Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 7 x^{3}$ und $g(x) =$ $- 12 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 7 x^{3}$	=	$- 12 x^{2}$	\| $+ 12 x^{2}$
$x^{4} - 7 x^{3} + 12 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 7 x + 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={0; $3$ ; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 12 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $- 12 \cdot 3^{2}$ = -108 Somit gilt: S₂( $3$ |-108)

x₃ = $4$ : f( $4$ )= $- 12 \cdot 4^{2}$ = -192 Somit gilt: S₃( $4$ |-192)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + x^{3}$ parallel zur Geraden y = $4 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x + 2$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 3 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 3 x^{2}

=

4

|

- 4

x^{4} + 3 x^{2} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - x^{3}$ = $72 x$

Lösung einblenden

$x^{5} - x^{3}$	=	$72 x$	\| $- 72 x$
$x^{5} - x^{3} - 72 x$	=	0
$x (x^{4} - x^{2} - 72)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - x^{2} - 72

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1+17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1-17}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{- 4 x}{3 x + 5}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{3 x + 1 - 4 x}{3 x + 5} + \frac{x}{3 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{3 x + 1 - 4 x}{3 x + 5} + \frac{x}{3 x + 6}$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{3 x + 1 - 4 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 5)$	=
$3 x + 1 - 4 x + \frac{x (3 x + 5)}{3 x + 6}$	=
$3 x + 1 - 4 x + \frac{3 x^{2} + 5 x}{3 x + 6}$	=
$\frac{3 x^{2} + 5 x}{3 x + 6} + 3 x - 4 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 5 x}{3 x + 6} + 3 x - 4 x + 1$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{3 x^{2} + 5 x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + 3 x \cdot (3 x + 6) - 4 x \cdot (3 x + 6) + 1 \cdot (3 x + 6)$	=
$3 x^{2} + 5 x + 3 x (3 x + 6) - 4 x (3 x + 6) + 3 x + 6$	=
$3 x^{2} + 5 x + (9 x^{2} + 18 x) + (- 12 x^{2} - 24 x) + 3 x + 6$	=
$2 x + 6$	=

$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 33 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$18 x$	$+ 18$
		-( $18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} + 33 \cdot (- 6) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$3 x$	$+ 18$
		-( $3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x + 8 | - 4$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 8 \| - 4$	=	$- 10$
$- 4 - \frac{1}{2} \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 10$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

$- 2 x + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 2) + 8$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0:

$- (- 2 x + 8)$	=	$12$
$2 x - 8$	=	$12$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$20$	\|: $2$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 10 + 8$ = -12 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +8 ≥ 0:

2. Fall: -2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0: