Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x+0\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Unser Term $\left(x+2\right)x$ = $x^2+2x$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^x-3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+3x^2-4$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-4$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+3u-4$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+3x^2-4$ =nach Substitution $u^2+3u-4$ = $\left(u-1\right)·\left(u+4\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+4\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+4\right)$ = $x^4+3x^2-4$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30-30e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

2. Erster t-Wert bei y = 22

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=22 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 22 und lösen nach t auf:

   $30-30e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $22$

   $-30e^{-\mathrm{0,4}t}+30$	=	$22$	| $-30$
   $-30e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-8$	|:$-30$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{4}{15}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{4}{15}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{4}{15}\right)$	≈ 3.3044

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 22 annimmt, ist also nach 3.3 min.