Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^5-13x^3+36x$	=	0
$x\left(x^4-13x^2+36\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; $-2$; 0; $2$; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $x^5-13x^3+36x$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $50-39e^{-\mathrm{0,4}\cdot 4}$ = $-39e^{-\mathrm{1,6}}+50$ ≈ 42.1

   
   
2. Erster t-Wert bei y = 30

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=30 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 30 und lösen nach t auf:

   $50-39e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $30$

   $-39e^{-\mathrm{0,4}t}+50$	=	$30$	| $-50$
   $-39e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-20$	|:$-39$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{20}{39}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{20}{39}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{20}{39}\right)$	≈ 1.6696

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 30 annimmt, ist also nach 1.67 Tage.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(50-39e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(50-39e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$

   = ${\left[50x+\frac{195}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $50\cdot 3+\frac{195}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(50\cdot 0+\frac{195}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $150+\frac{195}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}-\left(0+\frac{195}{2}{e}^0\right)$

   = $\frac{195}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+150-\left(0+\frac{195}{2}\right)$

   = $\frac{195}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+150-\left(0+\mathrm{97,5}\right)$

   = $\frac{195}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+150-\mathrm{97,5}$

   = $\frac{195}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+\mathrm{52,5}$

   
   ≈ 81,866

   81.87 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.