Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^x$. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, hat der Graph von $e^x+3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+3$ gegen 0 +3, also gegen 3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^8-3x^6-54x^4$	=	0
$x^4\left(x^4-3x^2-54\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-3u-54$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-3x^2-54$ =nach Substitution $u^2-3u-54$ = $\left(u-9\right)·\left(u+6\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+6\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^4·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x^2+6\right)$ = $x^8-3x^6-54x^4$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $30+21e^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}$ = $21e^{-\mathrm{0,9}}+30$ ≈ 38.5

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30+21e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

3. Erster t-Wert bei y = 42

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=42 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 42 und lösen nach t auf:

   $30+21e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $42$

   $21e^{-\mathrm{0,3}t}+30$	=	$42$	| $-30$
   $21e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$12$	|:$21$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{4}{7}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{4}{7}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{4}{7}\right)$	≈ 1.8654

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 42 annimmt, ist also nach 1.87 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+21e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+21e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[30x-70e^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3-70e^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(30\cdot 0-70e^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $90-70e^{-\mathrm{0,9}}-\left(0-70e^0\right)$

   = $-70e^{-\mathrm{0,9}}+90-\left(0-70\right)$

   = $-70e^{-\mathrm{0,9}}+90+70$

   = $-70e^{-\mathrm{0,9}}+160$

   
   ≈ 131,54

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 1 + 131.54 = 132.54

   132.54 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.