Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·{\left(x+1\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da sowohl für x → -∞ wie auch für x → +∞ : f(x) → +∞ gilt, muss unser gesuchter Term einen geraden Grad haben.
Unser bisheriger Term $x{\left(x+1\right)}^2$ = $x^3+2x^2+x$ hat aber einen ungeraden Grad. Deswegen könnten wir ihn beispielsweise noch mit x multiplizieren, so dass er dann einen geraden Grad bekommt: $x{\left(x+1\right)}^2·x$ = $x^4+2x^3+x^2$.

Unser Term $x{\left(x+1\right)}^2·x$ = $x^4+2x^3+x^2$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^5+x^3-20x$	=	0
$x\left(x^4+x^2-20\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+u-20$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+x^2-20$ =nach Substitution $u^2+u-20$ = $\left(u-4\right)·\left(u+5\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+5\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+5\right)$ = $x^5+x^3-20x$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $40-21e^{-\mathrm{0,4}\cdot 4}$ = $-21e^{-\mathrm{1,6}}+40$ ≈ 35.8

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $40-21e^{-\mathrm{0,4}x}$ → $40+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $40$.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40-21e^{-\mathrm{0,4}x}\right)dx$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40-21e^{-\mathrm{0,4}x}\right)dx$$

   = ${\left[40x+\frac{105}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $40\cdot 3+\frac{105}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(40\cdot 0+\frac{105}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $120+\frac{105}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}-\left(0+\frac{105}{2}{e}^0\right)$

   = $\frac{105}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+120-\left(0+\frac{105}{2}\right)$

   = $\frac{105}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+120-\left(0+\mathrm{52,5}\right)$

   = $\frac{105}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+120-\mathrm{52,5}$

   = $\frac{105}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+\mathrm{67,5}$

   
   ≈ 83,313

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 1 + 83.313 = 84.313

   84.31 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.