Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+3}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -3 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+3}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+3}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^3-4x^2-6x$	=	0
$2x\left(x^2-2x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x·\left(x-3\right)·\left(x+1\right)$ = $2x^3-4x^2-6x$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $35-32e^{-\mathrm{0,4}\cdot 2}$ = $-32e^{-\mathrm{0,8}}+35$ ≈ 20.6

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $35-32e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $35+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $35$.

3. Erster t-Wert bei y = 18

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=18 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 18 und lösen nach t auf:

   $35-32e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $18$

   $-32e^{-\mathrm{0,4}t}+35$	=	$18$	| $-35$
   $-32e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$-17$	|:$-32$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{17}{32}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{17}{32}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{17}{32}\right)$	≈ 1.5813

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 18 annimmt, ist also nach 1.58 Jahre.