Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + 36 x$ und $g(x) =$ $13 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + 36 x$	=	$13 x^{3}$	\| $- 13 x^{3}$
$x^{5} - 13 x^{3} + 36 x$	=	0
$x (x^{4} - 13 x^{2} + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 13 x^{2} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₅	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; 0; $2$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $13 \cdot {(- 3)}^{3}$ = -351 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-351)

x₂ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $13 \cdot {(- 2)}^{3}$ = -104 Somit gilt: S₂( $- 2$ |-104)

x₃ = 0: f(0)= $13 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₃(0|0)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $13 \cdot 2^{3}$ = 104 Somit gilt: S₄( $2$ |104)

x₅ = $3$ : f( $3$ )= $13 \cdot 3^{3}$ = 351 Somit gilt: S₅( $3$ |351)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 2 + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 2 + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (- x^{2} + 6 x) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 3 e^{3 x} - 4 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 3 e^{3 x} - 4 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 4) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{10 x}{- 3 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{10 x}{- 3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{10 x}{- 3 x + 1}$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{8 x + 1}{3 x} \cdot (3 x - 1) + \frac{10 x}{- 3 x + 1} \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x + \frac{(8 x + 1) (3 x - 1)}{3 x} + \frac{10 x (3 x - 1)}{- 3 x + 1}$	=
$4 x + \frac{24 x^{2} - 5 x - 1}{3 x} + \frac{30 x^{2} - 10 x}{- 3 x + 1}$	=
$\frac{30 x^{2} - 10 x}{- 3 x + 1} + \frac{24 x^{2} - 5 x - 1}{3 x} + 4 x$	=

\frac{24 x^{2} - 5 x - 1}{3 x} + \frac{30 x^{2} - 10 x}{- 3 x + 1} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{24 x^{2} - 5 x - 1}{3 x} + \frac{30 x^{2} - 10 x}{- 3 x + 1} + 4 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{24 x^{2} - 5 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{30 x^{2} - 10 x}{- 3 x + 1} \cdot 3 x + 4 x \cdot 3 x$	=
$24 x^{2} - 5 x - 1 + 3 \frac{(30 x^{2} - 10 x) x}{- 3 x + 1} + 12 x \cdot x$	=
$24 x^{2} - 5 x - 1 + 3 \frac{30 x^{3} - 10 x^{2}}{- 3 x + 1} + 12 x^{2}$	=
$3 \frac{30 x^{3} - 10 x^{2}}{- 3 x + 1} + 24 x^{2} + 12 x^{2} - 5 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 1$ weg!

$3 \frac{30 x^{3} - 10 x^{2}}{- 3 x + 1} + 24 x^{2} + 12 x^{2} - 5 x - 1$	=	\|⋅( $- 3 x + 1$ )
$3 \frac{30 x^{3} - 10 x^{2}}{- 3 x + 1} \cdot (- 3 x + 1) + 24 x^{2} \cdot (- 3 x + 1) + 12 x^{2} \cdot (- 3 x + 1) - 5 x \cdot (- 3 x + 1) - 1 \cdot (- 3 x + 1)$	=
$90 x^{3} - 30 x^{2} + 24 x^{2} (- 3 x + 1) + 12 x^{2} (- 3 x + 1) - 5 x (- 3 x + 1) + 3 x - 1$	=
$90 x^{3} - 30 x^{2} + (- 72 x^{3} + 24 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 12 x^{2}) + (15 x^{2} - 5 x) + 3 x - 1$	=
$- 18 x^{3} + 21 x^{2} - 2 x - 1$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 18 x^{3} + 21 x^{2} - 2 x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $- 18 \cdot 1^{3} + 21 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $- 18 x^{3}$	$+ 21 x^{2}$	$- 2 x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$- 18 x^{2} + 3 x + 1$
-( $- 18 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 2 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 3 x$ )
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$- 18 x^{3} + 21 x^{2} - 2 x - 1$ = $(- 18 x^{2} + 3 x + 1) \cdot (x - 1)$

(- 18 x^{2} + 3 x + 1) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 18 x^{2} + 3 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 18) \cdot 1}}{2 \cdot (- 18)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{- 36}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{- 36}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{- 36}$ = $\frac{- 3+9}{- 36}$ = $\frac{6}{- 36}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.17

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{- 36}$ = $\frac{- 3-9}{- 36}$ = $\frac{- 12}{- 36}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{6}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x + 12 | + 6$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \| + 6$	=	$- 10$
$6 - \frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \|$	=	$- 10$	\| $- 6$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \|$	=	$- 16$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x + 12 \|$	=	$32$

1. Fall: $- 4 x + 12$ ≥ 0:

$- 4 x + 12$	=	$32$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 5) + 12$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 12$ < 0:

$- (- 4 x + 12)$	=	$32$
$4 x - 12$	=	$32$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$44$	\|: $4$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 11 + 12$ = -32 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +12 ≥ 0:

2. Fall: -4x +12 < 0:

1. Fall: $- 4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 12$ < 0: