Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 8 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $- 12 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 8 e^{3 x}$	=	$- 12 e^{2 x}$	\| $+ 12 e^{2 x}$
$e^{4 x} - 8 e^{3 x} + 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 8 e^{x} + 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 8 e^{x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 12 e^{2 \cdot (\ln (2))}$ = -48 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-48)

x₂ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $- 12 e^{2 \cdot (\ln (6))}$ = -432 Somit gilt: S₂( $\ln (6)$ |-432)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{- 6 x} - 2) \cdot (x^{3} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{- 6 x} - 2) (x^{3} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{- 6 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 e^{- 6 x}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{- 6 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	0	\|: $- 6$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x + 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x + 1} - 2$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 2 \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x - 4 x - 2$	=
$2 x - 2$	=

$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 14 x^{2} + 41 x - 56$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 14 x^{2} + 41 x - 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 56$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 14 \cdot 1^{2} + 41 \cdot 1 - 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 41 x$	$- 56$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 15 x + 56$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $15 x^{2}$	$- 15 x$ )
		$56 x$	$- 56$
		-( $56 x$	$- 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 41 x - 56$ = $(x^{2} + 15 x + 56) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 15 x + 56) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 15 x + 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15+1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15-1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 14 \cdot {(- 7)}^{2} + 41 \cdot (- 7) - 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 41 x$	$- 56$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 49 x$ )
		$- 8 x$	$- 56$
		-( $- 8 x$	$- 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 41 x - 56$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 7 x - 8) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 14 \cdot {(- 8)}^{2} + 41 \cdot (- 8) - 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 41 x$	$- 56$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 48 x$ )
		$- 7 x$	$- 56$
		-( $- 7 x$	$- 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 41 x - 56$ = $(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 6 x - 7) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 7$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x - 8 | - 5$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \| - 5$	=	$- 7$
$- 5 - \frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \|$	=	$- 7$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x - 8 \|$	=	$4$

1. Fall: $- 2 x - 8$ ≥ 0:

$- 2 x - 8$	=	$4$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 6) - 8$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 8$ < 0:

$- (- 2 x - 8)$	=	$4$
$2 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 2) - 8$ = -4 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -8 ≥ 0:

2. Fall: -2x -8 < 0:

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- 2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 8$ < 0: