Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -4 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·{\left(x+4\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-64) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+2\right)·{\left(0+4\right)}^2$ = $32$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0+2\right)·{\left(0+4\right)}^2$ = $-64$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right){\left(x+4\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+1}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^6+2x^4-40x^2$	=	0
$2x^2\left(x^4+x^2-20\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+u-20$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+x^2-20$ =nach Substitution $u^2+u-20$ = $\left(u-4\right)·\left(u+5\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+5\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+5\right)$ = $2x^6+2x^4-40x^2$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $-\frac{2}{3}\cdot 4^2+4\cdot 4+3$ = $\frac{25}{3}$ ≈ 8.3

   
   
2. Erste Nullstelle

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3$	=	0	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3\right)$	=	0

   $-2t^2+12t+9$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

3. Erster t-Wert bei y = $\frac{25}{3}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{25}{3}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{25}{3}$ und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3$	=	$\frac{25}{3}$	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3\right)$	=	$25$
   $-2t^2+12t+9$	=	$25$	| $-25$

   $-2t^2+12t-16$ = 0 |:2

   $-t^2+6t-8$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 30 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{2}{9}{x}^3+2x^2+3x\right]}_0^3$

   $=$ $-\frac{2}{9}\cdot 3^3+2\cdot 3^2+3\cdot 3-\left(-\frac{2}{9}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+3\cdot 0\right)$

   = $-\frac{2}{9}\cdot 27+2\cdot 9+9-\left(-\frac{2}{9}\cdot 0+2\cdot 0+0\right)$

   = $-6+18+9-\left(0+0+0\right)$

   = $21+0$

   = $21$

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 30 + 21 = 51

   51 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

5. t-Wert beim maximalen Bestand

   Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

   Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

   Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $\frac{-12-\sqrt{216}}{-4}$.

   Da f(5.7) ≈ 4.2 > 0 und f(7.7) ≈ -5.6 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 6.67.

   Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 6.67 min.