Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 7 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $- 10 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 7 e^{4 x}$	=	$- 10 e^{x}$	\| $+ 10 e^{x}$
$e^{7 x} - 7 e^{4 x} + 10 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 10) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 10 e^{\frac{1}{3} \ln (2)}$ = -12.599 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-12.599)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $- 10 e^{\frac{1}{3} \ln (5)}$ = -17.1 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |-17.1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + 2 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 5$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + 2 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 4 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 4 e^{2 x}

=

12

|

- 12

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 5 x} - 6) \cdot (x^{4} - 8 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 5 x} - 6) (x^{4} - 8 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 5 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$7 e^{- 5 x}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 0.0308

2. Fall:

$x^{4} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={0; $- \frac{1}{5} \ln (\frac{6}{7})$ ; $8$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{20 x + 2}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

- \frac{20 x + 2}{3 x} + \frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{6 x}{x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$- \frac{20 x + 2}{3 x} + \frac{7 x + 2}{2 x} + \frac{6 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$- \frac{20 x + 2}{3 x} \cdot 6 x + \frac{7 x + 2}{2 x} \cdot 6 x + \frac{6 x}{x + 2} \cdot 6 x$	=
$- 40 x - 4 + 21 x + 6 + 6 \frac{6 x \cdot x}{x + 2}$	=
$- 40 x - 4 + 21 x + 6 + 6 \frac{6 x^{2}}{x + 2}$	=
$6 \frac{6 x^{2}}{x + 2} - 40 x + 21 x - 4 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$6 \frac{6 x^{2}}{x + 2} - 40 x + 21 x - 4 + 6$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$6 \frac{6 x^{2}}{x + 2} \cdot (x + 2) - 40 x \cdot (x + 2) + 21 x \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2) + 6 \cdot (x + 2)$	=
$36 x^{2} - 40 x (x + 2) + 21 x (x + 2) - 4 x - 8 + 6 x + 12$	=
$36 x^{2} + (- 40 x^{2} - 80 x) + (21 x^{2} + 42 x) - 4 x - 8 + 6 x + 12$	=
$17 x^{2} - 36 x + 4$	=

$17 x^{2} - 36 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 4}}{2 \cdot 17}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 296 - 272}}{34}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 024}}{34}$

x₁ = $\frac{36 + \sqrt{1 024}}{34}$ = $\frac{36+32}{34}$ = $\frac{68}{34}$ = $2$

x₂ = $\frac{36 - \sqrt{1 024}}{34}$ = $\frac{36-32}{34}$ = $\frac{4}{34}$ = $\frac{2}{17}$ ≈ 0.12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{17}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3} - 28 x^{2} + 8 x + 96$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 2 x^{3} - 28 x^{2} + 8 x + 96$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $96$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 2 \cdot {(- 2)}^{3} - 28 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) + 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 28 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 96$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 20 x + 48$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$- 28 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
		$- 20 x^{2}$	$+ 8 x$
		-( $- 20 x^{2}$	$- 40 x$ )
			$48 x$	$+ 96$
			-( $48 x$	$+ 96$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 28 x^{2} + 8 x + 96$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 20 x + 48) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 20 x + 48) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 20 x + 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $48$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 20 x$	$+ 48$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 24$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 24 x$	$+ 48$
		-( $- 24 x$	$+ 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 20 x + 48$ = $(x^{2} - 2 x - 24) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 24) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 4 \cdot {(- 4)}^{2} - 20 \cdot (- 4) + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 20 x$	$+ 48$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$12 x$	$+ 48$
		-( $12 x$	$+ 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 20 x + 48$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 4 \cdot 6^{2} - 20 \cdot 6 + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 20 x$	$+ 48$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 8 x$	$+ 48$
		-( $- 8 x$	$+ 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 20 x + 48$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x + 12 | + 4$ = $28$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x + 12 \| + 4$	=	$28$
$4 + \frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$28$	\| $- 4$
$\frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$24$	\|⋅ $2$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$48$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$48$	\| $- 12$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 9 + 12$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$48$
$- 4 x - 12$	=	$48$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$60$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 15) + 12$ = -48 < 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: