Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + \frac{8}{x}$ und $g(x) =$ $- 9 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} + \frac{8}{x}$	=	$- 9 x^{2}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{5} \cdot x + 8$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x^{2} \cdot x$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x^{3}$

x^{6} + 8

=

- 9 x^{3}

|

+ 9 x^{3}

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 9 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -36 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-36)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot {(- 1)}^{2}$ = -9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 6$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 4 x

=

12

|

- 12

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{x} + 8$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

- 6 e^{x} + 8

=

- e^{2 x}

|

+ e^{2 x}

e^{2 x} - 6 e^{x} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

L={ $\ln (2)$ ; $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{3}{x} + \frac{5 x + 1}{- 4 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{5 x + 1}{- 4 x + 4} + \frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 4 x + 4$ weg!

$\frac{5 x + 1}{- 4 x + 4} + \frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $- 4 x + 4$ )
$\frac{5 x + 1}{- 4 x + 4} \cdot (- 4 x + 4) + \frac{x + 1}{2 x - 2} \cdot (- 4 x + 4) + \frac{3}{x} \cdot (- 4 x + 4)$	=
$5 x + 1 + \frac{(x + 1) (- 4 x + 4)}{2 x - 2} + 3 \frac{- 4 x + 4}{x}$	=
$5 x + 1 + \frac{- 4 x^{2} + 4}{2 x - 2} + 3 \frac{- 4 x + 4}{x}$	=
$\frac{3 (- 4 x + 4)}{x} + \frac{- 4 x^{2} + 4}{2 x - 2} + 5 x + 1$	=

\frac{3 (- 4 x + 4)}{x} + \frac{- 4 x^{2} + 4}{2 x - 2} + 5 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 (- 4 x + 4)}{x} + \frac{- 4 x^{2} + 4}{2 x - 2} + 5 x + 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 (- 4 x + 4)}{x} \cdot x + \frac{- 4 x^{2} + 4}{2 x - 2} \cdot x + 5 x \cdot x + 1 \cdot x$	=
$- 12 x + 12 + \frac{(- 4 x^{2} + 4) x}{2 x - 2} + 5 x \cdot x + x$	=
$- 12 x + 12 + \frac{- 4 x^{3} + 4 x}{2 x - 2} + 5 x^{2} + x$	=
$\frac{- 4 x^{3} + 4 x}{2 x - 2} + 5 x^{2} - 12 x + x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{- 4 x^{3} + 4 x}{2 x - 2} + 5 x^{2} - 12 x + x + 12$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{- 4 x^{3} + 4 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + 5 x^{2} \cdot (2 x - 2) - 12 x \cdot (2 x - 2) + x \cdot (2 x - 2) + 12 \cdot (2 x - 2)$	=
$- 4 x^{3} + 4 x + 5 x^{2} (2 x - 2) - 12 x (2 x - 2) + x (2 x - 2) + 24 x - 24$	=
$- 4 x^{3} + 4 x + (10 x^{3} - 10 x^{2}) + (- 24 x^{2} + 24 x) + (2 x^{2} - 2 x) + 24 x - 24$	=
$6 x^{3} - 32 x^{2} + 50 x - 24$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $6 x^{3} - 32 x^{2} + 50 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $6 \cdot 1^{3} - 32 \cdot 1^{2} + 50 \cdot 1 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $6 x^{3}$	$- 32 x^{2}$	$+ 50 x$	$- 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$6 x^{2} - 26 x + 24$
-( $6 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 26 x^{2}$	$+ 50 x$
	-( $- 26 x^{2}$	$+ 26 x$ )
		$24 x$	$- 24$
		-( $24 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$6 x^{3} - 32 x^{2} + 50 x - 24$ = $(6 x^{2} - 26 x + 24) \cdot (x - 1)$

(6 x^{2} - 26 x + 24) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

6 x^{2} - 26 x + 24

= 0 |:2

$3 x^{2} - 13 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 12}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{13+5}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{13-5}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $6 \cdot 3^{3} - 32 \cdot 3^{2} + 50 \cdot 3 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $6 x^{3}$	$- 32 x^{2}$	$+ 50 x$	$- 24$ )	:	(x $- 3$ )	=	$6 x^{2} - 14 x + 8$
-( $6 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$- 14 x^{2}$	$+ 50 x$
	-( $- 14 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$8 x$	$- 24$
		-( $8 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$6 x^{3} - 32 x^{2} + 50 x - 24$ = $(6 x^{2} - 14 x + 8) \cdot (x - 3)$

(6 x^{2} - 14 x + 8) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

6 x^{2} - 14 x + 8

= 0 |:2

$3 x^{2} - 7 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{7+1}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{7-1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 32 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 32 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2^{2} - 32 \cdot 2 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 32 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + x - 30$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 32 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 30 x$	$+ 60$
		-( $- 30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 32 x + 60$ = $(x^{2} + x - 30) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + x - 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 5^{2} - 32 \cdot 5 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 32 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$- 12 x$	$+ 60$
		-( $- 12 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 32 x + 60$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - {(- 6)}^{2} - 32 \cdot (- 6) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 32 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$10 x$	$+ 60$
		-( $10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 32 x + 60$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x - 2 | - 7$ = $- 17$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \| - 7$	=	$- 17$
$- 7 - \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 17$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 10$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$30$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$30$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$32$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 16) - 2$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$30$
$2 x + 2$	=	$30$	\| $- 2$
$2 x$	=	$28$	\|: $2$
x₂	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 14 - 2$ = -30 < 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 3

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 5

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: