Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1
Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 0$ .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $f(x) =$ $(x + 0) \cdot {(x - 1)}^{2}$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Unser Term $x {(x - 1)}^{2}$ = $x^{3} - 2 x^{2} + x$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 1}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 1}$ einfach das x von $e^{x}$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{3}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{3}$	=	0
$2 x^{3} (x^{2} + 7 x + 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₃ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot (x + 3) \cdot (x + 4)$ = $2 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{3}$

Anwendungen

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 12 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 3$ beschrieben werden f(t) in m/s, t in s nach Beobachtungsbeginn. Zu Beobachtungsbeginn ist der Fahrstuhl auf 1 m Höhe.

Bestimme die maximale Geschwindigkeit des Fahrstuhls.
Wann hat der Fahrstuhl erstmals keine Geschwindigkeit?
Wie hoch (in m) ist der Fahrstuhl nach 3 Sekunden?
Bestimme die maximale Höhe, die der Fahrstuhl erreicht.

Lösung einblenden

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $5$ |13) einblenden

$f(t) =$ $- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $- \frac{4}{5} t + 4 + 0$

= $- \frac{4}{5} t + 4$

$f''(t) =$ $- \frac{4}{5} + 0$

= $- \frac{4}{5}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{4}{5} t + 4$	=	0	\|⋅ 5
$5 (- \frac{4}{5} t + 4)$	=	0
$- 4 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 4 t$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$5$

Die Lösung t= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

f''( $5$ ) = $- \frac{4}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ <0

Das heißt bei t = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $- \frac{2}{5} \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 + 3$ = $13$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $5$ | $13$ )

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $- \frac{2}{5} \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 + 3$ = $3$ . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(12) = $- \frac{2}{5} \cdot 12^{2} + 4 \cdot 12 + 3$ = $- \frac{33}{5}$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

13 ist also der größte Wert der Funktion.

Erste Nullstelle

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

$- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 3$	=	0	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 3)$	=	0

$- 2 t^{2} + 20 t + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $- 20$

Bestand zur Zeit 3Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral $\int_{0}^{3} (- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 3) ⅆ t$ berechnet werden.

Wir berechenn also zuerst das Integral:

$\int_{0}^{3} (- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 3) ⅆ t$
= ${[- \frac{2}{15} x^{3} + 2 x^{2} + 3 x]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{2}{15} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 - (- \frac{2}{15} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$
= $- \frac{2}{15} \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 9 - (- \frac{2}{15} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0)$
= $- \frac{18}{5} + 18 + 9 - (0 + 0 + 0)$
= $- \frac{18}{5} + \frac{90}{5} + \frac{45}{5} + 0$
= $\frac{117}{5}$

= 23,4

Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 1 + 23.4 = 24.4

24.4 m ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $\frac{- 20 - \sqrt{520}}{- 4}$ .
Da f(9.7) ≈ 4.2 > 0 und f(11.7) ≈ -5 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 10.7.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 10.7 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 10.7 s lässt sich berechnen durch:

$\int_{0}^{10.7} (- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 3) ⅆ t$
= ${[- \frac{2}{15} x^{3} + 2 x^{2} + 3 x]}_{0}^{10.7}$
$=$ $- \frac{2}{15} \cdot {10.7}^{3} + 2 \cdot {10.7}^{2} + 3 \cdot 10.7 - (- \frac{2}{15} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$
= $- \frac{2}{15} \cdot 1225.043 + 2 \cdot 114.49 + 32,1 - (- \frac{2}{15} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0)$
= $- \frac{2450.086}{15} + 228,98 + 32,1 - (0 + 0 + 0)$
= $- \frac{1 225 043}{7500} + \frac{11449}{50} + \frac{321}{10} + 0$
= $- \frac{1 225 043}{7500} + \frac{1 717 350}{7500} + \frac{240 750}{7500}$
= $- \frac{1 225 043}{7500} + \frac{11449}{50} + \frac{321}{10}$
= $\frac{733 057}{7500}$

≈ 97,741
Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 1 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
B_max = 1 m + 97.74 m = 98.74 m.

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