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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 15 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 15 e^{- 2 x}$	=	$- 2 e^{x}$	\| $+ 2 e^{x}$
$e^{4 x} + 2 e^{x} - 15 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 2 e^{\frac{1}{3} \ln (3)}$ = -2.884 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-2.884)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 5 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 6$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 5 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 21$ = $10 e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} + 21

=

10 e^{3 x}

|

- 10 e^{3 x}

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{10 x}{- 3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{10 x}{- 3 x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{x - 1} + \frac{10 x}{- 3 x + 3}$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) + \frac{3 x - 1}{x - 1} \cdot (3 x - 6) + \frac{10 x}{- 3 x + 3} \cdot (3 x - 6)$	=
$x + \frac{(3 x - 1) (3 x - 6)}{x - 1} + \frac{10 x (3 x - 6)}{- 3 x + 3}$	=
$x + \frac{9 x^{2} - 21 x + 6}{x - 1} + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 3 x + 3}$	=
$\frac{30 x^{2} - 60 x}{- 3 x + 3} + \frac{9 x^{2} - 21 x + 6}{x - 1} + x$	=

\frac{9 x^{2} - 21 x + 6}{x - 1} + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 3 x + 3} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 21 x + 6}{x - 1} + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 3 x + 3} + x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{9 x^{2} - 21 x + 6}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{30 x^{2} - 60 x}{- 3 x + 3} \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1)$	=
$9 x^{2} - 21 x + 6 + \frac{(30 x^{2} - 60 x) (x - 1)}{- 3 x + 3} + x (x - 1)$	=
$9 x^{2} - 21 x + 6 + \frac{30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x}{- 3 x + 3} + (x^{2} - x)$	=
$\frac{30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x}{- 3 x + 3} + 9 x^{2} + x^{2} - 21 x - x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 3$ weg!

$\frac{30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x}{- 3 x + 3} + 9 x^{2} + x^{2} - 21 x - x + 6$	=	\|⋅( $- 3 x + 3$ )
$\frac{30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x}{- 3 x + 3} \cdot (- 3 x + 3) + 9 x^{2} \cdot (- 3 x + 3) + x^{2} \cdot (- 3 x + 3) - 21 x \cdot (- 3 x + 3) - x \cdot (- 3 x + 3) + 6 \cdot (- 3 x + 3)$	=
$30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x + 9 x^{2} (- 3 x + 3) + x^{2} (- 3 x + 3) - 21 x (- 3 x + 3) - x (- 3 x + 3) - 18 x + 18$	=
$30 x^{3} - 90 x^{2} + 60 x + (- 27 x^{3} + 27 x^{2}) + (- 3 x^{3} + 3 x^{2}) + (63 x^{2} - 63 x) + (3 x^{2} - 3 x) - 18 x + 18$	=
$6 x^{2} - 24 x + 18$	=

6 x^{2} - 24 x + 18

= 0 |:6

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 3 x$	$- 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 3$
		-( $3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x - 1 | - 9$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x - 1 \| - 9$	=	$- 3$
$- 9 - \frac{1}{2} \| - x - 1 \|$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{2} \| - x - 1 \|$	=	$6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x - 1 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen