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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 10 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $- 3 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 10 e^{- 2 x}$	=	$- 3 e^{x}$	\| $+ 3 e^{x}$
$e^{4 x} + 3 e^{x} - 10 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 3 e^{\frac{1}{3} \ln (2)}$ = -3.78 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-3.78)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 1$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + e^{2 x}

=

12

|

- 12

e^{4 x} + e^{2 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 3 e^{4 x} - 4 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 3 e^{4 x} - 4 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 4) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{2 x} + \frac{4 x - 1}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

- \frac{4 x - 1}{x} + \frac{5 x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{4 x - 1}{x} + \frac{5 x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{4 x - 1}{x} \cdot 2 x + \frac{5 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{6 x}{x - 2} \cdot 2 x$	=
$- 8 x + 2 + 5 x - 1 + 2 \frac{6 x \cdot x}{x - 2}$	=
$- 8 x + 2 + 5 x - 1 + 2 \frac{6 x^{2}}{x - 2}$	=
$2 \frac{6 x^{2}}{x - 2} - 8 x + 5 x + 2 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$2 \frac{6 x^{2}}{x - 2} - 8 x + 5 x + 2 - 1$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$2 \frac{6 x^{2}}{x - 2} \cdot (x - 2) - 8 x \cdot (x - 2) + 5 x \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2) - 1 \cdot (x - 2)$	=
$12 x^{2} - 8 x (x - 2) + 5 x (x - 2) + 2 x - 4 - x + 2$	=
$12 x^{2} + (- 8 x^{2} + 16 x) + (5 x^{2} - 10 x) + 2 x - 4 - x + 2$	=
$9 x^{2} + 7 x - 2$	=

$9 x^{2} + 7 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{18}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{18}$ = $\frac{- 7+11}{18}$ = $\frac{4}{18}$ = $\frac{2}{9}$ ≈ 0.22

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{18}$ = $\frac{- 7-11}{18}$ = $\frac{- 18}{18}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{2}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x + 16 | + 8$ = $16$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \| + 8$	=	$16$
$8 + \frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \|$	=	$16$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \|$	=	$8$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

$- 4 x + 16$	=	$24$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 2) + 16$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0:

$- (- 4 x + 16)$	=	$24$
$4 x - 16$	=	$24$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 10 + 16$ = -24 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +16 ≥ 0:

2. Fall: -4x +16 < 0:

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0: