Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - e^{2 x}$ und $g(x) =$ $42 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - e^{2 x}$	=	$42 e^{- x}$	\| $- 42 e^{- x}$
$e^{5 x} - e^{2 x} - 42 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 42) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $42 e^{- (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 21.956 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |21.956)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $20 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x - 4$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + e^{2 x}

=

20

|

- 20

e^{4 x} + e^{2 x} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 8 e^{3 x}$ = $- 12 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 8 e^{3 x}$	=	$- 12 e^{x}$	\| $+ 12 e^{x}$
$e^{5 x} - 8 e^{3 x} + 12 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x} + \frac{2 x}{x + 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{2 x}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 2$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{2 x + 1}{3 x} \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 1) (x + 1)}{3 x} - 2 x - 2$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x} - 2 x - 2$	=
$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x} + 2 x - 2 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x} + 2 x - 2 x - 2$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 2 x \cdot 3 x - 2 x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$	=
$2 x^{2} + 3 x + 1 + 6 x \cdot x - 6 x \cdot x - 6 x$	=
$2 x^{2} + 3 x + 1 + 6 x^{2} - 6 x^{2} - 6 x$	=
$2 x^{2} - 3 x + 1$	=

$2 x^{2} - 3 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 12 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 12 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 3 \cdot {(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 12 \cdot (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 12 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$
	-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$- 12 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
			$- 8 x$	$- 8$
			-( $- 8 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 12 x - 8$ = $(x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 4 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 8$
		-( $- 4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 4 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 3 \cdot {(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 12 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 12 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$x^{3}$	$- 2 x^{2}$
	-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$- 12 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
			$- 4 x$	$- 8$
			-( $- 4 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 12 x - 8$ = $(x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 4 x$	$- 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 4$
		-( $- 4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 4 x$	$- 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 2 x$	$- 4$
		-( $- 2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - x - 2) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 4 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} + 3 \cdot 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 12 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$5 x^{3}$	$- 2 x^{2}$
	-( $5 x^{3}$	$- 10 x^{2}$ )
		$8 x^{2}$	$- 12 x$
		-( $8 x^{2}$	$- 16 x$ )
			$4 x$	$- 8$
			-( $4 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 12 x - 8$ = $(x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$2 x$	$+ 4$
		-( $2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 3 x - 15 | - 1$ = $- 13$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 3 x - 15 \| - 1$	=	$- 13$
$- 1 - \frac{1}{3} \| - 3 x - 15 \|$	=	$- 13$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{3} \| - 3 x - 15 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 3 x - 15 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x - 15$ ≥ 0:

$- 3 x - 15$	=	$36$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$51$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 15$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 17) - 15$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 15$ < 0:

$- (- 3 x - 15)$	=	$36$
$3 x + 15$	=	$36$	\| $- 15$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 15$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 7 - 15$ = -36 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -15 ≥ 0:

2. Fall: -3x -15 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $- 3 x - 15$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 15$ < 0: