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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 11 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $- 28 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 11 e^{5 x}$	=	$- 28 e^{2 x}$	\| $+ 28 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 11 e^{5 x} + 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $- 28 e^{2 \cdot (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = -70.556 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |-70.556)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $- 28 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = -102.461 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |-102.461)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 6$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 2 e^{2 x}

=

- 1

|

+ 1

e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6}$ = $- 2 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{6}$	=	$- 2 x^{4}$	\| $+ 2 x^{4}$
$x^{6} + 2 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x + 1}{3 x} - 2$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x + 1}{3 x} \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$	=
$5 x + 1 - 6 x$	=
$- x + 1$	=

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 5 x$	$+ 5$
		-( $- 5 x$	$+ 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 4 x - 5) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 9 \cdot (- 5) + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 5$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$x$	$+ 5$
		-( $x$	$+ 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x + 2 | + 3$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x + 2 \| + 3$	=	$- 5$
$3 - \| - 2 x + 2 \|$	=	$- 5$	\| $- 3$
$- \| - 2 x + 2 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x + 2 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

$- 2 x + 2$	=	$8$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 3) + 2$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0:

$- (- 2 x + 2)$	=	$8$
$2 x - 2$	=	$8$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 5 + 2$ = -8 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +2 ≥ 0:

2. Fall: -2x +2 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0: