Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 3 e^{x}$ und $g(x) =$ $28 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 3 e^{x}$	=	$28 e^{- 2 x}$	\| $- 28 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} - 3 e^{x} - 28 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 28) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $28 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 7.652 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |7.652)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{8}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 15 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 15 x + 4$ gilt m = $- 15$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{8}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 8 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 8 e^{3 x}

=

- 15

|

+ 15

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 15$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 15 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{3 x} - 6 e^{x}$ = $- e^{5 x}$

Lösung einblenden

$5 e^{3 x} - 6 e^{x}$	=	$- e^{5 x}$	\| $+ e^{5 x}$
$e^{5 x} + 5 e^{3 x} - 6 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 4}{x} + \frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{11 x + 2}{- 6 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

\frac{11 x + 2}{- 6 x - 18} + \frac{2 x - 4}{x} + \frac{2 x}{2 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x - 18$ weg!

$\frac{11 x + 2}{- 6 x - 18} + \frac{2 x - 4}{x} + \frac{2 x}{2 x + 6}$	=	\|⋅( $- 6 x - 18$ )
$\frac{11 x + 2}{- 6 x - 18} \cdot (- 6 x - 18) + \frac{2 x - 4}{x} \cdot (- 6 x - 18) + \frac{2 x}{2 (x + 3)} \cdot (- 6 (x + 3))$	=
$11 x + 2 + \frac{(2 x - 4) (- 6 x - 18)}{x} - 6 x$	=
$11 x + 2 + \frac{- 12 x^{2} - 12 x + 72}{x} - 6 x$	=
$\frac{- 12 x^{2} - 12 x + 72}{x} + 11 x - 6 x + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{- 12 x^{2} - 12 x + 72}{x} + 11 x - 6 x + 2$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{- 12 x^{2} - 12 x + 72}{x} \cdot x + 11 x \cdot x - 6 x \cdot x + 2 \cdot x$	=
$- 12 x^{2} - 12 x + 72 + 11 x \cdot x - 6 x \cdot x + 2 x$	=
$- 12 x^{2} - 12 x + 72 + 11 x^{2} - 6 x^{2} + 2 x$	=
$- 7 x^{2} - 10 x + 72$	=

$- 7 x^{2} - 10 x + 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot 72}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 2 016}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{2 116}}{- 14}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{2 116}}{- 14}$ = $\frac{10+46}{- 14}$ = $\frac{56}{- 14}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{2 116}}{- 14}$ = $\frac{10-46}{- 14}$ = $\frac{- 36}{- 14}$ = $\frac{18}{7}$ ≈ 2.57

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{18}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $15$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 15$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 15 x$	$+ 15$
		-( $- 15 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 15$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} - 7 \cdot 3^{2} - 11 \cdot 3 + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 15$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 5 x$	$+ 15$
		-( $- 5 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 15$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x + 6 | - 4$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x + 6 \| - 4$	=	$8$
$- 4 + \frac{1}{3} \| 3 x + 6 \|$	=	$8$	\| $+ 4$
$\frac{1}{3} \| 3 x + 6 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| 3 x + 6 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

$3 x + 6$	=	$36$	\| $- 6$
$3 x$	=	$30$	\|: $3$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 10 + 6$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 6$ < 0:

$- (3 x + 6)$	=	$36$
$- 3 x - 6$	=	$36$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$42$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 14) + 6$ = -36 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +6 ≥ 0:

2. Fall: 3x +6 < 0:

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 6$ < 0: