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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 12 e^{x}$ und $g(x) =$ $8 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 12 e^{x}$	=	$8 e^{2 x}$	\| $- 8 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 8 e^{2 x} + 12 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 8 e^{x} + 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 8 e^{x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $8 e^{2 \cdot (\ln (2))}$ = 32 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |32)

x₂ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $8 e^{2 \cdot (\ln (6))}$ = 288 Somit gilt: S₂( $\ln (6)$ |288)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 16 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 16 x + 5$ gilt m = $- 16$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 8 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 8 x

=

- 16

|

+ 16

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 16$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 16 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 10 x^{2} + 9$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{3 x - 1}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{3 x - 1}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{3 x - 1}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} \cdot (2 x - 2) - 6 \cdot (2 x - 2)$	=
$3 x - 1 + \frac{(3 x - 1) (2 x - 2)}{3 x - 7} - 12 x + 12$	=
$3 x - 1 + \frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 7} - 12 x + 12$	=
$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 7} + 3 x - 12 x - 1 + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 7} + 3 x - 12 x - 1 + 12$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7) - 12 x \cdot (3 x - 7) - 1 \cdot (3 x - 7) + 12 \cdot (3 x - 7)$	=
$6 x^{2} - 8 x + 2 + 3 x (3 x - 7) - 12 x (3 x - 7) - 3 x + 7 + 36 x - 84$	=
$6 x^{2} - 8 x + 2 + (9 x^{2} - 21 x) + (- 36 x^{2} + 84 x) - 3 x + 7 + 36 x - 84$	=
$- 21 x^{2} + 88 x - 75$	=

$- 21 x^{2} + 88 x - 75$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 88 \pm \sqrt{88^{2} - 4 \cdot (- 21) \cdot (- 75)}}{2 \cdot (- 21)}$

x_1,2 = $\frac{- 88 \pm \sqrt{7 744 - 6 300}}{- 42}$

x_1,2 = $\frac{- 88 \pm \sqrt{1 444}}{- 42}$

x₁ = $\frac{- 88 + \sqrt{1 444}}{- 42}$ = $\frac{- 88+38}{- 42}$ = $\frac{- 50}{- 42}$ = $\frac{25}{21}$ ≈ 1.19

x₂ = $\frac{- 88 - \sqrt{1 444}}{- 42}$ = $\frac{- 88-38}{- 42}$ = $\frac{- 126}{- 42}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{25}{21}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x + 6 | - 8$ = $10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x + 6 \| - 8$	=	$10$
$- 8 + \frac{1}{2} \| 3 x + 6 \|$	=	$10$	\| $+ 8$
$\frac{1}{2} \| 3 x + 6 \|$	=	$18$	\|⋅ $2$
$\| 3 x + 6 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

$3 x + 6$	=	$36$	\| $- 6$
$3 x$	=	$30$	\|: $3$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 10 + 6$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 6$ < 0:

$- (3 x + 6)$	=	$36$
$- 3 x - 6$	=	$36$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$42$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 14) + 6$ = -36 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +6 ≥ 0:

2. Fall: 3x +6 < 0:

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 6$ < 0: