Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 2$ und $g(x) =$ $8 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 2

=

8 e^{- 2 x}

|

- 8 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 8 e^{- 2 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 8 e^{- 2 x} - 2$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 8$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $8 e^{- 2 \cdot (\ln (2))}$ = 2 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{5 x} + 5 e^{2 x}$ = $- e^{8 x}$

Lösung einblenden

$- 6 e^{5 x} + 5 e^{2 x}$	=	$- e^{8 x}$	\| $+ e^{8 x}$
$e^{8 x} - 6 e^{5 x} + 5 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 6 e^{3 x} + 5) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 6 e^{3 x} + 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{28 x}{- 6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{28 x}{- 6 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{28 x}{- 6 x + 6}$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{4 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} \cdot (3 x - 5) + \frac{28 x}{- 6 x + 6} \cdot (3 x - 5)$	=
$4 x + \frac{(5 x + 1) (3 x - 5)}{2 x - 2} + \frac{28 x (3 x - 5)}{- 6 x + 6}$	=
$4 x + \frac{15 x^{2} - 22 x - 5}{2 x - 2} + \frac{84 x^{2} - 140 x}{- 6 x + 6}$	=
$\frac{84 x^{2} - 140 x}{- 6 x + 6} + \frac{15 x^{2} - 22 x - 5}{2 x - 2} + 4 x$	=

\frac{15 x^{2} - 22 x - 5}{2 x - 2} + \frac{84 x^{2} - 140 x}{- 6 x + 6} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 22 x - 5}{2 x - 2} + \frac{84 x^{2} - 140 x}{- 6 x + 6} + 4 x$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{15 x^{2} - 22 x - 5}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{84 x^{2} - 140 x}{- 6 x + 6} \cdot (2 x - 2) + 4 x \cdot (2 x - 2)$	=
$15 x^{2} - 22 x - 5 + \frac{(84 x^{2} - 140 x) (2 x - 2)}{- 6 x + 6} + 4 x (2 x - 2)$	=
$15 x^{2} - 22 x - 5 + \frac{168 x^{3} - 448 x^{2} + 280 x}{- 6 x + 6} + (8 x^{2} - 8 x)$	=
$\frac{168 x^{3} - 448 x^{2} + 280 x}{- 6 x + 6} + 15 x^{2} + 8 x^{2} - 22 x - 8 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 6$ weg!

$\frac{168 x^{3} - 448 x^{2} + 280 x}{- 6 x + 6} + 15 x^{2} + 8 x^{2} - 22 x - 8 x - 5$	=	\|⋅( $- 6 x + 6$ )
$\frac{168 x^{3} - 448 x^{2} + 280 x}{- 6 x + 6} \cdot (- 6 x + 6) + 15 x^{2} \cdot (- 6 x + 6) + 8 x^{2} \cdot (- 6 x + 6) - 22 x \cdot (- 6 x + 6) - 8 x \cdot (- 6 x + 6) - 5 \cdot (- 6 x + 6)$	=
$168 x^{3} - 448 x^{2} + 280 x + 15 x^{2} (- 6 x + 6) + 8 x^{2} (- 6 x + 6) - 22 x (- 6 x + 6) - 8 x (- 6 x + 6) + 30 x - 30$	=
$168 x^{3} - 448 x^{2} + 280 x + (- 90 x^{3} + 90 x^{2}) + (- 48 x^{3} + 48 x^{2}) + (132 x^{2} - 132 x) + (48 x^{2} - 48 x) + 30 x - 30$	=
$30 x^{3} - 130 x^{2} + 130 x - 30$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $30 x^{3} - 130 x^{2} + 130 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $30 \cdot 1^{3} - 130 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $30 x^{3}$	$- 130 x^{2}$	$+ 130 x$	$- 30$ )	:	(x $- 1$ )	=	$30 x^{2} - 100 x + 30$
-( $30 x^{3}$	$- 30 x^{2}$ )
	$- 100 x^{2}$	$+ 130 x$
	-( $- 100 x^{2}$	$+ 100 x$ )
		$30 x$	$- 30$
		-( $30 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$30 x^{3} - 130 x^{2} + 130 x - 30$ = $(30 x^{2} - 100 x + 30) \cdot (x - 1)$

(30 x^{2} - 100 x + 30) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

30 x^{2} - 100 x + 30

= 0 |:10

$3 x^{2} - 10 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10+8}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{10-8}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $30 \cdot 3^{3} - 130 \cdot 3^{2} + 130 \cdot 3 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $30 x^{3}$	$- 130 x^{2}$	$+ 130 x$	$- 30$ )	:	(x $- 3$ )	=	$30 x^{2} - 40 x + 10$
-( $30 x^{3}$	$- 90 x^{2}$ )
	$- 40 x^{2}$	$+ 130 x$
	-( $- 40 x^{2}$	$+ 120 x$ )
		$10 x$	$- 30$
		-( $10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$30 x^{3} - 130 x^{2} + 130 x - 30$ = $(30 x^{2} - 40 x + 10) \cdot (x - 3)$

(30 x^{2} - 40 x + 10) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

30 x^{2} - 40 x + 10

= 0 |:10

$3 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{4+2}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{4-2}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 16 x^{3} + 59 x^{2} - 64 x - 252$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 16 x^{3} + 59 x^{2} - 64 x - 252$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 252$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 16 \cdot {(- 2)}^{3} + 59 \cdot {(- 2)}^{2} - 64 \cdot (- 2) - 252$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 16 x^{3}$	$+ 59 x^{2}$	$- 64 x$	$- 252$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$14 x^{3}$	$+ 59 x^{2}$
	-( $14 x^{3}$	$+ 28 x^{2}$ )
		$31 x^{2}$	$- 64 x$
		-( $31 x^{2}$	$+ 62 x$ )
			$- 126 x$	$- 252$
			-( $- 126 x$	$- 252$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 16 x^{3} + 59 x^{2} - 64 x - 252$ = $(x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 126$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 14 \cdot 2^{2} + 31 \cdot 2 - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 126$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 16 x + 63$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$16 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $16 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$63 x$	$- 126$
		-( $63 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = $(x^{2} + 16 x + 63) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 16 x + 63) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16+2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16-2}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 14 \cdot {(- 7)}^{2} + 31 \cdot (- 7) - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 126$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 49 x$ )
		$- 18 x$	$- 126$
		-( $- 18 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 14 \cdot {(- 9)}^{2} + 31 \cdot (- 9) - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 126$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 45 x$ )
		$- 14 x$	$- 126$
		-( $- 14 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 9$ ; $- 7$ ; $- 2$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x + 4 | - 8$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \| - 8$	=	$- 10$
$- 8 - \frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 10$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

$- 2 x + 4$	=	$6$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 1) + 4$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0:

$- (- 2 x + 4)$	=	$6$
$2 x - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 5 + 4$ = -6 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 3

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +4 ≥ 0:

2. Fall: -2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0: