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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2
Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|-4)

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 1$ .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -2 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot {(x + 2)}^{2}$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $(0 + 1) \cdot {(0 + 2)}^{2}$ = $4$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $- 1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $- (0 + 1) \cdot {(0 + 2)}^{2}$ = $- 4$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $f(x) =$ $- (x + 1) {(x + 2)}^{2}$ .

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x} + 2$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, hat der Graph von $e^{x} + 2$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x} + 2$ für x → ∞ gegen ∞ .
Für x → -∞ strebt $e^{x} + 2$ gegen 0 +2, also gegen 2.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{8} - 8 x^{6} - 90 x^{4}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2 x^{8} - 8 x^{6} - 90 x^{4}$	=	0
$2 x^{4} (x^{4} - 4 x^{2} - 45)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 4 x^{2} - 45

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} - 4 u - 45$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} - 4 x^{2} - 45$ =nach Substitution $u^{2} - 4 u - 45$ = $(u - 9) \cdot (u + 5)$ =nach Re-Substitution $(x² - 9) \cdot (x² + 5)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $2 x^{4} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) \cdot (x^{2} + 5)$ = $2 x^{8} - 8 x^{6} - 90 x^{4}$

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $- \frac{2}{3} t^{2} + 4 t + 2$ beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 8 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 30 m³ Wasser im Tank.

Bestimme die größt mögliche Änderungsrate des Wasservolumens.
Nach wie vielen Sekunden erreicht die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals $\frac{22}{3}$ m³/min?
Wie viel m³ Wasser sind 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn im Wassertank?
Zu welchem Zeitpunktz ist am meisten Wasser im Tank?

Lösung einblenden

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $3$ |8) einblenden

$f(t) =$ $- \frac{2}{3} t^{2} + 4 t + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $- \frac{4}{3} t + 4 + 0$

= $- \frac{4}{3} t + 4$

$f''(t) =$ $- \frac{4}{3} + 0$

= $- \frac{4}{3}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{4}{3} t + 4$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} t + 4)$	=	0
$- 4 t + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 4 t$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$3$

Die Lösung t= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

f''( $3$ ) = $- \frac{4}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ <0

Das heißt bei t = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $- \frac{2}{3} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 + 2$ = $8$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $8$ )

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $- \frac{2}{3} \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 + 2$ = $2$ . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(8) = $- \frac{2}{3} \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 2$ = $- \frac{26}{3}$ ≈ -8.667.

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

8 ist also der größte Wert der Funktion.

Erster t-Wert bei y = $\frac{22}{3}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{22}{3}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{22}{3}$ und lösen nach t auf:

$- \frac{2}{3} t^{2} + 4 t + 2$	=	$\frac{22}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} t^{2} + 4 t + 2)$	=	$22$
$- 2 t^{2} + 12 t + 6$	=	$22$	\| $- 22$

- 2 t^{2} + 12 t - 16

= 0 |:2

$- t^{2} + 6 t - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $- 6$

Bestand zur Zeit 3Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 30 und dem Integral $\int_{0}^{3} (- \frac{2}{3} t^{2} + 4 t + 2) ⅆ t$ berechnet werden.

Wir berechenn also zuerst das Integral:

$\int_{0}^{3} (- \frac{2}{3} t^{2} + 4 t + 2) ⅆ t$
= ${[- \frac{2}{9} x^{3} + 2 x^{2} + 2 x]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{2}{9} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - (- \frac{2}{9} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0)$
= $- \frac{2}{9} \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 6 - (- \frac{2}{9} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0)$
= $- 6 + 18 + 6 - (0 + 0 + 0)$
= $18 + 0$
= $18$

Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 30 + 18 = 48

48 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

t-Wert beim maximalen Bestand

Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:

$- \frac{2}{3} t^{2} + 4 t + 2$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} t^{2} + 4 t + 2)$	=	0

- 2 t^{2} + 12 t + 6

= 0 |:2

$- t^{2} + 6 t + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $- 6$

Aufgabenbeispiele von allgemein

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