Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 2 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $3 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} + 2 e^{4 x}$	=	$3 e^{2 x}$	\| $- 3 e^{2 x}$
$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 3 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 3) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $3 e^{2 \cdot 0}$ = 3 Somit gilt: S₁(0|3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 2 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 2 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $12 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$12 e^{\frac{1}{3} x} + 1 - 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$12 e^{\frac{1}{3} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 12 e^{x}$ = $4 e^{3 x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 12 e^{x}$	=	$4 e^{3 x}$	\| $- 4 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 4 e^{3 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{8 x - 1}{- x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{6 x}{x + 1} + \frac{8 x - 1}{- x - 1} + \frac{2 x}{x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{8 x - 1}{- x - 1} + \frac{2 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{8 x - 1}{- (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 1)$	=
$6 x - 8 x + 1 + \frac{2 x (x + 1)}{x + 2}$	=
$6 x - 8 x + 1 + \frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2}$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2} + 6 x - 8 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2} + 6 x - 8 x + 1$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 6 x \cdot (x + 2) - 8 x \cdot (x + 2) + 1 \cdot (x + 2)$	=
$2 x^{2} + 2 x + 6 x (x + 2) - 8 x (x + 2) + x + 2$	=
$2 x^{2} + 2 x + (6 x^{2} + 12 x) + (- 8 x^{2} - 16 x) + x + 2$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x - 20 | + 1$ = $21$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x - 20 \| + 1$	=	$21$
$1 + \frac{1}{2} \| - 4 x - 20 \|$	=	$21$	\| $- 1$
$\frac{1}{2} \| - 4 x - 20 \|$	=	$20$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x - 20 \|$	=	$40$

1. Fall: $- 4 x - 20$ ≥ 0:

$- 4 x - 20$	=	$40$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$60$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 15) - 20$ = 40 ≥ 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 20$ < 0:

$- (- 4 x - 20)$	=	$40$
$4 x + 20$	=	$40$	\| $- 20$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 20$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 5 - 20$ = -40 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -20 ≥ 0:

2. Fall: -4x -20 < 0:

1. Fall: $- 4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 20$ < 0: