Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 10 e^{- x} + 1$ und $g(x) =$ $- 24 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 10 e^{- x} + 1

=

- 24 e^{- 2 x}

|

+ 24 e^{- 2 x}

- 10 e^{- x} + 24 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 10 e^{- x} + 24 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 10 e^{x} + 24$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 24 e^{- 2 \cdot (2 \ln (2))}$ = -1.5 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-1.5)

x₂ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $- 24 e^{- 2 \cdot (\ln (6))}$ = -0.667 Somit gilt: S₂( $\ln (6)$ |-0.667)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 3 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 3 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (x^{2} + 8 x) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 8$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 11 e^{x} + 30$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 11 e^{x} + 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x - 2} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{3 x - 1}{2 x - 2} - 2$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{3 x - 1}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) - 2 \cdot (2 x - 2)$	=
$3 x - 1 - 4 x + 4$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 12 x$	$+ 12$
		-( $- 12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 7 \cdot 4^{2} - 7 \cdot 4 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 7 x$
	-( $x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 3 x$	$+ 12$
		-( $- 3 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x - 8 | - 5$ = $- 29$

Lösung einblenden

$- \| 4 x - 8 \| - 5$	=	$- 29$
$- 5 - \| 4 x - 8 \|$	=	$- 29$	\| $+ 5$
$- \| 4 x - 8 \|$	=	$- 24$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x - 8 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

$4 x - 8$	=	$24$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 8 - 8$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 8$ < 0:

$- (4 x - 8)$	=	$24$
$- 4 x + 8$	=	$24$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 4) - 8$ = -24 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -8 ≥ 0:

2. Fall: 4x -8 < 0:

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 8$ < 0: