Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x+4\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-16) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+2\right)·\left(0+4\right)$ = $8$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0+2\right)·\left(0+4\right)$ = $-16$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)\left(x+4\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-3e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+3x^2-4$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-4$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+3u-4$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+3x^2-4$ =nach Substitution $u^2+3u-4$ = $\left(u-1\right)·\left(u+4\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+4\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+4\right)$ = $x^4+3x^2-4$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $40-30e^{-\mathrm{0,7}\cdot 2}$ = $-30e^{-\mathrm{1,4}}+40$ ≈ 32.6

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $40-30e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $40+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $40$.

3. Erster t-Wert bei y = 29

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=29 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 29 und lösen nach t auf:

   $40-30e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $29$

   $-30e^{-\mathrm{0,7}t}+40$	=	$29$	| $-40$
   $-30e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$-11$	|:$-30$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{11}{30}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{11}{30}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{11}{30}\right)$	≈ 1.4333

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 29 annimmt, ist also nach 1.43 min.