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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{12}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{1}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{12}{x^{2}}$	=	$\frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 12$	=	$x$

x^{2} - 12

=

x

|

- x

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $\frac{1}{(- 3)}$ = -0.333 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-0.333)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $\frac{1}{4}$ = 0.25 Somit gilt: S₂( $4$ |0.25)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $35 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $35 x - 3$ gilt m = $35$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 2 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 2 e^{x}

=

35

|

- 35

e^{2 x} - 2 e^{x} - 35

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $35$ und sind somit parallel zur Geraden y = $35 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 10 e^{3 x} + 24 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 10 e^{3 x} + 24 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 3} + \frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{16 x}{- 9 x + 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ ; $\frac{3}{2}$ }

\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{x}{2 x - 3} + \frac{16 x}{- 9 x + 15}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{x}{2 x - 3} + \frac{16 x}{- 9 x + 15}$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{4 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{x}{2 x - 3} \cdot (3 x - 5) + \frac{16 x}{- 9 x + 15} \cdot (3 x - 5)$	=
$4 x + \frac{x (3 x - 5)}{2 x - 3} + \frac{16 x (3 x - 5)}{- 9 x + 15}$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} - 5 x}{2 x - 3} + \frac{48 x^{2} - 80 x}{- 9 x + 15}$	=
$\frac{48 x^{2} - 80 x}{- 9 x + 15} + \frac{3 x^{2} - 5 x}{2 x - 3} + 4 x$	=

\frac{3 x^{2} - 5 x}{2 x - 3} + \frac{48 x^{2} - 80 x}{- 9 x + 15} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{2 x - 3} + \frac{48 x^{2} - 80 x}{- 9 x + 15} + 4 x$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x^{2} - 5 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{48 x^{2} - 80 x}{- 9 x + 15} \cdot (2 x - 3) + 4 x \cdot (2 x - 3)$	=
$3 x^{2} - 5 x + \frac{(48 x^{2} - 80 x) (2 x - 3)}{- 9 x + 15} + 4 x (2 x - 3)$	=
$3 x^{2} - 5 x + \frac{96 x^{3} - 304 x^{2} + 240 x}{- 9 x + 15} + (8 x^{2} - 12 x)$	=
$\frac{96 x^{3} - 304 x^{2} + 240 x}{- 9 x + 15} + 3 x^{2} + 8 x^{2} - 5 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 9 x + 15$ weg!

$\frac{96 x^{3} - 304 x^{2} + 240 x}{- 9 x + 15} + 3 x^{2} + 8 x^{2} - 5 x - 12 x$	=	\|⋅( $- 9 x + 15$ )
$\frac{96 x^{3} - 304 x^{2} + 240 x}{- 9 x + 15} \cdot (- 9 x + 15) + 3 x^{2} \cdot (- 9 x + 15) + 8 x^{2} \cdot (- 9 x + 15) - 5 x \cdot (- 9 x + 15) - 12 x \cdot (- 9 x + 15)$	=
$96 x^{3} - 304 x^{2} + 240 x + 3 x^{2} (- 9 x + 15) + 8 x^{2} (- 9 x + 15) - 5 x (- 9 x + 15) - 12 x (- 9 x + 15)$	=
$96 x^{3} - 304 x^{2} + 240 x + (- 27 x^{3} + 45 x^{2}) + (- 72 x^{3} + 120 x^{2}) + (45 x^{2} - 75 x) + (108 x^{2} - 180 x)$	=
$- 3 x^{3} + 14 x^{2} - 15 x$	=

$- 3 x^{3} + 14 x^{2} - 15 x$	=	0
$x (- 3 x^{2} + 14 x - 15)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x^{2} + 14 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_2,3 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{- 6}$

x_2,3 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₂ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 14+4}{- 6}$ = $\frac{- 10}{- 6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₃ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 14-4}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x - 1 | - 8$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x - 1 \| - 8$	=	$- 3$
$- 8 - \frac{1}{3} \| - x - 1 \|$	=	$- 3$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{3} \| - x - 1 \|$	=	$5$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x - 1 \|$	=	$- 15$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen