Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 4$ und $g(x) =$ $4 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} + 4

=

4 e^{3 x}

|

- 4 e^{3 x}

e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

$\frac{1}{3} \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $4 e^{3 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = 8 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 2$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 12 e^{2 x}$ = $8 e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 12 e^{2 x}$	=	$8 e^{4 x}$	\| $- 8 e^{4 x}$
$e^{6 x} - 8 e^{4 x} + 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{12 x}{x - 2} + \frac{30 x}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{12 x}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{30 x}{- 2 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{30 x}{- 2 x + 4}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 2) + \frac{30 x}{- 2 x + 4} \cdot (x - 2)$	=
$12 x + \frac{2 x (x - 2)}{x - 1} + \frac{30 x (x - 2)}{- 2 x + 4}$	=
$12 x + \frac{2 x^{2} - 4 x}{x - 1} + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 2 x + 4}$	=
$\frac{30 x^{2} - 60 x}{- 2 x + 4} + \frac{2 x^{2} - 4 x}{x - 1} + 12 x$	=

\frac{2 x^{2} - 4 x}{x - 1} + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 2 x + 4} + 12 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x}{x - 1} + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 2 x + 4} + 12 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 2 x + 4} \cdot (x - 1) + 12 x \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - 4 x + \frac{(30 x^{2} - 60 x) (x - 1)}{- 2 x + 4} + 12 x (x - 1)$	=
$2 x^{2} - 4 x + \frac{30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x}{- 2 x + 4} + (12 x^{2} - 12 x)$	=
$\frac{30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x}{- 2 x + 4} + 2 x^{2} + 12 x^{2} - 4 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 2 x + 4$ weg!

$\frac{30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x}{- 2 x + 4} + 2 x^{2} + 12 x^{2} - 4 x - 12 x$	=	\|⋅( $- 2 x + 4$ )
$\frac{30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x}{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x + 4) + 2 x^{2} \cdot (- 2 x + 4) + 12 x^{2} \cdot (- 2 x + 4) - 4 x \cdot (- 2 x + 4) - 12 x \cdot (- 2 x + 4)$	=
$30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x + 2 x^{2} (- 2 x + 4) + 12 x^{2} (- 2 x + 4) - 4 x (- 2 x + 4) - 12 x (- 2 x + 4)$	=
$30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x + (- 4 x^{3} + 8 x^{2}) + (- 24 x^{3} + 48 x^{2}) + (8 x^{2} - 16 x) + (24 x^{2} - 48 x)$	=
$2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$	=

$2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$	=	0
$2 x (x^{2} - x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 10 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 10 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 10 \cdot {(- 1)}^{3} + 8 \cdot {(- 1)}^{2} - 10 \cdot (- 1) - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 10 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 10 x$	$- 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 9 x^{2} - x - 9$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$9 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$
	-( $9 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 10 x$
		-( $- x^{2}$	$- x$ )
			$- 9 x$	$- 9$
			-( $- 9 x$	$- 9$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 10 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x - 9$ = $(x^{3} + 9 x^{2} - x - 9) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 9 x^{2} - x - 9) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} - x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$- x$	$- 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 9 x$	$- 9$
		-( $- 9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} - x - 9$ = $(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 8 x - 9) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$- x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- x$
	-( $10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} - x - 9$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 10 x + 9) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 9 \cdot {(- 9)}^{2} - (- 9) - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$- x$	$- 9$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 9$
		-( $- x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} - x - 9$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 9)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 9)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 10 \cdot 1^{3} + 8 \cdot 1^{2} - 10 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 10 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 10 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 11 x^{2} + 19 x + 9$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$11 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$
	-( $11 x^{3}$	$- 11 x^{2}$ )
		$19 x^{2}$	$- 10 x$
		-( $19 x^{2}$	$- 19 x$ )
			$9 x$	$- 9$
			-( $9 x$	$- 9$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 10 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x - 9$ = $(x^{3} + 11 x^{2} + 19 x + 9) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 11 x^{2} + 19 x + 9) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 11 x^{2} + 19 x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 11 \cdot {(- 1)}^{2} + 19 \cdot (- 1) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$9 x$	$+ 9$
		-( $9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 19 x + 9$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 10 x + 9) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 11 \cdot {(- 9)}^{2} + 19 \cdot (- 9) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$x$	$+ 9$
		-( $x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 19 x + 9$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{4} + 10 \cdot {(- 9)}^{3} + 8 \cdot {(- 9)}^{2} - 10 \cdot (- 9) - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 10 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 10 x$	$- 9$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{3} + x^{2} - x - 1$
-( $x^{4}$	$+ 9 x^{3}$ )
	$x^{3}$	$+ 8 x^{2}$
	-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 10 x$
		-( $- x^{2}$	$- 9 x$ )
			$- x$	$- 9$
			-( $- x$	$- 9$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 10 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x - 9$ = $(x^{3} + x^{2} - x - 1) \cdot (x + 9)$

(x^{3} + x^{2} - x - 1) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- x$	$- 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 1$
		-( $- x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - x - 1$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - x - 1$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 1$ ; $1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x + 4 | - 7$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x + 4 \| - 7$	=	$- 11$
$- 7 - \frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$- 11$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x + 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

$x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ ≥ 0) genügt:

$8 + 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 4$ < 0:

$- (x + 4)$	=	$12$
$- x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$- x$	=	$16$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ < 0) genügt:

$- 16 + 4$ = -12 < 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit 1

Betragsgleichungen

1. Fall: x +4 ≥ 0:

2. Fall: x +4 < 0:

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $1$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 4$ < 0: