Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x+1\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+2\right)·\left(0+1\right)$ = $2$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0+2\right)·\left(0+1\right)$ = $-2$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)\left(x+1\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^5-4x^4+2x^3$	=	0
$2x^3\left(x^2-2x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$}

0 ist 3-fache Lösung! $1$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^3·{\left(x-1\right)}^2$ = $2x^5-4x^4+2x^3$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $30-27e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}$ = $-27e^{-\mathrm{1,5}}+30$ ≈ 24

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30-27e^{-\mathrm{0,5}x}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-27e^{-\mathrm{0,5}x}\right)dx$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-27e^{-\mathrm{0,5}x}\right)dx$$

   = ${\left[30x+54e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3+54e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(30\cdot 0+54e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $90+54e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0+54e^0\right)$

   = $54e^{-\mathrm{1,5}}+90-\left(0+54\right)$

   = $54e^{-\mathrm{1,5}}+90-54$

   = $54e^{-\mathrm{1,5}}+36$

   
   ≈ 48,049

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 48.049 = 48.049

   48.05 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.