Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

Lösung einblenden

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +1 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= ( x +1 ) · e -x . Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
f(x)= ( x +1 ) · e -x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -x einfach das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von e -x indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Wie e x für x → -∞ strebt e -x für x → ∞ gegen 0.
  • Wie e x für x → ∞ strebt e -x für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 2 x 2 +12x +10 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

2 x 2 +12x +10 = 0 |:2

x 2 +6x +5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · 5 21

x1,2 = -6 ± 36 -20 2

x1,2 = -6 ± 16 2

x1 = -6 + 16 2 = -6 +4 2 = -2 2 = -1

x2 = -6 - 16 2 = -6 -4 2 = -10 2 = -5

L={ -5 ; -1 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 2 ( x +1 ) · ( x +5 ) = 2 x 2 +12x +10

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 20 +16 e -0,3t beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

  1. Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 4 heruntergeladen?.
  2. Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
  3. Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 28 (Tausend)?
  4. Wie viele Tausend Downloads wurden insgesamt nach den ersten 3 Tagen heruntergeladen?

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  1. y-Wert bei t = 4

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = 20 +16 e -0,34 = 16 e -1,2 +20 ≈ 24.8


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 20 +16 e -0,3t 20 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 20 .

  3. Erster t-Wert bei y = 28

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=28 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 28 und lösen nach t auf:

    20 +16 e -0,3t = 28
    16 e -0,3t +20 = 28 | -20
    16 e -0,3t = 8 |:16
    e -0,3t = 1 2 |ln(⋅)
    -0,3t = ln( 1 2 ) |:-0,3
    t = - 1 0.3 ln( 1 2 ) ≈ 2.3105

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 28 annimmt, ist also nach 2.31 Tage.

  4. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral 0 3 ( 20 +16 e -0,3t ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 20 +16 e -0,3t ) t

    = [ 20x - 160 3 e -0,3x ] 0 3

    = 203 - 160 3 e -0,33 - ( 200 - 160 3 e -0,30 )

    = 60 - 160 3 e -0,9 - (0 - 160 3 e 0 )

    = - 160 3 e -0,9 +60 - (0 - 160 3 )

    = - 160 3 e -0,9 +60 - (0 - 160 3 )

    = - 160 3 e -0,9 +60 + 160 3

    = - 160 3 e -0,9 + 340 3


    ≈ 91,65

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 0 + 91.65 = 91.65

    91.65 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.