Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 6 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 5 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 6 e^{- x}$	=	$- 5 e^{x}$	\| $+ 5 e^{x}$
$e^{3 x} + 5 e^{x} - 6 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 5 e^{0}$ = -5 Somit gilt: S₁(0|-5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 1 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 1 + 4 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $4 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$4 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 + 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$4 e^{- \frac{1}{4} x} - x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$(- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 5 e^{2 x} + 4 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 5 e^{2 x} + 4 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 5 e^{x} + 4) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 5 e^{x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$2 x - 4 x + 8$	=
$- 2 x + 8$	=

$- 2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 7 \cdot {(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 23 \cdot (- 1) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 23 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$6 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $6 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
		$- 9 x^{2}$	$- 23 x$
		-( $- 9 x^{2}$	$- 9 x$ )
			$- 14 x$	$- 14$
			-( $- 14 x$	$- 14$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x - 14$ = $(x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 6 \cdot {(- 1)}^{2} - 9 \cdot (- 1) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 9 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 14 x$	$- 14$
		-( $- 14 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 9 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 9 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 6 \cdot {(- 7)}^{2} - 9 \cdot (- 7) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 9 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- x^{2}$	$- 7 x$ )
		$- 2 x$	$- 14$
		-( $- 2 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - x - 2) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} + 7 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 23 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 23 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$9 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $9 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
		$15 x^{2}$	$- 23 x$
		-( $15 x^{2}$	$- 30 x$ )
			$7 x$	$- 14$
			-( $7 x$	$- 14$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x - 14$ = $(x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7) \cdot (x - 2)$

(x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 15 \cdot (- 1) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 15 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 15 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$7 x$	$+ 7$
		-( $7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 9 \cdot {(- 7)}^{2} + 15 \cdot (- 7) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 15 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 15 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$x$	$+ 7$
		-( $x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 7$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{4} + 7 \cdot {(- 7)}^{3} - 3 \cdot {(- 7)}^{2} - 23 \cdot (- 7) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 23 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{3} + 0 - 3 x - 2$
-( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$ )
	0	$- 3 x^{2}$
	-(0	0)
		$- 3 x^{2}$	$- 23 x$
		-( $- 3 x^{2}$	$- 21 x$ )
			$- 2 x$	$- 14$
			-( $- 2 x$	$- 14$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x - 14$ = $(x^{3} + 0 - 3 x - 2) \cdot (x + 7)$

$(x^{3} + 0 - 3 x - 2) \cdot (x + 7)$	=	0
$(x^{3} - 3 x - 2) (x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot (- 1) - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$- 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 3 x$
	-( $- x^{2}$	$- x$ )
		$- 2 x$	$- 2$
		-( $- 2 x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x - 2$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - x - 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$- 2$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 3 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$x$	$- 2$
		-( $x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x - 2$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1$ ; $2$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x + 10 | + 7$ = $13$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \| + 7$	=	$13$
$7 + \frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \|$	=	$13$	\| $- 7$
$\frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

$- 2 x + 10$	=	$12$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 1) + 10$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0:

$- (- 2 x + 10)$	=	$12$
$2 x - 10$	=	$12$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$22$	\|: $2$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 11 + 10$ = -12 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $11$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +10 ≥ 0:

2. Fall: -2x +10 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0: