Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 8 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $- 7 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 8 e^{5 x}$	=	$- 7 e^{2 x}$	\| $+ 7 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 7 e^{2 \cdot 0}$ = -7 Somit gilt: S₁(0|-7)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $- 7 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = -25.615 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |-25.615)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = 0 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 0 gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = 0.

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 6} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 6} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{3 x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) - 3 \cdot (3 x + 6)$	=
$3 x - 9 x - 18$	=
$- 6 x - 18$	=

$- 6 x - 18$	=	0	\| $+ 18$
$- 6 x$	=	$18$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 4 \cdot {(- 1)}^{2} - 7 \cdot (- 1) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 7 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 10 x$	$- 10$
		-( $- 10 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 7 x$	$- 10$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$5 x$	$- 10$
		-( $5 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10$ = $(x^{2} + 6 x + 5) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 6 x + 5) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 4 \cdot {(- 5)}^{2} - 7 \cdot (- 5) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 7 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 2 x$	$- 10$
		-( $- 2 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - x - 2) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x + 15 | - 5$ = $4$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \| - 5$	=	$4$
$- 5 + \frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \|$	=	$4$	\| $+ 5$
$\frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \|$	=	$9$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x + 15 \|$	=	$18$

1. Fall: $- 3 x + 15$ ≥ 0:

$- 3 x + 15$	=	$18$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 1) + 15$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 15$ < 0:

$- (- 3 x + 15)$	=	$18$
$3 x - 15$	=	$18$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$33$	\|: $3$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 15$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 11 + 15$ = -18 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +15 ≥ 0:

2. Fall: -3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 5$

1. Fall: $- 3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 15$ < 0: