Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 16 x^{2}$ und $g(x) =$ $8 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + 16 x^{2}$	=	$8 x^{4}$	\| $- 8 x^{4}$
$x^{6} - 8 x^{4} + 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2} + 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 8 x^{2} + 16

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₅	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 2-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $8 \cdot {(- 2)}^{4}$ = 128 Somit gilt: S₁( $- 2$ |128)

x₂ = 0: f(0)= $8 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $8 \cdot 2^{4}$ = 128 Somit gilt: S₃( $2$ |128)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $e^{- 2 x} + 2 - 2 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$e^{- 2 x} + 2 - 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$e^{- 2 x} + 2 - 2 - 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$e^{- 2 x} - 2 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$(- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 24 e^{x}$ = $2 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 24 e^{x}$	=	$2 e^{2 x}$	\| $- 2 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 2 e^{x} - 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 4} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 4} - 2$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{2 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) - 2 \cdot (2 x - 4)$	=
$2 x - 4 x + 8$	=
$- 2 x + 8$	=

$- 2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x - 12 | - 3$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x - 12 \| - 3$	=	$- 15$
$- 3 - \frac{1}{2} \| - 4 x - 12 \|$	=	$- 15$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x - 12 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x - 12 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

$- 4 x - 12$	=	$24$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 9) - 12$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0:

$- (- 4 x - 12)$	=	$24$
$4 x + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 3 - 12$ = -24 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -12 ≥ 0:

2. Fall: -4x -12 < 0:

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0: