Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(1|0) und N2(-1|0)
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|2)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt für x → ∞ auch gegen ∞.
- Wie strebt für x → -∞ auch gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 2 Dezimeter hoch.
- Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
- Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 26 dm pro Jahr?
- Wie hoch ist der Baum nach 3 Jahren?
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→30 - 17 e - 0,6 t 30 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.30 - Erster t-Wert bei y = 26
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=26 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 26 und lösen nach t auf:
30 - 17 e - 0,6 t = 26 - 17 e - 0,6 t + 30 = 26 | - 30 - 17 e - 0,6 t = - 4 |: - 17 e - 0,6 t = 4 17 |ln(⋅) - 0,6 t = ln ( 4 17 ) |: - 0,6 t = - 1 0.6 ln ( 4 17 ) ≈ 2.4115 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 26 annimmt, ist also nach 2.41 Jahre.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 2 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 30 - 17 e - 0,6 t ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 30 - 17 e - 0,6 t ) ⅆ t =
[ 30 x + 85 3 e - 0,6 x ] 0 3 = 30 ⋅ 3 + 85 3 e - 0,6 ⋅ 3 - ( 30 ⋅ 0 + 85 3 e - 0,6 ⋅ 0 ) =
90 + 85 3 e - 1,8 - ( 0 + 85 3 e 0 ) =
85 3 e - 1,8 + 90 - ( 0 + 85 3 ) =
85 3 e - 1,8 + 90 - ( 0 + 85 3 ) =
85 3 e - 1,8 + 90 - 85 3 =
85 3 e - 1,8 + 185 3
≈ 66,35Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 2 + 66.35 = 68.3568.35 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
