Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - \frac{15}{x}$ und $g(x) =$ $- 2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - \frac{15}{x}$	=	$- 2$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$x \cdot x - 15$	=	$- 2 x$
$x^{2} - 15$	=	$- 2 x$

x^{2} - 15

=

- 2 x

|

+ 2 x

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 5$ : f( $- 5$ )= $- 2$ Somit gilt: S₁( $- 5$ |-2)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $- 2$ Somit gilt: S₂( $3$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $6 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x + 1$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 5 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 5 x

=

6

|

- 6

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} + 4 x^{3}$ = $5 x$

Lösung einblenden

$x^{5} + 4 x^{3}$	=	$5 x$	\| $- 5 x$
$x^{5} + 4 x^{3} - 5 x$	=	0
$x (x^{4} + 4 x^{2} - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 4 x^{2} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{- 27 x}{3 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{x - 1} - \frac{27 x}{3 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{x - 1} - \frac{27 x}{3 x - 3}$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{6 x}{x - 1} \cdot (3 x + 2) - \frac{27 x}{3 x - 3} \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x + \frac{6 x (3 x + 2)}{x - 1} - \frac{27 x (3 x + 2)}{3 x - 3}$	=
$4 x + \frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 1} - \frac{81 x^{2} + 54 x}{3 x - 3}$	=
$- \frac{81 x^{2} + 54 x}{3 x - 3} + \frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 1} + 4 x$	=

\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 1} - \frac{81 x^{2} + 54 x}{3 x - 3} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 1} - \frac{81 x^{2} + 54 x}{3 x - 3} + 4 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - \frac{81 x^{2} + 54 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1)$	=
$18 x^{2} + 12 x - 27 x^{2} - 18 x + 4 x (x - 1)$	=
$18 x^{2} + 12 x - 27 x^{2} - 18 x + (4 x^{2} - 4 x)$	=
$- 5 x^{2} - 10 x$	=

$- 5 x^{2} - 10 x$	=	0
$- 5 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 0 - 3 x + 2$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	0	$- 3 x^{2}$
	-(0	0)
		$- 3 x^{2}$	$+ 5 x$
		-( $- 3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
			$2 x$	$- 2$
			-( $2 x$	$- 2$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ = $(x^{3} + 0 - 3 x + 2) \cdot (x - 1)$

$(x^{3} + 0 - 3 x + 2) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{3} - 3 x + 2) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$+ 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 3 x$
	-( $x^{2}$	$- x$ )
		$- 2 x$	$+ 2$
		-( $- 2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x + 2$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + x - 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 3 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x + 2$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
		$3 x^{2}$	$+ 5 x$
		-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
			$- x$	$- 2$
			-( $- x$	$- 2$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ = $(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

$1$ ist 3-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x - 2 | + 5$ = $9$

Lösung einblenden

$\| 2 x - 2 \| + 5$	=	$9$
$5 + \| 2 x - 2 \|$	=	$9$	\| $- 5$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$4$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

$2 x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 3 - 2$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 2$ < 0:

$- (2 x - 2)$	=	$4$
$- 2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 1) - 2$ = -4 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -2 ≥ 0:

2. Fall: 2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 2$ < 0: