Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +0 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= x · e -x . Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
f(x)= x · e -x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -1 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -1 zu jedem Funktionswert von e x noch -1 addiert wird, hat der Graph von e x -1 die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x -1 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Für x → -∞ strebt e x -1 gegen 0 -1, also gegen -1.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 x 6 -6 x 5 +3 x 4 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

3 x 6 -6 x 5 +3 x 4 = 0
3 x 4 ( x 2 -2x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 4 = 0 | 4
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -2x +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 21

x2,3 = +2 ± 4 -4 2

x2,3 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 2 2 = 1

L={0; 1 }

0 ist 4-fache Lösung! 1 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 3 x 4 · ( x -1 ) 2 = 3 x 6 -6 x 5 +3 x 4

Anwendungen

Beispiel:

Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 25 -24 e -0,7t beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.

  1. Bestimme die Temperatur des Getränks 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
  2. Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
  3. Wann hat das Getränk die Temperatur von 18 erreicht?

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  1. y-Wert bei t = 2

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = 25 -24 e -0,72 = -24 e -1,4 +25 ≈ 19.1


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 25 -24 e -0,7t 25 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 25 .

  3. Erster t-Wert bei y = 18

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=18 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 18 und lösen nach t auf:

    25 -24 e -0,7t = 18
    -24 e -0,7t +25 = 18 | -25
    -24 e -0,7t = -7 |:-24
    e -0,7t = 7 24 |ln(⋅)
    -0,7t = ln( 7 24 ) |:-0,7
    t = - 1 0.7 ln( 7 24 ) ≈ 1.7602

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 18 annimmt, ist also nach 1.76 min.