Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^x-3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^5-7x^3-18x$	=	0
$x\left(x^4-7x^2-18\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-7u-18$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-7x^2-18$ =nach Substitution $u^2-7u-18$ = $\left(u-9\right)·\left(u+2\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+2\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x^2+2\right)$ = $x^5-7x^3-18x$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $-\frac{1}{100}\cdot 2^4+\frac{1}{2}\cdot 2^2$ = $\frac{46}{25}$ ≈ 1.8

   
   
2. Erste Nullstelle

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

   $-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{1}{2}{t}^2$	=	0	|⋅ 100
   $100\left(-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{1}{2}{t}^2\right)$	=	0
   $-t^4+50t^2$	=	0
   $t^2\left(-t^2+50\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   $t^2$	=	$0$	|
   t1	=	0

   
   

   2. Fall:

   $-t^2+50$	=	0	| $-50$
   $-t^2$	=	$-50$	|: $\left(-1\right)$
   $t^2$	=	$50$	|
   t2	=	$-\sqrt{50}$	≈ $-\mathrm{7,071}$
   t3	=	$\sqrt{50}$	≈ $\mathrm{7,071}$

   Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0 und $\mathrm{7,071}$.

   Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 s.

3. Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{369}{100}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{369}{100}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{369}{100}$ und lösen nach t auf:

   $-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{1}{2}{t}^2$

   =

   $\frac{369}{100}$

   | $-\frac{369}{100}$

   $-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{1}{2}{t}^2-\frac{369}{100}$ = 0

   Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

   Setze u = $t^2$

   Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

   $-\frac{1}{100}{u}^2+\frac{1}{2}u-\frac{369}{100}$	=	0	|⋅ 100
   $100\left(-\frac{1}{100}{u}^2+\frac{1}{2}u-\frac{369}{100}\right)$	=	0

   $-u^2+50u-369$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   u_1,2 =

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{1}{2}{t}^2\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{1}{2}{t}^2\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{1}{500}{x}^5+\frac{1}{6}{x}^3\right]}_0^3$

   $=$ $-\frac{1}{500}\cdot 3^5+\frac{1}{6}\cdot 3^3-\left(-\frac{1}{500}\cdot 0^5+\frac{1}{6}\cdot 0^3\right)$

   = $-\frac{1}{500}\cdot 243+\frac{1}{6}\cdot 27-\left(-\frac{1}{500}\cdot 0+\frac{1}{6}\cdot 0\right)$

   = $-\frac{243}{500}+\frac{9}{2}-\left(0+0\right)$

   = $-\frac{243}{500}+\frac{2250}{500}+0$

   = $\frac{2007}{500}$

   
   = 4,014

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 1 + 4.014 = 5.014

   5.01 m ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

5. t-Wert beim maximalen Bestand

   Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

   Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

   Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei 0 und $\mathrm{7,071}$.

   Da f(6.1) ≈ 4.8 > 0 und f(8.1) ≈ -9.9 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 7.07.

   Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 7.07 s.