Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2
- Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Es stimmt nun aber das Verhalten für x → ±∞ noch nicht, deswegen müssen wir den Term mit -1 multiplizieren.
Unser Term = erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Und hier wissen wir ja bereits:
- Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Für x → ∞ strebt gegen ∞ .
- Für x → - ∞ strebt gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | | ||
x1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 =
x3 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 1 Dezimeter hoch.
- Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
- Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 10 dm pro Jahr?
- Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
15 - 15 e - 0,7 t 15 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
15 - Erster t-Wert bei y = 10
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=10 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 10 und lösen nach t auf:
15 - 15 e - 0,7 t = 10 - 15 e - 0,7 t + 15 = 10 | - 15 - 15 e - 0,7 t = - 5 |: - 15 e - 0,7 t = 1 3 |ln(⋅) - 0,7 t = ln ( 1 3 ) |: - 0,7 t = - 1 0.7 ln ( 1 3 ) ≈ 1.5694 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 10 annimmt, ist also nach 1.57 Jahre.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral
∫ 0 3 ( 15 - 15 e - 0,7 t ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 15 - 15 e - 0,7 t ) ⅆ t =
[ 15 x + 150 7 e - 0,7 x ] 0 3 = 15 ⋅ 3 + 150 7 e - 0,7 ⋅ 3 - ( 15 ⋅ 0 + 150 7 e - 0,7 ⋅ 0 ) =
45 + 150 7 e - 2,1 - ( 0 + 150 7 e 0 ) =
150 7 e - 2,1 + 45 - ( 0 + 150 7 ) =
150 7 e - 2,1 + 45 - ( 0 + 150 7 ) =
150 7 e - 2,1 + 45 - 150 7 =
150 7 e - 2,1 + 165 7
≈ 26,195Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 1 + 26.195 = 27.19527.2 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.