Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{12}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{8}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{12}{x^{2}}$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{8}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 12$	=	$8 x$

x^{2} + 12

=

8 x

|

- 8 x

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{8}{2}$ = 4 Somit gilt: S₁( $2$ |4)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $\frac{8}{6}$ = 1.333 Somit gilt: S₂( $6$ |1.333)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 3 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} + 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 30$ = $- e^{x}$

Lösung einblenden

e^{2 x} - 30

=

- e^{x}

|

+ e^{x}

e^{2 x} + e^{x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{5}{3}$ }

\frac{4 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - 7$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} \cdot (x + 1) - 7 \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{(5 x + 1) (x + 1)}{3 x - 5} - 7 x - 7$	=
$4 x + \frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x - 5} - 7 x - 7$	=
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x - 5} + 4 x - 7 x - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x - 5} + 4 x - 7 x - 7$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{5 x^{2} + 6 x + 1}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + 4 x \cdot (3 x - 5) - 7 x \cdot (3 x - 5) - 7 \cdot (3 x - 5)$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + 4 x (3 x - 5) - 7 x (3 x - 5) - 21 x + 35$	=
$5 x^{2} + 6 x + 1 + (12 x^{2} - 20 x) + (- 21 x^{2} + 35 x) - 21 x + 35$	=
$- 4 x^{2} + 36$	=

$- 4 x^{2} + 36$	=	0	\| $- 36$
$- 4 x^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 9 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 2 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 2 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 12 x$	$+ 24$
		-( $- 12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 24$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 9 \cdot 4^{2} - 2 \cdot 4 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 2 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 2 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 6 x$	$+ 24$
		-( $- 6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 24$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} - x - 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 1,5$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 2 | + 7$ = $19$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 2 \| + 7$	=	$19$
$7 + \| - 2 x - 2 \|$	=	$19$	\| $- 7$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 7) - 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$12$
$2 x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 5 - 2$ = -12 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: