Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-2|0) und N2(-1|0)
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|4)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt für x → ∞ auch gegen ∞.
- Wie strebt für x → -∞ auch gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 =
x3 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit
- Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
- Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?
- Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?
- Bestimme das maximale Wasservolumen im Tank?
- y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) =
=1 3 ( - 3 3 + 6 ⋅ 3 2 ) 9
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|10.67) einblenden4 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=1 3 ( - 0 3 + 6 ⋅ 0 2 ) 0 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(7) = =1 3 ( - 7 3 + 6 ⋅ 7 2 ) ≈ -16.333.- 49 3 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t =
ist also der größte Wert der Funktion.4
- Erste Nullstelle
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:
1 3 ( - t 3 + 6 t 2 ) = 0 - 1 3 t 3 + 2 t 2 = 0 1 3 t 2 ( - t + 6 ) = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
t 2 = 0 | ⋅ 2 t1 = 0 2. Fall:
- t + 6 = 0 | - 6 - t = - 6 |:( )- 1 t2 = 6 Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit
0 und .6 Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 min.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 1 3 ( - t 3 + 6 t 2 ) ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 1 3 ( - t 3 + 6 t 2 ) ) ⅆ t =
[ 1 3 ( - 1 4 x 4 + 2 x 3 ) ] 0 3 = 1 3 ( - 1 4 ⋅ 3 4 + 2 ⋅ 3 3 ) - 1 3 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 2 ⋅ 0 3 ) =
1 3 ( - 1 4 ⋅ 81 + 2 ⋅ 27 ) - 1 3 ( - 1 4 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ) =
1 3 ( - 81 4 + 54 ) - 1 3 ( 0 + 0 ) =
1 3 ( - 81 4 + 216 4 ) + 0 =
1 3 · 135 4 =
45 4
= 11,2511.25 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei
0 und .6 Da f(5) ≈ 8.3 > 0 und f(7) ≈ -16.3 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 6.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 6 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 6 min lässt sich berechnen durch:
∫ 0 6 ( 1 3 ( - t 3 + 6 t 2 ) ) ⅆ t =
[ 1 3 ( - 1 4 x 4 + 2 x 3 ) ] 0 6 = 1 3 ( - 1 4 ⋅ 6 4 + 2 ⋅ 6 3 ) - 1 3 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 2 ⋅ 0 3 ) =
1 3 ( - 1 4 ⋅ 1296 + 2 ⋅ 216 ) - 1 3 ( - 1 4 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ) =
1 3 ( - 324 + 432 ) - 1 3 ( 0 + 0 ) =
1 3 · 108 + 0 =
36 Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 50 m³, so dass für den maximalen Bestand gilt:
Bmax = 50 m³ + 36 m³ = 86 m³.
