Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞

Lösung einblenden

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +2 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= ( x +2 ) · e x . Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
f(x)= ( x +2 ) · e x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -x einfach das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von e -x indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Wie e x für x → -∞ strebt e -x für x → ∞ gegen 0.
  • Wie e x für x → ∞ strebt e -x für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 +4 x 2 -5 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 +4 x 2 -5 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u -5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -5 ) 21

u1,2 = -4 ± 16 +20 2

u1,2 = -4 ± 36 2

u1 = -4 + 36 2 = -4 +6 2 = 2 2 = 1

u2 = -4 - 36 2 = -4 -6 2 = -10 2 = -5

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term u 2 +4u -5 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 +4 x 2 -5 =nach Substitution u 2 +4u -5 = ( u -1 ) · ( u +5 ) =nach Re-Substitution ( -1 ) · ( +5 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= ( x +1 ) · ( x -1 ) · ( x 2 +5 ) = x 4 +4 x 2 -5

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 4 durch die Funktion f mit f(t)= 1 10 t 4 - 4 5 t 2 +3 beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

  1. Wann werden die wenigsten Downloads heruntergeladen?
  2. Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 39 10 (Tausend)?
  3. Wie viele Tausend Downloads werden zwischen Tag 0 und Tag 3 insgesamt heruntergeladen?

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  1. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (2 |1.4) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 1 10 0 4 - 4 5 0 2 +3 = 3 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(4) = 1 10 4 4 - 4 5 4 2 +3 = 79 5 .

    Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = 3 .

    Bei t = 2 ist also der kleinste Wert der Funktion.


  2. Erster t-Wert bei y = 39 10

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= 39 10 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 39 10 und lösen nach t auf:

    1 10 t 4 - 4 5 t 2 +3 = 39 10 | - 39 10
    1 10 t 4 - 4 5 t 2 - 9 10 = 0

    Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

    Setze u = t 2

    Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

    1 10 u 2 - 4 5 u - 9 10 = 0 |⋅ 10
    10( 1 10 u 2 - 4 5 u - 9 10 ) = 0

    u 2 -8u -9 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    u1,2 = +8

  3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

    Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral 0 3 ( 1 10 t 4 - 4 5 t 2 +3 ) t berechnet werden.

    0 3 ( 1 10 t 4 - 4 5 t 2 +3 ) t

    = [ 1 50 x 5 - 4 15 x 3 +3x ] 0 3

    = 1 50 3 5 - 4 15 3 3 +33 - ( 1 50 0 5 - 4 15 0 3 +30 )

    = 1 50 243 - 4 15 27 +9 - ( 1 50 0 - 4 15 0 +0)

    = 243 50 - 36 5 +9 - (0+0+0)

    = 243 50 - 360 50 + 450 50 +0

    = 333 50


    = 6,66

    6.66 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.