Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^5+9x^4-12x^3$	=	0
$3x^3\left(x^2+3x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0; $1$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\left(x-1\right)·\left(x+4\right)$ = $3x^5+9x^4-12x^3$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $25-24e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}$ = $-24e^{-\mathrm{1,5}}+25$ ≈ 19.6

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25-24e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

3. Erster t-Wert bei y = 24

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=24 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 24 und lösen nach t auf:

   $25-24e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $24$

   $-24e^{-\mathrm{0,5}t}+25$	=	$24$	| $-25$
   $-24e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-1$	|:$-24$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{1}{24}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{24}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{1}{24}\right)$	≈ 6.3561

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 24 annimmt, ist also nach 6.36 Tage.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25-24e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25-24e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x+48e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3+48e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(25\cdot 0+48e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $75+48e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0+48e^0\right)$

   = $48e^{-\mathrm{1,5}}+75-\left(0+48\right)$

   = $48e^{-\mathrm{1,5}}+75-48$

   = $48e^{-\mathrm{1,5}}+27$

   
   ≈ 37,71

   37.71 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.