Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 3 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $4$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} + 3 e^{2 x}

=

4

|

- 4

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $4$ Somit gilt: S₁(0|4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 4 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 16 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 16 x + 7$ gilt m = $- 16$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 4 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 8 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 8 e^{2 x}

=

- 16

|

+ 16

e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

L={ $\ln (2)$ }

$\ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 16$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 16 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 13 e^{4 x} + 42 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 13 e^{4 x} + 42 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 13 e^{3 x} + 42) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 13 e^{3 x} + 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x + 4}{x} + \frac{- 3 x}{x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x + 4}{x} - \frac{3 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x + 4}{x} - \frac{3 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{x + 4}{x} \cdot (x - 2) - \frac{3 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{(x + 4) (x - 2)}{x} - 3 x$	=
$2 x + \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x} - 3 x$	=
$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x} + 2 x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x} + 2 x - 3 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 3 x \cdot x$	=
$x^{2} + 2 x - 8 + 2 x \cdot x - 3 x \cdot x$	=
$x^{2} + 2 x - 8 + 2 x^{2} - 3 x^{2}$	=
$2 x - 8$	=

$2 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x - 6 | + 1$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x - 6 \| + 1$	=	$- 1$
$1 - \frac{1}{3} \| 2 x - 6 \|$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- \frac{1}{3} \| 2 x - 6 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x - 6 \|$	=	$6$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

$2 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 6 - 6$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 6$ < 0:

$- (2 x - 6)$	=	$6$
$- 2 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (0) - 6$ = -6 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -6 ≥ 0:

2. Fall: 2x -6 < 0:

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 6$ < 0: