Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 4 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·{\left(x-4\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|32) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·{\left(0-4\right)}^2$ = $-32$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0-2\right)·{\left(0-4\right)}^2$ = $32$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right){\left(x-4\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+3}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -3 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+3}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+3}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^6+2x^5-3x^4$	=	0
$x^4\left(x^2+2x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $1$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^4·\left(x-1\right)·\left(x+3\right)$ = $x^6+2x^5-3x^4$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $15-14e^{-\mathrm{0,5}\cdot 4}$ = $-14e^{-2}+15$ ≈ 13.1

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15-14e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

3. Erster t-Wert bei y = 11

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=11 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 11 und lösen nach t auf:

   $15-14e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $11$

   $-14e^{-\mathrm{0,5}t}+15$	=	$11$	| $-15$
   $-14e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-4$	|:$-14$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{2}{7}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{2}{7}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{2}{7}\right)$	≈ 2.5055

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 11 annimmt, ist also nach 2.51 min.