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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 28 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 3 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 28 x^{2}$	=	$- 3 x^{4}$	\| $+ 3 x^{4}$
$x^{6} + 3 x^{4} - 28 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} + 3 x^{2} - 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + 3 x^{2} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 3 \cdot {(- 2)}^{4}$ = -48 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-48)

x₂ = 0: f(0)= $- 3 \cdot 0^{4}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- 3 \cdot 2^{4}$ = -48 Somit gilt: S₃( $2$ |-48)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 2 + 8 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 4$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 2 + 8 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 (x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5}$ = $- x^{3}$

Lösung einblenden

$x^{5}$	=	$- x^{3}$	\| $+ x^{3}$
$x^{5} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4}{x} + \frac{x}{2 x + 4} + \frac{2 x}{- 2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{2 x}{- 2 x - 4} + \frac{x}{2 x + 4} - \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 2 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{- 2 x - 4} + \frac{x}{2 x + 4} - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $- 2 x - 4$ )
$\frac{2 x}{- 2 x - 4} \cdot (- 2 x - 4) + \frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (- 2 (x + 2)) - \frac{4}{x} \cdot (- 2 x - 4)$	=
$2 x - x - 4 \frac{- 2 x - 4}{x}$	=
$- 4 \frac{- 2 x - 4}{x} + 2 x - x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 \frac{- 2 x - 4}{x} + 2 x - x$	=	\|⋅( $x$ )
$- 4 \frac{- 2 x - 4}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - x \cdot x$	=
$8 x + 16 + 2 x \cdot x - x \cdot x$	=
$8 x + 16 + 2 x^{2} - x^{2}$	=
$x^{2} + 8 x + 16$	=

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x + 4 | - 4$ = $- 2$

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$- \| - 2 x + 4 \| - 4$	=	$- 2$
$- 4 - \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$- \| - 2 x + 4 \|$	=	$2$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$- 2$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

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vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen