Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 5 e^{x}$ und $g(x) =$ $14 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 5 e^{x}$	=	$14 e^{- 2 x}$	\| $- 14 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} + 5 e^{x} - 14 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 14) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $14 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = 8.819 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |8.819)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 2 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 2 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $2 e^{- 2 x} - 2 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- 2 x} - 2 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$2 e^{- 2 x} - 2 + 2 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 e^{- 2 x} - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3}$ = $25 x$

Lösung einblenden

$x^{3}$	=	$25 x$	\| $- 25 x$
$x^{3} - 25 x$	=	0
$x (x^{2} - 25)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₃	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; 0; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{3 x - 3}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{3}{2}$ }

\frac{2 x - 3 - 3 x + 3}{x} + \frac{x}{2 x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x - 3 - 3 x + 3}{x} + \frac{x}{2 x + 3}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x - 3 - 3 x + 3}{x} \cdot x + \frac{x}{2 x + 3} \cdot x$	=
$2 x - 3 - 3 x + 3 + \frac{x \cdot x}{2 x + 3}$	=
$2 x - 3 - 3 x + 3 + \frac{x^{2}}{2 x + 3}$	=
$\frac{x^{2}}{2 x + 3} + 2 x - 3 x - 3 + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{x^{2}}{2 x + 3} + 2 x - 3 x - 3 + 3$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{x^{2}}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + 2 x \cdot (2 x + 3) - 3 x \cdot (2 x + 3) - 3 \cdot (2 x + 3) + 3 \cdot (2 x + 3)$	=
$x^{2} + 2 x (2 x + 3) - 3 x (2 x + 3) - 6 x - 9 + 6 x + 9$	=
$x^{2} + (4 x^{2} + 6 x) + (- 6 x^{2} - 9 x) - 6 x - 9 + 6 x + 9$	=
$- x^{2} - 3 x$	=

$- x^{2} - 3 x$	=	0
$- x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ x$	$- 2$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 2$
		-( $x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | x + 2 | - 7$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \| x + 2 \| - 7$	=	$- 12$
$- 7 - \| x + 2 \|$	=	$- 12$	\| $+ 7$
$- \| x + 2 \|$	=	$- 5$	\|: $(- 1)$
$\| x + 2 \|$	=	$5$

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

$x + 2$	=	$5$	\| $- 2$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ ≥ 0) genügt:

$3 + 2$ = 5 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 2$ < 0:

$- (x + 2)$	=	$5$
$- x - 2$	=	$5$	\| $+ 2$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ < 0) genügt:

$- 7 + 2$ = -5 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: x +2 ≥ 0:

2. Fall: x +2 < 0:

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 2$ < 0: