Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $4 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 5 e^{- 2 x} + 1

=

4 e^{- x}

|

- 4 e^{- x}

- 4 e^{- x} - 5 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 4 e^{- x} - 5 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 4 e^{x} - 5$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $4 e^{- (\ln (5))}$ = 0.8 Somit gilt: S₁( $\ln (5)$ |0.8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{7}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 10 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 10 x - 3$ gilt m = $- 10$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{7}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 7 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 7 e^{3 x}

=

- 10

|

+ 10

e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 10

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 10$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 10 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + e^{3 x}$ = $12$

Lösung einblenden

e^{6 x} + e^{3 x}

=

12

|

- 12

e^{6 x} + e^{3 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{x + 3}{x} + \frac{11 x + 3}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

- \frac{11 x + 3}{2 x} + \frac{x + 3}{x} + \frac{4 x}{3 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{11 x + 3}{2 x} + \frac{x + 3}{x} + \frac{4 x}{3 x - 6}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{11 x + 3}{2 x} \cdot 2 x + \frac{x + 3}{x} \cdot 2 x + \frac{4 x}{3 x - 6} \cdot 2 x$	=
$- 11 x - 3 + 2 x + 6 + 2 \frac{4 x \cdot x}{3 x - 6}$	=
$- 11 x - 3 + 2 x + 6 + 2 \frac{4 x^{2}}{3 x - 6}$	=
$2 \frac{4 x^{2}}{3 x - 6} - 11 x + 2 x - 3 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$2 \frac{4 x^{2}}{3 x - 6} - 11 x + 2 x - 3 + 6$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$2 \frac{4 x^{2}}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) - 11 x \cdot (3 x - 6) + 2 x \cdot (3 x - 6) - 3 \cdot (3 x - 6) + 6 \cdot (3 x - 6)$	=
$8 x^{2} - 11 x (3 x - 6) + 2 x (3 x - 6) - 9 x + 18 + 18 x - 36$	=
$8 x^{2} + (- 33 x^{2} + 66 x) + (6 x^{2} - 12 x) - 9 x + 18 + 18 x - 36$	=
$- 19 x^{2} + 63 x - 18$	=

$- 19 x^{2} + 63 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 63 \pm \sqrt{63^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{- 63 \pm \sqrt{3 969 - 1 368}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{- 63 \pm \sqrt{2 601}}{- 38}$

x₁ = $\frac{- 63 + \sqrt{2 601}}{- 38}$ = $\frac{- 63+51}{- 38}$ = $\frac{- 12}{- 38}$ = $\frac{6}{19}$ ≈ 0.32

x₂ = $\frac{- 63 - \sqrt{2 601}}{- 38}$ = $\frac{- 63-51}{- 38}$ = $\frac{- 114}{- 38}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{6}{19}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} - 27 \cdot (- 1) - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 27 x$	$- 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 27 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 18 x$	$- 18$
		-( $- 18 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 7 \cdot 6^{2} - 27 \cdot 6 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 27 x$	$- 18$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 27 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$3 x$	$- 18$
		-( $3 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x + 9 | - 4$ = $- 22$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \| - 4$	=	$- 22$
$- 4 - \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \|$	=	$- 22$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \|$	=	$- 18$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$54$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$54$	\| $- 9$
$3 x$	=	$45$	\|: $3$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 15 + 9$ = 54 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$54$
$- 3 x - 9$	=	$54$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$63$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 21$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 21) + 9$ = -54 < 0

Die Lösung $- 21$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 21$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: