Aufgabenbeispiele von allgemein
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse,
indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 3 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
+ 3 , also gegen 3.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 1 Dezimeter hoch.
- Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 3 Jahren?
- Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
- Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 42 dm pro Jahr?
- Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?
- y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) =
=30 + 21 e - 0,3 ⋅ 3 ≈ 38.521 e - 0,9 + 30
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→30 + 21 e - 0,3 t 30 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.30 - Erster t-Wert bei y = 42
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=42 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 42 und lösen nach t auf:
30 + 21 e - 0,3 t = 42 21 e - 0,3 t + 30 = 42 | - 30 21 e - 0,3 t = 12 |: 21 e - 0,3 t = 4 7 |ln(⋅) - 0,3 t = ln ( 4 7 ) |: - 0,3 t = - 1 0.3 ln ( 4 7 ) ≈ 1.8654 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 42 annimmt, ist also nach 1.87 Jahre.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 30 + 21 e - 0,3 t ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 30 + 21 e - 0,3 t ) ⅆ t =
[ 30 x - 70 e - 0,3 x ] 0 3 = 30 ⋅ 3 - 70 e - 0,3 ⋅ 3 - ( 30 ⋅ 0 - 70 e - 0,3 ⋅ 0 ) =
90 - 70 e - 0,9 - ( 0 - 70 e 0 ) =
- 70 e - 0,9 + 90 - ( 0 - 70 ) =
- 70 e - 0,9 + 90 + 70 =
- 70 e - 0,9 + 160
≈ 131,54Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 1 + 131.54 = 132.54132.54 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
