Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-2|0) und N2(-4|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-8)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x +2 ) · ( x +4 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-8) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 +2 ) · ( 0 +4 ) = 8

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten -1 multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = - ( 0 +2 ) · ( 0 +4 ) = -8

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= - ( x +2 ) ( x +4 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +3 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +3 zu jedem Funktionswert von e x noch 3 addiert wird, hat der Graph von e x +3 die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x +3 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Für x → -∞ strebt e x +3 gegen 0 +3, also gegen 3.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 3 -8 x 2 +15x und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 3 -8 x 2 +15x = 0
x ( x 2 -8x +15 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -8x +15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 15 21

x2,3 = +8 ± 64 -60 2

x2,3 = +8 ± 4 2

x2 = 8 + 4 2 = 8 +2 2 = 10 2 = 5

x3 = 8 - 4 2 = 8 -2 2 = 6 2 = 3

L={0; 3 ; 5 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= x · ( x -5 ) · ( x -3 ) = x 3 -8 x 2 +15x

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 15 -10 e -0,5t beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

  1. Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 3 heruntergeladen?.
  2. Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
  3. Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 11 (Tausend)?

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  1. y-Wert bei t = 3

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = 15 -10 e -0,53 = -10 e -1,5 +15 ≈ 12.8


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 15 -10 e -0,5t 15 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 15 .

  3. Erster t-Wert bei y = 11

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=11 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 11 und lösen nach t auf:

    15 -10 e -0,5t = 11
    -10 e -0,5t +15 = 11 | -15
    -10 e -0,5t = -4 |:-10
    e -0,5t = 2 5 |ln(⋅)
    -0,5t = ln( 2 5 ) |:-0,5
    t = - 1 0.5 ln( 2 5 ) ≈ 1.8326

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 11 annimmt, ist also nach 1.83 Tage.