Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $x·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $x·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-2x^7+32x^3$	=	0
$2x^3\left(-x^4+16\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $x^2+0-16$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+0-16$ =nach Substitution $x^2+0-16$ = $\left(u+4\right)·\left(u-4\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}+4\right)·\left(\mathrm{x²}-4\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^3·(-\left(x+2\right)·\left(x-2\right))$ = $-2x^7+32x^3$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $45-39e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}$ = $-39e^{-\mathrm{1,5}}+45$ ≈ 36.3

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $45-39e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $45+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $45$.

3. Erster t-Wert bei y = 36

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=36 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 36 und lösen nach t auf:

   $45-39e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $36$

   $-39e^{-\mathrm{0,5}t}+45$	=	$36$	| $-45$
   $-39e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-9$	|:$-39$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{3}{13}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{3}{13}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{3}{13}\right)$	≈ 2.9327

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 36 annimmt, ist also nach 2.93 min.