Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{5}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{14}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{5}{x}$	=	$\frac{14}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 5 x$	=	$14$

x^{2} + 5 x

=

14

|

- 14

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 7$ : f( $- 7$ )= $\frac{14}{{(- 7)}^{2}}$ = 0.286 Somit gilt: S₁( $- 7$ |0.286)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{14}{2^{2}}$ = 3.5 Somit gilt: S₂( $2$ |3.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 4 + 3 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 4 + 3 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $3 e^{3 x} + 2 + 9 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{3 x} + 2 + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$3 e^{3 x} + 2 - 2 + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$3 e^{3 x} + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$3 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 72$ = $- x^{4}$

Lösung einblenden

- x^{2} - 72

=

- x^{4}

|

+ x^{4}

x^{4} - x^{2} - 72

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1+17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1-17}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{- 8 x + 1}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

\frac{- 8 x + 1}{x} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{2 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 8 x + 1}{x} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{2 x + 2}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 8 x + 1}{x} \cdot 3 x + \frac{11 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{12 x}{2 x + 2} \cdot 3 x$	=
$- 24 x + 3 + 11 x + 1 + 3 \frac{12 x \cdot x}{2 x + 2}$	=
$- 24 x + 3 + 11 x + 1 + 3 \frac{12 x^{2}}{2 x + 2}$	=
$3 \frac{12 x^{2}}{2 x + 2} - 24 x + 11 x + 3 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$3 \frac{12 x^{2}}{2 x + 2} - 24 x + 11 x + 3 + 1$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$3 \frac{12 x^{2}}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) - 24 x \cdot (2 x + 2) + 11 x \cdot (2 x + 2) + 3 \cdot (2 x + 2) + 1 \cdot (2 x + 2)$	=
$36 x^{2} - 24 x (2 x + 2) + 11 x (2 x + 2) + 6 x + 6 + 2 x + 2$	=
$36 x^{2} + (- 48 x^{2} - 48 x) + (22 x^{2} + 22 x) + 6 x + 6 + 2 x + 2$	=
$10 x^{2} - 18 x + 8$	=

10 x^{2} - 18 x + 8

= 0 |:2

$5 x^{2} - 9 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{10}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{9+1}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{9-1}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,8$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 7 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 14$
		-( $7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x + 16 | - 2$ = $- 18$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x + 16 \| - 2$	=	$- 18$
$- 2 - \frac{1}{2} \| 4 x + 16 \|$	=	$- 18$	\| $+ 2$
$- \frac{1}{2} \| 4 x + 16 \|$	=	$- 16$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x + 16 \|$	=	$32$

1. Fall: $4 x + 16$ ≥ 0:

$4 x + 16$	=	$32$	\| $- 16$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 4 + 16$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 16$ < 0:

$- (4 x + 16)$	=	$32$
$- 4 x - 16$	=	$32$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$48$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 12) + 16$ = -32 < 0

Die Lösung $- 12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 12$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +16 ≥ 0:

2. Fall: 4x +16 < 0:

1. Fall: $4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 16$ < 0: