Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 4 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $12 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 4 e^{4 x}$	=	$12 e^{2 x}$	\| $- 12 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 4 e^{4 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $12 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 72 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |72)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{11}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 30 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 30 x + 1$ gilt m = $- 30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{11}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 11 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 11 x

=

- 30

|

+ 30

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 30 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{5 x} + 2) \cdot (x^{4} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{5 x} + 2) (x^{4} - x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{5 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 7 e^{5 x}$	=	$- 2$	\|: $- 7$
$e^{5 x}$	=	$\frac{2}{7}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{2}{7})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{2}{7})$	≈ -0.2506

2. Fall:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{5} \ln (\frac{2}{7})$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{- 12 x}{6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $1$ }

\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - \frac{12 x}{6 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - \frac{12 x}{6 x - 6}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x + 1}{2 x - 2} \cdot (2 x - 3) - \frac{12 x}{6 x - 6} \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{(x + 1) (2 x - 3)}{2 x - 2} - \frac{12 x (2 x - 3)}{6 x - 6}$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - x - 3}{2 x - 2} - \frac{24 x^{2} - 36 x}{6 x - 6}$	=
$- \frac{24 x^{2} - 36 x}{6 x - 6} + \frac{2 x^{2} - x - 3}{2 x - 2} + 2 x$	=

\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 x - 2} - \frac{24 x^{2} - 36 x}{6 x - 6} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 x - 2} - \frac{24 x^{2} - 36 x}{6 x - 6} + 2 x$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) - \frac{24 x^{2} - 36 x}{6 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 2 x \cdot (2 x - 2)$	=
$2 x^{2} - x - 3 - 8 x^{2} + 12 x + 2 x (2 x - 2)$	=
$2 x^{2} - x - 3 - 8 x^{2} + 12 x + (4 x^{2} - 4 x)$	=
$- 2 x^{2} + 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} + 7 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 7+5}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 7-5}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 10 \cdot 1 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 10 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 8 x$	$+ 8$
		-( $- 8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 10 \cdot 2 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 10 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 4 x$	$+ 8$
		-( $- 4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{2} - 10 \cdot (- 4) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 10 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$2 x$	$+ 8$
		-( $2 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x - 2 | - 2$ = $8$

Lösung einblenden

$\| 2 x - 2 \| - 2$	=	$8$
$- 2 + \| 2 x - 2 \|$	=	$8$	\| $+ 2$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$10$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

$2 x - 2$	=	$10$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 6 - 2$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 2$ < 0:

$- (2 x - 2)$	=	$10$
$- 2 x + 2$	=	$10$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 4) - 2$ = -10 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -2 ≥ 0:

2. Fall: 2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 2$ < 0: