Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -1 addiert wird, hat der Graph von $e^x-1$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-1$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-1$ gegen 0 -1, also gegen -1.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$}

$-1$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ ${\left(x+1\right)}^2$ = $x^2+2x+1$

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ($6$|1) einblenden

   $\text{f(t)}=$ $\frac{1}{6}{t}^3-\frac{3}{2}{t}^2+19$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(t)}=$ $\frac{1}{2}{t}^2-3t+0$

   = $\frac{1}{2}{t}^2-3t$

   $\text{f''(t)}=$ $t-3$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $\frac{1}{2}{t}^2-3t$	=	0	|⋅ 2
   $2\left(\frac{1}{2}{t}^2-3t\right)$	=	0
   $t^2-6t$	=	0
   $t\left(t-6\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   t1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $t-6$	=	0	| $+6$
   t2	=	$6$

   Die Lösungen 0, $6$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

   Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

   
   

   1.: t=$0$

   f''($0$) = $0-3$= $-3$= $-3$ <0

   Das heißt bei t = $0$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
   f($0$) = $\frac{1}{6}\cdot 0^3-\frac{3}{2}\cdot 0^2+19$ = $19$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $19$)

   
   

   2.: t=$6$

   f''($6$) = $6-3$= $3$= $3$ >0

   Das heißt bei t = $6$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
   f($6$) = $\frac{1}{6}\cdot 6^3-\frac{3}{2}\cdot 6^2+19$ = $1$
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($6$| $1$)

   Randwertuntersuchung

   Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

   Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $\frac{1}{6}\cdot 0^3-\frac{3}{2}\cdot 0^2+19$ = $19$. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(9) = $\frac{1}{6}\cdot 9^3-\frac{3}{2}\cdot 9^2+19$ = $19$.

   Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = $19$ .

   Bei t = $6$ ist also der kleinste Wert der Funktion.

   
   
2. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{1}{6}{t}^3-\frac{3}{2}{t}^2+19\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{1}{6}{t}^3-\frac{3}{2}{t}^2+19\right)dt$$

   = ${\left[\frac{1}{24}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^3+19x\right]}_0^3$

   $=$ $\frac{1}{24}\cdot 3^4-\frac{1}{2}\cdot 3^3+19\cdot 3-\left(\frac{1}{24}\cdot 0^4-\frac{1}{2}\cdot 0^3+19\cdot 0\right)$

   = $\frac{1}{24}\cdot 81-\frac{1}{2}\cdot 27+57-\left(\frac{1}{24}\cdot 0-\frac{1}{2}\cdot 0+0\right)$

   = $\frac{27}{8}-\frac{27}{2}+57-\left(0+0+0\right)$

   = $\frac{27}{8}-\frac{108}{8}+\frac{456}{8}+0$

   = $\frac{375}{8}$

   
   = 46,875

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 46.875 = 46.875

   46.88 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.