Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
  • einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +0 .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit f(x)= ( x +0 ) · ( x +2 ) 2

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Es stimmt nun aber das Verhalten für x → ±∞ noch nicht, deswegen müssen wir den Term mit -1 multiplizieren.

Unser Term - x ( x +2 ) 2 = - x 3 -4 x 2 -4x erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

  • Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Für x → ∞ strebt e x gegen ∞ .
  • Für x → - ∞ strebt e x gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 2 x 6 -14 x 5 +24 x 4 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

2 x 6 -14 x 5 +24 x 4 = 0
2 x 4 ( x 2 -7x +12 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 4 = 0 | 4
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -7x +12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · 12 21

x2,3 = +7 ± 49 -48 2

x2,3 = +7 ± 1 2

x2 = 7 + 1 2 = 7 +1 2 = 8 2 = 4

x3 = 7 - 1 2 = 7 -1 2 = 6 2 = 3

L={0; 3 ; 4 }

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 2 x 4 · ( x -4 ) · ( x -3 ) = 2 x 6 -14 x 5 +24 x 4

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 -15 e -0,7t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 1 Dezimeter hoch.

  1. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  2. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 10 dm pro Jahr?
  3. Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?

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  1. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 15 -15 e -0,7t 15 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 15 .

  2. Erster t-Wert bei y = 10

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=10 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 10 und lösen nach t auf:

    15 -15 e -0,7t = 10
    -15 e -0,7t +15 = 10 | -15
    -15 e -0,7t = -5 |:-15
    e -0,7t = 1 3 |ln(⋅)
    -0,7t = ln( 1 3 ) |:-0,7
    t = - 1 0.7 ln( 1 3 ) ≈ 1.5694

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 10 annimmt, ist also nach 1.57 Jahre.

  3. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral 0 3 ( 15 -15 e -0,7t ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 15 -15 e -0,7t ) t

    = [ 15x + 150 7 e -0,7x ] 0 3

    = 153 + 150 7 e -0,73 - ( 150 + 150 7 e -0,70 )

    = 45 + 150 7 e -2,1 - (0 + 150 7 e 0 )

    = 150 7 e -2,1 +45 - (0 + 150 7 )

    = 150 7 e -2,1 +45 - (0 + 150 7 )

    = 150 7 e -2,1 +45 - 150 7

    = 150 7 e -2,1 + 165 7


    ≈ 26,195

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 1 + 26.195 = 27.195

    27.2 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.