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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 9 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 20 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 9 e^{x}$	=	$- 20 e^{- x}$	\| $+ 20 e^{- x}$
$e^{3 x} - 9 e^{x} + 20 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 20) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 20 e^{- (\ln (2))}$ = -10 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-10)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $- 20 e^{- (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = -8.944 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |-8.944)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{11}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 28 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 28 x + 6$ gilt m = $- 28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{11}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 11 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 11 e^{2 x}

=

- 28

|

+ 28

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

L={ $\ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 28 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{2 x + 2} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{2 x + 2} - 2$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{8 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) - 2 \cdot (2 x + 2)$	=
$8 x - 4 x - 4$	=
$4 x - 4$	=

$4 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 14$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$14 x$	$- 14$
		-( $14 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 8 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 7 x$	$- 14$
		-( $- 7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = $(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 6 x - 7) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 8 \cdot {(- 7)}^{2} + 5 \cdot (- 7) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 2 x$	$- 14$
		-( $- 2 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + x - 2) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 2$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x - 8 | - 7$ = $5$

Lösung einblenden

$\| 2 x - 8 \| - 7$	=	$5$
$- 7 + \| 2 x - 8 \|$	=	$5$	\| $+ 7$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

$2 x - 8$	=	$12$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$20$	\|: $2$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 10 - 8$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 8$ < 0:

$- (2 x - 8)$	=	$12$
$- 2 x + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 2) - 8$ = -12 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -8 ≥ 0:

2. Fall: 2x -8 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 8$ < 0: