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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + 3 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $28 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + 3 e^{3 x}$	=	$28 e^{x}$	\| $- 28 e^{x}$
$e^{5 x} + 3 e^{3 x} - 28 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 28) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $28 e^{\ln (2)}$ = 56 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |56)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 2 + 16 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 2 + 16 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $16 e^{\frac{1}{4} x} + 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$16 e^{\frac{1}{4} x} + 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$16 e^{\frac{1}{4} x} + 2 - 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$16 e^{\frac{1}{4} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$4 (x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - e^{4 x}$ = $20 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - e^{4 x}$	=	$20 e^{x}$	\| $- 20 e^{x}$
$e^{7 x} - e^{4 x} - 20 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 20) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{2 x}{3 x + 10} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x}{2 x + 4} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x}{2 x + 4} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{x}{2 x + 4} \cdot (3 x + 10) - 5 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x + \frac{x (3 x + 10)}{2 x + 4} - 15 x - 50$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} + 10 x}{2 x + 4} - 15 x - 50$	=
$\frac{3 x^{2} + 10 x}{2 x + 4} + 2 x - 15 x - 50$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 10 x}{2 x + 4} + 2 x - 15 x - 50$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{3 x^{2} + 10 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + 2 x \cdot (2 x + 4) - 15 x \cdot (2 x + 4) - 50 \cdot (2 x + 4)$	=
$3 x^{2} + 10 x + 2 x (2 x + 4) - 15 x (2 x + 4) - 100 x - 200$	=
$3 x^{2} + 10 x + (4 x^{2} + 8 x) + (- 30 x^{2} - 60 x) - 100 x - 200$	=
$- 23 x^{2} - 142 x - 200$	=

$- 23 x^{2} - 142 x - 200$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 142 \pm \sqrt{{(- 142)}^{2} - 4 \cdot (- 23) \cdot (- 200)}}{2 \cdot (- 23)}$

x_1,2 = $\frac{+ 142 \pm \sqrt{20 164 - 18 400}}{- 46}$

x_1,2 = $\frac{+ 142 \pm \sqrt{1 764}}{- 46}$

x₁ = $\frac{142 + \sqrt{1 764}}{- 46}$ = $\frac{142+42}{- 46}$ = $\frac{184}{- 46}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{142 - \sqrt{1 764}}{- 46}$ = $\frac{142-42}{- 46}$ = $\frac{100}{- 46}$ = $- \frac{50}{23}$ ≈ -2.17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{50}{23}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 3 x$	$- 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 3$
		-( $3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x - 12 | - 3$ = $13$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x - 12 \| - 3$	=	$13$
$- 3 + \frac{1}{3} \| - 4 x - 12 \|$	=	$13$	\| $+ 3$
$\frac{1}{3} \| - 4 x - 12 \|$	=	$16$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x - 12 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

$- 4 x - 12$	=	$48$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$60$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 15) - 12$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0:

$- (- 4 x - 12)$	=	$48$
$4 x + 12$	=	$48$	\| $- 12$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 9 - 12$ = -48 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -12 ≥ 0:

2. Fall: -4x -12 < 0:

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0: