Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·{\left(x+1\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-1) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-1\right)·{\left(0+1\right)}^2$ = $-1$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right){\left(x+1\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-2x^7-2x^5+40x^3$	=	0
$-2x^3\left(x^4+x^2-20\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+u-20$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+x^2-20$ =nach Substitution $u^2+u-20$ = $\left(u-4\right)·\left(u+5\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+5\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+5\right)$ = $-2x^7-2x^5+40x^3$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20-20e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

2. Erster t-Wert bei y = 17

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=17 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 17 und lösen nach t auf:

   $20-20e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $17$

   $-20e^{-\mathrm{0,3}t}+20$	=	$17$	| $-20$
   $-20e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-3$	|:$-20$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{3}{20}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{3}{20}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{3}{20}\right)$	≈ 6.3237

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 17 annimmt, ist also nach 6.32 min.