Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$\sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 3$ = $3$

Lösung einblenden

\sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 3

=

3

|

- 3

\sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$6 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$6 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 1$ = $1.25$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 1

=

1.25

|

+ 1

3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

2,25

|:

3

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0,75

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.84806207898148

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

0,848

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$0,848 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$1,696 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$1,696 + π$
$4 x$	=	$4,8376$	\|: $4$
x₁	=	$1,2094$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,848$ = $2,294$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

2,294

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$2,294 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$4,588 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$4,588 + π$
$4 x$	=	$7,7296$	\|: $4$
x₂	=	$1,9324$

L={ $1,2094$ ; $1,9324$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(\cos (3 x + \frac{1}{2} π) + 1) \cdot (x^{3} - 2 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(\cos (3 x + \frac{1}{2} π) + 1) (x^{3} - 2 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (3 x + \frac{1}{2} π) + 1

= 0 |

- 1

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$6 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} π$

2. Fall:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={0; $\frac{1}{6} π$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 1) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

(- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 1) \cdot \sin (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 1

= 0 |

+ 1

- \sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|:

- 1

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- π$
$6 x - 3 π$	=	$- π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{3} π$

Da $- \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 1$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = $\frac{1}{3} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $π$
x₃ = $\frac{1}{3} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{5}{3} π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₄

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₅

=

π

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

$π$ ist 2-fache Lösung!

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \cos (x)

=

3

|:

2

\cos (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - 3 {(\sin (x))}^{2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - 3 {(\sin (x))}^{2} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $4$

{(\sin (x))}^{2}

=

4

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{4}

=

- 2

\sin (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{4}

=

2

\sin (x)

=

2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)