Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-3}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 3 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-3}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-3}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-x^7-2x^5+24x^3$	=	0
$-x^3\left(x^4+2x^2-24\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -1 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+2u-24$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+2x^2-24$ =nach Substitution $u^2+2u-24$ = $\left(u-4\right)·\left(u+6\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+6\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $-x^3·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+6\right)$ = $-x^7-2x^5+24x^3$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $50-32e^{-\mathrm{0,5}\cdot 5}$ = $-32e^{-\mathrm{2,5}}+50$ ≈ 47.4

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $50-32e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $50+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $50$.

3. Erster t-Wert bei y = 33

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=33 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 33 und lösen nach t auf:

   $50-32e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $33$

   $-32e^{-\mathrm{0,5}t}+50$	=	$33$	| $-50$
   $-32e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-17$	|:$-32$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{17}{32}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{17}{32}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{17}{32}\right)$	≈ 1.265

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 33 annimmt, ist also nach 1.27 min.