Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $x·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-x·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt für x → ∞ auch $3e^x$ gegen ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $3e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^4-21x^3+36x^2$	=	0
$3x^2\left(x^2-7x+12\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $3$; $4$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x^2·\left(x-4\right)·\left(x-3\right)$ = $3x^4-21x^3+36x^2$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $30+22e^{-\mathrm{0,4}\cdot 4}$ = $22e^{-\mathrm{1,6}}+30$ ≈ 34.4

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30+22e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

3. Erster t-Wert bei y = 40

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=40 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 40 und lösen nach t auf:

   $30+22e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $40$

   $22e^{-\mathrm{0,4}t}+30$	=	$40$	| $-30$
   $22e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$10$	|:$22$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{5}{11}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{5}{11}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{5}{11}\right)$	≈ 1.9711

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 40 annimmt, ist also nach 1.97 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+22e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+22e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$

   = ${\left[30x-55e^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3-55e^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(30\cdot 0-55e^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $90-55e^{-\mathrm{1,2}}-\left(0-55e^0\right)$

   = $-55e^{-\mathrm{1,2}}+90-\left(0-55\right)$

   = $-55e^{-\mathrm{1,2}}+90+55$

   = $-55e^{-\mathrm{1,2}}+145$

   
   ≈ 128,434

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 3 + 128.434 = 131.434

   131.43 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.