Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x+0\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term $\left(x+2\right)x$ = $x^2+2x$ für x → -∞ : f(x) gegen -∞ und nicht wie gefordert gegen +∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
$-\left(x+2\right)x$ = $-x^2-2x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-2e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-2x^8+6x^6+108x^4$	=	0
$2x^4\left(-x^4+3x^2+54\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2-3u-54$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-3x^2-54$ =nach Substitution $u^2-3u-54$ = $\left(u-9\right)·\left(u+6\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+6\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^4·(-\left(x^2+6\right)·\left(x+3\right)·\left(x-3\right))$ = $-2x^8+6x^6+108x^4$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $40-20e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $40+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $40$.

2. Erster t-Wert bei y = 31

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=31 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 31 und lösen nach t auf:

   $40-20e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $31$

   $-20e^{-\mathrm{0,4}t}+40$	=	$31$	| $-40$
   $-20e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-9$	|:$-20$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{9}{20}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{9}{20}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{9}{20}\right)$	≈ 1.9963

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 31 annimmt, ist also nach 2 Tage.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40-20e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40-20e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$

   = ${\left[40x+50e^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $40\cdot 3+50e^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(40\cdot 0+50e^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $120+50e^{-\mathrm{1,2}}-\left(0+50e^0\right)$

   = $50e^{-\mathrm{1,2}}+120-\left(0+50\right)$

   = $50e^{-\mathrm{1,2}}+120-50$

   = $50e^{-\mathrm{1,2}}+70$

   
   ≈ 85,06

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 85.06 = 85.06

   85.06 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.