Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} + 2$ und $g(x) =$ $24 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} + 2

=

24 e^{- x}

|

- 24 e^{- x}

e^{x} - 24 e^{- x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 24 e^{- x} + 2$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + 2 e^{x} - 24$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $24 e^{- (2 \ln (2))}$ = 6 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 3 + 4 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 3 + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $4 e^{- 2 x} - 8 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- 2 x} - 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} + x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 3} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{x}{2 x + 3} - 1$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) - 1 \cdot (2 x + 3)$	=
$x - 2 x - 3$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} - 19 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$+ 26 x$ )
		$- 30 x$	$+ 60$
		-( $- 30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 19 \cdot 6^{2} - 4 \cdot 6 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 10 x$	$+ 60$
		-( $- 10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 4 x + 60$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} - x - 10) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x - 1 | + 3$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x - 1 \| + 3$	=	$- 2$
$3 - \frac{1}{3} \| x - 1 \|$	=	$- 2$	\| $- 3$
$- \frac{1}{3} \| x - 1 \|$	=	$- 5$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x - 1 \|$	=	$15$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

$x - 1$	=	$15$	\| $+ 1$
x₁	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ ≥ 0) genügt:

$16 - 1$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 1$ < 0:

$- (x - 1)$	=	$15$
$- x + 1$	=	$15$	\| $- 1$
$- x$	=	$14$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ < 0) genügt:

$- 14 - 1$ = -15 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $16$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: x -1 ≥ 0:

2. Fall: x -1 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 1$ < 0: