Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 2 x^{3}$ und $g(x) =$ $- 1$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{6} + 2 x^{3}

=

- 1

|

+ 1

x^{6} + 2 x^{3} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 1$ Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{3}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $4 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x + 6$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{3}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 3 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 3 e^{2 x}

=

4

|

- 4

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{4 x} - 15 e^{2 x}$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

$2 e^{4 x} - 15 e^{2 x}$	=	$- e^{6 x}$	\| $+ e^{6 x}$
$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 3} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x}{x + 3} - 2$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - 2 \cdot (x + 3)$	=
$8 x - 2 x - 6$	=
$6 x - 6$	=

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 11 x^{3} + 33 x^{2} + 37 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 11 x^{3} + 33 x^{2} + 37 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 11 \cdot {(- 1)}^{3} + 33 \cdot {(- 1)}^{2} + 37 \cdot (- 1) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 11 x^{3}$	$+ 33 x^{2}$	$+ 37 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$10 x^{3}$	$+ 33 x^{2}$
	-( $10 x^{3}$	$+ 10 x^{2}$ )
		$23 x^{2}$	$+ 37 x$
		-( $23 x^{2}$	$+ 23 x$ )
			$14 x$	$+ 14$
			-( $14 x$	$+ 14$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 11 x^{3} + 33 x^{2} + 37 x + 14$ = $(x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 10 \cdot {(- 1)}^{2} + 23 \cdot (- 1) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$14 x$	$+ 14$
		-( $14 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 10 \cdot {(- 2)}^{2} + 23 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$7 x$	$+ 14$
		-( $7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 10 \cdot {(- 7)}^{2} + 23 \cdot (- 7) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 21 x$ )
		$2 x$	$+ 14$
		-( $2 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 11 \cdot {(- 2)}^{3} + 33 \cdot {(- 2)}^{2} + 37 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 11 x^{3}$	$+ 33 x^{2}$	$+ 37 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$9 x^{3}$	$+ 33 x^{2}$
	-( $9 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
		$15 x^{2}$	$+ 37 x$
		-( $15 x^{2}$	$+ 30 x$ )
			$7 x$	$+ 14$
			-( $7 x$	$+ 14$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 11 x^{3} + 33 x^{2} + 37 x + 14$ = $(x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 15 \cdot (- 1) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 15 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 15 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$7 x$	$+ 7$
		-( $7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 9 \cdot {(- 7)}^{2} + 15 \cdot (- 7) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 15 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 15 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$x$	$+ 7$
		-( $x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{4} + 11 \cdot {(- 7)}^{3} + 33 \cdot {(- 7)}^{2} + 37 \cdot (- 7) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 11 x^{3}$	$+ 33 x^{2}$	$+ 37 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$
-( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$+ 33 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$+ 28 x^{2}$ )
		$5 x^{2}$	$+ 37 x$
		-( $5 x^{2}$	$+ 35 x$ )
			$2 x$	$+ 14$
			-( $2 x$	$+ 14$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 11 x^{3} + 33 x^{2} + 37 x + 14$ = $(x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2) \cdot (x + 7)$

(x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 4 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 2$ ; $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x - 3 | + 8$ = $2$

Lösung einblenden

$\| - 3 x - 3 \| + 8$	=	$2$
$8 + \| - 3 x - 3 \|$	=	$2$	\| $- 8$
$\| - 3 x - 3 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 2$