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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 11 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $- 30 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 11 e^{3 x}$	=	$- 30 e^{x}$	\| $+ 30 e^{x}$
$e^{5 x} - 11 e^{3 x} + 30 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 30) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $- 30 e^{\frac{1}{2} \ln (5)}$ = -67.082 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |-67.082)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $- 30 e^{\frac{1}{2} \ln (6)}$ = -73.485 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |-73.485)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 6 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $7 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7 x - 1$ gilt m = $7$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 6 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 6 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 6 e^{x}

=

7

|

- 7

e^{2 x} - 6 e^{x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $7$ und sind somit parallel zur Geraden y = $7 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{3}$ = $30 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{4} - x^{3}$	=	$30 x^{2}$	\| $- 30 x^{2}$
$x^{4} - x^{3} - 30 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - x - 30)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; 0; $6$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{x - 4}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{x - 4}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{x - 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{4 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{x - 4}{x} \cdot (3 x + 8) - 6 \cdot (3 x + 8)$	=
$4 x + \frac{(x - 4) (3 x + 8)}{x} - 18 x - 48$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} - 4 x - 32}{x} - 18 x - 48$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 32}{x} + 4 x - 18 x - 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 32}{x} + 4 x - 18 x - 48$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 32}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 18 x \cdot x - 48 \cdot x$	=
$3 x^{2} - 4 x - 32 + 4 x \cdot x - 18 x \cdot x - 48 x$	=
$3 x^{2} - 4 x - 32 + 4 x^{2} - 18 x^{2} - 48 x$	=
$- 11 x^{2} - 52 x - 32$	=

$- 11 x^{2} - 52 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 52 \pm \sqrt{{(- 52)}^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{+ 52 \pm \sqrt{2 704 - 1 408}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{+ 52 \pm \sqrt{1 296}}{- 22}$

x₁ = $\frac{52 + \sqrt{1 296}}{- 22}$ = $\frac{52+36}{- 22}$ = $\frac{88}{- 22}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{52 - \sqrt{1 296}}{- 22}$ = $\frac{52-36}{- 22}$ = $\frac{16}{- 22}$ = $- \frac{8}{11}$ ≈ -0.73

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{8}{11}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 5 x$
	-( $- x^{2}$	$+ x$ )
		$- 6 x$	$+ 6$
		-( $- 6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - x - 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 5 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 3 x$	$+ 6$
		-( $- 3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x - 12 | - 6$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x - 12 \| - 6$	=	$- 3$
$- 6 - \frac{1}{2} \| 3 x - 12 \|$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{2} \| 3 x - 12 \|$	=	$3$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x - 12 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $2$