Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +1 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= ( x +1 ) · e -x . Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
f(x)= ( x +1 ) · e -x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= -3 e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden zwar (wie bei e x ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Während e x für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
  • Wie e x strebt für x → -∞ auch -3 e x gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 6 -7 x 4 -18 x 2 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 6 -7 x 4 -18 x 2 = 0
x 2 ( x 4 -7 x 2 -18 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 4 -7 x 2 -18 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -7u -18 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · ( -18 ) 21

u1,2 = +7 ± 49 +72 2

u1,2 = +7 ± 121 2

u1 = 7 + 121 2 = 7 +11 2 = 18 2 = 9

u2 = 7 - 121 2 = 7 -11 2 = -4 2 = -2

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x2 = - 9 = -3
x3 = 9 = 3

u2: x 2 = -2

x 2 = -2 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 0; 3 }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term u 2 -7u -18 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 -7 x 2 -18 =nach Substitution u 2 -7u -18 = ( u -9 ) · ( u +2 ) =nach Re-Substitution ( -9 ) · ( +2 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= x 2 · ( x +3 ) · ( x -3 ) · ( x 2 +2 ) = x 6 -7 x 4 -18 x 2

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 45 -37 e -0,3t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 3 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 5 Jahren?
  2. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  3. Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?

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  1. y-Wert bei t = 5

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = 45 -37 e -0,35 = -37 e -1,5 +45 ≈ 36.7


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 45 -37 e -0,3x 45 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 45 .

  3. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral 0 3 ( 45 -37 e -0,3x ) x berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 45 -37 e -0,3x ) x

    = [ 45x + 370 3 e -0,3x ] 0 3

    = 453 + 370 3 e -0,33 - ( 450 + 370 3 e -0,30 )

    = 135 + 370 3 e -0,9 - (0 + 370 3 e 0 )

    = 370 3 e -0,9 +135 - (0 + 370 3 )

    = 370 3 e -0,9 +135 - (0 + 370 3 )

    = 370 3 e -0,9 +135 - 370 3

    = 370 3 e -0,9 + 35 3


    ≈ 61,81

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 3 + 61.81 = 64.81

    64.81 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.