Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse,
indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei
einfach das x von
durch ein 'x
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Wie strebt auch für x → -∞ gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x1 | = |
|
=
|
| x2 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
|
| x3 | = |
|
=
|
| x4 | = |
|
=
|
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit
- Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
- Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 21 (Tausend)?
- Wie viele Tausend Downloads wurden insgesamt nach den ersten 3 Tagen heruntergeladen?
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→20 + 20 e - 0,3 t 20 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.20 - Erster t-Wert bei y = 21
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=21 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 21 und lösen nach t auf:
20 + 20 e - 0,3 t = 21 20 e - 0,3 t + 20 = 21 | - 20 20 e - 0,3 t = 1 |: 20 e - 0,3 t = 1 20 |ln(⋅) - 0,3 t = ln ( 1 20 ) |: - 0,3 t = - 1 0.3 ln ( 1 20 ) ≈ 9.9858 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 21 annimmt, ist also nach 9.99 Tage.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 20 + 20 e - 0,3 t ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 20 + 20 e - 0,3 t ) ⅆ t =
[ 20 x - 200 3 e - 0,3 x ] 0 3 = 20 ⋅ 3 - 200 3 e - 0,3 ⋅ 3 - ( 20 ⋅ 0 - 200 3 e - 0,3 ⋅ 0 ) =
60 - 200 3 e - 0,9 - ( 0 - 200 3 e 0 ) =
- 200 3 e - 0,9 + 60 - ( 0 - 200 3 ) =
- 200 3 e - 0,9 + 60 - ( 0 - 200 3 ) =
- 200 3 e - 0,9 + 60 + 200 3 =
- 200 3 e - 0,9 + 380 3
≈ 99,562Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 0 + 99.562 = 99.56299.56 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
