Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{6}{x}$ und $g(x) =$ $- \frac{8}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{6}{x}$	=	$- \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{6}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 6 x$	=	$- 8$

x^{2} - 6 x

=

- 8

|

+ 8

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{8}{2^{2}}$ = -2 Somit gilt: S₁( $2$ |-2)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $- \frac{8}{4^{2}}$ = -0.5 Somit gilt: S₂( $4$ |-0.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 4$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $4 e^{\frac{1}{2} x} - 1 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{\frac{1}{2} x} - 1 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$4 e^{\frac{1}{2} x} - 1 + 1 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 e^{\frac{1}{2} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (x + 2) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4}$ = $49 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{4}$	=	$49 x^{2}$	\| $- 49 x^{2}$
$x^{4} - 49 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 49)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 49$	=	0	\| $+ 49$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₃	=	$\sqrt{49}$	= $7$

L={ $- 7$ ; 0; $7$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{12 x}{- 3 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{12 x}{- 3 x + 6} + \frac{2 x}{x - 2} - \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 6$ weg!

$\frac{12 x}{- 3 x + 6} + \frac{2 x}{x - 2} - \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $- 3 x + 6$ )
$\frac{12 x}{- 3 x + 6} \cdot (- 3 x + 6) + \frac{2 x}{x - 2} \cdot (- 3 x + 6) - \frac{2}{x} \cdot (- 3 x + 6)$	=
$12 x + \frac{2 x (- 3 x + 6)}{x - 2} - 2 \frac{- 3 x + 6}{x}$	=
$12 x + \frac{- 6 x^{2} + 12 x}{x - 2} - 2 \frac{- 3 x + 6}{x}$	=
$- \frac{2 (- 3 x + 6)}{x} + \frac{- 6 x^{2} + 12 x}{x - 2} + 12 x$	=

- \frac{2 (- 3 x + 6)}{x} + \frac{- 6 x^{2} + 12 x}{x - 2} + 12 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2 (- 3 x + 6)}{x} + \frac{- 6 x^{2} + 12 x}{x - 2} + 12 x$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2 (- 3 x + 6)}{x} \cdot x + \frac{- 6 x^{2} + 12 x}{x - 2} \cdot x + 12 x \cdot x$	=
$6 x - 12 + \frac{(- 6 x^{2} + 12 x) x}{x - 2} + 12 x \cdot x$	=
$6 x - 12 + \frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2}}{x - 2} + 12 x^{2}$	=
$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2}}{x - 2} + 12 x^{2} + 6 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2}}{x - 2} + 12 x^{2} + 6 x - 12$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2}}{x - 2} \cdot (x - 2) + 12 x^{2} \cdot (x - 2) + 6 x \cdot (x - 2) - 12 \cdot (x - 2)$	=
$- 6 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x^{2} (x - 2) + 6 x (x - 2) - 12 x + 24$	=
$- 6 x^{3} + 12 x^{2} + (12 x^{3} - 24 x^{2}) + (6 x^{2} - 12 x) - 12 x + 24$	=
$6 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 24$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $6 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $6 \cdot 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $6 x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$6 x^{2} + 0 - 24$
-( $6 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	0	$- 24 x$
	-(0	0)
		$- 24 x$	$+ 24$
		-( $- 24 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$6 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 24$ = $(6 x^{2} + 0 - 24) \cdot (x - 1)$

$(6 x^{2} + 0 - 24) \cdot (x - 1)$	=	0
$(6 x^{2} - 24) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 x^{2} - 24$	=	0	\| $+ 24$
$6 x^{2}$	=	$24$	\|: $6$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn $6 \cdot {(- 2)}^{3} - 6 \cdot {(- 2)}^{2} - 24 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $6 x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$6 x^{2} - 18 x + 12$
-( $6 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$- 18 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $- 18 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$12 x$	$+ 24$
		-( $12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$6 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 24$ = $(6 x^{2} - 18 x + 12) \cdot (x + 2)$

(6 x^{2} - 18 x + 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

6 x^{2} - 18 x + 12

= 0 |:6

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $6 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 2 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $6 x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$6 x^{2} + 6 x - 12$
-( $6 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 12 x$	$+ 24$
		-( $- 12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$6 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x + 24$ = $(6 x^{2} + 6 x - 12) \cdot (x - 2)$

(6 x^{2} + 6 x - 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

6 x^{2} + 6 x - 12

= 0 |:6

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x - 12 | - 6$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x - 12 \| - 6$	=	$6$
$- 6 + \frac{1}{2} \| 4 x - 12 \|$	=	$6$	\| $+ 6$
$\frac{1}{2} \| 4 x - 12 \|$	=	$12$	\|⋅ $2$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

$4 x - 12$	=	$24$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 9 - 12$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 12$ < 0:

$- (4 x - 12)$	=	$24$
$- 4 x + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 3) - 12$ = -24 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 2

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

2. Fall: 4x -12 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 12$ < 0: