Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+3}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -3 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+3}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+3}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^3+4x^2+4x$	=	0
$x\left(x^2+4x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0}

$-2$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·{\left(x+2\right)}^2$ = $x^3+4x^2+4x$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $15+9e^{-\mathrm{0,4}\cdot 2}$ = $9e^{-\mathrm{0,8}}+15$ ≈ 19

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15+9e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

3. Erster t-Wert bei y = 18

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=18 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 18 und lösen nach t auf:

   $15+9e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $18$

   $9e^{-\mathrm{0,4}t}+15$	=	$18$	| $-15$
   $9e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$3$	|:$9$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{1}{3}\right)$	≈ 2.7465

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 18 annimmt, ist also nach 2.75 Jahre.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+9e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+9e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$

   = ${\left[15x-\frac{45}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $15\cdot 3-\frac{45}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(15\cdot 0-\frac{45}{2}{e}^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $45-\frac{45}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}-\left(0-\frac{45}{2}{e}^0\right)$

   = $-\frac{45}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+45-\left(0-\frac{45}{2}\right)$

   = $-\frac{45}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+45-\left(0-\mathrm{22,5}\right)$

   = $-\frac{45}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+45+\mathrm{22,5}$

   = $-\frac{45}{2}{e}^{-\mathrm{1,2}}+\mathrm{67,5}$

   
   ≈ 60,723

   60.72 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.