Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 18 e^{- x}$ und $g(x) =$ $3$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 18 e^{- x}

=

3

|

- 3

e^{x} - 18 e^{- x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 18 e^{- x} - 3$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 3 e^{x} - 18$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $3$ Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 3 + x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 3 + x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$e^{2 x} - 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$e^{2 x} - 1 + 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$(2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 7 x^{2}$ = $18$

Lösung einblenden

x^{4} - 7 x^{2}

=

18

|

- 18

x^{4} - 7 x^{2} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{2 x}{3 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- 3$ }

\frac{2 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 3} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 3} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{12 x}{x + 3} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$2 x + \frac{12 x (3 x - 1)}{x + 3} - 12 x + 4$	=
$2 x + \frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} - 12 x + 4$	=
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} + 2 x - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} + 2 x - 12 x + 4$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 2 x \cdot (x + 3) - 12 x \cdot (x + 3) + 4 \cdot (x + 3)$	=
$36 x^{2} - 12 x + 2 x (x + 3) - 12 x (x + 3) + 4 x + 12$	=
$36 x^{2} - 12 x + (2 x^{2} + 6 x) + (- 12 x^{2} - 36 x) + 4 x + 12$	=
$26 x^{2} - 38 x + 12$	=

26 x^{2} - 38 x + 12

= 0 |:2

$13 x^{2} - 19 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 6}}{2 \cdot 13}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 312}}{26}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{49}}{26}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{49}}{26}$ = $\frac{19+7}{26}$ = $\frac{26}{26}$ = $1$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{49}}{26}$ = $\frac{19-7}{26}$ = $\frac{12}{26}$ = $\frac{6}{13}$ ≈ 0.46

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{6}{13}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 58 x + 112$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 58 x + 112$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $112$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2^{2} - 58 \cdot 2 + 112$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 58 x$	$+ 112$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + x - 56$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 58 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 56 x$	$+ 112$
		-( $- 56 x$	$+ 112$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 58 x + 112$ = $(x^{2} + x - 56) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + x - 56) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 1+15}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 1-15}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 7^{2} - 58 \cdot 7 + 112$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 58 x$	$+ 112$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 58 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$- 16 x$	$+ 112$
		-( $- 16 x$	$+ 112$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 58 x + 112$ = $(x^{2} + 6 x - 16) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 6 x - 16) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} - {(- 8)}^{2} - 58 \cdot (- 8) + 112$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 58 x$	$+ 112$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 58 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$14 x$	$+ 112$
		-( $14 x$	$+ 112$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 58 x + 112$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $2$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 10 | + 9$ = $13$

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 10 \| + 9$	=	$13$
$9 + \| - 2 x + 10 \|$	=	$13$	\| $- 9$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$4$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

$- 2 x + 10$	=	$4$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot 3 + 10$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0:

$- (- 2 x + 10)$	=	$4$
$2 x - 10$	=	$4$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 7 + 10$ = -4 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $3$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +10 ≥ 0:

2. Fall: -2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0: