Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-6) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0-3\right)$ = $3$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0-1\right)·\left(0-3\right)$ = $-6$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right)\left(x-3\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, hat der Graph von $e^x-3$ die gleiche Form wie der der natürlichen Exponentialfunktion, nur eben um 3 nach unten verschoben. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Da der Graph nach unten verschoben wurde, schneidet er nun die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer größer. Die Funktion ist also streng monoton steigend.
• Wie $e^x$ strebt auch $e^x-3$ für x → ∞ gegen ∞ .
• Für x → -∞ strebt $e^x-3$ gegen 0 -3, also gegen -3.

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$-x^8-6x^6+7x^4$	=	0
$-x^4\left(x^4+6x^2-7\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-1$; 0; $1$}

0 ist 4-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -1 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^2+6u-7$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4+6x^2-7$ =nach Substitution $u^2+6u-7$ = $\left(u-1\right)·\left(u+7\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-1\right)·\left(\mathrm{x²}+7\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $-x^4·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)·\left(x^2+7\right)$ = $-x^8-6x^6+7x^4$

1. y-Wert bei t = 4

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = $25+23e^{-\mathrm{0,3}\cdot 4}$ = $23e^{-\mathrm{1,2}}+25$ ≈ 31.9

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $25+23e^{-\mathrm{0,3}t}$ → $25+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $25$.

3. Erster t-Wert bei y = 38

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=38 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 38 und lösen nach t auf:

   $25+23e^{-\mathrm{0,3}t}$ = $38$

   $23e^{-\mathrm{0,3}t}+25$	=	$38$	| $-25$
   $23e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$13$	|:$23$
   $e^{-\mathrm{0,3}t}$	=	$\frac{13}{23}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,3}t$	=	$\ln \left(\frac{13}{23}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
   $t$	=	$-\frac{1}{0.3}\ln \left(\frac{13}{23}\right)$	≈ 1.9018

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 38 annimmt, ist also nach 1.9 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 1 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+23e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(25+23e^{-\mathrm{0,3}t}\right)dt$$

   = ${\left[25x-\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right]}_0^3$

   $=$ $25\cdot 3-\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 3}-\left(25\cdot 0-\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0}\right)$

   = $75-\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}-\left(0-\frac{230}{3}{e}^0\right)$

   = $-\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+75-\left(0-\frac{230}{3}\right)$

   = $-\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+75-\left(0-\frac{230}{3}\right)$

   = $-\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+75+\frac{230}{3}$

   = $-\frac{230}{3}{e}^{-\mathrm{0,9}}+\frac{455}{3}$

   
   ≈ 120,496

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 1 + 120.496 = 121.496

   121.5 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.