Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·{\left(x+1\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da sowohl für x → -∞ wie auch für x → +∞ : f(x) → +∞ gilt, muss unser gesuchter Term einen geraden Grad haben.
Unser bisheriger Term $x{\left(x+1\right)}^2$ = $x^3+2x^2+x$ hat aber einen ungeraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen geraden Grad bekommt: $x{\left(x+1\right)}^2·x$ = $x^4+2x^3+x^2$.

Unser Term $x{\left(x+1\right)}^2·x$ = $x^4+2x^3+x^2$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -1 addiert wird, hat der Graph von $e^x-1$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-1$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-1$ gegen 0 -1, also gegen -1.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+5x^2-6$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-6$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+5u-6$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+5x^2-6$ =nach Substitution $u^2+5u-6$ = $\left(u-1\right)·\left(u+6\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+6\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+6\right)$ = $x^4+5x^2-6$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $40-37e^{-\mathrm{0,3}\cdot 4}$ = $-37e^{-\mathrm{1,2}}+40$ ≈ 28.9

   
   
2. Erster t-Wert bei y = 37

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=37 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 37 und lösen nach t auf:

   $40-37e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $37$

   $-37e^{-\mathrm{0,3}t}+40$	=	$37$	| $-40$
   $-37e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-3$	|:$-37$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{3}{37}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{3}{37}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{3}{37}\right)$	≈ 8.3744

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 37 annimmt, ist also nach 8.37 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 2 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40-37e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40-37e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[40x+\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $40\cdot 3+\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(40\cdot 0+\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $120+\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0+\frac{370}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+120-\left(0+\frac{370}{3}\right)$

   = $\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+120-\left(0+\frac{370}{3}\right)$

   = $\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+120-\frac{370}{3}$

   = $\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\frac{10}{3}$

   
   ≈ 46,81

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 2 + 46.81 = 48.81

   48.81 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.