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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 14 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $- 49$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 14 e^{3 x}

=

- 49

|

+ 49

e^{6 x} - 14 e^{3 x} + 49

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 14 u + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{14}{2}$ = $7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

$\frac{1}{3} \ln (7)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $- 49$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |-49)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $64 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $64 x + 4$ gilt m = $64$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $64$ und sind somit parallel zur Geraden y = $64 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 2 x} + 3) \cdot (x^{3} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 2 x} + 3) (x^{3} - x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 2 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 8 e^{- 2 x}$	=	$- 3$	\|: $- 8$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{3}{8})$	≈ 0.4904

2. Fall:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

L={0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{3}{8})$ ; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{7 x - 1}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{3 x - 1 - 7 x + 1}{2 x} + \frac{4 x}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x - 1 - 7 x + 1}{2 x} + \frac{4 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x - 1 - 7 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{4 x}{x - 1} \cdot 2 x$	=
$3 x - 1 - 7 x + 1 + 2 \frac{4 x \cdot x}{x - 1}$	=
$3 x - 1 - 7 x + 1 + 2 \frac{4 x^{2}}{x - 1}$	=
$2 \frac{4 x^{2}}{x - 1} + 3 x - 7 x - 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$2 \frac{4 x^{2}}{x - 1} + 3 x - 7 x - 1 + 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$2 \frac{4 x^{2}}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 7 x \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)$	=
$8 x^{2} + 3 x (x - 1) - 7 x (x - 1) - x + 1 + x - 1$	=
$8 x^{2} + (3 x^{2} - 3 x) + (- 7 x^{2} + 7 x) - x + 1 + x - 1$	=
$4 x^{2} + 4 x$	=

$4 x^{2} + 4 x$	=	0
$4 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 5 x$
	-( $- x^{2}$	$+ x$ )
		$- 6 x$	$+ 6$
		-( $- 6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - x - 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 5 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 3 x$	$+ 6$
		-( $- 3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x - 9 | - 6$ = $3$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x - 9 \| - 6$	=	$3$
$- 6 - \| - 3 x - 9 \|$	=	$3$	\| $+ 6$
$- \| - 3 x - 9 \|$	=	$9$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x - 9 \|$	=	$- 9$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $2$