Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $x·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-x·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^8+4x^6-48x^4$	=	0
$2x^4\left(x^4+2x^2-24\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+2u-24$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+2x^2-24$ =nach Substitution $u^2+2u-24$ = $\left(u-4\right)·\left(u+6\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+6\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^4·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+6\right)$ = $2x^8+4x^6-48x^4$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25+17e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

2. Erster t-Wert bei y = 29

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=29 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 29 und lösen nach t auf:

   $25+17e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $29$

   $17e^{-\mathrm{0,3}t}+25$	=	$29$	| $-25$
   $17e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$4$	|:$17$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{4}{17}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{4}{17}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{4}{17}\right)$	≈ 4.8231

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 29 annimmt, ist also nach 4.82 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 5 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+17e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+17e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x-\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3-\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(25\cdot 0-\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $75-\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0-\frac{170}{3}{e}^0\right)$

   = $-\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+75-\left(0-\frac{170}{3}\right)$

   = $-\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+75-\left(0-\frac{170}{3}\right)$

   = $-\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+75+\frac{170}{3}$

   = $-\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{395}{3}$

   
   ≈ 108,628

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 5 + 108.628 = 113.628

   113.63 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.