Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(1|0)
einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -1
Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|-2)

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x - 1$ .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot {(x + 1)}^{2}$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $(0 - 1) \cdot {(0 + 1)}^{2}$ = $- 1$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $2 \cdot (0 - 1) \cdot {(0 + 1)}^{2}$ = $- 2$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $f(x) =$ $2 (x - 1) {(x + 1)}^{2}$ .

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{- x}$ einfach das x von $e^{x}$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{- x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
Wie $e^{x}$ für x → -∞ strebt $e^{- x}$ für x → ∞ gegen 0.
Wie $e^{x}$ für x → ∞ strebt $e^{- x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{5} + 6 x^{3} - 8 x$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$2 x^{5} + 6 x^{3} - 8 x$	=	0
$2 x (x^{4} + 3 x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 3 x^{2} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} + 3 u - 4$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} + 3 x^{2} - 4$ =nach Substitution $u^{2} + 3 u - 4$ = $(u - 1) \cdot (u + 4)$ =nach Re-Substitution $(x² - 1) \cdot (x² + 4)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $2 x \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x^{2} + 4)$ = $2 x^{5} + 6 x^{3} - 8 x$

Anwendungen

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 6 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{9}{5} t^{2}$ beschrieben werden f(t) in m/s, t in s nach Beobachtungsbeginn. Zu Beobachtungsbeginn ist der Fahrstuhl auf 2 m Höhe.

Bestimme die maximale Geschwindigkeit des Fahrstuhls.
Wie viele Sekunden lang ist Geschwindigkeit des Fahrstuhl mindestens $\frac{17}{10}$ m/s?
Wie viele Meter legt der Fahrstuhl zwischen Sekunde 0 und Sekunde 3 zurück?
Wann hat der Fahrstuhl seine höchste Höhe erreicht?

Lösung einblenden

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $3$ |8.1) einblenden

$f(t) =$ $- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{9}{5} t^{2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $- \frac{2}{5} t^{3} + \frac{18}{5} t$

$f''(t) =$ $- \frac{6}{5} t^{2} + \frac{18}{5}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{2}{5} t^{3} + \frac{18}{5} t$	=	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} t^{3} + \frac{18}{5} t)$	=
$- 2 t^{3} + 18 t$	=
$2 t (- t^{2} + 9)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$- t^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$- t^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$t^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
t₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Die Lösungen $- 3$ , 0, $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

1.: t= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $- \frac{6}{5} \cdot {(- 3)}^{2} + \frac{18}{5}$ = $- \frac{6}{5} \cdot 9 + \frac{18}{5}$ = $- \frac{36}{5}$ <0

Das heißt bei t = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{4} + \frac{9}{5} \cdot {(- 3)}^{2}$ = $\frac{81}{10}$ ≈ 8.1
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $\frac{81}{10}$ )

≈ H:(-3|8.1)

2.: t= $0$

f''( $0$ ) = $- \frac{6}{5} \cdot 0^{2} + \frac{18}{5}$ = $- \frac{6}{5} \cdot 0 + \frac{18}{5}$ = $\frac{18}{5}$ >0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- \frac{1}{10} \cdot 0^{4} + \frac{9}{5} \cdot 0^{2}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

3.: t= $3$

f''( $3$ ) = $- \frac{6}{5} \cdot 3^{2} + \frac{18}{5}$ = $- \frac{6}{5} \cdot 9 + \frac{18}{5}$ = $- \frac{36}{5}$ <0

Das heißt bei t = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $- \frac{1}{10} \cdot 3^{4} + \frac{9}{5} \cdot 3^{2}$ = $\frac{81}{10}$ ≈ 8.1
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $\frac{81}{10}$ )

≈ H:(3|8.1)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $- \frac{1}{10} \cdot 0^{4} + \frac{9}{5} \cdot 0^{2}$ = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(6) = $- \frac{1}{10} \cdot 6^{4} + \frac{9}{5} \cdot 6^{2}$ = $- \frac{324}{5}$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

8.1 ist also der größte Wert der Funktion.

Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{17}{10}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{17}{10}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{17}{10}$ und lösen nach t auf:

- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{9}{5} t^{2}

=

\frac{17}{10}

|

- \frac{17}{10}

- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{9}{5} t^{2} - \frac{17}{10}

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $t^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{1}{10} u^{2} + \frac{9}{5} u - \frac{17}{10}$	=	0	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{10} u^{2} + \frac{9}{5} u - \frac{17}{10})$	=	0

$- u^{2} + 18 u - 17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 18$

Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $\int_{0}^{3} (- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{9}{5} t^{2}) ⅆ t$ berechnet werden.

$\int_{0}^{3} (- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{9}{5} t^{2}) ⅆ t$
= ${[- \frac{1}{50} x^{5} + \frac{3}{5} x^{3}]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{1}{50} \cdot 3^{5} + \frac{3}{5} \cdot 3^{3} - (- \frac{1}{50} \cdot 0^{5} + \frac{3}{5} \cdot 0^{3})$
= $- \frac{1}{50} \cdot 243 + \frac{3}{5} \cdot 27 - (- \frac{1}{50} \cdot 0 + \frac{3}{5} \cdot 0)$
= $- \frac{243}{50} + \frac{81}{5} - (0 + 0)$
= $- \frac{243}{50} + \frac{810}{50} + 0$
= $\frac{567}{50}$

= 11,34

11.34 m ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

t-Wert beim maximalen Bestand

Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:

$- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{9}{5} t^{2}$	=	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{9}{5} t^{2})$	=
$- t^{4} + 18 t^{2}$	=
$t^{2} (- t^{2} + 18)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$t^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	0

2. Fall:

$- t^{2} + 18$	=	0	\| $- 18$
$- t^{2}$	=	$- 18$	\|: $(- 1)$
$t^{2}$	=	$18$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₂	=	$- \sqrt{18}$	≈ $- 4,243$
t₃	=	$\sqrt{18}$	≈ $4,243$

Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0 und $4,243$ .

Da f(3.2) ≈ 7.9 > 0 und f(5.2) ≈ -26.1 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 4.24.

Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 4.24 s.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

1.: t=-3

2.: t=0

3.: t=3

Randwertuntersuchung

1.: t= $- 3$

2.: t= $0$

3.: t= $3$