Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

0 ist 3-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x^3·{\left(x-2\right)}^2$ = $3x^5-12x^4+12x^3$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $\frac{1}{3}\cdot 2^3-2\cdot 2^2+12$ = $\frac{20}{3}$ ≈ 6.7

   
   
2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der y-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ($4$|1.33) einblenden

   $\text{f(t)}=$ $\frac{1}{3}{t}^3-2t^2+12$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(t)}=$ $t^2-4t+0$

   = $t^2-4t$

   $\text{f''(t)}=$ $2t-4$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $t^2-4t$	=	0
   $t\left(t-4\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   t1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $t-4$	=	0	| $+4$
   t2	=	$4$

   Die Lösungen 0, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

   Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

   
   

   1.: t=$0$

   f''($0$) = $2\cdot 0-4$= $0-4$= $-4$ <0

   Das heißt bei t = $0$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
   f($0$) = $\frac{1}{3}\cdot 0^3-2\cdot 0^2+12$ = $12$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $12$)

   
   

   2.: t=$4$

   f''($4$) = $2\cdot 4-4$= $8-4$= $4$ >0

   Das heißt bei t = $4$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
   f($4$) = $\frac{1}{3}\cdot 4^3-2\cdot 4^2+12$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.333
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($4$| $\frac{4}{3}$)

   ≈ T:(4|1.333)

   Randwertuntersuchung

   Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

   Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $\frac{1}{3}\cdot 0^3-2\cdot 0^2+12$ = $12$. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(6) = $\frac{1}{3}\cdot 6^3-2\cdot 6^2+12$ = $12$.

   Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = $12$ .

   1.33 ist also der kleinste Wert der Funktion.

   
   
3. t-Wert bei der stärksten Abnahme

   Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.

   Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

   f'(t)= $x^2-4x+0$

   = $x\left(x-4\right)$

   Wir berechnen also die Extremstellen von f':

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung ($2$|-4) einblenden

   $\text{f'(t)}=$ $t\left(t-4\right)$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(t)}=$ $1·\left(t-4\right)+t·\left(1+0\right)$

   = $2t-4$

   $\text{f'''(t)}=$ $2+0$

   = $2$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $2t-4$	=	0	| $+4$
   $2t$	=	$4$	|:$2$
   $t$	=	$2$

   Die Lösung t= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

   Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

   f'''($2$) = $2$= $2$= $2$ >0

   Das heißt bei t = $2$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
   f'($2$) = $2·\left(2-4\right)$ = $-4$
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($2$| $-4$)

   Randwertuntersuchung

   Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

   Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $0·\left(0-4\right)$ = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(6) = $6·\left(6-4\right)$ = $12$.

   Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f'(0) = 0 .

   Bei t = $2$ ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{1}{3}{t}^3-2t^2+12\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{1}{3}{t}^3-2t^2+12\right)dt$$

   = ${\left[\frac{1}{12}{x}^4-\frac{2}{3}{x}^3+12x\right]}_0^3$

   $=$ $\frac{1}{12}\cdot 3^4-\frac{2}{3}\cdot 3^3+12\cdot 3-\left(\frac{1}{12}\cdot 0^4-\frac{2}{3}\cdot 0^3+12\cdot 0\right)$

   = $\frac{1}{12}\cdot 81-\frac{2}{3}\cdot 27+36-\left(\frac{1}{12}\cdot 0-\frac{2}{3}\cdot 0+0\right)$

   = $\frac{27}{4}-18+36-\left(0+0+0\right)$

   = $\frac{27}{4}-\frac{72}{4}+\frac{144}{4}+0$

   = $\frac{99}{4}$

   
   = 24,75

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 24.75 = 24.75

   24.75 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.