Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 3 x$ und $g(x) =$ $28$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 3 x

=

28

|

- 28

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 7$ : f( $- 7$ )= $28$ Somit gilt: S₁( $- 7$ |28)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $28$ Somit gilt: S₂( $4$ |28)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{5}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 6 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6 x - 4$ gilt m = $- 6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{5}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 5 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 5 e^{3 x}

=

- 6

|

+ 6

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{3}$ = $30 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{4} - x^{3}$	=	$30 x^{2}$	\| $- 30 x^{2}$
$x^{4} - x^{3} - 30 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - x - 30)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; 0; $6$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{3 x}{3 x + 6} + \frac{- 8 x}{x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 2$ }

\frac{4 x - 8 x}{x - 1} + \frac{3 x}{3 x + 6}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x - 8 x}{x - 1} + \frac{3 x}{3 x + 6}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x - 8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x}{3 x + 6} \cdot (x - 1)$	=
$4 x - 8 x + \frac{3 x (x - 1)}{3 x + 6}$	=
$4 x - 8 x + \frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 6}$	=
$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 6} + 4 x - 8 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 6} + 4 x - 8 x$	=	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{3 x^{2} - 3 x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + 4 x \cdot (3 x + 6) - 8 x \cdot (3 x + 6)$	=
$3 x^{2} - 3 x + 4 x (3 x + 6) - 8 x (3 x + 6)$	=
$3 x^{2} - 3 x + (12 x^{2} + 24 x) + (- 24 x^{2} - 48 x)$	=
$- 9 x^{2} - 27 x$	=

$- 9 x^{2} - 27 x$	=	0
$- 9 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 5 \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 5 x$	$- 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$x^{2}$	$- 5 x$
		-( $x^{2}$	$+ x$ )
			$- 6 x$	$- 6$
			-( $- 6 x$	$- 6$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 6$ = $(x^{3} + 4 x^{2} + x - 6) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 4 x^{2} + x - 6) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ x$
	-( $5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ = $(x^{2} + 5 x + 6) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 5 x + 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ x$	$- 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 3 x$	$- 6$
		-( $- 3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ = $(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x - 3) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 4 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ x$	$- 6$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ x$
	-( $x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 2 x$	$- 6$
		-( $- 2 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + x - 2) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 4 | + 8$ = 0

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 4 \| + 8$	=	0
$8 + \| - 2 x + 4 \|$	=	0	\| $- 8$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$- 8$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -3

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 3$