Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $- x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$- x^{2}$	\| $+ x^{2}$
$x^{5} + x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- {(- 1)}^{2}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

x₂ = 0: f(0)= $- 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $15 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $15 x + 7$ gilt m = $15$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 2 e^{3 x}

=

15

|

- 15

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $15$ und sind somit parallel zur Geraden y = $15 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 3 e^{3 x}$ = $10 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 3 e^{3 x}$	=	$10 e^{2 x}$	\| $- 10 e^{2 x}$
$e^{4 x} - 3 e^{3 x} - 10 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} - 10) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{3 x + 2}{x} + \frac{7 x + 2}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{3 x + 2 - 7 x - 2}{x} + \frac{6 x}{3 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x + 2 - 7 x - 2}{x} + \frac{6 x}{3 x - 3}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x + 2 - 7 x - 2}{x} \cdot x + \frac{6 x}{3 x - 3} \cdot x$	=
$3 x + 2 - 7 x - 2 + \frac{6 x \cdot x}{3 x - 3}$	=
$3 x + 2 - 7 x - 2 + \frac{6 x^{2}}{3 x - 3}$	=
$\frac{6 x^{2}}{3 x - 3} + 3 x - 7 x + 2 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{6 x^{2}}{3 x - 3} + 3 x - 7 x + 2 - 2$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{6 x^{2}}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + 3 x \cdot (3 x - 3) - 7 x \cdot (3 x - 3) + 2 \cdot (3 x - 3) - 2 \cdot (3 x - 3)$	=
$6 x^{2} + 3 x (3 x - 3) - 7 x (3 x - 3) + 6 x - 6 - 6 x + 6$	=
$6 x^{2} + (9 x^{2} - 9 x) + (- 21 x^{2} + 21 x) + 6 x - 6 - 6 x + 6$	=
$- 6 x^{2} + 12 x$	=

$- 6 x^{2} + 12 x$	=	0
$6 x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 12 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 11 x^{2} - 12 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$- 12 x$	$- 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$- 12 x$
	-( $15 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$18 x$	$- 36$
		-( $18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 12 x - 36$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 11 \cdot {(- 6)}^{2} - 12 \cdot (- 6) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$- 12 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 12 x$
	-( $- x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 6 x$	$- 36$
		-( $- 6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 12 x - 36$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} - x - 6) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x - 8 | + 3$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x - 8 \| + 3$	=	$7$
$3 + \frac{1}{3} \| 4 x - 8 \|$	=	$7$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| 4 x - 8 \|$	=	$4$	\|⋅ $3$
$\| 4 x - 8 \|$	=	$12$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

$4 x - 8$	=	$12$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 5 - 8$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 8$ < 0:

$- (4 x - 8)$	=	$12$
$- 4 x + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 1) - 8$ = -12 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -8 ≥ 0:

2. Fall: 4x -8 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 8$ < 0: