Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x+\frac{6}{x}$	=	$5$	|⋅( $x$)
$x·x+\frac{6}{x}·x$	=	$5·x$
$x·x+6$	=	$5x$
$x^2+6$	=	$5x$

$x^2+6$

=

$5x$

| $-5x$

$x^2-5x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·6}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$; $3$}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$: f( $2$)= $5$ Somit gilt: S₁( $2$|5)

x₂ = $3$: f( $3$)= $5$ Somit gilt: S₂( $3$|5)

Für die Steigung der Geraden y = $28x-1$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5}{x}^5+x^3$

f'(x)= $x^4+3x^2$

Also muss gelten:

$x^4+3x^2$

=

$28$

| $-28$

$x^4+3x^2-28$ = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $4$

u₂: $x^2$ = $-7$

L={ $-2$; $2$}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28x-1$.

$e^{2x}-11e^x$

=

$-28$

| $+28$

$e^{2x}-11e^x+28$ = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^x$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $e^x$ = $7$

u₂: $e^x$ = $4$

L={ $2\ln \left(2\right)$; $\ln \left(7\right)$}

D=R\{ $-\frac{2}{3}$}

Wir multiplizieren den Nenner $3x+2$ weg!

$\frac{4x}{3x+2}-2$	=	0	|⋅( $3x+2$)
$\frac{4x}{3x+2}·\left(3x+2\right)-2·\left(3x+2\right)$	=	0
$4x-6x-4$	=	0
$-2x-4$	=	0

$-2x-4$	=	0	| $+4$
$-2x$	=	$4$	|:($-2$)
$x$	=	$-2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-2$}

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^3-x^2+2x-2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $-2$.

$1$ ist eine Lösung, denn $1^3-1^2+2\cdot 1-2$= 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x$-1$) durch.

( $x^3$	$-x^2$	$+2x$	$-2$)	:	(x$-1$)	=	$x^2+0+2$
-( $x^3$	$-x^2$)
	0	$+2x$
	-(0	0)
		$2x$	$-2$
		-( $2x$	$-2$)
			0

es gilt also:

$x^3-x^2+2x-2$ = $\left(x^2+0+2\right)·\left(x-1\right)$

$\left(x^2+0+2\right)·\left(x-1\right)$	=	0
$\left(x^2+2\right)\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $1$}

$-\frac{1}{3}\left|$ -4x+4$\right|-6$	=	$-18$
$-6-\frac{1}{3}\left|$ -4x+4$\right|$	=	$-18$	| $+6$
$-\frac{1}{3}\left|$ -4x+4$\right|$	=	$-12$	|⋅ $\left(-3\right)$
$\left|$ -4x+4$\right|$	=	$36$

1. Fall: $-4x+4$ ≥ 0:

2. Fall: $-4x+4$ < 0:

L={ $-8$; $10$}