Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +2 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= ( x +2 ) · e x . Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
f(x)= - ( x +2 ) · e x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -x einfach das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von e -x indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Wie e x für x → -∞ strebt e -x für x → ∞ gegen 0.
  • Wie e x für x → ∞ strebt e -x für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 -5 x 2 -36 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 -5 x 2 -36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u -36 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -36 ) 21

u1,2 = +5 ± 25 +144 2

u1,2 = +5 ± 169 2

u1 = 5 + 169 2 = 5 +13 2 = 18 2 = 9

u2 = 5 - 169 2 = 5 -13 2 = -8 2 = -4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -4

x 2 = -4 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term u 2 -5u -36 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 -5 x 2 -36 =nach Substitution u 2 -5u -36 = ( u -9 ) · ( u +4 ) =nach Re-Substitution ( -9 ) · ( +4 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= ( x +3 ) · ( x -3 ) · ( x 2 +4 ) = x 4 -5 x 2 -36

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= - t 3 +4 t 2 beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 5 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 50 m³ Wasser im Tank.

  1. Bestimme die größt mögliche Änderungsrate des Wasservolumens.
  2. Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?
  3. Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?
  4. Bestimme das maximale Wasservolumen im Tank?

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  1. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( 8 3 |9.48) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = - 0 3 +4 0 2 = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(5) = - 5 3 +4 5 2 = -25 .

    Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

    9.48 ist also der größte Wert der Funktion.


  2. Erste Nullstelle

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

    - t 3 +4 t 2 = 0
    t 2 ( -t +4 ) = 0

    Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

    1. Fall:

    t 2 = 0 | 2
    t1 = 0

    2. Fall:

    -t +4 = 0 | -4
    -t = -4 |:(-1 )
    t2 = 4

    Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0 und 4 .

    Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 min.

  3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

    Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral 0 3 ( - t 3 +4 t 2 ) t berechnet werden.

    0 3 ( - t 3 +4 t 2 ) t

    = [ - 1 4 x 4 + 4 3 x 3 ] 0 3

    = - 1 4 3 4 + 4 3 3 3 - ( - 1 4 0 4 + 4 3 0 3 )

    = - 1 4 81 + 4 3 27 - ( - 1 4 0 + 4 3 0 )

    = - 81 4 +36 - (0+0)

    = - 81 4 + 144 4 +0

    = 63 4


    = 15,75

    15.75 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

  4. maximaler Bestand

    Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

    Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

    Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei 0 und 4 .

    Da f(3) ≈ 9 > 0 und f(5) ≈ -25 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 4.

    Der maximale Bestand tritt also bei t = 4 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 4 min lässt sich berechnen durch:

    0 4 ( - t 3 +4 t 2 ) t

    = [ - 1 4 x 4 + 4 3 x 3 ] 0 4

    = - 1 4 4 4 + 4 3 4 3 - ( - 1 4 0 4 + 4 3 0 3 )

    = - 1 4 256 + 4 3 64 - ( - 1 4 0 + 4 3 0 )

    = -64 + 256 3 - (0+0)

    = - 192 3 + 256 3 +0

    = 64 3


    ≈ 21,333

    Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 50 m³, so dass für den maximalen Bestand gilt:
    Bmax = 50 m³ + 21.33 m³ = 71.33 m³.