Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 32 x$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 32 x$	=	$- 4 x^{3}$	\| $+ 4 x^{3}$
$x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$	=	0
$x (x^{4} + 4 x^{2} - 32)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 4 x^{2} - 32

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 4 \cdot {(- 2)}^{3}$ = 32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |32)

x₂ = 0: f(0)= $- 4 \cdot 0^{3}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- 4 \cdot 2^{3}$ = -32 Somit gilt: S₃( $2$ |-32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 2 e^{4 x}$ = $8 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 2 e^{4 x}$	=	$8 e^{2 x}$	\| $- 8 e^{2 x}$
$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 8 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x + 3} + \frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{- 21 x}{4 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} - \frac{21 x}{4 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} - \frac{21 x}{4 x + 2}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{5 x + 1}{3 x + 3} \cdot (2 x + 1) - \frac{21 x}{2 (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x + \frac{(5 x + 1) (2 x + 1)}{3 x + 3} - \frac{21}{2} x$	=
$6 x + \frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 x + 3} - \frac{21}{2} x$	=
$\frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 x + 3} + 6 x - \frac{21}{2} x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$\frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 x + 3} + 6 x - \frac{21}{2} x$	=	\|⋅( $3 x + 3$ )
$\frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + 6 x \cdot (3 x + 3) - \frac{21}{2} x \cdot (3 x + 3)$	=
$10 x^{2} + 7 x + 1 + 6 x (3 x + 3) - \frac{21}{2} x (3 x + 3)$	=
$10 x^{2} + 7 x + 1 + (18 x^{2} + 18 x) + (- \frac{63}{2} x^{2} - \frac{63}{2} x)$	=
$- \frac{7}{2} x^{2} - \frac{13}{2} x + 1$	=

$- \frac{7}{2} x^{2} - \frac{13}{2} x + 1$	=	0	\|⋅ 2
$2 (- \frac{7}{2} x^{2} - \frac{13}{2} x + 1)$	=	0

$- 7 x^{2} - 13 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot 2}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{225}}{- 14}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{225}}{- 14}$ = $\frac{13+15}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{225}}{- 14}$ = $\frac{13-15}{- 14}$ = $\frac{- 2}{- 14}$ = $\frac{1}{7}$ ≈ 0.14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 8 x^{2} + 13 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} + 13 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 13 x - 6$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 8 \cdot 6^{2} + 13 \cdot 6 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 6$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$x$	$- 6$
		-( $x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 13 x - 6$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

L={ $1$ ; $6$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x - 9 | + 1$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x - 9 \| + 1$	=	$- 14$
$1 - \frac{1}{2} \| 3 x - 9 \|$	=	$- 14$	\| $- 1$
$- \frac{1}{2} \| 3 x - 9 \|$	=	$- 15$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x - 9 \|$	=	$30$

1. Fall: $3 x - 9$ ≥ 0:

$3 x - 9$	=	$30$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$39$	\|: $3$
x₁	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 13 - 9$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 9$ < 0:

$- (3 x - 9)$	=	$30$
$- 3 x + 9$	=	$30$	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$21$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 7) - 9$ = -30 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -9 ≥ 0:

2. Fall: 3x -9 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 9$ < 0: