Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $x·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $x·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-3}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 3 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-3}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-3}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+4x^3+4x^2$	=	0
$x^2\left(x^2+4x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0}

$-2$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^2·{\left(x+2\right)}^2$ = $x^4+4x^3+4x^2$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+16e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

2. Erster t-Wert bei y = 24

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=24 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 24 und lösen nach t auf:

   $20+16e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $24$

   $16e^{-\mathrm{0,7}t}+20$	=	$24$	| $-20$
   $16e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$4$	|:$16$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{1}{4}\right)$	≈ 1.9804

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 24 annimmt, ist also nach 1.98 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 5 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+16e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+16e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}-\left(20\cdot 0-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 0}\right)$

   = $60-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}-\left(0-\frac{160}{7}{e}^0\right)$

   = $-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60-\left(0-\frac{160}{7}\right)$

   = $-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60-\left(0-\frac{160}{7}\right)$

   = $-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60+\frac{160}{7}$

   = $-\frac{160}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+\frac{580}{7}$

   
   ≈ 80,058

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 5 + 80.058 = 85.058

   85.06 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.