Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $x·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $x·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-2e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0}

$-3$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x^2·{\left(x+3\right)}^2$ = $3x^4+18x^3+27x^2$

1. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($0.8664$|5) einblenden

   $\text{f(t)}=$ $20e^{-\mathrm{0,8}t}-20e^{-\mathrm{1,6}t}$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(t)}=$ $20e^{-\mathrm{0,8}t}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-20e^{-\mathrm{1,6}t}·\left(-\mathrm{1,6}\right)$

   = $e^{-\mathrm{1,6}t}·\left(-16e^{\mathrm{0,8}t}+32\right)$

   $\text{f''(t)}=$ $(-16e^{\mathrm{0,8}t}·\mathrm{0,8}+0)·e^{-\mathrm{1,6}t}+\left(-16e^{\mathrm{0,8}t}+32\right)·e^{-\mathrm{1,6}t}·\left(-\mathrm{1,6}\right)$

   = $e^{-\mathrm{1,6}t}·\left(\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,8}t}-\mathrm{51,2}\right)$

   = $\left(\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,8}t}-\mathrm{51,2}\right)e^{-\mathrm{1,6}t}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $\left(-16e^{\mathrm{0,8}t}+32\right)·e^{-\mathrm{1,6}t}$

   =

   0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   $-16e^{\mathrm{0,8}t}+32$	=	0	| $-32$
   $-16e^{\mathrm{0,8}t}$	=	$-32$	|:$-16$
   $e^{\mathrm{0,8}t}$	=	$2$	|ln(⋅)
   $\mathrm{0,8}t$	=	$\ln \left(2\right)$	|:$\mathrm{0,8}$
   t1	=	$\frac{1}{0.8}\ln \left(2\right)$	≈ 0.8664

   
   

   2. Fall:

   $e^{-\mathrm{1,6}t}$

   =

   $0$

   Diese Gleichung hat keine Lösung!

   Die Lösung t= $\frac{1}{0.8}\ln \left(2\right)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

   Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

   f''($0.8664$) = $e^{-\mathrm{1,6}\cdot 0.8664}·\left(\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 0.8664}-\mathrm{51,2}\right)$= $e^{-\mathrm{1,38624}}·\left(\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,69312}}-\mathrm{51,2}\right)$= $e^{-\mathrm{1,38624}}·\left(\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,69312}}-\mathrm{51,2}\right)$ <0

   Das heißt bei t = $0.8664$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
   f($0.8664$) = $20e^{-\mathrm{0,8}\cdot 0.8664}-20e^{-\mathrm{1,6}\cdot 0.8664}$ = $20e^{-\mathrm{0,69312}}-20e^{-\mathrm{1,38624}}$ ≈ 5
   Man erhält so den Hochpunkt H:($0.8664$| $20e^{-\mathrm{0,69312}}-20e^{-\mathrm{1,38624}}$)

   ≈ H:(0.866|5)

   Randwertuntersuchung

   Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

   Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $20e^{-\mathrm{0,8}\cdot 0}-20e^{-\mathrm{1,6}\cdot 0}$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → $0+0$.

   Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

   Bei t = $0.8664$ ist also der größte Wert der Funktion.

   
   
2. t-Wert bei der stärksten Abnahme

   Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.

   Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

   f'(t)= $20e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-20e^{-\mathrm{1,6}x}·\left(-\mathrm{1,6}\right)$

   = $16·e^{-\mathrm{1,6}x}\left(-e^{\mathrm{0,8}x}+2\right)$

   Wir berechnen also die Extremstellen von f':

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung ($1.7329$|-2) einblenden

   $\text{f'(t)}=$ $16·e^{-\mathrm{1,6}t}\left(-e^{\mathrm{0,8}t}+2\right)$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(t)}=$ $16e^{-\mathrm{1,6}t}·\left(-\mathrm{1,6}\right)·\left(-e^{\mathrm{0,8}t}+2\right)+16·e^{-\mathrm{1,6}t}·(-e^{\mathrm{0,8}t}·\mathrm{0,8}+0)$

   = $e^{-\mathrm{1,6}t}·\left(\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,8}t}-\mathrm{51,2}\right)$

