Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-17x^2+16$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $16$

u₂: $x^2$ = $1$

L={ $-4$; $-1$; $1$; $4$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·\left(x-4\right)·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ = $x^4-17x^2+16$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $20-17e^{-\mathrm{0,6}\cdot 4}$ = $-17e^{-\mathrm{2,4}}+20$ ≈ 18.5

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20-17e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 9

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=9 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 9 und lösen nach t auf:

   $20-17e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $9$

   $-17e^{-\mathrm{0,6}t}+20$	=	$9$	| $-20$
   $-17e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-11$	|:$-17$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{11}{17}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{11}{17}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{11}{17}\right)$	≈ 0.7255

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 9 annimmt, ist also nach 0.73 min.