Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 13$ und $g(x) =$ $- \frac{42}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 13$	=	$- \frac{42}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 13 \cdot x$	=	$- \frac{42}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 13 x$	=	$- 42$
$x^{2} - 13 x$	=	$- 42$

x^{2} - 13 x

=

- 42

|

+ 42

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $6$ : f( $6$ )= $- \frac{42}{6}$ = -7 Somit gilt: S₁( $6$ |-7)

x₂ = $7$ : f( $7$ )= $- \frac{42}{7}$ = -6 Somit gilt: S₂( $7$ |-6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $4 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x - 1$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 3 e^{3 x}

=

4

|

- 4

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{5 x} + 7) \cdot (x^{4} + 5 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{5 x} + 7) (x^{4} + 5 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{5 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 2 e^{5 x}$	=	$- 7$	\|: $- 2$
$e^{5 x}$	=	$\frac{7}{2}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{7}{2})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{2})$	≈ 0.2506

2. Fall:

$x^{4} + 5 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; 0; $\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{2})$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{2 x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{2}{3}$ }

\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2} - 4$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{3 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot (2 x - 2) - 4 \cdot (2 x - 2)$	=
$3 x + \frac{2 x (2 x - 2)}{3 x - 2} - 8 x + 8$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 2} - 8 x + 8$	=
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 2} + 3 x - 8 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 2} + 3 x - 8 x + 8$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + 3 x \cdot (3 x - 2) - 8 x \cdot (3 x - 2) + 8 \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x^{2} - 4 x + 3 x (3 x - 2) - 8 x (3 x - 2) + 24 x - 16$	=
$4 x^{2} - 4 x + (9 x^{2} - 6 x) + (- 24 x^{2} + 16 x) + 24 x - 16$	=
$- 11 x^{2} + 30 x - 16$	=

$- 11 x^{2} + 30 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 704}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{196}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 30 + \sqrt{196}}{- 22}$ = $\frac{- 30+14}{- 22}$ = $\frac{- 16}{- 22}$ = $\frac{8}{11}$ ≈ 0.73

x₂ = $\frac{- 30 - \sqrt{196}}{- 22}$ = $\frac{- 30-14}{- 22}$ = $\frac{- 44}{- 22}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{11}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 19 \cdot (- 1) - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 19 x$	$- 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 15 x$	$- 15$
		-( $- 15 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} - 3^{2} - 19 \cdot 3 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 19 x$	$- 15$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$5 x$	$- 15$
		-( $5 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x - 2 | + 2$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x - 2 \| + 2$	=	$- 4$
$2 + \frac{1}{3} \| x - 2 \|$	=	$- 4$	\| $- 2$
$\frac{1}{3} \| x - 2 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $3$
$\| x - 2 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $3$