Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 4 x^{2}$ und $g(x) =$ $5 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + 4 x^{2}$	=	$5 x^{4}$	\| $- 5 x^{4}$
$x^{6} - 5 x^{4} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 5 x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 5 x^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $5 \cdot {(- 2)}^{4}$ = 80 Somit gilt: S₁( $- 2$ |80)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $5 \cdot {(- 1)}^{4}$ = 5 Somit gilt: S₂( $- 1$ |5)

x₃ = 0: f(0)= $5 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₃(0|0)

x₄ = $1$ : f( $1$ )= $5 \cdot 1^{4}$ = 5 Somit gilt: S₄( $1$ |5)

x₅ = $2$ : f( $2$ )= $5 \cdot 2^{4}$ = 80 Somit gilt: S₅( $2$ |80)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 5 + 8 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 1$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 5 + 8 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 (x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 13 x^{3}$ = $- 36 x$

Lösung einblenden

$x^{5} - 13 x^{3}$	=	$- 36 x$	\| $+ 36 x$
$x^{5} - 13 x^{3} + 36 x$	=	0
$x (x^{4} - 13 x^{2} + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 13 x^{2} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₅	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; 0; $2$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 9} + \frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{8 x + 2}{- 6 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{10}{3}$ }

\frac{8 x + 2}{- 6 x - 18} + \frac{x + 1}{3 x + 9} + \frac{2 x}{3 x + 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x - 18$ weg!

$\frac{8 x + 2}{- 6 x - 18} + \frac{x + 1}{3 x + 9} + \frac{2 x}{3 x + 10}$	=	\|⋅( $- 6 x - 18$ )
$\frac{8 x + 2}{- 6 x - 18} \cdot (- 6 x - 18) + \frac{x + 1}{3 (x + 3)} \cdot (- 6 (x + 3)) + \frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (- 6 x - 18)$	=
$8 x + 2 - 2 x - 2 + \frac{2 x (- 6 x - 18)}{3 x + 10}$	=
$8 x + 2 - 2 x - 2 + \frac{- 12 x^{2} - 36 x}{3 x + 10}$	=
$\frac{- 12 x^{2} - 36 x}{3 x + 10} + 8 x - 2 x + 2 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{- 12 x^{2} - 36 x}{3 x + 10} + 8 x - 2 x + 2 - 2$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{- 12 x^{2} - 36 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + 8 x \cdot (3 x + 10) - 2 x \cdot (3 x + 10) + 2 \cdot (3 x + 10) - 2 \cdot (3 x + 10)$	=
$- 12 x^{2} - 36 x + 8 x (3 x + 10) - 2 x (3 x + 10) + 6 x + 20 - 6 x - 20$	=
$- 12 x^{2} - 36 x + (24 x^{2} + 80 x) + (- 6 x^{2} - 20 x) + 6 x + 20 - 6 x - 20$	=
$6 x^{2} + 24 x$	=

$6 x^{2} + 24 x$	=	0
$6 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x - 3 | - 4$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \| - 4$	=	$- 1$
$- 4 - \frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \|$	=	$- 1$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \|$	=	$3$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x - 3 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen