Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse,
indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -2 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
- 2 , also gegen -2.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -1 darf natürlich nicht vergessen werden:
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für 0 ≤ t ≤ 10 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 4 Dezimeter hoch.
- Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 2 Jahren?
- Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals
dm pro Jahr?33 5 - Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?
- y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) =
=2 5 ⋅ 2 2 - 4 ⋅ 2 + 13 ≈ 6.633 5
- Erster t-Wert bei y =
33 5 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.33 5 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:33 5 2 5 t 2 - 4 t + 13 = 33 5 |⋅ 5 5 ( 2 5 t 2 - 4 t + 13 ) = 33 2 t 2 - 20 t + 65 = 33 | - 33 2 t 2 - 20 t + 32 = 0 |:2 = 0t 2 - 10 t + 16 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
t1,2 =
+ 10 - Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 2 5 t 2 - 4 t + 13 ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 2 5 t 2 - 4 t + 13 ) ⅆ t =
[ 2 15 x 3 - 2 x 2 + 13 x ] 0 3 = 2 15 ⋅ 3 3 - 2 ⋅ 3 2 + 13 ⋅ 3 - ( 2 15 ⋅ 0 3 - 2 ⋅ 0 2 + 13 ⋅ 0 ) =
2 15 ⋅ 27 - 2 ⋅ 9 + 39 - ( 2 15 ⋅ 0 - 2 ⋅ 0 + 0 ) =
18 5 - 18 + 39 - ( 0 + 0 + 0 ) =
18 5 - 90 5 + 195 5 + 0 =
123 5
= 24,6Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 4 + 24.6 = 28.628.6 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
- Bestand zur Zeit 3
