Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + e^{2 x}$ und $g(x) =$ $12 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + e^{2 x}$	=	$12 e^{x}$	\| $- 12 e^{x}$
$e^{3 x} + e^{2 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + e^{x} - 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $12 e^{\ln (3)}$ = 36 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |36)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 1 + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 1 + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} - 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} - 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$2 e^{3 x} - 2 + 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 13 x^{2} + 36$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 13 x^{2} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 4} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{5 x + 1}{x - 1} \cdot (3 x + 4) - 7 \cdot (3 x + 4)$	=
$4 x + \frac{(5 x + 1) (3 x + 4)}{x - 1} - 21 x - 28$	=
$4 x + \frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{x - 1} - 21 x - 28$	=
$\frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{x - 1} + 4 x - 21 x - 28$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{x - 1} + 4 x - 21 x - 28$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{15 x^{2} + 23 x + 4}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 21 x \cdot (x - 1) - 28 \cdot (x - 1)$	=
$15 x^{2} + 23 x + 4 + 4 x (x - 1) - 21 x (x - 1) - 28 x + 28$	=
$15 x^{2} + 23 x + 4 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 21 x^{2} + 21 x) - 28 x + 28$	=
$- 2 x^{2} + 12 x + 32$	=

- 2 x^{2} + 12 x + 32

= 0 |:2

$- x^{2} + 6 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 16}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 6+10}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 6-10}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $8$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x + 12 | + 8$ = $5$

Lösung einblenden

$\| - 3 x + 12 \| + 8$	=	$5$
$8 + \| - 3 x + 12 \|$	=	$5$	\| $- 8$
$\| - 3 x + 12 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen