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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + 42 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $13 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + 42 e^{2 x}$	=	$13 e^{5 x}$	\| $- 13 e^{5 x}$
$e^{8 x} - 13 e^{5 x} + 42 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 13 e^{3 x} + 42) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 13 e^{3 x} + 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $13 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = 257.55 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |257.55)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $13 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 332.997 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |332.997)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 49 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 49 x - 1$ gilt m = $- 49$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 14 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 14 x

=

- 49

|

+ 49

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{2}$ = $7$

L={ $7$ }

$7$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 49$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 49 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 4 e^{4 x} - 12 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 4 e^{4 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 3} + \frac{8 x}{2 x - 2} + \frac{36 x}{- 6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $3$ }

\frac{8 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{x - 3} + \frac{36 x}{- 6 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{x - 3} + \frac{36 x}{- 6 x + 6}$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{8 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + \frac{4 x}{x - 3} \cdot (2 x - 2) + \frac{36 x}{- 6 x + 6} \cdot (2 x - 2)$	=
$8 x + \frac{4 x (2 x - 2)}{x - 3} + \frac{36 x (2 x - 2)}{- 6 x + 6}$	=
$8 x + \frac{8 x^{2} - 8 x}{x - 3} + \frac{72 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 6}$	=
$\frac{72 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 6} + \frac{8 x^{2} - 8 x}{x - 3} + 8 x$	=

\frac{8 x^{2} - 8 x}{x - 3} + \frac{72 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 6} + 8 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 8 x}{x - 3} + \frac{72 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 6} + 8 x$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x^{2} - 8 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{72 x^{2} - 72 x}{- 6 x + 6} \cdot (x - 3) + 8 x \cdot (x - 3)$	=
$8 x^{2} - 8 x + \frac{(72 x^{2} - 72 x) (x - 3)}{- 6 x + 6} + 8 x (x - 3)$	=
$8 x^{2} - 8 x + \frac{72 x^{3} - 288 x^{2} + 216 x}{- 6 x + 6} + (8 x^{2} - 24 x)$	=
$\frac{72 x^{3} - 288 x^{2} + 216 x}{- 6 x + 6} + 8 x^{2} + 8 x^{2} - 8 x - 24 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- 6 x + 6$ weg!

$\frac{72 x^{3} - 288 x^{2} + 216 x}{- 6 x + 6} + 8 x^{2} + 8 x^{2} - 8 x - 24 x$	=	\|⋅( $- 6 x + 6$ )
$\frac{72 x^{3} - 288 x^{2} + 216 x}{- 6 x + 6} \cdot (- 6 x + 6) + 8 x^{2} \cdot (- 6 x + 6) + 8 x^{2} \cdot (- 6 x + 6) - 8 x \cdot (- 6 x + 6) - 24 x \cdot (- 6 x + 6)$	=
$72 x^{3} - 288 x^{2} + 216 x + 8 x^{2} (- 6 x + 6) + 8 x^{2} (- 6 x + 6) - 8 x (- 6 x + 6) - 24 x (- 6 x + 6)$	=
$72 x^{3} - 288 x^{2} + 216 x + (- 48 x^{3} + 48 x^{2}) + (- 48 x^{3} + 48 x^{2}) + (48 x^{2} - 48 x) + (144 x^{2} - 144 x)$	=
$- 24 x^{3} + 24 x$	=

$- 24 x^{3} + 24 x$	=	0
$24 x (- x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 7 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 14$
		-( $7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x + 5 | + 6$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x + 5 \| + 6$	=	$2$
$6 + \frac{1}{3} \| - x + 5 \|$	=	$2$	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| - x + 5 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $3$
$\| - x + 5 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen