Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt für x → ∞ auch gegen ∞.
- Wie strebt für x → -∞ auch gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x1 | = |
|
=
|
| x2 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 4 Dezimeter hoch.
- Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 4 Jahren?
- Bestimme die maximale Wachstumsgeschwindigkeit des Baums.
- Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
- Wie lange ist die Wachstumsgeschwindigkeit mindestens
dm pro Jahr?1591 160 - Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?
- y-Wert bei t = 4
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) =
=40 e - 0,3 ⋅ 4 - 40 e - 0,6 ⋅ 4 ≈ 8.440 e - 1,2 - 40 e - 2,4
- y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|10) einblenden2.3105 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=40 e - 0,3 ⋅ 0 - 40 e - 0,6 ⋅ 0 0 . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → .0 + 0 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
10 ist also der größte Wert der Funktion.
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→40 e - 0,3 t - 40 e - 0,6 t 0 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
0 . - Abstand der beiden Schnittstellen mit
1591 160 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.1591 160 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:1591 160 40 e - 0,3 t - 40 e - 0,6 t = 1591 160 | - 1591 160 40 e - 0,3 t - 40 e - 0,6 t - 1591 160 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
40 e - 0,3 t - 40 e - 0,6 t - 1591 160 = 0 |⋅ e 0,6 x - 1591 160 e 0,6 t + 40 e 0,3 t - 40 = 0 Setze u =
e 0,3 x Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 1591 160 u 2 + 40 u - 40 = 0 |⋅ 160 160 ( - 1591 160 u 2 + 40 u - 40 ) = 0 = 0- 1 591 u 2 + 6 400 u - 6 400 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
- 6 400 - Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 40 e - 0,3 t - 40 e - 0,6 t ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 40 e - 0,3 t - 40 e - 0,6 t ) ⅆ t =
[ - 400 3 e - 0,3 x + 200 3 e - 0,6 x ] 0 3 = - 400 3 e - 0,3 ⋅ 3 + 200 3 e - 0,6 ⋅ 3 - ( - 400 3 e - 0,3 ⋅ 0 + 200 3 e - 0,6 ⋅ 0 ) =
- 400 3 e - 0,9 + 200 3 e - 1,8 - ( - 400 3 e 0 + 200 3 e 0 ) =
- 400 3 e - 0,9 + 200 3 e - 1,8 - ( - 400 3 + 200 3 ) =
- 400 3 e - 0,9 + 200 3 e - 1,8 - 1 · ( - 200 3 ) =
- 400 3 e - 0,9 + 200 3 e - 1,8 + 200 3
≈ 23,477Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 4 + 23.477 = 27.47727.48 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
- Bestand zur Zeit 3
