Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 18 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 81$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 18 x^{2}

=

- 81

|

+ 81

x^{4} - 18 x^{2} + 81

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 18 u + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{18}{2}$ = $9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung! $3$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- 81$ Somit gilt: S₁( $- 3$ |-81)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $- 81$ Somit gilt: S₂( $3$ |-81)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{3 x} - 21$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

- 4 e^{3 x} - 21

=

- e^{6 x}

|

+ e^{6 x}

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{4 x}{x + 1} + \frac{- 16 x}{2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{4 x}{x + 1} + \frac{4 x}{3 x - 1} - \frac{16 x}{2 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} + \frac{4 x}{3 x - 1} - \frac{16 x}{2 x + 2}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (x + 1) - \frac{16 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$4 x + \frac{4 x (x + 1)}{3 x - 1} - 8 x$	=
$4 x + \frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x - 1} - 8 x$	=
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x - 1} + 4 x - 8 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x - 1} + 4 x - 8 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 4 x \cdot (3 x - 1) - 8 x \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x^{2} + 4 x + 4 x (3 x - 1) - 8 x (3 x - 1)$	=
$4 x^{2} + 4 x + (12 x^{2} - 4 x) + (- 24 x^{2} + 8 x)$	=
$- 8 x^{2} + 8 x$	=

$- 8 x^{2} + 8 x$	=	0
$8 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 2 x^{3} - 49 x^{2} - 2 x + 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 2 x^{3} - 49 x^{2} - 2 x + 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $48$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 2 \cdot {(- 1)}^{3} - 49 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$	$- 49 x^{2}$	$- 2 x$	$+ 48$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + x^{2} - 50 x + 48$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$x^{3}$	$- 49 x^{2}$
	-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
		$- 50 x^{2}$	$- 2 x$
		-( $- 50 x^{2}$	$- 50 x$ )
			$48 x$	$+ 48$
			-( $48 x$	$+ 48$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 2 x^{3} - 49 x^{2} - 2 x + 48$ = $(x^{3} + x^{2} - 50 x + 48) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + x^{2} - 50 x + 48) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 50 x + 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $48$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 50 \cdot 1 + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 50 x$	$+ 48$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x - 48$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 50 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 48 x$	$+ 48$
		-( $- 48 x$	$+ 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 50 x + 48$ = $(x^{2} + 2 x - 48) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x - 48) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2+14}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2-14}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} + 6^{2} - 50 \cdot 6 + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 50 x$	$+ 48$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 50 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$- 8 x$	$+ 48$
		-( $- 8 x$	$+ 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 50 x + 48$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 7 x - 8) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{2} - 50 \cdot (- 8) + 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 50 x$	$+ 48$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 50 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 56 x$ )
		$6 x$	$+ 48$
		-( $6 x$	$+ 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 50 x + 48$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 8$ ; $- 1$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x + 2 | - 8$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x + 2 \| - 8$	=	$- 7$
$- 8 - \frac{1}{3} \| x + 2 \|$	=	$- 7$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{3} \| x + 2 \|$	=	$1$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x + 2 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit -8

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $- 8$