Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +0 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= x · e x . Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
f(x)= - x · e x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -x einfach das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von e -x indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Wie e x für x → -∞ strebt e -x für x → ∞ gegen 0.
  • Wie e x für x → ∞ strebt e -x für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 -16 x 2 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 -16 x 2 = 0
x 2 ( x 2 -16 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -16 = 0 | +16
x 2 = 16 | 2
x2 = - 16 = -4
x3 = 16 = 4

L={ -4 ; 0; 4 }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= x 2 · ( x +4 ) · ( x -4 ) = x 4 -16 x 2

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 20 e -0,7t -20 e -1,4t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 3 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 2 Jahren?
  2. Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten?
  3. Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?

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  1. y-Wert bei t = 2

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = 20 e -0,72 -20 e -1,42 = 20 e -1,4 -20 e -2,8 ≈ 3.7


  2. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt (0.9902|5) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 20 e -0,70 -20 e -1,40 = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → 0+0 .

    Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

    Bei t = 0.9902 ist also der größte Wert der Funktion.


  3. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral 0 3 ( 20 e -0,7t -20 e -1,4t ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 20 e -0,7t -20 e -1,4t ) t

    = [ - 200 7 e -0,7x + 100 7 e -1,4x ] 0 3

    = - 200 7 e -0,73 + 100 7 e -1,43 - ( - 200 7 e -0,70 + 100 7 e -1,40 )

    = - 200 7 e -2,1 + 100 7 e -4,2 - ( - 200 7 e 0 + 100 7 e 0 )

    = - 200 7 e -2,1 + 100 7 e -4,2 - ( - 200 7 + 100 7 )

    = - 200 7 e -2,1 + 100 7 e -4,2 -1 · ( - 100 7 )

    = - 200 7 e -2,1 + 100 7 e -4,2 + 100 7


    ≈ 11,001

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 3 + 11.001 = 14.001

    14 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.