Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 1 addiert wird, hat der Graph von $e^x+1$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+1$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+1$ gegen 0 +1, also gegen 1.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^3-6x^2+9x$	=	0
$x\left(x^2-6x+9\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $3$}

$3$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·{\left(x-3\right)}^2$ = $x^3-6x^2+9x$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $20+19e^{-\mathrm{0,7}\cdot 5}$ = $19e^{-\mathrm{3,5}}+20$ ≈ 20.6

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+19e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 21

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=21 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 21 und lösen nach t auf:

   $20+19e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $21$

   $19e^{-\mathrm{0,7}t}+20$	=	$21$	| $-20$
   $19e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$1$	|:$19$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{1}{19}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{19}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{1}{19}\right)$	≈ 4.2063

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 21 annimmt, ist also nach 4.21 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+19e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+19e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x-\frac{190}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3-\frac{190}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}-\left(20\cdot 0-\frac{190}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 0}\right)$

   = $60-\frac{190}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}-\left(0-\frac{190}{7}{e}^0\right)$

   = $-\frac{190}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60-\left(0-\frac{190}{7}\right)$

   = $-\frac{190}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60-\left(0-\frac{190}{7}\right)$

   = $-\frac{190}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60+\frac{190}{7}$

   = $-\frac{190}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+\frac{610}{7}$

   
   ≈ 83,819

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 4 + 83.819 = 87.819

   87.82 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.