Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x+0\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $\left(x+1\right)x$ = $x^2+x$ für x → -∞ gegen +∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^2+12x+18$ = 0 |:2

$x^2+6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$}

$-3$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2{\left(x+3\right)}^2$ = $2x^2+12x+18$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30-30e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

2. Erster t-Wert bei y = 23

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=23 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 23 und lösen nach t auf:

   $30-30e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $23$

   $-30e^{-\mathrm{0,6}t}+30$	=	$23$	| $-30$
   $-30e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-7$	|:$-30$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{7}{30}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{7}{30}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{7}{30}\right)$	≈ 2.4255

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 23 annimmt, ist also nach 2.43 Jahre.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-30e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-30e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[30x+50e^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3+50e^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(30\cdot 0+50e^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $90+50e^{-\mathrm{1,8}}-\left(0+50e^0\right)$

   = $50e^{-\mathrm{1,8}}+90-\left(0+50\right)$

   = $50e^{-\mathrm{1,8}}+90-50$

   = $50e^{-\mathrm{1,8}}+40$

   
   ≈ 48,265

   48.26 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.