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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 14 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $- 5 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 14 e^{- 2 x} + 1

=

- 5 e^{- x}

|

+ 5 e^{- x}

5 e^{- x} - 14 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$5 e^{- x} - 14 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} + 5 e^{x} - 14$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 5 e^{- (\ln (2))}$ = -2.5 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-2.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 4$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + e^{3 x}

=

2

|

- 2

e^{6 x} + e^{3 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x}$ = $12$

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} + e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 2}{x} + \frac{8 x}{3 x + 2} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{3 x - 2}{x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{3 x - 2}{x} - 8$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{8 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{3 x - 2}{x} \cdot (3 x + 2) - 8 \cdot (3 x + 2)$	=
$8 x + \frac{(3 x - 2) (3 x + 2)}{x} - 24 x - 16$	=
$8 x + \frac{9 x^{2} - 4}{x} - 24 x - 16$	=
$\frac{9 x^{2} - 4}{x} + 8 x - 24 x - 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 4}{x} + 8 x - 24 x - 16$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} - 4}{x} \cdot x + 8 x \cdot x - 24 x \cdot x - 16 \cdot x$	=
$9 x^{2} - 4 + 8 x \cdot x - 24 x \cdot x - 16 x$	=
$9 x^{2} - 4 + 8 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x$	=
$- 7 x^{2} - 16 x - 4$	=

$- 7 x^{2} - 16 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 112}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{144}}{- 14}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{16+12}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{16-12}{- 14}$ = $\frac{4}{- 14}$ = $- \frac{2}{7}$ ≈ -0.29

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $15 x^{2}$	$- 15 x$ )
		$18 x$	$- 18$
		-( $18 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 13 \cdot {(- 6)}^{2} + 3 \cdot (- 6) - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 18$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 3 x$	$- 18$
		-( $- 3 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + x - 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x + 4 | - 9$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x + 4 \| - 9$	=	$1$
$- 9 + \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$1$	\| $+ 9$
$\frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$10$	\|⋅ $2$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$20$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

$2 x + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 8 + 4$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 4$ < 0:

$- (2 x + 4)$	=	$20$
$- 2 x - 4$	=	$20$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$24$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 12) + 4$ = -20 < 0

Die Lösung $- 12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 12$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +4 ≥ 0:

2. Fall: 2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 4$ < 0: