Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+1\right)·\left(0-1\right)$ = $-1$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0+1\right)·\left(0-1\right)$ = $2$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x+1\right)\left(x-1\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^2+4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$}

$-2$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ ${\left(x+2\right)}^2$ = $x^2+4x+4$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $40-31e^{-\mathrm{0,7}\cdot 2}$ = $-31e^{-\mathrm{1,4}}+40$ ≈ 32.4

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $40-31e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $40+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $40$.

3. Erster t-Wert bei y = 33

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=33 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 33 und lösen nach t auf:

   $40-31e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $33$

   $-31e^{-\mathrm{0,7}t}+40$	=	$33$	| $-40$
   $-31e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$-7$	|:$-31$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{7}{31}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{7}{31}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{7}{31}\right)$	≈ 2.1258

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 33 annimmt, ist also nach 2.13 min.