Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - \frac{9}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{x - \frac{9}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - \frac{9}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - \frac{9}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{9}{2})$	=	$1$
$2 x - 9$	=	$1$	\| $+ 9$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{6 x}$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- 3 e^{6 x}$	=	$- 5$	\|: $- 3$
$e^{6 x}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 0.0851

L={ $\frac{1}{6} \ln (\frac{5}{3})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 5 e^{4 x} - 14 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 5 e^{4 x} - 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 14) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 e^{- 2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

$3 e^{- 2 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$3 e^{- 2 x}$	=	$7$	\|: $3$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{7}{3}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{7}{3})$	\|: $- 2$
$x$	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{7}{3})$	≈ -0.4236

L={ $- \frac{1}{2} \ln (\frac{7}{3})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{- 2 x}$ = $- 3 e^{- 6 x}$

Lösung einblenden

$- 7 e^{- 2 x}$	=	$- 3 e^{- 6 x}$	\| $+ 3 e^{- 6 x}$
$- 7 e^{- 2 x} + 3 e^{- 6 x}$	=	0
$(- 7 e^{4 x} + 3) e^{- 6 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{4 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 7 e^{4 x}$	=	$- 3$	\|: $- 7$
$e^{4 x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{3}{7})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{7})$	≈ -0.2118

2. Fall:

e^{- 6 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{7})$ }

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. Substitution BF

Exponentialgl. Substitution

Exponentialgl. vermischt

Exponentialgl. mit 2 e-Termen