Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -3
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|18)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|18) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei einfach das x von durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Wie für x → -∞ strebt für x → ∞ gegen 0.
- Wie für x → ∞ strebt für x → -∞ gegen ∞ .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 =
x3 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit
- Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 5 heruntergeladen?.
- Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
- Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 18 (Tausend)?
- Wie viele Tausend Downloads werden zwischen Tag 0 und Tag 3 insgesamt heruntergeladen?
- y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) =
=40 - 39 e - 0,5 ⋅ 5 ≈ 36.8- 39 e - 2,5 + 40
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→40 - 39 e - 0,5 t 40 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.40 - Erster t-Wert bei y = 18
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=18 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 18 und lösen nach t auf:
40 - 39 e - 0,5 t = 18 - 39 e - 0,5 t + 40 = 18 | - 40 - 39 e - 0,5 t = - 22 |: - 39 e - 0,5 t = 22 39 |ln(⋅) - 0,5 t = ln ( 22 39 ) |: - 0,5 t = - 1 0.5 ln ( 22 39 ) ≈ 1.145 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 18 annimmt, ist also nach 1.15 Tage.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 40 - 39 e - 0,5 t ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 40 - 39 e - 0,5 t ) ⅆ t =
[ 40 x + 78 e - 0,5 x ] 0 3 = 40 ⋅ 3 + 78 e - 0,5 ⋅ 3 - ( 40 ⋅ 0 + 78 e - 0,5 ⋅ 0 ) =
120 + 78 e - 1,5 - ( 0 + 78 e 0 ) =
78 e - 1,5 + 120 - ( 0 + 78 ) =
78 e - 1,5 + 120 - 78 =
78 e - 1,5 + 42
≈ 59,40459.4 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
