Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(1|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x -1 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= ( x -1 ) · e -x . Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
f(x)= - ( x -1 ) · e -x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -1 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -1 einfach das x von e x durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x -1 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Wie e x strebt auch e x -1 für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 -16 x 2 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 -16 x 2 = 0
x 2 ( x 2 -16 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -16 = 0 | +16
x 2 = 16 | 2
x2 = - 16 = -4
x3 = 16 = 4

L={ -4 ; 0; 4 }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= x 2 · ( x +4 ) · ( x -4 ) = x 4 -16 x 2

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 1 16 ( - t 3 +48t ) beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 8 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 30 m³ Wasser im Tank.

  1. Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
  2. Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?
  3. Wie viel m³ Wasser sind 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn im Wassertank?
  4. Zu welchem Zeitpunktz ist am meisten Wasser im Tank?

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  1. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt (4 |8) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 1 16 ( - 0 3 +480 ) = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(8) = 1 16 ( - 8 3 +488 ) = -8 .

    Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

    Bei t = 4 ist also der größte Wert der Funktion.


  2. Erste Nullstelle

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

    1 16 ( - t 3 +48t ) = 0
    - 1 16 t 3 +3t = 0
    1 16 t ( - t 2 +48 ) = 0

    Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

    1. Fall:

    t1 = 0

    2. Fall:

    - t 2 +48 = 0 | -48
    - t 2 = -48 |: ( -1 )
    t 2 = 48 | 2
    t2 = - 48 -6,928
    t3 = 48 6,928

    Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0 und 6,928 .

    Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 min.

  3. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 30 und dem Integral 0 3 ( 1 16 ( - t 3 +48t ) ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 1 16 ( - t 3 +48t ) ) t

    = [ 1 16 ( - 1 4 x 4 +24 x 2 ) ] 0 3

    = 1 16 ( - 1 4 3 4 +24 3 2 ) - 1 16 ( - 1 4 0 4 +24 0 2 )

    = 1 16 ( - 1 4 81 +249 ) - 1 16 ( - 1 4 0 +240 )

    = 1 16 ( - 81 4 +216 ) - 1 16 (0+0)

    = 1 16 ( - 81 4 + 864 4 )+0

    = 1 16 · 783 4

    = 783 64


    ≈ 12,234

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 30 + 12.234 = 42.234

    42.23 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

  4. t-Wert beim maximalen Bestand

    Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

    Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

    Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei 0 und 6,928 .

    Da f(5.9) ≈ 4.8 > 0 und f(7.9) ≈ -7.4 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 6.93.

    Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 6.93 min.