Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·{\left(x-3\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|18) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·{\left(0-3\right)}^2$ = $-18$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-1$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-\left(0-2\right)·{\left(0-3\right)}^2$ = $18$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right){\left(x-3\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 1 addiert wird, hat der Graph von $e^x+1$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 1 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+1$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+1$ gegen 0 +1, also gegen 1.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-x^7-4x^5+5x^3$	=	0
$-x^3\left(x^4+4x^2-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -1 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+4u-5$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+4x^2-5$ =nach Substitution $u^2+4u-5$ = $\left(u-1\right)·\left(u+5\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+5\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $-x^3·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+5\right)$ = $-x^7-4x^5+5x^3$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $45-31e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $45+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $45$.

2. Erster t-Wert bei y = 36

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=36 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 36 und lösen nach t auf:

   $45-31e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $36$

   $-31e^{-\mathrm{0,5}t}+45$	=	$36$	| $-45$
   $-31e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-9$	|:$-31$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{9}{31}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{9}{31}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{9}{31}\right)$	≈ 2.4735

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 36 annimmt, ist also nach 2.47 Jahre.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(45-31e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(45-31e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[45x+62e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $45\cdot 3+62e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(45\cdot 0+62e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $135+62e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0+62e^0\right)$

   = $62e^{-\mathrm{1,5}}+135-\left(0+62\right)$

   = $62e^{-\mathrm{1,5}}+135-62$

   = $62e^{-\mathrm{1,5}}+73$

   
   ≈ 86,834

   86.83 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.