Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N₁(1|0) und N₂(0|0)
Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $(x - 1) \cdot (x + 0)$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $(x - 1) x$ = $x^{2} - x$ für x → -∞ gegen +∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^{x}$ ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
Während $e^{x}$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
Wie $e^{x}$ strebt für x → -∞ auch $- 2 e^{x}$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - 10 x^{2} + 9$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x - 3) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ = $x^{4} - 10 x^{2} + 9$

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $30 t^{2} \cdot e^{- t}$ beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

Bestimme die maximale tägliche Downloadzahl.
Wann nimmt die tägliche Downloadzahl am stärksten ab?
Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?

Lösung einblenden

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $2$ |16.24) einblenden

$f(t) =$ $30 t^{2} \cdot e^{- t}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $30 \cdot 2 t \cdot e^{- t} + 30 t^{2} \cdot e^{- t} \cdot (- 1)$

= $e^{- t} \cdot (- 30 t^{2} + 60 t)$

$f''(t) =$ $(- 60 t + 60) \cdot e^{- t} + (- 30 t^{2} + 60 t) \cdot e^{- t} \cdot (- 1)$

= $e^{- t} \cdot (- 60 t + 60 + (30 t^{2} - 60 t))$

= $(30 t^{2} - 120 t + 60) e^{- t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 30 t^{2} + 60 t) \cdot e^{- t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 30 t^{2} + 60 t$	=	0
$30 t (- t + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$- t + 2$	=	0	\| $- 2$
$- t$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
t₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen 0, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

1.: t= $0$

f''( $0$ ) = $e^{- 0} \cdot (- 60 \cdot 0 + 60 + (30 \cdot 0^{2} - 60 \cdot 0))$ = $e^{0} \cdot (0 + 60 + (30 \cdot 0 + 0))$ = $60 e^{0}$ >0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $30 \cdot 0^{2} \cdot e^{- 0}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

2.: t= $2$

f''( $2$ ) = $e^{- 2} \cdot (- 60 \cdot 2 + 60 + (30 \cdot 2^{2} - 60 \cdot 2))$ = $e^{- 2} \cdot (- 120 + 60 + (30 \cdot 4 - 120))$ = $- 60 e^{- 2}$ <0

Das heißt bei t = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $30 \cdot 2^{2} \cdot e^{- 2}$ = $120 e^{- 2}$ ≈ 16.24
Man erhält so den Hochpunkt H:( $2$ | $120 e^{- 2}$ )

≈ H:(2|16.24)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $30 \cdot 0^{2} \cdot e^{- 0}$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → 0.

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

16.24 ist also der größte Wert der Funktion.

t-Wert bei der stärksten Abnahme

Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.

Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

f'(t)= $30 \cdot 2 x \cdot e^{- x} + 30 x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $30 \cdot e^{- x} (- x^{2} + 2 x)$

Wir berechnen also die Extremstellen von f':

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung ( $3.4142$ |-4.77) einblenden

$f'(t) =$ $30 \cdot e^{- t} (- t^{2} + 2 t)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(t) =$ $30 e^{- t} \cdot (- 1) \cdot (- t^{2} + 2 t) + 30 \cdot e^{- t} \cdot (- 2 t + 2)$

= $e^{- t} \cdot (- 60 t + 60 + (30 t^{2} - 60 t))$

= $(30 t^{2} - 120 t + 60) e^{- t}$

$f'''(t) =$ $(60 t - 120 + 0) \cdot e^{- t} + (30 t^{2} - 120 t + 60) \cdot e^{- t} \cdot (- 1)$

= $e^{- t} \cdot (- 30 t^{2} + 180 t - 180)$

= $(- 30 t^{2} + 180 t - 180) e^{- t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

(30 t^{2} - 120 t + 60) \cdot e^{- t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

30 t^{2} - 120 t + 60

= 0 |:30

$t^{2} - 4 t + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $+ 4$

Verhalten für t gegen unendlichGesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞. Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30 t^{2} \cdot e^{- t}$ → $30 \infty \cdot 0$
Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 und setzt sich deswegen durch

Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 0.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

1.: t=0

2.: t=2

Randwertuntersuchung

1.: t= $0$

2.: t= $2$