Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 15 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $2 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 15 e^{- 2 x} + 1

=

2 e^{- x}

|

- 2 e^{- x}

- 2 e^{- x} - 15 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 2 e^{- x} - 15 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 2 e^{x} - 15$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $2 e^{- (\ln (5))}$ = 0.4 Somit gilt: S₁( $\ln (5)$ |0.4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $1 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $1 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 8 x) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $8$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 12 e^{x}$ = $- e^{3 x}$

Lösung einblenden

$e^{2 x} - 12 e^{x}$	=	$- e^{3 x}$	\| $+ e^{3 x}$
$e^{3 x} + e^{2 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + e^{x} - 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{x}{2 x + 2} + \frac{8 x}{- 6 x - 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{4}{3}$ }

\frac{x}{2 x + 2} + \frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{8 x}{- 6 x - 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{8 x}{- 6 x - 8}$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (2 x + 2) + \frac{8 x}{- 6 x - 8} \cdot (2 x + 2)$	=
$x + \frac{3 x (2 x + 2)}{3 x + 4} + \frac{8 x (2 x + 2)}{- 6 x - 8}$	=
$x + \frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x + 4} + \frac{16 x^{2} + 16 x}{- 6 x - 8}$	=
$\frac{16 x^{2} + 16 x}{- 6 x - 8} + \frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x + 4} + x$	=

\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x + 4} + \frac{16 x^{2} + 16 x}{- 6 x - 8} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x + 4} + \frac{16 x^{2} + 16 x}{- 6 x - 8} + x$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{16 x^{2} + 16 x}{- 2 (3 x + 4)} \cdot (3 x + 4) + x \cdot (3 x + 4)$	=
$6 x^{2} + 6 x - 8 x^{2} - 8 x + x (3 x + 4)$	=
$6 x^{2} + 6 x - 8 x^{2} - 8 x + (3 x^{2} + 4 x)$	=
$x^{2} + 2 x$	=

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 9 \cdot (- 2) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$+ 18$
		-( $9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x + 2 | - 5$ = $- 9$

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$- \frac{1}{3} \| 2 x + 2 \| - 5$	=	$- 9$
$- 5 - \frac{1}{3} \| 2 x + 2 \|$	=	$- 9$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{3} \| 2 x + 2 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x + 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

$2 x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 5 + 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 2$ < 0:

$- (2 x + 2)$	=	$12$
$- 2 x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 7) + 2$ = -12 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +2 ≥ 0:

2. Fall: 2x +2 < 0:

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 2$ < 0: