Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1
- Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
- Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da sowohl für x → -∞ wie auch für x → +∞ : f(x) → +∞ gilt, muss unser gesuchter Term einen geraden Grad haben.
Unser bisheriger Term
=
hat aber einen ungeraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise
noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen geraden Grad bekommt:
=
.
Unser Term = erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -1 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
- 1 , also gegen -1.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
|
| x4 | = |
|
=
|
| x5 | = |
|
=
|
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit
- Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?
- Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?
- Zu welchem Zeitpunktz ist am meisten Wasser im Tank?
- y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) =
=1 16 ( - 3 3 + 48 ⋅ 3 ) ≈ 7.3117 16
- Erste Nullstelle
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:
1 16 ( - t 3 + 48 t ) = 0 - 1 16 t 3 + 3 t = 0 1 16 t ( - t 2 + 48 ) = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
t1 = 0 2. Fall:
- t 2 + 48 = 0 | - 48 - t 2 = - 48 |: ( - 1 ) t 2 = 48 | ⋅ 2 t2 = - 48 ≈ - 6,928 t3 = 48 ≈ 6,928 Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit
0 und .6,928 Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 min.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 1 16 ( - t 3 + 48 t ) ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 1 16 ( - t 3 + 48 t ) ) ⅆ t =
[ 1 16 ( - 1 4 x 4 + 24 x 2 ) ] 0 3 = 1 16 ( - 1 4 ⋅ 3 4 + 24 ⋅ 3 2 ) - 1 16 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 24 ⋅ 0 2 ) =
1 16 ( - 1 4 ⋅ 81 + 24 ⋅ 9 ) - 1 16 ( - 1 4 ⋅ 0 + 24 ⋅ 0 ) =
1 16 ( - 81 4 + 216 ) - 1 16 ( 0 + 0 ) =
1 16 ( - 81 4 + 864 4 ) + 0 =
1 16 · 783 4 =
783 64
≈ 12,23412.23 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- t-Wert beim maximalen Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei
0 und .6,928 Da f(5.9) ≈ 4.8 > 0 und f(7.9) ≈ -7.4 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 6.93.
Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 6.93 min.
