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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + e^{x}$ und $g(x) =$ $12 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + e^{x}$	=	$12 e^{- 2 x}$	\| $- 12 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} + e^{x} - 12 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 12) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $12 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 5.769 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |5.769)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 3 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 3 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (x^{2} + 8 x) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 8$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 4 e^{4 x}$ = $21 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 4 e^{4 x}$	=	$21 e^{x}$	\| $- 21 e^{x}$
$e^{7 x} - 4 e^{4 x} - 21 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{3 x}{- x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

\frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{3 x}{- x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 3$ weg!

$\frac{2 x - 1}{3 x - 3} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{3 x}{- x - 1}$	=	\|⋅( $3 x - 3$ )
$\frac{2 x - 1}{3 x - 3} \cdot (3 x - 3) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (3 x - 3) + \frac{3 x}{- x - 1} \cdot (3 x - 3)$	=
$2 x - 1 + \frac{(2 x - 1) (3 x - 3)}{x + 1} + \frac{3 x (3 x - 3)}{- x - 1}$	=
$2 x - 1 + \frac{6 x^{2} - 9 x + 3}{x + 1} + \frac{9 x^{2} - 9 x}{- x - 1}$	=
$\frac{9 x^{2} - 9 x}{- x - 1} + \frac{6 x^{2} - 9 x + 3}{x + 1} + 2 x - 1$	=

\frac{6 x^{2} - 9 x + 3}{x + 1} + \frac{9 x^{2} - 9 x}{- x - 1} + 2 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 9 x + 3}{x + 1} + \frac{9 x^{2} - 9 x}{- x - 1} + 2 x - 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 9 x + 3}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{9 x^{2} - 9 x}{- (x + 1)} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 1 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} - 9 x + 3 - 9 x^{2} + 9 x + 2 x (x + 1) - x - 1$	=
$6 x^{2} - 9 x + 3 - 9 x^{2} + 9 x + (2 x^{2} + 2 x) - x - 1$	=
$- x^{2} + x + 2$	=

$- x^{2} + x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} - 28 \cdot 2^{2} - 2 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 28 x^{2}$	$- x$	$+ 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- x$
	-( $- 22 x^{2}$	$+ 44 x$ )
		$- 45 x$	$+ 90$
		-( $- 45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 28 \cdot 9^{2} - 9 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 28 x^{2}$	$- x$	$+ 90$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- x$
	-( $- x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 10 x$	$+ 90$
		-( $- 10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} - x - 10) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x + 9 | + 5$ = $23$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 3 x + 9 \| + 5$	=	$23$
$5 + \frac{1}{3} \| - 3 x + 9 \|$	=	$23$	\| $- 5$
$\frac{1}{3} \| - 3 x + 9 \|$	=	$18$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x + 9 \|$	=	$54$

1. Fall: $- 3 x + 9$ ≥ 0:

$- 3 x + 9$	=	$54$	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$45$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 15) + 9$ = 54 ≥ 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 9$ < 0:

$- (- 3 x + 9)$	=	$54$
$3 x - 9$	=	$54$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$63$	\|: $3$
x₂	=	$21$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 9$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 21 + 9$ = -54 < 0

Die Lösung $21$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $21$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +9 ≥ 0:

2. Fall: -3x +9 < 0:

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 9$ < 0: