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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} + 64 x$ und $g(x) =$ $16 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} + 64 x$	=	$16 x^{4}$	\| $- 16 x^{4}$
$x^{7} - 16 x^{4} + 64 x$	=	0
$x (x^{6} - 16 x^{3} + 64)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 16 x^{3} + 64

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{16}{2}$ = $8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $16 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $16 \cdot 2^{4}$ = 256 Somit gilt: S₂( $2$ |256)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 8 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 7 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 7 x + 2$ gilt m = $- 7$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 8 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 8 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 8 e^{x}

=

- 7

|

+ 7

e^{2 x} - 8 e^{x} + 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 7$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 7 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} + x^{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{8} + x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 5-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 3} + \frac{8 x}{2 x + 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 3$ }

\frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{x + 3} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{x + 3} - 3$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{8 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{4 x}{x + 3} \cdot (2 x + 2) - 3 \cdot (2 x + 2)$	=
$8 x + \frac{4 x (2 x + 2)}{x + 3} - 6 x - 6$	=
$8 x + \frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 3} - 6 x - 6$	=
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 3} + 8 x - 6 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 3} + 8 x - 6 x - 6$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 8 x \cdot (x + 3) - 6 x \cdot (x + 3) - 6 \cdot (x + 3)$	=
$8 x^{2} + 8 x + 8 x (x + 3) - 6 x (x + 3) - 6 x - 18$	=
$8 x^{2} + 8 x + (8 x^{2} + 24 x) + (- 6 x^{2} - 18 x) - 6 x - 18$	=
$10 x^{2} + 8 x - 18$	=

10 x^{2} + 8 x - 18

= 0 |:2

$5 x^{2} + 4 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{10}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{- 4+14}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{- 4-14}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,8$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 96$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 96$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $96$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 12 \cdot {(- 2)}^{2} + 20 \cdot (- 2) + 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 96$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 14 x + 48$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 14 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 14 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$48 x$	$+ 96$
		-( $48 x$	$+ 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 96$ = $(x^{2} - 14 x + 48) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 14 x + 48) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14+2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14-2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 12 \cdot 6^{2} + 20 \cdot 6 + 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 96$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$- 16 x$	$+ 96$
		-( $- 16 x$	$+ 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 96$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 6 x - 16) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 12 \cdot 8^{2} + 20 \cdot 8 + 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 96$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$- 12 x$	$+ 96$
		-( $- 12 x$	$+ 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 96$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 2$ ; $6$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x + 8 | + 6$ = $10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x + 8 \| + 6$	=	$10$
$6 + \frac{1}{3} \| - 4 x + 8 \|$	=	$10$	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| - 4 x + 8 \|$	=	$4$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x + 8 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

$- 4 x + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 1) + 8$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0:

$- (- 4 x + 8)$	=	$12$
$4 x - 8$	=	$12$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 5 + 8$ = -12 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +8 ≥ 0:

2. Fall: -4x +8 < 0:

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0: