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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N₁(-1|0) und N₂(-3|0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|3)

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $(x + 1) \cdot (x + 3)$ .

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $(0 + 1) \cdot (0 + 3)$ = $3$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $f(x) =$ $(x + 1) (x + 3)$ .

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x} + 3$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x} + 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 3 addiert wird, hat der Graph von $e^{x} + 3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x} + 3$ für x → ∞ gegen ∞ .
Für x → -∞ strebt $e^{x} + 3$ gegen 0 +3, also gegen 3.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - 2 x^{3} - 63 x$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{5} - 2 x^{3} - 63 x$	=	0
$x (x^{4} - 2 x^{2} - 63)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 2 x^{2} - 63

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} - 2 u - 63$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} - 2 x^{2} - 63$ =nach Substitution $u^{2} - 2 u - 63$ = $(u - 9) \cdot (u + 7)$ =nach Re-Substitution $(x² - 9) \cdot (x² + 7)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) \cdot (x^{2} + 7)$ = $x^{5} - 2 x^{3} - 63 x$

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $\frac{1}{2} t^{2} - 4 t + 11$ beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 8 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 50 m³ Wasser im Tank.

Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Nach wie vielen Sekunden erreicht die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals $\frac{15}{2}$ m³/min?
Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 + 11$ = $\frac{7}{2}$ ≈ 3.5

Erster t-Wert bei y = $\frac{15}{2}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{15}{2}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{15}{2}$ und lösen nach t auf:

$\frac{1}{2} t^{2} - 4 t + 11$	=	$\frac{15}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} t^{2} - 4 t + 11)$	=	$15$
$t^{2} - 8 t + 22$	=	$15$	\| $- 15$

$t^{2} - 8 t + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $+ 8$

Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $\int_{0}^{3} (\frac{1}{2} t^{2} - 4 t + 11) ⅆ t$ berechnet werden.

$\int_{0}^{3} (\frac{1}{2} t^{2} - 4 t + 11) ⅆ t$
= ${[\frac{1}{6} x^{3} - 2 x^{2} + 11 x]}_{0}^{3}$
$=$ $\frac{1}{6} \cdot 3^{3} - 2 \cdot 3^{2} + 11 \cdot 3 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + 11 \cdot 0)$
= $\frac{1}{6} \cdot 27 - 2 \cdot 9 + 33 - (\frac{1}{6} \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 0)$
= $\frac{9}{2} - 18 + 33 - (0 + 0 + 0)$
= $4,5 - 18 + 33 + 0$
= $19,5$

= 19,5

19.5 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

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