 17 \cdot 4 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 17 x$	$- 12$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$3 x$	$- 12$
		-( $3 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x + 4 | + 6$ = $2$

Lösung einblenden

$\| - 4 x + 4 \| + 6$	=	$2$
$6 + \| - 4 x + 4 \|$	=	$2$	\| $- 6$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $4$