Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 8 x$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 8 x$	=	0
$x (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 2$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3 + 9 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 3 + 9 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $9 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$9 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$9 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$9 e^{- \frac{1}{3} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$3 (- x + 3) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 3 x} - 7) \cdot (x^{2} + 6 x)$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 3 x} - 7) (x^{2} + 6 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 3 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$7 e^{- 3 x}$	=	$7$	\|: $7$
$e^{- 3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	0	\|: $- 3$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x - 4} + \frac{2 x}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{x - 1}{2 x - 4} + \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{- 2 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{x - 1}{2 x - 4} + \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 x}{- 2 x + 4}$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{x - 1}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{x + 1}{x - 1} \cdot (2 x - 4) + \frac{2 x}{- 2 x + 4} \cdot (2 x - 4)$	=
$x - 1 + \frac{(x + 1) (2 x - 4)}{x - 1} + \frac{2 x (2 x - 4)}{- 2 x + 4}$	=
$x - 1 + \frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{x - 1} + \frac{4 x^{2} - 8 x}{- 2 x + 4}$	=
$\frac{4 x^{2} - 8 x}{- 2 x + 4} + \frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{x - 1} + x - 1$	=

\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{x - 1} + \frac{4 x^{2} - 8 x}{- 2 x + 4} + x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{x - 1} + \frac{4 x^{2} - 8 x}{- 2 x + 4} + x - 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{4 x^{2} - 8 x}{- 2 x + 4} \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - 2 x - 4 + \frac{(4 x^{2} - 8 x) (x - 1)}{- 2 x + 4} + x (x - 1) - x + 1$	=
$2 x^{2} - 2 x - 4 + \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x}{- 2 x + 4} + (x^{2} - x) - x + 1$	=
$\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x}{- 2 x + 4} + 2 x^{2} + x^{2} - 2 x - x - x - 4 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 2 x + 4$ weg!

$\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x}{- 2 x + 4} + 2 x^{2} + x^{2} - 2 x - x - x - 4 + 1$	=	\|⋅( $- 2 x + 4$ )
$\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x}{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x + 4) + 2 x^{2} \cdot (- 2 x + 4) + x^{2} \cdot (- 2 x + 4) - 2 x \cdot (- 2 x + 4) - x \cdot (- 2 x + 4) - x \cdot (- 2 x + 4) - 4 \cdot (- 2 x + 4) + 1 \cdot (- 2 x + 4)$	=
$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 2 x^{2} (- 2 x + 4) + x^{2} (- 2 x + 4) - 2 x (- 2 x + 4) - x (- 2 x + 4) - x (- 2 x + 4) + 8 x - 16 - 2 x + 4$	=
$4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + (- 4 x^{3} + 8 x^{2}) + (- 2 x^{3} + 4 x^{2}) + (4 x^{2} - 8 x) + (2 x^{2} - 4 x) + (2 x^{2} - 4 x) + 8 x - 16 - 2 x + 4$	=
$- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $- 2 \cdot {(- 1)}^{3} + 8 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $- 2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 2 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$- 2 x^{2} + 10 x - 12$
-( $- 2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- 2 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 12 x$	$- 12$
		-( $- 12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12$ = $(- 2 x^{2} + 10 x - 12) \cdot (x + 1)$

(- 2 x^{2} + 10 x - 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 2 x^{2} + 10 x - 12

= 0 |:2

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $- 2 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $- 2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 2 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$- 2 x^{2} + 4 x + 6$
-( $- 2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 2 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12$ = $(- 2 x^{2} + 4 x + 6) \cdot (x - 2)$

(- 2 x^{2} + 4 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 2 x^{2} + 4 x + 6

= 0 |:2

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $- 2 \cdot 3^{3} + 8 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $- 2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 2 x$	$- 12$ )	:	(x $- 3$ )	=	$- 2 x^{2} + 2 x + 4$
-( $- 2 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 2 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$4 x$	$- 12$
		-( $4 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12$ = $(- 2 x^{2} + 2 x + 4) \cdot (x - 3)$

(- 2 x^{2} + 2 x + 4) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 2 x^{2} + 2 x + 4

= 0 |:2

$- x^{2} + x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 54$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 16 \cdot 1^{2} + 69 \cdot 1 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 69 x$	$- 54$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 15 x + 54$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 15 x^{2}$	$+ 69 x$
	-( $- 15 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$54 x$	$- 54$
		-( $54 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = $(x^{2} - 15 x + 54) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 15 x + 54) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 15 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15+3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15-3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 16 \cdot 6^{2} + 69 \cdot 6 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 69 x$	$- 54$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 69 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 60 x$ )
		$9 x$	$- 54$
		-( $9 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 16 \cdot 9^{2} + 69 \cdot 9 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 69 x$	$- 54$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 69 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 63 x$ )
		$6 x$	$- 54$
		-( $6 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $1$ ; $6$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x - 10 | + 5$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x - 10 \| + 5$	=	$7$
$5 + \frac{1}{2} \| 2 x - 10 \|$	=	$7$	\| $- 5$
$\frac{1}{2} \| 2 x - 10 \|$	=	$2$	\|⋅ $2$
$\| 2 x - 10 \|$	=	$4$

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

$2 x - 10$	=	$4$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 7 - 10$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 10$ < 0:

$- (2 x - 10)$	=	$4$
$- 2 x + 10$	=	$4$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot 3 - 10$ = -4 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $3$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 3

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -10 ≥ 0:

2. Fall: 2x -10 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 10$ < 0: