Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $x·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-x·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 1 addiert wird, hat der Graph von $e^x+1$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+1$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+1$ gegen 0 +1, also gegen 1.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^4+16x^3+32x^2$	=	0
$2x^2\left(x^2+8x+16\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

$-4$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^2·{\left(x+4\right)}^2$ = $2x^4+16x^3+32x^2$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $35-28e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $35+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $35$.

2. Erster t-Wert bei y = 27

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=27 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 27 und lösen nach t auf:

   $35-28e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $27$

   $-28e^{-\mathrm{0,6}t}+35$	=	$27$	| $-35$
   $-28e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-8$	|:$-28$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{2}{7}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{2}{7}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{2}{7}\right)$	≈ 2.0879

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 27 annimmt, ist also nach 2.09 Jahre.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(35-28e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(35-28e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[35x+\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $35\cdot 3+\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(35\cdot 0+\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $105+\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}-\left(0+\frac{140}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+105-\left(0+\frac{140}{3}\right)$

   = $\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+105-\left(0+\frac{140}{3}\right)$

   = $\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+105-\frac{140}{3}$

   = $\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+\frac{175}{3}$

   
   ≈ 66,047

   66.05 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.