Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-1|0) und N2(1|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-1)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x +1 ) · ( x -1 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-1) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 +1 ) · ( 0 -1 ) = -1

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= ( x +1 ) ( x -1 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -3 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -3 zu jedem Funktionswert von e x noch -3 addiert wird, hat der Graph von e x -3 die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x -3 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Für x → -∞ strebt e x -3 gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 -12 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

3 x 2 -12 = 0 | +12
3 x 2 = 12 |:3
x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 3 ( x +2 ) · ( x -2 ) = 3 x 2 -12

Anwendungen

Beispiel:

Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 15 -11 e -0,3t beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.

  1. Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
  2. Wann hat das Getränk die Temperatur von 11 erreicht?

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  1. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 15 -11 e -0,3t 15 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 15 .

  2. Erster t-Wert bei y = 11

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=11 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 11 und lösen nach t auf:

    15 -11 e -0,3t = 11
    -11 e -0,3t +15 = 11 | -15
    -11 e -0,3t = -4 |:-11
    e -0,3t = 4 11 |ln(⋅)
    -0,3t = ln( 4 11 ) |:-0,3
    t = - 1 0.3 ln( 4 11 ) ≈ 3.372

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 11 annimmt, ist also nach 3.37 min.