Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 35$ und $g(x) =$ $- 2 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 35

=

- 2 x

|

+ 2 x

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 7$ : f( $- 7$ )= $- 2 \cdot (- 7)$ = 14 Somit gilt: S₁( $- 7$ |14)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $- 2 \cdot 5$ = -10 Somit gilt: S₂( $5$ |-10)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 5 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 4 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4 x + 1$ gilt m = $- 4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 5 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 5 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 5 e^{x}

=

- 4

|

+ 4

e^{2 x} - 5 e^{x} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $2 \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - e^{2 x} - 30$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - e^{2 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 4} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{16 x + 1}{- 3 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{16 x + 1}{- 3 x - 3} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{4 x}{2 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x - 3$ weg!

$\frac{16 x + 1}{- 3 x - 3} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{4 x}{2 x + 4}$	=	\|⋅( $- 3 x - 3$ )
$\frac{16 x + 1}{- 3 x - 3} \cdot (- 3 x - 3) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (- 3 (x + 1)) + \frac{4 x}{2 x + 4} \cdot (- 3 x - 3)$	=
$16 x + 1 - 6 x + 3 + \frac{4 x (- 3 x - 3)}{2 x + 4}$	=
$16 x + 1 - 6 x + 3 + \frac{- 12 x^{2} - 12 x}{2 x + 4}$	=
$\frac{- 12 x^{2} - 12 x}{2 x + 4} + 16 x - 6 x + 1 + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{- 12 x^{2} - 12 x}{2 x + 4} + 16 x - 6 x + 1 + 3$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{- 12 x^{2} - 12 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + 16 x \cdot (2 x + 4) - 6 x \cdot (2 x + 4) + 1 \cdot (2 x + 4) + 3 \cdot (2 x + 4)$	=
$- 12 x^{2} - 12 x + 16 x (2 x + 4) - 6 x (2 x + 4) + 2 x + 4 + 6 x + 12$	=
$- 12 x^{2} - 12 x + (32 x^{2} + 64 x) + (- 12 x^{2} - 24 x) + 2 x + 4 + 6 x + 12$	=
$8 x^{2} + 36 x + 16$	=

8 x^{2} + 36 x + 16

= 0 |:4

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9+7}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9-7}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 13 x^{3} + 29 x^{2} - 73 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 13 x^{3} + 29 x^{2} - 73 x - 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 90$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 13 \cdot {(- 1)}^{3} + 29 \cdot {(- 1)}^{2} - 73 \cdot (- 1) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 13 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$- 73 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 12 x^{2} + 17 x - 90$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$12 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$
	-( $12 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
		$17 x^{2}$	$- 73 x$
		-( $17 x^{2}$	$+ 17 x$ )
			$- 90 x$	$- 90$
			-( $- 90 x$	$- 90$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 13 x^{3} + 29 x^{2} - 73 x - 90$ = $(x^{3} + 12 x^{2} + 17 x - 90) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 12 x^{2} + 17 x - 90) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 12 x^{2} + 17 x - 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 12 \cdot 2^{2} + 17 \cdot 2 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 14 x + 45$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $14 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$45 x$	$- 90$
		-( $45 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 17 x - 90$ = $(x^{2} + 14 x + 45) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 14 x + 45) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 14 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14+4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14-4}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 12 \cdot {(- 5)}^{2} + 17 \cdot (- 5) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 35 x$ )
		$- 18 x$	$- 90$
		-( $- 18 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 17 x - 90$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 12 \cdot {(- 9)}^{2} + 17 \cdot (- 9) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 27 x$ )
		$- 10 x$	$- 90$
		-( $- 10 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 17 x - 90$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 9$ ; $- 5$ ; $- 1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x + 10 | - 2$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \| - 2$	=	$6$
$- 2 + \frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \|$	=	$6$	\| $+ 2$
$\frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \|$	=	$8$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$16$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

$- 2 x + 10$	=	$16$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 3) + 10$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0:

$- (- 2 x + 10)$	=	$16$
$2 x - 10$	=	$16$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$26$	\|: $2$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 13 + 10$ = -16 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +10 ≥ 0:

2. Fall: -2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0: