Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + 2 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $24 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + 2 e^{2 x}$	=	$24 e^{- x}$	\| $- 24 e^{- x}$
$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 24 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 24) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $24 e^{- (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = 15.119 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |15.119)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 15 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 15 x - 6$ gilt m = $- 15$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 8 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 8 x

=

- 15

|

+ 15

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 15$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 15 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 3 x^{2} - 28 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{3} + 3 x^{2} - 28 x$	=	0
$x (x^{2} + 3 x - 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; 0; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 3} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 3} - 3$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) - 3 \cdot (2 x - 3)$	=
$3 x - 6 x + 9$	=
$- 3 x + 9$	=

$- 3 x + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 64 x - 64$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 64 x - 64$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 64$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 64 \cdot (- 1) - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 64 x$	$- 64$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 64$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- 64 x$
	-(0	0)
		$- 64 x$	$- 64$
		-( $- 64 x$	$- 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 64 x - 64$ = $(x^{2} + 0 - 64) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 64) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 64) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{2} - 64 \cdot (- 8) - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 64 x$	$- 64$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 64 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 56 x$ )
		$- 8 x$	$- 64$
		-( $- 8 x$	$- 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 64 x - 64$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} + 8^{2} - 64 \cdot 8 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 64 x$	$- 64$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$- 64 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$8 x$	$- 64$
		-( $8 x$	$- 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 64 x - 64$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 9 x + 8) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 8$ ; $- 1$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x - 20 | - 7$ = $- 27$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x - 20 \| - 7$	=	$- 27$
$- 7 - \frac{1}{3} \| 4 x - 20 \|$	=	$- 27$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| 4 x - 20 \|$	=	$- 20$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x - 20 \|$	=	$60$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

$4 x - 20$	=	$60$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$80$	\|: $4$
x₁	=	$20$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 20 - 20$ = 60 ≥ 0

Die Lösung $20$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 20$ < 0:

$- (4 x - 20)$	=	$60$
$- 4 x + 20$	=	$60$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$40$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 10) - 20$ = -60 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $20$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -20 ≥ 0:

2. Fall: 4x -20 < 0:

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 20$ < 0: