Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 5$ und $g(x) =$ $6 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} + 5

=

6 e^{2 x}

|

- 6 e^{2 x}

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $6 e^{2 \cdot 0}$ = 6 Somit gilt: S₁(0|6)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $6 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = 30 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |30)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 5 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 5 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $8 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$8 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$8 e^{\frac{1}{4} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 3 e^{3 x} - 10 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 3 e^{3 x} - 10 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 10) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{2 x}{3 x + 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} - 2$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{2 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (3 x + 1) - 2 \cdot (3 x + 1)$	=
$2 x + \frac{3 x (3 x + 1)}{2 x - 1} - 6 x - 2$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} + 3 x}{2 x - 1} - 6 x - 2$	=
$\frac{9 x^{2} + 3 x}{2 x - 1} + 2 x - 6 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 3 x}{2 x - 1} + 2 x - 6 x - 2$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x^{2} + 3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 2 x \cdot (2 x - 1) - 6 x \cdot (2 x - 1) - 2 \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} + 3 x + 2 x (2 x - 1) - 6 x (2 x - 1) - 4 x + 2$	=
$9 x^{2} + 3 x + (4 x^{2} - 2 x) + (- 12 x^{2} + 6 x) - 4 x + 2$	=
$x^{2} + 3 x + 2$	=

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 26 \cdot {(- 1)}^{2} + 53 \cdot (- 1) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$+ 53 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 53 x$
	-( $23 x^{2}$	$+ 23 x$ )
		$30 x$	$+ 30$
		-( $30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 26 \cdot {(- 6)}^{2} + 53 \cdot (- 6) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$+ 53 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 53 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 48 x$ )
		$5 x$	$+ 30$
		-( $5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 2 x - 6 | + 6$ = $10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 2 x - 6 \| + 6$	=	$10$
$6 + \frac{1}{3} \| - 2 x - 6 \|$	=	$10$	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| - 2 x - 6 \|$	=	$4$	\|⋅ $3$
$\| - 2 x - 6 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

$- 2 x - 6$	=	$12$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 9) - 6$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0:

$- (- 2 x - 6)$	=	$12$
$2 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 3 - 6$ = -12 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -6 ≥ 0:

2. Fall: -2x -6 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0: