Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 6 e^{- x}$ und $g(x) =$ $1$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 6 e^{- x}

=

1

|

- 1

e^{x} - 6 e^{- x} - 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 6 e^{- x} - 1$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - e^{x} - 6$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $1$ Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 2 + 2 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 2 + 2 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $2 e^{- 2 x} - 1 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- 2 x} - 1 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$2 e^{- 2 x} - 1 + 1 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 e^{- 2 x} - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 12 e^{x}$ = $8 e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 12 e^{x}$	=	$8 e^{4 x}$	\| $- 8 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 8 e^{4 x} + 12 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{20 x}{- 2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{6 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{20 x}{- 2 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} + \frac{20 x}{- 2 x - 2}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{5 x + 1}{3 x} \cdot (x + 1) + \frac{20 x}{- 2 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{(5 x + 1) (x + 1)}{3 x} - 10 x$	=
$6 x + \frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} - 10 x$	=
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} + 6 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} + 6 x - 10 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 6 x \cdot 3 x - 10 x \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 18 x \cdot x - 30 x \cdot x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 18 x^{2} - 30 x^{2}$	=
$- 7 x^{2} + 6 x + 1$	=

$- 7 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot 1}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 6+8}{- 14}$ = $\frac{2}{- 14}$ = $- \frac{1}{7}$ ≈ -0.14

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 6-8}{- 14}$ = $\frac{- 14}{- 14}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{7}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - 10 \cdot {(- 1)}^{2} - 43 \cdot (- 1) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 43 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$- 13 x$ )
		$- 30 x$	$- 30$
		-( $- 30 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 10 \cdot 6^{2} - 43 \cdot 6 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 43 x$	$- 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$5 x$	$- 30$
		-( $5 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x + 20 | - 6$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x + 20 \| - 6$	=	$6$
$- 6 + \frac{1}{3} \| - 4 x + 20 \|$	=	$6$	\| $+ 6$
$\frac{1}{3} \| - 4 x + 20 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x + 20 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 4 x + 20$ ≥ 0:

$- 4 x + 20$	=	$36$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 4) + 20$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 20$ < 0:

$- (- 4 x + 20)$	=	$36$
$4 x - 20$	=	$36$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$56$	\|: $4$
x₂	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 20$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 14 + 20$ = -36 < 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +20 ≥ 0:

2. Fall: -4x +20 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 20$ < 0: