Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - \frac{27}{x}$ und $g(x) =$ $6 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - \frac{27}{x}$	=	$6 x$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - \frac{27}{x} \cdot x$	=	$6 x \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 27$	=	$6 x \cdot x$
$x^{4} - 27$	=	$6 x \cdot x$
$x^{4} - 27$	=	$6 x^{2}$

x^{4} - 27

=

6 x^{2}

|

- 6 x^{2}

x^{4} - 6 x^{2} - 27

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $6 \cdot (- 3)$ = -18 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-18)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $6 \cdot 3$ = 18 Somit gilt: S₂( $3$ |18)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 3 + 8 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 3$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 3 + 8 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$4 (- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 5 e^{x}$ = $- 4$

Lösung einblenden

e^{2 x} - 5 e^{x}

=

- 4

|

+ 4

e^{2 x} - 5 e^{x} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 6} + \frac{2 x + 2}{x + 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 3$ }

\frac{2 x + 2}{x + 2} + \frac{2 x + 2}{2 x + 6} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x + 2}{x + 2} + \frac{2 x + 2}{2 x + 6} - 6$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x + 2}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x + 2}{2 x + 6} \cdot (x + 2) - 6 \cdot (x + 2)$	=
$2 x + 2 + \frac{(2 x + 2) (x + 2)}{2 x + 6} - 6 x - 12$	=
$2 x + 2 + \frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 6} - 6 x - 12$	=
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 6} + 2 x - 6 x + 2 - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 6} + 2 x - 6 x + 2 - 12$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + 2 x \cdot (2 x + 6) - 6 x \cdot (2 x + 6) + 2 \cdot (2 x + 6) - 12 \cdot (2 x + 6)$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 + 2 x (2 x + 6) - 6 x (2 x + 6) + 4 x + 12 - 24 x - 72$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 + (4 x^{2} + 12 x) + (- 12 x^{2} - 36 x) + 4 x + 12 - 24 x - 72$	=
$- 6 x^{2} - 38 x - 56$	=

- 6 x^{2} - 38 x - 56

= 0 |:2

$- 3 x^{2} - 19 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{19+5}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{19-5}{- 6}$ = $\frac{14}{- 6}$ = $- \frac{7}{3}$ ≈ -2.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{7}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 74 x + 144$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 74 x + 144$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $144$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2^{2} - 74 \cdot 2 + 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 74 x$	$+ 144$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + x - 72$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 74 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 72 x$	$+ 144$
		-( $- 72 x$	$+ 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 74 x + 144$ = $(x^{2} + x - 72) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + x - 72) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1+17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1-17}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 8^{2} - 74 \cdot 8 + 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 74 x$	$+ 144$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 74 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 56 x$ )
		$- 18 x$	$+ 144$
		-( $- 18 x$	$+ 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 74 x + 144$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} - {(- 9)}^{2} - 74 \cdot (- 9) + 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 74 x$	$+ 144$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 74 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 90 x$ )
		$16 x$	$+ 144$
		-( $16 x$	$+ 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 74 x + 144$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x + 5 | - 5$ = $- 6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x + 5 \| - 5$	=	$- 6$
$- 5 + \frac{1}{3} \| - x + 5 \|$	=	$- 6$	\| $+ 5$
$\frac{1}{3} \| - x + 5 \|$	=	$- 1$	\|⋅ $3$
$\| - x + 5 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $- 9$