Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(2|0) und N2(4|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|8)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x -2 ) · ( x -4 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|8) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 -2 ) · ( 0 -4 ) = 8

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= ( x -2 ) ( x -4 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +3 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +3 einfach das x von e x durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -3 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x +3 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Wie e x strebt auch e x +3 für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 x 4 +30 x 3 +75 x 2 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

3 x 4 +30 x 3 +75 x 2 = 0
3 x 2 ( x 2 +10x +25 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 +10x +25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = -10 ± 10 2 -4 · 1 · 25 21

x2,3 = -10 ± 100 -100 2

x2,3 = -10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -10 2 = -5

L={ -5 ; 0}

-5 ist 2-fache Lösung! 0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 3 x 2 · ( x +5 ) 2 = 3 x 4 +30 x 3 +75 x 2

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 10 durch die Funktion f mit f(t)= 2 5 t 2 -4t +12 beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

  1. Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 2 heruntergeladen?.
  2. Wann werden die wenigsten Downloads heruntergeladen?
  3. Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 18 5 (Tausend)?

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  1. y-Wert bei t = 2

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = 2 5 2 2 -42 +12 = 28 5 ≈ 5.6


  2. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (5 |2) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 2 5 0 2 -40 +12 = 12 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(10) = 2 5 10 2 -410 +12 = 12 .

    Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = 12 .

    Bei t = 5 ist also der kleinste Wert der Funktion.


  3. Erster t-Wert bei y = 18 5

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= 18 5 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 18 5 und lösen nach t auf:

    2 5 t 2 -4t +12 = 18 5 |⋅ 5
    5( 2 5 t 2 -4t +12 ) = 18
    2 t 2 -20t +60 = 18 | -18
    2 t 2 -20t +42 = 0 |:2

    t 2 -10t +21 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    t1,2 = +10