Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 6$ und $g(x) =$ $e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 6

=

e^{2 x}

|

- e^{2 x}

e^{4 x} - e^{2 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = 3 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ parallel zur Geraden y = $3 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x + 4$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 2 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 2 x

=

3

|

- 3

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6}$ = $- 3 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{6}$	=	$- 3 x^{4}$	\| $+ 3 x^{4}$
$x^{6} + 3 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{9 x}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 1} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{2 x (x - 2)}{x - 1} - 4 x + 8$	=
$9 x + \frac{2 x^{2} - 4 x}{x - 1} - 4 x + 8$	=
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{x - 1} + 9 x - 4 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x}{x - 1} + 9 x - 4 x + 8$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 9 x \cdot (x - 1) - 4 x \cdot (x - 1) + 8 \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - 4 x + 9 x (x - 1) - 4 x (x - 1) + 8 x - 8$	=
$2 x^{2} - 4 x + (9 x^{2} - 9 x) + (- 4 x^{2} + 4 x) + 8 x - 8$	=
$7 x^{2} - x - 8$	=

$7 x^{2} - x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{14}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{14}$ = $\frac{1+15}{14}$ = $\frac{16}{14}$ = $\frac{8}{7}$ ≈ 1.14

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{14}$ = $\frac{1-15}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{8}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 4 x^{2} - 44 x + 96$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 44 x + 96$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $96$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 44 x$	$+ 96$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 48$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 44 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 48 x$	$+ 96$
		-( $- 48 x$	$+ 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 44 x + 96$ = $(x^{2} - 2 x - 48) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 48) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2+14}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2-14}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - 4 \cdot {(- 6)}^{2} - 44 \cdot (- 6) + 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 44 x$	$+ 96$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 44 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 60 x$ )
		$16 x$	$+ 96$
		-( $16 x$	$+ 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 44 x + 96$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 4 \cdot 8^{2} - 44 \cdot 8 + 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 44 x$	$+ 96$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 44 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$- 12 x$	$+ 96$
		-( $- 12 x$	$+ 96$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 44 x + 96$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 6$ ; $2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x + 4 | + 8$ = $4$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 2 x + 4 \| + 8$	=	$4$
$8 + \frac{1}{3} \| 2 x + 4 \|$	=	$4$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| 2 x + 4 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $3$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $8$