Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -4 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·{\left(x+4\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-32) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+2\right)·{\left(0+4\right)}^2$ = $32$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0+2\right)·{\left(0+4\right)}^2$ = $-32$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right){\left(x+4\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-17x^2+16$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $16$

u₂: $x^2$ = $1$

L={ $-4$; $-1$; $1$; $4$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·\left(x-4\right)·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ = $x^4-17x^2+16$

1. Erste Nullstelle

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{3}{t}^2+4t+5$	=	0	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+5\right)$	=	0

   $-2t^2+12t+15$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

2. Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{25}{3}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{25}{3}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{25}{3}$ und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{3}{t}^2+4t+5$	=	$\frac{25}{3}$	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+5\right)$	=	$25$
   $-2t^2+12t+15$	=	$25$	| $-25$

   $-2t^2+12t-10$ = 0 |:2

   $-t^2+6t-5$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+5\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+5\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{2}{9}{x}^3+2x^2+5x\right]}_0^3$

   $=$ $-\frac{2}{9}\cdot 3^3+2\cdot 3^2+5\cdot 3-\left(-\frac{2}{9}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+5\cdot 0\right)$

   = $-\frac{2}{9}\cdot 27+2\cdot 9+15-\left(-\frac{2}{9}\cdot 0+2\cdot 0+0\right)$

   = $-6+18+15-\left(0+0+0\right)$

   = $27+0$

   = $27$

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 3 + 27 = 30

   30 m ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

4. t-Wert beim maximalen Bestand

   Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

   Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

   Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $\frac{-12-\sqrt{264}}{-4}$.

   Da f(6.1) ≈ 4.7 > 0 und f(8.1) ≈ -6.1 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 7.06.

   Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 7.06 s.