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Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
2⋅ cos( x + π) -1 = 1

Lösung einblenden
2⋅ cos( x + π) -1 = 1 | +1
2⋅ cos( x + π) = 2 |:2
canvas
cos( x + π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + π = 0

oder

x + π = 0+2π
x + π = 2π | - π
x = π

L={ π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
sin( 2x + 3 2 π) -1 = -1.75

Lösung einblenden
sin( 2x + 3 2 π) -1 = -1.75 | +1 canvas
sin( 2x + 3 2 π) = -0,75 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.84806207898148

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,435

1. Fall:

2x + 3 2 π = 5,435 |⋅ 2
2( 2x + 3 2 π) = 10,87
4x +3π = 10,87 | -3π
4x = 10,87 -3π
4x = 1,4452 |:4
x1 = 0,3613

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x + 3 2 π) = -0,75 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,435 =-2.2934 bzw. bei -2.2934+2π= 3,99 liegen muss.

2. Fall:

2x + 3 2 π = 3,99

oder

2x + 3 2 π = 3,99 +2π |⋅ 2
4x +3π = 7,98 +4π | -3π
4x = 7,98 + π
4x = 11,1216 |:4
x2 = 2,7804

L={ 0,3613 ; 2,7804 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2 3 π ):
( x -2 ) · ( sin( 3x - π) +1 ) = 0

Lösung einblenden
( x -2 ) ( sin( 3x - π) +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -2 = 0 | +2
x1 = 2

2. Fall:

sin( 3x - π) +1 = 0 | -1 canvas
sin( 3x - π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x - π = 3 2 π

oder

3x - π = 3 2 π-2π
3x - π = - 1 2 π | + π
3x = 1 2 π |:3
x2 = 1 6 π

L={ 1 6 π ; 2 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; π ):
( x 2 -3x ) · ( sin( 2x + 3 2 π) -1 ) = 0

Lösung einblenden
( x 2 -3x ) ( sin( 2x + 3 2 π) -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 -3x = 0
x ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

2. Fall:

sin( 2x + 3 2 π) -1 = 0 | +1 canvas
sin( 2x + 3 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x + 3 2 π = 1 2 π

oder

2x + 3 2 π = 1 2 π+2π
2x + 3 2 π = 5 2 π |⋅ 2
2( 2x + 3 2 π) = 5π
4x +3π = 5π | -3π
4x = 2π |:4
x3 = 1 2 π

L={0; 1 2 π ; 3 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- 1 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- 1 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) -1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) -1 = 0 | +1
2⋅ sin( x ) = 1 |:2
canvas
sin( x ) = 0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x1 = 5 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 1 6 π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x4 = 3 2 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π ; 5 6 π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 +2⋅ sin( x ) -3 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 +2⋅ sin( x ) -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

u1,2 = -2 ± 4 +12 2

u1,2 = -2 ± 16 2

u1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

u2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

u2: sin( x ) = -3

sin( x ) = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 π }