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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 2 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $35 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 2 e^{2 x}$	=	$35 e^{x}$	\| $- 35 e^{x}$
$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 35 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 2 e^{x} - 35) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 2 e^{x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $35 e^{\ln (7)}$ = 245 Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |245)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 3 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 3 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 3 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 3 e^{x}

=

- 2

|

+ 2

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 5 e^{3 x} - 14 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 5 e^{3 x} - 14 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{9 x + 1}{- 3 x + 5}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ ; $2$ }

\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{9 x + 1}{- 3 x + 5} + \frac{4 x}{3 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{9 x + 1}{- 3 x + 5} + \frac{4 x}{3 x - 6}$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{4 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{9 x + 1}{- 3 x + 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{4 x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 5)$	=
$4 x + \frac{(9 x + 1) (3 x - 5)}{- 3 x + 5} + \frac{4 x (3 x - 5)}{3 x - 6}$	=
$4 x + \frac{27 x^{2} - 42 x - 5}{- 3 x + 5} + \frac{12 x^{2} - 20 x}{3 x - 6}$	=
$\frac{12 x^{2} - 20 x}{3 x - 6} + \frac{27 x^{2} - 42 x - 5}{- 3 x + 5} + 4 x$	=

\frac{27 x^{2} - 42 x - 5}{- 3 x + 5} + \frac{12 x^{2} - 20 x}{3 x - 6} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 5$ weg!

$\frac{27 x^{2} - 42 x - 5}{- 3 x + 5} + \frac{12 x^{2} - 20 x}{3 x - 6} + 4 x$	=	\|⋅( $- 3 x + 5$ )
$\frac{27 x^{2} - 42 x - 5}{- 3 x + 5} \cdot (- 3 x + 5) + \frac{12 x^{2} - 20 x}{3 x - 6} \cdot (- 3 x + 5) + 4 x \cdot (- 3 x + 5)$	=
$27 x^{2} - 42 x - 5 + \frac{(12 x^{2} - 20 x) (- 3 x + 5)}{3 x - 6} + 4 x (- 3 x + 5)$	=
$27 x^{2} - 42 x - 5 + \frac{- 36 x^{3} + 120 x^{2} - 100 x}{3 x - 6} + (- 12 x^{2} + 20 x)$	=
$\frac{- 36 x^{3} + 120 x^{2} - 100 x}{3 x - 6} + 27 x^{2} - 12 x^{2} - 42 x + 20 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{- 36 x^{3} + 120 x^{2} - 100 x}{3 x - 6} + 27 x^{2} - 12 x^{2} - 42 x + 20 x - 5$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{- 36 x^{3} + 120 x^{2} - 100 x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) + 27 x^{2} \cdot (3 x - 6) - 12 x^{2} \cdot (3 x - 6) - 42 x \cdot (3 x - 6) + 20 x \cdot (3 x - 6) - 5 \cdot (3 x - 6)$	=
$- 36 x^{3} + 120 x^{2} - 100 x + 27 x^{2} (3 x - 6) - 12 x^{2} (3 x - 6) - 42 x (3 x - 6) + 20 x (3 x - 6) - 15 x + 30$	=
$- 36 x^{3} + 120 x^{2} - 100 x + (81 x^{3} - 162 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 72 x^{2}) + (- 126 x^{2} + 252 x) + (60 x^{2} - 120 x) - 15 x + 30$	=
$9 x^{3} - 36 x^{2} + 17 x + 30$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $9 x^{3} - 36 x^{2} + 17 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$3$ ist eine Lösung, denn $9 \cdot 3^{3} - 36 \cdot 3^{2} + 17 \cdot 3 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $9 x^{3}$	$- 36 x^{2}$	$+ 17 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 3$ )	=	$9 x^{2} - 9 x - 10$
-( $9 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 27 x$ )
		$- 10 x$	$+ 30$
		-( $- 10 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$9 x^{3} - 36 x^{2} + 17 x + 30$ = $(9 x^{2} - 9 x - 10) \cdot (x - 3)$

(9 x^{2} - 9 x - 10) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 x^{2} - 9 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 360}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{441}}{18}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{441}}{18}$ = $\frac{9+21}{18}$ = $\frac{30}{18}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{441}}{18}$ = $\frac{9-21}{18}$ = $\frac{- 12}{18}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $10$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$+ 10$
		-( $5 x$	$+ 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x - 4 | + 5$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x - 4 \| + 5$	=	$8$
$5 + \frac{1}{3} \| x - 4 \|$	=	$8$	\| $- 5$
$\frac{1}{3} \| x - 4 \|$	=	$3$	\|⋅ $3$
$\| x - 4 \|$	=	$9$

1. Fall: $x - 4$ ≥ 0:

$x - 4$	=	$9$	\| $+ 4$
x₁	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 4$ ≥ 0) genügt:

$13 - 4$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 4$ < 0:

$- (x - 4)$	=	$9$
$- x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 4$ < 0) genügt:

$- 5 - 4$ = -9 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: x -4 ≥ 0:

2. Fall: x -4 < 0:

1. Fall: $x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 4$ < 0: