Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + 7 x^{2}$ und $g(x) =$ $\frac{8}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} + 7 x^{2}$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x + 7 x^{2} \cdot x$	=	$\frac{8}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x + 7 x^{2} \cdot x$	=	$8$
$x^{6} + 7 x^{3}$	=	$8$

x^{6} + 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} + 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{8}{(- 2)}$ = -4 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-4)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $\frac{8}{1}$ = 8 Somit gilt: S₂( $1$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 4 + 3 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 7$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 4 + 3 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $3 e^{x} + 2 + 3 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$3 e^{x} + 2 + 3 x \cdot e^{x}$	=	$2$	\| $- 2$
$3 e^{x} + 2 - 2 + 3 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 e^{x} + 3 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 (x + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 4 e^{4 x} + 3 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 4 e^{4 x} + 3 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{- 18 x}{3 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $1$ }

\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x - 1} - \frac{18 x}{3 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x - 1} - \frac{18 x}{3 x - 3}$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (3 x + 4) - \frac{18 x}{3 x - 3} \cdot (3 x + 4)$	=
$3 x + \frac{(2 x + 1) (3 x + 4)}{x - 1} - \frac{18 x (3 x + 4)}{3 x - 3}$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} - \frac{54 x^{2} + 72 x}{3 x - 3}$	=
$- \frac{54 x^{2} + 72 x}{3 x - 3} + \frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} + 3 x$	=

\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} - \frac{54 x^{2} + 72 x}{3 x - 3} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} - \frac{54 x^{2} + 72 x}{3 x - 3} + 3 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{x - 1} \cdot (x - 1) - \frac{54 x^{2} + 72 x}{3 (x - 1)} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 - 18 x^{2} - 24 x + 3 x (x - 1)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 - 18 x^{2} - 24 x + (3 x^{2} - 3 x)$	=
$- 9 x^{2} - 16 x + 4$	=

$- 9 x^{2} - 16 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 4}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 144}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{400}}{- 18}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{400}}{- 18}$ = $\frac{16+20}{- 18}$ = $\frac{36}{- 18}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{400}}{- 18}$ = $\frac{16-20}{- 18}$ = $\frac{- 4}{- 18}$ = $\frac{2}{9}$ ≈ 0.22

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{2}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 60 x + 108$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 60 x + 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $108$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 60 \cdot 2 + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 60 x$	$+ 108$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 54$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 54 x$	$+ 108$
		-( $- 54 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 60 x + 108$ = $(x^{2} + 3 x - 54) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x - 54) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3+15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3-15}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} + 6^{2} - 60 \cdot 6 + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 60 x$	$+ 108$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$- 18 x$	$+ 108$
		-( $- 18 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 60 x + 108$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{2} - 60 \cdot (- 9) + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 60 x$	$+ 108$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$12 x$	$+ 108$
		-( $12 x$	$+ 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 60 x + 108$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x + 8 | - 3$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \| - 3$	=	$- 9$
$- 3 - \frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 9$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$18$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

$- 2 x + 8$	=	$18$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 5) + 8$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0:

$- (- 2 x + 8)$	=	$18$
$2 x - 8$	=	$18$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$26$	\|: $2$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 13 + 8$ = -18 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +8 ≥ 0:

2. Fall: -2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0: