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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N₁(-2|0) und N₂(-1|0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|2)

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $(x + 2) \cdot (x + 1)$ .

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $(0 + 2) \cdot (0 + 1)$ = $2$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $f(x) =$ $(x + 2) (x + 1)$ .

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x} - 2$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x} - 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -2 addiert wird, hat der Graph von $e^{x} - 2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x} - 2$ für x → ∞ gegen ∞ .
Für x → -∞ strebt $e^{x} - 2$ gegen 0 -2, also gegen -2.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{7} + 4 x^{5} - 5 x^{3}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{7} + 4 x^{5} - 5 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{4} + 4 x^{2} - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + 4 x^{2} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} + 4 u - 5$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} + 4 x^{2} - 5$ =nach Substitution $u^{2} + 4 u - 5$ = $(u - 1) \cdot (u + 5)$ =nach Re-Substitution $(x² - 1) \cdot (x² + 5)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{3} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x^{2} + 5)$ = $x^{7} + 4 x^{5} - 5 x^{3}$

Anwendungen

Beispiel:

Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $15 - 15 e^{- 0,5 t}$ beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Bestimme die Temperatur des Getränks 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
Wann hat das Getränk die Temperatur von 14 erreicht?

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y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $15 - 15 e^{- 0,5 \cdot 3}$ = $- 15 e^{- 1,5} + 15$ ≈ 11.7
Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15 - 15 e^{- 0,5 t}$ → $15 + 0$

Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$ .

Erster t-Wert bei y = 14

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=14 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = 14 und lösen nach t auf:

15 - 15 e^{- 0,5 t}

=

14

$- 15 e^{- 0,5 t} + 15$	=	$14$	\| $- 15$
$- 15 e^{- 0,5 t}$	=	$- 1$	\|: $- 15$
$e^{- 0,5 t}$	=	$\frac{1}{15}$	\|ln(⋅)
$- 0,5 t$	=	$\ln (\frac{1}{15})$	\|: $- 0,5$
$t$	=	$- \frac{1}{0.5} \ln (\frac{1}{15})$	≈ 5.4161

Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 14 annimmt, ist also nach 5.42 min.

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