Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 2 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $8$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} + 2 e^{3 x}

=

8

|

- 8

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $8$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 1 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 4$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 1 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $- 1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$- 1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$(- x^{2} + 8 x) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $8$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{- 5 x} + 2) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{- 5 x} + 2) (x^{5} - 16 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{- 5 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 4 e^{- 5 x}$	=	$- 2$	\|: $- 4$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 0.1386

2. Fall:

$x^{5} - 16 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $- \frac{1}{5} \ln (\frac{1}{2})$ ; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{x - 1} + \frac{12 x}{- x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{8 x}{x - 1} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{- x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{- x + 1}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{12 x}{- x + 1} \cdot (x - 1)$	=
$8 x + \frac{6 x (x - 1)}{2 x - 1} + \frac{12 x (x - 1)}{- x + 1}$	=
$8 x + \frac{6 x^{2} - 6 x}{2 x - 1} + \frac{12 x^{2} - 12 x}{- x + 1}$	=
$\frac{12 x^{2} - 12 x}{- x + 1} + \frac{6 x^{2} - 6 x}{2 x - 1} + 8 x$	=

\frac{6 x^{2} - 6 x}{2 x - 1} + \frac{12 x^{2} - 12 x}{- x + 1} + 8 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 6 x}{2 x - 1} + \frac{12 x^{2} - 12 x}{- x + 1} + 8 x$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{12 x^{2} - 12 x}{- x + 1} \cdot (2 x - 1) + 8 x \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x^{2} - 6 x + \frac{(12 x^{2} - 12 x) (2 x - 1)}{- x + 1} + 8 x (2 x - 1)$	=
$6 x^{2} - 6 x + \frac{24 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x}{- x + 1} + (16 x^{2} - 8 x)$	=
$\frac{24 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x}{- x + 1} + 6 x^{2} + 16 x^{2} - 6 x - 8 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- x + 1$ weg!

$\frac{24 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x}{- x + 1} + 6 x^{2} + 16 x^{2} - 6 x - 8 x$	=	\|⋅( $- x + 1$ )
$\frac{24 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x}{- x + 1} \cdot (- x + 1) + 6 x^{2} \cdot (- x + 1) + 16 x^{2} \cdot (- x + 1) - 6 x \cdot (- x + 1) - 8 x \cdot (- x + 1)$	=
$24 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x + 6 x^{2} (- x + 1) + 16 x^{2} (- x + 1) - 6 x (- x + 1) - 8 x (- x + 1)$	=
$24 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x + (- 6 x^{3} + 6 x^{2}) + (- 16 x^{3} + 16 x^{2}) + (6 x^{2} - 6 x) + (8 x^{2} - 8 x)$	=
$2 x^{3} - 2 x$	=

$2 x^{3} - 2 x$	=	0
$2 x (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 14 \cdot 1 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 10 x + 24$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$24 x$	$- 24$
		-( $24 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = $(x^{2} + 10 x + 24) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 10 x + 24) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10+2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10-2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 9 \cdot {(- 4)}^{2} + 14 \cdot (- 4) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$- 6 x$	$- 24$
		-( $- 6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 9 \cdot {(- 6)}^{2} + 14 \cdot (- 6) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 4 x$	$- 24$
		-( $- 4 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 4$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x - 2 | + 2$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x - 2 \| + 2$	=	$- 2$
$2 - \frac{1}{3} \| x - 2 \|$	=	$- 2$	\| $- 2$
$- \frac{1}{3} \| x - 2 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x - 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $x - 2$ ≥ 0:

$x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 2$ ≥ 0) genügt:

$14 - 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 2$ < 0:

$- (x - 2)$	=	$12$
$- x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 2$ < 0) genügt:

$- 10 - 2$ = -12 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: x -2 ≥ 0:

2. Fall: x -2 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 2$ < 0: