Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -1
Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 0$ .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $f(x) =$ $(x + 0) \cdot {(x + 1)}^{2}$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da bei unserem bisherigen Term $x {(x + 1)}^{2}$ = $x^{3} + 2 x^{2} + x$ für x → +∞ : f(x) gegen +∞ und nicht wie gefordert gegen -∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
$- x {(x + 1)}^{2}$ = $- x^{3} - 2 x^{2} - x$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 1}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 1}$ einfach das x von $e^{x}$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - 6 x^{4} + 9 x^{3}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{5} - 6 x^{4} + 9 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 6 x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={0; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung! $3$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{3} \cdot {(x - 3)}^{2}$ = $x^{5} - 6 x^{4} + 9 x^{3}$

Anwendungen

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 8 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{16}{5} t^{2} + 3$ beschrieben werden f(t) in m/s, t in s nach Beobachtungsbeginn. Zu Beobachtungsbeginn ist der Fahrstuhl auf 4 m Höhe.

Wann ist die Fahrstuhlgeschwindigkeit am größten?
Wann hat der Fahrstuhl erstmals keine Geschwindigkeit?
Nach wie vielen Sekunden erreicht der Fahrstuhl erstmals die Geschwindigkeit von $\frac{237}{10}$ m/s?
Wann hat der Fahrstuhl seine höchste Höhe erreicht?

Lösung einblenden

t-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $4$ |28.6) einblenden

$f(t) =$ $- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{16}{5} t^{2} + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $- \frac{2}{5} t^{3} + \frac{32}{5} t + 0$

= $- \frac{2}{5} t^{3} + \frac{32}{5} t$

$f''(t) =$ $- \frac{6}{5} t^{2} + \frac{32}{5}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{2}{5} t^{3} + \frac{32}{5} t$	=	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} t^{3} + \frac{32}{5} t)$	=
$- 2 t^{3} + 32 t$	=
$2 t (- t^{2} + 16)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$- t^{2} + 16$	=	0	\| $- 16$
$- t^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$t^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
t₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Die Lösungen $- 4$ , 0, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

1.: t= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $- \frac{6}{5} \cdot {(- 4)}^{2} + \frac{32}{5}$ = $- \frac{6}{5} \cdot 16 + \frac{32}{5}$ = $- \frac{64}{5}$ <0

Das heißt bei t = $- 4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = $- \frac{1}{10} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{16}{5} \cdot {(- 4)}^{2} + 3$ = $\frac{143}{5}$ ≈ 28.6
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 4$ | $\frac{143}{5}$ )

≈ H:(-4|28.6)

2.: t= $0$

f''( $0$ ) = $- \frac{6}{5} \cdot 0^{2} + \frac{32}{5}$ = $- \frac{6}{5} \cdot 0 + \frac{32}{5}$ = $\frac{32}{5}$ >0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- \frac{1}{10} \cdot 0^{4} + \frac{16}{5} \cdot 0^{2} + 3$ = $3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $3$ )

3.: t= $4$

f''( $4$ ) = $- \frac{6}{5} \cdot 4^{2} + \frac{32}{5}$ = $- \frac{6}{5} \cdot 16 + \frac{32}{5}$ = $- \frac{64}{5}$ <0

Das heißt bei t = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $- \frac{1}{10} \cdot 4^{4} + \frac{16}{5} \cdot 4^{2} + 3$ = $\frac{143}{5}$ ≈ 28.6
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $\frac{143}{5}$ )

≈ H:(4|28.6)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $- \frac{1}{10} \cdot 0^{4} + \frac{16}{5} \cdot 0^{2} + 3$ = $3$ . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(8) = $- \frac{1}{10} \cdot 8^{4} + \frac{16}{5} \cdot 8^{2} + 3$ = $- \frac{1009}{5}$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

Bei t = $4$ ist also der größte Wert der Funktion.

Erste Nullstelle

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{16}{5} t^{2} + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $t^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{1}{10} u^{2} + \frac{16}{5} u + 3$	=	0	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{10} u^{2} + \frac{16}{5} u + 3)$	=	0

$- u^{2} + 32 u + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 32$

Erster t-Wert bei y = $\frac{237}{10}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{237}{10}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{237}{10}$ und lösen nach t auf:

- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{16}{5} t^{2} + 3

=

\frac{237}{10}

|

- \frac{237}{10}

- \frac{1}{10} t^{4} + \frac{16}{5} t^{2} - \frac{207}{10}

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $t^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{1}{10} u^{2} + \frac{16}{5} u - \frac{207}{10}$	=	0	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{10} u^{2} + \frac{16}{5} u - \frac{207}{10})$	=	0

$- u^{2} + 32 u - 207$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 32$

t-Wert beim maximalen Bestand Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - . Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $5,737$ .
Da f(4.7) ≈ 24.5 > 0 und f(6.7) ≈ -57.8 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 5.74.
Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 5.74 s.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

1.: t=-4

2.: t=0

3.: t=4

Randwertuntersuchung

1.: t= $- 4$

2.: t= $0$

3.: t= $4$