Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 5 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $- 4 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 5 e^{4 x}$	=	$- 4 e^{x}$	\| $+ 4 e^{x}$
$e^{7 x} - 5 e^{4 x} + 4 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 4 e^{0}$ = -4 Somit gilt: S₁(0|-4)

x₂ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $- 4 e^{\frac{2}{3} \ln (2)}$ = -6.35 Somit gilt: S₂( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |-6.35)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 4 + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 5$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 4 + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $1 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$1 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- x^{2} + x) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + 16 e^{2 x}$ = $8 e^{5 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} + 16 e^{2 x}$	=	$8 e^{5 x}$	\| $- 8 e^{5 x}$
$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 16 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 16) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 16

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

$\frac{2}{3} \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x + 2} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 2} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 2} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{12 x}{x + 2} \cdot (3 x - 1) - 7 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x + \frac{12 x (3 x - 1)}{x + 2} - 21 x + 7$	=
$6 x + \frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 2} - 21 x + 7$	=
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 2} + 6 x - 21 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 2} + 6 x - 21 x + 7$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 6 x \cdot (x + 2) - 21 x \cdot (x + 2) + 7 \cdot (x + 2)$	=
$36 x^{2} - 12 x + 6 x (x + 2) - 21 x (x + 2) + 7 x + 14$	=
$36 x^{2} - 12 x + (6 x^{2} + 12 x) + (- 21 x^{2} - 42 x) + 7 x + 14$	=
$21 x^{2} - 35 x + 14$	=

21 x^{2} - 35 x + 14

= 0 |:7

$3 x^{2} - 5 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{5+1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{5-1}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 12 x^{2} + 27 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 12 x^{2} + 27 x + 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $40$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 12 \cdot {(- 1)}^{2} + 27 \cdot (- 1) + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 27 x$	$+ 40$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 13 x + 40$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$+ 27 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$- 13 x$ )
		$40 x$	$+ 40$
		-( $40 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 27 x + 40$ = $(x^{2} - 13 x + 40) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 13 x + 40) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 13 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13+3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13-3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 27 \cdot 5 + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 27 x$	$+ 40$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 27 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 35 x$ )
		$- 8 x$	$+ 40$
		-( $- 8 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 27 x + 40$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 12 \cdot 8^{2} + 27 \cdot 8 + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 27 x$	$+ 40$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 27 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$- 5 x$	$+ 40$
		-( $- 5 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 27 x + 40$ = $(x^{2} - 4 x - 5) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 4 x - 5) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 1$ ; $5$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 6 | - 1$ = $5$

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 6 \| - 1$	=	$5$
$- 1 + \| - 2 x + 6 \|$	=	$5$	\| $+ 1$
$\| - 2 x + 6 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 2 x + 6$ ≥ 0:

$- 2 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (0) + 6$ = 6 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 6$ < 0:

$- (- 2 x + 6)$	=	$6$
$2 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 6$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 6 + 6$ = -6 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +6 ≥ 0:

2. Fall: -2x +6 < 0:

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 2 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 6$ < 0: