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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 2 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $8 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 2 e^{5 x}$	=	$8 e^{2 x}$	\| $- 8 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 2 e^{5 x} - 8 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 8) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $8 e^{2 \cdot (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = 20.159 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |20.159)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 2 + 8 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 2$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 2 + 8 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (- x^{2} + 8 x) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $8$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 6 e^{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 6 e^{x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{- 4 x}{3 x + 8}$ = 0

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D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{x + 1}{2 x + 5} - \frac{4 x}{3 x + 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{x + 1}{2 x + 5} - \frac{4 x}{3 x + 8}$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{3 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{x + 1}{2 x + 5} \cdot (3 x + 8) - \frac{4 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8)$	=
$3 x + \frac{(x + 1) (3 x + 8)}{2 x + 5} - 4 x$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} + 11 x + 8}{2 x + 5} - 4 x$	=
$\frac{3 x^{2} + 11 x + 8}{2 x + 5} + 3 x - 4 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 11 x + 8}{2 x + 5} + 3 x - 4 x$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{3 x^{2} + 11 x + 8}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 3 x \cdot (2 x + 5) - 4 x \cdot (2 x + 5)$	=
$3 x^{2} + 11 x + 8 + 3 x (2 x + 5) - 4 x (2 x + 5)$	=
$3 x^{2} + 11 x + 8 + (6 x^{2} + 15 x) + (- 8 x^{2} - 20 x)$	=
$x^{2} + 6 x + 8$	=

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 11 \cdot {(- 2)}^{2} + 20 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 5 | + 3$ = $9$

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$- \frac{1}{2} \| - x + 5 \| + 3$	=	$9$
$3 - \frac{1}{2} \| - x + 5 \|$	=	$9$	\| $- 3$
$- \frac{1}{2} \| - x + 5 \|$	=	$6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 5 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen