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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N₁(0|0) und N₂(2|0)
Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x - 2)$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term $x (x - 2)$ = $x^{2} - 2 x$ für x → +∞ : f(x) gegen +∞ und nicht wie gefordert gegen -∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
$- x (x - 2)$ = $- x^{2} + 2 x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 1}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 1}$ einfach das x von $e^{x}$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{3} - 2 x^{2}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{4} + x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{2} \cdot (x - 1) \cdot (x + 2)$ = $x^{4} + x^{3} - 2 x^{2}$

Anwendungen

Beispiel:

Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $50 - 41 e^{- 0,4 t}$ beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
Wann hat das Getränk die Temperatur von 30 erreicht?

Lösung einblenden

Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

Für t → ∞ ⇒ f(t)= $50 - 41 e^{- 0,4 t}$ → $50 + 0$

Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $50$ .

Erster t-Wert bei y = 30

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=30 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = 30 und lösen nach t auf:

50 - 41 e^{- 0,4 t}

=

30

$- 41 e^{- 0,4 t} + 50$	=	$30$	\| $- 50$
$- 41 e^{- 0,4 t}$	=	$- 20$	\|: $- 41$
$e^{- 0,4 t}$	=	$\frac{20}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,4 t$	=	$\ln (\frac{20}{41})$	\|: $- 0,4$
$t$	=	$- \frac{1}{0.4} \ln (\frac{20}{41})$	≈ 1.7946

Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 30 annimmt, ist also nach 1.79 min.

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