Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(0|0) und N2(-2|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da bei unserem bisherigen Term
=
für x → -∞ : f(x) gegen -∞ und nicht wie
gefordert gegen +∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
=
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Und hier wissen wir ja bereits:
- Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Für x → ∞ strebt gegen ∞ .
- Für x → - ∞ strebt gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 =
x3 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für 0 ≤ t ≤ 6 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 5 Dezimeter hoch.
- Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 3 Jahren?
- Wann nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit am stärksten ab?
- Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?
- y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) =
=1 3 ⋅ 3 3 - 2 ⋅ 3 2 + 14 5
- t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
x 2 - 4 x + 0 =
Wir berechnen also die Extremstellen von f':x ( x - 4 ) Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung (
|-4) einblenden2 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) =
=0 · ( 0 - 4 ) 0 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(6) = =6 · ( 6 - 4 ) .12 Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f'(0) =
0 .Bei t =
ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.2 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 1 3 x 3 - 2 x 2 + 14 ) ⅆ x ∫ 0 3 ( 1 3 x 3 - 2 x 2 + 14 ) ⅆ x =
[ 1 12 x 4 - 2 3 x 3 + 14 x ] 0 3 = 1 12 ⋅ 3 4 - 2 3 ⋅ 3 3 + 14 ⋅ 3 - ( 1 12 ⋅ 0 4 - 2 3 ⋅ 0 3 + 14 ⋅ 0 ) =
1 12 ⋅ 81 - 2 3 ⋅ 27 + 42 - ( 1 12 ⋅ 0 - 2 3 ⋅ 0 + 0 ) =
27 4 - 18 + 42 - ( 0 + 0 + 0 ) =
27 4 - 72 4 + 168 4 + 0 =
123 4
= 30,7530.75 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
