Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse,
indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -1 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
- 1 , also gegen -1.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x = =
L={ }
ist 2-fache Lösung!
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
=
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 9 durch die Funktion f mit beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.
- Wann werden die wenigsten Downloads heruntergeladen?
- Wie viele Tausend Downloads wurden insgesamt nach den ersten 3 Tagen heruntergeladen?
- t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (|1) einblenden
Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = = . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(9) = = .
Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = .
Bei t = ist also der kleinste Wert der Funktion.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral berechnet werden.
Wir berechenn also zuerst das Integral:
=
=
=
=
=
= 46,875Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 0 + 46.875 = 46.87546.88 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
