Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-3}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 3 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-3}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-3}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+6x^2-7$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-7$

L={ $-1$; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+6u-7$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+6x^2-7$ =nach Substitution $u^2+6u-7$ = $\left(u-1\right)·\left(u+7\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+7\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+7\right)$ = $x^4+6x^2-7$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $20+12e^{-\mathrm{0,5}\cdot 4}$ = $12e^{-2}+20$ ≈ 21.6

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+12e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 23

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=23 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 23 und lösen nach t auf:

   $20+12e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $23$

   $12e^{-\mathrm{0,5}t}+20$	=	$23$	| $-20$
   $12e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$3$	|:$12$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{1}{4}\right)$	≈ 2.7726

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 23 annimmt, ist also nach 2.77 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 2 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+12e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+12e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x-24e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3-24e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(20\cdot 0-24e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $60-24e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0-24e^0\right)$

   = $-24e^{-\mathrm{1,5}}+60-\left(0-24\right)$

   = $-24e^{-\mathrm{1,5}}+60+24$

   = $-24e^{-\mathrm{1,5}}+84$

   
   ≈ 78,645

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 2 + 78.645 = 80.645

   80.64 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.