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Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
2⋅ sin( 3x + 1 2 π) +2 = 4

Lösung einblenden
2⋅ sin( 3x + 1 2 π) +2 = 4 | -2
2⋅ sin( 3x + 1 2 π) = 2 |:2
canvas
sin( 3x + 1 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x + 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( 3x + 1 2 π) = π
6x + π = π | - π
6x = 0 |:6
x = 0

L={0}

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
- cos( 3x - 3 2 π) +2 = 2.1

Lösung einblenden
- cos( 3x - 3 2 π) +2 = 2.1 | -2
- cos( 3x - 3 2 π) = 0,1 |:-1
canvas
cos( 3x - 3 2 π) = -0,1 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.6709637479565

1. Fall:

3x - 3 2 π = 1,671

oder

3x - 3 2 π = 1,671 -2π |⋅ 2
6x -3π = 3,342 -4π | +3π
6x = 3,342 - π
6x = 0,2004 |:6
x1 = 0,0334

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x - 3 2 π) = -0,1 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,671
bzw. bei - 1,671 +2π= 4,612 liegen muss.

2. Fall:

3x - 3 2 π = 4,612

oder

3x - 3 2 π = 4,612 -2π |⋅ 2
6x -3π = 9,224 -4π | +3π
6x = 9,224 - π
6x = 6,0824 |:6
x2 = 1,0137

L={ 0,0334 ; 1,0137 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2 3 π ):
( x 3 - x 2 ) · ( -2⋅ sin( 3x - 1 2 π) -2 ) = 0

Lösung einblenden
( x 3 - x 2 ) ( -2⋅ sin( 3x - 1 2 π) -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 - x 2 = 0
x 2 ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

2. Fall:

-2⋅ sin( 3x - 1 2 π) -2 = 0 | +2
-2⋅ sin( 3x - 1 2 π) = 2 |:-2
canvas
sin( 3x - 1 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x - 1 2 π = 3 2 π

oder

3x - 1 2 π = 3 2 π-2π
3x - 1 2 π = - 1 2 π |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = -π
6x - π = -π | + π
6x = 0 |:6
x3 = 0

L={0; 1 }

0 ist 3-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 -2⋅ cos( x ) +1 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 -2⋅ cos( x ) +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 -4 2

u1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) -3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) -3 = 0 | +3
2⋅ sin( x ) = 3 |:2
sin( x ) = 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) + 1 2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) + 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 3 2 u + 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 3 2 u + 1 2 ) = 0

2 u 2 -3u +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 2 · 1 2⋅2

u1,2 = +3 ± 9 -8 4

u1,2 = +3 ± 1 4

u1 = 3 + 1 4 = 3 +1 4 = 4 4 = 1

u2 = 3 - 1 4 = 3 -1 4 = 2 4 = 0,5

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

u2: sin( x ) = 0,5

canvas
sin( x ) = 0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x2 = 5 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 1 6 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π ; 5 6 π }