Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -4 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·{\left(x+4\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-32) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+2\right)·{\left(0+4\right)}^2$ = $32$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0+2\right)·{\left(0+4\right)}^2$ = $-32$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right){\left(x+4\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-2}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 2 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-2}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-2}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4+x^2-20$

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $4$

u₂: $x^2$ = $-5$

L={ $-2$; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2+u-20$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+x^2-20$ =nach Substitution $u^2+u-20$ = $\left(u-4\right)·\left(u+5\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+5\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+5\right)$ = $x^4+x^2-20$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15+9e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

2. Erster t-Wert bei y = 16

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=16 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 16 und lösen nach t auf:

   $15+9e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $16$

   $9e^{-\mathrm{0,5}t}+15$	=	$16$	| $-15$
   $9e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$1$	|:$9$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{1}{9}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{9}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{1}{9}\right)$	≈ 4.3944

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 16 annimmt, ist also nach 4.39 Jahre.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+9e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+9e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[15x-18e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $15\cdot 3-18e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(15\cdot 0-18e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $45-18e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0-18e^0\right)$

   = $-18e^{-\mathrm{1,5}}+45-\left(0-18\right)$

   = $-18e^{-\mathrm{1,5}}+45+18$

   = $-18e^{-\mathrm{1,5}}+63$

   
   ≈ 58,984

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 1 + 58.984 = 59.984

   59.98 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.