Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x+1\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0+2\right)·\left(0+1\right)$ = $2$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $2·\left(0+2\right)·\left(0+1\right)$ = $4$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)\left(x+1\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-1}$ einfach das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion einfach um 1 in x-Richtung verschoben . Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer . Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-1}$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Wie $e^x$ strebt auch $e^{x-1}$ für x → -∞ gegen 0 .

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^5+4x^4+3x^3$	=	0
$x^3\left(x^2+4x+3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; $-1$; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^3·\left(x+1\right)·\left(x+3\right)$ = $x^5+4x^4+3x^3$

1. y-Wert bei t = 2

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=2. Wir berechnen also einfach f(2) = $15-12e^{-\mathrm{0,3}\cdot 2}$ = $-12e^{-\mathrm{0,6}}+15$ ≈ 8.4

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $15-12e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $15+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $15$.

3. Erster t-Wert bei y = 9

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=9 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 9 und lösen nach t auf:

   $15-12e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $9$

   $-12e^{-\mathrm{0,3}t}+15$	=	$9$	| $-15$
   $-12e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$-6$	|:$-12$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{1}{2}\right)$	≈ 2.3105

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 9 annimmt, ist also nach 2.31 min.