Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 20 e^{- x}$ und $g(x) =$ $1$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 20 e^{- x}

=

1

|

- 1

e^{x} - 20 e^{- x} - 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 20 e^{- x} - 1$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - e^{x} - 20$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $1$ Somit gilt: S₁( $\ln (5)$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $12 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

12

|

- 12

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 9 e^{3 x} + 14 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 9 e^{3 x} + 14 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x - 9} + \frac{3 x}{3 x - 8} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $3$ }

\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{x - 1}{3 x - 9} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{x - 1}{3 x - 9} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{x - 1}{3 x - 9} \cdot (3 x - 8) - 4 \cdot (3 x - 8)$	=
$3 x + \frac{(x - 1) (3 x - 8)}{3 x - 9} - 12 x + 32$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{3 x - 9} - 12 x + 32$	=
$\frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{3 x - 9} + 3 x - 12 x + 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{3 x - 9} + 3 x - 12 x + 32$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{3 x^{2} - 11 x + 8}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) + 3 x \cdot (3 x - 9) - 12 x \cdot (3 x - 9) + 32 \cdot (3 x - 9)$	=
$3 x^{2} - 11 x + 8 + 3 x (3 x - 9) - 12 x (3 x - 9) + 96 x - 288$	=
$3 x^{2} - 11 x + 8 + (9 x^{2} - 27 x) + (- 36 x^{2} + 108 x) + 96 x - 288$	=
$- 24 x^{2} + 166 x - 280$	=

- 24 x^{2} + 166 x - 280

= 0 |:2

$- 12 x^{2} + 83 x - 140$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 83 \pm \sqrt{83^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 140)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 83 \pm \sqrt{6 889 - 6 720}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 83 \pm \sqrt{169}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 83 + \sqrt{169}}{- 24}$ = $\frac{- 83+13}{- 24}$ = $\frac{- 70}{- 24}$ = $\frac{35}{12}$ ≈ 2.92

x₂ = $\frac{- 83 - \sqrt{169}}{- 24}$ = $\frac{- 83-13}{- 24}$ = $\frac{- 96}{- 24}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{35}{12}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 10 \cdot 2 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 10 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 12$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 12 x$	$+ 24$
		-( $- 12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 24$ = $(x^{2} - x - 12) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 3 \cdot {(- 3)}^{2} - 10 \cdot (- 3) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 10 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$8 x$	$+ 24$
		-( $8 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 24$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 3 \cdot 4^{2} - 10 \cdot 4 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 10 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 10 x$
	-( $x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 6 x$	$+ 24$
		-( $- 6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 24$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + x - 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 3$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 10 | - 2$ = $- 12$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 10 \| - 2$	=	$- 12$
$- 2 + \| - 2 x - 10 \|$	=	$- 12$	\| $+ 2$
$\| - 2 x - 10 \|$	=	$- 10$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $4$