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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + e^{2 x}$ und $g(x) =$ $6$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} + e^{2 x}

=

6

|

- 6

e^{4 x} + e^{2 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $6$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 3 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 1$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 3 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $4 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$4 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 + 1 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$4 e^{- \frac{1}{4} x} - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$(- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 81 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 81 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 81)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{4} - 81$	=	0	\| $+ 81$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{6 x}{x + 1} + \frac{- 8 x + 1}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

\frac{- 8 x + 1}{x} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{6 x}{x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 8 x + 1}{x} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{6 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 8 x + 1}{x} \cdot 3 x + \frac{11 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{6 x}{x + 1} \cdot 3 x$	=
$- 24 x + 3 + 11 x + 1 + 3 \frac{6 x \cdot x}{x + 1}$	=
$- 24 x + 3 + 11 x + 1 + 3 \frac{6 x^{2}}{x + 1}$	=
$3 \frac{6 x^{2}}{x + 1} - 24 x + 11 x + 3 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$3 \frac{6 x^{2}}{x + 1} - 24 x + 11 x + 3 + 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$3 \frac{6 x^{2}}{x + 1} \cdot (x + 1) - 24 x \cdot (x + 1) + 11 x \cdot (x + 1) + 3 \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$	=
$18 x^{2} - 24 x (x + 1) + 11 x (x + 1) + 3 x + 3 + x + 1$	=
$18 x^{2} + (- 24 x^{2} - 24 x) + (11 x^{2} + 11 x) + 3 x + 3 + x + 1$	=
$5 x^{2} - 9 x + 4$	=

$5 x^{2} - 9 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{10}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{9+1}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{9-1}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,8$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 12 x$	$+ 12$
		-( $- 12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 7 \cdot 4^{2} - 7 \cdot 4 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 7 x$
	-( $x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 3 x$	$+ 12$
		-( $- 3 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x + 6 | - 4$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x + 6 \| - 4$	=	$- 1$
$- 4 - \| - 3 x + 6 \|$	=	$- 1$	\| $+ 4$
$- \| - 3 x + 6 \|$	=	$3$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x + 6 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $4$