Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(0|0) und N2(-2|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x +0 ) · ( x +2 ) .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Es stimmt nun aber das Verhalten für x → ±∞ noch nicht, deswegen müssen wir den Term mit -1 multiplizieren.

Unser Term - x ( x +2 ) = - x 2 -2x erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +2 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +2 einfach das x von e x durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -2 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x +2 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Wie e x strebt auch e x +2 für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 x 3 -18 x 2 +27x und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

3 x 3 -18 x 2 +27x = 0
3 x ( x 2 -6x +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -6x +9 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 9 21

x2,3 = +6 ± 36 -36 2

x2,3 = +6 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 6 2 = 3

L={0; 3 }

3 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= 3 x · ( x -3 ) 2 = 3 x 3 -18 x 2 +27x

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= - 1 10 t 4 + 16 5 t 2 +4 beschrieben werden ( 0 ≤ t ≤ 8 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 40 m³ Wasser im Tank.

  1. Wann beträgt die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 0?
  2. Nach wie vielen Sekunden erreicht die Änderungsrate des Wasservolumens erstmals 71 10 m³/min?
  3. Wie viel m³ Wasser sind 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn im Wassertank?
  4. Bestimme das maximale Wasservolumen im Tank?

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  1. Erste Nullstelle

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

    - 1 10 t 4 + 16 5 t 2 +4 = 0

    Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

    Setze u = t 2

    Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

    - 1 10 u 2 + 16 5 u +4 = 0 |⋅ 10
    10( - 1 10 u 2 + 16 5 u +4 ) = 0

    - u 2 +32u +40 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    u1,2 = -32

  2. Erster t-Wert bei y = 71 10

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= 71 10 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 71 10 und lösen nach t auf:

    - 1 10 t 4 + 16 5 t 2 +4 = 71 10 | - 71 10
    - 1 10 t 4 + 16 5 t 2 - 31 10 = 0

    Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

    Setze u = t 2

    Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

    - 1 10 u 2 + 16 5 u - 31 10 = 0 |⋅ 10
    10( - 1 10 u 2 + 16 5 u - 31 10 ) = 0

    - u 2 +32u -31 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    u1,2 = -32

  3. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 40 und dem Integral 0 3 ( - 1 10 t 4 + 16 5 t 2 +4 ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( - 1 10 t 4 + 16 5 t 2 +4 ) t

    = [ - 1 50 x 5 + 16 15 x 3 +4x ] 0 3

    = - 1 50 3 5 + 16 15 3 3 +43 - ( - 1 50 0 5 + 16 15 0 3 +40 )

    = - 1 50 243 + 16 15 27 +12 - ( - 1 50 0 + 16 15 0 +0)

    = - 243 50 + 144 5 +12 - (0+0+0)

    = - 243 50 + 1440 50 + 600 50 +0

    = 1797 50


    = 35,94

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 40 + 35.94 = 75.94

    75.94 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

  4. maximaler Bestand

    Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

    Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

    Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei 5,762 .

    Da f(4.8) ≈ 25.1 > 0 und f(6.8) ≈ -58.8 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 5.76.

    Der maximale Bestand tritt also bei t = 5.76 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 5.76 min lässt sich berechnen durch:

    0 5.76 ( - 1 10 t 4 + 16 5 t 2 +4 ) t

    = [ - 1 50 x 5 + 16 15 x 3 +4x ] 0 5.76

    = - 1 50 5.76 5 + 16 15 5.76 3 +45.76 - ( - 1 50 0 5 + 16 15 0 3 +40 )

    = - 1 50 6340.3380965376 + 16 15 191.102976 +23,04 - ( - 1 50 0 + 16 15 0 +0)

    = -126,80676193075 +203,8431744 +23,04 - (0+0+0)

    = 100,07641246925 +0

    = 100,07641246925


    ≈ 100,076

    Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 40 m³, so dass für den maximalen Bestand gilt:
    Bmax = 40 m³ + 100.08 m³ = 140.08 m³.