Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 5 x$ und $g(x) =$ $- \frac{4}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - 5 x$	=	$- \frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - 5 x \cdot x$	=	$- \frac{4}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 5 x \cdot x$	=	$- 4$
$x^{4} - 5 x^{2}$	=	$- 4$

x^{4} - 5 x^{2}

=

- 4

|

+ 4

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{4}{(- 2)}$ = 2 Somit gilt: S₁( $- 2$ |2)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- \frac{4}{(- 1)}$ = 4 Somit gilt: S₂( $- 1$ |4)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{4}{1}$ = -4 Somit gilt: S₃( $1$ |-4)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{4}{2}$ = -2 Somit gilt: S₄( $2$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{3}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $4 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x + 4$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{3}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 3 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 3 e^{2 x}

=

4

|

- 4

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 5 e^{3 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - 5 e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x + 2} + \frac{2 x}{2 x + 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{x - 1}{2 x + 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{x - 1}{2 x + 2} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 4$ )
$\frac{2 x}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4) + \frac{x - 1}{2 x + 2} \cdot (2 x + 4) - 4 \cdot (2 x + 4)$	=
$2 x + \frac{(x - 1) (2 x + 4)}{2 x + 2} - 8 x - 16$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{2 x + 2} - 8 x - 16$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{2 x + 2} + 2 x - 8 x - 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{2 x + 2} + 2 x - 8 x - 16$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + 2 x \cdot (2 x + 2) - 8 x \cdot (2 x + 2) - 16 \cdot (2 x + 2)$	=
$2 x^{2} + 2 x - 4 + 2 x (2 x + 2) - 8 x (2 x + 2) - 32 x - 32$	=
$2 x^{2} + 2 x - 4 + (4 x^{2} + 4 x) + (- 16 x^{2} - 16 x) - 32 x - 32$	=
$- 10 x^{2} - 42 x - 36$	=

- 10 x^{2} - 42 x - 36

= 0 |:2

$- 5 x^{2} - 21 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 360}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{81}}{- 10}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{21+9}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{21-9}{- 10}$ = $\frac{12}{- 10}$ = $- 1,2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 8 x^{2} + 11 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} + 11 x - 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 20$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 20$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 20$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$20 x$	$- 20$
		-( $20 x$	$- 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 11 x - 20$ = $(x^{2} + 9 x + 20) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 9 x + 20) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 8 \cdot {(- 4)}^{2} + 11 \cdot (- 4) - 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 20$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$- 5 x$	$- 20$
		-( $- 5 x$	$- 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 11 x - 20$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 4 x - 5) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 8 \cdot {(- 5)}^{2} + 11 \cdot (- 5) - 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 20$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$- 4 x$	$- 20$
		-( $- 4 x$	$- 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 11 x - 20$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x + 15 | + 3$ = $21$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x + 15 \| + 3$	=	$21$
$3 + \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$21$	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$18$	\|⋅ $2$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$36$	\| $- 15$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 7 + 15$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$36$
$- 3 x - 15$	=	$36$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$51$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 17) + 15$ = -36 < 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $- 5$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: