Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 18 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 3 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 18 e^{2 x}$	=	$- 3 e^{5 x}$	\| $+ 3 e^{5 x}$
$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 3 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = -18.721 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-18.721)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{9}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x - 4$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{9}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 9 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 7 x^{3} - 8$ = 0

Lösung einblenden

x^{6} - 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{2 x - 3}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; 0}

\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{2 x - 3}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{2 x - 3}{x} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{2 x - 3}{x} \cdot (2 x + 3) - 6 \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x + \frac{(2 x - 3) (2 x + 3)}{x} - 12 x - 18$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} - 9}{x} - 12 x - 18$	=
$\frac{4 x^{2} - 9}{x} + 3 x - 12 x - 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 9}{x} + 3 x - 12 x - 18$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 x^{2} - 9}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 12 x \cdot x - 18 \cdot x$	=
$4 x^{2} - 9 + 3 x \cdot x - 12 x \cdot x - 18 x$	=
$4 x^{2} - 9 + 3 x^{2} - 12 x^{2} - 18 x$	=
$- 5 x^{2} - 18 x - 9$	=

$- 5 x^{2} - 18 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 180}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{144}}{- 10}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{18+12}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{18-12}{- 10}$ = $\frac{6}{- 10}$ = $- 0,6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 6$
		-( $3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x - 3 | - 1$ = $4$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x - 3 \| - 1$	=	$4$
$- 1 + \frac{1}{3} \| - x - 3 \|$	=	$4$	\| $+ 1$
$\frac{1}{3} \| - x - 3 \|$	=	$5$	\|⋅ $3$
$\| - x - 3 \|$	=	$15$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

$- x - 3$	=	$15$	\| $+ 3$
$- x$	=	$18$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 18$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- (- 18) - 3$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $- 18$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 3$ < 0:

$- (- x - 3)$	=	$15$
$x + 3$	=	$15$	\| $- 3$
x₂	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ < 0) genügt:

$- 12 - 3$ = -15 < 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 18$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -3 ≥ 0:

2. Fall: -x -3 < 0:

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 3$ < 0: