Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·{\left(x-1\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+1\right)·{\left(0-1\right)}^2$ = $1$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $2·\left(0+1\right)·{\left(0-1\right)}^2$ = $2$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-2x^5-2x^3+40x$	=	0
$-2x\left(x^4+x^2-20\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+u-20$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+x^2-20$ =nach Substitution $u^2+u-20$ = $\left(u-4\right)·\left(u+5\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+5\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $-2x·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+5\right)$ = $-2x^5-2x^3+40x$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25+17e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

2. Erster t-Wert bei y = 30

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=30 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 30 und lösen nach t auf:

   $25+17e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $30$

   $17e^{-\mathrm{0,6}t}+25$	=	$30$	| $-25$
   $17e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$5$	|:$17$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{5}{17}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{5}{17}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{5}{17}\right)$	≈ 2.0396

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 30 annimmt, ist also nach 2.04 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+17e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+17e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x-\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3-\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(25\cdot 0-\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $75-\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}-\left(0-\frac{85}{3}{e}^0\right)$

   = $-\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+75-\left(0-\frac{85}{3}\right)$

   = $-\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+75-\left(0-\frac{85}{3}\right)$

   = $-\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+75+\frac{85}{3}$

   = $-\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+\frac{310}{3}$

   
   ≈ 98,65

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 1 + 98.65 = 99.65

   99.65 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.