Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +1 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= ( x +1 ) · e -x . Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
f(x)= - ( x +1 ) · e -x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -3 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -3 einfach das x von e x durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 3 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x -3 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Wie e x strebt auch e x -3 für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 -5 x 2 -36 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 -5 x 2 -36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u -36 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -36 ) 21

u1,2 = +5 ± 25 +144 2

u1,2 = +5 ± 169 2

u1 = 5 + 169 2 = 5 +13 2 = 18 2 = 9

u2 = 5 - 169 2 = 5 -13 2 = -8 2 = -4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -4

x 2 = -4 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term u 2 -5u -36 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 -5 x 2 -36 =nach Substitution u 2 -5u -36 = ( u -9 ) · ( u +4 ) =nach Re-Substitution ( -9 ) · ( +4 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= ( x +3 ) · ( x -3 ) · ( x 2 +4 ) = x 4 -5 x 2 -36

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 40 -33 e -0,6t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 4 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 4 Jahren?
  2. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 28 dm pro Jahr?
  3. Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?

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  1. y-Wert bei t = 4

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = 40 -33 e -0,64 = -33 e -2,4 +40 ≈ 37


  2. Erster t-Wert bei y = 28

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=28 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 28 und lösen nach t auf:

    40 -33 e -0,6t = 28
    -33 e -0,6t +40 = 28 | -40
    -33 e -0,6t = -12 |:-33
    e -0,6t = 4 11 |ln(⋅)
    -0,6t = ln( 4 11 ) |:-0,6
    t = - 1 0.6 ln( 4 11 ) ≈ 1.686

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 28 annimmt, ist also nach 1.69 Jahre.

  3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

    Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral 0 3 ( 40 -33 e -0,6t ) t berechnet werden.

    0 3 ( 40 -33 e -0,6t ) t

    = [ 40x +55 e -0,6x ] 0 3

    = 403 +55 e -0,63 - ( 400 +55 e -0,60 )

    = 120 +55 e -1,8 - (0 +55 e 0 )

    = 55 e -1,8 +120 - (0 +55 )

    = 55 e -1,8 +120 -55

    = 55 e -1,8 +65


    ≈ 74,091

    74.09 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.