Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·{\left(x-1\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·{\left(0-1\right)}^2$ = $-2$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $2·\left(0-2\right)·{\left(0-1\right)}^2$ = $-4$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right){\left(x-1\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-2}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 2 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-2}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-2}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^6+6x^4-56x^2$	=	0
$2x^2\left(x^4+3x^2-28\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+3u-28$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+3x^2-28$ =nach Substitution $u^2+3u-28$ = $\left(u-4\right)·\left(u+7\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+7\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+7\right)$ = $2x^6+6x^4-56x^2$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $45-23e^{-\mathrm{0,5}\cdot 5}$ = $-23e^{-\mathrm{2,5}}+45$ ≈ 43.1

   
   
2. Erster t-Wert bei y = 31

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=31 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 31 und lösen nach t auf:

   $45-23e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $31$

   $-23e^{-\mathrm{0,5}t}+45$	=	$31$	| $-45$
   $-23e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-14$	|:$-23$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{14}{23}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{14}{23}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{14}{23}\right)$	≈ 0.9929

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 31 annimmt, ist also nach 0.99 Jahre.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(45-23e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(45-23e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[45x+46e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $45\cdot 3+46e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(45\cdot 0+46e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $135+46e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0+46e^0\right)$

   = $46e^{-\mathrm{1,5}}+135-\left(0+46\right)$

   = $46e^{-\mathrm{1,5}}+135-46$

   = $46e^{-\mathrm{1,5}}+89$

   
   ≈ 99,264

   99.26 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.