Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x+3\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+1\right)·\left(0+3\right)$ = $3$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)\left(x+3\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+2}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -2 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+2}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+2}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^5-24x^4+45x^3$	=	0
$3x^3\left(x^2-8x+15\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $3$; $5$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\left(x-5\right)·\left(x-3\right)$ = $3x^5-24x^4+45x^3$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $25-23e^{-\mathrm{0,4}\cdot 2}$ = $-23e^{-\mathrm{0,8}}+25$ ≈ 14.7

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25-23e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

3. Erster t-Wert bei y = 17

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=17 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 17 und lösen nach t auf:

   $25-23e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $17$

   $-23e^{-\mathrm{0,4}t}+25$	=	$17$	| $-25$
   $-23e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-8$	|:$-23$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{8}{23}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{8}{23}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{8}{23}\right)$	≈ 2.6401

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 17 annimmt, ist also nach 2.64 min.