Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·\left(x-1\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da für x → -∞ und für x → +∞ : f(x) in unterschiedliche Richtungen strebt, muss unser gesuchter Term einen ungeraden Grad haben.
Unser bisheriger Term $x\left(x-1\right)$ = $x^2-x$ hat aber einen geraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen ungeraden Grad bekommt: $x\left(x-1\right)·x$ = $x^3-x^2$.

Es stimmt nun aber das Verhalten für x → ±∞ noch nicht, deswegen müssen wir den Term mit -1 multiplizieren.

Unser Term $-x\left(x-1\right)·x$ = $-x^3+x^2$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 1 addiert wird, hat der Graph von $e^x+1$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+1$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+1$ gegen 0 +1, also gegen 1.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+6x^2-7$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-7$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+6u-7$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+6x^2-7$ =nach Substitution $u^2+6u-7$ = $\left(u-1\right)·\left(u+7\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+7\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+7\right)$ = $x^4+6x^2-7$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $50-43e^{-\mathrm{0,4}\cdot 5}$ = $-43e^{-2}+50$ ≈ 44.2

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $50-43e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $50+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $50$.

3. Erster t-Wert bei y = 33

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=33 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 33 und lösen nach t auf:

   $50-43e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $33$

   $-43e^{-\mathrm{0,4}t}+50$	=	$33$	| $-50$
   $-43e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-17$	|:$-43$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{17}{43}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{17}{43}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{17}{43}\right)$	≈ 2.32

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 33 annimmt, ist also nach 2.32 min.