Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 15 e^{- x}$ und $g(x) =$ $8 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 15 e^{- x}$	=	$8 e^{x}$	\| $- 8 e^{x}$
$e^{3 x} - 8 e^{x} + 15 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 15) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $8 e^{\frac{1}{2} \ln (3)}$ = 13.856 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |13.856)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $8 e^{\frac{1}{2} \ln (5)}$ = 17.889 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |17.889)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $42 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x - 5$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

42

|

- 42

e^{4 x} - e^{2 x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 25 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{3} - 25 x$	=	0
$x (x^{2} - 25)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₃	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; 0; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 7} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{7}{3}$ }

\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 7} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 7} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{4 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{2 x}{3 x + 7} \cdot (2 x + 2) - 6 \cdot (2 x + 2)$	=
$4 x + \frac{2 x (2 x + 2)}{3 x + 7} - 12 x - 12$	=
$4 x + \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 7} - 12 x - 12$	=
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 7} + 4 x - 12 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 7} + 4 x - 12 x - 12$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + 4 x \cdot (3 x + 7) - 12 x \cdot (3 x + 7) - 12 \cdot (3 x + 7)$	=
$4 x^{2} + 4 x + 4 x (3 x + 7) - 12 x (3 x + 7) - 36 x - 84$	=
$4 x^{2} + 4 x + (12 x^{2} + 28 x) + (- 36 x^{2} - 84 x) - 36 x - 84$	=
$- 20 x^{2} - 88 x - 84$	=

- 20 x^{2} - 88 x - 84

= 0 |:4

$- 5 x^{2} - 22 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 420}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{22+8}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{22-8}{- 10}$ = $\frac{14}{- 10}$ = $- 1,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 4 x$	$- 8$
		-( $- 4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 5 \cdot {(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 2 x$	$- 8$
		-( $- 2 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + x - 2) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x + 20 | + 1$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x + 20 \| + 1$	=	$9$
$1 + \frac{1}{2} \| 4 x + 20 \|$	=	$9$	\| $- 1$
$\frac{1}{2} \| 4 x + 20 \|$	=	$8$	\|⋅ $2$
$\| 4 x + 20 \|$	=	$16$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

$4 x + 20$	=	$16$	\| $- 20$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot (- 1) + 20$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 20$ < 0:

$- (4 x + 20)$	=	$16$
$- 4 x - 20$	=	$16$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 9) + 20$ = -16 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +20 ≥ 0:

2. Fall: 4x +20 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 20$ < 0: