Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 28 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 3 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 28 e^{x}$	=	$- 3 e^{2 x}$	\| $+ 3 e^{2 x}$
$e^{3 x} + 3 e^{2 x} - 28 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 28) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 3 e^{2 \cdot (2 \ln (2))}$ = -48 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-48)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $21 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $21 x + 5$ gilt m = $21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 4 x

=

21

|

- 21

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $21 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 5 x^{4}$ = $36 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{6} + 5 x^{4}$	=	$36 x^{2}$	\| $- 36 x^{2}$
$x^{6} + 5 x^{4} - 36 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} + 5 x^{2} - 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + 5 x^{2} - 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 9$

x^{2}

=

- 9

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{x}{- 2 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ ; $- 3$ }

\frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{x}{- 2 x - 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{x}{- 2 x - 6}$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{x + 1}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{x + 2}{2 x + 6} \cdot (2 x + 5) + \frac{x}{- 2 x - 6} \cdot (2 x + 5)$	=
$x + 1 + \frac{(x + 2) (2 x + 5)}{2 x + 6} + \frac{x (2 x + 5)}{- 2 x - 6}$	=
$x + 1 + \frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 x + 6} + \frac{2 x^{2} + 5 x}{- 2 x - 6}$	=
$\frac{2 x^{2} + 5 x}{- 2 x - 6} + \frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 x + 6} + x + 1$	=

\frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 x + 6} + \frac{2 x^{2} + 5 x}{- 2 x - 6} + x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 6$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 x + 6} + \frac{2 x^{2} + 5 x}{- 2 x - 6} + x + 1$	=	\|⋅( $2 x + 6$ )
$\frac{2 x^{2} + 9 x + 10}{2 x + 6} \cdot (2 x + 6) + \frac{2 x^{2} + 5 x}{- 2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + x \cdot (2 x + 6) + 1 \cdot (2 x + 6)$	=
$2 x^{2} + 9 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + x (2 x + 6) + 2 x + 6$	=
$2 x^{2} + 9 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + (2 x^{2} + 6 x) + 2 x + 6$	=
$2 x^{2} + 12 x + 16$	=

2 x^{2} + 12 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 6 x^{3} - 21 x^{2} + 34 x + 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 6 x^{3} - 21 x^{2} + 34 x + 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $48$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 6 \cdot {(- 1)}^{3} - 21 \cdot {(- 1)}^{2} + 34 \cdot (- 1) + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$- 21 x^{2}$	$+ 34 x$	$+ 48$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 7 x^{2} - 14 x + 48$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 7 x^{3}$	$- 21 x^{2}$
	-( $- 7 x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
		$- 14 x^{2}$	$+ 34 x$
		-( $- 14 x^{2}$	$- 14 x$ )
			$48 x$	$+ 48$
			-( $48 x$	$+ 48$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} - 21 x^{2} + 34 x + 48$ = $(x^{3} - 7 x^{2} - 14 x + 48) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 7 x^{2} - 14 x + 48) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} - 14 x + 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $48$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2^{2} - 14 \cdot 2 + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 14 x$	$+ 48$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 5 x - 24$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 14 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 24 x$	$+ 48$
		-( $- 24 x$	$+ 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 14 x + 48$ = $(x^{2} - 5 x - 24) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 5 x - 24) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5+11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5-11}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 7 \cdot {(- 3)}^{2} - 14 \cdot (- 3) + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 14 x$	$+ 48$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 14 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$16 x$	$+ 48$
		-( $16 x$	$+ 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 14 x + 48$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 7 \cdot 8^{2} - 14 \cdot 8 + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 14 x$	$+ 48$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 14 x$
	-( $x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 6 x$	$+ 48$
		-( $- 6 x$	$+ 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 14 x + 48$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + x - 6) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 8 | - 5$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x + 8 \| - 5$	=	$- 15$
$- 5 - \frac{1}{2} \| 2 x + 8 \|$	=	$- 15$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 8 \|$	=	$- 10$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 8 \|$	=	$20$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

$2 x + 8$	=	$20$	\| $- 8$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 6 + 8$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 8$ < 0:

$- (2 x + 8)$	=	$20$
$- 2 x - 8$	=	$20$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$28$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 14) + 8$ = -20 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +8 ≥ 0:

2. Fall: 2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 8$ < 0: