zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
- cos( 2x + 1 2 π) -1 = 0

Lösung einblenden
- cos( 2x + 1 2 π) -1 = 0 | +1
- cos( 2x + 1 2 π) = 1 |:-1
canvas
cos( 2x + 1 2 π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x + 1 2 π = π |⋅ 2
2( 2x + 1 2 π) = 2π
4x + π = 2π | - π
4x = π |:4
x = 1 4 π

L={ 1 4 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ cos( 3x - π) +3 = 1.35

Lösung einblenden
3⋅ cos( 3x - π) +3 = 1.35 | -3
3⋅ cos( 3x - π) = -1,65 |:3
canvas
cos( 3x - π) = -0,55 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.1531605646636

1. Fall:

3x - π = 2,153 | + π
3x = 2,153 + π
3x = 5,2946 |:3
x1 = 1,7649

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x - π) = -0,55 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.55 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2,153
bzw. bei - 2,153 +2π= 4,13 liegen muss.

2. Fall:

3x - π = 4,13

oder

3x - π = 4,13 -2π | + π
3x = 4,13 - π
3x = 0,9884 |:3
x2 = 0,3295

L={ 0,3295 ; 1,7649 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; π ):
cos( 2x - 3 2 π) · ( x 3 - x 2 ) = 0

Lösung einblenden
cos( 2x - 3 2 π) ( x 3 - x 2 ) = 0
( x 3 - x 2 ) · cos( 2x - 3 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 - x 2 = 0
x 2 ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

2. Fall:

canvas
cos( 2x - 3 2 π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2x - 3 2 π = 1 2 π

oder

2x - 3 2 π = 1 2 π-2π
2x - 3 2 π = - 3 2 π |⋅ 2
2( 2x - 3 2 π) = -3π
4x -3π = -3π | +3π
4x = 0 |:4
x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x - 3 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

2x - 3 2 π = 3 2 π

oder

2x - 3 2 π = 3 2 π-2π
2x - 3 2 π = - 1 2 π |⋅ 2
2( 2x - 3 2 π) = -π
4x -3π = -π | +3π
4x = 2π |:4
x4 = 1 2 π

L={0; 1 ; 1 2 π }

0 ist 3-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) = 0
( cos( x ) +1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) +1 = 0 | -1 canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; π ; 3 2 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) = 0
( cos( x ) +1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) +1 = 0 | -1 canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ cos( x ) + 1 2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ cos( x ) + 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + 3 2 u + 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 + 3 2 u + 1 2 ) = 0

2 u 2 +3u +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 2 · 1 2⋅2

u1,2 = -3 ± 9 -8 4

u1,2 = -3 ± 1 4

u1 = -3 + 1 4 = -3 +1 4 = -2 4 = -0,5

u2 = -3 - 1 4 = -3 -1 4 = -4 4 = -1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = -0,5

canvas
cos( x ) = -0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x1 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2 3 π
bzw. bei - 2 3 π +2π= 4 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4 3 π

u2: cos( x ) = -1

canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = π

L={ 2 3 π ; π ; 4 3 π }