Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
- Verhalten für x → ∞: f(x) → 0
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x.
Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu:
. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse,
indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei
einfach das x von
durch ein 'x
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Wie strebt auch für x → -∞ gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 7 durch die Funktion f mit
- Bestimme die maximale Geschwindigkeit des Fahrstuhls.
- Bestimme die maximale Beschleunigung des Fahrstuhls.
- Wann hat der Fahrstuhl erstmals keine Geschwindigkeit?
- Wie hoch (in m) ist der Fahrstuhl nach 3 Sekunden?
- Bestimme die maximale Höhe, die der Fahrstuhl erreicht.
- y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|6) einblenden3 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=1 9 ( - 0 3 + 27 ⋅ 0 ) 0 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(7) = =1 9 ( - 7 3 + 27 ⋅ 7 ) ≈ -17.111.- 154 9 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
6 ist also der größte Wert der Funktion.
- y-Wert des Maximums der Ableitung
Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
1 9 ( - 3 x 2 + 27 ) =
Wir berechnen also die Extremstellen von f':1 3 ( - x 2 + 9 ) Detail-Rechnung für den Hochpunkt der Ableitung (
|3) einblenden0 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) =
=1 3 ( - 0 2 + 9 ) . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(7) =3 =1 3 ( - 7 2 + 9 ) ≈ -13.333.- 40 3 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.
3 ist also der größte Wert der Ableitungsfunktion.
- Erste Nullstelle
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:
1 9 ( - t 3 + 27 t ) = 0 - 1 9 t 3 + 3 t = 0 1 9 t ( - t 2 + 27 ) = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
t1 = 0 2. Fall:
- t 2 + 27 = 0 | - 27 - t 2 = - 27 |: ( - 1 ) t 2 = 27 | ⋅ 2 t2 = - 27 ≈ - 5,196 t3 = 27 ≈ 5,196 Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit
0 und .5,196 Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 s.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 1 9 ( - t 3 + 27 t ) ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 1 9 ( - t 3 + 27 t ) ) ⅆ t =
[ 1 9 ( - 1 4 x 4 + 27 2 x 2 ) ] 0 3 = 1 9 ( - 1 4 ⋅ 3 4 + 27 2 ⋅ 3 2 ) - 1 9 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 27 2 ⋅ 0 2 ) =
1 9 ( - 1 4 ⋅ 81 + 27 2 ⋅ 9 ) - 1 9 ( - 1 4 ⋅ 0 + 27 2 ⋅ 0 ) =
1 9 ( - 81 4 + 243 2 ) - 1 9 ( 0 + 0 ) =
1 9 ( - 81 4 + 486 4 ) + 0 =
1 9 · 405 4 =
45 4
= 11,25Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 1 + 11.25 = 12.2512.25 m ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
- maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei
0 und .5,196 Da f(4.2) ≈ 4.4 > 0 und f(6.2) ≈ -7.8 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 5.2.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 5.2 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 5.2 s lässt sich berechnen durch:
∫ 0 5.2 ( 1 9 ( - t 3 + 27 t ) ) ⅆ t =
[ 1 9 ( - 1 4 x 4 + 27 2 x 2 ) ] 0 5.2 = 1 9 ( - 1 4 ⋅ 5.2 4 + 27 2 ⋅ 5.2 2 ) - 1 9 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 27 2 ⋅ 0 2 ) =
1 9 ( - 1 4 ⋅ 731.1616 + 27 2 ⋅ 27.04 ) - 1 9 ( - 1 4 ⋅ 0 + 27 2 ⋅ 0 ) =
1 9 ( - 731.1616 4 + 730.08 2 ) - 1 9 ( 0 + 0 ) =
1 9 ( - 456 976 2500 + 18252 50 ) + 0 =
1 9 ( - 456 976 2500 + 912 600 2500 ) =
1 9 ( - 114 244 625 + 9126 25 ) =
1 9 · 113 906 625
≈ 20,25Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 1 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
Bmax = 1 m + 20.25 m = 21.25 m.
