Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 6 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $5 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 6 e^{2 x}$	=	$5 e^{4 x}$	\| $- 5 e^{4 x}$
$e^{6 x} - 5 e^{4 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 6) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $5 e^{4 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 180 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |180)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 2 + 4 x^{2} \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $2 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 2 + 4 x^{2} \cdot e^{- x}$

f'(x)= $2 - 4 x^{2} \cdot e^{- x} + 8 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$2 - 4 x^{2} \cdot e^{- x} + 8 x \cdot e^{- x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- x} + 8 x \cdot e^{- x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- x} + 8 x \cdot e^{- x}$	=	0
$4 (- x^{2} + 2 x) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 9 e^{4 x} + 14 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 9 e^{4 x} + 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{3 x + 5} + \frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{- 20 x}{9 x + 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{5}{3}$ }

\frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{5 x - 1}{3 x + 5} - \frac{20 x}{9 x + 15}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{5 x - 1}{3 x + 5} - \frac{20 x}{9 x + 15}$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{x - 1}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{5 x - 1}{3 x + 5} \cdot (2 x + 2) - \frac{20 x}{9 x + 15} \cdot (2 x + 2)$	=
$x - 1 + \frac{(5 x - 1) (2 x + 2)}{3 x + 5} - \frac{20 x (2 x + 2)}{9 x + 15}$	=
$x - 1 + \frac{10 x^{2} + 8 x - 2}{3 x + 5} - \frac{40 x^{2} + 40 x}{9 x + 15}$	=
$- \frac{40 x^{2} + 40 x}{9 x + 15} + \frac{10 x^{2} + 8 x - 2}{3 x + 5} + x - 1$	=

\frac{10 x^{2} + 8 x - 2}{3 x + 5} - \frac{40 x^{2} + 40 x}{9 x + 15} + x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{10 x^{2} + 8 x - 2}{3 x + 5} - \frac{40 x^{2} + 40 x}{9 x + 15} + x - 1$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{10 x^{2} + 8 x - 2}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) - \frac{40 x^{2} + 40 x}{3 (3 x + 5)} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5) - 1 \cdot (3 x + 5)$	=
$10 x^{2} + 8 x - 2 - \frac{40}{3} x^{2} - \frac{40}{3} x + x (3 x + 5) - 3 x - 5$	=
$10 x^{2} + 8 x - 2 - \frac{40}{3} x^{2} - \frac{40}{3} x + (3 x^{2} + 5 x) - 3 x - 5$	=
$- \frac{1}{3} x^{2} - \frac{10}{3} x - 7$	=

$- \frac{1}{3} x^{2} - \frac{10}{3} x - 7$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} x^{2} - \frac{10}{3} x - 7)$	=	0

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10+4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10-4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x - 3 | + 8$ = $2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x - 3 \| + 8$	=	$2$
$8 - \frac{1}{3} \| 3 x - 3 \|$	=	$2$	\| $- 8$
$- \frac{1}{3} \| 3 x - 3 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x - 3 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x - 3$ ≥ 0:

$3 x - 3$	=	$18$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 3$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 7 - 3$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 3$ < 0:

$- (3 x - 3)$	=	$18$
$- 3 x + 3$	=	$18$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 3$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 5) - 3$ = -18 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -3 ≥ 0:

2. Fall: 3x -3 < 0:

1. Fall: $3 x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 3$ < 0: