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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N₁(2|0) und N₂(4|0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|8)

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $(x - 2) \cdot (x - 4)$ .

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|8) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $(0 - 2) \cdot (0 - 4)$ = $8$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $f(x) =$ $(x - 2) (x - 4)$ .

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^{x}$ ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
Während $e^{x}$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
Wie $e^{x}$ strebt für x → -∞ auch $- 3 e^{x}$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{7} - 8 x^{5} - 9 x^{3}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{7} - 8 x^{5} - 9 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{4} - 8 x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 8 x^{2} - 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} - 8 u - 9$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} - 8 x^{2} - 9$ =nach Substitution $u^{2} - 8 u - 9$ = $(u - 9) \cdot (u + 1)$ =nach Re-Substitution $(x² - 9) \cdot (x² + 1)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) \cdot (x^{2} + 1)$ = $x^{7} - 8 x^{5} - 9 x^{3}$

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,9 t} - 20 e^{- 1,8 t}$ beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 1 Dezimeter hoch.

Bestimme die maximale Wachstumsgeschwindigkeit des Baums.
Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals $\frac{24}{5}$ dm pro Jahr?
Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?

Lösung einblenden

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $0.7702$ |5) einblenden

$f(t) =$ $20 e^{- 0,9 t} - 20 e^{- 1,8 t}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $20 e^{- 0,9 t} \cdot (- 0,9) - 20 e^{- 1,8 t} \cdot (- 1,8)$

= $e^{- 1,8 t} \cdot (- 18 e^{0,9 t} + 36)$

$f''(t) =$ $(- 18 e^{0,9 t} \cdot 0,9 + 0) \cdot e^{- 1,8 t} + (- 18 e^{0,9 t} + 36) \cdot e^{- 1,8 t} \cdot (- 1,8)$

= $e^{- 1,8 t} \cdot (16,2 e^{0,9 t} - 64,8)$

= $(16,2 e^{0,9 t} - 64,8) e^{- 1,8 t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 18 e^{0,9 t} + 36) \cdot e^{- 1,8 t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 18 e^{0,9 t} + 36$	=	0	\| $- 36$
$- 18 e^{0,9 t}$	=	$- 36$	\|: $- 18$
$e^{0,9 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,9 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,9$
t₁	=	$\frac{1}{0.9} \ln (2)$	≈ 0.7702

2. Fall:

e^{- 1,8 t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung t= $\frac{1}{0.9} \ln (2)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

f''( $0.7702$ ) = $e^{- 1,8 \cdot 0.7702} \cdot (16,2 e^{0,9 \cdot 0.7702} - 64,8)$ = $e^{- 1,38636} \cdot (16,2 e^{0,69318} - 64,8)$ = $e^{- 1,38636} \cdot (16,2 e^{0,69318} - 64,8)$ <0

Das heißt bei t = $0.7702$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0.7702$ ) = $20 e^{- 0,9 \cdot 0.7702} - 20 e^{- 1,8 \cdot 0.7702}$ = $20 e^{- 0,69318} - 20 e^{- 1,38636}$ ≈ 5
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0.7702$ | $20 e^{- 0,69318} - 20 e^{- 1,38636}$ )

≈ H:(0.77|5)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $20 e^{- 0,9 \cdot 0} - 20 e^{- 1,8 \cdot 0}$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → $0 + 0$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

5 ist also der größte Wert der Funktion.

Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20 e^{- 0,9 t} - 20 e^{- 1,8 t}$ → $0 + 0$

Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 0.

Erster t-Wert bei y = $\frac{24}{5}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{24}{5}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{24}{5}$ und lösen nach t auf:

20 e^{- 0,9 t} - 20 e^{- 1,8 t}

=

\frac{24}{5}

|

- \frac{24}{5}

20 e^{- 0,9 t} - 20 e^{- 1,8 t} - \frac{24}{5}

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$20 e^{- 0,9 t} - 20 e^{- 1,8 t} - \frac{24}{5}$	=	0	\|⋅ $e^{1,8 x}$
$- \frac{24}{5} e^{1,8 t} + 20 e^{0,9 t} - 20$	=	0

Setze u = $e^{0,9 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{24}{5} u^{2} + 20 u - 20$	=	0	\|⋅ 5
$5 (- \frac{24}{5} u^{2} + 20 u - 20)$	=	0

- 24 u^{2} + 100 u - 100

= 0 |:4

$- 6 u^{2} + 25 u - 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 25$

Bestand zur Zeit 3Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral $\int_{0}^{3} (20 e^{- 0,9 t} - 20 e^{- 1,8 t}) ⅆ t$ berechnet werden.

Wir berechenn also zuerst das Integral:

$\int_{0}^{3} (20 e^{- 0,9 t} - 20 e^{- 1,8 t}) ⅆ t$
= ${[- \frac{200}{9} e^{- 0,9 x} + \frac{100}{9} e^{- 1,8 x}]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{200}{9} e^{- 0,9 \cdot 3} + \frac{100}{9} e^{- 1,8 \cdot 3} - (- \frac{200}{9} e^{- 0,9 \cdot 0} + \frac{100}{9} e^{- 1,8 \cdot 0})$
= $- \frac{200}{9} e^{- 2,7} + \frac{100}{9} e^{- 5,4} - (- \frac{200}{9} e^{0} + \frac{100}{9} e^{0})$
= $- \frac{200}{9} e^{- 2,7} + \frac{100}{9} e^{- 5,4} - (- \frac{200}{9} + \frac{100}{9})$
= $- \frac{200}{9} e^{- 2,7} + \frac{100}{9} e^{- 5,4} - 1 \cdot (- \frac{100}{9})$
= $- \frac{200}{9} e^{- 2,7} + \frac{100}{9} e^{- 5,4} + \frac{100}{9}$

≈ 9,668

Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 1 + 9.668 = 10.668

10.67 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

Aufgabenbeispiele von allgemein

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