Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 0 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·{\left(x+0\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term $\left(x+2\right)x^2$ = $x^3+2x^2$ für x → -∞ : f(x) gegen +∞ und nicht wie gefordert gegen -∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
$-\left(x+2\right)x^2$ = $-x^3-2x^2$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -1 addiert wird, hat der Graph von $e^x-1$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-1$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-1$ gegen 0 -1, also gegen -1.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^7+5x^5-6x^3$	=	0
$x^3\left(x^4+5x^2-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+5u-6$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+5x^2-6$ =nach Substitution $u^2+5u-6$ = $\left(u-1\right)·\left(u+6\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+6\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^3·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+6\right)$ = $x^7+5x^5-6x^3$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $50-27e^{-\mathrm{0,6}\cdot 5}$ = $-27e^{-3}+50$ ≈ 48.7

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $50-27e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $50+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $50$.

3. Erster t-Wert bei y = 42

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=42 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 42 und lösen nach t auf:

   $50-27e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $42$

   $-27e^{-\mathrm{0,6}t}+50$	=	$42$	| $-50$
   $-27e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-8$	|:$-27$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{8}{27}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{8}{27}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{8}{27}\right)$	≈ 2.0273

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 42 annimmt, ist also nach 2.03 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(50-27e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(50-27e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[50x+45e^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $50\cdot 3+45e^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(50\cdot 0+45e^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $150+45e^{-\mathrm{1,8}}-\left(0+45e^0\right)$

   = $45e^{-\mathrm{1,8}}+150-\left(0+45\right)$

   = $45e^{-\mathrm{1,8}}+150-45$

   = $45e^{-\mathrm{1,8}}+105$

   
   ≈ 112,438

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 3 + 112.438 = 115.438

   115.44 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.