Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + e^{2 x}$ und $g(x) =$ $30 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + e^{2 x}$	=	$30 e^{- x}$	\| $- 30 e^{- x}$
$e^{5 x} + e^{2 x} - 30 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 30) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $30 e^{- (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = 17.544 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |17.544)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ parallel zur Geraden y = $24 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x - 4$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 2 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 2 x

=

24

|

- 24

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 24 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 2 e^{x} - 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{18 x}{- 3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{18 x}{- 3 x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{18 x}{- 3 x + 3}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x - 1}{2 x} \cdot (x - 1) + \frac{18 x}{- 3 x + 3} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(3 x - 1) (x - 1)}{2 x} + \frac{18 x (x - 1)}{- 3 x + 3}$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + \frac{18 x^{2} - 18 x}{- 3 x + 3}$	=
$\frac{18 x^{2} - 18 x}{- 3 x + 3} + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + 2 x$	=

\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + \frac{18 x^{2} - 18 x}{- 3 x + 3} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + \frac{18 x^{2} - 18 x}{- 3 x + 3} + 2 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{18 x^{2} - 18 x}{- 3 x + 3} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 2 \frac{(18 x^{2} - 18 x) x}{- 3 x + 3} + 4 x \cdot x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 2 \frac{18 x^{3} - 18 x^{2}}{- 3 x + 3} + 4 x^{2}$	=
$2 \frac{18 x^{3} - 18 x^{2}}{- 3 x + 3} + 3 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 3$ weg!

$2 \frac{18 x^{3} - 18 x^{2}}{- 3 x + 3} + 3 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x + 1$	=	\|⋅( $- 3 x + 3$ )
$2 \frac{18 x^{3} - 18 x^{2}}{- 3 x + 3} \cdot (- 3 x + 3) + 3 x^{2} \cdot (- 3 x + 3) + 4 x^{2} \cdot (- 3 x + 3) - 4 x \cdot (- 3 x + 3) + 1 \cdot (- 3 x + 3)$	=
$36 x^{3} - 36 x^{2} + 3 x^{2} (- 3 x + 3) + 4 x^{2} (- 3 x + 3) - 4 x (- 3 x + 3) - 3 x + 3$	=
$36 x^{3} - 36 x^{2} + (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + (- 12 x^{3} + 12 x^{2}) + (12 x^{2} - 12 x) - 3 x + 3$	=
$15 x^{3} - 3 x^{2} - 15 x + 3$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $15 x^{3} - 3 x^{2} - 15 x + 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $3$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $15 \cdot {(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 15 \cdot (- 1) + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $15 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 3$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$15 x^{2} - 18 x + 3$
-( $15 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$ )
	$- 18 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $- 18 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$3 x$	$+ 3$
		-( $3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$15 x^{3} - 3 x^{2} - 15 x + 3$ = $(15 x^{2} - 18 x + 3) \cdot (x + 1)$

(15 x^{2} - 18 x + 3) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

15 x^{2} - 18 x + 3

= 0 |:3

$5 x^{2} - 6 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{6+4}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{6-4}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $15 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $15 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$15 x^{2} + 12 x - 3$
-( $15 x^{3}$	$- 15 x^{2}$ )
	$12 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $12 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 3 x$	$+ 3$
		-( $- 3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$15 x^{3} - 3 x^{2} - 15 x + 3$ = $(15 x^{2} + 12 x - 3) \cdot (x - 1)$

(15 x^{2} + 12 x - 3) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

15 x^{2} + 12 x - 3

= 0 |:3

$5 x^{2} + 4 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{10}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{- 4+6}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{- 4-6}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 26 \cdot 2^{2} - 19 \cdot 2 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$- 19 x$	$- 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $32 x^{2}$	$- 64 x$ )
		$45 x$	$- 90$
		-( $45 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 26 \cdot {(- 9)}^{2} - 19 \cdot (- 9) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$- 19 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 10 x$	$- 90$
		-( $- 10 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x + 15 | - 8$ = $10$

Lösung einblenden

$\| 3 x + 15 \| - 8$	=	$10$
$- 8 + \| 3 x + 15 \|$	=	$10$	\| $+ 8$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$18$	\| $- 15$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 1 + 15$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$18$
$- 3 x - 15$	=	$18$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 11) + 15$ = -18 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 1

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: