Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 5 e^{x}$ und $g(x) =$ $14 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 5 e^{x}$	=	$14 e^{- x}$	\| $- 14 e^{- x}$
$e^{3 x} + 5 e^{x} - 14 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $14 e^{- (\frac{1}{2} \ln (2))}$ = 9.899 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |9.899)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 16 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 16 x - 5$ gilt m = $- 16$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 8 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 8 x^{2}

=

- 16

|

+ 16

x^{4} - 8 x^{2} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 16$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 16 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - e^{4 x}$ = $12 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - e^{4 x}$	=	$12 e^{x}$	\| $- 12 e^{x}$
$e^{7 x} - e^{4 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x + 1}{3 x} - 2$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x + 1}{3 x} \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$	=
$5 x + 1 - 6 x$	=
$- x + 1$	=

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 25 x^{2} - 60 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 25 x^{2} - 60 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 25 \cdot {(- 1)}^{2} - 60 \cdot (- 1) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$		$- 25 x^{2}$	$- 60 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - x^{2} - 24 x - 36$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 25 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$- x^{2}$ )
		$- 24 x^{2}$	$- 60 x$
		-( $- 24 x^{2}$	$- 24 x$ )
			$- 36 x$	$- 36$
			-( $- 36 x$	$- 36$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 25 x^{2} - 60 x - 36$ = $(x^{3} - x^{2} - 24 x - 36) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - x^{2} - 24 x - 36) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 24 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 24 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 24 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 24 x - 36$ = $(x^{2} - 3 x - 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 3 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} - 24 \cdot (- 3) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 24 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 12 x$	$- 36$
		-( $- 12 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 24 x - 36$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 6^{2} - 24 \cdot 6 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 24 x$	$- 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$6 x$	$- 36$
		-( $6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 24 x - 36$ = $(x^{2} + 5 x + 6) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 5 x + 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x + 2 | + 3$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x + 2 \| + 3$	=	$5$
$3 + \frac{1}{3} \| - x + 2 \|$	=	$5$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| - x + 2 \|$	=	$2$	\|⋅ $3$
$\| - x + 2 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

$- x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 4) + 2$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 2$ < 0:

$- (- x + 2)$	=	$6$
$x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ < 0) genügt:

$- 8 + 2$ = -6 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +2 ≥ 0:

2. Fall: -x +2 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 2$ < 0: