Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(1|0) und N2(3|0)
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|6)
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|6) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:
f(0) = =
Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:
f(0) = =
Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm .
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Und hier wissen wir ja bereits:
- Alle Funktionswerte sind >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
- Für x → ∞ strebt gegen ∞ .
- Für x → - ∞ strebt gegen 0 .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 =
x3 =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die momentane Wachstumsrate der Höhe eines Baums kann für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion f mit
Zu Beginn ist der Baum 5 Dezimeter hoch.
- Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 3 Jahren?
- Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten?
- Wie lange ist die Wachstumsgeschwindigkeit mindestens
dm pro Jahr?2752 75 - Um wie viele Dezimeter ist der Baum zwischen Jahr 0 und Jahr 3 gewachsen?
- y-Wert bei t = 3
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) =
=150 e - 0,1 ⋅ 3 - 150 e - 0,2 ⋅ 3 ≈ 28.8150 e - 0,3 - 150 e - 0,6
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|37.5) einblenden6.9315 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
=150 e - 0,1 ⋅ 0 - 150 e - 0,2 ⋅ 0 0 . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) → .0 + 0 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t =
ist also der größte Wert der Funktion.6.9315
- Abstand der beiden Schnittstellen mit
2752 75 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.2752 75 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:2752 75 150 e - 0,1 t - 150 e - 0,2 t = 2752 75 | - 2752 75 150 e - 0,1 t - 150 e - 0,2 t - 2752 75 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
150 e - 0,1 t - 150 e - 0,2 t - 2752 75 = 0 |⋅ e 0,2 x - 2752 75 e 0,2 t + 150 e 0,1 t - 150 = 0 Setze u =
e 0,1 x Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 2752 75 u 2 + 150 u - 150 = 0 |⋅ 75 75 ( - 2752 75 u 2 + 150 u - 150 ) = 0 - 2 752 u 2 + 11 250 u - 11 250 = 0 |:2 = 0- 1 376 u 2 + 5 625 u - 5 625 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
- 5 625 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( 150 e - 0,1 t - 150 e - 0,2 t ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 150 e - 0,1 t - 150 e - 0,2 t ) ⅆ t =
[ - 1 500 e - 0,1 x + 750 e - 0,2 x ] 0 3 = - 1 500 e - 0,1 ⋅ 3 + 750 e - 0,2 ⋅ 3 - ( - 1 500 e - 0,1 ⋅ 0 + 750 e - 0,2 ⋅ 0 ) =
- 1 500 e - 0,3 + 750 e - 0,6 - ( - 1 500 e 0 + 750 e 0 ) =
- 1 500 e - 0,3 + 750 e - 0,6 - ( - 1 500 + 750 ) =
- 1 500 e - 0,3 + 750 e - 0,6 - 1 · ( - 750 ) =
- 1 500 e - 0,3 + 750 e - 0,6 + 750
≈ 50,38150.38 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
