Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 10 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $- 25 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 10 e^{5 x}$	=	$- 25 e^{2 x}$	\| $+ 25 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 10 e^{5 x} + 25 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 25) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 25

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{10}{2}$ = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

$\frac{1}{3} \ln (5)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $- 25 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = -73.1 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |-73.1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 9 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{x} - 5) \cdot (x^{4} - 5 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{x} - 5) (x^{4} - 5 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$9 e^{x}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{5}{9})$	≈ -0.5878

2. Fall:

$x^{4} - 5 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $\ln (\frac{5}{9})$ ; 0; $5$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{- 12 x}{9 x + 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $- \frac{7}{3}$ }

\frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - \frac{12 x}{9 x + 15}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - \frac{12 x}{9 x + 15}$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 5) - \frac{12 x}{3 (3 x + 5)} \cdot (3 x + 5)$	=
$3 x + 1 + \frac{(x + 1) (3 x + 5)}{3 x + 7} - 4 x$	=
$3 x + 1 + \frac{3 x^{2} + 8 x + 5}{3 x + 7} - 4 x$	=
$\frac{3 x^{2} + 8 x + 5}{3 x + 7} + 3 x - 4 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 5}{3 x + 7} + 3 x - 4 x + 1$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{3 x^{2} + 8 x + 5}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + 3 x \cdot (3 x + 7) - 4 x \cdot (3 x + 7) + 1 \cdot (3 x + 7)$	=
$3 x^{2} + 8 x + 5 + 3 x (3 x + 7) - 4 x (3 x + 7) + 3 x + 7$	=
$3 x^{2} + 8 x + 5 + (9 x^{2} + 21 x) + (- 12 x^{2} - 28 x) + 3 x + 7$	=
$4 x + 12$	=

$4 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$4 x$	=	$- 12$	\|: $4$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 4 \cdot {(- 1)}^{2} - 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$+ x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$6 x$	$+ 6$
		-( $6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 2 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$+ x$	$+ 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 3 x$	$+ 6$
		-( $- 3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ = $(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 3) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 4 \cdot 3^{2} + 3 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$+ x$	$+ 6$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$+ x$
	-( $- x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 2 x$	$+ 6$
		-( $- 2 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - x - 2) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- 1$ ; $2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x + 12 | + 4$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \| 4 x + 12 \| + 4$	=	$- 12$
$4 - \| 4 x + 12 \|$	=	$- 12$	\| $- 4$
$- \| 4 x + 12 \|$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$16$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$16$	\| $- 12$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 1 + 12$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$16$
$- 4 x - 12$	=	$16$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$28$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 7) + 12$ = -16 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: