Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} + 2$ und $g(x) =$ $8 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} + 2

=

8 e^{- x}

|

- 8 e^{- x}

e^{x} - 8 e^{- x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 8 e^{- x} + 2$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + 2 e^{x} - 8$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $8 e^{- (\ln (2))}$ = 4 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 2 + x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 1$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 2 + x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$e^{2 x} - 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$e^{2 x} - 1 + 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$(2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 24 e^{x}$ = $- 2 e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 24 e^{x}$	=	$- 2 e^{4 x}$	\| $+ 2 e^{4 x}$
$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 2}{2 x} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{24 x}{- 3 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{2 x}{x - 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} + \frac{24 x}{- 3 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} + \frac{24 x}{- 3 x + 6}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{5 x - 2}{2 x} \cdot (x - 2) + \frac{24 x}{- 3 x + 6} \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{(5 x - 2) (x - 2)}{2 x} + \frac{24 x (x - 2)}{- 3 x + 6}$	=
$2 x + \frac{5 x^{2} - 12 x + 4}{2 x} + \frac{24 x^{2} - 48 x}{- 3 x + 6}$	=
$\frac{24 x^{2} - 48 x}{- 3 x + 6} + \frac{5 x^{2} - 12 x + 4}{2 x} + 2 x$	=

\frac{5 x^{2} - 12 x + 4}{2 x} + \frac{24 x^{2} - 48 x}{- 3 x + 6} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 12 x + 4}{2 x} + \frac{24 x^{2} - 48 x}{- 3 x + 6} + 2 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 12 x + 4}{2 x} \cdot 2 x + \frac{24 x^{2} - 48 x}{- 3 x + 6} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} - 12 x + 4 + 2 \frac{(24 x^{2} - 48 x) x}{- 3 x + 6} + 4 x \cdot x$	=
$5 x^{2} - 12 x + 4 + 2 \frac{24 x^{3} - 48 x^{2}}{- 3 x + 6} + 4 x^{2}$	=
$2 \frac{24 x^{3} - 48 x^{2}}{- 3 x + 6} + 5 x^{2} + 4 x^{2} - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 6$ weg!

$2 \frac{24 x^{3} - 48 x^{2}}{- 3 x + 6} + 5 x^{2} + 4 x^{2} - 12 x + 4$	=	\|⋅( $- 3 x + 6$ )
$2 \frac{24 x^{3} - 48 x^{2}}{- 3 x + 6} \cdot (- 3 x + 6) + 5 x^{2} \cdot (- 3 x + 6) + 4 x^{2} \cdot (- 3 x + 6) - 12 x \cdot (- 3 x + 6) + 4 \cdot (- 3 x + 6)$	=
$48 x^{3} - 96 x^{2} + 5 x^{2} (- 3 x + 6) + 4 x^{2} (- 3 x + 6) - 12 x (- 3 x + 6) - 12 x + 24$	=
$48 x^{3} - 96 x^{2} + (- 15 x^{3} + 30 x^{2}) + (- 12 x^{3} + 24 x^{2}) + (36 x^{2} - 72 x) - 12 x + 24$	=
$21 x^{3} - 6 x^{2} - 84 x + 24$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $21 x^{3} - 6 x^{2} - 84 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $21 \cdot {(- 2)}^{3} - 6 \cdot {(- 2)}^{2} - 84 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $21 x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 84 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$21 x^{2} - 48 x + 12$
-( $21 x^{3}$	$+ 42 x^{2}$ )
	$- 48 x^{2}$	$- 84 x$
	-( $- 48 x^{2}$	$- 96 x$ )
		$12 x$	$+ 24$
		-( $12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$21 x^{3} - 6 x^{2} - 84 x + 24$ = $(21 x^{2} - 48 x + 12) \cdot (x + 2)$

(21 x^{2} - 48 x + 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

21 x^{2} - 48 x + 12

= 0 |:3

$7 x^{2} - 16 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 4}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 112}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{144}}{14}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{144}}{14}$ = $\frac{16+12}{14}$ = $\frac{28}{14}$ = $2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{144}}{14}$ = $\frac{16-12}{14}$ = $\frac{4}{14}$ = $\frac{2}{7}$ ≈ 0.29

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $21 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} - 84 \cdot 2 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $21 x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 84 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$21 x^{2} + 36 x - 12$
-( $21 x^{3}$	$- 42 x^{2}$ )
	$36 x^{2}$	$- 84 x$
	-( $36 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$- 12 x$	$+ 24$
		-( $- 12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$21 x^{3} - 6 x^{2} - 84 x + 24$ = $(21 x^{2} + 36 x - 12) \cdot (x - 2)$

(21 x^{2} + 36 x - 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

21 x^{2} + 36 x - 12

= 0 |:3

$7 x^{2} + 12 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 112}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{256}}{14}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{256}}{14}$ = $\frac{- 12+16}{14}$ = $\frac{4}{14}$ = $\frac{2}{7}$ ≈ 0.29

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{256}}{14}$ = $\frac{- 12-16}{14}$ = $\frac{- 28}{14}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{2}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 4 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 12 x$	$- 24$
		-( $- 12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 24$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 4 x$	$- 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$12 x$	$- 24$
		-( $12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 24$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 6 \cdot {(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 6) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 4 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 24$
		-( $- 4 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 24$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 6)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 6)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x + 1 | - 7$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x + 1 \| - 7$	=	$- 11$
$- 7 - \frac{1}{3} \| x + 1 \|$	=	$- 11$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| x + 1 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x + 1 \|$	=	$12$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

$x + 1$	=	$12$	\| $- 1$
x₁	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ ≥ 0) genügt:

$11 + 1$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 1$ < 0:

$- (x + 1)$	=	$12$
$- x - 1$	=	$12$	\| $+ 1$
$- x$	=	$13$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ < 0) genügt:

$- 13 + 1$ = -12 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 2

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: x +1 ≥ 0:

2. Fall: x +1 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 1$ < 0: