Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+1\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, hat der Graph von $e^x+2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+2$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+2$ gegen 0 +2, also gegen 2.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^7-13x^5+36x^3$	=	0
$x^3\left(x^4-13x^2+36\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; $-2$; 0; $2$; $3$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^3·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $x^7-13x^5+36x^3$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $45-28e^{-\mathrm{0,6}\cdot 5}$ = $-28e^{-3}+45$ ≈ 43.6

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $45-28e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $45+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $45$.

3. Erster t-Wert bei y = 29

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=29 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 29 und lösen nach t auf:

   $45-28e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $29$

   $-28e^{-\mathrm{0,6}t}+45$	=	$29$	| $-45$
   $-28e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-16$	|:$-28$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{4}{7}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{4}{7}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{4}{7}\right)$	≈ 0.9327

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 29 annimmt, ist also nach 0.93 min.