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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1
Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 0$ .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $f(x) =$ $(x + 0) \cdot {(x - 1)}^{2}$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $x {(x - 1)}^{2}$ = $x^{3} - 2 x^{2} + x$ für x → -∞ gegen -∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Für x → ∞ strebt $e^{x}$ gegen ∞ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x}$ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - 6 x^{4} + 9 x^{3}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{5} - 6 x^{4} + 9 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 6 x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={0; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung! $3$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{3} \cdot {(x - 3)}^{2}$ = $x^{5} - 6 x^{4} + 9 x^{3}$

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $t \cdot e^{- 0,1 t}$ beschrieben werden ( t ≥ 0 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 50 m³ Wasser im Tank.

Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
Wann nimmt die Änderungsrate des Wasservolumens am stärksten ab?
Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $2 \cdot e^{- 0,1 \cdot 2}$ = $2 e^{- 0,2}$ ≈ 1.6

t-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $10$ |3.68) einblenden

$f(t) =$ $t \cdot e^{- 0,1 t}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $1 \cdot e^{- 0,1 t} + t \cdot e^{- 0,1 t} \cdot (- 0,1)$

= $e^{- 0,1 t} \cdot (- 0,1 t + 1)$

$f''(t) =$ $(- 0,1 + 0) \cdot e^{- 0,1 t} + (- 0,1 t + 1) \cdot e^{- 0,1 t} \cdot (- 0,1)$

= $e^{- 0,1 t} \cdot (0,01 t - 0,2)$

= $(0,01 t - 0,2) e^{- 0,1 t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 0,1 t + 1) \cdot e^{- 0,1 t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,1 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 0,1 t$	=	$- 1$	\|:( $- 0,1$ )
t₁	=	$10$

2. Fall:

e^{- 0,1 t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung t= $10$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

f''( $10$ ) = $e^{- 0,1 \cdot 10} \cdot (0,01 \cdot 10 - 0,2)$ = $e^{- 1} \cdot (0,1 - 0,2)$ = $- 0,1 e^{- 1}$ <0

Das heißt bei t = $10$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $10$ ) = $10 \cdot e^{- 0,1 \cdot 10}$ = $10 e^{- 1}$ ≈ 3.679
Man erhält so den Hochpunkt H:( $10$ | $10 e^{- 1}$ )

≈ H:(10|3.679)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $0 \cdot e^{- 0,1 \cdot 0}$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → 0.

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

Bei t = $10$ ist also der größte Wert der Funktion.

t-Wert bei der stärksten Abnahme

Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.

Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

f'(t)= $1 \cdot e^{- 0,1 x} + x \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1)$

= $e^{- 0,1 x} (- 0,1 x + 1)$

Wir berechnen also die Extremstellen von f':

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung ( $20$ |-0.14) einblenden

$f'(t) =$ $e^{- 0,1 t} (- 0,1 t + 1)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(t) =$ $e^{- 0,1 t} \cdot (- 0,1) \cdot (- 0,1 t + 1) + e^{- 0,1 t} \cdot (- 0,1 + 0)$

= $e^{- 0,1 t} \cdot (0,01 t - 0,2)$

$f'''(t) =$ $(0,01 + 0) \cdot e^{- 0,1 t} + (0,01 t - 0,2) \cdot e^{- 0,1 t} \cdot (- 0,1)$

= $e^{- 0,1 t} \cdot (- 0,001 t + 0,03)$

= $(- 0,001 t + 0,03) e^{- 0,1 t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

(0,01 t - 0,2) \cdot e^{- 0,1 t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$0,01 t - 0,2$	=	0	\| $+ 0,2$
$0,01 t$	=	$0,2$	\|: $0,01$
t₁	=	$20$

2. Fall:

e^{- 0,1 t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung t= $20$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

f'''( $20$ ) = $e^{- 0,1 \cdot 20} \cdot (- 0,001 \cdot 20 + 0,03)$ = $e^{- 2} \cdot (- 0,02 + 0,03)$ = $0,01 e^{- 2}$ >0

Das heißt bei t = $20$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
f'( $20$ ) = $e^{- 0,1 \cdot 20} \cdot (- 0,1 \cdot 20 + 1)$ = $- e^{- 2}$ ≈ -0.135
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $20$ | $- e^{- 2}$ )

≈ T:(20|-0.135)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $e^{- 0,1 \cdot 0} \cdot (- 0,1 \cdot 0 + 1)$ = $e^{0}$ . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f'(t) → 0.

Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f'(0) = $e^{0}$ .

Bei t = $20$ ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.

Erste Nullstelle
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

$t \cdot e^{- 0,1 t}$ = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:

t₁ = 0

2. Fall:

$e^{- 0,1 t}$ = $0$
Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0.
Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 min.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

Randwertuntersuchung

Randwertuntersuchung