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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 30 e^{x}$ und $g(x) =$ $e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 30 e^{x}$	=	$e^{2 x}$	\| $- e^{2 x}$
$e^{3 x} - e^{2 x} - 30 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 30) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $e^{2 \cdot (\ln (6))}$ = 36 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |36)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 5 + 4 x \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 6$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 5 + 4 x \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $4 e^{- 3 x} + 2 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- 3 x} + 2 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$4 e^{- 3 x} + 2 - 2 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$4 e^{- 3 x} - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$4 (- 3 x + 1) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$- 1$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$\frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 3 e^{4 x} - 18 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 3 e^{4 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 18) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{x - 3}{x} + \frac{- 11 x - 3}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

\frac{- 11 x - 3}{2 x} + \frac{x - 3}{x} + \frac{4 x}{2 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 11 x - 3}{2 x} + \frac{x - 3}{x} + \frac{4 x}{2 x + 2}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 11 x - 3}{2 x} \cdot 2 x + \frac{x - 3}{x} \cdot 2 x + \frac{4 x}{2 x + 2} \cdot 2 x$	=
$- 11 x - 3 + 2 x - 6 + 2 \frac{4 x \cdot x}{2 x + 2}$	=
$- 11 x - 3 + 2 x - 6 + 2 \frac{4 x^{2}}{2 x + 2}$	=
$2 \frac{4 x^{2}}{2 x + 2} - 11 x + 2 x - 3 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$2 \frac{4 x^{2}}{2 x + 2} - 11 x + 2 x - 3 - 6$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$2 \frac{4 x^{2}}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) - 11 x \cdot (2 x + 2) + 2 x \cdot (2 x + 2) - 3 \cdot (2 x + 2) - 6 \cdot (2 x + 2)$	=
$8 x^{2} - 11 x (2 x + 2) + 2 x (2 x + 2) - 6 x - 6 - 12 x - 12$	=
$8 x^{2} + (- 22 x^{2} - 22 x) + (4 x^{2} + 4 x) - 6 x - 6 - 12 x - 12$	=
$- 10 x^{2} - 36 x - 18$	=

- 10 x^{2} - 36 x - 18

= 0 |:2

$- 5 x^{2} - 18 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 180}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{144}}{- 10}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{18+12}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{18-12}{- 10}$ = $\frac{6}{- 10}$ = $- 0,6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 8 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 8 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 8 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 8 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 8 x - 8$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 2 | + 2$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 2 \| + 2$	=	$1$
$2 + \frac{1}{3} \| x + 2 \|$	=	$1$	\| $- 2$
$\frac{1}{3} \| x + 2 \|$	=	$- 1$	\|⋅ $3$
$\| x + 2 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

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Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen