Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-3}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 3 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-3}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-3}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^2+20x+50$ = 0 |:2

$x^2+10x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·25}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$}

$-5$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2{\left(x+5\right)}^2$ = $2x^2+20x+50$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $20-14e^{-\mathrm{0,4}\cdot 4}$ = $-14e^{-\mathrm{1,6}}+20$ ≈ 17.2

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20-14e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 14

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=14 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 14 und lösen nach t auf:

   $20-14e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $14$

   $-14e^{-\mathrm{0,4}t}+20$	=	$14$	| $-20$
   $-14e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-6$	|:$-14$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{3}{7}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{3}{7}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{3}{7}\right)$	≈ 2.1182

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 14 annimmt, ist also nach 2.12 min.