Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $- 8 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$- 8 x^{2}$	\| $+ 8 x^{2}$
$x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 8 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-32)

x₂ = 0: f(0)= $- 8 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 5$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 6 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} + 6 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 3 e^{4 x} - 28 e^{2 x}$ = 0

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$e^{6 x} - 3 e^{4 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} + \frac{- 12 x}{3 x - 2}$ = 0

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D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} - \frac{12 x}{3 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} - \frac{12 x}{3 x - 2}$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{6 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} \cdot (3 x - 2) - \frac{12 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$	=
$6 x + \frac{(5 x - 1) (3 x - 2)}{3 x - 3} - 12 x$	=
$6 x + \frac{15 x^{2} - 13 x + 2}{3 x - 3} - 12 x$	=
$\frac{15 x^{2} - 13 x + 2}{3 x - 3} + 6 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 13 x + 2}{3 x - 3} + 6 x - 12 x$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{15 x^{2} - 13 x + 2}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + 6 x \cdot (3 x - 3) - 12 x \cdot (3 x - 3)$	=
$15 x^{2} - 13 x + 2 + 6 x (3 x - 3) - 12 x (3 x - 3)$	=
$15 x^{2} - 13 x + 2 + (18 x^{2} - 18 x) + (- 36 x^{2} + 36 x)$	=
$- 3 x^{2} + 5 x + 2$	=

$- 3 x^{2} + 5 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 2}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 5+7}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 5-7}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 8 | + 2$ = $12$

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$\| - 2 x + 8 \| + 2$	=	$12$
$2 + \| - 2 x + 8 \|$	=	$12$	\| $- 2$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$10$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

$- 2 x + 8$	=	$10$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 1) + 8$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0:

$- (- 2 x + 8)$	=	$10$
$2 x - 8$	=	$10$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 9 + 8$ = -10 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +8 ≥ 0:

2. Fall: -2x +8 < 0:

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0: