Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(x-2\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0-2\right)$ = $2$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)\left(x-2\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^6+2x^4-4x^2$	=	0
$2x^2\left(x^4+x^2-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+u-2$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+x^2-2$ =nach Substitution $u^2+u-2$ = $\left(u-1\right)·\left(u+2\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+2\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+2\right)$ = $2x^6+2x^4-4x^2$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $20+20e^{-\mathrm{0,5}\cdot 4}$ = $20e^{-2}+20$ ≈ 22.7

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+20e^{-\mathrm{0,5}x}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 5 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+20e^{-\mathrm{0,5}x}\right)dx$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+20e^{-\mathrm{0,5}x}\right)dx$$

   = ${\left[20x-40e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3-40e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(20\cdot 0-40e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $60-40e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0-40e^0\right)$

   = $-40e^{-\mathrm{1,5}}+60-\left(0-40\right)$

   = $-40e^{-\mathrm{1,5}}+60+40$

   = $-40e^{-\mathrm{1,5}}+100$

   
   ≈ 91,075

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 5 + 91.075 = 96.075

   96.07 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.