   $\text{f'''(t)}=$ $(\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,8}t}·\mathrm{0,8}+0)·e^{-\mathrm{1,6}t}+\left(\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,8}t}-\mathrm{51,2}\right)·e^{-\mathrm{1,6}t}·\left(-\mathrm{1,6}\right)$

   = $e^{-\mathrm{1,6}t}·\left(-\mathrm{10,24}{e}^{\mathrm{0,8}t}+\mathrm{81,92}\right)$

   = $\left(-\mathrm{10,24}{e}^{\mathrm{0,8}t}+\mathrm{81,92}\right)e^{-\mathrm{1,6}t}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $\left(\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,8}t}-\mathrm{51,2}\right)·e^{-\mathrm{1,6}t}$

   =

   0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   $\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,8}t}-\mathrm{51,2}$	=	0	| $+\mathrm{51,2}$
   $\mathrm{12,8}{e}^{\mathrm{0,8}t}$	=	$\mathrm{51,2}$	|:$\mathrm{12,8}$
   $e^{\mathrm{0,8}t}$	=	$4$	|ln(⋅)
   $\mathrm{0,8}t$	=	$\ln \left(4\right)$	|:$\mathrm{0,8}$
   t1	=	$\frac{1}{0.8}\ln \left(4\right)$	≈ 1.7329
   t1	=	$\frac{2}{0.8}\ln \left(2\right)$

   
   

   2. Fall:

   $e^{-\mathrm{1,6}t}$

   =

   $0$

   Diese Gleichung hat keine Lösung!

   Die Lösung t= $\frac{2}{0.8}\ln \left(2\right)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

   Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

   f'''($1.7329$) = $e^{-\mathrm{1,6}\cdot 1.7329}·\left(-\mathrm{10,24}{e}^{\mathrm{0,8}\cdot 1.7329}+\mathrm{81,92}\right)$= $e^{-\mathrm{2,77264}}·\left(-\mathrm{10,24}{e}^{\mathrm{1,38632}}+\mathrm{81,92}\right)$= $e^{-\mathrm{2,77264}}·\left(-\mathrm{10,24}{e}^{\mathrm{1,38632}}+\mathrm{81,92}\right)$ >0

   Das heißt bei t = $1.7329$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
   f'($1.7329$) = $16·e^{-\mathrm{1,6}\cdot 1.7329}·\left(-e^{\mathrm{0,8}\cdot 1.7329}+2\right)$ = $16·e^{-\mathrm{2,77264}}·\left(-e^{\mathrm{1,38632}}+2\right)$ ≈ -2
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($1.7329$| $16·e^{-\mathrm{2,77264}}·\left(-e^{\mathrm{1,38632}}+2\right)$)

   ≈ T:(1.733|-2)

   Randwertuntersuchung

   Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

   Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $16·e^{-\mathrm{1,6}\cdot 0}·\left(-e^{\mathrm{0,8}\cdot 0}+2\right)$ = $16e^0$. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f'(t) → $\mathrm{nan}$ ≈ NAN.

   Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.

   Bei t = $1.7329$ ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 40 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20e^{-\mathrm{0,8}t}-20e^{-\mathrm{1,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20e^{-\mathrm{0,8}t}-20e^{-\mathrm{1,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[-25e^{-\mathrm{0,8}x}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{1,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $-25e^{-\mathrm{0,8}\cdot 3}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{1,6}\cdot 3}-\left(-25e^{-\mathrm{0,8}\cdot 0}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{1,6}\cdot 0}\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{2,4}}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{4,8}}-\left(-25e^0+\frac{25}{2}{e}^0\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{2,4}}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{4,8}}-\left(-25+\frac{25}{2}\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{2,4}}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{4,8}}-\left(-25+\mathrm{12,5}\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{2,4}}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{4,8}}-1·\left(-\mathrm{12,5}\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{2,4}}+\frac{25}{2}{e}^{-\mathrm{4,8}}+\mathrm{12,5}$

   
   ≈ 10,335

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 40 + 10.335 = 50.335

   50.33 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.