Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(1|0)
  • Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
  • Verhalten für x → ∞: f(x) → 0

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= x -1 .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Das Verhalten, dass für x → +∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → -∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von e-x. Also multiplizieren wir einfach mal ein e-x zu unserem bisherigen Term dazu: f(x)= ( x -1 ) · e -x . Jetzt strebt auch tatsächlich für x → -∞ : f(x) gegen -∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
f(x)= ( x -1 ) · e -x

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= - e x .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden zwar (wie bei e x ) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Während e x für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
  • Wie e x strebt für x → -∞ auch - e x gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 5 -6 x 4 +9 x 3 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 5 -6 x 4 +9 x 3 = 0
x 3 ( x 2 -6x +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -6x +9 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 9 21

x2,3 = +6 ± 36 -36 2

x2,3 = +6 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 6 2 = 3

L={0; 3 }

0 ist 3-fache Lösung! 3 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= x 3 · ( x -3 ) 2 = x 5 -6 x 4 +9 x 3

Anwendungen

Beispiel:

In einen Wassertank kann Wasser rein- und rausfließen. Die Änderungsrate des Wasservolumens im Tank kann an einem bestimmten Tag näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 ( t -2 ) · e -0,5t beschrieben werden ( t ≥ 0 in min nach Beobachtungsbeginn, f(t) in m³/min). Zu Beginn sind 30 m³ Wasser im Tank.

  1. Wie hoch ist die Änderungsrate des Wasservolumens 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
  2. Nach wie vielen Minuten ist die Änderungsrate des Wasservolumens am größten?

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  1. y-Wert bei t = 2

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = 15 · ( 2 -2 ) · e -0,52 = 0


  2. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt (4 |4.06) einblenden

    Randwertuntersuchung

    Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

    Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = 15 · ( 0 -2 ) · e -0,50 = -30 e 0 . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → 0.

    Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

    Bei t = 4 ist also der größte Wert der Funktion.