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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - e^{4 x}$ und $g(x) =$ $20 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - e^{4 x}$	=	$20 e^{x}$	\| $- 20 e^{x}$
$e^{7 x} - e^{4 x} - 20 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 20) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $20 e^{\frac{1}{3} \ln (5)}$ = 34.2 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |34.2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 13 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 42 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 42 x - 7$ gilt m = $- 42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 13 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 13 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 13 e^{x}

=

- 42

|

+ 42

e^{2 x} - 13 e^{x} + 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

L={ $\ln (6)$ ; $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 42 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 5 e^{4 x} + 4 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 5 e^{4 x} + 4 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{3 x}{3 x + 9} - 5$ = 0

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D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{x + 2}{3 x + 10} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 9$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{x + 2}{3 x + 10} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 9$ )
$\frac{3 x}{3 x + 9} \cdot (3 x + 9) + \frac{x + 2}{3 x + 10} \cdot (3 x + 9) - 5 \cdot (3 x + 9)$	=
$3 x + \frac{(x + 2) (3 x + 9)}{3 x + 10} - 15 x - 45$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} + 15 x + 18}{3 x + 10} - 15 x - 45$	=
$\frac{3 x^{2} + 15 x + 18}{3 x + 10} + 3 x - 15 x - 45$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 15 x + 18}{3 x + 10} + 3 x - 15 x - 45$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{3 x^{2} + 15 x + 18}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + 3 x \cdot (3 x + 10) - 15 x \cdot (3 x + 10) - 45 \cdot (3 x + 10)$	=
$3 x^{2} + 15 x + 18 + 3 x (3 x + 10) - 15 x (3 x + 10) - 135 x - 450$	=
$3 x^{2} + 15 x + 18 + (9 x^{2} + 30 x) + (- 45 x^{2} - 150 x) - 135 x - 450$	=
$- 33 x^{2} - 240 x - 432$	=

- 33 x^{2} - 240 x - 432

= 0 |:3

$- 11 x^{2} - 80 x - 144$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{{(- 80)}^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{6 400 - 6 336}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{64}}{- 22}$

x₁ = $\frac{80 + \sqrt{64}}{- 22}$ = $\frac{80+8}{- 22}$ = $\frac{88}{- 22}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{80 - \sqrt{64}}{- 22}$ = $\frac{80-8}{- 22}$ = $\frac{72}{- 22}$ = $- \frac{36}{11}$ ≈ -3.27

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{36}{11}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 7 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 14$
		-( $7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x - 4 | + 4$ = $- 6$

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$\| 2 x - 4 \| + 4$	=	$- 6$
$4 + \| 2 x - 4 \|$	=	$- 6$	\| $- 4$
$\| 2 x - 4 \|$	=	$- 10$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen