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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 13 x$ und $g(x) =$ $- \frac{36}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - 13 x$	=	$- \frac{36}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - 13 x \cdot x$	=	$- \frac{36}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 13 x \cdot x$	=	$- 36$
$x^{4} - 13 x^{2}$	=	$- 36$

x^{4} - 13 x^{2}

=

- 36

|

+ 36

x^{4} - 13 x^{2} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- \frac{36}{(- 3)}$ = 12 Somit gilt: S₁( $- 3$ |12)

x₂ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{36}{(- 2)}$ = 18 Somit gilt: S₂( $- 2$ |18)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{36}{2}$ = -18 Somit gilt: S₃( $2$ |-18)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $- \frac{36}{3}$ = -12 Somit gilt: S₄( $3$ |-12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 1 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 1$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 1 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$(- x^{2} + 8 x) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $8$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{2 x} - 2) \cdot (x^{4} - x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(6 e^{2 x} - 2) (x^{4} - x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{2 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$6 e^{2 x}$	=	$2$	\|: $6$
$e^{2 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$	≈ -0.5493

2. Fall:

$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3})$ ; 0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{3 x}{2 x - 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; 0}

\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{3 x - 1}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{3 x - 1}{2 x} \cdot (2 x - 1) - 3 \cdot (2 x - 1)$	=
$3 x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{2 x} - 6 x + 3$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{2 x} - 6 x + 3$	=
$\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{2 x} + 3 x - 6 x + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{2 x} + 3 x - 6 x + 3$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 3 x \cdot 2 x - 6 x \cdot 2 x + 3 \cdot 2 x$	=
$6 x^{2} - 5 x + 1 + 6 x \cdot x - 12 x \cdot x + 6 x$	=
$6 x^{2} - 5 x + 1 + 6 x^{2} - 12 x^{2} + 6 x$	=
$x + 1$	=

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 50 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 50 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 50 \cdot (- 1) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 50 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 48$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 50 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 48 x$	$- 48$
		-( $- 48 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 50 x - 48$ = $(x^{2} - 2 x - 48) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x - 48) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2+14}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2-14}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - {(- 6)}^{2} - 50 \cdot (- 6) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 50 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 50 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$- 8 x$	$- 48$
		-( $- 8 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 50 x - 48$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 8^{2} - 50 \cdot 8 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 50 x$	$- 48$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 50 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 56 x$ )
		$6 x$	$- 48$
		-( $6 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 50 x - 48$ = $(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 7 x + 6) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 6$ ; $- 1$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x - 4 | - 1$ = $- 13$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x - 4 \| - 1$	=	$- 13$
$- 1 - \| - 2 x - 4 \|$	=	$- 13$	\| $+ 1$
$- \| - 2 x - 4 \|$	=	$- 12$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 8) - 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$12$
$2 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 4 - 4$ = -12 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: