Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 7 x^{2}$ und $g(x) =$ $6 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 7 x^{2}$	=	$6 x^{3}$	\| $- 6 x^{3}$
$x^{4} - 6 x^{3} - 7 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 6 x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $7$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $6 \cdot {(- 1)}^{3}$ = -6 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-6)

x₂ = 0: f(0)= $6 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $7$ : f( $7$ )= $6 \cdot 7^{3}$ = 2058 Somit gilt: S₃( $7$ |2058)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 7$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} - 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} - 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$2 e^{3 x} - 2 + 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$4 x - 3 x - 3$	=
$x - 3$	=

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} - 19 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$+ 26 x$ )
		$- 30 x$	$+ 60$
		-( $- 30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 19 \cdot 6^{2} - 4 \cdot 6 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 10 x$	$+ 60$
		-( $- 10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} - x - 10) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x - 5 | + 9$ = $6$

Lösung einblenden

$\| x - 5 \| + 9$	=	$6$
$9 + \| x - 5 \|$	=	$6$	\| $- 9$
$\| x - 5 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $6$