Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 14 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $5 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 14 e^{2 x}$	=	$5 e^{4 x}$	\| $- 5 e^{4 x}$
$e^{6 x} - 5 e^{4 x} - 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 14) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $5 e^{4 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 245 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |245)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 4 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 4 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $12 e^{\frac{1}{3} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{\frac{1}{3} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{x} + 2$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

- 3 e^{x} + 2

=

- e^{2 x}

|

+ e^{2 x}

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 10} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 10} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) - 4 \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x - 12 x + 40$	=
$- 10 x + 40$	=

$- 10 x + 40$	=	0	\| $- 40$
$- 10 x$	=	$- 40$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 13 \cdot (- 1) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$6 x$	$+ 6$
		-( $6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 13 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x + 3 | + 9$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \| + 9$	=	$- 9$
$9 - \frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 9$	\| $- 9$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 18$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$36$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 11) + 3$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$36$
$3 x - 3$	=	$36$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$39$	\|: $3$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 13 + 3$ = -36 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: