Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(1|0) und N2(3|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|3)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x -1 ) · ( x -3 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|3) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 -1 ) · ( 0 -3 ) = 3

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= ( x -1 ) ( x -3 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

  • Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Für x → ∞ strebt e x gegen ∞ .
  • Für x → - ∞ strebt e x gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 -3 x 2 -4 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 -3 x 2 -4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

u1,2 = +3 ± 9 +16 2

u1,2 = +3 ± 25 2

u1 = 3 + 25 2 = 3 +5 2 = 8 2 = 4

u2 = 3 - 25 2 = 3 -5 2 = -2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -1

x 2 = -1 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term u 2 -3u -4 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 -3 x 2 -4 =nach Substitution u 2 -3u -4 = ( u -4 ) · ( u +1 ) =nach Re-Substitution ( -4 ) · ( +1 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= ( x +2 ) · ( x -2 ) · ( x 2 +1 ) = x 4 -3 x 2 -4

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 +14 e -0,3t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 4 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 3 Jahren?
  2. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  3. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 17 dm pro Jahr?
  4. Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?

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  1. y-Wert bei t = 3

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = 15 +14 e -0,33 = 14 e -0,9 +15 ≈ 20.7


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 15 +14 e -0,3t 15 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 15 .

  3. Erster t-Wert bei y = 17

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=17 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 17 und lösen nach t auf:

    15 +14 e -0,3t = 17
    14 e -0,3t +15 = 17 | -15
    14 e -0,3t = 2 |:14
    e -0,3t = 1 7 |ln(⋅)
    -0,3t = ln( 1 7 ) |:-0,3
    t = - 1 0.3 ln( 1 7 ) ≈ 6.4864

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 17 annimmt, ist also nach 6.49 Jahre.

  4. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral 0 3 ( 15 +14 e -0,3t ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 15 +14 e -0,3t ) t

    = [ 15x - 140 3 e -0,3x ] 0 3

    = 153 - 140 3 e -0,33 - ( 150 - 140 3 e -0,30 )

    = 45 - 140 3 e -0,9 - (0 - 140 3 e 0 )

    = - 140 3 e -0,9 +45 - (0 - 140 3 )

    = - 140 3 e -0,9 +45 - (0 - 140 3 )

    = - 140 3 e -0,9 +45 + 140 3

    = - 140 3 e -0,9 + 275 3


    ≈ 72,693

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 4 + 72.693 = 76.693

    76.69 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.