Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 5 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $- 4 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 5 e^{5 x}$	=	$- 4 e^{2 x}$	\| $+ 4 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 5 e^{5 x} + 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 4 e^{2 \cdot 0}$ = -4 Somit gilt: S₁(0|-4)

x₂ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $- 4 e^{2 \cdot (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = -10.079 Somit gilt: S₂( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |-10.079)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{10}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 25 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 25 x - 5$ gilt m = $- 25$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{10}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 10 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 10 e^{3 x}

=

- 25

|

+ 25

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 25

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

$\frac{1}{3} \ln (5)$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 25$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 25 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 10 e^{5 x} + 24 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 10 e^{5 x} + 24 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 24) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} + \frac{- 8 x}{4 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{x}{2 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} - \frac{8 x}{4 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{5 x - 2}{2 x} - \frac{8 x}{4 x + 4}$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{5 x - 2}{2 x} \cdot (2 x + 2) - \frac{8 x}{4 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=
$x + \frac{(5 x - 2) (2 x + 2)}{2 x} - 4 x$	=
$x + \frac{10 x^{2} + 6 x - 4}{2 x} - 4 x$	=
$\frac{10 x^{2} + 6 x - 4}{2 x} + x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{10 x^{2} + 6 x - 4}{2 x} + x - 4 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{10 x^{2} + 6 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + x \cdot 2 x - 4 x \cdot 2 x$	=
$10 x^{2} + 6 x - 4 + 2 x \cdot x - 8 x \cdot x$	=
$10 x^{2} + 6 x - 4 + 2 x^{2} - 8 x^{2}$	=
$4 x^{2} + 6 x - 4$	=

4 x^{2} + 6 x - 4

= 0 |:2

$2 x^{2} + 3 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 3+5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 3-5}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} - 55 x - 42$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} - 55 x - 42$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 42$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 7 \cdot {(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} - 55 \cdot (- 1) - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 55 x$	$- 42$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} - 13 x - 42$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$6 x^{3}$	$- 7 x^{2}$
	-( $6 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
		$- 13 x^{2}$	$- 55 x$
		-( $- 13 x^{2}$	$- 13 x$ )
			$- 42 x$	$- 42$
			-( $- 42 x$	$- 42$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} - 55 x - 42$ = $(x^{3} + 6 x^{2} - 13 x - 42) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 6 x^{2} - 13 x - 42) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 13 x - 42$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 42$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} - 13 \cdot (- 2) - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 13 x$	$- 42$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 21$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 21 x$	$- 42$
		-( $- 21 x$	$- 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 13 x - 42$ = $(x^{2} + 4 x - 21) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 4 x - 21) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 6 \cdot 3^{2} - 13 \cdot 3 - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 13 x$	$- 42$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 27 x$ )
		$14 x$	$- 42$
		-( $14 x$	$- 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 13 x - 42$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 6 \cdot {(- 7)}^{2} - 13 \cdot (- 7) - 42$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 13 x$	$- 42$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- x^{2}$	$- 7 x$ )
		$- 6 x$	$- 42$
		-( $- 6 x$	$- 42$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 13 x - 42$ = $(x^{2} - x - 6) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - x - 6) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 7$ ; $- 2$ ; $- 1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x + 2 | + 7$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x + 2 \| + 7$	=	$1$
$7 + \frac{1}{2} \| 2 x + 2 \|$	=	$1$	\| $- 7$
$\frac{1}{2} \| 2 x + 2 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $2$
$\| 2 x + 2 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 7$