Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + 4 x$ und $g(x) =$ $5 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + 4 x$	=	$5 x^{3}$	\| $- 5 x^{3}$
$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$	=	0
$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 5 x^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $5 \cdot {(- 2)}^{3}$ = -40 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-40)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $5 \cdot {(- 1)}^{3}$ = -5 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-5)

x₃ = 0: f(0)= $5 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₃(0|0)

x₄ = $1$ : f( $1$ )= $5 \cdot 1^{3}$ = 5 Somit gilt: S₄( $1$ |5)

x₅ = $2$ : f( $2$ )= $5 \cdot 2^{3}$ = 40 Somit gilt: S₅( $2$ |40)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $4 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x - 1$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 3 e^{3 x}

=

4

|

- 4

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} + x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 2}{x} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; 0}

\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{3 x + 2}{x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{3 x + 2}{x} - 8$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{3 x + 2}{x} \cdot (2 x - 1) - 8 \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{(3 x + 2) (2 x - 1)}{x} - 16 x + 8$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} + x - 2}{x} - 16 x + 8$	=
$\frac{6 x^{2} + x - 2}{x} + 6 x - 16 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + x - 2}{x} + 6 x - 16 x + 8$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} + x - 2}{x} \cdot x + 6 x \cdot x - 16 x \cdot x + 8 \cdot x$	=
$6 x^{2} + x - 2 + 6 x \cdot x - 16 x \cdot x + 8 x$	=
$6 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} - 16 x^{2} + 8 x$	=
$- 4 x^{2} + 9 x - 2$	=

$- 4 x^{2} + 9 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 9+7}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 9-7}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 8 \cdot (- 2) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 8 x$
	-( $- x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 6 x$	$- 12$
		-( $- 6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - x - 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 8 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x + 6 | + 3$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x + 6 \| + 3$	=	$11$
$3 + \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$11$	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$8$	\|⋅ $2$
$\| 2 x + 6 \|$	=	$16$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

$2 x + 6$	=	$16$	\| $- 6$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 5 + 6$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 6$ < 0:

$- (2 x + 6)$	=	$16$
$- 2 x - 6$	=	$16$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$22$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 11) + 6$ = -16 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +6 ≥ 0:

2. Fall: 2x +6 < 0:

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 6$ < 0: