Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2}$ und $g(x) =$ $9$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $9$ Somit gilt: S₁( $- 3$ |9)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $9$ Somit gilt: S₂( $3$ |9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $20 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x - 2$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

20

|

- 20

e^{2 x} - e^{x} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{3} - 6 x$ = $- x^{5}$

Lösung einblenden

$5 x^{3} - 6 x$	=	$- x^{5}$	\| $+ x^{5}$
$x^{5} + 5 x^{3} - 6 x$	=	0
$x (x^{4} + 5 x^{2} - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 5 x^{2} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{12 x}{x + 3} + \frac{14 x}{- 3 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{14 x}{- 3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{14 x}{- 3 x + 1}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (x + 3) + \frac{14 x}{- 3 x + 1} \cdot (x + 3)$	=
$12 x + \frac{8 x (x + 3)}{3 x - 1} + \frac{14 x (x + 3)}{- 3 x + 1}$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} + 24 x}{3 x - 1} + \frac{14 x^{2} + 42 x}{- 3 x + 1}$	=
$\frac{14 x^{2} + 42 x}{- 3 x + 1} + \frac{8 x^{2} + 24 x}{3 x - 1} + 12 x$	=

\frac{8 x^{2} + 24 x}{3 x - 1} + \frac{14 x^{2} + 42 x}{- 3 x + 1} + 12 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 24 x}{3 x - 1} + \frac{14 x^{2} + 42 x}{- 3 x + 1} + 12 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} + 24 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{14 x^{2} + 42 x}{- 3 x + 1} \cdot (3 x - 1) + 12 x \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} + 24 x + \frac{(14 x^{2} + 42 x) (3 x - 1)}{- 3 x + 1} + 12 x (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} + 24 x + \frac{42 x^{3} + 112 x^{2} - 42 x}{- 3 x + 1} + (36 x^{2} - 12 x)$	=
$\frac{42 x^{3} + 112 x^{2} - 42 x}{- 3 x + 1} + 8 x^{2} + 36 x^{2} + 24 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 3 x + 1$ weg!

$\frac{42 x^{3} + 112 x^{2} - 42 x}{- 3 x + 1} + 8 x^{2} + 36 x^{2} + 24 x - 12 x$	=	\|⋅( $- 3 x + 1$ )
$\frac{42 x^{3} + 112 x^{2} - 42 x}{- 3 x + 1} \cdot (- 3 x + 1) + 8 x^{2} \cdot (- 3 x + 1) + 36 x^{2} \cdot (- 3 x + 1) + 24 x \cdot (- 3 x + 1) - 12 x \cdot (- 3 x + 1)$	=
$42 x^{3} + 112 x^{2} - 42 x + 8 x^{2} (- 3 x + 1) + 36 x^{2} (- 3 x + 1) + 24 x (- 3 x + 1) - 12 x (- 3 x + 1)$	=
$42 x^{3} + 112 x^{2} - 42 x + (- 24 x^{3} + 8 x^{2}) + (- 108 x^{3} + 36 x^{2}) + (- 72 x^{2} + 24 x) + (36 x^{2} - 12 x)$	=
$- 90 x^{3} + 120 x^{2} - 30 x$	=

$- 90 x^{3} + 120 x^{2} - 30 x$	=	0
$30 x (- 3 x^{2} + 4 x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x^{2} + 4 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 6}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 6}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 4+2}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 4-2}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 33 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$18 x$	$+ 18$
		-( $18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} + 33 \cdot (- 6) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 33 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 33 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$3 x$	$+ 18$
		-( $3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 17 x^{2} + 33 x + 18$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x + 1 | + 7$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x + 1 \| + 7$	=	$2$
$7 + \frac{1}{3} \| - x + 1 \|$	=	$2$	\| $- 7$
$\frac{1}{3} \| - x + 1 \|$	=	$- 5$	\|⋅ $3$
$\| - x + 1 \|$	=	$- 15$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 6$