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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 36 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $12 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 36 e^{- 2 x}$	=	$12 e^{x}$	\| $- 12 e^{x}$
$e^{4 x} - 12 e^{x} + 36 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 36) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

$\frac{1}{3} \ln (6)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $12 e^{\frac{1}{3} \ln (6)}$ = 21.805 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |21.805)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{x} + 2) \cdot (x^{5} - x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{x} + 2) (x^{5} - x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 e^{x}$	=	$- 2$	\|: $- 2$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{5}{3}$ }

\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} \cdot (2 x - 2) - 5 \cdot (2 x - 2)$	=
$4 x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 2)}{3 x - 5} - 10 x + 10$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 5} - 10 x + 10$	=
$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 5} + 4 x - 10 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 5} + 4 x - 10 x + 10$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + 4 x \cdot (3 x - 5) - 10 x \cdot (3 x - 5) + 10 \cdot (3 x - 5)$	=
$6 x^{2} - 8 x + 2 + 4 x (3 x - 5) - 10 x (3 x - 5) + 30 x - 50$	=
$6 x^{2} - 8 x + 2 + (12 x^{2} - 20 x) + (- 30 x^{2} + 50 x) + 30 x - 50$	=
$- 12 x^{2} + 52 x - 48$	=

- 12 x^{2} + 52 x - 48

= 0 |:4

$- 3 x^{2} + 13 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 13+5}{- 6}$ = $\frac{- 8}{- 6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 13-5}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 13 x^{2} + 39 x - 27$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 13 x^{2} + 39 x - 27$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 27$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 13 \cdot 1^{2} + 39 \cdot 1 - 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 39 x$	$- 27$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 12 x + 27$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 12 x^{2}$	$+ 39 x$
	-( $- 12 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$27 x$	$- 27$
		-( $27 x$	$- 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 39 x - 27$ = $(x^{2} - 12 x + 27) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 12 x + 27) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 13 \cdot 3^{2} + 39 \cdot 3 - 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 39 x$	$- 27$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 39 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$9 x$	$- 27$
		-( $9 x$	$- 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 39 x - 27$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 13 \cdot 9^{2} + 39 \cdot 9 - 27$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 39 x$	$- 27$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 39 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$3 x$	$- 27$
		-( $3 x$	$- 27$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 39 x - 27$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 4 x + 3) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $1$ ; $3$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x - 9 | + 8$ = $20$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x - 9 \| + 8$	=	$20$
$8 - \frac{1}{3} \| 3 x - 9 \|$	=	$20$	\| $- 8$
$- \frac{1}{3} \| 3 x - 9 \|$	=	$12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x - 9 \|$	=	$- 36$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $9$