Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + 6 e^{x}$ und $g(x) =$ $7 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + 6 e^{x}$	=	$7 e^{3 x}$	\| $- 7 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 7 e^{3 x} + 6 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $7 e^{3 \cdot 0}$ = 7 Somit gilt: S₁(0|7)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $7 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 102.879 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |102.879)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 4 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $21 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $21 x - 4$ gilt m = $21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 4 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 4 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 4 e^{x}

=

21

|

- 21

e^{2 x} - 4 e^{x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $21 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 2 e^{4 x}$ = $15 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 2 e^{4 x}$	=	$15 e^{2 x}$	\| $- 15 e^{2 x}$
$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{2 x - 2} + \frac{x - 1}{2 x} + \frac{- 24 x}{4 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{8 x}{2 x - 2} + \frac{x - 1}{2 x} - \frac{24 x}{4 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{2 x - 2} + \frac{x - 1}{2 x} - \frac{24 x}{4 x - 4}$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{8 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{x - 1}{2 x} \cdot (2 x - 2) - \frac{24 x}{4 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=
$8 x + \frac{(x - 1) (2 x - 2)}{2 x} - 12 x$	=
$8 x + \frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{2 x} - 12 x$	=
$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{2 x} + 8 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{2 x} + 8 x - 12 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 12 x \cdot 2 x$	=
$2 x^{2} - 4 x + 2 + 16 x \cdot x - 24 x \cdot x$	=
$2 x^{2} - 4 x + 2 + 16 x^{2} - 24 x^{2}$	=
$- 6 x^{2} - 4 x + 2$	=

- 6 x^{2} - 4 x + 2

= 0 |:2

$- 3 x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 1}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{2+4}{- 6}$ = $\frac{6}{- 6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{2-4}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x - 4 | + 9$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 4 \| + 9$	=	$- 15$
$9 - \frac{1}{3} \| - 4 x - 4 \|$	=	$- 15$	\| $- 9$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 4 \|$	=	$- 24$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x - 4 \|$	=	$72$

1. Fall: $- 4 x - 4$ ≥ 0:

$- 4 x - 4$	=	$72$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$76$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 19) - 4$ = 72 ≥ 0

Die Lösung $- 19$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 4$ < 0:

$- (- 4 x - 4)$	=	$72$
$4 x + 4$	=	$72$	\| $- 4$
$4 x$	=	$68$	\|: $4$
x₂	=	$17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 17 - 4$ = -72 < 0

Die Lösung $17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 19$ ; $17$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -4 ≥ 0:

2. Fall: -4x -4 < 0:

1. Fall: $- 4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 4$ < 0: