Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +0 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= x · e -x . Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
f(x)= - x · e -x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -x einfach das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von e -x indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Wie e x für x → -∞ strebt e -x für x → ∞ gegen 0.
  • Wie e x für x → ∞ strebt e -x für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 2 x 8 +4 x 6 -48 x 4 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

2 x 8 +4 x 6 -48 x 4 = 0
2 x 4 ( x 4 +2 x 2 -24 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 4 = 0 | 4
x1 = 0

2. Fall:

x 4 +2 x 2 -24 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -24 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -24 ) 21

u1,2 = -2 ± 4 +96 2

u1,2 = -2 ± 100 2

u1 = -2 + 100 2 = -2 +10 2 = 8 2 = 4

u2 = -2 - 100 2 = -2 -10 2 = -12 2 = -6

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

u2: x 2 = -6

x 2 = -6 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 0; 2 }

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term u 2 +2u -24 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 +2 x 2 -24 =nach Substitution u 2 +2u -24 = ( u -4 ) · ( u +6 ) =nach Re-Substitution ( -4 ) · ( +6 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 2 x 4 · ( x +2 ) · ( x -2 ) · ( x 2 +6 ) = 2 x 8 +4 x 6 -48 x 4

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 25 +17 e -0,3t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 5 Dezimeter hoch.

  1. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  2. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 29 dm pro Jahr?
  3. Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?

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  1. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 25 +17 e -0,3t 25 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 25 .

  2. Erster t-Wert bei y = 29

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=29 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 29 und lösen nach t auf:

    25 +17 e -0,3t = 29
    17 e -0,3t +25 = 29 | -25
    17 e -0,3t = 4 |:17
    e -0,3t = 4 17 |ln(⋅)
    -0,3t = ln( 4 17 ) |:-0,3
    t = - 1 0.3 ln( 4 17 ) ≈ 4.8231

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 29 annimmt, ist also nach 4.82 Jahre.

  3. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 5 und dem Integral 0 3 ( 25 +17 e -0,3t ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 25 +17 e -0,3t ) t

    = [ 25x - 170 3 e -0,3x ] 0 3

    = 253 - 170 3 e -0,33 - ( 250 - 170 3 e -0,30 )

    = 75 - 170 3 e -0,9 - (0 - 170 3 e 0 )

    = - 170 3 e -0,9 +75 - (0 - 170 3 )

    = - 170 3 e -0,9 +75 - (0 - 170 3 )

    = - 170 3 e -0,9 +75 + 170 3

    = - 170 3 e -0,9 + 395 3


    ≈ 108,628

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 5 + 108.628 = 113.628

    113.63 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.