Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-1|0) und N2(0|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da unser Term = für x → -∞ gegen +∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei
einfach das x von
durch ein 'x
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Wie strebt auch für x → -∞ gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x1 | = |
|
=
|
| x2 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die minimale Änderungsrate des Wasservolumens.
- Wann nimmt die Änderungsrate des Wasservolumens am stärksten ab?
- Wie viel m³ Wasser sind 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn im Wassertank?
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der y-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (
|1.74) einblenden10 3 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=1 2 ⋅ 0 3 - 5 2 ⋅ 0 2 + 11 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(5) =11 =1 2 ⋅ 5 3 - 5 2 ⋅ 5 2 + 11 .11 Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) =
.11 1.74 ist also der kleinste Wert der Funktion.
- t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
3 2 x 2 - 5 x + 0 =
Wir berechnen also die Extremstellen von f':1 2 x ( 3 x - 10 ) Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung (
|-4.17) einblenden5 3 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) =
=1 2 · 0 · ( 3 ⋅ 0 - 10 ) 0 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(5) = =1 2 · 5 · ( 3 ⋅ 5 - 10 ) .25 2 Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f'(0) =
0 .Bei t =
ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.5 3 - Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 50 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 1 2 t 3 - 5 2 t 2 + 11 ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 1 2 t 3 - 5 2 t 2 + 11 ) ⅆ t =
[ 1 8 x 4 - 5 6 x 3 + 11 x ] 0 3 = 1 8 ⋅ 3 4 - 5 6 ⋅ 3 3 + 11 ⋅ 3 - ( 1 8 ⋅ 0 4 - 5 6 ⋅ 0 3 + 11 ⋅ 0 ) =
1 8 ⋅ 81 - 5 6 ⋅ 27 + 33 - ( 1 8 ⋅ 0 - 5 6 ⋅ 0 + 0 ) =
81 8 - 45 2 + 33 - ( 0 + 0 + 0 ) =
81 8 - 180 8 + 264 8 + 0 =
165 8
= 20,625Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 50 + 20.625 = 70.62570.63 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
