Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 3 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $28 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 3 e^{4 x}$	=	$28 e^{2 x}$	\| $- 28 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 3 e^{4 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $28 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 196 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |196)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $14 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $14 x - 3$ gilt m = $14$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 5 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 5 x

=

14

|

- 14

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $14$ und sind somit parallel zur Geraden y = $14 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{4 x} - 35 e^{2 x}$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

$2 e^{4 x} - 35 e^{2 x}$	=	$- e^{6 x}$	\| $+ e^{6 x}$
$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{x + 1} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{3 x + 1}{x + 1} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{3 x + 1}{x + 1} - 8$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{3 x + 1}{x + 1} \cdot (2 x + 4) - 8 \cdot (2 x + 4)$	=
$3 x + 1 + \frac{(3 x + 1) (2 x + 4)}{x + 1} - 16 x - 32$	=
$3 x + 1 + \frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{x + 1} - 16 x - 32$	=
$\frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{x + 1} + 3 x - 16 x + 1 - 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{x + 1} + 3 x - 16 x + 1 - 32$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 16 x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1) - 32 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 14 x + 4 + 3 x (x + 1) - 16 x (x + 1) + x + 1 - 32 x - 32$	=
$6 x^{2} + 14 x + 4 + (3 x^{2} + 3 x) + (- 16 x^{2} - 16 x) + x + 1 - 32 x - 32$	=
$- 7 x^{2} - 30 x - 27$	=

$- 7 x^{2} - 30 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{900 - 756}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{144}}{- 14}$

x₁ = $\frac{30 + \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{30+12}{- 14}$ = $\frac{42}{- 14}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{30 - \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{30-12}{- 14}$ = $\frac{18}{- 14}$ = $- \frac{9}{7}$ ≈ -1.29

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{9}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} - 27 \cdot (- 1) - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 27 x$	$- 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 27 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 18 x$	$- 18$
		-( $- 18 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 7 \cdot 6^{2} - 27 \cdot 6 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 27 x$	$- 18$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 27 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$3 x$	$- 18$
		-( $3 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x - 9 | - 5$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 9 \| - 5$	=	$- 14$
$- 5 - \frac{1}{2} \| - 3 x - 9 \|$	=	$- 14$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 9 \|$	=	$- 9$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x - 9 \|$	=	$18$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

$- 3 x - 9$	=	$18$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$27$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 9) - 9$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0:

$- (- 3 x - 9)$	=	$18$
$3 x + 9$	=	$18$	\| $- 9$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 3 - 9$ = -18 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -9 ≥ 0:

2. Fall: -3x -9 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0: