Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-2|0) und N2(0|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x +2 ) · ( x +0 ) .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term ( x +2 ) x = x 2 +2x für x → -∞ : f(x) gegen -∞ und nicht wie gefordert gegen +∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
- ( x +2 ) x = - x 2 -2x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= -2 e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden zwar (wie bei e x ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Während e x für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
  • Wie e x strebt für x → -∞ auch -2 e x gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -2 x 8 +6 x 6 +108 x 4 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

-2 x 8 +6 x 6 +108 x 4 = 0
2 x 4 ( - x 4 +3 x 2 +54 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 4 = 0 | 4
x1 = 0

2. Fall:

- x 4 +3 x 2 +54 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

- u 2 +3u +54 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · ( -1 ) · 54 2( -1 )

u1,2 = -3 ± 9 +216 -2

u1,2 = -3 ± 225 -2

u1 = -3 + 225 -2 = -3 +15 -2 = 12 -2 = -6

u2 = -3 - 225 -2 = -3 -15 -2 = -18 -2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = -6

x 2 = -6 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u2: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x2 = - 9 = -3
x3 = 9 = 3

L={ -3 ; 0; 3 }

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term u 2 -3u -54 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 -3 x 2 -54 =nach Substitution u 2 -3u -54 = ( u -9 ) · ( u +6 ) =nach Re-Substitution ( -9 ) · ( +6 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 2 x 4 · ( - ( x 2 +6 ) · ( x +3 ) · ( x -3 ) ) = -2 x 8 +6 x 6 +108 x 4

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 40 -20 e -0,4t beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

  1. Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
  2. Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 31 (Tausend)?
  3. Wie viele Tausend Downloads wurden insgesamt nach den ersten 3 Tagen heruntergeladen?

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  1. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 40 -20 e -0,4t 40 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 40 .

  2. Erster t-Wert bei y = 31

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=31 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 31 und lösen nach t auf:

    40 -20 e -0,4t = 31
    -20 e -0,4t +40 = 31 | -40
    -20 e -0,4t = -9 |:-20
    e -0,4t = 9 20 |ln(⋅)
    -0,4t = ln( 9 20 ) |:-0,4
    t = - 1 0.4 ln( 9 20 ) ≈ 1.9963

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 31 annimmt, ist also nach 2 Tage.

  3. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral 0 3 ( 40 -20 e -0,4t ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 40 -20 e -0,4t ) t

    = [ 40x +50 e -0,4x ] 0 3

    = 403 +50 e -0,43 - ( 400 +50 e -0,40 )

    = 120 +50 e -1,2 - (0 +50 e 0 )

    = 50 e -1,2 +120 - (0 +50 )

    = 50 e -1,2 +120 -50

    = 50 e -1,2 +70


    ≈ 85,06

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 0 + 85.06 = 85.06

    85.06 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.