Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6}$ und $g(x) =$ $64$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $64$ Somit gilt: S₁( $- 2$ |64)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $64$ Somit gilt: S₂( $2$ |64)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $30 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x - 6$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - x$

Also muss gelten:

x^{2} - x

=

30

|

- 30

$x^{2} - x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 20 x$ = $- x^{3}$

Lösung einblenden

$x^{5} - 20 x$	=	$- x^{3}$	\| $+ x^{3}$
$x^{5} + x^{3} - 20 x$	=	0
$x (x^{4} + x^{2} - 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + x^{2} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{5 x - 1}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{3}{2}$ }

\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{5 x - 1}{- 2 x + 4} + \frac{4 x}{2 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{5 x - 1}{- 2 x + 4} + \frac{4 x}{2 x - 3}$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{2 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{5 x - 1}{- 2 x + 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 4)$	=
$2 x + \frac{(5 x - 1) (2 x - 4)}{- 2 x + 4} + \frac{4 x (2 x - 4)}{2 x - 3}$	=
$2 x + \frac{10 x^{2} - 22 x + 4}{- 2 x + 4} + \frac{8 x^{2} - 16 x}{2 x - 3}$	=
$\frac{8 x^{2} - 16 x}{2 x - 3} + \frac{10 x^{2} - 22 x + 4}{- 2 x + 4} + 2 x$	=

\frac{10 x^{2} - 22 x + 4}{- 2 x + 4} + \frac{8 x^{2} - 16 x}{2 x - 3} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 2 x + 4$ weg!

$\frac{10 x^{2} - 22 x + 4}{- 2 x + 4} + \frac{8 x^{2} - 16 x}{2 x - 3} + 2 x$	=	\|⋅( $- 2 x + 4$ )
$\frac{10 x^{2} - 22 x + 4}{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x + 4) + \frac{8 x^{2} - 16 x}{2 x - 3} \cdot (- 2 x + 4) + 2 x \cdot (- 2 x + 4)$	=
$10 x^{2} - 22 x + 4 + \frac{(8 x^{2} - 16 x) (- 2 x + 4)}{2 x - 3} + 2 x (- 2 x + 4)$	=
$10 x^{2} - 22 x + 4 + \frac{- 16 x^{3} + 64 x^{2} - 64 x}{2 x - 3} + (- 4 x^{2} + 8 x)$	=
$\frac{- 16 x^{3} + 64 x^{2} - 64 x}{2 x - 3} + 10 x^{2} - 4 x^{2} - 22 x + 8 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{- 16 x^{3} + 64 x^{2} - 64 x}{2 x - 3} + 10 x^{2} - 4 x^{2} - 22 x + 8 x + 4$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{- 16 x^{3} + 64 x^{2} - 64 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + 10 x^{2} \cdot (2 x - 3) - 4 x^{2} \cdot (2 x - 3) - 22 x \cdot (2 x - 3) + 8 x \cdot (2 x - 3) + 4 \cdot (2 x - 3)$	=
$- 16 x^{3} + 64 x^{2} - 64 x + 10 x^{2} (2 x - 3) - 4 x^{2} (2 x - 3) - 22 x (2 x - 3) + 8 x (2 x - 3) + 8 x - 12$	=
$- 16 x^{3} + 64 x^{2} - 64 x + (20 x^{3} - 30 x^{2}) + (- 8 x^{3} + 12 x^{2}) + (- 44 x^{2} + 66 x) + (16 x^{2} - 24 x) + 8 x - 12$	=
$- 4 x^{3} + 18 x^{2} - 14 x - 12$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 4 x^{3} + 18 x^{2} - 14 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $- 4 \cdot 2^{3} + 18 \cdot 2^{2} - 14 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $- 4 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$	$- 14 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$- 4 x^{2} + 10 x + 6$
-( $- 4 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- 14 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$- 4 x^{3} + 18 x^{2} - 14 x - 12$ = $(- 4 x^{2} + 10 x + 6) \cdot (x - 2)$

(- 4 x^{2} + 10 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 4 x^{2} + 10 x + 6

= 0 |:2

$- 2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 5+7}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 5-7}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $- 4 \cdot 3^{3} + 18 \cdot 3^{2} - 14 \cdot 3 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $- 4 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$	$- 14 x$	$- 12$ )	:	(x $- 3$ )	=	$- 4 x^{2} + 6 x + 4$
-( $- 4 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 14 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$4 x$	$- 12$
		-( $4 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$- 4 x^{3} + 18 x^{2} - 14 x - 12$ = $(- 4 x^{2} + 6 x + 4) \cdot (x - 3)$

(- 4 x^{2} + 6 x + 4) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 4 x^{2} + 6 x + 4

= 0 |:2

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 2}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3+5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3-5}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 22 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 22 x - 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 40$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 22 \cdot (- 2) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 22 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - x - 20$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 22 x$
	-( $- x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 20 x$	$- 40$
		-( $- 20 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 22 x - 40$ = $(x^{2} - x - 20) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - x - 20) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{2} - 22 \cdot (- 4) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 22 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 10 x$	$- 40$
		-( $- 10 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 22 x - 40$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 3 x - 10) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} + 5^{2} - 22 \cdot 5 - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 22 x$	$- 40$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$8 x$	$- 40$
		-( $8 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 22 x - 40$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 3 | - 8$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x + 3 \| - 8$	=	$- 7$
$- 8 - \frac{1}{2} \| - x + 3 \|$	=	$- 7$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{2} \| - x + 3 \|$	=	$1$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 3 \|$	=	$- 2$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 3

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 5

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $5$