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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3
Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|-36)

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x - 2$ .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot {(x - 3)}^{2}$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-36) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $(0 - 2) \cdot {(0 - 3)}^{2}$ = $- 18$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $2 \cdot (0 - 2) \cdot {(0 - 3)}^{2}$ = $- 36$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $f(x) =$ $2 (x - 2) {(x - 3)}^{2}$ .

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x} + 1$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x} + 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 1 addiert wird, hat der Graph von $e^{x} + 1$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x} + 1$ für x → ∞ gegen ∞ .
Für x → -∞ strebt $e^{x} + 1$ gegen 0 +1, also gegen 1.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{6} - 4 x^{4}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{6} - 4 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{4} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ = $x^{6} - 4 x^{4}$

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,7 t} - 20 e^{- 1,4 t}$ beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 4 Dezimeter hoch.

Bestimme die maximale Wachstumsgeschwindigkeit des Baums.
Wann nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit am stärksten ab?
Wie lange ist die Wachstumsgeschwindigkeit mindestens $\frac{391}{80}$ dm pro Jahr?
Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?

Lösung einblenden

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $0.9902$ |5) einblenden

$f(t) =$ $20 e^{- 0,7 t} - 20 e^{- 1,4 t}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $20 e^{- 0,7 t} \cdot (- 0,7) - 20 e^{- 1,4 t} \cdot (- 1,4)$

= $e^{- 1,4 t} \cdot (- 14 e^{0,7 t} + 28)$

$f''(t) =$ $(- 14 e^{0,7 t} \cdot 0,7 + 0) \cdot e^{- 1,4 t} + (- 14 e^{0,7 t} + 28) \cdot e^{- 1,4 t} \cdot (- 1,4)$

= $e^{- 1,4 t} \cdot (9,8 e^{0,7 t} - 39,2)$

= $(9,8 e^{0,7 t} - 39,2) e^{- 1,4 t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 14 e^{0,7 t} + 28) \cdot e^{- 1,4 t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 14 e^{0,7 t} + 28$	=	0	\| $- 28$
$- 14 e^{0,7 t}$	=	$- 28$	\|: $- 14$
$e^{0,7 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,7 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,7$
t₁	=	$\frac{1}{0.7} \ln (2)$	≈ 0.9902

2. Fall:

e^{- 1,4 t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung t= $\frac{1}{0.7} \ln (2)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

f''( $0.9902$ ) = $e^{- 1,4 \cdot 0.9902} \cdot (9,8 e^{0,7 \cdot 0.9902} - 39,2)$ = $e^{- 1,38628} \cdot (9,8 e^{0,69314} - 39,2)$ = $e^{- 1,38628} \cdot (9,8 e^{0,69314} - 39,2)$ <0

Das heißt bei t = $0.9902$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0.9902$ ) = $20 e^{- 0,7 \cdot 0.9902} - 20 e^{- 1,4 \cdot 0.9902}$ = $20 e^{- 0,69314} - 20 e^{- 1,38628}$ ≈ 5
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0.9902$ | $20 e^{- 0,69314} - 20 e^{- 1,38628}$ )

≈ H:(0.99|5)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $20 e^{- 0,7 \cdot 0} - 20 e^{- 1,4 \cdot 0}$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → $0 + 0$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

5 ist also der größte Wert der Funktion.

t-Wert bei der stärksten Abnahme

Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.

Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

f'(t)= $20 e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 20 e^{- 1,4 x} \cdot (- 1,4)$

= $14 \cdot e^{- 1,4 x} (- e^{0,7 x} + 2)$

Wir berechnen also die Extremstellen von f':

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung ( $1.9804$ |-1.75) einblenden

$f'(t) =$ $14 \cdot e^{- 1,4 t} (- e^{0,7 t} + 2)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(t) =$ $14 e^{- 1,4 t} \cdot (- 1,4) \cdot (- e^{0,7 t} + 2) + 14 \cdot e^{- 1,4 t} \cdot (- e^{0,7 t} \cdot 0,7 + 0)$

= $e^{- 1,4 t} \cdot (9,8 e^{0,7 t} - 39,2)$

$f'''(t) =$ $(9,8 e^{0,7 t} \cdot 0,7 + 0) \cdot e^{- 1,4 t} + (9,8 e^{0,7 t} - 39,2) \cdot e^{- 1,4 t} \cdot (- 1,4)$

