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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 5 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $14 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} + 5 e^{4 x}$	=	$14 e^{2 x}$	\| $- 14 e^{2 x}$
$e^{6 x} + 5 e^{4 x} - 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $14 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (2))}$ = 28 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |28)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $4 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x - 4$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 6 x} - 4) \cdot (x^{4} - 3 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 6 x} - 4) (x^{4} - 3 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 6 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$9 e^{- 6 x}$	=	$4$	\|: $9$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{4}{9})$	≈ 0.1352

2. Fall:

$x^{4} - 3 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={0; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{4}{9})$ ; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{4 x}{x + 1} + \frac{12 x}{2 x + 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{12 x}{2 x + 1} - 6$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{12 x}{2 x + 1} \cdot (x + 1) - 6 \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{12 x (x + 1)}{2 x + 1} - 6 x - 6$	=
$4 x + \frac{12 x^{2} + 12 x}{2 x + 1} - 6 x - 6$	=
$\frac{12 x^{2} + 12 x}{2 x + 1} + 4 x - 6 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 12 x}{2 x + 1} + 4 x - 6 x - 6$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{12 x^{2} + 12 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 4 x \cdot (2 x + 1) - 6 x \cdot (2 x + 1) - 6 \cdot (2 x + 1)$	=
$12 x^{2} + 12 x + 4 x (2 x + 1) - 6 x (2 x + 1) - 12 x - 6$	=
$12 x^{2} + 12 x + (8 x^{2} + 4 x) + (- 12 x^{2} - 6 x) - 12 x - 6$	=
$8 x^{2} - 2 x - 6$	=

8 x^{2} - 2 x - 6

= 0 |:2

$4 x^{2} - x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{1+7}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{1-7}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x + 6 | + 5$ = $1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 6 \| + 5$	=	$1$
$5 - \frac{1}{2} \| - 2 x + 6 \|$	=	$1$	\| $- 5$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x + 6 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x + 6 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x + 6$ ≥ 0:

$- 2 x + 6$	=	$8$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 1) + 6$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 6$ < 0:

$- (- 2 x + 6)$	=	$8$
$2 x - 6$	=	$8$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 6$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 7 + 6$ = -8 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +6 ≥ 0:

2. Fall: -2x +6 < 0:

1. Fall: $- 2 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 6$ < 0: