Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - \frac{8}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $7 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} - \frac{8}{x^{2}}$	=	$7 x$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} - \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$7 x \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} - 8$	=	$7 x \cdot x^{2}$
$x^{6} - 8$	=	$7 x \cdot x^{2}$
$x^{6} - 8$	=	$7 x^{3}$

x^{6} - 8

=

7 x^{3}

|

- 7 x^{3}

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $7 \cdot (- 1)$ = -7 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-7)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $7 \cdot 2$ = 14 Somit gilt: S₂( $2$ |14)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 3$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + e^{2 x}$ = $2 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} + e^{2 x}$	=	$2 e^{x}$	\| $- 2 e^{x}$
$e^{3 x} + e^{2 x} - 2 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + e^{x} - 2) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + e^{x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 3} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{x + 3} - 1$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{4 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - 1 \cdot (x + 3)$	=
$4 x - x - 3$	=
$3 x - 3$	=

$3 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 16 x^{3} + 69 x^{2} + 26 x - 112$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 16 x^{3} + 69 x^{2} + 26 x - 112$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 112$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 16 \cdot 1^{3} + 69 \cdot 1^{2} + 26 \cdot 1 - 112$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 16 x^{3}$	$+ 69 x^{2}$	$+ 26 x$	$- 112$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 17 x^{2} + 86 x + 112$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$17 x^{3}$	$+ 69 x^{2}$
	-( $17 x^{3}$	$- 17 x^{2}$ )
		$86 x^{2}$	$+ 26 x$
		-( $86 x^{2}$	$- 86 x$ )
			$112 x$	$- 112$
			-( $112 x$	$- 112$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 16 x^{3} + 69 x^{2} + 26 x - 112$ = $(x^{3} + 17 x^{2} + 86 x + 112) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 17 x^{2} + 86 x + 112) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 17 x^{2} + 86 x + 112$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $112$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 17 \cdot {(- 2)}^{2} + 86 \cdot (- 2) + 112$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 86 x$	$+ 112$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 15 x + 56$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 86 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$56 x$	$+ 112$
		-( $56 x$	$+ 112$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 86 x + 112$ = $(x^{2} + 15 x + 56) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 15 x + 56) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 15 x + 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15+1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15-1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 17 \cdot {(- 7)}^{2} + 86 \cdot (- 7) + 112$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 86 x$	$+ 112$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 86 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 70 x$ )
		$16 x$	$+ 112$
		-( $16 x$	$+ 112$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 86 x + 112$ = $(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 10 x + 16) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 17 \cdot {(- 8)}^{2} + 86 \cdot (- 8) + 112$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 86 x$	$+ 112$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 86 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$14 x$	$+ 112$
		-( $14 x$	$+ 112$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 17 x^{2} + 86 x + 112$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 8$ ; $- 7$ ; $- 2$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x - 3 | + 2$ = $5$

Lösung einblenden

$\| - 3 x - 3 \| + 2$	=	$5$
$2 + \| - 3 x - 3 \|$	=	$5$	\| $- 2$
$\| - 3 x - 3 \|$	=	$3$

1. Fall: $- 3 x - 3$ ≥ 0:

$- 3 x - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 2) - 3$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 3$ < 0:

$- (- 3 x - 3)$	=	$3$
$3 x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 0 - 3$ = -3 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -3 ≥ 0:

2. Fall: -3x -3 < 0:

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- 3 x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 3$ < 0: