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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 4 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $- 3 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 4 e^{4 x}$	=	$- 3 e^{x}$	\| $+ 3 e^{x}$
$e^{7 x} - 4 e^{4 x} + 3 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 3 e^{0}$ = -3 Somit gilt: S₁(0|-3)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 3 e^{\frac{1}{3} \ln (3)}$ = -4.327 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-4.327)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 2 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 1$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 2 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $2 e^{x} - 2 + 2 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$2 e^{x} - 2 + 2 x \cdot e^{x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$2 e^{x} - 2 + 2 + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$2 e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$2 (x + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{x + 4}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{x + 4}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 8} + \frac{x + 4}{x} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{4 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{x + 4}{x} \cdot (3 x - 8) - 6 \cdot (3 x - 8)$	=
$4 x + \frac{(x + 4) (3 x - 8)}{x} - 18 x + 48$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} + 4 x - 32}{x} - 18 x + 48$	=
$\frac{3 x^{2} + 4 x - 32}{x} + 4 x - 18 x + 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 32}{x} + 4 x - 18 x + 48$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} + 4 x - 32}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 18 x \cdot x + 48 \cdot x$	=
$3 x^{2} + 4 x - 32 + 4 x \cdot x - 18 x \cdot x + 48 x$	=
$3 x^{2} + 4 x - 32 + 4 x^{2} - 18 x^{2} + 48 x$	=
$- 11 x^{2} + 52 x - 32$	=

$- 11 x^{2} + 52 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 52 \pm \sqrt{52^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 52 \pm \sqrt{2 704 - 1 408}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 52 \pm \sqrt{1 296}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 52 + \sqrt{1 296}}{- 22}$ = $\frac{- 52+36}{- 22}$ = $\frac{- 16}{- 22}$ = $\frac{8}{11}$ ≈ 0.73

x₂ = $\frac{- 52 - \sqrt{1 296}}{- 22}$ = $\frac{- 52-36}{- 22}$ = $\frac{- 88}{- 22}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{11}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 14 x^{2} + 49 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 14 x^{2} + 49 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 14 \cdot {(- 1)}^{2} + 49 \cdot (- 1) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 49 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 13 x + 36$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$13 x^{2}$	$+ 49 x$
	-( $13 x^{2}$	$+ 13 x$ )
		$36 x$	$+ 36$
		-( $36 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 49 x + 36$ = $(x^{2} + 13 x + 36) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 13 x + 36) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13+5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13-5}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 14 \cdot {(- 4)}^{2} + 49 \cdot (- 4) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 49 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 49 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 40 x$ )
		$9 x$	$+ 36$
		-( $9 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 49 x + 36$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 10 x + 9) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 14 \cdot {(- 9)}^{2} + 49 \cdot (- 9) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 49 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 49 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 45 x$ )
		$4 x$	$+ 36$
		-( $4 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 14 x^{2} + 49 x + 36$ = $(x^{2} + 5 x + 4) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 5 x + 4) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 4$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x + 5 | - 9$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x + 5 \| - 9$	=	$- 7$
$- 9 - \frac{1}{3} \| - x + 5 \|$	=	$- 7$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{3} \| - x + 5 \|$	=	$2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x + 5 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $- 9$