Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^x-3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^2+3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $-1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x+2\right)$ = $x^2+3x+2$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $-\frac{1}{100}\cdot 2^4+\frac{18}{25}\cdot 2^2+4$ = $\frac{168}{25}$ ≈ 6.7

   
   
2. Erster t-Wert bei y = $\frac{63}{4}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{63}{4}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{63}{4}$ und lösen nach t auf:

   $-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{18}{25}{t}^2+4$

   =

   $\frac{63}{4}$

   | $-\frac{63}{4}$

   $-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{18}{25}{t}^2-\frac{47}{4}$ = 0

   Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

   Setze u = $t^2$

   Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

   $-\frac{1}{100}{u}^2+\frac{18}{25}u-\frac{47}{4}$	=	0	|⋅ 100
   $100\left(-\frac{1}{100}{u}^2+\frac{18}{25}u-\frac{47}{4}\right)$	=	0

   $-u^2+72u-1175$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   u_1,2 =

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{18}{25}{t}^2+4\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{18}{25}{t}^2+4\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{1}{500}{x}^5+\frac{6}{25}{x}^3+4x\right]}_0^3$

   $=$ $-\frac{1}{500}\cdot 3^5+\frac{6}{25}\cdot 3^3+4\cdot 3-\left(-\frac{1}{500}\cdot 0^5+\frac{6}{25}\cdot 0^3+4\cdot 0\right)$

   = $-\frac{1}{500}\cdot 243+\frac{6}{25}\cdot 27+12-\left(-\frac{1}{500}\cdot 0+\frac{6}{25}\cdot 0+0\right)$

   = $-\frac{243}{500}+\frac{162}{25}+12-\left(0+0+0\right)$

   = $-\frac{243}{500}+\frac{3240}{500}+\frac{6000}{500}+0$

   = $\frac{8997}{500}$

   
   = 17,994

   17.99 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

4. t-Wert beim maximalen Bestand

   Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

   Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

   Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:

   $-\frac{1}{100}{t}^4+\frac{18}{25}{t}^2+4$

   =

   0

   Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

   Setze u = $t^2$

   Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

   $-\frac{1}{100}{u}^2+\frac{18}{25}u+4$	=	0	|⋅ 100
   $100\left(-\frac{1}{100}{u}^2+\frac{18}{25}u+4\right)$	=	0

   $-u^2+72u+400$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   u_1,2 =