Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 5 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $- 4 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 5 e^{4 x}$	=	$- 4 e^{2 x}$	\| $+ 4 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 5 e^{4 x} + 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 4) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 4 e^{2 \cdot 0}$ = -4 Somit gilt: S₁(0|-4)

x₂ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 4 e^{2 \cdot (\ln (2))}$ = -16 Somit gilt: S₂( $\ln (2)$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 4 + 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 1$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 4 + 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $- 2 - 8 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 8 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 8 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 8 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$- 8 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$8 (- x^{2} + x) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{3 x} - 6) \cdot (x^{4} - 16 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{3 x} - 6) (x^{4} - 16 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{3 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 e^{3 x}$	=	$6$	\|: $3$
$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

$x^{4} - 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 x + 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $2$ }

\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{4 x}{x - 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{4 x}{x - 2} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{4 x}{x - 2} \cdot (3 x + 4) - 5 \cdot (3 x + 4)$	=
$3 x + \frac{4 x (3 x + 4)}{x - 2} - 15 x - 20$	=
$3 x + \frac{12 x^{2} + 16 x}{x - 2} - 15 x - 20$	=
$\frac{12 x^{2} + 16 x}{x - 2} + 3 x - 15 x - 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 16 x}{x - 2} + 3 x - 15 x - 20$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x^{2} + 16 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) - 15 x \cdot (x - 2) - 20 \cdot (x - 2)$	=
$12 x^{2} + 16 x + 3 x (x - 2) - 15 x (x - 2) - 20 x + 40$	=
$12 x^{2} + 16 x + (3 x^{2} - 6 x) + (- 15 x^{2} + 30 x) - 20 x + 40$	=
$20 x + 40$	=

$20 x + 40$	=	0	\| $- 40$
$20 x$	=	$- 40$	\|: $20$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 2 \cdot {(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 7 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 8 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
			$12 x$	$+ 12$
			-( $12 x$	$+ 12$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12$ = $(x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 6 x$	$+ 12$
		-( $- 6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ = $(x^{2} - x - 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 12$
		-( $- 4 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 3)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 3)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x + 5 | - 9$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \| - x + 5 \| - 9$	=	$- 14$
$- 9 - \| - x + 5 \|$	=	$- 14$	\| $+ 9$
$- \| - x + 5 \|$	=	$- 5$	\|: $(- 1)$
$\| - x + 5 \|$	=	$5$

1. Fall: $- x + 5$ ≥ 0:

$- x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 5$ ≥ 0) genügt:

$- (0) + 5$ = 5 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 5$ < 0:

$- (- x + 5)$	=	$5$
$x - 5$	=	$5$	\| $+ 5$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 5$ < 0) genügt:

$- 10 + 5$ = -5 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $10$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +5 ≥ 0:

2. Fall: -x +5 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $- x + 5$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 5$ < 0: