Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{3}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{4}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{3}{x^{2}}$	=	$\frac{4}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{4}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 3$	=	$4 x$

x^{2} + 3

=

4 x

|

- 4 x

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $\frac{4}{1}$ = 4 Somit gilt: S₁( $1$ |4)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $\frac{4}{3}$ = 1.333 Somit gilt: S₂( $3$ |1.333)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $28 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x + 3$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 3 e^{3 x}

=

28

|

- 28

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{7 x} - 4) \cdot (x^{5} - 9 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{7 x} - 4) (x^{5} - 9 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{7 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 e^{7 x}$	=	$4$	\|: $2$
$e^{7 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (2)$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (2)$	≈ 0.099

2. Fall:

$x^{5} - 9 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $\frac{1}{7} \ln (2)$ ; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{12 x}{- 6 x + 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $2$ }

\frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{12 x}{- 6 x + 18}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 9} + \frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{12 x}{- 6 x + 18}$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{3 x}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) + \frac{4 x}{2 x - 4} \cdot (3 x - 9) + \frac{12 x}{- 6 x + 18} \cdot (3 x - 9)$	=
$3 x + \frac{4 x (3 x - 9)}{2 x - 4} + \frac{12 x (3 x - 9)}{- 6 x + 18}$	=
$3 x + \frac{12 x^{2} - 36 x}{2 x - 4} + \frac{36 x^{2} - 108 x}{- 6 x + 18}$	=
$\frac{36 x^{2} - 108 x}{- 6 x + 18} + \frac{12 x^{2} - 36 x}{2 x - 4} + 3 x$	=

\frac{12 x^{2} - 36 x}{2 x - 4} + \frac{36 x^{2} - 108 x}{- 6 x + 18} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 36 x}{2 x - 4} + \frac{36 x^{2} - 108 x}{- 6 x + 18} + 3 x$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{12 x^{2} - 36 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{36 x^{2} - 108 x}{- 6 x + 18} \cdot (2 x - 4) + 3 x \cdot (2 x - 4)$	=
$12 x^{2} - 36 x + \frac{(36 x^{2} - 108 x) (2 x - 4)}{- 6 x + 18} + 3 x (2 x - 4)$	=
$12 x^{2} - 36 x + \frac{72 x^{3} - 360 x^{2} + 432 x}{- 6 x + 18} + (6 x^{2} - 12 x)$	=
$\frac{72 x^{3} - 360 x^{2} + 432 x}{- 6 x + 18} + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 36 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 18$ weg!

$\frac{72 x^{3} - 360 x^{2} + 432 x}{- 6 x + 18} + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 36 x - 12 x$	=	\|⋅( $- 6 x + 18$ )
$\frac{72 x^{3} - 360 x^{2} + 432 x}{- 6 x + 18} \cdot (- 6 x + 18) + 12 x^{2} \cdot (- 6 x + 18) + 6 x^{2} \cdot (- 6 x + 18) - 36 x \cdot (- 6 x + 18) - 12 x \cdot (- 6 x + 18)$	=
$72 x^{3} - 360 x^{2} + 432 x + 12 x^{2} (- 6 x + 18) + 6 x^{2} (- 6 x + 18) - 36 x (- 6 x + 18) - 12 x (- 6 x + 18)$	=
$72 x^{3} - 360 x^{2} + 432 x + (- 72 x^{3} + 216 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 108 x^{2}) + (216 x^{2} - 648 x) + (72 x^{2} - 216 x)$	=
$- 36 x^{3} + 252 x^{2} - 432 x$	=

$- 36 x^{3} + 252 x^{2} - 432 x$	=	0
$36 x (- x^{2} + 7 x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 29 \cdot (- 1) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$15 x$	$+ 15$
		-( $15 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 17 \cdot {(- 3)}^{2} + 29 \cdot (- 3) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$5 x$	$+ 15$
		-( $5 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x - 3 | - 3$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x - 3 \| - 3$	=	$- 9$
$- 3 - \frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	$- 9$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x - 3 \|$	=	$12$

1. Fall: $x - 3$ ≥ 0:

$x - 3$	=	$12$	\| $+ 3$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 3$ ≥ 0) genügt:

$15 - 3$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 3$ < 0:

$- (x - 3)$	=	$12$
$- x + 3$	=	$12$	\| $- 3$
$- x$	=	$9$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 3$ < 0) genügt:

$- 9 - 3$ = -12 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

1. Fall: x -3 ≥ 0:

2. Fall: x -3 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 3$ < 0: