Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·{\left(x+2\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $x{\left(x+2\right)}^2$ = $x^3+4x^2+4x$ für x → -∞ gegen -∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, hat der Graph von $e^x+2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+2$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+2$ gegen 0 +2, also gegen 2.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+2x^2-3$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+2u-3$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+2x^2-3$ =nach Substitution $u^2+2u-3$ = $\left(u-1\right)·\left(u+3\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+3\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+3\right)$ = $x^4+2x^2-3$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $20+16e^{-\mathrm{0,7}\cdot 5}$ = $16e^{-\mathrm{3,5}}+20$ ≈ 20.5

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+16e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 22

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=22 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 22 und lösen nach t auf:

   $20+16e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $22$

   $16e^{-\mathrm{0,7}t}+20$	=	$22$	| $-20$
   $16e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$2$	|:$16$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{1}{8}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{8}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{1}{8}\right)$	≈ 2.9706

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 22 annimmt, ist also nach 2.97 Tage.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+16e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+16e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}-\left(20\cdot 0-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 0}\right)$

   = $60-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}-\left(0-\frac{160}{7}{e}^0\right)$

   = $-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60-\left(0-\frac{160}{7}\right)$

   = $-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60-\left(0-\frac{160}{7}\right)$

   = $-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60+\frac{160}{7}$

   = $-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+\frac{580}{7}$

   
   ≈ 80,058

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 80.058 = 80.058

   80.06 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.