Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{24}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{2}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{24}{x^{2}}$	=	$\frac{2}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{2}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 24$	=	$2 x$

x^{2} - 24

=

2 x

|

- 2 x

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 4$ : f( $- 4$ )= $\frac{2}{(- 4)}$ = -0.5 Somit gilt: S₁( $- 4$ |-0.5)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $\frac{2}{6}$ = 0.333 Somit gilt: S₂( $6$ |0.333)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{3 x} - 7) \cdot (x + 2)$ = 0

Lösung einblenden

(6 e^{3 x} - 7) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{3 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$6 e^{3 x}$	=	$7$	\|: $6$
$e^{3 x}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 0.0514

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{3} \ln (\frac{7}{6})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{7 x + 1}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{12 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{7 x + 1}{2 x} \cdot (2 x + 2) - 7 \cdot (2 x + 2)$	=
$12 x + \frac{(7 x + 1) (2 x + 2)}{2 x} - 14 x - 14$	=
$12 x + \frac{14 x^{2} + 16 x + 2}{2 x} - 14 x - 14$	=
$\frac{14 x^{2} + 16 x + 2}{2 x} + 12 x - 14 x - 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{14 x^{2} + 16 x + 2}{2 x} + 12 x - 14 x - 14$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{14 x^{2} + 16 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 12 x \cdot 2 x - 14 x \cdot 2 x - 14 \cdot 2 x$	=
$14 x^{2} + 16 x + 2 + 24 x \cdot x - 28 x \cdot x - 28 x$	=
$14 x^{2} + 16 x + 2 + 24 x^{2} - 28 x^{2} - 28 x$	=
$10 x^{2} - 12 x + 2$	=

10 x^{2} - 12 x + 2

= 0 |:2

$5 x^{2} - 6 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{6+4}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{6-4}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,2$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} - 3 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 3 \cdot {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 3 x$	$- 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$2 x^{3}$	$+ x^{2}$
	-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 3 x$
		-( $- x^{2}$	$- x$ )
			$- 2 x$	$- 2$
			-( $- 2 x$	$- 2$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} - 3 x - 2$ = $(x^{3} + 2 x^{2} - x - 2) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 2 x^{2} - x - 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 2 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- x$	$- 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- x$
	-( $x^{2}$	$+ x$ )
		$- 2 x$	$- 2$
		-( $- 2 x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + x - 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 1 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- x$	$- 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- x$
	-( $3 x^{2}$	$- 3 x$ )
		$2 x$	$- 2$
		-( $2 x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- x$	$- 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 2$
		-( $- x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 3 \cdot 1^{3} + 1^{2} - 3 \cdot 1 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 3 x$	$- 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$+ x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
		$5 x^{2}$	$- 3 x$
		-( $5 x^{2}$	$- 5 x$ )
			$2 x$	$- 2$
			-( $2 x$	$- 2$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} - 3 x - 2$ = $(x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 4 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 3 \cdot {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 3 x$	$- 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + x^{2} - x - 1$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$x^{3}$	$+ x^{2}$
	-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 3 x$
		-( $- x^{2}$	$- 2 x$ )
			$- x$	$- 2$
			-( $- x$	$- 2$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} - 3 x - 2$ = $(x^{3} + x^{2} - x - 1) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + x^{2} - x - 1) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- x$	$- 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 1$
		-( $- x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - x - 1$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - x - 1$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x - 1 | + 5$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x - 1 \| + 5$	=	$7$
$5 + \frac{1}{3} \| - x - 1 \|$	=	$7$	\| $- 5$
$\frac{1}{3} \| - x - 1 \|$	=	$2$	\|⋅ $3$
$\| - x - 1 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$6$	\| $+ 1$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 7) - 1$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$6$
$x + 1$	=	$6$	\| $- 1$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 5 - 1$ = -6 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 1

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $1$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: