Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 32 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 4 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 32 x^{2}$	=	$- 4 x^{4}$	\| $+ 4 x^{4}$
$x^{6} + 4 x^{4} - 32 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} + 4 x^{2} - 32)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + 4 x^{2} - 32

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 4 \cdot {(- 2)}^{4}$ = -64 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-64)

x₂ = 0: f(0)= $- 4 \cdot 0^{4}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- 4 \cdot 2^{4}$ = -64 Somit gilt: S₃( $2$ |-64)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 1 + 3 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 3$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 1 + 3 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $3 e^{3 x} - 2 + 9 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{3 x} - 2 + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$3 e^{3 x} - 2 + 2 + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$3 e^{3 x} + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$3 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{- 5 x} - 4) \cdot (x^{5} - 4 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{- 5 x} - 4) (x^{5} - 4 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{- 5 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 e^{- 5 x}$	=	$4$	\|: $2$
$e^{- 5 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (2)$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (2)$	≈ -0.1386

2. Fall:

$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{5} \ln (2)$ ; 0; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 2} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{6 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (3 x - 2) - 4 \cdot (3 x - 2)$	=
$6 x + \frac{(2 x - 1) (3 x - 2)}{x + 1} - 12 x + 8$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{x + 1} - 12 x + 8$	=
$\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{x + 1} + 6 x - 12 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{x + 1} + 6 x - 12 x + 8$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{x + 1} \cdot (x + 1) + 6 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1) + 8 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} - 7 x + 2 + 6 x (x + 1) - 12 x (x + 1) + 8 x + 8$	=
$6 x^{2} - 7 x + 2 + (6 x^{2} + 6 x) + (- 12 x^{2} - 12 x) + 8 x + 8$	=
$- 5 x + 10$	=

$- 5 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 9 x^{3} + 17 x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 9 x^{3} + 17 x^{2} + 9 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 9 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 10 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$
	-( $- 10 x^{3}$	$- 10 x^{2}$ )
		$27 x^{2}$	$+ 9 x$
		-( $27 x^{2}$	$+ 27 x$ )
			$- 18 x$	$- 18$
			-( $- 18 x$	$- 18$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 9 x^{3} + 17 x^{2} + 9 x - 18$ = $(x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 10 \cdot 1^{2} + 27 \cdot 1 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 27 x$	$- 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 9 x + 18$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 27 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$18 x$	$- 18$
		-( $18 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ = $(x^{2} - 9 x + 18) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 9 x + 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 10 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 27 x$	$- 18$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 27 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 21 x$ )
		$6 x$	$- 18$
		-( $6 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 10 \cdot 6^{2} + 27 \cdot 6 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 27 x$	$- 18$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 27 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$3 x$	$- 18$
		-( $3 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 4 x + 3) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $3$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x - 8 | - 2$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \| - 2$	=	$- 6$
$- 2 - \frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \|$	=	$- 6$	\| $+ 2$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x - 8 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x - 8$ ≥ 0:

$- 2 x - 8$	=	$8$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 8) - 8$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 8$ < 0:

$- (- 2 x - 8)$	=	$8$
$2 x + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 0 - 8$ = -8 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -8 ≥ 0:

2. Fall: -2x -8 < 0:

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 8$ < 0: