Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 2 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 3 x^{2}$	=	$- 2 x$	\| $+ 2 x$
$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x^{2} - 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 2 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 2 \cdot 1$ = -2 Somit gilt: S₂( $1$ |-2)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- 2 \cdot 2$ = -4 Somit gilt: S₃( $2$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $9 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $9 x + 2$ gilt m = $9$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 8 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 8 x^{2}

=

9

|

- 9

x^{4} - 8 x^{2} - 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $9$ und sind somit parallel zur Geraden y = $9 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 2 e^{3 x} + e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 2 e^{3 x} + e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 2 e^{x} + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 2 e^{x} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 3} + \frac{12 x}{x - 2} + \frac{21 x}{- x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

\frac{12 x}{x - 2} + \frac{12 x}{x - 3} + \frac{21 x}{- x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{12 x}{x - 3} + \frac{21 x}{- x + 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{12 x}{x - 3} \cdot (x - 2) + \frac{21 x}{- x + 2} \cdot (x - 2)$	=
$12 x + \frac{12 x (x - 2)}{x - 3} + \frac{21 x (x - 2)}{- x + 2}$	=
$12 x + \frac{12 x^{2} - 24 x}{x - 3} + \frac{21 x^{2} - 42 x}{- x + 2}$	=
$\frac{21 x^{2} - 42 x}{- x + 2} + \frac{12 x^{2} - 24 x}{x - 3} + 12 x$	=

\frac{12 x^{2} - 24 x}{x - 3} + \frac{21 x^{2} - 42 x}{- x + 2} + 12 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 24 x}{x - 3} + \frac{21 x^{2} - 42 x}{- x + 2} + 12 x$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{12 x^{2} - 24 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{21 x^{2} - 42 x}{- x + 2} \cdot (x - 3) + 12 x \cdot (x - 3)$	=
$12 x^{2} - 24 x + \frac{(21 x^{2} - 42 x) (x - 3)}{- x + 2} + 12 x (x - 3)$	=
$12 x^{2} - 24 x + \frac{21 x^{3} - 105 x^{2} + 126 x}{- x + 2} + (12 x^{2} - 36 x)$	=
$\frac{21 x^{3} - 105 x^{2} + 126 x}{- x + 2} + 12 x^{2} + 12 x^{2} - 24 x - 36 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $- x + 2$ weg!

$\frac{21 x^{3} - 105 x^{2} + 126 x}{- x + 2} + 12 x^{2} + 12 x^{2} - 24 x - 36 x$	=	\|⋅( $- x + 2$ )
$\frac{21 x^{3} - 105 x^{2} + 126 x}{- x + 2} \cdot (- x + 2) + 12 x^{2} \cdot (- x + 2) + 12 x^{2} \cdot (- x + 2) - 24 x \cdot (- x + 2) - 36 x \cdot (- x + 2)$	=
$21 x^{3} - 105 x^{2} + 126 x + 12 x^{2} (- x + 2) + 12 x^{2} (- x + 2) - 24 x (- x + 2) - 36 x (- x + 2)$	=
$21 x^{3} - 105 x^{2} + 126 x + (- 12 x^{3} + 24 x^{2}) + (- 12 x^{3} + 24 x^{2}) + (24 x^{2} - 48 x) + (36 x^{2} - 72 x)$	=
$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$	=

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$	=	0
$3 x (- x^{2} + x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 17 x^{3} + 77 x^{2} - 31 x - 126$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 17 x^{3} + 77 x^{2} - 31 x - 126$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 126$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 17 \cdot {(- 1)}^{3} + 77 \cdot {(- 1)}^{2} - 31 \cdot (- 1) - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 17 x^{3}$	$+ 77 x^{2}$	$- 31 x$	$- 126$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 18 x^{2} + 95 x - 126$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 18 x^{3}$	$+ 77 x^{2}$
	-( $- 18 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
		$95 x^{2}$	$- 31 x$
		-( $95 x^{2}$	$+ 95 x$ )
			$- 126 x$	$- 126$
			-( $- 126 x$	$- 126$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 17 x^{3} + 77 x^{2} - 31 x - 126$ = $(x^{3} - 18 x^{2} + 95 x - 126) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 18 x^{2} + 95 x - 126) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 18 x^{2} + 95 x - 126$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 126$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 18 \cdot 2^{2} + 95 \cdot 2 - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$+ 95 x$	$- 126$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 16 x + 63$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 16 x^{2}$	$+ 95 x$
	-( $- 16 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$63 x$	$- 126$
		-( $63 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 18 x^{2} + 95 x - 126$ = $(x^{2} - 16 x + 63) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 16 x + 63) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16+2}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16-2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 18 \cdot 7^{2} + 95 \cdot 7 - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$+ 95 x$	$- 126$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 95 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$+ 77 x$ )
		$18 x$	$- 126$
		-( $18 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 18 x^{2} + 95 x - 126$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 18 \cdot 9^{2} + 95 \cdot 9 - 126$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$+ 95 x$	$- 126$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 95 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 81 x$ )
		$14 x$	$- 126$
		-( $14 x$	$- 126$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 18 x^{2} + 95 x - 126$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ ; $7$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x - 8 | - 3$ = $13$

Lösung einblenden

$\| - 4 x - 8 \| - 3$	=	$13$
$- 3 + \| - 4 x - 8 \|$	=	$13$	\| $+ 3$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$16$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

$- 4 x - 8$	=	$16$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 6) - 8$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0:

$- (- 4 x - 8)$	=	$16$
$4 x + 8$	=	$16$	\| $- 8$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 2 - 8$ = -16 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -8 ≥ 0:

2. Fall: -4x -8 < 0:

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0: