Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 3 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
+ 3 , also gegen 3.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
|
| x4 | = |
|
=
|
| x5 | = |
|
=
|
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 4 Dezimeter hoch.
- Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
- Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 25 dm pro Jahr?
- Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→40 - 28 e - 0,4 t 40 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.40 - Erster t-Wert bei y = 25
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=25 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 25 und lösen nach t auf:
40 - 28 e - 0,4 t = 25 - 28 e - 0,4 t + 40 = 25 | - 40 - 28 e - 0,4 t = - 15 |: - 28 e - 0,4 t = 15 28 |ln(⋅) - 0,4 t = ln ( 15 28 ) |: - 0,4 t = - 1 0.4 ln ( 15 28 ) ≈ 1.5604 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 25 annimmt, ist also nach 1.56 Jahre.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 40 - 28 e - 0,4 t ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 40 - 28 e - 0,4 t ) ⅆ t =
[ 40 x + 70 e - 0,4 x ] 0 3 = 40 ⋅ 3 + 70 e - 0,4 ⋅ 3 - ( 40 ⋅ 0 + 70 e - 0,4 ⋅ 0 ) =
120 + 70 e - 1,2 - ( 0 + 70 e 0 ) =
70 e - 1,2 + 120 - ( 0 + 70 ) =
70 e - 1,2 + 120 - 70 =
70 e - 1,2 + 50
≈ 71,084Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 4 + 71.084 = 75.08475.08 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
