Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(-1|0)
  • einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -3
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|18)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x +1 .

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit f(x)= ( x +1 ) · ( x +3 ) 2

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|18) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 +1 ) · ( 0 +3 ) 2 = 9

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten 2 multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = 2 · ( 0 +1 ) · ( 0 +3 ) 2 = 18

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= 2 ( x +1 ) ( x +3 ) 2 .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= -3 e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden zwar (wie bei e x ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Während e x für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
  • Wie e x strebt für x → -∞ auch -3 e x gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 4 - x 2 -12 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 4 - x 2 -12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +48 2

u1,2 = +1 ± 49 2

u1 = 1 + 49 2 = 1 +7 2 = 8 2 = 4

u2 = 1 - 49 2 = 1 -7 2 = -6 2 = -3

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term u 2 - u -12 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 - x 2 -12 =nach Substitution u 2 - u -12 = ( u -4 ) · ( u +3 ) =nach Re-Substitution ( -4 ) · ( +3 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= ( x +2 ) · ( x -2 ) · ( x 2 +3 ) = x 4 - x 2 -12

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 30 e -0,4t -30 e -0,8t beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

  1. Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 4 heruntergeladen?.
  2. Wie lange sind die Downloadzahlen mindestens 25 6 (Tausend)?
  3. Wie viele Tausend Downloads wurden insgesamt nach den ersten 3 Tagen heruntergeladen?

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  1. y-Wert bei t = 4

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = 30 e -0,44 -30 e -0,84 = 30 e -1,6 -30 e -3,2 ≈ 4.8


  2. Abstand der beiden Schnittstellen mit 25 6

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= 25 6 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 25 6 und lösen nach t auf:

    30 e -0,4t -30 e -0,8t = 25 6 | - 25 6
    30 e -0,4t -30 e -0,8t - 25 6 = 0

    Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

    30 e -0,4t -30 e -0,8t - 25 6 = 0 |⋅ e 0,8x
    - 25 6 e 0,8t +30 e 0,4t -30 = 0

    Setze u = e 0,4x

    Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

    - 25 6 u 2 +30u -30 = 0 |⋅ 6
    6( - 25 6 u 2 +30u -30 ) = 0
    -25 u 2 +180u -180 = 0 |:5

    -5 u 2 +36u -36 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    u1,2 = -36

  3. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral 0 3 ( 30 e -0,4t -30 e -0,8t ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 30 e -0,4t -30 e -0,8t ) t

    = [ -75 e -0,4x + 75 2 e -0,8x ] 0 3

    = -75 e -0,43 + 75 2 e -0,83 - ( -75 e -0,40 + 75 2 e -0,80 )

    = -75 e -1,2 + 75 2 e -2,4 - ( -75 e 0 + 75 2 e 0 )

    = -75 e -1,2 + 75 2 e -2,4 - ( -75 + 75 2 )

    = -75 e -1,2 + 75 2 e -2,4 - ( -75 +37,5 )

    = -75 e -1,2 + 75 2 e -2,4 -1 · ( -37,5 )

    = -75 e -1,2 + 75 2 e -2,4 +37,5


    ≈ 18,312

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 0 + 18.312 = 18.312

    18.31 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.