Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(0|0) und N2(1|0)
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x +0 ) · ( x -1 ) .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term x ( x -1 ) = x 2 - x für x → +∞ : f(x) gegen +∞ und nicht wie gefordert gegen -∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
- x ( x -1 ) = - x 2 + x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +1 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +1 einfach das x von e x durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x +1 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Wie e x strebt auch e x +1 für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 2 x 6 +4 x 4 -6 x 2 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

2 x 6 +4 x 4 -6 x 2 = 0
2 x 2 ( x 4 +2 x 2 -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 4 +2 x 2 -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

u1,2 = -2 ± 4 +12 2

u1,2 = -2 ± 16 2

u1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

u2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 0; 1 }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term u 2 +2u -3 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 +2 x 2 -3 =nach Substitution u 2 +2u -3 = ( u -1 ) · ( u +3 ) =nach Re-Substitution ( -1 ) · ( +3 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 2 x 2 · ( x +1 ) · ( x -1 ) · ( x 2 +3 ) = 2 x 6 +4 x 4 -6 x 2

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 -13 e -0,4t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 3 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 5 Jahren?
  2. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  3. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 10 dm pro Jahr?
  4. Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?

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  1. y-Wert bei t = 5

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = 15 -13 e -0,45 = -13 e -2 +15 ≈ 13.2


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 15 -13 e -0,4t 15 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 15 .

  3. Erster t-Wert bei y = 10

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=10 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 10 und lösen nach t auf:

    15 -13 e -0,4t = 10
    -13 e -0,4t +15 = 10 | -15
    -13 e -0,4t = -5 |:-13
    e -0,4t = 5 13 |ln(⋅)
    -0,4t = ln( 5 13 ) |:-0,4
    t = - 1 0.4 ln( 5 13 ) ≈ 2.3888

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 10 annimmt, ist also nach 2.39 Jahre.

  4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

    Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral 0 3 ( 15 -13 e -0,4t ) t berechnet werden.

    0 3 ( 15 -13 e -0,4t ) t

    = [ 15x + 65 2 e -0,4x ] 0 3

    = 153 + 65 2 e -0,43 - ( 150 + 65 2 e -0,40 )

    = 45 + 65 2 e -1,2 - (0 + 65 2 e 0 )

    = 65 2 e -1,2 +45 - (0 + 65 2 )

    = 65 2 e -1,2 +45 - (0 +32,5 )

    = 65 2 e -1,2 +45 -32,5

    = 65 2 e -1,2 +12,5


    ≈ 22,289

    22.29 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.