Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $x·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-x·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-3e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^5+4x^3-5x$	=	0
$x\left(x^4+4x^2-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+4u-5$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+4x^2-5$ =nach Substitution $u^2+4u-5$ = $\left(u-1\right)·\left(u+5\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+5\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+5\right)$ = $x^5+4x^3-5x$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $25+23e^{-\mathrm{0,7}\cdot 2}$ = $23e^{-\mathrm{1,4}}+25$ ≈ 30.7

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25+23e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

3. Erster t-Wert bei y = 32

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=32 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 32 und lösen nach t auf:

   $25+23e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $32$

   $23e^{-\mathrm{0,7}t}+25$	=	$32$	| $-25$
   $23e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$7$	|:$23$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{7}{23}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{7}{23}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{7}{23}\right)$	≈ 1.6994

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 32 annimmt, ist also nach 1.7 Jahre.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+23e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+23e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x-\frac{230}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3-\frac{230}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}-\left(25\cdot 0-\frac{230}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 0}\right)$

   = $75-\frac{230}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}-\left(0-\frac{230}{7}{e}^0\right)$

   = $-\frac{230}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+75-\left(0-\frac{230}{7}\right)$

   = $-\frac{230}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+75-\left(0-\frac{230}{7}\right)$

   = $-\frac{230}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+75+\frac{230}{7}$

   = $-\frac{230}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+\frac{755}{7}$

   
   ≈ 103,834

   103.83 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.