Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\left(x-1\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·\left(0-1\right)$ = $2$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)\left(x-1\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, hat der Graph von $e^x+3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+3$ gegen 0 +3, also gegen 3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$3x^2+15x+12$ = 0 |:3

$x^2+5x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-5+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-5-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $-1$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 3 darf natürlich nicht vergessen werden:

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+1\right)·\left(x+4\right)$ = $3x^2+15x+12$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $25-13e^{-\mathrm{0,5}\cdot 2}$ = $-13e^{-1}+25$ ≈ 20.2

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25-13e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

3. Erster t-Wert bei y = 24

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=24 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 24 und lösen nach t auf:

   $25-13e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $24$

   $-13e^{-\mathrm{0,5}t}+25$	=	$24$	| $-25$
   $-13e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-1$	|:$-13$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{1}{13}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{13}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{1}{13}\right)$	≈ 5.1299

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 24 annimmt, ist also nach 5.13 min.