Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x -2 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= ( x -2 ) · e -x . Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
f(x)= - ( x -2 ) · e -x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

  • Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Für x → ∞ strebt e x gegen ∞ .
  • Für x → - ∞ strebt e x gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 +6 x 2 -7 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 +6 x 2 -7 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +6u -7 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · ( -7 ) 21

u1,2 = -6 ± 36 +28 2

u1,2 = -6 ± 64 2

u1 = -6 + 64 2 = -6 +8 2 = 2 2 = 1

u2 = -6 - 64 2 = -6 -8 2 = -14 2 = -7

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term u 2 +6u -7 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 +6 x 2 -7 =nach Substitution u 2 +6u -7 = ( u -1 ) · ( u +7 ) =nach Re-Substitution ( -1 ) · ( +7 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= ( x +1 ) · ( x -1 ) · ( x 2 +7 ) = x 4 +6 x 2 -7

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für 0 ≤ t ≤ 10 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 2 5 t 2 -4t +13 beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 3 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 5 Jahren?
  2. Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit am geringsten?
  3. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 33 5 dm pro Jahr?

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  1. y-Wert bei t = 5

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = 2 5 5 2 -45 +13 = 3


  2. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (5 |3) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 2 5 0 2 -40 +13 = 13 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(10) = 2 5 10 2 -410 +13 = 13 .

    Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = 13 .

    Bei t = 5 ist also der kleinste Wert der Funktion.


  3. Erster t-Wert bei y = 33 5

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= 33 5 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 33 5 und lösen nach t auf:

    2 5 t 2 -4t +13 = 33 5 |⋅ 5
    5( 2 5 t 2 -4t +13 ) = 33
    2 t 2 -20t +65 = 33 | -33
    2 t 2 -20t +32 = 0 |:2

    t 2 -10t +16 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    t1,2 = +10