Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $3 e^{- x} + 1$ und $g(x) =$ $28 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

3 e^{- x} + 1

=

28 e^{- 2 x}

|

- 28 e^{- 2 x}

3 e^{- x} - 28 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$3 e^{- x} - 28 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} + 3 e^{x} - 28$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $28 e^{- 2 \cdot (2 \ln (2))}$ = 1.75 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |1.75)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $15 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $15 x - 7$ gilt m = $15$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 2 e^{3 x}

=

15

|

- 15

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $15$ und sind somit parallel zur Geraden y = $15 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 5 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 5 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 4 e^{x} - 5) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 4 e^{x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{6 x}{x - 2} + \frac{- 18 x}{9 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{4}{3}$ }

\frac{6 x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 x + 4} - \frac{18 x}{9 x + 12}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 x + 4} - \frac{18 x}{9 x + 12}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (x - 2) - \frac{18 x}{9 x + 12} \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{3 x (x - 2)}{3 x + 4} - \frac{18 x (x - 2)}{9 x + 12}$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x + 4} - \frac{18 x^{2} - 36 x}{9 x + 12}$	=
$- \frac{18 x^{2} - 36 x}{9 x + 12} + \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x + 4} + 6 x$	=

\frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x + 4} - \frac{18 x^{2} - 36 x}{9 x + 12} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x + 4} - \frac{18 x^{2} - 36 x}{9 x + 12} + 6 x$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) - \frac{18 x^{2} - 36 x}{3 (3 x + 4)} \cdot (3 x + 4) + 6 x \cdot (3 x + 4)$	=
$3 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} + 12 x + 6 x (3 x + 4)$	=
$3 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} + 12 x + (18 x^{2} + 24 x)$	=
$15 x^{2} + 30 x$	=

$15 x^{2} + 30 x$	=	0
$15 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - 19 \cdot {(- 1)}^{2} - 67 \cdot (- 1) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 67 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- 67 x$
	-( $- 22 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$- 45 x$	$- 45$
		-( $- 45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 19 \cdot 9^{2} - 67 \cdot 9 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 67 x$	$- 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 67 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$5 x$	$- 45$
		-( $5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x + 10 | - 8$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \| - 8$	=	$2$
$- 8 + \frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \|$	=	$2$	\| $+ 8$
$\frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \|$	=	$10$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$20$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

$- 2 x + 10$	=	$20$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 5) + 10$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0:

$- (- 2 x + 10)$	=	$20$
$2 x - 10$	=	$20$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$30$	\|: $2$
x₂	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 15 + 10$ = -20 < 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +10 ≥ 0:

2. Fall: -2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0: