Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 4$ und $g(x) =$ $- 4 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 4

=

- 4 e^{- 2 x}

|

+ 4 e^{- 2 x}

e^{2 x} + 4 e^{- 2 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} + 4 e^{- 2 x} - 4$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 4$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

$\frac{1}{2} \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $- 4 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (2))}$ = -2 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $24 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x + 4$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 2 e^{2 x}

=

24

|

- 24

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 35 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x + 5} + \frac{x}{2 x + 3} + \frac{2 x}{- 2 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- \frac{5}{3}$ }

\frac{x}{2 x + 3} + \frac{x - 1}{3 x + 5} + \frac{2 x}{- 2 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{x - 1}{3 x + 5} + \frac{2 x}{- 2 x - 3}$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{x - 1}{3 x + 5} \cdot (2 x + 3) + \frac{2 x}{- (2 x + 3)} \cdot (2 x + 3)$	=
$x + \frac{(x - 1) (2 x + 3)}{3 x + 5} - 2 x$	=
$x + \frac{2 x^{2} + x - 3}{3 x + 5} - 2 x$	=
$\frac{2 x^{2} + x - 3}{3 x + 5} + x - 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{2 x^{2} + x - 3}{3 x + 5} + x - 2 x$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{2 x^{2} + x - 3}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5) - 2 x \cdot (3 x + 5)$	=
$2 x^{2} + x - 3 + x (3 x + 5) - 2 x (3 x + 5)$	=
$2 x^{2} + x - 3 + (3 x^{2} + 5 x) + (- 6 x^{2} - 10 x)$	=
$- x^{2} - 4 x - 3$	=

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} + 11 x - 21$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 11 x - 21$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 21$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 21$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 10 x + 21$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$21 x$	$- 21$
		-( $21 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 11 x - 21$ = $(x^{2} + 10 x + 21) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 10 x + 21) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10+4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10-4}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 9 \cdot {(- 3)}^{2} + 11 \cdot (- 3) - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 21$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 7 x$	$- 21$
		-( $- 7 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 11 x - 21$ = $(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 6 x - 7) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 9 \cdot {(- 7)}^{2} + 11 \cdot (- 7) - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 21$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$- 3 x$	$- 21$
		-( $- 3 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 11 x - 21$ = $(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 2 x - 3) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 3$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x + 12 | + 6$ = $14$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \| + 6$	=	$14$
$6 + \frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \|$	=	$14$	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \|$	=	$8$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x + 12 \|$	=	$16$

1. Fall: $- 4 x + 12$ ≥ 0:

$- 4 x + 12$	=	$16$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 1) + 12$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 12$ < 0:

$- (- 4 x + 12)$	=	$16$
$4 x - 12$	=	$16$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 7 + 12$ = -16 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +12 ≥ 0:

2. Fall: -4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 12$ < 0: