Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(x+1\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0+1\right)$ = $-1$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0-1\right)·\left(0+1\right)$ = $2$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt für x → ∞ auch $2e^x$ gegen ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $2e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^7+x^5-2x^3$	=	0
$x^3\left(x^4+x^2-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+u-2$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+x^2-2$ =nach Substitution $u^2+u-2$ = $\left(u-1\right)·\left(u+2\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+2\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^3·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+2\right)$ = $x^7+x^5-2x^3$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30-17e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

2. Erster t-Wert bei y = 26

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=26 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 26 und lösen nach t auf:

   $30-17e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $26$

   $-17e^{-\mathrm{0,6}t}+30$	=	$26$	| $-30$
   $-17e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-4$	|:$-17$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{4}{17}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{4}{17}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{4}{17}\right)$	≈ 2.4115

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 26 annimmt, ist also nach 2.41 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 2 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-17e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-17e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[30x+\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3+\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(30\cdot 0+\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $90+\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}-\left(0+\frac{85}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+90-\left(0+\frac{85}{3}\right)$

   = $\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+90-\left(0+\frac{85}{3}\right)$

   = $\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+90-\frac{85}{3}$

   = $\frac{85}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+\frac{185}{3}$

   
   ≈ 66,35

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 2 + 66.35 = 68.35

   68.35 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.