Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 4 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $12 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 4 e^{4 x}$	=	$12 e^{2 x}$	\| $- 12 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 4 e^{4 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $12 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 72 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |72)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 2$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - e^{3 x}

=

12

|

- 12

e^{6 x} - e^{3 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 6 e^{3 x} - 7 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 6 e^{3 x} - 7 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{4 x}{2 x - 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $2$ }

\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{2 x}{2 x - 4} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{2 x}{2 x - 4} - 7$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{2 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 3) - 7 \cdot (2 x - 3)$	=
$4 x + \frac{2 x (2 x - 3)}{2 x - 4} - 14 x + 21$	=
$4 x + \frac{4 x^{2} - 6 x}{2 x - 4} - 14 x + 21$	=
$\frac{4 x^{2} - 6 x}{2 x - 4} + 4 x - 14 x + 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{2 x - 4} + 4 x - 14 x + 21$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{4 x^{2} - 6 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + 4 x \cdot (2 x - 4) - 14 x \cdot (2 x - 4) + 21 \cdot (2 x - 4)$	=
$4 x^{2} - 6 x + 4 x (2 x - 4) - 14 x (2 x - 4) + 42 x - 84$	=
$4 x^{2} - 6 x + (8 x^{2} - 16 x) + (- 28 x^{2} + 56 x) + 42 x - 84$	=
$- 16 x^{2} + 76 x - 84$	=

- 16 x^{2} + 76 x - 84

= 0 |:4

$- 4 x^{2} + 19 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{- 19+5}{- 8}$ = $\frac{- 14}{- 8}$ = $1,75$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{- 19-5}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,75$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} - 19 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$+ 26 x$ )
		$- 30 x$	$+ 60$
		-( $- 30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 19 \cdot 6^{2} - 4 \cdot 6 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 10 x$	$+ 60$
		-( $- 10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} - x - 10) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x - 9 | + 7$ = $19$

Lösung einblenden

$\| - 3 x - 9 \| + 7$	=	$19$
$7 + \| - 3 x - 9 \|$	=	$19$	\| $- 7$
$\| - 3 x - 9 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

$- 3 x - 9$	=	$12$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$21$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 7) - 9$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0:

$- (- 3 x - 9)$	=	$12$
$3 x + 9$	=	$12$	\| $- 9$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 1 - 9$ = -12 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -9 ≥ 0:

2. Fall: -3x -9 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0: