Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x+0\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $\left(x+2\right)x$ = $x^2+2x$ für x → +∞ gegen +∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, hat der Graph von $e^x+3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+3$ gegen 0 +3, also gegen 3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^2-12x+18$ = 0 |:2

$x^2-6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$}

$3$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2{\left(x-3\right)}^2$ = $2x^2-12x+18$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $20e^{-\mathrm{0,8}\cdot 4}-20e^{-\mathrm{1,6}\cdot 4}$ = $20e^{-\mathrm{3,2}}-20e^{-\mathrm{6,4}}$ ≈ 0.8

   
   
2. Erster t-Wert bei y = $\frac{21}{5}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{21}{5}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{21}{5}$ und lösen nach t auf:

   $20e^{-\mathrm{0,8}t}-20e^{-\mathrm{1,6}t}$

   =

   $\frac{21}{5}$

   | $-\frac{21}{5}$

   $20e^{-\mathrm{0,8}t}-20e^{-\mathrm{1,6}t}-\frac{21}{5}$ = 0

   Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

   $20e^{-\mathrm{0,8}t}-20e^{-\mathrm{1,6}t}-\frac{21}{5}$	=	0	|⋅ $e^{\mathrm{1,6}x}$
   $-\frac{21}{5}{e}^{\mathrm{1,6}t}+20e^{\mathrm{0,8}t}-20$	=	0

   Setze u = $e^{\mathrm{0,8}x}$

   Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

   $-\frac{21}{5}{u}^2+20u-20$	=	0	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{21}{5}{u}^2+20u-20\right)$	=	0

   $-21u^2+100u-100$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   u_1,2 =

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20e^{-\mathrm{0,8}t}-20e^{-\mathrm{1,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20e^{-\mathrm{0,8}t}-20e^{-\mathrm{1,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[-25e^{-\mathrm{0,8}x}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{1,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $-25e^{-\mathrm{0,8}\cdot 3}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{1,6}\cdot 3}-\left(-25e^{-\mathrm{0,8}\cdot 0}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{1,6}\cdot 0}\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{2,4}}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{4,8}}-\left(-25e^0+\frac{25}{2}{e}^0\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{2,4}}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{4,8}}-\left(-25+\frac{25}{2}\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{2,4}}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{4,8}}-\left(-25+\mathrm{12,5}\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{2,4}}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{4,8}}-1·\left(-\mathrm{12,5}\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{2,4}}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{4,8}}+\mathrm{12,5}$

   
   ≈ 10,335

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 10.335 = 10.335

   10.33 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.