Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 0 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·{\left(x+0\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $\left(x-2\right)x^2$ = $x^3-2x^2$ für x → -∞ gegen -∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+2x^2-3$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+2u-3$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+2x^2-3$ =nach Substitution $u^2+2u-3$ = $\left(u-1\right)·\left(u+3\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+3\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+3\right)$ = $x^4+2x^2-3$

1. Erste Nullstelle

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{5}{t}^2+4t+2$	=	0	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{2}{5}{t}^2+4t+2\right)$	=	0

   $-2t^2+20t+10$ = 0 |:2

   $-t^2+10t+5$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

2. Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{58}{5}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{58}{5}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{58}{5}$ und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{5}{t}^2+4t+2$	=	$\frac{58}{5}$	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{2}{5}{t}^2+4t+2\right)$	=	$58$
   $-2t^2+20t+10$	=	$58$	| $-58$

   $-2t^2+20t-48$ = 0 |:2

   $-t^2+10t-24$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{2}{5}{t}^2+4t+2\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{2}{5}{t}^2+4t+2\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{2}{15}{x}^3+2x^2+2x\right]}_0^3$

   $=$ $-\frac{2}{15}\cdot 3^3+2\cdot 3^2+2\cdot 3-\left(-\frac{2}{15}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+2\cdot 0\right)$

   = $-\frac{2}{15}\cdot 27+2\cdot 9+6-\left(-\frac{2}{15}\cdot 0+2\cdot 0+0\right)$

   = $-\frac{18}{5}+18+6-\left(0+0+0\right)$

   = $-\frac{18}{5}+\frac{90}{5}+\frac{30}{5}+0$

   = $\frac{102}{5}$

   
   = 20,4

   20.4 m ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

4. maximaler Bestand

   Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

   Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

   Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $\frac{-10-\sqrt{120}}{-2}$.

   Da f(9.5) ≈ 4 > 0 und f(11.5) ≈ -4.8 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 10.48.

   Der maximale Bestand tritt also bei t = 10.48 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 10.48 s lässt sich berechnen durch:
   

   $$\underset{0}{\overset{10.48}{\int }}\left(-\frac{2}{5}{t}^2+4t+2\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{2}{15}{x}^3+2x^2+2x\right]}_0^{10.48}$

   $=$ $-\frac{2}{15}\cdot {10.48}^3+2\cdot {10.48}^2+2\cdot 10.48-\left(-\frac{2}{15}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+2\cdot 0\right)$

   = $-\frac{2}{15}\cdot 1151.022592+2\cdot 109.8304+\mathrm{20,96}-\left(-\frac{2}{15}\cdot 0+2\cdot 0+0\right)$

   = $-\mathrm{153,46967893333}+\mathrm{219,6608}+\mathrm{20,96}-\left(0+0+0\right)$

   = $\mathrm{87,151121066667}+0$

   = $\mathrm{87,151121066667}$

   
   ≈ 87,151

   Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 5 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
   B_max = 5 m + 87.15 m = 92.15 m.