Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|4)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei
einfach das x von
durch ein 'x
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Wie strebt auch für x → -∞ gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
= =
x2 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit
- Wie schnell (in m/s) ist der Fahrstuhl nach 2 Sekunden?
- Wie viele Sekunden lang ist Geschwindigkeit des Fahrstuhl mindestens
m/s?39 40 - Wie viele Meter legt der Fahrstuhl zwischen Sekunde 0 und Sekunde 3 zurück?
- y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) =
=40 e - 0,4 ⋅ 2 - 40 e - 0,8 ⋅ 2 ≈ 9.940 e - 0,8 - 40 e - 1,6
- Abstand der beiden Schnittstellen mit
39 40 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.39 40 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:39 40 40 e - 0,4 t - 40 e - 0,8 t = 39 40 | - 39 40 40 e - 0,4 t - 40 e - 0,8 t - 39 40 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
40 e - 0,4 t - 40 e - 0,8 t - 39 40 = 0 |⋅ e 0,8 x - 39 40 e 0,8 t + 40 e 0,4 t - 40 = 0 Setze u =
e 0,4 x Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 39 40 u 2 + 40 u - 40 = 0 |⋅ 40 40 ( - 39 40 u 2 + 40 u - 40 ) = 0 = 0- 39 u 2 + 1 600 u - 1 600 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
- 1 600 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 40 e - 0,4 t - 40 e - 0,8 t ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 40 e - 0,4 t - 40 e - 0,8 t ) ⅆ t =
[ - 100 e - 0,4 x + 50 e - 0,8 x ] 0 3 = - 100 e - 0,4 ⋅ 3 + 50 e - 0,8 ⋅ 3 - ( - 100 e - 0,4 ⋅ 0 + 50 e - 0,8 ⋅ 0 ) =
- 100 e - 1,2 + 50 e - 2,4 - ( - 100 e 0 + 50 e 0 ) =
- 100 e - 1,2 + 50 e - 2,4 - ( - 100 + 50 ) =
- 100 e - 1,2 + 50 e - 2,4 - 1 · ( - 50 ) =
- 100 e - 1,2 + 50 e - 2,4 + 50
≈ 24,41624.42 m ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
