Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} - 7 x^{4}$ und $g(x) =$ $8 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} - 7 x^{4}$	=	$8 x$	\| $- 8 x$
$x^{7} - 7 x^{4} - 8 x$	=	0
$x (x^{6} - 7 x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $8 \cdot (- 1)$ = -8 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-8)

x₂ = 0: f(0)= $8 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $8 \cdot 2$ = 16 Somit gilt: S₃( $2$ |16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 3$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + e^{3 x}

=

6

|

- 6

e^{6 x} + e^{3 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 7 x} + 2) \cdot (x^{3} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 7 x} + 2) (x^{3} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 7 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 5 e^{- 7 x}$	=	$- 2$	\|: $- 5$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 0.1309

2. Fall:

$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{2}{5})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 2}{x} + \frac{6 x}{x + 2} + \frac{28 x}{- 2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{6 x}{x + 2} + \frac{3 x + 2}{x} + \frac{28 x}{- 2 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{3 x + 2}{x} + \frac{28 x}{- 2 x - 4}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{3 x + 2}{x} \cdot (x + 2) + \frac{28 x}{- 2 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$6 x + \frac{(3 x + 2) (x + 2)}{x} - 14 x$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} + 8 x + 4}{x} - 14 x$	=
$\frac{3 x^{2} + 8 x + 4}{x} + 6 x - 14 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 4}{x} + 6 x - 14 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} + 8 x + 4}{x} \cdot x + 6 x \cdot x - 14 x \cdot x$	=
$3 x^{2} + 8 x + 4 + 6 x \cdot x - 14 x \cdot x$	=
$3 x^{2} + 8 x + 4 + 6 x^{2} - 14 x^{2}$	=
$- 5 x^{2} + 8 x + 4$	=

$- 5 x^{2} + 8 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 4}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{- 8+12}{- 10}$ = $\frac{4}{- 10}$ = $- 0,4$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{- 8-12}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,4$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 5$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 5 x$	$- 5$
		-( $- 5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 4 x - 5) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- x$
	-( $6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$ = $(x^{2} + 6 x + 5) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 6 x + 5) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 5 \cdot {(- 5)}^{2} - (- 5) - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 5$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 5$
		-( $- x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 5)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 5)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x - 3 | + 3$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x - 3 \| + 3$	=	$6$
$3 + \frac{1}{3} \| - x - 3 \|$	=	$6$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| - x - 3 \|$	=	$3$	\|⋅ $3$
$\| - x - 3 \|$	=	$9$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

$- x - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$- x$	=	$12$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- (- 12) - 3$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $- 12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 3$ < 0:

$- (- x - 3)$	=	$9$
$x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ < 0) genügt:

$- 6 - 3$ = -9 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 12$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -3 ≥ 0:

2. Fall: -x -3 < 0:

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 5$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 3$ < 0: