Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} + 8 x$ und $g(x) =$ $9 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} + 8 x$	=	$9 x^{4}$	\| $- 9 x^{4}$
$x^{7} - 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x (x^{6} - 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $9 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $9 \cdot 1^{4}$ = 9 Somit gilt: S₂( $1$ |9)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $9 \cdot 2^{4}$ = 144 Somit gilt: S₃( $2$ |144)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{13}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 42 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 42 x - 5$ gilt m = $- 42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{13}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 13 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 13 e^{3 x}

=

- 42

|

+ 42

e^{6 x} - 13 e^{3 x} + 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 42 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 9 e^{2 x} + 14 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 9 e^{2 x} + 14 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 9 e^{x} + 14) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 9 e^{x} + 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{- 16 x}{9 x + 21}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} - \frac{16 x}{9 x + 21}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{3 x + 1}{3 x + 7} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} - \frac{16 x}{9 x + 21}$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{3 x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} \cdot (3 x + 7) - \frac{16 x}{3 (3 x + 7)} \cdot (3 x + 7)$	=
$3 x + 1 + \frac{(5 x - 1) (3 x + 7)}{2 x + 2} - \frac{16}{3} x$	=
$3 x + 1 + \frac{15 x^{2} + 32 x - 7}{2 x + 2} - \frac{16}{3} x$	=
$\frac{15 x^{2} + 32 x - 7}{2 x + 2} + 3 x - \frac{16}{3} x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{15 x^{2} + 32 x - 7}{2 x + 2} + 3 x - \frac{16}{3} x + 1$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{15 x^{2} + 32 x - 7}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 3 x \cdot (2 x + 2) - \frac{16}{3} x \cdot (2 x + 2) + 1 \cdot (2 x + 2)$	=
$15 x^{2} + 32 x - 7 + 3 x (2 x + 2) - \frac{16}{3} x (2 x + 2) + 2 x + 2$	=
$15 x^{2} + 32 x - 7 + (6 x^{2} + 6 x) + (- \frac{32}{3} x^{2} - \frac{32}{3} x) + 2 x + 2$	=
$\frac{31}{3} x^{2} + \frac{88}{3} x - 5$	=

$\frac{31}{3} x^{2} + \frac{88}{3} x - 5$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{31}{3} x^{2} + \frac{88}{3} x - 5)$	=	0

$31 x^{2} + 88 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 88 \pm \sqrt{88^{2} - 4 \cdot 31 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 31}$

x_1,2 = $\frac{- 88 \pm \sqrt{7 744 + 1 860}}{62}$

x_1,2 = $\frac{- 88 \pm \sqrt{9 604}}{62}$

x₁ = $\frac{- 88 + \sqrt{9 604}}{62}$ = $\frac{- 88+98}{62}$ = $\frac{10}{62}$ = $\frac{5}{31}$ ≈ 0.16

x₂ = $\frac{- 88 - \sqrt{9 604}}{62}$ = $\frac{- 88-98}{62}$ = $\frac{- 186}{62}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{5}{31}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 19 \cdot {(- 2)}^{2} + 48 \cdot (- 2) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 19 x^{2}$	$+ 48 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 48 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$18 x$	$+ 36$
		-( $18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 19 \cdot {(- 6)}^{2} + 48 \cdot (- 6) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 19 x^{2}$	$+ 48 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 48 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$6 x$	$+ 36$
		-( $6 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $- 1,5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x - 2 | - 6$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \| - 6$	=	$- 10$
$- 6 - \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 10$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 7) - 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$12$
$2 x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 5 - 2$ = -12 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: