Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} + 9 x^{5}$ und $g(x) =$ $- 8 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} + 9 x^{5}$	=	$- 8 x^{2}$	\| $+ 8 x^{2}$
$x^{8} + 9 x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} + 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} + 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 8 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-32)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 8 \cdot {(- 1)}^{2}$ = -8 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-8)

x₃ = 0: f(0)= $- 8 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₃(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x - 2$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 6 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 6 x

=

- 8

|

+ 8

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 18$ = $3 e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} - 18

=

3 e^{3 x}

|

- 3 e^{3 x}

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x + 3} + \frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{- 72 x}{3 x + 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 3$ }

\frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{16 x}{x + 3} - \frac{72 x}{3 x + 9}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{16 x}{x + 3} - \frac{72 x}{3 x + 9}$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{8 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{16 x}{x + 3} \cdot (2 x + 2) - \frac{72 x}{3 x + 9} \cdot (2 x + 2)$	=
$8 x + \frac{16 x (2 x + 2)}{x + 3} - \frac{72 x (2 x + 2)}{3 x + 9}$	=
$8 x + \frac{32 x^{2} + 32 x}{x + 3} - \frac{144 x^{2} + 144 x}{3 x + 9}$	=
$- \frac{144 x^{2} + 144 x}{3 x + 9} + \frac{32 x^{2} + 32 x}{x + 3} + 8 x$	=

\frac{32 x^{2} + 32 x}{x + 3} - \frac{144 x^{2} + 144 x}{3 x + 9} + 8 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{32 x^{2} + 32 x}{x + 3} - \frac{144 x^{2} + 144 x}{3 x + 9} + 8 x$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{32 x^{2} + 32 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - \frac{144 x^{2} + 144 x}{3 (x + 3)} \cdot (x + 3) + 8 x \cdot (x + 3)$	=
$32 x^{2} + 32 x - 48 x^{2} - 48 x + 8 x (x + 3)$	=
$32 x^{2} + 32 x - 48 x^{2} - 48 x + (8 x^{2} + 24 x)$	=
$- 8 x^{2} + 8 x$	=

$- 8 x^{2} + 8 x$	=	0
$8 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 37 x + 35$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 37 x + 35$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $35$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 37 \cdot 1 + 35$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 37 x$	$+ 35$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x - 35$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 35 x$	$+ 35$
		-( $- 35 x$	$+ 35$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 37 x + 35$ = $(x^{2} + 2 x - 35) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x - 35) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} + 5^{2} - 37 \cdot 5 + 35$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 37 x$	$+ 35$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$- 7 x$	$+ 35$
		-( $- 7 x$	$+ 35$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 37 x + 35$ = $(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 6 x - 7) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + {(- 7)}^{2} - 37 \cdot (- 7) + 35$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 37 x$	$+ 35$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$5 x$	$+ 35$
		-( $5 x$	$+ 35$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 37 x + 35$ = $(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 6 x + 5) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $1$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 4 | + 3$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 4 \| + 3$	=	$1$
$3 + \frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$1$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $3$
$\| x + 4 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 7$