Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - x^{3}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )=0 Somit gilt: S₂( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 4 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{- 8 x - 1}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{1}{3}$ }

\frac{- 8 x - 1}{x} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{12 x}{3 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 8 x - 1}{x} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{12 x}{3 x - 1}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 8 x - 1}{x} \cdot 2 x + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{12 x}{3 x - 1} \cdot 2 x$	=
$- 16 x - 2 + 7 x - 1 + 2 \frac{12 x \cdot x}{3 x - 1}$	=
$- 16 x - 2 + 7 x - 1 + 2 \frac{12 x^{2}}{3 x - 1}$	=
$2 \frac{12 x^{2}}{3 x - 1} - 16 x + 7 x - 2 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$2 \frac{12 x^{2}}{3 x - 1} - 16 x + 7 x - 2 - 1$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$2 \frac{12 x^{2}}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - 16 x \cdot (3 x - 1) + 7 x \cdot (3 x - 1) - 2 \cdot (3 x - 1) - 1 \cdot (3 x - 1)$	=
$24 x^{2} - 16 x (3 x - 1) + 7 x (3 x - 1) - 6 x + 2 - 3 x + 1$	=
$24 x^{2} + (- 48 x^{2} + 16 x) + (21 x^{2} - 7 x) - 6 x + 2 - 3 x + 1$	=
$- 3 x^{2} + 3$	=

$- 3 x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 3 x^{2}$	=	$- 3$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3} - 31 x^{2} + 32 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 2 x^{3} - 31 x^{2} + 32 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 2 \cdot {(- 1)}^{3} - 31 \cdot {(- 1)}^{2} + 32 \cdot (- 1) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 31 x^{2}$	$+ 32 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 31 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
		$- 28 x^{2}$	$+ 32 x$
		-( $- 28 x^{2}$	$- 28 x$ )
			$60 x$	$+ 60$
			-( $60 x$	$+ 60$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 31 x^{2} + 32 x + 60$ = $(x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 28 \cdot 2 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 30$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 28 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 30 x$	$+ 60$
		-( $- 30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60$ = $(x^{2} - x - 30) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} - 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 28 \cdot (- 5) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 40 x$ )
		$12 x$	$+ 60$
		-( $12 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 3 \cdot 6^{2} - 28 \cdot 6 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 10 x$	$+ 60$
		-( $- 10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 28 x + 60$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 5$ ; $- 1$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 8 | + 5$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x + 8 \| + 5$	=	$- 3$
$5 - \frac{1}{2} \| 2 x + 8 \|$	=	$- 3$	\| $- 5$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 8 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 8 \|$	=	$16$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

$2 x + 8$	=	$16$	\| $- 8$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 4 + 8$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 8$ < 0:

$- (2 x + 8)$	=	$16$
$- 2 x - 8$	=	$16$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$24$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 12) + 8$ = -16 < 0

Die Lösung $- 12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 12$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +8 ≥ 0:

2. Fall: 2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 8$ < 0: