Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 9 x$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 9 x$	=	0
$x (x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 3 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $18 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $18 x - 5$ gilt m = $18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + 3 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 3 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + 3 e^{x}

=

18

|

- 18

e^{2 x} + 3 e^{x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $18 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 10$ = $3 e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} - 10

=

3 e^{3 x}

|

- 3 e^{3 x}

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 10

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 4}{x} + \frac{8 x}{- 6 x - 16}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; 0}

\frac{x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 4}{x} + \frac{8 x}{- 6 x - 16}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 4}{x} + \frac{8 x}{- 6 x - 16}$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{2 x - 4}{x} \cdot (3 x + 8) + \frac{8 x}{- 2 (3 x + 8)} \cdot (3 x + 8)$	=
$x + \frac{(2 x - 4) (3 x + 8)}{x} - 4 x$	=
$x + \frac{6 x^{2} + 4 x - 32}{x} - 4 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 4 x - 32}{x} + x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 4 x - 32}{x} + x - 4 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} + 4 x - 32}{x} \cdot x + x \cdot x - 4 x \cdot x$	=
$6 x^{2} + 4 x - 32 + x \cdot x - 4 x \cdot x$	=
$6 x^{2} + 4 x - 32 + x^{2} - 4 x^{2}$	=
$3 x^{2} + 4 x - 32$	=

$3 x^{2} + 4 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 384}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 4+20}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 4-20}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{8}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 7 \cdot (- 1) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 7$
		-( $7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x + 20 | - 9$ = $- 29$

Lösung einblenden

$\| - 4 x + 20 \| - 9$	=	$- 29$
$- 9 + \| - 4 x + 20 \|$	=	$- 29$	\| $+ 9$
$\| - 4 x + 20 \|$	=	$- 20$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen