Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1
- Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
- Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da sowohl für x → -∞ wie auch für x → +∞ : f(x) → +∞ gilt, muss unser gesuchter Term einen geraden Grad haben.
Unser bisheriger Term
=
hat aber einen ungeraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise
noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen geraden Grad bekommt:
=
.
Unser Term = erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei einfach das x von durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Wie für x → -∞ strebt für x → ∞ gegen 0.
- Wie für x → ∞ strebt für x → -∞ gegen ∞ .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 =
x3 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit
- Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 3 heruntergeladen?.
- Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
- Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 35 (Tausend)?
- y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) =
=30 + 21 e - 0,7 ⋅ 3 ≈ 32.621 e - 2,1 + 30
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→30 + 21 e - 0,7 t 30 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.30 - Erster t-Wert bei y = 35
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=35 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 35 und lösen nach t auf:
30 + 21 e - 0,7 t = 35 21 e - 0,7 t + 30 = 35 | - 30 21 e - 0,7 t = 5 |: 21 e - 0,7 t = 5 21 |ln(⋅) - 0,7 t = ln ( 5 21 ) |: - 0,7 t = - 1 0.7 ln ( 5 21 ) ≈ 2.0501 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 35 annimmt, ist also nach 2.05 Tage.
