Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{10}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{7}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{10}{x^{2}}$	=	$\frac{7}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{7}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 10$	=	$7 x$

x^{2} + 10

=

7 x

|

- 7 x

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{7}{2}$ = 3.5 Somit gilt: S₁( $2$ |3.5)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $\frac{7}{5}$ = 1.4 Somit gilt: S₂( $5$ |1.4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 3 + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 3$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 3 + 6 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $1 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$1 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{- x} + 6) \cdot (x^{3} - x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{- x} + 6) (x^{3} - x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{- x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 4 e^{- x}$	=	$- 6$	\|: $- 4$
$e^{- x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $- 1$
x₁	=	$- \ln (\frac{3}{2})$	≈ -0.4055

2. Fall:

$x^{3} - x$	=	0
$x (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $- \ln (\frac{3}{2})$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 4}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 4}{x} - 4$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 4}{x} \cdot x - 4 \cdot x$	=
$3 x - 4 - 4 x$	=
$- x - 4$	=

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 13 \cdot (- 1) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$6 x$	$+ 6$
		-( $6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 13 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x + 6 | + 9$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 6 \| + 9$	=	$- 9$
$9 - \frac{1}{2} \| - 3 x + 6 \|$	=	$- 9$	\| $- 9$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 6 \|$	=	$- 18$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x + 6 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

$- 3 x + 6$	=	$36$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 10) + 6$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0:

$- (- 3 x + 6)$	=	$36$
$3 x - 6$	=	$36$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$42$	\|: $3$
x₂	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 14 + 6$ = -36 < 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +6 ≥ 0:

2. Fall: -3x +6 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0: