Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2
- Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da unser Term = für x → -∞ gegen -∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Und hier wissen wir ja bereits:
- Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Für x → ∞ strebt gegen ∞ .
- Für x → - ∞ strebt gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x1 | = |
|
=
|
| x2 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit
- Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 5 heruntergeladen?.
- Wann nimmt die tägliche Downloadzahl am stärksten ab?
- Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
- Wann erreicht die Downloadzahl erstmals
(Tausend)?39 80 - Wie viele Tausend Downloads werden zwischen Tag 0 und Tag 3 insgesamt heruntergeladen?
- y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) =
=20 e - 0,6 ⋅ 5 - 20 e - 1,2 ⋅ 5 ≈ 0.920 e - 3 - 20 e - 6
- t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
20 e - 0,6 x · ( - 0,6 ) - 20 e - 1,2 x · ( - 1,2 ) =
Wir berechnen also die Extremstellen von f':12 · e - 1,2 x ( - e 0,6 x + 2 ) Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung (
|-1.5) einblenden2.3105 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) =
=12 · e - 1,2 ⋅ 0 · ( - e 0,6 ⋅ 0 + 2 ) . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f'(t) →12 e 0 ≈ NAN.nan Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.
Bei t =
ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.2.3105 - Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→20 e - 0,6 t - 20 e - 1,2 t 0 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
0 . - Erster t-Wert bei y =
39 80 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.39 80 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:39 80 20 e - 0,6 t - 20 e - 1,2 t = 39 80 | - 39 80 20 e - 0,6 t - 20 e - 1,2 t - 39 80 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
20 e - 0,6 t - 20 e - 1,2 t - 39 80 = 0 |⋅ e 1,2 x - 39 80 e 1,2 t + 20 e 0,6 t - 20 = 0 Setze u =
e 0,6 x Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 39 80 u 2 + 20 u - 20 = 0 |⋅ 80 80 ( - 39 80 u 2 + 20 u - 20 ) = 0 = 0- 39 u 2 + 1 600 u - 1 600 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
- 1 600 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 20 e - 0,6 t - 20 e - 1,2 t ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 20 e - 0,6 t - 20 e - 1,2 t ) ⅆ t =
[ - 100 3 e - 0,6 x + 50 3 e - 1,2 x ] 0 3 = - 100 3 e - 0,6 ⋅ 3 + 50 3 e - 1,2 ⋅ 3 - ( - 100 3 e - 0,6 ⋅ 0 + 50 3 e - 1,2 ⋅ 0 ) =
- 100 3 e - 1,8 + 50 3 e - 3,6 - ( - 100 3 e 0 + 50 3 e 0 ) =
- 100 3 e - 1,8 + 50 3 e - 3,6 - ( - 100 3 + 50 3 ) =
- 100 3 e - 1,8 + 50 3 e - 3,6 - 1 · ( - 50 3 ) =
- 100 3 e - 1,8 + 50 3 e - 3,6 + 50 3
≈ 11,61211.61 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
