Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 20 x^{2}$ und $g(x) =$ $- x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 20 x^{2}$	=	$- x^{4}$	\| $+ x^{4}$
$x^{6} + x^{4} - 20 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} + x^{2} - 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + x^{2} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- {(- 2)}^{4}$ = -16 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-16)

x₂ = 0: f(0)= $- 0^{4}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- 2^{4}$ = -16 Somit gilt: S₃( $2$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{8}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $9 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $9 x$ gilt m = $9$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{8}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 8 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 8 x^{2}

=

9

|

- 9

x^{4} + 8 x^{2} - 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 8 u - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 9$

x^{2}

=

- 9

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $9$ und sind somit parallel zur Geraden y = $9 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 8 e^{x} + 16$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 8 e^{x} + 16

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ }

$2 \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{x + 1}{2 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{x + 1}{2 x} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x + \frac{(x + 1) (3 x - 1)}{2 x} - 12 x + 4$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} - 12 x + 4$	=
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} + 6 x - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} + 6 x - 12 x + 4$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 12 x \cdot 2 x + 4 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} + 2 x - 1 + 12 x \cdot x - 24 x \cdot x + 8 x$	=
$3 x^{2} + 2 x - 1 + 12 x^{2} - 24 x^{2} + 8 x$	=
$- 9 x^{2} + 10 x - 1$	=

$- 9 x^{2} + 10 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 10+8}{- 18}$ = $\frac{- 2}{- 18}$ = $\frac{1}{9}$ ≈ 0.11

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 10-8}{- 18}$ = $\frac{- 18}{- 18}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{9}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 4 x^{3} - 53 x^{2} - 60 x + 108$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 4 x^{3} - 53 x^{2} - 60 x + 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $108$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 4 \cdot 1^{3} - 53 \cdot 1^{2} - 60 \cdot 1 + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 53 x^{2}$	$- 60 x$	$+ 108$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 5 x^{2} - 48 x - 108$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$5 x^{3}$	$- 53 x^{2}$
	-( $5 x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
		$- 48 x^{2}$	$- 60 x$
		-( $- 48 x^{2}$	$+ 48 x$ )
			$- 108 x$	$+ 108$
			-( $- 108 x$	$+ 108$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 53 x^{2} - 60 x + 108$ = $(x^{3} + 5 x^{2} - 48 x - 108) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 5 x^{2} - 48 x - 108) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - 48 x - 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 108$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 48 \cdot (- 2) - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 48 x$	$- 108$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 54$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 48 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 54 x$	$- 108$
		-( $- 54 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 48 x - 108$ = $(x^{2} + 3 x - 54) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 3 x - 54) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3+15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3-15}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} + 5 \cdot 6^{2} - 48 \cdot 6 - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 48 x$	$- 108$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 48 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 66 x$ )
		$18 x$	$- 108$
		-( $18 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 48 x - 108$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 5 \cdot {(- 9)}^{2} - 48 \cdot (- 9) - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 48 x$	$- 108$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 48 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$- 12 x$	$- 108$
		-( $- 12 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 48 x - 108$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x - 3 | + 8$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x - 3 \| + 8$	=	$5$
$8 + \frac{1}{3} \| - x - 3 \|$	=	$5$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| - x - 3 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $3$
$\| - x - 3 \|$	=	$- 9$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $- 9$