Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} + 8 x$ und $g(x) =$ $9 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} + 8 x$	=	$9 x^{4}$	\| $- 9 x^{4}$
$x^{7} - 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x (x^{6} - 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $9 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $9 \cdot 1^{4}$ = 9 Somit gilt: S₂( $1$ |9)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $9 \cdot 2^{4}$ = 144 Somit gilt: S₃( $2$ |144)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $24 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x + 7$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 2 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 2 e^{x}

=

24

|

- 24

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x}$ = $15$

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x}

=

15

|

- 15

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{9 x}{x + 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{9 x}{x + 2} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{4 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{9 x}{x + 2} \cdot (2 x + 2) - 4 \cdot (2 x + 2)$	=
$4 x + \frac{9 x (2 x + 2)}{x + 2} - 8 x - 8$	=
$4 x + \frac{18 x^{2} + 18 x}{x + 2} - 8 x - 8$	=
$\frac{18 x^{2} + 18 x}{x + 2} + 4 x - 8 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{18 x^{2} + 18 x}{x + 2} + 4 x - 8 x - 8$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{18 x^{2} + 18 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 4 x \cdot (x + 2) - 8 x \cdot (x + 2) - 8 \cdot (x + 2)$	=
$18 x^{2} + 18 x + 4 x (x + 2) - 8 x (x + 2) - 8 x - 16$	=
$18 x^{2} + 18 x + (4 x^{2} + 8 x) + (- 8 x^{2} - 16 x) - 8 x - 16$	=
$14 x^{2} + 2 x - 16$	=

14 x^{2} + 2 x - 16

= 0 |:2

$7 x^{2} + x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{14}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{14}$ = $\frac{- 1+15}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{14}$ = $\frac{- 1-15}{14}$ = $\frac{- 16}{14}$ = $- \frac{8}{7}$ ≈ -1.14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{7}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 4 \cdot {(- 1)}^{2} - 29 \cdot (- 1) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 29 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 5 x - 24$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 24 x$	$- 24$
		-( $- 24 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24$ = $(x^{2} - 5 x - 24) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 5 x - 24) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5+11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5-11}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 4 \cdot {(- 3)}^{2} - 29 \cdot (- 3) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 29 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$- 8 x$	$- 24$
		-( $- 8 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 4 \cdot 8^{2} - 29 \cdot 8 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 29 x$	$- 24$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 29 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$3 x$	$- 24$
		-( $3 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24$ = $(x^{2} + 4 x + 3) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 4 x + 3) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 3 x - 6 | - 7$ = $2$

Lösung einblenden

$- \| 3 x - 6 \| - 7$	=	$2$
$- 7 - \| 3 x - 6 \|$	=	$2$	\| $+ 7$
$- \| 3 x - 6 \|$	=	$9$	\|: $(- 1)$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$- 9$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $8$