Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-2|0) und N2(-3|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|6)

Lösung einblenden

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x +2 ) · ( x +3 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|6) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 +2 ) · ( 0 +3 ) = 6

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= ( x +2 ) ( x +3 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -3 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -3 zu jedem Funktionswert von e x noch -3 addiert wird, hat der Graph von e x -3 die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x -3 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Für x → -∞ strebt e x -3 gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 2 + x -2 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 2 + x -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +8 2

x1,2 = -1 ± 9 2

x1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

x2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; 1 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= ( x -1 ) · ( x +2 ) = x 2 + x -2

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 +5 beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 10 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 40 m³ Wasser im Tank.

  1. Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?
  2. Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?
  3. Wie lange liegt die Änderungsrate des Wasservolumens bei mindestens 869 100 m³/min?
  4. Zu welchem Zeitpunktz ist am meisten Wasser im Tank?

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  1. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt (5 |11.25) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = - 1 100 0 4 + 1 2 0 2 +5 = 5 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(10) = - 1 100 10 4 + 1 2 10 2 +5 = -45 .

    Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

    Bei t = 5 ist also der größte Wert der Funktion.


  2. Erste Nullstelle

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

    - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 +5 = 0

    Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

    Setze u = t 2

    Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

    - 1 100 u 2 + 1 2 u +5 = 0 |⋅ 100
    100( - 1 100 u 2 + 1 2 u +5 ) = 0

    - u 2 +50u +500 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    u1,2 = -50

  3. Abstand der beiden Schnittstellen mit 869 100

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= 869 100 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 869 100 und lösen nach t auf:

    - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 +5 = 869 100 | - 869 100
    - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 - 369 100 = 0

    Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

    Setze u = t 2

    Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

    - 1 100 u 2 + 1 2 u - 369 100 = 0 |⋅ 100
    100( - 1 100 u 2 + 1 2 u - 369 100 ) = 0

    - u 2 +50u -369 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    u1,2 = -50

  4. t-Wert beim maximalen Bestand

    Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

    Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

    Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei 7,651 .

    Da f(6.7) ≈ 7.5 > 0 und f(8.7) ≈ -13.6 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 7.65.

    Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 7.65 min.