Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x+4\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-8) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+2\right)·\left(0+4\right)$ = $8$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0+2\right)·\left(0+4\right)$ = $-8$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)\left(x+4\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, hat der Graph von $e^x+2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+2$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+2$ gegen 0 +2, also gegen 2.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^8-5x^6-36x^4$	=	0
$x^4\left(x^4-5x^2-36\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-5u-36$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-5x^2-36$ =nach Substitution $u^2-5u-36$ = $\left(u-9\right)·\left(u+4\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+4\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^4·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x^2+4\right)$ = $x^8-5x^6-36x^4$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $20-13e^{-\mathrm{0,4}\cdot 2}$ = $-13e^{-\mathrm{0,8}}+20$ ≈ 14.2

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20-13e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 16

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=16 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 16 und lösen nach t auf:

   $20-13e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $16$

   $-13e^{-\mathrm{0,4}t}+20$	=	$16$	| $-20$
   $-13e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-4$	|:$-13$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{4}{13}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{4}{13}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{4}{13}\right)$	≈ 2.9466

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 16 annimmt, ist also nach 2.95 Tage.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-13e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-13e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x+\frac{65}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3+\frac{65}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(20\cdot 0+\frac{65}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $60+\frac{65}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}-\left(0+\frac{65}{2}{e}^0\right)$

   = $\frac{65}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+60-\left(0+\frac{65}{2}\right)$

   = $\frac{65}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+60-\left(0+\mathrm{32,5}\right)$

   = $\frac{65}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+60-\mathrm{32,5}$

   = $\frac{65}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+\mathrm{27,5}$

   
   ≈ 37,289

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 37.289 = 37.289

   37.29 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.