Aufgabenbeispiele von allgemein

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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

  • gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-2|0) und N2(-4|0)
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0|-8)

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Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also f(x)= ( x +2 ) · ( x +4 ) .

Um den y-Achsenabschnitt Sy(0|-8) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = ( 0 +2 ) · ( 0 +4 ) = 8

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten -1 multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = - ( 0 +2 ) · ( 0 +4 ) = -8

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm f(x)= - ( x +2 ) ( x +4 ) .

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Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +2 .

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Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +2 zu jedem Funktionswert von e x noch 2 addiert wird, hat der Graph von e x +2 die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 2 nach oben verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
  • Wie e x strebt auch e x +2 für x → ∞ gegen ∞ .
  • Für x → -∞ strebt e x +2 gegen 0 +2, also gegen 2.

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= x 8 -5 x 6 -36 x 4 und gib f in Linearfaktordarstellung an.


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Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x 8 -5 x 6 -36 x 4 = 0
x 4 ( x 4 -5 x 2 -36 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 4 = 0 | 4
x1 = 0

2. Fall:

x 4 -5 x 2 -36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u -36 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -36 ) 21

u1,2 = +5 ± 25 +144 2

u1,2 = +5 ± 169 2

u1 = 5 + 169 2 = 5 +13 2 = 18 2 = 9

u2 = 5 - 169 2 = 5 -13 2 = -8 2 = -4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x2 = - 9 = -3
x3 = 9 = 3

u2: x 2 = -4

x 2 = -4 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 0; 3 }

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term u 2 -5u -36 anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

x 4 -5 x 2 -36 =nach Substitution u 2 -5u -36 = ( u -9 ) · ( u +4 ) =nach Re-Substitution ( -9 ) · ( +4 )

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

f(x)= x 4 · ( x +3 ) · ( x -3 ) · ( x 2 +4 ) = x 8 -5 x 6 -36 x 4

Anwendungen

Beispiel:

Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit f(t)= 20 -13 e -0,4t beschrieben werden; f(t) in Tausend Downloads, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn bzw. Veröffentlichung.

  1. Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 2 heruntergeladen?.
  2. Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
  3. Wann erreicht die Downloadzahl erstmals 16 (Tausend)?
  4. Wie viele Tausend Downloads wurden insgesamt nach den ersten 3 Tagen heruntergeladen?

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  1. y-Wert bei t = 2

    Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = 20 -13 e -0,42 = -13 e -0,8 +20 ≈ 14.2


  2. Verhalten für t gegen unendlich

    Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

    Für t → ∞ ⇒ f(t)= 20 -13 e -0,4t 20 +0

    Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen 20 .

  3. Erster t-Wert bei y = 16

    Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=16 annimmt.

    Dazu setzen wir die Funktion einfach = 16 und lösen nach t auf:

    20 -13 e -0,4t = 16
    -13 e -0,4t +20 = 16 | -20
    -13 e -0,4t = -4 |:-13
    e -0,4t = 4 13 |ln(⋅)
    -0,4t = ln( 4 13 ) |:-0,4
    t = - 1 0.4 ln( 4 13 ) ≈ 2.9466

    Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 16 annimmt, ist also nach 2.95 Tage.

  4. Bestand zur Zeit 3

    Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral 0 3 ( 20 -13 e -0,4t ) t berechnet werden.

    Wir berechenn also zuerst das Integral:

    0 3 ( 20 -13 e -0,4t ) t

    = [ 20x + 65 2 e -0,4x ] 0 3

    = 203 + 65 2 e -0,43 - ( 200 + 65 2 e -0,40 )

    = 60 + 65 2 e -1,2 - (0 + 65 2 e 0 )

    = 65 2 e -1,2 +60 - (0 + 65 2 )

    = 65 2 e -1,2 +60 - (0 +32,5 )

    = 65 2 e -1,2 +60 -32,5

    = 65 2 e -1,2 +27,5


    ≈ 37,289

    Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
    B(3)≈ 0 + 37.289 = 37.289

    37.29 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.