Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} + 64 x$ und $g(x) =$ $16 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} + 64 x$	=	$16 x^{4}$	\| $- 16 x^{4}$
$x^{7} - 16 x^{4} + 64 x$	=	0
$x (x^{6} - 16 x^{3} + 64)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 16 x^{3} + 64

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 16 u + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{16}{2}$ = $8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $16 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $16 \cdot 2^{4}$ = 256 Somit gilt: S₂( $2$ |256)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $24 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x + 7$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 2 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 2 e^{x}

=

24

|

- 24

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 11 e^{3 x} + 28 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 11 e^{3 x} + 28 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 28) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{x}{2 x - 2} - 1$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) - 1 \cdot (2 x - 2)$	=
$x - 2 x + 2$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{3} - 22 x^{2} - 12 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 3 x^{3} - 22 x^{2} - 12 x + 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $72$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 3 \cdot {(- 2)}^{3} - 22 \cdot {(- 2)}^{2} - 12 \cdot (- 2) + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 22 x^{2}$	$- 12 x$	$+ 72$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + x^{2} - 24 x + 36$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$x^{3}$	$- 22 x^{2}$
	-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
		$- 24 x^{2}$	$- 12 x$
		-( $- 24 x^{2}$	$- 48 x$ )
			$36 x$	$+ 72$
			-( $36 x$	$+ 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 22 x^{2} - 12 x + 72$ = $(x^{3} + x^{2} - 24 x + 36) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + x^{2} - 24 x + 36) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 24 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 24 \cdot 2 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 24 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 18 x$	$+ 36$
		-( $- 18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 24 x + 36$ = $(x^{2} + 3 x - 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x - 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 3^{2} - 24 \cdot 3 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 24 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 12 x$	$+ 36$
		-( $- 12 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 24 x + 36$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{2} - 24 \cdot (- 6) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 24 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$6 x$	$+ 36$
		-( $6 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 24 x + 36$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 4 | + 6$ = $4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \| + 6$	=	$4$
$6 - \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$4$	\| $- 6$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$4$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

$2 x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 0 + 4$ = 4 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 4$ < 0:

$- (2 x + 4)$	=	$4$
$- 2 x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 4) + 4$ = -4 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +4 ≥ 0:

2. Fall: 2x +4 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 4$ < 0: