Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 5 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $14 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 5 e^{3 x}$	=	$14 e^{2 x}$	\| $- 14 e^{2 x}$
$e^{4 x} + 5 e^{3 x} - 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 5 e^{x} - 14) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 5 e^{x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $14 e^{2 \cdot (\ln (2))}$ = 56 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |56)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $30 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x - 3$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - x$

Also muss gelten:

x^{2} - x

=

30

|

- 30

$x^{2} - x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{x} - 2) \cdot (x^{2} + 3 x)$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{x} - 2) (x^{2} + 3 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 e^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x$	=	0
$x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{- 11 x - 1}{2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{5 x - 1 - 11 x - 1}{2 x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{5 x - 1 - 11 x - 1}{2 x + 2} + \frac{4 x}{3 x + 6}$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{5 x - 1 - 11 x - 1}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{4 x}{3 x + 6} \cdot (2 x + 2)$	=
$5 x - 1 - 11 x - 1 + \frac{4 x (2 x + 2)}{3 x + 6}$	=
$5 x - 1 - 11 x - 1 + \frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x + 6}$	=
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x + 6} + 5 x - 11 x - 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x + 6} + 5 x - 11 x - 1 - 1$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + 5 x \cdot (3 x + 6) - 11 x \cdot (3 x + 6) - 1 \cdot (3 x + 6) - 1 \cdot (3 x + 6)$	=
$8 x^{2} + 8 x + 5 x (3 x + 6) - 11 x (3 x + 6) - 3 x - 6 - 3 x - 6$	=
$8 x^{2} + 8 x + (15 x^{2} + 30 x) + (- 33 x^{2} - 66 x) - 3 x - 6 - 3 x - 6$	=
$- 10 x^{2} - 34 x - 12$	=

- 10 x^{2} - 34 x - 12

= 0 |:2

$- 5 x^{2} - 17 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{- 10}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{- 10}$ = $\frac{17+13}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{- 10}$ = $\frac{17-13}{- 10}$ = $\frac{4}{- 10}$ = $- 0,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x + 8 | + 6$ = $- 18$

Lösung einblenden

$- \| 4 x + 8 \| + 6$	=	$- 18$
$6 - \| 4 x + 8 \|$	=	$- 18$	\| $- 6$
$- \| 4 x + 8 \|$	=	$- 24$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x + 8 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

$4 x + 8$	=	$24$	\| $- 8$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 4 + 8$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 8$ < 0:

$- (4 x + 8)$	=	$24$
$- 4 x - 8$	=	$24$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 8) + 8$ = -24 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +8 ≥ 0:

2. Fall: 4x +8 < 0:

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 8$ < 0: