Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-2$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e^-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e^-x zu unserem bisherigen Term dazu: $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-x}$. Weil jetzt aber für x → -∞ : f(x) → -∞ streben würde, es ja aber gegen +∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse, indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-x}$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, hat der Graph von $e^x+3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x+3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x+3$ gegen 0 +3, also gegen 3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^5+3x^4+2x^3$	=	0
$x^3\left(x^2+3x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; $-1$; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^3·\left(x+1\right)·\left(x+2\right)$ = $x^5+3x^4+2x^3$

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $\frac{2}{5}\cdot 3^2-4\cdot 3+11$ = $\frac{13}{5}$ ≈ 2.6

   
   
2. Erster t-Wert bei y = $\frac{23}{5}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{23}{5}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{23}{5}$ und lösen nach t auf:

   $\frac{2}{5}{t}^2-4t+11$	=	$\frac{23}{5}$	|⋅ 5
   $5\left(\frac{2}{5}{t}^2-4t+11\right)$	=	$23$
   $2t^2-20t+55$	=	$23$	| $-23$

   $2t^2-20t+32$ = 0 |:2

   $t^2-10t+16$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

3. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 30 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{2}{5}{t}^2-4t+11\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{2}{5}{t}^2-4t+11\right)dt$$

   = ${\left[\frac{2}{15}{x}^3-2x^2+11x\right]}_0^3$

   $=$ $\frac{2}{15}\cdot 3^3-2\cdot 3^2+11\cdot 3-\left(\frac{2}{15}\cdot 0^3-2\cdot 0^2+11\cdot 0\right)$

   = $\frac{2}{15}\cdot 27-2\cdot 9+33-\left(\frac{2}{15}\cdot 0-2\cdot 0+0\right)$

   = $\frac{18}{5}-18+33-\left(0+0+0\right)$

   = $\frac{18}{5}-\frac{90}{5}+\frac{165}{5}+0$

   = $\frac{93}{5}$

   
   = 18,6

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 30 + 18.6 = 48.6

   48.6 m³ ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.