Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
  • einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|1)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +1 .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit f(x)= ( x +1 ) · ( x -1 ) 2

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|1) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 +1 ) · ( 0 -1 ) 2 = 1

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= ( x +1 ) ( x -1 ) 2 .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= - e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden zwar (wie bei e x ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Während e x für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
  • Wie e x strebt für x → -∞ auch - e x gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 x 5 -30 x 4 +75 x 3 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

3 x 5 -30 x 4 +75 x 3 = 0
3 x 3 ( x 2 -10x +25 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -10x +25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 25 21

x2,3 = +10 ± 100 -100 2

x2,3 = +10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 10 2 = 5

L={0; 5 }

0 ist 3-fache Lösung! 5 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 3 x 3 · ( x -5 ) 2 = 3 x 5 -30 x 4 +75 x 3

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 1 9 ( - t 3 +27t ) beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 7 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 40 m³ Wasser im Tank.

  1. Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
  2. Wie viel m³ Wasser sind 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn im Wassertank?
  3. Bestimme das maximale Wasservolumen im Tank?

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  1. y-Wert bei t = 2

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = 1 9 ( - 2 3 +272 ) = 46 9 ≈ 5.1


  2. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 40 und dem Integral 0 3 ( 1 9 ( - t 3 +27t ) ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 1 9 ( - t 3 +27t ) ) t

    = [ 1 9 ( - 1 4 x 4 + 27 2 x 2 ) ] 0 3

    = 1 9 ( - 1 4 3 4 + 27 2 3 2 ) - 1 9 ( - 1 4 0 4 + 27 2 0 2 )

    = 1 9 ( - 1 4 81 + 27 2 9 ) - 1 9 ( - 1 4 0 + 27 2 0 )

    = 1 9 ( - 81 4 + 243 2 ) - 1 9 (0+0)

    = 1 9 ( - 81 4 + 486 4 )+0

    = 1 9 · 405 4

    = 45 4


    = 11,25

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 40 + 11.25 = 51.25

    51.25 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

  3. maximaler Bestand

    Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

    Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

    Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:

    1 9 ( - t 3 +27t ) = 0
    - 1 9 t 3 +3t = 0
    1 9 t ( - t 2 +27 ) = 0

    Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

    1. Fall:

    t1 = 0

    2. Fall:

    - t 2 +27 = 0 | -27
    - t 2 = -27 |: ( -1 )
    t 2 = 27 | 2
    t2 = - 27 -5,196
    t3 = 27 5,196

    Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0 und 5,196 .

    Da f(4.2) ≈ 4.4 > 0 und f(6.2) ≈ -7.8 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 5.2.

    Der maximale Bestand tritt also bei t = 5.2 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 5.2 min lässt sich berechnen durch:

    0 5.2 ( 1 9 ( - t 3 +27t ) ) t

    = [ 1 9 ( - 1 4 x 4 + 27 2 x 2 ) ] 0 5.2

    = 1 9 ( - 1 4 5.2 4 + 27 2 5.2 2 ) - 1 9 ( - 1 4 0 4 + 27 2 0 2 )

    = 1 9 ( - 1 4 731.1616 + 27 2 27.04 ) - 1 9 ( - 1 4 0 + 27 2 0 )

    = 1 9 ( - 731.1616 4 + 730.08 2 ) - 1 9 (0+0)

    = 1 9 ( - 456976 2500 + 18252 50 )+0

    = 1 9 ( - 456976 2500 + 912600 2500 )

    = 1 9 ( - 114244 625 + 9126 25 )

    = 1 9 · 113906 625


    ≈ 20,25

    Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 40 m³, so dass für den maximalen Bestand gilt:
    Bmax = 40 m³ + 20.25 m³ = 60.25 m³.