Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\left(x-4\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|16) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·\left(0-4\right)$ = $8$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $2·\left(0-2\right)·\left(0-4\right)$ = $16$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right)\left(x-4\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $3$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·\left(x+4\right)$ = $x^2+x-12$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $15+12e^{-\mathrm{0,4}\cdot 4}$ = $12e^{-\mathrm{1,6}}+15$ ≈ 17.4

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15+12e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

3. Erster t-Wert bei y = 19

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=19 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 19 und lösen nach t auf:

   $15+12e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $19$

   $12e^{-\mathrm{0,4}t}+15$	=	$19$	| $-15$
   $12e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$4$	|:$12$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{1}{3}\right)$	≈ 2.7465

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 19 annimmt, ist also nach 2.75 Tage.