Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 0 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·{\left(x+0\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term $\left(x-1\right)x^2$ = $x^3-x^2$ für x → -∞ : f(x) gegen +∞ und nicht wie gefordert gegen -∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
$-\left(x-1\right)x^2$ = $-x^3+x^2$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-2e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-9x^2$	=	0
$x^2\left(x^2-9\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^2·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$ = $x^4-9x^2$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $35-27e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $35+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $35$.

2. Erster t-Wert bei y = 20

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=20 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 20 und lösen nach t auf:

   $35-27e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $20$

   $-27e^{-\mathrm{0,3}t}+35$	=	$20$	| $-35$
   $-27e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-15$	|:$-27$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{5}{9}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{5}{9}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{5}{9}\right)$	≈ 1.9593

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 20 annimmt, ist also nach 1.96 min.