Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(1|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
- Verhalten für x → ∞: f(x) → 0
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x.
Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu:
. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am negativen Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden zwar (wie bei ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Während für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
- Wie strebt für x → -∞ auch gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x1 | = |
|
=
|
| x2 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
|
| x3 | = |
|
=
|
| x4 | = |
|
=
|
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 4 Dezimeter hoch.
- Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 2 Jahren?
- Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 19 dm pro Jahr?
- Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?
- y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) =
=20 - 10 e - 0,5 ⋅ 2 ≈ 16.3- 10 e - 1 + 20
- Erster t-Wert bei y = 19
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=19 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 19 und lösen nach t auf:
20 - 10 e - 0,5 t = 19 - 10 e - 0,5 t + 20 = 19 | - 20 - 10 e - 0,5 t = - 1 |: - 10 e - 0,5 t = 1 10 |ln(⋅) - 0,5 t = ln ( 1 10 ) |: - 0,5 t = - 1 0.5 ln ( 1 10 ) ≈ 4.6052 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 19 annimmt, ist also nach 4.61 Jahre.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 20 - 10 e - 0,5 t ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 20 - 10 e - 0,5 t ) ⅆ t =
[ 20 x + 20 e - 0,5 x ] 0 3 = 20 ⋅ 3 + 20 e - 0,5 ⋅ 3 - ( 20 ⋅ 0 + 20 e - 0,5 ⋅ 0 ) =
60 + 20 e - 1,5 - ( 0 + 20 e 0 ) =
20 e - 1,5 + 60 - ( 0 + 20 ) =
20 e - 1,5 + 60 - 20 =
20 e - 1,5 + 40
≈ 44,46344.46 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
