Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\left(x+0\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da für x → -∞ und für x → +∞ : f(x) in unterschiedliche Richtungen strebt, muss unser gesuchter Term einen ungeraden Grad haben.
Unser bisheriger Term $\left(x-2\right)x$ = $x^2-2x$ hat aber einen geraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen ungeraden Grad bekommt: $\left(x-2\right)x·x$ = $x^3-2x^2$.

Unser Term $\left(x-2\right)x·x$ = $x^3-2x^2$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -2 addiert wird, hat der Graph von $e^x-2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-2$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-2$ gegen 0 -2, also gegen -2.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-3x^2-54$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $9$

u₂: $x^2$ = $-6$

L={ $-3$; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-3u-54$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-3x^2-54$ =nach Substitution $u^2-3u-54$ = $\left(u-9\right)·\left(u+6\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+6\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x^2+6\right)$ = $x^4-3x^2-54$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $25-19e^{-\mathrm{0,6}\cdot 2}$ = $-19e^{-\mathrm{1,2}}+25$ ≈ 19.3

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25-19e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

3. Erster t-Wert bei y = 23

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=23 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 23 und lösen nach t auf:

   $25-19e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $23$

   $-19e^{-\mathrm{0,6}t}+25$	=	$23$	| $-25$
   $-19e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-2$	|:$-19$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{2}{19}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{2}{19}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{2}{19}\right)$	≈ 3.7522

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 23 annimmt, ist also nach 3.75 min.