Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 4 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·{\left(x-4\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|64) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·{\left(0-4\right)}^2$ = $-32$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0-2\right)·{\left(0-4\right)}^2$ = $64$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right){\left(x-4\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+1}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x+1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^7-20x^5+64x^3$	=	0
$x^3\left(x^4-20x^2+64\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; $-2$; 0; $2$; $4$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^3·\left(x+4\right)·\left(x-4\right)·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $x^7-20x^5+64x^3$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $25+20e^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}$ = $20e^{-\mathrm{1,2}}+25$ ≈ 31

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25+20e^{-\mathrm{0,4}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

3. Erster t-Wert bei y = 29

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=29 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 29 und lösen nach t auf:

   $25+20e^{-\mathrm{0,4}t}$ = $29$

   $20e^{-\mathrm{0,4}t}+25$	=	$29$	| $-25$
   $20e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$4$	|:$20$
   $e^{-\mathrm{0,4}t}$	=	$\frac{1}{5}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,4}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{5}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.4}\ln \left(\frac{1}{5}\right)$	≈ 4.0236

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 29 annimmt, ist also nach 4.02 Tage.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+20e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+20e^{-\mathrm{0,4}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x-50e^{-\mathrm{0,4}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3-50e^{-\mathrm{0,4}\cdot 3}-\left(25\cdot 0-50e^{-\mathrm{0,4}\cdot 0}\right)$

   = $75-50e^{-\mathrm{1,2}}-\left(0-50e^0\right)$

   = $-50e^{-\mathrm{1,2}}+75-\left(0-50\right)$

   = $-50e^{-\mathrm{1,2}}+75+50$

   = $-50e^{-\mathrm{1,2}}+125$

   
   ≈ 109,94

   109.94 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.