Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 10 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $7$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 10 e^{- 2 x}

=

7

|

- 7

e^{2 x} + 10 e^{- 2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} + 10 e^{- 2 x} - 7$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 10$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $7$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |7)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $7$ Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |7)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $3 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x - 2$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 2 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + 2 e^{x}

=

3

|

- 3

e^{2 x} + 2 e^{x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{- 4 x} - 3) \cdot (x + 9)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{- 4 x} - 3) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{- 4 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 e^{- 4 x}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{- 4 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	0	\|: $- 4$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; 0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{9 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (x - 2) - 7 \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{(7 x - 1) (x - 2)}{2 x} - 7 x + 14$	=
$9 x + \frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} - 7 x + 14$	=
$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} + 9 x - 7 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} + 9 x - 7 x + 14$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 9 x \cdot 2 x - 7 x \cdot 2 x + 14 \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} - 15 x + 2 + 18 x \cdot x - 14 x \cdot x + 28 x$	=
$7 x^{2} - 15 x + 2 + 18 x^{2} - 14 x^{2} + 28 x$	=
$11 x^{2} + 13 x + 2$	=

$11 x^{2} + 13 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 2}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 88}}{22}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{81}}{22}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{81}}{22}$ = $\frac{- 13+9}{22}$ = $\frac{- 4}{22}$ = $- \frac{2}{11}$ ≈ -0.18

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{81}}{22}$ = $\frac{- 13-9}{22}$ = $\frac{- 22}{22}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{2}{11}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 12 x^{3} + 27 x^{2} - 68 x - 84$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 12 x^{3} + 27 x^{2} - 68 x - 84$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 84$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 12 \cdot {(- 1)}^{3} + 27 \cdot {(- 1)}^{2} - 68 \cdot (- 1) - 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 12 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$	$- 68 x$	$- 84$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$11 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$
	-( $11 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$ )
		$16 x^{2}$	$- 68 x$
		-( $16 x^{2}$	$+ 16 x$ )
			$- 84 x$	$- 84$
			-( $- 84 x$	$- 84$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 12 x^{3} + 27 x^{2} - 68 x - 84$ = $(x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 84$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 11 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 16 x$	$- 84$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 13 x + 42$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$13 x^{2}$	$+ 16 x$
	-( $13 x^{2}$	$- 26 x$ )
		$42 x$	$- 84$
		-( $42 x$	$- 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84$ = $(x^{2} + 13 x + 42) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 13 x + 42) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13+1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13-1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 11 \cdot {(- 6)}^{2} + 16 \cdot (- 6) - 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 16 x$	$- 84$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 16 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$- 14 x$	$- 84$
		-( $- 14 x$	$- 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 11 \cdot {(- 7)}^{2} + 16 \cdot (- 7) - 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 16 x$	$- 84$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 16 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$- 12 x$	$- 84$
		-( $- 12 x$	$- 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 7$ ; $- 6$ ; $- 1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x - 10 | - 1$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 10 \| - 1$	=	$- 9$
$- 1 - \frac{1}{3} \| - 2 x - 10 \|$	=	$- 9$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 10 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x - 10 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 2 x - 10$ ≥ 0:

$- 2 x - 10$	=	$24$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$34$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 17) - 10$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 10$ < 0:

$- (- 2 x - 10)$	=	$24$
$2 x + 10$	=	$24$	\| $- 10$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 7 - 10$ = -24 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -10 ≥ 0:

2. Fall: -2x -10 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 10$ < 0: