Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $x·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-x·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-1}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-x^5-5x^3+6x$	=	0
$-x\left(x^4+5x^2-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -1 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+5u-6$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+5x^2-6$ =nach Substitution $u^2+5u-6$ = $\left(u-1\right)·\left(u+6\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+6\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $-x·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+6\right)$ = $-x^5-5x^3+6x$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25+15e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

2. Erster t-Wert bei y = 26

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=26 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 26 und lösen nach t auf:

   $25+15e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $26$

   $15e^{-\mathrm{0,3}t}+25$	=	$26$	| $-25$
   $15e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$1$	|:$15$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{1}{15}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{15}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{1}{15}\right)$	≈ 9.0268

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 26 annimmt, ist also nach 9.03 Jahre.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+15e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+15e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x-50e^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3-50e^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(25\cdot 0-50e^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $75-50e^{-\mathrm{0,9}}-\left(0-50e^0\right)$

   = $-50e^{-\mathrm{0,9}}+75-\left(0-50\right)$

   = $-50e^{-\mathrm{0,9}}+75+50$

   = $-50e^{-\mathrm{0,9}}+125$

   
   ≈ 104,672

   104.67 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.