Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·{\left(x-2\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da sowohl für x → -∞ wie auch für x → +∞ : f(x) → -∞ gilt, muss unser gesuchter Term einen geraden Grad haben.
Unser bisheriger Term $x{\left(x-2\right)}^2$ = $x^3-4x^2+4x$ hat aber einen ungeraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen geraden Grad bekommt: $x{\left(x-2\right)}^2·x$ = $x^4-4x^3+4x^2$.

Es stimmt nun aber das Verhalten für x → ±∞ noch nicht, deswegen müssen wir den Term mit -1 multiplizieren.

Unser Term $-x{\left(x-2\right)}^2·x$ = $-x^4+4x^3-4x^2$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, hat der Graph von $e^x+2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+2$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+2$ gegen 0 +2, also gegen 2.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^2-10x+12$ = 0 |:2

$x^2-5x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·6}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·\left(x-2\right)$ = $2x^2-10x+12$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $30-19e^{-\mathrm{0,3}\cdot 2}$ = $-19e^{-\mathrm{0,6}}+30$ ≈ 19.6

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30-19e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

3. Erster t-Wert bei y = 18

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=18 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 18 und lösen nach t auf:

   $30-19e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $18$

   $-19e^{-\mathrm{0,3}t}+30$	=	$18$	| $-30$
   $-19e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-12$	|:$-19$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{12}{19}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{12}{19}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{12}{19}\right)$	≈ 1.5318

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 18 annimmt, ist also nach 1.53 Tage.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-19e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-19e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[30x+\frac{190}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3+\frac{190}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(30\cdot 0+\frac{190}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $90+\frac{190}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0+\frac{190}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{190}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+90-\left(0+\frac{190}{3}\right)$

   = $\frac{190}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+90-\left(0+\frac{190}{3}\right)$

   = $\frac{190}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+90-\frac{190}{3}$

   = $\frac{190}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{80}{3}$

   
   ≈ 52,416

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 52.416 = 52.416

   52.42 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.