Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^3-13x$	=	$-\frac{36}{x}$	|⋅( $x$)
$x^3·x-13x·x$	=	$-\frac{36}{x}·x$
$x^3·x-13x·x$	=	$-36$
$x^4-13x^2$	=	$-36$

$x^4-13x^2$

=

$-36$

| $+36$

$x^4-13x^2+36$ = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $9$

u₂: $x^2$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-3$; $-2$; $2$; $3$}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $-3$: f( $-3$)= $-\frac{36}{\left(-3\right)}$ = 12 Somit gilt: S₁( $-3$|12)

x₂ = $-2$: f( $-2$)= $-\frac{36}{\left(-2\right)}$ = 18 Somit gilt: S₂( $-2$|18)

x₃ = $2$: f( $2$)= $-\frac{36}{2}$ = -18 Somit gilt: S₃( $2$|-18)

x₄ = $3$: f( $3$)= $-\frac{36}{3}$ = -12 Somit gilt: S₄( $3$|-12)

Für die Steigung der Geraden y = $x-3$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x-2+3x·e^{3x}$

f'(x)= $3e^{3x}+1+9x·e^{3x}$

Also muss gelten:

$3e^{3x}+1+9x·e^{3x}$	=	$1$	| $-1$
$3e^{3x}+1-1+9x·e^{3x}$	=	0
$3e^{3x}+9x·e^{3x}$	=	0
$3\left(3x+1\right)e^{3x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-\frac{1}{3}$}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x-3$.

$\left(-e^{-5x}+5\right)\left(x^4-x^2\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; $-\frac{1}{5}\ln \left(5\right)$; 0; $1$}

0 ist 2-fache Lösung!

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2x$ weg!

$\frac{3x-1}{2x}-2$	=	0	|⋅( $2x$)
$\frac{3x-1}{2x}·2x-2·2x$	=	0
$3x-1-4x$	=	0
$-x-1$	=	0

$-x-1$	=	0	| $+1$
$-x$	=	$1$	|:($-1$)
$x$	=	$-1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-1$}

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^3+x^2+6x+6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$.

$-1$ ist eine Lösung, denn ${\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2+6\cdot \left(-1\right)+6$= 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x$+1$) durch.

( $x^3$	$+x^2$	$+6x$	$+6$)	:	(x$+1$)	=	$x^2+0+6$
-( $x^3$	$+x^2$)
	0	$+6x$
	-(0	0)
		$6x$	$+6$
		-( $6x$	$+6$)
			0

es gilt also:

$x^3+x^2+6x+6$ = $\left(x^2+0+6\right)·\left(x+1\right)$

$\left(x^2+0+6\right)·\left(x+1\right)$	=	0
$\left(x^2+6\right)\left(x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$}

$-\frac{1}{2}\left|$ 4x+4$\right|-4$	=	$-8$
$-4-\frac{1}{2}\left|$ 4x+4$\right|$	=	$-8$	| $+4$
$-\frac{1}{2}\left|$ 4x+4$\right|$	=	$-4$	|⋅ $\left(-2\right)$
$\left|$ 4x+4$\right|$	=	$8$

1. Fall: $4x+4$ ≥ 0:

2. Fall: $4x+4$ < 0:

L={ $-3$; $1$}