Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+2}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -2 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+2}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+2}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-13x^2+36$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $9$

u₂: $x^2$ = $4$

L={ $-3$; $-2$; $2$; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $x^4-13x^2+36$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+20e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

2. Erster t-Wert bei y = 21

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=21 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 21 und lösen nach t auf:

   $20+20e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $21$

   $20e^{-\mathrm{0,3}t}+20$	=	$21$	| $-20$
   $20e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$1$	|:$20$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{1}{20}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{20}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{1}{20}\right)$	≈ 9.9858

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 21 annimmt, ist also nach 9.99 Tage.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+20e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+20e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x-\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3-\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(20\cdot 0-\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $60-\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0-\frac{200}{3}{e}^0\right)$

   = $-\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60-\left(0-\frac{200}{3}\right)$

   = $-\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60-\left(0-\frac{200}{3}\right)$

   = $-\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60+\frac{200}{3}$

   = $-\frac{200}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{380}{3}$

   
   ≈ 99,562

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 99.562 = 99.562

   99.56 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.