Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +2 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= ( x +2 ) · e -x . Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
f(x)= - ( x +2 ) · e -x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

  • Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Für x → ∞ strebt e x gegen ∞ .
  • Für x → - ∞ strebt e x gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 x 5 +9 x 4 -12 x 3 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

3 x 5 +9 x 4 -12 x 3 = 0
3 x 3 ( x 2 +3x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 +3x -4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

x2,3 = -3 ± 9 +16 2

x2,3 = -3 ± 25 2

x2 = -3 + 25 2 = -3 +5 2 = 2 2 = 1

x3 = -3 - 25 2 = -3 -5 2 = -8 2 = -4

L={ -4 ; 0; 1 }

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 3 x 3 · ( x -1 ) · ( x +4 ) = 3 x 5 +9 x 4 -12 x 3

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 25 -24 e -0,5t beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

  1. Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 3 heruntergeladen?.
  2. Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
  3. Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 24 (Tausend)?
  4. Wie viele Tausend Downloads werden zwischen Tag 0 und Tag 3 insgesamt heruntergeladen?

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  1. y-Wert bei t = 3

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = 25 -24 e -0,53 = -24 e -1,5 +25 ≈ 19.6


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 25 -24 e -0,5t 25 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 25 .

  3. Erster t-Wert bei y = 24

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=24 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 24 und lösen nach t auf:

    25 -24 e -0,5t = 24
    -24 e -0,5t +25 = 24 | -25
    -24 e -0,5t = -1 |:-24
    e -0,5t = 1 24 |ln(⋅)
    -0,5t = ln( 1 24 ) |:-0,5
    t = - 1 0.5 ln( 1 24 ) ≈ 6.3561

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 24 annimmt, ist also nach 6.36 Tage.

  4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

    Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral 0 3 ( 25 -24 e -0,5t ) t berechnet werden.

    0 3 ( 25 -24 e -0,5t ) t

    = [ 25x +48 e -0,5x ] 0 3

    = 253 +48 e -0,53 - ( 250 +48 e -0,50 )

    = 75 +48 e -1,5 - (0 +48 e 0 )

    = 48 e -1,5 +75 - (0 +48 )

    = 48 e -1,5 +75 -48

    = 48 e -1,5 +27


    ≈ 37,71

    37.71 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.