Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ einfach das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von $e^{-x}$ indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Wie $e^x$ für x → -∞ strebt $e^{-x}$ für x → ∞ gegen 0.
• Wie $e^x$ für x → ∞ strebt $e^{-x}$ für x → -∞ gegen ∞ .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^6-16x^4$	=	0
$x^4\left(x^2-16\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0; $4$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^4·\left(x+4\right)·\left(x-4\right)$ = $x^6-16x^4$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $20+20e^{-\mathrm{0,7}\cdot 2}$ = $20e^{-\mathrm{1,4}}+20$ ≈ 24.9

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+20e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 24

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=24 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 24 und lösen nach t auf:

   $20+20e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $24$

   $20e^{-\mathrm{0,7}t}+20$	=	$24$	| $-20$
   $20e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$4$	|:$20$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{1}{5}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{5}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.7}\ln \left(\frac{1}{5}\right)$	≈ 2.2992

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 24 annimmt, ist also nach 2.3 Tage.

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+20e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20+20e^{-\mathrm{0,7}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x-\frac{200}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3-\frac{200}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}-\left(20\cdot 0-\frac{200}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 0}\right)$

   = $60-\frac{200}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}-\left(0-\frac{200}{7}{e}^0\right)$

   = $-\frac{200}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60-\left(0-\frac{200}{7}\right)$

   = $-\frac{200}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60-\left(0-\frac{200}{7}\right)$

   = $-\frac{200}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+60+\frac{200}{7}$

   = $-\frac{200}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+\frac{620}{7}$

   
   ≈ 85,073

   85.07 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.