Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 5 x$ und $g(x) =$ $6 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 5 x$	=	$6 x^{2}$	\| $- 6 x^{2}$
$x^{3} - 6 x^{2} + 5 x$	=	0
$x (x^{2} - 6 x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={0; $1$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $6 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $6 \cdot 1^{2}$ = 6 Somit gilt: S₂( $1$ |6)

x₃ = $5$ : f( $5$ )= $6 \cdot 5^{2}$ = 150 Somit gilt: S₃( $5$ |150)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 16 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 16 x - 2$ gilt m = $- 16$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 8 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 8 x^{2}

=

- 16

|

+ 16

x^{4} - 8 x^{2} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 16$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 16 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 7 e^{2 x}$ = $8 e^{3 x}$

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 7 e^{2 x}$	=	$8 e^{3 x}$	\| $- 8 e^{3 x}$
$e^{4 x} - 8 e^{3 x} + 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 8 e^{x} + 7) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 8 e^{x} + 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{9 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (x - 2) - 7 \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{(7 x - 1) (x - 2)}{2 x} - 7 x + 14$	=
$9 x + \frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} - 7 x + 14$	=
$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} + 9 x - 7 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} + 9 x - 7 x + 14$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 9 x \cdot 2 x - 7 x \cdot 2 x + 14 \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} - 15 x + 2 + 18 x \cdot x - 14 x \cdot x + 28 x$	=
$7 x^{2} - 15 x + 2 + 18 x^{2} - 14 x^{2} + 28 x$	=
$11 x^{2} + 13 x + 2$	=

$11 x^{2} + 13 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 2}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 88}}{22}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{81}}{22}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{81}}{22}$ = $\frac{- 13+9}{22}$ = $\frac{- 4}{22}$ = $- \frac{2}{11}$ ≈ -0.18

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{81}}{22}$ = $\frac{- 13-9}{22}$ = $\frac{- 22}{22}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{2}{11}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $3$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- x$	$+ 3$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$3 x$	$+ 3$
		-( $3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x + 3) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- x$	$+ 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 3 x$	$+ 3$
		-( $- 3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = $(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 2 x - 3) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 3 + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- x$	$+ 3$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 3$
		-( $- x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 3)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 3)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 3 x + 12 | + 8$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \| 3 x + 12 \| + 8$	=	$- 10$
$8 - \| 3 x + 12 \|$	=	$- 10$	\| $- 8$
$- \| 3 x + 12 \|$	=	$- 18$	\|: $(- 1)$
$\| 3 x + 12 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x + 12$ ≥ 0:

$3 x + 12$	=	$18$	\| $- 12$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 2 + 12$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 12$ < 0:

$- (3 x + 12)$	=	$18$
$- 3 x - 12$	=	$18$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 12$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 10) + 12$ = -18 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +12 ≥ 0:

2. Fall: 3x +12 < 0:

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $3 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 12$ < 0: