Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·\left(x+1\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Es stimmt nun aber das Verhalten für x → ±∞ noch nicht, deswegen müssen wir den Term mit -1 multiplizieren.

Unser Term $-x\left(x+1\right)$ = $-x^2-x$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^4-18x^3+15x^2$	=	0
$3x^2\left(x^2-6x+5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$; $5$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3x^2·\left(x-5\right)·\left(x-1\right)$ = $3x^4-18x^3+15x^2$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $15-15e^{-\mathrm{0,3}\cdot 2}$ = $-15e^{-\mathrm{0,6}}+15$ ≈ 6.8

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15-15e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

3. Erster t-Wert bei y = 10

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=10 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 10 und lösen nach t auf:

   $15-15e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $10$

   $-15e^{-\mathrm{0,3}t}+15$	=	$10$	| $-15$
   $-15e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-5$	|:$-15$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{1}{3}\right)$	≈ 3.662

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 10 annimmt, ist also nach 3.66 Tage.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15-15e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15-15e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[15x+50e^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $15\cdot 3+50e^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(15\cdot 0+50e^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $45+50e^{-\mathrm{0,9}}-\left(0+50e^0\right)$

   = $50e^{-\mathrm{0,9}}+45-\left(0+50\right)$

   = $50e^{-\mathrm{0,9}}+45-50$

   = $50e^{-\mathrm{0,9}}-5$

   
   ≈ 15,328

   15.33 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.