Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^x$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Und hier wissen wir ja bereits:

• Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Für x → ∞ strebt $e^x$ gegen ∞ .
• Für x → - ∞ strebt $e^x$ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^4-3x^3+2x^2$	=	0
$x^2\left(x^2-3x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$; $2$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^2·\left(x-2\right)·\left(x-1\right)$ = $x^4-3x^3+2x^2$

1. Erste Nullstelle

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

   $-\frac{1}{2}{t}^2+4t+5$	=	0	|⋅ 2
   $2\left(-\frac{1}{2}{t}^2+4t+5\right)$	=	0

   $-t^2+8t+10$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

2. Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{17}{2}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{17}{2}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{17}{2}$ und lösen nach t auf:

   $-\frac{1}{2}{t}^2+4t+5$	=	$\frac{17}{2}$	|⋅ 2
   $2\left(-\frac{1}{2}{t}^2+4t+5\right)$	=	$17$
   $-t^2+8t+10$	=	$17$	| $-17$

   $-t^2+8t-7$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 30 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{1}{2}{t}^2+4t+5\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{1}{2}{t}^2+4t+5\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{1}{6}{x}^3+2x^2+5x\right]}_0^3$

   $=$ $-\frac{1}{6}\cdot 3^3+2\cdot 3^2+5\cdot 3-\left(-\frac{1}{6}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+5\cdot 0\right)$

   = $-\frac{1}{6}\cdot 27+2\cdot 9+15-\left(-\frac{1}{6}\cdot 0+2\cdot 0+0\right)$

   = $-\frac{9}{2}+18+15-\left(0+0+0\right)$

   = $-\mathrm{4,5}+18+15+0$

   = $\mathrm{28,5}$

   
   = 28,5

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 30 + 28.5 = 58.5

   58.5 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

4. maximaler Bestand

   Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

   Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

   Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $\frac{-8-\sqrt{104}}{-2}$.

   Da f(8.1) ≈ 4.6 > 0 und f(10.1) ≈ -5.6 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 9.1.

   Der maximale Bestand tritt also bei t = 9.1 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 9.1 min lässt sich berechnen durch:
   

   $$\underset{0}{\overset{9.1}{\int }}\left(-\frac{1}{2}{t}^2+4t+5\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{1}{6}{x}^3+2x^2+5x\right]}_0^{9.1}$

   $=$ $-\frac{1}{6}\cdot {9.1}^3+2\cdot {9.1}^2+5\cdot 9.1-\left(-\frac{1}{6}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+5\cdot 0\right)$

   = $-\frac{1}{6}\cdot 753.571+2\cdot 82.81+\mathrm{45,5}-\left(-\frac{1}{6}\cdot 0+2\cdot 0+0\right)$

   = $-\frac{753.571}{6}+\mathrm{165,62}+\mathrm{45,5}-\left(0+0+0\right)$

   = $-\frac{753571}{6000}+\frac{8281}{50}+\frac{91}{2}+0$

   = $-\frac{753571}{6000}+\frac{993720}{6000}+\frac{273000}{6000}$

   = $-\frac{753571}{6000}+\frac{8281}{50}+\frac{91}{2}$

   = $\frac{513149}{6000}$

   
   ≈ 85,525

   Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 30 m³, so dass für den maximalen Bestand gilt:
   B_max = 30 m³ + 85.52 m³ = 115.52 m³.