Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+3x^2-4$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-4$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+3u-4$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+3x^2-4$ =nach Substitution $u^2+3u-4$ = $\left(u-1\right)·\left(u+4\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+4\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+4\right)$ = $x^4+3x^2-4$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $25-17e^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}$ = $-17e^{-\mathrm{2,1}}+25$ ≈ 22.9

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25-17e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

3. Erster t-Wert bei y = 14

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=14 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 14 und lösen nach t auf:

   $25-17e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $14$

   $-17e^{-\mathrm{0,7}t}+25$	=	$14$	| $-25$
   $-17e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$-11$	|:$-17$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{11}{17}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{11}{17}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{11}{17}\right)$	≈ 0.6219

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 14 annimmt, ist also nach 0.62 Jahre.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25-17e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25-17e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x+\frac{170}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3+\frac{170}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}-\left(25\cdot 0+\frac{170}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 0}\right)$

   = $75+\frac{170}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}-\left(0+\frac{170}{7}{e}^0\right)$

   = $\frac{170}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+75-\left(0+\frac{170}{7}\right)$

   = $\frac{170}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+75-\left(0+\frac{170}{7}\right)$

   = $\frac{170}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+75-\frac{170}{7}$

   = $\frac{170}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+\frac{355}{7}$

   
   ≈ 53,688

   53.69 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.