Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse,
indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 1 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
+ 1 , also gegen 1.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x1 | = |
|
=
|
| x2 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit
- Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 5 heruntergeladen?.
- Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 40 (Tausend)?
- Wie viele Tausend Downloads werden zwischen Tag 0 und Tag 3 insgesamt heruntergeladen?
- y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) =
=30 + 20 e - 0,6 ⋅ 5 ≈ 3120 e - 3 + 30
- Erster t-Wert bei y = 40
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=40 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 40 und lösen nach t auf:
30 + 20 e - 0,6 t = 40 20 e - 0,6 t + 30 = 40 | - 30 20 e - 0,6 t = 10 |: 20 e - 0,6 t = 1 2 |ln(⋅) - 0,6 t = ln ( 1 2 ) |: - 0,6 t = - 1 0.6 ln ( 1 2 ) ≈ 1.1552 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 40 annimmt, ist also nach 1.16 Tage.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 30 + 20 e - 0,6 t ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 30 + 20 e - 0,6 t ) ⅆ t =
[ 30 x - 100 3 e - 0,6 x ] 0 3 = 30 ⋅ 3 - 100 3 e - 0,6 ⋅ 3 - ( 30 ⋅ 0 - 100 3 e - 0,6 ⋅ 0 ) =
90 - 100 3 e - 1,8 - ( 0 - 100 3 e 0 ) =
- 100 3 e - 1,8 + 90 - ( 0 - 100 3 ) =
- 100 3 e - 1,8 + 90 - ( 0 - 100 3 ) =
- 100 3 e - 1,8 + 90 + 100 3 =
- 100 3 e - 1,8 + 370 3
≈ 117,823117.82 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
