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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 8 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 8 e^{- 2 x}$	=	$- 2 e^{x}$	\| $+ 2 e^{x}$
$e^{4 x} + 2 e^{x} - 8 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 2 e^{\frac{1}{3} \ln (2)}$ = -2.52 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-2.52)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{8}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 12 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 12 x + 4$ gilt m = $- 12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{8}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 8 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 8 e^{3 x}

=

- 12

|

+ 12

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 12 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 12 x$ = $- 4 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{3} - 12 x$	=	$- 4 x^{2}$	\| $+ 4 x^{2}$
$x^{3} + 4 x^{2} - 12 x$	=	0
$x (x^{2} + 4 x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{- 45 x}{6 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $1$ }

\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{16 x}{2 x - 2} - \frac{45 x}{6 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{16 x}{2 x - 2} - \frac{45 x}{6 x - 3}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{16 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 1) - \frac{45 x}{3 (2 x - 1)} \cdot (2 x - 1)$	=
$3 x + \frac{16 x (2 x - 1)}{2 x - 2} - 15 x$	=
$3 x + \frac{32 x^{2} - 16 x}{2 x - 2} - 15 x$	=
$\frac{32 x^{2} - 16 x}{2 x - 2} + 3 x - 15 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{32 x^{2} - 16 x}{2 x - 2} + 3 x - 15 x$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{32 x^{2} - 16 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + 3 x \cdot (2 x - 2) - 15 x \cdot (2 x - 2)$	=
$32 x^{2} - 16 x + 3 x (2 x - 2) - 15 x (2 x - 2)$	=
$32 x^{2} - 16 x + (6 x^{2} - 6 x) + (- 30 x^{2} + 30 x)$	=
$8 x^{2} + 8 x$	=

$8 x^{2} + 8 x$	=	0
$8 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 3 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 3 x + 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $3$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 3 x$	$+ 3$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$+ 3$
		-( $3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 3 x + 3$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x + 1 | + 6$ = $3$

Lösung einblenden

$\| x + 1 \| + 6$	=	$3$
$6 + \| x + 1 \|$	=	$3$	\| $- 6$
$\| x + 1 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen