Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^5+4x^4+2x^3$	=	0
$2x^3\left(x^2+2x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0}

$-1$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^3·{\left(x+1\right)}^2$ = $2x^5+4x^4+2x^3$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $\frac{1}{5}\left(-2^3+8\cdot 2^2\right)$ = $\frac{24}{5}$ ≈ 4.8

   
   
2. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{1}{5}\left(-t^3+8t^2\right)\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{1}{5}\left(-t^3+8t^2\right)\right)dt$$

   = ${\left[\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{8}{3}{x}^3\right)\right]}_0^3$

   $=$ $\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{4}\cdot 3^4+\frac{8}{3}\cdot 3^3\right)-\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{4}\cdot 0^4+\frac{8}{3}\cdot 0^3\right)$

   = $\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{4}\cdot 81+\frac{8}{3}\cdot 27\right)-\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{4}\cdot 0+\frac{8}{3}\cdot 0\right)$

   = $\frac{1}{5}\left(-\frac{81}{4}+72\right)-\frac{1}{5}\left(0+0\right)$

   = $\frac{1}{5}\left(-\frac{81}{4}+\frac{288}{4}\right)+0$

   = $\frac{1}{5}·\frac{207}{4}$

   = $\frac{207}{20}$

   
   = 10,35

   10.35 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

3. t-Wert beim maximalen Bestand

   Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

   Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

   Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:

   $\frac{1}{5}\left(-t^3+8t^2\right)$	=	0
   $-\frac{1}{5}{t}^3+\frac{8}{5}{t}^2$	=	0
   $\frac{1}{5}{t}^2\left(-t+8\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   $t^2$	=	$0$	|
   t1	=	0

   
   

   2. Fall:

   $-t+8$	=	0	| $-8$
   $-t$	=	$-8$	|:($-1$)
   t2	=	$8$

   Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0 und $8$.

   Da f(7) ≈ 9.8 > 0 und f(9) ≈ -16.2 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 8.

   Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 8 min.