Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-3e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^6-7x^4-18x^2$	=	0
$x^2\left(x^4-7x^2-18\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-7u-18$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-7x^2-18$ =nach Substitution $u^2-7u-18$ = $\left(u-9\right)·\left(u+2\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+2\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^2·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x^2+2\right)$ = $x^6-7x^4-18x^2$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $45-37e^{-\mathrm{0,3}\cdot 5}$ = $-37e^{-\mathrm{1,5}}+45$ ≈ 36.7

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $45-37e^{-\mathrm{0,3}x}$ → $45+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $45$.

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 3 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(45-37e^{-\mathrm{0,3}x}\right)dx$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(45-37e^{-\mathrm{0,3}x}\right)dx$$

   = ${\left[45x+\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $45\cdot 3+\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(45\cdot 0+\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $135+\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0+\frac{370}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+135-\left(0+\frac{370}{3}\right)$

   = $\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+135-\left(0+\frac{370}{3}\right)$

   = $\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+135-\frac{370}{3}$

   = $\frac{370}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{35}{3}$

   
   ≈ 61,81

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 3 + 61.81 = 64.81

   64.81 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.