Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·{\left(x+3\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-9) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+1\right)·{\left(0+3\right)}^2$ = $9$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0+1\right)·{\left(0+3\right)}^2$ = $-9$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x+1\right){\left(x+3\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+1}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^5+2x^3-3x$	=	0
$x\left(x^4+2x^2-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+2u-3$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+2x^2-3$ =nach Substitution $u^2+2u-3$ = $\left(u-1\right)·\left(u+3\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+3\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+3\right)$ = $x^5+2x^3-3x$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $45-28e^{-\mathrm{0,4}\cdot 2}$ = $-28e^{-\mathrm{0,8}}+45$ ≈ 32.4

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $45-28e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $45+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $45$.

3. Erster t-Wert bei y = 36

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=36 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 36 und lösen nach t auf:

   $45-28e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $36$

   $-28e^{-\mathrm{0,4}t}+45$	=	$36$	| $-45$
   $-28e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-9$	|:$-28$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{9}{28}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{9}{28}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{9}{28}\right)$	≈ 2.8374

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 36 annimmt, ist also nach 2.84 min.