Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - \frac{1}{x}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} - \frac{1}{x}$	=	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$	=
$x^{5} \cdot x - 1$	=
$x^{6} - 1$	=

$x^{6} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 1$ |0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 5 + 4 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 4$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 5 + 4 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $4 e^{3 x} - 2 + 12 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{3 x} - 2 + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$4 e^{3 x} - 2 + 2 + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$4 e^{3 x} + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$4 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 6 e^{3 x}$ = $- 8 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 6 e^{3 x}$	=	$- 8 e^{2 x}$	\| $+ 8 e^{2 x}$
$e^{4 x} - 6 e^{3 x} + 8 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 6 e^{x} + 8) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 6 e^{x} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{x + 2} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{5 x - 1}{x + 1} - 6$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{5 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 2) - 6 \cdot (x + 2)$	=
$6 x + \frac{(5 x - 1) (x + 2)}{x + 1} - 6 x - 12$	=
$6 x + \frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{x + 1} - 6 x - 12$	=
$\frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{x + 1} + 6 x - 6 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{x + 1} + 6 x - 6 x - 12$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x^{2} + 9 x - 2}{x + 1} \cdot (x + 1) + 6 x \cdot (x + 1) - 6 x \cdot (x + 1) - 12 \cdot (x + 1)$	=
$5 x^{2} + 9 x - 2 + 6 x (x + 1) - 6 x (x + 1) - 12 x - 12$	=
$5 x^{2} + 9 x - 2 + (6 x^{2} + 6 x) + (- 6 x^{2} - 6 x) - 12 x - 12$	=
$5 x^{2} - 3 x - 14$	=

$5 x^{2} - 3 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{10}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{10}$ = $\frac{3+17}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{10}$ = $\frac{3-17}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,4$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x - 16 | + 3$ = $23$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x - 16 \| + 3$	=	$23$
$3 + \frac{1}{3} \| - 4 x - 16 \|$	=	$23$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| - 4 x - 16 \|$	=	$20$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x - 16 \|$	=	$60$

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

$- 4 x - 16$	=	$60$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$76$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 19) - 16$ = 60 ≥ 0

Die Lösung $- 19$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0:

$- (- 4 x - 16)$	=	$60$
$4 x + 16$	=	$60$	\| $- 16$
$4 x$	=	$44$	\|: $4$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 11 - 16$ = -60 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 19$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -16 ≥ 0:

2. Fall: -4x -16 < 0:

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0: