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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 3 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 3 e^{2 x}$	=	$- 2 e^{4 x}$	\| $+ 2 e^{4 x}$
$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 3 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 3) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 2 e^{4 \cdot 0}$ = -2 Somit gilt: S₁(0|-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 2 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 2 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(5 e^{2 x} - 4) \cdot (x^{4} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(5 e^{2 x} - 4) (x^{4} - x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{2 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$5 e^{2 x}$	=	$4$	\|: $5$
$e^{2 x}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{4}{5})$	≈ -0.1116

2. Fall:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{4}{5})$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{2 x - 4}{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{2 x - 4}{x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{2 x - 4}{x} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{2 x - 4}{x} \cdot (3 x + 10) - 7 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 4) (3 x + 10)}{x} - 21 x - 70$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 8 x - 40}{x} - 21 x - 70$	=
$\frac{6 x^{2} + 8 x - 40}{x} + 2 x - 21 x - 70$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 8 x - 40}{x} + 2 x - 21 x - 70$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} + 8 x - 40}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 21 x \cdot x - 70 \cdot x$	=
$6 x^{2} + 8 x - 40 + 2 x \cdot x - 21 x \cdot x - 70 x$	=
$6 x^{2} + 8 x - 40 + 2 x^{2} - 21 x^{2} - 70 x$	=
$- 13 x^{2} - 62 x - 40$	=

$- 13 x^{2} - 62 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{{(- 62)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{3 844 - 2 080}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{1 764}}{- 26}$

x₁ = $\frac{62 + \sqrt{1 764}}{- 26}$ = $\frac{62+42}{- 26}$ = $\frac{104}{- 26}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{62 - \sqrt{1 764}}{- 26}$ = $\frac{62-42}{- 26}$ = $\frac{20}{- 26}$ = $- \frac{10}{13}$ ≈ -0.77

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{10}{13}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 90$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} - 37 \cdot (- 2) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 37 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 45$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 45 x$	$- 90$
		-( $- 45 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = $(x^{2} + 4 x - 45) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 4 x - 45) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4+14}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4-14}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} + 6 \cdot 5^{2} - 37 \cdot 5 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 37 x$	$- 90$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 55 x$ )
		$18 x$	$- 90$
		-( $18 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 6 \cdot {(- 9)}^{2} - 37 \cdot (- 9) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 37 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 27 x$ )
		$- 10 x$	$- 90$
		-( $- 10 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 3 x - 10) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 4 | - 3$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \| - 3$	=	$- 9$
$- 3 - \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$- 9$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

$2 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 4 + 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 4$ < 0:

$- (2 x + 4)$	=	$12$
$- 2 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 8) + 4$ = -12 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +4 ≥ 0:

2. Fall: 2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 4$ < 0: