Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-1) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+1\right)·\left(0-1\right)$ = $-1$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^x-3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^2-12$	=	0	| $+12$
$3x^2$	=	$12$	|:$3$
$x^2$	=	$4$	|
x1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
x2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $3x^2-12$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15-11e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

2. Erster t-Wert bei y = 11

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=11 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 11 und lösen nach t auf:

   $15-11e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $11$

   $-11e^{-\mathrm{0,3}t}+15$	=	$11$	| $-15$
   $-11e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-4$	|:$-11$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{4}{11}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{4}{11}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{4}{11}\right)$	≈ 3.372

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 11 annimmt, ist also nach 3.37 min.