Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^5-13x^3+36x$	=	0
$x\left(x^4-13x^2+36\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; $-2$; 0; $2$; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $x^5-13x^3+36x$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $35-23e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $35+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $35$.

2. Erster t-Wert bei y = 31

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=31 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 31 und lösen nach t auf:

   $35-23e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $31$

   $-23e^{-\mathrm{0,3}t}+35$	=	$31$	| $-35$
   $-23e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-4$	|:$-23$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{4}{23}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{4}{23}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{4}{23}\right)$	≈ 5.8307

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 31 annimmt, ist also nach 5.83 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 2 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(35-23e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(35-23e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[35x+\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $35\cdot 3+\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(35\cdot 0+\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $105+\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0+\frac{230}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+105-\left(0+\frac{230}{3}\right)$

   = $\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+105-\left(0+\frac{230}{3}\right)$

   = $\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+105-\frac{230}{3}$

   = $\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{85}{3}$

   
   ≈ 59,504

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 2 + 59.504 = 61.504

   61.5 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.