Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 15 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $- 2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 15 e^{- 2 x}

=

- 2

|

+ 2

e^{2 x} - 15 e^{- 2 x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 15 e^{- 2 x} + 2$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $- 2$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $12 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$12 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$12 e^{- \frac{1}{4} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 12 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{x} + \frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{- 8 x + 1}{2 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; 0}

\frac{- 8 x + 1}{2 x - 1} + \frac{2 x + 2}{x} + \frac{3 x}{2 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{- 8 x + 1}{2 x - 1} + \frac{2 x + 2}{x} + \frac{3 x}{2 x - 1}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{- 8 x + 1}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{2 x + 2}{x} \cdot (2 x - 1) + \frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)$	=
$- 8 x + 1 + \frac{(2 x + 2) (2 x - 1)}{x} + 3 x$	=
$- 8 x + 1 + \frac{4 x^{2} + 2 x - 2}{x} + 3 x$	=
$\frac{4 x^{2} + 2 x - 2}{x} - 8 x + 3 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 2}{x} - 8 x + 3 x + 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 x^{2} + 2 x - 2}{x} \cdot x - 8 x \cdot x + 3 x \cdot x + 1 \cdot x$	=
$4 x^{2} + 2 x - 2 - 8 x \cdot x + 3 x \cdot x + x$	=
$4 x^{2} + 2 x - 2 - 8 x^{2} + 3 x^{2} + x$	=
$- x^{2} + 3 x - 2$	=

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x - 8 | + 5$ = $25$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x - 8 \| + 5$	=	$25$
$5 + \frac{1}{2} \| 4 x - 8 \|$	=	$25$	\| $- 5$
$\frac{1}{2} \| 4 x - 8 \|$	=	$20$	\|⋅ $2$
$\| 4 x - 8 \|$	=	$40$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

$4 x - 8$	=	$40$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$48$	\|: $4$
x₁	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 12 - 8$ = 40 ≥ 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 8$ < 0:

$- (4 x - 8)$	=	$40$
$- 4 x + 8$	=	$40$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 8) - 8$ = -40 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -8 ≥ 0:

2. Fall: 4x -8 < 0:

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 8$ < 0: