Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 18 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 3 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 18 x^{2}$	=	$- 3 x^{3}$	\| $+ 3 x^{3}$
$x^{4} + 3 x^{3} - 18 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 3 x - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 6$ : f( $- 6$ )= $- 3 \cdot {(- 6)}^{3}$ = 648 Somit gilt: S₁( $- 6$ |648)

x₂ = 0: f(0)= $- 3 \cdot 0^{3}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $- 3 \cdot 3^{3}$ = -81 Somit gilt: S₃( $3$ |-81)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $- 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$0$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 6-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 28 e^{2 x}$ = $3 e^{5 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 28 e^{2 x}$	=	$3 e^{5 x}$	\| $- 3 e^{5 x}$
$e^{8 x} - 3 e^{5 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x} + \frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{12 x}{- 9 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{12 x}{- 9 x + 12} + \frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x + 12$ weg!

$\frac{12 x}{- 9 x + 12} + \frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $- 9 x + 12$ )
$\frac{12 x}{- 9 x + 12} \cdot (- 9 x + 12) + \frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (- 9 x + 12) + \frac{2}{x} \cdot (- 9 x + 12)$	=
$12 x + \frac{3 x (- 9 x + 12)}{3 x - 4} + 2 \frac{- 9 x + 12}{x}$	=
$12 x + \frac{- 27 x^{2} + 36 x}{3 x - 4} + 2 \frac{- 9 x + 12}{x}$	=
$\frac{2 (- 9 x + 12)}{x} + \frac{- 27 x^{2} + 36 x}{3 x - 4} + 12 x$	=

\frac{2 (- 9 x + 12)}{x} + \frac{- 27 x^{2} + 36 x}{3 x - 4} + 12 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 (- 9 x + 12)}{x} + \frac{- 27 x^{2} + 36 x}{3 x - 4} + 12 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 (- 9 x + 12)}{x} \cdot x + \frac{- 27 x^{2} + 36 x}{3 x - 4} \cdot x + 12 x \cdot x$	=
$- 18 x + 24 + \frac{(- 27 x^{2} + 36 x) x}{3 x - 4} + 12 x \cdot x$	=
$- 18 x + 24 + \frac{- 27 x^{3} + 36 x^{2}}{3 x - 4} + 12 x^{2}$	=
$\frac{- 27 x^{3} + 36 x^{2}}{3 x - 4} + 12 x^{2} - 18 x + 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{- 27 x^{3} + 36 x^{2}}{3 x - 4} + 12 x^{2} - 18 x + 24$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{- 27 x^{3} + 36 x^{2}}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + 12 x^{2} \cdot (3 x - 4) - 18 x \cdot (3 x - 4) + 24 \cdot (3 x - 4)$	=
$- 27 x^{3} + 36 x^{2} + 12 x^{2} (3 x - 4) - 18 x (3 x - 4) + 72 x - 96$	=
$- 27 x^{3} + 36 x^{2} + (36 x^{3} - 48 x^{2}) + (- 54 x^{2} + 72 x) + 72 x - 96$	=
$9 x^{3} - 66 x^{2} + 144 x - 96$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $9 x^{3} - 66 x^{2} + 144 x - 96$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 96$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $9 \cdot 2^{3} - 66 \cdot 2^{2} + 144 \cdot 2 - 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $9 x^{3}$	$- 66 x^{2}$	$+ 144 x$	$- 96$ )	:	(x $- 2$ )	=	$9 x^{2} - 48 x + 48$
-( $9 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$- 48 x^{2}$	$+ 144 x$
	-( $- 48 x^{2}$	$+ 96 x$ )
		$48 x$	$- 96$
		-( $48 x$	$- 96$ )
			0

es gilt also:

$9 x^{3} - 66 x^{2} + 144 x - 96$ = $(9 x^{2} - 48 x + 48) \cdot (x - 2)$

(9 x^{2} - 48 x + 48) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

9 x^{2} - 48 x + 48

= 0 |:3

$3 x^{2} - 16 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{16+8}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{16-8}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $9 \cdot 4^{3} - 66 \cdot 4^{2} + 144 \cdot 4 - 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $9 x^{3}$	$- 66 x^{2}$	$+ 144 x$	$- 96$ )	:	(x $- 4$ )	=	$9 x^{2} - 30 x + 24$
-( $9 x^{3}$	$- 36 x^{2}$ )
	$- 30 x^{2}$	$+ 144 x$
	-( $- 30 x^{2}$	$+ 120 x$ )
		$24 x$	$- 96$
		-( $24 x$	$- 96$ )
			0

es gilt also:

$9 x^{3} - 66 x^{2} + 144 x - 96$ = $(9 x^{2} - 30 x + 24) \cdot (x - 4)$

(9 x^{2} - 30 x + 24) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

9 x^{2} - 30 x + 24

= 0 |:3

$3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{10+2}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{10-2}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 14 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 14 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 7 \cdot 4^{2} + 14 \cdot 4 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$2 x$	$- 8$
		-( $2 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $1$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x - 4 | + 2$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x - 4 \| + 2$	=	$3$
$2 + \frac{1}{2} \| x - 4 \|$	=	$3$	\| $- 2$
$\frac{1}{2} \| x - 4 \|$	=	$1$	\|⋅ $2$
$\| x - 4 \|$	=	$2$

1. Fall: $x - 4$ ≥ 0:

$x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 4$ ≥ 0) genügt:

$6 - 4$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 4$ < 0:

$- (x - 4)$	=	$2$
$- x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 4$ < 0) genügt:

$2 - 4$ = -2 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 4

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: x -4 ≥ 0:

2. Fall: x -4 < 0:

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 4$ < 0: