Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 7 x^{3}$ und $g(x) =$ $8$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{6} - 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $8$ Somit gilt: S₁( $- 1$ |8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $8$ Somit gilt: S₂( $2$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 3 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $12 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$12 e^{\frac{1}{3} x} + 1 - 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$12 e^{\frac{1}{3} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 9 e^{4 x} + 14 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 9 e^{4 x} + 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{8 x}{x + 1} + \frac{18 x}{- x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{8 x}{x + 1} + \frac{6 x}{x + 2} + \frac{18 x}{- x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{x + 1} + \frac{6 x}{x + 2} + \frac{18 x}{- x - 2}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 1) + \frac{18 x}{- x - 2} \cdot (x + 1)$	=
$8 x + \frac{6 x (x + 1)}{x + 2} + \frac{18 x (x + 1)}{- x - 2}$	=
$8 x + \frac{6 x^{2} + 6 x}{x + 2} + \frac{18 x^{2} + 18 x}{- x - 2}$	=
$\frac{18 x^{2} + 18 x}{- x - 2} + \frac{6 x^{2} + 6 x}{x + 2} + 8 x$	=

\frac{6 x^{2} + 6 x}{x + 2} + \frac{18 x^{2} + 18 x}{- x - 2} + 8 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 6 x}{x + 2} + \frac{18 x^{2} + 18 x}{- x - 2} + 8 x$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{18 x^{2} + 18 x}{- (x + 2)} \cdot (x + 2) + 8 x \cdot (x + 2)$	=
$6 x^{2} + 6 x - 18 x^{2} - 18 x + 8 x (x + 2)$	=
$6 x^{2} + 6 x - 18 x^{2} - 18 x + (8 x^{2} + 16 x)$	=
$- 4 x^{2} + 4 x$	=

$- 4 x^{2} + 4 x$	=	0
$4 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 57 x + 56$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 57 x + 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $56$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 57 \cdot 1 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 57 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + x - 56$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 57 x$
	-( $x^{2}$	$- x$ )
		$- 56 x$	$+ 56$
		-( $- 56 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 57 x + 56$ = $(x^{2} + x - 56) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + x - 56) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 1+15}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 1-15}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 57 \cdot 7 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 57 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 57 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 49 x$ )
		$- 8 x$	$+ 56$
		-( $- 8 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 57 x + 56$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 7 x - 8) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} - 57 \cdot (- 8) + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 57 x$	$+ 56$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 57 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 64 x$ )
		$7 x$	$+ 56$
		-( $7 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 57 x + 56$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 8 x + 7) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $1$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x + 10 | + 2$ = $10$

Lösung einblenden

$\| 2 x + 10 \| + 2$	=	$10$
$2 + \| 2 x + 10 \|$	=	$10$	\| $- 2$
$\| 2 x + 10 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

$2 x + 10$	=	$8$	\| $- 10$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot (- 1) + 10$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 10$ < 0:

$- (2 x + 10)$	=	$8$
$- 2 x - 10$	=	$8$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 9) + 10$ = -8 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +10 ≥ 0:

2. Fall: 2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 10$ < 0: