Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^4-3x^3-18x^2$	=	0
$3x^2\left(x^2-x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $3$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x^2·\left(x-3\right)·\left(x+2\right)$ = $3x^4-3x^3-18x^2$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30+15e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

2. Erster t-Wert bei y = 36

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=36 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 36 und lösen nach t auf:

   $30+15e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $36$

   $15e^{-\mathrm{0,6}t}+30$	=	$36$	| $-30$
   $15e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$6$	|:$15$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{2}{5}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{2}{5}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{2}{5}\right)$	≈ 1.5272

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 36 annimmt, ist also nach 1.53 Tage.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+15e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30+15e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[30x-25e^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3-25e^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(30\cdot 0-25e^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $90-25e^{-\mathrm{1,8}}-\left(0-25e^0\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{1,8}}+90-\left(0-25\right)$

   = $-25e^{-\mathrm{1,8}}+90+25$

   = $-25e^{-\mathrm{1,8}}+115$

   
   ≈ 110,868

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 110.868 = 110.868

   110.87 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.