Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - \frac{8}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $7 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} - \frac{8}{x^{2}}$	=	$7 x$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} - \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$7 x \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} - 8$	=	$7 x \cdot x^{2}$
$x^{6} - 8$	=	$7 x \cdot x^{2}$
$x^{6} - 8$	=	$7 x^{3}$

x^{6} - 8

=

7 x^{3}

|

- 7 x^{3}

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $7 \cdot (- 1)$ = -7 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-7)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $7 \cdot 2$ = 14 Somit gilt: S₂( $2$ |14)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 3 + 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$(- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{7 x} + 7) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{7 x} + 7) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{7 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 4 e^{7 x}$	=	$- 7$	\|: $- 4$
$e^{7 x}$	=	$\frac{7}{4}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{7}{4})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{7}{4})$	≈ 0.0799

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $\frac{1}{7} \ln (\frac{7}{4})$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x + 5} + \frac{2 x}{x + 1} + \frac{11 x + 1}{- 6 x - 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{11 x + 1}{- 6 x - 10} + \frac{x - 1}{3 x + 5} + \frac{2 x}{x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x - 10$ weg!

$\frac{11 x + 1}{- 6 x - 10} + \frac{x - 1}{3 x + 5} + \frac{2 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $- 6 x - 10$ )
$\frac{11 x + 1}{- 6 x - 10} \cdot (- 6 x - 10) + \frac{x - 1}{3 x + 5} \cdot (- 2 (3 x + 5)) + \frac{2 x}{x + 1} \cdot (- 6 x - 10)$	=
$11 x + 1 - 2 x + 2 + \frac{2 x (- 6 x - 10)}{x + 1}$	=
$11 x + 1 - 2 x + 2 + \frac{- 12 x^{2} - 20 x}{x + 1}$	=
$\frac{- 12 x^{2} - 20 x}{x + 1} + 11 x - 2 x + 1 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 12 x^{2} - 20 x}{x + 1} + 11 x - 2 x + 1 + 2$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 12 x^{2} - 20 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 11 x \cdot (x + 1) - 2 x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1) + 2 \cdot (x + 1)$	=
$- 12 x^{2} - 20 x + 11 x (x + 1) - 2 x (x + 1) + x + 1 + 2 x + 2$	=
$- 12 x^{2} - 20 x + (11 x^{2} + 11 x) + (- 2 x^{2} - 2 x) + x + 1 + 2 x + 2$	=
$- 3 x^{2} - 8 x + 3$	=

$- 3 x^{2} - 8 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 3}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{- 6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{8+10}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{8-10}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 10 x^{2} + 19 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 10 x^{2} + 19 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 10 \cdot {(- 1)}^{2} + 19 \cdot (- 1) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 11 x + 30$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 11 x$ )
		$30 x$	$+ 30$
		-( $30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 19 x + 30$ = $(x^{2} - 11 x + 30) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 11 x + 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 10 \cdot 5^{2} + 19 \cdot 5 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 25 x$ )
		$- 6 x$	$+ 30$
		-( $- 6 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 19 x + 30$ = $(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 5 x - 6) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 10 \cdot 6^{2} + 19 \cdot 6 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$- 5 x$	$+ 30$
		-( $- 5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 19 x + 30$ = $(x^{2} - 4 x - 5) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 4 x - 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1$ ; $5$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x - 2 | - 5$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x - 2 \| - 5$	=	$- 15$
$- 5 - \frac{1}{2} \| 2 x - 2 \|$	=	$- 15$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| 2 x - 2 \|$	=	$- 10$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$20$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

$2 x - 2$	=	$20$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$22$	\|: $2$
x₁	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 11 - 2$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 2$ < 0:

$- (2 x - 2)$	=	$20$
$- 2 x + 2$	=	$20$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 9) - 2$ = -20 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -2 ≥ 0:

2. Fall: 2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 2$ < 0: