Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x + 2$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- x}$ . Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 1}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 1}$ einfach das x von $e^{x}$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{6} - 7 x^{4} - 18 x^{2}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{6} - 7 x^{4} - 18 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 7 x^{2} - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 7 x^{2} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} - 7 u - 18$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} - 7 x^{2} - 18$ =nach Substitution $u^{2} - 7 u - 18$ = $(u - 9) \cdot (u + 2)$ =nach Re-Substitution $(x² - 9) \cdot (x² + 2)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{2} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) \cdot (x^{2} + 2)$ = $x^{6} - 7 x^{4} - 18 x^{2}$

Anwendungen

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 9 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $\frac{1}{5} (- t^{3} + 8 t^{2})$ beschrieben werden f(t) in m/s, t in s nach Beobachtungsbeginn. Zu Beobachtungsbeginn ist der Fahrstuhl auf 4 m Höhe.

Wie schnell (in m/s) ist der Fahrstuhl nach 5 Sekunden?
Bestimme die maximale Geschwindigkeit des Fahrstuhls.
Bestimme die maximale Beschleunigung des Fahrstuhls.
Bestimme die maximale Höhe, die der Fahrstuhl erreicht.

Lösung einblenden

y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $\frac{1}{5} (- 5^{3} + 8 \cdot 5^{2})$ = $15$

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $\frac{16}{3}$ |15.17) einblenden

$f(t) =$ $\frac{1}{5} (- t^{3} + 8 t^{2})$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $\frac{1}{5} (- 3 t^{2} + 16 t)$

$f''(t) =$ $\frac{1}{5} (- 6 t + 16)$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{1}{5} (- 3 t^{2} + 16 t)$	=	0
$- \frac{3}{5} t^{2} + \frac{16}{5} t$	=	0
$\frac{1}{5} t (- 3 t + 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$- 3 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$- 3 t$	=	$- 16$	\|:( $- 3$ )
t₂	=	$\frac{16}{3}$

Die Lösungen 0, $\frac{16}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

1.: t= $0$

f''( $0$ ) = $\frac{1}{5} (- 6 \cdot 0 + 16)$ = $\frac{1}{5} (0 + 16)$ = $\frac{16}{5}$ >0

Das heißt bei t = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $\frac{1}{5} (- 0^{3} + 8 \cdot 0^{2})$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

2.: t= $\frac{16}{3}$

f''( $\frac{16}{3}$ ) = $\frac{1}{5} (- 6 \cdot (\frac{16}{3}) + 16)$ = $\frac{1}{5} (- 32 + 16)$ = $\frac{1}{5} \cdot (- 16)$ <0

Das heißt bei t = $\frac{16}{3}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $\frac{16}{3}$ ) = $\frac{1}{5} (- {(\frac{16}{3})}^{3} + 8 \cdot {(\frac{16}{3})}^{2})$ = $\frac{2048}{135}$ ≈ 15.17
Man erhält so den Hochpunkt H:( $\frac{16}{3}$ | $\frac{2048}{135}$ )

≈ H:(5.333|15.17)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $\frac{1}{5} (- 0^{3} + 8 \cdot 0^{2})$ = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(9) = $\frac{1}{5} (- 9^{3} + 8 \cdot 9^{2})$ = $- \frac{81}{5}$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

15.17 ist also der größte Wert der Funktion.

y-Wert des Maximums der Ableitung

Gesucht ist der y-Wert des Hochpunkt der Ableitung.

Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':

f'(t)= $\frac{1}{5} (- 3 x^{2} + 16 x)$

= $\frac{1}{5} x (- 3 x + 16)$

Wir berechnen also die Extremstellen von f':

Detail-Rechnung für den Hochpunkt der Ableitung ( $\frac{8}{3}$ |4.27) einblenden

$f'(t) =$ $\frac{1}{5} t (- 3 t + 16)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(t) =$ $\frac{1}{5} \cdot 1 \cdot (- 3 t + 16) + \frac{1}{5} t \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{6}{5} t + \frac{16}{5}$

$f'''(t) =$ $- \frac{6}{5} + 0$

= $- \frac{6}{5}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

$- \frac{6}{5} t + \frac{16}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (- \frac{6}{5} t + \frac{16}{5})$	=	0
$- 6 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$- 6 t$	=	$- 16$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$\frac{8}{3}$

Die Lösung t= $\frac{8}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(t):

Ist f'''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f'''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(t₀)=0 und f''(t₀)>0).

f'''( $\frac{8}{3}$ ) = $- \frac{6}{5}$ = $- \frac{6}{5}$ = $- \frac{6}{5}$ <0

Das heißt bei t = $\frac{8}{3}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f'(t) eingesetzt werden.
f'( $\frac{8}{3}$ ) = $\frac{1}{5} \cdot \frac{8}{3} \cdot (- 3 \cdot (\frac{8}{3}) + 16)$ = $\frac{64}{15}$ ≈ 4.267
Man erhält so den Hochpunkt H:( $\frac{8}{3}$ | $\frac{64}{15}$ )

≈ H:(2.667|4.267)

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = $\frac{1}{5} \cdot 0 \cdot (- 3 \cdot 0 + 16)$ = 0. Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f'(9) = $\frac{1}{5} \cdot 9 \cdot (- 3 \cdot 9 + 16)$ = $- \frac{99}{5}$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.

4.27 ist also der größte Wert der Ableitungsfunktion.

maximaler Bestand

Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:

$\frac{1}{5} (- t^{3} + 8 t^{2})$	=	0
$- \frac{1}{5} t^{3} + \frac{8}{5} t^{2}$	=	0
$\frac{1}{5} t^{2} (- t + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$t^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	0

2. Fall:

$- t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- t$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
t₂	=	$8$

Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit 0 und $8$ .

Da f(7) ≈ 9.8 > 0 und f(9) ≈ -16.2 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 8.

Der maximale Bestand tritt also bei t = 8 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 8 s lässt sich berechnen durch:

\int_{0}^{8} (\frac{1}{5} (- t^{3} + 8 t^{2})) ⅆ t

= ${[\frac{1}{5} (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{8}{3} x^{3})]}_{0}^{8}$

$=$ $\frac{1}{5} (- \frac{1}{4} \cdot 8^{4} + \frac{8}{3} \cdot 8^{3}) - \frac{1}{5} (- \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{8}{3} \cdot 0^{3})$

= $\frac{1}{5} (- \frac{1}{4} \cdot 4096 + \frac{8}{3} \cdot 512) - \frac{1}{5} (- \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{8}{3} \cdot 0)$

= $\frac{1}{5} (- 1 024 + \frac{4096}{3}) - \frac{1}{5} (0 + 0)$

= $\frac{1}{5} (- \frac{3072}{3} + \frac{4096}{3}) + 0$

= $\frac{1}{5} \cdot \frac{1024}{3}$

= $\frac{1024}{15}$

≈ 68,267

Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 4 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
B_max = 4 m + 68.27 m = 72.27 m.

Aufgabenbeispiele von allgemein

Term mit Eigenschaften finden

Eigenschaften von e-Funktionen

Nullstellen und Faktorisieren

Anwendungen

1.: t=0

2.: t= 16 3

Randwertuntersuchung

Randwertuntersuchung

1.: t= $0$

2.: t= $\frac{16}{3}$