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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 6 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 8 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 6 e^{2 x}$	=	$- 8 e^{x}$	\| $+ 8 e^{x}$
$e^{3 x} - 6 e^{2 x} + 8 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 6 e^{x} + 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 6 e^{x} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 8 e^{\ln (2)}$ = -16 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-16)

x₂ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 8 e^{2 \ln (2)}$ = -32 Somit gilt: S₂( $2 \ln (2)$ |-32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = 0 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 0 gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 5 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} + 5 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = 0.

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x - 7$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

- 6 x - 7

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{4}{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{x}{2 x - 4} - 2 + \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{x}{2 x - 4} - 2 + \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) - 2 \cdot (2 x - 4) + \frac{4}{x} \cdot (2 x - 4)$	=
$x - 4 x + 8 + 4 \frac{2 x - 4}{x}$	=
$4 \frac{2 x - 4}{x} + x - 4 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$4 \frac{2 x - 4}{x} + x - 4 x + 8$	=	\|⋅( $x$ )
$4 \frac{2 x - 4}{x} \cdot x + x \cdot x - 4 x \cdot x + 8 \cdot x$	=
$8 x - 16 + x \cdot x - 4 x \cdot x + 8 x$	=
$8 x - 16 + x^{2} - 4 x^{2} + 8 x$	=
$- 3 x^{2} + 16 x - 16$	=

$- 3 x^{2} + 16 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{- 16+8}{- 6}$ = $\frac{- 8}{- 6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{- 16-8}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 6 \cdot {(- 1)}^{3} + 7 \cdot {(- 1)}^{2} + 6 \cdot (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 6 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 7 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$
	-( $- 7 x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
		$14 x^{2}$	$+ 6 x$
		-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
			$- 8 x$	$- 8$
			-( $- 8 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 8$ = $(x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 14 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 14 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 7 \cdot 4^{2} + 14 \cdot 4 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$2 x$	$- 8$
		-( $2 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x + 5 | + 8$ = $4$

Lösung einblenden

$\| x + 5 \| + 8$	=	$4$
$8 + \| x + 5 \|$	=	$4$	\| $- 8$
$\| x + 5 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $4$