Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·{\left(x-1\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Unser Term $x{\left(x-1\right)}^2$ = $x^3-2x^2+x$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^x-3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-x^7+7x^5+18x^3$	=	0
$x^3\left(-x^4+7x^2+18\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-7u-18$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-7x^2-18$ =nach Substitution $u^2-7u-18$ = $\left(u-9\right)·\left(u+2\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+2\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^3·(-\left(x^2+2\right)·\left(x+3\right)·\left(x-3\right))$ = $-x^7+7x^5+18x^3$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $50e^{-\mathrm{0,2}\cdot 4}-50e^{-\mathrm{0,4}\cdot 4}$ = $50e^{-\mathrm{0,8}}-50e^{-\mathrm{1,6}}$ ≈ 12.4

   
   
2. Erster t-Wert bei y = $\frac{168}{25}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{168}{25}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{168}{25}$ und lösen nach t auf:

   $50e^{-\mathrm{0,2}t}-50e^{-\mathrm{0,4}t}$

   =

   $\frac{168}{25}$

   | $-\frac{168}{25}$

   $50e^{-\mathrm{0,2}t}-50e^{-\mathrm{0,4}t}-\frac{168}{25}$ = 0

   Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

   $50e^{-\mathrm{0,2}t}-50e^{-\mathrm{0,4}t}-\frac{168}{25}$	=	0	|⋅ $e^{\mathrm{0,4}x}$
   $-\frac{168}{25}{e}^{\mathrm{0,4}t}+50e^{\mathrm{0,2}t}-50$	=	0

   Setze u = $e^{\mathrm{0,2}x}$

   Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

   $-\frac{168}{25}{u}^2+50u-50$	=	0	|⋅ 25
   $25\left(-\frac{168}{25}{u}^2+50u-50\right)$	=	0

   $-168u^2+1250u-1250$ = 0 |:2

   $-84u^2+625u-625$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   u_1,2 =

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 5 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(50e^{-\mathrm{0,2}t}-50e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(50e^{-\mathrm{0,2}t}-50e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$

   = ${\left[-250e^{-\mathrm{0,2}x}+125e^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $-250e^{-\mathrm{0,2}\cdot 3}+125e^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(-250e^{-\mathrm{0,2}\cdot 0}+125e^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $-250e^{-\mathrm{0,6}}+125e^{-\mathrm{1,2}}-\left(-250e^0+125e^0\right)$

   = $-250e^{-\mathrm{0,6}}+125e^{-\mathrm{1,2}}-\left(-250+125\right)$

   = $-250e^{-\mathrm{0,6}}+125e^{-\mathrm{1,2}}-1·\left(-125\right)$

   = $-250e^{-\mathrm{0,6}}+125e^{-\mathrm{1,2}}+125$

   
   ≈ 25,446

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 5 + 25.446 = 30.446

   30.45 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.