Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 7 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $- 6$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 7 e^{- 2 x}

=

- 6

|

+ 6

e^{2 x} - 7 e^{- 2 x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 7 e^{- 2 x} + 6$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 6$ Somit gilt: S₁(0|-6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 4 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{3 x} + 3) \cdot (x^{3} + 2 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{3 x} + 3) (x^{3} + 2 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{3 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 5 e^{3 x}$	=	$- 3$	\|: $- 5$
$e^{3 x}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{3}{5})$	≈ -0.1703

2. Fall:

$x^{3} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{3} \ln (\frac{3}{5})$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{x + 1} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{- 5 x + 1}{2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{3 x + 1}{x + 1} + \frac{- 5 x + 1}{2 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{3 x + 1}{x + 1} + \frac{- 5 x + 1}{2 x + 4}$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{3 x + 1}{x + 1} \cdot (2 x + 4) + \frac{- 5 x + 1}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4)$	=
$3 x + 1 + \frac{(3 x + 1) (2 x + 4)}{x + 1} - 5 x + 1$	=
$3 x + 1 + \frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{x + 1} - 5 x + 1$	=
$\frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{x + 1} + 3 x - 5 x + 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{x + 1} + 3 x - 5 x + 1 + 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 14 x + 4}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 14 x + 4 + 3 x (x + 1) - 5 x (x + 1) + x + 1 + x + 1$	=
$6 x^{2} + 14 x + 4 + (3 x^{2} + 3 x) + (- 5 x^{2} - 5 x) + x + 1 + x + 1$	=
$4 x^{2} + 14 x + 6$	=

4 x^{2} + 14 x + 6

= 0 |:2

$2 x^{2} + 7 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 7+5}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 7-5}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3} - 39 x^{2} + 8 x + 140$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 2 x^{3} - 39 x^{2} + 8 x + 140$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $140$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 2 \cdot {(- 2)}^{3} - 39 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) + 140$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 39 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 140$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 31 x + 70$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$- 39 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
		$- 31 x^{2}$	$+ 8 x$
		-( $- 31 x^{2}$	$- 62 x$ )
			$70 x$	$+ 140$
			-( $70 x$	$+ 140$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 39 x^{2} + 8 x + 140$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 31 x + 70) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 31 x + 70) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 31 x + 70$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $70$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 31 \cdot 2 + 70$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 31 x$	$+ 70$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 35$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 35 x$	$+ 70$
		-( $- 35 x$	$+ 70$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 31 x + 70$ = $(x^{2} - 2 x - 35) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 35) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} - 4 \cdot {(- 5)}^{2} - 31 \cdot (- 5) + 70$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 31 x$	$+ 70$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 45 x$ )
		$14 x$	$+ 70$
		-( $14 x$	$+ 70$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 31 x + 70$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 4 \cdot 7^{2} - 31 \cdot 7 + 70$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 31 x$	$+ 70$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$- 10 x$	$+ 70$
		-( $- 10 x$	$+ 70$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 31 x + 70$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 5$ ; $- 2$ ; $2$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x + 9 | - 9$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x + 9 \| - 9$	=	$9$
$- 9 + \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \|$	=	$9$	\| $+ 9$
$\frac{1}{3} \| 3 x + 9 \|$	=	$18$	\|⋅ $3$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$54$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$54$	\| $- 9$
$3 x$	=	$45$	\|: $3$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 15 + 9$ = 54 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$54$
$- 3 x - 9$	=	$54$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$63$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 21$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 21) + 9$ = -54 < 0

Die Lösung $- 21$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 21$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: