Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+1\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-2e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^6-5x^5+4x^4$	=	0
$x^4\left(x^2-5x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$; $4$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^4·\left(x-4\right)·\left(x-1\right)$ = $x^6-5x^5+4x^4$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $45-39e^{-\mathrm{0,7}\cdot 4}$ = $-39e^{-\mathrm{2,8}}+45$ ≈ 42.6

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $45-39e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $45+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $45$.

3. Erster t-Wert bei y = 26

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=26 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 26 und lösen nach t auf:

   $45-39e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $26$

   $-39e^{-\mathrm{0,7}t}+45$	=	$26$	| $-45$
   $-39e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$-19$	|:$-39$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{19}{39}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{19}{39}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{19}{39}\right)$	≈ 1.0273

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 26 annimmt, ist also nach 1.03 min.