Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt für x → ∞ auch $3e^x$ gegen ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $3e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^6-12x^5+16x^4$	=	0
$2x^4\left(x^2-6x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$; $4$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^4·\left(x-4\right)·\left(x-2\right)$ = $2x^6-12x^5+16x^4$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25+14e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

2. Erster t-Wert bei y = 28

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=28 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 28 und lösen nach t auf:

   $25+14e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $28$

   $14e^{-\mathrm{0,7}t}+25$	=	$28$	| $-25$
   $14e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$3$	|:$14$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{3}{14}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{3}{14}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{3}{14}\right)$	≈ 2.2006

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 28 annimmt, ist also nach 2.2 Tage.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+14e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+14e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x-20e^{-\mathrm{0,7}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3-20e^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}-\left(25\cdot 0-20e^{-\mathrm{0,7}\cdot 0}\right)$

   = $75-20e^{-\mathrm{2,1}}-\left(0-20e^0\right)$

   = $-20e^{-\mathrm{2,1}}+75-\left(0-20\right)$

   = $-20e^{-\mathrm{2,1}}+75+20$

   = $-20e^{-\mathrm{2,1}}+95$

   
   ≈ 92,551

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 92.551 = 92.551

   92.55 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.