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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 2$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- x}$ . Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^{x}$ ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
Während $e^{x}$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
Wie $e^{x}$ strebt für x → -∞ auch $- 3 e^{x}$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{7} - 3 x^{5} + 4 x^{3}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$- x^{7} - 3 x^{5} + 4 x^{3}$	=	0
$- x^{3} (x^{4} + 3 x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + 3 x^{2} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -1 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} + 3 u - 4$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} + 3 x^{2} - 4$ =nach Substitution $u^{2} + 3 u - 4$ = $(u - 1) \cdot (u + 4)$ =nach Re-Substitution $(x² - 1) \cdot (x² + 4)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $- x^{3} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x^{2} + 4)$ = $- x^{7} - 3 x^{5} + 4 x^{3}$

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{4}{5} t^{2} + 2$ beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 4 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 50 m³ Wasser im Tank.

Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?
Wie lange liegt die Änderungsrate des Wasservolumens bei mindestens $\frac{27}{10}$ m³/min?
Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?
Bestimme das maximale Wasservolumen im Tank?

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $- \frac{1}{10} \cdot 3^{4} + \frac{4}{5} \cdot 3^{2} + 2$ = $\frac{11}{10}$ ≈ 1.1

Erste Nullstelle

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{4}{5} t^{2} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $t^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{1}{10} u^{2} + \frac{4}{5} u + 2$	=	0	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{10} u^{2} + \frac{4}{5} u + 2)$	=	0

$- u^{2} + 8 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 8$

Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{27}{10}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{27}{10}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{27}{10}$ und lösen nach t auf:

- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{4}{5} t^{2} + 2

=

\frac{27}{10}

|

- \frac{27}{10}

- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{4}{5} t^{2} - \frac{7}{10}

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $t^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{1}{10} u^{2} + \frac{4}{5} u - \frac{7}{10}$	=	0	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{10} u^{2} + \frac{4}{5} u - \frac{7}{10})$	=	0

$- u^{2} + 8 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 8$

Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $\int_{0}^{3} (- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{4}{5} t^{2} + 2) ⅆ t$ berechnet werden.

$\int_{0}^{3} (- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{4}{5} t^{2} + 2) ⅆ t$
= ${[- \frac{1}{50} x^{5} + \frac{4}{15} x^{3} + 2 x]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{1}{50} \cdot 3^{5} + \frac{4}{15} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3 - (- \frac{1}{50} \cdot 0^{5} + \frac{4}{15} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$
= $- \frac{1}{50} \cdot 243 + \frac{4}{15} \cdot 27 + 6 - (- \frac{1}{50} \cdot 0 + \frac{4}{15} \cdot 0 + 0)$
= $- \frac{243}{50} + \frac{36}{5} + 6 - (0 + 0 + 0)$
= $- \frac{243}{50} + \frac{360}{50} + \frac{300}{50} + 0$
= $\frac{417}{50}$

= 8,34

8.34 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $3,162$ .
Da f(2.2) ≈ 3.6 > 0 und f(4.2) ≈ -14.1 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 3.16.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 3.16 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 3.16 min lässt sich berechnen durch:

$\int_{0}^{3.16} (- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{4}{5} t^{2} + 2) ⅆ t$
= ${[- \frac{1}{50} x^{5} + \frac{4}{15} x^{3} + 2 x]}_{0}^{3.16}$
$=$ $- \frac{1}{50} \cdot {3.16}^{5} + \frac{4}{15} \cdot {3.16}^{3} + 2 \cdot 3.16 - (- \frac{1}{50} \cdot 0^{5} + \frac{4}{15} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$
= $- \frac{1}{50} \cdot 315.0905752576 + \frac{4}{15} \cdot 31.554496 + 6,32 - (- \frac{1}{50} \cdot 0 + \frac{4}{15} \cdot 0 + 0)$
= $- 6,301811505152 + 8,4145322666667 + 6,32 - (0 + 0 + 0)$
= $8,4327207615147 + 0$
= $8,4327207615147$

≈ 8,433
Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 50 m³, so dass für den maximalen Bestand gilt:
B_max = 50 m³ + 8.43 m³ = 58.43 m³.

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