Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 2 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $24 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 2 e^{4 x}$	=	$24 e^{2 x}$	\| $- 24 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 2 e^{4 x} - 24 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 24) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $24 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 144 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |144)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 4$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 4 x

=

12

|

- 12

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 10 x^{4} + 9 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 10 x^{4} + 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 10 x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x}{2 x - 3} + \frac{4 x}{- 2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $1$ }

\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4 x}{- 2 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4 x}{- 2 x + 2}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x + 1}{x - 1} \cdot (2 x - 3) + \frac{4 x}{- 2 x + 2} \cdot (2 x - 3)$	=
$x + \frac{(x + 1) (2 x - 3)}{x - 1} + \frac{4 x (2 x - 3)}{- 2 x + 2}$	=
$x + \frac{2 x^{2} - x - 3}{x - 1} + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- 2 x + 2}$	=
$\frac{8 x^{2} - 12 x}{- 2 x + 2} + \frac{2 x^{2} - x - 3}{x - 1} + x$	=

\frac{2 x^{2} - x - 3}{x - 1} + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- 2 x + 2} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - x - 3}{x - 1} + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- 2 x + 2} + x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- 2 x + 2} \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - x - 3 + \frac{(8 x^{2} - 12 x) (x - 1)}{- 2 x + 2} + x (x - 1)$	=
$2 x^{2} - x - 3 + \frac{8 x^{3} - 20 x^{2} + 12 x}{- 2 x + 2} + (x^{2} - x)$	=
$\frac{8 x^{3} - 20 x^{2} + 12 x}{- 2 x + 2} + 2 x^{2} + x^{2} - x - x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 2 x + 2$ weg!

$\frac{8 x^{3} - 20 x^{2} + 12 x}{- 2 x + 2} + 2 x^{2} + x^{2} - x - x - 3$	=	\|⋅( $- 2 x + 2$ )
$\frac{8 x^{3} - 20 x^{2} + 12 x}{- 2 x + 2} \cdot (- 2 x + 2) + 2 x^{2} \cdot (- 2 x + 2) + x^{2} \cdot (- 2 x + 2) - x \cdot (- 2 x + 2) - x \cdot (- 2 x + 2) - 3 \cdot (- 2 x + 2)$	=
$8 x^{3} - 20 x^{2} + 12 x + 2 x^{2} (- 2 x + 2) + x^{2} (- 2 x + 2) - x (- 2 x + 2) - x (- 2 x + 2) + 6 x - 6$	=
$8 x^{3} - 20 x^{2} + 12 x + (- 4 x^{3} + 4 x^{2}) + (- 2 x^{3} + 2 x^{2}) + (2 x^{2} - 2 x) + (2 x^{2} - 2 x) + 6 x - 6$	=
$2 x^{3} - 10 x^{2} + 14 x - 6$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 10 x^{2} + 14 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1^{2} + 14 \cdot 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - 8 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 10 x^{2} + 14 x - 6$ = $(2 x^{2} - 8 x + 6) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - 8 x + 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 x^{2} - 8 x + 6

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 3^{3} - 10 \cdot 3^{2} + 14 \cdot 3 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 6$ )	:	(x $- 3$ )	=	$2 x^{2} - 4 x + 2$
-( $2 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$2 x$	$- 6$
		-( $2 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 10 x^{2} + 14 x - 6$ = $(2 x^{2} - 4 x + 2) \cdot (x - 3)$

(2 x^{2} - 4 x + 2) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 x^{2} - 4 x + 2

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 90$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} - 37 \cdot (- 2) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 37 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 45$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 45 x$	$- 90$
		-( $- 45 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = $(x^{2} + 4 x - 45) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 4 x - 45) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4+14}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4-14}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} + 6 \cdot 5^{2} - 37 \cdot 5 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 37 x$	$- 90$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 55 x$ )
		$18 x$	$- 90$
		-( $18 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 6 \cdot {(- 9)}^{2} - 37 \cdot (- 9) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 37 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 27 x$ )
		$- 10 x$	$- 90$
		-( $- 10 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 3 x - 10) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 4 | + 2$ = $14$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 4 \| + 2$	=	$14$
$2 + \| - 2 x - 4 \|$	=	$14$	\| $- 2$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 8) - 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$12$
$2 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 4 - 4$ = -12 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 3

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: