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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(1|0)
einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3
Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|-9)

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $x - 1$ .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot {(x - 3)}^{2}$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-9) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $(0 - 1) \cdot {(0 - 3)}^{2}$ = $- 9$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $f(x) =$ $(x - 1) {(x - 3)}^{2}$ .

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 2}$ .

Lösung einblenden

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 2}$ einfach das x von $e^{x}$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 2 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 2}$ für x → ∞ gegen ∞ .
Wie $e^{x}$ strebt auch $e^{x - 2}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{4} - 6 x^{3}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{5} - x^{4} - 6 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; 0; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{3} \cdot (x - 3) \cdot (x + 2)$ = $x^{5} - x^{4} - 6 x^{3}$

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $10 e^{- 0,9 t} - 10 e^{- 1,8 t}$ beschrieben werden ( t ≥ 0 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 30 m³ Wasser im Tank.

Bei welchem Wert pendelt sich Änderungsrate des Wasservolumens auf lange Sicht ein?
Wie lange liegt die Änderungsrate des Wasservolumens bei mindestens $\frac{9}{10}$ m³/min?
Um wieviel m³ Wasser ändert sich das Wasservolumen zwischen Minute 0 und Minute 3?

Lösung einblenden

Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

Für t → ∞ ⇒ f(t)= $10 e^{- 0,9 t} - 10 e^{- 1,8 t}$ → $0 + 0$

Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 0.

Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{9}{10}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{9}{10}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{9}{10}$ und lösen nach t auf:

10 e^{- 0,9 t} - 10 e^{- 1,8 t}

=

\frac{9}{10}

|

- \frac{9}{10}

10 e^{- 0,9 t} - 10 e^{- 1,8 t} - \frac{9}{10}

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$10 e^{- 0,9 t} - 10 e^{- 1,8 t} - \frac{9}{10}$	=	0	\|⋅ $e^{1,8 x}$
$- \frac{9}{10} e^{1,8 t} + 10 e^{0,9 t} - 10$	=	0

Setze u = $e^{0,9 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$- \frac{9}{10} u^{2} + 10 u - 10$	=	0	\|⋅ 10
$10 (- \frac{9}{10} u^{2} + 10 u - 10)$	=	0

$- 9 u^{2} + 100 u - 100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $- 100$

Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $\int_{0}^{3} (10 e^{- 0,9 t} - 10 e^{- 1,8 t}) ⅆ t$ berechnet werden.

$\int_{0}^{3} (10 e^{- 0,9 t} - 10 e^{- 1,8 t}) ⅆ t$
= ${[- \frac{100}{9} e^{- 0,9 x} + \frac{50}{9} e^{- 1,8 x}]}_{0}^{3}$
$=$ $- \frac{100}{9} e^{- 0,9 \cdot 3} + \frac{50}{9} e^{- 1,8 \cdot 3} - (- \frac{100}{9} e^{- 0,9 \cdot 0} + \frac{50}{9} e^{- 1,8 \cdot 0})$
= $- \frac{100}{9} e^{- 2,7} + \frac{50}{9} e^{- 5,4} - (- \frac{100}{9} e^{0} + \frac{50}{9} e^{0})$
= $- \frac{100}{9} e^{- 2,7} + \frac{50}{9} e^{- 5,4} - (- \frac{100}{9} + \frac{50}{9})$
= $- \frac{100}{9} e^{- 2,7} + \frac{50}{9} e^{- 5,4} - 1 \cdot (- \frac{50}{9})$
= $- \frac{100}{9} e^{- 2,7} + \frac{50}{9} e^{- 5,4} + \frac{50}{9}$

≈ 4,834

4.83 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

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