Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·{\left(x+2\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Es stimmt nun aber das Verhalten für x → ±∞ noch nicht, deswegen müssen wir den Term mit -1 multiplizieren.

Unser Term $-x{\left(x+2\right)}^2$ = $-x^3-4x^2-4x$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^6-14x^5+24x^4$	=	0
$2x^4\left(x^2-7x+12\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $3$; $4$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^4·\left(x-4\right)·\left(x-3\right)$ = $2x^6-14x^5+24x^4$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15-15e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

2. Erster t-Wert bei y = 10

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=10 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 10 und lösen nach t auf:

   $15-15e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $10$

   $-15e^{-\mathrm{0,7}t}+15$	=	$10$	| $-15$
   $-15e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$-5$	|:$-15$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{1}{3}\right)$	≈ 1.5694

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 10 annimmt, ist also nach 1.57 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15-15e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15-15e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$

   = ${\left[15x+\frac{150}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right]}_0^3$

   $=$ $15\cdot 3+\frac{150}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}-\left(15\cdot 0+\frac{150}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 0}\right)$

   = $45+\frac{150}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}-\left(0+\frac{150}{7}{e}^0\right)$

   = $\frac{150}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+45-\left(0+\frac{150}{7}\right)$

   = $\frac{150}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+45-\left(0+\frac{150}{7}\right)$

   = $\frac{150}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+45-\frac{150}{7}$

   = $\frac{150}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+\frac{165}{7}$

   
   ≈ 26,195

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 1 + 26.195 = 27.195

   27.2 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.