Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(1|0) und N2(-1|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-1)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x -1 ) · ( x +1 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-1) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 -1 ) · ( 0 +1 ) = -1

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= ( x -1 ) ( x +1 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +2 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +2 zu jedem Funktionswert von e x noch 2 addiert wird, hat der Graph von e x +2 die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x +2 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Für x → -∞ strebt e x +2 gegen 0 +2, also gegen 2.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 -4 x 2 -45 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 -4 x 2 -45 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -4u -45 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -45 ) 21

u1,2 = +4 ± 16 +180 2

u1,2 = +4 ± 196 2

u1 = 4 + 196 2 = 4 +14 2 = 18 2 = 9

u2 = 4 - 196 2 = 4 -14 2 = -10 2 = -5

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term u 2 -4u -45 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 -4 x 2 -45 =nach Substitution u 2 -4u -45 = ( u -9 ) · ( u +5 ) =nach Re-Substitution ( -9 ) · ( +5 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= ( x +3 ) · ( x -3 ) · ( x 2 +5 ) = x 4 -4 x 2 -45

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 25 -17 e -0,4t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 4 Dezimeter hoch.

  1. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  2. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 17 dm pro Jahr?
  3. Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?

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  1. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 25 -17 e -0,4t 25 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 25 .

  2. Erster t-Wert bei y = 17

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=17 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 17 und lösen nach t auf:

    25 -17 e -0,4t = 17
    -17 e -0,4t +25 = 17 | -25
    -17 e -0,4t = -8 |:-17
    e -0,4t = 8 17 |ln(⋅)
    -0,4t = ln( 8 17 ) |:-0,4
    t = - 1 0.4 ln( 8 17 ) ≈ 1.8844

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 17 annimmt, ist also nach 1.88 Jahre.

  3. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral 0 3 ( 25 -17 e -0,4t ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 25 -17 e -0,4t ) t

    = [ 25x + 85 2 e -0,4x ] 0 3

    = 253 + 85 2 e -0,43 - ( 250 + 85 2 e -0,40 )

    = 75 + 85 2 e -1,2 - (0 + 85 2 e 0 )

    = 85 2 e -1,2 +75 - (0 + 85 2 )

    = 85 2 e -1,2 +75 - (0 +42,5 )

    = 85 2 e -1,2 +75 -42,5

    = 85 2 e -1,2 +32,5


    ≈ 45,301

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 4 + 45.301 = 49.301

    49.3 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.