Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $3 e^{- x} + 1$ und $g(x) =$ $10 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

3 e^{- x} + 1

=

10 e^{- 2 x}

|

- 10 e^{- 2 x}

3 e^{- x} - 10 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$3 e^{- x} - 10 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} + 3 e^{x} - 10$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $10 e^{- 2 \cdot (\ln (2))}$ = 2.5 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |2.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 4 + 3 x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 4 + 3 x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $3 e^{2 x} + 6 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{2 x} + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$3 (2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} + 3 x^{2} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{x} + \frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{- 15 x - 2}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{4}{3}$ }

\frac{- 15 x - 2}{2 x} + \frac{2 x - 2}{x} + \frac{4 x}{3 x + 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 15 x - 2}{2 x} + \frac{2 x - 2}{x} + \frac{4 x}{3 x + 4}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 15 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{2 x - 2}{x} \cdot 2 x + \frac{4 x}{3 x + 4} \cdot 2 x$	=
$- 15 x - 2 + 4 x - 4 + 2 \frac{4 x \cdot x}{3 x + 4}$	=
$- 15 x - 2 + 4 x - 4 + 2 \frac{4 x^{2}}{3 x + 4}$	=
$2 \frac{4 x^{2}}{3 x + 4} - 15 x + 4 x - 2 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$2 \frac{4 x^{2}}{3 x + 4} - 15 x + 4 x - 2 - 4$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$2 \frac{4 x^{2}}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) - 15 x \cdot (3 x + 4) + 4 x \cdot (3 x + 4) - 2 \cdot (3 x + 4) - 4 \cdot (3 x + 4)$	=
$8 x^{2} - 15 x (3 x + 4) + 4 x (3 x + 4) - 6 x - 8 - 12 x - 16$	=
$8 x^{2} + (- 45 x^{2} - 60 x) + (12 x^{2} + 16 x) - 6 x - 8 - 12 x - 16$	=
$- 25 x^{2} - 62 x - 24$	=

$- 25 x^{2} - 62 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{{(- 62)}^{2} - 4 \cdot (- 25) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 25)}$

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{3 844 - 2 400}}{- 50}$

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{1 444}}{- 50}$

x₁ = $\frac{62 + \sqrt{1 444}}{- 50}$ = $\frac{62+38}{- 50}$ = $\frac{100}{- 50}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{62 - \sqrt{1 444}}{- 50}$ = $\frac{62-38}{- 50}$ = $\frac{24}{- 50}$ = $- 0,48$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,48$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 19 \cdot {(- 2)}^{2} + 48 \cdot (- 2) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 19 x^{2}$	$+ 48 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 48 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$18 x$	$+ 36$
		-( $18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 19 \cdot {(- 6)}^{2} + 48 \cdot (- 6) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 19 x^{2}$	$+ 48 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 48 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$6 x$	$+ 36$
		-( $6 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $- 1,5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x + 8 | - 1$ = $- 13$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \| - 1$	=	$- 13$
$- 1 - \frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 13$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

$- 2 x + 8$	=	$36$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$28$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 14) + 8$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0:

$- (- 2 x + 8)$	=	$36$
$2 x - 8$	=	$36$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$44$	\|: $2$
x₂	=	$22$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 22 + 8$ = -36 < 0

Die Lösung $22$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $22$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +8 ≥ 0:

2. Fall: -2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0: