Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·{\left(x+3\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|18) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+2\right)·{\left(0+3\right)}^2$ = $18$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right){\left(x+3\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^6+12x^5+16x^4$	=	0
$2x^4\left(x^2+6x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; $-2$; 0}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^4·\left(x+2\right)·\left(x+4\right)$ = $2x^6+12x^5+16x^4$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $40-39e^{-\mathrm{0,5}\cdot 5}$ = $-39e^{-\mathrm{2,5}}+40$ ≈ 36.8

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $40-39e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $40+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $40$.

3. Erster t-Wert bei y = 18

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=18 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 18 und lösen nach t auf:

   $40-39e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $18$

   $-39e^{-\mathrm{0,5}t}+40$	=	$18$	| $-40$
   $-39e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-22$	|:$-39$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{22}{39}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{22}{39}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{22}{39}\right)$	≈ 1.145

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 18 annimmt, ist also nach 1.15 Tage.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40-39e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(40-39e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[40x+78e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $40\cdot 3+78e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(40\cdot 0+78e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $120+78e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0+78e^0\right)$

   = $78e^{-\mathrm{1,5}}+120-\left(0+78\right)$

   = $78e^{-\mathrm{1,5}}+120-78$

   = $78e^{-\mathrm{1,5}}+42$

   
   ≈ 59,404

   59.4 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.