Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 1 addiert wird, hat der Graph von $e^x+1$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+1$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+1$ gegen 0 +1, also gegen 1.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-2x^2-63$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $9$

u₂: $x^2$ = $-7$

L={ $-3$; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-2u-63$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-2x^2-63$ =nach Substitution $u^2-2u-63$ = $\left(u-9\right)·\left(u+7\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+7\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x^2+7\right)$ = $x^4-2x^2-63$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $-\frac{2}{5}\cdot 4^2+4\cdot 4+3$ = $\frac{63}{5}$ ≈ 12.6

   
   
2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($5$|13) einblenden

   $\text{f(t)}=$ $-\frac{2}{5}{t}^2+4t+3$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(t)}=$ $-\frac{4}{5}t+4+0$

   = $-\frac{4}{5}t+4$

   $\text{f''(t)}=$ $-\frac{4}{5}+0$

   = $-\frac{4}{5}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{4}{5}t+4$	=	0	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{4}{5}t+4\right)$	=	0
   $-4t+20$	=	0	| $-20$
   $-4t$	=	$-20$	|:($-4$)
   $t$	=	$5$

   Die Lösung t= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

   Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

   f''($5$) = $-\frac{4}{5}$= $-\frac{4}{5}$= $-\frac{4}{5}$ <0

   Das heißt bei t = $5$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
   f($5$) = $-\frac{2}{5}\cdot 5^2+4\cdot 5+3$ = $13$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($5$| $13$)

   Randwertuntersuchung

   Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

   Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $-\frac{2}{5}\cdot 0^2+4\cdot 0+3$ = $3$. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(12) = $-\frac{2}{5}\cdot {12}^2+4\cdot 12+3$ = $-\frac{33}{5}$.

   Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

   13 ist also der größte Wert der Funktion.

   
   
3. Erste Nullstelle

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{5}{t}^2+4t+3$	=	0	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{2}{5}{t}^2+4t+3\right)$	=	0

   $-2t^2+20t+15$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

4. Erster t-Wert bei y = $\frac{33}{5}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{33}{5}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{33}{5}$ und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{5}{t}^2+4t+3$	=	$\frac{33}{5}$	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{2}{5}{t}^2+4t+3\right)$	=	$33$
   $-2t^2+20t+15$	=	$33$	| $-33$

   $-2t^2+20t-18$ = 0 |:2

   $-t^2+10t-9$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

5. t-Wert beim maximalen Bestand

   Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

   Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

   Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $\frac{-20-\sqrt{520}}{-4}$.

   Da f(9.7) ≈ 4.2 > 0 und f(11.7) ≈ -5 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 10.7.

   Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 10.7 min.