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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 15 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 15 e^{x}$	=	$- 2 e^{2 x}$	\| $+ 2 e^{2 x}$
$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $- 2 e^{2 \cdot (\ln (3))}$ = -18 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |-18)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 5 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 5 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $4 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$4 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 + 1 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$4 e^{- \frac{1}{4} x} - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$(- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{7 x} + 3) \cdot (x^{4} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{7 x} + 3) (x^{4} - x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{7 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- e^{7 x}$	=	$- 3$	\|: $- 1$
$e^{7 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (3)$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (3)$	≈ 0.1569

2. Fall:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $\frac{1}{7} \ln (3)$ ; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{2 x}{3 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{2 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot (3 x + 1) - 4 \cdot (3 x + 1)$	=
$2 x + \frac{(8 x - 1) (3 x + 1)}{3 x} - 12 x - 4$	=
$2 x + \frac{24 x^{2} + 5 x - 1}{3 x} - 12 x - 4$	=
$\frac{24 x^{2} + 5 x - 1}{3 x} + 2 x - 12 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{24 x^{2} + 5 x - 1}{3 x} + 2 x - 12 x - 4$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{24 x^{2} + 5 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + 2 x \cdot 3 x - 12 x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$	=
$24 x^{2} + 5 x - 1 + 6 x \cdot x - 36 x \cdot x - 12 x$	=
$24 x^{2} + 5 x - 1 + 6 x^{2} - 36 x^{2} - 12 x$	=
$- 6 x^{2} - 7 x - 1$	=

$- 6 x^{2} - 7 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 12}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{7+5}{- 12}$ = $\frac{12}{- 12}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{7-5}{- 12}$ = $\frac{2}{- 12}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{6}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 3 x$	$- 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 3$
		-( $3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x + 20 | - 7$ = $- 27$

Lösung einblenden

$- \| 4 x + 20 \| - 7$	=	$- 27$
$- 7 - \| 4 x + 20 \|$	=	$- 27$	\| $+ 7$
$- \| 4 x + 20 \|$	=	$- 20$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x + 20 \|$	=	$20$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

$4 x + 20$	=	$20$	\| $- 20$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 0 + 20$ = 20 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 20$ < 0:

$- (4 x + 20)$	=	$20$
$- 4 x - 20$	=	$20$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$40$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 10) + 20$ = -20 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +20 ≥ 0:

2. Fall: 4x +20 < 0:

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 20$ < 0: