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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 6 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $- 8 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 6 e^{3 x}$	=	$- 8 e^{x}$	\| $+ 8 e^{x}$
$e^{5 x} - 6 e^{3 x} + 8 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $- 8 e^{\frac{1}{2} \ln (2)}$ = -11.314 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |-11.314)

x₂ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 8 e^{\ln (2)}$ = -16 Somit gilt: S₂( $\ln (2)$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 2 + x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 5$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 2 + x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$e^{2 x} + 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$e^{2 x} + 1 - 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$(2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 12 x^{2}$ = $- x^{3}$

Lösung einblenden

$x^{4} - 12 x^{2}$	=	$- x^{3}$	\| $+ x^{3}$
$x^{4} + x^{3} - 12 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{x + 1}{2 x - 2} - 1$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{x + 1}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) - 1 \cdot (2 x - 2)$	=
$x + 1 - 2 x + 2$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 24 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 24 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 24 \cdot 2 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 24 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 18 x$	$+ 36$
		-( $- 18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 24 x + 36$ = $(x^{2} + 3 x - 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x - 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 3^{2} - 24 \cdot 3 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 24 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 12 x$	$+ 36$
		-( $- 12 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 24 x + 36$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{2} - 24 \cdot (- 6) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 24 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$6 x$	$+ 36$
		-( $6 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 24 x + 36$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x + 12 | - 9$ = $15$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \| - 9$	=	$15$
$- 9 + \frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \|$	=	$15$	\| $+ 9$
$\frac{1}{2} \| - 4 x + 12 \|$	=	$24$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x + 12 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x + 12$ ≥ 0:

$- 4 x + 12$	=	$48$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 9) + 12$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 12$ < 0:

$- (- 4 x + 12)$	=	$48$
$4 x - 12$	=	$48$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$60$	\|: $4$
x₂	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 15 + 12$ = -48 < 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +12 ≥ 0:

2. Fall: -4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 12$ < 0: