Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-2|0) und N2(-3|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-6)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x +2 ) · ( x +3 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-6) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 +2 ) · ( 0 +3 ) = 6

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten -1 multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = - ( 0 +2 ) · ( 0 +3 ) = -6

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= - ( x +2 ) ( x +3 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -x einfach das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von e -x indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Wie e x für x → -∞ strebt e -x für x → ∞ gegen 0.
  • Wie e x für x → ∞ strebt e -x für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 2 x 5 -6 x 4 +4 x 3 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

2 x 5 -6 x 4 +4 x 3 = 0
2 x 3 ( x 2 -3x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -3x +2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · 2 21

x2,3 = +3 ± 9 -8 2

x2,3 = +3 ± 1 2

x2 = 3 + 1 2 = 3 +1 2 = 4 2 = 2

x3 = 3 - 1 2 = 3 -1 2 = 2 2 = 1

L={0; 1 ; 2 }

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 2 x 3 · ( x -2 ) · ( x -1 ) = 2 x 5 -6 x 4 +4 x 3

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 1 25 ( - t 3 +75t ) beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 10 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 40 m³ Wasser im Tank.

  1. Bestimme die größt mögliche Änderungsrate des Wasservolumens.
  2. Wann nimmt die Änderungsrate des Wasservolumens am stärksten zu?
  3. Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?
  4. Wie viel m³ Wasser sind 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn im Wassertank?

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  1. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt (5 |10) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 1 25 ( - 0 3 +750 ) = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(10) = 1 25 ( - 10 3 +7510 ) = -10 .

    Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

    10 ist also der größte Wert der Funktion.


  2. t-Wert beim stärksten Zuwachs

    Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt der Ableitung.

    Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

    f'(t)= 1 25 ( -3 x 2 +75 )

    = 3 25 ( - x 2 +25 )

    Wir berechnen also die Extremstellen von f':

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt der Ableitung (0 |3) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = 3 25 ( - 0 2 +25 ) = 3 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(10) = 3 25 ( - 10 2 +25 ) = -9 .

    Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.

    Bei t = 0 ist also der größte Wert der Ableitungsfunktion.

  3. Erste Nullstelle

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

    1 25 ( - t 3 +75t ) = 0
    - 1 25 t 3 +3t = 0
    1 25 t ( - t 2 +75 ) = 0

    Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

    1. Fall:

    t1 = 0

    2. Fall:

    - t 2 +75 = 0 | -75
    - t 2 = -75 |: ( -1 )
    t 2 = 75 | 2
    t2 = - 75 -8,66
    t3 = 75 8,66

    Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0 und 8,66 .

    Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 min.

  4. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 40 und dem Integral 0 3 ( 1 25 ( - t 3 +75t ) ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 1 25 ( - t 3 +75t ) ) t

    = [ 1 25 ( - 1 4 x 4 + 75 2 x 2 ) ] 0 3

    = 1 25 ( - 1 4 3 4 + 75 2 3 2 ) - 1 25 ( - 1 4 0 4 + 75 2 0 2 )

    = 1 25 ( - 1 4 81 + 75 2 9 ) - 1 25 ( - 1 4 0 + 75 2 0 )

    = 1 25 ( - 81 4 + 675 2 ) - 1 25 (0+0)

    = 1 25 ( - 81 4 + 1350 4 )+0

    = 1 25 · 1269 4

    = 1269 100


    = 12,69

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 40 + 12.69 = 52.69

    52.69 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.