Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-2|0) und N2(0|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da bei unserem bisherigen Term
=
für x → -∞ : f(x) gegen -∞ und nicht wie
gefordert gegen +∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
=
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am negativen Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden zwar (wie bei ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Während für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
- Wie strebt für x → -∞ auch gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
|
| x4 | = |
|
=
|
| x5 | = |
|
=
|
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit
- Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 4 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Wann nimmt die Änderungsrate des Wasservolumens am stärksten zu?
- Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?
- Wie viel m³ Wasser sind 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn im Wassertank?
- Bestimme das maximale Wasservolumen im Tank?
- y-Wert bei t = 4
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) =
=1 9 ( - 4 3 + 27 ⋅ 4 ) ≈ 4.944 9
- t-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
1 9 ( - 3 x 2 + 27 ) =
Wir berechnen also die Extremstellen von f':1 3 ( - x 2 + 9 ) Detail-Rechnung für den Hochpunkt der Ableitung (
|3) einblenden0 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) =
=1 3 ( - 0 2 + 9 ) . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(7) =3 =1 3 ( - 7 2 + 9 ) ≈ -13.333.- 40 3 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.
Bei t =
ist also der größte Wert der Ableitungsfunktion.0 - Erste Nullstelle
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:
1 9 ( - t 3 + 27 t ) = 0 - 1 9 t 3 + 3 t = 0 1 9 t ( - t 2 + 27 ) = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
t1 = 0 2. Fall:
- t 2 + 27 = 0 | - 27 - t 2 = - 27 |: ( - 1 ) t 2 = 27 | ⋅ 2 t2 = - 27 ≈ - 5,196 t3 = 27 ≈ 5,196 Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit
0 und .5,196 Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 min.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 30 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 1 9 ( - t 3 + 27 t ) ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 1 9 ( - t 3 + 27 t ) ) ⅆ t =
[ 1 9 ( - 1 4 x 4 + 27 2 x 2 ) ] 0 3 = 1 9 ( - 1 4 ⋅ 3 4 + 27 2 ⋅ 3 2 ) - 1 9 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 27 2 ⋅ 0 2 ) =
1 9 ( - 1 4 ⋅ 81 + 27 2 ⋅ 9 ) - 1 9 ( - 1 4 ⋅ 0 + 27 2 ⋅ 0 ) =
1 9 ( - 81 4 + 243 2 ) - 1 9 ( 0 + 0 ) =
1 9 ( - 81 4 + 486 4 ) + 0 =
1 9 · 405 4 =
45 4
= 11,25Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 30 + 11.25 = 41.2541.25 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
- maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei
0 und .5,196 Da f(4.2) ≈ 4.4 > 0 und f(6.2) ≈ -7.8 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 5.2.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 5.2 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 5.2 min lässt sich berechnen durch:
∫ 0 5.2 ( 1 9 ( - t 3 + 27 t ) ) ⅆ t =
[ 1 9 ( - 1 4 x 4 + 27 2 x 2 ) ] 0 5.2 = 1 9 ( - 1 4 ⋅ 5.2 4 + 27 2 ⋅ 5.2 2 ) - 1 9 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 27 2 ⋅ 0 2 ) =
1 9 ( - 1 4 ⋅ 731.1616 + 27 2 ⋅ 27.04 ) - 1 9 ( - 1 4 ⋅ 0 + 27 2 ⋅ 0 ) =
1 9 ( - 731.1616 4 + 730.08 2 ) - 1 9 ( 0 + 0 ) =
1 9 ( - 456 976 2500 + 18252 50 ) + 0 =
1 9 ( - 456 976 2500 + 912 600 2500 ) =
1 9 ( - 114 244 625 + 9126 25 ) =
1 9 · 113 906 625
≈ 20,25Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 30 m³, so dass für den maximalen Bestand gilt:
Bmax = 30 m³ + 20.25 m³ = 50.25 m³.
