Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·{\left(x-1\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term $x{\left(x-1\right)}^2$ = $x^3-2x^2+x$ für x → -∞ : f(x) gegen +∞ und nicht wie gefordert gegen -∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
$-x{\left(x-1\right)}^2$ = $-x^3+2x^2-x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-2e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^8-7x^6-18x^4$	=	0
$x^4\left(x^4-7x^2-18\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-7u-18$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-7x^2-18$ =nach Substitution $u^2-7u-18$ = $\left(u-9\right)·\left(u+2\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+2\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^4·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x^2+2\right)$ = $x^8-7x^6-18x^4$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $30+30e^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}$ = $30e^{-\mathrm{1,8}}+30$ ≈ 35

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30+30e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

3. Erster t-Wert bei y = 43

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=43 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 43 und lösen nach t auf:

   $30+30e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $43$

   $30e^{-\mathrm{0,6}t}+30$	=	$43$	| $-30$
   $30e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$13$	|:$30$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{13}{30}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{13}{30}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{13}{30}\right)$	≈ 1.3937

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 43 annimmt, ist also nach 1.39 Tage.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+30e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+30e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[30x-50e^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3-50e^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(30\cdot 0-50e^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $90-50e^{-\mathrm{1,8}}-\left(0-50e^0\right)$

   = $-50e^{-\mathrm{1,8}}+90-\left(0-50\right)$

   = $-50e^{-\mathrm{1,8}}+90+50$

   = $-50e^{-\mathrm{1,8}}+140$

   
   ≈ 131,735

   131.74 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.