Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 4 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·{\left(x-4\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-64) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·{\left(0-4\right)}^2$ = $-32$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $2·\left(0-2\right)·{\left(0-4\right)}^2$ = $-64$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right){\left(x-4\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^x-3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-2x^5+2x^3+24x$	=	0
$2x\left(-x^4+x^2+12\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2-u-12$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-x^2-12$ =nach Substitution $u^2-u-12$ = $\left(u-4\right)·\left(u+3\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+3\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x·(-\left(x^2+3\right)·\left(x+2\right)·\left(x-2\right))$ = $-2x^5+2x^3+24x$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25+24e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

2. Erster t-Wert bei y = 37

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=37 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 37 und lösen nach t auf:

   $25+24e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $37$

   $24e^{-\mathrm{0,6}t}+25$	=	$37$	| $-25$
   $24e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$12$	|:$24$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{1}{2}\right)$	≈ 1.1552

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 37 annimmt, ist also nach 1.16 Tage.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+24e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+24e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x-40e^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3-40e^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(25\cdot 0-40e^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $75-40e^{-\mathrm{1,8}}-\left(0-40e^0\right)$

   = $-40e^{-\mathrm{1,8}}+75-\left(0-40\right)$

   = $-40e^{-\mathrm{1,8}}+75+40$

   = $-40e^{-\mathrm{1,8}}+115$

   
   ≈ 108,388

   108.39 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.