Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 4$ und $g(x) =$ $5 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 4

=

5 x^{2}

|

- 5 x^{2}

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $5 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 20 Somit gilt: S₁( $- 2$ |20)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $5 \cdot {(- 1)}^{2}$ = 5 Somit gilt: S₂( $- 1$ |5)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $5 \cdot 1^{2}$ = 5 Somit gilt: S₃( $1$ |5)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $5 \cdot 2^{2}$ = 20 Somit gilt: S₄( $2$ |20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 6 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6 x - 2$ gilt m = $- 6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 7 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 7 x

=

- 6

|

+ 6

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{16 x}{x + 3} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- 2$ }

\frac{16 x}{x + 3} + \frac{6 x}{x + 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{6 x}{x + 2} - 6$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{16 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 3) - 6 \cdot (x + 3)$	=
$16 x + \frac{6 x (x + 3)}{x + 2} - 6 x - 18$	=
$16 x + \frac{6 x^{2} + 18 x}{x + 2} - 6 x - 18$	=
$\frac{6 x^{2} + 18 x}{x + 2} + 16 x - 6 x - 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 18 x}{x + 2} + 16 x - 6 x - 18$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x^{2} + 18 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 16 x \cdot (x + 2) - 6 x \cdot (x + 2) - 18 \cdot (x + 2)$	=
$6 x^{2} + 18 x + 16 x (x + 2) - 6 x (x + 2) - 18 x - 36$	=
$6 x^{2} + 18 x + (16 x^{2} + 32 x) + (- 6 x^{2} - 12 x) - 18 x - 36$	=
$16 x^{2} + 20 x - 36$	=

16 x^{2} + 20 x - 36

= 0 |:4

$4 x^{2} + 5 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 5+13}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 5-13}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,25$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 33 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$18 x$	$+ 18$
		-( $18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} + 33 \cdot (- 6) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$3 x$	$+ 18$
		-( $3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x + 8 | - 6$ = $- 18$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \| - 6$	=	$- 18$
$- 6 - \frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 18$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

$- 2 x + 8$	=	$36$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$28$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 14) + 8$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0:

$- (- 2 x + 8)$	=	$36$
$2 x - 8$	=	$36$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$44$	\|: $2$
x₂	=	$22$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 22 + 8$ = -36 < 0

Die Lösung $22$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $22$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +8 ≥ 0:

2. Fall: -2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0: