Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 18 e^{x}$ und $g(x) =$ $9 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 18 e^{x}$	=	$9 e^{2 x}$	\| $- 9 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 9 e^{2 x} + 18 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 9 e^{x} + 18) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 9 e^{x} + 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $9 e^{2 \cdot (\ln (3))}$ = 81 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |81)

x₂ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $9 e^{2 \cdot (\ln (6))}$ = 324 Somit gilt: S₂( $\ln (6)$ |324)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $30 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x + 5$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + e^{2 x}

=

30

|

- 30

e^{4 x} + e^{2 x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{7 x} + 3) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{7 x} + 3) (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{7 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 3 e^{7 x}$	=	$- 3$	\|: $- 3$
$e^{7 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	0	\|: $7$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} + \frac{- 12 x}{6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} - \frac{12 x}{6 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 6$ weg!

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} - \frac{12 x}{6 x - 6}$	=	\|⋅( $3 x - 6$ )
$\frac{x}{3 x - 6} \cdot (3 x - 6) + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} \cdot (3 x - 6) - \frac{12 x}{6 x - 6} \cdot (3 x - 6)$	=
$x + \frac{(3 x - 1) (3 x - 6)}{2 x - 2} - \frac{12 x (3 x - 6)}{6 x - 6}$	=
$x + \frac{9 x^{2} - 21 x + 6}{2 x - 2} - \frac{36 x^{2} - 72 x}{6 x - 6}$	=
$- \frac{36 x^{2} - 72 x}{6 x - 6} + \frac{9 x^{2} - 21 x + 6}{2 x - 2} + x$	=

\frac{9 x^{2} - 21 x + 6}{2 x - 2} - \frac{36 x^{2} - 72 x}{6 x - 6} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 21 x + 6}{2 x - 2} - \frac{36 x^{2} - 72 x}{6 x - 6} + x$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{9 x^{2} - 21 x + 6}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) - \frac{36 x^{2} - 72 x}{6 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + x \cdot (2 x - 2)$	=
$9 x^{2} - 21 x + 6 - 12 x^{2} + 24 x + x (2 x - 2)$	=
$9 x^{2} - 21 x + 6 - 12 x^{2} + 24 x + (2 x^{2} - 2 x)$	=
$- x^{2} + x + 6$	=

$- x^{2} + x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 38 \cdot {(- 2)}^{2} + 109 \cdot (- 2) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$+ 109 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 109 x$
	-( $32 x^{2}$	$+ 64 x$ )
		$45 x$	$+ 90$
		-( $45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 38 \cdot {(- 9)}^{2} + 109 \cdot (- 9) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$+ 109 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 109 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 99 x$ )
		$10 x$	$+ 90$
		-( $10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x - 12 | - 8$ = $4$

Lösung einblenden

$\| - 4 x - 12 \| - 8$	=	$4$
$- 8 + \| - 4 x - 12 \|$	=	$4$	\| $+ 8$
$\| - 4 x - 12 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

$- 4 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 6) - 12$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0:

$- (- 4 x - 12)$	=	$12$
$4 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 0 - 12$ = -12 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; 0}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -12 ≥ 0:

2. Fall: -4x -12 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0: