Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
  • einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|18)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x -2 .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit f(x)= ( x -2 ) · ( x -3 ) 2

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|18) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 -2 ) · ( 0 -3 ) 2 = -18

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten -1 multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = - ( 0 -2 ) · ( 0 -3 ) 2 = 18

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= - ( x -2 ) ( x -3 ) 2 .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +1 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +1 zu jedem Funktionswert von e x noch 1 addiert wird, hat der Graph von e x +1 die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x +1 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Für x → -∞ strebt e x +1 gegen 0 +1, also gegen 1.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= - x 7 -4 x 5 +5 x 3 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

- x 7 -4 x 5 +5 x 3 = 0
- x 3 ( x 4 +4 x 2 -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 4 +4 x 2 -5 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u -5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -5 ) 21

u1,2 = -4 ± 16 +20 2

u1,2 = -4 ± 36 2

u1 = -4 + 36 2 = -4 +6 2 = 2 2 = 1

u2 = -4 - 36 2 = -4 -6 2 = -10 2 = -5

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 0; 1 }

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -1 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term u 2 +4u -5 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 +4 x 2 -5 =nach Substitution u 2 +4u -5 = ( u -1 ) · ( u +5 ) =nach Re-Substitution ( -1 ) · ( +5 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= - x 3 · ( x +1 ) · ( x -1 ) · ( x 2 +5 ) = - x 7 -4 x 5 +5 x 3

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 45 -31 e -0,5t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 2 Dezimeter hoch.

  1. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  2. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 36 dm pro Jahr?
  3. Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?

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  1. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 45 -31 e -0,5t 45 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 45 .

  2. Erster t-Wert bei y = 36

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=36 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 36 und lösen nach t auf:

    45 -31 e -0,5t = 36
    -31 e -0,5t +45 = 36 | -45
    -31 e -0,5t = -9 |:-31
    e -0,5t = 9 31 |ln(⋅)
    -0,5t = ln( 9 31 ) |:-0,5
    t = - 1 0.5 ln( 9 31 ) ≈ 2.4735

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 36 annimmt, ist also nach 2.47 Jahre.

  3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

    Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral 0 3 ( 45 -31 e -0,5t ) t berechnet werden.

    0 3 ( 45 -31 e -0,5t ) t

    = [ 45x +62 e -0,5x ] 0 3

    = 453 +62 e -0,53 - ( 450 +62 e -0,50 )

    = 135 +62 e -1,5 - (0 +62 e 0 )

    = 62 e -1,5 +135 - (0 +62 )

    = 62 e -1,5 +135 -62

    = 62 e -1,5 +73


    ≈ 86,834

    86.83 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.