Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N₁(2|0) und N₂(0|0)
Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $(x - 2) \cdot (x + 0)$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $(x - 2) x$ = $x^{2} - 2 x$ für x → +∞ gegen +∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x} - 3$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x} - 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^{x} - 3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x} - 3$ für x → ∞ gegen ∞ .
Für x → -∞ strebt $e^{x} - 3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{6} + 14 x^{5} + 24 x^{4}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2 x^{6} + 14 x^{5} + 24 x^{4}$	=	0
$2 x^{4} (x^{2} + 7 x + 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₃ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ ; 0}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $2 x^{4} \cdot (x + 3) \cdot (x + 4)$ = $2 x^{6} + 14 x^{5} + 24 x^{4}$

Anwendungen

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 6 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $\frac{1}{2} (- t^{3} + 5 t^{2})$ beschrieben werden f(t) in m/s, t in s nach Beobachtungsbeginn. Zu Beobachtungsbeginn ist der Fahrstuhl auf 5 m Höhe.

Wie schnell (in m/s) ist der Fahrstuhl nach 2 Sekunden?
Wann ist die Fahrstuhlgeschwindigkeit am größten?
Bestimme die maximale Beschleunigung des Fahrstuhls.
Wann hat der Fahrstuhl erstmals keine Geschwindigkeit?
Bestimme die maximale Höhe, die der Fahrstuhl erreicht.

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $\frac{1}{2} (- 2^{3} + 5 \cdot 2^{2})$ = $6$

t-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $\frac{10}{3}$ |9.26) einblenden

$f(t) =$ $\frac{1}{2} (- t^{3} + 5 t^{2})$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $\frac{1}{2} (- 3 t^{2} + 10 t)$

$f''(t) =$ $\frac{1}{2} (- 6 t + 10)$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{1}{2} (- 3 t^{2} + 10 t)$	=	0
$- \frac{3}{2} t^{2} + 5 t$	=	0
$\frac{1}{2} t (- 3 t + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$- 3 t + 10$	=	0	\| $- 10$
$- 3 t$	=	$- 10$	\|:( $- 3$ )
t₂	=	$\frac{10}{3}$

Die Lösungen 0, $\frac{10}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

1.: t= $0$

f''( $0$ ) = $\frac{1}{2} (- 6 \cdot 0 + 10)$ = $\frac{1}{2} (0 + 10)$ = $5$ >0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $\frac{1}{2} (- 0^{3} + 5 \cdot 0^{2})$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

2.: t= $\frac{10}{3}$

f''( $\frac{10}{3}$ ) = $\frac{1}{2} (- 6 \cdot (\frac{10}{3}) + 10)$ = $\frac{1}{2} (- 20 + 10)$ = $\frac{1}{2} \cdot (- 10)$ <0

Das heißt bei t = $\frac{10}{3}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $\frac{10}{3}$ ) = $\frac{1}{2} (- {(\frac{10}{3})}^{3} + 5 \cdot {(\frac{10}{3})}^{2})$ = $\frac{250}{27}$ ≈ 9.259
Man erhält so den Hochpunkt H:( $\frac{10}{3}$ | $\frac{250}{27}$ )

≈ H:(3.333|9.259)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $\frac{1}{2} (- 0^{3} + 5 \cdot 0^{2})$ = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(6) = $\frac{1}{2} (- 6^{3} + 5 \cdot 6^{2})$ = $- 18$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

Bei t = $\frac{10}{3}$ ist also der größte Wert der Funktion.

y-Wert des Maximums der Ableitung

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt der Ableitung.

Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

f'(t)= $\frac{1}{2} (- 3 x^{2} + 10 x)$

= $\frac{1}{2} x (- 3 x + 10)$

Wir berechnen also die Extremstellen von f':

Detail-Rechnung für den Hochpunkt der Ableitung ( $\frac{5}{3}$ |4.17) einblenden

$f'(t) =$ $\frac{1}{2} t (- 3 t + 10)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(t) =$ $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (- 3 t + 10) + \frac{1}{2} t \cdot (- 3 + 0)$

= $- 3 t + 5$

$f'''(t) =$ $- 3 + 0$

= $- 3$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

$- 3 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 3 t$	=	$- 5$	\|:( $- 3$ )
$t$	=	$\frac{5}{3}$

Die Lösung t= $\frac{5}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

f'''( $\frac{5}{3}$ ) = $- 3$ = $- 3$ = $- 3$ <0

Das heißt bei t = $\frac{5}{3}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
f'( $\frac{5}{3}$ ) = $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot (- 3 \cdot (\frac{5}{3}) + 10)$ = $\frac{25}{6}$ ≈ 4.167
Man erhält so den Hochpunkt H:( $\frac{5}{3}$ | $\frac{25}{6}$ )

≈ H:(1.667|4.167)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (- 3 \cdot 0 + 10)$ = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(6) = $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (- 3 \cdot 6 + 10)$ = $- 24$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.

4.17 ist also der größte Wert der Ableitungsfunktion.

Erste Nullstelle

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

$\frac{1}{2} (- t^{3} + 5 t^{2})$	=	0
$- \frac{1}{2} t^{3} + \frac{5}{2} t^{2}$	=	0
$\frac{1}{2} t^{2} (- t + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$t^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	0

2. Fall:

$- t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- t$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
t₂	=	$5$

Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0 und $5$ .

Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 s.

maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei 0 und $5$ .
Da f(4) ≈ 8 > 0 und f(6) ≈ -18 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 5.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 5 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 5 s lässt sich berechnen durch:

$\int_{0}^{5} (\frac{1}{2} (- t^{3} + 5 t^{2})) ⅆ t$
= ${[\frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{3} x^{3})]}_{0}^{5}$
$=$ $\frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 5^{4} + \frac{5}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{5}{3} \cdot 0^{3})$
= $\frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 625 + \frac{5}{3} \cdot 125) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{5}{3} \cdot 0)$
= $\frac{1}{2} (- \frac{625}{4} + \frac{625}{3}) - \frac{1}{2} (0 + 0)$
= $\frac{1}{2} (- \frac{1875}{12} + \frac{2500}{12}) + 0$
= $\frac{1}{2} \cdot \frac{625}{12}$
= $\frac{625}{24}$

≈ 26,042
Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 5 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
B_max = 5 m + 26.04 m = 31.04 m.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

1.: t=0

2.: t= 10 3

Randwertuntersuchung

Randwertuntersuchung

1.: t= $0$

2.: t= $\frac{10}{3}$