Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x+4\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-8) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+2\right)·\left(0+4\right)$ = $8$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0+2\right)·\left(0+4\right)$ = $-8$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)\left(x+4\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, hat der Graph von $e^x+3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+3$ gegen 0 +3, also gegen 3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^3-8x^2+15x$	=	0
$x\left(x^2-8x+15\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $3$; $5$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·\left(x-5\right)·\left(x-3\right)$ = $x^3-8x^2+15x$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $15-10e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}$ = $-10e^{-\mathrm{1,5}}+15$ ≈ 12.8

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15-10e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

3. Erster t-Wert bei y = 11

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=11 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 11 und lösen nach t auf:

   $15-10e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $11$

   $-10e^{-\mathrm{0,5}t}+15$	=	$11$	| $-15$
   $-10e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-4$	|:$-10$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{2}{5}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{2}{5}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{2}{5}\right)$	≈ 1.8326

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 11 annimmt, ist also nach 1.83 Tage.