Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} - 8 x^{2}$ und $g(x) =$ $7 x^{5}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} - 8 x^{2}$	=	$7 x^{5}$	\| $- 7 x^{5}$
$x^{8} - 7 x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} - 7 x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} - 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $7 \cdot {(- 1)}^{5}$ = -7 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-7)

x₂ = 0: f(0)= $7 \cdot 0^{5}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $7 \cdot 2^{5}$ = 224 Somit gilt: S₃( $2$ |224)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 5 + x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 7$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 5 + x \cdot e^{x}$

f'(x)= $e^{x} - 2 + x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$e^{x} - 2 + x \cdot e^{x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$e^{x} - 2 + 2 + x \cdot e^{x}$	=	0
$e^{x} + x \cdot e^{x}$	=	0
$(x + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 42 e^{2 x}$ = $e^{5 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 42 e^{2 x}$	=	$e^{5 x}$	\| $- e^{5 x}$
$e^{8 x} - e^{5 x} - 42 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 42) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{3 x + 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{9 x}{2 x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{9 x}{2 x - 1} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (3 x + 1) - 7 \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x + \frac{9 x (3 x + 1)}{2 x - 1} - 21 x - 7$	=
$8 x + \frac{27 x^{2} + 9 x}{2 x - 1} - 21 x - 7$	=
$\frac{27 x^{2} + 9 x}{2 x - 1} + 8 x - 21 x - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{27 x^{2} + 9 x}{2 x - 1} + 8 x - 21 x - 7$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{27 x^{2} + 9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 8 x \cdot (2 x - 1) - 21 x \cdot (2 x - 1) - 7 \cdot (2 x - 1)$	=
$27 x^{2} + 9 x + 8 x (2 x - 1) - 21 x (2 x - 1) - 14 x + 7$	=
$27 x^{2} + 9 x + (16 x^{2} - 8 x) + (- 42 x^{2} + 21 x) - 14 x + 7$	=
$x^{2} + 8 x + 7$	=

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 8 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 18 x$	$+ 18$
		-( $- 18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 7 x - 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 8 \cdot {(- 2)}^{2} - 11 \cdot (- 2) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$9 x$	$+ 18$
		-( $9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 8 \cdot 9^{2} - 11 \cdot 9 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 11 x$
	-( $x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 2 x$	$+ 18$
		-( $- 2 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + x - 2) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x + 6 | + 3$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 2 x + 6 \| + 3$	=	$5$
$3 + \frac{1}{3} \| 2 x + 6 \|$	=	$5$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| 2 x + 6 \|$	=	$2$	\|⋅ $3$
$\| 2 x + 6 \|$	=	$6$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

$2 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 0 + 6$ = 6 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 6$ < 0:

$- (2 x + 6)$	=	$6$
$- 2 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 6) + 6$ = -6 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +6 ≥ 0:

2. Fall: 2x +6 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 6$ < 0: