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Aufgabenbeispiele von Polynomgleichungen

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Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} + 7 x^{3} - 8 x$ = 0

$x^{5} + 7 x^{3} - 8 x$	=	0
$x (x^{4} + 7 x^{2} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

x^{4} + 7 x^{2} - 8

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

- 8

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }