Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{2}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- \frac{1}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{2}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 2$	=	$- x$

x^{2} - 2

=

- x

|

+ x

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{1}{(- 2)}$ = 0.5 Somit gilt: S₁( $- 2$ |0.5)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{1}{1}$ = -1 Somit gilt: S₂( $1$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $5 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5 x - 4$ gilt m = $5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 4 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 4 e^{2 x}

=

5

|

- 5

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $5 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 6 e^{3 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - 6 e^{3 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{- 4 x - 1}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{- 4 x - 1}{x} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{4 x}{2 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 4 x - 1}{x} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{4 x}{2 x - 2}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 4 x - 1}{x} \cdot 3 x + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{4 x}{2 x - 2} \cdot 3 x$	=
$- 12 x - 3 + 5 x - 1 + 3 \frac{4 x \cdot x}{2 x - 2}$	=
$- 12 x - 3 + 5 x - 1 + 3 \frac{4 x^{2}}{2 x - 2}$	=
$3 \frac{4 x^{2}}{2 x - 2} - 12 x + 5 x - 3 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$3 \frac{4 x^{2}}{2 x - 2} - 12 x + 5 x - 3 - 1$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$3 \frac{4 x^{2}}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) - 12 x \cdot (2 x - 2) + 5 x \cdot (2 x - 2) - 3 \cdot (2 x - 2) - 1 \cdot (2 x - 2)$	=
$12 x^{2} - 12 x (2 x - 2) + 5 x (2 x - 2) - 6 x + 6 - 2 x + 2$	=
$12 x^{2} + (- 24 x^{2} + 24 x) + (10 x^{2} - 10 x) - 6 x + 6 - 2 x + 2$	=
$- 2 x^{2} + 6 x + 8$	=

- 2 x^{2} + 6 x + 8

= 0 |:2

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - x - 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 5 x$
	-( $- x^{2}$	$+ x$ )
		$- 6 x$	$+ 6$
		-( $- 6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ = $(x^{2} - x - 6) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - x - 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 5 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 4 x + 3) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 5 x$
	-( $x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 2 x$	$+ 6$
		-( $- 2 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + x - 2) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x - 2 | + 1$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \| + 1$	=	$- 5$
$1 - \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 5$	\| $- 1$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$18$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$18$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 10) - 2$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$18$
$2 x + 2$	=	$18$	\| $- 2$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 8 - 2$ = -18 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: