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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 21 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 4 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 21 e^{x}$	=	$- 4 e^{2 x}$	\| $+ 4 e^{2 x}$
$e^{3 x} + 4 e^{2 x} - 21 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 4 e^{x} - 21) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 4 e^{x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $- 4 e^{2 \cdot (\ln (3))}$ = -36 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |-36)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 6 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6 x - 2$ gilt m = $- 6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 7 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 7 e^{x}

=

- 6

|

+ 6

e^{2 x} - 7 e^{x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 7 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{x - 1}{3 x - 7} + \frac{- 3 x - 1}{3 x - 7}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; $\frac{3}{2}$ }

\frac{x - 1 - 3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{4 x}{2 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{x - 1 - 3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{4 x}{2 x - 3}$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{x - 1 - 3 x - 1}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (3 x - 7)$	=
$x - 1 - 3 x - 1 + \frac{4 x (3 x - 7)}{2 x - 3}$	=
$x - 1 - 3 x - 1 + \frac{12 x^{2} - 28 x}{2 x - 3}$	=
$\frac{12 x^{2} - 28 x}{2 x - 3} + x - 3 x - 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 28 x}{2 x - 3} + x - 3 x - 1 - 1$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{12 x^{2} - 28 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + x \cdot (2 x - 3) - 3 x \cdot (2 x - 3) - 1 \cdot (2 x - 3) - 1 \cdot (2 x - 3)$	=
$12 x^{2} - 28 x + x (2 x - 3) - 3 x (2 x - 3) - 2 x + 3 - 2 x + 3$	=
$12 x^{2} - 28 x + (2 x^{2} - 3 x) + (- 6 x^{2} + 9 x) - 2 x + 3 - 2 x + 3$	=
$8 x^{2} - 26 x + 6$	=

8 x^{2} - 26 x + 6

= 0 |:2

$4 x^{2} - 13 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{13+11}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{13-11}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 12$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 2 x + 8 | + 2$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \| + 2$	=	0
$2 + \frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \|$	=	0	\| $- 2$
$\frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $3$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen