Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+1}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^8-5x^6+4x^4$	=	0
$x^4\left(x^4-5x^2+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; $-1$; 0; $1$; $2$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^4·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ = $x^8-5x^6+4x^4$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $25-20e^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}$ = $-20e^{-\mathrm{0,9}}+25$ ≈ 16.9

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25-20e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

3. Erster t-Wert bei y = 21

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=21 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 21 und lösen nach t auf:

   $25-20e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $21$

   $-20e^{-\mathrm{0,3}t}+25$	=	$21$	| $-25$
   $-20e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-4$	|:$-20$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{1}{5}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{5}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{1}{5}\right)$	≈ 5.3648

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 21 annimmt, ist also nach 5.36 Tage.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25-20e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25-20e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x+\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3+\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(25\cdot 0+\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $75+\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0+\frac{200}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+75-\left(0+\frac{200}{3}\right)$

   = $\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+75-\left(0+\frac{200}{3}\right)$

   = $\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+75-\frac{200}{3}$

   = $\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{25}{3}$

   
   ≈ 35,438

   35.44 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.