Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·{\left(x-1\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da sowohl für x → -∞ wie auch für x → +∞ : f(x) → +∞ gilt, muss unser gesuchter Term einen geraden Grad haben.
Unser bisheriger Term $x{\left(x-1\right)}^2$ = $x^3-2x^2+x$ hat aber einen ungeraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen geraden Grad bekommt: $x{\left(x-1\right)}^2·x$ = $x^4-2x^3+x^2$.

Unser Term $x{\left(x-1\right)}^2·x$ = $x^4-2x^3+x^2$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^5-21x^4+36x^3$	=	0
$3x^3\left(x^2-7x+12\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $3$; $4$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\left(x-4\right)·\left(x-3\right)$ = $3x^5-21x^4+36x^3$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $30+21e^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}$ = $21e^{-\mathrm{2,1}}+30$ ≈ 32.6

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30+21e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

3. Erster t-Wert bei y = 35

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=35 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 35 und lösen nach t auf:

   $30+21e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $35$

   $21e^{-\mathrm{0,7}t}+30$	=	$35$	| $-30$
   $21e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$5$	|:$21$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{5}{21}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{5}{21}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{5}{21}\right)$	≈ 2.0501

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 35 annimmt, ist also nach 2.05 Tage.