Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse,
indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt für x → ∞ auch gegen ∞.
- Wie strebt für x → -∞ auch gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 =
x3 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 3 Dezimeter hoch.
- Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 4 Jahren?
- Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
- Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 40 dm pro Jahr?
- Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?
- y-Wert bei t = 4
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) =
=30 + 22 e - 0,4 ⋅ 4 ≈ 34.422 e - 1,6 + 30
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→30 + 22 e - 0,4 t 30 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.30 - Erster t-Wert bei y = 40
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=40 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 40 und lösen nach t auf:
30 + 22 e - 0,4 t = 40 22 e - 0,4 t + 30 = 40 | - 30 22 e - 0,4 t = 10 |: 22 e - 0,4 t = 5 11 |ln(⋅) - 0,4 t = ln ( 5 11 ) |: - 0,4 t = - 1 0.4 ln ( 5 11 ) ≈ 1.9711 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 40 annimmt, ist also nach 1.97 Jahre.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 30 + 22 e - 0,4 t ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 30 + 22 e - 0,4 t ) ⅆ t =
[ 30 x - 55 e - 0,4 x ] 0 3 = 30 ⋅ 3 - 55 e - 0,4 ⋅ 3 - ( 30 ⋅ 0 - 55 e - 0,4 ⋅ 0 ) =
90 - 55 e - 1,2 - ( 0 - 55 e 0 ) =
- 55 e - 1,2 + 90 - ( 0 - 55 ) =
- 55 e - 1,2 + 90 + 55 =
- 55 e - 1,2 + 145
≈ 128,434Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 3 + 128.434 = 131.434131.43 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
