Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3}$ und $g(x) =$ $\frac{1}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3}$	=	$\frac{1}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x$	=	$\frac{1}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x$	=	$1$
$x^{4}$	=	$1$

$x^{4}$	=	$1$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[4]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $\frac{1}{(- 1)}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $\frac{1}{1}$ = 1 Somit gilt: S₂( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 1 + 2 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 1 + 2 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $2 e^{- 2 x} + 1 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- 2 x} + 1 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$2 e^{- 2 x} + 1 - 1 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 e^{- 2 x} - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 13 x^{2} + 36$ = $- x^{4}$

Lösung einblenden

- 13 x^{2} + 36

=

- x^{4}

|

+ x^{4}

x^{4} - 13 x^{2} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$4 x - 3 x - 3$	=
$x - 3$	=

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 2 x^{3} - 63 x^{2} - 128 x - 64$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 2 x^{3} - 63 x^{2} - 128 x - 64$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 64$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 2 \cdot {(- 1)}^{3} - 63 \cdot {(- 1)}^{2} - 128 \cdot (- 1) - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$	$- 63 x^{2}$	$- 128 x$	$- 64$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + x^{2} - 64 x - 64$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$x^{3}$	$- 63 x^{2}$
	-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
		$- 64 x^{2}$	$- 128 x$
		-( $- 64 x^{2}$	$- 64 x$ )
			$- 64 x$	$- 64$
			-( $- 64 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 2 x^{3} - 63 x^{2} - 128 x - 64$ = $(x^{3} + x^{2} - 64 x - 64) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + x^{2} - 64 x - 64) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 64 x - 64$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 64$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 64 \cdot (- 1) - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 64 x$	$- 64$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 64$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- 64 x$
	-(0	0)
		$- 64 x$	$- 64$
		-( $- 64 x$	$- 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 64 x - 64$ = $(x^{2} + 0 - 64) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 64) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 64) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{2} - 64 \cdot (- 8) - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 64 x$	$- 64$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 64 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 56 x$ )
		$- 8 x$	$- 64$
		-( $- 8 x$	$- 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 64 x - 64$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} + 8^{2} - 64 \cdot 8 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 64 x$	$- 64$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$- 64 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$8 x$	$- 64$
		-( $8 x$	$- 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 64 x - 64$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 9 x + 8) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{4} + 2 \cdot {(- 8)}^{3} - 63 \cdot {(- 8)}^{2} - 128 \cdot (- 8) - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$	$- 63 x^{2}$	$- 128 x$	$- 64$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8$
-( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$ )
	$- 6 x^{3}$	$- 63 x^{2}$
	-( $- 6 x^{3}$	$- 48 x^{2}$ )
		$- 15 x^{2}$	$- 128 x$
		-( $- 15 x^{2}$	$- 120 x$ )
			$- 8 x$	$- 64$
			-( $- 8 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 2 x^{3} - 63 x^{2} - 128 x - 64$ = $(x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8) \cdot (x + 8)$

(x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 6 \cdot {(- 1)}^{2} - 15 \cdot (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 15 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$- 8 x$	$- 8$
		-( $- 8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 6 \cdot 8^{2} - 15 \cdot 8 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 15 x$	$- 8$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$x$	$- 8$
		-( $x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 8$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{4} + 2 \cdot 8^{3} - 63 \cdot 8^{2} - 128 \cdot 8 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$	$- 63 x^{2}$	$- 128 x$	$- 64$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$
-( $x^{4}$	$- 8 x^{3}$ )
	$10 x^{3}$	$- 63 x^{2}$
	-( $10 x^{3}$	$- 80 x^{2}$ )
		$17 x^{2}$	$- 128 x$
		-( $17 x^{2}$	$- 136 x$ )
			$8 x$	$- 64$
			-( $8 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 2 x^{3} - 63 x^{2} - 128 x - 64$ = $(x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8) \cdot (x - 8)$

(x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 10 \cdot {(- 1)}^{2} + 17 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 17 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 9 x + 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 10 \cdot {(- 8)}^{2} + 17 \cdot (- 8) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 17 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$x$	$+ 8$
		-( $x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 17 x + 8$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 8$ ; $- 1$ ; $8$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x - 2 | + 5$ = $7$

Lösung einblenden

$\| - x - 2 \| + 5$	=	$7$
$5 + \| - x - 2 \|$	=	$7$	\| $- 5$
$\| - x - 2 \|$	=	$2$

1. Fall: $- x - 2$ ≥ 0:

$- x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 4) - 2$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 2$ < 0:

$- (- x - 2)$	=	$2$
$x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 2$ < 0) genügt:

$- 0 - 2$ = -2 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -2 ≥ 0:

2. Fall: -x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 2$ < 0: