Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 7 x^{3}$ und $g(x) =$ $8$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{6} + 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} + 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $8$ Somit gilt: S₁( $- 2$ |8)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $8$ Somit gilt: S₂( $1$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 1 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 1 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $6 e^{- \frac{1}{2} x} + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{- \frac{1}{2} x} + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$6 e^{- \frac{1}{2} x} + 1 - 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$6 e^{- \frac{1}{2} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (- x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{- 3 x} - 3) \cdot (x^{4} + 8 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{- 3 x} - 3) (x^{4} + 8 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{- 3 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$8 e^{- 3 x}$	=	$3$	\|: $8$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{3}{8})$	≈ 0.3269

2. Fall:

$x^{4} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; 0; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{3}{8})$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 2}{x} + \frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{- 12 x}{3 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{3 x - 2}{x} - \frac{12 x}{3 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{3 x - 2}{x} - \frac{12 x}{3 x + 2}$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{3 x - 2}{x} \cdot (3 x + 2) - \frac{12 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x + \frac{(3 x - 2) (3 x + 2)}{x} - 12 x$	=
$4 x + \frac{9 x^{2} - 4}{x} - 12 x$	=
$\frac{9 x^{2} - 4}{x} + 4 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 4}{x} + 4 x - 12 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} - 4}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 12 x \cdot x$	=
$9 x^{2} - 4 + 4 x \cdot x - 12 x \cdot x$	=
$9 x^{2} - 4 + 4 x^{2} - 12 x^{2}$	=
$x^{2} - 4$	=

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 6 \cdot 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 6 x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x - 4 | + 1$ = $4$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x - 4 \| + 1$	=	$4$
$1 + \frac{1}{2} \| - x - 4 \|$	=	$4$	\| $- 1$
$\frac{1}{2} \| - x - 4 \|$	=	$3$	\|⋅ $2$
$\| - x - 4 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

$- x - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- (- 10) - 4$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 4$ < 0:

$- (- x - 4)$	=	$6$
$x + 4$	=	$6$	\| $- 4$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 - 4$ = -6 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -4 ≥ 0:

2. Fall: -x -4 < 0:

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 4$ < 0: