Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 6$ und $g(x) =$ $5 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} + 6

=

5 e^{3 x}

|

- 5 e^{3 x}

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $5 e^{3 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = 10 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |10)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $5 e^{3 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 15 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |15)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 6$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$(- x^{2} + 6 x) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{- 7 x} - 2) \cdot (x^{2} - 4)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{- 7 x} - 2) (x^{2} - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{- 7 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$3 e^{- 7 x}$	=	$2$	\|: $3$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 0.0579

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{2}{3})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{4 x}{- 4 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $\frac{10}{3}$ }

\frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{4 x}{- 4 x + 12}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 6$ weg!

$\frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{4 x}{- 4 x + 12}$	=	\|⋅( $2 x - 6$ )
$\frac{x - 2}{2 x - 6} \cdot (2 x - 6) + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} \cdot (2 x - 6) + \frac{4 x}{- 4 x + 12} \cdot (2 x - 6)$	=
$x - 2 + \frac{(2 x - 2) (2 x - 6)}{3 x - 10} + \frac{4 x (2 x - 6)}{- 4 x + 12}$	=
$x - 2 + \frac{4 x^{2} - 16 x + 12}{3 x - 10} + \frac{8 x^{2} - 24 x}{- 4 x + 12}$	=
$\frac{8 x^{2} - 24 x}{- 4 x + 12} + \frac{4 x^{2} - 16 x + 12}{3 x - 10} + x - 2$	=

\frac{4 x^{2} - 16 x + 12}{3 x - 10} + \frac{8 x^{2} - 24 x}{- 4 x + 12} + x - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 12}{3 x - 10} + \frac{8 x^{2} - 24 x}{- 4 x + 12} + x - 2$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{4 x^{2} - 16 x + 12}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{8 x^{2} - 24 x}{- 4 x + 12} \cdot (3 x - 10) + x \cdot (3 x - 10) - 2 \cdot (3 x - 10)$	=
$4 x^{2} - 16 x + 12 + \frac{(8 x^{2} - 24 x) (3 x - 10)}{- 4 x + 12} + x (3 x - 10) - 6 x + 20$	=
$4 x^{2} - 16 x + 12 + \frac{24 x^{3} - 152 x^{2} + 240 x}{- 4 x + 12} + (3 x^{2} - 10 x) - 6 x + 20$	=
$\frac{24 x^{3} - 152 x^{2} + 240 x}{- 4 x + 12} + 4 x^{2} + 3 x^{2} - 16 x - 10 x - 6 x + 12 + 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 4 x + 12$ weg!

$\frac{24 x^{3} - 152 x^{2} + 240 x}{- 4 x + 12} + 4 x^{2} + 3 x^{2} - 16 x - 10 x - 6 x + 12 + 20$	=	\|⋅( $- 4 x + 12$ )
$\frac{24 x^{3} - 152 x^{2} + 240 x}{- 4 x + 12} \cdot (- 4 x + 12) + 4 x^{2} \cdot (- 4 x + 12) + 3 x^{2} \cdot (- 4 x + 12) - 16 x \cdot (- 4 x + 12) - 10 x \cdot (- 4 x + 12) - 6 x \cdot (- 4 x + 12) + 12 \cdot (- 4 x + 12) + 20 \cdot (- 4 x + 12)$	=
$24 x^{3} - 152 x^{2} + 240 x + 4 x^{2} (- 4 x + 12) + 3 x^{2} (- 4 x + 12) - 16 x (- 4 x + 12) - 10 x (- 4 x + 12) - 6 x (- 4 x + 12) - 48 x + 144 - 80 x + 240$	=
$24 x^{3} - 152 x^{2} + 240 x + (- 16 x^{3} + 48 x^{2}) + (- 12 x^{3} + 36 x^{2}) + (64 x^{2} - 192 x) + (40 x^{2} - 120 x) + (24 x^{2} - 72 x) - 48 x + 144 - 80 x + 240$	=
$- 4 x^{3} + 60 x^{2} - 272 x + 384$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 4 x^{3} + 60 x^{2} - 272 x + 384$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $384$ .

$3$ ist eine Lösung, denn $- 4 \cdot 3^{3} + 60 \cdot 3^{2} - 272 \cdot 3 + 384$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $- 4 x^{3}$	$+ 60 x^{2}$	$- 272 x$	$+ 384$ )	:	(x $- 3$ )	=	$- 4 x^{2} + 48 x - 128$
-( $- 4 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$48 x^{2}$	$- 272 x$
	-( $48 x^{2}$	$- 144 x$ )
		$- 128 x$	$+ 384$
		-( $- 128 x$	$+ 384$ )
			0

es gilt also:

$- 4 x^{3} + 60 x^{2} - 272 x + 384$ = $(- 4 x^{2} + 48 x - 128) \cdot (x - 3)$

(- 4 x^{2} + 48 x - 128) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 4 x^{2} + 48 x - 128

= 0 |:4

$- x^{2} + 12 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 12+4}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 12-4}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $- 4 \cdot 4^{3} + 60 \cdot 4^{2} - 272 \cdot 4 + 384$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $- 4 x^{3}$	$+ 60 x^{2}$	$- 272 x$	$+ 384$ )	:	(x $- 4$ )	=	$- 4 x^{2} + 44 x - 96$
-( $- 4 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$ )
	$44 x^{2}$	$- 272 x$
	-( $44 x^{2}$	$- 176 x$ )
		$- 96 x$	$+ 384$
		-( $- 96 x$	$+ 384$ )
			0

es gilt also:

$- 4 x^{3} + 60 x^{2} - 272 x + 384$ = $(- 4 x^{2} + 44 x - 96) \cdot (x - 4)$

(- 4 x^{2} + 44 x - 96) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 4 x^{2} + 44 x - 96

= 0 |:4

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11+5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11-5}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $- 4 \cdot 8^{3} + 60 \cdot 8^{2} - 272 \cdot 8 + 384$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $- 4 x^{3}$	$+ 60 x^{2}$	$- 272 x$	$+ 384$ )	:	(x $- 8$ )	=	$- 4 x^{2} + 28 x - 48$
-( $- 4 x^{3}$	$+ 32 x^{2}$ )
	$28 x^{2}$	$- 272 x$
	-( $28 x^{2}$	$- 224 x$ )
		$- 48 x$	$+ 384$
		-( $- 48 x$	$+ 384$ )
			0

es gilt also:

$- 4 x^{3} + 60 x^{2} - 272 x + 384$ = $(- 4 x^{2} + 28 x - 48) \cdot (x - 8)$

(- 4 x^{2} + 28 x - 48) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 4 x^{2} + 28 x - 48

= 0 |:4

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $8$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 4 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 10 \cdot 1 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 10 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$5 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $5 x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
		$2 x^{2}$	$- 10 x$
		-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
			$- 8 x$	$+ 8$
			-( $- 8 x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 8$ = $(x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 4 x$	$- 8$
		-( $- 4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 5 \cdot {(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 2 x$	$- 8$
		-( $- 2 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + x - 2) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 4 \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 10 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 10 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 7 x^{2}$	$- 10 x$
		-( $- 7 x^{2}$	$- 14 x$ )
			$4 x$	$+ 8$
			-( $4 x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 8$ = $(x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 4 x$	$+ 4$
		-( $- 4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 7 \cdot (- 4) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$x$	$+ 4$
		-( $x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{4} + 4 \cdot {(- 4)}^{3} - 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 10 \cdot (- 4) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 10 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{3} + 0 - 3 x + 2$
-( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$ )
	0	$- 3 x^{2}$
	-(0	0)
		$- 3 x^{2}$	$- 10 x$
		-( $- 3 x^{2}$	$- 12 x$ )
			$2 x$	$+ 8$
			-( $2 x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 8$ = $(x^{3} + 0 - 3 x + 2) \cdot (x + 4)$

$(x^{3} + 0 - 3 x + 2) \cdot (x + 4)$	=	0
$(x^{3} - 3 x + 2) (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$+ 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 3 x$
	-( $x^{2}$	$- x$ )
		$- 2 x$	$+ 2$
		-( $- 2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x + 2$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + x - 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 3 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x + 2$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x - 10 | - 3$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x - 10 \| - 3$	=	$- 9$
$- 3 - \frac{1}{3} \| 2 x - 10 \|$	=	$- 9$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{3} \| 2 x - 10 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x - 10 \|$	=	$18$

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

$2 x - 10$	=	$18$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$28$	\|: $2$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 14 - 10$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 10$ < 0:

$- (2 x - 10)$	=	$18$
$- 2 x + 10$	=	$18$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 4) - 10$ = -18 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -10 ≥ 0:

2. Fall: 2x -10 < 0:

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 10$ < 0: