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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 9 x$ und $g(x) =$ $- \frac{8}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} - 9 x$	=	$- \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} - 9 x \cdot x^{2}$	=	$- \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} - 9 x \cdot x^{2}$	=	$- 8$
$x^{6} - 9 x^{3}$	=	$- 8$

x^{6} - 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} - 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{8}{1^{2}}$ = -8 Somit gilt: S₁( $1$ |-8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{8}{2^{2}}$ = -2 Somit gilt: S₂( $2$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 3$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} - 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} - 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$2 e^{3 x} - 2 + 2 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} - 8$ = $- x^{4}$

Lösung einblenden

7 x^{2} - 8

=

- x^{4}

|

+ x^{4}

x^{4} + 7 x^{2} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{24 x}{- 4 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; 0}

\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{24 x}{- 4 x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{24 x}{- 4 x - 2}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{3 x + 1}{2 x} \cdot (2 x + 1) + \frac{24 x}{- 2 (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x + \frac{(3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x} - 12 x$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} + 5 x + 1}{2 x} - 12 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 5 x + 1}{2 x} + 6 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 5 x + 1}{2 x} + 6 x - 12 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{6 x^{2} + 5 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 12 x \cdot 2 x$	=
$6 x^{2} + 5 x + 1 + 12 x \cdot x - 24 x \cdot x$	=
$6 x^{2} + 5 x + 1 + 12 x^{2} - 24 x^{2}$	=
$- 6 x^{2} + 5 x + 1$	=

$- 6 x^{2} + 5 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 1}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{- 5+7}{- 12}$ = $\frac{2}{- 12}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.17

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{- 5-7}{- 12}$ = $\frac{- 12}{- 12}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{6}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 36 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 5 \cdot 6^{2} - 36 \cdot 6 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$6 x$	$- 36$
		-( $6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 6 | - 1$ = $1$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 6 \| - 1$	=	$1$
$- 1 + \| - 2 x - 6 \|$	=	$1$	\| $+ 1$
$\| - 2 x - 6 \|$	=	$2$

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

$- 2 x - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 4) - 6$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0:

$- (- 2 x - 6)$	=	$2$
$2 x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 2) - 6$ = -2 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -6 ≥ 0:

2. Fall: -2x -6 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0: