Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x+1$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 0 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·{\left(x+0\right)}^2$

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Da unser Term $\left(x+1\right)x^2$ = $x^3+x^2$ für x → -∞ gegen -∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden zwar (wie bei $e^x$) betragsmäßig immer größer, durch das negative Vorzeichen aber immer kleiner. Die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Während $e^x$ für x → ∞ auch gegen ∞ strebt, strebt der gespiegelte Term gegen - ∞.
• Wie $e^x$ strebt für x → -∞ auch $-2e^x$ gegen 0 (nur eben von unten statt von oben).

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^6-13x^4+36x^2$	=	0
$x^2\left(x^4-13x^2+36\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; $-2$; 0; $2$; $3$}

0 ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^2·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ = $x^6-13x^4+36x^2$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $15+9e^{-\mathrm{0,7}\cdot 2}$ = $9e^{-\mathrm{1,4}}+15$ ≈ 17.2

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15+9e^{-\mathrm{0,7}x}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+9e^{-\mathrm{0,7}x}\right)dx$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(15+9e^{-\mathrm{0,7}x}\right)dx$$

   = ${\left[15x-\frac{90}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right]}_0^3$

   $=$ $15\cdot 3-\frac{90}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}-\left(15\cdot 0-\frac{90}{7}{e}^{-\mathrm{0,7}\cdot 0}\right)$

   = $45-\frac{90}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}-\left(0-\frac{90}{7}{e}^0\right)$

   = $-\frac{90}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+45-\left(0-\frac{90}{7}\right)$

   = $-\frac{90}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+45-\left(0-\frac{90}{7}\right)$

   = $-\frac{90}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+45+\frac{90}{7}$

   = $-\frac{90}{7}{e}^{-\mathrm{2,1}}+\frac{405}{7}$

   
   ≈ 56,283

   56.28 Tausend Downloads ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.