Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2x^5+6x^3-56x$	=	0
$2x\left(x^4+3x^2-28\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+3u-28$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+3x^2-28$ =nach Substitution $u^2+3u-28$ = $\left(u-4\right)·\left(u+7\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-4\right)·\left(\mathrm{x²}+7\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)·\left(x^2+7\right)$ = $2x^5+6x^3-56x$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $30-18e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $30+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $30$.

2. Erster t-Wert bei y = 23

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=23 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 23 und lösen nach t auf:

   $30-18e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $23$

   $-18e^{-\mathrm{0,5}t}+30$	=	$23$	| $-30$
   $-18e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-7$	|:$-18$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{7}{18}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{7}{18}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{7}{18}\right)$	≈ 1.8889

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 23 annimmt, ist also nach 1.89 Tage.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-18e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(30-18e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[30x+36e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $30\cdot 3+36e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(30\cdot 0+36e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $90+36e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0+36e^0\right)$

   = $36e^{-\mathrm{1,5}}+90-\left(0+36\right)$

   = $36e^{-\mathrm{1,5}}+90-36$

   = $36e^{-\mathrm{1,5}}+54$

   
   ≈ 62,033

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 0 + 62.033 = 62.033

   62.03 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.