Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - \frac{18}{x}$ und $g(x) =$ $- 3$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - \frac{18}{x}$	=	$- 3$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- 3 \cdot x$
$x \cdot x - 18$	=	$- 3 x$
$x^{2} - 18$	=	$- 3 x$

x^{2} - 18

=

- 3 x

|

+ 3 x

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 6$ : f( $- 6$ )= $- 3$ Somit gilt: S₁( $- 6$ |-3)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $- 3$ Somit gilt: S₂( $3$ |-3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + 3 x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + 3 x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 9 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} + 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 e^{3 x} + 30$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

- 11 e^{3 x} + 30

=

- e^{6 x}

|

+ e^{6 x}

e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{5 x - 2}{2 x} + \frac{- 8 x - 1}{x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{- 8 x - 1}{x - 1} + \frac{5 x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 8 x - 1}{x - 1} + \frac{5 x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 8 x - 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{5 x - 2}{2 x} \cdot (x - 1) + \frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=
$- 8 x - 1 + \frac{(5 x - 2) (x - 1)}{2 x} + 3 x$	=
$- 8 x - 1 + \frac{5 x^{2} - 7 x + 2}{2 x} + 3 x$	=
$\frac{5 x^{2} - 7 x + 2}{2 x} - 8 x + 3 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 7 x + 2}{2 x} - 8 x + 3 x - 1$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 7 x + 2}{2 x} \cdot 2 x - 8 x \cdot 2 x + 3 x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} - 7 x + 2 - 16 x \cdot x + 6 x \cdot x - 2 x$	=
$5 x^{2} - 7 x + 2 - 16 x^{2} + 6 x^{2} - 2 x$	=
$- 5 x^{2} - 9 x + 2$	=

$- 5 x^{2} - 9 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 2}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{- 10}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{- 10}$ = $\frac{9+11}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{- 10}$ = $\frac{9-11}{- 10}$ = $\frac{- 2}{- 10}$ = $0,2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 2 x$	$- 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 2$
		-( $2 x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x - 5 | - 6$ = $- 10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x - 5 \| - 6$	=	$- 10$
$- 6 + \frac{1}{3} \| x - 5 \|$	=	$- 10$	\| $+ 6$
$\frac{1}{3} \| x - 5 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $3$
$\| x - 5 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen