Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 16 x$ und $g(x) =$ $8 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 16 x$	=	$8 x^{2}$	\| $- 8 x^{2}$
$x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$	=	0
$x (x^{2} - 8 x + 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={0; $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $8 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $8 \cdot 4^{2}$ = 128 Somit gilt: S₂( $4$ |128)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $6 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x + 7$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 5 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 5 x

=

6

|

- 6

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 8$ = $- 2 e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} - 8

=

- 2 e^{3 x}

|

+ 2 e^{3 x}

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{15 x}{- 9 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{15 x}{- 9 x + 12}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{15 x}{- 9 x + 12}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{2 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{5 x + 2}{2 x} \cdot (3 x - 4) + \frac{15 x}{- 9 x + 12} \cdot (3 x - 4)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 2) (3 x - 4)}{2 x} + \frac{15 x (3 x - 4)}{- 9 x + 12}$	=
$2 x + \frac{15 x^{2} - 14 x - 8}{2 x} + \frac{45 x^{2} - 60 x}{- 9 x + 12}$	=
$\frac{45 x^{2} - 60 x}{- 9 x + 12} + \frac{15 x^{2} - 14 x - 8}{2 x} + 2 x$	=

\frac{15 x^{2} - 14 x - 8}{2 x} + \frac{45 x^{2} - 60 x}{- 9 x + 12} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 14 x - 8}{2 x} + \frac{45 x^{2} - 60 x}{- 9 x + 12} + 2 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{15 x^{2} - 14 x - 8}{2 x} \cdot 2 x + \frac{45 x^{2} - 60 x}{- 9 x + 12} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x$	=
$15 x^{2} - 14 x - 8 + 2 \frac{(45 x^{2} - 60 x) x}{- 9 x + 12} + 4 x \cdot x$	=
$15 x^{2} - 14 x - 8 + 2 \frac{45 x^{3} - 60 x^{2}}{- 9 x + 12} + 4 x^{2}$	=
$2 \frac{45 x^{3} - 60 x^{2}}{- 9 x + 12} + 15 x^{2} + 4 x^{2} - 14 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x + 12$ weg!

$2 \frac{45 x^{3} - 60 x^{2}}{- 9 x + 12} + 15 x^{2} + 4 x^{2} - 14 x - 8$	=	\|⋅( $- 9 x + 12$ )
$2 \frac{45 x^{3} - 60 x^{2}}{- 9 x + 12} \cdot (- 9 x + 12) + 15 x^{2} \cdot (- 9 x + 12) + 4 x^{2} \cdot (- 9 x + 12) - 14 x \cdot (- 9 x + 12) - 8 \cdot (- 9 x + 12)$	=
$90 x^{3} - 120 x^{2} + 15 x^{2} (- 9 x + 12) + 4 x^{2} (- 9 x + 12) - 14 x (- 9 x + 12) + 72 x - 96$	=
$90 x^{3} - 120 x^{2} + (- 135 x^{3} + 180 x^{2}) + (- 36 x^{3} + 48 x^{2}) + (126 x^{2} - 168 x) + 72 x - 96$	=
$- 81 x^{3} + 234 x^{2} - 96 x - 96$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 81 x^{3} + 234 x^{2} - 96 x - 96$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 96$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $- 81 \cdot 2^{3} + 234 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 - 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $- 81 x^{3}$	$+ 234 x^{2}$	$- 96 x$	$- 96$ )	:	(x $- 2$ )	=	$- 81 x^{2} + 72 x + 48$
-( $- 81 x^{3}$	$+ 162 x^{2}$ )
	$72 x^{2}$	$- 96 x$
	-( $72 x^{2}$	$- 144 x$ )
		$48 x$	$- 96$
		-( $48 x$	$- 96$ )
			0

es gilt also:

$- 81 x^{3} + 234 x^{2} - 96 x - 96$ = $(- 81 x^{2} + 72 x + 48) \cdot (x - 2)$

(- 81 x^{2} + 72 x + 48) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 81 x^{2} + 72 x + 48

= 0 |:3

$- 27 x^{2} + 24 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot 16}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 1 728}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{2 304}}{- 54}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{2 304}}{- 54}$ = $\frac{- 24+48}{- 54}$ = $\frac{24}{- 54}$ = $- \frac{4}{9}$ ≈ -0.44

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{2 304}}{- 54}$ = $\frac{- 24-48}{- 54}$ = $\frac{- 72}{- 54}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{9}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 15 x^{3} + 53 x^{2} + 15 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 15 x^{3} + 53 x^{2} + 15 x - 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 54$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 15 \cdot {(- 1)}^{3} + 53 \cdot {(- 1)}^{2} + 15 \cdot (- 1) - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 15 x^{3}$	$+ 53 x^{2}$	$+ 15 x$	$- 54$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 16 x^{3}$	$+ 53 x^{2}$
	-( $- 16 x^{3}$	$- 16 x^{2}$ )
		$69 x^{2}$	$+ 15 x$
		-( $69 x^{2}$	$+ 69 x$ )
			$- 54 x$	$- 54$
			-( $- 54 x$	$- 54$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 15 x^{3} + 53 x^{2} + 15 x - 54$ = $(x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 54$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 16 \cdot 1^{2} + 69 \cdot 1 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 69 x$	$- 54$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 15 x + 54$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 15 x^{2}$	$+ 69 x$
	-( $- 15 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$54 x$	$- 54$
		-( $54 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = $(x^{2} - 15 x + 54) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 15 x + 54) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 15 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15+3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15-3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 16 \cdot 6^{2} + 69 \cdot 6 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 69 x$	$- 54$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 69 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 60 x$ )
		$9 x$	$- 54$
		-( $9 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 16 \cdot 9^{2} + 69 \cdot 9 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 69 x$	$- 54$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 69 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 63 x$ )
		$6 x$	$- 54$
		-( $6 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 69 x - 54$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $6$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | x + 4 | - 1$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \| x + 4 \| - 1$	=	$- 4$
$- 1 - \| x + 4 \|$	=	$- 4$	\| $+ 1$
$- \| x + 4 \|$	=	$- 3$	\|: $(- 1)$
$\| x + 4 \|$	=	$3$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 1 + 4$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 4$ < 0:

$- (x + 4)$	=	$3$
$- x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ < 0) genügt:

$- 7 + 4$ = -3 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: x +4 ≥ 0:

2. Fall: x +4 < 0:

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 4$ < 0: