Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N₁(1|0) und N₂(3|0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|3)

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $(x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $(0 - 1) \cdot (0 - 3)$ = $3$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $f(x) =$ $(x - 1) (x - 3)$ .

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt für x → ∞ auch $2 e^{x}$ gegen ∞.
Wie $e^{x}$ strebt für x → -∞ auch $2 e^{x}$ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + 5 x^{2} - 6$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x^{4} + 5 x^{2} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} + 5 u - 6$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} + 5 x^{2} - 6$ =nach Substitution $u^{2} + 5 u - 6$ = $(u - 1) \cdot (u + 6)$ =nach Re-Substitution $(x² - 1) \cdot (x² + 6)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x^{2} + 6)$ = $x^{4} + 5 x^{2} - 6$

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{18}{25} t^{2} + 2$ beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 12 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 30 m³ Wasser im Tank.

Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 5 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Bestimme die größt mögliche Änderungsrate des Wasservolumens.
Wie lange liegt die Änderungsrate des Wasservolumens bei mindestens $\frac{767}{100}$ m³/min?
Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?
Bestimme das maximale Wasservolumen im Tank?

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $- \frac{1}{100} \cdot 5^{4} + \frac{18}{25} \cdot 5^{2} + 2$ = $\frac{55}{4}$ ≈ 13.8

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $6$ |14.96) einblenden

$f(t) =$ $- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{18}{25} t^{2} + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $- \frac{1}{25} t^{3} + \frac{36}{25} t + 0$

= $- \frac{1}{25} t^{3} + \frac{36}{25} t$

$f''(t) =$ $- \frac{3}{25} t^{2} + \frac{36}{25}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{1}{25} t^{3} + \frac{36}{25} t$	=	\|⋅ 25
$25 (- \frac{1}{25} t^{3} + \frac{36}{25} t)$	=
$- t^{3} + 36 t$	=
$t (- t^{2} + 36)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$- t^{2} + 36$	=	0	\| $- 36$
$- t^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 1)$
$t^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₂	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
t₃	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Die Lösungen $- 6$ , 0, $6$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

1.: t= $- 6$

f''( $- 6$ ) = $- \frac{3}{25} \cdot {(- 6)}^{2} + \frac{36}{25}$ = $- \frac{3}{25} \cdot 36 + \frac{36}{25}$ = $- \frac{72}{25}$ <0

Das heißt bei t = $- 6$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $- 6$ ) = $- \frac{1}{100} \cdot {(- 6)}^{4} + \frac{18}{25} \cdot {(- 6)}^{2} + 2$ = $\frac{374}{25}$ ≈ 14.96
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 6$ | $\frac{374}{25}$ )

≈ H:(-6|14.96)

2.: t= $0$

f''( $0$ ) = $- \frac{3}{25} \cdot 0^{2} + \frac{36}{25}$ = $- \frac{3}{25} \cdot 0 + \frac{36}{25}$ = $\frac{36}{25}$ >0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- \frac{1}{100} \cdot 0^{4} + \frac{18}{25} \cdot 0^{2} + 2$ = $2$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $2$ )

3.: t= $6$

f''( $6$ ) = $- \frac{3}{25} \cdot 6^{2} + \frac{36}{25}$ = $- \frac{3}{25} \cdot 36 + \frac{36}{25}$ = $- \frac{72}{25}$ <0

Das heißt bei t = $6$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $6$ ) = $- \frac{1}{100} \cdot 6^{4} + \frac{18}{25} \cdot 6^{2} + 2$ = $\frac{374}{25}$ ≈ 14.96
Man erhält so den Hochpunkt H:( $6$ | $\frac{374}{25}$ )

≈ H:(6|14.96)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $- \frac{1}{100} \cdot 0^{4} + \frac{18}{25} \cdot 0^{2} + 2$ = $2$ . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(12) = $- \frac{1}{100} \cdot 12^{4} + \frac{18}{25} \cdot 12^{2} + 2$ = $- \frac{2542}{25}$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

14.96 ist also der größte Wert der Funktion.

Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{767}{100}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{767}{100}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{767}{100}$ und lösen nach t auf:

- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{18}{25} t^{2} + 2

=

\frac{767}{100}

|

- \frac{767}{100}

- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{18}{25} t^{2} - \frac{567}{100}

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $t^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{1}{100} u^{2} + \frac{18}{25} u - \frac{567}{100}$	=	0	\|⋅ 100
$100 (- \frac{1}{100} u^{2} + \frac{18}{25} u - \frac{567}{100})$	=	0

$- u^{2} + 72 u - 567$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 72$

Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $\int_{0}^{3} (- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{18}{25} t^{2} + 2) ⅆ t$ berechnet werden.

$\int_{0}^{3} (- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{18}{25} t^{2} + 2) ⅆ t$
= ${[- \frac{1}{500} x^{5} + \frac{6}{25} x^{3} + 2 x]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{1}{500} \cdot 3^{5} + \frac{6}{25} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3 - (- \frac{1}{500} \cdot 0^{5} + \frac{6}{25} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$
= $- \frac{1}{500} \cdot 243 + \frac{6}{25} \cdot 27 + 6 - (- \frac{1}{500} \cdot 0 + \frac{6}{25} \cdot 0 + 0)$
= $- \frac{243}{500} + \frac{162}{25} + 6 - (0 + 0 + 0)$
= $- \frac{243}{500} + \frac{3240}{500} + \frac{3000}{500} + 0$
= $\frac{5997}{500}$

= 11,994

11.99 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

maximaler Bestand

Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:

- \frac{1}{100} t^{4} + \frac{18}{25} t^{2} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $t^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{1}{100} u^{2} + \frac{18}{25} u + 2$	=	0	\|⋅ 100
$100 (- \frac{1}{100} u^{2} + \frac{18}{25} u + 2)$	=	0

$- u^{2} + 72 u + 200$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 72$

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

1.: t=-6

2.: t=0

3.: t=6

Randwertuntersuchung

1.: t= $- 6$

2.: t= $0$

3.: t= $6$