Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 5$ und $g(x) =$ $6 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 5

=

6 e^{- 2 x}

|

- 6 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 6 e^{- 2 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 6 e^{- 2 x} - 5$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 6$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $6 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 1 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 6 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $7 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7 x + 2$ gilt m = $7$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 6 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 6 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 6 e^{x}

=

7

|

- 7

e^{2 x} - 6 e^{x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $7$ und sind somit parallel zur Geraden y = $7 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 2 e^{3 x}$ = $8$

Lösung einblenden

e^{6 x} - 2 e^{3 x}

=

8

|

- 8

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{2 x + 2}{3 x + 9} + \frac{5 x + 2}{- 3 x - 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{5 x + 2}{- 3 x - 9} + \frac{2 x + 2}{3 x + 9} + \frac{3 x}{2 x + 5}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x - 9$ weg!

$\frac{5 x + 2}{- 3 x - 9} + \frac{2 x + 2}{3 x + 9} + \frac{3 x}{2 x + 5}$	=	\|⋅( $- 3 x - 9$ )
$\frac{5 x + 2}{- 3 x - 9} \cdot (- 3 x - 9) + \frac{2 x + 2}{3 (x + 3)} \cdot (- 3 (x + 3)) + \frac{3 x}{2 x + 5} \cdot (- 3 x - 9)$	=
$5 x + 2 - 2 x - 2 + \frac{3 x (- 3 x - 9)}{2 x + 5}$	=
$5 x + 2 - 2 x - 2 + \frac{- 9 x^{2} - 27 x}{2 x + 5}$	=
$\frac{- 9 x^{2} - 27 x}{2 x + 5} + 5 x - 2 x + 2 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{- 9 x^{2} - 27 x}{2 x + 5} + 5 x - 2 x + 2 - 2$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{- 9 x^{2} - 27 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 5 x \cdot (2 x + 5) - 2 x \cdot (2 x + 5) + 2 \cdot (2 x + 5) - 2 \cdot (2 x + 5)$	=
$- 9 x^{2} - 27 x + 5 x (2 x + 5) - 2 x (2 x + 5) + 4 x + 10 - 4 x - 10$	=
$- 9 x^{2} - 27 x + (10 x^{2} + 25 x) + (- 4 x^{2} - 10 x) + 4 x + 10 - 4 x - 10$	=
$- 3 x^{2} - 12 x$	=

$- 3 x^{2} - 12 x$	=	0
$- 3 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 7 \cdot (- 1) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 7$
		-( $7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x - 12 | + 2$ = $18$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x - 12 \| + 2$	=	$18$
$2 + \frac{1}{2} \| - 4 x - 12 \|$	=	$18$	\| $- 2$
$\frac{1}{2} \| - 4 x - 12 \|$	=	$16$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x - 12 \|$	=	$32$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

$- 4 x - 12$	=	$32$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$44$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 11) - 12$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0:

$- (- 4 x - 12)$	=	$32$
$4 x + 12$	=	$32$	\| $- 12$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 5 - 12$ = -32 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -12 ≥ 0:

2. Fall: -4x -12 < 0:

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0: