Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6}$ und $g(x) =$ $- 5 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6}$	=	$- 5 x^{4}$	\| $+ 5 x^{4}$
$x^{6} + 5 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 5 \cdot 0^{4}$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $42 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x - 4$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

42

|

- 42

e^{4 x} - e^{2 x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 3 e^{2 x}$ = $10 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 3 e^{2 x}$	=	$10 e^{x}$	\| $- 10 e^{x}$
$e^{3 x} + 3 e^{2 x} - 10 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 10) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{8 x + 2}{- 9 x - 30}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; $- 3$ }

\frac{8 x + 2}{- 9 x - 30} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{3 x}{3 x + 9}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x - 30$ weg!

$\frac{8 x + 2}{- 9 x - 30} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{3 x}{3 x + 9}$	=	\|⋅( $- 9 x - 30$ )
$\frac{8 x + 2}{- 9 x - 30} \cdot (- 9 x - 30) + \frac{x + 2}{3 x + 10} \cdot (- 3 (3 x + 10)) + \frac{3 x}{3 x + 9} \cdot (- 9 x - 30)$	=
$8 x + 2 - 3 x - 6 + \frac{3 x (- 9 x - 30)}{3 x + 9}$	=
$8 x + 2 - 3 x - 6 + \frac{- 27 x^{2} - 90 x}{3 x + 9}$	=
$\frac{- 27 x^{2} - 90 x}{3 x + 9} + 8 x - 3 x + 2 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 9$ weg!

$\frac{- 27 x^{2} - 90 x}{3 x + 9} + 8 x - 3 x + 2 - 6$	=	\|⋅( $3 x + 9$ )
$\frac{- 27 x^{2} - 90 x}{3 x + 9} \cdot (3 x + 9) + 8 x \cdot (3 x + 9) - 3 x \cdot (3 x + 9) + 2 \cdot (3 x + 9) - 6 \cdot (3 x + 9)$	=
$- 27 x^{2} - 90 x + 8 x (3 x + 9) - 3 x (3 x + 9) + 6 x + 18 - 18 x - 54$	=
$- 27 x^{2} - 90 x + (24 x^{2} + 72 x) + (- 9 x^{2} - 27 x) + 6 x + 18 - 18 x - 54$	=
$- 12 x^{2} - 57 x - 36$	=

- 12 x^{2} - 57 x - 36

= 0 |:3

$- 4 x^{2} - 19 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{19+13}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{19-13}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,75$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 11 \cdot {(- 2)}^{2} + 20 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x - 8 | - 8$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \| - 8$	=	$- 2$
$- 8 - \frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \|$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \|$	=	$6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x - 8 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen