Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+2$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·{\left(x+3\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-36) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+2\right)·{\left(0+3\right)}^2$ = $18$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0+2\right)·{\left(0+3\right)}^2$ = $-36$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right){\left(x+3\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-2}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 2 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-2}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-2}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-2x^6+10x^4+72x^2$	=	0
$2x^2\left(-x^4+5x^2+36\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2-5u-36$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-5x^2-36$ =nach Substitution $u^2-5u-36$ = $\left(u-9\right)·\left(u+4\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+4\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $2x^2·(-\left(x^2+4\right)·\left(x+3\right)·\left(x-3\right))$ = $-2x^6+10x^4+72x^2$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20-15e^{-\mathrm{0,5}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

2. Erster t-Wert bei y = 13

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=13 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 13 und lösen nach t auf:

   $20-15e^{-\mathrm{0,5}t}$ = $13$

   $-15e^{-\mathrm{0,5}t}+20$	=	$13$	| $-20$
   $-15e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$-7$	|:$-15$
   $e^{-\mathrm{0,5}t}$	=	$\frac{7}{15}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,5}t$	=	$\ln \left(\frac{7}{15}\right)$	|:$-\mathrm{0,5}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.5}\ln \left(\frac{7}{15}\right)$	≈ 1.5243

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 13 annimmt, ist also nach 1.52 Jahre.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-15e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-15e^{-\mathrm{0,5}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x+30e^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3+30e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-\left(20\cdot 0+30e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}\right)$

   = $60+30e^{-\mathrm{1,5}}-\left(0+30e^0\right)$

   = $30e^{-\mathrm{1,5}}+60-\left(0+30\right)$

   = $30e^{-\mathrm{1,5}}+60-30$

   = $30e^{-\mathrm{1,5}}+30$

   
   ≈ 36,694

   36.69 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.