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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + 5 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $6 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + 5 e^{5 x}$	=	$6 e^{2 x}$	\| $- 6 e^{2 x}$
$e^{8 x} + 5 e^{5 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $6 e^{2 \cdot 0}$ = 6 Somit gilt: S₁(0|6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 4 + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 4$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 4 + 6 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $6 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$6 e^{\frac{1}{3} x} - 2 + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$6 e^{\frac{1}{3} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{4 x} - 8 e^{x}$ = $- e^{7 x}$

Lösung einblenden

$2 e^{4 x} - 8 e^{x}$	=	$- e^{7 x}$	\| $+ e^{7 x}$
$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 6} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{2 x + 2}{2 x + 6} - 3$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{2 x + 2}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) - 3 \cdot (2 x + 6)$	=
$2 x + 2 - 6 x - 18$	=
$- 4 x - 16$	=

$- 4 x - 16$	=	0	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 13 x^{2} + 35 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 13 x^{2} + 35 x + 49$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $49$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 13 \cdot {(- 1)}^{2} + 35 \cdot (- 1) + 49$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 35 x$	$+ 49$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 14 x + 49$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 14 x^{2}$	$+ 35 x$
	-( $- 14 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$49 x$	$+ 49$
		-( $49 x$	$+ 49$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 35 x + 49$ = $(x^{2} - 14 x + 49) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 14 x + 49) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{2}$ = $7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 13 \cdot 7^{2} + 35 \cdot 7 + 49$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 35 x$	$+ 49$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 35 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$- 7 x$	$+ 49$
		-( $- 7 x$	$+ 49$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 35 x + 49$ = $(x^{2} - 6 x - 7) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 6 x - 7) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 1$ ; $7$ }

$7$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x + 12 | + 9$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x + 12 \| + 9$	=	$- 11$
$9 - \frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$- 11$	\| $- 9$
$- \frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$- 20$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$40$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$40$	\| $- 12$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 7 + 12$ = 40 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$40$
$- 4 x - 12$	=	$40$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$52$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 13) + 12$ = -40 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: