Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{12}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- \frac{4}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{12}{x^{2}}$	=	$- \frac{4}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{4}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 12$	=	$- 4 x$

x^{2} - 12

=

- 4 x

|

+ 4 x

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 6$ : f( $- 6$ )= $- \frac{4}{(- 6)}$ = 0.667 Somit gilt: S₁( $- 6$ |0.667)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{4}{2}$ = -2 Somit gilt: S₂( $2$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $3 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x - 1$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 2 e^{2 x}

=

3

|

- 3

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 2 e^{x}$ = $- e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 2 e^{x}$	=	$- e^{4 x}$	\| $+ e^{4 x}$
$e^{7 x} + e^{4 x} - 2 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 2) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{16 x}{- 3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

\frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{16 x}{- 3 x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{16 x}{- 3 x + 3}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot (x - 1) + \frac{16 x}{- 3 x + 3} \cdot (x - 1)$	=
$3 x + 1 + \frac{(x - 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{16 x (x - 1)}{- 3 x + 3}$	=
$3 x + 1 + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 1} + \frac{16 x^{2} - 16 x}{- 3 x + 3}$	=
$\frac{16 x^{2} - 16 x}{- 3 x + 3} + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 1} + 3 x + 1$	=

\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 1} + \frac{16 x^{2} - 16 x}{- 3 x + 3} + 3 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 1} + \frac{16 x^{2} - 16 x}{- 3 x + 3} + 3 x + 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{16 x^{2} - 16 x}{- 3 x + 3} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + \frac{(16 x^{2} - 16 x) (x + 1)}{- 3 x + 3} + 3 x (x + 1) + x + 1$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + \frac{16 x^{3} - 16 x}{- 3 x + 3} + (3 x^{2} + 3 x) + x + 1$	=
$\frac{16 x^{3} - 16 x}{- 3 x + 3} + x^{2} + 3 x^{2} - 2 x + 3 x + x + 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 3$ weg!

$\frac{16 x^{3} - 16 x}{- 3 x + 3} + x^{2} + 3 x^{2} - 2 x + 3 x + x + 1 + 1$	=	\|⋅( $- 3 x + 3$ )
$\frac{16 x^{3} - 16 x}{- 3 x + 3} \cdot (- 3 x + 3) + x^{2} \cdot (- 3 x + 3) + 3 x^{2} \cdot (- 3 x + 3) - 2 x \cdot (- 3 x + 3) + 3 x \cdot (- 3 x + 3) + x \cdot (- 3 x + 3) + 1 \cdot (- 3 x + 3) + 1 \cdot (- 3 x + 3)$	=
$16 x^{3} - 16 x + x^{2} (- 3 x + 3) + 3 x^{2} (- 3 x + 3) - 2 x (- 3 x + 3) + 3 x (- 3 x + 3) + x (- 3 x + 3) - 3 x + 3 - 3 x + 3$	=
$16 x^{3} - 16 x + (- 3 x^{3} + 3 x^{2}) + (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + (6 x^{2} - 6 x) + (- 9 x^{2} + 9 x) + (- 3 x^{2} + 3 x) - 3 x + 3 - 3 x + 3$	=
$4 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x + 6$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $4 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 16 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $4 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 16 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$4 x^{2} + 10 x - 6$
-( $4 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 6 x$	$+ 6$
		-( $- 6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x + 6$ = $(4 x^{2} + 10 x - 6) \cdot (x - 1)$

(4 x^{2} + 10 x - 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

4 x^{2} + 10 x - 6

= 0 |:2

$2 x^{2} + 5 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 5+7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 5-7}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $4 \cdot {(- 3)}^{3} + 6 \cdot {(- 3)}^{2} - 16 \cdot (- 3) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $4 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 16 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$4 x^{2} - 6 x + 2$
-( $4 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$2 x$	$+ 6$
		-( $2 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 16 x + 6$ = $(4 x^{2} - 6 x + 2) \cdot (x + 3)$

(4 x^{2} - 6 x + 2) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

4 x^{2} - 6 x + 2

= 0 |:2

$2 x^{2} - 3 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 2 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 7 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 2 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$12 x$	$+ 24$
		-( $12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 24$ = $(x^{2} - 7 x + 12) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 7 x + 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 2 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 2 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 8 x$	$+ 24$
		-( $- 8 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 24$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 2 x - 8) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 5 \cdot 4^{2} - 2 \cdot 4 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 2 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - x - 6$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 2 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 6 x$	$+ 24$
		-( $- 6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 24$ = $(x^{2} - x - 6) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - x - 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 2$ ; $3$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x - 8 | + 8$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x - 8 \| + 8$	=	$- 12$
$8 - \frac{1}{3} \| 4 x - 8 \|$	=	$- 12$	\| $- 8$
$- \frac{1}{3} \| 4 x - 8 \|$	=	$- 20$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x - 8 \|$	=	$60$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

$4 x - 8$	=	$60$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$68$	\|: $4$
x₁	=	$17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 17 - 8$ = 60 ≥ 0

Die Lösung $17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 8$ < 0:

$- (4 x - 8)$	=	$60$
$- 4 x + 8$	=	$60$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$52$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 13) - 8$ = -60 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $17$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit -3

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -8 ≥ 0:

2. Fall: 4x -8 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 8$ < 0: