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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 6 e^{x}$ und $g(x) =$ $7 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 6 e^{x}$	=	$7 e^{- x}$	\| $- 7 e^{- x}$
$e^{3 x} - 6 e^{x} - 7 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 6 e^{2 x} - 7) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 6 e^{2 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $7 e^{- (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 2.646 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |2.646)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{9}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x - 6$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{9}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 9 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{- 2 x} + 7) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{- 2 x} + 7) (x^{5} - 16 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{- 2 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 7 e^{- 2 x}$	=	$- 7$	\|: $- 7$
$e^{- 2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	0	\|: $- 2$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{5} - 16 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $4$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} + \frac{- 28 x}{6 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - \frac{28 x}{6 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{5 x + 1}{2 x} - \frac{28 x}{6 x - 2}$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{5 x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - \frac{28 x}{2 (3 x - 1)} \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{(5 x + 1) (3 x - 1)}{2 x} - 14 x$	=
$8 x + \frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} - 14 x$	=
$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} + 8 x - 14 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} + 8 x - 14 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} - 2 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 14 x \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} - 2 x - 1 + 16 x \cdot x - 28 x \cdot x$	=
$15 x^{2} - 2 x - 1 + 16 x^{2} - 28 x^{2}$	=
$3 x^{2} - 2 x - 1$	=

$3 x^{2} - 2 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{2+4}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{2-4}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 29 \cdot (- 1) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$15 x$	$+ 15$
		-( $15 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 17 \cdot {(- 3)}^{2} + 29 \cdot (- 3) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$5 x$	$+ 15$
		-( $5 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x - 4 | - 4$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x - 4 \| - 4$	=	$- 2$
$- 4 - \frac{1}{2} \| - x - 4 \|$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{2} \| - x - 4 \|$	=	$2$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x - 4 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 3$