Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 2$ und $g(x) =$ $35 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 2

=

35 e^{- 2 x}

|

- 35 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 35 e^{- 2 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 35 e^{- 2 x} - 2$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 35$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $35 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 5 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 4 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 4 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $8 e^{\frac{1}{2} x} - 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{\frac{1}{2} x} - 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$8 e^{\frac{1}{2} x} - 1 + 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$8 e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 (x + 2) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 6 e^{4 x}$ = $7 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 6 e^{4 x}$	=	$7 e^{2 x}$	\| $- 7 e^{2 x}$
$e^{6 x} + 6 e^{4 x} - 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $1$ }

\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{5 x - 1}{x - 1} - 7$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{5 x - 1}{x - 1} \cdot (2 x + 3) - 7 \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x + \frac{(5 x - 1) (2 x + 3)}{x - 1} - 14 x - 21$	=
$3 x + \frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{x - 1} - 14 x - 21$	=
$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{x - 1} + 3 x - 14 x - 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{x - 1} + 3 x - 14 x - 21$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{10 x^{2} + 13 x - 3}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 14 x \cdot (x - 1) - 21 \cdot (x - 1)$	=
$10 x^{2} + 13 x - 3 + 3 x (x - 1) - 14 x (x - 1) - 21 x + 21$	=
$10 x^{2} + 13 x - 3 + (3 x^{2} - 3 x) + (- 14 x^{2} + 14 x) - 21 x + 21$	=
$- x^{2} + 3 x + 18$	=

$- x^{2} + 3 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 18}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 3+9}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 3-9}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 29 \cdot {(- 2)}^{2} + 76 \cdot (- 2) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 76 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 76 x$
	-( $23 x^{2}$	$+ 46 x$ )
		$30 x$	$+ 60$
		-( $30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 29 \cdot {(- 6)}^{2} + 76 \cdot (- 6) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 76 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 76 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 66 x$ )
		$10 x$	$+ 60$
		-( $10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x + 4 | - 6$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x + 4 \| - 6$	=	$- 7$
$- 6 - \frac{1}{3} \| - x + 4 \|$	=	$- 7$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{3} \| - x + 4 \|$	=	$- 1$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x + 4 \|$	=	$3$

1. Fall: $- x + 4$ ≥ 0:

$- x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 1 + 4$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 4$ < 0:

$- (- x + 4)$	=	$3$
$x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 4$ < 0) genügt:

$- 7 + 4$ = -3 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +4 ≥ 0:

2. Fall: -x +4 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 4$ < 0: