Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^3-6x^2-24x$	=	0
$3x\left(x^2-2x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $4$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x·\left(x-4\right)·\left(x+2\right)$ = $3x^3-6x^2-24x$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20-17e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

2. Erster t-Wert bei y = 19

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=19 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 19 und lösen nach t auf:

   $20-17e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $19$

   $-17e^{-\mathrm{0,3}t}+20$	=	$19$	| $-20$
   $-17e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-1$	|:$-17$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{1}{17}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{17}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{1}{17}\right)$	≈ 9.444

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 19 annimmt, ist also nach 9.44 Tage.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-17e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-17e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x+\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3+\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(20\cdot 0+\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $60+\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0+\frac{170}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60-\left(0+\frac{170}{3}\right)$

   = $\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60-\left(0+\frac{170}{3}\right)$

   = $\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+60-\frac{170}{3}$

   = $\frac{170}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{10}{3}$

   
   ≈ 26,372

   26.37 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.