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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 12 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $7 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 12 e^{- 2 x}$	=	$7 e^{x}$	\| $- 7 e^{x}$
$e^{4 x} - 7 e^{x} + 12 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 12) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $7 e^{\frac{1}{3} \ln (3)}$ = 10.096 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |10.096)

x₂ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $7 e^{\frac{2}{3} \ln (2)}$ = 11.112 Somit gilt: S₂( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |11.112)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 5 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 4$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 5 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $8 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$8 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$8 e^{\frac{1}{4} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{3 x} - 8 e^{x}$ = $- e^{5 x}$

Lösung einblenden

$2 e^{3 x} - 8 e^{x}$	=	$- e^{5 x}$	\| $+ e^{5 x}$
$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{- 5 x + 1}{x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{2 x - 1 - 5 x + 1}{x + 1} + \frac{2 x}{3 x + 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x - 1 - 5 x + 1}{x + 1} + \frac{2 x}{3 x + 10}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x - 1 - 5 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (x + 1)$	=
$2 x - 1 - 5 x + 1 + \frac{2 x (x + 1)}{3 x + 10}$	=
$2 x - 1 - 5 x + 1 + \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x + 10}$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x + 10} + 2 x - 5 x - 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x + 10} + 2 x - 5 x - 1 + 1$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + 2 x \cdot (3 x + 10) - 5 x \cdot (3 x + 10) - 1 \cdot (3 x + 10) + 1 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x^{2} + 2 x + 2 x (3 x + 10) - 5 x (3 x + 10) - 3 x - 10 + 3 x + 10$	=
$2 x^{2} + 2 x + (6 x^{2} + 20 x) + (- 15 x^{2} - 50 x) - 3 x - 10 + 3 x + 10$	=
$- 7 x^{2} - 28 x$	=

$- 7 x^{2} - 28 x$	=	0
$- 7 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 7 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 14$
		-( $7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x + 8 | - 1$ = $3$

Lösung einblenden

$\| 4 x + 8 \| - 1$	=	$3$
$- 1 + \| 4 x + 8 \|$	=	$3$	\| $+ 1$
$\| 4 x + 8 \|$	=	$4$

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

$4 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot (- 1) + 8$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 8$ < 0:

$- (4 x + 8)$	=	$4$
$- 4 x - 8$	=	$4$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 3) + 8$ = -4 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +8 ≥ 0:

2. Fall: 4x +8 < 0:

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 8$ < 0: