Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + e^{x}$ und $g(x) =$ $6$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + e^{x}

=

6

|

- 6

e^{2 x} + e^{x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $6$ Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$0$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 6-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{7} + 9 x^{4} + 8 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{7} + 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x (x^{6} + 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} + 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{6 x}{x - 2} + \frac{- 16 x - 1}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

\frac{8 x - 1 - 16 x - 1}{3 x} + \frac{6 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x - 1 - 16 x - 1}{3 x} + \frac{6 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x - 1 - 16 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{6 x}{x - 2} \cdot 3 x$	=
$8 x - 1 - 16 x - 1 + 3 \frac{6 x \cdot x}{x - 2}$	=
$8 x - 1 - 16 x - 1 + 3 \frac{6 x^{2}}{x - 2}$	=
$3 \frac{6 x^{2}}{x - 2} + 8 x - 16 x - 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$3 \frac{6 x^{2}}{x - 2} + 8 x - 16 x - 1 - 1$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$3 \frac{6 x^{2}}{x - 2} \cdot (x - 2) + 8 x \cdot (x - 2) - 16 x \cdot (x - 2) - 1 \cdot (x - 2) - 1 \cdot (x - 2)$	=
$18 x^{2} + 8 x (x - 2) - 16 x (x - 2) - x + 2 - x + 2$	=
$18 x^{2} + (8 x^{2} - 16 x) + (- 16 x^{2} + 32 x) - x + 2 - x + 2$	=
$10 x^{2} + 14 x + 4$	=

10 x^{2} + 14 x + 4

= 0 |:2

$5 x^{2} + 7 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{10}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{- 7+3}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{- 7-3}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 5 x$
	-( $- x^{2}$	$+ x$ )
		$- 6 x$	$+ 6$
		-( $- 6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - x - 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 5 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 3 x$	$+ 6$
		-( $- 3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x - 2 | - 4$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 2 \| - 4$	=	$- 14$
$- 4 - \frac{1}{2} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 14$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 10$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$20$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$20$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$22$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 11) - 2$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$20$
$2 x + 2$	=	$20$	\| $- 2$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 9 - 2$ = -20 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: