Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$x$	\| $- x$
$x^{5} - x$	=	0
$x (x^{4} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{4} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{4}$	=	$1$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[4]{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt[4]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 1$ Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

x₂ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $1$ Somit gilt: S₃( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + 2 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $21 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $21 x - 5$ gilt m = $21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + 2 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 4 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 4 e^{2 x}

=

21

|

- 21

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $21 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 x^{2} + 9$ = $- x^{4}$

Lösung einblenden

- 10 x^{2} + 9

=

- x^{4}

|

+ x^{4}

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 10} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 10} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) - 4 \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x - 12 x + 40$	=
$- 10 x + 40$	=

$- 10 x + 40$	=	0	\| $- 40$
$- 10 x$	=	$- 40$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 3 x^{2} - 40 x - 84$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 40 x - 84$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 84$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 40 \cdot (- 2) - 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 40 x$	$- 84$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + x - 42$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 40 x$
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 42 x$	$- 84$
		-( $- 42 x$	$- 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 40 x - 84$ = $(x^{2} + x - 42) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + x - 42) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} + 3 \cdot 6^{2} - 40 \cdot 6 - 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 40 x$	$- 84$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$- 40 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 54 x$ )
		$14 x$	$- 84$
		-( $14 x$	$- 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 40 x - 84$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 3 \cdot {(- 7)}^{2} - 40 \cdot (- 7) - 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 40 x$	$- 84$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 40 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$- 12 x$	$- 84$
		-( $- 12 x$	$- 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 40 x - 84$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 4 x - 12) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x - 8 | - 7$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \| - 7$	=	$- 11$
$- 7 - \frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \|$	=	$- 11$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

$- 4 x - 8$	=	$12$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 5) - 8$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0:

$- (- 4 x - 8)$	=	$12$
$4 x + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 1 - 8$ = -12 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Polynomdivision mit -7

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -8 ≥ 0:

2. Fall: -4x -8 < 0:

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0: