Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 4 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·{\left(x-4\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|32) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·{\left(0-4\right)}^2$ = $-32$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0-2\right)·{\left(0-4\right)}^2$ = $32$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right){\left(x-4\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-2e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^2-3$	=	0	| $+3$
$3x^2$	=	$3$	|:$3$
$x^2$	=	$1$	|
x1	=	$-\sqrt{1}$	= $-1$
x2	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ = $3x^2-3$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15-10e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

2. Erster t-Wert bei y = 10

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=10 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 10 und lösen nach t auf:

   $15-10e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $10$

   $-10e^{-\mathrm{0,7}t}+15$	=	$10$	| $-15$
   $-10e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$-5$	|:$-10$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{1}{2}\right)$	≈ 0.9902

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 10 annimmt, ist also nach 0.99 Tage.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15-10e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15-10e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$

   = ${\left[15x+\frac{100}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right]}_0^3$

   $=$ $15\cdot 3+\frac{100}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}-\left(15\cdot 0+\frac{100}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 0}\right)$

   = $45+\frac{100}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}-\left(0+\frac{100}{7}{e}^0\right)$

   = $\frac{100}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+45-\left(0+\frac{100}{7}\right)$

   = $\frac{100}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+45-\left(0+\frac{100}{7}\right)$

   = $\frac{100}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+45-\frac{100}{7}$

   = $\frac{100}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+\frac{215}{7}$

   
   ≈ 32,464

   32.46 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.