Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 2$ und $g(x) =$ $\frac{15}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 2$	=	$\frac{15}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$\frac{15}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 2 x$	=	$15$
$x^{2} - 2 x$	=	$15$

x^{2} - 2 x

=

15

|

- 15

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $\frac{15}{(- 3)}$ = -5 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-5)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $\frac{15}{5}$ = 3 Somit gilt: S₂( $5$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 3 + x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 3 + x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $- 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$(- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 10$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 4}{x} + \frac{3 x}{3 x + 9} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{2 x - 4}{x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 9$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{2 x - 4}{x} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 9$ )
$\frac{3 x}{3 x + 9} \cdot (3 x + 9) + \frac{2 x - 4}{x} \cdot (3 x + 9) - 7 \cdot (3 x + 9)$	=
$3 x + \frac{(2 x - 4) (3 x + 9)}{x} - 21 x - 63$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} + 6 x - 36}{x} - 21 x - 63$	=
$\frac{6 x^{2} + 6 x - 36}{x} + 3 x - 21 x - 63$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 6 x - 36}{x} + 3 x - 21 x - 63$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} + 6 x - 36}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 21 x \cdot x - 63 \cdot x$	=
$6 x^{2} + 6 x - 36 + 3 x \cdot x - 21 x \cdot x - 63 x$	=
$6 x^{2} + 6 x - 36 + 3 x^{2} - 21 x^{2} - 63 x$	=
$- 12 x^{2} - 57 x - 36$	=

- 12 x^{2} - 57 x - 36

= 0 |:3

$- 4 x^{2} - 19 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{19+13}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{19-13}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,75$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 17 x^{2} + 79 x + 63$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 17 x^{2} + 79 x + 63$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $63$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 79 \cdot (- 1) + 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 79 x$	$+ 63$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 16 x + 63$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$16 x^{2}$	$+ 79 x$
	-( $16 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$63 x$	$+ 63$
		-( $63 x$	$+ 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 79 x + 63$ = $(x^{2} + 16 x + 63) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 16 x + 63) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16+2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16-2}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 17 \cdot {(- 7)}^{2} + 79 \cdot (- 7) + 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 79 x$	$+ 63$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 79 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 70 x$ )
		$9 x$	$+ 63$
		-( $9 x$	$+ 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 79 x + 63$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 10 x + 9) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 17 \cdot {(- 9)}^{2} + 79 \cdot (- 9) + 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 79 x$	$+ 63$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 79 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$7 x$	$+ 63$
		-( $7 x$	$+ 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 79 x + 63$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 7$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 3 x - 15 | + 2$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \| 3 x - 15 \| + 2$	=	$- 1$
$2 - \| 3 x - 15 \|$	=	$- 1$	\| $- 2$
$- \| 3 x - 15 \|$	=	$- 3$	\|: $(- 1)$
$\| 3 x - 15 \|$	=	$3$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

$3 x - 15$	=	$3$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 6 - 15$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 15$ < 0:

$- (3 x - 15)$	=	$3$
$- 3 x + 15$	=	$3$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot 4 - 15$ = -3 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $4$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -15 ≥ 0:

2. Fall: 3x -15 < 0:

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 15$ < 0: