Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{2}$ und $g(x) =$ $20$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + x^{2}

=

20

|

- 20

x^{4} + x^{2} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $20$ Somit gilt: S₁( $- 2$ |20)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $20$ Somit gilt: S₂( $2$ |20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $4 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x - 7$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 3 e^{3 x}

=

4

|

- 4

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 4 x} + 6) \cdot (x^{4} + 2 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 4 x} + 6) (x^{4} + 2 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 4 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 5 e^{- 4 x}$	=	$- 6$	\|: $- 5$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{6}{5})$	≈ -0.0456

2. Fall:

$x^{4} + 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{6}{5})$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x - 7} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{13 x + 1}{- 6 x + 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{x - 1}{3 x - 7} + \frac{13 x + 1}{- 6 x + 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{x - 1}{3 x - 7} + \frac{13 x + 1}{- 6 x + 10}$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{5 x + 1}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{x - 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 5) + \frac{13 x + 1}{- 6 x + 10} \cdot (3 x - 5)$	=
$5 x + 1 + \frac{(x - 1) (3 x - 5)}{3 x - 7} + \frac{(13 x + 1) (3 x - 5)}{- 6 x + 10}$	=
$5 x + 1 + \frac{3 x^{2} - 8 x + 5}{3 x - 7} + \frac{39 x^{2} - 62 x - 5}{- 6 x + 10}$	=
$\frac{39 x^{2} - 62 x - 5}{- 6 x + 10} + \frac{3 x^{2} - 8 x + 5}{3 x - 7} + 5 x + 1$	=

\frac{3 x^{2} - 8 x + 5}{3 x - 7} + \frac{39 x^{2} - 62 x - 5}{- 6 x + 10} + 5 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 8 x + 5}{3 x - 7} + \frac{39 x^{2} - 62 x - 5}{- 6 x + 10} + 5 x + 1$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{3 x^{2} - 8 x + 5}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{39 x^{2} - 62 x - 5}{- 6 x + 10} \cdot (3 x - 7) + 5 x \cdot (3 x - 7) + 1 \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 8 x + 5 + \frac{(39 x^{2} - 62 x - 5) (3 x - 7)}{- 6 x + 10} + 5 x (3 x - 7) + 3 x - 7$	=
$3 x^{2} - 8 x + 5 + \frac{117 x^{3} - 459 x^{2} + 419 x + 35}{- 6 x + 10} + (15 x^{2} - 35 x) + 3 x - 7$	=
$\frac{117 x^{3} - 459 x^{2} + 419 x + 35}{- 6 x + 10} + 3 x^{2} + 15 x^{2} - 8 x - 35 x + 3 x + 5 - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 10$ weg!

$\frac{117 x^{3} - 459 x^{2} + 419 x + 35}{- 6 x + 10} + 3 x^{2} + 15 x^{2} - 8 x - 35 x + 3 x + 5 - 7$	=	\|⋅( $- 6 x + 10$ )
$\frac{117 x^{3} - 459 x^{2} + 419 x + 35}{- 6 x + 10} \cdot (- 6 x + 10) + 3 x^{2} \cdot (- 6 x + 10) + 15 x^{2} \cdot (- 6 x + 10) - 8 x \cdot (- 6 x + 10) - 35 x \cdot (- 6 x + 10) + 3 x \cdot (- 6 x + 10) + 5 \cdot (- 6 x + 10) - 7 \cdot (- 6 x + 10)$	=
$117 x^{3} - 459 x^{2} + 419 x + 35 + 3 x^{2} (- 6 x + 10) + 15 x^{2} (- 6 x + 10) - 8 x (- 6 x + 10) - 35 x (- 6 x + 10) + 3 x (- 6 x + 10) - 30 x + 50 + 42 x - 70$	=
$117 x^{3} - 459 x^{2} + 419 x + 35 + (- 18 x^{3} + 30 x^{2}) + (- 90 x^{3} + 150 x^{2}) + (48 x^{2} - 80 x) + (210 x^{2} - 350 x) + (- 18 x^{2} + 30 x) - 30 x + 50 + 42 x - 70$	=
$9 x^{3} - 39 x^{2} + 31 x + 15$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $9 x^{3} - 39 x^{2} + 31 x + 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $15$ .

$3$ ist eine Lösung, denn $9 \cdot 3^{3} - 39 \cdot 3^{2} + 31 \cdot 3 + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $9 x^{3}$	$- 39 x^{2}$	$+ 31 x$	$+ 15$ )	:	(x $- 3$ )	=	$9 x^{2} - 12 x - 5$
-( $9 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$- 12 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $- 12 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$- 5 x$	$+ 15$
		-( $- 5 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$9 x^{3} - 39 x^{2} + 31 x + 15$ = $(9 x^{2} - 12 x - 5) \cdot (x - 3)$

(9 x^{2} - 12 x - 5) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 x^{2} - 12 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 + 180}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{324}}{18}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{324}}{18}$ = $\frac{12+18}{18}$ = $\frac{30}{18}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{324}}{18}$ = $\frac{12-18}{18}$ = $\frac{- 6}{18}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 36 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 5 \cdot 6^{2} - 36 \cdot 6 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$6 x$	$- 36$
		-( $6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 3 | - 4$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \| - x - 3 \| - 4$	=	$- 5$
$- 4 - \| - x - 3 \|$	=	$- 5$	\| $+ 4$
$- \| - x - 3 \|$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 3 \|$	=	$1$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

$- x - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- (- 4) - 3$ = 1 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 3$ < 0:

$- (- x - 3)$	=	$1$
$x + 3$	=	$1$	\| $- 3$
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ < 0) genügt:

$- (- 2) - 3$ = -1 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -3 ≥ 0:

2. Fall: -x -3 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 3$ < 0: