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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 10 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 21 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 10 e^{x}$	=	$- 21 e^{- x}$	\| $+ 21 e^{- x}$
$e^{3 x} - 10 e^{x} + 21 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 21) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $- 21 e^{- (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = -12.124 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |-12.124)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $- 21 e^{- (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = -7.937 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |-7.937)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 4 + 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 4$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 4 + 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$(- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 7 e^{x} + 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 7 e^{x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{3 x + 9} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 9$ weg!

$\frac{2 x + 2}{3 x + 9} - 2$	=	\|⋅( $3 x + 9$ )
$\frac{2 x + 2}{3 x + 9} \cdot (3 x + 9) - 2 \cdot (3 x + 9)$	=
$2 x + 2 - 6 x - 18$	=
$- 4 x - 16$	=

$- 4 x - 16$	=	0	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x - 5 | + 9$ = $15$

Lösung einblenden

$\| - x - 5 \| + 9$	=	$15$
$9 + \| - x - 5 \|$	=	$15$	\| $- 9$
$\| - x - 5 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x - 5$ ≥ 0:

$- x - 5$	=	$6$	\| $+ 5$
$- x$	=	$11$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 5$ ≥ 0) genügt:

$- (- 11) - 5$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 5$ < 0:

$- (- x - 5)$	=	$6$
$x + 5$	=	$6$	\| $- 5$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 5$ < 0) genügt:

$- 1 - 5$ = -6 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -5 ≥ 0:

2. Fall: -x -5 < 0:

1. Fall: $- x - 5$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 5$ < 0: