Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x+0\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term $\left(x+1\right)x$ = $x^2+x$ für x → -∞ : f(x) gegen -∞ und nicht wie gefordert gegen +∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
$-\left(x+1\right)x$ = $-x^2-x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^5+6x^4-8x^3$	=	0
$2x^3\left(x^2+3x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0; $1$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^3·\left(x-1\right)·\left(x+4\right)$ = $2x^5+6x^4-8x^3$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $30+18e^{-\mathrm{0,5}\cdot 5}$ = $18e^{-\mathrm{2,5}}+30$ ≈ 31.5

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30+18e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

3. Erster t-Wert bei y = 33

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=33 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 33 und lösen nach t auf:

   $30+18e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $33$

   $18e^{-\mathrm{0,5}t}+30$	=	$33$	| $-30$
   $18e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$3$	|:$18$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{1}{6}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{6}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{1}{6}\right)$	≈ 3.5835

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 33 annimmt, ist also nach 3.58 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+18e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+18e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[30x-36e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3-36e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(30\cdot 0-36e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $90-36e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0-36e^0\right)$

   = $-36e^{-\mathrm{1,5}}+90-\left(0-36\right)$

   = $-36e^{-\mathrm{1,5}}+90+36$

   = $-36e^{-\mathrm{1,5}}+126$

   
   ≈ 117,967

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 3 + 117.967 = 120.967

   120.97 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.