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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 4 e^{x}$ und $g(x) =$ $12 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 4 e^{x}$	=	$12 e^{- x}$	\| $- 12 e^{- x}$
$e^{3 x} + 4 e^{x} - 12 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $12 e^{- (\frac{1}{2} \ln (2))}$ = 8.485 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |8.485)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 5 + 3 x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 5 + 3 x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $3 e^{2 x} - 1 + 6 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{2 x} - 1 + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 e^{2 x} - 1 + 1 + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$3 e^{2 x} + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$3 (2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- 4 x} - 2) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- 4 x} - 2) (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- 4 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$e^{- 4 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (2)$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (2)$	≈ -0.1733

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{4} \ln (2)$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} - 7$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{4 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} \cdot (2 x + 2) - 7 \cdot (2 x + 2)$	=
$4 x + \frac{(3 x + 1) (2 x + 2)}{2 x + 4} - 14 x - 14$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 8 x + 2}{2 x + 4} - 14 x - 14$	=
$\frac{6 x^{2} + 8 x + 2}{2 x + 4} + 4 x - 14 x - 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 8 x + 2}{2 x + 4} + 4 x - 14 x - 14$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{6 x^{2} + 8 x + 2}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + 4 x \cdot (2 x + 4) - 14 x \cdot (2 x + 4) - 14 \cdot (2 x + 4)$	=
$6 x^{2} + 8 x + 2 + 4 x (2 x + 4) - 14 x (2 x + 4) - 28 x - 56$	=
$6 x^{2} + 8 x + 2 + (8 x^{2} + 16 x) + (- 28 x^{2} - 56 x) - 28 x - 56$	=
$- 14 x^{2} - 60 x - 54$	=

- 14 x^{2} - 60 x - 54

= 0 |:2

$- 7 x^{2} - 30 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{900 - 756}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{144}}{- 14}$

x₁ = $\frac{30 + \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{30+12}{- 14}$ = $\frac{42}{- 14}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{30 - \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{30-12}{- 14}$ = $\frac{18}{- 14}$ = $- \frac{9}{7}$ ≈ -1.29

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{9}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 21$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 17 \cdot (- 1) - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 17 x$	$- 21$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 4 x - 21$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 21 x$	$- 21$
		-( $- 21 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21$ = $(x^{2} + 4 x - 21) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 4 x - 21) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 17 \cdot 3 - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 17 x$	$- 21$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$7 x$	$- 21$
		-( $7 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 5 \cdot {(- 7)}^{2} - 17 \cdot (- 7) - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 17 x$	$- 21$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$- 3 x$	$- 21$
		-( $- 3 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21$ = $(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 2 x - 3) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x - 12 | + 3$ = $- 17$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x - 12 \| + 3$	=	$- 17$
$3 - \frac{1}{2} \| 4 x - 12 \|$	=	$- 17$	\| $- 3$
$- \frac{1}{2} \| 4 x - 12 \|$	=	$- 20$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$40$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

$4 x - 12$	=	$40$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$52$	\|: $4$
x₁	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 13 - 12$ = 40 ≥ 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 12$ < 0:

$- (4 x - 12)$	=	$40$
$- 4 x + 12$	=	$40$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$28$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 7) - 12$ = -40 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

2. Fall: 4x -12 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 12$ < 0: