Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 14$ und $g(x) =$ $5 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 14

=

5 e^{x}

|

- 5 e^{x}

e^{2 x} - 5 e^{x} - 14

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $5 e^{\ln (7)}$ = 35 Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |35)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $30 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x + 2$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + e^{2 x}

=

30

|

- 30

e^{4 x} + e^{2 x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 3 x} + 6) \cdot (x^{4} - 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 3 x} + 6) (x^{4} - 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 3 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 5 e^{- 3 x}$	=	$- 6$	\|: $- 5$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{6}{5})$	≈ -0.0608

2. Fall:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{6}{5})$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{- 6 x}{2 x - 5}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $\frac{10}{3}$ }

\frac{3 x - 6 x}{2 x - 5} + \frac{2 x}{3 x - 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{3 x - 6 x}{2 x - 5} + \frac{2 x}{3 x - 10}$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{3 x - 6 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{2 x}{3 x - 10} \cdot (2 x - 5)$	=
$3 x - 6 x + \frac{2 x (2 x - 5)}{3 x - 10}$	=
$3 x - 6 x + \frac{4 x^{2} - 10 x}{3 x - 10}$	=
$\frac{4 x^{2} - 10 x}{3 x - 10} + 3 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 10 x}{3 x - 10} + 3 x - 6 x$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{4 x^{2} - 10 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + 3 x \cdot (3 x - 10) - 6 x \cdot (3 x - 10)$	=
$4 x^{2} - 10 x + 3 x (3 x - 10) - 6 x (3 x - 10)$	=
$4 x^{2} - 10 x + (9 x^{2} - 30 x) + (- 18 x^{2} + 60 x)$	=
$- 5 x^{2} + 20 x$	=

$- 5 x^{2} + 20 x$	=	0
$5 x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 13 \cdot {(- 1)}^{2} + 23 \cdot (- 1) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
		$12 x$	$+ 12$
		-( $12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 13 \cdot {(- 4)}^{2} + 23 \cdot (- 4) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$3 x$	$+ 12$
		-( $3 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 5 | + 6$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 5 \| + 6$	=	0
$6 + \frac{1}{3} \| x + 5 \|$	=	0	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| x + 5 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $3$
$\| x + 5 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 4$