Aufgabenbeispiele von allgemein
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(1|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
- Verhalten für x → ∞: f(x) → 0
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x.
Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu:
. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei einfach das x von durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Wie für x → -∞ strebt für x → ∞ gegen 0.
- Wie für x → ∞ strebt für x → -∞ gegen ∞ .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
= =
x2 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 10 durch die Funktion f mit
- Wie schnell (in m/s) ist der Fahrstuhl nach 5 Sekunden?
- Wann ist die Fahrstuhlgeschwindigkeit am größten?
- Wann beschleunigt der Fahrstuhl am stärksten?
- Wann hat der Fahrstuhl erstmals keine Geschwindigkeit?
- Bestimme die maximale Höhe, die der Fahrstuhl erreicht.
- y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) =
1 6 ( - 5 3 + 9 ⋅ 5 2 ) 50 3
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|18) einblenden6 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
1 6 ( - 0 3 + 9 ⋅ 0 2 ) 0 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(10) =1 6 ( - 10 3 + 9 ⋅ 10 2 ) - 50 3 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t =
ist also der größte Wert der Funktion.6
- t-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
1 6 ( - 3 x 2 + 18 x ) =
Wir berechnen also die Extremstellen von f':1 2 x ( - x + 6 ) Detail-Rechnung für den Hochpunkt der Ableitung (
|4.5) einblenden3 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) =
1 2 · 0 · ( - 0 + 6 ) 0 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(10) =1 2 · 10 · ( - 10 + 6 ) - 20 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.
Bei t =
ist also der größte Wert der Ableitungsfunktion.3 - Erste Nullstelle
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:
1 6 ( - t 3 + 9 t 2 ) = 0 - 1 6 t 3 + 3 2 t 2 = 0 1 6 t 2 ( - t + 9 ) = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
t 2 = 0 | ⋅ 2 t1 = 0 2. Fall:
- t + 9 = 0 | - 9 - t = - 9 |:( )- 1 t2 = 9 Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit
0 und9 Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 s.
- maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei
0 und9 Da f(8) ≈ 10.7 > 0 und f(10) ≈ -16.7 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 9.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 9 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 9 s lässt sich berechnen durch:
∫ 0 9 ( 1 6 ( - t 3 + 9 t 2 ) ) ⅆ t =
[ 1 6 ( - 1 4 x 4 + 3 x 3 ) ] 0 9 = 1 6 ( - 1 4 ⋅ 9 4 + 3 ⋅ 9 3 ) - 1 6 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 3 ⋅ 0 3 ) =
1 6 ( - 1 4 ⋅ 6561 + 3 ⋅ 729 ) - 1 6 ( - 1 4 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 ) =
1 6 ( - 6561 4 + 2 187 ) - 1 6 ( 0 + 0 ) =
1 6 ( - 6561 4 + 8748 4 ) + 0 =
1 6 · 2187 4 =
729 8
= 91,125Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 3 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
Bmax = 3 m + 91.13 m = 94.13 m.