Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{8}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{2}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{8}{x^{2}}$	=	$\frac{2}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{2}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 8$	=	$2 x$

x^{2} - 8

=

2 x

|

- 2 x

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{2}{(- 2)}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-1)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $\frac{2}{4}$ = 0.5 Somit gilt: S₂( $4$ |0.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + x^{3}$ parallel zur Geraden y = $28 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x + 3$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 3 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 3 x^{2}

=

28

|

- 28

x^{4} + 3 x^{2} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 4 x^{2}$ = $5 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{6} + 4 x^{2}$	=	$5 x^{4}$	\| $- 5 x^{4}$
$x^{6} - 5 x^{4} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 5 x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 5 x^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 2$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{2 x + 1}{3 x} \cdot (3 x + 1) - 2 \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x + \frac{(2 x + 1) (3 x + 1)}{3 x} - 6 x - 2$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 5 x + 1}{3 x} - 6 x - 2$	=
$\frac{6 x^{2} + 5 x + 1}{3 x} + 4 x - 6 x - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 5 x + 1}{3 x} + 4 x - 6 x - 2$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{6 x^{2} + 5 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 4 x \cdot 3 x - 6 x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$	=
$6 x^{2} + 5 x + 1 + 12 x \cdot x - 18 x \cdot x - 6 x$	=
$6 x^{2} + 5 x + 1 + 12 x^{2} - 18 x^{2} - 6 x$	=
$- x + 1$	=

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 5 \cdot 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 5 x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x + 4 | + 1$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \| + 1$	=	$- 9$
$1 - \frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 9$	\| $- 1$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 10$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$30$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

$- 2 x + 4$	=	$30$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$26$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 13) + 4$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0:

$- (- 2 x + 4)$	=	$30$
$2 x - 4$	=	$30$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$34$	\|: $2$
x₂	=	$17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 17 + 4$ = -30 < 0

Die Lösung $17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $17$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +4 ≥ 0:

2. Fall: -2x +4 < 0:

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0: