Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -2 addiert wird, hat der Graph von $e^x-2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-2$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-2$ gegen 0 -2, also gegen -2.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-x^8-2x^6+3x^4$	=	0
$-x^4\left(x^4+2x^2-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -1 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+2u-3$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+2x^2-3$ =nach Substitution $u^2+2u-3$ = $\left(u-1\right)·\left(u+3\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+3\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $-x^4·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+3\right)$ = $-x^8-2x^6+3x^4$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $\frac{2}{5}\cdot 2^2-4\cdot 2+13$ = $\frac{33}{5}$ ≈ 6.6

   
   
2. Erster t-Wert bei y = $\frac{33}{5}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{33}{5}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{33}{5}$ und lösen nach t auf:

   $\frac{2}{5}{t}^2-4t+13$	=	$\frac{33}{5}$	|⋅ 5
   $5\left(\frac{2}{5}{t}^2-4t+13\right)$	=	$33$
   $2t^2-20t+65$	=	$33$	| $-33$

   $2t^2-20t+32$ = 0 |:2

   $t^2-10t+16$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{2}{5}{t}^2-4t+13\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{2}{5}{t}^2-4t+13\right)dt$$

   = ${\left[\frac{2}{15}{x}^3-2x^2+13x\right]}_0^3$

   $=$ $\frac{2}{15}\cdot 3^3-2\cdot 3^2+13\cdot 3-\left(\frac{2}{15}\cdot 0^3-2\cdot 0^2+13\cdot 0\right)$

   = $\frac{2}{15}\cdot 27-2\cdot 9+39-\left(\frac{2}{15}\cdot 0-2\cdot 0+0\right)$

   = $\frac{18}{5}-18+39-\left(0+0+0\right)$

   = $\frac{18}{5}-\frac{90}{5}+\frac{195}{5}+0$

   = $\frac{123}{5}$

   
   = 24,6

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 4 + 24.6 = 28.6

   28.6 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.