Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 28 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $11 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 28 e^{- 2 x}$	=	$11 e^{x}$	\| $- 11 e^{x}$
$e^{4 x} - 11 e^{x} + 28 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 28) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $11 e^{\frac{2}{3} \ln (2)}$ = 17.461 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |17.461)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $11 e^{\frac{1}{3} \ln (7)}$ = 21.042 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |21.042)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 5 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 5 x + 6$ gilt m = $- 5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 6 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 6 x

=

- 5

|

+ 5

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 5 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 7 e^{x} + 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 7 e^{x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{2}$ }

\frac{x}{2 x - 4} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - 2$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{x - 1}{2 x - 5} \cdot (2 x - 4) - 2 \cdot (2 x - 4)$	=
$x + \frac{(x - 1) (2 x - 4)}{2 x - 5} - 4 x + 8$	=
$x + \frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 x - 5} - 4 x + 8$	=
$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 x - 5} + x - 4 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 x - 5} + x - 4 x + 8$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + x \cdot (2 x - 5) - 4 x \cdot (2 x - 5) + 8 \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4 + x (2 x - 5) - 4 x (2 x - 5) + 16 x - 40$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4 + (2 x^{2} - 5 x) + (- 8 x^{2} + 20 x) + 16 x - 40$	=
$- 4 x^{2} + 25 x - 36$	=

$- 4 x^{2} + 25 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 25+7}{- 8}$ = $\frac{- 18}{- 8}$ = $2,25$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 25-7}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,25$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2^{2} - 14 \cdot 2 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 14 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + x - 12$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 14 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 12 x$	$+ 24$
		-( $- 12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ = $(x^{2} + x - 12) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + x - 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 3^{2} - 14 \cdot 3 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 14 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 14 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 8 x$	$+ 24$
		-( $- 8 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - {(- 4)}^{2} - 14 \cdot (- 4) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 14 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 14 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$6 x$	$+ 24$
		-( $6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x + 1 | + 5$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x + 1 \| + 5$	=	$1$
$5 + \frac{1}{2} \| - x + 1 \|$	=	$1$	\| $- 5$
$\frac{1}{2} \| - x + 1 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $2$
$\| - x + 1 \|$	=	$- 8$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 4$