Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 35 x$ und $g(x) =$ $- 2 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 35 x$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2 x^{2}$
$x^{3} + 2 x^{2} - 35 x$	=	0
$x (x^{2} + 2 x - 35)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; 0; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 7$ : f( $- 7$ )= $- 2 \cdot {(- 7)}^{2}$ = -98 Somit gilt: S₁( $- 7$ |-98)

x₂ = 0: f(0)= $- 2 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $5$ : f( $5$ )= $- 2 \cdot 5^{2}$ = -50 Somit gilt: S₃( $5$ |-50)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 2 e^{3 x}

=

- 1

|

+ 1

e^{6 x} - 2 e^{3 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 18 x^{3} + 81 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 18 x^{3} + 81 x$	=	0
$x (x^{4} - 18 x^{2} + 81)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 18 x^{2} + 81

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 18 u + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{18}{2}$ = $9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₅	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung! $3$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} - 7$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} \cdot (2 x + 3) - 7 \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x + \frac{(5 x - 1) (2 x + 3)}{2 x + 2} - 14 x - 21$	=
$3 x + \frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{2 x + 2} - 14 x - 21$	=
$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{2 x + 2} + 3 x - 14 x - 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{2 x + 2} + 3 x - 14 x - 21$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 3 x \cdot (2 x + 2) - 14 x \cdot (2 x + 2) - 21 \cdot (2 x + 2)$	=
$10 x^{2} + 13 x - 3 + 3 x (2 x + 2) - 14 x (2 x + 2) - 42 x - 42$	=
$10 x^{2} + 13 x - 3 + (6 x^{2} + 6 x) + (- 28 x^{2} - 28 x) - 42 x - 42$	=
$- 12 x^{2} - 51 x - 45$	=

- 12 x^{2} - 51 x - 45

= 0 |:3

$- 4 x^{2} - 17 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{17+7}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{17-7}{- 8}$ = $\frac{10}{- 8}$ = $- 1,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,25$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 89 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 16 x^{2} - 89 x - 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 90$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} - 16 \cdot {(- 2)}^{2} - 89 \cdot (- 2) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 89 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- 89 x$
	-( $- 22 x^{2}$	$- 44 x$ )
		$- 45 x$	$- 90$
		-( $- 45 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 89 x - 90$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 16 \cdot 9^{2} - 89 \cdot 9 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 89 x$	$- 90$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 89 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 99 x$ )
		$10 x$	$- 90$
		-( $10 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 89 x - 90$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x - 3 | - 2$ = $16$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \| - 2$	=	$16$
$- 2 + \frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \|$	=	$16$	\| $+ 2$
$\frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \|$	=	$18$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x - 3 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x - 3$ ≥ 0:

$- 3 x - 3$	=	$36$	\| $+ 3$
$- 3 x$	=	$39$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 13) - 3$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 3$ < 0:

$- (- 3 x - 3)$	=	$36$
$3 x + 3$	=	$36$	\| $- 3$
$3 x$	=	$33$	\|: $3$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 11 - 3$ = -36 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -3 ≥ 0:

2. Fall: -3x -3 < 0:

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 3 x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 3$ < 0: