Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +1 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= ( x +1 ) · e -x . Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
f(x)= ( x +1 ) · e -x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +3 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +3 einfach das x von e x durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um -3 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x +3 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Wie e x strebt auch e x +3 für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 3 +4 x 2 +4x und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 3 +4 x 2 +4x = 0
x ( x 2 +4x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 +4x +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · 4 21

x2,3 = -4 ± 16 -16 2

x2,3 = -4 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -4 2 = -2

L={ -2 ; 0}

-2 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= x · ( x +2 ) 2 = x 3 +4 x 2 +4x

Anwendungen

Beispiel:

Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 +9 e -0,4t beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 1 Dezimeter hoch.

  1. Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 2 Jahren?
  2. Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
  3. Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 18 dm pro Jahr?
  4. Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?

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  1. y-Wert bei t = 2

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = 15 +9 e -0,42 = 9 e -0,8 +15 ≈ 19


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 15 +9 e -0,4t 15 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 15 .

  3. Erster t-Wert bei y = 18

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=18 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 18 und lösen nach t auf:

    15 +9 e -0,4t = 18
    9 e -0,4t +15 = 18 | -15
    9 e -0,4t = 3 |:9
    e -0,4t = 1 3 |ln(⋅)
    -0,4t = ln( 1 3 ) |:-0,4
    t = - 1 0.4 ln( 1 3 ) ≈ 2.7465

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 18 annimmt, ist also nach 2.75 Jahre.

  4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

    Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral 0 3 ( 15 +9 e -0,4t ) t berechnet werden.

    0 3 ( 15 +9 e -0,4t ) t

    = [ 15x - 45 2 e -0,4x ] 0 3

    = 153 - 45 2 e -0,43 - ( 150 - 45 2 e -0,40 )

    = 45 - 45 2 e -1,2 - (0 - 45 2 e 0 )

    = - 45 2 e -1,2 +45 - (0 - 45 2 )

    = - 45 2 e -1,2 +45 - (0 -22,5 )

    = - 45 2 e -1,2 +45 +22,5

    = - 45 2 e -1,2 +67,5


    ≈ 60,723

    60.72 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.