Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 9 x^{2}$ und $g(x) =$ $10 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + 9 x^{2}$	=	$10 x^{4}$	\| $- 10 x^{4}$
$x^{6} - 10 x^{4} + 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 10 x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $10 \cdot {(- 3)}^{4}$ = 810 Somit gilt: S₁( $- 3$ |810)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $10 \cdot {(- 1)}^{4}$ = 10 Somit gilt: S₂( $- 1$ |10)

x₃ = 0: f(0)= $10 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₃(0|0)

x₄ = $1$ : f( $1$ )= $10 \cdot 1^{4}$ = 10 Somit gilt: S₄( $1$ |10)

x₅ = $3$ : f( $3$ )= $10 \cdot 3^{4}$ = 810 Somit gilt: S₅( $3$ |810)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $3 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $3 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $12 e^{\frac{1}{3} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{\frac{1}{3} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{3 x} + 4) \cdot (x^{4} - 16 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{3 x} + 4) (x^{4} - 16 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{3 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 3 e^{3 x}$	=	$- 4$	\|: $- 3$
$e^{3 x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 0.0959

2. Fall:

$x^{4} - 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{3})$ ; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x} + \frac{9 x}{x + 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{9 x}{x + 2} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 4$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x + 1}{3 x} \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2)$	=
$9 x + \frac{(2 x + 1) (x + 2)}{3 x} - 4 x - 8$	=
$9 x + \frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{3 x} - 4 x - 8$	=
$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{3 x} + 9 x - 4 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{3 x} + 9 x - 4 x - 8$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + 9 x \cdot 3 x - 4 x \cdot 3 x - 8 \cdot 3 x$	=
$2 x^{2} + 5 x + 2 + 27 x \cdot x - 12 x \cdot x - 24 x$	=
$2 x^{2} + 5 x + 2 + 27 x^{2} - 12 x^{2} - 24 x$	=
$17 x^{2} - 19 x + 2$	=

$17 x^{2} - 19 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 2}}{2 \cdot 17}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 136}}{34}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{225}}{34}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{225}}{34}$ = $\frac{19+15}{34}$ = $\frac{34}{34}$ = $1$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{225}}{34}$ = $\frac{19-15}{34}$ = $\frac{4}{34}$ = $\frac{2}{17}$ ≈ 0.12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{17}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x - 10 | + 4$ = $12$

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$\frac{1}{3} \| 2 x - 10 \| + 4$	=	$12$
$4 + \frac{1}{3} \| 2 x - 10 \|$	=	$12$	\| $- 4$
$\frac{1}{3} \| 2 x - 10 \|$	=	$8$	\|⋅ $3$
$\| 2 x - 10 \|$	=	$24$

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

$2 x - 10$	=	$24$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$34$	\|: $2$
x₁	=	$17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 17 - 10$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 10$ < 0:

$- (2 x - 10)$	=	$24$
$- 2 x + 10$	=	$24$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 7) - 10$ = -24 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $17$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -10 ≥ 0:

2. Fall: 2x -10 < 0:

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 10$ < 0: