Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2}$ und $g(x) =$ $15 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	$15 x$	\| $- 15 x$
$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x$	=	0
$x (x^{2} - 2 x - 15)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $15 \cdot (- 3)$ = -45 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-45)

x₂ = 0: f(0)= $15 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $5$ : f( $5$ )= $15 \cdot 5$ = 75 Somit gilt: S₃( $5$ |75)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 1 + x^{2} \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 1 + x^{2} \cdot e^{- x}$

f'(x)= $1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- x} + 2 x \cdot e^{- x}$	=	0
$(- x^{2} + 2 x) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 5 e^{x}$ = $4 e^{3 x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 5 e^{x}$	=	$4 e^{3 x}$	\| $- 4 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 4 e^{3 x} - 5 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 5) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; $2$ }

\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{2 x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{3 x - 1}{2 x - 4} \cdot (3 x - 7) - 7 \cdot (3 x - 7)$	=
$2 x + \frac{(3 x - 1) (3 x - 7)}{2 x - 4} - 21 x + 49$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} - 24 x + 7}{2 x - 4} - 21 x + 49$	=
$\frac{9 x^{2} - 24 x + 7}{2 x - 4} + 2 x - 21 x + 49$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 24 x + 7}{2 x - 4} + 2 x - 21 x + 49$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{9 x^{2} - 24 x + 7}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + 2 x \cdot (2 x - 4) - 21 x \cdot (2 x - 4) + 49 \cdot (2 x - 4)$	=
$9 x^{2} - 24 x + 7 + 2 x (2 x - 4) - 21 x (2 x - 4) + 98 x - 196$	=
$9 x^{2} - 24 x + 7 + (4 x^{2} - 8 x) + (- 42 x^{2} + 84 x) + 98 x - 196$	=
$- 29 x^{2} + 150 x - 189$	=

$- 29 x^{2} + 150 x - 189$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 150 \pm \sqrt{150^{2} - 4 \cdot (- 29) \cdot (- 189)}}{2 \cdot (- 29)}$

x_1,2 = $\frac{- 150 \pm \sqrt{22 500 - 21 924}}{- 58}$

x_1,2 = $\frac{- 150 \pm \sqrt{576}}{- 58}$

x₁ = $\frac{- 150 + \sqrt{576}}{- 58}$ = $\frac{- 150+24}{- 58}$ = $\frac{- 126}{- 58}$ = $\frac{63}{29}$ ≈ 2.17

x₂ = $\frac{- 150 - \sqrt{576}}{- 58}$ = $\frac{- 150-24}{- 58}$ = $\frac{- 174}{- 58}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{63}{29}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 35 \cdot {(- 1)}^{2} + 77 \cdot (- 1) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $32 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$45 x$	$+ 45$
		-( $45 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 35 \cdot {(- 9)}^{2} + 77 \cdot (- 9) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$5 x$	$+ 45$
		-( $5 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x - 6 | + 9$ = $27$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x - 6 \| + 9$	=	$27$
$9 + \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$27$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$18$	\|⋅ $2$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$36$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$42$	\|: $3$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 14 - 6$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$36$
$- 3 x + 6$	=	$36$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 10) - 6$ = -36 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $14$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: