Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 24 e^{x}$ und $g(x) =$ $2 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 24 e^{x}$	=	$2 e^{3 x}$	\| $- 2 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $2 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 29.394 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |29.394)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 2 + x \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 2 + x \cdot e^{- x}$

f'(x)= $e^{- x} - 2 - x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$e^{- x} - 2 - x \cdot e^{- x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$e^{- x} - 2 + 2 - x \cdot e^{- x}$	=	0
$e^{- x} - x \cdot e^{- x}$	=	0
$(- x + 1) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} - 64 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{8} - 64 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} - 64)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{6} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{14 x}{- 4 x + 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{10}{3}$ }

\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{14 x}{- 4 x + 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{14 x}{- 4 x + 8}$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{4 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} \cdot (2 x - 4) + \frac{14 x}{- 4 x + 8} \cdot (2 x - 4)$	=
$4 x + \frac{(2 x - 2) (2 x - 4)}{3 x - 10} + \frac{14 x (2 x - 4)}{- 4 x + 8}$	=
$4 x + \frac{4 x^{2} - 12 x + 8}{3 x - 10} + \frac{28 x^{2} - 56 x}{- 4 x + 8}$	=
$\frac{28 x^{2} - 56 x}{- 4 x + 8} + \frac{4 x^{2} - 12 x + 8}{3 x - 10} + 4 x$	=

\frac{4 x^{2} - 12 x + 8}{3 x - 10} + \frac{28 x^{2} - 56 x}{- 4 x + 8} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 12 x + 8}{3 x - 10} + \frac{28 x^{2} - 56 x}{- 4 x + 8} + 4 x$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{4 x^{2} - 12 x + 8}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{28 x^{2} - 56 x}{- 4 x + 8} \cdot (3 x - 10) + 4 x \cdot (3 x - 10)$	=
$4 x^{2} - 12 x + 8 + \frac{(28 x^{2} - 56 x) (3 x - 10)}{- 4 x + 8} + 4 x (3 x - 10)$	=
$4 x^{2} - 12 x + 8 + \frac{84 x^{3} - 448 x^{2} + 560 x}{- 4 x + 8} + (12 x^{2} - 40 x)$	=
$\frac{84 x^{3} - 448 x^{2} + 560 x}{- 4 x + 8} + 4 x^{2} + 12 x^{2} - 12 x - 40 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 4 x + 8$ weg!

$\frac{84 x^{3} - 448 x^{2} + 560 x}{- 4 x + 8} + 4 x^{2} + 12 x^{2} - 12 x - 40 x + 8$	=	\|⋅( $- 4 x + 8$ )
$\frac{84 x^{3} - 448 x^{2} + 560 x}{- 4 x + 8} \cdot (- 4 x + 8) + 4 x^{2} \cdot (- 4 x + 8) + 12 x^{2} \cdot (- 4 x + 8) - 12 x \cdot (- 4 x + 8) - 40 x \cdot (- 4 x + 8) + 8 \cdot (- 4 x + 8)$	=
$84 x^{3} - 448 x^{2} + 560 x + 4 x^{2} (- 4 x + 8) + 12 x^{2} (- 4 x + 8) - 12 x (- 4 x + 8) - 40 x (- 4 x + 8) - 32 x + 64$	=
$84 x^{3} - 448 x^{2} + 560 x + (- 16 x^{3} + 32 x^{2}) + (- 48 x^{3} + 96 x^{2}) + (48 x^{2} - 96 x) + (160 x^{2} - 320 x) - 32 x + 64$	=
$20 x^{3} - 112 x^{2} + 112 x + 64$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $20 x^{3} - 112 x^{2} + 112 x + 64$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $64$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $20 \cdot 2^{3} - 112 \cdot 2^{2} + 112 \cdot 2 + 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $20 x^{3}$	$- 112 x^{2}$	$+ 112 x$	$+ 64$ )	:	(x $- 2$ )	=	$20 x^{2} - 72 x - 32$
-( $20 x^{3}$	$- 40 x^{2}$ )
	$- 72 x^{2}$	$+ 112 x$
	-( $- 72 x^{2}$	$+ 144 x$ )
		$- 32 x$	$+ 64$
		-( $- 32 x$	$+ 64$ )
			0

es gilt also:

$20 x^{3} - 112 x^{2} + 112 x + 64$ = $(20 x^{2} - 72 x - 32) \cdot (x - 2)$

(20 x^{2} - 72 x - 32) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

20 x^{2} - 72 x - 32

= 0 |:4

$5 x^{2} - 18 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 + 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{484}}{10}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{18+22}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{18-22}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $20 \cdot 4^{3} - 112 \cdot 4^{2} + 112 \cdot 4 + 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $20 x^{3}$	$- 112 x^{2}$	$+ 112 x$	$+ 64$ )	:	(x $- 4$ )	=	$20 x^{2} - 32 x - 16$
-( $20 x^{3}$	$- 80 x^{2}$ )
	$- 32 x^{2}$	$+ 112 x$
	-( $- 32 x^{2}$	$+ 128 x$ )
		$- 16 x$	$+ 64$
		-( $- 16 x$	$+ 64$ )
			0

es gilt also:

$20 x^{3} - 112 x^{2} + 112 x + 64$ = $(20 x^{2} - 32 x - 16) \cdot (x - 4)$

(20 x^{2} - 32 x - 16) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

20 x^{2} - 32 x - 16

= 0 |:4

$5 x^{2} - 8 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{144}}{10}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{8+12}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{8-12}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,4$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x + 6 | + 6$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x + 6 \| + 6$	=	$- 3$
$6 - \frac{1}{3} \| 3 x + 6 \|$	=	$- 3$	\| $- 6$
$- \frac{1}{3} \| 3 x + 6 \|$	=	$- 9$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x + 6 \|$	=	$27$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

$3 x + 6$	=	$27$	\| $- 6$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 7 + 6$ = 27 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 6$ < 0:

$- (3 x + 6)$	=	$27$
$- 3 x - 6$	=	$27$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 11) + 6$ = -27 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Polynomdivision mit 4

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +6 ≥ 0:

2. Fall: 3x +6 < 0:

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 6$ < 0: