Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 3 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 3 e^{- x}$	=	$- 2 e^{2 x}$	\| $+ 2 e^{2 x}$
$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 3 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 2 e^{2 \cdot 0}$ = -2 Somit gilt: S₁(0|-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 4 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 4$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 4 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} + 3 x^{3} - 4 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} + 3 x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{4} + 3 x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 3 x^{2} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 4}{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x + 4}{x} - 2$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x + 4}{x} \cdot x - 2 \cdot x$	=
$x + 4 - 2 x$	=
$- x + 4$	=

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{3} - 15 x^{2} + 17 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 3 x^{3} - 15 x^{2} + 17 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 3 \cdot 1^{3} - 15 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$- 15 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
		$- 11 x^{2}$	$+ 17 x$
		-( $- 11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
			$6 x$	$- 6$
			-( $6 x$	$- 6$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 15 x^{2} + 17 x - 6$ = $(x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 6 x$	$+ 6$
		-( $- 6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 4 \cdot {(- 6)}^{2} - 11 \cdot (- 6) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$x$	$+ 6$
		-( $x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 6$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{4} + 3 \cdot {(- 6)}^{3} - 15 \cdot {(- 6)}^{2} + 17 \cdot (- 6) - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 6$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
-( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 15 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
		$3 x^{2}$	$+ 17 x$
		-( $3 x^{2}$	$+ 18 x$ )
			$- x$	$- 6$
			-( $- x$	$- 6$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 15 x^{2} + 17 x - 6$ = $(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) \cdot (x + 6)$

(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $1$ }

$1$ ist 3-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x - 4 | - 1$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x - 4 \| - 1$	=	$- 5$
$- 1 - \frac{1}{2} \| - 4 x - 4 \|$	=	$- 5$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x - 4 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x - 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 4 x - 4$ ≥ 0:

$- 4 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 3) - 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 4$ < 0:

$- (- 4 x - 4)$	=	$8$
$4 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 1 - 4$ = -8 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -4 ≥ 0:

2. Fall: -4x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 4$ < 0: