Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{14}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{5}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{14}{x^{2}}$	=	$\frac{5}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{5}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 14$	=	$5 x$

x^{2} - 14

=

5 x

|

- 5 x

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{5}{(- 2)}$ = -2.5 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-2.5)

x₂ = $7$ : f( $7$ )= $\frac{5}{7}$ = 0.714 Somit gilt: S₂( $7$ |0.714)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + 2 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $12 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x + 2$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + 2 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 4 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 4 e^{2 x}

=

12

|

- 12

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{2 x} + 5) \cdot (x^{2} - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{2 x} + 5) (x^{2} - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{2 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 5 e^{2 x}$	=	$- 5$	\|: $- 5$
$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} - 2$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) - 2 \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x - 4 x + 2$	=
$2 x + 2$	=

$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 13 x^{2} + 52 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 13 x^{2} + 52 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 13 \cdot {(- 2)}^{2} + 52 \cdot (- 2) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 52 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 11 x + 30$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 52 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$30 x$	$+ 60$
		-( $30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 52 x + 60$ = $(x^{2} + 11 x + 30) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 11 x + 30) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11+1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11-1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 13 \cdot {(- 5)}^{2} + 52 \cdot (- 5) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 52 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 52 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 40 x$ )
		$12 x$	$+ 60$
		-( $12 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 52 x + 60$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 13 \cdot {(- 6)}^{2} + 52 \cdot (- 6) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 52 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 52 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$10 x$	$+ 60$
		-( $10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 52 x + 60$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 7 x + 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 5$ ; $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x - 2 | - 2$ = $10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x - 2 \| - 2$	=	$10$
$- 2 + \frac{1}{2} \| 2 x - 2 \|$	=	$10$	\| $+ 2$
$\frac{1}{2} \| 2 x - 2 \|$	=	$12$	\|⋅ $2$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$24$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

$2 x - 2$	=	$24$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$26$	\|: $2$
x₁	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 13 - 2$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 2$ < 0:

$- (2 x - 2)$	=	$24$
$- 2 x + 2$	=	$24$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$22$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 11) - 2$ = -24 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -2 ≥ 0:

2. Fall: 2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 2$ < 0: