Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 18 e^{x}$ und $g(x) =$ $3 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 18 e^{x}$	=	$3 e^{3 x}$	\| $- 3 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 3 e^{3 x} - 18 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 18) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $3 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 44.091 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |44.091)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{3}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $4 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x + 6$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{3}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 3 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 3 e^{2 x}

=

4

|

- 4

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 7} + \frac{- 3}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x + 7} - 4 - \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 7} - 4 - \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{2 x}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) - 4 \cdot (3 x + 7) - \frac{3}{x} \cdot (3 x + 7)$	=
$2 x - 12 x - 28 - 3 \frac{3 x + 7}{x}$	=
$- 3 \frac{3 x + 7}{x} + 2 x - 12 x - 28$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 3 \frac{3 x + 7}{x} + 2 x - 12 x - 28$	=	\|⋅( $x$ )
$- 3 \frac{3 x + 7}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 12 x \cdot x - 28 \cdot x$	=
$- 9 x - 21 + 2 x \cdot x - 12 x \cdot x - 28 x$	=
$- 9 x - 21 + 2 x^{2} - 12 x^{2} - 28 x$	=
$- 10 x^{2} - 37 x - 21$	=

$- 10 x^{2} - 37 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{{(- 37)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 369 - 840}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{529}}{- 20}$

x₁ = $\frac{37 + \sqrt{529}}{- 20}$ = $\frac{37+23}{- 20}$ = $\frac{60}{- 20}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{37 - \sqrt{529}}{- 20}$ = $\frac{37-23}{- 20}$ = $\frac{14}{- 20}$ = $- 0,7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,7$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $10$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$+ 10$
		-( $5 x$	$+ 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x + 8 | + 6$ = $10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x + 8 \| + 6$	=	$10$
$6 + \frac{1}{2} \| 2 x + 8 \|$	=	$10$	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| 2 x + 8 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| 2 x + 8 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

$2 x + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 0 + 8$ = 8 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 8$ < 0:

$- (2 x + 8)$	=	$8$
$- 2 x - 8$	=	$8$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 8) + 8$ = -8 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +8 ≥ 0:

2. Fall: 2x +8 < 0:

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 8$ < 0: