Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(0|0) und N2(1|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x +0 ) · ( x -1 ) .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Unser Term x ( x -1 ) = x 2 - x erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

  • Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Für x → ∞ strebt e x gegen ∞ .
  • Für x → - ∞ strebt e x gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 +3x -60 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

3 x 2 +3x -60 = 0 |:3

x 2 + x -20 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -20 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +80 2

x1,2 = -1 ± 81 2

x1 = -1 + 81 2 = -1 +9 2 = 8 2 = 4

x2 = -1 - 81 2 = -1 -9 2 = -10 2 = -5

L={ -5 ; 4 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 3 ( x -4 ) · ( x +5 ) = 3 x 2 +3x -60

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 30 -28 e -0,6t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 3 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 5 Jahren?
  2. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  3. Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?

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  1. y-Wert bei t = 5

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = 30 -28 e -0,65 = -28 e -3 +30 ≈ 28.6


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 30 -28 e -0,6x 30 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 30 .

  3. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral 0 3 ( 30 -28 e -0,6x ) x berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 30 -28 e -0,6x ) x

    = [ 30x + 140 3 e -0,6x ] 0 3

    = 303 + 140 3 e -0,63 - ( 300 + 140 3 e -0,60 )

    = 90 + 140 3 e -1,8 - (0 + 140 3 e 0 )

    = 140 3 e -1,8 +90 - (0 + 140 3 )

    = 140 3 e -1,8 +90 - (0 + 140 3 )

    = 140 3 e -1,8 +90 - 140 3

    = 140 3 e -1,8 + 130 3


    ≈ 51,047

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 3 + 51.047 = 54.047

    54.05 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.