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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 1$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- x}$ . Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x} + 2$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, hat der Graph von $e^{x} + 2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x} + 2$ für x → ∞ gegen ∞ .
Für x → -∞ strebt $e^{x} + 2$ gegen 0 +2, also gegen 2.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{5} - 24 x^{4} + 48 x^{3}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3 x^{5} - 24 x^{4} + 48 x^{3}$	=	0
$3 x^{3} (x^{2} - 8 x + 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={0; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung! $4$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot {(x - 4)}^{2}$ = $3 x^{5} - 24 x^{4} + 48 x^{3}$

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $20 e^{- 0,6 t} - 20 e^{- 1,2 t}$ beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 1 Dezimeter hoch.

Bestimme die maximale Wachstumsgeschwindigkeit des Baums.
Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals $\frac{391}{80}$ dm pro Jahr?
Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?

Lösung einblenden

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $1.1552$ |5) einblenden

$f(t) =$ $20 e^{- 0,6 t} - 20 e^{- 1,2 t}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $20 e^{- 0,6 t} \cdot (- 0,6) - 20 e^{- 1,2 t} \cdot (- 1,2)$

= $e^{- 1,2 t} \cdot (- 12 e^{0,6 t} + 24)$

$f''(t) =$ $(- 12 e^{0,6 t} \cdot 0,6 + 0) \cdot e^{- 1,2 t} + (- 12 e^{0,6 t} + 24) \cdot e^{- 1,2 t} \cdot (- 1,2)$

= $e^{- 1,2 t} \cdot (7,2 e^{0,6 t} - 28,8)$

= $(7,2 e^{0,6 t} - 28,8) e^{- 1,2 t}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 12 e^{0,6 t} + 24) \cdot e^{- 1,2 t}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 12 e^{0,6 t} + 24$	=	0	\| $- 24$
$- 12 e^{0,6 t}$	=	$- 24$	\|: $- 12$
$e^{0,6 t}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$0,6 t$	=	$\ln (2)$	\|: $0,6$
t₁	=	$\frac{1}{0.6} \ln (2)$	≈ 1.1552

2. Fall:

e^{- 1,2 t}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung t= $\frac{1}{0.6} \ln (2)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

f''( $1.1552$ ) = $e^{- 1,2 \cdot 1.1552} \cdot (7,2 e^{0,6 \cdot 1.1552} - 28,8)$ = $e^{- 1,38624} \cdot (7,2 e^{0,69312} - 28,8)$ = $e^{- 1,38624} \cdot (7,2 e^{0,69312} - 28,8)$ <0

Das heißt bei t = $1.1552$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $1.1552$ ) = $20 e^{- 0,6 \cdot 1.1552} - 20 e^{- 1,2 \cdot 1.1552}$ = $20 e^{- 0,69312} - 20 e^{- 1,38624}$ ≈ 5
Man erhält so den Hochpunkt H:( $1.1552$ | $20 e^{- 0,69312} - 20 e^{- 1,38624}$ )

≈ H:(1.155|5)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $20 e^{- 0,6 \cdot 0} - 20 e^{- 1,2 \cdot 0}$ = 0. Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → $0 + 0$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

5 ist also der größte Wert der Funktion.

Erster t-Wert bei y = $\frac{391}{80}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{391}{80}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{391}{80}$ und lösen nach t auf:

20 e^{- 0,6 t} - 20 e^{- 1,2 t}

=

\frac{391}{80}

|

- \frac{391}{80}

20 e^{- 0,6 t} - 20 e^{- 1,2 t} - \frac{391}{80}

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$20 e^{- 0,6 t} - 20 e^{- 1,2 t} - \frac{391}{80}$	=	0	\|⋅ $e^{1,2 x}$
$- \frac{391}{80} e^{1,2 t} + 20 e^{0,6 t} - 20$	=	0

Setze u = $e^{0,6 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{391}{80} u^{2} + 20 u - 20$	=	0	\|⋅ 80
$80 (- \frac{391}{80} u^{2} + 20 u - 20)$	=	0

$- 391 u^{2} + 1 600 u - 1 600$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 1 600$

Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $\int_{0}^{3} (20 e^{- 0,6 t} - 20 e^{- 1,2 t}) ⅆ t$ berechnet werden.

$\int_{0}^{3} (20 e^{- 0,6 t} - 20 e^{- 1,2 t}) ⅆ t$
= ${[- \frac{100}{3} e^{- 0,6 x} + \frac{50}{3} e^{- 1,2 x}]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{100}{3} e^{- 0,6 \cdot 3} + \frac{50}{3} e^{- 1,2 \cdot 3} - (- \frac{100}{3} e^{- 0,6 \cdot 0} + \frac{50}{3} e^{- 1,2 \cdot 0})$
= $- \frac{100}{3} e^{- 1,8} + \frac{50}{3} e^{- 3,6} - (- \frac{100}{3} e^{0} + \frac{50}{3} e^{0})$
= $- \frac{100}{3} e^{- 1,8} + \frac{50}{3} e^{- 3,6} - (- \frac{100}{3} + \frac{50}{3})$
= $- \frac{100}{3} e^{- 1,8} + \frac{50}{3} e^{- 3,6} - 1 \cdot (- \frac{50}{3})$
= $- \frac{100}{3} e^{- 1,8} + \frac{50}{3} e^{- 3,6} + \frac{50}{3}$

≈ 11,612

11.61 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

Aufgabenbeispiele von allgemein

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