Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2}$ und $g(x) =$ $15 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	$15 x$	\| $- 15 x$
$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x$	=	0
$x (x^{2} - 2 x - 15)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $15 \cdot (- 3)$ = -45 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-45)

x₂ = 0: f(0)= $15 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $5$ : f( $5$ )= $15 \cdot 5$ = 75 Somit gilt: S₃( $5$ |75)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{4}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $5 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5 x + 7$ gilt m = $5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{4}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 4 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 4 x^{2}

=

5

|

- 5

x^{4} + 4 x^{2} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $5 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{3 x} - 2) \cdot (x^{5} - 4 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{3 x} - 2) (x^{5} - 4 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{3 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$8 e^{3 x}$	=	$2$	\|: $8$
$e^{3 x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{4})$	≈ -0.4621

2. Fall:

$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{4})$ ; 0; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$2 x - 4 x + 8$	=
$- 2 x + 8$	=

$- 2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 10 x^{3} + 36 x^{2} - 56 x + 32$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 10 x^{3} + 36 x^{2} - 56 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 10 \cdot 2^{3} + 36 \cdot 2^{2} - 56 \cdot 2 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 10 x^{3}$	$+ 36 x^{2}$	$- 56 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 8 x^{3}$	$+ 36 x^{2}$
	-( $- 8 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$ )
		$20 x^{2}$	$- 56 x$
		-( $20 x^{2}$	$- 40 x$ )
			$- 16 x$	$+ 32$
			-( $- 16 x$	$+ 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 10 x^{3} + 36 x^{2} - 56 x + 32$ = $(x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 8 \cdot 4^{2} + 20 \cdot 4 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$4 x$	$- 16$
		-( $4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{4} - 10 \cdot 4^{3} + 36 \cdot 4^{2} - 56 \cdot 4 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 10 x^{3}$	$+ 36 x^{2}$	$- 56 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$
-( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$ )
	$- 6 x^{3}$	$+ 36 x^{2}$
	-( $- 6 x^{3}$	$+ 24 x^{2}$ )
		$12 x^{2}$	$- 56 x$
		-( $12 x^{2}$	$- 48 x$ )
			$- 8 x$	$+ 32$
			-( $- 8 x$	$+ 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 10 x^{3} + 36 x^{2} - 56 x + 32$ = $(x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) \cdot (x - 4)$

(x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 12 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 12 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

L={ $2$ ; $4$ }

$2$ ist 3-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x - 6 | + 2$ = $17$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x - 6 \| + 2$	=	$17$
$2 + \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$17$	\| $- 2$
$\frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$15$	\|⋅ $2$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$30$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$30$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$36$	\|: $3$
x₁	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 12 - 6$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$30$
$- 3 x + 6$	=	$30$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 8) - 6$ = -30 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: