Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(1|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 2
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|4)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei
einfach das x von
durch ein 'x
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Wie strebt auch für x → -∞ gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit
- Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 4 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
- Wann nimmt die Änderungsrate des Wasservolumens am stärksten zu?
- Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?
- Zu welchem Zeitpunktz ist am meisten Wasser im Tank?
- y-Wert bei t = 4
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) =
=1 25 ( - 4 3 + 75 ⋅ 4 ) ≈ 9.4236 25
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|10) einblenden5 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=1 25 ( - 0 3 + 75 ⋅ 0 ) 0 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(10) = =1 25 ( - 10 3 + 75 ⋅ 10 ) .- 10 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t =
ist also der größte Wert der Funktion.5
- t-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
1 25 ( - 3 x 2 + 75 ) =
Wir berechnen also die Extremstellen von f':3 25 ( - x 2 + 25 ) Detail-Rechnung für den Hochpunkt der Ableitung (
|3) einblenden0 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) =
=3 25 ( - 0 2 + 25 ) . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(10) =3 =3 25 ( - 10 2 + 25 ) .- 9 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.
Bei t =
ist also der größte Wert der Ableitungsfunktion.0 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 1 25 ( - t 3 + 75 t ) ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 1 25 ( - t 3 + 75 t ) ) ⅆ t =
[ 1 25 ( - 1 4 x 4 + 75 2 x 2 ) ] 0 3 = 1 25 ( - 1 4 ⋅ 3 4 + 75 2 ⋅ 3 2 ) - 1 25 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 75 2 ⋅ 0 2 ) =
1 25 ( - 1 4 ⋅ 81 + 75 2 ⋅ 9 ) - 1 25 ( - 1 4 ⋅ 0 + 75 2 ⋅ 0 ) =
1 25 ( - 81 4 + 675 2 ) - 1 25 ( 0 + 0 ) =
1 25 ( - 81 4 + 1350 4 ) + 0 =
1 25 · 1269 4 =
1269 100
= 12,6912.69 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- t-Wert beim maximalen Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:
1 25 ( - t 3 + 75 t ) = 0 - 1 25 t 3 + 3 t = 0 1 25 t ( - t 2 + 75 ) = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
t1 = 0 2. Fall:
- t 2 + 75 = 0 | - 75 - t 2 = - 75 |: ( - 1 ) t 2 = 75 | ⋅ 2 t2 = - 75 ≈ - 8,66 t3 = 75 ≈ 8,66 Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit
0 und .8,66 Da f(7.7) ≈ 5 > 0 und f(9.7) ≈ -7.1 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 8.66.
Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 8.66 min.
