Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit f(x)= 1 - 8 x und g(x)= - 16 x 2 . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

1 - 8 x = - 16 x 2 |⋅( x 2 )
1 · x 2 - 8 x · x 2 = - 16 x 2 · x 2
x 2 -8x = -16
x 2 -8x = -16 | +16

x 2 -8x +16 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 16 21

x1,2 = +8 ± 64 -64 2

x1,2 = +8 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 8 2 = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 4 }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x1 = 4 : f( 4 )= - 16 4 2 = -1 Somit gilt: S1( 4 |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit f(x)= -2x +1 +8 x 2 · e 1 4 x parallel zur Geraden y = -2x +7 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = -2x +7 gilt m = -2

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= -2x +1 +8 x 2 · e 1 4 x

f'(x)= -2 +2 x 2 · e 1 4 x +16 x · e 1 4 x

Also muss gelten:

-2 +2 x 2 · e 1 4 x +16 x · e 1 4 x = -2 | +2
-2 +2 +2 x 2 · e 1 4 x +16 x · e 1 4 x = 0
2 x 2 · e 1 4 x +16 x · e 1 4 x = 0
2 ( x 2 +8x ) e 1 4 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 +8x = 0
x ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

2. Fall:

e 1 4 x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ -8 ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung -2 und sind somit parallel zur Geraden y = -2x +7 .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( -6 e -6x +2 ) · ( x -3 ) = 0

Lösung einblenden
( -6 e -6x +2 ) ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-6 e -6x +2 = 0 | -2
-6 e -6x = -2 |:-6
e -6x = 1 3 |ln(⋅)
-6x = ln( 1 3 ) |:-6
x1 = - 1 6 ln( 1 3 ) ≈ 0.1831

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

L={ - 1 6 ln( 1 3 ) ; 3 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5x -2 2x -3 = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner 2x weg!

5x -2 2x -3 = 0 |⋅( 2x )
5x -2 2x · 2x -3 · 2x = 0
5x -2 -6x = 0
-x -2 = 0
-x -2 = 0 | +2
-x = 2 |:(-1 )
x = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 x 3 +35 x 2 +77x +45 = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von 3 x 3 +35 x 2 +77x +45 = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds 45 .

-1 ist eine Lösung, denn 3 ( -1 ) 3 +35 ( -1 ) 2 +77( -1 ) +45 = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x+1) durch.

( 3 x 3 +35 x 2 +77x +45 ) : (x+1) = 3 x 2 +32x +45
-( 3 x 3 +3 x 2 )
32 x 2 +77x
-( 32 x 2 +32x )
45x +45
-( 45x +45 )
0

es gilt also:

3 x 3 +35 x 2 +77x +45 = ( 3 x 2 +32x +45 ) · ( x +1 )

( 3 x 2 +32x +45 ) ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 x 2 +32x +45 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -32 ± 32 2 -4 · 3 · 45 23

x1,2 = -32 ± 1024 -540 6

x1,2 = -32 ± 484 6

x1 = -32 + 484 6 = -32 +22 6 = -10 6 = - 5 3 ≈ -1.67

x2 = -32 - 484 6 = -32 -22 6 = -54 6 = -9


2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x3 = -1

Polynomdivision mit -9

L={ -9 ; - 5 3 ; -1 }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 2 | 3x -6 | -6 = -18

Lösung einblenden
- 1 2 | 3x -6 | -6 = -18
-6 - 1 2 | 3x -6 | = -18 | +6
- 1 2 | 3x -6 | = -12 |⋅ ( -2 )
| 3x -6 | = 24

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

3x -6 = 24 | +6
3x = 30 |:3
x1 = 10

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 3x -6 ≥ 0) genügt:

310 -6 = 24 ≥ 0

Die Lösung 10 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: 3x -6 < 0:

-( 3x -6 ) = 24
-3x +6 = 24 | -6
-3x = 18 |:(-3 )
x2 = -6

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 3x -6 < 0) genügt:

3( -6 ) -6 = -24 < 0

Die Lösung -6 genügt also der obigen Bedingung.

L={ -6 ; 10 }