Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 11 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 28$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 11 e^{2 x}

=

- 28

|

+ 28

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

L={ $\ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 28$ Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-28)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $- 28$ Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |-28)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 6 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6 x + 3$ gilt m = $- 6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 5 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 5 x

=

- 6

|

+ 6

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 3$ = $2 x$

Lösung einblenden

x^{2} - 3

=

2 x

|

- 2 x

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{3 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 3$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2)$	=
$3 x + \frac{(5 x - 1) (x - 2)}{3 x} - 3 x + 6$	=
$3 x + \frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{3 x} - 3 x + 6$	=
$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{3 x} + 3 x - 3 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{3 x} + 3 x - 3 x + 6$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + 3 x \cdot 3 x - 3 x \cdot 3 x + 6 \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} - 11 x + 2 + 9 x \cdot x - 9 x \cdot x + 18 x$	=
$5 x^{2} - 11 x + 2 + 9 x^{2} - 9 x^{2} + 18 x$	=
$5 x^{2} + 7 x + 2$	=

$5 x^{2} + 7 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{10}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{- 7+3}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{- 7-3}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 29 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $32 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$45 x$	$- 45$
		-( $45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 29 \cdot {(- 9)}^{2} + 13 \cdot (- 9) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 5 x$	$- 45$
		-( $- 5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x - 3 | + 5$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x - 3 \| + 5$	=	$6$
$5 + \frac{1}{3} \| x - 3 \|$	=	$6$	\| $- 5$
$\frac{1}{3} \| x - 3 \|$	=	$1$	\|⋅ $3$
$\| x - 3 \|$	=	$3$

1. Fall: $x - 3$ ≥ 0:

$x - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 3$ ≥ 0) genügt:

$6 - 3$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 3$ < 0:

$- (x - 3)$	=	$3$
$- x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 3$ < 0) genügt:

$0 - 3$ = -3 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: x -3 ≥ 0:

2. Fall: x -3 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 3$ < 0: