Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^2+12x+10$ = 0 |:2

$x^2+6x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+1\right)·\left(x+5\right)$ = $2x^2+12x+10$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $20+16e^{-\mathrm{0,3}\cdot 4}$ = $16e^{-\mathrm{1,2}}+20$ ≈ 24.8

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+16e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 28

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=28 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 28 und lösen nach t auf:

   $20+16e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $28$

   $16e^{-\mathrm{0,3}t}+20$	=	$28$	| $-20$
   $16e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$8$	|:$16$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{1}{2}\right)$	≈ 2.3105

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 28 annimmt, ist also nach 2.31 Tage.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+16e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+16e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x-\frac{160}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3-\frac{160}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(20\cdot 0-\frac{160}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $60-\frac{160}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0-\frac{160}{3}{e}^0\right)$

   = $-\frac{160}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60-\left(0-\frac{160}{3}\right)$

   = $-\frac{160}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60-\left(0-\frac{160}{3}\right)$

   = $-\frac{160}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60+\frac{160}{3}$

   = $-\frac{160}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{340}{3}$

   
   ≈ 91,65

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 91.65 = 91.65

   91.65 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.