Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·{\left(x-1\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·{\left(0-1\right)}^2$ = $-2$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0-2\right)·{\left(0-1\right)}^2$ = $4$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right){\left(x-1\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-1}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^2-9x+6$ = 0 |:3

$x^2-3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-2\right)·\left(x-1\right)$ = $3x^2-9x+6$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $40e^{-\mathrm{0,4}\cdot 2}-40e^{-\mathrm{0,8}\cdot 2}$ = $40e^{-\mathrm{0,8}}-40e^{-\mathrm{1,6}}$ ≈ 9.9

   
   
2. Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{39}{40}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{39}{40}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{39}{40}$ und lösen nach t auf:

   $40e^{-\mathrm{0,4}t}-40e^{-\mathrm{0,8}t}$

   =

   $\frac{39}{40}$

   | $-\frac{39}{40}$

   $40e^{-\mathrm{0,4}t}-40e^{-\mathrm{0,8}t}-\frac{39}{40}$ = 0

   Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

   $40e^{-\mathrm{0,4}t}-40e^{-\mathrm{0,8}t}-\frac{39}{40}$	=	0	|⋅ $e^{\mathrm{0,8}x}$
   $-\frac{39}{40}{e}^{\mathrm{0,8}t}+40e^{\mathrm{0,4}t}-40$	=	0

   Setze u = $e^{\mathrm{0,4}x}$

   Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

   $-\frac{39}{40}{u}^2+40u-40$	=	0	|⋅ 40
   $40\left(-\frac{39}{40}{u}^2+40u-40\right)$	=	0

   $-39u^2+1600u-1600$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   u_1,2 =

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40e^{-\mathrm{0,4}t}-40e^{-\mathrm{0,8}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40e^{-\mathrm{0,4}t}-40e^{-\mathrm{0,8}t}\right)dt$$

   = ${\left[-100e^{-\mathrm{0,4}x}+50e^{-\mathrm{0,8}x}\right]}_0^3$

   $=$ $-100e^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}+50e^{-\mathrm{0,8}\cdot 3}-\left(-100e^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}+50e^{-\mathrm{0,8}\cdot 0}\right)$

   = $-100e^{-\mathrm{1,2}}+50e^{-\mathrm{2,4}}-\left(-100e^0+50e^0\right)$

   = $-100e^{-\mathrm{1,2}}+50e^{-\mathrm{2,4}}-\left(-100+50\right)$

   = $-100e^{-\mathrm{1,2}}+50e^{-\mathrm{2,4}}-1·\left(-50\right)$

   = $-100e^{-\mathrm{1,2}}+50e^{-\mathrm{2,4}}+50$

   
   ≈ 24,416

   24.42 m ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.