Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 1$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{x}$ . Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x} + 2$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, hat der Graph von $e^{x} + 2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x} + 2$ für x → ∞ gegen ∞ .
Für x → -∞ strebt $e^{x} + 2$ gegen 0 +2, also gegen 2.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{6} - 6 x^{4} + 56 x^{2}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$- 2 x^{6} - 6 x^{4} + 56 x^{2}$	=	0
$- 2 x^{2} (x^{4} + 3 x^{2} - 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + 3 x^{2} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} + 3 u - 28$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} + 3 x^{2} - 28$ =nach Substitution $u^{2} + 3 u - 28$ = $(u - 4) \cdot (u + 7)$ =nach Re-Substitution $(x² - 4) \cdot (x² + 7)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $- 2 x^{2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) \cdot (x^{2} + 7)$ = $- 2 x^{6} - 6 x^{4} + 56 x^{2}$

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $- t^{3} + 4 t^{2}$ beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 5 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 40 m³ Wasser im Tank.

Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
Wann nimmt die Änderungsrate des Wasservolumens am stärksten zu?
Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?
Wie viel m³ Wasser sind 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn im Wassertank?

Lösung einblenden

t-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $\frac{8}{3}$ |9.48) einblenden

$f(t) =$ $- t^{3} + 4 t^{2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $- 3 t^{2} + 8 t$

$f''(t) =$ $- 6 t + 8$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 3 t^{2} + 8 t$	=	0
$t (- 3 t + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$- 3 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 3 t$	=	$- 8$	\|:( $- 3$ )
t₂	=	$\frac{8}{3}$

Die Lösungen 0, $\frac{8}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

1.: t= $0$

f''( $0$ ) = $- 6 \cdot 0 + 8$ = $0 + 8$ = $8$ >0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 0^{3} + 4 \cdot 0^{2}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

2.: t= $\frac{8}{3}$

f''( $\frac{8}{3}$ ) = $- 6 \cdot (\frac{8}{3}) + 8$ = $- 16 + 8$ = $- 8$ <0

Das heißt bei t = $\frac{8}{3}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $\frac{8}{3}$ ) = $- {(\frac{8}{3})}^{3} + 4 \cdot {(\frac{8}{3})}^{2}$ = $\frac{256}{27}$ ≈ 9.481
Man erhält so den Hochpunkt H:( $\frac{8}{3}$ | $\frac{256}{27}$ )

≈ H:(2.667|9.481)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $- 0^{3} + 4 \cdot 0^{2}$ = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(5) = $- 5^{3} + 4 \cdot 5^{2}$ = $- 25$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

Bei t = $\frac{8}{3}$ ist also der größte Wert der Funktion.

t-Wert beim stärksten Zuwachs

Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt der Ableitung.

Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

f'(t)= $- 3 x^{2} + 8 x$

= $x (- 3 x + 8)$

Wir berechnen also die Extremstellen von f':

Detail-Rechnung für den Hochpunkt der Ableitung ( $\frac{4}{3}$ |5.33) einblenden

$f'(t) =$ $t (- 3 t + 8)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(t) =$ $1 \cdot (- 3 t + 8) + t \cdot (- 3 + 0)$

= $- 6 t + 8$

$f'''(t) =$ $- 6 + 0$

= $- 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

$- 6 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 6 t$	=	$- 8$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$\frac{4}{3}$

Die Lösung t= $\frac{4}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

f'''( $\frac{4}{3}$ ) = $- 6$ = $- 6$ = $- 6$ <0

Das heißt bei t = $\frac{4}{3}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
f'( $\frac{4}{3}$ ) = $\frac{4}{3} \cdot (- 3 \cdot (\frac{4}{3}) + 8)$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.333
Man erhält so den Hochpunkt H:( $\frac{4}{3}$ | $\frac{16}{3}$ )

≈ H:(1.333|5.333)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $0 \cdot (- 3 \cdot 0 + 8)$ = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(5) = $5 \cdot (- 3 \cdot 5 + 8)$ = $- 35$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.

Bei t = $\frac{4}{3}$ ist also der größte Wert der Ableitungsfunktion.

Erste Nullstelle

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

$- t^{3} + 4 t^{2}$	=	0
$t^{2} (- t + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$t^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	0

2. Fall:

$- t + 4$	=	0	\| $- 4$
$- t$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
t₂	=	$4$

Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0 und $4$ .

Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 min.

Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 40 und dem Integral $\int_{0}^{3} (- t^{3} + 4 t^{2}) ⅆ t$ berechnet werden.

Wir berechenn also zuerst das Integral:

$\int_{0}^{3} (- t^{3} + 4 t^{2}) ⅆ t$
= ${[- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3}]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{1}{4} \cdot 3^{4} + \frac{4}{3} \cdot 3^{3} - (- \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{4}{3} \cdot 0^{3})$
= $- \frac{1}{4} \cdot 81 + \frac{4}{3} \cdot 27 - (- \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{4}{3} \cdot 0)$
= $- \frac{81}{4} + 36 - (0 + 0)$
= $- \frac{81}{4} + \frac{144}{4} + 0$
= $\frac{63}{4}$

= 15,75

Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 40 + 15.75 = 55.75

55.75 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

1.: t=0

2.: t= 8 3

Randwertuntersuchung

Randwertuntersuchung

1.: t= $0$

2.: t= $\frac{8}{3}$