Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(2|0) und N2(4|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|16)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x -2 ) · ( x -4 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|16) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 -2 ) · ( 0 -4 ) = 8

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten 2 multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = 2 · ( 0 -2 ) · ( 0 -4 ) = 16

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= 2 ( x -2 ) ( x -4 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -x einfach das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von e -x indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Wie e x für x → -∞ strebt e -x für x → ∞ gegen 0.
  • Wie e x für x → ∞ strebt e -x für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 2 + x -12 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 2 + x -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +48 2

x1,2 = -1 ± 49 2

x1 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

x2 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

L={ -4 ; 3 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= ( x -3 ) · ( x +4 ) = x 2 + x -12

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 15 +12 e -0,4t beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

  1. Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 4 heruntergeladen?.
  2. Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
  3. Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 19 (Tausend)?

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  1. y-Wert bei t = 4

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = 15 +12 e -0,44 = 12 e -1,6 +15 ≈ 17.4


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 15 +12 e -0,4t 15 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 15 .

  3. Erster t-Wert bei y = 19

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=19 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 19 und lösen nach t auf:

    15 +12 e -0,4t = 19
    12 e -0,4t +15 = 19 | -15
    12 e -0,4t = 4 |:12
    e -0,4t = 1 3 |ln(⋅)
    -0,4t = ln( 1 3 ) |:-0,4
    t = - 1 0.4 ln( 1 3 ) ≈ 2.7465

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 19 annimmt, ist also nach 2.75 Tage.