Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(1|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-9)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-9) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei
einfach das x von
durch ein 'x
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Wie strebt auch für x → -∞ gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 =
x3 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bei welchem Wert pendelt sich Änderungsrate des Wasservolumens auf lange Sicht ein?
- Wie lange liegt die Änderungsrate des Wasservolumens bei mindestens
m³/min?9 10 - Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t 0 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
0 . - Abstand der beiden Schnittstellen mit
9 10 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.9 10 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:9 10 10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t = 9 10 | - 9 10 10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t - 9 10 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t - 9 10 = 0 |⋅ e 1,8 x - 9 10 e 1,8 t + 10 e 0,9 t - 10 = 0 Setze u =
e 0,9 x Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 9 10 u 2 + 10 u - 10 = 0 |⋅ 10 10 ( - 9 10 u 2 + 10 u - 10 ) = 0 = 0- 9 u 2 + 100 u - 100 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
- 100 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t ) ⅆ t =
[ - 100 9 e - 0,9 x + 50 9 e - 1,8 x ] 0 3 = - 100 9 e - 0,9 ⋅ 3 + 50 9 e - 1,8 ⋅ 3 - ( - 100 9 e - 0,9 ⋅ 0 + 50 9 e - 1,8 ⋅ 0 ) =
- 100 9 e - 2,7 + 50 9 e - 5,4 - ( - 100 9 e 0 + 50 9 e 0 ) =
- 100 9 e - 2,7 + 50 9 e - 5,4 - ( - 100 9 + 50 9 ) =
- 100 9 e - 2,7 + 50 9 e - 5,4 - 1 · ( - 50 9 ) =
- 100 9 e - 2,7 + 50 9 e - 5,4 + 50 9
≈ 4,8344.83 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
