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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 15 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 15 e^{x}$	=	$- 2 e^{2 x}$	\| $+ 2 e^{2 x}$
$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $- 2 e^{2 \cdot (\ln (3))}$ = -18 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |-18)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{7}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $8 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x + 4$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{7}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 7 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} + 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 e^{5 x} - 10 e^{2 x}$ = $- e^{8 x}$

Lösung einblenden

$3 e^{5 x} - 10 e^{2 x}$	=	$- e^{8 x}$	\| $+ e^{8 x}$
$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 10 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{3 x}{2 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $1$ }

\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{6 x}{3 x - 3} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{6 x}{3 x - 3} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{6 x}{3 x - 3} \cdot (2 x - 1) - 6 \cdot (2 x - 1)$	=
$3 x + \frac{6 x (2 x - 1)}{3 x - 3} - 12 x + 6$	=
$3 x + \frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 3} - 12 x + 6$	=
$\frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 3} + 3 x - 12 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 3} + 3 x - 12 x + 6$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{12 x^{2} - 6 x}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + 3 x \cdot (3 x - 3) - 12 x \cdot (3 x - 3) + 6 \cdot (3 x - 3)$	=
$12 x^{2} - 6 x + 3 x (3 x - 3) - 12 x (3 x - 3) + 18 x - 18$	=
$12 x^{2} - 6 x + (9 x^{2} - 9 x) + (- 36 x^{2} + 36 x) + 18 x - 18$	=
$- 15 x^{2} + 39 x - 18$	=

- 15 x^{2} + 39 x - 18

= 0 |:3

$- 5 x^{2} + 13 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{- 13+7}{- 10}$ = $\frac{- 6}{- 10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 10}$ = $\frac{- 13-7}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,6$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x - 5 | - 9$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x - 5 \| - 9$	=	$- 6$
$- 9 - \frac{1}{3} \| x - 5 \|$	=	$- 6$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{3} \| x - 5 \|$	=	$3$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x - 5 \|$	=	$- 9$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen