Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(x+1\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-1) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0+1\right)$ = $-1$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)\left(x+1\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, hat der Graph von $e^x+2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+2$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+2$ gegen 0 +2, also gegen 2.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-4x^2-45$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $9$

u₂: $x^2$ = $-5$

L={ $-3$; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-4u-45$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-4x^2-45$ =nach Substitution $u^2-4u-45$ = $\left(u-9\right)·\left(u+5\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+5\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x^2+5\right)$ = $x^4-4x^2-45$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25-17e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

2. Erster t-Wert bei y = 17

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=17 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 17 und lösen nach t auf:

   $25-17e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $17$

   $-17e^{-\mathrm{0,4}t}+25$	=	$17$	| $-25$
   $-17e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-8$	|:$-17$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{8}{17}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{8}{17}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{8}{17}\right)$	≈ 1.8844

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 17 annimmt, ist also nach 1.88 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25-17e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25-17e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x+\frac{85}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3+\frac{85}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(25\cdot 0+\frac{85}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $75+\frac{85}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}-\left(0+\frac{85}{2}{e}^0\right)$

   = $\frac{85}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+75-\left(0+\frac{85}{2}\right)$

   = $\frac{85}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+75-\left(0+\mathrm{42,5}\right)$

   = $\frac{85}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+75-\mathrm{42,5}$

   = $\frac{85}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+\mathrm{32,5}$

   
   ≈ 45,301

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 4 + 45.301 = 49.301

   49.3 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.