Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 3 e^{x}$ und $g(x) =$ $28 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 3 e^{x}$	=	$28 e^{- x}$	\| $- 28 e^{- x}$
$e^{3 x} - 3 e^{x} - 28 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $28 e^{- (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 10.583 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |10.583)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 6 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6 x - 7$ gilt m = $- 6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 7 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 7 e^{x}

=

- 6

|

+ 6

e^{2 x} - 7 e^{x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 10 e^{2 x} + 25 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 10 e^{2 x} + 25 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 10 e^{x} + 25) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 10 e^{x} + 25

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

$\ln (5)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{2 x}{2 x + 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{x - 1}{2 x + 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{x - 1}{2 x + 2} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{2 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{x - 1}{2 x + 2} \cdot (2 x + 4) - 4 \cdot (2 x + 4)$	=
$2 x + \frac{(x - 1) (2 x + 4)}{2 x + 2} - 8 x - 16$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{2 x + 2} - 8 x - 16$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{2 x + 2} + 2 x - 8 x - 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{2 x + 2} + 2 x - 8 x - 16$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 2 x \cdot (2 x + 2) - 8 x \cdot (2 x + 2) - 16 \cdot (2 x + 2)$	=
$2 x^{2} + 2 x - 4 + 2 x (2 x + 2) - 8 x (2 x + 2) - 32 x - 32$	=
$2 x^{2} + 2 x - 4 + (4 x^{2} + 4 x) + (- 16 x^{2} - 16 x) - 32 x - 32$	=
$- 10 x^{2} - 42 x - 36$	=

- 10 x^{2} - 42 x - 36

= 0 |:2

$- 5 x^{2} - 21 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 360}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{81}}{- 10}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{21+9}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{21-9}{- 10}$ = $\frac{12}{- 10}$ = $- 1,2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} - 28 \cdot 2^{2} - 2 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 28 x^{2}$	$- x$	$+ 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- x$
	-( $- 22 x^{2}$	$+ 44 x$ )
		$- 45 x$	$+ 90$
		-( $- 45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 28 \cdot 9^{2} - 9 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 28 x^{2}$	$- x$	$+ 90$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- x$
	-( $- x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 10 x$	$+ 90$
		-( $- 10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} - x - 10) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x - 12 | - 3$ = $- 19$

Lösung einblenden

$- \| 4 x - 12 \| - 3$	=	$- 19$
$- 3 - \| 4 x - 12 \|$	=	$- 19$	\| $+ 3$
$- \| 4 x - 12 \|$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$16$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

$4 x - 12$	=	$16$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 7 - 12$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 12$ < 0:

$- (4 x - 12)$	=	$16$
$- 4 x + 12$	=	$16$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 1) - 12$ = -16 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

2. Fall: 4x -12 < 0:

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 12$ < 0: