Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\left(x-3\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-6) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·\left(0-3\right)$ = $6$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0-2\right)·\left(0-3\right)$ = $-6$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)\left(x-3\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^x-3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^2+6x+3$ = 0 |:3

$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$}

$-1$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3{\left(x+1\right)}^2$ = $3x^2+6x+3$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15-10e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

2. Erster t-Wert bei y = 11

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=11 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 11 und lösen nach t auf:

   $15-10e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $11$

   $-10e^{-\mathrm{0,7}t}+15$	=	$11$	| $-15$
   $-10e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$-4$	|:$-10$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{2}{5}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{2}{5}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{2}{5}\right)$	≈ 1.309

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 11 annimmt, ist also nach 1.31 min.