Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
- Verhalten für x → ∞: f(x) → 0
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x.
Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu:
. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei einfach das x von durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Wie für x → -∞ strebt für x → ∞ gegen 0.
- Wie für x → ∞ strebt für x → -∞ gegen ∞ .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x1 | = |
|
=
|
| x2 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 5 Dezimeter hoch.
- Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 3 Jahren?
- Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
- Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 14 dm pro Jahr?
- Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?
- y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) =
=25 - 17 e - 0,7 ⋅ 3 ≈ 22.9- 17 e - 2,1 + 25
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→25 - 17 e - 0,7 t 25 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.25 - Erster t-Wert bei y = 14
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=14 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 14 und lösen nach t auf:
25 - 17 e - 0,7 t = 14 - 17 e - 0,7 t + 25 = 14 | - 25 - 17 e - 0,7 t = - 11 |: - 17 e - 0,7 t = 11 17 |ln(⋅) - 0,7 t = ln ( 11 17 ) |: - 0,7 t = - 1 0.7 ln ( 11 17 ) ≈ 0.6219 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 14 annimmt, ist also nach 0.62 Jahre.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 25 - 17 e - 0,7 t ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 25 - 17 e - 0,7 t ) ⅆ t =
[ 25 x + 170 7 e - 0,7 x ] 0 3 = 25 ⋅ 3 + 170 7 e - 0,7 ⋅ 3 - ( 25 ⋅ 0 + 170 7 e - 0,7 ⋅ 0 ) =
75 + 170 7 e - 2,1 - ( 0 + 170 7 e 0 ) =
170 7 e - 2,1 + 75 - ( 0 + 170 7 ) =
170 7 e - 2,1 + 75 - ( 0 + 170 7 ) =
170 7 e - 2,1 + 75 - 170 7 =
170 7 e - 2,1 + 355 7
≈ 53,68853.69 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
