Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|1)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|1) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei
einfach das x von
durch ein 'x
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Wie strebt auch für x → -∞ gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit
- Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 5 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Bestimme die größt mögliche Änderungsrate des Wasservolumens.
- Wie lange liegt die Änderungsrate des Wasservolumens bei mindestens
m³/min?867 100 - Wie viel m³ Wasser sind 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn im Wassertank?
- y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) =
=- 1 100 ⋅ 5 4 + 18 25 ⋅ 5 2 + 3 ≈ 14.859 4
- y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|15.96) einblenden6 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=- 1 100 ⋅ 0 4 + 18 25 ⋅ 0 2 + 3 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(12) =3 =- 1 100 ⋅ 12 4 + 18 25 ⋅ 12 2 + 3 .- 2517 25 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
15.96 ist also der größte Wert der Funktion.
- Abstand der beiden Schnittstellen mit
867 100 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.867 100 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:867 100 - 1 100 t 4 + 18 25 t 2 + 3 = 867 100 | - 867 100 - 1 100 t 4 + 18 25 t 2 - 567 100 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
t 2 Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 1 100 u 2 + 18 25 u - 567 100 = 0 |⋅ 100 100 ( - 1 100 u 2 + 18 25 u - 567 100 ) = 0 = 0- u 2 + 72 u - 567 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
- 72 - Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 40 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( - 1 100 t 4 + 18 25 t 2 + 3 ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( - 1 100 t 4 + 18 25 t 2 + 3 ) ⅆ t =
[ - 1 500 x 5 + 6 25 x 3 + 3 x ] 0 3 = - 1 500 ⋅ 3 5 + 6 25 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 - ( - 1 500 ⋅ 0 5 + 6 25 ⋅ 0 3 + 3 ⋅ 0 ) =
- 1 500 ⋅ 243 + 6 25 ⋅ 27 + 9 - ( - 1 500 ⋅ 0 + 6 25 ⋅ 0 + 0 ) =
- 243 500 + 162 25 + 9 - ( 0 + 0 + 0 ) =
- 243 500 + 3240 500 + 4500 500 + 0 =
7497 500
= 14,994Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 40 + 14.994 = 54.99454.99 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
- Bestand zur Zeit 3
