Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{63}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $2$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} - \frac{63}{x^{2}}$	=	$2$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} - \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$2 \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} - 63$	=	$2 x^{2}$
$x^{4} - 63$	=	$2 x^{2}$

x^{4} - 63

=

2 x^{2}

|

- 2 x^{2}

x^{4} - 2 x^{2} - 63

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $2$ Somit gilt: S₁( $- 3$ |2)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $2$ Somit gilt: S₂( $3$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{7}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $8 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x + 3$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{7}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - 7 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} - 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{x}{3 x + 8} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{x}{3 x + 8} + \frac{x}{x + 2} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{x}{3 x + 8} + \frac{x}{x + 2} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{x}{x + 2} \cdot (3 x + 8) - 3 \cdot (3 x + 8)$	=
$x + \frac{x (3 x + 8)}{x + 2} - 9 x - 24$	=
$x + \frac{3 x^{2} + 8 x}{x + 2} - 9 x - 24$	=
$\frac{3 x^{2} + 8 x}{x + 2} + x - 9 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 8 x}{x + 2} + x - 9 x - 24$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x^{2} + 8 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + x \cdot (x + 2) - 9 x \cdot (x + 2) - 24 \cdot (x + 2)$	=
$3 x^{2} + 8 x + x (x + 2) - 9 x (x + 2) - 24 x - 48$	=
$3 x^{2} + 8 x + (x^{2} + 2 x) + (- 9 x^{2} - 18 x) - 24 x - 48$	=
$- 5 x^{2} - 32 x - 48$	=

$- 5 x^{2} - 32 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32+8}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{32-8}{- 10}$ = $\frac{24}{- 10}$ = $- 2,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 5 x^{3} - 15 x^{2} - 5 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 5 x^{3} - 15 x^{2} - 5 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 5 \cdot {(- 1)}^{3} - 15 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} - 19 x + 14$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$- 15 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 19 x^{2}$	$- 5 x$
		-( $- 19 x^{2}$	$- 19 x$ )
			$14 x$	$+ 14$
			-( $14 x$	$+ 14$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 5 x^{3} - 15 x^{2} - 5 x + 14$ = $(x^{3} + 4 x^{2} - 19 x + 14) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 4 x^{2} - 19 x + 14) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 19 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 19 \cdot 1 + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 19 x$	$+ 14$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 14 x$	$+ 14$
		-( $- 14 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 19 x + 14$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 19 \cdot 2 + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 19 x$	$+ 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 7 x$	$+ 14$
		-( $- 7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 19 x + 14$ = $(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 6 x - 7) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 4 \cdot {(- 7)}^{2} - 19 \cdot (- 7) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 19 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$2 x$	$+ 14$
		-( $2 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 19 x + 14$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 7$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x + 4 | - 9$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \| - 9$	=	$- 3$
$- 9 - \frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \|$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \|$	=	$6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 7$