Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-6) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0-3\right)$ = $3$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0-1\right)·\left(0-3\right)$ = $-6$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right)\left(x-3\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^6+30x^5+75x^4$	=	0
$3x^4\left(x^2+10x+25\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-5$; 0}

$-5$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x^4·{\left(x+5\right)}^2$ = $3x^6+30x^5+75x^4$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $50-48e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $50+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $50$.

2. Erster t-Wert bei y = 33

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=33 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 33 und lösen nach t auf:

   $50-48e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $33$

   $-48e^{-\mathrm{0,6}t}+50$	=	$33$	| $-50$
   $-48e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-17$	|:$-48$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{17}{48}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{17}{48}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.6}\ln \left(\frac{17}{48}\right)$	≈ 1.73

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 33 annimmt, ist also nach 1.73 min.