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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 10$ und $g(x) =$ $- \frac{9}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} - 10$	=	$- \frac{9}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} - 10 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} - 10 x^{2}$	=	$- 9$
$x^{4} - 10 x^{2}$	=	$- 9$

x^{4} - 10 x^{2}

=

- 9

|

+ 9

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- \frac{9}{{(- 3)}^{2}}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-1)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- \frac{9}{{(- 1)}^{2}}$ = -9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-9)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{9}{1^{2}}$ = -9 Somit gilt: S₃( $1$ |-9)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $- \frac{9}{3^{2}}$ = -1 Somit gilt: S₄( $3$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{4}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $5 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5 x + 7$ gilt m = $5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{4}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 4 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 4 e^{3 x}

=

5

|

- 5

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $5 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 6 e^{6 x} + 4) \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 6 e^{6 x} + 4) (x^{4} + 4 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{6 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 6 e^{6 x}$	=	$- 4$	\|: $- 6$
$e^{6 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$	≈ -0.0676

2. Fall:

$x^{4} + 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{16 x}{x - 3} + \frac{48 x}{- 2 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $1$ }

\frac{16 x}{x - 3} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{48 x}{- 2 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{48 x}{- 2 x + 6}$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 3) + \frac{48 x}{- 2 x + 6} \cdot (x - 3)$	=
$16 x + \frac{4 x (x - 3)}{x - 1} + \frac{48 x (x - 3)}{- 2 x + 6}$	=
$16 x + \frac{4 x^{2} - 12 x}{x - 1} + \frac{48 x^{2} - 144 x}{- 2 x + 6}$	=
$\frac{48 x^{2} - 144 x}{- 2 x + 6} + \frac{4 x^{2} - 12 x}{x - 1} + 16 x$	=

\frac{4 x^{2} - 12 x}{x - 1} + \frac{48 x^{2} - 144 x}{- 2 x + 6} + 16 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 12 x}{x - 1} + \frac{48 x^{2} - 144 x}{- 2 x + 6} + 16 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 12 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{48 x^{2} - 144 x}{- 2 x + 6} \cdot (x - 1) + 16 x \cdot (x - 1)$	=
$4 x^{2} - 12 x + \frac{(48 x^{2} - 144 x) (x - 1)}{- 2 x + 6} + 16 x (x - 1)$	=
$4 x^{2} - 12 x + \frac{48 x^{3} - 192 x^{2} + 144 x}{- 2 x + 6} + (16 x^{2} - 16 x)$	=
$\frac{48 x^{3} - 192 x^{2} + 144 x}{- 2 x + 6} + 4 x^{2} + 16 x^{2} - 12 x - 16 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 2 x + 6$ weg!

$\frac{48 x^{3} - 192 x^{2} + 144 x}{- 2 x + 6} + 4 x^{2} + 16 x^{2} - 12 x - 16 x$	=	\|⋅( $- 2 x + 6$ )
$\frac{48 x^{3} - 192 x^{2} + 144 x}{- 2 x + 6} \cdot (- 2 x + 6) + 4 x^{2} \cdot (- 2 x + 6) + 16 x^{2} \cdot (- 2 x + 6) - 12 x \cdot (- 2 x + 6) - 16 x \cdot (- 2 x + 6)$	=
$48 x^{3} - 192 x^{2} + 144 x + 4 x^{2} (- 2 x + 6) + 16 x^{2} (- 2 x + 6) - 12 x (- 2 x + 6) - 16 x (- 2 x + 6)$	=
$48 x^{3} - 192 x^{2} + 144 x + (- 8 x^{3} + 24 x^{2}) + (- 32 x^{3} + 96 x^{2}) + (24 x^{2} - 72 x) + (32 x^{2} - 96 x)$	=
$8 x^{3} - 16 x^{2} - 24 x$	=

$8 x^{3} - 16 x^{2} - 24 x$	=	0
$8 x (x^{2} - 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 6 | - 7$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \| - 7$	=	$- 1$
$- 7 - \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$- 1$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 6 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

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Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen