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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N₁(0|0) und N₂(-2|0)
Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x + 2)$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $x (x + 2)$ = $x^{2} + 2 x$ für x → +∞ gegen +∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 1}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 1}$ einfach das x von $e^{x}$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{2} \cdot (x - 2) \cdot (x + 3)$ = $x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}$

Anwendungen

Beispiel:

Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $45 - 35 e^{- 0,6 t}$ beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
Wann hat das Getränk die Temperatur von 41 erreicht?

Lösung einblenden

Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

Für t → ∞ ⇒ f(t)= $45 - 35 e^{- 0,6 t}$ → $45 + 0$

Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $45$ .

Erster t-Wert bei y = 41

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=41 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = 41 und lösen nach t auf:

45 - 35 e^{- 0,6 t}

=

41

$- 35 e^{- 0,6 t} + 45$	=	$41$	\| $- 45$
$- 35 e^{- 0,6 t}$	=	$- 4$	\|: $- 35$
$e^{- 0,6 t}$	=	$\frac{4}{35}$	\|ln(⋅)
$- 0,6 t$	=	$\ln (\frac{4}{35})$	\|: $- 0,6$
$t$	=	$- \frac{1}{0.6} \ln (\frac{4}{35})$	≈ 3.6151

Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 41 annimmt, ist also nach 3.62 min.

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