Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2
- Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da unser Term = für x → -∞ gegen -∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 2 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
+ 2 , also gegen 2.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x1 | = |
|
=
|
| x2 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit
- Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 5 heruntergeladen?.
- Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
- Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 22 (Tausend)?
- Wie viele Tausend Downloads wurden insgesamt nach den ersten 3 Tagen heruntergeladen?
- y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) =
=20 + 16 e - 0,7 ⋅ 5 ≈ 20.516 e - 3,5 + 20
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→20 + 16 e - 0,7 t 20 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.20 - Erster t-Wert bei y = 22
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=22 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 22 und lösen nach t auf:
20 + 16 e - 0,7 t = 22 16 e - 0,7 t + 20 = 22 | - 20 16 e - 0,7 t = 2 |: 16 e - 0,7 t = 1 8 |ln(⋅) - 0,7 t = ln ( 1 8 ) |: - 0,7 t = - 1 0.7 ln ( 1 8 ) ≈ 2.9706 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 22 annimmt, ist also nach 2.97 Tage.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 20 + 16 e - 0,7 t ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 20 + 16 e - 0,7 t ) ⅆ t =
[ 20 x - 160 7 e - 0,7 x ] 0 3 = 20 ⋅ 3 - 160 7 e - 0,7 ⋅ 3 - ( 20 ⋅ 0 - 160 7 e - 0,7 ⋅ 0 ) =
60 - 160 7 e - 2,1 - ( 0 - 160 7 e 0 ) =
- 160 7 e - 2,1 + 60 - ( 0 - 160 7 ) =
- 160 7 e - 2,1 + 60 - ( 0 - 160 7 ) =
- 160 7 e - 2,1 + 60 + 160 7 =
- 160 7 e - 2,1 + 580 7
≈ 80,058Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 0 + 80.058 = 80.05880.06 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
