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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - e^{3 x}$ und $g(x) =$ $2 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - e^{3 x}$	=	$2 e^{x}$	\| $- 2 e^{x}$
$e^{5 x} - e^{3 x} - 2 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - e^{2 x} - 2) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - e^{2 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $2 e^{\frac{1}{2} \ln (2)}$ = 2.828 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |2.828)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 4 + x^{2} \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 4 + x^{2} \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $- 1 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$2 (x^{2} + x) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 6 e^{x} + 5) \cdot (x^{2} - 4)$ = 0

Lösung einblenden

(- 6 e^{x} + 5) (x^{2} - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 6 e^{x}$	=	$- 5$	\|: $- 6$
$e^{x}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{5}{6})$	≈ -0.1823

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $\ln (\frac{5}{6})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{13 x - 1}{- 6 x - 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

\frac{13 x - 1}{- 6 x - 10} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{4 x}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x - 10$ weg!

$\frac{13 x - 1}{- 6 x - 10} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{4 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $- 6 x - 10$ )
$\frac{13 x - 1}{- 6 x - 10} \cdot (- 6 x - 10) + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} \cdot (- 2 (3 x + 5)) + \frac{4 x}{x - 1} \cdot (- 6 x - 10)$	=
$13 x - 1 - 6 x - 2 + \frac{4 x (- 6 x - 10)}{x - 1}$	=
$13 x - 1 - 6 x - 2 + \frac{- 24 x^{2} - 40 x}{x - 1}$	=
$\frac{- 24 x^{2} - 40 x}{x - 1} + 13 x - 6 x - 1 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 24 x^{2} - 40 x}{x - 1} + 13 x - 6 x - 1 - 2$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 24 x^{2} - 40 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 13 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1)$	=
$- 24 x^{2} - 40 x + 13 x (x - 1) - 6 x (x - 1) - x + 1 - 2 x + 2$	=
$- 24 x^{2} - 40 x + (13 x^{2} - 13 x) + (- 6 x^{2} + 6 x) - x + 1 - 2 x + 2$	=
$- 17 x^{2} - 50 x + 3$	=

$- 17 x^{2} - 50 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (- 17) \cdot 3}}{2 \cdot (- 17)}$

x_1,2 = $\frac{+ 50 \pm \sqrt{2 500 + 204}}{- 34}$

x_1,2 = $\frac{+ 50 \pm \sqrt{2 704}}{- 34}$

x₁ = $\frac{50 + \sqrt{2 704}}{- 34}$ = $\frac{50+52}{- 34}$ = $\frac{102}{- 34}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{50 - \sqrt{2 704}}{- 34}$ = $\frac{50-52}{- 34}$ = $\frac{- 2}{- 34}$ = $\frac{1}{17}$ ≈ 0.06

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{17}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$		$+ 20 x$	$- 16$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$		0
	-( $- 4 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 20 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
			$16 x$	$- 16$
			-( $16 x$	$- 16$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$8 x$	$+ 16$
		-( $8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 8 x$	$+ 16$
		-( $- 8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 4 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 16$
		-( $- 4 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 4)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 4)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x - 1 | - 5$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x - 1 \| - 5$	=	$- 1$
$- 5 - \frac{1}{2} \| - x - 1 \|$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| - x - 1 \|$	=	$4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x - 1 \|$	=	$- 8$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $4$