Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 12 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $- 4 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 12 e^{- 2 x}$	=	$- 4 e^{x}$	\| $+ 4 e^{x}$
$e^{4 x} + 4 e^{x} - 12 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 12) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 4 e^{\frac{1}{3} \ln (2)}$ = -5.04 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-5.04)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 e^{x} + 30$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

- 11 e^{x} + 30

=

- e^{2 x}

|

+ e^{2 x}

e^{2 x} - 11 e^{x} + 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{2 x} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{14 x + 2}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{1}{2}$ }

- \frac{14 x + 2}{3 x} + \frac{x + 2}{2 x} + \frac{6 x}{2 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$- \frac{14 x + 2}{3 x} + \frac{x + 2}{2 x} + \frac{6 x}{2 x - 1}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$- \frac{14 x + 2}{3 x} \cdot 6 x + \frac{x + 2}{2 x} \cdot 6 x + \frac{6 x}{2 x - 1} \cdot 6 x$	=
$- 28 x - 4 + 3 x + 6 + 6 \frac{6 x \cdot x}{2 x - 1}$	=
$- 28 x - 4 + 3 x + 6 + 6 \frac{6 x^{2}}{2 x - 1}$	=
$6 \frac{6 x^{2}}{2 x - 1} - 28 x + 3 x - 4 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$6 \frac{6 x^{2}}{2 x - 1} - 28 x + 3 x - 4 + 6$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$6 \frac{6 x^{2}}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) - 28 x \cdot (2 x - 1) + 3 x \cdot (2 x - 1) - 4 \cdot (2 x - 1) + 6 \cdot (2 x - 1)$	=
$36 x^{2} - 28 x (2 x - 1) + 3 x (2 x - 1) - 8 x + 4 + 12 x - 6$	=
$36 x^{2} + (- 56 x^{2} + 28 x) + (6 x^{2} - 3 x) - 8 x + 4 + 12 x - 6$	=
$- 14 x^{2} + 29 x - 2$	=

$- 14 x^{2} + 29 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot (- 14) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 14)}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 - 112}}{- 28}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{729}}{- 28}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{729}}{- 28}$ = $\frac{- 29+27}{- 28}$ = $\frac{- 2}{- 28}$ = $\frac{1}{14}$ ≈ 0.07

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{729}}{- 28}$ = $\frac{- 29-27}{- 28}$ = $\frac{- 56}{- 28}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{14}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 126$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 14 \cdot 2^{2} + 31 \cdot 2 - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 126$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 16 x + 63$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$16 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $16 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$63 x$	$- 126$
		-( $63 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = $(x^{2} + 16 x + 63) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 16 x + 63) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16+2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16-2}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 14 \cdot {(- 7)}^{2} + 31 \cdot (- 7) - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 126$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 49 x$ )
		$- 18 x$	$- 126$
		-( $- 18 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 14 \cdot {(- 9)}^{2} + 31 \cdot (- 9) - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 126$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 45 x$ )
		$- 14 x$	$- 126$
		-( $- 14 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 31 x - 126$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 7$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 8 | - 6$ = $- 18$

Lösung einblenden

$- \| 2 x - 8 \| - 6$	=	$- 18$
$- 6 - \| 2 x - 8 \|$	=	$- 18$	\| $+ 6$
$- \| 2 x - 8 \|$	=	$- 12$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

$2 x - 8$	=	$12$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$20$	\|: $2$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 10 - 8$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 8$ < 0:

$- (2 x - 8)$	=	$12$
$- 2 x + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 2) - 8$ = -12 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -8 ≥ 0:

2. Fall: 2x -8 < 0:

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 8$ < 0: