Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
- Verhalten für x → ∞: f(x) → 0
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x.
Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu:
. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 3 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
+ 3 , also gegen 3.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= | |
|
|
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 8 durch die Funktion f mit
- Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 4 heruntergeladen?.
- Bestimme die minimale tägliche Downloadzahl.
- Wann erreicht die Downloadzahl erstmals
(Tausend)?11 2
- y-Wert bei t = 4
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) =
=1 2 ⋅ 4 2 - 4 ⋅ 4 + 9 1
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der y-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (
|1) einblenden4 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=1 2 ⋅ 0 2 - 4 ⋅ 0 + 9 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(8) =9 =1 2 ⋅ 8 2 - 4 ⋅ 8 + 9 .9 Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) =
.9 1 ist also der kleinste Wert der Funktion.
- Erster t-Wert bei y =
11 2 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.11 2 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:11 2 1 2 t 2 - 4 t + 9 = 11 2 |⋅ 2 2 ( 1 2 t 2 - 4 t + 9 ) = 11 t 2 - 8 t + 18 = 11 | - 11 = 0t 2 - 8 t + 7 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
t1,2 =
+ 8
