Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6}$ und $g(x) =$ $- x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6}$	=	$- x^{3}$	\| $+ x^{3}$
$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- {(- 1)}^{3}$ = 1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |1)

x₂ = 0: f(0)= $- 0^{3}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 1 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 1 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $6 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$6 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 + 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$6 e^{- \frac{1}{2} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (- x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 20 e^{x}$ = $e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 20 e^{x}$	=	$e^{2 x}$	\| $- e^{2 x}$
$e^{3 x} - e^{2 x} - 20 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 20) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{- 18 x}{9 x + 24}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - \frac{18 x}{9 x + 24}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 8} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} - \frac{18 x}{9 x + 24}$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{4 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} \cdot (3 x + 8) - \frac{18 x}{3 (3 x + 8)} \cdot (3 x + 8)$	=
$4 x + \frac{(2 x + 2) (3 x + 8)}{2 x + 5} - 6 x$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{2 x + 5} - 6 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{2 x + 5} + 4 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{2 x + 5} + 4 x - 6 x$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 22 x + 16}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 4 x \cdot (2 x + 5) - 6 x \cdot (2 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 22 x + 16 + 4 x (2 x + 5) - 6 x (2 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 22 x + 16 + (8 x^{2} + 20 x) + (- 12 x^{2} - 30 x)$	=
$2 x^{2} + 12 x + 16$	=

2 x^{2} + 12 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 13 \cdot 2 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 13 x$	$- 30$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $14 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$15 x$	$- 30$
		-( $15 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 8 \cdot {(- 3)}^{2} - 13 \cdot (- 3) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 13 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 10 x$	$- 30$
		-( $- 10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x + 12 | - 1$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x + 12 \| - 1$	=	$3$
$- 1 + \frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$3$	\| $+ 1$
$\frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$8$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$8$	\| $- 12$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot (- 1) + 12$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$8$
$- 4 x - 12$	=	$8$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 5) + 12$ = -8 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: