Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-36)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-36) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Und hier wissen wir ja bereits:
- Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Für x → ∞ strebt gegen ∞ .
- Für x → - ∞ strebt gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= | |
|
|
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 10 durch die Funktion f mit
- Bestimme die minimale tägliche Downloadzahl.
- Wann erreicht die Downloadzahl erstmals
(Tausend)?18 5 - Wie viele Tausend Downloads werden zwischen Tag 0 und Tag 3 insgesamt heruntergeladen?
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der y-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (
|2) einblenden5 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=2 5 ⋅ 0 2 - 4 ⋅ 0 + 12 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(10) =12 =2 5 ⋅ 10 2 - 4 ⋅ 10 + 12 .12 Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) =
.12 2 ist also der kleinste Wert der Funktion.
- Erster t-Wert bei y =
18 5 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.18 5 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:18 5 2 5 t 2 - 4 t + 12 = 18 5 |⋅ 5 5 ( 2 5 t 2 - 4 t + 12 ) = 18 2 t 2 - 20 t + 60 = 18 | - 18 2 t 2 - 20 t + 42 = 0 |:2 = 0t 2 - 10 t + 21 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
t1,2 =
+ 10 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 2 5 t 2 - 4 t + 12 ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 2 5 t 2 - 4 t + 12 ) ⅆ t =
[ 2 15 x 3 - 2 x 2 + 12 x ] 0 3 = 2 15 ⋅ 3 3 - 2 ⋅ 3 2 + 12 ⋅ 3 - ( 2 15 ⋅ 0 3 - 2 ⋅ 0 2 + 12 ⋅ 0 ) =
2 15 ⋅ 27 - 2 ⋅ 9 + 36 - ( 2 15 ⋅ 0 - 2 ⋅ 0 + 0 ) =
18 5 - 18 + 36 - ( 0 + 0 + 0 ) =
18 5 - 90 5 + 180 5 + 0 =
108 5
= 21,621.6 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
