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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + 15 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $8 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + 15 e^{2 x}$	=	$8 e^{5 x}$	\| $- 8 e^{5 x}$
$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 15) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $8 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 49.922 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |49.922)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $8 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = 116.961 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |116.961)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} + 9 x$ = $10 x^{3}$

Lösung einblenden

$x^{5} + 9 x$	=	$10 x^{3}$	\| $- 10 x^{3}$
$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$	=	0
$x (x^{4} - 10 x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{- 14 x}{3 x - 3}$ = 0

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D=R\{ $1$ ; $2$ }

\frac{2 x}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x - 6} - \frac{14 x}{3 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x - 6} - \frac{14 x}{3 x - 3}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{4 x}{3 x - 6} \cdot (x - 1) - \frac{14 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{4 x (x - 1)}{3 x - 6} - \frac{14}{3} x$	=
$2 x + \frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 6} - \frac{14}{3} x$	=
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 6} + 2 x - \frac{14}{3} x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 6} + 2 x - \frac{14}{3} x$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) + 2 x \cdot (3 x - 6) - \frac{14}{3} x \cdot (3 x - 6)$	=
$4 x^{2} - 4 x + 2 x (3 x - 6) - \frac{14}{3} x (3 x - 6)$	=
$4 x^{2} - 4 x + (6 x^{2} - 12 x) + (- 14 x^{2} + 28 x)$	=
$- 4 x^{2} + 12 x$	=

$- 4 x^{2} + 12 x$	=	0
$4 x (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x + 6 | - 6$ = $- 9$

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$\| 3 x + 6 \| - 6$	=	$- 9$
$- 6 + \| 3 x + 6 \|$	=	$- 9$	\| $+ 6$
$\| 3 x + 6 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen