Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 8 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 8 e^{- x}$	=	$- 2 e^{2 x}$	\| $+ 2 e^{2 x}$
$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 8 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 2 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = -3.175 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-3.175)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 3$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 4 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 4 e^{3 x}

=

12

|

- 12

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{2}$ = $8$

Lösung einblenden

x^{4} - 2 x^{2}

=

8

|

- 8

x^{4} - 2 x^{2} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{2 x + 2} + \frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{- 36 x}{4 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{16 x}{2 x + 2} - \frac{36 x}{4 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{16 x}{2 x + 2} - \frac{36 x}{4 x + 2}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{16 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 1) - \frac{36 x}{2 (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x + \frac{16 x (2 x + 1)}{2 x + 2} - 18 x$	=
$6 x + \frac{32 x^{2} + 16 x}{2 x + 2} - 18 x$	=
$\frac{32 x^{2} + 16 x}{2 x + 2} + 6 x - 18 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{32 x^{2} + 16 x}{2 x + 2} + 6 x - 18 x$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{32 x^{2} + 16 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 6 x \cdot (2 x + 2) - 18 x \cdot (2 x + 2)$	=
$32 x^{2} + 16 x + 6 x (2 x + 2) - 18 x (2 x + 2)$	=
$32 x^{2} + 16 x + (12 x^{2} + 12 x) + (- 36 x^{2} - 36 x)$	=
$8 x^{2} - 8 x$	=

$8 x^{2} - 8 x$	=	0
$8 x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 7 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 14$
		-( $7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x - 4 | - 3$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \| - 3$	=	$- 11$
$- 3 - \frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \|$	=	$- 11$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$24$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$28$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 14) - 4$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$24$
$2 x + 4$	=	$24$	\| $- 4$
$2 x$	=	$20$	\|: $2$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 10 - 4$ = -24 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: