Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+1}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^2-27x+60$ = 0 |:3

$x^2-9x+20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-4·1·20}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{81-80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$; $5$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-5\right)·\left(x-4\right)$ = $3x^2-27x+60$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $20+11e^{-\mathrm{0,3}\cdot 5}$ = $11e^{-\mathrm{1,5}}+20$ ≈ 22.5

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+11e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 21

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=21 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 21 und lösen nach t auf:

   $20+11e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $21$

   $11e^{-\mathrm{0,3}t}+20$	=	$21$	| $-20$
   $11e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$1$	|:$11$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{1}{11}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{11}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{1}{11}\right)$	≈ 7.993

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 21 annimmt, ist also nach 7.99 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 2 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+11e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+11e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x-\frac{110}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3-\frac{110}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(20\cdot 0-\frac{110}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $60-\frac{110}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0-\frac{110}{3}{e}^0\right)$

   = $-\frac{110}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60-\left(0-\frac{110}{3}\right)$

   = $-\frac{110}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60-\left(0-\frac{110}{3}\right)$

   = $-\frac{110}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60+\frac{110}{3}$

   = $-\frac{110}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{290}{3}$

   
   ≈ 81,759

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 2 + 81.759 = 83.759

   83.76 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.