Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 2 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $8$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} + 2 e^{3 x}

=

8

|

- 8

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $8$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 5$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{- 2 x} + 6) \cdot (x - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{- 2 x} + 6) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{- 2 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 7 e^{- 2 x}$	=	$- 6$	\|: $- 7$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 0.0771

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

L={ $- \frac{1}{2} \ln (\frac{6}{7})$ ; $9$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{2 x}{3 x + 4} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $2$ }

\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{4 x}{x - 2} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{4 x}{x - 2} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{2 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{4 x}{x - 2} \cdot (3 x + 4) - 4 \cdot (3 x + 4)$	=
$2 x + \frac{4 x (3 x + 4)}{x - 2} - 12 x - 16$	=
$2 x + \frac{12 x^{2} + 16 x}{x - 2} - 12 x - 16$	=
$\frac{12 x^{2} + 16 x}{x - 2} + 2 x - 12 x - 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 16 x}{x - 2} + 2 x - 12 x - 16$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x^{2} + 16 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) - 12 x \cdot (x - 2) - 16 \cdot (x - 2)$	=
$12 x^{2} + 16 x + 2 x (x - 2) - 12 x (x - 2) - 16 x + 32$	=
$12 x^{2} + 16 x + (2 x^{2} - 4 x) + (- 12 x^{2} + 24 x) - 16 x + 32$	=
$2 x^{2} + 20 x + 32$	=

2 x^{2} + 20 x + 32

= 0 |:2

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 23 \cdot (- 2) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 23 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 15 x$	$- 30$
		-( $- 15 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} - 23 \cdot 3 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 23 x$	$- 30$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 33 x$ )
		$10 x$	$- 30$
		-( $10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 23 x - 30$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x + 1 | - 1$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \| - x + 1 \| - 1$	=	$- 3$
$- 1 - \| - x + 1 \|$	=	$- 3$	\| $+ 1$
$- \| - x + 1 \|$	=	$- 2$	\|: $(- 1)$
$\| - x + 1 \|$	=	$2$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

$- x + 1$	=	$2$	\| $- 1$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 1) + 1$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 1$ < 0:

$- (- x + 1)$	=	$2$
$x - 1$	=	$2$	\| $+ 1$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ < 0) genügt:

$- 3 + 1$ = -2 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +1 ≥ 0:

2. Fall: -x +1 < 0:

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 1$ < 0: