zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-2⋅ sin( x + 1 2 π) -1 = 1

Lösung einblenden
-2⋅ sin( x + 1 2 π) -1 = 1 | +1
-2⋅ sin( x + 1 2 π) = 2 |:-2
canvas
sin( x + 1 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + 1 2 π = 3 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 3π
2x + π = 3π | - π
2x = 2π |:2
x = π

L={ π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ sin( 3x - π) -1 = -2.35

Lösung einblenden
3⋅ sin( 3x - π) -1 = -2.35 | +1
3⋅ sin( 3x - π) = -1,35 |:3
canvas
sin( 3x - π) = -0,45 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.4667653390473

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; 2 3 π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,816

1. Fall:

3x - π = 5,816

oder

3x - π = 5,816 -2π | + π
3x = 5,816 - π
3x = 2,6744 |:3
x1 = 0,8915

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x - π) = -0,45 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,816 =-2.6744 bzw. bei -2.6744+2π= 3,608 liegen muss.

2. Fall:

3x - π = 3,608

oder

3x - π = 3,608 -2π | + π
3x = 3,608 - π
3x = 0,4664 |:3
x2 = 0,1555

L={ 0,1555 ; 0,8915 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( -3⋅ sin( x - 3 2 π) +3 ) · sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( -3⋅ sin( x - 3 2 π) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-3⋅ sin( x - 3 2 π) +3 = 0 | -3
-3⋅ sin( x - 3 2 π) = -3 |:-3
canvas
sin( x - 3 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 3 2 π = 1 2 π

oder

x - 3 2 π = 1 2 π-2π
x - 3 2 π = - 3 2 π |⋅ 2
2( x - 3 2 π) = -3π
2x -3π = -3π | +3π
2x = 0 |:2
x1 = 0

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2 3 π ):
( - sin( 3x - π) -1 ) · ( x 3 -2 x 2 ) = 0

Lösung einblenden
( - sin( 3x - π) -1 ) ( x 3 -2 x 2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- sin( 3x - π) -1 = 0 | +1
- sin( 3x - π) = 1 |:-1
canvas
sin( 3x - π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x - π = 3 2 π

oder

3x - π = 3 2 π-2π
3x - π = - 1 2 π | + π
3x = 1 2 π |:3
x1 = 1 6 π

2. Fall:

x 3 -2 x 2 = 0
x 2 ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x2 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x3 = 2

L={0; 1 6 π ; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ sin( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) +1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) +1 = 0 | -1
2⋅ sin( x ) = -1 |:2
canvas
sin( x ) = -0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; 2π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 11 6 π

1. Fall:

x1 = 11 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 11 6 π =-2.618 bzw. bei -2.618+2π= 7 6 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 7 6 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x4 = π

L={0; π ; 7 6 π ; 11 6 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 - cos( x ) -2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 - cos( x ) -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

u1,2 = +1 ± 1 +8 2

u1,2 = +1 ± 9 2

u1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

u2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 2

cos( x ) = 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: cos( x ) = -1

canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

L={ π }