Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 4 x^{3}$ und $g(x) =$ $12 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 4 x^{3}$	=	$12 x^{2}$	\| $- 12 x^{2}$
$x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 4 x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 6$ : f( $- 6$ )= $12 \cdot {(- 6)}^{2}$ = 432 Somit gilt: S₁( $- 6$ |432)

x₂ = 0: f(0)= $12 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $12 \cdot 2^{2}$ = 48 Somit gilt: S₃( $2$ |48)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $1 + x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $1 + x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$(2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} + 7 x^{3} - 8 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} + 7 x^{3} - 8 x$	=	0
$x (x^{4} + 7 x^{2} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 7 x^{2} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{5 x}{- 3 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{5 x}{- 3 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{5 x}{- 3 x + 6}$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{3 x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) + \frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 6) + \frac{5 x}{- 3 x + 6} \cdot (3 x - 6)$	=
$3 x + \frac{(x + 1) (3 x - 6)}{3 x - 7} + \frac{5 x (3 x - 6)}{- 3 x + 6}$	=
$3 x + \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} + \frac{15 x^{2} - 30 x}{- 3 x + 6}$	=
$\frac{15 x^{2} - 30 x}{- 3 x + 6} + \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} + 3 x$	=

\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} + \frac{15 x^{2} - 30 x}{- 3 x + 6} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} + \frac{15 x^{2} - 30 x}{- 3 x + 6} + 3 x$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{15 x^{2} - 30 x}{- 3 x + 6} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + \frac{(15 x^{2} - 30 x) (3 x - 7)}{- 3 x + 6} + 3 x (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + \frac{45 x^{3} - 195 x^{2} + 210 x}{- 3 x + 6} + (9 x^{2} - 21 x)$	=
$\frac{45 x^{3} - 195 x^{2} + 210 x}{- 3 x + 6} + 3 x^{2} + 9 x^{2} - 3 x - 21 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 6$ weg!

$\frac{45 x^{3} - 195 x^{2} + 210 x}{- 3 x + 6} + 3 x^{2} + 9 x^{2} - 3 x - 21 x - 6$	=	\|⋅( $- 3 x + 6$ )
$\frac{45 x^{3} - 195 x^{2} + 210 x}{- 3 x + 6} \cdot (- 3 x + 6) + 3 x^{2} \cdot (- 3 x + 6) + 9 x^{2} \cdot (- 3 x + 6) - 3 x \cdot (- 3 x + 6) - 21 x \cdot (- 3 x + 6) - 6 \cdot (- 3 x + 6)$	=
$45 x^{3} - 195 x^{2} + 210 x + 3 x^{2} (- 3 x + 6) + 9 x^{2} (- 3 x + 6) - 3 x (- 3 x + 6) - 21 x (- 3 x + 6) + 18 x - 36$	=
$45 x^{3} - 195 x^{2} + 210 x + (- 9 x^{3} + 18 x^{2}) + (- 27 x^{3} + 54 x^{2}) + (9 x^{2} - 18 x) + (63 x^{2} - 126 x) + 18 x - 36$	=
$9 x^{3} - 51 x^{2} + 84 x - 36$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $9 x^{3} - 51 x^{2} + 84 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $9 \cdot 2^{3} - 51 \cdot 2^{2} + 84 \cdot 2 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $9 x^{3}$	$- 51 x^{2}$	$+ 84 x$	$- 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$9 x^{2} - 33 x + 18$
-( $9 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$- 33 x^{2}$	$+ 84 x$
	-( $- 33 x^{2}$	$+ 66 x$ )
		$18 x$	$- 36$
		-( $18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$9 x^{3} - 51 x^{2} + 84 x - 36$ = $(9 x^{2} - 33 x + 18) \cdot (x - 2)$

(9 x^{2} - 33 x + 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

9 x^{2} - 33 x + 18

= 0 |:3

$3 x^{2} - 11 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{11+7}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{11-7}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $9 \cdot 3^{3} - 51 \cdot 3^{2} + 84 \cdot 3 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $9 x^{3}$	$- 51 x^{2}$	$+ 84 x$	$- 36$ )	:	(x $- 3$ )	=	$9 x^{2} - 24 x + 12$
-( $9 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$- 24 x^{2}$	$+ 84 x$
	-( $- 24 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$12 x$	$- 36$
		-( $12 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$9 x^{3} - 51 x^{2} + 84 x - 36$ = $(9 x^{2} - 24 x + 12) \cdot (x - 3)$

(9 x^{2} - 24 x + 12) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

9 x^{2} - 24 x + 12

= 0 |:3

$3 x^{2} - 8 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8+4}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8-4}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 10 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 10 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 10 \cdot {(- 1)}^{3} + 8 \cdot {(- 1)}^{2} + 10 \cdot (- 1) - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 10 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 10 x$	$- 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 11 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$
	-( $- 11 x^{3}$	$- 11 x^{2}$ )
		$19 x^{2}$	$+ 10 x$
		-( $19 x^{2}$	$+ 19 x$ )
			$- 9 x$	$- 9$
			-( $- 9 x$	$- 9$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 10 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 9$ = $(x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 19 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 11 \cdot 9^{2} + 19 \cdot 9 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$- 9$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$x$	$- 9$
		-( $x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 10 \cdot 1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 10 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 10 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 9 x^{2} - x + 9$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 9 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$
	-( $- 9 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$+ 10 x$
		-( $- x^{2}$	$+ x$ )
			$9 x$	$- 9$
			-( $9 x$	$- 9$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 10 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 9$ = $(x^{3} - 9 x^{2} - x + 9) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 9 x^{2} - x + 9) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} - x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 9 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$9 x$	$+ 9$
		-( $9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} - x + 9$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 9 \cdot 1^{2} - 1 + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- x$	$+ 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 9 x$	$+ 9$
		-( $- 9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} - x + 9$ = $(x^{2} - 8 x - 9) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 8 x - 9) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 9 \cdot 9^{2} - 9 + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- x$	$+ 9$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 9$
		-( $- x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} - x + 9$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 9)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 9)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{4} - 10 \cdot 9^{3} + 8 \cdot 9^{2} + 10 \cdot 9 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 10 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 10 x$	$- 9$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{3} - x^{2} - x + 1$
-( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$+ 8 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$+ 10 x$
		-( $- x^{2}$	$+ 9 x$ )
			$x$	$- 9$
			-( $x$	$- 9$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 10 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 9$ = $(x^{3} - x^{2} - x + 1) \cdot (x - 9)$

(x^{3} - x^{2} - x + 1) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- x$	$+ 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 1$
		-( $- x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $9$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x + 2 | + 8$ = $14$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x + 2 \| + 8$	=	$14$
$8 + \frac{1}{2} \| 2 x + 2 \|$	=	$14$	\| $- 8$
$\frac{1}{2} \| 2 x + 2 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| 2 x + 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

$2 x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 5 + 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 2$ < 0:

$- (2 x + 2)$	=	$12$
$- 2 x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 7) + 2$ = -12 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 3

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 1

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +2 ≥ 0:

2. Fall: 2x +2 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $1$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 2$ < 0: