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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ $x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4}$	=	$x^{3}$	\| $- x^{3}$
$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $1^{3}$ = 1 Somit gilt: S₂( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 4 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 4$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 4 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $6 e^{- \frac{1}{2} x} + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{- \frac{1}{2} x} + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$6 e^{- \frac{1}{2} x} + 1 - 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$6 e^{- \frac{1}{2} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (- x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + x^{2}$ = $20$

Lösung einblenden

x^{4} + x^{2}

=

20

|

- 20

x^{4} + x^{2} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{8 x}{- 6 x + 20}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $1$ }

\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{3 x}{x - 1} + \frac{8 x}{- 6 x + 20}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{3 x}{x - 1} + \frac{8 x}{- 6 x + 20}$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{3 x}{x - 1} \cdot (3 x - 10) + \frac{8 x}{- 6 x + 20} \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x + \frac{3 x (3 x - 10)}{x - 1} + \frac{8 x (3 x - 10)}{- 6 x + 20}$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} - 30 x}{x - 1} + \frac{24 x^{2} - 80 x}{- 6 x + 20}$	=
$\frac{24 x^{2} - 80 x}{- 6 x + 20} + \frac{9 x^{2} - 30 x}{x - 1} + 2 x$	=

\frac{9 x^{2} - 30 x}{x - 1} + \frac{24 x^{2} - 80 x}{- 6 x + 20} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 30 x}{x - 1} + \frac{24 x^{2} - 80 x}{- 6 x + 20} + 2 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{9 x^{2} - 30 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{24 x^{2} - 80 x}{- 6 x + 20} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1)$	=
$9 x^{2} - 30 x + \frac{(24 x^{2} - 80 x) (x - 1)}{- 6 x + 20} + 2 x (x - 1)$	=
$9 x^{2} - 30 x + \frac{24 x^{3} - 104 x^{2} + 80 x}{- 6 x + 20} + (2 x^{2} - 2 x)$	=
$\frac{24 x^{3} - 104 x^{2} + 80 x}{- 6 x + 20} + 9 x^{2} + 2 x^{2} - 30 x - 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 20$ weg!

$\frac{24 x^{3} - 104 x^{2} + 80 x}{- 6 x + 20} + 9 x^{2} + 2 x^{2} - 30 x - 2 x$	=	\|⋅( $- 6 x + 20$ )
$\frac{24 x^{3} - 104 x^{2} + 80 x}{- 6 x + 20} \cdot (- 6 x + 20) + 9 x^{2} \cdot (- 6 x + 20) + 2 x^{2} \cdot (- 6 x + 20) - 30 x \cdot (- 6 x + 20) - 2 x \cdot (- 6 x + 20)$	=
$24 x^{3} - 104 x^{2} + 80 x + 9 x^{2} (- 6 x + 20) + 2 x^{2} (- 6 x + 20) - 30 x (- 6 x + 20) - 2 x (- 6 x + 20)$	=
$24 x^{3} - 104 x^{2} + 80 x + (- 54 x^{3} + 180 x^{2}) + (- 12 x^{3} + 40 x^{2}) + (180 x^{2} - 600 x) + (12 x^{2} - 40 x)$	=
$- 42 x^{3} + 308 x^{2} - 560 x$	=

$- 42 x^{3} + 308 x^{2} - 560 x$	=	0
$14 x (- 3 x^{2} + 22 x - 40)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x^{2} + 22 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_2,3 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 480}}{- 6}$

x_2,3 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{4}}{- 6}$

x₂ = $\frac{- 22 + \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 22+2}{- 6}$ = $\frac{- 20}{- 6}$ = $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

x₃ = $\frac{- 22 - \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 22-2}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 23 \cdot (- 2) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 23 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 15 x$	$- 30$
		-( $- 15 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} - 23 \cdot 3 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 23 x$	$- 30$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 33 x$ )
		$10 x$	$- 30$
		-( $10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x - 5 | + 7$ = $2$

Lösung einblenden

$\| - x - 5 \| + 7$	=	$2$
$7 + \| - x - 5 \|$	=	$2$	\| $- 7$
$\| - x - 5 \|$	=	$- 5$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$