Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} + 7 x^{4}$ und $g(x) =$ $8 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} + 7 x^{4}$	=	$8 x$	\| $- 8 x$
$x^{7} + 7 x^{4} - 8 x$	=	0
$x (x^{6} + 7 x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} + 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $8 \cdot (- 2)$ = -16 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-16)

x₂ = 0: f(0)= $8 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $8 \cdot 1$ = 8 Somit gilt: S₃( $1$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 8 x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{6 x} + 6) \cdot (x^{2} + 6 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{6 x} + 6) (x^{2} + 6 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{6 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 9 e^{6 x}$	=	$- 6$	\|: $- 9$
$e^{6 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$	≈ -0.0676

2. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$ ; 0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot (3 x - 1) - 5 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{(8 x - 1) (3 x - 1)}{3 x} - 15 x + 5$	=
$8 x + \frac{24 x^{2} - 11 x + 1}{3 x} - 15 x + 5$	=
$\frac{24 x^{2} - 11 x + 1}{3 x} + 8 x - 15 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{24 x^{2} - 11 x + 1}{3 x} + 8 x - 15 x + 5$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{24 x^{2} - 11 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 8 x \cdot 3 x - 15 x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$	=
$24 x^{2} - 11 x + 1 + 24 x \cdot x - 45 x \cdot x + 15 x$	=
$24 x^{2} - 11 x + 1 + 24 x^{2} - 45 x^{2} + 15 x$	=
$3 x^{2} + 4 x + 1$	=

$3 x^{2} + 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 4+2}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 4-2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 7 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$14 x$	$+ 28$
		-( $14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 14 x$	$+ 28$
		-( $- 14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} - 5 x - 14) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 5 x - 14) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 7 \cdot 7^{2} - 4 \cdot 7 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 28$
		-( $- 4 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 7)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 7)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x + 4 | - 5$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \| - x + 4 \| - 5$	=	$- 9$
$- 5 - \| - x + 4 \|$	=	$- 9$	\| $+ 5$
$- \| - x + 4 \|$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$\| - x + 4 \|$	=	$4$

1. Fall: $- x + 4$ ≥ 0:

$- x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- (0) + 4$ = 4 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 4$ < 0:

$- (- x + 4)$	=	$4$
$x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 4$ < 0) genügt:

$- 8 + 4$ = -4 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +4 ≥ 0:

2. Fall: -x +4 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $- x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 4$ < 0: