Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x - 2$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- x}$ . Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x} - 1$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x} - 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -1 addiert wird, hat der Graph von $e^{x} - 1$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x} - 1$ für x → ∞ gegen ∞ .
Für x → -∞ strebt $e^{x} - 1$ gegen 0 -1, also gegen -1.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + 3 x^{2} - 28$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x^{4} + 3 x^{2} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} + 3 u - 28$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} + 3 x^{2} - 28$ =nach Substitution $u^{2} + 3 u - 28$ = $(u - 4) \cdot (u + 7)$ =nach Re-Substitution $(x² - 4) \cdot (x² + 7)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot (x - 2) \cdot (x^{2} + 7)$ = $x^{4} + 3 x^{2} - 28$

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $\frac{1}{2} t^{3} - \frac{5}{2} t^{2} + 12$ beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 5 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 40 m³ Wasser im Tank.

Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Bestimme die minimale Änderungsrate des Wasservolumens.
Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $\frac{1}{2} \cdot 2^{3} - \frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 12$ = $6$

y-Wert des Minimums (TP)

Gesucht ist der y-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ( $\frac{10}{3}$ |2.74) einblenden

$f(t) =$ $\frac{1}{2} t^{3} - \frac{5}{2} t^{2} + 12$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $\frac{3}{2} t^{2} - 5 t + 0$

= $\frac{3}{2} t^{2} - 5 t$

$f''(t) =$ $3 t - 5$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{3}{2} t^{2} - 5 t$	=	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} t^{2} - 5 t)$	=
$3 t^{2} - 10 t$	=
$t (3 t - 10)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$3 t - 10$	=	0	\| $+ 10$
$3 t$	=	$10$	\|: $3$
t₂	=	$\frac{10}{3}$

Die Lösungen 0, $\frac{10}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

1.: t= $0$

f''( $0$ ) = $3 \cdot 0 - 5$ = $0 - 5$ = $- 5$ <0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $\frac{1}{2} \cdot 0^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 12$ = $12$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $12$ )

2.: t= $\frac{10}{3}$

f''( $\frac{10}{3}$ ) = $3 \cdot (\frac{10}{3}) - 5$ = $10 - 5$ = $5$ >0

Das heißt bei t = $\frac{10}{3}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $\frac{10}{3}$ ) = $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{10}{3})}^{3} - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{10}{3})}^{2} + 12$ = $\frac{74}{27}$ ≈ 2.741
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $\frac{10}{3}$ | $\frac{74}{27}$ )

≈ T:(3.333|2.741)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $\frac{1}{2} \cdot 0^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 12$ = $12$ . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(5) = $\frac{1}{2} \cdot 5^{3} - \frac{5}{2} \cdot 5^{2} + 12$ = $12$ .

Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = $12$ .

2.74 ist also der kleinste Wert der Funktion.

Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $\int_{0}^{3} (\frac{1}{2} t^{3} - \frac{5}{2} t^{2} + 12) ⅆ t$ berechnet werden.

$\int_{0}^{3} (\frac{1}{2} t^{3} - \frac{5}{2} t^{2} + 12) ⅆ t$
= ${[\frac{1}{8} x^{4} - \frac{5}{6} x^{3} + 12 x]}_{0}^{3}$
$=$ $\frac{1}{8} \cdot 3^{4} - \frac{5}{6} \cdot 3^{3} + 12 \cdot 3 - (\frac{1}{8} \cdot 0^{4} - \frac{5}{6} \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0)$
= $\frac{1}{8} \cdot 81 - \frac{5}{6} \cdot 27 + 36 - (\frac{1}{8} \cdot 0 - \frac{5}{6} \cdot 0 + 0)$
= $\frac{81}{8} - \frac{45}{2} + 36 - (0 + 0 + 0)$
= $\frac{81}{8} - \frac{180}{8} + \frac{288}{8} + 0$
= $\frac{189}{8}$

= 23,625

23.63 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

1.: t=0

2.: t= 10 3

Randwertuntersuchung

1.: t= $0$

2.: t= $\frac{10}{3}$