Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ $- x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4}$	=	$- x$	\| $+ x$
$x^{4} + x$	=	0
$x (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- (- 1)$ = 1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |1)

x₂ = 0: f(0)= $- 0$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3 + 2 x \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 3 + 2 x \cdot e^{- x}$

f'(x)= $2 e^{- x} + 1 - 2 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- x} + 1 - 2 x \cdot e^{- x}$	=	$1$	\| $- 1$
$2 e^{- x} + 1 - 1 - 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$2 e^{- x} - 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$2 (- x + 1) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 4 e^{4 x} - 21 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 4 e^{4 x} - 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 2} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} - 2$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - 2 \cdot (x - 2)$	=
$6 x - 2 x + 4$	=
$4 x + 4$	=

$4 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - 10 \cdot {(- 1)}^{2} - 43 \cdot (- 1) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 43 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$- 13 x$ )
		$- 30 x$	$- 30$
		-( $- 30 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 10 \cdot 6^{2} - 43 \cdot 6 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 43 x$	$- 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$5 x$	$- 30$
		-( $5 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x - 3 | + 7$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x - 3 \| + 7$	=	$8$
$7 + \frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	$8$	\| $- 7$
$\frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	$1$	\|⋅ $2$
$\| x - 3 \|$	=	$2$

1. Fall: $x - 3$ ≥ 0:

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 3$ ≥ 0) genügt:

$5 - 3$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 3$ < 0:

$- (x - 3)$	=	$2$
$- x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 3$ < 0) genügt:

$1 - 3$ = -2 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: x -3 ≥ 0:

2. Fall: x -3 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 3$ < 0: