Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} - 7 x^{4}$ und $g(x) =$ $8 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} - 7 x^{4}$	=	$8 x$	\| $- 8 x$
$x^{7} - 7 x^{4} - 8 x$	=	0
$x (x^{6} - 7 x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $8 \cdot (- 1)$ = -8 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-8)

x₂ = 0: f(0)= $8 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $8 \cdot 2$ = 16 Somit gilt: S₃( $2$ |16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 2 + 4 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 2$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 2 + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $4 e^{- 2 x} - 1 - 8 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- 2 x} - 1 - 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$4 e^{- 2 x} - 1 + 1 - 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 e^{- 2 x} - 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- x} + 4) \cdot (x^{4} - 16 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- x} + 4) (x^{4} - 16 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 8 e^{- x}$	=	$- 4$	\|: $- 8$
$e^{- x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 1$
x₁	=	$- \ln (\frac{1}{2})$	≈ 0.6931

2. Fall:

$x^{4} - 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $- \ln (\frac{1}{2})$ ; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{3 x - 9} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{2 x - 2}{3 x - 9} - 2$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{2 x - 2}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) - 2 \cdot (3 x - 9)$	=
$2 x - 2 - 6 x + 18$	=
$- 4 x + 16$	=

$- 4 x + 16$	=	0	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x + 5 | - 1$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \| - x + 5 \| - 1$	=	$- 7$
$- 1 - \| - x + 5 \|$	=	$- 7$	\| $+ 1$
$- \| - x + 5 \|$	=	$- 6$	\|: $(- 1)$
$\| - x + 5 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x + 5$ ≥ 0:

$- x + 5$	=	$6$	\| $- 5$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 5$ ≥ 0) genügt:

$- (- 1) + 5$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 5$ < 0:

$- (- x + 5)$	=	$6$
$x - 5$	=	$6$	\| $+ 5$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 5$ < 0) genügt:

$- 11 + 5$ = -6 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +5 ≥ 0:

2. Fall: -x +5 < 0:

1. Fall: $- x + 5$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 5$ < 0: