Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 2 e^{x}$ und $g(x) =$ $- e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 2 e^{x}$	=	$- e^{4 x}$	\| $+ e^{4 x}$
$e^{7 x} + e^{4 x} - 2 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 2) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- e^{4 \cdot 0}$ = -1 Somit gilt: S₁(0|-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $3 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x + 1$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 2 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 2 x^{2}

=

3

|

- 3

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 3 e^{3 x}$ = $18 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 3 e^{3 x}$	=	$18 e^{2 x}$	\| $- 18 e^{2 x}$
$e^{4 x} + 3 e^{3 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 18) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- 3$ }

\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 3} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 3} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{12 x}{x + 3} \cdot (3 x - 1) - 7 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{12 x (3 x - 1)}{x + 3} - 21 x + 7$	=
$8 x + \frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} - 21 x + 7$	=
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} + 8 x - 21 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} + 8 x - 21 x + 7$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{36 x^{2} - 12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 8 x \cdot (x + 3) - 21 x \cdot (x + 3) + 7 \cdot (x + 3)$	=
$36 x^{2} - 12 x + 8 x (x + 3) - 21 x (x + 3) + 7 x + 21$	=
$36 x^{2} - 12 x + (8 x^{2} + 24 x) + (- 21 x^{2} - 63 x) + 7 x + 21$	=
$23 x^{2} - 44 x + 21$	=

$23 x^{2} - 44 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot 23 \cdot 21}}{2 \cdot 23}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{1 936 - 1 932}}{46}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{4}}{46}$

x₁ = $\frac{44 + \sqrt{4}}{46}$ = $\frac{44+2}{46}$ = $\frac{46}{46}$ = $1$

x₂ = $\frac{44 - \sqrt{4}}{46}$ = $\frac{44-2}{46}$ = $\frac{42}{46}$ = $\frac{21}{23}$ ≈ 0.91

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{21}{23}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x - 8 | + 2$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \| + 2$	=	$- 2$
$2 - \frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \|$	=	$- 2$	\| $- 2$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

$- 4 x - 8$	=	$12$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 5) - 8$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0:

$- (- 4 x - 8)$	=	$12$
$4 x + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 1 - 8$ = -12 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -8 ≥ 0:

2. Fall: -4x -8 < 0:

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0: