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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1
Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|-2)

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 1$ .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot {(x - 1)}^{2}$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $(0 + 1) \cdot {(0 - 1)}^{2}$ = $1$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $- 2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $- 2 \cdot (0 + 1) \cdot {(0 - 1)}^{2}$ = $- 2$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $f(x) =$ $- 2 (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^{x}$ ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
Während $e^{x}$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
Wie $e^{x}$ strebt für x → -∞ auch $- 2 e^{x}$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{6} + 20 x^{5} + 50 x^{4}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2 x^{6} + 20 x^{5} + 50 x^{4}$	=	0
$2 x^{4} (x^{2} + 10 x + 25)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; 0}

$- 5$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $2 x^{4} \cdot {(x + 5)}^{2}$ = $2 x^{6} + 20 x^{5} + 50 x^{4}$

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 5 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $\frac{1}{2} t^{3} - \frac{5}{2} t^{2} + 12$ beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

Bestimme die minimale tägliche Downloadzahl.
Wann nimmt die tägliche Downloadzahl am stärksten ab?
Wie viele Tausend Downloads werden zwischen Tag 0 und Tag 3 insgesamt heruntergeladen?

Lösung einblenden

y-Wert des Minimums (TP)

Gesucht ist der y-Wert des Tiefpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ( $\frac{10}{3}$ |2.74) einblenden

$f(t) =$ $\frac{1}{2} t^{3} - \frac{5}{2} t^{2} + 12$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $\frac{3}{2} t^{2} - 5 t + 0$

= $\frac{3}{2} t^{2} - 5 t$

$f''(t) =$ $3 t - 5$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{3}{2} t^{2} - 5 t$	=	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} t^{2} - 5 t)$	=
$3 t^{2} - 10 t$	=
$t (3 t - 10)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$3 t - 10$	=	0	\| $+ 10$
$3 t$	=	$10$	\|: $3$
t₂	=	$\frac{10}{3}$

Die Lösungen 0, $\frac{10}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

1.: t= $0$

f''( $0$ ) = $3 \cdot 0 - 5$ = $0 - 5$ = $- 5$ <0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $\frac{1}{2} \cdot 0^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 12$ = $12$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $12$ )

2.: t= $\frac{10}{3}$

f''( $\frac{10}{3}$ ) = $3 \cdot (\frac{10}{3}) - 5$ = $10 - 5$ = $5$ >0

Das heißt bei t = $\frac{10}{3}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $\frac{10}{3}$ ) = $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{10}{3})}^{3} - \frac{5}{2} \cdot {(\frac{10}{3})}^{2} + 12$ = $\frac{74}{27}$ ≈ 2.741
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $\frac{10}{3}$ | $\frac{74}{27}$ )

≈ T:(3.333|2.741)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $\frac{1}{2} \cdot 0^{3} - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 12$ = $12$ . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(5) = $\frac{1}{2} \cdot 5^{3} - \frac{5}{2} \cdot 5^{2} + 12$ = $12$ .

Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f(0) = $12$ .

2.74 ist also der kleinste Wert der Funktion.

t-Wert bei der stärksten Abnahme

Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.

Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

f'(t)= $\frac{3}{2} x^{2} - 5 x + 0$

= $\frac{1}{2} x (3 x - 10)$

Wir berechnen also die Extremstellen von f':

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung ( $\frac{5}{3}$ |-4.17) einblenden

$f'(t) =$ $\frac{1}{2} t (3 t - 10)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(t) =$ $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (3 t - 10) + \frac{1}{2} t \cdot (3 + 0)$

= $3 t - 5$

$f'''(t) =$ $3 + 0$

= $3$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

$3 t - 5$	=	0	\| $+ 5$
$3 t$	=	$5$	\|: $3$
$t$	=	$\frac{5}{3}$

Die Lösung t= $\frac{5}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

f'''( $\frac{5}{3}$ ) = $3$ = $3$ = $3$ >0

Das heißt bei t = $\frac{5}{3}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
f'( $\frac{5}{3}$ ) = $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot (3 \cdot (\frac{5}{3}) - 10)$ = $- \frac{25}{6}$ ≈ -4.167
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $\frac{5}{3}$ | $- \frac{25}{6}$ )

≈ T:(1.667|-4.167)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (3 \cdot 0 - 10)$ = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(5) = $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (3 \cdot 5 - 10)$ = $\frac{25}{2}$ .

Weil der Funktionswert am linken Rand größer als am Hochpunkt ist, ist das (globale) Maximum bei 0 mit f'(0) = 0 .

Bei t = $\frac{5}{3}$ ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.

Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $\int_{0}^{3} (\frac{1}{2} t^{3} - \frac{5}{2} t^{2} + 12) ⅆ t$ berechnet werden.

$\int_{0}^{3} (\frac{1}{2} t^{3} - \frac{5}{2} t^{2} + 12) ⅆ t$
= ${[\frac{1}{8} x^{4} - \frac{5}{6} x^{3} + 12 x]}_{0}^{3}$
$=$ $\frac{1}{8} \cdot 3^{4} - \frac{5}{6} \cdot 3^{3} + 12 \cdot 3 - (\frac{1}{8} \cdot 0^{4} - \frac{5}{6} \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0)$
= $\frac{1}{8} \cdot 81 - \frac{5}{6} \cdot 27 + 36 - (\frac{1}{8} \cdot 0 - \frac{5}{6} \cdot 0 + 0)$
= $\frac{81}{8} - \frac{45}{2} + 36 - (0 + 0 + 0)$
= $\frac{81}{8} - \frac{180}{8} + \frac{288}{8} + 0$
= $\frac{189}{8}$

= 23,625

23.63 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

1.: t=0

2.: t= 10 3

Randwertuntersuchung

Randwertuntersuchung

1.: t= $0$

2.: t= $\frac{10}{3}$