Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\left(x-3\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|12) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·\left(0-3\right)$ = $6$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $2·\left(0-2\right)·\left(0-3\right)$ = $12$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right)\left(x-3\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+1}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-26x^2+25$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $25$

u₂: $x^2$ = $1$

L={ $-5$; $-1$; $1$; $5$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+5\right)·\left(x-5\right)·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ = $x^4-26x^2+25$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $35-26e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $35+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $35$.

2. Erster t-Wert bei y = 30

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=30 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 30 und lösen nach t auf:

   $35-26e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $30$

   $-26e^{-\mathrm{0,3}t}+35$	=	$30$	| $-35$
   $-26e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-5$	|:$-26$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{5}{26}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{5}{26}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{5}{26}\right)$	≈ 5.4955

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 30 annimmt, ist also nach 5.5 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 5 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(35-26e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(35-26e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[35x+\frac{260}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $35\cdot 3+\frac{260}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(35\cdot 0+\frac{260}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $105+\frac{260}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0+\frac{260}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{260}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+105-\left(0+\frac{260}{3}\right)$

   = $\frac{260}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+105-\left(0+\frac{260}{3}\right)$

   = $\frac{260}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+105-\frac{260}{3}$

   = $\frac{260}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{55}{3}$

   
   ≈ 53,569

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 5 + 53.569 = 58.569

   58.57 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.