Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\left(x-3\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-12) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·\left(0-3\right)$ = $6$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0-2\right)·\left(0-3\right)$ = $-12$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right)\left(x-3\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^x-3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^6+6x^5-20x^4$	=	0
$2x^4\left(x^2+3x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-5$; 0; $2$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^4·\left(x-2\right)·\left(x+5\right)$ = $2x^6+6x^5-20x^4$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $50-47e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $50+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $50$.

2. Erster t-Wert bei y = 24

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=24 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 24 und lösen nach t auf:

   $50-47e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $24$

   $-47e^{-\mathrm{0,5}t}+50$	=	$24$	| $-50$
   $-47e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-26$	|:$-47$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{26}{47}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{26}{47}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{26}{47}\right)$	≈ 1.1841

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 24 annimmt, ist also nach 1.18 min.