Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - e^{3 x}$ und $g(x) =$ $2 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - e^{3 x}$	=	$2 e^{x}$	\| $- 2 e^{x}$
$e^{5 x} - e^{3 x} - 2 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - e^{2 x} - 2) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - e^{2 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $2 e^{\frac{1}{2} \ln (2)}$ = 2.828 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |2.828)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{5}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 3$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{5}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 5 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 5 e^{2 x}

=

6

|

- 6

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{5 x} - 12 e^{2 x}$ = $- e^{8 x}$

Lösung einblenden

$4 e^{5 x} - 12 e^{2 x}$	=	$- e^{8 x}$	\| $+ e^{8 x}$
$e^{8 x} + 4 e^{5 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{8 x}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{2 x + 1}{3 x} \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$8 x + \frac{(2 x + 1) (x + 1)}{3 x} - 5 x - 5$	=
$8 x + \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x} - 5 x - 5$	=
$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x} + 8 x - 5 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x} + 8 x - 5 x - 5$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 8 x \cdot 3 x - 5 x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$	=
$2 x^{2} + 3 x + 1 + 24 x \cdot x - 15 x \cdot x - 15 x$	=
$2 x^{2} + 3 x + 1 + 24 x^{2} - 15 x^{2} - 15 x$	=
$11 x^{2} - 12 x + 1$	=

$11 x^{2} - 12 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 1}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 44}}{22}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{100}}{22}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{100}}{22}$ = $\frac{12+10}{22}$ = $\frac{22}{22}$ = $1$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{100}}{22}$ = $\frac{12-10}{22}$ = $\frac{2}{22}$ = $\frac{1}{11}$ ≈ 0.09

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{11}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 48 x + 108$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 48 x + 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $108$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 48 \cdot 2 + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 48 x$	$+ 108$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 54$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 48 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 54 x$	$+ 108$
		-( $- 54 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 48 x + 108$ = $(x^{2} - 3 x - 54) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x - 54) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - 5 \cdot {(- 6)}^{2} - 48 \cdot (- 6) + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 48 x$	$+ 108$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$- 48 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 66 x$ )
		$18 x$	$+ 108$
		-( $18 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 48 x + 108$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 5 \cdot 9^{2} - 48 \cdot 9 + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 48 x$	$+ 108$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 48 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$- 12 x$	$+ 108$
		-( $- 12 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 48 x + 108$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 6$ ; $2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x + 12 | - 1$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x + 12 \| - 1$	=	$11$
$- 1 + \frac{1}{2} \| 3 x + 12 \|$	=	$11$	\| $+ 1$
$\frac{1}{2} \| 3 x + 12 \|$	=	$12$	\|⋅ $2$
$\| 3 x + 12 \|$	=	$24$

1. Fall: $3 x + 12$ ≥ 0:

$3 x + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 4 + 12$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 12$ < 0:

$- (3 x + 12)$	=	$24$
$- 3 x - 12$	=	$24$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$36$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 12$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 12) + 12$ = -24 < 0

Die Lösung $- 12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 12$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +12 ≥ 0:

2. Fall: 3x +12 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $3 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 12$ < 0: