Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{5}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{6}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{5}{x}$	=	$\frac{6}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 5 x$	=	$6$

x^{2} + 5 x

=

6

|

- 6

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 6$ : f( $- 6$ )= $\frac{6}{{(- 6)}^{2}}$ = 0.167 Somit gilt: S₁( $- 6$ |0.167)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $\frac{6}{1^{2}}$ = 6 Somit gilt: S₂( $1$ |6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 4 + 4 x \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 4 + 4 x \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $4 e^{- 3 x} - 2 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- 3 x} - 2 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$4 e^{- 3 x} - 2 + 2 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$4 e^{- 3 x} - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$4 (- 3 x + 1) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$- 1$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$\frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{- 3 x} - 2) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(6 e^{- 3 x} - 2) (x^{5} - 16 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{- 3 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$6 e^{- 3 x}$	=	$2$	\|: $6$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 0.3662

2. Fall:

$x^{5} - 16 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{3})$ ; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{x}{2 x + 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{x}{2 x + 4} + \frac{3 x}{2 x + 5} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{3 x}{2 x + 5} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{3 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 4) - 5 \cdot (2 x + 4)$	=
$x + \frac{3 x (2 x + 4)}{2 x + 5} - 10 x - 20$	=
$x + \frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x + 5} - 10 x - 20$	=
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x + 5} + x - 10 x - 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x + 5} + x - 10 x - 20$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5) - 10 x \cdot (2 x + 5) - 20 \cdot (2 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 12 x + x (2 x + 5) - 10 x (2 x + 5) - 40 x - 100$	=
$6 x^{2} + 12 x + (2 x^{2} + 5 x) + (- 20 x^{2} - 50 x) - 40 x - 100$	=
$- 12 x^{2} - 73 x - 100$	=

$- 12 x^{2} - 73 x - 100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 73 \pm \sqrt{{(- 73)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 100)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 73 \pm \sqrt{5 329 - 4 800}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 73 \pm \sqrt{529}}{- 24}$

x₁ = $\frac{73 + \sqrt{529}}{- 24}$ = $\frac{73+23}{- 24}$ = $\frac{96}{- 24}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{73 - \sqrt{529}}{- 24}$ = $\frac{73-23}{- 24}$ = $\frac{50}{- 24}$ = $- \frac{25}{12}$ ≈ -2.08

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{25}{12}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 9 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 9 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 9 \cdot {(- 1)}^{3} + 7 \cdot {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 10 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$
	-( $- 10 x^{3}$	$- 10 x^{2}$ )
		$17 x^{2}$	$+ 9 x$
		-( $17 x^{2}$	$+ 17 x$ )
			$- 8 x$	$- 8$
			-( $- 8 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 9 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x - 8$ = $(x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 10 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8$ = $(x^{2} - 9 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 9 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 10 \cdot 8^{2} + 17 \cdot 8 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 8$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$x$	$- 8$
		-( $x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 9 \cdot 1^{3} + 7 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 8 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$
	-( $- 8 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$+ 9 x$
		-( $- x^{2}$	$+ x$ )
			$8 x$	$- 8$
			-( $8 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 9 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x - 8$ = $(x^{3} - 8 x^{2} - x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 8 x^{2} - x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} - x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 8 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8$ = $(x^{2} - 9 x + 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 9 x + 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 8 \cdot 1^{2} - 1 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- x$	$+ 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 8 x$	$+ 8$
		-( $- 8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 8 \cdot 8^{2} - 8 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- x$	$+ 8$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 8$
		-( $- x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 8)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 8)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{4} - 9 \cdot 8^{3} + 7 \cdot 8^{2} + 9 \cdot 8 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 8$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{3} - x^{2} - x + 1$
-( $x^{4}$	$- 8 x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$+ 7 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$+ 9 x$
		-( $- x^{2}$	$+ 8 x$ )
			$x$	$- 8$
			-( $x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 9 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x - 8$ = $(x^{3} - x^{2} - x + 1) \cdot (x - 8)$

(x^{3} - x^{2} - x + 1) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- x$	$+ 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 1$
		-( $- x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $8$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x - 20 | + 7$ = $15$

Lösung einblenden

$\| 4 x - 20 \| + 7$	=	$15$
$7 + \| 4 x - 20 \|$	=	$15$	\| $- 7$
$\| 4 x - 20 \|$	=	$8$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

$4 x - 20$	=	$8$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 7 - 20$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 20$ < 0:

$- (4 x - 20)$	=	$8$
$- 4 x + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot 3 - 20$ = -8 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $3$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit 1

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -20 ≥ 0:

2. Fall: 4x -20 < 0:

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $1$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 20$ < 0: