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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 24 x^{2}$ und $g(x) =$ $10 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 24 x^{2}$	=	$10 x^{3}$	\| $- 10 x^{3}$
$x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 10 x + 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₂ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={0; $4$ ; $6$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $10 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $10 \cdot 4^{3}$ = 640 Somit gilt: S₂( $4$ |640)

x₃ = $6$ : f( $6$ )= $10 \cdot 6^{3}$ = 2160 Somit gilt: S₃( $6$ |2160)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 2$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 3 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 3 e^{x}$ = $2 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 3 e^{x}$	=	$2 e^{2 x}$	\| $- 2 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 3 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 2 e^{x} - 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 2 e^{x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 3}{x} + \frac{x}{3 x - 6} + \frac{- 5 x + 3}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

\frac{2 x + 3 - 5 x + 3}{x} + \frac{x}{3 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x + 3 - 5 x + 3}{x} + \frac{x}{3 x - 6}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x + 3 - 5 x + 3}{x} \cdot x + \frac{x}{3 x - 6} \cdot x$	=
$2 x + 3 - 5 x + 3 + \frac{x \cdot x}{3 x - 6}$	=
$2 x + 3 - 5 x + 3 + \frac{x^{2}}{3 x - 6}$	=
$\frac{x^{2}}{3 x - 6} + 2 x - 5 x + 3 + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{x^{2}}{3 x - 6} + 2 x - 5 x + 3 + 3$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{x^{2}}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) + 2 x \cdot (3 x - 6) - 5 x \cdot (3 x - 6) + 3 \cdot (3 x - 6) + 3 \cdot (3 x - 6)$	=
$x^{2} + 2 x (3 x - 6) - 5 x (3 x - 6) + 9 x - 18 + 9 x - 18$	=
$x^{2} + (6 x^{2} - 12 x) + (- 15 x^{2} + 30 x) + 9 x - 18 + 9 x - 18$	=
$- 8 x^{2} + 36 x - 36$	=

- 8 x^{2} + 36 x - 36

= 0 |:4

$- 2 x^{2} + 9 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 9+3}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 9-3}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 13 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 13 x - 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 13 \cdot (- 1) - 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 13 x$	$- 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 7 x$	$- 7$
		-( $- 7 x$	$- 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 13 x - 7$ = $(x^{2} - 6 x - 7) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 6 x - 7) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 5 \cdot 7^{2} - 13 \cdot 7 - 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 13 x$	$- 7$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$x$	$- 7$
		-( $x$	$- 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 13 x - 7$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

L={ $- 1$ ; $7$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x - 12 | + 3$ = $7$

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$- \| - 4 x - 12 \| + 3$	=	$7$
$3 - \| - 4 x - 12 \|$	=	$7$	\| $- 3$
$- \| - 4 x - 12 \|$	=	$4$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x - 12 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $7$