Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·{\left(x+3\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|18) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+1\right)·{\left(0+3\right)}^2$ = $9$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $2·\left(0+1\right)·{\left(0+3\right)}^2$ = $18$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\left(x+1\right){\left(x+3\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-3e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-x^2-12$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $4$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-2$; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-u-12$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-x^2-12$ =nach Substitution $u^2-u-12$ = $\left(u-4\right)·\left(u+3\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+3\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+3\right)$ = $x^4-x^2-12$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $30e^{-\mathrm{0,4}\cdot 4}-30e^{-\mathrm{0,8}\cdot 4}$ = $30e^{-\mathrm{1,6}}-30e^{-\mathrm{3,2}}$ ≈ 4.8

   
   
2. Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{25}{6}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{25}{6}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{25}{6}$ und lösen nach t auf:

   $30e^{-\mathrm{0,4}t}-30e^{-\mathrm{0,8}t}$

   =

   $\frac{25}{6}$

   | $-\frac{25}{6}$

   $30e^{-\mathrm{0,4}t}-30e^{-\mathrm{0,8}t}-\frac{25}{6}$ = 0

   Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

   $30e^{-\mathrm{0,4}t}-30e^{-\mathrm{0,8}t}-\frac{25}{6}$	=	0	|⋅ $e^{\mathrm{0,8}x}$
   $-\frac{25}{6}{e}^{\mathrm{0,8}t}+30e^{\mathrm{0,4}t}-30$	=	0

   Setze u = $e^{\mathrm{0,4}x}$

   Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

   $-\frac{25}{6}{u}^2+30u-30$	=	0	|⋅ 6
   $6\left(-\frac{25}{6}{u}^2+30u-30\right)$	=	0

   $-25u^2+180u-180$ = 0 |:5

   $-5u^2+36u-36$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   u_1,2 =

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30e^{-\mathrm{0,4}t}-30e^{-\mathrm{0,8}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30e^{-\mathrm{0,4}t}-30e^{-\mathrm{0,8}t}\right)dt$$

   = ${\left[-75e^{-\mathrm{0,4}x}+\frac{75}{2}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right]}_0^3$

   $=$ $-75e^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}+\frac{75}{2}{e}^{-\mathrm{0,8}\cdot 3}-\left(-75e^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}+\frac{75}{2}{e}^{-\mathrm{0,8}\cdot 0}\right)$

   = $-75e^{-\mathrm{1,2}}+\frac{75}{2}{e}^{-\mathrm{2,4}}-\left(-75e^0+\frac{75}{2}{e}^0\right)$

   = $-75e^{-\mathrm{1,2}}+\frac{75}{2}{e}^{-\mathrm{2,4}}-\left(-75+\frac{75}{2}\right)$

   = $-75e^{-\mathrm{1,2}}+\frac{75}{2}{e}^{-\mathrm{2,4}}-\left(-75+\mathrm{37,5}\right)$

   = $-75e^{-\mathrm{1,2}}+\frac{75}{2}{e}^{-\mathrm{2,4}}-1·\left(-\mathrm{37,5}\right)$

   = $-75e^{-\mathrm{1,2}}+\frac{75}{2}{e}^{-\mathrm{2,4}}+\mathrm{37,5}$

   
   ≈ 18,312

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 18.312 = 18.312

   18.31 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.