Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 9 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $- 20 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 9 e^{3 x}$	=	$- 20 e^{2 x}$	\| $+ 20 e^{2 x}$
$e^{4 x} - 9 e^{3 x} + 20 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 9 e^{x} + 20) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 9 e^{x} + 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 20 e^{2 \cdot (2 \ln (2))}$ = -320 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-320)

x₂ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $- 20 e^{2 \cdot (\ln (5))}$ = -500 Somit gilt: S₂( $\ln (5)$ |-500)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 4 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 5$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + 4 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 4 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + 4 e^{x}

=

12

|

- 12

e^{2 x} + 4 e^{x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 4 e^{2 x}$ = $12$

Lösung einblenden

e^{4 x} - 4 e^{2 x}

=

12

|

- 12

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{6 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x - 1}{2 x} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$6 x + \frac{(3 x - 1) (x - 1)}{2 x} - 5 x + 5$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} - 5 x + 5$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + 6 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} + 6 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 5 x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 12 x \cdot x - 10 x \cdot x + 10 x$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 12 x^{2} - 10 x^{2} + 10 x$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1$	=

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6+4}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6-4}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $15 x^{2}$	$- 15 x$ )
		$18 x$	$- 18$
		-( $18 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 13 \cdot {(- 6)}^{2} + 3 \cdot (- 6) - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 18$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 3 x$	$- 18$
		-( $- 3 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 3 x - 18$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + x - 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x - 4 | + 1$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x - 4 \| + 1$	=	$- 1$
$1 - \| - 2 x - 4 \|$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- \| - 2 x - 4 \|$	=	$- 2$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$2$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 3) - 4$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$2$
$2 x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 1) - 4$ = -2 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: