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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + e^{3 x}$ und $g(x) =$ $42 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + e^{3 x}$	=	$42 e^{x}$	\| $- 42 e^{x}$
$e^{5 x} + e^{3 x} - 42 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 42) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $42 e^{\frac{1}{2} \ln (6)}$ = 102.879 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |102.879)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5}$ parallel zur Geraden y = $81 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $81 x - 2$ gilt m = $81$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5}$

f'(x)= $x^{4}$

Also muss gelten:

$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $81$ und sind somit parallel zur Geraden y = $81 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{2}$ = $4$

Lösung einblenden

x^{4} + 3 x^{2}

=

4

|

- 4

x^{4} + 3 x^{2} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{- 16 x}{2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $2$ }

\frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{x - 2} - \frac{16 x}{2 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{x - 2} - \frac{16 x}{2 x - 4}$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{2 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{4 x}{x - 2} \cdot (2 x + 2) - \frac{16 x}{2 x - 4} \cdot (2 x + 2)$	=
$2 x + \frac{4 x (2 x + 2)}{x - 2} - \frac{16 x (2 x + 2)}{2 x - 4}$	=
$2 x + \frac{8 x^{2} + 8 x}{x - 2} - \frac{32 x^{2} + 32 x}{2 x - 4}$	=
$- \frac{32 x^{2} + 32 x}{2 x - 4} + \frac{8 x^{2} + 8 x}{x - 2} + 2 x$	=

\frac{8 x^{2} + 8 x}{x - 2} - \frac{32 x^{2} + 32 x}{2 x - 4} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x - 2} - \frac{32 x^{2} + 32 x}{2 x - 4} + 2 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - \frac{32 x^{2} + 32 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2)$	=
$8 x^{2} + 8 x - 16 x^{2} - 16 x + 2 x (x - 2)$	=
$8 x^{2} + 8 x - 16 x^{2} - 16 x + (2 x^{2} - 4 x)$	=
$- 6 x^{2} - 12 x$	=

$- 6 x^{2} - 12 x$	=	0
$- 6 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 18$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$- 18$
		-( $9 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x - 8 | - 9$ = $- 21$

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$\| 4 x - 8 \| - 9$	=	$- 21$
$- 9 + \| 4 x - 8 \|$	=	$- 21$	\| $+ 9$
$\| 4 x - 8 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen