Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0-3\right)$ = $3$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)\left(x-3\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-3x^2-4$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $4$

u₂: $x^2$ = $-1$

L={ $-2$; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-3u-4$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-3x^2-4$ =nach Substitution $u^2-3u-4$ = $\left(u-4\right)·\left(u+1\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+1\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+1\right)$ = $x^4-3x^2-4$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $15+14e^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}$ = $14e^{-\mathrm{0,9}}+15$ ≈ 20.7

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15+14e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

3. Erster t-Wert bei y = 17

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=17 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 17 und lösen nach t auf:

   $15+14e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $17$

   $14e^{-\mathrm{0,3}t}+15$	=	$17$	| $-15$
   $14e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$2$	|:$14$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{1}{7}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{7}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{1}{7}\right)$	≈ 6.4864

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 17 annimmt, ist also nach 6.49 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+14e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+14e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[15x-\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $15\cdot 3-\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(15\cdot 0-\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $45-\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0-\frac{140}{3}{e}^0\right)$

   = $-\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+45-\left(0-\frac{140}{3}\right)$

   = $-\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+45-\left(0-\frac{140}{3}\right)$

   = $-\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+45+\frac{140}{3}$

   = $-\frac{140}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{275}{3}$

   
   ≈ 72,693

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 4 + 72.693 = 76.693

   76.69 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.