Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + \frac{8}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- 9 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + \frac{8}{x^{2}}$	=	$- 9 x$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 9 x \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 8$	=	$- 9 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 8$	=	$- 9 x^{3}$

x^{6} + 8

=

- 9 x^{3}

|

+ 9 x^{3}

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 9 \cdot (- 2)$ = 18 Somit gilt: S₁( $- 2$ |18)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot (- 1)$ = 9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 5 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} + 5 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 6 e^{- x} + 2) \cdot (x^{3} + 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 6 e^{- x} + 2) (x^{3} + 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{- x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 6 e^{- x}$	=	$- 2$	\|: $- 6$
$e^{- x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 1$
x₁	=	$- \ln (\frac{1}{3})$	≈ 1.0986

2. Fall:

$x^{3} + 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; 0; $- \ln (\frac{1}{3})$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{5 x}{- 6 x - 20}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{5 x}{- 6 x - 20}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{5 x}{- 6 x - 20}$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{2 x}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + \frac{x + 2}{3 x + 10} \cdot (2 x + 6) + \frac{5 x}{- 6 x - 20} \cdot (2 x + 6)$	=
$2 x + \frac{(x + 2) (2 x + 6)}{3 x + 10} + \frac{5 x (2 x + 6)}{- 6 x - 20}$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + 10 x + 12}{3 x + 10} + \frac{10 x^{2} + 30 x}{- 6 x - 20}$	=
$\frac{10 x^{2} + 30 x}{- 6 x - 20} + \frac{2 x^{2} + 10 x + 12}{3 x + 10} + 2 x$	=

\frac{2 x^{2} + 10 x + 12}{3 x + 10} + \frac{10 x^{2} + 30 x}{- 6 x - 20} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 12}{3 x + 10} + \frac{10 x^{2} + 30 x}{- 6 x - 20} + 2 x$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x^{2} + 10 x + 12}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{10 x^{2} + 30 x}{- 2 (3 x + 10)} \cdot (3 x + 10) + 2 x \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x^{2} + 10 x + 12 - 5 x^{2} - 15 x + 2 x (3 x + 10)$	=
$2 x^{2} + 10 x + 12 - 5 x^{2} - 15 x + (6 x^{2} + 20 x)$	=
$3 x^{2} + 15 x + 12$	=

3 x^{2} + 15 x + 12

= 0 |:3

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$- 4 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 36$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$- 4 x$	$- 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$18 x$	$- 36$
		-( $18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 36$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 9 \cdot {(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$- 4 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 36$
		-( $- 4 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 36$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 9)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 9)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x - 20 | - 1$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x - 20 \| - 1$	=	$- 5$
$- 1 - \frac{1}{3} \| 4 x - 20 \|$	=	$- 5$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{3} \| 4 x - 20 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x - 20 \|$	=	$12$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

$4 x - 20$	=	$12$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 8 - 20$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 20$ < 0:

$- (4 x - 20)$	=	$12$
$- 4 x + 20$	=	$12$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot 2 - 20$ = -12 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $2$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -20 ≥ 0:

2. Fall: 4x -20 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 20$ < 0: