Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(1|0) und N2(3|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-6)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x -1 ) · ( x -3 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-6) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 -1 ) · ( 0 -3 ) = 3

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten -2 multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = -2 · ( 0 -1 ) · ( 0 -3 ) = -6

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= -2 ( x -1 ) ( x -3 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -3 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -3 zu jedem Funktionswert von e x noch -3 addiert wird, hat der Graph von e x -3 die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x -3 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Für x → -∞ strebt e x -3 gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= - x 8 -6 x 6 +7 x 4 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

- x 8 -6 x 6 +7 x 4 = 0
- x 4 ( x 4 +6 x 2 -7 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 4 = 0 | 4
x1 = 0

2. Fall:

x 4 +6 x 2 -7 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +6u -7 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · ( -7 ) 21

u1,2 = -6 ± 36 +28 2

u1,2 = -6 ± 64 2

u1 = -6 + 64 2 = -6 +8 2 = 2 2 = 1

u2 = -6 - 64 2 = -6 -8 2 = -14 2 = -7

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 0; 1 }

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -1 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term u 2 +6u -7 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 +6 x 2 -7 =nach Substitution u 2 +6u -7 = ( u -1 ) · ( u +7 ) =nach Re-Substitution ( -1 ) · ( +7 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= - x 4 · ( x +1 ) · ( x -1 ) · ( x 2 +7 ) = - x 8 -6 x 6 +7 x 4

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 25 +23 e -0,3t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 1 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 4 Jahren?
  2. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  3. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 38 dm pro Jahr?
  4. Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?

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  1. y-Wert bei t = 4

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = 25 +23 e -0,34 = 23 e -1,2 +25 ≈ 31.9


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 25 +23 e -0,3t 25 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 25 .

  3. Erster t-Wert bei y = 38

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=38 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 38 und lösen nach t auf:

    25 +23 e -0,3t = 38
    23 e -0,3t +25 = 38 | -25
    23 e -0,3t = 13 |:23
    e -0,3t = 13 23 |ln(⋅)
    -0,3t = ln( 13 23 ) |:-0,3
    t = - 1 0.3 ln( 13 23 ) ≈ 1.9018

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 38 annimmt, ist also nach 1.9 Jahre.

  4. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral 0 3 ( 25 +23 e -0,3t ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 25 +23 e -0,3t ) t

    = [ 25x - 230 3 e -0,3x ] 0 3

    = 253 - 230 3 e -0,33 - ( 250 - 230 3 e -0,30 )

    = 75 - 230 3 e -0,9 - (0 - 230 3 e 0 )

    = - 230 3 e -0,9 +75 - (0 - 230 3 )

    = - 230 3 e -0,9 +75 - (0 - 230 3 )

    = - 230 3 e -0,9 +75 + 230 3

    = - 230 3 e -0,9 + 455 3


    ≈ 120,496

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 1 + 120.496 = 121.496

    121.5 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.