Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(2|0)
- einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 0
- Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 0 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.
Als neuen Term erhalten wir somit
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da unser Term = für x → -∞ gegen -∞ strebt, erfüllt er nun alle geforderten Eigenschaften.
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei einfach das x von durch ein -x ersetzt wurde, erhält man den Graph von indem man den der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse spiegelt. Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben so >0, also verläuft der Graph komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden (von links nach rechts) immer kleiner . Die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Wie für x → -∞ strebt für x → ∞ gegen 0.
- Wie für x → ∞ strebt für x → -∞ gegen ∞ .
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |
|
|
| x1 | = |
|
=
|
| x2 | = |
|
=
|
u2:
|
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 12 durch die Funktion f mit
- Wann hat der Fahrstuhl erstmals keine Geschwindigkeit?
- Wie viele Sekunden lang ist Geschwindigkeit des Fahrstuhl mindestens
m/s?58 5 - Wie viele Meter legt der Fahrstuhl zwischen Sekunde 0 und Sekunde 3 zurück?
- Bestimme die maximale Höhe, die der Fahrstuhl erreicht.
- Erste Nullstelle
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:
- 2 5 t 2 + 4 t + 2 = 0 |⋅ 5 5 ( - 2 5 t 2 + 4 t + 2 ) = 0 - 2 t 2 + 20 t + 10 = 0 |:2 = 0- t 2 + 10 t + 5 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
t1,2 =
- 10 - Abstand der beiden Schnittstellen mit
58 5 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
annimmt.58 5 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
und lösen nach t auf:58 5 - 2 5 t 2 + 4 t + 2 = 58 5 |⋅ 5 5 ( - 2 5 t 2 + 4 t + 2 ) = 58 - 2 t 2 + 20 t + 10 = 58 | - 58 - 2 t 2 + 20 t - 48 = 0 |:2 = 0- t 2 + 10 t - 24 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
t1,2 =
- 10 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
berechnet werden.∫ 0 3 ( - 2 5 t 2 + 4 t + 2 ) ⅆ t ∫ 0 3 ( - 2 5 t 2 + 4 t + 2 ) ⅆ t =
[ - 2 15 x 3 + 2 x 2 + 2 x ] 0 3 = - 2 15 ⋅ 3 3 + 2 ⋅ 3 2 + 2 ⋅ 3 - ( - 2 15 ⋅ 0 3 + 2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 ) =
- 2 15 ⋅ 27 + 2 ⋅ 9 + 6 - ( - 2 15 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 0 ) =
- 18 5 + 18 + 6 - ( 0 + 0 + 0 ) =
- 18 5 + 90 5 + 30 5 + 0 =
102 5
= 20,420.4 m ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei
.- 10 - 120 - 2 Da f(9.5) ≈ 4 > 0 und f(11.5) ≈ -4.8 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 10.48.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 10.48 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 10.48 s lässt sich berechnen durch:
∫ 0 10.48 ( - 2 5 t 2 + 4 t + 2 ) ⅆ t =
[ - 2 15 x 3 + 2 x 2 + 2 x ] 0 10.48 = - 2 15 ⋅ 10.48 3 + 2 ⋅ 10.48 2 + 2 ⋅ 10.48 - ( - 2 15 ⋅ 0 3 + 2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 ) =
- 2 15 ⋅ 1151.022592 + 2 ⋅ 109.8304 + 20,96 - ( - 2 15 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 0 ) =
- 153,46967893333 + 219,6608 + 20,96 - ( 0 + 0 + 0 ) =
87,151121066667 + 0 =
87,151121066667
≈ 87,151Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 5 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
Bmax = 5 m + 87.15 m = 92.15 m. - Abstand der beiden Schnittstellen mit
