Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 30 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 30 e^{2 x}$	=	$- e^{5 x}$	\| $+ e^{5 x}$
$e^{8 x} + e^{5 x} - 30 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 30) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $- e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = -14.62 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |-14.62)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $8 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x + 6$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 2 e^{3 x}

=

8

|

- 8

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{7} - 8 x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{7} - 8 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{x}{2 x - 3} + \frac{- 8 x}{6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $1$ }

\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - \frac{8 x}{6 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - \frac{8 x}{6 x - 6}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x + 1}{2 x - 2} \cdot (2 x - 3) - \frac{8 x}{6 x - 6} \cdot (2 x - 3)$	=
$x + \frac{(x + 1) (2 x - 3)}{2 x - 2} - \frac{8 x (2 x - 3)}{6 x - 6}$	=
$x + \frac{2 x^{2} - x - 3}{2 x - 2} - \frac{16 x^{2} - 24 x}{6 x - 6}$	=
$- \frac{16 x^{2} - 24 x}{6 x - 6} + \frac{2 x^{2} - x - 3}{2 x - 2} + x$	=

\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 x - 2} - \frac{16 x^{2} - 24 x}{6 x - 6} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 x - 2} - \frac{16 x^{2} - 24 x}{6 x - 6} + x$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) - \frac{16 x^{2} - 24 x}{6 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + x \cdot (2 x - 2)$	=
$2 x^{2} - x - 3 - \frac{16}{3} x^{2} + 8 x + x (2 x - 2)$	=
$2 x^{2} - x - 3 - \frac{16}{3} x^{2} + 8 x + (2 x^{2} - 2 x)$	=
$- \frac{4}{3} x^{2} + 5 x - 3$	=

$- \frac{4}{3} x^{2} + 5 x - 3$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x^{2} + 5 x - 3)$	=	0

$- 4 x^{2} + 15 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 15+9}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 15-9}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 10$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$10 x$	$- 10$
		-( $10 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 17 \cdot 2 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 10$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$5 x$	$- 10$
		-( $5 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ = $(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x + 5) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 8 \cdot 5^{2} + 17 \cdot 5 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 10$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$2 x$	$- 10$
		-( $2 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $1$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x + 8 | - 2$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x + 8 \| - 2$	=	$2$
$- 2 + \frac{1}{2} \| 4 x + 8 \|$	=	$2$	\| $+ 2$
$\frac{1}{2} \| 4 x + 8 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| 4 x + 8 \|$	=	$8$

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

$4 x + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 0 + 8$ = 8 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 8$ < 0:

$- (4 x + 8)$	=	$8$
$- 4 x - 8$	=	$8$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 4) + 8$ = -8 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 5

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +8 ≥ 0:

2. Fall: 4x +8 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 8$ < 0: