Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·{\left(x-2\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Unser Term $x{\left(x-2\right)}^2$ = $x^3-4x^2+4x$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-2x^7+4x^5+126x^3$	=	0
$2x^3\left(-x^4+2x^2+63\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2-2u-63$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-2x^2-63$ =nach Substitution $u^2-2u-63$ = $\left(u-9\right)·\left(u+7\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+7\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^3·(-\left(x^2+7\right)·\left(x+3\right)·\left(x-3\right))$ = $-2x^7+4x^5+126x^3$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+13e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

2. Erster t-Wert bei y = 22

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=22 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 22 und lösen nach t auf:

   $20+13e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $22$

   $13e^{-\mathrm{0,5}t}+20$	=	$22$	| $-20$
   $13e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$2$	|:$13$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{2}{13}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{2}{13}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{2}{13}\right)$	≈ 3.7436

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 22 annimmt, ist also nach 3.74 Tage.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+13e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+13e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x-26e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3-26e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(20\cdot 0-26e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $60-26e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0-26e^0\right)$

   = $-26e^{-\mathrm{1,5}}+60-\left(0-26\right)$

   = $-26e^{-\mathrm{1,5}}+60+26$

   = $-26e^{-\mathrm{1,5}}+86$

   
   ≈ 80,199

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 80.199 = 80.199

   80.2 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.