Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(0|0) und N2(-1|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
- Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da für x → -∞ und für x → +∞ : f(x) in unterschiedliche Richtungen strebt, muss unser gesuchter Term einen ungeraden Grad haben.
Unser bisheriger Term
=
hat aber einen geraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise
noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen ungeraden Grad bekommt:
=
.
Unser Term = erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am negativen Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden zwar (wie bei ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Während für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
- Wie strebt für x → -∞ auch gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x = =
L={
ist 2-fache Lösung!
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
=
Anwendungen
Beispiel:
Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Bestimme die Temperatur des Getränks 4 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
- Wann hat das Getränk die Temperatur von 23 erreicht?
- y-Wert bei t = 4
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = = ≈ 26
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)= →
Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen .
- Erster t-Wert bei y = 23
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=23 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 23 und lösen nach t auf:
= = | = |: = |ln(⋅) = |: = ≈ 3.0543 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 23 annimmt, ist also nach 3.05 min.
