Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $42 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $13 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

42 e^{- 2 x} + 1

=

13 e^{- x}

|

- 13 e^{- x}

- 13 e^{- x} + 42 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 13 e^{- x} + 42 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 13 e^{x} + 42$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

L={ $\ln (6)$ ; $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $13 e^{- (\ln (6))}$ = 2.167 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |2.167)

x₂ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $13 e^{- (\ln (7))}$ = 1.857 Somit gilt: S₂( $\ln (7)$ |1.857)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 5 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 5$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 5 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$	=	0
$x (x^{4} - 10 x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{30 x}{- 9 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{30 x}{- 9 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{30 x}{- 9 x - 3}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{30 x}{- 3 (3 x + 1)} \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x + \frac{6 x (3 x + 1)}{2 x - 1} - 10 x$	=
$6 x + \frac{18 x^{2} + 6 x}{2 x - 1} - 10 x$	=
$\frac{18 x^{2} + 6 x}{2 x - 1} + 6 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{18 x^{2} + 6 x}{2 x - 1} + 6 x - 10 x$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{18 x^{2} + 6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 6 x \cdot (2 x - 1) - 10 x \cdot (2 x - 1)$	=
$18 x^{2} + 6 x + 6 x (2 x - 1) - 10 x (2 x - 1)$	=
$18 x^{2} + 6 x + (12 x^{2} - 6 x) + (- 20 x^{2} + 10 x)$	=
$10 x^{2} + 10 x$	=

$10 x^{2} + 10 x$	=	0
$10 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 7 x^{2} - 21 x - 27$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 7 x^{2} - 21 x - 27$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 27$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 7 \cdot {(- 1)}^{2} - 21 \cdot (- 1) - 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 21 x$	$- 27$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 6 x - 27$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 21 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 27 x$	$- 27$
		-( $- 27 x$	$- 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 21 x - 27$ = $(x^{2} + 6 x - 27) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 6 x - 27) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6+12}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6-12}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 7 \cdot 3^{2} - 21 \cdot 3 - 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 21 x$	$- 27$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- 21 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$9 x$	$- 27$
		-( $9 x$	$- 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 21 x - 27$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 10 x + 9) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 7 \cdot {(- 9)}^{2} - 21 \cdot (- 9) - 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 21 x$	$- 27$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 21 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 3 x$	$- 27$
		-( $- 3 x$	$- 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 21 x - 27$ = $(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 2 x - 3) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x - 3 | - 6$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x - 3 \| - 6$	=	$- 7$
$- 6 - \frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	$- 7$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	$- 1$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x - 3 \|$	=	$2$

1. Fall: $x - 3$ ≥ 0:

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 3$ ≥ 0) genügt:

$5 - 3$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 3$ < 0:

$- (x - 3)$	=	$2$
$- x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 3$ < 0) genügt:

$1 - 3$ = -2 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: x -3 ≥ 0:

2. Fall: x -3 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 3$ < 0: