Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+2}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -2 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+2}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+2}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^2-18$	=	0	| $+18$
$2x^2$	=	$18$	|:$2$
$x^2$	=	$9$	|
x1	=	$-\sqrt{9}$	= $-3$
x2	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $-3$; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$ = $2x^2-18$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $20-19e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}$ = $-19e^{-\mathrm{1,5}}+20$ ≈ 15.8

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20-19e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 8

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=8 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 8 und lösen nach t auf:

   $20-19e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $8$

   $-19e^{-\mathrm{0,5}t}+20$	=	$8$	| $-20$
   $-19e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-12$	|:$-19$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{12}{19}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{12}{19}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{12}{19}\right)$	≈ 0.9191

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 8 annimmt, ist also nach 0.92 Tage.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-19e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-19e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x+38e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3+38e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(20\cdot 0+38e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $60+38e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0+38e^0\right)$

   = $38e^{-\mathrm{1,5}}+60-\left(0+38\right)$

   = $38e^{-\mathrm{1,5}}+60-38$

   = $38e^{-\mathrm{1,5}}+22$

   
   ≈ 30,479

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 30.479 = 30.479

   30.48 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.