Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(0|0) und N2(1|0)
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da bei unserem bisherigen Term
=
für x → +∞ : f(x) gegen +∞ und nicht wie
gefordert gegen -∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
=
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei
einfach das x von
durch ein 'x
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Wie strebt auch für x → ∞ gegen ∞ .
- Wie strebt auch für x → -∞ gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | | | ||
| x2 | = | = | |
| x3 | = | = |
u2: =
| = | | |
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
;
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Wenn wir den substituierten Term anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:
=nach Substitution = =nach Re-Substitution
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
=
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit beschrieben werden (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Dezimeter pro Jahr).
Zu Beginn ist der Baum 3 Dezimeter hoch.
- Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 5 Jahren?
- Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit auf lange Sicht?
- Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit erstmals 10 dm pro Jahr?
- Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?
- y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = = ≈ 13.2
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)= →
Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen .
- Erster t-Wert bei y = 10
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=10 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 10 und lösen nach t auf:
= = | = |: = |ln(⋅) = |: = ≈ 2.3888 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 10 annimmt, ist also nach 2.39 Jahre.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral berechnet werden.
=
=
=
=
=
=
≈ 22,28922.29 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
