Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-2|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -3 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
- 3 , also gegen -3.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 10 durch die Funktion f mit
- Wie schnell (in m/s) ist der Fahrstuhl nach 2 Sekunden?
- Wann hat der Fahrstuhl erstmals keine Geschwindigkeit?
- Wie viele Sekunden lang ist Geschwindigkeit des Fahrstuhl mindestens
m/s?369 100 - Wie hoch (in m) ist der Fahrstuhl nach 3 Sekunden?
- Wann hat der Fahrstuhl seine höchste Höhe erreicht?
- y-Wert bei t = 2
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) =
=- 1 100 ⋅ 2 4 + 1 2 ⋅ 2 2 ≈ 1.846 25
- Erste Nullstelle
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:
- 1 100 t 4 + 1 2 t 2 = 0 |⋅ 100 100 ( - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 ) = 0 - t 4 + 50 t 2 = 0 t 2 ( - t 2 + 50 ) = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
t 2 = 0 | ⋅ 2 t1 = 0 2. Fall:
- t 2 + 50 = 0 | - 50 - t 2 = - 50 |: ( - 1 ) t 2 = 50 | ⋅ 2 t2 = - 50 ≈ - 7,071 t3 = 50 ≈ 7,071 Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit
0 und .7,071 Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 0 s.
- Abstand der beiden Schnittstellen mit
369 100 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.369 100 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:369 100 - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 = 369 100 | - 369 100 - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 - 369 100 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
t 2 Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 1 100 u 2 + 1 2 u - 369 100 = 0 |⋅ 100 100 ( - 1 100 u 2 + 1 2 u - 369 100 ) = 0 = 0- u 2 + 50 u - 369 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
- 50 - Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( - 1 100 t 4 + 1 2 t 2 ) ⅆ t =
[ - 1 500 x 5 + 1 6 x 3 ] 0 3 = - 1 500 ⋅ 3 5 + 1 6 ⋅ 3 3 - ( - 1 500 ⋅ 0 5 + 1 6 ⋅ 0 3 ) =
- 1 500 ⋅ 243 + 1 6 ⋅ 27 - ( - 1 500 ⋅ 0 + 1 6 ⋅ 0 ) =
- 243 500 + 9 2 - ( 0 + 0 ) =
- 243 500 + 2250 500 + 0 =
2007 500
= 4,014Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 1 + 4.014 = 5.0145.01 m ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.
- t-Wert beim maximalen Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei
0 und .7,071 Da f(6.1) ≈ 4.8 > 0 und f(8.1) ≈ -9.9 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 7.07.
Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 7.07 s.
- Bestand zur Zeit 3
