Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 8 e^{- x}$ und $g(x) =$ $6 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 8 e^{- x}$	=	$6 e^{x}$	\| $- 6 e^{x}$
$e^{3 x} - 6 e^{x} + 8 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 8) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $6 e^{\frac{1}{2} \ln (2)}$ = 8.485 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |8.485)

x₂ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $6 e^{\ln (2)}$ = 12 Somit gilt: S₂( $\ln (2)$ |12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 2$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

6

|

- 6

e^{2 x} - e^{x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 5 e^{x} - 14$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 5 e^{x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{4 x}{2 x - 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{4 x}{2 x - 2} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{4 x}{2 x - 2} \cdot (3 x - 2) - 6 \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x + \frac{4 x (3 x - 2)}{2 x - 2} - 18 x + 12$	=
$4 x + \frac{12 x^{2} - 8 x}{2 x - 2} - 18 x + 12$	=
$\frac{12 x^{2} - 8 x}{2 x - 2} + 4 x - 18 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 8 x}{2 x - 2} + 4 x - 18 x + 12$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{12 x^{2} - 8 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + 4 x \cdot (2 x - 2) - 18 x \cdot (2 x - 2) + 12 \cdot (2 x - 2)$	=
$12 x^{2} - 8 x + 4 x (2 x - 2) - 18 x (2 x - 2) + 24 x - 24$	=
$12 x^{2} - 8 x + (8 x^{2} - 8 x) + (- 36 x^{2} + 36 x) + 24 x - 24$	=
$- 16 x^{2} + 44 x - 24$	=

- 16 x^{2} + 44 x - 24

= 0 |:4

$- 4 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{- 11+5}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{- 11-5}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x - 16 | - 7$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x - 16 \| - 7$	=	$1$
$- 7 + \frac{1}{2} \| - 4 x - 16 \|$	=	$1$	\| $+ 7$
$\frac{1}{2} \| - 4 x - 16 \|$	=	$8$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x - 16 \|$	=	$16$

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

$- 4 x - 16$	=	$16$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 8) - 16$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0:

$- (- 4 x - 16)$	=	$16$
$4 x + 16$	=	$16$	\| $- 16$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 0 - 16$ = -16 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -16 ≥ 0:

2. Fall: -4x -16 < 0:

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0: