Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(2|0) und N2(4|0)
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|16)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|16) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am negativen Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden zwar (wie bei ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Während für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
- Wie strebt für x → -∞ auch gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
|
| x4 | = |
|
=
|
| x5 | = |
|
=
|
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 4 durch die Funktion f mit
- Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 3 heruntergeladen?.
- Wann werden die wenigsten Downloads heruntergeladen?
- Wie viele Tausend Downloads wurden insgesamt nach den ersten 3 Tagen heruntergeladen?
- y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) =
=3 3 - 4 ⋅ 3 2 + 13 4
- t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (
|3.52) einblenden8 3 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=0 3 - 4 ⋅ 0 2 + 13 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(4) =13 =4 3 - 4 ⋅ 4 2 + 13 .13 Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) =
.13 Bei t =
ist also der kleinste Wert der Funktion.8 3
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( t 3 - 4 t 2 + 13 ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( t 3 - 4 t 2 + 13 ) ⅆ t =
[ 1 4 x 4 - 4 3 x 3 + 13 x ] 0 3 = 1 4 ⋅ 3 4 - 4 3 ⋅ 3 3 + 13 ⋅ 3 - ( 1 4 ⋅ 0 4 - 4 3 ⋅ 0 3 + 13 ⋅ 0 ) =
1 4 ⋅ 81 - 4 3 ⋅ 27 + 39 - ( 1 4 ⋅ 0 - 4 3 ⋅ 0 + 0 ) =
81 4 - 36 + 39 - ( 0 + 0 + 0 ) =
81 4 - 144 4 + 156 4 + 0 =
93 4
= 23,25Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 0 + 23.25 = 23.2523.25 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
