Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} - x^{2}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{6} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 1$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₃( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 4 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4 x - 7$ gilt m = $- 4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 5 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 5 x^{2}

=

- 4

|

+ 4

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{2 x} - 15 e^{x}$ = $- e^{3 x}$

Lösung einblenden

$- 2 e^{2 x} - 15 e^{x}$	=	$- e^{3 x}$	\| $+ e^{3 x}$
$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 2 e^{x} - 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 3}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 3}{x} - 4$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 3}{x} \cdot x - 4 \cdot x$	=
$3 x - 3 - 4 x$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} - 25 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 25 x^{2}$	$- 23 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $- 22 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$- 45 x$	$+ 45$
		-( $- 45 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 25 \cdot 9^{2} - 23 \cdot 9 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 25 x^{2}$	$- 23 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 5 x$	$+ 45$
		-( $- 5 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x + 4 | + 4$ = $16$

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$- \| - 4 x + 4 \| + 4$	=	$16$
$4 - \| - 4 x + 4 \|$	=	$16$	\| $- 4$
$- \| - 4 x + 4 \|$	=	$12$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $9$