Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 2$ und $g(x) =$ $15 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 2

=

15 e^{- 2 x}

|

- 15 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 15 e^{- 2 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 15 e^{- 2 x} - 2$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 15$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $15 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = 3 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $20 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x + 1$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

20

|

- 20

e^{2 x} - e^{x} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(5 e^{5 x} - 6) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(5 e^{5 x} - 6) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{5 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$5 e^{5 x}$	=	$6$	\|: $5$
$e^{5 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{6}{5})$	≈ 0.0365

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $\frac{1}{5} \ln (\frac{6}{5})$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{- 3 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{12 x}{- 3 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{12 x}{- 3 x - 1}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{3 x - 1}{2 x} \cdot (3 x + 1) + \frac{12 x}{- (3 x + 1)} \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x + \frac{(3 x - 1) (3 x + 1)}{2 x} - 12 x$	=
$8 x + \frac{9 x^{2} - 1}{2 x} - 12 x$	=
$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} + 8 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} + 8 x - 12 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{9 x^{2} - 1}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 12 x \cdot 2 x$	=
$9 x^{2} - 1 + 16 x \cdot x - 24 x \cdot x$	=
$9 x^{2} - 1 + 16 x^{2} - 24 x^{2}$	=
$x^{2} - 1$	=

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x + 1 | + 4$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x + 1 \| + 4$	=	$- 2$
$4 - \frac{1}{3} \| - x + 1 \|$	=	$- 2$	\| $- 4$
$- \frac{1}{3} \| - x + 1 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x + 1 \|$	=	$18$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

$- x + 1$	=	$18$	\| $- 1$
$- x$	=	$17$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 17) + 1$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 1$ < 0:

$- (- x + 1)$	=	$18$
$x - 1$	=	$18$	\| $+ 1$
x₂	=	$19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ < 0) genügt:

$- 19 + 1$ = -18 < 0

Die Lösung $19$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $19$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +1 ≥ 0:

2. Fall: -x +1 < 0:

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 1$ < 0: