Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $x·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $x·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^x-3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^3-12x$	=	0
$3x\left(x^2-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $3x^3-12x$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $50-25e^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}$ = $-25e^{-\mathrm{0,9}}+50$ ≈ 39.8

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $50-25e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $50+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $50$.

3. Erster t-Wert bei y = 45

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=45 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 45 und lösen nach t auf:

   $50-25e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $45$

   $-25e^{-\mathrm{0,3}t}+50$	=	$45$	| $-50$
   $-25e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-5$	|:$-25$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{1}{5}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{5}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{1}{5}\right)$	≈ 5.3648

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 45 annimmt, ist also nach 5.36 min.