Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-2|0) und N2(-1|0)
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|4)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei
einfach das x von
durch ein 'x
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Wie strebt auch für x → -∞ gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 =
x3 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit
- Bestimme die Temperatur des Getränks 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
- Wann hat das Getränk die Temperatur von 9 erreicht?
- y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) =
=15 - 12 e - 0,3 ⋅ 2 ≈ 8.4- 12 e - 0,6 + 15
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→15 - 12 e - 0,3 t 15 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.15 - Erster t-Wert bei y = 9
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=9 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 9 und lösen nach t auf:
15 - 12 e - 0,3 t = 9 - 12 e - 0,3 t + 15 = 9 | - 15 - 12 e - 0,3 t = - 6 |: - 12 e - 0,3 t = 1 2 |ln(⋅) - 0,3 t = ln ( 1 2 ) |: - 0,3 t = - 1 0.3 ln ( 1 2 ) ≈ 2.3105 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 9 annimmt, ist also nach 2.31 min.
