Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $x·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-x·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^4+30x^3+75x^2$	=	0
$3x^2\left(x^2+10x+25\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-5$; 0}

$-5$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x^2·{\left(x+5\right)}^2$ = $3x^4+30x^3+75x^2$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $30-29e^{-\mathrm{0,5}\cdot 2}$ = $-29e^{-1}+30$ ≈ 19.3

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30-29e^{-\mathrm{0,5}x}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-29e^{-\mathrm{0,5}x}\right)dx$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-29e^{-\mathrm{0,5}x}\right)dx$$

   = ${\left[30x+58e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3+58e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(30\cdot 0+58e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $90+58e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0+58e^0\right)$

   = $58e^{-\mathrm{1,5}}+90-\left(0+58\right)$

   = $58e^{-\mathrm{1,5}}+90-58$

   = $58e^{-\mathrm{1,5}}+32$

   
   ≈ 44,942

   44.94 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.