Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(2|0) und N2(1|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|4)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x -2 ) · ( x -1 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 -2 ) · ( 0 -1 ) = 2

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten 2 multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = 2 · ( 0 -2 ) · ( 0 -1 ) = 4

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= 2 ( x -2 ) ( x -1 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

  • Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Für x → ∞ strebt e x gegen ∞ .
  • Für x → - ∞ strebt e x gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 3 -10 x 2 +25x und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 3 -10 x 2 +25x = 0
x ( x 2 -10x +25 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -10x +25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 25 21

x2,3 = +10 ± 100 -100 2

x2,3 = +10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 10 2 = 5

L={0; 5 }

5 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= x · ( x -5 ) 2 = x 3 -10 x 2 +25x

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für 0 ≤ t ≤ 12 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 1 100 t 4 - 18 25 t 2 +16 beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 5 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die minimale Wachstumsgeschwindigkeit des Baums.
  2. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 1033 100 dm pro Jahr?
  3. Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?

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  1. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der y-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (6 |3.04) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 1 100 0 4 - 18 25 0 2 +16 = 16 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(12) = 1 100 12 4 - 18 25 12 2 +16 = 2992 25 .

    Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = 16 .

    3.04 ist also der kleinste Wert der Funktion.


  2. Erster t-Wert bei y = 1033 100

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= 1033 100 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 1033 100 und lösen nach t auf:

    1 100 t 4 - 18 25 t 2 +16 = 1033 100 | - 1033 100
    1 100 t 4 - 18 25 t 2 + 567 100 = 0

    Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

    Setze u = t 2

    Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

    1 100 u 2 - 18 25 u + 567 100 = 0 |⋅ 100
    100( 1 100 u 2 - 18 25 u + 567 100 ) = 0

    u 2 -72u +567 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    u1,2 = +72

  3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

    Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral 0 3 ( 1 100 t 4 - 18 25 t 2 +16 ) t berechnet werden.

    0 3 ( 1 100 t 4 - 18 25 t 2 +16 ) t

    = [ 1 500 x 5 - 6 25 x 3 +16x ] 0 3

    = 1 500 3 5 - 6 25 3 3 +163 - ( 1 500 0 5 - 6 25 0 3 +160 )

    = 1 500 243 - 6 25 27 +48 - ( 1 500 0 - 6 25 0 +0)

    = 243 500 - 162 25 +48 - (0+0+0)

    = 243 500 - 3240 500 + 24000 500 +0

    = 21003 500


    = 42,006

    42.01 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.