Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
  • einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +0 .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit f(x)= ( x +0 ) · ( x +2 ) 2

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term x ( x +2 ) 2 = x 3 +4 x 2 +4x für x → -∞ : f(x) gegen +∞ und nicht wie gefordert gegen -∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
- x ( x +2 ) 2 = - x 3 -4 x 2 -4x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -1 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -1 einfach das x von e x durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x -1 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Wie e x strebt auch e x -1 für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 5 -13 x 3 +36x und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 5 -13 x 3 +36x = 0
x ( x 4 -13 x 2 +36 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 4 -13 x 2 +36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -13u +36 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 36 21

u1,2 = +13 ± 169 -144 2

u1,2 = +13 ± 25 2

u1 = 13 + 25 2 = 13 +5 2 = 18 2 = 9

u2 = 13 - 25 2 = 13 -5 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x2 = - 9 = -3
x3 = 9 = 3

u2: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x4 = - 4 = -2
x5 = 4 = 2

L={ -3 ; -2 ; 0; 2 ; 3 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= x · ( x +3 ) · ( x -3 ) · ( x +2 ) · ( x -2 ) = x 5 -13 x 3 +36x

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 1 5 t 3 - 8 5 t 2 +16 beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 8 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 30 m³ Wasser im Tank.

  1. Nach wie vielen Minuten ist der Wert der Änderungsrate des Wasservolumens am kleinsten?
  2. Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?

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  1. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ( 16 3 |0.83) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 1 5 0 3 - 8 5 0 2 +16 = 16 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(8) = 1 5 8 3 - 8 5 8 2 +16 = 16 .

    Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = 16 .

    Bei t = 16 3 ist also der kleinste Wert der Funktion.


  2. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

    Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral 0 3 ( 1 5 t 3 - 8 5 t 2 +16 ) t berechnet werden.

    0 3 ( 1 5 t 3 - 8 5 t 2 +16 ) t

    = [ 1 20 x 4 - 8 15 x 3 +16x ] 0 3

    = 1 20 3 4 - 8 15 3 3 +163 - ( 1 20 0 4 - 8 15 0 3 +160 )

    = 1 20 81 - 8 15 27 +48 - ( 1 20 0 - 8 15 0 +0)

    = 81 20 - 72 5 +48 - (0+0+0)

    = 81 20 - 288 20 + 960 20 +0

    = 753 20


    = 37,65

    37.65 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.