Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·\left(x+2\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term $x\left(x+2\right)$ = $x^2+2x$ für x → -∞ : f(x) gegen -∞ und nicht wie gefordert gegen +∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
$-x\left(x+2\right)$ = $-x^2-2x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-2}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 2 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-2}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-2}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-x^5-5x^3+6x$	=	0
$-x\left(x^4+5x^2-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -1 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+5u-6$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+5x^2-6$ =nach Substitution $u^2+5u-6$ = $\left(u-1\right)·\left(u+6\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+6\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $-x·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+6\right)$ = $-x^5-5x^3+6x$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $25+19e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}$ = $19e^{-\mathrm{1,5}}+25$ ≈ 29.2

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25+19e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

3. Erster t-Wert bei y = 32

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=32 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 32 und lösen nach t auf:

   $25+19e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $32$

   $19e^{-\mathrm{0,5}t}+25$	=	$32$	| $-25$
   $19e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$7$	|:$19$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{7}{19}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{7}{19}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{7}{19}\right)$	≈ 1.9971

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 32 annimmt, ist also nach 2 Jahre.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+19e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+19e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x-38e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3-38e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(25\cdot 0-38e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $75-38e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0-38e^0\right)$

   = $-38e^{-\mathrm{1,5}}+75-\left(0-38\right)$

   = $-38e^{-\mathrm{1,5}}+75+38$

   = $-38e^{-\mathrm{1,5}}+113$

   
   ≈ 104,521

   104.52 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.