Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^8-13x^6+36x^4$	=	0
$x^4\left(x^4-13x^2+36\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; $-2$; 0; $2$; $3$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^4·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $x^8-13x^6+36x^4$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $\frac{2}{3}\cdot 5^2-4\cdot 5+8$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.7

   
   
2. Erster t-Wert bei y = $\frac{14}{3}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{14}{3}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{14}{3}$ und lösen nach t auf:

   $\frac{2}{3}{t}^2-4t+8$	=	$\frac{14}{3}$	|⋅ 3
   $3\left(\frac{2}{3}{t}^2-4t+8\right)$	=	$14$
   $2t^2-12t+24$	=	$14$	| $-14$

   $2t^2-12t+10$ = 0 |:2

   $t^2-6t+5$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{2}{3}{t}^2-4t+8\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{2}{3}{t}^2-4t+8\right)dt$$

   = ${\left[\frac{2}{9}{x}^3-2x^2+8x\right]}_0^3$

   $=$ $\frac{2}{9}\cdot 3^3-2\cdot 3^2+8\cdot 3-\left(\frac{2}{9}\cdot 0^3-2\cdot 0^2+8\cdot 0\right)$

   = $\frac{2}{9}\cdot 27-2\cdot 9+24-\left(\frac{2}{9}\cdot 0-2\cdot 0+0\right)$

   = $6-18+24-\left(0+0+0\right)$

   = $12+0$

   = $12$

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 4 + 12 = 16

   16 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.