Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 5 e^{x}$ und $g(x) =$ $6 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 5 e^{x}$	=	$6 e^{- 2 x}$	\| $- 6 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} + 5 e^{x} - 6 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $6 e^{- 2 \cdot 0}$ = 6 Somit gilt: S₁(0|6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $30 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x + 5$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + e^{2 x}

=

30

|

- 30

e^{4 x} + e^{2 x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{x} - 2$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

- e^{x} - 2

=

- e^{2 x}

|

+ e^{2 x}

e^{2 x} - e^{x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4}{x} + \frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{- 15 x}{6 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

- \frac{15 x}{6 x + 12} + \frac{4 x}{2 x + 4} - \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x + 12$ weg!

$- \frac{15 x}{6 x + 12} + \frac{4 x}{2 x + 4} - \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $6 x + 12$ )
$- \frac{15 x}{6 x + 12} \cdot (6 x + 12) + \frac{4 x}{2 (x + 2)} \cdot (6 (x + 2)) - \frac{4}{x} \cdot (6 x + 12)$	=
$- 15 x + 12 x - 4 \frac{6 x + 12}{x}$	=
$- 4 \frac{6 x + 12}{x} - 15 x + 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 \frac{6 x + 12}{x} - 15 x + 12 x$	=	\|⋅( $x$ )
$- 4 \frac{6 x + 12}{x} \cdot x - 15 x \cdot x + 12 x \cdot x$	=
$- 24 x - 48 - 15 x \cdot x + 12 x \cdot x$	=
$- 24 x - 48 - 15 x^{2} + 12 x^{2}$	=
$- 3 x^{2} - 24 x - 48$	=

- 3 x^{2} - 24 x - 48

= 0 |:3

$- x^{2} - 8 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 3 x$	$- 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 3$
		-( $3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x + 3 | - 2$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x + 3 \| - 2$	=	0
$- 2 + \frac{1}{3} \| - x + 3 \|$	=	0	\| $+ 2$
$\frac{1}{3} \| - x + 3 \|$	=	$2$	\|⋅ $3$
$\| - x + 3 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x + 3$ ≥ 0:

$- x + 3$	=	$6$	\| $- 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- (- 3) + 3$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 3$ < 0:

$- (- x + 3)$	=	$6$
$x - 3$	=	$6$	\| $+ 3$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 3$ < 0) genügt:

$- 9 + 3$ = -6 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +3 ≥ 0:

2. Fall: -x +3 < 0:

1. Fall: $- x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 3$ < 0: