Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 4
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-64)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 4 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-64) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -3 addiert wird, hat der Graph von die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Für x → -∞ strebt
gegen 0
- 3 , also gegen -3.
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
u2:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
=
|
| x3 | = |
|
=
|
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit
- Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
- Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 37 (Tausend)?
- Wie viele Tausend Downloads werden zwischen Tag 0 und Tag 3 insgesamt heruntergeladen?
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
→25 + 24 e - 0,6 t 25 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
.25 - Erster t-Wert bei y = 37
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=37 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 37 und lösen nach t auf:
25 + 24 e - 0,6 t = 37 24 e - 0,6 t + 25 = 37 | - 25 24 e - 0,6 t = 12 |: 24 e - 0,6 t = 1 2 |ln(⋅) - 0,6 t = ln ( 1 2 ) |: - 0,6 t = - 1 0.6 ln ( 1 2 ) ≈ 1.1552 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 37 annimmt, ist also nach 1.16 Tage.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 25 + 24 e - 0,6 t ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 25 + 24 e - 0,6 t ) ⅆ t =
[ 25 x - 40 e - 0,6 x ] 0 3 = 25 ⋅ 3 - 40 e - 0,6 ⋅ 3 - ( 25 ⋅ 0 - 40 e - 0,6 ⋅ 0 ) =
75 - 40 e - 1,8 - ( 0 - 40 e 0 ) =
- 40 e - 1,8 + 75 - ( 0 - 40 ) =
- 40 e - 1,8 + 75 + 40 =
- 40 e - 1,8 + 115
≈ 108,388108.39 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
