Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{5}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{14}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{5}{x}$	=	$\frac{14}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 5 x$	=	$14$

x^{2} + 5 x

=

14

|

- 14

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 7$ : f( $- 7$ )= $\frac{14}{{(- 7)}^{2}}$ = 0.286 Somit gilt: S₁( $- 7$ |0.286)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{14}{2^{2}}$ = 3.5 Somit gilt: S₂( $2$ |3.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 14 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 49 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 49 x - 7$ gilt m = $- 49$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 14 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 14 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 14 e^{x}

=

- 49

|

+ 49

e^{2 x} - 14 e^{x} + 49

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 14 u + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{14}{2}$ = $7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

L={ $\ln (7)$ }

$\ln (7)$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 49$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 49 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 3 e^{2 x} - 28 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 3 e^{2 x} - 28 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} - 28) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 2} + \frac{3 x}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{3 x}{x + 1} + \frac{4 x}{x + 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{4 x}{x + 2} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{4 x}{x + 2} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$3 x + \frac{4 x (x + 1)}{x + 2} - 4 x - 4$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} + 4 x}{x + 2} - 4 x - 4$	=
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{x + 2} + 3 x - 4 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 4 x}{x + 2} + 3 x - 4 x - 4$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2) - 4 x \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2)$	=
$4 x^{2} + 4 x + 3 x (x + 2) - 4 x (x + 2) - 4 x - 8$	=
$4 x^{2} + 4 x + (3 x^{2} + 6 x) + (- 4 x^{2} - 8 x) - 4 x - 8$	=
$3 x^{2} - 2 x - 8$	=

$3 x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{2+10}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{2-10}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$ ≈ -1.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + x^{3} - 28 x^{2} - 76 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + x^{3} - 28 x^{2} - 76 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} - 28 \cdot {(- 1)}^{2} - 76 \cdot (- 1) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ x^{3}$	$- 28 x^{2}$	$- 76 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 0 - 28 x - 48$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	0	$- 28 x^{2}$
	-(0	0)
		$- 28 x^{2}$	$- 76 x$
		-( $- 28 x^{2}$	$- 28 x$ )
			$- 48 x$	$- 48$
			-( $- 48 x$	$- 48$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + x^{3} - 28 x^{2} - 76 x - 48$ = $(x^{3} + 0 - 28 x - 48) \cdot (x + 1)$

$(x^{3} + 0 - 28 x - 48) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{3} - 28 x - 48) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 28 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 28 \cdot (- 2) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 28 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 24$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 24 x$	$- 48$
		-( $- 24 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 28 x - 48$ = $(x^{2} - 2 x - 24) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 2 x - 24) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 28 \cdot (- 4) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 28 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$- 12 x$	$- 48$
		-( $- 12 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 28 x - 48$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 28 \cdot 6 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 28 x$	$- 48$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$8 x$	$- 48$
		-( $8 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 28 x - 48$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 4 | + 3$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 4 \| + 3$	=	$9$
$3 + \frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$9$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| x + 4 \|$	=	$18$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

$x + 4$	=	$18$	\| $- 4$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ ≥ 0) genügt:

$14 + 4$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 4$ < 0:

$- (x + 4)$	=	$18$
$- x - 4$	=	$18$	\| $+ 4$
$- x$	=	$22$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 22$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ < 0) genügt:

$- 22 + 4$ = -18 < 0

Die Lösung $- 22$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 22$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: x +4 ≥ 0:

2. Fall: x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 4$ < 0: