Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, hat der Graph von $e^x+3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+3$ gegen 0 +3, also gegen 3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^6-13x^4+36x^2$	=	0
$x^2\left(x^4-13x^2+36\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; $-2$; 0; $2$; $3$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^2·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $x^6-13x^4+36x^2$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $40-28e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $40+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $40$.

2. Erster t-Wert bei y = 25

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=25 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 25 und lösen nach t auf:

   $40-28e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $25$

   $-28e^{-\mathrm{0,4}t}+40$	=	$25$	| $-40$
   $-28e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-15$	|:$-28$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{15}{28}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{15}{28}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{15}{28}\right)$	≈ 1.5604

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 25 annimmt, ist also nach 1.56 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40-28e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40-28e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$

   = ${\left[40x+70e^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $40\cdot 3+70e^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(40\cdot 0+70e^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $120+70e^{-\mathrm{1,2}}-\left(0+70e^0\right)$

   = $70e^{-\mathrm{1,2}}+120-\left(0+70\right)$

   = $70e^{-\mathrm{1,2}}+120-70$

   = $70e^{-\mathrm{1,2}}+50$

   
   ≈ 71,084

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 4 + 71.084 = 75.084

   75.08 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.