Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 18 e^{x}$ und $g(x) =$ $3 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 18 e^{x}$	=	$3 e^{2 x}$	\| $- 3 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 3 e^{2 x} - 18 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} - 18) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $3 e^{2 \cdot (\ln (6))}$ = 108 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |108)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 16 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 16 x + 2$ gilt m = $- 16$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 8 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 8 x^{2}

=

- 16

|

+ 16

x^{4} - 8 x^{2} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 16$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 16 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{6 x} - 4) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{6 x} - 4) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{6 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 e^{6 x}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{6 x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 0.0479

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $\frac{1}{6} \ln (\frac{4}{3})$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{x}{3 x - 10} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $2$ }

\frac{x}{3 x - 10} + \frac{x}{2 x - 4} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x}{3 x - 10} + \frac{x}{2 x - 4} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{x}{2 x - 4} \cdot (3 x - 10) - 3 \cdot (3 x - 10)$	=
$x + \frac{x (3 x - 10)}{2 x - 4} - 9 x + 30$	=
$x + \frac{3 x^{2} - 10 x}{2 x - 4} - 9 x + 30$	=
$\frac{3 x^{2} - 10 x}{2 x - 4} + x - 9 x + 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{2 x - 4} + x - 9 x + 30$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{3 x^{2} - 10 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + x \cdot (2 x - 4) - 9 x \cdot (2 x - 4) + 30 \cdot (2 x - 4)$	=
$3 x^{2} - 10 x + x (2 x - 4) - 9 x (2 x - 4) + 60 x - 120$	=
$3 x^{2} - 10 x + (2 x^{2} - 4 x) + (- 18 x^{2} + 36 x) + 60 x - 120$	=
$- 13 x^{2} + 82 x - 120$	=

$- 13 x^{2} + 82 x - 120$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 82 \pm \sqrt{82^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 120)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{- 82 \pm \sqrt{6 724 - 6 240}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{- 82 \pm \sqrt{484}}{- 26}$

x₁ = $\frac{- 82 + \sqrt{484}}{- 26}$ = $\frac{- 82+22}{- 26}$ = $\frac{- 60}{- 26}$ = $\frac{30}{13}$ ≈ 2.31

x₂ = $\frac{- 82 - \sqrt{484}}{- 26}$ = $\frac{- 82-22}{- 26}$ = $\frac{- 104}{- 26}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{30}{13}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 36 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 36 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 36 \cdot (- 1) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 36$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- 36 x$
	-(0	0)
		$- 36 x$	$- 36$
		-( $- 36 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 36 x - 36$ = $(x^{2} + 0 - 36) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 36) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 36) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 36$	=	0	\| $+ 36$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{2} - 36 \cdot (- 6) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$- 6 x$	$- 36$
		-( $- 6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 36 x - 36$ = $(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 5 x - 6) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} + 6^{2} - 36 \cdot 6 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$6 x$	$- 36$
		-( $6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 36 x - 36$ = $(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 7 x + 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 6$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x - 15 | - 6$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x - 15 \| - 6$	=	$3$
$- 6 + \frac{1}{3} \| 3 x - 15 \|$	=	$3$	\| $+ 6$
$\frac{1}{3} \| 3 x - 15 \|$	=	$9$	\|⋅ $3$
$\| 3 x - 15 \|$	=	$27$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

$3 x - 15$	=	$27$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$42$	\|: $3$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 14 - 15$ = 27 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 15$ < 0:

$- (3 x - 15)$	=	$27$
$- 3 x + 15$	=	$27$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 4) - 15$ = -27 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -15 ≥ 0:

2. Fall: 3x -15 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 15$ < 0: