Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\left(x-3\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-6) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·\left(0-3\right)$ = $6$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0-2\right)·\left(0-3\right)$ = $-6$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)\left(x-3\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^3-30x^2+75x$	=	0
$3x\left(x^2-10x+25\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $5$}

$5$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x·{\left(x-5\right)}^2$ = $3x^3-30x^2+75x$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $30-19e^{-\mathrm{0,6}\cdot 4}$ = $-19e^{-\mathrm{2,4}}+30$ ≈ 28.3

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30-19e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

3. Erster t-Wert bei y = 23

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=23 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 23 und lösen nach t auf:

   $30-19e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $23$

   $-19e^{-\mathrm{0,6}t}+30$	=	$23$	| $-30$
   $-19e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-7$	|:$-19$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{7}{19}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{7}{19}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{7}{19}\right)$	≈ 1.6642

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 23 annimmt, ist also nach 1.66 min.