Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·\left(x+1\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Unser Term $x\left(x+1\right)$ = $x^2+x$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt für x → ∞ auch $3e^x$ gegen ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $3e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-2x^5-4x^3+6x$	=	0
$-2x\left(x^4+2x^2-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+2u-3$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+2x^2-3$ =nach Substitution $u^2+2u-3$ = $\left(u-1\right)·\left(u+3\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+3\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $-2x·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+3\right)$ = $-2x^5-4x^3+6x$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $15+10e^{-\mathrm{0,6}\cdot 4}$ = $10e^{-\mathrm{2,4}}+15$ ≈ 15.9

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15+10e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

3. Erster t-Wert bei y = 21

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=21 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 21 und lösen nach t auf:

   $15+10e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $21$

   $10e^{-\mathrm{0,6}t}+15$	=	$21$	| $-15$
   $10e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$6$	|:$10$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{3}{5}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{3}{5}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{3}{5}\right)$	≈ 0.8514

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 21 annimmt, ist also nach 0.85 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+10e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+10e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[15x-\frac{50}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $15\cdot 3-\frac{50}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(15\cdot 0-\frac{50}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $45-\frac{50}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}-\left(0-\frac{50}{3}{e}^0\right)$

   = $-\frac{50}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+45-\left(0-\frac{50}{3}\right)$

   = $-\frac{50}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+45-\left(0-\frac{50}{3}\right)$

   = $-\frac{50}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+45+\frac{50}{3}$

   = $-\frac{50}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+\frac{185}{3}$

   
   ≈ 58,912

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 1 + 58.912 = 59.912

   59.91 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.