Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ $9 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4}$	=	$9 x^{2}$	\| $- 9 x^{2}$
$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $9 \cdot {(- 3)}^{2}$ = 81 Somit gilt: S₁( $- 3$ |81)

x₂ = 0: f(0)= $9 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $9 \cdot 3^{2}$ = 81 Somit gilt: S₃( $3$ |81)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$(- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{3 x}{3 x - 6} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{3 x - 7} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{3 x - 7} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{3 x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) + \frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 6) - 5 \cdot (3 x - 6)$	=
$3 x + \frac{(x + 1) (3 x - 6)}{3 x - 7} - 15 x + 30$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} - 15 x + 30$	=
$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} + 3 x - 15 x + 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} + 3 x - 15 x + 30$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7) - 15 x \cdot (3 x - 7) + 30 \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + 3 x (3 x - 7) - 15 x (3 x - 7) + 90 x - 210$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + (9 x^{2} - 21 x) + (- 45 x^{2} + 105 x) + 90 x - 210$	=
$- 33 x^{2} + 171 x - 216$	=

- 33 x^{2} + 171 x - 216

= 0 |:3

$- 11 x^{2} + 57 x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 57 \pm \sqrt{57^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 72)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 57 \pm \sqrt{3 249 - 3 168}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 57 \pm \sqrt{81}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 57 + \sqrt{81}}{- 22}$ = $\frac{- 57+9}{- 22}$ = $\frac{- 48}{- 22}$ = $\frac{24}{11}$ ≈ 2.18

x₂ = $\frac{- 57 - \sqrt{81}}{- 22}$ = $\frac{- 57-9}{- 22}$ = $\frac{- 66}{- 22}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{24}{11}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 4 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x + 8 | - 1$ = $3$

Lösung einblenden

$\| - 4 x + 8 \| - 1$	=	$3$
$- 1 + \| - 4 x + 8 \|$	=	$3$	\| $+ 1$
$\| - 4 x + 8 \|$	=	$4$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

$- 4 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot 1 + 8$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0:

$- (- 4 x + 8)$	=	$4$
$4 x - 8$	=	$4$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 3 + 8$ = -4 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +8 ≥ 0:

2. Fall: -4x +8 < 0:

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0: