Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 0 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·{\left(x+0\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Es stimmt nun aber das Verhalten für x → ±∞ noch nicht, deswegen müssen wir den Term mit -1 multiplizieren.

Unser Term $-\left(x-1\right)x^2$ = $-x^3+x^2$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt für x → ∞ auch $3e^x$ gegen ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $3e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-5$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+4u-5$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+4x^2-5$ =nach Substitution $u^2+4u-5$ = $\left(u-1\right)·\left(u+5\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+5\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+5\right)$ = $x^4+4x^2-5$

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ($\frac{8}{3}$|1.52) einblenden

   $\text{f(t)}=$ $t^3-4t^2+11$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(t)}=$ $3t^2-8t+0$

   = $3t^2-8t$

   $\text{f''(t)}=$ $6t-8$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $3t^2-8t$	=	0
   $t\left(3t-8\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   t1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $3t-8$	=	0	| $+8$
   $3t$	=	$8$	|:$3$
   t2	=	$\frac{8}{3}$

   Die Lösungen 0, $\frac{8}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

   Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

   
   

   1.: t=$0$

   f''($0$) = $6\cdot 0-8$= $0-8$= $-8$ <0

   Das heißt bei t = $0$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
   f($0$) = $0^3-4\cdot 0^2+11$ = $11$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $11$)

   
   

   2.: t=$\frac{8}{3}$

   f''($\frac{8}{3}$) = $6\cdot \left(\frac{8}{3}\right)-8$= $16-8$= $8$ >0

   Das heißt bei t = $\frac{8}{3}$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
   f($\frac{8}{3}$) = ${\left(\frac{8}{3}\right)}^3-4\cdot {\left(\frac{8}{3}\right)}^2+11$ = $\frac{41}{27}$ ≈ 1.519
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($\frac{8}{3}$| $\frac{41}{27}$)

   ≈ T:(2.667|1.519)

   Randwertuntersuchung

   Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

   Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $0^3-4\cdot 0^2+11$ = $11$. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(4) = $4^3-4\cdot 4^2+11$ = $11$.

   Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = $11$ .

   Bei t = $\frac{8}{3}$ ist also der kleinste Wert der Funktion.

   
   
2. t-Wert bei der stärksten Abnahme

   Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.

   Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

   f'(t)= $3x^2-8x+0$

   = $x\left(3x-8\right)$

   Wir berechnen also die Extremstellen von f':

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung ($\frac{4}{3}$|-5.33) einblenden

   $\text{f'(t)}=$ $t\left(3t-8\right)$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(t)}=$ $1·\left(3t-8\right)+t·\left(3+0\right)$

   = $6t-8$

   $\text{f'''(t)}=$ $6+0$

   = $6$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $6t-8$	=	0	| $+8$
   $6t$	=	$8$	|:$6$
   $t$	=	$\frac{4}{3}$

   Die Lösung t= $\frac{4}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

   Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

   f'''($\frac{4}{3}$) = $6$= $6$= $6$ >0

   Das heißt bei t = $\frac{4}{3}$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
   f'($\frac{4}{3}$) = $\frac{4}{3}·\left(3\cdot \left(\frac{4}{3}\right)-8\right)$ = $-\frac{16}{3}$ ≈ -5.333
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($\frac{4}{3}$| $-\frac{16}{3}$)

   ≈ T:(1.333|-5.333)

   Randwertuntersuchung

   Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

   Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $0·\left(3\cdot 0-8\right)$ = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(4) = $4·\left(3\cdot 4-8\right)$ = $16$.

   Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f'(0) = 0 .

   Bei t = $\frac{4}{3}$ ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 30 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(t^3-4t^2+11\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(t^3-4t^2+11\right)dt$$

   = ${\left[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{4}{3}{x}^3+11x\right]}_0^3$

   $=$ $\frac{1}{4}\cdot 3^4-\frac{4}{3}\cdot 3^3+11\cdot 3-\left(\frac{1}{4}\cdot 0^4-\frac{4}{3}\cdot 0^3+11\cdot 0\right)$

   = $\frac{1}{4}\cdot 81-\frac{4}{3}\cdot 27+33-\left(\frac{1}{4}\cdot 0-\frac{4}{3}\cdot 0+0\right)$

   = $\frac{81}{4}-36+33-\left(0+0+0\right)$

   = $\frac{81}{4}-\frac{144}{4}+\frac{132}{4}+0$

   = $\frac{69}{4}$

   
   = 17,25

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 30 + 17.25 = 47.25

   47.25 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.