Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
  • einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-4)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x -2 .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit f(x)= ( x -2 ) · ( x -1 ) 2

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 -2 ) · ( 0 -1 ) 2 = -2

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten 2 multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = 2 · ( 0 -2 ) · ( 0 -1 ) 2 = -4

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= 2 ( x -2 ) ( x -1 ) 2 .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -2 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -2 einfach das x von e x durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 2 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x -2 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Wie e x strebt auch e x -2 für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 2 x 6 +6 x 4 -56 x 2 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

2 x 6 +6 x 4 -56 x 2 = 0
2 x 2 ( x 4 +3 x 2 -28 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 4 +3 x 2 -28 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u -28 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -28 ) 21

u1,2 = -3 ± 9 +112 2

u1,2 = -3 ± 121 2

u1 = -3 + 121 2 = -3 +11 2 = 8 2 = 4

u2 = -3 - 121 2 = -3 -11 2 = -14 2 = -7

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 0; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term u 2 +3u -28 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 +3 x 2 -28 =nach Substitution u 2 +3u -28 = ( u -4 ) · ( u +7 ) =nach Re-Substitution ( -4 ) · ( +7 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 2 x 2 · ( x +2 ) · ( x -2 ) · ( x 2 +7 ) = 2 x 6 +6 x 4 -56 x 2

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 45 -23 e -0,5t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 3 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 5 Jahren?
  2. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 31 dm pro Jahr?
  3. Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?

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  1. y-Wert bei t = 5

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = 45 -23 e -0,55 = -23 e -2,5 +45 ≈ 43.1


  2. Erster t-Wert bei y = 31

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=31 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 31 und lösen nach t auf:

    45 -23 e -0,5t = 31
    -23 e -0,5t +45 = 31 | -45
    -23 e -0,5t = -14 |:-23
    e -0,5t = 14 23 |ln(⋅)
    -0,5t = ln( 14 23 ) |:-0,5
    t = - 1 0.5 ln( 14 23 ) ≈ 0.9929

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 31 annimmt, ist also nach 0.99 Jahre.

  3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

    Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral 0 3 ( 45 -23 e -0,5t ) t berechnet werden.

    0 3 ( 45 -23 e -0,5t ) t

    = [ 45x +46 e -0,5x ] 0 3

    = 453 +46 e -0,53 - ( 450 +46 e -0,50 )

    = 135 +46 e -1,5 - (0 +46 e 0 )

    = 46 e -1,5 +135 - (0 +46 )

    = 46 e -1,5 +135 -46

    = 46 e -1,5 +89


    ≈ 99,264

    99.26 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.