= $e^{- 1,4 t} \cdot (- 6,86 e^{0,7 t} + 54,88)$

= $(- 6,86 e^{0,7 t} + 54,88) e^{- 1,4 t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

(9,8 e^{0,7 t} - 39,2) \cdot e^{- 1,4 t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9,8 e^{0,7 t} - 39,2$	=	0	\| $+ 39,2$
$9,8 e^{0,7 t}$	=	$39,2$	\|: $9,8$
$e^{0,7 t}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$0,7 t$	=	$\ln (4)$	\|: $0,7$
t₁	=	$\frac{1}{0.7} \ln (4)$	≈ 1.9804
t₁	=	$\frac{2}{0.7} \ln (2)$

2. Fall:

e^{- 1,4 t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung t= $\frac{2}{0.7} \ln (2)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

f'''( $1.9804$ ) = $e^{- 1,4 \cdot 1.9804} \cdot (- 6,86 e^{0,7 \cdot 1.9804} + 54,88)$ = $e^{- 2,77256} \cdot (- 6,86 e^{1,38628} + 54,88)$ = $e^{- 2,77256} \cdot (- 6,86 e^{1,38628} + 54,88)$ >0

Das heißt bei t = $1.9804$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
f'( $1.9804$ ) = $14 \cdot e^{- 1,4 \cdot 1.9804} \cdot (- e^{0,7 \cdot 1.9804} + 2)$ = $14 \cdot e^{- 2,77256} \cdot (- e^{1,38628} + 2)$ ≈ -1.75
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1.9804$ | $14 \cdot e^{- 2,77256} \cdot (- e^{1,38628} + 2)$ )

≈ T:(1.98|-1.75)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $14 \cdot e^{- 1,4 \cdot 0} \cdot (- e^{0,7 \cdot 0} + 2)$ = $14 e^{0}$ . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f'(t) → $nan$ ≈ NAN.

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.

Bei t = $1.9804$ ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.

Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{391}{80}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{391}{80}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{391}{80}$ und lösen nach t auf:

20 e^{- 0,7 t} - 20 e^{- 1,4 t}

=

\frac{391}{80}

|

- \frac{391}{80}

20 e^{- 0,7 t} - 20 e^{- 1,4 t} - \frac{391}{80}

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$20 e^{- 0,7 t} - 20 e^{- 1,4 t} - \frac{391}{80}$	=	0	\|⋅ $e^{1,4 x}$
$- \frac{391}{80} e^{1,4 t} + 20 e^{0,7 t} - 20$	=	0

Setze u = $e^{0,7 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{391}{80} u^{2} + 20 u - 20$	=	0	\|⋅ 80
$80 (- \frac{391}{80} u^{2} + 20 u - 20)$	=	0

$- 391 u^{2} + 1 600 u - 1 600$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 1 600$

Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $\int_{0}^{3} (20 e^{- 0,7 t} - 20 e^{- 1,4 t}) ⅆ t$ berechnet werden.

$\int_{0}^{3} (20 e^{- 0,7 t} - 20 e^{- 1,4 t}) ⅆ t$
= ${[- \frac{200}{7} e^{- 0,7 x} + \frac{100}{7} e^{- 1,4 x}]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{200}{7} e^{- 0,7 \cdot 3} + \frac{100}{7} e^{- 1,4 \cdot 3} - (- \frac{200}{7} e^{- 0,7 \cdot 0} + \frac{100}{7} e^{- 1,4 \cdot 0})$
= $- \frac{200}{7} e^{- 2,1} + \frac{100}{7} e^{- 4,2} - (- \frac{200}{7} e^{0} + \frac{100}{7} e^{0})$
= $- \frac{200}{7} e^{- 2,1} + \frac{100}{7} e^{- 4,2} - (- \frac{200}{7} + \frac{100}{7})$
= $- \frac{200}{7} e^{- 2,1} + \frac{100}{7} e^{- 4,2} - 1 \cdot (- \frac{100}{7})$
= $- \frac{200}{7} e^{- 2,1} + \frac{100}{7} e^{- 4,2} + \frac{100}{7}$

≈ 11,001

11 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

Randwertuntersuchung

Randwertuntersuchung