Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 4 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $21 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 4 e^{4 x}$	=	$21 e^{x}$	\| $- 21 e^{x}$
$e^{7 x} - 4 e^{4 x} - 21 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $21 e^{\frac{1}{3} \ln (7)}$ = 40.172 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |40.172)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 6 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6 x + 5$ gilt m = $- 6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 7 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 7 e^{x}

=

- 6

|

+ 6

e^{2 x} - 7 e^{x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 6 e^{3 x} - 7 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 6 e^{3 x} - 7 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 3}{x} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{- 19 x - 3}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{- 19 x - 3}{3 x} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{4 x}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 19 x - 3}{3 x} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{4 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 19 x - 3}{3 x} \cdot 3 x + \frac{2 x - 3}{x} \cdot 3 x + \frac{4 x}{x - 1} \cdot 3 x$	=
$- 19 x - 3 + 6 x - 9 + 3 \frac{4 x \cdot x}{x - 1}$	=
$- 19 x - 3 + 6 x - 9 + 3 \frac{4 x^{2}}{x - 1}$	=
$3 \frac{4 x^{2}}{x - 1} - 19 x + 6 x - 3 - 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$3 \frac{4 x^{2}}{x - 1} - 19 x + 6 x - 3 - 9$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$3 \frac{4 x^{2}}{x - 1} \cdot (x - 1) - 19 x \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1) - 9 \cdot (x - 1)$	=
$12 x^{2} - 19 x (x - 1) + 6 x (x - 1) - 3 x + 3 - 9 x + 9$	=
$12 x^{2} + (- 19 x^{2} + 19 x) + (6 x^{2} - 6 x) - 3 x + 3 - 9 x + 9$	=
$- x^{2} + x + 12$	=

$- x^{2} + x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3} - 21 x^{2} + 22 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 2 x^{3} - 21 x^{2} + 22 x + 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $40$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 2 \cdot {(- 1)}^{3} - 21 \cdot {(- 1)}^{2} + 22 \cdot (- 1) + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 21 x^{2}$	$+ 22 x$	$+ 40$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 21 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
		$- 18 x^{2}$	$+ 22 x$
		-( $- 18 x^{2}$	$- 18 x$ )
			$40 x$	$+ 40$
			-( $40 x$	$+ 40$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 21 x^{2} + 22 x + 40$ = $(x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $40$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 18 x$	$+ 40$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 20$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 18 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 20 x$	$+ 40$
		-( $- 20 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = $(x^{2} - x - 20) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 20) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 18 \cdot (- 4) + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 18 x$	$+ 40$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 18 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$10 x$	$+ 40$
		-( $10 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 18 \cdot 5 + 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 18 x$	$+ 40$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 18 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 8 x$	$+ 40$
		-( $- 8 x$	$+ 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 4$ ; $- 1$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x - 3 | + 3$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x - 3 \| + 3$	=	0
$3 + \frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	0	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $2$
$\| x - 3 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 5

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $5$