Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 5 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $14 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 5 e^{2 x}$	=	$14 e^{x}$	\| $- 14 e^{x}$
$e^{3 x} + 5 e^{2 x} - 14 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 5 e^{x} - 14) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 5 e^{x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $14 e^{\ln (2)}$ = 28 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |28)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 2 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 2 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (x^{2} + 6 x) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 6$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{- 3 x} - 7) \cdot (x^{2} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{- 3 x} - 7) (x^{2} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{- 3 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$8 e^{- 3 x}$	=	$7$	\|: $8$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{7}{8}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{7}{8})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{7}{8})$	≈ 0.0445

2. Fall:

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={0; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{7}{8})$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{2 x + 1}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) - 3 \cdot (3 x - 9)$	=
$2 x + 1 - 9 x + 27$	=
$- 7 x + 28$	=

$- 7 x + 28$	=	0	\| $- 28$
$- 7 x$	=	$- 28$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 12 x^{3} + 43 x^{2} - 60 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 12 x^{3} + 43 x^{2} - 60 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 12 \cdot 1^{3} + 43 \cdot 1^{2} - 60 \cdot 1 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 12 x^{3}$	$+ 43 x^{2}$	$- 60 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 11 x^{2} + 32 x - 28$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 11 x^{3}$	$+ 43 x^{2}$
	-( $- 11 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$ )
		$32 x^{2}$	$- 60 x$
		-( $32 x^{2}$	$- 32 x$ )
			$- 28 x$	$+ 28$
			-( $- 28 x$	$+ 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 12 x^{3} + 43 x^{2} - 60 x + 28$ = $(x^{3} - 11 x^{2} + 32 x - 28) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 11 x^{2} + 32 x - 28) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 11 x^{2} + 32 x - 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 28$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 11 \cdot 2^{2} + 32 \cdot 2 - 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 32 x$	$- 28$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 32 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$14 x$	$- 28$
		-( $14 x$	$- 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 32 x - 28$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 11 \cdot 7^{2} + 32 \cdot 7 - 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 32 x$	$- 28$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 32 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$4 x$	$- 28$
		-( $4 x$	$- 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 32 x - 28$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 12 \cdot 2^{3} + 43 \cdot 2^{2} - 60 \cdot 2 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 12 x^{3}$	$+ 43 x^{2}$	$- 60 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 10 x^{2} + 23 x - 14$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 10 x^{3}$	$+ 43 x^{2}$
	-( $- 10 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$ )
		$23 x^{2}$	$- 60 x$
		-( $23 x^{2}$	$- 46 x$ )
			$- 14 x$	$+ 28$
			-( $- 14 x$	$+ 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 12 x^{3} + 43 x^{2} - 60 x + 28$ = $(x^{3} - 10 x^{2} + 23 x - 14) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 10 x^{2} + 23 x - 14) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 10 x^{2} + 23 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 10 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 23 x$	$- 14$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$14 x$	$- 14$
		-( $14 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 23 x - 14$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 10 \cdot 2^{2} + 23 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 23 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 23 x - 14$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 8 x + 7) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 10 \cdot 7^{2} + 23 \cdot 7 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 23 x$	$- 14$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 21 x$ )
		$2 x$	$- 14$
		-( $2 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 23 x - 14$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{4} - 12 \cdot 7^{3} + 43 \cdot 7^{2} - 60 \cdot 7 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 12 x^{3}$	$+ 43 x^{2}$	$- 60 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$
-( $x^{4}$	$- 7 x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$+ 43 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$ )
		$8 x^{2}$	$- 60 x$
		-( $8 x^{2}$	$- 56 x$ )
			$- 4 x$	$+ 28$
			-( $- 4 x$	$+ 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 12 x^{3} + 43 x^{2} - 60 x + 28$ = $(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) \cdot (x - 7)$

(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $1$ ; $2$ ; $7$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x + 5 | - 1$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x + 5 \| - 1$	=	$5$
$- 1 + \frac{1}{3} \| - x + 5 \|$	=	$5$	\| $+ 1$
$\frac{1}{3} \| - x + 5 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| - x + 5 \|$	=	$18$

1. Fall: $- x + 5$ ≥ 0:

$- x + 5$	=	$18$	\| $- 5$
$- x$	=	$13$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 5$ ≥ 0) genügt:

$- (- 13) + 5$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 5$ < 0:

$- (- x + 5)$	=	$18$
$x - 5$	=	$18$	\| $+ 5$
x₂	=	$23$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 5$ < 0) genügt:

$- 23 + 5$ = -18 < 0

Die Lösung $23$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $23$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +5 ≥ 0:

2. Fall: -x +5 < 0:

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $- x + 5$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 5$ < 0: