Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7}$ und $g(x) =$ $x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7}$	=	$x$	\| $- x$
$x^{7} - x$	=	0
$x (x^{6} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{6} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 1$ Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

x₂ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $1$ Somit gilt: S₃( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 4 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{6 x} - 3) \cdot (x^{2} + 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{6 x} - 3) (x^{2} + 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{6 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 e^{6 x}$	=	$3$	\|: $4$
$e^{6 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.0479

2. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{6} \ln (\frac{3}{4})$ ; 0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{2 x - 6} + \frac{x}{3 x - 10} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $3$ }

\frac{x}{3 x - 10} + \frac{2 x - 2}{2 x - 6} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x}{3 x - 10} + \frac{2 x - 2}{2 x - 6} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{2 x - 2}{2 x - 6} \cdot (3 x - 10) - 5 \cdot (3 x - 10)$	=
$x + \frac{(2 x - 2) (3 x - 10)}{2 x - 6} - 15 x + 50$	=
$x + \frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{2 x - 6} - 15 x + 50$	=
$\frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{2 x - 6} + x - 15 x + 50$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 6$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{2 x - 6} + x - 15 x + 50$	=	\|⋅( $2 x - 6$ )
$\frac{6 x^{2} - 26 x + 20}{2 x - 6} \cdot (2 x - 6) + x \cdot (2 x - 6) - 15 x \cdot (2 x - 6) + 50 \cdot (2 x - 6)$	=
$6 x^{2} - 26 x + 20 + x (2 x - 6) - 15 x (2 x - 6) + 100 x - 300$	=
$6 x^{2} - 26 x + 20 + (2 x^{2} - 6 x) + (- 30 x^{2} + 90 x) + 100 x - 300$	=
$- 22 x^{2} + 158 x - 280$	=

- 22 x^{2} + 158 x - 280

= 0 |:2

$- 11 x^{2} + 79 x - 140$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 79 \pm \sqrt{79^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 140)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 79 \pm \sqrt{6 241 - 6 160}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 79 \pm \sqrt{81}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 79 + \sqrt{81}}{- 22}$ = $\frac{- 79+9}{- 22}$ = $\frac{- 70}{- 22}$ = $\frac{35}{11}$ ≈ 3.18

x₂ = $\frac{- 79 - \sqrt{81}}{- 22}$ = $\frac{- 79-9}{- 22}$ = $\frac{- 88}{- 22}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{35}{11}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{2} + 38 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{2} + 38 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 8 \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} + 38 \cdot (- 1) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 8 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 38 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 9 x^{2} + 14 x + 24$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 9 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$
	-( $- 9 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
		$14 x^{2}$	$+ 38 x$
		-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
			$24 x$	$+ 24$
			-( $24 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{2} + 38 x + 24$ = $(x^{3} - 9 x^{2} + 14 x + 24) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 9 x^{2} + 14 x + 24) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} + 14 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 14 \cdot (- 1) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 10 x + 24$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$24 x$	$+ 24$
		-( $24 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 14 x + 24$ = $(x^{2} - 10 x + 24) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 10 x + 24) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 9 \cdot 4^{2} + 14 \cdot 4 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$- 6 x$	$+ 24$
		-( $- 6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 14 x + 24$ = $(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 5 x - 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 9 \cdot 6^{2} + 14 \cdot 6 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 4 x$	$+ 24$
		-( $- 4 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 14 x + 24$ = $(x^{2} - 3 x - 4) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 3 x - 4) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{4} - 8 \cdot 4^{3} + 5 \cdot 4^{2} + 38 \cdot 4 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 8 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 38 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6$
-( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$ )
		$- 11 x^{2}$	$+ 38 x$
		-( $- 11 x^{2}$	$+ 44 x$ )
			$- 6 x$	$+ 24$
			-( $- 6 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{2} + 38 x + 24$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6) \cdot (x - 4)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 4 \cdot {(- 1)}^{2} - 11 \cdot (- 1) - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 11 x$	$- 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 6 x$	$- 6$
		-( $- 6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6$ = $(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 5 x - 6) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 4 \cdot 6^{2} - 11 \cdot 6 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 11 x$	$- 6$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$x$	$- 6$
		-( $x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{4} - 8 \cdot 6^{3} + 5 \cdot 6^{2} + 38 \cdot 6 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 8 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 38 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4$
-( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
		$- 7 x^{2}$	$+ 38 x$
		-( $- 7 x^{2}$	$+ 42 x$ )
			$- 4 x$	$+ 24$
			-( $- 4 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{2} + 38 x + 24$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4) \cdot (x - 6)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 7 \cdot (- 1) - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 7 x$	$- 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 4 x$	$- 4$
		-( $- 4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4$ = $(x^{2} - 3 x - 4) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 3 x - 4) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 2 \cdot 4^{2} - 7 \cdot 4 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 7 x$	$- 4$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$x$	$- 4$
		-( $x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1$ ; $4$ ; $6$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x + 12 | - 9$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x + 12 \| - 9$	=	$11$
$- 9 + \frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$11$	\| $+ 9$
$\frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$20$	\|⋅ $2$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$40$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$40$	\| $- 12$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 7 + 12$ = 40 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$40$
$- 4 x - 12$	=	$40$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$52$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 13) + 12$ = -40 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: