Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^6-18x^4$	=	0
$2x^4\left(x^2-9\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^4·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$ = $2x^6-18x^4$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $30+19e^{-\mathrm{0,4}\cdot 5}$ = $19e^{-2}+30$ ≈ 32.6

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30+19e^{-\mathrm{0,4}x}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+19e^{-\mathrm{0,4}x}\right)dx$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+19e^{-\mathrm{0,4}x}\right)dx$$

   = ${\left[30x-\frac{95}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3-\frac{95}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(30\cdot 0-\frac{95}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $90-\frac{95}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}-\left(0-\frac{95}{2}{e}^0\right)$

   = $-\frac{95}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+90-\left(0-\frac{95}{2}\right)$

   = $-\frac{95}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+90-\left(0-\mathrm{47,5}\right)$

   = $-\frac{95}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+90+\mathrm{47,5}$

   = $-\frac{95}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+\mathrm{137,5}$

   
   ≈ 123,193

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 3 + 123.193 = 126.193

   126.19 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.