Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(1|0)
  • einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 2
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-4)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x -1 .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit f(x)= ( x -1 ) · ( x -2 ) 2

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 -1 ) · ( 0 -2 ) 2 = -4

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= ( x -1 ) ( x -2 ) 2 .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +1 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +1 einfach das x von e x durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x +1 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Wie e x strebt auch e x +1 für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -2 x 6 -6 x 4 +8 x 2 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

-2 x 6 -6 x 4 +8 x 2 = 0
-2 x 2 ( x 4 +3 x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 4 +3 x 2 -4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u -4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

u1,2 = -3 ± 9 +16 2

u1,2 = -3 ± 25 2

u1 = -3 + 25 2 = -3 +5 2 = 2 2 = 1

u2 = -3 - 25 2 = -3 -5 2 = -8 2 = -4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

u2: x 2 = -4

x 2 = -4 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 0; 1 }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term u 2 +3u -4 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 +3 x 2 -4 =nach Substitution u 2 +3u -4 = ( u -1 ) · ( u +4 ) =nach Re-Substitution ( -1 ) · ( +4 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= -2 x 2 · ( x +1 ) · ( x -1 ) · ( x 2 +4 ) = -2 x 6 -6 x 4 +8 x 2

Anwendungen

Beispiel:

Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 35 -32 e -0,4t beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.

  1. Bestimme die Temperatur des Getränks 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
  2. Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
  3. Wann hat das Getränk die Temperatur von 26 erreicht?

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  1. y-Wert bei t = 3

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = 35 -32 e -0,43 = -32 e -1,2 +35 ≈ 25.4


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 35 -32 e -0,4t 35 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 35 .

  3. Erster t-Wert bei y = 26

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=26 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 26 und lösen nach t auf:

    35 -32 e -0,4t = 26
    -32 e -0,4t +35 = 26 | -35
    -32 e -0,4t = -9 |:-32
    e -0,4t = 9 32 |ln(⋅)
    -0,4t = ln( 9 32 ) |:-0,4
    t = - 1 0.4 ln( 9 32 ) ≈ 3.1713

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 26 annimmt, ist also nach 3.17 min.