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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2}$ und $g(x) =$ $18 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 3 x^{2}$	=	$18 x$	\| $- 18 x$
$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x$	=	0
$x (x^{2} - 3 x - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $18 \cdot (- 3)$ = -54 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-54)

x₂ = 0: f(0)= $18 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $6$ : f( $6$ )= $18 \cdot 6$ = 108 Somit gilt: S₃( $6$ |108)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 4 + 2 x \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 5$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 4 + 2 x \cdot e^{- x}$

f'(x)= $2 e^{- x} + 1 - 2 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- x} + 1 - 2 x \cdot e^{- x}$	=	$1$	\| $- 1$
$2 e^{- x} + 1 - 1 - 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$2 e^{- x} - 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$2 (- x + 1) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{2 x} + 10$ = $- e^{4 x}$

Lösung einblenden

- 7 e^{2 x} + 10

=

- e^{4 x}

|

+ e^{4 x}

e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 10

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{5 x + 1}{- x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{2 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{- x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{- x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 6}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{5 x + 1}{- (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{4 x}{3 x + 6} \cdot (x + 1)$	=
$2 x - 5 x - 1 + \frac{4 x (x + 1)}{3 x + 6}$	=
$2 x - 5 x - 1 + \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 6}$	=
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 6} + 2 x - 5 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 6} + 2 x - 5 x - 1$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + 2 x \cdot (3 x + 6) - 5 x \cdot (3 x + 6) - 1 \cdot (3 x + 6)$	=
$4 x^{2} + 4 x + 2 x (3 x + 6) - 5 x (3 x + 6) - 3 x - 6$	=
$4 x^{2} + 4 x + (6 x^{2} + 12 x) + (- 15 x^{2} - 30 x) - 3 x - 6$	=
$- 5 x^{2} - 17 x - 6$	=

$- 5 x^{2} - 17 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{- 10}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{- 10}$ = $\frac{17+13}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{- 10}$ = $\frac{17-13}{- 10}$ = $\frac{4}{- 10}$ = $- 0,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x + 16 | + 9$ = $- 15$

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$\frac{1}{2} \| - 4 x + 16 \| + 9$	=	$- 15$
$9 + \frac{1}{2} \| - 4 x + 16 \|$	=	$- 15$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| - 4 x + 16 \|$	=	$- 24$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$- 48$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

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Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen