Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+2x^2-3$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+2u-3$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+2x^2-3$ =nach Substitution $u^2+2u-3$ = $\left(u-1\right)·\left(u+3\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+3\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+3\right)$ = $x^4+2x^2-3$

1. Erste Nullstelle

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{3}{t}^2+4t+1$	=	0	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+1\right)$	=	0

   $-2t^2+12t+3$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

2. Erster t-Wert bei y = $\frac{13}{3}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{13}{3}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{13}{3}$ und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{3}{t}^2+4t+1$	=	$\frac{13}{3}$	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+1\right)$	=	$13$
   $-2t^2+12t+3$	=	$13$	| $-13$

   $-2t^2+12t-10$ = 0 |:2

   $-t^2+6t-5$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 50 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+1\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+1\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{2}{9}{x}^3+2x^2+x\right]}_0^3$

   $=$ $-\frac{2}{9}\cdot 3^3+2\cdot 3^2+3-\left(-\frac{2}{9}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+0\right)$

   = $-\frac{2}{9}\cdot 27+2\cdot 9+3-\left(-\frac{2}{9}\cdot 0+2\cdot 0+0\right)$

   = $-6+18+3-\left(0+0+0\right)$

   = $15+0$

   = $15$

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 50 + 15 = 65

   65 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

4. maximaler Bestand

   Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

   Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

   Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $\frac{-12-\sqrt{168}}{-4}$.

   Da f(5.2) ≈ 3.7 > 0 und f(7.2) ≈ -5 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 6.24.

   Der maximale Bestand tritt also bei t = 6.24 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 6.24 min lässt sich berechnen durch:
   

   $$\underset{0}{\overset{6.24}{\int }}\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+1\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{2}{9}{x}^3+2x^2+x\right]}_0^{6.24}$

   $=$ $-\frac{2}{9}\cdot {6.24}^3+2\cdot {6.24}^2+\mathrm{6,24}-\left(-\frac{2}{9}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+0\right)$

   = $-\frac{2}{9}\cdot 242.970624+2\cdot 38.9376+\mathrm{6,24}-\left(-\frac{2}{9}\cdot 0+2\cdot 0+0\right)$

   = $-\mathrm{53,993472}+\mathrm{77,8752}+\mathrm{6,24}-\left(0+0+0\right)$

   = $\mathrm{30,121728}+0$

   = $\mathrm{30,121728}$

   
   ≈ 30,122

   Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 50 m³, so dass für den maximalen Bestand gilt:
   B_max = 50 m³ + 30.12 m³ = 80.12 m³.