Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-20x^2+64$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $16$

u₂: $x^2$ = $4$

L={ $-4$; $-2$; $2$; $4$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·\left(x-4\right)·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $x^4-20x^2+64$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $20-10e^{-\mathrm{0,5}\cdot 2}$ = $-10e^{-1}+20$ ≈ 16.3

   
   
2. Erster t-Wert bei y = 19

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=19 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 19 und lösen nach t auf:

   $20-10e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $19$

   $-10e^{-\mathrm{0,5}t}+20$	=	$19$	| $-20$
   $-10e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-1$	|:$-10$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{1}{10}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{10}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{1}{10}\right)$	≈ 4.6052

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 19 annimmt, ist also nach 4.61 Jahre.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-10e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-10e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x+20e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3+20e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(20\cdot 0+20e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $60+20e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0+20e^0\right)$

   = $20e^{-\mathrm{1,5}}+60-\left(0+20\right)$

   = $20e^{-\mathrm{1,5}}+60-20$

   = $20e^{-\mathrm{1,5}}+40$

   
   ≈ 44,463

   44.46 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.