Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x^{3}$ und $g(x) =$ $3 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 2 x^{3}$	=	$3 x^{2}$	\| $- 3 x^{2}$
$x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $3 \cdot {(- 3)}^{2}$ = 27 Somit gilt: S₁( $- 3$ |27)

x₂ = 0: f(0)= $3 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $3 \cdot 1^{2}$ = 3 Somit gilt: S₃( $1$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 1 + x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 1 + x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $- 2 + x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$- 2 + x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$(x^{2} + 2 x) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{5 x} - 15 e^{2 x}$ = $- e^{8 x}$

Lösung einblenden

$2 e^{5 x} - 15 e^{2 x}$	=	$- e^{8 x}$	\| $+ e^{8 x}$
$e^{8 x} + 2 e^{5 x} - 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{x + 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x + 2}{x + 2} - 3$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x + 2}{x + 2} \cdot (x + 2) - 3 \cdot (x + 2)$	=
$2 x + 2 - 3 x - 6$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3} - 48 x^{2} + 98 x - 49$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 2 x^{3} - 48 x^{2} + 98 x - 49$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 49$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 48 \cdot 1^{2} + 98 \cdot 1 - 49$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 48 x^{2}$	$+ 98 x$	$- 49$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - x^{2} - 49 x + 49$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 48 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$+ x^{2}$ )
		$- 49 x^{2}$	$+ 98 x$
		-( $- 49 x^{2}$	$+ 49 x$ )
			$49 x$	$- 49$
			-( $49 x$	$- 49$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 48 x^{2} + 98 x - 49$ = $(x^{3} - x^{2} - 49 x + 49) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - x^{2} - 49 x + 49) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 49 x + 49$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $49$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} - 49 \cdot 1 + 49$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 49 x$	$+ 49$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 49$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$- 49 x$
	-(0	0)
		$- 49 x$	$+ 49$
		-( $- 49 x$	$+ 49$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 49 x + 49$ = $(x^{2} + 0 - 49) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 - 49) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} - 49) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 49$	=	0	\| $+ 49$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} - {(- 7)}^{2} - 49 \cdot (- 7) + 49$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 49 x$	$+ 49$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 49 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 56 x$ )
		$7 x$	$+ 49$
		-( $7 x$	$+ 49$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 49 x + 49$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 8 x + 7) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 7^{2} - 49 \cdot 7 + 49$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 49 x$	$+ 49$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 49 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$- 7 x$	$+ 49$
		-( $- 7 x$	$+ 49$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 49 x + 49$ = $(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 6 x - 7) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{4} - 2 \cdot {(- 7)}^{3} - 48 \cdot {(- 7)}^{2} + 98 \cdot (- 7) - 49$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 48 x^{2}$	$+ 98 x$	$- 49$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{3} - 9 x^{2} + 15 x - 7$
-( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$ )
	$- 9 x^{3}$	$- 48 x^{2}$
	-( $- 9 x^{3}$	$- 63 x^{2}$ )
		$15 x^{2}$	$+ 98 x$
		-( $15 x^{2}$	$+ 105 x$ )
			$- 7 x$	$- 49$
			-( $- 7 x$	$- 49$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 48 x^{2} + 98 x - 49$ = $(x^{3} - 9 x^{2} + 15 x - 7) \cdot (x + 7)$

(x^{3} - 9 x^{2} + 15 x - 7) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} + 15 x - 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 7$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 15 x$	$- 7$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 15 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$7 x$	$- 7$
		-( $7 x$	$- 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 15 x - 7$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 8 x + 7) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 9 \cdot 7^{2} + 15 \cdot 7 - 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 15 x$	$- 7$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 15 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$x$	$- 7$
		-( $x$	$- 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 15 x - 7$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{4} - 2 \cdot 7^{3} - 48 \cdot 7^{2} + 98 \cdot 7 - 49$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 48 x^{2}$	$+ 98 x$	$- 49$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{3} + 5 x^{2} - 13 x + 7$
-( $x^{4}$	$- 7 x^{3}$ )
	$5 x^{3}$	$- 48 x^{2}$
	-( $5 x^{3}$	$- 35 x^{2}$ )
		$- 13 x^{2}$	$+ 98 x$
		-( $- 13 x^{2}$	$+ 91 x$ )
			$7 x$	$- 49$
			-( $7 x$	$- 49$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 48 x^{2} + 98 x - 49$ = $(x^{3} + 5 x^{2} - 13 x + 7) \cdot (x - 7)$

(x^{3} + 5 x^{2} - 13 x + 7) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - 13 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 13 \cdot 1 + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 13 x$	$+ 7$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 7 x$	$+ 7$
		-( $- 7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 13 x + 7$ = $(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 6 x - 7) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 5 \cdot {(- 7)}^{2} - 13 \cdot (- 7) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 13 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$x$	$+ 7$
		-( $x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 13 x + 7$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 7$ ; $1$ ; $7$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x - 4 | - 3$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x - 4 \| - 3$	=	$3$
$- 3 + \frac{1}{2} \| 2 x - 4 \|$	=	$3$	\| $+ 3$
$\frac{1}{2} \| 2 x - 4 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| 2 x - 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

$2 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 8 - 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 4$ < 0:

$- (2 x - 4)$	=	$12$
$- 2 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 4) - 4$ = -12 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -4 ≥ 0:

2. Fall: 2x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $7$

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1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 4$ < 0: