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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + e^{5 x}$ und $g(x) =$ $12 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + e^{5 x}$	=	$12 e^{2 x}$	\| $- 12 e^{2 x}$
$e^{8 x} + e^{5 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $12 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 24.961 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |24.961)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 3$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 3 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$(x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 2 x$ = $- x^{3}$

Lösung einblenden

$- x^{2} - 2 x$	=	$- x^{3}$	\| $+ x^{3}$
$x^{3} - x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x^{2} - x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x + 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$5 x + 1 - 4 x - 4$	=
$x - 3$	=

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 36 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 5 \cdot 6^{2} - 36 \cdot 6 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$6 x$	$- 36$
		-( $6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x - 6 | + 1$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x - 6 \| + 1$	=	$3$
$1 + \frac{1}{2} \| - 2 x - 6 \|$	=	$3$	\| $- 1$
$\frac{1}{2} \| - 2 x - 6 \|$	=	$2$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x - 6 \|$	=	$4$

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

$- 2 x - 6$	=	$4$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 5) - 6$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0:

$- (- 2 x - 6)$	=	$4$
$2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 1) - 6$ = -4 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -6 ≥ 0:

2. Fall: -2x -6 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0: