Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+0$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = -1 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·{\left(x+1\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $x{\left(x+1\right)}^2$ = $x^3+2x^2+x$ für x → -∞ gegen -∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-1}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^3-x^2-2x$	=	0
$x\left(x^2-x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $2$}

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·\left(x-2\right)·\left(x+1\right)$ = $x^3-x^2-2x$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $-\frac{2}{3}\cdot 5^2+4\cdot 5+3$ = $\frac{19}{3}$ ≈ 6.3

   
   
2. Erste Nullstelle

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3$	=	0	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3\right)$	=	0

   $-2t^2+12t+9$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

3. Erster t-Wert bei y = $\frac{25}{3}$

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=$\frac{25}{3}$ annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{25}{3}$ und lösen nach t auf:

   $-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3$	=	$\frac{25}{3}$	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3\right)$	=	$25$
   $-2t^2+12t+9$	=	$25$	| $-25$

   $-2t^2+12t-16$ = 0 |:2

   $-t^2+6t-8$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   t_1,2 =

4. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{2}{3}{t}^2+4t+3\right)dt$$

   = ${\left[-\frac{2}{9}{x}^3+2x^2+3x\right]}_0^3$

   $=$ $-\frac{2}{9}\cdot 3^3+2\cdot 3^2+3\cdot 3-\left(-\frac{2}{9}\cdot 0^3+2\cdot 0^2+3\cdot 0\right)$

   = $-\frac{2}{9}\cdot 27+2\cdot 9+9-\left(-\frac{2}{9}\cdot 0+2\cdot 0+0\right)$

   = $-6+18+9-\left(0+0+0\right)$

   = $21+0$

   = $21$

   21 m³ ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

5. t-Wert beim maximalen Bestand

   Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.

   Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

   Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $\frac{-12-\sqrt{216}}{-4}$.

   Da f(5.7) ≈ 4.2 > 0 und f(7.7) ≈ -5.6 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 6.67.

   Die gesuchte Zeitpunkt mit maximalem Bestand ist somit bei 6.67 min.