Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6}$ und $g(x) =$ $4 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6}$	=	$4 x^{4}$	\| $- 4 x^{4}$
$x^{6} - 4 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $4 \cdot {(- 2)}^{4}$ = 64 Somit gilt: S₁( $- 2$ |64)

x₂ = 0: f(0)= $4 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $4 \cdot 2^{4}$ = 64 Somit gilt: S₃( $2$ |64)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 8 x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 5 x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} + 5 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{8 x}{x - 3} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

\frac{8 x}{x - 3} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot (x - 3) - 5 \cdot (x - 3)$	=
$8 x + \frac{(8 x - 1) (x - 3)}{3 x} - 5 x + 15$	=
$8 x + \frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} - 5 x + 15$	=
$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} + 8 x - 5 x + 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} + 8 x - 5 x + 15$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 8 x \cdot 3 x - 5 x \cdot 3 x + 15 \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} - 25 x + 3 + 24 x \cdot x - 15 x \cdot x + 45 x$	=
$8 x^{2} - 25 x + 3 + 24 x^{2} - 15 x^{2} + 45 x$	=
$17 x^{2} + 20 x + 3$	=

$17 x^{2} + 20 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 3}}{2 \cdot 17}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 204}}{34}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{196}}{34}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{196}}{34}$ = $\frac{- 20+14}{34}$ = $\frac{- 6}{34}$ = $- \frac{3}{17}$ ≈ -0.18

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{196}}{34}$ = $\frac{- 20-14}{34}$ = $\frac{- 34}{34}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{3}{17}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 52 x - 96$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 52 x - 96$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 96$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 52 \cdot (- 2) - 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 52 x$	$- 96$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 48$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 52 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 48 x$	$- 96$
		-( $- 48 x$	$- 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 52 x - 96$ = $(x^{2} - 2 x - 48) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 2 x - 48) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2+14}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2-14}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - 52 \cdot (- 6) - 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 52 x$	$- 96$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 52 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$- 16 x$	$- 96$
		-( $- 16 x$	$- 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 52 x - 96$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 6 x - 16) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 52 \cdot 8 - 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 52 x$	$- 96$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 52 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 64 x$ )
		$12 x$	$- 96$
		-( $12 x$	$- 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 52 x - 96$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 2 | - 3$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x + 2 \| - 3$	=	$- 7$
$- 3 - \frac{1}{2} \| 2 x + 2 \|$	=	$- 7$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 2 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 2 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

$2 x + 2$	=	$8$	\| $- 2$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 3 + 2$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 2$ < 0:

$- (2 x + 2)$	=	$8$
$- 2 x - 2$	=	$8$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 5) + 2$ = -8 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +2 ≥ 0:

2. Fall: 2x +2 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 2$ < 0: